= A. 2 z1 ( 1. γνωστός ως κύκλος του Απολλωνίου.

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "= A. 2 z1 ( 1. γνωστός ως κύκλος του Απολλωνίου."

Transcript

1 ΤΟ ΜΙΓΑ ΙΚΟ ΕΠΙΠΕ Ο Επί του επιπέδου θεωρούµε ένα ορθογώνιο σύστηµα συντεταγµένων Oxy, και σε κάθε σηµείο P(x, y) του επιπέδου αντιστοιχίζουµε τον µιγαδικό αριθµό = x+ y Η αντιστοιχία αυτή είναι µία ένα ένα απεικόνιση των σηµείων του επιπέδου στο σύνολο των µιγαδικών αριθµών Im(x) + = (x+ x ) + (y+ y) + = x y + = x y Re(x) = x y y O µέτρο ίσο προς και Το γινόµενο δύο µιγαδικών R αριθµών, στο µιγαδικό επίπεδο, µπορούµε να το παραστήσουµε από την παρακάτω κατασκευή: Έστω P = = x+ y Q = = x + y A = + Q Γωνία ΡΟQ = Γωνία POA και P Γωνία OQR = Γωνία OAP Όταν ισχύουν τα παραπάνω, τότε, Τρίγωνο OAP Τρίγωνο OQR x (OR) (OQ) Άρα A = απ όπου (OP) (OA) έπεται ότι ( OR) = (OP)(OQ) Στο µιγαδικό επίπεδο το σηµείο R έχει όρισµα arg = arg + arg και Το σηµείο R αντιστοιχεί συνεπώς, στο γινόµενο των αριθµών

2 Ευθεία και κύκλος στο µιγαδικό επίπεδο Το σύνολο των σηµείων του µιδαδικού επιπέδου, που πληρούν την σχέση b + c+ d= (), µε d R και b= c, κείται επ ευθείας Πράγµατι, αν θέσουµε b= β + β οπότε και c= b= β β λαβαίνουµε την ( b+ b)x (b b)y+ d=, ή την β x+ β y+ d= Μία ευθεία περνά από την αρχή των dc d c αξόνων ανν d= Η λύση του συστήµατος c + c+ d =, =,, δίδει cc cc Έχουµε, λοιπόν, ότι δύο ευθείες είναι: α) τεµνόµενες ανν cc cc β) παράλληλες ανν c c Re, ή c c cc = γ) Κάθετες ανν Im, ή c c+ cc = c c Η (κάθετος) απόσταση του σηµείου w από την ευθεία () δίδεται από την σχέση cw+ cw+ d c cc cc Η γωνία δύο ευθειών θ ή π θ είναι, ta θ = c c + c c Το σύνολο των σηµείων του µιδαδικού επιπέδου, που πληρούν την σχέση = r, µε r R, καλείται περιφέρεια κύκλου ή απλά κύκλος K του µιγαδικού επιπέδου Είναι, λοιπόν, K = { C, µε - = r} Άρα και, ( )( ) = + = () r a b Έστω, τώρα, K = ένας hermta c d πίνακας Είναι, δηλαδή, a,d R, c= b Η ορίζουσα του πίνακα Κ είναι η = ad bc= ad bb R Στον πίνακα Κ αντιστοιχίζουµε την σχέση a + b+ c+ d= µε a, a,d R (3), η οποία συµπίπτει µε την () αν είναι, b= a, c= b, d= a( r ), οπότε, τότε, στον πίνακα Κ αντιστοιχίζουµε τον κύκλο K Η (3) συµπίπτει µε την (), ανν a= και b= c Λέµε ότι, ο Κ παριστάνει τον K Φανερά, οι πίνακες K και λk παριστάνουν τον ίδιο κύκλο K Όταν ο Κ παριστάνει κύκλο K, η ορίζουσα γίνεται = a r Το κέντρο c του κύκλου () βρίσκεται στο σηµείο, και a cc ad ακτίνα a Παρατηρούµε ότι ) Για a και <, έχουµε κανονικό κύκλο για r>, ενώ ένα σηµείο για r= ) Για a και <, λαβαίνουµε έναν φανταστικό κύκλο 3) Για a= και < η (3) παριστάνει µια ευθεία του µιγαδικού επιπέδου Η θετική φορά ενός κύκλου, καθορίζεται από το θετικό πρόσηµο του συντελεστού a

3 3 ύο διαφορετικοί κύκλοι K λk ορίζουν µία δέσµη κύκλων µέσω της µονοπαραµετρικής οικογένειας K= λ K + λ K Κάθε (πραγµατικό) στοιχείο της οικογένειας αυτής, διέρχεται από τα σηµεία τοµής των κύκλων K και K, και δύο τυχόντα στοιχεία Κ και Λ = µ Κ + µ Κ, όπου λ, µ R, ορίζουν την ίδια δέσµη Ισχύει ότι, = λ + λλ + λ (4) όπου,, οι ορίζουσες των πινάκων Κ, Κ, Κ αντίστοιχα, και, = ad + a d bc b c Επίσης, = A r, = A r, = AA ( δ r r ) όπου δ= κ κ η απόσταση των κέντρων των κύκλων ύο κύκλοι τέµνονται κατά γωνία ω, ίση µε την γωνία των εφαπτοµένων στο σηµείο τοµής τους Η γωνία αυτή ( BAΓ) ισούται µε την K AK= ω, µιά και έχουν τις πλευρές κάθετες Από το τρίγωνο K AK έχουµε, δ = r + r m rr cos ω Άρα, τελικά, και cos ω= Όταν οι κύκλοι Κ και Κ είναι πραγµατικοί, τότε και µόνον, cos ω, δηλαδή,, σχέση, που µαζί µε την <, εξασφαλίζουν ότι η (4) έχει το πολύ µία ρίζα Όταν = οι κύκλοι εφάπτονται, εξωτερικά αν cos ω =, εσωτερικά αν cos ω = Οι πραγµατικοί κύκλοι είναι ορθογώνιοι ανν cos ω =, οπότε και, = Η τελευταία αυτή σχέση, γενικεύει την έννοια της ορθογωνιότητας για οιουσδήποτε κύκλους Μία δέσµη κύκλων λέγεται: α) ελλειπτική ανν >, οπότε η (4) έχει δύο ρίζες, που ορίζουν τα σηµεία τοµής των κύκλων της δέσµης β) παραβολική ανν = οπότε οι κύκλοι της δέσµης έχουν όλοι ένα κοινό σηµείο, και γ) υπερβολική, ανν < οπότε, δεν έχουµε σηµεία τοµής των κύκλων της δέσµης Ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων του µιγαδικού επιπέδου, των οποίων ο λόγος των αποστάσεων από δύο σταθερά σηµεία και είναι σταθερός, είναι περιφέρεια κύκλου γνωστός ως κύκλος του Απολλωνίου Πράγµατι, η = k δίδει την ( k )+ (k )+ (k )+ k =, που είναι περιφέρεια κύκλου K k k µε κέντρο κ = και ακτίνα r= k k Παρατηρούµε ότι, το κέντρο κ του κύκλου κείται επί της ευθείας Το γεγονός αυτό, αποδεικνύεται ως εξής: Η () πληρούται από τα σηµεία και, και a πρέπει να πληρούται επίσης από το σηµείο κ Είναι, λοιπόν, c + c + d=, c + c+ d=, και πρέπει, ακόµα, c κ + cκ+ d=, σχέση, που προφανώς κ ισχύει για την τιµή του κ που βρήκαµε b

4 4 Έστω, τώρα, a, b, τα σηµεία τοµής της ευθείας και του κύκλου K Ισχύει, τότε, ( )(a b) = Λέµε, ότι τα σηµεία,a,, b αποτελούν έναν αρµονικό λόγο Τα ( a)(b ) σηµεία και καλούνται συµµετρικά ως προς τον κύκλο K Ισχύει επίσης ότι, ( κ )( κ) = r, και λέµε ακόµα ότι, τα σηµεία και είναι αντίστροφα ως προς τον κύκλο Κ Ένα ζεύγος αντιστρόφων σηµείων, παρίσταται δια του (, ) Αν A B K = ο πίνακας του κύκλου K, και A ζζ+ Bζ+ Cζ+ D= () η εξίσωσή του, C D είναι τότε και, C+ D A + B + C+ D=, απ όπου έχουµε ότι, = () Το ζεύγος (, ), A+ B πληροί την εξίσωση () του κύκλου K Όταν, λοιπόν, τα σηµεία και βρίσκονται πάνω στην περιφέρεια του K, έχουµε τότε, ( )(A+ B) =, και, επειδή A+ B= A+ C, έπεται ότι, = Η σχέση () ορίζει µία απεικόνιση, που λέγεται αντιστροφή και είναι ένα προς ένα, του εσωτερικού του κύκλου K επί το εξωτερικό του Το κέντρο κ του κύκλου, το αντιστοιχίζουµε στο σηµείο Τα σηµεία επί της περιφερείας του κύκλου, παραµένουν αναλλοίωτα ως προς την απεικόνιση αυτή 3 Απλός και διπλός λόγος Ορίζουµε τον απλό λόγο ( ;, 3 ) των τριών σηµείων, 3 του µιγαδικού επιπέδου ως εξής: (;,3) = αν 3,, αν = 3 3 Θέτουµε επίσης, ( ;,3) = ( ;,3) =, ( ;, ) = και ( ;,3 ) = ( ;, ) =, ( ;, ) = Αν είναι ( ;,3) =, και ενεργήσουµε τις 3! µεταθέσεις πάνω στους δείκτες του συµβόλου ( ;, 3 ), λαβαίνουµε τις εξής 6 τιµές του απλού λόγου: ( ;,3) =, ( ;3,) =, ( 3;, ) =, ( ;3,) =, ( ;,3) =, ;, ) = ( 3 Πρόταση Τρία σηµεία του µιγαδικού επιπέδου κείνται επ ευθείας, ανν ο απλός λόγος τους είναι πραγµατικός αριθµός Απόδειξη Η συνθήκη που εκφράζουµε στην πρόταση αυτή, είναι ισοδύναµη της ισότητας ( ;, 3 ) = (;, 3 ) Ή ( )( 3) = ( )( 3), ή =, πολλαπλασιάζουµε επί, και έχουµε, ( ' 3')+ (' 3')+ ' 3' + '3' =, όπου ' = y + x, =, 3, που είναι η εξίσωση µιάς ευθείας Ο διπλός λόγος τεσσάρων σηµείων, 4, ορίζεται από τον λόγο δύο απλών λόγων ( 3)( 4) ως εξής: (,;3,4) = (;3,4) : (;3,4) = Οι 4! µεταθέσεις των ( )( ) 3 4

5 5 δεικτών του διπλού λόγου δίδουν πάλι τις 6 προηγούµενες τιµές του απλού λόγου, µιά και έχουµε τις ισότητες,, ;, ) = (, ;, ) = (, ;, ) = (, ;, ) ( = (,3;,4) = (3,;4,) = (,4;,3) = (4,;3, ) = 3,;,4 ) = (,3;4,) = (,4;3,) = (4,,;, ) = (,;3,4) = (,;4,3) = (3,4;,) = (4,3;, ) = ( 3,;,4) = (,3;4,) = (,4;3, ) = (4,;,3) =, ;, ) = (, ;, ) = (, ;, ) = (, ;, ) = ( 3 ( Πρόταση Τέσσερα σηµεία του µιγαδικού επιπέδου κείνται επί του ιδίου κύκλου, ανν ο διπλός τους λόγος είναι πραγµατικός αριθµός Απόδειξη Είναι ανάλογος της προηγούµενης προτάσεως Πρόταση Αν τα αντίστροφα σηµεία των ότι, (, ; 3, 4 ) = (, ; 3, 4 ) Απόδειξη Έχουµε ότι, ( κ )( κ) = r, 4, ως προς κύκλο Κ, τότε, ισχύει, απ όπου έπεται και η k k = r και είναι, ( ; 3, 4 ) = ( κ; 4, 3 )( ; 3, 4 ) ( κ)( κ) k Βιβλιογραφία ) Geometry of Complex Nmbers, Has Schwerdtfeger, Dover ) Theory of Fctos of a Complex Varable, C Caratheodory, Chelsea Volme oe Ασκήσεις ύο κύκλοι είναι ορθογώνιοι, αν και µόνον αν tr(k K ) = 4 Γραµµικοί µετασχηµατισµοί (ή Moebs µετασχηµατισµοί) του µιγαδικού a+ b επιπέδου Έτσι ονοµάζονται οι µετασχηµατισµοί φ :C C της µορφής w= φ () = c+ d a b (), C, µε δ = det = ad bc c d Κάθε µετασχηµατισµός (), ορίζει έναν πίνακα a b M =, και όλοι οι πίνακες km, δίδουν τον ίδιο µετασχηµατισµό () Η απεικόνιση c d F : km φ είναι ένας οµοµορφισµός του συνόλου των µη ιδιαζόντων πινάκων µε πράξη των πολλαπλασιασµό, επί του συνόλου των γραµµικών µετασχηµατισµών φ, µε πράξη την σύνθεση αυτών Ο M d b πίνακας είναι ο δ, που αντιστοιχεί στον c a

6 6 d b φ (w) = Το σύνολο των γραµµικών µετασχηµατισµών φ µε πράξη την σύνθεση c+ a αυτών, αποτελεί συνεπώς οµάδα Ερχόµαστε, τώρα, στον µετασχηµατισµό (), και έστω, δύο σταθερά σηµεία του µιγαδικού επιπέδου Για το τυχόν σηµείο C, σχηµατίζουµε τον απλό λόγο ( ;, ), και στην συνέχεια λαβαίνουµε την εικόνα του, ( w;w, w ) Βρίσκουµε, τότε, ότι c + d ( w;w,w ) = k(;, ), όπου η k σταθερά, k=, Έστω ένα ακόµα σηµείο c+ d 3 C Είναι, ( w 3 ;w,w ) = k(3;,) Άρα και, ( w, w 3 ;w,w ) = (,3;,) Η ισότητα αυτή, εκφράζει την Πρόταση Ο γραµµικός µετασχηµατισµός φ, διατηρεί τον διπλό λόγο Πόρισµα Ο γραµµικός µετασχηµατισµός φ, απεικονίζει έναν κύκλο K w Επίσης, αν τα σηµεία και είναι συµµετρικά ως προς είναι συµµετρικά ως προς K w K σε έναν κύκλο K, τα σηµεία w και w Τα σταθερά σηµεία ενός µετασχηµατισµού φ δίδονται από την σχέση φ () = ή από a+ b την =, απ όπου έχουµε ότι τα σταθερά σηµεία του φ, είναι οι ρίζες της c+ d εξισώσεως c (a d) b= () Ο γραµµικός µετασχηµατισµός φ, έχει συνεπώς δύο το πολύ σταθερά σηµεία Αν γνωρίζουµε ότι ο φ έχει τρία σταθερά σηµεία, τότε αυτός είναι ο ταυτοτικός µετασχηµατισµός Αν c, αµφότερα τα σταθερά του σηµεία, είναι πεπερασµένα Είναι δε και διαφορετικά, αν η διακρίνουσα της () είναι Αν c=, τότε ένα τουλάχιστον από τα σταθερά του σηµεία είναι το Αν επιπλέον a = d, ο φ είναι µία µεταφορά w = + b Αν a d, ο w = a+ b έχει εκτός από το ως σταθερό σηµείο, b και το σηµείο ζ= a Επειδή οι µετασχηµατισµοί φ έχουν ως αναλλοίωτο τον διπλό λόγο, εύκολα µπορούµε να βρούµε την µορφή του φ, αν γνωρίζουµε τις εικόνες w, w, w 3, τριών σηµείων του πεδίου ορισµού του,,, 3 Αρκεί να γράψουµε ( w, w 3 ;w,w ) = (,3;,), απ όπου λαβαίνουµε για τον φ την ζητούµενη έκφραση Για παράδειγµα, αν θέλουµε εκείνον τον γραµµικό µετασχηµατισµό που απεικονίζει τα σηµεία,, - στα σηµεία,,, αρκεί να γράψουµε την σχέση ( w, ;,) = (, ;,), απ όπου και w = :, ή w = Βιβλιογραφία Εκτός από τα προαναφερθέντα βιβλία πάνω στις µιγαδικές συναρτήσεις, χρήσιµο είναι και το Elemets of the theory of Fctos του Korad Kop, έκδοση Dover

7 7 5 Τοπολογία του µιγαδικού επιπέδου Περιοχή N(,ρ) του σηµείου ακτίνας ρ καλείται το σύνολο (,ρ) = { C µε ρ} Φανερά, N(,ρ), µιά και N < τουλάχιστον το N(,ρ) Οι περιοχές N (,ρ) χαρακτηρίζονται από τις ιδιότητες: Ι Αν δύο διαφορετικά σηµεία του µιγαδικού επιπέδου C, τότε βρίσκονται περιοχές N(,ρ) και N(,ρ), έτσι ώστε N(,ρ) N(,ρ) = ΙΙ Σε κάθε σηµείο του C, µπορούµε να αντιστοιχίσουµε µία φθίνουσα ακολουθία περιοχών του N (,ρ), N, έτσι ώστε, I N (,ρ) Αυτό έχει σαν συνέπεια, να υπάρχει περιοχή του, η οποία τελικώς θα περιέχει όλες τις περιοχές, που ανήκουν στην προαναφερθείσα ακολουθία ΙΙΙ Αν N(,ρ) και N(,ρ),, τότε, N(,ρ) N(,ρ) N(,ρ) Έστω S C Το σηµείο S καλείται εσωτερικό σηµείο του S, αν και µόνον αν, N(,ρ) : N(,ρ) S Ανοικτό καλείται εκείνο το σύνολο S, του οποίου κάθε σηµείο, είναι εσωτερικό σηµείο Η περιοχή N(,ρ) είναι ένα ανοικτό σύνολο Πράγµατι, αν N(,ρ), τότε και N(,δ) N(,ρ), αν λάβουµε δ< ρ Ολόκληρο το µιγαδικό επίπεδο είναι συνεπώς, ανοικτό σύνολο Πρόταση Η ένωση U οιουδήποτε πλήθους ανοικτών συνόλων G, I, είναι ανοικτό σύνολο, µιά και αν U, τότε και G για κάποιον δείκτη I, και, συνεπώς, N(,ρ) G U Πρόταση Η τοµή πεπερασµένου πλήθους ανοικτών συνόλων, είναι ανοικτό σύνολο Απόδειξη Έστω I G= G Υπάρχουν τότε οι ρ >,, έτσι ώστε, = N(,ρ) G Αρκεί να λάβουµε r< m{ρ, }, για να εξασφαλίσουµε ότι η περιοχή N(, r) G Πρόταση Το συµπλήρωµα ενός συνόλου, που αποτελείται από ένα πεπερασµένο πλήθος σηµείων του επιπέδου C, είναι ανοικτό σύνολο Απόδειξη Έστω το F= {,, K, k}, και C F Αρκεί να λάβουµε r< m{, k}, για να εξασφαλίσουµε ότι, N(, r) F C Έστω S, S δύο µη κενά υποσύνολα του C Η απόστασή τους d(s,s ) ορίζεται από την σχέση d(s,s ) = f{, όπου S, S} Ιδιαίτερα, έχουµε την απόσταση d(w,s) = f{ w, µε S} του σηµείου w από το σύνολο S Είναι βέβαια d (w,s) =, αν w S Το αντίστροφο δεν ισχύει πάντα Για παράδειγµα, το σηµείο {} απέχει µηδενική απόσταση από το σύνολο S= { µε < } {}, χωρίς να ανήκει σ αυτό Ισχύει όµως ότι, d (w,s) = N(w,ρ), N(w,ρ) S Ένα κλειστό σύνολο

8 8 F ορίζεται ως εκείνο το υποσύνολο του C, που περιέχει όλα τα σηµεία του C, που βρίσκονται σε µηδενική απόσταση απ αυτό Πρόταση Ένα σύνολο S C είναι κλειστό, αν και µόνον αν, το συµπλήρωµά του (ως προς C) είναι ανοικτό σύνολο Απόδειξη ) Έστω ότι το C -S είναι ανοικτό σύνολο και C, τέτοιο ώστε, d (,S) = Τότε, κάθε περιοχή του, θα περιέχει και σηµεία του S Συνεπώς C-S Άρα το S ) Έστω το S κλειστό σύνολο Αν το S =, τότε, το συµπλήρωµά του είναι ολόκληρο το C, και συνεπώς είναι ένα ανοικτό σύνολο Αν S και C-S, τότε και η απόσταση d (,S) > Άρα N (,ρ), µε, N(,ρ) S=, δηλαδή, N(, ρ) C-S, και, συνεπώς, το C -S ανοικτό σύνολο Πορίσµατα της προηγούµενης προτάσεως είναι ότι, α) η τοµή οιουδήποτε πλήθους κλειστών συνόλων είναι κλειστό σύνολο, και, β) η ένωσης πεπερασµένου πλήθους κλειστών συνόλων είναι κλειστό σύνολο Τα σύνολα C και, είναι τα µοναδικά σύνολα, που είναι ταυτόχρονα ανοικτά και κλειστά Αυτά έπονται από τα αντίστοιχα πορίσµατα για τα ανοικτά σύνολα, παίρνοντας από τα ανοιχτά στα κλειστά µε τους κανόνες του de Morga Για παράδειγµα, το F= {,, K, k} είναι ένα κλειστό σύνολο Εξ άλλου, κάθε σηµείο του συνόλου F, είναι ένα µεµονωµένο σηµείο, µε την έννοια ότι, υπάρχει περιοχή του, η οποία να περιέχει µόνον το σηµείο αυτό, και κανένα άλλο σηµείο του συνόλου F Όταν, λοιπόν, δίδεται ένα σύνολο S του µιγαδικού επιπέδου, τότε τα σηµεία του C ως προς το S είναι δυνατόν να είναι είτε εσωτερικά, είτε εξωτερικά, δηλαδή, εσωτερικά του συµπληρώµατός του, είτε συνοριακά, σηµεία δηλαδή, των οποίων κάθε περιοχή περιέχει σηµεία και του S και του C -S Ένα σηµείο συσσωρεύσεως (σσ) του συνόλου S, είναι εκείνο το σηµείο, που κάθε περιοχή του, περιέχει και ένα σηµείο του S διαφορετικό από το (αν είναι S) Αν το είναι σσ του συνόλου S, τότε S, µιά και, αν S, κάθε περιοχή του, δεν περιέχει κανένα σηµείο του S Ορικό σηµείο του S, είναι εκείνο το σσ του S, που, τελικά, µέσα σε κάθε περιοχή του, περιέχονται όλα τα σηµεία του S Η διάµετρος δ (S) του συνόλου S C ορίζεται η δ(s) = sp{ w, όπου, w S} Όταν έχουµε δ (S), τότε λέµε ότι το σύνολο S είναι φραγµένο Για φραγµένα σύνολα, ισχύει ότι, δ (S) = δ(s) o Εσωτερικό S ενός συνόλου S, είναι η ένωση όλων των ανοικτών συνόλων που περιέχονται στο S Το εσωτερικό ενός συνόλου είναι συνεπώς, το µεγαλύτερο ανοικτό σύνολο που περιέχεται στο S Κάλυµµα S ενός συνόλου S, είναι η τοµή όλων των κλειστών συνόλων, στα οποία το S περιέχεται Το κάλυµµα του S είναι συνεπώς το µικρότερο κλειστό σύνολο, που περιέχει το S Για παράδειγµα, είναι Q = R Το σύνορο ενός συνόλου S ορίζεται ως το σύνολο αν και µόνον αν, S= S o S S Φανερά, το S είναι ένα κλειστό σύνολο,

9 9 Πρόταση S, αν και µόνον αν, d (,S) = Απόδειξη ) Έστω S, µε, d (,S) > Τότε N (,ρ), µε, N(,ρ) S=, δηλαδή, N(, ρ) C-S Το κλειστό σύνολο C -N(, ρ) περιέχει το S και συνεπώς το S, αντίθετα µε την υπόθεσή µας, ότι S ) Έστω d (,S) =, και F οιοδήποτε κλειστό σύνολο που περιέχει το S Τότε και, d (, F) =, και άρα F Το λοιπόν, ανήκει στην τοµή όλων των κλειστών συνόλων, που περιέχουν το S Άρα, S Πόρισµα Το S περιέχει όλα τα σηµεία συσσωρεύσεως του Πόρισµα Ένα σηµείο ανήκει στο κάλυµµα S του συνόλου S, αν και µόνον αν, αυτό είναι ορικό σηµείο µιάς ακολουθίας σηµείων s τoυ S Πόρισµα Το ορικό σηµείο µιάς ακολουθίας { s } είναι µοναδικό Πράγµατι, αν η ακολουθία είχε δύο διαφορετικά ορικά σηµεία, τότε, αν δ=, οι περιοχές N(,ρ) και N(,ρ) µε ρ,ρ < δ /, έχουν τοµή κενή Είναι αδύνατον, λοιπόν, όλοι οι όροι της { s } να περιέχονται τελικά και στην N(,ρ) και στην N(,ρ) Παραδείγµατα Αν S το σύνολο των σηµείων ( x, y) του επιπέδου, για τα οποία y= s(/ x) y= x s(/ x) y= s(/ x), τα σσ του συνόλου S, είναι τα σηµεία της µορφής (, y), µε y Αν S το σύνολο των σηµείων ( x, y) του επιπέδου, για τα οποία y= x s(/ x), τo ορικό σηµείο του συνόλου S, είναι το σηµείο (,) Θεώρηµα (Bolao Weerstrass) Κάθε µη πεπερασµένο κλειστό και φραγµένο σύνολο S έχει ένα τουλάχιστον σηµείο συσσωρεύσεως Απόδειξη Έστω δ(s) η διάµετρος του S Κάποιο άπειρο τµήµα του S, θα περιέχεται, µέσα σε ένα υποσύνολό του S, µε διάµετρο το δ(s) Συνεχίζουµε τον συλλογισµό αυτό,

10 και θεωρούµε εκείνο το άπειρο υποσύνολο =I S = S του S, που έχει διάµετρο δ(s) Έστω F όπου N, S S + Το σύνολο αυτό F, είναι ένα µη κενό κλειστό σύνολο, ως τοµή µη κενών κλειστών συνόλων Ένα σηµείο F, είναι σσ του S, µια και οιαδήποτε περιοχή του, έχει τοµή µη κενή µε το σύνολο S Επειδή το S κλειστό, S Το σύνολο των ορικών σηµείων του S C καλείται παράγωγο σύνολο S του S Ισχύει, βέβαια, S= S S Ένα σύνολο A B λέµε ότι είναι πυκνό εν Β, αν και µόνον αν A= B Για παράδειγµα, οι ρητοί αριθµοί Q, είναι σύνολο πυκνό εν R Κάθε φορά, που σχηµατίζουµε µία φθίνουσα ακολουθία κλειστών µη κενών συνόλων S, τα οποία τελικά είναι και φραγµένα, µε διαµέτρους δ (S ), µπορούµε να επιλέξουµε µία ακολουθία { s }, τέτοια ώστε, s S, και µε ένα ορικό σηµείο s (Θεώρηµα του Cator) Λέµε ότι, η { s } συγκλίνει στο s Γράφουµε { s } s, ή lm{ s } = s Θεώρηµα των Hee - Borel Αν κάθε σηµείο ενός κλειστού και φραγµένου συνόλου S καλύπτεται από ένα ανοικτό σύνολο G, τότε µπορούµε να επιλέξουµε ένα πεπερασµένο αριθµό απ αυτά, που η ένωσή τους, να καλύπτει το S Απόδειξη Έστω ότι για να καλύψουµε το S, απαιτείται ένας µη πεπερασµένος αριθµός από G Αν δ(s) η διάµετρος του S, το ίδιο θα απαιτείται και για κάποιο από τα κλειστά υποσύνολα του S, που περιέχονται στο τµήµα εκείνο του S, που έχει διάµετρο δ (S) / Επιλέγουµε το τµήµα αυτό του S, και το καλούµε S Επαναλαµβάνοντας τον ίδιο συλλογισµό, σχηµατίζουµε την φθίνουσα ακολουθία των κλειστών συνόλων S, τα οποία όλα, έχουν την ιδιότητα, να απαιτούν έναν µη πεπερασµένο αριθµό από ανοικτά σύνολα G, S, για να καλυφθούν Τούτο όµως είναι άτοπο, γιατί, το S ως κλειστό σύνολο, περιέχει το ορικό σηµείο της ακολουθίας καλυφθεί από ένα και µόνον ανοικτό σύνολο G S, και το σηµείο αυτό, µπορεί να Ορισµός Ένα κλειστό και φραγµένο σύνολο καλείται συµπαγές σύνολο Κριτήριο σύγκλισης του Cachy Αναγκαία και ικανή συνθήκη για να έχει ορικό σηµείο η ακολουθία { }, είναι, για κάθε ε > να υπάρχει δείκτης = (ε), τέτοιος ώστε, + p < ε, για όλους τους δείκτες > (ε), και κάθε p N Απόδειξη Αν { }, τότε, φανερά ισχύει το κριτήριο του Cachy, µια και τελικά όλοι οι όροι της ακολουθίας βρίσκονται µέσα σε µία περιοχή N (,ε) Αντίστροφα, αν + p < ε, το σύνολο { } είναι ένα άπειρο φραγµένο σύνολο Πράγµατι, αρκεί να λάβουµε ε=, οπότε υπάρχει δείκτης, για τον οποίο, όλοι οι όροι της ακολουθίας που έχουν δείκτες >, είναι τέτοιοι ώστε, <, και συνεπώς, έχουµε και ότι < Φράγµα των όρων της { }, αποτελεί ο max{, K, } + +

11 Θεωρούµε, τώρα, και τα σύνολα S = {, µε < } Για τα σύνολα S, έχουµε ότι, δ(s ) Μπορούµε, συνεπώς, να επιλέξουµε µία ακολουθία { s }, η οποία να συγκλίνει Όµως ισχύει,, + s Άρα και η { } συγκλίνει < Πόρισµα Μέσα σε ένα συµπαγές σύνολο, οι συγκλίνουσες ακολουθίες είναι ακολουθίες Cachy, και αντίστροφα Ορισµός Ο χώρος, µέσα στον οποίον µία ακολουθία συγκλίνει αν και µόνον αν, είναι ακολουθία Cachy, καλείται πλήρης χώρος Ορισµός Μη συνεκτικό είναι το υποσύνολο εκείνο S του C, το οποίο είναι δυνατόν να γραφεί ως ένωσης δύο διακεκριµένων κλειστών συνόλων H και H Λέµε ότι, τα H και H αποτελούν έναν χωρισµό του S Επειδή κάθε ένα από τα κλειστά αυτά σύνολα είναι και ανοικτό, ως συµπλήρωµα κλειστού συνόλου, µη συνεκτικό είναι το S, αν µερίζεται σε δύο ανοικτά σύνολα Συνεχές καλείται, κάθε συνεκτικό και συµπαγές υποσύνολο του C Πρόταση Ο R είναι συνεκτικό σύνολο Τα διαστήµατα του R είναι συνεκτικά σύνολα Απόδειξη Έστω, ότι R = H H, µε H H =, H = H και H = H Για κάθε a H και b H, b a = ε> Άρα, κάθε σηµείο του H απέχει από το H µη µηδενική απόσταση Επίσης, κάθε σηµείο του H απέχει από το H µη µηδενική απόσταση Τούτο όµως είναι αδύνατον, µια και τα σύνολα αυτά είναι κλειστά σύνολα Πρόταση Αν Ε συνεκτικό σύνολο, και E E E, τότε και το E συνεκτικό σύνολο Απόδειξη Πράγµατι, αν τα H και H αποτελούν χωρισµό του E, τότε και τα H E και H E αποτελούν, εφ όσον είναι µη κενά, χωρισµό του Ε Αν µία από τις δύο αυτές τοµές είναι, πχ αν H E=, τότε, αναγκαστικά, E H Άρα, και, E H, οπότε και, E H = H Άρα, H = Άτοπον Ορισµός Θα λέµε ότι δύο σηµεία του C συνδέονται, αν και µόνον αν, υπάρχει συνεκτικό σύνολο που να τα περιέχει Πρόταση Αν κάθε δύο σηµεία του συνόλου Ε συνδέονται, το Ε είναι συνεκτικό σύνολο Απόδειξη Έστω ότι το Ε χωρίζεται από τα H και H Όµως, τα H και H από υπόθεση συνδέονται Άτοπον Πόρισµα Η ένωση δύο συνεκτικών συνόλων µε τοµή µη κενή, είναι συνεκτικό σύνολο Πόρισµα Η έκφραση «το σηµείο a συνδέεται µε το σηµείο b» ορίζει µια σχέση ισοδυναµίας επί του C

12 Ορισµός Συνεκτική συνιστώσα του σηµείου a, είναι η τάξη ισοδυναµίας του a Η συνεκτική συνιστώσα δηλαδή του a, αποτελείται από όλα εκείνα τα σηµεία, που συνδέονται µε το a Αυτή, είναι, βέβαια, ένα συνεκτικό σύνολο Ορισµός Λέµε ότι τα σηµεία,, αποτελούν µία ε-άλυσσο, αν και µόνον αν, ε, για κάθε, Λέµε ότι, ο χώρος µας είναι ε-συνεκτικός, αν κάθε < δύο σηµεία του, αποτελούν την αρχή και το πέρας µιάς ε-αλύσσου Θα λέµε ότι τα σύνολα E,, αποτελούν µίαν άλυσσο, αν και µόνον αν, η τοµή τους ανά δύο είναι µη κενή Πρόταση Το σύνολο S είναι συµπαγές, αν και µόνον αν είναι ε-συνεκτικό Απόδειξη α) Το S συµπαγές Υπάρχει τότε, πεπερασµένη ανοικτή κάλυψη ( A ) του N S Την εκλέγουµε, έτσι ώστε δ(a ) < ε / β) Το σύνολο S είναι ε-συνεκτικό Άρα, µία συγκλίνουσα ακολουθία, είναι και ακολουθία Cachy Βιβλιογραφία ) S Saks ad A Zygmd: «Aalytc Fctos» Polska Akadema Nak, 965 ) MHA Newma: Elemets of the Topology of Plae Sets of Pots Cambrdge at the Uversty Press, 96

Οι πραγµατικοί αριθµοί

Οι πραγµατικοί αριθµοί Οι πραγµατικοί αριθµοί Προλεγόµενα Η ανάγκη απαρίθµησης αντικειµένων, οδήγησε στην εισαγωγή του συνόλου των φυσικών αριθµών Η ανάγκη µέτρησης µεγεθών, οδήγησε στην εισαγωγή του συνόλου των ρητών αριθµών

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Συνεκτικότητα Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε

Διαβάστε περισσότερα

Ανοικτά και κλειστά σύνολα

Ανοικτά και κλειστά σύνολα 5 Ανοικτά και κλειστά σύνολα Στην παράγραφο αυτή αναπτύσσεται ο µηχανισµός που θα µας επιτρέψει να µελετήσουµε τις αναλυτικές ιδιότητες των συναρτήσεων πολλών µεταβλητών. Θα χρειαστούµε τις έννοιες της

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» (ε) Κάθε συγκλίνουσα ακολουθία άρρητων αριθµών συγκλίνει σε άρρητο αριθµό.

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» (ε) Κάθε συγκλίνουσα ακολουθία άρρητων αριθµών συγκλίνει σε άρρητο αριθµό. Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο : Ακολουθίες πραγµατικών αριθµών Α Οµάδα Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας α Κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Όρια συναρτήσεων. ε > υπάρχει ( ) { } = ± ορίζονται αναλόγως. Η διατύπωση αυτών των ορισµών αφήνεται ως άσκηση. x y = +. = και για κάθε (, ) ( 0,0)

Όρια συναρτήσεων. ε > υπάρχει ( ) { } = ± ορίζονται αναλόγως. Η διατύπωση αυτών των ορισµών αφήνεται ως άσκηση. x y = +. = και για κάθε (, ) ( 0,0) Όρια συναρτήσεων 5 Ορισµός Έστω, : Α συνάρτηση συσσώρευσης του Α και b σηµείο Λέµε ότι η έχει ως όριο το διάνυσµα b καθώς το τείνει προς το και συµβολίζουµε li ή b b αν και µόνο αν, για κάθε ε > υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

Συνεκτικά σύνολα. R είναι συνεκτικά σύνολα.

Συνεκτικά σύνολα. R είναι συνεκτικά σύνολα. 4 Συνεκτικά σύνολα Έστω, Ι R διάστηµα και f : Ι R συνεχής, τότε η f έχει την ιδιότητα της ενδιαµέσου τιµής, δηλαδή, η f παίρνει κάθε τιµή µεταξύ δύο οποιονδήποτε διαφορετικών τιµών της, συνεπώς το f (

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος;

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος; ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; AB A (αρχή) B (πέρας) Στη Γεωµετρία το διάνυσµα ορίζεται ως ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα, δηλαδή ως ένα ευθύγραµµο τµήµα του οποίου τα άκρα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ 7. 2.3 Μέτρο µιγαδικού Ασκήσεις Γεωµετρικών τόπων ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑ 7. 2.3 Μέτρο µιγαδικού Ασκήσεις Γεωµετρικών τόπων ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑ 7.3 Μέτρο µιγαδικού Ασκήσεις Γεωµετρικών τόπων. Να βρείτε το γεωµετρικό τόπο των µιγαδικών z, για τους οποίους οι εικόνες των µιγαδικών z, i, iz είναι συνευθειακά σηµεία. Έστω z = x + i,

Διαβάστε περισσότερα

Συνεκτικά σύνολα. R είναι συνεκτικά σύνολα.

Συνεκτικά σύνολα. R είναι συνεκτικά σύνολα. 4 Συνεκτικά σύνολα Έστω, Ι διάστηµα και f : Ι συνεχής, τότε η f έχει την ιδιότητα της ενδιαµέσου τιµής, δηλαδή, η f παίρνει κάθε τιµή µεταξύ δύο οποιονδήποτε διαφορετικών τιµών της, συνεπώς το f ( Ι )

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2008 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2008 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 8 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ o A Να αποδειχθεί ότι η συνάρτηση f ln, * είναι παραγωγίσιµη στο * και ισχύει: ln Μονάδες Α Πότε µια συνάρτηση f λέµε ότι είναι συνεχής σε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ η Κατηγορία : Ο Κύκλος και τα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. Εφαπτοµένη ευθεία

ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. Εφαπτοµένη ευθεία ΜΑΘΗΜΑ 5.. ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΙΜΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Εφαπτοµένη ευθεία Παράγωγος βασικών συναρτήσεων ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ Αθροίσµατος γινοµένου - πηλίκου Θεωρία Σχόλια Μέθοδοι Ασκήσεις ΘΕΩΡΙΑ. Εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

Κυρτή Ανάλυση. Ενότητα: Υπερεπίπεδα στήριξης και διαχωριστικά ϑεωρήµατα. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Κυρτή Ανάλυση. Ενότητα: Υπερεπίπεδα στήριξης και διαχωριστικά ϑεωρήµατα. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Υπερεπίπεδα στήριξης και διαχωριστικά ϑεωρήµατα Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange 64 Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrage Ας υποθέσουµε ότι ένας δεδοµένος χώρος θερµαίνεται και η θερµοκρασία στο σηµείο,, Τ, y, z Ας υποθέσουµε ότι ( y z ) αυτού του χώρου δίδεται από

Διαβάστε περισσότερα

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή KΕΦΑΛΑΙΟ ΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ιατεταγµένα σώµατα-αξίωµα πληρότητας Ένα σύνολο Σ καλείται διατεταγµένο σώµα όταν στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι

Διαβάστε περισσότερα

Παράρτηµα Α. Στοιχεία θεωρίας µέτρου και ολοκλήρωσης.

Παράρτηµα Α. Στοιχεία θεωρίας µέτρου και ολοκλήρωσης. Παράρτηµα Α Στοιχεία θεωρίας µέτρου και ολοκλήρωσης Α Χώροι µέτρου Πέραν της «διαισθητικής» περιγραφής του µέτρου «σχετικά απλών» συνόλων στο από το µήκος τους (όπως πχ είναι τα διαστήµατα, ενώσεις/τοµές

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ 6 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ - ΠΛΗ 12,

ΛΥΣΕΙΣ 6 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ - ΠΛΗ 12, ΛΥΣΕΙΣ 6 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ - ΠΛΗ, - Οι παρακάτω λύσεις των ασκήσεων της 6 ης εργασίας που καλύπτει το µεγαλύτερο µέρος της ύλης της θεµατικής ενότητας ΠΛΗ) είναι αρκετά εκτεταµένες καθώς έχει δοθεί αρκετή έµφαση

Διαβάστε περισσότερα

1.2 Συντεταγμένες στο Επίπεδο

1.2 Συντεταγμένες στο Επίπεδο 1 Συντεταγμένες στο Επίπεδο Τι εννοούμε με την έννοια άξονας; ΑΠΑΝΤΗΣΗ Πάνω σε μια ευθεία επιλέγουμε δύο σημεία και Ι έτσι ώστε το διάνυσμα OI να έχει μέτρο 1 και να βρίσκεται στην ημιευθεία O Λέμε τότε

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις. ιαφορικές Εξισώσεις- Μετασχηµατισµός Laplace- Σειρές Fourier. Nικόλαος Aτρέας

Σηµειώσεις. ιαφορικές Εξισώσεις- Μετασχηµατισµός Laplace- Σειρές Fourier. Nικόλαος Aτρέας Σηµειώσεις ιαφορικές Εξισώσεις- Μετασχηµατισµός Lplce- Σειρές Fourier Nικόλαος Aτρέας ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ 4 Περιεχόµενα Κεφάλαιο Επισκόπηση γνωστών εννοιών Σειρές πραγµατικών αριθµών Σειρές συναρτήσεων 3 Γενικευµένα

Διαβάστε περισσότερα

t : (x, y) x 2 +y 2 y x

t : (x, y) x 2 +y 2 y x Σύνοψη Κεφαλαίου 5: Αντιστροφική Γεωμετρία Αντιστροφή 1. Η ανάκλαση σε μία ευθεία l στο επίπεδο απεικονίζει ένα σημείο A σε ένα σημείο A που απέχει ίση απόσταση από την l αλλά βρίσκεται στην άλλη πλευρά

Διαβάστε περισσότερα

Παράρτηµα Β. Στοιχεία Θεωρίας Τελεστών και Συναρτησιακής Ανάλυσης [ ) ( )

Παράρτηµα Β. Στοιχεία Θεωρίας Τελεστών και Συναρτησιακής Ανάλυσης [ ) ( ) Παράρτηµα Β Στοιχεία Θεωρίας Τελεστών και Συναρτησιακής Ανάλυσης Β1 Χώροι Baach Βάσεις Schauder Στο εξής συµβολίζουµε µε Z,, γραµµικούς (διανυσµατικούς) χώρους πάνω απ το ίδιο σώµα K = ή και γράφουµε απλά

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Σύγκλιση και Συνέχεια Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών. ε > υπάρχει ( ) ( )

Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών. ε > υπάρχει ( ) ( ) Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών 7 Η Ευκλείδεια απόσταση που ορίσαµε στον R επιτρέπει ( εκτός από τον ορισµό των ορίων συναρτήσεων και ακολουθιών και τον ορισµό της συνέχειας συναρτήσεων της µορφής

Διαβάστε περισσότερα

R ισούται με το μήκος του. ( πρβλ. την ιστορική σημείωση 3.27 στο τέλος

R ισούται με το μήκος του. ( πρβλ. την ιστορική σημείωση 3.27 στο τέλος 73 3. Συμπαγείς χώροι 3. Συμπαγείς χώροι και βασικές ιδιότητες Οι συμπαγείς χώροι είναι μια από τις πιο σημαντικές κλάσεις τοπολογικών χώρων. Η κλάση των συμπαγών χώρων περιλαμβάνει τα κλειστά διαστήματα,b

Διαβάστε περισσότερα

e-mail@p-theodoropoulos.gr

e-mail@p-theodoropoulos.gr Ασκήσεις Μαθηµατικών Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος Μαθηµατικών e-mail@p-theodoropoulos.gr Στην εργασία αυτή ξεχωρίζουµε και µελετάµε µερικές περιπτώσεις ασκήσεων

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 4 AΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

KΕΦΑΛΑΙΟ 4 AΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ 4. Ορισµοί KΕΦΑΛΑΙΟ 4 AΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ Ορισµός 4.. Μία συνάρτηση : µε πεδίο ορισµού το σύνολο των φυσικών αριθµών και τιµές στην πραγµατική ευθεία καλείται ακολουθία πραγµατικών αριθµών.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) Ενδεικτικές Λύσεις ΕΡΓΑΣΙΑ η (Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Οκτωβρίου 005) Η Άσκηση στην εργασία αυτή είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

x 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x.

x 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x. Κεφάλαιο 4 Μήκη και ορθές γωνίες Μήκος διανύσµατος Στο επίπεδο, R 2, ϐρίσκουµε το µήκος ενός διανύσµατος x = (x 1, x 2 ) χρησιµοποιώντας το Πυθαγόρειο ϑεώρηµα : x 2 = x 2 1 + x 2 2. Στο χώρο R 3, εφαρµόζουµε

Διαβάστε περισσότερα

9o Γεν. Λύκειο Περιστερίου ( 3.1) ΚΥΚΛΟΣ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

9o Γεν. Λύκειο Περιστερίου ( 3.1) ΚΥΚΛΟΣ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΥ ( 3.) ΚΥΚΛΣ Γνωρίζουµε ότι ένας κύκλος (, ρ) είναι ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων του επιπέδου τα οποία απέχουν µια ορισµένη απόσταση ρ από ένα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5 Οι χώροι. Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος. 5.3 Ο Χώρος C Βάσεις Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο Ασκήσεις

Κεφάλαιο 5 Οι χώροι. Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος. 5.3 Ο Χώρος C Βάσεις Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο Ασκήσεις Σελίδα 1 από 6 Κεφάλαιο 5 Οι χώροι R και C Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος R Πράξεις Βάσεις Επεξεργασµένα Παραδείγµατα Ασκήσεις 5. Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο στο Ορισµοί Ιδιότητες Επεξεργασµένα Παραδείγµατα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α ΕΡΓΑΣΙΑΣ. ( 8 µον.) Η άσκηση αυτή αναφέρεται σε διαιρετότητα και ρίζες πολυωνύµων. a. Να λυθεί η εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

Thanasis Kehagias, 2009

Thanasis Kehagias, 2009 Μέρος II Αναλυτικη Γεωµετρια 33 34 Το παρον τευχος περιεχει συντοµη ϑεωρια, λυµενες και αλυτες ασκησεις Αναλυτικης Γεωµετριας. Κατα τη γνωµη µου, για τους περισσοτερους ανθρωπους, ο µονος τροπος εξοικειωσης

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ I. ΣΥΝΟΛΑ

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ I. ΣΥΝΟΛΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ I. ΣΥΝΟΛΑ 1.Τι ονοµάζεται σύνολο; Σύνολο ονοµάζεται κάθε συλλογή αντικειµένων, που προέρχονται από την εµπειρία µας ή την διανόηση µας, είναι καλά ορισµένα και διακρίνονται το ένα από το άλλο.

Διαβάστε περισσότερα

( ) Κλίση και επιφάνειες στάθµης µιας συνάρτησης. x + y + z = κ ορίζει την επιφάνεια µιας σφαίρας κέντρου ( ) κ > τότε η

( ) Κλίση και επιφάνειες στάθµης µιας συνάρτησης. x + y + z = κ ορίζει την επιφάνεια µιας σφαίρας κέντρου ( ) κ > τότε η Έστω Κλίση και επιφάνειες στάθµης µιας συνάρτησης ανοικτό και σταθερά ( µε κ f ( ) ορίζει µια επιφάνεια S στον f : ) τότε η εξίσωση, ονοµάζεται συνήθως επιφάνεια στάθµης της f. εξίσωση, C συνάρτηση. Αν

Διαβάστε περισσότερα

1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών

1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών ΜΑΣ 02. Απειροστικός Λογισµός Ι Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών Ορισµός.. Ονοµάζουµε ακολουθία πραγµατικών αριθµών κάθε απεικόνιση του συνόλου N των ϕυσικών αριθµών, στο σύνολο R των πραγµατικών

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laihtml

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις σειρές

Σηµειώσεις στις σειρές . ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σηµειώσεις στις σειρές Στην Ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τις βασικές-απαραίτητες έννοιες για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους. Έτσι, δίνονται συστηµατικά

Διαβάστε περισσότερα

Στοχαστικά Σήµατα και Εφαρµογές

Στοχαστικά Σήµατα και Εφαρµογές Στοχαστικά Σήµατα & Εφαρµογές Ανασκόπηση Στοιχείων Γραµµικής Άλγεβρας ιδάσκων: Ν. Παπανδρέου (Π.. 407/80) Πανεπιστήµιο Πατρών ΤµήµαΜηχανικώνΗ/Υ και Πληροφορικής ιανύσµατα Ορίζουµετοδιάνυσµα µε Ν στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

11 Το ολοκλήρωµα Riemann

11 Το ολοκλήρωµα Riemann Το ολοκλήρωµα Riem Το πρόβληµα υπολογισµού του εµβαδού οποιασδήποτε επιφάνειας ( όπως κυκλικοί τοµείς, δακτύλιοι και δίσκοι, ελλειπτικοί δίσκοι, παραβολικά και υπερβολικά χωρία κτλ) είναι γνωστό από την

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων Μελετάµε εδώ τη συνθήκη της αύξουσας αλυσίδας υποπροτύπων και τη συνθήκη της φθίνουσας αλυσίδας υποπροτύπων. Αυτές συνδέονται µεταξύ τους µε την έννοια της συνθετικής σειράς

Διαβάστε περισσότερα

Παρουσίαση 1 ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

Παρουσίαση 1 ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Παρουσίαση ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Παρουσίαση η Κάθετες συνιστώσες διανύσµατος Παράδειγµα Θα αναλύσουµε το διάνυσµα v (, ) σε δύο κάθετες µεταξύ τους συνιστώσες από τις οποίες η µία να είναι παράλληλη στο α (3,) Πραγµατικά

Διαβάστε περισσότερα

f I X i I f i X, για κάθεi I.

f I X i I f i X, για κάθεi I. 47 2 Πράξεις σε τοπολογικούς χώρους 2. Η τοπολογία γινόμενο Σε προηγούμενη παράγραφο ορίσαμε την τοπολογία γινόμενο στο καρτεσιανό γινόμενο Y δύο τοπολογικών χώρων Y, ( παράδειγμα.33 () ). Στην παρούσα

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές»

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο : Το σύνολο των πραγµατικών αριθµών Α Οµάδα Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας) α)

Διαβάστε περισσότερα

6 Συνεκτικοί τοπολογικοί χώροι

6 Συνεκτικοί τοπολογικοί χώροι 36 6 Συνεκτικοί τοπολογικοί χώροι Έστω R διάστημα και f : R συνεχής συνάρτηση τότε, όπως γνωρίζουμε από τον Απειροστικό Λογισμό, η f έχει την ιδιότητα της ενδιάμεσου τιμής. Η ιδιότητα αυτή δεν εξαρτάται

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07)

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07) ΤΕΙ ΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07) Επιµέλεια Σηµειώσεων : Βασιλειάδης Γεώργιος Καστοριά, εκέµβριος 2006

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ 8. B 2.3 Χρησιµοποιώντας Ευκλείδεια Γεωµετρία

ΜΑΘΗΜΑ 8. B 2.3 Χρησιµοποιώντας Ευκλείδεια Γεωµετρία ΜΑΘΗΜΑ 8. B.3 Χρησιµοποιώντας Ευκλείδεια Γεωµετρία Θεωρία Ασκήσεις γ. τόπου και µεγιστο ελάχιστου Στις ασκήσεις αυτού του µαθήµατος χρησιµοποιούµε ανισωτικές σχέσεις από την Ευκλείδεια Γεωµετρία. Θυµίζουµε

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Συµπάγεια Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΜΑ Α Άσκηση, μιγαδικοί αριθμοί να αποδείξετε ότι: Αν = Έχουμε: = ( ) ( ) ( ) ( ) = = =. Το τελευταίο ισχύει, άρα ισχύει και η ισοδύναμη αρχική σχέση.

Διαβάστε περισσότερα

ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών. ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών

ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών. ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών 54 ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών Ένας στέρεος ορισµός της παραγώγισης για συναρτήσεις πολλών µεταβλητών ανάλογος µε τον ορισµό για συναρτήσεις µιας µεταβλητής

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ Γ. Π. Β. ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β.) (Μαθηματικός) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 1η Κατηγορία : Εξίσωση Γραμμής 1.1 Να εξετάσετε

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις συναρτήσεις

Σηµειώσεις στις συναρτήσεις Σηµειώσεις στις συναρτήσεις 4 Η έννοια της συνάρτησης Ο όρος «συνάρτηση» χρησιµοποιείται αρκετά συχνά για να δηλώσει ότι ένα µέγεθος, µια κατάσταση κτλ εξαρτάται από κάτι άλλο Και στα µαθηµατικά ο όρος

Διαβάστε περισσότερα

Το φασματικό Θεώρημα

Το φασματικό Θεώρημα Το φασματικό Θεώρημα 1 Το φάσμα ενός τελεστή Λήμμα 1.1 Έστω A B(H) φυσιολογικός τελεστής. Αν x H είναι ιδιοδιάνυσμα του A με ιδιοτιμή λ, τότε A x = λx. Έπεται ότι οι ιδιόχωροι ενός φυσιολογικού τελεστή

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÁÍÅËÉÎÇ

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÁÍÅËÉÎÇ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 3 ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Ηµεροµηνία: Μ. Τρίτη 3 Απριλίου 3 ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Σχολικό βιβλίο,

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ-ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR

KΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ-ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR KΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ-ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR 6 Ορισµοί Ορισµός 6 Εστω α είναι µία πραγµατική ακολουθία και είναι πραγµατικοί αριθµοί Ένα άπειρο πολυώνυµο της µορφής: a ( ) () = καλείται δυναµοσειρά µε κέντρο το

Διαβάστε περισσότερα

Η Γεωμετρία της Αντιστροφής Η βασική θεωρία. Αντιστροφή

Η Γεωμετρία της Αντιστροφής Η βασική θεωρία. Αντιστροφή Αντιστροφή Υποθέτουμε ότι υπάρχει ένας κανόνας ο οποίος επιτρέπει την μετάβαση από ένα σχήμα σε ένα άλλο, με τέτοιο τρόπο ώστε το δεύτερο σχήμα να είναι τελείως ορισμένο όταν το πρώτο είναι δοσμένο και

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙ ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

ΟΙ ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΟΙ ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Ιστορικό των µιγαδικών αριθµών Φαίνεται ότι, οι µιγαδικοί αριθµοί εισήχθησαν στα Μαθηµατικά, από τον Jo Wallis (673) Όµως, πολύ πριν απ αυτόν, το πρόβληµα του υπολογισµού τετραγωνικής

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο. 2= p=q 2 p =2q

ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο. 2= p=q 2 p =2q ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο. Υποθέτουµε ότι ο είναι ρητός. ηλαδή, υποθέτουµε p ότι υπάρχουν φυσικοί αριθµοί p και q τέτoιοι ώστε : =, p και q δεν έχουν q κοινούς διαιρέτες. Παρατηρούµε ότι ο άρτιος αριθµός.

Διαβάστε περισσότερα

Ευκλείδειοι Χώροι. Ορίζουµε ως R n, όπου n N, το σύνολο όλων διατεταµένων n -άδων πραγµατικών αριθµών ( x

Ευκλείδειοι Χώροι. Ορίζουµε ως R n, όπου n N, το σύνολο όλων διατεταµένων n -άδων πραγµατικών αριθµών ( x Ευκλείδειοι Χώροι Ορίζουµε ως R, όπου N, το σύνολο όλων διατεταµένων -άδων πραγµατικών αριθµών x, x,, x ) Tο R λέγεται ευκλείδειος -χώρος και τα στοιχεία του λέγονται διανύσµατα ή σηµεία Το x i λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο

Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο Σύνοψη Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζεται η ιδέα του συμπτωτικού πολυωνύμου, του πολυωνύμου, δηλαδή, που είναι του μικρότερου δυνατού βαθμού και που, για συγκεκριμένες,

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών

Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 1 Εισαγωγη : Πραξεις επι Συνολων και Σωµατα Αριθµων

Διαβάστε περισσότερα

13 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης

13 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης 3 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Θεώρημα Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σ ένα διάστημα Δ, τότε: Αν f ( ) > 0για κάθε εσωτερικό του Δ, η f είναι γνησίως αύξουσα στο Δ. Αν

Διαβάστε περισσότερα

αβ (, ) τέτοιος ώστε f(x

αβ (, ) τέτοιος ώστε f(x ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΜΑ Α Άσκηση α) Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [ αβ., ] Αν η f είναι συνεχής στο [ αβ, ]

Διαβάστε περισσότερα

1.4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ

1.4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ 34 4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Άξονας Πάνω σε μια ευθεία επιλέγουμε δύο σημεία Ο και Ι, έτσι ώστε το διάνυσμα OI να έχει μέτρο και να βρίσκεται στην ημιευθεία O Λέμε τότε ότι έχουμε έναν άξονα με αρχή

Διαβάστε περισσότερα

Κανόνες παραγώγισης ( )

Κανόνες παραγώγισης ( ) 66 Κανόνες παραγώγισης Οι κανόνες παραγώγισης που ισχύουν για συναρτήσεις µιας µεταβλητής, ( παραγώγιση, αθροίσµατος, γινοµένου, πηλίκου και σύνθετων συναρτήσεων ) γενικεύονται και για συναρτήσεις πολλών

Διαβάστε περισσότερα

Σύνολα. 1) Με αναγραφή των στοιχείων π.χ. 2) Με περιγραφή των στοιχείων π.χ.

Σύνολα. 1) Με αναγραφή των στοιχείων π.χ. 2) Με περιγραφή των στοιχείων π.χ. Σύνολα Ορισµός συνόλου (κατά Cantor): Σύνολο είναι κάθε συλλογή αντικειµένων, που προέρχεται από το µυαλό µας ή την εµπειρία µας, είναι καλά ορισµένο και τα αντικείµενα ξεχωρίζουν το ένα από το άλλο, δηλαδή

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ II ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ II ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ II ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α A Έστω f µια συνάρτηση ορισµένη σε ένα διάστηµα Αν F είναι µια παράγουσα της f στο, τότε να αποδείξετε ότι: όλες οι συναρτήσεις της µορφής G() F() + c, c

Διαβάστε περισσότερα

6.2 ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

6.2 ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 1 6. ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΙΑ 1. Οι συντεταγµένες σηµείου Ο Ο άξονας τετµηµένων άξονας τεταγµένων (ΟΚ) µε πρόσηµο = α, η τετµηµένη του Μ (ΟΛ) µε πρόσηµο = β, η τεταγµένη του Μ Το ζευγάρι (α,

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Η αδυναµία επίλυσης της πλειοψηφίας των µη γραµµικών εξισώσεων µε αναλυτικές µεθόδους, ώθησε στην ανάπτυξη αριθµητικών µεθόδων για την προσεγγιστική επίλυσή τους, π.χ. συν()

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2ο: ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Κεφάλαιο 2ο: ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Κεφάλαιο ο: ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Ερωτήσεις ανάπτυξης. ** Να βρείτε τους πραγµατικούς αριθµούς x και y ώστε να ισχύουν οι ισότητες: α) x - + y = - + - y β) y + = 3 - ( + ) x γ) 4y - 3y - x = - 5x + 9 δ) (x

Διαβάστε περισσότερα

(2) Θεωρούµε µοναδιαία διανύσµατα α, β, γ R 3, για τα οποία γνωρίζουµε ότι το διάνυσµα

(2) Θεωρούµε µοναδιαία διανύσµατα α, β, γ R 3, για τα οποία γνωρίζουµε ότι το διάνυσµα Πανεπιστηµιο Ιωαννινων σχολη θετικων επιστηµων τµηµα µαθηµατικων τοµεας αλγεβρας και γεωµετριας αναλυτικη γεωµετρια διδασκων : χρηστος κ. τατακης υποδειξεις λυσεων των θεµατων της 7.06.016 ΘΕΜΑ 1. µονάδες

Διαβάστε περισσότερα

1 m z. 1 mz. 1 mz M 1, 2 M 1

1 m z. 1 mz. 1 mz M 1, 2 M 1 Σύνοψη Κεφαλαίου 6: Υπερβολική Γεωμετρία Υπερβολική γεωμετρία: το μοντέλο του δίσκου 1. Στο μοντέλο του Poincaré της υπερβολικής γεωμετρίας, υπερβολικά σημεία είναι τα σημεία του μοναδιαίου δίσκου, D =

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. (εκπαιδευτικό υλικό Θετικής κατεύθυνσης ) ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. (εκπαιδευτικό υλικό Θετικής κατεύθυνσης ) ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ (εκπαιδευτικό υλικό Θετικής κατεύθυνσης 999-000) ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο ο: ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος».

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: Εισαγωγικές Εννοιες. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών

Γραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: Εισαγωγικές Εννοιες. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Εισαγωγικές Εννοιες Ευάγγελος Ράπτης Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Τετάρτη 17 Οκτωβρίου 2012 Ασκηση 1.

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ: Έστω η οµογενής γραµµική διαφορική εξίσωση τάξης , (1)

ΘΕΩΡΙΑ: Έστω η οµογενής γραµµική διαφορική εξίσωση τάξης , (1) 1 ΘΕΩΡΙΑ: Έστω η οµογενής γραµµική διαφορική εξίσωση τάξης (1) όπου οι συντελεστές είναι δοσµένες συνεχείς συναρτήσεις ορισµένες σ ένα ανοικτό διάστηµα. Ορισµός 1. Ορίζουµε τον διαφορικό τελεστή µέσω της

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Τοπολογικοί χώροι Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commos. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Καµπύλες στον R. σ τελικό σηµείο της σ. Το σ. σ =. Η σ λέγεται διαφορίσιµη ( αντιστοίχως

Καµπύλες στον R. σ τελικό σηµείο της σ. Το σ. σ =. Η σ λέγεται διαφορίσιµη ( αντιστοίχως Καµπύλες στον R 9. Ορισµός Μια καµπύλη στον R είναι µια συνεχής συνάρτηση σ : Ι R R όπου Ι διάστηµα ( συνήθως κλειστό και φραγµένο ) στον R. Συνήθως φανταζόµαστε την µεταβλητή t Ι ως τον χρόνο και την

Διαβάστε περισσότερα

v a v av a, τότε να αποδείξετε ότι ν <4.

v a v av a, τότε να αποδείξετε ότι ν <4. ΘΕΜΑ ο ΑΣΚΗΣΕΙΣ-ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς για τους οποίους ισχύει η σχέση: Α. Να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών είναι ο κύκλος με Κ(,0) και

Διαβάστε περισσότερα

3.5 ΣΧΕΤΙΚΗ ΘΕΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΚΑΙ ΚΩΝΙΚΗΣ

3.5 ΣΧΕΤΙΚΗ ΘΕΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΚΑΙ ΚΩΝΙΚΗΣ 1 3.5 ΣΧΕΤΙΚΗ ΘΕΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΚΑΙ ΚΩΝΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ 1. Σχετική θέση ευθείας και κωνικής τοµής Έστω η ευθεία ε : y = λx + β και µία κωνική τοµή C µε εξίσωση την φ(x, y) =. Το πλήθος των κοινών σηµείων της ε και

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΈΝΝΟΙΑ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΣΥΖΥΓΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ i ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

Η ΜΕΤΡΙΚΗ ΤΟΥ ΧΩΡΟΥ. (στην περίπτωση, που γνωρίζουμε το πεδίον ορισμού του δείκτου, θα

Η ΜΕΤΡΙΚΗ ΤΟΥ ΧΩΡΟΥ. (στην περίπτωση, που γνωρίζουμε το πεδίον ορισμού του δείκτου, θα Η ΜΕΤΡΙΚΗ ΤΟΥ ΧΩΡΟΥ Η μετρική του χώρου Στην ορίσαμε το εσωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων μέσω των συντεταγμένων τους, όταν οι συντεταγμένες αυτές λαβαίνονται σε ένα Καρτεσιανό σύστημα αναφοράς του Ερχόμαστε,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ i ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΠΤΥΧΙΟΥΧΟΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΑΘΗΝΩΝ (ΕΚΠΑ)

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 1 η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 12 Οκτωβρίου 2007

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 1 η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 12 Οκτωβρίου 2007 ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 1) ΕΡΓΑΣΙΑ 1 η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 1 Οκτωβρίου 007 Ηµεροµηνία παράδοσης της Εργασίας: 9 Νοεµβρίου 007. Πριν από την λύση κάθε άσκησης

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ. ΛΥΣΕΙΣ 3 ης. Άσκηση 1. , z1. Παρατηρούµε ότι: z0 = z5. = + ) και. β) 1 ος τρόπος: Έστω z = x+ iy, x, = x + y.

ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ. ΛΥΣΕΙΣ 3 ης. Άσκηση 1. , z1. Παρατηρούµε ότι: z0 = z5. = + ) και. β) 1 ος τρόπος: Έστω z = x+ iy, x, = x + y. ΛΥΣΕΙΣ ης ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Άσκηση 6 6 Λύση: α) 7z + z (cosπ + isi π ) π+ kπ π+ kπ Κατά συνέπεια z (cos + isi ), k,,, 5 Παίρνουµε τις ρίζες 6 6 z (cos + isi ) ( + i ) + i, π π 6 6 6 z (cos + isi ) (cos

Διαβάστε περισσότερα

Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α

Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α. Έστω µια συνάρτηση f παραγωγίσιµη σ ένα διάστηµα (α, β), µε εξαίρεση ίσως ένα σηµείο του, στο

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής:

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: p( ) = a + a + a + a + + a, όπου οι συντελεστές α i θα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

A2. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΛΙΣΗ-ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ

A2. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΛΙΣΗ-ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ A. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΛΙΣΗ-ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ d df() = f() = f (), = d d.κλίση ευθείας.μεταβολές 3.(Οριακός) ρυθµός µεταβολής ή παράγωγος 4.Παράγωγοι βασικών συναρτήσεων 5. Κανόνες παραγώγισης 6.Αλυσωτή παράγωγος 7.Μονοτονία

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 8. Η οµάδα S n. 8.1 Βασικές ιδιότητες της S n

Κεφάλαιο 8. Η οµάδα S n. 8.1 Βασικές ιδιότητες της S n Κεφάλαιο 8 Η οµάδα S n Στο κεφάλαιο αυτό ϑα µελετήσουµε την οµάδα µεταθέσεων ή συµµετρική οµάδα S n εφαρµόζοντας τη ϑεωρία που αναπτύχθηκε στα προηγούµενα κε- ϕάλαια. Η σηµαντικότητα της S n εµφανίστηκε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: Κεντρικές Απλές Άλγεβρες

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: Κεντρικές Απλές Άλγεβρες ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: Κεντρικές Απλές Άλγεβρες Χρησιµοποιώντας τανυστικά γινόµενα και εφαρµόζοντας το θεώρηµα των Wedderbur-rt ( 33) θα αποδείξουµε δύο θεµελιώδη θεωρήµατα που αφορούν κεντρικές απλές άλγεβρες *

Διαβάστε περισσότερα

όπου D(f ) = (, 0) (0, + ) = R {0}. Είναι Σχήµα 10: Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f (x) = 1/x.

όπου D(f ) = (, 0) (0, + ) = R {0}. Είναι Σχήµα 10: Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f (x) = 1/x. 3 Ορια συναρτήσεων 3. Εισαγωγικές έννοιες. Ας ϑεωρήσουµε την συνάρτηση f () = όπου D(f ) = (, 0) (0, + ) = R {0}. Είναι Σχήµα 0: Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f () = /. ϕυσικό να αναζητήσουµε την

Διαβάστε περισσότερα

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου wwwaskisopolisgr έκδοση 5-6 wwwaskisopolisgr ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 5 Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση; Έστω Α ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα στα Σύνολα και Αριθµοί 11/02/2011 Απαντήσεις µε σχολιασµό. n4 + 4n 2. (iii)

Θέµατα στα Σύνολα και Αριθµοί 11/02/2011 Απαντήσεις µε σχολιασµό. n4 + 4n 2. (iii) Καρλόβασι 17/02/2011 Θέµατα στα Σύνολα και Αριθµοί 11/02/2011 Απαντήσεις µε σχολιασµό. 1. Να υπολογίσετε κάθε ένα από τα παρακάτω όρια (για ). (i)! (ii) 4 + 4 2 (iii) 1 1+ 2 2+ 3 3+ + (i) Χρη- οπότε a+1

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Αριθμοί 1. ΑΡΙΘΜΟΙ Σύνολο Φυσικών αριθμών: Σύνολο Ακέραιων αριθμών: Σύνολο Ρητών αριθμών: ακέραιοι με Άρρητοι αριθμοί: είναι οι μη ρητοί π.χ. Το σύνολο Πραγματικών

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Τανυστικά Γινόµενα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Τανυστικά Γινόµενα ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Τανυστικά Γινόµενα Στο κεφάλαιο αυτό εισάγουµε την έννοια του τανυστικού γινοµένου προτύπων. Θα είµαστε συνοπτικοί καθώς αναπτύσσουµε µόνο εκείνες τις στοιχειώδεις προτάσεις που θα βρουν εφαρµογές

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΣΕΙΡΕΣ. Ορισμός 1. Μια 1 1 (ένα προς ένα) συνάρτηση με πεδίο ορισμού το και πεδίο τιμών ένα υποσύνολο X του, δηλαδή μία 1 1 συνάρτηση

ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΣΕΙΡΕΣ. Ορισμός 1. Μια 1 1 (ένα προς ένα) συνάρτηση με πεδίο ορισμού το και πεδίο τιμών ένα υποσύνολο X του, δηλαδή μία 1 1 συνάρτηση ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΣΕΙΡΕΣ 1. ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ Ορισμός 1. Μια 1 1 (ένα προς ένα) συνάρτηση με πεδίο ορισμού το και πεδίο τιμών ένα υποσύνολο X του, δηλαδή μία 1 1 συνάρτηση : 1 λέγεται ακολουθία πραγματικών αριθμών ή

Διαβάστε περισσότερα

Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η Γενικευμένη Γεωμετρία, που θα αναπτύξουμε στα παρακάτω κεφάλαια, είναι μία «Νέα Γεωμετρία», η οποία προέκυψε από την ανάγκη να γενικεύσει ορισμένα σημεία της Ευκλείδειας

Διαβάστε περισσότερα