Προτάσεις, Σύνολα, Απεικονίσεις

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Προτάσεις, Σύνολα, Απεικονίσεις"

Transcript

1 Κεϕάλαιο 1 Προτάσεις, Σύνολα, Απεικονίσεις Το κεϕάλαιο αυτό είναι εισαγωγικό και έχει σκοπό να υπενθυµίσει και να γενικεύσει κάποιες εν µέρει γνωστές έννοιες καθώς και τη σχετική ορολογία και το συµβολισµό. Αυτές οι έννοιες είναι εντελώς ϑεµελιώδεις αϕού χρησιµοποιούνται όχι µόνο σε όλα τα επώµενα αλλά και σε όλα τα Μαθηµατικά, την Επιστήµη και την Τεχνολογία. 1.1 Εκϕράσεις, Σύνολα, Μεταβλητές Η έννοια αντικείµενο είναι µια έννοια εντελώς γενική ώστε εισάγεται στη συζήτηση χωρίς ορισµό. Το σύµβολο είναι αντικείµενο ειδικής µορϕής που εκϕράζει ένα άλλο αντικείµενο. Η έκϕραση είναι οποιοσδήποτε συνδυασµός συµβόλων. Τα σύµβολα είναι επίσης εκϕράσεις. Μια έκϕραση µε νόηµα είναι η έκϕραση που εισάγεται είτε ως αρχική έννοια είτε ως έννοια που δίδεται µε ορισµό. Παράδειγµα Τα επόµενα 1 έως 9 είναι εκϕράσεις µετά x x + 2 = 5 7. σηµείο, = = 5 Οι εκϕράσεις 1, 2 είναι χωρίς νόηµα ενώ οι 3, 4, 5, 6, 7 είναι εκϕράσεις µε νόηµα. Εννοείται ότι ϑα ασχοληθούµε µε εκϕράσεις που έχουν νόηµα. Τη Θεωρία των συνόλων εισήγαγε ο Γερµανός µαθηµατικός Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor ( ). Τα σύνολα απο-τελούνται απο (ή περιέχουν) στοιχεία ή σηµεία ή µέλη. Τα σύνολα συµβολίζουµε 5

2 6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ, ΣΥΝΟΛΑ, ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΕΙΣ συνήθως µε κεϕαλαία γράµµατα και τα στοιχεία τους µε µικρά (πεζά). Μια ϑεµελιακή σχέση στα σύνολα είναι το «ανήκει» που µαζί µε την άρνησή της «δεν ανήκει», συµβολίζεται µε τις εκϕράσεις a, a /, που σηµαίνουν ότι το αντικείµενο a είναι ή δεν είναι µέλος (στοιχείο) του συνόλου, αντιστοίχως. Στη ϐάση της Θεωρίας Συνόλων του Cantor υπάρχουν δύο διακρίσεις : 1. διάκριση των στοιχείων που ανήκουν στο σύνολο και των εκτός αυτού, 2. διάκριση µεταξύ τους, των στοιχείων που ανήκουν στο σύνολο. ύο σύνολα, ϑεωρούνται ίσα και το γράϕουµε =, όταν αποτελούνται απο τα ίδια ακριβώς στοιχεία, δηλαδή όταν, κάθε στοι-χείο του είναι και στοιχείο του και επίσης κάθε στοιχείο του είναι και στοιχείο του. ύο ακραίες περιπτώσεις συνόλων είναι απαραίτητες για κάθε ϑέµα. Το έ- να είναι αυτό που περιέχει όλα τα στοιχεία, το καθολικό σύνολο ή σύνολο αναϕοράς (universal set) U ή Ω ή X, που αποτελεί το «σύµπαν» του ϑέ- µατος, µε την έννοια ότι, οποιοδήποτε σύνολο αναϕέρεται στο υπό µελέτη ϑέµα ϑα έχει τα στοιχεία του µέσα στο U. Το άλλο είναι αυτό που δεν περιέχει κανένα στοιχείο, το κενό σύνολο, που το συµβολίζουµε µε { } = και είναι απαραίτητο τουλάχιστον όσο και ο αριθµός 0. Οι σταθερές είναι τα σύµβολα που παριστάνουν µια συγκεκριµένη έννοια, όπως π.χ. τα σύµβολα των αριθµών 2, 3, των πράξεων +, - κ.λ.π. Οι µεταβλητές είναι σύµβολα που παριστάνουν ένα οποιοδήποτε («τυχόν», όχι συγκεκριµένο) στοιχείο απο κάποιο σύνολο. Για παράδειγµα, στις εκϕράσεις : n είναι ένας φυσικός αριθµός x είναι ένας πραγµατικός αριθµός τα σύµβολα n, x είναι µεταβλητές. Φαίνεται έτσι λοιπόν ότι, η µεταβλητή είναι συνδεδεµένη µε ένα σύνολο το οποίο είναι το νόηµα και η ουσία της µεταβλητής. Ετσι οι προηγούµενες εκϕράσεις γράϕονται τυπικά : n N, (n είναι ένας φυσικός αριθµός) x R, (x είναι ένας πραγµατικός αριθµός) Αν ένα σύνολο είναι πεπερασµένο µπορεί να εκϕρασθεί µε αναγραϕή (µέθοδος του καταλόγου), δηλαδή µε την ονοµασία όλων των µελών του. Το σύνολο του οποίου τα µέλη είναι a 1, a 2,..., a n γράϕεται ως = {a 1, a 2,..., a n }.

3 1.2. ΚΛΑΣΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ 7 Γενικότερα ένα σύνολο µπορεί να εκϕρασθεί µε περιγραϕή (µέθοδος του κανόνα), δηλαδή µε την ιδιότητα που ικανοποιείτα από όλα τα µέλη του συνόλου και µόνο αυτά. Το σύνολο του οποίου τα µέλη ικανοποιούν την ιδιότητα p γράϕεται ως = {x : x έχει την ιδιότητα p } = {x : p(x) }, όπου το σύµβολο : δηλώνει τη φράση «τέτοιο ώστε». Ο δεύτερος τρόπος γραϕής είναι γενικός, άρα απαραίτητος για τη ϑεωρία, ενώ ο πρώτος είναι ϐολικός για ειδικές περιπτώσεις. Για παράδειγµα, δεν ϑα µπορούσαµε να γράψουµε µε αναγραϕή όλους τους φυσικούς αριθµούς. Στην πρίπτωση αυτή πολλές φορές γράϕουµε {1, 2, 3,... }, αλλά αυτή η γραϕή δεν είναι ακριβής, είναι µόνο συµβατική και είναι έγκυρη µόνο επειδή ξέρουµε τι εννοούµε, δηλαδή ϑεωρούµε αυτονόητο τι «σηµαίνει» το σύµβολο... (τρείς τελείες). Οµως αυτό το σύµβολο σηµαίνει κάθε φορά κάτι διαϕορετικό ανάλογα µε τα συµϕραζόµενα. Εξ άλλου, πως ϑα µπορούσε κανείς να γράψει µε αναγραϕή τους πραγµατικούς αριθµούς ; Για το γενικό αυτό τρόπο έκϕρασης µάλιστα, δεχόµαστε ότι υπάρχει µια απλή αντιστοιχία κατά την οποία σε κάθε σύνολο αντιστοιχεί µια ιδιότητα a πού περιγράϕει (καθορίζει) τα στοιχεία του και µόνο αυτά. Αντιστρόϕως, σε κάθε ιδιότητα a αντιστοιχεί ένα σύνολο που τα στοιχεία του και µόνο αυτά, έχουν την ιδιότητα a. Αυτή την ϐασική αντιστοιχία στο πλαίσιο ενός καθολικού συνόλου X (αλλά και γενικότερα) την παριστάνουµε ως [ x X, a(x) x ], a = {x X : a(x) }. Τα σύνολα τα παριστάνουµε γραϕικά µε τα διαγράµµατα Venn, όπως στο Σχήµα Κλασική Λογική Προτασιακός Λογισµός Οι (λογικές) προτάσεις είναι οι εκϕράσεις µε νόηµα οι οποίες χαρακτηρίζονται µε ένα ακριβώς απο τους χαρακτηρισµούς : αληθής, ψευδής. Ετσι, στο Παραδειγµα 5.3.2, οι εκϕράσεις 8, 9 είναι προτάσεις, η µεν 8 αληθής, η δε 9 ψευδής. Τις λογικές προτάσεις τις συνδέουµε µεταξύ τους και σχηµατίζουµε άλλες λογικές προτάσεις. Για παράδειγµα, από τις λογικές προτάσεις :

4 8 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ, ΣΥΝΟΛΑ, ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΕΙΣ U U a Το σύνολο αναϕοράς U Το σύνολο, a Σχήµα 1.1: Το σύνολο αναϕοράς U και το σύνολο µε a. p : το 4 είναι φυσικός αριθµός q : το 4 είναι µικρότερο του 7 σχηµατίζουµε την λογική πρόταση r : το 4 είναι φυσικός αριθµός και το 4 είναι µικρότερο του 7 την οποία στο συνήθη λόγο την εκϕράζουµε πιο απλά λέγοντας r : το 4 είναι φυσικός αριθµός και µικρότερος του 7 Στο παράδειγµα αυτό, από δύο λογικές προτάσεις p, q σχηµατίσαµε µια άλλη λογική πρόταση r συνδέοντάς τες µε το σύνδεσµο «και». Υπάρχουν διάϕοροι τρόποι µε τους οποίους, από λογικές προτάσεις σχηµατίζουµε άλλες, σύνθετες, λογικές προτάσεις, αλλά όλοι αυτοί οι τρόποι παράγονται από κάποιες ϐασικές περιπτώσεις. Στις περιπτώσεις αυτές, όπως έγινε στο προηγούµενο παράδειγµα µε το σύνδεσµο «και», χρησιµοποιούµε κάποιους λογικούς συνδέσµους. Οι ϐασικοί λογικοί σύνδεσµοι που ϑα χρησιµοποιήσουµε είναι οι,,, που διαβάζονται και, είτε, τότε, αντιστοίχως. Αυτοί, συνδέουν τις λογικές προτάσεις p, q σχηµατίζοντας τις νέες λογικές προτάσεις p q, p q, p q, που διαβάζονται p και q, p είτε q, p τότε q, αντιστοίχως. Στην τελευταία περίπτωση, συνήθως λέµε, «αν p τότε q» ή «p συνεπάγεται q». Η νέα πρόταση είναι αληθής (ισχύει) σύµϕωνα µε τον επόµενο πίνακα. p q και ισχύουν και οι δύο p q είτε ισχύει µία τουλάχιστον p q τότε όταν ισχύει η πρώτη τότε να ισχύει η δεύτερη δηλαδή η σύνθετη πρόταση είναι αληθής ή ψευδής για κάθε περίπτωση

5 1.2. ΚΛΑΣΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ 9 τιµών αληθείας των απλών προτάσεων όπως δείχνει ο επόµενος πίνακας, όπου 0, 1 σηµαίνει ψευδής, αληθής αντιστοίχως. Πίνακας Οι τιµές αλήθειας των ϐασικών λογικών συνδέσµων. p q p q p q p q Σε διδιάστατη µορϕή, όπως είναι και συνηθέστερο, έχουµε τους επόµενους 3 πίνακες. Πίνακας Οι τιµές αλήθειας των ϐασικών λογικών συνδέσµων σε διδιάστατη µορϕή Οι λογικές πράξεις p q, p q, p q λέγονται σύζευξη, εγκλειστική διάζευξη και συνεπαγωγή, αντίστοιχα. Η άρνηση µιας πρότασης p εκϕράζεται µε τον τελεστή και είναι η πρόταση p = p που διαβάζεται όχι p. Η πρόταση p έχει τιµή αληθείας αντίθετη της p, όπως δείχνει ο επόµενος πίνακας. Πίνακας Η τιµή αλήθειας της άρνησης. p p Εκτός από τις προηγούµενες σύνθετες προτάσεις µε τους ϐασικούς συνδέσ- µους και την άρνηση, υπάρχουν και όλες οι άλλες που παρά-γονται από αυτές µε τον ίδιο τρόπο. ηλαδή, εϕαρµόζοντας τους λογικούς συνδέσµους και την άρνηση σε οποιεσδήποτε προτάσεις απλές ή σύνθετες έχουµε νέες λογικές προτάσεις. Για παράδειγµα, αν p, q είναι δύο προτάσεις οι (p q) (q p), (p q), ( p q) p, είναι επίσης λογικές προτάσεις. Η πρώτη από αυτές χρησιµοποιείται συχνά, λέγεται ισοδυναµία των p και q και συµβολίζεται σύντοµα µε p q.

6 10 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ, ΣΥΝΟΛΑ, ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΕΙΣ Εκτός από τους ϐασικούς, ένας τελεστής που χρησιµοποιείται συχνά είναι η αποκλειστική διάζευξη +, η οπία διαβάζεται ή (προς διάκριση από την εγκλεισική διάζευξη που διαβάζεται είτε). Η πρόταση p + q είναι αληθής όταν µία ακριβώς από τις p, q είναι αληθής. Οι τιµές αληθείας της p + q δίδονται από τους επόµενους πίνακες. Πίνακας Οι τιµές αλήθειας της αποκλειστικής διάζευξης. p q p + q Πίνακας Οι τιµές αλήθειας της αποκλειστικής διάζευξης σε διδιάστατη µορϕή Για την απλοποίηση της γραϕής µε ελάττωση των παρενθέσεων (όπως και στις αλγεβρικές πράξεις), στις προτασιακές εκϕράσεις, εκτελούµε κατά σύµβαση τις πράξεις µε τη σειρά που δείχνει ο επόµενος πίνακας, + όπου κάθε τελεστής είναι ισχυρότερος (προηγείται) από τους επόµενους (και τους από κάτω). Για παράδειγµα, το προηγείται του, δηλαδή η έκϕραση p q r σηµαίνει (p q) r. Μια προτασιακή έκϕραση P (p 1, p 2,... p n ) που εξαρτάται από τις προτάσεις p 1, p 2,... p n λέγεται ταυτολογία όταν είναι πάντα αληθής οποιεσδήποτε και να είναι οι προτάσεις p 1, p 2,... p n. εχόµαστε ως ϐασικές ταυτολογίες στο Προτασιακό Λογισµό τις επόµενες. 1. Νόµοι προσεταριστικοί (associative). P 1. (p q) r Q 1. (p q) r p (q r), p (q r). 2. Νόµοι αντιµεταθετικοί (commutative). P 2. p q q p,

7 1.2. ΚΛΑΣΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ 11 Q 2. p q q p. 3. Νόµοι επιµεριστικοί (distributive). P 3. p (q r) (p q) (p r). Q 3. p (q r) (p q) (p r), 4. Νόµοι αυτοδύναµοι (idempotent). P 4. p p p, Q 4. p p p. 5. Νόµοι De Morgan (De Morgan s Laws) P 8. p q p q, Q 8. p q p q. Το σόνολο των Λογικών Προτάσεων ϑα το συµβολίζουµε µε L 0. Κατηγορικός Λογισµός Στα Μαθηµατικά χρησιµοποιούµε εκϕράσεις που µπορεί να µην είναι µεν προτάσεις αλλά έχουν µια σχέση µε τις προτάσεις, µε την έννοια ότι, µε κάποιους τρόπους γίνονται προτάσεις. Για παράδειγµα, οι εκϕράσεις x > 2, x + y = 4 (1.1) δεν είναι προτάσεις αϕού δεν µπορούµε να πούµε αν είναι αληθείς ή ψευδείς, δηλαδή δεν έχουν τη χαρακτηριστική ιδιότητα που ορίζει τις προτάσεις. Αν όµως ϑέσουµε x = 1 και y = 3, γίνονται οι εκϕράσεις 1 > 2, = 4 (1.2) που είναι προτάσεις, η µεν πρώτη ψευδής η δε δεύτερη αληθής. ηλαδή οι εκϕράσεις (6.1) γίνονται λογικές προτάσεις όταν τα x και y γίνουν σ- ταθερές. Στις εκϕράσεις (6.1), τα x, y δεν µπορεί να είναι άλλο παρά µεταβλητές και αϕού οι µεταβλητές συνδέονται µε ένα σύνολο, η ακριβής γρϕή των (6.1), ϑα ήταν π.χ. ως x R, x > 2, x R, y R, x + y = 4. (1.3) Τα σύνολα των µεταβλητών µπορούν να παραλείπονται όταν είναι αυτονόητα και δεν υπάρχει κίνδυνος συγχίσεως, οπότε έχουµε την αρχική απλή γραϕή (6.1). Τέτοιες εκϕράσεις όπως οι (1.3) λέγονται προτασιακοί τύποι, ο πρώτος µε µία µεταβλητή και ο δεύτερος µε δύο µεταβλητές. Μια γενική αρχή και νοοτροπία στα Μαθηµατικά είναι να ιεραρχούνται οι παρόµοιες έννοιες σε διάϕορα επίπεδα γενίκευσης και όχι να ϑεωρούνται

8 12 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ, ΣΥΝΟΛΑ, ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΕΙΣ απλώς διαϕορετικές. Για παράδειγµα, οι πραγµατικοί αριθµοί ϑεωρούνται (σταθερές) συναρτήσεις µέσα στο σύνολο των συναρτήσεων ή οι ακέραιοι ϑεωρούνται ϱητοί. Αυτή η αρχή και νοοτροπία δίνει µια συνοχή και συγκρότηση που είναι σηµαντικότατο πλεονέκτηµα στη δόµηση µιας ϑεωρίας. Ετσι και εδώ, δεν φαίνεται παράξενο ότι, οι Λογικές Προτάσεις ϑεωρούνται προτασιακοί τύποι µε καµία µεταβλητή. Ετσι έχουµε τον επόµενο ορισµό. Ορισµός Οι προτασιακοί τύποι (ή προτασιακές συναρτήσεις) είναι το σύνολο των εκϕράσεων που αποτελείται από : 1. Τις Λογικές Προτάσεις L 0, 2. Για n = 1, 2, 3..., τις εκϕράσεις p(x 1, x 2,..., x n ) µε πεπερασµένο πλήθος µεταβλητών, που γίνονται λογικές προτάσεις όταν οι µεταβλητές τους γίνουν σταθερές. Το σύνολο των εκϕράσεων p(x 1, x 2,..., x n ) µε αυτή την ιδιότητα ϑα το συµβολίζουµε µε L n. Ο Κατηγορικός Λογισµός µελετάει τους προτασιακούς τύπους και ϐασίζεται στον Προτασιακό Λογισµό. Προτασιακοί τύποι µε µία, δύο τρείς κ.λπ. µεταβλητάς γράϕονται συνήθως p(x), p(x, y), p(x, y, z), κ.λπ. Οι προτασιακοί τύποι συνδέονται επίσης µε τους ίδιους λογικούς συνδέσ- µους, όπως οι λογικές προτάσεις και δίνουν άλλους, σύνθετους, προτασιακούς τύπους. ηλαδή, από τους προτασιακούς τύπους p(x), q(x) µε τους συνδέσµους έχουµε τους σύνθετους προτασιακούς τύπους p(x) q(x), p(x) q(x), p(x) q(x). Οµοια γίνεται και µε προτασιακούς τύπους που έχουν οσεσδήποτε µεταβλητές. Παρατήρηση Για τη συνεπαγωγή. Επειδή ίσως οι τιµές αληθείας της συνεπαγωγής φαίνονται παράξε-νες, µάλλον ϑα πρέπει λίγο να τις συζητήσουµε. Στον Πίνακα η συνεπαγωγή είναι ψευδής µόνο στην τρίτη γραµµή, όταν η p είναι αληθής και η q ψευδής. Στις άλλες περιπτώσεις η συνεπαγωγή είναι αληθής. Αυτό κατανοείται αν δούµε τί σηµαίναι p q. Είπαµε, ότι αυτό διαβάζεται και : «όταν p τότε q». Αυτό περιέχει και το νόηµα της συνεπαγωγής. ηλαδή, όταν ισχύει η p τότε πρέπει να ισχύει η q. Αυτό πρέπει να το δούµε κυριολεκτικά και όχι µε τυχόν πρόσθετες υποθέσεις ή αυθαίρετα συµφραζόµενα, κάτι που συµβαίνει στον καθηµερινό λόγο. Άλλωστε κυριολεκτικά είναι τα Μαθηµατικά όπως και η Μηχανή. Η έκϕραση, «όταν

9 1.2. ΚΛΑΣΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ 13 ισχύει η p τότε πρέπει να ισχύει η q», δεν λέει τίποτε άλλο εκτός από αυτό που λέει. εν λέει δηλαδή τί πρέπει να συµβαίνει όταν δεν ισχύει η p. Η µόνη περίπτωση που δεν συµβαίνει αυτό, δηλαδή δεν ισχύει : «όταν ισχύει η p τότε να ισχύει η q», είναι στην τρίτη γραµµή. Και τότε η συνεπαγωγή είναι ψευδής. Στις άλλες περιπτώσεις δεν τίθεται προυπόθεση ή συνθήκη και η συνεπαγωγή ϑεωρείται αληθής. Οι τιµές αληθείας της συνεπαγωγής κατανοούνται καλύτερα σε ένα ανώτερο, δηλαδή γενικότερο επίπεδο. Το επίπεδο αυτό είναι οι ανοχτές προτάσεις. Ας εξετάσουµε ένα συγκεκριµένο παράδειγµα. Παράδειγµα Για x > 0 ισχύει η συνεπαγωγή Τότε έχουµε : (x < 3) = (x 2 < 3 x + 10) (1.4) p(x) q(x) p(x) q(x) x x < 3 x 2 < 3 x + 10 (x < 3) (x 2 < 3 x + 10) 6 6 < < 28 0 (6 < 3) (36 < 28) < < 22 1 (4 < 3) (16 < 22) < < 2 0 ( 4 < 3) (16 < 2) < < 16 1 (2 < 3) (4 < 16) 1 Η συνεπαγωγή (1.4) είναι αληθής µε την προϋπόθεση x > 0. Στις περιπτώσεις που είναι x > 0, δηλαλαδή εκτός της x = 4 του πίνακα, η συνεπαγωγή είναι αληθής. Επιστρέϕουµε στο αρχικό παράδειγµα, στις εκϕράσεις (6.1). Αυτές γίνονται επίσης προτάσεις και µε ένα άλλο τρόπο. Αν έχουµε για παράδειγµα την έκϕραση υπάρχει κάποιο x ώστε να ισχύει x > 2, (1.5) είναι φανερό ότι αυτή η έκϕρση είναι αληθής ή ψευδής, αϕού ή ϑα υπάρχει ή δεν ϑα υπάρχει κάποιο τέτοιο x. Οµοίως, αν έχουµε την έκϕραση για όλα τα x ισχύει x > 2, (1.6) είναι φανερό ότι και αυτή η έκϕρση είναι αληθής ψευδής, αϕού ή ϑα ισχύει για όλα τα x ή δεν ϑα ισχύει για όλα τα x. Οι εκϕράσεις : «υπάρχει κάποιο» και «για όλα τα» συµβολίζονται µε και αντίστοιχα και είναι οι ποσοδείκτες του Κατηγορηκού Λογισµού. Οι ποσοδείκτες λοιπόν διαβάζονται

10 14 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ, ΣΥΝΟΛΑ, ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΕΙΣ για όλα (ή για κάθε), υπάρχει (ή υπάρχει τουλάχιστον ένα). Ετσι οι εκϕράσεις (1.5), (1.6) γράϕονται, τυπικά (και σύντοµα) ως x R, x > 2, (1.7) x R, x > 2, (1.8) και είναι όπως είπαµε λογικές προτάσεις. Αν για τη δεύτερη έκϕραση στην (6.1) κάνουµε το ίδιο, δηλαδή ϑεωρήσουµε τις εκϕράσεις x R, x + y = 4, (1.9) x R, x + y = 4, (1.10) καταλαβαίνουµε ότι για αυτές τις εκϕράσεις δεν µπορούµε να πούµε ότι είναι αληθείς ή είναι ψευδείς, αϕού αυτό εξαρτάται και από το y. Για την απλότητα του παραδείγµατος, ας υποθέσουµε ότι τα x και y παίρνουν τιµές από δύο µικρά σύνολα, τα X = {1, 2, 3} και Y = {3, 4} αντιστοίχως. Τότε οι εκϕράσεις (1.9), (1.10) σηµαίνουν αντιστοίχως ότι : (x = 1) 1 + y = 4, ισχύει κάποια από τις : (x = 2) 2 + y = 4, (1.11) ισχύουν όλες οι : (x = 3) 3 + y = 4 (x = 1) 1 + y = 4 (x = 2) 2 + y = 4 (x = 3) 3 + y = 4. (1.12) Με άλλα λόγια, αν χρησιµοποιήσουµε τον Κατηγορικό Λογισµό, οι εκϕράσεις (1.11), (1.12) σηµαίνουν αντιστοίχως : (1 + y = 4) (2 + y = 4) (3 + y = 4) (1.13) (1 + y = 4) (2 + y = 4) (3 + y = 4) (1.14) οι οποίες προϕανώς είναι προτασιακοί τύποι µε µία µεταβλητή, την y, αντί δύο που είχε πρίν στην (6.1). Για συντοµία, ας ονοµάσουµε αυτές τις εκϕράσεις p(y) και q(y) αντίστοιχα, δηλαδή p(y) : (1 + y = 4) (2 + y = 4) (3 + y = 4) (1.15) q(y) : (1 + y = 4) (2 + y = 4) (3 + y = 4) (1.16)

11 1.2. ΚΛΑΣΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ 15 Μπορούµε τώρα να προτάξουµε κάποιο ποσοδείκτη στις (1.12), (1.13) και να γίνουν λογικές προτάσεις. Ετσι ϑα έχουµε τις προτάσεις y, (1 + y = 4) (2 + y = 4) (3 + y = 4) (1.17) y, (1 + y = 4) (2 + y = 4) (3 + y = 4) (1.18) Ολα αυτά σηµαίνουν ότι στην αρχική έκϕραση x + y = 4 στην (6.1), προτάξαµε δύο ποσοδείκτες και πήραµε διαδοχικά, τις εκϕράσεις : x, x + y = 4 (1.19) x, x + y = 4 (1.20) y, x, x + y = 4 (1.21) y, x, x + y = 4 (1.22) Παρατηρούµε λοιπόν ότι όταν προτάσσουµε ένα ποσοδείκτη ο προτασιακός τύπος γίνεται µε µία λιγότερη µεταβλητή. Η σειρά µε την οποία προτάσσονται οι ποσοδείκτες είναι οποιαδήποτε. Ετσι γενικά, για ένα προτασιακό τύπο p(x) µε µία µεταβλητή, έχουµε τις προτάσεις : x X, p(x), (1.23) x X, p(x). (1.24) Για ένα προτασιακό τύπο p(x, y) µε δύο µεταβλητές, έχουµε τις προτάσεις : y Y, x X, p(x, y), (1.25) y Y, x X, p(x, y), (1.26) y Y, x X, p(x, y), (1.27) y Y, x X, p(x, y). (1.28) κ.ο.κ. Πρέπει να παρατηρήσουµε ότι το νόηµα και η τιµή αληθείας στις (1.25)-(1.28), είναι διαϕορετικά. Για παράδειγµα, οι εκϕράσεις σηµαίνουν αντνιστοίχως : x X, y Y, x < y (1.29) x X, y Y, x < y (1.30) κάποιο x είναι µικρότερο από όλα τα y, όλα τα x είναι µικρότερα από κάποιο y. Γενικά τώρα, στον προτασιακό τύπο p(x 1, x 2,..., x n ) µπορούµε να προτάξουµε m ποσοδείκτες, µε 0 m n, και να έχουµε ένα προτασιακό τύπο µε n m µεταβλητές.

12 16 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ, ΣΥΝΟΛΑ, ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΕΙΣ Τελειώνουµε την παράγραϕο αυτή µε ένα παράδειγµα που περιγράϕει µια έννοια από τις πιο ϑεµελιώδεις στην Μαθηµατική Ανάλυση και είναι µια έκϕραση µε τρείς ποσοδείκτες. Είναι η έννοια του ορίου και ϑα πάρουµε την περίπτωση του ορίου ακολουθίας x : N R, x(n) = x n. Εξ ορισµού, η x n έχει όριο τον x και γράϕουµε όταν lim x n n = x ε > 0, m N, n > m, x n x < ε. (1.31) Αν συµβολίσουµε µε ε = (x ε, x + ε) N x = { ε : ε > 0 } T m = {m + 1, m + 2, m + 3,... } N = { T m : m N } έχουµε, µια περιοχή ε του x στο R και το σύνολο των περιοχών N x του x. Οµοια έχουµε, µια περιοχή T m (που λέγεται ουρά του m) του στο N και το σύνολο των περιοχών N του. Επίσης, µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε την εικόνα x(t m ) = {x n : n T m } = {x m+1, x m+2, x m+3,... } του T m µέσω της ακολουθία x. Τα σύµβολα αυτά συµπυκνώνουν τις εκϕράσεις και ο ορισµός (1.31) παίρνει την απλή µορϕή V N x, W N, x(w ) V. (1.32) Για να αναλυθεί και να κατανοηθεί η λειτουργία των ποσοδεικτών πρέπει να παρατηρήσουµε τα εξής : 1. Οι ποσοδείκτες στην (1.31), αναϕέρονται στα n, m, ε αλλά όχι στο x. Το x είναι ένας συγκεκριµένος αριθµός, δεν είναι µεταβλητή για τους ποσοδείκτες αυτούς. Ας πάρουµε ένα παράδειγµα για να γίνει απλό. Την ακολουθία x n = Τότε η (1.31) είναι n n+1 και τον αριθµό x = 1, αϕού πράγµατι έχουµε lim n n n + 1 = 1. ε > 0, m N, n T m, n n < ε

13 1.3. ΚΛΑΣΙΚΑ ΣΥΝΟΛΑ 17 ή ε > 0, m N, n T m, Η (1.33) έχει σταδιακά τη µορϕή ε (0, + ), ε (0, + ), { m N, { } m N, q(m, ε) 1 n + 1 < ε (1.33) [ ] } n T m, p(n, ε) ε (0, + ), r( ε ). όπου κάθε ποσοδείκτης ελαττώνει κατά µία τις µεταβλητές και τελικά είναι ένας προτασιακός τύπος µε καµία µεταβλητή, δηλαδή µια λογική πρόταση. 1.3 Κλασικά Σύνολα Σχέσεις Συνόλων Αν κάθε µέλος του συνόλου είναι επίσης µέλος του συνόλου, τότε το λέγεται υποσύνολο του, και γράϕεται ως. Η προηγούµενη σχέση των συνόλων είναι η σχέση του περιέχεσθαι και εκϕράζεται µε την (x = x ). και ισοδύναµα µε την ( x, x ). Η ισότητα των συνόλων εκϕράζεται µε τη σχέση του περιέχεσθαι από την = [ ( x, x ) ( x, x ) ]. Αν ισχύουν και, τότε το περιέχει τουλάχιστον ένα στοιχείο το οποίο δεν είναι µέλος του. Τ ο λέγεται τότε γνήσιο υποσύνολο (proper subset) του και αυτό συµβολίζεται µε. Για τη σχέση του περιέχεσθαι, δεχόµαστε ότι το κενό είναι υποσύνολο κάθε συνόλου, δηλαδή ότι.

14 18 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ, ΣΥΝΟΛΑ, ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΕΙΣ Θεώρηµα Για τη σχέση του περιέχεσθαι ισχύουν οι επόµενες προτάσεις. 1. U, 2., 3. ( ) = =, 4. ( C ) = C. Κάποια πολύ ϐασικά σύνολα που χρησιµποποιούνται σε όλα τα Μα- ϑηµατικά και τις εϕαρµογές τους είναι τα σύνολα των αριθµών. Αυτά είναι τα N, Z, Q, R, C που ονοµάζονται αντιστοίχως σύνολο των Φυσικών, Ακεραίων, Ρητών, Πραγµατικών, και Μιγαδικών αριθµών. Τα σύνολα των αριθµών που απλώς αναϕέρονται εδώ, αποτελούν ένα πολύ ϑεµελιακό ϑέµα για όλα τα µαθηµατικά και τις εϕαρµογές τους. Τα σύνολα αυτά έχουν πράξεις, σχέσεις και ιδιότητες των πράξεων και σχέσεων, που είναι απαραίτητες για την µελέτη σχεδόν οποιουδήποτε ϑέµατος στα Μαθηµατικά, την Επιστήµη και την Τεχνολογία. Ολα αυτά, προς το παρόν ϑεωρούνται γνωστά, αλλά επειδή το ϑέµα είναι πολύ ϑεµελιακό, ϑα γίνει µια σύντοµη περιήγηση στους αριθµούς µε το επόµενο κεϕάλαιο. Τελεστές στα Σύνολα Για ένα σύνολο ορίζεται το συµπληρωµατικό του (σε σχέση µε το καθολικό σύνολο U) ως το Ā = c = {x U : x }. Τη σχέση του περιέχεσθαι και το συµπλήρωµα στα σύνολα περιστάνουµε γραϕικά όπως στο Σχήµα 1.2. Από δύο σύνολα, σχηµατίζουµε (κατασκευάζουµε) ένα άλλο σύνολο µε διάϕορους τρόπους. Ετσι έχουµε τις επόµενες πράξεις των συνόλων : 1. = {x U : x x }, 2. = {x U : x x }, 3. \ = {x U : x x }, 4. + = ( ) \ ( ),

15 1.3. ΚΛΑΣΙΚΑ ΣΥΝΟΛΑ 19 U U c b c, b c Σχήµα 1.2: Συµπληρωµατικό του και υποσύνολο του. U U Σχήµα 1.3: Η ένωση και η τοµή των συνόλων. που λέγονται αντίστοιχα, ένωση (union), τοµή (intersection), διαϕορά και συµµετρική διαϕορά (ή διαζευκτικό άθροισµα). Τις πράξεις των συνόλων τις παριστάνουµε µε τα διαγράµµατα Venn όπως στα Σχήµατα 1.3 και 1.4. ύο σύνολα, λέγονται ξένα µεταξύ τους αν =, δηλαδή αν δεν έχουν κοινά στοιχεία. Θεώρηµα Για τις πράξεις των συνόλων ισχύουν οι ιδιότητες 1. Νόµοι προσεταριστικοί (associative). P 1. ( ) C = ( C), Q 1. ( ) C = ( C). 2. Νόµοι αντιµεταθετικοί (commutative). P 2. =, Q 2. =.

16 20 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ, ΣΥΝΟΛΑ, ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΕΙΣ U U \ + Σχήµα 1.4: Η διαϕορά και η συµµετρική διαϕορά των συνόλων. 3. Νόµοι επιµεριστικοί (distributive). P 3. ( C) = ( ) ( C). Q 3. ( C) = ( ) ( C), 4. Νόµοι αυτοδύναµοι (idempotent). P 4. =, Q 4. =. 5. Νόµοι Ταυτότητας. P 5. =, Q 5. X =. 6. Νόµοι Απορροϕητικοί. P 6. X = X, Q 6. =, 7. Νόµοι Συµπληρώµατος. P 7. = X, Q 7. =. 8. Νόµοι De Morgan (De Morgan s Laws) για την ένωση, τοµή, και συµπλήρωµα. P 8. =, Q 8. =. Απόδειξη. Ως άσκηση. Οι ιδιότητες P 7 Q 7 λέγονται αντίστοιχα :

17 1.3. ΚΛΑΣΙΚΑ ΣΥΝΟΛΑ 21 P 7 : νόµος του αποκλεισµού του ενδιάµεσου (law of excluded middle), Q 7 : νόµος της αντίϕασης (law of contradiction). Παρατήρηση Αρχή του δυϊσµού (ή δυϊκότητας). Αξίζει να παρατηρήσουµε ότι όλες οι ιδιότητες στο Θεώρηµα διευθετούνται σε Ϲεύγη (P n, Q n ), n = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. Σε κάθε Ϲεύγος οι ιδιότητες P n, Q n, µπορούν να ληϕθούν η µία απο την άλλη (την αντίστοιχή της) µε τον µετασχηµατισµό : D :,, U. Ετσι οι σχέσεις του Θεωρήµατος είναι Ϲευγάρια δυϊκών σχέσεων. Αυτό επεξηγεί µια γενική αρχή δυϊσµού (general principle of duality) η οποία είναι η επόµενη. Γενική αρχή δυϊσµού: Για κάθε ισχύουσα πρόταση T (,, C,,,,,, X ) στη Θεωρία Συνόλων, αντιστοιχεί µια δυϊκή πρόταση, DT = T (,, C,,,,, X, ), η οποία λαµβάνεται µε τον µετασχηµατισµό D και ισχύει επίσης. Παράδειγµα υϊκές προτάσεις. Στην πρόταση αντιστοιχεί η δυϊκή πρόταση = =, = =. Επειδή τα Μαθηµατικά ϑεµελιώνονται στη ϐάση της Θεωρίας των Συνόλων, η αρχή δυϊσµού διατρέχει σε κάποιο ϐαθµό όλα τα Μαθηµατικά, τόσο περισσότερο όσο πιο ϑεµελιακό είναι το ϑέµα. Για παράδειγµα, στην Προβολική Γεωµετρία του Επιπέδου, οι δύο προτάσεις : P : δύο σηµεία ορίζουν ευθεία,

18 22 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ, ΣΥΝΟΛΑ, ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΕΙΣ Q : δύο ευθείες ορίζουν σηµείο, είναι δυϊκές και οι έννοιες σηµείο, ευθεία, είναι αντίστοιχες, όπως οι έννοιες, X στη Θεωρία Συνόλων. Αν οι ευθείες είναι παράλληλες, το σηµείο που ορίζουν είναι το επ άπειρο (ή κατ εκδοχή) σηµείο. Θεώρηµα Για τις πράξεις των συνόλων επίσης ισχύουν : 1. \ = \ ( ), 2. + = ( \ ) ( \ ) = c + c. Απόδειξη. Ως άσκηση. Οικογένειες Συνόλων Ενα σύνολο του οποίου τα ίδια τα στοιχεία του i είναι επίσης σύνολα, λέγεται οικογένεια συνόλων (family of sets) και γράϕεται µε = { i : i I}, όπου I είναι (και λέγεται αντιστοίχως) ένα σύνολο, το σύνολο δεικτών (identification set) και i I ο δείκτης συνόλου (set identifier). Μια συχνά χρησιµοποιούµενη οικογένεια συνόλων, είναι το σύνολο (όλων) των υποσυνόλων του, που συµβολόζεται µε P(), δηλαδή P() = {K : K } και λέγεται δυναµοσύνολο του. Για παράδειγµα αν = {1, 2} τότε { } { } P() = { }, {1}, {2}, {1, 2} =, {1}, {2},. Επαγωγικά ορίζεται το δυναµοσύνλο κάθε τάξης ως P 0 (X) = X, P n+1 (X) = P(P n (X)). Παράδειγµα Τα δυναµοσύνολα δύο µικρών συνόλων. 1. Για X = { } = είναι, P 0 (X) = X = {} P 1 (X) = P(X) = { } ( ) { } P 2 (X) = P(P(X)) = P { } =, { } ({ }) P 3 (X) = P(P 2 (X)) = P, { } { } =, { }, {{ }}, {, { }}.

19 1.3. ΚΛΑΣΙΚΑ ΣΥΝΟΛΑ Για X = {1} είναι, P 0 (X) = X = {1} P 1 (X) = P(X) = {, X} ( ) P 2 (X) = P(P(X)) = P {, X} = { }, { }, {X}, {, X}. Ορισµός Για µια οικογένεια συνόλων = { i : i I} η ένωση και η τοµή γενικεύονται ως 1. = { i : i I} = i = { x : i I, x i }, i I 2. = { i : i I} = i I i = { x : i I, x i }. Θεώρηµα Για τις οικογένειες = { i : i I} = { j : j J} µε ισχύουν 1. i j, 2. i j. Απόδειξη. Αϕήνεται ως άσκηση. Θεώρηµα Για την κενή οικογένεια = ισχύουν 1. =, 2. = X. Απόδειξη. Αϕήνεται ως άσκηση. Μια επίσης σηµαντική στις εϕαρµογές, οικογένοια συνόλων, είναι αυτή που δίνεται µε τον επόµενο ορισµό.

20 24 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ, ΣΥΝΟΛΑ, ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΕΙΣ a f 1 d b g h 3 c 2 e i = {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k} 1 = {a, d, f} 2 = {b, c, e, i} 3 = {h, g} D = { 1, 2, 3 } Σχήµα 1.5: Ενας διαµερισµός D = { 1, 2, 3 } του συνόλου. Ορισµός Θεωρούµε ένα σύνολο και µια οικογένεια συνόλων D = { i : i I}. Η D λέγεται διαµέριση ή διαµερισός (partition) του αν ισχύουν : P 1. i I, i, P 2. i I, i, P 3. i j = i j =, P 4. D = { i : i I } = i I i =. ηλαδή, διαµέριση του είναι µια οικογένεια µη κενών υποσυνόλων του που είναι ξένα µεταξύ τους και η ένωσή της είναι το. Την οικογένεια των διαµερίσεων του συµβολίζουµε µε το σύµβολο π(), δηλαδή π() = {D : D διαµέριση του }. Στο Σχήµα 1.5 ϐλέπουµε µια διαµέριση D = { 1, 2, 3 } του συνόλου = {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k}. Παράδειγµα Για το σύνολο = {1, 2} η οικογένεια των διαµερίσεων του είναι { {{1}, } { } } π() = {2}, {1, 2},. Για το σύνολο = {1, 2, 3} η οικογένεια των διαµερίσεων του είναι π() = { { } { } { } { } { }} {1}, {2}, {3}, {1}, {2, 3}, {2}, {1, 3}, {3}, {1, 2}, {1, 2, 3}.

21 1.3. ΚΛΑΣΙΚΑ ΣΥΝΟΛΑ 25 Παρατήρηση (Παράδοξο του Russell). Οταν ο Cantor εισήγαγε τη Θεωρία Συνόλων στα Μαθηµατικά, έδωσε τον ορισµό : Σύνολο λέγεται µια συλλογή οµοειδών αντικειµένων υλικών ή της νοήσεως καλώς ορισµένων και διακεκριµένων τα οποία ϑεωρούµε ως µία ολότητα. Αργότερα ο ertrand Russell ( ) παρατήρησε ότι αν ϑεωρήσουµε ως καθολικό σύνολο, το σύνολο U = S όλων των συνόλων και το υποσύνολο αυτού S 0, των συνόλων που δεν περιέχουν τον εαυτό τους, δηλαδή S 0 = { S : }, τότε S 0 S 0 = S 0 S 0, S 0 S 0 = S 0 S 0. ηλαδή, κάτι ισχύει όταν δεν ισχύει και δεν ισχύει όταν ισχύει. Η αντινοµία αυτή είναι γνωστή ως Παράδοξο του Russell. Ετσι διαπιστώθηκε ότι ο αρχικός απλοϊκός ορισµός του Cantor είναι ανεπαρκής διότι περιέχει αντιϕάσεις. Τέτοιες αντιϕάσεις είναι στη ϐάση διαϕόρων παροµοίων παραδόξων όπως είναι το παράδοξο του κουρέα (Παραδειγµα 1.3.4, Άσκηση 15). Αυτά τα προβλήµατα οδήγησαν στην περεταίρω ανάπτυξη της Θεωρίας Συνόλων, ώστε να αρθούν οι αντιϕάσεις. Σηµαντικά ϐήµατα στην εξέλιξη της Θεωρίας Συνόλων είναι : Γενικεύτηκε η αρχική ϑεωρία σε µια ευρύτρη ϑεωρία µεταβαίνοντας απο τα σύνολα σε ευρύτερες έννοιες, όπως οι κλάσεις κ.λπ., ώστε να απαλοιϕθούν οι αντιϕάσεις. Γενικεύτηκε η χρήση των συνόλων σε όλα τα Μαθηµατικά και έγινε πράγµατι η γλώσσα και το ϑεµέλιο των Μαθηµατικών. Γενικεύτηκε η αρχική ϑεωρία σε µια άλλη κατεύθυνση µεταβαίνοντας απο τα σύνολα στα ασαϕή σύνολα (Fuzzy Sets) µε παράλληλη εξέλιξη της λογικής στην ασαϕή λογική (Fuzzy Logic), δύο νέες ϑεωρίες µε πολλές εϕαρµογές στη σύγχρονη Τεχνολογία. Ας κλείσουµε τη παράγραϕο αυτή µε κάτι διασκεδαστικό. Παράδειγµα Το παράδοξο του κουρέα. εν είναι τυχαίο λοιπόν, ότι ο ίδιος ο Russell διατύπωσε το περίϕηµο αυτό παράδοξο : Ενας κουρέας έχει στην πόρτα του την εξής πινακίδα : ξυρίζω αυτούς και µόνο αυτούς που δεν ξυρίζονται µόνοι τους

22 26 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ, ΣΥΝΟΛΑ, ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΕΙΣ c b a c b a Βελοειδές Καρτεσιανό Σχήµα 1.6: ιαγράµµα του Καρτεσιανού γινοµένου. Αϕού λοπόν ο κουρέας έχει αυτή την πινακίδα, τότε ποιός ξυρίζει τον κ- ουρέα ; (Άσκηση 15). 1.4 Γινόµενα, Σχέσεις, Πηλίκα Βασική επίσης έννοια στα σύνολα είναι το διατεταγµένο Ϲεύγος το οποίο ορίζεται είτε άµεσα, ως (a, b) = {a, {a, b}} είτε έµεσα, µε την χαρακτηριστική του ιδιότητα (a, b) = (c, d) ( a = c b = d ). Με το διατεταγµένο Ϲεύγος ορίζεται ακόµη µία πράξη στα σύνολα το Καρτεσιανό γινόµενο (Cartesian Product) δύο συνόλων, ως = {(a, b) : a b }. Ειδικά συµβολίζουµε 2 = (Καρτεσιανό τετράγωνο). Το καρτεσιανό γινόµενο παριστάνουµε γραϕικά µε δύο κυρίως τρόπους, το ϐελοειδές διάγραµµα και το Καρτεσιανό διάγραµµα όπως φαίνεται στο Σχήµα 1.6. Το Καρτεσιανό Γινόµενο γενικεύεται για µια οικογένεια συνόλων { i : i N n } ως : } i = 1 2 n = {(x 1, x 2,..., x n ) : i N n, x i i. i N n Αν i = τότε συµβολίζουµε i N n i = n. Ορισµός Θεωρούµε δύο σύνολα, και το Καρτεσιανό γινόµενο αυτών.

23 1.4. ΓΙΝΟΜΕΝΑ, ΣΧΕΣΕΙΣ, ΠΗΛΙΚΑ Κάθε υποσύνολο R λέγεται σχέση απο το στο. Αν (x, y) R γράϕουµε x R y. 2. Μια σχέση απο το στο λέγεται : 1. µονότιµη αν x R y x R z = y = z, 2. καθολική αν x, y, x R y. 3. Μια µονότιµη σχέση λέγεται και µερική απεικόνιση. 4. Μια µονότιµη και καθολική σχέση λέγεται απεικόνιση. 5. Αν = τότε η σχέση R 2 λέγεται σχέση στο. 6. Μια σχέση στο λέγεται : 1. ανακλαστική αν x, x R x, 2. µεταβατική αν x R y y R z = x R z, 3. συµµετρική αν x R y = y R x, 4. αντισυµµετρική αν x R y y R x = x = y, 5. σχέση ισοδυναµίας αν έχει τις ιδιότητες 1, 2, 3, 6. σχέση διάταξης αν έχει τις ιδιότητες 1, 2, Συµβολισµός. - Μια σχέση ισοδυναµίας συµβολίζεται συνήθως µε. - Μια σχέση διάταξης συµβολίζεται συνήθως µε. Ορισµός Θεωρούµε µια σχέση ισοδυναµίας στο. 1. Για το στοιχείο a, το σύνολο [a] = {x : x a} λέγεται κλάση ισοδυναµίας του α. 2. Το σύνολο των κλάσεων ισοδυναµίας του µε τη σχέση ισοδυναµίας λέγεται σύνολο πηλίκο του δια της και συµβολίζεται µε /, δηλαδή / = { [a] : a }. Οι σχέσεις ως υποσύνολα του Καρτεσιανού γινοµένου Β παριστάνονται γραϕικά όπως και το Καρτεσιανό γινόµενο, µε ϐελοειδή και Καρτεσιανά διαγράµµατα. Γραϕικές παραστάσεις από ϐασικά είδη σχέσεων ϐλέπουµε στα Σχήµατα

24 28 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ, ΣΥΝΟΛΑ, ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΕΙΣ c b a c b a Σχήµα 1.7: Σχέση, ϐελοειδές και Καρτεσιανό διάγραµµα c b a c b a Σχήµα 1.8: Σχέση µονότιµη, ϐελοειδές και Καρτεσιανό διάγραµµα c b a c b a Σχήµα 1.9: Σχέση καθολική, ϐελοειδές και Καρτεσιανό διάγραµµα.

25 1.4. ΓΙΝΟΜΕΝΑ, ΣΧΕΣΕΙΣ, ΠΗΛΙΚΑ c b a c b a Σχήµα 1.10: Απεικόνιση, ϐελοειδές και Καρτεσιανό διάγραµµα. Παράδειγµα Για την κατανόηση των πολύ ϐασικών αυτών εννοιών δίνουµε ένα πρώτο απλό παράδειγµα σε µορϕή πίνακα, που επεξηγείται στο υπόµνηµα που έπεται. Το σύνολο είναι X = N. X σχέση ΑΝ ΜΕ ΣΥ ΑΤ ΣΙ Σ 1. N a < b N a b N 3 (a b) N a = b ΑΝ = ανακλαστική ΣΙ = σχέση ισοδυναµίας ΜΕ = µεταβατική Σ = σχέση διάταξης ΣΥ = συµµετρική 0 = δεν είναι ΑΤ = αντισυµµετρική 1 = είναι Απόδειξη. Αϕήνεται ως άσκηση. Θεώρηµα Ισχύουν οι προτάσεισ: 1. Αν είναι µια σχέση ισοδυναµίας στο X, το σύνολο πηλίκο X/ είναι διαµερισµός του X. Ο διαµερισµός αυτός συµβολίζεται µε D( ). 2. Αν D είναι διαµερισµός του X, η σχέση x R y d [ D, x, y ] είναι µια σχέση ισοδυναµίας στο X. Η σχέση ισοδυναµίας αυτή συµ- ϐολίζεται µε D. 3. Η απεικόνιση F : π(x) E(X), F (D) = D είναι απλή.

26 E 30 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ, ΣΥΝΟΛΑ, ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΕΙΣ C D Σχήµα 1.11: Τα διανύσµατα [(, )] = = a, [(C, D)] = CD= b. Απόδειξη. Αϕήνεται ως άσκηση. Παράδειγµα Εστω = E E το σύνολο των διατεταγµένων (Σχή- µα 1.11) Ϲευγών απο σηµεία του επιπέδου E και η σχέση που ορίζεται στο µε : (, ) (C, D) τα (, ), (C, D) έχουν ίδια διεύθυνση, φορά και µήκος. Η σχέση αυτή είναι µια σχέση ισοδυναµίας και η κλάση του (, ) είναι το ελεύθερο διάνυσµα = [(, )] = {(KM) : (KM) ()}. Απόδειξη. Αϕήνεται ως άσκηση. Ετσι το σύνολο πηλίκο του = E E δια είναι το σύνολο των ελευθέρων διανυσµάτων V = / του επιπέδου. Παράδειγµα Στο σύνολο Z Z των Ϲευγών ακεραίων αριθµών (κλάσµατα) µε δεύτερο µέλος διάϕορο του 0, ορίζουµε τη σχέση Τότε ισχύουν : (a, b) (c, d) ad = bc.

27 1.4. ΓΙΝΟΜΕΝΑ, ΣΧΕΣΕΙΣ, ΠΗΛΙΚΑ = [(1, 2)] + [(1, 3)] = [(3, 6)] + [(2, 6)] = [(5, 6)] = 5 6 Σχήµα 1.12: Η πρόσθεση δύο ϱητών µέσω ισοδυνάµων οµωνύµων αντιπροσώπων. 1. Η σχέση αυτή είναι µια σχέση ισοδυναµίας. 2. και η κλάση του (a, b) Z Z είναι το [(a, b)] = {(x, y) Z Z : (x, y) (a, b)}. 3. Αν d = (a, b) είναι ο µέγιστος κοινός διαιρέτης των a, b τότε η κλάση του (a, b) Z Z είναι ο ϱητός αριθµός a b = [(a, b)] = {(k a d, k b d ) Z Z : k Z }. Απόδειξη. Αϕήνεται ως άσκηση. Ετσι το σύνολο πηλίκο του του Z Z δια είναι το σύνολο των ϱητών Q = Z Z /. Παράδειγµα Εστω = Z το σύνολο των ακεραίων αριθµών. Τότε 1. Η σχέση x y 5 x y είναι µια σχέση ισοδυναµίας. 2. Αν v είναι το υπόλοιπο της (Ευκλείδειας) διαίρεσης του a δια 5 τότε a v.

28 32 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ, ΣΥΝΟΛΑ, ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΕΙΣ 3 b b 2 a 1 a f : Βελοειδές f : Καρτεσιανό Σχήµα 1.13: Βελοειδές και Καρτεσιανό διάγραµµα της f :. 3. Η κλάση του a Z είναι το [a] = {5k + v : k Z} = [v]. 4. Ετσι, όλες οι κλάσεις είναι [0] = {..., 15, 10, 5, 0, 5, 10, 15,... } = 0 [1] = {..., 14, 9, 4, 1, 6, 11, 16,... } = 1 [2] = {..., 13, 8, 3, 2, 7, 12, 17,... } = 2 [3] = {..., 12, 7, 2, 3, 8, 13, 18,... } = 3 [4] = {..., 11, 6, 1, 4, 9, 14, 19,... } = 4 και το σύνολο πηλίκο του Z δια µε όλο και απλούστερο συµ- ϐολισµό, είναι το Z mod 5 = Z/(5) = {[0], [1], [2], [3], [4]} = { 0, 1, 2, 3, 4 } = { 0, 1, 2, 3, 4 }. 1.5 Απεικονίσεις Στον Ορισµό είδαµε ότι η συνάρτηση (ή απεικόνιση) είναι µια ειδική περίπτωση σχέσης. Συγκεκριµένα ονοµάσαµε συνάρτηση µια σχέση απο το στο η οποία είναι µονότιµη και καθολοκή. Αυτή η σχέση εκϕράζει ουσιαστικά µια αντιστοιχία µε την οποία κάθε στοιχείο του αντιστοιχεί σε ένα ακριβώς στοιχείο του. Τις συναρτήσεις, όπως όλες τις σχέσεις, τις παριστάνουµε γραϕικά µε ϐελοειδή και καρτεσιανά διαγράµµατα (Σχήµα 1.13). Επειδή η συνάρτηση είναι πολύ ϐασική έννοια για όλα τα Μαθηµατικά και τις Εϕαρµογές τους ϑα τη µελετήσουµε λίγο περισσότερο στην παράγραϕο αυτή. Εστω λοιπόν και δύο σύνολα. Μια συνάρτηση f απο το στο

29 1.5. ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΕΙΣ 33 f x y Σχήµα 1.14: Η απεικόνιση f : x y. x f y Σχήµα 1.15: Η απεικόνιση f : x y σαν µαύρο κουτί. κατά την οποία το x αντιστοιχεί στο y, δηλαδή (x, y) f, τη συµβολίζουµε µε οποιονδήποτε (τον καταλληλότερο κατά περίπτωση) από τους επόµενους τρόπουσ: f :, y = f(x), f :, x f y, f : x y, f : x f y. Στη συνάρτηση f το λέγεται πεδίο ορισµού της f, το πεδίο τιµών της f, το x πρότυπο του y και το y εικόνα του x. Επίσης τα x και y ϑεω- ϱούµενα ως µεταβλητές, λέγονται ανεξάρτητη και εξαρτηµένη µεταβλητή αντιστοίχως. Η εικόνα f(x) του x εκϕράζεται και µε το συµβολισµό του δείκτη f x. Εκϕράζοντας όλα τα προηγούµενα και τη µονότιµη αντιστοιχία που χαρακτηρίζει µια απεικόνιση, παριστάνουµε τις απεικονίσεις γραϕικά και µε ένα ιδιαίτερο τρόπο όπως στο Σχήµα 7.8. Ακόµη, για ειδικούς λόγους, όταν π.χ. η απεικόνιση παριστάνει µια λειτουργία ή διεργασία, παριστάνουµε µια απεικόνίση σαν «µαύρο κουτί», όπως όπως στο Σχήµα Η έννοια του µαύρου κουτιού είναι ότι δεν µας ενδιαϕέρει (ή δεν ξέρουµε) τί γίνεται µέσα στο κουτί, αλλά µας ενδιαϕέρει µόνο η είσοδος x και η έξοδος y. ηλαδή δεν ϐλέπουµε µέσα στο κουτί. Το σύνολο όλων των απεικονίσεων (συναρτήσεων) από το στο συµ- ϐολίζεται µε = {f : }.

30 34 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ, ΣΥΝΟΛΑ, ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΕΙΣ Παράδειγµα Θεωρούµε τα σύνολα και µια τυχούσα συνάρτηση = {a, b}, = {p, q, r} f : µε f(a) = x, f(b) = y όπου ϐέβαια x, y = {p, q, r}. Για την απλότητα της γραϕής µ- πορούµε να γράψουµε την f διαδοχικά ως εξήσ: ]} [ ] a b f = {(a, x), (b, y)} = {[ a x ], [ b y οπότε, µε αυτή την απλή γραϕή, το είναι το = x y = [ x y ] = xy, = {p, q, r} {a,b} = {rr, rq, rp, qr, qq, qp, pr, pq, pp}. Η λογική για να ϐρούµε τις συναρτήσεις είναι η ίδια όπως αν τα p, q, r ήταν τα ψηϕία 0, 1, 2 αντίστοιχα και παίρναµε όλους τους διψήϕιους τριαδικούς µε αυτά τα ψηϕία. Θα είχαµε τότε τους 9 = 3 2 τριαδικούς αριθµούς 00, 01, 02, 10, 11, 12, 20, 21, 22 που είναι οι δεκαδικοί 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. Οι απεικονίσεις του παριστάνονται στο Σχήµα Παράδειγµα Θεωρούµε τα σύνολα και µια τυχούσα συνάρτηση = {a, b, c}, = {p, q} f :, µε f(a) = x, f(b) = y, f(c) = z. όπου ϐέβαια πάλι x, y, z = {p, q}. Με ολοένα και απλούστερο συµβολισµό γράϕουµε την f διαδοχικά ως εξήσ: {[ ] [ ] [ ]} [ ] a b c a b c f = { (a, x), (b, y), (c, z) } =,, = x y z x y z = [ x y z ] = xyz, οπότε, µε αυτή την απλή γραϕή, το είναι το = = {p, q} {a,b,c} = {ppp, ppq, pqp, pqq, qpp, qpq, qqp, qqq} = {f : } = {f 1, f 2, f 3, f 4, f 5, f 6, f 7, f 8 }.

31 1.5. ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΕΙΣ 35 a b r q p a b r q p a b r q p a b r q p a b r q p a b r q p a b r q p a b r q p a b r q p Σχήµα 1.16: Οι γραϕικές παραστάσεις των συναρτήσεων του συνόλου = {p, q, r} {a,b}. Η λογική για να ϐρούµε τις συναρτήσεις, όπως στο Παραδειγµα 1.5.1, είναι η ίδια όπως αν τα p, q ήταν τα ψηϕία 0, 1 αντίστοιχα και παίρναµε όλους τους τριψήϕιους διαδικούς µε αυτά τα ψηϕία. Θα είχαµε τότε τους 8 = 2 3 διαδικούς αριθµούς 000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111 που είναι οι δεκαδικοί 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. Οι απεικονίσεις του παριστάνονται στο Σχήµα Παράδειγµα Μια ειδική περίπτωση στο Παραδειγµα Οταν = {0, 1}, δηλαδή έχουµε τα σύνολα = {a, b, c}, = {0, 1}, τότε έχουµε το σύνολο των συναρτήσεων = {0, 1} {a,b,c} = { f : } = { f : {a, b, c} {0, 1} }, που παίζει, όπως ϑα δούµε, σηµαντικό ϱόλο στη µελέτη των συνόλων και των ασαϕών συνόλων. Με το συµβολισµό του Παραδείγµατος έχουµε το σύνολο συναρτήσεων = {0, 1} {a,b,c} = {000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111}

32 36 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ, ΣΥΝΟΛΑ, ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΕΙΣ q p q p 0 q p a b c 4 q p a b c 1 q p a b c 5 q p a b c 2 q p a b c 6 q p a b c 3 a b c 7 a b c Σχήµα 1.17: {p, q} {a,b,c}. Οι γραϕικές παραστάσεις των συναρτήσεων του συνόλου δηλαδή (όπως στο Παράδειγµα 1.5.2) είναι οι 8 = 2 3 τριψήϕιοι διαδικοί αριθµοί 000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111 που είναι οι δεκαδικοί 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Οι απεικονίσεις του παριστάνονται στο Σχήµα 1.17, όπου τώρα αντί p, q έχουµε 0, 1 αντίστοιχα. Ορισµός Θεωρούµε µια συνάρτηση f : και τα σύνολα K, M. Τα σύνολα 1. f(k) = { y : x K, y = f(x) } = {f(x) : x K}, 2. f 1 (M) = { x : y M, y = f(x) }, λέγονται εικόνα του Κ και αντίστροϕη εικόνα του Μ αντίστοιχα (Σχήµα 1.19). Αν K = {x} ή M = {y}, συµβολίζουµε αντίστοιχα 1. f ( {x}) = f(x), 2. f 1 ({y}) = f 1 (y). Θεώρηµα Για τα f(k), f 1 (M) ισχύουν οι επόµενες προτάσεις. 1. f(k M) = f(k) f(m), 2. f(k M) f(k) f(m), 3. f 1 (K M) = f 1 (K) f 1 (M),

33 1.5. ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΕΙΣ 37 K f f(k) f 1 (M) M Σχήµα 1.18: Η εικόνα και η αντίστροϕη εικόνα ενός συνόλου. 4. f 1 (K M) = f 1 (K) f 1 (M). Απόδειξη. Αϕήνεται ως άσκηση. Παράδειγµα Θεωρούµε τα σύνολα = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, = {x, y, z, w, s} και µια συνάρτηση f : µε f(1) = x, f(2) = y, f(3) = y, f(4) = z, f(5) = w, f(6) = s, όπως φαίνεται στο Σχήµα Επίσης ϑεωρούµε τα υποσύνολα του. Τότε είναι K = {1, 2, 3}, M = {2, 3, 4, 5} f(k) = {x, y} f(m) = {y, z, w} f(k) f(m) = {y, z} K M = {2, 3} f(k M) = {y} ηλαδή f(k) f(m) f(k M). Στο παράδειγµα αυτό φαίνεται ότι δεν ισχύει γενικά η σχέση f(k) f(m) = f(k M). Ετσι διευκρινίζεται η εξαίρεση απο το = στο 2. του Θεωρήµατος Το = στο 2. του Θεωρήµατος ισχύει µόνο σε ειδικές περιπτώσεις για την f (Άσκηση 3).

34 38 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ, ΣΥΝΟΛΑ, ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΕΙΣ 4 K M K f M 5 6 f(m) y f(k M) w x z f(k) f(m) f(k) s Σχήµα 1.19: Η συνάρτηση του Παραδείγµατος Ενα σύνολο συναρτήσεων που χρησιµοποιούµε πολύ συχνά είναι το σύνολο των πραγµατικών συναρτήσεων που ορίζονται σε ένα τυχόν σύνολο E, δηλαδή το σύνολο R E = { f : E R }. Αυτό το σύνολο συναρτήσεων είναι αρκετά γενικό και περιλαµβάνει πολλές συνηθισµένες περιπτώσεις. Είναι σηµαντικό να δούµε ότι αυτές οι συνηθισµένες περιπτώσεις συναρτήσεων είναι ειδικές περι-πτώσεις του R E. Με E R έχουµε τις επόµενες ειδικότερες περι-πτώσεις που εξετάζονται στα Παραδείγµατα Παράδειγµα Για έχουµε το σύνολο συναρτήσεων, E = {1, 2,..., n} = (n) R (n) = R {1,2,...,n} = {f : (n) R} = { } f : {1, 2,..., n} R. Αρχίζοντας από την απλούστατη περίτωση, για n = 1, έχουµε το E = {1} = (1) και το σύνολο των συναρτήσεων είναι Με τον συµβολισµό R {1} = R (1) = { f : {1} R }. f = ( f(1) ) = (f 1 ) = (x) = x απλουστεύουµε τη γραϕή και το σύνολο των συναρτήσεων γράϕεται R {1} = R (1) = {x : x R} = R.

35 1.5. ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΕΙΣ 39 ηλαδή το σύνολο R {1} των απεικονίσεων f : {1} R είναι το σύνολο R των πραγµατικών αριθµών, αϕού κάθε απεικόνιση την παραστήσαµε µε ένα πραγµατικό αριθµό (f 1 ) = (x) = x που είναι η εικόνα του 1. Η αµέσως επόµενη απλή περίπτωση είναι, για n = 2 έχουµε το E = {1, 2} = (2) και το σύνολο των συναρτήσεων είναι Με τον συµβολισµό R {1,2} = R (2) = {f : {1, 2} R}. f = ( f(1), f(2) ) = (f 1, f 2 ) = (x, y) απλουστεύουµε τη γραϕή και το σύνολο των συναρτήσεων γράϕεται R {1,2} = R (2) = {(x, y) : x R, x R} = R 2. ηλαδή το σύνολο R {1,2} των απεικονίσεων f : {1, 2} R είναι το σύνολο R 2 των διατεταγµένων 2-άδων (Ϲευγών)πραγµατικών αρι-ϑµών, αϕού κάθε απεικόνιση την παραστήσαµε µε ένα διατεταγµένο Ϲεύγος πραγ- µατικών αριθµών (f 1, f 2 ) = (x, y) που είναι οι εικόνες των 1 και 2 αντίστοιχα. Η γενική περίπτωση εδώ είναι E = {1, 2,..., n} = (n) και το σύνολο των συναρτήσεων είναι { } R {1,2,...,n} = R (n) = f : {1, 2,..., n} R = {f : (n) R}. Με τον συµβολισµό ( ) f = f(1), f(2),..., f(n) = (f 1, f 2,..., f n ) = (x 1, x 2,..., x n ) απλουστεύουµε τη γραϕή και το σύνολο των συναρτήσεων γράϕεται R {1,2,...,n} = R (n) = {(x 1, x 2,..., x n ) : x i R, i (n)} = R n. ηλαδή το σύνολο R (n) των απεικονίσεων f : (n) R είναι το σύνολο R n των (διατεταγµένων) n-άδων (f 1, f 2,..., f n ) πραγµατικών αρι- ϑµών, αϕού κάθε απεικόνιση την παραστήσαµε µε µια διατεταγµένη n- άδα πραγµατικών αριθµών (f 1, f 2,..., f n ) = (x 1, x 2,..., x n ) που είναι οι εικόνες των 1, 2,..., n αντίστοιχα. Μια παράσταση των συναρτήσεων R {1} = R 1 = R, R {1,2} = R 2, R {1,2,3} = R 3 έχουµε στο Σχήµα 1.20 όπου κάθε συνάρτηση παριστάνεται µε δύο τρόπους :

36 40 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ, ΣΥΝΟΛΑ, ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΕΙΣ R n n = 1, 2, 3 G(f) = {(i, f i ) : i (n)} n = 1, 2, 3 R 1 y R 2 x 1 x f = (f 1) G(f) = {(1, f 1)} y R 2 y R 2 x 1 2 x f = (f 1, f 2) G(f) = {(1, f 1), (2, f 2)} z x y f = (f 1, f 2, f 3) R 3 y G(f) = {(1, f 1), (2, f 2), (3, f 3)} x R 2 Σχήµα 1.20: Οι συναρτήσεις R {1}, R {1,2}, R {1,2,3}. 1. Ως σηµείο στον αντοίστοιχο χώρο R n, n = 1, 2, Ως γράϕηµα G(f) της f στον R 2. Παράδειγµα Για E = {1, 2,..., n,... } = N και το σύνολο των συναρτήσεων είναι, R {1,2,...,n,... } = R N = {f : N R},

37 1.5. ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΕΙΣ 41 δηλαδή το σύνολο των ακολουθιών πραγµατικών αριθµών. Με τον συµ- ϐολισµό f = ( f(1), f(2),..., f(n),... ) = (f 1, f 2,..., f n,... ) = (x 1, x 2,..., x n,... ) απλουστεύουµε τη γραϕή και το σύνολο των συναρτήσεων γράϕεται R N = {(x 1, x 2,..., x n,... ) : x i R, i N} = R ℵ 0 (= R ), όπυ ℵ 0 (άλεϕ µηδέν) είναι το πλήθος των φυσικών αριθµών. Η γραϕή R δεν είναι ακριβής, όπως ϑα δούµε (αλλά πολλές φορές αναϕέρεται και αυτή). Ετσι το σύνολο R N των ακολουθιών πραγµατικών αριθµών f : N R είναι το σύνολο R ℵ 0 των διατεταγµένων ℵ 0 -άδων («απειράδων») πραγµατικών αριθµών. Παράδειγµα Για E = I J, όπου I = {1, 2, 3,..., m}, J = {1, 2, 3,..., n} έχουµε το σύνολο M(m, n) των m n-πινάκων. Αρχίζοντας πάλι από µια απλή περίτωση, για m = n = 2 έχουµε το E = (2) (2) = {1, 2} {1, 2} = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)} = [ (1, 1) (1, 2) (2, 1) (2, 2) ], έχουµε το σύνολο R (2) (2) = {f : (2) (2) R}. Με τον συµβολισµό [ f11 f f = (f(i, j)) = (f i,j ) = 12 f 21 f 22 ], έχουµε το σύνολο M(2, 2) των 2 2-πινάκων. Γενικά, µε E = I J, όπου I = {1, 2, 3,..., m}, J = {1, 2, 3,..., n}

38 42 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ, ΣΥΝΟΛΑ, ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΕΙΣ έχουµε το σύνολο M(m, n) των m n-πινάκων. δηλαδή για E = I J = {1, 2, 3,..., m} {1, 2, 3,..., n} = = {(1, 1),..., (1, n), (2, 1),..., (2, n),..., (m, 1),..., (m, n)} = = { (1, 1), (1, 2), (1, 3),..., (1, n), (2, 1), (2, 2), (2, 3),..., (2, n), (m, 1), (m, 2), (m, 3),..., (m, n) (1, 1), (1, 2), (1, 3),..., (1, n), (2, 1), (2, 2), (2, 3),..., (2, n), (m, 1), (m, 2), (m, 3),..., (m, n) } έχουµε το σύνολο R I J = {f : I J R}. Με τον συµβολισµό f 11 f f 1n f 21 f f 2n f = (f(i, j)) = (f i,j ) =..., f m1 f m2... f mn έχουµε το σύνολο M(m, n) των m n - πινάκων. Παράδειγµα Για E = [a, b] R έχουµε το σύνολο R [a,b] = {f : [a, b] R} δηλαδή το σύνολο των πραγµατικών συναρτήσεων µε πεδίο ορισµού το [a, b]. Παράδειγµα Για έχουµε το σύνολο E = [a, b] [c, d] R 2 R [a,b] [c,d] = {f : [a, b] [c, d] R}

39 1.5. ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΕΙΣ 43 δηλαδή το σύνολο των πραγµατικών συναρτήσεων µε δύο µεταβλητές και µε πεδίο ορισµού το [a, b] [c, d]. Στα προηγούµενα Παραδειγµατα είχαµε συναρτήσεις µε µία ή δύο µεταβλητές και µε µεταβλητή διακριτή ή συνεχή. Η γενίκευση σε περισσότερες µεταβλητές είναι προϕανής και άµεση. Αυτές οι συναρτήσεις καλύπτουν το µεγαλύτερο και συνηθέστερο φάσµα εϕαρµογών και είναι οι ϐασικές. Ορισµός Είδη συναρτήσεων. Μια συνάρτηση f :, f(x) = y λέγεται : 1. ένα προς ένα ή 1-1 ή αµϕιµονότιµη (injective) αν ισχύει f(a) = f(b) = a = b. 2. επί (surjective) αν ισχύει f() =, 3. απλή ή ένα προς ένα και επί (bijective) αν είναι ένα προς ένα και επί. 4. Για κάθε σύνλο έχουµε µια συνάρτηση I = I = 1 I :, I (x) = x η οποία λέγεται ταυτότητα στο Α ή ταυτοτική συνάρτηση στο Α (Σχήµα 1.22). Ορισµός Σύνθεση συναρτήσεων και αντιστρέψιµη συνάρτηση. 1. Αν έχουµε δύο συναρτήσεις f :, g : C, f(x) = y g(y) = z τότε ορίζεται η συνάρτηση h : C, h(x) = z η οποία λέγεται σύνθεση της g µε την f και συµβολίζεται µε h = g f. Για την g f (Σχήµα 1.19) έχουµε λοιπόν (g f)(x) = h(x) = z = g(y) = g(f(x)).

40 44 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ, ΣΥΝΟΛΑ, ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΕΙΣ f x y g Σχήµα 1.21: Η παράσταση της ισότητας f = g µε µαύρα κουτιά. x x Σχήµα 1.22: Η ταυτοτική απεικόνιση f = I X σαν µαύρο κουτί. 2. Μια συνάρτηση f : λέγεται αντιστρέψιµη αν υπάρχει συνάρτηση g : τέτοια ώστε να ισχύουν g f = I και f g = I. f y g x z x g f y Σχήµα 1.23: Η παράσταση της σύνθεσης f g µε µαύρα κουτιά.

41 1.5. ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΕΙΣ 45 x f x x f y y f y Σχήµα 1.24: Η παράσταση της ταυτότητας f I X = f = I Y f µε µαύρα κουτιά. g f x f 3 y g 3 C z Σχήµα 1.25: Η σύνθεση g f. Θεώρηµα Ισχύουν : 1. Αν η f : είναι αντιστρέψιµη, τότε η g : µε την ιδιότητα g f = I και f g = I είναι µοναδική και ισχύει f(x) = y g(y) = x. 2. Η f είναι αντιστρέψιµη ακριβώς τότε όταν η f είναι απλή. Απόδειξη. Αϕήνεται ως άσκηση. Ορισµός Οταν η f : είναι απλή, η µοναδική g µε την ιδιότητα g f = I και f g = I λέγεται τότε αντίστροϕη της f και συµβολίζεται µε f 1.

42 46 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ, ΣΥΝΟΛΑ, ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΕΙΣ Θεώρηµα Ισχύουν : 1. Για την σύνθεση ισχύει (προσεταιριστική) f (g h) = (f g) h. 2. Για την συνάρτηση f :, y = f(x) ισχύουν : (α ) I f = f I = f, (ϐ ) Οι I, I µε την (προηγούµενη) ιδιότητα (2α) είναι µοναδικές. 3. Η I είναι απλή. 4. Αν η f είναι απλή τότε και η f 1 είναι απλή και ισχύουν (α ) f f 1 = I, (ϐ ) f 1 f = I, 5. Αν υπάρχει η σύνθεση g f και οι f, g είναι απλές τότε ισχύουν : (α ) η g f είναι απλή, (ϐ ) (g f) 1 = f 1 g 1. Απόδειξη. Αϕήνεται ως άσκηση. Η Χαρακτηριστική Συνάρτηση Για τη περιγραϕή ενός υποσυνόλου κάποιου καθολικού συνόλου X, εκτός από την αναγραϕή (για πεπερασµένα υποσύνολα) και την περιγραϕή (των στοιχείων του) µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε και ένα άλλο τρόπο. Αυτό γίνεται µε τη χαρακτηριστική συνάρτηση (Σχήµατα 1.27, 1.28, 1.29). Ορισµός Θεωρούµε ένα καθολικό σύνολο X και X. 1. Η συνάρτηση χ : X {0, 1}, χ (x) = λέγεται χαρακτηριστική συνάρτηση του Α. 2. η συνάρτηση { 0, x / 1, x χ : P(X) {0, 1} X, χ() = χ λέγεται χαρακτηριστική συνάρτηση στο Χ.

43 1.5. ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΕΙΣ 47 X X Σχήµα 1.26: Το υποσύνολο µε περίγραµµα ή µε τονισµό των στοιχείων του. X X Σχήµα 1.27: Το υποσύνολο µε επισήµανση των στοιχείων του. Θεώρηµα Η συνάρτηση χ (χαρακτηριστική συνάρτηση στο X) είναι ένα-πρός-ένα και επί απεικόνιση, δηλαδή ισχόυν : 1. χ() = χ() = =, 2. a {0, 1} X, P(X), χ() = a. Απόδειξη. Αϕήνεται ως άσκηση. Θεώρηµα Για τη χαρακτηριστική συνάρτηση ισχύουν : 1. χ χ, 2. χ = χ =. Απόδειξη. Αϕήνεται ως άσκηση. Θεώρηµα Για τη χαρακτηριστική συνάρτηση ισχύουν : 1. χ = max{χ, χ } = χ + χ χ χ

44 48 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ, ΣΥΝΟΛΑ, ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΕΙΣ 2. χ = min{χ, χ } = χ χ 3. χ c = 1 χ 4. χ = 0 5. χ X = 1 6. χ \ = χ χ χ Απόδειξη. Αϕήνεται ως άσκηση. Αν συµβολίσουµε a = χ, b = χ, x = χ X, τότε µερικές σχέσεις απλουστεύονται πολύ. Εχουµε π.χ. a b a = b = Ορισµός Θεωρούµε το σύνολο των συναρτήσεων { } {0, 1} X = f : X {0, 1} και ορίζουµε σ αυτό δύο ειδικές συναρτήσεις, ένα τελεστή και δύο πράξεις, ως εξήσ: 1. Οι συναρτήσεις u = 0 : X {0, 1}, u(x) = 0. I = 1 : X {0, 1}, I(x) = 1. λέγονται µηδενική και µοναδιαία συνάρτηση, αντίστοιχα. 2. Ο τελεστής ā = a : X {0, 1}, a (x) = 1 a(x). λέγεται συµπλήρωµα του a. 3. Οι πράξεις max, min (α ) (a + b)(x) = max{a(x), b(x)} = max(a, b)(x), (ϐ ) (a b)(x) = min{a(x), b(x)} = min(a, b)(x). λέγονται πρόσθεση και πολλαπλασιασµός, αντίστοιχα.

45 1.5. ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΕΙΣ 49 Παράδειγµα Θα δούµε εδώ πως µελετάµε τις ιδιότητες των συνόλων εϕαρµόζοντας τα προηγούµενα. Θα αποδείξουµε την ιδιότητα P 8. του Θεωρήµατος 1.3.2, δηλαδή το Νόµο De Morgan για το συµπλήρωµα της ένωσης : =. Απόδειξη. 1. Με διαγράµµατα Venn. Σχηµατίζουµε διαδιχικά τα διαγράµµατα Venn των και των,,,,,,, και παρατηρούµε ότι τα, έχουν το ίδιο διάγραµµα. Η διεργασία φαίνεται στο Σχήµα 1.30 (και για το δεύτερο Νόµο DeMorgan Q 8.) και στο Σχήµα 1.29 παριστάνεται µε αντιµεταθετικό διάγραµµα (επίσης και για το δεύτερο Νόµο De Morgan Q 8.). Πρέπει να πούµε όµως ότι η όποια διαπίστωση µε διαγράµµατα Venn δεν πρέπει να ϑεωρείται σαν απόδειξη, αλλά µόνο ως ϐοηθητικό µέσο, όπως ακριβώς µε τα γεωµετρικά σχήµατα. 2. Με τους κανόνες της Λογικής. Αποδεικνύουµε ότι τυχόν στοιχείο, ανήκει στο ένα µέλος ακριβώς τότε όταν ανήκει στο άλλο. x x [ x ] [ x x ] ( x ) ( x ) (x ) (x ) (x ) (x ) x 3. Με τη χαραακτηριστική συνάρτηση. Αποδεικνύουµε ότι τα δύο µέλη εχουν την ίδια χαραακτηριστική συνάρτηση. X ( ) = 1 X ( ) = 1 [ X () + X () X ()X () ] = 1 X () X () + X ()X () = [ 1 X () ] [ 1 X () ] = X ( ) X ( ) = X ( ). Θεώρηµα Ιδιότητες των πράξεων των χαρακτηριστικών συναρτήσεων {0, 1} X. Για τις συναρτήσεις a, b, c F = {0, 1} X ισχύουν :

46 50 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ, ΣΥΝΟΛΑ, ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΕΙΣ 1 X X Σχήµα 1.28: Το υποσύνολο µε τη χαρακτηριστική συνάρτηση. 1. Νόµοι Αντιµεταθετικοί. P 1. a + b = b + a, Q 1. a b = b x. 2. Νόµοι Επιµεριστικοί. P 2. a (b + c) = (a b) + (a c), Q 2. a + (b c) = (a + b) (a + c). 3. Νόµοι Ταυτότητας. P 3. a + 0 = a, Q 3. a 1 = a. 4. Νόµοι Συµπληρώµατος. P 4. a + a = 1, Q 4. a a = 0. Απόδειξη. Αϕήνεται ως άσκηση. 1.6 Μαθηµατικά και Πληροϕορική Τα Μαθηµατικά για να λειτουργήσουν χρησιµοποιούν µια γλώσσα, τη γλώσσα των Μαθηµατικών. Η γλώσσα των Μαθηµατικών περιγράϕεται µε µια άλλη γλώσσα, τη µεταγλώσσα, που είναι µια κοινή γλώσσα (π.χ. ελληνικά, αγγλικά). Συνήθως στη πράξη, η Μαθηµατική γλώσσα ενσωµατώνεται στη µεταγλώσσα και εκϕράζεται µαζί µε αυτή. Από

47 1.6. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ 51 C ( ) c = c c, C c, c C ( ) c = c c Σχήµα 1.29: Νόµοι De Morgan, Τα διαγράµµατα είναι αντιµεταθετικά και εκϕράζουν τις ιδιότητες C = C, C = C. µια τυπική άποψη τα Μαθηµατικά είναι ένα σύστηµα εννοιών και προτάσεων, οι οποίες προτάσεις εκϕράζουν σχέσεις µεταξύ των εννοιών. Για παράδειγµα, η πρόταση : «σε κάθε τριγώνο, το άθροισµα των γωνιών είναι 2 ορθές» είναι µια σχέση ανάµεσα στις έννοιες : τρίγωνο, άθροισµα γωνιών, ορθή γωνία. Στα Μαθηµατικά, οι έννοιες πρέπει να έχουν ορισµό, ο οποίος όµως ϐασίζεται σε προηγούµενες έννοιες, δηλαδή σε προηγούµενους ορισµούς. Ετσι, είναι φανερό ότι κάποιες από τις έννοιες εισάγονται ως αρχικές έννοιες, δηλαδή χωρίς ορισµό, και οι υπόλοιπες ως παραγόµενες έννοιες δηλαδή µε ορισµό. Οµοια, επειδή οι προτάσεις πρέπει να έχουν απόδεξη, η οποία όµως ϐασίζεται σε προηγούµενες πρτάσεις, δηλαδή σε προηγούµενες αποδείξεις, είναι φανερό ότι κάποιες προτάσεις εισάγονται ως αρχικές προτάσεις ή αξιώµατα, δηλαδή χωρίς απόδειξη, και οι υπόλοιπες ως παραγόµενες προτάσεις ή ϑεωρήµατα, δηλαδή µε απόδειξη. Ετσι κάθε Μαθηµατική Θεωρία, αλλά και όλα τα Μαθηµατικά που είναι το σύστηµα όλων των Μαθηµατικών Θεωριών, ϐασίζεται σε ένα σύστηµα αξιωµάτων, την Αξιωµατική Βάση της ϑεωρίας. Κάθε Μαθηµατική ή Αξιωµατική Θεωριά λοιπόν, έχει µια δοµή και λειτουργία που εκϕράζεται από το Σχήµα Σε µια Αξιωµατική Θεωρία, η Αξιωµατική Βάση δεν είναι ϐέβαια ένα τυχαίο σύνολο προτάσεων. Πολλές φορές λέγεται ότι είναι προτάσεις που είναι «αυτονόητα φανερές». ηλαδή προτάσεις που «η αλήθεια τους είναι φανερή». Αυτό όµως τί νόηµα µπορεί να έχει ; ηλαδή, δεν είναι φανερό και αυτονήτο ότι σε ένα παραλληλόγραµµο οι απέναντι πλευρές είναι ίσες ; γιατί πρέπει να το αποδείξουµε ; γιατί δηλαδή να είναι ϑεώρηµα ; Το «αυτονόητο» µιας αλήθειας είναι σχετικό. Άλλωστε αϕού είναι φανερά και αυτονόητα τα αξιώµατα της Ευκλείδειας Γεωµετρίας γιατί δηµιουργήθηκαν άλλες, µη Ευκλείδειες Γεωµετρίες µε διαϕορετικά Αξιώµατα ; Πολλές

48 52 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ, ΣΥΝΟΛΑ, ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΕΙΣ U U U U U U U U c c c c Σχήµα 1.30: Οι Νόµοι De Morgan µε διαγράµµατα Venn.

K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων

K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων Γιάννης Λιαπέρδος TEI Πελοποννήσου Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Στοιχεία προτασιακής λογικής Περιεχόμενα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1. Εισαγωγικές Εννοιες. 1.1 Σύνολα

Κεφάλαιο 1. Εισαγωγικές Εννοιες. 1.1 Σύνολα Κεφάλαιο 1 Εισαγωγικές Εννοιες Σ αυτό το κεφάλαιο ϑα αναφερθούµε συνοπτικά σε ϐασικές έννοιες για σύνολα και απεικονίσεις. Επιπλέον, ϑα αναφερθούµε στη µέθοδο της επαγωγής, η οποία αποτελεί µία από τις

Διαβάστε περισσότερα

ιακριτά Μαθηµατικά Ορέστης Τελέλης Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Σύνολα 1 / 36

ιακριτά Μαθηµατικά Ορέστης Τελέλης Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Σύνολα 1 / 36 ιακριτά Μαθηµατικά Ορέστης Τελέλης telelis@unipi.gr Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Σύνολα 1 / 36 Γνωριµία ιδάσκων: Ορέστης Τελέλης e-mail: telelis@unipi.gr

Διαβάστε περισσότερα

ιδασκοντες: x R y x y Q x y Q = x z Q = x z y z Q := x + Q Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012

ιδασκοντες: x R y x y Q x y Q = x z Q = x z y z Q := x + Q Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012 ιδασκοντες: Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012 Ασκηση 1.

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών

Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 1 Εισαγωγη : Πραξεις επι Συνολων και Σωµατα Αριθµων

Διαβάστε περισσότερα

Το σύνολο Z των Ακεραίων : Z = {... 2, 1, 0, 1, 2, 3,... } Να σηµειώσουµε ότι οι φυσικοί αριθµοί είναι και ακέραιοι.

Το σύνολο Z των Ακεραίων : Z = {... 2, 1, 0, 1, 2, 3,... } Να σηµειώσουµε ότι οι φυσικοί αριθµοί είναι και ακέραιοι. 1 E. ΣΥΝΟΛΑ ΘΕΩΡΙΑ 1. Ορισµός του συνόλου Σύνολο λέγεται κάθε συλλογή πραγµατικών ή φανταστικών αντικειµένων, που είναι καλά ορισµένα και διακρίνονται το ένα από το άλλο. Τα παραπάνω αντικείµενα λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

τη µέθοδο της µαθηµατικής επαγωγής για να αποδείξουµε τη Ϲητούµενη ισότητα.

τη µέθοδο της µαθηµατικής επαγωγής για να αποδείξουµε τη Ϲητούµενη ισότητα. Αριστοτελειο Πανεπιστηµιο Θεσσαλονικης Τµηµα Μαθηµατικων Εισαγωγή στην Αλγεβρα Τελική Εξέταση 15 Φεβρουαρίου 2017 1. (Οµάδα Α) Εστω η ακολουθία Fibonacci F 1 = 1, F 2 = 1 και F n = F n 1 + F n 2, για n

Διαβάστε περισσότερα

Τα παρακάτω σύνολα θα τα θεωρήσουμε γενικά γνωστά, αν και θα δούμε πολλές από τις ιδιότητές τους: N Z Q R C

Τα παρακάτω σύνολα θα τα θεωρήσουμε γενικά γνωστά, αν και θα δούμε πολλές από τις ιδιότητές τους: N Z Q R C Κεφάλαιο 1 Εισαγωγικές έννοιες Στο κεφάλαιο αυτό θα αναφερθούμε σε ορισμένες έννοιες, οι οποίες ίσως δεν έχουν άμεση σχέση με τους διανυσματικούς χώρους, όμως θα χρησιμοποιηθούν αρκετά κατά τη μελέτη τόσο

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2. Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές

Κεφάλαιο 2. Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές Κεφάλαιο Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές Γνωρίζουµε ότι στο Ÿ κάθε στοιχείο εκτός από το 0 και τα ± γράφεται ως γινόµενο πρώτων αριθµών κατά τρόπο ουσιαστικά µοναδικό Από τη Βασική Άλγεβρα ξέρουµε

Διαβάστε περισσότερα

Προκαταρκτικές Εννοιες: Σύνολα και Αριθµοί

Προκαταρκτικές Εννοιες: Σύνολα και Αριθµοί Κεφάλαιο 0 Προκαταρκτικές Εννοιες: Σύνολα και Αριθµοί Στο παρόν εισαγωγικό Κεφάλαιο, υπενθυµίζουµε, κατά κύριο λόγο χωρίς αποδείξεις, ϐασικές γνώσεις από : τη στοιχειώδη ϑεωρία συνόλων και απεικονίσεων,

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Παράδειγµα. Από τα συµπεράσµατα στις υποθέσεις Αποδείξεις - Θεωρία συνόλων. Από τις υποθέσεις στα συµπεράσµατα...

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Παράδειγµα. Από τα συµπεράσµατα στις υποθέσεις Αποδείξεις - Θεωρία συνόλων. Από τις υποθέσεις στα συµπεράσµατα... HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Παρασκευή, 11/03/2016 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 3/15/2016

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών

5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών Κεφάλαιο 5 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών Οταν ένα µεταβλητό µέγεθος εξαρτάται αποκλειστικά από τις µεταβολές ενός άλλου µεγέθους, τότε η σχέση που συνδέει

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος;

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος; ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; AB A (αρχή) B (πέρας) Στη Γεωµετρία το διάνυσµα ορίζεται ως ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα, δηλαδή ως ένα ευθύγραµµο τµήµα του οποίου τα άκρα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 2:Στοιχεία Μαθηματικής Λογικής Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 5

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 5 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 5 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Παρασκευή 16 & Τετάρτη 21 Νοεµβρίου

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. { 1,2,3,..., n,...

KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. { 1,2,3,..., n,... KΕΦΑΛΑΙΟ ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Βασικές έννοιες διαιρετότητας Θα συµβολίζουµε µε, τα σύνολα των φυσικών αριθµών και των ακεραίων αντιστοίχως: {,,3,,, } { 0,,,,, } = = ± ± ± Ορισµός Ένας φυσικός αριθµός

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 2

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt014/nt014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14

Διαβάστε περισσότερα

A. ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ

A. ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ Μάθηµα 1 Κεφάλαιο: Εισαγωγικό Θεµατικές Ενότητες: A. Το Λεξιλόγιο της Λογικής B. Σύνολα A. ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ Ορισµός Πρόταση λέµε κάθε φράση που µε βάση το νοηµατικό της περιεχόµενο µπορούµε να

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 1

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι Τµηµα Β Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2016/asi2016.html Πέµπτη 25 Φεβρουαβρίου

Διαβάστε περισσότερα

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac Σημειώσεις μαθήματος Μ1212 Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Χρήστος Κουρουνιώτης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2014 Κεφάλαιο 1 Διανυσματικοί Χώροι Στο εισαγωγικό μάθημα Γραμμικής Άλγεβρας ξεκινήσαμε μελετώντας

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ. 2.1 Συνάρτηση

Κεφάλαιο 2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ. 2.1 Συνάρτηση Κεφάλαιο 2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ 2.1 Συνάρτηση Η έννοια της συνάρτησης είναι ϐασική σ όλους τους κλάδους των µαθη- µατικών, αλλά και πολλών άλλων επιστηµών. Ο λόγος είναι, ότι µορφοποιεί τη σχέση

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 324 416 ασκήσεις για λύση. 20 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 324 416 ασκήσεις για λύση. 20 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 34 416 ασκήσεις για λύση ερωτήσεις κατανόησης λυμένα παραδείγματα 0 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων Π Ε Ρ Ι Ε Χ Ο Μ Ε Ν Α Εισαγωγική ενότητα Το λεξιλόγιο

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 ) Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3.1 Η έννοια της παραγώγου Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες x και y. Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύο αυτές ποσοτήτες είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι Είδαµε στο κύριο θεώρηµα του προηγούµενου κεφαλαίου ότι κάθε δακτύλιος διαίρεσης έχει την ιδιότητα κάθε πρότυπο είναι ευθύ άθροισµα απλών προτύπων. Εδώ θα χαρακτηρίσουµε όλους

Διαβάστε περισσότερα

1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών

1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών ΜΑΣ 02. Απειροστικός Λογισµός Ι Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών Ορισµός.. Ονοµάζουµε ακολουθία πραγµατικών αριθµών κάθε απεικόνιση του συνόλου N των ϕυσικών αριθµών, στο σύνολο R των πραγµατικών

Διαβάστε περισσότερα

Συνεκτικά σύνολα. R είναι συνεκτικά σύνολα.

Συνεκτικά σύνολα. R είναι συνεκτικά σύνολα. 4 Συνεκτικά σύνολα Έστω, Ι διάστηµα και f : Ι συνεχής, τότε η f έχει την ιδιότητα της ενδιαµέσου τιµής, δηλαδή, η f παίρνει κάθε τιµή µεταξύ δύο οποιονδήποτε διαφορετικών τιµών της, συνεπώς το f ( Ι )

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Συνεκτικότητα Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε

Διαβάστε περισσότερα

x 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x.

x 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x. Κεφάλαιο 4 Μήκη και ορθές γωνίες Μήκος διανύσµατος Στο επίπεδο, R 2, ϐρίσκουµε το µήκος ενός διανύσµατος x = (x 1, x 2 ) χρησιµοποιώντας το Πυθαγόρειο ϑεώρηµα : x 2 = x 2 1 + x 2 2. Στο χώρο R 3, εφαρµόζουµε

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 8: Σχέσεις - Πράξεις Δομές Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,

Διαβάστε περισσότερα

σύνθεση και απλοποίησή τους θεωρήµατα της άλγεβρας Boole, αξιώµατα του Huntington, κλπ.

σύνθεση και απλοποίησή τους θεωρήµατα της άλγεβρας Boole, αξιώµατα του Huntington, κλπ. Εισαγωγή Εργαστήριο 2 ΛΟΓΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ Σκοπός του εργαστηρίου είναι να κατανοήσουµε τον τρόπο µε τον οποίο εκφράζεται η ψηφιακή λογική υλοποιώντας ασκήσεις απλά και σύνθετα λογικά κυκλώµατα (χρήση του

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα

5.1 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Κεφάλαιο 5 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα 5 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Αν ο A είναι ένας n n πίνακας και το x είναι ένα διάνυσµα στον R n, τότε το Ax είναι και αυτό ένα διάνυσµα στον R n Συνήθως δεν υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Θεωρία Συνόλων. Προηγούµενη φορά. «ανήκει» 10 Θεωρία συνόλων

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Θεωρία Συνόλων. Προηγούµενη φορά. «ανήκει» 10 Θεωρία συνόλων HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Πέµπτη, 09/03/2017 Θεωρία Συνόλων Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Παράδειγµα άµεσης απόδειξης. Μέθοδοι αποδείξεως για προτάσεις της µορφής εάν-τότε. 08 - Αποδείξεις

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Παράδειγµα άµεσης απόδειξης. Μέθοδοι αποδείξεως για προτάσεις της µορφής εάν-τότε. 08 - Αποδείξεις HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Παρασκευή, 06/03/2015 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 3/8/2015

Διαβάστε περισσότερα

p p 0 1 1 0 p q p q p q 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 p q

p p 0 1 1 0 p q p q p q 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 p q Σημειώσεις του Μαθήματος Μ2422 Λογική Κώστας Σκανδάλης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2010 Εισαγωγή Η Λογική ασχολείται με τους νόμους ορθού συλλογισμού και μελετά τους κανόνες βάσει των οποίων

Διαβάστε περισσότερα

Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών. ε > υπάρχει ( ) ( )

Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών. ε > υπάρχει ( ) ( ) Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών 7 Η Ευκλείδεια απόσταση που ορίσαµε στον R επιτρέπει ( εκτός από τον ορισµό των ορίων συναρτήσεων και ακολουθιών και τον ορισµό της συνέχειας συναρτήσεων της µορφής

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Θεωρία Συνόλων. Το δυναµοσύνολο ενός συνόλου. Προηγούµενη φορά. 10 Θεωρία συνόλων. ιακριτά Μαθηµατικά, Εαρινό εξάµηνο 2016

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Θεωρία Συνόλων. Το δυναµοσύνολο ενός συνόλου. Προηγούµενη φορά. 10 Θεωρία συνόλων. ιακριτά Μαθηµατικά, Εαρινό εξάµηνο 2016 HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Τρίτη, 15/03/2016 Θεωρία Συνόλων Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen

Διαβάστε περισσότερα

Πώς είναι δυνατόν να είναι ισοδύναµες οι εξισώσεις που αναφέρονται στο ερώτηµα ii, αφού δεν έχουν το ίδιο πεδίο ορισµού 2 ;

Πώς είναι δυνατόν να είναι ισοδύναµες οι εξισώσεις που αναφέρονται στο ερώτηµα ii, αφού δεν έχουν το ίδιο πεδίο ορισµού 2 ; 1 Ισοδύναµες εξισώσεις και η έννοια του «κοντά» ρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος πρώην Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03 e-mail@p-thedrpuls.gr Εισαγωγή Στην εργασία αυτή αναλύονται και αναπτύσσονται οι έννοιες που

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Κεφάλαιο 1. Μαθηματικό Υπόβαθρο 23, 26 Ιανουαρίου 2007 Δρ. Παπαδοπούλου Βίκη 1 1.1. Σύνολα Ορισμός : Σύνολο μια συλλογή από αντικείμενα Στοιχεία: Μέλη συνόλου Τα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

Απλές επεκτάσεις και Αλγεβρικές Θήκες

Απλές επεκτάσεις και Αλγεβρικές Θήκες Κεφάλαιο 7 Απλές επεκτάσεις και Αλγεβρικές Θήκες Στο κεφάλαιο αυτό εξετάζουµε τις απλές επεκτάσεις σωµάτων και τις συγκρίνουµε µε τις επεκτάσεις Galois. Επίσης εξετάζουµε τις αλγεβρικά κλειστές επεκτάσεις

Διαβάστε περισσότερα

Οι πραγµατικοί αριθµοί

Οι πραγµατικοί αριθµοί Οι πραγµατικοί αριθµοί Προλεγόµενα Η ανάγκη απαρίθµησης αντικειµένων, οδήγησε στην εισαγωγή του συνόλου των φυσικών αριθµών Η ανάγκη µέτρησης µεγεθών, οδήγησε στην εισαγωγή του συνόλου των ρητών αριθµών

Διαβάστε περισσότερα

f(t) = (1 t)a + tb. f(n) =

f(t) = (1 t)a + tb. f(n) = Παράρτημα Αʹ Αριθμήσιμα και υπεραριθμήσιμα σύνολα Αʹ1 Ισοπληθικά σύνολα Ορισμός Αʹ11 (ισοπληθικότητα) Εστω A, B δύο μη κενά σύνολα Τα A, B λέγονται ισοπληθικά αν υπάρχει μια συνάρτηση f : A B, η οποία

Διαβάστε περισσότερα

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Email : stvrentzou@gmail.com

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Email : stvrentzou@gmail.com Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Email : stvrentzou@gmail.com 1 1.Σύνολα Σύνολο είναι μια ολότητα από σαφώς καθορισμένα και διακεκριμένα αντικείμενα. Τα φωνήεντα

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Πέµπτη, 18/02/2016 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 2/18/2016

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. a β a β.

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. a β a β. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ε.1 ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ Στη παράγραφο αυτή θα γνωρίσουμε μερικές βασικές έννοιες της Λογικής, τις οποίες θα χρησιμοποιήσουμε στη συνέχεια, όπου αυτό κρίνεται αναγκαίο, για τη σαφέστερη

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Συγγραφική Οµάδα : ΗΜΗΤΡΙΟΣ ΒΑΡΣΟΣ ΗΜΗΤΡΙΟΣ ΕΡΙΖΙΩΤΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ ΕΜΜΑΝΟΥΗΛ ΜΙΧΑΗΛ ΜΑΛΙΑΚΑΣ ΑΝΤΩΝΙΟΣ ΜΕΛΑΣ ΟΛΥΜΠΙΑ ΤΑΛΕΛΛΗ 2 Πρόλογος Το ϐιβλίο αυτό στοχεύει στη διδασκαλία ενός

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laihtml

Διαβάστε περισσότερα

Ι. ΠΡΑΞΕΙΣ. Ορισµός 2 A. ΕΣΩΤΕΡΙΚΗ ΠΡΑΞΗ. Έστω E ένα µη κενό σύνολο. Κάθε απεικόνιση f: E x E E λέγεται εσωτερική πράξη επί του E.

Ι. ΠΡΑΞΕΙΣ. Ορισµός 2 A. ΕΣΩΤΕΡΙΚΗ ΠΡΑΞΗ. Έστω E ένα µη κενό σύνολο. Κάθε απεικόνιση f: E x E E λέγεται εσωτερική πράξη επί του E. Ι. ΠΡΑΞΕΙΣ A. ΕΣΩΤΕΡΙΚΗ ΠΡΑΞΗ Ορισµός Έστω E ένα µη κενό σύνολο. Κάθε απεικόνιση f: E x E E λέγεται εσωτερική πράξη επί του E. Παραδείγµατα:. Η ισότητα x y = x y είναι µια πράξη επί του *. 2. Η ισότητα

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ-

4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ- Κεφάλαιο 4 ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ 4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ- µατα Ορισµός 4.1.1. Αρχική ή παράγουσα συνάρτηση ή αντιπαράγωγος µιας συνάρτησης f(x), x [, b], λέγεται κάθε συνάρτηση F (x) που επαληθεύει

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 3

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 3 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 3 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2014/nt2014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14

Διαβάστε περισσότερα

Κατηγορηματικός Λογισμός (ΗR Κεφάλαιο 2.1-2.5)

Κατηγορηματικός Λογισμός (ΗR Κεφάλαιο 2.1-2.5) Κατηγορηματικός Λογισμός (ΗR Κεφάλαιο 2.1-2.5) Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Εισαγωγή στον Κατηγορηματικό Λογισμό Σύνταξη Κανόνες Συμπερασμού Σημασιολογία ΕΠΛ 412 Λογική στην

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. x A αντιστοιχίζεται (συσχετίζεται) με ένα μόνο. = ονομάζεται εξίσωση της

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. x A αντιστοιχίζεται (συσχετίζεται) με ένα μόνο. = ονομάζεται εξίσωση της ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΕΝΝΟΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. IΣΟΤΗΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ - ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΣΥΝΘΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ [Ενότητα

Διαβάστε περισσότερα

Παρουσίαση 1 ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

Παρουσίαση 1 ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Παρουσίαση ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Παρουσίαση η Κάθετες συνιστώσες διανύσµατος Παράδειγµα Θα αναλύσουµε το διάνυσµα v (, ) σε δύο κάθετες µεταξύ τους συνιστώσες από τις οποίες η µία να είναι παράλληλη στο α (3,) Πραγµατικά

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. Η συνεπαγωγή. Η Ισοδυναμία ή διπλή συνεπαγωγή. Ο σύνδεσμος «ή» Ο σύνδεσμος «και»

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. Η συνεπαγωγή. Η Ισοδυναμία ή διπλή συνεπαγωγή. Ο σύνδεσμος «ή» Ο σύνδεσμος «και» Η συνεπαγωγή ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Αν P και Q είναι δύο ισχυρισμοί, τέτοιοι ώστε, όταν αληθεύει ο P να αληθεύει και ο Q, τότε λέμε ότι: «ο P συνεπάγεται τον Q» και γράφουμε P Q. Παράδειγμα: x=3 x 2 =9. Ο

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 1 : Εισαγωγή στη Γραµµική Αλγεβρα. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής

Γραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 1 : Εισαγωγή στη Γραµµική Αλγεβρα. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Γραµµική Αλγεβρα Ενότητα 1 : Εισαγωγή στη Γραµµική Αλγεβρα Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Πρόλογος 3

Περιεχόμενα. Πρόλογος 3 Πρόλογος Η Γραμμική Άλγεβρα είναι ένα σημαντικό συστατικό στο πρόγραμμα σπουδών, όχι μόνο των Μαθηματικών, αλλά και άλλων τμημάτων, όπως είναι το τμήμα Φυσικής, Χημείας, των τμημάτων του Πολυτεχνείου,

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις συναρτήσεις

Σηµειώσεις στις συναρτήσεις Σηµειώσεις στις συναρτήσεις 4 Η έννοια της συνάρτησης Ο όρος «συνάρτηση» χρησιµοποιείται αρκετά συχνά για να δηλώσει ότι ένα µέγεθος, µια κατάσταση κτλ εξαρτάται από κάτι άλλο Και στα µαθηµατικά ο όρος

Διαβάστε περισσότερα

ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών. ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών

ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών. ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών 54 ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών Ένας στέρεος ορισµός της παραγώγισης για συναρτήσεις πολλών µεταβλητών ανάλογος µε τον ορισµό για συναρτήσεις µιας µεταβλητής

Διαβάστε περισσότερα

Συνεκτικά σύνολα. R είναι συνεκτικά σύνολα.

Συνεκτικά σύνολα. R είναι συνεκτικά σύνολα. 4 Συνεκτικά σύνολα Έστω, Ι R διάστηµα και f : Ι R συνεχής, τότε η f έχει την ιδιότητα της ενδιαµέσου τιµής, δηλαδή, η f παίρνει κάθε τιµή µεταξύ δύο οποιονδήποτε διαφορετικών τιµών της, συνεπώς το f (

Διαβάστε περισσότερα

1 Οι πραγµατικοί αριθµοί

1 Οι πραγµατικοί αριθµοί 1 Οι πραγµατικοί αριθµοί 1.1 Σύνολα αριθµών Το σύνολο των ϕυσικών αριθµών N = {1, 2, 3,...} Το σύνολο των ακεραίων Z = {... 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,...}. Οι ακέραιοι διαµερίζονται σε άρτιους και περιττούς

Διαβάστε περισσότερα

ΗΥ118: Διακριτά Μαθηματικά Εαρινό εξάμηνο 2016 Λύσεις ασκήσεων προόδου

ΗΥ118: Διακριτά Μαθηματικά Εαρινό εξάμηνο 2016 Λύσεις ασκήσεων προόδου ΗΥ118: Διακριτά Μαθηματικά Εαρινό εξάμηνο 016 Λύσεις ασκήσεων προόδου Θέμα 1: [16 μονάδες] [8] Έστω ότι μας δίνουν τα παρακάτω δεδομένα: Εάν αυτό το πρόγραμμα ΗΥ είναι αποδοτικό, τότε εκτελείται γρήγορα.

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές Ι Ενότητα: Τάξη στοιχείων και Οµάδων - Κυκλικές (Υπο-)Οµάδες Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 222 3.1. ύναµη

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας. Διάλεξη 1: Μαθηματικό Υπόβαθρο

ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας. Διάλεξη 1: Μαθηματικό Υπόβαθρο ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας Διάλεξη 1: Μαθηματικό Υπόβαθρο Τι θα κάνουμε σήμερα Εισαγωγικά (0.1) Σύνολα (0.2.1, 0.2.2) Συναρτήσεις & Σχέσεις (;;) (0.2.3) 1 Περιοχές που θα μελετήσουμε

Διαβάστε περισσότερα

Παράρτηµα Β. Στοιχεία Θεωρίας Τελεστών και Συναρτησιακής Ανάλυσης [ ) ( )

Παράρτηµα Β. Στοιχεία Θεωρίας Τελεστών και Συναρτησιακής Ανάλυσης [ ) ( ) Παράρτηµα Β Στοιχεία Θεωρίας Τελεστών και Συναρτησιακής Ανάλυσης Β1 Χώροι Baach Βάσεις Schauder Στο εξής συµβολίζουµε µε Z,, γραµµικούς (διανυσµατικούς) χώρους πάνω απ το ίδιο σώµα K = ή και γράφουµε απλά

Διαβάστε περισσότερα

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange 64 Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrage Ας υποθέσουµε ότι ένας δεδοµένος χώρος θερµαίνεται και η θερµοκρασία στο σηµείο,, Τ, y, z Ας υποθέσουµε ότι ( y z ) αυτού του χώρου δίδεται από

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4. Ευθέα γινόµενα οµάδων. 4.1 Ευθύ εξωτερικό γινόµενο οµάδων. i 1 G 1 G 1 G 2, g 1 (g 1, e 2 ), (4.1.1)

Κεφάλαιο 4. Ευθέα γινόµενα οµάδων. 4.1 Ευθύ εξωτερικό γινόµενο οµάδων. i 1 G 1 G 1 G 2, g 1 (g 1, e 2 ), (4.1.1) Κεφάλαιο 4 Ευθέα γινόµενα οµάδων Στο Παράδειγµα 1.1.2.11 ορίσαµε το ευθύ εξωτερικό γινόµενο G 1 G 2 G n των οµάδων G i, 1 i n. Στο κεφάλαιο αυτό ϑα ασχοληθούµε λεπτοµερέστερα µε τα ευθέα γινόµενα οµάδων

Διαβάστε περισσότερα

Τι είναι σύνολο; Ο ορισμός αυτός είναι σύμφωνος με τη διαισθητική μας κατανόηση για το τι είναι σύνολο

Τι είναι σύνολο; Ο ορισμός αυτός είναι σύμφωνος με τη διαισθητική μας κατανόηση για το τι είναι σύνολο ΣΥΝΟΛΑ Τι είναι σύνολο; Ένας ορισμός «Μια συλλογή αντικειμένων διακεκριμένων και πλήρως καθορισμένων που λαμβάνονται από τον κόσμο είτε της εμπειρίας μας είτε της σκέψης μας» (Cantor, 19 ος αιώνας) Ο ορισμός

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 8. Η οµάδα S n. 8.1 Βασικές ιδιότητες της S n

Κεφάλαιο 8. Η οµάδα S n. 8.1 Βασικές ιδιότητες της S n Κεφάλαιο 8 Η οµάδα S n Στο κεφάλαιο αυτό ϑα µελετήσουµε την οµάδα µεταθέσεων ή συµµετρική οµάδα S n εφαρµόζοντας τη ϑεωρία που αναπτύχθηκε στα προηγούµενα κε- ϕάλαια. Η σηµαντικότητα της S n εµφανίστηκε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ

ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ ΕΝΝΟΙ ΤΟΥ ΙΝΥΣΜΤΟΣ Όπως είναι γνωστό από τη φυσική, τα διάφορα µεγέθη διακρίνονται σε βαθµωτά και διανυσµατικά. αθµωτά είναι τα µεγέθη τα οποία χαρακτηρίζονται µόνο από το µέτρο τους. Τέτοια µεγέθη είναι

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Συναρτήσεις. Συνάρτηση. Συνάρτηση: Τυπικός ορισµός Συναρτήσεις

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Συναρτήσεις. Συνάρτηση. Συνάρτηση: Τυπικός ορισµός Συναρτήσεις HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Παρασκευή, 08/04/2016 Συναρτήσεις Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στη Θεωρία Αριθµών για το Λύκειο. Ασκήσεις

Εισαγωγή στη Θεωρία Αριθµών για το Λύκειο. Ασκήσεις Εισαγωγή στη Θεωρία Αριθµών για το Λύκειο Σηµειώσεις Προετοιµασίας για Μαθηµατικούς ιαγωνισµούς Ασκήσεις Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης ags@math.uoc.gr Νοέµβριος 2012 1 Ασκησεις στη Θεωρια Αριθµων 1 Μαθηµατική

Διαβάστε περισσότερα

3 Αναδροµή και Επαγωγή

3 Αναδροµή και Επαγωγή 3 Αναδροµή και Επαγωγή Η ιδέα της µαθηµατικής επαγωγής µπορεί να επεκταθεί και σε άλλες δοµές εκτός από το σύνολο των ϕυσικών N. Η ορθότητα της µαθηµατικής επαγωγής ϐασίζεται όπως ϑα δούµε λίγο αργότερα

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Παρασκευή, 08/04/2016 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 4/10/2016

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις σειρές

Σηµειώσεις στις σειρές . ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σηµειώσεις στις σειρές Στην Ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τις βασικές-απαραίτητες έννοιες για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους. Έτσι, δίνονται συστηµατικά

Διαβάστε περισσότερα

Ορια Συναρτησεων - Ορισµοι

Ορια Συναρτησεων - Ορισµοι Ορια Συναρτησεων - Ορισµοι Λυγάτσικας Ζήνων Βαρβάκειο Ενιαίο Πειραµατικό Λύκειο 3 Σεπτεµβρίου 205 Εισαγωγή Στην παράγραφο αυτή ϑα δούµε πως προκύπτει η ιδέα του ορίου στην προσπά- ϑεια να ορίσουµε την

Διαβάστε περισσότερα

11 Το ολοκλήρωµα Riemann

11 Το ολοκλήρωµα Riemann Το ολοκλήρωµα Riem Το πρόβληµα υπολογισµού του εµβαδού οποιασδήποτε επιφάνειας ( όπως κυκλικοί τοµείς, δακτύλιοι και δίσκοι, ελλειπτικοί δίσκοι, παραβολικά και υπερβολικά χωρία κτλ) είναι γνωστό από την

Διαβάστε περισσότερα

Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύ

Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύ Θεωρία Υπολογισμού Ενότητα 2: Σύνολα και σχέσεις Τμήμα Πληροφορικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6. Πεπερασµένα παραγόµενες αβελιανές οµάδες. Z 4 = 1 και Z 2 Z 2.

Κεφάλαιο 6. Πεπερασµένα παραγόµενες αβελιανές οµάδες. Z 4 = 1 και Z 2 Z 2. Κεφάλαιο 6 Πεπερασµένα παραγόµενες αβελιανές οµάδες Στο κεφάλαιο αυτό ϑα ταξινοµήσουµε τις πεπερασµένα παραγόµενες αβελιανές οµάδες. Αυτές οι οµάδες είναι από τις λίγες περιπτώσεις οµάδων µε µία συγκεκριµένη

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγη : Πραξεις επι Συνολων και Σωµατα Αριθµων

Εισαγωγη : Πραξεις επι Συνολων και Σωµατα Αριθµων Περιεχόµενα 1 Εισαγωγη : Πραξεις επι Συνολων και Σωµατα Αριθµων 3 11 Ο Χώρος των Ελευθέρων ιανυσµάτων 3 12 Εσωτερικές και Εξωτερικές Πράξεις 8 13 Η έννοια του σώµατος 9 2 ιανυσµατικοι Χωροι 13 21 ιανυσµατικοί

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές έννοιες από τη Θεωρία Συνόλων και τον Προτασιακό Λογισμό

Βασικές έννοιες από τη Θεωρία Συνόλων και τον Προτασιακό Λογισμό Κεφάλαιο 1 Βασικές έννοιες από τη Θεωρία Συνόλων και τον Προτασιακό Λογισμό Κύριες βιβλιογραφικές αναφορές για αυτό το Κεφάλαιο είναι οι Kamke 1950, Halmos 1960 και C. L. Liu and C. Liu 1985. 1.1 Εισαγωγή

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων Μελετάµε εδώ τη συνθήκη της αύξουσας αλυσίδας υποπροτύπων και τη συνθήκη της φθίνουσας αλυσίδας υποπροτύπων. Αυτές συνδέονται µεταξύ τους µε την έννοια της συνθετικής σειράς

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) Ενδεικτικές Λύσεις ΕΡΓΑΣΙΑ η (Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Οκτωβρίου 005) Η Άσκηση στην εργασία αυτή είναι

Διαβάστε περισσότερα

1.7 ΙΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ

1.7 ΙΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 1 1.7 ΙΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ ΘΕΩΡΙΑ 1. Ταυτότητα Ευκλείδειας διαίρεσης : Για δύο οποιαδήποτε πολυώνυµα (x) και δ(x) µε δ(x) µπορούµε να βρούµε δύο άλλα πολυώνυµα π(x) και υ(x) τέτοια ώστε να ισχύει (x) = δ(x)π(x)

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. ΤΙ ΕΙΝΑΙ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ; Η επιστήμη των αριθμών Βασανιστήριο για τους μαθητές και φοιτητές Τέχνη για τους μαθηματικούς ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α Εξάμηνο ΙΩΑΝΝΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Ανοικτά και κλειστά σύνολα

Ανοικτά και κλειστά σύνολα 5 Ανοικτά και κλειστά σύνολα Στην παράγραφο αυτή αναπτύσσεται ο µηχανισµός που θα µας επιτρέψει να µελετήσουµε τις αναλυτικές ιδιότητες των συναρτήσεων πολλών µεταβλητών. Θα χρειαστούµε τις έννοιες της

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Ανάλυση Ι

Μαθηματική Ανάλυση Ι Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Μαθηματική Ανάλυση Ι Ενότητα 1: Σύνολα, Πραγματικοί αριθμοί Επίκ. Καθηγητής Θ. Ζυγκιρίδης e-mail: tzygiridis@uowm.gr Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών

Διαβάστε περισσότερα

Σύνολα, Σχέσεις, Συναρτήσεις

Σύνολα, Σχέσεις, Συναρτήσεις Κεφάλαιο 2 Σύνολα, Σχέσεις, Συναρτήσεις Τα σύνολα, οι σχέσεις και οι συναρτήσεις χρησιμοποιούνται ευρύτατα σε κάθε είδους μαθηματικές αναπαραστάσεις και μοντελοποιήσεις. Στη θεωρία υπολογισμού χρησιμεύουν,

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού Άρτιοι ΑΜ. Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος. eclass.di.uoa.gr. Περιγραφή μαθήματος

Θεωρία Υπολογισμού Άρτιοι ΑΜ. Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος. eclass.di.uoa.gr. Περιγραφή μαθήματος Περιγραφή μαθήματος Θεωρία Υπολογισμού Άρτιοι ΑΜ Σκοπός του μαθήματος είναι η εισαγωγή στη Θεωρία Υπολογισμού και στη Θεωρία Υπολογιστικής Πολυπλοκότητας (Θεωρία Αλγορίθμων). Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

Υποθετικές προτάσεις και λογική αλήθεια

Υποθετικές προτάσεις και λογική αλήθεια Υποθετικές προτάσεις και λογική αλήθεια Δρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύμβουλος κλάδου ΠΕ03 www.p-theodoropoulos.gr Περίληψη Στην εργασία αυτή επιχειρείται μια ερμηνεία της λογικής αλήθειας

Διαβάστε περισσότερα

"ΕΙΣΑΓΩΓΗ στις ΒΑΣΕΙΣ και στις ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ των ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Ι"

ΕΙΣΑΓΩΓΗ στις ΒΑΣΕΙΣ και στις ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ των ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Ι ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΑΙ ΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 2013-2014 Εαρινό Εξάµηνο Ρόδος, Μάιος 2014 ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ, Ι ΑΚΤΙΚΗΣ και ΠΟΛΥΜΕΣΩΝ Μάθηµα: ΥΓ00003 "ΕΙΣΑΓΩΓΗ στις ΒΑΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Παρασκευή, 10/02/2017 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen Τι

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: Γραµµικές απεικονίσεις. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών

Γραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: Γραµµικές απεικονίσεις. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Γραµµικές απεικονίσεις Ευάγγελος Ράπτης Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3β. Ελεύθερα Πρότυπα (µέρος β)

Κεφάλαιο 3β. Ελεύθερα Πρότυπα (µέρος β) Κεφάλαιο 3β Ελεύθερα Πρότυπα (µέρος β) Ο σκοπός µας εδώ είναι να αποδείξουµε το εξής σηµαντικό αποτέλεσµα. 3.3.6 Θεώρηµα Έστω R µια περιοχή κυρίων ιδεωδών, F ένα ελεύθερο R-πρότυπο τάξης s < και N F. Τότε

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Τρίτη, 21/02/2017 Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε Αντώνης διαφάνειες Α. Αργυρός του Kees van e-mail: argyros@csd.uoc.gr Deemter, από το University of Aberdeen 2/21/2017

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Πέµπτη, 18/02/2016 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Προτασιακός Λογισµός (συνέχεια...) Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από

Διαβάστε περισσότερα

Ευκλείδειοι Χώροι. Ορίζουµε ως R n, όπου n N, το σύνολο όλων διατεταµένων n -άδων πραγµατικών αριθµών ( x

Ευκλείδειοι Χώροι. Ορίζουµε ως R n, όπου n N, το σύνολο όλων διατεταµένων n -άδων πραγµατικών αριθµών ( x Ευκλείδειοι Χώροι Ορίζουµε ως R, όπου N, το σύνολο όλων διατεταµένων -άδων πραγµατικών αριθµών x, x,, x ) Tο R λέγεται ευκλείδειος -χώρος και τα στοιχεία του λέγονται διανύσµατα ή σηµεία Το x i λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

β) 3 n < n!, n > 6 i i! = (n + 1)! 1, n 1 i=1

β) 3 n < n!, n > 6 i i! = (n + 1)! 1, n 1 i=1 Κεφάλαιο 2: Στοιχεία Λογικής - Μέθοδοι Απόδειξης 1. Να αποδειχθεί ότι οι λογικοί τύποι: (p ( (( p) q))) (p q) και p είναι λογικά ισοδύναμοι. Θέλουμε να αποδείξουμε ότι: (p ( (( p) q))) (p q) p, ή με άλλα

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 3: Σύνολα Συνδυαστική Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως

Διαβάστε περισσότερα

5.1 ΣΥΝΟΛΑ. 2. Παράσταση συνόλου. 3. Εποπτική παράσταση συνόλου : Γίνεται µε το διάγραµµα Venn, δηλαδή µε

5.1 ΣΥΝΟΛΑ. 2. Παράσταση συνόλου. 3. Εποπτική παράσταση συνόλου : Γίνεται µε το διάγραµµα Venn, δηλαδή µε 1 5.1 ΣΥΝΟΛΑ ΘΕΩΡΙΑ 1. Ορισµός του συνόλου Σύνολο λέγεται κάθε συλλογή πραγµατικών ή φανταστικών αντικειµένων, που είναι καλά ορισµένα και διακρίνονται το ένα από το άλλο. Τα παραπάνω αντικείµενα λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο.

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1 Τελεστές και πίνακες 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. Ανάλογα, τελεστής είναι η απεικόνιση ενός διανύσματος σε ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 9

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 9 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 9 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2016/nt2016.html Πέµπτη 12 Ιανουαρίου 2017 Ασκηση 1. Εστω

Διαβάστε περισσότερα