Υπολογίστε την απαιτούμενη επιφάνεια για αντιρροή. Υπολογίστε το ελάχιστο ποσό νερού που μπορεί να χρησιμοποιηθεί

Transcript

1 . Παράδειγμα 4δ Ελαφρύ λιπαντικό έλαιο ( p =9 J/kg o K) ψύχεται με νερό ( p =47 J/kg o K) σε εναλλάκτη τύπου διπλού σωλήνα. Το έλαιο έχει θερμοκρασία εισόδου 395 ο Κ και ρέει με παροχή 5. kg/s. Νερό είναι διαθέσιμο σε θερμοκρασία 8 ο Κ και με μέγιστη παροχή. kg/s. Eχουμε U =36 Watt m -o K -. (α) (β) (γ) Υπολογίστε την απαιτούμενη επιφάνεια για αντιρροή. Υπολογίστε το ελάχιστο ποσό νερού που μπορεί να χρησιμοποιηθεί Ποιό είναι το ελάχιστο ποσό νερού που θα ήταν απαραίτητο γι αυτή τη ψύξη, αν ο εναλλάκτης λειτουργούσε κατ ομορροή; (δ) Αν η επιφάνεια του εναλλάκτη είναι 5 m και λειτουργεί κατ αντιρροή με παροχή νερού. kg/s, ποιά θα είναι η θερμοκρασία εξόδου του ελαίου (θερμοκρασία εισόδου=395 ο Κ); 43

2 Λύση (α) Εχουμε: T 395 o K T 35 o K T ; T 8 o K m 5. kg /s, m. kg / s o p 9 J / kg K, p 47J / kg K o U o 36 W / m K, ; A Υπολογισμός του Τ ψ Από ισοζύγιο ενέργειας έχουμε (αμελώντας απώλειες στο περιβάλλον) m ( ) m ( ) () Q p p m p ( ) m p (395 35) 39. o K (). 47 Επίσης, Q m p( ) 5. 9 (395 35) 945 W 94.5 kw (3) 44

3 Υπολογισμός του Α (εξωτερική επιφάνεια του εσωτερικού σωλήνα Εχουμε Q U (4) A( ) m με (5) (T ) ( ) ( ) m (5) (T ) n ( ) (35 8) ( ) ).33 o K (6) (35 8) n ( ) ( m (4) A U Q ( ) m m (7) (β) Από την () έχουμε p( ) m m (8) ( ) p Για pθ, pψ, Τ θ, Τ θ και Τ ψ =σταθ., το m γίνεται ελάχιστο για Τ ψ =Τ ψ,max. Αλλά, T ψ,max =T θ =395 o Κ (πράγμα που συμβαίνει αν Α ). Ετσι, ( ) p ( ) 9(395 35) m m,min Κg/s (9) ( ) 47(395 8) p (γ) Αν ο εναλλάκτης λειτουργούσε κατ ομορροή θα είχαμε την ακόλουθη εικόνα: T 395 o K T 35 o K T 8 o K 45

4 m 5. kg /s Υπ αυτές τις συνθήκες: m ( ) m ( ) () Q p p p( ) m m () ( ) p και m, min για,max T m () (o) p ( ) 9(395 35) m m,min Κg/s (3) ( ) 47(35 8) p (δ) Στην περίπτωση αυτή πρέπει να προσδιορίσουμε τις θερμοκρασίες εξόδου, Τ θ και Τ ψ, ταυτόχρονα. Από την () έχουμε: m m p p ( ) m m p p ή m p m p (4) Από τις (), (3) και (4) έχουμε (T ) ( ( n ( ) ) ) m U p A (T ) (5) Χρησιμοποιώντας τις αριθμητικές τιμές των παραμέτρων m 5. kg / s, m. kg /s, pθ =9 J/kg o K, pψ =47 J/kg o K, T ψ =8 ο Κ, Τ θ =395 ο Κ, U =36 W/m o K, και Α =5. m, οι (4) και (5) δίνουν: T , ( o K) (6) 46

5 ( 8) (395 (T 8) n (395 ) ).8398 (395 ), ( o K) (7) Το σύστημα αυτό λύνεται εύκολα με δοκιμή-και-σφάλμα: T θ ( ο Κ) ( 6 Τ ψ ( ο Κ) Αριστ. Σκέλος (7) ) Δεξιό Σκέλος (7) < < < o K, T 37.6 o K (8) Παράδειγμα 4ε Θέλουμε να θερμάνουμε ένα ρεύμα ψυχρού βενζολίου, που έχει μαζική παροχή m kg 4455 (.38 kg /s) από 7 ο C σε 5 ο C. Προς τούτο θα χρησιμοποιήσουμε ένα hr ρεύμα θερμού τολουολίου αρχικής θερμοκρασίας 7 ο C, ψύχοντάς το σε 38 ο C. Οι πυκνότητες του βενζολίου και τολουολίου σε ο C είναι ρ ψ =88 kg/m 3 και ρ θ =87 kg/m 3, αντίστοιχα. Οι άλλες ιδιότητες των ρευστών αυτών μπορούν να βρεθούν σε πίνακες. Θα πρέπει να λάβουμε υπόψη μας ένα συντελεστή ρυπάνσεως. m o K/W για κάθε ρεύμα. Η επιτρεπτή πτώση πίεσης σε κάθε ρεύμα είναι.75 atm (=73.55 kpa). Διαθέτουμε αρκετές «φουρκέτες» μήκους 6.3 m και με ονομαστικές διαμέτρου D = in (πραγματική τιμή.67 in = 5.5 mm), D in (δηλ..66 in=4. mm), ενώ D =.38 4 in = 35.5 mm. Πόσες φουρκέτες χρειαζόμαστε; (Προφανώς, χρειαζόμαστε αντιρροή.) 47

6 Λύση () Ισοζύγιο Ενέργειας Αγνοώντας απώλειες και υποθέτοντας σταθερές ιδιότητες έχουμε Q m p ( ) m p ( ) Τώρα: o, (7 38) 55 C o, (5 7) 38.5 C Από πίνακες: Tώρα, p p o 55 C p p o 38.5 C 84 J / kg o 78 J / kg K o K Q m p ( ).3878 (5 7) W Αρα, m p Q ( kg/s 95 kg/hr ) 84(7 38) () Υπολογισμός (ΔΤ) m ( ) m n 48

7 7 5 o K 38 7 o K ( ) m 5.87 o K n (3) Θερμοκρασίες Μίξεως Kαι τα δύο ρευστά είναι λεπτόρευστα στο ψυχρό άκρο του εναλλάκτη (τα ιξώδη είναι μικρότερα του p = mpa.s). Επιπλέον, οι διαφορές θερμοκρασίας είναι μέτριες. Ετσι, οι συντελεστές μεταφοράς θερμότητας h εσ και h εξ μπορούν να υπολογισθούν από τις ιδιότητες στις αντίστοιχες μέσες θερμοκρασίες, η δε τιμή του όρου (μ b /μ w ).4 θα ληφθεί ως.. Εχουμε Τ θ,μεση =55 ο C T ψ,μεση =38.5 ο C Από τη γεωμετρία του διπλού σωλήνα βλέπουμε ότι η εσωτερική διατομή ροής είναι μεγαλύτερη από εκείνη του δακτυλιοειδούς αγωγού. Για να κρατήσουμε την πτώση πιέσεως μικρή τροφοδοτούμε τη μεγάλη παροχή (βενζόλιο) μέσω το εσωτερικού αγωγού. Θερμό Ρευστό (Τολουόλιο) Δακτυλιοειδής Αγωγός (4) Επιφάνεια για Ροή S (D 4 D ) S Ψυχρό Ρευστό (Βενζόλιο) Εσωτερικός Αγωγός D m 49

8 ( m.4 ) D e (D D ) D (.55.4 ) m (5) Μαζική Ταχύτητα G m S (6) Αριθμός του Reynolds 55 C Re (Re ) b 3 DeG 57 kg/m.4 mpa. s s G m S Re 38.5 o C (Re ) b DG 3 83 kg/m.5 mpa. s s (7) Συντελεστής j H του Colburn Re 5955 Sieder Tate j H 7 Re 8994 Sieder ate j H 35 ή j H.6 Re.8 ή j H.6 Re (8) Αριθμός του Prandtl k p p o 55 C k 55 o C 84 J / kg o K.47 W / m o K k p k p 38.5 C 38.5 o C 78 J / kg o K.57 W / m o K 5

9 (Pr b ) p k (Pr b ) p k (9) Συντελεστής Μεταφοράς Θερμότητας Από την Εξισ. Sieder & Tate: h j 7 k H / 3 (Prb D ) e W/m o (5.3) K b w / 3.4. h j k H / 3 (Prb D ) W/m o (5.65) K b w / 3.4. () Διόρθωση Επιφανείας Η τιμή h ψ =97 W/m o K αντιστοιχεί στην εσωτερική επιφάνεια του εσωτερικού σωλήνα. Αν πάρουμε για βάση την εξωτερική επιφάνεια του εσωτερικού σωλήνα, χρειάζεται η ακόλουθη διόρθωση: h D, h 97 D 584 W/m o K () Ολικός Συντελεστής Μεταφοράς Θερμότητας U εξ Αγνοώντας τη θερμική αντίσταση του τοιχώματος του σωλήνα, U h h, h h h h,, W/m o K () Oλικός Συντελεστής Μεταφοράς Θερμότητας για Σχεδιασμό U εξ,σχ 5

10 U U, R R, R, RU Αρα, R...4 m o K / W Ετσι, U, W/m o K (3) Απαιτούμενη Επιφάνεια Q U, ( ) m A U, Q ( ) m A m (4) Απαιτούμενος Αριθμός Φουρκετών Η εξωτερική επιφάνεια του εσωτερικού σωλήνα ανά φουρκέτα είναι A D όπου = μήκος φουρκέτας m 4.98 Τώρα Αρα, χρειαζόμαστε 3 φουρκέτες. Επειδή 3 5.m A, βλέπουμε ότι ο συντελεστής ρυπάνσεως R ρ θα είναι κάπως μεγαλύτερος από την προδιαγραφή, δηλαδή έχουμε μεγαλύτερη ασφάλεια. 5

11 (5) Πτώση Πιέσεως Αμελώντας τις υψομετρικές διαφορές παίρνουμε: D Δακτυλιοειδής Αγωγός D D m Εσωτερικός Σωλήνας 3 DG.5 Re, Για λείο αγωγό f.4 e D 6 57 Αμελώντας τις ελάσσονες απώλειες: 6 ( p) f v D Aλλά G ( p) v f D 6 G Pa 55.5 kpa ( p) 55.5 kpa.566 atm Re 8994 (από το βήμα 6) Για λείο σωλήνα f.85 e D 6 Αμελώντας τις ελάσσονες απώλειες: 6 ( p) f v D Aλλά G ( p) v f 6 D G Pa 8.7 kpa ( p) 8.7 kpa.9 atm H πτώση πιέσεως και στους δύο αγωγούς είναι αρκετά χαμηλότερη από την επιτρεπτή. Εχουμε περιθώριο για τις ελάσσονες απώλειες (που αγνοήσαμε) καθώς και για μια μικρή αύξηση της τραχύτητας λόγω ρυπάνσεως των επιφανειών. 53

12 Πίνακας 4. Χαρακτηριστικά Χαλύβδινων Σωλήνων, ΙPS (=Iron Pipe Size) Nominal pipe size, IPS, in. /8 OD, in..45 Shedule No. 4 * 8 + ID, in.69.5 Flow area per pipe, in Surfae per lin ft, ft. /ft Outside Inside Weight per lin ft, lb steel.5.3 / * / * /.84 4 * /4.5 4 * * ¼.66 4 * ½.9 4 * * ½.88 4 * * * * * * * Commonly known as standard. + Commonly known as extra heavy. ++ Approximately

13 4.5 Εναλλάκτες Τύπου Κελύφους-Αυλών με Ομορροή και Αντιρροή 4.5- Αυλοί Εναλλακτών Θερμότητας Οι σωλήνες εναλλακτών θερμότητας καλούνται επίσης και αυλοί ή σωλήνες συμπυκνωτών και είναι ειδικού τύπου. Προς τούτο δεν πρέπει να συγχέονται με τους κοινούς σωλήνες για μεταφορά υγρών. Ενα χαρακτηριστικό των αυλών εναλλακτών είναι ότι η ονομαστική εξωτερική τους διάμετρος είναι με μεγάλη ακρίβεια ίση με την πραγματική εξωτερική τους διάμετρο. Οι σωλήνες αυτοί κατασκευάζονται από διάφορα μέταλλα, όπως: χάλυβες, χαλκός, ορείχαλκος, 7-3 χαλκός-νικέλιο, αλουμίνιο, κράμματα αλουμινίου κλπ. Το πάχος του τοιχώματος καθορίζεται από τον αριθμό BWG (Birmingham wire gage) του σωλήνα ή ανάλογους αριθμούς. Τα κυριότερα μεγέθη σωλήνων που απαντούν στην πράξη δίνονται στον Πίνακα 4.3. Οι σωλήνες με εξωτερική διάμετρο ¾ in και in είναι οι πιο συνηθισμένοι στην κατασκευή εναλλακτών Διάταξη των Σωλήνων και των Χωρισμάτων Οι πιο κοινές διατάξεις των σωλήνων φαίνονται στο Σχήμα 4.5. Σχήμα 4.5 Κοινές διατάξεις σωλήνων εναλλακτών 55

14 56 Πίνακας 4.3 Χαρακτηριστικά Αυλών Εναλλακτών Θερμότητας Διάμετρος Σωλήνα OD, in BWG Πάχος τοίχου in ID, in Επιφάνεια Διατομής in Επιφάνεια ανά ft μήκους ft Bάρος ανά ft μήκους για χάλυβα lb Εξωτερική Εσωτερική / 3/4 ¼ ½ Πηγή: D.Q. KERN, Proess Heat Transfer, M Graw Hill, 95.

15 Οι σωλήνες κρατιούνται στη θέση τους στηριζόμενοι με τα άκρα τους επάνω σε δύο ειδικά τοιχώματα. Τυπικές μέθοδοι στηρίξεως φαίνονται στο Σχήμα 4.6. Σχήμα 4.6 Τυπικοί τρόποι στηρίξεως των σωλήνων εναλλάκτη Τυπική διάταξη σωλήνων και χωρισμάτων για την καθοδήγηση της εξωτερικής ροής φαίνεται στο Σχήμα 4.7. Σχήμα 4.7 Τυπική διάταξη σωλήνων και χωρισμάτων. Τα χωρίσματα που απεικονίζονται έχουν «κόψιμο 5%», δηλαδή τους λείπει 5% του ύψους για να είναι κυκλικά 57

16 Το διάστημα μεταξύ χωρισμάτων είναι μικρότερο της εσωτερικής διαμέτρου του κελύφους και μεγαλύτερο του ενός πέμπτου της. Τα χωρίσματα έχουν, συνήθως, κόψιμο 5%, αλλά όχι πάντα. Τόσο το διάστημα μεταξύ χωρισμάτων, όσο και το «κόψιμο» τους έχουν μεγάλη επίδραση στην εξωτερική ροή και τη λειτουργία του εναλλάκτη. Τροχιές ροής για μερικές κοινές διατάξεις σωλήνων εναλλάκτη φαίνονται στα Σχήματα 4.8 και 4.9. Σχήμα 4.8 Τροχιές ροής μεταξύ παραλλήλων σωλήνων με ορθογωνική διάταξη. Πηγή: R.D. Wallis, Photographi Study of Fluid Flow Between Banks of Tubes, Engineering, 48 (933). 58

17 Σχήμα 4.9 Τροχιές ροής μεταξύ παραλλήλων σωλήνων με τριγωνική διάταξη. Πηγή: R.D. Wallis, Photographi Study of Fluid Flow Between Banks of Tubes, Engineering, 48 (933). 59

18 4.5-3 Τυπικές Διατάξεις Εναλλακτών Τύπου Κελύφους-και-Σωλήνων Μερικές τυπικές κατασκευές εναλλακτών εικονίζονται στα Σχήματα Σχήμα 4.3 Εναλλάκτης με ακίνητα τοιχώματα στηρίξεως. Το κέλυφος έχει πτυχή για να απορροφά τη διαφορά διαστολής κελύφους και σωλ ήνων. Τύπος. Σχήμα 4.3 Εναλλάκτης με ένα ολισθαίνον τοίχωμα στηρίξεως. Η εξωτερική ροή αποτελείται από μια διαδρομή ενώ η εσωτερική από δύο διαδρομές. Για τούτο, ο εναλλάκτης αυτός ανήκει στον τύπο -. Σχήμα 4.3 Ο εναλλάκτης αυτός είναι παρόμοιος με τον του Σχ. 3 με μια βελτίωση: το ολισθαίνον τοίχωμα στηρίξεως κινείται μέσα σε διογκωμένη κεφαλή, και έτσι γίνεται καλύτερη εκμετάλλευση του όγκου του εναλλάκτη. 6

19 Σχήμα 4.33 Εναλλάκτης τύπου - με σωλήνες σχήματος U. Δεν χρειάζεται ολισθαίνουσα κεφαλή και έχει μεγαλύτερη ασφάλεια στεγανότητας. Χωρά όμως λιγότερους σωλήνες και καθαρίζεται πιο δύσκολα. Σχήμα 4.34 Ο εναλλάκτης αυτός είναι παρόμοιος με τον του Σχ. 33 με μια βελτίωση: το διάκενο μεταξύ των δύο τοιχωμάτων στηρίξεως (δεξιά) εξασφαλίζει το ότι ακόμα και αν γίνει διαρροή το εσωτερικό και εξωτερικό ρευστό δεν θα έλθουν σε επαφή. Μόλυνση λόγω διαρροής είναι δυνατή μόνο αν τρυπήσει κάποιος από τους σωλήνες Υπολογισμός Εναλλακτών Τύπου Κελύφους-Αυλών (α) Υπολογισμός του Εξωτερικού Συντελεστή Μεταφοράς Θερμότητας Ενας επιτυχής συσχετισμός για τυρβώδη ροή, με αριθμό Reynolds από μέχρι, χωρίς αλλαγή φάσεως (δηλ. χωρίς συμπύκνωση), για χωρίσματα με κόψιμο 5% είναι ο ακόλουθος (KERN, 95): hd k e D / 3.4 eg p, b b b k (3) w όπου: h = εξωτερικός συντελεστής μεταφοράς θερμότητας 6

20 D e = ισοδύναμη διάμετρος (βλ. κατωτέρω) G κ = μαζική ταχύτητα (βλ. κατωτέρω) k= συντελεστής θερμικής αγωγιμότητας του εξωτερικού ρευστού p,κ = ειδική θερμοχωρητικότητα του εξωτερικού ρευστού μ b = δυναμικό ιξώδες του εξωτερικού ρευστού στη θερμοκρασία μίξεως μ w = δυναμικό ιξώδες του εξωτερικού ρευστού στη θερμοκρασία του τοιχώματος Η ισοδύναμη διάμετρος ορίζεται, εδώ, ως εξής: επιφάνεια εγκαρσίας διατομής D e 4 (3) βρεχόμενη περίμετρος Aναφερόμενοι στο Σχήμα 4.35 λαμβάνουμε τις ακόλουθες σχέσεις: D e (4B d ) (τετραγωνική διάταξη) (33) d D e ( 3B d ) (τριγωνική διάταξη) (34) d Σχήμα 4.35 Υπολογισμός ισοδύναμης διαμέτρου. Β σ είναι το βήμα και C είναι το διάστημα. Η σκιασμένες επιφάνειες είναι οι στοιχειώδεις εγκάρσιες διατομές. d είναι η εξωτερική διάμετρος του σωλήνα. Η μαζική ταχύτητα ορίζεται, εδώ, ως εξής: 6

21 G m (kg/m s) (35) όπου m είναι η μαζική παροχή του εξωτερικού ρευστού και Α κ =επιφάνεια εγκαρσίας ροής μέσω της δεσμίδας των σωλήνων. Εδώ, η Α κ δίνεται από τη σχέση DCB D( d )B (m ) (36) όπου D κ =εσωτερική διάμετρος του κελύφους C=διάστημα μεταξύ σωλήνων Β χ =βήμα χωρισμάτων Β σ =βήμα σωλήνων Η Εξισ. (3) μπορεί να γραφεί ως j H Re ( Re ) (37) 6 όπου j H / 3.4 hde pb b k k (38) w D e G Re (39) b Μια ευρύτερη σχέση μεταξύ j H και Re κ (για Re κ 6 ) δίνεται στο Σχήμα Η ροή είναι τυρβώδης ακόμη και για Re κ ~ λόγω της δαιδαλώδους δομής της δέσμης των σωλήνων. 63

22 Re D e G b Σχήμα 4.36 Εξάρτηση του συντελεστή j H από τον αριθμό Re κ για χωρίσματα με κόψιμο 5%. (Πηγή: Kern) (β) Υπολογισμός του Εσωτερικού Συντελεστή Μεταφοράς Θερμότητας h I To h I υπολογίζεται από την εξίσωση των Sieder και Tate ή άλλη παρόμοια σχέση. (γ) Υπολογισμός του Ολικού Συντελεστή Μεταφοράς Θερμότητας Κατά τα γνωστά, έχουμε U d dih i d n d k i d h (W/m o K) (4) 64

23 Για σχεδιασμό πρέπει συνήθως να λάβουμε υπόψη μας το συντελεστή ρυπάνσεως R ρ οπότε λαμβάνουμε ένα διορθωμένο ολικό συντελεστή, U U (W/m o K) (4) R U (δ) Η Φαινομένη Διαφορά Θερμοκρασίας (ΔΤ) φ σ ένα Εναλλάκτη Τύπου - Θα επιχειρήσουμε να προσδιορίσουμε την φαινομένη διαφορά θερμοκρασίας, (ΔΤ) φ, έτσι ώστε να ισχύει η σχέση Q U ( ) d (4) Εναλλακτικά, μπορούμε να γράψουμε Q U (J/s=W) (43) ( ) m FT όπου (ΔΤ) m είναι η λογαριθμική μέση διαφορά θερμοκρασία και F T ορίζεται ως F T ( ) ( ) m = συντελεστής διαφοράς θερμοκρασίας (44) Ετσι, το πρόβλημα ανάγεται στον προσδιορισμό του F T. Προς τούτο, ας θεωρήσουμε τον εναλλάκτη του Σχήματος

24 Σχήμα 4.37 Σχέσεις θερμοκρασιών σ ένα εναλλάκτη τύπου - Ο εναλλάκτης τύπου - λειτουργεί εν μέρει κατ αντιρροή και εν μέρει κατ ομορροή. Για την ανάλυση της λειτουργίας του θα κάνουμε μερικές απλοποιητικές υποθέσεις: Η θερμοκρασία του εξωτερικού ρευστού, Τ, είναι ομοιόμορφη επάνω σε κάθε εγκαρσία διατομή (x=σταθ.) Και οι δύο διαδρομές του εσωτερικού υγρού έχουν την ίδια επιφάνεια εναλλαγής 3 U =σταθ. (ή U σχ =σταθ.) 4 Οι μαζικές παροχές και των δύο ρευμάτων είναι σταθερές 5 Τ =σταθ., t =σταθ. 6 Οι ειδικές θερμοχωρητικότητες και των δύο ρευστών είναι σταθερές 7 Δεν συμβαίνει αλλαγή φάσεως (ούτε συμπύκνωση, ούτε εξάτμιση) 66

25 8 Οι θερμικές και μαζικές απώλειες είναι αμελητέες Τότε έχουμε από το ισοζύγιο ενέργειας: Q UA( ) m p, ( ) m p, (t t) (45) Ο δείκτης κ υποδηλώνει την πλευρά του κελύφους και ο δείκτης σ το εσωτερικό των σωλήνων. Λύνοντας για (ΔΤ) φ παίρνουμε ( ) (U ( ) A / m p, ) (U (t t) A / m p, ) (45 ) Θα θέσουμε: T= θερμοκρασία εξωτερικού υγρού σε μία θέση x t I = t II = θερμοκρασία του εσωτερικού υγρού στην πρώτη διαδρομή σε μια θέση x θερμοκρασία του εσωτερικού υγρού στη δεύτερη διαδρομή σε μία θέση x a =A / σ =εξωτερική επιφάνεια σωλήνων ανά μονάδα μήκους = Ν σ πd (οπότε da=a dx, A=a x) Τώρα, θεωρώντας έναν διαφορικό όγκο ελέγχου, μήκους dx, το ισοζύγιο ενέργειας μας δίνει da I da II m p, dt U (T t ) U (T t ) (46) ή I II t t m p, dt U da T - (46 ) 67

26 Ολοκληρώνοντας λαμβάνουμε T U m p, da T dt I t t T II (47) ή UA m p, T T dt I t t T II (48) Το ολοκλήρωμα στην Εξισ. (48) δεν μπορεί να υπολογισθεί κατευθείαν γιατί δεν ξέρουμε ακόμη πως εξαρτώνται οι θερμοκρασίες t I και t II από την Τ. Προχωρούμε ως εξής. Ισοζύγιο ενέργειας από x=x μέχρι x= σ II I m ( T ) m (t t ) (49) p, p, Ισοζύγια ενέργειας κατά μήκος του dx στις δύο διαδρομές da m I I p, dt U (T t ) (5) da m II II p, dt U (T t ) (5) Επιλέγουμε να απαλείψουμε την t II από τις (49)-(5). Διαιρώντας την Εξισ. (5) με την (5) λαμβάνουμε dt dt II I II T t (5) I T t Λύνοντας την Εξισ. (49) για t II παίρνουμε t II m m p, p, ( ) t I (53) 68

27 και διαφορίζοντας, dt II m m p, p, d dt I (54) Υποκαθιστώντας τις Εξισ. (53) και (54) στην (5) και ανακατατάσσοντας παίρνουμε m m p, p, d dt I T t I m m T t p, p, I (T T ) (55) Η Εξισ. (55) περιέχει δύο εξαρτημένες μεταβλητές, Τ και t I. Πρέπει να απαλειφθεί η μία από τις δύο. Συνεχίζουμε ως εξής. Θέτουμε R T t T t m m p, p, t t S (56) T t Τώρα, η Εξισ. (46) μπορεί να γραφεί ως dt U U m I II p, (T t ) (T t ) da (57) Από τις Εξισ. (56) και (57) παίρνουμε dt da UR UR I II (t t ) m m p, p, (58) Διαφορίζοντας ως προς Α παίρνουμε d da T UR m p, dt da UR m p, I II dt dt da da (59) Χρησιμοποιώντας τις Εξισ. (5) και (5) η Εξισ. (59) γίνεται d da T UR m p, dt da UR (m ) p, II (t I t ) (6) 69

28 Τώρα, m II I k p,k (49) t t (T T ) m p, (6) (56) (6) II I t t (T T ) (6) R (6) (6) d da T UR m p, dt da U (m p, ) p, ) U T (m (63) Η Εξισ. (63) είναι μια κανονική διαφορική εξίσωση δευτέρας τάξεως με σταθερούς συντελεστές, μη ομογενής, και μπορεί να ολοκληρωθεί με τη γνωστή μέθοδο για να πάρουμε T T C UA exp m p, R R C UA exp m p, R R (64) Οι σταθερές C και C θα προσδιορισθούν από τις οριακές συνθήκες: O.Σ.: T() T Ο.Σ.: T(A) T H O.Σ. και η Εξισ. (64) δίνουν C UA exp m p, R R C UA exp m p, R R Παίρνοντας λογαρίθμους και απλοποιώντας λαμβάνουμε 7

29 UA m C n R C p, (65) Η Ο.Σ. και η Εξισ. (64) δίνουν C C T T (66) Οι Εξισ. (65) και (66) μπορούν να λυθούν ως προς C και C. Θέτοντας UA m p, (67) παίρνουμε C exp ( R ) (T T ) (68) exp ( R ) C (T T ) (69) exp ( R ) Αρα T T (T T ) UA exp m p, R U A exp m (R R ) exp A A R R R p, (7) Η Εξισ. (7) μας δίνει την κατανομή της θερμοκρασίας Τ. Το συντελεστή F T προσδιορίζουμε ως εξής. Διαφορίζοντας την Εξισ. (64) παίρνουμε 7

30 dt U UA C R R exp (R R da m p, m p, C U m p, R R UA exp m p, (R R ) (7) Για Α= η Εξισ. (58) δίνει dt() da UR UR (t t m m p, p, ) (7) Ετσι, η Εξισ. (7) για Α= δίνει R(t t ) RT C (R R ) C (R R ) (73) Από την Εξισ. (66) παίρνουμε {πολλαπλασιάζοντας με (R R ) } (R R )(T T ) C (R R ) C (R R ) (66 ) Προσθέτοντας τις Εξισ. (73) και (66) και λύνοντας ως προς C παίρνουμε C R(t t) (T T )(R R ) RT (74) R Υποκαθιστώντας στην (66) και λύνοντας ως προς C παίρνουμε C (R R )(T T ) R (T T ) RT R(t t) (75) R Εφόσον R=(T -T )/(t -t ), οι Εξισ. (74) και (75) δίνουν C (R R )(t t) (T t) (T t) (76) C (R R )(t t ) (T t ) (T t ) 7

31 Διαιρώντας με (Τ -t ) και χρησιμοποιώντας τον ορισμό του S ως S=(t -t )/(T -t ), οπότε -S=(T -t )/(T -t ) η Εξισ. (76) γίνεται C S (R R ) (77) C S (R R ) Οι Εξισ. (65) και (77) δίνουν UA m p, S(R n R S(R R R ) ) (78) Οι Εξισ. (45) και (78) δίνουν ( ) (t t ) R S(R n S(R R R ) ) (79) Ορίζουμε τη λογαριθμική μέση θερμοκρασία ως (T t) (T t) ( ) m (8) (T t) n (T t ) δηλαδή, ως να είχαμε καθαρή αντιρροή. Βλέπουμε ότι οι Εξισ. (56) και (8) δίνουν (t t )(R ) ) m (8) ( S) n ( RS) ( Τέλος, ο συντελεστής διαφοράς θερμοκρασίας λαμβάνεται διαιρώντας την Εξισ. (79) με την Εξισ. (8) 73

32 F T R ( S) n ( RS) S(R (R ) n S(R R R ) ) (8) Διάγραμμα τιμών του F T συναρτήσει τιμών των παραμέτρων R και S δίνονται στο Σχήμα Σχήμα 4.38 Συντελεστής διαφοράς θερμοκρασίας για εναλλάκτες κελύφους-καισωλήνων τύπου -. Το διάγραμμα αυτό ισχύει και για όλους τους τύπους -k (με k=,,3, ) (Πηγή: Standards of Tubular Exhanger Manufaturers Assoiation). Oταν οι τιμές των S και R αντιστοιχούν στο τμήμα της καμπύλης που είναι σχεδόν παράλληλο προς τον άξονα του F T είναι καλύτερα αν χρησιμοποιεί κανείς κατευθείαν την Εξισ. (8). Πάντως, στην πράξη δεν πρέπει να σχεδιάζουμε και χρησιμοποιούμε εναλλάκτες με F T <.75. Πράγματι, το διάγραμμα του Σχ βασίζεται σε πολλές απλοποιητικές υποθέσεις που στην πράξη ισχύουν μόνο μερικώς. Ετσι για ένα εναλλάκτη με θεωρητικό F T <~.75 τυχόν αποκλίσεις από τις υποθέσεις ή και απρογραμμάτιστες 74

33 διαταραχές των θερμοκρασιών ή παροχών των δύο ρευμάτων μπορούν να οδηγήσουν σε πραγματικές τιμές του F T που είναι εντελώς ανεπαρκείς. Κάτι τέτοιο μπορεί να έχει καταστροφικές συνέπειες για μια βιομηχανική εγκατάσταση. Οι σχέσεις θερμοκρασιών στην περίπτωση που η κατεύθυνση του ρεύματος του κελύφους αντιστραφεί φαίνεται στο Σχήμα Σχήμα 4.39 Εναλλάκτης τύπου - με συμβατική διαρρύθμιση στομίων. Περίπτωση όπου t >T. Eδώ, κατά την πρώτη διαδρομή έχουμε αντιρροή ενώ κατά τη δεύτερη έχουμε ομορροή. Ετσι, η θερμοκρασία μεταξύ διαδρομών, t /, είναι υψηλότερη, υπό τις ίδιες άλλες συνθήκες, από εκείνη της διατάξεως του Σχ. 37. Παρά ταύτα, ο Underwood έδειξε ότι οι τιμές του F T είναι ακριβώς οι ίδιες, ισχύει δηλ. πάλι η Εξισ. (8). Παρατηρούμε ότι είναι δυνατόν η θερμοκρασία t II να παρουσιάζει ένα μέγιστο. Επίσης είναι δυνατόν να έχουμε t II >T για μέρος της δεύτερης διαδρομής, οπότε το ρεύμα των σωλήνων επιστρέφει μέρος της κτηθείσας θερμότητας στο ρεύμα του κελύφους. Τούτο συμβαίνει αν Τ <t. 75

34 Σε όλους του τύπους εναλλακτών που λειτουργούν εν μέρει κατ αντιρροή και εν μέρει κατ ομορροή η θερμοκρασία εξόδου του ψυχρού ρευστού δεν μπορεί να πλησιάσει πολύ τη θερμοκρασία εισόδου του θερμού. Καλούμε τη διαφορά (Τ -t ) προσέγγιση θερμοκρασιών. Αν, τώρα, t >T, καλούμε τη διαφορά (t -T ) διασταύρωση θερμοκρασιών. Τέλος, καλούμε τις διαφορές (Τ -Τ ) και (t -t ) αλλαγές θερμοκρασιών. Βλέπουμε ότι R S T t T t t t T t Αλλαγή θερμοκρασίας ρευστού του κελύφους Αλλαγή θερμοκρασίας ρευστού των σωλήνων Aλλαγή θερμοκρασίας ρευστού των σωλήνων Διάστημα θερμοκρασιών όπου Τ -t =διάστημα θερμοκρασιών. Είναι χρήσιμο να διερευνήσουμε μερικές τυπικές διαφορές θερμοκρασιών και να δούμε πως αυτές επηρεάζουν το συντελεστή F T. Στο Σχήμα 4.4 δίνεται η εξάρτηση του F T από την διαφορά (Τ -t ) ή (t -T ) για δύο ρεύματα με ίσες αλλαγές θερμοκρασιών (είτε Τ -Τ =t -t = o F, είτε T -T =t -t =5 o F). Σχήμα 4.4 Εξάρτηση του συντελεστή διαφοράς θερμοκρασίας F T από την προσέγγιση θερμοκρασιών (Τ -t ), ή τη διασταύρωση θερμοκρασιών (t -T ), για δύο ρευστά με ίσες αλλαγές θερμοκρασιών (5 ο F ή ο F). Οι πρακτικές τιμές του F T είναι F T >.75. Aνάλογα αποτελέσματα για δύο ρεύματα με άνισες αλλαγές θερμοκρασιών (Τ - Τ = ο F, t -t = o F) δίνονται στο Σχήμα

35 Σχήμα 4.4 Εξάρτηση του συντελεστή διαφοράς θερμοκρασίας F T από την προσέγγιση θερμοκρασιών (Τ -t ), τη διασταύρωση θερμοκρασιών (t -T ), για δύο ρευστά με άνισες ή ίσες αλλαγές θερμοκρασιών. Οι πρακτικές τιμές του F T είναι F T >.75. Aξίζει να παρατηρήσουμε τις συνθήκες υπό τις οποίες το F T μειώνεται γρήγορα. Η μείωση του F T είναι πιο απότομη για (i) μικρότερες αλλαγές θερμοκρασίας, αν Τ -Τ =t - t, και (ii) για μεγαλύτερες διαφορές μεταξύ (Τ -Τ ) και (t -t ), δηλαδή για μεγαλύτερες τιμές του R. Οι διασταυρώσεις θερμοκρασίας που επιτρέπονται είναι πολύ μικρές, της τάξεως των 8 ο F (ή 5 ο C). Μπορεί να δειχθεί ότι οι τιμές του F T για εναλλάκτες τύπου - και εναλλάκτες τύπου - 8 διαφέρουν το πολύ μέχρι %. Ετσι, το διάγραμμα του Σχ. 38 μπορεί να χρησιμοποιηθεί για εναλλάκτες τύπου -k (k=,,3,4, ). (4) Απώλειες Υδροστατικής Κεφαλής Μέσα στο Κέλυφος Η πτώση πιέσεως μεταξύ της εισόδου και της εξόδου του κελύφους δίνεται από την ακόλουθη ημιεμπειρική σχέση (Kern, 95): ( p) ( ).4 D G b De f (83) w όπου: (Δp) κ = πτώση πιέσεως ρ κ = Ν χ = D κ = πυκνότητα του ρευστού του κελύφους αριθμός χωρισμάτων (χωρίς τα τοιχώματα στηρίξεως) εσωτερική διάμετρος κελύφους 77

36 D e = ισοδύναμη διάμετρος δέσμης σωλήνων, Εξισ. (3) G κ = μαζική ταχύτητα, Εξισ. (35) μ b, μ w =δυναμικό ιξώδες του ρευστού του κελύφους στην θερμοκρασία μίξεως και στη θερμοκρασία του τοίχου f κ = συντελεστής τριβής του κελύφους (Σχήμα 4.4) Ο συντελεστής τριβής του κελύφους δίνεται ως συνάρτηση του αριθμού Re κ =D e G κ /μ b στο Σχήμα 4.4. Η τιμή του f κ περιλαμβάνει και τις απώλειες εισόδου και εξόδου. Αξίζει να σημειωθεί ότι N (84) όπου σ =μήκος σωλήνα. Παρατήρηση Η εξίσωση (8) προσδιορίστηκε υποθέτοντας υποθέτοντας ότι το ψυχρό ρευστό διοχετεύεται μέσω των αυλών. Το ίδιο ακριβώς αποτέλεσμα λαμβάνεται αν θεωρήσουμε ότι το ψυχρό ρεύμα διοχετεύεται στην πλευρά του κελύφους. Ετσι, μπορούμε να θεωρούμε ότι στην Εξισ. (8) και το Σχ. 38 τα σύμβολα Τ και t μπορούν να ερμηνευθούν ως: Τ= θερμοκρασία ρευστού στην πλευρά του κελύφους t= θερμοκρασία ρευστού στους αυλούς Το ίδιο ισχύει και για ανάλογα αποτελέσματα που δίνονται κατωτέρω. 78

37 79

38 (στ) Απώλεια Υδροστατικής Κεφαλής Μέσα στους Σωλήνες Η απώλεια πιέσεως κατά μήκος των σωλήνων υπολογίζεται από τη σχέση ( p).4 G b di f (85) w Επιπλέον, λαμβάνουμε υπόψη μας τις αλλαγές διαδρομής εκτιμώντας 4 κεφαλές ταχύτητας ανά διαδρομή. Οι απώλειες αυτές καλούνται απώλειες στροφών. Η αντίστοιχη πτώση πιέσεως, (Δp) στ, δίνεται από τη σχέση G ( p) (86) Ετσι, η ολική απώλεια πιέσεως δίνεται από τη σχέση ( p), ( p) ( p) (87) Εδώ: Ν δ = αριθμός διαδρομών f= συντελεστής τριβής του Fanning e f Re, με d i Re d i G b σ = d i = ρ σ = G σ = μήκος ενός σωλήνα (αυλού) εσωτερική διάμετρος σωλήνα πυκνότητα ρευστού σωλήνων μαζική ταχύτητα ρευστού σωλήνων μ b, μ w = δυναμικό ιξώδες του ρευστού σωλήνων στη θερμοκρασία μίξεως και τη θερμοκρασία τοίχου, αντίστοιχα Η μαζική ταχύτητα δίνεται από τη σχέση G m με d i (88) 4 8

39 όπου: Α σ = επιφάνεια διατομών σωλήνων, ανά διαδρομή Ν σ = αριθμός σωλήνων μέσα στο κέλυφος (ζ) Διάγραμμα Τen Broek για τον Υπολογισμό του t (ή του S) H Eξισ. (78) μας επιτρέπει να υπολογίσουμε το S ως συνάρτηση του όρου U A / m και του R, χωρίς να περάσουμε από τον υπολογισμό του συντελεστή F T. p, Αυτό το συνειδητοποίησε ο Ten Broek ο οποίος και έδωσε τα σχετικά αποτελέσματα σε μορφή διαγράμματος, Σχήμα U A / m p, Σχήμα 4.44 Διάγραμμα Ten Broek για τον υπολογισμό του t (ή του S) για εναλλάκτες τύπου -, -4, κλπ. (Πηγή: Kern). Αν ο εναλλάκτης - είναι δεδομένος, τότε η ολική επιφάνεια Α είναι γνωστή. Για δεδομένα m p, και k p, m το R είναι επίσης γνωστό, αφού R= m p, / m k p,. O oλικός συντελεστής μεταφοράς θερμότητας U μπορεί να υπολογισθεί κατά τα γνωστά, οπότε η αδιάστατη ομάδα U A / m p, παίρνει γνωστή τιμή. Χρησιμοποιώντας το Σχ. 44 διαβάζουμε την τιμή του S που αντιστοιχεί στο U A / m p, και R του προβλήματος. 8

40 Το t λαμβάνεται από την t =t +S(T -t ). H διαχωριστική γραμμή (threshold) είναι ο τόπος των σημείων στα οποία αρχίζει η διασταύρωση θερμοκρασιών (δηλ. t >T ). 8