Οµάδα Ασκήσεων #1-Λύσεις

Transcript

1 Οµάδα Ασκήσεων #-Λύσεις Πρόβληµα # (α) (β) Τουλάχιστον Β.Ε. (Βαθµοί Ελευθερίας) χρειάζονται για αυθαίρετη τοποθέτηση στο χώρο (x,y,z) και επιπλέον Β.Ε. απαιτούνται για αυθαίρετο προσανατολισµό (στη δεδοµένη θέση), έτσι συνολικά απαιτούνται 6 Β.Ε. Αν δεν ενδιαφέρει η περιστροφή γύρω από έναν άξονα, τότε ένας κατάλληλα σχεδιασµένος βραχίονας 5 Β.Ε. µπορεί να επιτελέσει το έργο. Διάνυσµα θέσης: Θέση άκρου ως προς τη βάση Δύναµη που ασκείται από το άκρο σε ένα αντικείµενο Κάποια παραλλαγή των παραπάνω, π.χ. θέση του κέντρου µάζας (στερεού σώµατος) στον Καρτεσιανό Χώρο Ελεύθερο διάνυσµα: Μόνο η κατεύθυνση και το µέτρο του διανύσµατος έχουν σηµασία (όχι η θέση). Παραδείγµατα: Ταχύτητα, επιτάχυνση, γωνιακή ταχύτητα, γωνιακή επιτάχυνση, ροπή, γραµµική ορµή, στροφορµή, απειροστή στροφή,... (γ) Σχετικός προσανατολισµός: Απαιτούνται ΣΣ. (δ) Στήλες του A R B : Είναι οι προβολές των µοναδιαίων διανυσµάτων ˆx B, ŷ B, ẑ B του δεξιόστροφου ΣΣ (Oxyz) B, στα µοναδιαία διανύσµατα ˆx A, ŷ A, ẑ A του δεξιόστροφου ΣΣ (Oxyz) A, δηλ. A R B A ˆx Aŷ Aẑ B B B (.) Γραµµές του A R B : Είναι (παρόµοια) οι προβολές των ˆx A, ŷ A, ẑ A στο ΣΣ (Oxyz) B, δηλ. A R B B ˆx A T B ŷ A T (ε) Έστω ότι το SO() παριστάνει το σύνολο των συνηθισµένων ("δεξιόστροφων") πινάκων περιστροφής, µε ιδιότητες : B ẑ A T (.) R T R I (.) det(r) +, (proper rotation matrix) (.4) Θέλουµε να δείξουµε την ακόλουθη πρόταση:

2 n (R i SO(), n ) R i SO() (.5) Για n : R SO(), ισχύει από (.5). i Έστω ότι η πρόταση ισχύει για n k, δηλαδή (υπόθεση) k R R i SO() ( R T R I και det( R) +) (.6) i Αρκεί να δείξουµε ότι η πρόταση (.5) ισχύει για n k +, δηλ. ότι είναι k+ R i i RR k+ SO() (.7) Ελέγχουµε αν ο παραπάνω πίνακας έχει τις ιδιότητες των πινάκων περιστροφής. Πρώτη ιδιότητα (.): Δεύτερη ιδιότητα (.4): ( RR k+ ) T RRk+ T R k+ R T RRk+ R T k+ R k+ I det( RR k+ ) det( R)det(R k+ ) Άρα η (.7) ισχύει και εποµένως έχει αποδειχθεί επαγωγικά ότι: Το γινόµενο αυθαιρέτου πλήθους πινάκων περιστροφής, δίνει πίνακα περιστροφής. Πρόβληµα # (α) cφ sφ A R B R χ (θ)r y (φ) sθsφ cθ sθcφ cθsφ sθ cθcφ (β) (γ) (δ) A R B R xa (φ)r ya (θ), µε y A R xβ (φ) A (φ) I A p A T B A R A B p A R B A p A R A T B B I B p A R A B R B B p

3 Πρόβληµα # (α) R ˆx ŷ ẑ det( R ) ẑ ( ˆx ŷ ) ẑ ẑ T ẑ ẑ ẑ + (β) Έστω λ κάποια ιδιοτιµή (πραγµατική ή µιγαδική) του πίνακα περιστροφής R και e το αντίστοιχο ιδιοδιάνυσµα. Θα ισχύει Re λe (.8) Σηµείωση: Ο Ερµιτιανός Ανάστροφος ενός πίνακα A (µε µιγαδικά, γενικά, στοιχεία) συµβολίζεται µε A H και ορίζεται ως A H A T. Είναι ο ανάστροφος του συζυγούς (δεν παίζει ρόλο η σειρά των τελεστών *,Τ). Αν ο πίνακας A είναι πραγµατικός, τότε A H A T. Παίρνοντας τον Ερµιτιανό Ανάστροφο και των δυο µελών της (.8), έχουµε: (Re) H (λe) H e H R H e H λ H e H R T λ * e H (.9) Πολλαπλασιάζοντας κατά µέλη τις (.8) και (.9), παίρνουµε: e H R T Re λ * e H λe e H e λ e H e e λ e λ, για e (.) Δηλαδή το µέτρο των ιδιοτιµών του πίνακα περιστροφής είναι µονάδα. Εποµένως ο R( ), θα έχει µια πραγµατική ιδιοτιµή και δύο συζυγείς µιγαδικές (ως µη ιδιόµορφος): λ, λ (.) λ, e ±jθ cos(θ)± j sin(θ), λ, (.) Η ορίζουσα όµως ενός πίνακα, δίνεται απ το γινόµενο των ιδιοτιµών του, οπότε: det(r) + λ λ λ + λ λ λ + λ λ + λ + (.) Εποµένως το (+) είναι µια ιδιοτιµή του πίνακα περιστροφής. Το αντίστοιχο ιδιοδιάνυσµα (έστω ˆk ) θα επαληθεύει την Rˆk ˆk (.4) Το ˆk αντιπροσωπεύει τον άξονα περιστροφής (που αντιστοιχεί στον R ) αφού παραµένει αναλλοίωτο από την περιστροφή του από αυτόν. Έχουµε επίσης: trace(r) λ + λ + λ + cos(θ) trace(r(ˆk,θ)) (.5)

4 Εποµένως το θ των µιγαδικών ιδιοτιµών, που δίνονται απ την (.), αντιστοιχεί στη γωνία περιστροφής περί ˆk, που οδηγεί στον R. cα sα (γ) R z (α) sα cα cβ sβ R y (β) sβ cβ (γ) cγ sγ sγ cγ (.6) (.7) (.8) Euler (ZYX): c s c s R R z (θ )R y )R x ) s c c s s c s c c c s c +c s s s s +c s c s c c c + s s s s c +c s s s c s c c (.9) Οι τρεις στήλες του R, παριστάνουν τις συνιστώσες των προβολών των µοναδιαίων ˆx, ŷ, ẑ (του ΣΣ που προκύπτει µετά τις τρεις παραπάνω περιστροφές) ως προς το ΣΣ βάσης (Oxyz), είναι δηλαδή R ˆx ŷ ẑ (.) (δ) Οι µετατοπίσεις είναι αντιµεταθετικές. Δηλαδή µια µετατόπιση πρώτα κατά a και µετά κατά b, οδηγεί στο ίδιο σηµείο µ'αυτό που θα οδηγούµασταν αν συνέβαινε πρώτα η µετατόπιση κατά b και ακολούθως η a. Οι µετατοπίσεις µπορούν να παρασταθούν από διανύσµατα, βλ. και Σχ. -: a + b b + a (.) Σε αντίθεση µε τα παραπάνω, οι περιστροφές, δεν µπορούν να παρασταθούν από διανύσµατα. Παριστάνονται µε πίνακες περιστροφής. Αν οι περιστροφές µπορούσαν να παρασταθούν από διανύσµατα, θα ήταν αντιµεταθετικές, δηλαδή 4

5 Σχήµα -. Μετατοπίσεις (αντιµεταθετικές) )R z (θ ) R z (θ ) ) δύο διαδοχικές περιστροφές ως προς το ίδιο αδρανειακό ΣΣ αλλά µε διαφορετική σειρά θα οδηγούσαν στον ίδιο πίνακα περιστροφής, πράγµα που δεν ισχύει: c s c c s s s )R z (θ ) c s c c s s c c s c R z (θ ) ) (.) s s s c c s c Αυθαίρετες µη-απειροστές περιστροφές, δεν είναι γενικά αντιµεταθέσιµες. Για τις απειροστές περιστροφές όµως, όπου θ i, είναι: cos(θ i ), sin(θ i ) θ i, θ i n (n ) (.) οπότε το παραπάνω παράδειγµα γίνεται: θ θ θ θ R z θ θ θ θ θ θ θ R z θ Έτσι για απειροστές στροφές, η ιδιότητα της αντιµετάθεσης ισχύει και µπορούµε να παραστήσουµε τέτοιες περιστροφές µε διανύσµατα: δθ x δθ δθ y δθ z δθ lim δt δt ω ω x ω y ω z (.4) Γι αυτό και η γωνιακή ταχύτητα µπορεί να παρασταθεί ως διάνυσµα. (ε) Δύο ή περισσότερες (πεπερασµένες) περιστροφές είναι αντιµεταθέσιµες, αν όλες συµβαίνουν γύρω απ την ίδια ευθεία στο χώρο (δηλ. αν µπορούν όλες να εκφρασθούν ως θετικές ή αρνητικές περιστροφές γύρω απ τον ίδιο άξονα στο χώρο). Π.χ. 5

6 ) ) ) ) c s s c ή )R x ( θ ) ) ) ) ) (Bonus: Αποδείξτε ότι R k )R k ) R k )R k ) ˆk ˆk ). Πρόβληµα #4 Ροµπότ κυλινδρικών συντεταγµένων Προσαρτούµε ΣΣ στη Βάση, σε κάθε ενδιάµεσο Σύνδεσµο και στο Άκρο, όπως φαίνεται στο ακόλουθο σχήµα (η σύµβαση Denavit - Hartenberg (D-H) δε χρησιµοποιήθηκε εδώ). Μεταβλητές αρθρώσεων: {d,θ,d }. Σχήµα -. Ροµπότ κυλινδρικών συντεταγµένων. d I B T E R zb ) I d (prismatic) c d R (θ z B ) s d d (revolute) (prismatic) (.5) 6

7 Ροµπότ σφαιρικών συντεταγµένων Σχήµα -. Ροµπότ σφαιρικών συντεταγµένων d B T E R (θ x B ) R z ) I (revolute) (revolute) c d R (θ )R (θ ) c x z s d s s d (prismatic) (.6) Ροµπότ καρτεσιανών συντεταγµένων Σχήµα -4. Ροµπότ καρτεσιανών συντεταγµένων. 7

8 d I d B T E d (.7) Εξετάζοντας τα στοιχεία που σχετίζονται µε τις περιστροφές στους παραπάνω οµογενείς µετασχηµατισµούς, µπορούµε να δούµε ότι η διάσταση των χώρων των προσανατολισµών που µπορούν να επιτευχθούν είναι αντίστοιχα ένα, δύο και µηδέν (σταθερός προσανατολισµός) για τα κυλινδρικά, σφαιρικά και καρτεσιανά ροµπότ. Αν η θέση του άκρου καθορισθεί, ο χώρος των επιτεύξιµων προσανατολισµών (και για τα τρία ροµπότ) περιορίζεται σε ένα συγκεκριµένο προσανατολισµό. Πρόβληµα #5 (α) Από παρατήρηση των αντίστοιχων ΣΣ, έχουµε: L T L, L T L L T L (Ελέγξτε ότι T T T ). (β) T T R T T T R p (γ) T Transl z ()Transl x () Rot y ( π ) 8

9 Σχήµα -5. (δ) Άξονας περιστροφής: ˆk p p p p [.56,.97,.] Γωνία: pi p θ arccos( ) arccos. p p 9 Αντίστοιχος πίνακας περιστροφής: Rˆk(θ) I cosθ + ˆkˆk Τ ( cosθ) + symmetric ˆk x sin θ (.8) skew symmetric ˆk k x k y k z k z k y ˆk x k z k x k y k x (.9) Και τελικά, (Ελέγξτε ότι p Rp ) R Σηµείωση (Σχετικά µε τους πίνακες περιστροφής και την έκφρασή τους σε διαφορετικά ΣΣ). Έστω A R B C πίνακας περιστροφής που δίνει τη στροφή του ΣΣ {B} ως προς το {C} εκφρασµένος στο ΣΣ {A}. Αν τα {A} και {C} ταυτίζονται ή έχουν τον ίδιο προσανατολισµό, γράφουµε απλά: C R B. 9

10 Παρακάτω παρουσιάζεται η διαφορά µεταξύ πινάκων περιστροφής που εκφράζονται σε διαφορετικά ΣΣ και παράγεται η σχέση για τη µετατροπή βάσης του πίνακα. Έστω ότι γνωρίζουµε τον προσανατολισµό του ΣΣ {B} ως προς το {A} (εκφρασµένο στο {A}), δηλ. τον A R B βραχίονα). (π.χ. ο προσανατολισµός του άκρου ως προς τη βάση ενός Έστω επίσης ότι γνωρίζουµε τον προσανατολισµό του ΣΣ {C} ως προς το {A} (εκφρασµένο στο {A}), δηλ. τον A R C ως προς τη βάση). (π.χ. ο επιθυµητός προσανατολισµός του άκρου Θέλουµε να βρούµε τον πίνακα περιστροφής ΔR R C B απ το {B} -> {C}. που οδηγεί ΔR εκφρασµένος στο {B}: Για διαδοχικές περιστροφές ως προς το τρέχον ΣΣ, πολλαπλασιάζουµε διαδοχικά (προς τα δεξιά) τους αντίστοιχους πίνακες περιστροφής, έτσι έχουµε διαδοχικά: A R C A R B B ΔR B ΔR ( A R B ) T A R C B ΔR B R A A R C B R C B R C B (.) ΔR εκφρασµένος στο {A}: Για διαδοχικές περιστροφές ως προς ακίνητο ΣΣ, πολλαπλασιάζουµε διαδοχικά προς τα αριστερά (προ-πολλαπλασιάζουµε) τους αντίστοιχους πίνακες περιστροφής, έτσι έχουµε διαδοχικά: A R C A ΔR A R B A ΔR A R C ( A R B ) T A ΔR A R B B R C ( A R B ) T A R C B (.) Απ τις (.) και (.), παίρνουµε: A ΔR A R B ( B ΔR) A R B T B ΔR A R B T ( A ΔR) A R B (.) Πρόβληµα #6 Προσαρτούµε ΣΣ στη Βάση, στο Άκρο, στο Σύστηµα Όρασης και στο Φορτίο: {B}, {E}, {V}, {P}. Γνωρίζουµε: Θέση και προσανατολισµό του Άκρου {E} ως προς τη Βάση {B}: B T E

11 Θέση και προσανατολισµό του Φορτίου {P}, ως προς το Σύστηµα Όρασης {V}: V T P Θέλουµε να προσδιορίσουµε την απαιτούµενη αλλαγή του ΣΣ {E}, εκφρασµένη στα ΣΣ {E} και {B}, δηλ. θέλουµε τους οµογενείς µετασχηµατισµούς E ΔT E T P E E T P και B ΔT B T P E. (α) E ΔT E T P B T E B T V V T P Εποµένως χρειαζόµαστε επιπλέον τον B T V. (Ή, αν αγνοήσουµε την πληροφορία για τον B T E και εκτιµήσουµε τη θέση του ΣΣ {E} µε το σύστηµα όρασης, θα έχουµε: χρειαζόµαστε τον V T E ). E ΔT E T P V T E V T P, οπότε σ'αυτή την περίπτωση (β) Αφού E R E ΔT E T P P E p payload έχουµε B R B ΔT B T E P E ( E R P ) B T R B E R E E p payload Σχήµα -6. Πρόβληµα #6 Προσεγγίσεις βαθµονόµησης, σχετικά µε τον B T V : Ο άκρο του βραχίονα πιάνει το σύστηµα όρασης και χρησιµοποιούµε τις πληροφορίες απ τους αισθητήρες θέσης των αρθρώσεων, ώστε τελικά να έχουµε B T E B T V.

12 Μετρούµε θέση και προσανατολισµό της βάσης (µε το σύστηµα όρασης), οπότε πρέπει B T V V T B. Χρησιµοποιούµε άλλα µετρητικά συστήµατα ώστε να πάρουµε τον B T V.