ΑΣΚΗΣΗ 8. έκδοση DΥΝI-EXC b

Transcript

1 ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ & ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ & ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΑΣΚΗΣΗ 8 έκδοση DΥΝI-EXC08-016b

2 Copyright Ε.Μ.Π Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών Εργαστήριο Δυναμικής και Κατασκευών κτ. Μ αιθ. Μ00 Με επιφύλαξη παντός δικαιώματος. Απαγορεύεται η χρήση, αντιγραφή, αποθήκευση και διανομή της παρούσας παρουσίασης, εξ ολοκλήρου ή τμήματος αυτής, για πάσης φύσεως εμπορικό ή επαγγελματικό σκοπό. Επιτρέπεται η ανατύπωση, αποθήκευση και διανομή για σκοπό μη κερδοσκοπικό, εκπαιδευτικής ή ερευνητικής φύσεως, υπό την προϋπόθεση να αναφέρεται η πηγή προέλευσης και να διατηρείται το παρόν μήνυμα. Πληροφορίες Δρ. Ι. Αντωνιάδης, Καθηγητής, antogian@central.ntua.gr, Δρ. Χ. Γιακόπουλος, ΕΔΙΠ, chryiako@central.ntua.gr,

3 Άσκηση 8: Εκφώνηση έστω -βάθμιο δυναμικό σύστημα m-k 3 0 M = 0 K = = 3 3 * F h t F 11 F 1 k 1 k k 3 x 1 x m 1 m συνάρτηση Heaviside μηδενικές αρχικές συνθήκες μετατόπισης και ταχύτητας x( 0) x = 0 και x ( 0) V = 0 = o F 1 h * (t) t = o? απόκριση δυναμικού συστήματος στην μεταβατική & μόνιμη κατάσταση...

4 το σύστημα χαρακτηρίζεται από ανεξάρτητες κινηματικές μεταβλητές (Β.E.) x 1 x m την μετατόπιση 1 της μάζας m και την μετατόπιση της μάζας f (, ) γενική μορφή της απόκρισης πλάτος των ταλαντώσεων συχνότητες ταλάντωσης (ιδιοσυχνότητες) ( ωi M K) + Φ i = 0 ( ω M K i ) det + = 0 μητρώο μάζας μητρώο δυσκαμψίας

5 υπολογισμός ιδιοτιμών (φυσικών συχνοτήτων) δυναμικού συστήματος... M K λ = ω ω ( λm K) det + = 0 det + = M = 0 και K 5 3 = λ det ( λm + K) = 0 det λ 0 det = = λ + 3 3λ+ 5 λ = 0 6λ 9λ 10λ = 0 + = 6λ 19λ 6 0 διακρίνουσα χαρακτηριστικού πολυωνύμου... = β αγ = = =

6 ρίζες του χαρακτηριστικού πολυωνύμου... λ 1, λ1 = =.81 β ± ( 19) ± ± 17 1 = = = α λ = = 1 ταξινομώντας τις ρίζες κατά αύξουσα σειρά ισοδύναμα προκύπτει... λ1 = ω1 = ω1 = λ = ω =.81 ω = 1.67 διατηρούνται οι θετικές ρίζες των ιδιοσυχνοτήτων...

7 υπολογισμός ιδιοανυσμάτων δυναμικού συστήματος... για κάθε μία από τις ευρεθείσες ιδιοσυχνότητες, υπολογίζεται το αντίστοιχο ιδιοάνυσμα μέσω της επίλυσης του ομογενούς συστήματος για την 1 η ιδιοσυχνότητα... λ= ω ( ω M K) ( λm K) + Φ= 0 + Φ= Φ 0 λ1 ( λm K) 0 λ 11 = Φ 1 = 1 + = Φ Φ Φ = = Φ Φ Φ 3Φ = Φ =Φ Φ =Φ Φ Φ 1 = Φ 11 =Φ Φ 11 =Φ1 1.31Φ =Φ Φ 11 =Φ1 Φ 11 = 0.763Φ1 1.31Φ 11 =Φ1

8 οπότε για... Φ 1 = 1 Φ 0.763Φ Φ Φ 11 1 Φ 1= 1 T Φ = = =Φ Φ = Φ = [ ] για τη η ιδιοσυχνότητα Φ 0 λ ( λ M K) 0 λ 1 =.81 + Φ = + = Φ Φ Φ = = Φ Φ Φ 3Φ = 0 Φ = Φ Φ = Φ Φ Φ = 0 Φ 1 =.6 3 Φ Φ 1 =.6 3 Φ Φ = 0.874Φ 1 Φ 1 = 0.874Φ Φ 1 = 0.874Φ

9 οπότε για... Φ = 1 Φ 0.874Φ Φ Φ 1 Φ = 1 T Φ = = =Φ Φ = Φ = [ ]

10 εποπτική παράσταση των ιδιοανυσμάτων ταλάντωση με συχνότητα ω 1 ταλάντωση με συχνότητα ω +

11 διβάθμιο δυναμικό σύστημα... ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ... εάν αποδοθεί στην ανεξάρτητη μεταβλητή η μηδενική τιμή η εξηρτημένη μεταβλητή θα είναι, ομοίως, μηδενική μηδενικό ιδιοάνυσμα μη-ταλάντωση αντιβαίνει στη φύση της συμπεριφοράς ενός δυναμικού συστήματος ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ... εάν το δυναμικό σύστημα διαθέτει Β.Ε. > τα ομογενή συστήματα καταλήγουν σε ιδιοανύσματα με όρους > είναι δυνατόν να εμφανίζονται μηδενικά στοιχεία στα ιδιοανύσματα

12 απόκριση δυναμικού συστήματος... μαθηματική έκφραση του ιδιοανυσματικού μετασχηματισμού... N x t iqi t 1q1 t q t N qn t = Φ =Φ +Φ Φ i= 1 N = διβάθμιο δυναμικό σύστημα x =Φ q t +Φ q t = q t + q t x (Ι) υπολογισμός γενικευμένων Β.Ε.... ω q t + q t = g t, i = 1,,..., N g i i i i i T Φi F = mii και Φ MΦ = m T i i ii... q t i

13 γενικευμένη μάζα m11 m =Φ MΦ = [ ] = [ ] T m11 = [ ] = m 11 = 3.75 γενικευμένη μάζα m T m =Φ MΦ = [ ] = [ ] m = [ ] = ( 0.874) (.6) m = 4.9

14 οπότε... * [ ] 1 h t Φ F = = = = T 1 * * g1 ( t ) h t h t m * g1 t = Gh 1 t, G1 = g t = Gh t, G= * γενικευμένη δύναμη διέγερσης 1 ου ιδιοανύσματος έστω G 1 ομοίως... * [ ] 1 h t Φ F = = = = T * * g ( t ) h t h t m * g t = G h t, G = g t = G h t, G = * έστω G γενικευμένη δύναμη διέγερσης ου ιδιοανύσματος

15 οπότε... ω q t + q t = g t, i = 1,,..., N i i i i * ω q t + q t = Gh t, i = 1, i i i i ΛΥΣΗ... ❶ μέθοδος προσδιοριστέων συντελεστών μετασχηματισμός Laplace

16 μέθοδος προσδιοριστέων συντελεστών... μορφή της λύσης qi q t = q + q i =, 1, i ip ih µερικήλύση οµογεν ής λύση t > 0 ακολουθεί τη μορφή της διεγείρουσας δύναμης (μορφής Heaviside) * qip = Ph i t χρονικά σταθερή τιμή αρμονικής μορφής ( ω ) ( ω ) q t = A cos t + B sin t, i = 1, q ip = ih ii i ii i 0 * ( ω ) ( ω ) qi t = Ph i t + Aii cos it + Bii sin it, i= 1, µερικήλύση q οµογεν ής λύση q 1P 1h ❷

17 ❶... * qip = Ph i t q ip = 0 σταθερά ελατηρίου γενικευμένη δύναμη διέγερσης * * G i ωi Pi h = Gih, i = 1, ωi Pi = Gi, i = 1, Pi = const, i 1, = = ωi ισοδύναμο στατικό πλάτος... G i Qi, ST = Pi = const, i 1, = = ωi ❷ ( ω ) ( ω ) qi t = Q i, ST + Aii cos it + Bii sin it, i = 1, ❸

18 υπολογισμός σταθερών συντελεστών... Pi Aii Bii αρχικές συνθήκες... + t = 0 t = 0 για και όχι για την οποία η συνάρτηση Heaviside δεν ορίζεται ❸... ~1 0 cos( ω ) sin ( ω ) q t = Q + A t + B t = 0, i = 1, Q, + A = 0 A = Q, i i, ST ii i ii i ~0 i ST ii ii i ST η ταχύτητα... ω ( ω ) ω ( ω ) + t = 0 t = 0 q t = A sin t + B cos t, i = 1, i i ii i i ii i για και όχι για την οποία η συνάρτηση Heaviside δεν ορίζεται ❹... ~0 ~1... q i = 0 ωiaii sin ( ωit) ωi ii ( ωi ) ωi ii ( ωi ) + B cos t = 0, i = 1, B cos t = 0, i = 1, πρέπει να ισχύει για κάθε ιδιοσυχνότητα Bii = 0, i = 1, ❺ ωi

19 ❹ ❸... ❺ * * ( ω ) ( ω ) qi t = Q i, ST h t Q i, ST cos it = Q i, ST h t cos it, i = 1, αριθμητική αντικατάσταση για... i =1 ❻ G ισοδύναμο στατικό πλάτος P1 = Q1, ST = P = 1 = 1.89 ω = * cos( ω ) = 1.89 * cos( ω ) q1 t Q 1, ST h t 1t q1 t h t 1t ❼ αριθμητική αντικατάσταση για... i = ισοδύναμο στατικό πλάτος... G P = Q, ST = P = = ω.81 και... ❻ q * * t = Q, ST h t cos ωt q t = h cos( ωt) ❽

20 επομένως... ❼ (Ι) ❽ x1 =Φ 1q1 +Φ q x x cos cos x ( h ( ω1t) ) h ( ωt) 1 = * + *... x = h x * cos 1.00 ( ω t) cos ( ω t)...

21 ... x * = h t 1t t x cos( ω ) cos( ω ) ισοδύναμο στατικό πλάτος ταλάντωση με συχνότητα ω... υπέρθεση +... υπέρθεση + ταλάντωση με συχνότητα ω1 οι ταλαντώσεις των δύο βαθμών ελευθερίας δεν είναι ανεξάρτητες μεταξύ τους αλλά ακολουθούν την αναλογία που προσδιορίζει (ισοδύναμα, δεσμεύει ή ρυθμίζει ή προκαθορίζει) το ιδιοάνυσμα

22 ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ... Α το ισοδύναμο στατικό πλάτος είναι αντιστρόφως ανάλογο της ιδιοσυχνότητας G i Qi, ST =, i 1, = ωi όσο αυξάνεται η τάξη της ιδιοσυχνότητας τόσο το ισοδύναμο στατικό πλάτος θα είναι μικρότερο (το ισοδύναμο ελατήριο θα είναι ποιο δύσκαμπτο και ως εκ τούτου, η συνεισφορά στη δυναμική συμπεριφορά του συστήματος θα είναι μικρότερη)

23 ή... εξίσωση ισορροπίας του δυναμικού συστήματος T T ωi m T iiq i + kiiqi = Xi F q i + qi = Xi F qi = Xi F ωi kii kii ω ( ) i, τόσο ο όρος 1 ω i q i όσο αυξάνεται η τιμή της ιδιοσυχνότητας τείνει στο 0 (ο οποίος εκφράζει τη δυναμική απόκριση του συστήματος), άρα απομένει η ισοδύναμη στατική απόκριση του συστήματος

24 ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ... ποσοτικά, η συνεισφορά του ου ιδιοανύσματος είναι πολύ μικρότερη της συνεισφοράς του 1 ου ιδιοανύσματος Β πλάτος γενικευμένης δύναμης G δευτέρου ιδιοανύσματος = < 0 όταν η διεγείρουσα δύναμη τείνει να μετακινήσει τις μάζες του συστήματος προς την ίδια κατεύθυνση, το ιδιοάνυσμα με αρνητική τιμή τείνει να μετακινήσει τις μάζες προς την αντίθετη κατεύθυνση αυτό το ιδιοάνυσμα τείνει να αναιρέσει την επιβαλλόμενη δύναμη μείωση του πλάτους της δύναμης, η οποία διεγείρει το αντίστοιχο ιδιοάνυσμα

25 ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ... Όσο, δε, μεγαλύτερη είναι η τάξη του ιδιοανύσματος (δηλαδή όσο μεγαλύτερος είναι ο αύξων αριθμός που αντιστοιχεί στα, ταξινομημένα κατά αύξουσα σειρά, ιδιοανύσματα, π.χ. δέκατο ιδιοάνυσμα) τόσο πιο ανώμαλη είναι η μορφή του ιδιοανύσματος. Ποιοτικά, μπορούμε να πούμε ότι κάθε ιδιοάνυσμα λειτουργεί ως φίλτρο, το οποίο φιλτράρει τη γεωμετρική κατανομή της δύναμης. Έτσι, όσο πιο ανώμαλη είναι η μορφή του ιδιοανύσματος, τόσο πιο ισχυρό φίλτρο καθίσταται το ιδιοάνυσμα, με αποτέλεσμα τα πλάτη των γενικευμένων δυνάμεων να είναι μικρότερα.

26 Ευχαριστώ για την προσοχή σας! Εργαστήριο Δυναμικής & Κατασκευών Δρ. Αντωνιάδης Ι..... Δρ. Γιακόπουλος Χ....