ΣΥΝΕ ΡΙΟ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΑΘΗΝΑ, 31 ΜΑΙΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ 2013 ΕΥΘΕΙΟΓΕΝΩΝ ΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ ΤΟΥ 3 ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Α. Π. Θ.

Transcript

1 1 1 Ο ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟ ΣΥΝΕ ΡΙΟ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΑΘΗΝΑ, 31 ΜΑΙΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ 2013 ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΕΣ ΣΧΕΤΙΚΕΣ ΚΑΘΕΤΟΠΟΙΗΣΕΙΣ MANHART ΕΥΘΕΙΟΓΕΝΩΝ ΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ ΤΟΥ 3 Ι. ΚΑΦΦΑΣ, Σ. ΣΤΑΜΑΤΑΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Α. Π. Θ. 1

2 1. Στοιχεία σχετικών καθετοποιήσεων υπερεπιφανειών C r υπερεπιφάνεια του n+1 Φ: =,,,,,,, U n Καµπυλότητα Gauss: 0 Σχετική καθετοποίηση της Φ είναι µια C s -απεικόνιση, r > s 1, : n+1 τέτοια ώστε (α) Φ, (β) (1,2,, ) T P Φ. (Φ, ): σχετικά καθετοποιηµένη υπερεπιφάνεια Συνάρτηση στήριξης της : = ξ, ( 0 Φ) Σχετική µετρική: =,!" = h!" 2

3 ι ι Γ γ Σ φα γ κß ιι üνα Σ òòικ ý ικýν Αο Þ Ý λ Σ γ ßτ ι Þ νγ κη ξ η ΟΙ υ

4 = II (, )+ = h () / / + Εξισώσεις eingarten Σ Γ: / = / Σχετική καµπυλότητα: Κ = det( ) Μέση σχετική καµπυλότητα: H = Τανυστής του Darboux: =, G l G k / ιάνυσµα Tchebychev: = /, = =, = ln!" #$% & ιάνυσµα στήριξης της σχετικής καθετοποίησης ' = ( ) II (,) = G + ),,, /, =. = II (, )+ 4

5 -./ = / 0 Αναλλοίωτος του Pick: J = Theorema Egregium της Σ Γ: III ( 1, ), = -./ (2 + 2)', ((), S = J + 4 (. Καθετοποιήσεις Manhart (α) : (α) = (8 ), Ευκλείδεια καθετοποίηση (8 = 0), (Ισο)αφινική καθετοποίηση (8 = ), Σχετική II-καθετοποίηση (8 = ). 5

6 2. Βασικές έννοιες και σχέσεις από τη θεωρία των ευθειογενών επιφανειών Ευθειογενής C 3 -επιφάνεια Φ 3 : (:,;) = <(:) + ;=(:), (:,;) U := I = = = > = 1, < >,= > = 0, Συνοδεύον τρίακµο Kruppa { =(:),?(:),@(:)}:? == = =? στρεβλότητα: A = (=, = >,< > ) κωνική καµπυλότητα: B = (=, = >,= >> ) σύσφιγξη: C = ( =, < > ) < > = AE= + A@, E = cotσ = F <,= H F <,@ H / = AE= + ;? + A@, / = =, ξ = I?(J@ = =?,? = = + = κ? 6 K

7 L = (I% K M, N detst U = ; + A 3. Ευθειογενείς επιφάνειες του 3 σχετικά καθετοποιηµένες = N A / + / (BN + A > ;) A = + A N ; / AN? ; + N / V = N )SJI UI) /" ) /% SK % I JU = + )JK% ) /% (;? + A@), I % IK X = Y ( + ) = Y S; + I % K Z ) N / U{[B; + 2A / + (BN + A ; A E) / ]N A (E; A )}. ; + N / = 0 = _(`) K, a(:) 0. 7

8 Πρόταση. Για µία σχετικά καθετοποιηµένη ευθειογενή επιφάνεια Φ E 3 οι ακόλουθες ιδιότητες είναι ισοδύναµες: α) Η σχετική κάθετος σε κάθε σηµείο P της Φ κείται πάνω στο αντίστοιχο ασυ- µπτωτικό επίπεδο. β) Το διάνυσµα T σε κάθε σηµείο P της Φ είναι παράλληλο στην αντίστοιχη γενέτειρα. γ) Η συνάρτηση στήριξης είναι της µορφής = _(`), όπου a(:) είναι τυχούσα µη µηδενιζόµενη C 2 -συνάρτηση. Ορισµός. Μία συνάρτηση στήριξης της µορφής = _(`), τις αντίστοιχες σχετικές καθετοποιήσεις και τις προκύπτουσες σχετικές εικόνες τις ονοµάζουµε ασυµπτωτικές. K = b + _ I,> + _ I % ;c= + _ I?. K 8

9 Όλες οι ευθειογενείς επιφάνειες, οι οποίες έχουν παράλληλες γενέτειρες, κοινή στρεβλότητα και είναι ασυµπτωτικά καθετοποιηµένες µε κοινή συνάρτηση στήριξης, έχουν κοινή ασυµπτωτική εικόνα. X = 0, d = 4 = (_, = % _ % I % I M = 0 = e = 0, Το µέτρο του διανύσµατος Tchebychev, ως προς τη σχετική µετρική, για οποιαδήποτε ασυµπτωτική καθετοποίηση της Φ µηδενίζεται ταυτοτικά 9

10 4. Εκφυλισµός της σχετικής εικόνας σε καµπύλη ή σηµείο = b + _ I,> + _ I % ;c= + _ I?, B = 0 = +_ I,> = + _ I? Α. Εκφυλισµός σε καµπύλη a A(g cos: + g sin:),g,g, (,, ) = 0, l = + _ I, + _ I Εκφυλισµός σε τόξο κύκλου a = A(g cos: + g sin: + m), g, g, n = (g sin: g cos:)= + (g cos: + g sin:)?, (:) = (g sin: g cos:)= + (g cos: + g sin: + m)?. Β. Εκφυλισµός σε σηµείο a = A(g cos: + g sin:), g, g, = (g sin: g cos:)= + (g cos: + g sin:)?. 10

11 Πρόταση. Έστω µια ασυµπτωτικά καθετοποιηµένη ευθειογενής επιφάνεια Φ E 3. Η ασυµπτωτική της εικόνα εκφυλίζεται: α) Σε καµπύλη, και µάλιστα επίπεδη, αν και µόνο αν η Φ είναι κωνοειδής και a A(g cos: + g sin:),g,g. Ειδικότερα, η σχετική εικόνα της Φ είναι τόξο κύκλου ακτίνας m, αν και µόνο αν η συνάρτηση a ορίζεται από τη σχέση a = A(g cos: + g sin: + m), g, g. β) Σε σηµείο αν και µόνο αν η Φ είναι κωνοειδής και a = A(g cos: + g sin:), g, g. 11

12 5. Γνήσιες και µη γνήσιες σχετικές σφαίρες = o a A p > + Ba A ;&= + a A? Α. Γνήσια σχετική σφαίρα: = T(:,;) + q, T C 2 Φ γνήσια σχετική σφαίρα = g + q, g *, (α) a = I%, g r *, B 0, (β)+ I, + I (1 + BE) = 0, Αντιστρόφως: από (α) fl 4 = g ( g = I? +I, = + ;= (1), από < > = AE= + A@ και (β) fl < > = o I >? +I, =p, 12

13 οπότε < = I? +I, = + q, q = σταθερό διάνυσµα (2). Από τις (1) και (2) προκύπτει = g + q, g *. Β. Μη γνήσια σχετική σφαίρα: = h(:,;)t, h C 2, Φ µη γνήσια σχετική σφαίρα = t. Πρόταση. Έστω µια ασυµπτωτικά καθετοποιηµένη ευθειογενής επιφάνεια Φ 3. Τότε: α) Η Φ είναι γνήσια σχετική σφαίρα αν και µόνο αν η συνάρτηση a ορίζεται από την a = I% r, g * και µεταξύ των θεµελιωδών αναλλοιώτων της Φ ισχύει η σχέση + I, + I (1 + BE) = 0. 13

14 β) Η Φ είναι µη γνήσια σχετική σφαίρα αν και µόνο αν η συνάρτηση a ορίζεται από την a = A(g cos: + g uv2:), g, g και η Φ είναι κωνοειδής. 6. Σχετικά κυκλικά σηµεία και σχετικές εστιακές επιφάνειες Από τις 4 = (_ I %, = % _ % I M fl 4 = 0, w = 4 + ( 1) 4, v = 1, 2 fl w = w = 4 Σχετική εστιακή επιφάνεια της Φ: Φ * : = < + ;= + z, Φ * : = < + I% _ +_ I, = I? 14

15 Συµπέρασµα: Η σχετική εστιακή επιφάνεια Φ * εκφυλίζεται σε µια καµπύλη Γ * και όλες οι σχετικές κάθετοι κατά µήκος µιας γενέτειρας αποτελούν µια επίπεδη κεντρική δέσµη ευθειών µε κέντρο πάνω στη Γ *. Το συµπέρασµα αυτό γενικεύει ένα α- ποτέλεσµα των P. A Schirokow, A. P Schirokow που αναφέρεται σε αφινικά καθετοποιηµένες ευθειογενείς επιφάνειες. Η καµπυλότητα της Γ * µηδενίζεται ταυτοτικά ακριβώς τότε, όταν ισχύουν οι σχέσεις: a = I% r και +I, + I (1 + BE) = 0, οπότε είναι = {. Πρόταση. Έστω ευθειογενής µη κωνοειδής επιφάνεια Φ 3, ασυµπτωτικά καθετοποιηµένη. Τότε η µοναδική σχετική εστιακή επιφάνεια της Φ εκφυλίζεται σε κα- µπύλη και στην ειδική περίπτωση που η Φ είναι γνήσια σχετική σφαίρα εκφυλίζεται σε σηµείο. 15

16 Έστω (: } ) ένα σηµείο της γραµµής συσφίγξεως Γ της Φ και ~(: } ) το αντίστοιχο σηµείο πάνω στην εστιακή καµπύλη Γ *. Αν θεωρήσουµε όλες τις ασυµπτωτικές καθετοποιήσεις της Φ, τότε ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων ~(: } ) είναι µια ευθεία παράλληλη στο διάνυσµα =(: } ). Με τον τρόπο αυτό προκύπτει µια ευθειογενής επιφάνεια Φ ** της οποίας µια διανυσµατική παράσταση είναι Φ ** : = < + I% _ +_ I, = I? + ;=, < = < I? + +I, =. A = (<, =,?)= 0, 16

17 7. Σχέσεις µεταξύ ευθειογενούς επιφάνειας και της σχετικής της εικόνας Φ 0 : } = < } + ; } =, A }, B }, E }, } = _ K = = = > = 1, < > },= > = 0, Ψ 1 : = b + _ I, > + _ I % ; } c= + _ I? = < + ; = Γ 1 : < = d = + d?, d = _ I, ; = 4 } ; } A = A } 4 }, B = B }, E = +, 17, N = 4 } N } T = Sd + d + 4 } ; } U + N } 4 }, T = 4 } Sd + d + 4 } ; } U T = 4 }, T = N } 4 } h = (I z, h K = 0, h = I % z% K%

18 Καµπυλότητα Gauss της Ψ 1 : L = / L z %. Συµπεράσµατα για τις επιφάνειες Φ 0 και Ψ 1 οι επιφάνειες Φ 0 και Ψ 1 είναι ακριβώς τότε ίσες (A } = A, B } = B, E } = E ), όταν ισχύουν οι σχέσεις a } = I %, + I, + I (1 + B } E } ) = 0, δηλαδή ακριβώς τότε, όταν η Φ 0 είναι γνήσια σχετική σφαίρα, η σχετική εικόνα Ψ 1 της Φ 0 είναι ακριβώς τότε ορθοειδής (E = 0), όταν a } = A } (g gƒu: + g uv2:), g, g, η γραµµή συσφίγξεως της Ψ 1 είναι ακριβώς τότε ασυµπτωτική γραµµή αυτής (B = E ) όταν + _ I, >> + _ I (1 + B } ), η γραµµή συσφίγξεως της Ψ 1 είναι ακριβώς τότε γραµµή καµπυλότητας αυτής (1 + B E = 0), όταν a } = A } (g : + g ), g, g, 18

19 η σχετική εικόνα Ψ 1 της Φ 0 είναι ακριβώς τότε επιφάνεια Edlinger (A = 1 + B E = 0), όταν a } = g I, B } = r "`r %, g, g, g, Ερώτηµα: Υπάρχει για την επιφάνεια Φ 0 «προηγούµενη», δηλαδή υπάρχει επιφάνεια Φ * ώστε µια ασυµπτωτική της εικόνα να είναι η Φ 0 ; Ικανή και αναγκαία συνθήκη για να έχει «προηγούµενη» η αρχική επιφάνεια Φ 0 είναι να ισχύει η + I, + I (1 + B } E } ) = 0, δηλαδή η γραµµή συσφίγξεως της Φ 0 να ορίζεται από την < } = + I, = + I? + q, q = σταθερό διάνυσµα 19

20 Καθετοποιούµε ασυµπτωτικά την Ψ 1 µε συνάρτηση στήριξης = _ " K " = _ " z K, (Φ 0 Ψ 1 ) Ψ 2 : = < + ; =, Γ 2 : < = d = + d?, d = _ " I ", ; = 4 ; A = A, B = B, E = " " + " ", Καµπυλότητα Gauss της Ψ 2 : L = / L " z " %., N = ; + A = N 4 Μέση σχετική καµπυλότητα και σχετική καµπυλότητα της Ψ 1 : 4 = _ " _ z, = + _ " _, /. 20

21 Συµπεράσµατα για τις επιφάνειες Φ 0, Ψ 1, Ψ 2 η Ψ 1 είναι γνήσια σχετική σφαίρα αν και µόνο αν a = ga } 4 }, g, οι Φ 0 και Ψ 2 είναι ακριβώς τότε ίσες, όταν a = a }, + I, + I (1 + B } E } ) = 0, οι Ψ 1 και Ψ 2 είναι ακριβώς τότε ίσες, όταν A } a = B } a }, η Ψ 2 είναι ακριβώς τότε ορθοειδής, όταν a = _ I (g gƒu: + g uv2:),g uv2:),g,g, η γραµµή συσφίγξεως της Ψ 2 είναι ακριβώς τότε ασυµπτωτική γραµµή αυτής, ό- ταν + I _ " _, >> + I _ " _ (1 + B } ) = 0, η γραµµή συσφίγξεως της Ψ 1 είναι ακριβώς τότε γραµµή καµπυλότητας αυτής, όταν a = _ I (g : + g ), g,g, η Ψ 2 είναι ακριβώς τότε επιφάνεια Edlinger, όταν 21

22 a = r_ I και B } = r "`r %, g, g,g, Συνεχίζουµε την διαδικασία των διαδοχικών ασυµπτωτικών καθετοποιήσεων, καθετοποιόντας την Ψ 2 µε συνάρτηση στήριξης = _ % K %, οπότε στην v καθετοποίηση µε συνάρτηση στήριξης = _ K λαµβάνουµε την ευθειογενή επιφάνεια Ψ i +1. Για κάθε ευθειογενή της ακολουθίας {Ψ i }, i έχουµε Ψ i+1 : = < + ; =, v = 1, 2, < = d = + d?, d = _, ; I = 4 ; A = A 4, B = B }, E = ( +, &, N = 4 N Καµπυλότητα Gauss: L = / L z %. 22

23 Mέση σχετική καµπυλότητα και σχετική καµπυλότητα της Ψ i+1, 4 = _ $" _ z, = + _ $" _, /. Με αυτόν τον τρόπο των διαδοχικών ασυµπτωτικών καθετοποιήσεων δηµιουργείται µια "αλυσίδα" ευθειογενών επιφανειών µε παράλληλες τις αντίστοιχες γενέτειρές τους και αντίστοιχα διανυσµατικά πεδία Tchebychev παράλληλα προς το διάνυσµα = : Φ 0, Ψ 1,, Ψ i, Ερώτηµα: Κλείνει η "αλυσίδα" των ευθειογενών επιφανειών; ηλαδή, υπάρχει επιφάνεια Ψ i τέτοια ώστε όλες οι άλλες, µετά από αυτήν να επαναλαµβάνονται; Αν a = a }, v = 1, 2, τότε A = A, v = 0, 1, 2, E = E, v = 1, 2, Ψ i+2 = Ψ i, v = 1, 2,. ηλαδή η "αλυσίδα" των ευθειογενών επιφανειών ουσιαστικά τερµατίζεται στην Ψ 2. 23

24 8. Γενικευµένες Σχετικές Καθετοποιήσεις Manhart = _(`) Kˆ, a(:) C2, a(:) 0 : I,, (1) Καθετοποιήσεις Manhart: a(:) = A 7 και = 48 (8 ) Ασυµπτωτικές καθετοποιήσεις: = 1 Ευκλείδεια καθετοποίηση (a = 1 και = 0) αφινική καθετοποίηση (a = A " % και = 1) σχετική ΙΙ- καθετοποίηση (a = A και = 2) Τις καθετοποιήσεις (1) συµβολίζουµε µε ΓΣΚ- Manhart = = + Œ? 24

25 = I % Kˆ!" ( Ba; + A a Aa ), Œ = SŽJ% I % U_ IKˆ$", = (Ž()_J Kˆ$", = / + /, = ((Ž)_J IKˆ$", = I % Kˆ$" {N a 2(1 )B; + (1 2 )A + 2Aa + 2( 1)A Ea;}, Εξετάζουµε πότε το διανυσµατικό πεδίο είναι ασυµπίεστο και πότε αστρόβιλο ως προς τη σχετική µετρική, όταν η επιφάνεια Φ είναι εφοδιασµένη µε µια ΓΣΚ- Manhart. v; e = ασυµπίεστο v; e = {, (e š ) bs det ( ) U / + S det ( ) U / c, dets U = (I% K % ) % v; e = ((Ž)_ I % Kˆ$Z B; + A (2B + E); 2A A ; + A (B E) = 0, 25

26 = 1 ή A = B = E = 0, Πρόταση. Έστω ευθειογενής επιφάνεια Φ 3, εφοδιασµένη µε µια ΓΣΚ-Manhart. Το διανυσµατικό πεδίο gh œ gh ;, ως προς τη σχετική µετρική, είναι ακριβώς τότε ασυµπίεστο, όταν η καθετοποίηση είναι ασυµπτωτική ή η Φ είναι κοινή ελικοειδής. mƒž e = = αστρόβιλο mƒž e = {, (e š ) ( + ) / ( + ) / 0, = Tm (:,;) G (,) = / /, v, = 1,2. G (lnφ(: ), ), φ(: ) =!" %# #$% #$% %# = + ), %#, ) = 2 _ K"!ˆ + g,g. I " % 26

27 ιανυσµατικό πεδίο στήριξης της σχετικής καθετοποίησης: ' = ' / + ' /, = ŽJ IK, = I % _K { a N SB; + A U A E; Aa N }, v; e ' = (e š ) bs det ( ) U / + S det ( ) U / c, v; e ' = Ž I % _K Z ( ; + Y ; Y + ; + } ), = ( + 1)Ba, Y = A a 2Aa, = A a[( + 2)B + (1 )E], = 2A ( 1)A a Aa, } = A a(b E). 27

28 Πρόταση. Έστω ευθειογενής επιφάνεια Φ 3, εφοδιασµένη µε µια ΓΣΚ-Manhart. Το διανυσµατικό πεδίο ' είναι ακριβώς τότε ασυµπίεστο, ως προς τη σχετική µετρική, όταν ισχύει µια από τις παρακάτω ιδιότητες: α) είναι = 2, a = ga, g * και η Φ ορθό κωνοειδές, β) είναι = 0, γ) είναι a = σταθερή και η Φ κοινή ελικοειδής. mƒž e ' = 1 det ( ) ( + ) / ( + ) / 0 ' = Tm u(:,;) G (u,) = u / /, v, = 1,2. ' = G ( ), ). u = Kˆ + g, g. _ 28

29 Μέση σχετική καµπυλότητα: 4 = I % Kˆ$Z( ; + Y ; Y + ; + ; + } ), = ( 3)Ba, Y = (1 )(2Aa A a), = [( 4 1)B + (1 )E]A a, = ( 1)A [(2 + 1)A a 2Aa ], } = A a[ ( + 1)B + ( 1)E]. Πρόταση. Έστω ευθειογενής επιφάνεια Φ E 3, εφοδιασµένη µε µια ΓΣΚ- Manhart. Η Φ είναι ακριβώς τότε σχετικά ελαχιστική, όταν ισχύει µια από τις παρακάτω ιδιότητες: α) η a είναι σταθερή και η Φ κοινή ελικοειδής, β) είναι = 1, η a ορίζεται από την a = g A (" %, g * και η Φ είναι ορθό κωνοειδές, γ) είναι = 1 και η Φ κωνοειδής 29