ΠΕΡΙ ΤΟΥ ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΥ ΧΩΡΟΥ ΤΩΝ ΣΜΗΝΩΝ ΕΥΘΕΙΩΝ ΤΟΥ E 3 ΜΕ ΚΟΙΝΗ ΜΕΣΗ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΥΣΑ.. Παπαδοπούλου Αριστοτέλειο Πανεπιστήµιο Θεσσαλονίκης
|
|
- Ζεφύρα Γαλάνης
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 ΠΕΡΙ ΤΟΥ ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΥ ΧΩΡΟΥ ΤΩΝ ΣΜΗΝΩΝ ΕΥΘΕΙΩΝ ΤΟΥ E 3 ΜΕ ΚΟΙΝΗ ΜΕΣΗ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΥΣΑ. Παπαδοπούλου Αριστοτέλειο Πανεπιστήµιο Θεσσαλονίκης
2 . Βασική θεωρία των σµηνών ευθειών του Ε 3. Ο διανυσµατικός χώρος των σµηνών ευθειών µε κοινή µέση περιβάλλουσα 3. Εσωτερικό γινόµενο σµηνών ευθειών
3 . Βασική θεωρία των σµηνών ευθειών του Ε 3 Στον τριδιάστατο ευκλείδειο χώρο E 3 ένα σµήνος ευθειών S (ή απλά σµήνος) είναι ένα διπαραµετρικό σύνολο προσανατολισµένων ευθειών που ορίζεται από την εξίσωση όπου xuvt ( ) = OP+ te < t<+ ( uv ) 3 OP = P( u v) : επιφάνεια αφετηρίας του S Υποθέτουµε: e ( ) 3 u v : µοναδιαίο διάνυσµα κατεύθυνσης των ευθειών τουs : απλώς συναφής τόπος του (u v)-επιπέδου. S C 3 ( ) Η σφαιρική απεικόνιση του σµήνους είναι αµφιµονότιµη. Η επιφάνεια αφετηρίας Puvταυτίζεται ( ) µε τη µέση επιφάνεια του S. 3
4 D { Puv ( ) e( uv )/ i 3} = = : ορθοµοναδιαίο θετικά προσανατολισµένο τρίακµο i Υπάρχουν διαφορικές µορφές του Pfaff σ ω i j = 3 i ij dp 3 = σ e i= i i de Συνθήκες ολοκληρωσιµότητας 3 = ω e ωij + ω ji = i j = 3. j ji i i= 3 σ iei = i= d( ) Από την υπόθεση ( uv ) ισχύουν 3 d( ω jiei ) =. i= ω 3 ω3 ω3 σ + σ ω 3 =. 4
5 Υπάρχουν συναρτήσεις quv ( ) quv ( ) τέτοιες ώστε dω3 = qω3 ω3 dω3 = qω3 ω3. Πρώτη θεµελιώδης τετραγωνική µορφή του S : I = ( de 3 ) = ω + ω 3 3 Για την καµπυλότητα k τη µέση καµπυλότητα h και την ορική απόσταση z του S: σ σ k = ω ω 3 3 σ ω3+ σ ω3 h = ω ω 3 3 z = h k. 5
6 OM = M ( u v) : µέση περιβάλλουσα (Μ.Π.) του S Η απεικόνιση Puv ( ) M ( uvείναι ) αµφιµονότιµη Υπάρχουν συναρτήσεις auv ( ) buv ( ) ( uv ) ώστε MP = auve ( ) + buve ( ) 6 OP = OM + MP = OM + a( u v) e + b( u v) e.
7 Είναι γνωστό ότι η µόνη συνθήκη που οφείλουν να ικανοποιούν οι auv ( ) buv ( ) είναι db ( a ) = ( r+ r) () ω3 ω3 ω3 ω3 όπου r r είναι οι πρωτεύουσες ακτίνες καµπυλότητας της M ( uv. ) H () είναι ισοδύναµη µε την εξίσωση H () a+ b qa qb= K όπου είναι οι παράγωγοι του Pfaff ως προς τις µορφές ω3 ω 3 Η η µέση καµπυλότητα και Κ η καµπυλότητα της M ( uv. ) Αν a ( u v ) b ( ) u v είναι µια µερική λύση της () το σύνολο των λύσεών της έχει τη µορφή όπου ϕ( uv ) C ( uv ). a = a ϕ b= b + ϕ 7
8 . Ο διανυσµατικός χώρος των σµηνών ευθειών µε κοινή µέση περιβάλλουσα 3 ίνεται οµαλή επιφάνεια OM = M ( u v) C Κ ( uv ). Ας είναι { ( )/ 3} e u v i = ορθοµοναδιαίο συνοδεύον τρίακµο της M ( uv ) όπου e 3 ( u v ) i είναι το καθετικό διάνυσµα της M ( uv. ) Σε κάθε λύση { auv ( ) buv} ( ) της διαφορικής εξίσωσης db ( ω aω ) = ( r+ r) ω ω αντιστοιχεί ένα σµήνος S του οποίου η M.Π. είναι η M ( uv. ) Πράγµατι: Οι ευθείες του S είναι παράλληλες προς τα καθετικά διανύσµατα e ( u v ) της ( ) 3 M uv και η µέση επιφάνειά του OP = P( u v) ορίζεται από τη σχέση OP = OM + a( u v) e + b( u v) e. 8
9 S:{ OP = P( u v) e3 ( u v) } ( uv ) ή ισοδύναµα S:{ M ( uv ) auv ( ) buv ( )} ( uv ). Έτσι το σύνολο των σµηνών ευθειών που έχουν την M ( uv ) ως µέση περιβάλλουσα ορίζεται από τριάδες της παραπάνω µορφής. Ας είναι S σµήνος ευθειών που έχει ως Μ.Π. τη δοθείσα επιφάνεια M ( uv. ) S : { M ( uv ) a ( u v) b ( u v )} όπου a b είναι λύσεις της () και OP = P ( u v) η µέση επιφάνεια (Μ.Ε.) του S OP = OM+ a( uve ) + b( uve ). Ονοµάζουµε Π(S ) το σύνολο των σµηνών του Ε 3 που έχουν την ίδια µέση περιβάλλουσα M ( uv ) µε το σµήνος S. 9
10 Κάθε σµήνος του Π(S ) ορίζεται από τα ζεύγη των συναρτήσεων { auv ( ) buv} ( ) µε a = a ϕ b= b + ϕ ϕ( uv ) C. Είναι φανερό ότι όλες οι συναρτήσεις φ i i N που διαφέρουν κατά µία σταθερά ( ϕ i = ϕ + ci) αντιστοιχούν στο ίδιο σµήνος S Π(S ). Στο εξής λοιπόν όταν θα λέµε «η συνάρτηση ϕ ( uv ) αντιστοιχεί στο σµήνος S Π(S )» θα εννοούµε έναν αντιπρόσωπο της κλάσης ϕ i. Ειδικότερα στην περίπτωση των σταθερών συναρτήσεων i i θεωρούµε ως αντιπρόσωπο της κλάσης τη µηδενική συνάρτηση ( ϕ =). Ώστε: ϕ = c i N θα οθέντος του σµήνους S σε κάθε συνάρτηση ϕ ( uv ) αντιστοιχεί ακριβώς ένα σµήνος S τέτοιο ώστε τα S και S να έχουν την ίδια Μ.Π. και σε κάθε σµήνος S Π(S ) αντιστοιχεί το πολύ µέχρι µιας σταθεράς ακριβώς µια συνάρτηση ϕ ( uv ).
11 Μπορούµε λοιπόν να θεωρήσουµε ότι κάθε σµήνος S Π(S ) ορίζεται µονότιµα από ένα ζεύγος της µορφής (S ϕ ) ϕ C Για το σµήνος S ισχύει S =(S ). S: = (S ϕ ). Θεωρούµε δυο σµήνη S φ = (S ϕ ) S ψ = (S ψ ) Π(S ) ϕ ψ C. Ορίζουµε ως: Άθροισµα των σµηνών S φ = (S ϕ ) S ψ = (S ψ ) Π(S ) το σµήνος S φ+ψ =(S ϕ +ψ ) Π(S ) S φ + S ψ := S φ+ψ Γινόµενο ενός πραγµατικού αριθµού και ενός σµήνους S φ = (S ϕ ) αν λ R το σµήνος S λφ =(S λϕ) Π(S ) λs φ := S λφ.
12 Επαληθεύεται εύκολα ότι: Το σύνολο των σµηνών Π(S ) που έχουν την ίδια Μ.Π. M ( uvµε ) δοθέν σµήνος S εφοδιασµένο µε τις παραπάνω πράξεις είναι ένας απειροδιάστατος πραγµατικός διανυσµατικός χώρος. Το ουδέτερο στοιχείο του Π(S ) είναι το δοθέν σµήνος S. Ένας διανυσµατικός υποχώρος του Π(S ) είναι το σύνολο Η(S ) των σµηνών που έχουν την ίδια Μ.Π. και την ίδια µέση καµπυλότητα µε το S. Ας είναι h h φ οι µέσες καµπυλότητες των σµηνών S S φ Π(S ) αντίστοιχα. Ισχύει όπου ϕ( uv ) C και ϕ h φ = h + = + q q είναι ο δεύτερος τελεστής του Beltrami ως προς την πρώτη θεµελιώδη µορφή της σφαιρικής εικόνας του S [D. PAPADOPOULOU (989)].
13 Τα σµήνη που έχουν την ίδια Μ.Π. και την ίδια µέση καµπυλότητα µε το S αντιστοιχούν σε συναρτήσεις ϕ( uv ) C που ικανοποιούν τη σχέση ϕ =. Ο τελεστής είναι διγραµµικός και εποµένως το Η(S ) είναι κλειστό ως προς τις παραπάνω πράξεις. 3
14 3. Εσωτερικό γινόµενο σµηνών ευθειών Θεωρούµε δυο σµήνη ευθειών S φ = (S φ) S ψ = (S ψ ) Π(S ) όπου ϕ ψ C και ας είναι OP ϕ = P ( u v) και OPψ = P ( u v) οι αντίστοιχες µέσες επιφάνειές τους. Ισχύουν: ϕ ψ OPϕ = OM + ( a ϕ) e+ ( b + ϕ ) e OPψ = OM + ( a ψ) e + ( b + ψ) e. Λαµβάνοντας υπόψη ότι για τη Μ.Ε. OP = P ( u v) του δοθέντος σµήνους S ισχύει OP = OM + ae+ be οι προηγούµενες εξισώσεις παίρνουν τη µορφή OPϕ = OP ϕe + ϕe OPψ = OP ψ e + ψ e. 4
15 Συνεπώς PPϕ = ϕe + ϕe Τότε PPψ = ψ e + ψ e. PPϕ PPψ = ϕ ψ + ϕ ψ = ( ϕ ψ) όπου ( ϕ ψ ) είναι η µικτή διαφορική παράµετρος του Beltrami ως προς την πρώτη θε- µελιώδη µορφή της σφαιρικής εικόνας του S dϕ de3 dψ de3 ( ϕ ψ ) = ω ω ω ω Ο τελεστής αυτός είναι συµµετρικός και διγραµµικός. 5
16 Η απεικόνιση : Π(S ) Π(S ) R που ορίζεται από τη σχέση Sϕ Sψ : = PPϕ PPψ ω ω 3 3 είναι εσωτερικός πολλαπλασιασµός γιατί είναι συµµετρική διγραµµική και ισχύει Εξάλλου επειδή 3 3 Sϕ S = ϕ PP ϕ ω ω PP ϕ =( ϕ ) ( ϕ ) +. και Sϕ S = ϕ ϕ = ϕ = ϕ = c c=σταθ.. προκύπτει Sϕ S = S ϕ φ = S όπου S το µηδενικό στοιχείο του Π(S ). 6
17 Εσωτερικό γινόµενο των σµηνών S φ S ψ Π(S ): ο αριθµός S S PPϕ PPψ ω ω = ( φ ψ+ φ ψ) ω ω = ϕ ψ Μέτρο του σµήνους S φ Π(S ): ο µη αρνητικός αριθµός S ϕ := S S S ϕ είναι το ολοκλήρωµα Dirichlet S ϕ = [( ϕ ) + ( ϕ) ] ω3 ω3. ϕ ϕ. Υποθέτουµε ότι: Η σφαιρική εικόνα των παραµετρικών γραµµών της M ( uv ) είναι ορθογώνιο δίκτυο οπότε I=e(uv)du +g(uv)dv e(uv)> g(uv)>. 7
18 Θέτουµε χωρίς περιορισµό της γενικότητας Επειδή προκύπτει Βρίσκουµε ω 3 = edu ω 3 = gdv. dϕ = ϕω + ϕω = ϕ du+ ϕ dv 3 3 u v ϕ u v ϕ = =. e Sϕ S = ψ ( gϕψ u u + eϕψ v v) du dv eg ϕ ϕ g + e du dv. S ϕ = ( ϕu ϕv ) eg g 8
19 Αν η σφαιρική εικόνα των παραµετρικών γραµµών της M ( uv ) είναι ισοµετρικό δίκτυο δηλαδή e(uv)=g(uv)> και I=e(uv)[du + dv ]. u u v v S ϕ = ( ϕu + ϕv ) du dv. Sϕ S = ψ ( ϕψ + ϕψ ) du dv Εξάλλου για µια συνάρτηση ϕ( uv ) C µε υπολογισµό των δεύτερων παραγώγων του Pfaff και των συναρτήσεων q q έχουµε e ϕ φ= ( ϕ ) uu +. Ας είναι ϕ ( uv ) +i ψ ( uv ) µια αναλυτική συνάρτηση της µιγαδικής µεταβλητής u+iv. Κάνοντας χρήση των συνθηκών Cauchy-Riemann vv ϕ u =ψ v ϕ v= ψ u από τους τρείς παραπάνω τύπους παίρνουµε αντίστοιχα 9
20 Sϕ S = ψ S ϕ = S ψ Ανατρέχοντας στη σχέση φ= ψ=. ϕ h φ = h + για τις µέσες καµπυλότητες των σµηνών S φ S ψ παίρνουµε h φ = h ψ = h.
21 Συµπέρασµα: Σε κάθε αναλυτική συνάρτηση ϕ ( uv ) +i ψ ( uv ) της µιγαδικής µεταβλητής u+iv αντιστοιχούν δύο σµήνη S φ = (S φ) S ψ = (S ψ ) που έχουν την ίδια Μ.Π. M ( uv ) µε το δοθέν σµήνος S και τις παρακάτω ιδιότητες: Το εσωτερικό γινόµενό τους είναι µηδέν. Τα µέτρα τους είναι ίσα. Έχουν την ίδια µέση καµπυλότητα µε το σµήνος S.
22 Άµεσες συνέπειες: Αν το S είναι τυχαίο καθετικό σµήνος (h =) τότε και τα S φ S ψ είναι καθετικά. Στην ειδική περίπτωση που η επιφάνεια M ( uv ) είναι ελαχιστική και το S είναι το καθετικό σµήνος της M ( uv ) από το παραπάνω συµπέρασµα προκύπτει ανάλογη γνωστή πρόταση [N.K.STEPHANIDIS()]. Αν το S είναι ισότροπο σµήνος για τις µέσες καµπυλότητες των σµηνών S φ S ψ ισχύει όπου k είναι η καµπυλότητα του S. h φ = h ψ = ± k Προκύπτει από τον τύπο της ορικής απόστασης z = h k.
23 ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ Ας είναι {Ο i j k } ένα καρτεσιανό σύστηµα συντεταγµένων του Ε 3. Θεωρούµε το τµήµα του τόρου µε παραµετρική παράσταση Ζητούµε: OM = M ( u v) =( r+ cosu) cosvi + ( r+ cosu) sin vj + sinuk π 3π r = σταθ. > < u< <v< π. i) Το σύνολο των σµηνών ευθειών που έχουν την M ( uv ) ως µέση περιβάλλουσα. ii) Αν S είναι ένα σµήνος που έχει ως µέση περιβάλλουσα την M ( uv ) να υπολογίσουµε το µέτρο σµήνους S φ Π(S ) για τον τόπο : π 3 π < u < <v< π. Οι παραµετρικές γραµµές u = σταθ. v = σταθ. είναι οι γραµµές καµπυλότητας της 3
24 M ( uv. ) Άρα η σφαιρική εικόνα τους είναι ορθογώνιο δίκτυο. Εκλέγουµε ως συνοδεύον τρίακµο της M ( uv ) το τρίακµο { e( u v)/ i = 3}: e M u vi u vj + uk u = = sin cos sin sin cos M u i e e 3 M vi + vj v = = sin cos M v M M u v = = Mu Mv cosucosvi cosusin vj sinuk. Με χρήση των τριών παραπάνω σχέσεων και της βρίσκουµε άρα ω de = ω e + ω e = du ω = cosudv 3 3 e(uv)= g(uv)=cos u. 4
25 Yπολογίζουµε τις παραγώγους του Pfaff ως προς τις µορφές ω3 ω 3. Για τυχαία συνάρτηση ϕ( uv ) C ισχύει ϕ ϕ = u ϕv ϕ =. cosu Το σύνολο των σµηνών που έχουν την M ( uv ) ως Μ.Π. ορίζεται από τα ζεύγη των συναρτήσεων { auv ( ) buv} ( ) που ικανοποιούν την εξίσωση H () a+ b qa qb=. K Εξάλλου είναι Η διαφορική εξίσωση () γίνεται K cosu r+ cosu = H = r + cos u r+ cosu q = q = tgu. 5
26 (3) bv r a u tgua cosu + = cosu +. Μια µερική λύση της είναι a = u b = uvsinu rv. Θεωρούµε σµήνος S := { M ( uv ) a( uv ) b( uv )}. Το σύνολο των λύσεων της (3): ϕv a= u+ b= uvsin u rv ϕu cosu Ας είναι ϕ ( uv ) = u. ϕ( uv ) C. Για το µέτρο του S φ Π(S ) στον τόπο ισχύει ο τύπος g + e du dv. S ϕ = ( ϕu ϕv ) eg 6
27 Κατά συνέπεια δηλαδή u du dv= ( 4cosudu ) dv=8π S ϕ = ( 4cos ) 3π π π S = ϕ π. 7
28 ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ οθείσης της Μ.Π. M ( uv ) αν αντί του σµήνους S θεωρήσουµε ένα άλλο σµήνος S S S που έχει ως Μ.Π. την M ( uv ) θα προκύψει ο διανυσµατικός χώρος Π( S ). Τα σύνολα Π(S ) Π( S ) ταυτίζονται. Οι αντίστοιχοι διανυσµατικοί χώροι είναι ισόµορφοι. Π(S ): S = (S ) { ab} Π( S ): S = ( S S = (S ϕ ) { ab } a = a ϕ b = b + ϕ a= a ϕ b= b + ϕ ϕ ) { ab} S = ( S = (S ϕ ) { ab} S ) { ab } ϕ uv C ( ) ϕ( uv ) C. S = ( S ϕ ) { ab} Βρίσκουµε a = a ϕ b = b + ϕ a = a ϕ b= b + ϕ ϕ uv C ( ) ϕ ( uv ) C. ϕ = φ + c c=σταθ. φ = φ φ + c c =σταθ. 8
29 Γνωρίζουµε ότι στο διανυσµατικό χώρο Π(S ) ισχύει S = S = [( ) + ( ) ] 3 3 ϕ ϕ ω ω S = [( ϕ ) + ( ϕ) ] ω3 ω3. Συµβολίζουµε µε S το µέτρο σµήνους S του διανυσµατικού χώρου Π( S S * ). Είναι S = * S S = S * [ ( ϕ ) + ( ϕ) ] ω3 ω 3 S * = [ S ( ) ( ) ] 3 3 ϕ + ϕ ω ω 9
30 Βρίσκουµε S = S * [ ( ϕ ) + ( ϕ) ] ω3 ω 3 = ( ) ( ) S * = [ S ( ) ( ) ] 3 3 ϕ + ϕ ω ω = ( ) ( ) [ ϕ + ϕ ] ω3 ω 3 = {[ ϕ ϕ ] + [ ϕ ϕ ] } ω ω 3 3 [ ϕ + ϕ ] ω3 ω3+ [ ( ϕ ) + ( ϕ) ] ω3 ω 3 = ( ) ( ) ( ) φ φ + φ φ ω ω 3 3 S = S + S SS. 3
31 Συµπέρασµα Θεωρούµε τα σµήνη S S S που έχουν κοινή µέση περιβάλλουσα M ( uv. ) Τότε Ισχύουν: S = (S ) S = (S ϕ ) S = (S ϕ ) Π(S ) και S = ( S ϕ ) S = ( S ) S = ( S ϕ ) Π( S ). i) ϕ = φ + c c=σταθ. φ = φ φ + c c =σταθ.. ii) S = S S * S = S * S + S SS. 3
32 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ J. Hoschek: Liniengeometrie Zurich 97. P. Koltsaki S. Stamatakis: Über eine von J. Hoschek erzeugte Klasse von Strahlensystemen. Manuscr. Math (986). D. Papadopoulou: Vectorräume die Strahlensystemen zugeordnet sind. Manuscripta Math (989). Ν. Κ. Stephanidis: Existenzfragen für Strahlensysteme. Arch. Math (963) Ν. Κ. Stephanidis: Minimalflächen und Strahlensysteme. Arch. Math (983) Ν. Κ. Stephanidis: On the vectorspace of the M-congruences. J.eom. No (). K. Strubecker: Differentialgeometrie II Berlin
Η μέθοδος του κινουμένου τριάκμου
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Μαθηματικών Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών Ειδίκευση Θεωρητικών Μαθηματικών Σ Σταματάκη Η μέθοδος του κινουμένου τριάκμου Σημειώσεις
Διαβάστε περισσότεραΗμερολόγιο μαθήματος
ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Α.Π.Θ. ΜΑΘΗΜΑ: ΚΛΑΣΙΚΗ ΔΙΑΦΟΡΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤPΙΑ Ι ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 2018 19 Τμήμα Α Διδάσκων: Kαθηγητής Στυλιανός Σταματάκης Website URL: http://stamata.webpages.auth.gr/geometry/ Ημερολόγιο
Διαβάστε περισσότερα14 η εβδομάδα (26/01/2017) Έγιναν οι ασκήσεις 28, 29 και 30. Έγινε επανάληψη στη Θεωρία Καμπυλών και στη Θεωρία Επιφανειών.
14 η εβδομάδα (26/01/2017) Έγιναν οι ασκήσεις 28, 29 και 30. Έγινε επανάληψη στη Θεωρία Καμπυλών και στη Θεωρία Επιφανειών. 13 η εβδομάδα (16/01/2017 & 19/01/2017) Ασυμπτωτική διεύθυνση και ασυμπτωτικό
Διαβάστε περισσότεραΑΣΚΗΣΕΙΣ. 4. Να βρεθεί η κάθετη καμπυλότητα του υπερβολικού παραβολειδούς. 5. Να βρεθεί η κάθετη καμπυλότητα της ελικοειδούς επιφάνειας.
ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Α.Π.Θ. ΜΑΘΗΜΑ: ΚΛΑΣΙΚΗ ΔΙΑΦΟΡΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΙΙ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 2018 19 Kαθηγητής Στυλιανός Σταματάκης URL: http://stamata.webpages.auth.gr/geometry/ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να εξεταστεί πώς αλλάζει
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 1 Εισαγωγικά
Κεφάλαιο 1 Εισαγωγικά 1.1 Από το διαφορικό λογισµό Ας είναι E 3 ο τριδιάστατος ευκλείδειος σηµειακός χώρος και V 3 ο αντίστοιχος διανυσµατικός του. Θεωρούµε ένα καρτεσιανό σύστηµα συντεταγµένων S = {A
Διαβάστε περισσότεραΚλασικη ιαφορικη Γεωµετρια
Αριστοτελειο Πανεπιστηµιο Θεσσαλονικης Σχολη Θετικων Επιστηµων, Τµηµα Μαθηµατικων, Τοµεας Γεωµετριας Κλασικη ιαφορικη Γεωµετρια Πρώτη Εργασία, 2018-19 1 Προαπαιτούµενες γνώσεις και ϐασική προετοιµασία
Διαβάστε περισσότεραΣτοχαστικά Σήµατα και Εφαρµογές
Στοχαστικά Σήµατα & Εφαρµογές Ανασκόπηση Στοιχείων Γραµµικής Άλγεβρας ιδάσκων: Ν. Παπανδρέου (Π.. 407/80) Πανεπιστήµιο Πατρών ΤµήµαΜηχανικώνΗ/Υ και Πληροφορικής ιανύσµατα Ορίζουµετοδιάνυσµα µε Ν στοιχεία
Διαβάστε περισσότεραΕυκλείδειοι Χώροι. Ορίζουµε ως R n, όπου n N, το σύνολο όλων διατεταµένων n -άδων πραγµατικών αριθµών ( x
Ευκλείδειοι Χώροι Ορίζουµε ως R, όπου N, το σύνολο όλων διατεταµένων -άδων πραγµατικών αριθµών x, x,, x ) Tο R λέγεται ευκλείδειος -χώρος και τα στοιχεία του λέγονται διανύσµατα ή σηµεία Το x i λέγεται
Διαβάστε περισσότεραΓραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4
Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laihtml
Διαβάστε περισσότεραΕνότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών
Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 1 Εισαγωγη : Πραξεις επι Συνολων και Σωµατα Αριθµων
Διαβάστε περισσότεραΣΧΕΤΙΚΑ ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΣΤΟΝ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΟ ΧΩΡΟ Ε 3
11 ο Πανελλήνιο Συνέδριο Γεωμετρίας Πανεπιστήμιο Αθηνών 31 Μαΐου Ιουνίου 013 ΣΧΕΤΙΚΑ ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΣΤΟΝ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΟ ΧΩΡΟ Ε 3 Δρ. Δεληβός Ιωάννης Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης 1 1. ΣΧΕΤΙΚΑ
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 EΥΘΕΙΕΣ ΚΑΙ ΕΠΙΠΕ Α ΣΤΟ ΧΩΡΟ
ιανύσµατα ΚΕΦΑΛΑΙΟ EΥΘΕΙΕΣ ΚΑΙ ΕΠΙΠΕ Α ΣΤΟ ΧΩΡΟ Kαλούµε διάνυσµα AB ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα µε άκρα τα Α και Β Το σηµείο Α καλείται σηµείο εφαρµογής του διανύσµατος AB, ενώ το σηµείο Β καλείται
Διαβάστε περισσότεραΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος;
ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; AB A (αρχή) B (πέρας) Στη Γεωµετρία το διάνυσµα ορίζεται ως ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα, δηλαδή ως ένα ευθύγραµµο τµήµα του οποίου τα άκρα θεωρούνται
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 5
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 5 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laii018/laii018html ευτέρα 3 Απριλίου 018 Αν C = x
Διαβάστε περισσότεραKεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων
4 Εισαγωγή Kεφάλαιο 4 Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων Εστω διανυσµατικό πεδίο F: : F=F( r), όπου r = ( x, ) και Fr είναι η ταχύτητα στο σηµείο r πχ ενός ρευστού στο επίπεδο Εστω ότι ψάχνουµε τις τροχιές
Διαβάστε περισσότεραΣΥΝΕ ΡΙΟ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΑΘΗΝΑ, 31 ΜΑΙΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ 2013 ΕΥΘΕΙΟΓΕΝΩΝ ΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ ΤΟΥ 3 ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Α. Π. Θ.
1 1 Ο ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟ ΣΥΝΕ ΡΙΟ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΑΘΗΝΑ, 31 ΜΑΙΟΥ 2013-2 ΙΟΥΝΙΟΥ 2013 ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΕΣ ΣΧΕΤΙΚΕΣ ΚΑΘΕΤΟΠΟΙΗΣΕΙΣ MANHART ΕΥΘΕΙΟΓΕΝΩΝ ΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ ΤΟΥ 3 Ι. ΚΑΦΦΑΣ, Σ. ΣΤΑΜΑΤΑΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Α. Π. Θ. 1
Διαβάστε περισσότερα(2) Θεωρούµε µοναδιαία διανύσµατα α, β, γ R 3, για τα οποία γνωρίζουµε ότι το διάνυσµα
Πανεπιστηµιο Ιωαννινων σχολη θετικων επιστηµων τµηµα µαθηµατικων τοµεας αλγεβρας και γεωµετριας αναλυτικη γεωµετρια διδασκων : χρηστος κ. τατακης υποδειξεις λυσεων των θεµατων της 7.06.016 ΘΕΜΑ 1. µονάδες
Διαβάστε περισσότεραΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΣΤΟΝ ΧΩΡΟ MINKOWSKI R 1
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ Π.Μ.Σ. ΤΜΗΜΑΤΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΣΤΟΝ ΧΩΡΟ MINKOWSKI R 1 3 ΑΛΕΞΑΝΔΡΑ ΕΛΕΥΘΕΡΙΑΔΟΥ ΕΠΙΒΛΕΠΩΝ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ: ΓΕΩΡΓΙΟΣ
Διαβάστε περισσότεραΣυνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών. ε > υπάρχει ( ) ( )
Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών 7 Η Ευκλείδεια απόσταση που ορίσαµε στον R επιτρέπει ( εκτός από τον ορισµό των ορίων συναρτήσεων και ακολουθιών και τον ορισµό της συνέχειας συναρτήσεων της µορφής
Διαβάστε περισσότεραΓραµµικη Αλγεβρα ΙΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 10
Γραµµικη Αλγεβρα ΙΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 0 Επαναληπτικες Ασκησεις ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθοι Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laiihtml
Διαβάστε περισσότεραΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ
ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Άξονας Έστω η ευθεία x x (σχ. 21) και τα σηµεία Ο, Ι πάνω σ αυτή, ώστε ΟΙ= i όπου i το µοναδιαίο διάνυσµα, δηλαδή ένα διάνυσµα που θεωρούµε ότι η φορά του είναι θετική και το µέτρο
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 4 ιανυσµατικοί Χώροι
Κεφάλαιο 4 ιανυσµατικοί Χώροι 4 ιανυσµατικοί χώροι - Βασικοί ορισµοί και ιδιότητες ιανυσµατικοί Χώροι Ένας ιανυσµατικός Χώρος V (δχ) είναι ένα σύνολο από µαθηµατικά αντικείµενα (αριθµούς, διανύσµατα, πίνακες,
Διαβάστε περισσότεραΑλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2
Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Τετάρτη 17 Οκτωβρίου 2012 Ασκηση 1.
Διαβάστε περισσότεραΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 2
ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι Τµηµα Β Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2016/asi2016.html Πέµπτη 3 Μαρτίου 2016 Αν (G, ) είναι
Διαβάστε περισσότεραΑλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2
Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδες Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2014/asi2014.html, https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114
Διαβάστε περισσότεραKεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων.
4 Εισαγωγή Kεφάλαιο 4 Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων Εστω διανυσµατικό πεδίο F: : F=F( r), όπου r = ( x, ) και Fr είναι η ταχύτητα στο σηµείο r πχ ενός ρευστού στο επίπεδο Εστω ότι ψάχνουµε τις τροχιές
Διαβάστε περισσότεραds ds ds = τ b k t (3)
Γενικά Μαθηματικά ΙΙΙ Πρώτο σετ ασκήσεων, Λύσεις Άσκηση 1 Γνωρίζουμε ότι το εφαπτόμενο διάνυσμα ( t), ορίζεται ως: t = r = d r ds (1) και επιπλέον το διάνυσμα της καμπυλότητας ( k), ορίζεται ως: d t k
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ: ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΘΕ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚH Ι (ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 - ΛΥΣΕΙΣ Άσκηση. (6 µον.) Ελέγξτε ποια από τα επόµενα σύνολα είναι διανυσµατικοί χώροι
Διαβάστε περισσότερα1 η Εργασία Ηµεροµηνία αποστολής: 19 Νοεµβρίου 2006
η Εργασία Ηµεροµηνία αποστολής: 9 Νοεµβρίου 6. α. Να βρεθεί η γωνία µεταξύ των διανυσµάτων a = i + j k και b = 6 i j + k. β. Να δείξετε ότι τα διανύσµατα a, b, c είναι ορθογώνια και µοναδιαία. a = ( i
Διαβάστε περισσότεραΥπολογισµός τριπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση
00 Υπολογισµός τριπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση Στην παράγραφο αυτή θα δούµε πως µπορεί να χρησιµοποιηθεί το θεώρηµα Fubini για τον υπολογισµό τριπλών ολοκληρωµάτων. Ξεκινούµε µε την διατύπωση
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ 6. Βέλτιστες προσεγγίσεις σε ευκλείδειους χώρους Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε προσεγγίσεις που ελαχιστοποιούν αποστάσεις σε διανυσµατικούς χώρους, µε νόρµα που προέρχεται
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 Επαναληπτικες Ασκησεις
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Τµηµα Β ΠΕΡΙΤΤΟΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 Επαναληπτικες Ασκησεις ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laii8/laii8html Παρασκευή 4 Ιουνίου
Διαβάστε περισσότεραΔιάνυσμα του Plücker
ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Α.Π.Θ. ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΕΙΔΙΚΕΥΣΗ ΘΕΩΡΗΤΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑ: ΕΥΘΕΙΑΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 2016-17 Διδάσκων: Αναπλ. Kαθηγητής Στυλιανός Σταματάκης ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1.
Διαβάστε περισσότεραΠαρουσίαση 1 ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ
Παρουσίαση ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Παρουσίαση η Κάθετες συνιστώσες διανύσµατος Παράδειγµα Θα αναλύσουµε το διάνυσµα v (, ) σε δύο κάθετες µεταξύ τους συνιστώσες από τις οποίες η µία να είναι παράλληλη στο α (3,) Πραγµατικά
Διαβάστε περισσότεραThanasis Kehagias, 2009
Μέρος II Αναλυτικη Γεωµετρια 33 34 Το παρον τευχος περιεχει συντοµη ϑεωρια, λυµενες και αλυτες ασκησεις Αναλυτικης Γεωµετριας. Κατα τη γνωµη µου, για τους περισσοτερους ανθρωπους, ο µονος τροπος εξοικειωσης
Διαβάστε περισσότεραΑσκήσεις. Κεφάλαιο 6. a = a 0 + x 1 b 1 + x 2 b 2 + x 3 b 3, όπου b i = a i a 0, i = 1, 2, 3, P 2 = {(x, y, z) R 3 : x 2y + 3z = 2}.
Κεφάλαιο 6 Ασκήσεις 1. (αʹ) ώστε δράση του Χ R 2 στο αφινικό επίπεδο P = {(x, y, z) R 3 : x = 2}. Επίσης, δώστε µία αφινική ϐάση τριών σηµείων (a 0, a 1, a 2 ) και ϐρείτε τις ϐαρυκεντρικές συντεταγµένες
Διαβάστε περισσότεραx 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x.
Κεφάλαιο 4 Μήκη και ορθές γωνίες Μήκος διανύσµατος Στο επίπεδο, R 2, ϐρίσκουµε το µήκος ενός διανύσµατος x = (x 1, x 2 ) χρησιµοποιώντας το Πυθαγόρειο ϑεώρηµα : x 2 = x 2 1 + x 2 2. Στο χώρο R 3, εφαρµόζουµε
Διαβάστε περισσότεραΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών. ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών
54 ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών Ένας στέρεος ορισµός της παραγώγισης για συναρτήσεις πολλών µεταβλητών ανάλογος µε τον ορισµό για συναρτήσεις µιας µεταβλητής
Διαβάστε περισσότεραΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Σεπτέµβριος 2006
ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Σεπτέµβριος 006 Θέµα ο. Για την διαφορική εξίσωση + ' =, > 0 α) Να δειχτεί ότι όλες οι λύσεις τέµνουν κάθετα την ευθεία =. β) Να βρεθεί η γενική λύση. γ) Να βρεθεί και να σχεδιαστεί
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά για μηχανικούς ΙΙ ΛΥΣΕΙΣ/ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ
Μαθηματικά για μηχανικούς ΙΙ ΛΥΣΕΙΣ/ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Κεφάλαιο 1 1 Να βρείτε (και να σχεδιάσετε) το πεδίο ορισμού των πιο κάτω συναρτήσεων f (, ) 9 4 (γ) f (, ) f (, ) 16 4 1 D (, ) :9 0, 4 0 (, ) :
Διαβάστε περισσότεραΘέµατα Μαθηµατικών Θετικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου 1999
Θέµατα Μαθηµατικών Θετικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου 999 Ζήτηµα ο Α. Έστω a, ) και β, ) δύο διανύσµατα του καρτεσιανού επιπέδου Ο. α) Να εκφράσετε χωρίς απόδειξη) το εσωτερικό γινόµενο των διανυσµάτων a και
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. 1.1 Γενικά
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1.1 Γενικά Στη Φυσική συχνά συναντούµε ποσότητες που χαρακτηρίζονται πλήρως από µία αριθµητική τιµή και άλλες που χαρακτηρίζονται όχι µόνο από αριθµητική τιµή αλλά και
Διαβάστε περισσότερα14 η εβδομάδα (27/01/2017) Έγιναν οι ασκήσεις 39, 41 και 42. Έγινε επανάληψη και λύθηκαν ερωτήματα και απορίες.
14 η εβδομάδα (27/01/2017) Έγιναν οι ασκήσεις 39, 41 και 42. Έγινε επανάληψη και λύθηκαν ερωτήματα και απορίες. 13 η εβδομάδα (20/01/2017) Έγιναν οι ασκήσεις 31, 32, 33, 34, 36 και 37 11 η 12 η εβδομάδα
Διαβάστε περισσότεραΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2008
-6 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 8.doc ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 8 ΘΕΜΑ ο Έστω, α,β, α β και ν α i = βi () β αi α) Να αποδείξετε ότι ο δεν είναι
Διαβάστε περισσότεραΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ
ΕΝΝΟΙ ΤΟΥ ΙΝΥΣΜΤΟΣ Όπως είναι γνωστό από τη φυσική, τα διάφορα µεγέθη διακρίνονται σε βαθµωτά και διανυσµατικά. αθµωτά είναι τα µεγέθη τα οποία χαρακτηρίζονται µόνο από το µέτρο τους. Τέτοια µεγέθη είναι
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 4
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Τµηµα Β (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebrai/lai218/lai218html Παρασκευή 23 Νοεµβρίου 218 Ασκηση 1
Διαβάστε περισσότερα1.2 Συντεταγμένες στο Επίπεδο
1 Συντεταγμένες στο Επίπεδο Τι εννοούμε με την έννοια άξονας; ΑΠΑΝΤΗΣΗ Πάνω σε μια ευθεία επιλέγουμε δύο σημεία και Ι έτσι ώστε το διάνυσμα OI να έχει μέτρο 1 και να βρίσκεται στην ημιευθεία O Λέμε τότε
Διαβάστε περισσότεραΜηχανική ΙI. Λογισµός των µεταβολών. Τµήµα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου 2/2000
Τµήµα Π Ιωάννου & Θ Αποστολάτου 2/2000 Μηχανική ΙI Λογισµός των µεταβολών Προκειµένου να αντιµετωπίσουµε προβλήµατα µεγιστοποίησης (ελαχιστοποίησης) όπως τα παραπάνω, όπου η ποσότητα που θέλουµε να µεγιστοποιήσουµε
Διαβάστε περισσότεραΚλασικη ιαφορικη Γεωµετρια
Αριστοτελειο Πανεπιστηµιο Θεσσαλονικης Σχολη Θετικων Επιστηµων, Τµηµα Μαθηµατικων, Τοµεας Γεωµετριας Κλασικη ιαφορικη Γεωµετρια Τρίτη Εργασία, 2018-19 Επιφάνειες Εξάσκηση µε ϐασικούς υπολογισµούς κινούµενης
Διαβάστε περισσότερα11. Η έννοια του διανύσµατος 22. Πρόσθεση & αφαίρεση διανυσµάτων 33. Βαθµωτός πολλαπλασιασµός 44. Συντεταγµένες 55. Εσωτερικό γινόµενο
Παραουσίαση βιβλίου αθηµατικών Προσαναταλισµού Β Λυκείου. Η έννοια του διανύσµατος. Πρόσθεση & αφαίρεση διανυσµάτων 33. Βαθµωτός πολλαπλασιασµός 44. Συντεταγµένες 55. Εσωτερικό γινόµενο Παραουσίαση βιβλίου
Διαβάστε περισσότεραΚαρτεσιανό Σύστηµα y. y A. x A
Στη γενική περίπτωση µπορούµε να ορίσουµε άπειρα συστήµατα συντεταγ- µένων τα οποία να µας επιτρέπουν να προσδιορίσουµε τη θέση ενός σηµείου. Στη Φυσική χρησιµοποιούνται αρκετά. Τα βασικά από αυτά θα εξετάσουµε
Διαβάστε περισσότερα14 ΚΑΜΠΥΛΟΓΡΑΜΜΕΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ
SECTION 4 ΚΑΜΠΥΛΟΓΡΑΜΜΕΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ 4. Γενικοί Ορισµοί Η θέση ενός σηµείου P στον τρισδιάστατο Ευκλείδειο χώρο µπορεί να καθορισθεί µε ορθογώνιες καρτεσιανές συντεταγµένες (x y οι οποίες µετριώνται
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙ ιδάσκων : Ε. Στεφανόπουλος 12 ιουνιου 2017
Πανεπιστηµιο Πατρων Πολυτεχνικη Σχολη Τµηµα Μηχανικων Η/Υ & Πληροφορικης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙ ιδάσκων : Ε. Στεφανόπουλος 12 ιουνιου 217 Θ1. Θεωρούµε την συνάρτηση f(x, y, z) = 1 + x 2 + 2y 2 z. (αʹ) Να ϐρεθεί
Διαβάστε περισσότερα1.1 Η Έννοια του Διανύσματος
ΙΝΥΣΜΤΙΚΟΟΙΣΜΟΣ 11 Η Έννοια του ιανύσματος ΜΘΗΣΙΚΟΙ ΣΤΟΧΟΙ: Ο µαθητής ϖρέϖει: να κατανοήσει τις έννοιες : διάνυσµα, µηδενικό διάνυσµα, φορέας-διεύθυνση, κατεύθυνση - φορά, µέτρο διανύσµατος, ϖαραλληλία
Διαβάστε περισσότερα{ } S= M(x, y,z) : x= f (u,v), y= f (u,v), z= f (u,v), για u,v (1.1)
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 1. Γενικά Επειδή οι επιφάνειες δευτέρου βαθµού συναντώνται συχνά στη µελέτη των συναρτήσεων πολλών µεταβλητών θεωρούµε σκόπιµο να τις περιγράψουµε στην αρχή του βιβλίου
Διαβάστε περισσότεραX u, X u. Z = X u. W EG F 2 (X v F E X u). X u, X v X v, X v
Κεφάλαιο 6 Το Θαυμαστό Θεώρημα Σύνοψη Στο Κεφάλαιο αυτό αποδεικνύουμε ένα από τα δύο κεντρικά θεωρήματα της θεωρίας επιφανειών το άλλο είναι το Θεώρημα των auss-bonnet. Το θεώρημα αυτό είναι γνωστό ως
Διαβάστε περισσότεραΟ αναλυτικός δείκτης και η χαρακτηριστική του Euler 1
Ο αναλυτικός δείκτης και η χαρακτηριστική του Euler 1 Ιάκωβος Ανδρουλιδάκης users.uoa.gr/ iandroul iandroul@math.uoa.gr Πανεπιστήμιο Αθηνών, Τμήμα Μαθηματικών, Τομέας Άλγεβρας-Γεωμετρίας Περίληψη Στη διάλεξη
Διαβάστε περισσότερα1 Οι πραγµατικοί αριθµοί
1 Οι πραγµατικοί αριθµοί 1.1 Σύνολα αριθµών Το σύνολο των ϕυσικών αριθµών N = {1, 2, 3,...} Το σύνολο των ακεραίων Z = {... 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,...}. Οι ακέραιοι διαµερίζονται σε άρτιους και περιττούς
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά για μηχανικούς ΙΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ
Μαθηματικά για μηχανικούς ΙΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλαιο 1 1 Να βρείτε (και να σχεδιάσετε) το πεδίο ορισμού των πιο κάτω συναρτήσεων f (, ) 9 4 (γ) f (, ) f (, ) 16 4 1 Να υπολογίσετε το κάθε όριο αν υπάρχει ή να
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Τελεστών. Ενότητα: Το ϕασµατικό ϑεώρηµα για αυτοσυζυγείς τελεστές. Αριστείδης Κατάβολος. Τµήµα Μαθηµατικών
Ενότητα: Το ϕασµατικό ϑεώρηµα για αυτοσυζυγείς τελεστές Αριστείδης Κατάβολος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creatve Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,
Διαβάστε περισσότερα13 ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ
ETION 1 13 ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ 13.1 Ορισµοί Μεγέθη Μια ποσότητα που εκφράζεται από ένα µόνο πραγµατικό αριθµό καλείται βαθµωτό µέγεθος. Μια ποσότητα που εκφράζεται από περισσότερους από έναν πραγµατικούς
Διαβάστε περισσότεραΗ ΜΕΤΡΙΚΗ ΤΟΥ ΧΩΡΟΥ. (στην περίπτωση, που γνωρίζουμε το πεδίον ορισμού του δείκτου, θα
Η ΜΕΤΡΙΚΗ ΤΟΥ ΧΩΡΟΥ Η μετρική του χώρου Στην ορίσαμε το εσωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων μέσω των συντεταγμένων τους, όταν οι συντεταγμένες αυτές λαβαίνονται σε ένα Καρτεσιανό σύστημα αναφοράς του Ερχόμαστε,
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά. Β'Λυκείου. Προσανατολισµού Θετικών Σπουδών. Μαρίνος Παπαδόπουλος
Μαθηματικά 'Λυκείου Προσανατολισµού Θετικών Σπουδών Μαρίνος Παπαδόπουλος ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΟΣ 5 Σελ. ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΣ ΛΟΙΣΜΟΣ Ενότητα 1 Η έννοια του διανύσµατος 7 Πράξεις διανυσµάτων 11 Ενότητα 2 Πολλαπλασιασµός
Διαβάστε περισσότεραΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΤΟΜΕΑΣ ΟΜΟΣΤΑΤΙΚΗΣ & ΑΝΤΙΣΕΙΣΜΙΚΩΝ ΕΡΕΥΝΩΝ ΘΕΩΡΙΑ ΚΕΛΥΦΩΝ. Καθ. Βλάσης Κουµούσης
ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΤΟΜΕΑΣ ΟΜΟΣΤΑΤΙΚΗΣ & ΑΝΤΙΣΕΙΣΜΙΚΩΝ ΕΡΕΥΝΩΝ ΘΕΩΡΙΑ ΚΕΛΥΦΩΝ Καθ. Βλάσης Κουµούσης Θεωρία Κελυφών Βασικές αρχές (διαφορική γεωµετρία) Καµπύλη στο χώρο Μοναδιαίο Εφαπτοµενικό ιάνυσµα
Διαβάστε περισσότεραΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ
ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ A u B Μέτρο Διεύθυνση Κατεύθυνση (φορά) Σημείο Εφαρμογής Διανυσματικά Μεγέθη : μετάθεση, ταχύτητα, επιτάχυνση, δύναμη Μονόμετρα Μεγέθη : χρόνος, μάζα, όγκος, θερμοκρασία,
Διαβάστε περισσότεραΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ
ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού
Διαβάστε περισσότεραοµή οµάδας σε Ελλειπτικές Καµπύλες
οµή οµάδας σε Ελλειπτικές Καµπύλες Αριστείδης Κοντογεώργης Τµήµα Μαθηµατικών Πανεπιστηµίου Αθηνών. 18 Νοεµβρίου 2014, 1/24 Ο προβολικός χώρος Εστω K ένα σώµα. Στον χώρο K n+1 {0,..., 0} ορίζουµε την σχέση
Διαβάστε περισσότεραΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΣ 2012 ΘΕΜΑΤΑ Α
ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΣ 0 ΘΕΜΑΤΑ Α Θέµα ο. Να βρεθεί (α) η γενική λύση yy() της διαφορικής εξίσωσης y' y + καθώς και (β) η µερική λύση που διέρχεται από το σηµείο y(/). (γ) Από ποια σηµεία του επιπέδου
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ: ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΘΕ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΉ Ι (ΠΛΗ 12) ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 3
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ: ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΘΕ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΉ Ι (ΠΛΗ ) ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Άσκηση. ( µον.). Έστω z ο µιγαδικός αριθµός z i, µε, R. (α) ίνεται η εξίσωση: z
Διαβάστε περισσότεραΣτην παράγραφο αυτή θα δούµε τις διάφορες µορφές εξισώσεων των κα- µπύλων του χώρου και των επιφανειών. ( )
ΚΕΦΑΛΑΙ 6 ΕΥΘΕΙΑ-ΕΠΙΠΕ 6 Γεωµετρικοί τόποι και εξισώσεις στο χώρο Στην παράγραφο αυτή θα δούµε τις διάφορες µορφές εξισώσεων των κα- µπύλων του χώρου και των επιφανειών ρισµός 6 Θεωρούµε τη συνάρτηση F:Α,
Διαβάστε περισσότεραΤίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Πινάκες και Γραµµικές Απεικονίσεις. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών
Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Πινάκες και Γραµµικές Απεικονίσεις Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 7 Πινακες και Γραµµικες Απεικονισεις Στα προηγούµενα
Διαβάστε περισσότεραΣηµειωσεις Αναλυτικης Γεωµετριας
Σηµειωσεις Αναλυτικης Γεωµετριας Θ. Κεχαγιας Σεπτεµβρης 009, υ.0.96 Περιεχόµενα Εισαγωγη iv Επιπεδα στον Τρισδιαστατο Χωρο. Θεωρια..................................... Λυµενες Ασκησεις..............................
Διαβάστε περισσότεραΔιδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης
Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Παραγοντοποιήσεις Πινάκων και Γραµµικών Απεικονίσεων Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 82 13 Παραγοντοποιήσεις
Διαβάστε περισσότεραΌρια συναρτήσεων. ε > υπάρχει ( ) { } = ± ορίζονται αναλόγως. Η διατύπωση αυτών των ορισµών αφήνεται ως άσκηση. x y = +. = και για κάθε (, ) ( 0,0)
Όρια συναρτήσεων.5. Ορισµός. Έστω, f : Α συνάρτηση συσσώρευσης του Α και b σηµείο. Λέµε ότι η f έχει ως όριο το διάνυσµα b καθώς το τείνει προς το και συµβολίζουµε li = ή f b f b αν και µόνο αν, για κάθε
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ (ΘΕ ΠΛΗ ) ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ TEΛΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ 7 Ιουνίου 8 Θέµα ο ( µονάδες) α) ( µονάδες) yz yz του διανυσµατικού
Διαβάστε περισσότεραKΕΦΑΛΑΙΟ 3. Πλεγµένες συναρτήσεις- Ανάπτυγµα Taylor-Aκρότατα
KΕΦΑΛΑΙΟ 3 Πλεγµένες συναρτήσεις- Ανάπτυγµα Talor-Aκρότατα 3 Πλεγµένες συναρτήσεις Σε πολλές περιπτώσεις συναντούµε µία (ή και περισσότερες) εξισώσεις µεταξύ διαφόρων µεταβλητών πχ της µορφής e + συν (
Διαβάστε περισσότερα1.4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ
34 4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Άξονας Πάνω σε μια ευθεία επιλέγουμε δύο σημεία Ο και Ι, έτσι ώστε το διάνυσμα OI να έχει μέτρο και να βρίσκεται στην ημιευθεία O Λέμε τότε ότι έχουμε έναν άξονα με αρχή
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 1ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανύσματα, Ευθείες Επίπεδα, Επιφάνειες 2ου βαθμού Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος
Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανύσματα, Ευθείες Επίπεδα, Επιφάνειες ου βαθμού Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος. Βρείτε το διάνυσμα με άκρα το Α(3,-,5) και Β(5,,-) ΑΒ=< 5 3, ( ), 5 >=
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 4
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Τµηµα Β (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laii9/laii9html Παρασκευή 9 Μαρτίου 9 Ασκηση Εστω (E,,
Διαβάστε περισσότεραΥπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση
8 Υπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση Υπάρχουν δύο θεµελιώδη αποτελέσµατα που µας βοηθούν να υπολογίζουµε πολλαπλά ολοκληρώµατα Το πρώτο αποτέλεσµα σχετίζεται µε τον υπολογισµό ενός
Διαβάστε περισσότερα5 Γενική µορφή εξίσωσης ευθείας
5 Γενική µορφή εξίσωσης ευθείας Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Θεώρηµα Κάθε ευθεία έχει εξίσωση της µορφής: Ax + By +Γ= 0, µε Α 0 ηβ 0 () και αντιστρόφως κάθε εξίσωση της µορφής () παριστάνει ευθεία γραµµή.
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΑΡΤΙΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 4
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Τµηµα Β (ΑΡΤΙΟΙ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 4 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebrai/lai018/lai018html Παρασκευή 3 Νοεµβρίου 018 Ασκηση
Διαβάστε περισσότεραΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ 4. bt (γιατί;).
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΦΥΕ 1 Τμήμα Α Ακ.Έτος: 6-7 Διδάσκων Σ.Ε.Π. : Τρύφων Δάρας ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ 4 ΚΑΜΠΥΛΕΣ ΣΤΟ ΧΩΡΟ Μία συνάρτηση της μορφής r ():[ aβ, ] (αντίστοιχα r ():[, ] aβ ) λέμε ότι παριστάνει
Διαβάστε περισσότεραΚαµπύλες στον R. σ τελικό σηµείο της σ. Το σ. σ =. Η σ λέγεται διαφορίσιµη ( αντιστοίχως
Καµπύλες στον R 9. Ορισµός Μια καµπύλη στον R είναι µια συνεχής συνάρτηση σ : Ι R R όπου Ι διάστηµα ( συνήθως κλειστό και φραγµένο ) στον R. Συνήθως φανταζόµαστε την µεταβλητή t Ι ως τον χρόνο και την
Διαβάστε περισσότερα( )U 1 ( θ )U 3 ( ) = U 3. ( ) όπου U j περιγράφει περιστροφή ως προς! e j. Γωνίες Euler. ω i. ω = ϕ ( ) = ei = U ij ej j
Γωνίες Euler ΦΥΣ 11 - Διαλ.3 1 q Όλοι σχεδόν οι υπολογισµοί που έχουµε κάνει για την κίνηση ενός στερεού στο σύστηµα συντεταγµένων του στερεού σώµατος Ø Για παράδειγµα η γωνιακή ταχύτητα είναι: ω = i ω
Διαβάστε περισσότεραΚανόνες παραγώγισης ( )
66 Κανόνες παραγώγισης Οι κανόνες παραγώγισης που ισχύουν για συναρτήσεις µιας µεταβλητής, ( παραγώγιση, αθροίσµατος, γινοµένου, πηλίκου και σύνθετων συναρτήσεων ) γενικεύονται και για συναρτήσεις πολλών
Διαβάστε περισσότεραΚ ε φ α λ ά ( ) ( ) ηµθ + = ( )
ΑΣΚΗΣΗ ίνονται οι µιγαδικοί αριθµοί z + 0i για τους οποίους ισχύει: z 4 =. z i. Να δείξετε ότι z =. ii. Αν επιπλέον ισχύει Re( z) Im( z) iii. = να υπολογίσετε τους παραπάνω µιγαδικούς αριθµούς. Για τους
Διαβάστε περισσότεραΝικόλαος. Ατρέας. Αναλυτική Γεωµετρία Α.Π.Θ. Γενικό Τµήµα Πολυτεχνικής σχολής
Νικόλαος Ατρέας Αναλυτική Γεωµετρία ΑΠΘ Γενικό Τµήµα Πολυτεχνικής σχολής Θεσσαλονίκη 9 Περιεχόµενα Κεφάλαιο : Ευκλείδιοι χώροι σελ 4 Πράξεις µε διανύσµατα ιάνυσµα θέσης Καρτεσιανό σύστηµα αξόνων Οι χώροι
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 4
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Τµηµα Β (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laii2019/laii2019html Παρασκευή 29 Μαρτίου 2019 Ασκηση
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο Η2. Ο νόµος του Gauss
Κεφάλαιο Η2 Ο νόµος του Gauss Ο νόµος του Gauss Ο νόµος του Gauss µπορεί να χρησιµοποιηθεί ως ένας εναλλακτικός τρόπος υπολογισµού του ηλεκτρικού πεδίου. Ο νόµος του Gauss βασίζεται στο γεγονός ότι η ηλεκτρική
Διαβάστε περισσότεραΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ
ΕΝΝΟΙ ΤΟΥ ΙΝΥΣΜΤΟΣ Όπως είναι γνωστό από τη φυσική, τα διάφορα µεγέθη διακρίνονται σε βαθµωτά και διανυσµατικά. αθµωτά είναι τα µεγέθη τα οποία χαρακτηρίζονται µόνο από το µέτρο τους. Τέτοια µεγέθη είναι
Διαβάστε περισσότεραKEΦΑΛΑΙΟ 1. Ευκλείδιοι χώροι
KEΦΑΛΑΙΟ Ευκλείδιοι χώροι Kαλούµε διάνυσµα AB ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα µε αρχή το σηµείο Α και πέρας το σηµείο Β Ένα διάνυσµα AB καθορίζεται πλήρως από τη διεύθυνση, τη φορά και το µέτρο του
Διαβάστε περισσότεραΠαράρτηµα Β. Στοιχεία Θεωρίας Τελεστών και Συναρτησιακής Ανάλυσης [ ) ( )
Παράρτηµα Β Στοιχεία Θεωρίας Τελεστών και Συναρτησιακής Ανάλυσης Β1 Χώροι Baach Βάσεις Schauder Στο εξής συµβολίζουµε µε Z,, γραµµικούς (διανυσµατικούς) χώρους πάνω απ το ίδιο σώµα K = ή και γράφουµε απλά
Διαβάστε περισσότεραv Α. Τι ονοµάζουµε εσωτερικό γινόµενο δύο διανυσµάτων, β
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 00 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ o α Α Τι ονοµάζουµε εσωτερικό γινόµενο δύο διανυσµάτων, β Μονάδες 4 Β Να αποδείξετε ότι το εσωτερικό γινόµενο
Διαβάστε περισσότεραΠΡΑΓΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ
1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 : ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 11 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Σε ότι ακολουθεί συμβολίζουμε με το σύνολο των φυσικών αριθμών και με και R τα σύνολα των ακεραίων των ρητών και των πραγματικών αριθμών
Διαβάστε περισσότεραΥπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση
8 Υπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση Υπάρχουν δύο θεµελιώδη αποτελέσµατα που µας βοηθούν να υπολογίζουµε πολλαπλά ολοκληρώµατα. Το πρώτο αποτέλεσµα σχετίζεται µε τον υπολογισµό ενός
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 4
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebrai/lai217/lai217html Παρασκευή 17 Νοεµβρίου 217 Ασκηση
Διαβάστε περισσότεραx 2 = b 1 2x 1 + 4x 2 + x 3 = b 2. x 1 + 2x 2 + x 3 = b 3
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 008-9 ΛΥΣΕΙΣ = 1 (Ι) Να ϐρεθεί ο αντίστροφος του πίνακα 6 40 1 0 A 4 1 1 1 (ΙΙ) Εστω b 1, b, b 3 στο R Να λύθεί το σύστηµα x = b 1 x 1 + 4x + x 3 = b x 1 + x + x
Διαβάστε περισσότεραΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ
6ο κεφάλαιο: Συναρτήσεις ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ) Copyright 2014 Αποστόλου Γιώργος Αποστόλου Γεώργιος apgeorge2004@yahoo.com άδεια χρήσης 3η Εκδοση, Αύγουστος 2014 Περιεχόµενα
Διαβάστε περισσότεραΤίτλος Μαθήματος: Διαφορική Γεωμετρία
71 Τίτλος Μαθήματος: Διαφορική Γεωμετρία Ενότητα: Λσμένα Παραδείγματα Όνομα Καθηγητή: Ανδρέας Αρβανιτογεώργος Τμήμα: Μαθηματικών 71 72 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης
Διαβάστε περισσότερα