i) Να βρεθεί ο χρόνος αιώρησης του διαστηµοπλοίου, µέχρις ότου εξαντληθούν τα καύσιµά του.

Transcript

1 Ένα διαστηµόπλοιο αιωρείται στον αέρα σε στα θερό ύψος από την επιφάνεια της Γης, εκτοξεύοντας καυσαέρια µε σταθερή ταχύτητα v. Η αρχική µάζα του διαστηµόπλοιου µαζί µε τα καύσιµά του είναι m, η δε µάζα των καυσίµων km, µε k<1. i) Να βρεθεί ο χρόνος αιώρησης του διαστηµοπλοίου, µέχρις ότου εξαντληθούν τα καύσιµά του. ii) Nα βρεθεί µε ποιο τρόπο πρέπει να ρυθµίζεται η παροχή καυσαερί ων, ώστε να επιτυγχάνεται η αιώρηση του διαστηµοπλοίου. Δίνεται η επιτάχυνση g της βαρύτητας. ΛΥΣΗ: i) Το διαστηµόπλοιο αποτελεί σώµα από το οποίο εκκρέει µάζα υπό µορφή καυσαερίων και εποµένως κάθε χρονική στιγµή t πριν εξαντληθούν τα καύσιµά του µπορουµε να γράφουµε την σχέση: m d v dt = m g + dm v dt " 1) όπου m η µάζα του διαστηµοπλοίου την χρονική στιγµή t, d v /dt η αντίστοιχη επιτάχυνσή του, dm/dt o αντίστοιχος ρυθµός µεταβολής της µάζας του και v " η σχετική ταχύτητα των καυσαερίων ως προς το διαστηµόπλοιο. Επειδή το Σχήµα 9 διαστηµόπλοιο αιωρείται η επιτάχυνσή του είναι µηδενική η δε η σχετική ταχύτητα των καυσαερίων ταυτίζεται µε την ταχύτητά τους v στο σύστηµα αναφοράς του εδάφους. Έτσι η σχέση 1) γράφεται: = m g + dm v = mg + dm dt dt v dm m = - g dt ) v Oλοκληρώνοντας την σχέση ) παίρνουµε: lnm = - gt v + C 3)

2 H σταθερά ολοκλήρωσης C θα βρεθεί µε βάση την αρχική συνθήκη ότι, για t= είναι m=m, οπότε η 3) δίνει lnm =C και εποµένως γράφεται: lnm = - gt v + lnm lnm - lnm = - gt v ln m " m = - gt v t = v g ln m 4) " m Tην στιγµή t=t * που εξαντλούνται τα καύσιµα του διαστηµοπλοίου είναι m= m -km =1-k)m, όποτε η 4) δίνει: t * = v g ln m " m 1 - k) t * = v g ln 1 5) " 1 - k ii) H σχέση 4) µετασχηµατίζεται ως εξής: ln m = tg " m v m m = etg/v m = m e -tg/v η οποία παραγωγιζόµενη ως προς τον χρόνο δίνει: dm dt = - m g v e-tg/v 6) H 6) δηλώνει ότι η µάζα του διαστηµοπλοίου µειώνεται µε τον χρόνο ακολου θώντας εκθετικό νόµο, που σηµαίνει ότι πρέπει να υπάρχει στο διαστηµόπλοιο κατάληλος µηχανισµός που να ρυθµίζει την εκροή καυσαερίων κατά τέτοιο τρό πο, ώστε κάθε στιγµή να ισχύει η σχέση 6). P.M. fysikos Ένας πύραυλος ξεκινά από την επιφάνεια του εδάφους κινούµενος κατακόρυφα προς τα πάνω µέσα στο βαρυτικό πεδίο της Γης που θεωρείται οµογενές εντάσεως g. Η συνολική µάζα του πυραύλου κατά την στιγµή της εκκίνησής του είναι m η δε µάζα του καυσίµου του πυραύλου είναι m /. Εάν τα καυσαέρια εξέρχονται µε σταθερό ρυθµό dm κ /dt=µ και µε σταθερή σχετική ταχύτητα v " ως προς τον πύραυλο, να βρεθούν: i) η µέγιστη ταχύτητα που θα αποκτήσει ο πύραυλος και ii) η µέγιστη απόσταση του από έδαφος. Δίνεται η επιτάχυνση g της βαρύτητας. ΛΥΣΗ: i) Εάν m είναι η µάζα του πυραύλου ύστερα από χρόνο t αφ ότου πυροδοτήθηκε και d v /dt η αντίστοιχη επιτάχυνσή του, θα ισχύει η σχέση:

3 m d v dt = m g + dm v dt " m d v dt = m g - µ v " d v dt = g - µ v m " 1) Σχήµα 1 όπου τέθηκε dm/dt=-µ, διότι ο ρυθµός µεταβολής της µάζας του πυραύλου είναι αντίθετος του ρυθµού dm κ /dt εκτόξευσης καυσαερίων. Λαµβάνοντας ως θετική την κατεύθυνση κινήσεως του πυραυλου, η διανυσµατική σχέση 1) µετατρέπεται σε αλγεβρική της µορφής: dv dt = -g - µ m -v ) dv " dt = -g + µ m v dv = -gdt + µv " " m dt dv = -gdt + µv " m - µt dt dv = -gdt - v " dm - µt) m - µt ) Oλοκληρώνοντας την ) παίρνουµε: v = -gt - v " ln m - µt) + C 3) H σταθερά ολοκληρώσεως C θα προκύψει από την αρχική συνθήκη, ότι για t= είναι v=, οπότε η 3) δίνει: = -v " ln m ) + C C = v " ln m ) Έτσι η 3) παίρνει την µορφή: m v = -gt + v " ln 4) m - µt' Ο πύραυλός αποκτά την µέγιστη ταχύτητα του v max την στιγµή t * που εξαν τλούνται τα καύσιµά του και σύµφωνα µε τα δεδοµένα του προβλήµατος την στιγµή αυτή είναι m=m /, οπότε η 4) δίνει:

4 m v max = -gt * + v " ln m - µt * ' v max = -g m µ + v ln m " m /' v max = v " ln ) - gm µ 5) ii) Εάν dy είναι η αύξηση της απόστασης y του πυραύλου από το έδαφος µεταξύ των χρονικών στιγµών t και t+dt µε t t * τότε η σχέση 4) γράφεται: dy dt = -gt + v ln m m " dy = -gtdt + v m - µt " ln dt ' m - µt' dy = -gtdt + v " ln m )dt - v " ln m - µt)dt dy = -gtdt + v " ln m )dt + v " µ ln m - µt)d m - µt) 6) Oλοκληρώνοντας την παραπάνω σχέση παίρνουµε: y = - gt + v t ln m " ) + v " µ ln m - µt)d m - µt) + C' 7) όπου C σταθερά ολοκλήρωσης που θα καθορισθεί από τις αρχικές συνθήκες. Όµως είναι γνωστό ότι: lnxdx = xlnx - dx = xlnx - x = xlnx - 1) οπότε η 7) παίρνει την µορφή: y = - gt + v t ln m " ) + v " µ m - µt ) ln m - µt) - 1 Όµως για t= είναι y=, οπότε η 8) δίνει: = m v " µ Έτσι η 8) γράφεται: [ ln m ) - 1] + C' C'= m v " µ [ ] + C' 8) [ 1 - ln m )] [ ] + m v " y=- gt + v t ln m " ) + v " µ m - µt ) ln m - µt) - 1 µ [ 1 - ln m )]

5 η οποία για t=t * δίνει την απόσταση y * του πυραύλου από το έδαφος την στιγµή που τελειώνουν τα καύσιµά του, δηλαδή θα έχουµε: y * = - g m " µ + m v ' µ ln m ) + m v ' µ ) ln m, * " - + m v " µ - m v " µ ln m ) y * = - gm 4µ - m v " µ ln m ) + m v " µ ln m + m v " ' µ y * = - gm 4µ - m v " µ ln m ) + m v " µ ln m ) - m v " µ ln + m v " µ y * = - gm 4µ + m v " µ 1 - ln) 9) Για t>t * ο πύραυλος θα κινείται επιβραδυνόµενος οµαλά µε αρχική ταχύτητα v max και επιβράδυνση g και θα ανέλθει ακόµη κατά y * που υπολογίζεται από την σχέση: y' * = v max g 5) y' * = v " ln ) g y' * = 1 g v ln " ) - gm µ ' + gm 8µ - m v " µ ln ) 1) H µέγιστη απόσταση y max του πυράυλου από το έδαφος είναι y * +y * και λόγω των 9) και 1) θα έχουµε: y max = - gm 4µ + m v " µ y max = - gm 8µ + m v " µ y max = - gm 8µ + m v " µ 1 - ln) + v " ln ) g - m v " µ ln ) + v " ln ) g 1 - ln) + v " ln ) g + gm 8µ - m v " µ ln ) P.M. fysikos

6 Πύραυλος αρχικής µάζας Μ πυροδοτείται στο έδαφος, κατά δε την κίνησή του τα εκτοξευόµενα καυσαέρια έχουν σταθερή σχετική ταχύτητα v " ως προς την άτρακτο του πυράυλου, που κατευθύνεται αντίρροπα προς την κίνησή του. i) Εάν αγνοηθεί το πεδίο βαρύτητας της Γης, να δείξετε ότι η µάζα του πυραύλου µεταβάλλεται µε την ταχύτητά του v στο σύστηµα αναφοράς του εδάφους, σύµφωνα µε την σχέση: M= M e -v/v " ii) Nα βρεθεί η µέγιστη κινητική ενέργεια που θα αποκτήσει ο πύ ραυλος, άν η µάζα του καύσµου υλικού του αποτελεί ένα κλάσµα λ της αρχικής µάζας του Μ. iii) Nα δείξετε ότι η κινητική ενέργεια Κ α των παραγόµενων αερίων ενέργεια απωλειών) από την στιγµή της πυροδοτήσεώς του πυραύλου µέχρι την στιγµή t που αυτός αποκτά ταχύτητα v, δίνεται από την σχέση: K = M v " - M v - v " ) όπου Μ η µάζα του πυραύλου την χρονική στιγµή t. ΛΥΣΗ: i) Έστω v το µέτρο της ταχύτητας του πυραύλου στο σύστηµα αναφο ράς του εδάφους κατά µια τυχαία στιγµή πριν εξαντληθούν τα καύσιµά του και Μ η αντίστοιχη µάζα του. Επειδή ο πύραυλος αποτελεί σώµα από το οποίο εκ κρέει µάζα µπορούµε κατά την στιγµή αυτή να γράψουµε την σχέση: M d v dt = dm dt v " M dv dt = - dm dt v 1) " όπου η εµφάνιση του αρνητικού πρόσηµου οφείλεται στο γεγονός ότι η σχετική ταχύτητα των καυσαερίων ως προς τον πύραυλό είναι αντίρροπη της επιτάχυν σής του. Η σχέση 1) γράφεται: dm M = - dv v " ) η οποία µε ολοκλήρωση δίνει: lnm = - v v " + C H σταθερά ολοκλήρωσης C θα προσδιορισθεί από την αρχική συνθήκη Μ)=Μ, οπότε η προηγούµενη σχέση δίνει C=lnM και εποµένως θα έχουµε:

7 lnm - lnm = - v ln M v " " M = - v v ' M M = e -v/v " M= M e -v/v " 3) ii) H τελική κινητική ενέργεια Κ τελ του πυραύλου υπολογίζεται µέσω της σχέ σεως: K " = M " v max = M - M )v max = 1 - )M v max 4) όπου v max η µέγιστη ταχύτητα του πυραύλου, η οποία αντιστοιχεί την στιγµή που εξαντούνται τα καύσιµά του. Η ταχύτητα αυτή θα βρεθεί από την σχέση 3) θέτοντας Μ=Μ 1-λ) και v=v max, οπότε θα έχουµε: 1 - )M = M e -v max/v " ln1 - )= - vmax / v " v max = -v " ln1 - ) 5) Συνδυάζοντας τις σχέσεις 4) και 5) παίρνουµε: K " = 1 - )[ln1 - )] M v 6) iii) Έαν dm α είναι η µάζα των καυσαερίων που εκτοξεύονται µεταξύ των χρονι κών στιγµών t και t+dt και v η ταχύτητά τους στο σύστηµα αναφοράς του εδάφους την στιγµή t, τότε η κινητική ενέργεια dk α της µάζας dm α δίνεται από την σχέση: dk = dm v = dm v 7) Όµως η µεταβολή dm της µάζας του πυραύλου στον χρόνο dt θα προκύψει από την σχέση ), βάσει της οποίας έχουµε: dm = - Mdv 3) v " dm = - M e-v/v " v " dv 8) Εξάλλου το µέτρο της v " είναι ίσο µε v+v α, δηλαδή είναι v α =v σχ -v, οπότε η 8) παίρνει την µορφή: dk = M e -v/v" v " - v) dv = M v " v " 1 - v ' v ) " e -v/v " d v v " ' ) Xρησιµοποιώντας τον µετασχήµατισµό v/v σχ =x, η παραπάνω σχέση παίρνει την µορφή:

8 dk = M v " 1 - x) e -x dx 9) Η 9) ολοκληρούµενη δίνει την κινητική ενέργεια Κ α των αποβαλλόµενων καυ σαερίων από την στιγµή της πυροδοτήσεως του πυραύλου v=), µέχρι της στιγ µής που αυτός αποκτά ταχύτητα v, δηλαδή θα έχουµε: K = M v " x 1 - x) e -x dx 1) Για τον υπολογισµό του εµφανιζόµενου ολοκληρώµατος παρατηρούµε ότι: 1 - x) e -x dx = e -x dx + x e -x dx - xe -x dx όπου τα επί µέρους τρία ολοκληρώµατα υπολογίζονται εύκολα µε παραγοντική ολοκλήρωση, ο δε τελικός υπολογισµός δίνει: 1 - x) e -x dx = x) e -x Έτσι η σχέση 6) γράφεται: K = M v " ) e -x x ' x ) = M v " ) e -v/v " v/v " ' ) K = M v " - v " - v v " ) e -v/v " + v " ' ) K = M - v - v " ) e -v/v " + v " ' ) K = M v " - M v - v " ) e -v/v " K = M v " - M v - v " ) P.M. fysikos Ένα υλικό σηµείο κινείται στο επίπεδο Οxy υπό την επίδραση κεντρικής δύναµης F, που εκπορεύεται από το ελκτικό κέντρο Ο και ακολουθεί τον νόµο:

9 F = -m όπου το διάνυσµα θέσεως του υλικού σηµείου ως προς το Ο, m η µάζα του και ω θετική και σταθερή ποσότητα. Το υλικό σηµείο δέχε ται ακόµη δύναµη A αντίρροπη της ταχύτητάς του v αντίσταση), που ακολουθεί τον νόµο: A = - m v Αν την χρονική στιγµή t= το διάνυσµα θέσεως του υλικού σηµείου είναι =x i και η ταχύτητά του v =x j, όπου i, j τα µοναδιαία δια νύσµατα των αξόνων x και y αντιστοίχως και x θετική σταθερή ποσότητα, να βρεθεί η εξίσωση της τροχιάς του υλικού σηµείου. ΛΥΣΗ: Eξετάζοντας το υλικό σηµείο σε µια τυχαία θέση Μ της τροχιάς του µπορούµε, σύµφωνα µε τον δεύτερο νόµο κίνησης του Νευτωνα, να γράψουµε την σχέση: m d dt = F + A m d dt = -m - m v d dt = - - d dt 1) Σχήµα 11 όπου το διάνυσµα θέσεως του υλικού σηµείου την στιγµή t που το εξετά ζουµε. Εάν x, y είναι οι αντίστοιχες συντεταγµένες του υλικού σηµείου, θα έχουµε τις σχέσεις: = x i + y j d οπότε η 1) γράφεται: dt = dx dt d x i + d y j = - x i + y dt dt i + dy dt " j ) - dx dt d j dt i + dy dt = d x dt i + d y dt j j '

10 d x dt i + d y dt j = " - x - dx " ' i + - y - dy ' dt dt από την οποία προκύπτουν οι δύο διαφορικές εξισώσεις της επίπεδης κίνησης του υλικού σηµείου, που είναι της µορφής: j και d x dt d y dt = - x - dx dt = - y - dy dt d x dt d y dt dx + dt + x = ) dy + dt + y = 3) Οι διαφορικές εξισώσεις ) και 3) είναι οµογενείς δευτέρας τάξεως µε σταθε ρούς συντελεστές, των οποίων η χαρακτηριστική εξίσωση έχει µηδενική διακρί νουσα, δηλαδή µια διπλή ρίζα, που σηµαίνει ότι οι εξισώσεις αυτές δέχονται λύσεις της µορφής: x = A x + B x t)e -t και y = A y + B y t)e -t 4) όπου Α x, A y, B x, B y σταθερές ολοκληρώσεως που θα προκύψουν από τις αρχικές συνθήκες κίνησης του υλικού σηµείου. Παραγωγίζοντας ως προς τον χρόνο t τις δύο προηγούµενες σχέσεις παίρνουµε: και dx dt = B x e-t - A x + B x t)e -t dy dt = B y e-t - A y + B y t)e -t = [B x - A x + B x t)]e -t = [B y - A y + B y t)]e -t 5) 6) Οι σχέσεις 4) για t= δίνουν: και x) = A x x = A x y) = A x = A y Η 5) για t= δίνει: dx/dt) t= = B x - A x = B x - A x B x = x Η 6) για t= δίνει: dy/dt) t= = B y - A y x = B y - A y B y = x Mε βάση τους παραπάνω υπολογισµούς οι σχέσεις 4) γράφονται: και x = x + x t)e -t = x 1 + t)e -t 7) y = + x t)e -t = x te -t 8)

11 Η εξίσωση της τροχιάς του υλικού σηµείου θα βρεθεί αν απαλείψουµε τον χρό νο µεταξύ των 7) και 8). Διαιρώντας κατά µέλη τις σχέσεις αυτές έχουµε: x y = 1 + t t x y = 1 t x y - 1= 1 t t = y x - y) οπότε η 8) γράφεται: y = x y x - y) e- y x -y e - y x -y = x x - y 9) Η 9) αποτελεί την ζητούµενη εξίσωση της τροχιάς του υλικού σηµείου. P.M. fysikos Από σηµείο Ο που βρίσκεται σε σχετικά µεγάλη απόσταση από το έδαφος βάλλεται υπό γωνία φ<π/ ως προς την οριζόντια διεύθυνση, µικρό σώµα µε αρχική ταχύτητα v. Εάν το σώµα δέχεται από τον ατµοσφαιρικό αέρα αντίσταση A της µορφής A =- v, όπου λ θετικός και σταθερός συντελεστής και v η στιγµιαία ταχύτητά του, να βρείτε: i) τις συντεταγµένες του σώµατος σε συνάρτηση µε τον χρόνο και ii) την εξίσωση της τροχιάς του και να σχεδιάσετε την τροχιά αυτή. Να θεωρήσετε το πεδίο βαρύτητας της Γης οµογενές εντάσεως g. ΛΥΣΗ: Θεωρούµε το επίπεδο των διανυσµάτων v και g ως επίπεδο των αξό νων Οx, Οy ένος τρισοθογώνιου συστήµατος Οxyz, όπου Ο το σηµείο από το οποίο εκτοξεύεται το σώµα. Εφαρµόζοντας για το σώµα τον δεύτερο νόµο κίνη σης του Νεύτωνα κατά την διεύθυνση του άξονα Οz, παίρνουµε την σχέση: m dv z dt = v z = Ct 1) όπου v z η συνιστώσα της ταχύτητας v του σώµατος κατά τον άξονα Οz την στιγµή που το εξετάζουµε. Η σταθερή τιµή της v z θα προκύψει από την αρχική συνθήκη ότι, για t= είναι v z =, οπότε θα έχουµε v z =, δηλαδή η κίνηση του σώµατος είναι επίπεδη και µάλιστα πραγµατοποιείται στο κατακόρυφο επίπεδο Οxy που καθορίζουν τα διανύσµατα v και g. Εξάλλου εφαρµόζοντας για το σώµα τον δεύτερο νόµο του Νεύτωνα κατά την διεύθυνση των αξόνων Οx και Οy παίρνουµε τις σχέσεις: mdv x /dt) = -v x " mdv y /dt) = -mg - v y dv /dt = -v /m " x x dv y /dt = -g + v y /m) 3)

12 όπου v x, v y οι συνιστώσες της v κατά τους άξονες Οx, Οy αντιστοίχως την θεωρούµενη χρονική στιγµή. Από την πρώτη εκ των σχέσεων 3) έχουµε: dv x v x = - dt m ln v x = - m t + lnc x ln v x C x = - m t v x = C x e-t /m 4) Η σταθερά ολοκλήρωσης C x θα προκύψει από την αρχική συνθήκη ότι, για t= είναι v x =v συνφ, οπότε θα έχουµε C x =v συνφ, µε αποτέλεσµα η 5) να παίρνει την µορφή: v x = v " e -t /m dx dt = v " e-t /m dx = v " e -t /m dt x = - mv " e -t /m d-t / m) x = - mv " e -t /m + C' x 5) Η σταθερά ολοκληρώσεως C x θα προκύψει από την αρχική συνθήκη x)=, oπό τε η 5) δίνει: = - mv " + C' x C' x = mv " Σχήµα 1 Eποµένως η 5) γράφεται: x = - mv " e -t /m + mv " x = mv " -t /m 1 - e ) 6)

13 Aπό την 6) παρατηρούµε ότι η x-συντεταγµένη του σώµατος πλησιάζει ασυµ τωτικά την σταθερή τιµή x =mv συνφ/m σχήµα 11). Εξάλλου από την δεύτερη εκ των σχέσεων 3) έχουµε: dv y g + v y /m = -dt dg + v /m) y g + v y /m = - dt m " ln g + v y m ' = - m t + lnc ln " g + v /m y y ' = - t m C y g + v y m = C ye -t /m 7) H σταθερά ολοκληρώσεως C y θα προκύψει από την αρχική συνθήκη ότι, για t= είναι v y =v ηµφ, οπότε η 7) δίνει: g + m v "µ = C y Έτσι η 7) γράφεται: g + v y m = g + m v "µ ' ) e -t /m v y m = g + m v "µ ' ) e -t /m - g v y = m g + m v "µ ' ) e -t /m - mg dy dt = m g + m v "µ ' ) e -t /m - mg dy = m g + m v "µ ' ) e -t /m dt - mgdt y = m g + m v "µ ' ) e -t /m dt * - mgt y = - m g + m v "µ ' ) e -t /m - mgt + C' y 8) Η σταθερά ολοκληρώσεως C y θα προκύψει από την αρχική συνθήκη y)=, oπό τε η 8) δίνει:

14 = - m g + m v "µ ' ) + C' y C' y = m g + m v "µ ' ) Eποµένως η 8) γράφεται: y = - m g + m v "µ ' ) e -t /m - mgt g + m v "µ ' ) + m y = m g + m v "µ ' ) 1 - e -t /m ) - mgt 9) ii) H εξίσωση της τροχιάς του σώµατος θα προκύψει αν απαλοίψουµε τον χρό νο t µεταξύ των 6) και 9). Από την 6) έχουµε: 1 - e -t /m = x mv " x e-t /m = 1 - mv " - t m = ln 1 - x ) + t = - m ' mv "* ln 1 - x ) + 1) ' mv "* H 9) µε βάση την 1) γράφεται: y = m g + m v ' "µ ) y = mg + v "µ ) x + m g v x mv *+, + mg m ln 1 - x ' ) mv *+, ' x * ln 1 - ), 11) mv + Η 11) αποτελεί την ζητούµενη εξίσωση της τροχιάς του σώµατος. P.M. fysikos Υλικό σηµείο µάζας m, κινείται χωρίς τριβή επί στερεάς έλικας, η οποία περιγράφεται σ ένα σύστηµα συντεταγµένων Οxyz από τις εξισώσεις: x = R", y = Rµ", z = " όπου R, λ σταθερές και θετικές ποσότητες και θ µια συνάρτηση του χρόνου t. To υλικό σηµείο εκτός από το βάρος του m g δέχεται και ελκτική δύναµη F, η οποία εκπορεύεται από το σηµείο Ο και περιγ ράφεται από την διανυσµατική σχέση: F = - m

15 όπου το διάνυσµα θέσεως του υλικού σηµείου ως προς το Ο και α θετική σταθερή ποσότητα. Να βρεθεί η διαφορική εξίσωση που πληροί η συνάρτηση θ=θt). ΛΥΣΗ: Εξετάζουµε το υλικό σηµείο κατά µια τυχαία χρονική στιγµή t, που το διάνυσµα θέσεώς του ως προς την αρχή Ο του συστήµατος συντεταγµένων είναι και η ταχύτητά του v. Εφαρµόζοντας την στιγµή αυτή τον δεύτερο νόµο κίνησης του Nεύτωνα, παίρνουµε την σχέση: m d dt = m g - m + N 1) όπου N η αντίδραση της τροχιάς, η οποία είναι κάθετη στην ταχύτητα λόγω της απουσίας τριβής. Πολλαπλασιάζοντας εσωτερικώς και τα δύο µέλη της 1) µε το διάνυσµα v = d /dt παίρνουµε την σχέση: Σχήµα 13 " m d dt d " ' = m g d " ' - m d " ' + N d ' ) dt dt dt dt Όµως ισχύει N d /dt)= οπότε η ) γράφεται: " d dt d dt " ' = g d " ' - d ' 3) dt dt Eξάλλου για το διάνυσµα ισχύει η σχέση: = R" i + Rµ j + k 4)

16 όπου i, j, k τα µοναδιαία διανύσµατα των αξόνων Οx, Oy, Οz αντιστοίχως. Παραγωγίζοντας την 4) ως προς τον χρόνο έχουµε: d dt = d d d dt = -R"µ i + R j + k )'t) 5) Παραγωγίζοντας την 5) ως προς τον χρόνο έχουµε: d dt = d dt -Rµ" i + R" j + k )"'t) + + -Rµ" i + R" j + k )"''t) d dt = d d -R"µ i + R j + k ) d dt 't) + + -Rµ" i + R" j + k )"''t) d dt = -R" i - Rµ j + k ) ' t) + + -Rµ" i + R" j + k )"''t) d dt = -R [ ' t)" + ''t)µ] i - - R [' t)"µ - ''t)] j + ''t) k 6) Λόγω της 5) θα έχουµε: " g d ' = -g)'t) 7) dt Λόγω των 4) και 5) έχουµε: " d ' = -R 't))µ*+,+r 't))µ*+,+- t)'t)=- t)'t) 8) dt Λόγω των 5) και 6) έχουµε: " d dt d dt ' =-R [' t))*+ + ''t),µ] [-'t),µ] - -R [' t)"µ - ''t)] 't) + 't)''t) =

17 =-R [' 3 t)"µ + 't)''t)"µ -' 3 t)"µ + +'t)''t)" ] + 't)''t) = R 't)''t) + " 't)''t) " d dt d dt ' = R + ))'t))''t) 9) Η σχέση 3) µε βάση τις 7), 8) και 9) γράφεται: R + )"'t)"''t) = -g"'t) - "t)"'t) R + )"''t) + "t) = - g R + ) d "t) dt + "t) = - g 1) Η σχέση 1) είναι η ζητούµενη διαφορική εξίσωση, η οποία είναι µια µη οµογε νής διαφορική εξίσωση δευτέρας τάξεως µε σταθερούς συντελεστές. P.M. fysikos Ένα υλικό σηµείο µαζας m, δέχεται κεντρική δύναµη F, η οποία εκπορεύεται από ελκτικό κέντρο Ο και περιγρά φεται από την σχέση: F = - +1)L m 4 όπου L το µέτρο της σταθερής στροφορµής του υλικού σηµείου περί το Ο, το διάνυσµα θέσεώς του ως προς το σηµείο αυτό και α καθα ρός αριθµός. Εάν την χρονική στιγµή t= η απόσταση του υλικού σηµείου από το Ο είναι και το διάνυσµα της ταχύτητάς του σχηµα τίζει µε την κάθετη προς το διάνυσµα θέσεώς του κατεύθυνση, γωνία φ για την οποία ισχύει εφφ=α, να βρεθεί η εξίσωση της τροχιάς του υλικού σηµείου σε πολικές συντεταγµένες. ΛΥΣΗ: Εξετάζουµε το υλικό σηµείο κατά µια τυχαία χρονική στιγµή t που βρίσκεται σε απόσταση από το ελκτικό κέντρο Ο, η δε αντίστοιχη πολική του γωνία είναι θ. Eάν θέσουµε u=1/ τότε η κίνηση του υλικού σηµείου θα περιγ ράφεται από την διαφορική εξίσωση: d u d + u = - mf) L u d u d + u = m" + 1)L m 3 L u

18 d u d + u = " + 1 d u d + u = " + 1)u d u d - " u = 1) Η 1) είναι διαφορική εξίσωση δευτέρας τάξεως µε σταθερούς συντελεστές και δέχεται λύση της µορφής: u = A 1 e -" + A e " ) όπου Α 1, Α σταθερές ποσότητες που εξαρτώνται από τις αρχικές συνθήκες κί νησης του υλικού σηµείου. Παραγωγίζοντας την ) ως προς θ, παίρνουµε: du/d = -"A 1 e -" + "A e " = "A e " - A 1 e -" ) 3) Εξάλλου έχουµε και την σχέση: u = 1 du = d 1 = - d " du dt = - 1 d dt d dt = du - dt = du " d - ' = - L d dt m du d = -v du ) d όπου v ) η συνιστώσα της αρχικής ταχύτητας v κατά την κάθετη προς το διάνυσµα θέσεως κατεύθυνση. H 4) εφαρµοζόµενη την χρονική στιγµή t= δίνει: d du du = -v " dt ' ) v " d' ) "= -v ) ' * d ) t = t = t = 4) du = - d" ' t = " du ' - d t = = Σχήµα 14 Έτσι η σχέση 3) για t= δίνει:

19 - / =A - A 1 ) A 1 - A = 1/ 5) Εξάλλου η ) για t= δίνει: 1/ = A 1 + A 6) Συνδυάζοντας τις σχέσεις 5) και 6) παίρνουµε: A = και A 1 = 1/ Έτσι η ) παίρνει την τελική της µορφή: 1 = e-" = e " 7) Η 7) εκφράζει σε πολικές συντεταγµένες µια λογαριθµική έλικα, της οποίας η µορφή φαίνεται στο σχήµα 14) και αποτελεί την τροχιά που διαγράφει το υλι κό σηµείο υπό την επίδραση της κεντρικής δύναµης F. P.M. fysikos Υλικό σηµείο µάζας m δέχεται την επίδραση κεν τρικής δύναµης F, η οποία εκπορεύεται απο κέντρο Ο και περιγ ράφεται από την σχέση: F = - km " e όπου k θετική και σταθερή ποσότητα, η απόσταση του υλικού σηµεί ου από το Ο και e το µοναδιαίο διάνυσµα της επιβατικής ακτίνας του ως προς το Ο. Το υλικό σηµείο βάλλεται από σηµείο Α του πολικού άξονα Οx που απέχει από το Ο απόσταση, µε ταχύτητα v µέτρου v = 5k/, της οποίας ο φορέας σχηµατίζει οξεία γωνία θ µε τον πολικό άξονα για την οποία ισχύει εφθ=1/. i) Να βρεθεί η εξίσωση της τροχιάς του υλικού σηµείου σε πολικές συντεταγµένες. ii) Aν θέλουµε το υλικό σηµείο να κινείται σε κυκλική τροχιά κέν τρου Ο και ακτίνας, να βρεθεί η µηχανική του ενέργεια. iii) Nα εξετασθεί αν η κυκλική αυτή τροχιά είναι ευσταθής ή όχι. ΛΥΣΗ: i) Η κίνηση του υλικού σηµείου υπό την επίδραση της κεντρικής δύναµης F είναι επίπεδη, το δε επίπεδο κίνησης διέρχεται από το Ο και είναι κάθετο στο σταθερό διάνυσµα L της στροφορµής του υλικού σηµείου. Το µέτρο της στροφορµής προκύπτει από την σχέση:

20 L = m v µ" = m 5k " 1 + " L = m 5k 1/ 1 + 1/4 = m k 1) Eξάλλου στην διάρκεια της κίνησης του υλικού σηµείου η µηχανική του ενέρ γεια Ε διατηρείται σταθερή και ισχύει: m d " dt + U) + L m = E d " dt = m E - U) - L 1) ' * ) m, + d " dt = ' mk* E - U) - m ), ) + Όµως η δυναµική ενέργεια U) του υλικού σηµείου ικανοποιεί την σχέση: F = - du) d - km " = - du) d du) = km 3 + 3kmd 3 " d = + km d 3) 3 5 Ολοκληρώνοντας την 3) παίρνουµε: U) = 3kmd + km d = 3km d km d 3 5 U) = - 3km - km + C 4 4 Aν δεχθούµε ότι η δυναµική ενέργεια είναι µηδενική για, τότε η σταθερά ολοκλήρωσης C είναι µηδενική και η προηγούµενη σχέση γράφεται: U) = -km 3 + " 4 4) H µηχανική ενέργεια του υλικού σηµείου είναι: E = mv 4) + U ) E = 5km - km " E = 5km - 4km = km 5)

21 H σχέση ) λόγω των 1), 4) και 5) γράφεται: d " dt = ' km m + km 3 + " 4 - mk * ), ) +, d " dt d " dt = k " 4 = k " 4 = k + ) d 4 dt = k + " 6) Όµως έχουµε και την σχέση: d dt = L m 1) d dt = m k m = k 7) Συνδυάζοντας τις σχέσεις 6) και 7) παίρνουµε: d d = + d = d + Ολοκληρώνοντας την παραπάνω σχέση παίρνουµε: d 1 = " + C' " ) + =, + C' + ' * ' + C'= " * ), + = " + C') 8) Σχήµα 15 Η σταθερά ολοκληρώσεως θα βρεθεί από την αρχική συνθήκη, ότι κατά την στιγµή της εκτοξεύσεως του υλικού σηµείου είναι φ= και =, οπότε η 8) δί νει 1=εφC, δηλαδή C =π/4. Έτσι η 8) παίρνει την µορφή:

22 = " + /4) 9) H 9) αποτελεί την εξίσωση της τροχιάς του υλικού σηµείου σε πολικές συντε ταγµένες. ii) Όταν η τροχιά του υλικού σηµείου είναι κυκλική ακτίνας, η κεντρική δύναµη F ενεργεί πάνω σ αυτό ως κεντροµόλος δύναµη δηλαδή ισχύει: F = mv km " = mv 5k = v 9) όπου v το σταθερό µέτρο της ταχύτητας του υλικού σηµείου. H µηχανική ενέρ γεια Ε του υλικού σηµείου είναι το άθροισµα της κινητικής του ενέργειας mv / και της δυναµικής του ενέργειας U ), δηλαδή ισχύει: E'= mv' 4),9) + U ) E'= 5mk - km " = mk 1) iii) Kριτήριο για την ευστάθεια ή µη της κυκλικής τροχιάς είναι το πρόσηµο της ποσότητας F )+3F )/, δηλαδή θα έχουµε: F' ) = -3km d-3 ) d -5 ) - km " d d = " = και Άρα F' ) = 9km 4 3F ) + 1km 4 = - 3km " F' ) + 3F ) = 19km 4 = 19km km 4 = - 15km 4 = 4km 4 > δηλαδή η κυκλική τροχιά είναι ασταθής. P.M. fysikos