(4.2) este vectorul tensiunilor la mers în gol ale laturilor. Se defineşte vectorul tensiunilor la mers în gol al contururilor ca fiind:

Transcript

1 METODE MATRCEALE Dae fiind condiţiile iniţiale şi mărimile de exciaţie ale unui circui deerminarea curenţilor laurilor implică scrierea şi rezolvarea unui sisem de ecuaţii Dacă se operează cu impedanţe sisemul poae fi obţinu în formele compace (8) sau (0) iar dacă se folosesc admianţele se ajune la una din formele compace () sau () Volumul de calcul implica de rezolvarea acesor ecuaţii ese relaiv mare moiv penru care se apelează la meode mariceale ce reduc sensibil numărul necunoscuelor deci dimensiunile maricelor de lucru Meoda curenţilor coardelor În diraful circuiului analiza se consideră un sisem comple de curbe închise fiecare curbă închisă conţinând o sinură coardă Aleând sensul de referinţă al curbei poziiv asocia cu sensul coardei se poae defini maricea de incidenţă Γ asfel încâ să admiă pariţionarea () Ecuaţia (7) se poae scrie în forma în care Z = U + () U 7 U 0 = E Z () 0 0 ese vecorul ensiunilor la mers în ol ale laurilor Se defineşe vecorul ensiunilor la mers în ol al conururilor ca fiind: U 0c = ΓU 0 () Prin înmulţire la sâna cu maricea Γ ecuaţia () devine Γ Z = ΓU + ΓU 0 () în care primul ermen din membrul drep ese nul conform relaţiei () Ţinând seama de relaţia (9) care exprimă curenţii laurilor în funcţie de vecorul c al curenţilor coardelor ecuaţia () capăă forma

2 METODE DE ANALZĂ ÎN CRCUTE ELECTRCE COMPLEXE sau în care Γ ZΓ = c c 0c c ΓU0 () Z = U () Z = ΓZΓ c (7) ese maricea impedanţelor operaţionale aaşae conururilor iar U0 c = ΓE ΓZ 0 (8) ese vecorul ensiunilor la mers în ol al conururilor Ecuaţia mariceală () permie calculul curenţilor coardelor apoi din relaţia (9) se obţine vecorul curenţilor laurilor: = Γ Zc ΓU (9) De exemplu penru circuiul din fi a căruia i se asociază diraful din fi b se obţine maricea de incidenţă a laurilor la conururile şi : Γ = În consrucţia dirafului s-a considera că ( R 0) şi ( R 0 ) formează lauri complee de circui 0 R E R E 0 R R R 0 (a) (b) Fi Maricea impedanţelor conururilor aaşae coardelor ese: R + R + R + R R Z c = R R + R 7

3 Meode mariceale iar vecorul ensiunilor la mers în ol ale laurilor ese: U = 0 R 0 R 0 E E De remarca că maricea Z c şi vecorul U 0 se po scrie direc prin simpla inspecare vizuală a circuiului da Curenţii laurilor circuiului din fi a rezulă în coninuare prin aplicarea formulei (9) Exemplificarea modului de aplicare a meodei penru circuie cu cuplaje muuale caz în care maricea impedanţă nu mai ese simerică se va face considerând schema echivalenă la joasă frecvenţă a unui ransformaor divizor de puere uiliza în circuiele radio de bandă lară (fi a) Se poae arăa că penru R = R = R şi L = L = M inensiăţile curenţilor în rezisenţele de inrare R R ale eajelor amplificaoare pe care debiează eneraorul de radiofrecvenţă V s sun eale * R M L R V S * L R (a) (b) Fi Diraful asocia circuiului (fi b) are precizae sensurile conururilor şi adopae Maricea de incidenţă ese: iar maricea impedanţă ese Γ = R Z = R + sl sm sm R + sl Penru valorile pariculare menţionae relaţia (7) conduce la maricea 7

4 METODE DE ANALZĂ ÎN CRCUTE ELECTRCE COMPLEXE iar relaţia (8) la vecorul R + sm R sm Z c = R sm R + sm U = V V 0 c S S Ţinând seama de relaţiile (8) şi (9) rezulă VS VS VS = R R R ceea ce confirmă afirmaţia iniţială adică = Meoda curenţilor de ochiuri Bazaă pe eorema superpoziţiei meoda curenţilor de ochiuri (Maxwell) presupune prin definiţie că inensiaea curenului din fiecare laură a circuiului ese suma alebrică a curenţilor de ochiuri ce rec prin acea laură Fiecărui ochi al circuiului (buclă independenă) i se asociază un curen ciclic ce parcure laurile acesuia înr-un sens arbirar ales Curenţii de ochiuri formează un se de necunoscue auxiliare rupae în vecorul o Aplicarea meodei se face relaiv simplu penru circuiele ale căror evenuale surse comandae sun de ipul STC Uilizând maricea de incidenţă definiă conform relaţiei () inensiăţile curenţilor laurilor se exprimă în funcţie de inensiăţile curenţilor de ochiuri asfel: o = B (0) Presupunând că în eneral circuiul ese forma din lauri complee din ecuaţia mariceală (7) rezulă: BU = BZ BE + BZ 0 () de unde ţinând seama de relaţiile () şi (0) se obţine S-a folosi noaţia Zo o = B( E Z0 ) () Z = BZB o () 7

5 Meode mariceale maricea asfel definiă numindu-se maricea impedanţelor ciclice ale ochiurilor Penru circuiele fără surse de curen relaţia () devine rezulând penru curenţii laurilor Z o o = BE () Definind maricea em ciclice ca fiind se obţine penru vecorul curenţilor laurilor expresia = B Zo BE () E = BE o () = B Z o E o (7) Unul din avanajele meodei consă în aceea că maricele Z o şi scrise imedia ca urmare a unei simple inspecţii vizuale a circuiului E o po fi Meoda ensiunilor ramurilor Plecându-se de la ecuaţia în admianţe () saisfăcuă de curenţii şi ensiunile laurilor unui circui elecric rezulă Σ = ΣYU + Σ( YE 0) (8) în care membrul sân ese nul conform relaţiei () Ţinând seama de relaţia () conform căreia ensiunile ramurilor consiuie o bază de calcul penru oae ensiunile laurilor din relaţia (8) se obţine în care Y U r r = (9) scr Y = ΣYΣ r (0) ese maricea admianţelor suprafeţelor aaşae ramurilor respeciv scr = Σ( YE 0) () ese vecorul curenţilor de scurcircui ai ramurilor Relaţia () şi (9) conduc la formula de calcul penru ensiunile laurilor 7

6 METODE DE ANALZĂ ÎN CRCUTE ELECTRCE COMPLEXE U = Σ Y r scr () Dacă înre laurile circuiului exisă cuplaje maneice obţinerea maricei Y necesiă inversarea maricei impedanţă Z Din aces moiv în asfel de cazuri se preferă meoda curenţilor coardelor Penru a exemplifica aplicarea meodei se consideră reţeaua de corecţie a unui amplificaor ranzisoriza de bandă lară (fi ) folosiă penru a realiza un nivel de exciare crescăor cu frecvenţa precum şi penru adaparea cu impedanţa echivalenă a eneraorului L R E U R U C C U R U L Fi Schema echivalenă în admianţe operaţionale penru condiţii iniţiale nule ese daă în fi a iar diraful corespunzăor schemei a fos reprezena în fi b Maricea admianţă ese diaonală Y = dia[ Y Y L ] Y Y Y Σ Σ Σ E Y Y U Y Y (a) Fi (b) Aleând suprafeţele de secţionare Σ Σ Σ (fi b) se obţine maricea de incidenţă Σ = 7

7 Meode mariceale apoi conform relaţiei (0) rezulă Y + Y + Y Y + Y Y r = Y + Y Y + Y + Y + Y Y Y Y + Y Vecorul curenţilor de scurcircui ai ramurilor se obţine cu relaţia (): scr YE = Y E nversând maricea ensiunilor ramurilor: Y r şi aplicând relaţia () se obţine vecorul unde s-au folosi noaţiile: Y ( YY + YY ) E U r = YY YE Δ Y Y Y E Δ = ( Y + Y )( Y Y + Y Y ) + Y ( Y Y + Y Y ) Y = Y + Y Y = Y + Y Penru ensiunea la ieşirea reţelei de corecţie se obţine Y Y Y = Δ U E Cu relaţia () se poae obţine vecorul ensiunilor laurilor sau numai componene ale sale Dacă de exemplu ineresează amplificarea în ensiune α se va calcula doar elemenul al vecorului U adică rezulând imedia U = Y Y Y + Y Y Y Y ) ( + E U YY α = = U ( Y + Y ) Y + Y Y 77

8 METODE DE ANALZĂ ÎN CRCUTE ELECTRCE COMPLEXE Meoda maricei incidenţelor esenţiale Conform relaţiilor () () şi () părţi ale maricelor Σ şi Γ po fi reduse la câe o marice uniae informaţia esenţială fiind puraă de maricea Λ Ţinând seama de pariţionările () precum şi de modul în care po fi divizae maricele paramerilor: Zr Zrc Y r Y Z = Y = rc () Z Z Y Y cr se obţin ecuaţia saisfăcuă de vecorul curenţilor coardelor c cr c [ Zc Λ Zrc + ( Λ Zr Zcr ) Λ] c = U0 c Λ U0 r () şi ecuaţia saisfăcuă de vecorul ensiunilor ramurilor [ Yr + ΛYcr + ΛYc + Yrc ) Λ ] Ur = scr Λscc în care s-au folosi urmăoarele noaţii: ( () Z c ( Yc ) - maricea impedanţelor (admianţelor) coardelor; Z r ( Yr ) - maricea impedanţelor (admianţelor) ramurilor; Z rc Z cr - marice ale impedanţelor de cuplaj înre ramuri şi coarde; Y rc Y cr - marice ale admianţelor de cuplaj înre ramuri şi coarde; U U ) - vecorul ensiunilor de mers în ol ale ramurilor (coardelor); 0r ( 0c ( scc ) - vecorul curenţilor de scurcircui ai ramurilor (coardelor) scr Calculând curenţii coardelor din ecuaţia () se obţin uşor curenţii ramurilor din relaţia (7) Tensiunile ramurilor se po obţine din ecuaţia () rezulând apoi ensiunile coardelor cu relaţia () Deşi ecuaţiile () şi () sun formal mai complicae decâ ecuaţiile meodelor prezenae anerior ele prezină două avanaje esenţiale: - se operează cu marice de dimensiuni reduse; - volumul calculelor ese redus la sricul necesar Exemplificarea meodei maricei incidenţelor esenţiale se face apelând la schema elecrică a unui variaor de ensiune coninuă (chopper) cu două irisoare (fi ) Schema operaţională din fi a corespunde fazei de funcţionare în care conduce irisorul principal T încărcarea condensaorului C prin laura D L fiind acceleraă cu ajuorul laurii D L 78

9 Meode mariceale D L T C T L E D L D R Fi Diraful asocia schemei operaţionale ese prezena în fi b rezulând maricea incidenţelor esenţiale Λ = R sl E a R b R sl ( sc ) sl L i(0 ) R a Σ b (a) (b) Fi Pariţiile maricei impedanţă vor fi unde Z = R + sl Zc dia[ Z Z Z] r = Z = R + sl + ( sc) Z = R Z = R + sl Schema nu prezină cuplaje muuale nici surse plasae în laurile coardă În consecinţă Z 0 Z = 0 U0 = 0 rc = cr c Ecuaţia () capăă în acese condiţii forma pariculară 79

10 METODE DE ANALZĂ ÎN CRCUTE ELECTRCE COMPLEXE ( Z + Λ Z Λ) = Λ U c sau cu expresiile concree ce corespund circuiului analiza r c 0 r Zr + Z Zr Z r Zr Zr + Z Z r Zr Zr Z + Z r = E Li (0 ) E + Li (0 ) E L i (0 ) nversând maricea din membrul sân se obţin curenţii coardelor c = = Δ ZZ[ E + Li (0 )] ZZ[ E + Li (0 )] Z Z [ E + L i (0 )] cu noaţia Δ = Z ( Zr + Z) + ZrZ( Z + ) Z Z mainea curenului din laura (ramură) se calculează cu relaţia (7) Se obţine = ( ZZ + ZZ + ZZ)[ E + L i Δ (0 )] Meoda poenţialelor nodurilor Se consideră poenţialele nodurilor circuiului în rapor cu un nod de referinţă rupae înr-un vecor auxiliar V (vecorul poenţialelor nodurilor) Rezulă: expresie care înlocuiă în ecuaţia () conduce la U = A V () = Y( A V + E) (7) Ţinând seama de () ecuaţia (7) devine: Dacă se noează cu = AYA V + A( YE 0 ) (8) Y = AYA n (9)

11 Meode mariceale maricea admianţă asociaă nodurilor şi cu nsc = A( YE 0) (0) vecorul curenţilor de scurcircui injecaţi în cele ( n ) noduri de poenţial nenul de căre laurile incidene scurcircuiae ecuaţia (8) capăă forma Y nv = nsc () Rezolvarea acesei ecuaţii mariceale conduce la valorile poenţialelor nodurilor (necunoscue auxiliare) În coninuare se po calcula ensiunile laurilor cu relaţia () respeciv inensiăţile curenţilor laurilor cu relaţia (7) Meoda se aplică eficien penru circuie fără cuplaje muuale ale căror evenuale surse comandae sun de ipul SCT Penru exemplificare se consideră circuiul din fi 7a şi diraful asocia (fi 7b) Se alee nodul () ca referinţă poenţialul acesuia considerându-se nul E () () R () E R R R R R () 0 () 0 () () () (a) Fi 7 (b) Examinarea dirafului conduce la maricea de incidenţă A = penru scrierea căreia s-a considera că ( R 0) respeciv ( R 0 ) formează lauri complee de circui Maricea admianţă a nodurilor rezulă cu relaţia (9): Y n = G + G + G ( G + G ) G ( G + G) + G + G + G G G G + G 8

12 METODE DE ANALZĂ ÎN CRCUTE ELECTRCE COMPLEXE iar vecorul curenţilor de scurcircui se poae scrie în urma examinării vizuale a circuiului + E G 0 nsc = EG + 0 EG E G Adopând valorile concree R = Ω R = 0Ω R = Ω R = Ω R = Ω R = 08Ω 0 = 0A 0 = 7A E = 7 V şi E = V se obţine vecorul poenţialelor nodurilor (în volţi) cu relaţia () V = 8 0 apoi vecorul curenţilor laurilor (în amperi) cu relaţia (7) = 8 07 Analiza nodală să la baza majoriăţii proramelor de simulare a circuielor elecrice în care se consideră că fiecare elemen dipolar ideal de circui consiuie o laură Se accepă nodurile în sens lar la care sun incidene doar două lauri Eviându-se operaţii mariceale inermediare pe baza daelor de inrare se consruiesc direc maricele Y n şi nsc Conribuţiile aduse la formarea maricelor anerior menţionae po fi direc sabilie penru rezisoare bobine fără cuplaje muuale condensaoare surse independene de curen şi surse comandae de ipul SCT Penru celelale surse comandae ca şi penru iraoare ransformaoare ideale bobine cuplae maneic şi surse independene de ensiune ese necesară subsiuţia prin modele adecvae sau uilizarea maricei nedefinie a admianţelor Y 0 (maricea admianţelor nodurilor dacă nodul de referinţă ese exerior circuiului) Obţinerea maricei Y n se face în aces din urmă caz suprimând linia şi coloana corespunzăoare nodului de referinţă Asfel dacă penru iraor se consideră modelarea prin două surse comandae de ipul SCT (fi b) maricea nedefiniă va fi: Y 0 = Modelarea elemenelor ideale de circui incompaibile cu meoda poenţialelor nodurilor ese prezenaă în abelul elemenul dipor folosi penru modelare fiind iraorul ideal 8

13 Meode mariceale Tab Elemenul Modelul Relaţia specifică ST U E U = E STT U U U U α = = U STC U U U U U r = = SCC U U U β = = Transformaor ideal U U U n = = U Din ab se poae observa că modelele inroduse penru elemenele de circui incompaibile cu analiza nodală conduc la apariţia unor noduri suplimenare Poenţialele acesora se calculează deşi nu prezină ineres pracic ceea ce implică un efor de calcul nejusifica Dacă laurile surselor incompaibile cu meoda poenţialelor nodurilor sun înseriae cu rezisenţe (sau impedanţe) aunci se recomandă folosirea schemelor de subsiuţie (ab ) Sursele comandae de ipul STT STC şi SCC sun subsiuie 8

14 METODE DE ANALZĂ ÎN CRCUTE ELECTRCE COMPLEXE prin scheme ce conţin o sursă de ipul SCT compaibilă cu analiza nodală A doua schemă de subsiuţie prezenaă în ab presupune despicarea unui nod erminal al laurii de ipul ST Se elimină asfel o siuaţie incompaibilă cu meoda poenţialelor nodurilor curenul calculându-se în modul indica Tab Schema iniţială Schema de subsiuţie Relaţia Specifică R E U 0 R U U 0 = R n R n R n n R R n E E E = + U U α U R U R U U = α R R R U U r U R R U U r = R R R U U β U R U U = β R Exemplificând penru schema echivalenă a unui ranzisor funcţionând cu emiorul la masă (fi 8a) despicarea nodului (a) elimină incompaibiliaea inrodusă de ST având em eală cu E c (fi 8b) În coninuare aleând nodul (e) drep referinţă (poenţialul V e = 0) va rezula V b = Eb scrierea ecuaţiilor 8

15 Meode mariceale necesare calculului poenţialelor V c şi V d încadrându-se în procedura normală R (b) i b E b (e) R β i b (c) R c (a) R (d) R e E c (a) β i b (b) R i b E b R (e) R e R (c) R c E c (d) E c (b) Fi 8 nconvenienele ridicae de prezenţa laurilor ST înr-un număr oarecare po fi înlăurae uilizând eorema surselor de ensiune cu acţiune nulă (Vaschy) În urma deerminării poenţialelor nodurilor curenţii laurilor se calculează cu o relaţie de ipul (7) excepţie făcând curenţii din laurile ST pasivizae în urma aplicării procedurii Vaschy Aceşi curenţi se calculează în ulima eapă uilizând eorema înâia a lui Kirchhoff Meoda nodală modificaă Aunci când curenţii anumior lauri nu po fi exprimaţi în funcţie de poenţialele nodurilor prinr-o relaţie de ipul (7) penru a evia inconvenienele implicae de modelările cu iraoare se recure la analiza nodală modificaă În cadrul aceseia se po admie ca necunoscue suplimenare: - curenţii ST; - curenţii porţilor STT; - curenţii porţilor SCC; - curenţii bobinelor cuplae maneic; - curenţii rezisoarelor neliniare conrolae în curen 8

16 METODE DE ANALZĂ ÎN CRCUTE ELECTRCE COMPLEXE Toţi curenţii menţionaţi anerior se rupează înr-un vecor m având m elemene Prezenţa elemenelor de circui incompaibile cu meoda "clasică" a poenţialelor nodurilor conduce la apariţia unor linii şi coloane care bordează maricea Y ecuaţia () fiind înlocuiă prin ecuaţia mariceală: n Y α n m β Z m m V m 8 = nsc () E în care: Y n - maricea admianţelor nodale; β m - marice de dimensiuni ( n ) m ale cărei elemene sun 0 sau amplificări în curen ale surselor comandae; α m - marice de dimensiuni m ( n ) elemenele sale fiind 0 sau amplificări în ensiune ale surselor comandae; Z m - marice păraă de dimensiuni m m ale cărei elemene nenule sun impedanţe de ransfer ale surselor comandae sau impedanţe proprii şi de cuplaj muual ale bobinelor cuplae maneic; V - vecorul celor ( n ) poenţiale ale nodurilor; nsc - vecorul curenţilor de scurcircui injecaţi în cele ( n ) noduri; E - vecor ale cărui elemene nenule corespund em ale ST Conribuţia la maricea m j k α m β m j k m Elemenul de circui ST STT STC SCC α ' α ' ' Z m 0 0 m E m jk ' ' ' ' ' ' ' Z ' ' ' β β 0 ' Tab Pereche de bobine cuplae maneic ' ' ' ' sl sm E jk ' ' sm sl

17 Meode mariceale Fiecare din elemenele incompaibile ale circuiului aduce propria sa conribuţie la consiuirea maricelor ecuaţiei () Precizările sun făcue în ab considerând poara de inrare / şi cea de ieşire / penru fiecare din elemenele dipor menţionae Meoda nodală modificaă conduce la acelaşi număr de necunoscue ca şi meoda "clasică" a poenţialelor nodurilor dar curenţii inroduşi ca necunoscue suplimenare po prezena ineres pracic Uilizaă frecven ca meodă de simulare pe calculaor a circuielor elecrice meoda nodală modificaă prezină aspece pariculare (penru circuiele de cc sau penru cele de ca) precum şi posibiliăţi de exensie (la analiza circuielor elecrice neliniare modelae discre) Penru a exemplifica scrierea ecuaţiilor în cadrul meodei nodale modificae se consideră un circui de cc cu surse comandae şi laură ST (fi 9) R 0 0 () 0 () R () 8 7 E 8 = r E R U 7 R 7 R () 9 E = α 9 U 7 () E () V = 0 = β Necunoscuele ecuaţiei () sun: poenţialele nodurilor rupae în vecorul V = V V V V V curenul din laura ST curenţii laurilor sursă comandaă de ensiune 8 şi 9 curenul de comandă al sursei comandae de curen şi curenul de comandă al sursei E 8 rupaţi în vecorul m = Fi Înrucâ vecorul curenţilor de scurcircui injecaţi în noduri ese 87

18 METODE DE ANALZĂ ÎN CRCUTE ELECTRCE COMPLEXE = nsc 0 + G E 0 folosind conducanţele elemenelor pasive de circui în exprimarea maricei obţine ecuaţia () în forma: Y n se G +G +G 7 +G 0 G G 7 G 0 V 0 +G E G G +G G V 0 G G V G 7 G 7 β V G 0 G 0 V = E r 8 α α 9 În ecuaţia anerioară s-au pus în evidenţă pariţiile specifice formulării () a meodei Anumie aspece pariculare ale maricelor α m şi β m apar înrucâ nodul () a fos ales ca referinţă ( V = 0) Din aces moiv de exemplu linia corespunzăoare sursei E din maricea α m conţine doar un sinur elemen nenul ca şi coloana respecivă din maricea β m Jusificări similare sun valabile penru abaerea de la forma sandard prezenaă în ab a liniilor şi coloanelor ce corespund surselor comandae având oae un acces comun - nodul () Se poae consaa că maricele de lucru nu sun dense numărul relaiv ridica de elemene nule recomandând ehnici de calcul specifice maricelor "rare" 7 Analiza schemelor cu nulori Nulorul a fos defini în ca un elemen dipor anormal forma prin asocierea dinre un nulaor şi un noraor Anumie meode mariceale prezină dezvolări avanajoase penru circuiele formae exclusiv din elemene dipolare De aceea uneori se preferă modelarea elemenelor dipor (iraoare surse comandae ec) prin scheme cu nulori 7 Scheme echivalene cu nulori În eneral un elemen dipor poae fi reprezena prin mai mule scheme echivalene cu nulori în ab fiind prezenae cele mai simple Înrucâ nu prezină ineres realizabiliaea pracică a elemenelor acesor scheme sau a ansamblului se admie prezenţa rezisenţelor neaive sau a unor impedanţe cu pare reală neaivă 88

19 Meode mariceale Elemenul de circui Schema echivalenă cu nulori α r Tab STT U r U = α U STC r U = r SCT U = U SCC β r r = β r Giraorul U = r U = r r Transformaorul ideal U r nr nr r = n U = U n Penru mule aplicaţii prezină ineres conexiunea surselor ideale comandae ca ripoli bornele / şi / fiind în aces caz suprapuse Schemele cu nulori adecvae se obţin prin paricularizarea celor prezenae în ab 89

20 METODE DE ANALZĂ ÎN CRCUTE ELECTRCE COMPLEXE 7 Graful de curen şi raful de ensiune Penru analiza circuielor cu nulori se folosesc două dirafuri: - raful de curen G obţinu din raful G al circuiului considerând nulaoarele ca înreruperi şi noraoarele ca scurcircuie; - raful de ensiune G U obţinu din raful G al circuiului dacă se consideră nulaoarele ca scurcircuie şi noraoarele ca înreruperi Dacă n 0 ese numărul nulorilor circuiului aunci G şi G U au un număr de lauri cu ( n 0) mai mic decâ G şi un număr de noduri cu n 0 mai mic decâ numărul nodurilor rafului G Aceasa consiuie avanajul operării cu cele două rafuri în cazul schemelor cu nulori Penru a exprima relaţiile dinre curenţii laurilor se foloseşe G iar penru scrierea ecuaţiilor saisfăcue de ensiunile laurilor se va uiliza G U De exemplu schemei cu nulori şi surse comandae din fi 0a îi corespund raful G din fi 0b şi raful G din fi 0c U U 7 9 'U U 8 0 "U (a) (b) Fi 0 (c) Se definesc marice de incidenţă în cele două rafuri G şi G U cu denumiri şi semnificaţii similare celor definie în cap noaţia fiind însoţiă de indicii inferiori sau U după cum definirea s-a făcu în raful curenţilor sau în cel al ensiunilor 90

21 Meode mariceale 7 Meoda curenţilor buclelor din G Un se de curenţi ficivi rupaţi în vecorul b se aaşează buclelor din raful G Curenţii laurilor circuiului se exprimă cu relaţia: = Γ b () Dacă Z ese maricea impedanţelor (complexe sau operaţionale) laurilor se defineşe maricea impedanţelor buclelor asfel: Un elemen Z ij al maricei laurilor comune buclelor (i) din b U Z = Γ Z Γ () Z b ese eal cu suma alebrică a impedanţelor G U şi (j) din G mpedanţele laurilor comune la două bucle inervin în sumă cu semnul plus dacă sensurile de parcurs ale buclelor coincid în laura consideraă şi cu semnul minus în caz conrar Curenţii buclelor rezulă din ecuaţia: Zb b = ΓU E () Aleerea buclelor asfel încâ un număr câ mai mare de bucle din G U şi G să coincidă ese avanajoasă penru circuiele deerminae numărul minim de bucle diferie fiind eal cu numărul n 0 al nulorilor Se calculează mai înâi curenţii buclelor din ecuaţia () apoi curenţii laurilor cu relaţia () Se va exemplifica aplicarea meodei considerând circuiul cu nulori din fi în care elemenele de circui au valorile: R = R = R = R = R = Ω R = Ω E = E 0V = Grafurile G respeciv G U sun reprezenae în fi b respeciv fi c Se obţine penru maricea impedanţelor buclelor: Z b = R + R + R R R R R + R + R R R = ( Ω) Vecorul ce rupează ensiunile la mers în ol ale buclelor ese: E 0 U = Γ E = E E (V) 0 b U = 9

22 METODE DE ANALZĂ ÎN CRCUTE ELECTRCE COMPLEXE R R R R R E E (a) R (b) (c) Fi Cu ecuaţia () se ăseşe vecorul curenţilor buclelor 0 b = Zb U0b = = (A) 8 Maricea de incidenţă a laurilor la buclele de curen ese: Γ = Vecorul curenţilor laurilor rezulă cu relaţia (): = = Γ b = (A) 7 Meoda ensiunilor secţiunilor din G U Se consideră un se comple de suprafeţe închise de secţiune aaşae ramurilor din G U Vecorul U Σ al ensiunilor înre puncele din ineriorul şi din exeriorul suprafeţelor ce secţionează ramurile verifică ecuaţia în care maricea Y U = () Σ Σ Y Σ se calculează asfel: 9 Σ Y Σ U Y Σ = Σ (7)

23 Meode mariceale Vecorul curenţilor de scurcircui ai secţiunilor ese calculabil cu relaţia Σ = Σ sc (8) în care sc ese vecorul curenţilor de scurcircui ai laurilor secţionae Calculând vecorul U Σ din ecuaţia () se obţine imedia vecorul ensiunilor laurilor: U U Σ U = Σ (9) Penru a exemplifica aplicarea meodei se consideră schema echivalenă cu nulori a unui amplificaor cu ranzisor bipolar (fi a) Y Y 0 Y Y Y U U Y (a) Σ Σ Σ Σ Σ Σ (b) Fi (c) Trasând G (fi b) şi G U (fi c) penru schema consideraă apoi aleând suprafeţele de secţiune Σ Σ Σ se obţine din G maricea de incidenţă respeciv din G U maricea de incidenţă Σ = Σ U = 9

24 METODE DE ANALZĂ ÎN CRCUTE ELECTRCE COMPLEXE Cu relaţia (7) se obţine maricea admianţă a secţiunilor Y + Y + Y Y Y Y Y Σ = Y Y Y + Y + Y Y Y Y Y Y Y + Y + Y Vecorul curenţilor de scurcircui ai secţiunilor ese: = Σ 0 În coninuare se poae calcula laurilor cu relaţia (9) U Σ din ecuaţia () apoi ensiunile 7 Meoda poenţialelor nodurilor Ecuaţia () rămâne valabilă dar maricea admianţă asociaă nodurilor se calculează cu relaţia n U Y = A Y A (0) iar vecorul curenţilor de scurcircui injecaţi în ( n ) noduri de căre laurile incidene scurcircuiae rezulă: nsc = A sc = A ( Y E 0 ) () Tensiunile laurilor se calculează cu relaţia: iar curenţii laurilor se obţin rupa cu relaţia mariceală U U = A V () = Y( AU V + E) () 0 9