Lucrarea nr.1b - TSA SISTEM. MODEL. CONSTRUCTIA MODELULUI MATEMATIC

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Lucrarea nr.1b - TSA SISTEM. MODEL. CONSTRUCTIA MODELULUI MATEMATIC"

Κλωθώ Τρικούπη
5 χρόνια πριν
Προβολές:

1 1 SISTEM. MODEL. CONSTRUCTIA MODELULUI MATEMATIC 1. Scopul lucrǎrii Lucrarea are drep scop însuşirea noţiunilor de sysem, model şi analiza posibiliăţilor de consruire a modelului mahemaic penru un sysem fizic. 2. Consideraţii eoreice 2.1 Sisem, sare, O definiţie cu aplicabiliae exinsă a sisemului ese cea de sisem ermodinamic: porţiune din univers penru care se poae delimia un inerior şi un exerior, ineriorul conţinând un numǎr oarecare de corpuri macroscopice, considerae ca având o srucurǎ fizicǎ coninuǎ. Caracerizarea acesor siseme se realizeazǎ prin sǎrile lor ermodinamice, reprezenae ca o mulţime de parameri, care descriu aspece inerne ale sisemului şi relaţiile cu mediul înconjurǎor (exeriorul sisemului). Tranziţia de sare a unui sisem ermodinamic ese denumiǎ proces fizic. Noţiunea sare reprezină o noţiune care s-a dovedi în decursul impului exrem de recomandaă penru înţelegerea naurii sisemelor dinamice. Exemplu Penru un sisem ermic recerea dinr-o sare de echilibru în alǎ sare de echilibru poarǎ denumirea de proces. Exemplu de variabile de sare: masa, emperaura, volumul, presiunea, densiaea, enropia ec. Variabila_1 Sare iniţialǎ proces Sare finalǎ Fig.1 Proces, sare şi variabilă de sare Variabila sare_2 O conexiune esenţialǎ înre inginerul proiecan / analis şi sisemul real consǎ în abiliaea primului de a gǎsi meodele şi unelele de a descrie sisemul în mod eficien scopului urmǎri. Un model simplu penru un sisem ese prezena în figura 2. O asfel de reprezenare ese convenabilă penru un sisem saic a cărui ieşire depinde doar de inrarea sa curenă. INTRARE SISTEM IEŞIRE Fig.2 Sisem saic În orice descriere modelul ese elemenul cheie. În acelaşi imp rebuie

2 sublinia fapul cǎ aceasǎ descriere nu ese unicǎ. Un rol apare din puncul de vedere al mecaronicii îl joacǎ descrirea dinamicii sisemului. Ce se înţelege însă prin sisem dinamic, în general, şi în ce mod poae fi descrisă comporarea dinamică a acesuia cu ajuorul variabilelor de sare? Un sisem dinamic poae fi caraceriza prin: una sau mai mule mărimi de inrare variabile în imp u i care formează inrarea sisemului; una sau mai mule mărimi de ieşire variabile în imp, y j care formează ieşirea sisemului; ecuaţie diferenţială care leagă variabilele de sare x n de derivaele acesora, de mărimile de inrare u i şi perurbaţia v; o ecuaţie de ieşire, care leagă mărimile de ieşire y j de variabilele de sare x n şi de mărimile de inrare u i. v R PERTURBAŢIE 2 COMANDǍ m u R STARE n x R n y R Fig.3 Sisem dinamic 2.2 Dezvolarea modelului maemaic În eapa de analiză a sisemului, consrucţia modelului se încadrează înr-o succesiune de eape rezulând în final modelul maemaic asocia sisemului fizic. Definirea graniţelor sisemului. Toae sisemele fizice lucrează în ineracţiune cu ale siseme. Din aces moiv ese necesar să se definească acese graniţe. Definirea ipoezelor simplificaoare / aproximaţiilor admise. Modelul rebuie să includă ce ese esenţial din sisemul fizic. Dacă sisemul ese prea complica uiliaea sa devine discuabilă. Sabilirea ecuaţiilor de echilibru / bilanţ penru sisemul fizic (sau penru subsisemele componene) şi definirea condiţiilor suplimenare. Echilibrul energeic energy balance poae avea o inerpreare fizică şi una filozofică. Inerprearea fizică a echilibrului are semnificaţii specifice domeniului de aplicaţie: fizică, biologie, inginerie, economie, ec. Energia unui sisem fizic ese o mărime fizică de sare, caracerizând sisemul înr-o sare saţionară. Din energia oală a unui sisem se po separa anumie forme de energie, care depind de o anumiă clasă de mărimi de sare mărimi mecanice, elecrice, magneice ec. Modificarea sării unui sisem fizic ese denumiă ransformare. Fiecare ransformare conduce la modificarea valorii diferielor forme de energie care caracerizează sisemul fizic. În conformiae cu cele specificae în fizică bilanţul energeic ese o prezenare sisemică a fluxului energeic şi a ransformărilor din sisem. Baza eoreică ese prima lege a ermodinamicii: Variaţia energiei inerne ΔW i a unui sisem fizic, la recerea dinr-o sare în ala W2 W1 ese egală cu suma dinre variaţia lucrului mecanic ΔL şi variaţia caniăţii de căldură ΔQ schimbaă de sisem cu exeriorul. Înr-o formă generalizaă, bilanţul maerial se poae exprima sub prin: raa de schimb a maeriei în sisem ese egală cu fluxul ne a maerialului (fig.4).

3 3 DEBIT DE INTRARE ΣΨ in MATERIE ACUMULATĂ MATERIE GENERATĂ ( ) Σ Ψ gen DEBIT DE IEŞIRE ΣΨ ies Fig.4 Bilanţul maerial Termenul de maerie are o semnificaţie generalizaă definind energie, masă, impuls. Fluxul ne ese suma algebrică înre fluxul de inrare şi cel de ieşire la care se adaugă maeria generaă în sisem (de ex.: generare de energie prin reacţii chimice ec.). d (" maerial" ) d ( Ψ ) Σ( Ψ ) + Σ( Ψ ) = Σ in ies În domeniul mecanic mule probleme de analiză se rezolvă folosind eoremele bilanţului / echilibrului energeic / căldură, echilibrul de masă, echilibrul impulsului, echilibrul enropiei. Consruirea modelului poae porni cu aplicarea legilor fizice de bază (legile lui Newon, legile lui Maxwell, legile lui Kirckhoff ec.) la procesul care se sudiază, adică un proces mecanic, elecric, sau ermodinamic. De la acese legi, rezulă un număr de ecuaţii înre variabilele sisemului şi o variabilă independenă (în general impul ) care se idenifică cu modelul maemaic al sisemului analiza. 2.3 Exemplu. Bilanţul masic al lichidului dinr-un rezervor Delimiarea sisemului ese sugeraă prin schema bloc din figura unde debiul de inrare Q 1 şi debiul de ieşire Q 2 sun variabilele de inrare în sisem iar înălţimea h a lichidului ese variabila de ieşire. Reprezenarea sisemică ese daă în figura 5. gen Q 1 Q 2 REZERVOR - LICHID h Fig.5 Reprezenarea sisemică a rezervorului de lichid Ipoeze simplificaoare: Densiaea ρ a fluidului ese consană; Lichidul ese incompresibil Rezervorul ese poziţiona verical; Secţiunea ransversală a rezervorului ese circulară, consană; Paramerii din sisem: Debiul volumic de inrare Q 1 [m 3 /s] şi debiul volumic de ieşire Q 2 [m 3 /s] ; h [m] nivelul lichidului în rezervor ; m [kg] masa de lichid ; A [m 2 ] aria ransversală ; V [m 3 ] volumul de lichid.

4 4 Q1 h Fig.6 Delimiarea sisemului Ecuaţia de bilanţ aplicaă penru masa unui sisem poară de numirea de echilibrul masic şi are forma : dm() = Q mi d i unde m[kg] ese masa, Q mi [kg/s] ese debiul masic iar [s] ese paramerul imp. Paricularizaă penru echilibrul masic de lichid din rezervor ecuaţia anerioară are forma : dm () = ρq () Q () 1 ρ 2 d Ecuaţia diferenţială în m ese modelul maemaic al sisemului iar ρ ese paramerul modelului. Exisă o condiţie suplimenară penru ecuaţia anerioară m 0. Prin rezolvarea analiică sau numerică a ecuaţiei se obţine modul de variaţie a masei de lichid în imp. Înre paramerii geomerici ai rezervorului şi masa de lichid din rezervor exisă relaţia simplă: () = ρ V () = ρah() m Ecuaţia diferenţială în m se poae ransforma, pe baza relaţiei anerioare, luând forma: dh() 1 = [ Q1 () Q2 () ] d A cu condiţia suplimenară h 0. Aceasă ecuaţia diferenţială ese o ală formă de exprimare a modelului maemaic penru sisemul analiza. Admiţând că variabila Q 2 depinde de nivelul lichidului din rezervor nu mai ese o variabilă independenă, se poae scrie: () = K ρgh() Q 2 Q2 asfel că bilanţul masic poae fi exprima şi prin ecuaţia diferenţială: dm() = ρq1 () ρk ρgh() d Ecuaţia diferenţială se consiuie înr-un nou model maemaic al rezervorului de lichid. 3. Mersul lucrǎrii 3.1 Analiza noţiunii de sisem a) Se vor vizualiza srucuri mecanice, elecrice prezene în sala de laboraor şi li se asociază noţiunea de sisem expliciându-se relaţiile dinre obiecele din sisem, inrările, ieşirile şi efecele perurbaoare

5 b) Se vor exeplifica aspecele eoreice anerioare prinr-un exemplu ales de fiecare suden în pare; c) Se vor consemna concluziile în referaul laboraorului. 3.2 Consruirea modelului maemaic penru un sysem a) Se discuă eapele de consrucţie a unui model maemaic; b) Se consruiesc modelele maemaice penru sisemele fizice: i. Circuiul elecric de curren coninuu forma dinr-o sursă de ensiune şi un resisor; ii. O ransmisie reducoare (prin roţi dinţae cilindrice); c) Se consruiesc modelele maemaice penru sisemele fizice: i. Un circui elecric de curen coninuu forma dinr-o sursă de ensiune, un resisor R şi induciviaea L; ii. O masă M suspendaă prinr-un elemen elasic de consană K ; d) Se consemnează concluziile privind eapele de lucru, ipoezele simplificaorii, paramerii sisemului; e) Se consemnează concluziile referioare la naura ecuaţiilor care definesc modelul maemaic penru cazul c) şi respeciv d) 5

Σχετικά έγγραφα

Clasificarea proceselor termodinamice se poate face din mai multe puncte de vedere. a. După mărimea variaţiei relative a parametrilor de stare avem:

Clasificarea proceselor termodinamice se poate face din mai multe puncte de vedere. a. După mărimea variaţiei relative a parametrilor de stare avem: Cursul 4..4.Mărimi de proces. Lucrul mecanic si căldura Procesul ermodinamic sau ransformarea de sare ese un fenomen fizic în cursul căruia corpurile schimbă energie sub formă de căldură şi lucru mecanic;