BAZELE ELECTROTEHNICII I, II TEORIA CIRCUITELOR ELECTRICE LINIARE

Transcript

1 Deparamenul de Elecroehnică Faculaea de nginerie Elecrică niversiaea Poliehnica Bucureşi BAELE ELECTROTEHNC, TEORA CRCTELOR ELECTRCE LNARE NOTE DE CRS PENTR L STDENŢLOR FACLTĂŢ DE TRANSPORTR Specializarea: Telecomenzi si Elecronică în Transporuri (T.E.T.

2 Bazele elecroehnicii şi Noe de curs CPRNS. Circuie elecrice liniare de curen coninuu. Reţele elecrice liniare generaliăţi. Teoreme de echivalenţă penru circuie de curen coninuu.. Teorema de echivalenţă dinre sursa reală de ensiune şi sursa reală de curen.. Conexiunea rezisenţelor elecrice.. Transfigurarea sea-riunghi..4 Teorema superpoziţiei Teoremele lui Vashy..5 Teoremele surselor echivalene..6 Teorema ransferului maxim de puere. Meode sisemaice de rezolvare a circuielor de curen coninuu.4 Surse comandae. Regimul permanen sinusoidal al circuielor elecrice. Mărimi sinusoidale Caracerizare, Reprezenare simbolică. Reprezenarea complexă a mărimilor sinusoidale. Elemene de circui.4. mianţe complexe.5. Pueri definie în circuie de curen alernaiv sinusoidal.6. Comporarea elemenelor pasive de circui în regim periodic sinusoidal

3 Bazele elecroehnicii şi Noe de curs.7. Meode de rezolvare a circuielor elecrice monofazae de curen alernaiv..8. Asupra meodelor sisemaice de rezolvare a circuielor de curen alernaiv ce conţin bobine cuplae magneic. Circuie elecrice rifazae. Siseme de mărimi rifazae Proprieăţi. Recepoare rifazae ipuri de conexiuni. Ameliorarea facorului de puere penru circuiele rifazae în regim simeric.4 Calculul circuielor rifazae echilibrae în regimuri simerice.5 Meoda componenelor simerice.6 Calculul regimurilor de avarie nesimerice ale unor reţele rifazae echilibrae.7 Calculul puerii in circuie rifazae cu ajuorul componenelor simerice 4. Circuie elecrice liniare în regim periodic nesinusoidal 4. Generaliăţi 4. Funcţii periodice 4. Mărimi caracerisice 4.4 Pueri în regim nesinusoidal 4.5 Elemene ideale de circui în regim periodic nesinusoidal 4.6 Rezolvarea circuielor elecrice monofazae în regim periodic nesinusoidal 5. Circuie elecrice liniare în regim ranzioriu 5. Teoremele lui Kirchhoff în regim variabil 5. Elemenele ideale de circui în regim variabil 5. Ecuaţiile circuielor elecrice. Problema condiţiilor iniţiale. Regimuri de funcţionare

4 Bazele elecroehnicii şi Noe de curs 5.4 Meoda elemenară de analiză a regimului ranzioriu 5.5 Rezolvarea regimului ranzioriu pe baza ransformării Laplace 5.6 Analiza regimului ranzioriu prin meoda variabilelor de sare 5.7 Sudiul regimului ranzioriu prin separarea componenei de regim permanen 6. Circuie elecrice în regim permanen cu surse comandae 6. Surse comandae Breviar 7. Cuadripoli şi filre elecrice 7. Cuadripoli elecrici Breviar eoreic 4

5 Bazele elecroehnicii şi Noe de curs. CRCTE ELECTRCE LNARE DE CRENT CONTN Circuiele de curen coninuu sun acele circuie în care sursele de ensiune şi de curen furnizează la bornele lor mărimi invariabile în imp. În acese condiţii, după singerea regimurilor ranziorii, daorae unor evenuale procese de comuaţie, oae mărimile de circui (curenţi, ensiuni, poenţiale sun de asemenea invariabile în imp. Acese mărimi vor fi noae cu majuscule.. REŢELE ELECTRCE LNARE GENERALTĂŢ Vom înţelege prin reţea elecrică o mulţime de elemene de circuie inerconecae la borne. n elemen de circui ese un domeniu ce are legăură elecrică cu exeriorul doar prinr-un număr fini de punce numie borne. n elemen se numeşe dipolar doar dacă are două borne. Mărimile elecrice ce caracerizează reţelele elecrice sun: nensiaea curenului elecric mărime fizică scalară (poziivă sau negaivă asociaă unei secţiuni orienae prinrun conducor. Tensiunea elecrică mărime fizică scalară (poziivă sau negaivă asociaă unei perechi orienae de borne. 5

6 Bazele elecroehnicii şi Noe de curs Penru a marca fapul că acese mărimi sun orienae se uilizează săgeţi aâ penru inensiae, câ şi penru ensiune (numie sensuri de referinţă. Vom uiliza noţiunea de nod al circuiului penru puncul în care se înâlnesc cel puţin rei conducoare. Laura va fi porţiunea de circui cuprinsă înre două noduri, iar ochiul de circui ese o succesiune coninuă de lauri care formează un conur poligonal închis. Relaţiile fundamenale ale eoriei circuielor în general şi a eoriei circuielor elecrice în paricular sun dae de eoremele (relaţiile lui Kirchhoff. Relaţia (eorema înâi a lui Kirchhoff: Suma algebrică a inensiăţilor curenţilor ce concură la un nod al unui circui elecric ese nulă. (. Caracerul algebric al sumei ese impus de aribuirea semnului plus penru curenţii care ies din nodul (n şi, respeciv, semnul minus penru curenţii care inră în acel nod. nulă. Relaţia (eorema a doua a lui Kirchhoff: Suma ensiunilor elecrice orienae în acelaşi sens pe un ochi ese (. În cazul paricular al unei bucle [b], cea de-a doua eoremă a lui Kirchhoff ia forma: A R + A S E A (. [ b] [ b] [ b] 6

7 Bazele elecroehnicii şi Noe de curs Relaţie care araă ca suma algebrică a ensiunilor la bornele rezisoarelor şi surselor ideale de curen ese egală cu suma algebrică a ensiunilor elecromooare ale surselor ideale de ensiune. Caracerul algebric al celor rei sume din relaţia (. ese impus de necesiaea parcurgerii buclei [b] înr-un anumi sens (arbirar şi aribuirea semnului plus ensiunilor R la bornele uuror rezisoarelor de rezisenţe R srăbaue de curenţii în sensul de parcurgere, ensiunilor S (la bornele uuror surselor de curen al căror sens coincide cu sensul de parcurgere şi ensiunilor elecromooare E (ale uuror surselor de ensiune ale căror săgeţi sun orienae în sensul de parcurgere (respeciv minus în caz conrar. Penru rezolvarea reţelelor elecrice (deerminarea ensiunilor şi inensiăţilor, la ecuaţiile lui Kirchhoff sub forma generală se adaugă şi relaţiile impuse ensiunii şi inensiăţii de căre fiecare elemen de circui în pare. Acese relaţii (numie şi ecuaţii de funcţionare sun specifice fiecărui elemen real. Penru a uşura sudiul reţelelor elecrice se inroduc un număr de elemene cu proprieăţi idealizae numie elemene ideale.. Rezisorul simbolul acesui elemen şi ecuaţia sa de funcţionare sun dae în Fig.... Generaorul ideal de ensiune simbolul acesui elemen şi ecuaţia sa de funcţionare sun dae în Fig.... Generaorul ideal de ensiune simbolul acesui elemen şi ecuaţia sa de funcţionare sun dae în Fig... 7

8 Bazele elecroehnicii şi Noe de curs R P R E P E J P J Fig.. Rezisorul ideal. Fig.. Generaorul ideal de ensiune. Fig.. Generaorul ideal de curen. Sursa ideală de ensiune (vezi figura.5-a are ecuaţia de funcţionare E (. oricare ar fi valoarea şi sensul curenului care o srăbae. Cele două siuaţii posibile penru sensul real al curenului care srăbae sursa (şi, corespunzăor, penru sensul real al puerii ransferae pe la borne, sens evidenţia cu ajuorul săgeţilor haşurae sun prezenae în fig...4,b şi..4,c Fig..4 Sursa ideală de ensiune sau generaorul ideal de ensiune. Sursa ideală de curen (vezi figura.5,a are ecuaţia de funcţionare: oricare ar fi valoarea şi sensul ensiunii s (.4 S la bornele sale. Cele două siuaţii posibile penru sensul real al ensiunii la bornele sursei (şi, corespunzăor, penru sensul real al puerii ransferae pe la borne, sens evidenţia şi de aceasă daă cu ajuorul săgeţilor haşurae sun prezenae în figurile.5,b şi.5,c. 8

9 Bazele elecroehnicii şi Noe de curs Fig..5 Sursa ideală de curen sau generaorul ideal de curen. În cazul generaoarelor reale de ensiune şi curen, descrise în Fig..6, ecuaţiile de funcţionare ale acesora se vor modifica în acord cu eoremele lui Kirchhoff: R E J + G Fig.. 6 Generaoarele reale de ensiune şi curen. Din punc de vedere energeic, elemenele de circui sun caracerizae cu ajuorul puerii ransferae pe la borne, mărime ce se calculează la elemenele dipolare cu ajuorul relaţiei: P (.5 Şi aceasă mărime ese orienaă (poae fi absorbiă sau cedaă, inerprearea sensului efecuându-se cu ajuorul a două reguli: a Regula de la recepoare (la care ensiunea la borne şi curenul prin elemen au acelaşi sens. 9

10 Bazele elecroehnicii şi Noe de curs Dacă P > puerea P ese absorbiă. Dacă P <, aunci puerea P ese cedaă de elemenul respeciv. b Regula de la generaoare (la care ensiunea la borne şi curenul prin elemen au sensuri opuse. Dacă P >, puerea P ese cedaă. Dacă P <, aunci puerea P ese absorbiă de elemenul respeciv. Teorema conservării puerilor precizează că, penru un circui elecric alcăui din componene dipolare, suma puerilor algebrice primie la borne de elemenele sale componene ese egală cu zero. (.6 În relaţia (.6, sensul de referinţă penru ensiunea şi inensiaea curenului ese la fel oriena penru fiecare elemen dipolar de circui. O consecinţă imporană a eoremei conservării puerilor o consiuie Bilanţul puerilor care araă că suma puerilor consumae prin efec elecrocaloric ireversibil (Joule în rezisenţele unui circui elecric comple ese egală cu suma algebrică a puerilor cedae de sursele de energie elecrică (sursele de ensiune şi injecţiile de curen. E + R J (.7 Bilanţul puerilor ese un insrumen deosebi de uil în verificarea rezolvării unui circui elecric. Dacă acesa ese verifica din punc de vedere numeric, aunci valorile deerminae penru inensiăţile curenului elecric, respeciv ensiunile la bornele elemenelor de circui, sun cele adevărae.

11 Bazele elecroehnicii şi Noe de curs. TEOREME DE ECHVALENŢĂ PENTR CRCTE DE CRENT CONTN Vom spune că două elemene de circui sun echivalene dacă, având aceleaşi ensiuni (arbirare la borne, curenţii absorbiţi pe la borne sun aceiaşi. Remarcăm că înr-o reţea puem subsiui o pare de reţea (subreţea cu un circui echivalen, iar curenţii şi ensiunile în resul reţelei rămân nemodificaţi. Aceasă observaţie permie rezolvarea reţelelor reducându-le prinr-o succesiune de echivalări la reţele mai simple... TEOREMA DE ECHVALENŢĂ DNTRE SRSA REALĂ DE TENSNE Ş SRSA REALĂ DE CRENT Aceasă eoremă precizează că o sursă reală de ensiune poae fi subsiuiă de o sursă reală de curen şi reciproc, dacă avem urmăoarele relaţii înre paramerii surselor de energie: E J R G R Fig.. 7.Echivalenţa dinre sursa reală de ensiune şi sursa reală de curen... CONEXNEA SRSELOR REALE DE TENSNE Conexiunea serie

12 Bazele elecroehnicii şi Noe de curs Spunem că mai mule surse de ensiune sun conecae în serie dacă acesea sun parcurse de aceeaşi valoare a inensiăţii curenului elecric. În aces caz, relaţiile de echivalenţă sun urmăoarele: E n E R n R Fig..8 Surse de ensiune reale conecae în serie. În Fig..8 nu s-a mai reprezena şi simbolul de rezisenţă penru fiecare sursă în pare şi nici penru sursa echivalenă. Conexiunea paralel Vom spune că mai mule surse reale sun în paralel dacă la bornele acesora vom avea aceeaşi ensiune. În aceasă siuaţie ese mul mai comod de lucra cu conducanţe (inversul rezisenţelor, iar relaţiile de echivalenţă vor deveni: E n G E n n G n E R R G n G ; R n R Fig..9 Conexiunea paralel a surselor de ensiune.

13 Bazele elecroehnicii şi Noe de curs.. CONEXNEA RESTENŢELOR ELECTRCE. Conexiunea serie Divizorul de ensiune. Ca şi în cazul surselor de ensiune vom spune că un număr de rezisoare elecrice sun conecae în serie dacă acesea sun parcurse de aceeaşi inensiae a curenului elecric. Relaţiile de echivalenţă rezulă imedia din eorema a doua a lui Kirchhoff. R n R Fig.. Conecarea serie a rezisoarelor. Divizorul de ensiune ese compus din două rezisene elecrice conecae în serie. El prezină o imporanţă pracică în calcului direc al ensiunilor penru cele două rezisenţe dacă se cunoaşe ensiunea ce se aplică ansamblului forma de cele două rezisoare. R R + R R R + R Fig.. Divizorul de ensiune.

14 Bazele elecroehnicii şi Noe de curs. Conexiunea paralel Divizorul de curen. Rezisenţele vor fi conecae în paralel dacă acesea vor fi supuse la aceeaşi valoare a ensiunii. În aces caz relaţiile de echivalenţă po fi scrise din nou mul mai uşor folosind conducanţele. G R n n G R Fig.. Conecarea în paralel a rezisenţelor. paralel. Divizorul de curen ese compus din două rezisene conecae în Din aceasă configuraţie se poae deermina, (folosind eoremele lui Kircchoff în mod direc, curenul prin fiecare rezisor,, în funcţie de curenul de la inrarea în divizor. R R + R R R + R Fig.. Divizorul de curen. 4

15 Bazele elecroehnicii şi Noe de curs.. TRANSFGRAREA STEA-TRNGH Deseori, penru o simplificare a rezolvării circuielor ese uil să se modifice schema de conexiune a unor rezisenţe din conexiunea riunghi în conexiunea sea, sau invers. Fig.4.Transfigurarea sea - riunghi. Relaţiile de ransfigurare, uşor de demonsra în baza relaţiilor lui Kircchhof, sun: Transfigurarea riunghi sea Transfigurarea sea - riunghi R R R R R R R R R + R + R + R R R R + R + R + R R R R RR R + R + R RR R + R + R ` RR R + R + R (.8..4 TEOREMA SPERPOŢE TEOREMELE L VASHY nensiaea curenului elecric prin orice laură a unei reţele liniare şi acive (reţea conţinând rezisoare liniare şi surse ideale de ensiune şi de curen ese suma algebrică a inensiăţilor curenţilor pe care i-ar sabili în acea laură fiecare dinre surse dacă s-ar găsi doar ea în circui, celelale surse fiind pasivizae. Operaţiunea de pasivizare a unei surse consă în subsiuirea aceseia cu un rezisor având rezisenţa egală cu rezisenţa 5

16 Bazele elecroehnicii şi Noe de curs inernă a sursei. Înrucâ rezisenţa inernă a unei surse ideale de ensiune ese zero, iar rezisenţa inernă a unei surse ideale de curen ese infiniă, operaţiunea de pasivizare a unei surse ideale de ensiune consă în subsiuirea aceseia cu un scurcircui, în imp ce operaţiunea de pasivizare a unei surse ideale de curen consă în subsiuirea aceseia cu un gol. Prin pasivizarea surselor de energie vom înţelege suprimarea acţiunii acesora în funcţie de caracerisicile acesora, aşa cum sun prezenae în Fig..5. Fig..5 Pasivizarea elemenelor de circui. Teorema lui Vashy penru surse de ensiune (prima eoremă a lui Vashy: Disribuţia de curenţi si de ensiuni penru oae elemenele dipolare ale unui circui nu se modifică dacă se inroduc în serie cu oae elemenele conecae la un nod, oricare, al circuiului, surse ideale de ensiune având ensiuni elecromooare egale şi la fel orienae faţă de nodul respeciv. Teorema lui Vashy penru surse de curen (a doua eoremă a lui Vashy : Disribuţia de curenţi si de ensiuni penru oae elemenele dipolare ale unui circui nu se modifică dacă se inroduc în 6

17 Bazele elecroehnicii şi Noe de curs paralel cu oae oae laurile ce alcăuiesc un ochi, oricare, al circuiului, surse ideale de curen injecând curenţi egali şi la fel orienaţi în rapor cu un sens arbirar de parcurgere al ochiului respeciv. Subliniem însă fapul că prin uilizarea primei eoreme a lui Vashy se modifică ensiunile laurilor afecae de sursele ideale de ensiune nou inroduse, iar prin uilizarea celei de-a doua eoreme a lui Vashy se modifică curenţii laurilor afecae de sursele ideale de curen nou inroduse...5 TEOREMELE SRSELOR ECHVALENTE Teorema lui Thevenin n dipol liniar aciv poae fi echivala în rapor cu bornele sale cu o sursă reală de ensiune având o ensiune elecromooare egală cu ensiunea la bornele dipolului de mers în gol şi o rezisenţă egală cu rezisenţa echivalenă a dipolului pasiviza în rapor cu aceleaşi borne. E R ± E + R dacă E E R + R Noron. Fig..6 Teorema lui Thevenin. O eoremă asemănăoare ce are acelaşi scop ese eorema lui Teorema lui Noron. 7

18 Bazele elecroehnicii şi Noe de curs n dipol liniar aciv poae fi echivala în rapor cu bornele sale cu o sursă reală de curen, de inensiae egală cu cea a curenului de scur-circui la bornele dipolului şi o conducanţă egală cu conducanţa echivalenă a dipolului pasiviza în rapor cu bornele sale. J G ± J + G dacă J J G + G Fig..7. Teorema lui Noron. Teoremele lui Thevenin şi Noron se aplică aunci când se urmăreşe deerminarea inensiăţii curenului sau a ensiunii la bornele unei singure lauri a unui circui elecric, evenual variaţia acesor mărimi odaă cu paramerii laurii considerae, resul circuiului rămânând neschimba...6 TEOREMA TRANSFERL MAXM DE PTERE Penru un dipol aciv, ransferul maxim de puere de la acesa la o rezisenţă de sarcină R, se realizează în momenul în care valoarea rezisenţei de sarcină ese egală cu rezisenţa inernă a dipolului R. Spunem că sarcina exerioară ese adapaă dipolului. 8

19 Bazele elecroehnicii şi Noe de curs Fig..8 Teorema ranferului maxim de puere. În aces caz, randamenul ransferului de puere de la dipol la sarcină ese : P η P max g R R + R R R.5 (.9 Se observă că în aces caz randamenul ransmisiei de puere ese inadmisibil de mic. Cu oae acesea, sun aplicaţii în care se doreşe o sarcină adapaă sursei; acesa ese cazul demarorului de pornire a auovehiculelor alimenae de la baeria de acumulaoare. Ese necesară ransferarea unei pueri maxime penru un imp relaiv scur, randamenul puând avea valori desul de mici... METODE SSTEMATCE DE REOLVARE A CRCTELOR DE CRENT CONTN Meodele de rezolvare uilizae în paragraful anerior, bazae pe eoremele de echivalenţă (generaoare şi rezisenţe echivalene po fi aplicae unor clase reduse de probleme (ce po fi reduse prin grupări serie sau paralel la un singur ochi. Meodele sisemaice vor fi meode ce se po aplica la orice ip de reţea şi permi calculul uuror curenţilor şi ensiunilor din reţea. Prin problema direcă vom înţelege problema în care daele problemei sun: srucura opologica a reţelei, paramerii elemenelor de circui din reţea, E, J, R, iar necunoscuele vor fi ensiunile la bornele elemenelor şi curenţii prin acesea. Penru rezolvarea problemei direce se po uiliza eoremele generale ale lui Kirchhoff, compleae cu relaţiile de funcţionare (relaţiile dinre ensiune şi curen penru fiecare elemen. 9

20 Bazele elecroehnicii şi Noe de curs Meoda ecuaţiilor lui Kirchhoff presupune scrierea a N- ecuaţii din eorema înâia (N fiind numărul de noduri, iar a L-N+ ecuaţii dae de a doua eoremă (L fiind numărul de lauri. Rezulă asfel un sisem compaibil deermina ce are ca necunoscue curenţii prin laurile circuiului. Meoda ecuaţiilor Kirchhoff Aceasa meodă prezină urmăorul algorim:. Se aleg sensurile de referinţă şi se aleg cei L curenţi din reţea. Se aleg sensurile de referinţă şi se noează ensiunile la bornele generaoarelor ideale de curen.. Se scrie prima eoremă a lui Kirchhoff de N- ori penru N- noduri. (. În relaţia (., suma ese consideraă algebrică (se rec cu plus curenţii care ies şi cu minus curenţii care inră în nod.. Se scrie eorema a doua a lui Kirchhoff pe L-N+ ochiuri independene penru care s-au marca în prealabil sensurile de parcurs: + R E (. În relaţia (. oae cele rei sume sun algebrice (ermenii se rec cu minus dacă sensul de parcurs ese opus sensului lui, sau Penru a scrie o ecuaţie pe un ochi rebuie să-l parcurgem de două ori prima daă, să urmărim rezisoarele, generaoarele ideale de curen E.

21 Bazele elecroehnicii şi Noe de curs şi ensiunile la borne, iar a doua oară numai generaoarele ideale de ensiune. Ochiurile pe care scriem acese ecuaţii sun de preferabil alese asfel încâ să aibă un număr minim de rezisoare. 4. Se rezolvă sisemul forma din L ecuaţii cu L necunoscue (curenţii prin lauri şi ensiunile la bornele generaoarelor ideale de curen cu una din meodele maemaice cunoscue de rezolvare a sisemelor de ecuaţii liniare (subsiuţie, reducere, deerminanţi sau prin inversare de marici. 5. Se verifică rezulaele obţinue prin verificarea eoremelor lui Kirchhoff în nodul în care nu a fos uiliza sau pe ale ochiuri neuilizae. 6. Se verifică bilanţul puerilor pe reţea cu relaţia: n n n E + R J (. În relaţia (., suma din sânga ese arimeică ( n -numărul de rezisoare, sumele din dreapa sun algebrice ( E se rec cu minus doar dacă doar dacă E şi au semne opuse, iar şi J au sensuri de referinţă similare J se rece cu semnul minus Meoda curenţilor ciclici O ala meodă sisemaică de rezolvare a circuielor de curen coninuu ese meoda curenţilor ciclici. Penru rezolvarea unei probleme direce cu ajuorul acesei meode se parcurg urmăoarele eape:. Se numără nodurile (două noduri unie prinr-un conducor le vom numi pseudo-noduri şi le vom considera ca alcăuind un singur

22 Bazele elecroehnicii şi Noe de curs nod. Se numără laurile. Se calculează numărul de ochiuri fundamenale cu relaţia O L N +.. Se aleg O ochiuri independene care se consideră parcurse de curenţi ciclici marcându-se pe figură sensurile de referinţă şi valorile acesor curenţi. Dacă problema conţine generaoare ideale de curen se aleg ochiurile asfel încâ fiecare curen ciclic să nu parcurgă decâ maxim un singur generaor de curen.. Se scriu O ecuaţii liniare sub forma sandard: R R M R ' ' ' + R + R + R ' ' ' + L R + LR + LR ' ' ' E ' E E ' ' (. 4. Se calculează R ii (elemenele de pe diagonala sisemului ca suma arimeică a rezisenţelor de pe ochiul i. Dacă pe ochiul i se afla un generaor ideal de curen aunci R, deci ecuaţia i nu are sens şi ii ea se elimină din sisem. Se calculează apoi R R ij ji, ca fiind rezisenţa laurilor comune i cu ochiul j ; ea se rece cu plus dacă cei doi curenţi ciclici au acelaşi sens şi cu minus dacă au sensuri opuse prin laura comună. 5. Se calculează ensiunile ' E i ca suma algebrică a ensiunilor elecromooare ale generaoarelor ideale de ensiune pe ochiul i (la fel ca membrul drep din meoda ecuaţiilor lui Kirchhoff. 6. Se compleează sisemul obţinu cu valorile curenţilor ciclici ce rec prin generaoarele ideale de curen (care sun ocmai curenţii de scur-circui ai generaoarelor. 7. Sisemul asfel obţinu se rezolvă cu una din meodele cunoscue în maemaică.

23 Bazele elecroehnicii şi Noe de curs 8. Se aleg sensurile de referinţă ale curenţilor din lauri şi se calculează aceşi curenţi ca sume algebrice de curenţi ciclici. 9. Se calculează ensiunea la bornele elemenelor aplicând ecuaţiile de funcţionare sau eorema a doua a lui Kirchhoff.. Verificările ce se po face se bazează pe eorema a doua a lui Kirchhoff, sau bilanţul puerilor. Meoda poenţialelor la noduri Aceasă meodă presupune urmăoarele eape:. Se urmăresc laurile reţelei ce conţin numai generaoare ideale de ensiune (lauri de rezisenţă nulă. nul din nodurile reţelei (de preferinţă cel în care converg cele mai mule lauri de rezisenţă nulă, se alege ca nod de referinţă (de poenţial nul. Laurile de rezisenţă nulă care nu converg în nodul de referinţă se pasivizează cu ajuorul eoremei lui Vaschy, penru generaoarele de ensiune obţinându-se o reţea echivalenă din punc de vedere al curenţilor cu reţeaua iniţială.. Se numără nodurile şi se numeroează poenţialele lor (pseudonodurile se vor considera ca un singur nod: V, V L V n.. Se scriu n ecuaţii liniare sub forma sandard: GV + GV GV + GV M Gn V + G n + L G + LG V n V n + LG n V n n n sc V n sc scn (.4 4. Se calculează G ii (elemenele de pe diagonala sisemului ca suma arimeică a conducanţelor laurilor ce concură la nodul i. Dacă înre acese lauri ese una de rezisenţă nulă G ii, ecuaţia

24 Bazele elecroehnicii şi Noe de curs respecivă se elimină din sisem ca fiind lipsiă de sens. Se calculează apoi G G ca fiind suma arimeică a conducanţelor ij ji laurilor ce leagă nodul i cu nodul j luaă cu sens schimba. 5. Se calculează injecţiile de curen în noduri sci, ca suma algebrică a curenţilor de scur-circui ai laurilor ce concură în nodul i. Curenţii de scur-circui ai laurilor se calculează eliminând laura respecivă din circui şi unind bornele ei exreme. Aceşi curenţi se rec cu plus dacă săgeaa generaorului înţeapă (injecează nodul şi cu minus dacă pleacă din nod. 6. Se compleează sisemul obţinu cu valorile poenţialelor de la exremiăţile laurilor de rezisenţă nulă (ele sun ± ensiunile elecromooare ale generaoarelor ideale de ensiune de pe acele lauri. 7. Sisemul obţinu se rezolvă cu una din meodele cunoscue din maemaică. 8. Se aleg sensurile de referinţă ale curenţilor din lauri şi ale ensiunilor la bornele laurilor, făcându-se noaţiile corespunzăoare. 9. Se calculează ensiunile la bornele laurilor ca diferenţe de poenţial.. Se calculează inensiăţile curenţilor prin lauri aplicând eorema a doua a lui Kirchhoff pe ochiul forma de laură şi sensul de referinţă al ensiunii.. Se calculează ensiunile din reţeaua iniţială uilizând eorema a doua a lui Kirchhoff.. Se verifică rezulaele obţinue cu ajuorul eoremei înâi a lui Kirchhoff şi prin bilanţul puerilor. Rezolvarea circuielor prin eorema lui Thevenin şi Noron Teorema lui Thevenin permie calculul inensiăţii curenului înr-o singură laură din circui. 4

25 Bazele elecroehnicii şi Noe de curs Penru aplicarea aceseia rebuie parcurse urmăoarele eape:. Se aleg bornele A şi B de pe laura în care ne ineresează curenul asfel încâ înre ele să nu se afle nici un generaor (la exremiăţile unui rezisor R sau de-a lungul unui conducor R. AB. Se pasivizează reţeaua înlocuindu-se generaoarele cu rezisenţele lor inerne (generaoarele ideale de ensiune cu R, şi generaoarele ideale de curen cu AB R. Se elimină rezisenţa dinre bornele A şi B. Penru reţeaua asfel obţinuă se calculează rezisenţa R AB, rezisenţa echivalenă înre bornele A şi B.. În reţeaua nepasivizaă se elimină rezisenţa dinre bornele A şi B şi se calculează ensiunea înre acese punce (ensiunea de mers în gol AB. Aceasă ensiune se calculează cu una din meodele prezenae anerior (avanajul meodei Thevenin ese că reţeaua ce rebuie rezolvaă la aces punc ese mai simplă decâ cea iniţială având o laură mai puţin. 4. Se calculează inensiaea AB AB şi ensiunea AB RAB AB. R + R AB AB O ală meodă de calcul a unei singure mărimi (ensiune de asă daa ese eorema lui Noron. Penru aplicarea acesei meode rebuie parcurse urmăoarele eape:. Se aleg bornele A şi B asfel încâ înre ele să se afle doar un rezisor (chiar de conducanţă nulă.. Se calculează conducanţa echivalenă a reţelei pasivizae (pasivizarea se face ca şi la meoda Thevenin: G AB R AB 5

26 Bazele elecroehnicii şi Noe de curs. În reţeaua iniţială se scur-circuiează puncele AB şi se calculează inensiaea curenului ce parcurge conducorul de scurcircui scab. Calculul acesui curen se face cu una din meodele prezenae anerior. (Ese remarcabil că reţeaua de rezolva la aces punc are o laură mai puţin decâ reţeaua iniţială, lucru ce simplifică în unele cazuri foare mul reţeaua. 4. Se calculează ensiunea înre bornele A şi B cu ajuorul reţelei AB G AB scab + G AB şi inensiaea G. AB AB AB Meoda superpoziţiei Ese o meodă de rezolvare a circuielor elecrice valabilă penru circuiele liniare şi se poae sublima în urmăoarea afirmaţie: nensiaea curenului elecric din orice laură a unei reţele elecrice liniare ese suma algebrică a inensiăţilor curenţilor pe care i-ar sabili în acea laură fiecare dinre sursele independene dacă s-ar găsi singură în reţea. Trebuie spus că suprimarea acţiunii celorlale surse de energie din circui se face prin pasivizare (Fig.. Mai rebuie menţiona că rebuie ţinuă seama de semnul fiecărui curen ales prin laura în care dorim să deerminăm inensiaea curenului..4 SRSE COMANDATE Sursele comandae sun acele surse la care mărimile furnizae de acesea depind (sun comandae de ale mărimi curenţi sau ensiuni din circui. 6

27 Bazele elecroehnicii şi Noe de curs Din aces moiv o sursă comandaă admie ca model un mulipol cu paru borne de acces, numi cuadripol dipor (noa CD Fig..9 în figura.9. Cele paru borne sun grupae în două porţi: poara de inrare, la care mărimile la borne şi sun asociae ca sensuri de referinţă conform convenţiei de la recepoare, şi poara de ieşire, la care mărimile la borne şi sun asociae ca sensuri de referinţă conform convenţiei de la generaoare. După cum poara de inrare ese un scurcircui ( sau un gol (, iar poara de ieşire ese un generaor ideal de ensiune sau un generaor ideal de curen, sursele comandae se clasifică în urmăoarele paru caegorii (vezi figura.: E α E r g β g g Fig.. (a Sursa de ensiune comandaă în ensiune, care are ecuaţiile de funcţionare 7

28 Bazele elecroehnicii şi Noe de curs E α ; (.5 (b Sursa de ensiune comandaă în curen, care are ecuaţiile de funcţionare E r ; (.6 (c Sursa de curen comandaă în curen, care are ecuaţiile de funcţionare s β ; (.7 (d Sursa de curen comandaă în ensiune, care are ecuaţiile de funcţionare g ; (.8 s Consanele α, r, β şi g sun mărimi de ransfer înre poara de inrare şi poara de ieşire şi au urmăoarele semnificaţii: α se numeşe facor (adimensional de ransfer în ensiune r se numeşe rezisenţă de ransfer β se numeşe facor (adimensional de ransfer în curen g se numeşe conducanţă de ransfer. 8

29 Bazele elecroehnicii şi Noe de curs Sun de reţinu urmăoarele chesiuni în legăură cu sursele comandae: Sursele comandae sun surse ideale; Sursele comandae modelează exisenţa unor fenomene de cuplaj elecromagneic înre mărimile ce caracerizează poara de inrare şi mărimile ce caracerizează poara de ieşire, care po conduce la scheme echivalene rezisive neconexe; Rezolvarea circuielor cu surse comandae cu ajuorul eoremelor lui Kirchhoff, meodei curenţilor ciclici şi meodei poenţialelor nodurilor se face la fel ca în cazul în care nu exisă surse comandae. Ecuaţiilor corespunzăoare fiecărei meode li se adaugă relaţiile care exprimă mărimile care comandă în funcţie de necunoscuele meodei, iar apoi acese relaţii se înlocuiesc în expresiile surselor comandae. În aces fel, în cazul rezolvării circuielor cu surse comandae cu ajuorul meodei curenţilor ciclici sau a meodei poenţialelor nodurilor, maricile coeficienţilor necunoscuelor nu vor mai fi simerice după rescrierea ecuaţiilor. Generaoarele comandae se comporă diferi faţă de generaoarele independene referior la eoremele Thévenin, Noron şi superpoziţiei, în sensul că sursele comandae nu se pasivizează înrucâ ele nu po exisa în absenţa unei mărimi (curen sau ensiune de comandă. Calculul paramerilor R AB şi G AB (necesari în eoremele generaoarelor echivalene se poae face prin una din urmăoarele meode: 9

30 Bazele elecroehnicii şi Noe de curs Se deermină mai înâi mărimile AB gol şi AB sc, iar apoi se calculează R AB şi, respeciv, G AB cu relaţiile AB gol R AB ; AB sc AB sc G AB (.9 R AB AB gol Se uilizează meoda de deerminare a rezisenţei (conducanţei de inrare a unui circui elecric fără a pasiviza sursele comandae. Aragem aenţia că, penru circuiele care conţin generaoare comandae, mărimile R AB şi G AB po rezula şi negaive. În cazul reţelelor cu generaoare comandae, eorema superpoziţiei afirmă că un curen prinr-o laură, oricare, a unui circui liniar ese suma algebrică a curenţilor pe care îi sabileşe în acea laură fiecare dinre sursele independene, dar de fiecare daă în prezenţa surselor comandae (care nu se pasivizează.

31 Bazele elecroehnicii şi Noe de curs. REGML PERMANENT SNSODAL AL CRCTELOR ELECTRCE. MĂRM SNSODALE CARACTERARE, REPREENTARE SMBOLCĂ Prin definiţie, o mărime sinusoidală ese marimea a cărei variaţie în imp ese descrisă de o expresie de forma: x ( X sin( ω + ϕ X sin( ω + ϕ max (. În relaţia (. mărimile care apar au urmăoarea semnificaţie: Xmax ese ampliudinea sau valoarea de vârf a mărimii sinusoidale şi reprezină valoarea maximă poziivă a variaţiei x( în decursul unei perioade. X ese valoarea efecivă sau eficace a mărimii sinusoidale. Înre ampliudine şi aceasa exisă, aşa cum se observă din

32 Bazele elecroehnicii şi Noe de curs relaţia (., dependenţa: X X. Valoarea efecivă X ese valoarea indicaă de aparaele de măsură. ω ese pulsaţia sau frecvenţa unghiulară. Înre pulsaţie şi frecvenţa (sau perioada mărimii exisă relaţia: π ω πf (. T αω + ϕ reprezină faza la un momen da ( oarecare. Penru se obţine faza iniţială ϕ a mărimii sinusoidale. Penru a ilusra mai bine semnificaţia fizică a acesor mărimi vom reprezena grafic variaţia în imp penru o mărime sinusoidală: max Fig.. Mărimi şi valori caracerisice unei variaţii sinusoidale. Prin definiţie, valoarea medie a unei mărimi periodice ese valoarea expresiei daă de relaţia (.. x +T x T ( d (. Aşa cum se poae observa din relaţia (. penru o mărime sinusoidală valoarea sa medie ese nulă. O mărime periodică de valoare medie nulă se numeşe mărime alernaivă. Definim valoarea efecivă sau eficace a mărimii - rădăcina păraă a valorii medii a păraului variaţiei respecive.

33 Bazele elecroehnicii şi Noe de curs X + T X (.4 x x ( d max T Penru două mărimi sinusoidale de aceeaşi pulsaţie ω se defineşe defazajul ϕ ca diferenţa dinre fazele celor două mărimi sinusoidale de fap diferenţa dinre fazele lor iniţiale. x ( X x ( X sin( ω + ϕ sin( ω + ϕ ϕ ( ω + ϕ ϕ ϕ ( ω + ϕ (.5 În Fig.. se vizualizează defazajul penru două mărimi de ampliudini şi faze iniţiale diferie: Fig.. Defazajul dinre două mărimi sinusoidale.. REPREENTAREA COMPLEXĂ A MĂRMLOR SNSODALE Penru orice mărime sinusoidală x( de pulsaţie ω i se poae asocia în mod biunivoc un număr complex X numi şi complexul sau imaginea complexă a lui x(, de modul egal cu valoarea efecivă şi de argumen egal cu faza iniţială a mărimii sinusoidale: jϕ x ( X sin( ω + ϕ X X e X (cos ϕ + jsin ϕ (.6 În relaţia (.6 s-a noa j fiind numărul complex de modul uniae şi faza π. Aces mod de reprezenare analiică a mărimilor sinusoidale se numeşe reprezenare complexă. Aces ip de

34 Bazele elecroehnicii şi Noe de curs reprezenare permie şi o reprezenare în planul complex a mărimilor sinusoidale: Fig.. Reprezenarea complexă a mărimilor sinusoidale. Aceasă reprezenare ese foare uilă deoarece permie rezolvarea circuielor elecrice de curen alernaiv sinusoidal mul mai uşor şi permie oodaă o mai bună inerpreare a rezulaelor obţinue. Prin urmare, în prima fază, mărimile sinusoidale vor fi exprimae cu ajuorul numerelor complexe, apoi, după rezolvarea acesora, folosind în principal aceleaşi eoreme de echivalenţă şi meode de rezolvare ca şi în curen coninuu, se va reveni în domeniul imp folosind biunivociaea ransformării în complex.. ELEMENTE DE CRCT Elemene pasive de circui În principal, acese elemene de circui sun reprezenae de rezisorul, bobina, condensaorul şi bobinele cuplae muual înre ele, fiecare dinre acesea fiind caracerizae doar de un singur parameru consan, rezisenţa R, induciviaea L, capaciaea C, respeciv induciviaea muuala de cuplaj M, care apare în plus faţa de paramerii celor două bobine cuplae înre ele. 4

35 Bazele elecroehnicii şi Noe de curs u ( Ri ( R R d il ( u L ( L uc ( ic ( d d C u u L L d i d i ( L ± L d d d i d i ( L ± L d d Fig..4 Elemenele pasive de circui În Fig..4 s-au prezena penru fiecare elemen în pare ecuaţiile analiice ce le caracerizează. În cazul bobinelor cuplae magneic semnul dinre cei doi ermeni ese + dacă i şi i au acelaşi sens faţa de bornele polarizae, iar semnul ese dacă i inră în borna polarizaă, iar i iese din borna polarizaă sau invers. Aşa cum ese sensul curenţilor şi poziţia bornelor marcae în figură semnul ese poziiv. Elemenele acive de circui Acese elemene sun generaorul ideal de ensiune şi generaorul ideal de curen. Generaorul ideal de ensiune se caracerizează prin fapul că indiferen de valoarea inensiăţii curenului care-l parcurge i(, acesa furnizează la bornele sale o ensiune consană u( egală cu valoarea ensiunii generaorului e(. 5

36 Bazele elecroehnicii şi Noe de curs Generaorul ideal de curen se caracerizează prin fapul că indiferen de valoarea ensiunii de la bornele sale u( acesa injecează în circui un curen a cărui inensiae consană i( ese egală cu valoarea curenului generaorului j(. În Fig.5 sun ilusrae simbolurile şi ecuaţiile de funcţionare ale generaoarelor ideale de ensiune şi curen. u(e( i(j( Fig..5 Generaoarele ideale de ensiune şi curen. În cazul generaoarelor reale de ensiune şi curen în componena acesora mai avem o rezisenţa inerioară în serie cu generaorul de ensiune şi în paralel cu generaorul de curen. În Fig..6 sun reprezenae schemele echivalene ale acesor generaoare precum şi ecuaţiile lor de funcţionare. u(e(-ri( i(j(-gu( Fig..6 Generaoarele reale de ensiune şi curen. În circuiele elecrice ese de mule ori uil să lucrăm un un singur ip de generaor. 6

37 Bazele elecroehnicii şi Noe de curs De aceea, ese uil să puem rece de la un ip de generaor la celălal. Ecuaţiile de ransformare se po obţine uşor prin compararea expresiei ensiunii u( penru cele două ipuri de generaoare: e( ri( u( e( ri( e( g u( rj( ri( j( r r (.7 Prima din relaţiile rezulae se foloseşe la recerea de la generaorul de curen la cel de ensiune, cu legarea rezisenţei inerioare în serie, iar a doua relaţie permie recerea de la generaorul de ensiune la cel de curen cu legarea rezisenţei inerioare în paralel cu generaorul..4. MTANŢE COMPLEXE Rezolvarea circuielor elecrice de curen alernaiv periodic sinusoidal se poae face sisemaiza apelând la noţiunile de impedanţă respeciv admianţă complexă denumie în ermenul comun de imianţe complexe. Penru aceasa vom considera un dipol liniar şi pasiv ale cărui elmene inducive componene nu au cuplaje magneice cu exeriorul. Tensiunea şi curenul la bornele sale au o variaţie sinusoidală Fig..7. Fig..7 Dipol liniar pasiv necupla magneic cu exeriorul. Variaţia în imp a ensiunii şi a curenului la bornele dipolului: 7

38 Bazele elecroehnicii şi Noe de curs u( sin( ω + ϕ i( sin( ω + ϕ e e jϕ jϕ (cos ϕ (cos ϕ + jsin ϕ + j sin ϕ (.8 Prin definiţie se numeşe impedanţa complexă a dipolului raporul dinre imaginile complexe ale ensiunii aplicae la bornele sale şi inensiaea curenului absorbi: e j( ϕ ϕ e jϕ (cos ϕ + jsin ϕ R + j X (.9 Modulul [Ω] se numeşe impedanţa reală a dipolului şi argumenul său ϕ ϕ ϕ se numeşe faza dipolului iar: R Re X m { } cos ϕ rezisena inerna echivalena a dipolului [ Ω] { } sinϕ reacana inerna echivalena a dipolului [ Ω] (. În mod eviden se po deermina relaţiile: + R X X ϕ arcg (. R Prin definiţie Y [S] se numese admianţa complexă a dipolului raporul dinre imaginile complexe ale inensiăţii curenului şi ale ensiunii la bornele sale: Y e j( ϕ ϕ Y e jϕ Y (cos ϕ jsin ϕ G j B (. În relaţia (. se idenifică G conducanţa echivalenă şi B suscepanţa echivalenă ca pare reală respeciv, coeficien schimba de semn al pării imaginare din Y. G Re B m Y {} Y Y cosϕ conducana inerna echivalena a dipolului[] S {} Y sin ϕ suscepana inerna echivalena a dipolului[] S (. Ca şi în cazul impedanţei penru admianţă avem relaţiile: Y + G B B ϕ arcg (.4 G 8

39 Bazele elecroehnicii şi Noe de curs Observăm că admianţa (reală sau complexă consiuie inversul impedanţei (reale sau complexe. Prin urmare înre paramerii arăaţi mai sus se po deermina o serie de relaţii: Y Y G R Y G R G RY B X Y X B B XY (.5 Având în vedere relaţiile (. şi (.4 observăm că ese posibilă consruirea a două riunghiuri drepunghice numie generic al impedanţelor respeciv, al admianţelor (Fig..8. R + X Y G + B Y Fig..8 Triunghiurile imianţelor Mai rebuie preciza că dipolul liniar şi pasiv necupla cu exeriorul rebuie în mod obligaoriu să saisfacă condiţia: π ϕ, π (.6 Condiţia (.5 ese echivalenă cu R { } R Dacă { } > preponderen induciv. e. m sau ϕ > vom spune că avem un regim În aces caz puem echivala înreg dipolul fie serie fie paralel (după cum lucrăm în impedanţă sau admianţă cu un rezisor în conexiune cu o induciviae. La legarea serie La legarea paralel (.7 9

40 Bazele elecroehnicii şi Noe de curs R Re{ } G Re{ Y} X L { } m Dacă { } < X L L ω B L {} m Y L ωb m sau ϕ < vom spune că avem un regim preponderen capaciiv. În aces caz puem echivala înreg dipolul fie serie fie paralel (după cum lucrăm în impedanţă sau admianţă cu un rezisor în conexiune cu o capaciae. L X C La legarea serie R Re { } { } m C ωx C La legarea paralel G Re B C { Y} {} m Y BC C ω (.8.5. PTER DEFNTE ÎN CRCTE DE CRENT ALTERNATV SNSODAL Penru a puea defini puerile în regim periodic sinusoidal vom considera din nou cazul dipolului elecric liniar, pasiv şi necupla induciv cu exeriorul (Fig..6. Puerea insananee p se defineşe ca puerea primiă în fiecare momen la borne şi ese produsul dinre valorile insanane e ale ensiunii şi inensiăţii curenului elecric, având urmăoarea expresie: [ cos( ϕ ϕ cos(ω + ϕ + ϕ ] p( u( i( (.9 Aşa cum se observă din relaţia (.9 puerea insananee conţine doi ermeni: un ermen consan ce caracerizează schimbul mediu de puere al dipolului cu exeriorul şi un ermen alernaiv ce pulsează cu dublul frecvenţei ensiunii aplicae. Puerea acivă P ese prin definiţie media în rapor cu impul a puerii insananee: 4

41 Bazele elecroehnicii şi Noe de curs + T P p p( d cos( ϕ T ϕ cos ϕ [W] (. Având în vedere relaţia (.6, puerea acivă ese înodeauna poziivă şi ese deci primiă de dipolul liniar şi pasiv. Luând în considerare relaţiile precizae în cazul dipolului liniar, puerea acivă consumaă de acesa poae fi exprimaă şi în funcţie de rezisenţa, respeciv conducanţa acesuia : P R G (. Puerea acivă ese consumaă de elemenele acive dinr-un circui (rezisenţele uniaea de masură a aceseia fiind wa-ul (W. Puerea reacivă Q primiă de dipol se defineşe prin analogie cu puerea acivă: Q sin ϕ [VAR] (. Aceasă puere îşi schimbă semnul odaă cu defajajul ϕ dinre ensiune şi curen, asfel încâ poae fi aâ poziivă câ şi negaivă, deci aâ primiă câ şi cedaă de dipol. Ca şi în cazul puerii acive, puerea reacivă poae fi exprimaă în funcţie de reacanţe sau suscepanţe: Q X B (. Puerea reacivă ese consumaă de elemenele reacive din circui (bobinele, condensaoarele şi cuplajele magneice înre bobine, uniaea de masură fiind vol-amperul reaciv (VAR. Puerea aparenă S ese prin definiţie produsul dinre valorile efecive ale ensiunii şi inensiăţii curenului: S [VA] (.4 Ca şi în cazurile precedene puem exprima puerea aparenă în funcţie de imianţele dipolului liniar şi pasiv: S Y (.5 4

42 Bazele elecroehnicii şi Noe de curs Puerea aparenă ese un indicaor asupra funcţionării circuiului fiind maximul puerii acive la ϕ, respeciv al puerii reacive la ϕ π. niaea de masură penru puerea aparenă ese vol-amperul (VA. Având în vedere modul de definiţie al acesor pueri se poae vorbi, ca şi în cazul imianţelor, de un riunghi al celor rei pueri: acivă, reacivă şi aparenă. În Fig..9 ese reprezena riunghiul puerilor precum şi relaţiile de calcul ale puerilor acive şi reacive, în funcţie de puerea aparenă. S P + Q P S cos ϕ Q S sin ϕ Fig..9 Triunghiul puerilor O mărime foare imporană din punc de vedere energeic ese facorul de puere consumaă de dipol şi puerea aparenă: P defini ca raporul dinre puerea acivă [ ] P cos ϕ (.6 P S O sineză a puerilor definie mai sus ese puerea complexă S definiă ca produs înre imaginea complexă a ensiunii aplicaă dipolului şi imaginea complex conjugaă a inensiăţii curenului absorbi: S S e j ϕ S(cos ϕ + jsin ϕ P + jq (.7 Aşa cum se poae observa modulul puerii complexe reprezină puerea aparenă, parea sa reală se idenifică cu puerea acivă iar coeficienul părţii imaginare cu puerea reacivă definie la dipol. 4

43 Bazele elecroehnicii şi Noe de curs Relaia (.8 precizează acese observaţii. S S P Re{ S} Q m{ S} (.8 Din acese moive în calculul de pueri se procedează direc la calculul puerii complexe după care se idenifică puerile acive şi reacive separând componenele sale. Elemenele acive de circui sursele de energie (sursele de ensiune respeciv, sursele de curen sun furnizoarele de puere complexă în circui. În cazul sursei de ensiune, puerea aparenă complexă ese daă de produsul dinre imaginea în complex a ensiunii la bornele sale şi imaginea în complex conjugaă a curenului debia ce parcurge sursa. Penru sursa de curen, puerea aparenă complexă ese daă de produsul dinre imaginea în complex a ensiunii la bornele sale şi imaginea în complex conjugaă a curenului debia de sursă. Penru ambele surse relaţiile sun luae cu semnul plus dacă sensurile alese de ensiune şi curen respecă regula de ip generaor, alfel puerile complexe prezină semnul minus în faţa expresiilor sus menţionae. S E S J (.9 Trebuie menţiona că sensul ensiunii la bornele sursei de curen rebuie ales de la exremiaea indicaă de săgeaă la bază. Puerea complexă oală în cazul unui circui ese alcăuiă din suma uuror puerilor complexe dae de oae sursele de energie ( ensiune şi curen din circui; parea sa reală rebuie să fie egală cu puerea acivă, iar parea imaginară ese egală cu puerea reacivă a circuiului. 4

44 Bazele elecroehnicii şi Noe de curs P n R n S E + Q n ωl n l n J ωc P + jq ± n m l M Re { } l (. Dacă se calculează separa puerea acivă respeciv, puerea reacivă rebuie să avem ideniăţile P Re{ S}, respeciv Q m{} S. Acesă verificare consiuie o verificare a bilanţului de pueri în circuiele de curen alernaiv..6. COMPORTAREA ELEMENTELOR PASVE DE CRCT ÎN REGM PERODC SNSODAL Rezisorul ideal descrierea în regim periodic sinusoidal ese daă în principal de ecuaţia sa de funcţionare ranspusă în complex. R Re R { } R m{ } S P R R Q ϕ cos ϕ Prin urmare, în cazul rezisorului ideal, curenul ce îl parcurge ese în fază cu ensiunea, iar acesa consumă numai puere acivă. Bobina ideală ecuaţia de funcţionare a bobinei ideale ne conduce la urmăoarea descrierea în complex. jωl Re L jωl { } m{ } X ωl L S jωl P Q ωl π ϕ cos ϕ > În cazul bobinei ideale ensiunea ese defazaă înaine faţă de curen cu π, iar aceasa consumă numai puere reacivă. 44

45 Bazele elecroehnicii şi Noe de curs Termenul X L ωl > se numeşe reacanţă inducivă a bobinei şi ese o caracerisică a bobinei penru o anumiă frecvenţă. Condensaorul ideal ecuaţia de funcţionare a condensaorului ideal ne conduce la urmăoarea descriere în complex. j ωc Re { } m{ } L j ωc X C ωc j S ωc P Q ωc π ϕ cos ϕ < În cazul condensaorului ideal ensiunea ese defazaă înaine faţă de curen cu π, iar aceasa consumă numai puere reacivă. Termenul X C < se numeşe reacanţă capaciivă a ωc condensaorului şi ese o caracerisică a condensaorului penru o anumiă frecvenţă. De cele mai mule ori se indică numai valoarea absoluă a acesei reacanţe de semnul ei ţinându-se con explici numai la scrierea ecuaţiilor circuiului şi la bilanţul de pueri. Bobine ideale cuplae magneic vom considera două bobine ideale de induciviăţi proprii L respeciv, L şi de induciviae muuală L L M. Ecuaţiile caracerisice acesor bobine rezulă din scrierea ecuaţiilor de ensiuni: X m m jωl jωl ± jωm ± jωm ωm j (. ωm Semnele ± din scrierea ecuaţiilor de ensiuni se decid în funcţie de poziţia bornelor polarizae faţă de curenţii ce parcurg bobinele: dacă ambii curenţi inră sau ies ese semnul plus, alfel semnul ese minus. 45

46 Bazele elecroehnicii şi Noe de curs Termenul X m ωm reprezină o caracerizare caniaivă a cuplajului şi reprezină reacanţa inducivă muuală a celor două bobine cuplae magneic. Puerea complexă a cuplajului va fi: S [ ωl + ωl + Mω cos( ] + j P Q ωl + ωl + Mω cos( (. Aşa cum se observă din relaţia de mai sus, sisemul nu consumă decâ puere reacivă. limul ermen din expresia puerii reacive ese daora cuplajului magneic şi ese numi şi puere reacivă de cuplaj. Q Mω cos( ± MωRe{ } m { } { } Re R e (. Puerea reacivă daoraă cuplajului poae fi poziivă sau negaivă după cum curenţii ce parcurg bobinele cuplae inră sau ies din bornele polarizae. Separarea cuplajelor magneice Sun cazuri în care problemele prezină anumie simplificări dacă se procedează la desfacerea cuplajelor magneice. Separarea cuplajelor magneice ese posibilă dacă cele două bobine cuplae magneic au un punc comun. În acesă siuaţie, în funcţie de poziţia bornelor polarizae şi de curenţii elecrici prin bobine, cuplajul magneic ese elimina inroducându-se pe laura ce porneşe din nodul comun o nouă bobină ce are induciviaea în funcţie de induciviaea de cuplaj. Valorile induciviăţilor bobinelor cuplae şi ale bobinei ce apare pe laura de nod comun se po uşor deermina scriind ecuaţiile de ensiuni penru cele două bobine. Se obţin în felul acesa urmăoarele rezulae sineizae în Fig... 46

47 Bazele elecroehnicii şi Noe de curs Fig.. Desfacerea cuplajelor magneice. Prin urmare, dacă curenţii au acelaşi sens faţă de bornele polarizae (inră sau ies, induciviăţile magneice ale celor două bobine scad cu induciviae M. M, iar pe laura de nod comun se adaugă o bobină de Dacă curenţii au sens conrar faţă de bornele polarizae (unul inră celălal iese sau invers, induciviăţile magneice ale celor două bobine cresc cu M, iar pe laura de nod comun se adaugă o bobină de induciviae M..7. METODE DE REOLVARE A CRCTELOR ELECTRCE MONOFAATE DE CRENT ALTERNATV O primă medodă de rezolvare a circuielor elecrice monofazae de curen alernaiv ese meoda direcă care consă în scrierea ecuaţiilor lui Kirchhoff în reprezenările specifice regimului permanen sinusoidal. Penru a prezena modul de scriere al ecuaţiilor dae de eoremele lui Kirchhoff vom considera un circui liniar comple forma din L lauri şi N noduri; corespunzăor, numărul buclelor independene ese BL-N+. În cazul cel mai general fiecare laură de circui se presupune alcăuiă dinr-un rezisor de rezisenţă capaciae R, un condensaor de C, şi o bobină de induciviae proprie L, evenual cuplaă 47

48 Bazele elecroehnicii şi Noe de curs magneic cu bobinele alor lauri, induciviăţile muuale corespunzaoare având valorile L. Prima eoremă a lui Kirchhoff în acese condiţii se poae enunţa: Suma algebrică a imaginilor în complex ale inensiăţilor curenţilor din laurile incidene la un nod ese nulă. ( j j,, K, N (.4 A doua eoremă a lui Kirchhoff devine: Suma algebrică a imaginilor în complex ale căderilor de ensiune pe laurile unei bucle ese egală cu suma algebrică (consideraă în acelaşi sens de parcurgere a ensiunilor elecromooare din laurile aceleiaşi borne : ( p j R + jωl j L E p,, K, B C + ω ω h( ( p (.5 Aşa cum se poae observa, ecuaţiile (., respeciv (.5, formează un sisem comple de ecuaţii algebrice liniare neomogene, cu coeficienţi consanţi, în care necunoscuele sun imaginile complexe ale inensiăţilor curenţilor. cu Dacă se noează cu impedanţa complexă a cuplajului: impedanţa complexă a laurii complee şi R + L + C R + j j ωl ωl ωc j (.6 Folosind noaţiile din relaţia (.5, ecuaţiile lui Kirchhoff în complex vor deveni: 48

49 Bazele elecroehnicii şi Noe de curs ( j j, K N ; + ( p h( h ( p E p,, KB; (.7 În ecuaţiile (., (.4, câ şi în seul de ecuaţii (.6, sumările algebrice sun făcue penru oae laurile incidene la un nod j, respeciv aparţinând unei bucle p. Cu ajuorul celor două eoreme se scriu (N-, respeciv B ecuaţii liniar independene alcăuind un sisem de L ecuaţii independene liniare şi neomogene. Forma (.6 evidenţiază caracerul algebric al acesor ecuaţii în rapor cu necunoscua. Modul concre de a aplicare a meodei presupune parcurgerea urmăoarelor eape:. Calculul impedanţelor complexe ale laurilor circuiului ca şi a formei complexe a semnalelor de exciaţie, dae de obicei în expresii sub forma insananee.. Propunând anumie sensuri penru curenţii prin lauri (absolu arbirare, se scriu ecuaţiile (.7 ale circuiului direc în forma complexă.. Se rezolvă sisemul de ecuaţii asfel obţinu, deerminând inensiăţile necunoscue ale curenţilor în imagine complexă jϕ e. 4. Pe baza regulii de corespondenţă biunivocă cunoscuă, se scriu apoi expresiile insananee ale acesor curenţi: i ( sin( ω + ϕ. De obicei în paralel cu rezolvarea analiică a sisemului se realizează şi diagrama sa fazorială. 49