STUDIUL REGIMULUITRANZITORIU AL CIRCUITELOR ELECTRICE

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "STUDIUL REGIMULUITRANZITORIU AL CIRCUITELOR ELECTRICE"

Ἁλκυόνη Αβραμίδης
6 χρόνια πριν
Προβολές:

1 UNIVERSITATEA "POLITEHNICA" DIN BUCURESTI CATEDRA DE FIZICĂ LABORATORUL ELECTRICITATE SI MAGNETISM BN 119 STUDIUL REGIMULUITRANZITORIU AL CIRCUITELOR ELECTRICE 7

2 STUDIUL REGIMULUITRANZITORIU AL CIRCUITELOR ELECTRICE 1. Scopul lucrării consă în sudiul funcţionării circuielor elecrice compuse din rezisenţă, inducanţă şi condensaori la conecarea la sursa de ensiune, respeciv la deconecarea aceseia. Regimul ranzioriu apare în inervalul de imp scurs de la conecarea circuiului la sursa de ensiune până când inensiaea curenului din circui ainge valoarea de regim consană şi respeciv, în inervalul de imp în care, la deconecarea circuiului de la sursa de ensiune, inensiaea curenului scade la zero. Vom considera aces regim, pe rând, în circuiele RL-serie, RC-serie şi respeciv RLCserie.. Teoria lucrării.1.regimul ranzioriu în circuiul RL-serie Considerăm un circui (fig. 1) forma din sursa de ensiune având sursa coninuă consană U, un rezisor de rezisenă elecrică R, o bobină ideală de inducană L si comuaorul K. Fig. 1. Schema elecrică folosiă penru sudiul regimului ranzioriu în circuiul RL-serie si sensul de parcurgere ales în vederea eoremei a doua a lui Kirchhoff. a) Circuiul RL cu sursă de ensiune Punând comuaorul K pe poziia 1 la momenul de imp ales =, prin circui va rece un curen de inensiae i() la momenul, sensul curenului fiind deermina de polariaea sursei de ensiune. Creserea curenului în circui, de la valoarea iniială i()=, deerminînd un flux magneic variabil care srăbae spirele bobinei. Conform legii auoinduciei apare o.e.m. auoindusă di e L = L, (1) d aici negaivă, care se opune creserii inensiăii curenului. În regim saionar, pe inducana ideală nu exisă ensiune si i=u/r. Penru sabilirea valorilor mărimilor elecruce în regimul ranzioriu, aplicăm eorema a doua a lui Kirchhoff: Ri = U + e L. () Folosind (1) si () obinem

3 di L + Ri = U, (3a) d adică o ecuaie diferenială de ordinul înâi neomogenă. Aceasa rebuie rezolvaă cu condiia iniială i()=. (3b) Penru rezolvarea ecuaţia (3a) scriem ecuaţia omogenă, d i d I R L + Ri = sau = d, care după inegrare devine d I L R i = C exp L, (3c) unde C ese consana de inegrare, a cărei valoare rezulă din condiţia iniţială (3b). Penru soluţia pariculară alegem I = U / R. Asfel, soluţia ecuaţiei neomogene (3a) devine R U i = C exp + L. (3d) R Inroducem condiţia iniţială (3b) în soluţia (3d) şi rezulă C = U / R. Asfel, soluia ecuaţiei (3a) ese R U = L i 1 e R (4) În fig. ese reprezenaă grafic dependena dfe imp a inensiăii curenului din circui. Inensiaea curenului inde exponenial la valoarea asimpoică i( )=U/R. Observăm că τ = L / R are dimensiunea unui imp. Aceasa poară numele de consana de imp a circuiului RL şi reprezină inervalul de imp măsura de la conecarea sursei de ensiune elecrică, după scurgerea căreia variaţia inensiăţii curenului până la valoarea sa de regim permanen va fi de e ori mai mică decâ variaia oală, adică: 1 i( ) i( τ ) = ( i( ) i()). (5) e sau τ 1 L L / R Fig.. I I( 1 e ) = I; τ =. (6) e R b) Circuiul RL fără sursă de ensiune La conecarea comuaorului K (Fig.1) pe poziia, după ce regimul pemanen a fos sabili, curenul în circui va fi fora să se anuleze. Scăderea ineniăii curenului deermină apariia unei eniuni de auoinducie în bobină care, opunăndu-se variaiei curenului în circui, va micsora vieza de scădere a acesuia. Penru a obine legea de

4 variaie a inensiăii in regimul ranzioriu aplică legea lui Kirchhoff şi rezulă ecuaia diferenială: di L + Ri =,. (7a) d cu condiţia iniţială U i ( ) = I +. (7b) R În aces caz, soluia problemei ese R i = I exp. (8) L Fig. 3. Scăderea inensiăii curenului în imp ese exponenială cu consana τ=l/r. În Fig. 3 ese reprezenaă aceasă variaie precum si semnificaia consanei de inp... Regimul ranzioriu în circuiul RC serie a) Încărcarea condensaorului Considerăm circuiul din fig.4 în care la momenul ales ca iniţial, = condensaorul de capaciae C ese comple descărca, iar comuaorul K ese recu pe poziia 1. Aplicând eorema lui Kirchhoff Ri + 1 q = U, (9) C în care q ese sarcina elecrică acumulaă pe Fig. 4. plăcile condensaorului la momenul. Înrucâ dq i =, (1) d obinem ecuaia diferenială neomogenă R dq + 1 q U d C =, (11a)

5 cu condiţia iniţială q( ) =. (11b) Soluia acesei probleme ese RC q = CU( 1 e ), (1) adică încărcarea condensaorului ese exponenială cu consana de imp τ = RC (13) Tensiunea pe condensaor ese daă de 1 RC uc = q = U (1 e ), (14) C iar inensiae curenului de încărcare a condensaorului ese d q U i = = e RC = Ie RC. (15) d R Reprezenările grafice ale inensiăii curenului în circui si respeciv a ensiunii elecrice de pe condensaor în impul încărcării acesuia sun dae în fig. 5. b) Descărcarea condensaorului Fig.5. Condensaorul fiind încărca se rece comuaorul K (fig. 4) pe poziia. Scriem eorema lui Kirchhoff penru regimul ranzioriu în care are loc descărcarea condensaorului şi obţinem ecuaia diferenţială: dq 1 R + q =, d C. (16a) cu condiţia iniţială: q () = CU. (16b) Uilizând aceeaşi meodă de rezolvare a ecuaţiei diferenţiale obinem soluţia: RC q = CUe. (17) Tensiunea pe armăurile condensaor si inensiaea curenului în circui sun u C RC = 1 q = Ue, (18) C

6 dq U RC RC i = = e = Ie. (19) d R Semnul minus din relaţia de definiţie a inensiăţii curenului elecric ţine con de fapul că sarcina elecrică de pe armăurile condensaorului scade în imp. Reprezenările grafice ale inensiăii curenului în circui si a ensiunii pe armăurile condensaorului în impul descărcării acesuia sun dae în fig. 6. Fig Regimul ranzioriu în circuiul RLC-serie a) Circuiul cu sursă Considerăm un circui forma dinr-o sursă de curen coninuu, un rezisor R, o inducanţă ideală L şi un condensaor C, ca cel din figura 7. Fig. 7. După recerea comuaorului K (Fig. 7) pe poziia 1, condensaorul se încarcă prin bobină si rezisor. Teorema a doua a lui Kirchhoff aplicaă circuiului conduce la ecuaia Ri + 1 q = U + e L (19) C în care i = dq / d, el = Ldi / d = Ld q / d. () Înlocuind () în (19) rezulă ecuaţia diferenţială d q dq 1 L + R + q = U (1) d d C Împărind prin L si, făcând noaiile

7 = R, = 1 () L LC ecuaia (1) poae fi scrisă sub forma d q dq U + + ϖ q = = CU. (3a) d d L Mărimea se numese coeficien de amorizare, iar pulsaie proprie a circuiului. Ecuaia diferenială de ordinul doi liniară (3a) rebuie rezolvaă cu condiiile iniţiale de ip Cauchy dq q ( ) =, () =. (3b) d Penru rezolvarea problemei (3), se rezolvă mai înâi ecuaia omogenă d q dq + + q =. (4) d d Ecuaia caracerisică corespunzăoare ese λ + λ + ϖ =. Naura rădăcinii acesei ecuaii ese dependenă de semnul mărimii după cum urmează: a1) Regimul ranzioriu cvasiperiodic Dacă <, aunci rădăcinile ecuaiei caracerisice sun complexe nereale, λ1 = ± i, în care =. (5) Ecuaia (4) admie soluia generală q' = e ( Asin + B cos), (6) în care A si B sun consane. Cum soluia pariculară a ecuaiei (3a) ese q = CU, (7) soluia generală a ecuaiei neomogene (3a) se scrie q = q' + q = e ( Asin + B cos) + CU. (8) Consanele A si B se deermină din condiiile iniiale (3b). Calculul conduce la valorile A = - (/)CU, B = - CU. Înlocuind în (8), obinem sarcina de pe armăurile condensaorului la >: q = CU[ 1 e ( sin + cos)]. (9) Inensiaea curenului în circui ese dq U i = = CUe sin = e sin. (3) d L Variaia în imp a curenului din circui si ensiunii de pe condensaor ese reprezenaă în fig. 8. Curenul prezină oscilaii amorizae caracerizae prin pulsaia < si facorul de amorizare. În regm ranzioriu permanen condensaorul ese încărca cu sarcina q = CU (sub diferena de poenial U).

8 Fig. 8. Observaie. Folosind relaiile (), condiia < poae fi adiusă la forma R < L / C. λ a. Regimul amoriza periodic Dacă <, aunci rădăcinile ecuaiei caracerisice sun reale negaive, = ±. Ecuaia (1) admie soluia generală 1, q' = e [ Ash( ) + Bch( )], (31) o în care A si B sun consane, care se deermină din condiţiile iniţiale (3b). Asfel, soluia generală a ecuaiei neomogene (3a) cu condiiile iniiale (3b) se obine de forma: q = CU{1 e [ sh( ) + ch( )]}. (3) Inensiaea curenului prin circui ese dq U i = = e sh( ). d L Reprezenările grafice al curenului din circui si a ensiunii pe condensaor sun dae în fig. 9. Observaie. Condiia >, poae fi adusă la forma R < L / C. (33) Fig. 9.

9 a3. Regimul amoriza criic Dacă =, aunci rădăcinile ecuaiei caracerisice sun reale şi egale, λ1, =. În aces caz ecuaţia (4) admie soluia generală: q' = ( A + B) e, iar soluţia pariculară rămâne q = CU, adică q = A + B e + ( ) CU. (34) Consanele A şi B se deduc din condiţiile iniţiale (3b) aplicae soluţiei (33) după care se obine q = CU[1 (1 + ) e ]. (35) Inensiaea curenului din circui ese dq U i = = CUe = e. (36) d L Reprezenările grafice ale mărimilor i si u C sun asemănăoare cu cele din fig. 9. Observaie. Condiia =, poae fi adusă la forma R = L / C. b) Circuiul fără sursă După un inerval de imp suficien de mare în comparaie cu 1/, de la închiderea circuiului, condensaorul ese încărca cu sarcina CU si prin circui nu mai rece curen elecic. În aceasă siuaţie, recem comuaorul K pe poziia. Ca rezula are loc descarea condensaorului, energia înmagazinaă în dielecricul acesuia cu (1/)CU, fiind disipaă prin efec Joule în decursul regimului ranzioriu. Sarcina de pe armăurile condensaorului la momenul (= ese momenul recerii comuaorului pe poziia ) se obine prin rezolvarea ecuaţiei: d q dq + + q =, q() = CU, (37a) d d cu condiţia la limiă dq si ( ) =. (37b) d q ( ) = CU Inensiaea curenului se calculeaza cu relaţia de definiţie i = dq/d. Rezulaele sun prezenae mai jos. b1. Regimul ranzioriu amoriza cvasiperiodic q = CUe ( sin + cos), (38) U i = e sin. L (39)

10 b. Regimul amoriza aperiodic )], ( ) ( [ ch sh CUe q + = (4) ). ( sh e L U i = (41) b3. Regimul moriza criic (4) ], ) (1 [1 e CU q + =. e L U i = (43)

Σχετικά έγγραφα

SEMINAR TRANSFORMAREA LAPLACE. 1. Probleme. ω2 s s 2, Re s > 0; (4) sin ωt σ(t) ω. (s λ) 2, Re s > Re λ. (6)

SEMINAR TRANSFORMAREA LAPLACE. Probleme. Foloind proprieaea de liniariae, ă e demonreze urmăoarele: in σ(, Re > ; ( + penru orice C. co σ( h σ( ch σ(, Re > ; ( +, Re > ; (3, Re > ; (4. Să e arae că penru