Conf. Univ. Dr. Dana Constantinescu. Ecuaţii Diferenţiale. Elemente teoretice şi aplicaţii

Transcript

1 Conf Univ Dr Dana Consaninescu Ecuaţii Diferenţiale Elemene eoreice şi aplicaţii Ediura Universiaria, 00

2 4

3 5 CUPRINS Prefaţă 7 Consideraţii generale Inroducere 9 Noţiuni fundamenale 0 Eerciţii propuse 5 Ecuaţii diferenţiale de ordinul I Ecuaţii cu variabile separabile 7 Ecuaţii liniare 9 Ecuaţii cu diferenţială oală 4 Ecuaţii reducibile la ecuaţii fundamenale 5 Eerciţii propuse Aplicaţii ale ecuaţiilor diferenţiale de ordinul I Suprafaţa de echilibru a unui lichid în roaţie (inegrare direcă) Evoluia unei populaţii (ecuaţie cu variabile separabile) 4 Variaţia presiunii amosferice în rapor cu aliudinea (ecuaţie cu variabile separabile) 7 4 Căderea liberă (ecuaţie cu variabile separabile) 8 5 Descărcarea unui condensaor înr-o resisenţă (ecuaţie liniară) 9 6 Incãrcarea unui condensaor prinr-o rezisenţã în prezenţa unei surse de curen coninuu (ecuaţie liniară) 4 7 Transformarea energiei elecrice in căldură (ecuaţie liniară) 4 8 Formula fundamenală a curenului alernaiv (ecuaţie liniară) 44 9 Oglinda parabolică (ecuaţie omogenă) 45 0 Eerciţii propuse 47 4 Ecuaţii diferenţiale de ordin superior 4 Ecuaţii liniare 5 4 Ecuaţii liniare cu coeficienţi consanţi 5 4 Ecuaţii liniare cu coeficienţi variabili 57 4 Ecuaţii incomplee 59 4 Eerciţii propuse 6 5 Siseme de ecuaţii diferenţiale de ordinul I

4 6 5 Consideraţii generale 6 5 Siseme liniare omogene cu coeficienţi consanţi 64 5 Siseme liniare neomogene cu coeficienţi consanţi Eerciţii propuse 7 6 Elemene de calcul operaţional şi aplicaţii în eoria ecuaţiilor diferenţiale 6 Transformaa Laplace 7 6 Transformaa Laplace inversă 78 6 Calcul operaţional 8 6 Rezolvarea ecuaţiilor liniare cu coeficienţi consanţi 8 6 Rezolvarea sisemelor de ecuaţiil liniare cu coeficienţi consanţi Eerciţii propuse 85 7 Aplicaţii ale ecuaţiilor diferenţiale de ordin superior 7 Oscilaţii armonice 87 7 Mişcarea unui pendul (ecuaţie liniarǎ) 9 7 Calculul perioadei unui circui oscilan (ecuaţie liniarǎ) 9 74 Oscilaţii ale unei coloane de lichid (ecuaţie liniarǎ) Propagarea cǎldurii înr-o barǎ (ecuaţie liniarǎ) Ecuaţii de mişcare (ecuaţii liniare) Deerminarea coeficienului de frecare (ec neliniară) Deerminarea ecuaţiei unei curbe (ecuaţie neliniară) 00 BIBLIOGRAFIE 0

5 7 PREFAŢǍ Maerialul de faţă se doreşe a fi o inroducere în sudiul ecuaţiilor diferenţiale şi al aplicaţiilor lor Lucrarea se adresează în primul rând sudenţilor faculăţilor ehnice, precum si uuror celor ce doresc să folosească noţiuni fundamenale privind eoria ecuaţiilor difereniale în aplicaţii pracice Scopul lucrării ese prezenarea clară şi precisă a noţiunilor şi rezulaelor de bază privind rezolvarea analiică a unor ipuri imporane de ecuaţii difereniale ordinare, descrierea şi eemplificarea principalelor meode de rezolvare a problemelor, precum şi folosirea acesora penru modelarea maemaică a unor probleme pracice Lucrarea are un pronunţa caracer meodic Maerialul prezena ese organiza in 7 capiole care acoperă cunoşinţele aferene emei Ecuaţii diferenţiale ordinare, emă predaă şi seminarizaă la disciplina fundamenală Maemaici Speciale, prevăzuă la unele faculăţi ehnice în noul plan de învăţămân, în semesrul II, anul I Din aceasă perspecivă lucrarea ese un eficien supor penru pregăirea seminariilor, emelor de casă şi eamenelor Consideraţii generale asupra ecuaţiilor diferenţiale ordinare sun prezenae în Capiolul Principalele ipuri de ecuaţii diferenţiale de ordinul I sun analizae în Capiolul, iar rezolvarea ecuaţiilor de ordin superior reprezină subiecul Capiolului 4 Legăura dinre acesea şi sisemele de ecuaţii de ordinul I ese analizaă în Capiolul 5, unde sun prezenae şi meodele de rezolvare a sisemelor de ecuaţii liniare de ordinul I cu coeficienţi consanţicapiolul 6 araă în ce măsură calculul operaţional poae fi folosi penru rezolvarea (analiică) mai simplă a unor caegorii speciale de ecuaţii diferenţiale, cum sun ecuaţiile şi sisemele de ecuaţii liniare cu coeficienţi consanţi, ce sau la baza sudiului sisemelor dinamice O aenţie deosebiă ese acordaă inerpreării noţiunilor inroduse şi prezenării unor siuaţii în care ele sun folosie

6 8 Capiolul şi Capiolul 7 sun dedicae eclusiv prezenării unor aplicaţii imporane ale ecuaţiilor diferenţiale ordinare, care reprezină un elemen erem de imporan în înţelegerea unor fenomene foare variae (ce apar în fizică, mecanică, inginerie elecrică, ecologie, ec) Descrierea suprafeţei de echilibru a unui lichid în roaţie, variaţia presiunii amosferice în rapor cu aliudinea, sudiul ecuaţiilor de mişcare a corpurilor, a unor fenomene legae de circuiele elecrice (descărcarea unui condensaor înr-o rezisenţă, încărcarea unui condensaor prinr-o rezisenţă în prezenţa unei surse de curen coninuu, calculul perioadei unui circui oscilan), descrierea propagării căldurii înr-o bară, sun doar ceva dinre aplicaţiile analizae Acese aplicaţii au fos alese din perspeciva pregăirii sudenţilor cărora maerialul li se adresează cu precădere Maerialul ese concepu înr-o manieră accesibilă şi sisemaică, în aşa fel încâ să poaă însoţi primii paşi în descoperirea fascinanei lumi a ecuaţiilor diferenţiale Demosnraţiile eoremelor sun reduse la sricul necesar unei prezenări riguroase, fără încarce discursul maemaic Sperăm ca folosirea acesui maerial să fie doar începuul sudiului în domeniul inepuizabil al ecuaţiilor diferenţiale şi să rezească ineresul penru maemaicile aplicae, îmbinare de riguroziae, ingenioziae şi pragmaism Mulţumim uuror celor care, prin sugesii şi compleări, au conribui la realizarea acesei lucrări, în special referenţilor penru observaţiile şi aprecierile făcue cu ocazia analizei manuscrisului

7 9 CAPITOLUL Consideraţii generale Inroducere Sudiul ecuaiilor diferenţiale formeazã obiecul unui capiol foare imporan al maemaicii, aâ daoriã rezulaelor eoreice deosebi de ineresane câ şi penru cã ele au nenumãrae aplicaţii în cele mai diverse domenii Ceea ce deosebeşe o ecuaţie diferenţialã de o ecuaţie algebricã ese fapul cã necunoscua nu ese un numãr ci o funcţie care saisface o anumiã egaliae şi care rebuie deerminaǎ Mule fenomene sun descrise cu ajuorul ecuaţiilor diferenţiale obţinue prin meoda cunoscuã sub numele de meoda diferenţialelor Aceasa consã în înlocuirea unor relaţii ce apar înre creşerile infini de mici ale unor caniãţi care variazã în imp prin relaţii înre diferenţialele (derivaele) lor Spre eemplu vieza insananee ( ) 0 v de deplasare a unui mobil care la momenul a parcurs disanţa s( ) s () s ( ) ( ) v ( ) 0 0 lim s' momenul 0 ese ( ) ese La rândul sãu acceleraţia corpului la ( ) v ( ) v a v s ( ) ( ) 0 0 lim ' 0 '' In relaţiile ce descriu mişcarea vieza se va considera v ( ) s' ( ) a () v' () s' '( ) şi Eemplu : Mişcarea unui corp sub acţiunea greuãţii sale şi înâmpinând o rezisenţã a aerului proporţionalã cu vieza sa (aces caz corespunde viezelor mici) poae fi descrisã cu ajuorul unei ecuaţii diferenţiale

8 0 Se noeazã v ( ) vieza insananee a corpului la momenul de > Rezisenţa aerului va fi R( ) kv( ) Legea fundamenalã imp 0 a mecanicii ( F ur r ma ) conduce la relaţia mg kv( ) mv' ( ) care reprezinã o ecuaţie diferenţialã cu necunoscua v v( ) Penru a deermina vieza insananee a corpului rebuie rezolvaã aceasã ecuaţie Probleme fundamenale în eoria ecuaţiilor (în general) sun deerminarea soluţiilor lor sau aproimarea acesor soluţii dacã deerminarea analiicã nu ese posibilã Teoria ecuaţiilor diferenţiale are mai mule ramuri: - eoria caniaivã se ocupã de rezolvarea analiicã a ecuaţiilor Sun precizae ipurile de ecuaţii ale cǎror soluţii se po obţine analiic şi ehnicile de rezolvare a lor - eoria caliaivã încearcã sã deducã proprieãţile soluţiilor, chiar dacã epresia lor analiicã nu poae fi cunoscuã - aplicarea meodelelor numerice penru aproimarea soluţiilor Scopul acesui capiol ese prezenarea celor mai imporane elemene ale eoriei caniaive a ecuaţiilor diferenţiale Noţiuni fundamenale Definiţia Se numeşe ecuaţie diferenţialã cu variabila o egaliae de forma independenǎ, şi funcţia necunoscuã ( ) ( n (, ( ), '( ),, ) ( )) 0 F () n+ unde F : D R R ese o funcie daã, coninuã pe domeniul sãu ( n) de definiţie, iar ', '', sun derivaele lui Dacǎ ecuaţia () ese scrisã sub forma ( n ) ( ) ( ) ( n f (,, ',, ) ( ) ) ( ) se spune cã are formã epliciã

9 Ecuaţia diferenţialã are ordinul n dacã derivaa de ordin ( n) maim care apare in ecuaţie ese Eemple: ) + ( ) 0 nu ese ecuaţie diferenţialã, penru cã derivaele funcţiei necunoscue nu apar in ecuaie, dar + ( ' '( ) 0 ese o ecuaţie diferenţialã de ordinul cu funcţia necunoscuã şi variabila independenã ) mv '() + kv() mg 0 ese o ecuaţie diferenţialã de ordinul I cu necunoscua v şi variabila independenã Ea descrie mişcarea unui corp sub acţiunea greuãţii sale şi înâmpinând o rezisenţã a aerului proporţionalã cu vieza sa (funcţia necunoscuã, v, ese vieza corpului) q ) () ( ) q' ese o ecuaţie diferenţialã de ordinul I cu C R necunoscua q şi variabila independenã Ea descrie procesul de descãrcare al unui condensaor de capaciae C înr-o rezisena R (funcţia necunoscuã q reprezinã sarcina elecricã) 4) ln ' + " ' '' 0 reprezinã o ecuaţie diferenţialã de ordinul cu necunoscua şi variabila independenã 5) ( + + ) d+ ( + ) d 0 reprezinã o ecuaţie diferenţialã de ordinul I penru cã apar noaiile «d» şi «d» asociae formal cu derivaele de ordinul I Necunoscua problemei rebuie precizaã : dacã folosim noaţia ' dv / d aunci ecuaţia se scrie sub forma ( + ) ' 0 ( + + ) + şi necunoscua ecuaţiei ese, dar dacã vom considera cã ' d / d ecuaţia se scrie sub forma ( + ) 0 ( + + ) ' + şi necunoscua ecuaţiei ese Definiţia Se numeşe soluţie a ecuaţiei diferenţiale () pe inervalul I R orice funcţie φ : I R, derivabilã de n ori pe I,

10 care verificã ecuaţia, adicã penru orice I are loc egaliaea ( n ( ( ) ( ) ) ( )) F, φ, φ',, φ 0 Eisã rei ipuri de soluii: Soluţia generalã a ecuaţiei () ese soluţia care depinde de şi de n consane arbirare C, C,, Cn (eac aâea câ ese ordinul ecuaţiei), adicã ese de forma φ (, C, C,, Cn ) Aceasa ese forma epliciã a soluţiei penru cã se precizeazã modul în care funcţia necunoscuã depinde de variabila independenã Uneori soluţia generalã ese prezenaã în formã impliciã (inegrala generalã a ecuaţiei), adicǎ Ω ( C,,,, C n ) 0 Soluţia generalã se poae obţine şi sub formã paramericã : f, C,, C, g, C,, C ( ) ( ) n Orice soluţie care se obţine din soluţia generalã penru anumie valori pariculare ale consanelor se numeşe soluţie paricularã Soluţiile ecuaţiei care nu se po obţine prin aces procedeu din soluţia generalã se numesc soluţii singulare In probleme pracice, alãuri de ecuaţia diferenţialã rebuie considerae şi condiţii iniţiale ( n ( ) ( ) ) 0 0, ' 0,, ( 0) n () Ecuaţia () împreunǎ cu condiţiile iniţiale () formeazǎ o problemã Cauch Soluţia unei probleme Cauch ()+() se obţine impunând condiţiile iniţiale () soluţiei generale a ecuaţiei () Eemple ' ese o ecuaţie diferenţialã de ordinul I cu necunoscua n

11 R R + C deoarece Soluţia sa generalã ese :, ( ) verifica ecuaţia Ea depinde de o singurã consanã ( ) ( ) +, sun soluţii pariculare ale ecuaţiei penru cã au fos obţinue din soluţia generalã penru C, respeciv C Eisã o infiniae de soluţii pariculare ale ecuaţiei ' ese o ecuaţie diferenţialã de ordinul I cu necunoscua si variabila independenã Funcţia : C π, C+ R, ( ) sin( C) reprezinã soluţia generalã a ecuaţiei Funcţia :, R, ( ) sin ese soluţie paricularã (obţinuã din soluţia generalã penru C 0 ) Funcţia :0, [ ] R, ( ) sin π cos ese soluţie paricularã (obţinuã din soluţia generalã penru C π ) Ale soluţii pariculare se po obţine în acelaşi mod, penru fiecare domeniul de definiţie fiind alul : R R, şi Ecuaţia admie soluţiile singulare ( ) : R R, ( ) ( 5) ( 4) ( ) ( ) + 0 ese o ecuaţie diferenţialã de ordinul 5 Soluţia sa generalã ese : R R, C + C + C e + C cos+ C sin ( ) ( ), ( ) sin 4 5 sun eemple de soluţii pariculare

12 4 4 Problema Cauch are soluţia ( ) IV ''' '' 4 ' 4 0 ( 0) 5, '0 ( ), ''0 ( ), '''0 ( ) 4 e + 5cos Aceasã soluţie se obţine din soluţia generalã a ecuaţiei diferenţiale, anume Ce + C e + C cos + C sin deerminând consanele din ( ) 4 ( ) 0 C+ C 5 '0 ( ) C+ C + C4 sisemul '' ( 0) 4C+ 4C C ''' ( 0) 8C+ C C4 4 Soluţia sisemului ese C, C, C 5, C 0 deci soluţia 0 4 problemei Cauch ese ( ) e + 5cos 5 Soluţia generalǎ a ecuaţiei ln + ( ln ) ' 0, saisface relaţia ln ln + C Aceasa ese forma impliciǎ a soluţiei In adevǎr, prin derivarea relaţiei anerioare obţinem ln + ' ln ', de unde rezulǎ ln + ( ln ) ' 0 adicǎ fapul cǎ funcţia saisface ecuaţia diferenţialǎ şi deci ese soluţia sa generalǎ (deoarece depinde de o consanǎ) Deerminarea formei sale eplicie ese mai dificilǎ 6 Soluţia generalǎ a ecuaţiei ( ) + ( + ) ' 0 saisface relaţia C Derivând relaţia anerioarǎ obţinem ' + + ' 0 adicǎ [ ( ) + ( + ) ' ] 0 ceea ce araǎ cǎ funcţia

13 5 saisface ecuaţia (variabila independenǎ rebuie sǎ şi ia valori nenule deci primul facor al produsului poae fi considera nenul) O problemã imporanã in eoria ecuaţiilor diferenţiale ese deerminarea soluţiei generale a unei ecuaţii diferenţiale dae Aces lucru ese posibil numai penru un numãr resrâns de ecuaţii Unele din acese cazuri sun prezenae în paragrafele ce urmeazã Eerciţii propuse Sǎ se precizeze dacǎ funcţia ( ) ese soluţie a ecuaţiei diferenţiale (sau a problemei Cauch) în urmǎoarele cazuri Penru fiecare soluţie sǎ se precizeze domeniul sǎu de definiţie a) + ' 0 ( ) /( C + ln ) b) ' + e ( ) ( + C) e c) ' ( ) /( + C e ) '' ' + 0 d) ( ) e + e ( 0), ' ( 0) e) ' ' 5'6 8 e ( ) C e + C e + 4 ( + ) '' 4( + ) ' f) ( ) ( + ) ( + ) (), ' () 4 Sǎ se arae cǎ soluţia generalǎ a ecuaţiei + ' + + +, scrisǎ sub formǎ impliciǎ ese ( ) C Sǎ se arae cǎ soluţia problemei Cauch + ' 0, ( 0 ) saisface relaţia + Sǎ se precizeze forma paramericǎ a soluţiei

14 6 4 Soluţia generalǎ a ecuaţiei " :[ C /, C + π / ] R ' ese π, ( ) ( C) Sǎ se scrie soluţia problemei Cauch ( π / 4) / Rezolvare: Din sin ( / 4 C) / sin ', π rezulǎ C π / deci soluţia :[0, π ] R, sin π / cos ese ( ) ( )

15 7 CAPITOLUL Ecuaţii diferenţiale de ordinul I Ecuaţiile diferenţiale de ordinul I au forma F,, ' 0 ( ) Cel mai adesea ele sun scrise în formã epliciã ' f (, ) Soluţia lor generalã depinde de o singurã consanã Nu orice ecuaţie diferenţialã de ordinul I poae fi rezolvaã analiic Din puncul de vedere al rezolvãrii analiice eisã douã caegorii imporane de ecuaţii : - ecuaţii fundamenale (ecuaţiile cu variabile separabile, ecuaţiile liniare, ecuaţii cu difereniale oale) - ecuaţii reducibile la ecuaţii fundamenale (ecuaţii omogene si reducibile la ecuaţii omogene, ecuaţii care admi facor inegran, ecuaţii de ip Bernoulli, de ip Riccai, de ip Lagrange, de ip Clairau ec) Ese foare imporanã cunoaşerea algorimului de rezolvare a ecuaţiilor fundamenale precum şi a meodelor de reducere a celorlale ecuaţii la ecuaţii fundamenale unde Ecuaţii cu variabile separabile Forma generalã a ecuaţiei ese ' f g () ( ) ( ) f, g sun funcţii reale dae, coninue pe domeniul lor de definiţie Soluţiile ecuaţiei g( ) 0 sun soluţii, de obicei singulare, ale ecuaţiei Dacã g( ) 0 rezolvarea consã in separarea variabilelor urmaã de inegrare Meoda de rezolvare: - se rezolvã ecuaţia ( ) 0 g cu soluţiile,,, k

16 8 - se scriu soluţiile singulare ale ecuaţiei ( ), ( ),, ( ) k Domeniul lor de definiţie ese domeniul de definiţie al funcţiei f ' - se scrie ecuaţia sub forma f ( ) (ceea ce ese posibil penru g( ) g ) şi se obţine inegrala generalã a ecuaţiei : ( ) 0 d f ( ) d C g( ) +, adicã forma impliciã a soluţiei - din inegrala generalã se calculeazã (dacã ese posibil) şi se obţine forma epliciã a soluţiei Observaţie : Soluţia paricularã a ecuaţiei () care îndeplineşe condiţia iniţialã ( ) ese daã de 0 0 f () d g( s ) Ea se ds 0 0 poae obţine din soluţia epliciã impunând condiţia iniţialǎ ' f O formã paricularã a ecuaţiei cu variabile separabile ese ( ) Soluţia generalã a acesei ecuaţii ese ( ) f ( ) d Eemple : Sã se rezolve ' + sin + d cos + C Soluţia generalã ese ( ) ( sin ) ' + Soluţia generalã ese ( ) ln ( ) ' d + + C +

17 9 In aces caz f ( ) şi g ( ), deci ecuaţia g( ) 0 are soluţia 0 şi funcţia s : R {0} R, s ( ) 0 ese soluţie singularã a ecuaţiei Dacã 0 ecuaţia devine ' şi inegrala ei generalã ese d d noaie Rezulã ln ln + C ln + ln C ln C, unde C > 0 ese o C consanǎ arbirarǎ Rezulǎ ±, C > 0 In aces caz soluţia generalǎ C se scrie sub forma : R {0} R, ( ), C 0 Inlocuind C 0 în soluţia generalǎ se obţine soluţia singularǎ s Aceasa nu ese însǎ o soluţie paricularǎ deoarece valoarea C 0 nu ese accepabilǎ în cadrul soluţiei generale Ecuaţii liniare Forma generalã a ecuaţiei liniare ese ' P( ) + Q( ) (4) unde PQ, : I Rsun funcţii dae, coninue pe domeniul de definiţie Aceasã ecuaţie se rezolvã prin meoda variaţiei consanei Meoda de rezolvare (meoda variaţiei consanei) - se rezolvã ecuaţia omogenã ' P( ) care ese o ecuaţie cu variabile separabile şi se obţine soluţia nenulã P a C e ( ) d noaie C f ( )

18 0 - se considerã consana C ca fiind funcţie de, adicã se scrie ( ) C( ) f ( ) ' C' f + C f ' şi se inroduce in - se calculeazã ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ecuaţia (4) ; ermenii care conţin pe C( ) se reduc şi se obţine o ecuaţie mai simplã de forma C' ( ) g( ) - se rezolvã ecuaţia C' ( ) g( ) C( ) g( ) d+ K - se inroduce epresia lui C( ) în ( ) C( ) f ( ) şi se obţine soluţia şi se obţine forma epliciã a soluţiei ecuaţiei (4) Observaţie : Forma epliciã a soluţiei ecuaţiei (4), penru 0 fia, ese s Pd P () () d 0 0 ( ) K + Q( s) e ds e 0 Aceasã epresie se obţine folosind algorimul anerior dar e dificil de memora şi de aceea se recomandã folosirea algorimului penru rezolvarea fiecãrei ecuaţii ' cg+ sin ( π /) a Funcţia cg nu ese definiã in puncele nπ, n N Din cauza condiţiei Eemplu : Sã se rezolve problema Cauch iniţiale se va cãua soluţia generalã a ecuaţiei pe inervalul ( 0π ) Ecuaţia omogenã ' cg are inegrala generalã Rezulã ln ln sin C ln ( C sin ) ( ) Csin d cos d sin + care dã soluţia

19 Se aplicã variaţia consanei, adicã se considerã ( ) C( )sin Inroducând ' ( ) C' ( ) sin C( ) cos obţinem + în ecuaţia neomogenã cos C' ( ) sin + C( ) cos C( ) sin + sin Termenii conţinând sin facorul C( ) se reduc şi se obţine ecuaţia C' ( ) cu soluţia C( ) + K Inroducând aceasã epresie în forma lui ( ) obţinem soluţia generalã a ecuaţiei, anume ( ) ( ) ( ) : 0, π R, + K sin unde K R ese o consanã arbirarã Din condiţia ( π /) a rezulã π π + K sin a, 4 adicã K a π Deci soluţia problemei Cauch ese 4 π : ( 0, π ) R, ( ) + a sin 4 Ecuaţii cu diferenţialǎ oalǎ Forma generalã a ecuaţiei ese P(, ) d+ Q(, ) d 0 (5) unde PQsun, funcţii dae, de clasã C pe domeniul D R şi P Q saisfac relaţia (, ) (, ) penru orice (, ) D Rezolvarea ecuaţiei se bazeazã pe fapul cã eisã funcţii de forma

20 0 (, ) (, ) + (, ) U P d Q d 0 0 asfel încâ ( ) ( ) ( ) du, P, d + Q, d Spunem în aces caz cã ecuaţia are diferenţialã oalã Ea se scrie sub forma du ( ) 0, deci, soluţia ecuaţiei (5) va fi daã în forma impliciã de relaţia U(, ) Meodã de rezolvare - se idenificã în ecuaţie P(, ) şi (, ) P Q (, ) (, ) - se deerminã funcţia U Q şi se verificã egaliaea - se scrie soluţia ecuaţiei sub formã impliciã U ( ) C C, Dacã ese posibil, din aceasã egaliae se aflã în funcţie de şi se obţine forma epliciã a soluţiei Eemplu : Sã se deermine soluţia generalã a ecuaţiei ( ) ( ) + + d+ + d 0 In aces caz P(, ) + + şi Q( ) P U Q (, ) (, ), + şi (, ) P(,0) d + Q(, ) d ( + ) d + ( + ) d + + Soluţia generalã a ecuaţiei ese daã sub formã impliciã de relaţia C

21 Aceasã ecuaţie nu poae fi rezolvaã analiic în rapor cu necunoscua, deci nu se poae preciza forma epliciã a soluţiei 4 Ecuaţii reducibile la ecuaţii fundamenale Tehnica generalã de rezolvare a acesui ip de ecuaţii ese urmǎoarea : - se reduce ecuaţia la o ecuaţie fundamenalã - se rezolvã ecuaţia fundamenalã - se scrie soluţia ecuaţiei iniţiale folosind soluţia celei fundamenale 4 Ecuaii omogene Forma generalã a unei ecuaţii omogene ese ' f ( / ) ( ) Prin schimbarea de variabilã z( ) se obţine o ecuaţie cu variabile separabile Eemple : Sǎ se deermine soluţia generalǎ a ecuaţiei ' + Penru 0 ecuaţia se scrie ' + + ( ) variabilã z( ), adicã ( ) z( ) Cu schimbarea de, ecuaţia devine z( ) + z' ( ) z( ) + + z ( ), care ese o ecuaţie cu variabile separabile, anume z ' + z Inegrala generalã a ecuaţiei ese dz d, adicã ln ( z+ + z ) ln + C ln ( C ) + z Rezulã ecuaţiei ese + +, adicǎ z( ) z z C C Soluţia generalã a C

22 4 C : R {0} R, ( ) C 4 Ecuaţii reducibile la ecuaii omogene sau cu variabile separabile a + b + c Ecuaţiile având forma generalã ' f po fi reduse la a ' + b ' + c' ecuaţii omogene sau cu variabile separabile asfel : - dacã a/ a' b/ b' se rezolvã sisemul de a + b + c 0 ecuaţii care are soluţia ( 0, 0) Prin schimbarea de a ' + b ' + c' 0 variabile u+ 0, v+ 0 se obţine o ecuaţie omogenã cu variabila independenã u şi funcţia necunoscuã v - dacã a/ a' b/ b' se foloseşe subsiuţia z a+ b şi ecuaţia se ransformã înr-o ecuaţie cu variabile separabile + ' 0 Eemple: ( ) ( ) + Ecuaţia se scrie sub forma ' deoarece nu ese + 0 soluţie a ecuaţiei Sisemul are soluia unicã 0 u+ Se face subsiuţia şi se obţine ecuaţia omogenã v v ( u+ v) + ( v u) v' 0 cu funcţia necunoscuã v Noând z, adicã u v zu ecuaţia se reduce la ecuaţia cu variabile separabile z + z+ z ' Inegrala generalã a acesei ecuaţii ese u z

23 5 z + z+ u dz du Calculând cele douã inegrale obţinem z ( z + z+ ) ln arcg ( z + ) lnu + C v + Tinând con cã z se obţine soluţia generalã sub formã u impliciã (( ) ( )( ) ( ) + ln ) 4arcg 0 Forma epliciã a soluţiei nu se poae deermina ' 0 ( ) ( ) Ecuaţia se scrie sub forma ' 6 9 ( + ) Deoarece a 4 b 6 z se va folosi subsiuţia + z Din a' 8 b' 7 z ' z' z+ 4 8z rezulã ' Ecuaţia devine adicã z ' 9z 6 z Aceasa ese o ecuaţie cu variabile separabile care se poae scrie sub forma z ' 8 4z Inegrala generalã a acesei ecuaţii conduce la relaţia z ln z + C 8 4 Tinând con de epresia lui z se obţine soluţia generalã a ecuaţiei iniţiale, soluţie scrisã sub formã impliciã : ( ) ( ) + ln+ 8 C Nici în aces caz nu se poae preciza forma epliciã a soluţiei

24 6 4 Ecuaţii ce admi facor inegran Au forma generala P( ) d ( ) μ care eisã funcţia (, ) 0 ( μp) ( μq) Dacã facorul inegran (, ) μ( Pd ) ( ) μ( Q ) ( ), + Q, d 0 cu μ P Q dar penru, numiã facor inegran, asfel încâ μ poae fi deermina, aunci ecuaţia,, +,, 0 ese o ecuaţie cu diferenţialã oalã, echivalenã cu cea iniţialã Nu oae ecuaţiile au facor inegran, eisã doar câeva cazuri imporane dinre care menţionǎm: P / Q / - dacã depinde doar de aunci eisã facor inegran Q ce depinde doar de si μ μ( ) saisface ecuaţia P/ Q/ μ' μ Q (4) Q / P / - dacã P depinde doar de aunci aunci eisã facor inegran ce depinde doar de si μ μ( ) saisface ec Q/ P/ μ' μ P (4) Penru rezolvarea ecuaţiilor cu facor inegran se parcurg urmãoarele eape : - se deerminã facorul inegran rezolvând ecuaţiile diferenţiale (4) sau (4) - se scrie ecuaţia cu diferenţiale oale corespunzãoare - se rezolvã ecuaţia cu diferenţiale oale (cu necunoscua ( ) obţine asfel soluţia ecuaţiei iniţiale ) şi se

25 7 Eemplu : ( ) ( ) 4+ + d+ + d 0 In aces caz P(, ) 4+ + şi ( ) Q, + Rezulã cã P Q 6 + şi + Ecuaţia nu are diferenţialã oalã deoarece P Q P Q Touşi depinde numai de, deci se Q μ μ El va saisface poae alege un facor inegran de forma ( ) ecuaţia μ' μ care ese o ecuaţie cu variabile separabile cu soluţia μ ( ) Din înmulţirea cu a ecuaţiei iniţiale se obţine ecuaţia cu diferenţialã oalã ( ) d+ ( + ) d 0 - Funcţia U(, ) 4 ( ) 4 d+ + d Soluţia ecuaţiei, scrisã sub formã impliciã va fi deci C Ea ese şi soluţia ecuaţiei iniţiale 44 Ecuaii de ip Bernoulli α Forma generalã ese ' P( ) + Q( ), unde α R, α 0, α şi P, Q : I R sun funcţii dae, coninue pe I Penru a > 0 ecuaţia are soluţia singularǎ : I R, ( ) 0 Prin schimbarea de funcţie z α se obţine o ecuaţie liniarã Dacǎ soluţia ecuaţiei liniare ese z g aunci soluţia ecuaţiei iniţiale ese z α g

26 8 4 Eemplu : ' + / / In aces caz α / Se foloseşe subsiuţia z Rezulã z şi ' z z' 4 4 Ecuaţia devine z z' z + z, adicã z z' z 0 Din soluţia z 0 rezulã soluţia singularã 0 Ecuaţia liniarã conduce la ( ) z' z z ln + K + are soluţia ( ) ln 4 + K care 45 Ecuaii de ip Ricai Forma generala ese ' + P( ) + Q( ) + R( ) 0 Acese ecuaţii se po rezolva numai dacã se cunoaşe mãcar o soluţie paricularã a lor :, prin ransformarea + / z se - dacã se cunoaşe o soluţie ( ) obţine o ecuaţie liniarã şi neomogenã ; - dacã se cunosc douã soluţii şi, prin schimbare de variabilǎ z se obţine o ecuaţie liniarã şi omogenã ; - dacã se cunosc rei soluţii,, aunci soluţia se obţine direc din relaţia : C Eemplu : Sã se rezolve ecuaţia ' + 0 a) şiind cã admie soluţia ;

27 9 b) şiind cã admie soluţiile ( ) şi ( ) / ; c) şiind cã admie rei soluţii ( ), ( ) ( ) + / şi a) Dacã se cunoaşe numai soluţia se face schimbarea de variabilã adicã ' z' z z Se obţine ecuaţia ( ) z' + 0 z z z efecuarea calculelor rezulã ecuaţia liniarã k + soluţia z Rezulã k + k din care, dupã z' + z 0 + b) Dacã se cunosc douã soluţii se face subsiuţia z adicã + / z ( z) şi ' ( z' ) ( z) ( z )( z z' ) ( z) Inroducând acese epresii în ecuaţia diferenţialã obţinem (dupã calcule) z c ecuaţia liniarã z ' care are soluţia z c Rezulã c Observãm ca soluţia obţinuã coincide cu cea de la a) dacã considerãm c / k c) dacã se cunosc,,, soluţia generalã se obţine direc din formula : k de unde rezulã k k cu

28 0 46 Ecuaii de ip Lagrange Forma generalã ese A( ' ) + B( ' ), unde A( ' ) ' Se deriveazã ecuaţia şi se noeazã ' p Se obţine o ecuaţie liniarã cu funcţia necunoscuã şi variabila independenã p Aceasã ecuaţie are soluia de forma ( p) iar soluţia generalã a ecuaţiei Lagrange se dã în formã ( p) paramericã ( p) A( p) + B( p) ' ' Eemplu : Sã se rezolve ecuaţia ( ) ' ' + ' '' '' Se noeazã ' pşi se ajunge la ecuaţia p p (p ) p' în care p ese funcţie de Dacã se considerã ca funcţie de p (se inverseazã aplicaţia p ) şi se ţine con de fapul cã ' / p' (din formula de derivare a funcţiei inverse) se obţine ecuaţia liniarã ' + 0 p p( p ) penru p( p ) 0 Rezulã ( C+ ln p) / ( p ) şi soluţia ecuaţiei ese daã parameric prin ( C+ ln p) / ( p ), p ( C+ ln p) / ( p ) p Penru p 0 şi p se obţin douã soluţii singulare : K şi + L Înlocuind acese funcţii în ecuaţia iniţialã se obţine K 0, respeciv L Deci soluţiile pariculare vor fi 0 şi Prin derivarea ecuaţiei se obţine ( ) 47 Ecuaii de ip Clairau Ecuaţiile de ip Clairau au forma generalã ' B( ' ) +

29 Noând ' p ecuaţia devine p + B( p) obţine ecuaţia p ' ( + B' ( p) ) 0 Dacã p '( ) 0 se obţine soluţia (generalã) ( ) C + B( C) Din egaliaea + B' ( p) 0 B' ( p) scrisã sub formã paramericã B' ( p) p + B( p) ' ' Eemplu : ( ) Prin derivarea sa se se obţine soluţia singularã Soluţia generalã ese C C şi o soluţie paricularã ese p daã parameric de p p Soluţia singularǎ scrisǎ sub formǎ epliciǎ ese 5 Eerciţii propuse 4 Sã se rezolve urmãoarele ecuaţii diferenţiale sau probleme Cauch: ' / 0 R : C+ ' / R : 4 /6 + C/ ' 0, ( ) a + R : ( ) e a b e / ab e / + ' 0 R : ( ) + arcsin 4 4( ) ( 0) 0

30 'cos +, 0 0 R : /cos, [0, π / ) 5 g ( ) 6 ' R : C/ C 7 ( ) ' 0 R : / ( ln + C) 8 ( ) ' + a R : a+ C 9 ' / R : /+ K R : ( ) 0 ' /+ Ce ' ln R : ln /( ) + C ( + 6 ) d + ( ) d 0 R : + + C + d+ + d 0 R : ( ) ( ) + + C ', 0 R : 0 4 ( ) ', R : 5 ( )

31 CAPITOLUL Aplicaţii ale ecuaţiilor diferenţiale de ordinul I Suprafaţa de echilibru a unui lichid în roaţie (inegrare direcă) Problema: Un ub verical cilindric cu raza r se roeşe rapid în jurul aei sale cu vieza unghiulară consană ω Să se deermine ecuaţia inersecţiei suprafeţei de roaţie a lichidului cu un plan care conţine aa ubului Variabila independenǎ,, indicǎ disanţa unui punc faţǎ de aa de roaţie (aa ubului) Funcţia necunoscuǎ, ( ), unde :[ r, r] R reprezinǎ înǎlţimea lichidului în puncele aflae la disanţa de aa cilindrului şi descrie inersecţia suprafeţei de roaţie a lichidului cu un plan ce conţine aa ubului ( ) A α β G F F c Figura Suprafaţa de echilibru a unui lichid în roaţie Sub acţiunea forţei de inerţie lichidul se ridicǎ spre pereţii ubului

32 4 Asupra puncului de masa m siuae la disanţa de aǎ acţioneazǎ douǎ forţe: greuaea G mg j şi forţa cenrifugǎ F c mω i Deoarece vieza de roaţie e consanǎ suprafaţa lichidului e sabilǎ şi forţa rezulanǎ F ese perpendicularǎ pe planul angen la suprafaţa lichidului, adicǎ unghiurile α şi β sun egale Rezulǎ cǎ g α gβ adicǎ ω ' ( ) g Ceea ce reprezinǎ ecuaţie diferenţialǎ ce descrie curbǎ de roaţie ω ω Prin inegrare direcǎ se obţine ( ) d + C g g Deci curba de roaţie ese o parabolǎ Consana C se deerminǎ folosind fapul cǎ volumul lichidului ese consan Dacǎ înaine de începerea roaţiei înǎlţimea lichidului era h aunci conservarea volumului se scrie asfel r 5 k r ( ) π r h π d π r C + kr C ω unde k, ceea ce reprezinǎ o ecuaţie cu necunoscua C g Evoluia unei populaţii (variabile separabile) a Evoluţia unei populaţi înr-un mediu cu resurse nelimiae Problemǎ: Sǎ se descrie evoluţia unei populaţii a cǎrei creşere în fiecare momen ese proporţionalǎ cu valoarea sa în acel momen Variabila independenǎ ese impul iar funcţia necunoscuǎ ese :[0,+ ) R Ea caracerizeazǎ mǎrimea populaţiei ( ( ) reprezinǎ numǎrul de indivizi, densiaea unei culuri baceriene ec la momenu de imp ) In impul Δ populaţia se modificǎ cu Δ k ( ) Δ Variaţia sa insananee ese Δ / Δ deci se poae scrie

33 5 Δ ' () lim k () Δ 0 Δ ceea ce reprezinǎ ecuaţia diferenţialǎ ce descrie evoluţia populaţiei Ea ese o ecuaţie cu variabile separabile Soluţia singularǎ s :[0,+ ) R, s () 0 care nu convine problemei deoarece în aceasǎ siuaţie populaţia nu eisǎ k Soluţia generalǎ a ecuaţiei ese ( ) C e Aceasa ese faimoasa lege a lui Malhus care a prevǎu cǎ populaţia Terrei va creşe eponenţial în imp ce resursele sale cresc in progresie geomericǎ, deci ele vor deveni insuficiene penru oi oamenii şi rǎzboaiele sun necesare penru reglemenarea echilibrului Problemǎ Dacǎ populaţia unei ţǎri s-a dubla în 50 de ani, pese câ imp se va ripla, dacǎ vieza de creşere ese proporţionalǎ cu mǎrimea sa? k 50 Ce 50 0 rezulǎ Ce k C, deci Tinând con cǎ ( ) şi cǎ ( ) ( ) ln k 50 k Triplarea populaţiei înseamnǎ ( ) ( 0) ceea ce conduce la e, ln 50 ln adicǎ 79 k ln Deci populaţia se va ripla dupa 79 de ani Problemǎ: Inr-o colonie de microbi care se înmulţesc cu o viezǎ proporţionalǎ cu numǎrul lor se consaǎ cǎ numǎrul de microbi s- a dubla în 5 ore Ce se va înâmpla dupǎ 0 ore? k Din legea de evoluţie ( ) C e 5 0 rezulǎ şi condiţia ( ) ( ) ln ln k Aunci ( 0) Ce 4C araǎ cǎ numǎrul de microbi a 5 crescu de 4 ori în 0 ore

34 6 b Evoluţia unei populaţii înr-un mediu cu resurse limiae Problemǎ: Sǎ se descrie evoluţia unei populaţii înr-un mediu cu resurse limiae în care populaţia maimǎ ce poae rǎi are mǎrimea L, dacǎ mǎrimea ei iniţialǎ ese P 0 Folosind noaţiile din problema anerioarǎ obţinem problema Cauch ' ( ) k( ) ( L ( ) ) ( 0) P0 Ecuaţia diferenţialǎ, numiǎ şi ecuaţia logisicǎ, araǎ cǎ o populaţie va creşe (adicǎ '( ) > 0 ) doar dacǎ ea nu a ains nivelul maim permis de mediu Dacǎ mǎrimea ei ese mai mare decâ aces nivel ea va rebui sǎ scadǎ pânǎ la limia accepabilǎ Ecuaţia are variabile separabile Soluţile singulare s, s :[0, ) R, s ( ) 0, respeciv s ( ) L descriu siuaţia în care populaţia nu eisǎ (adicǎ P 0 0), respecive siuaţia când populaţia iniţialǎ ese la nivelul maim admis de mediu, adicǎ P 0 L şi rǎmane la aces nivel ' ( ) Scrisǎ sub forma k ecuaţia poae fi inegraǎ şi conduce L la ln L () () ()( ()) Lk + C, adicǎ Lk L ( ) () Ce Lk Soluţia gneralǎ ese Ce deci () L Deerminarea consanei C se face folosind Lk + Ce condiţia iniţialǎ LC P0 Din ( 0) P0 rezulǎ C deci soluţia problemei ese + C P Lk L P0 e () Lk L P0 + P0 e Din epresia analiicǎ a soluţiei se observǎ cǎ lim ( ) L populaţia inde sǎ aingǎ valoarea maimǎ admisǎ 0, deci

35 7 Variaţia presiunii amosferice în rapor cu aliudinea (ecuaţie cu variabile separabile) Problemǎ: Sǎ se deermine presiunea amosfericǎ p p( h) a unei mase volumice de aer ρ la emperaure T în rapor de înǎlţimea h mǎsuraǎ de la nivelul mǎrii, daca presiunea la nivelul mǎrii ese p ( 0) p0 Variabila independenǎ ese aliudinea h iar funcţia necunoscuǎ ese presiunea amosfericǎ p p( h) Ecuaţia fundamenalǎ a hidrosaicii, scrisǎ penru aces caz, ese p' + ρ g 0 Dacǎ vom considera aerul la un gaz perfec obţinem relaţia p v n R T, unde n ese numǎrul de moli de aer ce ocupǎ volumul m m p M p v, R ese o consanǎ Rezulǎ cǎ ρ, unde M ese v n R T R T masa molarǎ a aerului In aces caz ecuaţia ce descrie presiunea aerului M g devine p ' + p 0 Problema Cauch aaşaǎ ese R T M g p' ( h) + p( h) 0 R T ( h) p( 0) p0 Cazul I Dacǎ emperaura ese consanǎ, ecuaţia se scrie M g unde k R T p' kp, In aces caz ecuaţia are variabile separabile Soluţia singularǎ p ( h) 0 kh nu convine problemei şi din soluţia generalǎ ( ) p h C e deducem, impunând condiţia iniţialǎ cǎ soluţia problemei Cauch ese kh p( h) p 0 e Rezulǎ deci cǎ presiunea scade eponenţial în rapor cu aliudinea

36 8 Cazul II: Dacǎ emperaura nu ese consanǎ dar aerul respecǎ legea γ K ransformǎrilor adiabaice p v K, cu γ da, aunci v p, din relaţia p v n R T se obţine / γ / / γ γ p p K K p R T v şi problema Cauch devine n n p n m g noaie / γ / γ p' ( h) p ( h) k p ( h) / γ K p( 0) p0 / γ Inegrând ecuaţia p ( h) p' ( h) k / γ p + γ ( h) ( k h C), adicǎ ( h) ( k h + C) γ / ( γ ) γ Din condiţia iniţialǎ rezulǎ C 0 γ p, deci / γ obţinem γ γ p γ γ γ kh ( γ ) / γ γ p ( h) p0 γ ceea ce araǎ cǎ presiunea scade aunci când creşe aliudinea şi ( γ ) / γ γ p0 aliudinea maimǎ la care eisǎ amosferǎ ese h ma γ care se obţine din relaţia p ( h ma ) 0 ( ) 4 Căderea liberă (cu variabile separabile) Problemǎ: Sǎ se deermine vieza unui corp în mişcare vericalǎ sub acţiunea greuǎţii sale şi a rezisenţei aerului, dacǎ vieza de pornire ese v 0

37 9 Variabila independenǎ ese impul si funcţia necunoscuǎ ese vieza v v 0 v Rezisenţa aerului ese RR() v () Condiţia iniţialǎ ese ( ) 0 şi acceleraţia corpului ese a ( ) v' ( ) Legea fundamenalǎ a dinamicii se scrie sub forma m g R( ) mv' Cazul I: Dacǎ rezisenţa aerului ese proporţionalǎ cu vieza corpului, adicǎ R () kv( ), ecuaţia devine mg kv() mv' ( ) Noând k m / k obţinem problema Cauch v' ( ) g kv( ) v( 0) v0 Ecuaţia diferenţialǎ, cu variabile separabile, are soluţia singularǎ v () g / k Penru deerminarea soluţiei generale se scrie ecuaţia sub v' ( ) v' ( ) forma, deci C g kv() +, adicǎ g kv() g k ln( g kv() ) + C De aici rezulǎ v() ( Ce ) Din k k g kv0 condiţia iniţialǎ v0 ( C ) rezulǎ C k g In aceasǎ siuaţie vieza creşe odaǎ cu recerea impului şi inde sǎ aingǎ valoarea maimǎ posibilǎ, v ma g / k Cazul II Dacǎ rezisenţa aerului ese proporţionalǎ cu pǎraul viezei (ceea ca se înâmplǎ când viezele de mişcare sun mari) aunci R() kv () şi problema Cauch devine v' g( α v () ) v( 0) v0 unde α k / m Ecuaţia diferenţialǎ cu variabile separabile are soluţia singularǎ v () / α care ese o funcţie consanǎ şi corespunde cazului când v α 0 /

38 40 ( ) v () v' Soluţia generalǎ, obţinuǎ prin inegrarea ecuaţiei g, ese α + αv( ) daǎ de egaliaea ln g + C Rezulǎ α αv() α ( g + C) e v() Valoarea lui C se deerminǎ din condiţiile α ( g + C) α e + iniţiale Din analiza epresiei lui v se poae deduce cǎ vieza creşe pe mǎsurǎ ce impul rece şi inde sǎ aingǎ valoarea maimǎ admisǎ v / α m / k ma 5 Descărcarea unui condensaor înr-o resisenţă (liniară) Fenomenul ese imporan penru cã apare în circuiele folosie la ransmisiunile radio, de eleviziune, la radare ec Problema : Se considerã un circui elecric forma dinr-un condensaor cu capaciaea C şi o rezisenţã R Se cere inensiaea curenului, i ( ) şi diferenţa de poenţial v ( ) la bornele condensaorului în funcţie de momenul la care se face mãsurarea dacã sarcina iniţialã ese Q Rezolvare : Considerãm funcţiile iqv,, :[0, + ) Rcae indicǎ inensiaea, sarcina elecricǎ şi diferenţa de poenţial la bornele condensaorului în funcţie de impul Inre ele eisã relaţia q ( ) Cv ( ) Inensiaea curenului elecric la descãrcare ese i ( ) q' ( ) şi v la bornele rezisenţei ea saisface relaţia i (legea lui Ohm) R Relaţiile anerioare araã cã aces circui ese caraceriza de problema Cauch

39 4 ( ) q q' () C R (CR) q( 0) Q în care q q( ) ese funcţia necunoscuã iar C şi R sun consane dae în problemã Ecuaţia diferenţialã poae fi consideraã ca o ecuaţie cu variabile separabile sau ca o ecuaţie liniarã şi omogenã de ordinul I Soluţia problemei Cauch ese () q Qe CR Inensiaea curenului (la descãrcare) ese Q /( CR) i () q' CR Q () e Ie 0 iar v CR () Ri () e CR C Momenul începând de la care descãrcarea ese pracic erminaã τ I0 se considerã a fi τ penru care i( τ ) Se obţine e CR adicã τ C R ln0 4,6 C R 6 Incãrcarea unui condensaor prinr-o rezisenţã în prezenţa unei surse de curen coninuu (liniară) Problemã : Se considerã un circui alcãui dinr-un condensaor cu capaciaea C, o rezisenţã R şi o sursã de curen coninuu având forţa elecromooare consanã E Se cere sã se deermine inensiaea curenului şi diferenţa de poenţial la bornele condensaorului în funcţie de momenul la care se face mãsurarea

40 4 Rezolvare : Se considerã funcţiile iqv,, :[0, + ) Rcare reprezinã inensiaea curenului, sarcina condensaorului şi diferenţa de poenţial la bornele acesuia în funcţie de imp q ( ) La încãrcarea condensaorului i ( ) q' ( ) iar v () C E v ( ) Legea lui Kirchoff araã cã i (), deci problema Cauch ce R caracerizeazã circuiul ese q ( ) R q' () + E C q( 0) 0 Soluţia generalã a ecuaţiei (liniarã şi neomogenã de ordinul I) ese () q CE+ Ke CR iar soluţia problemei Cauch ese q () C E e CR q ( ) E Rezulã imedia v () E e CR şi i () q' CR () e C R Momenul în care condensaorul ese pracic încãrca ese cel la care 99 diferenţa de poenţial ese v( τ ) E Din 99 τ E E e CR rezulã τ C R ln00 4,6 C R 7 Transformarea energiei elecrice in căldură (liniară) Problemǎ: Sǎ se descrie modificarea emperaurii unui corp în rapor cu mediul ambian aunci când penru încǎlzire se foloseşe energia elecricǎ

41 4 Variabila independenǎ ese impul (mǎsura în secunde) iar funcţia necunoscuǎ ese emperaura corpului θ θ ( ) presupusǎ aceeaşi în oae puncele corpului Se considerǎ W puerea elecricǎ mǎsuraǎ în waţi, m masa corpului mǎsuraǎ în grame, c cǎldura masicǎ (caniaea de cǎldurǎ necesarǎ penru a ridica emperaura unui gram de maerial cu un grad), S suprafaţa de rǎcire, α coeficienul de împrǎşiere (caniaea de cǎdurǎ împrǎşiaǎ de cm înr-o secundǎ penru ridicarea emperaurii cu un grad) Penru obţinerea ecuaţiei se foloseşe principiul conservǎrii energiei, considerând cǎ în duraa de imp Δ energia elecricǎ ese uilizaǎ penru a ridica emperaura corpului (cu masa m grame) cu Δ θ în imp ce o pare din cǎldurǎese împrǎşiaǎ: W Δ Relaţia m c Δθ + α S θ Δ conduce la ecuaţia diferenţialǎ 48 α S W θ ' + θ S Se noeazǎ B α şi m c 48 m c m c W D şi ecuaţia devine 4 8 m c Ese o ecuaţie liniarǎ de ordinul I, dar poae fi socoiǎ şi ecuaţie cu variabile separabile Ecuaţia omogenǎ θ '() + B θ ( ) 0 are soluţia B generalǎ θ () C e Aplicând meoda variaţiei consanei B B considerǎm θ () C( ) e şi ecuaţia devine C' ( ) D e C D Rezulǎ cǎ soluţia generalǎ a ecuaţiei ese B B W B θ () D / B + K e + K e 48 α S () e B + K Rezulǎ

42 44 Dacǎ emperaura iniţialǎ θ0 ese precizaǎ aunci W K θ 0 In aceasǎ siuaţie emperaura corpului 4 8 α S W B B va fi θ () ( e ) + 0e 48 α S θ W Temperaura maimǎ a corpului va fi θma limθ (), 48 α S indiferen de emperaura de pornire Dacǎ nu se foloseşe elecriciaea penru încǎlzire aunci W0 şi B θ θ e Ea descreşe eponenţial la 0 emperaura corpului ese ( ) 0 8 Formula fundamenală a curenului alernaiv (liniară) Problemã : Se considerã un circui în care acţioneazã o forţã elecromooare daoraã unei variaţii de flu şi conţinând o rezisenţǎ R şi o bobinã cu inducanţa proprie L monae în serie Sã se deermine inensiaea curenului elecric din circui Rezolvare : Penru a obţine o variaţie a fluului elecric Φ( ) se considerã un cadru cu n spire de arie S mişcându-se înr-un câmp magneic cu inducţia B, cadru închis prinr-un circui eerior Aces cadru se roeşe uniform cu vieza unghularã ω Fluul capa Φ ( ) se descompune în douã pãrţi : - Fluul Φ ( ) n B S sinω provenind de la polul nord al câmpului magneic - Fluul Φ ( ) L i ( ) genera de cadrul parcurs de curenul elecric Din relaţia (daã în problemã) E ( ) '( ) E () i () se obţine ecuaţia i () n B S ω cos ω L i' () R se scrie sub forma Φ şi ţinând con de fapul cã Ea R R

43 45 ( ) + ( ) 0 Din rezolvarea ecuaţiei omogene se obţine i( ) C L i' R i n B S ω cosω E cosω R / L e Aplicând meoda variaţiei consanei obţinem R / L R RT / L R R / L E0 C' e + C e + Ce cosω, L L L R E 0 deci C' () e L cosω L Rezulǎ E E C() 0 R / L 0 R / L e cosω d ( Rsinω Lω ) e + k L R + L cos ω ω Soluţia generalǎ a ecuaţiei ese E0 R / L i() ( Rsinω Lω cosω) + ke R + L ω Aceasa are o componenã periodicã dominanã (anume R Rcosω+ Lωsin ω ) şi o componenã neglijabilã (anume Re L ) aunci când impul ese mare Din aces moiv curenul obţinu se numeşe curen alernaiv 9 Oglinda parabolică (ecuaţie omogenă) Problemǎ: Sǎ se deermine forma unei oglinzi care reflecǎ o razǎ luminoasǎ ce porneşe din origine pe o direcţie paralelǎ cu O Graficul funcţiei necunoscue () reprezinǎ oglinda în care se reflecǎ lumina

44 46 M B ( ) R C O P N Figura Oglinda parabolicǎ Raza OM ese reflecaǎ de oglindǎ pe direcţia MA Considerând angena MB la graficul funcţiei (), obţinem BMA CMO MCO deoarece unghiul de incidenţǎ ese egal cu unghiul de refleie Aunci MOP BMA, deci g BMA ( ) ' ( ) g MOP g( BMA) şi se ( ' ( ) ) g BMA obţine ecuaţia omogenǎ ' ( ' ) In mod obişnui penru rezolvarea acesei ecuaţii se foloseşe subsiuţia / u, dar în aces caz calculele sun complicae şi ese mai uil un arificiu de calcul daora lui Lagrange: se noeazǎ m ' m şi se deriveazǎ ecuaţia m

45 47 Se obţine o nouǎ ecuaţie m( m ) rezulǎ cǎ m' m m + ' + m m m ( m ) ' din care, adicǎ o ecuaţie cu variabile separabile Soluţile singulare m ( ) 0 şi m ( ) ± nu convin problemei penru cǎ în aces caz se anuleazǎ numiorul din ecuaţia iniţialǎ m' Separând variabilele obţinem care, prin inegrare m( m ) m ln m conduce la ln( k) m, adicǎ k Inroducând m m m epresia în ecuaţia se obţine km m, adicǎ m k m k ' k ( /( k) ) k( /( k) ) m 4 Din rezulǎ ceea ce araǎ km k k cǎ oglinda are forma unei parabole (se numeşe oglindǎ parabolicǎ) al cǎrei focar ese originea aelor de coordonae In fap ea reprezinǎ ineriorul unui paraboloid de roaţie 0 Eerciţii propuse Se şie cǎ vieza de rǎcire a unui corp ese proporţionalǎ cu diferenţa de emperaurǎ înre corp si mediul înconjurǎor a) Sǎ se scrie relaţia care eisǎ înre emperaura T şi impul, dacǎ un corp încǎlzi la T 0 grade ese plasa înr-o camerǎ a cǎrei emperaurǎ consanǎ ese de a grade

46 48 b) In câ imp va scadea la 0 grade emperaure unui corp încǎlzi la 00 grade dacǎ emperaura camerei în care e inrodus ese 0 grade şi în primele 0 min corpul se rǎceşe la 60 grade? k R: a) T '( ) k( T ( ) a) are soluţia T ( ) ( T 0 a) e b) T 00, a 0; din T ( 0 ) 60 rezulǎ k ( / ) 0 0 / e ; impul necesar ese 60 min Frânarea unui disc care se roeşe uniform înr-un lichid ese proporţionalǎ cu vieza unghiularǎ a) Scrieţi şi rezolvaţi ecuaţia care descrie modificǎrile viezei unghiulare în impul roaţiei b) Care ese vieza dicului dupa min dacǎ vieza sa iniţialǎ a fos de 00 uraţii/min şi dupǎ un minu vieza sa a scǎzu la 60 uraţii /min k R: a) ω' ( ) kω( ), k>0, are soluţia ω ( ) C e ; semnul - ce apare în ecuaţie araǎ cǎ miscarea ese înceiniǎ b) ω() 00 deci ω ( ) 6 grade 5 Vieza de dezinegrare a radiului ese proporţionalǎ cu caniaea sa Se şie cǎ dupǎ 600 ani nu rǎmâne decâ o jumǎae din caniaea de radiu iniţialǎ (perioada de înjumǎǎţire ese 600 ani) Sǎ se deermine procenajul de radiu dezinegra dupǎ 00 ani R: Se considerǎ Q() caniaea de radiu dezinegraǎ sin caniaea iniţialǎ C 0 Ecuaţia liniarǎ Q' k ( C0 Q şi condiţia iniţialǎ Q ( 0 ) 0 conduc la () ( )) () 0 ( k Q C e ) Din condiţia Q( 0) Q( 600) ( / ) / 600 k rezulǎ e Procenajul ceru ese 6 00 ( Q ( 00) / Q( 0) )% ( / ) 00% 4% 4 Vieza de scurgere a apei prinr-o deschidere aflaǎ pe vericalǎ la disanţa h de suprafaţa apei ese daǎ de formula v c gh unde

47 49 c 06 şi g ese acceleraţia graviaţionalǎ In câ imp se va goli un rezervor cubic cu laura de m prinr-o deschidere pracicaǎ la baza sa R: Se considerǎ h h( ) înǎlţimea lichidului scurs pânǎ la momenul Ecuaţia diferenţialǎ h' ( ) c g( h( ) ) şi condiţia iniţialǎ h ( 0 ) 0 caracerizeazǎ fenomenul de curgere Soluţia problemei Cauch ese () c g h c g Rezervorul se va goli aunci când h ( g ) 0, adicǎ g uniǎţi c g de imp 5 Caniaea de luminǎ absorbiǎ de un rezervor de apǎ ese proporţionalǎ cu caniaea de luminǎ incidenǎ şi cu adâncimea rezervorului Se şie cǎ înr-un rezervor cu adâncimea de m apa absoarbe jumǎae din caiaea de luminǎ iniţialǎ Care ese caniaea de luminǎ care poae ajunge la o adâncime de 0m? R: Caniaea de luminǎ absorbiǎ, Q Q( h) depinde de adâncimea la care se aflǎ observaorul Ecuaţia diferenţialǎ ce caracerizeazǎ fenmenul de absorbţie ese Q' ( h) k( C0 Q( h)) şi condiţia iniţialǎ impusǎ ese Q 0 Q 0 / Soluţia problemei Cauch asociaǎ ese ( ) ( ) h / Q( h) Q0 ( ( / ) ) 0 0m ese ( 0) Q 0 ( (/ ) ) pǎrunde la acel nivel ese ( / ) 0 Caniaea de luminǎ absorbiǎ pânǎ la Q iar caniaea de luminǎ ce Q 0 6 Rezisenţa aerului eerciaǎ asupra unui corp lansa cu o paraşuǎ ese proporţionalǎ cu pǎraul viezei de mişcare Sǎ se deermine vieza limiǎ pe care o poae ainge un corp

48 50 R: Ecuaţia diferenţalǎ ese k / m ( g + C) mv' mg kv şi are soluţia m e v () Valoarea lui C se deerminǎ k k / m ( g + C) e + din condiţiile iniţiale Din analiza epresiei lui v se poae deduce cǎ vieza creşe pe mǎsurǎ ce impul rece şi inde sǎ aingǎ valoarea maimǎ admisǎ v / α m / k ma 7 Baza unui rezervor de 00 l ese acoperiǎ cu un amesec de sare şi subsanţǎ insolubilǎ Presupunând cǎ vieza de dizolvarea sǎrii ese proporţionalǎ cu diferenţa înre concenraţia insananee şi concenraţia soluţiei saurae ( kg sare penru l apǎ) si caniaea de apǎ purǎ dizolvǎ / kg sare pe minu, sǎ se deermine caniaea de sare din soluţie dupǎ o orǎ R: se noeazǎ ( ) caniaea de sare din soluţie la momenul (sare dizolvaǎ în apǎ) Ecuaţia diferenţialǎ ese '() k Soluţia problemei Cauch care foloseşe 00 condiţia iniţialǎ ( 0 ) 0 ese () caniaea de sare din soluţie va fi ( ) k 00 e 00 k e 5 Dupǎ o orǎ

49 5 CAPITOLUL 4 Ecuaţii diferenţiale de ordin superior 4 Ecuaţii liniare O problemã inporanã ese rezolvarea ecuaţiilor diferenţiale de ordin mai mare ca Sun puţine ecuaţiile penru care se poae preciza forma analiicã a soluţiei Cel mai frecven uilizae sun ecuaţiile liniare Forma generalã a ecuaţiei liniare de ordin n ese ( n) ( n ) + a ( ) + + an ( ) f ( ) (6) Ecuaţia liniarã omogenã asociaã ecuaţiei (6) ese ( n) ( n ) + a ( ) + + an ( ) 0 (7) În legãurã cu ecuaţiile liniare şi omogene se poae demonsra urmaorul rezula imporan Teorema a) Dacã p N şi,,, p sun soluţii ale ecuaţiei (7) iar C, C,, C p R aunci C + C + + C p p ese soluţie a ecuaţiei (7) b) Mulţimea soluţiilor ecuaţiei (7) formeazã un spaţiu vecorial de dimensiune n c) Dacã ecuaţia (7) admie soluţia compleǎ u + i v aunci funcţiile reale u şi v sun soluţii ale ecuaţiei (7) Observaţie : penru deerminarea soluţiei generale e ecuaţiei omogene rebuie deerminae n soluţii liniar independene Teorema Soluţiile,,, n : I R ale ecuaţiei (7) sun liniar independena dacã şi numai dacã eisã 0 I asfel încâ deerminanul

50 5 W (,,, )( ) n ( ) ' ( ) ' ( ) ( ) '( ) '( ) n ( ) '( ) '( ) (numi wronskianul sisemului) sã fie nenul în 0 Observaţii : ) Teorema Abel-Osrogradski-Liouville araã cã, dacã I ese un inerval ce conţine pe 0 şi W (,,, n )( 0 ) 0, aunci W (,,, n )( ) 0 penru orice I ) Dacã,,, n sun soluţii liniar independene ale ecuaţiei (7) şi C, C,, Cn R aunci soluţia generalã a ecuaţiei (7) ese C + C + + C n n (8) În cazul sisemelor cu coeficienţi consanţi deerminarea soluţiilor liniar independene se face cu ajuorul ecuaţiei caracerisice, dar reprezinã o problemã complicaã în cazul sisemelor cu coeficienţi variabili Penru sisemele neomogene sa poae arãa cã : Teorema : Soluţia generalã a ecuaţiei (6) ese suma dinre soluţia generalã a ecuaţiei omogene aaşaã, (7), şi o soluţie paricularã a ecuaţiei (6) Meoda de rezolvare a ecuaţiilor liniare are rei paşi: - se rezolvã ecuaţia omogenã şi se obţine soluţia G - se deerminã o soluie P a ecuaţiei neomogene - se scrie soluţia generalã a ecuaţiei neomogene G + P 4 Ecuaţii liniare cu coeficienţi consanţi Penru rezolvarea ecuaţiilor cu coeficienţi consanţi ese cunoscu algorimul de rezolvare a ecuaţiei omogene Dacă funcţia f ( ) are anumie forme pariculare aunci eisă reguli şi penru deerminarea unei soluţii pariculare n n

51 5 A) Rezolvarea ecuaţiei omogene Forma generalã a unei ecuaţii cu coeficienţi consanţi ese ( n) ( n ) + a + + an ' + an 0 (9) Problema rezolvãrii ecuaţiei (9) se reduce deci la deerminarea unul sisem fundamenal de soluţii În cele ce urmeazã prezenãm principala meodã de rezolvare penru ecuaţiile liniare O soluţie a ecuaţiei se cauã sub forma ( ) e λ, prin analogie cu cazul n Prin înlocuire în ecuaţia (9) se obţine, dupã simplificarea cu ecuaţia caracerisicã n n λ + aλ + + a λ + a 0 (0) n n e λ, Teorema 4 : Fie λ, λ,, λ n soluţiile ecuaţiei (0) a) - dacã λ, λ, λ n sun reale şi disince ale ecuaţiei (0), aunci e λ, e λ,, e λ n sun soluţii liniar independene ale ecuaţiei (9) b) - dacã λ ese rãdãcinã realã cu ordinul de mulipliciae p penru ecuaţia (0), aunci e λ, e λ p,, e λ sun p soluţii liniar independeneale ecuaţiei (9) c) -dacã λ a+ ib ese rãdãcinã compleã de ordinul p a ecuaţiei (0) aunci a a e cos b, e sin b a ( ) ( ) a ( ) ( ) a ( ) ( ) e cos b, e sin b a e cos b, e sin b n a n a e cos b, e sin b ( ) ( ) sun soluţii liniar independene ale ecuaţiei (9)

52 54 Sisemul fundamenal de soluţii se obţine prin însumarea soluţiilor liniar independene corespunzãoare uuror rãdãcinilor ecuaţiei (0), iar soluţia generalã a ecuaţiei (9) se obţine folosind formula (8) Eemple : Sã se deermine soluţia generalã a urmãoarelor ecuaţii : ''' 6 '' + ' 6 0 Ecuaţia caracerisicã ese λ 6λ + λ 6 0 şi are soluţiile λ, λ, λ, Se aplicã a) din Teorema 4 şi se obţine sisemul fundamenal de (rei) soluţii forma din e, e, e Soluţia generalã ese ( ) Ce + Ce + Ce ''' + '' + ' + 0 Ecuaţia caracerisicã ese λ + λ + λ + 0 şi are soluţiile λ λ λ Se aplicã b) din Teoremã penru p Sisemul fundamenal de (rei) soluţii ese forma din e, e, e, iar soluţia generalã ese ( ) Ce + Ce + C e '' + 4 ' Ecuaţia caracerisicã ese λ + 4λ şi are soluţiile λ + i şi λ i deci se aplicã c) din Teoremã penru a, b, p Sisemul fundamenal de (douã) soluţii ese forma din soluţiile e cos şi e sin iar soluţia generalã ese ( ) Ce cos + Ce sin IV 4 4 ''' + 5 '' 4 ' Ecuaţia caracerisicã ese λ 4λ + 5λ 4λ+ 4 0 cu soluţiile λ λ, λ i şi λ 4 i Soluţia generalã ese Ce + C e + C cos + C sin ( ) 4