9.""Πώς"θα"λύσω"μια"κλασματική"ανίσωση;

Transcript

1 3ο βήμα. (Δίνω την λύση της ανίσωσης από την τελευταία γραμμή της αριστερής στήλης του πίνακα (στήλη «Γινόμενο»)). Από τον πίνακα προκύπτει ότι x (,1) (2,3). 9.""Πώς"θα"λύσω"μια"κλασματική"ανίσωση; Πρώτο και κυριότερο! Αν η ανίσωση έχει παραστάσεις του x στους παρονομαστές, ΠΡΩΤΑ θέτεις τους απαραίτητους περιορισμούς. Δεύτερο! ΑΠΑΓΟΡΕΥΕΤΑΙ ΔΙΑ ΡΟΠΑΛΟΥ ΝΑ ΚΑΝΕΙΣ ΑΠΑΛΟΙΦΗ ΠΑΡΟ- ΝΟΜΑΣΤΩΝ!! Επιτρέπεται, ΜΟΝΟ αν το πρόσημο της παράστασης που αποτελεί το Ε.Κ.Π των παρονομαστών έχει σταθερό πρόσημο, για κάθε τιμή του x (κάτι που σε πολύ λίγες περιπτώσεις συμβαίνει). Τρίτο. Αν η ανίσωση έχει εξ αρχής την μορφή f (x) > 0 (ομοίως και για άλλες ανισώ- g(x) σεις), τότε την μετατρέπεις στην ισοδύναμή της f (x) g(x) > 0, δηλαδή την μετατρέπεις σε παραγοντοποιημένη ανίσωση και εργάζεσαι όπως αναφέρθηκε παραπάνω στο 8. Αν η ανίσωση δεν έχει την παραπάνω μορφή, αλλά στο δεύτερο μέλος της έχει κάποιον αριθμό ή κάποια άλλη παράσταση του x, τότε μεταφέρεις όλους τους όρους στο πρώτο μέλος, κάνεις τα κλάσματα ομώνυμα και η ανίσωση πλέον θα λάβει την μορφή f (x) > 0, οπότε εργάσου όπως αναφέρθηκε παραπάνω. g(x) Παράδειγµα 1 Να λύσετε την ανίσωση x 2 x ο βήμα. (Θέτω περιορισμό στον παρονομαστή). Λύση Πρέπει να είναι x x 2 1 x 1 και x 1. 2ο βήμα. (Μετατρέπω το κλάσμα σε γινόμενο). Η ανίσωση είναι ισοδύναμη με την (x 2)(x 2 1) 0. 3ο βήμα. (Δημιουργώ τον ακόλουθο πίνακα)

2 x 2 + x Γιν#μενο + + 4ο βήμα. (Δίνω την λύση της ανίσωσης από την τελευταία γραμμή της αριστερής στήλης του πίνακα (στήλη «Γινόμενο»), λαμβάνοντας υπ' όψη και τον αρχικό περιορισμό!). Από τον πίνακα προκύπτει x (, 1] [1,2]. Λόγω του αρχικού περιορισμού όμως, τελικά έχω ότι x (, 1) (1,2]. Να λύσετε την ανίσωση ex +1 e x 1 > 1. 1ο βήμα. (Θέτω περιορισμό στον παρονομαστή). Παράδειγµα 2 Λύση Πρέπει να είναι e x 1 0 e x 1 x ln1 x 0. 2ο βήμα. (Μεταφέρω τον όρο του δευτέρου μέλους στο πρώτο και κάνω τα κλάσματα ομώνυμα). Είναι ex +1 e x 1 > 1 ex +1 e x 1 +1 > 0 ex +1+e x 1 > 0 2ex e x 1 e x 1 > 0. Επειδή είναι e x > 0, για κάθε x!, από την τελευταία ανίσωση έχω e x 1 > 0 e x > 1 x > ln1 x > ""Πώς"θα"λύσω"μια"εξίσωση"με"τετραγωνικές"ρίζες; Η συνηθέστερη περίπτωση είναι η εξίσωση να έχει μία τετραγωνική ρίζα, την οποία πάντα πρέπει να έχεις μόνη της σ' ένα μέλος (συνήθως το αριστερό μέλος) της εξίσωσης. Αν η ρίζα πολλαπλασιάζεται με κάποιον αριθμό, αυτό δεν επηρεάζει όσα θ' αναφερθούν παρακάτω. Πάντα, το πρώτο βήμα που πρέπει να γίνει είναι να θέσεις τον περιορισμό, η παράσταση που είναι κάτω από την ρίζα να είναι μεγαλύτερη ή ίση του μηδενός. Στην συνέχεια, ως προς το τι θα υπάρχει στο δεξί μέλος της εξίσωσης, διακρίνονται οι εξής περιπτώσεις: α) αν δεξιά υπάρχει αριθμός, δηλαδή η εξίσωση έχει την μορφή f (x) = α, α!, τότε:

3 αν είναι α > 0, ύψωσε τα δύο μέλη στο τετράγωνο και λύσε την εξίσωση που θα προκύψει. Στο τέλος, δες αν η λύση αυτή είναι δεκτή, με βάση τον αρχικό περιορισμό. αν είναι α = 0, τότε η εξίσωση έχει την μορφή f (x) = 0 και λύσε την εξίσωση αυτήν. f (x) = 0, απ' όπου προκύπτει αν είναι α < 0, τότε η εξίσωση είναι αδύνατη (αφού είναι που προκύπτει από τον περιορισμό που έθεσες). f (x) 0, για κάθε x β) αν δεξιά υπάρχει παράσταση του x, δηλαδή η εξίσωση έχει την μορφή f (x) = g(x), τότε θέσε και τον περιορισμό g(x) 0 και βρες πού συναληθεύει με τον περιορισμό f (x) 0. Στην συνέχεια, ύψωσε τα δύο μέλη στο τετράγωνο, λύσε την εξίσωση που προκύπτει και εξέτασε αν η λύση που βρίσκεις είναι δεκτή, ελέγχοντάς την με τον περιορισμό που προέκυψε. 11.""Πώς"θα"λύσω"ένα"σύστημα"εξισώσεων; Συνήθως συναντώνται συστήματα δύο εξισώσεων με δύο αγνώστους, τα οποία διακρίνονται στα γραμμικά και στα μη γραμμικά. α) Γραμμικά συστήματα. Λύνονται με δύο τρόπους: με την μέθοδο της αντικατάστασης ή με την μέθοδο των αντίθετων συντελεστών (ή μέθοδος της απαλοιφής). Συστήνεται η μέθοδος των αντίθετων συντελεστών, διότι -στις περισσότερες περιπτώσεις- είναι γρηγορότερη και «οικονομικότερη» της μεθόδου της αντικατάστασης. Βέβαια, αυτό ελέγχεται στην άσκηση (μπορεί η μορφή του συστήματος να 'ναι τέτοια, που η μέθοδος της αντικατάστασης να δώσει γρηγορότερα την λύση). β) Μη γραμμικά συστήματα. Σε πολλές περιπτώσεις, μπορούμε να λύσουμε ως προς έναν άγνωστο μία από τις δύο εξισώσεις του συστήματος και να τον αντικαταστήσουμε στην άλλη. Αυτή είναι η πρώτη και συνηθέστερη σκέψη. Γενικά όμως, τα μη γραμμικά συστήματα είναι πιο «μπελαλίδικα» και απαιτούν περισσότερη προσοχή και δουλειά. Κάποιες φορές, με κατάλληλη αντικατάσταση, μπορούν ν' αναχθούν σε γραμμικά συστήματα

4 12.""Πώς"θα"λύσω"μια"εκθετική"εξίσωση; Εκθετική χαρακτηρίζεται μια εξίσωση, όταν ο άγνωστος είναι στον εκθέτη μιας δύναμης. Οι εκθετικές εξισώσεις στηρίζονται στην απλή αρχή που προκύπτει από την σχέση: e x = e y x = y. Οι εκθετικές εξισώσεις που συναντώνται συχνότερα είναι της μορφής e x = α, α > 0, η λύση των οποίων είναι x = lnα. Γενικότερα, οι εξισώσεις είναι της μορφής e f (x ) = α, α > 0, η λύση των οποίων είναι f (x) = lnα (f (x) συμβολίζει οποιαδήποτε παράσταση του x). Στην περίπτωση που είναι α = 0 ή α < 0, τότε η εξίσωση είναι αδύνατη (διότι είναι e x > 0, για κάθε x! ). Παράδειγμα 1. e x = 1 x = ln1 x = 0. Παράδειγμα 2. e x = 2 x = ln2. Παράδειγμα 3. e x = 1 2 x = ln 1 2 x = ln1 ln2 x = ln2. Παράδειγμα 4. e x = 0, αδύνατη, διότι είναι e x > 0, για κάθε x!. Παράδειγμα 5. e x = 1, αδύνατη, διότι είναι e x > 0, για κάθε x!. Παράδειγμα 6. e x = 1 2 x = ln 2 x = ln2 2 x = 1 2 ln2. Παράδειγμα 7. e 2x = 1 2x = ln1 2x = 0 x = 0. Παράδειγμα 8. e x 2 = 2 x 2 = ln2 x = ln2 ή x = ln2. Βέβαια, αυτό δεν είναι το μόνο είδος εκθετικών εξισώσεων. Υπάρχουν κι εκείνες, τις οποίες λύνουμε με την βοήθεια αντικατάστασης. Να λύσετε την εξίσωση e 2x 5e x + 6 = 0. Παράδειγµα Λύση Θέτω e x = y > 0 και έχω την εξίσωση y 2 5y + 6 = 0, απ' όπου εύκολα προκύπτει ότι είναι y = 2 ή y = 3, οπότε: για y = 2 έχω e x = 2 x = ln2. για y = 3 έχω e x = 3 x = ln

5 13.""Πώς"θα"λύσω"μια"εκθετική"ανίσωση; Το σκεπτικό είναι ίδιο μ' αυτό της επίλυσης εκθετικών εξισώσεων. Το μόνο που αλλάζει είναι ότι, αντί για το σύμβολο " " χρησιμοποιείται το σύμβολο "<" (ή οποιοδήποτε άλλο υπάρχει στην ανίσωση). Παράδειγμα 1. e x < 1 x < ln1 x < 0. Παράδειγμα 2. e x > 2 x > ln2. Παράδειγμα 3. e x 1 2 x ln 1 2 x ln1 ln2 x ln2. Παράδειγμα 4. e x < 0, αδύνατη, διότι είναι e x > 0, για κάθε x!. Παράδειγμα 5. e x < 1, αδύνατη, διότι είναι e x > 0, για κάθε x!. Παράδειγμα 6. e x < 1 2 x < ln 2 x < ln2 2 x < 1 2 ln2. Παράδειγμα 7. e 2x 1 2x ln1 2x 0 x 0. Παράδειγμα 8. e 2x 2 2x ln2 x ln2 2 x 1 2 ln2. Παράδειγμα 9. e x > 2 x!, διότι είναι e x > 0, για κάθε x!. 14.""Πώς"θα"λύσω"μια"λογαριθμική"εξίσωση; Οι λογαριθμικές εξισώσεις στηρίζονται στην απλή αρχή που προκύπτει από την σχέση lnx = lny x = y. Πριν γίνει οποιαδήποτε κίνηση επίλυσης της εξίσωσης, πρέπει να τεθεί ο περιορισμός x > 0 (αν έχεις έναν μόνο λογάριθμο στην εξίσωση, αλλιώς τίθεται περιορισμός στα περιεχόμενα όσων λογάριθμων υπάρχουν). Οι λογαριθμικές εξισώσεις που συναντώνται συχνότερα είναι της μορφής lnx = α, όπου α!, η λύση των οποίων είναι x = e α. Γενικότερα, οι εξισώσεις είναι της μορφής lnf (x) = α, α ", f (x) > 0, η λύση των οποίων είναιf (x) = e α (f (x) συμβολίζει οποιαδήποτε παράσταση του x). Παράδειγμα 1. Για την εξίσωση lnx = 0 πρέπει να είναι x > 0 και έχω lnx = 0 x = e 0 x = 1. Παράδειγμα 2. Για την εξίσωση lnx = 1 πρέπει να είναι x > 0 και έχω lnx = 1 x = e 1 x = e

6 Παράδειγμα 3. Για την εξίσωση lnx = 3 πρέπει να είναι x > 0 και έχω lnx = 3 x = e 3. Παράδειγμα 4. Για την εξίσωση lnx = 2 πρέπει να είναι x > 0 και έχω lnx = 2 x = e 2 x = 1 e 2. Παράδειγμα 5. Για την εξίσωση lnx = 3 4 πρέπει να είναι x > 0 και έχω lnx = 3 4 x = e 3 4 x = e x = 1. 4 e 3 Παράδειγμα 6. Για την εξίσωση 2lnx = 5 πρέπει να είναι x > 0 και έχω 2lnx = 5 lnx = 5 2 x = e 5 2 x = e 5 x = e 4 e x = e 2 e. Παράδειγμα 7. Για την εξίσωση 2ln(x +1) = 1 πρέπει να είναι x +1 > 0 x > 1 και έχω 2ln(x +1) = 1 ln(x +1) = 1 2 x +1 = e 1 2 x +1 = e x = e 1. Πρέπει να ελέγξω αν η λύση ικανοποιεί τον περιορισμό, δηλαδή αν e 1 > 1. Είναι e 1 > 1 e > 0, που ισχύει, δηλαδή η λύση x = e 1 είναι δεκτή. 15.""Πώς"θα"λύσω"μια"λογαριθμική"ανίσωση; Το σκεπτικό είναι το ίδιο μ' αυτό της επίλυσης λογαριθμικών εξισώσε-ων. Το μόνο που αλλάζει είναι ότι, αντί για το σύμβολο " " χρησιμοποιείται το σύμβολο "<" (ή οποιοδήποτε άλλο υπάρχει στην ανίσωση). Να προσεχθεί το θέμα του περιορισμού περισσότερο εδώ, διότι στο τέλος είναι πολύ πιθανό να χρειαστεί να γίνει συναλήθευση της λύσης που βρέθηκε με τον περιορισμό που τέθηκε στην αρχή. Παράδειγμα 1. Για την ανίσωση lnx < 0 πρέπει να είναι x > 0 και έχω lnx < 0 x <e 0 x < 1. Λαμβάνοντας υπ' όψη, όμως, και τον περιορισμό, τελικά έχω ότι 0 < x < 1 x (0,1). Παράδειγμα 2. Για την ανίσωση lnx 1 πρέπει να είναι x > 0 και έχω lnx 1 x e 1 x e. Ο αρχικός περιορισμός καλύπτεται από την λύση σ' αυτήν την περίπτωση. Παράδειγμα 3. Για την ανίσωση lnx > 2 πρέπει να είναι x > 0 και έχω lnx > 2 x >e 2 x > 1 e

7 Ο αρχικός περιορισμός καλύπτεται από την λύση σ' αυτήν την περίπτωση. Παράδειγμα 4. Για την ανίσωση 2lnx < 5 πρέπει να είναι x > 0 και έχω 2lnx < 5 lnx < 5 2 x <e 5 2 x < e 5 x < e 4 e x <e 2 e. Λόγω, όμως, του αρχικού περιορισμού, τελικά έχω ότι 0 < x <e 2 e x (0, e 2 e). Παράδειγμα 5. Για την ανίσωση ln(x 1) > 3 πρέπει να είναι x 1 > 0 x > 1 και έχω ln(x 1) > 3 x 1 >e 3 x 1 > 1 e 3 x > e 3. (Η λύση ικανοποιεί τον περιορισμό)