Αν α θετικός πραγματικός αριθμός, σε κάθε x αντιστοιχεί η

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Αν α θετικός πραγματικός αριθμός, σε κάθε x αντιστοιχεί η"

Transcript

1 Εκθετική συνάρτηση Αν α θετικός πραγματικός αριθμός, σε κάθε αντιστοιχεί η δύναμη α. Έτσι ορίζεται η συνάρτηση : f : με f α, 0 α η οποία ονομάζεται εκθετική συνάρτηση με βάση α. Αν α, τότε έχουμε τη σταθερή συνάρτηση f. Ας θεωρήσουμε τη συνάρτηση : f. Για να κάνουμε τη γραφική παράσταση, θεωρούμε τον πίνακα : 0 f και έχουμε : - 5 -

2 Για τη συνάρτηση αυτή και για κάθε συνάρτηση της γενικής μορφής : f α, με α έχουμε : Πεδίο ορισμού το Σύνολο τιμών το διάστημα 0, των θετικών πραγματικών αριθμών. Γνησίως αύξουσα, διότι για κάθε,, επειδή α ισχύει : αν α α Τέμνει τον άξονα yy στο σημείο A 0, και έχει ασύμπτωτη τον αρνητικό ημιάξονα. Θεωρούμε τη συνάρτηση : f και προκειμένου να κάνουμε τη γραφική της παράσταση, θεωρούμε τον πίνακα : 0 f και έχουμε : - 6 -

3 Για τη συνάρτηση αυτή και για κάθε συνάρτηση της μορφής : f α με 0 α έχουμε : Πεδίο ορισμού το Σύνολο τιμών το διάστημα 0, των θετικών πραγματικών αριθμών. Γνησίως φθίνουσα, διότι για κάθε,, επειδή 0 α ισχύει : αν α α Τέμνει τον άξονα yy στο σημείο A 0, και έχει ασύμπτωτη τον θετικό ημιάξονα. Παρατηρήσεις :. Επειδή η εκθετική συνάρτηση : f α με 0 α είναι γνησίως μονότονη, ισχύει : αν α α. Επομένως με την επαγωγή σε άτοπο, μπορούμε να έχουμε : αν α α. Με την βοήθεια της συνεπαγωγής αυτής, μπορούμε να λύνουμε εκθετικές εξισώσεις, δηλαδή εξισώσεις που έχουν τον άγνωστο στον εκθέτη.. Για τις συναρτήσεις : παρατηρούμε ότι ισχύει : f α, g, 0 α α g α f, α Επομένως οι γραφικές παραστάσεις τους, είναι συμμετρικές ως προς τον άξονα yy. α - 7 -

4 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Να λύσετε τις εξισώσεις : i) 8 ii) 8 iii) 4 iv) i) ii) iii) 5 iv) Να λυθούν οι εξισώσεις : i) 9 ii) e e 8 4 iii) iv) 5 i)

5 ii) e 4 iii) e e e iv) ή.. Να λυθεί η εξίσωση : Θέτω y και η εξίσωση γίνεται : y y y 4y 54 7y 6 y οπότε 4. Να λυθεί η εξίσωση : Θέτω y και η εξίσωση γίνεται : y y 4 0 που έχει ρίζες y και y 4. 0 Για y έχω : 0 Για y 4 έχω : 4 αδύνατη γιατί

6 5. Να λυθεί η εξίσωση : () Η () ορίζεται όταν είναι φυσικός μεγαλύτερος του. Έτσι Θέτω Αν y Αν y 9 y άρα έχω : y 0y 0 y ή τότε y. 9 9 τότε Απορρίπτεται 6. Να λυθεί το σύστημα : y 4 y 9. y y 0 y 0 () 9 y y y () Αφαιρώντας από τη () την () προκύπτει : y στην () έχουμε. και αντικαθιστώντας 7. Να λύσετε τις εξισώσεις : i) ii) 5 4 iii) iv) v) 4 0 i) Θέτουμε t, οπότε η επιλύουσα της () είναι η : Η διακρίνουσα του τριωνύμου της σχέσης () είναι : και επομένως οι ρίζες είναι : t 5t 4 0 () t

7 Αν Αν t t 0 0 ii) iii) () t, οπότε η επιλύουσα της () είναι η : t 8t 9 0 (). Θέτουμε Η διακρίνουσα του τριωνύμου της σχέσης () είναι : t t 9 9 t και επομένως οι ρίζες είναι : Αν Αν 4 4 iv) v)

8 8. Να λύσετε τις εξισώσεις ημ i) ii) iii) i) ημ ημ συν 5 ημ 4 ημ ημ συν 9 ημ ημ ημ π ημ ημ ημ 6 π ημ ημ 6. Άρα ii) iii) κπ π π κπ 6 κπ 7π 7π κπ 6 ημ ημ 4ημ ημ συν ημ συν ημ συν 9 ημ συν 4ημ ημ συν ημ ημ συν συν συν ημ συν συν 0 συν ημ 0 συν 0 κπ ημ (αδύνατη) ημ ημ ημ ημ συν 5 ημ ημ ημ συν 5 ημ ημ συν ημ ημ συν ημ ημ ημ συν ημ ημ ημ ημ ημ 0 ημ συν ημ συν ημ συν συν 0 συν συν π Από την σχέση () παίρνουμε: κπ ημ 0 κπ κπ, κ Από την σχέση () παίρνουμε : συν συν κπ 4κπ. 4κπ 4κπ 4κπ 4 4κπ - 4 -

9 9. Να λυθεί η εξίσωση : Θέτω Άρα 6 y y έχουμε : y y 56 y 56 y ή 4 0. i) Να βρείτε το α 5 ώστε η αύξουσα. ii) Να βρείτε το α, α φθίνουσα. 0 ώστε η f α α 5 5 να είναι γνησίως g α να είναι γνησίως i) Για να είναι η f γνησίως αύξουσα θα πρέπει: α α α α 5 α α 5 α 5 α 5 α 5 0 α 6 α 5 0 α α 5 0 α α 5 0 α,5. ii) Για να είναι η g γνησίως φθίνουσα θα πρέπει: 5 α α α 5 0 α,0 5, 5 α α 0 α α 0 α 0 α α Επομένως πρέπει α 5.. Δίνεται η συνάρτηση με τύπο f k. i) Για ποιες τιμές του k ορίζεται η f ; ii) Να εξετάσετε αν υπάρχουν τιμές k για τις οποίες η f είναι γνησίως αύξουσα. iii) Να βρείτε το k ώστε η γραφική παράσταση της f να περνάει από το σημείο,. iv) Να βρείτε τις τιμές του k ώστε η γραφική παράσταση της f να περνάει από το σημείο,

10 i) Πρέπει: k 0 k k k, () ii) Για να είναι η f γνησίως αύξουσα πρέπει: k k 0 k 0 () Η () όμως είναι αδύνατη στο, άρα δεν υπάρχουν τιμές του k, για τις οποίες η f να είναι γνησίως αύξουσα. iii) Πρέπει να ισχύει: f k k k iv) Πρέπει να ισχύει: f k k k k 0 k 0 k αδύνατη. Να λύσετε τις ανισώσεις : i) 9 ii) 8 0 iii) e 0 i) 9 ii) iii) (γιατί >). 8 0 (γιατί >). ή 0 e e e e 0 0 (γιατί e ).. Να λύσετε την ανίσωση Θέτω 5 y Άρα η ανίσωση γίνεται y 6y 5 0. Είναι y 6y 5 0 y ή y _

11 Άρα 0 y (γιατί 5>). 4. Να λύσετε τα συστήματα. i) 9 y 4 8 y ii) 5 6 y 8 iii) y 4 y 9 iv) y y 5 6 i) y y y 9 y 4 8 y y y y y 4 y 5 5 y y y y ii) ή y 8 y y 8 y 8 y 6 y 5 iii) y y 0 y 0 4 y 0 9 y y y y y y y y y y y 5 iv) 5 4 y y α,5 β y α β 4 α β α α α β 4 β 6 α 0 α 0α

12 α β 4 α β 4 β y α,5 β y 5 αδύνατη α α y α ή α 9 α,5 β y y α β y α Αν η ημιζωή ενός ραδιενεργού υλικού είναι 0 χρόνια και η αρχική ποσότητα είναι 0 γραμμάρια : i) να βρείτε τη συνάρτηση που εκφράζει την εκθετική απόσβεση αυτού ii) να υπολογίσετε την ποσότητα που έχει απομείνει μετά από 0 χρόνια 5 iii) να βρείτε μετά από πόσα χρόνια θα έχουν απομείνει 56 γραμμάρια του ραδιενεργού υλικού. i) Επειδή η ποσότητα Q του ραδιενεργού υλικού ακολουθεί τον νόμο της ct εκθετικής απόσβεσης έχουμε: Q t Q e ct Επειδή Q0 0 γραμμάρια είναι Q t 0 e Αφού η ημιζωή είναι t 0 0 χρόνια έχουμε: Q 0c c c Q t 0 0 Q 0 0 e 0 e e 0 c c 0 e e Άρα t ct c t 0 0 Q t 0 e 0 e ii) Η ποσότητα που θα έχει απομείνει μετά από 0 χρόνια είναι: 0 0 Q 0 0 e 0 5 γραμμάρια iii) Έστω ότι μετά από t χρόνια θα έχουν απομείνει Είναι t t Q t t γραμμάρια. χρόνια

13 .Ισχύει ότι: i) ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΤΥΠΟΥ ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ ii) 5 για κάθε Σ Λ iii) για κάθε Σ Λ iv) αν χ ακέραιος Σ Λ v) αν χ ακέραιος Σ Λ.Ισχύει ότι: i) αν χ= Σ Λ ii) αν χ=0 Σ Λ iii) αν χ= Σ Λ.Ισχύει ότι: i) 0,8 0,8 ii),5,5 iii) y e e y αν <y Σ Λ y αν <y Σ Λ αν >y Σ Λ 4.Δίνεται η f( ) 5 i) H f έχει πεδίο ορισμού το R Σ Λ ii)h f έχει σύνολο τιμών το R Σ Λ iii)h f είναι γνησίως αύξουσα στο R Σ Λ iv) Ισχύει ότι f()>f(/5) Σ Λ v) Ισχύει ότι f( ) f( ) Σ Λ Σ Λ

14 ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Αν f()= a a είναι γνησίως αύξουσα, Q, να βρεθεί το α ώστε η συνάρτηση f()να. Να λυθούν οι εξισώσεις: α) + =8 δ) =5 η) e + = 5 β) γ) 4 = 6 8 ε) 9 = ζ) 8 - =4 -χ ι) e κ) 6 χ- = 4 θ) 5 -χ+ = λ) = Να λύσετε τις εξισώσεις : i) 49 7 ii) 4 iii) 4 8 v) iv) 9 7 vi) Να λυθούν οι εξισώσεις: α) 4-5 =4 γ) 5 5-4= 5 β) =0 δ) e + e = 0 5. Να λύσετε τις εξισώσεις : i) 8 6 ii) 9 6 iii)

15 6. Να λυθούν οι εξισώσεις: α) 4 = 8 8 β) =0 γ) 5 = +4 δ) + - = Να λυθούν οι εξισώσεις: α) 5 - =0-5 + β) + 5 =00 γ) =9 δ) = Να λυθούν οι εξισώσεις: α) = β) 5 - -= 5 γ) = δ) + =9 χ- ε) = ζ) = η) = Να λυθούν οι εξισώσεις. α) =0 β) γ) 4 - = - = δ) =0 0. Να λυθούν οι εξισώσεις : α) =4094 β) =6 8 γ) 4. + =7. Να λυθούν οι εξισώσεις : α) 5 ημχ-ημχ = β) ημχ +8 -ημχ =6 γ) 4 ημ χ +4 συνχ =5 δ) ημχ +7 -ημχ = ε) e συνχ + e -συνχ =

16 . Να λυθούν οι ανισώσεις: α) 7-5 < ε) > β) < ζ) > 5 - γ) 5+ > 7 η) 7 5 >5 +6 δ) 7 > θ) >0. Να λύσετε τις ανισώσεις : i) e e 0 ii) iii) 4. Να λύσετε την ανίσωση : Να λύσετε την ανίσωση : ημ συν Να λυθούν τα συστήματα : α) +5 y =4 β) - y =7 9 5 y = y =75 γ) 4 y- = δ) y =54 + y-4 =7 y =4 ε) - y+ =5 ζ) 4 - y- =8 y - - = - y-4 = 7. Nα λυθούν τα συστήματα: α) 4 8 y =56 β) 5 4 y+ = y = =69 γ) =8 y+ δ) 5 5 4y =5 8 9 y = -9 7 y 5 5 =

17 8. Δίνεται η συνάρτηση f()=e. Δείξτε ότι για κάθε, R με ισχύει f( )+f( )>f. 9. Αν η ημιζωή ενός ραδιενεργού υλικού είναι 8 χρόνια, δείξτε ότι η t συνάρτηση που εκφράζει την εκθετική απόσβεση είναι:q(t)=q 0 8. ln Π.0. Δίνεται η f ln i) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της ii) Να λυθεί η εξίσωση f Π.. Δίνεται η συνάρτηση : συν 4ημ f α α 4α i) Για ποιες τιμές του α η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα ii) Να λυθεί η εξίσωση f αν 0 α α 4α - 5 -

18 ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΣ Γενικά η λύση της εξίσωσης : α θ () όπου α 0 με α και θ 0 είναι μοναδική, αφού η εκθετική συνάρτηση f α είναι γνησίως μονότονη και το θ ανήκει στο σύνολο τιμών της. Την μοναδική λύση της (), ονομάζουμε λογάριθμο του θ ως προς βάση α και τη συμβολίζουμε : log θ α Δηλαδή όταν είναι α 0 με α και θ 0, ισχύει η ισοδυναμία : α θ logα θ Σύμφωνα με τα παραπάνω, μπορούμε να διατυπώσουμε ότι : Ο λογάριθμος με βάση α του θ logα θ, είναι ο εκθέτης στον οποίο πρέπει να υψώσουμε το α, για να πάρουμε το θ. Χαρακτηριστικά είναι τα παραδείγματα : log9 διότι 9 6 log 4 διότι log0 0,000 4 διότι 0 0,000 log 9 4 διότι 4 9 Σύμφωνα με τον ορισμό που δώσαμε, αν α 0 με α για κάθε και για κάθε θ 0, έχουμε: και logα θ logα α α 0 Ακόμη επειδή α και α α, ισχύουν : θ Μη ξεχνάτε: α θ - 5 -

19 logα 0 α και log α Ιδιότητες των λογαρίθμων. Για α 0 με α, για οποιουσδήποτε θ,θ,θ 0 και για κάθε k, ισχύουν:. logα θ θ logα θ logα θ Απόδειξη: Έστω ότι είναι : logαθ και logαθ y () από τις οποίες προκύπτουν : y α θ και α θ Πολλαπλασιάζοντας αυτές κατά μέλη, έχουμε: α α θ θ α θ θ y y Από την παραπάνω σχέση, σύμφωνα με τον ορισμό του λογαρίθμου, έχουμε : logα θ θ y από την οποία λόγω των ισοτήτων (), προκύπτει: logα θ θ logα θ logα θ. θ log log θ log θ α α θ Η απόδειξη γίνεται όπως και στην προηγούμενη ιδιότητα, με συνέπεια να έχουμε: θ log log θ log θ α α θ - 5 -

20 k. logαθ Απόδειξη: k log θ α Έστω ότι : Αυτό σημαίνει: Σύμφωνα με τον ορισμό, έχουμε: logα θ () k k α θ α θ log θ με συνέπεια από την (), να προκύπτει: α k k log θ α k k log θ α Δεκαδικοί λογάριθμοι. Όταν η βάση του λογαρίθμου ενός θετικού αριθμού θ είναι το 0, τότε λέμε ότι έχουμε τον δεκαδικό λογάριθμο του θ ή απλά τον λογάριθμο του θ και συμβολίζουμε: logθ Φυσικά ισχύει η ισοδυναμία: logθ 0 θ Χαρακτηριστικά είναι τα παραδείγματα: log000 διότι log0,000 4 διότι 0 0,000 Φυσικοί λογάριθμοι Είναι γνωστός ο αριθμός e και η χρησιμότητα του στην περιγραφή διαφόρων φαινομένων. Εξίσου χρήσιμοι είναι και οι λογάριθμοι με βάση τον e, που ονομάζονται φυσικοί ή νεπέριοι λογάριθμοι και για κάθε θετικό αριθμό θ, συμβολίζονται ln θ. Δηλαδή έχουμε: ln θ e θ

21 Λογαριθμική συνάρτηση Θεωρούμε τον α 0, α. Γνωρίζουμε ότι για κάθε 0, ορίζεται ο αριθμός με τύπο: logα. Αυτό σημαίνει ότι σε κάθε 0, αντιστοιχίζεται ο logα, επομένως έχουμε τη συνάρτηση : f : 0, f log α Η συνάρτηση αυτή ονομάζεται λογαριθμική συνάρτηση με βάση το α. Επειδή ισχύει η ισοδυναμία : y logα y α () Αν είναι α για τη συνάρτηση y logα έχουμε να παρατηρήσουμε ότι: Έχει πεδίο ορισμού το διάστημα : A 0, Έχει σύνολο τιμών το σύνολο των πραγματικών αριθμών. Έχει γραφική παράσταση που τέμνει τον άξονα στο σημείο A,0 και έχει ασύμπτωτο τον αρνητικό ημιάξονα του yy. Είναι γνησίως αύξουσα, δηλαδή ισχύει: αν τότε ισχύει logα log α Όπως εμφανίζεται και στο σχήμα που ακολουθεί, είναι logα 0 αν 0 και log 0 αν α

22 Αν είναι 0 α τότε για τη συνάρτηση y logα, έχουμε να παρατηρήσουμε ότι: Έχει πεδίο ορισμού το διάστημα : A 0, Έχει σύνολο τιμών το σύνολο των πραγματικών αριθμών. Έχει γραφική της παράσταση τέμνει τον άξονα στο σημείο A,0 και έχει ασύμπτωτη τον θετικό ημιάξονα του yy. Είναι γνησίως φθίνουσα, δηλαδή ισχύει: αν, τότε είναι log log. α α Όπως εμφανίζεται και στο σχήμα, έχουμε: logα 0 αν 0 και logα 0 αν Επειδή η λογαριθμική συνάρτηση είναι γνησίως μονότονη, ισχύει:, τότε είναι και logα logα αν Από την συνεπαγωγή αυτή με την απαγωγή σε άτοπο, καταλήγουμε στην ισοδυναμία: y log log y α α

23 ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Να αποδείξετε ότι : i) log4 log0 log ii) ln 4 ln 7 ln 6 ln i) 80 log 4 log 0 log log 4 0 log log80 log8 log log0 8 ii) ln 4 ln 7 ln 6 ln 4 ln 7 ln 6 ln 4 ln 7 ln 6 6 ln ln ln 6 ln ln ln 6 ln ln 9 ln 6 8 ln 9 ln 6 ln8 ln 6 ln ln 6. Έστω η συνάρτηση 5 f ln 5. i) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f. ii) Να δείξετε ότι η f είναι περιττή. i) Πρέπει Άρα A 5,5 ii) Για κάθε A είναι α) A β) f ln ln ln ln f Άρα η f είναι περιττή

24 . Να λύσετε τις εξισώσεις : i) log log ii) log log iii) log log log 4 log iv) ln ln i) Πρέπει: 0 0, (). Η δοσμένη σχέση γράφεται : log: log log 0 0 (δεκτή). ii) Πρέπει: 0, 0 γράφεται : log log log log0 log log: (). Η δοσμένη σχέση log log iii) Πρέπει: (δεκτή) , Η δοσμένη σχέση γράφεται : 4, 4 log log log 4 log log log 4 0 Οι ρίζες της () είναι : (δεκτή) ή () (δεκτή). ()

25 iv) Πρέπει να είναι: 0 0, και η δοσμένη γράφεται: ln 0 (απορρίπτεται) ln ln ln ln ln 4 4 (δεκτή) 4. Να λύσετε τις εξισώσεις : i) log0 log5 log 4 ii) iii) log 9 i) Πρέπει: log 4 4 log log log 4 log log 4 log log 4 log log 4 Η δοσμένη εξίσωση γράφεται: α 0 0 log0 log 5 log 4 log log 4 log log α α * α 4 άρα 4 (δεκτή) 7 6 α άρα (άτοπο) (*) Είναι : log 46 log 4 log 4 ii) Πρέπει: 0 log log log log log log () log Η δοσμένη εξίσωση γράφεται : log

26 log 4 4 log log 4 4 log log log 4 4 log α α α * α 4 άρα 4 (δεκτή) 5 α άρα (άτοπο) (*) Είναι : log6 log log 5. Δίνονται οι συναρτήσεις : f ln e e και g ln ln e i) Να βρείτε τα πεδία ορισμού τους ii) Να λύσετε την εξίσωση: f iii) Να λύσετε την ανίσωση : f g g (ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 00) i) Η συνάρτηση f ln e e ορίζεται για τους πραγματικούς αριθμούς για τους οποίους ισχύει: e e 0 e e 0 Θέτοντας e y 0, η προηγούμενη ανίσωση γράφεται : y y 0 () Παρατηρούμε ότι η διακρίνουσα του τριωνύμου είναι : Επομένως η () ισχύει και κάθε y. Άρα και η ανίσωση : ισχύει για κάθε συνάρτησης f είναι : e e 0. Αυτό σημαίνει ότι το πεδίο ορισμού της A

27 Η συνάρτηση g ln ln e ορίζεται για τους πραγματικούς αριθμούς για τους οποίους ισχύει : 0 e 0 e e e Δεδομένου ότι η συνάρτηση e είναι γνησίως αύξουσα, προκύπτει: 0 Άρα το πεδίο ορισμού της συνάρτησης g, είναι : A 0, ii) Από τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων f,g προκύπτει ότι οι ρίζες της εξίσωσης : f g () πρέπει να περιέχονται στο A 0,, αφού πρέπει να έχουν νόημα και οι δύο συναρτήσεις. Παρατηρούμε ότι ισχύουν οι ισοδυναμίες : f g ln e e ln ln e ln e e ln e e e e e 5e 6 0 e 5e 6 0 Θέτοντας e ω 0, προκειμένου να λύσουμε την προηγούμενη, αρκεί να λύσουμε την εξίσωση : ω 5ω 6 0 της οποίας οι ρίζες είναι : ω ή ω Επομένως οι ρίζες της (), είναι : Για Για ω e ln ω e ln iii) Παρατηρούμε ότι για κάθε 0 ισχύουν οι ισοδυναμίες: f g ln e e ln e ln e e ln e e e e Η e είναι γνησίως αύξουσα

28 e e 9e 9 8e 4 8e 6e 6 0 e e 0 Θέτοντας e ω 0, έχουμε την ανίσωση : ω ω 0 4 () Η διακρίνουσα του τριωνύμου ω ω 4 είναι : Επομένως έχει τις ρίζες: ω, ω ω Άρα οι λύσεις της (), είναι : ω Συνεπώς οι τιμές του που ικανοποιούν την ανίσωση f g είναι : e ln ln ln ln Η συνάρτηση ln είναι γνησίως αύξουσα Επειδή πρέπει 0, συνεπάγεται ότι οι λύσεις της ανίσωσης : f g είναι : 0 ln 6. Να λυθεί η ανίσωση: log log 5 (). Οι ρίζες της ανίσωσης (), πρέπει να ικανοποιούν τις συνθήκες : - 6 -

29 0 ή Για τον προσδιορισμό των λύσεων του παραπάνω συστήματος, μας βοηθά η ευθεία των πραγματικών αριθμών: - 5 Άρα οι λύσεις του παραπάνω συστήματος, επομένως και οι τιμές του που μπορούν να ικανοποιούν την (), είναι : ή 5 () Η βάση του λογάριθμου είναι 0, άρα η λογαριθμική συνάρτηση είναι αύξουσα, με συνέπεια ισοδύναμα της () να έχουμε : ή Από τις λύσεις αυτές θα κάνουμε δεκτές εκείνες που ικανοποιούν και τις συνθήκες (). Η επιλογή θα γίνει και πάλι με την βοήθεια των πραγματικών αριθμών: Επομένως οι λύσεις της ανίσωσης είναι : ή 5 log 7. i) Να υπολογίσετε τον αριθμό 00 log log log ii) Να λύσετε την εξίσωση:

30 log log log log log i) Έχουμε: ii) Πρέπει 0, οπότε η δοσμένη σχέση γράφεται: i) log log log log log log log () log Θέτουμε στην σχέση () t, οπότε η επιλύουσα της () είναι : t t 0 () Η διακρίνουσα του τριωνύμου της σχέσης () είναι : και οι ρίζες είναι : t δίοτι t 0) Έτσι είναι : log t log 0 0. (Η τιμή t απορρίπτεται 8. Να λύσετε την εξίσωση : log 00. Πρέπει 0 Θέτουμε t, οπότε η επιλύουσα της δοσμένης εξίσωσης είναι : log t log00 t 00t log t 00t log t log t 00 log t t log t log t log t log t log t log t log t 0 () Θέτουμε log t ω, οπότε η επιλύουσα της () είναι η : ω ω 0 () Το τριώνυμο της σχέσης () έχει διακρίνουσα : και ρίζες: ω 4, οπότε έχουμε τις λύσεις :

31 Αν ω log t t (δεκτή) 9 Αν ω log t t 0 t (δεκτή) 0. Να βρείτε τον θετικό αριθμό ώστε να ισχύει: 5 ν log log log... log ν 5 ν Είναι : log log log... log ν 5 ν 5 ν ν log ν ν ν ν ν Σημείωση Υπολογισμός του αθροίσματος : 5... ν () Αν ο όρος ν κατέχει την κ τάξη, τότε: α α κ ω ν κ ν κ ν κ ν κ κ Δηλαδή το πλήθος των όρων στο άθροισμα () είναι ν. ν Άρα : 5... ν ν ν ν ν. log y log 0. i) Να αποδείξετε ότι y με, y 0. ii) Να λύσετε το σύστημα: log y log y 0 log y iii) Αν οι λύσεις του ii) είναι ρίζες της εξίσωσης: * log log log θ 0 0 να βρείτε το θ. i) ος Τρόπος log y Έστω ότι : log y log y log log log y log y log log log y (αληθής)

32 ος Τρόπος Είναι : log log y log y log y logy logy logy log y log y y y y. ος Τρόπος Έστω ότι : t log t 0 () Τότε: α log y α 0 y () () log y t α αt 0 0 () log α t αt y 0 0 log y y log ii) Πρέπει 0 και y 0 log y log log y log y i) log y y () log y log y log0 y 0 Η σχέση () γράφεται : y 00 () () log 00 log y log00 log log log log log0 log log log log log 0 log 0 log 0 Η σχέση () για 0 δίνει : y 0. Άρα, y 0,0. iii) Για 0 η δοσμένη εξίσωση γράφεται: log log 00 0 log θ 0 0 log log 00 0 log θ 0 log log 00 0 log θ 0 log 00 0 log θ 0 log log θ log θ 0 log θ θ 0 θ

33 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΤΥΠΟΥ ΣΩΣΤΟ - ΛΑΘΟΣ.Αν 0 a και θ>0 ισχύει η ισοδυναμία log a a Σ Λ. Αν 0 a ισχύει ότι:log a Σ Λ a a a log a. Αν 0 a ισχύει ότι: Σ Λ 4. Αν 0 a ισχύει ότι: log a Σ Λ 5.Αν 0 a ισχύει ότι: log a Σ Λ 6.Ισχύει ότι i) log ln e για κάθε χ>0 Σ Λ ii) log ln e για κάθε χ>0 Σ Λ iii) log0 Σ Λ iv) log e Σ Λ 0 v) log log e e Σ Λ 7.Αν <y τότε log<logy Σ Λ 8.Αν <y τότε ln>lny Σ Λ 9.Αν <y τότε log log y Σ Λ 0.Αν <y τότε log log y Σ Λ

34 ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Δείξτε ότι: α) log +log-log=log β) log 6+ log8 + 4 log 8=log+log. Δείξτε ότι: log+log( +)+log(+ )+log(- )=log. Δείξτε ότι: α) log00=log+log5 β) log 5 log 7 log log5 log 8 4. Δείξτε ότι οι αριθμοί α, a,β με α,β>0 είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου όταν και μόνο όταν οι αριθμοί logα, log a,logβ είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου. 5. Να προσδιορίσετε την εκθετική συνάρτηση f()=α και την λογαριθμική συνάρτηση g()=log α χ, των οποίων οι γραφικές παραστάσεις περνούν από το σημείο α) (,9) β) (-4, ) γ)(,-) δ) (-5,-6) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων : α) f ln β) f log γ) δ) f ln 8 ε) f ln e στ) f ln 5 e f ln e

35 7. Να λυθούν οι εξισώσεις: α) log( -)=log(+5) β) log( +)-log(+)=log γ) log(-)+log(-)=log δ) log-log4=log(+)- 8. Να λυθούν οι εξισώσεις: α) log(+4)=-log β) log( +6)-log=log5 γ) log(-)=log-log δ) log9+log=log+log ε) ln+ln(+5)=ln50 9. Να λυθούν οι εξισώσεις: α) log(+)=-log 5 β) log(+)+log =+log 0. Να λύσετε τις εξισώσεις : α) ln ln β) ln ln ln 4 γ) log log δ) log 9 log ε) log log log. Να λύσετε τις εξισώσεις : α) log 0 β) log log 0 γ) 4ln 0 δ) log 5log 0. Nα συγκριθούν οι αριθμοί: α) log(-4) και log(-) β) log(+ ) και log.. Να λυθούν οι εξισώσεις: α) log + 5-log = β) log + 4 log =5 γ) log- = 00 δ) +log =0 ε) log- =

36 4. Να λύσετε τις εξισώσεις : α) ln ln ln 4 e 0 β) γ) ημ ημ ημ συν ημ ln ln ln ln δ) Να λυθούν οι ανισώσεις : α) log+ <0 5 β) log[log( -4-)] 0 γ) log[log( -)]>0 δ) log Να λύσετε τις ανισώσεις : α) log log β) ln ln γ) ln 5ln 6 0 δ) ln ln 7. Να λυθούν τα συστήματα: α) log-logy=log β) log+logy= log(-y)= 9 -y y =8 γ) logy =00 δ) log +5 logy =4 y=000 9 log -5 logy =56 8. Να λυθούν τα συστήματα: α) log-logy=log β) log+logy= log(+y)= log -logy 4 = γ) +y=65 δ) log(y)= log+logy= log-logy= ε) log + logy = ζ) log - logy = 9 log -4 logy =77 4 log +9 logy =5-70 -

37 9. Να λυθούν τα συστήματα: log y 000 α) log log y 4 β) y y log log y 0. Nα λυθεί η εξίσωση: log[log(0 - +)+]=log+log. α) Αν,y>0,δείξτε ότι logy =y log β) Να λυθεί το σύστημα: logy +y log =0 log y =. Να λυθεί η εξίσωση: log log8 log78 log log Π.. i) Να αποδείξετε ότι: 00 log ii) Να λύσετε την εξίσωση: log log 00 0 Π.4 Δίνονται οι συναρτήσεις f ln e και g ln 5e. i) Να βρείτε το πεδίο ορισμού των f και g ii) Να λύσετε την εξίσωση f g Π.5. Α. Να λυθούν οι ανισώσεις i) ln ln 0 ln ln 0 ii) Β. Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της f ln ln ln ln Π.6. Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο f log 4 log i) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της f ii) Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της δεν τέμνει τον άξονα ψψ iii) Να λύσετε την εξίσωση f 0-7 -

38 Π.7. Α. Δίνονται οι συναρτήσεις: f ln e e και g ln ln e. Β. Να λύσετε την εξίσωση f g. Π.8. Να λυθεί η εξίσωση : log log 4. ν Π.9. Δίνεται η ακολουθία αν, 0 i) Να υπολογιστεί το άθροισμα Sν ln α lnα... lnα ν ii) Να λυθεί η εξίσωση Sν ν ln Π.0. Ο τρίτος όρος μιας αριθμητικής προόδου (α ν ) είναι α η διαφορά της είναι ω log5. i) Να δείξετε ότι ο πρώτος όρος α είναι.605 με τη διαφορά ω. ii) Να υπολογίσετε το άθροισμα A α α... α 9. Π.. Δίνεται η συνάρτηση f ln ln, όπου πραγματικός log5 και αριθμός. i) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της f. ii) Να βρείτε σε ποια σημεία η συνάρτηση f τέμνει τους άξονες και yy. iii) Να λύσετε την ανίσωση f f e. Π.. Δίνεται η συνάρτηση f i) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της ii) Να λυθεί η εξίσωση f ln ln 5. iii) Αν 6 να λυθεί η ανίσωση f Π.. Δίνεται η συνάρτηση : f log 4 8. i) Να βρείτε για ποιες τιμές του ορίζεται η συνάρτηση. ii) Να λύσετε την εξίσωση: f log7 log

39 Π.4. Α. Να λυθεί το σύστημα : 8 y 9 y 9 Β. Να λυθεί η ανίσωση : log 6 log 4. Π.5. Δίνονται οι συναρτήσεις: f log και g log log Α. Να βρείτε τα πεδία ορισμού των f και g. Β. Να λύσετε την εξίσωση f g. Π.6. Αν f ln ln, να λυθεί η εξίσωση 0 f f. Π.7. Να βρείτε τις κοινές λύσεις των εξισώσεων log0 log5 log 4 και ln log e 0. 5 Π.8. Δίνεται η αριθμητική πρόοδος α ν με α ln 4 και α ln 4. i) Να βρείτε την διαφορά ω της προόδου. ii) Να αποδείξετε ότι το άθροισμα S ν των ν πρώτων όρων της, δίνεται από τον τύπο Sν ν ln. Π.9. Α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης με τύπο f log 5 6 log Β. Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης Γ. Για λ = 5, να λύσετε την ανίσωση e λ e 6 0. λ 0. Π.40. Α. Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f ln 5ln 6. Β. Να λυθεί η εξίσωση : log log log... log log

40 Π.4 Δίνεται η e f ln e 5. i) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της και να λυθεί η εξίσωση f ln. ii) Να λυθεί η ανίσωση f 0. Π.4. Έστω f ln g 5, g 5 i) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f. ii) Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τους άξονες. iii) Να λυθεί στο η εξίσωση : 6 g g 4 g 6...g 0,04. Π.4. Α. Να λυθεί η εξίσωση : log log log. Β. Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της συνάρτησης : f 4 log 4 5. Π.44. Έστω η συνάρτηση f log και η ευθεία ε : y log. Α. Να βρείτε τις πραγματικές τιμές του για τις οποίες ορίζεται η f. Β. Να βρείτε τα κοινά σημεία της γραφικής παράστασης της f και της ευθείας (ε Π.45. Έστω η f με f log 0, i) Να αποδείξετε ότι f log για κάθε. ii) Να αποδείξετε ότι f log log. iii) Να λύσετε την εξίσωση: f. Π.46. Να λύσετε την εξίσωση : 00 log Π.47. Δίνεται η συνάρτηση : f ln. Α. i) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f. ii) Να λύσετε την εξίσωση: f ln 4. Β. Να λυθεί η ανίσωση :

η οποία ονομάζεται εκθετική συνάρτηση με βάση α. Αν α 1, τότε έχουμε τη σταθερή συνάρτηση f x 1.

η οποία ονομάζεται εκθετική συνάρτηση με βάση α. Αν α 1, τότε έχουμε τη σταθερή συνάρτηση f x 1. Εκθετική συνάρτηση Αν θετικός πργμτικός ριθμός, σε κάθε ντιστοιχεί η δύνμη. Έτσι ορίζετι η συνάρτηση : f : με f, 0 η οποί ονομάζετι εκθετική συνάρτηση με βάση. Αν, τότε έχουμε τη στθερή συνάρτηση f. Ας

Διαβάστε περισσότερα

Περιορισμοί στο R. ln x,log. Β= ln Α Β Α Β Α. Σύνοψη γραφικών παραστάσεων

Περιορισμοί στο R. ln x,log. Β= ln Α Β Α Β Α. Σύνοψη γραφικών παραστάσεων στο R Πεδίο ορισμού συνάρτησης είναι η συναλήθευση των περιορισμών της συνάρτησης στο R, αν δεν έχει περιορισμούς λέμε ότι έχει πεδίο ορισμού το R. Όταν έχω πρέπει ν Α, Α Α Α Β Β ln Α, log Α Α> ln Β logα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΣΩΣΤΑ ΛΑΘΟΣ

ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΣΩΣΤΑ ΛΑΘΟΣ ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΣΩΣΤΑ ΛΑΘΟΣ 1. Στο διπλανό σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης f( ). 1 5 Να χαρακτηρίσετε ως σωστό (Σ) ή λάθος (Λ) τις παρακάτω προτάσεις.. i) Η f έχει πεδίο

Διαβάστε περισσότερα

5.3 ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

5.3 ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ 5.3 ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑ. Λογαριθµική συνάρτηση µε βάση α Όταν α > f() = log α Έχει πεδίο ορισµού το (0, + ) Έχει σύνολο τιµών το R Είναι γνησίως αύξουσα Τέµνει τον άξονα των στο σηµείο (, 0) Είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5ο: ΕΚΘΕΤΙΚΗ-ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5ο: ΕΚΘΕΤΙΚΗ-ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5ο: ΕΚΘΕΤΙΚΗ-ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ) Copyright 2015 Αποστόλου Γιώργος Αποστόλου Γεώργιος apgeorge2004@yahoo.com Αδεια χρήσης η Εκδοση, Ιωάννινα, Σεπτέµβριος 2015 Περιεχόµενα

Διαβάστε περισσότερα

( ) ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. Σηµείωση. 2. Παραδοχή α = Ιδιότητες x. αβ = α = α ( ) x. α β. α : α = α = α

( ) ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. Σηµείωση. 2. Παραδοχή α = Ιδιότητες x. αβ = α = α ( ) x. α β. α : α = α = α . ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑ. Σηµείωση Οι δυνάµεις α του κεφαλαίου έχουν βάση α > 0 και εκθέτη οποιονδήποτε πραγµατικό αριθµό.. Παραδοχή 0 α. Ιδιότητες α + α ( ) α α : α ( ) α α α αβ α β α β α β. Εκθετική

Διαβάστε περισσότερα

5.3. ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

5.3. ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ 5.3. Αντίστροφη συνάρτηση Έστω μια συνάρτηση f : A.Αν υποθέσουμε ότι αυτή είναι - τότε για κάθε στοιχείο y του συνόλου τιμών f (A) της f υπάρχει μοναδικό στοιχείο του πεδίου ορισμού της Α για το οποίο

Διαβάστε περισσότερα

5.3 ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

5.3 ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ 5.3 ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 84 85 A Οµάδας. Στο ίδιο σύστηµα αξόνων να παραστήσετε γραφικά τις συναρτήσεις f() = log και g() = log Τι παρατηρείτε; Να δικαιολογήσετε την

Διαβάστε περισσότερα

II. Συναρτήσεις. math-gr

II. Συναρτήσεις. math-gr II Συναρτήσεις Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ blogspotcom, bouboulismyschgr ΜΕΡΟΣ 1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Α Βασικές Έννοιες Ορισμός: Έστω Α ένα υποσύνολο του συνόλου των πραγματικών αριθμών R Ονομάζουμε πραγματική

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικά θέματα στα Μαθηματικά προσανατολισμού-ψηφιακό σχολείο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ

Επαναληπτικά θέματα στα Μαθηματικά προσανατολισμού-ψηφιακό σχολείο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο -ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Απο το Ψηφιακό Σχολείο του ΥΠΠΕΘ Επιμέλεια: Συντακτική Ομάδα mathpgr Συντονιστής:

Διαβάστε περισσότερα

ii) Να ποια τιμή του ώστε η εξίσωση (1) έχει μία διπλή πραγματική ρίζα; Έπειτα να βρεθεί η ρίζα αυτή. Ασκήσεις Άλγεβρας

ii) Να ποια τιμή του ώστε η εξίσωση (1) έχει μία διπλή πραγματική ρίζα; Έπειτα να βρεθεί η ρίζα αυτή. Ασκήσεις Άλγεβρας . Δίνεται η εξίσωση, (). i) Να βρεθεί ο αριθμός ώστε η εξίσωση () να έχει μία τουλάχιστον πραγματική ρίζα. ii) Να βρεθεί ο αριθμός ώστε η εξίσωση () να έχει δύο ίσες πραγματικές ρίζες. iii) Να βρεθεί ο

Διαβάστε περισσότερα

OΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

OΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ OΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Έστω Α ένα υποσύνολο του Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α ; Απάντηση : ΕΣΠ Β Έστω

Διαβάστε περισσότερα

1ο Κεφάλαιο: Συστήματα

1ο Κεφάλαιο: Συστήματα ο Κεφάλαιο: Συστήματα Γραμμικά συστήματα i. Ποια εξίσωση λέγεται γραμμική; ii. Πως μεταβάλλεται η ευθεία y, 0 ή 0 για τις διάφορες τιμές των α,β,γ; iii. Τι ονομάζεται λύση μιας γραμμικής εξίσωσης; iv.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. Αντίστροφη συνάρτηση. ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Συνάρτηση 1-1. Θεωρία Σχόλια Μέθοδοι Ασκήσεις

ΜΑΘΗΜΑ ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. Αντίστροφη συνάρτηση. ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Συνάρτηση 1-1. Θεωρία Σχόλια Μέθοδοι Ασκήσεις ΜΑΘΗΜΑ 5. ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Συνάρτηση - Αντίστροφη συνάρτηση Θεωρία Σχόλια Μέθοδοι Ασκήσεις ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός Συνάρτηση :Α R λέγεται συνάρτηση, όταν για οποιαδήποτε, Α µε ισχύει

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. Κεφάλαιο 4ο: Ερωτήσεις του τύπου Σωστό - Λάθος. 1. Στο σχήμα 23 δίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης

ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. Κεφάλαιο 4ο: Ερωτήσεις του τύπου Σωστό - Λάθος. 1. Στο σχήμα 23 δίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης Κεφάλαιο 4ο: ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Ερωτήσεις του τύπου Σωστό - Λάθος. Στο σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης f( ) =. 5 Να χαρακτηρίσετε ως σωστό (Σ) ή λάθος (Λ) τις παρακάτω προτάσεις. Σχ. i)

Διαβάστε περισσότερα

1. Να προσδιορίσετε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων με τύπους. 2. Να βρεθεί ο λ R ώστε f(x) = ln ( x 2 +2λx+9) να έχει πεδίο ορισμού Α = R

1. Να προσδιορίσετε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων με τύπους. 2. Να βρεθεί ο λ R ώστε f(x) = ln ( x 2 +2λx+9) να έχει πεδίο ορισμού Α = R ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ Α. ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ. Να προσδιορίσετε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων με τύπους 4 ι) () = 6 + 6 iv) () = log ( log4(- )) v) () = ii) () = iii) () = log ( + ) 5 log 4 vii) () = 5 + 4 viii) ()

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Κανιστράς Δημήτριος. Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Μια πρώτη επανάληψη Απαντήσεις των ασκήσεων.

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Κανιστράς Δημήτριος. Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Μια πρώτη επανάληψη Απαντήσεις των ασκήσεων. Άσκηση Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Κανιστράς Δημήτριος Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Μια πρώτη επανάληψη Απαντήσεις των ασκήσεων Μέρος ο i. Δίνεται η γνησίως μονότονη συνάρτηση f : A IR. Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ -- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ -- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ -- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Άσκηση η Γραμμικά συστήματα Δίνονται οι ευθείες : y3 και :y 5. Να βρεθεί το R, ώστε οι ευθείες να τέμνονται. Οι ευθείες και θα τέμνονται όταν το μεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην ανάλυση

Εισαγωγή στην ανάλυση Εισαγωγή στην ανάλυση Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Έστω Α ένα υποσύνολο του και Α. Τι ονομάζεται πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α ; Απάντηση Πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5ο ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΒΑΣΙΛΗΣ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ :ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5ο ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΒΑΣΙΛΗΣ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ :ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5ο ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΒΑΣΙΛΗΣ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5ο ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. Πως ορίζονται οι δυνάμεις με ρητό εκθέτη ; Η

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο ΘΕΜΑ 1 ο A. α) Αν α>0 και α 1,τότε για οποιουσδήποτε θ 1, θ >0 να δείξετε ότι log α (θ 1. θ )=log α θ 1 +log

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΡΟΣ 1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. f : A R και στη συνέχεια δίνουμε τον τύπο της συνάρτησης, π.χ.

ΜΕΡΟΣ 1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. f : A R και στη συνέχεια δίνουμε τον τύπο της συνάρτησης, π.χ. Συναρτήσεις σελ ΜΕΡΟΣ 1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Α Βασικές Έννοιες Ορισμός: Έστω Α ένα υποσύνολο του συνόλου των πραγματικών αριθμών R Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α μια διαδικασία (κανόνα),

Διαβάστε περισσότερα

αβ (, ) τέτοιος ώστε f(x

αβ (, ) τέτοιος ώστε f(x ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΜΑ Α Άσκηση α) Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [ αβ., ] Αν η f είναι συνεχής στο [ αβ, ]

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ [Κεφ.3.7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ [Κεφ.3.7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ [Κεφ..7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Β Άσκηση. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ (1o Γ Λυκείου) να ανήκουν στη γραφική παράσταση της συνάρτησης f( x)

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ (1o Γ Λυκείου) να ανήκουν στη γραφική παράσταση της συνάρτησης f( x) ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ (o Γ Λυκείου).Να βρεθούν οι τιμές των α, β R ώστε: Α) τα σημεία (, ),(, ) να ανήκουν στη γραφική παράσταση της συνάρτησης α +β. Β)τα σημεία ( 0, ),( e, ) να ανήκουν στην γραφική παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

Ιγνάτιος Ιωαννίδης Χρήσιμες Γνώσεις 5

Ιγνάτιος Ιωαννίδης Χρήσιμες Γνώσεις 5 Ιγνάτιος Ιωαννίδης Χρήσιμες Γνώσεις 5 Α Σύνολα αριθμών Για τα σύνολα των αριθμών γνωρίζουμε ότι N Z Q R. ) Το N= { 0,,,,... } είναι το σύνολο των φυσικών αριθμών. ) Το Z = { 0, ±, ±, ±,... } είναι το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

f(x) = 2x+ 3 / Α f Α.

f(x) = 2x+ 3 / Α f Α. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 8 ο ΜΑΘΗΜΑ.7. Σύνολο τιμών f(a) της f / A B Ορισμός: Το σύνολο τιμών της συνάρτησης f / Α Β περιλαμβάνει εκείνα τα y Β για τα οποία υπάρχει x Α : «Η εξίσωση y= f ( x) να έχει λύση ως προς x»

Διαβάστε περισσότερα

. Το σύνολο R* E. Το σύνολο R-{1}

. Το σύνολο R* E. Το σύνολο R-{1} Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. * Το πεδίο ορισµού της συνάρτησης µε τύπο f () = log (Σχ.) είναι y y=log A. το διάστηµα [ 0, + ) Β. το διάστηµα ( 0, + ) Γ. το σύνολο R. το σύνολο R* E. το σύνολο R -{}. *

Διαβάστε περισσότερα

( 2) 1 0,. Αν ρ 1, ρ 2 οι ρίζες της (ε) και

( 2) 1 0,. Αν ρ 1, ρ 2 οι ρίζες της (ε) και ΘΕΜΑ ο Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο : f( ) α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της. β. Να βρείτε τα σημεία τομής της με τους άξονες αν υπάρχουν. γ. Αν α, β ρίζες της εξίσωσης: ΘΕΜΑ ο f ( ), να δείξετε ότι αβ+=0.

Διαβάστε περισσότερα

g(x) =α x +β x +γ με α= 1> 0 και

g(x) =α x +β x +γ με α= 1> 0 και ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Κεφ..3: Μονότονες Συναρτήσεις - Αντίστροφη Συνάρτηση σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΜΑΔΕΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ : ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΡΟΛΟΓΟΣ Σε κάθε ενότητα αυτού του βιβλίου θα βρείτε : Βασική θεωρία με τη μορφή ερωτήσεων Μεθοδολογίες και σχόλια

Διαβάστε περισσότερα

ςεδς ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός

ςεδς ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός ςες ΤΕΤΡΑΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Βαγγέλης ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός ΣΗΜΕΙΩΜΑ Το παραπάνω φυλλάδιο φτιάχτηκε για να προσφέρει λίγη βοήθεια κυρίως στους μαθητές

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης Φυλλάδιο Φυλλάδι555 4 ο ο.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΗ 1η Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων: 5 α) f β) f 1 1 9 γ) f δ) f log 1 4 ημ ημ συν ε) f α) Για να ορίζεται η f() πρέπει και αρκεί + (1) Έχουμε: (1).(

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Ο ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Ο ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Ο ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Ο ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΔΥΝΑΜΕΩΝ Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε τις παρακάτω ιδιότητες

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΟΡΙΟ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΟΡΙΟ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΟΡΙΟ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ -ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση; Έστω Α ένα υποσύνολο τουr Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α μια διαδικασία (κανόνα)

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ. Σύμφωνα με τα παραπάνω, για μια αριθμητική πρόοδο που έχει πρώτο όρο τον ...

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ. Σύμφωνα με τα παραπάνω, για μια αριθμητική πρόοδο που έχει πρώτο όρο τον ... ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ Ορισμός : Μία ακολουθία ονομάζεται αριθμητική πρόοδος, όταν ο κάθε όρος της, δημιουργείται από τον προηγούμενο με πρόσθεση του ίδιου πάντοτε αριθμού. Ο σταθερός αριθμός που προστίθεται

Διαβάστε περισσότερα

0x2 = 2. = = δηλαδή η f δεν. = 2. Άρα η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο [0,3]. Συνεπώς δεν. x 2. lim f (x) = lim (2x 1) = 3 και x 2 x 2

0x2 = 2. = = δηλαδή η f δεν. = 2. Άρα η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο [0,3]. Συνεπώς δεν. x 2. lim f (x) = lim (2x 1) = 3 και x 2 x 2 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO - ΠΡΟΣΗΜΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΕΝΔΙΑΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΤΙΜΗΣ - ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. 2x 1. είναι Τότε έχουμε: » τον χρησιμοποιούμε κυρίως σε θεωρητικές ασκήσεις.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. 2x 1. είναι Τότε έχουμε: » τον χρησιμοποιούμε κυρίως σε θεωρητικές ασκήσεις. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ [Υποκεφάλαιο. Μονότονες συναρτήσεις Αντίστροφη συνάρτηση του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα.

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις Θεωρία Ορισμοί - Παρατηρήσεις

Συναρτήσεις Θεωρία Ορισμοί - Παρατηρήσεις Συναρτήσεις Θεωρία Ορισμοί - Παρατηρήσεις Ορισμός: Έστω Α, Β R. Πραγματική συνάρτηση πραγματικής μεταβλητής από το σύνολο Α στο σύνολο Β ονομάζουμε την διαδικασία κατά την οποία κάθε στοιχείο του συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Αριθμοί 1. ΑΡΙΘΜΟΙ Σύνολο Φυσικών αριθμών: Σύνολο Ακέραιων αριθμών: Σύνολο Ρητών αριθμών: ακέραιοι με Άρρητοι αριθμοί: είναι οι μη ρητοί π.χ. Το σύνολο Πραγματικών

Διαβάστε περισσότερα

ΟΡΙΣΜΟΣ 2 (Ισοδύναμος ορισμός που χρησιμεύει σε ασκήσεις)

ΟΡΙΣΜΟΣ 2 (Ισοδύναμος ορισμός που χρησιμεύει σε ασκήσεις) ΟΡΙΣΜΟΣ Μια συνάρτηση : A λέγεται συνάρτηση -, όταν για οποιαδήποτε, A ισχύει η συνεπαγωγή: αν, τότε ( ) ( ) ΟΡΙΣΜΟΣ (Ισοδύναμος ορισμός που χρησιμεύει σε ασκήσεις) Μια συνάρτηση : A είναι συνάρτηση -,

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ - ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ - ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ - ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ορισμός Θεωρούμε μια συνάρτηση f συνεχή σ' ένα διάστημα Δ και παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του Δ. α) Θα λέμε ότι η f είναι κυρτή ή στρέφει τα κοίλα άνω στο Δ, αν η f

Διαβάστε περισσότερα

Μονοτονία - Ακρότατα - 1 1 Αντίστροφη Συνάρτηση

Μονοτονία - Ακρότατα - 1 1 Αντίστροφη Συνάρτηση 4 Μονοτονία - Ακρότατα - Αντίστροφη Συνάρτηση Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Μονοτονία συνάρτησης Μια συνάρτηση f λέγεται: Γνησίως αύξουσα σ' ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε,

Διαβάστε περισσότερα

Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 1η κατηγορία: ΕΥΡΕΣΗ ΠΕΔΙΟΥ ΟΡΙΣΜΟΥ

Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 1η κατηγορία: ΕΥΡΕΣΗ ΠΕΔΙΟΥ ΟΡΙΣΜΟΥ Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ η κατηγορία: ΕΥΡΕΣΗ ΠΕΔΙΟΥ ΟΡΙΣΜΟΥ Για να βρούμε το πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης, αρκεί να βρούμε τις τιμές του χ για τις οποίες ορίζονται οι πράξεις που αναγράφονται στο τύπο

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Κωνσταντίνος Παπασταματίου Μαθηματικά Γ Λυκείου Κατεύθυνσης Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Συνοπτική Θεωρία Μεθοδολογίες Λυμένα Παραδείγματα Επιμέλεια: Μαθηματικός Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 (με

Διαβάστε περισσότερα

5.1. ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

5.1. ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ 5 Δυνάμεις με άρρητο εκθέτη Αν α, β είναι θετικοί πραγματικοί αριθμοί και,,,τότε : ( ) : Εκθετική συνάρτηση Αντιστοιχίζοντας κάθε,στη δύναμη f: με f () η οποία στην περίπτωση που είναι 0

Διαβάστε περισσότερα

( e ) 2. 4 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 31.

( e ) 2. 4 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 31. 1 4 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 31. ίνονται οι συναρτήσεις f() = ln(e e + 3) και g() = ln3 + ln(e 1) i. Να βρείτε το πεδίο ορισµού τους. ii. Να βρείτε τα σηµεία τοµής των γραφικών παραστάσεων των f, g

Διαβάστε περισσότερα

1 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης

1 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 1 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 1. Έστω η εξίσωση (k 5k+ 4) x (k 1)x + 1= 0 Να βρείτε την τιµή του k ώστε η εξίσωση να έχει µία µόνο ρίζα την οποία ρίζα να προσδιορίσετε i Να βρείτε την τιµή του k ώστε η

Διαβάστε περισσότερα

- ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

- ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Κεφ. 1.3: Μονότονες Συναρτήσεις - Αντίστροφη Συνάρτηση σχολικού βιβλίου]. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Μονοτονία

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. Κεφάλαιο 4ο: Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. 1. * Το πεδίο ορισµού της συνάρτησης µε τύπο f (x) = 2 (Σχ.1) είναι. Γ το διάστηµα ( 0,

ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. Κεφάλαιο 4ο: Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. 1. * Το πεδίο ορισµού της συνάρτησης µε τύπο f (x) = 2 (Σχ.1) είναι. Γ το διάστηµα ( 0, Κεφάλαιο 4ο: ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής 1. * Το πεδίο ορισµού της συνάρτησης µε τύπο f () = 2 (Σχ.1) είναι Α. το διάστηµα [ 0, Β. το διάστηµα Γ. το σύνολο R ( 0,. το σύνολο R - {1}

Διαβάστε περισσότερα

Ρητοί αριθμοί λέγονται οι αριθμοί που έχουν ή μπορούν να πάρουν τη μορφή

Ρητοί αριθμοί λέγονται οι αριθμοί που έχουν ή μπορούν να πάρουν τη μορφή ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ (ΕΙΣΑΓΩΓΗ)-ΘΕΩΡΕΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Το σύνολο των πραγματικών αριθμών Υπενθυμίζουμε ότι το σύνολο των πραγματικών αριθμώv αποτελείται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς και παριστάνεται

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. , ισχύει ότι:. α. Να υπολογίσετε όλους τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας ω.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. , ισχύει ότι:. α. Να υπολογίσετε όλους τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας ω. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1. Έστω ότι για μια γωνία ω, όπου, ισχύει ότι:. 1 α. Να υπολογίσετε όλους τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας ω. β. Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης:

Διαβάστε περισσότερα

7. Αν υψώσουμε και τα δύο μέλη μιας εξίσωσης στον κύβο (και γενικά σε οποιαδήποτε περιττή δύναμη), τότε προκύπτει

7. Αν υψώσουμε και τα δύο μέλη μιας εξίσωσης στον κύβο (και γενικά σε οποιαδήποτε περιττή δύναμη), τότε προκύπτει 8 7y = 4 y + y ( 8 7y) = ( 4 y + y) ( y) + 4 y y 4 y = 4 y y 8 7y = 4 y + ( 4 y) = ( 4 y y) ( 4 y) = 4( 4 y)( y) ( 4 y) 4( 4 y)( y) = 0 ( 4 y) [ 4 y 4( y) ] = 4 ( 4 y)( y + 4) = 0 y = ή y = 4) 0 4 H y

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΛΛΆΔΙΟ ΑΣΚΉΣΕΩΝ 2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

ΦΥΛΛΆΔΙΟ ΑΣΚΉΣΕΩΝ 2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΦΥΛΛΆΔΙΟ ΑΣΚΉΣΕΩΝ 2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 1. Να βρείτε τα πεδία ορισµού των συναρτήσεων µε τύπο: i) ii) iii) iv) v) 2. Δίνεται η συνάρτηση µε:. Να βρείτε µια περίοδο της. 3. Δίνεται η συνάρτηση µε:. Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ 9η Κατηγορία: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Για να βρούμε τη μονοτονία μιας συνάρτησης ακολουθούμε την εξής διαδικασία: Θεωρούμε, Δ, όπου Δ διάστημα του πεδίου ορισμού

Διαβάστε περισσότερα

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 10: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 10: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ [Ενότητα Προσδιορισμός των Τοπικών Ακροτάτων - Θεώρημα Εύρεση Τοπικών Ακροτάτων του κεφ..7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση.

Διαβάστε περισσότερα

Ταυτότητες. α 2 β 2 = (α β)(α + β) "διαφορά τετραγώνων" α 3 β 3 = (α β)(α 2 + αβ + β 2 ) "διαφορά κύβων"

Ταυτότητες. α 2 β 2 = (α β)(α + β) διαφορά τετραγώνων α 3 β 3 = (α β)(α 2 + αβ + β 2 ) διαφορά κύβων Ταυτότητες (α β) α αβ β " αναπτύγματα τετραγώνων " (α β) αβ β (α β) α α β αβ β " αναπτύγματα κύβων " (α β) α α β αβ β " παραγοντοποίηση τριωνύμου " (α β) αβ ( α)( β) (α β) αβ ( α)( β) α β = (α β)(α + β)

Διαβάστε περισσότερα

<Πεδία ορισμού ισότητα πράξεις σύνθεση>

<Πεδία ορισμού ισότητα πράξεις σύνθεση> Συναρτήσεις 1 A Έστω μία συνάρτηση Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης B Δίνεται η συνάρτηση Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων :, και Γ Να εξετάσετε

Διαβάστε περισσότερα

( ) Ίσες συναρτήσεις. = g, Οι συναρτήσεις f, g λέμε ότι είναι ίσες και συμβολίζουμε f. όταν: Έχουν το ίδιο πεδία ορισμού Α

( ) Ίσες συναρτήσεις. = g, Οι συναρτήσεις f, g λέμε ότι είναι ίσες και συμβολίζουμε f. όταν: Έχουν το ίδιο πεδία ορισμού Α .5.. Ίσες συναρτήσεις ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 7 Ο ΜΑΘΗΜΑ Οι συναρτήσεις f, g λέμε ότι είναι ίσες και συμβολίζουμε f = g, Έχουν το ίδιο πεδία ορισμού Α Για κάθε x Α ισχύει f ( x) = g( x) Αν για τις συναρτήσεις: f:

Διαβάστε περισσότερα

- 11 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

- 11 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - 11 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ (ΕΙΣΑΓΩΓΗ) 1 Να βρεθεί η σχετική θέση των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων f και g γα τις οποίες ισχύει: f()+1=g()+e (Η C f κάτω

Διαβάστε περισσότερα

Mαθηματικά Θετικής - Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ. Λυκείου Ανάλυση Κεφ. 1 ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

Mαθηματικά Θετικής - Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ. Λυκείου Ανάλυση Κεφ. 1 ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Γ. Λυκείου Ανάλυση Κεφ. ο Γ / ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΙΣΟΤΗΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΣΥΝΘΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΔΑΜΙΑΝΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΦΥΛΛΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 1

ΔΑΜΙΑΝΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΦΥΛΛΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 1 ΘΕΜΑ Α ΦΥΛΛΟ 1 Α1. Να αποδείξετε ότι το υπόλοιπο υ της διαίρεσης ενός πολυωνύμου P(x) με το x - ρ είναι ίσο με την τιμή του πολυωνύμου για x = ρ. Είναι δηλαδή υ = P(ρ). Α. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. , ισχύει ότι:. α. Να υπολογίσετε όλους τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας ω.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. , ισχύει ότι:. α. Να υπολογίσετε όλους τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας ω. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1. Έστω ότι για μια γωνία ω, όπου, ισχύει ότι:. 1 α. Να υπολογίσετε όλους τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας ω. β. Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης:

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Μονοτονία Συνάρτησης Tζουβάλης Αθανάσιος Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Περιεχόμενα Μονοτονία συνάρτησης... Λυμένα παραδείγματα...

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Άλγεβρας Β Λυκείου. Θέματα. A. Να διατυπώσετε τον ορισμό μιας γνησίως αύξουσας συνάρτησης. (5 μονάδες)

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Άλγεβρας Β Λυκείου. Θέματα. A. Να διατυπώσετε τον ορισμό μιας γνησίως αύξουσας συνάρτησης. (5 μονάδες) Θέμα 1 Θέματα A. Να διατυπώσετε τον ορισμό μιας γνησίως αύξουσας συνάρτησης. (5 μονάδες) B. Να χαρακτηρίσετε ως σωστή (Σ) ή λάθος (Λ) τις παρακάτω προτάσεις: i) Ο βαθμός του υπολοίπου της διαίρεσης P(x)

Διαβάστε περισσότερα

lnx ln x ln l x 1. = (0,1) (1,7].

lnx ln x ln l x 1. = (0,1) (1,7]. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΕΝΝΟΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. IΣΟΤΗΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ - ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΣΥΝΘΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ [Ενότητα

Διαβάστε περισσότερα

Δ/νση Β /θµιας Εκπ/σης Φλώρινας Κέντρο ΠΛΗ.ΝΕ.Τ. Λογάριθµοι ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΥΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΥΣ

Δ/νση Β /θµιας Εκπ/σης Φλώρινας Κέντρο ΠΛΗ.ΝΕ.Τ. Λογάριθµοι ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΥΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΥΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΥΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΥΣ Παραθέτουµε αρχικά τις βασικές ιδιότητες των δυνάµεων µε βάση έ- ναν θετικό πραγµατικό αριθµό και εκθέτη έναν ρητό αριθµό. α x.α y = α x+y (α.β) x = α x.β x α x :α

Διαβάστε περισσότερα

Το βιβλίο αυτό αποτελεί τον πρώτο τόμο των Μαθηματικών Γʹ Λυκείου για τις

Το βιβλίο αυτό αποτελεί τον πρώτο τόμο των Μαθηματικών Γʹ Λυκείου για τις wwwzitigr Πρόλογος Το βιβλίο αυτό αποτελεί τον πρώτο τόμο των Μαθηματικών Γʹ Λυκείου για τις ομάδες προσανατολισμού: ç Θετικών σπουδών ç Οικονομίας και Πληροφορικής Αναπτύσσονται διεξοδικά τα κεφάλαια:

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα τις παρακάτω συναρτήσεις: f (x) = 0 x(2ln x + 1) = 0 ln x = x = e x =

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα τις παρακάτω συναρτήσεις: f (x) = 0 x(2ln x + 1) = 0 ln x = x = e x = ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 0: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ [Ενότητα Προσδιορισμός των Τοπικών Ακροτάτων - Θεώρημα Εύρεση Τοπικών Ακροτάτων του κεφ..7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

Bbs. ΑΛΓΕΒΡΑ ΣΥΝΟΛΑ Σύνολο Φυσικών αριθμών: N = {0,1,2, } Σύνολο Ακέραιων αριθμών: Z = {,-2,-1,0,1,2, } Σύνολο Ρητών αριθμών: Q = {

Bbs. ΑΛΓΕΒΡΑ ΣΥΝΟΛΑ Σύνολο Φυσικών αριθμών: N = {0,1,2, } Σύνολο Ακέραιων αριθμών: Z = {,-2,-1,0,1,2, } Σύνολο Ρητών αριθμών: Q = { ΑΛΓΕΒΡΑ ΣΥΝΟΛΑ Σύνολο Φυσικών αριθμών: N = {0,1,2, } Σύνολο Ακέραιων αριθμών: Z = {,-2,-1,0,1,2, } Σύνολο Ρητών αριθμών: Q = { Άρρητοι αριθμοί A: είναι οι μη ρητοί π.χ. Το σύνολο Πραγματικών αριθμών R=

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Επαναληπτικές SOS-ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Επαναληπτικές SOS-ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Επαναληπτικές SOS-ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Νδο ηµ α Α) = εφα +συνα Β) π συνα εφ α = +ηµ α Γ) ηµ α= ηµ α συνα+ συν α ηµα ) συν α+ηµ α εφα= + εφα εφα Ε) ( + συνα) εφα=ηµ α Ζ) =εφα εφα+σφα. Νδο

Διαβάστε περισσότερα

. Όλες οι συναρτήσεις δεν μπορούν να παρασταθούν στο καρτεσιανό επίπεδο όπως για παράδειγμα η συνάρτηση του Dirichlet:

. Όλες οι συναρτήσεις δεν μπορούν να παρασταθούν στο καρτεσιανό επίπεδο όπως για παράδειγμα η συνάρτηση του Dirichlet: Κεφάλαιο: Συναρτήσεις Γραφική παράσταση συνάρτησης Γράφημα μιας συνάρτησης ( ) ονομάζουμε το σύνολο των σημείων G( ) (, ( ) ) / A που είναι υποσύνολο του. Το γράφημα αυτό { } συνήθως παριστάνεται πάνω

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΗ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΚΑΙ ΤΑ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΑΥΤΗΣ. x 0 για κάθε xεr και για την συνάρτηση g ισχύει i. Να βρείτε

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΗ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΚΑΙ ΤΑ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΑΥΤΗΣ. x 0 για κάθε xεr και για την συνάρτηση g ισχύει i. Να βρείτε ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΤΑ ΣΤΗ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΚΑΙ ΤΑ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΑΥΤΗΣ Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f : IR IR τέτοια ώστε f ( ) 1 για κάθε IR (1) και η γραφική της παράσταση διέρχεται από το σημείο i Να βρείτε τα κ και λ

Διαβάστε περισσότερα

- ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ 1-1 ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

- ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ 1-1 ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ [Υποκεφάλαιο. Μονότονες συναρτήσεις Αντίστροφη συνάρτηση του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση. ΘΕΜΑ Β Να

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΔΑΚΤΙΚΟ ΥΛΙΚΟ. στην ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 5 ο

ΔΙΔΑΚΤΙΚΟ ΥΛΙΚΟ. στην ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 5 ο ΔΙΔΑΚΤΙΚΟ ΥΛΙΚΟ στην ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 5 ο Ε Κ Θ ΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Ερωτήσεις αντικειμενικού τύπου Ερωτήσεις Θεωρίας Θέματα της Τράπεζας Θεμάτων του Υπουργείου Προτεινόμενα

Διαβάστε περισσότερα

Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Σ Υ Σ Τ Η Μ Α Τ Α

Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Σ Υ Σ Τ Η Μ Α Τ Α Σ Υ Λ Λ Ο Γ Η Α Σ Κ Η Σ Ε Ω Ν Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Σ Υ Σ Τ Η Μ Α Τ Α α 3y β 5 (1) Αν το (Σ) : 3 αy 5β τους α,β έχει λύση την (, y) = (1, ) να βρείτε () Να λυθούν τα συστήματα : y 4 3 y 5 6 5 6

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΟΓΡΑΡΙΘΜΙΚΗ ΥΝΑΡΤΗΗ ΕΡΩΤΗΕΙ ΑΞΙΟΟΓΗΗ ΕΡΩΤΗΕΙ ΑΞΙΟΟΓΗΗ.-. ΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΥΝΑΡΤΗΗ. Να σημειώσετε το σωστό () ή το λάθος () στους παρακάτω ισχυρισμούς:. Η εξίσωση α x = θ, όπου α > 0 με α και θ >

Διαβάστε περισσότερα

Άλγεβρα Β Λυκείου. Στέλιος Μιχαήλογλου.

Άλγεβρα Β Λυκείου. Στέλιος Μιχαήλογλου. Άλγεβρα Β Λυκείου Στέλιος Μιχαήλογλου wwwaskisopolisgr Το φυλλάδιο αυτό δημιουργήθηκε για να χρησιμοποιηθεί ως επέκταση του σχολικού βιβλίου και όχι αυτόνομα δ έκδοση 0--06 Συστήματα Γραμμικές Εξισώσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ο δείγμα ΘΕΜΑ ο Α. Έστω μία συνάρτηση f συνεχής σε ένα διάστημα α,β. Αν G είναι μία παράγουσα της f στο α,β τότε να αποδείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

Α. ΘΕΩΡΙΑ Εστω μια συνάρτηση f και x. του πεδίου ορισμού της. Θα λέμε ότι η f είναι συνεχής στο x., όταν

Α. ΘΕΩΡΙΑ Εστω μια συνάρτηση f και x. του πεδίου ορισμού της. Θα λέμε ότι η f είναι συνεχής στο x., όταν Α ΘΕΩΡΙΑ Εστω μια συνάρτηση και ένα σημείο του πεδίου ορισμού της Θα λέμε ότι η είναι συνεχής στο όταν Για παράδειγμα η συνάρτηση είναι συνεχής στο αφού Σύμφωνα με τον παραπάνω ορισμό μια συνάρτηση δεν

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ Λυκείου Διαγώνισμα διάρκειας 2 ωρών στις Συναρτήσεις

Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ Λυκείου Διαγώνισμα διάρκειας 2 ωρών στις Συναρτήσεις ΘΕΜΑ Α Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ Λυκείου Διαγώνισμα διάρκειας ωρών στις Συναρτήσεις 0 9-05 Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις ως σωστές (Σ) ή λανθασμένες (Λ).. Αν η συνάρτηση f είναι -, είναι και γνησίως

Διαβάστε περισσότερα

5.1.1 Η θεωρία και τι προσέχουμε

5.1.1 Η θεωρία και τι προσέχουμε Κεφάλαιο 5 Συνέχεια συνάρτησης σε διάστημα Συνέπειες του Θεωρήματος Bolzano 5.. Η θεωρία και τι προσέχουμε Τα κύρια χαρακτηριστικά μιας συνεχούς συνάρτησης f ορισμένης σε ένα διάστημα Δ, είναι: i. Η γραφική

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ) Copyright 2015 Αποστόλου Γιώργος Αποστόλου Γεώργιος apgeorge2004@yahoo.com Αδεια χρήσης 3η Εκδοση, Ιωάννινα, Σεπτέµβριος 2015 Περιεχόµενα 1 ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ............................................

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤ. Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΡΙΛΙΟΣ 2012

ΛΥΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤ. Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΡΙΛΙΟΣ 2012 ΛΥΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤ. Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΡΙΛΙΟΣ ΘΕΜΑ Α. Λ Λ Λ Σ - Σ - Λ ΜΟΝΑΔΕΣ Β. α) Δύο συναρτήσεις και g λέγονται ίσες όταν: έχουν το ίδιο πεδίο ορισμού Α και για κάθε A ισχύει ( ) g( ). ΜΟΝΑΔΕΣ β) Μια συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

τα βιβλία των επιτυχιών

τα βιβλία των επιτυχιών Τα βιβλία των Εκδόσεων Πουκαμισάς συμπυκνώνουν την πολύχρονη διδακτική εμπειρία των συγγραφέων μας και αποτελούν το βασικό εκπαιδευτικό υλικό που χρησιμοποιούν οι μαθητές των φροντιστηρίων μας. Μέσα από

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Ενότητα Μονοτονία Συνάρτησης του κεφ.2.6 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου].

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Ενότητα Μονοτονία Συνάρτησης του κεφ.2.6 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Ενότητα Μονοτονία Συνάρτησης του κεφ..6 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα 1. ΘΕΜΑ Β Να μελετηθούν ως προς την μονοτονία

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. 3. Μια μπάλα πέφτει από την κορυφή ενός πυργου. Το ύψος στο οποίο βρίσκετε μετά από t sec δίνεται από τη συνάρτηση f () x 75 3

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. 3. Μια μπάλα πέφτει από την κορυφή ενός πυργου. Το ύψος στο οποίο βρίσκετε μετά από t sec δίνεται από τη συνάρτηση f () x 75 3 ΦΥΛ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. Να βρεθούν τα Πεδία Ορισμων συναρτήσεων: i) f () 4 f () i f () 4 f () 6 5 v) f () 9 vi) f () v f () log() vi f () 4, i) f () 8, Να βρεθούν επίσης οι τιμές : n f ( 4),( f ),( f0),(),(0),(

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Το σύνολο των πραγματικών αριθμών Υπενθυμίζουμε ότι το σύνολο των πραγματικών αριθμών αποτελείται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς και παριστάνεται

Διαβάστε περισσότερα

2 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης

2 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 1 2 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 11. Α. Αν α > 0 µε α 1 τότε για οποιουσδήποτε πραγµατικούς αριθµούς θ 1, θ 2 > 0 να αποδείξετε ότι log α (θ 1 θ 2 ) = log α θ 1 + log α θ 2 Β. Έστω το σύστηµα Σ : α1x +

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (1 η σειρά)

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (1 η σειρά) 9 ΘΕΡΙΝΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ( η σειρά) ΘΕΜΑ ο Α. Έστω η συνάρτηση f με f() ημ. Να αποδείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο και ισχύει f () συν Β. Πότε μια συνάρτηση f λέμε

Διαβάστε περισσότερα

f(x) = και στην συνέχεια

f(x) = και στην συνέχεια ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ Ερώτηση. Στις συναρτήσεις μπορούμε να μετασχηματίσουμε πρώτα τον τύπο τους και μετά να βρίσκουμε το πεδίο ορισμού τους; Όχι. Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης το βρίσκουμε πριν μετασχηματίσουμε

Διαβάστε περισσότερα

1. Να προσδιορίσετε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων με τύπους. 2. Να βρεθεί ο λ R ώστε f(x) = ln ( x 2 +2λx+9) να έχει πεδίο ορισμού Α = R

1. Να προσδιορίσετε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων με τύπους. 2. Να βρεθεί ο λ R ώστε f(x) = ln ( x 2 +2λx+9) να έχει πεδίο ορισμού Α = R Α.Πεδίο ορισμού. Να προσδιορίσετε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων με τύπους ι) f() = 4 6 6 ii) f() = iii) f() = log ( ) iv) f() = log ( log 4(- )) v) 5 f() log vi) f() = 4 4 vii) f() 5 4 viii) f() ημ.

Διαβάστε περισσότερα

1. Για οποιουσδήποτε μιγαδικούς z 1, z 2 με Re (z 1 + z 2 ) = 0, ισχύει: Re (z 1 ) + Re (z 2 ) = 0

1. Για οποιουσδήποτε μιγαδικούς z 1, z 2 με Re (z 1 + z 2 ) = 0, ισχύει: Re (z 1 ) + Re (z 2 ) = 0 ΣΩΣΤΑ ΛΑΘΟΣ. Για οποιουσδήποτε μιγαδικούς z, z με Re (z + z ) = 0, ισχύει: Re (z ) + Re (z ) = 0. Ισχύει η ισοδυναμία : i κ = i λ κ = λ για κάθε κ., λ ακεραίους αριθμούς. 3. Για κάθε μιγαδικό αριθμό z

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ. 41.Να σχεδιάσετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων: β) f x

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ. 41.Να σχεδιάσετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων: β) f x ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ.Να σχεδιάσετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων: α) f () 5 β) f () 7 γ) f () 0,5 δ) f ().Στο ίδιο σύστημα αξόνων να σχεδιάσετε τις γραφικές

Διαβάστε περισσότερα

3.7 EΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ

3.7 EΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 7 EΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ 68 Να γράψετε τον τύπο που δίνει το εμβαδόν του χωρίου Ω που ορίζεται από τη γραφική παράσταση της, τις ευθείες, και τον άξονα, όταν για κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 4. [ ] z, w. 3 f x, x 1,3 όπου 3 μιγαδικοί των οποίων οι εικόνες

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 4. [ ] z, w. 3 f x, x 1,3 όπου 3 μιγαδικοί των οποίων οι εικόνες ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 4 1. i) Να δείξετε ότι υπάρχει μοναδικό 3 3 0 1, ώστε: 3 e, 1 ln 0 + 0 = 0 ii) Δίνεται ο μιγαδικός 3 z = ln + i, > 0 a) Να βρείτε την ελάχιστη απόσταση k της εικόνας του z από την αρχή

Διαβάστε περισσότερα

x 1 vii) f(x) 5 x 4 viii) 2 + γ) f (x) = στ) f (x) = e x -1 Β. Γραφική παράσταση Γ. Ίσες συναρτήσεις x 3 x 3 f(x), g(x) ιι)

x 1 vii) f(x) 5 x 4 viii) 2 + γ) f (x) = στ) f (x) = e x -1 Β. Γραφική παράσταση Γ. Ίσες συναρτήσεις x 3 x 3 f(x), g(x) ιι) Α.Πεδίο ορισμού. Να προσδιορίσετε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων με τύπους ι) f() = v) f() 4 6 6 5 log 4 ii) f() = iii) f() = log ( ) iv) f() = log ( log 4(- )) vi) f() = 4 vii) f() 5 4 viii) f() ημ.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ 14 1.3 ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑ 14 1.3 ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑ 4. ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Μονοτονία συνάρτησης Ακρότατα συνάρτησης Θεωρία Σχόλια Μέθοδοι Ασκήσεις ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός Συνάρτηση f λέγεται γνησίως αύξουσα σε διάστηµα, όταν για οποιαδήποτε,

Διαβάστε περισσότερα

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 7: ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 7: ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 7: ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ [Κεφ..6: Συνέπειες του Θεωρήματος της Μέσης Τιμής πλην της Ενότητας Μονοτονία Συνάρτησης του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα