3. Να δειχτει οτι α α. Ποτε ισχυει το ισον;

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "3. Να δειχτει οτι α α. Ποτε ισχυει το ισον;"

Transcript

1 EΞΙΣΩΣΕΙΣ Ε ξ ι σ ω σ η ο υ β α θ μ ο υ 3. Να δειχτει οτι α + 0 0α. Ποτε ισχυει το ισον; Εστω η εξισωση: α+β=0 () Λυση η ριζα. της Aν εξισωσης α, β θετικοι λεγεται, να συγκρινεται κάθε τιμη τους του πραγματικου αριθμους Α = αριθμου α + β,, Β που = α επαληθευει την (). β + αβ Συντελεστης του αγνωστου λεγεται ο αριθμος α. Σταθερος ορος λεγεται ο αριθμος β Διερευνηση β Αν α 0 τοτε η () εχει μοναδικη λυση, την: = - α Αν α = 0 και β 0 τοτε η () δεν εχει λυση (αδυνατη) Αν α = 0 = β τοτε η () εχει απειρες λυσεις (αοριστη η ταυτοτητα) Παρατηρηση Αν ο συντελεστης του αγνωστου η o σταθερος ορος εκφραζεται με τη βοηθεια γραμματων, τοτε η εξισωση λεγεται παραμετρικη. Ισοδυναμες λεγονται οι εξισωσεις που εχουν ακριβως τις ιδιες ριζες. Π α ρ α δ ε ι γ μ α Να λυθει η εξισωση: + = = = 6 3( - ) + ( - ) = = = = 4 = =. Να λυθει η εξισωση : λ ( - ) = 4(λ - ) - 3λ + λ ( - ) = 4(λ - ) - 3λ + λ - λ = 4λ - 4-3λ + λ - 4λ + 4 = λ - 3λ + (λ - 4λ + 4) = λ - 3λ + (λ - ) = (λ - )(λ - ) (Ι) Για (λ - ) 0, δηλαδη για λ, η (Ι) εχει την μοναδικη λυση : (λ - )(λ - ) λ - = = (λ - ) λ - Για (λ - ) = 0, δηλαδη για λ =, η (Ι) γινεται : 0 = ( - )( - ) 0 = 0 0 = 0, οποτε η εξισωση ειναι αοριστη. Η Ε ξ ι σ ω σ η v = a α ν λυσεις της εξισωσης ν =α α = 0 αρτιος η περιττος =0 α > 0 αρτιος = ± ν α Hα > Εννοια 0 του διανυσματος περιττος = ν α α < 0 αρτιος αδυνατη α < 0 περιττος =- ν α

2 EΞΙΣΩΣΕΙΣ M ε θ ο δ ο ς ( Λ υ σ η ε ξ ι σ ω σ η ς ο υ β α θ μ ο υ ) Να λυθει η εξισωση : + = 3 6 ο Βημα : Πολλαπλασιαζουμε ολους τους ορους με το Ε.Κ.Π. (απαλοιφη παρονομαστων) = 6. 3.( + ) +.( + ) = ο Βημα : Απαλοιφουμε τις παρενθεσεις ( επιμεριστικη ιδιοτητα) = 5 + 3ο Βημα : Xωριζουμε γνωστους απο αγνωστους (στο πρωτο μελος οι αγνωστοι) = - 3-4ο Βημα : Κανουμε πραξεις σε καθε μελος. = -4 5ο Βημα : Διαιρουμε με τον συντελεστη του αγνωστου (και το προσημο του). -4 = = - M ε θ ο δ ο ς ( Λ υ σ η ε ξ ι σ ω σ η ς κ λ α σ μ α τ ι κ η ς ) + - Να λυθει η εξισωση : - = + ( + ) ο Βημα : Παραγοντοποιουμε ολους τους παρονομαστες = ( + ) ( + ) ο Βημα : Βρισκουμε το Ε.Κ.Π. των παρονομαστων. Ε.Κ.Π. = ( + ) 3ο Βημα : Θετουμε περιορισμους, με την προυποθεση οτι Ε.Κ.Π. 0. Πρεπει : ( + ) 0 0 και ( + ) 0, δηλαδη 0 και -. 4ο Βημα : Κανουμε απαλοιφη παρονομαστων και λυνουμε. + - ( + ) - ( + ) = ( + ) ( + ) - ( + ) = - ( + ) ( + ) - ( + ) = - ( + ) = + + = + = 0 = - = - (δεκτη). Στη περιπτωση που η λυση ηταν ιδια με καποια απ'τις τιμες που μηδενιζουν τον παρο - νομαστη (δες περιορισμους), τοτε δεν θα την δεχομαστε.

3 EΞΙΣΩΣΕΙΣ 3 M ε θ ο δ ο ς ( Λ υ σ η ε ξ ι σ ω σ η ς π α ρ α μ ε τ ρ ι κ η ς ) Να λυθει η εξισωση : λ ( - ) = (λ - ) - 3λ + ο Βημα : Με πραξεις, φερνουμε την εξισωση σε μορφη Α. = B, με Α, Β παραγοντο - ποιημενα. λ ( - ) = (λ - ) - 3λ + λ - λ = λ - - 3λ + λ - λ + = λ - 3λ + ( (λ - ) = (λ - )(λ - ) ( Ι) λ - λ + ) = λ - 3λ + ο Βημα : Υποθετουμε οτι ο συντελεστης του αγνωστου ειναι διαφορος του μηδενος, B οποτε εχουμε μοναδικη λυση, την : =. A Για (λ - ) 0, δηλαδη για λ, η (Ι) εχει μοναδικη λυση : (λ - )(λ - ) λ - = = (λ - ) λ - 3ο Βημα : Υποθετουμε οτι ο συντελεστης του αγνωστου ειναι ισος με μηδεν και βρι - σκουμε ποιες τιμες μηδενιζουν την παραμετρο. Στη συνεχεια, για καθεμια απο τις τιμες αυτες, ελεγχουμε αν η εξισωση ειναι αδυνατη η αοριστη. Για (λ - ) = 0, δηλαδη για λ =, η (Ι) γινεται : 0 = 0, οποτε η εξισωση ειναι αο - ρ ιστη.

4 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ = ( - 3)( - ) = = 0 Eιναι ΕΚΠ= = = ( + 3) - 3( + ) = 4-4(5 - ) = = = -75 = = 3-5 = 0 ( - 3)( - ) = 0-3 = 0 - = = = 0 ( - ) - ( - ) = 0 ( - )( - ) = 0 - = 0 - = 0 = = + + ( + ) + = ( + ) + (5 - ) = 0 = 0 = 3 = Eιναι = + = () + ( + ) ( + ) ( + ) Για να εχει νοημα η (), πρεπει οι παρονομαστες να ειναι διαφοροι του μηδενος. Δηλαδη ( + ) + ( + ) = ( + ) ( + ) + = ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) 0 και, oποτε η () : ( + ) - = 0 ( + + )( + - ) = 0 ( + ) = 0 + = 0 = - (δεκτη, συμφωνα με τους περιορισμους) + = = 0 = = 5 ( + ) + (5 - ) = 0 και και

5 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 5 Να λυθει η εξισωση : λ ( - ) - = 3λ + Ειναι λ ( - ) - = 3λ + λ - λ - = 3λ + λ - = λ + 3λ + (λ - ) = (λ + )(λ + ) (λ - )(λ + ) = (λ + )(λ + ) (Ι) Για (λ - )(λ + ) 0, δηλαδη για λ και λ -, η (Ι) εχει τη μοναδικη (λ + ) (λ + ) λ + λυση : = = (λ - ) (λ + ) λ - Εστω η εξισωση : λ( - μ) = 3( - ). Να βρεθουν οι πραγματικοι αριθμοι λ και μ, ωστε η εξισωση να αληθευει για καθε. Ειναι λ( - μ) = 3( - ) λ - λμ = 3-6 λ - 3 = λμ - 6 (λ - 3) = λμ - 6 () Προκειμενου η (Ι) να αληθευει για καθε, πρεπει : λ - 3 = 0 λ = 3 λ = 3 λμ - 6 = 0 3μ = 6 μ = λ =- Για (λ - )(λ + ) = 0, δηλαδη για λ = η λ = -, τοτε Αν λ = η (Ι) γινεται : 0. = ( + )( + ) 0. = 6, αδυνατη Αν λ = - η (Ι) γινεται : Ειναι 0. = (- + )(- + ) 0. = 0, ταυτοτητα (απειρες λυσεις). Να βρεθουν τα λ, μ ωστε η εξισωση (λ - 4) = 0, να ειναι ταυτοτητα και η εξισωση (μ - 3) = λ + 3 να ειναι αδυνατη. " η εξισωση (λ - 4) = 0 ειναι ταυτοτητα" σημαινει οτι : λ - 4 = 0 λ = 4 λ = " η εξισωση (μ - 3) = λ μ - 3 = 0 λ + 3 0, που αληθευει, για καθε λ + 3 ειναι αδυνατη" σημαινει οτι : μ - 3 = 0 μ = 3 λ =-

6 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 6 Προκειμενου καποιος ποτεμπορος να νοθεψει μια φιαλη ουισκυ περιεκτικοτητας σε οινοπνευμα 40%, απο λαθος προσθετει 300 ml οινοπνευμα και το ουισκυ αποκτα πε - ριεκτικοτητα 58%. Ποιος ηταν ο αρχικος ογκος του ποτου; 40 Αρχικα ο ογκος του ουισκυ ηταν ml και του οινοπνευματος ηταν ml. Μετα την αναμειξη ο γκος του ουισκυ εγινε ml και του οινοπνευματος ( + 300) ml. 00 Επομενως, εξισωνοντας τους ογκους του οινοπνευματος μετα την αναμειξη, προκυ - πτει : = ( + 300) = = = 700 Δηλαδη, ο αρχικος ογκος του ουσκυ ηταν 700 ml. Η μπαταρια του φορητου μου υπολογιστη, γεμιζει οταν ειναι στη παροχη ηλεκτρικου ρευματος σε ωρες (χωρις να λειτουργει). Οταν ο υπολογιστης ειναι σε λειτουργια (εκτος παροχης ηλεκτρικου ρευματος) απο - φορτιζεται σε 4 ωρες. Ανοιγω τον υπολογιστη μου, με αδεια τελειως τη μπαταρια, και τον συνδεω με τη παρο - χη του ρευματος. Σε ποσες ωρες θα γεμισει η μπαταρια, ενω θα εργαζομαι; Εστω οι ωρες που θα χρειαστει η μπαταρια να γεμισει, ενω εργαζομαι. Αφου η μπαταρια φορτιζεται σε ωρες, σε μια ωρα θα εχει φορτιστει κατα το και σε ωρες θα εχει φορτιστει κατα. Αφου η μπαταρια αποφορτιζεται σε 4 ωρες, σε μια ωρα θα εχει αποφορτιστει κατα το 4 και σε ωρες θα εχει φορτιστει κατα. 4 Επομενως - = - = = = Δηλαδη, η μπαταρια θα φορτιστει πληρως σε 4 ωρες.

7 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 7 7 ( - 4) = 3 = 64 Ειναι 7 = - 4 = 3 = 7-4 = -3 = = ( - 4) = 3-4 = 3 η η η = = 0 ( - 64) = 0 = 0 = 0 = 0 = 0 η η η η 6 6 = = ± 64 = = ± = 0 η 6-64 = 0

8 ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ = ( + )(5 - ) = = 0 Απαλοιφη παρονομαστων και... Αν Α.Β.Γ=0 τοτε: Α=0 η Β=0 η Γ=0 4 + = ( - + ) + ( ) = 0 λ - = λ + 4 λ ( - ) = - λ λ ( - ) = 3( - λ) + ( - λ) Αν η εξισωση α ( - ) = ( - α) - ειναι ταυτοτητα, τοτε να δειξετε οτι η εξισωση α - = α( + ) ειναι αδυνατη. Nα λυθουν και διερευνηθουν οι εξισωσεις = λ - λ + λ λ (λ +3) = + λ = λ - λ (λ ) Να βρεθουν τα λ, μ ωστε η εξισωση λ(λ -) + μ = + 3 να ισχυει για καθε. Απαλοιφη παρονομαστων, περιορισμοι και... Παραγοντοποιηση το πρωτο μελος και... Τις μετασχηματιζω σε μορφη Α. = Β, κανω διερευνηση και... Η εξισωση: Α. = Β, ειναι : ταυτοτητα αν Α = 0 και Β = 0 αδυνατη αν Α = 0 και Β 0 Τις μετασχηματιζω σε μορφη Α. = Β. Η εξισωση: Α. = Β, ειναι : ταυτοτητα αν Α = 0 και Β = 0 αδυνατη αν Α = 0 και Β 0 Η εξισωση: Α. = Β,ισχυει για καθε αν Α = 0 και Β = 0 Να λυθει η εξισωση = = = Αν 4λ-7=-λ+3 να δειξετε οτι η εξισωση (λ-) = λ + ειναι αδυνατη. Η εξισωση: Α. = Β, ειναι αδυνατη αν Α = 0 και Β 0

9 AΛYTΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 9 Ενας ποτεμπορος, προκειμενου να νοθεψει, προ - σθετει σε μια φιαλη ουισκυ περιεκτικοτητας σε οι - νοπνευμα 40%, 300 ml νερο και το ουισκυ αποκτα περιεκτικοτητα 8%. Ποιος ηταν ο αρχικος ογκος του ποτου; Εστω ο αρχικος ογκος του ποτου οποτε Διαλυμενη ουσια ισουται με την περιεκτικοτητα επι την ποσοτητα του διαλυματος. Σε μια δεξαμενη υπαρχουν τρεις βρυσες Α, Β και Γ. Η βρυση Α γεμιζει μονη της τη δεξαμενη σε 8 ωρες, η βρυση Β γεμιζει μονη της τη δεξαμενη σε 4 ωρες, ενω η βρυση Γ αδειαζει τη δεξαμενη σε 6 ωρες. Αν οι τρεις βρυσες ειναι ανοικτες ταυτοχρονα, σε ποσες ωρες θα γεμισει η δεξαμενη; Σε εναν διψηφιο αριθμο το ψηφιο των μοναδων ειναι αριθμος μεγαλυτερος κατα απο το ψηφιο των δεκαδων. Αν διαιρεσουμε τον διψηφιο αυτον αριθμο με το αθροισμα των ψηφιων δεκαδων και μοναδων βρίσκουμε πηλικο 4 και υπολοιπο 6. Να βρεθει ο διψηφιος αυτος αριθμος Σε μια ταξη Λυκειου διοργανωθηκε πρωταθλημα σκακιου. Την πρωτη μερα εγιναν μονο καποιοι αγωνες στους οποιους οι δυο αντιπαλοι ηταν ενα αγορι και ενα κοριτσι. Στους αγωνες αυτους της πρωτης μερας πηραν μερος τα /3 του αριθμου των κοριτσιων της ταξης και τα 3/4 του αριθμου των αγοριων της τάξης. Αν η ταξη εχει συνολικα 34 παιδια να βρειτε: ποσα αγορια και ποσα κοριτσια εχει η ταξη ποσα παιδια δεν πηραν μερος την πρωτη μερα στους αγώνες. Αν ο Α εκτελει ενα εργο σε α ωρες και ο Β σε β ωρες, τοτε αν συνεργαστουν και εκτελε - σουν το εργο σε ωρες, η εξι - σωση που αποδιδει το προβλη - μα ειναι : + = α β Ενας διψηφιος αριθμος γραφεται : y=0+y Aν τωρα y=+ τοτε... Αν κοριτσια τοτε 34 - τα αγορια. Αρα τη πρωτη μερα πηραν μερος : 3 κοριτσια και (34 - ) 3 4 αγορια και...

10 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 0 M ε θ ο δ ο ς ( Λ υ σ η ε ξ ι σ ω σ η ς μ ε ι δ ι α α π ο λ υ τ α ) - - Να λυθει η εξισωση : + = ο Βημα : Μετατρεπουμε ολα τα απολυτα, ωστε να γινουν ιδια ( εχουμε το δικαιωμα να αλ - λαξουμε τα προσημα ενος απολυτου καθως και να βγαλουμε κοινο παραγοντα) = ο Βημα : Λυνουμε σαν εξισωση ου βαθμου με αγνωστο το απολυτο = = = = = 6 3ο Βημα : Εχοντας υποψιν οτι, αν : α. f() = θ > 0, τοτε f() = ± θ β. f() = α < 0, τοτε η εξισωση ειναι αδυνατη, λυνουμε τις δυο εξισωσεις που προκυπτουν η αναφερουμε οτι η εξισωση ειναι αδυνατη. - = 6 = 6 + = 7 - = -6 = -6 + = -5 M ε θ ο δ ο ς ( Λ υ σ η ε ξ ι σ ω σ η ς μ ε δ ι α φ ο ρ ε τ ι κ α α π ο λ υ τ α ) Να λυθει η εξισωση : = ο Βημα : Βρισκουμε τις τιμες που μηδενιζουν καθε απολυτο και σχηματιζουμε πινακα προσημων των απολυτων, για το καθε διαστημα που δημιουργηθηκε. - μηδενιζει για = -4 μηδενιζει για = ο Βημα : Λυνουμε την εξισωση ξεχωριστα σε καθε διαστημα που δημιουργηθηκε. Για <, η εξισωση γινεται : = - - = = - 4 = (απορριπτεται, < ). 3 Για <, η εξισωση γινεται : = - = = - = (απορριπτεται, < ). Για, η εξισωση γινεται : = + = = 6 = (δεκτη).

11 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ - 4 = 6-4 = 0-4 = = = 3 4 Ειναι - 4 = 6 = 0-4 = 0-4 = 0 = 4-4 = 6 η η - 4 = -6 = = -3 ειναι αδυνατη αφου - 3 < = = = = - 3 η η 3 - = = + 3 = 9 = 9 η η 5 = 5 = 3 α = -α ( - 4) ( - 4) + = + = = = = = 0-4 = 0 = 4 - = = Ειναι Aν < 0 τοτε η εξισωση ειναι αδυνατη. 5 Aν > 0, δηλαδη > -, τοτε - = = = 6 - = = { = -3 (απορριπτεται αφου - 3 < - ) = - (δεκτη αφου - > - )} >0-3 + = = - 3 = - 3 = - 3 = - = 4 =

12 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ - = = 0 Ισχυει : - 0, οποτε η εξισωση : =, αν 0 - = = = 4 + =-, αν <0 4 =, αν 0 4 = 4 +, αν 0 3 = 4, αν = 4 +, αν < 0-5 = 4, αν < 0 4 = -, αν < 0 5 = = = = 0 ( -) - ( -) = 0 ( -)( -) = 0 - = 0 = - = 0 = = ± = ± Να λυθει η εξισωση : = 0 Τα απολυτα μηδενιζουν για =, = και = 3. Οποτε θα εξετασουμε την εξισωση στα διαστηματα : (-,), [, ), [, 3) και [3, + ). Στο : (-,) ειναι : - = - +, - = - +, - 3 = και η εξισωση γινεται : 3(- + ) + (- + ) - (- + 3) = = = 0 = (απορριπτεται αφου (-,)). Στο :[, ) ειναι : - = -, - = - +, - 3 = και η εξισωση γινεται : 3( - ) + (- + ) - (- + 3) = = 0 - = 0 = (δεκτη αφου [, ) ). Στο :[, 3) ειναι : - = -, - = -, - 3 = και η εξισωση γινεται : 5 3( - ) + ( - ) - (- + 3) = = = 0 = 3 5 (απορριπτεται αφου [, 3)). 3 Στο :[3, + ) ειναι : - = -, - = -, - 3 = - 3 και η εξισωση γινεται : 3( - ) + ( - ) - ( - 3) = = = 0 = (απορριπτεται αφου [3, + )). Αρα η εξισωση εχει μια λυση, την =.

13 ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 3 - = = = = = = = = = 6 - = 6- (3 - ) = = = = 3-5 Ισχυει : = θ Αν = θ, θ > 0 τοτε η = -θ = α Αν = α τοτε η = -α Ισχυει : = θ Αν = θ, θ > 0 τοτε η = -θ = α Αν = α τοτε η = -α α = α Bρισκουμε τις τιμες του που μηδενιζουν τα απολυτα και ε - ξεταζουμε την εξισωση στα δι - αστηματα που σχηματιζονται απ'αυτες τις τιμες. Ελεγχουμε αν η λυση που βρισκουμε καθε φορα, ανηκει στο διαστημα που εξεταζουμε την εξισωση.

14 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 4 Λ υ σ η Ε ξ ι σ ω σ η ς ο υ β α θ μ ο υ Εξισωση ου βαθμου μ εναν αγνωστο, ειναι η εξισωση με :α²+β+γ=0 με α,β,γ και α 0. Διακρινουσα της εξισωσης δευτερου βαθμου, λεγεται η αλγεβρικη παρασταση: Δ=β -4αγ. Λυση της εξισωσης δευτερου βαθμου: Αν Δ > 0 τοτε η εξισωση εχει δυο ριζες ανισες στο τις ρ₁ ₂ = -β ± Δ. α Αν Δ = 0 τοτε η εξισωση εχει διπλη ριζα ρ = -β α. Αν Δ < 0 τοτε η εξισωση δεν εχει ριζα στο, δηλαδη ειναι αδυνατη στο. Παρατηρηση. Η εξισωση δευτερου βαθμου εχει πραγματικες ριζες αν και μονο αν: Δ 0.. Η εξισωση δευτερου βαθμου εχει δυο πραγματικες και ανισες ριζες αν οι α και γ ειναι ετεροσημοι. 3. H εξισωση της μορφης: α 4 +β +γ=0 με α,β,γ και α 0, λεγεται διτετραγωνη και η λυση της γινεται με την αντικατασταση: =y, οποτε α 4 +β +γ=0 αy +βy+γ=0. Α π ο δ ε ι ξ η α + β + γ = 0 Δ=β -4αγ + + = = 0 β β γ β β - 4αγ + = - + = α 4α α α 4α β γ β β β γ α α α α α α β Δ β Δ -β ± Δ Αν Δ > 0 : + = + = ± = α 4α α α α β Δ + = () α 4α β β β Αν Δ = 0 : + = 0 + = = - α α α Αν Δ < 0 : Η () ειναι αδυνατη στο, οποτε η εξισωση δεν εχει ριζες στο.

15 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 5 Α θ ρ ο ι σ μ α - Γ ι ν ο μ ε ν ο Ρ ι ζ ω ν Ε ξ ι σ ω σ η ς ο υ β α θ μ ο υ Εστω η εξισωση: α +β+γ=0 με α 0, Δ 0 και ριζες,. To αθροισμα των ριζων, της εξιςωσης: α +β+γ=0 δινεται απο: β S = + = - () α To γινομενο των ριζων, της εξιςωσης: α +β+γ=0 δινεται απο: Ρ =. = γ α () Οι πιο πανω τυποι λεγονται τυποι του Vietta. Συμφωνα με τα πιο πανω η εξισωση: α +β+γ=0 μετασχηματιζεται: () α β γ β γ α + β + γ = = 0 - (- ) + = 0 - S + P = 0 α α α α α () Α π ο δ ε ι ξ η Oι ριζες της : α + β + γ = 0 ειναι : = και =. Τοτε S = + -β + Δ -β - Δ α α -β + Δ -β - Δ -β + Δ - β - Δ -β β = + = = = - α α α α α -β + Δ -β - Δ (-β + Δ)(-β - Δ) (-β) - ( Δ) β - Δ Ρ =. =. = = = = α α 4α 4α 4α β - β + 4αγ 4αγ γ = = = 4α 4α α M ε θ ο δ ο ς ( Λ υ σ η ε ξ ι σ ω σ η ς ο υ β α θ μ ο υ ) Να λυθει η εξισωση : ( - ) - ( + 3) = - ο Βημα : Κανουμε πραξεις και τη φερνουμε στη μορφη : Δ=β -4αγ α + β + γ = 0. ( - ) - ( + 3) = = 0 με α =,β = -5 και γ = 6. ο Βρισκουμε την διακρινουσα που ειναι ιση με : Δ = β - 4.α.γ. Δ = (-5) = 5-4 = -β ± Δ 3ο Βημα : Βρισκουμε τις ριζες της, με τη βοηθεια του τυπου : =., α = = -(-5) ± 5 ± = 3 = =, 5-4 = = = Στη περιπτωση που : β Δ = 0, τοτε η εξισωση εχει διπλη ριζα, την : = -. α Δ < 0, τοτε η εξισωση δεν εχει πραγματικες ριζες.

16 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 6 Σ η μ α ν τ ι κ ο 0. Δυο ριζες πραγματικες και ανισες 0. Δυο ριζες ισες 03. Καμμια πραγματικη ριζα 04. Δυο ριζες ετεροσημες 05. Δυο ριζες ετεροσημες ("θετικη" μεγαλυτερη) 06. Δυο ριζες ετεροσημες ("αρνητικη" μεγαλυτερη) 07. Δυο ριζες θετικες 08. Δυο ριζες θετικες και ανισες 09. Δυο ριζες θετικες και ισες 0. Μια ριζα θετικη και η αλλη μηδεν. Δυο ριζες αρνητικες. Δυο ριζες αρνητικες και ανισες 3. Δυο ριζες αρνητικες και ισες 4. Μια ριζα αρνητικη και η αλλη μηδεν 5. Μια ριζα το μηδεν 6. Δυο ριζες ισες με μηδεν 7. Δυο ριζες αντιστροφες 8. Δυο ριζες αντιθετες 9. Δυο ριζες ομοσημες 0. Δυο ριζες ομοσημες και διαφορετικες. Δυο ριζες ομοσημες και ισες 0. Δ > 0 και α 0 0. Δ = 0 και α Δ < Ρ < Ρ < 0 και S > Ρ < 0 και S < Δ 0 και Ρ > 0 και S > Δ > 0 και Ρ > 0 και S > Δ = 0 και S > 0 0. P = 0 και S > 0. Δ 0 και Ρ > 0 και S < 0. Δ > 0 και Ρ > 0 και S < 0 3. Δ = 0 και S < 0 4. P = 0 και S < 0 5. P = 0 6. Δ = 0 και P = 0 7. Δ 0 και P = 8. P < 0 και S = 0 9. Δ 0 και P > 0 0. Δ > 0 και P > 0. Δ = 0 και P > 0

17 Δινεται η εξισωση ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 7 + ( - λ) - λ = 0 (Ι). Αν η μια ριζα της ειναι το -, να δειξετε οτι ο λ ισουται με την αλλη ριζα. Aν η εξισωση (Ι) εχει διπλη ριζα, τοτε να δειξετε οτι ο λ ισουται με τη ριζα αυτη. Αφου το - 3 ειναι ριζα της εξισωσης, τοτε την επαληθευει. Δηλαδη (-3) + ( - λ)(-3) - λ = λ - λ = 0 λ = 6 λ = 3 Οποτε η (Ι) γινεται : Δ = 4 + = 6 + ( - 3) - 3 = = 0 ± 4 3 = = ± = - Oποτε η αλλη ριζα ειναι το 3 και λ = 3. Η εξισωση (Ι) προκειμενου να εχει διπλη ριζα πρεπει : Δ = 0 ( - λ) - 4..(-λ) = 0 - λ + λ + 4λ = 0 λ + λ + = 0 (λ + ) = 0 λ + = 0 λ = -. Επισης -( - λ) - + λ - + (-) = = = = = = -. Αρα ο λ ισουται με τη διπλη ριζα.. Δινεται η εξισωση (λ - ) Να βρειτε τις τιμες του λ, ωστε η (Ι) : + λ + λ - = 0 (Ι). να εχει μονο μια ριζα, την οποια να βρειτε. να εχει δυο πραγματικες και ανισες ριζες. να εχει μια διπλη ριζα, που θα βρειτε. Αφου η (Ι) εχει μονο μια ριζα, τοτε δεν ειναι εξισωση δευτερου βαθμου. Οποτε πρεπει, λ - = 0 λ = Για λ = η (Ι) γινεται : 4 + = 0 = - 4 Η εξισωση (Ι) προκειμενου να εχει διπλη ριζα πρεπει : να μην εχει πραγματικη ριζα. Δ = 0 (λ) - 4.(λ - ).(λ - ) = 0 4λ - 4λ + 4λ + 8λ - 8 = 0 λ = 8 λ =. Επισης, η διπλη ριζα ειναι : λ -λ = = = = = = = 0.(λ - ) λ Η εξισωση (Ι), προκειμενου να εχει δυο ριζες πραγματικες ανισες, πρεπει : Δ > 0 (λ) - 4.(λ - ).(λ - ) > 0 4λ - 4λ + 4λ + 8λ - 8 > 0 λ > 8 λ >. 3 Η εξισωση (Ι), προκειμενου να μην εχει ριζες πραγματικες, πρεπει : Δ < 0 (λ) - 4.(λ - ).(λ - ) < 0 4λ - 4λ + 4λ + 8λ - 8 < 0 λ < 8 λ <. 3 3

18 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 8 Δινεται η εξισωση - λ + λ - = 0 (Ι) με ριζες ρ και ρ. 4 3 Αν οι αριθμοι 3, ρ, ρ ειναι πλευρες τριγωνου, να δειξετε οτι : λ (, ). Δ = (-λ) - 4..(λ - ) = 4λ - 4λ + = (λ - ) 4 λ + (λ - ) λ + λ - 4λ - = = = λ ± (λ - ) =, λ - (λ - ) λ - λ + = = = 4λ - Eπειδη 3,, αποτελουν μηκη πλευρων τριγωνου ισχυει η τριγωνικη ανισοτητα. Δηλαδη (+) 4λ - 5 4λ < < 3 + < < 5 < 4λ - < 7 (:4) < 4λ - + < < 4λ < 8 < λ < < λ <. Αρα λ (,). 4 4 Δινεται η εξισωση = 0 με ριζες τις και. Χωρις να λυσετε, να υπολογισετε τις παραστασεις : 3 3 Α = + B = + Γ = ( - ) Δ = Δινεται η εξισωση Να υπολογισετε το λ ωστε : + = 3. + (λ - ) - λ = 0 με ριζες τις και. β γ -6 S = + = - = - = - () Ρ =. = = = -6 () α α () () Α = + = ( + ) -. =(-) - (-6) = + = 3 B = + = ( + )( 3 3 = (-)[3 - (-6)] = -9 (,) Α= ) = ( + )[( + ) -. ] = () Α=3 Γ = ( - ) = -. + = ( + ) -. = 3 - (-6) = 5 () ( + ) + 4 Δ = + = = = + + ( + )( + ) ( + ) () = = = - (-) + (-6) β λ - γ -λ S = + = - = - = -λ + (3) Ρ =. = = = -λ (4) α α () () + = 3 ( + ) -. = 3 (-λ + ) - (-λ) = 3 λ - 4λ λ - 3 = 0 λ - 9 = 0 λ = 9 λ = ± 9 λ = ±3

19 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 9 Δινεται η εξισωση - λ + λ - = 0. Για ποιες τιμες του λ η εξισωση εχει : Δυο ριζες ετεροσημες. Δυο ριζες αντιστροφες. Ειναι Δυο ριζες θετικες ανισες. Δυο ριζες αντιθετες. β -λ γ λ - α α Η εξισωση εχει δυο ριζες ετεροσημες, αν : Ρ < 0 λ - < 0 λ < Δ = (-λ) - 4..(λ - ) = (λ - ) S = + = - = - = λ Ρ =. = = = λ - Η εξισωση εχει δυο ριζες θετικες ανισες, αν : Δ > 0 (λ - ) > 0 λ λ S > 0 λ > 0 λ > 0 λ (, )U(, + ) λ > Ρ > 0 λ - > 0 λ > Η εξισωση εχει δυο ριζες αντιστροφες, αν : Δ 0 (λ - ) 0 λ λ = Ρ = λ - = λ = Η εξισωση εχει δυο ριζες αντιθετες, αν : Δ > 0 (λ - ) > 0 λ λ = 0 S = 0 λ = 0 λ = 0 Δινεται η εξισωση λ = 0 με ριζες τις και. Να βρεθει ο λ ωστε η εξισωση να εχει δυο ριζες που η μια ειναι διπλασια της αλλης. Για την πιο πανω τιμη του λ, να κατασκευασετε εξισωση που εχει ριζες : και. β -3 γ λ Ειναι : + = - = - = 3 (). = = = λ () α α Αν =, τοτε οι () και () γινονται : + = 3 3 = 3 = λ =. = λ = λ. = λ η οποια ειναι δεκτη γιατι, για λ = η διακρινουσα ειναι : Δ = (-3) = 9-8 = > 0 που σημαινει οτι η εξισωση εχει δυο πραγματικες και ανισες ριζες. Για λ - η εξισωση γινεται : = 0 και + = 3, Oποτε, αν ρ = και ρ =, τοτε.. - (ρ + ρ ) + ρ.ρ. =. + ( + ) ρ + ρ = + = = = = ρ.ρ =. = Αρα η ζητουμενη εξισωση ειναι : = = = 0 5

20 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 0 Αν οι ριζες της εξισωσης - (α - β) - αβ = 0 ειναι αντιθετες και οι ριζες της ε - ξισωσης α α - 3αβ = 0 ειναι αντιστροφες τοτε : να βρεθουν οι τιμες των πραγματικων αριθμων α και β. να λυσετε την πρωτη εξισωση, για τις τιμες των α και β που βρηκατε πιο πανω. Αφου οι ριζες της εξισωσης - (α - β) - αβ = 0 ειναι αντιθετες, τοτε : Δ > 0 (α - β) + 4αβ > 0 α - 4αβ + 4β + 4αβ > 0 α + 4β > S = 0 α - β = 0 α = β α = β Αφου οι ριζες της εξισωσης α α - 3αβ = 0 ειναι αντιστροφες τοτε : 5-4α(α - 3αβ) > 0 5-4α.α > 0 5 Δ 0 5-4α > 0 α < α - 3αβ α(α - 3β) 4 Ρ = = = α - 3β = α 0 α = β () α α - 3β = () - < α < - < β < - < β < β = (δεκτη), οποτε α =. α - 3β =.β - 3β = β = Για α = και β = η πρωτη εξισωση γινεται : - ( -.) -. = 0 - = 0 = = ±. 4 () : + - = () : = 0 Θετουμε = y, οποτε η () γινεται : y + y - = 0 y - y + y - = 0 y(y - ) + 3(y - ) = 0 (y - )(y + 3) = 0 y - = 0 y = Για y = τοτε = = ± y + 3 = 0 y = -3 Για y = -3 τοτε = -3 αδυνατη. Αρα το συνολο λυσεων ειναι : {-,}. Για + = y τοτε ( + ) = y + + = y + = y -. Για 0, διαιρουμε την ( ) με, οποτε προκυπτει : + =y + =y = = 0 y = 0 y = 0 y - + y + = 0 y + y = 0 y(y + ) = 0 y + = 0 y = - 0 Για y = 0 τοτε + = 0 + = 0, αδυνατη Για y = - τοτε - = - - = = 0 ( + ) = 0 + = 0 = -. Αρα το συνολο λυσεων ειναι : {-}.

21 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ () : ( - + ) - 6( - + ) + 5 = 0 () : ( - ) = 0 Θετουμε - + = y, οποτε η () γινεται : y - 6y + 5 = 0 y - y - 5y + 5 = 0 y - = 0 y = y(y - ) - 5(y - ) = 0 (y - )(y - 5) = 0 y - 5 = 0 y = 5 = Για y = τοτε - + = - + = 0 ( - ) = 0 Για y = 5 τοτε - + = = = 0 + = 0 ( - 3) + ( - 3) = 0 ( + )( - 3) = 0-3 = 0 Αρα το συνολο λυσεων ειναι : {-,, 3}. = - = 3 Θετουμε Eιναι, ( - ) = = 0 ω - 8ω + 5 = 0 - =ω ω = 3 ω = 5 ω - 3ω - 5ω + 5 = 0 ω(ω - 3) - 5(ω - 3) = 0 (ω - 3)(ω - 5) = 0 - = 3 = 4 Για ω = 3 τοτε - = 3 - = -3 = - Αρα το συνολο λυσεων ειναι : {-4, -, 4, 6} - = 5 = 6 Για ω = 5 τοτε - = 5 - = -5 = -4 () : = 0 () : = 0 Για - 0 η () γινεται : - 3( - ) - = = = = 0 - = 0 = ( - ) - ( - ) = 0 ( - )( - ) = 0 - = 0 = Για - < 0 < η () γινεται : - 3(- + ) - = = = = = 0 = -4 ( + 4) - ( + 4) = 0 ( + 4)( - ) = 0 - = 0 = απορριπτεται αφου < Αρα το συνολο λυσεων ειναι : {-4,,} = 0-3 = ( - 3) = ( - ) = = = = = 0 = απορριπτεται ( - ) - 5( - ) = 0 ( - )( - 5) = 0-5 = 0 = 5 Αρα το συνολο λυσεων ειναι : {5}.

22 ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Δινεται η εξισωση - (λ + 3) + λ + 4 = 0 (Ι). Αν η μια ριζα της ειναι το, να δειξετε οτι ο λ ι - σουται με την αλλη ριζα. Να δειξετε οτι η εξισωση - (α + β + γ) + αβ + βγ + γα = 0 (ΙΙ) εχει δι - πλη ριζα, μονο αν α = β = γ. Να δειξετε οτι η εξισωση α + β + γ = 0 (ΙΙΙ) εχει ριζα τον αριθμο -, μονο αν β = α + γ. Η εξισωση α + β + γ = 0 εχει : δυο πραγματικες ανισες ριζες, αν Δ > 0. μια διπλη ριζα, αν Δ = 0. καμμια πραγματικη ριζα, αν Δ < 0. Δινεται η εξισωση (λ - 3λ + ) + (λ - ) + 3 = 0 (Ι). Να βρειτε τις τιμες του λ, ωστε η (Ι) : να εχει μονο μια ριζα, την οποια να βρειτε. να εχει μια διπλη ριζα, την οποια να βρειτε. να εχει δυο πραγματικες και ανισες ριζες. να μην εχει πραγματικη ριζα. Δινεται η εξισωση - (λ + ) + λ = 0 (Ι) με ριζες ρ και ρ. Αν οι αριθμοι, ρ, ρ ειναι πλευρες τριγωνου, να δειξετε οτι : λ (, 3). Δινεται η εξισωση = 0 με ριζες τις και. Χωρις να λυσετε, υπολογιστε τις : Α = + B = + Γ = ( - )( - ) Δινεται η εξισωση + (λ + ) - - λ = 0 με ριζες τις και. Να υπολογισετε το λ ωστε : + =. 3 Αν α και β ειναι ριζες της εξισωσης = 0, τοτε να λυθει το συστημα : α β (α - β) + + y = α β + αβ β α 3 3 (α - β ) - ( - α)( - β)y = 4 Η εξισωση α + β + γ = 0 εχει : δυο πραγματικες ανισες ριζες, αν Δ > 0. μια διπλη ριζα, αν Δ = 0. καμμια πραγματικη ριζα, αν Δ < 0. Αν α, β, γ ειναι πλευρες τριγω - νου, τοτε : β - γ < α < β + γ α - γ < β < α + γ β - α < γ < β + α Για την εξισωση α + β + γ = 0, το αθροισμα και το γινομενο των ριζων της δινεται απο : β γ S = - και Ρ = α α Ισχυει : + = ( + ) ) ± = ( ± )(.

23 ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 3 Δινεται η εξισωση - λ + 3 = 0 με ριζες τις και. Να βρεθει ο λ ωστε η εξισωση να εχει δυο ριζες που η μια ειναι τριπλασια της αλλης. Για τις πιο πανω τιμες του λ, να κατασκευασετε εξισωση που εχει ριζες : -, -. β γ S = - και Ρ = α α Αν α και β ειναι ριζες εξισω - σης δευτερου βαθμου, τοτε αυ - τη εχει μορφη : - (α + β) + αβ = 0 Δινεται η εξισωση 4 + 4(3λ + ) + 9λ - 36 = 0. Για ποιες τιμες του λ η εξισωση εχει : Δυο ριζες ετεροσημες. Δυο ριζες αντιστροφες. 4-3α - 4α = γ + (α γ - β γ ) - α β = = 0 Δυο ριζες oμοσημες. Δυο ριζες αντιθετες. Αν οι ριζες της εξισωσης - (5λ - 6μ) - = 0 ει - ναι αντιθετες και οι ριζες της εξισωσης λ λμ + λ = 0 ειναι αντιστροφες, τοτε : να βρεθουν οι τιμες των πραγματικων αριθμων λ και μ. να λυσετε τις εξισωσεις, για τις τιμες των λ και μ που βρηκατε. β γ Βρες : Δ, - και και χρησι - α α μοποιησε τον δοσμενο πινακα. β γ Βρες : Δ, - και και χρησι - α α μοποιησε τον δοσμενο πινακα. Για εξισω σεις της μορφης : 0, αντικαθιστουμε = 4 α + β + γ = y Για εξισωσεις της μορφης : 4 3 α + β + γ + β + α = 0 : Διαιρουμε με αντικαθιστουμε : y = + οποτε : + = y - y = - οποτε : + = y +. ( + - 3) + ( + + 4) - 9 = 0 ( - ) = Αντικαθιστουμε τις ιδιες παρεν - θεσεις η τα ιδια απολυτα με y και λυνουμε τις δευτεροβαθμιες = = 7 Λυνουμε σε δυο διαστηματα, λογω του απολυτου. Βαζουμε περιορισμους, λογω του ριζικου.

3. Να δειχτει οτι α α. Ποτε ισχυει το ισον; 2. Aν α, β θετικοι, να συγκρινεται τους αριθμους Α = βα + β, Β = α β + αβ

3. Να δειχτει οτι α α. Ποτε ισχυει το ισον; 2. Aν α, β θετικοι, να συγκρινεται τους αριθμους Α = βα + β, Β = α β + αβ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1 Α ν ι σ ω σ η 1 ο υ β α θ μ ο υ 3. Να δειχτει οτι α + 110 0α. Ποτε ισχυει το ισον; Μορφη: αx + β > 0 με α,β. Aν α, β θετικοι, να συγκρινεται τους αριθμους Α = βα + β, Β = α β + αβ Αν α > 0

Διαβάστε περισσότερα

Εξίσωση 1 η 1 ο μέλος 2 ο μέλος

Εξίσωση 1 η 1 ο μέλος 2 ο μέλος 1 Παραδείγματα (επανάληψη) Συντελεστής του αγνώστου x. Εξίσωση 1 η 1 ο μέλος 2 ο μέλος Ε ξ ι σ ώ σ εις 1 ο υ β α θ μ ο ύ 2x + 2 = x - 1 Άγνωστος x Γνωστός Eπίλυση 1 ος τρόπος Μπορούμε να γράψουμε την εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

3.1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ

3.1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΑΠΛΗ ΜΟΡΦΗ Κάθε εξίσωση που έχει ή μπορεί να πάρει τη μορφή : α+β=0 ή α=-β () λέγεται εξίσωση ου βαθμού (ή πρωτοβάθμια εξίσωση), με άγνωστο το, ενώ

Διαβάστε περισσότερα

3. Να δειχτει οτι α α. Ποτε ισχυει το ισον; αx + βy = γ

3. Να δειχτει οτι α α. Ποτε ισχυει το ισον; αx + βy = γ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Γραμμικη εξισωση με δυο αγνωστους λεγεται καθε εξισωση της μορφης: 3. Να δειχτει οτι α + α. Ποτε ισχυει το ισον; α + β = γ Λυση της πιο. Aν πανω α, β εξισωσης θετικοι, να ειναι συγκρινεται καθε

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού

3.1 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού 1 3.1 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού 1. Να διερευνήσετε την εξίσωση. Ισχύει: Διακρίνουμε τώρα τις περιπτώσεις: Αν τότε: ΘΕΩΡΙΑ Απάντηση Επομένως, αν η εξίσωση έχει ακριβώς μία λύση, την. Αν, τότε η εξίσωση γίνεται,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός Αγαπητοί μαθητές. αυτό το βιβλίο αποτελεί ένα βοήθημα στην ύλη της Άλγεβρας Α Λυκείου, που είναι ένα από

Διαβάστε περισσότερα

Εξισώσεις πρώτου βαθμού

Εξισώσεις πρώτου βαθμού Εξίσωση ου βαθμού με ένα άγνωστο 0ρισμός Εξισώσεις πρώτου βαθμού Κάθε εξίσωση που έχει ή μπορεί να πάρει τη μορφή αχ=β λέγεται εξίσωση ου βαθμού με ένα άγνωστο. Σε μια εξίσωση η μεταβλητή λέγεται άγνωστος.οι

Διαβάστε περισσότερα

12. ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Α ΒΑΘΜΟΥ. είναι δύο παραστάσεις μιας μεταβλητής x πού παίρνει τιμές στο

12. ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Α ΒΑΘΜΟΥ. είναι δύο παραστάσεις μιας μεταβλητής x πού παίρνει τιμές στο ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΑΝΙΣΩΣΕΩΝ Έστω f σύνολο Α, g Α ΒΑΘΜΟΥ είναι δύο παραστάσεις μιας μεταβλητής πού παίρνει τιμές στο Ανίσωση με έναν άγνωστο λέγεται κάθε σχέση της μορφής f f g g ή, η οποία αληθεύει για ορισμένες

Διαβάστε περισσότερα

α έχει μοναδική λύση την x α

α έχει μοναδική λύση την x α ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Να εξετάσετε ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές και ποιες είναι λάθος.. H εξίσωση ( α)( β) ( β)( γ) έχει τις ίδιες λύσεις με την εξίσωση α γ για οποιεσδήποτε τιμές των

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3.1 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού Επιμέλεια Σημειώσεων: Ντάνος Γιώργος ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3.1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 1

Κεφάλαιο 3.1 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού Επιμέλεια Σημειώσεων: Ντάνος Γιώργος ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3.1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 1 Κεφάλαιο 3.1 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού Επιμέλεια Σημειώσεων: Ντάνος Γιώργος ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3.1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 1 Εξίσωση πρώτου βαθμού ή πρωτοβάθμια εξίσωση με άγνωστο x ονομάζεται κάθε εξίσωση της μορφής

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση εξισώσεων δευτέρου βαθμού με ανάλυση σε γινόμενο παραγόντων

Επίλυση εξισώσεων δευτέρου βαθμού με ανάλυση σε γινόμενο παραγόντων ΜΕΡΟΣ Α. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 69. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ Ορισμός Ονομάζουμε εξίσωση ου βαθμού με έναν άγνωστο κάθε ισότητα που έχει την μορφή α +β+ γ = 0 με α 0 (ο είναι ο άγνωστος της εξίσωσης,

Διαβάστε περισσότερα

11. Ποιες είναι οι άμεσες συνέπειες της διαίρεσης;

11. Ποιες είναι οι άμεσες συνέπειες της διαίρεσης; 10. Τι ονομάζουμε Ευκλείδεια διαίρεση και τέλεια διαίρεση; Όταν δοθούν δύο φυσικοί αριθμοί Δ και δ, τότε υπάρχουν δύο άλλοι φυσικοί αριθμοί π και υ, έτσι ώστε να ισχύει: Δ = δ π + υ. Ο αριθμός Δ λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΠΡΑΞΕΙΣ

ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΠΡΑΞΕΙΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΠΡΑΞΕΙΣ Να δείξετε ότι (x 2) 3 + (3x 4) 3 + (6 4x) 3 = 3(x 2)(3x 4)(6 4x). Λύση Στο 1 0 μέλος βλέπουμε άθροισμα κύβων 3 αριθμών, εξετάζουμε αν έχουν άθροισμα 0, (x 2) + (3x 4) + (6

Διαβάστε περισσότερα

2.3 Πολυωνυμικές Εξισώσεις

2.3 Πολυωνυμικές Εξισώσεις . Πολυωνυμικές Εξισώσεις η Μορφή Ασκήσεων: Ασκήσεις που μας ζητούν να λύσουμε μια πολυωνυμική εξίσωση.. Να λυθούν οι εξισώσεις: i. + + + 6 = 0 ii. 7 = iii. ( + ) + 7 = 0 iv. 8 + 56 = 0 i. + + + 6 = 0 (

Διαβάστε περισσότερα

Α. ΔΙΑΤΑΞΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

Α. ΔΙΑΤΑΞΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΜΕΡΟΣ Α.5 ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ-ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΕΝΑΝ ΑΓΝΩΣΤΟ 9. 5 ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ- ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΕΝΑΝ ΑΓΝΩΣΤΟ Α. ΔΙΑΤΑΞΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΟΡΙΣΜΟΙ Εάν έχουμε δύο πραγματικούς αριθμούς α και β τότε λέμε ότι ο α είναι μεγαλύτερος

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφ. 1 - Συστήματα 1

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφ. 1 - Συστήματα 1 ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφ. 1 - Συστήματα 1 1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Η εξίσωση α + βy = γ 1. Υπάρχουν προβλήματα που η επίλυση τους οδηγεί σε μια γραμμική εξίσωση με δύο αγνώστους, y και η οποία είναι της μορφής

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) Τοα R σημαίνει ότι οι συντελεστές δεν περιέχουν την μεταβλητή x. αντικ σταση στο που = α. [ ο αριθµ ός πουτο µηδεν ίζει

( ) ( ) Τοα R σημαίνει ότι οι συντελεστές δεν περιέχουν την μεταβλητή x. αντικ σταση στο που = α. [ ο αριθµ ός πουτο µηδεν ίζει μέρος πρώτο v v 1 v 1 Γενική μορφή πολυωνύμου: ( ) 1 1 Όροι του ( ) v v v P = a v + av 1 + av +... + a + a 1 + a, ν Ν, α ν R Τοα R σημαίνει ότι οι συντελεστές δεν περιέχουν την μεταβλητή. P : a, a, a,...,

Διαβάστε περισσότερα

2.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ

2.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ Ρητός ονομάζεται κάθε αριθμός που έχει ή μπορεί να πάρει τη μορφή κλάσματος, όπου, είναι ακέραιοι με 0. Ρητοί αριθμοί : Q /, 0. Έτσι π.χ.

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ & ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ & ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ & ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ . ΣΥΝΟΛΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τα σύνολα των αριθμών είναι τα εξής : i. Φυσικοί αριθμοί : 0,,,,......,,,,0,,,,...

Διαβάστε περισσότερα

1. Να λυθούν οι παρακάτω εξισώσεις : α. 3

1. Να λυθούν οι παρακάτω εξισώσεις : α. 3 . Να λυθούν οι παρακάτω εξισώσεις : α. 0 6 β. ( + ) + ( ) = ( + ) γ. ( + ) 4 = ( ) δ. ( 7) + = ε. ( ) + ( + 4)( 4) + 8 = ( + ) στ. ( 7) + = ζ. ( ) = ( )( 4) + 9. Ομοίως : α. ( + 5) (9 5) + 6 + 0 = 0 β.

Διαβάστε περισσότερα

Εξισώσεις. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. A ΛΥΚΕΙΟΥ κεφάλαιο ασκήσεις. εκδόσεις. Καλό πήξιμο / 8 /

Εξισώσεις. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. A ΛΥΚΕΙΟΥ κεφάλαιο ασκήσεις. εκδόσεις. Καλό πήξιμο / 8 / Εξισώσεις Κώστας Γλυκός ΙΙ Ι δδ ιι ι αα ίί ί ττ εε ρρ αα μμ αα θθ ήή μμ αα ττ αα 6 9 7.. 8 8. 8 8 Kgllykos..gr 7 / 8 / 8 A ΛΥΚΕΙΟΥ κεφάλαιο 5 ασκήσεις και τεχνικές σε 6 σελίδες εκδόσεις Καλό πήξιμο Επιλεγμένες

Διαβάστε περισσότερα

A N A B P Y T A ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ. 1 (α + β + γ) [(α-β) 2 +(α-γ) 2 +(β-γ) 2 ] και τις υποθέσεις

A N A B P Y T A ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ. 1 (α + β + γ) [(α-β) 2 +(α-γ) 2 +(β-γ) 2 ] και τις υποθέσεις ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ ΑΣΚΗΣΗ η Αν α +β +γ = αβγ και α + β + γ, να δείξετε ότι το πολυώνυμο P()=(α β) +(β γ) + γ α είναι το μηδενικό πολυώνυμο. Από την ταυτότητα του Euler α +β +γ -αβγ = (α + β + γ)[(α-β)

Διαβάστε περισσότερα

1) Μέθοδος επίλυσης οποιασδήποτε εξίσωσης Β Βαθμού. Έστω η δευτεροβάθμια εξίσωση : = 0 1. Μεταφέρουμε το σταθερό όρο στο δεύτερο μέλος δηλ.

1) Μέθοδος επίλυσης οποιασδήποτε εξίσωσης Β Βαθμού. Έστω η δευτεροβάθμια εξίσωση : = 0 1. Μεταφέρουμε το σταθερό όρο στο δεύτερο μέλος δηλ. 1 Εξισώσεις Β Βαθμού Εξίσωση 2 ου βαθμού μ έναν άγνωστο, είναι η εξίσωση με μορφή : αx²+βx+γ=0 με α, β, γ R και α 0. 1) Μέθοδος επίλυσης οποιασδήποτε εξίσωσης Β Βαθμού Έστω η δευτεροβάθμια εξίσωση : =

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 8. Πότε το γινόμενο δύο ή περισσοτέρων αριθμών παραγόντων είναι ίσο με το μηδέν ;

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 8. Πότε το γινόμενο δύο ή περισσοτέρων αριθμών παραγόντων είναι ίσο με το μηδέν ; ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ( ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ) ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ : Το κεφάλαιο αυτό περιέχει πολλά θέματα που είναι επανάληψη εννοιών που διδάχθηκαν στο Γυμνάσιο γι αυτό σ αυτές δεν θα επεκταθώ αναλυτικά

Διαβάστε περισσότερα

Πολυωνυμικές εξισώσεις και ανισώσεις Εξισώσεις και ανισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυμικές

Πολυωνυμικές εξισώσεις και ανισώσεις Εξισώσεις και ανισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυμικές 0 Πολυωνυμικές εξισώσεις και ανισώσεις Εξισώσεις και ανισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυμικές Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Για να λύσουμε μια πολυωνυμική εξίσωση P(x) 0 (ή μια πολυωνυμική ανίσωση P(x)

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ 3ο κεφάλαιο: Εξισώσεις ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ) Copyright 2014 Αποστόλου Γιώργος Αποστόλου Γεώργιος apgeorge2004@yahoo.com άδεια χρήσης 3η Εκδοση, Αύγουστος 2014 Περιεχόµενα 1

Διαβάστε περισσότερα

εξισώσεις-ανισώσεις Μαθηματικά α λυκείου Φροντιστήρια Μ.Ε. ΠΑΙΔΕΙΑ σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες

εξισώσεις-ανισώσεις Μαθηματικά α λυκείου Φροντιστήρια Μ.Ε. ΠΑΙΔΕΙΑ σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες Με τον διεθνή όρο φράκταλ (fractal, ελλ. μορφόκλασμα ή μορφοκλασματικό σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες ονομάζεται ένα γεωμετρικό σχήμα που επαναλαμβάνεται αυτούσιο σε άπειρο

Διαβάστε περισσότερα

Εξισώσεις. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. A ΛΥΚΕΙΟΥ κεφάλαιο ασκήσεις και τεχνικές σε 26 σελίδες. εκδόσεις. Καλό πήξιμο

Εξισώσεις. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. A ΛΥΚΕΙΟΥ κεφάλαιο ασκήσεις και τεχνικές σε 26 σελίδες. εκδόσεις. Καλό πήξιμο Εξισώσεις Κώστας Γλυκός A ΛΥΚΕΙΟΥ κεφάλαιο 3 445 ασκήσεις και τεχνικές σε 6 σελίδες ΙΙ Ι δδ ιι ι αα ίί ί ττ εε ρρ αα μμ αα θθ ήή μμ αα ττ αα 6 9 7. 3 0 0. 8 8. 8 8 Kgllykos..gr 9 / 0 / 0 6 εκδόσεις Καλό

Διαβάστε περισσότερα

Ορισμένες σελίδες του βιβλίου

Ορισμένες σελίδες του βιβλίου Ορισμένες σελίδες του βιβλίου 7. Θεωρούμε το σύνολο αναφοράς 0,,. Να οριστούν τα σύνολα: Α. των τριψηφίων αριθμών που σχηματίζουν τα στοιχεία του Ω. Β. των τριψηφίων αριθμών με διαφορετικά ψηφία Γ. των

Διαβάστε περισσότερα

4.1 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1 ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ

4.1 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1 ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 4.1 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1 ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 1 : ΑΠΛΗ ΜΟΡΦΗ Για να λύσω μια ανίσωση της μορφής : 0 ή 0 1 ος τρόπος : Λειτουργώ όπως και στις εξισώσεις πρώτου βαθμού, δηλαδή χωρίζω γνωστούς από αγνώστους, και

Διαβάστε περισσότερα

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46 ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο................................................ 7 1. Το Λεξιλόγιο της Λογικής.............................................. 11. Σύνολα..............................................................

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο. Πίνακας διερεύνησης της εξίσωσης Εξίσωση: αx 2 +βx+γ=0 (α 0) (Ε) Έχει ΥΟ ρίζες άνισες που δίνονται από τους τύπους x 1,2 =

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο. Πίνακας διερεύνησης της εξίσωσης Εξίσωση: αx 2 +βx+γ=0 (α 0) (Ε) Έχει ΥΟ ρίζες άνισες που δίνονται από τους τύπους x 1,2 = ΕΞΙΩΕΙ-ΑΝΙΩΕΙ ου ΒΑΘΜΟΥ - 38 - ΚΕΦΑΑΙΟ 4 ΚΕΦΑΑΙΟ 4 ο Εξισώσεις - Ανισώσεις β βαθµού 5.1. Μορφή και διερεύνηση της εξίσωσης β βαθµού Άθροισµα και γινόµενο των ριζών της Κάθε εξίσωση β βαθµού πριν τη λύσουµε,

Διαβάστε περισσότερα

Μ α θ η μ α τ ι κ α Γ Γ υ μ ν α σ ι ο υ

Μ α θ η μ α τ ι κ α Γ Γ υ μ ν α σ ι ο υ Α λ γ ε β ρ α Μ α θ η μ α τ ι κ α Γ Γ υ μ ν α σ ι ο υ Ε π ι μ ε λ ε ι α : Τ α κ η ς Τ σ α κ α λ α κ ο ς Α λ γ ε β ρ α Γ Γ υ μ ν α σ ι ο υ Με πολυ μερακι Για τους μικρους φιλους μου Τακης Τσακαλακος Κερκυρα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Γεώργιος Α. Κόλλιας - μαθηματικός. 150 ασκήσεις επανάληψης. και. Θέματα εξετάσεων

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Γεώργιος Α. Κόλλιας - μαθηματικός. 150 ασκήσεις επανάληψης. και. Θέματα εξετάσεων Γεώργιος Α. Κόλλιας - μαθηματικός Περιέχονται 50 συνδυαστικές ασκήσεις επανάληψης και θέματα εξετάσεων. Δεν συμπεριλαμβάνεται το κεφάλαιο των πιθανοτήτων, της γεωμετρικής προόδου, της μονοτονίας συνάρτησης,

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ-ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ-ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ-ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ.3 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ Α. Επίλυση εξισώσεων δευτέρου βαθμού με ανάλυση σε γινόμενο παραγόντων 1. ΕΡΩΤΗΣΗ Ποια εξίσωση λέγεται εξίσωση ου βαθμού

Διαβάστε περισσότερα

5.ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΡΩΤΟΥ ΒΑΘΜΟΥ

5.ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΡΩΤΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 5.ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΡΩΤΟΥ ΒΑΘΜΟΥ Για να επιλύσουμε μία παραμετρική εξίσωση ακολουθούμε τα παρακάτω βήματα: i) Βγάζω παρενθέσεις ii) Κάνω απαλοιφή παρανομαστών iii) Χωρίζω γνωστούς από αγνώστους (άγνωστος είναι

Διαβάστε περισσότερα

1.2 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού

1.2 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού 1.2 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού Διδακτικοί Στόχοι: Θα μάθουμε: Να κατανοούμε την έννοια της εξίσωσης και τη σχετική ορολογία. Να επιλύουμε εξισώσεις πρώτου βαθμού με έναν άγνωστο. Να διακρίνουμε πότε μια εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Άσκηση 3. Να λυθεί η εξίσωση: 2(x 1) x 2. 4 x (1). Λύση. Έχουμε, για κάθε x D : x 5 12x. 2x 1 6 (1) x 4. . Συνεπώς: D.

Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Άσκηση 3. Να λυθεί η εξίσωση: 2(x 1) x 2. 4 x (1). Λύση. Έχουμε, για κάθε x D : x 5 12x. 2x 1 6 (1) x 4. . Συνεπώς: D. Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β 77 τ/8 Αλγεβρα Α Λυκείου ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Αντώνης Κυριακόπουλος - Θανάσης Μαλαφέκας Επιμέλεια: Χρήστος Λαζαρίδης, Χρήστος Τσιφάκης Στα επόμενα, με D θα συμβολίζουμε το σύνολο ορισμού

Διαβάστε περισσότερα

1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο

1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο 1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο ΘΕΜΑ 1 ο α) Αν χ 1, χ ρίζες της εξίσωσης αχ +βχ+γ=0, 0 να δείξετε ότι S 1 και P 1 Μον. 10 β) Έστω η συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ Άσκηση 1 Δίνονται οι ανισώσεις: 3x και 2 x α) Να βρείτε τις λύσεις τους (Μονάδες 10) β) Να βρείτε το σύνολο των κοινών τους λύσεων (Μονάδες 15) α) Έχουμε 3x 2x x 2

Διαβάστε περισσότερα

1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.

1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. Κεφάλαιο Πραγματικοί αριθμοί. Οι πράξεις και οι ιδιότητές τους Κατανόηση εννοιών - Θεωρία. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή

Διαβάστε περισσότερα

Η Έννοια της εξίσωσης:

Η Έννοια της εξίσωσης: Η Έννοια της εξίσωσης: Θεωρία και λυμένα παραδείγματα Εξίσωση με έναν άγνωστο λέμε μια ισότητα η οποία περιέχει αριθμούς και έναν άγνωστο γράμμα ( μεταβλητή). Εξισώσεις είναι οι: χ+=8, χ-21=4,χ+1, 8χ=26.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ - 2 ου ΒΑΘΜΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 9). Να λυθούν οι εξισώσεις :

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ - 2 ου ΒΑΘΜΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 9). Να λυθούν οι εξισώσεις : ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ - ου ΒΑΘΜΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ). Να λυθούν οι εξισώσεις: α). + ( 3 ) 6 = 0 β). 4 ( 3 ) + 3 = 0 γ). + ( ) = 0 δ). 5 + 5 = 0 ε). 4( 3) + 5 + 6 6 = 0 στ).( + 3 ) ( 3 + ) ( 3 ) = 0 η). + (3 ) + (4 3 ) = 0

Διαβάστε περισσότερα

2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β Λυκει(ου ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β Λυκει(ου ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β Λυκει(ου ο ΓΕΛ ΣΥΚΕΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ -4 ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Επιμέλεια: ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

Πολυωνυμική εξίσωση βαθμού ν ονομάζεται κάθε εξίσωση της μορφής α ν x ν +α ν-1 x ν α 1 x+α 0 =0,με α 0,α 1,...

Πολυωνυμική εξίσωση βαθμού ν ονομάζεται κάθε εξίσωση της μορφής α ν x ν +α ν-1 x ν α 1 x+α 0 =0,με α 0,α 1,... 3 0 ΛΥΚΕΙΟ ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ Λ. ΒΟΥΛΓΑΡΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΟΥ ΑΝΑΓΟΝΤΑΙ ΣΕ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ Πολυωνυμική εξίσωση βαθμού ν ονομάζεται κάθε εξίσωση της μορφής α ν x ν +α ν-1 x ν-1 +...+α

Διαβάστε περισσότερα

Η ΕΞΙΣΩΣΗ :α x+β=0. Μοναδική λύση. α=0 και β 0 Αδύνατη. α=0 και β=0 Αληθεύει για κάθε τιμή του x Ταυτότητα

Η ΕΞΙΣΩΣΗ :α x+β=0. Μοναδική λύση. α=0 και β 0 Αδύνατη. α=0 και β=0 Αληθεύει για κάθε τιμή του x Ταυτότητα Η ΕΞΙΣΩΣΗ :α x+= ου Η εξίσωση αx+ = είναι μια εξίσωση 1 αθμού. Όπου x ο άγνωστος της εξίσωσής μας, όπου α ο συντελεστής του πρωτοάθμιου όρου, όπου ο σταθερός όρος. Για να έχει νόημα η εξίσωση θα πρέπει:

Διαβάστε περισσότερα

3. Να δειχτει οτι α α. Ποτε ισχυει το ισον; α, β θετικοι, να συγκρινεται τους αριθμους Α = α + β, Β = α β + αβ

3. Να δειχτει οτι α α. Ποτε ισχυει το ισον; α, β θετικοι, να συγκρινεται τους αριθμους Α = α + β, Β = α β + αβ TΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Τ ρ ι γ ω ν ο μ ε τ ρ ι κ ο ι Α ρ ι θ μ ο ι Ο ρ ι σ μ ο ι. Να δειχτει οτι α + α. Ποτε ισχυει το ισον; Ονομαζουμε ημx την τεταγμενη π/ του Μ (εντονο. Aν μπλε) α, β θετικοι, να συγκρινεται

Διαβάστε περισσότερα

Η Θεωρία που πρέπει να θυμάσαι!!!... b a

Η Θεωρία που πρέπει να θυμάσαι!!!... b a Κεφ. εξισώσεις ανισώσεις εξάσκησηεπανάληψη Τhe Ds that make a champion: Devotion, Desire, Discipline Η Θεωρία που πρέπει να θυμάσαι!!!... Μορφές Εξισώσεων Λύση ή ρίζα εξίσωσης Εξίσωση ου βαθμού ax + b

Διαβάστε περισσότερα

ςεδς ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 3 0 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Β ΒΑΘΜΟΥ ΔΙΩΝΥΜΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός

ςεδς ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 3 0 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Β ΒΑΘΜΟΥ ΔΙΩΝΥΜΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός 014 ςεδς ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 0 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Α ΒΑΘΜΟΥ ΔΙΩΝΥΜΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Β ΒΑΘΜΟΥ Βαγγέλης ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός ΣΗΜΕΙΩΜΑ Το παρόν φυλλάδιο είναι ένα τμήμα μιας προσωπικής

Διαβάστε περισσότερα

4. Να βρείτε τον βαθμό των πολυωνύμων ως προς χ, ως προς ψ και ως προς χ και ψ μαζί

4. Να βρείτε τον βαθμό των πολυωνύμων ως προς χ, ως προς ψ και ως προς χ και ψ μαζί 1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να εκτελέσετε τις προσθέσεις, όπου αυτό είναι δυνατόν α) χ 3 +5ψ 3 β) χ 3 +6χ 3 γ) 4χ 5 ω-7ωχ 5 δ) 3χ 5 +4χ ε) χ 4 +3χ 4 ζ) χ -χ η) χ +χ θ) χ +χ ι) χ+χ 3 κ) χ -χ λ) 3χ 4-4χ 4 μ) 3χ-3χ 3.

Διαβάστε περισσότερα

Θα ξέρεις τι λέγεται γραμμική εξίσωση με δύο αγνώστους. Λέγεται κάθε εξίσωση της μορφής αχ +βψ =γ. Θα ξέρεις τι είναι το σύστημα εξισώσεων

Θα ξέρεις τι λέγεται γραμμική εξίσωση με δύο αγνώστους. Λέγεται κάθε εξίσωση της μορφής αχ +βψ =γ. Θα ξέρεις τι είναι το σύστημα εξισώσεων 1. Θα ξέρεις τι λέγεται γραμμική εξίσωση με δύο αγνώστους. Λέγεται κάθε εξίσωση της μορφής αχ +βψ =γ. Θα ξέρεις τι είναι το σύστημα εξισώσεων Είναι ομάδα από δύο ή περισσότερες εξισώσεις των οποίων ζητάμε

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικές παραστάσεις - Αναγωγή οµοίων όρων

Αλγεβρικές παραστάσεις - Αναγωγή οµοίων όρων Αλγεβρικές παραστάσεις - Αναγωγή οµοίων όρων 1. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις µόνο µε αριθµούς, λέγεται αριθµητική παράσταση. Παράδειγµα: + + 1 =. είναι µια αριθµητική παράσταση, το αποτέλεσµα των

Διαβάστε περισσότερα

Ανισώσεις. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. A ΛΥΚΕΙΟΥ κεφάλαιο ασκήσεις και τεχνικές σε 17 σελίδες. εκδόσεις. Καλό πήξιμο

Ανισώσεις. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. A ΛΥΚΕΙΟΥ κεφάλαιο ασκήσεις και τεχνικές σε 17 σελίδες. εκδόσεις. Καλό πήξιμο Ανισώσεις Κώστας Γλυκός A ΛΥΚΕΙΟΥ κεφάλαιο 4 391 ασκήσεις και τεχνικές σε 17 σελίδες ΙΙ Ι δδ ιι ι αα ίί ί ττ εε ρρ αα μμ αα θθ ήή μμ αα ττ αα 6 9 7. 3 0 0. 8 8. 8 8 Kgllykos..gr 9 / 1 0 / 0 1 6 εκδόσεις

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΖΕΡΒΟΣ ΜΑΝΟΛΗΣ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΖΕΡΒΟΣ ΜΑΝΟΛΗΣ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΖΕΡΒΟΣ ΜΑΝΟΛΗΣ 1 ΜΕΡΟΣ Α ΚEΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. ΕΡΩΤΗΣΗ Τι ονομάζουμε

Διαβάστε περισσότερα

Εξισώσεις 2 ου βαθμού

Εξισώσεις 2 ου βαθμού Εξισώσεις 2 ου βαθμού Εξισώσεις 2 ου βαθμού Η εξίσωση της μορφής αχ 2 + βχ + γ = 0, α 0 λύνεται σύμφωνα με τον παρακάτω πίνακα. Δ = β 2 4αγ Η εξίσωση αχ 2 + βχ + γ = 0, α 0 αν Δ>0 αν Δ=0 αν Δ

Διαβάστε περισσότερα

0. Να λύσετε τις εξισώσεις: i) ( )( ) ( ). Να διερευνήσετε τις εξισώσεις i) ( ) ( 6) b, b 0. b. Ποιοι περιορισμοί πρέπει να ισχύουν για τα α και b ώστ

0. Να λύσετε τις εξισώσεις: i) ( )( ) ( ). Να διερευνήσετε τις εξισώσεις i) ( ) ( 6) b, b 0. b. Ποιοι περιορισμοί πρέπει να ισχύουν για τα α και b ώστ ΜΑΘΗΜΑ: Άλγεβρα ΤΑΞΗ: Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΥΛΗ: Εξισώσεις και Ανισώσεις Πρώτου Βαθμού Απόλυτη Τιμή - Ρίζες Α. Εξισώσεις Πρώτου Βαθμού. Να λύσετε τις εξισώσεις i) 9(8 ) 0(9 ) ( ) 8 7y y i ( ) 0( ) 0 ( 0) iv) y. Να

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις)

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) 6 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) Η εξίσωση αx βy γ Στο Γυμνάσιο διαπιστώσαμε με την βοήθεια παραδειγμάτων ότι η εξίσωση αx βy γ, με α 0 ή β 0, που λέγεται γραμμική εξίσωση,

Διαβάστε περισσότερα

Όταν λύνοντας μια εξίσωση καταλήγουμε στην μορφή 0x=0,τότε λέμε ότι

Όταν λύνοντας μια εξίσωση καταλήγουμε στην μορφή 0x=0,τότε λέμε ότι ΜΕΡΟΣ Α. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Α ΒΑΘΜΟΥ 9. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Α ΒΑΘΜΟΥ Χρήσιμες ιδιότητες πράξεων Αν αβ τότε α+γβ+γ Αν αβ τότε α-γβ-γ Αν αβ τότε α γ α β γ β Αν αβ τότε γ γ με γ 0 Η έννοια της εξίσωσης Μια ισότητα, που αληθεύει

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ. 3.1 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1 ου ΒΑΘΜΟΥ. Οι ανισώσεις: αx + β > 0 και αx + β < 0

ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ. 3.1 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1 ου ΒΑΘΜΟΥ. Οι ανισώσεις: αx + β > 0 και αx + β < 0 3 ΝΙΣΩΣΕΙΣ 31 ΝΙΣΩΣΕΙΣ 1 ου ΒΘΜΟΥ Οι ανισώσεις: α + β > 0 και α + β < 0 Γνωρίσαμε στο Γυμνάσιο τη διαδικασία επίλυσης μιας ανίσωσης της μορφής α β 0 ή της μορφής α β 0, με α και β συγκεκριμένους αριθμούς

Διαβάστε περισσότερα

Όταν οι αριθμοί είναι ομόσημοι Βάζουμε το κοινό πρόσημο και προσθέτουμε

Όταν οι αριθμοί είναι ομόσημοι Βάζουμε το κοινό πρόσημο και προσθέτουμε Κανόνες των προσήμων Στην πρόσθεση Όταν οι αριθμοί είναι ομόσημοι Βάζουμε το κοινό πρόσημο και προσθέτουμε (+) και (+) κάνει (+) + + 3 = +5 (-) και (-) κάνει (-) - - 3 = -5 Όταν οι αριθμοί είναι ετερόσημοι

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 10 ΕΠΑΝΑΛΗΨΕΙΣ ΑΠΟ ΠΡΟΗΓΟΥΜΕΝΕΣ ΤΑΞΕΙΣ α ) Ταυτότητες 1. (a-β)(a+β)=a - b. (a ± b ) = a ± ab + b 3 3 3 3. (a ± b ) = a ± 3a b + 3ab

Διαβάστε περισσότερα

β=0 Η εξίσωση (λ-2)χ=2λ-4 για λ=2 είναι αδύνατη. Σ Λ Αν η εξίσωση αχ+β=0 έχει δύο διαφορετικές λύσεις τότε είναι αόριστη. Σ Λ

β=0 Η εξίσωση (λ-2)χ=2λ-4 για λ=2 είναι αδύνατη. Σ Λ Αν η εξίσωση αχ+β=0 έχει δύο διαφορετικές λύσεις τότε είναι αόριστη. Σ Λ 3. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ου ΒΑΘΜΟΥ 3. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ α 0 Η εξίσωση έχει μία μοναδική λύση την x= - αx+β=0 α=0 β 0 β=0 Η εξίσωση είναι αδύνατη, δηλαδή δεν έχει λύση. Η εξίσωση είναι αόριστη ή ταυτότητα, δηλαδή επαληθεύεται

Διαβάστε περισσότερα

Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 3 ο : Ε ξ ι σ ώ σ ε ι ς. 3.1 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού. 3.2 Η εξίσωση x. 3.3 Εξισώσεις 2 ου Βαθμού. ρωτήσεις αντικειμενικού τύπουθέμα Α1-

Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 3 ο : Ε ξ ι σ ώ σ ε ι ς. 3.1 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού. 3.2 Η εξίσωση x. 3.3 Εξισώσεις 2 ου Βαθμού. ρωτήσεις αντικειμενικού τύπουθέμα Α1- 3. Εξισώσεις ου Βαθμού 3. Η εξίσωση 3.3 Εξισώσεις ου Βαθμού Διδακτικό υλικό Άλγεβρας Α Λυκείου (Κεφάλαιο 3 ο ) Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 3 ο : Ε ξ ι σ ώ σ ε ι ς ρωτήσεις αντικειμενικού τύπουθέμα Α- Εξεταστέα ύλη

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Άλγεβρας Α Λυκείου

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Άλγεβρας Α Λυκείου Επαναληπτικό Διαγώνισμα Άλγεβρας Α Λυκείου Θέμα Α. Αν x, x οι ρίζες της δευτεροβάθμιας εξίσωσης αx +βx+γ=, α να αποδείξετε ότι S P. (6 μονάδες) Β. Ελέγξατε αν κάθε μία από τις παρακάτω σχέσεις είναι σωστή

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή Το σύνολο αναφοράς και οι περιορισμοί

Εισαγωγή Το σύνολο αναφοράς και οι περιορισμοί ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΠΟΥ ΑΝΑΓΟΝΤΑΙ ΣΕ ΠΟΛΥΟΝΥΜΙΚΕΣ Εισαγωγή Το σύνολο αναφοράς και οι περιορισμοί Όταν έχουμε μία εξίσωση που περιέχει παρονομαστές ή ρίζες, πρέπει να βάζουμε περιορισμούς. Το νόημα

Διαβάστε περισσότερα

) = 0. Λύσεις/Ρίζες της εξίσωσης. Ακριβώς δύο άνισες πραγματικές λύσεις, τις: Η εξίσωση δεν έχει πραγματικές λύσεις

) = 0. Λύσεις/Ρίζες της εξίσωσης. Ακριβώς δύο άνισες πραγματικές λύσεις, τις: Η εξίσωση δεν έχει πραγματικές λύσεις 4. Εξισώσεις 2ου βαθμού αx 2 + βx + γ = 0, α 0 α, β, γ παράμετροι και x η μεταβλητή Αν ρ ρίζα/λύση της εξίσωσης, τότε αρ 2 + βρ + γ = 0 Αν ρ 1, ρ 2 ρίζες/λύσεις της εξίσωσης, τότε το τριώνυμο γράφεται

Διαβάστε περισσότερα

Ιγνάτιος Ιωαννίδης Χρήσιμες Γνώσεις 5

Ιγνάτιος Ιωαννίδης Χρήσιμες Γνώσεις 5 Ιγνάτιος Ιωαννίδης Χρήσιμες Γνώσεις 5 Α Σύνολα αριθμών Για τα σύνολα των αριθμών γνωρίζουμε ότι N Z Q R. ) Το N= { 0,,,,... } είναι το σύνολο των φυσικών αριθμών. ) Το Z = { 0, ±, ±, ±,... } είναι το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ii) Να ποια τιμή του ώστε η εξίσωση (1) έχει μία διπλή πραγματική ρίζα; Έπειτα να βρεθεί η ρίζα αυτή. Ασκήσεις Άλγεβρας

ii) Να ποια τιμή του ώστε η εξίσωση (1) έχει μία διπλή πραγματική ρίζα; Έπειτα να βρεθεί η ρίζα αυτή. Ασκήσεις Άλγεβρας . Δίνεται η εξίσωση, (). i) Να βρεθεί ο αριθμός ώστε η εξίσωση () να έχει μία τουλάχιστον πραγματική ρίζα. ii) Να βρεθεί ο αριθμός ώστε η εξίσωση () να έχει δύο ίσες πραγματικές ρίζες. iii) Να βρεθεί ο

Διαβάστε περισσότερα

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd 1 1) Δίνεται η εξίσωση x 2-2(λ + 2) χ + 2λ 2-17 = 0. Να βρείτε το λ ώστε η εξίσωση να έχει μία ρίζα διπλή. Υπολογίστε τη ρίζα. Aσκήσεις στις εξισώσεις Β βαθμού Για να έχει η εξίσωση μία ρίζα διπλή πρέπει:

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Ε.1 I. 1. α 2 = 9 α = 3 ψ p: α 2 = 9, q: α = 3 Σύνολο αλήθειας της p: Α = {-3,3}, Σύνολο αλήθειας της q: B = {3} A B 2. α 2 = α α = 1 ψ p: α 2 = α, q: α = 1 Σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 2014 Θ ΕΩΡΙA 10

ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 2014 Θ ΕΩΡΙA 10 ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 04 Θ ΕΩΡΙA 0 ΘΕΜΑ A Α Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στην κόλλα σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη

Διαβάστε περισσότερα

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα Εύρεση δειγματικού χώρου... 46

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα Εύρεση δειγματικού χώρου... 46 ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο................................................ 7 1. Το Λεξιλόγιο της Λογικής.............................................. 11 2. Σύνολα..............................................................

Διαβάστε περισσότερα

7. Αν υψώσουμε και τα δύο μέλη μιας εξίσωσης στον κύβο (και γενικά σε οποιαδήποτε περιττή δύναμη), τότε προκύπτει

7. Αν υψώσουμε και τα δύο μέλη μιας εξίσωσης στον κύβο (και γενικά σε οποιαδήποτε περιττή δύναμη), τότε προκύπτει 8 7y = 4 y + y ( 8 7y) = ( 4 y + y) ( y) + 4 y y 4 y = 4 y y 8 7y = 4 y + ( 4 y) = ( 4 y y) ( 4 y) = 4( 4 y)( y) ( 4 y) 4( 4 y)( y) = 0 ( 4 y) [ 4 y 4( y) ] = 4 ( 4 y)( y + 4) = 0 y = ή y = 4) 0 4 H y

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ & ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ A ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ & ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ A ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ & ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ A ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ www.pitetragono.gr Σελίδα. ΔΥΝΑΜΕΙΣ : Ισχύουν οι

Διαβάστε περισσότερα

Φ1: ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Φ1: ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Φ: ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΓΙΑΝΝΗΣ ΧΡΑΣ 0-0 ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α - ΘΕΩΡΙΑ - ΣΩΣΤΟ-ΛΑΘΟΣ - ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ - ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΗΣΗΣ - ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ-ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΘΕΜΑ Β - ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 Ο ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ 1. Όταν μπροστα" (αριστερα") απο" ε"ναν αριθμο" γραφει" το συ"μβολο + το"τε ο αριθμο"ς

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 2014 Θ ΕΩΡΙA 15

ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 2014 Θ ΕΩΡΙA 15 ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 04 Θ ΕΩΡΙA 5 ΘΕΜΑ A Α Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στην κόλλα σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ου ΒΑΘΜΟΥ Τι ονομάζουμε εξίσωση ου βαθμού; o Εξίσωση ου βαθμού με ένα άγνωστο ονομάζουμε κάθε εξίσωση που γράφεται ή μπορεί να γραφεί στη μορφή με α π.χ 5 6 Τι ονομάζουμε εξίσωση ου βαθμού ελλιπούς

Διαβάστε περισσότερα

x y z xy yz zx, να αποδείξετε ότι x=y=z.

x y z xy yz zx, να αποδείξετε ότι x=y=z. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦ. ο A. Ταυτότητες, ιδιότητες δυνάμεων, διάταξη.1 Να παραγοντοποιήσετε τις παρακάτω παραστάσεις: 1. 15a x 15a y 5a x 5a y. a x a x a x a x 3 3 4 3 3 3 3. x 4xy 16 4 y

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΠΕΡΙΕΧΕΙ: ΤΥΠΟΥΣ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ. Τώρα τα κατάλαβα όλα...και τα θυµάµαι όλα!!!

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΠΕΡΙΕΧΕΙ: ΤΥΠΟΥΣ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ. Τώρα τα κατάλαβα όλα...και τα θυµάµαι όλα!!! ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΠΕΡΙΕΧΕΙ: ΘΕΩΡΙΑ ΤΥΠΟΥΣ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ Τώρα τα κατάλαβα όλα...και τα θυµάµαι όλα!!! ΛΑΖΑΡΙ Η ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ www.lzridi.info τηλ. 6977-85-58 1 ΛΑΖΑΡΙ Η ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ www.lzridi.info

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ - Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ - Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ - Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ Α': ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: Αλγεβρικές παραστάσεις Παράγραφος A..: Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις συμπληρώσεις) Β: Πράξεις με μονώνυμα Τα σημαντικότερα σημεία

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο ο Αλγεβρικές Παραστάσεις ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) ) Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο : Εξισώσεις - Ανισώσεις 1 1.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΟΡΙΣΜΟΙ Μεταβλητή

Διαβάστε περισσότερα

0x2 = 2. = = δηλαδή η f δεν. = 2. Άρα η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο [0,3]. Συνεπώς δεν. x 2. lim f (x) = lim (2x 1) = 3 και x 2 x 2

0x2 = 2. = = δηλαδή η f δεν. = 2. Άρα η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο [0,3]. Συνεπώς δεν. x 2. lim f (x) = lim (2x 1) = 3 και x 2 x 2 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO - ΠΡΟΣΗΜΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΕΝΔΙΑΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΤΙΜΗΣ - ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Για την επίλυση ενός γραμμικού συστήματος με την χρήση των οριζουσών βασική είναι η παρακάτω επισήμανση:

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Για την επίλυση ενός γραμμικού συστήματος με την χρήση των οριζουσών βασική είναι η παρακάτω επισήμανση: ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Η επίλυση συστήματος εμφανίστηκε για πρώτη φορά σε αρχαία κινέζικη συλλογή προβλημάτων και αργότερα στο έργο «Αριθμητικά» του Έλληνα μαθηματικού της Αλεξανδρινής περιόδου Διόφαντου όπου για πρώτη

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΒΑΣΙΛΗΣ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΒΑΣΙΛΗΣ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΒΑΣΙΛΗΣ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ Οι Πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι είναι οι πραγματικοί αριθμοί ; Ποιοι είναι οι

Διαβάστε περισσότερα

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση»

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση» 1 2.1 ΟΙ ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ Ιδιότητες των πράξεων Στους πραγματικούς αριθμούς ορίστηκαν οι πράξεις της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού και με την οήθειά τους η αφαίρεση και η διαίρεση. Για

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ

ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ Κάθε εξίσωση της µορφής α + β = γ όπου α + β 0 ( α, β όχι συγχρόνως 0) παριστάνει ευθεία. (Η εξίσωση λέγεται : ΓΡΑΜΜΙΚΗ) ΕΙ ΙΚΑ γ Αν α = 0 και β 0έχουµε =. ηλαδή µορφή = c.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ= = = = = = Α =ΛΥΚΕΙΟΥ

ΑΛΓΕΒΡΑ= = = = = = Α =ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΓΕΒΡΑ Α ΥΚΕΙΟΥ ΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑ - ΑΚΗΕΙ ΘΕΩΡΙΑ. Οι πράξεις και οι ιδιότητες τους Αν α, β, γ, δ πραγματικοί αριθμοί τότε ισχύουν οι ιδιότητες : α = β Û α + γ = β + γ Αν γ ¹ 0, α = β Û αγ = βγ αβ = 0 Û α

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Τ Ν Ο Π Σ Ι Κ Η Τ Λ Η

ΑΛΓΕΒΡΑ Τ Ν Ο Π Σ Ι Κ Η Τ Λ Η Τ Ν Ο Π Σ Ι Κ Η Τ Λ Η ΑΛΓΕΒΡΑ Τα ςημαντικότερα ςημεία τησ θεωρίασ Ερωτήςεισ εμπζδωςησ- απαντήςεισ Μεθοδολογία αςκήςεων Προτεινόμενεσ αςκήςεισ του βιβλίου - διεξοδική ανάλυςη των λφςεων (ςκζψη-βήματα-επεξήγηςη

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE [Θεώρημα Rolle του κεφ.2.5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE [Θεώρημα Rolle του κεφ.2.5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE [Θεώρημα Rolle του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β Παράδειγμα. Να εξετάσετε από τις παρακάτω συναρτήσεις ποιές ικανοποιούν

Διαβάστε περισσότερα

Π.χ. Ιδιότητα Πρόσθεση Πολλαπλασιασμός. Αντιμεταθετική α + β = β + α αβ = βα. Προσεταιριστική α + (β + γ) = (α + β) + γ α(βγ) = (αβ)γ

Π.χ. Ιδιότητα Πρόσθεση Πολλαπλασιασμός. Αντιμεταθετική α + β = β + α αβ = βα. Προσεταιριστική α + (β + γ) = (α + β) + γ α(βγ) = (αβ)γ Η θεωρία της Γ Γυμνασίου 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις συμπληρώσεις) Α Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Πραγματικοί αριθμοί είναι όλοι οι αριθμοί που γνωρίσαμε στις προηγούμενες

Διαβάστε περισσότερα

4. Ανισώσεις. 4.1 Ανισώσεις 1 ου Βαθμού

4. Ανισώσεις. 4.1 Ανισώσεις 1 ου Βαθμού 1 Ανισώσεις 1 ου Βαθμού Ανισώσεις 1. Πρωτοάθμιες Ανισώσεις Επιλύονται όπως οι εξισώσεις με την διαφορά ότι, όταν πολλαπλασιάζω ή διαιρώ με αρνητικό αριθμό αλλάζει φορά η ανίσωση.. Υπενθύμιση α), ή, ) ή,

Διαβάστε περισσότερα

Ιωάννης Σ. Μιχέλης Μαθηματικός

Ιωάννης Σ. Μιχέλης Μαθηματικός 1 Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο Ερώτηση 1 : Ποιες είναι οι ιδιότητες της πρόσθεσης των φυσικών; Το άθροισμα ενός φυσικού αριθμού με το 0 ισούται με τον ίδιο αριθμό. α+0=α Αντιμεταθετική ιδιότητα. Με βάση την οποία

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Α.1. 1) Ποιοι φυσικοί αριθμοί λέγονται άρτιοι και ποιοι περιττοί; ( σ. 11 ) 2) Από τι καθορίζεται η αξία ενός ψηφίου σ έναν φυσικό αριθμό; ( σ. 11 ) 3) Τι

Διαβάστε περισσότερα

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση:

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση: Κατηγορία η Θεώρημα Βolzano Τρόπος αντιμετώπισης:. Όταν μας ζητούν να εξετάσουμε αν ισχύει το θεώρημα Bolzano για μια συνάρτηση f σε ένα διάστημα [, ] τότε: Εξετάζουμε την συνέχεια της f στο [, ] (αν η

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ . ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ : ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ Η εξίσωση με και 0 ή 0 λέγεται γραμμική εξίσωση. Οι μεταβλητές είναι οι άγνωστοι της εξίσωσης αυτής. Οι αριθμοί λέγονται συντελεστές των αγνώστων

Διαβάστε περισσότερα