ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ & ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ & ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ"

Transcript

1 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ & ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

2 . ΣΥΝΟΛΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τα σύνολα των αριθμών είναι τα εξής : i. Φυσικοί αριθμοί : 0,,,,......,,,,0,,,,... ii. Ακέραιοι αριθμοί : iii. Ρητοί αριθμοί : Q /, 0 iv. Άρρητοι αριθμοί : Q...,,...,,..,... οι αριθμοί που δεν είναι ρητοί) v. Πραγματικοί αριθμοί : R Q Q οι ρητοί και άρρητοι) Διαστήματα πραγματικών αριθμών i. Κλειστό διάστημα :, ii. Ανοικτό διάστημα :, iii. Ανοικτό - κλειστό διάστημα :, ] iv. Κλειστό - ανοικτό διάστημα : [, ) Επίσης : v., ) ή [, ) vi., ) ή, ]. ΔΥΝΑΜΕΙΣ : Ισχύουν οι παρακάτω ιδιότητες Αν α πραγματικός αριθμός και ν φυσικός τότε:...,, 0 0),, Αν ν περιττός : ενώ αν ν άρτιος : ή,,,,. ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ : ) ) ) ) ) ) )... ) ) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ Σελίδα

3 ΑΣΚΗΣΗ Να βρείτε τα αναπτύγματα των ταυτοτήτων : i) ) ii) ) iii) ) iv) ) v) 9 vi) vii) 8 viii) 7 i) ) ) ) ) ) i) ) ii) ) iii) ). ΡΙΖΕΣ Ισχύουν οι ιδιότητες :, και ν θετικός ακέραιος. Συνήθως :, ), θετικός ή 0 και ν θετικός ακέραιος. Συνήθως :, ), θετικός ή 0 και ν, μ θετικοί ακέραιοι.συνήθως :, ), χ εir και ν, μ θετικοί ακέραιοι. ΠΡΟΣΟΧΗ : ενώ. Όταν κάτω από τη ρίζα υπάρχει αριθμός που είναι τέλειο τετράγωνο τότε εύκολα υπολογίζω το αποτέλεσμα. π.χ., κτλ. Όταν όμως ο αριθμός δεν είναι τέλειο τετράγωνο κοιτώ μήπως μπορώ να απλοποιήσω τη ρίζα γράφοντας τον αριθμό σαν γινόμενο δυο αριθμών εκ των οποίων ο ένας να είναι τέλειο τετράγωνο. π.χ. 8 π.χ. π.χ. 7 Όταν έχω κλάσμα που στον παρανομαστή υπάρχει μια ρίζα, τότε πολλαπλασιάζω αριθμητή και παρανομαστή με τη ρίζα αυτή ώστε να προκύψει κλάσμα που στον παρανομαστή δεν έχει ρίζα. π.χ. π.χ. Όταν έχω κλάσμα που στον παρανομαστή υπάρχει παράσταση της μορφής,,, τότε για να απαλλαγώ από τη ρίζα στον παρανομαστή πολλαπλασιάζω αριθμητή και παρανομαστή με τη συζυγή παράσταση του παρανομαστή. ) π.χ. ) ) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ Σελίδα

4 0 π.χ. 0 0 ) ) ) π.χ. ) ) ) Η ΕΞΙΣΩΣΗ : α+β=0 Μια εξίσωση πρώτου βαθμού έχει τελικά τη μορφή α+β=0 ή α=-β ) Αν α 0, η ) έχει μόνο μια λύση ρίζα), την. Αν α=0 και β 0, η ) είναι αδύνατη δεν έχει λύση). Αν α=0 και β=0, η ) είναι ταυτότητα ή αόριστη αληθεύει για κάθε πραγματικό αριθμό χ). π.χ. Να λύσετε την εξίσωση : ) ) Λύση : ) ) ) 7 π.χ. Να λύσετε την εξίσωση : Λύση : Πρώτα από όλα θέλω να απαλλαγώ από τα κλάσματα. Βρίσκω,,) και στη συνέχεια πολ/ζω κάθε όρο με το ΕΚΠ ώστε να κάνω απαλοιφή παρανομαστών. ) 7 ) ) άρα η εξίσωση είναι αδύνατη. ΑΣΚΗΣΗ Να λύσετε τις εξισώσεις : i) 8 0 ii) ) ) 8 iii) ) 0) iv) ) 0. ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 0 0 Αν Δ>0 τότε, Διακρίνουσα Αν Δ=0 τότε η εξίσωση έχει μια διπλή ρίζα Αν Δ<0 τότε η εξίσωση είναι αδύνατη. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ Σελίδα

5 π.χ. Να λύσετε την εξίσωση : 0 Είναι 9 8 0, έχει δυο πραγματικές ρίζες άνισες τις ), π.χ. Να λύσετε την εξίσωση : 0 0 Είναι , έχει μια πραγματική διπλή ρίζα την π.χ. Να λύσετε την εξίσωση : ) ) Είναι ) 8 0, άρα η εξίσωση είναι αδύνατη. Προσοχή : Όταν β=0 ή γ=0, τότε η εξίσωση 0 μπορεί να λυθεί πιο εύκολα χωρίς τη χρήση της διακρινουσας. Πιο συγκεκριμένα : Αν β=0 τότε 0 π.χ. 0 π.χ π.χ. 0 π.χ. 0 Αδύνατη. Αν γ=0 τότε 0 π.χ. 0 ) 0 0 ή 0 π.χ. 0 ) 0 0 ή 0 ΑΣΚΗΣΗ Να λύσετε τις εξισώσεις : i) 0 ii) 9 0 iii) ) iv) 9 0 v) 9 0 vi) 7 0 vii) 0 9) viii) 7 7. ΔΙΤΕΤΡΑΓΩΝΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Έχουν τη μορφή και λύνονται με αντικατάσταση : με π.χ. Να λύσετε την εξίσωση : 7 0 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ Σελίδα

6 Λύση : Θέτω άρα η εξίσωση γίνεται 7 0. Είναι 9 ) 9 8 0,, Για Για Αδύνατη. 7) ή ΑΣΚΗΣΗ Να λύσετε την εξίσωση : 0 8. ΔΙΩΝΥΜΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Έχουν τη μορφή *,. Οι λύσεις της εξίσωσης είναι : ) Αν α>0 και ν περιττός έχει ακριβώς μια λύση a ) Αν α>0 και ν άρτιος έχει ακριβώς δυο λύσεις a ) Αν α<0 και ν περιττός έχει ακριβώς μια λύση a ) Αν α<0 και ν άρτιος δεν έχει λύσεις αδύνατη) π.χ.) Να λύσετε την εξίσωση : π.χ.) Να λύσετε την εξίσωση : 0 π.χ.) Να λύσετε την εξίσωση : 0 π.χ.) Να λύσετε την εξίσωση : 0 Αδύνατη. ΑΣΚΗΣΗ Να λύσετε τις εξισώσεις : i) 8 0 ii) 0 iii) 7 0 iv) 8 0 v) 0 9. ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Λίγα λόγια για τα πολυώνυμα) Πολυώνυμο είναι κάθε παράσταση που μπορεί να πάρει τη μορφή: Ρχ) = α ν χ ν +α ν- χ ν- +.+α χ+α 0. με α ν, α ν-,., α, α 0 σταθεροί πραγματικοί αριθμοί και χ μεταβλητή με τιμές πραγματικούς αριθμούς. Το πολυώνυμο Ρχ) έχει ρίζα τον αριθμό ρ αν και μόνο αν Ρρ)=0 αν και μόνο αν έχει παράγοντα το χ-ρ δηλαδή Ρχ)=χ-ρ)πχ). ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ Σελίδα

7 Αν Ρχ), Qχ) δύο πολυώνυμα με Qχ) 0 τότε υπάρχουν δύο πολυώνυμα πχ) και υχ) ώστε : Ρχ) = Qχ)πχ)+υχ). Τα πολυώνυμα πχ) και υχ) βρίσκονται κάνοντας τη διαίρεση Ρχ) : Qχ) Για την επίλυση πολυωνυμικών εξισώσεων χρησιμοποιούμε έναν από τους ακόλουθους τρόπους : Παραγοντοποίηση. Με τη βοήθεια του σχήματος Horner και τους κλασικούς τρόπους παραγοντοποίησης, προσπαθούμε να φέρουμε την εξίσωση σε μορφή P ) P )... P ) 0 οπότε P ) 0 ή P ) 0 ή ή P ) 0 Στο σχήμα Horner όλες οι πιθανές ακέραιες ρίζες είναι διαιρέτες του σταθερού όρου.) Αντικατάσταση μιας ποσότητας, ώστε να προκύψει πιο εύκολη εξίσωση. π.χ. Να λύσετε την εξίσωση : 0 Λύση : Οι διαιρέτες του σταθερού όρου είναι,,,. Παρατηρώ όμως ότι το άθροισμα των συντελεστών της εξίσωσης είναι 0, άρα η ρίζα είναι το Άρα : 0 ) ) 0 0 ή 0 ή π.χ. Να λύσετε την εξίσωση : 9 0 Λύση : Οι διαιρέτες του σταθερού όρου είναι,,,. Όταν όλοι οι συντελεστές της εξίσωσης είναι ομόσημοι είτε θετικοί, είτε αρνητικοί), τότε η εξίσωση δεν μπορεί να έχει θετικές ρίζες. Έτσι δοκιμάζω με όλες τις αρνητικές. Τελικά : Άρα : 9 0 ) ) 0 0 ή 0 ή ΑΣΚΗΣΗ Να λύσετε τις εξισώσεις : i) 8 0 ii) ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Για να λύσω μια κλασματική εξίσωση, δηλ. εξίσωση που έχει άγνωστο στον παρανομαστή, ον παραγοντοποιώ τους παρανομαστές και βρίσκω το ΕΚΠ τους, ον παίρνω περιορισμούς, ον πολλαπλασιάζω κάθε όρο με το ΕΚΠ ώστε να γίνει απαλοιφή παρανομαστών και λύνω την εξίσωση που προκύπτει, ον ελέγχω αν οι λύσεις που βρήκαμε ικανοποιούν τους περιορισμούς. π.χ. Να λύσετε την εξίσωση : 8 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ Σελίδα 7

8 8 8 Λύση : ) ) ) ) Πρέπει ) ) 0 & 8 ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) δεκτή) ή δεκτή). ΑΣΚΗΣΗ 7 Να λύσετε την εξίσωση : 0. ΑΡΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Είναι οι εξίσωσης που περιέχουν τουλάχιστον ρίζα. Για να τις λύσουμε : ον παίρνουμε τους περιορισμούς υπόρριζη ποσότητα 0), ον βάζουμε το ένα ριζικό στο ο μέλος και πηγαίνουμε όλους τους υπόλοιπους όρους στο ο, ον αν στο ο μέλος έχει άγνωστο τότε παίρνουμε περιορισμό και για το ο μέλος 0, ον υψώνουμε και τα δυο μέλη σε δύναμη ίση με την τάξη του ριζικού του ου μέλους και ον τέλος εξετάζουμε ποιες από τις λύσεις είναι δεκτές και ποιες απορρίπτονται. π.χ. Να λύσετε την εξίσωση : Λύση : πρέπει 0 δεκτή π.χ. Να λύσετε την εξίσωση : Λύση : Έχω : πρέπει 0 ) και 0 ). Από )&) ισχύει. ) 0 π.χ. Να λύσετε την εξίσωση : δεκτή) ή απορ.) Λύση : Έχω : πρέπει 0 ) και 0 ). Από )&) ισχύει. εδώ επίσης πρέπει 0 ). Άρα από ), )&) ισχύει. Οπότε : ) 0 απορ.) δεκτή) ή ΑΣΚΗΣΗ 8 Να λύσετε την εξίσωση : i) iι) 7 iiι) 0 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ Σελίδα 8

9 . ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΜΕ ΑΓΝΩΣΤΟΥΣ i. Μέθοδος αντικατάστασης ii. Μέθοδος αντίθετων συντελεστών π.χ. Να λύσετε τo σύστημα : 7 8 ) 0 Λύση : προσθέτοντας κατά μέλη ) προκύπτει και αντικαθιστώντας στη η έχω : 9. Μέθοδος Αντίθετων Συντελεστών) 0 π.χ. Να λύσετε τo σύστημα : 0 Λύση: 0) η ) λογω της ) γίνεται : ) ) ) 0 ) ή. Για από ) 8. Για από ). Μέθοδος της Αντικατάστασης) ΑΣΚΗΣΗ 9 Να λύσετε τα παρακάτω συστήματα : i) ) ) 0 0 iii) iv) 8 0 ii) 8 9. ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΠΡΩΤΟΥ ΒΑΘΜΟΥ Για να λύσω μια ανίσωση της μορφής : 0 ή 0 ος τρόπος : Λειτουργώ όπως και στις εξισώσεις πρώτου βαθμού, δηλαδή χωρίζω γνωστούς από αγνώστους, και στη συνέχεια διαιρώ με το συντελεστή του αγνώστου. Αν σε κάποιο στάδιο πολλαπλασιάσω ή διαιρέσω και τα μέλη με αρνητικό αριθμό αλλάζει η φορά της ανίσωσης. ος τρόπος : Αν θέλω να λύσω την ανίσωση με τη βοήθεια του πίνακα πρόσημου τότε λύνω την αντίστοιχη εξίσωση και στη συνέχεια βάζω τη ρίζα στο πινακάκι. Για τα πρόσημα ισχύει ότι δεξιά από το 0 είναι ομόσημο του α ενώ αριστερά ετερόσημο του α. Δηλ. - + α+β ετερόσημο α 0 ομόσημο α π.χ. Να λυθεί και με τους τρόπους η ανίσωση : 8 0 Λύση: ος ή,] Λύση: ος Έχω Άρα επειδή θέλω 8 0 τότε,] ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ Σελίδα 9

10 . ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Για να λύσουμε μια ανίσωση της μορφής : 0 ή 0 Αρκεί να βρούμε το πρόσημο του τριωνύμου 0 και τις τιμές του που γίνεται θετικό ή αρνητικό. Πιο συγκεκριμένα λύνω την εξίσωση 0 βρίσκω τις ρίζες, και τις τοποθετώ στο πινακάκι από το οποίο και βρίσκω το πρόσημο τις συνάρτησης στο διάστημα που θέλω. η περίπτωση: Δ>0 Τιμές του χ - + Πρόσημο του αχ +βχ+γ ομόσημο του α 0 ετερόσημο του α η περίπτωση: Δ=0 Τιμές του χ - + Πρόσημο του αχ +βχ+γ ομόσημο του α ομόσημο του α η περίπτωση: Δ<0 Τιμές του χ - Πρόσημο του αχ +βχ+γ ομόσημο του α π.χ. Να λυθεί η ανίσωση : 0 Λύση: Έχω : 0 0 άρα, Άρα επειδή θέλω 0 τότε,), ) 0 ομόσημο του α Παρατήρηση Αν είχα να λύσω την ανίσωση 0 θα έκανα ακριβώς την ίδια διαδικασία απλά στο τέλος θα έγραφα,] [, ) Παρατήρηση Αν είχα να λύσω την ανίσωση 0 θα έκανα ακριβώς την ίδια διαδικασία απλά στο τέλος θα έγραφα,) Παρατήρηση Αν είχα να λύσω την ανίσωση 0 θα έκανα ακριβώς την ίδια διαδικασία απλά στο τέλος θα έγραφα [,] π.χ. Να λυθεί η ανίσωση : 9 0 Λύση: Έχω : άρα Διπλή ρίζα) Άρα επειδή θέλω 9 0 τότε ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ Σελίδα 0

11 Όταν η Διακρίνουσα είναι Ο το τριώνυμο είναι ανάπτυγμα ταυτότητας δηλ. 9 ) οπότε μπορούμε να καταλάβουμε ακόμα καλυτέρα γιατί ισχύουν τα πρόσημα στο πινακάκι) Παρατήρηση Αν είχα να λύσω την ανίσωση 9 0 θα έκανα ακριβώς την ίδια διαδικασία απλά στο τέλος θα έγραφα Παρατήρηση Αν είχα να λύσω την ανίσωση 9 0 θα έκανα ακριβώς την ίδια διαδικασία απλά στο τέλος θα έγραφα ότι είναι αδύνατη Παρατήρηση Αν είχα να λύσω την ανίσωση 9 0 θα έκανα ακριβώς την ίδια διαδικασία απλά στο τέλος θα έγραφα π.χ. Να λυθεί η ανίσωση : 0 Λύση: Έχω Άρα επειδή θέλω 0 τότε [,] ΑΣΚΗΣΗ 0 Να λυθούν οι ανισώσεις : i) 0 ii) 0 iii) 0 iv) 0 v) 0 vi) 9 0 vii) 9 0 viii) 0. ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Για να λύσουμε μια ανίσωση της μορφής P ) 0 ή P ) 0, όπου P ) πολυώνυμο βαθμού, Αρκεί να αναλύσουμε το P ) σε γινόμενο πρωτοβάθμιων ή δευτεροβάθμιων παραγόντων και να βρούμε το πρόσημο κάθε παράγοντα του. π.χ. Να λυθεί η ανίσωση : 0 Λύση: Έχω Άρα : 0 ) ) 0 0 ή 0 ή Γινόμενο Άρα επειδή θέλω 0 τότε, ) ΑΣΚΗΣΗ Να λυθεί η ανίσωση : 0 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ Σελίδα

12 . ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΕΣ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ) ) Μια κλασματική ανίσωση της μορφής 0 ή 0 γράφεται ισοδύναμα ) ) ) ) 0 ή ) ) 0 [όπου ) 0 ] και αυτό γιατί το γινόμενο και το πηλίκο δυο αριθμών έχουν το ίδιο πρόσημο. π.χ. Να λυθεί η ανίσωση : 0 Λύση: Πρέπει 0 και Έχω : 0 ) ) 0 ) ) 0 0 ) 0 0, ή, 0 ή 0 ή Γινόμενο - Πηλίκο Άρα επειδή θέλω 0 ) ) 0 Στο,) είναι ανοιχτό λόγο του περιορισμού) π.χ. Να λυθεί η ανίσωση : 0 Λύση: Πρέπει 0 και Έχω : 0 ) ) 0 ) ) 0 0, ύ ή 0 ή Γινόμενο - Πηλίκο τότε [,0], ). Άρα επειδή θέλω 0 ) ) 0 τότε,). Όταν μια παράσταση είναι πάντα θετική τότε δεν επηρεάζει το πρόσημο στην τελευταία σειρά στο πινακάκι. Οπότε θα μπορούσε να παραληφτεί εντελώς.) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ Σελίδα

13 ) Μια κλασματική ανίσωση της μορφής ) γράφεται : ) ) ) ) ) ) 0 0 [ ) ) )] ) 0 και λύνεται ) ) όπως η προηγούμενη. 8 π.χ. Να λυθεί η ανίσωση : 8 Λύση: Έχω : 0 ) ) ) ) Πρέπει ) ) 0 &. Σε αυτό το σημείο όμως δεν κάνω απαλοιφή παρανομαστών όπως στις αντίστοιχες κλασματικές εξισώσεις, αλλά ομώνυμα κλάσματα. Αυτό γιατί η απαλοιφή παρανομαστών δεν επιτρέπεται στις ανισώσεις καθώς η παράσταση με την οποία θα πολλαπλασιάσω κάθε όρο, δεν γνωρίζω αν είναι θετική ή αρνητική) 8 ) ) ) ) ) ) 0 ) ) 0 Έχω : ) ) 0 0 ή ή 0 ή Γινόμενο Πηλίκο Άρα επειδή θέλω 0 ) ) 0 τότε, ],) [, ). Στο -,) είναι ανοιχτό λόγο του περιορισμού) 9 ΑΣΚΗΣΗ Να λυθούν οι ανισώσεις : i) 0 iii) iv) 0 0 ii) 0 7. ΑΡΡΗΤΕΣ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Είναι οι ανισώσεις που περιέχουν τουλάχιστον ρίζα. Για να τις λύσουμε : ) θέτουμε τους περιορισμούς υπόρριζη ποσότητα 0), ) βάζουμε το ένα ριζικό στο ο μέλος και πηγαίνουμε όλους τους υπόλοιπους όρους στο ο, ) υψώνουμε και τα δυο μέλη σε δύναμη ίση με την τάξη του ριζικού του ου μέλους και ) τέλος κάνουμε συναλήθευση της λύσης με τους περιορισμούς. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ Σελίδα

14 π.χ. Να λυθεί η ανίσωση : Λύση: Πρέπει : Από ) και ) ισχύει : [,) ή [,8] ) ΑΣΚΗΣΗ Να λυθούν οι ανισώσεις : i) 9 ii) 9 ) 8. ΑΠΟΛΥΤΗ ΤΙΜΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ, 0 Ορισμός :, 0 Ιδιότητες :,,,, ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΟΛΥΤΗ ΤΙΜΗ Όταν σε μια άσκηση υπάρχουν απόλυτες τιμές και θέλω να απαλλαγώ από αυτές τότε : Αν η παράσταση που βρίσκεται μέσα στην απόλυτη τιμή είναι πάντα θετική, τότε φεύγει η απόλυτη τιμή και η παράσταση που είναι μέσα της γράφεται όπως είναι. Δηλ. π.χ., επειδή 0 για κάθε. π.χ. 7 7, επειδή 7 0 Αν η παράσταση που βρίσκεται μέσα στην απόλυτη τιμή είναι πάντα αρνητική, τότε η απόλυτη τιμή γίνεται παρένθεση και βγαίνει ένα μείων -) απέξω. Δηλ. π.χ. ), επειδή 0 για κάθε. π.χ. 8 8 ) 8, επειδή 8 0. Αν η παράσταση που βρίσκεται μέσα στην απόλυτη τιμή δεν διατηρεί σταθερό πρόσημο τότε πρέπει να διακρίνω περιπτώσεις με βάση τον ορισμό. ),, ) 0,, 0,, ). Δηλ ),, ) 0 ),, 0,, Το ίδιο μπορεί να γίνει με πινακάκι και περιπτώσεις : Μηδενίζω την παράσταση που βρίσκεται μέσα στην απόλυτη τιμή, βρίσκω τη ρίζα ή τις ρίζες της και κάνω πινακάκι. Από το πινακάκι διακρίνω τις αντίστοιχες περιπτώσεις και βγάζω το πρόσημο της παράστασης στο διάστημα που θέλω. Δηλ., το δεν διατηρεί σταθερό πρόσημο άρα, Αν ή [, ) τότε αφού 0 για κάθε [, ) ) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ Σελίδα

15 Αν ή, ) τότε ) αφού 0 για κάθε, ) ) ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΟΛΥΤΗ ΤΙΜΗ Συχνά σε εξισώσεις με απόλυτη τιμή καταλήγουμε σε μια από τις εξισώσεις : ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ α<0 είναι αδύνατη. f ) για α>0 δίνει f)=α ή f)= -α για α=0 δίνει f)=0 και για π.χ. Να λυθεί η εξίσωση : Λύση: ή ή ή =- ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ f ) g ) f ) g ) ή f ) g ) π.χ. Να λυθεί η εξίσωση : Λύση: ή ή π.χ. Να λυθεί η εξίσωση : Λύση: 9 ) 9 ή ) ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ f ) g ) h ) Σε αυτή την περίπτωση βρίσκω τις ρίζες των f ) 0 και g ) 0, φτιάχνω πινακάκι στο οποίο βάζω τις ρίζες των παραπάνω εξισώσεων και στη συνέχεια διακρίνω περιπτώσεις για τα αντίστοιχα διαστήματα που δημιουργούνται. π.χ. Να λυθεί η εξίσωση : Λύση: ) Έχω : Διακρίνουμε τις περιπτώσεις : Αν, ) η ) γίνεται : ) ) αδύνατο γιατί, ) Αν [, ) η ) γίνεται : ) δεκτή) Αν [, ) η ) γίνεται : ) δεκτή) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ Σελίδα

16 ΑΣΚΗΣΗ Να λυθούν οι εξισώσεις : i) ii) iii) ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΟΛΥΤΗ ΤΙΜΗ Για τις ανισώσεις με απόλυτη τιμή υπάρχουν οι παρακάτω σημαντικές ιδιότητες : ) α>0) ) ή α>0) π.χ. Να λυθεί η ανίσωση : Λύση: ή αλλιώς, π.χ. Να λυθεί η ανίσωση : 7 Λύση: 7 7 ) ή 7 9 ),, Αν συναληθευσω της ) και ) π.χ. Να λυθεί η ανίσωση : Λύση: π.χ. Να λυθεί η ανίσωση : Λύση: ) Διακρίνουμε τις περιπτώσεις : Αν, ) η ) γίνεται : ) ) 0, οπότε αν το συναληθευσουμε με το, ) παίρνουμε, 0) Αν [, ) η ) γίνεται : ) ), οπότε αν το συναληθευσουμε με το [, ) παίρνουμε, ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ Σελίδα

17 Αν [, ) η ) γίνεται : ), οπότε αν το συναληθευσουμε με το [, ) παίρνουμε [, ). Άρα οι λύσεις της ανισώσεις είναι, 0) ή, ή [, ) δηλ., 0) ή, ΑΣΚΗΣΗ Να λυθούν οι ανισώσεις : i) ii) iii) iv) 9. ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΗ Η διαδικασία κατά την οποία μια παράσταση από άθροισμα μετατρέπεται σε γινόμενο παραγόντων. ΚΟΙΝΟΣ ΠΑΡΑΓΟΝΤΑΣ. ΑΠΛΗ ΜΟΡΦΗ π.χ. ), π.χ. ) ) ) ) ) ). ΚΑΤΑ ΟΜΑΔΕΣ π.χ. 0 ) ) ) ) ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ. ΔΙΑΦΟΡΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΩΝ. ΔΙΑΦΟΡΑ ΚΥΒΩΝ ) ). ΑΘΡΟΙΣΜΑ ΚΥΒΩΝ ) ) π.χ. Να παραγοντοποιηθούν οι παραστάσεις : i) ) ) ii) ) 8 ) 9 9) 9) 0) 8) ΤΡΙΩΝΥΜΟ αν Δ>0 όπου, οι ρίζες, a ) ) αν Δ=0 όπου η διπλή ρίζα a ) αν Δ<0 τότε δεν παραγοντοποιείται π.χ. ) ) π.χ. 9 ) ΑΣΚΗΣΗ Να παραγοντοποιηθούν οι παραστάσεις : i) 8, ii) 9 ΣΧΗΜΑ HORNER ΑΣΚΗΣΗ 7 Να παραγοντοποιηθεί η παράσταση : ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ Σελίδα 7

18 0. ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Η τριγωνομετρία είναι δύο πράγματα: Οι τύποι και ο τριγωνομετρικός πίνακας. Βασικοί τριγωνομετρικοί τύποι και αριθμοί. ημ +συν = ή ημ = -συν ή συν = -ημ, για κάθε.,, για κάθε. για -, : ακέραιος. για -, :ακέραιος. εφ σφ =. ημ = ημ συν συν = συν ημ = - ημ = συν 7. Τύποι αποτετραγωνισμού : ημ = συν = 8. ημ = συν = εφ = 9. ημα β)= ημασυνβ συναημβ, συνα β)=συνασυνβ ημαημβ, ) 0. Νόμος ημιτόνων: Σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ με R την ακτίνα του περιγεγραμμένου του κύκλου ισχύει: R. Νόμος συνημιτόνων: Σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύουν οι σχέσεις: α = β +γ -βγ συνα, β = α +γ -αγ συνβ, γ = α +β -αβ συνγ. Τριγωνομετρικές εξίσωσης : ή ) ή. Πίνακας τριγωνομετρικών αριθμών Γωνία ω 0 ο ή 0 ο ημω 0 συνω εφω σφω 0 ή ο Δεν ορίζεται ή 0 ο ή 90 ο 0 Δεν ορίζεται 0 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ Σελίδα 8

19 π.χ. Να λυθεί η εξίσωση : Λύση : ή π.χ. Να λυθεί η εξίσωση : Λύση : π.χ. Να λυθεί η εξίσωση : Λύση : ΑΣΚΗΣΗ 8 Να λυθεί η εξίσωση :. Αναγωγή στο ο τεταρτημόριο : AΠΟ Ο -> Ο AΠΟ Ο -> Ο AΠΟ Ο -> Ο ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ Σελίδα 9

20 ΕΠΙΣΗΣ : ), ), ), ) ημ =συν ημ =συν συν =ημ συν =-ημ εφ =σφ εφ =-σφ σφ =εφ σφ =-εφ π.χ. Να υπολογιστούν οι παρακάτω τριγωνομετρικοί αριθμοί : i) 0 ii) iii) 0 iv) v) vi) 7 viii) i) ) i) Λύση : i) ) 0 ο -> ο ) ii) 80 ) ο -> ο ) iii) ) 0 ο -> ο ) iv) ) ο -> ο ) v) ) ο -> ο ) vi) ) ο -> ο ) vii) ) ο -> ο ) 7 viii) ) ο -> ο ) i) ) ο -> ο ) 7 ) vii) 0 i) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ Σελίδα 0

21 ΑΣΚΗΣΗ 9 Να υπολογιστούν οι παρακάτω τριγωνομετρικοί αριθμοί : 7 i) 0 ii) iii) 0 iv) v) vi) vii) viii) i) ) i) ΣΕ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ πως διώχνω το μείον) :. ) ή ). ) ή ). ) ή ). ) ή ) π.χ. Να λυθούν οι εξισώσεις : i) ii) iii) Λύση : i) ή ii) iii) ή ΑΣΚΗΣΗ 0 Να λυθούν οι εξισώσεις : i) ii) iii) ΠΡΟΣΟΧΗ ΟΙ ΤΥΠΟΙ, 7, 8, 9 ΕΙΝΑΙ ΕΚΤΟΣ ΥΛΗΣ) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ Σελίδα

22 . ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ : Είναι οι εξισώσεις που η μεταβλητή βρίσκεται στον εκθέτη. Οι μορφές που μπορεί να συναντήσουμε είναι οι εξής : f ) g ). Γράφουμε το β σε δύναμη με βάση το α αν γίνεται) ή λογαριθμίζουμε και τα μέλη. π.χ. Να λυθούν οι εξισώσεις : i) e ii) e iii) Λύση : 0 i) e e e 0, ή, ii) e ln e ln ln e ln ln iii) 8 iv) 8 iv) 9 9 ΑΣΚΗΣΗ Να λυθούν οι εξισώσεις : i) e ii) e iii) 7 f ) g ). Θέτουμε >0 και καταλήγουμε σε απλή εξίσωση με άγνωστο το. π.χ. Να λυθεί η εξίσωση : 9 0 Λύση : Θέτω άρα η ) γίνεται : 9 0 ) 9) 78, ή Για 9 9 Για Αδύνατο. ) ΑΣΚΗΣΗ Να λυθεί η εξίσωση : i) 0 ii) 0 f ) g ). Δημιουργούμε τη δύναμη προηγούμενη μορφή., οπότε αναγόμαστε στην ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ Σελίδα

23 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ Σελίδα π.χ. Να λυθεί η εξίσωση : Λύση : ΑΣΚΗΣΗ Να λυθούν οι εξισώσεις : i) 9 ii). ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ : Για την επίλυση εκθετικών ανισώσεων εργαζόμαστε όπως στις εκθετικές εξισώσεις. Έτσι σε οποιαδήποτε περίπτωση καταλήγουμε στην επίλυση ανίσωσης της μορφής : ) ) g f. Τότε αν : έχουμε : ) ) ) ) g f g f 0 έχουμε : ) ) ) ) g f g f π.χ. Να λυθούν οι ανισώσεις : i) e ii) 8 iii) Λύση : i) e e e Έχω, 0, 0 ) 0 ή Άρα επειδή θέλω 0 τότε ),,0) ii) Έχω,, 0 ή Άρα επειδή θέλω 0 τότε ), iii) ).. ΑΣΚΗΣΗ Να λυθούν οι ανισώσεις : i) e ii) 0 e e iii) 7 7 iv) 8 v)

24 . ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΙ ΟΡΙΣΜΟΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΥ : log a π.χ. log 8 8 a Δεκαδικός λογάριθμος λέγεται ο λογάριθμος που έχει βάση το 0: log 0 π.χ. log , log , log 0, 0 0,, log 0, ,000, log Ο νεπέριος λογάριθμος ln, >0 λέγεται ο λογάριθμος που έχει βάση το e. ln= e =, με >0 και εir. ότι έχω μέσα στο ln πρέπει να είναι πάντα θετικό >0) οπου e: lim =, = e) Κάθε πραγματικός αριθμός μπορεί να γραφεί ως λογάριθμος: ε IR τότε: =lne ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΩΝ. ln 0. ln e. ln ln ln ). ln ln ln ln ln. ln e 7. e ln. ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ : Για να επιλύσουμε μια λογαριθμική εξίσωση, ενεργούμε ως εξής : )Βάζουμε περιορισμούς ότι είναι μέσα στο λογάριθμο >0) ) χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες λογαρίθμων, προσπαθούμε να φτάσουμε σε εξισώσεις της μορφής log a [ f )] log a [ g )], όποτε f)=g) ) τέλος ελέγχουμε αν οι λύσεις που βρήκαμε ικανοποιούν τον αρχικό περιορισμό για την επίλυση της εξίσωσης. π.χ. Να λυθεί η εξίσωση : log ) log ) log 0 Λύση : Πρέπει : 0 log ) log ) log log log log log δεκτή) ή απορ.) π.χ. Να λυθεί η εξίσωση : ln ) ln ) ln8 ) 0 Λύση : Πρέπει : 0,8) ln ) ln ) ln8 ) ln ln8 ) log ln8 ) 8 0 δεκτή) ή απορ.) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ Σελίδα

25 ΑΣΚΗΣΗ Να λυθούν οι εξισώσεις : i) ln ) ln ) ln ii) ln ) ln ln ) ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΕΣ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ : Για την επίλυση λογαριθμικών ανισώσεων εργαζόμαστε όπως στις λογαριθμικές εξισώσεις. Έτσι σε οποιαδήποτε περίπτωση καταλήγουμε στην ανίσωση της μορφής : ln f ) ln g ) f ) g ) ή log f ) log g ) f ) g ) ) π.χ. Να λυθεί η ανίσωση : ln ln ln ln ) 0 0 Λύση : Πρέπει : 0 ) 0 ln ln ln ln ) ln ln ln ln ) ln ln ) ) ) ) ) 0 Έχω ) ) 0 ) 0 ή 0, ή, - + ) Γινόμενο Πηλίκο Άρα επειδή θέλω ) ) 0 τότε, ), ) ) Όμως λογω περιορισμών αν συναληθευσω ) και ) τελικά, ) ΑΣΚΗΣΗ Να λυθούν οι ανισώσεις : i) ln e 0 ii) ln e iii) ln ) ln ln ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ Σελίδα

26 . ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Έστω δυο σημεία, ) και, ). Οι συντεταγμένες του μέσου Μ του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ είναι,. Αν τα σημεία Α,Β είναι συμμετρικά ως προς το σημείο Μ τότε το Μ είναι μέσον του ΑΒ. Έστω το διάνυσμα συντεταγμένες του διανύσματος με άκρα τα σημεία, ) και, ). Τότε οι είναι, ). Έστω το διάνυσμα, ). Το μετρό του διανύσματος είναι :. Έστω δυο διανύσματα, ) και, ). Ορίζουσα των διανυσμάτων ονομάζουμε τον αριθμό : det,. Αν τα διανύσματα και είναι παράλληλα, δηλαδή // det, 0. Έστω διάνυσμα, ). Αν 0 τότε ο συντελεστής διεύθυνσης του διανύσματος ορίζεται ο αριθμός όπου ω η γωνία που σχηματίζει το διάνυσμα με τον άξονα. Αν δυο διανύσματα και έχουν συντελεστές διεύθυνσης, αντίστοιχα τότε ισχύει //. η συνθήκη παραλληλίας) Τρία σημεία Α,Β,Γ είναι συνευθειακά // det, 0 Αν ή, είναι δυο μη μηδενικά διανύσματα, τότε ονομάζουμε εσωτερικό γινόμενο των, και τον αριθμό : όπου φ είναι η γωνία των διανυσμάτων, και. Από τον ορισμό του εσωτερικού γινομένου προκύπτει ότι : 0 Αν, ) και, ) είναι διανύσματα του επιπέδου, τότε :. ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΣΗΜΕΙΩΝ Η Απόσταση δυο σημείων, ) και, ) Δίνεται από τον τύπο : ) π.χ. Να βρεθεί η απόσταση των σημείων Α,-7) και Β,-) ) 7 9 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ Σελίδα

27 . ΕΥΘΕΙΑ Συντελεστής Διεύθυνσης Ευθείας : Συμβολίζεται συνήθως με λ και προσδιορίζει την κλήση της ευθείας, τη γωνία δηλαδή που σχηματίζει με τον άξονα. Ισχύει : λ=εφω Εξίσωση ευθείας της μορφής : =λ+β συντελεστή διεύθυνσης το λ ο συντελεστής του ) π.χ = - + λ= -. Γενική μορφή εξίσωσης ευθείας ) : 0, με 0 ή 0. Η ευθεία ) : 0 έχει συντελεστή διεύθυνσης, εφόσον 0. π.χ. ε) : +0-=0 τότε. 0 Eυθείες παράλληλες : // Eυθείες κάθετες : Ευθεία παράλληλη στον : που διέρχεται από το 0, ) είναι της μορφής : 0 ε) : 0 οριζόντια) και έχει συντελεστή διεύθυνσης λ=0. Ευθεία παράλληλη στον : που διέρχεται από το 0, ) είναι της μορφής : 0 ε) : 0 κατακόρυφη) και ο συντελεστής διεύθυνσης λ δεν ορίζεται γιατί 90.. ) Ευθεία που διέρχεται από το 0, ) έχει εξίσωση : ε) : ) Ευθεία που διέρχεται από την αρχή των αξόνων Ο0,0) : ) :, ειδική περίπτωση η διχοτόμος του ου και του ου τεταρτημορίου ε) : Για να βρω σημείο τομής μιας ευθείας με τον βάζω =0 στην εξίσωση της, βρίσκω το οπότε το σημείο θα είναι της μορφής Α,0) Για να βρω σημείο τομής μιας ευθείας με τον βάζω =0 στην εξίσωση της, βρίσκω το οπότε το σημείο θα είναι της μορφής B0,) Η απόσταση ενός σημείου 0, ) από την ευθεία ) : 0 είναι: d, ) π.χ Να βρεθεί η απόσταση του σημείου, ) από την ) Ευθεία ε) : ++8=0. d, ) Το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ με, ),, ),, ) είναι: ) det AB, A) με AB, ) και A, ) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ Σελίδα 7

28 . ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΚΥΚΛΟΣ Κύκλος είναι το σύνολο των σημείων του επιπέδου Ο τα οποία απέχουν σταθερή απόσταση ρ, ακτίνα του κύκλου), από ένα σταθερό σημείο Κ, κέντρο του κύκλου). Ένας κύκλος ορίζεται αν γνωρίζουμε το κέντρο του 0, 0 ) και την ακτίνα του ρ. Αν ο κύκλος έχει εξίσωση: + =ρ τότε έχει κέντρο: Κ0,0) και ακτίνα ρ και αντίστροφα. Αν ο κύκλος έχει εξίσωση: 0 ) + 0 ) =ρ τότε έχει κέντρο: Κ 0, 0 ) και ακτίνα ρ και αντίστροφα. Αν όμως έχει τη γενική μορφή: + Α Β + A + B + Γ=0, τότε έχει κέντρο: Κ -,- ) και ακτίνα ρ= Α +Β - Γ με Α + Β Γ >0. π.χ. Nα βρεθεί το κέντρο και η ακτίνα των παρακάτω κύκλων : i) C ) : 9 ii) C ) : ) ) iii) C) : Λύση : i) C ) : 9 κέντρο Ο0,0) και ακτίνα ρ= ii) C ) : ) ) κέντρο, ) και ακτίνα 8 iii) C ) : κέντρο,, ) ) και ακτίνα π.χ. Να γράψετε την εξίσωση του κύκλου που έχει : i) κέντρο Ο0,0) και ακτίνα ρ= ii) κέντρο Κ0,-) και ακτίνα ρ= Λύση : i) κέντρο Ο0,0) και ακτίνα ρ=, τότε C ) : ii) κέντρο Κ0,-) και ακτίνα ρ=, τότε C ) : ) ΑΣΚΗΣΗ 7 Nα βρεθεί το κέντρο και η ακτίνα των παρακάτω κύκλων : i) C ) : 9 ii) C ) : ) ) 7 iii) C) : 8 0 ΑΣΚΗΣΗ 8 Να γράψετε την εξίσωση του κύκλου που έχει : i) κέντρο Ο0,0) και ακτίνα ρ= ii) κέντρο Κ-,0) και ακτίνα ρ=8 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ Σελίδα 8

29 ΠΑΡΑΒΟΛΗ Παραβολή είναι το σύνολο των σημείων του επιπέδου Ο τα οποία ισαπέχουν από μια ευθεία δ), διευθετούσα) και ένα σταθερό σημείο Ε, Εστία). p p Αν Μ,) αυτά τα σημεία και Διευθετούσα ) : και Εστία, 0 τότε: dm, δ) = ΜΕ) C) : p. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ Σελίδα 9

30 Αν Μ,) αυτά τα σημεία και Διευθετούσα dm,δ) = ΜΕ C) : p. p ) : και Εστία 0, p τότε: π.χ. Να βρεθεί η εξίσωση της παραβολής που έχει : i) Εστία Ε,0) ii) Εστία Ε0,-) iii) Διευθετούσα δ) : iv) Διευθετούσα δ) : Λύση : p i) E,0) άρα p άρα C) : 8 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ Σελίδα 0

31 p ii) Ε0,-) άρα p άρα p iii) δ) : p άρα p iv) δ) : άρα p 0 άρα C) : ) C) : C) : 0) 0 π.χ. Να βρεθεί η εστία και η διευθετούσα της παραβολής με εξίσωση : i) ii) 8 iii) Λύση : i) ii) iii) iv) p p άρα Εστία :,0, 0, p Διευθετούσα : δ): p άρα Εστία : p,0,0, p Διευθετούσα : δ): p p άρα Εστία : 0, 0,, p Διευθετούσα : δ): 8 iv) p p Διευθετούσα : δ): ΑΣΚΗΣΗ 9 Να βρεθεί η εξίσωση της παραβολής που έχει : i) Εστία Ε,0) ii) Εστία Ε0,-) iii) Διευθετούσα δ) : iv) Διευθετούσα δ) : p άρα Εστία : 0, 0, ΑΣΚΗΣΗ 0 Να βρεθεί η εστία Ε και η διευθετούσα δ) των παραβολών με εξισώσεις i. 8 ii., ΕΛΛΕΙΨΗ Έλλειψη είναι το σύνολο των σημείων του επιπέδου Ο τα οποία έχουν σταθερό άθροισμα αποστάσεων, α), από δύο σταθερά σημεία Ε, Ε εστίες) Πρέπει: ΕΕ = γ<α). Αν Μ,) αυτά τα σημεία και Εγ,0), Ε -γ,0) τότε: ) ), β =α -γ. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ Σελίδα

32 Αν Μ,) αυτά τα σημεία και Ε0,γ), Ε 0,-γ) τότε: ) ), β =α -γ. Εκκεντρότητα της έλλειψης ονομάζεται ο αριθμός ε= ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ Σελίδα

33 π.χ. Να βρείτε την εξίσωση της έλλειψης σε καθεμιά από τις παρακάτω περιπτώσεις : i) όταν έχει εστίες τα σημεία Ε -,0) και Ε,0) και μεγάλο άξονα 0 ii) όταν έχει εστίες τα σημεία Ε 0,-) και Ε0,) και μεγάλο άξονα Λύση : i) Ε -,0) και Ε,0) άρα γ=, μεγάλος άξονας 0 άρα 0 Επίσης 9 Άρα C) : 9 ii) Ε 0,-) και Ε0,) άρα γ=, μεγάλος άξονας άρα Επίσης 9 Άρα C) : 9 π.χ. Να βρείτε τα μήκη αξόνων, τις εστίες και την εκκεντρότητα των ελλείψεων : i) ii) 9 Λύση : i) άρα και άρα Μεγάλος Άξονας :, Μικρός Άξονας, Εστίες,0),,0) Εκκεντρότητα : 9 ii) 9 9 άρα 9 και άρα 9 Μεγάλος Άξονας :, Μικρός Άξονας, Εστίες 0, ), 0,) Εκκεντρότητα : ΑΣΚΗΣΗ Να βρεθεί η εξίσωση της έλλειψης που έχει : i) όταν έχει εστίες τα σημεία Ε -,0) και Ε,0) και μικρό άξονα ii) όταν έχει εστίες τα σημεία Ε 0,-) και Ε0,) και μεγάλο άξονα ΑΣΚΗΣΗ Να βρείτε τα μήκη αξόνων, τις εστίες και την εκκεντρότητα των ελλείψεων : i) 0 ii) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ Σελίδα

34 ΥΠΕΡΒΟΛΗ Υπερβολή είναι το σύνολο των σημείων του επιπέδου Οχψ τα οποία έχουν σταθερή απόλυτη διαφορά αποστάσεων, α), από δύο σταθερά σημεία Ε, Ε εστίες), Πρέπει: ΕΕ = γ>α) Αν Μ,) αυτά τα σημεία και Εγ,0), Ε -γ,0) τότε: ) ), β =γ -α. Αν Μ,) αυτά τα σημεία και Ε0,γ), Ε 0,-γ) τότε: β =γ -α. ) ), ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ Σελίδα

35 Εκκεντρότητα της υπερβολής ονομάζεται ο αριθμός ε=, Ασύμπτωτες τις υπερβολής C ) : είναι οι ευθείες ) : και ) :, ενώ της ) : C οι ευθείες ) : και ) :. Αν α=β, τότε η υπερβολή λέγεται ισοσκελής υπερβολή και έχει εξίσωση της μορφής : C ) : π.χ. Να βρείτε την εξίσωση της υπερβολής σε καθεμιά από τις παρακάτω περιπτώσεις : i) όταν έχει εστίες τα σημεία Ε -,0) και Ε,0) και κορυφές τα σημεία Α -,0) και Α,0) ii) όταν έχει εστίες τα σημεία Ε 0,-0) και Ε0,0) και εκκεντρότητα Λύση : i) Ε -,0) και Ε,0) άρα γ=, κορυφές τα σημεία Α -,0) και Α,0) αρα Επίσης 9 Άρα C) : ii) Ε 0,-0) και Ε0,0) άρα γ=0, 0 εκκεντρότητα 0 Επίσης 00 8 Άρα C) : π.χ. Να βρείτε τις εστίες, την εκκεντρότητα και τις ασύμπτωτες των υπερβολών : i) 9 ii) Λύση : i) 9 9 άρα 9 και 9 άρα 9 Εστίες :,0),,0), Εκκεντρότητα : Ασύμπτωτες : ) : και ) : ii) ισοσκελής υπερβολή) άρα και άρα 8 Εστίες :,0),,0), Εκκεντρότητα : Ασύμπτωτες : ) : και ) : ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ Σελίδα

36 ΑΣΚΗΣΗ Να βρεθεί η εξίσωση της υπερβολής που έχει : i) όταν έχει εστίες τα σημεία Ε -,0) και Ε,0) και απόσταση κορυφών 8 ii) όταν έχει εστίες :,0),,0) και εκκεντρότητα :. ΑΣΚΗΣΗ Να βρείτε τις εστίες, τις κορυφές, την εκκεντρότητα και τις ασύμπτωτες των υπερβολών : i) 9 ii) 9 ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΕΣ Εφαπτομένη του κύκλου χ +ψ =ρ στο σημείο του Αχ ο,ψ ο ): χχ ο +ψψ ο =ρ Εφαπτομένη της παραβολής p ψψ ο =pχ+χ ο ) Εφαπτομένη της παραβολής p στο σημείο της Αχ ο,ψ ο ): χχ ο =pψ+ψ ο ) Εφαπτομένη της έλλειψης στο σημείο της Αχ ο,ψ ο ): Εφαπτομένη της υπερβολής στο σημείο της Αχ ο,ψ ο ): ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΞΑΣΚΗΣΗ. Να λυθούν οι εξίσωσης : i. ) ii. ) iii. iv. v. 8 0 vi. vii. 0 viii. 0 i. 0. ) i. ) ii. iii. 8 iv. 0 0 v. 0 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ Σελίδα

37 . Να λυθούν οι εξίσωσης : i. ) ii. ) iii. ) iv. v. 0 vi. vii. viii. 0 i.. i.. α. ) 7 0 να βρεθεί το λ ώστε η εξίσωση να έχει διπλή ρίζα. β. ) ) 0 να βρεθεί το λ ώστε η εξίσωση να έχει ρίζες άνισες. γ. Αν ) 0 με 0, νδο η εξίσωση έχει πραγματικές ρίζες.. Να λύσετε τις εξίσωσης : i. 7 0 ii. 0 iii. 0. Να λυθούν οι παρακάτω εξισώσεις : i ii. 0. Να λυθούν οι παρακάτω εξισώσεις : i. ii. iii. 7 8 iv. 0 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ Σελίδα 7

38 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ Σελίδα 8 7. Να λύσετε τα παρακάτω συστήματα : i. 0 ii. iii. iv. ) ) 0 ) v. vi. vii. viii. i i Να λύσετε τις ανισώσεις : i. 0 ii. 0 iii. 0 iv. 0 v. 0 vi. 0 vii. 9. Να λυθούν οι παρακάτω ανισώσεις : i. ii. 8 7 iii. 7

39 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ Σελίδα 9 0. Να λυθούν οι παρακάτω εξισώσεις : i. ii. iii.. Να λυθούν οι παρακάτω ανισώσεις : i. ii. iii.. Να παραγοντοποιήσετε και στη συνέχεια να απλοποιήσετε τις παρακάτω παραστάσεις, αφού πρώτα βρείτε τις τιμές του για τα οποίες ορίζονται. i. ii. iii. 9 iv. 9 v. vi. vii. 9 viii. i.. i. ii. iii. 8 0 iv. 9

40 v. vi. vii. ) ) ) 7) 9 8. Να υπολογιστούν οι παρακάτω τριγωνομετρικοί αριθμοί : i) 0 ii) 0 iii) iv) v) vi) viii) i) ) i) ii) 9 vii). Να λυθούν οι εξισώσεις : i) ii) iii). Να λυθούν οι παρακάτω εξισώσεις : i. e ii. e iii. e iv v. 9 0 vi. 0 vii. viii.. Να λυθούν οι παρακάτω ανισώσεις : i. e ii. 9 iii. iv. v. 7. Να λυθούν οι παρακάτω εξισώσεις : i. ln ) 0 ii. ln e ) iii. ln 7) ln ) ln iv. ln ) ln ln v. ln ) ln ) ln 8 vi. log ) log ) log 7 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ Σελίδα 0

41 8. Να βρείτε τις αποστάσεις των σημείων : i. Α,-) και Β,) ii. Α0.) και Β,) 9. Να βρεθεί η τιμή του R για την οποία οι ευθείες : i. =λ+)+ και =+ είναι παράλληλες. ii. =λ+ και =λ-)-9 είναι κάθετες. 9. Δίνεται η ισοσκελής υπερβολή χ -ψ =. Α. Να βρείτε τις εστίες Ε, Ε,τις κορυφές Α, Α και τις ασύμπτωτες της υπερβολής. Β. Να δείξετε ότι η έλλειψη με εστίες τα σημεία Α, Α, τις κορυφές της υπερβολής ), και κορυφές τα σημεία Ε, Ε, τις εστίες της υπερβολής), έχει εξίσωση χ +ψ =8. Γ. Να βρείτε τα σημεία τομής της υπερβολής και της έλλειψης. Δ. Αν Μ, να βρείτε τις εξισώσεις των ευθειών που διχοτομούν τις γωνίες E M E και AM A. 0. Δίνονται τα σημεία Α, ) και Β -, - ). α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του μέσου Μ του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ. β) Να βρείτε την εξίσωση της μεσοκαθέτου ευθείας του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ. γ) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από την αρχή των αξόνων και είναι κάθετη στην ευθεία ΑΒ. δ) Να βρείτε την προβολή της αρχής των αξόνων πάνω στην ευθεία ΑΒ ε) Να βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου που έχει κορυφές την αρχή των αξόνων και τα σημεία τομής τους με την ευθεία ΑΒ.. Δίνεται ο κύκλος C: + ++8=0 να βρεθεί το κέντρο και η ακτίνα του.. Δίνεται ο κύκλος C: =0 να βρεθεί το κέντρο και η ακτίνα του.. Να βρείτε την απόσταση του σημείου Μ-,) από την ευθεία ε με εξίσωση a) -+=0 b) =- g) =- d) +=0 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ Σελίδα

42 .. Δίνονται τα σημεία Α8,0) και Β0,) του καρτεσιανού επιπέδου O. α. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που ορίζεται από την αρχή των αξόνων Ο και το μέσο Δ του τμήματος ΑΒ. β. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας ε) που διέρχεται από το σημείο Δ και είναι κάθετη στην ευθεία ΟΔ.. Α) Να βρεθεί η απόσταση του σημείου Ρ,-) από την ευθεία η) : +-=0 B) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που είναι κάθετη στην ε) +-=0 και διέρχεται από τι σημείο όπου η ε) τέμνει τον. 7. Να βρεθεί το κέντρο και η ακτίνα του κύκλου C ) : Δίνεται ο κύκλος C ) : 9 0. Να βρείτε : i. Το κέντρο και την ακτίνα του κύκλου. ii. Την εξίσωση του κύκλου C ), ο οποίος είναι ομόκεντρος με τον κύκλο C ) και εφάπτεται στην ευθεία ε) : Να βρεθεί η εστία Ε και η διευθετούσα δ) των παραβολών με εξισώσεις : i. 8 ii. 0. Δίνεται η έλλειψη 0. Να βρείτε τις εστίες, τα μήκη των αξόνων και την εκκεντρότητα της. Δίνεται το σημείο Ε,0) και η ευθεία δ) : -=0. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος C) των σημείων M του επιπέδου για τα οποία ισχύει ότι η απόσταση τους από το σημείο Ε ισούται με τα / της απόστασης τους από την δ). Στη συνέχεια να βρεθούν οι εστίες, οι κορυφές, η εκκεντρότητα και οι ασύμπτωτες της C). ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ Σελίδα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ & ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ & ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ & ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ . ΣΥΝΟΛΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τα σύνολα των αριθμών είναι τα εξής : i. Φυσικοί αριθμοί : 0,,,,......,,,,0,,,,...

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ & ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ A ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ & ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ A ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ & ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ A ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ www.pitetragono.gr Σελίδα. ΔΥΝΑΜΕΙΣ : Ισχύουν οι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός Αγαπητοί μαθητές. αυτό το βιβλίο αποτελεί ένα βοήθημα στην ύλη της Άλγεβρας Α Λυκείου, που είναι ένα από

Διαβάστε περισσότερα

4.1 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1 ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ

4.1 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1 ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 4.1 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1 ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 1 : ΑΠΛΗ ΜΟΡΦΗ Για να λύσω μια ανίσωση της μορφής : 0 ή 0 1 ος τρόπος : Λειτουργώ όπως και στις εξισώσεις πρώτου βαθμού, δηλαδή χωρίζω γνωστούς από αγνώστους, και

Διαβάστε περισσότερα

3.1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ

3.1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΑΠΛΗ ΜΟΡΦΗ Κάθε εξίσωση που έχει ή μπορεί να πάρει τη μορφή : α+β=0 ή α=-β () λέγεται εξίσωση ου βαθμού (ή πρωτοβάθμια εξίσωση), με άγνωστο το, ενώ

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Αριθμοί 1. ΑΡΙΘΜΟΙ Σύνολο Φυσικών αριθμών: Σύνολο Ακέραιων αριθμών: Σύνολο Ρητών αριθμών: ακέραιοι με Άρρητοι αριθμοί: είναι οι μη ρητοί π.χ. Το σύνολο Πραγματικών

Διαβάστε περισσότερα

2.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ

2.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ Ρητός ονομάζεται κάθε αριθμός που έχει ή μπορεί να πάρει τη μορφή κλάσματος, όπου, είναι ακέραιοι με 0. Ρητοί αριθμοί : Q /, 0. Έτσι π.χ.

Διαβάστε περισσότερα

4.4 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ & ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΠΟΥ ΑΝΑΓΟΝΤΑΙ ΣΕ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ

4.4 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ & ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΠΟΥ ΑΝΑΓΟΝΤΑΙ ΣΕ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ 4.4 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ & ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΠΟΥ ΑΝΑΓΟΝΤΑΙ ΣΕ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Για να λύσω μια κλασματική εξίσωση, δηλ. μια εξίσωση που έχει άγνωστο στον παρανομαστή, Βήμα : παραγοντοποιώ

Διαβάστε περισσότερα

Ιγνάτιος Ιωαννίδης Χρήσιμες Γνώσεις 5

Ιγνάτιος Ιωαννίδης Χρήσιμες Γνώσεις 5 Ιγνάτιος Ιωαννίδης Χρήσιμες Γνώσεις 5 Α Σύνολα αριθμών Για τα σύνολα των αριθμών γνωρίζουμε ότι N Z Q R. ) Το N= { 0,,,,... } είναι το σύνολο των φυσικών αριθμών. ) Το Z = { 0, ±, ±, ±,... } είναι το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Μέτρηση του όγκου και του εμβαδού ορθών πρισμάτων Κανονική Πυραμίδα 1 Βάσης) (Απόστημα) 2 1 ό Βάσης) (Ύψος) 3

Μέτρηση του όγκου και του εμβαδού ορθών πρισμάτων Κανονική Πυραμίδα 1 Βάσης) (Απόστημα) 2 1 ό Βάσης) (Ύψος) 3 Βασικά σύνολα αριθμών -Σύνολο φυσικών: Ν = {0,., } ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ -Σύνολο ακεραίων: Ζ= { -.-.0.,, } Συμβολίζουμε με ν=κ και τους άρτιους και τους περιττούς αντίστοιχα. * -Σύνολο ρητών: Q =, Z &

Διαβάστε περισσότερα

1ο Κεφάλαιο: Συστήματα

1ο Κεφάλαιο: Συστήματα ο Κεφάλαιο: Συστήματα Γραμμικά συστήματα i. Ποια εξίσωση λέγεται γραμμική; ii. Πως μεταβάλλεται η ευθεία y, 0 ή 0 για τις διάφορες τιμές των α,β,γ; iii. Τι ονομάζεται λύση μιας γραμμικής εξίσωσης; iv.

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Κεφάλαιο ο : Κωνικές Τομές Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ. Ο ΚΥΚΛΟΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ένας κύκλος ορίζεται αν

Διαβάστε περισσότερα

2.3 Πολυωνυμικές Εξισώσεις

2.3 Πολυωνυμικές Εξισώσεις . Πολυωνυμικές Εξισώσεις η Μορφή Ασκήσεων: Ασκήσεις που μας ζητούν να λύσουμε μια πολυωνυμική εξίσωση.. Να λυθούν οι εξισώσεις: i. + + + 6 = 0 ii. 7 = iii. ( + ) + 7 = 0 iv. 8 + 56 = 0 i. + + + 6 = 0 (

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο «ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ»

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο «ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ» ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΕΠΑΛ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο «ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ» Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Α ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Πεδίο

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) Τοα R σημαίνει ότι οι συντελεστές δεν περιέχουν την μεταβλητή x. αντικ σταση στο που = α. [ ο αριθµ ός πουτο µηδεν ίζει

( ) ( ) Τοα R σημαίνει ότι οι συντελεστές δεν περιέχουν την μεταβλητή x. αντικ σταση στο που = α. [ ο αριθµ ός πουτο µηδεν ίζει μέρος πρώτο v v 1 v 1 Γενική μορφή πολυωνύμου: ( ) 1 1 Όροι του ( ) v v v P = a v + av 1 + av +... + a + a 1 + a, ν Ν, α ν R Τοα R σημαίνει ότι οι συντελεστές δεν περιέχουν την μεταβλητή. P : a, a, a,...,

Διαβάστε περισσότερα

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: α) ρητοί β) άρρητοι γ) πραγματικοί;

Διαβάστε περισσότερα

Αν ο κύκλος έχει κέντρο την αρχή των αξόνων Ο(0,0) τότε έχει εξίσωση της μορφής : x y και αντίστροφα. Ειδικότερα Ο κύκλος με κέντρο Ο(0,0)

Αν ο κύκλος έχει κέντρο την αρχή των αξόνων Ο(0,0) τότε έχει εξίσωση της μορφής : x y και αντίστροφα. Ειδικότερα Ο κύκλος με κέντρο Ο(0,0) . Ο ΚΥΚΛΟΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ένας κύκλος ορίζεται αν γνωρίζουμε το κέντρο του, και την ακτίνα του ρ. Αν ο κύκλος έχει κέντρο την αρχή των αξόνων Ο, τότε έχει εξίσωση της μορφής : και αντίστροφα. Ειδικότερα

Διαβάστε περισσότερα

7. Αν υψώσουμε και τα δύο μέλη μιας εξίσωσης στον κύβο (και γενικά σε οποιαδήποτε περιττή δύναμη), τότε προκύπτει

7. Αν υψώσουμε και τα δύο μέλη μιας εξίσωσης στον κύβο (και γενικά σε οποιαδήποτε περιττή δύναμη), τότε προκύπτει 8 7y = 4 y + y ( 8 7y) = ( 4 y + y) ( y) + 4 y y 4 y = 4 y y 8 7y = 4 y + ( 4 y) = ( 4 y y) ( 4 y) = 4( 4 y)( y) ( 4 y) 4( 4 y)( y) = 0 ( 4 y) [ 4 y 4( y) ] = 4 ( 4 y)( y + 4) = 0 y = ή y = 4) 0 4 H y

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8 ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ. Μαθηματικών Β Γυμνασίου. Μαριλένα Νικολαΐδου-Μουσουλίδου

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ. Μαθηματικών Β Γυμνασίου. Μαριλένα Νικολαΐδου-Μουσουλίδου ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Μαθηματικών Β Γυμνασίου ΑΡΙΘΜΟΙ Το σύνολο των Φυσικών Αριθμών είναι 1,2,3,4, Το σύνολο των Φυσικών Αριθμών συμπεριλαμβανομένου και του μηδενός είναι: 0, 1, 2, 3, 4, Άρτιος αριθμός είναι κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Bbs. ΑΛΓΕΒΡΑ ΣΥΝΟΛΑ Σύνολο Φυσικών αριθμών: N = {0,1,2, } Σύνολο Ακέραιων αριθμών: Z = {,-2,-1,0,1,2, } Σύνολο Ρητών αριθμών: Q = {

Bbs. ΑΛΓΕΒΡΑ ΣΥΝΟΛΑ Σύνολο Φυσικών αριθμών: N = {0,1,2, } Σύνολο Ακέραιων αριθμών: Z = {,-2,-1,0,1,2, } Σύνολο Ρητών αριθμών: Q = { ΑΛΓΕΒΡΑ ΣΥΝΟΛΑ Σύνολο Φυσικών αριθμών: N = {0,1,2, } Σύνολο Ακέραιων αριθμών: Z = {,-2,-1,0,1,2, } Σύνολο Ρητών αριθμών: Q = { Άρρητοι αριθμοί A: είναι οι μη ρητοί π.χ. Το σύνολο Πραγματικών αριθμών R=

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 016-17 1. Τι ονομάζεται αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται κάθε έκφραση που περιέχει πράξεις μεταξύ αριθμών και μεταβλητών.. Τι ονομάζεται αριθμητική τιμή αλγεβρικής

Διαβάστε περισσότερα

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΑ ΑΠΟ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Ομόσημοι Ετερόσημοι αριθμοί Αντίθετοι Αντίστροφοι αριθμοί Πρόσθεση ομόσημων και ετερόσημων ρητών αριθμών Απαλοιφή παρενθέσεων Πολλαπλασιασμός και Διαίρεση ρητών αριθμών

Διαβάστε περισσότερα

2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β Λυκει(ου ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β Λυκει(ου ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β Λυκει(ου ο ΓΕΛ ΣΥΚΕΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ -4 ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Επιμέλεια: ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΤΥΠΛΓΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Βασικά σύνολα Σύνολο φυσικών: Í {,,,L} Σύνολο ακεραίων: Æ { L,,,,,, L} Σύνολο ρητών: Q / Æ, ë Æ * ë Άρρητος λέγεται ένας αριθµός που δεν µπορεί να γραφτεί µε τη µορφή κλάσµατος ακεραίων.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΒΑΣΙΚΟΙ ΤΥΠΟΙ ΑΠΟ ΤΗΝ ΘΕΩΡΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Αρχή και Πέρας Φορέας Διεύθυνση (Συγγραμμικά διανύσματα) Μέτρο Κατεύθυνση (Ομόρροπα Αντίρροπα διανύσματα)

Διαβάστε περισσότερα

OΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

OΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ OΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Έστω Α ένα υποσύνολο του Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α ; Απάντηση : ΕΣΠ Β Έστω

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου. Άλγεβρα...

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου. Άλγεβρα... Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Άλγεβρα 1.1 Β: Δυνάμεις πραγματικών αριθμών. 1. Πως ορίζεται η δύναμη ενός πραγματικού αριθμού ; Η δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα

Διαβάστε περισσότερα

Άλγεβρα Β Λυκείου. Στέλιος Μιχαήλογλου.

Άλγεβρα Β Λυκείου. Στέλιος Μιχαήλογλου. Άλγεβρα Β Λυκείου Στέλιος Μιχαήλογλου wwwaskisopolisgr Το φυλλάδιο αυτό δημιουργήθηκε για να χρησιμοποιηθεί ως επέκταση του σχολικού βιβλίου και όχι αυτόνομα δ έκδοση 0--06 Συστήματα Γραμμικές Εξισώσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΟΡΕΣΤΙΑΔΑΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Διάνυσμα ορίζεται ένα ευθύγραμμο τμήμα στο οποίο έχει ορισθεί ποια είναι η αρχή, ή σημείο εφαρμογής του

Διαβάστε περισσότερα

Άλγεβρα Β Λυκείου. Στέλιος Μιχαήλογλου.

Άλγεβρα Β Λυκείου. Στέλιος Μιχαήλογλου. Άλγεβρα Β Λυκείου Στέλιος Μιχαήλογλου wwwaskisopolisgr Το φυλλάδιο αυτό δημιουργήθηκε για να χρησιμοποιηθεί ως επέκταση του σχολικού βιβλίου και όχι αυτόνομα δ έκδοση 0--06 Συστήματα Γραμμικές Εξισώσεις

Διαβάστε περισσότερα

Ταυτότητες. α 2 β 2 = (α β)(α + β) "διαφορά τετραγώνων" α 3 β 3 = (α β)(α 2 + αβ + β 2 ) "διαφορά κύβων"

Ταυτότητες. α 2 β 2 = (α β)(α + β) διαφορά τετραγώνων α 3 β 3 = (α β)(α 2 + αβ + β 2 ) διαφορά κύβων Ταυτότητες (α β) α αβ β " αναπτύγματα τετραγώνων " (α β) αβ β (α β) α α β αβ β " αναπτύγματα κύβων " (α β) α α β αβ β " παραγοντοποίηση τριωνύμου " (α β) αβ ( α)( β) (α β) αβ ( α)( β) α β = (α β)(α + β)

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Οι πραγματικοί αριθμοί αποτελούνται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς, τους φυσικούς και τους ακέραιους αριθμούς. Δηλαδή είναι το μεγαλύτερο σύνολο αριθμών που μπορούμε

Διαβάστε περισσότερα

τα βιβλία των επιτυχιών

τα βιβλία των επιτυχιών Τα βιβλία των Εκδόσεων Πουκαμισάς συμπυκνώνουν την πολύχρονη διδακτική εμπειρία των συγγραφέων μας και αποτελούν το βασικό εκπαιδευτικό υλικό που χρησιμοποιούν οι μαθητές των φροντιστηρίων μας. Μέσα από

Διαβάστε περισσότερα

Πολυωνυμικές εξισώσεις και ανισώσεις Εξισώσεις και ανισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυμικές

Πολυωνυμικές εξισώσεις και ανισώσεις Εξισώσεις και ανισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυμικές 0 Πολυωνυμικές εξισώσεις και ανισώσεις Εξισώσεις και ανισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυμικές Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Για να λύσουμε μια πολυωνυμική εξίσωση P(x) 0 (ή μια πολυωνυμική ανίσωση P(x)

Διαβάστε περισσότερα

Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο ... ν παράγοντες

Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο ... ν παράγοντες 1 Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο Ερώτηση 1 : Τι ονομάζεται δύναμη α ν με βάση τον πραγματικό αριθμό α και εκθέτη το φυσικό αριθμό >1; H δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα φυσικό αριθμό ν, συμβολίζεται

Διαβάστε περισσότερα

4. Να βρείτε τον βαθμό των πολυωνύμων ως προς χ, ως προς ψ και ως προς χ και ψ μαζί

4. Να βρείτε τον βαθμό των πολυωνύμων ως προς χ, ως προς ψ και ως προς χ και ψ μαζί 1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να εκτελέσετε τις προσθέσεις, όπου αυτό είναι δυνατόν α) χ 3 +5ψ 3 β) χ 3 +6χ 3 γ) 4χ 5 ω-7ωχ 5 δ) 3χ 5 +4χ ε) χ 4 +3χ 4 ζ) χ -χ η) χ +χ θ) χ +χ ι) χ+χ 3 κ) χ -χ λ) 3χ 4-4χ 4 μ) 3χ-3χ 3.

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 10 ΕΠΑΝΑΛΗΨΕΙΣ ΑΠΟ ΠΡΟΗΓΟΥΜΕΝΕΣ ΤΑΞΕΙΣ α ) Ταυτότητες 1. (a-β)(a+β)=a - b. (a ± b ) = a ± ab + b 3 3 3 3. (a ± b ) = a ± 3a b + 3ab

Διαβάστε περισσότερα

Πολυωνυμική εξίσωση βαθμού ν ονομάζεται κάθε εξίσωση της μορφής α ν x ν +α ν-1 x ν α 1 x+α 0 =0,με α 0,α 1,...

Πολυωνυμική εξίσωση βαθμού ν ονομάζεται κάθε εξίσωση της μορφής α ν x ν +α ν-1 x ν α 1 x+α 0 =0,με α 0,α 1,... 3 0 ΛΥΚΕΙΟ ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ Λ. ΒΟΥΛΓΑΡΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΟΥ ΑΝΑΓΟΝΤΑΙ ΣΕ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ Πολυωνυμική εξίσωση βαθμού ν ονομάζεται κάθε εξίσωση της μορφής α ν x ν +α ν-1 x ν-1 +...+α

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ. Μαθηματικών Γ Γυμνασίου. Μαριλένα Νικολαΐδου-Μουσουλίδου

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ. Μαθηματικών Γ Γυμνασίου. Μαριλένα Νικολαΐδου-Μουσουλίδου ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Μαθηματικών Γ Γυμνασίου Ιδιότητες δυνάμεων:, Ιδιότητες ριζών:, ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ,,,, Ταυτότητες: αβ α 2αββ αβ 2αββ αβαβ α β αβ α 3α β3αβ β αβ α 3α β3αβ β ΠΡΟΣΟΧΗ!,,,,,, Όταν υψώνουμε ένα

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Άλγεβρα 1.1 Β : Δυνάμεις πραγματικών αριθμών. 1. Πως ορίζεται η δύναμη ενός πραγματικού αριθμού ; Η δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα

Διαβάστε περισσότερα

Web page: Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Γ Γυμνασίου Γεωμετρία-Τριγωνομετρία

Web page:    Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Γ Γυμνασίου Γεωμετρία-Τριγωνομετρία Web page: www.ma8eno.gr e-mail: vrentzou@ma8eno.gr Η αποτελεσματική μάθηση δεν θέλει κόπο αλλά τρόπο, δηλαδή ma8eno.gr Άλγεβρα Κανόνας των πρόσημων: (+) (+) = + ( ) ( ) = + (+) ( ) = ( ) (+) = Συνοπτική

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ

1.1 ΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ . ΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ Α. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΕΥΡΕΣΗ ΠΕΔΙΟΥ ΟΡΙΣΜΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΣ P Q Q v P P ln P P P P, P P, Q P P Ποιο είναι το πεδίο ορισμού των

Διαβάστε περισσότερα

1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο

1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο 1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο ΘΕΜΑ 1 ο α) Αν χ 1, χ ρίζες της εξίσωσης αχ +βχ+γ=0, 0 να δείξετε ότι S 1 και P 1 Μον. 10 β) Έστω η συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι η Ευκλείδια διαίρεση; Είναι η διαδικασία κατά την οποία όταν δοθούν δύο φυσικοί αριθμοί Δ και δ, τότε βρίσκουμε άλλους δύο φυσικούς αριθμούς π και υ,

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΖΕΡΒΟΣ ΜΑΝΟΛΗΣ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΖΕΡΒΟΣ ΜΑΝΟΛΗΣ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΖΕΡΒΟΣ ΜΑΝΟΛΗΣ 1 ΜΕΡΟΣ Α ΚEΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. ΕΡΩΤΗΣΗ Τι ονομάζουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο. Πίνακας διερεύνησης της εξίσωσης Εξίσωση: αx 2 +βx+γ=0 (α 0) (Ε) Έχει ΥΟ ρίζες άνισες που δίνονται από τους τύπους x 1,2 =

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο. Πίνακας διερεύνησης της εξίσωσης Εξίσωση: αx 2 +βx+γ=0 (α 0) (Ε) Έχει ΥΟ ρίζες άνισες που δίνονται από τους τύπους x 1,2 = ΕΞΙΩΕΙ-ΑΝΙΩΕΙ ου ΒΑΘΜΟΥ - 38 - ΚΕΦΑΑΙΟ 4 ΚΕΦΑΑΙΟ 4 ο Εξισώσεις - Ανισώσεις β βαθµού 5.1. Μορφή και διερεύνηση της εξίσωσης β βαθµού Άθροισµα και γινόµενο των ριζών της Κάθε εξίσωση β βαθµού πριν τη λύσουµε,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 8. Πότε το γινόμενο δύο ή περισσοτέρων αριθμών παραγόντων είναι ίσο με το μηδέν ;

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 8. Πότε το γινόμενο δύο ή περισσοτέρων αριθμών παραγόντων είναι ίσο με το μηδέν ; ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ( ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ) ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ : Το κεφάλαιο αυτό περιέχει πολλά θέματα που είναι επανάληψη εννοιών που διδάχθηκαν στο Γυμνάσιο γι αυτό σ αυτές δεν θα επεκταθώ αναλυτικά

Διαβάστε περισσότερα

Ιωάννης Σ. Μιχέλης Μαθηματικός

Ιωάννης Σ. Μιχέλης Μαθηματικός 1 Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο Ερώτηση 1 : Ποιες είναι οι ιδιότητες της πρόσθεσης των φυσικών; Το άθροισμα ενός φυσικού αριθμού με το 0 ισούται με τον ίδιο αριθμό. α+0=α Αντιμεταθετική ιδιότητα. Με βάση την οποία

Διαβάστε περισσότερα

6.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

6.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 6.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΡΙΣΜΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Συνάρτηση από ένα σύνολο Α σε ένα σύνολο Β λέγεται μια διαδικασία (κανόνας), με την οποία κάθε στοιχείο του συνόλου Α αντιστοιχίζεται σε ακριβώς ένα στοιχείο

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Α λ γ ε β ρ ι κ έ ς π α ρ α σ τ ά σ ε ι ς 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις συμπληρώσεις) A. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Διδακτικοί στόχοι Θυμάμαι ποιοι αριθμοί λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος )

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) Ερωτήσεις Θεωρίας Να βρείτε στην αντίστοιχη σελίδα του σχολικού σας βιβλίου το ζητούμενο της κάθε ερώτησης που δίνεται παρακάτω και να το γράψετε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο ο Αλγεβρικές Παραστάσεις ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) ) Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΘΕΜΑ 1. ημ x. 1 σφx 1 σφx 4 ΘΕΜΑ γ ε. 2 δ. 1

ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΘΕΜΑ 1. ημ x. 1 σφx 1 σφx 4 ΘΕΜΑ γ ε. 2 δ. 1 1 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ 1. Να αποδείξετε ότι: 1 σφ 1 σφ ΘΕΜΑ 1. Nα λύσετε την εξίσωση: ημ 1 σφ 1σφ 4 ΘΕΜΑ Α. Να βρεθούν οι παρακάτω τριγωνομετρικοί αριθμοί: α. συν330 ο = β. συν (-300 ο ) = γ. συν (-10 ο ) = δ.

Διαβάστε περισσότερα

3.1 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΗ ΑΡΙΘΜΟΙ ΓΩΝΙΑΣ

3.1 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΗ ΑΡΙΘΜΟΙ ΓΩΝΙΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ. ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΗ ΑΡΙΘΜΟΙ ΓΩΝΙΑΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΟΞΕΙΑΣ ΓΩΝΙΑΣ έ _ ά ί ί _ ά ί έ _ ά ί _ ά ί _ ά έ _ ά ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΤΥΧΑΙΑΣ ΓΩΝΙΑΣ y y y όπου η απόσταση του

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου. Μεθοδική Επανάληψη

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου. Μεθοδική Επανάληψη Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Μεθοδική Επανάληψη Στέλιος Μιχαήλογλου www.askisopolis.gr Η επανάληψη των Μαθηματικών βήμα - βήμα Άλγεβρα Κεφάλαιο 1ο: Αλγεβρικές παραστάσεις 1.1. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς

Διαβάστε περισσότερα

Πολυώνυµα - Πολυωνυµικές εξισώσεις

Πολυώνυµα - Πολυωνυµικές εξισώσεις 4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Πολυώνυµα - Πολυωνυµικές εξισώσεις Ορισµός πολυωνύµου Ονοµάζoυµε ΠΟΛΥΩΝΥΜΟ του κάθε παράσταση της µορφής α ν ν +α ν- ν- + +α +α 0, ν ΙΝ και α 0, α,, α ν-, α ν ΙR. Παρατηρήσεις α. Τα α ν ν, α

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΈΝΝΟΙΑ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΣΥΖΥΓΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ i ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2 ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΥΜΗΤΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ - Σελίδα 1 από 6 - 1. Η ΔΟΜΗ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Στις εξετάσεις του Μαίου-Ιουνίου µας δίνονται δύο θέµατα θεωρίας και

Διαβάστε περισσότερα

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ.ptetragono.gr Σελίδα. ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Να βρεθεί το μέτρο των μιγαδικών :..... 0 0. 5 5 6.. 0 0. 5. 5 5 0 0 0 0 0 0 0 0 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ Αν τότε. Αν χρειαστεί

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΜΑΔΕΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ : ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΡΟΛΟΓΟΣ Σε κάθε ενότητα αυτού του βιβλίου θα βρείτε : Βασική θεωρία με τη μορφή ερωτήσεων Μεθοδολογίες και σχόλια

Διαβάστε περισσότερα

Περιορισμοί στο R. ln x,log. Β= ln Α Β Α Β Α. Σύνοψη γραφικών παραστάσεων

Περιορισμοί στο R. ln x,log. Β= ln Α Β Α Β Α. Σύνοψη γραφικών παραστάσεων στο R Πεδίο ορισμού συνάρτησης είναι η συναλήθευση των περιορισμών της συνάρτησης στο R, αν δεν έχει περιορισμούς λέμε ότι έχει πεδίο ορισμού το R. Όταν έχω πρέπει ν Α, Α Α Α Β Β ln Α, log Α Α> ln Β logα

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή Το σύνολο αναφοράς και οι περιορισμοί

Εισαγωγή Το σύνολο αναφοράς και οι περιορισμοί ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΠΟΥ ΑΝΑΓΟΝΤΑΙ ΣΕ ΠΟΛΥΟΝΥΜΙΚΕΣ Εισαγωγή Το σύνολο αναφοράς και οι περιορισμοί Όταν έχουμε μία εξίσωση που περιέχει παρονομαστές ή ρίζες, πρέπει να βάζουμε περιορισμούς. Το νόημα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. lim( x 3 1) 0. = δηλαδή το όριο είναι της. . Θα προσπαθήσουμε να βγάλουμε κοινό παράγοντα από αριθμητή και ( ) ( )( )

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. lim( x 3 1) 0. = δηλαδή το όριο είναι της. . Θα προσπαθήσουμε να βγάλουμε κοινό παράγοντα από αριθμητή και ( ) ( )( ) ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΕΝΝΟΙΑ ΟΡΙΟΥ ΣΤΟ R - ΠΛΕΥΡΙΚΑ ΟΡΙΑ ΣΤΟ R - ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ ΟΡΙΣΜΟΥ ΟΡΙΟΥ ΣΤΟ R - ΟΡΙΟ ΚΑΙ ΔΙΑΤΑΞΗ - ΟΡΙΑ ΚΑΙ ΠΡΑΞΕΙΣ [Κεφ 4: Όριο Συνάρτησης

Διαβάστε περισσότερα

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B 151 Θέματα εξετάσεων περιόδου Μαΐου - Ιουνίου στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης Τάξη - B Λυκείου 15 Α. Αν α, β, γ ακέραιοι ώστε α/β και α/γ, να δείξετε ότι α/(β + γ). Μονάδες 13 Β. α. Δώστε τον ορισμό της παραβολής.

Διαβάστε περισσότερα

Μελέτη της συνάρτησης ψ = α χ 2

Μελέτη της συνάρτησης ψ = α χ 2 Μελέτη της συνάρτησης ψ = α χ Η γραφική της παράσταση είναι μια καμπύλη που λέγεται παραβολή. Ανάλογα με το πρόσημο του α έχω και τα αντίστοιχα συμπεράσματα. αν α > 0 1) Η γραφική της παράσταση είναι πάνω

Διαβάστε περισσότερα

1.4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ

1.4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ 4 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ 4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Κάθε διάνυσμα του επιπέδου γράφεται κατά μοναδικό τρόπο στη μορφή : i j όπου i, j μοναδιαία διανύσματα με κοινή αρχή το

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ-ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ-ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ-ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ.3 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ Α. Επίλυση εξισώσεων δευτέρου βαθμού με ανάλυση σε γινόμενο παραγόντων 1. ΕΡΩΤΗΣΗ Ποια εξίσωση λέγεται εξίσωση ου βαθμού

Διαβάστε περισσότερα

ΠΩΣ; Το «σωσίβιό» σου στον ωκεανό της Γ Λυκείου! ΕΥΘΥΜΙΟΣ ΛΙΑΤΣΟΣ ΑΝΑΝΕΩΜΕΝΗ ΣΥΜΠΕΠΛΗΡΩΜΕΝΗ ΕΚΔΟΣΗ!

ΠΩΣ; Το «σωσίβιό» σου στον ωκεανό της Γ Λυκείου! ΕΥΘΥΜΙΟΣ ΛΙΑΤΣΟΣ ΑΝΑΝΕΩΜΕΝΗ ΣΥΜΠΕΠΛΗΡΩΜΕΝΗ ΕΚΔΟΣΗ! ΕΥΘΥΜΙΟΣ ΛΙΑΤΣΟΣ Καθηγητής Μαθηµατικών άμιλλα φροντιστήρια ΠΩΣ; Βασικά στοιχεία από την Άλγεβρα της Α και Β Λυκείου, αλλά και από την Κατεύθυνση της Β Λυκείου, που είναι απαραίτητα στα Μαθηµατικά Κατεύθυνσης

Διαβάστε περισσότερα

εξισώσεις-ανισώσεις Μαθηματικά α λυκείου Φροντιστήρια Μ.Ε. ΠΑΙΔΕΙΑ σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες

εξισώσεις-ανισώσεις Μαθηματικά α λυκείου Φροντιστήρια Μ.Ε. ΠΑΙΔΕΙΑ σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες Με τον διεθνή όρο φράκταλ (fractal, ελλ. μορφόκλασμα ή μορφοκλασματικό σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες ονομάζεται ένα γεωμετρικό σχήμα που επαναλαμβάνεται αυτούσιο σε άπειρο

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΕΛΕΤΗΣ ΙΟΥΝΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Β 2016

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΕΛΕΤΗΣ ΙΟΥΝΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Β 2016 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΕΛΕΤΗΣ ΙΟΥΝΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Β 06 version -6-06 Παρακάτω υπάρχουν θέματα θεωρίας και ασκήσεις που καλύπτουν πιστεύω σε μεγάλο βαθμό την εξεταστέα ύλη. Εχουν στόχο να μας βοηθήσουν να θυμηθούμε την

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση εξισώσεων δευτέρου βαθμού με ανάλυση σε γινόμενο παραγόντων

Επίλυση εξισώσεων δευτέρου βαθμού με ανάλυση σε γινόμενο παραγόντων ΜΕΡΟΣ Α. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 69. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ Ορισμός Ονομάζουμε εξίσωση ου βαθμού με έναν άγνωστο κάθε ισότητα που έχει την μορφή α +β+ γ = 0 με α 0 (ο είναι ο άγνωστος της εξίσωσης,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης Φυλλάδιο Φυλλάδι555 4 ο ο.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

Τάξη B. Μάθημα: Η Θεωρία σε Ερωτήσεις. Επαναληπτικά Θέματα. Επαναληπτικά Διαγωνίσματα. Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης. α Ε

Τάξη B. Μάθημα: Η Θεωρία σε Ερωτήσεις. Επαναληπτικά Θέματα. Επαναληπτικά Διαγωνίσματα. Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης. α Ε Ν β K C Ε -α Ο α Ε Τάξη B Μ -β Λ Μάθημα: Η Θεωρία σε Ερωτήσεις Επαναληπτικά Θέματα Επαναληπτικά Διαγωνίσματα Επιμέλεια: Διανύσματα Ερωτήσεις θεωρίας 1. Πως ορίζεται το διάνυσμα;. Τι λέγεται μηδενικό διάνυσμα;

Διαβάστε περισσότερα

qwφιertyuiopasdfghjklzxερυυξnmηq σwωψerβνtyuςiopasdρfghjklzxcvbn mqwertyuiopasdfghjklzxcvbnφγιmλι qπςπζαwωeτrtνyuτioρνμpκaλsdfghςj

qwφιertyuiopasdfghjklzxερυυξnmηq σwωψerβνtyuςiopasdρfghjklzxcvbn mqwertyuiopasdfghjklzxcvbnφγιmλι qπςπζαwωeτrtνyuτioρνμpκaλsdfghςj qwφιertyuiopasdfghjklzxερυυξnmηq σwωψerβνtyuςiopasdρfghjklzxcvbn mqwertyuiopasdfghjklzxcvbnφγιmλι qπςπζαwωeτrtνyuτioρνμpκaλsdfghςj ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ klzxcvλοπbnαmqwertyuiopasdfghjklz ΤΕΛΙΚΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ xcvbnmσγqwφertyuioσδφpγρaηsόρ

Διαβάστε περισσότερα

Ανισώσεις Γινόμενο και Ανισώσεις Πηλίκο

Ανισώσεις Γινόμενο και Ανισώσεις Πηλίκο Ανισώσεις Γινόμενο και Ανισώσεις Πηλίκο Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση» www.ma8eno.gr Ανισώσεις γινόμενο και ανισώσεις πηλίκο Πρόσημο γινομένου της μορφής P()

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Θετικής-Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Θετικής-Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Θετικής-Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Θέμα A. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση της εφαπτομένης του κύκλου στο σημείο του Α, ) είναι 8 μονάδες) Β. Να δώσετε τον ορισμό

Διαβάστε περισσότερα

7.1 ΜΕΛΕΤΗ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

7.1 ΜΕΛΕΤΗ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 7.1 ΜΕΛΕΤΗ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ f ( ) 1. Μορφή της συνάρτησης f ( ) Ιδιότητες Έχει πεδίο ορισµού ολο το R Είναι άρτια, άρα συµµετρική ως προς τον άξονα y y Είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστηµα (,0] Είναι γνησίως

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 1. Α. Έστω x, y και x, y δύο διανύσματα του καρτεσιανού επιπέδου Οxy. i. Να εκφράσετε (χωρίς απόδειξη) το εσωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων και συναρτήσει των συντεταγμένων τους.

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Ο ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Ο ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΕΠΑΛ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ : ΠΑΡΑΓΟΥΣΕΣ ΟΡΙΣΜΟΣ Έστω συνάρτηση : R, όπου Δ διάστημα

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις επί των ρητών αριθµών

Ερωτήσεις επί των ρητών αριθµών Σελ. 1 Ερωτήσεις επί των ρητών αριθµών 1. Ποια είναι τα πρόσηµα των ακεραίων αριθµών; Ζ={... -3,-2,-1,0,+1,+2,+3,... } 2. Ποιοι αριθµοί λέγονται θετικοί και ποιοι αρνητικοί; Γράψε από έναν. 3. Στον άξονα

Διαβάστε περισσότερα

ςεδς ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός

ςεδς ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός 01 ςεδς ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Βαγγέλης ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός ΣΗΜΕΙΩΜΑ Το παραπάνω φυλλάδιο φτιάχτηκε για να προσφέρει λίγη βοήθεια κυρίως στους

Διαβάστε περισσότερα

ρ= ρ= ρ= P x με παραγοντοποίηση κατά ομάδες οπότε θα προσπαθήσουμε να το

ρ= ρ= ρ= P x με παραγοντοποίηση κατά ομάδες οπότε θα προσπαθήσουμε να το Να λύσετε την παρακάτω εξίσωση 3 ου βαθμού: 3 Λύση 4 4 0 Ας ονομάσουμε παραγοντοποιηθεί εύκολα το P το πολυώνυμο στο πρώτο μέλος.εκ πρώτης όψεως δεν φαίνεται να μπορεί να P με παραγοντοποίηση κατά ομάδες

Διαβάστε περισσότερα

Παραγοντοποίηση. Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd

Παραγοντοποίηση. Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd 0 Παραγοντοποίηση Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd 0 1 Ενότητα 4 η Ταυτότητες Παραγοντοποίηση Σκοπός Ο σκοπός της 4 η ενότητας είναι να αποκτήσουν την ικανότητα

Διαβάστε περισσότερα

Κωνικές τομές. Προκύπτουν σαν τομές ορθού κυκλικού κώνου με επίπεδο που δεν διέρχεται από την κορυφή του

Κωνικές τομές. Προκύπτουν σαν τομές ορθού κυκλικού κώνου με επίπεδο που δεν διέρχεται από την κορυφή του Κωνικές τομές Προκύπτουν σαν τομές ορθού κυκλικού κώνου με επίπεδο που δεν διέρχεται από την κορυφή του ΚΥΚΛΟΣ το επίπεδο είναι κάθετο στον άξονα του κώνου ΠΑΡΑΒΟΛΗ το επίπεδο είναι παράλληλο σε μια γενέτειρα

Διαβάστε περισσότερα

. Όλες οι συναρτήσεις δεν μπορούν να παρασταθούν στο καρτεσιανό επίπεδο όπως για παράδειγμα η συνάρτηση του Dirichlet:

. Όλες οι συναρτήσεις δεν μπορούν να παρασταθούν στο καρτεσιανό επίπεδο όπως για παράδειγμα η συνάρτηση του Dirichlet: Κεφάλαιο: Συναρτήσεις Γραφική παράσταση συνάρτησης Γράφημα μιας συνάρτησης ( ) ονομάζουμε το σύνολο των σημείων G( ) (, ( ) ) / A που είναι υποσύνολο του. Το γράφημα αυτό { } συνήθως παριστάνεται πάνω

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΒΑΣΙΛΗΣ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΒΑΣΙΛΗΣ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΒΑΣΙΛΗΣ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ Οι Πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι είναι οι πραγματικοί αριθμοί ; Ποιοι είναι οι

Διαβάστε περισσότερα

τα βιβλία των επιτυχιών

τα βιβλία των επιτυχιών Τα βιβλία των Εκδόσεων Πουκαμισάς συμπυκνώνουν την πολύχρονη διδακτική εμπειρία των συγγραφέων μας και αποτελούν το βασικό εκπαιδευτικό υλικό που χρησιμοποιούν οι μαθητές των φροντιστηρίων μας. Μέσα από

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα απολυτήριων εξετάσεων ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Θέματα απολυτήριων εξετάσεων ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α. Να συμπληρωθούν οι ισότητες: (α + β) =.., (α β) 3 = και (α + β)(α β) =.. Β. Να αποδείξετε τη δεύτερη. Θέμα ο Να γράψετε τα τρία (3) κριτήρια ισότητας τριγώνων. Να λυθεί η εξίσωση: 3 + 4 = 7 + 1 Άσκηση

Διαβάστε περισσότερα

,, δηλαδή στο σημείο αυτό παρουσιάζει τη μέγιστη τιμή της αν α < 0 2α 4α και την ελάχιστη τιμή της αν α > 0. β Στο διάστημα,

,, δηλαδή στο σημείο αυτό παρουσιάζει τη μέγιστη τιμή της αν α < 0 2α 4α και την ελάχιστη τιμή της αν α > 0. β Στο διάστημα, Γενικής Παιδείας 1.4 Εφαρμογές των παραγώγων Το κριτήριο της πρώτης παραγώγου Στην Άλγεβρα της Α Λυκείου μελετήσαμε τη συνάρτηση f(x) = αx + βx + γ, α 0 και είδαμε ότι η γραφική της παράσταση είναι μία

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Το σύνολο των πραγματικών αριθμών Υπενθυμίζουμε ότι το σύνολο των πραγματικών αριθμών αποτελείται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς και παριστάνεται

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδικοί Αριθμοί. Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση. Υποδειγματικά λυμένες ασκήσεις Ασκήσεις προς λύση

Μιγαδικοί Αριθμοί. Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση. Υποδειγματικά λυμένες ασκήσεις Ασκήσεις προς λύση Μιγαδικοί Αριθμοί Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση Υποδειγματικά λυμένες ασκήσεις Ασκήσεις προς λύση ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Υποδειγματικά Λυμένες Ασκήσεις Άλυτες Ασκήσεις ΛΑ Να βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

Πολυώνυμα. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Άλγεβρα Κεφάλαιο ασκήσεις. Kglykos.gr. εκδόσεις. Καλό πήξιμο. Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α

Πολυώνυμα. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Άλγεβρα Κεφάλαιο ασκήσεις. Kglykos.gr. εκδόσεις. Καλό πήξιμο. Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α Πολυώνυμα Κώστας Γλυκός Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α 6 9 7. 0 0. 8 8. 8 8 Kglykos.gr 1 / 1 / 0 1 6 Άλγεβρα Κεφάλαιο 4 174 ασκήσεις και τεχνικές σε 1 σελίδες εκδόσεις Καλό πήξιμο ΓΛΥΚΟΣ ΚΩΝ/ΝΟΣ τηλ.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΜΑ Α Άσκηση, μιγαδικοί αριθμοί να αποδείξετε ότι: Αν = Έχουμε: = ( ) ( ) ( ) ( ) = = =. Το τελευταίο ισχύει, άρα ισχύει και η ισοδύναμη αρχική σχέση.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Β. 0και 4 x 3 0.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Β. 0και 4 x 3 0. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΕΝΝΟΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. IΣΟΤΗΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ - ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΣΥΝΘΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ [Ενότητα

Διαβάστε περισσότερα

2.1 2.2 ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ

2.1 2.2 ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΕΝΟΤΗΤΕΣ :.... ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟ & ΦΑΝΤΑΣΤΙΚΟ ΜΕΡΟΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Έστω ένας μιγαδικός αριθμός,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ Γ. Π. Β. ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β.) (Μαθηματικός) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ της Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΘΕΩΡΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ της Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ της Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦ. 1 ο (ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ) Ο ρ ι σ µ ο ί Πείραµα τύχης (π.τ.) είναι το πείραµα για το οποίο δεν µπορούµε εκ των προτέρων να προβλέψουµε το αποτέλεσµά του αν και επαναλαµβάνεται

Διαβάστε περισσότερα

τριώνυμο Η εξίσωση δευτέρου βαθμού στην πλήρη της μορφή ονομάζεται τριώνυμο, γιατί αποτελείται από τρία μονώνυμα. Η γενική μορφή της είναι:

τριώνυμο Η εξίσωση δευτέρου βαθμού στην πλήρη της μορφή ονομάζεται τριώνυμο, γιατί αποτελείται από τρία μονώνυμα. Η γενική μορφή της είναι: κεφάλαιο 4 Α τριώνυμο επίλυση της εξίσωσης δευτέρου βαθμού Η εξίσωση δευτέρου βαθμού στην πλήρη της μορφή ονομάζεται τριώνυμο, γιατί αποτελείται από τρία μονώνυμα. Η γενική μορφή της είναι: αx + βx + γ

Διαβάστε περισσότερα

3.4 3.5 ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ

3.4 3.5 ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο.. ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Συμφώνα με το Θεμελιώδες Θεώρημα του Ολοκληρωτικού Λογισμού Θ.Θ.Ο.Λ ισχύει : I. d II. d III. d ln IV. d V. d VI. d VII. d

Διαβάστε περισσότερα