( ) ( ) ( ) 1. α 0. Η παράσταση. Τα αποτελέσµατα σχετικά µε τις ρίζες της εξίσωσης συνοψίζονται στον παρακάτω πίνακα: Αν = 0

Transcript

1 IΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ Β ΒΑΘΜΟΥ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Β ΒΑΘΜΟΥ Εξίσωση β βαθµού λέγεται κάθε εξίσωση της µορφής α, β, γ R µε α Η παράσταση α = β 4αγ λέγεται διακρίνουσα της εξίσωσης Τα αποτελέσµατα σχετικά µε τις ρίζες της εξίσωσης συνοψίζονται στον παρακάτω πίνακα: α + β+ γ=, όπου α + β+ γ=, α + β+ γ=, α = β 4αγ Η εξίσωση α + β+ γ=, α Αν > β± Έχει δύο ρίζες άνισες τις:, = α Αν = β Έχει δύο ρίζες ίσες µε = = α Αν < εν έχει πραγµατικές ρίζες Παρατηρήσεις β± β Ο τύπος, = ισχύει και όταν = οπότε έχουµε, = α α Όταν β= ή γ= η λύση της εξίσωσης α + β+ γ=, α γίνεται µε παραγοντοποίηση ή ανάγεται στην λύση εξίσωσης της µορφής Να λυθεί η εξίσωση: ( ) Έχουµε = ( ) ( ) ( ) = = = 9 5, οπότε = α, α R, ( ) ( ) 5+ ± 5 = 5 = = 6 ΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ ΘΥΜΙΟΣ ΜΑΥΡΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ

2 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΟΥ ΑΝΑΓΟΝΤΑΙ ΣΕ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Β ΒΑΘΜΟΥ Η λύση πολλών εξισώσεων ανάγεται στην λύση εξισώσεων δεύτερου βαθµού Α ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Να λυθεί η εξίσωση: = + ΕΚΠ= + δηλαδή και, οπότε Έχουµε ( )( ) = ( )( + ) ( )( + ) + ( )( + ) = + ( ) ( ) ( ) ( )( ) = ( ) ( ) ( ) = = 7 + = ( 7+ ) = (= ή = 7 Και οι δύο ρίζες είναι δεκτές Β ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Λέγονται οι εξισώσεις που περιέχουν τον άγνωστο στον εκθέτη µιας δύναµης κ λ Γνωρίζουµε ότι: αν α> και α ισχύει η ισοδυναµία α = α κ= λ Εποµένως f( ) g( ) για να λύσουµε µια εκθετική εξίσωση την µετατρέπουµε στη µορφή α = α, οπότε θα είναι ισοδύναµη µε την εξίσωση f () = g(), δηλαδή ( ) g( ) ( ) ( ) f α α f g = = 4 Να λυθεί η εξίσωση: 5 = Έχουµε = 5 = 5 4= ( = 4ή = ) Γ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΟΥ ΛΥΝΟΝΤΑΙ ΜΕ ΜΕΘΟ ΟΣ ΑΛΛΑΓΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ( ΜΕ ΤΗΝ ΧΡΗΣΗ ΒΟΗΘΗΤΙΚΟΥ ΑΓΝΩΣΤΟΥ ) Ι ΙΤΕΤΡΑΓΩΝΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Μία εξίσωση λέγεται διτετράγωνη όταν έχει µορφή Για να λύσουµε µία εξίσωση αυτής της µορφής, θέτουµε αω + βω+ γ= και λύνεται κατά τα γνωστά 4 α + β + γ=, α ΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ ΘΥΜΙΟΣ ΜΑΥΡΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ = ω, οπότε γίνεται

3 Να λυθεί η εξίσωση: Θέτουµε = ( ιτετράγωνη) = ωκαι η εξίσωση γίνεται: ω 8ω 9= 8± ω = 9 = 64+ 6=, ω, = = 4± 5 ω = Άρα = 9 =± ( = ή = ) ή = που είναι αδύνατη II ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΟΛΥΤΑ Να λυθεί η εξίσωση: ( ) = Έχουµε ( 5) = = ( ) και η εξίσωση ( ) γίνεται: ω 8ω+ 7= 8± 6 ω = = 64+ 8= 6, ω, = = ω = 7 Άρα 5 = 5=± ( = 6 ή = 4) ή 5 = 7 5=± 7 ( = ή = ) Θέτουµε 5 = ω ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΒΑΘΜΟΥ ΜΕΓΑΛΥΤΕΡΟΥ ΤΟΥ ΕΥΤΕΡΟΥ Υπάρχουν δύο βασικές µέθοδοί για να λύσουµε µία πολυωνυµική εξίσωση: Η µέθοδος της παραγοντοποίησης =, Αν P( ) είναι ένα πολυώνυµο ν βαθµού και P( ) P ( ) P( ) Pκ ( ) * κ N, όπου P ( ), P ( ),, P ( ) τότε κ είναι πολυώνυµα πρώτου ή δευτέρου βαθµού, ( ) = ( ) = ή P ( ) = ή ή ( ) P P Pκ = οπότε η λύση της πολυωνυµικής εξίσωσης ανάγεται στην λύση εξισώσεων πρώτου και δεύτερου βαθµού Να λυθεί η εξίσωση: 4 + 4= + = ΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ ΘΥΜΙΟΣ ΜΑΥΡΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ

4 Έχουµε 4 + 4= = ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) = + = ( )( + )( + ) = ( = ή = ή = ή 4 = Η µέθοδος της αλλαγής µεταβλητής (µε την χρήση βοηθητικού αγνώστου) Να λυθούν οι εξισώσεις: ( + ) ( + ) = = 5 + Θέτουµε + = ψ, οπότε + = ψ και έχουµε ( ) ( ) ( ) + + = ψ ψ = ψ ψ = = + 48= 49, ψ ± 7, = = ψ = 4 Εποµένως ψ ± 5 = + = 4 + 6=, = + 4= 5,, = = Ή + = + + =, = 4= δεν έχει πραγµατικές ρίζες Πρέπει και Θέτουµε + = ψ και έχουµε: = 5 ψ + = 5 ψ 5ψ + 4 = + ψ = 5 6= 9, ψ 5±, = = ψ = 4 Εποµένως ψ + = 4 4 = + = = Ή + = + = = ΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ ΘΥΜΙΟΣ ΜΑΥΡΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ 4

5 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ Σε καθεµία από τις παρακάτω ερωτήσεις να σηµειώσετε τη σωστή απάντηση Μία ρίζα της εξίσωσης α 7α 5=, α είναι ίση µε Α α Β Γ Ε 5 α α Το σύνολο λύσεων της εξίσωσης ( ) ( ) Α 5, Β, + + 5= είναι Γ 5, 5, 5 5α Το σύνολο λύσεων της εξίσωσης + = είναι α α 5α+ 6, R Α R { } Β {, } Γ { } R Ε { } Ε, 4 Το σύνολο λύσεων της εξίσωσης 4 + = είναι 4 4 Α {,} Β {, } Γ { } {,} Ε {} + α α 5 Ποιο από τα παρακάτω είναι ρίζα της εξίσωσης = α + α α Α 4α Β α Γ α α Ε 4α 6 Αν, + και 7 είναι τα µήκη των πλευρών ενός ορθογωνίου τριγώνου, τότε το είναι ίσο µε Α 4 Β Γ 4ή 4 ή 8 Ε Εξισώσεις µε απόλυτα β βαθµού 7 Το σύνολο λύσεων της εξίσωσης + 6= είναι Α {,,, } Β {,, } Γ {,,} {, } Ε {, } 8 Το σύνολο λύσεων της εξίσωσης + 6= είναι Α {,} Β {,} Γ {, } { } Ε { } 9 Το γινόµενο όλων των ριζών της εξίσωσης Α 5 Β Γ 5 Ε = + είναι: Το άθροισµα όλων των ριζών της εξίσωσης Α Β 8 Γ 6 4 Ε 4 + = 5 είναι ίσο µε ΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ ΘΥΜΙΟΣ ΜΑΥΡΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ 5

6 Εκθετικές Εξισώσεις Το σύνολο λύσεων της εξίσωσης + = είναι + 4 Α {, } Β {,4} Γ {, } {,} Ε, H ρίζα της εξίσωσης = είναι ίση µε Α Β Γ Ε Το σύνολο λύσεων της εξίσωσης + = 6είναι: Α { } Β {} Γ { } {, } Ε {, } ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ εξίσωσης β βαθµού 4 Να λύσετε τις εξισώσεις: ( ) 9= ( ) 5 49= (iii) 6 = 49 5 Να λύσετε τις εξισώσεις: 4 + = 4 = (iii) 4 + 6= Να λύσετε τις εξισώσεις: + + = 6 5+ = (iii) + 5 = 7 Να λύσετε τις εξισώσεις: 6= 6z 8 z + = (iii) 7ψ 8 ψ+ 4 7 = 8 Να λύσετε τις εξισώσεις: ( 6+ ) + 6 = ( ) Κλασµατικές εξισώσεις = 9 Να λύσετε τις εξισώσεις: + t + = 4 t t t t Να λύσετε τις εξισώσεις: = 7 z z z z ( )( ) 6 ψ+ 4 = ψ ψ ψ+ 6 = 4 + ΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ ΘΥΜΙΟΣ ΜΑΥΡΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ 6

7 Να λύσετε τις εξισώσεις: = = Εξισώσεις β βαθµού µε παράµετρο Να λύσετε τις εξισώσεις: α 4α = Να λύσετε τις εξισώσεις: ψ α 5 ψ 5α= ( ) + 8α+ 5α = ψ αψ+ α β = 4 Να λύσετε τις εξισώσεις: α+ + α + α 6= ( ) µ + µ ν = 5 Να λύσετε τις εξισώσεις: ( ) αψ α ψ α=, α ( α β) ( α β) ( α β ) + + = + 6 Να αποδείξετε ότι αν η εξίσωση ( α β) 4α+ 4β= έχει µία ρίζα διπλή, τότε η εξίσωση ( ) ( ) α + β + α β = έχει δύο ρίζες άνισες 7 Να αποδείξετε ότι: αν η εξίσωση άνισες, τότε και η εξίσωση ( ) ( ) πραγµατικές άνισες Υπολογισµός παραµέτρων α + β+ γ= έχει δύο ρίζες πραγµατικές + α+ β+ γ + β α+ γ + αγ= έχει δύο ρίζες 8 Για ποιες τιµές του α R, οι παρακάτω εξισώσεις έχουν ίσες ρίζες α 5 α + = ( ) ( ) + α α + 4= 9 Για ποια τιµή του α R η εξίσωση ( ) ( ) α+ 6 α + =, έχει µία ρίζα τον αριθµό Κατόπιν να βρείτε την άλλη ρίζα της εξίσωσης α 4 α α Για ποια τιµή του α R η εξίσωση ( ) ( ) =, α 4έχει µία ρίζα τον αριθµό Κατόπιν να βρείτε την άλλη ρίζα της εξίσωσης Να βρείτε τους α, β R ώστε η εξίσωση και β + α+ β= να έχει ρίζες ίσες µε α α+ + α+ = και Για ποια τιµή του α R, οι εξισώσεις ( ) ( ) + ( α+ 8) ( α ) = έχουν µία ρίζα κοινή ΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ ΘΥΜΙΟΣ ΜΑΥΡΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ 7

8 ιτετράγωνες εξισώσεις Να λύσετε τις εξισώσεις: = = 4 Να λύσετε τις εξισώσεις: = = 5 Να λύσετε τις εξισώσεις: = ( ) Εξισώσεις µε απόλυτα β βαθµού 6 Να λύσετε τις εξισώσεις: 6 = 4 α β α β + + = + = (iii) ( ) 5 5 = 7 Να λύσετε τις εξισώσεις: 4 + = ( ) = 8 Να λύσετε τις εξισώσεις: = = 9 Να λύσετε τις εξισώσεις: + + = + = 4 Να λύσετε τις εξισώσεις: = 4 = 4 Να λύσετε τις εξισώσεις: = + + = 4 Να λύσετε τις εξισώσεις: = Πολυωνυµικές Εξισώσεις (µε παραγοντοποίηση) = 4 Να λύσετε τις εξισώσεις: 4 4 = 4 8= 4+ 4= 44 Να λύσετε τις εξισώσεις: ψ 7ψ 7ψ 4 + = ( ) = ΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ ΘΥΜΙΟΣ ΜΑΥΡΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ 8

9 45 Να λύσετε τις εξισώσεις: ( ) α + + α= 5 5 z α z + α z α = 46 Να λύσετε τις εξισώσεις: = Πολυωνυµικές Εξισώσεις (µε αλλαγή µεταβλητής) 47 Να λύσετε τις εξισώσεις = ( ) ( 5 ) + 4= ( )( ) = 48 Να λύσετε τις εξισώσεις: ( 5+ 7) ( )( ) = ( ) 49 Να λύσετε τις εξισώσεις: = + = 5 ( ) ( + )( + ) = 4 ( )( )( ) 5 Να λύσετε τις εξισώσεις: ( + )( )( + )( ) = ( )( )( )( ) = 5 Να λύσετε τις εξισώσεις: + 4= = Να λύσετε τις εξισώσεις: = Κλασµατικές εξισώσεις 5 Να λύσετε τις εξισώσεις: 4+ = = = 54 Να λύσετε τις εξισώσεις: = = 55 Να λύσετε τις εξισώσεις: + = = ΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ ΘΥΜΙΟΣ ΜΑΥΡΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ 9