εξισώσεις-ανισώσεις Μαθηματικά α λυκείου Φροντιστήρια Μ.Ε. ΠΑΙΔΕΙΑ σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "εξισώσεις-ανισώσεις Μαθηματικά α λυκείου Φροντιστήρια Μ.Ε. ΠΑΙΔΕΙΑ σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες"

Transcript

1 Με τον διεθνή όρο φράκταλ (fractal, ελλ. μορφόκλασμα ή μορφοκλασματικό σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες ονομάζεται ένα γεωμετρικό σχήμα που επαναλαμβάνεται αυτούσιο σε άπειρο βαθμό μεγέθυνσης, κι έτσι συχνά αναφέρεται σαν "απείρως περίπλοκο" Μαθηματικά α λυκείου Φροντιστήρια Μ.Ε. ΠΑΙΔΕΙΑ θεωρία-παρατηρήσεις-ασκήσεις Παναγιώτης Χρ.Χρήστου Φάνης Γρ.Γκανάς Θεολόγος Κ. Ζαχαράκης

2 Περιεχόμενα Εξισώσεις ου βαθμού... Παραμετρική εξίσωση ου βαθμού...3 Εξισώσεις που ανάγονται σε εξισώσεις ου βαθμού...4 Η εξίσωση v a...6 Εξισώσεις ου βαθμού...7 Τύποι Vieta...9 Εξισώσεις που ανάγονται σε εξισώσεις ου βαθμού...0 Ασκήσεις... εξισώσεις ου βαθμού... προβλήματα με εξισώσεις ου βαθμού...3 εξίσωσεις ου βαθμού με απόλυτα...3 v a...4 εξισώσεις ου βαθμού...5 παραμετρικές εξισώσεις ου βαθμού...6 προβλήματα μεεξισώσεις ου βαθμού...7 άθροισμα και γινόμενο ριζών...8 εξισώσεις που ανάγονται σε εξισώσεις ου βαθμού...0 Ανισώσεις ου βαθμού... ανισώσεις ου βαθμού με απόλυτα...3 Ανισώσεις ου βαθμού...5 Ασκήσεις στις ανισώσεις...7 Ανισώσεις ου βαθμού με συναλήθευση...8 Παραμετρικές ανισώσεις ου βαθμού...9 Ανισώσεις ου βαθμού με απόλυτα...30 Πρόσημο τριωνύμου...3 Ανισώσεις ου βαθμού με απόλυτα...33 Παραμετρικές ανισώσεις ου βαθμού...33

3 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ου ΒΑΘΜΟΥ a 0 Η γενική μορφή της εξίσωσης ου βαθμού είναι: a 0 Για να θυμηθούμε πως την λύνουμε: 0 a Χωρίζω γνωστούς απο αγνώστους. Η εξίσωση είναι μια ισότητα έτσι οτι πράξεις κάνω σε αυτήν υπακούουν στις ιδιότητες των ισοτήτων.άρα για να χωρίσω γνωστούς απο αγνώστους πρέπει να προσθέσω στα δυο μέλη το-β Τώρα πρέπει να διαιρέσω και τα δυο μέλη με το α αλλά δεν ξέρω τι αριθμός είναι ο α και γιαυτό διακρίνω περιπτώσεις: Αν 0 τότε μπορώ να διαιρέσω τα δυο μέλη της εξίσωσης με το 0 και η εξίσωση γίνεται Αν 0 τότε η εξίσωση γίνεται 0 οπότε δεν μπορώ να διαιρέσω με το συντελεστή του αγνώστου (γιατί αυτός είναι μηδέν) και ασχολούμαι με το β I. αν είναι 0 τότε η εξίσωση δεν έχει λύση και ονομάζεται αδύνατη II. αν είναι 0 τότε κάθε τιμή του είναι λύση της εξίσωσης είναι δηλαδή ταυτότητα. Επίλυση εξίσωσης ου βαθμού Τα πρώτα 3 βήματα στη λύση μιας εξίσωσης μπορώ να τα περιγράψω ως ελευθερώνω τους όρους μου

4 αν μετά το 5 ο βήμα κατέληγα σε 0 5 αδύνατη (δηλαδή ότι τιμή και να βάλω στη θέση του η ισότητα δεν θα μου λέει αλήθεια) 0 0 ταυτότητα (δηλαδή ότι τιμή και να βάλω στη θέση του Παραμετρική εξίσωση ου βαθμού η ισότητα μου λέει πάντα αλήθεια) Όταν κάποιος απο τους συντελεστές α,β εκφράζεται με τη βοήθεια γράμματος τότε αυτό το γράμμα ονομάζεται παράμετρος και η εξίσωση ονομάζεται παραμετρική.η εργασία που κάνουμε για τη λύση αυτής ονομάζεται διερεύνηση και αποτελείται απο τα βήματα με τα οποία περιγράψαμε την λύση της γενικής εξίσωσης ου βαθμού 0 Παράδειγμα παραμετρικής: Να λυθεί για τις διάφορες τιμές του η εξίσωση 0, ΛΥΣΗ Διερέυνηση: αν 0 0 και 0 και η εξίσωση έχει μοναδική λύση την η εξίσωση γίνεται: 0 0 ταυτότητα η εξίσωση γίνεται : 0 αδύνατη Για Για

5 Εξισώσεις που ανάγονται σε εξισώσεις ου βαθμού Παράδειγμα (κλασματική). Να λυθεί η εξίσωση Λύση Όταν έχω κλασματική εξίσωση πρέπει να βρώ για ποιες τιμές της μεταβλητής ορίζεται(περιορισμοι) Για να βρώ πιο εύκολα τους περιορισμούς θα ασχοληθώ με αυτούς μόλις βρώ το Ε.Κ.Π των παρονομαστών Βρίσκω Ε.Κ.Π παρονομαστών Για να το βρώ πρέπει να παραγοντοποιήσω τους παρονομαστές Ε.Κ.Π: 0, 0 και και απορρίπτεται 4 4 αφού πρέπει

6 Παράδειγμα (με απόλυτα) Να λυθεί η εξίσωση 3 Λύση 3 3 ή 3 3 ή 3 4 ή 3 4 ή 3 4 ή 3 Παράδειγμα 3 (με απόλυτα) Να λυθεί η εξίσωση 3 3 Λύση Πρέπει Με αυτόν τον περιορισμό θα λύσω την εξίσωση ή ή 3 3 ή 5 5 απορρίπτεται ή δεκτή

7 Η εξίσωση v a Διακρίνω περιπτώσεις για το ν και για το α: Παραδείγματα: ή 6 ή 5 αδύνατη

8 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ου βαθμού Έστω εξίσωση a 0 με 0. Βρίσκω τη διακρίνουσα: 4. Τότε αν 0 η εξίσωση έχει στους πραγματικούς αριθμούς δυο ρίζες άνισες τις, αν 0 η εξίσωση έχει στους πραγματικούς αριθμούς μια διπλή ρίζα την,. αν 0 η εξίσωση δεν έχει ρίζες (είναι αδύνατη) στους πραγματικούς αριθμούς. Βασικές εφαρμογές: Είναι a 4, 3, Οπότε Η εξίσωση έχει δυο ρίζες άνισες τις, Είναι a, 4, Οπότε η εξίσωση έχει μια διπλή ρίζα, 4 4 Εναλλακτικά όταν 0 μπορώ να λύσω με τη χρήση ταυτοτήτων

9 a,, Η εξίσωση είναι αδύνατη (δεν έχει ρίζες) στο σύνολο των πραγματικών αριθμών. Όταν η εξίσωση ου βαθμού είναι ελλειπής (λείπει ο πρωτοβάθμιος ή ο σταθερός όρος δεν είναι απαραίτητο να τη λύσω μέσω της Διακρίνουσας αλλά μπορώ να πάω με εναλλακτικούς τρόπους: π.χ ή 0 0 ή π.χ ή ή 3 Εναλλακτικά:

10 Τύποι Vieta Έστω η εξίσωση ου βαθμού a 0, 0 και 0 Τότε η εξίσωση έχει δυο ρίζες άνισες τις: ή Ας βρώ το άθροισμα (S) και το γινόμενο (P) των ριζών S 4 4 P Άρα Με τη βοήθεια των τύπων Vieta η εξίσωση ου βαθμού γίνεται: a S P

11 Εξισώσεις που ανάγονται σε εξισώσεις ου βαθμού με απόλυτα Θέτω 0 Η () λόγω της () γίνεται: Λύνοντας την τελευταία έχω (δεκτή αφού 0) και 5 (δεκτή αφού 5 0) Η () για γίνεται: ή ή 3 Η () για 5 γίνεται: 5 5 ή 5 3 ή 7 κλασματική : 8 Περιορισμοί: Πρέπει Είναι 36 0 Άρα η εξίσωση έχει δυο ρίζες άνισες τις 7 (δεκτή) και (απορρίπτεται)

12 διτετράγωνη Θέτω y 0 Οπότε η () λόγω της () γίνεται: y 7y6 0 με 5 0 άρα η εξίσωση έχει δυο ρίζες άνισες τις: y (δεκτή) και y 6 (δεκτή) Η () για Η () για 6 y γίνεται: y γίνεται:

13 ΑΣΚΗΣΕΙΣ (εξισώσεις ου βαθμού). Να λυθούν οι εξισώσεις α) 5 β) 3 γ) 3 δ). Να λυθούν οι εξισώσεις 4 3 α) β) γ) Να λύσετε τις εξισώσεις α) β) 3 0 γ) δ) 3 0 ε) 4 4. Να λύσετε τις εξισώσεις: α) 4 γ) β) 4 δ) 5. Να λυθούν για κάθε οι εξισώσεις α) β) γ) 3 3 δ) Δίνεται η εξίσωση : Να βρείτε για ποιες τιμές του λ η παραπάνω εξίσωση είναι: α) ταυτότητα β) αδύνατη 7. Να λύσετε τις εξισώσεις: α) a,, a a 4 a a, a β) 8. Να επιλυθεί ο τύπος: ως προς R και στη συνέχεια ως προς R. R R R 03-04

14 9. Από τις ισότητες v v at και 0 v v0 να δείξετε ότι: S t. S v t at 0 Προβλήματα 0. Δυο αριθμοί έχουν άθροισμα 4 και ο ένας είναι κατά 3 μεγαλύτερος από το διπλάσιο του άλλου. Να βρείτε τους αριθμούς αυτούς.. Το διπλάσιο ενός αριθμού είναι κατά μεγαλύτερο από το μισό του αριθμού. Να βρείτε αυτόν τον αριθμό.. Να βρείτε δυο διαδοχικούς φυσικούς αριθμούς των οποίων των οποίων οι αντίστροφοι διαφέρουν κατά 0 3. Ένας πατέρας είναι σήμερα 4 ετών και ο γιος του είναι 9 ετών. Μετά από πόσα χρόνια η ηλικία του πατέρα θα είναι τριπλάσια από την ηλικία του γιου του; Ασκήσεις (εξισώσεις με απόλυτα) 4. Να λύσετε τις εξισώσεις α) 5 0 β) γ) 0 δ) 6 ε) Να λύσετε τις εξισώσεις α) 4 β) 3 7 γ) 53 δ) ε) Να λύσετε τις εξισώσεις α) 8 0 β) 4 5 γ) 3 δ) ε) 4 5 στ)

15 7. Να λύσετε τις εξισώσεις α) β) Να λύσετε τις εξισώσεις α) 4 3 β) 0 γ) 3 9. Να λύσετε τις εξισώσεις α) β) γ) Να λύσετε τις εξισώσεις α) d (,) 3 β) (3, ) 5. Να λύσετε τις εξισώσεις d γ) d,5 d, α) β) ΑΣΚΗΣΕΙΣ v a. Να λύσετε τις εξισώσεις: α) 3 8 β) 4 6 γ) 3 7 δ) 6 64 ε) στ) 3. Να λύσετε τις εξισώσεις: ζ) 3 η) α) β) 8 δ) γ) ε) στ) Να λύσετε τις εξισώσεις: α) β) 3 7 γ)

16 5. Να λύσετε τις εξισώσεις: α) β) γ) δ) Ασκήσεις (εξισώσεις ου βαθμού) 6. Να λύσετε τις εξισώσεις α) 3 0 β) δ) ε) 8 0 γ) στ) Να λύσετε τις εξισώσεις: α) β) γ) δ) ε) Να λύσετε τις εξισώσεις (με δυο τρόπους) α) 6 0 β) δ) 3 0 ε) 3 0 γ) 3 0 στ) 9. Να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις α) β) γ) 0 δ) 30.Να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις ,, α) β) γ) δ) ε) 35 στ) ( ) 4 3 ( 3) ζ) 4 5( ) η)

17 3. Να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις α) γ) ε) 0 3 β) δ) στ) Ασκήσεις (παραμετρικές εξισώσεις ου βαθμού) 3. Να λύσετε για τις διάφορες τιμές του λ τις εξισώσεις α) 0 β) Να αποδείξετε ότι οι παρακάτω εξισώσεις έχουν πραγματικές ρίζες τις οποίες και να βρείτε: a a 0 α) β) 3 9 0, Να βρείτε το πλήθος των ριζών των παρακάτω εξισώσεων a a 0 α) a a a 0, 0 β) 35. Αν η εξίσωση 0 έχει μια διπλή ρίζα να αποδείξετε ότι η εξίσωση: έχει πραγματικές ρίζες 36. Η εξίσωση έχει ρίζα το 3. Να βρείτε: α) τον αριθμό λ β) την άλλη ρίζα της εξίσωσης

18 37. Η εξίσωση έχει μια διπλή ρίζα. α) Να βρείτε τις τιμές του λ β) Για κάθε τιμή του λ να βρείτε τη διπλή ρίζα της εξίσωσης. 38. Δίνονται οι εξισώσεις: και Η μικρότερη ρίζα της εξίσωσης είναι και ρίζα της εξίσωσης. Να βρείτε: α) το λ β) τις ρίζες της εξίσωσης. 39. Η εξίσωση Να βρείτε: α) το λ 0 έχει μια διπλή ρίζα. β) τη διπλή ρίζα της εξίσωσης. Προβλήματα 40. Δυο αδέρφια είναι σήμερα 3 ετών και 7 ετών. Σε πόσα χρόνια το γινόμενο των ηλικιών τους θα είναι ίσο με 60; 4. Στο διπλανό σχήμα το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο με Â 90o. Να βρείτε τα μήκη των πλευρών του τριγώνου. 4. Ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο έχει μήκος 8cm και πλάτος 4cm. Aν αυξήσουμε και το μήκος και το πλάτος κατά cm το εμβαδόν του θα αυξηθεί κατά Να βρείτε το. 8 cm

19 Ασκήσεις (άθροισμα και γινόμενο ριζών) 43. Να βρείτε το άθροισμα και το γινόμενο των ριζών των παρακάτω εξισώσεων: α) 3 0 β) γ) δ) ε) 3 0 στ) Να βρείτε το άθροισμα και το γινόμενο των ριζών των παρακάτω εξισώσεων: α) β) α) Μια εξίσωση ου βαθμού έχει ρίζα το 4. Αν ισχύει P 4 να βρείτε το λόγο. β) Μια εξίσωση ου βαθμού έχει ρίζα το -. Αν ισχύει S 3 να βρείτε τον λόγο. 46. Το άθροισμα των ριζών της εξίσωσης: 8 0 με a 0 είναι 6. Να βρείτε: α) τον αριθμό α β) το γινόμενο των ριζών της παραπάνω εξίσωσης. 47. Αν, είναι οι ρίζες της εξίσωσης 3 0 να βρείτε τις τιμές των παρακάτω παραστάσεων: α) ε) β) γ) δ) 3 3 στ) ζ) 48. Να βρείτε εξίσωση ου βαθμού που να έχει ρίζες τους αριθμούς: α) και 4 β) -3 και 5 γ) και δ) και ε) 3 και 3 στ) 5 5 και

20 49. Έστω και οι ρίζες της εξίσωσης 5 0. Να βρείτε εξίσωση ου βαθμού που να έχει ρίζες τους αριθμούς: α) 3 και 3 β) και γ) και δ) και 50. Δίνεται η εξίσωση 6 0 α) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει πραγματικές ρίζες για κάθε τιμή της παραμέτρου λ. β) Να βρείτε για ποια τιμή του λ η εξίσωση έχει ρίζες: i) αντίθετες ii) αντίστροφες. 5. Να βρείτε για ποιες τιμές του λ η εξίσωση έχει: α) μια διπλή ρίζα β) δυο ρίζες αντίστροφες γ) δυο ρίζες αντίθετες δ) δυο ετερόσημες ρίζες ε) δυο θετικές ρίζες στ) δυο αρνητικές ρίζες 5. Δίνεται η εξίσωση: α) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει πραγματικές ρίζες για κάθε τιμή της παραμέτρου λ. β) Να βρείτε για ποιες τιμές του λ: i) η εξίσωση έχει αντίστροφες ρίζες ii) το γινόμενο των ριζών της εξίσωσης είναι τετραπλάσιο από το άθροισμά τους

21 Ασκήσεις (εξισώσεις που ανάγονται σε ου βαθμού) 53. Να λύσετε τις εξισώσεις: α) 3 0 β) δ) γ) 8 ε) στ) Να λύσετε τις εξισώσεις: α) β) δ) ε) γ) στ) Να λύσετε τις εξισώσεις: α) β) γ) δ) 56. Να λύσετε τις εξισώσεις: α) γ) ε) β) δ) στ) Να λύσετε τις εξισώσεις: α) γ) ε) β) δ) στ)

22 58. Να λύσετε τις εξισώσεις: α) 0 0 β)

23 Ανισώσεις ου βαθμού Οί ανισώσεις ου βαθμού έχουν μορφή a 0 και 0 Τα βήματα με τα οποία τις λύνω είναι τα ίδια με τις εξισώσεις ου βαθμού. Εξισώσεις και ανισώσεις ου βαθμού όμως έχουν ουσιαστικές διαφορές. Παράδειγμα (θα λύσω την εξίσωση και την ανίσωση ) 4 4 διαφορές (στα βήματα):στις ανισώσεις όταν διαιρώ με αρνητικό αριθμό αλλάζει η φορά της ανίσωσης. Επίσης στις ανισώσεις συνεχίζω με τον άξονα των αριθμών. Ουσιαστικές διαφορές: στις εξισώσεις βρίσκώ μια λύση ενώ στις ανισώσεις βρίσκω άπειρες λύσεις οι οποίες ικανοποιούν όλες μια ιδιότητα (στο παράδειγμα είναι όλες μεγαλύτερες του ) στις ειδικές περιπτώσεις των εξισώσεων έχω ότι 0 0 ταυτότητα 0, β 0 ύ ενώ στις ειδικές περιπτώσεις των ανισώσεων (δηλαδή αν ο συντελεστής του αγνώστου είναι μηδέν) πρέπει να σκεφτώ τι μου λέει η ανίσωση για να βγάλω 03-04

24 συμπέρασμα αν είναι αδύνατη ή αν όλοι οι αριθμοί είναι λύση της. Ανισώσεις με απόλυτα Όταν η ανίσωσή μου έχει απόλυτη τιμή που περιέχει τη μεταβλητή μου τότε πρέπει να κάνω όλες τις απαραίτητες εκείνες ιδιότητες των ανισοτήτων οι οποίες θα φέρουνε την ανίσωσή μου στη μορφή π.χ και στη συνέχεια να απαλλαγώ απο το απόλυτο. Παράδειγμα Να λυθεί η ανίσωση 4 Λύση Από τις ιδιότητες των απολύτων τιμών έχω οτι με 0 Άρα Δηλαδή η ανίσωση αληθεύει για 6, Παράδειγμα Να λυθεί η ανίσωση 3 4 Λύση Απο τις ιδιότητες των απολύτων τιμών εχω οτι: αν με θ 0 ή Άρα ή ή ή 3 Δηλαδή η ανίσωση αληθεύει για 5,,

25 Παράδειγμα 3 (γενικό) Να λυθεί η ανίσωση Λύση Για να μπορέσω να φτάσω την ανίσωση στο σημείο που μου δόθηκαν οι ανισώσεις στα προηγούμενα παραδείγματα πρέπει πρώτα απ ολα όπου εμφανίζεται απόλυτη τιμή να έχω την ίδια ποσότητα μέσα της.έτσι 4 Οπότε η αρχική ανίσωση γίνεται: 7 Απαλοιφή παρονομαστών με Ε.Κ.Π(,3,6)= Χωρίζω γνωστούς απο αγνώστους 3 7 Αναγωγή ομοίων όρων 7 7 Διαιρώ με το συντελεστή του αγνώστου (είναι αρνητικός άρα θα αλλάξει η φορά) και τελικά όπως στα προηγούμενα παραδείγματα ή ή 3 Δηλαδή, 3, για να απαλλαγώ απο την απόλυτη τιμη

26 Ανισώσεις ου βαθμού H παράσταση a, 0 λέγεται τριώνυμο ου βαθμού και αναλόγως τη διακρίνουσά του παραγοντοποιείται και γίνεται: αν 0 αν αν 0 a 0 4 Είτε θέλω να βρώ το πρόσημο ενός τριωνύμου είτε θέλω να λύσω μια ανίσωση ου βαθμου π.χ a 0, 0 ακολουθώ τους παρακάτω πίνακες (αναλόγως τη Διακρίνουσα του τριωνύμου). Παράδειγμα Να συναληθεύσετε τις ανισώσεις και

27 Λύση Θα λύσω την κάθε μια ανίσωση χωριστά και στο τέλος θα κάνω συναλήθευση Είναι Άρα, ( ) 75 6 Εγώ θέλω, άρα για την ανίσωση Είναι Άρα, Άρα,3 3 3 Συναλήθευση Άρα οι κοινές λύσεις είναι εκείνα τα,

28 Ασκήσεις στις Ανισώσεις ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ου ΒΑΘΜΟΥ (ΑΠΛΕΣ ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΕΣ). Να λύσετε τις παρακάτω ανισώσεις: i) 3 5 ii) 5 4 iii) iv) Να λύσετε τις παρακάτω ανισώσεις: i) 3( ) 5( ) 3 (3 ) ii) 3(7 3 ) (8 7 ) ( ) iii) (4 5) 3( 3) 5 9( ) iv) 6( ) (5 3 ) 9( 3) v) ( ) ( ) 5 ( ) vi) 3. Να λύσετε τις παρακάτω ανισώσεις: i) iii) v) 4 ( ) 8 ( 3) ( 3) ii) iv) ( ) vi) 3 ( 3) ( 9 ) Να βρείτε τις τιμές του για τις οποίες: i) η παράσταση 53( ) είναι μεγαλύτερη από το. ii) η παράσταση ( ) 5( ) είναι μικρότερη από το 6. iii) η παράσταση 4( ) είναι το πολύ ίση με. iv) η παράσταση v) η παράσταση διάστημα (-,3]. ( ) ( ) είναι τουλάχιστον ίση με 5. ( 3)( 3) ( ) παίρνει τιμές στο ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ου ΒΑΘΜΟΥ ΠΟΥ ΑΛΗΘΕΥΟΥΝ ΓΙΑ ΚΑΘΕ ή ΕΙΝΑΙ ΑΔΥΝΑΤΕΣ 5. Να λύσετε τις παρακάτω ανισώσεις: i) 0 3 ii) 0 4 iii) 0 iv) 0 5 v) 0 0 vi)

29 6. Να λύσετε τις παρακάτω ανισώσεις: i) 0 4 ii) 0 iii) 0 iv) 0 5 v) 0 0 vi) Να λύσετε τις παρακάτω ανισώσεις: i) 3 5 4( ) ii) 4( 6) (3 ) 6( 5) iii) 6( ) 3 4(3 ) iv) 3( 4) 4( ) 5( ) v) 5 (4 5) (5 3) 5 ( ) vi) 4 ( ) 8 ( 3) ( 3) 8. Να λύσετε τις παρακάτω ανισώσεις: i) 4 9 ( ) 6 ii) iii) iv) v) vi) ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ου ΒΑΘΜΟΥ ΠΟΥ ΣΥΝΑΛΗΘΕΥΟΥΝ ΔΙΠΛΕΣ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 9. Να βρείτε τις κοινές λύσεις των παρακάτω ανισώσεων: i) 3( ) και ( 3) ii) 3 ( ) 7 και 5 (7 3) iii) 4( ) 6 ( 3) και 3( 4) 7 5( ) iv) 3( ) 8 9 4(3 ) και 3 5( ) 9 (6 5 ) 0. Να βρείτε τις κοινές λύσεις των παρακάτω ανισώσεων: i) και 5 ii) 4 4 και 4 8 iii) και iv) και ( 4)

30 . Να βρείτε τις κοινές ακέραιες λύσεις των παρακάτω ανισώσεων: i) 3( ) και ( 3) ii) 5( 5) 4( ) 6( 3 ) και 3( ) 4( ) 3( ) iii) και iv) ( ) 3 και Να λύσετε τις παρακάτω ανισώσεις: i) 5 9 ii) 6 8 iii) 3 ( 5) 9 7 iv) 4 ( ) 3(4 ) v) vi) Να λύσετε τις παρακάτω ανισώσεις: i) ii) ( ) 3 3( ) 4 3 iii) 5 4( ) ( 3) 5( ) 4 iv) ( ) 3 5 5( 3) 3( ) 3( ) v) vi) 3 6 ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΕΣ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ου ΒΑΘΜΟΥ 4. Να λύσετε τις παρακάτω ανισώσεις για τις διάφορες τιμές της παραμέτρου : i) 6 3 ii) ( ) ( 4) iii) ( ) ( 3) iv) ( 4) ( )( ) 4( ) v) ( ) 4 vi) Δίνεται η ανίσωση: ( 3) ( ) 3( 3 ). Να βρείτε για ποιες τιμές των παραμέτρων λ και μ η παραπάνω ανίσωση είναι αδύνατη. 6. Δίνεται η ανίσωση: ( ) 3( ). Να βρείτε για ποιες τιμές των παραμέτρων λ και μ η παραπάνω ανίσωση είναι αόριστη

31 3( ) 7. Δίνεται η εξίσωση: και η ανίσωση: 3 4 ( ) α) Να λύσετε την εξίσωση β) Να βρείτε για ποιες τιμές του μ η λύση της εξίσωσης επαληθεύει την ανίσωση. ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ου ΒΑΘΜΟΥ ΜΕ ΑΠΟΛΥΤΑ 8. Να λύσετε τις παρακάτω ανισώσεις: i) 4 ii) 3 6 iii) 3 iv) 0 v) 4 vi) 7 0 vii) viii) 3 8 i) ) 5 0 i) 9 0 ii) Να λύσετε τις παρακάτω ανισώσεις: i) ii) iii) 4 3 iv) v) 4 3 vi) Να λύσετε τις παρακάτω ανισώσεις: i) ii) iii) iv) Να λύσετε τις παρακάτω ανισώσεις: i) ii) iii) iv)

32 . Να βρείτε τις κοινές λύσεις των παρακάτω ανισώσεων: i) και 4 ii) 3 5 και iii) και iv) 5 3 και 3 3. Να λύσετε τις παρακάτω ανισώσεις: i) 5 3 ii) 3 5 iii) iv) Να λύσετε τις παρακάτω ανισώσεις: i) 3 5 ii) 6 iii) 4 3 iv) 5. Να λύσετε τις παρακάτω ανισώσεις: 3 3 i) 3 ii) 4 iii) iv) v) d (,3) vi) d (, 4) 3 vii) d(, ) 4 d(,0) viii) d(,3) d(, ) 6. Να λύσετε τις παρακάτω ανισώσεις: i) ii) 5 5 iii) 8 3 iv) 3 7. Να λύσετε τις παρακάτω ανισώσεις: i) 4 3 ii) Δίνεται η εξίσωση: 8 0 α) Να βρείτε για ποιες τιμές του η εξίσωση έχει πραγματικές ρίζες β) Έστω, οι πραγματικές ρίζες της εξίσωσης. Να βρείτε για ποιες τιμές του ισχύει 3 9. Δίνεται η εξίσωση: 4 0 α) Να βρείτε για ποιες τιμές του η εξίσωση έχει πραγματικές ρίζες β) Έστω, οι πραγματικές ρίζες της εξίσωσης. Να βρείτε για ποιες τιμές του ισχύουν : i. 3 3 ii

33 30. Δίνεται η εξίσωση: οι πραγματικές ρίζες της. 4 0 και έστω, α) Να βρείτε τις τιμές των παραστάσεων: i. S ii. P iii. A β) Για τις τιμές των παραστάσεων που βρήκατε, να λύσετε την ανίσωση: A P S ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ου ΒΑΘΜΟΥ ΠΡΟΣΗΜΟ ΤΡΙΩΝΥΜΟΥ 3. Να κάνετε τον πίνακα προσήμου των παρακάτω τριωνύμων: i) iii) v) vii) i) 5 3 ii) 4 3 iv) 4 4 vi) viii) 3 ) 3. Να λύσετε τις παρακάτω ανισώσεις: i) iii) v) vii) i) 5 4 ii) ( ) ( ) 4 iv) 3 3 vi) viii) 3 ) Να λύσετε τις παρακάτω ανισώσεις: i) iii) v) vii) (3 ) 9 ii) 69 0 iv) 9 6 vi) 3 viii) (5 3) Να βρείτε τις κοινές λύσεις των παρακάτω ανισώσεων: i) 9 και ii) 0 και iii) και ( ) iv) 6 και 0 3 και Να λύσετε τις παρακάτω ανισώσεις: i) 3 ii) iii) 3 4 iv)

34 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ου ΒΑΘΜΟΥ ΜΕ ΑΠΟΛΥΤΑ 36. Να λύσετε τις παρακάτω ανισώσεις: i) ii) () 3 0 iii) 4 4 iv) 3 3 ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΕΣ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ου ΒΑΘΜΟΥ 37. Να βρείτε το πλήθος των ριζών των εξισώσεων για τις διάφορες τιμές της παραμέτρου : i) ( ) 0 ii) ( ) ( ) 0, 38. Να βρείτε τις τιμές της παραμέτρου ώστε οι εξισώσεις να έχουν ρίζες πραγματικές και άνισες: i) () 0 ii) ( ), 39. Να βρείτε τις τιμές της παραμέτρου ώστε οι τιμές του τριωνύμου: 3 ( 0) να διατηρούν σταθερό πρόσημο για κάθε. 40. Να βρείτε τις τιμές της παραμέτρου ώστε οι τιμές του τριωνύμου: ( ) ( ) ( ) να είναι αρνητικές για κάθε. 4. Να βρείτε τις τιμές της παραμέτρου ώστε οι τιμές του τριωνύμου: ( ) ( ) να είναι θετικές για κάθε. 4. Αν 3 να δείξετε ότι για κάθε οι τιμές του τριωνύμου: 4 8 είναι αρνητικές. 43. Αν 0 3 να δείξετε ότι για κάθε οι τιμές του τριωνύμου: είναι θετικές. 44. Να βρείτε τις τιμές της παραμέτρου ώστε η ανίσωση: ( ) 3 0 ( 0) να αληθεύει για κάθε. 45. Να δείξετε ότι η εξίσωση: πραγματικές και άνισες για κάθε 3 έχει δύο ρίζες

35 Ιδρυτής: Παναγιώτης Χρ. Χρήστου Συνεργάζονται διδάσκουν : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΦΥΣΙΚΗ Φάνης Γρ. Γκανάς Θεολόγος Κ. Ζαχαράκης Αρετή Λαΐου Ζησοπούλου ΦΙΛΟΛΟΓΙΚΑ Παναγιώτης Κ. Ζαχαράκης Χρύσα Οικονόμου Άρτεμις Παπανικολάου Αναστασία Κομματά Σωτήρης Παμπάλης Γιάννα Αθανασίου Κομματά ΧΗΜΕΙΑ ΒΙΟΛΟΓΙΑ Ράνια Ζαχαράκη ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Σωτήρης Παιάνας Α.Ο.Θ. Α.Ο.Δ.Ε. Γεωργία Σκουμή ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΛΥΚΕΙΟ ΕΠΑΛ Ιπποκράτους, παλιό Δεσποτικό, Τρίκαλα otenet.gr internet:frontistiriopaideia.weebly.com facebook: «Γενικά Φροντιστήρια Μ.Ε. ΠΑΙΔΕΙΑ Τρίκαλα»

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ-ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ-ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ-ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ.3 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ Α. Επίλυση εξισώσεων δευτέρου βαθμού με ανάλυση σε γινόμενο παραγόντων 1. ΕΡΩΤΗΣΗ Ποια εξίσωση λέγεται εξίσωση ου βαθμού

Διαβάστε περισσότερα

3.1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ

3.1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΑΠΛΗ ΜΟΡΦΗ Κάθε εξίσωση που έχει ή μπορεί να πάρει τη μορφή : α+β=0 ή α=-β () λέγεται εξίσωση ου βαθμού (ή πρωτοβάθμια εξίσωση), με άγνωστο το, ενώ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός Αγαπητοί μαθητές. αυτό το βιβλίο αποτελεί ένα βοήθημα στην ύλη της Άλγεβρας Α Λυκείου, που είναι ένα από

Διαβάστε περισσότερα

4.1 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1 ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ

4.1 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1 ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 4.1 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1 ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 1 : ΑΠΛΗ ΜΟΡΦΗ Για να λύσω μια ανίσωση της μορφής : 0 ή 0 1 ος τρόπος : Λειτουργώ όπως και στις εξισώσεις πρώτου βαθμού, δηλαδή χωρίζω γνωστούς από αγνώστους, και

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού

3.1 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού 1 3.1 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού 1. Να διερευνήσετε την εξίσωση. Ισχύει: Διακρίνουμε τώρα τις περιπτώσεις: Αν τότε: ΘΕΩΡΙΑ Απάντηση Επομένως, αν η εξίσωση έχει ακριβώς μία λύση, την. Αν, τότε η εξίσωση γίνεται,

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ & ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ A ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ & ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ A ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ & ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ A ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ www.pitetragono.gr Σελίδα. ΔΥΝΑΜΕΙΣ : Ισχύουν οι

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ & ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ & ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ & ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ . ΣΥΝΟΛΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τα σύνολα των αριθμών είναι τα εξής : i. Φυσικοί αριθμοί : 0,,,,......,,,,0,,,,...

Διαβάστε περισσότερα

Ανισώσεις Α Βαθμού -Εφαρμογές στις Ανισώσεις

Ανισώσεις Α Βαθμού -Εφαρμογές στις Ανισώσεις 1 Ανισώσεις Α Βαθμού -Εφαρμογές στις Ανισώσεις Ανίσωση με έναν άγνωστο ονομάζουμε κάθε ανισότητα που περιέχει μια μεταβλητή και η οποία αληθεύει για ορισμένες τιμές της μεταβλητής. Πχ: Οι x + > 7, 2(y

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή Το σύνολο αναφοράς και οι περιορισμοί

Εισαγωγή Το σύνολο αναφοράς και οι περιορισμοί ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΠΟΥ ΑΝΑΓΟΝΤΑΙ ΣΕ ΠΟΛΥΟΝΥΜΙΚΕΣ Εισαγωγή Το σύνολο αναφοράς και οι περιορισμοί Όταν έχουμε μία εξίσωση που περιέχει παρονομαστές ή ρίζες, πρέπει να βάζουμε περιορισμούς. Το νόημα

Διαβάστε περισσότερα

1.2 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού

1.2 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού 1.2 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού Διδακτικοί Στόχοι: Θα μάθουμε: Να κατανοούμε την έννοια της εξίσωσης και τη σχετική ορολογία. Να επιλύουμε εξισώσεις πρώτου βαθμού με έναν άγνωστο. Να διακρίνουμε πότε μια εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

Η Θεωρία που πρέπει να θυμάσαι!!!... b a

Η Θεωρία που πρέπει να θυμάσαι!!!... b a Κεφ. εξισώσεις ανισώσεις εξάσκησηεπανάληψη Τhe Ds that make a champion: Devotion, Desire, Discipline Η Θεωρία που πρέπει να θυμάσαι!!!... Μορφές Εξισώσεων Λύση ή ρίζα εξίσωσης Εξίσωση ου βαθμού ax + b

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑ Ι ΑΚΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ ΤΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 4

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑ Ι ΑΚΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ ΤΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 4 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑ Ι ΑΚΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ ΤΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 4 ΛΥΣΗ ΤΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ α + β + γ = 0 α 0 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΙΑΚΡΙΝΟΥΣΑΣ 1. Να λυθούν οι παρακάτω εξισώσεις ως προς ή y: α) - 4 = 0 β) 3 = 4 γ) + - 15 = 0 δ) 5-18 -

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση εξισώσεων δευτέρου βαθμού με ανάλυση σε γινόμενο παραγόντων

Επίλυση εξισώσεων δευτέρου βαθμού με ανάλυση σε γινόμενο παραγόντων ΜΕΡΟΣ Α. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 69. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ Ορισμός Ονομάζουμε εξίσωση ου βαθμού με έναν άγνωστο κάθε ισότητα που έχει την μορφή α +β+ γ = 0 με α 0 (ο είναι ο άγνωστος της εξίσωσης,

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ Άσκηση 1 Δίνονται οι ανισώσεις: 3x και 2 x α) Να βρείτε τις λύσεις τους (Μονάδες 10) β) Να βρείτε το σύνολο των κοινών τους λύσεων (Μονάδες 15) α) Έχουμε 3x 2x x 2

Διαβάστε περισσότερα

ii) Να ποια τιμή του ώστε η εξίσωση (1) έχει μία διπλή πραγματική ρίζα; Έπειτα να βρεθεί η ρίζα αυτή. Ασκήσεις Άλγεβρας

ii) Να ποια τιμή του ώστε η εξίσωση (1) έχει μία διπλή πραγματική ρίζα; Έπειτα να βρεθεί η ρίζα αυτή. Ασκήσεις Άλγεβρας . Δίνεται η εξίσωση, (). i) Να βρεθεί ο αριθμός ώστε η εξίσωση () να έχει μία τουλάχιστον πραγματική ρίζα. ii) Να βρεθεί ο αριθμός ώστε η εξίσωση () να έχει δύο ίσες πραγματικές ρίζες. iii) Να βρεθεί ο

Διαβάστε περισσότερα

2.3 Πολυωνυμικές Εξισώσεις

2.3 Πολυωνυμικές Εξισώσεις . Πολυωνυμικές Εξισώσεις η Μορφή Ασκήσεων: Ασκήσεις που μας ζητούν να λύσουμε μια πολυωνυμική εξίσωση.. Να λυθούν οι εξισώσεις: i. + + + 6 = 0 ii. 7 = iii. ( + ) + 7 = 0 iv. 8 + 56 = 0 i. + + + 6 = 0 (

Διαβάστε περισσότερα

Εξισώσεις. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. A ΛΥΚΕΙΟΥ κεφάλαιο ασκήσεις και τεχνικές σε 26 σελίδες. εκδόσεις. Καλό πήξιμο

Εξισώσεις. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. A ΛΥΚΕΙΟΥ κεφάλαιο ασκήσεις και τεχνικές σε 26 σελίδες. εκδόσεις. Καλό πήξιμο Εξισώσεις Κώστας Γλυκός A ΛΥΚΕΙΟΥ κεφάλαιο 3 445 ασκήσεις και τεχνικές σε 6 σελίδες ΙΙ Ι δδ ιι ι αα ίί ί ττ εε ρρ αα μμ αα θθ ήή μμ αα ττ αα 6 9 7. 3 0 0. 8 8. 8 8 Kgllykos..gr 9 / 0 / 0 6 εκδόσεις Καλό

Διαβάστε περισσότερα

4. Ανισώσεις. 4.1 Ανισώσεις 1 ου Βαθμού

4. Ανισώσεις. 4.1 Ανισώσεις 1 ου Βαθμού 1 Ανισώσεις 1 ου Βαθμού Ανισώσεις 1. Πρωτοάθμιες Ανισώσεις Επιλύονται όπως οι εξισώσεις με την διαφορά ότι, όταν πολλαπλασιάζω ή διαιρώ με αρνητικό αριθμό αλλάζει φορά η ανίσωση.. Υπενθύμιση α), ή, ) ή,

Διαβάστε περισσότερα

7. Αν υψώσουμε και τα δύο μέλη μιας εξίσωσης στον κύβο (και γενικά σε οποιαδήποτε περιττή δύναμη), τότε προκύπτει

7. Αν υψώσουμε και τα δύο μέλη μιας εξίσωσης στον κύβο (και γενικά σε οποιαδήποτε περιττή δύναμη), τότε προκύπτει 8 7y = 4 y + y ( 8 7y) = ( 4 y + y) ( y) + 4 y y 4 y = 4 y y 8 7y = 4 y + ( 4 y) = ( 4 y y) ( 4 y) = 4( 4 y)( y) ( 4 y) 4( 4 y)( y) = 0 ( 4 y) [ 4 y 4( y) ] = 4 ( 4 y)( y + 4) = 0 y = ή y = 4) 0 4 H y

Διαβάστε περισσότερα

Α. ΔΙΑΤΑΞΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

Α. ΔΙΑΤΑΞΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΜΕΡΟΣ Α.5 ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ-ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΕΝΑΝ ΑΓΝΩΣΤΟ 9. 5 ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ- ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΕΝΑΝ ΑΓΝΩΣΤΟ Α. ΔΙΑΤΑΞΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΟΡΙΣΜΟΙ Εάν έχουμε δύο πραγματικούς αριθμούς α και β τότε λέμε ότι ο α είναι μεγαλύτερος

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) Τοα R σημαίνει ότι οι συντελεστές δεν περιέχουν την μεταβλητή x. αντικ σταση στο που = α. [ ο αριθµ ός πουτο µηδεν ίζει

( ) ( ) Τοα R σημαίνει ότι οι συντελεστές δεν περιέχουν την μεταβλητή x. αντικ σταση στο που = α. [ ο αριθµ ός πουτο µηδεν ίζει μέρος πρώτο v v 1 v 1 Γενική μορφή πολυωνύμου: ( ) 1 1 Όροι του ( ) v v v P = a v + av 1 + av +... + a + a 1 + a, ν Ν, α ν R Τοα R σημαίνει ότι οι συντελεστές δεν περιέχουν την μεταβλητή. P : a, a, a,...,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΛΥΤΗ ΤΙΜΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ- ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΑΠΟΛΥΤΗ ΤΙΜΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ- ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΠΟΛΥΤΗ ΤΙΜΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ- ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κατηγορίες ασκήσεων στα απόλυτα ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ : Εξισώσεις που περιέχουν απόλυτο μιας παράστασης και όχι παράταση του x έξω από το απόλυτο. α) Λύνουμε ως προς το απόλυτο

Διαβάστε περισσότερα

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΑ ΑΠΟ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Ομόσημοι Ετερόσημοι αριθμοί Αντίθετοι Αντίστροφοι αριθμοί Πρόσθεση ομόσημων και ετερόσημων ρητών αριθμών Απαλοιφή παρενθέσεων Πολλαπλασιασμός και Διαίρεση ρητών αριθμών

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ου ΒΑΘΜΟΥ Τι ονομάζουμε εξίσωση ου βαθμού; o Εξίσωση ου βαθμού με ένα άγνωστο ονομάζουμε κάθε εξίσωση που γράφεται ή μπορεί να γραφεί στη μορφή με α π.χ 5 6 Τι ονομάζουμε εξίσωση ου βαθμού ελλιπούς

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ Δ.Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ Τελευταία ενημέρωση: 21 Φεβρουαρίου 2015 w w w. c o m m o n m a t h s. w e e b l y. c o m A. Αρχικά θα ασχοληθούμε με τα τριώνυμα 2 ου βαθμού. Η γενική μορφή τους

Διαβάστε περισσότερα

4.4 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ & ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΠΟΥ ΑΝΑΓΟΝΤΑΙ

4.4 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ & ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΠΟΥ ΑΝΑΓΟΝΤΑΙ 1 4.4 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ & ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΠΟΥ ΑΝΑΓΟΝΤΑΙ ΣΕ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 1 14 A Οµάδας 1.i) Να λύσετε την εξίσωση 1 + = 1 Είναι = ( 1) Ε.Κ.Π = ( 1) 0 0 και 1 0 0 και 1 (περιορισµοί)

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο ο Αλγεβρικές Παραστάσεις ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) ) Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ου ΒΑΘΜΟΥ Τι ονομάζουμε εξίσωση ου βαθμού; o Εξίσωση ου βαθμού με ένα άγνωστο ονομάζουμε κάθε εξίσωση που γράφεται ή μπορεί να γραφεί στη μορφή με α π.χ 5 6 Τι ονομάζουμε εξίσωση ου βαθμού ελλιπούς

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο. Πίνακας διερεύνησης της εξίσωσης Εξίσωση: αx 2 +βx+γ=0 (α 0) (Ε) Έχει ΥΟ ρίζες άνισες που δίνονται από τους τύπους x 1,2 =

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο. Πίνακας διερεύνησης της εξίσωσης Εξίσωση: αx 2 +βx+γ=0 (α 0) (Ε) Έχει ΥΟ ρίζες άνισες που δίνονται από τους τύπους x 1,2 = ΕΞΙΩΕΙ-ΑΝΙΩΕΙ ου ΒΑΘΜΟΥ - 38 - ΚΕΦΑΑΙΟ 4 ΚΕΦΑΑΙΟ 4 ο Εξισώσεις - Ανισώσεις β βαθµού 5.1. Μορφή και διερεύνηση της εξίσωσης β βαθµού Άθροισµα και γινόµενο των ριζών της Κάθε εξίσωση β βαθµού πριν τη λύσουµε,

Διαβάστε περισσότερα

Εξισώσεις 2 ου βαθμού

Εξισώσεις 2 ου βαθμού Εξισώσεις 2 ου βαθμού Εξισώσεις 2 ου βαθμού Η εξίσωση της μορφής αχ 2 + βχ + γ = 0, α 0 λύνεται σύμφωνα με τον παρακάτω πίνακα. Δ = β 2 4αγ Η εξίσωση αχ 2 + βχ + γ = 0, α 0 αν Δ>0 αν Δ=0 αν Δ

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Α λ γ ε β ρ ι κ έ ς π α ρ α σ τ ά σ ε ι ς 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις συμπληρώσεις) A. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Διδακτικοί στόχοι Θυμάμαι ποιοι αριθμοί λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας µε τη βοήθεια και του ερωτήµατος α). ii) Να αποδείξετε ότι ισχύει η ανισότητα 1+α < 1+ α. α+α

Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας µε τη βοήθεια και του ερωτήµατος α). ii) Να αποδείξετε ότι ισχύει η ανισότητα 1+α < 1+ α. α+α ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1. α) Να λύσετε τις ανισώσεις: x 5 3 και x x 1 0. β) Να βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων του ερωτήµατος (α). x 1. ίνονται οι ανισώσεις: 3x 1

Διαβάστε περισσότερα

4. Να βρείτε τον βαθμό των πολυωνύμων ως προς χ, ως προς ψ και ως προς χ και ψ μαζί

4. Να βρείτε τον βαθμό των πολυωνύμων ως προς χ, ως προς ψ και ως προς χ και ψ μαζί 1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να εκτελέσετε τις προσθέσεις, όπου αυτό είναι δυνατόν α) χ 3 +5ψ 3 β) χ 3 +6χ 3 γ) 4χ 5 ω-7ωχ 5 δ) 3χ 5 +4χ ε) χ 4 +3χ 4 ζ) χ -χ η) χ +χ θ) χ +χ ι) χ+χ 3 κ) χ -χ λ) 3χ 4-4χ 4 μ) 3χ-3χ 3.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ 3ο κεφάλαιο: Εξισώσεις ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ) Copyright 2014 Αποστόλου Γιώργος Αποστόλου Γεώργιος apgeorge2004@yahoo.com άδεια χρήσης 3η Εκδοση, Αύγουστος 2014 Περιεχόµενα 1

Διαβάστε περισσότερα

ςεδς ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 3 0 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Β ΒΑΘΜΟΥ ΔΙΩΝΥΜΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός

ςεδς ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 3 0 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Β ΒΑΘΜΟΥ ΔΙΩΝΥΜΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός 014 ςεδς ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 0 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Α ΒΑΘΜΟΥ ΔΙΩΝΥΜΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Β ΒΑΘΜΟΥ Βαγγέλης ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός ΣΗΜΕΙΩΜΑ Το παρόν φυλλάδιο είναι ένα τμήμα μιας προσωπικής

Διαβάστε περισσότερα

3. Να δειχτει οτι α α. Ποτε ισχυει το ισον; 2. Aν α, β θετικοι, να συγκρινεται τους αριθμους Α = βα + β, Β = α β + αβ

3. Να δειχτει οτι α α. Ποτε ισχυει το ισον; 2. Aν α, β θετικοι, να συγκρινεται τους αριθμους Α = βα + β, Β = α β + αβ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1 Α ν ι σ ω σ η 1 ο υ β α θ μ ο υ 3. Να δειχτει οτι α + 110 0α. Ποτε ισχυει το ισον; Μορφη: αx + β > 0 με α,β. Aν α, β θετικοι, να συγκρινεται τους αριθμους Α = βα + β, Β = α β + αβ Αν α > 0

Διαβάστε περισσότερα

4.4 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ & ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΠΟΥ ΑΝΑΓΟΝΤΑΙ ΣΕ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ

4.4 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ & ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΠΟΥ ΑΝΑΓΟΝΤΑΙ ΣΕ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ 4.4 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ & ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΠΟΥ ΑΝΑΓΟΝΤΑΙ ΣΕ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Για να λύσω μια κλασματική εξίσωση, δηλ. μια εξίσωση που έχει άγνωστο στον παρανομαστή, Βήμα : παραγοντοποιώ

Διαβάστε περισσότερα

Περιληπτικά, τα βήματα που ακολουθούμε γενικά είναι τα εξής:

Περιληπτικά, τα βήματα που ακολουθούμε γενικά είναι τα εξής: Αυτό που πρέπει να θυμόμαστε, για να μη στεναχωριόμαστε, είναι πως τόσο στις εξισώσεις, όσο και στις ανισώσεις 1ου βαθμού, που θέλουμε να λύσουμε, ακολουθούμε ακριβώς τα ίδια βήματα! Εκεί που πρεπει να

Διαβάστε περισσότερα

2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β Λυκει(ου ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β Λυκει(ου ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β Λυκει(ου ο ΓΕΛ ΣΥΚΕΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ -4 ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Επιμέλεια: ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Άλγεβρα 1.1 Β : Δυνάμεις πραγματικών αριθμών. 1. Πως ορίζεται η δύναμη ενός πραγματικού αριθμού ; Η δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα

Διαβάστε περισσότερα

2.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ

2.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ Ρητός ονομάζεται κάθε αριθμός που έχει ή μπορεί να πάρει τη μορφή κλάσματος, όπου, είναι ακέραιοι με 0. Ρητοί αριθμοί : Q /, 0. Έτσι π.χ.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ. Μαθηματικών Β Γυμνασίου. Μαριλένα Νικολαΐδου-Μουσουλίδου

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ. Μαθηματικών Β Γυμνασίου. Μαριλένα Νικολαΐδου-Μουσουλίδου ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Μαθηματικών Β Γυμνασίου ΑΡΙΘΜΟΙ Το σύνολο των Φυσικών Αριθμών είναι 1,2,3,4, Το σύνολο των Φυσικών Αριθμών συμπεριλαμβανομένου και του μηδενός είναι: 0, 1, 2, 3, 4, Άρτιος αριθμός είναι κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ

ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ου ΒΑΘΜΟΥ Αν έχω τριώνυμο της μορφής :,. Υπολογίζω την Διακρίνουσα 4 Αν Δ> τότε η εξίσωση έχει άνισες ρίζες έστω Ομόσημο του α Ετερόσημο του α, τότε: Ομόσημο του α Αν Δ= τότε η εξίσωση έχει διπλή

Διαβάστε περισσότερα

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46 ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο................................................ 7 1. Το Λεξιλόγιο της Λογικής.............................................. 11. Σύνολα..............................................................

Διαβάστε περισσότερα

5.ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΡΩΤΟΥ ΒΑΘΜΟΥ

5.ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΡΩΤΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 5.ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΡΩΤΟΥ ΒΑΘΜΟΥ Για να επιλύσουμε μία παραμετρική εξίσωση ακολουθούμε τα παρακάτω βήματα: i) Βγάζω παρενθέσεις ii) Κάνω απαλοιφή παρανομαστών iii) Χωρίζω γνωστούς από αγνώστους (άγνωστος είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ. 3.1 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1 ου ΒΑΘΜΟΥ. Οι ανισώσεις: αx + β > 0 και αx + β < 0

ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ. 3.1 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1 ου ΒΑΘΜΟΥ. Οι ανισώσεις: αx + β > 0 και αx + β < 0 3 ΝΙΣΩΣΕΙΣ 31 ΝΙΣΩΣΕΙΣ 1 ου ΒΘΜΟΥ Οι ανισώσεις: α + β > 0 και α + β < 0 Γνωρίσαμε στο Γυμνάσιο τη διαδικασία επίλυσης μιας ανίσωσης της μορφής α β 0 ή της μορφής α β 0, με α και β συγκεκριμένους αριθμούς

Διαβάστε περισσότερα

Ιγνάτιος Ιωαννίδης Χρήσιμες Γνώσεις 5

Ιγνάτιος Ιωαννίδης Χρήσιμες Γνώσεις 5 Ιγνάτιος Ιωαννίδης Χρήσιμες Γνώσεις 5 Α Σύνολα αριθμών Για τα σύνολα των αριθμών γνωρίζουμε ότι N Z Q R. ) Το N= { 0,,,,... } είναι το σύνολο των φυσικών αριθμών. ) Το Z = { 0, ±, ±, ±,... } είναι το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Αριθμοί 1. ΑΡΙΘΜΟΙ Σύνολο Φυσικών αριθμών: Σύνολο Ακέραιων αριθμών: Σύνολο Ρητών αριθμών: ακέραιοι με Άρρητοι αριθμοί: είναι οι μη ρητοί π.χ. Το σύνολο Πραγματικών

Διαβάστε περισσότερα

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση:

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση: Κατηγορία η Θεώρημα Βolzano Τρόπος αντιμετώπισης:. Όταν μας ζητούν να εξετάσουμε αν ισχύει το θεώρημα Bolzano για μια συνάρτηση f σε ένα διάστημα [, ] τότε: Εξετάζουμε την συνέχεια της f στο [, ] (αν η

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου. Άλγεβρα...

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου. Άλγεβρα... Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Άλγεβρα 1.1 Β: Δυνάμεις πραγματικών αριθμών. 1. Πως ορίζεται η δύναμη ενός πραγματικού αριθμού ; Η δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα

Διαβάστε περισσότερα

B Γυμνασίου. Ενότητα 9

B Γυμνασίου. Ενότητα 9 B Γυμνασίου Ενότητα 9 Γραμμικές εξισώσεις με μία μεταβλητή Διερεύνηση (1) Να λύσετε τις πιο κάτω εξισώσεις και ακολούθως να σχολιάσετε το πλήθος των λύσεων που βρήκατε σε καθεμιά. α) ( ) ( ) ( ) Διερεύνηση

Διαβάστε περισσότερα

Πολυωνυμικές εξισώσεις και ανισώσεις Εξισώσεις και ανισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυμικές

Πολυωνυμικές εξισώσεις και ανισώσεις Εξισώσεις και ανισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυμικές 0 Πολυωνυμικές εξισώσεις και ανισώσεις Εξισώσεις και ανισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυμικές Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Για να λύσουμε μια πολυωνυμική εξίσωση P(x) 0 (ή μια πολυωνυμική ανίσωση P(x)

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφ. 1 - Συστήματα 1

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφ. 1 - Συστήματα 1 ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφ. 1 - Συστήματα 1 1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Η εξίσωση α + βy = γ 1. Υπάρχουν προβλήματα που η επίλυση τους οδηγεί σε μια γραμμική εξίσωση με δύο αγνώστους, y και η οποία είναι της μορφής

Διαβάστε περισσότερα

3. Να δειχτει οτι α α. Ποτε ισχυει το ισον;

3. Να δειχτει οτι α α. Ποτε ισχυει το ισον; EΞΙΣΩΣΕΙΣ Ε ξ ι σ ω σ η ο υ β α θ μ ο υ 3. Να δειχτει οτι α + 0 0α. Ποτε ισχυει το ισον; Εστω η εξισωση: α+β=0 () Λυση η ριζα. της Aν εξισωσης α, β θετικοι λεγεται, να συγκρινεται κάθε τιμη τους του πραγματικου

Διαβάστε περισσότερα

( ) = 2. f x α(x x )(x x ) f x α(x ρ) x1,2. 1, x

( ) = 2. f x α(x x )(x x ) f x α(x ρ) x1,2. 1, x ΜΟΡΦΕΣ ΤΡΙΩΝΥΜΟΥ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Β ΒΑΘΜΟΥ Τριώνυµο λέγεται ένα πολυώνυµο της µορφής : f x = αx + βx+ γ, όπου α, β, γ R µε α. ( ) ιακρίνουσα και ρίζες του τριωνύµου f( x) = αx + βx+ γ λέγεται η διακρίνουσα και

Διαβάστε περισσότερα

β) Αν κάποιος αριθµός α επαληθεύει την παραπάνω ανίσωση, να αποδείξετε ότι 1 1 1 9 < α

β) Αν κάποιος αριθµός α επαληθεύει την παραπάνω ανίσωση, να αποδείξετε ότι 1 1 1 9 < α ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1. α) Να λύσετε τις ανισώσεις: x 5 3 και x x 1 0. β) Να βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων του ερωτήµατος (α). x 1. ίνονται οι ανισώσεις: 3x 1

Διαβάστε περισσότερα

Εξίσωση 1 η 1 ο μέλος 2 ο μέλος

Εξίσωση 1 η 1 ο μέλος 2 ο μέλος 1 Παραδείγματα (επανάληψη) Συντελεστής του αγνώστου x. Εξίσωση 1 η 1 ο μέλος 2 ο μέλος Ε ξ ι σ ώ σ εις 1 ο υ β α θ μ ο ύ 2x + 2 = x - 1 Άγνωστος x Γνωστός Eπίλυση 1 ος τρόπος Μπορούμε να γράψουμε την εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 8. Πότε το γινόμενο δύο ή περισσοτέρων αριθμών παραγόντων είναι ίσο με το μηδέν ;

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 8. Πότε το γινόμενο δύο ή περισσοτέρων αριθμών παραγόντων είναι ίσο με το μηδέν ; ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ( ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ) ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ : Το κεφάλαιο αυτό περιέχει πολλά θέματα που είναι επανάληψη εννοιών που διδάχθηκαν στο Γυμνάσιο γι αυτό σ αυτές δεν θα επεκταθώ αναλυτικά

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Ανισώσεις. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. A ΛΥΚΕΙΟΥ κεφάλαιο ασκήσεις και τεχνικές σε 17 σελίδες. εκδόσεις. Καλό πήξιμο

Ανισώσεις. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. A ΛΥΚΕΙΟΥ κεφάλαιο ασκήσεις και τεχνικές σε 17 σελίδες. εκδόσεις. Καλό πήξιμο Ανισώσεις Κώστας Γλυκός A ΛΥΚΕΙΟΥ κεφάλαιο 4 391 ασκήσεις και τεχνικές σε 17 σελίδες ΙΙ Ι δδ ιι ι αα ίί ί ττ εε ρρ αα μμ αα θθ ήή μμ αα ττ αα 6 9 7. 3 0 0. 8 8. 8 8 Kgllykos..gr 9 / 1 0 / 0 1 6 εκδόσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8 ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο : Εξισώσεις - Ανισώσεις 1 1.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΟΡΙΣΜΟΙ Μεταβλητή

Διαβάστε περισσότερα

g 0 5 0, των Παναγιώτη Χριστόπουλου Κώστα Βακαλόπουλου

g 0 5 0, των Παναγιώτη Χριστόπουλου Κώστα Βακαλόπουλου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΗΜΟ ΤΡΙΩΝΥΜΟΥ ή ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ου ΒΑΘΜΟΥ των Παναγιώτη Χριστόπουλου Κώστα Βακαλόπουλου Με τη φράση «πρόσημο τριωνύμου» δηλώνουμε τη μέθοδο με την οποία μπορούμε να γνωρίζουμε ποιο πρόσημο

Διαβάστε περισσότερα

Η ΕΞΙΣΩΣΗ :α x+β=0. Μοναδική λύση. α=0 και β 0 Αδύνατη. α=0 και β=0 Αληθεύει για κάθε τιμή του x Ταυτότητα

Η ΕΞΙΣΩΣΗ :α x+β=0. Μοναδική λύση. α=0 και β 0 Αδύνατη. α=0 και β=0 Αληθεύει για κάθε τιμή του x Ταυτότητα Η ΕΞΙΣΩΣΗ :α x+= ου Η εξίσωση αx+ = είναι μια εξίσωση 1 αθμού. Όπου x ο άγνωστος της εξίσωσής μας, όπου α ο συντελεστής του πρωτοάθμιου όρου, όπου ο σταθερός όρος. Για να έχει νόημα η εξίσωση θα πρέπει:

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Β ΒΑΘΜΟΥ. i) x 1

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Β ΒΑΘΜΟΥ. i) x 1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Β ΒΑΘΜΟΥ. Δίνεται το τριώνυμο : 3.Να βρείτε το πρόσημο των τιμών του τριωνύμου για : 3 4 i) 3 i 4 3. Να βρεθεί το πρόσημο των τριωνύμων : i) f ( ) 5 3 g( ) i h( ) 3. Να βρεθεί το

Διαβάστε περισσότερα

1. Συµπλήρωσε τον πίνακα µε την κατάλληλη µαθηµατική έκφραση:

1. Συµπλήρωσε τον πίνακα µε την κατάλληλη µαθηµατική έκφραση: ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ Ερωτήσεις συµπλήρωσης 1. Συµπλήρωσε τον πίνακα µε την κατάλληλη µαθηµατική έκφραση: Φυσική γλώσσα Μαθηµατική γλώσσα ύο αριθµοί x, y διαφέρουν κατά και έχουν γινόµενο x (x

Διαβάστε περισσότερα

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: α) ρητοί β) άρρητοι γ) πραγματικοί;

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 Εξισώσεις, Ανισώσεις και Συναρτήσεις

Κεφάλαιο 3 Εξισώσεις, Ανισώσεις και Συναρτήσεις Κεφάλαιο 3 Εξισώσεις, Ανισώσεις και Συναρτήσεις Συντομεύσεις Ακρωνύμια... 2 Σύνοψη... 3 Προαπαιτούμενη γνώση... 3 3.1 Η έννοια της μεταβλητής... 3 3.2 Πρωτοβάθμιες εξισώσεις... 3 3.3 Πρωτοβάθμιες ανισώσεις...

Διαβάστε περισσότερα

εξίσωση πρώτου βαθμού

εξίσωση πρώτου βαθμού κεφάλαιο 2 Α1 εξίσωση πρώτου βαθμού επίλυση της εξίσωσης πρώτου βαθμού Εξίσωση, είναι κάθε ισότητα που περιέχει κάποιον άγνωστο, την τιμή του οποίου καλούμαστε να προσδιορίσουμε. Ο βαθμός μιας εξίσωσης

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΣΗΜΟ ΤΡΙΩΝΥΜΟΥ ΕΠΙΛΥΣΗ ΑΝΙΣΩΣΕΩΝ 2 ου ΒΑΜΟΥ

ΠΡΟΣΗΜΟ ΤΡΙΩΝΥΜΟΥ ΕΠΙΛΥΣΗ ΑΝΙΣΩΣΕΩΝ 2 ου ΒΑΜΟΥ 5 ΠΡΟΣΗΜΟ ΤΡΙΩΝΥΜΟΥ ΕΠΙ ΑΝΙΣΩΣΕΩΝ ου ΒΑΜΟΥ ΠΡΟΣΗΜΟ ΤΡΙΩΝΥΜΟΥ Για να βρούμε το πρόσημο του τριωνύμου αχ +βχ+γ βρίκουμε την διακρίνουσα Δ=β - 4αγ και αν: Δ>0,το τριώνυμο έχει δυο ρίζες χ 1,χ και το προσημό

Διαβάστε περισσότερα

τα βιβλία των επιτυχιών

τα βιβλία των επιτυχιών Τα βιβλία των Εκδόσεων Πουκαμισάς συμπυκνώνουν την πολύχρονη διδακτική εμπειρία των συγγραφέων μας και αποτελούν το βασικό εκπαιδευτικό υλικό που χρησιμοποιούν οι μαθητές των φροντιστηρίων μας. Μέσα από

Διαβάστε περισσότερα

1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.

1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. Κεφάλαιο Πραγματικοί αριθμοί. Οι πράξεις και οι ιδιότητές τους Κατανόηση εννοιών - Θεωρία. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά. Ενότητα 3: Εξισώσεις και Ανισώσεις 1 ου βαθμού. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής

Μαθηματικά. Ενότητα 3: Εξισώσεις και Ανισώσεις 1 ου βαθμού. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Μαθηματικά Ενότητα 3: Εξισώσεις και Ανισώσεις 1 ου βαθμού Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Φ1: ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Φ1: ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Φ: ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΓΙΑΝΝΗΣ ΧΡΑΣ 0-0 ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α - ΘΕΩΡΙΑ - ΣΩΣΤΟ-ΛΑΘΟΣ - ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ - ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΗΣΗΣ - ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ-ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΘΕΜΑ Β - ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 3 ο : Ε ξ ι σ ώ σ ε ι ς. 3.1 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού. 3.2 Η εξίσωση x. 3.3 Εξισώσεις 2 ου Βαθμού. ρωτήσεις αντικειμενικού τύπουθέμα Α1-

Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 3 ο : Ε ξ ι σ ώ σ ε ι ς. 3.1 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού. 3.2 Η εξίσωση x. 3.3 Εξισώσεις 2 ου Βαθμού. ρωτήσεις αντικειμενικού τύπουθέμα Α1- 3. Εξισώσεις ου Βαθμού 3. Η εξίσωση 3.3 Εξισώσεις ου Βαθμού Διδακτικό υλικό Άλγεβρας Α Λυκείου (Κεφάλαιο 3 ο ) Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 3 ο : Ε ξ ι σ ώ σ ε ι ς ρωτήσεις αντικειμενικού τύπουθέμα Α- Εξεταστέα ύλη

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ. Λυμένα Παραδείγματα

ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ. Λυμένα Παραδείγματα ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ Λυμένα Παραδείγματα. Να βρεθούν οι τιμές του λ R για τις οποίες το πολυώνυμο Ρ () = (4λ -9) +(λ -λ-) +λ- είναι το μηδενικό. Το Ρ () θα είναι το μηδενικό πολυώνυμο, για εκείνες τις τιμές του λ

Διαβάστε περισσότερα

Περί εξισώσεων με ένα άγνωστο

Περί εξισώσεων με ένα άγνωστο 1 ο ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΧΑΝΙΩΝ 19 Φεβρουαρίου 013 ΤΑΞΗ Α Σημειώσεις Άλγεβρας Περί εξισώσεων με ένα άγνωστο Εξίσωση με ένα άγνωστο λέμε την ισότητα δύο παραστάσεων μιας μεταβλητής. Πχ f(x) = g(x) όπου x μεταβλητή

Διαβάστε περισσότερα

τριώνυμο Η εξίσωση δευτέρου βαθμού στην πλήρη της μορφή ονομάζεται τριώνυμο, γιατί αποτελείται από τρία μονώνυμα. Η γενική μορφή της είναι:

τριώνυμο Η εξίσωση δευτέρου βαθμού στην πλήρη της μορφή ονομάζεται τριώνυμο, γιατί αποτελείται από τρία μονώνυμα. Η γενική μορφή της είναι: κεφάλαιο 4 Α τριώνυμο επίλυση της εξίσωσης δευτέρου βαθμού Η εξίσωση δευτέρου βαθμού στην πλήρη της μορφή ονομάζεται τριώνυμο, γιατί αποτελείται από τρία μονώνυμα. Η γενική μορφή της είναι: αx + βx + γ

Διαβάστε περισσότερα

με Τέλος πάντων, έστω ότι ξεκινάει ένα άλλο υποθετικό σενάριο που απλά δεν διευκρινίζεται. Για το i) θα έχουμε , 2

με Τέλος πάντων, έστω ότι ξεκινάει ένα άλλο υποθετικό σενάριο που απλά δεν διευκρινίζεται. Για το i) θα έχουμε , 2 Άσκηση 75 Σε έναν οργανισμό, αρχικά υπάρχουν 04800 βακτήρια. Μετά από 1 ώρα υπάρχουν 10400 βακτήρια, μετά από ώρες 5100 βακτήρια, και γενικά ο αριθμός των βακτηρίων υποδιπλασιάζεται κάθε μια ώρα. α) Πόσα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Ο ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Β ΒΑΘΜΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Ο ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Β ΒΑΘΜΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Ο ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Β ΒΑΘΜΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Η ΕΞΙΣΩΣΗ αχ +βχ+γ=0, α ¹ 0 ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ v Εξίσωση δευτέρου βαθμού καλείται η εξίσωση της μορφής : αχ + βχ + γ = 0, α ¹ 0 () v Για την επίλυση της εξίσωσης

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ & ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ & ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ & ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ . ΣΥΝΟΛΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τα σύνολα των αριθμών είναι τα εξής : i. Φυσικοί αριθμοί : 0,,,,......,,,,0,,,,...

Διαβάστε περισσότερα

2 Ο ΓΕΛ ΣΤΑΥΡΟΥΠΟΛΗΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ

2 Ο ΓΕΛ ΣΤΑΥΡΟΥΠΟΛΗΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ Ο ΓΕΛ ΣΤΑΥΡΟΥΠΟΛΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 016-017 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ ΟΙ ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ ΡΗΤΟΙ λέγονται οι αριθµοί : ΟΙ ΠΕΡΙΟ ΙΚΟΙ αριθµοί είναι :. ΑΡΡΗΤΟΙ

Διαβάστε περισσότερα

1) Μέθοδος επίλυσης οποιασδήποτε εξίσωσης Β Βαθμού. Έστω η δευτεροβάθμια εξίσωση : = 0 1. Μεταφέρουμε το σταθερό όρο στο δεύτερο μέλος δηλ.

1) Μέθοδος επίλυσης οποιασδήποτε εξίσωσης Β Βαθμού. Έστω η δευτεροβάθμια εξίσωση : = 0 1. Μεταφέρουμε το σταθερό όρο στο δεύτερο μέλος δηλ. 1 Εξισώσεις Β Βαθμού Εξίσωση 2 ου βαθμού μ έναν άγνωστο, είναι η εξίσωση με μορφή : αx²+βx+γ=0 με α, β, γ R και α 0. 1) Μέθοδος επίλυσης οποιασδήποτε εξίσωσης Β Βαθμού Έστω η δευτεροβάθμια εξίσωση : =

Διαβάστε περισσότερα

4.2 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 2 ου ΒΑΘΜΟΥ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 112 114

4.2 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 2 ου ΒΑΘΜΟΥ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 112 114 1. ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ου ΒΑΘΜΟΥ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 11 11 A Ομάδας 1. Να μετατρέψετε σε γινόμενα παραγόντων τα τριώνυμα: x 3x + x 3x Δ ( 3). 1. 9 8 1 > 0 Ρίζες: x Άρα ( 3) 1.1 3 1 3 1 ή 31 x 3x +

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδικοί Αριθμοί. Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση. Υποδειγματικά λυμένες ασκήσεις Ασκήσεις προς λύση

Μιγαδικοί Αριθμοί. Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση. Υποδειγματικά λυμένες ασκήσεις Ασκήσεις προς λύση Μιγαδικοί Αριθμοί Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση Υποδειγματικά λυμένες ασκήσεις Ασκήσεις προς λύση ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Υποδειγματικά Λυμένες Ασκήσεις Άλυτες Ασκήσεις ΛΑ Να βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

Πολυωνυμική εξίσωση βαθμού ν ονομάζεται κάθε εξίσωση της μορφής α ν x ν +α ν-1 x ν α 1 x+α 0 =0,με α 0,α 1,...

Πολυωνυμική εξίσωση βαθμού ν ονομάζεται κάθε εξίσωση της μορφής α ν x ν +α ν-1 x ν α 1 x+α 0 =0,με α 0,α 1,... 3 0 ΛΥΚΕΙΟ ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ Λ. ΒΟΥΛΓΑΡΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΟΥ ΑΝΑΓΟΝΤΑΙ ΣΕ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ Πολυωνυμική εξίσωση βαθμού ν ονομάζεται κάθε εξίσωση της μορφής α ν x ν +α ν-1 x ν-1 +...+α

Διαβάστε περισσότερα

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα Εύρεση δειγματικού χώρου... 46

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα Εύρεση δειγματικού χώρου... 46 ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο................................................ 7 1. Το Λεξιλόγιο της Λογικής.............................................. 11 2. Σύνολα..............................................................

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 ο. Εξισώσεις-Ανισώσεις.

Κεφάλαιο 1 ο. Εξισώσεις-Ανισώσεις. Μαθηματικά B Γυμνασίου Κεφάλαιο 1 ο. Εξισώσεις-Ανισώσεις. Μέρος Α.- Θεωρία. 1. Τι λέμε αλγεβρική και τι αριθμητική παράσταση; 2. Τι λέμε αναγωγή ομοίων όρων; 3. Τι λέμε εξίσωση α βαθμού; 4. Τι λέμε πρώτο

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 10 ΕΠΑΝΑΛΗΨΕΙΣ ΑΠΟ ΠΡΟΗΓΟΥΜΕΝΕΣ ΤΑΞΕΙΣ α ) Ταυτότητες 1. (a-β)(a+β)=a - b. (a ± b ) = a ± ab + b 3 3 3 3. (a ± b ) = a ± 3a b + 3ab

Διαβάστε περισσότερα

ΠΩΣ; Το «σωσίβιό» σου στον ωκεανό της Γ Λυκείου! ΕΥΘΥΜΙΟΣ ΛΙΑΤΣΟΣ ΑΝΑΝΕΩΜΕΝΗ ΣΥΜΠΕΠΛΗΡΩΜΕΝΗ ΕΚΔΟΣΗ!

ΠΩΣ; Το «σωσίβιό» σου στον ωκεανό της Γ Λυκείου! ΕΥΘΥΜΙΟΣ ΛΙΑΤΣΟΣ ΑΝΑΝΕΩΜΕΝΗ ΣΥΜΠΕΠΛΗΡΩΜΕΝΗ ΕΚΔΟΣΗ! ΕΥΘΥΜΙΟΣ ΛΙΑΤΣΟΣ Καθηγητής Μαθηµατικών άμιλλα φροντιστήρια ΠΩΣ; Βασικά στοιχεία από την Άλγεβρα της Α και Β Λυκείου, αλλά και από την Κατεύθυνση της Β Λυκείου, που είναι απαραίτητα στα Μαθηµατικά Κατεύθυνσης

Διαβάστε περισσότερα

3.""Πώς"θα"λύσω"μια"εξίσωση"δευτέρου"βαθμού;

3.Πώςθαλύσωμιαεξίσωσηδευτέρουβαθμού; 3.""Πώς"θα"λύσω"μια"εξίσωση"δευτέρου"βαθμού; Βασικό! Το να έχεις τον άγνωστο x με εκθέτη 2 εξ αρχής στην εξίσωση, δεν είναι σίγουρο ότι θα δώσει εξίσωση δευτέρου βαθμού! Αυτό θα προκύψει μετά την εκτέλεση

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΛΥΧΡΟΝΙΑΔΗΣ ΝΙΚΟΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ

ΠΟΛΥΧΡΟΝΙΑΔΗΣ ΝΙΚΟΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ ΘΕΩΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ ). (α + β) = α +αβ + β ). (α β) = α αβ + β. 3). (α + β) 3 = α 3 + 3α β +3αβ + β 3 ). (α β) 3 = α 3 3α β +3αβ β 3. 5). α β = (α β)(α + β) 6). α + β = (α + β) αβ. 6). α 3 β 3

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 016-17 1. Τι ονομάζεται αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται κάθε έκφραση που περιέχει πράξεις μεταξύ αριθμών και μεταβλητών.. Τι ονομάζεται αριθμητική τιμή αλγεβρικής

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικές παραστάσεις - Αναγωγή οµοίων όρων

Αλγεβρικές παραστάσεις - Αναγωγή οµοίων όρων Αλγεβρικές παραστάσεις - Αναγωγή οµοίων όρων 1. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις µόνο µε αριθµούς, λέγεται αριθµητική παράσταση. Παράδειγµα: + + 1 =. είναι µια αριθµητική παράσταση, το αποτέλεσµα των

Διαβάστε περισσότερα

Άλγεβρα Α Λυκείου. Αξίζει να τονίσω ότι οι περισσότερες από τις ασκήσεις αυτές προήλθαν από διάφορα εξωσχολικά βιβλία και ιστοσελίδες συναδέλφων.

Άλγεβρα Α Λυκείου. Αξίζει να τονίσω ότι οι περισσότερες από τις ασκήσεις αυτές προήλθαν από διάφορα εξωσχολικά βιβλία και ιστοσελίδες συναδέλφων. Άλγεβρα Α Λυκείου Το υλικό αυτό αποτελείται από μικρές θεωρητικές υποδείξεις και ασκήσεις και προβλήματα που έχω αξιοποιήσει στην τάξη μου για τη διδασκαλία της Άλγεβρας της Α Λυκείου (Ημερήσιο Γενικό

Διαβάστε περισσότερα

Όταν λύνοντας μια εξίσωση καταλήγουμε στην μορφή 0x=0,τότε λέμε ότι

Όταν λύνοντας μια εξίσωση καταλήγουμε στην μορφή 0x=0,τότε λέμε ότι ΜΕΡΟΣ Α. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Α ΒΑΘΜΟΥ 9. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Α ΒΑΘΜΟΥ Χρήσιμες ιδιότητες πράξεων Αν αβ τότε α+γβ+γ Αν αβ τότε α-γβ-γ Αν αβ τότε α γ α β γ β Αν αβ τότε γ γ με γ 0 Η έννοια της εξίσωσης Μια ισότητα, που αληθεύει

Διαβάστε περισσότερα

0x2 = 2. = = δηλαδή η f δεν. = 2. Άρα η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο [0,3]. Συνεπώς δεν. x 2. lim f (x) = lim (2x 1) = 3 και x 2 x 2

0x2 = 2. = = δηλαδή η f δεν. = 2. Άρα η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο [0,3]. Συνεπώς δεν. x 2. lim f (x) = lim (2x 1) = 3 και x 2 x 2 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO - ΠΡΟΣΗΜΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΕΝΔΙΑΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΤΙΜΗΣ - ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

1ο Κεφάλαιο: Συστήματα

1ο Κεφάλαιο: Συστήματα ο Κεφάλαιο: Συστήματα Γραμμικά συστήματα i. Ποια εξίσωση λέγεται γραμμική; ii. Πως μεταβάλλεται η ευθεία y, 0 ή 0 για τις διάφορες τιμές των α,β,γ; iii. Τι ονομάζεται λύση μιας γραμμικής εξίσωσης; iv.

Διαβάστε περισσότερα

2 είναι λύσεις της ανίσωσης 2x2 3x+1<0.

2 είναι λύσεις της ανίσωσης 2x2 3x+1<0. ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ. α) Να βρείτε τις ρίζες της εξίσωσης x +0x=. x + 0x β) Να λύσετε την εξίσωση x. ίνεται η εξίσωση: x λx+(λ +λ )=0 (), λ R. α) Να προσδιορίσετε τον πραγµατικό αριθµό λ, ώστε η

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ. Μαθηματικών Γ Γυμνασίου. Μαριλένα Νικολαΐδου-Μουσουλίδου

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ. Μαθηματικών Γ Γυμνασίου. Μαριλένα Νικολαΐδου-Μουσουλίδου ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Μαθηματικών Γ Γυμνασίου Ιδιότητες δυνάμεων:, Ιδιότητες ριζών:, ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ,,,, Ταυτότητες: αβ α 2αββ αβ 2αββ αβαβ α β αβ α 3α β3αβ β αβ α 3α β3αβ β ΠΡΟΣΟΧΗ!,,,,,, Όταν υψώνουμε ένα

Διαβάστε περισσότερα