( ) ( ) Τοα R σημαίνει ότι οι συντελεστές δεν περιέχουν την μεταβλητή x. αντικ σταση στο που = α. [ ο αριθµ ός πουτο µηδεν ίζει

Transcript

1 μέρος πρώτο v v 1 v 1 Γενική μορφή πολυωνύμου: ( ) 1 1 Όροι του ( ) v v v P = a v + av 1 + av a + a 1 + a, ν Ν, α ν R Τοα R σημαίνει ότι οι συντελεστές δεν περιέχουν την μεταβλητή. P : a, a, a,..., a, a, a Σταθερός όρος του P( ) : a ν v v 1 v 1 Συντελεστές του P( ) : av, av 1, av,..., a, a1, a Σταθερό πολυώνυμο: ( ) = ( ) = [ = αριθµος σταθερος ] Μηδενικό πολυώνυμο: P( ) = ( ) P c R P a Αριθμητική τιμή πολυωνύμου για =α: ο αριθμός P( a ) Ρίζα πολυωνύμου β: λύση της εξίσωσης P( ) P( β ) ά P( ) ό αντικ σταση στο που = α = = [ ο αριθµ ός πουτο µηδεν ίζει ] Βαθμός πολυωνύμου: - Αν το πολυώνυμο δεν είναι σταθερό, είναι η μεγαλύτερη εμφανιζόμενη δύναμη της μεταβλητής με μη μηδενικό συντελεστή - Αν το πολυώνυμο είναι σταθερό - και μη μηδενικό τότε έχει βαθμό : P( ) = c βαθµο ύµηδ έν - και μηδενικό τότε δεν ορίζεται βαθμός : ( ) = Ισότητα πολυωνύμων: Δυο πολυώνυμα είναι ίσα όταν - έχουν ίδιο βαθμό - ίσους τους ομοβάθμιους συντελεστές P δεν ορίζεται βαθµ ός Ένα πολυώνυμο είναι το μηδενικό όταν όλοι οι συντελεστές του είναι μηδενικοί. v v 1 v 1 a + a + a a + a + a = a = a = a =... = a = a = a = v v 1 v 1 v v 1 v 1 Κάθε πολυώνυμο έχει P = a -> σταθερό ορό ( ) -> άθροισμα συντελεστών P( 1 ) = av + av 1+ av a + a1+ a Πράξεις με πολυώνυμα ΠΟΛΥΩΝΥΜΟ ± ΠΟΛΥΩΝΥΜΟ = ΠΟΛΥΩΝΥΜΟ ΠΟΛΥΩΝΥΜΟ ΠΟΛΥΩΝΥΜΟ = ΠΟΛΥΩΝΥΜΟ (επιμεριστικές κι αναγωγή όμοιων ορών) ΠΟΛΥΩΝΥΜΟ ΠΟΛΥΩΝΥΜΟ = ΙΣΩΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΟ ΙΣΩΣ ΟΧΙ ( 1) ( 1) ( + 1) 1 πχ. = = 1 = = πολυώνυμο ( + ) ( ) + ( + 1) ( + 1) = = 1 ( 1) ( + 1) ( ) = 1 όχι πολυώνυμο Το μη μηδενικό άθροισμα δύο πολυωνύμων έχει βαθμό το πολύ ίσο με το μέγιστο των βαθμών των δυο πολυωνύμων. [ αν PQέ, χουν βαθµ ό, P+ Qέχει βαθµ ό ] Το γινόμενο δύο μη μηδενικών πολυωνύμων έχει βαθμό ίσο με το άθροισμα των βαθμών των δυο αν PQέ, χουν βαθµ ό, P Qέχει βαθµ ό = + πολυωνύμων. [ ] parmenides1 1

2 Παραμετρική Βαθμού Πολυωνύμου 1. Δίνεται το πολυώνυμο ( ) ( 4 ) ( ) ( ) P = λ λ + λ λ + λ + λ + λ. Να υπολογιστεί ο βαθμός του για τις διάφορες τιμές της πραγματικής παραμέτρου λ. Διακρίνουμε περιπτώσεις για τον μεγιστοβάθμιο όρο: λ και λ και λ + Ανλ 4λ λλ ( 4) λλ ( )( λ+ ) λ λ το πολυώνυμο P( ) είναι τρίτου βαθμού. Α νλ= P( ) = = για το πολυώνυμο ( ) Α νλ= P( ) = = 8+ το πολυώνυμο ( ) Α νλ= P( ) = = 8 το πολυώνυμο ( ) Μηδενικό - Ισότητα - Ρίζα -Τιμή P δεν ορίζεται βαθμός P είναι πρώτου βαθμού P είναι δευτέρου βαθμού. Δίνονται τα πολυώνυμα ( ) = + +, ( ) P α β γ δ Q = + δ + γ. α) Για ποιες τιμές των α,β,γ,δ R το πολυώνυμο P( ) είναι το μηδενικό; β) Για ποιες τιμές των α,β,γ,δ R τα πολυώνυμα P( ), Q( ) είναι ίσα; γ) Για ποιες τιμές των α,β,γ,δ R το πολυώνυμο P( ) έχει ρίζα το και το ( ) [Εναλλακτική διατύπωση :Για ποιες τιμές των α,β,γ,δ R το πολυώνυμο διαιρεί το ( ) υπόλοιπο της διαίρεσης Q( ) : 1 είναι ; ] α) Tο πολυώνυμο P( ) είναι το μηδενικό αν όλοι οι συντελεστές του είναι μηδενικοί. Q τιμή για =1; P και το α = P( ) = α + β γ+ δ β = β = P( ) = = α + ( β ) + ( 1 γ) + ( δ) 1 γ = γ = 1 δ = δ = β) Tα πολυώνυμα P( ), Q( ) είναι ίσα όταν είναι ιδίου βαθμού και όλοι οι ομοβάθμιοι συντελεστές τους είναι ίσοι. α = δ = 4 P( ) = Q( ) α + ( β ) + ( 1 γ) + ( δ) = + δ + γ. β = δ β = 4 β = 1 γ = γ = 4 γ = 4 δ = γ δ = 4 δ = 4 P = γ) Το πολυώνυμο P( ) έχει ρίζα το ( ) ( ) ( ) ( ) Το πολυώνυμο Q( ) έχει τιμή για =1 Q( ) α + β + 1 γ + δ = + + δ = δ = 1 = δ = 1 δ 1 1 γ δ γ γ γ = + + = + + = = α,β R (γιατί δεν συμμετέχουν στις πράξεις, δεν έχουμε κάποιο παραπάνω δεδομένο) parmenides1

3 μέρος δεύτερο Η διαίρεση πολυωνύμων Δ(), δ() γίνεται όταν βαθμός Δ() ³ βαθμός δ() και δ(). Συμπληρώνουμε με μηδενικά όσους ορούς του διαιρετή λείπουν. Τελειώνει όταν βαθμός υ() < βαθμό δ() ή υ() =. Ταυτότητα διαίρεσης πολυωνύμων : Δ() = δ() π()+υ() Δ() υ() δ() π() ΠΟΛΥΩΝΥΜΟ ΠΟΛΥΩΝΥΜΟ = ΠΟΛΥΩΝΥΜΟ Η ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΤΟΥΣ ΕΙΝΑΙ ΤΕΛΕΙΑ Σχήμα Horner με το = α : Χρησιμεύει σαν πιο σύντομος τρόπος αντί για την διαίρεση P( ) : ( α ) Συμπληρώνουμε με μηδενικά όσους όρους του διαιρετέου λείπουν.. Ρ() υ=ρ(α) -α π() Στους συντελεστές του πηλίκου ξεκινάμε μια δύναμη μικρότερη από τον βαθμό του διαιρετή. Το υπόλοιπο στο σχήμα Horner με το =α ισούται με το P(α). Ταυτότητα διαίρεσης από σχήμα Horner: Δ()= π() (-α) + υ Θεωρήματα: 1. Το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυωνύμου με το -α είναι το Ρ(α). Το Ρ() έχει παράγοντα το -α α ρίζα του Ρ(), δηλ. Ρ(α)= Ισοδύναμες Εκφράσεις - το Ρ() έχει παράγοντα το Q() - Ρ() = Q() π() Ρ() Q() - το Ρ() είναι πολλαπλάσιο του Q() - το Ρ() έχει διαιρέτη το Q() - το Q() διαιρεί το P() - η διαίρεση Ρ() : Q() είναι τέλεια - το υπόλοιπο της διαίρεσης Ρ() : Q() είναι μηδέν Ερμηνεύοντας το Ρ() Ρ(α) -α Η διαίρεση του Ρ() με το -4 αφήνει υπόλοιπο. Το Ρ() έχει παράγοντα το +6 Ρ() -4 Ρ(4) Ρ() +6 Ρ(-6) Η διαίρεση του Ρ() με το + αφήνει υπόλοιπο. Ρ() + Ρ(-) Tο -8 διαιρεί το P() Ρ() -8 parmenides1 Ρ(8)

4 Για να βρούμε το Ρ(α) σε ένα πολυώνυμο: - κάνουμε αντικατάσταση στην Ρ() όπου το α - κάνουμε Horner με το α και είναι το υπόλοιπο - κάνουμε διαίρεση με το -α και είναι το υπόλοιπο Πολλαπλότητα ρίζας πολυωνύμου ρ λέμε την μεγαλύτερη δύναμη στην οποία είναι υψωμένος ο ρ στην παραγοντοποιημένη μορφή του πολυωνύμου παράγοντας ( ) πχ. Αν ( ) 4 6 ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) Q = λέμε ότι το Q( ) έχει ρίζες το πολλαπλότητας (διπλή ρίζα) - >> 1 (μονή ρίζα) 1 >> (τριπλή ρίζα) -7 >> 4 (τετραπλή ρίζα) >> 6 (εξαπλή ρίζα) Στην πράξη η πολλαπλότητα ρίζας ενός πολυωνύμου μας δηλώνει πόσα διαδοχικά σχήματα Horner μηδενίζει η ρίζα ρ. Πχ. ρίζα πολλαπλότητας θα μηδενίζει διαδοχικά Horner. Κάθε πολυώνυμο ν βαθμού έχει το πολύ ν διαφορετικές πραγματικές ρίζες πχ. ένα πολυώνυμο ου βαθμού έχει το πολύ διαφορετικές πραγματικές ρίζες (δηλ. μέχρι και ρίζες) β To υπόλοιπο διαίρεσης P( ) : ( α+ β) είναι το υ = P α Ρ() α + β Απόδειξη Αφού ο διαιρέτης είναι πολυώνυμο πρώτου βαθμού, το υπόλοιπο θα είναι σταθερό πολυώνυμο δηλαδή β β P = α α υ( ) = υ, άρα P( ) = π ( ) ( α+ β) + υ P β = π β + υ υ = P β α α α πχ. P() + P() - P() 4- P P P 4 Ισχύουν Ρ() (-α)(-β) Ρ() -α Ρ() -β Ρ() -α π() -β Ρ() (-α) Ρ() -α π() -α parmenides1 4

5 . Να προσδιορίσετε τους α, β R παράγοντα το Q( ) = 4= ( )( + ) Τέλεια Διαίρεση με διαιρέτη τριώνυμο με Δ> ώστε το πολυώνυμο ( ) P = + a + β να έχει [Εναλλακτική διατύπωση:... ώστε το P( ) να έχει παράγοντες τα πολυώνυμα ( ) και ( ) + ] α τρόπος: Με Διαίρεση Πολυωνύμων Αρκεί το υπόλοιπο στην διαίρεση ( ) :( 4) P να είναι μηδέν Κάνουμε διαίρεση και μηδενίζουμε ό,τι υπόλοιπο βρούμε α+ + 4 β 4 P() -4 Τελικά P( ) = ( 4) π ( ) P ( ) = + a + β = ( 4)( + 1) β τρόπος: Δύο Horner (διαδοχικά) με τις ρίζες του διαιρέτη. Αρκεί το P( ) να έχει παράγοντες το ( ) και το ( ) το( + ) να διαιρεί το πήλικο της διαίρεσης P( ) :( ) ( ) = ( ) Α( ) ( ) ( ) ( ) P Α = + Β +α + 4 ( α ) β 4 α + 4= α = =, R β 4= β = 4 ( α ) ( β ) ( ) ( )( ) ( ) P = + Β + 1 +, δηλαδή το( ) να διαίρει το ( ) P() - A() + B() P και Δηλαδή ένα Horner στο P( ) με το και δεύτερο Horner στο παραπάνω πηλίκο με το -. 4 α β 1 1 α β 4 α α + α + 4+ β = α α a + 4= 4 ( )( α + ) ( + )( + + 1) a + 4+ β = α + 4 = α = 4 β = 4 parmenides1

6 Τελικά P( ) = + a+ β = ( )( a 6) = ( )( + )( 1) P( ) = ( 4)( + 1) Αλλιώς θα μπορούσαμε να κάνουμε δυο Horner στο P( ) ένα με το κι ένα με το -. γ τρόπος: Με αντικατάσταση [καλύτερος τρόπος] Αρκεί το P( ) να έχει παράγοντες το ( ) και το ( + ), δηλαδή το P( ) να έχει ρίζες το και - P( ) P( ) = = Ρ() - Ρ() Ρ() + Ρ(-) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) a( ) P = + a + β = a+ β = α + β + 4 P = + + β = α + β = α + β 1 P( ) = P( ) = α + β + 4= α + β = 4 ( αβ, ) = ( 4, 4) α + β 1 = α + β = 1 4. Να προσδιορίσετε τους α, β R παράγοντα το ( ) ( ) Τέλεια Διαίρεση με διαιρέτη τριώνυμο με Δ= Q = + 1= 1 ώστε το πολυώνυμο ( ) P = + a + β να έχει [Εναλλακτική διατύπωση:... ώστε το P( ) να έχει διπλή ρίζα το 1 ] α τρόπος: Με Διαίρεση Πολυωνύμων Αρκεί το υπόλοιπο στην διαίρεση P( ) :( 1) + να είναι μηδέν Κάνουμε διαίρεση και μηδενίζουμε ό,τι υπόλοιπο βρούμε. P() α β α + β 6 + α 6= α = =, R β + = β = ( α ) ( β ) Τελικά P( ) = ( + 1) π ( ) P( ) = + a + β = ( + 1)( + ) parmenides1 6

7 β τρόπος: Δύο Horner (διαδοχικά) με την διπλή ρίζα του διαιρέτη. [καλύτερος τρόπος] Αρκεί το 1 να είναι διπλή ρίζα του ( ) το πήλικο της διαίρεσης P( ) :( 1) P δηλαδή το( 1) να διαίρει το ( ) P() -1 P και το( 1) να διαιρεί ( ) = ( 1) Α( ) ( ) ( 1) ( ) P Α = Β ( ) ( 1)( 1) ( ) P = Β A() -1 B() Δηλαδή ένα Horner P( ) με το 1 και δεύτερο Horner στο πηλίκο του ( ) :( 1) P με το β 4 α 1 1 α β α 1 1 α α + β = α 1 1 α α 6= 4 ( )( + + α ) ( + )( + + ) α + β = α 6 = β = α = 6. Να προσδιορίσετε τους α, β R παράγοντα το ( ) Q Τέλεια Διαίρεση με διαιρέτη τριώνυμο με Δ< = + 4 ώστε το πολυώνυμο ( ) P = + a + β να έχει [Εναλλακτική διατύπωση:...ώστε για πολυώνυμο Κ() να ισχύει( ) ( ) Μόνος τρόπος: Με Διαίρεση Πολυωνύμων 4 a β + Κ = + + ] Αρκεί το υπόλοιπο στην διαίρεση ( ) :( 4) P + να είναι μηδέν. Κάνουμε διαίρεση και μηδενίζουμε ό,τι υπόλοιπο βρούμε. P() α+ 4 β α 8 ( α ) β + 4 α + 8 = α = =, R β + 4= β = 4 ( α ) ( β ) Τελικά P( ) = ( + 4) π ( ) P ( ) = + a + β = ( + 4)( 7 1) Σε όλες τις παραπάνω ασκήσεις -, θα μπορούσαμε να κάνουμε επαλήθευση κάνοντας επιμεριστικές στο αποτέλεσμα της ταυτότητας διαίρεσης. 7 1 parmenides1 7

8 Ταυτότητα Διαίρεσης (ευθύ) 6. Δίνεται το πολυώνυμο P( ) το οποίο διαιρούμενο με + και αφήνει υπόλοιπο 7 και αντίστοιχα.να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης με πολυώνυμο Q( ) = + 6= ( + )( ) Ρ() + Ρ() - P() (+)(-) ( ) P( ) P = 7, = Η ταυτότητα διαίρεσης του P( ) με Q( ) 6 ( )( ) P( ) Q( ) π ( ) υ( ) = + = + θα είναι = +, όπου π() το πηλίκο της διαίρεσης και υ() το υπόλοιπο. Το υπόλοιπο υ() ή θα είναι το μηδενικό πολυώνυμο ή θα έχει βαθμό το πολύ 1 αφού ο διαιρετής Q = + 6 είναι πολυώνυμο β βαθμού, δηλαδή υ( ) = α+ βαβ,, R ( ) 7 Ρ(-) - Ρ() Άρα ( ) ( )( ) ( ) P = + π + α+ β Για = -: P ( ) = ( + )( ) ( ) ( ) Για = : P ( ) = ( + ) π + α + β = α + β = α + β = 7 (1) ( ) ( ) ( ) π + α + β = + α + β = α + β = () (1),() Þ α + β = 7 α = α + β = β = 1 υ = α+ β υ = + Άρα το υπόλοιπο ( ) ( ) 1 Ταυτότητα Διαίρεσης (αντίστροφο) 7. Δίνεται το πολυώνυμο P( ) το οποίο διαιρούμενο με το ( ) Q = + 6 αφήνει υπόλοιπο + 1. Να βρείτε τα υπόλοιπο των διαιρέσεων με τα πολυώνυμα + και. ;;; P() (+)(-) Ρ() + Ρ() ;;; Ρ(-) ;;; Ρ() Η ταυτότητα διαίρεσης του P( ) με Q( ) 6 ( )( ) P( ) Q( ) π ( ) ( 1) P( ) = ( + )( ) π ( ) + 1 = + = + θα είναι = + +, όπου π() το πηλίκο της διαίρεσης, άρα θα είναι Για = -: P ( ) = ( + )( ) π ( ) ( ) Για = : P ( ) = ( + ) + 1= = 7 ( ) ( ) ( ) π + 1= 4+ 1= parmenides1 8

9 μέρος τρίτο Πολυωνυμικές Εξισώσεις Αφού πρώτα εφαρμόσουμε ταυτότητες, κάνουμε επιμεριστικές και απαλείψουμε παρενθέσεις: α βαθμού : Χωρίζουμε γνωστούς από άγνωστους, πράξεις σε κάθε μέλος, διαιρούμε με τον συντελεστή του αγνώστου αν δεν είναι μηδέν, ειδάλλως είναι αόριστη (=) ή αδύνατη ( ). β βαθμού : Όλα στο α μέλος, αναγωγή όμοιων όρων, τριώνυμο (αυτό με την διακρίνουσα :P) γ βαθμού ή ανώτερου: Όλα στο α μέλος, αναγωγή όμοιων όρων, παραγοντοποίηση. Πολυωνυμικές Εξισώσεις Αφού πρώτα εφαρμόσουμε ταυτότητες, κάνουμε επιμεριστικές και απαλείψουμε παρενθέσεις: α βαθμού : Χωρίζουμε γνωστούς από άγνωστους, πράξεις σε κάθε μέλος, διαιρούμε με τον συντελεστή του αγνώστου αν δεν είναι μηδέν, ειδάλλως είναι αόριστη ή αδύνατη. Προσοχή όταν διάγουμε με αρνητικό αριθμό αλλάζει φορά η ανίσωση. β βαθμού : Όλα στο α μέλος, αναγωγή όμοιων όρων, πρόσημο τριώνυμου (πινακάκι) γ βαθμού ή ανώτερου: Όλα στο α μέλος, αναγωγή όμοιων όρων, παραγοντοποίηση, πρόσημο γινομένου (πινακάκι) Κλασματικές Εξισώσεις Βρίσκουμε ΕΚΠ παρονομαστών αφού πρώτα τους παραγοντοποιήσουμε. Περιορισμοί: ΕΚΠ Απαλοιφή παρονομαστών, πολλαπλασιάζοντας τα πάντα με το ΕΚΠ, έχοντας παρονομαστές παραγοντοποιημένους, βάζουμε παρενθέσεις στις θέσεις των αρίθμητων μετά τις απλοποιήσεις. Επιμεριστικές, πράξεις ανάλογα με τον βαθμό τους και βρίσκουμε το. - Δεκτές είναι όσες λύσεις δεν ανήκουν στους περιορισμούς, ειδάλλως απορρίπτονται. - Αν απορρίψουμε όλες τις λύσεις λέμε ότι η εξίσωση είναι αδύνατη. - Αν βγει αόριστη (=), δεν γράφουμε αόριστη πάρα λέμε ότι λύσεις είναι οι περιορισμοί, δηλαδή όλοι οι πραγματικού αριθμοί, πλην των αριθμών που είναι περιορισμοί. Κλασματικές Ανισώσεις Όλα στο α μέλος, ομώνυμα αφού παραγοντοποιήσουμε παρονομαστές για να βρούμε ΕΚΠ αυτών, Πράξεις στον αρίθμητη, και καταλήγουμε σε πρόσημο πήλικου (πινακάκι). Το πρόσημο πηλίκου ισοδυναμεί με πρόσημου γινομένου λαμβάνοντας υπόψη περιορισμούς παρονομαστή, άρα για ευκολία συμπληρώνουμε με μια γραμμή το πινακάκι προσήμου γινομένου βάζοντας διπλή γραμμή στις ρίζες παρονομαστή κι αντιγράφουμε πρόσημο γινομένου. Θεώρημα Ακέραιων Ριζών Σε πολυωνυμική εξίσωση με ακέραιους συντελεστές κάθε ακέραια ρίζα της εξίσωσης είναι διαιρέτης του σταθερού όρου. Δηλαδή αν δοθεί μια πολυωνυμική εξίσωση με ακέραιους συντελεστές και ψάχνουμε ρίζες της, πιθανές ακέραιες ρίζες θα είναι οι ακέραιοι διαιρέτες του σταθερού όρου. Αποκλείεται να έχει ακέραια ρίζα που δεν διαιρεί τον σταθερό όρο. πχ = Είναι πολυωνυμική με ακέραιους συντελεστές Έχει σταθερό ορό το 1 Επειδή 1 = 1 1 = 6 = 4, έχει πιθανές ακέραιες ρίζες τις ± 1, ±, ±, ± 4, ± 6, ± 1 Ίσως να έχει παραπάνω από μια, ίσως καμιά από αυτές, άλλα αν είναι ακέραια η ρίζα της θα είναι υποχρεωτικά μια από αυτές. Με αντικατάσταση είτε με σχήμα Horner επέχουμε ποια είναι η ρίζα και παραγοντοποιούμε με σχήμα Horner όσες φορές χρειαστεί διαδοχικά μέχρι να καταλήξουμε σε εξίσωση που λύνεται (τριώνυμο). parmenides1 9

10 Σχόλια για Πολυωνυμικές - Αν μια πολυωνυμική εξίσωση έχει όλους τους όρους της θετικούς είτε όλους τους όρους της αρνητικούς, δεν έχει θετικές ρίζες, γιατί άθροισμα θετικών = θετικός κι άθροισμα αρνητικών = αρνητικός, πχ 4 4 οι = και 4 4= δεν έχουν θετικές πραγματικές ρίζες, κι αν έχουν ρίζες, οι ρίζες αυτές θα είναι αρνητικές. - Αν μια πολυωνυμική εξίσωση δεν έχει σταθερό όρο ( σταθερός ορός = μηδέν), τότε λύνεται βγάζοντας το κοινό παράγοντα, + 6= ( + 6) = = ή + 6=... - Όταν δίνεται πολυωνυμική εξίσωση να λυθεί πρώτα ελέγχουμε αν λύνεται με ομαδοποίηση και μετά ψάχνουμε πιθανές ακέραιες ρίζες για να λυθεί με Horner, γιατί ενδέχεται να μην έχει ακέραιες ρίζες, ούτε καν ρητές = + 4 = + 4 =... ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) + 1 = + + = + =... Η ουσία του κεφαλαίου Το Θεώρημα Ακέραιων Ριζών χρειάζεται για να μην ψάχνουμε στα τυφλά ρίζες. Το Σχήμα Horner χρειάζεται για να παραγοντοποιήσουμε ένα πολυώνυμο με γνωστή ρίζα. Και γιατί να παραγοντοποιούμε ένα πολυώνυμο; Για να βρίσκουμε ρίζες του και πρόσημο του. Με άλλα λόγια, για να λύνουμε πολυωνυμικές εξισώσεις κι ανισώσεις. Έννοιες για συναρτήσεις και γραφικές παραστάσεις αυτών Έστω συναρτήσεις f(), g() με γραφικές παραστάσεις C f, C g αντίστοιχα - Η C f διέρχεται από το σημείο(α,β) ( αβ, ) C f f ( α) = β - Η C f δεν διέρχεται από το σημείο (α,β) ( αβ, ) C f f ( α) β - Η C f έχει άξονα συμμετρίας τον y y f άρτια A A f( ) = f( ) - Η C f έχει κέντρο συμμετρίας την αρχή των αξόνων f περιττή A A f( ) = f( ) - Η C f τέμνει τον άξονα y y (=)στο σημείο (, f ( ) ) Αν το δεν ανήκει στο πεδίο ορισμού της f(), τότε η C f δεν τέμνει τον άξονα y y. - Η C f τέμνει τον άξονα (y = ) στα σημεία για τα οποία f ( ) = Αν η παραπάνω εξίσωση είναι αδύνατη, τότε η C f δεν τέμνει τον άξονα. - Η C f βρίσκεται ψηλότερα από τον άξονα f ( ) > - Η C f βρίσκεται χαμηλότερα από τον άξονα f ( ) < - Η C f τέμνει την C g στα σημεία για τα οποία f ( ) = g( ) Αν η παραπάνω εξίσωση είναι αδύνατη, τότε η C f δεν τέμνει την C g. - Η C f βρίσκεται ψηλότερα από την C g f ( ) > g( ) - Η C f βρίσκεται χαμηλότερα από την C g f ( ) > g( ) parmenides1 1

11 Πολυωνυμική ανίσωση (χρησιμοποιώντας Horner) 8. Να λυθεί Πιθανές ακέραιες ρίζες: ± 1, ±, ±, ± = Πιθανές ακέραιες ρίζες: ± 1, ±, ±, ± ( )( ) = = = ή= + 6= ( )( ) + 6= + + = + + = ή= = αδυνατη γιατι ( )( ) ( )( )( ) = = γινόμενο Άρα [ 1, ] 9. Να λυθεί 1 Κλασματική ανίσωση ( 1) ( 1) ( ) ( 1) 6 ( 1) 6 ( 1) ( 1) 6 ( 1) ( 1) 6 ( 1) parmenides1 11

12 ( + )6 ( 1) = =± η = η = γινόμενο ( 1) Άρα, ) (,1), + ) Εκφράσεις σχετικές με τις γραφικές παραστάσεις συναρτήσεων Δίνονται οι συναρτήσεις f ( ) = 6 και ( ) g = + λ με λ R. α) Αν η γραφική παράσταση της g() διέρχεται από το σημείο (1,), να εξετάσετε αν διέρχεται από το σημείο (-1,) β) Για λ = 1, να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράσταση της g() με τον άξονα γ) Για ποιες τιμές του η γραφικής παράσταση της f() με τον άξονα, δεν ξεπέρνα τον άξονα ; δ) Για λ = 7, να βρείτε τα σημεία τομής των γραφικών παραστάσεων f() και g() α) ( ) C g( ) 1, 1 = g ( ) 4 g = λ 1= λ = 1 λ = 1 λ = λ = 1+ λ = 1 λ = 1 4 Για λ = - 1: g( ) = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) g 1 = = = 1, Cg 4 β) Για λ = 1: g( ) = + ( ) g = + = 4 ( ) ( 1) 4 + = + + 1= parmenides1 1

13 ( )( ) + 1= = + + = ή= 1 1 =, = 1 ( ) ( )( ) 4 ή + = + 1 = = = =± 1 Τα σημεία τομής με τον άξονα είναι τα (, ),( 1, ),( 1,). =ω 6 ω ω 6 ω ω + 4 γ) f ( ) ( )( ) ( )( ) ω= + ( )( ) + = = ή = =± αδυνατη γιατι γινόμενο Άρα, g = + 7 δ) Για λ = 7: ( ) 4 4 f ( ) = g( ) 4 6 = = + + = ( )( ) + + = + = = ή= 1 =, = ( 1) = 6 4 ( ) ( ) ( ) ( ) C C είναι τα ( 1, f ( 1) ) ( 1, 6 ), (, f ( ) ) (, 6 ), (, f ( ) ) (, 66) f = = 1 f = = = = f = = = = Τα σημεία τομής των, = = =. f g parmenides1 1

14 ασκήσεις στα τρία πρώτα μέρη 1.Αν P( ) = + +, να λυθεί η εξίσωση P( ) P( ) * 1 = 1. Αν f ( ) = +, να λυθεί η εξίσωση f ( f ( a) ) = a f ( 1). Αν Q( 1) = +, να βρεθεί το πολυώνυμο Q( ) 4. Αν το P( ) είναι σταθερό πολυώνυμο και P ( ) = 7, να βρείτε την τιμή του ( ). Αν το P( ) έχει ρίζα το να δείξετε ότι το Q( ) P( 7) = έχει ρίζα το [ ± ] [ 4] [ + 8 ] P για = 6. Αν το (-) διαιρεί το P( ), να δείξετε ότι το (-4) είναι παράγοντας του Q( ) = P( ) Να αποδείξετε ότι το ( ) ( ) ( ) P = διαιρείται με το (+) 8. Αν το πολυώνυμο ( ) P = 9 + α + α α + α+ α δίνει υπόλοιπο 9 όταν διαιρεθεί με το (-1), να βρείτε τον πραγματικό αριθμό α P = να βρείτε τον σταθερό του όρο και το άθροισμα των συντελεστών του.τι βαθμού είναι; 9. Αν το ( ) ( ) 1 1. Αν για το πολυώνυμο ( ) P ισχύει ( ) ( ) [7] [1] [,1, 49] P = P 4, R, να βρείτε το σταθερό ορό και το άθροισμα των συντελεστών του [4, 4] ** f = α β+ γ και g( ) = + δ , να βρείτε τις τιμές των α,β,γ,δ R, για τις οποίες το πολυώνυμο f ( ) + g( ) είναι : (i) βαθμού [ α 4] (ii) βαθμού [ α = 4και δ ] (iii) βαθμού 1 [ α = 4και δ = και β 6] (iv) μηδενικού βαθμού [ α = 4και δ = και β = 6και γ 1] (v) μηδενικό πολυώνυμο [ α = 4και δ = και β = 6και γ = 1] (vi) το πολύ δευτέρου βαθμού [ περιπτωσεις ( ii),( iii),( iv)] 11. Αν ( ) ( ) 1. (α) Να βρεθεί πολυώνυμο P( ) ώστε να ισχύει ( ) ( ) (β) Να βρεθεί πολυώνυμο Q( ) ώστε να ισχύει ( ) ( ). (γ) Να λυθεί η εξίσωση = 1 P = 6 + 1, R. Q + + = Q , R. +, +, 1 parmenides1 14

15 1. Το πολυώνυμο ( ) 4 P = α β να έχει ρίζες το -1 και το. (α) Να αποδείξετε ότι α = 8 και β = 4 (β) Να εξετάσετε αν η γραφική παράσταση του P( ) διέρχεται από το σημείο (,4) (γ) Να βρείτε τις άλλες ακέραιες ρίζες του P( ) 4 (δ) Να βρείτε τα σημεία τομής των γραφικών παραστάσεων των ( ) και ( ) g = f = ( ) ( ) ( ) ( ) οχι,, 4, 1, 4,, 1,, 4, 4, Το πολυώνυμο P( ) α β ( α ) β 1 (α) Να αποδείξετε ότι α = και β = (β) Να βρείτε τα σημεία τομής με τον άξονα της γραφικής παράστασης του P( ) = διαιρείται από το πολυώνυμο 4. + (, ),(, ),,,, Το πολυώνυμο P( ) = + α + β 1 διαιρείται ακριβώς από το πολυώνυμο (α) Να αποδείξετε ότι α = και β = (β) Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση του P( ) βρίσκεται χαμηλότερα από τον άξονα (γ) Να βρείτε τα σημεία τομής των γραφικών παραστάσεων των ( ) g( ) = Το πολυώνυμο ( ) 4 f = και 1 1,, ( 1, 6 ),, 17 P = + α + + β+ α + 1 έχει παράγοντα το πολυώνυμο +. (α) Να αποδείξετε ότι α = και β = (β) Να βρείτε τις τιμές του για τις οποίες η γραφική παράσταση του P( ) βρίσκεται ψηλότερα από τον άξονα 4 (γ) Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της ( ) 4 R ψηλότερα από την γραφική παράσταση της ( ) 17. Το πολυώνυμο ( ) 4 f = βρίσκεται για κάθε g = R P = + + α β+ γ έχει παράγοντα το πολυώνυμο (α) Να αποδείξετε ότι α = 1, β = και γ = 1 [ ] (β) Να βρείτε τα σημεία τομής με τον άξονα της γραφικής παράστασης του πηλίκου π ( ) της διαίρεσης P( ) :( + + 1) 1 ( 1, ),, parmenides1 1

16 18. Το πολυώνυμο ( ) P = + α+ β διαιρούμενο με το (α) Να αποδείξετε ότι α = και β = (β) Να βρείτε το πηλίκο π() της διαίρεσης P( ) :( 4) 4 δίνει υπόλοιπο 4 1 (γ) Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση του π() διέρχεται από το σημείο (,9) Το πολυώνυμο P( ) = α β + + γ έχει παράγοντα το πολυώνυμο ( 1) (α) Να αποδείξετε ότι α = 1, β = και γ = (β) Να αποδείξετε ότι P( ) > (, 1) ( 1, + ) (γ) Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της ( ) 4 βρίσκεται ψηλότερα από την γραφική παράσταση της ( ) 4. (α) Να βρεθεί πολυώνυμο P( ) το οποίο όταν διαιρεθεί με το υπόλοιπο [ + 1] f = g = (, 1) ( 1, ) δίνει πηλίκο + 1 και (β) Να βρείτε το πήλικο της διαίρεσης του P( ) :( + 1) (γ) Να βρείτε τα διαστήματα για τα οποία η γραφική παράσταση του P( ) βρίσκεται ψηλότερα από την ευθεια y = 4+ *** 1. Πολυώνυμο P( ) όταν διαιρεθεί με ( 1)( )( ) , + +,, δίνει υπόλοιπο Τι υπόλοιπο δίνει όταν διαιρεθεί με + 1, με και με + αντίστοιχα σε κάθε περίπτωση;. Για το πολυώνυμο P( ) ισχύει ότι ( ) ( ) ( ) ( ) (α) Να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης του P( ) με τα (-1) και (-) (β) Να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης του P( ) με το Q( ) + 1 P + 1 P + = 4+ 6, R = +. Να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης ( ) [7, 1,1] [, 1, ] P = δια του ( ) [ + ] 4 4. Να βρεθούν οι ακέραιοι α, β ώστε η εξίσωση α + + β + = να έχει το μεγαλύτερο δυνατό πλήθος ακέραιων ριζών. Στην περίπτωση αυτή να αποδείξετε ότι έχει κι άρρητες ρίζες. **** α =, β =, =±. Να αποδείξετε ότι τα πολυώνυμα P( ) = + 1 και Q( ) ρίζα. = + + δεν έχουν κοινή parmenides1 16

17 συνοπτικά για εξισώσεις κι ανισώσεις πρόσημο πρωτοβάθμιου - β + α α+β Ε Ο Ο = ομόσημο του α Ε = ετερόσημο του α πρόσημο τριωνύμου - ρ 1 ρ + Δ> Ο Ε Ο - ρ + Δ= Ο Ο - + Δ< Ο περίεργα + ν ν + + πρόσημο γινομένου - πηλίκου (ρίζες των Α,Β) Α... Β... πολλαπλασιάζω τα πρόσημα γινόμενο (Α Β) των ΑΒ, Α Β (πηλίκο) αντιγράφω την παραπάνω γραμμή βάζοντας περιορισμούς του Β κλασματικές εξισώσεις περιορισμοί απαλοιφή παρανομαστών, παραγοντοποίηση, γινόμενο παραγόντων =, κάθε παράγοντας = κλασματικές ανισώσεις όλα στο α μέλος, ομώνυμα, πρόσημο πηλίκου ( = πρόσημο γινομένου με περιορισμούς παρονομαστή) εξισώσεις γενικά παραγοντοποίηση, κάθε παράγοντας = ανισώσεις γενικά παραγοντοποίηση, πρόσημο γινομένου parmenides1 17