( ) ( ) Τοα R σημαίνει ότι οι συντελεστές δεν περιέχουν την μεταβλητή x. αντικ σταση στο που = α. [ ο αριθµ ός πουτο µηδεν ίζει

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "( ) ( ) Τοα R σημαίνει ότι οι συντελεστές δεν περιέχουν την μεταβλητή x. αντικ σταση στο που = α. [ ο αριθµ ός πουτο µηδεν ίζει"

Transcript

1 μέρος πρώτο v v 1 v 1 Γενική μορφή πολυωνύμου: ( ) 1 1 Όροι του ( ) v v v P = a v + av 1 + av a + a 1 + a, ν Ν, α ν R Τοα R σημαίνει ότι οι συντελεστές δεν περιέχουν την μεταβλητή. P : a, a, a,..., a, a, a Σταθερός όρος του P( ) : a ν v v 1 v 1 Συντελεστές του P( ) : av, av 1, av,..., a, a1, a Σταθερό πολυώνυμο: ( ) = ( ) = [ = αριθµος σταθερος ] Μηδενικό πολυώνυμο: P( ) = ( ) P c R P a Αριθμητική τιμή πολυωνύμου για =α: ο αριθμός P( a ) Ρίζα πολυωνύμου β: λύση της εξίσωσης P( ) P( β ) ά P( ) ό αντικ σταση στο που = α = = [ ο αριθµ ός πουτο µηδεν ίζει ] Βαθμός πολυωνύμου: - Αν το πολυώνυμο δεν είναι σταθερό, είναι η μεγαλύτερη εμφανιζόμενη δύναμη της μεταβλητής με μη μηδενικό συντελεστή - Αν το πολυώνυμο είναι σταθερό - και μη μηδενικό τότε έχει βαθμό : P( ) = c βαθµο ύµηδ έν - και μηδενικό τότε δεν ορίζεται βαθμός : ( ) = Ισότητα πολυωνύμων: Δυο πολυώνυμα είναι ίσα όταν - έχουν ίδιο βαθμό - ίσους τους ομοβάθμιους συντελεστές P δεν ορίζεται βαθµ ός Ένα πολυώνυμο είναι το μηδενικό όταν όλοι οι συντελεστές του είναι μηδενικοί. v v 1 v 1 a + a + a a + a + a = a = a = a =... = a = a = a = v v 1 v 1 v v 1 v 1 Κάθε πολυώνυμο έχει P = a -> σταθερό ορό ( ) -> άθροισμα συντελεστών P( 1 ) = av + av 1+ av a + a1+ a Πράξεις με πολυώνυμα ΠΟΛΥΩΝΥΜΟ ± ΠΟΛΥΩΝΥΜΟ = ΠΟΛΥΩΝΥΜΟ ΠΟΛΥΩΝΥΜΟ ΠΟΛΥΩΝΥΜΟ = ΠΟΛΥΩΝΥΜΟ (επιμεριστικές κι αναγωγή όμοιων ορών) ΠΟΛΥΩΝΥΜΟ ΠΟΛΥΩΝΥΜΟ = ΙΣΩΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΟ ΙΣΩΣ ΟΧΙ ( 1) ( 1) ( + 1) 1 πχ. = = 1 = = πολυώνυμο ( + ) ( ) + ( + 1) ( + 1) = = 1 ( 1) ( + 1) ( ) = 1 όχι πολυώνυμο Το μη μηδενικό άθροισμα δύο πολυωνύμων έχει βαθμό το πολύ ίσο με το μέγιστο των βαθμών των δυο πολυωνύμων. [ αν PQέ, χουν βαθµ ό, P+ Qέχει βαθµ ό ] Το γινόμενο δύο μη μηδενικών πολυωνύμων έχει βαθμό ίσο με το άθροισμα των βαθμών των δυο αν PQέ, χουν βαθµ ό, P Qέχει βαθµ ό = + πολυωνύμων. [ ] parmenides1 1

2 Παραμετρική Βαθμού Πολυωνύμου 1. Δίνεται το πολυώνυμο ( ) ( 4 ) ( ) ( ) P = λ λ + λ λ + λ + λ + λ. Να υπολογιστεί ο βαθμός του για τις διάφορες τιμές της πραγματικής παραμέτρου λ. Διακρίνουμε περιπτώσεις για τον μεγιστοβάθμιο όρο: λ και λ και λ + Ανλ 4λ λλ ( 4) λλ ( )( λ+ ) λ λ το πολυώνυμο P( ) είναι τρίτου βαθμού. Α νλ= P( ) = = για το πολυώνυμο ( ) Α νλ= P( ) = = 8+ το πολυώνυμο ( ) Α νλ= P( ) = = 8 το πολυώνυμο ( ) Μηδενικό - Ισότητα - Ρίζα -Τιμή P δεν ορίζεται βαθμός P είναι πρώτου βαθμού P είναι δευτέρου βαθμού. Δίνονται τα πολυώνυμα ( ) = + +, ( ) P α β γ δ Q = + δ + γ. α) Για ποιες τιμές των α,β,γ,δ R το πολυώνυμο P( ) είναι το μηδενικό; β) Για ποιες τιμές των α,β,γ,δ R τα πολυώνυμα P( ), Q( ) είναι ίσα; γ) Για ποιες τιμές των α,β,γ,δ R το πολυώνυμο P( ) έχει ρίζα το και το ( ) [Εναλλακτική διατύπωση :Για ποιες τιμές των α,β,γ,δ R το πολυώνυμο διαιρεί το ( ) υπόλοιπο της διαίρεσης Q( ) : 1 είναι ; ] α) Tο πολυώνυμο P( ) είναι το μηδενικό αν όλοι οι συντελεστές του είναι μηδενικοί. Q τιμή για =1; P και το α = P( ) = α + β γ+ δ β = β = P( ) = = α + ( β ) + ( 1 γ) + ( δ) 1 γ = γ = 1 δ = δ = β) Tα πολυώνυμα P( ), Q( ) είναι ίσα όταν είναι ιδίου βαθμού και όλοι οι ομοβάθμιοι συντελεστές τους είναι ίσοι. α = δ = 4 P( ) = Q( ) α + ( β ) + ( 1 γ) + ( δ) = + δ + γ. β = δ β = 4 β = 1 γ = γ = 4 γ = 4 δ = γ δ = 4 δ = 4 P = γ) Το πολυώνυμο P( ) έχει ρίζα το ( ) ( ) ( ) ( ) Το πολυώνυμο Q( ) έχει τιμή για =1 Q( ) α + β + 1 γ + δ = + + δ = δ = 1 = δ = 1 δ 1 1 γ δ γ γ γ = + + = + + = = α,β R (γιατί δεν συμμετέχουν στις πράξεις, δεν έχουμε κάποιο παραπάνω δεδομένο) parmenides1

3 μέρος δεύτερο Η διαίρεση πολυωνύμων Δ(), δ() γίνεται όταν βαθμός Δ() ³ βαθμός δ() και δ(). Συμπληρώνουμε με μηδενικά όσους ορούς του διαιρετή λείπουν. Τελειώνει όταν βαθμός υ() < βαθμό δ() ή υ() =. Ταυτότητα διαίρεσης πολυωνύμων : Δ() = δ() π()+υ() Δ() υ() δ() π() ΠΟΛΥΩΝΥΜΟ ΠΟΛΥΩΝΥΜΟ = ΠΟΛΥΩΝΥΜΟ Η ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΤΟΥΣ ΕΙΝΑΙ ΤΕΛΕΙΑ Σχήμα Horner με το = α : Χρησιμεύει σαν πιο σύντομος τρόπος αντί για την διαίρεση P( ) : ( α ) Συμπληρώνουμε με μηδενικά όσους όρους του διαιρετέου λείπουν.. Ρ() υ=ρ(α) -α π() Στους συντελεστές του πηλίκου ξεκινάμε μια δύναμη μικρότερη από τον βαθμό του διαιρετή. Το υπόλοιπο στο σχήμα Horner με το =α ισούται με το P(α). Ταυτότητα διαίρεσης από σχήμα Horner: Δ()= π() (-α) + υ Θεωρήματα: 1. Το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυωνύμου με το -α είναι το Ρ(α). Το Ρ() έχει παράγοντα το -α α ρίζα του Ρ(), δηλ. Ρ(α)= Ισοδύναμες Εκφράσεις - το Ρ() έχει παράγοντα το Q() - Ρ() = Q() π() Ρ() Q() - το Ρ() είναι πολλαπλάσιο του Q() - το Ρ() έχει διαιρέτη το Q() - το Q() διαιρεί το P() - η διαίρεση Ρ() : Q() είναι τέλεια - το υπόλοιπο της διαίρεσης Ρ() : Q() είναι μηδέν Ερμηνεύοντας το Ρ() Ρ(α) -α Η διαίρεση του Ρ() με το -4 αφήνει υπόλοιπο. Το Ρ() έχει παράγοντα το +6 Ρ() -4 Ρ(4) Ρ() +6 Ρ(-6) Η διαίρεση του Ρ() με το + αφήνει υπόλοιπο. Ρ() + Ρ(-) Tο -8 διαιρεί το P() Ρ() -8 parmenides1 Ρ(8)

4 Για να βρούμε το Ρ(α) σε ένα πολυώνυμο: - κάνουμε αντικατάσταση στην Ρ() όπου το α - κάνουμε Horner με το α και είναι το υπόλοιπο - κάνουμε διαίρεση με το -α και είναι το υπόλοιπο Πολλαπλότητα ρίζας πολυωνύμου ρ λέμε την μεγαλύτερη δύναμη στην οποία είναι υψωμένος ο ρ στην παραγοντοποιημένη μορφή του πολυωνύμου παράγοντας ( ) πχ. Αν ( ) 4 6 ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) Q = λέμε ότι το Q( ) έχει ρίζες το πολλαπλότητας (διπλή ρίζα) - >> 1 (μονή ρίζα) 1 >> (τριπλή ρίζα) -7 >> 4 (τετραπλή ρίζα) >> 6 (εξαπλή ρίζα) Στην πράξη η πολλαπλότητα ρίζας ενός πολυωνύμου μας δηλώνει πόσα διαδοχικά σχήματα Horner μηδενίζει η ρίζα ρ. Πχ. ρίζα πολλαπλότητας θα μηδενίζει διαδοχικά Horner. Κάθε πολυώνυμο ν βαθμού έχει το πολύ ν διαφορετικές πραγματικές ρίζες πχ. ένα πολυώνυμο ου βαθμού έχει το πολύ διαφορετικές πραγματικές ρίζες (δηλ. μέχρι και ρίζες) β To υπόλοιπο διαίρεσης P( ) : ( α+ β) είναι το υ = P α Ρ() α + β Απόδειξη Αφού ο διαιρέτης είναι πολυώνυμο πρώτου βαθμού, το υπόλοιπο θα είναι σταθερό πολυώνυμο δηλαδή β β P = α α υ( ) = υ, άρα P( ) = π ( ) ( α+ β) + υ P β = π β + υ υ = P β α α α πχ. P() + P() - P() 4- P P P 4 Ισχύουν Ρ() (-α)(-β) Ρ() -α Ρ() -β Ρ() -α π() -β Ρ() (-α) Ρ() -α π() -α parmenides1 4

5 . Να προσδιορίσετε τους α, β R παράγοντα το Q( ) = 4= ( )( + ) Τέλεια Διαίρεση με διαιρέτη τριώνυμο με Δ> ώστε το πολυώνυμο ( ) P = + a + β να έχει [Εναλλακτική διατύπωση:... ώστε το P( ) να έχει παράγοντες τα πολυώνυμα ( ) και ( ) + ] α τρόπος: Με Διαίρεση Πολυωνύμων Αρκεί το υπόλοιπο στην διαίρεση ( ) :( 4) P να είναι μηδέν Κάνουμε διαίρεση και μηδενίζουμε ό,τι υπόλοιπο βρούμε α+ + 4 β 4 P() -4 Τελικά P( ) = ( 4) π ( ) P ( ) = + a + β = ( 4)( + 1) β τρόπος: Δύο Horner (διαδοχικά) με τις ρίζες του διαιρέτη. Αρκεί το P( ) να έχει παράγοντες το ( ) και το ( ) το( + ) να διαιρεί το πήλικο της διαίρεσης P( ) :( ) ( ) = ( ) Α( ) ( ) ( ) ( ) P Α = + Β +α + 4 ( α ) β 4 α + 4= α = =, R β 4= β = 4 ( α ) ( β ) ( ) ( )( ) ( ) P = + Β + 1 +, δηλαδή το( ) να διαίρει το ( ) P() - A() + B() P και Δηλαδή ένα Horner στο P( ) με το και δεύτερο Horner στο παραπάνω πηλίκο με το -. 4 α β 1 1 α β 4 α α + α + 4+ β = α α a + 4= 4 ( )( α + ) ( + )( + + 1) a + 4+ β = α + 4 = α = 4 β = 4 parmenides1

6 Τελικά P( ) = + a+ β = ( )( a 6) = ( )( + )( 1) P( ) = ( 4)( + 1) Αλλιώς θα μπορούσαμε να κάνουμε δυο Horner στο P( ) ένα με το κι ένα με το -. γ τρόπος: Με αντικατάσταση [καλύτερος τρόπος] Αρκεί το P( ) να έχει παράγοντες το ( ) και το ( + ), δηλαδή το P( ) να έχει ρίζες το και - P( ) P( ) = = Ρ() - Ρ() Ρ() + Ρ(-) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) a( ) P = + a + β = a+ β = α + β + 4 P = + + β = α + β = α + β 1 P( ) = P( ) = α + β + 4= α + β = 4 ( αβ, ) = ( 4, 4) α + β 1 = α + β = 1 4. Να προσδιορίσετε τους α, β R παράγοντα το ( ) ( ) Τέλεια Διαίρεση με διαιρέτη τριώνυμο με Δ= Q = + 1= 1 ώστε το πολυώνυμο ( ) P = + a + β να έχει [Εναλλακτική διατύπωση:... ώστε το P( ) να έχει διπλή ρίζα το 1 ] α τρόπος: Με Διαίρεση Πολυωνύμων Αρκεί το υπόλοιπο στην διαίρεση P( ) :( 1) + να είναι μηδέν Κάνουμε διαίρεση και μηδενίζουμε ό,τι υπόλοιπο βρούμε. P() α β α + β 6 + α 6= α = =, R β + = β = ( α ) ( β ) Τελικά P( ) = ( + 1) π ( ) P( ) = + a + β = ( + 1)( + ) parmenides1 6

7 β τρόπος: Δύο Horner (διαδοχικά) με την διπλή ρίζα του διαιρέτη. [καλύτερος τρόπος] Αρκεί το 1 να είναι διπλή ρίζα του ( ) το πήλικο της διαίρεσης P( ) :( 1) P δηλαδή το( 1) να διαίρει το ( ) P() -1 P και το( 1) να διαιρεί ( ) = ( 1) Α( ) ( ) ( 1) ( ) P Α = Β ( ) ( 1)( 1) ( ) P = Β A() -1 B() Δηλαδή ένα Horner P( ) με το 1 και δεύτερο Horner στο πηλίκο του ( ) :( 1) P με το β 4 α 1 1 α β α 1 1 α α + β = α 1 1 α α 6= 4 ( )( + + α ) ( + )( + + ) α + β = α 6 = β = α = 6. Να προσδιορίσετε τους α, β R παράγοντα το ( ) Q Τέλεια Διαίρεση με διαιρέτη τριώνυμο με Δ< = + 4 ώστε το πολυώνυμο ( ) P = + a + β να έχει [Εναλλακτική διατύπωση:...ώστε για πολυώνυμο Κ() να ισχύει( ) ( ) Μόνος τρόπος: Με Διαίρεση Πολυωνύμων 4 a β + Κ = + + ] Αρκεί το υπόλοιπο στην διαίρεση ( ) :( 4) P + να είναι μηδέν. Κάνουμε διαίρεση και μηδενίζουμε ό,τι υπόλοιπο βρούμε. P() α+ 4 β α 8 ( α ) β + 4 α + 8 = α = =, R β + 4= β = 4 ( α ) ( β ) Τελικά P( ) = ( + 4) π ( ) P ( ) = + a + β = ( + 4)( 7 1) Σε όλες τις παραπάνω ασκήσεις -, θα μπορούσαμε να κάνουμε επαλήθευση κάνοντας επιμεριστικές στο αποτέλεσμα της ταυτότητας διαίρεσης. 7 1 parmenides1 7

8 Ταυτότητα Διαίρεσης (ευθύ) 6. Δίνεται το πολυώνυμο P( ) το οποίο διαιρούμενο με + και αφήνει υπόλοιπο 7 και αντίστοιχα.να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης με πολυώνυμο Q( ) = + 6= ( + )( ) Ρ() + Ρ() - P() (+)(-) ( ) P( ) P = 7, = Η ταυτότητα διαίρεσης του P( ) με Q( ) 6 ( )( ) P( ) Q( ) π ( ) υ( ) = + = + θα είναι = +, όπου π() το πηλίκο της διαίρεσης και υ() το υπόλοιπο. Το υπόλοιπο υ() ή θα είναι το μηδενικό πολυώνυμο ή θα έχει βαθμό το πολύ 1 αφού ο διαιρετής Q = + 6 είναι πολυώνυμο β βαθμού, δηλαδή υ( ) = α+ βαβ,, R ( ) 7 Ρ(-) - Ρ() Άρα ( ) ( )( ) ( ) P = + π + α+ β Για = -: P ( ) = ( + )( ) ( ) ( ) Για = : P ( ) = ( + ) π + α + β = α + β = α + β = 7 (1) ( ) ( ) ( ) π + α + β = + α + β = α + β = () (1),() Þ α + β = 7 α = α + β = β = 1 υ = α+ β υ = + Άρα το υπόλοιπο ( ) ( ) 1 Ταυτότητα Διαίρεσης (αντίστροφο) 7. Δίνεται το πολυώνυμο P( ) το οποίο διαιρούμενο με το ( ) Q = + 6 αφήνει υπόλοιπο + 1. Να βρείτε τα υπόλοιπο των διαιρέσεων με τα πολυώνυμα + και. ;;; P() (+)(-) Ρ() + Ρ() ;;; Ρ(-) ;;; Ρ() Η ταυτότητα διαίρεσης του P( ) με Q( ) 6 ( )( ) P( ) Q( ) π ( ) ( 1) P( ) = ( + )( ) π ( ) + 1 = + = + θα είναι = + +, όπου π() το πηλίκο της διαίρεσης, άρα θα είναι Για = -: P ( ) = ( + )( ) π ( ) ( ) Για = : P ( ) = ( + ) + 1= = 7 ( ) ( ) ( ) π + 1= 4+ 1= parmenides1 8

9 μέρος τρίτο Πολυωνυμικές Εξισώσεις Αφού πρώτα εφαρμόσουμε ταυτότητες, κάνουμε επιμεριστικές και απαλείψουμε παρενθέσεις: α βαθμού : Χωρίζουμε γνωστούς από άγνωστους, πράξεις σε κάθε μέλος, διαιρούμε με τον συντελεστή του αγνώστου αν δεν είναι μηδέν, ειδάλλως είναι αόριστη (=) ή αδύνατη ( ). β βαθμού : Όλα στο α μέλος, αναγωγή όμοιων όρων, τριώνυμο (αυτό με την διακρίνουσα :P) γ βαθμού ή ανώτερου: Όλα στο α μέλος, αναγωγή όμοιων όρων, παραγοντοποίηση. Πολυωνυμικές Εξισώσεις Αφού πρώτα εφαρμόσουμε ταυτότητες, κάνουμε επιμεριστικές και απαλείψουμε παρενθέσεις: α βαθμού : Χωρίζουμε γνωστούς από άγνωστους, πράξεις σε κάθε μέλος, διαιρούμε με τον συντελεστή του αγνώστου αν δεν είναι μηδέν, ειδάλλως είναι αόριστη ή αδύνατη. Προσοχή όταν διάγουμε με αρνητικό αριθμό αλλάζει φορά η ανίσωση. β βαθμού : Όλα στο α μέλος, αναγωγή όμοιων όρων, πρόσημο τριώνυμου (πινακάκι) γ βαθμού ή ανώτερου: Όλα στο α μέλος, αναγωγή όμοιων όρων, παραγοντοποίηση, πρόσημο γινομένου (πινακάκι) Κλασματικές Εξισώσεις Βρίσκουμε ΕΚΠ παρονομαστών αφού πρώτα τους παραγοντοποιήσουμε. Περιορισμοί: ΕΚΠ Απαλοιφή παρονομαστών, πολλαπλασιάζοντας τα πάντα με το ΕΚΠ, έχοντας παρονομαστές παραγοντοποιημένους, βάζουμε παρενθέσεις στις θέσεις των αρίθμητων μετά τις απλοποιήσεις. Επιμεριστικές, πράξεις ανάλογα με τον βαθμό τους και βρίσκουμε το. - Δεκτές είναι όσες λύσεις δεν ανήκουν στους περιορισμούς, ειδάλλως απορρίπτονται. - Αν απορρίψουμε όλες τις λύσεις λέμε ότι η εξίσωση είναι αδύνατη. - Αν βγει αόριστη (=), δεν γράφουμε αόριστη πάρα λέμε ότι λύσεις είναι οι περιορισμοί, δηλαδή όλοι οι πραγματικού αριθμοί, πλην των αριθμών που είναι περιορισμοί. Κλασματικές Ανισώσεις Όλα στο α μέλος, ομώνυμα αφού παραγοντοποιήσουμε παρονομαστές για να βρούμε ΕΚΠ αυτών, Πράξεις στον αρίθμητη, και καταλήγουμε σε πρόσημο πήλικου (πινακάκι). Το πρόσημο πηλίκου ισοδυναμεί με πρόσημου γινομένου λαμβάνοντας υπόψη περιορισμούς παρονομαστή, άρα για ευκολία συμπληρώνουμε με μια γραμμή το πινακάκι προσήμου γινομένου βάζοντας διπλή γραμμή στις ρίζες παρονομαστή κι αντιγράφουμε πρόσημο γινομένου. Θεώρημα Ακέραιων Ριζών Σε πολυωνυμική εξίσωση με ακέραιους συντελεστές κάθε ακέραια ρίζα της εξίσωσης είναι διαιρέτης του σταθερού όρου. Δηλαδή αν δοθεί μια πολυωνυμική εξίσωση με ακέραιους συντελεστές και ψάχνουμε ρίζες της, πιθανές ακέραιες ρίζες θα είναι οι ακέραιοι διαιρέτες του σταθερού όρου. Αποκλείεται να έχει ακέραια ρίζα που δεν διαιρεί τον σταθερό όρο. πχ = Είναι πολυωνυμική με ακέραιους συντελεστές Έχει σταθερό ορό το 1 Επειδή 1 = 1 1 = 6 = 4, έχει πιθανές ακέραιες ρίζες τις ± 1, ±, ±, ± 4, ± 6, ± 1 Ίσως να έχει παραπάνω από μια, ίσως καμιά από αυτές, άλλα αν είναι ακέραια η ρίζα της θα είναι υποχρεωτικά μια από αυτές. Με αντικατάσταση είτε με σχήμα Horner επέχουμε ποια είναι η ρίζα και παραγοντοποιούμε με σχήμα Horner όσες φορές χρειαστεί διαδοχικά μέχρι να καταλήξουμε σε εξίσωση που λύνεται (τριώνυμο). parmenides1 9

10 Σχόλια για Πολυωνυμικές - Αν μια πολυωνυμική εξίσωση έχει όλους τους όρους της θετικούς είτε όλους τους όρους της αρνητικούς, δεν έχει θετικές ρίζες, γιατί άθροισμα θετικών = θετικός κι άθροισμα αρνητικών = αρνητικός, πχ 4 4 οι = και 4 4= δεν έχουν θετικές πραγματικές ρίζες, κι αν έχουν ρίζες, οι ρίζες αυτές θα είναι αρνητικές. - Αν μια πολυωνυμική εξίσωση δεν έχει σταθερό όρο ( σταθερός ορός = μηδέν), τότε λύνεται βγάζοντας το κοινό παράγοντα, + 6= ( + 6) = = ή + 6=... - Όταν δίνεται πολυωνυμική εξίσωση να λυθεί πρώτα ελέγχουμε αν λύνεται με ομαδοποίηση και μετά ψάχνουμε πιθανές ακέραιες ρίζες για να λυθεί με Horner, γιατί ενδέχεται να μην έχει ακέραιες ρίζες, ούτε καν ρητές = + 4 = + 4 =... ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) + 1 = + + = + =... Η ουσία του κεφαλαίου Το Θεώρημα Ακέραιων Ριζών χρειάζεται για να μην ψάχνουμε στα τυφλά ρίζες. Το Σχήμα Horner χρειάζεται για να παραγοντοποιήσουμε ένα πολυώνυμο με γνωστή ρίζα. Και γιατί να παραγοντοποιούμε ένα πολυώνυμο; Για να βρίσκουμε ρίζες του και πρόσημο του. Με άλλα λόγια, για να λύνουμε πολυωνυμικές εξισώσεις κι ανισώσεις. Έννοιες για συναρτήσεις και γραφικές παραστάσεις αυτών Έστω συναρτήσεις f(), g() με γραφικές παραστάσεις C f, C g αντίστοιχα - Η C f διέρχεται από το σημείο(α,β) ( αβ, ) C f f ( α) = β - Η C f δεν διέρχεται από το σημείο (α,β) ( αβ, ) C f f ( α) β - Η C f έχει άξονα συμμετρίας τον y y f άρτια A A f( ) = f( ) - Η C f έχει κέντρο συμμετρίας την αρχή των αξόνων f περιττή A A f( ) = f( ) - Η C f τέμνει τον άξονα y y (=)στο σημείο (, f ( ) ) Αν το δεν ανήκει στο πεδίο ορισμού της f(), τότε η C f δεν τέμνει τον άξονα y y. - Η C f τέμνει τον άξονα (y = ) στα σημεία για τα οποία f ( ) = Αν η παραπάνω εξίσωση είναι αδύνατη, τότε η C f δεν τέμνει τον άξονα. - Η C f βρίσκεται ψηλότερα από τον άξονα f ( ) > - Η C f βρίσκεται χαμηλότερα από τον άξονα f ( ) < - Η C f τέμνει την C g στα σημεία για τα οποία f ( ) = g( ) Αν η παραπάνω εξίσωση είναι αδύνατη, τότε η C f δεν τέμνει την C g. - Η C f βρίσκεται ψηλότερα από την C g f ( ) > g( ) - Η C f βρίσκεται χαμηλότερα από την C g f ( ) > g( ) parmenides1 1

11 Πολυωνυμική ανίσωση (χρησιμοποιώντας Horner) 8. Να λυθεί Πιθανές ακέραιες ρίζες: ± 1, ±, ±, ± = Πιθανές ακέραιες ρίζες: ± 1, ±, ±, ± ( )( ) = = = ή= + 6= ( )( ) + 6= + + = + + = ή= = αδυνατη γιατι ( )( ) ( )( )( ) = = γινόμενο Άρα [ 1, ] 9. Να λυθεί 1 Κλασματική ανίσωση ( 1) ( 1) ( ) ( 1) 6 ( 1) 6 ( 1) ( 1) 6 ( 1) ( 1) 6 ( 1) parmenides1 11

12 ( + )6 ( 1) = =± η = η = γινόμενο ( 1) Άρα, ) (,1), + ) Εκφράσεις σχετικές με τις γραφικές παραστάσεις συναρτήσεων Δίνονται οι συναρτήσεις f ( ) = 6 και ( ) g = + λ με λ R. α) Αν η γραφική παράσταση της g() διέρχεται από το σημείο (1,), να εξετάσετε αν διέρχεται από το σημείο (-1,) β) Για λ = 1, να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράσταση της g() με τον άξονα γ) Για ποιες τιμές του η γραφικής παράσταση της f() με τον άξονα, δεν ξεπέρνα τον άξονα ; δ) Για λ = 7, να βρείτε τα σημεία τομής των γραφικών παραστάσεων f() και g() α) ( ) C g( ) 1, 1 = g ( ) 4 g = λ 1= λ = 1 λ = 1 λ = λ = 1+ λ = 1 λ = 1 4 Για λ = - 1: g( ) = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) g 1 = = = 1, Cg 4 β) Για λ = 1: g( ) = + ( ) g = + = 4 ( ) ( 1) 4 + = + + 1= parmenides1 1

13 ( )( ) + 1= = + + = ή= 1 1 =, = 1 ( ) ( )( ) 4 ή + = + 1 = = = =± 1 Τα σημεία τομής με τον άξονα είναι τα (, ),( 1, ),( 1,). =ω 6 ω ω 6 ω ω + 4 γ) f ( ) ( )( ) ( )( ) ω= + ( )( ) + = = ή = =± αδυνατη γιατι γινόμενο Άρα, g = + 7 δ) Για λ = 7: ( ) 4 4 f ( ) = g( ) 4 6 = = + + = ( )( ) + + = + = = ή= 1 =, = ( 1) = 6 4 ( ) ( ) ( ) ( ) C C είναι τα ( 1, f ( 1) ) ( 1, 6 ), (, f ( ) ) (, 6 ), (, f ( ) ) (, 66) f = = 1 f = = = = f = = = = Τα σημεία τομής των, = = =. f g parmenides1 1

14 ασκήσεις στα τρία πρώτα μέρη 1.Αν P( ) = + +, να λυθεί η εξίσωση P( ) P( ) * 1 = 1. Αν f ( ) = +, να λυθεί η εξίσωση f ( f ( a) ) = a f ( 1). Αν Q( 1) = +, να βρεθεί το πολυώνυμο Q( ) 4. Αν το P( ) είναι σταθερό πολυώνυμο και P ( ) = 7, να βρείτε την τιμή του ( ). Αν το P( ) έχει ρίζα το να δείξετε ότι το Q( ) P( 7) = έχει ρίζα το [ ± ] [ 4] [ + 8 ] P για = 6. Αν το (-) διαιρεί το P( ), να δείξετε ότι το (-4) είναι παράγοντας του Q( ) = P( ) Να αποδείξετε ότι το ( ) ( ) ( ) P = διαιρείται με το (+) 8. Αν το πολυώνυμο ( ) P = 9 + α + α α + α+ α δίνει υπόλοιπο 9 όταν διαιρεθεί με το (-1), να βρείτε τον πραγματικό αριθμό α P = να βρείτε τον σταθερό του όρο και το άθροισμα των συντελεστών του.τι βαθμού είναι; 9. Αν το ( ) ( ) 1 1. Αν για το πολυώνυμο ( ) P ισχύει ( ) ( ) [7] [1] [,1, 49] P = P 4, R, να βρείτε το σταθερό ορό και το άθροισμα των συντελεστών του [4, 4] ** f = α β+ γ και g( ) = + δ , να βρείτε τις τιμές των α,β,γ,δ R, για τις οποίες το πολυώνυμο f ( ) + g( ) είναι : (i) βαθμού [ α 4] (ii) βαθμού [ α = 4και δ ] (iii) βαθμού 1 [ α = 4και δ = και β 6] (iv) μηδενικού βαθμού [ α = 4και δ = και β = 6και γ 1] (v) μηδενικό πολυώνυμο [ α = 4και δ = και β = 6και γ = 1] (vi) το πολύ δευτέρου βαθμού [ περιπτωσεις ( ii),( iii),( iv)] 11. Αν ( ) ( ) 1. (α) Να βρεθεί πολυώνυμο P( ) ώστε να ισχύει ( ) ( ) (β) Να βρεθεί πολυώνυμο Q( ) ώστε να ισχύει ( ) ( ). (γ) Να λυθεί η εξίσωση = 1 P = 6 + 1, R. Q + + = Q , R. +, +, 1 parmenides1 14

15 1. Το πολυώνυμο ( ) 4 P = α β να έχει ρίζες το -1 και το. (α) Να αποδείξετε ότι α = 8 και β = 4 (β) Να εξετάσετε αν η γραφική παράσταση του P( ) διέρχεται από το σημείο (,4) (γ) Να βρείτε τις άλλες ακέραιες ρίζες του P( ) 4 (δ) Να βρείτε τα σημεία τομής των γραφικών παραστάσεων των ( ) και ( ) g = f = ( ) ( ) ( ) ( ) οχι,, 4, 1, 4,, 1,, 4, 4, Το πολυώνυμο P( ) α β ( α ) β 1 (α) Να αποδείξετε ότι α = και β = (β) Να βρείτε τα σημεία τομής με τον άξονα της γραφικής παράστασης του P( ) = διαιρείται από το πολυώνυμο 4. + (, ),(, ),,,, Το πολυώνυμο P( ) = + α + β 1 διαιρείται ακριβώς από το πολυώνυμο (α) Να αποδείξετε ότι α = και β = (β) Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση του P( ) βρίσκεται χαμηλότερα από τον άξονα (γ) Να βρείτε τα σημεία τομής των γραφικών παραστάσεων των ( ) g( ) = Το πολυώνυμο ( ) 4 f = και 1 1,, ( 1, 6 ),, 17 P = + α + + β+ α + 1 έχει παράγοντα το πολυώνυμο +. (α) Να αποδείξετε ότι α = και β = (β) Να βρείτε τις τιμές του για τις οποίες η γραφική παράσταση του P( ) βρίσκεται ψηλότερα από τον άξονα 4 (γ) Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της ( ) 4 R ψηλότερα από την γραφική παράσταση της ( ) 17. Το πολυώνυμο ( ) 4 f = βρίσκεται για κάθε g = R P = + + α β+ γ έχει παράγοντα το πολυώνυμο (α) Να αποδείξετε ότι α = 1, β = και γ = 1 [ ] (β) Να βρείτε τα σημεία τομής με τον άξονα της γραφικής παράστασης του πηλίκου π ( ) της διαίρεσης P( ) :( + + 1) 1 ( 1, ),, parmenides1 1

16 18. Το πολυώνυμο ( ) P = + α+ β διαιρούμενο με το (α) Να αποδείξετε ότι α = και β = (β) Να βρείτε το πηλίκο π() της διαίρεσης P( ) :( 4) 4 δίνει υπόλοιπο 4 1 (γ) Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση του π() διέρχεται από το σημείο (,9) Το πολυώνυμο P( ) = α β + + γ έχει παράγοντα το πολυώνυμο ( 1) (α) Να αποδείξετε ότι α = 1, β = και γ = (β) Να αποδείξετε ότι P( ) > (, 1) ( 1, + ) (γ) Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της ( ) 4 βρίσκεται ψηλότερα από την γραφική παράσταση της ( ) 4. (α) Να βρεθεί πολυώνυμο P( ) το οποίο όταν διαιρεθεί με το υπόλοιπο [ + 1] f = g = (, 1) ( 1, ) δίνει πηλίκο + 1 και (β) Να βρείτε το πήλικο της διαίρεσης του P( ) :( + 1) (γ) Να βρείτε τα διαστήματα για τα οποία η γραφική παράσταση του P( ) βρίσκεται ψηλότερα από την ευθεια y = 4+ *** 1. Πολυώνυμο P( ) όταν διαιρεθεί με ( 1)( )( ) , + +,, δίνει υπόλοιπο Τι υπόλοιπο δίνει όταν διαιρεθεί με + 1, με και με + αντίστοιχα σε κάθε περίπτωση;. Για το πολυώνυμο P( ) ισχύει ότι ( ) ( ) ( ) ( ) (α) Να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης του P( ) με τα (-1) και (-) (β) Να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης του P( ) με το Q( ) + 1 P + 1 P + = 4+ 6, R = +. Να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης ( ) [7, 1,1] [, 1, ] P = δια του ( ) [ + ] 4 4. Να βρεθούν οι ακέραιοι α, β ώστε η εξίσωση α + + β + = να έχει το μεγαλύτερο δυνατό πλήθος ακέραιων ριζών. Στην περίπτωση αυτή να αποδείξετε ότι έχει κι άρρητες ρίζες. **** α =, β =, =±. Να αποδείξετε ότι τα πολυώνυμα P( ) = + 1 και Q( ) ρίζα. = + + δεν έχουν κοινή parmenides1 16

17 συνοπτικά για εξισώσεις κι ανισώσεις πρόσημο πρωτοβάθμιου - β + α α+β Ε Ο Ο = ομόσημο του α Ε = ετερόσημο του α πρόσημο τριωνύμου - ρ 1 ρ + Δ> Ο Ε Ο - ρ + Δ= Ο Ο - + Δ< Ο περίεργα + ν ν + + πρόσημο γινομένου - πηλίκου (ρίζες των Α,Β) Α... Β... πολλαπλασιάζω τα πρόσημα γινόμενο (Α Β) των ΑΒ, Α Β (πηλίκο) αντιγράφω την παραπάνω γραμμή βάζοντας περιορισμούς του Β κλασματικές εξισώσεις περιορισμοί απαλοιφή παρανομαστών, παραγοντοποίηση, γινόμενο παραγόντων =, κάθε παράγοντας = κλασματικές ανισώσεις όλα στο α μέλος, ομώνυμα, πρόσημο πηλίκου ( = πρόσημο γινομένου με περιορισμούς παρονομαστή) εξισώσεις γενικά παραγοντοποίηση, κάθε παράγοντας = ανισώσεις γενικά παραγοντοποίηση, πρόσημο γινομένου parmenides1 17

Πολυωνυμική εξίσωση βαθμού ν ονομάζεται κάθε εξίσωση της μορφής α ν x ν +α ν-1 x ν α 1 x+α 0 =0,με α 0,α 1,...

Πολυωνυμική εξίσωση βαθμού ν ονομάζεται κάθε εξίσωση της μορφής α ν x ν +α ν-1 x ν α 1 x+α 0 =0,με α 0,α 1,... 3 0 ΛΥΚΕΙΟ ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ Λ. ΒΟΥΛΓΑΡΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΟΥ ΑΝΑΓΟΝΤΑΙ ΣΕ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ Πολυωνυμική εξίσωση βαθμού ν ονομάζεται κάθε εξίσωση της μορφής α ν x ν +α ν-1 x ν-1 +...+α

Διαβάστε περισσότερα

7. Αν υψώσουμε και τα δύο μέλη μιας εξίσωσης στον κύβο (και γενικά σε οποιαδήποτε περιττή δύναμη), τότε προκύπτει

7. Αν υψώσουμε και τα δύο μέλη μιας εξίσωσης στον κύβο (και γενικά σε οποιαδήποτε περιττή δύναμη), τότε προκύπτει 8 7y = 4 y + y ( 8 7y) = ( 4 y + y) ( y) + 4 y y 4 y = 4 y y 8 7y = 4 y + ( 4 y) = ( 4 y y) ( 4 y) = 4( 4 y)( y) ( 4 y) 4( 4 y)( y) = 0 ( 4 y) [ 4 y 4( y) ] = 4 ( 4 y)( y + 4) = 0 y = ή y = 4) 0 4 H y

Διαβάστε περισσότερα

4. Να βρείτε τον βαθμό των πολυωνύμων ως προς χ, ως προς ψ και ως προς χ και ψ μαζί

4. Να βρείτε τον βαθμό των πολυωνύμων ως προς χ, ως προς ψ και ως προς χ και ψ μαζί 1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να εκτελέσετε τις προσθέσεις, όπου αυτό είναι δυνατόν α) χ 3 +5ψ 3 β) χ 3 +6χ 3 γ) 4χ 5 ω-7ωχ 5 δ) 3χ 5 +4χ ε) χ 4 +3χ 4 ζ) χ -χ η) χ +χ θ) χ +χ ι) χ+χ 3 κ) χ -χ λ) 3χ 4-4χ 4 μ) 3χ-3χ 3.

Διαβάστε περισσότερα

Πολυώνυµα - Πολυωνυµικές εξισώσεις

Πολυώνυµα - Πολυωνυµικές εξισώσεις 4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Πολυώνυµα - Πολυωνυµικές εξισώσεις Ορισµός πολυωνύµου Ονοµάζoυµε ΠΟΛΥΩΝΥΜΟ του κάθε παράσταση της µορφής α ν ν +α ν- ν- + +α +α 0, ν ΙΝ και α 0, α,, α ν-, α ν ΙR. Παρατηρήσεις α. Τα α ν ν, α

Διαβάστε περισσότερα

3.1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ

3.1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΑΠΛΗ ΜΟΡΦΗ Κάθε εξίσωση που έχει ή μπορεί να πάρει τη μορφή : α+β=0 ή α=-β () λέγεται εξίσωση ου βαθμού (ή πρωτοβάθμια εξίσωση), με άγνωστο το, ενώ

Διαβάστε περισσότερα

( ) Άρα το 1 είναι ρίζα του P, οπότε το x 1 είναι παράγοντάς του. Το πηλίκο της διαίρεσης ( x 3x + 5x 3) : ( x 1) είναι:

( ) Άρα το 1 είναι ρίζα του P, οπότε το x 1 είναι παράγοντάς του. Το πηλίκο της διαίρεσης ( x 3x + 5x 3) : ( x 1) είναι: ( x) Άρα το είναι ρίζα του P, οπότε το x είναι παράγοντάς του 4 Το πηλίκο της διαίρεσης ( x 3x + 5x 3) : ( x ) είναι: 3 π ( x) = x + x x + 3 Η ταυτότητα της προηγούμενης διαίρεσης είναι: 4 3 x 3x + 5x

Διαβάστε περισσότερα

4.1 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1 ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ

4.1 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1 ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 4.1 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1 ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 1 : ΑΠΛΗ ΜΟΡΦΗ Για να λύσω μια ανίσωση της μορφής : 0 ή 0 1 ος τρόπος : Λειτουργώ όπως και στις εξισώσεις πρώτου βαθμού, δηλαδή χωρίζω γνωστούς από αγνώστους, και

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. lim( x 3 1) 0. = δηλαδή το όριο είναι της. . Θα προσπαθήσουμε να βγάλουμε κοινό παράγοντα από αριθμητή και ( ) ( )( )

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. lim( x 3 1) 0. = δηλαδή το όριο είναι της. . Θα προσπαθήσουμε να βγάλουμε κοινό παράγοντα από αριθμητή και ( ) ( )( ) ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΕΝΝΟΙΑ ΟΡΙΟΥ ΣΤΟ R - ΠΛΕΥΡΙΚΑ ΟΡΙΑ ΣΤΟ R - ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ ΟΡΙΣΜΟΥ ΟΡΙΟΥ ΣΤΟ R - ΟΡΙΟ ΚΑΙ ΔΙΑΤΑΞΗ - ΟΡΙΑ ΚΑΙ ΠΡΑΞΕΙΣ [Κεφ 4: Όριο Συνάρτησης

Διαβάστε περισσότερα

Πολυωνυμικές εξισώσεις και ανισώσεις Εξισώσεις και ανισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυμικές

Πολυωνυμικές εξισώσεις και ανισώσεις Εξισώσεις και ανισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυμικές 0 Πολυωνυμικές εξισώσεις και ανισώσεις Εξισώσεις και ανισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυμικές Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Για να λύσουμε μια πολυωνυμική εξίσωση P(x) 0 (ή μια πολυωνυμική ανίσωση P(x)

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο : Εξισώσεις - Ανισώσεις 1 1.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΟΡΙΣΜΟΙ Μεταβλητή

Διαβάστε περισσότερα

2.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ

2.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ Ρητός ονομάζεται κάθε αριθμός που έχει ή μπορεί να πάρει τη μορφή κλάσματος, όπου, είναι ακέραιοι με 0. Ρητοί αριθμοί : Q /, 0. Έτσι π.χ.

Διαβάστε περισσότερα

1.2 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού

1.2 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού 1.2 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού Διδακτικοί Στόχοι: Θα μάθουμε: Να κατανοούμε την έννοια της εξίσωσης και τη σχετική ορολογία. Να επιλύουμε εξισώσεις πρώτου βαθμού με έναν άγνωστο. Να διακρίνουμε πότε μια εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

Ιγνάτιος Ιωαννίδης Χρήσιμες Γνώσεις 5

Ιγνάτιος Ιωαννίδης Χρήσιμες Γνώσεις 5 Ιγνάτιος Ιωαννίδης Χρήσιμες Γνώσεις 5 Α Σύνολα αριθμών Για τα σύνολα των αριθμών γνωρίζουμε ότι N Z Q R. ) Το N= { 0,,,,... } είναι το σύνολο των φυσικών αριθμών. ) Το Z = { 0, ±, ±, ±,... } είναι το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα;

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα; ΘΕΩΡΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 1. Τι ονοµάζουµε µονώνυµο Μονώνυµο ονοµάζεται κάθε γινόµενο το οποίο αποτελείται από γνωστούς και αγνώστους (µεταβλητές ) πραγµατικούς αριθµούς. Ο γνωστός πραγµατικός αριθµός ονοµάζεται

Διαβάστε περισσότερα

Ανισώσεις Α Βαθμού -Εφαρμογές στις Ανισώσεις

Ανισώσεις Α Βαθμού -Εφαρμογές στις Ανισώσεις 1 Ανισώσεις Α Βαθμού -Εφαρμογές στις Ανισώσεις Ανίσωση με έναν άγνωστο ονομάζουμε κάθε ανισότητα που περιέχει μια μεταβλητή και η οποία αληθεύει για ορισμένες τιμές της μεταβλητής. Πχ: Οι x + > 7, 2(y

Διαβάστε περισσότερα

4.4 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ & ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΠΟΥ ΑΝΑΓΟΝΤΑΙ ΣΕ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ

4.4 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ & ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΠΟΥ ΑΝΑΓΟΝΤΑΙ ΣΕ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ 4.4 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ & ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΠΟΥ ΑΝΑΓΟΝΤΑΙ ΣΕ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Για να λύσω μια κλασματική εξίσωση, δηλ. μια εξίσωση που έχει άγνωστο στον παρανομαστή, Βήμα : παραγοντοποιώ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ. Λυμένα Παραδείγματα

ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ. Λυμένα Παραδείγματα ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ Λυμένα Παραδείγματα. Να βρεθούν οι τιμές του λ R για τις οποίες το πολυώνυμο Ρ () = (4λ -9) +(λ -λ-) +λ- είναι το μηδενικό. Το Ρ () θα είναι το μηδενικό πολυώνυμο, για εκείνες τις τιμές του λ

Διαβάστε περισσότερα

7.Αριθμητική παράσταση καλείται σειρά αριθμών που συνδέονται με πράξεις μεταξύ τους. Το αποτέλεσμα της αριθμητικής παράστασης ονομάζεται τιμή της.

7.Αριθμητική παράσταση καλείται σειρά αριθμών που συνδέονται με πράξεις μεταξύ τους. Το αποτέλεσμα της αριθμητικής παράστασης ονομάζεται τιμή της. ΟΙ ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Α.1.2 1. Οι ιδιότητες της πρόσθεσης των φυσικών αριθμών είναι οι εξής : Αντιμεταθετική ιδιότητα π.χ. α+β=β+α Προσετεριστική ιδιότητα π.χ. α+β+γ=(α+β)+γ=α+(β+γ) 2.Η πραξη της αφαίρεσης

Διαβάστε περισσότερα

3 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης

3 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης η δεκάδα θεµάτων επανάληψης. Για ποιες τιµές του, αν υπάρχουν, ισχύει κάθε µία από τις ισότητες α. log = log( ) β. log = log γ. log 4 log = Να λυθεί η εξίσωση 4 log ( ) + = 0 6 α) Θα πρέπει > 0 και > 0,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο ο Αλγεβρικές Παραστάσεις ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) ) Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη

Διαβάστε περισσότερα

1ο Κεφάλαιο: Συστήματα

1ο Κεφάλαιο: Συστήματα ο Κεφάλαιο: Συστήματα Γραμμικά συστήματα i. Ποια εξίσωση λέγεται γραμμική; ii. Πως μεταβάλλεται η ευθεία y, 0 ή 0 για τις διάφορες τιμές των α,β,γ; iii. Τι ονομάζεται λύση μιας γραμμικής εξίσωσης; iv.

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8 ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Α λ γ ε β ρ ι κ έ ς π α ρ α σ τ ά σ ε ι ς 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις συμπληρώσεις) A. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Διδακτικοί στόχοι Θυμάμαι ποιοι αριθμοί λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: α) ρητοί β) άρρητοι γ) πραγματικοί;

Διαβάστε περισσότερα

4.1. Πολυώνυμα. Η έννοια του πολυωνύμου

4.1. Πολυώνυμα. Η έννοια του πολυωνύμου 4.1 Πολυώνυμα Η έννοια του πολυωνύμου ΟΡΙΣΜΟΙ 1. Μονώνυμο του x ονομάζουμε κάθε παράσταση της μορφής αx ν, όπου α R, ν N (σταθερές) και x R (μεταβλητή). 2. Πολυώνυμο του x ονομάζουμε κάθε παράσταση της

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΒΑΣΙΛΗΣ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΒΑΣΙΛΗΣ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΒΑΣΙΛΗΣ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ Οι Πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι είναι οι πραγματικοί αριθμοί ; Ποιοι είναι οι

Διαβάστε περισσότερα

Πολυώνυμα. Πολυωνυμικές εξισώσεις. Athens Επιμέλεια: Χατζόπουλος Μάκης. 14/2/2012

Πολυώνυμα. Πολυωνυμικές εξισώσεις. Athens Επιμέλεια: Χατζόπουλος Μάκης.  14/2/2012 Πολυώνυμα Πολυωνυμικές εξισώσεις Άλγεβρα 01 Β Λυκείου Athens 01 13 14//01 1. Περί πολυωνύμων (Α) Πολυώνυμα P x a x a x... a x a v v 1 Πολυώνυμο ονομάζουμε κάθε παράσταση της μορφής: όπου a v, a v-1,,a

Διαβάστε περισσότερα

Περιορισμοί στο R. ln x,log. Β= ln Α Β Α Β Α. Σύνοψη γραφικών παραστάσεων

Περιορισμοί στο R. ln x,log. Β= ln Α Β Α Β Α. Σύνοψη γραφικών παραστάσεων στο R Πεδίο ορισμού συνάρτησης είναι η συναλήθευση των περιορισμών της συνάρτησης στο R, αν δεν έχει περιορισμούς λέμε ότι έχει πεδίο ορισμού το R. Όταν έχω πρέπει ν Α, Α Α Α Β Β ln Α, log Α Α> ln Β logα

Διαβάστε περισσότερα

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση:

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση: Κατηγορία η Θεώρημα Βolzano Τρόπος αντιμετώπισης:. Όταν μας ζητούν να εξετάσουμε αν ισχύει το θεώρημα Bolzano για μια συνάρτηση f σε ένα διάστημα [, ] τότε: Εξετάζουμε την συνέχεια της f στο [, ] (αν η

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου. Άλγεβρα...

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου. Άλγεβρα... Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Άλγεβρα 1.1 Β: Δυνάμεις πραγματικών αριθμών. 1. Πως ορίζεται η δύναμη ενός πραγματικού αριθμού ; Η δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα

Διαβάστε περισσότερα

4.1. Πολυώνυμα. Η έννοια του πολυωνύμου

4.1. Πολυώνυμα. Η έννοια του πολυωνύμου 4.1 Πολυώνυμα Η έννοια του πολυωνύμου ΟΡΙΣΜΟΙ 1. Μονώνυμο του x ονομάζουμε κάθε παράσταση της μορφής αx ν, όπου α R, ν N (σταθερές) και x R (μεταβλητή).. Πολυώνυμο του x ονομάζουμε κάθε παράσταση της μορφής:

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Άλγεβρας Β Λυκείου. Θέματα. A. Να διατυπώσετε τον ορισμό μιας γνησίως αύξουσας συνάρτησης. (5 μονάδες)

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Άλγεβρας Β Λυκείου. Θέματα. A. Να διατυπώσετε τον ορισμό μιας γνησίως αύξουσας συνάρτησης. (5 μονάδες) Θέμα 1 Θέματα A. Να διατυπώσετε τον ορισμό μιας γνησίως αύξουσας συνάρτησης. (5 μονάδες) B. Να χαρακτηρίσετε ως σωστή (Σ) ή λάθος (Λ) τις παρακάτω προτάσεις: i) Ο βαθμός του υπολοίπου της διαίρεσης P(x)

Διαβάστε περισσότερα

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΑ ΑΠΟ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Ομόσημοι Ετερόσημοι αριθμοί Αντίθετοι Αντίστροφοι αριθμοί Πρόσθεση ομόσημων και ετερόσημων ρητών αριθμών Απαλοιφή παρενθέσεων Πολλαπλασιασμός και Διαίρεση ρητών αριθμών

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ) Copyright 2015 Αποστόλου Γιώργος Αποστόλου Γεώργιος apgeorge2004@yahoocom Αδεια χρήσης 3η Εκδοση, Ιωάννινα, Σεπτέµβριος 2015 Περιεχόµενα 1 ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

2.2 ιαίρεση Πολυωνύμων

2.2 ιαίρεση Πολυωνύμων ιαίρεση Πολυωνύμων Ταυτότητα διαίρεσης Όπως στους ακέραιους αριθμούς, έτσι και στα πολυώνυμα ισχύει η ταυτότητα της διαίρεσης Πιο συγκεκριμένα ισχύει ότι: Για κάθε ζεύγος πολυωνύμων Δ ( ) και δ ( ), με

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 1. Τι καλούμε μονώνυμο, τι πολυώνυμο, τι όροι,τι συντελεστές

Διαβάστε περισσότερα

αριθμούς Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία iii) φυσικοί; ii) ακέραιοι; iii) ρητοί;

αριθμούς Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία iii) φυσικοί; ii) ακέραιοι; iii) ρητοί; Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία Ρητοί και άρρητοι αριθμοί. α) Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: iii) φυσικοί; ii) ακέραιοι; iii) ρητοί; iv) άρρητοι; v) πραγματικοί; β) Να βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

3. Να δειχτει οτι α α. Ποτε ισχυει το ισον; 2. Aν α, β θετικοι, να συγκρινεται τους αριθμους Α = βα + β, Β = α β + αβ

3. Να δειχτει οτι α α. Ποτε ισχυει το ισον; 2. Aν α, β θετικοι, να συγκρινεται τους αριθμους Α = βα + β, Β = α β + αβ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1 Α ν ι σ ω σ η 1 ο υ β α θ μ ο υ 3. Να δειχτει οτι α + 110 0α. Ποτε ισχυει το ισον; Μορφη: αx + β > 0 με α,β. Aν α, β θετικοι, να συγκρινεται τους αριθμους Α = βα + β, Β = α β + αβ Αν α > 0

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο. Πίνακας διερεύνησης της εξίσωσης Εξίσωση: αx 2 +βx+γ=0 (α 0) (Ε) Έχει ΥΟ ρίζες άνισες που δίνονται από τους τύπους x 1,2 =

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο. Πίνακας διερεύνησης της εξίσωσης Εξίσωση: αx 2 +βx+γ=0 (α 0) (Ε) Έχει ΥΟ ρίζες άνισες που δίνονται από τους τύπους x 1,2 = ΕΞΙΩΕΙ-ΑΝΙΩΕΙ ου ΒΑΘΜΟΥ - 38 - ΚΕΦΑΑΙΟ 4 ΚΕΦΑΑΙΟ 4 ο Εξισώσεις - Ανισώσεις β βαθµού 5.1. Μορφή και διερεύνηση της εξίσωσης β βαθµού Άθροισµα και γινόµενο των ριζών της Κάθε εξίσωση β βαθµού πριν τη λύσουµε,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 0 ΘΕΩΡΙΑ ΜΕΘΟΔΟΙ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Βαγγέλης Α Νικολακάκης Μαθηματικός . ΠΡΑΞΕΙΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΒΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ. ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΟΜΟΣΗΜΩΝ- ΕΤΕΡΟΣΗΜΩΝ Σε ομόσημους κάνω πρόσθεση και βάζω το κοινό

Διαβάστε περισσότερα

Παραγοντοποίηση. Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd

Παραγοντοποίηση. Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd 0 Παραγοντοποίηση Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd 0 1 Ενότητα 4 η Ταυτότητες Παραγοντοποίηση Σκοπός Ο σκοπός της 4 η ενότητας είναι να αποκτήσουν την ικανότητα

Διαβάστε περισσότερα

ΤΑΞΗ Α - ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ (ΓΙΑ ΤΗΝ ΤΕΛΙΚΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ)

ΤΑΞΗ Α - ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ (ΓΙΑ ΤΗΝ ΤΕΛΙΚΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ) ΤΑΞΗ Α - ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ (ΓΙΑ ΤΗΝ ΤΕΛΙΚΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ) Α ΜΕΡΟΣ- ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΡΩΤΗΣΗ 1 Ποιοι αριθμοί ονομάζονται πρώτοι και ποιοι σύνθετοι; Να δώσετε παραδείγματα. ΑΠΑΝΤΗΣΗ 1 Όταν ένας αριθμός διαιρείται

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 43598 ΠΊΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΈΝΩΝ 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ... 5 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ...

Διαβάστε περισσότερα

2ο video (επίλυση ανίσωσης 1 ου βαθμού)

2ο video (επίλυση ανίσωσης 1 ου βαθμού) 2ο video (επίλυση ανίσωσης 1 ου βαθμού) 1 Γεια σας και πάλι! Συγχαρητήρια για την επιτυχία σας στην πρώτη ενότητα! 2 Σε αυτό το video θα θυμηθούμε τη διαδικασία επίλυσης πρωτοβάθμιας ανίσωσης, δηλαδή όλα

Διαβάστε περισσότερα

( 2) 1 0,. Αν ρ 1, ρ 2 οι ρίζες της (ε) και

( 2) 1 0,. Αν ρ 1, ρ 2 οι ρίζες της (ε) και ΘΕΜΑ ο Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο : f( ) α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της. β. Να βρείτε τα σημεία τομής της με τους άξονες αν υπάρχουν. γ. Αν α, β ρίζες της εξίσωσης: ΘΕΜΑ ο f ( ), να δείξετε ότι αβ+=0.

Διαβάστε περισσότερα

Η Θεωρία που πρέπει να θυμάσαι!!!... b a

Η Θεωρία που πρέπει να θυμάσαι!!!... b a Κεφ. εξισώσεις ανισώσεις εξάσκησηεπανάληψη Τhe Ds that make a champion: Devotion, Desire, Discipline Η Θεωρία που πρέπει να θυμάσαι!!!... Μορφές Εξισώσεων Λύση ή ρίζα εξίσωσης Εξίσωση ου βαθμού ax + b

Διαβάστε περισσότερα

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ 1 Συναρτήσεις Όταν αναφερόμαστε σε μια συνάρτηση, ουσιαστικά αναφερόμαστε σε μια σχέση ή εξάρτηση. Στα μαθηματικά που θα μας απασχολήσουν, με απλά λόγια, η σχέση

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ & ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ & ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ & ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ . ΣΥΝΟΛΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τα σύνολα των αριθμών είναι τα εξής : i. Φυσικοί αριθμοί : 0,,,,......,,,,0,,,,...

Διαβάστε περισσότερα

εξισώσεις-ανισώσεις Μαθηματικά α λυκείου Φροντιστήρια Μ.Ε. ΠΑΙΔΕΙΑ σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες

εξισώσεις-ανισώσεις Μαθηματικά α λυκείου Φροντιστήρια Μ.Ε. ΠΑΙΔΕΙΑ σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες Με τον διεθνή όρο φράκταλ (fractal, ελλ. μορφόκλασμα ή μορφοκλασματικό σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες ονομάζεται ένα γεωμετρικό σχήμα που επαναλαμβάνεται αυτούσιο σε άπειρο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφ. 1 - Συστήματα 1

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφ. 1 - Συστήματα 1 ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφ. 1 - Συστήματα 1 1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Η εξίσωση α + βy = γ 1. Υπάρχουν προβλήματα που η επίλυση τους οδηγεί σε μια γραμμική εξίσωση με δύο αγνώστους, y και η οποία είναι της μορφής

Διαβάστε περισσότερα

Περιληπτικά, τα βήματα που ακολουθούμε γενικά είναι τα εξής:

Περιληπτικά, τα βήματα που ακολουθούμε γενικά είναι τα εξής: Αυτό που πρέπει να θυμόμαστε, για να μη στεναχωριόμαστε, είναι πως τόσο στις εξισώσεις, όσο και στις ανισώσεις 1ου βαθμού, που θέλουμε να λύσουμε, ακολουθούμε ακριβώς τα ίδια βήματα! Εκεί που πρεπει να

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Πράξεις με μονώνυμα και πολυώνυμα Ενότητα 2 η Πράξεις με μονώνυμα και πολυώνυμα Σκοπός Ο σκοπός της 2 ης

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Αριθμοί 1. ΑΡΙΘΜΟΙ Σύνολο Φυσικών αριθμών: Σύνολο Ακέραιων αριθμών: Σύνολο Ρητών αριθμών: ακέραιοι με Άρρητοι αριθμοί: είναι οι μη ρητοί π.χ. Το σύνολο Πραγματικών

Διαβάστε περισσότερα

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46 ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο................................................ 7 1. Το Λεξιλόγιο της Λογικής.............................................. 11. Σύνολα..............................................................

Διαβάστε περισσότερα

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση» Email : stvrentzou@gmail.com www.ma8eno.gr

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση» Email : stvrentzou@gmail.com www.ma8eno.gr 1 Πρόσημο τριωνύμου - λύση ανίσωσης ου βαθμού Έστω το τριώνυμο f(x) = x - 4x - 1. Θέλουμε να εξετάσουμε για ποιες τιμές της μεταβλητής x το τριώνυμο f(x) γίνεται θετικό, για ποιες τιμές του x γίνεται αρνητικό,

Διαβάστε περισσότερα

O1 ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΤΟΥ ΟΡΙΟΥ lim f x

O1 ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΤΟΥ ΟΡΙΟΥ lim f x O ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΤΟΥ ΟΡΙΟΥ lim f ) Εντοπίζω τα σημεία που συναντώνται οι δύο καμπύλες ) Η τεταγμένη y αυτού του σημείου είναι το όριο της f και η τετμημένη η θέση y lim f Πλευρικά όρια lim f λ lim

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

Κεφάλαιο 4 ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Κεφάλαιο 4 ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 4.1 πωλυωνυμα Η έννοια του πολυωνύμου Έστω x μια μεταβλητή που μπορεί να πάρει οποιαδήποτε πραγματική τιμή. Καλούμε μονώνυμο του x κάθε παράσταση της μορφής

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Οι πραγματικοί αριθμοί αποτελούνται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς, τους φυσικούς και τους ακέραιους αριθμούς. Δηλαδή είναι το μεγαλύτερο σύνολο αριθμών που μπορούμε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ Άσκηση 1 Δίνονται οι ανισώσεις: 3x και 2 x α) Να βρείτε τις λύσεις τους (Μονάδες 10) β) Να βρείτε το σύνολο των κοινών τους λύσεων (Μονάδες 15) α) Έχουμε 3x 2x x 2

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ (Α ΜΕΡΟΣ: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ) Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης, Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικά θέματα στα Μαθηματικά προσανατολισμού-ψηφιακό σχολείο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ

Επαναληπτικά θέματα στα Μαθηματικά προσανατολισμού-ψηφιακό σχολείο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο -ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Απο το Ψηφιακό Σχολείο του ΥΠΠΕΘ Επιμέλεια: Συντακτική Ομάδα mathpgr Συντονιστής:

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ 1. Τι καλείται μεταβλητή; ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ Μεταβλητή είναι ένα γράμμα (π.χ., y, t, ) που το χρησιμοποιούμε για να παραστήσουμε ένα οποιοδήποτε στοιχείο ενός συνόλου..

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου. Μεθοδική Επανάληψη

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου. Μεθοδική Επανάληψη Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Μεθοδική Επανάληψη Στέλιος Μιχαήλογλου www.askisopolis.gr Η επανάληψη των Μαθηματικών βήμα - βήμα Άλγεβρα Κεφάλαιο 1ο: Αλγεβρικές παραστάσεις 1.1. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΠΕΡΙΕΧΕΙ: ΤΥΠΟΥΣ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ. Τώρα τα κατάλαβα όλα...και τα θυµάµαι όλα!!!

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΠΕΡΙΕΧΕΙ: ΤΥΠΟΥΣ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ. Τώρα τα κατάλαβα όλα...και τα θυµάµαι όλα!!! ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΠΕΡΙΕΧΕΙ: ΘΕΩΡΙΑ ΤΥΠΟΥΣ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ Τώρα τα κατάλαβα όλα...και τα θυµάµαι όλα!!! ΛΑΖΑΡΙ Η ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ www.lzridi.info τηλ. 6977-85-58 1 ΛΑΖΑΡΙ Η ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ www.lzridi.info

Διαβάστε περισσότερα

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα Εύρεση δειγματικού χώρου... 46

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα Εύρεση δειγματικού χώρου... 46 ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο................................................ 7 1. Το Λεξιλόγιο της Λογικής.............................................. 11 2. Σύνολα..............................................................

Διαβάστε περισσότερα

- 1 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ

- 1 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ - ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ http://mathhmagic.blogspot.com - ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ν Μονώνυμο του χ ονομάζουμε κάθε αλγεβρική παράσταση της μορφής α χ με χ R και ν Ν. Πολυώνυμο του χ

Διαβάστε περισσότερα

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr VI Ολοκληρώματα Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ mth-grlogspotcom, ououlismyschgr ΜΕΡΟΣ Αρχική Συνάρτηση Ορισμός Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ Αρχική συνάρτηση ή παράγουσα της στο Δ

Διαβάστε περισσότερα

Α. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης 2. f(x) = α x 2 + β x + γ, α 0. f (x) x. Παράδειγμα. Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β Ε.Μ.Ε.

Α. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης 2. f(x) = α x 2 + β x + γ, α 0. f (x) x. Παράδειγμα. Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β Ε.Μ.Ε. Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β Ε.Μ.Ε. (τεύχος 55) Μαθηματικά για την Α τάξη του Λυκείου Το τριώνυμο f(x) = α x + β x + γ, α Κώστα Βακαλόπουλου, Νίκου Ταπεινού Α. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) αx βx γ,

Διαβάστε περισσότερα

1. Συµπλήρωσε τον πίνακα µε την κατάλληλη µαθηµατική έκφραση:

1. Συµπλήρωσε τον πίνακα µε την κατάλληλη µαθηµατική έκφραση: ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ Ερωτήσεις συµπλήρωσης 1. Συµπλήρωσε τον πίνακα µε την κατάλληλη µαθηµατική έκφραση: Φυσική γλώσσα Μαθηµατική γλώσσα ύο αριθµοί x, y διαφέρουν κατά και έχουν γινόµενο x (x

Διαβάστε περισσότερα

4.2 ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ

4.2 ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 4 ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΩΡΗΜΑ (ΤΑΥΤΟΤΗΤΑ ΤΗΣ ΔΙΑΙΡΕΣΗΣ) Για κάθε ζεύγος πολυωνύμων ( και ( με ( 0 υπάρχουν δυο μοναδικά πολυώνυμα ( και (, τέτοια ώστε : ( ( όπου το ( ή είναι το μηδενικό

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Κωνσταντίνος Παπασταματίου Μαθηματικά Γ Λυκείου Κατεύθυνσης Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Συνοπτική Θεωρία Μεθοδολογίες Λυμένα Παραδείγματα Επιμέλεια: Μαθηματικός Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 (με

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 8. Πότε το γινόμενο δύο ή περισσοτέρων αριθμών παραγόντων είναι ίσο με το μηδέν ;

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 8. Πότε το γινόμενο δύο ή περισσοτέρων αριθμών παραγόντων είναι ίσο με το μηδέν ; ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ( ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ) ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ : Το κεφάλαιο αυτό περιέχει πολλά θέματα που είναι επανάληψη εννοιών που διδάχθηκαν στο Γυμνάσιο γι αυτό σ αυτές δεν θα επεκταθώ αναλυτικά

Διαβάστε περισσότερα

Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα

Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα 8 Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα Α ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 1 Μια συνάρτηση f θα λέμε ότι είναι: i Συνεχής σε ένα ανοιχτό διάστημα (α,β) όταν είναι συνεχής σε κάθε σημείο του διαστήματος (α,β)

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Άλγεβρα 1.1 Β : Δυνάμεις πραγματικών αριθμών. 1. Πως ορίζεται η δύναμη ενός πραγματικού αριθμού ; Η δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις 2 ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΜΕΡΟΣ Α -- ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις Α. 1 1 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

lnx ln x ln l x 1. = (0,1) (1,7].

lnx ln x ln l x 1. = (0,1) (1,7]. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΕΝΝΟΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. IΣΟΤΗΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ - ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΣΥΝΘΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ [Ενότητα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Β. 0και 4 x 3 0.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Β. 0και 4 x 3 0. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΕΝΝΟΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. IΣΟΤΗΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ - ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΣΥΝΘΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ [Ενότητα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΛΥΤΗ ΤΙΜΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ- ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΑΠΟΛΥΤΗ ΤΙΜΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ- ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΠΟΛΥΤΗ ΤΙΜΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ- ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κατηγορίες ασκήσεων στα απόλυτα ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ : Εξισώσεις που περιέχουν απόλυτο μιας παράστασης και όχι παράταση του x έξω από το απόλυτο. α) Λύνουμε ως προς το απόλυτο

Διαβάστε περισσότερα

τριώνυμο Η εξίσωση δευτέρου βαθμού στην πλήρη της μορφή ονομάζεται τριώνυμο, γιατί αποτελείται από τρία μονώνυμα. Η γενική μορφή της είναι:

τριώνυμο Η εξίσωση δευτέρου βαθμού στην πλήρη της μορφή ονομάζεται τριώνυμο, γιατί αποτελείται από τρία μονώνυμα. Η γενική μορφή της είναι: κεφάλαιο 4 Α τριώνυμο επίλυση της εξίσωσης δευτέρου βαθμού Η εξίσωση δευτέρου βαθμού στην πλήρη της μορφή ονομάζεται τριώνυμο, γιατί αποτελείται από τρία μονώνυμα. Η γενική μορφή της είναι: αx + βx + γ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 2014 Θ ΕΩΡΙA 10

ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 2014 Θ ΕΩΡΙA 10 ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 04 Θ ΕΩΡΙA 0 ΘΕΜΑ A Α Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στην κόλλα σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Ενότητα Μονοτονία Συνάρτησης του κεφ.2.6 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου].

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Ενότητα Μονοτονία Συνάρτησης του κεφ.2.6 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Ενότητα Μονοτονία Συνάρτησης του κεφ..6 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα 1. ΘΕΜΑ Β Να μελετηθούν ως προς την μονοτονία

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις Δευτέρου Βαθμού

ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις Δευτέρου Βαθμού ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις Δευτέρου Βαθμού 97 98 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ 1. Να λυθεί η εξίσωση: 1 1 1 ( x+ )(x ) = x 3 3 9. Αν η εξίσωση (x - 3) λ + 3 = λ x έχει ρίζα τον αριθμό, να υπολογιστεί

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικα Γ Γυμνασιου

Μαθηματικα Γ Γυμνασιου Μαθηματικα Γ Γυμνασιου Θεωρια και παραδειγματα livemath.eu σελ. απο 9 Περιεχομενα Α ΜΕΡΟΣ: ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 4 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Χ 4 ΜΟΝΩΝΥΜΑ & ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 5 ΜΟΝΩΝΥΜΑ 5 ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 5 ΡΙΖΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΟΥ 5 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2 ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΥΜΗΤΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ - Σελίδα 1 από 6 - 1. Η ΔΟΜΗ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Στις εξετάσεις του Μαίου-Ιουνίου µας δίνονται δύο θέµατα θεωρίας και

Διαβάστε περισσότερα

Σημειώσεις Πολυωνύμων Β Λυκείου

Σημειώσεις Πολυωνύμων Β Λυκείου Χατζημανώλης Νίκος Μαθηματικός, M. Ed. Διδακτικής και Μεθοδολογίας των Μαθηματικών Σημειώσεις Πολυωνύμων Β Λυκείου ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ 015 (Α ΕΚΔΟΣΗ) ΠΡΟΛΟΓΟΣ Με τις σημειώσεις αυτές προσπαθώ να αποτυπώσω τη δική

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΈΝΝΟΙΑ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΣΥΖΥΓΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ i ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Άλγεβρας Β Λυκείου

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Άλγεβρας Β Λυκείου Επαναληπτικό Διαγώνισμα Άλγεβρας Β Λυκείου Θέμα Α. Αν α>0 με α, τότε για οποιουσδήποτε θ, θ,θ>0 και κ ισχύει log (θ θ ) log θ log θ Μονάδες 8 α α α Β. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά. Ενότητα 1: Βασικές Γνώσεις Άλγεβρας. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη)

Μαθηματικά. Ενότητα 1: Βασικές Γνώσεις Άλγεβρας. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Μαθηματικά Ενότητα 1: Βασικές Γνώσεις Άλγεβρας Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών... 37 3.1 Αριθμητικά σύνολα... 37 3.2 Ιδιότητες... 37 3.3 Περισσότερες ιδιότητες...

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών... 37 3.1 Αριθμητικά σύνολα... 37 3.2 Ιδιότητες... 37 3.3 Περισσότερες ιδιότητες... Περιεχόμενα Πρόλογος... 5 Κεφάλαιο Βασικές αριθμητικές πράξεις... 5. Τέσσερις πράξεις... 5. Σύστημα πραγματικών αριθμών... 5. Γραφική αναπαράσταση πραγματικών αριθμών... 6.4 Οι ιδιότητες της πρόσθεσης

Διαβάστε περισσότερα

Μονώνυμα. Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd

Μονώνυμα. Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Μονώνυμα Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd 1 Πράξεις με μονώνυμα Ενότητα 2 η Πράξεις με μονώνυμα και πολυώνυμα Σκοπός Ο σκοπός της 2 ης ενότητας είναι να μάθουν

Διαβάστε περισσότερα

( 2) 1 0,. Αν ρ 1, ρ 2 οι ρίζες της (ε) και

( 2) 1 0,. Αν ρ 1, ρ 2 οι ρίζες της (ε) και ΘΕΜΑ ο Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο : f( x) α Να βρείτε το πεδίο ορισμού της x x x x β Να βρείτε τα σημεία τομής της με τους άξονες αν υπάρχουν γ Αν α, β ρίζες της εξίσωσης: ΘΕΜΑ ο x x f ( x), να δείξετε

Διαβάστε περισσότερα

ςεδς ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός

ςεδς ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός ςες ΤΕΤΡΑΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Βαγγέλης ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός ΣΗΜΕΙΩΜΑ Το παραπάνω φυλλάδιο φτιάχτηκε για να προσφέρει λίγη βοήθεια κυρίως στους μαθητές

Διαβάστε περισσότερα

Κατηγορία 1 η. Σταθερή συνάρτηση Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f : 0, f '( x) 0 για κάθε εσωτερικό σημείο x του Δ

Κατηγορία 1 η. Σταθερή συνάρτηση Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f : 0, f '( x) 0 για κάθε εσωτερικό σημείο x του Δ Κατηγορία η Σταθερή συνάρτηση Τρόπος αντιμετώπισης: Για να αποδείξουμε ότι μια συνάρτηση είναι σταθερή σε ένα διάστημα Δ πρέπει: η συνάρτηση να είναι συνεχής στο Δ '( ) 0 για κάθε εσωτερικό σημείο του

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. , ισχύει ότι:. α. Να υπολογίσετε όλους τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας ω.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. , ισχύει ότι:. α. Να υπολογίσετε όλους τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας ω. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1. Έστω ότι για μια γωνία ω, όπου, ισχύει ότι:. 1 α. Να υπολογίσετε όλους τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας ω. β. Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης:

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΜΕΡΟΣ 1ο : ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 1. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται φυσικοί, ποια ιδιότητα έχουν και πως χωρίζονται; Οι αριθμοί

Διαβάστε περισσότερα

4.2 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 2 ου ΒΑΘΜΟΥ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 112 114

4.2 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 2 ου ΒΑΘΜΟΥ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 112 114 1. ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ου ΒΑΘΜΟΥ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 11 11 A Ομάδας 1. Να μετατρέψετε σε γινόμενα παραγόντων τα τριώνυμα: x 3x + x 3x Δ ( 3). 1. 9 8 1 > 0 Ρίζες: x Άρα ( 3) 1.1 3 1 3 1 ή 31 x 3x +

Διαβάστε περισσότερα

Ανισώσεις Γινόμενο και Ανισώσεις Πηλίκο

Ανισώσεις Γινόμενο και Ανισώσεις Πηλίκο Ανισώσεις Γινόμενο και Ανισώσεις Πηλίκο Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση» www.ma8eno.gr Ανισώσεις γινόμενο και ανισώσεις πηλίκο Πρόσημο γινομένου της μορφής P()

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ - Πράξεις ρητών

ΑΣΚΗΣΕΙΣ - Πράξεις ρητών 1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ - Πράξεις ρητών 1. Να υπολογιστούν τα παρακάτω αθροίσματα: i. 5 7 ii. 8 6 iii. 6 4 iv. 9 5 v. 15 15 vi. 17 0 vii. 0 15 viii. 13 14 ix. 12 16 2. Να υπολογιστούν τα παρακάτω αθροίσματα: i. 6,35

Διαβάστε περισσότερα