Εξισώσεις πρώτου βαθμού

Transcript

1 Εξίσωση ου βαθμού με ένα άγνωστο 0ρισμός Εξισώσεις πρώτου βαθμού Κάθε εξίσωση που έχει ή μπορεί να πάρει τη μορφή αχ=β λέγεται εξίσωση ου βαθμού με ένα άγνωστο. Σε μια εξίσωση η μεταβλητή λέγεται άγνωστος.οι όροι που περιέχουν τη μεταβλητή λέγονται άγνωστοι όροι ενώ οι όροι που δεν την περιέχουν λέγονται γνωστοί όροι. Σε μια εξίσωση ό,τι βρίσκεται αριστερά από το = λέγεται ο μέλος και ό,τι βρίσκεται δεξιά ο μέλος.θα λέμε ότι ένας αριθμός επαληθεύει την εξίσωση όταν βάζοντας τον αριθμό στη θέση του αγνώστου προκύπτει ισότητα που αληθεύει. Αν ένας αριθμός επαληθεύει την εξίσωση λέγεται λύση ή ρίζα της εξίσωσης. Αν δεν υπάρχει αριθμός που να επαληθεύει την εξίσωση τότε αυτή λέγεται αδύνατη. Αν η εξίσωση μου επαληθεύεται για οποιαδήποτε τιμή και αν βάλουμε στη θέση του αγνώστου, τότε η εξίσωσή μου λέγεται αόριστη ή ταυτότητα. Μια εξίσωση πρώτου βαθμού με έναν άγνωστο ή θα έχει μία λύση ή θα είναι αδύνατη ή θα είναι ταυτότητα. Αποκλείεται να έχει δύο ή παραπάνω λύσεις. Κάτι τέτοιο σημαίνει ότι είναι ταυτότητα.. Επίλυση εξισώσεων Η διαδικασία κατά την οποία βρίσκουμε τη λύση μιας εξίσωσης λέγεται επίλυση της εξίσωσης και είναι η εξής ) απαλείφουμε τους παρονομαστές πολλαπλασιάζοντας τα δύο μέλη της εξίσωσης με το Ε.Κ.Π των παρονομαστών και προσέχοντας μετά την απαλοιφή να βάζουμε τους αριθμητές των κλασμάτων σε παρένθεση.στην περίπτωση που η εξίσωση έχει τη μορφή δύο ίσων κλασμάτων η απαλοιφή γίνεται με το λεγόμενο χιαστί ) απαλείφουμε τις παρενθέσεις με τη γνωστή απαλοιφή όταν μπροστά από την παρένθεση υπάρχει πρόσημο και με την επιμεριστική αν έχω πολ/σμο αριθμού με παρένθεση 3) χωρίζουμε γνωστούς από αγνώστους όρους μεταφέροντας τους άγνωστους στο πρώτο μέλος και τους γνωστούς στο δεύτερο προσέχοντας να αλλάζουμε πρόσημο στους όρους που αλλάζουν πρόσημο 4) κάνουμε αναγωγή ομοίων όρων προσθέτουμε δηλαδή τους συντελεστές του αγνώστου χ στο πρώτο μέλος και τους αριθμούς στο δεύτερο 5) διαιρούμε με τον συντελεστή του αγνώστου αρκεί αυτός να μην είναι 0 για να μπορέσω να διαιρέσω Επιμέλεια : Άρης Αεράκης

2 Μετά το 4 ο βήμα η εξίσωσή μου έχει τη μορφή αχ=β, όπου α και β θα είναι γνωστοί αριθμοί. Τότε ανάλογα με τις τιμές των α και β έχω Αν α 0 τότε έχω τη μοναδική λύση χ = Αν α = 0 και β 0 τότε η εξίσωση είναι αδύνατη Αν α = 0 και β = 0 τότε η εξίσωση είναι αόριστη Σημειώνουμε ότι η εξίσωση χ=0 έχει λύση τη χ = 0. Κάθε φορά που βρίσκετε τη λύση μιας εξίσωσης θα τη βάζετε στη θέση του χ στην αρχική μορφή της εξίσωσης για να δείτε αν την επαληθεύει. Αν όχι τότε έχετε κάνει λάθος και πρέπει να την ξαναλύσετε. Αν λοιπόν μια εξίσωση έχει τη μορφή αχ=β τότε Απαίτηση Συνθήκη Η εξίσωση έχει μοναδική λύση α 0 Η εξίσωση είναι αδύνατη α=0 και β 0 Η εξίσωση είναι αόριστη α=0 και β=0 Η εξίσωση έχει τουλάχιστον δύο λύσεις α=0 και β=0 Η εξίσωση έχει μοναδική λύση τη χ = 0 α 0 και β=0 Λυμένες ασκήσεις Επιμέλεια : Άρης Αεράκης

3 ) Να λυθεί η εξίσωση 3(8-χ)-(χ-4)+=(-χ) Τη μετατρέπω στη μορφή αχ=β 3(8-χ)-(χ-4)+=(-χ) 4-3χ-χ+8+=-χ -3χ-χ+χ= χ=-4 χ= 4 3 χ=4 (απαλοιφή παρενθέσεων) (χωρίζω γνωστούς από αγνώστους) (αναγωγή ομοίων όρων) (διαιρώ με το συντελεστή του αγνώστου) Επαλήθευση 3(8-4)-(4-4)+=(-4) 3(-6)- 0+=(-3) -8-0+=-6-6=-6 που ισχύει και άρα η τιμή που βρήκα επαληθεύει την εξίσωση. )Να λυθούν οι εξισώσεις α)3(χ+)=3χ+, β) 4χ+=(χ+), γ) (χ+)= α) 3(χ+)=3χ+ 3χ+6=3χ+ 3χ-3χ=-6 0χ=-5 αδύνατη β) 4χ+=(χ+) 4χ+=4χ+ 4χ-4χ=- 0χ=0 ταυτότητα γ) (χ+)= χ+= χ=- χ=0 χ=0 3) Ομοίως τις εξισώσεις α) 3 3 β) γ) 4 3 δ) 3 ( ) 3 4 ( ) 3 4 α) πολ/ζω με το Ε.Κ.Π=6 Επιμέλεια : Άρης Αεράκης 3

4 ( 3) 6 (3 ) β) πολ/ζω με το Ε.Κ.Π= ( ) 4 3( 3) γ) κάνω το λεγόμενο χιαστί 4 3 3( 4) (3 ) δ) πολ/ζω με το Ε.Κ.Π= ( ) 3 4 ( ) 3 4 ( ) ( ) ( ) 3( 3) ( ) (4 ) Εξισώσεις μεγαλυτέρου του ου βαθμού Ορισμός Επιμέλεια : Άρης Αεράκης 4

5 Εξίσωση ου βαθμού (ή ν βαθμού ) είναι κάθε εξίσωση όπου η μεγαλύτερη δύναμη του αγνώστου είναι η η δύναμη ( ή η ν δύναμη). Εμείς θα ασχοληθούμε με τέτοιες εξισώσεις με έναν άγνωστο. Η λύση μιας τέτοιας εξίσωσης στηρίζεται στο ότι αν ΑΒ=0 τότε Α=0 ή Β=0 αν Α +Β =0 τότε Α=Β=0 Όταν λοιπόν έχουμε να λύσουμε μια τέτοια ακολουθούμε τα παρακάτω βήματα. ) Μεταφέρουμε όλους τους όρους στο πρώτο μέλος και έτσι το δεύτερο είναι 0 ) Παραγοντοποιούμε το πρώτο μέλος και έτσι έχουμε ένα γινόμενο ίσο με μηδέν 3) Θα πρέπει κάποιος από τους παράγοντες να είναι 0 και έτσι οδηγούμε στη λύση τόσων εξισώσεων ου βαθμού όσων και το πλήθος των παραγόντων. Με βάση τα όσα είπαμε ας προσπαθήσουμε να λύσουμε μια εξίσωση ου βαθμού που έχει τη μορφή χ = α. Είναι χ = α χ - α =0 (χ+α)(χ-α)=0 χ+α=0 ή χ-α=0 χ= -α ή χ=α Επομένως η εξίσωση χ = α έχει δύο λύσεις την χ=α ή την χ=-α (και όχι μόνο την χ=α όπως φαίνεται αρχικά.) Η εξίσωση χ =0 έχει λύση τη χ=0 γιατί μόνο ο 0 αν υψωθεί στο τετράγωνο μας δίνει 0. Η εξίσωση χ = -3 είναι αδύνατη γιατί η ποσότητα χ είναι πάντα μη αρνητική και επομένως δεν μπορεί ποτέ να γίνει -3. Συνοψίζοντας έχουμε αν χ =α και α>0 τότε ή αν χ = 0 τότε χ=0 αν χ =α και α<0 τότε είναι αδύνατη ) Να λυθούν οι παρακάτω εξισώσεις Λυμένες ασκήσεις Επιμέλεια : Άρης Αεράκης 5

6 3 ) 4, ) 3, ) 0, ) 0, )( ) 6 4 )( 3) ( ), ) , ) 6 ) ( )( ) 0 ) ( 3)( 3) ) 0 3 ) 0 ( ) 0 ( )( ) 0 0 )( ) 6 ( ) 6 0 ( ) 4 0 ( 4)( 4) ( 5)( 3) )( 3) ( ) ( 3) ( ) 0 ( 3 ) 3 ( ) 0 (4 4)( 3 ) 0 4( )( ) 0 8( ) 0 ) ( ) 0 ( ) ) ( 4)( 4) 0 ( 4)( )( ) ) Να λυθούν οι παρακάτω εξισώσεις 3 ) 3 0, )( 5 6)( 7 ) ) 6 8 0, ) 3 0, ) 8 3 ) 3 0 ( 3 ) 0 ( )( ) 0 0 )( 5 6)( 7 ) 0 ( )( 3)( 3)( 4) ) ( 3) ( 3) 0 ( 3)( 3 ) 0 ( ) ( 4) 0 ( )( )( )( ) 0 Επιμέλεια : Άρης Αεράκης 6

7 3 3 ) ( ) ( ) 0 ( )( ) ( ) 0 ( ) ( ) 0 ( )( ) 0 ( )( ) 0 ( )( )( ) 0 ( ) ( ) ) ( )( 4) 0 διότι η εξίσωση χ +χ+4=0 είναι αδύνατη αφού ( ) 3 0 ( ) 3 και γενικά η δεύτερη παρένθεση που προκύπτει από τις ταυτότητες α 3 +β 3 και α 3 -β 3 δεν γίνεται ποτέ 0. 3) Να λυθεί η εξίσωση ( ) ( 3) 0 Ξέρουμε ότι αν Α +Β =0 τότε Α=Β=0 Επομένως έχω ότι χ+=0 και χ-3=0 δηλαδή χ=- και χ=3 Όμως το χ δεν μπορεί να είναι ταυτόχρονα - και 3 και επομένως η εξίσωση είναι αδύνατη. Τονίζουμε ότι στις προηγούμενες ασκήσεις μεταξύ των λύσεων είχα το ή ενώ σε αυτή την άσκηση έχω και. 4) Να λυθούν οι παρακάτω εξισώσεις 3 )( 9) ( 3) ( ), ), )( ) 4, )( ) )( 9) ( 3) ( ) ( 3)( 3) ( 3) ( ) 0 ( 3) ( 3) ( 3) ( ) 0 ( 3) ( 3) ( ) 0 ( 3) ( 6 9 ) 0 ( 3) ( 7 0) 0 ( 3) ( )( 5) ) 0 ( αφού η χ +=0 είναι αδύνατη )( ) 4 ( ) 4 0 ( ) ( ) 0 ) 0 ( )( ) 0 ( )( ) 0 ( ) ( ) 0 )( ) Το ο μέλος είναι πάντα θετικό ως άθροισμα τετραγώνων και επομένως δεν μπορεί ποτέ να γίνει. Άρα η εξίσωση είναι αδύνατη. 5) Να λυθεί η εξίσωση 3 6 Επιμέλεια : Άρης Αεράκης 7

8 ( ) 4 6 ( ) ( ) ( )( ) 0 ( )(5 ) 0 ( )(6 ) 0 6 6) Να λυθεί η εξίσωση ( )( 4) ( ) ( )( 3) (4 ( ) ) ( ) 4( ) 0 4( )( ) 4( ) 0 4( )( ) 0 4( )( ) 0 χ-=0 ή χ+=0 δηλαδή χ= ή χ=- Ορισμός Κλασματικές εξισώσεις Κλασματική εξίσωση είναι κάθε εξίσωση που περιέχει κλάσματα και ένα τουλάχιστο από αυτά έχει τον άγνωστο στον παρονομαστή. Επιμέλεια : Άρης Αεράκης 8

9 Επειδή σε μια κλασματική παράσταση ο παρονομαστής δεν μπορεί να είναι 0, το πρώτο πράγμα που κάνουμε είναι να βρίσκουμε τις τιμές του αγνώστου για τις οποίες μηδενίζονται οι παρονομαστές της εξίσωσης και να τις εξαιρούμε από τυχόν λύσεις της εξίσωσης. Για να λύσουμε τώρα μια τέτοια εξίσωση πρέπει να διώξουμε τους παρονομαστές. Αυτό το κατορθώνουμε πολ/ντας με το Ε.Κ.Π των παρονομαστών. Περιγράφουμε τα βήματα που κάνουμε για λύσουμε μια κλασματική εξίσωση.. Βρίσκουμε τις τιμές του αγνώστου για τις οποίες μηδενίζονται οι παρονομαστές μου.. Παραγοντοποιούμε τους παρονομαστές και βρίσκουμε το Ε.Κ.Π αυτών 3. Πολλαπλασιάζουμε όλους τους όρους της εξίσωσης με το Ε.Κ.Π 4. Απαλείφουμε τους παρονομαστές κάνοντας απλοποίηση, προσέχοντας να βάζουμε σε παρένθεση τους αριθμητές των κλασμάτων μετά την απαλοιφή. 5. Λύνουμε την εξίσωση που προκύπτει αφού αυτή θα είναι πλέον μια απλή εξίσωση ου ή ου βαθμού 6. Απορρίπτουμε από τις λύσεις που βρήκαμε εκείνες που ενδεχομένως μηδενίζουν τους παρονομαστές της αρχικής εξίσωσης. Παρατηρήσεις. Το πρώτο πράγμα που κάνω είναι να βρίσκω τους περιορισμούς δηλαδή τις τιμές του αγνώστου που μηδενίζουν τους παρονομαστές.. Δεν ξεχνάω στο τέλος να ελέγχω αν οι λύσεις που βρήκα εξαιρούνται από τους περιορισμούς μου. 3. Προσέχω μετά την απαλοιφή να βάζω σε παρένθεση τους αριθμητές των κλασμάτων. 4. Αν η εξίσωσή μου έχει τη μορφή δύο ίσων κλασμάτων μπορώ να κάνω το γνωστό χιαστί. 5. Αν λύνοντας την εξίσωση οι λύσεις που βρήκα εξαιρούνται όλες από τους περιορισμούς μου, τότε η αρχική εξίσωση είναι αδύνατη. 6. Αν η εξίσωση που θα προκύψει μετά την απαλοιφή είναι αόριστη, τότε η αρχική εξίσωση θα έχει για λύση όλες τις πραγματικές τιμές εκτός από αυτές που έχω εξαιρέσει από τους περιορισμούς μου. Λυμένες ασκήσεις ) Να λυθεί η παρακάτω κλασματική εξίσωση Επιμέλεια : Άρης Αεράκης 9

10 Βρίσκουμε τους περιορισμούς. Πρέπει χ- 0 δηλαδή χ και χ+ 0 δηλαδή χ - και χ - 0 δηλαδή χ δηλαδή χ και χ - Τελικά συνοψίζοντας έχω ότι πρέπει χ και χ -. Παραγοντοποιώ τους παρονομαστές και έχω ( )( ) (πολ/ζω με το Ε.Κ.Π.=(χ+)(χ-)) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) χ(χ+)-(χ-)(χ-)=(χ+)(χ-)-(χ -) χ +χ-(χ -χ-χ+)=(χ -)-χ + ( βάζω παρενθέσεις) (πράξεις) χ +χ-χ +χ+χ-=χ --χ + (όλα στο ο μέλος αφού είναι ου βαθμού) χ +χ-χ +χ+χ--χ ++χ -=0 (αναγωγή ομοίων όρων) 5χ-=0 5χ= δηλαδή χ = 5 που είναι δεκτή γιατί δεν εξαιρείται από τους περιορισμούς μου. ) Να λυθεί η εξίσωση 6 4 Πρέπει χ+ 0 δηλαδή χ -.Πρέπει -χ 0 δηλαδή χ Πρέπει 4 0 δηλαδή (χ-)(χ+) 0 δηλαδή χ και χ - Τελικά πρέπει χ και χ (τροποποιώ κατάλληλα τους παρονομαστές) 6 ( ) ( )( ) (το από τον παρονομαστή μπαίνει μπροστά από το κλάσμα) Επιμέλεια : Άρης Αεράκης 0

11 6 ( )( ) (πολ/ζω με το Ε.Κ.Π=(χ-)(χ+) ) 6 ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) (χ-)(χ-)-(χ+)(χ-)= -χ+6 (τα μεταφέρω στο ο μέλος) (αναγωγές ομοίων όρων) - -3χ-=0 +3)=0 +3χ+=0 +3χ+3-=0(χ-)(χ+)+3(χ+)=0(χ+)(χ- (χ+)(χ+)=0 χ+=0 ή χ+=0 δηλαδή χ=- ή χ=- Η τιμή χ=- απορρίπτεται γιατί την έχω εξαιρέσει από τους περιορισμούς μου. Άρα η λύση μου είναι η χ=-. 3) Να λυθεί η εξίσωση Βρίσκουμε τους περιορισμούς. Πρέπει χ+ 0 δηλαδή χ - και χ+3 0 δηλαδή χ -3 και χ +5χ+6 0 που αν το λύσουμε θα βρούμε ότι πρέπει χ -3 και χ - Τελικά συνοψίζοντας έχω ότι πρέπει χ -3 και χ -. Παραγοντοποιώ τους παρονομαστές και έχω 4 3 ( )( 3) 4 ( )( 3) ( )( 3) ( )( 3) 3 ( )( 3) χ(χ+3)-(χ+) = χ +χ-4 χ +3χ-χ-4 = χ +χ-4 χ +3χ-χ-4- χ -χ+4=0 0χ=0 που είναι αόριστη. Επομένως η αρχική εξίσωση επαληθεύεται για κάθε πραγματική τιμή του χ εκτός από χ=-3 και χ=-. Επιμέλεια : Άρης Αεράκης

12 4) Να λυθεί η εξίσωση Βρίσκουμε τους περιορισμούς. Πρέπει χ 0 και χ- 0 δηλαδή χ και χ-χ 0 δηλαδή χ (-χ) 0 δηλαδή χ 0 και χ Τελικά συνοψίζοντας έχω ότι πρέπει χ 0 και χ. Παραγοντοποιώ τους παρονομαστές και έχω ( ) ( ) 5 5 ( ) ( ) ( )3 ( ) ( ) - (χ-) - χ (χ+5) = 3χ(χ-) (5χ+) -(χ -χ+)-χ -5χ=3χ -3χ-5χ- -χ +χ--χ -5χ=3χ -3χ-5χ- -χ +χ--χ -5χ-3χ +3χ+5χ+=0-5χ +5χ=0-5χ(χ-)=0 χ=0 ή χ= που απορρίπτονται και οι δύο και επομένως η αρχική εξίσωση είναι αδύνατη. Παραμετρικές εξισώσεις Πρόκειται για εξισώσεις που εκτός από τον άγνωστο χ, υπάρχουν και κάποιες άγνωστες ποσότητες που εκφράζονται με γράμματα κ, λ, μ και λέγονται παράμετροι Η εργασία που κάνουμε για την εύρεση του πλήθους των ριζών της διερεύνηση. Σε μια τέτοια εξίσωση ο άγνωστος παραμένει ο χ ενώ τις παραμέτρους ναι μεν δεν τις ξέρω αλλά τις θεωρώ γνωστές. Σε μια τέτοια εξίσωση δεν μπορώ να βρω έναν συγκεκριμένο αριθμό για λύση. Αυτό που κάνω είναι να διερευνώ τι γίνεται σε κάθε μια περίπτωση και να εκφράζω το χ ως συνάρτηση των παραμέτρων. Αν λοιπόν μια εξίσωση έχει τη μορφή α χ = β τότε Επιμέλεια : Άρης Αεράκης

13 Απαίτηση Συνθήκη Η εξίσωση έχει μοναδική λύση α 0 Η εξίσωση είναι αδύνατη α=0 και β 0 Η εξίσωση είναι αόριστη α=0 και β=0 Η εξίσωση έχει τουλάχιστον δύο λύσεις α=0 και β=0 Η εξίσωση έχει μοναδική λύση τη χ = 0 α 0 και β=0 Λυμένες ασκήσεις ) Να βρείτε τη τιμή του λ ώστε η παρακάτω εξίσωση ως προς χ να έχει λύση χ= (3-χ)-λ=3λχ-6 Η σκέψη είναι η εξής αφού έχει λύση τη χ= αν βάλουμε όπου χ το τότε η εξίσωση θα επαληθεύεται. Έτσι θα προκύψει μια εξίσωση ως προς λ την οποία θα λύσουμε για να βρούμε το λ.είναι (3-χ)-λ=3λχ-6 (3-)-λ=3λ-6 -λ=6λ-6 -λ-6λ= λ= -8 λ= ) Να βρείτε την τιμή του λ ώστε η παρακάτω εξίσωση να είναι αδύνατη (λ- )χ=3 Για να είναι αδύνατη πρέπει ο συντελεστής του χ να είναι 0. Άρα λ-=0 δηλαδή λ= δηλαδή 3) Να βρείτε τα λ και μ ώστε η παρακάτω εξίσωση να είναι αόριστη (λ-)χ=μ-4 Για να είναι μια εξίσωση αόριστη πρέπει να έχει τη μορφή 0χ=0 Άρα λ-=0 και μ-4=0 λ= και μ=4 λ= και μ= Επιμέλεια : Άρης Αεράκης 3

14 4) Να βρείτε την τιμή του λ ώστε η παρακάτω εξίσωση να έχει δύο τουλάχιστον λύσεις λχ-χ=λ- Μια εξίσωση θα έχει ή καμία λύση ή μία λύση ή άπειρες.αφού μου λέει ότι έχει δύο τουλάχιστον λύσεις άρα θα έχει άπειρες, δηλαδή η εξίσωση είναι αόριστη. Είναι λχ-χ=λ- (λ-)χ=λ- και για να είναι αόριστη πρέπει λ-=0 δηλαδή λ= 5) Εξετάστε αν η παρακάτω εξίσωση μπορεί να γίνει αόριστη (λ-)χ=λ-3 Για να γίνει αόριστη πρέπει να πάρει τη μορφή 0χ=0. Για να γίνει ο συντελεστής του χ 0 πρέπει λ=.όμως τότε το ο μέλος γίνεται - και η εξίσωση είναι αδύνατη. Επομένως δεν μπορεί να γίνει ποτέ αόριστη. 6) Να αποδείξετε ότι αν η εξίσωση (λ-)χ=3 είναι αδύνατη τότε η εξίσωση λχ-4χ= -λ είναι αόριστη. Για να είναι η πρώτη εξίσωση αδύνατη πρέπει λ-=0 δηλαδή λ=. Για την τιμή αυτή του λ η δεύτερη εξίσωση γίνεται χ-4χ= 4χ-4χ=4-4 0χ=0 που είναι αόριστη. 7) Να συμπληρώσετε τον πίνακα Απαίτηση Συνθήκη Η εξίσωση λχ=μ- είναι αδύνατη Η εξίσωση λχ=μ- είναι αόριστη Η εξίσωση λχ=μ- έχει μοναδική λύση Επιμέλεια : Άρης Αεράκης 4

15 Η εξίσωση λχ=μ- είναι μοναδική λύση τη χ=0 Η εξίσωση λχ=μ- έχει μοναδική λύση τη χ= Απαίτηση Συνθήκη Η εξίσωση λχ=μ- είναι αδύνατη λ=0 και μ Η εξίσωση λχ=μ- είναι αόριστη λ=0 και μ= Η εξίσωση λχ=μ- έχει μοναδική λύση λ 0 Η εξίσωση λχ=μ- είναι μοναδική λύση τη χ=0 Η εξίσωση λχ=μ- έχει μοναδική λύση τη χ= λ 0 και μ= λ 0 και μ-= λ 8) Nα λυθεί η εξίσωση ( ) 3 Πρόκειται για παραμετρική εξίσωση με άγνωστο το χ και παράμετρο το λ. Τονίζουμε ότι οι άγνωστοι όροι είναι αυτοί που περιέχουν το χ. Το λ το θεωρούμε γνωστό. Η διαδικασία είναι η ίδια με αυτή της επίλυσης μιας κοινής εξίσωσης μόνο που στο τέλος κάνω διερεύνηση. Ας δούμε πως λύνουμε τέτοιες εξισώσεις. Είναι ( ) 3 (απαλοιφή παρενθέσεων) 3 3 (χωρίζω γνωστούς από αγνώστους) (παραγοντοποιώ τα δύο μέλη) Επιμέλεια : Άρης Αεράκης 5

16 λ(λ-)χ=(λ-)(λ-) ΠΡΟΣΟΧΗ! Στο σημείο αυτό πολλοί κάνουν το λάθος και απλοποιούν το λ-. Κάτι τέτοιο θα μπορούσε να γίνει στην περίπτωση που ξέραμε ότι το λ- δεν είναι 0.Επειδή όμως δεν έχουμε τέτοια πληροφορία το αφήνουμε όπως είναι. (συνέχεια της λύσης) Βρίσκω ποιες τιμές μηδενίζουν το συντελεστή του χ. Είναι λ(λ-)=0 λ=0 ή λ= Διακρίνω τις εξής περιπτώσεις λ 0 και λ ( )( ) Τότε η εξίσωση έχει μοναδική λύση τη χ = ( ) λ=0 Τότε αντικαθιστώντας τη τιμή λ=0 στην εξίσωση έχω 0χ= που είναι αδύνατη. λ= Τότε αντικαθιστώντας τη τιμή λ= στην εξίσωση έχω 0χ=0 που είναι ταυτότητα. 9) Να διερευνηθεί η εξίσωση ( ) ( ) 3( ) ( )( ) ( ) ( ) 3( ) ( )( ) ( ) 3 3 ( ) ( 4) ( 3 ) ( )( ) ( )( ) Βρίσκω τις τιμές του λ για τις οποίες μηδενίζεται ο συντελεστής του αγνώστου. Είναι ( )( ) 0 Επιμέλεια : Άρης Αεράκης 6

17 Αν η εξίσωση έχει μοναδική λύση τη ( )( ) ( )( ) Αν λ=- η εξίσωση γίνεται 0χ = 0 και είναι αόριστη Αν λ= η εξίσωση γίνεται 0χ = - και είναι αδύνατη 0) Να διερευνηθούν οι παρακάτω εξισώσεις ) 3 ) ( ) ) ( ) )( ) ) ( ) ) ( ) α) Αν λ = 0 τότε η εξίσωση γίνεται 0χ = 3 και είναι αδύνατη. Αν 0 τότε έχει μοναδική λύση τη 3 β) Αν λ= τότε η εξίσωση γίνεται 0χ = και είναι αδύνατη Αν τότε έχει μοναδική λύση τη γ) Αν λ= - τότε η εξίσωση γίνεται 0χ = 0 και είναι αόριστη Αν τότε έχει μοναδική λύση τη δ) Η ποσότητα δεν γίνεται ποτέ 0 γιατί 0 Συνεπώς η εξίσωση έχει πάντα ( δηλαδή για κάθε λ ) μοναδική λύση τη ε) Η εξίσωση γίνεται ( ) ( ) ( )( ) Αν λ = τότε η εξίσωση γίνεται 0χ = 0 και είναι αόριστη ( Αν τότε η εξίσωση έχει μοναδική λύση τη )( ) ( ) στ) Η εξίσωση γίνεται ( ) ( )( ) Αν λ = τότε η εξίσωση γίνεται 0χ = 0 και είναι αόριστη Αν λ = - τότε η εξίσωση γίνεται 0χ = - και είναι αδύνατη Επιμέλεια : Άρης Αεράκης 7

18 Αν τότε η εξίσωση έχει μοναδική λύση τη ( )( ) ) Για ποιες τιμές του λ η παρακάτω εξίσωση είναι αδύνατη ( ) Κάνοντας πράξεις η εξίσωση παίρνει τη μορφή λ(λ-)χ=(λ-) Για να είναι αδύνατη πρέπει λ(λ-)=0 και (λ-) 0. Αυτό συμβαίνει για λ=0. ) Για ποιες τιμές του λ η παρακάτω εξίσωση έχει τουλάχιστο δύο πραγματικές ρίζες (λ+3)χ= -9 Η εξίσωσή μου μετά από πράξεις παίρνει τη μορφή (λ+3)χ=(λ+3)(λ-3) Ουσιαστικά αναζητώ τις τιμές του λ που καθιστούν την εξίσωση ταυτότητα. Επομένως πρέπει λ+3=0 και (λ+3)(λ-3)=0 Αυτό συμβαίνει όταν λ=-3. 3) Για ποιες τιμές του λ η παρακάτω εξίσωση έχει μοναδική λύση (χ+)-5λ=3(3χ-) Η εξίσωσή μου μετά από πράξεις παίρνει τη μορφή (λ-3)(λ+3)χ=-(λ-)(λ-3) Για να έχει μοναδική λύση πρέπει (λ-3)(λ+3) 0 δηλαδή πρέπει λ 3 και λ -3 Άρα ο λ μπορεί να πάρει όλες τις πραγματικές τιμές εκτός από 3 και 3. 4) Να λυθεί η εξίσωση λ(λχ-)+4=μ(λχ-) Πρόκειται για παραμετρική εξίσωση με δύο παραμέτρους λ,μ. Η διαδικασία είναι η ίδια. Μετά από πράξεις η εξίσωση παίρνει τη μορφή λ(λ-μ)χ=λ-μ-4 Βρίσκω τις τιμές που μηδενίζουν το συντελεστή του χ. Είναι λ(λ-μ)=0λ=0 ή λ=μ Διακρίνω περιπτώσεις Επιμέλεια : Άρης Αεράκης 8

19 αν λ 0 και λ μ 4 τότε η εξίσωσή μου έχει μοναδική λύση τη χ = ( ) αν λ=0 τότε αντικαθιστώ τη τιμή του λ=0 στην εξίσωση και έχω 0χ = -μ-4 Η εξίσωση αυτή δεν ξέρω τι είναι γιατί δεν ξέρω το μ. α)αν -μ-4=0 δηλαδή αν μ=- τότε η εξίσωση είναι ταυτότητα β)αν -μ-4 0 δηλαδή αν μ - τότε η εξίσωση είναι αδύνατη αν λ=μ τότε αντικαθιστώ τη τιμή του λ=0 στην εξίσωση και έχω 0χ = -μ-4 Η εξίσωση αυτή δεν ξέρω τι είναι γιατί δεν ξέρω το μ. α)αν -μ 4 = 0 δηλαδή αν μ=-4 τότε η εξίσωση είναι ταυτότητα β)αν - μ 4 0 δηλαδή αν μ -4 τότε η εξίσωση είναι αδύνατη Εξισώσεις με απόλυτη τιμή Πρόκειται για εξισώσεις όπου ο άγνωστος χ βρίσκεται μέσα σε απόλυτη τιμή. Για να λύσουμε τέτοιες εξισώσεις πρέπει να διώξουμε τις απόλυτες τιμές, πράγμα που το κατορθώνουμε διακρίνοντας κατάλληλες περιπτώσεις για τον άγνωστο χ. Αν η παράστασή μου περιέχει περισσότερα από ένα απόλυτα με διαφορετικές παραστάσεις μέσα σε αυτά, τότε πρέπει να διακρίνω πολλές περιπτώσεις για το χ, οι οποίες συνοψίζονται σε ένα πίνακα.σε μερικές εξισώσεις ανάλογα με τη μορφή που έχουν μπορώ να κάνω κάποια τεχνάσματα που να μου δώσουν εύκολα τη λύση.παρακάτω παρουσιάζουμε σχεδόν όλες τις περιπτώσεις εξισώσεων που μπορεί να συναντήσετε. Οι ιδιότητες που θα μας χρειαστούν είναι οι εξής χ=θ>0 χ=θ ή χ=-θ, χ=α χ=α ή χ=-α, χ 0 και χ=0 χ=0 Λυμένες ασκήσεις ) Να βρείτε το χ στις παρακάτω περιπτώσεις α) χ=3 β) χ=0 γ)χ=- δ) χ-3=5 Επιμέλεια : Άρης Αεράκης 9

20 ε) χ-3=3-χ στ) χ-3+χ-=0 ζ) 5 η) θ) 5 ι) 8 α) χ=3 χ=3 ή χ=-3 (δύο αριθμοί έχουν απόλυτη τιμή έναν θετικό αριθμό θ, ο ίδιος ο θ και ο αντίθετος του -θ) β) χ=0 χ=0 ( μόνο ο 0 έχει απόλυτη τιμή 0) γ) χ=- αδύνατη γιατί χ 0 για κάθε πραγματική τιμή του χ. δ) χ-3=5 χ-3=5 ή χ-3= -5 Αν χ-3=5 χ=8 χ=4 Αν χ-3= -5 χ=- χ=- Τελικά χ= 4 ή χ= - ε) χ-3=3-χ χ-3=3(-χ) χ-3=6-3χ χ-3 = 6-3χ ή χ-3 = -(6-3χ) Αν χ-3=6-3χ χ+3χ = 6+3 5χ=9 χ = 9 5 Αν χ-3 = -(6-3χ) χ-3 = -6 +3χ χ-3χ = χ = -3 χ=3 Τελικά χ = 9 5 ή χ=3 στ) χ-3+χ-=0 Έχω ένα άθροισμα δύο μη αρνητικών ποσοτήτων ίσο με 0. Αναγκαστικά θα πρέπει και οι δύο να είναι 0. Επομένως έχω ότι χ-3 =0 και χ- =0 δηλαδή χ=3 και χ =. Δεν γίνεται όμως το χ να είναι ταυτόχρονα 3 και. Άρα η εξίσωσή μου είναι αδύνατη. ζ) 5 Επιμέλεια : Άρης Αεράκης 0

21 Η ποσότητα είναι σίγουρα θετική και επομένως εξίσωσή μου γίνεται ( )( ) 0 και η ) ( ) ( ) χ+=4χ- χ-4χ = -- -3χ= -4 χ= 4 3 χ+= -4χ+ χ+4χ=- 5χ=0 χ=0 Τελικά χ= 4 3 ή χ=0 θ) 5 - χ-= 5 ή - χ-= -5 - χ-= 5 - χ-= χ-= 3 χ-= - 3 που είναι αδύνατη. -χ-= - 5 -χ-= -5- -χ-= -7 χ-= 7 χ-= 7 ή χ- = -7 χ= 8 ή χ= -6 Τελικά χ=8 ή χ= - 6 ι) 8 Επειδή το είναι πάντα θετικός χρησιμοποιώ την ιδιότητα χ=θ>0 χ=θ ή χ=-θ και έχω 8 ή 8 Επιμέλεια : Άρης Αεράκης

22 Αν αδύνατη Αν 8 χ= 8 0 ( 4) 0 ( )( ) 0 χ= - ή Τελικά χ= - ή χ= ) Να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις α) 3, β) γ) , δ) Παρατηρώ ότι σε αυτές τις εξισώσεις έχω την ίδια ποσότητα μέσα σε όλα τα απόλυτα και δεν έχω πουθενά αλλού χ παρά μόνο μέσα σε αυτά στα απόλυτα.σε τέτοιες εξισώσεις κάνω το εξής τέχνασμα.θέτω ως ω όλη την ποσότητα μαζί με το απόλυτο και έτσι προκύπτει μια απλή εξίσωση ως προς ω την οποία τη λύνω και βρίσκω το ω.αφού βρω το ω γυρίζω στη σχέση που είχα θέση το ω και βρίσκω το χ.τονίζουμε ότι αφού θέτουμε το ω να είναι ίσο με ένα απόλυτο θα πρέπει το ω να είναι θετικό.ας δούμε λοιπόν πως θα λύνουμε τέτοιες εξισώσεις. α) Θέτω χ= ω. Επειδή 0 είναι και ω 0.Με αυτή την αντικατάσταση η εξίσωσή μου γίνεται ( ) 3( ) ( 3) Όμως χ= ω χ= 7 χ= 7 ή χ= - 7 β) Θέτω χ-=ω Επιμέλεια : Άρης Αεράκης

23 Επειδή 0 είναι και ω 0.Με αυτή την αντικατάσταση η εξίσωσή μου γίνεται Όμως ω=χ-χ-= 4 χ- = 4 ή χ-= -4 χ=5 ή χ= ή χ=- 3 γ) Θέτω 3-χ=ω Επειδή 3 0 είναι και ω 0.Με αυτή την αντικατάσταση η εξίσωσή μου γίνεται Όμως το ω δεν μπορεί να είναι αρνητικός και επομένως η εξίσωσή μου είναι αδύνατη. δ) Θέτω χ= ω. Επειδή 0 είναι και ω 0.Με αυτή την αντικατάσταση η εξίσωσή μου γίνεται 3 6 ( ) 4 ( ) Διακρίνω περιπτώσεις για το λ Αν λ> τότε ω>0 και έχω χ= ω Αν λ= τότε ω=0 και έχω χ= ω χ= 0 χ=0 Αν λ< τότε ω<0 και η εξίσωσή μου είναι αδύνατη. 3) Nα λυθούν οι παρακάτω εξισώσεις ) 3 3, ) 5 Για να λύσω τέτοιες εξισώσεις πρέπει να διώξω την απόλυτη τιμή. Αυτό το κατορθώνω διακρίνοντας περιπτώσεις για το χ. Επιμέλεια : Άρης Αεράκης 3

24 α) Για την πρώτη η κρίσιμη τιμή για το χ είναι το γιατί για αυτή την τιμή μηδενίζεται η παράσταση μέσα στο απόλυτο και εκατέρωθεν αυτής της τιμής αλλάζει πρόσημο η παράσταση. Αν χ τότε χ- 0 και χ-= χ- και η εξίσωση γίνεται 3(χ-)=χ Επειδή το 3 είναι μεγαλύτερο του δύο η λύση αυτή είναι δεκτή. Αν χ< τότε χ-<0 και χ-= -(χ-) και η εξίσωση γίνεται 9-3(χ-)=χ Επειδή η τιμή που βρήκα είναι μικρότερη του είναι δεκτή. Τελικά χ=3 ή χ= 9 5 β) Για την δεύτερη η κρίσιμη τιμή για το χ είναι το γιατί για αυτή την τιμή μηδενίζεται η παράσταση μέσα στο απόλυτο και εκατέρωθεν αυτής της τιμής αλλάζει πρόσημο η παράσταση. Αν χ τότε -χ 0 και -χ=-(-χ) και η εξίσωση γίνεται -(-χ)=χ-5-+4χ=χ-54χ-χ= -5+χ= -3 χ= 3 Επειδή η τιμή που βρήκα δεν είναι μεγαλύτερη από απορρίπτεται. Αν χ< τότε -χ>0 και -χ=-χ και η εξίσωση γίνεται (-χ)=χ-5-4χ=χ-5-4χ-χ= χ= -7 χ= 7 6 Επειδή η τιμή που βρήκα δεν είναι μικρότερη από απορρίπτεται. Τελικά η εξίσωσή μου είναι αδύνατη. Τονίζουμε ότι κάθε φορά που θα διακρίνεται περιπτώσεις για να διώξετε τα απόλυτα, θα πρέπει να ελέγχετε αν η τιμή που θα βρείτε ικανοποιεί τη συνθήκη που πήρατε. Αν δεν την ικανοποιεί την απορρίπτετε. 4) Να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις ) 3 5, ) Επιμέλεια : Άρης Αεράκης 4

25 Για να λύσω τέτοιες εξισώσεις πρέπει να διώξω τις απόλυτες τιμές. Αυτό το κατορθώνω διακρίνοντας περιπτώσεις για το χ οι οποίες περιπτώσεις συνοψίζονται σε ένα πινακάκι. α) Οι κρίσιμες τιμές για το χ είναι οι και γιατί για αυτές τις τιμές του χ μηδενίζονται οι παραστάσεις μέσα στα απόλυτα και εκατέρωθεν αυτών των τιμών αλλάζουν πρόσημο αυτές οι παραστάσεις. Φτιάχνουμε λοιπόν το πινακάκι ως εξής Αν χ(-, τότε χ- 0 και χ-<0 και χ-=-(χ-)και χ-= -(χ-) και η εξίσωση γίνεται -3(χ-)-(χ-)=χ-5-3χ+3-χ+4=χ-5-3χ-χ-χ= χ=-χ= 7 Επειδή η τιμή που βρήκα δεν ανήκει στο διάστημα που βρίσκομαι απορρίπτεται. Αν χ(, χ->0 και χ- 0 και χ-=χ-και χ-= -(χ-) και η εξίσωση γίνεται 3(χ-)-(χ-)=χ-53χ-3-χ+4=χ-53χ-χ-χ= χ= -6χ=6 Επειδή η τιμή που βρήκα δεν ανήκει στο διάστημα που βρίσκομαι απορρίπτεται. Αν χ(,+) χ->0 και χ-> 0 και χ-=χ-και χ-=χ- και η εξίσωση γίνεται 3(χ-)+(χ-)=χ-53χ-3+χ-4=χ-53χ+χ-χ= χ=χ= 3 Επειδή η τιμή που βρήκα δεν ανήκει στο διάστημα που βρίσκομαι απορρίπτεται. Τελικά η εξίσωσή μου είναι αδύνατη. ) Οι κρίσιμες τιμές για το χ είναι οι,,3. Το πινακάκι συμπληρώνεται ως εξής Επιμέλεια : Άρης Αεράκης 5

26 Αν χ (-, τότε -χ<0 και χ-= -(χ-), χ- 0 και χ-= -(χ-) 3-χ>0 και 3-χ=3-χ και η εξίσωση γίνεται -3(χ-)+(χ-)=3χ-(3-χ) -3χ+6+4χ-=3χ-6+χ -3χ+4χ-3χ-χ= χ= -0 χ= 5 Επειδή η τιμή που βρήκα δεν ανήκει στο διάστημα που βρίσκομαι απορρίπτεται. Αν χ(, τότε -χ 0 και χ-= -(χ-), χ->0 και χ-= -(χ-) 3-χ>0 και 3-χ=3-χ και η εξίσωση γίνεται -3(χ-)-(χ-)=3χ-(3-χ) -3χ+6-4χ+=3χ-6+χ -3χ-4χ-3χ-χ= χ= -4 χ= 7 6 Επειδή η τιμή που βρήκα ανήκει στο διάστημα που βρίσκομαι είναι δεκτή. Αν χ(,3 τότε -χ>0 και χ-= χ-, χ->0 και χ-= -(χ-) 3-χ 0 και 3-χ=3-χ και η εξίσωση γίνεται 3(χ-)-(χ-)=3χ-(3-χ) 3χ-6-4χ+=3χ-6+χ 3χ-4χ-3χ-χ= χ= - χ= 3 Επειδή η τιμή που βρήκα δεν ανήκει στο διάστημα που βρίσκομαι απορρίπτεται. Αν χ(3,+) τότε -χ>0 και χ-= χ-, χ->0 και χ-= -(χ-) 3-χ<0 και 3-χ= -(3-χ) και η εξίσωση γίνεται 3(χ-)-(χ-)=3χ+(3-χ) 3χ-6-4χ+=3χ+6-χ 3χ-4χ-3χ+χ= χ= 0 χ=-5 Επειδή η τιμή που βρήκα δεν ανήκει στο διάστημα που βρίσκομαι απορρίπτεται. Τελικά η λύση της εξίσωσης είναι η χ= 7 6 Επιμέλεια : Άρης Αεράκης 6

27 H Διώνυμη Εξίσωση χ ν =α Κάθε εξίσωση που έχει ή μπορεί να πάρει τη μορφή χ ν =α λέγεται διώνυμη εξίσωση με άγνωστο το χ.μια τέτοια εξίσωση μπορεί να έχει καμία ή μία ή δύο λύσεις.δεν μπορεί να έχει τρεις ή παραπάνω λύσεις ούτε να είναι αόριστη. Συγκεκριμένα α ν Λύσεις της χ ν =α α=0 χ=0 α>0 ν περιττός χ = α>0 ν άρτιος χ = ή χ = - α<0 ν περιττός χ = - α<0 ν άρτιος αδύνατη Συμπέρασμα Αν ν περιττός τότε Αν ν άρτιος τότε ή Λυμένες ασκήσεις ) Να λυθούν οι εξισώσεις ) 4, 3 ) 8, ), 3 ) ) ) 8 ) ) ( ) ) Να λυθούν οι εξισώσεις ) 0, ) 8 0, ) 6 0, ) ) 0, ) 0, ) 7 0, ) )8 7 0, )5 80 0, ) 3 0, )4 5 4 Επιμέλεια : Άρης Αεράκης 7

28 ) ) ( ) ) ) ( ) ) 0 ( ) ) 0 ( ) ) 7 0 ( 3 7) ) ( ) ) ( ) ) ) ( ) 4 ) ) Να λυθούν οι εξισώσεις )( ) 4, )( ) ( ), )( ) 3 )( ) ( 3), )( ) ( ), )4( 3) 9( ) 3 3 )( ) 4 ( ) 3 3 )( ) ( ) 3 )( ) )( ) ( 3) ( ) ( 3) ( ) (3 ) 3 5 )( ) ( ) )4( 3) 9( ) ( 3) 3( ) ( 3) 3( ) ( 3) 3( ) Επιμέλεια : Άρης Αεράκης 8

29 Εξισώσεις ου βαθμού Έστω ότι θέλουμε να λύσουμε μια εξίσωση ου βαθμού δηλαδή μια εξίσωση που έχει ή μπορεί να πάρει τη μορφή αχ +βχ +γ=0 με α 0. (Βάζουμε τον περιορισμό α 0 γιατί αν α=0 τότε μηδενίζεται ο όρος με το χ και έτσι η εξίσωσή μου παύει να είναι ου βαθμού αλλά πρώτου.) Τα βήματα που ακολουθούμε για να λύσουμε μια τέτοια εξίσωση είναι τα εξής ) Γράφουμε τους α,β,γ με τα πρόσημά τους για να τους βλέπουμε ) Βρίσκουμε τη διακρίνουσα Δ δηλαδή την ποσότητα Δ= β -4αγ 3)Ανάλογα με το πρόσημο της Δ διακρίνω τις εξής περιπτώσεις Αν Δ>0 τότε η εξίσωσή μου έχει δύο ρίζες άνισες που δίνονται από τους τύπους Αν Δ=0 τότε η εξίσωσή μου έχει δύο ρίζες ίσες ή όπως λέμε μια διπλή ρίζα που δίνεται από τον τύπο Αν Δ<0 τότε η εξίσωσή μου δεν έχει λύσεις στο R δηλαδή είναι αδύνατη. Παρατηρήσεις. Για να κάνω την παραπάνω διαδικασία πρέπει να έχω φέρει την εξίσωσή μου στη μορφή αχ +βχ +γ με α 0. Στους παραπάνω τύπους τα α,β,γ μπαίνουν με τα πρόσημά τους για αυτό πάντα πρώτα να γράφεται τους α,β,γ για να τους βλέπετε. 3. Μας αρέσει ο α να είναι για αυτό όταν δεν είναι θα τον κάνουμε διαιρώντας όλους τους όρους της εξίσωσης με α ( εκτός και αν προκύπτουν κλάσματα που δυσχεραίνουν τις πράξεις ) 4. Αν κάποιος από τους β ή γ είναι 0 τότε μπορούμε να εφαρμόσουμε τη διαδικασία που είπαμε κανονικά βάζοντας τους 0 ή να τη λύσουμε πιο εύκολα με παραγοντοποίηση (κοινός παράγοντας αν γ=0 ή διαφορά τετραγώνων αν β=0 ). Παράδειγμα i) χ - 3 = 0 χ = 3 χ = ii) 5χ -7χ = 0 χ(5χ -7) = 0 χ = 0 ή 5χ -7 = Επιμέλεια : Άρης Αεράκης 9

30 5. Το πλήθος των λύσεων το καθορίζει η διακρίνουσα Δ Αν λοιπόν έχουμε μια εξίσωση αχ +βχ +γ=0 με α 0 με διακρίνουσα Δ τότε Απαίτηση Συνθήκη Η εξίσωση έχει δύο ρίζες άνισες Δ>0 Η εξίσωση έχει δύο ρίζες ίσες ( ή μία διπλή ρίζα ) Δ=0 Η εξίσωση είναι αδύνατη στο R Δ<0 Η εξίσωση έχει ρίζες στο R 0 6. Στην εξίσωση αχ +βχ +γ = 0 αν οι συντελεστές α και γ είναι ετερόσημοι αριθμοί τότε η εξίσωση έχει δύο ρίζες πραγματικές και άνισες. ΑΠΟΔΕΙΞΗ: ( Θα κτίσουμε τη διακρίνουσα) Αν α και γ ετερόσημοι τότε α.γ < 0-4αγ > αγ > 0 επίσης για κάθε β είναι β 0 προσθέτουμε κατά μέλη τις τελευταίες ανισώσεις και έχουμε β -4αγ > 0 Δ > 0 άρα η εξίσωση έχει δύο ρίζες πραγματικές και άνισες. Π.χ. η εξίσωση 56χ +3χ -6 = 0 έχει δύο ρίζες άνισες γιατί οι αριθμοί α = 56 και γ = -6 είναι ετερόσημοι. Στην περίπτωση που οι α, γ είναι ομόσημοι τότε δεν μπορούμε αμέσως να απαντήσουμε για το πλήθος των ριζών της εξίσωσης και πρέπει να υπολογίσουμε τη διακρίνουσα. 7. Όταν η Δ είναι τέλειο τετράγωνο δηλαδή εξίσωσης αχ +βχ +γ=0 θα γράφουμε τότε για τις ρίζες της, και όχι, Επιμέλεια : Άρης Αεράκης 30

31 Λυμένες ασκήσεις ) Να λυθούν οι παρακάτω εξισώσεις ) 5 6 0, ) 0 0, ) ) 4 4 0, ) 5 0, ) α) Η εξίσωση έχει τη μορφή που θέλω. Είναι α=, β=5, γ=6. Υπολογίζω τη διακρίνουσα Δ Είναι Επειδή Δ=>0 η εξίσωση έχει δύο λύσεις άνισες που δίνονται από τον τύπο 5 5, 3 Τελικά η εξίσωσή μου έχει δύο λύσεις τις χ=- και χ=-3 β) 0 0 Η εξίσωση έχει τη μορφή που θέλω αλλά επειδή μου αρέσει ο α να είναι κάνω το εξής : 0 0 ( 5 6) Αντί λοιπόν να λύσω την αρχική λύνω την τελευταία που έχει πιο μικρούς συντελεστές. Είναι α=, β=-5, γ= 6. Υπολογίζω τη διακρίνουσα Δ Είναι 4 ( 5) Επειδή Δ=>0 η εξίσωση έχει δύο λύσεις άνισες που δίνονται από τον τύπο ( 5) 5 3 Τελικά η εξίσωσή μου έχει δύο λύσεις τις χ=3 και χ= γ) Η εξίσωσή μου είναι στη μορφή που θέλω και δεν μπορώ να κάνω το α γιατί θα παρουσιαστούν κλάσματα. Είναι α=, β=-5, γ= 3 Υπολογίζω τη διακρίνουσα Δ. Είναι 4 ( 5) Επειδή Δ=>0 η εξίσωση έχει δύο λύσεις άνισες που δίνονται από τον τύπο 3 ( 5) 5, 4 Τελικά η εξίσωσή μου έχει δύο λύσεις τις χ= 3 και χ= δ) Η εξίσωση μου είναι στη μορφή που θέλω. Είναι α= β=-4 γ=4. Δ= ( 4) Επειδή Δ=0 η εξίσωση έχει μια διπλή ρίζα που δίνεται από τον τύπο ( 4) 4 Επιμέλεια : Άρης Αεράκης 3

32 Άρα η λύση της εξίσωσης είναι η χ= ε) 5 0. Η εξίσωση είναι στη μορφή που θέλω. Είναι α= β=- γ=5. Δ= ( ) Επειδή Δ<0 η εξίσωσή μου δεν έχει λύση στο δηλαδή είναι αδύνατη. στ) Η εξίσωσή μου είναι στη μορφή που θέλω και δεν μπορώ να κάνω το α γιατί θα παρουσιαστούν κλάσματα. Είναι α=, β=-3 3, γ= 3. Υπολογίζω τη διακρίνουσα Δ Είναι 4 (3 3) Επειδή Δ=3>0 η εξίσωση έχει δύο λύσεις άνισες που δίνονται από τον τύπο 3 ( 3 3) , 4 3 Τελικά η εξίσωσή μου έχει δύο λύσεις τις χ= 3 και χ= 3 ) Να λυθούν οι παρακάτω εξισώσεις ) ( ) 0, )( ) ( ) ( )( ) ) ( ) 0. Είναι α=, β = ( ), γ = ( ) 4 ( ) 4 4 ( ) Επειδή Δ= ( ) >0 η εξίσωση έχει δύο λύσεις άνισες που δίνονται από τον τύπο ( ) ( ) ( ), Τελικά η εξίσωσή μου έχει δύο λύσεις τις χ= και χ= )( ) ( ) ( )( ). Πρέπει να τη φέρω στη μορφή που θέλω. ( ) ( ) ( )( ) ( 4) Είναι α=, β=-, γ=-4. Δ= (-) 4 (-4)=+6=7 7 ( ) 7, 7 Επιμέλεια : Άρης Αεράκης 3

33 Τελικά η εξίσωσή μου έχει δύο λύσεις τις χ= 7 3) Να λυθούν οι παρακάτω εξισώσεις και χ= 7 α) χ -(α +3β)χ +β(α +β) = 0, β) χ -(3+ )χ +6 = 0, γ)χ -(3α +)χ +α(α +) = 0 α) Η εξίσωση χ -(α +3β)χ +β(α +β) = 0 έχει Δ = [-(α +3β)] -4..β(α +β) = (α+3β) -8β(α+β) = α +6αβ +9β -8αβ -8β = α -αβ +β = (α -β) x, 3 ( ) 3. ( ) οπότε 3 ( ) 3 4 x ( ) 3 ( ) 3 x β) Η εξίσωση χ -(3+ )χ +6 = 0 έχει α =, β = ( 3 ), γ = 6 και Δ = [ ( 3 ) ] = ( ) -4 = 3 + +( ) -4 = 3 - +( ) = (3 - ) οπότε x, 3 ( 3 ) 3 ( 3 ) και άρα. x 3 ( 3 ) x 3 ( 3 ) και Επομένως οι ρίζες τις εξίσωσης είναι 3 και. γ) Η εξίσωση χ -(3α +)χ +α(α +) = 0 είναι δευτεροβάθμια με Δ = [-(3α +)] -4..α(α +) = 9α +6α + -8α -8α = α -α + = (α -) ( 3 ) ( ) 3 ( ) οπότε οι ρίζες είναι x, ή x ( ) και 3 ( ) 3 ( ) x Επιμέλεια : Άρης Αεράκης 33

34 Επομένως χ = α ή χ = α + 4) Να βρείτε το πλήθος των λύσεων των παρακάτω εξισώσεων α) ( ) 0, β) ( 3) 0, γ) 0, α 0, δ) ( ) 0, α 0 Το πλήθος των ριζών μιας δευτεροβάθμιας εξίσωσης εξαρτάται από τη διακρίνουσά της. Έτσι ελέγχουμε χωριστά την κάθε εξίσωση α) Η εξίσωση χ +(κ +)χ +κ +κ + = 0 έχει Δ = (κ +) -4(κ +κ +) = 4κ +4κ + -4κ -4κ -4 = -3 < 0. Άρα είναι αδύνατη στο R. β) Η εξίσωση (λ +3)χ +λχ + = 0 είναι ου βαθμού αφού 3 0 για κάθε λ και έχει Δ = (λ) -4(λ +3). = 4λ -4 - = - < 0. Άρα είναι αδύνατη στο R. γ) Η εξίσωση α χ +αβχ +β = 0 έχει Δ = (αβ) -4α.β = 4α β - 4α β = 0 και άρα έχει διπλή ρίζα δ) Η εξίσωση αχ +(α +β)χ +β = 0 έχει Δ = (α +β) -4αβ = α +αβ +β -4αβ = α -αβ +β = (α -β) 0 δηλαδή έχει σίγουρα ρίζες πραγματικές. Συγκεκριμένα έχει ρίζες άνισες αν, ενώ έχει μια διπλή αν α = β. 5) Να βρείτε για ποιες τιμές του λ η εξίσωση ως προς χ 3 ( 3 ) είναι ου βαθμού. Για να είναι ου βαθμού θα πρέπει να μη μηδενίζεται ο όρος με το χ. Αυτό συμβαίνει όταν λ -3λ+ 0 που λύνοντας την βρίσκουμε λ και λ. 6) Να βρείτε τις τιμές του λ ώστε η εξίσωση χ -χ+λ=0 να είναι αδύνατη. Η εξίσωση είναι ου βαθμού και για να αδύνατη πρέπει Δ<0 Είναι Δ=(-) -4λ=4-4λ. Άρα η απαίτηση Δ<0 4-4λ<0-4λ<-4 λ>. Επιμέλεια : Άρης Αεράκης 34

35 Άρα το λ μπορεί να πάρει οποιαδήποτε τιμή μεγαλύτερη του. 7) Να βρείτε το λ ώστε η εξίσωση χ -χ+λ =0 να έχει μια διπλή ρίζα. Η εξίσωση είναι ου βαθμού και για να έχει μια διπλή ρίζα πρέπει η διακρίνουσα να είναι 0.Είναι Δ=(-) -4λ =4-4λ =4(-λ ) Άρα η απαίτηση Δ=0 σημαίνει ότι 4(-λ )=0 -λ =0 λ = λ= ή λ= -. 8) Να βρείτε τις τιμές του λ για τις οποίες η εξίσωση έχει δύο ρίζες άνισες. 3 0 Κατά αρχήν πρέπει να εξασφαλίσουμε ότι η εξίσωση είναι όντως ου βαθμού. Αυτό συμβαίνει όταν λ 0. Για να έχει και δύο λύσεις άνισες πρέπει Δ>0 Όμως Δ= 4-λ. Άρα η απαίτηση Δ>0 4-λ>0 -λ>-4 λ< 3. Άρα το λ μπορεί να πάρει οποιαδήποτε τιμή μικρότερη του 3 εκτός από 0. 9) Αν η εξίσωση λχ -χ+λ =0 έχει δύο λύσεις και η μία είναι η χ = - να βρείτε το λ και την άλλη λύση της εξίσωσης. Αφού έχει λύση τη χ = - αν βάλουμε όπου χ το - η εξίσωση θα επαληθεύεται Έτσι θα προκύψει μια εξίσωση ως προς λ την οποία θα λύσουμε για να βρούμε το λ. Είναι λ(-) -(-)+λ =0 4λ+4+λ =0 λ +4λ+4=0 Είναι α= β=4 γ=4. Δ=4-4 4 =6-6=0 Άρα έχω μία διπλή λύση τη λ= 4 Επομένως λ= - και έτσι η εξίσωση γίνεται -χ -χ+(-) =0 -χ -χ+4=0 -(χ +χ-)=0 χ +χ-=0 Είναι α= β= γ=-. Δ= -4(-)=+8=9 9 3 Άρα έχει δύο λύσεις τις, Επομένως η άλλη λύση της εξίσωσης είναι η χ=. 0) Αν η εξίσωση λχ -5λχ+4λ =0 έχει δύο λύσεις και η μία είναι η χ = να βρείτε το λ και την άλλη λύση της εξίσωσης. Αφού έχει λύση τη χ = αν βάλουμε όπου χ το η εξίσωση θα επαληθεύεται. Επιμέλεια : Άρης Αεράκης 35

36 Έτσι θα προκύψει μια εξίσωση ως προς λ την οποία θα λύσουμε για να βρούμε το λ. Είναι λ -5λ+4λ =0 λ-5λ+4λ =0 4λ -4λ=0 4λ(λ-)=0 λ=0 ή λ= Η τιμή λ=0 απορρίπτεται γιατί αν βάλω την τιμή του λ=0 στην αρχική μου εξίσωση θα μηδενιστεί το ο μέλος και η εξίσωση θα είναι αόριστη με άπειρες λύσεις σε αντίθεση με την εκφώνηση που λέει ότι έχει δύο λύσεις. Επομένως λ= και έτσι η εξίσωση γίνεται χ -5χ+4=0 Είναι α= β=-5 γ=4 Δ=5-4 4=5-6=9 Άρα έχει δύο λύσεις τις, ( 5) Επομένως η άλλη λύση της εξίσωσης είναι η χ=4. ) Να δείξετε ότι αν η εξίσωση χ +χ +λ = 0 έχει διπλή ρίζα τότε η εξίσωση χ +χ +λ = 0 είναι αδύνατη. Αφού η εξίσωση χ +χ +λ = 0 έχει διπλή ρίζα θα είναι Δ = 0-4..λ = 0 4-4λ = 0 λ = Τότε η εξίσωση χ +χ +λ = 0 γίνεται χ +χ +. = 0 χ +χ + = 0 η οποία έχει Δ = -4.. = 4-8 = -4 < 0 και άρα η εξίσωση είναι αδύνατη ) Αν η εξίσωση χ -αχ + = 0 έχει πραγματικές ρίζες τότε να βρείτε τις τιμές του α. Αφού η εξίσωση χ -αχ + = 0 έχει πραγματικές ρίζες τότε θα είναι Δ 0 (-α) α α 4 4 (, ] [, ) 3) Αν η εξίσωση (μ +)χ +μχ +μ = 0 έχει ρίζες άνισες τότε να βρείτε τις τιμές του μ. Καταρχήν για να έχει ρίζες άνισες οφείλει να είναι ου βαθμού πράγμα που σημαίνει ότι 0. Όντας τώρα ου βαθμού για να έχει ρίζες άνισες πρέπει Δ > 0 (μ) -4(μ +).μ > 0 4μ -4μ -4μ > 0-4μ > 0 μ < 0 Επιμέλεια : Άρης Αεράκης 36

37 Τελικά πρέπει μ (, ) (, 0) 4) Αν η εξίσωση αχ +(α +)χ +α + = 0 έχει πραγματικές ρίζες τότε να βρείτε τις τιμές του α. Η εξίσωση μπορεί να έχει πραγματικές ρίζες ( ο πληθυντικός δεν σημαίνει απαραίτητα πάνω από μία ) είτε όντας ου βαθμού είτε ου. Συνεπώς πρέπει να διακρίνουμε περιπτώσεις. Αν α = 0 η εξίσωση γίνεται 0 και άρα έχει πραγματική ρίζα, που σημαίνει ότι η τιμή α = 0 είναι δεκτή Αν α 0 τότε η εξίσωση είναι δευτέρου βαθμού και για να έχει πραγματικές ρίζες πρέπει Δ 0 [(α +)] -4.α.(α+) 0 4( α +α +) -4α -4α 0 4α +8α +4-4α -4α 0 4α α -4 α - Τελικά πρέπει διευκρινίζοντας ότι αν [,0) (0, ) έχει δύο ρίζες άνισες ενώ αν α = 0 έχει μια μόνο ρίζα ( απλή). 5) Δίνεται η εξίσωση (λ -λ -8)χ +(λ +)χ + = 0.Να βρείτε για ποιες τιμές του λ η παραπάνω εξίσωση ως προς χ α) έχει μία μόνο ρίζα β) έχει διπλή ρίζα α) Για να έχει μία μόνο ρίζα πρέπει καταρχήν να είναι ου βαθμού δηλαδή να είναι λ -λ -8 = 0. Η εξίσωση λ -λ -8 = 0 έχει Δ = (-) - 4..(-8) = 4 +3 = 36 και ρίζες 6, ή και 6 4 Αν λ = 4 τότε η εξίσωση (λ -λ -8)χ +(λ +)χ + = 0 γίνεται 0χ +6χ + = 0 6χ + = 0 6χ = - χ = 6 δηλ. έχει μία μόνο λύση Αν λ = - τότε η εξίσωση (λ -λ -8)χ +(λ +)χ + = 0 γίνεται 0χ +0χ + = 0 0χ = - που είναι αδύνατη. Επιμέλεια : Άρης Αεράκης 37

38 Άρα η αρχική εξίσωση έχει μία μόνο λύση όταν είναι λ = 4 β) Η εξίσωση (λ -λ -8)χ +(λ +)χ + = 0 έχει διπλή ρίζα αν είναι ου βαθμού δηλαδή αν λ -λ -8 0 και έχει Δ = 0 Είναι λ -λ -8 = 0 όταν λ = 4 ή λ = - επομένως για να έχουμε λ -λ -8 0 πρέπει να είναι λ 4 και λ - Δ = 0 (λ+) -4(λ -λ -8). = 0 λ +4λ +4-4λ +8λ +3 = 0-3λ +λ +36 = 0 ή 3λ -λ -36 = 0 Η τελευταία εξίσωση έχει Δ = (-) (-36) = 576 και ρίζες , ( ) Πρέπει όμως να είναι λ 4 και λ - γι αυτό από τις δύο τελευταίες ρίζες κρατάμε μόνο τη ρίζα λ = 6 Επομένως η εξίσωση (λ -λ -8)χ +(λ +)χ + = 0 έχει διπλή ρίζα όταν λ = 6 6) Αν x, x R τότε να δείξετε ότι x Αν x, x x R τότε ψ(χ +) = χ ψχ +ψ -χ = 0 ψχ -χ +ψ = 0 Η τελευταία εξίσωση αν ψ 0 είναι δευτεροβάθμια με άγνωστο το χ x και επειδή αληθεύει για κάθε χr αφού ισχύει x σημαίνει ότι ως εξίσωση ου βαθμού έχει πραγματικές ρίζες και άρα θα είναι Δ 0 (-) -4ψ.ψ 0-4ψ -4 ψ Επίσης αν ψ = 0 η εξίσωση αληθεύει για χ = 0 οπότε και αυτή η τιμή του ψ είναι δεκτή. Τελικά. Επιμέλεια : Άρης Αεράκης 38

39 7) Δίνεται η εξίσωση ( 3 ) ( ) 0 (). Να προσδιορίσετε για τις διάφορες τιμές του λ το πλήθος των ριζών της () Πρέπει αρχικά να δούμε για ποιες τιμές του λ η () είναι ου βαθμού και για ποιες ου. Είναι 3 0 ( )( ) 0 λ = - ή λ = - Αν λ = - η () γίνεται : Αν λ = - η () γίνεται : τη χ = που είναι αδύνατη 0 0 δηλαδή έχει μία λύση Αν η () είναι ου βαθμού και το πλήθος των ριζών της το καθορίζει το πρόσημο της διακρίνουσας. Για ευκολία στις πράξεις γράφουμε την () ως εξής : ( )( ) ( ) 0 Είναι 4( ) 4( )( ) 4( )[ ( )] 4( )( ) 4( ) Το πρόσημο της διακρίνουσας φαίνεται στο παρακάτω πίνακα Αν λ = - η () δεν έχει διπλή ρίζα αφού για την τιμή αυτή όπως δείξαμε η εξίσωση είναι αδύνατη Αν λ < - αλλά με λ η () έχει δύο ρίζες άνισες Αν λ > - η () είναι αδύνατη στο. Επιμέλεια : Άρης Αεράκης 39

40 Άθροισμα και γινόμενο ριζών Αν έχουμε μια εξίσωση αχ +βχ +γ=0, α 0 με ρίζες, τότε Άθροισμα ριζών S Απόδειξη : S = = Γινόμενο ριζών ( ) ( ) ( 4 ) 4 Απόδειξη : P = = Οι παραπάνω τύποι λέγονται τύποι του Vieta. Η χρησιμότητα των παραπάνω τύπων είναι η εξής : α) Δίνουν το άθροισμα και το γινόμενο των ριζών χωρίς να ξέρουμε τις ρίζες, δηλαδή χωρίς να είναι απαραίτητο να λύσουμε την εξίσωση. β) Προσδιορίζουν το είδος τω ν ριζών όπως φαίνεται παρακάτω Απαίτηση Συνθήκη Ρίζες ετερόσημες Ρ < 0 Ρίζες ομόσημες 0, 0 Ρίζες θετικές 0, 0, S 0 Ρίζες αρνητικές 0, 0, S 0 Ρίζες αντίθετες 0, S 0 Ρίζες αντίστροφες 0, Επιμέλεια : Άρης Αεράκης 40

41 Τονίζουμε ότι αν γ) Υπολογίζουμε παραστάσεις που περιέχουν τις ρίζες, και που μπορούν να εκφραστούν αποκλειστικά συναρτήσει των S, P, γεγονός χρήσιμο όταν δεν μπορούμε να βρούμε τις ρίζες, ή μπορούμε αλλά είναι άρρητοι και δυσχεραίνουν τις πράξεις Με τη βοήθεια των παραπάνω τύπων η αρχική εξίσωση γίνεται : S P 0 Η δευτεροβάθμια εξίσωση της μορφής χ - Sχ +P = 0 μας βοηθάει να απαντήσουμε σύντομα στα εξής : Να κατασκευάσουμε μία εξίσωση ου βαθμού αν είναι γνωστό το άθροισμα S και το γινόμενο P των ριζών της. Π.χ. Η εξίσωση που έχει άθροισμα ριζών 7 και γινόμενο είναι η χ - 7χ + = 0 Να βρούμε δύο αριθμούς αν γνωρίζουμε ότι το άθροισμά τους είναι S και το γινόμενό τους P. Σε αυτή τη περίπτωση οι ζητούμενοι αριθμοί θα είναι οι ρίζες μιας δευτεροβάθμιας εξίσωσης της μορφής χ - Sχ +P = 0 Π.χ. Οι αριθμοί που έχουν άθροισμα 7 4 και γινόμενο 3 4 είναι οι ρίζες της εξίσωσης χ χ = 0 οι οποίες είναι ρ =, ρ = 3 4 Πράγματι ρ +ρ = = 7 4 και ρ.ρ =. 3 4 = 3 4. Να βρούμε σύντομα της ρίζες της εξίσωσης χ - Sχ +P = 0 αφού βρούμε δύο αριθμούς με γινόμενο P και άθροισμα S. Π.χ. Η εξίσωση χ - ( + 7 )χ + 7 = 0 έχει ρίζες ρ = και ρ = μόνο αυτού οι αριθμοί έχουν άθροισμα 7 και γινόμενο 7. 7 αφού Επιμέλεια : Άρης Αεράκης 4

42 Λυμένες ασκήσεις ) ν, οι ρίζες της εξίσωσης 3 0 να βρεθούν οι παραστάσεις α) β) γ) δ) ε) στ) ζ) η) ( ) θ) ι) ( )( ) Αν προσπαθήσουμε να λύσουμε την εξίσωση θα δούμε ότι οι ρίζες, είναι άρρητοι και δυσχεραίνουν τις πράξεις. Σε τέτοιες περιπτώσεις δουλεύουμε όπως παρακάτω : 3 = 3, β) ( ) ( 3) ( ) 3 α) γ) ) ( ) 3 ( ) ( 3) 3( )( 3) 45 ) ( ) ( ) 3 ( ) στ), ζ) 3 3 η) ( ) 3 ( ) 7, θ) 7 ι) ( )( ) 4 4 ( ) 4( ) ( 3) Επιμέλεια : Άρης Αεράκης 4

43 ) Αν, οι ρίζες της εξίσωσης 3 0 να βρεθεί η εξίσωση με ρίζες α) 3, 3, β),, γ), Θα κάνουμε χρήση του τύπου χ - Sχ +P = 0 όπου S, Προτού όμως βρούμε σε κάθε περίπτωση τα S, P είναι απαραίτητο να βρούμε τις ποσότητες και.επειδή, ρίζες της 3 0 είναι =, 3 3 α) Είναι S 3 3 ( ) 6 ( ) 6 ( 3)( 3) ( ) 9 4( 3) 6( ) 9 5 Συνεπώς η ζητούμενη εξίσωση είναι η χ - χ +5 = 0 β) Είναι S Συνεπώς η ζητούμενη εξίσωση είναι η χ - 3 χ - 3 = γ) Είναι S ( ) ( ) ( 3) 0 ( ) ( 3) 9 Συνεπώς η ζητούμενη εξίσωση είναι η χ - 0χ +9 = 0 3) Εξετάστε αν υπάρχει τιμή του λ για την οποία η παρακάτω εξίσωση έχει δύο ρίζες αντίθετες, (3 ) 0. Επιμέλεια : Άρης Αεράκης 43

44 Πρέπει καταρχήν να έχει πραγματικές ρίζες δηλαδή 0 και κατόπιν να είναι αντίθετες, δηλαδή να έχουν άθροισμα 0 δηλαδή S=0. 0 (3 ) 4 0 (3 ) 8 () Είναι (3 ) και S η οποία απορρίπτεται αφού 3 δεν επαληθεύει την (). β τρόπος Δεδομένου ότι το 0 δεν επαληθεύει την εξίσωση και η εξίσωση έχει 0 οι ρίζες της εξίσωσης είναι ομόσημες και άρα σε κμία περίπτωση αντίθετες. 4) Δίνεται η εξίσωση ( ) 5 0. Να εξηγήσετε γιατί έχει σίγουρα δύο ρίζες άνισες. Να βρείτε για ποιες τιμές του λ οι ρίζες αυτές είναι αντίθετες. Η εξίσωση έχει σίγουρα δύο ρίζες άνισες αφού α, γ ετερόσημοι. Για να είναι οι ρίζες αυτές αντίθετες πρέπει ( ) S 5) Να βρεθεί η τιμή του λ για την οποία η παρακάτω εξίσωση έχει δύο ρίζες αντίστροφες, Πρέπει καταρχήν να έχει πραγματικές ρίζες δηλαδή 0 και κατόπιν να είναι αντίστροφες, δηλαδή να έχουν γινόμενο, δηλαδή Ρ =. 5 Είναι 0 ( 5) 4 ( 3 ) () 3 και 3 που είναι δεκτή αφού ικανοποιεί την () αφού 75 που ισχύει ) Να βρεθεί η τιμή του λ για την οποία η παρακάτω εξίσωση έχει δύο ρίζες εκ των οποίων η μια είναι ίση με το τριπλάσιο της άλλης, ( ) 0. Επιμέλεια : Άρης Αεράκης 44

45 Πρέπει καταρχήν να έχει πραγματικές ρίζες δηλαδή 0. Είναι 0 (3 ) 4 0 ( ) 48 () Έστω ρ η μία ρίζα οπότε από τα δεδομένα η άλλη θα είναι 3ρ. Από το γινόμενο των ριζών έχουμε ότι : Αν ρ = τότε η άλλη είναι 6 και από το άθροισμα των ριζών έχουμε : που είναι δεκτή αφού επαληθεύει την (). Αν ρ = - τότε η άλλη είναι -6 και από το άθροισμα των ριζών έχουμε : που είναι δεκτή αφού επαληθεύει την (). Τελικά οι ζητούμενες τιμές είναι 9 και 7 7) Δίνεται η εξίσωση x + x + λ - = 0 με ρίζες x, x. Να βρείτε για ποια τιμή του λ είναι x x + 3 (x + x ) + 5 = 0 Δεδομένου ότι η εξίσωση έχει πραγματικές ρίζες πρέπει 0. Είναι 0 4 ( ) () 4 Δεδομένου ότι η παράσταση x x + 3 (x + x ) + 5 = 0 είναι συναρτήσει του 5, δεν χρειάζεται να ξέρουμε τις ρίζες της εξίσωσης παρά μόνο το άθροισμα και γινόμενό τους. Από το άθροισμα και γινόμενο ριζών έχουμε : = και οπότε η παράσταση γίνεται : 3( ) που είναι δεκτή αφού επαληθεύει την (). 8) Αν για τις ρίζες ρ, ρ της εξίσωσης χ -λχ + = 0 ισχύει. 7 να βρείτε τις τιμές του λ. Δεδομένου ότι η εξίσωση έχει πραγματικές ρίζες πρέπει 0. Είναι Επιμέλεια : Άρης Αεράκης 45

46 0 ( ) () Επειδή οι αριθμοί ρ, ρ είναι ρίζες της εξίσωσης χ -λχ + = 0 έχουμε ρ + ρ = και ρ.ρ = οπότε η ισότητα. 7 γράφεται διαδοχικά ( ).. 7 ( ). 7 Στη συνέχεια θέτουμε όπου ρ + ρ = λ και ρ.ρ = και έχουμε λ - = 7 λ = 9 λ = 9 3 που είναι δεκτές αφού επαληθεύουν την (). 9) Δίνεται η εξίσωση ( ) 0 όπου λ. Α) Να δείξετε ότι για κάθε λ έχει δύο ρίζες άνισες. Έστω, οι ρίζες της παραπάνω εξίσωσης Β) Να βρείτε για ποιες τιμές του λ οι παρακάτω ευθείες είναι κάθετες :, : 5 Γ) Να βρείτε για ποιες τιμές του λ η απόσταση των σημείων (, ), (,) είναι 7. Δ) Να βρείτε για ποιες τιμές του λ είναι 3 < 0 για κάθε Α) Είναι εξίσωση ου βαθμού αφού α = > 0 και γ = 3 3 λ αφού ( ) ( ) Συνεπώς οι α, γ είναι ετερόσημοι, πράγμα που σημαίνει ότι η εξίσωση έχει δύο ρίζες άνισες. Β) Για να είναι κάθετες θα πρέπει το γινόμενο των συντελεστών διεύθυνσης να είναι - δηλαδή 0 ( ) 0 λ = 0 ή λ = - Γ) Από τον τύπο της απόστασης δύο σημείων έχουμε : Επιμέλεια : Άρης Αεράκης 46

47 ( ) 7 ( ) ( ) 7 ( ) ( ) 7 7 ( ) 7 ( ) ( ) 50 ( ) ( ) ( ) αντικαταστήσαμε όπου και Δ) Η δοσμένη ισότητα γράφεται 3 3 ( ) 3 ( ) 3 3 ( ) 4 3 ( ) 4( ) ( ) 0 0) Αν η εξίσωση χ +χ +α = 0, α 0 έχει ρίζες χ, χ τότε να βρείτε την x x εξίσωση με ρίζες, x x Αν η εξίσωση χ +χ +α = 0, α 0 έχει ρίζες χ, χ τότε χ + χ = και χ. χ = Στη συνέχεια βρίσκουμε το άθροισμα S και το γινόμενο P των ριζών ρ, ρ. Έχουμε S = ρ + ρ = x x x x ( x x ) x x x x x x [( x x ) xx ] [( ) ] 8 4 x x οπότε η εξίσωση με ρίζες ρ, ρ θα είναι της μορφής και P = ρ. ρ = x x. 4 x x χ - Sχ +P = 0 χ χ +4 = 0 αχ -(8-4α)χ +4α = 0. ) Αν για τις πραγματικές ρίζες ρ, ρ της εξίσωσης χ -4χ +λ + = 0 ισχύει 3ρ.ρ -ρ -ρ > 5 τότε να βρείτε τις τιμές του λ. Δίνεται ότι η εξίσωση χ -4χ +λ + = 0 έχει πραγματικές ρίζες άρα θα είναι Δ 0 (-4) -4..(λ +) 0 6-4λ λ - λ 3 Επιμέλεια : Άρης Αεράκης 47

48 Επίσης από τους τύπους του Vieta έχουμε ρ +ρ = 4 4 και ρ.ρ = οπότε η σχέση 3ρ.ρ -ρ -ρ > 5 γίνεται διαδοχικά 3ρ.ρ -(ρ +ρ ) > 5 3(λ +) - 4 > 5 3λ +3-4 > 5 3λ > 6 λ > Στη συνέχεια βρίσκουμε που συναληθεύουν οι ανισώσεις λ 3 και λ > Έχουμε Άρα < λ 3 ) Αν για τις ρίζες ρ, ρ μιας δευτεροβάθμιας εξίσωσης ισχύουν οι σχέσεις α) ρ.ρ - ρ -ρ = 4 και β) (ρ +ρ ) - ρ.ρ = λ τότε να βρείτε την εξίσωση Θέτουμε ρ +ρ = S και ρ.ρ = P οπότε οι σχέσεις α) ρ.ρ - ρ -ρ = 4 και β) (ρ +ρ ) - ρ.ρ = λ γίνονται P -S = 4 και S -P = λ. Προσθέτουμε κατά μέλη τις δύο σχέσεις και έχουμε P = λ +4. Τη τιμή του P = λ +4 θέτουμε στη εξίσωση -P +S = λ και έχουμε -(λ +4) +S = λ -λ -4 +S = λ S = λ +4 Από τα παραπάνω προκύπτει ότι το άθροισμα των ριζών της ζητούμενης εξίσωσης είναι S = λ +4 και το γινόμενο P = λ +4 και η μορφή της χ - Sχ +P = 0 ή χ -(λ +4)χ +λ +4 = 0 3) Δίνεται η εξίσωση χ -0χ +λ = 0 με ρίζες ρ, ρ. Να βρείτε τις τιμές του λ στις παρακάτω περιπτώσεις : i) Αν οι ρίζες είναι πραγματικές ii) Αν οι ρίζες είναι ίσες iii) Αν οι ρίζες είναι αντίστροφες iv) Αν η μία ρίζα είναι κατά 4 μεγαλύτερη από την άλλη v) Αν ισχύει vi) Αν ρ = λ 3 3 vii) Αν 5( ) 0 i) Η εξίσωση χ -0χ +λ = 0 έχει ρίζες πραγματικές αν είναι Δ 0 (-0) -4..λ λ 0-4λ -00 λ λ 5 ii) Η εξίσωση χ -0χ +λ = 0 έχει ρίζες ίσες αν είναι Δ = 0 (-0) -4..λ = λ = 0-4λ = -00 λ = Δηλαδή λ = 5 ή λ = -5 iii) Αν οι ρίζες ρ, ρ της εξίσωσης χ -0χ +λ = 0 είναι αντίστροφες τότε θα είναι ρ.ρ =. Από τους τύπους Vieta έχουμε επίσης ρ.ρ = λ. Τα πρώτα μέλη των παραπάνω σχέσεων είναι ίσα άρα και τα δεύτερα, δηλαδή λ = λ = λ = ή λ = - που είναι δεκτές αφού για τις τιμές αυτές βάση του i) η εξίσωση έχει πράγματι ρίζες. Επιμέλεια : Άρης Αεράκης 48

49 iv) Έστω ότι η ρίζα ρ είναι κατά 4 μεγαλύτερη από ρ, τότε θα είναι ρ = ρ +4 Από τους τύπους του Vieta έχουμε επίσης: ρ +ρ = 0 και ρ.ρ = λ 4 Έτσι ορίζεται το σύστημα: 0 το οποίο λύνουμε ως εξής:. Τη τιμή του ρ = ρ +4 αντικαθιστούμε στη σχέση ρ +ρ = 0 και έχουμε ρ +4 + ρ = 0 ρ = 6 ρ = 3 τότε ρ = ρ +4 = = 7 οπότε η σχέση ρ.ρ = λ γίνεται 7.3 = λ λ = λ = Τελικά έχουμε ρ = 7, ρ = 3, λ = τιμές αυτές βάση του i) η εξίσωση έχει πράγματι ρίζες που είναι δεκτές αφού για τις v) Από τους τύπους του Vieta έχουμε: ρ +ρ = 0 και ρ.ρ = λ οπότε η σχέση γίνεται διαδοχικά 3( ) [( ) ] ( 0 -λ ) -4λ = λ -4λ = 50 0λ = 50 λ = 5 λ = 5 λ = 5 ή λ = -5 που είναι δεκτές αφού για τις τιμές αυτές βάση του i) η εξίσωση έχει πράγματι ρίζες vi) Επειδή μία ρίζα της εξίσωσης χ -0χ +λ = 0 είναι η ρ = λ, αν θέσουμε στην εξίσωση όπου χ = λ αυτή επαληθεύεται. Έτσι έχουμε: λ -0λ +λ = 0 λ -0λ = 0 λ(λ -5) = 0 λ = 0 ή λ = 5 που είναι δεκτές αφού για τις τιμές αυτές βάση του i) η εξίσωση έχει πράγματι ρίζες vii) Από τους τύπους του Vieta έχουμε: ρ +ρ = 0 και ρ.ρ = λ οπότε η σχέση 3 3 5( ) 0 γίνεται διαδοχικά (ρ +ρ ) 3-3ρ.ρ (ρ +ρ ) -5(ρ +ρ ) < λ < λ -50 < 0-30λ +750 < 0-30λ < -750 λ > ή 5 που απορρίπτονται αφού βάση του i) η εξίσωση σε μια τέτοια περίπτωση δεν έχει καν πράγματι ρίζες. Συνεπώς δεν υπάρχουν τιμές του λ για τις οποίες ισχύει η εν λόγω σχέση. 4) Δίνεται η εξίσωση ( ) 4 0. Να βρείτε για ποιες τιμές του λ η εξίσωση έχει : α) πραγματικές ρίζες, β) ρίζες ομόσημες, γ) ρίζες θετικές, δ) ρίζες αρνητικές α) Πρέπει 0. Είναι Επιμέλεια : Άρης Αεράκης 49

50 0 ( ) 4 ( 4) 0 4( ) β) Πρέπει 0 και Ρ > 0. Είναι 0 και Συναληθεύοντας έχουμε ότι :. 5 γ) Πρέπει 0, Ρ > 0 και S > 0. Είναι 0, 0 και ( ) S Συναληθεύοντας έχουμε ότι :. 5 δ) Πρέπει 0, Ρ > 0 και S < 0. Είναι 0, 0 και S 0 5 Συναληθεύοντας έχουμε ότι :. Εξισώσεις και συστήματα που ανάγονται σε λύση εξισώσεων ου βαθμού ) Να λυθούν οι εξισώσεις ) , ) 4 4 0, ) 3 4 0, ) Αυτές οι εξισώσεις λέγονται διτετράγωνες και λύνονται ως εξής Θέτουμε χ = ω και έτσι προκύπτει μια εξίσωση ου βαθμού ως προς ω την οποία τη λύνουμε για να βρούμε το ω. Αφού βρούμε το ω πάμε στη σχέση χ = ω για να βρούμε το χ. Τονίζουμε ότι επειδή το χ είναι πάντα θετικό θα πρέπει και το ω να είναι θετικό και έτσι θα απορρίπτουμε τυχόν αρνητικές τιμές για το ω που βρήκαμε. α) χ 4-3χ +36=0. Θέτω χ = ω 0 και η εξίσωση γίνεται ω -3ω+36=0 Αν λύσουμε την εξίσωση αυτή θα βρούμε ότι ω=4 ή ω=9 οι οποίες είναι και οι δύο δεκτές γιατί είναι θετικές. Άρα χ = 4 ή χ =9 δηλαδή χ= ή χ=- ή χ=3 ή χ=-3. Τελικά η αρχική εξίσωση έχει 4 λύσεις τις χ=, χ=-, χ=3, χ=-3 β) χ 4-4χ +4=0. Θέτω χ = ω 0 και η εξίσωση γίνεται ω -4ω+4=0 Αν λύσουμε την εξίσωση αυτή θα βρούμε ότι ω= η οποία είναι δεκτή γιατί είναι θετική. Άρα χ = δηλαδή χ= ή χ= Επιμέλεια : Άρης Αεράκης 50