REXENjA ZADATAKA OPXTINSKOG TAKMIQENjENjA IZ MATEMATIKE UQENIKA SREDNjIH XKOLA, Prvi razred, A kategorija
|
|
- Φαραώ Ζωγράφος
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 . REXENjA ZADATAKA OPXTINSKOG TAKMIQENjENjA IZ MATEMATIKE UQENIKA SREDNjIH XKOLA, Prvi razred, A kategorija Kako je A sredite duжi MN, sledi da je XA = XM + XN. Analogno je XB = XR + XS. XP + XQ i XC = Qetvorougao XSBM je paralelogram XB je njegova dijagonala, pa je XB = XM+ XS. Analogno, XNCP i XQAR su paralelogrami, pa je XC = XN + XP i XA = XQ + XR. Iz prethodnog i XT = XA+ XB + XC jer je T teжite ABC sledi A Q B P C R X C N OP 09 A A M S B XA + XB + XC = XM + XN + = [ XS + XM + = XP + XQ + XN + XP + XB + XC + XA = XT, XR + XS ] XQ + XR. to je i trebalo dokazati Tangenta 5, str., Pismeni zadaci, zadatak 5. a Kako je zastupljen predstavnik svake zemlje, sledi da ili jedna zemlja ima predstavnika ostale tri po ili dve zemlje imaju predstavnika ostale dve po. Ako jedna zemlja ima predstavnika, njen izbor se moжe izvriti na naqina, njenapredstavnikana naqina, dok se predstavnik neke od preostalih zemalja moжe izvriti na naqina, pa u ovoj situaciji postoji = 0 izbora. Ako dve zemlje imaju predstavnika, njihov izbor se moжe izvriti na naqina, za svaku od njih predstavnika na naqina, dok se predstavnik neke od preostalih zemalja moжe izvriti na naqina, pa u ovoj situaciji postoji = 56 izbora. Dakle, odgovor na pitanje dela a je = 80 izbora. b Kako svaka od zemalja ima najvie predstavnika, sledi da bar tri zemlje moraju imati predstavnike, tj. ili tri zemlje imaju po predstavnika ili ako svaka zemlja ima predstavnika dve zemlje imaju, a dve jednog predstavnika. Ako tri zemlje imaju po predstavnika, njihov izbor se moжe izvriti na naqina, a po predstavnika u svakoj od njih na naqina, pa u ovoj situaciji postoji = 86 izbora.
2 Ako dve zemlje imaju predstavnika a dve jednog, broj izbora je isti kao u drugom delu dela a, tj. u ovom sluqaju ima 56 izbora Dakle, odgovor na pitanje dela b je = 0 izbora. Ako n +n +5,kakoje =, slediida n +n +5. Ako n +n +5= n +7n +, sledi da n +7n. Kako je prost broj, sledi da je bar jedan od brojeva n +7 i n deljiv sa. Međutim, kako je njihova razlika, tada je deljiv idrugi,pa n +7n, odakle n +7n + = n +n +5. Funkcija f : R R, f = a + b je bijekcija ako i samo ako je a 0. Pritom je f f f =aa + b +b a + b = a a + ab. Ako je za neku ovakvu funkciju f f f = , sledia a =56i ab = 008. Jedno od reenja ovog sistema je a =8 0i b = 5, tj. funkcija f = je bijekcija koja zadovoljava navedeni uslov. Kako je BCA = BDA uglovi nad preqnikom, taqka F je ortocentar ABE, paje EF AB. Takođe je i FEC = ABC uglovi sa normalnim kracima. Trougao AF C je pravougli FCA = 90 i vaжi FAC = DAC = DSC =5 periferni i centralni ugao nad tetivom DC, pa je on i jednakokrak, tj. vaжi AC = CF. E C D Sledi da je ABC = FEC AC = CF i jednakost uglova, tj. EF = AB, odakle sledi tvrđenje zadatka Tangenta 5, str., Nagradni zadaci, M7. A F S OP 09 A 5 B Prvi razred, B kategorija. n + n + Kako je = = n + n + n +,dabitraжenibrojbioceo,tomorabitii. Kako je n N, sledin +, a kako je jedini celobrojni delilac broja koji je n + ne manji od jednak, sledi n +=,tj. n =.Akojen =, vrednost traжenog izraza je + =, tj. prirodan broj, pa je jedino reenje zadatka n =Tangenta 5, str. 7, + Pismeni zadaci, zadatak 5.. a Za svako R vaжi f =g g g = ++ +=6 +. b Funkcija f : R R, f =a + b je bijekcija ako i samo ako je a 0. Dakle, f je bijekcija i vaжi f : R R, f = Tangenta 5, str. 7, Pismeni zadaci, 6 zadatak.. Izraz p q implikacija je netaqan ako i samo ako je p taqno i q netaqno. Sledi: a A B = B je ekvivalentno sa A B, paakojeia B =, sledi da mora biti A = ; dakle, ova implikacija je taqna ako i samo ako je ili A = ili A B ; b A = je uvek taqno, pa da bi bila taqna implikacija, mora biti A = ; dakle, ova implikacija je taqna ako i samo ako je A = ; v izraz p q ekvivalencija je taqan ako i samo ako je ili i p taqno i q taqno ili i p netaqno i q netaqno; A B = B je ekvivalentno sa B A, a to je ekvivalentno sa A B ako i samo ako je A = B; dakle, ova ekvivalencija je taqna ako i samo ako je ili A = B ili ako su A i B neuporedivi tj. ne vaжi ni A B ni B A;
3 g ako je A B, tadajea \ B = za sve A, B, pa je ovo tvrđenje uvek taqno; d ako je A B = A, tadajeb A; ako je, uz to, taqna i ova implikacija, sledi da je i A B, pa mora biti A = B; dakle, ova implikacija je taqna ako i samo ako je ili A B A ili A = B.. Tangenta 8, str., Pismeni zadaci, zadatak 7, izmenjen. Neka je f = {.Kakoje =, za <0, sledi da je, za 0 =, za < +, za <0 +, za 0 <, za Prava paralelna -osi moжe se i ovaj grafik u najvie qetiri taqake, to se događa za 0 < a < Tangenta 8, str. 5, Pismeni zadaci, zadatak.. y 0 OP 09 B 5.. Videti reenje drugog zadatka za prvi razred A kategorije. Drugi razred, A kategorija Zamenom =0se dobija 0 b =cosb 0, pasledib =0. Neka je b =0. Sledi, treba odrediti sve a tako da vaжi a cos = cosa... Zamenom =π se dobija cosaπ =,odaklejeaπ =kπ za neko k Z, tj.a je ceo broj. Ako je a =0, traжena relacija je zadovoljena za svako realno. Ako je a 0, zamenom = π a se dobija cos π a =,odaklejeπ a =lπ za neko l Z, tj. i je ceo broj, pa je a a {, }. Akojea =, traжena relacija je zadovoljena za svako realno. Akojea =, traжena relacija se svodi na cos =,tonevaжizasvakorealno na primer ne vaжi za = π. Dakle, reenje je a, b {0, 0,, 0} Tangenta 5, str., Pismeni zadaci, zadatak. Za svako a R jednaqina f a =0je kvadratna i njena diskriminanta je a a 5 = a +8a +0=a + +> 0, tj. ova jednaqina ima realna reenja, odakle sledi tvrđenje dela a. Teme parabole A AC B + B + C je,. Sledi, teme parabole f a je BA A a a, a 5 = a, a + a 5. Funkcija a a je bijekcija iz R u R, pa je jednaqina traжenog geometrijskog mesta taqaka f : R R, f = + 5. Ako su,a i,a koreni jednaqine f a =0po delu a oni su qak i realni i razliqiti, po Vietovim pravilima je,a +,a = a i,a,a = a 5, paje,a+,a =,a +,a,a,a = a +a +0= a , pri qemu jednakost vaжi ako i samo ako je a = Tangenta 50, str., Pismeni zadaci, zadatak Mora biti z +0z + 0,odnosnoz / { } {,,tj.z/ i, i, i, } i.
4 Pod ovim uslovom je 6z +5z +6 z +0z + = 5 z z +0z, to je realan broj ako i samo + ako je z z +0z + R z =0 z +0z + z =0+ z + z R z =0 z + z R. Kako je t C realan broj ako i samo ako je t = t, sledi uz dodatni uslov z 0 z + z R z + z = z + z z z + z z z z =0 z z z z =0 z zz + z z =0. Sledi da je z R ako je z z =0iliz ir ako je z + z =0ili z =. Konaqno, sledi da je 6z +5z +6 z +0z realan ako i samo ako je + { { z R ti t R \,,, }} {t t C t =}.. Neka je u + v = S u,v, uv = P u,v.tadaje u + v = u + v uvu + v 6u v = u + v uvu + v +uv = S u,v P u,vs u,v +P u,v. Po uslovima zadatka je S a,b = S,y,paiza + b = + y sledi P a,b S a,b P a,b =P,yS a,b P,y P a,b P,y P a,b + P,y S a,b =0. Ako je P a,b P,y, bez umanjenja optosti moжe se pretpostaviti da je P a,b >P,y,paje [ P a,b + P,y Sa,b < ab a + b = a + ab + b = a + b ] + b 0, tj. u prvi qinilac mora biti jednak nuli, odnosno P a,b = P,y. Iz dobijene kontradikcije, sledi da je i P a,b = P,y. Na osnovu Vietovih pravila, sledi da su a, b koreni jednaqine t S a,b t+p a,b =0.Analogno,, y koreni jednaqine t S,y t+p,y = 0, pa, kako je S a,b = S,y i P a,b = P,y, sledi da je {a, b} = {, y}, odakle sledi i tvrđenje zadatka. 5. 8! Osmoslovnih reqi koje sadrжe po taqno dva slova azbuke ima = 50 permu-!!!! tacije sa ponavljanjem. Neka je X i, i S = {A, B, V, G}, broj osmoslovnih reqi, koje svako slovo sadrжe taqno dva puta i koje sadrжe dva ista susedna slova i. Tada je broj osmoslovnih reqi koje sadrжe svako slovo dva puta i nisu smislene jednak XA X B X V X, G odnosno, po principu ukljuqenja i iskljuqenja: XA X B X V X G = X i X i X j + X i X j X k i S i,j S i,j,k S k i + XA X B X V X G Broj X i je jednak broju permutacija sa ponavljanjem 7 elemenata, jednog sastavljenog od 7! dva slova i i tri para preostalih slova, tj. jednak je!!!! = 60.
5 ... Broj X i X j je jednak broju permutacija sa ponavljanjem 6 elemenata, jednog sastavljenog od dva slova i, jednog sastavljenog od dva slova j i dva para preostalih slova, tj. jednak 6! je!!!! = 80. Broj X i X j X k je jednak broju permutacija sa ponavljanjem 5 elemenata, jednog sastavljenog od dva slova i, jednog sastavljenog od dva slova j, jednog sastavljenog od dva slova 5! k i dva preostala ista slova, tj. jednak je!!!! =60. Broj XA X B X V X G je jednak broju permutacija elemenata AA, BB, VV i GG, tj. jednak je! =. Konaqno, XA X B X V X G = = 656, pa je traжeni broj poto treba na i broj smislenih reqi jednak = 86. Drugi razred, B kategorija Ako je 0 reenje jednaqine iz zadatka, tada je a = a =0,tj. i 0 je reenje te jednaqine. Ako jednaqina ima jedinstveno reenje, sledi 0 = 0,tj. 0 =0,odaklejea =0. Dakle, jednaqina je =0. Međutim, ova jednaqina ima tri reenja {, 0, }, tj. ni u ovom sluqaju reenje nije jedinstveno, pa traжeni realan broj ne postoji Tangenta 7, str. 5, Nagradni zadaci, M607. Kako je z = iy i z = y +iy, izz = z sledi = y i y =y. Iz druge dobijene jednaqine sledi da je ili y =0ili =. Ako je y =0, prva jednaqina postaje =,tj. {0, }. Ako je =, prva jednaqina postaje y = } {,tj.y,. { Dakle, reenje zadatka je z 0,, i, } + i Tangenta 8, str. 9, Pismeni zadaci, zadatak 0, izmenjen. Neka je T teжite ABC. Kako teжite deli teжinu duж u odnosu :, sledi da su duжine AT, BT, CT jednake t a, t b, t c,redom. Iz BCT sledi t b + t c >anejednakost trougla. Analogno, iz ABT sledi t a + t b >c,aiz ACT sledi t a + t c >b. Sabiranjem se dobija t a + t b + t c >a+ b + c, odakle je t a + t b + t c > a + b + c = s. C A B A T A C B OP 09 B 5
6 Neka je A sredite duжi BC, aa takvadajedajeaa = A A i A A A. Kako je ACA = A BA BA = CA = a, AA = A A, AA C = BA A unakrsni uglovi, sledi BA = CA = b, iz ABA sledi b + c>t a opet nejednakost trougla. Analogno je a + b>t c i a + c>t b. Sabiranjem ovih nejednakosti dobija se a + b + c > t a + t b + t c, odakle se dobija t a + t b + t c < s.. 5. Videti reenje drugog zadatka za drugi razred A kategorije. Prvi zadatak nije uradilo najvie 0 uqenika jer ga je uradilo bar 60, pa je broj parova uqenika, takvih da nijedan od uqenika u tom paru nije reio prvi zadatak, najvie 0. Kako analogno zakljuqivanje vaжi i za preostale zadatke, sledi da je broj parova uqenika, takvih da nijedan od uqenika u tom paru nije reio neki od zadataka, ne ve i 0 00 od 5 = 900. Međutim, kako je ukupan broj parova uqenika = 950 > 900, sledi da postoji par uqenika koji su zajedno reili svih pet zadataka Tangenta 5, str. 6, Nagradni zadaci, M566. Tre i razred, A kategorija. Jednaqina ima smisla za >0. Nekajet =log 0.Tadaje 0 log 0 + log 0 log 0 = log 0 + log 0 log 0 = 0log 0 + t t = 0 t t + t t =. Ako je t {, }, tadajet t =0i =0, pa sledi da ove vrednosti dovode do reenja jednaqine. Ako je t,, tadajet t < 0, a kako je i >0 sledi 0 t t + t t < =, pa ove vrednosti ne mogu dovesti do reenja jednaqine.. Ako je t,,, tadajet t > 0, a kako je i >0 sledi 0 t t + t t > =, pa ove vrednosti ne mogu dovesti do reenja jednaqine. { } Dakle, reenje jednaqine je 0, 0 Tangenta 5, str., Nagradni zadaci, M7. Uslov,y 5,z 6 je ekvivalentan postojanju a, b, c 0, takvihdaje =+a, y = 5+b, z =6+c. Dakle, dovoljno je dokazati da ako je a + b + c +8a +0b +c za neke a, b, c 0, tadajea + b + c. Neka je a + b + c<. Tadaje0 a, b, c <, pajea a, b b, c c, odakleje > a + b + c 9a +b +c a + b + c +8a +0b +c. Iz dobijene kontradikcije, sledi tvrđenje zadatka. Jednakost se postiжe ako i samo ako je a + b + c =,paslediopetje0 a, b, c = a + b + c 9a +b +c a + b + c +8a +0b +c, tj. jednakost se postiжe ako i samo ako je b +a =0, a = a, b = b, c = c, a + b + c +8a +0b +c = 6
7 .. naravno, a, b, c su i dalje nenegativni i a + b + c =, odnosno ako i samo ako je a = b =0, c =, tj. ako i samo ako je, y, z =, 5, 7. Bez umanjenja optosti, moжe se pretpostaviti da je m, n =. Inaqe, ako je m = d m, n = d n onda se problem svodi na analogan za izraz z m + z n z = z d =. Neka je m i ω takvo da je ω m =. Tada je ω m + ω n =+ω n, pa je dovoljno pokazati da postoji ovakvo ω, tako da je Reω n 0. Reenja jednaqine z m = su ω 0 ε k,zak {0,,...,m }, gdejeω 0 =cos π m + i sin π m i ε =cosπ m + i sin π m. Kako je ω 0 + ω 0 ε ω 0 ε m = ω 0 +ε ε m =0ikakobrojevi0,n,...,m n qine potpun sistem ostataka po modulu m m i n su uzajamno prosti, sledi ω0 n +ω 0 ε n ω0 ε m n = ω n 0 +ε n ε m n =0, pa bar jedan od ovih brojeva ima nenegativan realan deo,,geometrijski : ako je taqka teжite pravilnog m-tougla, bar jedno njegovo teme se nalazi u proizvoljnoj poluravni qiji rub sadrжi taqku. Sluqaj n se radi analogno tj. analogno se pokazuje da među reenjima jednaqine z n =postoji bar jedno, tako da je realni deo njegovog m-tog stepena nepozitivan. U nizovima r i n i= i t i n i= se javlja broj deljiv sa n; akojer i t j 0modn za neke i j, tada je r i t i r j t j 0modn, paunizur i t i n i= ne moжe biti n razliqitih brojeva, tj. on ne moжe biti potpun sistem ostataka po modulu n. Dakle, bez umanjenja optosti, neka je r n = t n =0.Nekajepprost qinilac broja n, n = pm. Pritom, ako n nije stepen broja, moжe se izabrati p. Kako je proizvod brojeva, od kojih je jedan deljiv sa m, takođe deljiv sa m i kako u svakom potpunom sistemu ostataka po modulu n ima jednak broj brojeva deljivih sa m, sledi da se moжe pretpostaviti da su r,r,...,r p, t,t,...,t p i r t,r t,...,r p t p brojevi kongruentni sa m, m,...,p m u nekom redosledu. Ako p m, tadazanekoi {,,...,p } vaжi r i t i = m, tj. zanekek, l N vaжi n klm m. Sledipm mklm, pap klm, tojenemogu e,jerizp m sledi p, klm =. Ako je p, m =, po maloj Fermaovoj teoremi je m p modp, a po Vilsonovoj p! modp, pasledi r r... r p m p p! mod p. Analogno je t t... t p modp i r t r t... r p t p modp, pa je = r r... r p t t... t p = r t r t... r p t p mod p, pa p, tj. p =. Kako je birano p ako je to mogu e, sledi da je n stepen broja. Međutim, po, sledi da je n =, to je u kontradikciji sa uslovom zadatka. 5. Na osnovu nejednakosti između geometrijske i harmonijske sredine sledi za svako j {,,...,n} n + i n = n n i = + + n. i + i Na osnovu nejednakosti između aritmetiqke i harmonijske sredine sledi + i n + i = n n + = i n n j. 7
8 Iz i sledi + i n n n n n j = n j j. Mnoжenjem poslednjih nejednakosti za j {,,...,n} dobija se nejednakost iz zadatka. Jednakost vaжi ako i samo ako je = =...= n = na osnovu uslova jednakosti u gore n primenjenim nejednakostima sredina Tangenta 6, str. 0, Nagradni zadaci, M597. Drugo reenje. Funkcija f :0, 0,, f = ln + je konveksna f = + + > 0; naravno, raqun izvoda se moжe izbe i, pa po Jensenovoj nejednakosti sledi za svako j {,,...,n} ln + i n ln + n = n ln + n n j =n ln. j j Sabiranjem prethodnih nejednakosti za j {,,...,n} i skra ivanjem sa n dobija se n n ln + i n i ln, i i= a primenom rasu e funkcije e na poslednju nejednakost i nejednakost iz zadatka. Jednakost vaжi ako i samo ako je = =...= n = f je strogo konveksna. n Napomena. Drugo reenje je simulacija dokaza Karamatine nejednakosti: Neka je f : R + R konveksna funkcija i,,..., n,y,y,...,y n R +, tada i= i,,..., n y,y,...,y n f +f f n fy +fy fy n,,..., n y,y,...,y n majoracija oznaqava da vaжi n i = i= n i= y i i i i= y i za svako k {,,...,n }, i= gde je,,..., n y,y,...,y n n-torka koja je dobijena od n-torke,,..., n y,y,...,y n permutacijom koordinata, tako da vaжi... n y y... y n. Tvrđenje zadatka neposredno sledi iz ove nejednakosti primenjene na funkciju f = ln + ivektore,,..., n i y,y,...,y n,gdejey i = i n. Zaista, f je konveksna videti drugo reenje zadatka, a bez umanjenja optosti moжe se pretpostaviti da je... n. Tada je oqigledno y y... y n i za k {,,...,n } n k = k i = k i + n k i k i + n = n i, i= i= i=k+ i= i=k+ j= i= 8
9 pa je za k {,,...,n } i= Kako je i y n i+ = k k n n i= y i = n n n sledi,,..., n y,y,...,y n. = k + k n k n Tre i razred, B kategorija == n, i. i=. Oduzimanjem prve jednaqine od druge i qetvrte, odnosno dodavanjem na tre u, dobija se ekvivalentan sistem y + z = 0, my + z =, y + mz =, y + z =. Oduzimanjem dvostruke tre e jednaqine novodobijenog sistema od qetvrte, odnosno oduzimanjem tre e jednaqine pomnoжene sa m od druge jednaqine, dobija se ekvivalentan sistem y + z = 0, m z = m, y + mz =, mz =. Iz druge i qetvrte jednaqine poslednjeg sistema sledi m m = m m z = m 0=8m m +5=m 8m 5. Dakle: { } 5 ako je m/ 8,, sistem nema reenja; ako je m =, sistem postaje y + z = 0, z =, y + z =, z = iimajedinstvenorenje, y, z =,, ; ako je m = 5, sistem postaje 8 y + z = 0, 7 z = 7 8, 5 y + z =, z = iimajedinstvenorenje, y, z =, 8,. Tangenta 6, str. 9, Pismeni zadaci, zadatak 5. Neka su r, h i s, polupreqnik osnove, visina i izvodnica, redom, te kupe. Tada je povrina osnove kupe jednaka r π, a povrina kupe rr + sπ, pa iz uslova zadatka sledi da je rr + sπ =r π,odaklejes =r. 9
10 .. 5. Osni presek ove kupe je jednakokraki trougao qija je osnova r, visina h, akraks, papo Pitagorinoj teoremi sledi r + h = s,odaklejer + h =9r h =8r h r = h, r > 0. Videti reenje drugog zadatka za drugi razred A kategorije. Videti reenje petog zadatka za drugi razred B kategorije. Videti reenje prvog zadatka za tre i razred A kategorije. Qetvrti razred, A kategorija.. Neka je a osnovna ivica, a H visina piramide. Kako je V = B H, sledih = V a. Zbir duжina svih ivica prizme je fa =8a +H = a + Va za a 0,. Za ovakve a funkcija f je diferencijabilna i vaжi f a = V a =8 Va.Kakojef a < 0 za a 0, V tj. na ovom intervalu f opada, f a > 0 za a V, tj. na ovom intervalu f raste, f a =0za a = V V > 0, sledi da se u taqki V dostiжe minimum funkcije f. Ako je a = V,slediH = V a = a a = a, tj. u pitanju je kocka stranice V,pajenjena povrina P =6a =6 V =6 =6 =6 Tangenta 5, str., Nagradni zadaci, M7. Neka je tabla smetena u koordinatni sistem, tako da je centar polja koje je donji-levi ugao table 0, 0, a centar polja koje je gornji-desni ugao table 8, 8. Tadajecentarsvakog polja table taqka qije su obe koordinate celobrojne, pa se polja table mogu poistovetiti sa odgovaraju im taqkama skupa {m, n m, n, N 0, 0 m, n 7}. Ako su k, l i m, n polja table neka je njihovo,,rastojanje dist [k, l, m, n] = k m + l n. Tada je dist [0, 0, 7, 7] = ; jedan potez skakaqa moжe smanjiti vrednost prethodne funkcije najvie za, pa sledi da je k 5. Međutim, na standardno obojenoj ahovskoj tabli naizmeniqno crno-belo, polja 0, 0 i 7, 7 su iste boje, a skakaq u svakom potezu moжe pre i samo na polje suprotne boje, pa je za traжeno prebacivanje neophodan paran broj skokova. Sledi k OP 09 A - OP 09 A - OP 09 A - Kako nizom poteza 0, 0,, 0, 5, 6, 5 7, 7 skakaq prelazi iz 0, 0 u 7, 7, sledi da je k =6. Neka je za svako polje poznato na koliko naqina je mogu e do i do njega u n poteza polaze i sa 0, 0. Za proizvoljno polje P, neka su sva polja sa kojih se u jednom potezu moжe do i u P,,polja susedna sa P. Tada je broj naqina na koji je mogu e postaviti skakaqa 0
11 na polje P nakon n + poteza jednak je zbiru broja naqina dolaska na sva polja susedna sa P nakon n poteza. Na taj naqin je mogu e formirati tablicu broja naqina dolaska u proizvoljno polje nakon n poteza na slikama OP 09 A -- je prikazana ova tablica za n {,, }; ukoliko je taj broj 0, polja tablica su prazna. Analogna tablica se moжe napraviti za broj naqina dolaska na proizvoljno polje u n poteza polaze i sa polja 7, 7; zbog simetrije, ta tablica za neko n se moжe dobiti i od prethodne tablice tj. tablice dobijene polaze i sa polja 0, 0 simetijom u odnosu na glavnu dijagonalu tablice tj. upisivanjem u polje m, n vrednosti koja se OP 09 A -. nalazila u polju 7 n, 7 m. Da bi se u est poteza dolo iz 0, 0 u 7, 7, potrebno je u tri poteza do i sa 0, 0 do nekog polja, a nakon toga u jo tri poteza sa tog polja do 7, 7. Sledi da je traжeni broj zbir brojeva iz tablice OP 09 A - ako je na polju upisano k l, to znaqi da se od 0, 0 do tog polja u tri poteza moжe do i na k naqina, a od tog polja do 7, 7 u tri poteza na l naqina; ako je neki od ovih brojeva 0, polje tablice je ostavljeno prazno. Dakle, najmanji broj poteza koji je potreban za traжeno prebacivanje je k =6itosemoжe uraditi na = 08 naqina. Neka je A podnoжje normale iz temena A trougla ABC, B sredite stranice AC, ac sredite stranice AB. Po uslovima zadatka AA C je pravougli sa pravim uglom kod temena A, pri qemu je podnoжje visine iz temena A sredite stranice AC, tj. ovaj trougao je i jednakokraki tj. BCA =5. Trougao OC B je pravougli i BOC = BCA =5 centralni i periferijski ugao. Takođe, vaжi CH = OC homotetija qiji je centar taqka opisane kruжnice ABC dijametralno suprotna taqki C, i koeficijenta, slika duж OC u CH. C B O A H. A C B OP 09 A Dakle, CH BO = CO BO = CO i BO su kateta i hipotenuza jednakokrako-pravouglog BOC Tangenta 6, str. 0, Nagradni zadaci, M59. Videti reenje tre eg zadatka za tre i razred A kategorije.
12 5. Neka je N N, q takvo da vaжi a n a n+q mod N poqev od nekog n po uslovima zadatka takvo q postoji, q takvo da vaжi a n a n+q mod ϕn poqev od nekog n po uslovima zadatka takvo q postoji i p = NZSq,q. Dovoljno je pokazati da je a an n aan+p mod N poqev od nekog n. Kako q p, sledia n+p a n mod N poqev od nekog n, tj. a an+p n+p da je dovoljno pokazati da N a an+p n a an n = aan n aan+p an n aan+p n mod N, pasledi poqev od nekog n. Neka je p α p α... p α k k kanonska faktorizacija broja N. Kako je lim a n =, poqev od n nekog n vaжi a n ma{α,α,...,α k }.Zafiksnoa n sa ovim svojstvom, postoji jedinstveno razlaganje N = N N, tako da je svaki prost faktor broja N i prost faktor broja a n i a n,n =. Ako je p i neki prost faktor broja N, sledi da p an i a an n,paipαi i a an n, odakle N a an n.kakojen,a n =,sledia ϕn n modn,pakakoϕn ϕn, q p i a n+q a n mod ϕn poqev od nekog n, sledi N a an+p an n. Dakle, poqev od nekog n vaжi N a an+p n a an n. Qetvrti razred, B kategorija. Kako je Δ = Δ = Δ y = Δ z = a a a a a a a a a = a 5a +6=a a, = a, = a += a, = a 5a +6=a a, za a {, } vaжi Δ 0,pazaovakvea sistem ima jedinstveno reenje Δ, y, z = Δ, Δ y Δ, Δ z = Δ a, a,. Ako je a =,tadajeδ 0i Δ=0, pa u ovom sluqaju sistem nema reenja. Ako je a =sistem postaje + y z =, y + z =, + y + z =. Oduzimanjem dvostruke tre e jednaqine od prve, odnosno dodavenjem qetvorostruke tre e drugoj, dobija se ekvivalentan sistem y z = 5, y + 6z = 0, + y + z =. odnosno kako su prva i druga jednaqina ekvivalentne + y + z =, y z = 5, odakle je za proizvoljno z R y =5 z i = y z = 5 z z =z,pau ovom sluqaju sistem ima beskonaqno mnogo reenja {z, 5 z,z z R}
13 ... Tangenta, str., Pismeni zadaci, zadatak 5. Kako je povrina paralelograma nad vektorima i y jednaka y = y sin, y, =0, y = y i kako je po uslovima zadatka a = b =i a, b= π, sledi da je traжena povrina jednaka p q = a + b a b = a a + b a a b 6 b b = 7 b a = 7 b a sin a, b =7 sin π = 7. Po uslovima zadatka, boqna strana piramide je jednakokraki pravougli trougao, qija je hipotenuza duжine, pa je povrina svake od tri boqne strane jednaka kraci tog trougla su duжine, pa je njegova povrina =. Osnova piramide je jednakostraniqni trougao stranice, pa je njegova povrina =. Dakle, povrina piramide je + =+ Tangenta 5, str. 8, Pismeni zadaci, zadatak. Izraz log jedefinisanakoisamoakoje > 0, tj. ako i samo ako je 0,. Izraz + sin π je definisan ako i samo ako je 0. Dakle, jednaqina ima smisla ako i samo ako je 0,. Za takve vaжi >0 i >0, pa, po nejednakosti između aritmetiqke i geometrijske sredine, sledi + =, odakle je funkcija log je rastu a log log =. Pritom jednakost vaжi ako i samo ako je =, tj. ako i samo ako je =. Kako je apsolutna vrednost nenegativna, sledi log = + sin π, pa u prethodnom nizu na svakom mestu mora vaжiti jednakost. Sledi da mora biti =. 5. Proverom, sledi da = i jeste reenje Tangenta 5, str. 9, Pismeni zadaci, zadatak. Videti reenje drugog zadatka za qetvrti razred A kategorije.
Ministarstvo prosvete i sporta Republike Srbije Druxtvo matematiqara Srbije Prvi razred A kategorija
18.02006. Prvi razred A kategorija Dokazati da kruжnica koja sadrжi dva temena i ortocentar trougla ima isti polupreqnik kao i kruжnica opisana oko tog trougla. Na i najve i prirodan broj koji je maƭi
Διαβάστε περισσότεραZadaci iz trigonometrije za seminar
Zadaci iz trigonometrije za seminar FON: 1. Vrednost izraza sin 1 cos 6 jednaka je: ; B) 1 ; V) 1 1 + 1 ; G) ; D). 16. Broj rexea jednaqine sin x cos x + cos x = sin x + sin x na intervalu π ), π je: ;
Διαβάστε περισσότεραMinistarstvo prosvete i sporta Republike Srbije Druxtvo matematiqara Srbije OPXTINSKO TAKMIQENjE IZ MATEMATIKE Prvi razred A kategorija
18.1200 Prvi razred A kategorija Neka je K sredixte teжixne duжi CC 1 trougla ABC ineka je AK BC = {M}. Na i odnos CM : MB. Na i sve proste brojeve p, q i r, kao i sve prirodne brojeve n, takve da vaжi
Διαβάστε περισσότεραDruxtvo matematiqara Srbije OPXTINSKO TAKMIQENjE IZ MATEMATIKE Prvi razred A kategorija. f(x + 1) x f(x) + 1.
09.0200 Prvi razred A kategorija Ako je n prirodan broj, dokazati da 3n 2 + 3n + 7 nije kub nijednog prirodnog broja. U trouglu ABC je ABC = 60. Neka su D i E redom preseqne taqke simetrala uglova CAB
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori
MATEMATIKA 2 Prvi pismeni kolokvijum, 14.4.2016 Grupa 1 Rexea zadataka Dragan ori Zadaci i rexea 1. unkcija f : R 2 R definisana je sa xy 2 f(x, y) = x2 + y sin 3 2 x 2, (x, y) (0, 0) + y2 0, (x, y) =
Διαβάστε περισσότεραZavrxni ispit iz Matematiqke analize 1
Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1
Διαβάστε περισσότεραDISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
Διαβάστε περισσότεραOsnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
Διαβάστε περισσότεραDruxtvo matematiqara Srbije OPXTINSKO TAKMIQENjE IZ MATEMATIKE Prvi razred A kategorija. imaju istu vrednost.
00200 Prvi razred A kategorija Neka su a 1 < a 2 < < a n dati realni brojevi. Na i sve realne brojeve x za koje je izraz x a 1 + x a 2 + + x a n najmanji. Na i sve trojke međusobno razliqitih dekadnih cifara
Διαβάστε περισσότεραREXENjA ZADATAKA OKRUЖNOG TAKMIQENjENjA IZ MATEMATIKE UQENIKA SREDNjIH XKOLA, Prvi razred, A kategorija
REXENj ZDTK OKRUЖNOG TKIQENjENj IZ TETIKE UQENIK SREDNjIH XKOL, 8.0.009. Prvi razred, kategorija. naliza. Kakoje N 90, sledi da kruжnica nad kao preqnikom sadrжi i N. Konstrukcija. ko su i N simetriqne u odnosu
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
Διαβάστε περισσότεραUniverzitet u Nišu, Prirodno-matematički fakultet Prijemni ispit za upis OAS Matematika
Univerzitet u Nišu, Prirodno-matematički fakultet Prijemni ispit za upis OAS Matematika Rešenja. Matematičkom indukcijom dokazati da za svaki prirodan broj n važi jednakost: + 5 + + (n )(n + ) = n n +.
Διαβάστε περισσότεραIspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe
Διαβάστε περισσότεραOKRUЖNO TAKMIQENjE IZ MATEMATIKE UQENIKA SREDNjIH XKOLA, Prvi razred, A kategorija
UQENIKA SREDNjIH XKOLA, 19.0201 Prvi razred, A kategorija Da li postoje prirodni brojevi a, b, c takvi da je 2010 = (a + b) (b + c) (c + a)? U ravni su date kruжnice k 1 i k 2 i prava p koja seqe k 1 u
Διαβάστε περισσότεραApsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala
Διαβάστε περισσότερα3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
Διαβάστε περισσότερα1 Pojam funkcije. f(x)
Pojam funkcije f : X Y gde su X i Y neprazni skupovi (X - domen, Y - kodomen) je funkcija ako ( X)(! Y )f() =, (za svaki element iz domena taqno znamo u koji se element u kodomenu slika). Domen funkcije
Διαβάστε περισσότεραPrvi razred, A kategorija
UQENIKA SREDƫIH XKOLA, 20201 Prvi razred, A kategorija Neka je E sredixte stranice CD kvadrata ABCD. Ako normala u taqki D na dijagonalu BD seqe pravu AE u taqki F, dokazati da su taqke B, C i F kolinearne.
Διαβάστε περισσότεραZadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4
UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log
Διαβάστε περισσότεραIspitivanje toka i skiciranje grafika funkcija
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3
Διαβάστε περισσότεραa M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.
3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M
Διαβάστε περισσότεραMinistarstvo prosvete, nauke i tehnoloxkog razvoja Druxtvo matematiqara Srbije OPXTINSKO TAKMIQENjE IZ MATEMATIKE UQENIKA SREDNjIH XKOLA Rexenja zadataka
Ministarstvo prosvete, nauke i tehnolokog razvoja Drutvo matematiqara Srbije OPXTINSKO TAKMIQENjE IZ MATEMATIKE UQENIKA SREDNjIH XKOLA Reenja zadataka Prvi razred A kategorija a) Poto je n deljiv sa tri, sledi
Διαβάστε περισσότεραPrvi razred A kategorija
Prvi razred A kategorija 1. Neka su A, B i C konaqni skupovi za koje vaжi Dokazati da tada vaжi A C + B C = A B. A B C A B. (Za skupove X i Y oznaqili smo X Y = (X \Y ) (Y \X), xto se naziva simetriqna
Διαβάστε περισσότεραOperacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
Διαβάστε περισσότεραELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
Διαβάστε περισσότεραXI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti. 4. Stabla
XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti 4. Stabla Teorijski uvod Teorijski uvod Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Primer 5.7.1. Sva stabla
Διαβάστε περισσότερα1 Afina geometrija. 1.1 Afini prostor. Definicija 1.1. Pod afinim prostorom nad poljem K podrazumevamo. A - skup taqaka
1 Afina geometrija 11 Afini prostor Definicija 11 Pod afinim prostorom nad poljem K podrazumevamo svaku uređenu trojku (A, V, +): A - skup taqaka V - vektorski prostor nad poljem K + : A V A - preslikavanje
Διαβάστε περισσότερα1. zadatak , 3 Dakle, sva kompleksna re{ewa date jedna~ine su x 1 = x 2 = 1 (dvostruko re{ewe), x 3 = 1 + i
PRIPREMA ZA II PISMENI IZ ANALIZE SA ALGEBROM. zadatak Re{avawe algebarskih jedna~ina tre}eg i ~etvrtog stepena. U skupu kompleksnih brojeva re{iti jedna~inu: a x 6x + 9 = 0; b x + 9x 2 + 8x + 28 = 0;
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
Διαβάστε περισσότεραGlava 1. Trigonometrija
Glava 1 Trigonometrija 1.1 Teorijski uvod Neka su u ravni Oxy dati krug k = {x, y) R R : x +y = 1} i prava p = {x, y) R R : x = 1}. Predstavimo skup realnih brojeva na pravoj p, kao brojevnoj pravoj, tako
Διαβάστε περισσότεραOBRTNA TELA. Vladimir Marinkov OBRTNA TELA VALJAK
OBRTNA TELA VALJAK P = 2B + M B = r 2 π M = 2rπH V = BH 1. Zapremina pravog valjka je 240π, a njegova visina 15. Izračunati površinu valjka. Rešenje: P = 152π 2. Površina valjka je 112π, a odnos poluprečnika
Διαβάστε περισσότεραKontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi
Διαβάστε περισσότεραTeorijske osnove informatike 1
Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg
Διαβάστε περισσότεραPolinomske jednaqine
Matematiqka gimnazija u Beogradu Dodatna nastava, xk.g. 2005/06. Polinomske jednaqine 13.6.2006. Naslov se odnosi na određivanje polinoma po jednoj ili vixe promenljivih (sa npr. realnim ili kompleksnim
Διαβάστε περισσότεραMatematička analiza 1 dodatni zadaci
Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka
Διαβάστε περισσότεραPID: Domen P je glavnoidealski [PID] akko svaki ideal u P je glavni (generisan jednim elementom; oblika ap := {ab b P }, za neko a P ).
0.1 Faktorizacija: ID, ED, PID, ND, FD, UFD Definicija. Najava pojmova: [ID], [ED], [PID], [ND], [FD] i [UFD]. ID: Komutativan prsten P, sa jedinicom 1 0, je integralni domen [ID] oblast celih), ili samo
Διαβάστε περισσότερα5 Ispitivanje funkcija
5 Ispitivanje funkcija 3 5 Ispitivanje funkcija Ispitivanje funkcije pretodi crtanju grafika funkcije. Opšti postupak ispitivanja funkcija koje su definisane eksplicitno y = f() sadrži sledeće elemente:
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.
Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati
Διαβάστε περισσότερα7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
Διαβάστε περισσότεραMinistarstvo prosvete, nauke i tehnoloxkog razvoja Druxtvo matematiqara Srbije OKRUЖNO TAKMIQENjE IZ MATEMATIKE UQENIKA SREDNjIH XKOLA
8.201 Prvi razred A kategorija Aca, Branka, Vera i Goran su od nastavnika matematike dobili zadatak da izraqunaju koliqnik dva pozitivna realna broja, i to: Aca da izraquna a 1 : a 2, Branka da izraquna
Διαβάστε περισσότεραElementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
Διαβάστε περισσότεραIskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012
Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)
Διαβάστε περισσότεραPROBNI TEST ZA PRIJEMNI ISPIT IZ MATEMATIKE
Fakultet Tehničkih Nauka, Novi Sad PROBNI TEST ZA PRIJEMNI ISPIT IZ MATEMATIKE 1 Za koje vrednosti parametra p R polinom f x) = x + p + 1)x p ima tačno jedan, i to pozitivan realan koren? U skupu realnih
Διαβάστε περισσότεραDRUXTVO MATEMATIQARA SRBIJE MATEMATIQKA TAKMIQEƫA SREDƫOXKOLACA 2005/2006.
DRUXTVO MATEMATIQARA SRBIJE MATEMATIQKA TAKMIQEƫA SREDƫOXKOLACA 005/006. Beograd VrƬaqka BaƬa 006 Organizaciju takmiqeƭa su pomogli: ORGANIZACIONI ODBOR 48. REPUBLIQKOG TAKMIQEƫA IZ MATEMATIKE.. 3. 4.
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.
Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:
Διαβάστε περισσότεραPrvi razred A kategorija
20201 Prvi razred A kategorija Na krakovima AC i BC jednakokrakog trougla ABC date su taqke M i N, redom, tako da je CM + CN = AC. Dokazati da sredixte duжi M N pripada sredƭoj liniji tog trougla koja
Διαβάστε περισσότεραKVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.
KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako
Διαβάστε περισσότερα4.7. Zadaci Formalizam diferenciranja (teorija na stranama ) 343. Znajući izvod funkcije x arctg x, odrediti izvod funkcije x arcctg x.
4.7. ZADACI 87 4.7. Zadaci 4.7.. Formalizam diferenciranja teorija na stranama 4-46) 340. Znajući izvod funkcije arcsin, odrediti izvod funkcije arccos. Rešenje. Polazeći od jednakosti arcsin + arccos
Διαβάστε περισσότεραKOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI. NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA.
KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA 1 Grupoid (G, ) je asocijativa akko važi ( x, y, z G) x (y z) = (x y) z Grupoid (G, ) je komutativa akko važi ( x, y G) x y = y x Asocijativa
Διαβάστε περισσότερα18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
Διαβάστε περισσότεραSISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije
Διαβάστε περισσότερα2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
Διαβάστε περισσότεραI Pismeni ispit iz matematike 1 I
I Pismeni ispit iz matematike I 27 januar 2 I grupa (25 poena) str: Neka je A {(x, y, z): x, y, z R, x, x y, z > } i ako je operacija definisana sa (x, y, z) (u, v, w) (xu + vy, xv + uy, wz) Ispitati da
Διαβάστε περισσότεραMATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda
Διαβάστε περισσότερα(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.
1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,
Διαβάστε περισσότεραM086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
Διαβάστε περισσότεραMinistarstvo prosvete, nauke i tehnoloxkog razvoja Druxtvo matematiqara Srbije OPXTINSKO TAKMIQENjE IZ MATEMATIKE UQENIKA SREDNjIH XKOLA Rexenja zadataka
Ministarstvo prosvete, nauke i tehnolokog razvoja Drutvo matematiqara Srbije OPXTINSKO TAKMIQENjE IZ MATEMATIKE UQENIKA SREDNjIH XKOLA Reenja zadataka Prvi razred A kategorija. Od poqetnog broja mogu e je
Διαβάστε περισσότεραMinistarstvo prosvete, nauke i tehnoloxkog razvoja Druxtvo matematiqara Srbije DRЖAVNO TAKMIQENjE IZ MATEMATIKE UQENIKA SREDNjIH XKOLA 5. mart 2016.
Prvi razred A kategorija 1. Neka je operacija,, na skupu G = {1, 2, 3,..., 2016} zadata donjom tablicom. 1 2 3 4 2016 1 5 5 5 5 5 2 1 2 5 5 5 3 4 3 5 5 5 4 5 5 5 5 5......... 2016 5 5 5 5 5 (Unutar tablice
Διαβάστε περισσότεραGlava 1. Realne funkcije realne promen ive. 1.1 Elementarne funkcije
Glava 1 Realne funkcije realne promen ive 1.1 Elementarne funkcije Neka su dati skupovi X i Y. Ukoliko svakom elementu skupa X po nekom pravilu pridruimo neki, potpuno odreeni, element skupa Y kaemo da
Διαβάστε περισσότεραOsnovne teoreme diferencijalnog računa
Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIJA TROKUTA
TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane
Διαβάστε περισσότεραSli cnost trouglova i Talesova teorema
Sli cnost trouglova i Talesova teorema Denicija. Dva trougla ABC i A B C su sli cna ako su im sva tri ugla redom podudarna a i ako su im odgovaraju ce stranice proporcionalne tj. a = b b = c c. Stav 1.
Διαβάστε περισσότεραPRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
Διαβάστε περισσότεραPOLINOMI I RACIONALNE FUNKCIJE Nastava u Matematiqkoj gimnaziji, Vladimir Balti
POLINOMI I RACIONALNE FUNKCIJE Nastava u Matematiqkoj gimnaziji, 004. Vladimir Balti Pojam polinoma. Prsten polinoma.. Dati su polinomi P (x) = x + x +, Q(x) = x 4 x +, R(x) = x x +. Proveriti da li za
Διαβάστε περισσότερα41. Jednačine koje se svode na kvadratne
. Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k
Διαβάστε περισσότεραMinistarstvo prosvete, nauke i tehnoloxkog razvoja Druxtvo matematiqara Srbije OPXTINSKO TAKMIQENjE IZ MATEMATIKE UQENIKA SREDNjIH XKOLA
20201 Prvi razred A kategorija Za realne brojeve a, b, c vaжe nejednakosti b c a, c a b, a b c. Dokazati da je jedan od brojeva a, b, c jednak zbiru preostala dva. U trougao ABC sa stranicama BC = a, CA
Διαβάστε περισσότερα1.4 Tangenta i normala
28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x
Διαβάστε περισσότεραVeleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,
Διαβάστε περισσότεραTestiranje statistiqkih hipoteza
Testiranje statistiqkih hipoteza Testiranje statistiqkih hipoteza Testiranje statistiqkih hipoteza je vid statistiqkog zakljuqivanja koji se primenjuje u situacijama: kada se unapred pretpostavlja postojanje određene
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija
Διαβάστε περισσότεραDvanaesti praktikum iz Analize 1
Dvaaesti praktikum iz Aalize Zlatko Lazovi 20. decembar 206.. Dokazati da fukcija f = 5 l tg + 5 ima bar jedu realu ulu. Ree e. Oblast defiisaosti fukcije je D f = k Z da postoji ula fukcije a 0, π 2.
Διαβάστε περισσότεραUvod u teoriju brojeva
Uvod u teoriju brojeva 2. Kongruencije Borka Jadrijević Borka Jadrijević () UTB 2 1 / 25 2. Kongruencije Kongruencija - izjava o djeljivosti; Teoriju kongruencija uveo je C. F. Gauss 1801. De nicija (2.1)
Διαβάστε περισσότεραANALIZA SA ALGEBROM I razred MATEMATI^KA LOGIKA I TEORIJA SKUPOVA. p q r F
ANALIZA SA ALGEBROM I razred MATEMATI^KA LOGIKA I TEORIJA SKUPOVA. Istinitosna tablica p q r F odgovara formuli A) q p r p r). B) q p r p r). V) q p r p r). G) q p r p r). D) q p r p r). N) Ne znam. Date
Διαβάστε περισσότεραPrvi razred, A kategorija
UQENIKA SREDƫIH XKOLA, 10201 Prvi razred, A kategorija Neka je K taqka simetriqna ortocentru H trougla ABC u odnosu na sredixte stranice BC. Dokazati da je AK preqnik opisane kruжnice trougla ABC. Dati
Διαβάστε περισσότεραVerovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića
Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće zadaci Beleške dr Bobana Marinkovića Iz skupa, 2,, 00} bira se na slučajan način 5 brojeva Odrediti skup elementarnih dogadjaja ako se brojevi biraju
Διαβάστε περισσότεραRIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA
Διαβάστε περισσότερα5. Karakteristične funkcije
5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo
IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai
Διαβάστε περισσότεραπ π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;
1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,
Διαβάστε περισσότεραZadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Planimetrija. Sličnost trouglova. GF 000 Dužine stranica trougla su 5cm, cm i 8cm. Dužina najduže stranice njemu sličnog
Διαβάστε περισσότεραIspit održan dana i tačka A ( 3,3, 4 ) x x + 1
Ispit održan dana 9 0 009 Naći sve vrijednosti korjena 4 z ako je ( ) 8 y+ z Data je prava a : = = kroz tačku A i okomita je na pravu a z = + i i tačka A (,, 4 ) Naći jednačinu prave b koja prolazi ( +
Διαβάστε περισσότεραRačunarska grafika. Rasterizacija linije
Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem
Διαβάστε περισσότεραDvostruko prebrojavanje prva-4 verzija:
Dvostruko prebrojavanje prva- verzija: 0 Duxan uki Pod dvostrukim prebrojavanjem podrazumevamo prebrojavanje neke veliqine na dva naqina u cilju dobijanja neke relacije (ili kontradikcije) Evo jednog banalnog
Διαβάστε περισσότεραDeljivost. 1. Ispitati kada izraz (n 2) 3 + n 3 + (n + 2) 3,n N nije deljiv sa 18.
Deljivost 1. Ispitati kada izraz (n 2) 3 + n 3 + (n + 2) 3,n N nije deljiv sa 18. Rešenje: Nazovimo naš izraz sa I.Važi 18 I 2 I 9 I pa možemo da posmatramo deljivost I sa 2 i 9.Iz oblika u kom je dat
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je
Διαβάστε περισσότεραViše dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu
Osječki matematički list 000), 5 9 5 Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Šefket Arslanagić Alija Muminagić Sažetak. U radu se navodi nekoliko različitih dokaza jedne poznate
Διαβάστε περισσότεραPARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati
Διαβάστε περισσότεραTrigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto
Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije
Διαβάστε περισσότεραDRUGI KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. je neprekidna za a =
x, y, z) 2 2 1 2. Rešiti jednačinu: 2 3 1 1 2 x = 1. x = 3. Odrediti rang matrice: rang 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. 2 0 1 1 1 3 1 5 2 8 14 10 3 11 13 15 = 4. Neka je A = x x N x < 7},
Διαβάστε περισσότεραMatematiqka gimnazija u Beogradu Vektori. Milivoje Luki
Matematiqka gimnazija u Beogradu 30.01.2007. Vektori Milivoje Luki 1. Linearne kombinacije vektora Vektor v je linearna kombinacija vektora v 1, v 2,..., v n ako postoje skalari (odn. realni brojevi) λ
Διαβάστε περισσότεραAPROKSIMACIJA FUNKCIJA
APROKSIMACIJA FUNKCIJA Osnovni koncepti Gradimir V. Milovanović MF, Beograd, 14. mart 2011. APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.1/46 Osnovni problem u TA Kako za datu funkciju f iz velikog prostora X naći jednostavnu
Διαβάστε περισσότεραDrugi razred, A kategorija Dokaжimo da Pera uvek moжe pobediti. Pera upisije prvo b = 0. Dalje, mogu a su dva sluqaja:
RXNj ZT ORUЖNOG TMIQNjNj IZ MTMTI UQNI SRNjIH XOL, 19.0.01 Prvi razred, ategorija Pretpostavimo da ovavi brojevi postoje. ao je 010 = 30 67, a 67 prost, barem jedan od brojeva a + b, b + c i c + a mora biti
Διαβάστε περισσότεραIII VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI
III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.
Διαβάστε περισσότεραPrvi pismeni zadatak iz Analize sa algebrom novembar Ispitati znak funkcije f(x) = tgx x x3. 2. Naći graničnu vrednost lim x a
Testovi iz Analize sa algebrom 4 septembar - oktobar 009 Ponavljanje izvoda iz razreda (f(x) = x x ) Ispitivanje uslova Rolove teoreme Ispitivanje granične vrednosti f-je pomoću Lopitalovog pravila 4 Razvoj
Διαβάστε περισσότεραIZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI)
IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) Izračunavanje pokazatelja načina rada OTVORENOG RM RASPOLOŽIVO RADNO
Διαβάστε περισσότεραSume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.
Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.
Διαβάστε περισσότεραMatematika 1 { fiziqka hemija
UNIVERZITET U BEOGRADU MATEMATIQKI FAKULTET Matematika 1 { fiziqka hemija Vektori Tijana Xukilovi 29. oktobar 2015 Definicija vektora Definicija 1.1 Vektor je klasa ekvivalencije usmerenih dui koje imaju
Διαβάστε περισσότεραPaskalova teorema, pol i polara verzija 2.0:
askalova teorema, pol i polara verzija 2.0: 10.2.2015. uxan uki Teoreme kojima se ovde bavimo su u stvari tvrđenja iz projektivne geometrije, tako da imaju i dokaze unutar projektivne geometrije. Ipak,
Διαβάστε περισσότερα