β) Αν επιπλέον το υπόλοιπο της διαίρεσης είναι υ(x) = - 3x + 5, τότε να βρείτε το Δ(x). (Απ. α) 5 ος β) Δ(x) = x 5 5x 4 + 6x 3 + 4x 2 11x + 5)

Transcript

1 ΠΑΝΤΕΛΗΣ ΤΡΙΜΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΑΛΓΕΒΡΑ B Λυκείου Γενικής Παιδείας Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 4ο - Φ Υ Λ Λ Ο Νο 2 Δ Ι Α Ι Ρ Ε Σ Η ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Ένα πολυώνυμο Δ(x), όταν διαιρεθεί με το δ(x) = x 2 2x δίνει πηλίκο π(x) = x 3 3x α) Να βρείτε τον βαθμό του Δ(x). β) Αν επιπλέον το υπόλοιπο της διαίρεσης είναι υ(x) = - 3x + 5, τότε να βρείτε το Δ(x). (Απ. α) 5 ος β) Δ(x) = x 5 5x 4 + 6x 3 + 4x 2 11x + 5) 2. Δίνεται το πολυώνυμο : ΣΧΟΛΙΟ : Ταυτότητα διαίρεσης P(x) = x 4 + 2x 3 + α x 2 (α 1) x + β, με α, β IR. Δ(x) = δ(x) π(x) + υ(x) α) Να κάνετε την διαίρεση του Ρ(x) με το x 2 4 και να γράψετε την ταυτότητα της διαίρεσης. β) Να προσδιορίσετε τους α, β ώστε η προηγούμενη διαίρεση να είναι τέλεια. γ) Για α = 9 και β = - 52, να παραγοντοποιήσετε το Ρ(x). 3. Δίνεται το πολυώνυμο : P(x) = 2x 4 3x 3 + α x 2 + (1 α) x + β με α, β IR. α) Να κάνετε τη διαίρεση του P(x) : (x 2 + 3) και να γράψετε την ταυτότητα της διαίρεσης. όπου βαθμόςυ(x) < βαθμόςδ(x) Αν Δ(x) = δ(x) π(x), τότε Τα δ(x), π(x) είναι παράγοντες του Ρ(x). Διαίρεση του Ρ(x) με (x ρ) Είναι υ = Ρ(ρ), όπου υ το υπόλοιπο της διαίρεσης του Ρ(x) με το (x ρ). Το (x ρ) είναι παράγοντας του Ρ(x) αν και μόνο αν το ρ είναι ρίζα του Ρ(x). β) Να βρείτε τα α, β IR ώστε η παραπάνω διαίρεση να έχει υπόλοιπο : υ(x) = 3x 2. γ) Για α = 7 και β = 1, να γράψετε την ταυτότητα της διαίρεσης : Ρ(x) : (x 2) (Απ. γ) Ρ(x) = (x 2)(2x 3 + x 2 + 9x + 12) + 25 ) exal04_2_polex/bl ΣΕΛΙΔΑ 1

2 4. Δίνεται το πολυώνυμο : P(x) = (x 2) α x + β, με α, β IR. Αν το υπόλοιπο της διαίρεσης του P(x) με το (x 1)(x 3) είναι : υ(x) = 4x 7, να βρείτε τα α, β. (Απ. α = 3, β = - 5) 5. Δίνεται το πολυώνυμο P(x) για το οποίο ισχύει : Ρ(0) = 3 και Ρ(- 2) = Ρ(2) = 7 Να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης του Ρ(x) με το (x 3 4x). (Απ. υ(x) = x 2 + 3) 6. Δίνεται το πολυώνυμο : P(x) = (x + 4) 99 + λx + 6 για το οποίο ισχύει : Ρ(- 4) = 14. Να βρείτε : α) τον αριθμό λ IR, β) για λ = - 2, να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης του Ρ(x) με το (x + 3)(x + 5). (Απ. β) υ(x) = - x + 10) 7. α) Να αποδείξετε ότι το P(x) έχει παράγοντα το (x - α)(x - β), με α β, αν και μόνο αν το Ρ(x) έχει παράγοντες το x α και x β. β) Δίνεται το πολυώνυμο Ρ(x) = x 3 + 4x 2 + α x + β. Να βρείτε τα α, β IR, ώστε το P(x) να έχει παράγοντα το x 2 + 2x 3. (Απ. α = 1, β = - 6) 8. Το πολυώνυμο : P(x) = α x x 2 - x + β έχει παράγοντα το 4x 2 1. Να βρείτε : α) τους αριθμούς α και β, β) για α = 4 και β = - 3, το υπόλοιπο της διαίρεσης του P(x) με το 2x + 3. (Απ. υ = 12) 9. Το υπόλοιπο της διαίρεσης του P(x) με το (x 3)(x + 2) είναι - 4x + 1. Να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης του Ρ(x) με το x 3 και το υπόλοιπο της διαίρεσης του Ρ(x) με το x + 2. (Aπ. υ 1 = - 11, υ 2 = 9) 10. Δίνεται το πολυώνυμο : P(x) = α x 3 + β x 2 + γ x + δ, με αγ 0, το οποίο έχει παράγοντα το α x + β. Να αποδείξετε ότι το Ρ(x) έχει παράγοντα και το γ x + δ. ΣΕΛΙΔΑ 2

3 11. Να αποδείξετε ότι το πολυώνυμο P(x) = (x + 2) 2v (x + 4) v (x 2 + 3x) v έχει παράγοντες όλους τους παράγοντες του πολυωνύμου Q(x) = x 3 + 7x x. 12. Η διαίρεση ενός πολυωνύμου Ρ(x) με το x 1 και με το x 2 δίνει πηλίκα π 1 (x) και π 2 (x) αντίστοιχα. Να βρείτε την τιμή της παράστασης : Α = π 1 (2) π 2 (1) (Απ. Α = 0) 13. Ένα πολυώνυμο Ρ(x) έχει την ιδιότητα : (x + 1)P(- x + 2) + (x - 3)P(x + 4) = - 2x + 14 α) Να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης του Ρ(x) με καθένα από τα πολυώνυμα x + 1 και x - 3. β) Να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης του Ρ(x) με το x 2 2x 3. (Απ. α) Ρ(3) = - 4, Ρ(- 1) = 2, β) υ = x ) 14. Να λύσετε τις επόμενες εξισώσεις : α) x 3 + 3x 2 10x = 0 β) x 4 + 8x = 0 γ) (2x 1) 4 81 = 0 δ) (x 2 5) 2 3(x 2 5) = 4 ε) 2x 3 x 2 7x + 6 = 0 στ) x 4 + 2x 3 7x 2 8x + 12 = 0 ζ) (x 1) 3 15x = 3 3(x 2)(x + 2) η) (x 2 + 1) 3 8(x 2 + 1) (x 2 + 1) 10 = 0 θ) (x 2 2) 3 + 3(x 2 3) 2 11 = 0 ι) (x 2 x + 2) 2 10(x 2 x 1) 9 = 0 ια) (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) = 24 ιβ) (x 2)(x 3)(x + 4)(x + 5) = Δίνεται το πολυώνυμο : Ρ(x) = (x + 1) (x 1) 2009 (2x) x 2 x 2. α) Να βρείτε τον σταθερό α 0 του Ρ(x). β) Να βρείτε τις ακέραιες ρίζες του Ρ(x). (Απ. α) α 0 = 1, β) - 1) 16. Το πολυώνυμο Ρ(x) = x 4 + α x 3 + β x + α έχει παράγοντα το x + 2. Επίσης η διαίρεση του Ρ(x) με το x 1 αφήνει υπόλοιπο α) Να βρείτε τις τιμές των α, β IR. β) Να λύσετε την εξίσωση Ρ(x) = 0. (Απ. α) α = - 6, β = - 7, β) x = - 2, x = 3) ΣΕΛΙΔΑ 3

4 17. Το πολυώνυμο Ρ(x) = x 4 + α x 3 + β x 2-5α x 3, με α, β Z έχει δύο ακέραιες και αρνητικές ρίζες. α) Να βρείτε τις τιμές των α, β Z. β) Να λύσετε την εξίσωση Ρ(x) = 0. (Απ. α) α = 2, β = - 6 β) x = - 1, x = - 3, x = 1 ± 2 ) 18. To πολυώνυμο Ρ(x) = x 4 - α x 3-9 x 2 + 9α x + β έχει παράγοντα το x 3. α) Να αποδείξετε ότι β = 0. β) Αν το άθροισμα των ριζών της εξίσωσης Ρ(x) = 0 είναι 2, να βρείτε το α. (Απ. α = 2) 19. Η εξίσωση x 3 + α x + β = 0, με α, β IR έχει τρεις διαφορετικές διαφορετικές ρίζες απ τις οποίες η μία είναι το - 2. α) Να εκφράσετε το β ως συνάρτηση του α. β) Να αποδείξετε ότι α < - 3. (Απ. β = 2α + 8) 20. Να λύσετε τις επόμενες ανισώσεις : α) 2x 3 x 2 7x + 6 > 0 β) 3x 3 + 5x 2 26x γ) x 3 + 3x δ) x 3 4x 2 + 5x ε) x 3 3x > 0 στ) x 4 + 5x ζ) x 4 3x 3 3x 2 + 7x η) x 4 2x 3 + 3x 2-4x + 2 > Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της συνάρτησης f με f(x) = - x 4 + x 3 x 2 + 3x + 6 βρίσκεται κάτω από τον x x άξονα. (Απ. x (-, - 1) (2, + ) ) 22. Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της συνάρτησης f με f(x) = x 4-7x x 2-17x + 6 βρίσκεται πάνω από τον x x άξονα. (Απ. x (-, 1) (1, 2) (3, + ) ) 23. Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της συνάρτησης f με f(x) = 6x 3 + 4x 2-7x 11 βρίσκεται πάνω από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης g με g(x) = 3x 2 + 4x 5. (Απ. x (-1, - 2/3) (3/2, + ) ) ΣΕΛΙΔΑ 4

5 24. Δίνονται τα επόμενα πολυώνυμα : Ρ(x) = 3x 3 + α x 2 (β + 4) x 17 και Q(x) = x 3 + (α 1) x 2 + β x 2. Το Ρ(x) διαιρούμενο με το x 2 αφήνει υπόλοιπο - 29, ενώ το Q(x) έχει παράγοντα το x 1. α) Να βρείτε τις τιμές των α, β IR. β) Για α = - 4 και β = 6, να λύσετε την ανίσωση Ρ(x) Q(x). (Απ. β) x [- 5/2, - 1] [3, + ) ) 25. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f με f(x) = 2x 3 + α x 2 17x + 4α διέρχεται από το σημείο Μ(3, - 36). β) Για α = - 3, να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της f βρίσκεται : ι) πάνω από τον άξονα x x, ιι) κάτω από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης g(x) = x 3 7x 36. (Απ. β) ι) x [- 3/2, - 1) (4, + ), ιι) x (-, - 3) (2, 4) ) 26. Δίνεται το πολυώνυμο Ρ(x) = 3x 3-5x 2 11x + α που έχει παράγοντα το 3x + 1. β) Για α = - 3, να λύσετε την ανίσωση Ρ(x) 3x + 1. (Απ. β) x [1-5, - 1/3] [1 + 5, + ) ) 27. Το πολυώνυμο Ρ(x) = x 3 + α x 2 13x - 5α έχει παράγοντα το x - 1. β) Για α = - 3, να λύσετε την ανίσωση Ρ(x) > 0. γ) Να βρείτε το πρόσημο του γινομένου Α = Ρ(- 99) Ρ(- 3) Ρ( 2 ) Ρ( 7 ) Ρ(2010) (Απ. β) x ( - 3, 1) (5, + ) γ) Α < 0 ) ΣΕΛΙΔΑ 5