ARISTARCHI DE MAGNITUDIBUS ET DISTANTIIS SOLIS ET LUNAE, 1-2

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ARISTARCHI DE MAGNITUDIBUS ET DISTANTIIS SOLIS ET LUNAE, 1-2"

Transcript

1 ARISTARCHI DE MAGNITUDIBUS ET DISTANTIIS SOLIS ET LUNAE, 1-2 Ἔστωσα ἴσαι σφαῖραι, ὧ κέτρα ἔστω τ ὰ Α, Β σημεῖα, κα ὶ ἐπιζευχθεῖσα ἡ ΑΒ ἐκβεβλήσθω, καὶ ἐκβεβλήσθω δι ὰ το ῦ ΑΒ ἐπίπεδο ποιήσει δ ὴ τομὰ ἐ ταῖ σφαίραι μεγίστου κύκλου. ποιείτω οὖ τοὺ ΓΔΕ, ΖΗΘ κύκλου, κα ὶ ἤχθωσα ἀπ ὸ τῶ Α, Β τ ῇ ΑΒ πρὸ ὀρθὰ α ἱ ΓΑΕ, ΖΒΘ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΓΖ. κα ὶ ἐπε ὶ α ἱ ΓΑ, ΖΒ ἴσαι τε κα ὶ παράλληλοί εἰσι, κα ὶ α ἱ ΓΖ, ΑΒ ἄρα ἴσαι τε καὶ παράλληλοί εἰσι. παραλληλόγραμμο ἄρα ἐστὶ τ ὸ ΓΖΑΒ, κα ὶ α ἱ πρὸ τοῖ Γ, Ζ γωίαι ὀρθαὶ ἔσοται ὥστε ἡ ΓΖ τῶ ΓΔΕ, ΖΗΘ κύκλω ἐφάπτεται. ἐὰ δ ὴ μεούση τῆ ΑΒ τ ὸ ΑΖ παραλληλόγραμμο κα ὶ τ ὰ ΚΓΔ, ΗΖΛ ἡμικύκλια περιεεχθέτα εἰ τ ὸ αὐτ ὸ πάλι ἀποκατασταθῇ ὅθε ἤρξατο φέρεσθαι, τ ὰ μὲ ΚΓΔ, ΗΖΛ ἡμικύκλια ἐεχθήσεται κατ ὰ τῶ σφαιρῶ, τ ὸ δ ὲ ΑΖ παραλληλόγραμμο γεήσει κύλιδρο, ο ὗ βάσει ἔσοται ο ἱ περ ὶ διαμέτρου τὰ ΓΕ, ΖΘ κύκλοι, ὀρθο ὶ ὄτε πρὸ τὴ ΑΒ, δι ὰ τ ὸ ἐ πάσ ῃ μετακιήσει διαμέει τὰ ΓΕ, ΘΖ ὀρθὰ τ ῇ ΑΒ. καὶ φαερὸ ὅτι ἡ ἐπιφάεια αὐτο ῦ ἐφάπτεται τῶ σφαιρῶ, ἐπειδ ὴ ἡ ΓΖ κατ ὰ πᾶ σα μετακίησι ἐφάπτεται τῶ ΚΓΔ, ΗΖΛ ἡμικυκλίω. Ἔστωσα δ ὴ α ἱ σφαῖραι πάλι, ὧ κέτρα ἔστω τ ὰ Α, Β, ἄισοι, κα ὶ μείζω ἧ κέτρο τ ὸ Α λέγω ὅτι τὰ σφαίρα ὁ αὐτὸ κῶο περιλαμβάει τὴ κορυφὴ ἔχω πρὸ τ ῇ ἐλάσσοι σφαίρ ᾳ. Ἐπεζεύχθω ἡ ΑΒ, κα ὶ ἐκβεβλήσθω δι ὰ τῆ ΑΒ ἐ πίπεδο ποιήσει δ ὴ τομὰ ἐ ταῖ σφαίραι κύκλου. ποιείτω τοὺ ΓΔΕ, ΖΗΘ μείζω ἄρα ὁ ΓΔΕ κύκλο τοῦ ΗΖΘ κύκλου ὥστε κα ὶ ἡ ἐκ το ῦ κέτρου το ῦ ΓΔΕ κύκλου μείζω ἐστ ὶ τῆ ἐκ το ῦ κέτρου το ῦ ΖΗΘ κύκλου. δυατὸ δή ἐστι λαβεῖ τι σημεῖο, ὡ τ ὸ Κ, ἵ' ᾖ, ὡ ἡ ἐκ το ῦ κέτρου το ῦ ΓΔΕ κύκλου πρὸ τὴ ἐκ το ῦ κέτρου το ῦ ΖΗΘ κύκλου, οὕτω ἡ ΑΚ πρὸ τὴ ΚΒ. ἔστω οὖ εἰλημμέο τ ὸ Κ σημεῖο, κα ὶ ἤχθω ἡ ΚΖ ἐφαπτομέη το ῦ ΖΗΘ κύκλου, κα ὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΖΒ, κα ὶ δι ὰ το ῦ Α τ ῇ ΒΖ παράλληλο ἤχθω ἡ ΑΓ, κα ὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΓΖ. κα ὶ ἐπεί ἐστι, ὡ ἡ ΑΚ πρὸ τὴ ΚΒ, ἡ ΑΔ πρὸ τὴ ΒΝ, ἴση δ ὲ ἡ μὲ ΑΔ τ ῇ ΑΓ, ἡ δ ὲ ΒΝ τ ῇ ΒΖ, ἔστι ἄρα, ὡ ἡ ΑΚ πρὸ τὴ ΚΒ, ἡ ΑΓ πρὸ τὴ ΒΖ. κα ὶ ἔστι παράλληλο ἡ ΑΓ τ ῇ ΒΖ εὐθεῖα ἄρα ἐστὶ ἡ ΓΖΚ. κα ὶ ἔστι ὀρθ ὴ ἡ ὑπ ὸ τῶ ΚΖΒ ὀρθὴ ἄρα κα ὶ ἡ ὑπ ὸ τῶ ΚΓΑ. ἐφάπτεται ἄρα ἡ ΚΓ το ῦ ΓΔΕ κύκλου. ἤχθωσα δ ὴ α ἱ ΓΛ, ΖΜ ἐπ ὶ τὴ ΑΒ κάθετοι. ἐὰ δ ὴ μεούση τῆ ΚΞ τά τε ΞΓΔ, ΗΖΝ ἡμικύκλια κα ὶ τ ὰ ΚΓΛ, ΚΖΜ τρίγωα περιεεχθέτα εἰ τ ὸ αὐτ ὸ πάλι ἀποκατασταθ ῇ ὅθε ἤρξατο φέρεσθαι, τ ὰ μὲ ΞΓΔ, ΗΖΝ ἡ μικύκλια ἐεχθήσεται κατ ὰ τῶ σφαιρῶ, τ ὸ δ ὲ ΚΓΛ τρίγωο κα ὶ τ ὸ ΚΖΜ γεήσει κώου, ὧ βάσει εἰσὶ ο ἱ περ ὶ διαμέτρου τὰ ΓΕ, ΖΘ κύκλοι, ὀρθο ὶ ὄτε πρὸ τὸ ΚΛ ἄξοα κέτρα δ ὲ αὐτῶ τ ὰ Λ, Μ κα ὶ ὁ κῶο τῶ σφαιρῶ ἐφάψεται κατ ὰ τὴ ἐπιφάεια, ἐπειδ ὴ κα ὶ ἡ ΚΖΓ ἐφάπτεται τῶ ΞΓΔ, ΗΖΝ ἡμικυκλίω κατ ὰ πᾶσα μετακίησι. [2] < Ἐὰ σφαῖρα ὑπ ὸ μείζοο ἑαυτῆ σφαίρα φωτίζηται, μεῖζο ἡ μισφαιρίου φωτισθήσεται.> Σφαῖρα γάρ, ἧ κέτρο τ ὸ Β, ὑπ ὸ μείζοο ἑαυτῆ σφαίρα φωτιζέσθω, ἧ κέτρο

2 τ ὸ Α λέγω ὅτι τ ὸ φωτιζόμεο μέρο τῆ σφαίρα, ἧ κέτρο τ ὸ Β, μεῖζό ἐστι ἡμισφαιρίου. Ἐπεὶ γὰρ δύο ἀίσου σφαίρα ὁ αὐτὸ κῶο περιλαμβάει τὴ κορυφὴ ἔχω πρὸ τ ῇ ἐ λάσσοι σφαίρ ᾳ, ἔστω ὁ περιλαμβάω τὰ σφαίρα κῶο, κα ὶ ἐκβεβλήσθω δι ὰ το ῦ ἄξοο ἐ πίπεδο ποιήσει δ ὴ τομὰ ἐ μὲ ταῖ σφαίραι κύκλου, ἐ δ ὲ τ ῷ κώ ῳ τρίγωο. ποιείτω οὖ ἐ μὲ ταῖ σφαίραι κύκλου τοὺ ΓΔΕ, ΖΗΘ, ἐ δ ὲ τ ῷ κώ ῳ τρίγωο τ ὸ ΓΕΚ. φαερὸ δ ὴ ὅτι τ ὸ κατ ὰ τὴ ΖΗΘ περιφέρεια τμῆμα τῆ σφαίρα, ο ὗ βάσι ἐστὶ ὁ περ ὶ διάμετρο τὴ ΖΘ κύκλο, φωτιζόμεο μέρο ἐστὶ ὑπ ὸ το ῦ τμήματο το ῦ κατ ὰ τὴ ΓΔΕ περιφέρεια, ο ὗ βάσι ἐστὶ ὁ περ ὶ διάμετρο τὴ ΓΕ κύκλο, ὀρθὸ ὢ πρὸ τὴ ΑΒ εὐθεῖα κα ὶ γὰρ ἡ ΖΗΘ περιφέρεια φωτίζεται ὑπ ὸ τῆ ΓΔΕ περιφερεία ἔσχαται γὰρ ἀκτῖέ εἰσι α ἱ ΓΖ, ΕΘ κα ὶ ἔστι ἐ τ ῷ ΖΗΘ τμήματι τ ὸ κέτρο τῆ σφαίρα τ ὸ Β ὥστε τ ὸ φωτιζόμεο μέρο τῆ σφαίρα μεῖζό ἐστι ἡμισφαιρίου.

3 ERATOSTHENIS DE CIRCA EXORNATIONESTELLARUM ET ETHYMOLOGIA DE QUIBUS VIDENTUR βόρεια Ἄρκτο μεγάλη, Ἄρκτο μικρά, Ὄφι ὁ δι' ἀμφοτέρω τῶ Ἄ ρκτω, Κηφεύ, Περσεύ, Ἀδρομέδα, Κασσιέπεια, Ὄρι, Λύρα, Ἐγόασι, Στέφαο, Ἀρκτοφύλαξ, Ἡίοχο ἐφ' ὧι <Αἲ ξ Ἔριφοι,> Δελτωτό, Ἵππο, Ὀιστό, Ἀετό, Ὀφιοῦ χο, Προκύω, Καρκίο, Λέω, Παρθέο, Χηλαί, Σκορπίο, Τοξότη, Αἰγόκερω, Ὑδροχόο, Ἰχθύε, Ταῦρο, <Κριό,> Δίδυμοι. ότια δέ Ὠ ρίω, Κῆτο, Δελφί, Ὕδρο ἐφ' ὧι Κρατὴρ κα ὶ ὁ Κόραξ, Κύω, <Θυτήριο,> Κέταυρο ἐφ' ὧ ι Θηρίο, Λαγωό, Ἀργώ, Ποταμό, Ἰχθύε, ἀστέρε πέτε πλαῆται: <κεῖται δ' ἐ μὲ τῶ ι βορείωι ἡμισφαιρίωι τάδε Ἄρκτο μείζω, Ἄρκτο ἐλάσω, Ὄφι δι' ἀμφοτέρω τῶ Ἄ ρκτω, Βοώτη, Στέφαο, Ἐγόασι, Ὀφιοῦχο. < ἐ ἀμφοτέροι τοῖ ἡμι-σφαιρίοι > Λύρα, Ὄρι, Ὀιστό, Αἰ ετό, Δελφί, Ἵππο. < ἐ ἀμφοτέροι τοῖ ἡμισφαιρίοι > Κηφεύ, Κασσιέπεια, Ἀ δρομέδα, Τρίγωο,Περσεύ, Ἡίοχο. < ἐ δ ὲ τῶι οτίωι το ῦ ζωιδιακο ῦ.> Ὑδροχόο. < ἐ ἀμφοτέροι τοῖ ἡμισφαιρίοι > Κρατήρ, Κόραξ, Ἀργώ, Κέταυρο, τ ὸ θηρίο ὃ ἔχει ὁ Κέταυρο ἐ τῆι δεξιᾶ ι χειρί, Θυτήριο, ὁ ὑπ ὸ τὸ Τοξότη Στέφαο [ Ἀριάδη], Ἰχθύ, Κῆτο, Ὠρίω. < ἐ ἀμφοτέροι τοῖ ἡμισφαιρίοι > Λαγωό, Προκύω. < ἐ δ ὲ τῶι βορείωι το ῦ ζωιδιακο ῦ κύκλου. βόρεια > Καρκίο, Λέω, Παρθέο, Κριό, Ταῦρο, Δίδυμοι.

4 PSEUDO-ERATOSTHENIS CATASTERISMI Ἀστροθεσίαι ζῳδίω. Ἄ ρκτου μεγάλη. Ταύτη Ἡσίοδό φησι Λυκάοο θυγατέρα ἐ Ἀρκαδί ᾳ οἰκεῖ, ἑλέσθαι δ ὲ μετὰ Ἀρτέμιδο τὴ περ ὶ τὰ θήρα ἀγωγὴ ἐ τοῖ ὄρεσι ποιεῖσθαι φθαρεῖσα δ ὲ ὑπ ὸ Διὸ ἐμμεῖ αι λαθάουσα τὴ θεό φωραθῆαι δ ὲ ὕστερο ἐπίτοκο ἤδη οὖσα ὀφθεῖσα ὑπ' αὐτῆ λουομέη ἐφ' ᾧ ὀργισθεῖσα τὴ θεὸ ἀποθηριῶσαι αὐτή κα ὶ οὕτω τεκεῖ ἄρκτο γεομέη τὸ κληθέτα Ἀρκάδα οὖσα δ' ἐ τ ῷ ὄρει θηρευθῆαι ὑπ ὸ αἰπόλω τιῶ κα ὶ παραδοθῆαι μετ ὰ το ῦ βρέφου τ ῷ Λυκάοι μετ ὰ χρόο δέ τια δόξαι εἰσελθεῖ εἰ τ ὸ το ῦ Διὸ ἄβατο [ ἱερὸ] ἀγοήσασα τὸ όμο ὑπ ὸ δ ὲ το ῦ ἰδίου υἱο ῦ διωκομέη κα ὶ τῶ Ἀρκάδω, κα ὶ ἀαιρεῖσθαι μέλλουσα δι ὰ τὸ εἰρημέο όμο, ὁ Ζεὺ δι ὰ τὴ συγγέεια αὐτὴ ἐξείλετο κα ὶ ἐ τοῖ ἄστροι αὐτὴ ἔ θηκε Ἄρκτο δ ὲ αὐτὴ ὠόμασε δι ὰ τ ὸ συμβεβηκὸ αὐτ ῇ σύμπτωμα. Ἔχει δ ὲ ἀστέρα ἐπ ὶ τῆ κεφαλῆ ζ ʹ ἀμαυρού, ἐφ' ἑκατέρω ὠτίω β ʹ, < ἐπ'> ὠμοπλατῶ λαμπρὸ α ʹ, ἐπ ὶ το ῦ στήθου <α ʹ, ἐπ ὶ τοῦ ἔμπροσθε ποδὸ> β ʹ, ἐπ ὶ τῆ ῥάχεω λαμπρὸ α ʹ, < ἐπ ὶ τῆ κοιλία λαμπρὸ α ʹ>, ἐπ ὶ σκέλεσι ὀπισθίοι β ʹ, ἐπ' ἄκρ ῳ τ ῷ ποδ ὶ β ʹ, ἐπ ὶ τῆ κέρκου γ ʹ τοὺ πάτα κδ ʹ. Ἄρκτου μικρᾶ. Αὕτη ἐστὶ ἡ μικρ ὰ καλουμέη προσηγορεύθη δ ὲ ὑπ ὸ τῶ πλείστω Φοιίκη ἐτιμήθη δ ὲ ὑπ ὸ τῆ Ἀρτέμιδο γοῦσα δ ὲ ὅτι ὁ Ζεὺ αὐτὴ ἔφθειρε, ἠγρίωσε αὐτή ὕστερο δὲ σεσωσμέ ῃ λέγεται δόξα αὐτ ῇ περιθεῖαι ἀτιθεῖσα ἕτερο εἴδωλο ἐ τοῖ ἄστροι, ὥστε δισσὰ ἔχει τιμά. Ἀγλαοσθέη δ ὲ ἐ τοῖ Ναξικοῖ φησι τροφὸ γεέσθαι το ῦ Διὸ Κυόσουρα, εἶαι δὲ μία τῶ Ἰδαίω υμφῶ ἀφ' ἧ ἐ μὲ τ ῇ πόλει τ ῇ καλουμέ ῃ Ἱστοῖ, τοὔομα τοῦτο ἦ, ἣ οἱ περ ὶ Νικόστρατο ἔκτισα, κα ὶ τὸ ἐ αὐτ ῇ [δ ὲ] λιμέα κα ὶ τὸ ἐπ' αὐτ ῷ τόπο Κυόσουρα κληθῆαι. Ἄρατο δ ὲ αὐτὴ καλε ῖ Ἑλίκη ἐκ Κρήτη οὖσα γεέσθαι δ ὲ Διὸ τροφὸ κα ὶ δι ὰ τοῦ το ἐ οὐραοῖ τιμῆ ἀξιωθῆαι. Ἔχει δ ὲ ἀστέρα ἐπ ὶ μὲ ἑκάστη γωία το ῦ πλιθίου λαμπρὸ α ʹ, ἐπ ὶ δ ὲ τῆ κέρκου λαμπροὺ γ ʹ, τοὺ πάτα ζ ʹ ὑπ ὸ δ ὲ τὸ ἕτερο τῶ ἡγουμέω κατώτερό ἐ στι ἄλλο ἀστήρ, ὃ καλεῖται Πόλο, περ ὶ ὃ δοκε ῖ ὅλο ὁ κόσμο στρέφεσθαι.

5 Σκορπίου. Οὗτο δι ὰ τ ὸ μέγεθο εἰ δύο δωδεκατημόρια διαιρεῖται κα ὶ τ ὸ μὲ ἐπέχουσι α ἱ χηλαί, θάτερο δ ὲ τ ὸ σῶμα κα ὶ τ ὸ κέτρο. τοῦτο, φασί, ἐποίησε Ἄρτεμι ἀαδοθῆαι < ἐκ> τῆ κολώη τῆ Χίου ήσου, κα ὶ τὸ Ὠρίωα πλῆξαι, κα ὶ οὕτω ἀποθαεῖ, ἐπειδ ὴ ἐ κυηγεσίῳ ἀκόσμω αὐτὴ ἐβιάσατο ὃ Ζεὺ ἐ τοῖ λαμπροῖ ἔθηκε τῶ ἄστρω, ἵ' εἰδῶσι οἱ ἐπιγιόμεοι ἄθρωποι τὴ ἰσχύ τε αὐτο ῦ κα ὶ τὴ δύαμι. Ἔχει δ ὲ ἀστέρα ἐφ' ἑκατέρα χηλῆ β ʹ, ὧ εἰσι ο ἱ μὲ πρῶτοι μεγάλοι, ο ἱ δ ὲ δεύτεροι ἀμαυροί, ἐπ ὶ δ ὲ το ῦ μετώπου <λαμπροὺ γ ʹ, ὧ ὁ μέσο λαμπρότατο, ἐπ ὶ τῆ ῥάχεω> λαμπροὺ γ ʹ, ἐπ ὶ τῆ κοιλία β ʹ, ἐπ ὶ τῆ κέρκου ε ʹ, ἐπ ὶ τοῦ κέτρου β ʹ προηγεῖται μὲ ἐ αὐτοῖ πάτω φαιδρότερο ὢ ὁ ἐπ ὶ τῆ βορεία χηλῆ λαμπρὸ ἀστήρ <τοὺ πάτα ιθ ʹ>. Κασσιεπεία. Ταύτη ἱστορε ῖ Σοφοκλῆ ὁ τῆ τραγῳδία ποιητὴ ἐ Ἀδρομέδ ᾳ ἐρίσασα περὶ κάλλου ταῖ Νηρηίσι εἰσελθεῖ εἰ τ ὸ σύμπτωμα, κα ὶ Ποσειδῶα διαφθεῖραι τὴ χώρα κῆ το ἐπιπέμψατα δι' ἣ πρόκειται τ ῷ κήτει ἡ θυγάτηρ. οἰκείω δ ὲ ἐσχημάτισται ἐγγὺ ἐπ ὶ δίφρου καθημέη. Ἔχει δ' ἀστέρα ἐπ ὶ τῆ κεφαλῆ λαμπρὸ α ʹ, < ἐφ' ἑκατέρω τῶ ὤμω λαμπρὸ α ʹ, ἐπὶ το ῦ δεξιο ῦ στήθου λαμπρὸ α ʹ>, ἐπ ὶ το ῦ δεξιο ῦ ἀγκῶο <α ʹ, ἐπ ὶ τῆ δεξιᾶ χειρὸ> λαμπρὸ α ʹ, ἐπ ὶ τῆ < ἀριστερᾶ> χειρὸ <λαμπρὸ α ʹ, ἐπ' ὀμφαλο ῦ> α ʹ, [< ἐπ ὶ το ῦ> γόατο α ʹ, < ἐπ ὶ> ποδὸ ἄκρου α ʹ, < ἐπ ὶ το ῦ> στήθου α ʹ ἀμαυρό], ἐπ' ἀριστερο ῦ μηρο ῦ λαμπροὺ β ʹ, ἐπ ὶ γόατο αʹ λαμπρό, < ἐπ ὶ ποδὸ ἄκρου α ʹ>, ἐπ ὶ το ῦ πλιθίου α ʹ, < ἐπ ὶ τῆ> το ῦ δίφρου ο ὗ κάθηται ἑ κατέρα γωία α ʹ <τοὺ πάτα ιε ʹ>.

6 ΙΠΠΑΡΧΟΥ ΤΩΝ ΑΡΑΤΟΥ ΚΑΙ ΕΥΔΟΞΟΥ ΦΑΙΝΟΜΕΝΩΝ ΕΞΗΓΗΣΕΩΣ ΠΡΩΤΟΝ Ἵππαρχο Αἰσχρίωι χαίρει. Ἡδέω ἐπέγω δι ὰ τῆ ἐπιστολῆ τ ὸ ἐπίμοό σου τῆ πρὸ φιλομαθία οἰκειώσεω τά τε γὰρ φυσικ ὰ τῶ ἐπιζητηθέτω ὑπ ὸ σο ῦ κα ὶ τ ὰ περ ὶ τῶ παρὰ Ἀράτ ῳ λεγομέω ἐ ταῖ Συαατολαῖ ἱκαωτέρα ἐέφαιέ μοι φιλοτεχία, κα ὶ πολλ ῷ γε μᾶλλο, ὅσ ῳ πεπλεόακα ἐ ταῖ βιωτικαῖ ἀσχολίαι δι ὰ τὴ τῶ ἀξιολογωτάτω ἀδελφῶ ὠμὴ τελευτή. περ ὶ μὲ οὖ τῶ ἄλλω μετ ὰ ταῦτά σοι τὴ ἰδία κρίσι διασαφήσω περ ὶ δ ὲ τῶ ὑπὸ Ἀράτου λεγομέω ἐ τοῖ Φαιομέοι ῦ προτέθειμαί σοι γράψαι, πᾶ καθόλου τ ὸ καλῶ ἢ κακῶ λεγόμεο < ἐ> αὐτοῖ ὑποδεικύω. ἐξ ὧ ἔσται σοι φαερ ὰ πάτα κα ὶ τ ὰ παρ ὰ σοῦ διαπορηθέτα. Ἐξήγησι μὲ οὖ τῶ Ἀράτου Φαιομέω κα ὶ ἄ λλοι πλείοε συτετάχασι ἐπιμελέστατα δ ὲ δοκε ῖ πάτω Ἄτταλο ὁ καθ' ἡμᾶ μαθηματικὸ τὸ περ ὶ αὐτῶ πεποιῆ σθαι λόγο. ἀλλ ὰ τ ὸ μὲ ἐξηγήσασθαι τὴ ἐ τοῖ ποιήμασι διάοια ο ὐ μεγάλη ἐπιστροφῆ προσδεῖσθαι ομίζω ἁπλοῦ τε γὰρ κα ὶ σύτομό ἐστι ποιητή, ἔτι δ ὲ σαφὴ τοῖ κα ὶ μετρίω παρηκολουθηκόσι τ ὸ δ ὲ συεῖαι τ ὰ λεγόμεα περ ὶ τῶ οὐραίω ὑπ' αὐτο ῦ, τία τε συμφώω τοῖ φαιομέοι ἀαγέγραπται κα ὶ τία διημαρτημέω, τοῦτ' ὠφελιμώτατο ἡγήσαιτ' ἄ τι καὶ μαθηματικῆ ἴδιο ἐμπειρία. Θεωρῶ δ' οὖ < ἐ> τοῖ πλείστοι κα ὶ χρησιμωτάτοι διαφωοῦτα τὸ Ἄρατο πρὸ τὰ φαιόμεά τε κα ὶ γιόμεα κατ ὰ ἀλήθεια, τούτοι δ' ἅπασι σχεδὸ ο ὐ μόο τοὺ ἄλλου, ἀλλ ὰ καὶ τὸ Ἄτταλο συεπιγραφόμεο, ἔκρια τῆ σῆ ἕεκα φιλομαθία κα ὶ τῆ κοιῆ τῶ ἄ λλω ὠφελεία ἀαγράψαι τ ὰ δοκοῦτά μοι διημαρτῆσθαι. τοῦτο δ ὲ ποιῆσαι προεθέμη οὐκ ἐκ το ῦ τοὺ ἄλλου ἐλέγχει φατασία ἀπεέγκασθαι προαιρούμεο (κεὸ γὰρ κα ὶ μικρόψυχο πατελῶ τοὐατίο δ ὲ δεῖ οἴομαι πᾶσι ἡμᾶ εὐχαριστεῖ, ὅσοι τῆ κοιῆ ἕεκε ὠφελεία ἰδί ᾳ ποεῖ ἀαδεχόμεοι τυγχάουσι ) ἀλλ' ἕεκα το ῦ μήτε σ ὲ μήτε τοὺ λοιποὺ τῶ φιλομαθούτω ἀποπλαᾶσθαι τῆ περ ὶ τ ὰ φαιόμεα κατ ὰ τὸ κόσμο θεωρία. ὅπερ εὐλόγω πολλο ὶ πεπόθασι ἡ γὰρ τῶ ποιημάτω χάρι ἀξιοπιστία τι ὰ τοῖ λεγομέοι περιτίθησι, κα ὶ πάτε σχεδὸ ο ἱ τὸ ποιητὴ τοῦτο ἐξηγούμεοι προτίθεται τοῖ ὑπ' αὐτο ῦ λεγομέοι.

7 ARCHIMEDES DIMENSIO CIRCULI, 1-2 [1] Πᾶ κύκλο ἴσο ἐστ ὶ τριγώ ῳ ὀρθογωί ῳ, ο ὗ ἡ μὲ ἐκ το ῦ κέτρου ἴση μι ᾷ τῶ περ ὶ τὴ ὀρθή, ἡ δ ὲ περίμετρο τ ῇ βάσει. Ἐχέτω ὁ ΑΒΓΔ κύκλο τριγώ ῳ τ ῷ Ε, ὡ ὑπόκειται λέγω ὅτι ἴ σο ἐστί. Ε ἰ γὰρ δυατό, ἔστω μείζω ὁ κύκλο, κα ὶ ἐγγεγράφθω τ ὸ ΑΓ τετράγωο, κα ὶ τετμήσθωσα α ἱ περιφέρειαι δίχα, κα ὶ ἔστω τ ὰ τμήματα ἤδη ἐλάσσοα τῆ ὑπεροχῆ, ᾗ ὑπερέχει ὁ κύκλο τοῦ τριγώου τ ὸ εὐθύγραμμο ἄρα ἔτι το ῦ τριγώου ἐστ ὶ μεῖζο. Εἰλήφθω κέτρο τ ὸ Ν κα ὶ κάθετο ἡ ΝΞ ἐλάσσω ἄρα ἡ ΝΞ τῆ το ῦ τριγώου πλευρᾶ. Ἔστι δ ὲ κα ὶ ἡ περίμετρο το ῦ εὐ θυγράμμου τῆ λοιπῆ ἐλάττω, ἐπε ὶ κα ὶ τῆ το ῦ κύκλου περιμέτρου ἔλαττο ἄρα τ ὸ εὐθύγραμμο το ῦ Ε τριγώου ὅπερ ἄτοπο. Ἔστω δ ὲ ὁ κύκλο, ε ἰ δυατό, ἐλάσσω το ῦ Ε τριγώου, κα ὶ περιγεγράφθω τ ὸ τετράγωο, κα ὶ τετμήσθωσα α ἱ περιφέρειαι δίχα, κα ὶ ἤχθωσα ἐφαπτόμεαι δι ὰ τῶ σημείω ὀρθ ὴ ἄρα ἡ ὑπ ὸ ΟΑΡ. Ἡ ΟΡ ἄρα τῆ ΜΡ ἐστὶ μείζω ἡ γὰρ ΡΜ τ ῇ ΡΑ ἴση ἐστί κα ὶ τ ὸ ΡΟΠ τρίγωο ἄρα το ῦ ΟΖΑΜ σχήματο μεῖζό ἐστι ἢ τ ὸ ἥμισυ. Λελείφθωσα ο ἱ τ ῷ ΠΖΑ τομε ῖ ὅ μοιοι ἐλάσσου τῆ ὑπεροχῆ, ᾗ ὑπερέχει τ ὸ Ε το ῦ ΑΒΓΔ κύκλου ἔτι ἄρα τ ὸ περιγεγραμμέο εὐθύγραμμο το ῦ Ε ἐστὶ ἔλασσο ὅπερ ἄτοπο ἔστι γὰρ μεῖζο, ὅτι ἡ μὲ ΝΑ ἴση ἐστ ὶ τῇ καθέτ ῳ το ῦ τριγώου, ἡ δ ὲ περίμετρο μείζω ἐστ ὶ τῆ βάσεω το ῦ τριγώου. Ἴσο ἄρα ὁ κύκλο τ ῷ Ε τριγώ ῳ. [2] Ὁ κύκλο πρὸ τ ὸ ἀπ ὸ τῆ διαμέτρου τετράγωο λόγο ἔχει, ὃ <ια> πρὸ <ιδ>. Ἔστω κύκλο, ο ὗ διάμετρο ἡ ΑΒ, κα ὶ περιγεγράφθω τετράγωο τ ὸ ΓΗ, κα ὶ τῆ ΓΔ διπλ ῆ ἡ ΔΕ, ἕβδομο δ ὲ ἡ ΕΖ τῆ ΓΔ. Ἐπε ὶ οὖ τ ὸ ΑΓΕ πρὸ τ ὸ ΑΓΔ λόγο ἔχει, ὃ <κα> πρὸ <ζ>, πρὸ δ ὲ τὸ ΑΕΖ τ ὸ ΑΓΔ λόγο ἔχει, ὃ ἑπτ ὰ πρὸ ἕ, τ ὸ ΑΓΖ πρὸ τ ὸ ΑΓΔ ἐστί, ὡ <κβ> πρὸ <ζ>. Ἀλλ ὰ τοῦ ΑΓΔ τετραπλάσιό ἐστι τ ὸ ΓΗ τετράγωο, τ ὸ δ ὲ ΑΓΔΖ τρίγωο τ ῷ ΑΒ κύκλ ῳ ἴσο ἐστί [ ἐπε ὶ ἡ μὲ ΑΓ κάθετο ἴση ἐστ ὶ τ ῇ ἐκ το ῦ κέτρου, ἡ δ ὲ βάσι τῆ διαμέτρου τριπλασίω κα ὶ τ ῷ ζ ʹ ἔ γγιστα ὑπερέχουσα δειχθήσεται] ὁ κύκλο οὖ πρὸ τ ὸ ΓΗ τετράγωο λόγο ἔχει, ὃ <ια> πρὸ <ιδ>.

8 EUCLIDES ELEMENTA Σημεῖό ἐστι, ο ὗ μέρο οὐθέ. Γραμμ ὴ δ ὲ μῆκο ἀπλατέ. Γραμμῆ δ ὲ πέρατα σημεῖα. Εὐθεῖ α γραμμή ἐστι, ἥτι ἐξ ἴσου τοῖ ἐφ' ἑαυτῆ σημείοι κεῖται. Ἐπιφάεια δέ ἐστι, ὃ μῆκο κα ὶ πλάτο μόο ἔχει. Ἐπιφαεία δ ὲ πέρατα γραμμαί. Ἐπίπεδο ἐπιφάειά ἐστι, ἥτι ἐξ ἴσου ταῖ ἐφ' ἑαυτῆ εὐθείαι κεῖται. Ἐπίπεδο δ ὲ γωία ἐστὶ ἡ ἐ ἐπιπέδ ῳ δύο γραμμῶ ἁπτομέω ἀλλήλω κα ὶ μὴ ἐπ' εὐθεία κειμέω πρὸ ἀλλήλα τῶ γραμμῶ κλίσι. Ὅτα δ ὲ α ἱ περιέχουσαι τὴ γωία γραμμα ὶ εὐθεῖαι ὦσι, εὐθύγραμμο καλεῖται ἡ γωία. Ὅτα δ ὲ εὐθεῖα ἐπ' εὐθεῖα σταθεῖσα τὰ ἐφεξῆ γωία ἴσα ἀλλήλαι ποι ῇ, ὀρθ ὴ ἑκατέρα τῶ ἴσω γωιῶ ἐστι, κα ὶ ἡ ἐφεστηκυῖα εὐθεῖ α κάθετο καλεῖται, ἐφ' ἣ ἐφέστηκε. Ἀμβλεῖα γωία ἐστὶ ἡ μείζω ὀρθῆ. Ὀξεῖα δ ὲ ἡ ἐ λάσσω ὀρθῆ. Ὅρο ἐστί, ὅ τιό ἐστι πέρα. Σχῆμά ἐστι τ ὸ ὑπό τιο ἤ τιω ὅ ρω περιεχόμεο. Κύκλο ἐστ ὶ σχῆμα ἐπίπεδο ὑπ ὸ μιᾶ γραμμῆ περιεχόμεο [ ἣ καλεῖται περιφέρεια], πρὸ ἣ ἀφ' ἑὸ σημείου τῶ ἐτὸ το ῦ σχήματο κειμέω πᾶσαι α ἱ προσπίπτουσαι εὐθεῖαι [πρὸ τὴ το ῦ κύκλου περιφέρεια] ἴσαι ἀλλήλαι εἰσί. Κέτρο δ ὲ το ῦ κύκλου τ ὸ σημεῖο καλεῖται. Διάμετρο δ ὲ τοῦ κύκλου ἐστὶ εὐθεῖά τι δι ὰ το ῦ κέτρου ἠγμέη κα ὶ περατουμέη ἐφ' ἑκάτερα τ ὰ μέρη ὑπ ὸ τῆ τοῦ κύκλου περιφερεία, ἥτι κα ὶ δίχα τέμει τὸ κύκλο. Ἡμικύκλιο δέ ἐστι τ ὸ περιεχόμεο σχῆ μα ὑπό τε τῆ διαμέτρου κα ὶ τῆ ἀπολαμβαομέη ὑπ' αὐτῆ περιφερεία. κέτρο δ ὲ το ῦ ἡ μικυκλίου τ ὸ αὐτό, ὃ κα ὶ το ῦ κύκλου ἐστί. Σχήματα εὐθύγραμμά ἐστι τ ὰ ὑπ ὸ εὐθειῶ περιεχόμεα, τρίπλευρα μὲ τ ὰ ὑπ ὸ τριῶ, τετράπλευρα δ ὲ τ ὰ ὑπ ὸ τεσσάρω, πολύπλευρα δ ὲ τ ὰ ὑπ ὸ πλειόω ἢ τεσσάρω εὐθειῶ περιεχόμεα. Τῶ δ ὲ τριπλεύρω σχημάτω ἰσόπλευρο μὲ τρίγωό ἐστι τὸ τὰ τρεῖ ἴσα ἔχο πλευρά, ἰσοσκελὲ δ ὲ τ ὸ τὰ δύο μόα ἴσα ἔχο πλευρά, σκαληὸ δ ὲ τὸ τὰ τρεῖ ἀίσου ἔχο πλευρά. Ἔτι δ ὲ τῶ τριπλεύρω σχημάτω ὀρθογώιο μὲ τρίγωό ἐ στι τ ὸ ἔχο ὀρθὴ γωία, ἀμβλυγώιο δ ὲ τ ὸ ἔχο ἀμβλεῖα γωία, ὀξυγώιο δ ὲ τ ὸ τὰ τρεῖ ὀ ξεία ἔχο γωία. Τῶ δ ὲ τετραπλεύρω σχημάτω τετράγωο μέ ἐστι, ὃ ἰσόπλευρό τέ ἐστι καὶ ὀρθογώιο, ἑτερόμηκε δέ, ὃ ὀρθογώιο μέ, οὐκ ἰσόπλευρο δέ, ῥόμβο δέ, ὃ ἰ σόπλευρο μέ, οὐκ ὀρθογώιο δέ, ῥομβοειδὲ δ ὲ τ ὸ τὰ ἀπεατίο πλευρά τε κα ὶ γωία ἴσα ἀλλήλαι ἔχο, ὃ οὔτε ἰσόπλευρό ἐστι οὔτε ὀρθογώιο τ ὰ δ ὲ παρ ὰ ταῦ τα τετράπλευρα τραπέζια καλείσθω. Παράλληλοί εἰσι εὐθεῖαι, αἵτιε ἐ τ ῷ αὐτ ῷ ἐπιπέδ ῳ οὖσαι κα ὶ ἐκβαλλόμεαι εἰ ἄπειρο ἐ φ' ἑκάτερα τ ὰ μέρη ἐπ ὶ μηδέτερα συμπίπτουσι ἀλλήλαι. Ἠιτήσθω ἀπ ὸ πατὸ σημείου ἐπ ὶ πᾶ σημεῖο εὐθεῖα γραμμὴ ἀγαγεῖ.

9 IEROFILOU FILOSOFOU PWS OFEILEI DIATASQAI ANQRWPOS EF EKASTWI MHNI MENI IANOUARIWI. Ἰαουάριο φλέγμα γλυκ ὺ <κυριεύει>. ἁρμόζει οἴου καλο ῦ εὐ ωδεστάτου λαμβάει ῥοφήματα τρία μικρά, ἀλλ ὰ μ ὴ ἀτάκτω ἐπιηστεύει δ ὲ ἕω ὥρα γ ʹ κα ὶ εἶθ' οὕ τω τρέφεσθαι ἐκ μὲ τῶ κρεῶ πρόβεα χλία κα ὶ ὀπτά, χοίρεα δ ὲ ὀπτ ὰ μικρ ὰ κα ὶ ζωμοὺ καρυκευτοὺ δι ὰ πεπέρεω, στάχου κα ὶ κιαμώμου, ἀρτύματα δι ὰ καραβάδου ἀατολῆ κα ὶ πεπέρεω κα ὶ τῶ ἀρωμάτω. ἐ δ ὲ τ ῇ ὀπτήσει τῶ χοιρέω κρεῶ ἀλειφέσθωσα οἰομέλιτι. τ ὰ δ ὲ τῶ οἰῶ ποδοκέφαλα πηκτ ὰ κα ὶ ὀξυστ ὰ ἐσθιέτω. ἐκ δ ὲ τῶ ὀρέω ὄριθα κα ὶ περιστερόπουλα, λευκ ὰ δὲ κα ὶ βρακάτα, ταῦτα γάρ εἰσι τ ὰ κρείττοα, χλία δ ὲ κα ὶ ὀπτά, ἐ δ ὲ ζωμοῖ καρυκευτά. κα ὶ ὄ ρτυγα κα ὶ τρωγλίτα. τούτω μὲ τῶ ἀγρίω γιομέω ψαχ ὰ χλία δίεφθα. ἐκ δ ὲ τῶ ἰχθύω σαργοὺ τηγάου, χρυσάφια δ ὲ κα ὶ προλεχθέτα ἐσθίει δι ὰ τῶ ἀρωμάτω καρυκευτά. ἐκ δ ὲ τῶ λαχάω κράμβα κα ὶ γογκύλια, δαυκὶ κα ὶ πράσα κα ὶ ἀσπαράγκου ἀγρίου κα ὶ ἐλαιοσπάραγκα καὶ χαμαιδάφια κα ὶ βρυώια ἐσθίει <μετ'> ἐλαιογάρου τ ὸ δ ὲ ζέμα αὐτῶ πίει καρυκευτό. τὴ δὲ κράμβη ἕψει μετ' ἐλαιογάρου. πᾶσι δ ὲ τοῖ < ἀθρώποι> σκόροδα φαγεῖ ἑφθ ὰ ὁλέλαια τ ὸ ζέμα αὐτῶ πίει δι ὰ στάχου κα ὶ μέλιτο τοῖ δ ὲ εὐρώστοι κα ὶ ξηρόζεμα πίει δι ὰ πεπέρεω καὶ στάχου κα ὶ κιαμώμου κα ὶ καρεοφύλλω κα ὶ στύρακο καλο ῦ ὀλίγου κα ὶ μέλιτο το ῦ ἀρκοῦ το. ἐκ δ ὲ τῶ κοδιμέτω εὔζωμο, πράσο, σέλιο κα ὶ λεπτὰ ῥεφαίδα ἐσθίει κα ὶ πήγαο καὶ ἡδύοσμο κα ὶ λιβυστικό. τ ὰ δ ὲ ἐμβάμματα ἔστωσα σίηπι, ἀλόη, κύμιο κα ὶ οἰόγαρο. ἐκ δὲ τῶ ὀσπρέω λαθύρια, αὖχο ἀλετά ἡ δ ὲ ἄρτυσι αὐτῶ δι' ἐλαίου κα ὶ κυμίου τριπτο ῦ. ἐκ δὲ τῶ ὀπωρῶ σταφίδα, ἀμύγδαλα, πιστάκια κα ὶ κουκοάρια. τοῖ δ ὲ εὐρώστοι κα ὶ κυδωάτα λαμβάει κα ὶ ὀλίγο κίτρο κα ὶ ῥοΐδι κα ὶ ἀπίδι κα ὶ φοίικα κα ὶ πρωτόγαλα μετ ὰ μέλιτο καὶ στάχου κα ὶ κιαμώμου λειωθέτο κα ὶ χυλο ῦ σεμιδάλεω. ἐ δ ὲ τοῖ λοετροῖ δι' ὅλου το ῦ μηὸ δʹ σμηχόμεο ίτρ ῳ ὀπτ ῷ ἐ οἴ ῳ λυθέτι χρίσμα δ ὲ ποιεῖ ἐ σκευασμέο τουτέστι ψίλωθρο βάλλει δ ὲ κα ὶ ἀλόη σταθμὸ λίτρα γ ʹ κα ὶ σμύρη λίτρα α ʹ κα ὶ κρόκου ᾠῶ β ʹ ταῦ τα πάτα ἑώσα ἐ τ ῷ χρίσματι σμήχου. ταῦτα δ ὲ ἡ σκευ ὴ ἑό. ἁρμόζει δ ὲ πρὶ χρίσασθαι ἢ εἰσέλθῃ εἰ λοετρὸ κα ὶ περιχύσασθαι σίτλα γ ʹ πρὶ ἱδρῶσαι κα ὶ ἐξελθεῖ εἰ τ ὸ ἔξωθε κα ὶ ἀ ποσπογκίσασθαι καλῶ μετ ὰ το ῦ χρίσματο. μετ ὰ δ ὲ τ ὸ ἀποπλύεσθαι το ῦ χρίσματο ἀποτρίβεσθαι δι' οἴ ου ψυκτηρίου κα ὶ κρόκω ᾠῶ σὺ ῥοδελαί ῳ ἀαμεμιγμέω θερμ ῷ κα ὶ ἀφροδισιάζει. MHNI SEPTEBRIWI. Ὁ Σεπτέβριο χολὴ μέλαια κυριεύει. ἁ ρμόζει δριμυφαγίαι πάσαι χρᾶσθαι, πρ ὸ πάτω δ ὲ πράσα ἐσθίει ἑφθ ὰ κα ὶ ὠμ ὰ κα ὶ τ ὸ ζέμα πίει κα ὶ σκόροδα ἑφθ ὰ καὶ

10 ὠμ ὰ κα ὶ καρυκευτ ὰ μετ ὰ ἀρωμάτω. ἐκ δ ὲ τῶ κρεῶ πρόβεα κα ὶ ὄριθα, περιστερόπουλα δ ὲ καὶ χῆα κα ὶ ὄρτυγα κα ὶ ὀρτυγομήτρα κα ὶ τῶ οἰῶ τ ὰ γαλούρια, ήσσα δ ὲ κα ὶ φάσσα καὶ τρυγόα κα ὶ πέρδικα, βόεια δ ὲ κα ὶ ἐλάφου κα ὶ δορκάδα κα ὶ πλάτοα κα ὶ λαγωοὺ κα ὶ συάγρου ἀπέχει δε ῖ. ἐκ δ ὲ τῶ ἰχθύω κεφάλου κα ὶ κίχλα κα ὶ πάτα τ ὰ ἀλέπιδα ἐσθίει ὅσα δ ὲ παστὰ ἀπέχεσθαι τ ὰ δ' ἄλλα ἐσθίει. ἐκ δ ὲ τῶ ὀσπρέω κύαμο κα ὶ φακῆ κα ὶ λάθυρο ἀπέχεσθαι, τὰ δ ὲ λοιπ ὰ ἐσθίει. ἀσπαράγκου δ ὲ πάτα κα ὶ ἀμαίτα λευκοὺ ἐσθίει. ἐκ δ ὲ τῶ ὀπωρῶ σταφυλὰ λευκὰ κα ὶ ἀπίου τοὺ ἀγρίου τοὺ ἀκμάσατα κα ὶ μῆλο γλυκ ὺ κα ὶ σῦ κα λευκά, ῥοδάκια κα ὶ περσικ ὰ κα ὶ μηλοροδάκια, ῥοιὰ κα ὶ φοίικα κα ὶ μηλοκύδωα πάτα ἐσθίει. ἐκ δὲ τῶ ξηρῶ πιστάκια κα ὶ κάρυα τ ὰ βασιλικ ὰ ἀμύγδαλά τε κα ὶ κοκοάρια. οἴου δ ὲ λευκοὺ καὶ ἐλαιοχρόου πίει κα ὶ ἀψιθοροσάτου. λουτρ ὰ δ ὲ η ʹ κα ὶ σμήχεθαι. κα ὶ ἀφροδισιάζει. Fuentes: Aristarchus of Samos, the ancient Copernicus, T. HEATH, ed., Oxford, Clarendon Press, 1913, rep Commentariorum in Aratum reliquiae, E. MAASS, ed. Berlín, Weidmann, 1898, rep Pseudo-Eratosthenis catasterismi en Mythographi Graeci 3, A. OLIVIERI, ed, Leipzig, Teubner, Hipparchi in Arati et Eudoxi phaenomena commentariorum libri III, C. MANITIUS, ed. Leipzig, Teubner, Archimède,1, C. MUGLER, ed, París, Les Belles Lettres, Euclidis elementa, vols. 1 4, 2nd edn., E. S. STAMATIS, ed. (post J. L. HEIBERG), Leipzig, Teubner, 1:1969; 2:1970; 3:1972;4:1973. Anecdota Atheniensia et alia, vol. 2, A. DELATTE, ed., París, Droz, 1939.

11.1 11.3. Ορισµός ιδιότητες εγγραφή καν. πολυγώνων σε κύκλο

11.1 11.3. Ορισµός ιδιότητες εγγραφή καν. πολυγώνων σε κύκλο 1 11.1 11. ρισµός ιδιότητες εγγραφή κα. πολυγώω σε κύκλο ΘΩΡΙ 1. Έα πολύγωο λέγεται καοικό, ότα έχει όλες τις πλευρές του ίσες και όλες τις γωίες του ίσες.. ύο καοικά πολύγωα µε το ίδιο αριθµό πλευρώ είαι

Διαβάστε περισσότερα

Α. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ = Γ. β1 = β2

Α. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ = Γ. β1 = β2 Α. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΙΔΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ( ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ): i. αχ=β µε α 0 έχει µία λύση ii. 0χ=β µε β 0 αδύατη εξίσωση ( καµία λύση ) iii. 0χ=0 αόριστη εξίσωση ( άπειρες λύσεις ) ΕΙΔΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ (ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

+ + = + + α ( β γ) ( )

+ + = + + α ( β γ) ( ) ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Αριθµητική παράσταση Αριθµητική παράσταση λέγεται µια σειρά αριθµώ που συδέοται µεταξύ τους µε πράξεις. Η σειρά τω πράξεω σε µια αριθµητική παράσταση είαι η εξής: 1. Υπολογίζουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ. β. ΜΗΔ = 45 Μονάδες 5. Θέμα 4 ο Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Α = 90 ) με ΑΓ > ΑΒ, η διάμεσός του ΑΖ και έστω Δ και

ΘΕΜΑΤΑ. β. ΜΗΔ = 45 Μονάδες 5. Θέμα 4 ο Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Α = 90 ) με ΑΓ > ΑΒ, η διάμεσός του ΑΖ και έστω Δ και Α. Να χαρακτηρίσετε Σωστές (Σ) ή Λάθος (Λ) τις παρακάτω προτάσεις: α. Οι διχοτόμοι δύο διαδοχικών και παραπληρωματικών γωνιών σχηματίζουν ορθή γωνία. β. Οι διαγώνιες κάθε παραλληλογράμμου είναι ίσες μεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 77 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΘΑΛΗΣ 12 Νοεμβρίου 2016 Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ˆ ΑΔΒ.

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 77 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΘΑΛΗΣ 12 Νοεμβρίου 2016 Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ˆ ΑΔΒ. Τηλ 361653-3617784 - Fax: 364105 Tel 361653-3617784 - Fax: 364105 1 Νοεμβρίου 016 Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Να υπολογίσετε τη τιμή της αριθμητικής παράστασης: ( ) ( 5) ( ) 3 3 3 0 15 8 3 Α= + + 3 5 3 9 Πρόβλημα Δίεται

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9 Ο κύκλος Ορισμός. Ο κύκλος (Κ, r) με κέντρο Κ και ακτίνα r είναι το σχήμα που αποτελείται από όλα τα σημεία του επιπέδου που απέχουν απόσταση r από το σημείο Κ. Σχήμα 9.1: Στοιχεία ενός κύκλου.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ. Για να βρούµε την δύναµη i (όπου κ ακέραιος), διαιρούµε το κ µε το 4 και σύµφωνα µε την ταυτότητα της διαίρεσης ισχύει κ=4ρ+υ όπου ρ Ζ

ΑΛΓΕΒΡΑ. Για να βρούµε την δύναµη i (όπου κ ακέραιος), διαιρούµε το κ µε το 4 και σύµφωνα µε την ταυτότητα της διαίρεσης ισχύει κ=4ρ+υ όπου ρ Ζ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ - ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ κ Για α βρούµε τη δύαµη i (όπου κ ακέραιος), διαιρούµε το κ µε το 4 και σύµφωα µε τη ταυτότητα της διαίρεσης ισχύει κ=4ρ+υ όπου ρ Ζ και υ = 0,,, οπότε i κ 4ρ+

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Γεωμετρικές έννοιες

Βασικές Γεωμετρικές έννοιες Βασικές Γεωμετρικές έννοιες Σημείο Με την άκρη του μολυβιού μου ακουμπώντας την σε ένα κομμάτι χαρτί αφήνω ένα σημάδι το οποίο το λέω σημείο. Το σημείο το δίνω όνομα γράφοντας πάνω απ αυτό ένα κεφαλαίο

Διαβάστε περισσότερα

Απαντήσεις Λύσεις σε Θέματα από την Τράπεζα Θεμάτων. Μάθημα: Γεωμετρία Α Λυκείου

Απαντήσεις Λύσεις σε Θέματα από την Τράπεζα Θεμάτων. Μάθημα: Γεωμετρία Α Λυκείου Απαντήσεις Λύσεις σε Θέματα από την Τράπεζα Θεμάτων Μάθημα: Γεωμετρία Α Λυκείου Παρουσιάζουμε συνοπτικές λύσεις σε επιλεγμένα Θέματα («Θέμα 4 ο») από την Τράπεζα θεμάτων. Το αρχείο αυτό τις επόμενες ημέρες

Διαβάστε περισσότερα

Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία

Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία Η Θεωρία σε Ερωτήσεις Ερωτήσεις Κατανόησης Επαναληπτικά Θέματα Επαναληπτικά Διαγωνίσματα Περιεχόμενα Τρίγωνα Α. Θεωρία-Αποδείξεις Σελ.2 Β. Θεωρία-Ορισμοί..Σελ.9 Γ. Ερωτήσεις Σωστού

Διαβάστε περισσότερα

Σημείο Επίπεδο ο χώρος η ευθεία η έννοια του σημείου μεταξύ δύο άλλων σημείων και η έννοια της ισότητας δύο σχημάτων.

Σημείο Επίπεδο ο χώρος η ευθεία η έννοια του σημείου μεταξύ δύο άλλων σημείων και η έννοια της ισότητας δύο σχημάτων. ΜΑΘΗΜΑ 1 αόριστες έννοιες Έννοιες που είναι τόσο απλές και οικείες από την εμπειρία μας, ώστε δεν μπορούμε να βρούμε πιο απλές με τη βοήθεια των οποίων να τις περιγράψουμε Σημείο Επίπεδο ο χώρος η ευθεία

Διαβάστε περισσότερα

α κα ρι ι ο ος α α νηρ ος ου ουκ ε πο ρε ε ευ θη εν βου λη η η α α σε ε ε βων και εν ο δω ω α α µαρ τω λω ων ουουκ ε ε ε

α κα ρι ι ο ος α α νηρ ος ου ουκ ε πο ρε ε ευ θη εν βου λη η η α α σε ε ε βων και εν ο δω ω α α µαρ τω λω ων ουουκ ε ε ε Ἦχος Νη α κα ρι ι ο ος α α νηρ ος ου ουκ ε πο ρε ε ευ θη εν βου λη η η α α σε ε ε βων και εν ο δω ω α α µαρ τω λω ων ουουκ ε ε ε στη η και ε πι κα α θε ε ε ε δρα α λοι οι µων ου ουκ ε ε κα θι ι σε ε ε

Διαβάστε περισσότερα

ΒΕ Ζ είναι ισόπλευρο. ΔΕΡ.

ΒΕ Ζ είναι ισόπλευρο. ΔΕΡ. ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΩΕΚΑΝΗΣΟΥ ΘΕΜΑ 1 Θεωρούμε το ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ και έστω ένα σημείο της πλευράς ΑΓ. Κατασκευάζουμε το παραλληλόγραμμο ΒΓΕ και έστω Ζ η τομή της Ε με την ΑB. Ονομάζουμε

Διαβάστε περισσότερα

A λ υ τ ε ς Α σ κ η σ ε ι ς ( Τ ρ ι γ ω ν α )

A λ υ τ ε ς Α σ κ η σ ε ι ς ( Τ ρ ι γ ω ν α ) A λ υ τ ε ς Α σ κ η σ ε ι ς ( Τ ρ ι γ ω ν α ) 1 Στις πλευρες ΑΒ, ΒΓ, ΓΑ ισοπλευρου τριγωνου ΑΒΓ, παιρνουμε 3 Να δειχτει οτι α + 110 0α Ποτε ισχυει Συγκρινετε το ισον; τα τριγωνα με σημεια Δ, Ε, Ζ αντιστοιχα,

Διαβάστε περισσότερα

Β.1.8. Παραπληρωματικές και Συμπληρωματικές γωνίες Κατά κορυφήν γωνίες

Β.1.8. Παραπληρωματικές και Συμπληρωματικές γωνίες Κατά κορυφήν γωνίες Β.1.6. Είδη γωνιών Κάθετες ευθείες 1. Ορθή γωνία λέγεται η γωνία της οποίας το μέτρο είναι ίσο με 90 ο. 2. Οξεία γωνία λέγεται κάθε γωνία με μέτρο μικρότερο των 90 ο. 3. Αμβλεία γωνία λέγεται κάθε γωνία

Διαβάστε περισσότερα

Επιμέλεια Μετάφρασης: Αποστολάκη Μαρία Α.Μ.3414. Βεϊζη Αρίων Α.Μ.3551. Μουτζιάνου Γεώργιος Α.Μ. 3405. Παντελάκη Άννα Α.Μ.3341

Επιμέλεια Μετάφρασης: Αποστολάκη Μαρία Α.Μ.3414. Βεϊζη Αρίων Α.Μ.3551. Μουτζιάνου Γεώργιος Α.Μ. 3405. Παντελάκη Άννα Α.Μ.3341 Επιμέλεια Μετάφρασης: Αποστολάκη Μαρία Α.Μ.3414 Βεϊζη Αρίων Α.Μ.3551 Μουτζιάνου Γεώργιος Α.Μ. 3405 Παντελάκη Άννα Α.Μ.3341 Παπουτσάκης Κώστας Α.Μ.3249 Χριστοφάκη Μαρία Α.Μ.3277 1 Ορισμοί 1. Σημείο είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ 3 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ 3 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 3 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1) Από εξωτερικό σημείο Ρ ενός κύκλου (Ο,ρ) φέρνουμε τα εφαπτόμενα τμήματα ΡΑ και ΡΒ. Αν Μ είναι ένα τυχαίο εσωτερικό σημείο του ευθύγραμμου τμήματος ΟΡ, να αποδείξετε ότι: α) τα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΠΡΩΤΑΡΧΙΚΕΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Τα αξιώματα είναι προτάσεις που δεχόμαστε ως αληθείς, χωρίς απόδειξη: Από δύο σημεία διέρχεται μοναδική ευθεία. Για κάθε ευθεία υπάρχει τουλάχιστον ένα σημείο

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Γεωμετρίας Α Λυκείου

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Γεωμετρίας Α Λυκείου Επαναληπτικό Διαγώνισμα Γεωμετρίας Α Λυκείου Θέμα Α. Να αποδείξετε ότι το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει τα μέσα των δύο πλευρών τριγώνου, είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και ίσο με το μισό της (7 μονάδες)

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙA 5. Μονάδες 5x2=10 A2. Πότε ένα τετράπλευρο ονομάζεται τραπέζιο;

ΘΕΩΡΙA 5. Μονάδες 5x2=10 A2. Πότε ένα τετράπλευρο ονομάζεται τραπέζιο; 1 ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 14 ΘΕΩΡΙA 5 ΘΕΜΑ A 1. A1. Να μεταφέρετε στην κόλλα απαντήσεων το γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση και δίπλα να σημειώσετε το γράμμα Σ αν

Διαβάστε περισσότερα

Διαίρεση ευθυγράμμου τμήματος σε ν ίσα τμήματα

Διαίρεση ευθυγράμμου τμήματος σε ν ίσα τμήματα ΜΕΡΟΣ Β. ΛΟΓΟΣ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΤΜΗΜΑΤΩΝ 7. ΛΟΓΟΣ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΤΜΗΜΑΤΩΝ Ίσα τμήματα μεταξύ παραλλήλων ευθειών Αν παράλληλες ευθείες ορίζουν ίσα τμήματα σε μια ευθεία, τότε θα ορίζουν ίσα τμήματα και σε οποιαδήποτε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 Παράλληλες Ευθείες και Τετράπλευρα Ορισμός. Δύο ευθείες ονομάζονται παράλληλες όταν ανήκουν στο ίδιο επίπεδο και δεν τέμνονται. Δύο παράλληλες ευθείες ε και ζ συμβολίζονται ε ζ. Γωνίες δύο ευθειών

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΚΕΙΟ ΜΕΤΑΜΟΡΦΩΣΗΣ 2014 ΒΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΛΥΚΕΙΟ ΜΕΤΑΜΟΡΦΩΣΗΣ 2014 ΒΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 1. Τι λέγεται δειγματικός χώρος εός πειράματος τύχης. Το σύολο τω δυατώ αποτελεσμάτω λέγεται δειγματικός χώρος (sample space) και συμολίζεται συήθως με το γράμμα Ω. Α δηλαδή ω 1,ω 2,...,ω κ είαι τα δυατά

Διαβάστε περισσότερα

5o ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Παραλληλόγραμμα - Τραπέζια

5o ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Παραλληλόγραμμα - Τραπέζια 5o ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Παραλληλόγραμμα - Τραπέζια 7 η διδακτική ενότητα : Παραλληλόγραμμα-Είδη παραλληλογράμμων 1. Να εξετάσετε αν είναι σωστή ή λανθασμένη καθεμιά από τις επόμενες προτάσεις: α) Οι διαγώνιοι κάθε

Διαβάστε περισσότερα

1.5 ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ

1.5 ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ ΜΕΡΟΣ Α.5 ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ 67.5 ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ ΟΡΙΣΜΟΣ Οομάζουμε ταυτότητα κάθε ισότητα που περιέχει μεταβλητές και επαληθεύεται για όλες τις τιμές τω μεταβλητώ αυτώ. Τετράγωο αθροίσματος

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο Παραλληλόγραµµα - Τραπέζια

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο Παραλληλόγραµµα - Τραπέζια ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο Παραλληλόγραµµα - Τραπέζια 184 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΚΑΙ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ 1. Να αντιστοιχίσετε κάθε στοιχείο της στήλης (Α) µε ένα µόνο στοιχείο της στήλης (Β): στήλη (Α) τετράπλευρα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Ο ΕΜΒΑΔΑ 10.1 ΠΟΛΥΓΩΝΙΚΑ ΧΩΡΙΑ 10.2 ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. ΙΣΟΔΥΝΑΜΑ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. 10.3 ΕΜΒΑΔΟΝ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Ο ΕΜΒΑΔΑ 10.1 ΠΟΛΥΓΩΝΙΚΑ ΧΩΡΙΑ 10.2 ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. ΙΣΟΔΥΝΑΜΑ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. 10.3 ΕΜΒΑΔΟΝ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0 Ο ΕΜΒΑΔΑ 0. ΠΟΛΥΓΩΝΙΚΑ ΧΩΡΙΑ 0. ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. ΙΣΟΔΥΝΑΜΑ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. 0.3 ΕΜΒΑΔΟΝ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ ΘΕΩΡΙΑ (Πολυγωνικά χωρία) Ας θεωρήσουμε ένα πολύγωνο, για παράδειγμα

Διαβάστε περισσότερα

Όμοια τρίγωνα. Ορισμός : Δύο τρίγωνα είναι όμοια όταν έχουν τις γωνίες τους ίσες και τις αντίστοιχες πλευρές τους ανάλογες.

Όμοια τρίγωνα. Ορισμός : Δύο τρίγωνα είναι όμοια όταν έχουν τις γωνίες τους ίσες και τις αντίστοιχες πλευρές τους ανάλογες. Όμοια τρίγωνα Ορισμός : Δύο τρίγωνα είναι όμοια όταν έχουν τις γωνίες τους ίσες και τις αντίστοιχες πλευρές τους ανάλογες. Συμβολισμός : Αν τα τρίγωνα ΑΒΓ, ΔΕΖ είναι όμοια γράφουμε Κριτήριο 1 Όταν δύο

Διαβάστε περισσότερα

3.2 ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΠΟΛΥΓΩΝΑ

3.2 ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΠΟΛΥΓΩΝΑ 3.2 ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΠΟΛΥΓΩΝΑ ΘΕΩΡΙΑ. Οµασία: Έα πλύγω µε κρυφές θα τ λέµε -γω µε εξαίρεση τ πλύγω µε τέσσερις κρυφές πυ θα τ λέµε τετράπλευρ. 2. Καικό πλύγω: Έα πλύγω λέγεται καικό ότα όλες ι πλευρές τυ είαι

Διαβάστε περισσότερα

24 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

24 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 1ο Α. Nα αποδείξετε ότι το άθροισμα των γωνιών κάθε τριγώνου είναι 2 ορθές. Β. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στο τετράδιό σας τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί

Διαβάστε περισσότερα

2ο ΘΕΜΑ. μ Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ AB

2ο ΘΕΜΑ. μ Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ AB 2ο ΘΕΜΑ 2845. Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ AB A φέρουμε τη ΑΔ και μια ευθεία (ε) παράλληλη προς τη ΒΓ, που τέμνει τις πλευρές ΑΒ και ΑΓ στα σημεία Ε και Ζ αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι: α) Το τρίγωνο ΑΕΖ είναι

Διαβάστε περισσότερα

4.3 ΔΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ. Εισαγωγή

4.3 ΔΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ. Εισαγωγή 49 43 ΔΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ Εισαγωγή Στα Στοιχεία του Ευκλείδη, βιβλία VII, VIII και IX (περίπου 300 πχ), οι θετικοί ακέραιοι παριστάοται ως ευθύγραμμα τμήματα και η έοια της διαιρετότητας συδέεται άμεσα με τη

Διαβάστε περισσότερα

Σε τρίγωνο ΑΒΓ το τετράγωνο πλευράς απέναντι από οξεία γωνία ισούται με το άθροισμα των τετραγώνων των άλλων δύο πλευρών ελαττωμένο κατά το διπλάσιο τ

Σε τρίγωνο ΑΒΓ το τετράγωνο πλευράς απέναντι από οξεία γωνία ισούται με το άθροισμα των τετραγώνων των άλλων δύο πλευρών ελαττωμένο κατά το διπλάσιο τ ΚΥΠΡΙΑΝΟΣ ΕΥΑΓΓΕΛΟΣ ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΤΑ ΟΡΘΟΓΩΝΙΑ ΤΡΙΓΩΝΑ Το τετράγωνο μιας κάθετης πλευράς είναι ίσο με την υποτείνουσα επί την προβολή της πλευράς στην υποτείνουσα. ΑΒ 2 = ΒΓ ΑΔ ή ΑΓ 2 = ΒΓ ΓΔ Σε κάθε

Διαβάστε περισσότερα

FAX : 210.34.42.241 spudonpe@ypepth.gr) Φ. 12 / 600 / 55875 /Γ1

FAX : 210.34.42.241 spudonpe@ypepth.gr) Φ. 12 / 600 / 55875 /Γ1 Ε Λ Λ Η Ν Ι Κ Η Η Μ Ο Κ Ρ Α Τ Ι Α Υ ΠΟΥ ΡΓΕΙΟ ΕΘΝ. ΠΑ Ι ΕΙΑ Σ & ΘΡΗΣ Κ/Τ Ω ΕΝΙΑ ΙΟΣ ΙΟΙΚΗΤ ΙΚΟΣ Τ ΟΜ ΕΑ Σ Σ ΠΟΥ Ω Ν ΕΠΙΜ ΟΡΦΩ Σ ΗΣ ΚΑ Ι ΚΑ ΙΝΟΤ ΟΜ ΙΩ Ν /ΝΣ Η Σ ΠΟΥ Ω Τ µ ή µ α Α Α. Πα π α δ ρ έ ο υ 37

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Επααληπτικό Διαγώισμα Μαθηματικώ Γεικής Παιδείας Γ Λυκείου Θέμα A Α.α) Τι οομάζουμε συάρτηση και τι οομάζουμε πραγματική συάρτηση πραγματικής μεταβλητής; β) Τι λέγεται τιμή μιας συάρτησης f στο χ ; γ)

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρία Β Λυκείου ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ

Γεωμετρία Β Λυκείου ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ 36 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9: ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ 37 ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΤΥΧΑΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ 38 39 40 41 ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΚΥΚΛΟ 4 43 44 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10:ΕΜΒΑΔΑ ΕΠΙΠΕΔΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ 45 46 47 48 49 50 51 5 53

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1. Να επιλέξετε μια απάντηση για κάθε ερώτηση και να δικαιολογήσετε σύντομα την απάντησή σας. i. Αν η εξωτερική γωνία ενός κανονικού ν-γώνου ισούται με 0 ο, τότε το ν ισούται

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρία Β Λυκείου Θεωρήματα διχοτόμων Αρμονικά συζυγή Ομοιότητα τριγώνων.

Γεωμετρία Β Λυκείου Θεωρήματα διχοτόμων Αρμονικά συζυγή Ομοιότητα τριγώνων. Γεωμετρία Β Λυκείου Θεωρήματα διχοτόμων Αρμονικά συζυγή Ομοιότητα τριγώνων. Καρδαμίτσης Σπύρος «Τὰ ὅμοια πολύγωνα εἴς τε ὅμοια τρίγωνα διαιρεῖται καὶ εἰς ἴσα τὸ πλῆθος καὶ ὁμόλογα τοῖς ὅλοις, καὶ τὸ πολύγωνον

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις - Πυθαγόρειο Θεώρηµα

Ασκήσεις - Πυθαγόρειο Θεώρηµα Ασκήσεις - Πυθαγόρειο Θεώρηµα. Έστω ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Â = 90 ο ) µε ΒΓ = 0 και ΑΓ =. Αν το µέσο της ΒΓ και Ε ΒΓ (Ε σηµείο της ΑΒ) τότε το µήκος της ΑΕ είναι: i) 3 3,5 i 4 iv) 4,5 v) 5. Έστω ορθογώνιο

Διαβάστε περισσότερα

Απάντηση Το σχήµα που σχηµατίζει µία τεντωµένη κλωστή που κρατάµε µε τα δύο χέρια

Απάντηση Το σχήµα που σχηµατίζει µία τεντωµένη κλωστή που κρατάµε µε τα δύο χέρια Ä ÑÁÓÔÇÑÉÏÔÇÔÁ 1ç Πως µπορείς να ονοµάσεις το σχήµα µιας τεντωµένης κλωστής; Το σχήµα που φαίνεται πιο κάτω αποτελείται από µερικά σηµεία το ένα δίπλα στο άλλο. Μπορείς να το χαρακτηρίσεις µε τον ίδιο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο 1 ο ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α1.1 Ισότητα τριγώνων Στο διπλανό σχήμα το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές με ΑΒ=ΑΓ. Προεκτείνουμε τη βάση ΒΓ κατά ίσα τμήματα

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρία. 63. Σε περίπτωση που η αρχή, το σημείο Ο, βρίσκεται πάνω σε μια ευθεία χχ τότε η

Γεωμετρία. 63. Σε περίπτωση που η αρχή, το σημείο Ο, βρίσκεται πάνω σε μια ευθεία χχ τότε η Γεωμετρία Κεφάλαιο 1: Βασικές γεωμετρικές έννοιες Β.1.1 61.Η ευθεία είναι βασική έννοια της γεωμετρίας που την αντιλαμβανόμαστε ως την γραμμή που αφήνει ο κανόνας (χάρακας).συμβολίζεται με μικρά γράμματα

Διαβάστε περισσότερα

ΠPOΛEΓOMENA. Thank you. ;) Nov. 15. 2004. Myungsunn Ryu.

ΠPOΛEΓOMENA. Thank you. ;) Nov. 15. 2004. Myungsunn Ryu. ΣTOIXEIA EΥKΛEIOΥ ΠPOΛEOMENA This document is compiled from Greek texts borrowed from Perseus Digital Library 1 and drawings that I created with a geometrical drawing language named, fittingly to the

Διαβάστε περισσότερα

ΙΣΟΣΚΕΛΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟ ΜΕΣΟΚΑΘΕΤΟΣ - ΔΙΧΟΤΟΜΟΣ. 2ο ΘΕΜΑ

ΙΣΟΣΚΕΛΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟ ΜΕΣΟΚΑΘΕΤΟΣ - ΔΙΧΟΤΟΜΟΣ. 2ο ΘΕΜΑ ΙΣΟΣΚΕΛΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟ ΜΕΣΟΚΑΘΕΤΟΣ - ΔΙΧΟΤΟΜΟΣ 5029 Έστω κυρτό τετράπλευρο ΑΒΓΔ με και α) β) Το τρίγωνο ΑΔΓ είναι ισοσκελές μ 10 γ) Η ευθεία ΒΔ είναι μεσοκάθετος του τμήματος ΑΓ μ 7 5619 Δίνεται γωνία χαy και

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΑΣΚΗΣΗ. 1 Να υπολογίσετε την περίμετρο και το εμβαδόν του παρακάτω τρίγωνο ΑΒΓ που έχει ΑΒ = 17cm, ΑΓ = 25cm και ΑΔ = 15cm. ΑΣΚΗΣΗ. 2 Στο ορθογώνιο τραπέζιο είναι ΑΒ= 9cm,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΟΡΙΣΜΟΙ Ευθύγραμμο τμήμα είναι το κομμάτι της ευθείας που έχει αρχή και τέλος. Ημιευθεια Είναι το κομμάτι της ευθείας που έχει αρχή αλλά όχι

Διαβάστε περισσότερα

4 ΔΙΑΜΕΣΟΣ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΥ ΤΡΙΓΩΝΟΥ

4 ΔΙΑΜΕΣΟΣ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΥ ΤΡΙΓΩΝΟΥ 4 ΔΙΑΜΕΣΟΣ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΥ ΤΡΙΓΩΝΟΥ 1. Δίνεται ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ( ˆ =90 ο ) και ΑΔ η διχοτόμος της γωνίας A. Από το σημείο Δ φέρουμε παράλληλη προς την ΑΒ που τέμνει την πλευρά ΑΓ στο σημείο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. 1. 2( x 1) 3(2 x) 5( x 3) 2. 4x 2( x 3) 6 2x 3. 2x 3(4 x) x 5( x 1)

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. 1. 2( x 1) 3(2 x) 5( x 3) 2. 4x 2( x 3) 6 2x 3. 2x 3(4 x) x 5( x 1) ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α. Να λυθούν οι παρακάτω εξισώσεις: 1. ( x 1) ( x) 5( x ). x ( x ) 6 x. x ( x) x 5( x 1) x 1 (1 x) x ( x) x x. 1 x 5. x 6 1 1 ( ) 1 1 6. x 1 x 7. 1 x

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΡΓΑΣΙΑ

ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΡΓΑΣΙΑ ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΡΓΑΣΙΑ 1) Ο λόγος των μηκών δύο κύκλων ( Ο, ρ ) και ( Ο, ρ ) είναι 1 3. Αν ρ = 1,15 cm να βρείτε : Την ακτίνα ρ. Το μήκος του ( Ο, ρ ) Το λόγο των διαμέτρων τους. 2) Οι περίμετροι

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Ο ΕΜΒΑΔΑ 10.5 ΛΟΓΟΣ ΕΜΒΑΔΩΝ ΟΜΟΙΩΝ ΤΡΙΓΩΝΩΝ - ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ 10.6 ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ ΠΟΛΥΓΩΝΟΥ ΣΕ ΙΣΟΔΥΝΑΜΟ ΤΟΥ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Ο ΕΜΒΑΔΑ 10.5 ΛΟΓΟΣ ΕΜΒΑΔΩΝ ΟΜΟΙΩΝ ΤΡΙΓΩΝΩΝ - ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ 10.6 ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ ΠΟΛΥΓΩΝΟΥ ΣΕ ΙΣΟΔΥΝΑΜΟ ΤΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0 Ο ΕΜΒΑΔΑ 0.5 ΛΟΓΟΣ ΕΜΒΑΔΩΝ ΟΜΟΙΩΝ ΤΡΙΓΩΝΩΝ - ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ 0.6 ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ ΠΟΛΥΓΩΝΟΥ ΣΕ ΙΣΟΔΥΝΑΜΟ ΤΟΥ ΘΕΩΡΙΑ Αν θεωρήσουμε δύο τρίγωνα ΑΒΓ και Α Β Γ με εμβαδά Ε και Ε αντίστοιχα. Τότε είναι:

Διαβάστε περισσότερα

Οµοιότητα Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Β. ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

Οµοιότητα Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Β. ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Οµοιότητα Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Όµοια λέγονται δύο πολύγωνα που έχουν τις πλευρές τους ανάλογες και τις αντίστοιχες γωνίες τους ίσες. Λόγος οµοιότητας δύο όµοιων πολυγώνων λέγεται ο λόγος δύο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Τι είναι ένα ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ; Πώς ονομάζονται τα σημεία Α και Β; 1 ος ορισμός : Είναι η «ίσια» γραμμή που ενώνει τα δύο σημεία Α και Β. 2 ος ορισμός : Είναι

Διαβάστε περισσότερα

www.fr-anodos.gr (, )

www.fr-anodos.gr (, ) ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Το lim f ( ) έχει όηµα σε γειτοικά σηµεία µε το δηλαδή ότα ( a, ) (, β ) a. Δε µε εδιαφέρει α το ίδιο το αήκει η όχι στο πεδίο ορισµού της f αλλά µε εδιαφέρει α υπάρχου στο πεδίο ορισµού

Διαβάστε περισσότερα

2ηέκδοση 20Ιανουαρίου2015

2ηέκδοση 20Ιανουαρίου2015 ηέκδοση 0Ιανουαρίου015 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ Μ.Ε. ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΜΑΘΗΣΗ (β-πακέτο ασκήσεων) 1 89 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και Δ εσωτερικό σημείο του ΒΓ. Φέρουμε από το Δ παράλληλες στις πλευρές ΑΒ και ΑΓ. Η παράλληλη στην

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Γ γυμνασίου από Σχολικό Βιβλίο + Ασκήσεις Εξάσκησης

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Γ γυμνασίου από Σχολικό Βιβλίο + Ασκήσεις Εξάσκησης ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Γ γυμνασίου από Σχολικό Βιβλίο + Ασκήσεις Εξάσκησης ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ Γρήγορη Επανάληψη Θεωρίας Ένα τρίγωνο ανάλογα με το είδος των γωνιών του ονομάζεται: Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο η πλευρά που

Διαβάστε περισσότερα

ΙΣΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ ΣΧΗΜΑΤΩΝ

ΙΣΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ ΣΧΗΜΑΤΩΝ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ Ερώτηση 1 η Ποια καλούνται κύρια και ποια δευτερεύοντα στοιχεία ενός τριγώνου; Τι ονομάζεται τριγωνική ανισότητα; Κύρια στοιχεία ενός τριγώνου είναι οι πλευρές και οι γωνίες του. Οι

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΓΕΝΙΚΕΥΣΗ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΓΕΝΙΚΕΥΣΗ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΓΕΝΙΚΕΥΣΗ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ Θεώρημα οξείας γωνίας Το τετράγωνο πλευράς τριγώνου, που βρίσκεται απέναντι από οξεία γωνία, είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των δύο άλλων πλευρών του, ελαττωμένο

Διαβάστε περισσότερα

Προεκτείνουµε την ΒΓ προς το Γ και στην προέκταση παίρνουµε τµήµα ΓΗ =ΑΕ. Τα τρίγωνα Α Ε και ΓΗ είναι ίσα, άρα Ε = Η και. Η γωνία

Προεκτείνουµε την ΒΓ προς το Γ και στην προέκταση παίρνουµε τµήµα ΓΗ =ΑΕ. Τα τρίγωνα Α Ε και ΓΗ είναι ίσα, άρα Ε = Η και. Η γωνία ΑΣΚΗΣΗ η ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΤΕΤΡΑΓΩΝΟ Έστω Ε σηµείο της πλευράς ΑΒ τετραγώνου ΑΒΓ. Αν η διχοτόµος της γωνίας την πλευρά ΒΓ στο σηµείο Ζ, να δείξετε ότι Ε = ΑΕ + ΓΖ. Λύση Αθανάσιος Μπεληγιάννης ( mathfinder )

Διαβάστε περισσότερα

2 Β Βάσεις παραλληλογράµµου Βαρύκεντρο Γ Γεωµετρική κατασκευή Γεωµετρικός τόπος (ς) Γωνία Οι απέναντι πλευρές του. Κέντρο βάρους τριγώνου, δηλ. το σηµ

2 Β Βάσεις παραλληλογράµµου Βαρύκεντρο Γ Γεωµετρική κατασκευή Γεωµετρικός τόπος (ς) Γωνία Οι απέναντι πλευρές του. Κέντρο βάρους τριγώνου, δηλ. το σηµ 1 ΛΕΞΙΚΟ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΩΝ ΟΡΩΝ Α Ακτίνιο Ακτίνα κύκλου Ακτίνα σφαίρας Άκρα ευθύγραµµου τµήµατος Αµβλεία γωνία Αµβλυγώνιο Ανάλογα ευθύγραµµα τµήµατα Αντιδιαµετρικό σηµείο Αντικείµενες ηµιευθείες Άξονας συµµετρίας

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Ο ΕΜΒΑΔΑ 10.1 ΠΟΛΥΓΩΝΙΚΑ ΧΩΡΙΑ 10.2 ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. ΙΣΟΔΥΝΑΜΑ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ ΕΜΒΑΔΟΝ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Ο ΕΜΒΑΔΑ 10.1 ΠΟΛΥΓΩΝΙΚΑ ΧΩΡΙΑ 10.2 ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. ΙΣΟΔΥΝΑΜΑ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ ΕΜΒΑΔΟΝ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Ο ΕΜΒΑΔΑ 10.1 ΠΟΛΥΓΩΝΙΚΑ ΧΩΡΙΑ 10. ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. ΙΣΟΔΥΝΑΜΑ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. 10.3 ΕΜΒΑΔΟΝ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ ΘΕΩΡΙΑ 1 (Πολυγωνικά χωρία) Ας θεωρήσουμε ένα πολύγωνο, για παράδειγμα

Διαβάστε περισσότερα

6. Θεωρούµε ισοσκελές τραπέζιο ΑΒΓ (ΑΒ//Γ ). Φέρουµε τα ύψη του ΑΕ και ΒΖ. α) Ε=ΓΖ. β) ΑΖ=ΒΕ.

6. Θεωρούµε ισοσκελές τραπέζιο ΑΒΓ (ΑΒ//Γ ). Φέρουµε τα ύψη του ΑΕ και ΒΖ. α) Ε=ΓΖ. β) ΑΖ=ΒΕ. 1. Θεωρούµε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ). Στο µέσο της πλευράς ΑΒ φέρουµε κάθετη ευθεία που τέµνει την ΑΓ στο Ε. Από το Ε φέρουµε ευθεία παράλληλη στη βάση ΒΓ που τέµνει την ΑΒ στο Ζ. α) Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

Κύρια και δευτερεύοντα στοιχεία τριγώνου Είδη τριγώνων.

Κύρια και δευτερεύοντα στοιχεία τριγώνου Είδη τριγώνων. ΜΕΡΟΣ Β 1.1 ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ 397 1. 1 ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ Κύρια και δευτερεύοντα στοιχεία τριγώνου Είδη τριγώνων. Σε κάθε τρίγωνο οι πλευρές και οι γωνίες του ονομάζονται κύρια στοιχεία του τριγώνου. Οι πλευρές

Διαβάστε περισσότερα

1 ο Αχαρνών 197 Αγ. Νικόλαος 210.8651962. 2 ο Αγγ. Σικελιανού 43 Περισσός 210.2718688

1 ο Αχαρνών 197 Αγ. Νικόλαος 210.8651962. 2 ο Αγγ. Σικελιανού 43 Περισσός 210.2718688 1 ο Αχαρνών 197 Αγ. Νικόλαος 10.865196 ο Αγγ. Σικελιανού 4 Περισσός 10.718688 AΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1. Θεωρούμε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (Α =90Ο ) και Α το ύψος του. Αν Ε και Ζ είναι οι προβολές του

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 08/04/10

ΛΥΣΕΙΣ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 08/04/10 ΥΣΙΣ ΙΑΩΝΙΣΜΑ ΩΜΤΡΙΑ Α ΥΚΙΟΥ ΘΜΑ ο 08/04/0 Α. Να αποδείξετε ότι η διάµεσος ορθογωνίου τριγώνου που φέρουµε από την κορυφή της ορθής γωνίας είναι ίση µε το µισό της υποτείνουσας. Θεωρία σχολικό βιβλίο σελ.09

Διαβάστε περισσότερα

A λ υ τ ε ς Α σ κ η σ ε ι ς ( Π α ρ α λ λ η λ ε ς Ε υ θ ε ι ε ς ) 2. Aν α, β θετικοι, να συγκρινεται τους αριθμους Α = α + β, Β = α β + αβ.

A λ υ τ ε ς Α σ κ η σ ε ι ς ( Π α ρ α λ λ η λ ε ς Ε υ θ ε ι ε ς ) 2. Aν α, β θετικοι, να συγκρινεται τους αριθμους Α = α + β, Β = α β + αβ. 1 Δινεται τριγωνο ΑΒΓ και η διχοτομος ΒΕ της γωνιας B του τριγωνου Απο το Α φερνουμε παράλληλη της ΒΕ, που τεμνει τη ΒΓ 3 Να δειχτει οτι α + 11 α Ποτε ισχυει ΑΔ ΒΕ το ισον; οποτε οι γωνιες 3 3 Aν α, β

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α λυκείου (ΚΕΦ )

ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α λυκείου (ΚΕΦ ) ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α λυκείου (ΚΕΦ.3-4-5-6.) 1. Δίνεται ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ. Στην προέκταση της ΑΓ προς το Γ παίρνουμε τμήμα ΓΔ=ΑΓ. Έστω Ε τυχαίο σημείο της πλευράς ΒΓ και Ζ σημείο της προέκτασης της ΓΒ

Διαβάστε περισσότερα

Παράλληλες ευθείες που τέμνονται από μια άλλη ευθεία. είναι «επί τα αυτά».

Παράλληλες ευθείες που τέμνονται από μια άλλη ευθεία. είναι «επί τα αυτά». Παράλληλες ευθείες που τέμνονται από μια άλλη ευθεία Οι γωνίες που βρίσκονται ανάμεσα στις ευθείες ε 1 και ε ονομάζονται «εντός» (των ευθειών)και όλες οι άλλες «εκτός». Οι γωνίες B 4, B 3, 1, είναι εντός

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ο ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ο ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ Ορισμός: Δύο ευθύγραμμα σχήματα ονομάζονται όμοια, αν έχουν τις πλευρές τους ανάλογες και τις γωνίες που σχηματίζονται από ομόλογες πλευρές τους ίσες μία προς μία. ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΟΜΟΙΟΤΗΤΑΣ ΤΡΙΓΩΝΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ Βασικά θεωρήματα Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο μιας κάθετης πλευράς του είναι ίσο με το γινόμενο της υποτείνουσας επί την προβολή της

Διαβάστε περισσότερα

24 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

24 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 4 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με ΑΒ=ΒΓ. Φέρνουμε το ΑΕ ΒΓ και έστω Ζ,Η τα μέσα των ΔΓ και ΑΒ αντίστοιχα. Ν.δ.ο. α) το ΖΓΒΗ είναι ρόμβος ( 9 μον.) β) ΗΖ=ΗΕ ( 8 μον.) γ)

Διαβάστε περισσότερα

3 o ΓΕ.Λ. ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ. ΖΟΥΖΙΑΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ Μαθηματικός 2013 2014 EΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

3 o ΓΕ.Λ. ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ. ΖΟΥΖΙΑΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ Μαθηματικός 2013 2014 EΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 3 o ΓΕ.Λ. ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ Μαθηματικός 2013 2014 EΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1) ΘΕΩΡΙΑ... 2 2) ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ... 5 2.1. ΤΡΙΓΩΝΑ... 5 2.1.1. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ Σωστού - Λάθους στα τρίγωνα... 5 2.1.2.

Διαβάστε περισσότερα

Επιμέλεια Μετάφρασης: Αραούζου Μαρίνα Α.Μ.:3696 Ασβεστάς Ιωάννης Μάριος Α.Μ.: 3579 Κασσωτάκη Μαρία Α.Μ.:3610 Λαμπριανού Μαριάνθη Α.Μ.

Επιμέλεια Μετάφρασης: Αραούζου Μαρίνα Α.Μ.:3696 Ασβεστάς Ιωάννης Μάριος Α.Μ.: 3579 Κασσωτάκη Μαρία Α.Μ.:3610 Λαμπριανού Μαριάνθη Α.Μ. Επιμέλεια Μετάφρασης: Αραούζου Μαρίνα Α.Μ.:3696 Ασβεστάς Ιωάννης Μάριος Α.Μ.: 3579 Κασσωτάκη Μαρία Α.Μ.:3610 Λαμπριανού Μαριάνθη Α.Μ.: 3293 Χαραλάμπους Ξένια Α.Μ.:3698 1 Ορισμοί 1. Ευθύγραμμο σχήμα εγγράφεται

Διαβάστε περισσότερα

Το τµήµα που ενώνει τα µέσα δύο πλευρών τριγώνου, είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και ίσο µε το µισό της.

Το τµήµα που ενώνει τα µέσα δύο πλευρών τριγώνου, είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και ίσο µε το µισό της. 5.3 Εφαρµογές των παραλληλογράµµων 155 5.3 Εφαρµογές των παραλληλογράµµων Α Εφαρµογές στα τρίγωνα Α1 Θεώρηµα 1 Το τµήµα που ενώνει τα µέσα δύο πλευρών τριγώνου, είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και

Διαβάστε περισσότερα

Γεωµετρία Α Γυµνασίου. Ορισµοί Ιδιότητες Εξηγήσεις

Γεωµετρία Α Γυµνασίου. Ορισµοί Ιδιότητες Εξηγήσεις Γεωµετρία Α Γυµνασίου Ορισµοί Ιδιότητες Εξηγήσεις Ευθεία γραµµή Ορισµός δεν υπάρχει. Η απλούστερη από όλες τις γραµµές. Κατασκευάζεται µε τον χάρακα (κανόνα) πάνω σε επίπεδο. 1. ύο σηµεία ορίζουν την θέση

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ο ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ο ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΟΥ ΘΑΛΗ Βασικά θεωρήματα Αν τρεις τουλάχιστον παράλληλες ευθείες τέμνουν δύο άλλες ευθείες, ορίζουν σε αυτές τμήματα ανάλογα. (αντίστροφο Θεωρήματος Θαλή) Θεωρούμε δύο ευθείες δ και

Διαβάστε περισσότερα

5. Τα μήκη των βάσεων ενός τραπεζίου είναι 8 cm και 12 cm και το ύψος του είναι 7. Να βρείτε το εμβαδό του.

5. Τα μήκη των βάσεων ενός τραπεζίου είναι 8 cm και 12 cm και το ύψος του είναι 7. Να βρείτε το εμβαδό του. 1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Ένα παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ έχει μια πλευρά ίση με 48 και το αντίστοιχο σε αυτή την πλευρά ύψος είναι 4,5 dm. Να βρείτε το εμβαδό του παραλληλογράμμου 2. Ένα παραλληλόγραμμο έχει εμβαδό 72 2

Διαβάστε περισσότερα

Γνωρίζουμε ότι οι απέναντι πλευρές ενός παραλληλογράμμου είναι ίσες οπότε ΑΒ=ΔΓ και αφού μας δίνεται ότι ΑΕ=ΓΗ με αφαίρεση κατά μέλη παίρνουμε:

Γνωρίζουμε ότι οι απέναντι πλευρές ενός παραλληλογράμμου είναι ίσες οπότε ΑΒ=ΔΓ και αφού μας δίνεται ότι ΑΕ=ΓΗ με αφαίρεση κατά μέλη παίρνουμε: 5.-5. Σύνθετα θέματα (version 4--06) Σ. Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΔ και τα σημεία Ε, Ζ, Η και Κ των πλευρών ΑΒ, Β, Δ και ΑΔ αντίστοιχα ώστε ΑΕ Η και ΔΚ ΒΖ. Να αποδείξετε ότι i) το τετράπλευρο ΕΖΗΚ είναι

Διαβάστε περισσότερα

2. ίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) και οι διχοτόµοι του Β και ΓΕ. Αν ΕΗ ΒΓ και Ζ ΒΓ, να αποδείξετε ότι: β) Τα τρίγωνα ΑΕ και ΑΖ είναι ίσα.

2. ίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) και οι διχοτόµοι του Β και ΓΕ. Αν ΕΗ ΒΓ και Ζ ΒΓ, να αποδείξετε ότι: β) Τα τρίγωνα ΑΕ και ΑΖ είναι ίσα. 1. Από εξωτερικό σηµείο Σ κύκλου (Κ,ρ) θεωρούµε τις τέµνουσες ΣΑΒ και ΣΓ του κύκλου για τις οποίες ισχύει ΣΒ=Σ. Τα ΚΛ και ΚΜ είναι τα αποστήµατα των χορδών ΑΒ και Γ του κύκλου αντίστοιχα. α) i. τα τρίγωνα

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α. ΓΩΝΙΕΣ - ΚΥΚΛΟΣ

ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α. ΓΩΝΙΕΣ - ΚΥΚΛΟΣ ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α. ΓΩΝΙΕΣ - ΚΥΚΛΟΣ 1. Απόσταση δύο σηµείων Α και Β είναι το µήκος του ευθύγραµµου τµήµατος που τα ενώνει. 2. Γωνία είναι το µέρος του επιπέδου που βρίσκεται µεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

Ä ÑÁÓÔÇÑÉÏÔÇÔÁ 1ç. Απάντηση Οι γωνίες που σχηµατίζονται είναι: Α. αµβλεία Β. ευθεία Γ. πλήρης. οξεία Ε. ορθή Ζ. αµβλεία Η. οξεία.

Ä ÑÁÓÔÇÑÉÏÔÇÔÁ 1ç. Απάντηση Οι γωνίες που σχηµατίζονται είναι: Α. αµβλεία Β. ευθεία Γ. πλήρης. οξεία Ε. ορθή Ζ. αµβλεία Η. οξεία. Ä ÑÁÓÔÇÑÉÏÔÇÔÁ 1ç Σε όλα τα παρακάτω αντικείµενα σχηµατίζονται διάφορες γωνίες ανάλογα µε τη σχετική θέση, κάθε φορά, δύο ηµιευθειών που έχουν ένα κοινό ση- µείο, όπως π.χ. είναι οι δείκτες του ρολογιού,

Διαβάστε περισσότερα

2. Να προσδιορίσετε τους επταψήφιους αριθμούς, οι οποίοι είναι τέλεια τετράγωνα και τα τρία πρώτα ψηφία τους, στη σειρά, είναι τα 4, 0 και 0.

2. Να προσδιορίσετε τους επταψήφιους αριθμούς, οι οποίοι είναι τέλεια τετράγωνα και τα τρία πρώτα ψηφία τους, στη σειρά, είναι τα 4, 0 και 0. Ευκλείδης Γ' Γυμνασίου 1995-1996 1. Να γίνει γινόμενο η παράσταση Α= ν 2 3ν 1 2 1. 2. Να προσδιορίσετε τους επταψήφιους αριθμούς, οι οποίοι είναι τέλεια τετράγωνα και τα τρία πρώτα ψηφία τους, στη σειρά,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος»

ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» ΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: ΜΕΤΡΙΚΕ ΧΕΕΙ Ερωτήσεις του τύπου «ωστό-άθος» Να χαρακτηρίσετε με (σωστό) ή (λάθος) τις παρακάτω προτάσεις. 1. * Αν σε τρίγωνο ΑΒ ισχύει ΑΒ = Α + Β, τότε το τρίγωνο είναι:

Διαβάστε περισσότερα

1 ΘΕΜΑΤΑ ΓΡΑΠΤΩΝ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

1 ΘΕΜΑΤΑ ΓΡΑΠΤΩΝ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1 ΘΕΜΑΤΑ ΓΡΑΠΤΩΝ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ α). Να αποδείξετε ότι : Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο το τετράγωνο του ύψους που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα ισούται με το γινόμενο των προβολών

Διαβάστε περισσότερα

Δηθνλνγξαθεκέλν Λεμηθό Σν Πξώην κνπ Λεμηθό

Δηθνλνγξαθεκέλν Λεμηθό Σν Πξώην κνπ Λεμηθό ΤΠΟΤΡΓΔΗΟ ΠΑΗΓΔΗΑ ΚΑΗ ΘΡΖΚΔΤΜΑΣΧΝ, ΠΟΛΗΣΗΜΟΤ ΚΑΗ ΑΘΛΖΣΗΜΟΤ Η.Σ.Τ.Δ. «ΓΗΟΦΑΝΣΟ» Αή Δί Ζίο Γήο Μί Μά Ηί Αύ Δέ Λό Σ Πώ Λό Α, Β, Γ Γύ Σόο 7ο (Σ, Τ, Φ, Υ, Φ,Φ Χ, Πά) Δέ Λό Α, Β, Γ Γύ Σ Πώ Λό Σόο 7ο (Σ, Τ,

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΙ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ ΤΥΠΟΥ ΑΠΟΤΕΛΟΥΝ ΜΕΡΟΣ ΤΟΥ ΘΕΜΑΤΟΣ Α ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ (ΘΕΜΑ ΘΕΩΡΙΑΣ) Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ 1. Ένα τρίγωνο είναι οξυγώνιο όταν έχει

Διαβάστε περισσότερα

6.1 6.4. 1. Εγγεγραµµένη γωνία, αντίστοιχη επίκεντρη και τόξο. 2. Γωνία δύο χορδών και γωνία δύο τεµνουσών

6.1 6.4. 1. Εγγεγραµµένη γωνία, αντίστοιχη επίκεντρη και τόξο. 2. Γωνία δύο χορδών και γωνία δύο τεµνουσών 6. 6.4 ΘΩΡΙ. γγεγραµµένη γωνία, αντίστοιχη επίκεντρη και τόξο Το µέτρο της επίκεντρης ισούται µε το µέτρο του αντίστοιχου τόξου. Η εγγεγραµµένη ισούται µε το µισό της αντίστοιχης επίκεντρης. Η εγγεγραµµένη

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρία Α' Λυκείου Κεφάλαιο 3 ο (Τρίγωνα) Γεωμετρία Αˊ Λυκείου. Κεφάλαιο 3 ο Τρίγωνα

Γεωμετρία Α' Λυκείου Κεφάλαιο 3 ο (Τρίγωνα) Γεωμετρία Αˊ Λυκείου. Κεφάλαιο 3 ο Τρίγωνα Γεωμετρία Αˊ Λυκείου Κεφάλαιο 3 ο Τρίγωνα Κεφάλαιο 3 ο :Τρίγωνα 1. Τι λέγονται κύρια στοιχεία ενός τριγώνου; Οι πλευρές και οι γωνίες ενός τριγώνου λέγονται κύρια στοιχεία του τριγώνου. Για ευκολία οι

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ - ΑΝΔΡΕΣΑΚΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ - ΑΝΔΡΕΣΑΚΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ Τι ονοµάζουµε γωνία σε ένα επίπεδο; Tι ονοµάζουµε κορυφή µιας γωνίας και τι πλευρά µιας γωνίας; Πότε δύο σχήµατα λέγονται ίσα; Τι ονοµάζουµε απόσταση δύο σηµείων; Τι ονοµάζουµε µέσο ενός ευθυγράµµου τµήµατος;

Διαβάστε περισσότερα

«Η Ευκλείδεια γεωμετρία και η διδασκαλία της» Λύσεις Θεμάτων Εξέτασης

«Η Ευκλείδεια γεωμετρία και η διδασκαλία της» Λύσεις Θεμάτων Εξέτασης Τομέας Παιδαγωγικής Ιστορίας, και Φιλοσοφίας των Μαθηματικών «Η Ευκλείδεια γεωμετρία και η διδασκαλία της» Λύσεις Θεμάτων Εξέτασης 01-0-016 ΘΕΜΑ 1α [] Σε τυχαίο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Α=90 Ο ) η διχοτόμος

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΔΙΑΜΕΣΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΔΙΑΜΕΣΩΝ 1 ο Θεώρημα διαμέσου ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΔΙΑΜΕΣΩΝ Σε κάθε τρίγωνο, το άθροισμα των τετραγώνων δύο πλευρών τριγώνου ισούται με το διπλάσιο του τετραγώνου της περιεχόμενης διαμέσου, αυξημένο κατά το μισό του τετραγώνου

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 3 Β' Λυκείου. Ύλη: Αναλογίες- Ομοιότητα- Μετρικές σχέσεις

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 3 Β' Λυκείου. Ύλη: Αναλογίες- Ομοιότητα- Μετρικές σχέσεις ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 3 Β' Λυκείου Ον/μο:. ΕΠΑ.Λ. Ύλη: Αναλογίες- Ομοιότητα- Μετρικές σχέσεις 15-0-16 Θέμα 1 ο : Α.i. Να διατυπώσετε το Πυθαγόρειο Θεώρημα. (5 μον.) ii. Πότε δύο ευθύγραμμα τμήματα

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας Ερωτήσεις κατανόησης

Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας Ερωτήσεις κατανόησης 0. 0.3 σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 7 8 Ερωτήσεις κατανόησης. Να γράψετε τους τύπους υπολογισµού του εµβαδού Τετραγώνου Ορθογωνίου i Παραλληλογράµµου iν) Τριγώνου ν) Τραπεζίου πάντηση Ε = α Ε = α β

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΕΡΟΣ 2ο Γυμνάσιο

ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΕΡΟΣ 2ο Γυμνάσιο ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΕΡΟΣ 2ο υμάσιο 164 1 α. Τι λέμε -οστή δύαμη εός αριθμού α; β. Ορισμοί και ιδιότητες τω δυάμεω. Κατασκευάστε ορθογώιο τρίγωο ΑΒ α. ράψτε το πυθαγόρειο θεώρημα και τη σχέση που το εκφράζει

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ / ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ / ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ / ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΘΕΜΑ Α ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α.. Να αποδείξετε ότι η παράγωγος της συάρτησης f ( ), για κάθε R. Α.. Α.. (

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος )

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) Ερωτήσεις Θεωρίας Να βρείτε στην αντίστοιχη σελίδα του σχολικού σας βιβλίου το ζητούμενο της κάθε ερώτησης που δίνεται παρακάτω και να το γράψετε στο τετράδιό

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ν περνά από σταθερό σημείο. ν περνά από το σταθερό μέσο του επίσης σταθερού ΚΛ. Το διανυσματικό άθροισμα f Μ γράφεται:

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ν περνά από σταθερό σημείο. ν περνά από το σταθερό μέσο του επίσης σταθερού ΚΛ. Το διανυσματικό άθροισμα f Μ γράφεται: Το διανυσματικό άθροισμα f Μ γράφεται: f Μ = x ΜΑ+ x ΜΑ+ΑΒ + x ΜΑ+ΑΓ = ΜΑ + ΜΑ + ΜΑ + ΑΒ + ΑΓ ( x) ( x) ( x ) ( x) ( x ) = ( x + x + x ) ΜΑ + ( x) ΑΒ + ( x ) ΑΓ = ( x 4x+ ) ΜΑ+ ( x) ΑΒ+ ( x ) Α Γ f Μ είναι

Διαβάστε περισσότερα

Δηθνλνγξαθεκέλν Λεμηθό Σν Πξώην κνπ Λεμηθό

Δηθνλνγξαθεκέλν Λεμηθό Σν Πξώην κνπ Λεμηθό ΤΠΟΤΡΓΔΙΟ ΠΑΙΓΔΙΑ ΚΑΙ ΘΡΗΚΔΤΜΑΣΧΝ, ΠΟΛΙΣΙΜΟΤ ΚΑΙ ΑΘΛΗΣΙΜΟΤ Ι.Σ.Τ.Δ. «ΓΙΟΦΑΝΣΟ» Αή Δί Ηίο Γήο Μί Μά Ιί Αύ Δέ Λό Σ Πώ Λό Α, Β, Γ Γύ Σόο 1ο (Α, Β,) Δέ Λό Α, Β, Γ Γύ Σ Πώ Λό Σόο 1ο (Α, Β,) ΤΓΓΡΑΦΔΙ Αή Δί,

Διαβάστε περισσότερα

2. ίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) και οι διχοτόµοι του Β και ΓΕ. Αν ΕΗ ΒΓ και Ζ ΒΓ, να αποδείξετε ότι: α) Τα τρίγωνα Β Γ και ΓΕΒ είναι ίσα.

2. ίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) και οι διχοτόµοι του Β και ΓΕ. Αν ΕΗ ΒΓ και Ζ ΒΓ, να αποδείξετε ότι: α) Τα τρίγωνα Β Γ και ΓΕΒ είναι ίσα. 1. Από εξωτερικό σηµείο Σ κύκλου (Κ,ρ) θεωρούµε τις τέµνουσες ΣΑΒ και ΣΓ του κύκλου για τις οποίες ισχύει ΣΒ=Σ. Τα ΚΛ και ΚΜ είναι τα αποστήµατα των χορδών ΑΒ και Γ του κύκλου αντίστοιχα. α) Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Ε. Μάθημα 34 ο. Ασκήσεις. 1. Να σχεδιάσεις δύο ευθύγραμμα τμήματα, ΑΒ = 4 εκατ. και ΓΔ = 5,5 εκατ.:

Μαθηματικά Ε. Μάθημα 34 ο. Ασκήσεις. 1. Να σχεδιάσεις δύο ευθύγραμμα τμήματα, ΑΒ = 4 εκατ. και ΓΔ = 5,5 εκατ.: Μάθημα 34 ο Ασκήσεις 1. Να σχεδιάσεις δύο ευθύγραμμα τμήματα, ΑΒ = 4 εκατ. και ΓΔ = 5,5 εκατ.: A B Γ Δ 2. Να σχεδιάσεις δύο ημιευθείες Λx και Κy: Λ x K y 3. Να σχεδιάσεις δύο ευθείες ε 1 και ε 2 οι οποίες

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Μανώλη Ψαρρά Μέρος Α. 6 Σημαντικά θεωρήματα Μέρος Β. 50 Άλυτες ασκήσεις με σχήματα

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Μανώλη Ψαρρά Μέρος Α. 6 Σημαντικά θεωρήματα Μέρος Β. 50 Άλυτες ασκήσεις με σχήματα ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Μανώλη Ψαρρά Μέρος Α. 6 Σημαντικά θεωρήματα Μέρος Β. 5 Άλυτες ασκήσεις με σχήματα ΓΕΝΑΡΗΣ 216 ΜΑΝΩΛΗΣ ΨΑΡΡΑΣ Σελίδα 1 6 Σημαντικά θεωρήματα της Γεωμετρίας 1. Ευθεία Euler

Διαβάστε περισσότερα