ARISTARCHI DE MAGNITUDIBUS ET DISTANTIIS SOLIS ET LUNAE, 1-2

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ARISTARCHI DE MAGNITUDIBUS ET DISTANTIIS SOLIS ET LUNAE, 1-2"

Transcript

1 ARISTARCHI DE MAGNITUDIBUS ET DISTANTIIS SOLIS ET LUNAE, 1-2 Ἔστωσα ἴσαι σφαῖραι, ὧ κέτρα ἔστω τ ὰ Α, Β σημεῖα, κα ὶ ἐπιζευχθεῖσα ἡ ΑΒ ἐκβεβλήσθω, καὶ ἐκβεβλήσθω δι ὰ το ῦ ΑΒ ἐπίπεδο ποιήσει δ ὴ τομὰ ἐ ταῖ σφαίραι μεγίστου κύκλου. ποιείτω οὖ τοὺ ΓΔΕ, ΖΗΘ κύκλου, κα ὶ ἤχθωσα ἀπ ὸ τῶ Α, Β τ ῇ ΑΒ πρὸ ὀρθὰ α ἱ ΓΑΕ, ΖΒΘ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΓΖ. κα ὶ ἐπε ὶ α ἱ ΓΑ, ΖΒ ἴσαι τε κα ὶ παράλληλοί εἰσι, κα ὶ α ἱ ΓΖ, ΑΒ ἄρα ἴσαι τε καὶ παράλληλοί εἰσι. παραλληλόγραμμο ἄρα ἐστὶ τ ὸ ΓΖΑΒ, κα ὶ α ἱ πρὸ τοῖ Γ, Ζ γωίαι ὀρθαὶ ἔσοται ὥστε ἡ ΓΖ τῶ ΓΔΕ, ΖΗΘ κύκλω ἐφάπτεται. ἐὰ δ ὴ μεούση τῆ ΑΒ τ ὸ ΑΖ παραλληλόγραμμο κα ὶ τ ὰ ΚΓΔ, ΗΖΛ ἡμικύκλια περιεεχθέτα εἰ τ ὸ αὐτ ὸ πάλι ἀποκατασταθῇ ὅθε ἤρξατο φέρεσθαι, τ ὰ μὲ ΚΓΔ, ΗΖΛ ἡμικύκλια ἐεχθήσεται κατ ὰ τῶ σφαιρῶ, τ ὸ δ ὲ ΑΖ παραλληλόγραμμο γεήσει κύλιδρο, ο ὗ βάσει ἔσοται ο ἱ περ ὶ διαμέτρου τὰ ΓΕ, ΖΘ κύκλοι, ὀρθο ὶ ὄτε πρὸ τὴ ΑΒ, δι ὰ τ ὸ ἐ πάσ ῃ μετακιήσει διαμέει τὰ ΓΕ, ΘΖ ὀρθὰ τ ῇ ΑΒ. καὶ φαερὸ ὅτι ἡ ἐπιφάεια αὐτο ῦ ἐφάπτεται τῶ σφαιρῶ, ἐπειδ ὴ ἡ ΓΖ κατ ὰ πᾶ σα μετακίησι ἐφάπτεται τῶ ΚΓΔ, ΗΖΛ ἡμικυκλίω. Ἔστωσα δ ὴ α ἱ σφαῖραι πάλι, ὧ κέτρα ἔστω τ ὰ Α, Β, ἄισοι, κα ὶ μείζω ἧ κέτρο τ ὸ Α λέγω ὅτι τὰ σφαίρα ὁ αὐτὸ κῶο περιλαμβάει τὴ κορυφὴ ἔχω πρὸ τ ῇ ἐλάσσοι σφαίρ ᾳ. Ἐπεζεύχθω ἡ ΑΒ, κα ὶ ἐκβεβλήσθω δι ὰ τῆ ΑΒ ἐ πίπεδο ποιήσει δ ὴ τομὰ ἐ ταῖ σφαίραι κύκλου. ποιείτω τοὺ ΓΔΕ, ΖΗΘ μείζω ἄρα ὁ ΓΔΕ κύκλο τοῦ ΗΖΘ κύκλου ὥστε κα ὶ ἡ ἐκ το ῦ κέτρου το ῦ ΓΔΕ κύκλου μείζω ἐστ ὶ τῆ ἐκ το ῦ κέτρου το ῦ ΖΗΘ κύκλου. δυατὸ δή ἐστι λαβεῖ τι σημεῖο, ὡ τ ὸ Κ, ἵ' ᾖ, ὡ ἡ ἐκ το ῦ κέτρου το ῦ ΓΔΕ κύκλου πρὸ τὴ ἐκ το ῦ κέτρου το ῦ ΖΗΘ κύκλου, οὕτω ἡ ΑΚ πρὸ τὴ ΚΒ. ἔστω οὖ εἰλημμέο τ ὸ Κ σημεῖο, κα ὶ ἤχθω ἡ ΚΖ ἐφαπτομέη το ῦ ΖΗΘ κύκλου, κα ὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΖΒ, κα ὶ δι ὰ το ῦ Α τ ῇ ΒΖ παράλληλο ἤχθω ἡ ΑΓ, κα ὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΓΖ. κα ὶ ἐπεί ἐστι, ὡ ἡ ΑΚ πρὸ τὴ ΚΒ, ἡ ΑΔ πρὸ τὴ ΒΝ, ἴση δ ὲ ἡ μὲ ΑΔ τ ῇ ΑΓ, ἡ δ ὲ ΒΝ τ ῇ ΒΖ, ἔστι ἄρα, ὡ ἡ ΑΚ πρὸ τὴ ΚΒ, ἡ ΑΓ πρὸ τὴ ΒΖ. κα ὶ ἔστι παράλληλο ἡ ΑΓ τ ῇ ΒΖ εὐθεῖα ἄρα ἐστὶ ἡ ΓΖΚ. κα ὶ ἔστι ὀρθ ὴ ἡ ὑπ ὸ τῶ ΚΖΒ ὀρθὴ ἄρα κα ὶ ἡ ὑπ ὸ τῶ ΚΓΑ. ἐφάπτεται ἄρα ἡ ΚΓ το ῦ ΓΔΕ κύκλου. ἤχθωσα δ ὴ α ἱ ΓΛ, ΖΜ ἐπ ὶ τὴ ΑΒ κάθετοι. ἐὰ δ ὴ μεούση τῆ ΚΞ τά τε ΞΓΔ, ΗΖΝ ἡμικύκλια κα ὶ τ ὰ ΚΓΛ, ΚΖΜ τρίγωα περιεεχθέτα εἰ τ ὸ αὐτ ὸ πάλι ἀποκατασταθ ῇ ὅθε ἤρξατο φέρεσθαι, τ ὰ μὲ ΞΓΔ, ΗΖΝ ἡ μικύκλια ἐεχθήσεται κατ ὰ τῶ σφαιρῶ, τ ὸ δ ὲ ΚΓΛ τρίγωο κα ὶ τ ὸ ΚΖΜ γεήσει κώου, ὧ βάσει εἰσὶ ο ἱ περ ὶ διαμέτρου τὰ ΓΕ, ΖΘ κύκλοι, ὀρθο ὶ ὄτε πρὸ τὸ ΚΛ ἄξοα κέτρα δ ὲ αὐτῶ τ ὰ Λ, Μ κα ὶ ὁ κῶο τῶ σφαιρῶ ἐφάψεται κατ ὰ τὴ ἐπιφάεια, ἐπειδ ὴ κα ὶ ἡ ΚΖΓ ἐφάπτεται τῶ ΞΓΔ, ΗΖΝ ἡμικυκλίω κατ ὰ πᾶσα μετακίησι. [2] < Ἐὰ σφαῖρα ὑπ ὸ μείζοο ἑαυτῆ σφαίρα φωτίζηται, μεῖζο ἡ μισφαιρίου φωτισθήσεται.> Σφαῖρα γάρ, ἧ κέτρο τ ὸ Β, ὑπ ὸ μείζοο ἑαυτῆ σφαίρα φωτιζέσθω, ἧ κέτρο

2 τ ὸ Α λέγω ὅτι τ ὸ φωτιζόμεο μέρο τῆ σφαίρα, ἧ κέτρο τ ὸ Β, μεῖζό ἐστι ἡμισφαιρίου. Ἐπεὶ γὰρ δύο ἀίσου σφαίρα ὁ αὐτὸ κῶο περιλαμβάει τὴ κορυφὴ ἔχω πρὸ τ ῇ ἐ λάσσοι σφαίρ ᾳ, ἔστω ὁ περιλαμβάω τὰ σφαίρα κῶο, κα ὶ ἐκβεβλήσθω δι ὰ το ῦ ἄξοο ἐ πίπεδο ποιήσει δ ὴ τομὰ ἐ μὲ ταῖ σφαίραι κύκλου, ἐ δ ὲ τ ῷ κώ ῳ τρίγωο. ποιείτω οὖ ἐ μὲ ταῖ σφαίραι κύκλου τοὺ ΓΔΕ, ΖΗΘ, ἐ δ ὲ τ ῷ κώ ῳ τρίγωο τ ὸ ΓΕΚ. φαερὸ δ ὴ ὅτι τ ὸ κατ ὰ τὴ ΖΗΘ περιφέρεια τμῆμα τῆ σφαίρα, ο ὗ βάσι ἐστὶ ὁ περ ὶ διάμετρο τὴ ΖΘ κύκλο, φωτιζόμεο μέρο ἐστὶ ὑπ ὸ το ῦ τμήματο το ῦ κατ ὰ τὴ ΓΔΕ περιφέρεια, ο ὗ βάσι ἐστὶ ὁ περ ὶ διάμετρο τὴ ΓΕ κύκλο, ὀρθὸ ὢ πρὸ τὴ ΑΒ εὐθεῖα κα ὶ γὰρ ἡ ΖΗΘ περιφέρεια φωτίζεται ὑπ ὸ τῆ ΓΔΕ περιφερεία ἔσχαται γὰρ ἀκτῖέ εἰσι α ἱ ΓΖ, ΕΘ κα ὶ ἔστι ἐ τ ῷ ΖΗΘ τμήματι τ ὸ κέτρο τῆ σφαίρα τ ὸ Β ὥστε τ ὸ φωτιζόμεο μέρο τῆ σφαίρα μεῖζό ἐστι ἡμισφαιρίου.

3 ERATOSTHENIS DE CIRCA EXORNATIONESTELLARUM ET ETHYMOLOGIA DE QUIBUS VIDENTUR βόρεια Ἄρκτο μεγάλη, Ἄρκτο μικρά, Ὄφι ὁ δι' ἀμφοτέρω τῶ Ἄ ρκτω, Κηφεύ, Περσεύ, Ἀδρομέδα, Κασσιέπεια, Ὄρι, Λύρα, Ἐγόασι, Στέφαο, Ἀρκτοφύλαξ, Ἡίοχο ἐφ' ὧι <Αἲ ξ Ἔριφοι,> Δελτωτό, Ἵππο, Ὀιστό, Ἀετό, Ὀφιοῦ χο, Προκύω, Καρκίο, Λέω, Παρθέο, Χηλαί, Σκορπίο, Τοξότη, Αἰγόκερω, Ὑδροχόο, Ἰχθύε, Ταῦρο, <Κριό,> Δίδυμοι. ότια δέ Ὠ ρίω, Κῆτο, Δελφί, Ὕδρο ἐφ' ὧι Κρατὴρ κα ὶ ὁ Κόραξ, Κύω, <Θυτήριο,> Κέταυρο ἐφ' ὧ ι Θηρίο, Λαγωό, Ἀργώ, Ποταμό, Ἰχθύε, ἀστέρε πέτε πλαῆται: <κεῖται δ' ἐ μὲ τῶ ι βορείωι ἡμισφαιρίωι τάδε Ἄρκτο μείζω, Ἄρκτο ἐλάσω, Ὄφι δι' ἀμφοτέρω τῶ Ἄ ρκτω, Βοώτη, Στέφαο, Ἐγόασι, Ὀφιοῦχο. < ἐ ἀμφοτέροι τοῖ ἡμι-σφαιρίοι > Λύρα, Ὄρι, Ὀιστό, Αἰ ετό, Δελφί, Ἵππο. < ἐ ἀμφοτέροι τοῖ ἡμισφαιρίοι > Κηφεύ, Κασσιέπεια, Ἀ δρομέδα, Τρίγωο,Περσεύ, Ἡίοχο. < ἐ δ ὲ τῶι οτίωι το ῦ ζωιδιακο ῦ.> Ὑδροχόο. < ἐ ἀμφοτέροι τοῖ ἡμισφαιρίοι > Κρατήρ, Κόραξ, Ἀργώ, Κέταυρο, τ ὸ θηρίο ὃ ἔχει ὁ Κέταυρο ἐ τῆι δεξιᾶ ι χειρί, Θυτήριο, ὁ ὑπ ὸ τὸ Τοξότη Στέφαο [ Ἀριάδη], Ἰχθύ, Κῆτο, Ὠρίω. < ἐ ἀμφοτέροι τοῖ ἡμισφαιρίοι > Λαγωό, Προκύω. < ἐ δ ὲ τῶι βορείωι το ῦ ζωιδιακο ῦ κύκλου. βόρεια > Καρκίο, Λέω, Παρθέο, Κριό, Ταῦρο, Δίδυμοι.

4 PSEUDO-ERATOSTHENIS CATASTERISMI Ἀστροθεσίαι ζῳδίω. Ἄ ρκτου μεγάλη. Ταύτη Ἡσίοδό φησι Λυκάοο θυγατέρα ἐ Ἀρκαδί ᾳ οἰκεῖ, ἑλέσθαι δ ὲ μετὰ Ἀρτέμιδο τὴ περ ὶ τὰ θήρα ἀγωγὴ ἐ τοῖ ὄρεσι ποιεῖσθαι φθαρεῖσα δ ὲ ὑπ ὸ Διὸ ἐμμεῖ αι λαθάουσα τὴ θεό φωραθῆαι δ ὲ ὕστερο ἐπίτοκο ἤδη οὖσα ὀφθεῖσα ὑπ' αὐτῆ λουομέη ἐφ' ᾧ ὀργισθεῖσα τὴ θεὸ ἀποθηριῶσαι αὐτή κα ὶ οὕτω τεκεῖ ἄρκτο γεομέη τὸ κληθέτα Ἀρκάδα οὖσα δ' ἐ τ ῷ ὄρει θηρευθῆαι ὑπ ὸ αἰπόλω τιῶ κα ὶ παραδοθῆαι μετ ὰ το ῦ βρέφου τ ῷ Λυκάοι μετ ὰ χρόο δέ τια δόξαι εἰσελθεῖ εἰ τ ὸ το ῦ Διὸ ἄβατο [ ἱερὸ] ἀγοήσασα τὸ όμο ὑπ ὸ δ ὲ το ῦ ἰδίου υἱο ῦ διωκομέη κα ὶ τῶ Ἀρκάδω, κα ὶ ἀαιρεῖσθαι μέλλουσα δι ὰ τὸ εἰρημέο όμο, ὁ Ζεὺ δι ὰ τὴ συγγέεια αὐτὴ ἐξείλετο κα ὶ ἐ τοῖ ἄστροι αὐτὴ ἔ θηκε Ἄρκτο δ ὲ αὐτὴ ὠόμασε δι ὰ τ ὸ συμβεβηκὸ αὐτ ῇ σύμπτωμα. Ἔχει δ ὲ ἀστέρα ἐπ ὶ τῆ κεφαλῆ ζ ʹ ἀμαυρού, ἐφ' ἑκατέρω ὠτίω β ʹ, < ἐπ'> ὠμοπλατῶ λαμπρὸ α ʹ, ἐπ ὶ το ῦ στήθου <α ʹ, ἐπ ὶ τοῦ ἔμπροσθε ποδὸ> β ʹ, ἐπ ὶ τῆ ῥάχεω λαμπρὸ α ʹ, < ἐπ ὶ τῆ κοιλία λαμπρὸ α ʹ>, ἐπ ὶ σκέλεσι ὀπισθίοι β ʹ, ἐπ' ἄκρ ῳ τ ῷ ποδ ὶ β ʹ, ἐπ ὶ τῆ κέρκου γ ʹ τοὺ πάτα κδ ʹ. Ἄρκτου μικρᾶ. Αὕτη ἐστὶ ἡ μικρ ὰ καλουμέη προσηγορεύθη δ ὲ ὑπ ὸ τῶ πλείστω Φοιίκη ἐτιμήθη δ ὲ ὑπ ὸ τῆ Ἀρτέμιδο γοῦσα δ ὲ ὅτι ὁ Ζεὺ αὐτὴ ἔφθειρε, ἠγρίωσε αὐτή ὕστερο δὲ σεσωσμέ ῃ λέγεται δόξα αὐτ ῇ περιθεῖαι ἀτιθεῖσα ἕτερο εἴδωλο ἐ τοῖ ἄστροι, ὥστε δισσὰ ἔχει τιμά. Ἀγλαοσθέη δ ὲ ἐ τοῖ Ναξικοῖ φησι τροφὸ γεέσθαι το ῦ Διὸ Κυόσουρα, εἶαι δὲ μία τῶ Ἰδαίω υμφῶ ἀφ' ἧ ἐ μὲ τ ῇ πόλει τ ῇ καλουμέ ῃ Ἱστοῖ, τοὔομα τοῦτο ἦ, ἣ οἱ περ ὶ Νικόστρατο ἔκτισα, κα ὶ τὸ ἐ αὐτ ῇ [δ ὲ] λιμέα κα ὶ τὸ ἐπ' αὐτ ῷ τόπο Κυόσουρα κληθῆαι. Ἄρατο δ ὲ αὐτὴ καλε ῖ Ἑλίκη ἐκ Κρήτη οὖσα γεέσθαι δ ὲ Διὸ τροφὸ κα ὶ δι ὰ τοῦ το ἐ οὐραοῖ τιμῆ ἀξιωθῆαι. Ἔχει δ ὲ ἀστέρα ἐπ ὶ μὲ ἑκάστη γωία το ῦ πλιθίου λαμπρὸ α ʹ, ἐπ ὶ δ ὲ τῆ κέρκου λαμπροὺ γ ʹ, τοὺ πάτα ζ ʹ ὑπ ὸ δ ὲ τὸ ἕτερο τῶ ἡγουμέω κατώτερό ἐ στι ἄλλο ἀστήρ, ὃ καλεῖται Πόλο, περ ὶ ὃ δοκε ῖ ὅλο ὁ κόσμο στρέφεσθαι.

5 Σκορπίου. Οὗτο δι ὰ τ ὸ μέγεθο εἰ δύο δωδεκατημόρια διαιρεῖται κα ὶ τ ὸ μὲ ἐπέχουσι α ἱ χηλαί, θάτερο δ ὲ τ ὸ σῶμα κα ὶ τ ὸ κέτρο. τοῦτο, φασί, ἐποίησε Ἄρτεμι ἀαδοθῆαι < ἐκ> τῆ κολώη τῆ Χίου ήσου, κα ὶ τὸ Ὠρίωα πλῆξαι, κα ὶ οὕτω ἀποθαεῖ, ἐπειδ ὴ ἐ κυηγεσίῳ ἀκόσμω αὐτὴ ἐβιάσατο ὃ Ζεὺ ἐ τοῖ λαμπροῖ ἔθηκε τῶ ἄστρω, ἵ' εἰδῶσι οἱ ἐπιγιόμεοι ἄθρωποι τὴ ἰσχύ τε αὐτο ῦ κα ὶ τὴ δύαμι. Ἔχει δ ὲ ἀστέρα ἐφ' ἑκατέρα χηλῆ β ʹ, ὧ εἰσι ο ἱ μὲ πρῶτοι μεγάλοι, ο ἱ δ ὲ δεύτεροι ἀμαυροί, ἐπ ὶ δ ὲ το ῦ μετώπου <λαμπροὺ γ ʹ, ὧ ὁ μέσο λαμπρότατο, ἐπ ὶ τῆ ῥάχεω> λαμπροὺ γ ʹ, ἐπ ὶ τῆ κοιλία β ʹ, ἐπ ὶ τῆ κέρκου ε ʹ, ἐπ ὶ τοῦ κέτρου β ʹ προηγεῖται μὲ ἐ αὐτοῖ πάτω φαιδρότερο ὢ ὁ ἐπ ὶ τῆ βορεία χηλῆ λαμπρὸ ἀστήρ <τοὺ πάτα ιθ ʹ>. Κασσιεπεία. Ταύτη ἱστορε ῖ Σοφοκλῆ ὁ τῆ τραγῳδία ποιητὴ ἐ Ἀδρομέδ ᾳ ἐρίσασα περὶ κάλλου ταῖ Νηρηίσι εἰσελθεῖ εἰ τ ὸ σύμπτωμα, κα ὶ Ποσειδῶα διαφθεῖραι τὴ χώρα κῆ το ἐπιπέμψατα δι' ἣ πρόκειται τ ῷ κήτει ἡ θυγάτηρ. οἰκείω δ ὲ ἐσχημάτισται ἐγγὺ ἐπ ὶ δίφρου καθημέη. Ἔχει δ' ἀστέρα ἐπ ὶ τῆ κεφαλῆ λαμπρὸ α ʹ, < ἐφ' ἑκατέρω τῶ ὤμω λαμπρὸ α ʹ, ἐπὶ το ῦ δεξιο ῦ στήθου λαμπρὸ α ʹ>, ἐπ ὶ το ῦ δεξιο ῦ ἀγκῶο <α ʹ, ἐπ ὶ τῆ δεξιᾶ χειρὸ> λαμπρὸ α ʹ, ἐπ ὶ τῆ < ἀριστερᾶ> χειρὸ <λαμπρὸ α ʹ, ἐπ' ὀμφαλο ῦ> α ʹ, [< ἐπ ὶ το ῦ> γόατο α ʹ, < ἐπ ὶ> ποδὸ ἄκρου α ʹ, < ἐπ ὶ το ῦ> στήθου α ʹ ἀμαυρό], ἐπ' ἀριστερο ῦ μηρο ῦ λαμπροὺ β ʹ, ἐπ ὶ γόατο αʹ λαμπρό, < ἐπ ὶ ποδὸ ἄκρου α ʹ>, ἐπ ὶ το ῦ πλιθίου α ʹ, < ἐπ ὶ τῆ> το ῦ δίφρου ο ὗ κάθηται ἑ κατέρα γωία α ʹ <τοὺ πάτα ιε ʹ>.

6 ΙΠΠΑΡΧΟΥ ΤΩΝ ΑΡΑΤΟΥ ΚΑΙ ΕΥΔΟΞΟΥ ΦΑΙΝΟΜΕΝΩΝ ΕΞΗΓΗΣΕΩΣ ΠΡΩΤΟΝ Ἵππαρχο Αἰσχρίωι χαίρει. Ἡδέω ἐπέγω δι ὰ τῆ ἐπιστολῆ τ ὸ ἐπίμοό σου τῆ πρὸ φιλομαθία οἰκειώσεω τά τε γὰρ φυσικ ὰ τῶ ἐπιζητηθέτω ὑπ ὸ σο ῦ κα ὶ τ ὰ περ ὶ τῶ παρὰ Ἀράτ ῳ λεγομέω ἐ ταῖ Συαατολαῖ ἱκαωτέρα ἐέφαιέ μοι φιλοτεχία, κα ὶ πολλ ῷ γε μᾶλλο, ὅσ ῳ πεπλεόακα ἐ ταῖ βιωτικαῖ ἀσχολίαι δι ὰ τὴ τῶ ἀξιολογωτάτω ἀδελφῶ ὠμὴ τελευτή. περ ὶ μὲ οὖ τῶ ἄλλω μετ ὰ ταῦτά σοι τὴ ἰδία κρίσι διασαφήσω περ ὶ δ ὲ τῶ ὑπὸ Ἀράτου λεγομέω ἐ τοῖ Φαιομέοι ῦ προτέθειμαί σοι γράψαι, πᾶ καθόλου τ ὸ καλῶ ἢ κακῶ λεγόμεο < ἐ> αὐτοῖ ὑποδεικύω. ἐξ ὧ ἔσται σοι φαερ ὰ πάτα κα ὶ τ ὰ παρ ὰ σοῦ διαπορηθέτα. Ἐξήγησι μὲ οὖ τῶ Ἀράτου Φαιομέω κα ὶ ἄ λλοι πλείοε συτετάχασι ἐπιμελέστατα δ ὲ δοκε ῖ πάτω Ἄτταλο ὁ καθ' ἡμᾶ μαθηματικὸ τὸ περ ὶ αὐτῶ πεποιῆ σθαι λόγο. ἀλλ ὰ τ ὸ μὲ ἐξηγήσασθαι τὴ ἐ τοῖ ποιήμασι διάοια ο ὐ μεγάλη ἐπιστροφῆ προσδεῖσθαι ομίζω ἁπλοῦ τε γὰρ κα ὶ σύτομό ἐστι ποιητή, ἔτι δ ὲ σαφὴ τοῖ κα ὶ μετρίω παρηκολουθηκόσι τ ὸ δ ὲ συεῖαι τ ὰ λεγόμεα περ ὶ τῶ οὐραίω ὑπ' αὐτο ῦ, τία τε συμφώω τοῖ φαιομέοι ἀαγέγραπται κα ὶ τία διημαρτημέω, τοῦτ' ὠφελιμώτατο ἡγήσαιτ' ἄ τι καὶ μαθηματικῆ ἴδιο ἐμπειρία. Θεωρῶ δ' οὖ < ἐ> τοῖ πλείστοι κα ὶ χρησιμωτάτοι διαφωοῦτα τὸ Ἄρατο πρὸ τὰ φαιόμεά τε κα ὶ γιόμεα κατ ὰ ἀλήθεια, τούτοι δ' ἅπασι σχεδὸ ο ὐ μόο τοὺ ἄλλου, ἀλλ ὰ καὶ τὸ Ἄτταλο συεπιγραφόμεο, ἔκρια τῆ σῆ ἕεκα φιλομαθία κα ὶ τῆ κοιῆ τῶ ἄ λλω ὠφελεία ἀαγράψαι τ ὰ δοκοῦτά μοι διημαρτῆσθαι. τοῦτο δ ὲ ποιῆσαι προεθέμη οὐκ ἐκ το ῦ τοὺ ἄλλου ἐλέγχει φατασία ἀπεέγκασθαι προαιρούμεο (κεὸ γὰρ κα ὶ μικρόψυχο πατελῶ τοὐατίο δ ὲ δεῖ οἴομαι πᾶσι ἡμᾶ εὐχαριστεῖ, ὅσοι τῆ κοιῆ ἕεκε ὠφελεία ἰδί ᾳ ποεῖ ἀαδεχόμεοι τυγχάουσι ) ἀλλ' ἕεκα το ῦ μήτε σ ὲ μήτε τοὺ λοιποὺ τῶ φιλομαθούτω ἀποπλαᾶσθαι τῆ περ ὶ τ ὰ φαιόμεα κατ ὰ τὸ κόσμο θεωρία. ὅπερ εὐλόγω πολλο ὶ πεπόθασι ἡ γὰρ τῶ ποιημάτω χάρι ἀξιοπιστία τι ὰ τοῖ λεγομέοι περιτίθησι, κα ὶ πάτε σχεδὸ ο ἱ τὸ ποιητὴ τοῦτο ἐξηγούμεοι προτίθεται τοῖ ὑπ' αὐτο ῦ λεγομέοι.

7 ARCHIMEDES DIMENSIO CIRCULI, 1-2 [1] Πᾶ κύκλο ἴσο ἐστ ὶ τριγώ ῳ ὀρθογωί ῳ, ο ὗ ἡ μὲ ἐκ το ῦ κέτρου ἴση μι ᾷ τῶ περ ὶ τὴ ὀρθή, ἡ δ ὲ περίμετρο τ ῇ βάσει. Ἐχέτω ὁ ΑΒΓΔ κύκλο τριγώ ῳ τ ῷ Ε, ὡ ὑπόκειται λέγω ὅτι ἴ σο ἐστί. Ε ἰ γὰρ δυατό, ἔστω μείζω ὁ κύκλο, κα ὶ ἐγγεγράφθω τ ὸ ΑΓ τετράγωο, κα ὶ τετμήσθωσα α ἱ περιφέρειαι δίχα, κα ὶ ἔστω τ ὰ τμήματα ἤδη ἐλάσσοα τῆ ὑπεροχῆ, ᾗ ὑπερέχει ὁ κύκλο τοῦ τριγώου τ ὸ εὐθύγραμμο ἄρα ἔτι το ῦ τριγώου ἐστ ὶ μεῖζο. Εἰλήφθω κέτρο τ ὸ Ν κα ὶ κάθετο ἡ ΝΞ ἐλάσσω ἄρα ἡ ΝΞ τῆ το ῦ τριγώου πλευρᾶ. Ἔστι δ ὲ κα ὶ ἡ περίμετρο το ῦ εὐ θυγράμμου τῆ λοιπῆ ἐλάττω, ἐπε ὶ κα ὶ τῆ το ῦ κύκλου περιμέτρου ἔλαττο ἄρα τ ὸ εὐθύγραμμο το ῦ Ε τριγώου ὅπερ ἄτοπο. Ἔστω δ ὲ ὁ κύκλο, ε ἰ δυατό, ἐλάσσω το ῦ Ε τριγώου, κα ὶ περιγεγράφθω τ ὸ τετράγωο, κα ὶ τετμήσθωσα α ἱ περιφέρειαι δίχα, κα ὶ ἤχθωσα ἐφαπτόμεαι δι ὰ τῶ σημείω ὀρθ ὴ ἄρα ἡ ὑπ ὸ ΟΑΡ. Ἡ ΟΡ ἄρα τῆ ΜΡ ἐστὶ μείζω ἡ γὰρ ΡΜ τ ῇ ΡΑ ἴση ἐστί κα ὶ τ ὸ ΡΟΠ τρίγωο ἄρα το ῦ ΟΖΑΜ σχήματο μεῖζό ἐστι ἢ τ ὸ ἥμισυ. Λελείφθωσα ο ἱ τ ῷ ΠΖΑ τομε ῖ ὅ μοιοι ἐλάσσου τῆ ὑπεροχῆ, ᾗ ὑπερέχει τ ὸ Ε το ῦ ΑΒΓΔ κύκλου ἔτι ἄρα τ ὸ περιγεγραμμέο εὐθύγραμμο το ῦ Ε ἐστὶ ἔλασσο ὅπερ ἄτοπο ἔστι γὰρ μεῖζο, ὅτι ἡ μὲ ΝΑ ἴση ἐστ ὶ τῇ καθέτ ῳ το ῦ τριγώου, ἡ δ ὲ περίμετρο μείζω ἐστ ὶ τῆ βάσεω το ῦ τριγώου. Ἴσο ἄρα ὁ κύκλο τ ῷ Ε τριγώ ῳ. [2] Ὁ κύκλο πρὸ τ ὸ ἀπ ὸ τῆ διαμέτρου τετράγωο λόγο ἔχει, ὃ <ια> πρὸ <ιδ>. Ἔστω κύκλο, ο ὗ διάμετρο ἡ ΑΒ, κα ὶ περιγεγράφθω τετράγωο τ ὸ ΓΗ, κα ὶ τῆ ΓΔ διπλ ῆ ἡ ΔΕ, ἕβδομο δ ὲ ἡ ΕΖ τῆ ΓΔ. Ἐπε ὶ οὖ τ ὸ ΑΓΕ πρὸ τ ὸ ΑΓΔ λόγο ἔχει, ὃ <κα> πρὸ <ζ>, πρὸ δ ὲ τὸ ΑΕΖ τ ὸ ΑΓΔ λόγο ἔχει, ὃ ἑπτ ὰ πρὸ ἕ, τ ὸ ΑΓΖ πρὸ τ ὸ ΑΓΔ ἐστί, ὡ <κβ> πρὸ <ζ>. Ἀλλ ὰ τοῦ ΑΓΔ τετραπλάσιό ἐστι τ ὸ ΓΗ τετράγωο, τ ὸ δ ὲ ΑΓΔΖ τρίγωο τ ῷ ΑΒ κύκλ ῳ ἴσο ἐστί [ ἐπε ὶ ἡ μὲ ΑΓ κάθετο ἴση ἐστ ὶ τ ῇ ἐκ το ῦ κέτρου, ἡ δ ὲ βάσι τῆ διαμέτρου τριπλασίω κα ὶ τ ῷ ζ ʹ ἔ γγιστα ὑπερέχουσα δειχθήσεται] ὁ κύκλο οὖ πρὸ τ ὸ ΓΗ τετράγωο λόγο ἔχει, ὃ <ια> πρὸ <ιδ>.

8 EUCLIDES ELEMENTA Σημεῖό ἐστι, ο ὗ μέρο οὐθέ. Γραμμ ὴ δ ὲ μῆκο ἀπλατέ. Γραμμῆ δ ὲ πέρατα σημεῖα. Εὐθεῖ α γραμμή ἐστι, ἥτι ἐξ ἴσου τοῖ ἐφ' ἑαυτῆ σημείοι κεῖται. Ἐπιφάεια δέ ἐστι, ὃ μῆκο κα ὶ πλάτο μόο ἔχει. Ἐπιφαεία δ ὲ πέρατα γραμμαί. Ἐπίπεδο ἐπιφάειά ἐστι, ἥτι ἐξ ἴσου ταῖ ἐφ' ἑαυτῆ εὐθείαι κεῖται. Ἐπίπεδο δ ὲ γωία ἐστὶ ἡ ἐ ἐπιπέδ ῳ δύο γραμμῶ ἁπτομέω ἀλλήλω κα ὶ μὴ ἐπ' εὐθεία κειμέω πρὸ ἀλλήλα τῶ γραμμῶ κλίσι. Ὅτα δ ὲ α ἱ περιέχουσαι τὴ γωία γραμμα ὶ εὐθεῖαι ὦσι, εὐθύγραμμο καλεῖται ἡ γωία. Ὅτα δ ὲ εὐθεῖα ἐπ' εὐθεῖα σταθεῖσα τὰ ἐφεξῆ γωία ἴσα ἀλλήλαι ποι ῇ, ὀρθ ὴ ἑκατέρα τῶ ἴσω γωιῶ ἐστι, κα ὶ ἡ ἐφεστηκυῖα εὐθεῖ α κάθετο καλεῖται, ἐφ' ἣ ἐφέστηκε. Ἀμβλεῖα γωία ἐστὶ ἡ μείζω ὀρθῆ. Ὀξεῖα δ ὲ ἡ ἐ λάσσω ὀρθῆ. Ὅρο ἐστί, ὅ τιό ἐστι πέρα. Σχῆμά ἐστι τ ὸ ὑπό τιο ἤ τιω ὅ ρω περιεχόμεο. Κύκλο ἐστ ὶ σχῆμα ἐπίπεδο ὑπ ὸ μιᾶ γραμμῆ περιεχόμεο [ ἣ καλεῖται περιφέρεια], πρὸ ἣ ἀφ' ἑὸ σημείου τῶ ἐτὸ το ῦ σχήματο κειμέω πᾶσαι α ἱ προσπίπτουσαι εὐθεῖαι [πρὸ τὴ το ῦ κύκλου περιφέρεια] ἴσαι ἀλλήλαι εἰσί. Κέτρο δ ὲ το ῦ κύκλου τ ὸ σημεῖο καλεῖται. Διάμετρο δ ὲ τοῦ κύκλου ἐστὶ εὐθεῖά τι δι ὰ το ῦ κέτρου ἠγμέη κα ὶ περατουμέη ἐφ' ἑκάτερα τ ὰ μέρη ὑπ ὸ τῆ τοῦ κύκλου περιφερεία, ἥτι κα ὶ δίχα τέμει τὸ κύκλο. Ἡμικύκλιο δέ ἐστι τ ὸ περιεχόμεο σχῆ μα ὑπό τε τῆ διαμέτρου κα ὶ τῆ ἀπολαμβαομέη ὑπ' αὐτῆ περιφερεία. κέτρο δ ὲ το ῦ ἡ μικυκλίου τ ὸ αὐτό, ὃ κα ὶ το ῦ κύκλου ἐστί. Σχήματα εὐθύγραμμά ἐστι τ ὰ ὑπ ὸ εὐθειῶ περιεχόμεα, τρίπλευρα μὲ τ ὰ ὑπ ὸ τριῶ, τετράπλευρα δ ὲ τ ὰ ὑπ ὸ τεσσάρω, πολύπλευρα δ ὲ τ ὰ ὑπ ὸ πλειόω ἢ τεσσάρω εὐθειῶ περιεχόμεα. Τῶ δ ὲ τριπλεύρω σχημάτω ἰσόπλευρο μὲ τρίγωό ἐστι τὸ τὰ τρεῖ ἴσα ἔχο πλευρά, ἰσοσκελὲ δ ὲ τ ὸ τὰ δύο μόα ἴσα ἔχο πλευρά, σκαληὸ δ ὲ τὸ τὰ τρεῖ ἀίσου ἔχο πλευρά. Ἔτι δ ὲ τῶ τριπλεύρω σχημάτω ὀρθογώιο μὲ τρίγωό ἐ στι τ ὸ ἔχο ὀρθὴ γωία, ἀμβλυγώιο δ ὲ τ ὸ ἔχο ἀμβλεῖα γωία, ὀξυγώιο δ ὲ τ ὸ τὰ τρεῖ ὀ ξεία ἔχο γωία. Τῶ δ ὲ τετραπλεύρω σχημάτω τετράγωο μέ ἐστι, ὃ ἰσόπλευρό τέ ἐστι καὶ ὀρθογώιο, ἑτερόμηκε δέ, ὃ ὀρθογώιο μέ, οὐκ ἰσόπλευρο δέ, ῥόμβο δέ, ὃ ἰ σόπλευρο μέ, οὐκ ὀρθογώιο δέ, ῥομβοειδὲ δ ὲ τ ὸ τὰ ἀπεατίο πλευρά τε κα ὶ γωία ἴσα ἀλλήλαι ἔχο, ὃ οὔτε ἰσόπλευρό ἐστι οὔτε ὀρθογώιο τ ὰ δ ὲ παρ ὰ ταῦ τα τετράπλευρα τραπέζια καλείσθω. Παράλληλοί εἰσι εὐθεῖαι, αἵτιε ἐ τ ῷ αὐτ ῷ ἐπιπέδ ῳ οὖσαι κα ὶ ἐκβαλλόμεαι εἰ ἄπειρο ἐ φ' ἑκάτερα τ ὰ μέρη ἐπ ὶ μηδέτερα συμπίπτουσι ἀλλήλαι. Ἠιτήσθω ἀπ ὸ πατὸ σημείου ἐπ ὶ πᾶ σημεῖο εὐθεῖα γραμμὴ ἀγαγεῖ.

9 IEROFILOU FILOSOFOU PWS OFEILEI DIATASQAI ANQRWPOS EF EKASTWI MHNI MENI IANOUARIWI. Ἰαουάριο φλέγμα γλυκ ὺ <κυριεύει>. ἁρμόζει οἴου καλο ῦ εὐ ωδεστάτου λαμβάει ῥοφήματα τρία μικρά, ἀλλ ὰ μ ὴ ἀτάκτω ἐπιηστεύει δ ὲ ἕω ὥρα γ ʹ κα ὶ εἶθ' οὕ τω τρέφεσθαι ἐκ μὲ τῶ κρεῶ πρόβεα χλία κα ὶ ὀπτά, χοίρεα δ ὲ ὀπτ ὰ μικρ ὰ κα ὶ ζωμοὺ καρυκευτοὺ δι ὰ πεπέρεω, στάχου κα ὶ κιαμώμου, ἀρτύματα δι ὰ καραβάδου ἀατολῆ κα ὶ πεπέρεω κα ὶ τῶ ἀρωμάτω. ἐ δ ὲ τ ῇ ὀπτήσει τῶ χοιρέω κρεῶ ἀλειφέσθωσα οἰομέλιτι. τ ὰ δ ὲ τῶ οἰῶ ποδοκέφαλα πηκτ ὰ κα ὶ ὀξυστ ὰ ἐσθιέτω. ἐκ δ ὲ τῶ ὀρέω ὄριθα κα ὶ περιστερόπουλα, λευκ ὰ δὲ κα ὶ βρακάτα, ταῦτα γάρ εἰσι τ ὰ κρείττοα, χλία δ ὲ κα ὶ ὀπτά, ἐ δ ὲ ζωμοῖ καρυκευτά. κα ὶ ὄ ρτυγα κα ὶ τρωγλίτα. τούτω μὲ τῶ ἀγρίω γιομέω ψαχ ὰ χλία δίεφθα. ἐκ δ ὲ τῶ ἰχθύω σαργοὺ τηγάου, χρυσάφια δ ὲ κα ὶ προλεχθέτα ἐσθίει δι ὰ τῶ ἀρωμάτω καρυκευτά. ἐκ δ ὲ τῶ λαχάω κράμβα κα ὶ γογκύλια, δαυκὶ κα ὶ πράσα κα ὶ ἀσπαράγκου ἀγρίου κα ὶ ἐλαιοσπάραγκα καὶ χαμαιδάφια κα ὶ βρυώια ἐσθίει <μετ'> ἐλαιογάρου τ ὸ δ ὲ ζέμα αὐτῶ πίει καρυκευτό. τὴ δὲ κράμβη ἕψει μετ' ἐλαιογάρου. πᾶσι δ ὲ τοῖ < ἀθρώποι> σκόροδα φαγεῖ ἑφθ ὰ ὁλέλαια τ ὸ ζέμα αὐτῶ πίει δι ὰ στάχου κα ὶ μέλιτο τοῖ δ ὲ εὐρώστοι κα ὶ ξηρόζεμα πίει δι ὰ πεπέρεω καὶ στάχου κα ὶ κιαμώμου κα ὶ καρεοφύλλω κα ὶ στύρακο καλο ῦ ὀλίγου κα ὶ μέλιτο το ῦ ἀρκοῦ το. ἐκ δ ὲ τῶ κοδιμέτω εὔζωμο, πράσο, σέλιο κα ὶ λεπτὰ ῥεφαίδα ἐσθίει κα ὶ πήγαο καὶ ἡδύοσμο κα ὶ λιβυστικό. τ ὰ δ ὲ ἐμβάμματα ἔστωσα σίηπι, ἀλόη, κύμιο κα ὶ οἰόγαρο. ἐκ δὲ τῶ ὀσπρέω λαθύρια, αὖχο ἀλετά ἡ δ ὲ ἄρτυσι αὐτῶ δι' ἐλαίου κα ὶ κυμίου τριπτο ῦ. ἐκ δὲ τῶ ὀπωρῶ σταφίδα, ἀμύγδαλα, πιστάκια κα ὶ κουκοάρια. τοῖ δ ὲ εὐρώστοι κα ὶ κυδωάτα λαμβάει κα ὶ ὀλίγο κίτρο κα ὶ ῥοΐδι κα ὶ ἀπίδι κα ὶ φοίικα κα ὶ πρωτόγαλα μετ ὰ μέλιτο καὶ στάχου κα ὶ κιαμώμου λειωθέτο κα ὶ χυλο ῦ σεμιδάλεω. ἐ δ ὲ τοῖ λοετροῖ δι' ὅλου το ῦ μηὸ δʹ σμηχόμεο ίτρ ῳ ὀπτ ῷ ἐ οἴ ῳ λυθέτι χρίσμα δ ὲ ποιεῖ ἐ σκευασμέο τουτέστι ψίλωθρο βάλλει δ ὲ κα ὶ ἀλόη σταθμὸ λίτρα γ ʹ κα ὶ σμύρη λίτρα α ʹ κα ὶ κρόκου ᾠῶ β ʹ ταῦ τα πάτα ἑώσα ἐ τ ῷ χρίσματι σμήχου. ταῦτα δ ὲ ἡ σκευ ὴ ἑό. ἁρμόζει δ ὲ πρὶ χρίσασθαι ἢ εἰσέλθῃ εἰ λοετρὸ κα ὶ περιχύσασθαι σίτλα γ ʹ πρὶ ἱδρῶσαι κα ὶ ἐξελθεῖ εἰ τ ὸ ἔξωθε κα ὶ ἀ ποσπογκίσασθαι καλῶ μετ ὰ το ῦ χρίσματο. μετ ὰ δ ὲ τ ὸ ἀποπλύεσθαι το ῦ χρίσματο ἀποτρίβεσθαι δι' οἴ ου ψυκτηρίου κα ὶ κρόκω ᾠῶ σὺ ῥοδελαί ῳ ἀαμεμιγμέω θερμ ῷ κα ὶ ἀφροδισιάζει. MHNI SEPTEBRIWI. Ὁ Σεπτέβριο χολὴ μέλαια κυριεύει. ἁ ρμόζει δριμυφαγίαι πάσαι χρᾶσθαι, πρ ὸ πάτω δ ὲ πράσα ἐσθίει ἑφθ ὰ κα ὶ ὠμ ὰ κα ὶ τ ὸ ζέμα πίει κα ὶ σκόροδα ἑφθ ὰ καὶ

10 ὠμ ὰ κα ὶ καρυκευτ ὰ μετ ὰ ἀρωμάτω. ἐκ δ ὲ τῶ κρεῶ πρόβεα κα ὶ ὄριθα, περιστερόπουλα δ ὲ καὶ χῆα κα ὶ ὄρτυγα κα ὶ ὀρτυγομήτρα κα ὶ τῶ οἰῶ τ ὰ γαλούρια, ήσσα δ ὲ κα ὶ φάσσα καὶ τρυγόα κα ὶ πέρδικα, βόεια δ ὲ κα ὶ ἐλάφου κα ὶ δορκάδα κα ὶ πλάτοα κα ὶ λαγωοὺ κα ὶ συάγρου ἀπέχει δε ῖ. ἐκ δ ὲ τῶ ἰχθύω κεφάλου κα ὶ κίχλα κα ὶ πάτα τ ὰ ἀλέπιδα ἐσθίει ὅσα δ ὲ παστὰ ἀπέχεσθαι τ ὰ δ' ἄλλα ἐσθίει. ἐκ δ ὲ τῶ ὀσπρέω κύαμο κα ὶ φακῆ κα ὶ λάθυρο ἀπέχεσθαι, τὰ δ ὲ λοιπ ὰ ἐσθίει. ἀσπαράγκου δ ὲ πάτα κα ὶ ἀμαίτα λευκοὺ ἐσθίει. ἐκ δ ὲ τῶ ὀπωρῶ σταφυλὰ λευκὰ κα ὶ ἀπίου τοὺ ἀγρίου τοὺ ἀκμάσατα κα ὶ μῆλο γλυκ ὺ κα ὶ σῦ κα λευκά, ῥοδάκια κα ὶ περσικ ὰ κα ὶ μηλοροδάκια, ῥοιὰ κα ὶ φοίικα κα ὶ μηλοκύδωα πάτα ἐσθίει. ἐκ δὲ τῶ ξηρῶ πιστάκια κα ὶ κάρυα τ ὰ βασιλικ ὰ ἀμύγδαλά τε κα ὶ κοκοάρια. οἴου δ ὲ λευκοὺ καὶ ἐλαιοχρόου πίει κα ὶ ἀψιθοροσάτου. λουτρ ὰ δ ὲ η ʹ κα ὶ σμήχεθαι. κα ὶ ἀφροδισιάζει. Fuentes: Aristarchus of Samos, the ancient Copernicus, T. HEATH, ed., Oxford, Clarendon Press, 1913, rep Commentariorum in Aratum reliquiae, E. MAASS, ed. Berlín, Weidmann, 1898, rep Pseudo-Eratosthenis catasterismi en Mythographi Graeci 3, A. OLIVIERI, ed, Leipzig, Teubner, Hipparchi in Arati et Eudoxi phaenomena commentariorum libri III, C. MANITIUS, ed. Leipzig, Teubner, Archimède,1, C. MUGLER, ed, París, Les Belles Lettres, Euclidis elementa, vols. 1 4, 2nd edn., E. S. STAMATIS, ed. (post J. L. HEIBERG), Leipzig, Teubner, 1:1969; 2:1970; 3:1972;4:1973. Anecdota Atheniensia et alia, vol. 2, A. DELATTE, ed., París, Droz, 1939.

11.1 11.3. Ορισµός ιδιότητες εγγραφή καν. πολυγώνων σε κύκλο

11.1 11.3. Ορισµός ιδιότητες εγγραφή καν. πολυγώνων σε κύκλο 1 11.1 11. ρισµός ιδιότητες εγγραφή κα. πολυγώω σε κύκλο ΘΩΡΙ 1. Έα πολύγωο λέγεται καοικό, ότα έχει όλες τις πλευρές του ίσες και όλες τις γωίες του ίσες.. ύο καοικά πολύγωα µε το ίδιο αριθµό πλευρώ είαι

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9 Ο κύκλος Ορισμός. Ο κύκλος (Κ, r) με κέντρο Κ και ακτίνα r είναι το σχήμα που αποτελείται από όλα τα σημεία του επιπέδου που απέχουν απόσταση r από το σημείο Κ. Σχήμα 9.1: Στοιχεία ενός κύκλου.

Διαβάστε περισσότερα

FAX : 210.34.42.241 spudonpe@ypepth.gr) Φ. 12 / 600 / 55875 /Γ1

FAX : 210.34.42.241 spudonpe@ypepth.gr) Φ. 12 / 600 / 55875 /Γ1 Ε Λ Λ Η Ν Ι Κ Η Η Μ Ο Κ Ρ Α Τ Ι Α Υ ΠΟΥ ΡΓΕΙΟ ΕΘΝ. ΠΑ Ι ΕΙΑ Σ & ΘΡΗΣ Κ/Τ Ω ΕΝΙΑ ΙΟΣ ΙΟΙΚΗΤ ΙΚΟΣ Τ ΟΜ ΕΑ Σ Σ ΠΟΥ Ω Ν ΕΠΙΜ ΟΡΦΩ Σ ΗΣ ΚΑ Ι ΚΑ ΙΝΟΤ ΟΜ ΙΩ Ν /ΝΣ Η Σ ΠΟΥ Ω Τ µ ή µ α Α Α. Πα π α δ ρ έ ο υ 37

Διαβάστε περισσότερα

ΠPOΛEΓOMENA. Thank you. ;) Nov. 15. 2004. Myungsunn Ryu.

ΠPOΛEΓOMENA. Thank you. ;) Nov. 15. 2004. Myungsunn Ryu. ΣTOIXEIA EΥKΛEIOΥ ΠPOΛEOMENA This document is compiled from Greek texts borrowed from Perseus Digital Library 1 and drawings that I created with a geometrical drawing language named, fittingly to the

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Επααληπτικό Διαγώισμα Μαθηματικώ Γεικής Παιδείας Γ Λυκείου Θέμα A Α.α) Τι οομάζουμε συάρτηση και τι οομάζουμε πραγματική συάρτηση πραγματικής μεταβλητής; β) Τι λέγεται τιμή μιας συάρτησης f στο χ ; γ)

Διαβάστε περισσότερα

2ηέκδοση 20Ιανουαρίου2015

2ηέκδοση 20Ιανουαρίου2015 ηέκδοση 0Ιανουαρίου015 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ Μ.Ε. ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΜΑΘΗΣΗ (β-πακέτο ασκήσεων) 1 89 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και Δ εσωτερικό σημείο του ΒΓ. Φέρουμε από το Δ παράλληλες στις πλευρές ΑΒ και ΑΓ. Η παράλληλη στην

Διαβάστε περισσότερα

ΙΣΟΣΚΕΛΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟ ΜΕΣΟΚΑΘΕΤΟΣ - ΔΙΧΟΤΟΜΟΣ. 2ο ΘΕΜΑ

ΙΣΟΣΚΕΛΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟ ΜΕΣΟΚΑΘΕΤΟΣ - ΔΙΧΟΤΟΜΟΣ. 2ο ΘΕΜΑ ΙΣΟΣΚΕΛΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟ ΜΕΣΟΚΑΘΕΤΟΣ - ΔΙΧΟΤΟΜΟΣ 5029 Έστω κυρτό τετράπλευρο ΑΒΓΔ με και α) β) Το τρίγωνο ΑΔΓ είναι ισοσκελές μ 10 γ) Η ευθεία ΒΔ είναι μεσοκάθετος του τμήματος ΑΓ μ 7 5619 Δίνεται γωνία χαy και

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ο ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ο ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΟΥ ΘΑΛΗ Βασικά θεωρήματα Αν τρεις τουλάχιστον παράλληλες ευθείες τέμνουν δύο άλλες ευθείες, ορίζουν σε αυτές τμήματα ανάλογα. (αντίστροφο Θεωρήματος Θαλή) Θεωρούμε δύο ευθείες δ και

Διαβάστε περισσότερα

Το τµήµα που ενώνει τα µέσα δύο πλευρών τριγώνου, είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και ίσο µε το µισό της.

Το τµήµα που ενώνει τα µέσα δύο πλευρών τριγώνου, είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και ίσο µε το µισό της. 5.3 Εφαρµογές των παραλληλογράµµων 155 5.3 Εφαρµογές των παραλληλογράµµων Α Εφαρµογές στα τρίγωνα Α1 Θεώρηµα 1 Το τµήµα που ενώνει τα µέσα δύο πλευρών τριγώνου, είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Αμυραδάκη 20, Νίκαια (210-4903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2013 ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ...

ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Αμυραδάκη 20, Νίκαια (210-4903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2013 ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ... Αμυραδάκη 0, Νίκαια (10-4903576) ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΘΕΜΑ 1 ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 013 Α. Να αποδείξετε ότι σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο του ύψους που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα του ισούται με το γινόμενο

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ν περνά από σταθερό σημείο. ν περνά από το σταθερό μέσο του επίσης σταθερού ΚΛ. Το διανυσματικό άθροισμα f Μ γράφεται:

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ν περνά από σταθερό σημείο. ν περνά από το σταθερό μέσο του επίσης σταθερού ΚΛ. Το διανυσματικό άθροισμα f Μ γράφεται: Το διανυσματικό άθροισμα f Μ γράφεται: f Μ = x ΜΑ+ x ΜΑ+ΑΒ + x ΜΑ+ΑΓ = ΜΑ + ΜΑ + ΜΑ + ΑΒ + ΑΓ ( x) ( x) ( x ) ( x) ( x ) = ( x + x + x ) ΜΑ + ( x) ΑΒ + ( x ) ΑΓ = ( x 4x+ ) ΜΑ+ ( x) ΑΒ+ ( x ) Α Γ f Μ είναι

Διαβάστε περισσότερα

Δηθνλνγξαθεκέλν Λεμηθό Σν Πξώην κνπ Λεμηθό

Δηθνλνγξαθεκέλν Λεμηθό Σν Πξώην κνπ Λεμηθό ΤΠΟΤΡΓΔΙΟ ΠΑΙΓΔΙΑ ΚΑΙ ΘΡΗΚΔΤΜΑΣΧΝ, ΠΟΛΙΣΙΜΟΤ ΚΑΙ ΑΘΛΗΣΙΜΟΤ Ι.Σ.Τ.Δ. «ΓΙΟΦΑΝΣΟ» Αή Δί Ηίο Γήο Μί Μά Ιί Αύ Δέ Λό Σ Πώ Λό Α, Β, Γ Γύ Σόο 1ο (Α, Β,) Δέ Λό Α, Β, Γ Γύ Σ Πώ Λό Σόο 1ο (Α, Β,) ΤΓΓΡΑΦΔΙ Αή Δί,

Διαβάστε περισσότερα

Δυνάμεις πραγματικών αριθμών

Δυνάμεις πραγματικών αριθμών Κεφάλαιο 1 ο 45 Β. Δυάμεις πραγματικώ αριθμώ Α έχουμε έα γιόμεο της μορφής (-) (-) (-) (-) όπου κάθε παράγοτας είαι (δηλαδή ο ίδιος ο αριθμός) μπορούμε α το συμβολίσουμε με μια πιο απλή μορφή : (-) 4.

Διαβάστε περισσότερα

Γεωµετρία Α Γυµνασίου. Ορισµοί Ιδιότητες Εξηγήσεις

Γεωµετρία Α Γυµνασίου. Ορισµοί Ιδιότητες Εξηγήσεις Γεωµετρία Α Γυµνασίου Ορισµοί Ιδιότητες Εξηγήσεις Ευθεία γραµµή Ορισµός δεν υπάρχει. Η απλούστερη από όλες τις γραµµές. Κατασκευάζεται µε τον χάρακα (κανόνα) πάνω σε επίπεδο. 1. ύο σηµεία ορίζουν την θέση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ. Να σηµειώσετε το σωστό (Σ) ή το λάθος (Λ) στους παρακάτω ισχυρισµούς:. Αν ΑΒ + ΒΓ = ΑΓ, τότε τα σηµεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά.. Αν α = β, τότε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α. Γεωμετρικές κατασκευές. 1. Μεσοκάθετος ευθυγράμμου τμήματος. 2. ιχοτόμος γωνίας. 3. ιχοτόμος γωνίας με άγνωστη κορυφή. 4.

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α. Γεωμετρικές κατασκευές. 1. Μεσοκάθετος ευθυγράμμου τμήματος. 2. ιχοτόμος γωνίας. 3. ιχοτόμος γωνίας με άγνωστη κορυφή. 4. ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α Γεωμετρικές κατασκευές Σκοπός των σημειώσεων αυτών είναι να υπενθυμίζουν γεωμετρικές κατασκευές, που θα φανούν ιδιαίτερα χρήσιμες στο μάθημα της παραστατικής γεωμετρίας, της προοπτικής, αξονομετρίας

Διαβάστε περισσότερα

στους μιγαδικούς αριθμούς

στους μιγαδικούς αριθμούς Πράξεις στους μιγαδικούς αριθμούς Πρόσθεση μιγαδικώ αριθμώ Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία α) ) Πώς γίεται η πρόσθεση δύο μιγαδικώ αριθμώ; ) Ποια είαι η γεωμετρική ερμηεία του αθροίσματος δύο μιγαδικώ;

Διαβάστε περισσότερα

Γυμνάσιο Μαθηματικά Τάξη B

Γυμνάσιο Μαθηματικά Τάξη B 113 Θέματα εξετάσεω περιόδου Μαΐου-Ιουίου στα Μαθηματικά Τάξη B! 114 a. Να διατυπώσετε το ορισμό της δύαμης α με βάση το ρητό α και εκθέτη το φυσικό αριθμό > 1. b. Να συμπληρωθού οι παρακάτω τύποι, δυάμεις

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 4 Ο ΑΒ 3 ΕΓ Α ΑΒ,

ΘΕΜΑ 4 Ο ΑΒ 3 ΕΓ Α ΑΒ, ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 Ο - ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΘΕΜΑ Ο Άσκηση (_8975) Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ ΑΒ=9 και ΑΓ=5. Από το βαρύκεντρο Θ του τριγώνου, φέρουμε ευθεία ε παράλληλη στην πλευρά ΒΓ, που τέμνει τις ΑΒ και ΑΓ

Διαβάστε περισσότερα

Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 108 Θέματα - 24/1/2015

Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 108 Θέματα - 24/1/2015 Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσανατολισμού Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 08 Θέματα - 4//05 Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσανατολισμού Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσαν. Κεφάλαιο

Διαβάστε περισσότερα

1 Εγγεγραµµένα σχήµατα

1 Εγγεγραµµένα σχήµατα Εγγεγραµµένα σχήµατα Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Σκοπός του µαθήµατος είναι να δώσει στους µαθητές συνοπτικά τις απαραίτητες γνώσεις από τη διδακτέα ύλη της Α λυκείου που δεν διδάχθηκε ή διδάχθηκε περιληπτικά.

Διαβάστε περισσότερα

. Ασκήσεις για εξάσκηση

. Ασκήσεις για εξάσκηση . Ασκήσεις για εξάσκηση Βασικές ασκήσεις Εφαρµογές 1.76 ίνεται ένα τρίγωνο ΑΒΓ µε AB= 8 και AΓ= 1. Ένας κύκλος διέρχεται από τα σηµεία Β και Γ και τέµνει τις πλευρές ΑΒ και ΑΓ στα σηµεία και Ε αντίστοιχα.

Διαβάστε περισσότερα

3.6 ΕΜΒΑ ΟΝ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΤΟΜΕΑ

3.6 ΕΜΒΑ ΟΝ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΤΟΜΕΑ 1 3.6 ΕΜΝ ΚΥΚΛΙΚΥ ΤΜΕ ΘΕΩΡΙ 1. Εµβαδόν κυκλικού τοµέα γωνίας µ ο : Ε = πρ. µ, όπου ρ η ακτίνα του κύκλου και π ο γνωστός αριθµός. Εµβαδόν κυκλικού τοµέα γωνίας α rad: Ε = 1 αρ, όπου ρ η ακτίνα του κύκλου

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ και τα μέσα Δ, Ε των ΑΒ, ΑΓ αντίστοιχα.θα αποδείξουμε ότι:

Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ και τα μέσα Δ, Ε των ΑΒ, ΑΓ αντίστοιχα.θα αποδείξουμε ότι: 7o Γενικό Λύκειο Αθηνών Σχολικό Έτος 04-5 Τάξη: A' Λυκείου Αθήνα -6-05 ΘΕΜΑΤΑ ΓΡΑΠΤΩΝ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Θέμα ο Α. Να αποδείξετε ότι: Το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει

Διαβάστε περισσότερα

Η ιστορία του αριθμού «π»

Η ιστορία του αριθμού «π» Η ιστορία του αριθμού «π» Η ι σ τ ο ρ ί α α υ τ ή έ χ ε ι α π ό ό λ α!!! Α ν α φ έ ρ ε τ α ι σ τ ο ν π ι ο δ ι ά σ η μ ο α ρ ι θ μ ό.. Τ ο ν α ρ ι θ μ ό π. Ν α ι, α υ τ ο ύ τ ο υ π ε ρ ί ε ρ γ ο υ α ρ

Διαβάστε περισσότερα

ΓΑΛΗΝΟΥ ΤΕΧΝΗ ΙΑΤΡΙΚΗ

ΓΑΛΗΝΟΥ ΤΕΧΝΗ ΙΑΤΡΙΚΗ ΓΑΛΗΝΟΥ ΤΕΧΝΗ ΙΑΤΡΙΚΗ Τρεῖ εἰσὶ α ἱ πᾶσαι διδασκαλίαι τάξεω ἐχόμεαι. πρώτη μὲ, ἡ ἐκ τῆ το ῦ τέλου ἐ οία κατ' ἀάλυσι γιομέη. δευτέρα δ ὲ, ἡ ἐκ συθέσεω τῶ κατ ὰ τὴ ἀάλυσι εὑρεθέτω. τρίτη δ ὲ, ἡ ἐ ξ ὅρου

Διαβάστε περισσότερα

Λ υ μ ε ν ε ς Α σ κ η σ ε ι ς ( Π α ρ α λ λ η λ o γ ρ α μ μ α ) 1

Λ υ μ ε ν ε ς Α σ κ η σ ε ι ς ( Π α ρ α λ λ η λ o γ ρ α μ μ α ) 1 υ μ ε ν ε ς σ κ η σ ε ι ς ( Π α ρ α λ λ η λ o γ ρ α μ μ α ) 1 Προεκτεινουµε τις πλευρες και παραλληλογραμμου κατα τμηματα = και = αντιστοιχως. Να αποδειξετε οτι τα σημεια, και ειναι συνευθειακα. = παραλληλογραμμο

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Κεφάλαιο ο : Κωνικές Τομές Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ. Ο ΚΥΚΛΟΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ένας κύκλος ορίζεται αν

Διαβάστε περισσότερα

If you want to learn Greek solely for reading Euclid s Elements, I recommend you to visit the Dr. Elizabeth R. Tuttle s web site, Reading Euclid 4.

If you want to learn Greek solely for reading Euclid s Elements, I recommend you to visit the Dr. Elizabeth R. Tuttle s web site, Reading Euclid 4. ΣTOIXEIA EΥKΛEIOΥ Note This book is compiled to provide a printer-friendly e-book for you who want to read Euclid s Elements in the original Greek language. The Greek text is borrowed from Perseus Digital

Διαβάστε περισσότερα

Οδηγίες για το SKETCHPAD Μωυσιάδης Πολυχρόνης - Δόρτσιος Κώστας. Με την εκτέλεση του Sketchpad παίρνουμε το παρακάτω παράθυρο σχεδίασης:

Οδηγίες για το SKETCHPAD Μωυσιάδης Πολυχρόνης - Δόρτσιος Κώστας. Με την εκτέλεση του Sketchpad παίρνουμε το παρακάτω παράθυρο σχεδίασης: Οδηγίες για το SKETCHPAD Μωυσιάδης Πολυχρόνης - Δόρτσιος Κώστας Με την εκτέλεση του Sketchpad παίρνουμε το παρακάτω παράθυρο σχεδίασης: παρόμοιο με του Cabri με αρκετές όμως διαφορές στην αρχιτεκτονική

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ η Κατηγορία : Ο Κύκλος και τα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΤΕΤΑΡΤΗ 0 ΜΑΪΟΥ 015 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΤΑΓΕΙΣΑ ΥΠΟ ΓΕΩΡΓΙΟΥ ΜΟΝΑΧΟΥ ΣΥΓΚΕΛΛΟΥ ΓΕΓΟΝΟΤΟΣ ΤΑΡΑΣΙΟΥ ΠΑΤΡΙΑΡΧΟΥ ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΥΠΟΛΕΩΣ ΑΠΟ ΑΔΑΜ ΜΕΧΡΙ ΔΙΟΚΛΗΤΙΑΝΟΥ

ΣΥΝΤΑΓΕΙΣΑ ΥΠΟ ΓΕΩΡΓΙΟΥ ΜΟΝΑΧΟΥ ΣΥΓΚΕΛΛΟΥ ΓΕΓΟΝΟΤΟΣ ΤΑΡΑΣΙΟΥ ΠΑΤΡΙΑΡΧΟΥ ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΥΠΟΛΕΩΣ ΑΠΟ ΑΔΑΜ ΜΕΧΡΙ ΔΙΟΚΛΗΤΙΑΝΟΥ ΣΥΝΤΑΓΕΙΣΑ ΥΠΟ ΓΕΩΡΓΙΟΥ ΜΟΝΑΧΟΥ ΣΥΓΚΕΛΛΟΥ ΓΕΓΟΝΟΤΟΣ ΤΑΡΑΣΙΟΥ ΠΑΤΡΙΑΡΧΟΥ ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΥΠΟΛΕΩΣ ΑΠΟ ΑΔΑΜ ΜΕΧΡΙ ΔΙΟΚΛΗΤΙΑΝΟΥ Ἐ ἀρχ ῇ ἐποίησε ὁ θεὸ τὸ οὐραὸ κα ὶ τὴ γῆ. ἀρχ ὴ πάση χροικῆ κιήσεω τῆ ὑπὸ χρόο ὁρατῆ

Διαβάστε περισσότερα

5.6 5.9. 1. Θεώρηµα, Ε µέσα των ΑΒ, ΑΓ Ε = //

5.6 5.9. 1. Θεώρηµα, Ε µέσα των ΑΒ, ΑΓ Ε = // 1 5.6 5.9 ΘΩΡΙ 1., µέσα των, = //. µέσο της και // µέσο της 3. = και ////Ζ = Ζ Ζ. Ο γ. τόπος της µεσοπαράλληλης Έστω ε η µεσοπαράλληλη των ε 1, ε. Τότε ισχύουν : i) άθε σηµείο της ε ισαπέχει από τις ε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1. α. Τι γνωρίζετε για την Ευκλείδεια διαίρεση; Πότε λέγεται τέλεια; β. Αν σε μια διαίρεση είναι Δ=δ, πόσο είναι το πηλίκο και

Διαβάστε περισσότερα

6. Εγγεγραμμένα Σχήματα. Αθανασίου Δημήτρης (Μαθηματικός) asepfreedom@yahoo.gr

6. Εγγεγραμμένα Σχήματα. Αθανασίου Δημήτρης (Μαθηματικός) asepfreedom@yahoo.gr 6. Εγγεγραμμένα Σχήματα Αθανασίου Δημήτρης (Μαθηματικός) asepfreedom@yahoo.gr 1 Επίκεντρη γωνία Μια γωνία λέγεται επίκεντρη γωνία ενός κύκλου αν η κορυφή της είναι το κέντρο του κύκλου. Το τόξο ΑΓΒ που

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρι α Γραφημα των 8η Δια λεξη

Θεωρι α Γραφημα των 8η Δια λεξη Θεωρι α Γραφημα των 8η Δια λεξη Α. Συμβω νης Ε Μ Π Σ Ε Μ Φ Ε Τ Μ Φεβρουα ριος 2015 Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των 8η Δια λεξη Φεβρουα ριος 2015 168 / 182 Χρωματισμοι Γραφημα των Χρωματισμο ς Κορυφω

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.3 ΕΓΓΡΑΦΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΣΕ ΚΥΚΛΟ ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.3 ΕΓΓΡΑΦΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΣΕ ΚΥΚΛΟ ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 113 ΕΓΓΡΑΦΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΣΕ ΚΥΚΛΟ ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥΣ ΘΕΩΡΙΑ Θα ασχοληθούμε με την εγγραφή μερικών βασικών κανονικών πολυγώνων σε κύκλο και θα υπολογίσουμε

Διαβάστε περισσότερα

Ευκλείδης Β' Γυμνασίου 1995-1996. 1. Να λύσετε την εξίσωση: 1 {3 [5 7 x : 9] 7} 5=26

Ευκλείδης Β' Γυμνασίου 1995-1996. 1. Να λύσετε την εξίσωση: 1 {3 [5 7 x : 9] 7} 5=26 Ευκλείδης Β' Γυμνασίου 1995-1996 1. Να λύσετε την εξίσωση: 1 {3 [5 7 x : 9] 7} 5=26 2. Σ' ένα ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ παίρνουμε τις διαμέσους ΑΔ, ΒΕ και ΓΖ (που διέρχονται από το ίδιο σημείο Θ). Πόσες γωνίες,

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 2 Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με ΑΒ=2ΒΓ. Προεκτείνουμε την πλευρά ΑΔ (προς το μέρος του Δ) κατά τμήμα ΔΕ=ΑΔ και φέρουμε την ΒΕ που τέμνει τη ΔΓ

ΘΕΜΑ 2 Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με ΑΒ=2ΒΓ. Προεκτείνουμε την πλευρά ΑΔ (προς το μέρος του Δ) κατά τμήμα ΔΕ=ΑΔ και φέρουμε την ΒΕ που τέμνει τη ΔΓ Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με ΑΒ=2ΒΓ. Προεκτείνουμε την πλευρά ΑΔ (προς το μέρος του Δ) κατά τμήμα ΔΕ=ΑΔ και φέρουμε την ΒΕ που τέμνει τη ΔΓ στο σημείο Η. Να αποδείξετε ότι: α) το τρίγωνο ΒΑΕ είναι ισοσκελές.

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρι α Γραφημα των 9η Δια λεξη

Θεωρι α Γραφημα των 9η Δια λεξη Θεωρι α Γραφημα των 9η Δια λεξη Α. Συμβω νης Ε Μ Π Σ Ε Μ Φ Ε Τ Μ Φεβρουα ριος 2015 Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των 9η Δια λεξη Φεβρουα ριος 2015 183 / 198 Ταιρια σματα (Matchings) Ταίριασμα: Ένα

Διαβάστε περισσότερα

α : 210-6465727 E-mail : support@gcsl.gr

α : 210-6465727 E-mail : support@gcsl.gr Α Α Α Α Α: 65Χ Η-Λ Φ Η Η Η Α Α Α Α : 5PROC002922680 Η Α Α Α Η Αθή α, 6-7-205 Η Η Α ιθ..: 30/002/000/4368 Η Α Έ ισ α ά ς: 30/002/000/4034/26-6-205 Η Α, Η Η Α Η (A Α : Η- ) & Η Η Α Η Α A α. / σ : Α. σό α

Διαβάστε περισσότερα

Θ+!& ;/7!127# 7 % :!+9. + %#56 /+.!/;65+! 3# 76. +!+ % 2&/ :2!,Γ 0 :9#+ #2:.2 #+Ι 7#+.&/ #2:.2 / /&7 + < & /!! Ω 6. Α./& /&7 + 622#. 6!

Θ+!& ;/7!127# 7 % :!+9. + %#56 /+.!/;65+! 3# 76. +!+ % 2&/ :2!,Γ 0 :9#+ #2:.2 #+Ι 7#+.&/ #2:.2 / /&7 + < & /!! Ω 6. Α./& /&7 + 622#. 6! ! # %!! #!#%& ()! +,.! + /!#012!!# )3 # #4 +!#567 8%+#%/!,917#,.! + 9: %# ;:/%&. + # 9/ = 2>3/!#012!!# )3 #? +.:;/7/&7 + Α./&Β# 7. +;# 2/># 7 ΧΧ67< %#+ΧΧ #+.#17/+/ #

Διαβάστε περισσότερα

6.2 ΛΟΓΟΣ ΥΟ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΝΑΛΟΓΙΑ

6.2 ΛΟΓΟΣ ΥΟ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΝΑΛΟΓΙΑ 6.2 ΛΟΓΟΣ ΥΟ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΝΑΛΟΓΙΑ ΘΕΩΡΙΑ. Λόγος οµοειδών µεγεθών : Ονοµάζουµε λόγο δύο οµοιειδών µεγεθών, που εκφράζονται µε την ίδια µονάδα µέτρησης, το πηλίκο των µέτρων τους. 2. Αναλογία: Η ισότητα δύο

Διαβάστε περισσότερα

Γυμνάσιο Μαθηματικά Τάξη Γ

Γυμνάσιο Μαθηματικά Τάξη Γ 1 Θέματα εξετάσεων περιόδου Μαΐου-Ιουνίου στα Μαθηματικά Τάξη Γ ΘΕΜΑ 1 0 Η εξίσωση αχ + βχ +γ = 0 είναι βαθμού εξίσωση και λύνεται χρησιμοποιώντας τους τύπους Δ =.. χ 1 =. χ =.. Η διακρίνουσα Δ της εξίσωσης

Διαβάστε περισσότερα

Θαλής Α' Λυκείου 1995-1996

Θαλής Α' Λυκείου 1995-1996 Θαλής Α' Λυκείου 1995-1996 1. Δυο μαθητές Α και Β παίζουν το ακόλουθο παιχνίδι: Τους δίνεται ένα κανονικό πολύγωνο με άρτιο πλήθος πλευρών, μεγαλύτερο από 6 (π.χ. ένα 100-γωνο). Κάθε παίκτης συνδέει δυο

Διαβάστε περισσότερα

Ενδεικτικά θέματα Μαθηματικών για την εισαγωγή στα Πρότυπα Πειραματικά Λύκεια

Ενδεικτικά θέματα Μαθηματικών για την εισαγωγή στα Πρότυπα Πειραματικά Λύκεια ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΔΟΚΙΜΑΣΙΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΤΑ ΠΡΟΤΥΠΑ-ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΑ ΛΥΚΕΙΑ 6 η Δοκιμασία ο Θέμα Στις ερωτήσεις έως και 4 να επιλέξτε τη σωστή απάντηση αιτιολογώντας την απάντησή σας. Ερώτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Β. Προηγούµενες και απαραίτητες γνώσεις

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Β. Προηγούµενες και απαραίτητες γνώσεις Μαρτάκης Μάρτης Μαθηµατικός του 1 ου ΓΕΛ Ρόδου 1 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Β Προηγούµενες και απαραίτητες γνώσεις 1. σε ορθογώνιο τρίγωνο µε 30 ο, η απέναντι 30 ο κάθετη είναι το µισό της υποτείνουσας α και αντίστροφα.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 2013 ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Η ΤΕΛΕΥΤΑΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Βαγγέλης Α Νικολακάκης Μαθηματικός http://cutemaths.wordpress.com/ ΛΙΓΑ ΛΟΓΑ Η παρούσα εργασία μου δεν στοχεύει απλά στο κυνήγι του 20,

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΤΗΣ ΤΡΑΠΕΖΑΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 014-015 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1. ΘΕΜΑ ΚΩΔΙΚΟΣ_18556 Δίνονται τα διανύσματα α και β με ^, και,. α Να

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ 1 ο Α) Συµπληρώστε τα κενά στις παρακάτω προτάσεις: 1) Ο κύκλος µε κέντρο Κ(α, β) και ακτίνα ρ > έχει εξίσωση... ) Η εξίσωση του κύκλου µε κέντρο στην αρχή

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012 ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_.ΜλΘΤ(ε) ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ / ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΘΕΜΑ Α Ηµεροµηνία: Κυριακή

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ. Κανονικά Πολύγωνα. Ένα πολύγωνο λέγεται κανονικό, όταν έχει όλες τις πλευρές του ίσες και όλες τις γωνίες του ίσες.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ. Κανονικά Πολύγωνα. Ένα πολύγωνο λέγεται κανονικό, όταν έχει όλες τις πλευρές του ίσες και όλες τις γωνίες του ίσες. ΚΕΦΛΙΟ ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ Κανονικά Πολύγωνα. Να δοθεί ο ορισμός του κανονικού πολυγώνου. Ένα πολύγωνο λέγεται κανονικό, όταν έχει όλες τις πλευρές του ίσες και όλες τις γωνίες του ίσες.. Να βρεθεί η γωνία

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενο διδασκαλίας Στόχοι Παρατηρήσεις. υπολογίζουν το λόγο δύο λόγο δύο τμημάτων

Περιεχόμενο διδασκαλίας Στόχοι Παρατηρήσεις. υπολογίζουν το λόγο δύο λόγο δύο τμημάτων Νίκος Γ. Τόμπρος ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ Ενότητα : ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ (ΛΟΓΟΣ ΑΝΑΛΟΓΙΑ) Σκοποί: Η ανάπτυξη ενδιαφέροντος για το θέμα, η εξοικείωση με τη χρήση τεχνολογίας, η παρότρυνση για αναζήτηση πληροφοριών (εδώ σε

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Κατεύθυνσης Β Λυκείου

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Κατεύθυνσης Β Λυκείου Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Κατεύθυνσης Β Λυκείου Θέμα 1 Α. Να αποδείξετε ότι αν α,β τότε α //β α λβ, λ. είναι δύο διανύσματα, με β 0, Β. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας

Διαβάστε περισσότερα

1.3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ

1.3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ορισμός : αν λ πραγματικός αριθμός με 0 και μη μηδενικό διάνυσμα τότε σαν γινόμενο του λ με το ορίζουμε ένα διάνυσμα

Διαβάστε περισσότερα

a lim x 1.7 ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ ( x ) ΒΑΣΙΚΑ ΟΡΙΑ , a R * ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ : Ενώ αν f(x) < g(x) κοντά στο x 0, τότε lim f(x) lim g(x)

a lim x 1.7 ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ ( x ) ΒΑΣΙΚΑ ΟΡΙΑ , a R * ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ : Ενώ αν f(x) < g(x) κοντά στο x 0, τότε lim f(x) lim g(x) 7 ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ ( ) ΒΑΣΙΚΑ ΟΡΙΑ + - - a v α άρτιος α περιττός 0 ar * ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ : Εώ α f() < g() κοτά στο 0 τότε f() g() ότα + εώ f()

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας-Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας-Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ Σχολικό έτος : 04-05 Τα θέματα εμπλουτίζονται με την δημοσιοποίηση και των νέων θεμάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ Α και Β Γενικού Λυκείου ε 3 Γ ε 2 Κ Ε ε 1 Ι Ο Θ Η Ζ Α μ α Ψ ε 4 Β Β ( Σελ. 63 120 ) Τόμος 2ος ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

78 Ερωτήσεις Θεωρίας Στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας

78 Ερωτήσεις Θεωρίας Στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Στα Μαθηματιά Γειής Παιδείας Tι οομάζουμε συάρτηση Tι οομάζουμε παραγματιή συάρτηση πραγματιής μεταβλητής Μια διαδιασία με τη οποία άθε στοιχείο εός συόλου Α πεδίο ορισμού ατιστοιχίζεται σε έα αριβώς στοιχείο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΔΟΚΙΜΑΣΙΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΤΑ ΠΡΟΤΥΠΑ-ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΑ ΓΥΜΝΑΣΙΑ

ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΔΟΚΙΜΑΣΙΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΤΑ ΠΡΟΤΥΠΑ-ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΑ ΓΥΜΝΑΣΙΑ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΔΟΚΙΜΑΣΙΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΤΑ ΠΡΟΤΥΠΑ-ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΑ ΓΥΜΝΑΣΙΑ ΔΟΚΙΜΑΣΙΑ 6 1) Να εκφράσετε τον αριθμό 48 σε γινόμενο πρώτων παραγόντων με δενδροδιάγραμμα. 2) Να συγκρίνετε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Ο ΕΜΒΑΔΑ 10.4 ΑΛΛΟΙ ΤΥΠΟΙ ΓΙΑ ΤΟ ΕΜΒΑΔΟΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Ο ΕΜΒΑΔΑ 10.4 ΑΛΛΟΙ ΤΥΠΟΙ ΓΙΑ ΤΟ ΕΜΒΑΔΟΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Ο ΕΜΒΑΔΑ 10.4 ΑΛΛΟΙ ΤΥΠΟΙ ΓΙΑ ΤΟ ΕΜΒΑΔΟΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ ΘΕΩΡΙΑ 1 Έστω ΑΒΓ ένα τρίγωνο με πλευρές α, β και γ. Συμβολίζουμε με τα την ημιπερίμετρο α + β + γ του ΑΒΓ, δηλαδή: τ =. 2 Το εμβαδόν Ε του

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΕΥΤΕΡΑ 2 ΙΟΥΝΙΟΥ 2014 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΑ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΤΡΕΙΣ (3) Διδαγμένο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΓΙΟΥ ΙΩΑΝΝΟΥ ΤΟΥ ΔΑΜΑΣΚΗΝΟΥ Ἔκδοσις ἀκριβὴς τῆς ὀρθοδόξου πίστεως

ΑΓΙΟΥ ΙΩΑΝΝΟΥ ΤΟΥ ΔΑΜΑΣΚΗΝΟΥ Ἔκδοσις ἀκριβὴς τῆς ὀρθοδόξου πίστεως ΑΓΙΟΥ ΙΩΑΝΝΟΥ ΤΟΥ ΔΑΜΑΣΚΗΝΟΥ Ἔκδοσι ἀκριβὴ τῆ ὀρθοδόξου πίστεω Ἀπόδοση εἰ τὴ έα ἑλληική: Ἀρχιμαδρίτη Δωρόθεο Πάπαρη ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. Ὅτι ἀκατάληπτο τ ὸ θεῖο καὶ ὅτι ο ὐ δε ῖ ζητεῖ κα ὶ περιεργάζεσθαι τ ὰ μ

Διαβάστε περισσότερα

Στὴν ἀρχὴ ἦταν ὁ Λόγος. Ὁ Λόγος ἦταν μαζὶ μὲ

Στὴν ἀρχὴ ἦταν ὁ Λόγος. Ὁ Λόγος ἦταν μαζὶ μὲ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Α ἤ 01ο (01-52) 01-05 Ὁ Λόγος εἶναι Θεὸς καὶ ημιουργὸς τῶν πάντων Στὴν ἀρχὴ ἦταν ὁ Λόγος. Ὁ Λόγος ἦταν μαζὶ μὲ τὸ Θεὸ Πατέρα καὶ ἦταν Θεὸς ὁ Λόγος. Αὐτὸς ἦταν στὴν ἀρχὴ μαζὶ μὲ τὸ Θεὸ Πατέρα.

Διαβάστε περισσότερα

Ἐν τῷ ἑσπερινῷ τῆς Προηγιασμένης

Ἐν τῷ ἑσπερινῷ τῆς Προηγιασμένης Ἐν τῷ ἑσπερινῷ τῆς Προηγιασμένης Ἦχος Πα υ ρι ε ε κε κρα ξα α προ ο ος σε ε ει σα κου σο ο ο ον μου ει σα α κου ου σο ον μου ου Κυ υ υ ρι ι ι ι ε Κυ ρι ε ε κε κρα α ξα προ ος σε ε ει σα κου σο ο ο ον μου

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΘΕΜΑ Α ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 0 ΙΟΥΝΙΟΥ 014 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ιδαγμένο κείμενο Αριστοτέλους Ηθικά Νικομάχεια Β 1, 1-4

ιδαγμένο κείμενο Αριστοτέλους Ηθικά Νικομάχεια Β 1, 1-4 ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΥΤΕΡΑ 25 ΜΑÏΟΥ 2009 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΑ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΠΕΝΤΕ (5) ιδαγμένο κείμενο Αριστοτέλους

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΚΑΙ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΟΥ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΚΑΙ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΟΥ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΚΑΙ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΟΥ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ: 013-014 Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Μαθηματικός Περιηγητής 1 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Η συλλογή

Διαβάστε περισσότερα

Ε - ΣΤ Δημοτικού 13 η Κυπριακή Μαθηματική Ολυμπιάδα Απρίλιος 2012

Ε - ΣΤ Δημοτικού 13 η Κυπριακή Μαθηματική Ολυμπιάδα Απρίλιος 2012 1. Πόσες ώρες έχουν περάσει από τις 6:45 πμ μέχρι τις 11:45 μμ της ίδιας μέρας; Α. 5 Β. 17 Γ. 24 Δ. 29 Ε. 41 1 1 2. Αν το χ είναι μεταξύ 1 και 1 +, τότε το χ μπορεί να είναι ίσο με τον κάθε 5 5 αριθμό

Διαβάστε περισσότερα

Γιάννης Θεοδωράκης & Μαίρη Χασάνδρα ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝ ΑΓΩΓΗΣ ΥΓΕΙΑΣ

Γιάννης Θεοδωράκης & Μαίρη Χασάνδρα ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝ ΑΓΩΓΗΣ ΥΓΕΙΑΣ Γιάννης Θεοδωράκης & Μαίρη Χασάνδρα ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝ ΑΓΩΓΗΣ ΥΓΕΙΑΣ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ 2006 ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝ ΑΓΩΓΗΣ ΥΓΕΙΑΣ Γιάννης Θεοδωράκης & Μαίρη Χασάνδρα : Εκδόσεις Χριστοδουλίδη Α. & Π. Χριστοδουλίδη

Διαβάστε περισσότερα

2 Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ. Εισαγωγή

2 Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ. Εισαγωγή Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Εισαγωγή Η ιδέα της χρησιμοποίησης ενός συστήματος συντεταγμένων για τον προσδιορισμό της θέσης ενός σημείου πάνω σε μια επιφάνεια προέρχεται από την Γεωγραφία και ήταν γνωστή στους

Διαβάστε περισσότερα

ιδαγμένο κείμενο Πλάτωνος Πρωταγόρας 324A C

ιδαγμένο κείμενο Πλάτωνος Πρωταγόρας 324A C ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ - ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΤΑΡΤΗ 8 ΙΟΥΝΙΟΥ 2011 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΑ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΠΕΝΤΕ

Διαβάστε περισσότερα

9o Γεν. Λύκειο Περιστερίου ( 3.1) ΚΥΚΛΟΣ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

9o Γεν. Λύκειο Περιστερίου ( 3.1) ΚΥΚΛΟΣ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΥ ( 3.) ΚΥΚΛΣ Γνωρίζουµε ότι ένας κύκλος (, ρ) είναι ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων του επιπέδου τα οποία απέχουν µια ορισµένη απόσταση ρ από ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ «άµιλλα»

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ «άµιλλα» 1 ΜΕΤΡΙΚΕ ΧΕΕΙ ΘΕΩΡΙΑ Μετρικές σχέσεις στο ορθογώνιο τρίγωνο το ορθογώνιο τρίγωνο το τετράγωνο κάθε κάθετης πλευράς είναι ίσο µε το γινόµενο της υποτείνουσας επί την προβολή της κάθετης στην υποτείνουσα.

Διαβάστε περισσότερα

4.4 Η ΠΥΡΑΜΙ Α ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΗΣ

4.4 Η ΠΥΡΑΜΙ Α ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΗΣ 1 4.4 Η ΠΥΡΜΙ ΚΙ Τ ΣΤΟΙΧΕΙ ΤΗΣ ΘΕΩΡΙ 1. Πυραµίδα Ονοµάζεται ένα στερεό του οποίου µία έδρα είναι ένα οποιοδήποτε πολύγωνο και όλες οι άλλες έδρες του είναι τρίγωνα µε κοινή κορυφή. ύο πυραµίδες φαίνονται

Διαβάστε περισσότερα

ιδαγμένο κείμενο Αριστοτέλους Πολιτικά Θ 2.1-4

ιδαγμένο κείμενο Αριστοτέλους Πολιτικά Θ 2.1-4 ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 1 ΙΟΥΝΙΟΥ 2006 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΑ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΠΕΝΤΕ (5) ιδαγμένο κείμενο Αριστοτέλους

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΛΙΤΙΣΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: «Βυζαντινές προσωπογραφίες. Ανίχνευση της Βυζαντινής τεχνοτροπίας στις μορφές του Δομήνικου Θεοτοκόπουλου»

ΠΟΛΙΤΙΣΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: «Βυζαντινές προσωπογραφίες. Ανίχνευση της Βυζαντινής τεχνοτροπίας στις μορφές του Δομήνικου Θεοτοκόπουλου» ΠΡΟΤΥΠΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΠΑΤΡΩΝ ΠΟΛΙΤΙΣΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: «Βυζαντινές προσωπογραφίες. Ανίχνευση της Βυζαντινής τεχνοτροπίας στις μορφές του Δομήνικου Θεοτοκόπουλου» ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2013-14 ΠΟΛΙΤΙΣΤΙΚΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ

ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ 1. ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ Στόχος Να γνωρίζουν οι μαθητές: να αξιοποιούν το σύμβολο της συνεπαγωγής και της ισοδυναμίας να αξιοποιούν τους συνδέσμους «ή», «και» ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η συννενόηση μεταξύ των ανθρώπων

Διαβάστε περισσότερα

Key Action 2 Σ α ηγι ές Σ ά εις Σχο ι ής σης η ή ης Μα α ός Υ ύθ ος ι οι ω ίας Erasmus+ Π ι αιάς, / /

Key Action 2 Σ α ηγι ές Σ ά εις Σχο ι ής σης η ή ης Μα α ός Υ ύθ ος ι οι ω ίας Erasmus+ Π ι αιάς, / / Key Action 2: αι ο ο ία αι ασία ια α α α ή α ώ α ι ώ Σ α ηγι ές Σ ο έας Σχο ι ής η ή ης Μα α ός Υ ύθ ος ι οι ω ίας Erasmus+ Π ι αιάς, / / 5 ά εις σης KA2: Strategic Partnerships ο έας ο ι ής Τι ί αι: Α

Διαβάστε περισσότερα

Q k = ec5 ΚΟΛ. e-c.o 0 apex

Q k = ec5 ΚΟΛ. e-c.o 0 apex ΘΕΜΑ 2 Θεωρούμε ισοσκελές τραπέζιο ΑΒΓΔ (ΑΒ//ΓΔ) με Γ = Δ = 60, ΑΔ=12 και ΓΔ=20. Φέρουμε τα ύψη του ΑΕ και ΒΖ. α) Να αποδείξετε ότι ΔΕ=ΓΖ και ΑΒ=ΕΖ. (Μονάδες 12) β) Να υπολογίσετε την περίμετρο του τραπεζίου.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΓΛΩΣΣΙΚΗ ΕΠΙΓΝΩΣΗ

ΕΠΙΓΛΩΣΣΙΚΗ ΕΠΙΓΝΩΣΗ ΕΠΙΓΛΩΣΣΙΚΗ ΕΠΙΓΝΩΣΗ 1 ΙΚΑΝΟΤΗΤΑ ΤΗΣ ΟΜΟΙΟΤΗΤΑΣ Ή ΔΙΑΦΟΡΑΣ ΜΕΤΑΞΥ ΠΡΟΦΟΡΙΚΩΝ ΛΕΞΕΩΝ 1.1 ΙΚΑΝΟΤΗΤΑ ΕΠΙΣΗΜΑΝΣΗΣ ΤΗΣ ΟΜΟΙΟΤΗΤΑΣ ΣΤΗ ΣΥΛΛΑΒΗ ΟΔΗΓΙΕΣ στο παιδί: Κάθε φορά θα σου λέω δυο μικρές λέξεις. Εσύ θα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΚΑΙ ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΤΩΝ Ε ΟΜΕΝΩΝ. Εισαγωγή

ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΚΑΙ ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΤΩΝ Ε ΟΜΕΝΩΝ. Εισαγωγή Μέρος πέµπτο ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΚΑΙ ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΤΩΝ Ε ΟΜΕΝΩΝ Εισαγωγή Στα προηγούµεα κεφάλαια είδαµε τις διάφορες µεθόδους συλλογής και επεξεργασίας του βιοµετρικού υλικού. Κάθε βιοµετρική επεξεργασία όµως έχει

Διαβάστε περισσότερα

β φυσικοί αριθμοί. Δίνεται ότι η Ευκλείδεια διαίρεση με διαιρετέο τον α και

β φυσικοί αριθμοί. Δίνεται ότι η Ευκλείδεια διαίρεση με διαιρετέο τον α και 06 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ. 36653-367784 - Fax: 36405 GR. 06 79 - Athens - HELLAS Tel. 36653-367784 - Fax: 36405 ΣΑΒΒΑΤΟ, 30 ΟΚΤΩΒΡΙΟΥ 00 B Γυμνασίου 3. Έστω x = 3 4 :4+ 5 και y = 45 4 3 + 73. (α) Να βρεθούν οι αριθμοί

Διαβάστε περισσότερα

ΕΘΝΙΚΟ ΚΑΙ ΚΑΠΟΔΙΣΤΡΙΑΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΕΙΔΙΚΟΣ ΛΟΓΑΡΙΑΣΜΟΣ ΚΟΝΔΥΛΙΩΝ ΕΡΕΥΝΑΣ

ΕΘΝΙΚΟ ΚΑΙ ΚΑΠΟΔΙΣΤΡΙΑΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΕΙΔΙΚΟΣ ΛΟΓΑΡΙΑΣΜΟΣ ΚΟΝΔΥΛΙΩΝ ΕΡΕΥΝΑΣ ANAΡΤΗΤΕΑ ΣΤΟ ΔΙΑΔΙΚΤΥΟ ΕΘΝΙΚΟ ΚΑΙ ΚΑΠΟΔΙΣΤΡΙΑΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΕΙΔΙΚΟΣ ΛΟΓΑΡΙΑΣΜΟΣ ΚΟΝΔΥΛΙΩΝ ΕΡΕΥΝΑΣ ΠΡΟΣΚΛΗΣΗ ΕΚΔΗΛΩΣΗΣ ΕΝΔΙΑΦΕΡΟΝΤΟΣ ΓΙΑ ΥΠΟΒΟΛΗ ΠΡΟΤΑΣΗΣ ΓΙΑ ΚΑΤΑΡΤΙΣΗ ΣΥΜΒΑΣΗΣ ΜΙΣΘΩΣΗΣ ΕΡΓΟΥ Αριθμ.

Διαβάστε περισσότερα

8 Σίσκας Χρήστος Φακόπουλος Επαμεινώνδας. Η έννοια του Διανύσματος

8 Σίσκας Χρήστος Φακόπουλος Επαμεινώνδας. Η έννοια του Διανύσματος ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ. ΠΡΟΣΘΕΣΗ - ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ.3 ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ.4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ.5 ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ 8 Σίσκας Χρήστος Φακόπουλος Επαμεινώνδας Η έννοια

Διαβάστε περισσότερα

w w w. p e r i e x o m e n a n e t. g r

w w w. p e r i e x o m e n a n e t. g r w w w. p e r i e x o m e n a n e t. g r Ο Iliaz Bobaj γράφει για την Παναγιώτα Ζαλώνη Ο Νίκος Μπατσικανής, ο Χάρης Μελιτάς, η Παναγιώτα Ζαλώνη και η Αλεξάνδρα ΒαΐτσηΒάκρου. (Απόσπασμα) Η Ελληνίδα Ποιήτρια

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠ.ΔΒΜ ΚΑΙ ΘΡΗ. ΠΕΡ/ΚΗ Δ/ΝΣΗ Π & Δ ΕΚΠ/ΣΗΣ Β. ΑΙΓΑΙΟΥ Δ/ΝΣΗ Β/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ Ν. ΛΕΣΒΟΥ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠ.ΔΒΜ ΚΑΙ ΘΡΗ. ΠΕΡ/ΚΗ Δ/ΝΣΗ Π & Δ ΕΚΠ/ΣΗΣ Β. ΑΙΓΑΙΟΥ Δ/ΝΣΗ Β/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ Ν. ΛΕΣΒΟΥ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠ.ΔΒΜ ΚΑΙ ΘΡΗ. ΠΕΡ/ΚΗ Δ/ΝΣΗ Π & Δ ΕΚΠ/ΣΗΣ Β. ΑΙΓΑΙΟΥ Δ/ΝΣΗ Β/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ Ν. ΛΕΣΒΟΥ 4 ο ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΜΥΤΙΛΗΝΗΣ ΓΡΑΠΤΕΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ 01 ΜΑΘΗΜΑ : ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Διαβάστε περισσότερα

Τυπολόγιο Μαθηµατικών

Τυπολόγιο Μαθηµατικών Τπολόιο Μθητικώ * πιάτσης πιώτης Εδό κύκλο κτίς ρ E =πρ Ο ρ Μήκος κύκλο κτίς ρ L= πρ Ο ρ Όκος πρίστος Εδό άσης ύψος= Ε. Ε Όκος κλίδρο ε κτί άσης ρ κι ύψος V =πρ ρ Εδό πράπλερης επιφάεις κλίδρο Ε= πρ Εδό

Διαβάστε περισσότερα

1.5 ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ

1.5 ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ.. ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Αν είναι δυο μη μηδενικά διανύσματα τότε ονομάζουμε εσωτερικό γινόμενο των και τον αριθμό : όπου φ είναι η γωνία των

Διαβάστε περισσότερα

Generated by Foxit PDF Creator Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. ΑΣΚΗΣΗ 10 ΜΕΤΡΗΣΗ ΤΗΣ ΕΣΤΙΑΚΗΣ ΑΠΟΣΤΑΣΗΣ ΦΑΚΟΥ

Generated by Foxit PDF Creator Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. ΑΣΚΗΣΗ 10 ΜΕΤΡΗΣΗ ΤΗΣ ΕΣΤΙΑΚΗΣ ΑΠΟΣΤΑΣΗΣ ΦΑΚΟΥ ΑΣΚΗΣΗ 0 ΜΕΤΡΗΣΗ ΤΗΣ ΕΣΤΙΑΚΗΣ ΑΠΟΣΤΑΣΗΣ ΦΑΚΟΥ . Γεωμετρική οπτική ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΒΑΣΙΚΕΣ ΘΕΩΡΗΤΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ Η Γεωμετρική οπτική είναι ένας τρόπος μελέτης των κυμάτων και χρησιμοποιείται για την εξέταση μερικών

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΡΣΑΝΟΥΦΙΟΥ ΚΑΙ ΙΩΑΝΝΟΥ ΚΕΙΜΕΝΑ ΔΙΑΚΡΙΤΙΚΑ ΚΑΙ ΗΣΥΧΑΣΤΙΚΑ (ΕΡΩΤΑΠΟΚΡΙΣΕΙΣ)

ΒΑΡΣΑΝΟΥΦΙΟΥ ΚΑΙ ΙΩΑΝΝΟΥ ΚΕΙΜΕΝΑ ΔΙΑΚΡΙΤΙΚΑ ΚΑΙ ΗΣΥΧΑΣΤΙΚΑ (ΕΡΩΤΑΠΟΚΡΙΣΕΙΣ) ΒΑΡΣΑΝΟΥΦΙΟΥ ΚΑΙ ΙΩΑΝΝΟΥ ΚΕΙΜΕΝΑ ΔΙΑΚΡΙΤΙΚΑ ΚΑΙ ΗΣΥΧΑΣΤΙΚΑ (ΕΡΩΤΑΠΟΚΡΙΣΕΙΣ) ΤΟΜΟΣ Α' ΠΡΟΟΙΜΙΟΝ Συγγραφέ ὑπό το ῦ Ἀ γίου Νικοδήμου το ῦ Ἁ γιορείτου Μερική διήγησι περί το ῦ βίου τῶ ὁσίω καί ἱερῶ συγγραφέω

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 2 Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ=ΑΓ είναι =80. Παίρνουμε τυχαίο σημείο Ε στην πλευρά ΒΓ και κατόπιν τα σημεία Δ και Ζ στις πλευρές ΑΒ και ΑΓ

ΘΕΜΑ 2 Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ=ΑΓ είναι =80. Παίρνουμε τυχαίο σημείο Ε στην πλευρά ΒΓ και κατόπιν τα σημεία Δ και Ζ στις πλευρές ΑΒ και ΑΓ ΘΕΜΑ 2 Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ=ΑΓ είναι =80. Παίρνουμε τυχαίο σημείο Ε στην πλευρά ΒΓ και κατόπιν τα σημεία Δ και Ζ στις πλευρές ΑΒ και ΑΓ αντίστοιχα έτσι ώστε ΒΔ=ΒΕ και ΓΕ=ΓΖ. α) Να υπολογίσετε

Διαβάστε περισσότερα

POWER SERVICE ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ ΚΛΙΜΑΤΙΣΤΙΚΟΥ 9.000 14.000 BTU (PREMIUM) Power Service σε "τιμή πακέτου"!

POWER SERVICE ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ ΚΛΙΜΑΤΙΣΤΙΚΟΥ 9.000 14.000 BTU (PREMIUM) Power Service σε τιμή πακέτου! Τ θ έ έ ς ύ ό ς24ω ( ά ω ) Ε ύ ά ς2έ Σ ω ώ ς& ωδ ί ω ό ή ς Ε ί δ ξ 35 Δω άπ δ ή άβ Π ή& ά ω ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ ΚΛΙΜΑΤΙΣΤΙΚΟΥ 9.000 14.000 BTU (PREMIUM) Χός άς Μής ωώω ωδίως Ύψς ξωής άδς Τύ έ ίχ, ά

Διαβάστε περισσότερα

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΕΠΙΛΟΓΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦ. 4Ο

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΕΠΙΛΟΓΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦ. 4Ο Όνοµα:... Ηµεροµηνία:... Βαθµός : ΘΕΜΑ Ο Στις παρακάτω ερωτήσεις να επιλέξετε τη σωστή απάντηση. Όταν ένα σώµα πραγµατοποιεί µόνο στροφική κίνηση : α) όλα τα σηµεία του έχουν την ίδια γραµµική ταχύτητα

Διαβάστε περισσότερα

Σειρά: ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΑ ΒΙΒΛΙΑ Tίτλος: ΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Συγγραφέας: ΦΩΤΗΣ ΚΟΥΝΑ ΗΣ

Σειρά: ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΑ ΒΙΒΛΙΑ Tίτλος: ΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Συγγραφέας: ΦΩΤΗΣ ΚΟΥΝΑ ΗΣ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Τ Α Γ Ι Α Τ Α Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ Φώτης Κουνάδης Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Τ Α Γ Ι Α Τ Α Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ ΕΚ ΟΤΙΚΟΣ ΟΡΓΑΝΙΣΜΟΣ ΛΙΒΑΝΗ ΑΘΗΝΑ 2007 Σειρά:

Διαβάστε περισσότερα

π.χ. 2, 3, π=3,14... Αναλογία λέγεται κάθε ισότητα κλασµάτων και έχουµε τις παρακάτω ιδιότητες : α = 4) β = δ και δ γ β

π.χ. 2, 3, π=3,14... Αναλογία λέγεται κάθε ισότητα κλασµάτων και έχουµε τις παρακάτω ιδιότητες : α = 4) β = δ και δ γ β ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ ) ΣΥΝΟΛΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τ σύολ τω ριθµώ είι τ εξής : ) Οι φυσικοί ριθµοί : Ν {0,,,,... } ) Οι κέριοι ριθµοί : Ζ {...,,,, 0,,,,... } ) Οι ρητοί ριθµοί : Q ρ / κ ρ, κ Z, Z 0 4) Οι άρρητοι

Διαβάστε περισσότερα

Από το επίπεδο στο χώρο (Στερεομετρία)

Από το επίπεδο στο χώρο (Στερεομετρία) Από το επίπεδο στο χώρο (Στερεομετρία) (Διεπιστημονική προσέγγιση αριθμητικού και οπτικού γραμματισμού) Εκπαιδευτικοί: Αθανασοπούλου Ζαφειρία (οπτικός γραμματισμός) Σαρακινίδου Σοφία (αριθμητικός γραμματισμός)

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗ ΚΛΙΜΑΚΑ http://edu.klimaka.gr ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ

ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗ ΚΛΙΜΑΚΑ http://edu.klimaka.gr ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ʹ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΑ ΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΕΠΑΛ (ΟΜΑ ΑΣ Β ) ΠΕΜΠΤΗ 27 ΜΑΪΟΥ 2010 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ: ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΑ

Διαβάστε περισσότερα