ARISTARCHI DE MAGNITUDIBUS ET DISTANTIIS SOLIS ET LUNAE, 1-2

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ARISTARCHI DE MAGNITUDIBUS ET DISTANTIIS SOLIS ET LUNAE, 1-2"

Transcript

1 ARISTARCHI DE MAGNITUDIBUS ET DISTANTIIS SOLIS ET LUNAE, 1-2 Ἔστωσα ἴσαι σφαῖραι, ὧ κέτρα ἔστω τ ὰ Α, Β σημεῖα, κα ὶ ἐπιζευχθεῖσα ἡ ΑΒ ἐκβεβλήσθω, καὶ ἐκβεβλήσθω δι ὰ το ῦ ΑΒ ἐπίπεδο ποιήσει δ ὴ τομὰ ἐ ταῖ σφαίραι μεγίστου κύκλου. ποιείτω οὖ τοὺ ΓΔΕ, ΖΗΘ κύκλου, κα ὶ ἤχθωσα ἀπ ὸ τῶ Α, Β τ ῇ ΑΒ πρὸ ὀρθὰ α ἱ ΓΑΕ, ΖΒΘ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΓΖ. κα ὶ ἐπε ὶ α ἱ ΓΑ, ΖΒ ἴσαι τε κα ὶ παράλληλοί εἰσι, κα ὶ α ἱ ΓΖ, ΑΒ ἄρα ἴσαι τε καὶ παράλληλοί εἰσι. παραλληλόγραμμο ἄρα ἐστὶ τ ὸ ΓΖΑΒ, κα ὶ α ἱ πρὸ τοῖ Γ, Ζ γωίαι ὀρθαὶ ἔσοται ὥστε ἡ ΓΖ τῶ ΓΔΕ, ΖΗΘ κύκλω ἐφάπτεται. ἐὰ δ ὴ μεούση τῆ ΑΒ τ ὸ ΑΖ παραλληλόγραμμο κα ὶ τ ὰ ΚΓΔ, ΗΖΛ ἡμικύκλια περιεεχθέτα εἰ τ ὸ αὐτ ὸ πάλι ἀποκατασταθῇ ὅθε ἤρξατο φέρεσθαι, τ ὰ μὲ ΚΓΔ, ΗΖΛ ἡμικύκλια ἐεχθήσεται κατ ὰ τῶ σφαιρῶ, τ ὸ δ ὲ ΑΖ παραλληλόγραμμο γεήσει κύλιδρο, ο ὗ βάσει ἔσοται ο ἱ περ ὶ διαμέτρου τὰ ΓΕ, ΖΘ κύκλοι, ὀρθο ὶ ὄτε πρὸ τὴ ΑΒ, δι ὰ τ ὸ ἐ πάσ ῃ μετακιήσει διαμέει τὰ ΓΕ, ΘΖ ὀρθὰ τ ῇ ΑΒ. καὶ φαερὸ ὅτι ἡ ἐπιφάεια αὐτο ῦ ἐφάπτεται τῶ σφαιρῶ, ἐπειδ ὴ ἡ ΓΖ κατ ὰ πᾶ σα μετακίησι ἐφάπτεται τῶ ΚΓΔ, ΗΖΛ ἡμικυκλίω. Ἔστωσα δ ὴ α ἱ σφαῖραι πάλι, ὧ κέτρα ἔστω τ ὰ Α, Β, ἄισοι, κα ὶ μείζω ἧ κέτρο τ ὸ Α λέγω ὅτι τὰ σφαίρα ὁ αὐτὸ κῶο περιλαμβάει τὴ κορυφὴ ἔχω πρὸ τ ῇ ἐλάσσοι σφαίρ ᾳ. Ἐπεζεύχθω ἡ ΑΒ, κα ὶ ἐκβεβλήσθω δι ὰ τῆ ΑΒ ἐ πίπεδο ποιήσει δ ὴ τομὰ ἐ ταῖ σφαίραι κύκλου. ποιείτω τοὺ ΓΔΕ, ΖΗΘ μείζω ἄρα ὁ ΓΔΕ κύκλο τοῦ ΗΖΘ κύκλου ὥστε κα ὶ ἡ ἐκ το ῦ κέτρου το ῦ ΓΔΕ κύκλου μείζω ἐστ ὶ τῆ ἐκ το ῦ κέτρου το ῦ ΖΗΘ κύκλου. δυατὸ δή ἐστι λαβεῖ τι σημεῖο, ὡ τ ὸ Κ, ἵ' ᾖ, ὡ ἡ ἐκ το ῦ κέτρου το ῦ ΓΔΕ κύκλου πρὸ τὴ ἐκ το ῦ κέτρου το ῦ ΖΗΘ κύκλου, οὕτω ἡ ΑΚ πρὸ τὴ ΚΒ. ἔστω οὖ εἰλημμέο τ ὸ Κ σημεῖο, κα ὶ ἤχθω ἡ ΚΖ ἐφαπτομέη το ῦ ΖΗΘ κύκλου, κα ὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΖΒ, κα ὶ δι ὰ το ῦ Α τ ῇ ΒΖ παράλληλο ἤχθω ἡ ΑΓ, κα ὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΓΖ. κα ὶ ἐπεί ἐστι, ὡ ἡ ΑΚ πρὸ τὴ ΚΒ, ἡ ΑΔ πρὸ τὴ ΒΝ, ἴση δ ὲ ἡ μὲ ΑΔ τ ῇ ΑΓ, ἡ δ ὲ ΒΝ τ ῇ ΒΖ, ἔστι ἄρα, ὡ ἡ ΑΚ πρὸ τὴ ΚΒ, ἡ ΑΓ πρὸ τὴ ΒΖ. κα ὶ ἔστι παράλληλο ἡ ΑΓ τ ῇ ΒΖ εὐθεῖα ἄρα ἐστὶ ἡ ΓΖΚ. κα ὶ ἔστι ὀρθ ὴ ἡ ὑπ ὸ τῶ ΚΖΒ ὀρθὴ ἄρα κα ὶ ἡ ὑπ ὸ τῶ ΚΓΑ. ἐφάπτεται ἄρα ἡ ΚΓ το ῦ ΓΔΕ κύκλου. ἤχθωσα δ ὴ α ἱ ΓΛ, ΖΜ ἐπ ὶ τὴ ΑΒ κάθετοι. ἐὰ δ ὴ μεούση τῆ ΚΞ τά τε ΞΓΔ, ΗΖΝ ἡμικύκλια κα ὶ τ ὰ ΚΓΛ, ΚΖΜ τρίγωα περιεεχθέτα εἰ τ ὸ αὐτ ὸ πάλι ἀποκατασταθ ῇ ὅθε ἤρξατο φέρεσθαι, τ ὰ μὲ ΞΓΔ, ΗΖΝ ἡ μικύκλια ἐεχθήσεται κατ ὰ τῶ σφαιρῶ, τ ὸ δ ὲ ΚΓΛ τρίγωο κα ὶ τ ὸ ΚΖΜ γεήσει κώου, ὧ βάσει εἰσὶ ο ἱ περ ὶ διαμέτρου τὰ ΓΕ, ΖΘ κύκλοι, ὀρθο ὶ ὄτε πρὸ τὸ ΚΛ ἄξοα κέτρα δ ὲ αὐτῶ τ ὰ Λ, Μ κα ὶ ὁ κῶο τῶ σφαιρῶ ἐφάψεται κατ ὰ τὴ ἐπιφάεια, ἐπειδ ὴ κα ὶ ἡ ΚΖΓ ἐφάπτεται τῶ ΞΓΔ, ΗΖΝ ἡμικυκλίω κατ ὰ πᾶσα μετακίησι. [2] < Ἐὰ σφαῖρα ὑπ ὸ μείζοο ἑαυτῆ σφαίρα φωτίζηται, μεῖζο ἡ μισφαιρίου φωτισθήσεται.> Σφαῖρα γάρ, ἧ κέτρο τ ὸ Β, ὑπ ὸ μείζοο ἑαυτῆ σφαίρα φωτιζέσθω, ἧ κέτρο

2 τ ὸ Α λέγω ὅτι τ ὸ φωτιζόμεο μέρο τῆ σφαίρα, ἧ κέτρο τ ὸ Β, μεῖζό ἐστι ἡμισφαιρίου. Ἐπεὶ γὰρ δύο ἀίσου σφαίρα ὁ αὐτὸ κῶο περιλαμβάει τὴ κορυφὴ ἔχω πρὸ τ ῇ ἐ λάσσοι σφαίρ ᾳ, ἔστω ὁ περιλαμβάω τὰ σφαίρα κῶο, κα ὶ ἐκβεβλήσθω δι ὰ το ῦ ἄξοο ἐ πίπεδο ποιήσει δ ὴ τομὰ ἐ μὲ ταῖ σφαίραι κύκλου, ἐ δ ὲ τ ῷ κώ ῳ τρίγωο. ποιείτω οὖ ἐ μὲ ταῖ σφαίραι κύκλου τοὺ ΓΔΕ, ΖΗΘ, ἐ δ ὲ τ ῷ κώ ῳ τρίγωο τ ὸ ΓΕΚ. φαερὸ δ ὴ ὅτι τ ὸ κατ ὰ τὴ ΖΗΘ περιφέρεια τμῆμα τῆ σφαίρα, ο ὗ βάσι ἐστὶ ὁ περ ὶ διάμετρο τὴ ΖΘ κύκλο, φωτιζόμεο μέρο ἐστὶ ὑπ ὸ το ῦ τμήματο το ῦ κατ ὰ τὴ ΓΔΕ περιφέρεια, ο ὗ βάσι ἐστὶ ὁ περ ὶ διάμετρο τὴ ΓΕ κύκλο, ὀρθὸ ὢ πρὸ τὴ ΑΒ εὐθεῖα κα ὶ γὰρ ἡ ΖΗΘ περιφέρεια φωτίζεται ὑπ ὸ τῆ ΓΔΕ περιφερεία ἔσχαται γὰρ ἀκτῖέ εἰσι α ἱ ΓΖ, ΕΘ κα ὶ ἔστι ἐ τ ῷ ΖΗΘ τμήματι τ ὸ κέτρο τῆ σφαίρα τ ὸ Β ὥστε τ ὸ φωτιζόμεο μέρο τῆ σφαίρα μεῖζό ἐστι ἡμισφαιρίου.

3 ERATOSTHENIS DE CIRCA EXORNATIONESTELLARUM ET ETHYMOLOGIA DE QUIBUS VIDENTUR βόρεια Ἄρκτο μεγάλη, Ἄρκτο μικρά, Ὄφι ὁ δι' ἀμφοτέρω τῶ Ἄ ρκτω, Κηφεύ, Περσεύ, Ἀδρομέδα, Κασσιέπεια, Ὄρι, Λύρα, Ἐγόασι, Στέφαο, Ἀρκτοφύλαξ, Ἡίοχο ἐφ' ὧι <Αἲ ξ Ἔριφοι,> Δελτωτό, Ἵππο, Ὀιστό, Ἀετό, Ὀφιοῦ χο, Προκύω, Καρκίο, Λέω, Παρθέο, Χηλαί, Σκορπίο, Τοξότη, Αἰγόκερω, Ὑδροχόο, Ἰχθύε, Ταῦρο, <Κριό,> Δίδυμοι. ότια δέ Ὠ ρίω, Κῆτο, Δελφί, Ὕδρο ἐφ' ὧι Κρατὴρ κα ὶ ὁ Κόραξ, Κύω, <Θυτήριο,> Κέταυρο ἐφ' ὧ ι Θηρίο, Λαγωό, Ἀργώ, Ποταμό, Ἰχθύε, ἀστέρε πέτε πλαῆται: <κεῖται δ' ἐ μὲ τῶ ι βορείωι ἡμισφαιρίωι τάδε Ἄρκτο μείζω, Ἄρκτο ἐλάσω, Ὄφι δι' ἀμφοτέρω τῶ Ἄ ρκτω, Βοώτη, Στέφαο, Ἐγόασι, Ὀφιοῦχο. < ἐ ἀμφοτέροι τοῖ ἡμι-σφαιρίοι > Λύρα, Ὄρι, Ὀιστό, Αἰ ετό, Δελφί, Ἵππο. < ἐ ἀμφοτέροι τοῖ ἡμισφαιρίοι > Κηφεύ, Κασσιέπεια, Ἀ δρομέδα, Τρίγωο,Περσεύ, Ἡίοχο. < ἐ δ ὲ τῶι οτίωι το ῦ ζωιδιακο ῦ.> Ὑδροχόο. < ἐ ἀμφοτέροι τοῖ ἡμισφαιρίοι > Κρατήρ, Κόραξ, Ἀργώ, Κέταυρο, τ ὸ θηρίο ὃ ἔχει ὁ Κέταυρο ἐ τῆι δεξιᾶ ι χειρί, Θυτήριο, ὁ ὑπ ὸ τὸ Τοξότη Στέφαο [ Ἀριάδη], Ἰχθύ, Κῆτο, Ὠρίω. < ἐ ἀμφοτέροι τοῖ ἡμισφαιρίοι > Λαγωό, Προκύω. < ἐ δ ὲ τῶι βορείωι το ῦ ζωιδιακο ῦ κύκλου. βόρεια > Καρκίο, Λέω, Παρθέο, Κριό, Ταῦρο, Δίδυμοι.

4 PSEUDO-ERATOSTHENIS CATASTERISMI Ἀστροθεσίαι ζῳδίω. Ἄ ρκτου μεγάλη. Ταύτη Ἡσίοδό φησι Λυκάοο θυγατέρα ἐ Ἀρκαδί ᾳ οἰκεῖ, ἑλέσθαι δ ὲ μετὰ Ἀρτέμιδο τὴ περ ὶ τὰ θήρα ἀγωγὴ ἐ τοῖ ὄρεσι ποιεῖσθαι φθαρεῖσα δ ὲ ὑπ ὸ Διὸ ἐμμεῖ αι λαθάουσα τὴ θεό φωραθῆαι δ ὲ ὕστερο ἐπίτοκο ἤδη οὖσα ὀφθεῖσα ὑπ' αὐτῆ λουομέη ἐφ' ᾧ ὀργισθεῖσα τὴ θεὸ ἀποθηριῶσαι αὐτή κα ὶ οὕτω τεκεῖ ἄρκτο γεομέη τὸ κληθέτα Ἀρκάδα οὖσα δ' ἐ τ ῷ ὄρει θηρευθῆαι ὑπ ὸ αἰπόλω τιῶ κα ὶ παραδοθῆαι μετ ὰ το ῦ βρέφου τ ῷ Λυκάοι μετ ὰ χρόο δέ τια δόξαι εἰσελθεῖ εἰ τ ὸ το ῦ Διὸ ἄβατο [ ἱερὸ] ἀγοήσασα τὸ όμο ὑπ ὸ δ ὲ το ῦ ἰδίου υἱο ῦ διωκομέη κα ὶ τῶ Ἀρκάδω, κα ὶ ἀαιρεῖσθαι μέλλουσα δι ὰ τὸ εἰρημέο όμο, ὁ Ζεὺ δι ὰ τὴ συγγέεια αὐτὴ ἐξείλετο κα ὶ ἐ τοῖ ἄστροι αὐτὴ ἔ θηκε Ἄρκτο δ ὲ αὐτὴ ὠόμασε δι ὰ τ ὸ συμβεβηκὸ αὐτ ῇ σύμπτωμα. Ἔχει δ ὲ ἀστέρα ἐπ ὶ τῆ κεφαλῆ ζ ʹ ἀμαυρού, ἐφ' ἑκατέρω ὠτίω β ʹ, < ἐπ'> ὠμοπλατῶ λαμπρὸ α ʹ, ἐπ ὶ το ῦ στήθου <α ʹ, ἐπ ὶ τοῦ ἔμπροσθε ποδὸ> β ʹ, ἐπ ὶ τῆ ῥάχεω λαμπρὸ α ʹ, < ἐπ ὶ τῆ κοιλία λαμπρὸ α ʹ>, ἐπ ὶ σκέλεσι ὀπισθίοι β ʹ, ἐπ' ἄκρ ῳ τ ῷ ποδ ὶ β ʹ, ἐπ ὶ τῆ κέρκου γ ʹ τοὺ πάτα κδ ʹ. Ἄρκτου μικρᾶ. Αὕτη ἐστὶ ἡ μικρ ὰ καλουμέη προσηγορεύθη δ ὲ ὑπ ὸ τῶ πλείστω Φοιίκη ἐτιμήθη δ ὲ ὑπ ὸ τῆ Ἀρτέμιδο γοῦσα δ ὲ ὅτι ὁ Ζεὺ αὐτὴ ἔφθειρε, ἠγρίωσε αὐτή ὕστερο δὲ σεσωσμέ ῃ λέγεται δόξα αὐτ ῇ περιθεῖαι ἀτιθεῖσα ἕτερο εἴδωλο ἐ τοῖ ἄστροι, ὥστε δισσὰ ἔχει τιμά. Ἀγλαοσθέη δ ὲ ἐ τοῖ Ναξικοῖ φησι τροφὸ γεέσθαι το ῦ Διὸ Κυόσουρα, εἶαι δὲ μία τῶ Ἰδαίω υμφῶ ἀφ' ἧ ἐ μὲ τ ῇ πόλει τ ῇ καλουμέ ῃ Ἱστοῖ, τοὔομα τοῦτο ἦ, ἣ οἱ περ ὶ Νικόστρατο ἔκτισα, κα ὶ τὸ ἐ αὐτ ῇ [δ ὲ] λιμέα κα ὶ τὸ ἐπ' αὐτ ῷ τόπο Κυόσουρα κληθῆαι. Ἄρατο δ ὲ αὐτὴ καλε ῖ Ἑλίκη ἐκ Κρήτη οὖσα γεέσθαι δ ὲ Διὸ τροφὸ κα ὶ δι ὰ τοῦ το ἐ οὐραοῖ τιμῆ ἀξιωθῆαι. Ἔχει δ ὲ ἀστέρα ἐπ ὶ μὲ ἑκάστη γωία το ῦ πλιθίου λαμπρὸ α ʹ, ἐπ ὶ δ ὲ τῆ κέρκου λαμπροὺ γ ʹ, τοὺ πάτα ζ ʹ ὑπ ὸ δ ὲ τὸ ἕτερο τῶ ἡγουμέω κατώτερό ἐ στι ἄλλο ἀστήρ, ὃ καλεῖται Πόλο, περ ὶ ὃ δοκε ῖ ὅλο ὁ κόσμο στρέφεσθαι.

5 Σκορπίου. Οὗτο δι ὰ τ ὸ μέγεθο εἰ δύο δωδεκατημόρια διαιρεῖται κα ὶ τ ὸ μὲ ἐπέχουσι α ἱ χηλαί, θάτερο δ ὲ τ ὸ σῶμα κα ὶ τ ὸ κέτρο. τοῦτο, φασί, ἐποίησε Ἄρτεμι ἀαδοθῆαι < ἐκ> τῆ κολώη τῆ Χίου ήσου, κα ὶ τὸ Ὠρίωα πλῆξαι, κα ὶ οὕτω ἀποθαεῖ, ἐπειδ ὴ ἐ κυηγεσίῳ ἀκόσμω αὐτὴ ἐβιάσατο ὃ Ζεὺ ἐ τοῖ λαμπροῖ ἔθηκε τῶ ἄστρω, ἵ' εἰδῶσι οἱ ἐπιγιόμεοι ἄθρωποι τὴ ἰσχύ τε αὐτο ῦ κα ὶ τὴ δύαμι. Ἔχει δ ὲ ἀστέρα ἐφ' ἑκατέρα χηλῆ β ʹ, ὧ εἰσι ο ἱ μὲ πρῶτοι μεγάλοι, ο ἱ δ ὲ δεύτεροι ἀμαυροί, ἐπ ὶ δ ὲ το ῦ μετώπου <λαμπροὺ γ ʹ, ὧ ὁ μέσο λαμπρότατο, ἐπ ὶ τῆ ῥάχεω> λαμπροὺ γ ʹ, ἐπ ὶ τῆ κοιλία β ʹ, ἐπ ὶ τῆ κέρκου ε ʹ, ἐπ ὶ τοῦ κέτρου β ʹ προηγεῖται μὲ ἐ αὐτοῖ πάτω φαιδρότερο ὢ ὁ ἐπ ὶ τῆ βορεία χηλῆ λαμπρὸ ἀστήρ <τοὺ πάτα ιθ ʹ>. Κασσιεπεία. Ταύτη ἱστορε ῖ Σοφοκλῆ ὁ τῆ τραγῳδία ποιητὴ ἐ Ἀδρομέδ ᾳ ἐρίσασα περὶ κάλλου ταῖ Νηρηίσι εἰσελθεῖ εἰ τ ὸ σύμπτωμα, κα ὶ Ποσειδῶα διαφθεῖραι τὴ χώρα κῆ το ἐπιπέμψατα δι' ἣ πρόκειται τ ῷ κήτει ἡ θυγάτηρ. οἰκείω δ ὲ ἐσχημάτισται ἐγγὺ ἐπ ὶ δίφρου καθημέη. Ἔχει δ' ἀστέρα ἐπ ὶ τῆ κεφαλῆ λαμπρὸ α ʹ, < ἐφ' ἑκατέρω τῶ ὤμω λαμπρὸ α ʹ, ἐπὶ το ῦ δεξιο ῦ στήθου λαμπρὸ α ʹ>, ἐπ ὶ το ῦ δεξιο ῦ ἀγκῶο <α ʹ, ἐπ ὶ τῆ δεξιᾶ χειρὸ> λαμπρὸ α ʹ, ἐπ ὶ τῆ < ἀριστερᾶ> χειρὸ <λαμπρὸ α ʹ, ἐπ' ὀμφαλο ῦ> α ʹ, [< ἐπ ὶ το ῦ> γόατο α ʹ, < ἐπ ὶ> ποδὸ ἄκρου α ʹ, < ἐπ ὶ το ῦ> στήθου α ʹ ἀμαυρό], ἐπ' ἀριστερο ῦ μηρο ῦ λαμπροὺ β ʹ, ἐπ ὶ γόατο αʹ λαμπρό, < ἐπ ὶ ποδὸ ἄκρου α ʹ>, ἐπ ὶ το ῦ πλιθίου α ʹ, < ἐπ ὶ τῆ> το ῦ δίφρου ο ὗ κάθηται ἑ κατέρα γωία α ʹ <τοὺ πάτα ιε ʹ>.

6 ΙΠΠΑΡΧΟΥ ΤΩΝ ΑΡΑΤΟΥ ΚΑΙ ΕΥΔΟΞΟΥ ΦΑΙΝΟΜΕΝΩΝ ΕΞΗΓΗΣΕΩΣ ΠΡΩΤΟΝ Ἵππαρχο Αἰσχρίωι χαίρει. Ἡδέω ἐπέγω δι ὰ τῆ ἐπιστολῆ τ ὸ ἐπίμοό σου τῆ πρὸ φιλομαθία οἰκειώσεω τά τε γὰρ φυσικ ὰ τῶ ἐπιζητηθέτω ὑπ ὸ σο ῦ κα ὶ τ ὰ περ ὶ τῶ παρὰ Ἀράτ ῳ λεγομέω ἐ ταῖ Συαατολαῖ ἱκαωτέρα ἐέφαιέ μοι φιλοτεχία, κα ὶ πολλ ῷ γε μᾶλλο, ὅσ ῳ πεπλεόακα ἐ ταῖ βιωτικαῖ ἀσχολίαι δι ὰ τὴ τῶ ἀξιολογωτάτω ἀδελφῶ ὠμὴ τελευτή. περ ὶ μὲ οὖ τῶ ἄλλω μετ ὰ ταῦτά σοι τὴ ἰδία κρίσι διασαφήσω περ ὶ δ ὲ τῶ ὑπὸ Ἀράτου λεγομέω ἐ τοῖ Φαιομέοι ῦ προτέθειμαί σοι γράψαι, πᾶ καθόλου τ ὸ καλῶ ἢ κακῶ λεγόμεο < ἐ> αὐτοῖ ὑποδεικύω. ἐξ ὧ ἔσται σοι φαερ ὰ πάτα κα ὶ τ ὰ παρ ὰ σοῦ διαπορηθέτα. Ἐξήγησι μὲ οὖ τῶ Ἀράτου Φαιομέω κα ὶ ἄ λλοι πλείοε συτετάχασι ἐπιμελέστατα δ ὲ δοκε ῖ πάτω Ἄτταλο ὁ καθ' ἡμᾶ μαθηματικὸ τὸ περ ὶ αὐτῶ πεποιῆ σθαι λόγο. ἀλλ ὰ τ ὸ μὲ ἐξηγήσασθαι τὴ ἐ τοῖ ποιήμασι διάοια ο ὐ μεγάλη ἐπιστροφῆ προσδεῖσθαι ομίζω ἁπλοῦ τε γὰρ κα ὶ σύτομό ἐστι ποιητή, ἔτι δ ὲ σαφὴ τοῖ κα ὶ μετρίω παρηκολουθηκόσι τ ὸ δ ὲ συεῖαι τ ὰ λεγόμεα περ ὶ τῶ οὐραίω ὑπ' αὐτο ῦ, τία τε συμφώω τοῖ φαιομέοι ἀαγέγραπται κα ὶ τία διημαρτημέω, τοῦτ' ὠφελιμώτατο ἡγήσαιτ' ἄ τι καὶ μαθηματικῆ ἴδιο ἐμπειρία. Θεωρῶ δ' οὖ < ἐ> τοῖ πλείστοι κα ὶ χρησιμωτάτοι διαφωοῦτα τὸ Ἄρατο πρὸ τὰ φαιόμεά τε κα ὶ γιόμεα κατ ὰ ἀλήθεια, τούτοι δ' ἅπασι σχεδὸ ο ὐ μόο τοὺ ἄλλου, ἀλλ ὰ καὶ τὸ Ἄτταλο συεπιγραφόμεο, ἔκρια τῆ σῆ ἕεκα φιλομαθία κα ὶ τῆ κοιῆ τῶ ἄ λλω ὠφελεία ἀαγράψαι τ ὰ δοκοῦτά μοι διημαρτῆσθαι. τοῦτο δ ὲ ποιῆσαι προεθέμη οὐκ ἐκ το ῦ τοὺ ἄλλου ἐλέγχει φατασία ἀπεέγκασθαι προαιρούμεο (κεὸ γὰρ κα ὶ μικρόψυχο πατελῶ τοὐατίο δ ὲ δεῖ οἴομαι πᾶσι ἡμᾶ εὐχαριστεῖ, ὅσοι τῆ κοιῆ ἕεκε ὠφελεία ἰδί ᾳ ποεῖ ἀαδεχόμεοι τυγχάουσι ) ἀλλ' ἕεκα το ῦ μήτε σ ὲ μήτε τοὺ λοιποὺ τῶ φιλομαθούτω ἀποπλαᾶσθαι τῆ περ ὶ τ ὰ φαιόμεα κατ ὰ τὸ κόσμο θεωρία. ὅπερ εὐλόγω πολλο ὶ πεπόθασι ἡ γὰρ τῶ ποιημάτω χάρι ἀξιοπιστία τι ὰ τοῖ λεγομέοι περιτίθησι, κα ὶ πάτε σχεδὸ ο ἱ τὸ ποιητὴ τοῦτο ἐξηγούμεοι προτίθεται τοῖ ὑπ' αὐτο ῦ λεγομέοι.

7 ARCHIMEDES DIMENSIO CIRCULI, 1-2 [1] Πᾶ κύκλο ἴσο ἐστ ὶ τριγώ ῳ ὀρθογωί ῳ, ο ὗ ἡ μὲ ἐκ το ῦ κέτρου ἴση μι ᾷ τῶ περ ὶ τὴ ὀρθή, ἡ δ ὲ περίμετρο τ ῇ βάσει. Ἐχέτω ὁ ΑΒΓΔ κύκλο τριγώ ῳ τ ῷ Ε, ὡ ὑπόκειται λέγω ὅτι ἴ σο ἐστί. Ε ἰ γὰρ δυατό, ἔστω μείζω ὁ κύκλο, κα ὶ ἐγγεγράφθω τ ὸ ΑΓ τετράγωο, κα ὶ τετμήσθωσα α ἱ περιφέρειαι δίχα, κα ὶ ἔστω τ ὰ τμήματα ἤδη ἐλάσσοα τῆ ὑπεροχῆ, ᾗ ὑπερέχει ὁ κύκλο τοῦ τριγώου τ ὸ εὐθύγραμμο ἄρα ἔτι το ῦ τριγώου ἐστ ὶ μεῖζο. Εἰλήφθω κέτρο τ ὸ Ν κα ὶ κάθετο ἡ ΝΞ ἐλάσσω ἄρα ἡ ΝΞ τῆ το ῦ τριγώου πλευρᾶ. Ἔστι δ ὲ κα ὶ ἡ περίμετρο το ῦ εὐ θυγράμμου τῆ λοιπῆ ἐλάττω, ἐπε ὶ κα ὶ τῆ το ῦ κύκλου περιμέτρου ἔλαττο ἄρα τ ὸ εὐθύγραμμο το ῦ Ε τριγώου ὅπερ ἄτοπο. Ἔστω δ ὲ ὁ κύκλο, ε ἰ δυατό, ἐλάσσω το ῦ Ε τριγώου, κα ὶ περιγεγράφθω τ ὸ τετράγωο, κα ὶ τετμήσθωσα α ἱ περιφέρειαι δίχα, κα ὶ ἤχθωσα ἐφαπτόμεαι δι ὰ τῶ σημείω ὀρθ ὴ ἄρα ἡ ὑπ ὸ ΟΑΡ. Ἡ ΟΡ ἄρα τῆ ΜΡ ἐστὶ μείζω ἡ γὰρ ΡΜ τ ῇ ΡΑ ἴση ἐστί κα ὶ τ ὸ ΡΟΠ τρίγωο ἄρα το ῦ ΟΖΑΜ σχήματο μεῖζό ἐστι ἢ τ ὸ ἥμισυ. Λελείφθωσα ο ἱ τ ῷ ΠΖΑ τομε ῖ ὅ μοιοι ἐλάσσου τῆ ὑπεροχῆ, ᾗ ὑπερέχει τ ὸ Ε το ῦ ΑΒΓΔ κύκλου ἔτι ἄρα τ ὸ περιγεγραμμέο εὐθύγραμμο το ῦ Ε ἐστὶ ἔλασσο ὅπερ ἄτοπο ἔστι γὰρ μεῖζο, ὅτι ἡ μὲ ΝΑ ἴση ἐστ ὶ τῇ καθέτ ῳ το ῦ τριγώου, ἡ δ ὲ περίμετρο μείζω ἐστ ὶ τῆ βάσεω το ῦ τριγώου. Ἴσο ἄρα ὁ κύκλο τ ῷ Ε τριγώ ῳ. [2] Ὁ κύκλο πρὸ τ ὸ ἀπ ὸ τῆ διαμέτρου τετράγωο λόγο ἔχει, ὃ <ια> πρὸ <ιδ>. Ἔστω κύκλο, ο ὗ διάμετρο ἡ ΑΒ, κα ὶ περιγεγράφθω τετράγωο τ ὸ ΓΗ, κα ὶ τῆ ΓΔ διπλ ῆ ἡ ΔΕ, ἕβδομο δ ὲ ἡ ΕΖ τῆ ΓΔ. Ἐπε ὶ οὖ τ ὸ ΑΓΕ πρὸ τ ὸ ΑΓΔ λόγο ἔχει, ὃ <κα> πρὸ <ζ>, πρὸ δ ὲ τὸ ΑΕΖ τ ὸ ΑΓΔ λόγο ἔχει, ὃ ἑπτ ὰ πρὸ ἕ, τ ὸ ΑΓΖ πρὸ τ ὸ ΑΓΔ ἐστί, ὡ <κβ> πρὸ <ζ>. Ἀλλ ὰ τοῦ ΑΓΔ τετραπλάσιό ἐστι τ ὸ ΓΗ τετράγωο, τ ὸ δ ὲ ΑΓΔΖ τρίγωο τ ῷ ΑΒ κύκλ ῳ ἴσο ἐστί [ ἐπε ὶ ἡ μὲ ΑΓ κάθετο ἴση ἐστ ὶ τ ῇ ἐκ το ῦ κέτρου, ἡ δ ὲ βάσι τῆ διαμέτρου τριπλασίω κα ὶ τ ῷ ζ ʹ ἔ γγιστα ὑπερέχουσα δειχθήσεται] ὁ κύκλο οὖ πρὸ τ ὸ ΓΗ τετράγωο λόγο ἔχει, ὃ <ια> πρὸ <ιδ>.

8 EUCLIDES ELEMENTA Σημεῖό ἐστι, ο ὗ μέρο οὐθέ. Γραμμ ὴ δ ὲ μῆκο ἀπλατέ. Γραμμῆ δ ὲ πέρατα σημεῖα. Εὐθεῖ α γραμμή ἐστι, ἥτι ἐξ ἴσου τοῖ ἐφ' ἑαυτῆ σημείοι κεῖται. Ἐπιφάεια δέ ἐστι, ὃ μῆκο κα ὶ πλάτο μόο ἔχει. Ἐπιφαεία δ ὲ πέρατα γραμμαί. Ἐπίπεδο ἐπιφάειά ἐστι, ἥτι ἐξ ἴσου ταῖ ἐφ' ἑαυτῆ εὐθείαι κεῖται. Ἐπίπεδο δ ὲ γωία ἐστὶ ἡ ἐ ἐπιπέδ ῳ δύο γραμμῶ ἁπτομέω ἀλλήλω κα ὶ μὴ ἐπ' εὐθεία κειμέω πρὸ ἀλλήλα τῶ γραμμῶ κλίσι. Ὅτα δ ὲ α ἱ περιέχουσαι τὴ γωία γραμμα ὶ εὐθεῖαι ὦσι, εὐθύγραμμο καλεῖται ἡ γωία. Ὅτα δ ὲ εὐθεῖα ἐπ' εὐθεῖα σταθεῖσα τὰ ἐφεξῆ γωία ἴσα ἀλλήλαι ποι ῇ, ὀρθ ὴ ἑκατέρα τῶ ἴσω γωιῶ ἐστι, κα ὶ ἡ ἐφεστηκυῖα εὐθεῖ α κάθετο καλεῖται, ἐφ' ἣ ἐφέστηκε. Ἀμβλεῖα γωία ἐστὶ ἡ μείζω ὀρθῆ. Ὀξεῖα δ ὲ ἡ ἐ λάσσω ὀρθῆ. Ὅρο ἐστί, ὅ τιό ἐστι πέρα. Σχῆμά ἐστι τ ὸ ὑπό τιο ἤ τιω ὅ ρω περιεχόμεο. Κύκλο ἐστ ὶ σχῆμα ἐπίπεδο ὑπ ὸ μιᾶ γραμμῆ περιεχόμεο [ ἣ καλεῖται περιφέρεια], πρὸ ἣ ἀφ' ἑὸ σημείου τῶ ἐτὸ το ῦ σχήματο κειμέω πᾶσαι α ἱ προσπίπτουσαι εὐθεῖαι [πρὸ τὴ το ῦ κύκλου περιφέρεια] ἴσαι ἀλλήλαι εἰσί. Κέτρο δ ὲ το ῦ κύκλου τ ὸ σημεῖο καλεῖται. Διάμετρο δ ὲ τοῦ κύκλου ἐστὶ εὐθεῖά τι δι ὰ το ῦ κέτρου ἠγμέη κα ὶ περατουμέη ἐφ' ἑκάτερα τ ὰ μέρη ὑπ ὸ τῆ τοῦ κύκλου περιφερεία, ἥτι κα ὶ δίχα τέμει τὸ κύκλο. Ἡμικύκλιο δέ ἐστι τ ὸ περιεχόμεο σχῆ μα ὑπό τε τῆ διαμέτρου κα ὶ τῆ ἀπολαμβαομέη ὑπ' αὐτῆ περιφερεία. κέτρο δ ὲ το ῦ ἡ μικυκλίου τ ὸ αὐτό, ὃ κα ὶ το ῦ κύκλου ἐστί. Σχήματα εὐθύγραμμά ἐστι τ ὰ ὑπ ὸ εὐθειῶ περιεχόμεα, τρίπλευρα μὲ τ ὰ ὑπ ὸ τριῶ, τετράπλευρα δ ὲ τ ὰ ὑπ ὸ τεσσάρω, πολύπλευρα δ ὲ τ ὰ ὑπ ὸ πλειόω ἢ τεσσάρω εὐθειῶ περιεχόμεα. Τῶ δ ὲ τριπλεύρω σχημάτω ἰσόπλευρο μὲ τρίγωό ἐστι τὸ τὰ τρεῖ ἴσα ἔχο πλευρά, ἰσοσκελὲ δ ὲ τ ὸ τὰ δύο μόα ἴσα ἔχο πλευρά, σκαληὸ δ ὲ τὸ τὰ τρεῖ ἀίσου ἔχο πλευρά. Ἔτι δ ὲ τῶ τριπλεύρω σχημάτω ὀρθογώιο μὲ τρίγωό ἐ στι τ ὸ ἔχο ὀρθὴ γωία, ἀμβλυγώιο δ ὲ τ ὸ ἔχο ἀμβλεῖα γωία, ὀξυγώιο δ ὲ τ ὸ τὰ τρεῖ ὀ ξεία ἔχο γωία. Τῶ δ ὲ τετραπλεύρω σχημάτω τετράγωο μέ ἐστι, ὃ ἰσόπλευρό τέ ἐστι καὶ ὀρθογώιο, ἑτερόμηκε δέ, ὃ ὀρθογώιο μέ, οὐκ ἰσόπλευρο δέ, ῥόμβο δέ, ὃ ἰ σόπλευρο μέ, οὐκ ὀρθογώιο δέ, ῥομβοειδὲ δ ὲ τ ὸ τὰ ἀπεατίο πλευρά τε κα ὶ γωία ἴσα ἀλλήλαι ἔχο, ὃ οὔτε ἰσόπλευρό ἐστι οὔτε ὀρθογώιο τ ὰ δ ὲ παρ ὰ ταῦ τα τετράπλευρα τραπέζια καλείσθω. Παράλληλοί εἰσι εὐθεῖαι, αἵτιε ἐ τ ῷ αὐτ ῷ ἐπιπέδ ῳ οὖσαι κα ὶ ἐκβαλλόμεαι εἰ ἄπειρο ἐ φ' ἑκάτερα τ ὰ μέρη ἐπ ὶ μηδέτερα συμπίπτουσι ἀλλήλαι. Ἠιτήσθω ἀπ ὸ πατὸ σημείου ἐπ ὶ πᾶ σημεῖο εὐθεῖα γραμμὴ ἀγαγεῖ.

9 IEROFILOU FILOSOFOU PWS OFEILEI DIATASQAI ANQRWPOS EF EKASTWI MHNI MENI IANOUARIWI. Ἰαουάριο φλέγμα γλυκ ὺ <κυριεύει>. ἁρμόζει οἴου καλο ῦ εὐ ωδεστάτου λαμβάει ῥοφήματα τρία μικρά, ἀλλ ὰ μ ὴ ἀτάκτω ἐπιηστεύει δ ὲ ἕω ὥρα γ ʹ κα ὶ εἶθ' οὕ τω τρέφεσθαι ἐκ μὲ τῶ κρεῶ πρόβεα χλία κα ὶ ὀπτά, χοίρεα δ ὲ ὀπτ ὰ μικρ ὰ κα ὶ ζωμοὺ καρυκευτοὺ δι ὰ πεπέρεω, στάχου κα ὶ κιαμώμου, ἀρτύματα δι ὰ καραβάδου ἀατολῆ κα ὶ πεπέρεω κα ὶ τῶ ἀρωμάτω. ἐ δ ὲ τ ῇ ὀπτήσει τῶ χοιρέω κρεῶ ἀλειφέσθωσα οἰομέλιτι. τ ὰ δ ὲ τῶ οἰῶ ποδοκέφαλα πηκτ ὰ κα ὶ ὀξυστ ὰ ἐσθιέτω. ἐκ δ ὲ τῶ ὀρέω ὄριθα κα ὶ περιστερόπουλα, λευκ ὰ δὲ κα ὶ βρακάτα, ταῦτα γάρ εἰσι τ ὰ κρείττοα, χλία δ ὲ κα ὶ ὀπτά, ἐ δ ὲ ζωμοῖ καρυκευτά. κα ὶ ὄ ρτυγα κα ὶ τρωγλίτα. τούτω μὲ τῶ ἀγρίω γιομέω ψαχ ὰ χλία δίεφθα. ἐκ δ ὲ τῶ ἰχθύω σαργοὺ τηγάου, χρυσάφια δ ὲ κα ὶ προλεχθέτα ἐσθίει δι ὰ τῶ ἀρωμάτω καρυκευτά. ἐκ δ ὲ τῶ λαχάω κράμβα κα ὶ γογκύλια, δαυκὶ κα ὶ πράσα κα ὶ ἀσπαράγκου ἀγρίου κα ὶ ἐλαιοσπάραγκα καὶ χαμαιδάφια κα ὶ βρυώια ἐσθίει <μετ'> ἐλαιογάρου τ ὸ δ ὲ ζέμα αὐτῶ πίει καρυκευτό. τὴ δὲ κράμβη ἕψει μετ' ἐλαιογάρου. πᾶσι δ ὲ τοῖ < ἀθρώποι> σκόροδα φαγεῖ ἑφθ ὰ ὁλέλαια τ ὸ ζέμα αὐτῶ πίει δι ὰ στάχου κα ὶ μέλιτο τοῖ δ ὲ εὐρώστοι κα ὶ ξηρόζεμα πίει δι ὰ πεπέρεω καὶ στάχου κα ὶ κιαμώμου κα ὶ καρεοφύλλω κα ὶ στύρακο καλο ῦ ὀλίγου κα ὶ μέλιτο το ῦ ἀρκοῦ το. ἐκ δ ὲ τῶ κοδιμέτω εὔζωμο, πράσο, σέλιο κα ὶ λεπτὰ ῥεφαίδα ἐσθίει κα ὶ πήγαο καὶ ἡδύοσμο κα ὶ λιβυστικό. τ ὰ δ ὲ ἐμβάμματα ἔστωσα σίηπι, ἀλόη, κύμιο κα ὶ οἰόγαρο. ἐκ δὲ τῶ ὀσπρέω λαθύρια, αὖχο ἀλετά ἡ δ ὲ ἄρτυσι αὐτῶ δι' ἐλαίου κα ὶ κυμίου τριπτο ῦ. ἐκ δὲ τῶ ὀπωρῶ σταφίδα, ἀμύγδαλα, πιστάκια κα ὶ κουκοάρια. τοῖ δ ὲ εὐρώστοι κα ὶ κυδωάτα λαμβάει κα ὶ ὀλίγο κίτρο κα ὶ ῥοΐδι κα ὶ ἀπίδι κα ὶ φοίικα κα ὶ πρωτόγαλα μετ ὰ μέλιτο καὶ στάχου κα ὶ κιαμώμου λειωθέτο κα ὶ χυλο ῦ σεμιδάλεω. ἐ δ ὲ τοῖ λοετροῖ δι' ὅλου το ῦ μηὸ δʹ σμηχόμεο ίτρ ῳ ὀπτ ῷ ἐ οἴ ῳ λυθέτι χρίσμα δ ὲ ποιεῖ ἐ σκευασμέο τουτέστι ψίλωθρο βάλλει δ ὲ κα ὶ ἀλόη σταθμὸ λίτρα γ ʹ κα ὶ σμύρη λίτρα α ʹ κα ὶ κρόκου ᾠῶ β ʹ ταῦ τα πάτα ἑώσα ἐ τ ῷ χρίσματι σμήχου. ταῦτα δ ὲ ἡ σκευ ὴ ἑό. ἁρμόζει δ ὲ πρὶ χρίσασθαι ἢ εἰσέλθῃ εἰ λοετρὸ κα ὶ περιχύσασθαι σίτλα γ ʹ πρὶ ἱδρῶσαι κα ὶ ἐξελθεῖ εἰ τ ὸ ἔξωθε κα ὶ ἀ ποσπογκίσασθαι καλῶ μετ ὰ το ῦ χρίσματο. μετ ὰ δ ὲ τ ὸ ἀποπλύεσθαι το ῦ χρίσματο ἀποτρίβεσθαι δι' οἴ ου ψυκτηρίου κα ὶ κρόκω ᾠῶ σὺ ῥοδελαί ῳ ἀαμεμιγμέω θερμ ῷ κα ὶ ἀφροδισιάζει. MHNI SEPTEBRIWI. Ὁ Σεπτέβριο χολὴ μέλαια κυριεύει. ἁ ρμόζει δριμυφαγίαι πάσαι χρᾶσθαι, πρ ὸ πάτω δ ὲ πράσα ἐσθίει ἑφθ ὰ κα ὶ ὠμ ὰ κα ὶ τ ὸ ζέμα πίει κα ὶ σκόροδα ἑφθ ὰ καὶ

10 ὠμ ὰ κα ὶ καρυκευτ ὰ μετ ὰ ἀρωμάτω. ἐκ δ ὲ τῶ κρεῶ πρόβεα κα ὶ ὄριθα, περιστερόπουλα δ ὲ καὶ χῆα κα ὶ ὄρτυγα κα ὶ ὀρτυγομήτρα κα ὶ τῶ οἰῶ τ ὰ γαλούρια, ήσσα δ ὲ κα ὶ φάσσα καὶ τρυγόα κα ὶ πέρδικα, βόεια δ ὲ κα ὶ ἐλάφου κα ὶ δορκάδα κα ὶ πλάτοα κα ὶ λαγωοὺ κα ὶ συάγρου ἀπέχει δε ῖ. ἐκ δ ὲ τῶ ἰχθύω κεφάλου κα ὶ κίχλα κα ὶ πάτα τ ὰ ἀλέπιδα ἐσθίει ὅσα δ ὲ παστὰ ἀπέχεσθαι τ ὰ δ' ἄλλα ἐσθίει. ἐκ δ ὲ τῶ ὀσπρέω κύαμο κα ὶ φακῆ κα ὶ λάθυρο ἀπέχεσθαι, τὰ δ ὲ λοιπ ὰ ἐσθίει. ἀσπαράγκου δ ὲ πάτα κα ὶ ἀμαίτα λευκοὺ ἐσθίει. ἐκ δ ὲ τῶ ὀπωρῶ σταφυλὰ λευκὰ κα ὶ ἀπίου τοὺ ἀγρίου τοὺ ἀκμάσατα κα ὶ μῆλο γλυκ ὺ κα ὶ σῦ κα λευκά, ῥοδάκια κα ὶ περσικ ὰ κα ὶ μηλοροδάκια, ῥοιὰ κα ὶ φοίικα κα ὶ μηλοκύδωα πάτα ἐσθίει. ἐκ δὲ τῶ ξηρῶ πιστάκια κα ὶ κάρυα τ ὰ βασιλικ ὰ ἀμύγδαλά τε κα ὶ κοκοάρια. οἴου δ ὲ λευκοὺ καὶ ἐλαιοχρόου πίει κα ὶ ἀψιθοροσάτου. λουτρ ὰ δ ὲ η ʹ κα ὶ σμήχεθαι. κα ὶ ἀφροδισιάζει. Fuentes: Aristarchus of Samos, the ancient Copernicus, T. HEATH, ed., Oxford, Clarendon Press, 1913, rep Commentariorum in Aratum reliquiae, E. MAASS, ed. Berlín, Weidmann, 1898, rep Pseudo-Eratosthenis catasterismi en Mythographi Graeci 3, A. OLIVIERI, ed, Leipzig, Teubner, Hipparchi in Arati et Eudoxi phaenomena commentariorum libri III, C. MANITIUS, ed. Leipzig, Teubner, Archimède,1, C. MUGLER, ed, París, Les Belles Lettres, Euclidis elementa, vols. 1 4, 2nd edn., E. S. STAMATIS, ed. (post J. L. HEIBERG), Leipzig, Teubner, 1:1969; 2:1970; 3:1972;4:1973. Anecdota Atheniensia et alia, vol. 2, A. DELATTE, ed., París, Droz, 1939.

11.1 11.3. Ορισµός ιδιότητες εγγραφή καν. πολυγώνων σε κύκλο

11.1 11.3. Ορισµός ιδιότητες εγγραφή καν. πολυγώνων σε κύκλο 1 11.1 11. ρισµός ιδιότητες εγγραφή κα. πολυγώω σε κύκλο ΘΩΡΙ 1. Έα πολύγωο λέγεται καοικό, ότα έχει όλες τις πλευρές του ίσες και όλες τις γωίες του ίσες.. ύο καοικά πολύγωα µε το ίδιο αριθµό πλευρώ είαι

Διαβάστε περισσότερα

Α. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ = Γ. β1 = β2

Α. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ = Γ. β1 = β2 Α. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΙΔΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ( ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ): i. αχ=β µε α 0 έχει µία λύση ii. 0χ=β µε β 0 αδύατη εξίσωση ( καµία λύση ) iii. 0χ=0 αόριστη εξίσωση ( άπειρες λύσεις ) ΕΙΔΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ (ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

+ + = + + α ( β γ) ( )

+ + = + + α ( β γ) ( ) ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Αριθµητική παράσταση Αριθµητική παράσταση λέγεται µια σειρά αριθµώ που συδέοται µεταξύ τους µε πράξεις. Η σειρά τω πράξεω σε µια αριθµητική παράσταση είαι η εξής: 1. Υπολογίζουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ. β. ΜΗΔ = 45 Μονάδες 5. Θέμα 4 ο Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Α = 90 ) με ΑΓ > ΑΒ, η διάμεσός του ΑΖ και έστω Δ και

ΘΕΜΑΤΑ. β. ΜΗΔ = 45 Μονάδες 5. Θέμα 4 ο Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Α = 90 ) με ΑΓ > ΑΒ, η διάμεσός του ΑΖ και έστω Δ και Α. Να χαρακτηρίσετε Σωστές (Σ) ή Λάθος (Λ) τις παρακάτω προτάσεις: α. Οι διχοτόμοι δύο διαδοχικών και παραπληρωματικών γωνιών σχηματίζουν ορθή γωνία. β. Οι διαγώνιες κάθε παραλληλογράμμου είναι ίσες μεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9 Ο κύκλος Ορισμός. Ο κύκλος (Κ, r) με κέντρο Κ και ακτίνα r είναι το σχήμα που αποτελείται από όλα τα σημεία του επιπέδου που απέχουν απόσταση r από το σημείο Κ. Σχήμα 9.1: Στοιχεία ενός κύκλου.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ. Για να βρούµε την δύναµη i (όπου κ ακέραιος), διαιρούµε το κ µε το 4 και σύµφωνα µε την ταυτότητα της διαίρεσης ισχύει κ=4ρ+υ όπου ρ Ζ

ΑΛΓΕΒΡΑ. Για να βρούµε την δύναµη i (όπου κ ακέραιος), διαιρούµε το κ µε το 4 και σύµφωνα µε την ταυτότητα της διαίρεσης ισχύει κ=4ρ+υ όπου ρ Ζ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ - ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ κ Για α βρούµε τη δύαµη i (όπου κ ακέραιος), διαιρούµε το κ µε το 4 και σύµφωα µε τη ταυτότητα της διαίρεσης ισχύει κ=4ρ+υ όπου ρ Ζ και υ = 0,,, οπότε i κ 4ρ+

Διαβάστε περισσότερα

Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία

Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία Η Θεωρία σε Ερωτήσεις Ερωτήσεις Κατανόησης Επαναληπτικά Θέματα Επαναληπτικά Διαγωνίσματα Περιεχόμενα Τρίγωνα Α. Θεωρία-Αποδείξεις Σελ.2 Β. Θεωρία-Ορισμοί..Σελ.9 Γ. Ερωτήσεις Σωστού

Διαβάστε περισσότερα

Απαντήσεις Λύσεις σε Θέματα από την Τράπεζα Θεμάτων. Μάθημα: Γεωμετρία Α Λυκείου

Απαντήσεις Λύσεις σε Θέματα από την Τράπεζα Θεμάτων. Μάθημα: Γεωμετρία Α Λυκείου Απαντήσεις Λύσεις σε Θέματα από την Τράπεζα Θεμάτων Μάθημα: Γεωμετρία Α Λυκείου Παρουσιάζουμε συνοπτικές λύσεις σε επιλεγμένα Θέματα («Θέμα 4 ο») από την Τράπεζα θεμάτων. Το αρχείο αυτό τις επόμενες ημέρες

Διαβάστε περισσότερα

ΒΕ Ζ είναι ισόπλευρο. ΔΕΡ.

ΒΕ Ζ είναι ισόπλευρο. ΔΕΡ. ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΩΕΚΑΝΗΣΟΥ ΘΕΜΑ 1 Θεωρούμε το ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ και έστω ένα σημείο της πλευράς ΑΓ. Κατασκευάζουμε το παραλληλόγραμμο ΒΓΕ και έστω Ζ η τομή της Ε με την ΑB. Ονομάζουμε

Διαβάστε περισσότερα

A λ υ τ ε ς Α σ κ η σ ε ι ς ( Τ ρ ι γ ω ν α )

A λ υ τ ε ς Α σ κ η σ ε ι ς ( Τ ρ ι γ ω ν α ) A λ υ τ ε ς Α σ κ η σ ε ι ς ( Τ ρ ι γ ω ν α ) 1 Στις πλευρες ΑΒ, ΒΓ, ΓΑ ισοπλευρου τριγωνου ΑΒΓ, παιρνουμε 3 Να δειχτει οτι α + 110 0α Ποτε ισχυει Συγκρινετε το ισον; τα τριγωνα με σημεια Δ, Ε, Ζ αντιστοιχα,

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Γεωμετρίας Α Λυκείου

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Γεωμετρίας Α Λυκείου Επαναληπτικό Διαγώνισμα Γεωμετρίας Α Λυκείου Θέμα Α. Να αποδείξετε ότι το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει τα μέσα των δύο πλευρών τριγώνου, είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και ίσο με το μισό της (7 μονάδες)

Διαβάστε περισσότερα

Επιμέλεια Μετάφρασης: Αποστολάκη Μαρία Α.Μ.3414. Βεϊζη Αρίων Α.Μ.3551. Μουτζιάνου Γεώργιος Α.Μ. 3405. Παντελάκη Άννα Α.Μ.3341

Επιμέλεια Μετάφρασης: Αποστολάκη Μαρία Α.Μ.3414. Βεϊζη Αρίων Α.Μ.3551. Μουτζιάνου Γεώργιος Α.Μ. 3405. Παντελάκη Άννα Α.Μ.3341 Επιμέλεια Μετάφρασης: Αποστολάκη Μαρία Α.Μ.3414 Βεϊζη Αρίων Α.Μ.3551 Μουτζιάνου Γεώργιος Α.Μ. 3405 Παντελάκη Άννα Α.Μ.3341 Παπουτσάκης Κώστας Α.Μ.3249 Χριστοφάκη Μαρία Α.Μ.3277 1 Ορισμοί 1. Σημείο είναι

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 Παράλληλες Ευθείες και Τετράπλευρα Ορισμός. Δύο ευθείες ονομάζονται παράλληλες όταν ανήκουν στο ίδιο επίπεδο και δεν τέμνονται. Δύο παράλληλες ευθείες ε και ζ συμβολίζονται ε ζ. Γωνίες δύο ευθειών

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Ο ΕΜΒΑΔΑ 10.1 ΠΟΛΥΓΩΝΙΚΑ ΧΩΡΙΑ 10.2 ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. ΙΣΟΔΥΝΑΜΑ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. 10.3 ΕΜΒΑΔΟΝ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Ο ΕΜΒΑΔΑ 10.1 ΠΟΛΥΓΩΝΙΚΑ ΧΩΡΙΑ 10.2 ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. ΙΣΟΔΥΝΑΜΑ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. 10.3 ΕΜΒΑΔΟΝ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0 Ο ΕΜΒΑΔΑ 0. ΠΟΛΥΓΩΝΙΚΑ ΧΩΡΙΑ 0. ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. ΙΣΟΔΥΝΑΜΑ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. 0.3 ΕΜΒΑΔΟΝ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ ΘΕΩΡΙΑ (Πολυγωνικά χωρία) Ας θεωρήσουμε ένα πολύγωνο, για παράδειγμα

Διαβάστε περισσότερα

FAX : 210.34.42.241 spudonpe@ypepth.gr) Φ. 12 / 600 / 55875 /Γ1

FAX : 210.34.42.241 spudonpe@ypepth.gr) Φ. 12 / 600 / 55875 /Γ1 Ε Λ Λ Η Ν Ι Κ Η Η Μ Ο Κ Ρ Α Τ Ι Α Υ ΠΟΥ ΡΓΕΙΟ ΕΘΝ. ΠΑ Ι ΕΙΑ Σ & ΘΡΗΣ Κ/Τ Ω ΕΝΙΑ ΙΟΣ ΙΟΙΚΗΤ ΙΚΟΣ Τ ΟΜ ΕΑ Σ Σ ΠΟΥ Ω Ν ΕΠΙΜ ΟΡΦΩ Σ ΗΣ ΚΑ Ι ΚΑ ΙΝΟΤ ΟΜ ΙΩ Ν /ΝΣ Η Σ ΠΟΥ Ω Τ µ ή µ α Α Α. Πα π α δ ρ έ ο υ 37

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1. Να επιλέξετε μια απάντηση για κάθε ερώτηση και να δικαιολογήσετε σύντομα την απάντησή σας. i. Αν η εξωτερική γωνία ενός κανονικού ν-γώνου ισούται με 0 ο, τότε το ν ισούται

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρία Β Λυκείου ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ

Γεωμετρία Β Λυκείου ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ 36 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9: ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ 37 ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΤΥΧΑΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ 38 39 40 41 ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΚΥΚΛΟ 4 43 44 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10:ΕΜΒΑΔΑ ΕΠΙΠΕΔΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ 45 46 47 48 49 50 51 5 53

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Τι είναι ένα ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ; Πώς ονομάζονται τα σημεία Α και Β; 1 ος ορισμός : Είναι η «ίσια» γραμμή που ενώνει τα δύο σημεία Α και Β. 2 ος ορισμός : Είναι

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρία Β Λυκείου Θεωρήματα διχοτόμων Αρμονικά συζυγή Ομοιότητα τριγώνων.

Γεωμετρία Β Λυκείου Θεωρήματα διχοτόμων Αρμονικά συζυγή Ομοιότητα τριγώνων. Γεωμετρία Β Λυκείου Θεωρήματα διχοτόμων Αρμονικά συζυγή Ομοιότητα τριγώνων. Καρδαμίτσης Σπύρος «Τὰ ὅμοια πολύγωνα εἴς τε ὅμοια τρίγωνα διαιρεῖται καὶ εἰς ἴσα τὸ πλῆθος καὶ ὁμόλογα τοῖς ὅλοις, καὶ τὸ πολύγωνον

Διαβάστε περισσότερα

4 ΔΙΑΜΕΣΟΣ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΥ ΤΡΙΓΩΝΟΥ

4 ΔΙΑΜΕΣΟΣ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΥ ΤΡΙΓΩΝΟΥ 4 ΔΙΑΜΕΣΟΣ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΥ ΤΡΙΓΩΝΟΥ 1. Δίνεται ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ( ˆ =90 ο ) και ΑΔ η διχοτόμος της γωνίας A. Από το σημείο Δ φέρουμε παράλληλη προς την ΑΒ που τέμνει την πλευρά ΑΓ στο σημείο

Διαβάστε περισσότερα

2ηέκδοση 20Ιανουαρίου2015

2ηέκδοση 20Ιανουαρίου2015 ηέκδοση 0Ιανουαρίου015 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ Μ.Ε. ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΜΑΘΗΣΗ (β-πακέτο ασκήσεων) 1 89 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και Δ εσωτερικό σημείο του ΒΓ. Φέρουμε από το Δ παράλληλες στις πλευρές ΑΒ και ΑΓ. Η παράλληλη στην

Διαβάστε περισσότερα

ΙΣΟΣΚΕΛΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟ ΜΕΣΟΚΑΘΕΤΟΣ - ΔΙΧΟΤΟΜΟΣ. 2ο ΘΕΜΑ

ΙΣΟΣΚΕΛΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟ ΜΕΣΟΚΑΘΕΤΟΣ - ΔΙΧΟΤΟΜΟΣ. 2ο ΘΕΜΑ ΙΣΟΣΚΕΛΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟ ΜΕΣΟΚΑΘΕΤΟΣ - ΔΙΧΟΤΟΜΟΣ 5029 Έστω κυρτό τετράπλευρο ΑΒΓΔ με και α) β) Το τρίγωνο ΑΔΓ είναι ισοσκελές μ 10 γ) Η ευθεία ΒΔ είναι μεσοκάθετος του τμήματος ΑΓ μ 7 5619 Δίνεται γωνία χαy και

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Επααληπτικό Διαγώισμα Μαθηματικώ Γεικής Παιδείας Γ Λυκείου Θέμα A Α.α) Τι οομάζουμε συάρτηση και τι οομάζουμε πραγματική συάρτηση πραγματικής μεταβλητής; β) Τι λέγεται τιμή μιας συάρτησης f στο χ ; γ)

Διαβάστε περισσότερα

3 o ΓΕ.Λ. ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ. ΖΟΥΖΙΑΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ Μαθηματικός 2013 2014 EΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

3 o ΓΕ.Λ. ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ. ΖΟΥΖΙΑΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ Μαθηματικός 2013 2014 EΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 3 o ΓΕ.Λ. ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ Μαθηματικός 2013 2014 EΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1) ΘΕΩΡΙΑ... 2 2) ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ... 5 2.1. ΤΡΙΓΩΝΑ... 5 2.1.1. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ Σωστού - Λάθους στα τρίγωνα... 5 2.1.2.

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ Βασικά θεωρήματα Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο μιας κάθετης πλευράς του είναι ίσο με το γινόμενο της υποτείνουσας επί την προβολή της

Διαβάστε περισσότερα

Ä ÑÁÓÔÇÑÉÏÔÇÔÁ 1ç. Απάντηση Οι γωνίες που σχηµατίζονται είναι: Α. αµβλεία Β. ευθεία Γ. πλήρης. οξεία Ε. ορθή Ζ. αµβλεία Η. οξεία.

Ä ÑÁÓÔÇÑÉÏÔÇÔÁ 1ç. Απάντηση Οι γωνίες που σχηµατίζονται είναι: Α. αµβλεία Β. ευθεία Γ. πλήρης. οξεία Ε. ορθή Ζ. αµβλεία Η. οξεία. Ä ÑÁÓÔÇÑÉÏÔÇÔÁ 1ç Σε όλα τα παρακάτω αντικείµενα σχηµατίζονται διάφορες γωνίες ανάλογα µε τη σχετική θέση, κάθε φορά, δύο ηµιευθειών που έχουν ένα κοινό ση- µείο, όπως π.χ. είναι οι δείκτες του ρολογιού,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο 1 ο ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α1.1 Ισότητα τριγώνων Στο διπλανό σχήμα το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές με ΑΒ=ΑΓ. Προεκτείνουμε τη βάση ΒΓ κατά ίσα τμήματα

Διαβάστε περισσότερα

ΠPOΛEΓOMENA. Thank you. ;) Nov. 15. 2004. Myungsunn Ryu.

ΠPOΛEΓOMENA. Thank you. ;) Nov. 15. 2004. Myungsunn Ryu. ΣTOIXEIA EΥKΛEIOΥ ΠPOΛEOMENA This document is compiled from Greek texts borrowed from Perseus Digital Library 1 and drawings that I created with a geometrical drawing language named, fittingly to the

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 08/04/10

ΛΥΣΕΙΣ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 08/04/10 ΥΣΙΣ ΙΑΩΝΙΣΜΑ ΩΜΤΡΙΑ Α ΥΚΙΟΥ ΘΜΑ ο 08/04/0 Α. Να αποδείξετε ότι η διάµεσος ορθογωνίου τριγώνου που φέρουµε από την κορυφή της ορθής γωνίας είναι ίση µε το µισό της υποτείνουσας. Θεωρία σχολικό βιβλίο σελ.09

Διαβάστε περισσότερα

6. Θεωρούµε ισοσκελές τραπέζιο ΑΒΓ (ΑΒ//Γ ). Φέρουµε τα ύψη του ΑΕ και ΒΖ. α) Ε=ΓΖ. β) ΑΖ=ΒΕ.

6. Θεωρούµε ισοσκελές τραπέζιο ΑΒΓ (ΑΒ//Γ ). Φέρουµε τα ύψη του ΑΕ και ΒΖ. α) Ε=ΓΖ. β) ΑΖ=ΒΕ. 1. Θεωρούµε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ). Στο µέσο της πλευράς ΑΒ φέρουµε κάθετη ευθεία που τέµνει την ΑΓ στο Ε. Από το Ε φέρουµε ευθεία παράλληλη στη βάση ΒΓ που τέµνει την ΑΒ στο Ζ. α) Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

1 ο Αχαρνών 197 Αγ. Νικόλαος 210.8651962. 2 ο Αγγ. Σικελιανού 43 Περισσός 210.2718688

1 ο Αχαρνών 197 Αγ. Νικόλαος 210.8651962. 2 ο Αγγ. Σικελιανού 43 Περισσός 210.2718688 1 ο Αχαρνών 197 Αγ. Νικόλαος 10.865196 ο Αγγ. Σικελιανού 4 Περισσός 10.718688 AΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1. Θεωρούμε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (Α =90Ο ) και Α το ύψος του. Αν Ε και Ζ είναι οι προβολές του

Διαβάστε περισσότερα

6.1 6.4. 1. Εγγεγραµµένη γωνία, αντίστοιχη επίκεντρη και τόξο. 2. Γωνία δύο χορδών και γωνία δύο τεµνουσών

6.1 6.4. 1. Εγγεγραµµένη γωνία, αντίστοιχη επίκεντρη και τόξο. 2. Γωνία δύο χορδών και γωνία δύο τεµνουσών 6. 6.4 ΘΩΡΙ. γγεγραµµένη γωνία, αντίστοιχη επίκεντρη και τόξο Το µέτρο της επίκεντρης ισούται µε το µέτρο του αντίστοιχου τόξου. Η εγγεγραµµένη ισούται µε το µισό της αντίστοιχης επίκεντρης. Η εγγεγραµµένη

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. 1. 2( x 1) 3(2 x) 5( x 3) 2. 4x 2( x 3) 6 2x 3. 2x 3(4 x) x 5( x 1)

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. 1. 2( x 1) 3(2 x) 5( x 3) 2. 4x 2( x 3) 6 2x 3. 2x 3(4 x) x 5( x 1) ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α. Να λυθούν οι παρακάτω εξισώσεις: 1. ( x 1) ( x) 5( x ). x ( x ) 6 x. x ( x) x 5( x 1) x 1 (1 x) x ( x) x x. 1 x 5. x 6 1 1 ( ) 1 1 6. x 1 x 7. 1 x

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος»

ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» ΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: ΜΕΤΡΙΚΕ ΧΕΕΙ Ερωτήσεις του τύπου «ωστό-άθος» Να χαρακτηρίσετε με (σωστό) ή (λάθος) τις παρακάτω προτάσεις. 1. * Αν σε τρίγωνο ΑΒ ισχύει ΑΒ = Α + Β, τότε το τρίγωνο είναι:

Διαβάστε περισσότερα

www.fr-anodos.gr (, )

www.fr-anodos.gr (, ) ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Το lim f ( ) έχει όηµα σε γειτοικά σηµεία µε το δηλαδή ότα ( a, ) (, β ) a. Δε µε εδιαφέρει α το ίδιο το αήκει η όχι στο πεδίο ορισµού της f αλλά µε εδιαφέρει α υπάρχου στο πεδίο ορισµού

Διαβάστε περισσότερα

Γεωµετρία Α Γυµνασίου. Ορισµοί Ιδιότητες Εξηγήσεις

Γεωµετρία Α Γυµνασίου. Ορισµοί Ιδιότητες Εξηγήσεις Γεωµετρία Α Γυµνασίου Ορισµοί Ιδιότητες Εξηγήσεις Ευθεία γραµµή Ορισµός δεν υπάρχει. Η απλούστερη από όλες τις γραµµές. Κατασκευάζεται µε τον χάρακα (κανόνα) πάνω σε επίπεδο. 1. ύο σηµεία ορίζουν την θέση

Διαβάστε περισσότερα

A λ υ τ ε ς Α σ κ η σ ε ι ς ( Π α ρ α λ λ η λ ε ς Ε υ θ ε ι ε ς ) 2. Aν α, β θετικοι, να συγκρινεται τους αριθμους Α = α + β, Β = α β + αβ.

A λ υ τ ε ς Α σ κ η σ ε ι ς ( Π α ρ α λ λ η λ ε ς Ε υ θ ε ι ε ς ) 2. Aν α, β θετικοι, να συγκρινεται τους αριθμους Α = α + β, Β = α β + αβ. 1 Δινεται τριγωνο ΑΒΓ και η διχοτομος ΒΕ της γωνιας B του τριγωνου Απο το Α φερνουμε παράλληλη της ΒΕ, που τεμνει τη ΒΓ 3 Να δειχτει οτι α + 11 α Ποτε ισχυει ΑΔ ΒΕ το ισον; οποτε οι γωνιες 3 3 Aν α, β

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ο ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ο ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΟΥ ΘΑΛΗ Βασικά θεωρήματα Αν τρεις τουλάχιστον παράλληλες ευθείες τέμνουν δύο άλλες ευθείες, ορίζουν σε αυτές τμήματα ανάλογα. (αντίστροφο Θεωρήματος Θαλή) Θεωρούμε δύο ευθείες δ και

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΙ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ ΤΥΠΟΥ ΑΠΟΤΕΛΟΥΝ ΜΕΡΟΣ ΤΟΥ ΘΕΜΑΤΟΣ Α ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ (ΘΕΜΑ ΘΕΩΡΙΑΣ) Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ 1. Ένα τρίγωνο είναι οξυγώνιο όταν έχει

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ο ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ο ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ Ορισμός: Δύο ευθύγραμμα σχήματα ονομάζονται όμοια, αν έχουν τις πλευρές τους ανάλογες και τις γωνίες που σχηματίζονται από ομόλογες πλευρές τους ίσες μία προς μία. ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΟΜΟΙΟΤΗΤΑΣ ΤΡΙΓΩΝΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

2. Να προσδιορίσετε τους επταψήφιους αριθμούς, οι οποίοι είναι τέλεια τετράγωνα και τα τρία πρώτα ψηφία τους, στη σειρά, είναι τα 4, 0 και 0.

2. Να προσδιορίσετε τους επταψήφιους αριθμούς, οι οποίοι είναι τέλεια τετράγωνα και τα τρία πρώτα ψηφία τους, στη σειρά, είναι τα 4, 0 και 0. Ευκλείδης Γ' Γυμνασίου 1995-1996 1. Να γίνει γινόμενο η παράσταση Α= ν 2 3ν 1 2 1. 2. Να προσδιορίσετε τους επταψήφιους αριθμούς, οι οποίοι είναι τέλεια τετράγωνα και τα τρία πρώτα ψηφία τους, στη σειρά,

Διαβάστε περισσότερα

Το τµήµα που ενώνει τα µέσα δύο πλευρών τριγώνου, είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και ίσο µε το µισό της.

Το τµήµα που ενώνει τα µέσα δύο πλευρών τριγώνου, είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και ίσο µε το µισό της. 5.3 Εφαρµογές των παραλληλογράµµων 155 5.3 Εφαρµογές των παραλληλογράµµων Α Εφαρµογές στα τρίγωνα Α1 Θεώρηµα 1 Το τµήµα που ενώνει τα µέσα δύο πλευρών τριγώνου, είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ν περνά από σταθερό σημείο. ν περνά από το σταθερό μέσο του επίσης σταθερού ΚΛ. Το διανυσματικό άθροισμα f Μ γράφεται:

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ν περνά από σταθερό σημείο. ν περνά από το σταθερό μέσο του επίσης σταθερού ΚΛ. Το διανυσματικό άθροισμα f Μ γράφεται: Το διανυσματικό άθροισμα f Μ γράφεται: f Μ = x ΜΑ+ x ΜΑ+ΑΒ + x ΜΑ+ΑΓ = ΜΑ + ΜΑ + ΜΑ + ΑΒ + ΑΓ ( x) ( x) ( x ) ( x) ( x ) = ( x + x + x ) ΜΑ + ( x) ΑΒ + ( x ) ΑΓ = ( x 4x+ ) ΜΑ+ ( x) ΑΒ+ ( x ) Α Γ f Μ είναι

Διαβάστε περισσότερα

Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΣΚΗΣΗ 1 η Να αποδείξετε ότι στις ομόλογες πλευρές δύο ίσων τριγώνων αντιστοιχούν ίσες διάμεσοι. Α Α ΑΠΟΔΕΙΞΗ Β Γ Β Γ Θα δείξουμε ότι ΑΜ=Α

Διαβάστε περισσότερα

2. ίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) και οι διχοτόµοι του Β και ΓΕ. Αν ΕΗ ΒΓ και Ζ ΒΓ, να αποδείξετε ότι: β) Τα τρίγωνα ΑΕ και ΑΖ είναι ίσα.

2. ίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) και οι διχοτόµοι του Β και ΓΕ. Αν ΕΗ ΒΓ και Ζ ΒΓ, να αποδείξετε ότι: β) Τα τρίγωνα ΑΕ και ΑΖ είναι ίσα. 1. Από εξωτερικό σηµείο Σ κύκλου (Κ,ρ) θεωρούµε τις τέµνουσες ΣΑΒ και ΣΓ του κύκλου για τις οποίες ισχύει ΣΒ=Σ. Τα ΚΛ και ΚΜ είναι τα αποστήµατα των χορδών ΑΒ και Γ του κύκλου αντίστοιχα. α) i. τα τρίγωνα

Διαβάστε περισσότερα

Δηθνλνγξαθεκέλν Λεμηθό Σν Πξώην κνπ Λεμηθό

Δηθνλνγξαθεκέλν Λεμηθό Σν Πξώην κνπ Λεμηθό ΤΠΟΤΡΓΔΗΟ ΠΑΗΓΔΗΑ ΚΑΗ ΘΡΖΚΔΤΜΑΣΧΝ, ΠΟΛΗΣΗΜΟΤ ΚΑΗ ΑΘΛΖΣΗΜΟΤ Η.Σ.Τ.Δ. «ΓΗΟΦΑΝΣΟ» Αή Δί Ζίο Γήο Μί Μά Ηί Αύ Δέ Λό Σ Πώ Λό Α, Β, Γ Γύ Σόο 7ο (Σ, Τ, Φ, Υ, Φ,Φ Χ, Πά) Δέ Λό Α, Β, Γ Γύ Σ Πώ Λό Σόο 7ο (Σ, Τ,

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρία Βˊ Λυκείου. Κεφάλαιο 9 ο. Μετρικές Σχέσεις

Γεωμετρία Βˊ Λυκείου. Κεφάλαιο 9 ο. Μετρικές Σχέσεις Γεωμετρία Β Λυκείου Κεφάλαιο 9 Γεωμετρία Βˊ Λυκείου Κεφάλαιο 9 ο Μετρικές Σχέσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΑ ΤΡΙΓΩΝΑ Μετρικές σχέσεις ονομάζουμε τις σχέσεις μεταξύ των μέτρων των στοιχείων

Διαβάστε περισσότερα

Δηθνλνγξαθεκέλν Λεμηθό Σν Πξώην κνπ Λεμηθό

Δηθνλνγξαθεκέλν Λεμηθό Σν Πξώην κνπ Λεμηθό ΤΠΟΤΡΓΔΙΟ ΠΑΙΓΔΙΑ ΚΑΙ ΘΡΗΚΔΤΜΑΣΧΝ, ΠΟΛΙΣΙΜΟΤ ΚΑΙ ΑΘΛΗΣΙΜΟΤ Ι.Σ.Τ.Δ. «ΓΙΟΦΑΝΣΟ» Αή Δί Ηίο Γήο Μί Μά Ιί Αύ Δέ Λό Σ Πώ Λό Α, Β, Γ Γύ Σόο 1ο (Α, Β,) Δέ Λό Α, Β, Γ Γύ Σ Πώ Λό Σόο 1ο (Α, Β,) ΤΓΓΡΑΦΔΙ Αή Δί,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ. Να σηµειώσετε το σωστό (Σ) ή το λάθος (Λ) στους παρακάτω ισχυρισµούς:. Αν ΑΒ + ΒΓ = ΑΓ, τότε τα σηµεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά.. Αν α = β, τότε

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Αμυραδάκη 20, Νίκαια (210-4903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2013 ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ...

ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Αμυραδάκη 20, Νίκαια (210-4903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2013 ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ... Αμυραδάκη 0, Νίκαια (10-4903576) ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΘΕΜΑ 1 ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 013 Α. Να αποδείξετε ότι σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο του ύψους που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα του ισούται με το γινόμενο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΩΣ ΕΙΧΝΩ ΟΤΙ ΥΟ ΕΥΘΕΙΕΣ ΕΙΝΑΙ ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ 1. είχνω ότι τέµνονται από τρίτη ευθεία και σχηµατίζονται γωνίες

ΠΩΣ ΕΙΧΝΩ ΟΤΙ ΥΟ ΕΥΘΕΙΕΣ ΕΙΝΑΙ ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ 1. είχνω ότι τέµνονται από τρίτη ευθεία και σχηµατίζονται γωνίες ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΑ στη γεωµετρία της Α τάξης ΠΩΣ ΕΙΧΝΩ ΟΤΙ ΥΟ ΕΥΘΕΙΕΣ ΕΙΝΑΙ ΚΑΘΕΤΕΣ 1. είχνω ότι η γωνία τους είναι 90 ο 2. είχνω ότι είναι διχοτόµοι δύο εφεξής και παραπληρωµατικών γωνιών. 3. είχνω ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ / ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ / ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ / ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΘΕΜΑ Α ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α.. Να αποδείξετε ότι η παράγωγος της συάρτησης f ( ), για κάθε R. Α.. Α.. (

Διαβάστε περισσότερα

2. ίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) και οι διχοτόµοι του Β και ΓΕ. Αν ΕΗ ΒΓ και Ζ ΒΓ, να αποδείξετε ότι: α) Τα τρίγωνα Β Γ και ΓΕΒ είναι ίσα.

2. ίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) και οι διχοτόµοι του Β και ΓΕ. Αν ΕΗ ΒΓ και Ζ ΒΓ, να αποδείξετε ότι: α) Τα τρίγωνα Β Γ και ΓΕΒ είναι ίσα. 1. Από εξωτερικό σηµείο Σ κύκλου (Κ,ρ) θεωρούµε τις τέµνουσες ΣΑΒ και ΣΓ του κύκλου για τις οποίες ισχύει ΣΒ=Σ. Τα ΚΛ και ΚΜ είναι τα αποστήµατα των χορδών ΑΒ και Γ του κύκλου αντίστοιχα. α) Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α. Γεωμετρικές κατασκευές. 1. Μεσοκάθετος ευθυγράμμου τμήματος. 2. ιχοτόμος γωνίας. 3. ιχοτόμος γωνίας με άγνωστη κορυφή. 4.

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α. Γεωμετρικές κατασκευές. 1. Μεσοκάθετος ευθυγράμμου τμήματος. 2. ιχοτόμος γωνίας. 3. ιχοτόμος γωνίας με άγνωστη κορυφή. 4. ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α Γεωμετρικές κατασκευές Σκοπός των σημειώσεων αυτών είναι να υπενθυμίζουν γεωμετρικές κατασκευές, που θα φανούν ιδιαίτερα χρήσιμες στο μάθημα της παραστατικής γεωμετρίας, της προοπτικής, αξονομετρίας

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρία Α' Λυκείου Κεφάλαιο 3 ο (Τρίγωνα) Γεωμετρία Αˊ Λυκείου. Κεφάλαιο 3 ο Τρίγωνα

Γεωμετρία Α' Λυκείου Κεφάλαιο 3 ο (Τρίγωνα) Γεωμετρία Αˊ Λυκείου. Κεφάλαιο 3 ο Τρίγωνα Γεωμετρία Αˊ Λυκείου Κεφάλαιο 3 ο Τρίγωνα Κεφάλαιο 3 ο :Τρίγωνα 1. Τι λέγονται κύρια στοιχεία ενός τριγώνου; Οι πλευρές και οι γωνίες ενός τριγώνου λέγονται κύρια στοιχεία του τριγώνου. Για ευκολία οι

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΘΕΜΑ ο ΘΕΜΑ 8603 Δίνεται τρίγωνο και σημεία και του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και 5. α) Να γράψετε το διάνυσμα ως γραμμικό

Διαβάστε περισσότερα

Γυμνάσιο Μαθηματικά Τάξη B

Γυμνάσιο Μαθηματικά Τάξη B 113 Θέματα εξετάσεω περιόδου Μαΐου-Ιουίου στα Μαθηματικά Τάξη B! taexeiola.blogspot.com 6 ο ΥΜΝΑΣΙΟ ΡΟΔΟΥ ΑΝΑΚΕΦΑΛΑΙΩΤΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ 2014 ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ, ΤΑΞΗ Β' ΥΜΝΑΣΙΟΥ, ΡΟΔΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΗ. Λύση: Β=Γ= = = = 50 2 2 2 ˆ ˆ 180 Γ 180 50 130

ΣΗΜΕΙΩΣΗ. Λύση: Β=Γ= = = = 50 2 2 2 ˆ ˆ 180 Γ 180 50 130 ΣΗΜΕΙΩΣΗ Οι λύσεις των θεμάτων είναι ενδεικτικές.πιθανόν να υπάρχουν και άλλες λύσεις και μάλιστα πιο απλές. ΘΕΜΑ 2 2814 α) Αφού ΑΒΓ ισοσκελές 180 ˆ ˆ ˆ Α 180 80 100 Β=Γ= = = = 50 2 2 2 Επειδή ΒΕ=ΒΔ θα

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στη Φιλοσοφία

Εισαγωγή στη Φιλοσοφία Εισαγωγή στη Φιλοσοφία Ενότητα: Αριστοτέλης Ι Κωνσταντίνος Μαντζανάρης Πρόγραμμα Ιερατικών Σπουδών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Α. ΓΛΩΣΣΑ ΚΑΙ ΛΟΓΟΤΕΧΝΙΑ

Α. ΓΛΩΣΣΑ ΚΑΙ ΛΟΓΟΤΕΧΝΙΑ ΑΝΩΤΑΤΟ ΣΥΜΒΟΥΛΙΟ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΠΡΟΣΩΠΙΚΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΕΤΟΥΣ 2006 ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥ Κλάδος: ΠΕ 70 ΔΑΣΚΑΛΩΝ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗΝ ΠΡΩΤΗ ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ (Γωστικό ατικείμεο) Σάββατο 27-1-2007

Διαβάστε περισσότερα

ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Θεωρία

ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Θεωρία Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Θεωρία 2014 2015 ΜΑΥΡΑΓΑΝΗΣ ΣΤΑΘΗΣ ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 2 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ιδακτέα εξεταστέα ύλη σχολικού

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.4 ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΤΟΥ ΜΗΚΟΥΣ ΚΥΚΛΟΥ ΜΕ ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΠΟΛΥΓΩΝΑ 11.5 ΜΗΚΟΣ ΤΟΞΟΥ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.4 ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΤΟΥ ΜΗΚΟΥΣ ΚΥΚΛΟΥ ΜΕ ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΠΟΛΥΓΩΝΑ 11.5 ΜΗΚΟΣ ΤΟΞΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.4 ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΤΟΥ ΜΗΚΟΥΣ ΚΥΚΛΟΥ ΜΕ ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΠΟΛΥΓΩΝΑ 11.5 ΜΗΚΟΣ ΤΟΞΟΥ ΘΕΩΡΙΑ 1 (Μήκος κύκλου) Το μήκος του κύκλου (Ο, R) συμβολίζεται με L. Ο Ιπποκράτης ο Χίος απέδειξε ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Ημερομηνία: 20/12/08 Ώρα εξέτασης: 09:30-12:30 ΟΔΗΓΙΕΣ: 1. Να λύσετε όλα τα θέματα.κάθε θέμα βαθμολογείται με 10 μονάδες. 2. Να γράφετε με

Διαβάστε περισσότερα

Δυνάμεις πραγματικών αριθμών

Δυνάμεις πραγματικών αριθμών Κεφάλαιο 1 ο 45 Β. Δυάμεις πραγματικώ αριθμώ Α έχουμε έα γιόμεο της μορφής (-) (-) (-) (-) όπου κάθε παράγοτας είαι (δηλαδή ο ίδιος ο αριθμός) μπορούμε α το συμβολίσουμε με μια πιο απλή μορφή : (-) 4.

Διαβάστε περισσότερα

Γυμνάσιο Μαθηματικά Τάξη B

Γυμνάσιο Μαθηματικά Τάξη B 113 Θέματα εξετάσεω περιόδου Μαΐου-Ιουίου στα Μαθηματικά Τάξη B! 114 a. Να διατυπώσετε το ορισμό της δύαμης α με βάση το ρητό α και εκθέτη το φυσικό αριθμό > 1. b. Να συμπληρωθού οι παρακάτω τύποι, δυάμεις

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΒΑΣΙΛΗΣ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΒΑΣΙΛΗΣ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 2ο ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΒΑΣΙΛΗΣ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ 1 2 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ Κύρια και δευτερεύοντα στοιχεία τριγώνου - Είδη τριγώνων 1. Ποια είναι τα κύρια στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

στους μιγαδικούς αριθμούς

στους μιγαδικούς αριθμούς Πράξεις στους μιγαδικούς αριθμούς Πρόσθεση μιγαδικώ αριθμώ Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία α) ) Πώς γίεται η πρόσθεση δύο μιγαδικώ αριθμώ; ) Ποια είαι η γεωμετρική ερμηεία του αθροίσματος δύο μιγαδικώ;

Διαβάστε περισσότερα

Δηθνλνγξαθεκέλν Λεμηθό Σν Πξώην κνπ Λεμηθό

Δηθνλνγξαθεκέλν Λεμηθό Σν Πξώην κνπ Λεμηθό ΤΠΟΤΡΓΔΗΟ ΠΑΗΓΔΗΑ ΚΑΗ ΘΡΖΚΔΤΜΑΣΩΝ, ΠΟΛΗΣΗΜΟΤ ΚΑΗ ΑΘΛΖΣΗΜΟΤ Η.Σ.Τ.Δ. «ΓΗΟΦΑΝΣΟ» Αή Δί Ζίο Γήο Μί Μά Ηί Αύ Δέ Λό Σ Πώ Λό Α, Β, Γ Γύ Σόο 4ο (Λ, - Μ, - Ν, - Ξ,) Δέ Λό Α, Β, Γ Γύ Σ Πώ Λό Σόο 4ο (Λ, - Μ, -

Διαβάστε περισσότερα

Η ιστορία του αριθμού «π»

Η ιστορία του αριθμού «π» Η ιστορία του αριθμού «π» Η ι σ τ ο ρ ί α α υ τ ή έ χ ε ι α π ό ό λ α!!! Α ν α φ έ ρ ε τ α ι σ τ ο ν π ι ο δ ι ά σ η μ ο α ρ ι θ μ ό.. Τ ο ν α ρ ι θ μ ό π. Ν α ι, α υ τ ο ύ τ ο υ π ε ρ ί ε ρ γ ο υ α ρ

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 4 Ο ΑΒ 3 ΕΓ Α ΑΒ,

ΘΕΜΑ 4 Ο ΑΒ 3 ΕΓ Α ΑΒ, ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 Ο - ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΘΕΜΑ Ο Άσκηση (_8975) Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ ΑΒ=9 και ΑΓ=5. Από το βαρύκεντρο Θ του τριγώνου, φέρουμε ευθεία ε παράλληλη στην πλευρά ΒΓ, που τέμνει τις ΑΒ και ΑΓ

Διαβάστε περισσότερα

Κι όµως, τα Ρολόγια «κτυπούν» και Εξισώσεις: Η Άλγεβρα των εικτών του Ρολογιού

Κι όµως, τα Ρολόγια «κτυπούν» και Εξισώσεις: Η Άλγεβρα των εικτών του Ρολογιού Κι όµως, τα Ρολόγια «κτυπού» και Εξισώσεις: Η Άλγεβρα τω εικτώ του Ρολογιού Εισαγωγικά ηµήτρης Ι. Μπουάκης Σχ. Σύµβουλος Μαθηµατικώ Σε ορισµέα βιβλία Αριθµητικής, αλλά κυρίως Άλγεβρας Β Γυµασίου και Α

Διαβάστε περισσότερα

Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου

Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Web page: www.ma8eno.gr e-mail: vrentzou@ma8eno.gr Η αποτελεσματική μάθηση δεν θέλει κόπο αλλά τρόπο, δηλαδή ma8eno.gr Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Αριθμητική - Άλγεβρα Γεωμετρία Άρτιος λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

Μι ο α ι ές ια ά ις ό α 3: ί ς αι ια ά ις φ ι ώ αύ ος Κο ο ί ς Πο ι ή Η ο ό Μ α ι ώ αι ο ο ιάς ο ο ισ ώ ο οί ό ας ιό ς φ ι ώ αι ά σ ο ς σ α ασ ή ήσι ι ο α ι ώ ι ύ 2 Π ι ό α ό ας Μα ι ά ι ά ιό ς φ ι ώ ια

Διαβάστε περισσότερα

Οδηγίες για το SKETCHPAD Μωυσιάδης Πολυχρόνης - Δόρτσιος Κώστας. Με την εκτέλεση του Sketchpad παίρνουμε το παρακάτω παράθυρο σχεδίασης:

Οδηγίες για το SKETCHPAD Μωυσιάδης Πολυχρόνης - Δόρτσιος Κώστας. Με την εκτέλεση του Sketchpad παίρνουμε το παρακάτω παράθυρο σχεδίασης: Οδηγίες για το SKETCHPAD Μωυσιάδης Πολυχρόνης - Δόρτσιος Κώστας Με την εκτέλεση του Sketchpad παίρνουμε το παρακάτω παράθυρο σχεδίασης: παρόμοιο με του Cabri με αρκετές όμως διαφορές στην αρχιτεκτονική

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. 1 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ 1

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. 1 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ 1 ΛΥΚΙΟΥ - ΩΜΤΡΙ ΩΜΤΡΙ ΘΜ o ΙΩΝΙΣΜ. Να αποδείξετε ότι : Ι) διάμεσος που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα ορθογωνίου τριγώνου είναι ίση με το μισό της υποτείνουσας. ΙΙ) ν μια διάμεσος τριγώνου είναι ίση με το

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ Ορισμός Συνδυασμός ν στοιχείων ανά κ είναι μια μη διατεταγμένη συλλογή κ στοιχείων από τα ν.

ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ Ορισμός Συνδυασμός ν στοιχείων ανά κ είναι μια μη διατεταγμένη συλλογή κ στοιχείων από τα ν. 13/10/2010 ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ Ορισμός Συδυασμός στοιχείω αά κ είαι μια μη διατεταγμέη συλλογή κ στοιχείω από τα. Παράδειγμα 1 Οι συδυασμοί τω τριώ γραμμάτω Α,Β,Γ αά έα είαι οι εξής τρεις: Α, Β, Γ. Οι συδυασμοί

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ και τα μέσα Δ, Ε των ΑΒ, ΑΓ αντίστοιχα.θα αποδείξουμε ότι:

Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ και τα μέσα Δ, Ε των ΑΒ, ΑΓ αντίστοιχα.θα αποδείξουμε ότι: 7o Γενικό Λύκειο Αθηνών Σχολικό Έτος 04-5 Τάξη: A' Λυκείου Αθήνα -6-05 ΘΕΜΑΤΑ ΓΡΑΠΤΩΝ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Θέμα ο Α. Να αποδείξετε ότι: Το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει

Διαβάστε περισσότερα

Δ/νση Β /θµιας Εκπ/σης Φλώρινας Κέντρο ΠΛΗ.ΝΕ.Τ. Ταυτότητες ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ

Δ/νση Β /θµιας Εκπ/σης Φλώρινας Κέντρο ΠΛΗ.ΝΕ.Τ. Ταυτότητες ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ Δ/ση Β /θµις Εκπ/σης Φλώρις Κέτρο ΠΛΗ.ΝΕ.Τ. Τυτότητες ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ Τυτότητ ποκλείτι η ισότητ άµεσ σε δύο λγερικές πρστάσεις, η οποί ληθεύει γι όλες τις τιµές τω µετλητώ πό τις οποίες ε- ξρτώτι οι λγερικές

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικές Ασκήσεις

Επαναληπτικές Ασκήσεις Β' Γυμν. - Επαναληπτικές Ασκήσεις 1 Άσκηση 1 Απλοποίησε τις αλγεβρικές παραστάσεις (α) 2y 2z 8ω 8ω 2y 2z (β) 1x 2y 3z 3 3 z 2z z 2 x y Επαναληπτικές Ασκήσεις Άλγεβρα - Γεωμετρία Άσκηση 2 Υπολόγισε την

Διαβάστε περισσότερα

Δηθνλνγξαθεκέλν Λεμηθό Σν Πξώην κνπ Λεμηθό

Δηθνλνγξαθεκέλν Λεμηθό Σν Πξώην κνπ Λεμηθό ΤΠΟΤΡΓΔΗΟ ΠΑΗΓΔΗΑ ΚΑΗ ΘΡΖΚΔΤΜΑΣΧΝ, ΠΟΛΗΣΗΜΟΤ ΚΑΗ ΑΘΛΖΣΗΜΟΤ Η.Σ.Τ.Δ. «ΓΗΟΦΑΝΣΟ» Αή Δί Ζίο Γήο Μί Μά Ηί Αύ Δέ Λό Σ Πώ Λό Α, Β, Γ Γύ Σόο 3ο (Ζ, Θ, Η, Κ,) Δέ Λό Α, Β, Γ Γύ Σ Πώ Λό Σόο 3ο (Ζ, Θ, Η, Κ,) ΤΓΓΡΑΦΔΙ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ 1 Από εξωτερικό σημείο Σ κύκλου (Κ, ρ) θεωρούμε τις τέμνουσες ΣΑΒ και ΣΓΔ του κύκλου για τις οποίες ισχύει ΣΒ=ΣΔ. Τα ΚΛ και ΚΜ είναι τα αποστήματα των χορδών ΑΒ και ΓΔ του

Διαβάστε περισσότερα

1 Εγγεγραµµένα σχήµατα

1 Εγγεγραµµένα σχήµατα Εγγεγραµµένα σχήµατα Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Σκοπός του µαθήµατος είναι να δώσει στους µαθητές συνοπτικά τις απαραίτητες γνώσεις από τη διδακτέα ύλη της Α λυκείου που δεν διδάχθηκε ή διδάχθηκε περιληπτικά.

Διαβάστε περισσότερα

. Ασκήσεις για εξάσκηση

. Ασκήσεις για εξάσκηση . Ασκήσεις για εξάσκηση Βασικές ασκήσεις Εφαρµογές 1.76 ίνεται ένα τρίγωνο ΑΒΓ µε AB= 8 και AΓ= 1. Ένας κύκλος διέρχεται από τα σηµεία Β και Γ και τέµνει τις πλευρές ΑΒ και ΑΓ στα σηµεία και Ε αντίστοιχα.

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

3.6 ΕΜΒΑ ΟΝ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΤΟΜΕΑ

3.6 ΕΜΒΑ ΟΝ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΤΟΜΕΑ 1 3.6 ΕΜΝ ΚΥΚΛΙΚΥ ΤΜΕ ΘΕΩΡΙ 1. Εµβαδόν κυκλικού τοµέα γωνίας µ ο : Ε = πρ. µ, όπου ρ η ακτίνα του κύκλου και π ο γνωστός αριθµός. Εµβαδόν κυκλικού τοµέα γωνίας α rad: Ε = 1 αρ, όπου ρ η ακτίνα του κύκλου

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Κεφάλαιο ο : Κωνικές Τομές Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ. Ο ΚΥΚΛΟΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ένας κύκλος ορίζεται αν

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Του Κώστα Βακαλόπουλου ΑΣΚΗΣΗ (ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ) Το εύρος (R) τω παρατηρούμεω υψώ τω 00 πελατώ εός γυμαστηρίου είαι cm. A) Να ομαδοποιήσετε τα δεδομέα

Διαβάστε περισσότερα

ε ε λε η σον Κυ ρι ε ε ε

ε ε λε η σον Κυ ρι ε ε ε Ἡ τάξις τοῦ ἑωθινοῦ Εὐαγγελίου ᾶσα νοὴ Αἰνεσάτω ὁ ιάκονος: Τοῦ Κυρίου δεηθῶµεν Κυ ρι ε ε λε η σον ὁ Ἱερεύς: Ὅτι Ἅγιος εἶ ὁ Θεὸς ἡµῶν, Ἦχος η α σα πνο η αι νε σα α τω τον Κυ ρι ον Αι νε σα α τω πνο η πα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 2ο «ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ»

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 2ο «ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ» ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΣ ΜΘΗΜΤΙΚ ΥΜΝΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ ο «ΕΩΜΕΤΡΙ» Τι καλείται εμαδόν επίπεδης επιφάνειας; Το εμαδόν μιας επίπεδης επιφάνειας είναι ένας θετικός αριθμός, πο εκφράζει την έκταση πο καταλαμάνει η επιφάνεια

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Β ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΑΒΒΑΤΟ 16 ΙΟΥΝΙΟΥ 2001 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ : ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4)

ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Β ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΑΒΒΑΤΟ 16 ΙΟΥΝΙΟΥ 2001 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ : ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4) ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Β ΤΑΞΗ ΘΕΜΑ 1ο ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Β ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΑΒΒΑΤΟ 16 ΙΟΥΝΙΟΥ 2001 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ : ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4) Α1. Να αποδείξετε ότι,

Διαβάστε περισσότερα

If you want to learn Greek solely for reading Euclid s Elements, I recommend you to visit the Dr. Elizabeth R. Tuttle s web site, Reading Euclid 4.

If you want to learn Greek solely for reading Euclid s Elements, I recommend you to visit the Dr. Elizabeth R. Tuttle s web site, Reading Euclid 4. ΣTOIXEIA EΥKΛEIOΥ Note This book is compiled to provide a printer-friendly e-book for you who want to read Euclid s Elements in the original Greek language. The Greek text is borrowed from Perseus Digital

Διαβάστε περισσότερα

1 ΟΡΕ ΤΙΑ Α 1 3 3 ΤΡΙΓ Ο Ι ΑΙΑ 1 1 ΑΓΓΑΙΟ. Page 1 of 28

1 ΟΡΕ ΤΙΑ Α 1 3 3 ΤΡΙΓ Ο Ι ΑΙΑ 1 1 ΑΓΓΑΙΟ. Page 1 of 28 Ι Ο Α ΡΑ Α ΡΑ Α Ο ΑΤΟ. Ε ΡΟ Ο ΙΟ ΑΡΑ Ε ΤΙΟ ΡΟ Ο ΤΑ Η 1 ΡΑ Α 2 5 1 Ο ΑΤΟ 1 2 2 Α AM Α ΙΟ 1 1 1 ΑΤ Ε ΡΟ Ο ΙΟ 1 2 1 ΑΡΑ Ε ΤΙΟ 1 1 2 Ι Η ΟΡΟ 1 1 1 ΡΟ Ο ΤΑ Η 1 2 2 ΙΤΑΓΡ 1 1 9 15 Ε ΡΟ Α Ε Α ΡΟ Ο Η Ο ΙΟ Ι ΟΤΕΙ

Διαβάστε περισσότερα

JEAN-CHARLES BLATZ 02XD34455 01RE52755

JEAN-CHARLES BLATZ 02XD34455 01RE52755 ΟΡΘΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΤΩΝ ΕΝ Ι ΑΜ ΕΣ ΩΝ ΟΙ Κ ΟΝΟΜ Ι Κ ΩΝ Κ ΑΤΑΣ ΤΑΣ ΕΩΝ ΤΗΣ ΕΤΑΙ ΡΙ ΑΣ Κ ΑΙ ΤΟΥ ΟΜ Ι ΛΟΥ Α Τρίµηνο 2005 ΑΝΩΝΥΜΟΣ Γ ΕΝΙ Κ Η ΕΤ ΑΙ Ρ Ι Α Τ ΣΙ ΜΕΝΤ ΩΝ Η Ρ ΑΚ Λ Η Σ ΑΡ. ΜΗ Τ Ρ. Α.Ε. : 13576/06/Β/86/096

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙ Η ΤΕΤΡΑΠΛΕΥΡΩΝ. ( Παραλληλόγραµµα Τραπέζια ) Παραλληλόγραµµο, λέγεται το τετράπλευρο

ΕΙ Η ΤΕΤΡΑΠΛΕΥΡΩΝ. ( Παραλληλόγραµµα Τραπέζια ) Παραλληλόγραµµο, λέγεται το τετράπλευρο Παραλληλόγραµµο, λέγεται το τετράπλευρο ΕΙΗ ΤΕΤΡΠΛΕΥΡΩΝ ( Παραλληλόγραµµα Τραπέζια ) που έχει τις απέναντι πλευρές του παράλληλες δηλ. // και //. ΙΙΟΤΗΤΕΣ ΠΡΛΛΗΛΟΡΜΜΟΥ: 1. Οι απέναντι πλευρές του είναι.

Διαβάστε περισσότερα

6.5 6.6. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 134. Ερωτήσεις Κατανόησης

6.5 6.6. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 134. Ερωτήσεις Κατανόησης 6.5 6.6 σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 34 ρωτήσεις Κατανόησης. Σε ένα εγγεγραµµένο τετράπλευρο i) Τα αθροίσµατα των απέναντι γωνιών του είναι ίσα Σ Λ ii) Κάθε πλευρά φαίνεται από τις απέναντι κορυφές

Διαβάστε περισσότερα

και 2, 2 2 είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. γ) Αν στο τρίγωνο ΑΒΓ επιπλέον ισχύει Α(3,1), να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών του Β και Γ.

και 2, 2 2 είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. γ) Αν στο τρίγωνο ΑΒΓ επιπλέον ισχύει Α(3,1), να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών του Β και Γ. Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ) 8556 ΘΕΜΑ Δίνονται τα διανύσματα και με, και, 3 α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο β) Αν τα διανύσματα γ) Να βρείτε το μέτρο του διανύσματος 8558 ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ η Κατηγορία : Ο Κύκλος και τα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα