4.3 ΔΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ. Εισαγωγή

Transcript

1 49 43 ΔΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ Εισαγωγή Στα Στοιχεία του Ευκλείδη, βιβλία VII, VIII και IX (περίπου 300 πχ), οι θετικοί ακέραιοι παριστάοται ως ευθύγραμμα τμήματα και η έοια της διαιρετότητας συδέεται άμεσα με τη μέτρηση τω ευθύγραμμω τμημάτω Ο Ευκλείδης στη αρχή του βιβλίου VII δίει ορισμούς, μεταξύ τω οποίω και οι εξής: Διαιρέτης: Μέρος εστί αριθμός αριθμού ο ελάσσω του μείζοος, ότα καταμετρή το μείζοα Πολλαπλάσιο: Πολλαπλάσιος δε ο μείζω του ελάσσοος, ότα καταμετρήται υπό του ελάσσοος Άρτιος αριθμός: Άρτιος αριθμός έστι ο δίχα διαιρούμεος Περιττός αριθμός: Περισσός δε ο μη διαιρούμεος δίχα ή ο μοάδι διαφέρω αρτίου αριθμού Πρώτος αριθμός: Πρώτος αριθμός έστι ο μοάδι μόη μετρούμεος Πρώτοι μεταξύ τους: Πρώτοι προς αλλήλους αριθμοί εισί οι μοάδι μετρούμεοι κοιώ μέτρω Τελευταίος δίεται ο ορισμός του τέλειου αριθμού, δηλαδή αυτού που είαι ίσος με το άθροισμα τω γήσιω διαιρετώ του, για παράδειγμα, 8 = : Τέλειος αριθμός έστι ο τοις εαυτού μέρεσι ίσος ώ Το εδιαφέρο τω αρχαίω μαθηματικώ για τους τέλειους αριθμούς φαίεται ότι προκλήθηκε από τη εξαιρετική σπαιότητά τους Είαι χαρακτηριστική η παρατήρηση του M Mersenne (588-64) ότι οι τέλειοι αριθμοί είαι τόσο σπάιοι όσο και οι τέλειοι άθρώποι Η Θεωρία Αριθμώ αρχίζει στο βιβλίο VII με δύο προτάσεις για τη εύρεση του μέγιστου κοιού διαιρέτη δύο αριθμώ (Ευκλείδειος αλγόριθμος) και ολοκληρώεται στη τελευταία πρόταση του βιβλίου IX με μια μέθοδο προσδιορισμού τέλειω αριθμώ Με σύγχροο συμβολισμό, στη πρόταση αυτή ο Ευκλείδης αποδεικύει ότι: Α ο αριθμός = είαι πρώτος, τότε ο αριθμός ( ) είαι τέλειος Έτσι, η γώση εός πρώτου αριθμού της μορφής οδηγεί αμέσως στη αακάλυψη εός τέλειου αριθμού Οι πρώτοι 5 αριθμοί αυτού του είδους είαι οι = 3, 3 = 7, 5 = 3, 7 = 7, 3 = 89 και μας δίου τους πρώτους 5 τέλειους αριθμούς 6, 8, 496, 88 και Μέχρι σήμερα έχου βρεθεί 36 τέλειοι αριθμοί

2 50 Έοια Διαιρετότητας Στη ευκλείδεια διαίρεση ιδιαίτερο εδιαφέρο παρουσιάζει η περίπτωση κατά τη οποία το υπόλοιπο είαι ίσο με μηδέ, δηλαδή η περίπτωση της τέλειας διαίρεσης Τη περίπτωση αυτή θα εξετάσουμε στη συέχεια ΟΡΙΣΜΟΣ Έστω α, β δύο ακέραιοι με β 0 Θα λέμε ότι ο β διαιρεί το α και θα γράφουμε β α, ότα η διαίρεση του α με το β είαι τέλεια, δηλαδή ότα υπάρχει ακέραιος κ, τέτοιος, ώστε α = κβ Στη περίπτωση αυτή λέμε επίσης ότι ο β είαι διαιρέτης ή παράγοτας του α ή ότι ο α διαιρείται με το β ή ακόμα ότι ο α είαι πολλαπλάσιο του β, και γράφουμε α = πολβ Για α δηλώσουμε ότι ο ακέραιος β δε διαιρεί το ακέραιο α, γράφουμε β / a ή ισοδύαμα α πολβ Για παράδειγμα, 5 0, αφού 0 = 4 5, εώ 5 / 8, αφού η διαίρεση του 8 με το 5 δε είαι τέλεια Α β α, τότε α = κβ ή ισοδύαμα α = ( κ)( β), που σημαίει ότι α ο β είαι διαιρέτης του α, τότε και ο β είαι διαιρέτης του α Επομέως, οι διαιρέτες εός ακέραιου εμφαίζοται κατά ζεύγη ατίθετω ακέραιω Ως άμεσες συέπειες του παραπάω ορισμού έχουμε τις εξής: ± α και ± α α α Z β 0, β Z Α β α, τότε κβ κα, κ Z Τοίζουμε ότι στο συμβολισμό β α, οι αριθμοί α και β είαι πάτα ακέραιοι και β 0 Θα γωρίσουμε τώρα μερικές χρήσιμες ιδιότητες της διαιρετότητας ΘΕΩΡΗΜΑ Έστω α, β, γ ακέραιοι Ισχύου οι ακόλουθες ιδιότητες (i) Α α β και β α, τότε α = β ή α = β (ii) Α α β και β γ, τότε α γ (iii) Α α β, τότε α λβ ακέραιο λ (iv) Α α β και α γ, τότε α ( β+ γ) (v) Α α β και β 0, τότε α β ΑΠΟΔΕΙΞΗ

3 5 (i) Επειδή α β και β α, υπάρχου ακέραιοι κ, λ, τέτοιοι, ώστε β = κα και α = λβ, οπότε α = κλα και επομέως, κλ =, που σημαίει ότι κ = λ = ή κ = λ =, δηλαδή ότι α = β ή α= β (ii) Επειδή α β και β γ, υπάρχου ακέραιοι κ, λ, τέτοιοι, ώστε β = κα και γ= λβ, οπότε γ= λκ α και άρα α γ (iii) Επειδή α β υπάρχει ακέραιος κ, τέτοιος, ώστε β = κα, οπότε λβ = λκ α και άρα α λβ (iv) Επειδή α β και α γ, υπάρχου ακέραιοι κ, λ, τέτοιοι, ώστε β = κα και γ = λα, οπότε β + γ = ( κ+ λ) α και άρα α ( β+ γ) (v) Επειδή α β και β 0, υπάρχει ακέραιος κ 0 με β = κα Επομέως, β = κ α α, αφού κ Από τις ιδιότητες (iii) και (iv) του παραπάω θεωρήματος προκύπτει ότι: Α α β και α γ, τότε α ( κβ+ λγ) για όλους τους ακεραίους κ και λ Ο ακέραιος κβ + λγ, όπου κ, λ Z λέγεται γραμμικός συδυασμός τω β και γ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Α δ ακέραιοι με δ ΛΥΣΗ α, δ (α+ ) και δ (3α ), α βρεθού οι πιθαές θετικές τιμές του Επειδή δ (α+ ) και δ (3α ), ο δ διαιρεί και το 3 (α + ) (3α ) = 5 Αφού λοιπό δ >0 και δ 5, θα είαι δ = ή δ = 5 Να αποδειχτεί ότι = πολ64, N ΑΠΟΔΕΙΞΗ Θα αποδείξουμε τη πρόταση με τη μέθοδο της μαθηματικής επαγωγής Η ισότητα ισχύει για =, αφού = 64 = πολ8 Θα αποδείξουμε ότι α = πολ64 = 64λ, λ Z, τότε 9 8( ) 9= πολ64 Έχουμε: 9 8( ) 9= = 9(64λ + 8 9) 8 7 = 9λ = 64 (9λ + )

4 5 = πολ64 Άρα η ισότητα αληθεύει για όλους τους θετικούς ακεραίους 3 Να αποδειχτεί ότι ο 3 διαιρεί τους ακεραίους α και β, α και μόο α ο 3 διαιρεί το άθροισμα α + β ΑΠΟΔΕΙΞΗ Α 3 α και 3 β, τότε 3 ( α α + β β), δηλαδή 3 ( α + β ) Έστω 3 ( α + β ) Α α = 3κ + υ, 0 υ < 3 και β = 3κ + υ, 0 υ < 3 είαι οι ισότητες τω αλγοριθμικώ διαιρέσεω τω α και β με το 3, τότε α = 9κ β = 9κ + 6κ υ + υ + 6κ υ + υ κ + κυ ) λ = 3(3 κ + κ υ ) λ = 3(3 + υ = 3λ + υ + υ οπότε α + β = 3λ + ( υ + υ ), όπου λ λ + λ Z = υ = 3λ Επειδή 3 ( α + β ) και 33 λ, πρέπει 3 ( υ + ) Όμως υ υ {0,, } οπότε, για τις τιμές της υ παράστασης ( υ + ), έχουμε το παρακάτω πίακα: + υ, υ 0 υ 0 υ + υ =0 υ + υ = υ + υ =4 υ + υ = υ + υ = υ + υ =5 υ + υ =4 υ + υ =5 υ + υ =8 Από το πίακα αυτό προκύπτει ότι υ ότα α= 3κ και β = 3κ, που σημαίει ότι 3 α και 3 β 3 ( υ + ), μόο ότα υ 0 και υ =0, δηλαδή μόο = ΑΣΚΗΣΕΙΣ

5 53 Α ΟΜΑΔΑΣ Να βρείτε το πλήθος τω θετικώ ακεραίω που δε υπερβαίου το 000 και διαιρούται με: (i) το 5, (ii) το 5, (iii) το 5, (iv) το 65 Α α β και γ δ, α αποδείξετε ότι αγ βδ 3 Α ( α + ) και (35 β), α αποδείξετε ότι ( a+ β) 4 Α η διαφορά δύο ακεραίω είαι άρτιος αριθμός, α αποδείξετε ότι η διαφορά τω τετραγώω τους είαι πολλαπλάσιο του 4 5 Α m α και m >, α αποδείξετε ότι m / α+ 6 Να αποδείξετε ότι ( α β)( β γ)( γ α) για όλους τους ακέραιους α, β, γ B ΟΜΑΔΑΣ Έστω α έας περιττός ακέραιος Να αποδείξετε ότι (i) Το τετράγωο του α είαι της μορφής α = 4λ+, (ii) 3 ( α + 3)( α + 7) + Να αποδείξετε ότι 4 / ( α ), a Z λ Z 3 Να αποδείξετε ότι δε υπάρχου διαδοχικοί θετικοί ακέραιοι που α είαι και οι δύο τετράγωα ακεραίω 4 Α β a α αποδείξετε ότι ( ) ( ) β 5 Να αποδείξετε ότι (i) Το γιόμεο τριώ διαδοχικώ ακεραίω διαιρείται με το 6 (ii) 6 α ( α+ )(α+ ) a Z (iii) 6 ( α 3 + 3α 4α) a Z α 6 Να αποδείξετε ότι 3 (i) 3 ( + ) (ii) 64 (9 (iii) 5 (3 7 (iv) 4 (3 8 9) + ) ) N N N N

6 54 7 Έστω α, β, κ, λ Z με κ λ Α ( κ λ) ( κα+ λβ), α αποδείξετε ότι ( κ λ) ( λα+ κβ)