Obratne Edmundson-Lah-Ribaričeve nejednakosti i srodni rezultati

Transcript

1 PRIRODOSLOVNO - MAEMAIČKI FAKULE MAEMAIČKI ODSJEK Rozarija Mikić Obratne Edmundson-Lah-Ribaričeve nejednakosti i srodni rezultati DOKORSKI RAD Zagreb, 07.

2 FACULY OF SCIENCE DEPARMEN OF MAHEMAICS Rozarija Mikić Converse Edmundson-Lah-Ribarič inequalities and related results DOCORAL HESIS Zagreb, 07

3 PRIRODOSLOVNO - MAEMAIČKI FAKULE MAEMAIČKI ODSJEK Rozarija Mikić Obratne Edmundson-Lah-Ribaričeve nejednakosti i srodni rezultati DOKORSKI RAD Mentor: Akademik Josip Pečarić Zagreb, 07.

4 FACULY OF SCIENCE DEPARMEN OF MAHEMAICS Rozarija Mikić Converse Edmundson-Lah-Ribarič inequalities and related results DOCORAL HESIS Supervisor: Akademik Josip Pečarić Zagreb, 07

5 Zahvala Ova disertacija meni je mnogo više od sažetka jednog istraživanja ona za mene predstavlja kraj jednog puta, obilježenog brojnim divnim ljudima i lijepim iskustvima, i početak jednog novog puta. Stoga se želim zahvaliti svima koji su, svatko na svoj način, pomogli u nastanku ove doktorske disertacije. Na prvome mjestu, zahvalnost za izradu ove disertacije, ali i za moj cjelokupni profesionalni razvoj, dugujem svom mentoru, akademiku Josipu Pečariću. Njegova impresivna količina znanja i iskustva, dostupnost u svakom trenu za bilo koje pitanje ili nedoumicu, i sposobnost da riješi svaki problem uvijek su mi bili velika pomoć u radu. Profesore, hvala Vam na strpljenju, nesebičnoj pomoći i nadasve stručnom vodstvu! akođer se želim zahvaliti i svim članovima Seminara za nejednakosti i primjene te članovima povjerenstva za ocjenu disertacije na uloženom trudu i vremenu, i na svim dobronamjernim primjedbama i sugestijama kojima su utjecali na kvalitetu ove disertacije. Zahvaljujem se i mojim roditeljima Alberti i Markitu i sestri Marici na moralnoj podršci i razumijevanju, i povjerenju koje su imali u mene. Na kraju, najveću zahvalnost ipak dugujem mom rugu Miljenu i sinu Vidu, koji su me u svemu podržavali i vjerovali u mene. Hvala vam na vašoj bezgraničnoj potpori, razumijevanju i ljubavi koju ste mi pružili tijekom izrade ove disertacije.... i

6 Sažetak Ključne riječi: Jensenova nejednakost; Edmundson-Lah-Ribaričeva nejednakost; konveksnost; pozitivni linearni funkcionali; hermitski operatori; pozitivna linearna preslikavanja; poopćene koneksije; koneksije; operatorska entropija; Levinsonova nejednakost; skalarni produkt Definirat će se nova klasa funkcija koja proširuje klasu 3-konveksnih funkcija za koju će se dokazati generalizacija Levinsonovog tipa Edmundson-Lah-Ribaričeve nejednakosti. Dokazat će se da analogne generalizacije vrijede i za Edmundson-Lah-Ribaričevu nejednakost za hermitske operatore u Hilbertovom prostoru, te za skalarni produkt istih. Dalje, promatrat će se Jensenova i Edmundson-Lah-Ribaričeva nejednakost za linearne funkcionale. Dobit će se njihovi obrati u obliku razlike, kao i profinjenja i poboljšanja spomenutih obrata. Dobiveni rezultati primijenit će se na generalizirane sredine i na neke poznate nejednakosti Hölderovu, Hermite-Hadamardovu, Giaccardijevu i Petrovićevu nejednakost. Dobit će se i obrati Jensenove i Edmundson-Lah-Ribaričeve operatorske nejednakosti, kao i daljnja profinjenja i poboljšanja istih. Dobiveni opći rezultati primijenit će se na kvazi-aritmetičke operatorske sredine, te na potencijalne operatorske sredine. akođer će se dobiti i obrati Andove i Davis-Choijeve nejednakosti za pozitivna linearna preslikavanja, te Edmundson-Lah-Ribaričeva nejednakost i njen obrat u obliku razlike za pozitivna linearna preslikavanja. Dokazat će se i obrati u obliku razlike i kvocijenta za poseban tip poopćenih koneksija - solidarities koji uključuje i koneksije, te za relativnu operatorsku entropiju. ii

7 Summary Keywords: Jensen s inequality; the Edmundson-Lah-Ribarič inequality; convexity; positive linear functionals; self-adjoint operators; unital linear mappings; solidarity; connections; operator entropy; Levinson s inequality; scalar product A new class of functions that extends the class of 3-convex functions will be defined, and Levinson s type generalization of the Edmundson-Lah-Ribarič inequality will be proved for those functions. Analogue generalizations of the Edmundson-Lah-Ribarič inequality for self-adjoint operators in Hilbert space and for their scalar product will be proved. Next, inequalities of Jensen and Edmundson-Lah-Ribarič for positive linear functionals will be studied. New inequalities of difference type, as well as their refinements and improvements, will be obtained. hese results will be applied to generalized means and some famous inequalities the ones of Hölder, Hermite-Hadamard, Giaccardi and Petrović. Further, converses of the Jensen and Edmundson-Lah-Ribarič operator inequalities and their refinements and improvements will be obtained. General results will be applied to quasi-arithmetic operator means and to potential operator means. Finally, converses of Ando s and Davis-Choi s inequality, as well as the Edmundson-Lah-Ribarič and it s converse of difference type for positive unital mappings, will be studied. Ratio and difference type converses will be proved for a special type of solidarities which includes connections, and for relative operator entropy. iii

8 Sadržaj Uvod Doprinosi doktorskog rada Pregled doktorskog rada po poglavljima Nejednakosti Levinsonovog tipa 5. Uvod Generalizacija Edmundson-Lah-Ribaričeve nejednakosti Levinsonovog tipa 8.3 Generalizacija operatorske Edmundson-Lah-Ribaričeve nejednakosti Levinsonovog tipa Rezultati sa skalarnim produktom Obrati nejednakosti u obliku razlike za linearne funkcionale 9. Uvod Obrati Jensenove i Edmundson-Lah-Ribaričeve nejednakosti za linearne funkcionale Primjene Generalizirane sredine Potencijalne sredine Hölderova nejednakost Hermite-Hadamardova nejednakost Giaccardijeva i Petrovićeva nejednakost Obrati nejednakosti u kompaktnom Hausdorffovom prostoru Uvod Obrati Jensenove i Edmundson-Lah-Ribaričeve operatorske nejednakosti Primjena na kvazi-aritmetičke operatorske sredine Primjeri s potencijalnim operatorskim sredinama Obrati Andove i Davis-Choijeve nejednakosti Uvod Obrati nejednakosti za koneksije i poopćene koneksije kvocijentnog tipa Obrati Andove i Davis-Choijeve nejednakosti u obliku razlike iv

9 Sadržaj 5 Zaključak 95 Bibliografija 96 Kazalo pojmova 0 Indeks pojmova 03 Životopis 04 v

10 Uvod Konveksne funkcije vrlo su bitne u teoriji nejednakosti. Za funkciju f : I R kažemo da je konveksna na intervalu I R ako za sve x, y I i svaki λ [0, ] vrijedi fλx + λy λfx + λfy. Ako je za sve x y i λ 0, nejednakost stroga, onda kažemo da je f strogo konveksna. Ako je znak nejednakosti u obrnut, onda funkciju f zovemo konkavnom. Geometrijski gledano, funkcija f je konveksna na intervalu I ako se za bilo koje dvije točke x, y I dio grafa između točaka x i y nalazi ispod tetive na graf funkcije f u tim točkama. Jensenova nejednakost za konveksne funkcije jedna je od najvažnijih nejednakosti moderne matematike budući da iz nje proizlazi čitav niz drugih klasičnih nejednakosti. Dobila je ime po danskom matematičaru Johanu Ludwigu Jensenu koji ju je dokazao 906. godine. eorem Jensenova nejednakost, [74] Neka je funkcija f : I R konveksna na intervalu I R. Za n, neka su x,..., x n I, te p,.., p n R takvi da je p i > 0 za svaki i. ada vrijedi f Pn p i x i n p i fx i, P n gdje je P n = n p i. Ako je f strogo konveksna i ako x,..., x n nisu svi međusobno jednaki, onda je nejednakost u stroga. Međutim, jednostavnije varijante nejednakosti pojavile su se puno ranije, ali pod drukčijim pretpostavkama. Hölder je 889. godine za funkciju f : [a, b] R i x, y [a, b] dokazao da vrijedi x + y f fx + fy pod pretpostavkom da je f dvaput diferencijabilna na [a, b], i da vrijedi f x 0 na spomenutom intervalu. Ako je funkcija f dvaput diferencijabilna, onda je uvjet f x 0 za x [a, b] ekvivalentan s tim da je f konveksna na [a, b], ali je pojam konveksnosti uveo Jensen u [44], u kojem je i dokazao nejednakost. Henderson je 896. godine dokazao nejednakost, ali pod Hölderovim uvjetima. Specijalan slučaj nejednakosti za p =... = p n = dokazao je Grolous još 875. godine pomoću centroidne metode u 3

11 Uvod radu [7]. o je ujedno i prva poznata nejednakost za konveksne funkcije u matematičkoj literaturi. Jensenova nejednakost ima značajnu primjenu u raznim granama matematike, posebno u matematičkoj analizi i statistici, gdje se najčešće koristi kod određivanja donje granice za očekivanje konveksnih funkcija. Kroz stoljeća, Jensenovu nejednakost opsežno su istraživali mnogi poznati matematičari, i generalizirana je na brojne načine. Integralnu verziju iste nejednakosti dobili su Beesack i Pečarić 984. godine. Analognu nejednakost za pozitivne linearne funkcionale dokazao Jessen 93., a Davis je 957. godine pokazao da Jensenova nejednakost vrijedi i među operatorskim algebrama. Brojne poznate klasične nejednakosti nastale su kao posljedica neke od verzija Jensenove nejednakosti. Jedna od poznatijih je takozvana Edmundson-Lah-Ribaričeva nejednakost: P n p i fx i M x x m fm + fm, 4 gdje je f : [m, M] R konveksna funkcija i x = n p i x i. Dokazali su je 973. godine Lah i Ribarič, dok je Edmundson još 956. godine dokazao vjerojatnosni oblik iste nejednakosti. Ima važnu primjenu u stohastičkom programiranju kod traženja gornje granice za očekivanje konveksnih funkcija. Beesack i Pečarić su 985. godine dokazali generalizaciju spomenute nejednakosti za pozitivne linearne funkcionale. Od novijih rezultata treba spomenuti obrate u obliku razlike integralne Jensenove nejednakosti koje je dobio Dragomir. akođer treba spomenuti i poboljšanje Edmundson-Lah-Ribaričeve nejednakosti za pozitivne linearne funkcionale koje su dobili Klaričić Bakula, Pečarić i Perić. Levinson je 964. godine u radu "Generalisation of an inequality of Ky Fan" dobio važnu nejednakost Jensenovog tipa koja se tiče dva različita niza brojeva. aj rezultat danas je poznat pod nazivom Levinsonova nejednakost. Mnogi matematičari su radili na oslabljivanju uvjeta pod kojima Levinsonova nejednakost vrijedi. ako su Bullen i Pečarić oslabili uvjet simetrije, a Mercer ga je u potpunosti zamijenio uvjetom jednakosti varijanci za funkcije koje imaju nenegativnu treću derivaciju. Witkowski je pokazao da je u Mercerovim pretpostavkama dovoljno da funkcija bude 3-konveksna. Dalje, Baloch, Pečarić i Praljak su pronašli najveću klasu funkcija za koju Levinsonova nejednakost vrijedi pod Mercerovim pretpostavkama. Spomenuta klasa funkcija je proširenje klase 3-konveksnih funkcija i može biti promatrana kao klasa funkcija koje su 3-konveksne u točki. Doprinosi doktorskog rada Dobivena je generalizacija Edmundson-Lah-Ribaričeve nejednakosti Levinsonovog tipa za matematičko očekivanje, koja vrijedi za jednu klasu funkcija koja proširuje klasu 3- konveksnih funkcija. Još je pokazano i da analogna generalizacija vrijedi i za hermitske

12 Uvod operatore u Hilbertovom prostoru, te za skalarni produkt istih. Dokazani su obrati Jensenove i Edmundson-Lah-Ribaričeve nejednakosti za pozitivne linearne funkcionale. Dobiveni rezultati dalje su profinjeni i poboljšani, te primijenjeni na neke poznate nejednakosti sa ciljem dobivanja što bolje procjene razlike između desne i lijeve strane tih nejednakosti. akođer je pokazano da analogni rezultati vrijede i za unitalno polje pozitivnih linearnih preslikavanja među C -algebrama u kompaktnom Hausdorffovom prostoru, kao i za koneksije i poopćene koneksije - solidarities, te za relativnu operatorsku entropiju. Pregled doktorskog rada po poglavljima Prvo poglavlje naslovljeno Nejednakosti Levinsonovog tipa", započinje kratkim povijesnim komentarom o Edmundson-Madanskyjevoj i Lah-Ribaričevoj nejednakosti, te pregledom već poznatih rezultata. Obje nejednakosti su specijalni slučajevi jedne te iste nejednakosti, pa ih stoga sve nazivamo Edmundson-Lah-Ribaričeva nejednakost. Dalje, dokazana je generalizacija Edmundson-Lah-Ribaričeve nejednakosti Levinsonovog tipa za matematičko očekivanje koja vrijedi za jednu klasu funkcija koja proširuje klasu 3-konveksnih funkcija, te je ispitano pod kakvim sve uvjetima spomenuta nejednakost vrijedi. akođer je pokazano da analogne generalizacije vrijede i za Edmundson-Lah-Ribaričevu nejednakost za operatore u Hilbertovom prostoru, te za skalarni produkt istih. Drugo poglavlje, pod naslovom Obrati nejednakosti u obliku razlike za linearne funkcionale" počinje pregledom nekih bitnih rezultata povezanih s Jensenovom i Edmundson-Lah-Ribaričevom nejednakosti za pozitivne linearne funkcionale koji su poznati od ranije. Dobiveni su obrati spomenutih rezultata, i dokazana su profinjenja i poboljšanja istih te su primijenjeni na razne klasične nejednakosti poput Hölderove, Hadamardove, nejednakosti među generaliziranim sredinama, te nejednakosti Giaccardija i Petrovića, čime su dobiveni obrati navedenih nejednakosti koji daju gornju ogradu za razliku desne i lijeve strane u tim nejednakostima. U trećem poglavlju naslovljenom Obrati nejednakosti u kompaktnom Hausdorffovom prostoru" dokazani su obrati u obliku razlike Jensenove i Edmundson-Lah- Ribaričeve operatorske nejednakosti za unitalno polje pozitivnih linearnih preslikavanja među C -algebrama operatora u kompaktnom Hausdorffovom prostoru, kao i daljnja profinjenja i poboljšanja istih. Dobiveni opći rezultati zatim su primijenjeni na kvazi-aritmetičke operatorske sredine i na potencijalne operatorske sredina sa ciljem dobivanja što bolje procjene za razliku među tim sredinama. U četvrtom poglavlju pod naslovom Obrati Andove i Davis-Choijeve nejednakosti" dokazano je nekoliko obrata Andove nejednakosti i Davis-Choijeve nejednakosti raz- 3

13 Uvod ličitog tipa, te Edmundson-Lah-Ribaričeva nejednakost i njen obrat u obliku razlike za pozitivna linearna preslikavanja. akođer je dobiven i obrat u obliku razlike nejednakosti za koneksije i poopćene koneksije - solidarities, te obrat kvocijentnog tipa ili obrat operatorske Hölderove nejednakosti za koneksije i poseban tip poopćenih koneksija - solidarities. U slučaju obrata u obliku razlike, procjene su izražene preko jedne vrste varijacije uključene familije operatora. Primjenom tih rezultata dobiveni su operatorski obrati u obliku kvocijenta i razlike tipa Hölderove nejednakosti za općenite težinske potencijalne sredine. 4

14 Poglavlje Nejednakosti Levinsonovog tipa U ovom poglavlju prvo ćemo dati kratki povijesni komentar o Edmundson-Madanskyjevoj i Lah-Ribaričevoj nejednakosti, te pregled već poznatih rezultata. Obje nejednakosti su specijalni slučajevi jedne te iste nejednakosti, pa ih stoga sve nazivamo Edmundson-Lah- Ribaričeva nejednakost. Dalje, dokazat ćemo generalizaciju Edmundson-Lah-Ribaričeve nejednakosti Levinsonovog tipa koja će vrijediti za jednu klasu funkcija koja proširuje klasu 3-konveksnih funkcija, te ispitati pod kakvim sve uvjetima spomenuta nejednakost vrijedi. akođer ćemo pokazati da analogne generalizacije vrijede i za Edmundson-Lah-Ribaričevu nejednakost za operatore u Hilbertovom prostoru, te za skalarni produkt istih.. Uvod Lah i Ribarič u svom radu [53] iz 97. godine dobili su obrat Jensenove nejednakosti koji navodimo u originalnom obliku. eorem. [53] Neka je µ pozitivna mjera na [0, ] i neka je φ konveksna funkcija na intervalu [m, M], gdje je < m < M < +. ada za svaku µ-izmjerivu funkciju f na intervalu [0, ] takvu da vrijedi m fx M, x [0, ], imamo sljedeću nejednakost 0 Φfdµ 0 dµ M f Φm + f m ΦM,. gdje je f = 0 fdµ/ 0 dµ. Od onda je mnogo članaka napisano na temu generalizacija i obrata nejednakosti.. Čitava serija monografija iz nejednakosti [], [], [4], [5], [49] i [50] posvećena je klasičnim nejednakosti uključujući i Lah-Ribaričevu nejednakost.. Beesack i Pečarić [8] pogledati također [74, p.98] dokazali su sljedeću generalizaciju Lah-Ribaričeve nejednakosti. za pozitivne linearne funkcionale. eorem. [8] Neka je φ konveksna funkcija na intervalu I = [m, M], gdje je < m < M <. Neka je L vektorski prostor realnih funkcija na nepraznom skupu E za koje vrijedi af + bg L za sve f, g L, a, b R i L, te neka je A bilo koji pozitivni 5

15 Poglavlje. Nejednakosti Levinsonovog tipa linearni funkcional na L takav da je A =. ada za svaku funkciju f L takvu da je φf L vrijedi: Aφf M Af Af m φm + φm.. Vjerojatnosna verzija nejednakosti. za matematičko očekivanje dana je u teoremu koji slijedi. eorem.3 [0] Neka je < a < b < +, te X : Ω [a, b] slučajna varijabla s konačnim očekivanjem na vjerojatnosnom prostoru Ω, p. Neka je f : [a, b] R konveksna funkcija takva da je EfX <. ada vrijedi EfX b EX b a fa + EX a fb..3 b a Nejednakost.3 se često naziva Edmundson-Madanskyjeva nejednakost jer ju je 956. godine dokazao Edmundson [0], a Madansky [56] ju je 959. godine prvi počeo koristiti u kontekstu stohastičkog programiranja kod traženja što bolje gornje granice za očekivanje konveksnih funkcija. Opsežna lista nedavnih rezultata vezanih za Edmundson-Madanskyjevu nejednakost može se pronaći u knjigama [0] i [5]. Vidimo da je eorem. također generalizacija i eorema.3, to jest da su nejednakosti. i.3 zapravo jedna te ista nejednakost, ali u različitim postavkama. Stoga ćemo od sada te dvije nejednakosti objediniti pod zajedničkim nazivom Edmundson-Lah-Ribaričeva nejednakost. Jensenova nejednakost za matematičko očekivanje fex EfX.4 u istom se kontekstu koristi za određivanje što bolje donje granice za očekivanje konveksne funkcije, pa vidimo da su nejednakosti.3 i.4 usko povezane. Levinson je 960. godine u radu [55] dobio važnu nejednakost koja se tiče dva različita niza brojeva. aj rezultat, danas poznat pod nazivom Levinsonova nejednakost, iskazan je u sljedećem teoremu. eorem.4 [55] Neka funkcija f : 0, c R zadovoljava f 0 i neka su p i, x i, y i za i =,..., n takvi da je p i > 0, n p i =, 0 x i c i x + y = x + y =... = x n + y n = c..5 6

16 Poglavlje. Nejednakosti Levinsonovog tipa ada vrijedi sljedeća nejednakost: p i fx i f x p i fy i fȳ,.6 gdje x = n p i x i i ȳ = n p i y i označavaju težinske aritmetičke sredine. Kako bi se oslabilo pretpostavku o diferencijabilnosti funkcije f, promatrane su podijeljene razlike. Podijeljena razlika k-tog reda funkcije f : I R definirana na intervalu I u međusobno različitim točkama x 0, x,..., x k I definirana je rekurzivno relacijom [x i ]f = fx i, for i = 0,..., k [x 0,..., x k ]f = [x,..., x k ]f [x 0,..., x k ]f x k x 0. Za funkciju f : I R kažemo da je k-konveksna ako vrijedi [x 0,..., x k ]f 0 za bilo koji izbor k + međusobno različitih točaka x 0, x,..., x k I. Ako k-ta derivacija konveksne funkcije postoji, onda je f k 0, ali f k ne mora nužno postojati svojstva podijeljenih razlika i k-konveksnih funkcija mogu se pronaći u knjizi [74]. Mnogi matematičari su radili na oslabljivanju uvjeta pod kojima Levinsonova nejednakost.6 vrijedi. ako je Bullen u radu [] poopćio Levinsonovu nejednakost na općeniti interval [a, b] i pokazao da ako je funkcija f 3-konveksna i ako su p i, x i, y i i =,..., n takvi da su p i > 0, n p i =, a x i, y i b, te vrijedi.5 i max{x,..., x n } max{y,..., y n },.7 onda nejednakost.6 vrijedi. akođer je pokazao da vrijedi i obrnuto, to jest, da je funkcija f 3-konveksna ako za p i, x i, y i i =,..., n koji zadovoljavaju gore navedene uvjete vrijedi nejednakost.6. Pečarić je u radu [7] dodatno oslabio Bullenove uvjete, to jest, dokazao je da nejednakost.6 vrijedi i ako uvjet.7 zamijenimo sa slabijim: x i + x n i+ c i p i x i + p n i+ x n i+ p i + p n i+ c, za i =,,..., n gdje je x + y = x + y =... = x n + y n = c. Mercer je u [57] dobio značajno poboljšanje u potpunosti zamijenivši uvjet simetrije.5 uvjetom jednakosti varijanci, to jest dokazao je da nejednakost.6 vrijedi pod sljedećim uvjetima: f 0, p i > 0, p i =, a x i, y i b, max{x,..., x n } max{y,..., y n } 7

17 Poglavlje. Nejednakosti Levinsonovog tipa p i x i x = p i y i ȳ..8 Witkowski je u [78] pokazao da je u Mercerovim pretpostavkama umjesto uvjeta f 0 dovoljno pretpostaviti da je funkcija f 3-konveksna. Dalje, Witkowski je još dodatno oslabio uvjet.8 i pokazao da se znak jednakosti može zamijeniti znakom nejednakosti u određenom smjeru. U radu [5] su Baloch, Pečarić i Praljak uveli novu klasu funkcija K ca, b koja proširuje klasu 3-konveksnih funkcija i mogu se tumačiti kao funkcije koje su "3-konveksne u točki c a, b ". Pokazali su da je K ca, b najveća klasa funkcija za koju Levinsonova nejednakost.6 vrijedi pod Mercerovim pretpostavkama, to jest da je f Kca, b ako i samo ako nejednakost.6 vrijedi za proizvoljne težine p i > 0, n p i = i nizove x i i y i koji zadovoljavaju x i c y i za i =,,..., n. Mi navodimo definiciju klase K ca, b proširene na proizvoljni interval I iz R. Definicija.5 Neka je f : I R i neka je c proizvoljna točka iz unutrašnjosti intervala I. Kažemo da je f K ci f K ci ako postoji konstanta D takva da je funkcija F x = fx D x konkavna konveksna na, c] I i konveksna konkavna na [c, + I.. Generalizacija Edmundson-Lah-Ribaričeve nejednakosti Levinsonovog tipa Kroz čitavo ovo poglavlje, EZ i VarZ redom označavaju očekivanje i varijancu slučajne varijable Z, i bez dodatnog naglašavanja pretpostavljamo da su te vrijednosti konačne. Pečarić, Praljak i Witkowski u radu [73] dokazali su sljedeću vjerojatnosnu verziju Levinsonove nejednakosti. eorem.6 [73] Neka su X : Ω I i Y : Ω I dvije slučajne varijable na vjerojatnosnim prostorima Ω, p i Ω, q redom, i neka postoji c iz unutrašnjosti intervala I takav da vrijedi ess ω Ω Xω c ess inf ω Ω Y ω.9 i VarX = VarY <. ada za svaku funkciju f K ci takvu da su EfX i EfY konačni imamo: EfX fex EfY fey. 8

18 Poglavlje. Nejednakosti Levinsonovog tipa Kao jednostavnu posljedicu prethodnog teorema, dobili su sljedeću generalizaciju rezultata dobivenih u radu [5]. ime su dobili značajno poboljšanje Levinsonove nejednakosti, jer ne samo da su dodatno oslabili uvjete, već se i promatraju nizovi brojeva različitih duljina i s različitim težinama. Korolar.7 [73] Ako su x i I, c], y j I [c, +, p i > 0, q j > 0 za i =,..., n i j =,..., m takvi da je n p i = m q j = i n p i x i x = m q j y j ȳ, tada vrijedi za sve f K ci. m p i fx i f x q j fy j fȳ.0 Budući da je Edmundson-Lah-Ribaričeva nejednakost proizašla iz Jensenove, one su usko povezane. Jensenova nejednakost nam daje donju, dok nam Edmundson-Lah- Ribaričeva nejednakost daje gornju granicu za očekivanje konveksnih funkcija. Zato je prirodno očekivati da će vrijediti generalizacija Edmundson-Lah-Ribaričeve nejednakosti analogna onoj iz eorema.6. Cilj ovog odjeljka je pronaći takvu generalizaciju, te ispitati pod kakvim sve uvjetima ona vrijedi. Glavni rezultat u ovom odjeljku je generalizacija Levinsonovog tipa Edmundson-Lah- Ribaričeve nejednakosti za matematičko očekivanje dobivena u radu [39]. eorem.8 Neka je < a A b B < +. Neka su X : Ω [a, A] i Y : Ω [b, B] dvije slučajne varijable na vjerojatnosnim prostorima Ω, p i Ω, q redom takve da.9 vrijedi i A EX A a a + EX a A a A EX = B EY B b b + EY b B b B EY.. ada za svaku funkciju f K ca, B takvu da su EfX i EfY konačni imamo A EX A a B EY B b fa + EX a fa EfX A a fb + EY b fb EfY.. B b Dokaz. Neka je F x = fx D x, gdje je D konstanta iz Definicije.5. Pošto je F : [a, A] R konkavna, iz Edmundson-Madanskyjeve nejednakosti.3 odmah slijedi 0 A EX A a F a + EX a F A EF X A a = A EX EX a fa + fa EfX A a A a D A EX A a a + EX a A a A EX. 9

19 Poglavlje. Nejednakosti Levinsonovog tipa Kad presložimo gornju nejednakost, dobijemo D A EX A a a + EX a A a A EX A EX A a fa EX a fa + EfX..3 A a Slično, F : [b, B] R je konveksna, pa na jednak način dobijemo 0 B EY F b + EY b F B EF Y B b B b = B EY fb + EY b fb EfY D i nakon preslagivanja imamo D B b B EY B b B EY B b B EY B b Nakon što zbrojimo.3 i.4, dobijemo 0 = D B EY B b B b b + EY b B b B EY b + EY b B b B EY, fb + EY b fb EfY..4 B b b + EY b B b B EY A EX A a a EX a A a A + EX B EY B b A EX A a čime smo dokazali tvrdnju teorema. fb + EY b fb EfY B b fa EX a A a fa + EfX Iz dokaza prethodnog teorema očito je da nejednakost. vrijedi i ako zamijenimo uvjet jednakosti. slabijim uvjetom B EY D B b b + EY b B b B EY A EX A a a EX a A a A + EX 0. Budući da je f c D f +c za detalje pogledati rad [5], ako je dodatno funkcija f konveksna respektivno konkavna, taj se uvjet može još dalje oslabiti na B EY b + EY b B b B b B EY 0

20 Poglavlje. Nejednakosti Levinsonovog tipa A EX A a a EX a A a A + EX 0 respektivno 0. Lako se iz.3 i.4 vidi da se nejednakost. može zapisati i kao A EX A a fa + EX a fa EfX 0 A a B EY B b fb + EY b fb EfY B b ili A EX A a fa + EX a A a fa EfX D C B EY B b gdje je C jednak jednoj od strana u jednakosti.. fb + EY b fb EfY, B b Sljedeći rezultat daje nam diskretnu verziju generalizacije Edmundson-Lah-Ribaričeve nejednakosti Levinsonovog tipa, i lako se dobije kao jednostavna posljedica prethodnog teorema. Korolar.9 Neka je < a A c b B < +. Ako su x i [a, A], y j [b, B], p i > 0, q j > 0 za i =,..., n i j =,..., m takvi da je n p i = m q j = i A x A a a + x a A a A p i x i = B ȳ B b b + ȳ b B b B m q j yj,.5 gdje je x = n p i x i i ȳ = m q j y j, tada za svaku funkciju f K ca, B vrijedi A x x a fa + A a A a fa n p i fx i B ȳ B b fb + ȳ b m B b fb q j fy j..6 Dokaz. Neka je X diskretna slučajna varijabla koja poprima vrijednosti x i s vjerojatnošću p i za svaki i =,,..., n i neka je Y diskretna slučajna varijabla koja poprima vrijednosti y j s vjerojatnošću q j za svaki j =,,..., m. Odmah se vidi da slučajne varijable X and Y zadovoljavaju uvjete iz eorema.8, pa nejednakost.6 slijedi direktno iz...3 Generalizacija operatorske Edmundson-Lah-Ribaričeve nejednakosti Levinsonovog tipa U ovom odjeljku radit ćemo s općim oblikom Edmundson-Lah-Ribaričeve nejednakosti za hermitske operatore u Hilbertovom prostoru. Da bi mogli iskazati dobivene rezultate, potrebno je najprije opisati odgovarajuće okruženje.

21 Poglavlje. Nejednakosti Levinsonovog tipa Neka je H Hilbertov prostor, te neka je BH C -algebra svih omeđenih to jest neprekidnih linearnih operatora na H. Sa B h H označavamo polu-prostor svih hermitskih operatora iz BH. Ako je A hermitski operator i ako je f realna neprekidna funkcija na spektru SpA od A, tada iz ft 0 za svaki t SpA od A slijedi da je fa 0, to jest fa je pozitivni operator na H. Ekvivalentno, ako su i f i g realne neprekidne funkcije na SpA, tada vrijedi sljedeće svojstvo: iz ft gt za svaki t SpA slijedi da je fa ga.7 u operatorskom poretku prostora BH. Donju i gornju granicu hermitskog operatora X BH redom definiramo kao: m X = inf Xξ, ξ i M X = Xξ, ξ. ξ = ξ = Preslikavanje Φ: BH BK je linearno ako je aditivno i homogeno, to jest ako vrijedi ΦαX + βy = αφx + βφy za sve α, β C i X, Y BH. Linearno preslikavanje Φ: BH BK je pozitivno ako čuva operatorski poredak, to jest ako za pozitivni operator A BH vrijedi da je i ΦA također pozitivni operator. Linearno preslikavanje Φ: BH BK je unitalno ako čuva operator identitete, to jest ako vrijedi Φ H = K. Ako je funkcija f : I R operatorski konveksna, tada Jensenova operatorska nejednakost fφx ΦfX.8 vrijedi za svako pozitivno unitalno linearno preslikavanje Φ na BH i za svaki operator X B h H sa spektrom sadržanim u intervalu I. Mičić Hot, Pečarić i Praljak su u radu [6] dokazali generalizacija Levinsonove nejednakosti za hermitske operatore u Hilbertovom prostoru. Budući da se njihov rezultat zasniva na operatorskoj konveksnosti i konkavnosti, prije iskazivanja spomenutog rezultata trebamo dati definiciju klase funkcija K ci koja se nalazi u [6]. Definicija.0 Neka je f : I R, te neka točka c pripada unutrašnjosti intervala I. Kažemo da je f K ci to jest, f K ci ako postoji konstanta D takva da je funkcija F x = fx D x operatorski konkavna to jest, operatorski konveksna na, c] I, te operatorski konveksna to jest, operatorski konkavna na [c, + I. eorem. [6] Neka su X i, Y j B h H, i =,..., n, j =,..., k, hermitski operatori sa spektrom sadržanim redom u intervalima [m X, M X ] i [m Y, M Y ] takvim da je m X < M X c m Y < M Y. Neka su Φ i, Ψ j : BH BK, i =,..., n, j =,..., k, pozitivna linearna preslikavanja takva da vrijedi n Φ i H = K i k Ψ j H = K. Neka je

22 Poglavlje. Nejednakosti Levinsonovog tipa f K cm X, M Y. Ako vrijedi C := D [ n Φ i X n ] i Φ i X i C := D [ k k ] Ψ j Yj Ψ j Y j tada imamo n Φ i fx i f Φ i X i C C k k Ψ j fy j f Ψ j Y j..9 Sljedeća generalizacija Edmundson-Lah-Ribaričeve nejednakosti za hermitske operatore u Hilbertovom prostoru dokazana je u monografiji [5]. eorem. [5] Neka su A j B h H hermitski operatori sa spektrom sadržanim u intervalu [m, M] za neke skalare m < M, te neka su Φ j : BH BK pozitivna linearna preslikavanja za j =,..., n takva da je n Φ j H = K. neprekidna konveksna funkcija, tada vrijedi Ako je f : [m, M] R Φ j fa j M K n Φ j A j n Φ j A j m K fm + fm..0 Prvi i glavni rezultat ovog poglavlja je generalizacija Levinsonovog tipa Edmundson- Lah-Ribaričeve nejednakosti za operatore u Hilbertovom prostoru, i dokazan je u radu [40] korištenjem slične metode kao u prethodnom poglavlju. eorem.3 Neka su X i, Y j B h H, za i =,..., n, j =,..., k, hermitski operatori sa spektrom redom sadržanim u intervalima [m X, M X ] i [m Y, M Y ], gdje su m X < M X c m Y < M Y skalari. Neka su Φ i, Ψ j : BH BK, i =,..., n, j =,..., k, pozitivna linearna preslikavanja takva da vrijedi n Φ i H = K i k Ψ i H = K. Neka je f K cm X, M Y. Ako vrijedi [ D MX K n Φ i X i n m Φ i X i m X K X + MX M X m X M X m X =C C = D [ MY K k Ψ j Y j m Y + M Y m Y M Y m Y k Ψ j Y j ] k Ψ j Y j m Y K ] Φ i Xi M Y. tada imamo M X K n Φ i X i n Φ i X i m X K fm X + M X m X M X m X C C M Y K k Ψ j Y j M Y m Y fm Y + fm X Φ i fx i k Ψ j Y j m Y K fm Y M Y m Y 3

23 Poglavlje. Nejednakosti Levinsonovog tipa k Ψ j fy j.. Ako je f K cm X, M Y i C C, tada su nejednakosti u. obrnute. Dokaz. Dokazat ćemo samo slučaj kada je f K cm X, M Y. Neka je F x = fx D x, gdje je D konstanta iz Definicije.5. Budući da je funkcija F : [m X, c] R konkavna, iz Edmundson-Lah-Ribaričeve nejednakosti za operatore u Hilbertovom prostoru.0 imamo: to jest, dobili smo 0 M X K n Φ i X i F m X + M X m X Φ i F X i n Φ i X i m X K M X m X F M X = M X K n Φ i X i n Φ i X i m X K fm X + fm X M X m X M X m X Φ i fx i D [ MX K n Φ i X i m M X m X+ X n Φ i X i m X K ] MX Φ i Xi, M X m X M X K n Φ i X i n Φ i X i m X K fm X + fm X M X m X M X m X Φ i fx i C..3 Slično, zato jer je funkcija F : [c, M Y ] R konveksna, na isti način dobijemo 0 M Y K k Ψ j Y j F m Y + M Y m Y k Ψ j F Y j k Ψ j Y j m Y K M Y m Y F M Y = M Y K k Ψ j Y j k Ψ j Y j m Y K fm Y + fm Y M Y m Y M Y m Y k Ψ j fy j D [ MY K k Ψ j Y j m Y + M Y m Y k Ψ j Y j m Y K k ] MY Ψ j Yj, M Y m Y 4

24 Poglavlje. Nejednakosti Levinsonovog tipa pa nakon što presložimo tako dobivenu relaciju, imamo C M Y K k Ψ j Y j k Ψ j Y j m Y K fm Y + fm Y M Y m Y M Y m Y k Ψ j fy j..4 Konačno, kombiniranjem nejednakosti.3 i.4, te uzimajući u obzir da vrijedi., dobivamo upravo., čime je dokaz završen. Uvjet. možemo zamijeniti jačim uvjetom D 0 i X δ Y ili D 0 i Y δ X, gdje su δ X X respektivno δ Y Y donja i gornja granica pozitivnog operatora X respektivno Y definiranog kao respektivno X = M X K n Φ i X i n m Φ i X i m X K X + MX M X m X M X m X Y = M Y K k Ψ j Y j k m Ψ j Y j m Y K Y + MY M Y m Y M Y m Y Φ i Xi k Ψ j Yj. Ako je još funkcija f konveksna respektivno konkavna, tada vrijedi f c D f +c respektivno f +c D f c, pa se uvjet. može oslabiti na vidjeti [5] X Y, respektivno Y X. U sljedećem rezultatu je dana jednostavnija verzija nejednakosti.. Korolar.4 Neka su X i, Y j B h H, i =,..., n, j =,..., k, hermitski operatori sa spektrom sadržanim u [m X, M X ] i [m Y, M Y ] respektivno, gdje su m X < M X c m Y < M Y skalari. Neka su Φ i, Ψ j : BH BK, i =,..., n, j =,..., k, pozitivna linearna preslikavanja takva da vrijedi n Φ i H = K i k Ψ j H = K. Neka je f K cm X, M Y. Ako vrijedi C : = M X K n Φ i X i n m Φ i X i m X K X + MX M X m X M X m X = M Y K k Ψ j Y j k m Ψ j Y j m Y K Y + MY M Y m Y M Y m Y Φ i Xi k Ψ j Y j.5 5

25 Poglavlje. Nejednakosti Levinsonovog tipa tada M X K n Φ i X i n Φ i X i m X K fm X + M X m X M X m X C M Y K k Ψ j Y j M Y m Y fm Y + fm X Φ i fx i k Ψ j Y j m Y K M Y m Y fm Y k Ψ j fy j..6 Ako je f K cm X, M Y, tada su nejednakosti u.6 obrnute..3. Rezultati sa skalarnim produktom Mičić Hot, Pečarić i Praljak su u radu [6] također dokazali i generalizaciju Levinsonove nejednakosti za skalarni produkt hermitskih operatora u Hilbertovom prostoru. Za razliku od njihovog ranije iskazanog rezultata gdje je bila potrebna operatorska konveksnost i konkavnost, u ovom je potrebna samo konveksnost i konkavnost u klasičnom smislu. eorem.5 [6] Neka su X i, Y j B h H, i =,..., n, j =,..., k, hermitski operatori sa spektrom sadržanim redom u intervalima [m X, M X ] i [m Y, M Y ] takvim da je m X < M X c m Y < M Y. Neka su z i, w j H, i =,..., n, j =,..., k, vektori za koje vrijedi n z i = i k w j =. Neka je f K cm X, M Y. Ako vrijedi C := D X i X H z i, z i C := D k Y j Ȳ H w j, w j tada fx i z i, z i f X k C C fy j w j, w j fȳ,.7 gdje je X = n X i z i, z i i Ȳ = k Y j w j, w j. U ovom odjeljku izvesti ćemo generalizaciju Levinsonovog tipa skalarne Edmundson- Lah-Ribaričeve nejednakosti za operatore u Hilbertovom prostoru. Da bi mogli izreći naše tvrdnje, prvo moramo iskazati poopćenu verziju Edmundson-Lah-Ribaričeve nejednakosti za skalarni produkt koja će nam trebati u dokazu spomenutog rezultata. eorem.6 [5] Neka su A,..., A n hermitski operatori na Hilbertovom prostoru H sa spektrom sadržanim u intervalu [m, M] za neke skalare m < M. Ako je f konveksna funkcija na [m, M], tada vrijedi fa i x i, x i M n A i x i, x i n A i x i, x i m fm + fm.8 6

26 Poglavlje. Nejednakosti Levinsonovog tipa za svaku n-torku vektora x,..., x n H takvih da je n x i =. U dokazu sljedećeg rezultata koristimo tehniku analognu onoj u dokazu eorema.3, ali zbog potpunosti dati ćemo čitavi dokaz. eorem.7 Neka su X i, Y j B h H, i =,..., n, j =,..., k, hermitski operatori sa spektrom redom sadržanim u intervalima [m X, M X ] i [m Y, M Y ] takvima da za njihove granice vrijedi m X < M X c m Y < M Y. Neka su z i, w j H, i =,..., n, j =,..., k, vektori takvi da je n z i = i k w j =. Neka je f Kcm X, M Y. Ako vrijedi [ D MX n X i z i, z i n m X i z i, z i m X ] X + MX Xi z i, z i M X m X M X m X =C C = D [ MY k Y j w j, w j k m Y j w j, w j m Y Y + MY M Y m Y M Y m Y k ] Yj w j, w j.9 onda imamo M X n X i z i, z i n X i z i, z i m X fm X + M X m X M X m X C C M Y k Y j w j, w j M Y m Y fm Y + fm X fx i z i, z i k Y j w j, w j m Y fm Y M Y m Y k fy j w j, w j..30 Ako je f K cm X, M Y i C C, onda su nejednakosti u.30 obrnute. Dokaz. Kao i ranije, dokazati ćemo samo slučaj kad je f K cm X, M Y. Neka je F x = fx D x, gdje je D konstanta iz Definicije.5. Budući da je F : [m X, c] R konkavna funkcija, poopćena Edmundson-Lah-Ribaričeva nejednakost za skalarni produkt.8 implicira 0 M X n X i z i, z i F m X + M X m X F X i z i, z i n X i z i, z i m X M X m X F M X = M X n X i z i, z i n X i z i, z i m X fm X + fm X M X m X M X m X i z i, z i fx D [ MX n X i z i, z i m M X m X+ X n X i z i, z i m X ] MX Xi z i, z i, M X m X 7

27 Poglavlje. Nejednakosti Levinsonovog tipa čime smo dobili M X n X i z i, z i n X i z i, z i m X fm X + fm X M X m X M X m X fx i z i, z i C..3 Na sličan način, budući da je F : [c, M Y ] R konveksna, na analogan način dobijemo 0 M Y k Y j w j, w j F m Y + M Y m Y k F Y j w j, w j k Y j w j, w j m Y M Y m Y F M Y = M Y k Y j w j, w j k Y j w j, w j m Y fm Y + fm Y M Y m Y M Y m Y k j w j, w j fy D [ MY k Y j w j, w j m Y + M Y m Y k Y j w j, w j m Y k ] MY Yj w j, w j, M Y m Y pa nakon preslagivanja imamo C M Y k Y j w j, w j k Y j w j, w j m Y fm Y + fm Y M Y m Y M Y m Y k fy j w j, w j..3 Nejednakost.30 direktno slijedi kombiniranjem nejednakosti.3 i.3 i uzimanjem u obzir uvjet teorema.9. Preslikavanja Φ i, Ψ J : BH BK, i =,..., n, j =,..., k iz prethodnog poglavlja možemo odabrati na sljedeći način. Neka su z,..., z n i w,..., w k vektori iz H takvi da vrijedi n z i = i k w j =. Za bilo koji A BH definiramo preslikavanje Φ i sa Φ i A = Az i, z i, te preslikavanje Ψ j sa Ψ j A = Aw j, w j. ada su Φ i, Ψ j : BH R pozitivni linearni funkcionali takvi da je n Φ i H = k Ψ j H =. Sada vidimo da vrijedi n Φ i X i = n X i z i, z i i k Ψ j Y j = k Y j w j, w j. Na ovaj način eorem.7 direktno slijedi iz eorema.3 vidjeti [5]. 8

28 Poglavlje Obrati nejednakosti u obliku razlike za linearne funkcionale U ovom poglavlju najprije ćemo dati pregled nekih bitnih rezultata povezanih s Jensenovom i Edmundson-Lah-Ribaričevom nejednakosti za pozitivne linearne funkcionale koji su poznati od ranije. Dobit ćemo obrate spomenutih rezultata i dokazat ćemo profinjenja i poboljšanja istih, te ih primijeniti na razne klasične nejednakosti poput Hölderove, Hadamardove, nejednakosti među generaliziranim sredinama, te nejednakosti Giaccardija i Petrovića, čime ćemo dobiti obrate navedenih nejednakosti koji daju gornju ogradu za razliku desne i lijeve strane u tim nejednakostima.. Uvod Neka je E neprazan skup i L vektorski prostor realnih funkcija f : E R sa svojstvima: L: f, g L af + bg L za sve a, b R; L: L, tj. ako je ft = za svaki t E, onda f L. akođer promatramo pozitivne linearne funkcionale A: L R, to jest, pretpostavljamo da vrijedi: A: Aaf + bg = aaf + bag za f, g L i a, b R; A: f L, ft 0 za svaki t E Af 0. Kroz čitavo ovo poglavlje, za funkcije koje su definirane nad nekim intervalom [m, M] bez dodatnog naglašavanja pretpostavljamo da za granice spomenutog intervala vrijedi < m < M <. Jessen [45] je dao sljedeću generalizaciju Jensenove nejednakosti za konveksne funkcije također pogledati [74, str.47]: eorem. [45] Neka je L vektorski prostor realnih funkcija definiranih na nepraznom skupu E koji zadovoljava svojstva L i L i pretpostavimo da je φ neprekidna konveksna 9

29 Poglavlje. Obrati nejednakosti u obliku razlike za linearne funkcionale funkcija na intervalu I R. Ako je A pozitivni linearni funkcional takav da je A =, onda za sve f L takve da je φf L vrijedi Af I i φaf Aφf.. Sljedeći rezultat je generalizacija Edmundson-Lah-Ribaričeve nejednakosti za linearne funkcionale i dokazali su ga Beesack i Pečarić u [8] također pogledati [74, str.98]: eorem. [8] Neka je φ konveksna funkcija na I = [m, M], neka je L vektorski prostor realnih funkcija definiranih na nepraznom skupu E koji zadovoljava svojstva L i L, te neka je A bilo koji pozitivni linearni funkcional na L takav da je A =. ada za svaki f L takav da je φf L pa vrijedi m ft M za sve t E, imamo Aφf M Af Af m φm + φm.. Da bi mogli iskazati poboljšanje Edmundson-Lah-Ribaričeve nejednakosti. koje su dobili Klaričić Bakula, Pečarić i Perić u radu [47], trebamo linearnu klasu realnih funkcija L definiranu na početku poglavlja opremiti dodatnim svojstvom: L3: ako su f, g L, onda je min{f, g} L ili max{f, g} L svojstvo rešetke eorem.3 [47] Neka je L vektorski prostor realnih funkcija definiranih na nepraznom skupu E koji zadovoljava svojstva L, L i L3 i neka je A pozitivni linearni funkcional na L takav da je A =. Ako je φ konveksna funkcija na [m, M], onda za sve f L takve da je φf L vrijedi Af [m, M] i gdje su Aφf M Af Af m φm + φm A fδ φ,.3 f = f m + M, m + M δ φ = φm + φm φ..4 Dragomir je u radu [7] promatrao izmjerivi prostor Ω, A, µ koji se sastoji od skupa Ω, σ-algebre A podskupova od Ω i prebrojivo aditivne i pozitivne mjere µ na A koja poprima vrijednosti u R { }. Za µ-izmjerivu funkciju w : Ω R takvu da je wx 0 za µ-s.s. skoro svaki x Ω, promatrao je Lebesgueov prostor L w Ω, µ := {f : Ω R, f je µ izmjeriva i Ω wx fx dµx < }, te je dokazao sljedeći obrat Jensenove nejednakosti. eorem.4 [7] Neka je φ: I R neprekidna konveksna funkcija na intervalu realnih brojeva I i neka su m, M R, m < M takvi da interval [m, M] pripada unutrašnjosti 0

30 Poglavlje. Obrati nejednakosti u obliku razlike za linearne funkcionale intervala I. Neka je w > 0 takva da je wdµ =. Ako je f : Ω R µ-izmjeriva, zadovoljava granice i takva da je f, φ f L w Ω, µ, onda < m ft M < za µ-s.s. t Ω 0 Ω wtφftdµt φ f Ω,w M f Ω,w f Ω,w m φ M φ +m 4 φ M φ +m,.5 gdje je f Ω,w := Ω wtftdµt [m, M]. U radu [8] Dragomir je dobio i profinjenje prethodnog rezultata koje navodimo u sljedećem teoremu. eorem.5 [8] Neka je φ: I R neprekidna konveksna funkcija na intervalu realnih brojeva I i neka su m, M R, m < M takvi da [m, M] pripada unutrašnjosti intervala I. Neka je w > 0 takva da je wdµ =. Ako je f : Ω R µ-izmjeriva, zadovoljava granice i takva da je f, φ f L w Ω, µ, onda < m ft M < for µ-a.e. t Ω 0 Ω wtφftdµt φ f Ω,w M f Ω,w f Ω,w m Ψ φ t; m, M M f Ω,w f Ω,w m φ M φ +m 4 φ M φ +m,.6 gdje je f Ω,w := Ω wtftdµt [m, M] i Ψ φ ; m, M: m, M R je definirana sa akođer imamo nejednakosti 0 Ω Ψ φ t; m, M = φm φt M t φt φm t m. wtφftdµt φ f Ω,w 4 Ψ φt; m, M 4 φ M φ +m,.7 ako je f Ω,w m, M.

31 Poglavlje. Obrati nejednakosti u obliku razlike za linearne funkcionale. Obrati Jensenove i Edmundson-Lah-Ribaričeve nejednakosti za linearne funkcionale Rezultati koji slijede dobiveni su u [37] i redom daju gornju ogradu za razliku između desne i lijeve strane u Jensenovoj i Edmundson-Lah-Ribaričevoj nejednakosti. Prvi teorem je i generalizacija Dragomirovog rezultata.5 za linearne funkcionale. eorem.6 Neka je φ neprekidna konveksna funkcija na intervalu I čija unutrašnjost sadrži interval [m, M], neka je L vektorski prostor realnih funkcija definiranih na E takav da zadovoljava svojstva L i L, te neka je A bilo koji pozitivni linearni funkcional na L takav da je A =. ada za svaku funkciju f L takvu da je φf L i koja zadovoljava granice m ft M za sve t E imamo 0 Aφf φaf M AfAf m φ M φ +m 4 φ M φ +m..8 Ako je φ konkavna na I, onda su nejednakosti u.8 obrnute. Dokaz. Pretpostavimo da je φ konveksna funkcija. Prva nejednakost slijedi direktno iz eorema.. Prema eoremu. vrijedi Aφf φaf M Af Af m φm + φm φaf =: B. Zbog konveksnosti funkcije φ vrijedi gradijentna nejednakost: φt φm φ Mt M za bilo koji t [m, M]. Ako pomnožimo tu nejednakost sa t m 0, dobivamo t mφt t mφm φ Mt Mt m, t [m, M].9 Na sličan način možemo dobiti: M tφt M tφm φ +mt mm t, t [m, M].0 Ako zbrojimo.9 i.0 i sve podijelimo sa m M, dobivamo da za bilo koji t [m, M] vrijedi: t mφm + M tφm φt M tt m φ M φ +m.. Budući da je Af [m, M], možemo u prethodnoj relaciji zamjieniti t s Af i dobiti

32 Poglavlje. Obrati nejednakosti u obliku razlike za linearne funkcionale M AfAf m B φ M φ +m, što je upravo druga nejednakost u.8. Da bi dokazali treću nejednakost u.8, primijetimo da za svaki t [m, M] vrijedi nejednakost M tt m, čime je tvrdnja teorema dokazana. 4 Ako je φ konkavna funkcija, tada je φ konveksna, i možemo primijeniti.8 na funkciju φ, pa obratne nejednakosti slijede množenjem s. U iskazu eorema.6 traži se da interval [m, M] pripada unutrašnjosti intervala I zbog osiguravanja konačnosti jednostranih derivacija u.8. Bez tražene pretpostavke te bi derivacije mogle biti beskonačne. eorem.7 Neka je φ konveksna funkcija na intervalu realnih brojeva I čija unutrašnjost sadrži interval [m, M], neka je L vektorski prostor realnih funkcija definiranih na nepraznom skupu E koji zadovoljava svojstva L i L, te neka je A bilo koji pozitivni linearni funkcional na L takav da je A =. ada za svaku funkciju f L takvu da je φf L i koja zadovoljava granice m ft M za sve t E vrijede sljedeće nejednakosti: 0 M Af Af m φm + φm Aφf φ M φ +m A[M f][f m] φ M φ +m M AfAf m 4 φ M φ +m.. Ako je φ konkavna, nejednakosti u. su obrnute. Dokaz. Pretpostavimo da je φ konveksna funkcija. Prva nejednakost u. se dobije iz. tako da oduzmemo φaf od obje strane nejednakosti. Budući da je ft [m, M], možemo zamijeniti t s ft u relaciji., čime dobivamo M ft φm + ft m M ftft m φm φft φ M φ +m. Funkcija definirana s ht = M tt m konkavna je na [m, M], pa kad djelujemo funkcionalom A na prethodnu nejednakost, zbog njegove linearnosti i iz Jensenove nejednakosti. slijedi druga nejednakost u.: M Af Af m φm + φm Aφf φ m φ +m A[M f][f m] φ M φ +m M AfAf m. 3

33 Poglavlje. Obrati nejednakosti u obliku razlike za linearne funkcionale Da bi dokazali posljednju nejednakost u., primijetimo da za svaki t [m, M] vrijedi nejednakost ht 4. Budući da je Af [m, M], vrijedi i: haf 4, čime je dokaz završen. Ako je φ konkavna, obratne nejednakosti direktno slijede iz konveksnosti funkcije φ. Uz pretpostavke iz prethodna dva teorema, neka je l linearna funkcija kroz točke m, fm i M, fm. Budući da je φ konveksna funkcija na [m, M], mora vrijediti φaf Aφf laf za svaku funkciju f L takvu da je φf L. Iz eorema.6 i eorema.7 vidimo da obje razlike Aφf φaf i laf Aφf imaju jednaku procjenu, pa slijedi da je, u slabom smislu, Aφf skoro srednja točka između φaf i laf. Sljedeći rezultati nalaze se u [38] i redom su profinjenja nizova nejednakosti dobivenih u eoremu.6 i eoremu.7. Prvi teorem koji slijedi generalizacija je Dragomirovih rezultata.6 i.7. eorem.8 Neka je φ konveksna funkcija na intervalu realnih brojeva I čija unutrašnjost sadrži interval [m, M]. Neka vektorski prostor L zadovoljava svojstva L i L, te neka je A bilo koji pozitivni linearni funkcional na L takav da je A =. ada za svaku funkciju f L takvu da je φf L i koja zadovoljava granice m ft M za sve t E vrijedi akođer imamo nejednakosti 0 Aφf φaf M AfAf m Ψ φ t; m, M M AfAf m φ M φ +m 4 φ M φ +m..3 0 Aφf φaf 4 Ψ φ Af; m, M 4 φ M φ +m,.4 4

34 Poglavlje. Obrati nejednakosti u obliku razlike za linearne funkcionale gdje je Ψ φ ; m, M: m, M R definirana sa Ψ φ t; m, M = φm φt M t Ako je φ konkavna na I, onda su nejednakosti obrnute. φt φm..5 t m Dokaz. Pretpostavimo da je funkcija φ konveksna. Ako je Af = m ili Af = M, nejednakosti su očite. Neka je Af m, M. Prve nejednakosti u.3 i.4 slijede direktno iz eorema.. Prema eoremu. imamo Aφf φaf M Af Af m φm + φm φaf { } M AfAf m φm φaf φaf φm = M Af Af m = M AfAf mψ φ Af; m, M M AfAf m Ψ φ t; m, M, i vidimo da smo dokazali drugu nejednakost u.3. Računamo dalje { φm φt Ψ φ t; m, M = M t φm φt M t φm φt = M t = φ M φ +m, } φt φm t m + inf φt φm t m φt φm t m što dokazuje treću nejednakost u.3. Da bi dokazali zadnju nejednakost u.3, M tt m primijetimo da za svaki t [m, M] vrijedi. Pošto je 4 Af [m, M], možemo zamijeniti t s Af u prethodnoj nejednakosti. Dokaz nejednakosti.4 je očit iz dokaza za nejednakosti.3. Ako je φ konkavna, onda je φ konveksna, pa možemo primijeniti.3 i.4 na funkcijiu φ i time dobiti obrnute nejednakosti za φ. Primijetimo da je Ψ φ ; m, M, definirana sa.5, zapravo podijeljena razlika drugog reda [m, t, M]φ funkcije φ u točkama m, t i M za svaki t m, M. Da bi mogli dokazati obrat Edmundson-Lah-Ribaričeve nejednakosti, potreban nam je sljedeći rezultat iz [38]: Lema.9 Neka je φ konveksna funkcija na intervalu realnih brojeva I, te neka su m, M R, m < M takvi da [m, M] pripada unutrašnjosti intervala I. ada za bilo koji t [m, M] 5

35 Poglavlje. Obrati nejednakosti u obliku razlike za linearne funkcionale vrijedi sljedeći niz nejednakosti: Isto tako vrijedi φ t; m, M = t m φm + M t φm φt M tt m Ψ φ t; m, M M tt m φ M φ +m 4 φ M φ +m..6 φ t; m, M 4 Ψ φ t; m, M 4 φ M φ +m,.7 gdje je Ψ φ ; m, M: m, M R definirana sa.5 Ako je φ konkavna, onda su nejednakosti obrnute. Dokaz. Neka je φ konveksna funkcija. Ako je t = m ili t = M, nejednakosti su očite. Za bilo koji t m, M vrijedi φ t; m, M = t m φm + M t [ M tt m φm φt = M t = M tt mψ φ t; m, M M tt m φm φt Ψ φ t; m, M, ] φt φm t m što je zapravo prva nejednakost u.6. Druga nejednakost slijedi direktno iz sljedećeg: { φm φt Ψ φ t; m, M = M t φm φt M t φm φt = M t = φ M φ +m. } φt φm t m + inf φt φm t m φt φm t m Zadnja nejednakost u.6, slijedi direktno iz činjenice da za svaki t [m, M] vrijedi M tt m M m. Dokaz nejednakosti.7 je jasan iz dokaza za nejednakosti 4.6. Ako je φ konkavna, onda je φ konveksna, pa možemo primijeniti.6 i.7 na funkciju φ i tako dobiti obrnute nejednakosti za φ. 6

36 Poglavlje. Obrati nejednakosti u obliku razlike za linearne funkcionale eorem.0 Neka je φ konveksna funkcija na intervalu realnih brojeva I čija unutrašnjost sadrži interval[m, M]. Neka vektorski prostor L zadovoljava svojstva L i L, te neka je A bilo koji pozitivni linearni funkcional na L takav da je A =. Ako je funkcija f L takva da je φ f L i m ft M za sve t E, onda vrijede sljedeći nizovi nejednakosti: i 0 Af m A[M ff m] M Af φm + φm Aφf Ψ φ t; m, M A[M ff m] φ M φ +m M AfAf m φ M φ +m 4 φ M φ +m.8 ii 0 Af m A[M ff m] M Af φm + φm Aφf M AfAf m Ψ φ t; m, M Ψ φ t; m, M M AfAf m φ M φ +m 4 φ M φ +m.9 iii 0 Af m M Af φm + φm Aφf 4 AΨ φ t; m, M 4 φ M φ +m.0 gdje je Ψ φ ; m, M: m, M R definirana sa.5. nejednakosti obrnute. Ako je φ konkavna, onda su Dokaz. Neka je funkcija φ konveksna. Prve nejednakosti u.8,.9 i.0 slijede direktno iz eorema.. 7

37 Poglavlje. Obrati nejednakosti u obliku razlike za linearne funkcionale Pošto se f nalazi u granicama m ft M za svaki t [m, M], možemo zamijeniti t s ft u nejednakostima.6 i.7 iz Leme.9 i time dobiti i ft m M ft φm + φm φft M ftft m Ψ φ t; m, M M ftft m φ M φ +m 4 φ M φ +m ft m M ft φm + φm φft 4 Ψ φ f; m, M 4 φ M φ +m. Sad primijenimo linearni funkcional A, koji je pozitivan i vrijedi A =, na prethodna dva niza nejednakosti, čime redom dobivamo nejednakosti.0 i prve tri nejednakosti M tt m u.8. Budući da za svaki t [m, M], vrijedi, onda ta 4 nejednakost vrijedi i za Af [m, M]. Na taj način smo dobili i zadnju nejednakost iz.8. Prva nejednakost iz.9 je jednaka kao i prva nejednakost iz.8. Funkcija gt = M tt m konkavna, pa prema Jessenovoj nejednakosti. imamo da je A[M f][f m] M AfAf m, što dokazuje drugu nejednakost iz.9. U dokazu Leme.9 pokazali smo da vrijedi Ψ φ t; m, M φ M φ +m, pa treća nejednakost iz.9 direktno slijedi. Za dokazati zadnju nejednakost iz.9, M tt m opet primijetimo da za svaki t [m, M] vrijedi, pa onda ta 4 nejednakost vrijedi i za Af [m, M]. Funkcija φ je definirana na intervalu I čija unutrašnjost sadrži interval [m, M]. aj uvjet osigurava konačnost jednostranih derivacija u točkama m i M. ada je lim Ψ φt; m, M = t m + [ ] φm φm φ +m 8