ΟΙ ΑΠΟΛΛΩΝΙΕΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΕΣ ΩΣ ΤΟΜΕΣ ΚΩΝΙΚΩΝ ΜΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΟΙ ΑΠΟΛΛΩΝΙΕΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΕΣ ΩΣ ΤΟΜΕΣ ΚΩΝΙΚΩΝ ΜΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ"

Transcript

1 ΟΙ ΑΠΟΛΛΩΝΙΕ ΚΑΤΑΚΕΥΕ Ω ΤΟΜΕ ΚΩΝΙΚΩΝ ΜΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΠΕΡΙΛΗΨΗ την παρούσα εργασία ασχολούμαστε με προβλήματα του Απολλώνιου. Χωρίζεται σε τρία μέρη. το πρώτο γίνεται μια απλή προσέγγιση της εξίσωσης του Απολλώνιου σε ορθογώνιο σύστημα αξόνων. το δεύτερο γίνεται η κατασκευή των οχτώ κατ εξοχήν προβλημάτων του Απολλώνιου με όχι Ευκλείδειο τρόπο,αλλά με τομές κωνικών,χρησιμοποιώντας πρόγραμμα δυναμικής Γεωμετρίας. Επιδιώκεται η προσέγγιση του άγνωστου τρόπου κατασκευής του Απολλώνιου στο έργο του Επαφές.χετικές προσπάθειες έχουν γίνει στο παρελθόν από πολλούς μαθηματικούς με πρώτο τον Αντριαν φον Ρόομεν ον 16 ο αιώνα. το τρίτο μέρος γίνεται μια επέκταση των Απολλώνιων κατασκευών στην περίπτωση των τεσσάρων κύκλων, ενός από τα οχτώ προβλήματα διατυπώνοντας μια σχετική ικανή συνθήκη για την ύπαρξη του ζητουμένου κύκλου. STRCT The present work deals with the pollonian problems. Includes three parts. The first part presents a simple approach of the pollonian euation in a rectangular system of axes. The second part presents the creation of the eight main pollonian problems based not on the Euclidian way but on the conic sections,according to the dynamic geometry program. It intends to approximate the unknown mode of construction the pollonian problem, something which has happened again in the past by many mathematicians such as ndrew fin Roomen in the 16 th century.the third part presents the creation of the pollonian problem in the case of the four circles in one of eight problems, stating a relevant rule for the circle in uestion ΜΕΡΟ Α Η ΕΞΙΩΗ ΤΟΥ ΑΠΟΛΛΩΝΙΟΥ : ψ =ρχ+χ Για την λύση της παραπάνω εξίσωσης στο πνεύμα των έργων του Απολλώνιου [4] διακρίνουμε τις περιπτώσεις Α) αν ρ=0 τότε ψ =χ, είναι ο λόγος των προβολών των καθέτων πλευρών χ,ψ ορθογωνίου τριγώνου ΑΒΓ στην υποτείνουσα

2 Β) αν ρ>0 και =0 τότε ψ =ρχ, ΟΛ=χ, OL=Λ=ρ (σχήμα 1) το Α γράφει παραβολή μεταβαλλόμενου του Λ.Το Β απέχει από το Ο, ρ και το Γ Q δ Α παραβολή απέχει από το Ο, ρ.το εμβαδόν του ΟΛΜL χαρακτηρίζεται ως «παραβάλλεται» [4]και το ΑΛ =ΟΛ ΟL ως σύμπτωμα[]. Γ Ο Β Λ Τότε ρ ρ ΑΒ = ψ + χ = χ + = ΛΓ.. άρα η κάθετη στο Γ στην ΓΛ είναι η διευθετούσα και το Β η εστία της παραβολής [1]. L M σχήμα 1 Μια ιδιότητα Αν ΑΝ είναι εστιακή χορδή τότε ΑΝ=ΑQ+WΝ, στο δισορθογώνιο τραπέζιο ΑΝWQ (σχήμα ) οι διχοτόμοι των γωνιών Α και Ν τέμνονται στο Δ, το μέσο του QW και ΔΒ κάθετη ΑΝ. Αν Ζ το μέσο του ΑΝ τότε οι διαγώνιοι του τραπεζίου QN, W τέμνονται στο Ο,όπου ΓΒ είναι ο αρμονικός μέσος των ΑΒ,ΒΝ και ίσος με το μισό του ΟL=ρ, ΔΒ ο γεωμετρικός και ΔΖ ο αριθμητικός μέσος τους. Έτσι είναι ΓΒ ΔΒ ΔΖ από τα σχηματιζόμενα ορθογώνια τρίγωνα γνωρίζοντας ακόμα ότι ΔΝ κάθετη με την ΔΑ [3]. δ Q Γ W Ο L N Β Ζ Α Λ Α' M σχήμα παραβολή

3 Γ) αν ρ>0 και 0< < 1η εξίσωση διαμορφώνεται ψ =ρχ-χ,θέλοντας να αφαιρέσουμε εμβαδόν από το προηγούμενο ορθογώνιο ΟΓΜΑ (σχήμα 3). Αν ΟΓ=χ, ΖΑ=χ, Γ=ΟΖ, καθώς το Γ κινείται από το Ο προς τα δεξιά το Β γράφει έλλειψη. Το ΒΓ = ΟΓ ΟΖ είναι το σύμπτωμα Προσδιορισμός ακροτάτων : το χ γίνεται μέγιστο αν το «ελλείπει» γίνει ίσο με το προηγούμενο ορθογώνιο δηλ. ρχ=χ ρ,όταν x = τότε ψ=0 το ψ γίνεται μέγιστο αν το «ελλείπει» γίνει ίσο με το ήμισυ του προηγουμένου ορθογωνίου δηλ. ΟΛ= ρ =α 1 ρ ρ ρ ρχ = χ χ =, ψ = ψ = =β, τότε ΟΚ= =α και ρ παραβολή N Β Π έλλειψη α β Ο P Ε Λ Κ Ε M' Φ Z μείωση L M σχήμα 3 Μια ιδιότητα : ΒΓ ψ ρ χ α χ ( α χ) ρ ρ ΟΑ β = = = = = = = = = [4] ΟΓ ΑΓ χ α χ α χ α χ α χ α α ΟΛ α ( )

4 ΖΔ ΓΛ 1 Παρατήρηση : τα σημεία Α,Δ,Λ είναι συνευθειακά από = = ΖΑ ΓΔ Η εξίσωση ψ =ρχ-χ μετασχηματίζεται ρ χ ψ 1 + = ρ ρ,α= ρ,β= ρ, ρ γ= 1 και εκκεντρότητα ε= 1 ρ Δ) αν ρ>0 και > 0 η εξίσωση διαμορφώνεται ψ =ρχ+χ,θέλοντας να προσθέσουμε εμβαδόν «υπερβάλλει» [4](σχήμα 4) από το προηγούμενο ορθογώνιο ΟΛΜL της παραβολής. υπερβολή παραβολή άξονας Β N Π έλλειψη γ Κ Ψ Τ α α Ο Ε Λ Z D 1 ' M' Χ σχήμα 4 L M προσαύξηση 1 F 1 Αν ΟΛ=χ, =χ,λψ=οα 1, καθώς το Λ κινείται από το Ο προς τα δεξιά το Β γράφει υπερβολή. Το ΛΒ =ΟΛ ΟΑ 1 είναι το σύμπτωμα Τα στοιχεία της υπερβολής προσδιορίζονται από τα στοιχεία της προηγούμενης έλλειψης ως εξής: Το κέντρο της Κ είναι συμμετρικό του Ζ ως προς το Ο και η εστία Ε είναι η τομή του κύκλου κέντρου Κ και ακτίνας Ο=γ αφού Ζ=β και ΟΖ=α

5 Μια ιδιότητα : ΒΛ ψ ρ + χ α + χ ( α+χ) ρ ρ ΟL ΟL β = = = = = = = = = = ΟΛ ΤΛ χ α+χ α+χ α+χ α+χ α α ΟΨ ΤΟ α [4] ( ) Η εξίσωση ψ =ρχ+χ μετασχηματίζεται ρ χ+ ψ 1 = ρ ρ ρ και γ= 1+ και εκκεντρότητα ε= 1+ρ ΜΕΡΟ Β ΟΙ ΚΑΤΑΚΕΥΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΤΟΥ ΑΠΟΛΛΩΝΙΟΥ Πριν ξεκινήσουμε τις κατασκευές πρέπει να παρουσιάσουμε μερικές βοηθητικές προτάσεις που είναι γνωστές και ως περιβάλλουσες καμπύλες Λήμμα 1 Ο γ.τ. των σημείων του επιπέδου που ισαπέχουν από σταθερό σημείο Ε και από σταθερή ευθεία δ είναι παραβολή με εστία το Ε και διευθετούσα την δ και κορυφή το μέσον Κ της απόστασής τους. Το ρ είναι ίσο με την απόσταση του σημείου από την ευθεία. Α Κ Ο δ Ο κύκλος με κέντρο Α πάνω στην παραβολή και ακτίνα ίση με την απόσταση του Α από το Ε πληροί την ιδιότητα του γ.τ. (σχήμα 1) Λήμμα Ε σχήμα 1 Ο γ.τ. των σημείων που ισαπέχουν από σταθερό σημείο Ε και από σταθερό κύκλο (Ε 1,α) είναι τα σημεία της υπερβολής με εστίες τα Ε 1, Ε και γ=ε 1 Ε ή με κορυφή το μέσο της «μικρότερης απόστασης» του Ε με τον κύκλο ή με διαφορά α. Κάθε κύκλος με κέντρο Γ πάνω στην υπερβολή και ακτίνα ΓΕ έχει την προηγούμενη ιδιότητα του γ.τ. Περιπτώσεις δυο με τον κύκλο (Γ 1,Γ 1 Ε ) Ο πρώτος κύκλος εφάπτεται εξωτερικά και ο δεύτερος εσωτερικά με τον κύκλο (Ε,α) (σχήμα ).

6 Επειδή Ε Ε 1 >α κατασκευάζεται πάντα η υπερβολή α Γ 1 Ε 1 Π γ Ε Γ Λήμμα 3 σχήμα Ο γ.τ. των σημείων που ισαπέχουν από σταθερό κύκλο (Ε,α) και από σταθερή ευθεία ε είναι παραβολή με εστία το Ε και διευθετούσα ευθεία παράλληλη στην ε σε απόσταση α από αυτήν,άρα δυο C' περιπτώσεις. Κάθε κύκλος με α κέντρο πάνω στις παραβολές Ρ ή και ακτίνα όση η απόστασή C του από την αρχική ευθεία ε πληροί την ιδιότητα του γ.τ. Το ρ είναι ίσο με την απόσταση του κέντρου από την ευθεία συν την ακτίνα ή πλην την ακτίνα αντίστοιχα με την ευθεία ε και ε. Ο ένας εφάπτεται εξωτερικά και ο άλλος εσωτερικά του κύκλου (Ε,α) (σχήμα 3). σχήμα 3 Ε α Ρ ε ε ε

7 Λήμμα 4 Ο γ.τ. των σημείων που ισαπέχουν από δυο σταθερούς εξωτερικούς κύκλους (Α,ρ 1 ) και (Β,ρ ) είναι υπερβολή με εστίες τα κέντρα των δυο κύκλων Α και Β και κορυφές τα μέσα Μ και L της «μικρότερης» LM και της «μεγαλύτερης» Π απόστασης των σημείων των κύκλων ή με διαφορά ρ1 ρ (σχήμα 4) Υπάρχει και δεύτερη περίπτωση με ίδιες έξω τμημάτων» LN,KO της διακέντρου ή με διαφορά ρ 1 +ρ (σχήμα 5). Κάθε κύκλος με το κέντρο του στους κλάδους των υπερβολών έχει την ιδιότητα του γ.τ. ε κάθε περίπτωση προκύπτουν δυο κύκλοι με τον ένα κύκλο να εφάπτεται εξωτερικά και τον άλλο εσωτερικά των Π δυο αρχικών, (σχήμα 4). τη δεύτερη περίπτωση κάθε κύκλος, εφάπτεται εσωτερικά και εξωτερικά των δυο αρχικών σχήμα 5 εστίες και με κορυφές τα μέσα των δυο «μέσα πειδή d> ρ 1 +ρ > ρ ρ οι δυο κωνικές κατασκευάζονται πάντα Ε 1 σχήμα 4 G D L F J Μ C K I H U X Y K M N O P J W Z σχήμα 5

8 Λήμμα 5 Ο γ.τ. των σημείων που ισαπέχουν από δυο σταθερούς κύκλους (Α,ρ 1 ) και (Β,ρ ) ο ένας εσωτερικός είναι έλλειψη με εστίες τα κέντρα των δυο κύκλων Α και Β και κορυφές τα μέσα Μ και L της «μικρότερης» CE και της «μεγαλύτερης» EI απόστασης των σημείων των κύκλων ή με άθροισμα ρ 1 +ρ (σχήμα 6) G Υπάρχει και δεύτερη περίπτωση με ίδιες εστίες και με κορυφές τα μέσα των δυο «μέσα έξω τμημάτων» CM,EJ της διακέντρου ή με άθροισμα ρ1 ρ (σχήμα 7) F C L E Κάθε κύκλος με το κέντρο του στην έλλειψη έχει την ιδιότητα του γ.τ. Μ J σχήμα 6 I Ο κύκλος εφάπτεται εξωτερικά του και εσωτερικά του σχήμα 6 Επειδή d=αβ< ρ 1 ρ < ρ 1 + ρ κατασκευάζονται πάντα οι δυο ελλείψεις. Ο κύκλος εφάπτεται εσωτερικά και των δυο αρχικών κύκλων σχήμα 7 Μια τρίτη περίπτωση είναι όταν οι κύκλοι τέμνονται. Τότε η υπερβολή έχει εστίες τα δυο κέντρα των αρχικών κύκλων και κορυφές τα μέσα των τμημάτων με την μικρότερη και την μεγαλύτερη απόσταση των κύκλων ή K J δε έλλειψη έχει κορυφές τα μέσα των M «μέσα έξω» τμημάτων Ο ένας κλάδος της υπερβολής προς το μέρος του μεγαλυτέρου κύκλου είναι ο γ.τ. των I κέντρων των κύκλων που περιέχει τους δυο κύκλους,ο δε άλλος κλάδος εκτός του κοινού μέρους αυτών που είναι εξωτερικοί. Η δε έλλειψη είναι ο γ.τ. των κέντρων των κύκλων που εφάπτονται με τον έναν εσωτερικά και με τον άλλο εξωτερικά (σχήμα 8). O L P E C N σχήμα 7

9 c c 5 C F E D G Κ 1 Κ σχήμα 8 ΟΙ ΚΑΤΑΚΕΥΕ ΤΟΥ ΑΠΟΛΛΩΝΙΟΥ Όλες οι παρακάτω κατασκευές γίνονται με τα προηγούμενα λήμματα και σε συνδυασμό αυτών τα σχήματα έχουν γίνει με πρόγραμμα δυναμικής Γεωμετρίας Sketchpad. ΠΡΟΒΛΗΜΑ 1 Να κατασκευαστεί κύκλος που να διέρχεται από σταθερό σημείοα και να εφάπτεται γνωστής ευθείας (j) και γνωστού κύκλου (c)

10 G Κ 1 F j Κ c Δυο λύσεις,με κέντρα τα σημεία τομής μιας παραβολής ( )και μιας υπερβολής ( ) όπως στο λήμμα 1 και το λήμμα ΠΡΟΒΛΗΜΑ Να κατασκευαστεί κύκλος που να διέρχεται από δυο σταθερά σημεία, και να εφάπτεται γνωστής ευθείας (j). J G Μ H j I Δυο λύσεις,με κέντρα τα σημεία τομής μιας παραβολής ( ),( ) και της μεσοκαθέτου του ΑΒ όπως στο λήμμα 1

11 ΠΡΟΒΛΗΜΑ 3 Να κατασκευαστεί κύκλος που να διέρχεται από δυο σταθερά, σημεία και να εφάπτεται γνωστού κύκλου (c) Λύσεις δυο, με κέντρα τα σημεία τομής δυο υπερβολών ( ),( ) όπως στο λήμμα με την μεσοκάθετο του ΑΒ. μ Οι δυο υπερβολές τέμνονται πάνω στην μεσοκάθετο Β Μ Κ 1 Κ c ΠΡΟΒΛΗΜΑ 4 Να κατασκευαστεί κύκλος που να διέρχεται από σταθερό σημείο και να εφάπτεται δυο γνωστών ευθειών (j),(k). Γ δ Π j k Ζ H

12 Δυο λύσεις,με κέντρα τα σημεία τομής δυο παραβολών ( ),( ) όπως στο λήμμα 1 και της διχοτόμου της γωνίας των δυο ευθειών στην οποία είναι το σταθερό σημείο ΠΡΟΒΛΗΜΑ 5 Να κατασκευαστεί κύκλος που να εφάπτεται δυο γνωστών ευθειών (m),(n) και γνωστού κύκλου (c) E G H F J m' n' M n K C I D c m δ L Λύσεις δυο, με κέντρα τα σημεία τομής δυο παραβολών ( ),( ) όπως στο λήμμα 3.Τα δυο σημεία τομής βρίσκονται πάνω στην διχοτόμο που σχηματίζουν οι δυο ευθείες Υποπερίπτωση Να κατασκευαστεί κύκλος που να εφάπτεται δυο γνωστών ευθειών (ε 1 ),(ε ) παραλλήλων και γνωστού κύκλου (c)

13 ε 1 ε 1 //ε ε 1 c D Ε ε ε Λύσεις δυο, με κέντρα τα σημεία τομής δυο παραβολών ( ),( ) όπως στο λήμμα 3.Τα δυο σημεία τομής των παραβολών βρίσκονται πάνω στην μεσοπαράλληλη των ε 1, ε. ΠΡΟΒΛΗΜΑ 6 G Να κατασκευαστεί κύκλος που να εφάπτεται τριών γνωστών κύκλων ( ),( ),( ) τη περίπτωση που οι κύκλοι είναι εξωτερικοί οι λύσεις είναι δυο, με κέντρα τα δυο σημεία τομής των υπερβολών ( ),( ),( ) όπως στο λήμμα 4 και στην πρώτη περίπτωση. Τα δυο κέντρα των κύκλων είναι τα κοινά σημεία και των τριών υπερβολών (σχήμα 1). F σχήμα 1 c 5 Κ 1 Κ H Επίσης έχουμε άλλες έξι λύσεις, με κέντρα τα σημεία τομής των υπερβολών ανά δυο όπως στο λήμμα 4 πρώτη και δεύτερη περίπτωση σε συνδυασμό αυτών. Επειδή σε κάθε ζεύγος κύκλων έχουμε δυο περιπτώσεις υπερβολών, προκύπτουν συνολικά έξι κατασκευές. Από τους συνδυασμούς των περιπτώσεων με κέντρο το μέσον του «μικρότερου» τμήματος και του μέσου των «έξω μέσα» τμήματος προκύπτουν αυτές (σχήμα )

14 L 3 D F I c 6 c 5 H E G σχήμα τη περίπτωση που οι κύκλοι είναι οι δυο εσωτερικοί του τρίτου οι λύσεις είναι πέντε, με κέντρα τα σημεία τομής ελλείψεων όπως στο λήμμα 5.Επειδή κάθε ζεύγος κύκλων έχει δυο περιπτώσεις ελλείψεων, δημιουργούνται έξι περιπτώσεις,από τους συνδυασμούς των περιπτώσεων του λήμματος 5 εξαιρουμένης βέβαια της περίπτωσης που εφάπτονται και οι τρις εξωτερικά (σχήμα 3) Παρατήρηση

15 Όταν οι κύκλοι έχουν κοινές εσωτερικές εφαπτόμενες οι οχτώ λύσεις γίνονται πέντε,όπως η περίπτωση του τριγώνου με τους τρις παρεγγεγραμμένους και τον εγγεγραμμένο. H E L 3 D c 5 G σχήμα 3 F ΠΡΟΒΛΗΜΑ 7 Να κατασκευαστεί κύκλος που να διέρχεται από σταθερό σημείο Ι και να εφάπτεται δυο γνωστών κύκλων ( ),()

16 Κ 4 Κ 1 L 3 I Κ C c 6 c 5 Π Κ 3 Λύσεις τέσσερις, με κέντρα τα σημεία τομής των υπερβολών ( ),( ),( ) όπως στο λήμμα.επειδή ο συνδυασμός κάθε σημείου με κύκλο δίνει δυο περιπτώσεις προκύπτουν τέσσερις κατασκευές. Τα τέσσερα κέντρα βρίσκονται ως τομή των τεσσάρων υπερβολών τη περίπτωση που ο ένας είναι εσωτερικός ο ( ) του ( ) και το σημείο Η εσωτερικό οι λύσεις είναι τέσσερις με κέντρα τα σημεία τομής μιας υπερβολής ( ) και δυο ελλείψεων ( ), (L 3 ) όπως στο λήμμα και 5.Οι περιπτώσεις των ελλείψεων και μιας υπερβολής δημιουργεί τέσσερα κέντρα

17 L 3 C Μ E F Π G H ΠΡΟΒΛΗΜΑ 8 Να κατασκευαστεί κύκλος που να εφάπτεται γνωστής ευθείας (ε) και δυο γνωστών κύκλων ( ),( ) G Κ 1 Κ 3 Κ 4 E C Μ L 4 L 3 Κ ε ε ε

18 Όταν ο ένας κύκλος είναι εσωτερικός και η ευθεία τέμνει τον εξωτερικό οι λύσεις είναι τέσσερις,με κέντρα τα σημεία τομής δυο παραβολών ( ),(L 3 ) και δυο ελλείψεων ( ),(L 4 ). Αν οι κύκλοι είναι εξωτερικοί και η ευθεία δεν τέμνει κανέναν οι λύσεις είναι πέντε με κέντρα τα σημεία τομής τεσσάρων παραβολών και τεσσάρων υπερβολών. l L 3 k Κ 1 c 5 j L 4 c 7 Κ 4 L 5 c 8 Κ 5 L 6 Κ 3 Κ ΕΦΑΡΜΟΓΗ Να κατασκευαστεί κύκλος που να εφάπτεται των δυο πλευρών τριγώνου ΑΒΓ και του περιγεγραμμένου του κύκλου.

19 H Ι Ο I C G K Ι α Λύσεις δυο, με κέντρα τα κοινά σημεία της διχοτόμου της γωνίας Α με τις δυο συμμετρικές παραβολές όπως στο λήμμα 3.υνολικά σε ένα τρίγωνο είναι τρις εσωτερικοί και τρις εξωτερικοί. ΜΕΡΟ Γ Εδώ αποδεικνύεται η δυνατότητα κατασκευής εφαπτόμενων κύκλων, εξωτερικά ή εσωτερικά, τεσσάρων δοσμένων κύκλων αν και μόνο αν οι κλάδοι των τεσσα ρων υπερβολών διέρχονται από το ίδιο σημείο, όπως στο λήμμα 4

20 ρ 1-ρ Κ 1 Κ Π ρ -ρ 4 Κ 4 Κ 3 ρ 3-ρ 4 ρ 1-ρ ρ -ρ 4 Π ρ 3-ρ 4

21 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ 1. G. Loria. Ιστορία των Μαθηματικών Ι, ΕΜΕ, Αδαμόπουλος Λ. Βισκαδουράκης Β. κ.α. Μαθηματικά κατεύθυνσης Β Λυκείου,ΟΕΔΒ, Αργυρόπουλος Η. Βλάμος Π. κ.α., Ευκλείδεια Γεωμετρία, ΟΕΔΒ, Δ. Μπουνάκης, «Ιστορία και μελέτη με Ευκλείδεια μέσα των Κωνικών τομών», μεταπτυχιακή εργασία, Μαθηματικό τμήμα του Πανεπιστημίου Κρήτης, 004. ( )

, y 1. y y y y = x ( )

, y 1. y y y y = x ( ) ΚΕΦΑΛΑΙΟ Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕ Ο ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ. ΕΞΙΣΩΣΗ ΓΡΑΜΜΗΣ Μία εξίσωση µε αγνώστους x, y λέγεται εξίσωση µίας γραµµής C, όταν οι συντεταγµένες των σηµείων της C και µόνο αυτές την επαληθεύουν. Αν έχουµε

Διαβάστε περισσότερα

Το τµήµα που ενώνει τα µέσα δύο πλευρών τριγώνου, είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και ίσο µε το µισό της.

Το τµήµα που ενώνει τα µέσα δύο πλευρών τριγώνου, είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και ίσο µε το µισό της. 5.3 Εφαρµογές των παραλληλογράµµων 155 5.3 Εφαρµογές των παραλληλογράµµων Α Εφαρµογές στα τρίγωνα Α1 Θεώρηµα 1 Το τµήµα που ενώνει τα µέσα δύο πλευρών τριγώνου, είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις)

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) 6 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) Η εξίσωση αx βy γ Στο Γυμνάσιο διαπιστώσαμε με την βοήθεια παραδειγμάτων ότι η εξίσωση αx βy γ, με α 0 ή β 0, που λέγεται γραμμική εξίσωση,

Διαβάστε περισσότερα

ΙΣΟΣΚΕΛΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟ ΜΕΣΟΚΑΘΕΤΟΣ - ΔΙΧΟΤΟΜΟΣ. 2ο ΘΕΜΑ

ΙΣΟΣΚΕΛΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟ ΜΕΣΟΚΑΘΕΤΟΣ - ΔΙΧΟΤΟΜΟΣ. 2ο ΘΕΜΑ ΙΣΟΣΚΕΛΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟ ΜΕΣΟΚΑΘΕΤΟΣ - ΔΙΧΟΤΟΜΟΣ 5029 Έστω κυρτό τετράπλευρο ΑΒΓΔ με και α) β) Το τρίγωνο ΑΔΓ είναι ισοσκελές μ 10 γ) Η ευθεία ΒΔ είναι μεσοκάθετος του τμήματος ΑΓ μ 7 5619 Δίνεται γωνία χαy και

Διαβάστε περισσότερα

Σημειώσεις μαθήματος Μ1113 Επίπεδο και Χώρος Χρήσ τος Κουρουνιώτης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2014

Σημειώσεις μαθήματος Μ1113 Επίπεδο και Χώρος Χρήσ τος Κουρουνιώτης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2014 Σημειώσεις μαθήματος Μ1113 Επίπεδο και Χώρος Χρήστος Κουρουνιώτης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2014 Εισαγωγή Θα συμπληρωθεί 1 Κεφάλαιο 1 Γεωμετρικά διανύσματα στο επίπεδο Ενα γεωμετρικό διάνυσμα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Άσκηση. 1 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας, η οποία: ι)διέρχεται από το σημείο Α(-2,1) και είναι παράλληλη στο διάνυσμα δ 3, 2 ιι)διέρχεται από το σημείο Β(3,-4) και

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( ))

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( )) ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) [Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

Αθ.Κεχαγιας. Σηµειωσεις Αναλυτικης Γεωµετριας. Θ. Κεχαγιας. Σεπτεµβρης 2009, υ.0.95

Αθ.Κεχαγιας. Σηµειωσεις Αναλυτικης Γεωµετριας. Θ. Κεχαγιας. Σεπτεµβρης 2009, υ.0.95 Σηµειωσεις Αναλυτικης Γεωµετριας Θ. Κεχαγιας Σεπτεµβρης 2009, υ.0.95 Περιεχόµενα Εισαγωγη 1 Επιπεδα στον Τρισδιαστατο Χωρο 1 1.1 Θεωρια.................................... 1 1.2 Λυµενες Ασκησεις..............................

Διαβάστε περισσότερα

Στην παράγραφο αυτή θα δούµε τις διάφορες µορφές εξισώσεων των κα- µπύλων του χώρου και των επιφανειών. ( )

Στην παράγραφο αυτή θα δούµε τις διάφορες µορφές εξισώσεων των κα- µπύλων του χώρου και των επιφανειών. ( ) ΚΕΦΑΛΑΙ 6 ΕΥΘΕΙΑ-ΕΠΙΠΕ 6 Γεωµετρικοί τόποι και εξισώσεις στο χώρο Στην παράγραφο αυτή θα δούµε τις διάφορες µορφές εξισώσεων των κα- µπύλων του χώρου και των επιφανειών ρισµός 6 Θεωρούµε τη συνάρτηση F:Α,

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις 2 ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΜΕΡΟΣ Α -- ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις Α. 1 1 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στους πραγµατικούς και µιγαδικούς αριθµούς

Σηµειώσεις στους πραγµατικούς και µιγαδικούς αριθµούς Σηµειώσεις στους πραγµατικούς και µιγαδικούς αριθµούς Τα βασικά αριθµητικά σύνολα Οι πρώτοι αριθµοί που διδάσκεται ο µαθητής στο δηµοτικό σχολείο είναι οι φυσικοί αριθµοί Αυτοί είναι οι 0,,,, 4, κτλ Το

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές γνώσεις Μαθηµατικών Α και Β Λυκείου που πρέπει να ξέρουµε για να ξεκινήσουµε τις σπουδές µας στο ΕΑΠ. Επιµέλεια Όµηρος Κορακιανίτης

Βασικές γνώσεις Μαθηµατικών Α και Β Λυκείου που πρέπει να ξέρουµε για να ξεκινήσουµε τις σπουδές µας στο ΕΑΠ. Επιµέλεια Όµηρος Κορακιανίτης Βασικές γνώσεις Μαθηµατικών Α και Β Λυκείου που πρέπει να ξέρουµε για να ξεκινήσουµε τις σπουδές µας στο ΕΑΠ Επιµέλεια Όµηρος Κορακιανίτης Άλγερα και πράξεις: (ή το µυστικό της επιτυχίας) - Όταν ένα γινόµενο

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΣΟΥΡΛΑΣ ΑΝΑΠΛΗΡΩΤΗΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑΤΟΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΠΑΤΡΩΝ ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 3 ( ) ( ) ( ) = 4( ) d d ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ ΑΘΗΝΑ 00 Email: dsourlas@phsics.upatras.gr www.phsics.upatras.gr

Διαβάστε περισσότερα

Από το επίπεδο στο χώρο (Στερεομετρία)

Από το επίπεδο στο χώρο (Στερεομετρία) Από το επίπεδο στο χώρο (Στερεομετρία) (Διεπιστημονική προσέγγιση αριθμητικού και οπτικού γραμματισμού) Εκπαιδευτικοί: Αθανασοπούλου Ζαφειρία (οπτικός γραμματισμός) Σαρακινίδου Σοφία (αριθμητικός γραμματισμός)

Διαβάστε περισσότερα

Σχεδιάζοντας το Συντοµότερο ρόµο Μεταξύ δυο Σηµείων σε µη Επίπεδη Επιφάνεια µε τη Χρήση Κατάλληλων 3D Ψηφιακών Εργαλείων

Σχεδιάζοντας το Συντοµότερο ρόµο Μεταξύ δυο Σηµείων σε µη Επίπεδη Επιφάνεια µε τη Χρήση Κατάλληλων 3D Ψηφιακών Εργαλείων Σχεδιάζοντας το Συντοµότερο ρόµο Μεταξύ δυο Σηµείων σε µη Επίπεδη Επιφάνεια µε τη Χρήση Κατάλληλων 3D Ψηφιακών Εργαλείων Ζάντζος Ιωάννης 1, Κυνηγός Χρόνης 2 1 Καθηγητής Μαθηµατικών, Υποψήφιος ιδάκτωρ,

Διαβάστε περισσότερα

Εξερευνώντας γεωμετρικές έννοιες με μαθητές Γ Γυμνασίου χρησιμοποιώντας το λογισμικό Geogebra σε αντιδιαστολή με το χαρτί και το μολύβι

Εξερευνώντας γεωμετρικές έννοιες με μαθητές Γ Γυμνασίου χρησιμοποιώντας το λογισμικό Geogebra σε αντιδιαστολή με το χαρτί και το μολύβι Έρκυνα, Επιθεώρηση Εκπαιδευτικών Επιστημονικών Θεμάτων, Τεύχος 1ο, 233-243, 2014 Εξερευνώντας γεωμετρικές έννοιες με μαθητές Γ Γυμνασίου χρησιμοποιώντας το λογισμικό Geogebra σε αντιδιαστολή με το χαρτί

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Καγκουρό 2007 Επίπεδο: 5 (για µαθητές της Β' και Γ' τάξης Λυκείου)

Θέµατα Καγκουρό 2007 Επίπεδο: 5 (για µαθητές της Β' και Γ' τάξης Λυκείου) Kangourou Sans Frontières Καγκουρό Ελλάς Επώνυµο: Όνοµα: Όνοµα πατέρα: e-mail: ιεύθυνση: Τηλέφωνο: Εξεταστικό Κέντρο: Σχολείο προέλευσης: Τάξη: Θέµατα Καγκουρό 007 Επίπεδο: (για µαθητές της ' και ' τάξης

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΖΟΝΤΑΣ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ ΔΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ

ΕΦΑΡΜΟΖΟΝΤΑΣ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ ΔΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΕΦΑΡΜΟΖΟΝΤΑΣ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ ΔΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΔΙΔΑΚΤΙΚΕΣ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΤΗΣ Β/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΓΙΩΡΓΟΣ ΤΣΑΠΑΚΙΔΗΣ ΚΩΝ/ΝΟΣ ΝΤΑΓΙΑΝΤΑΣ ΚΑΖΑΝΤΖΗ 23 ΔΥΡΡΟΥ 25 georgetsapakidis@yahoo.gr

Διαβάστε περισσότερα

Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης

Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης Ορθοκανονικό σύστημα αξόνων ονομάζεται ένα σύστημα από δύο κάθετους άξονες με κοινή αρχή στους οποίους οι μονάδες έχουν το ίδιο μήκος. Υπάρχουν περιπτώσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ μονόμετρα. διανυσματικά Η μάζα ενός σώματος αποτελεί το μέτρο της αδράνειάς του, πυκνότητα ενός υλικού d = m/v

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ μονόμετρα. διανυσματικά Η μάζα ενός σώματος αποτελεί το μέτρο της αδράνειάς του, πυκνότητα ενός υλικού d = m/v ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Υπάρχουν φυσικά μεγέθη που ορίζονται πλήρως, όταν δοθεί η αριθμητική τιμή τους και λέγονται μονόμετρα.. Μονόμετρα μεγέθη είναι ο χρόνος, η μάζα, η θερμοκρασία, η πυκνότητα, η ενέργεια,

Διαβάστε περισσότερα

8.1 8.2. Ερωτήσεις Κατανόησης. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 177 179

8.1 8.2. Ερωτήσεις Κατανόησης. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 177 179 8. 8. σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 77 79 ρωτήσεις Κατανόησης. i) ν δύο τρίγωνα είναι ίσα τότε είναι όµοια; ii) ν δύο τρίγωνα είναι όµοια προς τρίτο τότε είναι µεταξύ τους όµοια πάντηση i) Προφανώς

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχεία εισαγωγής για τη Φυσική Α Λυκείου

Στοιχεία εισαγωγής για τη Φυσική Α Λυκείου Στοιχεία εισαγωγής για τη Φυσική Α Λυκείου 1 ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΡΟΤΕΡΑΙΟΤΗΤΑ ΠΡΑΞΕΩΝ 1.1 Προτεραιότητα Πράξεων Η προτεραιότητα των πράξεων είναι: (Από τις πράξεις που πρέπει να γίνονται πρώτες,

Διαβάστε περισσότερα

α) Να αποδείξετε ότι = και = 2 (Μονάδες 15) β) Να υπολογίσετε τα μήκη των τμημάτων ΑΔ και ΓΕ. (Μονάδες 10)

α) Να αποδείξετε ότι = και = 2 (Μονάδες 15) β) Να υπολογίσετε τα μήκη των τμημάτων ΑΔ και ΓΕ. (Μονάδες 10) Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ=9 και ΑΓ=15. Από το βαρύκεντρο Θ του τριγώνου, φέρουμε ευθεία ε παράλληλη στην πλευρά ΒΓ, που τέμνει τις ΑΒ και ΑΓ στα σημεία Δ και Ε αντίστοιχα. ΑΔ 2 ΑΕ α) Να αποδείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. H Εννοια του διανυσματος. Σ υ ν ο λ α - Ο ρ ι σ μ ο ι

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. H Εννοια του διανυσματος. Σ υ ν ο λ α - Ο ρ ι σ μ ο ι ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Σ υ ν ο λ α - Ο ρ ι σ μ ο ι Συνολο λεγεται καθε συλλογη 3. Να δειχτει αντικειμενων, οτι α + 0 που προερχονται 0α. Ποτε ισχυει απ την το εμπειρια ισον; μας η τη διανοηση 3 3. μας, Aν α, ειναι

Διαβάστε περισσότερα

Πρόλογος. Η νέα έκδοση των παρόντων σημειώσεων θα ολοκληρωθεί κατά το εαρινό εξάμηνο του ακαδημαϊκού έτους 2008-2009. Αύγουστος 2008.

Πρόλογος. Η νέα έκδοση των παρόντων σημειώσεων θα ολοκληρωθεί κατά το εαρινό εξάμηνο του ακαδημαϊκού έτους 2008-2009. Αύγουστος 2008. Πρόλογος Οι παρούσες σημειώσεις αποτελούν το μεγαλύτερο μέρος του υλικού που διδάχτηκε στις παραδόσεις του προπτυχιακού μαθήματος της Αριθμητικής Ανάλυσης, το εαρινό εξάμηνο 7-8, στο Μαθηματικό τμήμα του

Διαβάστε περισσότερα

= A. 2 z1 ( 1. γνωστός ως κύκλος του Απολλωνίου.

= A. 2 z1 ( 1. γνωστός ως κύκλος του Απολλωνίου. ΤΟ ΜΙΓΑ ΙΚΟ ΕΠΙΠΕ Ο Επί του επιπέδου θεωρούµε ένα ορθογώνιο σύστηµα συντεταγµένων Oxy, και σε κάθε σηµείο P(x, y) του επιπέδου αντιστοιχίζουµε τον µιγαδικό αριθµό = x+ y Η αντιστοιχία αυτή είναι µία ένα

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ν περνά από σταθερό σημείο. ν περνά από το σταθερό μέσο του επίσης σταθερού ΚΛ. Το διανυσματικό άθροισμα f Μ γράφεται:

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ν περνά από σταθερό σημείο. ν περνά από το σταθερό μέσο του επίσης σταθερού ΚΛ. Το διανυσματικό άθροισμα f Μ γράφεται: Το διανυσματικό άθροισμα f Μ γράφεται: f Μ = x ΜΑ+ x ΜΑ+ΑΒ + x ΜΑ+ΑΓ = ΜΑ + ΜΑ + ΜΑ + ΑΒ + ΑΓ ( x) ( x) ( x ) ( x) ( x ) = ( x + x + x ) ΜΑ + ( x) ΑΒ + ( x ) ΑΓ = ( x 4x+ ) ΜΑ+ ( x) ΑΒ+ ( x ) Α Γ f Μ είναι

Διαβάστε περισσότερα

Σημείωση: Δες ορισμό απλού γραφήματος στον Τόμο Α, σελ. 97 και τόμο Β, σελ 12.

Σημείωση: Δες ορισμό απλού γραφήματος στον Τόμο Α, σελ. 97 και τόμο Β, σελ 12. ΑΣΚΗΣΗ 1: Είναι το ακόλουθο γράφημα απλό; Σημείωση: Δες ορισμό απλού γραφήματος στον Τόμο Α, σελ. 97 και τόμο Β, σελ 12. v 2 ΑΠΑΝΤΗΣΗ 1: Το παραπάνω γράφημα δεν είναι απλό, αφού υπάρχουν δύο ακμές που

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ. 2.1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ου ΒΑΘΜΟΥ. Η εξίσωση αx β 0

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ. 2.1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ου ΒΑΘΜΟΥ. Η εξίσωση αx β 0 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ.1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ου ΒΑΘΜΟΥ Η εξίσωση α 0 Στο Γυμνάσιο μάθαμε τον τρόπο επίλυσης των εξισώσεων της μορφής α 0 για συγκεκριμένους αριθμούς α,,με α 0 Γενικότερα τώρα, θα δούμε πώς με την οήθεια των

Διαβάστε περισσότερα

ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΕ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΜΕΣΑ ΑΠΟ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΩΝ: Η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΕΜΒΑ ΟΥ ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΟΥ

ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΕ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΜΕΣΑ ΑΠΟ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΩΝ: Η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΕΜΒΑ ΟΥ ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΟΥ 216 3 Ο ΣΥΝΕ ΡΙΟ ΣΤΗ ΣΥΡΟ ΤΠΕ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗ ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΕ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΜΕΣΑ ΑΠΟ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΩΝ: Η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΕΜΒΑ ΟΥ ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΟΥ Κασιµάτη Κατερίνα - Στυλιανός

Διαβάστε περισσότερα