Αθ.Κεχαγιας. ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ v Σηµειωσεις : Θ. Κεχαγιας. Απριλιος 2018

Transcript

1 Σηµειωσεις : ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ v.. Θ. Κεχαγιας Απριλιος 8

2 Περιεχόµενα Προλογος Εισαγωγη Οριο και Συνεχεια Παραγωγος 4 3 Λογαριθµικες και Εκθετικες Συναρτησεις 44 4 Τριγωνοµετρικες Συναρτησεις 6 5 Υπερβολικες Συναρτησεις 8 6 Ολοκληρωµα 7 Εµβαδόν, Μήκος καί Ογκος 3 8 Παραµετρικες Συναρτησεις 58 9 Πολικες Συντεταγµενες 74 Ακολουθιες 99 Αναδροµικες Ακολουθιες 9 Σειρες 47 3 υναµοσειρες 7 4 ιαφορικες Εξισωσεις Πρωτης Ταξης 96 5 Γραµµικες ιαφορικες Εξισωσεις µε Σταθερους Συντελεστες 36 Μαθηµατικο Λογισµικο 347 ii iv Βιβλιογραφια 348 Επιλογος : Τα µαθηµατικα ειναι ενα σκοτεινο σπιτι 349 i

3 Προλογος Το ακουω, το ξεχναω. Το ϐλεπω, το ϑυµαµαι. Το κανω, το µαθαινω. Το παρον τεύχος περιεχει συντοµες σηµειωσεις ϑεωριας, λυµενες και αλυτες ασκησεις κυριως για τον Λογισµο Συναρτησεων µιας Μεταβλητης. Το τευχος προοριζεται για χρηση απο τους ϕοιτητες της Πολυτεχνικης Σχολης του Αριστοτελειου Πανεπιστηµιου Θεσσαλονικης ως συµπληρωµα των διδακτικων ϐιβλιων που διανεµονται σε αυτους. Σε καθε ϕοιτητη που ϑα χρησιµοποιησει αυτο το τευχος και γενικοτερα σε καθε σπουδαστη των µαθηµατικων) δινω τρεις συµβουλες.. Λυσε οσο περισσοτερα προβληµατα µπορεις.. ειξε εµπιστοσυνη. 3. Μην κανεις την Ϲωη σου πιο δυσκολη απο οσο ειναι απολυτως απαραιτητο.. Πιο αναλυτικα, η πρωτη συµβουλη εχει το εξης νοηµα. Κατα την γνωµη µου, για τους περισσοτερους απο εµας, ο µονος τροπος εξοικειωσης µε τα µαθηµατικα ειναι η επιλυση προβληµατων : οσο περισσοτερα προβληµατα λυσεις, τοσο καλυτερα. Συµφωνα µε αυτη την αποψη, στο παρον τευχος παρατιθεται µεγαλος αριθµος λυµενων και αλυτων προβληµατων. Πρεπει να χρησιµοποιησεις τα λυµενα προβληµατα ως οδηγο για την επιλυση των αλυτων. Με αλλα λογια, δεν αρκει να µελετησεις µονο τα λυµενα προβληµατα αν δεν λυσεις ο ιδιος µεγαλο αριθµο αλυτων προβληµατων δεν ϑα ωφεληθεις ιδαιτερα. Η δευτερη συµβουλη αφορα πολλες πλευρες της εκπαιδευτικης διαδικασιας, αλλα εδω ση- µειωνω την πρακτικα πιο σηµαντικη : παρα την αντιθετη εντυπωση αρκετων ϕοιτητων, ο σκοπος του διδασκοντα δεν ειναι να απορρψει οσο γινεται περισσοτερους ϕοιτητες συνηθως µαλιστα ακριβως το αντιθετο ειναι ενας απο τους στοχους του. Το νοηµα της τριτης συµβουλης ειναι το εξης : οταν προσπαθεις να λυσεις ενα προβληµα, ξεκινησε απο την πιο απλη δυνατη λυση που µπορεις να ϕανταστεις... και µετα προσπαθησε να την απλοποιησεις ακοµα περισσοτερο. Αν η απλη λυση δεν δουλευει, µπορεις παντα να ηλ. παραγωγιση και ολοκληρωση. ii

4 ΠΡΟΛΟΓΟΣ δοκιµασεις µια πιο περιπλοκη. Αντιθετα ειναι δυσκολο, οταν εχεις δηµιουργησεις ενα περιπλοκο νοητικο µοντελο, να αφαιρεσεις απο αυτο στοιχεια και να το κανεις απλουστερο. Η, µε αλλα λογια, ειναι ευκολοτερο να αρχισεις µε λιγα συστατικα και να προσθετεις ακοµα ενα καθε ϕορα που το χρειαζεσαι. Η εµφαση του παροντος τευχους ειναι σε υπολογιστικα και οχι σε αποδεικτικα προβληµατα. Οπου εµφανιζονται αποδειξεις, το υφος αυτων ειναι διδακτικο και οχι απαραιτητα αυστηρο. Οι αποδειξεις παρουσιαζονται για να οξυνουν την διαισθηση και την κατανοηση σου και για να αναπτυξουν την µαθηµατικη σου τεχνικη). Ολες οι αποδειξεις τις οποιες παρουσιαζω ϑα µπορουσαν να «αυστηροποιηθουν», αλλα αυτο ξεφευγει απο τους στοχους του παροντος. Το τευχος δεν εχει ακοµη παρει την τελικη του µορφη. Ειναι πολυ) πιθανον καποιες λυσεις και απαντησεις να περιεχουν λαθη. Καθως ϑα εξελισσεται η αποσφαλµατωση, ϑα δηµοσιευονται ϐελτιωµενες εκδοσεις. Χρησιµοποιωντας την ορολογια αναπτυξης λογισµικου, η παρουσα εκδοση ειναι beta µε κωδικο v... Σε καθε περιπτωση ελπιζω και πιστευω οτι το παρον τευχος ϑα αποδειχτει αρκετα χρησιµο στους ϕοιτητες. iii Θανασης Κεχαγιας ΤΗΜΜΥ, Πολυτεχνικη Σχολη ΑΠΘ Απριλης 8 Η τριτη συµβουλη εχει γενικοτερη εφαρµογη σε ολες τις πτυχες της Ϲωης σου.

5 Εισαγωγη Η λεξη «Λογισµος» στα Αγγλικα «Calculus» ) µπορει να εχει πολλες εννοιες, αλλα η συνηθεστερη χρηση της στα Μαθηµατικα ειναι στην ϕραση «Λογισµος Συναρτησεων µιας Μεταβλητης» 3 και, σε πρωτη προσεγγιση, σηµαινει την παραγωγιση και ολοκληρωση συναρτησεων f x). Και αυτο ειναι το κυριο αντικειµενο του παροντος τευχους. Ωστοσο η ϐασικη ιδεα του Λογισµου Συναρτησεων µιας Μεταβλητης ειναι η χρηση των οριων, και κυριως ενος συγκεκριµενου τυπου οριων. Μας δινεται µια συναρτηση f x) και µελετουµε την µεταβολη αυτης f = f x + x) f x) οταν το x µεταβαλλεται και γινεται x + x επιπλεον, µας ενδιαφερει η περιπτωση στην οποια το x ειναι απειροστικα µικρο, δηλ. τοσο µικρο ωστε τεινει στο µηδεν. Αυτη ειναι η παραγωγιση. Η δε ολοκληρωση ειναι η αντιστροφη διαδικασια της παραγωγισης. Αυτες οι ιδεες ειναι πολυ χρησιµες σε διαφορα µαθηµατικα προβληµατα και, σε µια πρωι- µη µορφη ηταν ηδη γνωστες στους αρχαιους Ελληνες. Οµως η χρηση αυτων καθιερωθηκε απο τους Ευρωπαιους µαθηµατικους του 7ου αιωνα. Επιπλεον αυτοι ανεπτυξαν µεθοδους οι ο- ποιες επιτρεπουν την χρηση των οριων σε πολλα διαφορετικα προβληµατα µε εναν ενοποιηµενο και σχεδον µηχανικο τροπο ο οποιος µας επιτρεπει να επιλυουµε προβληµατα π.χ., υπολογισµο εµβαδων, µεγιστοποιηση και ελαχστοποιηση συναρτησεων) τα οποια πριν την αναπτυξη του Λογισµου ειχαν δυσκολεψει µερικους απο τους µεγαλυτερους µαθηµατικους. Αυτα ειναι µερικα απο τα ϑεµατα µε τα οποια ϑα ασχοληθουµε στο παρον τευχος. Με τον ορο «συναρτηση µιας µεταβλητης» εννοουµε µια συναρτηση f x) µε πεδιο ορισµου και πεδιο τιµων το συνολο των πραγµατικων αριθµων : f : R R. Ο Λογισµος των Συναρτησεων µιας Μεταβλητης ειναι η µελετη των µεθοδων παραγωγισης και ολοκληρωσης τετοιων συναρτησεων καθως και των σχετικων εφαρµογων. Επισης σχετικη ειναι και η µελετη των ακολουθιων, των απειρων αθροισµατων και των δυναµοσειρων. Στα τελευταια κεφαλαια του παροντος ϑα ασχοληθουµε και µε τις διαφορικες εξισωσεις εξισωσεις µε παραγωγους). Θα χρησιµοποιησουµε τον τυπικο µαθηµατικο συµβολισµο, ο οποιος σου ειναι γνωστος απο το Λυκειο. Σηµειωνουµε ιδιαιτερα τα εξης.. Η τετραγωνικη ϱιζα του συµβολιζεται µε i = οποτε και i = ).. Ο συζυγης µιγαδικος του z ειναι ο z, δηλ. x + iy = x iy. 3. Χρησιµοποιουµε τους εξης συµβολισµους συνολων. α ) N: το συνολο των ϕυσικων αριθµων : N = {,, 3,...}. ϐ ) Z: το συνολο των ακεραιων αριθµων : Z = {...,,,,,, 3,...}. 3 Και η δευτερη πιο συνηθισµενη χρηση ειναι στην ϕραση «Λογισµος Συναρτησεων Πολλων Μεταβλητων». iv

6 ΕΙΣΑΓΩΓΗ γ ) Q: το συνολο των ϱητων αριθµων. δ ) R: το συνολο των πραγµατικων αριθµων. ε ) R : το επεκτεταµενο συνολο των πραγµατικων αριθµων : R = R {, }. ϝ ) C: το συνολο των µιγαδικων αριθµων. 4. Ο συµβολισµος αθροισµατος ειναι : N n= a n = a + a a N. 5. Η λεξη «ανν» σηµαινει «αν και µονο αν». v

7 Κεφάλαιο Οριο και Συνεχεια Ο Λογισµος συναρτησεων µιας µεταβλητης ϐασιζεται στην εννοια του οριου.. Θεωρια και Παραδειγµατα... Ορισµος : Λεµε οτι το οριο της συναρτησης f x) οταν το x τεινει στο x ειναι ο αριθµος f ανν ισχυει η εξης συνθηκη ε >, δ ε > : < x x < δ ε f x) f < ε..) Αν ισχυει η.) λεµε και οτι η f x) τεινει στο f οταν το x τεινει στο x και γραφουµε lim f x) = f ή f x) f. x x x x Αν δεν ισχυει η.), λεµε οτι το οριο της f x) οταν το x τεινει στο x ) δεν υπαρχει.... Παρατηρηση : Η σηµασια της.) ειναι η εξης : αν ϑελουµε να εξασφαλισουµε οτι η διαφορα των f x) και f ειναι οσο µικρη ϑελουµε µικροτερη του τυχοντος ε), αρκει να εξασφαλισουµε οτι το x ειναι πολυ κοντα στο x συγκεκριµενα, οτι < x x < δ ε ). Προσεξτε οτι το δ ε γενικα ϑα εξαρταται απο το ε! Απο ποια αλλη ποσοτητα ϑα εξαρταται το δ ε ; Επισης προσεξτε οτι στην.) δεν εξεταζουµε τι συµβαινει οταν x = x δηλ. οταν. x x = )...3. Ασκηση : ειξε µε ενα αριθµητικο επιχειρηµα οτι lim ) = x. x+ Λυση. Στον παρακατω πινακα δινουµε Ϲευγη τιµων x,. x x Παρατηρουµε οτι οσο εγγυτερα ϐρισκεται το x στο, τοσο εγγυτερα ϐρισκεται το στο =.5, x+ και οτι αυτο ισχυει για x ειτε µεγαλυτερο ειτε µικροτερο του. Αυτο διατυπωνεται µαθηµατικα µε την εκφραση «lim = x». x+..4. Ασκηση : Αποδειξε οτι lim x x =. Λυση. Ο πινακας της παραπανω Ασκησης αποτελει µια ενδειξη οτι lim x x µαθηµατικη αποδειξη. Για να αποδειξουµε οτι lim x x x+ = =, αλλα οχι µια, χρησιµοποιουµε τον ορισµο οτυ

8 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΟΡΙΟ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ οριου. εδοµενου τυχοντος ε > ϑελουµε αντιστοιχο δ ε τετοιο ωστε να ισχυει : < x x < δ ε f x) f < ε, οπου x =, f x) = και f x+ =. Για να ϐρουµε το Ϲητουµενο δ ε ας εξετασουµε τις παρακατω ισοδυναµιες : x + < ε x x + ) < ε x < ε x < ε x + x + Και τωρα ας υποθεσουµε οτι x < min ε x ), ). Τοτε x < ε x ) + ε) x < 4ε x < Αυτο µας δινει την ιδεα να χρησιµοποιησουµε δ ε = 4ε +ε. Τοτε εχουµε 4ε + ε. < x < δ = 4ε < x + ε) < 4ε < x < 4ε ε x + ε < x < ε x ) ε x + ) x < x + < ε x + x + < ε x + < ε x + < ε και εχουµε αποδειξει το Ϲητουµενο...5. Ορισµος : Λεµε οτι το οριο της συναρτησης f x) οταν το x τεινει στο ειναι ο αριθµος f ανν ισχυει η εξης συνθηκη : ε >, M ε > : M ε < x f x) f < ε..) Αντιστοιχα λεµε οτι το οριο της συναρτησης f x) οταν το x τεινει στο ειναι ο αριθµος f ανν ισχυει η εξης συνθηκη : Γραφουµε δε ε >, M ε < : x < M ε f x) f < ε..3) lim f x) = f, x lim f x) = f. x Αν δεν ισχυει η.) αντιστοιχα η.3) ) λεµε οτι το οριο της f x) οταν το x τεινει στο αντιστοιχα το οριο της f x) οταν το x τεινει στο ) δεν υπαρχει...6. Παρατηρηση: Η σηµασια των.) και.3) ειναι η εξης : lim x f x) = f ανν ισχυει η.) δηλ. ε > : M ε > : M ε < x f x) f < ε. Με αλλα λογια, lim x f x) = f ανν για καθε ε οσο µικρο ϑελουµε) µπορουµε να ϐρουµε ενα M ε τετοιο ωστε, οταν το x ειναι µεγαλυτερο του M ε τοτε η διαφορα f x) και f ειναι κατ απολυτη τιµη) µικροτερη του ε. ηλ., ακοµη πιο συντοµα, µπορουµε να ϕερουµε την f x) οσο κοντα στο f ϑελουµε, αρκει να παρουµε το x αρκετα µεγαλο. Η σηµασια της.3) εξηγειται παροµοια.

9 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΟΡΙΟ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ Ασκηση : ειξε µε ενα αριθµητικο επιχειρηµα οτι lim ) x =. x Λυση. Στον παρακατω πινακα ϐλεπουµε Ϲευγη τιµων. x, x x..... x..... Παρατηρουµε οτι οσο µεγαλυτερο γινεται το x, τοσο εγγυτερα ϐρισκεται το στο. Αυτο διατυπωνεται µαθηµατικα µε την εκφραση «lim x =». x x..8. Ασκηση : Αποδειξε οτι lim x =. x Λυση. Χρησιµοποιουµε τον ορισµο του οριου. εδοµενου τυχοντος ε > ϑελουµε να ϐρουµε αντιστοιχο M ε > τετοιο ωστε : x > M ε x < ε. Αλλα, ϑετοντας M ε = > εχουµε ε x = x > M ε = ε > x < ε και εχουµε αποδειξει το Ϲητουµενο...9. Ορισµος : Λεµε οτι το οριο της συναρτησης f x) οταν το x τεινει στο x ειναι το ανν ισχυει η εξης συνθηκη : M >, δ M > : < x x < δ M f x) > M..4) Αντιστοιχα, λεµε οτι το οριο της συναρτησης f x) οταν το x τεινει στο x ειναι το αν ισχυει η εξης συνθηκη : M <, δ M > : < x x < δ M f x) < M..5) Γραφουµε δε lim f x) =, x x lim f x) =. x x Αν δεν ισχυει µια απο τις.4) και.5), λεµε οτι το αντιστοιχο οριο δεν υπαρχει.... Παρατηρηση: Η σηµασια των.4) και.5) ειναι η εξης : lim x x f x) = ανν για καθε M οσο µεγαλο ϑελουµε) µπορουµε να ϐρουµε ενα δ M τετοιο ωστε, οταν το x ειναι αρκετα κοντα στο x δηλ. οταν x x < δ M ) τοτε η f x) ειναι µεγαλυτερη του M. ηλ., ακοµη πιο συντοµα, µπορουµε να κανουµε την f x) οσο µεγαλη ϑελουµε, αρκει να παρουµε x αρκετα κοντα στο x. Η σηµασια της.5) εξηγειται παροµοια.... Παρατηρηση : Με παροµοιο τροπο µπορουµε να ορισουµε τα ορια lim f x) =, lim x x f x) =, lim x f x) =, lim x... Ασκηση : ειξε µε ενα υπολογιστικο επιχειρηµα οτι lim x =. x Λυση. Στον παρακατω πινακα ϐλεπουµε Ϲευγη τιµων x, ). x x.... x.... f x) =. Παρατηρουµε οτι οσο µικροτερο γινεται το x, τοσο µεγαλυτερο γινεται το. Αυτο διατυπωνεται x µαθηµατικα µε την εκφραση «lim x =». x

10 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΟΡΙΟ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ Ασκηση : Αποδειξε οτι lim x =. x Λυση. εδοµενου τυχοντος M > Ϲητουµε αντιστοιχο δ M τετοιο ωστε : x < δ M > M. Αν x ϑεσουµε δ M = M > τοτε εχουµε και εχουµε αποδειξει το Ϲητουµενο. x < δ M = M x > M x > M..4. Ορισµος : Λεµε οτι το εξ αριστερων οριο της f x) καθως το x τεινει στο x ειναι ο αριθµος f ανν ισχυει η εξης : ε >, δ ε > : < x x < δ ε f x) f < ε..6) αντιστοιχα λεµε οτι το εκ δεξιων οριο της f x) καθως το x τεινει στο x ειναι ο αριθµος f ανν ισχυει η εξης : ε >, δ ε > : < x x < δ ε f x) f < ε..7) Γραφουµε δε lim x x f x) = f, lim f x) = f. x x + Τα εξ αριστερων και εκ δεξιων ορια λεγονται και πλευρικα ορια...5. Παρατηρηση : Αντιστοιχα µπορουµε να ορισουµε τα lim x x f x) =, lim x x + f x) =, lim f x) =, x x lim x x + f x) =...6. Ασκηση : ειξε µε ενα υπολογιστικο επιχειρηµα οτι α) lim x + =, ϐ) lim x x = x. ) Λυση. Στον παρακατω πινακα ϐλεπουµε Ϲευγη τιµων. x x Παρατηρουµε οτι οσο µικροτερο γινεται το x, τοσο µεγαλυτερη ειναι η απολυτη τιµη του, αλλα x το προσηµο εξαρταται απο αυτο του x...7. Ασκηση : Αποδειξε οτι α) lim x + =, ϐ) lim x x =. x Λυση. Θεωρουµε τυχον M > και εχουµε : < x < δ M = M < το οποιο σηµαινει οτι M x lim x + =. Παροµοια, ϑεωρουµε τυχον M < και εχουµε : > x > δ x M = M > το M x οποιο σηµαινει οτι lim x =. x..8. Θεωρηµα : Αν για µια συναρτηση f x) παρχει το lim x x f x) τοτε x, x lim f x) = lim f x) = lim f x). x x x x x x + Αντιστροφα, αν τα πλευρικα ορια υπαρχουν και ειναι lim x x f x) = lim x x + f x) τοτε υπαρχει και το οριο lim x x f x) και ειναι ισο µε τα πλευρικα.

11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΟΡΙΟ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ 5 Αποδειξη. Απο την υποθεση εχουµε οτι ε > : δ > : < x x < δ f x) f < ε,.8) ε > : δ > : δ < x x < f x) f < ε..9) Εστω τωρα τυχον ε. Στις.8)-.9) παιρνουµε ε = ε = ε και κατοπιν επιλεγουµε δ = min δ, δ ). Τοτε λοιπον οποτε και εχουµε το Ϲητουµενο. x : < x x < δ f x) f < ε x : δ < x x < f x) f < ε x : < x x < δ f x) f < ε..9. Ασκηση : Αποδειξε οτι δεν υπαρχει το οριο lim = x. x Λυση. Εχουµε ηδη δει οτι lim x + = = lim x x. Αρα δεν υπαρχει το lim x x. x... Θεωρηµα: Αν lim x x f x) = f, lim x x g x) = g και lim x x h x) = h, και f x) g x) h x), τοτε f g h. Αποδειξη. Λαµβανουµε τυχον ε > και ϐρισκουµε δ f ε, δ g ε, δ h ε τετοια ωστε x x < δ f ε f x) f < ε, x x < δ g ε g x) g < ε, x x < δ h ε h x) h < ε. Θετουµε δ = min ) δ f ε, δ g ε, δ h ε και επιλεγουµε x τετοιο ωστε x x < δ. Τοτε εχουµε Τοτε εχουµε f x ) ε < f < f x ) + ε, g x ) ε < g < g x ) + ε, h x ) ε < h < h x ) + ε. f ε < f x ) ε g x ) ε < g ηλ. για καθε ε > εχουµε g < g x ) + ε h x ) + ε < h + ε. f ε < g < h + ε απο το οποιο προκυπτει το Ϲητουµενο f g h γιατι ;).... Παρατηρηση : Συνηθως δεν υπολογιζουµε το οριο µιας συναρτησης ϐασει των παραπανω ορισµων, αλλα χρησιµοποιωντας τα παρακατω ϑεωρηµατα.... Θεωρηµα : Για καθε x R, a R : lim x x x a = x a.

12 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΟΡΙΟ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ Θεωρηµα : Για καθε x R, αν lim x x f x) = f και lim x x g x) = g, τοτε lim x x kf x)) = kf lim x x f x) ± g x)) = f ± g lim x x f x) g x)) = f g lim f x) ) x x gx) = f g αν g ) lim x x f x)) n = f n..4. Ασκηση: ειξε οτι, αν lim x x f x) = f και lim x x g x) = g, τοτε Λυση. Απο την υποθεση εχουµε οτι. lim f x) + g x)) = f + g. x x ε > : δ > : < x x < δ f x) f < ε,.) ε > : δ > : < x x < δ g x) g < ε..) Εστω τωρα τυχον ε. Στις.)-.) παιρνουµε ε = ε = ε και κατοπιν επιλεγουµε δ = min δ, δ ). Τοτε λοιπον } και εχουµε το Ϲητουµενο. { f x) f < ε < x x < δ < min δ, δ ) = ε g x) g < ε = ε f x) + g x) f + g ) f x) f + g x) g < ε + ε = ε..5. Θεωρηµα : Για καθε x R, αν lim x x f x) = f και lim x f g x) = g, τοτε lim x x g f x))) = g...6. Θεωρηµα : Για καθε x R, αν lim x x f x) = f, lim x x g x) = g, lim x x h x) = h και f x) g x) h x), τοτε f g h...7. Θεωρηµα : Για καθε x R, αν lim x x f x) = και lim x x g x) =, τοτε lim f x) + g x)) =, x x lim f x) g x)) =. x x..8. Θεωρηµα : Για καθε x R, αν lim x x f x) = και lim x x g x) =, τοτε lim f x) + g x)) =, x x lim f x) g x)) =. x x..9. Ασκηση: Υπολογισε το lim x 5x + 3x 4 ). Λυση. Εχουµε lim 5x + 3x 4) = 5 ) + 3 ) 4 =. x..3. Ασκηση: Υπολογισε το lim x x x 3x+. Λυση. Εχουµε lim x x x 3x + = lim x x x ) x ) = lim x x = =.

13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΟΡΙΟ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ 7 x Ασκηση: Υπολογισε το lim x. x+4 Λυση. Εχουµε x x + 3 lim x x + 4 = lim + 3 x x x x + = lim x x + lim x x 3 x 4 x lim x x x + lim = + x x 4 + = x x επειδη : lim x = lim 3 x x = lim x = 3 lim x x = 3 εχουµε ηδη δει σε προηγουµενη x Ασκηση οτι lim x = ) και, παροµοια, lim x x 4 =. x..3. Ορισµος : Λεµε οτι η συναρτηση f x) ειναι συνεχης στο x ανν lim f x) = f x )..) x x Λεµε οτι η συναρτηση f x) ειναι ασυνεχης στο x ανν δεν ισχυει η.) Ορισµος : Η f x) λεγεται συνεχης στο συνολο A R ανν ειναι συνεχης σε καθε x A. Οταν λεµε απλα οτι η f x) ειναι συνεχης χωρις να προσδιοριζουµε ενα σηµειο x ή ενα συνολο A), εννοουµε οτι η f x) ειναι συνεχης σε καθε σηµειο του πεδιου ορισµου της Ασκηση: ειξε οτι η συναρτηση f x) = x + x ειναι συνεχης στο x = 3. Λυση. Αφου η f x) ειναι πολυωνυµικη εχουµε lim f x) = f x ) x 3 δηλ. ειναι συνεχης στο x = 3. Φυσικα το ιδιο ισχυει για καθε x R Ασκηση: ειξε οτι η συναρτηση f x) = x ειναι συνεχης στο R. Λυση. Η συναρτηση µπορει να γραφτει και ως { x οταν x < f x) = x = x οταν x. Αρα για καθε x, ) εχουµε και για καθε x, ) εχουµε lim f x) = x = f x ) x x lim f x) = x = f x ) x x Αρα η f x) ειναι σιγουρα συνεχης στο R {}. Τι γινεται στο x = ; Ευκολα ϐλεπουµε οτι εχουµε lim f x) =, lim f x) = x x + και αρα lim f x) = = f ). x Αρα η f x) = x ειναι συνεχης σε ολο το R Παρατηρηση : Η.) µπορει να µην ισχυει διοτι. δεν υπαρχει το lim x x f x)

14 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΟΡΙΟ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ 8. ή επειδη δεν οριζεται το f x ) 3. ή επειδη lim x x f x) f x ) Ασκηση : Αποδειξε οτι η f x) = δεν ειναι συνεχης στο x x =. Λυση. Αφου δεν υπαρχει το lim x f x), δεν µπορουµε να εχουµε lim x = f ). x..38. Θεωρηµα : Αν οι f x), g x) ειναι συνεχεις στο x, το ιδιο ισχυει και για τις. kf x),. f x) ± g x), 3. f x) g x), 4. f x) gx) αν f x ) ) Ασκηση: ειξε οτι, αν οι f x), g x) ειναι συνεχεις στο x, το ιδιο ισχυει και για την f x) + g x). Λυση. Απο την υποθεση εχουµε οτι lim x x f x) = f x ) και lim x x g x) = g x ). Τοτε που ειναι το Ϲητουµενο. lim f x) + g x)) = lim f x)) + lim g x)) = f x ) + g x ). x x x x x x..4. Θεωρηµα : Καθε πολυωνυµικη συναρτηση ειναι συνεχης...4. Ασκηση : Αποδειξε οτι ειναι συνεχεις οι συναρτησεις. p x) = x +,. q x) = x ) x + 3), 3. r x) = x x +, 4. s x) = x 3 + 5x +. Λυση. Παρατηρουµε τα εξης.. Αφου οι συναρτησεις f x) = x, f x) = ειναι συνεχεις γιατι ;), τοτε και η p x) = f x) + f x) ειναι συνεχης.. Αφου οι συναρτησεις g x) = x, g x) = x + 3 ειναι συνεχεις γιατι ;), τοτε και η q x) = g x) g x) ειναι συνεχης. 3. Αφου οι συναρτησεις h x) = x, h x) = x + ειναι συνεχεις και η h x) δεν µηδενιζεται πουθενα, τοτε και η r x) = h x) /h x) ειναι συνεχης. 4. Αφου η s x) ειναι πολυωνυµικη, ειναι και συνεχης.

15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΟΡΙΟ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ Ασκηση: Βρες τα σηµεια ασυνεχειας της f x) = x. x 4 Λυση. Η f x) ειναι πηλικο δυο πολυωνυµικων και αρα συνεχων συναρτησεων. Αρα και η f x) ειναι συνεχης παντου εκτος των σηµειων στα οποια µηδενιζεται ο παρονοµαστης, δηλ. των x =, x =. Σε αυτα τα σηµεια η συναρτηση δεν οριζεται, αρα και δεν µπορει να ειναι συνεχης Θεωρηµα : Αν η f x) ειναι συνεχης στο x και η g x) ειναι συνεχης στο f x ), τοτε η g f x)) ειναι συνεχης στο x Παραδειγµα: Εστω f x) = x και g x) = x +. Τοτε h x) = x + = g f x)). Η f x) ειναι συνεχης στο x = και η g x) = x + ειναι συνεχης στο f = 4. Οποτε η g f x)) ειναι συνεχης το x = Θεωρηµα : Αν η f x) ειναι συνεχης στο x και f x ) >, τοτε υπαρχει διαστηµα [a, b] το οποιο περιεχει το x, και ικανοποιει x [a, b] f x) >. Αποδειξη. αφου η f x) ειναι συνεχης στο x, για καθε ε υπαρχει δ τετοιο ωστε x x < δ f x) f x ) < ε ή και Θετοντας ε = f x ), εχω x δ < x < x + δ f x ) ε < f x) < f x ) + ε. x [x δ, x + δ] < f x ) = f x ) f x ) < f x) Παραδειγµα: Η f x) = x ειναι συνεχης στο x = και ισχυει f x ) [ ] = >. Το διαστηµα, περιεχει το x και ικανοποιει : x [, ] : < f x) Θεωρηµα Ενδιαµεσης Τιµης): Αν η f x) ειναι συνεχης στο [a, b], τοτε c min f a), f b)), max f a), f b))) : x a, b) : f x ) = c Παραδειγµα: Η f x) = x + 5 ειναι συνεχης στο [, 3]. Εχουµε f ) = 7, f 3) =. Για καθε c 7, ), η εξισωση x + 5 = c εχει την λυση x c = c 5, 3) Θεωρηµα : Αν η f x) ειναι συνεχης στο [a, b] και f a) f b) <, τοτε x [a, b] : f x ) =...5. Παραδειγµα: Η f x) = x+5 ειναι συνεχης στο [ 3, 3]. Εχουµε f 3) =, f 3) =. Η εξισωση x + 5 = εχει την λυση x = 5 3, 3)...5. Θεωρηµα : Αν η f x) ειναι συνεχης στο διαστηµα [a, b], τοτε ειναι ϕραγµενη στο [a, b], δηλ. υπαρχουν αριθµοι m, M R τετοιοι ωστε x [a, b] : m f x) M.

16 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΟΡΙΟ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ..5. Παραδειγµα: Η f x) = x ειναι συνεχης στο [ 3, 3]. Εχουµε f 3) = f 3) = 9. Ισχυει οτι x [ 3, 3] : = m f x) = x M = Θεωρηµα Ακραιας Τιµης): Εστω οτι η f x) ειναι συνεχης στο διαστηµα [a, b]. Τοτε υπαρχουν c, d [a, b] τετοια ωστε x [a, b] : f c) f x) f d) Παραδειγµα: Η f x) = x ειναι συνεχης στο [ 3, 3]. Εχουµε min x [ 3,3] f x) =, max x [ 3,3] f x) = 9. Για καθε c [, 9], η εξισωση x = c εχει την λυση x c = c [ 3, 3] Θεωρηµα : Αν στο διαστηµα [a, b] η f x) εναι συνεχης και αυστηρα µονοτονη, τοτε στο [a, b] η αντιστροφη συναρτηση f x) ειναι καλως ορισµενη και αυστηρα µονοτονη Παραδειγµα: Η f x) = x + 5 ειναι συνεχης και αυστηρα µονοτονη στο [ 3, 3]. Η συναρτηση g x) = x 5 ειναι η αντιστροφη συναρτηση της f x) δηλ. f g x)) = x = x, g f x)) = x = x Ορισµος : Μια συναρτηση f x) λεγεται τµηµατικα συνεχης στο διαστηµα [a, b] ανν υπαρχουν αριθµοι a = a < a <... < a N = b τετοιοι ωστε. για καθε n {,,..., N}: η f x) ειναι συνεχης στο a n, a n ) και. η f x) εχει πεπερασµενα πλευρικα ορια στα a, a, a,..., a N Παραδειγµα: Στο Σχηµα. ϐλεπουµε µια τµηµατικα συνεχη συναρτηση. Σχήµα.: Μια τµηµατικα συνεχης συναρτηση.

17 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΟΡΙΟ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ..59. Ορισµος : Μια συναρτηση f x) λεγεται οµοιοµορφα συνεχης στο διαστηµα [a, b] ανν α) η f x) ειναι συνεχης στο [a, b] και ϐ) για καθε ε > υπαρχει δ ε > τετοιο ωστε x [a, b] : x x < δ ε f x) f x ) < ε. Παροµοια, µια συναρτηση f x) λεγεται οµοιοµορφα συνεχης στο διαστηµα a, b) ανν α) η f x) ειναι συνεχης στο διαστηµα a, b) και ϐ) για καθε ε > υπαρχει δ ε > τετοιο ωστε x a, b) : x x < δ ε f x) f x ) < ε...6. Ασκηση: Αποδειξε οτι η f x) = x ειναι οµοιοµορφα συνεχης στο [, ]. Λυση. Η f x) = x ειναι συνεχης στο [, ]. Επισης, εστω τυχον x [, ]. Για καθε x [, ] εχουµε f x) f x ) = x x = x + x ) x x ) x x αφου x και x. Οποτε, για καθε ε > ϑετουµε δ ε = ε και εχουµε x [, ] : x x < δ ε = ε f x) f x ) x x < ε = ε...6. Ασκηση: Αποδειξε οτι η f x) = δεν ειναι οµοιοµορφα συνεχης ουτε στο [, ] ουτε στο x, ). Λυση. Αφου η f x) = δεν ειναι συνεχης στο [, ] γιατι ;) δεν ειναι ουτε και οµοιοµορφα x συνεχης. Για το διαστηµα, ), ας παρουµε ε = >. Εστω τυχον δ ε > τωρα ϑετουµε δ ε = min δ ε, ) και x = δ ε, ), x = δ ε, ). Τοτε 3 6 αλλα x x = δ ε 3 δ ε 6 = δ ε 6 < δ ε < δ ε f x) f x ) = x x = x x xx = δ ε/6 = 3 > = ε. δ ε /8 δ ε Αρα για ε = > δεν µπορει να υπαρχει δ ε τετοιο ωστε x, ) : x x < δ ε x x < ε. ιοτι τα δ ε = min δ ε, ), x = δ ε, x = δ ε ικανοποιουν την συνθηκη x x 3 6 < δ ε αλλα παραβιαζουν την συνθηκη f x) f x ) < ε. Αρα η f x) = δεν ειναι οµοιοµορφα συνεχης στο, ). x..6. Ασκηση: Ποια ειναι διαφορα της οµοιοµορφης συνεχειας απο την απλη συνεχεια ; Λυση. Λεµε οτι η f x) ειναι συνεχης στο [a, b] ανν για καθε x [a, b] εχουµε lim x x f x) = f x ). Αυτο µπορει να γραφτει πιο αναλυτικα ως εξης : για καθε ε > υπαρχει δ ε > τετοιο ωστε x [a, b], ε >, δ ε x ) : x x < δ ε x ) f x) f x ) < ε. Με αλλα λογια, το δ ε x ) εξαρταται απο το ε και απο το x! Στην οµοιοµορφη συνεχεια, το δ ε δεν εξαρταται απο το x δηλ. µπορουµε να χρησιµοποιησουµε το ιδιο δ ε για καθε x ).

18 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΟΡΙΟ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ. Λυµενα Προβληµατα... Ασκηση : ειξε µε ενα αριθµητικο επιχειρηµα οτι ) lim = x. x+3 3 Λυση. Στον πινακα ϐλεπουµε Ϲευγη τιµων x,. x+3 x x Παρατηρουµε οτι οσο εγγυτερα ϐρισκεται το x στο, τοσο εγγυτερα ϐρισκεται το στο =.5, x+ και αυτο ισχυει για x ειτε µεγαλυτερο ειτε µικροτερο του. Αυτο διατυπωνεται µαθηµατικα ως εξης «lim = x». x+... Αποδειξε οτι lim x x + ) =. Λυση. Πρεπει να δειξουµε οτι ε > : δ ε > : < x < δ ε x + < ε. Εστω λοιπον τυχον ε >. Παιρνουµε δ ε = ε οποτε για καθε x τετοιο ωστε x = x < δ ε = ε εχουµε x + = x = x < δ ε = ) ε = ε και ετσι εχουµε αποδειξει το Ϲητουµενο...3. Αποδειξε οτι lim x x ) = 3. Λυση. Πρεπει να δειξουµε οτι ε > : δ ε > : < x < δ ε x 3 < ε. Εστω λοιπον τυχον ε >. Παιρνουµε δ ε = ε και για καθε x τετοιο ωστε x < δ ε = ε εχουµε και ετσι εχουµε αποδειξει το Ϲητουµενο. x 3 = x 4 = x < δ ε = ε = ε x..4. Αποδειξε οτι lim 3x+ x =. x ) Λυση. Πρεπει να δειξουµε οτι ε > : δ ε > : < x < δ ε x 3x + x ) < ε. Εστω λοιπον τυχον ε >. Παιρνουµε δ ε = ε και για καθε x τετοιο ωστε x < δ +ε ε = ε εχουµε x 3x + x ) = x ) x ) x ) = x x. Τωρα, εχουµε x < δ και +ε x > x = x > δ ε

19 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΟΡΙΟ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ 3 αφου x < δ ε ) οποτε x x < δ ε. δ ε Αρκει, για να δειξουµε το Ϲητουµενο οριο, να δειξουµε οτι Η τελευταια ισοτητα ισχυει εξ υποθεσεως. δ ε δ ε δ ε δ ε = ε δ ε = ε δ ε ) δ ε = ε εδ ε = ε. Αλλα δ ε + εδ ε = ε δ ε + ε) = ε δ ε =..5. ειξε οτι lim x = και οτι lim x 3 + x =. x 3 + Λυση. Για το πρωτο οριο πρεπει να δειξουµε οτι ε < : M ε > : M ε < x x 3 + < ε. ε + ε. Εστω λοιπον τυχον ε >. Παιρνουµε M ε = 3 και για καθε x τετοιο ωστε x > M ε ε = 3 > ε εχουµε x 3 + < Mε 3 + = + = ε ε και ετσι εχουµε αποδειξει το Ϲητουµενο. Το δευτερο οριο αποδεικνυεται παροµοια...6. ειξε οτι lim x x =. Λυση. Πρεπει να δειξουµε οτι M > : N M > : N M < x M < x. Ευκολα ϕαινεται οτι για τυχον M αρκει να παρουµε N M = M...7. ειξε οτι lim x x 3 =. Λυση. Πρεπει να δειξουµε οτι M < : N M < : x < N M x 3 < N M. Ευκολα ϕαινεται οτι για τυχον M < αρκει να παρουµε N M = M / ειξε µε ενα αριθµητικο επιχειρηµα οτι α) lim x + =, ϐ) lim x x ) =. x Λυση. Στον πινακα ϐλεπουµε Ϲευγη τιµων x,. Παρατηρουµε οτι οσο µικροτερο γινεται το x, τοσο µεγαλυτερη ειναι η απολυτη τιµµη του x x, αλλα το προσηµο εξαρταται απο αυτο του x. x x Αποδειξε οτι α) lim x + =, ϐ) lim x x =. x Λυση. Θεωρουµε τυχον M > και εχουµε : < x < δ = M < οποτε lim M x x + =. x Παροµοια, µε τυχον M < εχουµε : > x > δ = M > οποτε lim M x x =. x

20 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΟΡΙΟ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ 4... ειξε οτι lim x =. x 3 Λυση. Πρεπει να δειξουµε οτι M < : δ M > : < x < δ M x 3 < M. Εστω λοιπον τυχον M <. Παιρνουµε δ M = 3 < και για καθε x τετοιο ωστε δ M M < x < εχουµε 3 M < x < M < x 3 < x < M ειξε οτι lim x + x+ =. x Λυση. Πρεπει να δειξουµε οτι M > : δ M > : < x < δ M x + x > M. Εστω λοιπον τυχον M >. Παιρνουµε δ M = και για καθε x τετοιο ωστε < x < δ M M = M εχουµε x + x = x + x ) x + ) = x > = M και ετσι εχουµε αποδειξει το Ϲητουµενο.... Υπολογισε τα παρακατω ορια. lim x x 3 + 3x 4 ).. lim x x x 4x lim x x x 4x lim x x lim x x + x +. Λυση. Για το ) εχουµε Για το ) εχουµε lim x x 3 + 3x 4) = ) ) 4 = 3. x lim x x 4x + 4 = lim x x ) lim x x 4x + 4) = = οπου χρησιµοποιησαµε οτι ο παρονοµαστης ειναι διαφορος του µηδενος. Για το 3) εχουµε x lim x x 4x + 3 = lim x x 3 =. Για το 4) εχουµε lim x x 4 = 4 = 4. Για το 5) ϑετουµε g x) = x, f x) = 5x + 3x 4 και εχουµε lim x + x + = lim x + x + ) = 3. x x M

21 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΟΡΙΟ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ Υπολογισε τα παρακατω ορια. lim x x. lim x x x 5x+4. x lim x x x lim h x+h) x h. Λυση. Για το ) εχουµε Για το ) εχουµε Για το 3) εχουµε Για το 4) εχουµε x lim x x 5x + 4 = lim x x x ) x 4) = lim x x 4 = 3 = 3. x lim x x 4 = lim x ) x + ) x x ) x + ) x + ) = lim x x + =...4. Υπολογισε τα παρακατω ορια x lim x x = lim x + 3 x + x + 3 x x + 3 ) x + ) x + 3 = lim x x 3 = lim x + x + 3) = 4. x + h) x x + xh + h ) x lim = lim h h h h xh + h = lim = lim x + h) = x. h h h. lim x x+7 x.. lim x x+4 5x. 3. lim x x 4 x. 4. lim x x 4 x.

22 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΟΡΙΟ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ 6 Λυση. Για το ) εχουµε lim x x + 7 x = lim x x + 7 x x x x x = lim x x + lim x x 7 x x lim x lim = + x x = x x επειδη : lim x = lim 3 x x = lim x = 3 lim x x = 3 εχουµε ηδη δει σε προηγουµενη x Ασκηση οτι lim x = ) και, παροµοια, lim x x 4 =. x Παροµοια, για το ) εχουµε Για το 3) εχουµε Για το 4) εχουµε lim x lim x lim x x + 4 5x = lim x x 4 x = lim x x 4 x x x + 4 x 5x x x x 4 x x x x = + 5 = 5. = =. x = lim x 4 ) = =. x x..5. ειξε οτι η συναρτηση f x) = x 3 x + x ειναι συνεχης στο x = 3. Λυση. Αφου η f x) ειναι πολυωνυµικη εχουµε lim f x) = f x ) x 3 δηλ. ειναι συνεχης στο x = 3. Φυσικα το ιδιο ισχυει για καθε x R...6. Αποδειξε οτι η f x) = δεν ειναι συνεχης στο x x =. Λυση. Αφου δεν οριζεται το f ), δεν µπορουµε να εχουµε lim x = f ). x..7. ειξε οτι η συναρτηση f x) = x3 +x ειναι συνεχης στο R. x + Λυση. Για καθε x R εχουµε οτι lim x x = f x ) η µονη πιθανη εξαιρεση ειναι σηµεια στα οποια µηδενιζεται ο παρονοµαστης της f x). Αλλα αφου αυτος ειναι x + τετοια σηµεια δεν υπαρχουν στο R, δηλ. η f x) ειναι συνεχης παντου στο R...8. ειξε οτι η συναρτηση f x) = x ειναι συνεχης στο R. Λυση. Η συναρτηση µπορει να γραφτει και ως { x οταν x < f x) = x οταν x. Αρα για καθε x, ) εχουµε lim f x) = x = f x ) x x και για καθε x, ) εχουµε lim f x) = x = f x ) x x

23 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΟΡΙΟ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ 7 Αρα η f x) ειναι σιγουρα συνεχης στο R {}. Τι γινεται στο x = ; Ευκολα ϐλεπουµε οτι εχουµε lim f x) =, lim f x) = x x + και αρα lim f x) = = f ). x Αρα η f x) = x ειναι συνεχση σε ολο το R...9. Βρες τα σηµεια ασυνεχειας της f x) = x. x 9 Λυση. Η f x) ειναι πηλικο δυο πολυωνυµικων και αρα συνεχων συναρτησεων. Αρα και η f x) ειναι συνεχης παντου εκτος των σηµειων στα οποια µηδενιζεται ο παρονοµαστης, δηλ. των 3, 3. Σε αυτα τα σηµεια η συναρτηση δεν οριζεται, αρα και δεν µπορει να ειναι συνεχης.... Αποδειξε οτι : αν η f x) ειναι συνεχης στο [a, b] και f a) f b) <, τοτε υπαρχει x [a, b] τετοιο ωστε f x ) =. Λυση. Χωρις ϐλαβη της γενικοτητας, υποθετω οτι f a) <, f b) >. Οριζω το συνολο A = {x : a < x < b και f x) }. Το A ειναι µη κενο περιεχει το a) και ϕραγµενο απο το b. Τωρα οριζω το x να ειναι το ελαχιστο ανω ϕραγµα του A. Θα ειναι x [a, b) γιατι ;). Τοτε f x ) =. Πραγµατι, αν f x ), οπως εχουµε δει, υπαρχει καποιο δ τετοιο ωστε για καθε x [x δ, x + δ], το f x) ϑα ειναι οµοσηµο µε το f x ).. Εστω οτι f x ) >. Τοτε α) x > a και ϐ) για καθε x > x δ ϑα εχουµε f x) >. Οποτε το x δ A ειναι ενα ανω ϕραγµα του A, αλλα ειναι µικροτερο του x και αυτο ειναι ατοπο.. Εστω οτι f x ) <. Τοτε α) x < b και ϐ) για καθε x < x + δ ϑα εχουµε f x) <. Αν λαβουµε αρκουντως µικρο δ, το x + δ A και τοτε x δεν ειναι ενα ανω ϕραγµα του A, το οποιο ειναι ατοπο. Οποτε καταληγουµε οτι f x ) = και η αποδειξη ειναι πληρης..3 Αλυτα Προβληµατα x+.3.. ειξε υπολογιστικα οτι lim = 3 x. x ειξε υπολογιστικα οτι lim x x ) = Αποδειξε ϐασει του ορισµου οτι lim x x ) = Αποδειξε ϐασει του ορισµου τα εξης.. lim x x+ x+ = 3 4. Εδω εµµεσα υποθετουµε οτι υπαρχει τετοιος αριθµος x, που προκυπτει απο την πληροτητα του συνολου των πραγµατικων αριθµων. ες το https : //en.wikipedia.org/wiki/completeness_of _the_real_numbers.

24 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΟΡΙΟ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ 8. lim x x =. 3. lim x =. 3x lim x x =. 5. lim x x 3 =. 6. lim x =. x ) 7. lim x =. x 3 8) 8. lim x 4 =, lim x 4) 3 x 4 + =. x 4) 3 9. lim x + x+ =, lim x x x+ =. x. lim x x =. 3 x x.3.5. Υπολογισε τα παρακατω ορια.. lim x 5x + 3x 4 ). Απ... lim x x + x + ). Απ lim x 8 x 4. Απ lim x 3 5x + 3x 4. Απ. 5. x 5. lim 5x+6 x. Απ. x 8x+6 x 6. lim +x+ x. Απ. 5 x +x x 7. lim 9 x. Απ. x+3 8. lim x. Απ.. x 6 9. lim x. Απ.. x 6. lim x 5. x 6 +. Απ Υπολογισε τα παρακατω ορια.. lim x 3 x 3 x 5x+6. Απ.. x. lim 5. Απ. 5. x x lim h x+h) 4 x 4 h. Απ. 4x lim x 4 x 3 x +5. Απ

25 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΟΡΙΟ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ 9 5. lim x 4 x 3 x +5. Απ Υπολογισε τα παρακατω ορια.. lim x x 4. Απ.. x. lim x + x 4. Απ.. x 3. lim x +. Απ.. x 3 4. lim x 3x +5. Απ.. 5. lim x 3x+5. Απ.. x x Υπολογισε τα παρακατω ορια. x. lim x. Απ.. x+ 3x 4. lim x. Απ. 3. 7x 7 3x 4 3. lim x. Απ.. 7x 3x 4. lim 4 x. Απ.. 7x 3x 5. lim 4 x. Απ.. 7x.3.9. ειξε οτι η f x) = x + 5x + 9 ειναι συνεχης στο x = ειξε οτι η f x) = x3 +x x +5 ειναι συνεχης στο R..3.. ειξε οτι η f x) = x + ειναι συνεχης στο R..3.. Αν οι f x), g x) ειναι συνεχεις στο x, δειξε οτι η f x) g x) ειναι επισης συνεχης στο x Αν οι f x), g x) ειναι συνεχεις στο x και g x ), δειξε οτι η f x) gx) στο x Βρες τα σηµεια ασυνεχειας των παρακατω.. f x) = ειναι επισης συνεχης x. Απ... f x) = x. Απ.,. x 3. f x) = x 3x+. Απ.,. x Εστω οτι η f x) εχει την ιδιοτητα x R : f x) < M x. Αποδειε οτι lim f x) =, lim x f x) x x =.

26 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΟΡΙΟ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ.3.6. Για καθε x R συµβολιζουµε µε x τον µεγαλυτερο ακεραιο ο οποιος ειναι µικροτερος η ισος του x. Για καθε x R υπολογισε το lim x x x. Βρες τα σηµεια ασυνεχειας της x Βρες το lim x x k x οταν k N Καθε µονοτονη συναρτηση ειναι -προς-. Αν ειναι σωστο αποδειξε το αν ειναι λαθος δωσε αντιπαραδειγµα Καθε αυστηρα µονοτονη συναρτηση ειναι -προς-. Αν ειναι σωστο αποδειξε το αν ειναι λαθος δωσε αντιπαραδειγµα..3.. Εστω οτι η f : [a, b] R ειναι συνεχης και -προσ-. ειξε οτι η f ειναι αυστηρα µονοτονη..3.. Αποδειξε οτι η f x) = ax + b ειναι οµοιοµορφα συνεχης..4 Προχωρηµενα Αλυτα Προβληµατα.4.. ωσε αυστηρους ορισµους των lim x f x) =, lim x f x) =, lim x f x) =, lim x f x) =..4.. Αποδειξε ϐασει του ορισµου οτι. lim x x kf x)) = k lim x x kf x).. lim x x f x) g x)) = lim x x f x) ) lim x x g x) ) οταν τα ορια υπαρχουν). 3. lim f x) ) lim x x gx) = x x f x) lim x x gx) οταν τα ορια υπαρχουν και lim x x g x) ) Αποδειξε οτι : αν για καθε x R, οταν lim x x f x) = και lim x x g x) =, τοτε lim x x f x) + g x)) =, lim x x f x) g x)) = Αποδειξε οτι : αν για καθε x R, αν lim x x f x) = και lim x x g x) =, τοτε lim x x f x) + g x)) =, lim x x f x) g x)) = Αποδειξε οτι : αν οι f x), g x) ειναι συνεχεις στο x, το ιδιο ισχυει και για τις kf x), f x) g x) Αποδειξε οτι : καθε πολυωνυµικη συναρτηση ειναι συνεχης Αποδειξε οτι : αν η f x) ειναι συνεχης στο x και η g x) ειναι συνεχης στο f x ), τοτε η g f x)) ειναι συνεχης στο x Αποδειξε οτι : αν η f x) ειναι συνεχης στο [a, b], τοτε c min f a), f b)), max f a), f b))) : x [a, b] : f x ) = c Αποδειξε οτι : αν η f x) ειναι συνεχης στο [a, b], τοτε ειναι ϕραγµενη στο [a, b], δηλ. υπαρχουν αριθµοι m, M R τετοιοι ωστε x [a, b] : m f x) M.

27 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΟΡΙΟ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ.4.. Αποδειξε οτι : αν η f x) ειναι συνεχης στο [a, b], τοτε υπαρχουν c, d [a, b] τετοια ωστε x [a, b] : f c) f x) f d)..4.. Εστω οτι η f x) ειναι συνεχης στο [a, b] ας συµβολισουµε µε m το µεγιστο κατω ϕραγµα των τιµων της f x) στο [a, b] και µε M το ελαχιστο ανω ϕραγµα των τιµων της f x) στο [a, b]. Αποδειξε οτι c [m, M] : x [a, b] : f x) = c. sin x.4.. Αποδειξε οτι : lim x =. x.4.3. Αποδειξε οτι υπαρχει το lim x + x ) x Οριζουµε την συναρτηση { οταν x Q f x) = οταν x R Q. Αποδειξε οτι : η f x) ειναι ασυνεχης στο R Οριζουµε την συναρτηση { x οταν x Q g x) = οταν x R Q. Αποδειξε οτι : η f x) ειναι συνεχης στο και ασυνεχης στο, ] Οριζουµε την συναρτηση { x οταν x Q g x) = x οταν x R Q. Αποδειξε οτι : η g x) ειναι ασυνεχης στο R {} και συνεχης στο Οριζουµε την συναρτηση οταν x = m σε αναγωγη µορφη, n n h x) = οταν x R Q, οταν x =. Αποδειξε οτι : η h x) ειναι συνεχης στο συνολο των αρρητων αριθµων του, ] και ασυνεχης στο συνολο των ϱητων αριθµων του, ] Οριζουµε την συναρτηση f x) = { x οταν x Q x οταν x R Q.. Αποδειξε οτι : η f x) ειναι συνεχης στο και ασυνεχης στο [, ) Αποδειξε οτι η εξισωση x 5 8x + = εχει τουλαχιστον µια ϱιζα στο [, ].

28 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΟΡΙΟ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ.4.. Αποδειξε οτι καθε εξισωση της µορφης a + a x a n+ x n+ = εχει τουλαχιστον µια πραγµατικη ϱιζα..4.. Αποδειξε οτι καθε συναρτηση της µορφης f x) = a + a x a n+ x n+, οπου τα a, a,..., a n+ ειναι ϑετικα, εχει αντιστροφη συναρτηση..4.. ινεται η f x) µε πεδιο ορισµου το R. Εστω οτι η f x) ειναι συνεχης στο x και x, y R ισχυει f x + y) = f x) + f y). Αποδειξε οτι υπαρχει σταθερα a τετοια ωστε f x) = ax..4.3 Μαθ. Ολυµπιαδα). Βρες ολες τις συνεχεις συναρτησεις f :, ) R τετοιες ωστε Απ. f x) = ax ln x. x, y > : f xy) = xf y) + yf x)..4.4 Μαθ. Ολυµπιαδα). Βρες ολες τις συνεχεις συναρτησεις f : R R τετοιες ωστε Απ. f x) = x 3. x : f x) = f x) + x ωσε παραδειγµα συναρτησης f x) η οποια ειναι συνεχης στο, ) και απεικονιζει το, ) στο, ], ή αποδειξε οτι δεν µπορει να υπαρχει τετοια συναρτηση ωσε παραδειγµα συναρτησης f x) η οποια ειναι συνεχης στο R και απεικονιζει το R στο Q, ή αποδειξε οτι δεν µπορει να υπαρχει τετοια συναρτηση Αποδειξε οτι : αν η f x) ειναι οµοιοµορφα συνεχης στο a, b), τοτε ϑα ειναι ϕραγµενη. ωσε παραδειγµα που δειχνει οτι αυτο δεν ισχυει αν η f x) ειναι απλα συνεχης στο a, b) Αν δεν υπαρχει το lim x x f x) τοτε δεν υπαρχει ουτε το lim x x f x). Σωστο ή λαθος ;.4.9. Αν δεν υπαρχει το lim x x f x) και το lim x x g x) τοτε δεν υπαρχει ουτε το lim x x f x) + g x)). Σωστο ή λαθος ;.4.3. Αν υπαρχουν τα lim x x f x) = και lim x x g x) τοτε lim x x f x) gx) =. Σωστο ή λαθος ;.4.3. Αν υπαρχουν τα lim x x f x) = A και lim x x g x) = τοτε lim x x f x) g x) = ή. Σωστο ή λαθος ;.4.3. Αν υπαρχει το lim x x f x) αλλα οχι το lim x x g x) τοτε δεν υπαρχει και το lim x x f x) g x). Σωστο ή λαθος ; Αν η g x) = f x)) ειναι συνεχης στο x, τοτε και η f x) ειναι συνεχης στο x. Σωστο ή λαθος ; Αν η g x) = f x)) ειναι συνεχης στο [a, b], τοτε και η f x) ειναι συνεχης στο [a, b]. Σωστο ή λαθος ;

29 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΟΡΙΟ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ Αν lim h f x + h) f x h)) =, τοτε η f x) ειναι συνεχης στο x. Σωστο ή λαθος ; Αν η f x) ειναι συνεχης και η g x) ειναι ασυνεχης στο x, τοτε και η f x) + g x) ειναι ασυνεχεις στο x. Σωστο ή λαθος ; Αν η f x) και η g x) ειναι ασυνεχεις στο x, τοτε και η f x) + g x) ειναι ασυνεχεις στο x. Σωστο ή λαθος ; Υπαρχει συναρτηση f x) µε πεδιο ορισµου το R η οποια ειναι ασυνεχης σε ολο το R. Σωστο ή λαθος ; Υπαρχει συναρτηση f x) µε απειρα σηµεια ασυνεχειας και απειρα σηµεια συνεχειας. Σωστο ή λαθος ;.4.4. Αν η f x) ειναι συνεχης στα διαστηµατα [a, b] και [c, d], τοτε ειναι συνεχης και στο [a, b] [c, d]. Σωστο ή λαθος ;

30 Κεφάλαιο Παραγωγος Η παραγωγος της συναρτησης f x) ειναι ο στιγµιαιος ϱυθµος µεταβολης της f οταν µεταβαλλεται το x.. Θεωρια και Παραδειγµατα... Ορισµος: Η παραγωγος µιας συναρτησης f x) συµβολιζεται µε f x) και οριζεται ως εξης : f f x + x) f x) x) = lim..) x x Αν το οριο της.) υπαρχει, λεµε οτι η f x) ειναι παραγωγισιµη στο x.... Ασκηση: Υπολογισε την παραγωγο της f x) = x ϐασει του ορισµου. Λυση. Εχουµε f x) = lim x f x + x) f x) x = lim x x + x x x x = lim x x = lim =. x..3. Ασκηση: Υπολογισε την παραγωγο της f x) = x ϐασει του ορισµου. Λυση. Εχουµε f f x + x) f x) x + x) x x) = lim = lim x x x x x + x x + x) x = lim x x x + x) x = lim = lim x + x) = x. x x x..4. Παρατηρηση: Εαν παραστησουµε γραφικα µια συναρτηση f x) µε µια καµπυλη C, οπως στο Σχηµα., τοτε η f x) δινει την κλιση της ευθειας η οποια εφαπτεται στην C στο σηµειο x. 4

31 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 5 Σχήµα.: Η f x ) ειναι η κλιση της εφαπτοµενης στην καµπυλη f x) στο x...5. Παρατηρηση: Υπαρχουν περιπτωσεις οπου η C η οποια αντιστοιχει στην f x) δεν εχει εφαπτοµενη σε καποιο σηµειο x, οπως στο Σχηµα., οποτε και η f x) δεν ειναι παραγωγισιµη f x+ x) f x) f x+ x) f x) στο x π.χ. στο Σχηµα., οπου εχουµε lim x lim x x + και αρα δεν x υπαρχει η f x). Σχήµα.: Η συναρτηση δεν εχει παραγωγο στο σηµειο x =...6. Ασκηση: Αποδειξε, ϐασει του ορισµου, οτι η { οταν x f x) = x οταν x < δεν ειναι παραγωγισιµη στο x =. Λυση. Θα πρεπει να ειναι Αλλα και f ) = lim x f + x) f ) f + x) f ) f + x) f ) = lim = lim. x x + x x x f + x) f ) lim x + x f + x) f ) lim x x Αρα δεν υπαρχει η f f + x) f ) ) = lim x. x = lim x + x = = lim x x x =.

32 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ Ορισµος: Η δευτερη παραγωγος µαις συναρτησης f x) συµβολιζεται µε f x) και ο- ϱιζεται ως εξης : f x) = f x)). Η παραγωγος n-στης ταξης µια σσυναρτησης f x) για n =,,, 3,...) συµβολιζεται µε f n) x) και οριζεται ως εξης : για n = : f ) x) = f x) για n =,, 3,.. : f n) x) = f n ) x) ). ηλ. η f n) x) ειναι η παραγωγος της f n ) x)...8. Θεωρηµα: Αν η f x) ειναι παραγωγισιµη στο x, τοτε ειναι και συνεχης στο x. Το αντιστροφο δεν ισχυει υποχρεωτικα...9. Θεωρηµα: Για καθε a R, αν f x) = x a, τοτε f x) = ax a.... Θεωρηµα: Αν οι f x) και g x) εχουν παραγωγους f x) και g x) αντιστοιχα, τοτετ ισχυουν τα παρακατω. f x) + g x)) = f x) + g x) c f x)) = c f x), οπου c µια σταθερα f x) g x)) = f x) g x) + f x) g x) ) f x) = f x) g x) + f x) g x), οταν g x) g x) g x) f g x))) = f g x)) g x), οταν η f ειναι παραγωγισιµη στο g x).... Ασκηση: Υπολογισε την παραγωγο της f x) = x 4x + 5. Λυση. x 4x + 5 ) = x ) 4 x) + 5) = x 4 + = x Ασκηση: Υπολογισε την παραγωγο της f x) = x 4x + 5 ) x + ). Λυση. Εχουµε f x) = ) ) ) ) x 4x + 5 x + + x 4x + 5 x + = x 4) ) ) x + + x 4x + 5 x = 4x 3 x + x Ασκηση: Υπολογισε την παραγωγο της f x) = x 4x+5. x + Λυση. Εχουµε x ) 4x + 5 x 4x + 5 ) x + ) x 4x + 5 ) x + ) = x + x + ) = x 4) x + ) x 4x + 5 ) x = 4x 8x 4. x + ) x + )..4. Ασκηση: Υπολογισε την παραγωγο της f x) = 3 x. Λυση. Εχουµε f x) = ) 3 x = x /3) = 3 x /3 = 3 3. x

33 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ Ασκηση: Υπολογισε την δευτερη παραγωγο της f x) = x 4x+5 Λυση. Εχουµε x +. f x) = f x) ) x ) ) 4x + 5 = x + 4x ) 8x 4 = = 8 x 3 + 3x + 3x ). x + ) x + ) Θεωρηµα: Εστω g x) = f x), η αντιστροφη συναρτηση της f. Αν η f x) ειναι παραγωγισιµη στο f x ) και f f x ) ), τοτε η g x) ειναι παραγωγισιµη στο x και ισχυει g x ) = f f x ))...7. Συµβολισµος: Η παραγωγος της f x) συµβολιζεται και ως οπου df = lim f x x = f x) f = f x + x) f x) ειναι η µεταβολη της f οταν το x µεταβαλλεται κατα x...8. Παρατηρηση: Ισχυει προσεγγιστικα οτι f x) f και x Η προσεγγιση ειναι τοσο καλυτερη οσο µικροτερο ειναι το x. f f x) x..)..9. Παρατηρηση: Ο συµβολισµος df τονιζει οτι η παραγωγος ειναι ο λογος της µεταβολης f ως προς την µεταβολη x οταν τα x και f γινονται πολυ µικρα απειροστικα µικρα). Αν και το συµβολο df δεν ειναι κλασµα, πολλες ϕορες το µεταχειρζοµαστε ως τετοιο π.χ. γραφουµε df = f x)..3)... Ορισµος: Η ποσοτητα df στην.3) ονοµαζεται διαφορικο της f x).... Παρατηρηση: Στην ουσια, η.3) ειναι µια συντοµογραφια της εκφρασης «η f ειναι περιπου ιση µε την f x) x οταν το x ειναι αρκετα µικρο». Οπως ϑα δουµε στα εποµενα κεφαλαια, ο συµβολισµος df = f x) ειναι πολυ χρησιµος π.χ. στον υπολογισµο ολοκληρωµατων) και γενικα µπορουµε να µεταχειρζοµαστε το df ως κλασµα αν και αυτο δεν ειναι αυστηρα σωστο δινει τα σωστα αποτελεσµατα και µπορει να αυστηροποιηθει).... Ασκηση: Υπολογισε το διαφορικο της f x) = x ϐασει του ορισµου και δωστε µια γεωµετρικη ερµηνεια. Λυση. Εχουµε df = f x) = x.

34 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 8 Μια γεωµετρικη ερµηνεια ειναι η εξης. Θεωρησε ενα τετραγωνο µε πλευρα x. Τοτε f x) = x ειναι το εµβαδον του τετραγωνου. Εστω τωρα οτι η πλευρα αυξανεται απο x σε x + x. Το εµβαδον αυξανεται οπως ϕαινεται στο Σχηµα.3. x x x Σχήµα.3: Γεωµετρικη ερµηνεια του διαφορικου. Αν το x ειναι σχετικα µικρο, η µεγαλυτερη µεταβολη του εµβαδου δινεται απο τα δυο παραλληλογραµα µε πλευρες x και x και ειναι x x. Υπαρχει µια επιπλεον αυξηση του εµβαδου κατα x) απο το τετραγωνο µε πλευρα x, αλλα αν το x ειναι µικρο, τοτε το x) ειναι πολυ µικρο σε σχεση µε το x x και µπορουµε να το αγνοησουµε. Π.χ., αν x = και x =., τοτε x + x) =. = 4. 4, x = = 4, x + x) x = =.4, x x =. =.4, x) =.) =., δηλ. το µεγαλυτερο µερος της µεταβολης f =.4 προκυπτει απο τον ορο x x = Ασκηση: Βρες προσεγγιστικα την τιµη της 4. χρησιµοποιωντας το διαφορικο. Λυση. Θετουµε f x) = x. Τοτε x + x = f x + x) f x) + f x) x = x + x x. Αν παρουµε τωρα x = 4, x + x = 4. και αρα x =., η παραπανω σχεση δινει 4. = = + = Η πραγµατικη τιµη ειναι 4. =. 48. Το σχετικο σφαλµα ειναι.48.5 = x x x Αρα η προσεγγιση ειναι αρκετα καλη.

35 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ Παρατηρηση: Μερικες ϕορες µια συναρτηση y x) οριζεται σε πλεγµενη µορφη, απο µια εκφραση P x, y) =. Η εκφραση αυτη καθοριζει οτι οι x και y ϐρισκονται σε καποια συναρτησιακη) σχεση, αλλα ισως δεν µπορουµε να λυσουµε P x, y) = και να ϐρουµε την y x) ως συναρτηση του x. Παρολα αυτα, πολλες ϕορες ειναι δυνατο να υπολογισουµε την y x) ως συναρτηση των x και y...5. Ασκηση: Βρες την y αν y 3 + y 5y x + 4 =. Λυση Θεωρησε την συνθετη συναρτηση g x) = g y x)) = y x)) 3, δηλ. g y) = y 3. Τοτε dg = dg dy dy = 3y y..4) Αντιστοιχα, d y = yy..5) Χρησιµοποιωντας τις.4) και.5) εχουµε d ) y 3 + y 5y x d + 4 = ) 3y y + yy 5y x + = y 3y + y 5) = x y = x 3y + y Ορισµος: Λεµε οτι η f x) ειναι αυξουσα αντ. ϕθινουσα) στο a, b) ανν για καθε x, x a, b) ισχυει : x < x f x ) f x ) αντ. x < x f x ) f x )). Αν το αντ. ) αντικατασταθει µε < αντ. >) λεµε οτι η f x) ειναι γνησιως αυξουσα αντ. ϕθινουσα). Αντιστοιχοι ορισµοι ισχυουν και για το κλειστο διαστηµα [a, b]...7. Ασκηση: Βρες τα διαστηµατα στα οποια η f x) = x 3 x ειναι αυξουσα και ϕθινουσα. Λυση. Εχουµε ) f x) = 3x. Λυνοντας 3x >, παιρνουµε ως συνολο λυσεων το A =, 3, ) αρα η f x) ειναι γνησιως αυξουσα στο A. Παροµοια, λυνοντας 3x <, 3 παιρνουµε ως συνολο λυσεων το B = 3, 3 ) αρα η f x) ειναι γνησιως ϕθινουσα στο A...8. Θεωρηµα: Εστω οτι η συναρτηση f x) οριζεται στο a, b) και στο x a, b) εχουµε < f x ) R προσεξτε οτι το f x ) µπορει να ειναι ). Τοτε υπαρχει δ > τετοιο ωστε για καθε x [x δ, x + δ] η f x) ειναι γνησιως αυξουσα, δηλ. ισχυει x < x f x) < f x ) και x < x f x ) < f x). Αντιστοιχα, αν στο x a, b) εχουµε > f x ) R, υπαρχει δ > τετοιο ωστε για καθε x [x δ, x + δ] η f x) ειναι γνησιως ϕθινουσα, δηλ. ισχυει x < x f x) > f x ) και x < x f x ) > f x)...9. Ορισµος: Λεµε οτι η f x) ειναι κυρτη στο a, b) ανν για καθε x, x a, b) και κ [, ] ισχυει : f κx + κ) x ) κf x ) + κ) f x ) Λεµε οτι η f x) ειναι κοιλη στο a, b) ανν για καθε x, x a, b) και κ [, ] ισχυει : f κx + κ) x ) κf x ) + κ) f x )

36 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ Θεωρηµα: Εστω f x) δις παραγωγισιµη στο a, b). Τοτε. Η f x) ειναι κυρτη στο a, b) ανν f x) για καθε x a, b).. Η f x) ειναι κοιλη στο a, b) ανν f x) για καθε x a, b)...3. Παραδειγµα: Η f x) = x εχει f x) = > για καθε x, ) αρα ειναι κυρτη στο, ). Η g x) = x εχει g x) = < για καθε x, ) αρα ειναι κυρτη στο, ). Η h x) = x 3 x εχει h x) = 6x, αρα ειναι κοιλη για x < και κυρτη για x >. Οι γραφικες παραστασεις των συναρτησεων στο Σχηµα.4 δινουν την οπτικη σηµασια της κυρτοτητας και κοιλοτητας. Σχήµα.4: Κυρτες και κοιλες συναρτησεις...3. Ασκηση: Βρες τα διαστηµατα κυρτοτητας και κοιλοτητας της f x) = x 3 6x + x 6. Λυση. Εχουµε f x) = 6x. Αρα η f x) ειναι κοιλη στο, ) και κυρτη στο, ) Θεωρηµα : Rolle): Αν α) η f x) ειναι συνεχης στο [a, b] και παραγωγισιµη στο a, b) και ϐ) f a) = f b) =, τοτε υπαρχει x a, b) τετοιο ωστε f x ) = Παραδειγµα: Η συναρτηση f x) = x ειναι συνεχης και παραγωγισιµη στο, ) και f ) = f ) =. Παρατηρουµε οτι υπαρχει x =, ) τετοιο ωστε f x ) = x = Θεωρηµα: Μεσης Τιµης): Αν η f x) ειναι συνεχης στο [a, b] και παραγωγισιµη στο a, b), τοτε υπαρχει x a, b) τετοιο ωστε f f b) f a) x ) = b a Παραδειγµα: Η συναρτηση f x) = x ειναι συνεχης και παραγωγισιµη στο, ) και f ) =, f ) = 3. Παρατηρουµε οτι υπαρχει x =, ) τετοιο ωστε f x ) = x = = 3 ) Θεωρηµα: Αν στο [a, b] ισχυει f x) =, τοτε η f x) ειναι η σταθερη συναρτηση f x) = c στο [a, b] ) Θεωρηµα: Cauchy): Αν οι f x), g x) ειναι συνεχεις στο [a, b] και παραγωγισιµες στο a, b), τοτε υπαρχει x a, b) τετοιο ωστε f x ) f b) f a) g x = ) gb) ga).

37 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ Παραδειγµα: Οι συναρτησεις f x) = x, g x) = x ειναι συνεχεις και παραγωγισιµες στο, ). Εχουµε f ) =, f ) = 3, g ) =, g ) = 4, f ) f ) g ) g ) = 3 4 =. Επιπλεον f x) = x = g x). Παρατηρουµε οτι υπαρχει x =, ) τετοιο ωστε Στην πραγµατικοτητα εδω εχουµε f x ) g x ) = f ) f ) = = g ) g ). x, ) : f x ) f ) f ) = g = x ) g ) g )...4. Ορισµος: Λεµε οτι το x ειναι ενα στασιµο σηµειο της f x) ανν f x ) =...4. Ορισµος: Λεµε οτι το x ειναι ενα σηµειο καµπης της f x) ανν f x ) =...4. Ορισµος: Λεµε οτι η συναρτηση f x) εχει τοπικο µεγιστο στο x αν υπαρχει δ > τετοιο ωστε x [x δ, x + δ] f x) f x ). Αντιστοιχα λεµε οτι η συναρτηση f x) εχει τοπικο ελαχιστο στο x αν υπαρχει δ > τετοιο ωστε x [x δ, x + δ] f x) f x ). Και στις δυο περιπτωσεις τοπικο µεγιστο και τοπικο ελαχιστο) λεµε οτι η f x) εχει τοπικο ακροτατο στο x Θεωρηµα: Αν η f x) ειναι παραγωγισιµη στο a, b) και εχει τοπικο µεγιστο ή τοπικο ελαχιστο στο x a, b) τοτε f x ) = Θεωρηµα: Αν η f x) ειναι δις παραγωγισιµη στο a, b) τοτε. Αν f x ) = και f x ) >, η f x) εχει τοπικο ελαχιστο στο x.. Αν f x ) = και f x ) <, η f x) εχει τοπικο µεγιστο στο x Ασκηση: Βρες τα τοπικα µεγιστα και ελαχιστα της f x) = x 3 x. Λυση. Σε καθε τοπικο µεγιστο ή ελαχιστο ϑα εχουµε f x) = 3x = οποτε εχουµε δυο στασιµα σηµεια υποψηφια για τοπικο ακροτατο) τα x = 3 και x = 3. Αφου f x) = 6x και f x ) = 6 3 >, στο x εχουµε τοπικο ελαχιστο. Αντιστοιχα, αφου f x ) = 6 3 <, στο x εχουµε τοπικο µεγιστο Θεωρηµα : Κανονας L Hospital): Εστω συναρτησεις f x), g x), διαστηµα a, b) και x a, b). Εαν για καποιο x ισχουουν τα εξης

38 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3 τοτε. f x ) = g x ) =,. g x ), 3. υπαρχει το lim x x f x) g x) f x) lim x x g x) = f x ) g x )..6) Η.6) ισχυει και ανα αντικαταστησουµε την η συνθηκη µε την f x ) = g x ) = ±. x x..47. Ασκηση: Βρες τα ορια α) lim x, ϐ) lim x+x 8 x, γ) lim x+x 8 x x. x 3 +x 8 Λυση. Και στις τρεις περιπτωσεις χρησιµοποιουµε τον κανονα L Hospital. Εχουµε. Λυµενα Προβληµατα x lim x x + x = lim x) 8 x x + x 8 ) = lim x + 8x =. 7 x ) x lim x x + x = lim 8 x x + x 8 ) = lim x x + 8x =. 7 x lim x x 3 + x = lim x) 8 x x 3 + x 8 ) = lim x 3x + 8x = Υπολογισε την παραγωγο της f x) = x 3 ϐασει του ορισµου. Λυση. Εχουµε f f x + x) f x) x + x) 3 x 3 x) = lim = lim x x x x x 3 + 3x x + 3x x) + x) 3 x 3 = lim x x 3x + 3x x + x) ) x = lim x x = lim 3x + 3x x + x) ) = 3x. x... Υπολογισε την παραγωγο της f x) = ϐασει του ορισµου. x Λυση. Εχουµε f x) = lim x f x + x) f x) x x x+x x = lim a+x) x x = x lim x = lim x ) x + x x + x) x+ x) x = lim x x ) x + x x x + x) = x x 4 = x.

39 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 33 { οταν x..3. Αποδειξε, ϐασει του ορισµου, οτι η f x) = οταν x < στο x =. Λυση. Θα πρεπει να ειναι f ) = lim x δεν ειναι παραγωγισιµη f + x) f ) f + x) f ) f + x) f ) = lim = lim. x x + x x x Αλλα f + x) f ) lim = lim x + x x + x = και f + x) f ) lim = lim =. x x x x f + x) f ) Αρα δεν υπαρχει το lim x = f ). x..4. Αποδειξε οτι : αν η f x) ειναι παραγωγισιµη στο x, τοτε ειναι και συνεχης στο x. Αποδειξε οτι δεν ισχυει το αντιστροφο, δινοντας ενα αντιπαραδειγµα. Λυση. Εχουµε f x + x) = f x ) + x f x + x) f x ) x lim f x + x) = lim f x ) + x f x ) + x) f x ) x x ) f x + x) f x ) lim f x + x) = f x ) + lim x) lim x x x x x lim x f x + x) = f x ) + f x ) = f x ) το οποιο απιδεικνυει οτι η f x) ειναι συνεχης στο x. Το αντιστροφο δεν ισχυει, οπως ϐλεπουµε απο την συναρτηση g x) = x, η οποια ειναι συνεχης αλλα οχι παραγωγισιµη γιατι ;) Αποδειξε οτι : για καθε n N, αν f x) = x n, τοτε f x) = nx n. Λυση. Η αποδειξη ειναι επαγωγικη. Για n = εχουµε x) = = n x n. Εστω οτι για n =,,..., k ισχυει x n ) = nx n. Τοτε x k+) ) = x k x = x k) x + x k x) = kx k x + x k = k + ) x k...6. Αποδειξε οτι, για καθε n N, αν f x) =, τοτε f x) = n x n ) Λυση. Η αποδειξη ειναι επαγωγικη. Για n = εχουµε = x x n+. x και ο τυπος επαληθευεται. ) Εστω οτι για n =,,..., k ισχυει x = n. Τωρα ϑα εξετασουµε την f x) = n x n+ ) = x k+ x ) ) = k x x k x + ) x k x = k+ k x x + x x ) = k + k x k+ και αρα η υποθεση επαληθευεται. Παρατηρησε οτι µπορουµε να γραψουµε = x n και ετσι x n ο παραπανω τυπος µπορει να ενοποιηθει µε αυτον του προηγουµενου προβληµατος και να γραψουµε n Z : x n ) = nx n. x k+ :

40 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ Αποδειξε, ϐασει του ορισµου, οτι c f x)) = c f x). Λυση. Εχουµε c f x)) = lim x c f x + x) c f x) x = c lim x f x + x) f x)..8. Υπολογισε την παραγωγο της f x) = x + x Λυση. x + x ) = x ) + x 3) + 5) = x + 3x + = x + 3x...9. Υπολογισε την παραγωγο της f x) = x + x + ) x + ). Λυση. Εχουµε f x) = ) ) ) x + x + x + + x + x + x + = x + ) ) ) x + + x + x + x = 4x 3 + 3x + 6x Υπολογισε την παραγωγο της f x) = x +x+. x + Λυση. Εχουµε x ) + x + x + x + ) x + ) x + x + ) x + ) = x + x + ) x = x + ) x + ) x + x + ) x = x x + ) x + ).... Υπολογισε την δευτερη παραγωγο της f x) = x +x+. x + Λυση. Εχουµε f x) = f x) ) x ) ) + x + = x + ) x = = x x 3 ) x + ) x + ). 3 ) = c f x).... Για n =,,,... υπολογισε την n-στης ταξης παραγωγο f n) x) οταν f x) =. x Λυση. Εχουµε ) = ) x x, = x ) = ) ) x x, = = 6 3 x x 3 x. 4 Τα παραπανω µας δινουν την ιδεα οτι f n) n! x) = ) n x. n+ Εχουµε ηδη δει οτι ο τυπος ισχυει για n =,,, 3. Ας υποθεσουµε οτι ισχυει για n =,,..., k. Τοτε f k+) x) = f k) x) ) ) k! ) = ) k = ) k k! x k+ x k+ = ) k k! k + ) k+ k + )! = ) x k+ x k+ και αρα η υποθεση επαληθευεται.

41 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ Υπολογισε το διαφορικο της f x) = x 3 ϐασει του ορισµου. Λυση df = f x) = 3x...4. Βρες προσεγγιστικα την τιµη 4. χρησιµοποιωνατς το διαφορικο. Λυση Παιρνουµε x = 4, x + x = 4. και αρα x =., οποτε 4. = = + = Η πραγµατικη τιµη ειναι 4. = Το σχετικο σφαλµα ειναι = δηλ. δυο ταξεις µεγεθους µικροτερο απο το σφαλµα στον υπολογισµο της 4.. Αυτο δειχνει οτι οσο µικροτερο γινεται το x, τοσο καλυτερη ειναι η προσεγγιση µε διαφορικο...5. Βρες την y αν x + y ) x = y. Λυση Εχουµε x + yy ) x + x + y ) x = yy y yx y) = x 3 x + y ) x y = x 3 + x x + y ) = x x + y ) y x ) y x )...6. Βρες την y 3) αν 3 x + y ) = xy. Λυση Λυνοντας οπως και στην προηγουµενη παιρνουµε y = 5y 3x x + y ) 5x + 3y x + y )..7) Εδω Ϲητειται η τιµη y 3). ηλ. στην.7) ϑα ϑεσουµε x = 3. Ποια ειναι οµως η τιµη y 3); Στην αρχικη 3 x + y ) = xy ϑετουµε x = 3 και παιρνουµε y ) = 3 y και λυνουµε ως προς y. Μια λυση ειναι y =. Οποτε στο σηµειο 3, ) εχουµε y 3) = ) ) = )..7. Βρες την y αν x + y = 5. Λυση. Οπως και στις προηγουµενες ασκησεις, εδω εχουµε x + yy = y = x y. Παραγωγιζουµε και παλι και παιρνουµε y = d ) x = x) y xy = y xy = y x ) x y = x + y. y y y y y 3

42 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ Βρες τα διαστηµατα στα οποια η f x) = x 3x + 4 ειναι αυξουσα και ϕθινουσα. Λυση. Εχουµε f x) = x 3. Λυνοντας x 3 >, παιρνουµε ως συνολο λυσεων το A = 3, ) αρα η f x) ειναι γνησιως αυξουσα στο A. Παροµοια, λυνοντας x 3 <, παιρνουµε ως συνολο λυσεων το B = ), 3 αρα η f x) ειναι γνησιως ϕθινουσα στο A...9. Βρες τα διαστηµατα στα οποια η f x) = x ειναι αυξουσα και ϕθινουσα. x Λυση. Εχουµε f x) =. Αρα f x) < για καθε x A =, ), ) και η f x) ειναι x ) γνησιως ϕθινουσα στο A.... Βρες τα διαστηµατα κυρτοτητας και κοιλοτητας της f x) = x 3 6x + 3x +. Λυση. Εχουµε f x) = 6x. Αρα η f x) ειναι κοιλη στο, ) και κυρτη στο, ).... Βρες τα διαστηµατα κυρτοτητας και κοιλοτητας της f x) = x. x Λυση. Εχουµε f x) =. Αρα η f x) ειναι κοιλη στο, ) και κυρτη στο, ). x ) 3... Αποδειξε το Θεωρηµα του Rolle: αν α) η f x) ειναι συνεχης στο [a, b], ϐ) παραγωγισιµη στο a, b) και γ) f a) = f b) =, τοτε υπαρχει x a, b) τετοιο ωστε f x ) =. Λυση. Αν η f x) ισουται µε στο a, b), τοτε f x) = για καθε x a, b). Εστω λοιπον οτι υπαρχουν σηµεια x τετοια ωστε f x). Εστω π.χ. οτι υπαρχουν σηµεια x τετοια ωστε f x) >. Επειδη η f x) ειναι συνεχης, ϑα υπαρχει x στο οποιο η f x) εχει µεγιστη τιµη f x ) > και αυτη ϑα ειναι και τοπικο µεγιστο γιατι ;) αρα f x ) =. Με οµοιο συλογισµο, αν υπαρχουν σηµεια x τετοια ωστε f x) <, τοτε σε καποιο σηµειο x ϑα εχουµε f x ) =. Σε καθε περιπτωση ειτε µε f x) < ειτε µε f x) > ) υπαρχει x a, b) τετοιο ωστε f x ) =...3. Αποδειξε το Θεωρηµα Μεσης Τιµης. Λυση. Εφαρµοζουµε το Θεωρηµα Rolle στην συναρτηση h x) = f x) b a) x f b) f a)) + f b) a bf a)...4. Αποδειξε οτι : αν στο [a, b] ισχυει f x) =, τοτε η f x) ειναι η σταθερη συναρτηση f x) = c στο [a, b] ). Λυση. Παιρνουµε τυχον x a, b) και εφαρµοζουµε το Θεωρηµα Μεσης Τιµης f x) στο [a, x ]. Θα εχουµε καποιο x τετοιο ωστε f x ) f a) x a = f x ) = [ x a, b) : f x ) = f a)]. ηλ. f x) = f a) στο τυχον [a, x ]. Με τον ιδιο τροπο δειχνουµε οτι f x) = f b)...5. Αποδειξε : αν η f x) ειναι παραγωγισιµη στο x a, b) και εχει τοπικο µεγιστο ή τοπικο ελαχιστο στο x a, b), τοτε f x ) =. Λυση. ουλευουµε µεµ την ϐοηθητικη συναρτηση f x) = { f x) f x ) x x οταν x x f. x ) οταν x = x Προφανως lim x x f x) = f x ) = f x ) και αρα η f x) ειναι συνεχης στο x. Ας υποθεσουµε οτι f x ) = f x ) >. Τοτε, λογω τη σσυνεχειας, υπαρχει δ τετοιο ωστε x [x δ, x + δ] f x) = f x) f x ) x x >

43 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 37 το οποιο αντικειται στην υποθεση οτι η f x) εχει ειτε τοπικο µεγιστο ειτε τοπικο ελαχιστο στο x. Παροµοια διαπιστωνουµε οτι δεν µπορουµε να εχουµε f x ) = f x) <. Οποτε ϑα εχουµε f x ) = f x ) =...6. Βρες τα τοπικα µεγιστα και ελαχιστα της f x) = x 4 3x x 3 6x =. Λυση. Σε καθε τοπικο µεγιστο ή ελαχιστο ϑα εχουµε f x) = 4x 3 6x = οποτε εχουµε τρια στασιµα σηµεια υποψηφια για τοπικο ακροτατο) τα x = 6, x = και x 3 = 6. Εχουµε επισης f x) = x 6. Τωρα, f x ) = f x 3 ) = >, αρα στα x, x 3 εχουµε τοπικο ελαχιστο. Επισης f x ) = 6 <, αρα στο x εχουµε τοπικο µεγιστο...7. Βρες τα τοπικα µεγιστα και ελαχιστα της f x) = x3 +x. x Λυση. Σε καθε τοπικο µεγιστο ή ελαχιστο ϑα εχουµε f x) = x x 3 = οποτε εχουµε δυο x ) στασιµα σηµεια τα x = 3, x =. Εχουµε επισης f 3x+3) x) = xx. Τωρα, f x x ) 3 ) = 3 >, 4 αρα στο x εχουµε τοπικο ελαχιστο. Επειδη f x ) =, δεν µπορουµε να ξερουµε αν στο x εχουµε µεγιστο ή ελαχιστο ή κανενα εκ των δυο). x..8. Βρες τα ορια α) lim 4 x x, ϐ) lim x+x x. x+x 8 Λυση. Χρησιµοποιουµε τον κανονα L Hospital. Εχουµε lim x x + x = lim 4x 3 x + x =. x lim x x + x = lim 8 x + 8x = Αποδειξε οτι : αν η f x) ειναι δις παραγωγισιµη και κοιλη, τοτε Λυση. Ας υποθεσουµε οτι x < y. Τοτε x 4 x, y R : f y) y x) f y) f x). z x, y) : f z) = Αφου η f x) ειναι κοιλη, η f x) ειναι ϕθινουσα. Οποτε f y) f x). y x z < y f z) f y) και f f y) f x) y) y x που δινει το Ϲητουµενο. Η περιπτωση y < x αποδεικνυεται παροµοια...3. Αποδειξε οτι : αν η f x) ειναι δις παραγωγισιµη, κοιλη και ϕραγµενη, τοτε η f x) ειναι σταθερη. Λυση. Εστω οτι για καποιο y R εχουµε f y) >. Τοτε, απο το προηγουµενο προβληµα : x, y R : f y) y x) f y) f x) x, y R : f x) f y) f y) y x) y R : lim f x) lim f y) f y) y x) ) = x x Αλλα αν lim x f x) = η f x) δεν ειναι ϕραγµενη και οδηγηθηκαµε σε ατοπο. Με αναλογο τροπο δειχνουµε οτι η υποθεση οτι y : f y) < ) οδηγει σε ατοπο. Αρα y R : f y) = ) y R : f y) = c ).

44 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 38.3 Αλυτα Προβληµατα.3.. Υπολογισε την παραγωγο της f x) = x 3 ϐασει του ορισµου. Απ. 3x..3.. Υπολογισε την παραγωγο της f x) = x ϐασει του ορισµου. Απ. x+ x+) Αποδειξε, ϐασει του ορσιµου, οτι η f x) = x 3 x δεν ειναι παραγωγισιµη στο x = Σωστο η λαθοσ: αν οι f x), g x) δεν ειναι παραγωγισιµες στο x, η f x) g x) επισης δεν ειναι παραγωγισιµη στο x. ωσε παραδειγµα. Απ. Λαθος παρε f x) = g x) = x, x = Αποδειξε ϐασει του ορισµου οτι η σταθερη συναρτηση f x) = c εχει f x) = Υπολογισε τις παραγωγους.. x ). Απ. x 9.. x 3 4x + ). Απ. 3x x 3 4x+ x + x 7 ). x Απ. x 3 +4x ). Απ. x 7x x 7). ) x 3. + Απ. 3 3 x + x + x+ x x +x+) x 3 x 3. x. x3 + ). Απ. 3 x ). Απ. ) 3. 3x x + ) x x + x++ x + x x + x+ ). Απ. x5 +x 4 +x 3 +5x +x+. x +x 3 ).3.7. Υπολογισε τις δευτερες παραγωγους. x ). Απ. 9x 8... x 3 4x + ). 6x x 3 4x+ x + x 7 ). x Απ. 4x 3) ). Απ x +). Απ. x 7) 3. x x +) x ) x x Αποδειξε οτι για καθε n Q ισχυει x n ) = nx n.

45 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ Υπολογισε, για καθε n N, την n-στη παραγωγο της f x) = Απ. n! x) n+)..3.. Βρες τα σηµεια στα οποια η f x) = x 3/5 δεν ειναι παραγωγισιµη και δωσε µια γεωµετρικη ερµηνεια. Απ. x =..3.. Εστω y x) = x και x y) = y. Αποδειξε οτι dy =. dy.3.. Εστω y x) = x+ x y+ dy και x y) =. Αποδειξε οτι =. y dy.3.3. Βρες προσεγγιστικα τις παρακατω τιµες χρησιµοποιωντας το διαφορικο... Απ Απ cos 3 o ). Απ. cos 3 o ) Απ Βρες την y για τις παρακατω πεπλεγµενες συναρτησεις.. x + y = 6. Απ. x/y.. x / + y / = 9. Απ. y/x. 3. x 3 xy + y = 4. Απ. 4. x 3 y 3 y = x. Απ. y 3x. y x 3x y 3. 3x 3 y 5. x 3 x y + 3xy = 38. Απ. 4xy 3x 3y. x 3y x).3.5. Βρες την y για τις παρακατω πεπλεγµενες συναρτησεις.. x + xy = 5. Απ. /x 3.. x y = 6. Απ. 6/y y = x 3. Απ. 3x/4y Βρες τα διαστηµατα στα οποια η f x) ειναι αυξουσα και ϕθινουσα.. f x) = x ) x + ).. f x) = x 3 x. x. 3. f x) = 8 x x f x) = x 3x ).

46 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ Βρες τα διαστηµατα κυρτοτητας και κοιλοτητας της f x).. f x) = x 3 6x + x.. f x) = x + ) f x) = 3 x Βρες τα τοπικα µεγιστα και ελαχιστα της f x).. f x) = 4x x.. f x) = x 3) x. 3. f x) = x x 6x f x) = x 3) x. 5. f x) = x )x 8) x Βρες τα ορια x. lim x 6 x. Απ.. x 4 +x 8 x. lim 4 x 6 x. Απ.. x 4 +x 8 x 3. lim 6 x 8 x. Απ.. x 4 +x.4 Προχωρηµενα Αλυτα Προβληµατα.4.. Αποδειξε οτι f x) g x)) = f x) g x) + f x) g x). f x) ).4.. Αποδειξε οτι = f x) g x)+f x) gx) οταν g x) ). g x) gx).4.3. Αποδειξε οτι f g x))) = f g x)) g x) Αποδειξε οτι f g x))) = df dg. dg.4.5. Αποδειξε οτι : αν g x) = f x) ειναι η αντιστροφη συναρτηση της f x), η f x) ειναι παραγωγισιµη στο f x ) και f f x ) ), τοτε η g x) ειναι παραγωγισιµη στο x και ισχυει g x ) = f f x )) Αποδειξε οτι : αν α) η συναρτηση f x) οριζεται στο a, b) και ϐ) στο x a, b) εχουµε < f x ) R, τοτε υπαρχει δ > τετοιο ωστε για καθε x [x δ, x + δ] ισχυουν α) x < x f x) < f x ) και ϐ) x < x f x ) < f x).

47 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ Αποδειξε οτι :.4.8. Αποδειξε το Θεωρηµα του Cauchy Αποδειξε τον κανονα του L Hospital. x [a, b] : f x) = ) x [a, b] : f x) = c)..4.. Εστω οτι η f x) ειναι δις παραγωγισιµη στο a, b). Αποδειξε οτι :. αν f x ) = και f x ) >, η f x) εχει τοπικο ελαχιστο στο x. αν f x ) = και f x ) <, η f x) εχει τοπικο µεγιστο στο x..4.. Αποδειξε οτι : αν η f x) ειναι δις παραγωγισιµη στο a, b) τοτε :. Η f x) ειναι κυρτη στο a, b) ανν f x) για καθε x a, b).. Η f x) ειναι κοιλη στο a, b) ανν f x) για καθε x a, b)..4.. Βρες µια συναρτηση f x) η οποια ειναι συνεχης αλλα οχι παραγωγισιµη στο x = Βρες µια συναρτηση f x) η οποια ειναι παραγωγισιµη στο x = αλλα η f x) δεν ειναι συνεχης Εστω f x) = x n. Αποδειξε οτι f ) + f ) a + f ) a f n) ) n = + a) n.!!! n!.4.5. Εστω f x) συναρτηση συνεχης στο [a, b] και παραγωγισιµη στο a, b). Αποδειξε οτι υπαρχει x a, b) τετοιο ωστε af b) bf a) a b = f x ) x f x ) Εστω f x), g x) συναρτησεις συνεχεις στο [a, b] και παραγωγισιµες στο a, b). Εστω επισης οτι οι g x), g x) δεν µηδενιζονται στο a, b) και f a) = f b) ga) gb). Αποδειξε οτι υπαρχει x a, b) τετοιο ωστε f x ) g x ) = f x ) g x ). ωσε γεωµετρικη ερµηνεια Λεµε οτι η f x) ικανοποιει την συνθηκη Lipschitz k ταξης στο x ανν υπαρχουν M, ε τετοια ωστε x x < ε f x) f x ) < M x x k. Εστω f x) η οποια ικανοποιει την συνθηκη Lipschitz k ταξης στο x. ειξε οτι :. αν k > τοτε η f x) ειναι συνεχης στο x.

48 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 4. αν k > τοτε η f x) ειναι παραγωγισιµη στο x Οριζουµε την συναρτηση { οταν x = m f x) = Q n 3 n οταν x R Q. Αποδειξε οτι : η f x) ειναι παραγωγισιµη σε καθε x = k και το k δεν ειναι τετραγωνο ακεραιου Οριζουµε την συναρτηση { e x f x) = οταν x οταν x =. ειξε οτι η f x) εχει παραγωγους ολων το ταξεων για καθε x R)..4.. Εστω συναρτηση f x) η οποια. Ειναι συνεχης στο [a, b] και για καθε x [a, b] ισχυει a f x) b.. Ειναι παραγωγισιµη στο a, b) και για καθε x a, b) ισχυει f x) k <. ειξε οτι υπαρχει ακριβως ενα σηµειο x [a, b] τετοιο ωστε f x ) = x..4.. Εστω παραγωγισιµη συναρτηση f : R R η οποια ικανοποιει x ) f x) = f + f x) x. Αποδειξε οτι f x) = ax + b..4.. Αποδειξε οτι δεν υπαρχει πολυωνυµο π x) τετοιο ωστε x : π x) > π x) και x : π x) > π x) Για καθε ενα απο τους παρακατω ισχυρισµους : αν ειναι σωστος αποδειξε τον αν ειναι λαθος δωσε αντιπαραδειγµα.. Αν η f x) δεν ειναι παραγωγισιµη στο x, τοτε η f x)) δεν ειναι παραγωγισιµη στο x.. Αν η f x)) δεν ειναι παραγωγισιµη στο x, τοτε η f x) δεν ειναι παραγωγισιµη στο x. 3. Αν η f x) δεν ειναι παραγωγισιµη στο x, τοτε και η f x) δεν ειναι παραγωγισιµη στο x. 4. Αν η f x) ειναι απειρα παραγωγισιµη στο R και ικανοποιει = f x ) = f x ) = f x ) =... τοτε η f x) = για καθε x R. 5. Αν η f x) + g x) ειναι παραγωγισιµη στο x τοτε οι f x), g x) ειναι παραγωγισιµες στο x. 6. Αν η f x) g x) και η f x) ειναι παραγωγισιµες στο x τοτε η g x) ειναι επισης παραγωγισιµη στο x.

49 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ Υπαρχει συναρτηση η οποια ειναι παραγωγισιµη ακριβως σε ενα σηµειο του πεδιου ορισµου της. 8. Αν η f x) ειναι παραγωγισιµη στο x τοτε ειναι συνεχης σε καποιο διαστηµα x δ, x + δ). 9. Αν η f x) ειναι συνεχης στο [a, b] και παραγωγισιµη στο a, b), τοτε υπαρχει x a, b) τετοιο ωστε f f b) f a) x ) = b a.. Αν η f x) ειναι παραγωγισιµη στο a, b) και η f x) δεν ειναι ϕραγµενη στο a, b), τοτε η f x) δεν ειναι ϕραγµενη στο a, b).. Εστω συνολο A και f x) τετοια ωστε f x) = για καθε x A τοτε η f x) ειναι σταθερη στο A.. Για καθε x a, b), οι συναρτησεις f x), g x) ειναι διαφορισιµες και ικανοποιουν f x) < g x). 3. Αν f x ) =, τοτε η f x) δεν ειναι ουτε αυξουσα ουτε ϕθινουσα στο x. 4. Αν για καθε x a, b) ισχυει f x) >, τοτε η f x) ειναι αυξουσα για καθε x a, b). 5. Αν η f x) g x) δεν ειναι παραγωγισιµη στο x, τοτε και η f x) δεν ειναι παραγωγισιµη στο x. 6. Αν οι f x) και g x) δεν ειναι παραγωγισιµες στο x, τοτε και η f x) g x) δεν ειναι παραγωγισιµη στο x. 7. Αν η f x ) > τοτε η f x) ειναι αυξουσα σε καποιο διαστηµα x δ, x + δ). 8. Αν η f x) εχει τοπικο ακροτατο στο x και ειναι δις παραγωγισιµη, τοτε f x ). 9. Αν η f x) ειναι αυστηρα αυξουσα στο a, b), τοτε f x) > για καθε x a, b). Αν ειναι σωστο αποδειξε το αν ειναι λαθος δωσε αντιπαραδειγµα.. Αν f x) > για καθε x a, b) και τα κ, λ ικανοποιουν κ, λ, κ + λ =, τοτε για καθε x, x a, b) ισχυει f κx + λx ) > κf x ) + λf x ).

50 Κεφάλαιο 3 Λογαριθµικες και Εκθετικες Συναρτησεις Στο παρον κεφαλαιο οριζουµε µια εκθετικη συναρτηση χρησιµοποιωντας απειρα αθροισµατα και µια λογαριθµικη ως αντιστροφη της εκθετικης. Κατοπιν αποδεικνυουµε διαφορες ιδιοτητες αυτων των συµαρτησεων και εν τελει καταληγουµε στο συµπερασµα οτι αυτες ειναι οι κλασικες εκθετικη και λογαριθµικη συναρτηση οι οποιες µας ειναι γνωστες απο το Λυκειο. Η εκθετικη συναρτηση ειναι ισως η πιο σηµαντικη συναρτηση στα µαθηµατικα. 3. Θεωρια και Παραδειγµατα 3... Ορισµος : Για καθε x R οριζουµε τα εξης αθροισµατα N x n E N x) = n! = + x + x! x N N!. n= 3.) N x n E x) = lim E N x) = lim N n! = + x + x +...! 3.) N n= 3... Παρατηρηση: Για να ειναι ο ορισµος αυστηρος, πρεπει να αποδειξουµε οτι, για καθε x R, το οριο της 3.) υπαρχει. Προς το παρον ϑα παραλειψουµε αυτη την αποδειξη στο Κεφαλαιο ϑα αποδειξουµε οτι το οριο υπαρχει και µαλιστα για καθε x C. Επιπλεον ϑα αποδειξουµε οτι de x) N ) d x n x R : = lim. 3.3) N n! Θεωρηµα. Για καθε x R ισχυει οτι Επιπλεον Αποδειξη. Απο την 3.3) παιρνουµε de x) N ) d x n N = lim = lim N n! N n= de x) n= n= = E x). 3.4) E ) =. 3.5) nx n n! = lim N N n= x n n )! = lim N N n= x n n! = E x). 44

51 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΕΣ ΚΑΙ ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 45 Ετσι εχουµε αποδειξει την 3.4). Η 3.5) προκυπτει απο την αντικατασταση x = στην 3.) Θεωρηµα. Η E x) ειναι η µοναδικη συναρτηση η οποια ικανοποιει E ) =, Αποδειξη. Εστω δυο συναρτησεις E x) και E x) τετοιες ωστε Με αφαιρεση κατα µεληη λαµβανουµε x : και, ϑετοντας x =, λαµβανουµε d x : de = E x). 3.6) E ) =, x : de = E x), E ) =, x : de = E x). E x) E x)) = x : E x) E x) = c E ) E ) = c = = c. Οποτε E x) = E x). ηλαδη ολες οι συναρτησεις οι οποιες ικανοποιουν την 3.6) ειναι ταυτοσηµες Θεωρηµα. Η E x) ειναι συνεχης και παραγωγισιµη στο R. Αποδειξη. Αφου για καθε x R α) η E x) ειναι καλως ορισµενη και ϐ) de = E x), η E x) ειναι παραγωγισιµη και αρα και συνεχης για καθε x R) Θεωρηµα. Για καθε x R, η E x) ειναι γνησιως αυξουσα και κυρτη. Αποδειξη. Εστω x > x. Εχουµε E x ) E x ) = lim N N n= x n n! lim Για καθε N, το xn xn ειναι ϑετικο. Αρα n! N N n= x n n! = lim N n= N x n x n = lim n! N n= N x n x n. n! N x n x n > x x > E x ) E x ) = lim n!! n= N n= N x n x n x x >. n! Ετσι αποδειξαµε οτι η E x) ειναι γνησιως αυξουσα. Για να αποδειξουµε οτι ειναι κυρτη, παρατηρουµε οτι : αφου η E x) ειναι παραγωγισιµη και γνησιως αυξουσα στο R ϑα εχουµε x R : E x) = de > x R : d E = d de ) = de = E x) > Θεωρηµα. Η E x) εχει πεδιο ορισµου το R και πεδιο τιµων το, ).

52 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΕΣ ΚΑΙ ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 46 Αποδειξη. Η E x) εχει πεδιο ορισµου το R εκ του ορισµου της. Επισης, αφου η E x) ειναι παραγωγισιµη και γνησιως αυξουσα στο R ϑα εχουµε x R : E x) = de >. Τωρα ϑα δειξουµε οτι : για καθε M > υπαρχει x M τετοιο ωστε E x M ) > M τοτε εκ της συνεχειας της E x)) υπαρχει και x M τετοιο ωστε E x M ) = M το οποιο σηµαινει οτι το πεδιο τιµων της E x) ειναι το, ). Πραγµατι, ϑετοντας x M = M, ϐλεπουµε οτι E x M ) = E M) = + M + M +... > M.! Ασκηση: Κανε την γραφικη παρασταση της E x). Λυση. Γνωριζουµε οτι το πεδιο ορισµου της E x) ειναι το, ) και το πεδιο τιµων ειναι το, ). Επισης γνωριζουµε οτι E ) = και οτι E ) > γιατι ;). Τελος, γνωριζουµε οτι η E x) ειναι συνεχης, γνησιως αυξουσα και κυρτη. Με αυτα τα στοιχεια µπορουµε να κατασκευασουµε την γραφικη παρασταση του Σχηµατος 3.. [πτβ] Σχήµα 3.: Η εκθετικη συναρτηση Ex) Θεωρηµα : Η E x) εχει αντιστροφη συναρτηση, την οποια ονοµαζουµε L x). Αυτη εχει πεδιο ορισµου το, ) και πεδιο τιµων το R. Αποδειξη. Αφου η E x) ειναι γνησιως αυξουσα, και αρα -προς-, εχει αντιστροφη συναρτηση, η οπια εχει πεδιο ορισµου το πεδιο τιµων της E x) δηλ. το, )) και πεδιο τιµων το πεδιο ορισµου της E x) δηλ. το R) Ασκηση: Υπολογισε τα L E x)) = E L x)). Λυση. Αφου η E x) ειναι η αντιστροφη της L x), εχουµε L E x)) = E L x)) = x Θεωρηµα : Η L x) ειναι η µοναδικη συναρτηση η οποια ικανοποιει τα εξης : L ) =, x, ) : dl = x. 3.7)

53 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΕΣ ΚΑΙ ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 47 Αποδειξη. Αφου η L x) ειναι η αντιστροφη της E x) ϑα εχουµε E ) = L ) =. Εστω τυχον y, ) και x τετοιο ωστε y = E x) εξηγησε γιατι το x υπαρχει και ειναι µοναδικο). Απο το ϑεωρηµα για την παραγωγο αντιστροφης συναρτησης εχουµε : E x) = E x) = L E x)) y = L y) L y) = y. Ετσι εχουµε αποδειξει οτι η L x) ικανοποιει την 3.7). Αρα ειναι παραγωγισιµη και συνεχης στο, ). Τωρα η µοναδικοτητα της L x) µπορει να αποδειχθει παροµοια µε αυτη της E x) κανε το!) Θεωρηµα : Για καθε x, ) η L x) ειναι συνεχης, γνησιως αυξουσα και κοιλη. Αποδειξη. Για καθε x, ) η L x) εχει καλως ορισµενη παραγωγο L x) =, αρα ειναι και x συνεχης στο, ) επισης L x) = >, αρα η L x) ειναι γνησιως αυξουσα τελος, x L x) =, x το οποιο ειναι αρνητικο για καθε x, ) Θεωρηµα : Η εξισωση L x) = εχει µοναδικη ϱιζα, την οποια ϑα συµβολιζουµε µε e. Αποδειξη. Επειδη η L x) εχει πεδιο τιµων το, ), υπαρχει x τετοιο ωστε L x ) =. Αφου δε η L x) ειναι γνησιως αυξουσα, το x ειναι µοναδικο Ασκηση: Κανε την γραφικη παρασταση της L x). Λυση. Γνωριζουµε οτι το πεδιο ορισµου της L x) ειναι το, ) και το πεδιο τιµων ειναι το, ). Επισης γνωριζουµε οτι L ) = και οτι υπαρχει αριθµος e > γιατι ;) τετοιος ωστε L e) =. Τελος, γνωριζουµε οτι η L x) ειναι συνεχης, γνησιως αυξουσα και κοιλη. Με αυτα τα στοιχεια µπορουµε να κατασκευασουµε την γραφικη παρασταση του Σχηµατος 3.. Σχήµα 3.: Η λογαριθµικη συναρτηση Lx) Θεωρηµα : Για καθε x, y, ) και a R εχουµε. L x) + L y) = L xy). ). L x = L x).

54 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΕΣ ΚΑΙ ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ L x a ) = al x). Αποδειξη. Θεωρουµε προς στιγµη το y σταθερο. Τοτε και Με αλλα λογια οποτε Παιρνοντας τωρα y = εχουµε οποτε Επισης εχουµε Τελος εχουµε οποτε και ϑετοντας a = ϐλεπουµε οτι c =. d d L xy)) = xy xy) = xy y = x L x) + L y)) = d L x)) + d L y)) = x +. d L x) + L y)) = d L xy)) L x) + L y) = L xy) + c. L x) + L ) = L x) + c = L ) = c L x) + L y) = L xy). ) L x) + L = L x ) = L ) = L /x) = L x). x x L x a )) = x a x a ) = x a ax a = a x = al x), L x a ) = al x) + c Θεωρηµα : Για καθε x, y, ) εχουµε. E x) E y) = E x + y).. E x)) y = E x y). Αποδειξη. Αφου L x) = E x), εχουµε L E x + y)) = x + y. Επισης ηλ. L E x + y)) = L E x) E y)). Οποτε L E x) E y)) = L E x)) + L E y)) = x + y. E [L E x + y))] = E [L E x) E y))] E x + y) = E x) E y). Εχουµε L [ E x)) y] = yl [E x)] = yx και L [E x y)] = xy. Οποτε E x)) y = E x y) Θεωρηµα : Για καθε x, ) εχουµε E x) = e x δηλ. τον αριθµο e υψωµενο στην δυναµη x).

55 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΕΣ ΚΑΙ ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 49 Αποδειξη. Θα δειξουµε επαγωγικα οτι n N : E n) = e n. 3.8) Για n = η 3.8) γινεται οτι E ) = e =, το οποιο ισχυει. Εστω οτι η 3.8) ισχυει για n {,,,..., k}. Τοτε E k) = e k E k + ) = E k) E ) = e k e = e k+ και η αποδειξη ειναι πληρης για το συνολο N. Για την επεκταση στο R απαιτειται περισσοτερη εργασια Παρατηρηση : Ειναι χρησιµο να κανουµε στο σηµειο αυτο µια ανακεφαλαιωση. Ε- χουµε ορισει µια συναρτηση E x) δια µεσου µιας απειρης σειρας και µια συναρτηση L x) ως αντιστροφη της E x). Αοδειξαµε διαφορες ιδιοτητες των E x) και L x), οι οποιες ειναι ακριβως µε τις ιδιοτητες της εκθετικης και λογαριθµικης συναρτησης τις οποιες διδαχτηκες στο Λυκειο. Προκειται λοιπον για τις ιδιες συναρτησεις και δικαιουµαστε πλεον να συµβολιζουµε την E x) ως e x, την L x) ως ln x. Αυτες εχουν τις εξης ϐασικες ιδιοτητες εδω απλα ξαναγραφουµε τα Θεωρηµατα 3..5 και 3..6 µε τον νεο συµβολισµο): e x+y ln xy = ln x + ln y e x ) y = e xy ln x a ) = a ln x Ασκηση: Υπολογισε την παραγωγο των. f x) = e x +3x,. f x) = x ln x 3), 3. f x) = ln x 3 x + ), 4. f x) = e x x 3 + ln x ). Λυση. Εχουµε d ) e x +3x = d e h) d x + 3x) = e x +3x x + 3), dh d e x x 3 + ln x)) = ex x 3 + ln x) + ex 6x + ) = x ln x + 6x 3 + x 4 + e x, x x d x ln x 3)) = d 3x ln x) ) = 3x ) ln x + 3x ln x) = 6x ln x + 3x = 3x ln x + ), x d e x x )) 3 + ln ) x = x ex x ln x + 6x 3 + x 4 +.

56 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΕΣ ΚΑΙ ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Ασκηση: Υπολογισε το e και το e. Λυση. Θα υπολογισουµε τα e, e προσεγγιστικα. Θετουµε στην ;;) x = και λαµβανουµε e = lim + + n! + 3! ) = n! n!. 3.9) Στον παρακατω πινακα ϕαινεται η προσεγγιστικη τιµη του e για διαφορες τιµες του n. N N n= n! Φαινεται λοιπον οτι το N n= τεινει σε καποια τιµη e.7... προσεξτε οτι το N n! n= ειναι n! αυξουσα συναρτηση του N γιατι ;). Για να υπολογισουµε το e µπορουµε να ϑεσουµε στην ;;) x = οποτε λαµβανουµε ) e = lim + + n! + 3 n n = 3! n! n!. Στον παρακατω πινακα ϕαινεται η προσεγγιστικη τιµη του e για διαφορες τιµες του n. N n n= n! Φαινεται λοιπον οτι το N n n= n! τεινει σε καποια τιµη e Εναλλακτικα, e.7) = Ποια απο τις δυο προσεγγισεις ειναι καλυτερη. Γιατι ; Μπορειτε να ϐρειτε µια ακοµη καλυτερη προσεγγιση ; 3... Θεωρηµα : lim x + x ) x = e. Αποδειξη. Το Ϲητουµενο ειναι ισοδυναµο µε τα [ lim x ln + )] =, 3.) x x ln ) + x lim = 3.) x γιατι ;). Θα αποδειξουµε το 3.) µε τον κανονα L Hospital. Πραγµατι ln ) + x ln + z) lim = lim = lim z + [ln + z)] limz + +z x z + z lim z + [z] = lim z + =. x x 3... Υπολογισε προσεγγιστικα µε χρηση του διαφορικου) την ln.). Λυση. Ειναι ln x + x) ln x + ln x) x και ln.) = ln +.) ln +. =. n= n= Η ακριβης τιµη ειναι ln. =.83.

57 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΕΣ ΚΑΙ ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Βρες τα µεγιστα και ελαχιστα της συναρτησης x 4 e x. Λυση. Εχουµε f x) = d x 4 e x) = x 3 e x x ) = µε ϱιζες στασιµα σηµεια) x =, x =, x 3 =. Επισης εχουµε f x) = d x 4 e x) = ) e x x 9x + x οποτε f x ) = 4e ) <, f x ) =, f x 3 ) = 4e ) <. Αρα η f x) εχει τοπικα ελαχιστα στα x, x και δεν µπορουµε να πουµε τι συµβαινει στο x Κανε την γραφικη παρασταση της f x) = x + ln x ). Λυση. Η f x) ειναι ορισµενη και συνεχης για καθε x τετοιο ωστε x >, δηλ. στο A =, ), ). Εχουµε lim x + ln x )) =, x lim x + ln x )) =. x + Επισης f x) = x + ln )) x x = + x, f x) = x + ln )) x x + ) = x ). Θετοντας f x) = + x =, ϐλεπουµε οτι τα στασιµα σηµεια ειναι τα x x = A και x = + A. Αρα ϑα ασχοληθουµε µονο µε το x, οπου εχουµε f x ) = <, οποτε εχουµε τοπικο µεγιστο στο x, συγκεκριµενα f x ) =.84. Γενικοτερα, f x) < για καθε x A, οποτε η f x) ειναι κοιλη στο A. Με αυτα τα στοιχεια µπορουµε να κανουµε την γραφικη παρασταση του Σχηµατος 3.3. Σχήµα 3.3: Η γραφικη παρασταση της f x) = x + ln x ).

58 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΕΣ ΚΑΙ ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Κανε την γραφικη παρασταση της f x) = x e /x. Λυση. Η f x) f x) ειναι ορισµενη στο A =, ), ). Η f x) ειναι ϑετικη και συνεχης στο A. Επειδη lim x e /x = = lim x e /x, x x + το x = ειναι σηµειο ασυνεχειας. Εχουµε f x) = x e /x) = e x x ), f x) = x e /x) ) = x e x x x +. Θετοντας f x) = e x x ) =, ϐλεπουµε οτι το µοναδικο στασιµο σηµειο ειναι το x = και επειδη f x ) >, εχουµε τοπικο ελαχιστο στο x, συγκεκριµενα f x ) = e Γενικοτερα, f x) > για καθε x A γιατι ;) οποτε η f x) ειναι κυρτη στο A. Με αυτα τα στοιχεια µπορουµε να κανουµε την γραφικη παρασταση του Σχηµατος Λυµενα Προβληµατα Σχήµα 3.4: Η γραφικη παρασταση της f x) = x e /x Βρες µια συναρτηση f x) τετοια ωστε f x) = f x) Λυση. Ζητουµε µια συµαρτηση της οποιας η παραγωγος ειναι για καθε x) ιση µε το διπλασιο της αρχικης. Αυτη η συνθηκη µας ϑυµιζει την εκθετικη συναρτηση, για την οποια γνωριζουµε οτι εχει παραγωγο ιση µε την αεχικη. Πως µπορουµε να εισαγουµε τονσυντεκεστη ; Ισως αυτο ειναι δυνατον αν στην παραγωγιση της f x) υπεισερχεται µια αλυσιδωτη παραγωγιση. Οποτε σκεφτοµαστε να χρησιµοποιησουµε τηνν συναρτηση f x) = e x. Πραγµατι τοτε εχουµε e x) = e x x) = e x. Υπαρχουν αλλες συναρτησεις οι οποιες να εχουν την Ϲητουµενη ιδιοτητα ; 3... Αποδειξε οτι : Για καθε x, ) εχουµε e x > + x.

59 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΕΣ ΚΑΙ ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 53 Λυση. Προκυπτει αµεσα απο τον ορισµο e x = E x) = + x + x Αποδειξε οτι : Για καθε x, ), ) εχουµε x! < ln x < x. Λυση. Εαν x > και αφου η ln x ειναι παραγωγισιµη, απο το Θεωρηµα Μεσης Τιµης υπαρχει z, x) τετοιο ωστε > z = d ln x ln ln z = = ln x dz x x. Εαν x <, τοτε υπαρξει z x, ) τετοιο ωστε < z = d ln ln x ln z = = ln x dz x x. Ετσι εχουµε αποδειξει το ανω ϕραγµα του L x). Για το κατω ϕραγµα, ϑετουµε x = y το οποιο δινει το κατω ϕραγµα. ln x < x ln y < y ln y < y Υπολογισε την παραγωγο της f x) = ln x + x + ). Λυση. Εχουµε Υπολογισε το lim x lna+x) ln a ειναι ακριβως εκ του ορισµου) η ln x) υπολογι- lna+x) ln a Λυση. Παρατηρουµε οτι το lim x x σµενη στο x = a. Οποτε [ )] ln x x + + x + = x + x +. x χωρις χρηση του κανονα l Hospital. και εχουµε ln a + x) ln [ a d lim = x x ]x=a ln x)) = a Υπολογισε την παραγωγο της f x) = e x x + ). Λυση. Εχουµε e x x + )) = ex x + ) + ex x = e x x ) + x Υπολογισε την παραγωγο της f x) = e x 4x+5. Λυση. Εχουµε e x 4x+5 ) = x 4) e x 4x Υπολογισε την παραγωγο της f x) = a x.

60 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΕΣ ΚΑΙ ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 54 Λυση. Εχουµε a x = e ln ax = e x ln a και, ϑετοντας u = x ln a, a x ) = e ln ax) = e x ln a) = e u ) x ln a) = e u ) ln a = a x ln a Υπολογισε προσεγγιστικα µε χρηση του διαφορικου) την e.. Λυση. Ειναι e x+ x e x + e x ) x και e. = e +. e + e. = e +.)..78 = Η ακριβης τιµη ειναι e. = Υπολογισε προσεγγιστικα µε χρηση του διαφορικου) την ln.). Λυση. Ειναι ln x + x) ln x + ln x) x και Η ακριβης τιµη ειναι. ln. =.83. ln.) = ln +.) ln +. = Βρες τα µεγιστα και ελαχιστα της συναρτησης x 3 e x. Λυση. Εχουµε f x) = d x 3 e x) = x e x x 3) = 3 µε ϱιζες στασιµα σηµεια) x =, x 3 =, x 3 =. Επισης εχουµε οποτε f x) = d x 3 e x) = ) xe x x 4 7x + 3 f x ) >, f x ) =, f x 3 ) <. Αρα η f x) εχει τοπικο ελαχιστο στο x και τοπικο µεγιστο στο x 3. εν µπορουµε να αποφανθουµε για το x Κανε την γραφικη παρασταση της f x) = ln x) x. Λυση. Η f x) ειναι ορισµενη και συνεχης στο A =, ). Εχουµε Επισης lim ) ln x) x =, x + lim ) ln x) x =. x f x) = ln x) x ) = x x, f x) = ln x) x ) = x.

61 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΕΣ ΚΑΙ ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 55 Θετοντας f x) = x =, ϐλεπουµε οτι το µοναδικο στασιµο σηµει στο, ) ειναι το x x =. Εχουµε f x ) = <, οποτε εχουµε τοπικο ελαχιστο στο x, συγκεκριµενα f x ).846. Γενικοτερα, f x) < για καθε x, ), οποτε η f x) ειναι κοιλη στο, ). Με αυτα τα στοιχεια µπορουµε να κανουµε την γραφικη παρασταση του Σχηµατος 3.5. Σχήµα 3.5: Η γραφικη παρασταση της f x) = ln x) x Κανε την γραφικη παρασταση της f x) = x e x ). Λυση. Εχουµε Θετοντας f x) = x e x )) = xe x e x, f x) = x e /x) = e x x + ). f x) = xe x e x = e x = + x ϐλεπουµε οτι το µοναδικο στασιµο σηµειο ειναι το x = και επειδη f x ) <, εχουµε τοπικο µεγιστο στο x, συγκεκριµενα f x ) =. Γενικοτερα, f x) < για καθε x R, οποτε η f x) ειναι κοιλη στο R. Με αυτα τα στοιχεια µπορουµε να κανουµε την γραφικη παρασταση του Σχηµατος 3.6. Σχήµα 3.6: Η γραφικη παρασταση της f x) = x e x ).

62 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΕΣ ΚΑΙ ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Αλυτα Προβληµατα ειξε οτι lim x x) /x =. ln x ειξε οτι lim x e =. x e e Υπολογισε τα ορια. ln+x). lim x. Απ. 3 x ln 3. ) x.. lim x + x Απ.. 3. lim x + x ) x. Απ.. 4. lim x +3 x x +5) 8x +3. Απ. e ειξε οτι lim x + x) /x) = e χωρις να χρησιµοποιησεις τον κανονα l Hospital Υπολογισε το lim x + x ) 3x χωρις να χρησιµοποιησεις τον κανονα l Hospital Βρες τα σηµεια ασυνεχειας της f x) = e x/ x) Βρες τα σηµεια ασυνεχειας της f x) = / x) Υπολογισε την παραγωγο της f x).. f x) = e x x ) 3 + ). Απ. e x x 5 + 3x 4 + x. x x. f x) = ex. Απ. ex x x + x + ). x ) 3. f x) = e /x. Απ. x 3 e x. 4. f x) = ln x + ). Απ. x x f x) = 4 e x + 3 x +. Απ. 4 4 ex + 3 x + ex +3 x ln Υπολογισε την dy οταν e y/x + ln x = c. e x +3 x Υπολογισε τις dy, d y οταν x + y = e x y Υπολογισε την παραγωγο της f x) = 5 x. Λυση. 5 x ln Υπολογισε προσεγγιστικα µε χρηση του διαφορικου) την e.9. Απ Υπολογισε προσεγγιστικα µε χρηση του διαφορικου) την ln.9). Απ. = Εξετασε την µονοτονια της f x).. f x) = ln x.

63 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΕΣ ΚΑΙ ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 57. f x) = ln x ). 3. f x) = x ln x. 4. f x) = e x + 5x Βρες τα µεγιστα και ελαχιστα της f x).. f x) = x ) ln x.. f x) = x e x. 3. f x) = x 3 e x Εξετασε την κυρτοτητα / κοιλοτητα της f x).. f x) = ln x.. f x) = x e x. 3. f x) = ln x). x Κανε την γραφικη παρασταση της f x) = x ln x + ) Κανε την γραφικη παρασταση της f x) = x e 4x. 3.4 Προχωρηµενα Αλυτα Προβληµατα Αποδειξε οτι :. x : + x < e x.. x : + x + x < ex. 3. x : x x 4. x : x x < ln + x) < x. + x3 x4 3 4 < ln + x) < x x + x x < + x < e x < x. 6. x > x < +x e x < x. 7. x < e x x < x < e x. 8. x, y > e xy y x+y < + y) x < e x. 9. x > x x+ < ln + x) < x.x < x < ln x) < x x Αποδειξε οτι x [, / ] 3 x < ln x) < 3 x. Μπορεις να ϐελτιωσεις το ανω ϕραγµα ;

64 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΕΣ ΚΑΙ ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Αποδειξε οτι x, ) ln x ) ln + x) ln x ) Αποδειξε οτι :. lim x + x ) x = e.. lim x + x) /x = e. 3. lim n + n ) n = e χωρις να χρησιµοποιησεις τον κανονα l Hospital Κανε την γραφικη παρασταση της f x) = x ln x) Για ποιες τιµες της c εχει λυσεις η εξισωση ln x = cx ; Λυσε την εξισωση.. ln x 3 + ) ln x + x + ) = ln x + x = 3 x. 3. x = x Αποδειξε οτι x : f x) < f x) ) x : f x) < f ) e x ) Βρες µια συναρτηση f x)τετοια ωστε f x) = 3f x) και f ) = 5. Απ. 5e 3x Βρες δυο διαφορετικες συναρτησεις f x), f x) τετοιες ωστε f i x) = f i x). Απ. f x) = e x, f x) = 4e x Βρες δυο συναρτησεις f x), f x) τετοιες ωστε Απ. f x) = e x + e x, f x) = e x e x. f x) = f x) f x) = f x) Βρες δυο συναρτησεις f x), f x) τετοιες ωστε Απ. f x) = e x + e x, f x) = e x e x. f x) = f x) + f x) f x) = f x) f x) Βρες δυο συναρτησεις f x), f x) τετοιες ωστε f x) = f x) f x) = f x). Απ. f x) = e ix + e ix, f x) = e ix e ix.

65 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΕΣ ΚΑΙ ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Εστω συναρτηση f x) η οποια ικανοποιει α) x : f x) < k f και ϐ) f ) =. ειξε οτι x : f x) e kx Εστω λ, ) και r λ) η µοναδικη πραγµατικη λυση της εξισωσης x + ln x) = λ. Αποδειξε οτι r λ) ln λ lim =. λ λ Βρες την συναρτηση η οποια εχει την γραφικη παρασταση του Σχηµατος 3.7.a) Βρες την συναρτηση η οποια εχει την γραφικη παρασταση του Σχηµατος 3.7.b). Σχήµα 3.7: Βρες τις συναρτησεις Μαθηµατικη Ολυµπιαδα). Βρες ολες τις πραγµατικες ϱιζες της εξισωσης.. 4 x + 6 x = 5 x + 5 x.. 6 x + = 8 x 7 x.

66 Κεφάλαιο 4 Τριγωνοµετρικες Συναρτησεις Οι τριγωνοµετρικες ή κυκλικες συναρτησεις ειναι το ηµιτονο, το συνηµιτονο, η εφαπτοµενη, η συνεφαπτοµενη, η τεµνουσα και η συντεµνουσα. Οι ορισµοι και οι ιδιοτητες αυτων σου ειναι γνωστα απο το Λυκειο. Οµως τωρα ϑα ορισουµε το ηµιτνονο και το συνηµιτονο µεσω απειρων αθροισµατων οπως καναµε και για την εκθετικη συναρτηση) και ϑα δειξουµε οτι οι νεοι ορισµοι ειναι ισοδυναµοι µε τους παλαιους. 4. Θεωρια και Παραδειγµατα 4... Ορισµος: Οριζουµε στο, ) τις συναρτησεις C x) = x! + x 4 4! x 6 6! +... = ) n x n, 4.) n)! n= S x) = x x 3 3! + x 5 5! x 7 7! +... = ) n x n+ n + )!. 4.) 4... Παρατηρηση: Οπως και στο προηγουµενο κεφαλαιο, απαιτειται διερευνηση της ορθοτητας του Ορισµου 4.. και, συγκεκριµενα, της συγκλισης των απειρων αθροισµατων 4.)-4.). Αυτη η διερευνηση ϑα γινει στο Κεφαλαιο Θεωρηµα: Για καθε x R ισχυουν τα εξης : Αποδειξη. Απο τον ορισµο της e x εχουµε n= C x) = eix + e ix, S x) = eix e ix. i e ix = + ix + ix) + ix)3 + ix)4 + ix) )! 3! 4! 5! e ix = ix + ix)! + ix)3 3! + ix)4 4! + ix)5 5! ) 6

67 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 6 τα οποια δινουν e ix = + ix x! ix 3 3! + x 4 4! + ix 5 5! +... e ix = ix x! + x 3 3! + x 4 4! ix 5 5! +... Προσθετοντας κατα µελη παιρνουµε e ix + e ix = x! + x ) 4 4!... C x) = eix + e ix και αφαιρωντας κατ µελη παιρνουµε e ix e ix = i x x 3 3! + x ) 5 5!... S x) = eix e ix Παρατηρηση: Εχουµε ορισει e x = + x + x )! για πραγµατικα x R. Παρολα αυτα, εαν ϑεσουµε στην 4.5) στην ϑεση του x το ix παιρνουµε την 4.3) και εαν ϑεσουµε ix παιρνουµε την 4.4) και οι εκφρασεις τα ορια) αυτες ειναι καλως ορισµενες, αφου εχουµε υποθεσει την συγκλιση των απειρων αθροισµατων. Οποτε µπορουµε να ϑεωρησουµε τις 4.5) και 4.3) ως ορισµους των e ix και e ix αντιστοιχα για x R) Θεωρηµα: Για καθε x R ισχυουν C x) = Re e ix ) το πραγµατικο µερος της e ix ) S x) = Im e ix ) το ϕανταστικο µερος της e ix ). Αποδειξη. Στο προηγουµενο εχουµε δει οτι e ix = + ix x! ix 3 3! + x 4 4! + ix 5 5! +... e ix = ix x! + x 3 3! + x 4 4! ix 5 5! +... = + ix x! ix 3 3! + x 4 4! + ix = eix 5! οπου a + ib = a ib). Ξερουµε οτι για καθε µιγαδικο αριθµο z = a + ib ισχυει z + z z z = Re z), = Im z). i Οποτε εχουµε C x) = eix + e ix = Re e ix ), S x) = eix e ix = Im e ix ). i

68 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Θεωρηµα: Για καθε x R ισχυει Αποδειξη. Εχουµε e ix = Re e ix ) + i Im e ix ) = cos x + i sin x Θεωρηµα: Η C x) ικανοποιει τις και η S x) ικανοποιει τις e ix = C x) + is x) 4.6) C x) + C x) =, C ) =, C ) = 4.7) S x) + S x) =, S ) =, S ) =. 4.8) Αποδειξη. Με παραγωγιση του αθροισµατος της C x) παιρνουµε C x) = x! + x 4 4! x ! 4.9) C x) = x x 3 3! + x ! 4.) C x) = x! + x 4... = C x). 4! 4.) Επισης, ϑετοντας x = στην 4.9) παιρνουµε C ) = και ϑετοντας x = στην 4.) παιρνουµε C ) =. Οποτε εχουµε αποδειξει την 4.7). Η 4.8) αποδεικνυεται παροµοια. Τι αλλο παρατηρειτε για την C x); Αποδειξτε το αντιστοιχο για την S x) Θεωρηµα: Για καθε x R ισχυει Αποδειξη. Εχουµε C x) + S x) =. 4.) ) e ix + C x) + S e ix e ix + e ix x) = + i = eix + e ix + eix + e ix = = Θεωρηµα: Για καθε x R ισχυουν Αποδειξη. Εχουµε ) C x) = C x), S x) = S x). 4.3) C x) = ei x) + e i x) S x) = ei x) e i x) i = e ix + e ix = e ix e ix i = C x), = S x).

69 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Θεωρηµα: Για καθε x, y R ισχυουν : C x + y) = C x) C y) S x) S y), S x + y) = S x) C y) + C x) S y), C x y) = C x) C y) + S x) S y), S x y) = S x) C y) C x) S y) Ασκηση: Αποδειξε οτι C x + y) = C x) C y) S x) S y). Αποδειξη. Εχουµε C x) C y) S x) S y) = eix + e ix e iy + e iy eix e ix e iy e iy i i = eix+y) + e ix y) + e i x+y) + e ix+y) + eix+y) e ix y) e i x+y) + e ix+y) 4 4 = eix+y) + e ix+y) = C x + y) Θεωρηµα: Για καθε x R ισχυουν C x)) = S x), S x)) = C x). 4.4) Αποδειξη. Εχουµε C x) = x! + x ) 4 4!... = x! + 4x 3 3 x... = x +... = S x), 4! 3! S x) = x x 3 3! + x ) 5 = 3x 5! 3! + 5x 4 5!... = x! + x 4... = C x). 4! Θεωρηµα: Οι συναρτησεις C x), S x) ειναι συνεχεις και παραγωγισιµες στο, ). Αποδειξη. Προκυπτει αµεσα απο την υπαρξη των C x) και S x) Θεωρηµα: Υπαρχει ελαχιστος ϑετικος αριθµος p τετοιος ωστε C p) =. Λυση. Απο το Θεωρηµα Μεσης Τιµης υπαρχει z, ) τετοιο ωστε S z) = S ) S ) δηλ. S ) S ) = C z). Εχουµε S ) = και, αφου C z) + S z) =, εχουµε και S z). Αρα Επισης εχουµε C z). C z) = C z + z) = C z) S z) = C z). Αφου C ) = > και C z) <, απο το Θεωρηµα της Ενδιαµεσης Τιµης υπαρχει p, z) τετοιο ωστε C p) =.

70 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Παρατηρηση: Στην παραπανω αποδειξη υπαρχει ενα κενο. Μπορεις να το ϐρεις ; Να το συµπληρωσεις ; Ορισµος: Εστω p η µικροτερη αυστηρα ϑετικη ϱιζα του C x). Οριζουµε τον αριθµο Θεωρηµα: Ισχυει το εξης : π = p. π ) S =. Αποδειξη. Εχουµε π ) π ) π ) = C + S = S. ) ) Αρα S π = ή S π =. Αλλα S x) = C x) > οταν x ). π. Οποτε η S x) ειναι αυξουσα ) [ ] στο, π και συνεχης στο, π, οποτε S π ) = Θεωρηµα: Ισχυουν τα παρακατω C π) =, S π) =, C π) =, S π) =. Αποδειξη. Εχουµε π C x + y) = C x) C y) S y) S x) C π) = C + π ) π ) π ) π ) π ) π ) = C C S S = S = Επισης π S x + y) = S x) C y) + S y) C x) S π) = S + π ) π ) π ) π ) π ) = S C + S C = =. Επισης = S π) = eiπ e iπ i = = e iπ = C π) + is π) C π) =, S π) = ) Θεωρηµα: Οι C x), S x) εχουν περιοδο π, δηλ. x R : C x + π) = C x) και S x + π) = S x). Αποδειξη. Για τυχον x R εχουµε cos x + π) = cos x cos π + sin x sin π = cos x, sin x + π) = sin x cos π + cos x sin π = sin x Θεωρηµα: Για καθε n N ισχυουν τα εξης : cos nπ) = ) n, sin nπ) =, cos nπ + π ) =, sin nπ + π ) = ) n.

71 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Ασκηση: Αποδειξε οτι : για καθε n N ισχυουν τα εξης : Αποδειξη. Η αποδειξη ειναι επαγωγικη. Για n = ισχυει οτι cos nπ) = ) n, sin nπ) =. 4.5) cos π) = cos ) = = ), sin π) = sin ) =. Εστω οτι η 4.5) ισχυει για n = {,,,..., k}. Τωρα cos k + ) π) ta = cos kπ) cos π) sin kπ) sin π) = cos π) = = ) k+, cos k + ) π) = cos kπ) cos π) sin kπ) sin π) = cos π) = = ) k+, sin k + ) π) = sin kπ) cos π) + cos kπ) sin π) =, sin k + ) π) = sin kπ) cos π) + cos kπ) sin π) =. Ετσι η επαγωγη ειναι πληρης και η αποδειξη εχει ολοκληρωθει Παρατηρηση: Παραπανω εχουµε δει οτι η C x) αντιστοιχα η S x)) εχει ολες τις ϐασικες ιδιοτητες της γνωστης µας συναρτησης cos x αντιστοιχα sin x). Κατανοουµε λοιπον οτι C x) = cos x και S x) = sin x και απο εδω και περα ϑα χρησιµοποιουµε τους συµβολισµους cos x και sin x αντι των C x) και S x). Στο εξης δε ϑεωρουµε δεδοµενα τα παρακατω cos x = sin x = x n n)! = x! + x 4... εξ ορισµου), 4! x n+ n + )! = x x 3 3! + x 5... εξ ορισµου), 5! n= n= e ix = cos x + i sin x, cos x = eix + e ix, sin x = eix e ix, i = cos x + sin x, 4.6) και ολες τις αλλες ιδιοτητες τις οποιες εχουµε αποδειξει παραπανω Παρατηρηση: Σχετικα µε την ταυτοτητα 4.6) αξιζει να σηµειωθει και το εξης. Αν πορισουµε δυο µεταβλητες x = cos φ και y = sin φ, απο την 4.6) εχουµε φ : x + y = cos φ + sin φ =. ηλαδη το συνολο σηµειων C = {x, y) : x = cos φ, y = sin φ, φ [, π)} ειναι ενας κυκλος. Σε αυτη την ιδοτητα οφειλεται και η ονοµασια «κυκλικες συναρτησεις» την οποια χρησιµοποιουµε για τις cos και sin.

72 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Ορισµος: Οριζουµε στο, ) τις συναρτησεις Θεωρηµα: Για καθε x, y R ισχυουν : tan x + y) = Ασκηση: Αποδειξε οτι tan x + y) = Αποδειξη. Εχουµε εφαπτοµενη: tan x = sin x cos x, συνεφαπτοµενη: cot x = cos x sin x, τεµνουσα: sec x = cos x, συντεµνουσα: csc x = sin x. tan x + tan y tan x tan y, tan x y) = tan x tan y + tan x tan y. sin x + sin y cos x cos y tan x + tan y tan x tan y = sin x Θεωρηµα: Για καθε x R ισχυουν : Ασκηση: Αποδειξε οτι tan x+tan y tan x tan. y sin y cos x cos y sin x cos y + sin y cos x sin x + y) = = cos x cos y sin x sin y cos x + y) = tan x + y). cos x) = cos x sin x = cos x = sin x sin x) = sin x cos y cos 3x) = 4 cos 3 x 3 cos x sin 3x) = 3 sin x 4 sin 3 x cos x) = cos x sin x = cos x = sin x. Αποδειξη. Εχουµε cos x) = cos x + x) = cos x cos x sin x sin x = cos x sin x = cos x cos x) = cos x = sin x) sin x = sin x Θεωρηµα: Για καθε x R ισχυουν : cos x = + cos x, sin x = cos x.

73 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Ασκηση: Αποδειξε οτι cos +cos x x =. Αποδειξη. Ειναι αµεση συνεπεια του cos x) = cos x Θεωρηµα: Για καθε x R ισχυουν : sin x = tan x, cos x = + tan x Ασκηση: Αποδειξε οτι sin x = tan x. +tan x Αποδειξη. Εχουµε sin x tan x cos x = + tan x + sin x Θεωρηµα: Για καθε x, y R ισχυουν : cos x. + tan x = sin x cos x cos x = sin x. cos x cos y = cos x y) + cos x + y) sin x sin y = cos x y) cos x + y) sin x cos y = sin x + y) sin x y) Ασκηση: Αποδειξε οτι cos x cos y = cos x y) + cos x + y). Αποδειξη. Εχουµε cos x y) + cos x + y) = cos x cos y + sin x sin y + cos x cos y sin x sin y = cos x cos y Θεωρηµα: Για καθε x, y R ισχυουν : x + y ) x y ) sin x + sin y = sin cos x y ) x + y ) sin x sin y = sin cos x + y ) x y ) cos x + cos y = cos cos x + y ) x y ) cos x cos y = sin sin Ασκηση: Αποδειξε οτι sin x + sin y = sin ) x+y cos x y ). Αποδειξη. Θετουµε A = x+y, B = x y. Τοτε εχουµε x + y ) x y ) sin cos = sin A + B) + sin A B) x + y = sin + x y ) x + y + sin = sin x) + sin y). x y )

74 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Θεωρηµα: Για καθε xr ισχυουν : Ασκηση: Αποδειξε οτι sin x = tan x Αποδειξη. Εχουµε sin x = tan x + tan x, cos x = tan x + tan x. tan x + tan x = = +tan x. sin x cos x + sin x sin x cos x cos x cos x = sin x cos x cos x +sin x cos x = cos x sin x = sin x Ορισµος: Οριζουµε τις αντιστροφες τριγωνοµετρικες συναρτησεις ως εξης x [, ] : arcsinx) = y x = siny), x [, ] : arccosx) = y x = cosy), x, ) : arctanx) = y x = tany), x, ) : arccotx) = y x = coty), x, ] [, ) : arcsecx) = y x = secy), x, ] [, ) : arccscx) = y x = cscy) Θεωρηµα: Για τις παραγωγους των αντιστροφων τριγωνοµετρικων συναρτησεων ισχυουν τα εξης. arcsin x) = x arccos x) = x arctan x) = x + arccot x) = x + arcsec x) = x x Ασκηση: Αποδειξε οτι arcsin x) = x, arccsc x) = x x x. x, Αποδειξη. Θετουµε y = arcsin x οποτε x = sin y και x = cos y. Τοτε dy = d sin y = cos y = x dy = x

75 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Ασκηση: Σχεδιασε την συναρτηση arccos x. Λυση. Καταρχην παρατηρουµε οτι το πεδιο ορισµου της arccos x ειναι το [, ] γιατι ;). Οποτε η γραφικη παρασταση της arccos x ειναι αυτη µιας ηµιπεριοδου της cos x γιατι ;), καθρεφτισµενη γυρω απο την y = x γιατι ;) οπως ϕαινεται στο Σχηµα 4.. Σχήµα 4.: Η γραφικη παρασταση της arccos x Ασκηση: Σχεδιασε την συναρτηση arcsin x. Λυση. Καταρχην παρατηρουµε οτι το πεδιο ορισµου της arcsin x ειναι το [, ] γιατι ;). Οποτε η γραφικη παρασταση της arcsin x ειναι αυτη µιας ηµιπεριοδου της sin x γιατι ;), καθρεφτισµενη γυρω απο την y = x γιατι ;) οπως ϕαινεται στο Σχηµα 4.. Σχήµα 4.: Η γραφικη παρασταση της arcsin x Ασκηση: Σχεδιασε την συναρτηση arctan x. Λυση. Καταρχην παρατηρουµε οτι το πεδιο ορισµου της arctan x ειναι το, ) γιατι ;). Οποτε η γραφικη παρασταση της arctan x ειναι αυτη της tan x γιατι ;), καθρεφτισµενη γυρω απο την y = x γιατι ;) οπως ϕαινεται στο Σχηµα 4.3.

76 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Θεωρηµα: Για καθε x R ισχυουν : Σχήµα 4.3: Η γραφικη παρασταση της arctan x. arcsin x + arccos x = π, arctan x + arccot x = π, arctan x + arctan { π x = x > π x < Ασκηση: Αποδειξε οτι arcsin x + arccos x = π. Αποδειξη. Θετουµε φ = arcsin x [ π, π], φ = arccos x [, π]. Τοτε εχουµε Θεωρηµα: Για καθε x R ισχυουν : sin φ = x = cos φ φ = π φ φ + φ = π. sin arccos x) = x, sin arctan x) = x, + x cos arcsin x) = x, cos arctan x) =, + x x x tan arcsin x) =, tan arccos x) =. x x Ασκηση: Αποδειξε οτι sin arccos x) = x. Αποδειξη. Εχουµε y = arccos x x = cos y. Τοτε sin y = x και 4. Λυµενα Προβληµατα sin arccos x) = sin y = x Αποδειξε οτι sinx + y) = sin x cos y + cos x sin y.

77 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 7 Λυση. Εχουµε sin x cos y + cos x sin y = eix e ix eiy + e iy + eix + e ix eiy e iy i i = eix+y) e i x+y) + e ix y) e ix+y) + eix+y) + e i x+y) e ix y) e ix+y) 4i 4i = eix+y) e ix+y) = sin x + y). 4i 4... Ασκηση: Αποδειξε οτι για καθε n N ισχυει cos nπ + π ) =. 4.7) Λυση. Η αποδειξη ειναι επαγωγικη. Για n = ισχυει οτι π ) π ) cos =, sin =. Εστω οτι η 4.7) ισχυει για n = {,,,..., k}. Τωρα cos k + ) π + π ) π ) π ) = cos k + ) π) cos sin k + ) π) sin =. Ετσι η επαγωγη ειναι πληρης και η αποδειξη εχει ολοκληρωθει Αποδειξε οτι sin x = sin x cos x Λυση Αποδειξε οτι sin 3x = 3 sin x 4 sin 3 x Λυση. Εχουµε sin x cos x = eix e ix eix + e ix i = eix+ix e ix e ix + e ix ix e ix ix i = eix e ix = sin x. i e i3x = e ix ) 3 = cos x + i sin x) 3 Οποτε = cos 3 x + 3 cos x i sin x) + 3 cos x i sin x) + i sin x) 3 = ) ) cos 3 x 3 cos x sin x + i 3 cos x sin x sin 3 x. Im e i3x) = Im cos 3x + i sin 3x) = 3 cos x sin x sin 3 x sin 3x = 3 sin x) sin x sin 3 x = 3 sin x 4 sin 3 x Αποδειξε οτι sin cos x x =. Λυση. Ειναι αµεση συνεπεια του cos x = sin x.

78 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Αποδειξε οτι cos x =. +tan x Λυση. Εχουµε = + tan x + sin x cos x = Αποδειξε οτι sin x cos y = sinx y) + sinx y). Λυση. Εχουµε cos x = cos x. sinx y) + sinx y) = sin x cos y + cos x sin y + sin x cos y cos x sin y = sin x cos y Αποδειξε οτι sin x sin y = sin ) x y cos x+y ) Λυση. Θετουµε A = x+y, B = x y, οποτε Τοτε A + B = x, A B = y. sin x sin y = sin A + B) sin A B) Αποδειξε οτι cos x = tan x. +tan x Λυση. Εχουµε 4... Υπολογισε τις παραγωγους. ) d. e x x d sin x 3 + 7e x)). cot x). ). d d sin 3 x ln x Λυση. Εχουµε. d e x x) = e x + x e x. = sin A cos B + cos A sin B sin A cos B cos A sin B) x + y ) x y ) = cos A sin B = cos sin. cos x sin x cos x cos x = tan x = + tan x cos x +sin x cos x = cos x x x sin = cos + x ) = cos x.. d sin x 3 + 7e x)) = cos 7e x + x 3)) 7e x + 3x ).

79 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ d cot x) = cot x. ) d sin 3 x = x ln x cos 3 x + x ln x cos x 3 sin x + sin 3x ). ln x 4x ln x 4... Υπολογισε τα ορια tan x. lim. x x. lim x x) tan ) πx. 3. lim x cos x x. 4. lim x tan x sin x Λυση. Εχουµε x. tan x. lim x = lim x tan x) x lim x = lim x tan x+) x) lim x =. ). lim x x) tan ) πx = lim x x) 3. lim x cos x 4. lim x tan x sin x x = lim x cos x) lim x = tan πx ) lim x x ) = lim x sin x) x = lim x tan x sin x) lim x lim x ) lim x x) = lim x cos x) π tan πx tan πx+) ) =. π lim x ) =. lim x x ) = lim x tan x+ cos x) lim x = lim x tan x+ cos x) x) lim x = x) Βρες προσεγγιστικα την τιµη του sin ) χρησιµοποιωντας το διαφορικο. Το ιδιο και για την τιµη του cos 6 ) και του cos 44 ). Λυση. Καταρχην τονιζουµε οτι στις τριγωνοµετρικες συναρτησεις το ορισµα x µετραται σε ακτινια. Αρα πρεπει να µετατρεψουµε την σε ακτινια. Εχουµε Οποτε x π = 8 x = sin ) = sin ) sin ) + sin ) = sin ) + cos ) Αντιστοιχα cos 6 ) π ) = cos cos π/3) sin π/3) Τελος = cos 44 ) π ) = cos cos π/4) sin π/4) =

80 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Αποδειξε οτι, για x [, π/ ], ισχυει sin x x. Λυση. Θετουµε f x) = sin x x. Εχουµε f x) = sin x x) = cos x. Τοτε για καθε x [, π/ ] εχουµε f x) και η f x) ειναι ϕθινουσα, οποτε x [, π/ ] : sin x x = f x) f ) = sin x x Βρες τα διαστηµατα στα οποια ειναι µονοτονη η f x) = sin x + cos x. Λυση. Παρατηρουµε οτι f x) = sin x + cos x = sin x + cos x = sin x cos π 4 + cos x sin π ) = sin x + π ). 4 4 Οποτε η f x) εχει µεγιστο το, στα σηµεια x n = nπ + π 4 x n = n + ) π + π οπου n Z). 4 και ελαχιστο το, στα σηµεια Βρες τα τοπικα µεγιστα και ελαχιστα της f x) = sin x + cos x. Λυση. Εχουµε f x) = d sin x + cos x) = cos x sin x. Για να ϐρουµε τις ϱιζες της f x) λυνουµε την cos x sin x = cos x = sin x Οι λυσεις ειναι της µορφης Η δευτερη παραγωγος ειναι Οποτε εχουµε x k = π + πk, k Z, x k = π + πk, k Z, 6 x k = 5 π + πk, k Z. 6 f x) = d cos x sin x) = sin x 4 cos x. ) f x k ) = sin π + πk 4 cos π + kπ) = ± + 4 > το οποιο σηµαινει οτι στα x k εχουµε τοπικο ελαχιστο. Επισης f x ) ) k = sin 6 π + πk 4 cos ) = sin 6 π 4 cos 3 π ) < 3 π + 4πk )

81 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 75 το οποιο σηµαινει οτι στα x k εχουµε τοπικο µεγιστο. Τελος f x ) 5 ) 5 ) 5 ) 5 ) k = sin 6 π + πk 4 cos 3 π + 4πk = sin 6 π 4 cos 3 π = 3 < το οποιο σηµαινει οτι στα x k εχουµε τοπικο µεγιστο. sin x Κανε την γραφικη παρασταση της f x) = sin x + Λυση. Προφανως η f x) εχει περιοδο π. Θα κανουµε την γραφικη παρασταση για το διαστηµα [, π]. Εχουµε f x) = cos x +cos x µε τρεις ϱιζες x = π, x 3 = π, x 3 = 5π 3 στο διαστηµα [, π]. Η µονοτονια της συναρτησης ειναι ως εξης. x ) ), 3) π π π,, π 5π 3 3 ) 5π 3 f x) ϑετικη αρνητικη αρνητικη ϑετικη f x) αυξουσα ϕθινουσα ϕθινουσα αυξουσα Κατα συνεπεια η γραφικη παρασταση εχει τη µορφη του Σχηµατος 4.4. Σχήµα 4.4: Η γραφικη παρασταση της sin x + sin x Κανε την γραφικη παρασταση της f x) = sin ). x Λυση. Προφανως η γραφικη παρασταση εχει την µορφη του Σχηµατος 4.5. Σχήµα 4.5: Η γραφικη παρασταση της sin ). x

82 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Υπολογισε την arcsin x). Λυση. Εχουµε y = arcsin x x = sin y, Απο το οποιο εχουµε επισης cos y = x. Τωρα Υπολογισε την arctan x). Λυση. Εχουµε dy = cos y arcsin x) = dy = = cos y =. x dy y = arctan x x = tan y, Απο το οποιο εχουµε επισης cos y = + x. Τωρα dy = cos y arctan x) = dy = = ), 4... Υπολογισε τις arcsin 3 x )) arcsin x 3, ln arctan x)). Λυση. Εχουµε ) d. arcsin 3 x = 3 arcsin x. x. 3. d arcsin x 3 )) = 3 x x 6. d ln arctan x)) = arctan x)x +). arctan x x 4... Υπολογισε το lim x Λυση. Εχουµε sin x x. dy cos y = + x. arctan x x lim = lim x arctan x x) x sin x x lim x sin x x) = lim x +x lim x cos x ) ) lim x x ) +x = ) x = lim lim lim x sin x) x + x ) x sin x = Κανε την γραφικη παρασταση της f x) = arcsin x. +x Λυση. Εχουµε f x x) = x + ). x 4 + x + Λυνοντας την εξισωση f x) = ϐρισκουµε δυο ϱιζες x =, x =. Η µονοτονια της συναρτησης ειναι ως εξης. x, ), ), ) f x) αρνητικη ϑετικη αρνητικη f x) ϕθινουσα αυξουσα ϕθινουσα ) Κατα συνεπεια η γραφικη παρασταση εχει τη µορφη του Σχηµατος 4.6.

83 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Αλυτα Προβληµατα Αποδειξε τους παρακατω τυπους.. sec x = csc x csc x.. sec x = +cot x cot x. 3. csc x = sec x sec x. 4. csc x = + cot x Αποδειξε τους παρακατω τυπους.. tan x = tan x tan x.. tan 3x = 3 tan x tan3 x 3 tan x Αποδειξε τους παρακατω τυπους. Σχήµα 4.6: Η γραφικη παρασταση της arcsin. arcsin x + arcsin y = arcsin x y + ) y x.. arccos x + arccos y = arcsin xy + ) x y. 3. arctan x + arctan y = arctan ) x+y. xy Αποδειξε τους παρακατω τυπους.. sin x = tan x +tan x. x. +x. cos x = tan x +tan x Υπολογισε τις παραγωγους.

84 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ d d d d d ) e x sin x. Απ. e x cos x + x sin x). tan x 3 + 7e x)). Απ. 7e x + 3x ) tan 7e x + x 3) + ). cot x x + ). Απ. cot x + ) x. x + x +) sinlnx+)) cos ln x + ))). Απ.. x+ sin 3 x + ) ). Απ. 6x cos x + )) cos x + ) ) Υπολογισε τα ορια tan x. lim x. Απ.. x 4 tan x. lim 4 x. Απ.. x lncos x) 3. lim x Απ.. x tan x 4. lim sin x x. Απ.. x 6 e 5. lim sin x x. Απ.. x Υπολογισε προσεγγιστικα µε χρηση του διαφορικου, χωρις χρηση υπολογιστη) την tan 46 ) και την tan 44 ). Απ και.96567) Υπολογισε το sin ) και την tan 5 ) µε ακριβεια 3 χωρις χρηση υπολογιστη Εξετασε την συνεχεια της συναρτησης f x) = cot ) Εξετασε την συνεχεια της συναρτησης f x) = cosx) x sin x) Βρες τα τοπικα µεγιστα και ελαχιστα της f x) = cos x + x Κανε την γραφικη παρασταση της της f x) = sin x cos x Κανε την γραφικη παρασταση της f x) = sin x + cos x Βρες την dy οταν y = f cos x ) + f sin x) Αποδειξε οτι arccos x) = και arccot x) x = Υπολογισε τις παραγωγους. d. arcsin x). Απ. arcsin x. x. d arcsin x 3 + )) x. Απ. 3 x 3 +). x3 x +. στο [ π, π]. 3. d ln arccos x)). Απ. arccos x) x.

85 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 79 arctan x Υπολογισε το lim x x. Απ.. sin x x ειξε οτι arcsin x + arccos x = π ειξε οτι arccos x = arctan x. +x Βρες τις dy, d y οταν arctan y y + x = Κανε την γραφικη παρασταση της f x) = arcsin x +x Κανε την γραφικη παρασταση της f x) = arctan x. x 4.4 Προχωρηµενα Αλυτα Προβληµατα Αποδειξε οτι lim x sin x Αποδειξε οτι lim x cos x x x = χωρις χρηση του κανονα l Hospital. = και lim x cos x Αποδειξε οτι, για x, π/), ισχυει tan x > x + x Εστω οτι x + y + z + u = π. Αποδειξε οτι x = χωρις χρηση του κανονα l Hospital. sin x + y) sin x + u) = sin x sin z + sin u sin y = sin x + y) sin y + z) Βρες τα διαστηµατα στα οποια ειναι µονοτονη η f x) = cos x x Βρες τα διαστηµατα στα οποια ειναι µονοτονη η f x) = cos ) π Κανε την γραφικη παρασταση της f x) = x arctan x Κανε την γραφικη παρασταση της { x sin x f x) = x x = Αποδειξε οτι η συναρτηση { x f x) = + x sin x x x =. δεν ειναι µονοτονη σε κανενα διαστηµα [a, b] µε a < < b Αποδειξε οτι η συναρτηση f x) = 3. { sin x ) x x x =. x εχει ελαχιστο στο x =, αλλα δεν ειναι µονοτονη σε κανενα διαστηµα [a, b] µε < a < b ή a < b <.

86 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Βρες τα τοπικα µεγιστα και ελαχιστα της f x) = cos x + x Βρες µια συναρτηση f x) τετοια ωστε f x) + f x) =. x3 6 στο [ π, π] Για καθε x R εχουµε sin x) sin x < cos x) cos x. Σωστο ή λαθος ; ωσε παραδειγµα Για καθε x R εχουµε sin x) sin x > cos x) cos x. Σωστο ή λαθος ; ωσε παραδειγµα ειξε οτι sin x sin y = sin x y) sin x + y) Βρες µια συναρτηση f x) η οποια ικανοποιει την συναρτησιακη εξισωση x, y R : f xy x ) y ) ) = f x) + f y) Βρες µια συναρτηση f x) η οποια ικανοποιει την συναρτησιακη εξισωση x, y R : f x x + ) y y = f x) + f y) Βρες µια συναρτηση f x) η οποια ικανοποιει την συναρτησιακη εξισωση ) x + y x, y R : f = f x) + f y). xy Η εξισωση sin cos x) = cos sin x) δεν εχει καµµια λυση. Σωστο ή λαθος ; ωσε παραδειγµα ειξε οτι arctan x arctan y x y Υπαρχει ακριβως µια συνεχης συναρτηση x y) η οποια ικανοποιει την εξισωση x ε sin x = y οπου ε, )). Σωστο ή λαθος ; ωσε παραδειγµα Μαθ. Ολυµπιαδα) Αποδειξε οτι : αν για καποιο θ ισχυει sin θ + cos θ, τοτε ισχυει και sin 5 θ + cos 5 θ. Ισχυει και sin 4 θ + cos 4 θ ; Μαθ. Ολυµπιαδα) Αποδειξε οτι : αν η f x) = sin x +cos κx ειναι περιοδικη, τοτε κ Q Μαθ. Ολυµπιαδα) Αποδειξε οτι : αν για καποιο θ ο αριθµος sin θ + cos θ ειναι ϱητος, τοτε το ιδιο ισχυει και για τον sin n θ + cos n θ για καθε n N) Μαθ. Ολυµπιαδα) Αποδειξε οτι cos o ) Q Μαθ. Ολυµπιαδα) Αν sin x cos y = τι τιµες µπορει να παρει το cos x sin y; Μαθ. Ολυµπιαδα) Ποια ειναι η µεγιστη τιµη του sin x + a cos x) sin x + b cos x); Μαθ. Ολυµπιαδα) Βρες ολα τα x για τα οποια {sin x, sin x, sin 3x} = {cos x, cos x, cos 3x} Μαθ. Ολυµπιαδα) Εστω τριγωνο µε πλευρες a, b, c και απεναντι γωνιες A, B, C. Βρες τα x για τα οποια a x cos A + b x cos B + c x cos C ax + b x + c x ) Μαθ. Ολυµπιαδα) Εστω τριγωνο µε γωνιες A, B, C. ειξε οτι Ποτε ισχυουν οι ισοτητες ; sin 3A) + sin 3B) + sin 3C) 3 3.

87 Κεφάλαιο 5 Υπερβολικες Συναρτησεις Οι υπερβολικες συναρτησεις οριζονται παροµοια µε τις κυκλικες τριγωνοµετρικες) και εχουν πολλες αναλογες ιδιοτητες. 5. Θεωρια και Παραδειγµατα 5... Ορισµος: Οριζουµε στο, ) τις υπερβολικες συναρτησεις κατ αντιστοιχια των κυκλικων): Υπερβολικο συνηµιτονο : cosh x = + x! + x 4 4! +... = n= Υπερβολικο ηµιτονο : sinh x = x + x 3! + x 5 5! +... = Υπερβολικη εφαπτοµενη : tanh x = sinh x cosh x, Υπερβολικη συνεφαπτοµενη : coth x = cosh x sinh x, Υπερβολικη τεµνουσα : sec hx = cosh x, Υπερβολικη συντεµνουσα : cos echx = sinh x Θεωρηµα: Για καθε x R ισχυουν sinhx) = ex e x, coshx) = ex + e x, tanhx) = ex e x e x + e, cothx) = ex + e x x e x e, x sec hx) = e x + e, csc hx) = x e x e. x n= x n n)!, x n n)!, Ασκηση: Αποδειξε οτι cosh x) = ex +e x. 8

88 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΥΠΕΡΒΟΛΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 8 Λυση. Εχουµε Με προσθεση κατα µελη παιρνουµε Θεωρηµα: Για καθε x R ισχυει Αποδειξη. Εχουµε e x = + x + x! + x 3 3! + x 4 4!... e x = x + x! x 3 3! + x 4 4!... cosh x) = ex + e x = + x! + x 4 4! ) cosh x) sinh ex + e x ex e x x = cosh x sinh x =. 5.) = ex + e x + ex + e x = + = Παρατηρηση: Σχετικα µε την ταυτοτητα 5.) αξιζει να σηµειωθει και το εξης. Αν πορισουµε δυο µεταβλητες x = cosh φ και y = sinh φ, απο την 5.) εχουµε ηλαδη το συνολο σηµειων φ : x y = cosh φ sinh φ =. C = {x, y) : x = cosh φ, y = sinh φ, φ R} ειναι µια υπερβολη. Σε αυτη την ιδιοτητα οφειλεται και η ονοµασια «υπερβολικες συναρτησεις» την οποια χρησιµοποιουµε για τις cosh και sinh Θεωρηµα: Για καθε x R ισχυει cosh x) = sinh x, sinh x) = cosh x κηση: Αποδειξε οτι cosh x)) = sinh x. Λυση. Εχουµε ) cosh x)) ex + e x = = ex e x = sinh x Θεωρηµα: Για καθε x R: cosh x) = cosh x, sinh x) = sinh x Ασκηση: Αποδειξε οτι sinh x) = sinh x. Λυση. Εχουµε sinh x) = e x e x) = ex e x = sinh x Θεωρηµα: Οι συναρτησεις cosh x, sinh x ειναι συνεχεις και παραγωγισιµες στο, ). Αποδειξη. Προκυπτει αµεσα απο το οτι cosh x)) = sinh x, sinh x)) = cosh x. )

89 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΥΠΕΡΒΟΛΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Ασκηση: Σχεδιασε την συναρτηση cosh x. Λυση. Εχουµε cosh x = ex + e x = ex + e x. Η ελαχιστη τιµη της cosh x ειναι το cosh =. Επισης ϕαινεται αµεσα οτι Επειδη εχουµε lim x ± cosh x =. cosh x) = sinh x = ex e x x < sinh x <, x > sinh x >. Οποτε η cosh x ειναι ϕθινουσα στο, ) και αυξουσα στο, ). Επειδη για καθε x cosh x) = cosh x = ex + e x ϐλεπουµε οτι η cosh x ειναι κυρτη στο, ). Χρησιµοποιωντας τα παραπανω παιρνουµε την γραφικη παρασταση του Σχηµατος 5.. >, Σχήµα 5.: Η γραφικη παρασταση της cosh x Ασκηση: Σχεδιασε την συναρτηση sinh x. Λυση. Επειδη sinh x = ex e x, εχουµε x < sinh x <, x > sinh x >. Επισης ϕαινεται αµεσα οτι lim sinh x =, lim x sinh x =. x

90 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΥΠΕΡΒΟΛΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 84 Επειδη για καθε x, ) εχουµε sinh x) = cosh x = ex + e x ϐλεπουµε οτι η sinh x ειναι αυξουσα στο, ). Επειδη sinh x) = sinh x, ϐλεπουµε οτι η sinh x ειναι κοιλη στο, ) και κυρτη στο, ). Χρησιµοποιωντας τα παραπανω παιρνουµε την γραφικη παρασταση του Σχηµατος 5.. >, Σχήµα 5.: Η γραφικη παρασταση της sinh x Ασκηση: Σχεδιασε την συναρτηση tanh x. Λυση. Εχουµε tanh x = sinh x cosh x = ex e x e x + e. x Οποτε e x e x lim tanh x = lim tanh x = lim x x x e x + e = lim e x x x + e = x + =. Με αντιστοιχο τροπο ϐρισκουµε lim tanh x = x Επισης ϕαινεται ευκολα οτι η µονη ϱιζα της tanh x = ειναι η x =. Εχουµε tanh x) = 4e x e x + ) > οποτε η tanh x ειναι αυξουσα στο, ). Τελος e tanh x) x ) 8e x = e x + ) 3 οποτε η tanh x ειναι κυρτη στο, ) και κοιλη στο, ). Χρησιµοποιωντας τα παραπανω παιρνουµε την γραφικη παρασταση του Σχηµατος 5.3.

91 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΥΠΕΡΒΟΛΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Θεωρηµα: Για καθε x, y R ισχυουν : Σχήµα 5.3: Η γραφικη παρασταση της tanh x. cosh x + y) = cosh x cosh y + sinh x sinh y sinh x + y) = sinh x cosh y + cosh x sinh y cosh x y) = cosh x cosh y sinh x sinh y sinh x y) = sinh x cosh y cosh x sinh y Ασκηση: Αποδειξε οτι sinhx + y) = sinh x cosh y + cosh x sinh y Λυση. Εχουµε sinh x cosh y + cosh x sinh y = ex e x ey + e y + ex + e x ey e y = ex+y e x+y + e x y e x+y) Θεωρηµα: Για καθε x, y R ισχυουν tanh x + y) = 4 + ex+y + e x+y e x y e x+y) 4 = ex+y e x+y) = sinh x + y). 4 tanh x + tanh y tanh x tanh y, tan x y) = tanh x tanh y + tanh x tanh y Ασκηση: Αποδειξε οτι : για καθε x, y R ισχυει Λυση. Εχουµε tanh x + tanh y + tanh x tanh y = = tanh x + y) = sinh x cosh x + sinh y cosh y + sinh x sinh y cosh x cosh y = tanh x + tanh y tanh x tanh y. sinh x cosh y+sinh y cosh x cosh x cosh y cosh x cosh y+sinh x sinh y cosh x cosh y sinh x cosh y + sinh y cosh x cosh x cosh y + sinh x sinh y = sinh x + y) cosh x + y) = tanh x + y).

92 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΥΠΕΡΒΟΛΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Θεωρηµα: Για καθε x R ισχυουν : cosh x = cosh x + sinh x = cosh x = sinh x + sinh x = sinh x cosh y Ασκηση: Αποδειξε οτι : για καθε x R ισχυει Λυση. Εχουµε cosh x = cosh x + sinh x = cosh x = sinh x +. cosh x = cosh x + x) = cosh x cosh x + sinh x sinh x = cosh x + sinh x = cosh x + cosh x = cosh x = + sinh x + sinh x = sinh x Θεωρηµα: Οι παρακατω τυποι αποτετραγωνισµου ειναι χρησιµη στον υπολογισµο ολοκληρωµατων. cosh cosh x + cosh x =, sinh x x = Ασκηση: Αποδειξε οτι για καθε x R ισχυει cosh x = cosh x +. Λυση. Προκυπτει αµεσα απο το cosh x = cosh x Θεωρηµα: Για καθε x R ισχυουν : cosh x =, sinh x = tanh x tanh x. tanh x Ασκηση: Αποδειξε οτι για καθε x R ισχυει cosh x = Λυση. Εχουµε = tanh x sinh x +tanh x. cosh x = cosh x sinh x cosh x cosh x cosh x = = = cosh x. cosh x sinh x Θεωρηµα: Για καθε x, y R ισχυουν : cosh x cosh y = cosh x + y) + cosh x y) sinh x sinh y = cosh x + y) cosh x y) sinh x cosh y = sinh x + y) + sinh x y)

93 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΥΠΕΡΒΟΛΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Ασκηση: Αποδειξε οτι για καθε x R ισχυει Λυση. Εχουµε cosh x cosh y = cosh x + y) + cosh x y). cosh x + y) + cosh x y) = cosh x cosh y + sinh x sinh y + cosh x cosh y sinh x sinh y = cosh x cosh y Θεωρηµα: Για καθε x, y R ισχυουν : x + y ) x y ) sinh x + sinh y = sinh cosh x y ) x + y ) sinh x sinh y = sinh cosh x + y ) x y ) cosh x + cosh y = cosh cosh x + y ) x y ) cosh x cosh y = sinh sinh Αποδειξε οτι Λυση. Εχουµε x + y ) x y ) sinh x + sinh y = sinh cosh. x + y ) x y ) sinh cosh = e x+y e x+y e x y + e x y = e x+y+x y e x y+x y + e x+y x+y e x y x+y = ex e x + e y e y = sinh x + sinh y Θεωρηµα: Για καθε x R ισχυουν : Θεωρηµα: Για καθε x R ισχυουν : sinh x = tanh x, cosh x = + tanh x. tanh x tanh x sinh x = sinh x, cosh x cosh x + cosh x + = Ασκηση: Αποδειξε οτι sinh x = tanh x. + tanh x Λυση. Εχουµε tanh x tanh x = sinh x cosh x sinh x cosh x = cosh x sinh x cosh x sinh x = sinh x = sinh x.

94 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΥΠΕΡΒΟΛΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Θεωρηµα: Για καθε x R ισχυουν cosh ix) = cos x, sinh ix) = i sin x, cos ix) = cosh x, sin ix) = i sinh x Ασκηση: Αποδειξε οτι Λυση. Εχουµε και sinh ix) = i sin x, cosh ix) = cos x. cosh ix) = eix + e ix = cos x sinh ix) = eix e ix = i eix e ix = i sin x. i Ορισµος: Οριζουµε τις αντιστροφες υπερβολικες συναρτησεις ως εξης x, ) : x [, ) : x, ) : x, ), ) : x, ] : x, ), ) : y = arc sinh x) x = sinhy), y = arc cosh x) x = coshy), y = arc tanhx) x = tanhy), y = arc cothx) x = cothy), y = arc sec hx) x = sec hy), y = arc csc hx) x = csc hy) Θεωρηµα: Για τις παραγωγους των αντιστροφων υπερβολικων συναρτησεων ισχυουν τα εξης. arcsin hx) = x +, arccos hx) = για x > ), x + arctan hx) = x, arccot hx) = x arcsec hx) = για < x < ), x x arccsc hx) = x. + x Ασκηση: Αποδειξε οτι arcsin hx) = x +. Λυση. Εστω y = arcsin hx, τοτε x = sinh y, x + = cosh y. Οποτε dy = sinh y) = cosh y = x + arcsin hx) = dy = x +.

95 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΥΠΕΡΒΟΛΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Ασκηση: Σχεδιασε την συναρτηση f x) = arccos hx. Λυση. Καταρχην παρατηρουµε οτι το πεδιο ορισµου της arccos hx ειναι το, ). Η πρωτη παραγωγος ειναι f x) = > και η δευτερη παραγωγος ειναι f x x) = x <. Οποτε, x ) 3 για καθε x, ), η arccos hx ειναι αυξουσα και κοιλη. Τελος, f ) = και lim x f x) = γιατι ;). Οποτε η γραφικη παρασταση εχει την µορφη που ϕαινεται στο Σχηµα 5.4. Σχήµα 5.4: Η γραφικη παρασταση της arccos hx Ασκηση: Σχεδιασε την συναρτηση f x) = arcsin hx. Λυση. Καταρχην παρατηρουµε οτι το πεδιο ορισµου της arcsin hx ειναι το, ). Η πρωτη παραγωγος ειναι f x) = > οποτε, για καθε x x, ), η arcsin hx ειναι αυξουσα. Η + δευτερη παραγωγος ειναι f x) = x, οποτε για x, ), η arcsin hx ειναι κυρτη και x +) 3 για x, ), η arcsin hx ειναι κοιλη. Τελος, f ) =, lim x f x) =, lim x f x) = γιατι ;). Οποτε η γραφικη παρασταση εχει την µορφη που ϕαινεται στο Σχηµα 5.5. Σχήµα 5.5: Η γραφικη παρασταση της arcsin hx Ασκηση: Σχεδιασε την συναρτηση arctan hx. Λυση. Αφου η arctan hx ειναι η αντιστροφη της tanh x, το πεδιο ορισµου της ειναι το [, ] και η γραφικη παρασταση της arctan hx ειναι αυτη της tanh x καθρεφιτσµενη απο την ευθεια y = x γιατι ;) οπως ϕαινεται στο Σχηµα 5.6.

96 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΥΠΕΡΒΟΛΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 9 Σχήµα 5.6: Η γραφικη παρασταση της arctan hx Θεωρηµα: Ισχυουν τα εξης : x, ) : arcsin h x) = ln x + ) x +, x [, ) : arccos h x) = ln x + ) x, x, ) : arctan hx) = ln ) +x, x x, ), ) : arccot hx) = ln ) x+, x x, ] : arcsec hx) = ln + ) x, x x x, ), ) : arccsc hx) = ln + ) +x. x x Ασκηση: Αποδειξε οτι arcsinh x) = ln x + ) x +. Λυση. Εστω z = arc sinhx). Τοτε x = sinh z = ez e z e z x e z =. Θετουµε a = e z, οποτε εχουµε a x a = και πολλαπλασιαζουµε µε a, οποτε παιρνουµε Λυνουµε ως προς a και παιρνουµε a xa =. e z = a = x ± x +. Αλλα η ϱιζα a = x x + ειναι αρνητικη και απορριπτεται αφου a = e z > ). Οποτε Θεωρηµα: Ισχυουν τα εξης : a = e z = x + x + arc sinhx) = z = ln x + ) x +. arcsinx) = i ln ix + ) x, arccosx) = i ln x + ) x, arctanx) = i ix ) ln. + ix

97 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΥΠΕΡΒΟΛΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 9 5. Λυµενα Προβληµατα 5... Αποδειξε οτι sinh x = ex e x Λυση. Εχουµε. Με αφαιρεση κατα µελη παιρνουµε e x = + x + x! + x 3 3! + x 4 4!... e x = x + x! x 3 3! + x 4 4!... sinh x = ex e x = x + x! x 3 3! + x 4 4! Αποδειξε οτι sinh x) = cosh x. Λυση. Εχουµε ) sinh x) ex e x = = ex + e x = cosh x. Το sinh x)) = cosh x αποδεικνυεται παροµοια Αποδειξε οτι cosh x) = cosh x. Λυση. Εχουµε cosh x) = e x +e x) = ex +e x = cosh x Αποδειξε οτι coshx + y) = cosh x cosh y + sinh x sinh y. Λυση. Εχουµε cosh x cosh y + sinh x sinh y = ex + e x ey + e y + ex e x ey e y = ex+y + e x+y + e x y + e x+y) + ex+y e x+y e x y e x+y) 4 4 = ex+y + e x+y) = cosh x + y) Αποδειξε οτι : tanh x y) = Λυση. Εχουµε tanh x tanh y +tanh x tanh. y sinh x sinh y cosh x cosh y tanh x tanh y tanh x tanh y = sinh x sinh y cosh x cosh y Αποδειξε οτι : sinh x = sinh x cosh x. Λυση. Εχουµε = sinh x cosh y sinh y cosh x cosh x cosh y cosh x cosh y sinh x sinh y cosh x cosh y sinh x cosh y sinh y cosh x sinh x y) = = = tanh x y). cosh x cosh y sinh x sinh y cosh x y) sinh x = sinh x + x) = cosh x sinh x + cosh x sinh x = sinh x cosh x.

98 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΥΠΕΡΒΟΛΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Αποδειξε οτι sinh cosh x x =. Λυση. Προκυπτει αµεσα απο το cosh x = sinh x Αποδειξε οτι sinh x = tanh x Λυση. Εχουµε Αποδειξε οτι Λυση. Εχουµε tanh x. tanh x = tanh x = sinh x cosh x sinh x cosh x = sinh x cosh x cosh x sinh x cosh x cosh x sinh x cosh x = sinh x. cosh x sinh x sinh x cosh y = sinh x + y) + sinh x y). sinh x + y) + sinh x y) = sinh x cosh y + cosh x sinh y + sinh x cosh y cosh x sinh y = sinh x cosh y Αποδειξε οτι sinh x sinh y = sinh ) x y cosh x+y ). Λυση. Εχουµε x y ) x + y ) sinh cosh = e x y e x y e x+y + e x+y = e x y+x+y e x+y+x+y + e x y x y + e x+y x y = ex + e x ey e y = sinh x sinh y Αποδειξε οτι cosh x = +tanh x. Λυση. Εχουµε + tanh x tanh x = tanh x + sinh x cosh x = cosh x + sinh x sinh x cosh x = cosh x = cosh x. sinh x cosh x 5... Αποδειξε οτι cos ix) = cosh x, sin ix) = i sinh x. Λυση. Εχουµε cos ix) = eiix + e iix = e x + e x = cosh x και sin ix) = eiix e iix = i e x e x = i sinh x. i

99 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΥΠΕΡΒΟΛΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Αποδειξε οτι arccos hx) = x + για x > ). Λυση. Εστω y = arccos hx, τοτε x = cosh y, x = sinh y >. Οποτε Υπολογισε τις παραγωγους των. sinh x + ),. cosh x x+, 3. tanh sin x + )), 4. sinhx+) coshx ). Λυση. Εχουµε. sinh x + )) = x cosh x + ), ). cosh x sinh = x x+ x+ x+), dy = cosh y) = sinh y = x arccos hx) = dy = x. 3. tanh sin x + ))) = x cos x + )) tanh sin x + )) ), 4. sinhx+) coshx ) Υπολογισε τα. lim x sinh x ) coshx = x 3)+coshx +x ) x coshx +x )+x coshx x 3)) cosh x ) cos x,. lim x sinh x sin x, 3. lim x tanh x +e x, 4. lim x e x Λυση. Εχουµε sinh x.. lim x sinh x cos x = sinh cos = =, sinh x. lim x cosh x x = lim sin x x = = x cos, x 3. lim x tanh x +e x = tanh +e =, 4. lim x e x sinh x = lim x ex e x e x ) == lim x +e =. x

100 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΥΠΕΡΒΟΛΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Βρες τα τοπικα µεγιστα και ελαχιστα της f x) = sinh x ). Λυση. Εχουµε f x) = x cosh x το οποιο ειναι αρνητικο στο, ), ϑετικο στο, ) και f ) =. Αρα η f x) ειναι ϕθινουσα στο, ), αυξουσα στο, ) και εχει τοπικο ελαχιστο στο x = Βρες τα τοπικα µεγιστα και ελαχιστα της f x) = tanh x + ). Λυση. Εχουµε f x) = x tanh )) x +. Αφου για καθε z, ) ισχυει tanh z), εχουµε x < f x) < f x) ϕθινουσα, x > f x) > f x) αυξουσα. Στο x = εχουµε f x ) =. Οποτε στο x = εχουµε τοπικο ελαχιστο Κανε την γραφικη παρασταση της f x) = cosh x. x + Λυση. Εχουµε lim cosh x =, lim x x + cosh x x x + =. Επισης εχουµε f x) = d ) cosh x x + = x x sinh x + x + ). Θετοντας f x) = παιρνουµε τις ϱιζες x =, x =, x 3 =. Η µονοτονια της συναρτησης ειναι η εξης x, ), ), ), ) f x) ϑετικη αρνητικη ϑετικη αρνητικη f x) αυξουσα ϕθινουσα αυξουσα ϕθινουσα Συνδυαζοντας τα παραπανω παιρνουµε την γραφικη παρασταση του Σχηµατος 5.7. Σχήµα 5.7: Η γραφικη παρασταση της cosh x x Υπολογισε τις παραγωγους των. arcsin h x + ),

101 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΥΠΕΡΒΟΛΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 95. arctan h x + ), 3. arccos h x Λυση. Εχουµε.. x+. d arcsin h x + ) = d arctan h x + ) = x +x +, ) x x +), d x 3. arccos h =. x+ x+) x x+) ) 5... Βρες τα τοπικα µεγιστα και ελαχιστα της f x) = arcsin h x +. x Λυση. Εχουµε f x) = d arcsin h x + ) x = x x + ). x + x Θετοντας f x) = παιρνουµε τις ϱιζες x =, x =. Η µονοτονια της συναρτησης ειναι η εξης x, ), ), ) f x) ϑετικη αρνητικη αρνητικη f x) αυξουσα ϕθινουσα ϕθινουσα Αρα εχουµε τοπικο µεγιστο στο x = και τοπικο ελαχιστο στο x = Κανε την γραφικη παρασταση της f x) = arccos h x + ). ) x Λυση. Εχουµε lim x arccos h x + x =. Επισης εχουµε f x) = d arccos h x + ) = x x 4. x + x + x + 3 x x Θετοντας f x) = παιρνουµε τις ϱιζες x =, x =. Η µονοτονια της συναρτησης ειναι η εξης x, ), ), ), ) f x) αρνητικη ϑετικη αρνητικη ϑετικη f x) ϕθινουσα αυξουσα ϕθινουσα αυξουσα Αρα εχουµε τοπικα ελαχιστα στα x = και x =. Συνδυαζοντας τα παραπανω παιρνουµε την γραφικη παρασταση του Σχηµατος 5.8.

102 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΥΠΕΡΒΟΛΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Αποδειξε οτι Λυση. Εστω z = arcsinx). Τοτε Σχήµα 5.8: Η γραφικη παρασταση της arccos h x + ). x arcsinx) = i ln ix + ) x. x = sin z = eiz e iz i e iz ix e iz =. Θετουµε a = e iz, οποτε εχουµε a ix a = και πολλαπλασιαζουµε µε a, οποτε παιρνουµε Λυνουµε ως προς a και παιρνουµε Υποθετουµε οτι a = ix + x οποτε a ixa =. e iz = a = ix ± x. a = e iz = ix + x arcsin x = z = i ln ix + ) x. Εδω αξιζει να σηµειωθει οτι ϑα µπορεσουµε εξισου δικαιολογηµενα να υποθεσουµε οτι a = ix x και τοτε ϑα παιρναµε arcsin x = i ln ix + x ). Η αληθεια ειναι οτι η συναρτηση arcsin x ειναι πλειοτιµη, δηλ. σε καθε x αντιστοιχουν περισσοτερες της µιας τιµες arcsin x. Το Ϲητηµα της πλειοτιµιας εξεταζεται σε ϐαθος στην Θεωρια Μιγαδικων Συναρτησεων. 5.3 Αλυτα Προβληµατα Αποδειξε οτι. sinhx y) = sinh x cosh y cosh x sinh y,. coshx y) = cosh x cosh y sinh x sinh y Αποδειξε οτι

103 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΥΠΕΡΒΟΛΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 97. cosh 3x = 4 cosh 3 x 3 cosh x,. sinh 3x = 3 sinh x + 4 sinh 3 x Αποδειξε οτι sinh x sinh y = cosh x + y) cosh x y) Αποδειξε οτι. cosh x + cosh y = cosh ) x+y cosh x y ),. cosh x cosh y = sinh ) x+y sinh x y ) Αποδειξε οτι tanh x) = Αποδειξε οτι. tanhx)) = sec h x),. cothx)) = csc h x), 3. sec hx)) = sec hx) tanhx), 4. csc hx)) = csc hx) cothx). cosh x) Σχεδιασε την συναρτηση tanh x + x ) Σχεδιασε την συναρτηση coshsinhx)) Σχεδιασε την συναρτηση tanh x +). x Σχεδιασε την συναρτηση tanh x +). x Αποδειξε οτι. arc tanhx)) =. arc cothx)) = x, x, 3. arc sec hx)) = x x,. 4. arc csc hx)) = x +x Σχεδιασε την συναρτηση arccot hx Σχεδιασε την συναρτηση arcsec hx Σχεδιασε την συναρτηση arccsc hx Αποδειξε οτι. arc coshx) = ln x + ) x x),

104 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΥΠΕΡΒΟΛΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 98. arc tanhx) = ln ) +x < x < ), x 3. arc cothx) = ln ) x+ x > η x < ), 4. arc sec hx) = ln 5. arc csc hx) = ln x + x x x + +x x x Υπολογισε τις παραγωγους d d d d sinh 5x ln cosh 5x)). Απ. ) cosh x. Απ. ) + sinh 5x. Απ. cosh 5x. ), < x ), x. sinh x. cosh x 5 sinh x. cosh x+ sinh x 3 )). Απ. 3x cosh x Υπολογισε τα ορια. tanh x. lim x. Απ.. x. lim x x sinh x. Απ.. sinh x 3. lim x. Απ.. sin x cosh x 4. lim x. Απ.. cos x Υπολογισε τις παραγωγους d tanh x+. arctan tanh x)). Απ. tanh x d cosh sinh x)). Απ. sinh sinh x x) + sinh x + sinh x). ) d + tanh x. Απ. tanh x) tanh x. tanh x+ d +tanh x tanh x ). Απ. tanh x + ). tanh x+)tanh x ) tanh x Σχεδιασε την συναρτηση arccos hsinh x)) Σχεδιασε την συναρτηση cosharcsin hx) Σχεδιασε την συναρτηση arctan h x x 4 + ) ειξε οτι οι συναρτησεις ex, ex sinh x και e x cosh x διαφερουν κατα µια σταθερα.

105 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΥΠΕΡΒΟΛΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Προχωρηµενα Αλυτα Προβληµατα Αποδειξε οτι lim x sinh x Αποδειξε οτι lim x cosh x x x = χωρις χρηση του κανονα l Hospital. = και lim x cos x x = χωρις χρηση του κανονα l Hospital Αποδειξε οτι, για x >, ισχυει sinh x > x + x3. Τι µπορεις να πεις για το sinh x οταν x < ; Αποδειξε οτι arcsin tanh x) = arctan sinh x) Αποδειξε οτι arccosx) = i ln x + ) x, arctanx) = i ix ) ln. + ix Βρες τα διαστηµατα στα οποια ειναι µονοτονη η f x) = cosh x x Κανε την γραφικη παρασταση της f x) = x arctan h x Βρες τα ολικα µεγιστα και ελαχιστα της f x) = cosh x N Βρες µια συναρτηση f x) τετοια ωστε 6 f x) + f x) = Βρες ολες τις συναρτησεις f x) τετοιες ωστε f x) f x) = Βρες ολα τα Ϲευγη συναρτησεων f x), g x)) τετοια ωστε f x) = g x), g x) = f x). x n n= n)! Αποδειξε οτι cosh y z) + cosh z x) + cosh x y) cosh x + cosh y + cosh z Βρες µια συναρτηση f x) η οποια ικανοποιει την συναρτησιακη εξισωση x, y R : f xy + x ) y ) ) = f x) + f y) Βρες µια συναρτηση f x) η οποια ικανοποιει την συναρτησιακη εξισωση x, y R : ) f x + y + y + x = f x) + f y) Βρες µια συναρτηση f x) η οποια ικανοποιει την συναρτησιακη εξισωση ) x + y x, y R : f = f x) + f y). + xy για N =,, 3, Εστω φ και Φ οι ϱιζες της εξισωσης x x =. Τοτε sinh ln φ) =. Σωστο ή λαθος ; ωσε παραδειγµα.

106 Κεφάλαιο 6 Ολοκληρωµα Η ολοκληρωση ειναι η αντιστροφη διαδικασια της παραγωγισης. Στο παρον κεφαλαιο παρουσια- Ϲουµε τον ορισµο και τις ϐασικες ιδιοτητες του ολοκληρωµατος. 6. Θεωρια και Παραδειγµατα 6... Ορισµος: Εστω δυο συναρτησεις f x) και Fx). Λεµε οτι η συναρτηση Fx) ειναι ενα αοριστο ολοκληρωµα της συναρτησης f x) ανν ισχυει και τοτε γραφουµε ισοδυναµα 6... Παραδειγµα: Ισχυει F x) = f x) 6.) Fx) = e x = e x f x). 6.) διοτι e x ) = e x Παρατηρηση: Οι εκφρασεις «η Fx) ειναι παραγουσα της f x)» και «η Fx) ειναι αντιπα- ϱαγωγος της f x)» ειναι ισοδυναµες προς την «η F x) ειναι το αοριστο ολοκληρωµα της f x)» Παρατηρηση: Το αοριστο ολοκληρωµα της f x) δεν ειναι µοναδικο. Πραγµατι, εαν η F x) ειναι τετοια ωστε F x) = f x) τοτε και η F x) = F x) + c οπου η c ειναι µια αυθαιρετη σταθερα) επισης ικανοποιει F x) = f x). Με αλλα λογια η συναρτηση f x) εχει απειρο αριθµο αοριστων ολοκληρωµατων γι αυτο και χρησιµοποιουµε τον ορο αοριστο ολοκληρωµα) Παραδειγµα: Ισχυει cos x = sin x διοτι sin x) = cos x. Ισχυει επισης cos x = sin x + 66 διοτι sin x + 66) = cos x.

107 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ Θεωρηµα: Το αοριστο ολοκληρωµα εχει τις εξης ιδιοτητες f x) = f x) + c, c f x) = c f x), f x) ± gx)) = f x) ± gx), Παρατηρηση: Συµφωνα µε την προηγουµεν παρατηρης, το c σε ολες τις παραπανω εκφρασεις ειναι µια αυθαιρετη σταθερα Ασκηση: Αποδειξε οτι f x) = f x) + c. Λυση. Ισχυει διοτι f x) + c) = f x) + = f x) Ασκηση: Αποδειξε οτι f x) + g x)) = f x) + g x) + c. Λυση. Ισχυει διοτι f x) + g x) + c) = f x) + g x) + = f x) + g x) Θεωρηµα: Τα παρακατω ειναι ϐασικα αοριστα ολοκληρωµατα. = x + c, x m = x m+ + c m ) m + = ln x + c x e x = e x + c sin x = cos x + c cos x = sin x + c tan x = ln cos x + c sinh x = cosh x + c 6... Ασκηση: Υπολογιστε το x. Λυση. Ειναι x = x3 3 + c. cosh x = sinh x + c tanh x = ln cosh x + c

108 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ 6... Θεωρηµα: Αλλα σηµαντικα αοριστα ολοκληρωµατα ειναι τα εξης. x ) = arcsin + c a x a x a = a ln x a x + a + c a + x = a arctan x a ) + c a x = a ln a + x a x + c = arccos h x x a a ) + c = ln x + x a + c = arcsin h x a + x a ) + c = ln x + x + a + c Ασκηση: Υπολογισε το Λυση. Θετοντας a =, εχουµε = 4 x 4 x. = arcsin x x ) + c Θεωρηµα: Αλλα σηµαντικα αοριστα ολοκληρωµατα ειναι τα εξης. cosx) = ln + sin x sin x + c sinx) = ln cos x + cos x + c a x = x a x + a x ) arcsin + c a a + x = x a + x + a x ) arcsin h + c a x a = x x a a x ) arccos h + c a a + x = x a + x + a ln x + x + a + c x a = x x a a ln x + x a + c Ασκηση: Υπολογισε το 9 x. Λυση. Θετοντας a = 3, εχουµε 9 x = 3 x = 9 x x + 9 x ) arcsin + c Ασκηση: Υπολογισε το 4 + 9x.

109 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ 3 Λυση. Εχουµε 4 ) 4 + 9x = 3 + x 9 = 8 7 ln x + ) 8x x 8x c Θεωρηµα Ολοκληρωση µε Αντικατασταση): Εστω f x) συνεχης συναρτηση και g x) παραγωγισιµη συναρτηση. Τοτε ) f gx))g x) = f u)du + c. 6.3) u=gx) Αποδειξη. Εστω οτι F u) = f u)du. Τοτε, απο τον κανονα αλυσωτης παραγωγισης εχουµε που ειναι ισοδυναµο µε το Αλλα F u) = F g x))) = F g x)) g x) F g x)) + c = f u)du F g x)) = Συνδυαζοντας τις 6.4)-6.5) παιρνουµε το Ϲητουµενο : ) F g x)) g x) = f u)du F g x)) g x). 6.4) f u)du u=gx) ) u=gx) + c.. 6.5) Παρατηρηση: Η παραπανω ιδιοτητα ειναι εξαιρετικα χρησιµη για τον υπολογισµο αοριστων ολοκληρωµατων, οπως ϑα ϕανει απο τα παρακατω παραδειγµατα. ) Παραδειγµα: Για να υπολογισουµε το x 3 + 3x δουλευουµε ως εξης. Θετου- µε u x) = x 3 +, f u) = u και παρατηρουµε οτι u x) = 3x και οτι ) x 3 + 3x = f u x)) u x). Οποτε ) x 3 + 3x = f u x)) u x) = f u) du = u / du = 3 u3/ = x 3 + ) 3/ + c. 3

110 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ Παρατηρηση: Συνηθως ϑα ειναι πιο ευκολο να δουλευουµε µε τον συµβολισµο du αντι του u x). Με αυτο τον συµβολισµο η ϐασικη ιδιοτητα γραφεται f u x)) du = f u) du. Το δε προηγουµενο παραδειγµα γραφεται ως εξης : u = x 3 +, f u) = u και παρατηρουµε οτι du = 3x και f u x)) du = f u) du = u / du = 3 u3/ = x 3 + ) 3/ + c Ασκηση: Υπολογισε το sin x 3 + ) 3x. Λυση. Θετουµε u = x 3 +, du = 3x και sin ) x 3 + 3x = sin u) du = sin u) du = cos u) + c = cos x 3 + ) + c 6... Ασκηση: Υπολογισε το cos 5 x sin x. Λυση. Θετουµε u = cos x, du = sin x, οποτε cos 5 x sin x = u 5 du = 6 u6 = 6 cos6 x Παρατηρηση: Μερικες χρησιµες αντικαταστασεις ειναι οι εξης.. Για µορφη a + b x χρησιµοποιω x = a b tanu) και παιρνω a + tan u) = a cosu).. Για µορφη a b x χρησιµοποιω x = a sinu) και παιρνω a sin z) = a cosu). b 3. Για µορφη b x a χρησιµοποιω x = a και παιρνω a b cosu) sin u) = a tanu). 4. Για µορφη b x a χρησιµοποιω x = a b coshu) και παιρνω a cosh u) = a sinhu) Θεωρηµα Παραγοντικη Ολοκληρωση): Εστω f x), g x) παραγωγισιµες συναρτησεις. f x)g x) = f x) g x) g x) f x). 6.6) Αποδειξη. Εχουµε f x) g x) = f x)gx)) [f = x)g x) + g x) f x) ] = f x)g x) + g x) f x) απο το οποιο προκυπτει η Ϲητουµενη 6.6).

111 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ Παρατηρηση: Η παραπανω ιδιοτητα ειναι εξαιρετικα χρησιµη για τον υπολογισµο αοριστων ολοκλρωµατων, οπως ϑα ϕανει απο τα παρακατω παραδειγµατα Ασκηση: Υπολογισε το xe x. Λυση. Θετοντας f = e x, g = x, εχουµε xe x = xe x Ασκηση: Υπολογισε το x cos x. Λυση. Θετοντας f = sin x, g = x, εχουµε x cos x = x sin x Ασκηση: Υπολογισε το x sin x. Λυση. Θετοντας f = cos x, g = x, εχουµε x sin x = x cos x + e x = xe x e x + c. sin x = x sin x + cos x + c. cos x = x cos x + sin x + c Παρατηρηση: Συνηθως ϑα ειναι πιο ευκολο να δουλευουµε µε τον συµβολισµο du αντι του u x). Με αυτο τον συµβολισµο ο τυπος της παραγοντικης ολοκληρωσης γραφεται f x) dg = fg g x) df. Η «αποδειξη» ειναι η εξης : d df fg) = g + f dg d fg) = gdf + fdg fg = d fg) = gdf Ορισµος: Με τον ορο «στοιχειωδες κλασµα» εννοουµε οποιοδηποτε απο τα παρακατω A, x x A ax + bx + c, Ax + b ax + bx + c, A fdg., x x ) ) A, ax + bx + c) ) Ax + b, ax + bx + c) ) Προσοχη: Οταν στις 6.8) και 6.9) b 4ac αναγοµαστε στην 6.7). Αρα µας ενδιαφερει η περιπτωση b 4ac <.

112 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ Παρατηρηση: Μπορουµε να υπολογισουµε το ολοκληρωµα καθε στοιχειωδους κλασµατος. ινουµε µερικα παραδειγµατα παρακατω ϑετουµε E = 4ac b ): A = A ln x x, x x A x x ) = A, x x A ax + bx + c = A ax + b arctan, E E A ax + bx + c) = A ax + b) E ax + bx + c) + 4Aa ax + b arctan, E 3 E Ax + B ax + bx + c = A a ln ) ax B + bx + c + arctan ax + b ) A E E E b arctan ax + b ). a E Ορισµος: Η συναρτηση f x) = Px) λεγεται ϱητη ανν τα Px) και Qx) ειναι πολυωνυµα. Qx) Παρατηρηση: Μπορουµε να υπολογισουµε το ολοκληρωµα καθε ϱητης συναρτησης µε αναγωγη αυτης σε αθροισµα στοιχειωδων κλασµατων. Ας υποθεσουµε οτι στην ϱητη συναρτηση Px)/Qx) ο ϐαθµος του Px) ειναι µικροτερος απο τον ϐαθµο του Qx). Εστω µια ϱιζα x του Qx). ιακρινουµε τις εξης περιπτωσεις.. Αν η ϱιζα ειναι πραγµατικη και απλη, τοτε στην αναπτυξη της Px)/Qx) ϑα εµφανιζεται ενα κλασµα της µορφης A. x x. Αν η ϱιζα ειναι πραγµατικη και πολλαπλοτητας n, τοτε στην αναπτυξη της Px)/Qx) ϑα εµφανιζονται n κλασµατα της µορφης A x x, A x x ),..., A n x x ) n. 3. Αν η ϱιζα x ειναι µιγαδικη και απλη, τοτε η συζυγης x ειναι επισης ϱιζα του Qx) και το γινοµενο x x )x x ) ϑα ισουται µε ax + bx + c οπου τα a, b, c ϑα ειναι πραγµατικοι αριθµοι. Στην αναπτυξη της Px)/Qx) ϑα εµφανιζεται ενα κλασµα της µορφης Ax + B ax + bx + c. 4. Τελος, αν η ϱιζα x ειναι µιγαδικη και πολλαπλοτητας n, στην αναπτυξη της Px)/Qx) ϑα εµφανιζεται n κλασµατα της µορφης Ax + B ax + bx + c, Ax + B ax + bx + c),..., Ax + B ax + bx + c) n Ετσι, οποιαδηποτε ϱητη συναρτηση f x) µε ϐαθµο του P x) µικροτερο απο αυτο του Q x) µπορει να ολοκληρωθει µε αναπτυξη σε στοιχειωδη κλασµατα. Αν παλι ο ϐαθµος του Px) ειναι µεγαλυτερος του ϐαθµου του Qx), µε πολυωνυµικη διαιρεση παιρνουµε f x) = P x) + P x) Qx)

113 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ 7 οπου τα P x), P x) ειναι πολυωνυµα και ο ϐαθµος του P x) µικροτερος απο αυτο του Q x). Ετσι µπορουµε και παλι να ολοκληρωσουµε την f x) Ασκηση: Υπολογισε το. x Λυση. Θετουµε x = A x + B A + B) x + A B) =. x + x Αρα } { A + B = A = } A B =, B = και εχουµε x = x x + = ln x ln x + ) = ln x x + + c. x Ασκηση: Υπολογισε το x +)x +x+). Λυση. Εχουµε x x + ) x + x + ) = Ax + B x + + Cx + D x + x + απο το οποιο προκυπτει το συστηµα A + C = A + B + D = A + B + C = B + D = µε λυση, A =, B =, C =, D =, δηλ. x x + ) x + x + ) = x x + x x + x + = ln ) x + ln ) 3 x + x arctan 3 3 x + ) + c Ορισµος: Εστω µια συναρτηση f x) ορισµενη σε ενα X R. Εστω ενα a, b X τετοια ωστε η f x) να ειναι συνεχης στο κλειστο διαστηµα µε ακρα τα a, b. Το ορισµενο ολοκληρωµα της f x) b συµβολιζεται ως f x) και οριζεται ως εξης : a b a f x) = Fb) Fa) οπου Fx) ειναι οποιαδηποτε συναρτηση ικανοποιει F x) = f x) ισοδυναµα F x) = f x) ). b Παρατηρηση: Προσεξε οτι αναγκαια συνθηκη για τον ορισµο του f x) ειναι η a συνεχεια της f x) στο κλειστο διαστηµα µε ακρα τα a, b.

114 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ Ασκηση: Υπολογισε το x. Λυση. Ξερουµε οτι F x) = x = Θετοντας a =, b =, παιρνουµε x. x = F ) F ) = = Συµβολισµος: Στον υπολογισµο του ορισµενου ολοκληρωµατος, πολλες ϕορες ϑα γρα- ϕουµε F x) x=b ως συντοµογραφια του F b) F a). x=a π/ Ασκηση: Υπολογισε το cos x. Λυση. Εχουµε π/ π ) cos x = sin x) x=π/ x= = sin sin ) = Θεωρηµα: Το ορισµενο ολοκληρωµα σε αντιθεση µε το αοριστο) της f x) ειναι µοναδικο. Αποδειξη. Εστω F x) = f x), F x) = f x), δυο αοριστα ολοκληρωµατα της f x). Εχουµε } F x) = f x) F x) = f x) F x) F x) = F x) F x) = c F x) = F x) + c. Μπορουµε να ορισουµε Αλλα I = b a f x) = F b) F a), I = b a f x) = F b) F a). I = F b) F a) = F b) + c F a) c = F b) F a) = I Θεωρηµα: Το ορισµενο ολολκληρωµα εχει τις εξης ιδιοτητες. a a b a b a b a b a f x) = 6.) f x) = a b c f x) = c f x) 6.) b [f x) ± gx)] = f x) + f x) 6.) a b f x) ± b a a c c f x) = b a gx) 6.3) f x) 6.4)

115 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ 9 b Ασκηση: Αποδειξε οτι f x) = a f x). a Λυση. Εστω F x) = f x), ενα αοριστο ολοκληρωµα της f x). Τοτε b a f x) = F b) F a) = F a) F b)) = b Ασκηση: Αποδειξε οτι f x) + c f x) = c f x). a b a Λυση. Εστω F x) = f x), ενα αοριστο ολοκληρωµα της f x). Τοτε b a f x) + c b b a b f x). f x) = F b) F a) + F c) F b) = F c) F a) = c a f x) Θεωρηµα Μεσης Τιµης): Εστω οτι η f x) ειναι συνεχης στο [a, b]. Τοτε υπαρχει x [a, b] b τετοιο ωστε f x) = b a) f x a ). Αποδειξη. Εστω F x) = f x). Τοτε F x) = f x). Αφου η f x) ειναι συνεχης αρα και καλως ορισµενη) στο [a, b], η F x) ειναι παραγωγισιµη στο [a, b], Τοτε απο το Θεωρηµα Μεσης Τιµης του Κεφαλαιου ξερουµε οτι υπαρχει x a, b) τετοιο ωστε F F b) F a) x ) = b a F b) F a) f x ) = b a Θεωρηµα: Οριζουµε την συναρτηση F x) = b a x Η F x) ειναι συνεχης, παραγωγισιµη και df = f x). du Αποδειξη. Εχουµε F F x + x) F x) = = x x x+ x a a f x) = b a) f x ). f u) du. f u) du x f u) du a = x x+ x Απο το Θεωρηµα Μεσης Τιµης γνωριζουµε οτι υπαρχει ξ x, x + x) τετοιο ωστε x+ x Αντικαθιστωντας στην 6.5) παιρνουµε Τωρα x f u) du = x + x x) f ξ) = f ξ) x. F f ξ) x = = f ξ). x x df = lim F x x = lim f ξ) = f x) x x f u) du x. 6.5) αφου για καθε x ισχυει x ξ x + x. Ετσι εχουµε αποδειξει οτι df = f x), αρα η F x) ειναι παραγωγισιµη αρα και συνεχης.

116 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ Θεωρηµα: Το ορισµενο ολοκληρωµα εχει τις εξης ιδιοτητες. x [a, b] : f x)) x [a, b] : gx) f x)) b a b a f x) 6.6) gx)d x [a, b] : A f x) B) A b a) Ασκηση: Αποδειξε οτι Αποδειξη. Θετουµε Ξερουµε οτι x [a, b] : gx) f x)) H x) = x a f u) du Αρα η H x) ειναι αυξουσα στο [a, b]. Αφου συµπεραινουµε οτι και συγκεκριµενα x a b a g u) du = b a b f x) 6.7) a gx)d x a f x) B b a) 6.8) b x [a, b] : H x) = f x) g x). b H a) = οποτε η αποδειξη εχει ολοκληρωθει. a a a f u) g u)) du =, x [a, b] : H x) H ) = f u) du b a g u) du = H b) a f x) f u) g u)) du Ορισµος: Γενικευµενα Ολοκληρωµατα ου τυπου ειναι αυτα οπου ενα η και τα δυο ορια ολοκληρωσης ειναι απειρα.. Οταν το a = και το b < b οριζουµε f x) = lim u. Οταν το < a και το b = b οριζουµε f x) = lim u 3. Οταν το a = και το b = τοτε οριζουµε b a a a b u u a f x). f x). c v f x) = lim f x) + lim f x), u u v c οπου το c µπορει να ειναι οποιοσδηποτε αριθµος που ανηκει στο R.

117 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ Ασκηση: Υπολογισε το Λυση. Εχουµε Ασκηση: Υπολογισε το Λυση. Εχουµε 4x+)4x+3). M ) 4x + ) 4x + 3) = lim M 4x + 4x + 3 = [ lim M 4 ln 4x + ] x=m 4 ln 4x + 3 x= = 8 lim ln 4M + M 4M + 3 ln 5 ) = 7 ) 7 8 ln. 5 x x + 5 = = lim M = lim M. x x+5 x ) x ) + 4 M M x ) lim M x ) + 4 arctan M + lim M arctan M = π 4 + π 4 = π Ορισµος: Γενικευµενα Ολοκληρωµατα ου τυπου ειναι αυτα οπου η ολοκληρωτεα συναρτηση παρουσιαζει καποια ασυνεχεια στο διαστηµα ολοκληρωσης.. Εστω οτι η συναρτηση f x) παρουσιαζει ασυνεχεια στο a τοτε b a f x) = lim ϸ + b a+ϸ f x).. Εστω οτι η συναρτηση f x) παρουσιαζει ασυνεχεια στο b τοτε b a f x) = lim ϸ + b ϸ a f x). 3. Εστω οτι υπαρχει c µε a < c < b και στο οποιο η συναρτηση f x) παρουσιαζει. Τοτε µπορουµε να ορισουµε b a f x) = lim ϸ + c ϸ a f x) + lim ϸ + b c+ϸ f x). Σηµειωστε οτι το παραπανω αποτελεσµα µπορει να ειναι διαφορετικο απο το c ϸ b ) lim f x) + f x). ϸ + a c+ϸ Ασκηση: Υπολογισε το x ).

118 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ Λυση. Με απλη ολοκληρωση ϑα παιρναµε [ x ) = x Αλλα αυτο ειναι λαθος. Στο σηµειο x = η γενικευµενου ολοκληρωµατος. Εχουµε x ) = lim ε ε + [ ε Ασκηση: Υπολογισε το. x ) /3 Λυση. Υπαρχει ασυνεχεια στο x =. Οποτε x ) x ) + lim ] x= ε ] x= x= =. ειναι ασυνεχης και απαιτειται η χρηση ε + +ε x ) = lim + lim x x= x x=+ε [ = lim ε + ε + ] [ + lim ] ε ε [ ] = lim ε + ε + + lim [ + ] =. ε + ε ε + ε ε + [ ε + [ = lim + lim /3 /3 x ) x ) +ε x ) /3 [ = 3 lim ] x= ε x ) /3 + 3 lim [ ] x= x ) /3 ε + x= ε + x=+ε = 3 lim ε /3 ) /3] + 3 lim /3 ε /3] x= = 3 3 ) +. x=+ε 6. Λυµενα Προβληµατα ε + ε + [ 6... Αποδειξε οτι x = x + c. ) Λυση. Πραγµατι x + c = x + = x Αποδειξε οτι cos x = sin x + c. Λυση. Πραγµατι sin x + c) = cos x + = cos x Αποδειξε τις παρακατω ιδιοτητες. f x) = f x) + c, 6.9) c f x) = c f x) 6.) f x) ± gx)) = f x) ± gx) 6.) f ux))u x) = f u)du. 6.) ] x=

119 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ 3 Λυση. Η 6.9) ισχυει εξ ορισµου. Για την 6.): c F x)) = c F x) = c f x), δηλ. η c F x) ειναι το ολοκληρωµα της c f x). Για την 6.): f x) ± gx)) = f x) ± g x). Η 6.) ειναι στην ουσια µια εναλλακτικη διατυπωση του κανονα της αλυσσωτης παραγωγισησ: [f u x))] = f u) u x) Υπολογισε το x 4 και επαληθευσε την απαντηση. Λυση. Εχουµε x 4 = 5 x 5 + c. Παρατηρουµε δε οτι d 5 x 5 + c) = x Υπολογισε το 5 sin x + e x ) και επαληθευσε την απαντηση. Λυση. Εχουµε 5 sin x + e x ) = 5 sin x + e x = x + 5 cos x + e x + c. Παρατηρουµε δε οτι d x + 5 cos x + ex + c) = e x 5 sin x +. x+ x Υπολογισε το x και επαληθευσε την απαντηση. Λυση. Εχουµε x + x + = x / + + x / x Παρατηρουµε δε οτι = x 3/ 3/ + x + x / / = 4 3 x 3/ + x + x / + c. d 4 ) 3 x 3/ + x + x / + c = x + ) x +. x Υπολογισε το x x x και επαληθευσε την απαντηση. Λυση. Εχουµε Παρατηρουµε δε οτι x Υπολογισε το 3 5 Λυση. Εχουµε x x 3 3 x = 3 x x x = x x x / = x x 3/ = x x 3/4 = x 7/8 = 8 5 x 5/8 + c. 3 3 x x x d 8 ) 5 x 5/8 + c = x 7 8 x x x. και επαληθευσε την απαντηση. x /3 + 5 x / x /3 = x 4/ x 5/6 = x 4/ x 5/6 + c.

120 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ 4 Παρατηρουµε δε οτι d x 4/3 + 6 ) 5 x 5/6 + c = 5 6 ) x + 3 x + 3 = 5 x x 3 3. x ) Υπολογισε το x 3 x. Λυση. Εχουµε ) x 3 ) x = x x / + x / Υπολογισε το cot x. Λυση. Εχουµε cos cot x sin x = sin x = x = sin x = x 4/3 x /3 + x /3) = 3 7 x 7/3 6 5 x 5/ x 4/3 + c. sin x = cot x x + c Υπολογισε το x). Λυση. Θετοντας u = x, du = εχουµε x) = x) d x) = u + c = x) + c Υπολογισε το 6 x. Λυση. Θετουµε sin u = x, cos udu =. Τοτε x = 4 sin x4 cos udu = 6 = 8 du + 8 cos udu = 8u + 4 sin u). + cos u cos udu = 6 du Τωρα, u = arcsin x. Επισης, sin u) = sin u cos u = x x. Οποτε τελικα x = 8 arcsin x 4 + x 6 x + c Υπολογισε το. 3x 8x+5 Λυση. Με συµπληρωση τετραγωνου εχουµε 3x 8x + 5 = 3 x 4 ) 3 3. Οποτε µε u = x 4 ) εχουµε 3 3x 8x + 5 = du 3 = 3u 3 u ) du = 3 ) 3u dt 3u + 3 = ln u 3 ln u + 3 = ln 3x 5 3x 3 + c

121 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ 5 +e Υπολογισε το x. e x Λυση. Με τον µετασχηατισµο u = e x, du = e x εχουµε + e x + u e = x u u du = u ) du = ln u + ln u u = ln e x + ln e x = ln e x + x + c. x Υπολογισε το Λυση. Εχουµε x 7x+. x 7 x x 7x + = 7x + ) d x 7x + ) == = ln x 7x + + c. x 7x + x 7x + x sin x x Υπολογισε το cos x. sin x Λυση. Εχουµε x sin x x cos x x ) sin x x sin x) ) x = = = x sin x sin x sin x sin x + c Υπολογισε το x +x). Λυση. Θετουµε cos u = x, sin udu =. Τοτε x + x) = sin udu sin u + cos u) = du + cos u = cos u x = + cos u = + x + c. du cos u Υπολογισε το sin 3 x cos x. Λυση. Θετουµε u = cos x, du = sin x. Τοτε sin 3 x cos x = sin x cos x sin x = u ) u du = u u 4) du = u3 3 + u5 5 = cos3 x + cos5 x + c Υπολογισε το sin x cos x. Λυση. Εχουµε sin x cos x = sin x) ) = cos 4x) 4 4 = 8 x cos 4x) = x 8 sin 4x) + c. 3 = tan u

122 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ Υπολογισε το sin x cos 3 x. Λυση. Θετω u = cos x, du = sin x. Τοτε sin x cos 3 x = cos 3 xd cos x) = u 3 du = 4 u4 = 4 cos4 x + c Υπολογισε το sin x cos 4 x. Λυση. Εχουµε + cos x ) sin cos 4 x = sin x cos x) cos x = 4 sin x) = sin x) + sin x) cos x) 8 8 = cos 4x) + sin x) d sin x)) 8 6 = 6 x sin 4x) sin3 x) + c. x cos x 6... Υπολογισε το x sin x+cos. x Λυση. Θετουµε u = x sin x + cos x, du = sin x + x cos x sin x). Τοτε x cos x du x sin x + cos x = = ln u = ln x sin x + cos x) + c. u Υπολογισε το sin 7 x. Λυση Με u = cos x, du = sin x 3 sin 7 x = sin 6 x sin x = cos x) d cos x) = u ) 3 du = 3u + 3u 4 u 6) du = u + u u5 + u7 7 = cos x + cos 3 x 3 5 cos5 x + cos 7 x + c Υπολογισε το sin 4 x. Λυση. Εχουµε sin ) ) ) cos x) cos x) sin 4 x = x = = + cos x) 4 4 = x 4 4 sin x) + + cos 4x) = x sin x) + x 8 + sin 4x) + c Υπολογισε το x x+ 3 x+. Λυση. Θετοντας u = x + ) /6 εχουµε u 6 = x +, 6u 5 du =. Τοτε x 3 x + x + = 6 u6 ) u 5 u6 ) u 5 du = 6 u 3 u u u ) du = ) 6 u 3 u 5 + u 4 + u 3 + u + u + du ) u 9 = u8 8 + u7 7 + u6 6 + u5 5 + u4 4

123 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ 7 ) x + ) 9/6 x + )8/6 x + )7/6 x + ) x + )5/6 x + )4/6 = Υπολογισε το x. Λυση. Θετοντας u = x, du =, εχουµε 3 x = u /3 du = 3 8 u4/3 = 3 8 x)4/3 + c. x Υπολογισε το x +). x + Λυση. Θετοντας u = x +, du = x, εχουµε x x + ) = x + du u = u 3/ du = 3/ ) u / = + c. x Υπολογισε το e 3x+ Λυση. Θετοντας u = 3x +, du = 3, εχουµε e 3x+ = 3 x Υπολογισε το. x+5) Λυση. Θετοντας u = x + 5, du =, εχουµε x u 5) / x + 5) = u du = 4 e u du = 3 eu = 3 e3x+ + c. u 5 u du = 4 du u 5 4 = 4 ln u 5 4 u = 4 ln x x c Υπολογισε το x x 3. Λυση. Θετοντας u = x 3, du =, εχουµε x x 3 = u + 3) u / du = u 3/ + 3u /) du du = 5 u5/ u3/ = 5 x 3)5/ + x 3) 3/ + c. ln x Υπολογισε το. x Λυση. Θετουµε u = ln x, du = /x, οποτε ln x x = udu = u = ln x) + c. x+/ Υπολογισε το. x +x+3 Λυση. Θετουµε u = x + x + 3, οποτε du = x + ). Ετσι x + / x + x + 3 = du u = ln u = ln x + x c. u

124 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ Υπολογισε το x+ x+3. Λυση. Θετουµε u = x + 3, udu =. Τοτε x + x + = udu 3 u 3 + = u u u + u 3 du ) = u ) + 3 du = u + 3) ln u + 3 ln u + 3 = ln ) 3 x ln ) x c Υπολογισε το x 3 e x. Λυση. Θετοντας f = x 3, g = e x, εχουµε x e x = x 3 e x 3 x e x = x 3 e x 3 x e x ) e x = x 3 e x 3x e x + 3 xe x = x 3 e x 3x e x + 6 xe x = x 3 e x 3x e x + 6xe x 6e x + c. e x Υπολογισε το x ln + x ). Λυση. Θετοντας f = x /, g = ln + x ), εχουµε x ln + x ) = x ln + x ) x x + x = x ln + x ) x / + x d x ) = x ln + x ) x + ln + x ) + c Υπολογισε το sin x. Λυση. Εχουµε sin x = sinx)dcosx)) = sinx) cosx) + cosx)dsinx)) = sinx) cosx) + cos x) = sinx) cosx) + sin x)) = sinx) cosx) + x sin x). ηλαδη sin x) = sinx) cosx) + x sinx) cosx) + sin x x) =. sin x) sin x) = sinx) cosx) + x ) Υπολογισε το x arctan x.

125 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ 9 Λυση. Θετοντας f = x, g = arctan x, εχουµε x arctan x = x x arctan x x x d arctan x) = arctan x + x = x arctan x x + x + = x arctan x + = x arctan x x + arctan x + c Υπολογισε το e ax sin bx). Λυση. Θα υπολογισουµε ταυτοχρονως τα J = e ax sin bx) και J = e ax cos bx). J = e ax sin bx) = eax sin bx) x e ax sin bx)) a = a eax sin bx) b e ax cos bx) = a a eax sin bx) b a J. J = e ax cos bx) = eax cos bx) x + e ax cos bx)) a = a eax cos bx) + b e ax sin bx) = a a eax cos bx) + b a J. ηλ. εχουµε J + b a J = eax sin bx), a Λυνοντας το συστηµα ως προς J, J παιρνουµε b a J + J = eax cos bx). a J = beax cos bx ae ax sin bx, J a + b = aeax cos bx + be ax sin bx a + b Υπολογισε το ln x). Λυση. Θετοντας f = x, g = ln x), εχουµε ln x) = x ln x) ) xd ln x) = x ln x) x ln x) x ) = x ln x) ln x = x ln x) x ln x xd ln x) = x ln x) x ln x x ) x = x ln x) x ln x + x + c Υπολογισε το. x +4x+5 Λυση. Εχουµε, µε συµπληρωση τετραγωνου, οτι x + 4x + 5 = x + x + + = x + ) +. x + Οποτε x + 4x + 5 = d x + ) = arctan x + ) + c. x + ) +

126 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ x Υπολογισε το x+3 Λυση. Θετουµε Αρα x )x )x 3). x x + 3 x ) x ) x 3) = A x + B x + C x 3 A x ) x 3) + B x ) x 3) + C x ) x ) = x ) x ) x 3) = A + B + C) x 5A + 4B + 3C) x + 6A + 3B + c). x ) x ) x 3) A + B + C = 5A + 4B + 3C = 6A + 3B + C = 3 Η λυση ειναι A =, B = 3, C = 4 και ετσι x x x ) x ) x 3) = x + x x 3 = ln x + 3 ln x 4 ln x 3 + c. x Υπολογισε το x. x 3 +x 6x Λυση. Εχουµε x x = x + ) x ) και x 3 + x 6x = x x + 3) x ). Οποτε x x x 3 + x 6x = x + x x + 3). Εχουµε επισης x + x x + 3) = A x + B A + B) x + 3A = x + 3 x x + 3) οποτε A + B =, 3A = και A = /3, B = /3 και x x x 3 + x 6x = 3 x + 3 x + 3 = 3 ln x + ln x c Υπολογισε το Λυση. Εχουµε x 4 x 3 +x. x 4 x 3 + x = x x ) x + και ο ορος x x + δεν εχει πραγµατικες ϱιζες. Οποτε ϑετουµε x 4 x 3 + x = A x + B x + Cx + D x x + = A + C) x 3 + A + B + D) x + A B) x + B. x x x + ) Οποτε εχουµε A + C = A + B + D = A B = B =

127 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ που εχει λυση A =, B =, C =, D =. Ετσι x 4 x 3 + x = x + x x x x + = ln x x ln ) 3 x x + 3 arctan 3 3 x ) + c. 3 x Υπολογισε το 4 3x 3 3x +. x+) x 3) Λυση. Αφου x + ) x 3) = x 3 x 5x 3, ο ϐαθµος του αριθµητη ειναι υψηλοτερος αυτου του παρονοµαστη, αρα πρεπει να εκτελεσουµε πολυωνυµικη διαιρεση. Εχουµε x 4 3x 3 3x +x + x 3 x 5x 3 x 4 x 3 5x 3x x x 3 +x +3x + x 3 +x +x +6 7x +4 που δινει πηλικο x και υπολοιπο 7x + 4, δηλ. x 4 ) 3x 3 3x + 7x + 4 = x + x + ) x 3) x + ) x 3) = x x 7x 4 x + ) x 3). Για το τελευταιο ολοκληρωµα εχουµε 7x 4 x + ) x 3) = A x + + B x + ) + C x 3) = A + C) x + A + B + C) x + 3A 3B + C) x 3) x + ) οποτε A + C = A + B + C = 7 3A 3B + C = 4 µε λυση A = 7, B =, C = 7 και ετσι x 4 7/6 x + ) x 3) = x + + /4 x + ) + 7/6 ) x 3 = 4 x + ) 7 7 ln x + ) + ln x 3). 6 6 Τελικα το Ϲητουµενο ολοκληρωµα ισουται µε x x + 4 x + ) ln x + ) ln x 3). 6

128 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ x Υπολογισε το 3 5x x+5. x+3 Λυση. Εδω απαιτειται η χρηση πολυωνυµικης διαιρεσης του x 3 5x x + 5 µε το x + 3. Εχουµε x 3 5x x +5 x + 3 x 3 +3x x 4x 8x x +5 8x x +5 που δινει πηλικο x 4x και υπολοιπο 5, δηλ. x 3 5x x + 5 x + 3 = x 5 4x + x + 3. Οποτε εχουµε x 3 5x x + ) 5 = x 5 4x + = x 3 x + 3 x x + 5 ln x c Αποδειξε τις εξης ιδιοτητες. Λυση. Για την 6.3): Για την 6.4): a a b a b a b a b a f x) = 6.3) f x) = a b c f x) = c f x) 6.4) b [f x) ± gx)] = f x) + c b f x) = f x) 6.5) a b a c a f x) ± Για την 6.5): Για την 6.6): b a b a b a a a b f x) = F a) F a) =. f x) = F b) F a) = F a) F b)) = cf x) = cf b) cf a) = c F b) F a)) = c f x) ± g x)) = F b) ± G b) F a) ± G a)) = F b) F a)) ± G b) G a)) = a gx) 6.6) f x) 6.7) b a b b a f x). f x). f x) ± b a a gx).

129 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ 3 Για την 6.7): b a f x) Αποδειξε οτι c Λυση. Θεωρησε την συναρτηση b f x) = F b) F a) + F c) F b) = F c) F a) = x [a, b] : f x)) F x) = x a f u) du. b a f x) Εχουµε α) F x) = f x) και ϐ) F a) =. Αρα η F x) ειναι αυξουσα, οποτε x a F x) F a) =. Αν ϑεσουµε x = b, εχουµε F b) = b f x). a Υπολογισε το ολοκληρωµα x. Λυση. Εχουµε [ ] x x= x = = = 3. x= π +cos x Υπολογισε το ολοκληρωµα. Λυση. Εχουµε π + cos x π π = cos x = cos x = π/ Υπολογισε το ολοκληρωµα 49 x. Λυση. Θετουµε x = 7 sin u, = 7 cos udu, οποτε 7 49 x = 7 = 49 7 u=π/ cos x = [sin x] x=π/ x= = sin u cos udu u= Υπολογισε το ολοκληρωµα x. Λυση. Εχουµε [ u sin u cos udu = ] u=π/ u= c a = 49 4 π. f x). x = x) + x ) = [x x ] x= x= [ x + x ] x= x= =.

130 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ Υπολογισε το ολοκληρωµα 4 x 3. Λυση. Εχουµε 4 x ) = x Υπολογισε το Λυση. Εχουµε. +x 3 M 4 x ) = 4. + x = lim M + x = lim [arctan M x]m = lim arctan M arctan = π/ = π/. M Υπολογισε το x π e x /. Λυση. Εχουµε x x= ) e x / e x / x u= e u = d = du = lim π x= π u= π π M = [ lim ] e u u=m = u= lim [ e M] =. π π π Υπολογισε το. x x + M Λυση. Θετοντας x = du, =, εχουµε u u x= x= x x Υπολογισε το Λυση. Εχουµε = =. x x = u= u= u= u= M u=m u= u du u + u [ du = ln u + ] u= + u = ln + ). + u x ε + ε x + ε + u= = lim x + lim +ε x x + = lim [ln x ]x= ε + x= + lim [ln x ]x= + x=+ε ln 3 ε ε = lim [ln ε ln ] + lim [ln ln ε] ln ε ε = + ln 3 e u du το οποιο ειναι απροσδιοριστο. Αρα το ολοκληρωµα x δεν ειναι ορισµενο.

131 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ Υπολογισε το Λυση. Εχουµε x. x = lim x + lim ε x = lim [ x]x= ε ε + x= + lim [ x]x= ε + x=ε = lim [ε ] + lim [ + ε] = + =. + + ε + ε ε 6.3 Αλυτα Προβληµατα Αποδειξε οτι :. x = 3 x 3 + c.. = x + c. 3. x = 3 x 3/ + c. 4. sin = cos x + c. 5. = ln x + c. x Υπολογισε τα ολοκληρωµατα.. x 3. Απ. 4 x 4 + c. ε + ε. x + 4). Απ. x + 4x, µε u = x + 4, du = ). x Απ. x4 +5 x 4 + 5), µε u = x 4 du = 4x 3 ). 4. x + Απ. x 3 +6x+). 3 ln x 3 + 6x + ), µε u = x 3 + 6x +, du = 3x + 6)). 5.. Απ. ln 4x ), µε u = 4x, du = 4. 4x 4 6. e x + ) e x. Απ. 3 ex + ) 3, µε u = e x, du = e x. sinx)+cosx) 7.. cosx) sinx) Απ. cosx) + cosx) cosx) = ln cos x) + x. 8.. Απ. arcsin x, µε u = x, du =. 9 x Απ. arcsin x, µε u = x, du =. 9 4x x +5. Απ. arctan 5 x, µε u = 5 x, du = 5.. e /x x. Απ. e x, µε u = x.

132 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ 6. Υπολογισε το. e x + Απ. ln e x + ) + ln e x), µε u = e x +, du = e x Υπολογισε τα ολοκληρωµατα.. e x cose x ). Απ. sin e x), µε u = e x, du = e x.. 4 x+). Απ. arcsin x + ), µε u = x, du =. 3.. Απ. arcsin x + ), δες το παραπανω. 4x x 4.. Απ. arctan e x), µε u = e x, du = e x. e x +e x 5.. Απ. ln 3x ) ln 3x + ). 9x 4 x Απ. x x arcsinh x, µε u = x + 4, και σπανοντας το ολοκληρωµα σε +4 δυο µερη. 7.. Απ. +4x x arcsin 4 4 x ), µε συµπληρωση του τετραγωνου. x Απ x x 4x x ) + arcsin x + ), µε u = x + 3, συµπληρωση του 3 3 τετραγωνου και διασπαση του ολοκληρωµατος σε δυο µερη Υπολογισε τα ολοκληρωµατα.. cos 3 x. Απ. 3 cos x sin x + sin x, µε u = sin x. 3. sin x cos x. Απ. 4 sin x cos3 x + 8 cos x sin x + 8 x, µε sin x cos x = sin x. 3. cos x) sinx). Απ. 3 cos3 x, µε u = cos x, du = sin x. 4. +cosx). Απ. tan x, µε αντικατασταση cos x = tan x. +tan x 5. sin x cos 4x. Απ. cos 6x + cos x, µε sin x cos 4x = sin 6x sin x Υπολογισε τα ολοκληρωµατα.. sinh x. Απ. cosh x.. e x sinh x. Απ. cosh x sinh x x + cosh x, µε sinh x = ex e x 3.. Απ. ln 3x 9x + 9x 4) ), µε u = 3 x x + 9. Απ. x 4x + 9) arcsinh 3 x, µε u = arcsinh 3 x. 5. 9x 4. Απ. ln 3x ) ln 3x + ), µε u = 3 x.

133 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ 7 6. x 9+x. Απ. 9x [ 9 + x ), µε x = 3 tan u, = + x )du. d a 9 b tanu)) = a du b + tan u ) ] x 7.. Απ. x x x 9) + 9 ln x + x 9) ), µε x = 9 cosz), = x. x Απ. 4 9x ) arctanh 4 9x ), µε x = sinz), = cos zdz Απ. arctanh x 9+4x x ), µε x = 3 tanu), = 3 cos z) dz).. x x x. tanz) cosz) dz. Απ. x x x ) 3 x x ) + 3 arcsin x ), µε x = sinz), = cosz)dz.. x 4 x 4 x), µε 4 x = z, = zdz.. x ). Απ. arctanh x+3 x + 3), µε x + 3 = u, = udu. 3.. Απ. x 9+x ) 3/ 9 9+x ). ) x 4. 5 ) 3 +x. Απ. 5 x x + + x Υπολογισε τα ολοκληρωµατα... x /3 x /3 Απ. 3 3 x ln ) ) 3 x + ln 3 ) x + 3 x + ln x ), µε x = u 3, = 3u du.. +sinx) cosx). Απ. ln ) tan x ln tan ), µε sinx) = u, = +u 3. 3+sinx). Απ. arctan 6 tan x + ) x sin x. Απ. sin x x cos x. +u dz. 5. x 3 ln x. Απ. lnx)d x 4 ) = x 4 lnx) x 4 dlnx)) = x 4 lnx) 4 4 x 4 = x 4 ln x x 4. x arcsin x. Απ. x arcsin x + x. 7. x sin x. Απ. x cos x + cos x + x sin x. 8. tan x. Απ. x arctan x ln + x ). 9. x e x. Απ. x e x xe x 4 e x.. coslnx)). Απ. x sin ln x) + cos ln x)).

134 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ Υπολογισε τα ολοκληρωµατα.. ln x 3) ln x + 3)). x x+ ) = ln x + 3) ln x + ). x +5x+6 x+3 x+ 3. x+ x 3 x x+. Απ. 3 + x ) 4x ) 4x+) x+ 4.. Απ. x+) 3 5. x +x+3 x +x 3 x. Απ x 5x ) 5 x+) 3 + ) = 3 ln x + ) 4 x+) ) = x+). x+ x ) 4 ln x ). ) = 9 ln x ) ln + x ) 3 arctan x. +x Απ. ln x + 6) + ln x + ). x +7x x 7. +3x 4. Απ. x + ln x + ) + 4 ln x 4). x x Απ. ln x ln + x ). x 3 +x x x x. Απ. arctan x +) x + ln x + ). x +.. Απ. e x 4e x Αποδειξε οτι. 4e x ln 6 ex ) + ln 6 ex 4). x [a, b] : gx) f x)) b a gx)d x [a, b] : A f x) B) A b a) b a b Υπολογισε το γενικευµενο ολοκληρωµα αν αυτο υπαρχει x. Απ.. x. Απ.. x n. Απ. n 4. e x. Απ.. 5. xe x. Απ x. Απ. π/4.. Απ. ln. x +x οταν n >, οταν n. a f x) 6.8) f x) B b a) 6.9)

135 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ 9 8. x e x/. Απ Υπολογισε το γενικευµενο ολοκληρωµα αν αυτο υπαρχει. 6 [ ] /3. 4 x). Απ. 6 / x ). Απ.. x ) 3. Απ. εν υπαρχει. x ) 3. Απ. 3/ Προχωρηµενα Αλυτα Προβληµατα Υπολογισε τα ολοκληρωµατα.. + x ) e x. Απ. xe x. x. +. Απ. arctan x 3 π + arctan x. x 4 x + x Απ. arctan x 3 π + arctan x. x e 4. x. e x + 5. π x sin x +sin x. +. x ln+x). +x lnx). +x b ) lim p f x = b lim p p f a a x p ). Σωστο ή λαθος ; ωσε παραδειγµα Αν η f x) ειναι α) ϑετικη για καθε x και ϐ) µη ϕραγµενη, τοτε f x) =. Σωστο ή λαθος ; ωσε παραδειγµα Αν η f x) ειναι ϕραγµενη και g x) <, τοτε f x) g x) <. Σωστο ή λαθος ; ωσε παραδειγµα Cauchy-Schwarz). Εστω συνεχεις συναρτησεις f x), g x). ειξε οτι f x) g x) [f x)] [g x)].

136 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ Holder). Εστω συνεχεις συναρτησεις f x), g x) και αριθµοι p, q [, ) τετοιοι ωστε + =. ειξε οτι p q b b ) /p b /q f x) g x) f x) p g x) ) q. a Minkowski). Εστω συνεχεις f x), g x) και αριθµος p [, ). ειξε οτι a ) /p /p /p f x) + g x) p = [f x)] ) p + [g x)] ) p Gronwall). Εστω παραγωγισιµες συναρτησεις f x), g x) οι οποιες ικανοποιουν ειξε οτι x [a, b) : df f x) g x). x [a, b) : f x) f a) e Εστω f x) συνεχης στο [, ]. ειξε οτι π xf sin x) = π π/ a x a gu)du. f sin x) Βρες ολες τις f x) συνεχεις στο [, ] οι οποιες ικανοποιουν π Βρες την ελαχιστη τιµη της b οπου η f x) ειναι τυχουσα συνεχης συναρτηση. a f x) x f x)) =. [f x)] xf x) ) Εστω f x) συνεχης στο [a, b]. ειξε οτι b b f x) f x). a Εστω f x) µη αυξουσα στο [, ]. ειξε οτι, για καθε a, ), ισχυει a f x) Εστω f x) συνεχης στο [, ]. ειξε οτι a a f x). f x) ) π f x)).

137 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ Εστω συνεχης συναρτηση f x) τετοια ωστε ειξε οτι λ [, ], x, y R : f λx + λ) y) λf x) + λ) f y). a + b ) a, b R : f b a b a f x) f a) + f b) Μαθ. Ολυµπιαδα). Εστω συνεχης συναρτηση f x) τετοια ωστε x x R : f x) f u) du. ειξε οτι x R : f x) = Μαθ. Ολυµπιαδα). Βρες ολες τις συνεχεις συναρτησεις f : [, ] R τετοιες ωστε x y : y x f u) du = yf y) xf x)) Μαθ. ιαγωνισµος Putnam). Εστω παραγωγισιµη συναρτηση f : [, ] R µε α) συνεχη παραγωγο, ϐ) f ) = και γ) ικανοποιει ειξε οτι x [, ] : < df. f x) ) f x)) 3.

138 Κεφάλαιο 7 Εµβαδόν, Μήκος καί Ογκος b Το ορισµένο ολοκλήρωµα F x) µπορεί να ερµηνευθεί γεωµετρικά ως το εµβαδόν ενός a σχήµατος το οποιο οριζει η F x) καί τα a, b. Οµοίως, το µήκος της καµπύλης την οποία ορίζει η F x) µπορεί να υπολογιστεί µε την χρήση ενός ορισµένου ολοκληρώµατος παροµοια και ο όγκος ενός στερεού το οποίο ορίζεται από την F x). Η ανάλυση καί οι αποδείξεις τού παρόντος κεφαλαίου δεν είναι αυστηρές ϐασίζονται στην διαισθητική κατανόηση του µήκους, του εµβαδού και του όγκου. Μία αυστηρή διαπραγµατεύση ϑα έπρεπε να ξεκινήσει µε ακριβείς ορισµούς αυτών των ποσοτήτων αλλά αυτό ξεφεύγει από τους σκοπούς του παρόντος τεύχους. 7. Θεωρια και Παραδειγµατα 7... Θεωρηµα: Εστω µια συνεχης συναρτηση f x). Επιλεγω σταθερους αριθµους a, b µε a b) και ϑεωρω το σχηµα ή χωριο το οποιο οριζεται απο την f x), τον αξονα των x και τις ευθειες x = a, x = b δες το Σχηµα 7.). Το εµβαδον E του χωριου ειναι E = b a f x). 7.) Σχήµα 7.: Το ορισµενο ολοκληρωµα ως εµβαδον. Απόδειξη. ες το σχηµα 7.. Λαµβανουµε σηµεια x, x,..., x N τετοια ωστε a = x < x <... < x N = b και x n x n = x για n =,,..., N). 3

139 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7. ΕΜΒΑ ΟΝ, ΜΗΚΟΣ ΚΑΙ ΟΓΚΟΣ 33 y f x) α = x x x x 3 x Ν = b Σχήµα 7.: Προσεγγιση του εµβαδου µε αθροισµα εµβαδων ορθογωνιων παραλληλογραµµων. Μπορουµε να προσεγγισουµε το Ϲητουµενο εµβαδον E ως το αθροισµα των N ορθογωνιων παραλληλογραµων που εµφανιζονται στο σχηµα το n-στο παραλληλογραµµο εχει ϐαση µηκους x n x n = x και υψος f x n ), οποτε το εµβαδον του ειναι f x n ) x. Το συνολικο εµβαδον των N παραλληλογραµων ειναι N E N = f x n ) x. n= Η προσεγγιση ειναι τοσο καλυτερη οσο µεγαλυτερο ειναι το N. Φαινεται ευλογο οτι, παιρνοντας το οριο N, ϑα εχουµε E = lim E N 7.) N Μπορουµε να δεχθουµε την 7.) ϐασιζοµενοι στο Σχηµα 7.. Τωρα ϑα δειξουµε διαισθητικα) οτι b το Ϲητουµενο εµβαδον ισουται πραγµατι µε f x) = F b) F a), οπου F x) = f x). a ηλ. ϑα δειξουµε την σχεση µεταξυ του εµβαδου και του ορισµενου ολοκληρωµατος. Για να επιτυχουµε αυτο, µε δεδοµενο a, οριζουµε την συναρτηση E z) η οποια, για καθε z [a, b], δινει το εµβαδον του σχηµατος που οριζεται απο την f x), τον αξονα των x και τις ευθειες x = a, x = z. Παρατηρουµε οτι E b) = E το αρχικα Ϲητουµενο εµβαδον) και E a) = γιατι ;). Η παραγωγος E z) ειναι E z) = lim z E z + z) E z). z Το E z + z) E z) ειναι το εµβαδον του σχηµατος που οριζεται απο την f x), τον αξονα των x και τις ευθειες x = z, x = z + z. Οταν το z ειναι αρκετα µικρο, το εµβαδον αυτο µπορει να προσεγγιστει απο το παραλληλογραµµο µε ϐαση z και υψος f z). ηλ. E z) = lim z x f z) z = f z). 7.3) z Αρα η E z) ειναι οποιοδηποτε αοριστο ολοκληρωµα της f z) µε αλλα λογια, αν εχουµε τυχουσα F z) = f z) dz, τοτε E z) = F z) + c για τυχον c. Για να ισχυει επιπλεον το F a) =, πρεπει να επιλεξουµε καταλληλα την σταθερα ολοκληρωσης c. Θα εχουµε = E a) = F a) + c c = F a) E z) = F z) F a) E b) = F b) F a) = b a f z) dz,

140 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7. ΕΜΒΑ ΟΝ, ΜΗΚΟΣ ΚΑΙ ΟΓΚΟΣ 34 ηλ. εχουµε lim N n= N f x n ) x = b a f x). 7.4) b και ϐλεπουµε οτι το αθροισµα µετατραπηκε στο συµβολο, οπου εχουµε τα σηµεια x a = a, x N = b και το x µετατραπηκε στο λαβετε υποψη οτι καθως το N, το x ). Προφανως η «αποδειξη» ειναι διαισθητικη, οχι αυστηρη Παρατηρηση: Μπορουµε να ξαναγραψουµε την 7.3) στην µορφη de dz = f z) ή και de = f z) dz. 7.5) Η ποσοτητα de στην 7.5) λεγεται στοιχειωδες εµβαδον. Ειναι το εµβαδον ενος εκ των παραλληλογραµων µε απειροστα µικρη ϐαση, στα οποια υποδιαιρουµε το χωριο του οποιου Ϲητουµε το εµβαδον. Απο την 7.5) µπορουµε να γραψουµε και de = f z) dz E = b a de = b a f z) dz 7.6) και η 7.6) µπορει να ϑεωρηθει ως µια εξαιρετικα συντοµη «αποδειξη» του Θεωρηµατος 7... Παρακατω ϑα χρησιµοποιησουµε επανειληµµενα παροµοιους συλλογισµους, για τον υπολογισµο εµβαδων, µηκων και ογκων Ασκηση: Υπολογισε το εµβαδον του χωριου το οποιο οριζεται απο την f x) = x, τον αξονα των x και τις ευθειες x =, x = δες το Σχηµα 7.3). Λυση. Ειναι Σχήµα 7.3: Το εµβαδον της f x) = x, απο a = εως b =. E = x = x x= = x= =. Παρατηρουµε οτι αυτο ισουται µε το εµβαδον οπως υπολογιζεται µε στοιχειωδεις µεθοδους εµ- ϐαδον ορθογωνιου τριγωνου) Ασκηση: Υπολογισε το εµβαδον του χωριου το οποιο οριζεται απο την f x) = x +, τον αξονα των x και τις ευθειες x =, x = δες το Σχηµα 7.4).

141 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7. ΕΜΒΑ ΟΝ, ΜΗΚΟΣ ΚΑΙ ΟΓΚΟΣ 35 Σχήµα 7.4: Το εµβαδον της f x) = + x, απο a = εως b =. Λυση. Ειναι E = x + ) = Παρατήρηση: Ενδέχεται το χωρίο του οποίου Ϲητείται το εµβαδον να περιγραφεται µε τροπο διαφορετικο απο αυτον του Θεωρηµατος 7.. αλλα συνηθως ειναι ευκολο να αναγουµε την εναλλακτικη περιγραφη στην ϐασικη Ασκηση: Υπολογισε το εµβαδον του χωριου το οποιο οριζεται απο την f x) = x και τον αξονα των x δες το Σχηµα 7.5). Σχήµα 7.5: Το εµβαδον της f x) = x, απο a = εως b =. Λυση. Το παραπανω χωριο ειναι αυτο το οποιο περικλειεται απο την f x) = x, τον αξονα των x και τις ευθειες x =, x = γιατι ;). Το Ϲητουµενο εµβαδον ειναι E = ) x = Ασκηση: Υπολογισε το εµβαδον του κυκλου µε κεντρο το σηµειο x, y ) =, ) και ακτινα R = δες το Σχηµα 7.6). Σχήµα 7.6: Το εµβαδον του κυκλου x + y =.

142 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7. ΕΜΒΑ ΟΝ, ΜΗΚΟΣ ΚΑΙ ΟΓΚΟΣ 36 Λυση. Προφανως το Ϲητουµενο εµβαδον ειναι διπλασιο του εµβαδου του ανω ηµικυκλιου του Σχηµατος 7.6, το οποιο ειναι το χωριο που περικλειεται απο την καµπυλη f x) = x, τον αξονα των x και τις ευθειες x = και x = γιατι ;). Οποτε το Ϲητουµενο εµβαδον ειναι E = x = π, οπως ηταν αναµενοµενο Παρατηρηση: Μπορουµε να επεκτεινουµε τον Ορισµο 7.. και να ορισουµε το εµβαδον E το οποιο περικλειεται απο την τυχουσα συναρτηση f x), τον αξονα των x και τις ευθειες x = a, x = b) να ειναι ισο µε E = b a f x). 7.7) Ακοµη και οταν το ολοκληρωµα της 7.7) υπαρχει και αυτο µπορει να µην ισχυει) η ερµηνεια του ως εµβαδον απαιτει ορισµενες διευκρινισεις. b Παρατηρηση: Το f x) µπορει να παιρνει αρνητικες τιµες. Χρησιµοποιουµε την a συµβαση οτι το τµηµα του σχηµατος που ϐρισκεται κατω απο τον αξονα των x εχει αρνητικο εµβαδο δηλαδη το εµβαδον ενος χωριου ειναι προσηµασµενη, αρνητικη η ϑετικη ποσοτητα). Επισης, κατα τον υπολογισµο του εµβαδου µε ολοκληρωση, τα ϑετικα και αρνητικα εµβαδα b αθροιζονται αλγεβρικα. Επισης αρνητικο ειναι το εµβαδον f x) οταν a > b. Ετσι ειναι a δυνατον µια µη µηδενικη συναρτηση f x) να περικλειει αρνητικο ή µηδενικο εµβαδον. Εαν ϑελουµε να υπολογισουµε το «πραγµατικο» απολυτο) εµβαδον χρησιµοποιουµε τον τυπο E = b a f x) Ασκηση: Υπολογισε το εµβαδον του χωριου το οποιο οριζεται απο την συναρτηση sin x, τον αξονα των x και τα σηµεια, ), π, ) δες το Σχηµα 7.7). Σχήµα 7.7: Η sin x απο a = εως b = π περικλειει µηδενικο εµβαδον. Λυση. Ειναι E = π sin x = [cos x] x=π x= = cos π) cos ) = =. Εναλλακτικα µπορουµε να υπολογισουµε το απολυτο εµβαδο ως εξης : E = π sin x = π sin x + π π sin x) = 4.

143 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7. ΕΜΒΑ ΟΝ, ΜΗΚΟΣ ΚΑΙ ΟΓΚΟΣ Παρατηρηση: Περαιτερω, η συναρτηση f x) µπορει να ειναι τετοια ωστε να µην δη- µιουργει ενα γεωµετρικο σχηµα µε καλως ορισµενο εµβαδον. Σε αυτη την περιπτωση δεν ειναι b σαφες οτι το f x) αντιστοιχει σε γεωµετρικο εµβαδον. Θα εξετασουµε παραδειγµατα τετοιων a συναρτησεων στο Εδαφιο Ασκηση: Οριζω την συναρτηση { οταν x ϱητος, f x) = οταν x αρρητος. Η συναρτηση ειναι καλως ορισµενη στο, ) αλλα. δεν µπορουµε να δωσουµε την γραφικη της παρασταση. η f x) δεν ειναι ασυνεχης και αρα και µη παραγωγισιµη) για καθε x, οποτε το ολοκληb ϱωµα f x) δεν ειναι καλως a ορισµενο. b Συµφωνα µε τις παραπανω παρατηρησεις το f x) δεν αντιστοιχει στο εµβαδον καποιου a γεωµετρικου σχηµατος Θεωρηµα: Εστω συναρτηση f x) παραγωγισιµη στο [a, b] και C καµπυλη της γραφικης παραστασης της f x) η οποια περικλειεται απο τις ευθειες x = a και x = b. Τοτε το µηκος της καµπυλης C λεγεται και µηκος τοξου) ειναι b ) df s = ) a Ασκηση. Αποδειξε την 7.8). Λυση. ες το σχηµα 7.8. Εστω οτι το διαστηµα [a, b] χωριζεται σε µικροτερα διαστηµατα [x, x ], [x, x ],..., [x N, x N ], οπου a = x < x <... < x N = b και x x = x x =... = x N x N = x = b a N. Με ϐαση τον ορισµο του Κεφαλαιου 6. Μπορουµε να δωσουµε εναν διαφορετικο ορισµο του ολοκληρωµατος b ολοκληρωµα Lebesgue) συµφωνα µε τον οποιο f x) = για καθε a, b, αλλα αυτο ξεφευγει απο τους στοχους a του παροντος τευχους.

144 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7. ΕΜΒΑ ΟΝ, ΜΗΚΟΣ ΚΑΙ ΟΓΚΟΣ 38 Σχήµα 7.8: Το µηκος καµπυλης ως ορισµενο ολοκληρωµα. Τοτε το µηκος της καµπυλης µπορει να προσεγγιστει απο το µηκος της τεθλασµενης γραµµης A A...A N και η προσεγιση ϑα ειναι τοσο καλυτερη οσο µικροτερο το x, δηλ. καθως N. Θεωρησε το n-στο ευθυγραµµο τµηµα της A A...A N, δηλ. το A n A n. Αυτο εχει µηκος s n = ) fn x + fn = x ) x Αναλογα µε τον προσεγγιστικο υπολογισµο του εµβαδου, ϑεωρουµε οτι, στο οριο N, η 7.9) δινει το στοιχειωδες µηκος ως ) df ds = + οποτε και το συνολικο µηκος της καµπυλης παροµοια µε τον υπολογισµο του εµβαδου απο το στοιχειωδες εµβαδον) ειναι b b ) df s = ds = +. a a Ασκηση: Υπολογισε το µηκος της καµπυλης f x) = x για x [, ] δες το Σχηµα 7.9).

145 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7. ΕΜΒΑ ΟΝ, ΜΗΚΟΣ ΚΑΙ ΟΓΚΟΣ 39 Σχήµα 7.9: Το µηκος της f x) = x απο a = εως b =. Λυση. Ειναι + ) df = + =, οπως µπορουµε να εξακριβωσουµε και µε στοιχειωδεις γεωµετρικους υπολογισµους Ασκηση: Υπολογισε το µηκος της καµπυλης f x) = x για x [, ] δες το Σχηµα 7.). Σχήµα 7.: Το µηκος της f x) = x απο a = εως b =. Λυση. Ειναι + ) df = + 4x = ln ) Παρατηρηση: Παροµοια µε το µηκος και το εµβαδον, µας ενδιαφερει και ο υπολογισµος του ογκου. Αυτος γενικα απαιτει την χρηση διπλων ή τριπλων ολοκληρωµατων. Οµως υπαρχουν καποιες κατηγοριες στερεων των οποιων ο ογκος µπορει να υπολογιστει µε χρηση απλου ολοκληρωµατος Ορισµος. Εστω καµπυλη C η οποία περιγράφεται απο τη συναρτηση f x), f x), x [a, b]. Εαν η C περιστραφει γυρω απο τον αξονα των x σχηµατιζεται ενα στερεο σωµα οµοιως και εαν περιστραφει γυρω απο τον αξονα των y δες τα Σχηµατα 7.a), 7.b) ). Αυτα τα σωµατα λεγονται στερεα εκ περιστροφης.

146 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7. ΕΜΒΑ ΟΝ, ΜΗΚΟΣ ΚΑΙ ΟΓΚΟΣ 4 Σχήµα 7.: a) Στερεο εκ περιστροφης µιας καµπυλης γυρω απο τον αξονα των x b) Στερεο εκ περιστροφης µιας καµπυλης γυρω απο τον αξονα των y Θεωρηµα: Εστω καµπύλη C η οποία περιγράφεται απο τη συναρτηση f x), f x), x [a, b]. Το στερεο εκ περιστροφης της C γυρω απο τον αξονα των x εχει ογκο V = π το στερεο εκ περιστροφης της C γυρω απο τον αξονα των y εχει ογκο V = π b a b a [f x)] ; 7.) xf x). 7.) Προσοχη, ο τυπος 7.) δινει τον ογκο του στερεου το οποιο ϕρασσεται εκ των ανω απο την καµπυλη f x) και εκ των κατω απο τον αξονα των x Ασκηση: ινεται η καµπυλη f x) = x, x [, ]. Υπολογισε τον ογκο του στερεου το οποιο σχηµατιζεται οταν αυτη περιστραφει α) γυρω απο τον αξονα των x, ϐ) γυρω απο τον αξονα των y δες τα Σχηµατα 7.a), 7.b) ).

147 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7. ΕΜΒΑ ΟΝ, ΜΗΚΟΣ ΚΑΙ ΟΓΚΟΣ 4 Σχήµα 7.: α) Ο ογκος του στερεου εκ περιστροφης της f x) = x γυρω απο τον αξονα των x ϐ) Ο ογκος του στερεου εκ περιστροφης της f x) = x γυρω απο τον αξονα των y. προσοχη, ειναι το στερεο κατω απο τηνκωνικη επιφανεια). Λυση. Ειναι και V = π V = π 4x = 4π 3 7.) x = 4π ) 7... Ασκηση: ινεται η καµπυλη f x) = x, x [, 4]. Υπολογισε τον ογκο του στερεου το οποιο σχηµατιζεται οταν αυτη περιστραφει γυρω απο τον αξονα των x. Λυση. Ειναι V = 4 ) 4 π x = π 5π x = Ασκηση: ινεται η καµπυλη f x) = x, x [, 6]. Υπολογισε τον ογκο του στερεου το 4 οποιο σχηµατιζεται οταν αυτη περιστραφει γυρω απο τον αξονα των y. Λυση. Ειναι V = 6 π = 6π. x x Θεωρηµα: Εστω καµπύλη C η οποία περιγράφεται απο τη συναρτηση f x), f x), x [a, b]. Το στερεο εκ περιστροφης της C γυρω απο τον αξονα των x εχει επιφανεια b ) df E = π f x) + ; 7.4) a το στερεο εκ περιστροφης της C γυρω απο τον αξονα των x εχει επιφανεια b ) S = π x + df. 7.5) df a Ασκηση: ινεται η καµπυλη f x) = x, x [, ]. Υπολογισε την επιφανεια του στερεου το οποιο σηχµατιζεται οταν αυτη περιστραφει α) γυρω απο τον αξονα των x, ϐ) γυρω απο τον αξονα των y δες τα Σχηµατα 7.a), 7..b) ).

148 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7. ΕΜΒΑ ΟΝ, ΜΗΚΟΣ ΚΑΙ ΟΓΚΟΣ 4 Λυση. Ειναι f = x και S = π S = π ) df f x) + = π x + 4 = 5π. ) f f + df = π + df 4 df = 5π Ασκηση: ινεται η καµπυλη f x) = x 3, x [, ]. Υπολογισε την επιφανεια του στερεου το οποιο σηχµατιζεται οταν αυτη περιστραφει γυρω απο τον αξονα των x. Λυση. Ειναι S = 5 π x x 4 = π Ασκηση: ινεται η καµπυλη f x) = x, x [, ]. Υπολογισε την επιφανεια του στερεου το οποιο σηχµατιζεται οταν αυτη περιστραφει γυρω απο τον αξονα των y. Λυση. Ειναι = π 7 ) 7 S = π 4 7. Λυµενα Προβληµατα f + 7 4f df = 3 5 π Υπολογισε το εµβαδον που περικλειεται απο την καµπυλη y = e x sin x, την ευθεια x = και τον αξονα των x. Λυση. ες το σχηµα 7... Θα υπολογισουµε το εµβαδον για x [, π] υπαρχουν και αλλα σηµεια στα οποια η y x) τεµνει τον αξονα των x αλλα δεν ϑα τα µελετησουµε). Ειναι γνωστο δες Κεφαλαιο 6) οτι e x sin x = ex sin x ex cos x = ex sin x cos x).

149 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7. ΕΜΒΑ ΟΝ, ΜΗΚΟΣ ΚΑΙ ΟΓΚΟΣ 43 Οποτε π [ e x e x sin x = sin x cos x) ] x=π x= = eπ Υπολογισε το εµβαδον που περικλειεται απο την καµπυλη y = 4x και τον αξονα των x. Λυση. ες το σχηµα 7.3. Η y = 4x τεµνει το αξονα των x στα σηµεια οπου = 4x, δηλ. x = ±. Το Ϲητουµενο εµβαδον ειναι / / Σχήµα 7.3:. 4x ) = [x 4x 3 3 ] x=/ x= / Υπολογισε το εµβαδον που περικλειεται απο τις καµπυλες y = e x/, y = και τις ευθειες x x =, x = 3. Λυση. ες το Σχηµα 7.4. = 3. Σχήµα 7.4:.

150 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7. ΕΜΒΑ ΟΝ, ΜΗΚΟΣ ΚΑΙ ΟΓΚΟΣ 44 Το Ϲητουµενο εµβαδον ειναι E = E E, οπου γιατι ;). Οποτε E = E E = [ = e x/ + x E = 3 ] x=3 x= 3 e x/, E = 3 3 x. 3 e x/ x ) = e x/ x = e 3/ + 3 e = e e ) / Υπολογισε το εµβαδον που περικλειεται απο τις καµπυλες y = x 4, y = x +. Λυση. ες το σχηµα 7.5. Σχήµα 7.5:. Οι δυο καµπυλες τεµνονται στα σηµεια οπου Οποτε το Ϲητουµενο εµβαδον ειναι E = 5/ x 4 = x x + = 5 ), x = x + )) [ x 4 = 3 x x + 5x ] x=5/ x= = Υπολογισε το εµβαδον που περικλειεται απο τις καµπυλες y x) = x + 6x 5, y x) = x + 4x 3 και y 3 x) = 3x 5. Λυση. ες το σχηµα 7.6.

151 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7. ΕΜΒΑ ΟΝ, ΜΗΚΟΣ ΚΑΙ ΟΓΚΟΣ 45 Σχήµα 7.6:. Η y x) και η y x) τεµνονται στα x που ικανοποιουν x + 6x 5 = x + 4x 3 δηλ. στο x =. Η y x) και η y 3 x) τεµνονται στα x που ικανοποιουν x + 6x 5 = 3x 5 δηλ. στο x = 5 και στο 3 που απορριπτεται γιατι ;). Τελος, η y x) και η y 3 x) τεµνονται στα x που ικανοποιουν 3x 5 = x + 4x 3 δηλ. στο x 3 = 4 και στο 3 που απορριπτεται γιατι ;). Οποτε το Ϲητουµενο εµβαδον δινεται απο E = E = y x) y x)) = y x) y 3 x)) = E = E + E = = x + 6x 5 x + 4x 3)) = 9, x + 6x 5 3x 5) ) = 9 6, Υπολογισε το εµβαδον που περικλειεται απο τις καµπυλες y = 4x, x = 4y. Λυση. Τα σηµεια τοµης δινονται απο Οποτε το Ϲητουµενο εµβαδον ειναι x = 4y x 4 = 6y = 64x x =, x = 4). 4 x x ) = 4 [ 4 3 x 3/ x ] 3 x=4 = 6 3. x= Υπολογισε το εµβαδον που οριζεται απο τις καµπυλες y = cos x, y = sin x και τις ευθειες x =, x = π.

152 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7. ΕΜΒΑ ΟΝ, ΜΗΚΟΣ ΚΑΙ ΟΓΚΟΣ 46 Λυση. Το Ϲητουµενο εµβαδο ειναι E = = π π/4 sin x cos x cos x sin x) + 5π/4 π/4 sin x cos x) + π 5π/4 = [sin x + cos x] π/4 x= + [ cos x sin x]5π/4 + [sin x + cos x]π x=π/4 = ) ) ) = 4. cos x sin x) x=5π/ ωσε γεωµετρικη ερµηνεια των παρακατω γνωστων ιδιοτητων του ορισµενου ολοκληρω- µατος. b. c f x) = c b f x). a a b. f x) gx)) = b f x) b gx). a 3. x [a, b] : f x)) b f x). 4. x [a, b] : f x ) = Λυση. Εξηγουνται ως εξης. a b a b a a a f x). b. Η c f x) = c b f x) σηµαινει : αν πολλαπλασιασουµε την f x) µε τον c, το a a εµβαδον του αντιστοιχου σχηµατος πολλαπλασιαζεται επι c. Για να σου γινει καλυτερα κατανοητο, κανε την γραφικη παρασταση των f x) = x και f x) = x. b. Η f x) gx)) = b f x) b gx) σηµαινει : το εµβαδον E a a a το οποιο περιεχεται µεταξυ των καµπυλων f x) και g x) ισουται µε την διαφορα E E, οπου E ειναι το εµβαδον µεταξυ της f x) και του αξονα των x, και E ειναι το εµβαδον µεταξυ της g x) και του αξονα των x. Για να σου γινει καλυτερα κατανοητο, κανε την γραφικη παρασταση των f x) = x και g x) = x. 3. Η x [a, b] : f x)) b f x) σηµαινει : αν η καµπυλη της f x) ϐρισκεται a πανω απο τον αξονα των x για καθε x [a, b], τοτε το αντιστοιχο εµβαδον ειναι ϑετικο. b 4. Η x [a, b] : f x ) = f x) σηµαινει : το εµβαδον του σχηµατος που οριζει b a a η f x) ϑα ειναι ισο µε το εµβαδον ενος παραλληλογραµου µε ϐαση µηκους b a και υψος M, οπου το M ειναι η τιµη της f x) σε ενα σηµειο x [a, b]. Για να σου γινει καλυτερα κατανοητο, κανε την γραφικη παρασταση των f x) = x, ϐρες το καταλληλο x και σχεδιασε το αντιστοιχο παραλληλογραµµο Υπολογισε το µηκος της καµπυλης f x) = x + 3, a =, b =. Λυση. Το Ϲητουµενο µηκος ειναι x ) df [ x s = + = + x = x + log x + )] x= + x x= = + log + ).

153 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7. ΕΜΒΑ ΟΝ, ΜΗΚΟΣ ΚΑΙ ΟΓΚΟΣ Υπολογισε το µηκος της καµπυλης f x) = x4, x 4x =, x = 4. Λυση. Εδω εχουµε df = x 3 x 3 οποτε 4 x 3 s = + ) 4 = + x 6 x x 4 x 6 = 3 + ) x 3 4 x 3 = + ) = 55 x Υπολογισε το µηκος της καµπυλης f y) = y4, y 6y =, y =. Λυση. Εδω η καµπυλη δινεται µε ανεξαρτητη µεταβλητη την y. Οποτε εχουµε και s = b a + df dy = y3 8y 3 ) df + = + y 3 ) dy = + y 3 + ) dy = 483 dy 8y 3 8y Υπολογισε το µηκος της κλειστης καµπυλης που δινεται σε πεπλεγµενη µορφη : x /3 + y /3 = a /3. Λυση. ες το σχηµα 7.7. Σχήµα 7.7:. Θεωρωντας την x ως ανεξαρτητη µεταβλητη εχουµε 3 x /3 + 3 dy y /3 = dy = x /3 y /3.

154 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7. ΕΜΒΑ ΟΝ, ΜΗΚΟΣ ΚΑΙ ΟΓΚΟΣ 48 Παρατηρειστε επισης στο σχηµα οτι το x µεταβαλλεται απο το a ως το a. Οποτε a ) x /3 a x s = + = /3 + y /3 a a dy = /3 dy y /3 x /3 x /3 a a a = a /3 x /3 dy = 3 [ a/3 x /3] x=a a x= a = 3a. Αυτο οµως ειναι το µηκος του ανω µισου της καµπυλης. Το Ϲητουµενο µηκος ειναι διπλασιο, δηλ. 6a ικαιολογησε τον τυπο 7.) για τον υπολογισµο ογκου στρεου εκ περιστροφης. Λυση. ες το σχηµα Ο Ϲητουµενος ογκος V µπορει να προσεγγιστει απο το αθροισµα των στοιχειωδων ογκων, κυλινδρων οι οποιοι αντιστοιχουν στην διαµεριση του διαστηµατος [a, b] σε υποδιαστηµατα [x, x ], [x, x ],..., [x N, x N ], µε a = x < x <... < x N και x n x n = x = b a. Καθε ενας απο αυτους N τους κυλινδρους εχει ογκο V n = π [f x n )] x και ο συνολικος ογκος ειναι V N = a N π [f x n )] x. 7.6) n= Η προσεγγιση γινεται ακριβεστερη καθως το N τεινει στο απειρο. Εχουµε V N V. Παροµοια N µε τον υπολογισµο µηκους και εµβαδου, ϑεωρουµε οτι ο στοιχειωδης ογκος ειναι οποτε V = b a dv = π [f x)] dv = π b a [f x)] Βρες τον ογκο του στερεου που σχηµατιζεται απο την περιστροφη της f x) = sin x, x [, π], γυρω απο τον αξονα των x. Λυση. ες το Σχηµα 7.8.

155 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7. ΕΜΒΑ ΟΝ, ΜΗΚΟΣ ΚΑΙ ΟΓΚΟΣ 49 Οποτε, συµφωνα µε την 7.) εχουµε V = π π Σχήµα 7.8:. ) π sin x = sin x = π [cos x] x=π x= = π Βρες τον ογκο του στερεου που σχηµατιζεται απο την περιστροφη της ελλειψης x + y a, γυρω απο τον αξονα των x. Λυση. Αρκει να υπολογισουµε τον ογκο που προκυπτει απο την περιστροφη της y = b x x [ a, a], γυρω απο τον αξονα των x. Ετσι εχουµε V = π a a b x [ a = πb x x 3 3a ] x=a x= a = 4πab Βρες τον ογκο του στερεου που σχηµατιζεται απο την περιστροφη της f x) = x +, x [, ], γυρω απο τον αξονα των x. Λυση. Απο την 7.) εχουµε V = π ) [ x 5 x + = π 5 + x x ] x= x= = 8π Βρες τον ογκο του στερεου που σχηµατιζεται απο την περιστροφη γυρω απο τον αξονα των x των καµπυλων y = x και x = y. Λυση. ες το σχηµα 7.9. b = a,

156 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7. ΕΜΒΑ ΟΝ, ΜΗΚΟΣ ΚΑΙ ΟΓΚΟΣ 5 Σχήµα 7.9:. Ο Ϲητουµενος ογκος ειναι V = V V, οπου V ειναι ο ογκος που σχηµατιζει η x = y και V ειναι ο ογκος που σχηµατιζει η y = x. Τα ορια ολοκληρωσης ειναι τα σηµεια τοµης των δυο καµπυλων, στα x = και x =. Εχουµε V = π V = π x ) = π 5 x /) = π V = V V = π Βρες τον ογκο του στερεου που σχηµατιζεται απο την περιστροφη γυρω απο τον αξονα των x των καµπυλων y = x /a και x + y = a. Λυση. Παροµοια µε την προηγουµενη Ασκηση, ο Ϲητουµενος ογκος ειναι V = V V, οπου V ειναι ο ογκος που σχηµατιζει η y = x /a και V ειναι ο ογκος που σχηµατιζει η x + y = a. Τα ορια ολοκληρωσης ειναι τα σηµεια τοµης των δυο καµπυλων, στα x = a/ και x = a/. Εχουµε V = π a/ a/ x a = 5 πa 3, V = 4 3 πa3 επειδη το σχηµατιζοµενο στερεο ειναι σφαιρα, V = V V = 4 3 πa3 5 a Βρες τον ογκο του στερεου που οριζεται απο την περιστροφη της f x) = x +, x [, ] γυρω απο τον αξονα των y και απο τον κυλινδρο που ϕαινεται στο σχηµα 7.. Λυση. ες το Σχηµα 7.. Το προβληµα µπορει να λυθει µε δυο τροπους.

157 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7. ΕΜΒΑ ΟΝ, ΜΗΚΟΣ ΚΑΙ ΟΓΚΟΣ 5 Σχήµα 7.:. Εφαρµοζοντας κατευθειαν τον τυπο 7.): V = π. Ο Ϲητουµενος ογκος ειναι V = V V, οπου V = π = π x x + ) = 3 π. ειναι ο ογκος του εξωτερικου κυλινδρου και V ειναι ο ογκος του εσωτερικου στερεου αυτο ειναι ενα παραβολοειδες). Εδω ϑελουµε τον ογκο που η f x) = x + ϕρασσει εκ των κατω, αρα δεν µπορουµε να εφαρµοσουµε τον 7.). Αν οµως ϑεσουµε x = g y) = y τοτε, αντιστρεφοντας τους ϱολους των x και y στον 7.) εχουµε. οποτε V = π y = x + x y ) dy = π [ y y Τελικα ο Ϲητουµενος ογκος ειναι V = V V = π π πρωτου τροπου επιλυσης. = 3π ] y= y= = π., ισος µε το αποτελεσµα του 7... Υπολογισε το εµβαδον της επιφανειας που σχηµατιζεται απο την περιστροφη της καµπυλης f x) = x 3, x [, ], γυρω απο τον αξονα των x. Λυση. Συµφωνα µε την 7.4) εχουµε S = π x 3 + 3x ) = π 36 = π ) + 9x 4 3/ 8 3/ x= x= = π 7 ) 3/. + 9x 4) / d x 4)

158 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7. ΕΜΒΑ ΟΝ, ΜΗΚΟΣ ΚΑΙ ΟΓΚΟΣ Υπολογισε το εµβαδον της επιφανειας που σχηµατιζεται απο την περιστροφη της καµπυλης f x) = x, x [ ],, γυρω απο τον αξονα των y. Λυση. Εδω η περιστροφη γινεται γυρω απο τον αξονα των y οποτε, ϑετοντας x = f παιρνουµε ) S = π f + df = 3 f 3 π Υπολογισε το εµβαδον της επιφανειας που σχηµατιζεται απο την περιστροφη της καµπυλης 9y = x 3 x), γυρω απο τον αξονα των x. Λυση. Η καµπυλη τεµνει τον αξονα των x στα σηµεια a = και b = 3. Επισης εχουµε x 3 x) y = dy 3 = x x. Οποτε το Ϲητουµενο εµβαδον ειναι 3 ) x 3 x) x 3 S = π + 3 = π x + ) x 3) x 6 = π 3 x + 3 x ) = π [x + 3x x ] 3 x=3 = 3π Υπολογισε το εµβαδον της επιφανειας που σχηµατιζεται απο την περιστροφη της καµπυλης f x) = e x, x, γυρω απο τον αξονα των x. Λυση. ες το Σχηµα 7.. Η f x) δεν τεµνει τον αξονα των x, ετσι ϑα χρειαστει να υπολογισουµε ενα γενικευµενο ολοκληρωµα. x= Σχήµα 7.:.

159 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7. ΕΜΒΑ ΟΝ, ΜΗΚΟΣ ΚΑΙ ΟΓΚΟΣ 53 Εχουµε df = e x και V M = π = π M e x + e x ) = π u=e M u= Το Ϲητουµενο εµβαδον ειναι V = lim M V M, οποτε x=m x= + e x) / d e x ) + u ) / [ du = π u + u + ln u + )] u= + u [ V = π lim u + u + ln u + )] u= + u M u=e [ M = π u + u + ln u + )] u= + u = [ π + ln + )]. u= u=e M Υπολογισε το εµβαδον της επιφανειας που σχηµατιζεται απο την περιστροφη της f x) = cosh x, x [, ], γυρω απο τον αξονα των x. Λυση. Ειναι E = π cosh x + sinh x. Αλλα + sinh x = cosh x οποτε E = π 7.3 Αλυτα Προβληµατα ) cosh x = π sinh Σχεδιασε το χωριο το οποιο οριζουν οι καµπυλες και υπολογισε το προσηµασµενο εµβαδον E s και το απολυτο εµβαδον E a : y x) = x + x, x =, x = 3. 3 Απ. x + x) = 38, 3 x + x = Σχεδιασε το χωριο το οποιο οριζουν οι καµπυλες και υπολογισε το προσηµασµενο εµβαδον E s και το απολυτο εµβαδον E a : y x) = x + x, x =, x =. Απ. x + x) =, x + x = x + x) x + x) = Σχεδιασε το χωριο το οποιο οριζουν οι καµπυλες και υπολογισε το προσηµασµενο εµβαδον E s και το απολυτο εµβαδον E a : y x) = x 3, x =, x = 5. 5 Απ. x 3 = 65, 5 x 3 4 = Σχεδιασε το χωριο το οποιο οριζουν οι καµπυλες και υπολογισε το προσηµασµενο εµβαδον E s και το απολυτο εµβαδον E a : y x) = x 3, x =, x =. Απ. x 3 =, x 3 = x 3 = Σχεδιασε το χωριο το οποιο οριζουν οι καµπυλες και υπολογισε το προσηµασµενο εµβαδον E s και το απολυτο εµβαδον E a : y x) = e x, x =, x =.

160 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7. ΕΜΒΑ ΟΝ, ΜΗΚΟΣ ΚΑΙ ΟΓΚΟΣ 54 Απ. ex = ex = e Σχεδιασε το χωριο το οποιο οριζουν οι καµπυλες και υπολογισε το προσηµασµενο εµβαδον E s και το απολυτο εµβαδον E a : y x) = x +, y x) = x 3 + x. Απ. Ριζες : x =,,. x 3 + x x ) = 9. x 3 + x x = x 3 + x 4 x ) x 3 + x x ) = Σχεδιασε το χωριο το οποιο οριζουν οι καµπυλες και υπολογισε το προσηµασµενο εµβαδον E s και το απολυτο εµβαδον E a : y x) = x 3, y x) = x. Απ. Ριζες : x =,,. x 3 x ) =. x 3 x = x 3 x)+ x x 3 ) = Σχεδιασε το χωριο το οποιο οριζουν οι καµπυλες και υπολογισε το προσηµασµενο εµβαδον E s και το απολυτο εµβαδον E a : y x) = x 3, y x) = x. Απ. Ριζες : x =,. x x 3 ) = x x 3 = Σχεδιασε το χωριο το οποιο οριζουν οι καµπυλες και υπολογισε το προσηµασµενο εµβαδον E s και το απολυτο εµβαδον E a : y x) = x, y x) = 6x. Απ. Ριζες : x = 3 ± , 3 x 6x + ) = , 3 x 6x + = Σχεδιασε το χωριο το οποιο οριζουν οι καµπυλες και υπολογισε το προσηµασµενο εµ- ϐαδον E s και το απολυτο εµβαδον E a : y x) = x 3, y x) = x. Απ. Ριζες : x =,, x 3 x ) = x 3 x = Σχεδιασε το χωριο το οποιο οριζουν οι καµπυλες και υπολογισε το προσηµασµενο εµ- ϐαδον E s και το απολυτο εµβαδον E a : x y) = y +, y x) = x 8. Απ. Η y + = y + 8 εχει ϱιζες y = 3 3,. Οποτε y + y + 8) dy = Υπολογισε το εµβαδον του σχηµατος που ϐρισκεται µεταξυ της ελλειψης x + 4 y = και της υπερβολης x y =. Απ. ln arcsin / Υπολογισε το µηκος της καµπυλης y = ln x ), µεταξυ των ευθειων x = /, x = /. Απ. ln3) Υπολογισε το µηκος της καµπυλης y 3 = 8x, µεταξυ των ευθειων x =, x = 8. ) Απ Υπολογισε το µηκος της καµπυλης y = x4 +3, µεταξυ των ευθειων x =, x =. 6x Απ. 7/ Υπολογισε το µηκος της καµπυλης y = 3 + x ) 3/, µεταξυ των ευθειων x =, x = 3.

161 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7. ΕΜΒΑ ΟΝ, ΜΗΚΟΣ ΚΑΙ ΟΓΚΟΣ 55 Απ Υπολογισε το µηκος της καµπυλης y = x4 +48, µεταξυ των ευθειων x =, x = 4. Απ. 7/ Υπολογισε το µηκος της καµπυλης y = x /3 µεταξυ των ευθειων x =, x =. Απ Υπολογισε το µηκος της καµπυλης y = x, µεταξυ των σηµειων τοµης µε την ευθεια y = /. Απ. / ln / ) Υπολογισε το µηκος της καµπυλης y = a cosh x ) µεταξυ των ευθειων x = a, x = a. a Απ. a sinh) Υπολογισε το µηκος της καµπυλης 9y = xx 3) µεταξυ των σηµειων τοµης µε τον αξονα των x. Απ Υπολογισε το µηκος της καµπυλης y = 4 9 x)3, µεταξυ των σηµειων τοµης απο την ευθεια x =. Απ. 8/ Υπολογισε τον ογκο του στερεου αφου πρωτα το σχεδιασεις) το οποιο σχηµατιζεται απο την περιστροφη της f x) = / x +, x [, 3], γυρω απο τον αξονα x. Απ. π ln Υπολογισε τον ογκο του στερεου αφου πρωτα το σχεδιασεις) το οποιο σχηµατιζεται απο την περιστροφη της f x) = x 4 x, γυρω απο τον αξονα x. Απ. 64π/ Υπολογισε τον ογκο του στερεου αφου πρωτα το σχεδιασεις) το οποιο σχηµατιζεται απο την περιστροφη της f x) = e x, x [, ], γυρω απο τον αξονα x. Απ. ) π e. 4x Υπολογισε τον ογκο του στερεου αφου πρωτα το σχεδιασεις) το οποιο σχηµατιζεται απο την περιστροφη της f x) = cos x, x [, π/ ], γυρω απο τον αξονα x. Απ. π / Υπολογισε τον ογκο του στερεου αφου πρωτα το σχεδιασεις) το οποιο σχηµατιζεται απο την περιστροφη της f x) = 8x, x [, ], γυρω απο τον αξονα x. Απ. 5π/3.

162 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7. ΕΜΒΑ ΟΝ, ΜΗΚΟΣ ΚΑΙ ΟΓΚΟΣ Υπολογισε τον ογκο του στερεου αφου πρωτα το σχεδιασεις) το οποιο σχηµατιζεται απο την περιστροφη της f x) = sin x, x [, π], γυρω απο τον αξονα x. Απ. π / Υπολογισε τον ογκο του στερεου αφου πρωτα το σχεδιασεις) το οποιο σχηµατιζεται απο την περιστροφη της f x) = e x, x [, ], γυρω απο τον αξονα y. Απ. π Υπολογισε τον ογκο του στερεου αφου πρωτα το σχεδιασεις) το οποιο σχηµατιζεται απο την περιστροφη της f x) = x 3, x [, ], γυρω απο τον αξονα y. Απ. 64π/ Υπολογισε το εµβαδον της επιφανειας αφου πρωτα την σχεδιασεις) η οποια σχηµατιζεται απο την περιστροφη της f x) = x3, x [, ], γυρω απο τον αξονα x. Απ. 47π x Υπολογισε το εµβαδον της επιφανειας αφου πρωτα την σχεδιασεις) η οποια σχηµατιζεται απο την περιστροφη της f x) = x, x [, 4], γυρω απο τον αξονα x. Απ. 35π 6 8π ln ) π ln ). ln x Υπολογισε το εµβαδον της επιφανειας αφου πρωτα την σχεδιασεις) η οποια σχηµατιζεται απο την περιστροφη της x + y ) =, γυρω απο τον αξονα x. Απ. 8π Υπολογισε το εµβαδον της επιφανειας αφου πρωτα την σχεδιασεις) η οποια σχηµατιζεται απο την περιστροφη της f x) = x /3 +, x [, 8], γυρω απο τον αξονα y. π Απ. 45 3/ 3/) Προχωρηµενα Αλυτα Προβληµατα ωσε γεωµετρικη ερµηνεια των παρακατω ιδιοτητων. b. f x) + c f x) = c f x). a b a. x [a, b] : gx) f x)) b gx) b f x). a 3. x [a, b] : A f x) B) A b a) b f x) B b a). a a ικαιολογησε την 7.) ικαιολογησε τις 7.4) και 7.5).

163 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7. ΕΜΒΑ ΟΝ, ΜΗΚΟΣ ΚΑΙ ΟΓΚΟΣ Υπολογισε τον ογκο του στερεου το οποιο προκυπτει απο την περιστροφη της x a µε b y b) γυρω απο τον αξονα x. y b = Υπολογισε τον ογκο του στερεου το οποιο προκυπτει απο την περιστροφη της y = x + 4) 3 γυρω απο τον αξονα y Υπολογισε τον ογκο του στερεου το οποιο προκυπτει απο την περιστροφη της y = x ) γυρω απο τον αξονα y. +x µε Υπολογισε τον ογκο του στερεου το οποιο προκυπτει απο την περιστροφη της x /3 +y /3 = a /3 γυρω απο α) τον αξονα x, ϐ) τον αξονα y Υπολογισε τον ογκο του στερεου το οποιο προκυπτει απο την περιστροφη του χωριου που οριζεται απο τις y = 4ax και x = a γυρω απο την ευθεια y = a Υπολογισε τον ογκο του στερεου το οποιο προκυπτει απο την περιστροφη του χωριου που περικλειεται απο την x + y ) = a x y ) γυρω απο α) τον αξονα των x και ϐ) γυρω απο τον αξονα των y Υπολογισε τον ογκο του στερεου το οποιο προκυπτει απο την περιστροφη του χωριου που οριζεται απο τις y = x και y = 8 3/ x γυρω απο τον αξονα y Υπολογισε το εµβαδον της επιφανειας η οποια προκυπτει απο την περιστροφη της 4x + y = 4 γυρω απο τον αξονα των y Υπολογισε το εµβαδον της επιφανειας η οποια προκυπτει απο την περιστροφη ενος ϐροχου της 9ax = y 3a y ) γυρω απο τον αξονα των y Υπολογισε το εµβαδον της επιφανειας η οποια προκυπτει απο την περιστροφη της 8y = x x 4 γυρω απο τον αξονα των x Υπολογισε το εµβαδον της επιφανειας η οποια προκυπτει απο την περιστροφη της x + y b) = r γυρω απο τον αξονα των x Απο ολες τος κλειστες επιπεδες καµπυλες δεδοµενου µηκους S, ποια περικλειει το µεγιστο και ποια το ελαχιστο εµβαδον ; Εστω τυχουσα κλειστη επιπεδη καµπυλη µε µηκος S, η οποια περικλειει εµβαδον A. ειξε οτι 4πA S. Ποτε ισχυει η ισοτητα ; Εστω f x) συνεχης στο [a, b]. ειξε οτι b a) + f b) f a)) Εστω f x) παραγωγισιµη στο [, π]. ειξε οτι b a ) df +. π [f x)] π [ ] df.

164 Κεφάλαιο 8 Παραµετρικες Συναρτησεις Σε αρκετα απο τα προηγουµενα κεφαλαια εχουµε ϑεωρησει την γραφικη παρασταση µιας συναρτησης y = f x) ως µια καµπυλη. Οµως υπαρχουν καµπυλες που δεν µπορουν να γραφτουν ευκολα ως συναρτησεις. Σε τετοιες περιπτωσεις µπορουµε να χρησιµοποιησουµε την παραµετρικη αναπαρασταση µιας καµπυλης : x t), y t)) µε την ανεξαρτητη µεταβλητη t να παιρνει τιµες σε ενα καταλληλο συνολο. 8. Θεωρια και Παραδειγµατα 8... Παρατηρηση: Μπορουµε να παραστησουµε µια καµπυλη µε δυο συναρτησεις xt), yt), µε την ανεξαρτητη µεταβλητη t να παιρνει τιµες σε ενα καταλληλο διαστηµα [t, t ]. Με αλλα λογια, η καµπυλη C ειναι το συνολο των σηµειων C : {x t), y t)) : t [t, t ]}. Αυτη η περιγραφη λεγεται παραµετρικη παρασταση καµπυλης και οι xt), yt) λεγονται παραµετρικες εξισωσεις της καµπυλης. Η ιδια καµπυλη µπορει να εχει περισσοτερες απο µια παραµετρικες παραστασεις Παρατηρηση: Μπορουµε να ερµηνευσουµε την µεταβλητη t ως µια χρονικη µεταβλητη και να ϑεωρησουµε τα xt), yt) ως τις συντεταγµενες ενος σηµειου το οποιο διατρεχει την καµπυλη. ηλ. η καµπυλη ειναι η τροχια ενος υλικου σηµειου το οποιο σε χρονο t ϐρισκεται στο σηµειο x t), y t)) Ασκηση: ωσε τρεις διαφορετικες παραµετρικες εξισωσεις του κυκλου x + y = R. Λυση. Ζητουµε ενα Ϲευγος συναρτησεων x t), y t) οι οποιες ικανοποιουν x + y = R. Ενα τετοιο Ϲευγος ειναι το x t) = R cos t, y t) = R sin t. 8.) Πραγµατι [x t)] + [y t)] = [R cos t] + [R sin t] = R cos t + sin t) = R. Η γεωµετρικη ερµηνεια της 8.) ϕαινεται στο Σχηµα

165 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8. ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 59 sin t ) t cos t ) Σχήµα 8.: Παραµετρικες εξισωσεις κυκλου : R cos t, R sin t). Υπαρχουν και αλλα Ϲευγη τα οποια παριστανουν τον ιδιο κυκλο. Π.χ. x t) = R cos t, y t) = R sin t, x t) = R sin t, y t) = R cos t Παρατηρηση: Απο την παραµετρικη αναπαρασταση x t), y t)) µπορουµε να υπολογισουµε τις παραγωγους dy, d y Ασκηση: Βρες τις dy και d y οταν x t) = t sin t, y t) = cos t. Λυση. Εχουµε dy dy = dt sin t = cos t ) ) d d sin t y = dt cos t = = cos t cos t). dt d dy dt dt dt Ασκηση: Βρες τις dy και d y οταν x t) = e t cos t, y t) = e t sin t. Λυση. Εχουµε dy dy = dt = et sin t + cos t) sin t + cos t = e t cos t sin t) cos t sin t dt d d dy ) ) d sin t+cos t y = dt dt dt cos t sin t = e t cos t sin t) = e t sin t) cos t sin t). dt Παρατηρηση: Χρησιµοποιωντας την σχεση dy = dt dt µπορουµε να υπολογισουµε το εµβαδον χωριου, το µηκος καµπυλης κ.τ.λ.

166 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8. ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Θεωρηµα: Εστω οτι µια καµπυλη δινεται σε παραµετρικη µορφη x t), y t)) και οταν το t παιρνει τιµες απο t ως t, η καµπυλη περικλειει ενα χωριο. Τοτε το εµβαδο του χωριου δινεται απο τους τυπους t A = y t) t dt dt = x t) dy dt dt. t Αποδειξη. Αυτο προκυπτει αµεσα µε αλλαγη µεταβλητης ολοκληρωσης : A = x x y x) = t t t y t) dt dt Ασκηση: Υπολογισε το εµβαδον του κυκλου x + y = R. Λυση. Μια παραµετρικη εξισωση του κυκλου ειναι Τοτε το Ϲητουµενο εµβαδον ειναι π x t) = R cos t, y t) = R sin t, t [, π]. π E = y t) π dt dt = R sin t R sin t) dt = R sin tdt π = R cos [ t dt = R t ] π [ ] π sin t + R = πr + = πr. t= 4 Στην προκειµενη περιπτωση το εµβαδον προεκυψε σωστο κατ απολυτη τιµη αλλα αρνητικο. Θυµησου οτι ο κυκλος x + y = R µπορει να παραµετροπιηθει και µε αλλους τροπους. Π.χ. η παραµετροποιηση x t) = R sin t, y t) = R cos t, t [, π] δινει τον ιδιο κυκλο και υπολογιζοντας το εµβαδον παιρνουµε ϑετικο αριθµο : E = π y t) dt dt = π t= π R cos t R cos t) dt = R cos tdt = πr Ασκηση: Υπολογισε το εµβαδον της ελλειψης x =. a b Λυση. Μια παραµετροποιηση της ελλειψης ειναι x t) = a cos t, y t) = b sin t, t [, π] γιατι ;). Τοτε το Ϲητουµενο εµβαδον ειναι π π + y E = y t) dt dt = b sin t a sin t) dt = ab π [ ] π [ cos t = ab dt = ab t sin t + ab 4 t= π ] π t= sin tdt = πab Θεωρηµα: Εστω οτι µια καµπυλη δινεται σε παραµετρικη µορφη x t), y t)) και το t παιρνει τιµες απο t ως t. Το µηκος της καµπυλης ειναι s = t t ) dy ) + dt. dt dt

167 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8. ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 6 Αποδειξη. Ας συµβολισουµε µε s t) το µηκος του τµηµατος της καµπυλης το οποιο περιεχεται µεταξυ των τιµων t = και τυχοντος t. Ας υποθεσουµε οτι το t µεταβαλλεται και γινεται t + t. Ας προσεγγισουµε το προστιθεµενο µηκος µε αυτο ενος ορθογωνιου τριγωνου µε πλευρες, dy, ds. ες το σχηµα 8.. Οποτε Σχήµα 8.: Το στοιχειωδες µηκος µε παραµετρικες εξισωσεις. Τοτε η µεταβολη του µηκους ειναι προσεγγιστικα s t + t) s t) x + y = x ) ) y + t. t t x ) ) s t + t) s t) y + t t t x ) ) s t + t) s t) y lim = lim + t t t t ) ds dy ) dt = + dt dt ) dy ) s t) = + + c dt dt t ) dy ) = + + c. dt dt t Επειδη s ) = γιατι ;) ϑα ειναι c =. Εστω s το µηκος απο t = εως t = t και s αυτο απο s = εως t = t. Θα εχουµε t ) dy ) t ) dy ) s = + dt, s = + dt. dt dt dt dt Οποτε το Ϲητουµενο µηκος ειναι t ) dy ) t ) dy ) s = s s = + dt + dt dt dt dt dt t ) dy ) = + dt. dt dt t

168 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8. ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Ασκηση: Υπολογισε το µηκος της καµπυλης x t) = a cos 3 t, y t) = a sin 3 t, t [, π] Λυση. Αυτη ειναι µια κλειστη καµπυλη. ες το σχηµα 8.3. Σχήµα 8.3: Η x t) = a cos 3 t, y t) = a sin 3 t, t [, π]. Το µηκος της καµπυλης ειναι t ) dy ) π s = + dt = 3a cos t sin t) + dt 3a sin t cos t) t dt dt π π = 3a cos 4 t sin t + sin 4 t cos tdt = 3a cos t sin t sin ) t + cos t dt = 3a π cos t sin t dt = a π/ sin t) dt = 6a Ασκηση: Υπολογισε το µηκος της καµπυλης x t) = a t sin t), y t) = a cos t), t [, 6π] Λυση. Αυτη ειναι η κυκλοειδης καµπυλη. ες το σχηµα 8.4.

169 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8. ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 63 Σχήµα 8.4: Η x t) = a t sin t), y t) = a cos t), t [, 6π]. Το µηκος της καµπυλης ειναι t ) dy ) 6π s = + dt = a cos t) + a sin tdt t dt dt 6π 6π = a cos t + cos t + sin tdt = a cos t)dt 6π = a sin t π dt = 6a sin t dt = 4a Ασκηση: Υπολογισε το µηκος της καµπυλης x t) = t, y t) = t 3/, t [, 4] Λυση. Εχουµε dt =, dy dt = 3 t/ και 4 3 ) 4 s = + t/ dt = tdt = Ασκηση: Υπολογισε το µηκος της καµπυλης x t) = t 6t+9)3/, y t) =, t [, 4] 9 Λυση. Εχουµε dt = t, dy = 6t + 9)/ dt και 4 s = t + 6t + 9) /) 4 dt = t + 6t + 9dt 4 ) t t=4 = t + 3) dt = + 3t =. t=

170 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8. ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Ασκηση: Υπολογισε το µηκος της καµπυλης x t) = t, y t) = t 3, t [, 4] Λυση. Εχουµε 4 4 s = t) + 3t ) dt = t + 9t 37 dt = Ασκηση: Υπολογισε τον ογκο του στερεου το οποιο προκυπτει απο την περιστροφη της καµπυλης x t) = a cos 3 t, y t) = a sin 3 t, t [, π] Λυση. Ο Ϲητουµενος ογκος ειναι οπου Οποτε 8. Λυµενα Προβληµατα V = π a a y = a sin 6 t y = 3a cos t sin tdt. π V = 6πa 3 sin 7 t cos tdt = 64 5 πa ωσε παραµετρικες εξισωσεις της υπερβολης x =. a b Λυση. Ευκολα επαληθευεται οτι ενα Ϲευγος συναρτησεων x t), y t) οι οποιες ικανοποιουν την εξισωση x y = ειναι το a b y x t) = a cosh t, y t) = b sinh t Βρες τις dy και d y αν x t) = cos t, y t) = sin t. Λυση. Εχουµε dy dy = dt = cos t sin t ) ) d d cos t y = dt sin t = = sin t sin t dt d dy dt dt sin t Βρες τις dy και d y αν x t) = t 3 + t, y t) = t 7 + t +. Λυση. Εχουµε dy dy = dt = 7t6 + 3t + dt d d dy ) y = dt dt = dt 4t 5 3t +) 7t 6 +)6t 3t +) 3t + = sin 3 t. = 6t 4t 6 + 7t 4 ) 3t + ) 3.

171 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8. ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Υπολογισε το εµβαδον το οποιο περικλειει η καµπυλη x t) = 6 t sin t), y t) = 6 cos t), t [, π]. Λυση. Εχουµε 6 t sin t)) = 6 cos t) και το Ϲητουµενο εµβαδον ειναι A = dt π = 36 = 36 = d dt y t) dt dt = 6 cos t) 6 cos t) dt = 36 cos t) dt ) π π π ) + cos t cos t dt = 36 dt + cos tdt + cos tdt π + cos t π ) dt + dt + cos tdt = 36 3π = 8π. π π π Υπολογισε το εµβαδον µεταξυ της x t) = 4t 3 t, y t) = t 4 + t, t [, ], του αξονα των x και της y = 3. Λυση. Εχουµε 4t3 t ) = t t. Η γραφικη παρασταση δινεται στο Σχηµα 8.5. dt = d dt Το Ϲητουµενο εµβαδον ειναι A = Σχήµα 8.5:. = π y t) dt dt = t 4 + t ) ) t t dt t 6 t 5 + 4t 4 4t 3) dt = 7 t7 3 t6 + 4 ) 5 t5 t 4 = 544 t= Υπολογισε το εµβαδον που περικλειει η καµπυλη x t) = 3 cos 3 t, y t) = 4 + sin t, t [, π]. Λυση. Η γραφικη παρασταση δινεται στο Σχηµα 8.6.

172 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8. ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 66 Εχουµε dt = d dt και το Ϲητουµενο εµβαδον ειναι A = = π Σχήµα 8.6:. 3 cos t) 3 = 3 cos t sin t. π y t) dt dt = 4 + sin t) 3 cos t sin tdt t 6 t 5 + 4t 4 4t 3) dt = 3π Υπολογισε το εµβαδον που περικλειει η καµπυλη x t) = a sin t, y t) = b sin t, t [ π, π]. Λυση. Η καµπυλη ειναι συµµετρικη ως προς τον αξονα των x διοτι, αντικαθιστωντας το t µε π t, παιρνουµε x π t), y π t)) = x t), y t)). Οµοιως,, αντικαθιστωντας το t µε π + t, παιρνουµε x π + t), y π + t)) = x t), y t)), οποτε η καµπυλη ειναι συµµετρικη ως προς τον αξονα των y. Κατα συνεπεια, το Ϲητουµενο εµβαδον ειναι το διπλασιο αυτου που περικλειεται µεταξυ της x t) = a sin t, y t) = b sin t, t [, π] και του αξονα των x. Οποτε εχουµε E = π b sin t) a cos t) dt = 8 3 ab Υπολογισε το εµβαδον που περικλειει ο ϐροχος της καµπυλης x t) = t 6 t), y t) = 3 t 6 t). 8 Λυση. Η καµπυλη σχηµατιζει ϐροχο οταν τεµνει τον εαυτο της. ηλ. ϑα πρεπει να ϐρουµε a τετοια ωστε x t) = x t + a), y t) = y t + a) ή και t 3 t 8 6 t) = t + a) 3 6 t) = t + a) 8 6 t a) 6 t a).

173 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8. ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 67 Το συστηµα εχει τις λυσεις t, a ) =, 6), t, a ) = 6, 6). Αρα η καµπυλη τεµνει τον εαυτο τις στο σηµειο x t ), y t )) = x t ), y t )) =, ). Οποτε το Ϲητουµενο εµβαδον ειναι 6 t 8 6 t) ) 3 t dt = Υπολογισε το µηκος της καµπυλης x t) = + cos t + cos t, y t) = sin t + sin t, t [, π] Λυση. Εχουµε = sin t sin t dt dy = cos t + cos t dt Το µηκος της καµπυλης ειναι t ) dy ) π s = + dt = sin t sin t) + cos t + cos t) dt t dt dt π = 4 sin t + 4 sin t + 8 sin t sin t + 4 cos t + 4 cos t + 8 cos t cos tdt π π = + cos tdt = 4 cos t π dt = 4 cos t dt = Υπολογισε το µηκος της καµπυλης x t) = ln sin t), y t) = t, t [ π/4, π/ ] Λυση. Εχουµε dt = cos t sin t, dy dt =. Το µηκος της καµπυλης ειναι π/ ) dy ) π/ cos t s = + dt = dt dt sin t + dt = π/4 π/ π/4 sin t dt = cos t ln + cos t π/4 ) t=π/ t=π/4 = ln Υπολογισε το µηκος της καµπυλης x t) = e t cos t, y t) = e t sin t, t [, π] Λυση. Εχουµε dt = dy et cos t sin t), dt = et cos t + sin t). Το µηκος της καµπυλης ειναι π ) dy ) s = + dt dt dt = = π π e t cos t sin t) + cos t + sin t) dt e t cos t sin t + cos t sin tdt = π e t dt = ) e π

174 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8. ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Υπολογισε το µηκος της καµπυλης x t) = 3t +, y t) = 4 t, t [, ] Λυση. Εχουµε dt = 3, dy dt = t και s = 9 + 4t dt [ 9 = 4 ln t + ) 4t t 4t + 9 = ln Υπολογισε το εµβαδον της επιφανειας που δηµιουργειται απο την περιστροφη της καµπυλης xt) = a t sin t), yt) = a cos t), t [, π] γυρω απο τον αξονα των x. Λυση. Το Ϲητουµενο εµβαδον ειναι t ) dy ) E = π y t) + dt t dt dt π = π a cos t) a cos t) + a sin t = πa = πa = 4πa π π π ] t= t= cos t) cos t + cos t + sin tdt cos t) cos t)dt cos t) sin t 64πa dt = Υπολογισε το εµβαδον της επιφανειας που δηµιουργειται απο την περιστροφη, γυρω απο τον αξονα) των x, του τµηµατος του κυκλου x + y = 9 που αντιστοιχει στα σηµεια 3, ) και 3/, 3 3/. Λυση. Τα σηµεια 3, ) ) και 3/, 3 3/ ανηκουν στον κυκλο, οπως µπορει ευκολα να επαλη- ϑευτει µε αντικατασταση στην εξισωση x +y = 9. Αν ϑεωρησουµε την παραµετριση του κυκλου : x t) = 3 cos t και y t) = 3 sin t, ϐλεπουµε οτι οι αντιστοιχες τιµες του t ειναι t = και t = π/3. Ο τυπος για το εµβαδον επιφανειας εκ περιστροφης γυρω απο τον αξονα x, ειναι x dy ) t ) dy ) E = π y + = π y t) + dt. dt dt Οποτε στο συγκεκριµενο προβληµα εχουµε E = π π/3 x 3 sin t 3 sin t) + 3 cos t) dt = π t π/3 3 sin tdt = 9π.

175 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8. ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Αλυτα Προβληµατα Σχεδιασε την καµπυλη xt) = cos 3 t, yt) = sin 3 t και υπολογισε το εµβαδον που περικλειει. Απ. 3π/ Σχεδιασε την καµπυλη xt) = a cos t, yt) = b sin t και υπολογισε το εµβαδον που περικλειει. Απ. πab Σχεδιασε την καµπυλη xt) = cos t cos t, yt) = sin t sin t και υπολογισε το εµβαδον που περικλειει. Απ. 6π Σχεδιασε την καµπυλη xt) = 3t, yt) = 3t t 3 και υπολογισε το εµβαδον που περικλειει. Απ. 7 3/ Σχεδιασε την καµπυλη xt) = a cos t, yt) = b sin t cos t και υπολογισε το εµβαδον που περικλειει. Απ. πab Σχεδιασε την καµπυλη xt) = t, yt) = t 3 t και υπολογισε το εµβαδον που περικλειει ενας ϐροχος της. Απ. 8/ Σχεδιασε την καµπυλη xt) = t t, yt) = t t 3 και υπολογισε το εµβαδον που περικλειει ενας ϐροχος της. 8 Απ Σχεδιασε την καµπυλη xt) = t, yt) = ) t 3 3 t και υπολογισε το εµβαδον που περικλειει ενας ϐροχος της. Απ Σχεδιασε την καµπυλη xt) = t 6 /6, yt) = t 4 /4 και υπολογισε το µηκος του τµηµατος της µεταξυ των αξονων x και y. Απ Σχεδιασε την καµπυλη xt) = t, yt) = t3 t και υπολογισε το µηκος της. 3 4 Απ Σχεδιασε την καµπυλη xt) = e t cos t, yt) = e t sin t t π) και υπολογισε το µηκος της. Απ. e π ) Σχεδιασε την καµπυλη xt) = ln + t ), yt) = tan t t ) και υπολογισε το µηκος της. Απ. ln + ).

176 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8. ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Σχεδιασε την καµπυλη xt) = cost) + cost) +, yt) = sin t + sin t t π) και υπολογισε το µηκος της. Απ Σχεδιασε την καµπυλη xt) = t, yt) = 6t + 9 9)3/ t 4) και υπολογισε το µηκος της. Απ Σχεδιασε την καµπυλη xt) = cos 3 t), yt) = sin 3 t) t π/) και υπολογισε το µηκος της. Απ. 3/ Σχεδιασε την καµπυλη xt) = cost) + t sint), yt) = sin t t cos t π/6 t π/4) και υπολογισε το µηκος της. Απ. 5π Σχεδιασε την καµπυλη xt) = lnsint)), yt) = t π/6 t π/). και υπολογισε το µηκος της. Απ. ln + 3) Σχεδιασε την καµπυλη xt) = 4 a sin t, yt) = a sin t και υπολογισε το µηκος της. Απ. 8πa Σχεδιασε την καµπυλη xt) = t ) sin t + t cos t, yt) = t ) cos t + t sin t και υπολογισε το µηκος της. Απ. π Υπολογισε τον ογκο του στερεου που δηµιουργειται απο την περιστροφη της καµπυλης xt) = sin t, yt) = cos t, t [, π], γυρω απο τον αξονα των x Υπολογισε τον ογκο του στερεου που δηµιουργειται απο την περιστροφη της καµπυλης xt) = a t sin t), yt) = a cos t), t [, π] γυρω απο τον αξονα των x. Απ. 5π a Υπολογισε τον ογκο του στερεου που δηµιουργειται απο την περιστροφη της καµπυλης xt) = a cos 3 t), yt) = a cos 3 t), t [, π] γυρω απο τον αξονα των x. Απ. 3 5 πa Υπολογισε τον ογκο του στερεου που δηµιουργειται απο την περιστροφη της καµπυλης xt) = a t sin t), yt) = a cos t), t [, π] γυρω απο τον αξονα των x. Απ. 5π a Υπολογισε το εµβαδον της επιφανειας που δηµιουργειται απο την περιστροφη της καµπυλης xt) = t, yt) = t, t [, 4] γυρω απο τον αξονα των x. Απ. 3π Υπολογισε το εµβαδον της επιφανειας που δηµιουργειται απο την περιστροφη της καµπυλης xt) = e t sin t, yt) = e t cos t, t [, π/ ] γυρω απο τον αξονα των x. Απ. π 5 e π ).

177 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8. ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Υπολογισε το εµβαδον της επιφανειας που δηµιουργειται απο την περιστροφη της καµπυλης xt) = a cos 3 t), yt) = a cos 3 t), t [, π] γυρω απο τον αξονα των x. Απ. 5 πa Υπολογισε το εµβαδον της επιφανειας που δηµιουργειται απο την περιστροφη της καµπυλης xt) = a cos t, yt) = b sin t, t [, 5] γυρω απο τον αξονα των x Υπολογισε το εµβαδον της επιφανειας που δηµιουργειται απο την περιστροφη της καµπυλης xt) = 3 + t, yt) = 9 3t, t [, 4]. γυρω απο τον αξονα των y Υπολογισε το εµβαδον της επιφανειας που δηµιουργειται απο την περιστροφη της καµπυλης xt) = 3 cos πt), yt) = 5t +, t [ ], π γυρω απο τον αξονα των y Υπολογισε το εµβαδον της επιφανειας που δηµιουργειται απο την περιστροφη της καµπυλης xt) = t + 3, yt) = t +, t [, 5] γυρω απο τον αξονα των y. 8.4 Προχωρηµενα Αλυτα Προβληµατα ινεται η καµπυλη µε παραµετρικη αναπαρασταση x t) = την γραφικη της παρασταση. cosh t, y t) = t tanh t. Κανε ινεται η καµπυλη µε παραµετρικη αναπαρασταση x t) = at, y t) = a, a >. Κανε +t την γραφικη της παρασταση. Τι παρατηρεις για τις διαφορες τιµες του a; ινεται η καµπυλη µε παραµετρικη αναπαρασταση x t) = sin mt + θ), y t) = sin nt), m, n N. Κανε την γραφικη της παρασταση για διαφορες τιµες των m, n. Μαλλον ϑα σου ειναι απαραιτητη η χρηση µαθηµατικου λογισµικου.) Τι παρατηρεις για τις διαφορες τιµες των m, n; ινεται η καµπυλη µε εξισωση x 3 + y 3 = 3xy.. Βρες µια παραµετρικη αναπαρασταση αυτης x t), y t)).. Κανε την γραφικη της παρασταση ινεται η καµπυλη µε εξισωση x n + y n =, n = k N.. Βρες µια παραµετρικη αναπαρασταση αυτης x t), y t)).. Κανε την γραφικη της παρασταση για διαφορες τιµες του n. 3. Τι παρατηρεις καθως n ; 4. Τι συµβαινει οταν n = p q Q; ινονται δυο καµπυλες µε παραµετρικες εξισωσεις :. x t) = a b) cos t + b cos a b b t ), y t) = a b) sin t b sin a b b t ).. x t) = a + b) cos t b cos a+b b t ), y t) = a + b) sin t b sin a+b b t ).

178 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8. ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 7 Οι γραφικες των παραστασεις οταν a = 3, b = 7) δινονται στο Σχηµα 8.7. Σχήµα 8.7:. Ποια ειναι η γραφικη παρασταση καθε καµπυλης ; Ποια ειναι η γεωµετρικη σηµασια των a, b; Χρησιµοποιησε µαθηµατικο λογισµικο για να κανετε την γραφικη παρασταση των καµπυλων για διαφορες τιµες a, b N ινονται δυο καµπυλες µε παραµετρικες εξισωσεις :. x t) = a b) cos t + c cos ) a b t, y t) = a b) sin t c sin a b ). t b b. x t) = a + b) cos t c cos ) a+b t, y t) = a + b) sin t c sin a+b ). t b b Οι γραφικες των παραστασεις οταν a = 9, b = 4, c = 5) στο Σχηµα 8.8 Σχήµα 8.8:.

179 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8. ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 73 Ποια ειναι η γραφικη παρασταση καθε καµπυλης ; Ποια ειναι η γεωµετρικη σηµασια των a, b, c; Χρησιµοποιησε µαθηµατικο λογισµικο για να κανετε την γραφικη παρασταση των καµπυλων για διαφορες τιµες a, b, c N Αντιστοιχισε τις παρακατω γραφικες παραστασεις του Σχηµατος 8.9 Σχήµα 8.9:. στις συναρτησεις µπορεις χωρις χρηση µαθηµατικου λογισµικου;. x t) = 4 cos t 3 cos 4t 4t, y t) = 4 sin t 3 sin. x t) = 5 cos t cos 5t, y t) = 6 sin t sin 6t. 3. x t) = 4 cos t cos 4t, y t) = 4 sin t sin 4t x t) = cos 3t, y t) = sin 7t. 3.

180 Κεφάλαιο 9 Πολικες Συντεταγµενες Ειναι γνωστο οτι µπορουµε να προσδιορισουµε την ϑεση ενος σηµειου στο επιπεδου µε χρηση Καρτεσιανων συντεταγµενων x, y). Οµως υπαρχουν και αλλα εναλλακτικα συστηµατα συντεταγ- µενων. Στο παρον κεφαλαιο ϑα ασχοληθουµε µε το συστηµα των πολικων συντεταγµενων. 9. Θεωρια και Παραδειγµατα 9... Ορισµος: Το σηµειο του επιπεδου µε πολικες συντεταγµενες ρ, φ) οριζεται ως εξης. Εστω ενα ευθυγραµµο τµηµα µηκους ρ το οποιο εχει ακρα O την αρχη των αξονων) και A και σχηµατιζει γωνια φ µε την ηµιευθεια Ox. Τοτε το A ειναι το σηµειο µε πολικες συντεταγµενες ρ, φ). ες το Σχηµα 9.. ρsinφ ) ρ φ ρcosφ ) Σχήµα 9.: Πολικες συντεταγµενες. x,y)= ρ,φ) Για να αντιµετωπισουµε το γεγονος οτι το ιδιο σηµειο µπορει να προσδιοριστει απο διαφο- ϱετικες γωνιες φ, φ = kπ, επιλεγουµε µια συγκεκριµενη περιοχη τιµων για το φ. Συνηθως 74

181 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9. ΠΟΛΙΚΕΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ 75 χρησιµοποιουµε ειτε [, π) ειτε [ π, π) αλλα σε συγκεκριµενα προβληµατα καποια αλλη επιλογη µπορει να ειναι καταλληλοτερη Θεωρηµα: Η σχεση που υπαρχει µεταξυ των καρτεσιανων συντεταγµενων x, y) και των πολικων συντεταγµενων φ, ρ) ειναι η εξης : Αποδειξη. Αµεση απο το Σχηµα 9.. x = ρ cos φ, ρ = x + y, y = ρ sin φ y ) φ = arctan. x Ασκηση: Βρες τις πολικες συντεταγµενες του σηµειου µε Καρτεσιανες συντεταγµενες x, y) =, ). Το ιδιο για το σηµειο, ). Λυση. Για το x, y)=, ) εχουµε ρ = + =, φ = arctan = π 4, δηλ. ρ, φ) = ), π. Για το x, y)=, ) εχουµε δηλ. ρ, φ) =, ). 4 ρ = + =, φ = arctan =, Ασκηση: Βρες τις Καρτεσιανες συντεταγµενες του σηµειου µε πολικες συντεταγµενες ρ, φ) =, π/3). Το ιδιο για το σηµειο, ). Λυση. Για το ρ, φ)=, π/3) εχουµε x = ρ cos φ = cos π 3 = =, y = ρ sin φ = sin π 3 3 = = 3, δηλ. x, y) = ), 3. Για το ρ, φ)=, ) εχουµε x = ρ cos φ = cos =, δηλ. x, y) =, ). y = ρ sin φ = sin =, Παρατηρηση: Μια καµπυλη µπορει να αναπαρασταθει απο µια συναρτηση ρ = ρφ). Σε καθε φ αντιστοιχει τιµη ρφ) και σηµειο φ, ρφ)). ες το Σχηµα 9..

182 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9. ΠΟΛΙΚΕΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ 76 φ ρ φ,ρφ) Σχήµα 9.: Πολικες συντεταγµενες Παραδειγµα: Η καµπυλη µε ρ φ) = ειναι ο κυκλος µε κεντρο το, ) και ακτινα R =. Αυτο ισχυει διοτι τυχον σηµειο της καµπυλης εχει συντεταγµενες οποτε ες και το Σχηµα 9.3. x = cos φ, y = sin φ, x + y = 4 cos φ + 4 sin φ = 4. Σχήµα 9.3: Η καµπυλη µε εξισωση ρ φ) = Ασκηση: Σχεδιασε καµπυλη φ ρ) = π/3. Λυση. Οποιοδηποτε σηµειο A της καµπυλης εχει την µορφη ρ, π/3), δηλ. η η γωνια AOx ειναι παντα ιση µε π/3. Αρα η καµπυλη ειναι µια ηµιευθεια, οπως ϕαινεται στο Σχηµα 9.4.

183 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9. ΠΟΛΙΚΕΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ 77 Σχήµα 9.4: Η καµπυλη µε εξισωση φ ρ) = π/ Ασκηση: Σχεδιασε την καµπυλη ρ φ) = sin φ. Λυση. Παρατηρουµε οτι x = ρ cos φ = sin φ cos φ, y = ρ sin φ = sin φ και x + y ) = sin φ cos φ) + sin φ = 4 cos φ sin φ + 4 sin 4 φ 4 sin φ + = 4 sin φ) sin φ + 4 sin 4 φ 4 sin φ + = Οποτε η καµπυλη ειναι κυκλος µε κεντρο το,) και ακτινα, οπως ϕαινεται στο Σχηµα 9.5. ) Σχήµα 9.5: Η καµπυλη µε εξισωση ρ φ) = sin φ.

184 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9. ΠΟΛΙΚΕΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ Ασκηση: Σχεδιασε την καµπυλη ρ φ) = φ. Λυση. Συµπληρωνουµε τον παρακατω πινακα. φ π/4 π/ π π 5π/ 3π 7π/ ρ φ) = φ π/4 π/ π π 5π/ 3π 7π/ Βλεπουµε λοιπον οτι οσο αυξανει η γωνια φ τοσο µεγαλωνει και η ακτινα ρ φ), και ετσι σχηµατιζεται µια σπειρα, οπως ϕαινεται στο Σχηµα 9.6. Σχήµα 9.6: Η καµπυλη µε εξισωση ρ φ) = φ Ασκηση:Σχεδιασε την καµπυλη ρ φ) = + cos φ. Λυση. Συµπληρωνουµε τον παρακατω πινακα. φ π/4 π/ 3π/4 π 5π/4 3π/ 7π/4 π ρ φ) = + cos φ Τοποθετωντας αυτα τα σηµεια στο επιπεδο παιρνουµε την καµπυλη του Σχηµατος 9.7. Η καµπυλη αυτη λεγεται καρδιοειδης.

185 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9. ΠΟΛΙΚΕΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ 79 Σχήµα 9.7: Η καµπυλη µε εξισωση ρ φ) = + cos φ Ασκηση: Σχεδιασε την καµπυλη ρ φ) = cos φ. Λυση. Συµπληρωνουµε τον παρακατω πινακα. φ π/8 π/4 3π/8 π/ 5π/8 3π/4 7π/8 π ρ φ) = cos φ Μπορουµε να συµπληρωσουµε επιπλεον σηµεια στο διαστηµα π, π), τα οποια ϑα ειναι συµ- µετρικα των παραπανω ως προς τον αξονα των x. Τοποθετωντας αυτα τα σηµεια στο επιπεδο παιρνουµε την καµπυλη του Σχηµατος 9.8. Η καµπυλη αυτη λεγεται τετραφυλλο. Σχήµα 9.8: Η καµπυλη µε εξισωση ρ φ) = cos φ.

186 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9. ΠΟΛΙΚΕΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ Ασκηση: Σχεδιασε την καµπυλη ρ φ) = cos 3φ. Λυση. Συµπληρωνουµε τον παρακατω πινακα. φ π/8 π/4 3π/8 π/ 5π/8 3π/4 7π/4 π ρ φ) = cos 3φ Παρατηρειστε οτι εµφανιζονται στον πινακα αρνητικες τιµες του ρ. Αυτες τις ερµηνευουµε ως εξησ: το σηµειο µε πολικες συντεταγµενες ρ, φ) και ρ < προκυπτει προχωρωντας κατα αποσταση ρ στην κατευθυνση φ + π. Τοποθετωντας τα σηµεια στο επιπεδο παιρνουµε την καµπυλη του Σχηµατος 9.9. Η καµπυλη αυτη λεγεται τριφυλλο. Σχήµα 9.9: Η καµπυλη ρ φ) = cos 3φ Ασκηση: Βρες την εξισωση της παραβολης y = x σε πολικες συντεταγµενες. Λυση. Εχουµε y = x ρ sin φ = ρ cos φ ρ = sin φ cos φ. Αυτη ειναι η Ϲητουµενη εξισωση Ασκηση: Περιγραψε την καµπυλη µε εξισωση Λυση. Εχουµε ρ = sin φ ρ 36 = 9 5 sin φ ) ρ 9 5 sin φ = 36 9ρ 5ρ sin φ = 36 9 x + y ) 5y = 36 9x + 4y = 36 x Οποτε η καµπυλη ειναι µια ελλειψη. 4 + y 9 =.

187 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9. ΠΟΛΙΚΕΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ Ασκηση: Περιγραψε την καµπυλη µε εξισωση Λυση. Εχουµε ρ = cos φ + sin φ ρ = cos φ + sin φ. ρ = ρ cos φ + ρ sin φ x + y = x + y x x + ) + y 4 y + ) = 4 x + y ) ) =. ) Οποτε η καµπυλη ειναι ενας κυκλος µε κεντρο και ακτινα., Ασκηση: Βρες τα σηµεια τοµης των καµπυλων Λυση. Θα εχουµε ρ = + sin φ, ρ = sin φ. ρ = ρ + sin φ = sin φ sin φ = sin φ =. Οποτε φ = kπ, k Z και τα σηµεια τοµης ειναι x, y ) = + sin ) ) cos ), + sin ) ) sin ) ) =, ), x, y ) = + sin π) ) cos π), + sin π) ) sin π) ) =, ). Για ολες τις αλλες τιµες του k παιρνουµε τα ιδια σηµεια.) Θεωρηµα: Εστω οτι µια καµπυλη δινεται σε σε πολικες συντεταγµνες φ, ρφ)) και οταν το φ παιρνει τιµες απο φ ως φ, η καµπυλη περικλειει ενα χωριο. Τοτε το εµβαδο του χωριου δινεται απο τον τυπο A = φ φ ρ φ)dφ. 9.) Αποδειξη. Για να υπολογισουµε το Ϲητουµενο εµβαδον χρειαζοµαστε τον τυπο που δινει το εµβαδον κυκλικου τοµεα γωνιας φ. Οπως ϕαινεται στο Σχηµα 9. για κυκλο ακτινας R, το εµβαδον δινεται απο τον τυπο E = φ R.

188 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9. ΠΟΛΙΚΕΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ 8 Σχήµα 9.: Εµβαδον κυκλικου τοµεα. Ετσι, π.χ., ο κυκλος ειναι κυκλικος τοµεας γωνιας φ = π και εχει εµβαδον E = π R = π R το ηµικυκλιο ειναι κυκλικος τοµεας γωνιας φ = π και εχει εµβαδον E = π R κ.τ.λ. Τωρα ας συµβολισουµε µε A φ ) το εµβαδον που περιεχεται µεταξυ της καµπυλης ρ φ) και τον ηµιευθειων µε γωνιες φ = και τυχουσα φ. ες το σχηµα 9.. ρ φ φ ρ ρ Σχήµα 9.: Υπολογισµος του στοιχειωδους εµβαδου σε πολικες συντεταγµενες. Ας υποθεσουµε οτι το φ µεταβαλλεται και γινεται φ + φ. Αν προσεγγισουµε το προστιθεµενο κοµµατι εµβαδου µε ενα κυκλικο τοµεα ακτινας ρ φ) και γωνιας φ δες το Σχηµα 9.) τοτε η µεταβολη του εµβαδου ειναι προσεγγιστικα A φ + φ) A φ) ρ φ) φ.

189 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9. ΠΟΛΙΚΕΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ 83 Οποτε A φ + φ) A φ) A φ + φ) A φ) φ ρ φ) lim = lim φ φ φ ρ φ) da dφ = φ ρ φ) A φ) = ρ φ) dφ + c = ρ θ) dθ + c. Ετσι και το στοιχειωδες εµβαδον ειναι da = ρ φ)dφ. Επειδη A ) = γιατι ;) ϑα ειναι c =. Εστω A το εµβαδον που περικλειεται µεταξυ των ηµιευθειων φ = και φ = φ και A αυτο που περικλειεται µεταξυ των ηµιευθειων φ = και φ = φ. Θα εχουµε φ φ A = ρ θ) dθ, A = ρ θ) dθ Οποτε το Ϲητουµενο εµβαδον ειναι A = A A = φ ρ θ) dθ φ ρ θ) dθ = φ φ ρ θ) dθ Ασκηση: Υπολογισε το εµβαδον του σχηµατος που περικλειει η καµπυλη µε εξισωση ρ φ) = cos φ, φ [ π/, π/ ]. Λυση. Η καµπυλη ειναι ενα τετραφυλλο δες το Σχηµα 9.8). Το εµβαδον ειναι E = π/ π/ ρ dφ = π/ π/ cos φdφ = π/ π/ + cos 4φ dφ = π Ασκηση: Υπολογισε το εµβαδον του σχηµατος που περικλειει η καµπυλη ρ φ) = a + cos φ), φ [ π, π]. Λυση. Ειναι η καρδιοειδης καµπυλη που ϕαινεται στο Σχηµα 9.7. Η καµπυλη ειναι συµµετρικη ως προς τον αξονα των x, οποτε ϑα υπολογισουµε το εµβαδον για φ [, π] και ϑα το διπλασιασουµε για να παρουµε το τελικο αποτελεσµα. Εχουµε π π ) E = a + cos φ) dφ = a + cos φ + cos φ dφ π π π ) = a + cos φ dφ + cos φdφ + dφ = a π + + π ) = 3πa Ασκηση: Υπολογισε το εµβαδον εκτος του κυκλου ρ = και εντος της καρδιοειδους ρ = + cos φ. Λυση. ες το σχηµα 9..

190 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9. ΠΟΛΙΚΕΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ 84 Σχήµα 9.: Υπολογισµος του εµβαδου µεταξυ των ρ =,ρ = + cos φ. Το Ϲητουµενο εµβαδον ειναι A = A A οπου A = A = Αρα το Ϲητουµενο εµβαδον ειναι π/ π/ π/ π/ + cos φ) dφ = 3 4 π +, dφ = π. 3π 4 + π = π Θεωρηµα: Εστω καµπυλη δινεται σε σε πολικες συντεταγµενες) ρφ) µε το φ να παιρνει τιµες απο φ ως φ. Τοτε το µηκος της καµπυλης ειναι φ ) dρ s = ρ + dφ. 9.) dφ φ Αποδειξη. Μπορουµε να γραψουµε την καµπυλη σε παραµετρικη µορφη, µε παραµετρο το φ, ως εξης : x φ) = ρ φ) cos φ), y φ) = ρ φ) sin φ). Γνωριζουµε οτι το µηκος τοξου παραµετρικης καµπυλης δινεται απο τον τυπο φ ) ) dy + dφ. φ dφ dφ

191 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9. ΠΟΛΙΚΕΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ 85 Μπορουµε να απλοποιησουµε τον τυπο αυτο ως εξης. Εχουµε dφ = dρ cos φ ρ φ) sin φ dφ dy dφ = dρ sin φ + ρ φ) cos φ dφ οποτε ) ) ) ) dy dρ dρ + = cos φ ρ φ) sin φ + sin φ + ρ φ) cos φ dφ dφ dφ dφ ) dρ ) = cos φ + sin φ + ρ cos φ + sin dρ dρ φ) ρ cos φ sin cos φ + ρ cos φ sin cos φ dφ dφ dφ ) dρ = + ρ. dφ Αρα το Ϲητουµενο µηκος δινεται απο τον τυπο φ ) dρ + ρ dφ. dφ 9... Ασκηση: Υπολογισε το µηκος της περιφερειας κυκλου µε ακτινα R. φ Λυση. Ο κυκλος µε ακτινα R εχει εξισωση ρ φ) = R, φ [, π]. Οποτε το µηκος της περιφερειας ειναι π ) dρ π π s = ρ + dφ = R + ) dφ = Rdφ = πr dφ οπως και περιµεναµε Ασκηση: Υπολογισε το µηκος του τµηµατος της εκθετικης σπειρας µε εξισωση ρ φ) = e φ που αντιστοιχει σε φ [, π/ ]. Λυση. ες το Σχηµα 9.3.

192 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9. ΠΟΛΙΚΕΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ 86 Σχήµα 9.3: Υπολογισµος του µηκους της ρ φ) = e, φ [, π/ ]. Το Ϲητουµενο µηκος ειναι π/ ) dρ π/ s = ρ + dφ = e 4φ + 4e 4φ dφ = 5 e π ). dφ Ασκηση: Υπολογισε το µηκος του τµηµατος της καµπυλης µε εξισωση ρ φ) = /φ που αντιστοιχει σε φ [ /, ]. Λυση. Το Ϲητουµενο µηκος ειναι s = φ + ) dφ = φ / / 9. Λυµενα Προβληµατα + φ dφ = φ φ ) ) 5 + ln ) ) Ασκηση: Βρες τις πολικες συντεταγµενες των σηµειων µε Καρτεσιανες συντεταγµενες x, y) = ), 3 και x, y) =, ) 3 και Λυση. Για το x, ) y)=, 3 εχουµε ρ = + 3 = 3 4 =, φ = arctan = π/3, ) δηλ. ρ, φ) =, π/3). Για το x, y)=, 3 εχουµε ρ = ) + 3) = 4 =, φ = arctan 3 = arctan 3 = π 3.

193 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9. ΠΟΛΙΚΕΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ 87 ) Αυτο οµως δεν ειναι σωστο, επειδη το, 3 ανηκει στο 3ο τεταρτηµοριο. Το σωστο αποτελεσµα ειναι φ = π + π, δηλ. ρ, φ) = ), 4π Ασκηση: Βρες τις Καρτεσιανες συντεταγµενες ) του σηµειου µε πολικες συντεταγµενες ρ, φ) =, π/4). Το ιδιο για το σηµειο, π. 3 Λυση. Για το ρ, φ)=, π/4) εχουµε δηλ. x, y) =, δηλ. x, y) =, 3 ). 4 4 x = ρ cos φ = cos π 4 =, y = ρ sin φ = sin π 4 =, ) ). Για το ρ, φ)= εχουµε, π 3 x = ρ cos φ = cos π 3 = ) = 4, y = ρ sin φ = sin π 3 = ) 3 3 = 4, Ασκηση: Σχεδιασε την καµπυλη φ ρ) = π/4. Λυση. Οποιοδηποτε σηµειο A της καµπυλης εχει την µορφη ρ, π/3), δηλ. η γωνια AOx ειναι παντα ιση µε π/4. Αρα η καµπυλη ειναι µια ηµιευθεια, οπως ϕαινεται στο Σχηµα 9.4. Σχήµα 9.4: Η καµπυλη µε εξισωση φ ρ) = π/ Ασκηση: Σχεδιασε την καµπυλη ρ φ) =. 4 3 cos φ

194 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9. ΠΟΛΙΚΕΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ 88 Λυση. Εχουµε ρ = cos φ 4ρ 3ρ cos φ = 4 4ρ cos φ + sin φ) 3ρ cos φ = 4 4ρ cos φ + ρ sin φ = 4 ρ cos φ + 4 ρ sin φ = x + y 4 =. Οποτε η καµπυλη ειναι η ελλειψη του Σχηµατος 9.5. Σχήµα 9.5: Η καµπυλη µε εξισωση ρ φ) = / 4 3 cos φ Ασκηση: Σχεδιασε την καµπυλη ρ φ) = cos φ+ sin. φ Λυση. Εχουµε ρ cos φ + sin φ) = 3 x + y = 3, η οποια ειναι η ευθεια του Σχηµατος 9.6.

195 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9. ΠΟΛΙΚΕΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ 89 Σχήµα 9.6: Η καµπυλη µε εξισωση ρ φ) = Ασκηση: Σχεδιασε την καµπυλη ρ φ) = sin φ. Λυση. Συµπληρωνουµε τον παρακατω πινακα. cos φ+ sin φ. φ π/4 π/ 3π/4 π 5π/4 3π/ 7π/4 π ρ φ) = sin φ Τοποθετωντας αυτα τα σηµεια στο επιπεδο παιρνουµε το Σχηµα 9.7, µια παραλλαγη της καρδιοειδους. Σχήµα 9.7: Η καµπυλη µε εξισωση ρ φ) = sin φ. ) Ασκηση: Σχεδιασε την καµπυλη ρ φ) = cos φ π. 4

196 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9. ΠΟΛΙΚΕΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ 9 Λυση. Ειναι µια παραλλαγη του τετραφυλλου, στραµµενη αντιωρολογιακα κατα π 4. ) Σχήµα 9.8: Η καµπυλη µε εξισωση ρ φ) = cos φ π Ασκηση: Σχεδιασε την καµπυλη ρ φ) = sin 3φ. Λυση. Συµπληρωνουµε τον παρακατω πινακα φ π/8 π/4 3π/8 π/ 5π/8 3π/4 7π/8 π ρ φ) = cos 3φ Τοποθετωντας αυτα τα σηµεια στο επιπεδο παιρνουµε το Σχηµα 9.9, ενα τριφυλλο. Σχήµα 9.9: Η συναρτηση µε εξισωση ρ φ) = sin 3φ.

197 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9. ΠΟΛΙΚΕΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ Ασκηση: Βρες την εξισωση της υπερβολης x y = σε πολικες συντεταγµενες. Λυση. Εχουµε Αυτη ειναι η Ϲητουµενη εξισωση. x y = ρ cos φ ρ sin φ = ρ = 9... Ασκηση: Περιγραψε την καµπυλη µε εξισωση Λυση. Εχουµε Οποτε η καµπυλη ειναι µια υπερβολη. ρ = cos φ sin φ. ρ cos φ sin φ = xy = Ασκηση: Βρες τα σηµεια τοµης των καµπυλων Λυση. Θα εχουµε ρ = 4 sin φ, ρ = 4 cos φ. cos φ sin φ. ρ = ρ 4 sin φ = 4 cos φ tan φ = φ = ± π 4. Οµως η τιµη φ = π απορριπτεται, διοτι ϑα εδινε ρ 4 = 4 sin ) π 4 =. Οποτε ενα σηµειο τοµης ειναι το ρ, φ) = ) 4, π, δηλ. το x, y) = ),. Με γεωµετρικη αναλυση 4 µπορουµε να καταλαβουµε οτι υπαρχει ενα ακοµη σηµειο τοµης. Ποιο ειναι αυτο και γιατι δεν το ανακαλυψαµε µε την παραπανω αναλυση ; 9... Ασκηση: Υπολογισε το εµβαδον του σχηµατος που περικλειει η καµπυλη ρ φ) = R + sin φ), φ [ π, π]. Λυση. Εχουµε A = R π = R π π + sin φ) dφ = R π dφ + π π π sin φdφ + ) + sin φ + sin φ dφ ) cos φ dφ = R π + + π ) = 3πR. π π π Ασκηση: Υπολογισε το εµβαδον του σχηµατος που περικλειει η καµπυλη µε εξισωση ρ φ) = cos φ, φ [, π]. Λυση. Το εµβαδον ειναι A = π ρ dφ = π cos 4 φ dφ = π + cos φ ) dφ = 3π 8.

198 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9. ΠΟΛΙΚΕΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ Ασκηση: Υπολογισε το εµβαδον της κοινης επιφανειας του κυκλου ρ = 3 cos φ και της καρδιοειδους ρ = + cos φ. Λυση. ες το Σχηµα 9.. Σχήµα 9.: Η κοινη επιφανεια των ρ = 3 cos φκαι ρ = + cos φ. Τα σηµεια τοµης δινονται απο ρ = ρ 3 cos φ = + cos φ cos φ = φ = ±π 3. Το Ϲητουµενο εµβαδον ειναι A = A + A οπου A ειναι το εµβαδον του κυκλου ρ = 3 cos φ για φ [ π, [ ] π 3] π, π και A 3 ειναι το εµβαδον της καρδιοειδους ρ = + cos φ για φ [ ] π, π. 3 3 Εχουµε A = A = π/ π/3 π/3 3 cos φ) dφ = 3 4 π 9 8 Αρα το Ϲητουµενο εµβαδον ειναι π/3 + cos φ) dφ = π A = A + A = 4 π 9 ) π + 9 ) 3 = 5π Ασκηση: Υπολογισε το εµβαδον εκτος του κυκλου ρ = R και εντος του τριφυλλου ρ = R cos3φ). Λυση. Το τριφυλλο εχει τρεις «λοβους» ο πρωτος αντιστοιχει σε φ [ π/6, π/6]. Θα υπολογισουµε το εµβαδον εντος αυτου το λοβου και εκτος του κυκλου και κατοπιν ϑα τριπλασιασουµε

199 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9. ΠΟΛΙΚΕΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ 93 για να ϐρουµε το Ϲητουµενο εµβαδον). Πρεπει λοιπον καταρχην να ϐρουµε τα σηµεια τοµης των δυο καµπυλων. Θα πρεπει να εχουµε ρ φ) = ρ φ), δηλ. Οποτε το Ϲητουµενο εµβαδον ειναι 3 π/9 π/9r cos3φ)) dφ 3 π/9 R cos3φ) = R φ = ± π 9. π/9 R dφ = 3 π/9 π/9 4R cos 3φ)φ 3 π/ Ασκηση: Υπολογισε το εµβαδον το οποιο περικλειει ενας ϐροχος της ρφ) = π/9 R dφ = R 6π R sin φ cos φ sin 3 φ+cos. 3 φ Λυση. Η καµπυλη σχηµατιζει ϐροχο µεταξυ των τιµων του φ στις οποιες τεµνει τον εαυτο της. Θα ειναι δηλ. ρφ ) = ρφ ) οποτε 3R sin φ cos φ = 3R sin φ cos φ sin 3 φ + cos 3 φ sin 3 φ + cos 3 φ Ευκολα ϕαινεται οτι, στο διαστηµ [, π] η µονη λυση της εξισωσης ειναι φ =, φ = π/. Οποτε το Ϲητουµενο εµβαδον ειναι π/ 9R sin φ cos φ sin 3 φ + cos 3 φ) dφ = 9R π/ z + z 3 ) dz = 3R για τον υπολογισµο του ολοκληρωµατος χρησιµοποιησαµε την αντικατασταση z = tan φ, dz = cos φdφ) Ασκηση: Υπολογισε το µηκος του κυκλου ρ φ) = 3 sin φ. Λυση. Εχουµε ρ = 3 sin φ, dρ dφ = 3 cos φ, ) dρ ρ + = 9. dφ Οποτε το µηκος της περιφερειας ειναι π ) dρ π s = ρ + dφ = 9dφ = 8π. dφ Ασκηση: Υπολογισε το µηκος της ρ φ) = sin φ που αντιστοιχει σε φ [, π]. Λυση. ες το σχηµα 9..

200 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9. ΠΟΛΙΚΕΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ 94 Εχουµε Σχήµα 9.: Υπολογισµος του µηκους της ρ φ) = sin φ, φ [, π]. Το Ϲητουµενο µηκος ειναι dρ ρ = sin φ, = cos φ, dφ ) dρ ρ + = sin φ) + cos φ) dφ = sin φ + sin φ + cos φ = sin φ = π ) cos φ = π cos 4 φ ) = π cos 4 φ ). s = π = 4 3π/ π/ 9.3 Αλυτα Προβληµατα ) dρ π ρ + dφ = π dφ cos 4 φ ) dφ π cos 4 φ ) dφ = Σχεδιασε την καµπυλη της ρ φ) = φ φ π) και υπολογισε το εµβαδον που περικλειει. Απ. 4 3 π3.

201 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9. ΠΟΛΙΚΕΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ Σχεδιασε την καµπυλη της ρ φ) = e φ φ π) και υπολογισε το εµβαδον που περικλειει. Απ. eπ Σχεδιασε την καµπυλη της ρ φ) = /φ π 4 περικλειει. Απ. π/. φ π) και υπολογισε το εµβαδον που Σχεδιασε την κλειστη καµπυλη της ρ φ) = cosφ) και υπολογισε το εµβαδον που περικλειει. Απ Σχεδιασε την κλειστη καµπυλη της ρ φ) = 3 + sin φ και υπολογισε το εµβαδον που περικλειει. Απ. 9π/ Σχεδιασε την κλειστη καµπυλη της ρ φ) = cos 3φ και υπολογισε το εµβαδον που περικλειει. Απ. 3π/ Σχεδιασε την κλειστη καµπυλη της ρ φ) = sin φ και υπολογισε το εµβαδον που περικλειει. Απ. π/ Σχεδιασε την κλειστη καµπυλη της ρ φ) = cos φ και υπολογισε το εµβαδον που περικλειει. Απ. π/ Σχεδιασε την κλειστη καµπυλη της ρ φ) = sin 3φ και υπολογισε το εµβαδον που περικλειει. Απ. π/ Σχεδιασε την κλειστη καµπυλη της ρ φ) = sin φ + cos φ και υπολογισε το εµβαδον που περικλειει. Απ. 7π/ Σχεδιασε την κλειστη καµπυλη της ρ φ) = περικλειει. Απ. 3 R. 3R sin φ cos φ sin 3 φ+cos 3 φ και υπολογισε το εµβαδον που Σχεδιασε την κλειστη καµπυλη της ρ φ) = R sin φ cos φ και υπολογισε το εµβαδον που περικλειει. Απ. πr Σχεδιασε την κλειστη καµπυλη της ρ φ) = R cos 3 φ και υπολογισε το εµβαδον που περικλειει. Απ. 5πR Σχεδιασε την κλειστη καµπυλη της ρ φ) = + cos φ και υπολογισε το εµβαδον που περικλειει.

202 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9. ΠΟΛΙΚΕΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ Σχεδιασε την κλειστη καµπυλη της ρ φ) = 3 + cos φ και υπολογισε το εµβαδον που περικλειει Σχεδιασε την κλειστη καµπυλη της ρ φ) = + sin φ και υπολογισε το εµβαδον που περικλειει Σχεδιασε την κλειστη καµπυλη της ρ φ) = 3 + sin φ και υπολογισε το εµβαδον που περικλειει. π Σχεδιασε την κλειστη καµπυλη της ρ φ) = και υπολογισε το εµβαδον που περικλειει Σχεδιασε την κλειστη καµπυλη της ρ φ) = arctan φ π περικλειει. φ και υπολογισε το εµβαδον που Σχεδιασε τις καµπυλες ρ = R cos φ) και ρ = R και υπολογισε το µεταξυ τους εµβαδον. Απ. a 5π ) Σχεδιασε τις καµπυλες ρ = R cos φ και ρ = R και υπολογισε το µεταξυ τους εµβαδον. Απ. R + π ) Σχεδιασε τις καµπυλες ρ = + cos φ και ρ = R cos φ και υπολογισε το µεταξυ τους εµβαδον. Απ Σχεδιασε και υπολογισε το εµβαδον που περικλειει το τµηµα της καµπυλης ρ = R cos φ) και ϐρισκεται εντος του κυκλου ρ = R cos φ. Απ. R 7π ) Σχεδιασε και υπολογισε το µηκος της καµπυλης ρ = /φ, 3/4 φ 4/3. Απ. ln ) Σχεδιασε και υπολογισε το µηκος της καµπυλης ρ = e φ, φ ln 4. Απ Σχεδιασε και υπολογισε το µηκος της καµπυλης ρ = φ, φ 5. Απ Σχεδιασε και υπολογισε το µηκος της καµπυλης ρ = φ, 3 4 φ 4 3. Απ. 5 + ln Σχεδιασε και υπολογισε το µηκος της ρ = +cos, π φ π. φ Απ. + ln + )) Σχεδιασε και υπολογισε το µηκος της πρωτης περιελιξης της ρ = φ. Απ. π + 4π ln π + + 4π ).

203 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9. ΠΟΛΙΚΕΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ Σχεδιασε και υπολογισε το µηκος της κλειστης καµπυλης ρ = cos φ. Απ Σχεδιασε και υπολογισε το µηκος της κλειστης καµπυλης ρ = cos φ). Απ. 3π Σχεδιασε και υπολογισε το µηκος της κλειστης καµπυλης ρ = sin 3 φ/3). Απ. 3π Σχεδιασε και υπολογισε το µηκος της κλειστης καµπυλης ρ = R sin 3 φ. 3 Απ. 3 πr Σχεδιασε και υπολογισε το µηκος της κλειστης καµπυλης ρ = R sin 4 φ. 4 Απ. 4 πr. 3 ) Σχεδιασε και υπολογισε το µηκος της καµπυλης φ = ρ + µε ρ 4. ρ Απ. 3 ln ) ln ) ινεται καµπυλη η οποια εχει εξισωση σε πολικες συντεταγµενες) ρφ), φ φ φ. Εστω οτι αυτη περιστρεφεται γυρω απο τον αξονα των x. Αποδειξε οτι ο ογκος του σχηµατιζοµενου στερεου ειναι V = 3 φ φ ρ 3 sin φdφ Υπολογισε τον ογκο του στερεου το οποιο σχηµατιζεται απο την περιστροφη της καµπυλης ρ = R γυρω απο τον αξονα των x. Απ. 4 3 πr Υπολογισε τον ογκο του στερεου το οποιο σχηµατιζεται απο την περιστροφη της καµπυλης ρ = R sinφ) γυρω απο τον αξονα των x. 64 Απ. 5 πr Υπολογισε τον ογκο του στερεου το οποιο σχηµατιζεται απο την περιστροφη της καµπυλης ρ = R + cosφ) γυρω απο τον αξονα των x. Απ. 8 3 πr Υπολογισε τον ογκο του στερεου το οποιο σχηµατιζεται απο την περιστροφη της καµπυλης ρ = R cos φ γυρω απο τον αξονα των x. 4 Απ. πr Προχωρηµενα Αλυτα Προβληµατα Σχεδιασε την γραφικη παρασταση της ρ = sin 6φ) Σχεδιασε την γραφικη παρασταση της ρ = sin 7φ) Σχεδιασε την γραφικη παρασταση της ρ = + sin φ).

204 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9. ΠΟΛΙΚΕΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ Μετατρεψε την εξισωση σε πολικες συντεταγµενες, σχεδιασε την καµπυλη και υπολογισε το εµβαδον που περικλειει : x + y ) = x y ). Απ Μετατρεψε την εξισωση σε πολικες συντεταγµενες, σχεδιασε την καµπυλη και υπολογισε το εµβαδον που περικλειει : x + y ) = 4x + 9y. Απ. 3π Μετατρεψε την εξισωση σε πολικες συντεταγµενες, σχεδιασε την καµπυλη και υπολογισε το εµβαδον που περικλειει : x + y )3 = 4xy x y ). Απ Μετατρεψε την εξισωση σε πολικες συντεταγµενες, σχεδιασε την καµπυλη και υπολογισε το εµβαδον που περικλειει : x 4 + y 4 = x + y. Απ. π Αντιστοιχισε χωρις χρηση µαθηµατικου λογισµικου) τις συναρτησεις. ρ = sin φ.. ρ = cos φ ρ = sin φ + sin 3 5φ. 4. ρ = φ cos φ. 5. ρ = φ. 6. ρ = + 4 cos 5φ. στις γραφικες παραστασεις Σχήµα 9.:.

205 Κεφάλαιο Ακολουθιες Μια ακολουθια ειναι µια συναρτηση µε πεδιο ορισµου το συνολο των ϕυσικων αριθµων N = {,, 3,...}.. Θεωρια και Παραδειγµατα... Ορισµος: Μια συναρτηση f : N R δηλ. για n N = {,, 3,...}, f n) R) λεγεται ακολουθια.... Συµβολισµος: Ο n-στος ορος της ακολουθιας γραφεται f n) ή συνηθεστερα f n. Για να δηλωσουµε ολοκληρη την ακολουθια γραφουµε f ή f, f,...) ή f n ) n= ή απλα f n)...3. Ορισµος: Μια ακολουθια f n ) n= λεγεται ϕραγµενη ανν υπαρχουν αριθµοι A, B τετοιοι ωστε n : A f n B...4. Ασκηση: ειξε οτι η ακολουθια f n ) n= µε f n = n + ειναι ϕραγµενη. 3n Λυση. Θα δειξουµε οτι, για καθε n, ισχυει < f n = n +. 3n Το κατω ϕραγµα ειναι προφανες. Για το ανω ϕραγµα εχουµε ) ) n + 3n + n + ) 3n + n +. 3n 3n Αλλα το οποιο προφανως ισχυει για καθε n N. 3n + n + = n n..5. Ασκηση: : ειξε οτι η ακολουθια f n ) n= µε f n = ) n n δεν ειναι ϕραγµενη. Λυση. Εστω οτι υπηρχαν A, B τετοια ωστε n : A f n B. 99

206 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ Παιρνουµε n B τετοιο ωστε n B > B και n B τετοιο ωστε n B n B. Τοτε n n B n n B n B > B f n = ) n n > B. Αρα κανενα B R δεν µπορει να ειναι ανω ϕραγµα της f n ). Οµοιως αποδεικνυουµε οτι η f n ) δεν εχει κατω ϕραγµα...6. Ορισµος: Μια ακολουθια f n ) n= λεγεται αυξουσα αντ. ϕθινουσα) ανν n : f n f n+ αντ. n : f n f n+ ). Αν µια ακολουθια ειναι ειτε αυξουσα ειτε ϕθινουσα, λεγεται µονοτονη. Μια ακολουθια f n ) n= λεγεται γνησιως αυξουσα αντ. γνησιως ϕθινουσα) ανν n : f n < f n+ αντ. n : f n > f n+ ). Αν µια ακολουθια ειναι ειτε γνησιως αυξουσα ειτε γνησιως ϕθινουσα, λεγεται γνησιως µονοτονη...7. Ασκηση: ειξε οτι η ακολουθια f n ) n= µε f n = ειναι γνησιως ϕθινουσα. n Λυση. Εχουµε n N : n < n + ) n N : n + < ) n N : f n+ < f n ) n οποτε η f n ) ειναι γνησιως ϕθινουσα...8. Ασκηση: Ειναι η ακολουθια µε f n = n ϕραγµενη ; Μονοτονη ; 3 n Λυση. Θα δειξουµε οτι, για καθε n N, ισχυει f n > f n+. Αρκει να δειξουµε n N : 3 > n + ) N : n > n + ) N : n > ). n 3 n+ 3 Η τελευταια ανισοτητα προφανως ισχυει για καθε n N. ϕθινουσα. Επισης, για καθε n N, ισχυει f n >. Αρα και η ακολουθια ειναι ϕραγµενη. n N : < f n < f = 3 Αρα η ακολουθια ειναι γνησιως..9. Ορισµος: Λεµε οτι η ακολουθια f n ) n= συγκλινει ή τεινει) στον αριθµο φ R ανν ε > : n ε : n n ε f n φ < ε. Τοτε γραφουµε «lim n f n = φ» το οριο της f n ειναι το φ).... Ασκηση: ινεται η ακολουθια f n ) n= µε f n =. ειξε µε αριθµητικο επιχειρηµα οτι n lim n =. n Λυση. Στον παρακατω πινακα δινουµε Ϲευγη τιµων n, f n ). Παρατηρουµε οτι οσο µεγαλυτερο γινεται το n, τοσο εγγυτερα ϐρισκεται το f n στο. Αρα εικαζουµε οτι lim n f n =. n f n = n..... Ειναι ϕανερη η οµοιοτητα του παραπανω πινακα µε αυτον του Προβληµατος ;;. συναρτησεων f x) ειναι ουσιαστικα ιδια µε την συγκλιση ακολουθιων f n. Η συγκλιση

207 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ... Ασκηση: ινεται η ακολουθια f n ) n= µε f n =. Αποδειξε µε χρηση του ορισµου) οτι n lim n =. n Λυση. Εστω τυχον ε >. Λαµβανω n ε > οποτε ε > ε n ε > για καθε n n n ε. Οποτε n n ε : ε > n = n = f n lim f n =. n... Ασκηση: Εξηγησε την σηµασια της συνθηκης Λυση. ες το Σχηµα.. f n φ+ε φ φ - ε ε > n ε : n n ε f n φ < ε. Σχήµα.: Γεωµετρικη ερµηνεια της συγκλισης µιας ακολουθιας. Παρατηρησε οτι, για καθε n n ε, οι τιµες f n ϐρισκονται µεσα σε µια «Ϲωνη» πλατους ε, γυρω απο την τιµη φ. Αυτο διατυπωνεται µε την συνθηκη n n ε f n φ < ε. Επειδη εµεις επιλεγουµε την τιµη του ε, µπορουµε να κανουµε τη Ϲωνη οσο στενη ϑελουµε αφου η παραπανω συνθηκη πρεπει να ισχυει για καθε ε > ). Αλλα το n ε για το οποιο ϑα ισχυει η παραπανω συνθηκη ϑα εξαρταται απο το ε, δηλ. για µικροτερο ε µπορει να χρειαστει να χρησιµοποιησουµε µεγαλυτερο n ε...3. Ορισµος: Λεµε οτι η ακολουθια f n ) n= τεινει στο + ή οτι το οριο της f n ειναι το + ) και γραφουµε lim n f n = + ανν M > : n M : n n M f n > M Λεµε οτι η ακολουθια f n ) n= τεινει στο ή οτι το οριο της f n ειναι το ) και γραφουµε lim n f n = ανν M < : n M : n n M f n < M n..4. Ασκηση: ινεται η ακολουθια f n ) n= µε f n = n. ειξε µε ενα αριθµητικο επιχειρηµα οτι lim n f n =.

208 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ Λυση. Στον παρακατω πινακα δινουµε Ϲευγη τιµων n, f n ). Παρατηρουµε οτι οσο µεγαλυτερο γινεται το n, τοσο µεγαλυτερο γινεται το f n. Οποτε εικαζουµε οτι lim n f n =. n f n = n..5. Ασκηση: ινεται η ακολουθια f n ) n= µε f n = n. Αποδειξε µε χρηση του ορισµου) οτι lim n f n =. Λυση. Εστω τυχον M >. Λαµβανω n M > M οποτε n M > M για καθε n n M. Οποτε n n M : f n = n > M lim f n =. n..6. Συµβολισµος: Αν η ακολουθια f n ) n=. τεινει στο φ R, λεµε οτι συγκλινει ή οτι ειναι συγκλινουσα. τεινει ειτε στο + ειτε στο, λεµε οτι αποκλινει ή οτι ειναι αποκλινουσα 3. δεν τεινει ουτε σε πραγµατικο αριθµο ουτε στο + ουτε στο, λεµε οτι ταλαντευεται...7. Ασκηση: ειξε οτι η ακολουθια f n ) µε f n = ) n ταλαντευεται. Λυση. Πρεπει να δειξουµε οτι η f n ) δεν τεινει σε κανενα οριο. Αφου η f n ) ειναι ϕραγµενη γιατι ;) δεν µπορει να τεινει ουτε στο ουτε στο. Ας υποθεσουµε οτι lim n f n = φ R. Τοτε, αν επιλεξουµε ε =, υπαρχει n τετοιο ωστε Τοτε ϑα εχουµε n n f n φ <. + > fn φ + fn + φ = fn φ + φ fn + = fn φ + φ f n + = fn f n + = ) n ) n + = που ειναι ατοπο. Αρα δεν µπορει να ισχυει lim n f n = φ R, οποτε η f n ) οντως ταλαντευεται...8. Θεωρηµα: Αν το οριο µιας ακολυθιας υπαρχει, ειναι µοναδικο...9. Θεωρηµα: Μια µονοτονη και ϕραγµενη ακολουθια συγκλινει σε πραγµατικο αριθµο).... Παραδειγµα: Η f n ) µε f n = + ειναι ϕραγµενη γιατι ;) και γνησιως ϕθινουσα γιατι ;) n και ισχυει lim n + n ) =.... Ασκηση: ειξε οτι η ακολουθια f n ) µε f n = + συγκλινει σε καποιο οριο.. n! Λυση. Εχουµε και n N : < + n! n N : f n = + n! > + n + )! = f n+. Αφου η f n ) ειναι ϕραγµενη και ϕθινουσα, υπαρχει το lim n f n.

209 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ 3... Ορισµος: Εστω ακολυθια f n ) n= και µια ακολουθια ϕυσικων αριθµων n, n,... N. Σχηµατιζουµε την ακολουθια g n ) n= οριζοντας, για καθε k N, g k = f nk. Τοτε λεµεµ οτι η g n ) n= ειναι µια υποακολουθια της f n ) n=...3. Παραδειγµα: Εστω f n ) n= µε f n = ) n. Οριζουµε την ακολουθια g n ) n= µε g n = f n. Αρα η g n ) n= ειναι µια υποακολουθια της f n) n=. Συγκεκριµενα εχουµε f n ) =,,,,...) g n ) =,,,,...)..4. Παρατηρηση: Με αλλα λογια, µια υποακολουθια της f n ) n= ειναι µια ακολυθια g n ) n= που σχηµατιζεται λαµβανοντας ορους απο την f n) n=...5. Θεωρηµα: Καθε ϕραγµενη ακολυθια εχει µια συγκλινουσα υποακολουθια...6. Παραδειγµα: Εστω f n ) n= µε f n = ) n. Οριζουµε την ακολουθια g n ) n= µε g n = f n. Αρα η g n ) n= ειναι µια υποακολουθια της f n) n=. Η ειναι ταλαντευοµενη. Αλλα για την ισχυει lim n g n =. f n ) =,,,,...) g n ) =,,,,...)..7. Θεωρηµα: ινονται ακολουθιες f n ) n=, g n) n=. Εστω οτι lim n f n = φ R, lim n g n = γ R. Τοτε ισχυουν τα εξης.. Για καθε k R : lim n k f n ) = k φ.. lim n f n + g n ) = φ + γ. 3. lim n f n g n ) = φ γ. 4. lim fn ) n g n = φ, οταν γ. γ..8. Παραδειγµα: Εστω f n ) n= µε f n = +. Τοτε lim n n f n =. Οριζω την g n ) n= µε g n = f n = +. τοτε lim n n g n = lim n f n =...9. Παραδειγµα: Εστω f n ) n= µε f n = + και g n n) n= µε g n = Τοτε lim n n f n = και lim n g n =. Οριζω την h n ) n= µε h n = f n + g n = + +. τοτε n n lim h n = lim f n + lim g n =. n n n..3. Θεωρηµα: ινονται ακολουθιες f n ) n=, g n) n= και h n) n=. Εστω οτι lim n f n = φ, lim n g n = γ. Αν n : f n h n g n και υπαρχει το η = lim n h n, τοτε φ η γ.

210 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ Θεωρηµα: ινονται ακολουθιες f n ) n=, g n) n= και h n) n=. Εστω οτι lim n f n = φ = lim n g n = γ. Αν n : f n h n g n τοτε υπαρχει το lim n h n και lim h n = η. n..3. Θεωρηµα: Εστω a R. Σχηµατιζουµε την ακολουθια f ) µε f n = a n.. Αν a <, τοτε lim n f n =.. Αν a >, Τοτε lim n f n = Παρατηρηση: Πολλες ϕορες αποδεικνυουµε την υπαρξη του οριου µιας ακολουθιας χρησιµοποιωντας τα παραπανω ϑεωρηµατα και / ή τεχνασµατα, οπως ϑα δειξουµε στα εποµενα παραδειγµατα Ασκηση: Υπολογισε το οριο lim n ). 3 n Λυση. Εχουµε ακολουθιες f n ) n= µε f n = και g n ) n= µε g n = = n. 3 3) Τοτε και limn f n n = και lim n g n = αφου a = < ). Οποτε 3 lim 3 ) = lim f n n n + lim g n = + =. n n n..35. Ασκηση: Υπολογισε το οριο lim n Λυση. Ειναι ευκολο να δειξουµε επαγωγικα) οτι Οποτε και n Αρα lim n =. 3 n 3 n. n N : n < 3 n. n N : < n 3 n < n n < n n = lim < lim n n 3 < lim n n n =. sin n..36. Ασκηση: Υπολογισε το οριο lim n. n Λυση. Εχουµε n N : n sin n οποτε sin n Αρα lim n =. n n n n = lim ) sin n lim lim n n n n n =.

211 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ 5 n Ασκηση: Υπολογισε το lim n. n + Λυση. Εχουµε ) ) n n + lim n n + = lim + limn n n n + limn n = n n + n n lim n ) + ) = + lim n + =. n n..38. Ασκηση: Υπολογισε το lim +n+ n Λυση. Εχουµε lim n n + n + n + n n +. + n + n = lim n n = lim n + lim n + lim n n n = + + =. n n + lim n n n + lim n + n n..39. Ασκηση: Υπολογισε το οριο lim 3 n. n Λυση. Ειναι ) ) n 3 n = n 3 n n 3 ) = n 3 ) n n n και lim n ) ) n 3 n = lim ) n n n 3 ) = lim n lim n n n n 3 ) lim n = =. n..4. Ασκηση: Υπολογισε το lim n Λυση. Εχουµε n +. lim n n + = lim lim n n n = n n + n n lim n ) + ) = lim n + =. n..4. Ασκηση: Υπολογισε το lim n n + n ). Λυση. Εχουµε ) ) ) n + n n + + n lim n + n = lim ) n + + n n n n + n = lim ) = lim ) =. n + + n n + + n n n n..4. Ασκηση: Υπολογισε το lim n f n αν ειναι γνωστο οτι για καθε n ισχυει < f n+ n < n+ Λυση. Εχουµε n = lim n n + lim f n + n lim n n n + = οποτε lim n f n =. n Παρατηρηση: Ενας αλλος τροπος υπολογισµου του οριου ακολυθιας δινεται απο το παρακατω ϑεωρηµα.

212 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ Θεωρηµα: Εστω συναρτηση F x) και ακολουθια f n ) n= µε f n = F n). Τοτε lim F x) = φ lim f n = φ. x n n Ασκηση: Υπολογισε το οριο lim n Λυση. Θετουµε F x) = x+. Εχουµε x + lim x n+ Οποτε και lim n =. n Θεωρηµα:. Λυµενα Προβληµατα n +. x + x + = lim x x + ) lim x x + ) = lim x lim x x =. a R : lim + a ) n = e a. n n... ειξε οτι η ακολουθια µε f n = n+ ειναι ϕραγµενη. 3n Λυση. Θα δειξουµε οτι, για καθε n >, ισχυει < f n = n + <. 3n Το κατω ϕραγµα ειναι προφανες. Το ανω ϕραγµα ισχυει ανν n + ) ) 3n + n + < < ) 3n + n + <. 3n 3n Αλλα το 3n + n + ειναι δευτεροβαθµιο πολυωνυµο µε ϱιζες, και αρνητικο συντελεστη 3 του [ δευτεροβαθµιου ορου. Αρα λαµβανει αρνητικες τιµες για καθε n εκτος αυτων που ανηκουν στο ],, δηλ. για n {, 3,...} ειξε οτι η ακολουθια µε f n = n + δεν ειναι ϕραγµενη. 3n Λυση. Θα δειξουµε οτι για καθε M > υπαρχει n τετοιο ωστε Πραγµατι, αν ϑεσουµε n = M εχουµε f n = n + > M. 3n f n = 4M + 3 M > 4M 3 M = 8 6 M > M...3. Ειναι η ακολυθια µε f n = n+ ϕραγµενη ; 3n Λυση. Θα δειξουµε οτι, για καθε n >, ισχυει < f n = n + <. 3n Το κατω ϕραγµα ειναι προφανες. Το ανω ϕραγµα ισχυει ανν n + ) 3n < n + < 3n) < n). Η τελευταια ανισοτητα ισχυει εξ υποθεσεως.

213 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ Ειναι η ακολουθια µε f n = )n ϕραγµενη ; 3n Λυση. Εχουµε n N : f n = ) n = <, οποτε 3n 3n n N : < f n <...5. Ειναι η ακολουθια µε f n = n+ µονοτονη ; n + Λυση. Θα δειξουµε οτι, για καθε n N, ισχυει f n > f n+. Αρκει να δειξουµε n N : n + n + > n + n + ) +. Η παραπανω ανισοτητα ειναι ισοδυναµη µε την N : n + ) n + ) + = n 3 + 3n + 3n + > n 3 + n + n + = n + ) ) n + δηλ. µε την n N : n + n > η οποια προφανως ισχυει. Αρα η ακολουθια ειναι γνησιως ϕθινουσα...6. Ειναι η ακολουθια f n ) n= µε f n = sin n µονοτονη ; n Λυση. Εχουµε : n sin n Αρα η ακολυθια δεν ειναι µονοτονη...7. Ειναι η ακολουθια f n ) n= µε f n = n + n µονοτονη ; Λυση. Εχουµε : f n+ f n = n + n + n + + n = n + n + + n. Θα εξετασουµε την ανισοτητα n + + n < n +. Εχουµε n + + n < n + ) n + + n < 4 n + ) n + + n + n + n < 4 n + ) n + n < n + n + ) n < n + ) <. Αρα για καθε n εχουµε f n+ < f n και η ακολυθια ειναι γνησιως ϕθινουσα...8. Ειναι η ακολουθια f n ) n= µε f n = n n! µονοτονη ; Λυση. Εχουµε : Αρα η ακολουθια ειναι ϕθινουσα. f n+ f n = n+ n+)! n n! = n +.

214 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ Αποδειξε οτι η ακολουθια µε f n = Λυση. Εξεταζουµε την διαφορα n+ + n n ειναι γνησιως αυξουσα. f n f n+ = n + + n ) n n + + ) n n + = n + n + n + = 4n + 6n +. Το τριωνυµο 4n + 6n + εχει τις ϱιζες,. Αρα στο διαστθµ, ) εχει σταθερο ποσηµο, το ιδιο µε αυτο του δευτεροβαθµιου ορου 4n, δηλ. ϑετικο. Με αλλα λογια δηλ. η ακολουθια ειναι γνησιως ϕθινουσα. n N : f n f n+ = 4n + 6n + >... Ανισοτητα Bernoulli) ινονται οι ακολουθιες f n ) n= µε f n = + a) n και g n ) n= µε g n = + na, οπου a. ειξτε οτι για καθε n N ισχυει f n g n, και για καθε n > ισχυει f n > g n. Λυση. Για n = ισχυει f = + a) = + a = g. Γιαn = ισχυει Εστω οτι + a) k > + ka. Τωρα Αρα ισχυει το Ϲητουµενο. f = + a) = + a + a > + a = g. f k+ = + a) k+ = + a) k + a) > + ka) + a) = + k + ) a + a > + k + ) a = g k+.... ειξε µε ενα αριθµητικο επιχειρηµα οτι lim n =. n+ ) Λυση. Στον παρακατω πινακα δινουµε Ϲευγη τιµων n,. Παρατηρουµε οτι οσο µεγαλυτερο n+ γινεται το n, τοσο εγγυτερα ϐρισκεται το στο. ηλ. lim n+ n = n+. = n n Η οµοιοτητα του πινακα µε αυτον του Προβληµατος ;; ειναι προφανης και δειχνει οτι η συγκλιση συναρτησεων f x) και αυτη ακολουθιων f n ουσιαστικα ειναι ταυτοσηµες.... Αποδειξε µε χρηση του ορισµου) οτι lim n =. n+ Λυση. Εστω τυχον ε >. Λαµβανω n ε > οποτε ε > > για καθε n n ε n ε + n+ ε. Οποτε n n ε : ε > n + = n + > f n. Αρα lim n f n =.

215 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ Αποδειξε µε χρηση του ορισµου) οτι lim n + ) n =. ) Λυση. Εστω τυχον ε >. Λαµβανω n ε > οποτε ε > ) ε n ε > n για καθε n nε. Οποτε Αρα lim n f n =. n n ε : ε > n = n + > f n...4. Αποδειξε οτι : αν το οριο µιας ακολουθιας υπαρχει, ειναι µοναδικο. Λυση. Εστω οτι lim n f n = φ R και lim n f n = φ R.Επιλεγουµε τυχον ε > και εχουµε n και n τετοια ωστε Αν τωρα ϑεσουµε n = max n, n ), εχουµε και, προσθετοντας κατα µελη, παιρνουµε Αφου n n f n φ < ε, n n f n φ < ε. n n f n φ < ε, n n f n φ < ε ε > f n φ + f n φ f n φ + φ f n = φ φ. ε > : φ φ < ε συµπεραινουµε οτι φ = φ. ηλαδη, αν η f n ) συγκλινει σε δυο παργµατικους αριθµους, αυτοι ειναι ισοι. Με αναλογο τροπο µπορουµε να αποδειξουµε οτι η f n ) δεν µπορει ταυτοχρονως να συγκλινει στο και στο + κτλ...5. Υπαρχει το οριο της ακολουθιας f n ) n= µε f n = 3... n ) Λυση. Εχουµε 4... n) ; 3... n ) n + ) n + f n+ = = f n 4... n) n + ) n + f n+ = n + f n n + < οποτε η f n ) ειναι γνησιως ϕθινουσα. Τοτε n : < f n γιατι ;). Αρα η f n ) ειναι µονοτονη και ϕραγµενη, οποτε υπαρχει το lim n f n...6. Υπαρχει το οριο της ακολουθιας f n ) n= µε f n = n n+) Λυση. Εχουµε n : < f n < n + <. n n) ;

216 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ Επισης εχουµε f n+ f n = n + ) + n + ) n < 4n + 4n n = n <. οποτε η f n ) ειναι γνησιως ϕθινουσα. Αρα η f n ) ειναι µονοτονη και ϕραγµενη, οποτε υπαρχει το lim n f n...7. Αποδειξε : αν φ, k R και lim n f n = φ, τοτε lim n kf n ) = kφ. Λυση. Εστω k. Λαµβανουµε τυχον ε >. Υπαρχει n ε τετοιο ωστε n n ε f n φ < ε k k f n φ < k ε k kf n kφ < ε Οποτε lim n kf n ) = kφ. Αν k =, τοτε για καθε n εχουµε kf n = και προφανως lim n kf n ) = = kφ...8. Αποδειξε : αν lim n f n = φ R, lim n g n = γ R, τοτε lim n f n + g n ) = φ + γ. Λυση. Λαµβανουµε τυχον ε >. Υπαρχουν n, n τετοια ωστε Θετουµε n = max n, n ). Τοτε και n n f n φ < ε, n n g n γ < ε. n n f n φ < ε, n n g n γ < ε. n n ε > f n φ + g n γ = f n φ + g n γ = f n + g n ) φ + γ). Οποτε lim n f n + g n ) = φ + γ...9. Αποδειξε µε χρηση του ορισµου) οτι lim n a n = οταν a <. Λυση. Εστω τυχον ε >. Επειδη µας ενδιαφερουν µικρα ε και a <, αρκει να ϑεωρησουµε ε a, ). Τωρα λαµβανω n ε > log a ε = ln ε > σηµειωστε οτι ln ε <, ln a < ). Εχω ln α n ε > log a ε n ε ln a < ln ε a n < ε a n < ε και αρα για καθε n n ε εχω ε > a n ε > an, δηλ. lim n f n =.... Αποδειξε οτι υπαρχει το οριο lim n n +n Λυση. Παρατηρουµε οτι n +n n+) n+). n +n+ n+) n+) = n+).

217 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ sin n... Αποδειξε οτι υπαρχει οτ οριο lim n. n Λυση. Εχουµε n N : n sin n οποτε n n n = lim ) sin n lim lim n n n n n =. n... Αποδειξε οτι υπαρχει το οριο lim 3 n. n Λυση. Ειναι ) ) n 3 n = n 3 n n 3 ) = n 3 ) n n n και lim n ) ) n 3 n = lim ) n n n 3 ) = lim n lim n n n n 3 ) lim n = =. n..3. Υπολογισε το lim n Λυση. Εχουµε n +. lim n n + = lim lim n n n = n n + n n lim n ) + ) = lim n + =. n n+..4. Υπολογισε το lim n. n + Λυση. Εχουµε ) ) n n + lim n n + = lim + limn n n n + limn n = n n + n n lim n ) + ) = + lim n + =. n n..5. Υπολογισε το lim +n+ n Λυση. Εχουµε lim n n + n + n + n n +. + n + n = lim n n = lim n + lim n + lim n n n = + + =. n n + lim n n n + lim n + n sinn)..6. Υπολογισε το lim n. n + Λυση. Εχουµε sin n) < n + n + < n +. sinn) Οποτε lim n, τοτε ϑα εχουµε n + = lim ) sin n) lim n n + n n + lim n n + =. Και αρα και lim n sinn) n + = γιατι ;).

218 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ..7. Υπολογισε το lim n n + n ). Λυση. Εχουµε ) ) ) n + n n + + n lim n + n = lim ) n + + n n n n + n = lim ) = lim ) =. n + + n n + + n n n..8. Υπολογισε το lim n f n αν ειναι γνωστο οτι για καθε n ισχυει Λυση. Εχουµε n = lim n n + lim f n + n lim n n n + = οποτε lim n f n =...9. Αποδειξε οτι η ακολουθια µε f n = ) n + n ειναι γνησιως αυξουσα. Λυση. Εχουµε + n+ = ) n = + n+ n+ + ) f n + + n n n ) n+ n n + ) = + ) ) n+ = + ). n + ) n n + ) n f n+ ) n+ Απο την ανισοτητα Bernoulli µε a = f n+ n+) εχουµε n < f n+ n < n+. n+ ) n+ = + ) ) > n + ) + ) f n n + ) n n + ) n ) = + ) ) n n + ) = =. n + ) n n + n Με αλλα λογια, για καθε n N, ισχυει f n+ f n >, δηλ. η ακολουθια ειναι γνησιως αυξουσα...3. Αποδειξε οτι η ακολουθια µε g n = ) n+ + n ειναι γνησιως ϕθινουσα. Λυση. Αποδεικνυεται παροµοια µε το προηγουµενο...3. Αποδειξε οτι οι ακολουθιες µε f n = ) n + n και gn = ) n+ + n εχουν κοινο οριο. Λυση. Πρωτα ϑα δειξουµε οτι, για καθε n N, ισχυει f n < g n. Πραγµατι f n = + ) n < + ) n + ) = + ) n+ = g n. n n n n Συνδυαζοντας µε την µονοτονια που αποδειξαµε στα δυο προηγουµενα, εχουµε = f < f < f 3 <... < g 3 < g < g = 4.

219 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ 3 Αρα η f n ειναι ϕραγµενη και γνησιως αυξουσα, οποτε εχει οριο, εστω φ. Οµοιως, η g n ειναι ϕραγµενη και γνησιως ϕθινουσα, αρα εχει οριο, εστω γ. Οµως g n lim = lim + ) = n n n και lim f n g n n f n = lim n g n = γ lim n f n φ. Οποτε γ φ = δηλ. lim n g n = lim n f n = φ. Επισης < φ < 4 γιατι ;)...3. Παρατηρηση: Στην πραγµατικοτητα γνωριζαµε ηδη οτι υπαρχει το lim n + n ) n, διοτι στο Κεφαλαιο 3 εχουµε αποδειξει οτι lim n + x ) x = e. Αρα και φ = lim + ) n = lim + ) x = e. n n n x Οµως τα παραπανω προβληµατα µας εχουν δωσει µια καλυτερη κατανοηση των ιδιοτητων του αριθµου e = Αλυτα Προβληµατα.3.. Αποδειξε οτι η ακολουθια f n ) n= µε f n = 3n Αποδειξε οτι η ακολουθια f n ) n= µε f n = n +5 n 3 3n ειναι ϕραγµενη. δεν ειναι ϕραγµενη Αποδειξε οτι η ακολουθια f n ) n= µε f n = ) n δεν ειναι ϕραγµενη Ειναι η f n ) n= ϕραγµενη ;. Οταν f n = 4n+5 ; Απ. Ναι. 6n. Οταν f n = )n ; Απ. Ναι. n 3. Οταν f n = n 3 n ; Απ. Ναι. 4. Οταν f n = n! ; Απ. Ναι. n n.3.5. Ειναι η ακολουθια f n ) n= µε f n = )n n Απ. Ειναι ϕραγµενη αλλα οχι µονοτονη Ειναι η ακολουθια f n ) n= µονοτονη ;. Οταν f n = n n+ Απ. Ναι.. Οταν f n = n+ ; Απ. Ναι. n Οταν f n = cosn) ; Απ. Οχι. n 3 n ϕραγµενη ; Μονοτονη ;

220 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ 4 4. Οταν f n = )n ; Απ. Οχι. n.3.7. Αποδειξε οτι η ακολουθια f n ) n= µε f n =... n ).3.8. Αποδειξε οτι η ακολουθια f n ) n= µε f n = 4... n n+ + ειναι γνησιως ϕθινουσα. n n ειναι γνησιως αυξουσα Αποδειξε οτι η ακολουθια f n ) n= µε f n = + 5 n ) n ειναι γνησιως αυξουσα..3.. Να µελετηθει ως προς την µονοτονια η f n ) n=.. Οταν f n = n + n.. Οταν f n = n + 5 n. 3. Οταν f n = ) n+ 3 n + ) n. 4. Οταν f n = n n. 5. Οταν f n = n n! n..3.. ειξε µε ενα αριθµητικο επιχειρηµα οτι lim n =. n Αποδειξε µε χρηση του ορισµου οτι lim n =. n Αποδειξε µε χρηση του ορισµου οτι :. lim n + = n 3. lim n + = n+ 3. lim n n 4 = 4. η f n = ) n δεν εχει οριο 5. lim n a n = οταν a > Υπολογισε το οριο.. lim n n 3 +n n+) 3.. lim n +cos n 3. lim n n 4 n. n Αποδειξε οτι οι ακολουθιες µε f n = + 5 n ) n και gn = + 5 n ) n+ εχουν κοινο οριο Υπολογισε το οριο.. lim n n 4 +n n 5 +6n. Απ..

221 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ 5 n. lim + n. Απ.. n + 3. lim n +3 n n. Απ.. 4 n +6 n sinn) 4. lim n. Απ.. n + 5. lim n n +n 5n +sin n. Απ. /5. cos n+sin n 6. lim n. Απ.. n + 7. lim n 3) n. Απ.. 8. lim n 3 n. Απ lim n n. Απ.. n! 4. lim n n. Απ.. n n.3.7. Υπολογισε το οριο. ). lim n n + n. Απ... lim n n + 5 n ). Απ lim ) n n + 3 n. Απ.. 3 ) 4. lim n n + n n. Απ lim n n + n 3 ) n n. Απ.. 6. lim n n + n + 3 n ). Απ lim n+ n n n. Απ.. ) n. 8. lim n + 5 n Απ. e 5. n+. 9. lim n + n+) Απ. e. n+.. lim n + n+) Απ.. lim n ) n. n n Απ. e Υπολογισε το lim n + e n ) en. Απ. e.3.9. Υπολογισε το lim n f n αν ειναι γνωστο οτι για καθε n ισχυει.3.. Υπολογισε το lim n n+) 3 n ) 3 n+) +n ). Απ. 3. n n 4 + < f n < n. Απ.. n 3 +

222 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ 6 n+).3.. Υπολογισε το lim 4 n ) 4 n. Απ. 5 n+) 4 +n ) Υπολογισε το lim n3 +n n. Απ.. n Υπολογισε το lim n +n n. Απ.. n Υπολογισε το lim n n ++n.3.5. Υπολογισε το lim n n! 3 n6 + n+)! n! ). Απ. 4.. Απ.. n+)!+n+)!.3.6. Υπολογισε το lim n. Απ.. n+3)! n+)!+n+)!.3.7. Υπολογισε το lim n. Απ.. n+)! n+)! n+)!+n+)!.3.8. Υπολογισε το lim n. Απ.. n+3)! k n k=.3.9. Υπολογισε το lim n n k= 3 k. Απ.. 7. n k=.3.3. Υπολογισε το lim k n. Απ.. n n ) k=.3.3. Υπολογισε το lim k n. Απ Υπολογισε το lim n n+ n+ n k= kk+). Απ Υπολογισε το lim n n k= k )k+). Απ Υπολογισε το lim n n. Απ.. n Υπολογισε το lim /n n. Απ.. /n Αποδειξε οτι : α) αν lim n f n = φ, ϐ) lim n g n = γ, γ) για καθε n ισχυει f n h n g n και δ) υπαρχει το η = lim n h n, τοτε ισχυει φ η γ..4 Προχωρηµενα Αλυτα Προβληµατα.4.. Ειναι η ακολουθια f n ) n= µε f n = ϕραγµενη ; n n n )n.4.. Ειναι η ακολουθια f n ) n= µε f n = n ϕραγµενη ;.4.3. Ειναι η ακολουθια f n ) n= µε f n = n ϕραγµενη ; Μονοτονη ; n.4.4. Εστω f n ) n= µε f n = rn +r n. Βρες το lim n f n για διαφορες τιµες του r Βρες το lim n f n οταν :. f n = n +n+n +n 3.

223 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ 7. f n = n 3. f n = n++...+n) n n+) n+). 4. f n = nn+). n 5. f n = ) ) ) n 6. f n = ) ) + + n n 7. f n = k + k +...+n k n k+. 8. f n = n 3 n + n. 9. f n = n n.. f n = n n+)n+)...n). n n ).4.6. Εστω a n ) n= ακολουθια µε ϑετικους ορους και f n) n= µε f n = n a n + an an n. Βρες το lim n f n Εστω ακολουθιες f n ) n=, g n) n= µε ϑετικους ορους και lim n f n =, lim n g n. Βρες το f n + g n lim. n f n + g n.4.8. Εστω a n ) n= ακολουθια τετοια ωστε lim n a n = α R και f n ) n= µε f n = n a n. Βρες το lim n f n Αποδειξε οτι καθε ϕραγµενη και µονοτονη ακολουθια συγκλινει..4.. Αποδειξε οτι καθε ϕραγµενη ακολουθια εχει µια συγκλινουσα υποακολουθια. a.4.. Αποδειξε οτι για καθε a R εχουµε lim n n = n!. a.4.. Αποδειξε οτι lim n a n = ανν lim n n +a n = Για ποιες τιµες a ειναι η ακολουθια µε f n = sin an) συγκλινουσα ;.4.4. Εστω ακολουθια f n ) n= τετοια ωστε υπαρχει το lim n f n = φ. Αποδειξε οτι.4.5. Αποδειξε οτι lim N f + f f N = φ, N N lim f f...f N = φ. N a R : lim + a ) n = e a. n n

224 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ Μαθ. Ολυµπιαδα). Εστω ακολουθιες f n ) n=, g n) n= τετοιες ωστε f Αποδειξε οτι lim n n g n =. n N : f n + g n = + ) n..4.7 Μαθ. Ολυµπιαδα). ινεται ακολουθια f n ) n= µε ϑετικους ορους, η οποια ικανοποιει n N : f n ) f n f n+. Αποδειξε οτι n N : f n <. n.4.8 Μαθ. Ολυµπιαδα). Υπολογισε το lim n sin ) π n + n Μαθ. Ολυµπιαδα). Εστω ακολουθια f n ) n= τετοια ωστε Αποδειξε οτι υπαρχει το lim n f n n. m, n : f m+n f m + f n..4. Μαθ. Ολυµπιαδα). Εστω ακολουθια f n ) n= µε f n = ϱιζες). Υπολογισε το lim n f n..4. Μαθ. Ολυµπιαδα). Υπαρχει το lim n n; µε n.4. Μαθ. Ολυµπιαδα). Εστω ακολουθια f n ) n= µε ϑετικους ορους και τετοια ωστε lim n f n+ ρ >. Υπολογισε το lim n n f n..4.3 Μαθ. Ολυµπιαδα). Εστω p. Υπολογισε το lim p + p +...+n p n για διαφορες τιµες n p+ του p. f n =

225 Κεφάλαιο Αναδροµικες Ακολουθιες Μια αναδροµικη ακολουθια οριζεται δινοντας εναν πεπερασµενο αριθµο αρχικων ορων και µια σχεση µε την οποια υπολογιζονται αναδροµικα οι υπολοιποι οροι αυτης.. Θεωρια και Παραδειγµατα... Συµβολισµος: Σε αυτο το κεφαλαιο ϑα δουλεψουµε µε ακολουθιες της µορφης f = f n ) n= = f, f, f,...), δηλ. αρχιζουµε την αριθµηση των ορων της ακολουθιας απο τον µηδενικο ορο. Ολη η ορολογια και τα αποτελεσµατα του Κεφαλαιου µπορουν να προσαρµοστουν στον νεο συµβολισµο.... Ορισµος: Μια σχεση, µεταξυ ορων τυχουσης ακολουθιας f = f n ) n=, της µορφης n {,, 3,...} : f n = A f n ) λεγεται εξισωση διαφορων πρωτης ταξης. Γενικοτερα, µια σχεση της µορφης n {K, K +, K +,...} : f n = A f n, f n,..., f n K ) λεγεται εξισωση διαφορων K ταξης...3. Παραδειγµα: Μια εξισωση διαφορων πρωτης ταξης ειναι η n {,,,...} : f n+ = f n Ορισµος: Μια f = f n ) n= λεγεται αναδροµικη ακολουθια ανν οριζεται ως εξης : δινονται οι αρχικες συνθηκες f = c, f = c,..., f K = c K και επισης µια εξισωση διαφορων K ταξης f n = A f n,..., f n K )...5. Ορισµος: Εστω ακολουθια f = f n ) n= η οποια ικανοποιει την εξισωση διαφορων της µορφης n {K, K +, K +,...} : f n = A f n, f n,..., f n K )..) Τοτε η f = f n ) n= λεγεται λυση της.). 9

226 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΑΝΑ ΡΟΜΙΚΕΣ ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ..6. Παρατηρηση: Μια εξισωση διαφορων της µορφης n {K, K +, K +,...} : f n = A f n, f n,..., f n K ) ϑα εχει γενικα περισσοτερες της µιας λυσης. Αλλα µια εξισωση διαφορων µε αρχικες συνθηκες της µορφης f = c, f = c,..., f K = c K, n {K, K +, K +,...} : f n = A f n, f n,..., f n K ) ϑα εχει ακριβως µια λυση γιατι ;)...7. Παρατηρηση: Καθε λυση µιας εξισωσης διαφορων ειναι αναδροµικη ακολουθια µε καταλληλες αρχικες συνθηκες γιατι ;)...8. Ασκηση: ωσε ενα παραδειγµα αναδροµικης ακολουθιας. Λυση. Μια αναδροµικη ακολουθια ειναι αυτη που οριζεται ως εξης : Η µοναδικη λυση της.) ειναι η f = 5, n : f n+ = f n +..) n : f n = n Ορισµος: Μια εξισωση διαφορων της µορφης n K : f n + a f n a K f n K = λεγεται οµογενης γραµµικη εξισωση διαφορων K ταξης µε σταθερους συντελεστες. Παροµοια, µια εξισωση διαφορων της µορφης n K : f n + a f n a K f n K = F n) λεγεται µη οµογενης γραµµικη εξισωση διαφορων K ταξης µε σταθερους συντελεστες.... Θεωρηµα: Η γραµµικη µη οµογενης ης ταξης µε σταθερους συντελεστες) εξισωση διαφορων µε αρχικη συνθηκη : f = A, n : f n + a f n = b..3) εχει µοναδικη λυση την f n = A a ) n + b + a ) + a ) a ) n ).4) = A a ) n + b a ) n..5) + a Αποδειξη. Ξαναγραφουµε την.3) στην µορφη f n = a f n + b..6)

227 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΑΝΑ ΡΟΜΙΚΕΣ ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ Εχουµε f = A. Απο την.6) παιρνουµε f = A f = Aa + b f = a Aa + b) + b = Aa ba + b = Aa + b a ) ) ) f 3 = a Aa ba + b + b = Aa 3 + b a + a... τα οποια συµφωνουν µε την.4). Για να αποδειξουµε την.4) δουλευουµε επαγωγικα. Οντως αυτη ισχυει για n = εστω οτι ισχυει για n {,, 3,..., k}. Τοτε f k+ = a f k + b )) = a A a ) k + b a + a... + ) k a k + b ) = A a ) k+ a b a + a... + ) k a k + b ) = A a ) k+ + b a + a... + ) k a k και εχουµε αποδειξει την.4) απο την οποια προκυπτει αµεσα και η.5).... Ασκηση: Βρες τον n-στο ορο της ακολουθιας µε f = 6 και f n+ f 3 n =. Λυση. Απο την.5) εχουµε τον γενικο τυπο της λυσης n ) n n : f n = f + = 6. 3) 3... Ασκηση: Βρες τον n-στο ορο της ακολουθιας η οποια ικανοποιει f = 6, f n+ 3 f n =. Λυση. Απο την.5) εχουµε τον γενικο τυπο της λυσης n ) ) ) n ) n : f n = f ) ) n ) n 3 ) n ) n ) n : f n = 6 + = c ) n n := Παραδειγµα: Μια οµογενης εξισωση διαφορων ης ταξης ειναι η n : f n f n + 6 f n =. Τρεις λυσεις αυτης ειναι οι p n ) n=, q n) n=, g n) n= n : p n = n, q n = ) 3 οι οποιες εχουν τους εξης γενικους ορους ) n, g n = c ) n + c 3) n οι c, c ειναι αυθαιρετες σταθερες.

228 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΑΝΑ ΡΟΜΙΚΕΣ ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ..4. Παραδειγµα: Μια µη οµογενης εξισωση διαφορων ης ταξης µε αρχικες συνθηκες ειναι η Η µοναδικη λυση αυτης ελεγξε το!) ειναι η f =, f =, n : f n f n + 6 f n =. n : f n = 9 n 4 3) ) n Ορισµος: Η χαρακτηριστικη εξισωση της ειναι η f n + a f n + a f n = r + a r + a =..7)..6. Θεωρηµα Υπαρξης και Μοναδικοτητας): Εστω γραµµικη οµογενης ης ταξης µε σταθερους συντελεστες) εξισωση διαφορων : και r, r οι ϱιζες της χαρακτηριστικης εξισωσης Εαν r r, ολες οι λυσεις της.8) εχουν την γενικη µορφη n : f n + a f n + a f n =.8) ενω αν r = r, ολες οι λυσεις της.8) εχουν την γενικη µορφη r + a r + a =..9) f n = c r n + c r n.) f n = c r n + c nr n..) Οι c, c ειναι αυθαιρετες σταθερες. Αποδειξη. Καταρχην ϑα αποδειξουµε οτι καθε ακολουθια µε f n = r n i µε i {, }) ειναι λυση της.8). Πραγµατι εχουµε ) + a r n + a r n = r n r i + a r i + a = r n i i i αφου η r i ειναι ϱιζα της.9). Τωρα ϑα δειξουµε οτι, οταν r = r, και καθε ακολουθια µε f n = nr n ειναι επισης λυση της.8). Πραγµατι εχουµε nr n + a n ) r n + a n ) r n ) = nr n r + a r + a r n a r + a ) =. i Εδω εκµεταλλευτηκαµε το γεγονος οτι το r = r συνεπαγεται a 4a =, r = r = a

229 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΑΝΑ ΡΟΜΙΚΕΣ ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ 3 οποτε a a r + a = a + a = a 4a =. Τωρα ϑα δειξουµε το εξης : αν p = p n ) n= και q = q n) n= ειναι δυο λυσεις της.8), τοτε και η g = g n ) n= που δινεται απο την σχεση n : g n = c p n + c q n µε c, c αυθαιρετες σταθερες) ειναι επισης λυση της.8). Πραγµατι, εχουµε n : p n + a p n + a p n =.) n : q n + a q n + a q n =.3) Πολλαπλασιαζοντας την.) µε αυθαιρετη σταθερα c, την.3) µε αυθαιρετη σταθερα c και προσθετοντας κατα µελη, παιρνουµε : n : c p n + a p n + a p n ) + c q n + a q n + a q n ) = n : c p n + c q n ) + a c p n + c q n ) + a c p n + c q n ) = το οποιο δειχνει οτι η g n ) n= ειναι λυση της.8)...7. Ορισµος. Εαν ισχυει η.) και ϑεσουµε c =, c =, παιρνουµε την λυση p = ) r n ϑετοντας c n= =, c = παιρνουµε την λυση q = ) r n αυτες λεγονται ϑεµελιωδεις n= λυσεις της.8). Εαν ισχυει η.), τοτε οι ϑεµελιωδεις λυσεις ειναι οι p = ) r n και n= q = ) nr n. n=..8. Ασκηση: Βρες την αναδροµικη ακολουθια η οποια ικανοποιει : f =, f =, n : f n + f n + 4 f n =..4) Λυση. Η χαρακτηριστικη εξισωση της.4) ειναι x + x + 4 = µε ϱιζες r = r =. Οποτε η γενικη λυση ειναι n : c n + c n ) n..5) ) Για να ικανοποιειται η.4) και για n {, } πρεπει να εχουµε = f = c ) + c = c, ) = f = c + c ) ) = c c.

230 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΑΝΑ ΡΟΜΙΚΕΣ ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ 4 Λυνοντας το συστηµα c c = + c = παιρνουµε τις λυσεις c =, c = 4 οποτε η λυση της.4) ειναι n : f n = ) n 4n ) n...9. Ασκηση: Βρες την αναδροµικη ακολουθια η οποια ικανοποιει : Λυση. Η χαρακτηριστικη εξισωση της.6) ειναι f =, f =, n : f n + f n =..6) x + = µε ϕανταστικες ϱιζες r = i, r = i. Οποτε η γενικη λυση ειναι n : c i n + c i) n..7) Για να ικανοποιειται η.6) και για n {, } πρεπει να εχουµε Λυνοντας το συστηµα = f = c i + c i) = c + c, = f = c i + c i) = c i c i. c + c = ic ic = παιρνουµε τις λυσεις c = i, c = + i οποτε η λυση της.6) ειναι ) ) n : f n = i i n + + i i) n. Τιθεται το ερωτηµα : πως ειναι δυνατον να εχουµε µιγαδικο ορο f n σε µια ακολουθια που οριστηκε µονο µε τις πραγµατικες εξισωσεις.6). Η απαντηση ειναι η εξης : επειδη ) i i n = + i ) i) n, η λυση µπορει να γραφτει n : f n = ) ) ) ) i i n + i i n n : f n = Re i i n R.... Ασκηση: Βρες τον n-στο ορο και το οριο της ακολουθιας Fibonacci, η οποια οριζεται ως εξης : f =, f =, n : f n+ = f n+ + f n.

231 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΑΝΑ ΡΟΜΙΚΕΣ ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ 5 Λυση. Σε αυτη την περιπτωση η χαρακτηριστικη εξισωση ειναι r = r + και εχει ϱιζες r = + 5 +, r = 5. Οποτε ο n-στος ορος ειναι f n = c + n 5 + c n 5 και για να ικανοποιουνται οι αρχικες συνηθκες ϑα πρεπει να εχουµε = c c 5 = c c 5..8) Η λυση του συστηµατος ειναι c = 5, c 5 = 5. Οποτε ο n-στος ορος ειναι 5 f n = n n 5..9) Ο αναδροµικος τυπος.9) δινει f, f, f, f 3, f 4, f 5,...) =,,, 3, 5, 8,...).) και µπορουµε να ελεγξουµε την ορθοτητα αυτων των ορων εκτελωντας τους υπολογισµους f = f = f = f + f = f 3 = f + f = 3 f 4 = f + f 3 = 5 f 5 = f 3 + f 4 = 8... Αυτη ειναι η περιφηµη ακολουθια Fibonacci, η οποια εχει πολλες αξιοσηµειωτες ιδιοτητες.... Συµβολισµος: Παρακατω ϑα χρησιµοποιουµε τους συµβολισµους Φ = + 5 = και Ψ = 5 = Ασκηση: Αν f = f n ) n= ειναι η ακολουθια Fibonacci, αποδειξε οτι, για καθε n, ισχυει f + f f n = f n+..) Λυση. Θα αποδειξουµε την.) επαγωγικα. Για n = εχουµε f = f f + = f f + f = f αρα η.) ισχυει. Εστω οτι ισχυει για n {,,..., k}. Τοτε εχουµε f + f f k = f k+ f + f f k + f k = f k + f k+ = f k+ και η αποδειξη ειναι πληρης.

232 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΑΝΑ ΡΟΜΙΚΕΣ ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ Θεωρηµα: Εστω οτι f = ) f n ειναι καποια λυση της µη οµογενους γραµµικης n= εξισωσης διαφορων ης ταξης µε σταθερους συντελεστες n : f n + a f n + a f n = b n.) και f = fn ) ειναι η γενικη λυση της προσαρτηµενης οµογενους γραµµικης εξισωσης διαφορων n= ης ταξης µε σταθερους συντελεστες Τοτε η γενικη λυση f της.) ικανοποιει την : n : f n + a f n + a f n =..3) { c r n : f n = fn + f n = n + c r n + f n οταν η χ.ε. εχει δυο απλες ϱιζες, c r n + c nr n + f n οταν η χ.ε. εχει διπλη ϱιζα, µε c, c αυθαιρετες σταθερες. Αποδειξη. Θα εξετασουµε µονο την περιπτωση οπου fn = c r n +c r n η περιπτωση fn = c r n +c nr n αποδεικνυεται παροµοια). Ξερουµε οτι η fn ικανοποιει την και η f n ικανοποιει την fn + a fn + a fn =.4) f n + a f n + a f n = b n.5) Προσθετοντας τις.4) και.5) και ϑετοντας f n = fn + f n παιρνουµε fn + f n ) + a fn + f n ) + a fn + f n ) = + bn = b n f n + a f n + a f n = b n και εχουµε αποδειξει το Ϲητουµενο...4. Ερωτηση: Ποια προταση της Γραµµικης Αλγεβρας σου ϑυµιζει το παραπανω ϑεωρηµα ;..5. Παρατηρηση: Συνεπεια της παραπανω προτασης ειναι οτι : για να ϐρουµε την γενικη λυση της µη οµογενους εξισωσης διαφορων, αρκει να επιλυσουµε την προσαρτηµενη οµογενη και να ανακαλυψουµε µια ειδικη λυση της οµογενους...6. Ασκηση: Βρες τον n-στο ορο f n της f n ) n= που ικανοποιει : f =, f =, n : f n + f n 3f n = n+..6) Λυση. Η εξισωση ειναι µη οµογενης. Παρολα αυτα αρχιζουµε ϐρισκοντας την γενικη λυση της αντιστοιχης οµογενους : g n + g n 3g n = n+..7) Η χαρακτηριστικη εξισωση ειναι x + x 3 = η οποια εχει ϱιζες r =, r = 3, οποτε η γενικη λυση ϑα ειναι g n = c + c 3) n.

233 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΑΝΑ ΡΟΜΙΚΕΣ ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ 7 Τωρα υποθετουµε οτι η µη οµογενης εχει καποια λυση h n της µορφης Αν αυτο ισχυει, τοτε εχουµε h n = c 3 n. n : h n + h n 3h n = n+ n : c 3 n + c 3 n 3c 3 n = n+ n : n 4c 3 + 4c 3 3c 3 ) = n+ n : 4c 3 + 4c 3 3c 3 ) = n+ n 5c 3 = 4 c 3 = 4 5. Τωρα, µπορουµε να ελεγξουµε ευκολα, οτι η γενικη λυση της ;;) ισουται µε την γενικη λυση της.7). ηλ. ϑετοντας ϕαινεται ευκολα ελεγξε το) οτι g n + h n = c + c 3) n n n : g n + h n ) + g n + h n ) 3 g n + h n ) = n+..8) Θελουµε να ισχυει η.8) και για n {, }: Λυνοντας το συστηµα παιρνουµε c = και c = 5, οποτε = g + h = c + c 3) = c + c + 4 5, = g + h = c + c 3) = c 3c c + c = 5 c 3c = 3 5 ειναι η Ϲητουµενη λυση. n : f n = 5 3)n n..7. Παρατηρηση: Τωρα ϑα δειξουµε την σχεση του Θεωρηµατος..3 µε την Γραµµικη Αλγεβρα...8. Ορισµος: Λεµε οτι οι ακολουθιες f, f,..., f M ειναι γραµµικα ανεξαρτητες ανν n : c f,n + c f,n c M f N,M = ) c = c =... = c M =.

234 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΑΝΑ ΡΟΜΙΚΕΣ ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ Παραδειγµα: Οι ακολουθιες f, n =, f,n = n, f 3,n = n ειναι γραµµικα ανεξαρτητες. ιοτι εαν για καποια c, c, c 3 ισχυει τοτε ϑα εχουµε µε n =,, ) n : c + c n + c 3 n = = c = c + c + c 3 = c + c + 4c 3 Ειναι ευκολο να λυσουµε αυτο το συστηµα και να δουµε οτι η µοναδικη του λυση ειναι c = c = c 3 =...3. Παραδειγµα: Οι ακολουθιες f,n =, f,n = n, f 3,n = + 3n ειναι γραµµικα ανεξαρτητες. ιοτι παιρνοντας c =, c = 3 και c 3 =, εχουµε n : c + c n + c 3 + 3n) =...3. Θεωρηµα: Η οµογενης γραµµικη εξισωση διαφορων ης ταξης µε σταθερους συντελεστες f n + a f n + a f n =.9) εχει ακριβως γραµµικα ανεξαρτητες λυσεις. Αποδειξη. Ας εξετασουµε την περιπτωση στην οποια η χ.ε. r +a r +a = εχει δυο διαφορετικες ϱιζες r, r. Τοτε οποιαδηποτε λυση της.9) εχει την µορφη f n = c r n + c r n. Οι f n, r n, rn ειναι προφανως γραµµικα εξαρτηµενες γιατι ;). Αρα η.9) δεν µπορει να εχει 3 ή περισσοτερες γραµµικα ανεξαρτητες λυσεις. Απο την αλλη µερια, οι r n και rn ειναι γραµµικα ανεξαρητες διοτι n : c r n + c r n = ) c r + c r = ) ) c c r + c r = + c = c c r + c r = = c =. Αρα η.9) εχει ακριβως δυο γραµµικα ανεξαρτητες λυσεις. Η περιπτωση r = r αποδεικνυεται παροµοια κανε την αποδειξη!)...3. Θεωρηµα: Εστω X το συνολο των λυσεων της Τοτε ισχυει το εξης f n + a f n + a f n =.3) c, c C : g, h X) c g + c h X). ηλαδη το X ειναι κλειστο ως προς γραµµικους συνδυασµους, ή µε αλλα λογια ειναι ενας διανυσµατικος χωρος.

235 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΑΝΑ ΡΟΜΙΚΕΣ ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ 9 Αποδειξη. Εστω οτι g, h X, δηλ. ειναι λυσεις της.3). Τοτε για καθε c, c C εχουµε Προσθετοντας κατα µελη εχουµε g n + a g n + a g n = c g n + a c g n + a c g n =, h n + a h n + a h n = c h n + a c h n + a c h n =. c g n + c h n ) + a c g n + c h n ) + a c g n + c h n ) = το οποιο σηµαινει οτι η c g n + c h n ) n= X Θεωρηµα: Εστω g, h οι ϑεµελιωδεις λυσεις της Τοτε οι g, hειναι µια ϐαση του X. ηλ. f n + a f n + a f n =..3) f X f = c g + c h. Αποδειξη. Εχουµε ηδη δει οτι καθε λυση f της.3) δηλ. καθε στοιχειο του X) γραφεται στην µορφη f n = c g n + c h n. Επιπλεον εχουµε δει οτι οι g, h ειναι γραµµικα ανεξαρτητες. Απο αυτα προκυπτει το Ϲητουµενο Παρατηρηση: Ολα τα παραπανω µπορουν να γενικευτουν για την περιπτωση των γραµµικων εξισωσεων διαφορων N-στης ταξης Παρατηρηση: Υπαρχουν τυποι εξισωσεων διαφορων για τις οποιους δεν υπαρχει ή δεν ϑα παραθεσουµε εδω) τυποποιηµενη µεθοδολογια επιλυσης. Για να υπολογισουµε τις λυσεις τετοιων χρησιµοποιουµε διαφορα τεχνασµατα. Αξιζει να σηµειωθει οτι ακοµη και αν δεν µπορουµε να επιλυσουµε µια εξισωση διαφορων, µπορει να ειµαστε σε ϑεση να προσδιορισουµε διαφορες ιδιοτητες των λυσεων αυτης. Η σηµασια αυτων των παρατηρησεων ϑα ξεκαθαριστει απο τα εποµενα παραδειγµατα Ασκηση: Βρες τον n-στο ορο f n της f n ) n= που ικανοποιει : f =, f =, f =, n 3 : f n 6f n + f n 6f n 3 =. Λυση. Η µεθοδολογια επιλυσης ειναι παροµοια µε αυτη των γραµµικων εξισωσεων δευτερης ταξης. Η χαρακτηριστικη εξισωση ειναι r 3 6r + r 6 = η οποια εχει ϱιζες r =, r = 3, r 3 =. Οποτε η γενικη λυση ϑα ειναι f n = c n + c 3 n + c 3 n. Θετοντας n =,, παιρνουµε = f = c + c 3 n + c 3 n, = f = c + c 3 + c 3, = f = c + c 3 + c 3.

236 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΑΝΑ ΡΟΜΙΚΕΣ ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ 3 Λυνοντας το συστηµα c + c + c 3 = c + 3c + c 3 = c + 9c + 4c 3 = η οποια εχει λυση c = 3, c =, c 3 =. Οποτε η λυση ειναι n : f n = 3 + 3n n Ασκηση: Βρες τον n-στο ορο f n της f n ) n= που ικανοποιει : f =, n : f n+ f n + nf n+ f n =..3) Λυση. Η εξισωση ειναι µη γραµµικη. ιαιρουµε την ;;) µε f n+ f n και εχουµε Θετουµε g n = f n Οποτε Θετοντας g = f Οποτε και η.33) γινεται = f n+ f n + n =..33) g n+ g n = n. g g = g g = g n g n = n. και προσθετοντας κατα µελη τις.34) εχουµε....34) g n = n ) = n ) n + = n n +. n : f n = n n Ασκηση: Βρες το οριο της ακολουθιας f n ) n= η οποια ικανοποιει f n + f = c, ), n : f n+ =. φ+ Λυση. Αν υπηρχε το lim n f n = φ, ϑα ειχαµε φ = και ϑα επρεπε να ισχυει φ = φ+. Αυτη η εξισωση εχει ϱιζες και. Επειδη η ακολουθια εχει αυστηρα ϑετικους ορους γιατι ;) υποψιαζοµαστε οτι το Ϲητουµενο οριο ειναι το. Για να δειξουµε οτι το οριο οντως υπαρχει

237 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΑΝΑ ΡΟΜΙΚΕΣ ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ 3 ϑα δειξουµε οτι η ακολουθια ειναι ϕραγµενη και µονοτονη. Προφανως, για καθε n N ισχυει f n >. Θα δειξουµε και οτι για καθε n N ισχυει f n+ > f n. Αυτο ισχυει για n =, αφου + c f = > + c > c + c = c = f χρησιµοποιησαµε οτι b, ) b < b). Εστω οτι ισχυει για καθε n {,,..., k}. Τοτε f k+ + f k + f k+ = > = f k+ οποτε για καθε n N ισχυει f n+ > f n. Αρα η ακολουθια ειναι γνησιως αυξουσα. Μενει να ϐρουµε ενα ανω ϕραγµα. Πραγµατι f k < f k + f k + < f k+ = < =. Αυτο, σε συνδυασµο µε το f = c <, δειχνει οτι για καθε n N ισχυειf n <. Τελικα λοιπον η ακολουθια ειναι ϕραγµενη και γνησιως αυξουσα οποτε εχει οριο lim f n = φ το οποιο ικανοποιει f n + lim fn + lim f n = lim = φ + φ = φ = φ + φ = Ασκηση: Βρες το οριο της ακολουθιας f n ) n= η οποια ικανοποιει Λυση. Πρωτα ϑα δειξουµε επαγωγικα οτι ισχυει f =, n : f n+ = f n. n N :f n >. Αυτο ισχυει για n = και εστω οτι ισχυει και για καθε n {,,..., k}. Τοτε f k > f k < f k > f k+ = f k > =. Τωρα ϑα δειξουµε επαγωγικα οτι για καθε n N ισχυει f n > f n+. Εχουµε f = > 3 = = f, αρα ισχυει για n =. Εστω οτι ισχυει και για καθε n {,,..., k}. Τοτε f k+ < f k f k+ > f k f k+ = f k+ < f k = f k+. Αρα, η f n ) n= ειναι γνησιως ϕθινουσα και ϕραγµενη γιατι ;): n : < f n <.

238 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΑΝΑ ΡΟΜΙΚΕΣ ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ 3 Οποτε η f n ) n= ειναι και συγκλινουσα. Θετω φ = lim n f n. Τοτε ) lim f n+ = lim fn φ = n n φ φ = φ. Λυνοντας την εξισωση φ = φ ϐλεπουµε οτι εχει µοναδικη ϱιζα την φ =. Αρα lim n f n =...4. Ασκηση: Μελετησε την ακολουθια f n ) n= η οποια ικανοποιει f = 4, n : f n = f n + 8. Λυση. Προφανως για καθε n ισχυει f n >. Θα δειξουµε επαγωγικα οτι για καθε n Εχουµε f n+ < f n..35) f = f + 8 = ) = 3 6 < 4 = f οποτε η.35) ισχυει για n =. Εστω οτι ισχυει για n {,,..., k}. Οποτε f k < f k f k + 8 < f k + 8 f k+ < f k. Αρα η f n ) n= ειναι γνησιως ϕθινουσα. Αφου ειναι και ϑετικη, συµπεραινουµε οτι για καθε n < f n 4..36) Αφου η f n ) n= ειναι ϕραγµενη και µονοτονη, η f n) n= ειναι συγκλινουσα. Εστω [ φ = lim f n, ]..37) n 4 Τοτε f n+ = f n + 8 lim f n+ = lim n n f n + ) φ = 8 φ + 8 φ φ + 8 =. Οι ϱιζες της φ φ + = 8 φ = + 3 > 4, φ = 3 < 4. Λογω της.37) συµπεραινουµε οτι lim f n = 3. n

239 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΑΝΑ ΡΟΜΙΚΕΣ ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ 33. Λυµενα Προβληµατα... Αποδειξε οτι η ακολουθια f n ) n= η οποια ικανοποιει f =, n : f n+ = 3 f n ειναι γνησιως ϕθινουσα. Λυση. Προφανως, για καθε n N, ισχυει f n+ = f 3 n < f n.... Βρες τον n-στο ορο της ακολουθιας f n ) n= µε Λυση. Εχουµε Για n = πρεπει να εχουµε Ωστε ο n-στος ορος της ακολουθιας ειναι f = 5, n : f n+ + f n =. n : f n = c ) n. 5 = f = c ) c = 5. n : f n = 5 ) n...3. Βρες τον n-στο ορο της ακολουθιας f n ) n= µε f = 6, n : f n+ + f n =. Λυση. Απο την.4) εχουµε τον γενικο τυπο της λυσης n : f n = c ) n ) n ) n : f n = c ) n + )n = c ) n + ) n ). Για να ισχυει ο τυπος και για n = πρεπει να εχουµε 6 = f = c ) + 3 ) ) 6 = c. Οποτε ο n-στος ορος της ακολουθιας ειναι n : f n = 5 ) n Βρες τον n-στο ορο της ακολουθιας f n ) n= η οποια ικανοποιει : f =, f =, n : f n+ 3 f n+ + f n =..38) Λυση. Η χαρακτηριστικη εξισωση ειναι r 3 r +

240 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΑΝΑ ΡΟΜΙΚΕΣ ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ 34 µε ϱιζες r =, r =. Ο n-στος ορος ειναι f n = c n + c και για να ικανοποιουνται οι αρχικες συνθηκες ϑα πρεπει να εχουµε οποτε c =, c = και = c + c = c + c n : f n =...5. Βρες τον n-στο ορο της ακολουθιας f n ) n= η οποια ικανοποιει : ) n f =, f =, n : f n + f n + f n =..39) Λυση. Η χαρακτηριστικη εξισωση της.39) ειναι r + r + = µε διπλη ϱιζα r = r =. Η γενικη λυση ειναι και για n {, } ϑελουµε οποτε c =, c = και n : c ) n + c n ) n.4) = f = c ) + c ) = c, = f = c ) + c ) = c c n : f n = + n) ) n...6. Βρες τον n-στο ορο της ακολουθιας f n ) n= η οποια ικανοποιει : f =, f =, n : f n + f n + f n =..4) Λυση. Η χαρακτηριστικη εξισωση της αντιστοιχης οµογενους ειναι g n + g n + g n = r + r + = µε ϱιζες r = + 3i, r = 3i και η γενικη λυση ειναι )n )n + 3i 3i n : g n = c + c..4)

241 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΑΝΑ ΡΟΜΙΚΕΣ ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ 35 Για την ειδικη λυση της µη οµογενους υποθετουµε h n = c 3 και εχουµε h n + h n + h n = 3c 3 = c 3 = 3 Οποτε η γενικη λυση της µη οµογενους ϑα ειναι και οι αρχικες συνθηκες δινουν µε λυση c = c = 3, οποτε + 3i f n = g n + h n = c + 3i c ) n : f n = + 3i 3 )n 3i + c )n 3i + c )n c + c + 3 = ) + 3 = 3i Βρες τον n-στο ορο f n της f n ) n= η οποια ικανοποιει : )n f =, f =, f =, n 3 : f n 7f n + 6f n f n 3 =. Λυση. Η χαρακτηριστικη εξισωση ειναι r 3 7r + 6r = η οποια εχει ϱιζες r =, r =, r 3 = 3. Οποτε η γενικη λυση ϑα ειναι Θετοντας n =,, παιρνουµε Λυνοντας το συστηµα f n = c n + c n n + c 3 3 n. = f = c + c + c 3 3, = f = c + c + c 3 3, = f = c + c + c 3 3. c + c 3 = c + c + 3c 3 = 4c + 8c + 9c 3 = η οποια εχει λυση c =, c = 3, c 3 =. Οποτε η λυση ειναι n : f n = n 3 nn + 3 n.

242 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΑΝΑ ΡΟΜΙΚΕΣ ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ Βρες τον n-στο ορο f n της f n ) n= η οποια ικανοποιει : f =, f =, f =, n 3 : f n f n + 7 f n + f n 3 =. Λυση. Η χαρακτηριστικη εξισωση ειναι r r + 7 r + = η οποια εχει ϱιζες r = r =, r 3 =. Οποτε η γενικη λυση ϑα ειναι 3 f n = c n + c n ) ) n + c 3 n. 3) Θετοντας n =,, παιρνουµε το συστηµα c + c 3 = c c 3 c 3 = 4 c + c + 9 c 3 = µε λυση c = 8, c =, c 3 = 9. Οποτε η λυση ειναι n : f n = 8 n + n ) n + 9 ) 3) n...9. Βρες τον n-στο ορο f n της f n ) n= η οποια ικανοποιει : Λυση. Η αντιστοιχη οµογενης ειναι f =, f =, n : f n 5f n + 6f n = n..43) g n 5g n + 6g n =..44) Η χαρακτηριστικη εξισωση ειναι r 5r + 6 = µε ϱιζες r =, r = 3, οποτε η γενικη λυση ϑα ειναι g n = c n + c 3 n. Τωρα υποθετουµε οτι η µη οµογενης εχει καποια λυση h n της µορφης h n = c 3 n + c 4. Αν αυτο ισχυει, τοτε εχουµε n : h n 5h n + 6h n = n n : c 3 n + c 4 5 c 3 n ) + c 4 ) + 6 c 3 n ) + c 4 ) = n n : c 3 5c 3 + 6c 3 ) n + c 4 + 5c 3 5c 4 c 3 + 6c 4 ) = n

243 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΑΝΑ ΡΟΜΙΚΕΣ ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ 37 που δινει το συστηµα c 3 = 7c 3 + c 4 = µε λυσεις c 3 =, c 4 = 7. Οποτε της µη οµογενους ειναι 4 f n = c n + c 3 n + n Χρησιµοπιωντας και τις αρχικες συνθηκες f = f = τελικα παιρνουµε n : f n = n + 4 3n + n Βρες τον n-στο ορο f n της f n ) n= που ικανοποιει : f =, f =, n : f n+ = f 3 Λυση. Η εξισωση ειναι µη γραµµικη. Επειδη f >, f > ισχυει n : f n >. Λογαριθµιζουµε την.45) ως προς και ϑετουµε g n = log f n οποτε εχουµε n+ fn g =, g =, n : g n+ 3g n+ + g n =...45) Η χαρακτηριστικη εξισωση ειναι r 3r + = µε ϱιζες r =, r =. Χρησιµοποιωντας και τις αρχικες συνθηκες παιρνουµε n : g n = n n : f n = n.... Μελετησε την ακολουθια f n ) n= η οποια ικανοποιει f =, n : f n = + f n. Λυση. Προφανως για καθε n ισχυει f n >. Θα δειξουµε επαγωγικα οτι για καθε n f n+ > f n..46) Εχουµε f = + f = + = > = f οποτε η.46) ισχυει για n =. Εστω οτι ισχυει για n {,,..., k}. Οποτε f k > f k + f k > + f k f k+ > f k. Αρα η f n ) n= ειναι γνησιως αυξουσα. Κατοπιν ϑα δειξουµε επαγωγικα οτι για καθε n < f n <..47)

244 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΑΝΑ ΡΟΜΙΚΕΣ ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ 38 Αυτο προφανως ισχυει για n =. Εστω οτι ισχυει για n {,,..., k}. Οποτε < f k+ = + f k < + = 3 <. Αρα η f n ) n= ειναι ϕραγµενη απο το και το. Αφου ειναι ϕραγµενη και µονοτονη, η f n) n= ειναι συγκλινουσα. Εστω φ = lim f n [, ]..48) n Τοτε f n+ = + f n lim f n+ = lim + fn φ = + φ φ φ =. n n Οι ϱιζες της φ φ = ειναι Λογω της.48) συµπεραινουµε οτι φ = 5 + >, φ = 5 <. lim f n = n Μελετησε την ακολουθια f n ) n= η οποια ικανοποιει f = 3, n : f n = f n + 3. f n Λυση. Καταρχην ϑα δειξουµε οτι για καθε n ισχυει f n 3. Προφανως f n > και f n ) 3 f n + 3 f n 3 fn = f + n 3 3. f n Κατοπιν δειχνουµε επαγωγικα οτι f n f n <. Για n = εχουµε f f = = <. 6 Εστω οτι ισχυει και για k {,,..., k}. Τωρα f k+ f k = f + k 3 f k = 3 f k 3 3 f k f k f k και απεδειχθη το Ϲητουµενο. Οποτε η f n ) n= ειναι ϕθινουσα και ϕραγµενη, αρα εχει οριο φ = lim n f n, το οποιο ϑα ικανοποιει φ = φ + 3 φ. Οποτε ϑα εχουµε φ = φ + 3 φ = ± 3, αλλα η αρνητικη τιµη απορριπτεται. Οποτε τελικα lim n f n = 3.

245 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΑΝΑ ΡΟΜΙΚΕΣ ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ Μελετησε την ακολουθια f n ) n= η οποια ικανοποιει f =, n : f n = + 3f n. Λυση. Προφανως f n >. Επισης ϑα δειξουµε οτι επαγωγικα οτι για καθε n ισχυει f n < 6. Πραγµατι ισχυει για n = και εστω οτι ισχυει και για n {,,..., k}. Τωρα εχουµε f k < 6 + 3f k < f k+ = + 3f k < < 6. Ειναι ευκολο να δειξουµε επαγωγικα οτι f n < f n+. Αυτο ισχυει για n = αφου < 5) και εστω οτι ισχυει για n {,,..., k}. Τοτε εχουµε f k < f k+ + 3f k < + 3f k+ f k+ = + 3f k < + 3f k+ = f k+. Οποτε η f n ) n= ειναι αυξουσα και ϕραγµενη, αρα εχει οριο φ = lim n f n, το οποιο ϑα ικανοποιει φ = + 3φ. Οποτε ϑα εχουµε φ = + 3φ, µε ϱιζες 3 ± 7 αλλα η αρνητικη ϱιζα απορριπτεται. Οποτε τελικα lim n f n = Μελετησε την ακολουθια f n ) n= η οποια ικανοποιει f = 4, n : f n = f n + 8. Λυση. Προφανως για καθε n ισχυει f n >. Θα δειξουµε επαγωγικα οτι για καθε n f n+ < f n..49) Εχουµε + = f = f + 8 = ) = 3 6 < 4 = f οποτε η.49) ισχυει για n =. Εστω οτι ισχυει για n {,,..., k}. Οποτε f k < f k f k + 8 < f k + 8 f k+ < f k. Αρα η f n ) n= ειναι γνησιως ϕθινουσα. Αφου ειναι και ϑετικη, συµπεραινουµε οτι για καθε n < f n 4..5) Αφου η f n ) n= ειναι ϕραγµενη και µονοτονη, η f n) n= ειναι συγκλινουσα. Εστω [ φ = lim f n, ]..5) n 4 Τοτε f n+ = f n + 8 lim f n+ = lim n n f n + ) φ = 8 φ + 8 φ φ + 8 =.

246 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΑΝΑ ΡΟΜΙΚΕΣ ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ 4 Οι ϱιζες της φ φ + 8 = Λογω της.5) συµπεραινουµε οτι..5. Αποδειξε οτι η ακολουθια f n ) n= µε f = 6, ειναι γνησιως ϕθινουσα ενω η g n ) n= µε g =, φ = + 3 > 4, φ = 3 < 4. lim f n = 3. n n : f n+ = 3 + f n n : g n+ = 3 + g n ειναι γνησιως αυξουσα. Κατοπιν αποδειξε οτι οι δυο ακολουθιες συγκλινουν στο ιδιο οριο. Λυση. Ισχυουν τα εξης.. Προφανως καθε ορος της ακολουθιας f n ) n= ειναι ϑετικος. Θα δειξουµε επαγωγικα οτι, για καθε n N, ισχυει f n+ < f n. Εχουµε για n = f = = 3 < 6 = f. Εστω οτι για καθε n {,,..., k} εχουµε f k+ < f k. Τοτε 3 + f k+ < 3 + f k 3 + f k+ < 3 + f k f k+ < f k+. Αρα η f n ) n= ειναι γνησιως ϕθινουσα.. Εποµενως εχουµε <... < f 3 < f < f. Αρα υπαρχει το φ = lim n f n. Εχουµε f n+ = 3 + f n lim f n+ = lim 3 + fn lim f n+ = 3 + lim n n n φ = 3 + φ φ = 3 + φ. n f n Η εξισωση φ = 3 + φ εχει ϱιζες φ = 3 +, φ = 3. Η αρνητικη ϱιζα φ απορριπτεται και τελικα συµπεραινουµε οτι lim f n = 3 + n.

247 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΑΝΑ ΡΟΜΙΚΕΣ ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ 4 3. Προφανως καθε ορος της g n ) n= ειναι ϑετικος. Θα δειξουµε επαγωγικα οτι, για καθε n N, ισχυει g n+ > g n. Εχουµε για n = g = 3 + = > = g. Εστω οτι για καθε n {,,..., k} εχουµε g k+ > g k. Τοτε 3 + g k+ > 3 + g k 3 + g k+ > 3 + g k g k+ > g k+. Αρα η g n ) n= ειναι γνησιως αυξουσα. Επισης αποδεικνυεται ευκολα οτι 4. Εποµενως εχουµε n : g n 5. < g < g < g 3 <... < 5. Αρα υπαρχει το γ = lim n g n. Εχουµε, οπως και για το φ, οτι lim g n+ = 3 + lim g n γ = 3 + γ γ = 3 + γ. n n Η εξισωση γ = 3 + γ εχει ϱιζες γ = 3 +, γ = 3. Η αρνητικη ϱιζα γ απορριπτεται και τελικα συµπεραινουµε οτι.3 Αλυτα Προβληµατα lim g n = 3 + n = lim f n. n.3.. Εξετασε εαν η ακολουθια f n ) n= ειναι µονοτονη.. f = 5, n : f n = f n.. f = 5, n : f n = f n f = 3, n : f n = f n. 4. f = 5, f =, n : f n+ + 3f n+ + f n =. 5. f = 5, f =, n : f n+ + 3f n+ + f n =..3.. Να ϐρεθει ο ορος f n της ακολουθιας f n ) n=.. f = 3, n : f n+ = 8f n. Απ. f n = 3 8 n.. f = 7, n : f n+ = 5f n 6. Απ. f n = 5n f = 3, f =, n : f n+ = 3f n+ f n. Απ. f n = 7 n+. 4. f =, f =, n : f n+ = f n. Απ. f n = ) i i n + + ) i i) n.

248 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΑΝΑ ΡΟΜΙΚΕΣ ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ 4 5. f =, f =, n : f n+ = f n+ f n. Απ. f n = + ) i i) n + ) i + i) n. 6. f = 3, f = 5, n : f n+ = f n+ f n.απ. f n = 3 + n. 7. f = 3, f =, n : f n+ = 3f n+ f n +. Απ. f n = 6 3 n n. 8. f =, f =, n : f n+ = f n. Απ. f n = ) i i n + + ) i i) n f = 3, f = 5, n : f n+ = f n+ f n + n. Απ. f n = + n + n.. f =, n : f n+ = 3 3f n Να ϐρεθει ο ορος f n της ακολουθιας f n ) n=.. n : f n+ = f n++f n. Απ. f n = 4 f 6 f ) ) n + f 3 + f ).. n : f n+ = f n++f n n : f n+ = f n++f n + n. Απ.f n = 4 f 6 f ) n ) + f 3 + f ) + f 3 4. n : f n+ + f n = f n f n+. 5. n : f n+ f n = f n n : f n+ = f n f n+. 7. n : f n+ = f n. 8. n : f n = f n f n+. 9. n : f n+ 5f nf n+ + 6f n =.. n : f n+ = f n n Να ϐρεθει αν υπαρχει) το οριο lim n f n της ακολουθιας f n ) n=.. f =, n : f n+ = + f n. Απ... f =, n : f n+ = f n. Απ.. 3. f =, n : f n+ = f n f n + f n. Απ.. 4. Με θ, 4) : f =, n : f 3 n+ = f n + θ. Απ. 4θ 5. Με c, ) : f = c, n : f n+ = f n + f n. 7. ) n + n + ) n + ) f = c, n : f n+ = f n + f n f n. Απ.. 7. f =, n : f n+ = 4. Απ.. 3+fn

249 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΑΝΑ ΡΟΜΙΚΕΣ ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ f = c >, n : f n+ = + f n. Απ. 9. f =, n : f n+ = fn 4 +6f n 4+fn 3. Απ f =, n : f n+ = f n ).Απ. Το οριο δεν υπαρχει Να ϐρεθει αν υπαρχει, για διαφορες τιµες του ξ > ) το οριο lim n f n της ακολουθιας f n ) n= η οποια ικανοποιει f = ξ, n : f n+ = f n f n +. Απ. α) Για ξ < : lim n f n =, ϐ) για ξ : lim n f n = ινονται a, b τετοιοι ωστε b a, ). Να ϐρεθει αν υπαρχει) το οριο lim b+a n f n της ακολουθιας f n ) n= η οποια ικανοποιει Απ.. f =, n : f n+ = a + bf n. b + af n.3.7. Εστω ακολουθια f n ) n= η οποια ικανοποιει f = a, n : f n+ = f n + A ). f n a) Μελετησε την συγκλιση της f n ) n= σε σχεση µε τις τιµες των a και A Εστω ακολουθια h n ) n= η οποια ικανοποιει h = a, n : h n+ = A + h n. Μελετησε την συγκλιση της h n ) n= σε σχεση µε τις τιµες των a και A..4 Προχωρηµενα Αλυτα Προβληµατα.4.. Βρες τον ορο f n της ακολουθιας f n ) n=.. f =, n : f n+ = n + n + ) f n.. f =, n : f 3 = n+ 3f n. 3. n : f n + f n+ = f n f n+. 4. n : f n f n+ = f n f = a >, n : f n+ = f n + bfn ). 6. f =, n : f n+ = + f n..4.. Υπολογισε αν υπαρχει) το lim n f n της ακολουθιας f n ) n=.

250 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΑΝΑ ΡΟΜΙΚΕΣ ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ 44. n : f n+ = a f n µε a > ).. f = a >, n : f n+ = n+ + f n ) n+ µε a > ). 3. f =, n : f n+ = n ) n+)f n f =, n : f n+ = n ) n+)f n f =, n : f n+ = f n f n + f n. Απ.. 6. f =, n : f n+ = f n + +f n +3f n. Απ.. 7. f = c, ), n : f n+ = +f n 3+4f n.απ. /. 8. f = a >, f = b >, n : f n+ = f n f n. 9. f = a >, f = b >, n : f n+ = fn +. f n. f = c, f = c, n : f n+ + a f n+ + a f n = b Η ακολουθια f n ) n= ικανοποιει f ειξε οτι lim n n = n! f e ) f e 5). n : f n+ = n + ) f n nf n Οι ακολουθιες f n ) n=, g n) n=, h n) n= ικανοποιουν f = a >, g = b >, h = c >, f n+ = f n + g n + h n, 3 g n+ = 3 f n g n h n, h n+ = 3. f n + g n + h n ειξε οτι lim n f n = lim n g n = lim n h n Εστω f n ) n= η οποια ικανοποιει : f = c >, n : f n+ = af n + b. ειξε οτι υπαρχει το lim n f n και ισουται µε την ϑετικη ϱιζα της εξισωσης x ax b = Εστω f n ) n= η οποια ικανοποιει : f = c >, n : f n+ = afn + b, οπου a, ). ειξε οτι lim n f n = b a.

251 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΑΝΑ ΡΟΜΙΚΕΣ ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ Εστω f n ) n= η οποια ικανοποιει : ηλαδη f =, f n+ = + f n. f =, f = +, f = +,..., f + n+ = +, f n ειξε οτι υπαρχει το lim n f n, υπολογισε την τιµη του και σχολιασε την σχεση αυτου µε την ακολουθια Fibonacci Εστω f n ) n= η ακολουθια Fibonacci. Αποδειξε τα παρακατω.. f n+ + f n = 3f n.. f m+ f n + f m f n = f m+n. 3. f n = f n + f n. 4. f + f f n = f n+. 5. Φ n = f n + Φf n. 6. f n+k = f k f n+ + f k f n. 7. f n ) f n+ f n = ) n. 8. f n ) f n+k f n k = ) n k Εστω f n ) n= η ακολουθια Fibonacci. Αποδειξε οτι x x x = f x + f x + f x Μαθ. Ολυµπιαδα). Εστω f n ) n= η οποια ικανοποιει : f =, n : f n+ =. f + f f n Αποδειξε οτι lim n f + f f n =..4. Μαθ. Ολυµπιαδα). Εστω f n ) n= η οποια ικανοποιει : n : f n+ = + f n f n). Αποδειξε οτι, για καθε n 3, x n < n..4. Μαθ. Ολυµπιαδα). Εστω f n ) n= η οποια ικανοποιει : f = 3, f = 4, n : n + ) n + ) f n = 4 n + ) n + 3) f n 4 n + ) n + 3). Υπολογισε τον ορο f n.

252 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΑΝΑ ΡΟΜΙΚΕΣ ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ Μαθ. Ολυµπιαδα). Εστω f n ) n= η οποια ικανοποιει : f =, n : f n+ = af n + bf n. ειξε οτι η ποσοτητα f n f n+ f n δεν εξαρταται απο το a..4.4 Μαθ. Ολυµπιαδα). Εστω f n ) n= η οποια ικανοποιει : Υπολογισε τον ορο f n. f =, n : f n+ = + 4f n + + 4f n Μαθ. Ολυµπιαδα). Εστω f n ) n= η οποια ικανοποιει : Αποδειξε οτι υπαρχει το lim n f n n. m, n : f n+m f m + f n..4.6 Μαθ. Ολυµπιαδα). Εστω f n ) n= η οποια ικανοποιει : lim n f n+ οτι lim n n f n = φ. f n = φ >. Αποδειξε

253 Κεφάλαιο Σειρες Μια σειρα ειναι το αθροισµα των απειρων ορων µιας ακολουθιας. Η σειρα παιζει στην ϑεωρια των ακολουθιων τον ϱολο που παιζει το ολοκληρωµα στην ϑεωρια των συναρτησεων µιας συνεχους µεταβλητης.. Θεωρια και Παραδειγµατα... Ορισµος: Εστω µια ακολουθια f n ) n=. Σχηµατιζουµε µια νεα ακολουθια s n) n= ως εξης : s = f, s = f + f, s 3 = f + f + f 3,..., s N = f f N,... Τα στοιχεια s, s, s 3,..., s N = N n= f n,... λεγονται µερικα αθροισµατα. Το απειρο αθροισµα ή σειρα ειναι το N f n = lim s N = lim f n N N n= Καταχρηστικα, χρησιµοποιουµε τον συµβολισµο n= f n ακοµη και οταν το οριο δεν υπαρχει.... Παραδειγµα: Εστω η ακολουθια f n ) n= µε f n = n. Σε αυτην αντιστοιχει η σειρα n= Με ποιον αριθµο ισουται η παραπανω σειρα ; n= = n + + = Ορισµος: Η σειρα n= f n λεγεται. συγκλινουσα οταν n= f n <, 47

254 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΣΕΙΡΕΣ 48. αποκλινουσα οταν n= f n = ή n= f n =, 3. ταλαντευοµενη σε καθε αλλη περιπτωση. Επισης χρησιµοποιουµε τις εκφρασεις «η σειρα συγκλινει», «η σειρα αποκλινει», «η σειρα ταλαντευεται»...4. Ασκηση: Εξετασε την συγκλιση της Λυση. Αν a εχουµε n= an. N a n = a + a a N = a + a a N ) = a an a a n = lim a an N a n= n= υπο την προυποθεση οτι το οριο υπαρχει. ιακρινουµε τις εξης περιπτωσεις.. Αν a, ), τοτε lim N a an a = a a οποτε και. Αν a =, τοτε n= an = ) =. 3. Αν a, ), τοτε lim N a an a n= an = a. a = οποτε και n= an =. 4. Αν a, ] η n= an ταλαντευεται γιατι ;)...5. Παραδειγµα: Εχουµε = ) n 4 n= = / =. /..6. Συµβολισµος: Ο συµβολισµος αθροισµατος µπορει να επεκταθει µε προφανεις τροπους. Π.χ., αν εχουµε ακολουθια f n ) n= µπορουµε να ορισουµε την σειρα f n = lim f + f f N ). N n= Γενικοτερα, για καθε συνολο A N, µπορουµε να ορισουµε την σειρα εαν οι οροι f n ειναι ορισµενοι για καθε n A. n A f n..7. Παραδειγµα: Εστω A = {, 3, 5,...}. Τοτε f n = f + f 3 + f Ασκηση: Υπολογισε το n= an οταν a, ). Λυση. Εχουµε a n = n= n A a a a n = a + n= a n = + a a = a. n=

255 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΣΕΙΡΕΣ Θεωρηµα: Εστω f n ) n= και g n) n= τετοιες ωστε n= f n = f R και n= g n = g R. Τοτε, για καθε c, c R, εχουµε c f n + c g n ) = c f + c g. n=... Παραδειγµα: ινεται οτι n= = και n n= 3 n =. Τοτε ) = 3 + 7) n 3 n =. n=... Ερωτηση: Πως µπορει να επεκταθει το Θεωρηµα..9 αν καποια απο τα c, c, f, g δεν ανηκουν στο R;... Ασκηση: Εξετασε την συγκλιση της n= n + Λυση. Εχουµε n + n = + =...3. Ασκηση: Υπολογισε n= n + n= n). Λυση. Εχουµε n + n) = n= n= n= n= το οποιο ειναι απροσδιοριστο. Παρατηρειστε οτι Αρα lim N n= N n n) = lim N n= n + n= N n n ) = lim n n= n= n. N n= ) n n. n= N n n ) =...4. Θεωρηµα: Εστω f n ) n= και g n) n= τετοιες ωστε n= f n = f R και n= g n = g R. Τοτε n f k g n k = fg. n= k=..5. Θεωρηµα: Αν n= f n = f R, τοτε lim n f n =. Αποδειξη. Θεωρησε τα µερικα αθροισµατα s N = N n= f n. Εχουµε s N s N = f N. Επισης lim s N = lim s N = f. N N Οποτε lim N f N = lim N s N s N ) = lim N s N lim N s N = f f =.

256 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΣΕΙΡΕΣ Ασκηση: ειξε οτι η n n= δεν συγκλινει. n+ n Λυση. Αν συνεκλινε, ϑα ειχαµε lim n =. Αλλα ξερουµε οτι lim n+ n n =. n+..7. Θεωρηµα: Εστω µη αρνητικη ακολουθια f n ) n= δηλ. n N : f n ). Τοτε η n= f n ειτε συγκλινει ειτε αποκλινει. Αποδειξη. Θεωρησε τα µερικα αθροισµατα s N = N n= f n. Προφανως η s N ) N= ειναι αυξουσα γιατι ;). Υπαρχουν δυο ενδεχοµενα.. Αν s N ) N= ειναι αυξουσα και ϕραγµενη, τοτε συγκλινει σε πραγµατικο αριθµο.. Αν s N ) N= ειναι αυξουσα και µη ϕραγµενη, τοτε αποκλινει συγκλινει στο + )...8. Ασκηση: Εξετασε την συγκλιση της n=. n Λυση. Εχουµε n = Οριζουµε n= n N : s n = n m. m= Προφανως η s n ) n= ειναι γνησιως αυξουσα. Επισης εχουµε s 4 = > = 3 + s 8 = > = 3 + s 6 = > = Και γενικοτερα m+ s m+ = m > 3 + m. m= Αρα η υποακολουθια s m+) m= δεν ειναι ϕραγµενη, οποτε και η ακολουθια s n) n= ειναι αυξουσα και µη ϕραγµενη, οποτε n =. n=..9. Θεωρηµα: Εστω ακολουθιες f n ) n= και g n) n= τετοιες ωστε n N : f n g n. Τοτε : g n < f n <, n= f n = n= n= n= g n =.

257 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΣΕΙΡΕΣ 5... Ασκηση: ειξε οτι n= <. n + Λυση. Εχουµε n : n + < ) n... Ασκηση: ειξε οτι = n=. n+ Λυση. Εχουµε n : n + ) n n + < n= n= n + = <. n n= n = =... Κριτηριο Λογου). Θεωρηµα: Εστω µη αρνητικη ακολουθια f n ) n= και a = lim n f n+ Τοτε ισχυουν τα εξης : Αποδειξη. Εστω οτι lim n f n+ Οποτε εχουµε f n < n=n ε ) αφου < a + ε < ). Τοτε f n a < a > f n <, n= f n =. n= n= = a <. Εστω ε = a. Τοτε υπαρχει n ε τετοιο ωστε n n ε : f n+ a f n < ε n n ε : f n+ < a + ε ) f n m : f n+m < a + ) ε m f. nε f n ε n n= n ε f n = f n + n= a + ) ε n = f n ε n= n a + ) ε n = A < n= n ε f n = f n + A <. n=n ε n= f..3. Παρατηρηση: Προσεξε οτι οταν lim n+ n f n = a =, το κριτηριο του λογου δεν οδηγει σε συµπερασµα σχετικα µετην συγκλιση της n= f n...4. Ασκηση: Εξετασε την συγκλιση της Λυση. Εχουµε f n = 5n n! και f n+ = 5n+ / n + )! f n 5 n /n! 5 n n= n!. = 5 n + lim f n+ n f n 5 = lim n n + =. f n. Αρα 5 n n= n! <.

258 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΣΕΙΡΕΣ 5..5 Κριτηριο Ριζας). Θεωρηµα: Εστω µη αρνητικη ακολουθια f n ) n= και a = lim n n f n. Τοτε ισχυουν τα εξης : a < a > f n <, n= f n =. n=..6. Παρατηρηση: Και παλι, οταν lim n n f n = a =, το κριτηριο της ϱιζας δεν οδηγει σε συµπερασµα σχετικα µετην συγκλιση της n= f n...7. Ασκηση: Εξετασε την συγκλιση της Λυση. Εχουµε f n = 5n και Αρα 5 n n= n n <. n n n fn = n 5 n n n = 5 n lim 5 n n=. n n n n fn = lim n 5 n =...8 Κριτηριο Ολοκληρωµατος). Θεωρηµα: Εστω οτι η F x) ειναι ϑετικη και ϕθινουσα στο διαστηµα [N, ) για καποιο N ). Οριζουµε την ακολουθια f n ) n= µε f n = F n). Τοτε N N Fx) < Fx) = f n <,.) n= f n =..) Αποδειξη. Μας ειναι δοσµενη η συναρτηση F x). Οριζουµε δυο ακοµη συναρτησεισ: n= n {,,...}, x [n, n + ) : F x) = F n + ) n {,,...}, x [n, n + ) : F x) = F n) Στο Σχηµα. ϕαινεται οτι για καθε x R εχουµε F F x) F x). Σχήµα.: Το κριτηριο ολοκληρωµατος.

259 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΣΕΙΡΕΣ 53 Αλλα Οποτε εχουµε και Οποτε εχουµε και F x) = F x) = f f + F x) n+ n= n n+ n= n F x) = F x) F x) = F x) = F x) < f n < n=..9. Ασκηση: Εξετασε την συγκλιση της F x). F n + ) = n= f n. n= F x) = f n = n= F x) = f n <. n= n= n+) lnn+). n= f n f n < Λυση. Εχουµε f n = n+) lnn+) αν ϑεσουµε F x) = x+) lnx+) τοτε f n = F n). Επειδη x + ) ln x + ) = d x + ) du ln x + ) ln x + ) = = ln u = ln ln x + )) u και x + ) ln x + ) = ln ln x + )) x= = ln ln ) ln ln ) = ln ) ln ln ) = συµπεραινουµε οτι n= n+) lnn+) =...3. Θεωρηµα: Η σειρα. k. k > n= n= n k =. n k <. n= n k Αποδειξη. Εχουµε f n = n k, F x) = x k και x = k n= εχει την εξης συµπεριφορα. x k = { x k k για k ln x για k =. Θα εξετασουµε τρεις διαφορετικες περιπτωσεις.

260 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΣΕΙΡΕΣ 54. k >. Τοτε [ ] x = x= k k x k = x= k < αρα για k > εχουµε n= n k <, δηλ. η σειρα συγκλινει.. k =. Τοτε = [ln x]x= x k x=a = ln ln =. Αρα για k = εχουµε 3. k <. Τοτε n= n =, δηλ. η σειρα αποκλινει. [ ] x = x= k k x k = x= k lim M k k) = M αφου k > ). Αρα για k < εχουµε..3. Ασκηση: Εξετασε την συγκλιση των Λυση. Συµφωνα µε το Θεωρηµα..3: n <, n= n= n k n =, n= =, δηλ. η σειρα αποκλινει. n=, n n= n, n=. n / <. n/..3. Ορισµος: Εστω µη αρνητικη ακολουθια f n ) n=. Η σειρα λεγεται εναλασσουσα. n= ) n f n = f f + f 3 f n=..33. Θεωρηµα: Εστω µη αρνητικη και ϕθινουσα ακολουθια f n ) n= τετοια ωστε lim n f n =. Τοτε η εναλασσουσα σειρα ) n f n = f f + f 3 f n= συγκλινει σε πραγµατικο αριθµο) Ασκηση: Εξετασε την συγκλιση της ) n = n n= Λυση. Η ακολουθια f n ) n= µε f n = ειναι µη αρνητικη, ϕθινουσα και lim n n f n =. Οποτε, συµφωνα µε το Θεωρηµα..33, ) n = A < n n= Επισης ) n n= > γιατι ;). n

261 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΣΕΙΡΕΣ Ορισµος: Λεµε οτι η σειρα n= f n ειναι απολυτως συγκλινουσα ανν n= f n < Θεωρηµα: Εστω ακολουθια f n ) n=. Τοτε f n < n= Αποδειξη. Οριζουµε δυο συνολα ϕυσικων αριθµων f n = f R. n= A + = {n : f n } και A = {n : f n < }. Τοτε f n = f n + f n = f n + f n <. n= n A + n A n A + n A Επειδη τα αθροισµατα ) n A + f n και n A f n ειναι µη αρνητικα, συµπεραινουµε οτι n A + f n = a R, δηλ. τα a, a ειναι πεπερασµενα). Αλλα τοτε f n = a R n A f n = f n + f n = a a = f R. n= n A + n A..37. Παρατηρηση: Με αλλα λογια, αν η n= f n ειναι απολυτως συγκλινουσα τοτε ειναι και συγκλινουσα. sinn)..38. Ασκηση: Εξετασε την συγκλιση της n=. n Λυση. Εχουµε sin n) n n = a <. Αφου η sinn) n= n n= συγκλινει απολυτως, τοτε συγκλινει σε πραγµατικο αριθµο) Παρατηρηση: Σε αρκετες περιπτωσες η συγκλιση µιας ακολουθιας αποδεικνυεται χρησιµοποιωντας ενα συνδυασµο των παραπανω ϑεωρηµατων και επιπλεον τεχνασµατων οπως αυτα των εποµενων παραδειγµατων. n=..4. Ασκηση: Εξετασε την συγκλιση της 3n+4 n= )n. n +3n+5 Λυση. Οριζουµε την συναρτηση F x) = F x) και την ακολυθια f n ) n= µε Τωρα, f n = F n) = 3n + 4 n + 3n + 5. F x) = 3x + 8x 3 x + 3x + 5)

262 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΣΕΙΡΕΣ 56 και οι ϱιζες της F x) = ειναι οι 3,. Στο διαστηµα [, ) η F x) ειναι ϕθινουσα, οποτε η 3 f n ) n= ειναι ϕθινουσα ακολουθια. Επιπλεον η ) n f n = ) n 3n + 4 n + 3n + 5 n= ειναι εναλασσουσα, αρα συγκλινει σε πραγµατικο αριθµο...4. Ασκηση: Εξετασε την συγκλιση της 3 n n=. n +5 n Λυση. Εχουµε 3 n n + 5 < 3 n n 5 = 3/5 n 3/5 = 3. n= n= n= Αρα η 3 n n= συγκλινει πραγµατικο αριθµο. n +5 n..4. Ασκηση: Εξετασε την συγκλιση της 5 n n= Λυση. Εχουµε 5 n n + 5 > 5 n n 5 = n n= n= Αρα η 5 n n= αποκλινει στο. n +5 n..43. Ασκηση: Υπολογισε το αθροισµα Λυση. Ο n-στος ορος της σειρας ειναι n +5 n n= 5 n n n + ) = n n +. 5 n =. Οποτε N N + ) = N N + = N +. ηλ = lim 3 4 N ) N N + ) = lim ) =. N N Ασκηση: Εξετασε ως προς τη συγκλιση την σειρα ) n= n + n. Λυση. Ειναι ) ) ) n + n n + + n n + n = n= n= n + + n ) ) n + n = = n= n + + n n= n + + n n= n + = n = Αρα η σειρα αποκλινει. n=

263 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΣΕΙΡΕΣ 57. Λυµενα Προβληµατα... Υπολογισε το αθροισµα + ) ) Λυση. Συµφωνα µε την Ασκηση..4 ειναι ) ) = /5 5 5 /5 = Εξετασε ως προς την συγκλιση την σειρα Λυση. Οριζουµε την ακολουθια f n ) n= µε f n = n. Τοτε η Ϲητουµενη σειρα ειναι n+ n= f n. Αφου n lim n f n = lim n = >, η σειρα αποκλινει. n+..3. Υπολογισε το αθροισµα ) 3 n= + 5. n nn+) Λυση. Συµφωνα µε την Ασκηση..4 ειναι = n και συµφωνα µε την Ασκηση..43 ειναι Οποτε ) = 3 n n n + ) n= n= n=..4. ειξε οτι n= <. 3 n + Λυση. Εχουµε n : 3 n + < ) 3 n n= n n + ) = + 5 n n= n n + ) = = 8. n= 3 n + < 3 = 3 = n < Εξετασε ως προς την συγκλιση την σειρα n= n ) n + ). Λυση. Εχουµε n= n ) n + ) = n= 4n ) > n= 3n =...6. Εξετασε ως προς την συγκλιση την σειρα n=. n n Λυση. Χρησιµοποιουµε το κριτηριο του λογου. Ο n-στος ορος της σειρας ειναι f n =. Το οριο n n του λογου f n+ f n ειναι f n+ n lim = lim n f n n n + ) = < εποµενως η σειρα συγκλινει...7. Εξετασε ως προς την συγκλιση την σειρα n n=. n Λυση. Χρησιµοποιουµε το κριτηριο του λογου. Ο n-στος ορος της σειρας ειναι f n = n. Το οριο n του λογου f n+ f n ειναι f n+ lim n f n εποµενως η σειρα συγκλινει. = lim n n + ) / n+ n n n= = lim n + ) n n = <

264 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΣΕΙΡΕΣ Εξετασε ως προς την συγκλιση την σειρα n! n=. 5 n f Λυση. Χρησιµοποιουµε το κριτηριο του λογου. Εχουµε lim n+ n+)!/5 n f n = lim n+ n lim n n+ 5 =. Αρα η σειρα αποκλινει. n!5 n =..9. Εξετασε ως προς την συγκλιση την σειρα n= n!. Λυση. Χρησιµοποιουµε το κριτηριο του λογου. Ο n-στος ορος της σειρας ειναι f n =. Το οριο n! του λογου f n+ ειναι f n lim n f n+ f n εποµενως η σειρα συγκλινει. / 3... n n + )) = lim = lim n / 3... n) n n + = <... Εξετασε ως προς την συγκλιση την σειρα ) n. n= n Λυση. Χρησιµοποιουµε το κριτηριο της ϱιζας. Ο n-στος ορος της σειρας ειναι f n = εποµενως η σειρα συγκλινει. lim n n fn = lim n n n n = lim... Εξετασε ως προς την συγκλιση την σειρα n n = < n= ln n). n Λυση. Χρησιµοποιουµε το κριτηριο της ϱιζας. Ο n-στος ορος της σειρας ειναι f n = lim n εποµενως η σειρα συγκλινει. n n fn = lim n ln n) = lim n n ln n = <... Εξετασε ως προς την συγκλιση την σειρα n=. n 3 Λυση. Η σειρα συγκλινει συµφωνα µε το Θεωρηµα Εξετασε ως προς την συγκλιση την σειρα n= n. Λυση. Η σειρα αποκλινει συµφωνα µε το Θεωρηµα Εξετασε ως προς την συγκλιση την σειρα Λυση. Εχουµε n < n 3 + < n n < 3 αρα η σειρα συγκλινει. n= n= n n=. n 3 + n < n= n n. ln n) n...5. Εξετασε ως προς την συγκλιση την σειρα Λυση. Οριζουµε την ακολουθια f n ) n= µε f n =. Τοτε η Ϲητουµενη σειρα ειναι n n n= f n. Εχουµε n N : f n = n n f n n n= n= n =. αρα η σειρα συγκλινει.

265 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΣΕΙΡΕΣ Εξετασε ως προς την συγκλιση την σειρα ) n n = n= Λυση. Ο n-στος ορος ειναι g n = ) n = n )n f n, οπου f n =. Η σειρα ειναι εναλασσουσα, n για καθε n ισχυει f n > f n+ και lim n f n =. Αρα η σειρα συγκλινει...7. Εξετασε ως προς την συγκλιση την σειρα ) n+ n = n= Λυση. Ο n-στος ορος ειναι g n = ) n+ = ) n+ f n n, οπου f n =. Η σειρα ειναι εναλασσουσα n και για καθε n ισχυει f n > f n+ και lim n f n =. Αρα η σειρα συγκλινει. n+ n..8. Εξετασε ως προς την συγκλιση την σειρα n=. n Λυση. Εχουµε n + n n + n n + + n = n n n= n= n + + n n + ) n = ) = ) n= n n + + n n= n n + + n < ) = n n + n n < 3/ Αρα η σειρα συγκλινει. n=..9. Εξετασε ως προς την συγκλιση την σειρα Λυση. Εχουµε N n= a n a n = = Οποτε n= = n= a n n= a n, οταν a <. N + a n ) + a n = a n a n a n n= N ) + a n ) ) a n + a n a n N ). a n a n n= n= n= N ) ) ) a n = a n a + a a a 3 a N a N = a a N

266 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΣΕΙΡΕΣ 6 και n= a n a n = lim N N n= a n = a lim a n = lim N N ) a a N a = N a = a a. sinπ/n)... Εξετασε ως προς την συγκλιση την σειρα n=. n Λυση. Εχουµε sin x x γιατι ;). Οποτε sin π/n) n = n sin π/n) π n και Αφου η σειρα sinπ/n) n= n sin π/n) n π n <. n= n= ειναι απολυτως συγκλινουσα, ειναι και συγκλινουσα.... Εξετασε ως προς την συγκλιση την σειρα n= n sin θ, οταν θ [, π/ ]. n Λυση. Εχουµε n sin θ = θ sin θ n = θ f n θ n n οπου f n = sin θ n n= sin x θ. Αλλα, αφου lim x n x n= n= sin =, ϑα εχουµε και lim n f n = lim θ n n λοιπον lim n f n >, ϑα ειναι και n= n sin θ = θ n n= f n =.... Εξετασε ως προς την συγκλιση την σειρα a n n= Λυση. Προσεξε οτι το αθροισµα αρχιζει απο n =. Εχουµε n= a n n!. n! = + a + a! +... = ea, οπως ειδαµε στο Κεφαλαιο Εξετασε ως προς την συγκλιση την σειρα a n n! n= οταν a >. n n Λυση. Χρησιµοποιωντας το κριτηριο του λογου εχουµε [ ] a n+ a n+ n + )! n n [ ) lim = lim n a n n n + ) n+ a n n! = lim n n ] a n n + a = lim n ) n n+ = lim a n ) n + = a e. n n θ =. Αφου n Οποτε, η σειρα συγκλινει οταν a < e και αποκλινει οταν a > e.

267 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΣΕΙΡΕΣ Υπολογισε το n=. n +5n+6 Λυση. Εχουµε n + 5n + 6 = A n + B A B) n + 3A B) =. n + 3 n + 5n + 6 Ευκολα ϐρισκουµε οτι A = B =, οποτε Τοτε n= n + 5n + 6 = n + n + 3. n + 5n + 6 = = Εστω ϑετικη ακολουθια f n ) n=. Οριζουµε την F x) οπως στο Θεωρηµα..8. Επισης οριζουµε s N = N n= f n, s = n= f n και το σφαλµα προσεγγισης n-στης ταξης r N = s s N. Αποδειξε οτι, αν η n= f n ειναι συγκλινουσα, τοτε n N : n+ F x) < r n < n F x). Λυση. Οριζουµε και τις Fx), F x) οπως στο Θεωρηµα..8. Χρησιµοποιωντας αυτες, ϐλεπουµε οτι για καθε n εχουµε m=n+ m+ m F x) < r n = f n+m < m= m=n m+ m F x) n+ F x) < r n < n F x)...6. Εστω s = n=, s n 4 N = N n=. Ποιο ειναι το σφαλµα προσεγγισης r n 4 του s απο το s ; Λυση. Απο την προηγουµενη ασκηση εχουµε = 3993 = x < r 4 < x = 4 3 = Εστω s = n=, s n N = N n=. Ποιας ταξης προσεγγιση N πρεπει να παρουµε ωστε n το σφαλµα προσεγγισης r N να ειναι µικροτερο του ; Λυση. Εχουµε r N < x = 4 3N. 3 Θελουµε > 3N N 3 > 3 3 N > 3 3 Οποτε χρειαζοµαστε προσεγγιση ταξεως τουλαχιστον N min = 4. N =

268 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΣΕΙΡΕΣ Εστω f n ) n= η λυση της f = 5, n : f n+ = f n. Υπολογισε το n= f n. Λυση. Θα µπορουσαµε να επιλυσουµε την εξισωση διαφορων και να αθροισουµε τα f n. Αλλα αυτο δεν ειναι απαραιτητο. Εχουµε f = 5 f = f f = f Αθροιζοντας τα αριστερα και δεξια µελη παιρνουµε f n = 5 + n= f n n=..9. Εστω f n ) n= η λυση της Υπολογισε το n= f n. Λυση. Παιρνοντας το οριο εχουµε Οποτε n= f n =. f n n=... f n = 5 n= f n = 5 n= f = 5, n : f n+ = f n + 3. lim f n+ = n lim f n + 3 n lim f n = 3 lim f n = 6. n n..3. Εστω f n ) n= η λυση της f =, f =, n : f n+ = 5 6 f n+ 6 f n. Υπολογισε το n= f n. Λυση. Εχουµε f = f = f = 5 6 f 6 f f 3 = 5 6 f 6 f f n =. n= f 4 = 5 6 f 3 6 f...

269 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΣΕΙΡΕΣ 63 Αθροιζοντας τα αριστερα και δεξια µελη παιρνουµε f n = f n f n 6 6 n= n= n= f n = + 5 f n f n 6 6 n= n= f n = 7 6 f n = 7. n=..3. Υπολογισε την σειρα n+ n= n!. Λυση. Ειναι n + = n! Οµως και Τελικα λοιπον n= n= n= n= n= n= n n! + n!. n= n! = n n! = e n n! = n= n= n= n=..3. Υπολογισε την σειρα n + n=. n! Λυση. Ειναι n + = n! Απο την προηγουµενη ασκηση εχουµε οποτε και n n! = n= = = n= n= n= n )! = n n! = e. n= n + = e. n! n= n n! + n!. n= n! = e n! = e n= n n )! = n= n= n n )! + n )! + n )! n= n n! + n n! = e. n= n= n )!

270 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΣΕΙΡΕΣ 64 Τελικα λοιπον.3 Αλυτα Προβληµατα n + = 4e n!.3.. Μελετησε τις παρακατω σειρες ως προς την συγκλιση n=. n n=. n n n 3 n=. n n n=. n 5 +n 3 n +n ln n n=. n 5 +n Μελετησε τις παρακατω σειρες ως προς την συγκλιση n= n= n= n. n5 + n n3 + ) n n. n +n+ n n+ n=. n 3 n= n ) n. 6. n= )n n+) lnn+). n= n + n + n n ). n= +n n= +n +n ). 9.. n= n= +n 3 ). n ln n. n Μελετησε τις παρακατω σειρες ως προς την συγκλιση ln ln 3 + ln 4 ln

271 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΣΕΙΡΕΣ sin π + sin π 4 + sin π sin π + sin π 4 + sin π sin θ + sin θ sin 3θ tan π 4 + tan π 8 + tan π Μελετησε τις παρακατω σειρες ως προς την συγκλιση ! 3! ! Μελετησε ως προς την συγκλιση την σειρα. f k = k 3, f k k = k 3. k.3.6. Μελετησε τις παρακατω σειρες ως προς την συγκλιση i n n=. n ni+) n n=. n n=. n3+i) n n= nn+i) n Υπολογισε τα παρακατω αθροισµατα.. n= 3 ) n. Απ n= n= n= n= ) n. Απ. 3 ) n. Απ nn+). Απ nn+)n+). Απ Υπολογισε τα παρακατω αθροισµατα.. n= 4 e ) n. Απ..

272 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΣΕΙΡΕΣ 66. n= n+ n+. Απ.. 3. n= n3/. Απ n n= n+)! n=. Απ.. n. Απ. 6 π Υπολογισε τα παρακατω αθροισµατα Εστω s = το s 5 ; n=, s n + N = N n= n +. Ποιο ειναι το σφαλµα προσεγγισης r 5 του s απο.3.. Εστω s = n=, s n +n+ N = N n=. Ποιας ταξης προσεγγιση N πρεπει να παρουµε n +n+ ωστε το σφαλµα προσεγγισης r N να ειναι µικροτερο του ;.3.. Εστω s = sin n n=, s n N = N sin n n=. Ποιας ταξης προσεγγιση N πρεπει να παρουµε n ωστε το σφαλµα προσεγγισης r N να ειναι µικροτερο του ;.3.3. Βρες τις τιµες του a για τις οποιες συγκλινει η ln n= a)n Υπολογισε την σειρα.3.5. Υπολογισε την σειρα.3.6. Υπολογισε την σειρα.3.7. Αποδειξε οτι n= 3n+4 n= n!. Απ. 7e 4. n +n+ n= n 3 n= n! a n n= n!. Απ. 5e.. Απ. 5e. b n < a n b n < Αποδειξε οτι, οταν για καθε n ισχυει a n, εχουµε n a n < n + a n <. n= n= n=.3.9. Αποδειξε οτι.3.. Αποδειξε οτι.3.. Αποδειξε οτι.3.. Αποδειξε οτι n= = π. n 6 ) n+ n= n = ln. ) n+ n= = π. n sinn) n= = π. n.3.3. Αποδειξε οτι n= = ln. n n.3.4. Αποδειξε οτι n n= =. n.3.5. Αποδειξε οτι n= n! = 5 n n= 5 n n!.

273 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΣΕΙΡΕΣ 67.4 Προχωρηµενα Αλυτα Προβληµατα.4.. Αποδειξε οτι : αν f n ) n= και g n) n= τετοιες ωστε n= f n = f R και n= g n = g R, τοτε για καθε c, c R εχουµε c f n + c g n ) = c f + c g..4.. Αποδειξε οτι : αν οι f n ) n= και g n) n= ειναι τετοιες ωστε τοτε n= n N : f n g n g n < n= f n = n=.4.3. Αποδειξε το Κριτηριο της Ριζας. f n <, n= g n = Αποδειξε οτι : αν η ακολουθια f n ) n= ειναι µη αρνητικη και ϕθινουσα και lim n f n =, τοτε η ) n f n = f f + f 3 f συγκλινει. n=.4.5. Αποδειξε οτι : για καθε f n ) n=, g n) n= και καθε m, n N ισχυει : n a k b k+ b k ) + k=m n= n b k+ a k+ a k ) = a n+ b n+ a m b m. k=m Ποιον ολοκληρωτικο τυπο σου ϑυµιζει αυτο ;.4.6. Υπολογισε το αθροισµα n+3 n=. n +3n+).4.7. Υπολογισε το αθροισµα n=. n Υπολογισε το αθροισµα.4.9. Υπολογισε το αθροισµα Απ. π n n= +x n για καθε x, )..4.. Υπολογισε το απειρογινοµενο lim n n n )..4.. Υπολογισε το οριο lim n p + p +...+n p n p+ για διαφορες τιµες του p..4.. Εξετασε την συγκλιση της n ) n= n). n+

274 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΣΕΙΡΕΣ Εξετασε την συγκλιση της n= n sin ). n.4.4. Εξετασε την συγκλιση της n= sin ) π n Εξετασε την συγκλιση της n= sin n θ) για διαφορες τιµες του θ ινεται ακολουθια f n ) n= µε µη αρνητικους ορους. Αποδειξε οτι : f n < n= n + n f n < ινεται ακολουθια f n ) n= µε µη αρνητικους ορους. Αποδειξε οτι : f n < n= n= fn f n+ < Βρες ακολουθιες f n ) n= και g n) n= τετοιες ωστε και f n =, n= n= f f f 3..., g g g 3..., g n =, ή αποδειξε οτι δεν µπορουν να υπαρχουν τετοιες ακολουθιες. n= min f n, g n ) <.4.9. Αν η f n ) n= ικανοποιει : α) lim n f n = και ϐ) η ακολουθια των µερικων αθροισµατων s n ) n= ειναι ϕραγµενη, τοτε η n= f n συγκλινει. Σωστο ή λαθος ; ωσε παραδειγµα..4.. Αν η ϑετικη f n ) n= ικανοποιει : lim n nf n =, τοτε η n= f n συγκλινει. Σωστο ή λαθος ; ωσε παραδειγµα..4.. Αν η ϑετικη f n ) n= ικανοποιει : n= f n <, τοτε lim n nf n =. Σωστο ή λαθος ; ωσε παραδειγµα..4.. Αν η f n ) n= ειναι ϕθινουσα και η n= f n συγκλινει, τοτε lim n nf n =. Σωστο ή λαθος ; ωσε παραδειγµα Αν οι ϑετικες f n ) n=, g n) n= ικανοποιουν : n= f n < και n= g n < τοτε n= f ng n <. Σωστο ή λαθος ; ωσε παραδειγµα Γενικευσε το παραπανω για ακολουθιες οι οποιες εχουν και αρνητικους ορους Αν οι ϑετικες f n ) n=, g n) n= ικανοποιουν : n= f n = και n= g n = τοτε n= f ng n =. Σωστο ή λαθος ; ωσε παραδειγµα Εστω οι f n ) n=, g n) n= τετοιες ωστε n= n : g n = f n + f n. Αν η n= g n συγκλινει, το ιδιο ϑα ισχυει για την n= f n. Σωστο ή λαθος ; ωσε παραδειγµα.

275 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΣΕΙΡΕΣ ινεται ακολουθια f n ) n= µε µη αρνητικους ορους. Αν n= f n < τοτε και. Σωστο ή λαθος ; ωσε παραδειγµα. n= fn < n.4.8. Αν η σειρα n= f n ειναι εναλασσουσα και lim n f n =, τοτε η n= f n συγκλινει. Σωστο ή λαθος ; ωσε παραδειγµα Αν η σειρα n= f n ειναι εναλασσουσα και η f n ) n= ειναι ϕθινουσα, τοτε η συγκλινει. Σωστο ή λαθος ; ωσε παραδειγµα Αν η σειρα n= f g n συγκλινει και lim n n f n λαθος ; ωσε παραδειγµα. n= f n =, τοτε η n= g n συγκλινει. Σωστο ή.4.3. ινεται γνησιως ϕθινουσα ακολουθια f n ) n= µε µη αρνητικους ορους. Αποδειξε οτι : αν n= f n < τοτε και lim n nf n = Για ποιες τιµες του θ συγκλινει η σειρα n= sin nθ); Αποδειξε οτι sin x x = + x ) x ) + x ) x ).... π π π π Βρες µια n= f n της οποιας η συγκλιση µπορει να αποδεχιθει µε το κριτηριο ϱιζας αλλα οχι µε το κριτηριο λογου Εστω ακολουθιες f n ) n=, g n) n= µε ϑετικους ορους και τετοιες ωστε Αποδειξε οτι Ποτε ισχυει η ισοτητα ; f + f +... <, g + g +... <. f g + f g +... ) ) f + f +... g + g Εστω p, q [, ] τετοια ωστε + =. Εστω επισης ακολουθιες f p q n) n=, g n) n= µε ϑετικους ορους και τετοιες ωστε + f p +... <, gq + gq +... <. f p Αποδειξε οτι f g + f g +... f p + f p + )... /p g q + gq + )... /q. Ποτε ισχυει η ισοτητα ; Εστω p [, ]. Εστω επισης ακολυθιες f n ) n=, g n) n= µε ϑετικους ορους και τετοιες εστε f p + f p +... <, gp + gp +... <. Αποδειξε οτι Ποτε ισχυει η ισοτητα ; f + g ) p + f + g ) p +... f p + f p +... ) /p + g p + gp +... ) /p.

276 ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΣΕΙΡΕΣ ινεται µη αρνητικη ακολουθια f n ) n= και οριζουµε την g n) n= µε g n = ) n f n. Αποδειξε οτι : αν η n= f n συγκλινει και η n= g n δεν συγκλινει, τοτε µπορουµε να αναδιαταξουµε τους ορους της g n ) n= ετσι ωστε το αθροισµα των να ισουται µε οποιοδηποτε αριθµο c R Ας ϑεωρησουµε καθε ακολουθια f = f, f,...) ως ενα διανυσµα µε µετρο Αποδειξε οτι το συνολο των ακολουθιων f = f n n= / F = {f : f < } ειναι ενας διανυσµατικος χωρος. Τι διανυσµατικες ιδιοτητες µπορεις να αποδειξεις για τον F και τα στοιχεια του ;.4.4. Επαναλαβε το προηγουµενο οταν το µετρο οριζεται ως για τυχον p, ]. f p = f n p n=. /p

277 Κεφάλαιο 3 υναµοσειρες Μια δυναµοσειρα ειναι ενα πολυωνυµο απειρης ταξης. Καθε συναρτηση f x) που εχει ϕραγµενες παραγωγους ολων των ταξεων µπορει να γραφτει σαν δυναµοσειρα σειρα Taylor και σειρα McLaurin). Επιπλεον, αν κρατησουµε τους ορους µιας τετοιας σειρας µεχρι την N-στη δυνα- µη, τοτε παιρνουµε µια προσεγγιση της f x) απο ενα πολυωνυµο f N x) πεπερασµενης ταξης N. Οι τιµες του πολυωνυµου µπορουν να υπολογιστουν χρησιµοποιωντας µονο «απλες» αριθµητικες πραξεις προσθεση και πολλαπλασιασµο) ετσι µπορουµε να προσεγγισουµε την τιµη µιας υπερβατικης συναρτηση π.χ. του e x ) µονο µε προσθεσεις και πολλαπλασιασµους. 3. Θεωρια και Παραδειγµατα 3... Ορισµος: υναµοσειρα ειναι µια συναρτηση της µορφης f n x x ) n 3.) n= οπου η f n ) n= ειναι µια αριθµητικη ακολουθια Παραδειγµα: υο δυναµοσειρες ειναι οι n! x n = + x + x + x n= n= n + x )n = + x ) + 3 x ) Παρατηρηση: Ο Ορισµος 3.. ειναι «ϕορµαλιστικος». ηλ. γραφουµε την σειρα 3.) χωρις να εξετασουµε αν αυτη συγκλινει ή οχι. Εστω οτι υπαρχει ενα συνολο A τιµων του x το συνολο συγκλισης) για τις οποιες η 3.) συγκλινει σε πραγµατικο αριθµο. Αυτος γενικα ϑα εξαρταται απο το x. Ετσι οριζεται µια συναρτηση f : A R: x A : f x) = f n x n. n= Γεννιεται τωρα το ερωτηµα : για µια συγκεκριµενη f n ) n= ποιο ειναι το συνολο συγκλισης A; 7

278 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ Θεωρηµα: Καθε δυναµοσειρα n= f n x x ) n εχει µια ακτινα συγκλισης R > τετοια ωστε x x < R η δυναµοσειρα συγκλινει απολυτως, x x > R η δυναµοσειρα δεν συγκλινει Παρατηρηση: Παρατηρειστε οτι το Θεωρηµα 3..4 δεν λεει τι συµβαινει οταν x x = R. Αυτο ϑα πρεπει να το εξακριβωνουµε κατα περιπτωση Παραδειγµα: Εστω Εχουµε δει στο Κεφαλαιο οτι και x n = + x + x n= x, ) : x n = x n= x, ] [, ) : η + x + x +... = x n δεν συγκλινει. Αρα οταν f n ) n= =,,,...) η n= f nx n εχει ακτινα συγκλισης R = και διαστηµα συγκλισης το, ). Μπορουµε να γραψουµε οπου f x) = x Παραδειγµα: Εστω n= x, ) : f x) = n= x n. n= x n+ n + ) = x + x + x Για να ϐρουµε την ακτινα συγκλισης της σειρας χρησιµοποιουµε το Κριτηριο του Λογου. Εχουµε xn+ n+) lim n + ) n = lim x = x. xn+ n n + ) n+) Βλεπουµε οτι η x n+ x < η n + ) συγκλινει, x > η n= n= x n+ n + ) αποκλινει.

279 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ 73 Αρα η ακτινα συγκλισης ειναι R =. Ποιο ειναι το διαστηµα συγκλισης ; Σιγουρα περιεχει το, ). Επισης, οταν x = η σειρα γινεται n + ) = n= που ξερουµε οτι συγκλινει. Παροµοια, οταν x = η σειρα γινεται ) n+ n + ) = + ) 3... n= που ξερουµε οτι συγκλινει. Αρα τελικα το διαστηµα συγκλισης ειναι [, ].Μπορουµε να γραψουµε x n+ x [, ] : g x) = n + ) Θεωρηµα : Αν η δυναµοσειρα f x) = n= f n x x ) n εχει ακτινα συγκλισης R τοτε, για καθε x x R, x + R), ισχυουν τα εξης :. η f x) ειναι συνεχης,. df = n= f n n x x ) n, 3. f x) = n= f n x x ) n+ n+, b 4. f x) = n= f n b x x ) n. a a n= Παρατηρηση: Τα µερη, 3 και 4 του Θεωρηµατος 3..8 λενε οτι στο εσωτερικο του διαστηµατος συγκλισης µπορω να παραγωγισω και να ολοκληρωσω την δυναµοσειρα ορο-προςορο Θεωρηµα : Εστω οτι Τοτε x x R, x + R) : f n x x ) n = n= n : f n = g n. g n x x ) n Πορισµα: Μια συναρτηση f x) εχει το πολυ µια αναπαρασταση ως δυναµοσειρα στο διαστηµα R, R). n=

280 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ Παραδειγµα: Ειδαµε οτι Τοτε εχουµε x, ) : x n = x. n= ) d x, ) : = x x) = nx n, n= x, ) : x = ln x = x n+ n Θεωρηµα Σειρα MacLaurin): Αν µια συναρτηση f x) µπορει να αναπτυχθει σε δυναµοσειρα του x µε ακτινα συγκλισης R >, τοτε αυτη εχει την µορφη f x) = n= f n) ) x n. 3.) n! n= Αποδειξη: Ας υποθεσουµε οτι η f x) µπορει να αναπτυχθει σε δυναµοσειρα. Τοτε η f x) και οι παραγωγοι αυτης ϑα δινονται απο τις σχεσεις f x) = f + f x + f x + f 3 x ) f x) = f + f x + 3f 3 x +... f x) = f + 3 f 3 x +... f x) = 3 f Ολες οι παραπανω ϑα ισχυουν στο R, R). Οποτε µπορουµε να ϑεσουµε x = και να παρουµε f ) =!f f ) =!f f ) =!f f ) = 3!f 3... Λυνοντας τις παραπανω παιρνουµε f = f )!, f = f ), f = f ), f 3 = f ),...!! 3! και αντικαθιστωντας στην 3.3) παιρνουµε f x) = f )! + f )! x + f ) x +... =! n= f n) ) x n. n!

281 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ Παραδειγµα: Εστω f x) = e x. Τοτε οποτε f x) = e x f ) = f x) = e x f ) = f x) = e x f ) = κ.τ.λ. e x = f x) = f ) + f )! x + f ) x + f ) x = +! 3!! x +! x + 3! x δηλ. παιρνουµε τον τυπο του Κεφαλαιου 3 για το e x. Για να ισχυει ο τυπος πρεπει να συγκλινει η σειρα αυτο το ελεγχουµε µε το Κριτηριο του Λογου. Εχουµε lim x n+ / n + )! n x n /n! < lim x n n + <. x Αλλα lim n = για καθε x, ). ηλ. η σειρα συγκλινει στο, ) ή µε αλλα n+ λογια η ακτινα συγκλισης ειναι R = Παραδειγµα: Εστω f x) = cos x. Τοτε οποτε f x) = cos x f ) = f x) = sin x f ) = f x) = cos x f ) = f 3) x) = sin x f ) = f 4) x) = cos x f ) = κ.τ.λ. f x) = f ) + f )! x + f ) x + f ) x ! 3! = +! x +! x + 3! x 3 + 4! x = x! + x 4 4! +... δηλ. παιρνουµε τον τυπο του Κεφαλαιου 4 για το cos x. Για να ισχυει ο τυπος πρεπει να συγκλινει η σειρα αυτο το ελεγχουµε µε το Κριτηριο του Λογου. Εχουµε lim x n+) / n + )! n x n / n)! < lim x n n + ) n + ) <. Αλλα lim n x n+)n+) = για καθε x, ). ηλ. η σειρα συγκλινει στο, ) ή µε αλλα λογια η ακτινα συγκλισης ειναι R =.

282 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ Παρατηρηση : ινονται παρακατω µερικες αξιοσηµειωτες σειρες MacLaurin τις οποιες καλο ϑα ειναι να αποµνηµονευσεις). x, ) : x = + x + x + x x, ) : e x = + x + x! + x 3 3! +... x, ) : cos x = x! + x 4 4! +... x, ) : sin x = x x 3 3! + x 5 5! +... x, ) : ln + x) = x x + 3 x 3 4 x x, ) : + x = + x 8 x + 6 x x x, ) : + x) p p p ) = + px + x p p ) p ) + x 3 p p ) p ) p 3) + x ! 3! 4! Θεωρηµα Σειρα Taylor): Αν µια συναρτηση f x) µπορει να αναπτυχθει σε δυναµοσειρα του x x µε ακτινα συγκλισης R >, τοτε αυτη η εχει την µορφη f x) = f n) x ) x x ) n. 3.4) n! Αποδειξη: Η αποδειξη ειναι παροµοια µε αυτη του Θεωρηµατος 3... n= Παρατηρηση: Ενα σηµαντικο αλλα οχι το µοναδικο) κινητρο για την χρηση δυναµοσειρων και ιδιαιτερως σειρων Taylor) ειναι η υπολογιστικη ευκολια. Μπορουµε να ϑεωρησουµε µια δυναµοσειρα ως ενα πολυωνυµο απειρης ταξης. Σε αντιθεση µε την εκθετικη, λογαριθµικη και αλλες υπερβατικες συναρτησεις, οι τιµες ενος πολυωνυµου µπορουν να υπολογιστουν µε απλες αριθµητικες πραξεισπροσθεση, πολλαπλασιασµο). Θεωρησε την εκθετικη συναρτηση e x = + x + x! + x ) 3! Για να υπολογισουµε µια συγκεκριµενη τιµη e x ακριβως πρεπει να υπολογισουµε το απειρο αθροισµα της 3.5). Φυσικα αυτο ειναι αδυνατο. Αλλα µπορουµε να προσεγγισουµε την τιµη e x χρησιµοποιωντας ενα πεπερασµενο αριθµο ορων της 3.5). Στον παρακατω πινακα δινουµε τις τιµες των f x) = e x, f ) x) =, f ) x) = + x, f ) x) = + x + x, για τις τιµες x =,.,.5,.. x...5. f ) x) =.... f ) x) = + x...5. f ) x) = + x + x f x) = e x Παρατηρουµε οτι οσο υψηλοτερης ταξης προσεγγισης N παιρνουµε, τοσο µικροτερη γινεται η διαφορα µεταξυ της f x) και της f N) x). Απο την αλλη πλευρα, οσο µεγαλυτερο γινεται το x,

283 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ 77 τοσο µεγαλυτερη γινεται η διαφορα. Παροµοια πραγµατα µπορουµε να δουµε στο Σχηµα, 3. οπου δινονται οι γραφικες παραστασεις των f x), f ) x), f ) x), f ) x). Σχήµα 3.: Προσεγγιση της e x µε σειρα MacLaurin Παρατηρηση: Βλεπουµε λοιπον οτι οσο µεγαλυτερης ταξης προσεγγιση χρησιµοποιουµε, τοσο πλησιεστερα ϐρισκεται η αντιστοιχη καµπυλη σε αυτη της f x), αλλα επισης οτι οι καµπυλες αποκλινουν οσο µεγαλωνει η τιµη του x. Τα εποµενα ϑεωρηµατα διατυπωνουν αυτη την παρατηρηση µε ακριβεια Θεωρηµα : Αν η συναρτηση f x) εχει παραγωγους ολων των ταξεων στο διαστηµα R, R) τοτε N f n) ) x R, R), n : f x) = x n n! + f N+) ξ) N + )! x N+ οπου ξ R, R). Οµοιως, αν η συναρτηση f x) εχει παραγωγους ολων των ταξεων στο διαστηµα x R, x + R), τοτε N f n) x ) x x R, x + R), n : f x) = x x ) n n! + f N+) ξ) N + )! x x ) N+ n= n= οπου ξ R, R) Θεωρηµα : Εστω οτι η συναρτηση f x) εχει παραγωγους ολων των ταξεων στο διαστηµα R, R) και υπαρχει αριθµος M τετοιος ωστε x R, R), n : f n) x) < M n. Τοτε x R, R) : f x) = n= f n) ) x n. n!

284 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ 78 Οµοιως, εστω οτι η f x) εχει παραγωγους ολων των ταξεων στο διαστηµα x R, x + R) και υπαρχει M τετοιος ωστε Τοτε x x R, x + R), n : f n) x) < M n. x x R, x + R) : f x) = f n) x x ) x x ) n. n! 3... Παρατηρηση: Προσεξε οτι τα Θεωρηµατα 3..3, 3..7 λενε : εαν η f x) εχει σειρα MacLaurin αντ. Taylor) τοτε αυτη η σειρα δινεται απο την 3.) αντ. 3.4) ). Ενω το Θεωρηµα 3.. δινει ικανες συνθηκες για να εχει η f x) σειρα MacLaurin ή Taylor Ασκηση: Μεχρι ποιας ταξης οροι απαιτουνται στην σειρα McLaurin της f x) = για x να ϐρουµε την τιµη f.6) µε σφαλµα µικροτερο απο.; Λυση. Το σφαλµα ϑα ειναι µικροτερο κατ απολυτο τιµη απο τον πρωτο ορο που παραλειπεται γιατι ;). ηλ. ϑα πρεπει να εχουµε Πραγµατι, και n= ln.6) n. <. n > = n 4. ln.6.6 =.5, 5 n=.6) n = ) n = = 8 4 <.. n= Ασκηση : Μεχρι ποιας ταξης οροι απαιτουνται στην σειρα McLaurin της f x) = cos x για να ϐρουµε την τιµη f ) µε σφαλµα µικροτερο απο.; Λυση. Το σφαλµα ϑα ειναι µικροτερο κατ απολυτο τιµη απο τον πρωτο ορο που παραλειπεται. ηλ. ϑα πρεπει να εχουµε <. n! >. n! Επειδη 6! = 7, 7! = 54, πρεπει να παρουµε ορους µεχρι και 6ης ταξης. Πραγµατι και cos =.543, =.548 cos + 4 ) = = 5 < Παρατηρηση: Τα παρακατω παραδειγµατα δινουν διαφορους τροπους για την αναπτυξη µιας συναρτησης σε δυναµοσειρα.

285 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ Ασκηση: Υπολογισε την σειρα Taylor της f x) = γυρω απο το x +x) 3 =. Λυση. Εχουµε οποτε f x) = + x) f ) = 3 f 3 x) = + x) f ) = 3 4 f x) = + x) f ) = 5 κ.τ.λ. + x) 3 = 3x + 6x x 3 + 5x Ασκηση: Υπολογισε την σειρα Taylor της f x) = e x γυρω απο το x =. Λυση. Αντι να χρησιµοποιησουµε το ορισµο της σειρας Taylor, ο οποιος απαιτει πολλες παραγωγισεις, δουλευουµε ως εξης : παιρνουµε την γνωστη) σειρα της e z και οπου z ϑετουµε z = x. ηλ. εχουµε e z = + z +! z + 3! z e x = + x +! x 4 + 3! x Ασκηση: Υπολογισε την σειρα Taylor της f x) = γυρω απο το x x =. Λυση. ουλευοντας παροµοια µε την προηγουµενη, εχουµε z = + z + z + z x = + x + x 4 + x Ασκηση: Υπολογισε την σειρα Taylor της f x) = γυρω απο το x +x =. Λυση. ουλευοντας παροµοια µε την προηγουµενη, εχουµε z = + z + z + z x) = + x) + x) + x) = x + +x x Ασκηση: Υπολογισε την σειρα Taylor της f x) = γυρω απο το x 4 x =. Λυση. ουλευοντας παροµοια µε την προηγουµενη, εχουµε z = + z + z + z x = = + x4 4 x 4 + x 6 + x ) x = + + x x

286 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ Ασκηση: Υπολογισε την σειρα Taylor της f x) = +x γυρω απο το x x =. Λυση. ουλευουµε ως εξης. Γνωριζουµε οτι Οποτε x = + x + x x x = + x) ) + x + x +... = ) ) + x + x x + x + x +... = ) ) + x + x x + x + x = + x + x + x Ασκηση: Υπολογισε την σειρα Taylor της f x) = +x γυρω απο το x x 3 =. Λυση. ουλευουµε ως εξης : + x x = + x ) ) + x 3 + x = + x 3 + x ) ) + x + x 3 + x = ) ) + x 3 + x x + x 5 + x = + x + x + x 3 + x 5 + x 6 + x 8 + x Ασκηση: Υπολογισε την σειρα Taylor της f x) = e x sin x γυρω απο το x =. Λυση. Εδω εχουµε Τοτε ϑα ισχυει και e x = + x + x! + x 3 sin x = x x 3 3! + x 5 5! ! +... e x sin x = + x + x! + x ) 3 3! +... x x 3 3! + x ) 5 5! Τωρα ϑελουµε να εκτελεσουµε τον πολλαπλασιασµο δυο πολυωνυµων απειρης ταξης. µπορει να γινει µε την ϐοηθεια του παρακατω πινακα x x x x x x x3 x3 x4 x5 x6 x x 3 x 4 x 4 x 5 Αυτο

287 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ 8 Τωρα, προσθετοντας στα στοιχεια κατα µηκος των αντιδιαγωνιων παιρνουµε οροι ης ταξης : οροι ης ταξης : + x = x οροι ης ταξης : + x + = x οροι 3ης ταξης : + x 3 + x 3 6 = x 3 3 οροι 4ης ταξης : + x x 4 6 = Οποτε ϐλεπουµε οτι οι οροι µεχρι και 3ης ταξης ειναι e x sin x = x + x + 3 x Ασκηση: Υπολογισε την σειρα Taylor της f x) = sin x γυρω απο το x x+ =. Λυση. Παροµοια µε την προηγουµενη εχουµε και Ο αντιστοιχος πινακας ειναι sin x = x x 3 3! + x 5 5! +... x + = x + x x sin x x x + = x 3 3! + x ) 5 5! x + x! + x ) 3 3! x x x x x x x 6... x x 3 x x 3 x 4 x 6... x 4 x 5 x Τωρα, προσθετοντας στα στοιχεια κατα µηκος των αντιδιαγωνιων παιρνουµε οροι ης ταξης : οροι ης ταξης : x + = x οροι ης ταξης : x + = x οροι 3ης ταξης : x x 3 + = 5x 3 6 οροι 4ης ταξης : + x x 4 + = 5x 4 6 Οποτε ϐλεπουµε οτι οι οροι µεχρι και 3ης ταξης ειναι sin x x + = x x x x

288 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ Ασκηση: Υπολογισε την σειρα Taylor της f x) = γυρω απο το x x ) =. Λυση. Παρατηρουµε οτι ) = x x ). Οποτε ) x ) = = ) + x + x +... = + x + 3x x +x Ασκηση: Υπολογισε την σειρα Taylor της f x) = ln γυρω απο το x x =. Λυση. Παρατηρουµε οτι + x x ln x = dt t. Οποτε + x ln x = = x + x 3 x = ) + x + x x Ασκηση: Υπολογισε την σειρα Taylor της f x) = x + x + γυρω απο το x =. Λυση. ουλευοντας µε τον ορισµο εχουµε οποτε παιρνουµε f x) = x + x + f ) = f x) = x + f ) = f x) = f ) = f n) x) = f n) ) = για καθε n 3 f x) = + x +! x = + x + x δηλ. την αρχικη συναρτηση. Αυτο δεν ειναι απροσδοκητο : η αρχικη συναρτηση ηταν ηδη πολυωνυµο και αρα η σειρα Taylor δεν ϑα εισαγει πολυωνυµικους ορους ανωτερης ταξης απο αυτους που ηδη υπαρχουν οι δε συντελεστες ϑα ειναι ιδιοι µε τους αρχικους Ασκηση: Υπολογισε την σειρα Taylor της f x) = x + x + γυρω απο το x =. Λυση. ουλευοντας µε τον ορισµο εχουµε f x) = x + x + f ) = 9 f x) = x + f ) = 6 f x) = f ) = f n) x) = f n) ) = για καθε n 3 οποτε παιρνουµε f x) = x ) +! x ).

289 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ 83 Αν κανεις τις πραξεις ϑα δεις οτι οντως x ) + x ) = x + x + Η σειρα γυρω απο το x = ειναι και παλι πολυωνυµο ης ταξης οπως η αρχικη συναρτηση) αλλα εκφρασµενη σε δυναµεις του x ), οχι του x! 3. Λυµενα Προβληµατα 3... Βρες την ακτινα συγκλισης της x n n=. n cos x = x! + x 4 4!.... Λυση. Με το κριτηριο λογου lim x n+ / n + ) n x n /n = lim n n n + x = x. Αρα η σειρα συγκλινει για x < και δεν συγκλινει για x >. Η ακτινα συγκλισης ειναι R = Βρες την ακτινα συγκλισης της n= n!x n. Λυση. Με το κριτηριο λογου lim n + )!x n+ { οταν x = n n!x n = lim n + ) x = n οταν x. Αρα η σειρα συγκλινει για x = και δεν συγκλινει για x. Η ακτινα συγκλισης ειναι R = Βρες την ακτινα συγκλισης της n= n)! x n. Λυση. Με το κριτηριο λογου n+)!) lim n+)! x n+ n n!) = lim n + ) n n + ) n + ) x = x 4. Αρα η σειρα συγκλινει για x 4 n!) x n n!) < και δεν συγκλινει για x ειξε αριθµητικα και µε γραφικη παρασταση την προσεγγιση της cos x = x! + x 4 4 4!.... Λυση. Θα χρησιµοποιησουµε προσεγγιση ης, ης και 4ης ταξης. Οριζουµε f ) x) = f ) x) = x f 4) x) = x + x 4 4 >. Η ακτινα συγκλισης ειναι R = 4.

290 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ 84 Η αριθµητικη προσεγγιση ϕαινεται στον παρακατω πινακα, για τις τιµες x =,.,.5,.. x...5. f ) x) =.... f ) x) = x f 4) x) = x + x f x) = cos x Η γραφικη παρασταση δινεται στο Σχηµα 3.. Σχήµα 3.: Προσεγγιση της cos x µε σειρα MacLaurin Μεχρι ποιας ταξης οροι απαιτουνται στην σειρα McLaurin της f x) = για να ϐρουµε +x την τιµη f.5) µε σφαλµα µικροτερο απο.; Λυση. Το σφαλµα ϑα ειναι µικροτερο κατ απολυτο τιµη απο τον πρωτο ορο που παραλειπεται γιατι ;). ηλ. ϑα πρεπει να εχουµε Πραγµατι ln.5) n. <. n > = n. ln.5 και +.5) =.8,.5) +.5) 4.5) 8 +.5) = ).5) +.5) 4.5) 8 +.5) ) =.8.89 < Υπολογισε την τιµη του µε ακριβεια δυο δεκαδικων. e Λυση. Εχουµε e = e = + ) + ) + ) = +! 3!! 3! + 4!....

291 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ 85 Αρκει να ϐρουµε το µικροτερο n τετοιο ωστε n! Αρα ϑα λαβουµε <.. Εχουµε 4! = 4 = 4. 66, 5! = = e +! 3! + 4! 5! =.366. / Υπολογισε την τιµη του µε ακριβεια δυο δεκαδικων. +x 3 Λυση. Εχουµε + x = x 3 + x 6 x Οποτε / + x = 3 / Αρκει να ϐρουµε το µικροτερο n τετοιο ωστε Αρα ϑα λαβουµε / ) x 3 + x 6 x = 4 + n n <.. Εχουµε 4 = , 7 = x 3 ) ) 7 ) 4 7 = ) Υπολογισε την σειρα Taylor της f x) = γυρω απο το x +x) =. Λυση. Εχουµε f x) = + x) f ) = f x) = + x) f ) = 3 f 6 x) = + x) f ) = 6 4 κ.τ.λ. οποτε + x) = x + 3x 4x 3 + 5x 4 6x ) +....

292 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ Υπολογισε την σειρα Taylor της f x) = + x γυρω απο το x =. Λυση. Εχουµε οποτε f x) = + x) / f ) = f x) = + x) / f ) = f x) = 4 + x) 3/ f ) = 4 f x) = x) 5/ f ) = 3 8 κ.τ.λ. + x = + x 8 x + 6 x Υπολογισε την σειρα Taylor της f x) = cos x ) γυρω απο το x =. Λυση. Παιρνουµε την γνωστη) σειρα της cos z και οπου z ϑετουµε z = x. Εχουµε cos z =! z + 4! z cos x ) = x 4 + x Υπολογισε την σειρα Taylor της f x) = γυρω απο το x +x =. Λυση. ουλευοντας παροµοια µε την προηγουµενη, εχουµε + z = z + z z x = x + x 4 x Υπολογισε την σειρα Taylor της f x) = γυρω απο το x 3+x =. Λυση. Παροµοια µε την προηγουµενη, εχουµε + z = z + z z x = = x3 3 + x 3 + x 9 x ) x9 x = Υπολογισε την σειρα Taylor της f x) = x γυρω απο το x +x =. Λυση. ουλευουµε ως εξης. Γνωριζουµε οτι + x = x + x Οποτε x + x = x) ) x + x +... = ) ) x + x +... x x + x +... = x + x x 3 + x 4 x

293 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ Υπολογισε την σειρα Taylor της f x) = e x ln + x) γυρω απο το x =. Λυση. Εδω εχουµε e x = + x + x! + x 3 3! +... ln + x) = x x + 3 x 3 4 x x Τοτε ϑα ισχυει και e x ln + x) = + x + x! + x ) 3 3! +... x x + 3 x 3 4 x 4 + ) 5 x Ο πινακας του πολλαπλασιασµου ειναι x x x x x x3 x 4 x 5 6 x x x3 x4 x5 4 x6 x 3 x 3 x 4 x 5 x 6 x x4 x4 x5 x6 x x Τωρα, προσθετοντας στα στοιχεια κατα µηκος των αντιδιαγωνιων παιρνουµε οροι ης ταξης : οροι ης ταξης : + x = x οροι ης ταξης : + x x = x οροι 3ης ταξης : + x 3 x 3 + x 3 3 = x 3 3 οροι 4ης ταξης : + x 4 6 x x 4 3 x 4 Οποτε ϐλεπουµε οτι οι οροι µεχρι και 3ης ταξης ειναι e x ln + x) = x + x x 3 x x = 4x Υπολογισε την σειρα Taylor της f x) = γυρω απο το x +x 3x =. Λυση. Εχουµε 4x + x 3x = 4x x) + 3x). Με διασπαση σε απλα κλασµατα παιρνουµε 4x x) + 3x) = x + 3x = ) ) + x + x + x x + 9x 7x = 4x 8x + 8x Η ακτινα συγκλισης της σειρας ειναι R = γιατι ;). 3

294 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ Υπολογισε την σειρα Taylor της f x) = γυρω απο το x x+) =. Λυση. Παρατηρουµε οτι x + ) = ) x + ) =. x + x + Οποτε ) x ) = = ) x + x x = x + 3x x Υπολογισε την σειρα Taylor της f x) = arctan x γυρω απο το x =. Λυση. Παρατηρουµε οτι arctan x) = + x arctan x = + x Οποτε arctan x = Υπολογισε το αθροισµα + x = ) x + x 4... = x x x f x) = x x x Λυση. Παρατηρουµε οτι x f x) = x x ) 4 ) x ) x 3 ) x = = x x x 3... = ln + x). 3 Οποτε f x) = ln + x) = + x) ln + x) x Υπολογισε την σειρα Taylor της f x) = x + x + 5 γυρω απο το x =. Λυση. ουλευοντας µε τον ορισµο εχουµε f x) = x + x + 5 f ) = 5 f x) = 4x + f ) = f x) = 4 f ) = 4 f n) x) = f n) ) = για καθε n 3. οποτε παιρνουµε f x) = 5 + x + 4! x = 5 + x + x Υπολογισε την σειρα Taylor της f x) = x + x + 5 γυρω απο το x =. Λυση. ουλευοντας µε τον ορισµο εχουµε f x) = x + x + 5 f ) = 8 f x) = 4x + f ) = 5 f x) = 4 f ) = 4 f n) x) = f n) ) = για καθε n 3.

295 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ 89 οποτε παιρνουµε Αν κανεις τις πραξεις ϑα δεις οτι οντως f x) = x ) + 4! x ) x ) + 4! x ) = x + x + 5. Η σειρα γυρω απο το x = ειναι και παλι πολυωνυµο ης ταξης οπως η αρχικη συναρτηση) αλλα εκφρασµενη σε δυναµεις του x ) Υπολογισε την σειρα Taylor της f x) = cos x γυρω απο το x = π. Λυση. Εχουµε π ) cos x = sin x = sin x π ) = x π ) x π + 3! ) 3 x π 5! ) Υπολογισε την σειρα Taylor της f x) = x γυρω απο το x =. Λυση. Εχουµε x = + x ) = + x = + x x ) +...) = + x ) x ) Υπολογισε την σειρα Λυση. Εχουµε arctan x = arctan = n= Υπολογισε την σειρα Λυση. Εχουµε e x = + n= π ) n n + = ) n x n n + = x x x 5 5 x ) n n n + = n= n= 4 = n n= n+)!. x n n! ex = n= x n n! ex x = n= x n n! = n= x n n + )!.

296 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ 9 ) Οποτε εχουµε και D e x x = x ) ex x n = x n + )! n= xe x e x + nx n = x n + )! e e + = 3.3 Αλυτα Προβληµατα n= n n n + )! = n= n= Βρες το διαστηµα συγκλισης των παρακατω δυναµοσειρων.. n= nx n. Απ., ).. n= x n / n 3 + ). Απ. [, ]. 3. n= x/n)n. Απ., ). 4. n= ln n) x n /n. Απ. [, ]. 5. n= )n+ x n /n. Απ., ]. 6. n= x n /nn + ). Απ. [, ]. 7. n= nx)n /n!. Απ. [ e, e). 8. n= n!x n. Απ. [, ]. 9.. x n n= n+ x + x +. Απ. [, ) xn n+ n Απ., ) Βρες το διαστηµα συγκλισης των παρακατω σειρων.. sin x + sin x sin x n Απ., ). n n + )!.. sin x + sin x sin nx Απ., ). n 3. x + x e x e x nx e nx Απ. [, ) Χρησιµοποιησε σειρα Taylor για να ϐρεις µε ακριβεια 3 δεκαδικων την τιµη των παρακατω συναρτησεων στο x =.. sin x. Απ..84. sin ) x + π. Απ

297 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ 9 3. arctan x. Απ x. Απ Για τις παρακατω f x) και x, κανε την γραφικη παρασταση της προσεγγισης n-στης ταξης για n =,,, 5) µε σειρα Taylor.. x =, f x). Απ. sin x 3 = x 3.. x =, f x) = sin ) x + π. 4 Απ. + x 4 x x x x x =, f x) = ln + x ). Απ. x x x x =, f x) = ln x). Απ. εν υπαρχει. 5. x =, f x) = + x. Απ. + x x + x 3 5 x x =, f x) = x+. Απ. + 5 x + 3 x + 9 x x 4. x 3x x =, f x) = x3 +. Απ. + 3 x + 7 x + 3 x x 4. x 3x x =, f x) = x. Απ. + x x x 3 + x 4. x +x Υπολογισε την σειρα Taylor της f x) γυρω απο το x.. Οταν f x) = cosh x, x =. Απ. + x + 4 x Οταν f x) = e x, x =. Απ. + x + x x Οταν f x) = arccos x, x =. Απ. π x x 3 3 x Οταν f x) = tan x, x =. Απ. x + 3 x Οταν f x) = sin x, x =. Απ. x x 4 + x Οταν f x) = x + x + 4, x =. Απ. 4 + x + x. 7. Οταν f x) =, x +x 7 =. Απ Οταν f x) =, x +x 4 =. Απ. x 4 + x Οταν f x) =, x +x) 4 =. Απ. 4x + x x x Οταν f x) =, x +x =. Απ. x + x x 3 + x Υπολογισε την σειρα Taylor της f x) γυρω απο το x.. Οταν f x) = x + 3) sin x, x =. Απ. 3x + x x 3 6 x x Οταν f x) = e x sin x), x =. Απ. x + x 3 x 3 x x

298 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ 9 3. Οταν f x) = sin x, x +x =. Απ. x 7 x x Οταν f x) = e sin x, x =. Απ. + x + x 8 x 4 5 x Οταν f x) = e x, x =. Απ. e + e x ) + ) e x ) + ) e 6 x ) 3 + ) e 4 x ) Οταν f x) = x + x + 4, x =. Απ x ) + x ). 7. Οταν f x) =, x +x =. Απ. + x) x) + 8 x) x) Οταν f x) =, x +x =. Απ. x ) + x ) x 56 )3 + x 4 ) Υπολογισε το αθροισµα x n+ n= nn+) Υπολογισε το αθροισµα n= n3n x n. Απ Υπολογισε το αθροισµα n= Υπολογισε το αθροισµα Απ.. n=. Απ. x ln x) + ln x) + x. n3 n. Απ. ln 3. n. 3x ) x) 3 ). n. Υποδ. Χρησιµοποιησε την f x) = +x sin x Βρες την σειρα McLaurin του ολοκληρωµατος. x Απ. x x 3 + x e Βρες την σειρα McLaurin του ολοκληρωµατος x. x Απ. x ln x + x +... ). x Βρες την σειρα McLaurin του ολοκληρωµατος e x. Απ. x x 3 + x Υπολογισε τα παρακατω µε ακριβεια 3 δεκαδικων ψηφιων...5. Απ Απ Απ cos : Απ cos o : Απ

299 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ Προχωρηµενα Αλυτα Προβληµατα ινεται η συναρτηση ειξε τα εξης. { e /x οταν x, f x) = οταν x =.. Η συναρτηση εχει σειρα Taylor στο x =.. Η συναρτηση ισουται µε την σειρα Taylor αυτης µονο στο x = Βρες την σειρα MacLaurin της f x) = n= e n cos n x ) Αποδειξε οτι sin x ) = π Βρες την σειρα MacLaurin της f z) = + qx) + qx ) + qx 4) ειξε οτι ειξε οτι 8. x + x x + x x 3 + x... = x + x 4 x 9 + x x x x 4 x x 6 3 x... = 5 Ειναι το δεξι µελος της παραπανω µια δυναµοσειρα ; n= x nn+) Εστω οτι το φ x) ειναι πολυωνυµο µε ακεραιους συντελεστες. ειξε οτι υπαρχει ακεραιος N τετοιος ωστε φ n) = Ne. n! n= Εστω οτι τα φ x) και γ x) ειναι πολυωνυµα τα οποια δεν εχουν ακεραιες ϱιζες. ειξε οτι η σειρα φn) ικανοποιει την διαφορικη εξισωση n= γn) ειξε οτι η δυναµοσειρα ικανοποιει την εξισωση γ x d ) y = φ x d ) x. f x) = + x 3 + x ) x f = + x ) f x). + x

300 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ 94 Κλεινουµε το κεφαλαιο δινοντας τις αποδειξεις των ϑεωρηµατων του κεφαλαιου ως µια σειρα προβληµατων. Τα προβληµατα εξεταζουν την περιπτωση δυναµοσειρας µε κεντρο το x = τα αποτελεσµατα ειναι ευκολο να γενικευθουν για την περιπτωση x. Για την επιλυση των προβληµατων ειναι σηµαντικη η κατανοηση της εννοιας της οµοιοµορφης συγκλισης µιας δυναµοσειρας Λεµε οτι : επι του συνολου A η σειρα n= f nx n συγκλινει οµοιοµορφα στην συναρτηση f x) ανν για καθε ε > υπαρχει N ε ανεξαρτητο του ε και τετοιο ωστε N x A : N N ε f n x n f n x n < ε. Αποδειξε οτι : αν υπαρχει µη αρνητικη M n ) n= τετοια ωστε τοτε x A : n= n= M n < και n, x A : f n x n < M n n= f n x n < και η n= f n x n συγκλινει οµοιοµορφα. n= Αποδειξε οτι : αν η δυναµοσειρα n= f nx n εχει ακτινα συγκλισης R τοτε η συναρτηση ειναι συνεχης στο R, R). f x) = f n x n n= Αποδειξε οτι : αν η δυναµοσειρα f x) = n= f nx n εχει ακτινα συγκλισης R τοτε, για καθε x R, R) ισχυει x n+ f x) = f n n Αποδειξε οτι : αν η δυναµοσειρα f x) = n= f nx n εχει ακτινα συγκλισης R τοτε, για καθε x R, R) ισχυει x n+ f x) = f n n Αποδειξε οτι : αν η δυναµοσειρα f x) = n= f nx n εχει ακτινα συγκλισης R τοτε, για καθε a, b) R, R) ισχυει f x) = nf n x n. n= n= n=

301 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ Αποδειξε οτι : αν οι δυναµοσειρες n= f nx n, n= g nx n εχουν ακτινα συγκλισης τουλαχιστον R και η h x) ειναι συνεχης στο [ R, R], τοτε οι δυναµοσειρες συγκλινουν οµοιοµορφα στο R, R). f n + g n ) x n, n= f n g n ) x n, n= h x) f n x n n= Αποδειξε οτι : αν η συναρτηση f x) εχει παραγωγους ολων των ταξεων στο διαστηµα R, R) τοτε N f n) ) x R, R), n : f x) = x n n! + f N+) ξ) N + )! x N+ οπου ξ R, R). Υποδειξη: Χρησιµοποιησε επανειληµµενα το Θεωρηµα Μεσης Τιµης Αποδειξε οτι : αν η συναρτηση f x) εχει παραγωγους ολων των ταξεων στο διαστηµα R, R) και υπαρχει αριθµος M τετοιος ωστε τοτε n= x R, R), n : f n) x) < M n, x R, R) : f x) = f n) ) x n. n! n=

302 Κεφάλαιο 4 ιαφορικες Εξισωσεις Πρωτης Ταξης ιαφορικη εξισωση πρωτης ταξης ειναι µια εξισωση η οποια συνδεει µια συναρτηση x t) µε την παραγωγο και µας δινει πληροφοριες για τον ϱυθµο µεταβολης της x t). Αξιοποιωντας αυτη dt την πληροφορια, µπορουµε να προσδιορισουµε την αγνωστη συναρτηση x t). ηλ., ο Ϲητουµενος αγνωστος σε µια διαφορικη εξισωση ειναι µια συναρτηση. Οι διαφορικες εξισωσεις ειναι ενα απο τα σηµαντικοτερα εργαλεια για την µελετη ϕυσικων και κοινωνικων ϕαινοµενων. 4. Θεωρια και Παραδειγµατα 4... Ορισµος: Μια διαφορικη εξισωση Ε) ειναι µια εξισωση η οποια εµπλεκει µια αγνωστη συναρτηση x t) και τις παραγωγους αυτης : F t, x, ) dt,..., dn x =. dt n Η ταξη της Ε ειναι η υψηλοτερη ταξη παραγωγου που εµφανιζεται σε αυτη Παραδειγµα: Η ειναι µια Ε πρωτης ταξης. Η dt tx 3 + 5t = d x dt + 5x = sin t) dt ειναι µια Ε δευτερης ταξης Ορισµος: Μια λυση της Ε F t, x, ) dt,..., dn x = 4.) dt n ειναι µια συναρτηση x t) η οποια οταν εισαχθει στην 4.) την µετατρεπει σε ταυτοτητα. Ακρι- ϐεστερα, λεµε οτι η x t) ειναι λυση της 4.) στο συνολο A R ανν µετατρεπει την 4.) σε ταυτοτητα για καθε t A. 96

303 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΡΩΤΗΣ ΤΑΞΗΣ Παραδειγµα: Καθε συναρτηση της µορφης x t) = ce t ειναι λυση της στο συνολο R. ιοτι dt = x t) 4.) x t) = ce t dt = cet οποτε, αντικαθιστωντας την x t) µε ce t στην 4.), αυτη µετατρεπεται στην ταυτοτητα Παραδειγµα: Στο συνολο R, η d x dt ce t = ce t. 5 dt + 6x = εχει λυσεις τις x t) = e t και x t) = e 3t καθως και καθε συναρτηση της µορφης x t) = c e t + c e 3t ελεγξε το!) Παραδειγµα: Στο συνολο R {} η εχει την λυση x t) = ce t. dt = x t Ορισµος: Μια Ε ης ταξης εχει την µορφη F t, x, ). 4.3) dt Αν µπορουµε να λυσουµε την 4.3) ως προς, παιρνουµε την τυπική µορφή της Ε ης ταξης : Η προσθετη συνθηκη dt dt = f t, x). 4.4) x t ) = x για καταλληλα t, x ) λεγεται αρχικη συνθηκη Ορισµος: Η γενικη λυση της 4.4) ειναι µια οικογενεια συναρτησεων x t, c) µε παρα- µετρο c) τετοια ωστε για καθε τιµη c = c η x t, c ) ικανοποιει την 4.4) Παραδειγµα: Η Ε dt = x t εχει γενικη λυση x t, c) = c, δηλ. µια οικογενεια υπερβολων, οπως ϕαινεται στο Σχηµα 4.. t 4.5)

304 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΡΩΤΗΣ ΤΑΞΗΣ 98 Σχήµα 4.: Η οικογενεια των λυσεων της = x. dt t Η µοναδικη λυση της 4.5) η οποια ικανοποιει και την αρχικη συνθηκη x ) = ειναι η x t) = γεωµετρικα, ειναι η υπερβολη η οποια διερχεται απο το σηµειο, ). Αυτη η λυση t ισχυει για οποιαδηποτε γειτονια D R, ) µε R < γιατι ;) Ορισµος : Εστω συναρτηση δυο µεταβλητων f x, y). Η µερικη παραγωγος της f ως προς το x συµβολιζεται µε f και οριζεται να ειναι η συναρτηση που προκυπτει αν παραγωγισουµε x την f x, y) ως προς το x ϑεωρωντας το y ως σταθερα. Η µερικη παραγωγος της f ως προς το y συµβολιζεται µε f και οριζεται αναλογα. y 4... Παραδειγµα: Η f x, y) = x y + x + sin y εχει f x = xy + x, f y = x + cos y Θεωρηµα Υπαρξης και Μοναδικοτητας): Εστω Ε µε αρχικη συνθηκη : dt = f t, x), x t ) = t. 4.6) Αν υπαρχει αριθµος R > τετοιος ωστε η f και η f ειναι συνεχεις για καθε στοιχειο t, x) του x συνολου D R t, x ) = { } t, x) : t t ) + x x ) < R, τοτε υπαρχει ακριβως µια συναρτηση x t) η οποια ειναι λυση της 4.6) στο D R t, x ) Παρατηρηση: Ενας εναλλακτικος τροπος ϑεωρησης της 4.6) ειναι ο εξης. Γνωρι- Ϲουµε οτι x t + t) x t) dt t

305 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΡΩΤΗΣ ΤΑΞΗΣ 99 και η προσεγγιση ειναι τοσο καλυτερη ος το t γινεται µικροτερο. Ας επιλεξουµε ενα t και ας ϑεσουµε x = x t ), x = x t + t), x = x t + t),..., x n = x t + n t),... Τοτε η 4.6) προσεγγιζεται απο µια αναδροµικη ακολουθια : x = δεδοµενο, n : x n+ x n = f n t, x n ) t η οποια αναλυεται σε ενα συστηµα αλγεβρικων εξισωσεων: x = δεδοµενο, x = x + f, x ) t, x = x + f t, x ) t, x 3 = x + f t, x ) t,... Μπορουµε να λυσουµε διαδοχικα τις αλγεβρικες εξισωσεις και να προσδιορισουµε την ακολουθια x, x, x,...) η οποια αποτελει µια προσεγγιστικη λυση της 4.6) περιµενουµε οτι η προσεγγιση ϑα ειναι τοσο καλυτερη οσο µικροτερο ειναι το t γιατι ;) Ασκηση: Εφαρµοσε την διαδικασια προσεγγιστικης επιλυσης στην Ε Λυση. Για οποιοδηποτε t εχουµε x = x ) =, dt = x, x ) =. 4.7) t x = x + t) = x + f, x ) t = x x t, x = x + t) = x + f + t, x ) t = x x + t t, x 3 = x + 3 t) = x + f + t, x ) t = x + t t,... Επιλεγοντας t =. παιρνουµε t x t) x Επιλεγοντας t =. παιρνουµε t x t)

306 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΡΩΤΗΣ ΤΑΞΗΣ 3 Η αληθης τιµη x.) ειναι x.) =. =.9538 γιατι ;). Βλεπουµε οτι η προσεγγιστικη λυση µε t =. εχει υψηλο σχετικο σφαλµα: =.37. Αλλα η προσεγγιστικη λυση µε t =. εχει σηµαντικα πιο χαµηλο σχετικο σφαλµα : = Παρατηρηση: Θυµησου οτι η τυπικη µορφη µιας Ε ης ταξης ειναι = f t, x). Αν dt τωρα f t, x) = f t) f x) παιρνουµε µια ειδικη µορφη Ε η οποια µπορει να λυθει πολυ ευκολα Ορισµος : Χωριζοµενη Ε λεγεται καθε Ε της µορφης dt = f t) f x). 4.8) Επισης χωριζοµενες Ε λεγονται και αυτες οι οποιες εχουν τις ισοδυναµες µε την 4.8) ) µορφες Θεωρηµα : Η χωριζοµενη Ε εχει γενικη λυση την ή ισοδυναµα την f t) dt =, M t) dt + N x) =. 4.9) f x) M t) dt + N x) + =. 4.) M t) dt Παραδειγµα: Η γενικη λυση της N x) = c G t) + H x) = c. tdt + x = λαµβανεται µε ολοκληρωση : tdt + x = tdt + Η λυση µπορει να γραφει και στην µορφη x t) = ± c t. x = c t + x = c. Γεωµετρικα ειναι µια οικογενεια κυκλων µε κεντρο το, ) και ακτινα c, οπως ϕαινεται στο Σχηµα 4.

307 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΡΩΤΗΣ ΤΑΞΗΣ Ασκηση: Λυσε την Ε Σχήµα 4.: Η οικογενεια των λυσεων της tdt + x =. dt = ax. 4.) Λυση. Η Ε ειναι χωριζοµενη γιατι ;) και µπορει να λυθει ως εξης : x = at x = at ln x = at + c e ln x = e at+c x t) = ce at Ασκηση: Λυσε την Ε dt = t x. 4.) Λυση. Η Ε ειναι χωριζοµενη γιατι ;) και µπορει να λυθει ως εξης : dt = t x t dt x = t dt x = c t 3 x = c. Η τελευταια εκφραση δινει την λυση της 4.) σε πεπλεγµενη µορφη. Μπορουµε να λυσουµε ως προς x και να γραψουµε την λυση στην µορφη ) t x t) = 3 c Ασκηση: Λυσε την Ε + t) xdt + x) t =. 4.3)

308 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΡΩΤΗΣ ΤΑΞΗΣ 3 Λυση. Παροµοια µε τις προηγουµενες, παιρνουµε + t dt + x = t x + t x dt + = c t x ln t + t + ln x x = c ln xt + t x = c Ασκηση: Λυσε την Ε µε αρχικη συνθηκη : Λυση. Η Ε µπορει να λυθει ως εξης : Τωρα Οποτε η Ϲητουµενη λυση ειναι Ασκηση: Λυσε την Ε η οποια ικανοποιει x x ) =, dt = tdt ln x = t + c x t) = ce t = x ) = ce c =. x t) = e t. dt = xt. 4.4). = 5x. 4.5) x t) dt =. Λυση. Βλεπουµε αµεσως οτι η Ε εχει γενικη λυση την x t) = ce 5t. Για να ικανοποιει και την ολοκληρωτικη συνθηκη, ϑα εχουµε Οποτε η Ϲητουµενη λυση ειναι = ce 5t dt = 5 c c = 5. x t) = 5e 5t Ορισµος: Η συναρτηση f t, x) λεγεται οµοιογενης n-στης ταξης ανν Παραδειγµα: Η f t, x) = x+t t a R : f ax, at) = a n f x, t). a R : f ax, at) = ειναι οµοιογενης µηδενικης ταξης, διοτι ax + at = a f x, t). at

309 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΡΩΤΗΣ ΤΑΞΗΣ Θεωρηµα : Εστω η Ε ης ταξης dt = f t, x) 4.6) οπου η f x, t) ειναι οµοιογενης µηδενικης ταξης. Τοτε µε τις αντικαταστασεις x = ut, η 4.6) µετασχηµατιζεται σε µια χωριζοµενη Ε Θεωρηµα : Εστω η Ε ης ταξης dt = du dt t + u M t, x) dt + N t, x) = 4.7) οπου οι M t, x), N t, x) ειναι οµοιογενεις n-στης ταξης. Τοτε µε τις αντικαταστασεις x = ut, η 4.7) µετασχηµατιζεται σε µια χωριζοµενη Ε Ασκηση: Λυσε την Ε Λυση. Θετουµε x = ut, οποτε Ασκηση: Λυσε την Ε Λυση. Θετουµε x = ut, οποτε dt = du dt dt = du dt t + u dt = t + x. 4.8) t t + u. Αντικαθιστωντας στην 4.8) παιρνουµε du dt t + u = t + ut = + u t du dt t = du = dt t dt u = ln t + c x t) = t ln ct. = du dt dt = dt du = t tx t x. 4.9) t + u. Αντικαθιστωντας στην 4.9) παιρνουµε du dt t + u = ut t u t = u u du dt t = u u u = u3 u dt = u dt du = t u 3 t u ) du 3 u ln t + c = ln u ln t + c = u ) ln x x t t = ln cx. x t Αυτη ειναι η λυση σε πλεγµενη µορφη.

310 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΡΩΤΗΣ ΤΑΞΗΣ Ασκηση: Λυσε την Ε µε αρχικη συνθηκη : Λυση. Θετουµε x = ut, οποτε Επισης dt = du dt x ) =, du dt t + u = t ut = u t du dt t = u du u = dt t ln u ) = ln t + c u = c t x t) = t + c t. οποτε τελικα η Ϲητουµενη λυση ειναι Ορισµος : Λεµε οτι η Ε ειναι ακριβης ανν dt = t x. 4.) t t + u. Αντικαθιστωντας στην 4.8) παιρνουµε = x ) = + c c = 3 x t) = t + 3. dt u du = t M t, x) dt + N t, x) = 4.) M x = N t Θεωρηµα: Η Ε M t, x) dt + N t, x) = 4.) ειναι ακριβης ανν υπαρχει συναρτηση F t, x) τετοια ωστε M t, x) = F F και N t, x) = t x. Σε αυτη την περιπτωση η 4.) εχει γενικη λυση την F t, x) = c Ασκηση: Λυσε την Ε xdt + t =. 4.3) Λυση. Ελεγχουµε οτι η 4.3) ειναι ακριβης. Οντως M M t, x) = x, x =, N N t, x) = t, = t

311 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΡΩΤΗΣ ΤΑΞΗΣ 35 = N και οντως M. F Οποτε υπαρχει καποια συναρτηση F t, x) τετοια ωστε M t, x) = x t t N t, x) = F. Τοτε εχουµε x F = M t, x) = x F t, x) = xdt = xt + c x). t Προσεξε οτι η σταθερα ολοκληρωσης ειναι c x), συναρτηση του x γιατι συµβαινει αυτο ;). Τοτε Οποτε t = N t, x) = F x = c xt + c x)) = t + x x = c x c x) = c. F t, x) = xt + c. Αν και δεν ειναι απαραιτητο, σε αυτο το σηµειο µπορουµε να ελεγξουµε οτι F t = t xt + c ) = x = M t, x) F x = x xt + c ) = t = N t, x) αρα οντως η Ε 4.3) ειναι ακριβης και η λυση της ειναι Ασκηση: Λυσε την Ε xt + c =. Λυση. Ελεγχουµε οτι η 4.4) ειναι ακριβης. Οντως = N και t x dt + x 3t =. 4.4) 3 x 4 M t, x) = t x, M 3 x = 6t x, 4 N t, x) = x 3t N, = 6t x 4 t x 4 και οντως M. F Οποτε υπαρχει καποια συναρτηση F t, x) τετοια ωστε M t, x) = x t t N t, x) = F. Τοτε εχουµε x F t = t t t F t, x) = dt = x 3 x 3 x + c x). 3 Προσεξε οτι η σταθερα ολοκληρωσης ειναι c x), συναρτηση του x γιατι συµβαινει αυτο ;). Τοτε x 3t = N t, x) = F x 4 x = ) t x x + c x) = 3t 3 x + c 4 x x = c x c x) = x = x + c. και

312 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΡΩΤΗΣ ΤΑΞΗΣ 36 Οποτε F t, x) = t x + c x 3. Αν και δεν ειναι απαραιτητο, σε αυτο το σηµειο µπορουµε να ελεγξουµε οτι F t = ) t x + c t x 3 = t = M t, x) x 3 F x = ) t x + c x x 3 = x 3t = N t, x) x 4 αρα οντως η Ε 4.4) ειναι ακριβης και η λυση της ειναι t x x 3 + c = Παρατηρηση: Υπαρχουν περιπτωσεις στις οποιες η M t, x) dt + N t, x) = 4.5) δεν ειναι ακριβης, αλλα υπαρχει συναρτηση G t, x) τετοια ωστε να ειναι ακριβης η G t, x) M t, x) dt + G t, x) N t, x) =. 4.6) Σε τετοια περιπτωση λεµε οτι η G t, x) ειναι ολοκληρωτικος παραγοντας της 4.5). Παρακατω ϑα δωσουµε παραδειγµατα επιλυσης Ε µε χρηση ολοκληρωτικου παραγοντα Ασκηση: Λυσε την Ε Λυση. Εχουµε M = t + t + x, N = xt και t + t + x ) dt + xt =. 4.7) M x = t + t + x ) = x x = N xt) = x t t αρα η 4.7) δεν ειναι ακριβης. Οµως εστω οτι υπαρχει συναρτηση G t) η οποια εξαρταται µονο απο το t!!!) τετοια ωστε η G t) t + t + x ) dt + G t) xt =. 4.8) ειναι ακριβης. Τοτε ϑα πρεπει να ειναι Οποτε G t) t + t + x )) = G t) xt) x t G t) x = G t) x + xt G t G t) = t G G t G = t t. G t) = ct

313 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΡΩΤΗΣ ΤΑΞΗΣ 37 Αυτος ειναι ο Ϲητουµενος ολοκληρωτικος παραγοντας. Τωρα ϑα λυσουµε την ) t + t 3 + x t dt + xt =. 4.9) Θετοντας M = t + t 3 + x t και N = xt ϐλεπουµε οτι G ) t + t 3 + x G t = xt = xt ) x t αρα η 4.9) ειναι ακριβης. Οπως προηγουµενως, ϑα εχουµε F t = M = t + t 3 + x t F = t3 3 + t4 4 + x t + c x). Τωρα ϑα εχουµε F x = xt + c x = xt = N c x = c =. Οποτε η λυση της 4.7) ειναι t t4 4 + x t = c Ασκηση: Λυσε την Ε x + tx ) dt t =. 4.3) Λυση. Εχουµε M = x + tx, N = t και M x = x + tx ) = + xt = N t) = x t t αρα η 4.3) δεν ειναι ακριβης. Οµως εστω οτι υπαρχει συναρτηση G x) η οποια εξαρταται µονο απο το x!!!) τετοια ωστε η ειναι ακριβης. Τοτε ϑα πρεπει να ειναι +xt) G x) x + tx ) dt G x) t =. 4.3) x+tx G x) x + tx )) = tg x)) x t G x) + xt) + x + tx ) G = G x) x G + xt) G x) = G x) =. x x + tx x Οποτε G x) = G G x x G = x x ln G = ln x + c G x) = c x. Αυτος ειναι ο Ϲητουµενος ολοκληρωτικος παραγοντας. Τωρα ϑα λυσουµε την = x x + tx x dt t =. 4.3) x

314 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΡΩΤΗΣ ΤΑΞΗΣ 38 Θετοντας M = x+tx x και N = t x ϐλεπουµε οτι ) G x + tx = x x x = G t ) t x αρα η 4.3) ειναι ακριβης. Λυνοντας αυτη µε τις προηγουµενες µεθοδους παιρνουµε t x + t + c = Ορισµος: Γραµµικη Ε ης ταξης λεγεται καθε εξισωση της µορφης Θεωρηµα: Η γραµµικη Ε ης ταξης εχει γενικη λυση την dt dt x t) = e Pt)dt + P t) x = Q t). + P t) x = Q t) 4.33) Q t) e Pt)dt dt + c ). 4.34) Αποδειξη. Θα Ϲητησουµε µια λυση της 4.33) της µορφης x t) = u t) v t). Αν παραγωγισουµε παιρνουµε dt = u dv dt + v du dt. Αντικαθιστωντας στην 4.33) παιρνουµε Τωρα επιλεγουµε την v t) τετοια ωστε dv dv dv + P t) v = = P t) dt dt v v = u dv dt + v du + P t) uv = Q t) dt dv ) u dt + P t) v + v du = Q t). 4.35) dt Μπορουµε να ϑεσουµε αυθαιρετα) c = και ϑα εχουµε u γινεται P t) dt v t) = ce Pt)dt. dv dt + P t) v) =, οποτε η 4.35) v du Q t) dt = Q t) du = = Pt)dt e Q t) dt dt v ) u = e Pt)dt Q t) dt + c uv = e Pt)dt Pt)dt e Q t) dt + c ) x t) = e Pt)dt Pt)dt e Q t) dt + c και εχουµε αποδειξει το Ϲητουµενο.

315 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΡΩΤΗΣ ΤΑΞΗΣ Ασκηση: Λυσε την Ε + tx = t. 4.36) dt Λυση. Ειναι µια γραµµικη Ε µε P t) = t και Q t) = t. Οποτε εχουµε P t) dt = tdt = t, e Pt)dt = e t και Ασκηση: Λυσε την Ε ) x t) = e Pt)dt Pt)dt e Q t) dt + c = e t ) = e t e t + c = + ce t. e t tdt + c ) dt t + x = t + ) ) Λυση. Ειναι µια γραµµικη Ε µε P t) = και Q t) = t + t+ )3. Οποτε εχουµε P t) dt = dt = ln t + ), t + και e Pt)dt = t + ), ) ) x t) = e Pt)dt Pt)dt e Q t) dt + c = t + ) t + ) t + )3 dt + c ) ) t + ) = t + ) t + ) dt + c = t + ) + c x t) = t + )4 + c t + ) Ασκηση: Λυσε την Ε µε αρχικη συνθηκη : x ) =, dt + x =. 4.38) t Λυση. Εχουµε P t) = t και Q t) =. Οποτε εχουµε P t) dt = t dt = ln t, Pt)dt e = t και ) x t) = e Pt)dt Pt)dt e Q t) dt + c = ) tdt + c t = ) t t + c = t + c t.

316 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΡΩΤΗΣ ΤΑΞΗΣ 3 Επιπλεον οποτε η Ϲητουµενη λυση ειναι Πορισµα: Η γραµµικη Ε ης ταξης εχει γενικη λυση την = x ) = + c = c c = x t) = t + t dt + ax = b 4.39) b ) x t) = e at a eat + c = b a + ce at. 4.4) Αποδειξη. Ειναι P t) = x, Q t) = b. Οποτε ο γενικος τυπος γινεται ) x t) = e Pt)dt = e adt = e at Ασκηση: Λυσε την Ε Λυση. Ειναι Q s) Ps)ds e ds + c ) adt be dt + c ) b ) be at dt + c = e at a eat + c = b a + ce at. dt + 5x =. x t) = 5 + ce 5t Ασκηση: Βρες την τιµη του a τετοια ωστε η λυση της Ε x ) = 3, να ικανοποιει lim t x t) = 4. Λυση. Ευκολα ϐρισκουµε οτι η λυση της Ε ειναι dt + ax = Εχουµε x t) = ) e at + a a. lim x t) = 4 lim ) e at + ) = 4 t t a a a = 4 a =. ηλ. η Ϲητουµενη τιµη του a ειναι a =. Παρατηρειστε οτι αυτη δεν εξαρταται απο την αρχικη συνθηκη!

317 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΡΩΤΗΣ ΤΑΞΗΣ Ασκηση: Λυσε την Ε dt + xt = t3 x ) Λυση. Ειναι µια Ε της µορφης n + P t) x = Q t) x dt δηλ. ειναι µια εξισωση Bernoulli. Αυτες οι Ε λυνονται µε µια αντικατασταση της παρακατω µορφης. ιαιρουµε τνν 4.4) µε x 3 και παιρνουµε Τωρα οριζουµε την z = x µε dz οποτε dt x = x 3 3 dt dt + x t = t ) και η 4.4) γινεται dz tz = t3 dt z = t + + ce t x = 4. Λυµενα Προβληµατα. t + + ce t 4... Ποιες απο τις παρακατω Ε ειναι γραµµικες ;. = 3. dt x+. t + x sin t = e x. dt 3. t + x sin t = e t. dt 4. dt + e t x = 4. Λυση. Μονο η τριτη ειναι γραµµικη ή, σωστοτερα, µπορει να τεθει στην γραµµικη µορφη dt + x sin t t = et 4... Ελεγξε οτι η x + t = c ειναι η λυση της Ε x + t =. dt Λυση. Με πλεγµενη παραγωγιση παιρνουµε Οποτε και αρα η x + t = c ειναι η λυση της Ε. t. x + t = dt dt = t x. x dt + t = x t x + t =

318 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΡΩΤΗΣ ΤΑΞΗΣ Ελεγξε οτι η Ε µε αρχικη συνθηκη x ) =, dt + x t = 4.43) εχει στο συνολο, ) την λυση x t) =. t Λυση. Η x t) = εχει =. Αντικαθιστωντας στην 4.43) παιρνουµε t dt t t > : dt + x t = t + /t =. t Επισης εχουµε x ) = =. Αφου λοιπον ικανοποιειται η Ε και η αρχικη συνθηκη, η x t) ειναι η Ϲητουµενη λυση στο συνολο t, ). εν ειναι λυση στο [, ) διοτι δεν ειναι ορισµενη στο t =. Τι ισχυει στο συνολο, ); Λυσε την Ε dt = t ) Λυση. Η Ε ειναι χωριζοµενη. Την ξαναγραφουµε στην µορφη = dt t + dt = x = arctan t + c. t Λυσε την Ε µε αρχικη συνθηκη Λυση. Εχουµε Για την αρχικη συνθηκη εχουµε x ) = 4, dt = t + x +. dt = t + x x + ) = t + ) dt x + + x = t + t + c x t) + x t) = t + t + c x ) + x ) = + + c 4 Τελικα η Ϲητουµενη λυση ειναι x + 4 = c c =. + x = t + t Λυσε την Ε t dt + x + 3) =. Λυση. Ειναι χωριζοµενη Ε. Εχουµε t dt + x + 3) = c t3 3 + x + 3) = c.

319 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΡΩΤΗΣ ΤΑΞΗΣ Λυσε την Ε Λυση. ιαιρουµε µε Λυσε την Ε x+)t ) t x + ) dt + x t ) =. 4.45) και εχουµε t t dt + x t x x + = t dt + x + = c t + x + dt + = c t x + t + + ) dt + x + ) = c t x + t + t + ln t + x t + ln x + = c. Λυση. Η Ε γραφεται 4t t ) xdt = dt t t 4) + x = 4 t 4 ) dt + t x = c 4 ln t 4) ln t + ln x = c 4 t 4) x 4 = c t 4 x = c Λυσε την λογιστικη Ε µε αρχικη συνθηκη 4t xdt = t. 4.46) x ) = a, dt = x x). Κατοπιν αποδειξε οτι : α) για καθε a, ) η x t) ειναι αυξουσα και ϐ) για καθε a, ) η x t) ειναι ϕθινουσα. Λυση. Ειναι µια χωριζοµενη Ε. Εχουµε x x) = dt x ) = dt x x ) = dt x x ln x = t + c x x = cet x t) = cet ce t +. t t 4 ) /4.

320 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΡΩΤΗΣ ΤΑΞΗΣ 34 Για την αρχικη συνθηκη εχουµε Οποτε a = x ) = x t) = a a et a c c + c = a et + = a a. ae ae t a +. Μπορουµε να δειξουµε την Ϲητουµενη µονοτονια υπολογιζοντας το προσηµο της dt = aet a) ae t a + ) στα διαστηµατα, ) και, ). Αλλα η συµπεριφορα της x t) γινεται καλυτερα κατανοητη αν παρατηρησουµε τα εξης. Αν a, ), η παραγωγος dt t= = x ) x )) = a a) ειναι ϑετικη. Οποτε το x t) ϑα αυξανει εφοσον x t), ). Η x t) δεν ϑα παρει ποτε τιµες µεγαλυτερες του διοτι, καθως x t), η παραγωγος παραµενει ϑετικη αλλα τεινει προς το γιατι ;). Με αλλα λογια, αν η αρχικη τιµη της x t) ειναι µεσα στο, ) το ιδιο ϑα συµβαινει και για τις εποµενες τιµες x t) για καθε t. Με αναλογο τροπο εξεταζουµε την περιπτωση a >. Αυτα ϕαινονται και στο Σχηµα 4.3. Σχήµα 4.3: Η οικογενεια των λυσεων της dt t = x x). Τι συµβαινει οταν a, );