B5. ΠΛΑΙΣΙΩΜΕΝΟΣ ΕΣΣΙΑΝΟΣ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "B5. ΠΛΑΙΣΙΩΜΕΝΟΣ ΕΣΣΙΑΝΟΣ"

Transcript

1 B5. ΠΛΑΙΣΙΩΜΕΝΟΣ ΕΣΣΙΑΝΟΣ 1.Περιορισμένη τετραγωνική μορφή. Χαρακτηρισμός πλαισιωμένων συμμετρικών πινάκων 3.Συνθήκες για περιορισμένα τοπικά ακρότατα 4.Περισσότερες μεταβλητές και περιορισμοί 5.Περιορισμένα διαφορικά.ασκησεισ Στο κεφάλαιο Β3 χαρακτηρίσαμε τα περιορισμένα στάσιμα ως ακρότατα χρησιμοποιώντας τα σχετικά γραφήματα. Τώρα θα τα χαρακτηρίσουμε αναλυτικά χρησιμοποιώντας παραγώγους ης τάξης όπως κάναμε στο προηγούμενο κεφάλαιο Β4 για τα ελεύθερα στάσιμα. Η απλούστερη τέτοια περίπτωση αφορά τα ακρότατα τετραγωνικών συναρτήσεων με γραμμικούς περιορισμούς. 1. Περιορισμένη τετραγωνική μορφή καλείται μια τετραγωνική μορφή περιορισμένη στα σημεία μιας ευθείας που διέρχεται από το (). Θα την παριστάνουμε με: Q ɶ : {Q= α + β + γ E= p+ q= }. Για διάκριση οι τετραγωνικές μορφές χωρίς περιορισμούς που εξετάσαμε στο προηγούμενο κεφάλαιο καλούνται και ελεύθερες τετραγωνικές μορφές. Όπως και στις ελεύθερες θα εξετάσουμε το πρόσημό της αλλά τώρα μόνο στα σημεία της ευθείας του περιορισμού εκτός του μηδενικού σημείου όπου η τιμή της είναι μηδενική: Q() = Αντικαθιστώντας από τον περιορισμό στην τετραγωνική μορφή βρίσκουμε ότι η παραπάνω περιορισμένη τετραγωνική μορφή είναι ισοδύναμη με την ελεύθερη τετραγωνική μορφή μιας μεταβλητής: p p p αq βpq+ γp = Qɶ = α β + γ = q q q q Ο όρος στον αριθμητή παριστάνεται με το αρνητικό της παρακάτω πλαισιωμένης συμμετρικής ορίζουσας: p q Δɶ Δ = p α β = αq + βpq γp Qɶ = ɶ q q β γ Συμπεραίνουμε ότι τo πρόσημο της περιορισμένης τετραγωνικής μορφής είναι το αντίθετο της παραπάνω ορίζουσας και διακρίνουμε τις εξής περιπτώσεις: 1α. Δɶ < Qɶ > τιμές θετικές γνήσια. Καλείται θετικά ορισμένη 1β. Δɶ Qɶ τιμές θετικές ή μηδενικές. Καλείται θετικά ημιορισμένη α. Δɶ > Qɶ < τιμές αρνητικές γνήσια. Καλείται αρνητικά ορισμένη β. Δɶ Qɶ τιμές αρνητικές ή μηδενικές. Καλείται αρνητικά ημιορισμένη. Παρατήρηση. Όπως διαπιστώσαμε η παραπάνω περιορισμένη τετραγωνική μορφή είναι ισοδύναμη με ελεύθερη τετραγωνική μορφή μιας μεταβλητής και έτσι δεν εμφανίζεται η περίπτωση 3 της αοριστίας με τιμές και θετικές και αρνητικές γνήσια. Εμφανίζεται σε περιορισμένες τετραγωνικές μορφές περισσοτέρων μεταβλητών. Παρατήρηση. Αν η αρχική ελεύθερη τετραγωνική μορφή έχει μόνο θετικές ή μόνο αρνητικές τιμές δηλαδή αν είναι θετικά ή αρνητικά ορισμένη τότε βέβαια το ίδιο θα ισχύει και για την περιορισμένη. Η διαφοροποίηση εμφανίζεται όταν η ελεύθερη είναι αόριστη. Παράδειγμα. Q ɶ : {Q= E= + = } 1 1 Δɶ = 1 1/ = 1( 1/ ) + 1(1/ ) = 1> 1 1/ Η αρχική ελεύθερη τετραγωνική μορφή: Q= είναι αόριστη ενώ η περιορισμένη είναι αρνητικά ορισμένη δηλαδή έχει παντού στον περιορισμό γνήσια αρνητικό πρόσημο εκτός βέβαια του σημείου () όπου και έχει μέγιστο με μηδενική τιμή. Αυτό ισχύει διότι η ευθεία του περιορισμού βρίσκεται στο ο και 3ο τεταρτημόριο όπου η παραπάνω ελεύθερη τετραγωνική μορφή είναι αρνητική. Πράγματι αντικαθιστώντας από τον περιορισμό βρίσκουμε: = Qɶ = = ( ) = < για 1

2 . Χαρακτηρισμός πλαισιωμένων συμμετρικών πινάκων Θεωρούμε την παρακάτω αντιστοιχία μεταξύ περιορισμένων τετραγωνικών μορφών δύο μεταβλητών και πλαισιωμένων συμμετρικών πινάκων και μεταφέρουμε τον χαρακτηρισμό των περιορισμένων τετραγωνικών μορφών στους πλαισιωμένους συμμετρικούς πίνακες: p q Q ɶ : {Q= α + β+ γ E= p+ q= } Sɶ = p α β όπου Δɶ = Sɶ = αq + βpq γp q β γ είναι η γνωστή πλαισιωμένη συμμετρική ορίζουσα. Έτσι ένας πλαισιωμένος συμμετρικός πίνακας χαρακτηρίζεται ως: 1α. Θετικά ορισμένος. Sɶ > Qɶ > : Δɶ < 1β. Θετικά ημιορισμένος Sɶ Qɶ : Δɶ α. Αρνητικά ορισμένος. Sɶ < Qɶ < : Δɶ > β. Αρνητικά ημιορισμένος.. Sɶ Qɶ : Δɶ Όπως αναφέραμε και προηγουμένως η περίπτωση 3 της αοριστίας εμφανίζεται σε πλαισιωμένους συμμετρικούς πίνακες μεγαλύτερης διάστασης. 3. Αναγκαίες και ικανές συνθήκες για περιορισμένα τοπικά ακρότατα. Θεωρούμε το πρόβλημα χαρακτηρισμού των περιορισμένων στάσιμων. Το απλούστερο τέτοιο πρόβλημα αφορά την παραπάνω περιορισμένη τετραγωνική μορφή. Το μηδενικό σημείο είναι περιορισμένο στάσιμο με μηδενική τιμή της συνάρτησης οπότε ο χαρακτηρισμός του ως ακρότατου αφορά τα πρόσημα των τιμών της συνάρτησης στα μη μηδενικά σημεία του περιορισμού όπως εξετάσαμε παραπάνω. Στη γενική περίπτωση ο αναλυτικός χαρακτηρισμός ενός περιορισμένου στάσιμου ως ακρότατου γίνεται με τη χρήση παραγώγων ης τάξης. Θεωρούμε ένα πρόβλημα περιορισμένης βελτιστοποίησης και την αντίστοιχη συνάρτηση Lagrange: ma/ min{f( ) g( ) = c} L( λ) = f( ) + λ[c g( )] και ορίζουμε τον πλαισιωμένo εσσιανό πίνακα Lagrange και την αντίστοιχη πλαισιωμένη εσσιανή ορίζουσα Lagrange του προβλήματος: g g g g Hɶ L =g L L Δɶ L = Hɶ L = g L L = Lg + L gg Lg g L L g L L Αναγκαίες και ικανές συνθήκες για τοπικό περιορισμένο ακρότατο. Ένα εσωτερικό περιορισμένο ακρότατο είναι καταρχήν περιορισμένο στάσιμο δηλαδή ικανοποιούνται οι εξισώσεις Lagrange. Επιπλέον: 1. Αν είναι ελάχιστο (τοπικό ή ολικό) τότε o πλαισιωμένoς πίνακας Lagrange είναι θετικά ημιορισμένος: Hɶ Δɶ = L g + L g g L g L L Αντίστροφα είναι γνήσιο περιορισμένο τοπικό ελάχιστο αν είναι θετικά ορισμένος: Hɶ > Δɶ = L g + L g g L g < L L. Αν είναι μέγιστο (τοπικό ή ολικό) τότε ο πλαισιωμένος πίνακας Lagrange είναι αρνητικά ημιορισμένος Hɶ Δɶ = L g + L g g L g L L Αντίστροφα είναι γνήσιο περιορισμένο τοπικό μέγιστο αν είναι αρνητικά ορισμένος Hɶ < Δɶ = L g + L g g L g > L L

3 Παράδειγμα. min{f = 4+ g= = α } με α> Με L= 4+ + λ(α ) οι εξισώσεις Lagrange μας δίνουν: f = λg α / 4= λ = f = λg 1= λ = α αποδεκτή μόνο η θετική λύση g c = α = λ= / α Υπολογίζουμε την πλαισιωμένη εσσιανή ορίζουσα Lagrange στο παραπάνω σημείο:: g= {g = g = } L = λ L = L = λ Δɶ L = Lg + L gg Lg= λ < L = 1 λ L = λ L = Είναι γνήσια αρνητική οπότε ο πλαισιωμένος εσσιανός πίνακας Lagrange είναι θετικά ορισμένος και το σημείο είναι γνήσιο τοπικό περιορισμένο ελάχιστο: ( = α / = αλ= / α) f = 4 + = 4 α Στην πραγματικότητα είναι ολικό περιορισμένο ελάχιστο διότι ο περιορισμός βρίσκεται εξολοκλήρου στην πάνω σταθμική περιοχή της αντικειμενικής συνάρτησης όπως φαίνεται στο παραπάνω γράφημα και όπως μπορούμε να διαπιστώσουμε με αντικατάσταση από τον περιορισμό. Παράδειγμα. ma{g= f = 4+ = β } με β> Θα παραστήσουμε την συνάρτηση Lagrange με: M= + μ[β 4 ] όπου μ είναι τώρα ο πολλαπλασιαστής. Οι εξισώσεις Lagrange μας δίνουν: Μ = 4μ= = β / 8 Μ = μ= = β / g Μ μ β / 8 λ = β 4 = = Υπολογίζουμε την πλαισιωμένη εσσιανή ορίζουσα Lagrange στο παραπάνω σημείο: Μ = 4μ Μ = Μ = 1 f = 4+ {f = 4 f = 1} Μ = μ Μ = 1Μ = Δɶ = Μ f + M f f M f = = 8> Μ Είναι γνήσια θετική οπότε ο πλαισιωμένος εσσιανός πίνακας Lagrange είναι αρνητικά ορισμένος και επομένως το σημείο είναι γνήσιο περιορισμένο τοπικό μέγιστο: ( = β / 8 = β / μ= β / 8) g = = β / 16 Στην πραγματικότητα είναι περιορισμένο ολικό μέγιστο όπως διαπιστώνουμε με αντικατάσταση ή και γραφικά διότι ο περιορισμός βρίσκεται εξολοκλήρου στην κάτω σταθμική περιοχή της αντικειμενικής συνάρτησης. Παρατήρηση. Για τα προηγούμενα δύο προβλήματα λέμε ότι είναι συμμετρικά μεταξύ τους με την έννοια ότι η αντικειμενική συνάρτηση του ενός συμπίπτει με την συνάρτηση περιορισμού του άλλου. Παρατήρηση. Εναλλακτικά ο πλαισιωμένος εσσιανός πίνακας Lagrange μπορεί να παρασταθεί με οιαδήποτε από τις παρακάτω μορφές. Έχουν όλες την ίδια ορίζουσα. g g L L g g g L L g Hɶ L =g L L ή L L g ή g L L ή L L g g L L g g g L L g g Επίσης μπορεί να παρασταθεί και ως ο εσσιανός πίνακας της συνάρτησης Lagrange: Lλλ Lλ L λ L L L λ Hɶ L =Lλ L L ή L L Lλ Lλ L L Lλ Lλ L λλ 3 f

4 4. Περισσότερες μεταβλητές και περιορισμοί Ο χαρακτηρισμός των περιορισμένων στάσιμων χρησιμοποιώντας τον πλαισιωμένο εσσιανό πίνακα Lagrange γενικεύεται σε περισσότερες μεταβλητές και περισσότερους περιορισμούς. Θεωρούμε τα δύο προβλήματα που εξετάσαμε σε προηγούμενο κεφάλαιο: Περιορισμένα ακρότατα με τρεις μεταβλητές και έναν περιορισμό. ma/ min{f(z) g(z) = c D} L(zλ) = f(z) + λ[c g(z)] Περιορισμένα ακρότατα με τρεις μεταβλητές και δύο περιορισμούς. ma/ min{f( z) g( z) = ch( z) = e D} L(zλμ) = f(z) + λ[c g(z)] + μ[e h(z)] Τα περιορισμένα στάσιμα που βρήκαμε σε προηγούμενο κεφάλαιο λύνοντας τις εξισώσεις Lagrange μπορούν να χαρακτηριστούν χρησιμοποιώντας τον αντίστοιχο πλαισιωμένο εσσιανό πίνακα Lagrange της παρακάτω μορφής για έναν και δύο περιορισμούς αντίστοιχα: g g g z g g gz h h hz g L L Lz Hɶ L = g L L L και Hɶ g L h L L L = z z g h L L L z gz Lz Lz L zz gz hz Lz Lz L zz Ο χαρακτηρισμός τους παρουσιάζεται στα πλαίσια της γενικότερης θεωρίας των πλαισιωμένων συμμετρικών πινάκων στην Γραμμική Άλγεβρα. Οι πίνακες εκφράζονται και με τους Εσσιανούς πίνακες των αντίστοιχων συναρτήσεων Lagrange: L(λz) L(λμz) 5. Περιορισμένα διαφορικά Θεωρούμε τον χαρακτηρισμό των περιορισμένων στάσιμων στο πρόβλημα περιορισμένης βελτιστοποίησης με την αντίστοιχη συνάρτηση Lagrange: ma/ min{f( ) g( ) = c} L( λ) = f( ) + λ[c g( )] Για την απόδειξη αρκεί να θεωρήσουμε τη σύνθεση της f( ) με την συνάρτηση = () που ορίζεται πλεγμένα από την εξίσωση του περιορισμού: g( ) = c και να βρούμε τη δεύτερη παράγωγο χρησιμοποιώντας τους αντίστοιχους κανόνες αλυσωτής και πλεγμένης πρώτης και δεύτερης παραγώγου. Εναλλακτικά μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τα διαφορικά που τώρα θα είναι περιορισμένα διότι λόγω του περιορισμού οι μεταβλητές δεν είναι ανεξάρτητες. Το ακρότατο χαρακτηρίζεται από το πρόσημο της μεταβολής Δf για μικρές μετατοπίσεις που ικανοποιούν τον περιορισμό g= c. Σύμφωνα με τη σχετική θεωρία τα περιορισμένα διαφορικά της f() είναι: df = f d+ f d d f = f d + f dd+ f d + f d + f d όπου λόγω του περιορισμού τα διαφορικά των {} θα ικανοποιούν τις εξισώσεις: dg= g d+ f d= d g= g d + g dd+ g d + g d + g d = Θεωρούμε τώρα τα παραπάνω σένα εσωτερικό ακρότατο οπότε θα ισχύουν οι εξισώσεις Lagrange. Πολλαπλασιάζουμε τις εξισώσεις των διαφορικών της g με τον πολλαπλασιαστή Lagrange λ και αφαιρούμε από τα αντίστοιχα διαφορικά της f : df = (f λg )d + (f λg )d d f = (f λg )d + (f λg )dd + (f λg )d + (f λg )d + (f λg )d 4

5 Λόγω των εξισώσεων Lagrange οι δύο όροι του πρώτου διαφορικού και οι δύο τελευταίοι του δεύτερου μηδενίζονται και βρίσκουμε: df = d f = (f λg )d + (f λg )dd + (f λg )d = L d + L dd+ L d Εφόσον το πρώτο περιορισμένο διαφορικό είναι μηδενικό το πρόσημο της μεταβολής θα δίνεται από το πρόσημο του δεύτερου περιορισμένου διαφορικού που είναι μια περιορισμένη τετραγωνική μορφή διότι τα {dd} ικανοποιούν την εξίσωση του περιορισμού: dg= g d+ g d= Συμπεραίνουμε ότι το πρόσημό της χαρακτηρίζεται από τον αντίστοιχο πλαισιωμένο Εσσιανό πίνακα της συνάρτησης Lagrange. 5

6 Β5. ΠΛΑΙΣΙΩΜΕΝΟΣ ΕΣΣΙΑΝΟΣ-ΟΙΟΝΕΙ ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ Ασκήσεις 1. Να χαρακτηριστούν οι παρακάτω περιορισμένες τετραγωνικές μορφές ως προς το πρόσημο. Σε κάθε περίπτωση να βρεθεί και ο αντίστοιχος πλαισιωμένος συμμετρικός πίνακας. {Q= + E= v+ w= } {Q= E= + = } {Q= E= v+ w= } {Q= + + z + 4z+ 4z E= + + z= } {Q= + z + 4z+ 4z E= + + z= } {Q= 4z+ 4z E= + + z= } {Q= + 4z E= + = F= + z= }. Να χαρακτηριστούν οι παρακάτω πλαισιωμένοι συμμετρικοί πίνακες ως προς το πρόσημό τους χρησιμοποιώντας την αντίστοιχη περιορισμένη τετραγωνική μορφή Να χαρακτηριστούν τα στάσιμα σημεία της συνάρτησης: + με τον περιορισμό: + = 3 4. Να λυθούν τα παρακάτω προβλήματα στη θετική περιοχή { }. Σε κάθε περίπτωση να γίνει ο χαρακτηρισμός των περιορισμένων στάσιμων χρησιμοποιώντας τον πλαισιωμένο εσσιανό πίνακα Lagrange. ma{u = C= + c} ma{u = ln( ) C= + c} 1 1/ 1/ 4 ma{q= C= + c} ma{u= C= + c} 1 1 min{c= + U = u } 1/ 1/ 4 min{c= + Q= q} min{u= + U= u} min{c= + U = ln( ) u } ma{q= + C= + = c} ma{q = ( + ) C= + = c} min{c= + Q= + = q} 1/ min{c = ( + ) Q= + = q} 5. Να διαπιστωθεί ότι μεταξύ όλων των ορθογωνίων παραλληλογράμμων με την ίδια περίμετρο το τετράγωνο έχει μέγιστο εμβαδό. 6. Να βρεθούν και να χαρακτηριστούν τα περιορισμένα στάσιμα της συνάρτησης: f( z) = + + 3z + + 3z με τον περιορισμό + + z= 1 χρησιμοποιώντας αντικατάσταση από τον περιορισμό 6

III.10 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΤΕΣ LAGRANGE

III.10 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΤΕΣ LAGRANGE III.10 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΤΕΣ LAGRANGE 1.Ισοτικός περιορισμός.περιορισμένη στασιμότητα 3.Πολλαπλασιαστής Lagrange 4.Συνάρτηση Lagrange 5.Ερμηνεία του πολλαπλασιαστή Lagrange 6.Περιορισμένη τετραγωνική μορφή 7.

Διαβάστε περισσότερα

III.10 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΤΕΣ LAGRANGE

III.10 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΤΕΣ LAGRANGE III.10 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΤΕΣ LAGRANGE 1.Ισοτικός περιορισμός.περιορισμένη στασιμότητα 3.Πολλαπλασιαστής Lagrange 4.Συνάρτηση Lagrange 5.Ερμηνεία του πολλαπλασιαστή Lagrange 6.Περιορισμένη τετραγωνική μορφή 7.

Διαβάστε περισσότερα

1. Ολικά και τοπικά ακρότατα. 2. Εσωτερικά και συνοριακά ακρότατα

1. Ολικά και τοπικά ακρότατα. 2. Εσωτερικά και συνοριακά ακρότατα Β3. ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΤΕΣ LAGRANGE.Ολικά και τοπικά ακρότατα.εσωτερικά και συνοριακά ακρότατα 3. Χωριζόμενες μεταβλητές 4.Ισοτικός περιορισμός 5.Περιορισμένη στασιμότητα 6.Πολλαπλασιαστής Lagrange 7.Συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΣΤ Β2.λύσεις ΟΜΑΔΑ Ι

ΤΕΣΤ Β2.λύσεις ΟΜΑΔΑ Ι Η εξίσωση ΤΕΣΤ Β.λύσεις ΟΜΑΔΑ Ι αβ+ α = ορίζει πλεγμένα το ως συνάρτηση των {α,β}. Να βρεθούν η παράγωγος και η ελαστικότητα του ως προς β, στις τιμές: {α=,β =, = }. Λύση. Ο τύπος πλεγμένης παραγώγισης

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ I 22 Διάρκεια εξέτασης: 2 ώρες και 15' 1 (4 μονάδες)

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ I 22 Διάρκεια εξέτασης: 2 ώρες και 15' 1 (4 μονάδες) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ I Διάρκεια εξέτασης: ώρες και 15' 1 (4 μονάδες) f() α) Να βρεθούν γραφικά τα σημεία ισοελαστικότητας, αν υπάρχουν, της συνάρτησης f() που έχει το γράφημα του παραπλεύρως

Διαβάστε περισσότερα

1. Τετραγωνικές μορφές. x y 0. 0x y 0 1α 1β 2α 2β 3. 0x + y 0

1. Τετραγωνικές μορφές. x y 0. 0x y 0 1α 1β 2α 2β 3. 0x + y 0 Β4. ΕΣΣΙΑΝΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ-ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ 1.Τετραγωνικές μορφές.χαρακτηρισμός συμμετρικών πινάκων 3.Δεύτερες μερικές παράγωγοι-εσσιανός πίνακας 4.Συνθήκες για ακρότατα 5.Κυρτές/κοίλες συναρτήσεις 6.Ολικά ακρότατα

Διαβάστε περισσότερα

III.9 ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΕ ΠΕΡΙΟΧΗ

III.9 ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΕ ΠΕΡΙΟΧΗ III.9 ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΕ ΠΕΡΙΟΧΗ.Ολικά και τοπικά ακρότατα..εσωτερικά και συνοριακά ακρότατα 3.Χωριζόμενες μεταβλητές 4.Συνθήκες για ακρότατα 5.Ολικά ακρότατα κυρτών/κοίλων συναρτήσεων 6.Περισσότερες μεταβλητές.

Διαβάστε περισσότερα

II.7 ΕΣΣΙΑΝΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ

II.7 ΕΣΣΙΑΝΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ II.7 ΕΣΣΙΑΝΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ.Τετραγωνικές μορφές.χαρακτηρισμός συμμετρικών πινάκων 3.Δεύτερες μερικές παράγωγοι-εσσιανός πίνακας 4.Κυρτές/κοίλες συναρτήσεις 5.Σταθμικές περιοχές κυρτών/κοίλων συναρτήσεων 6.Παραβολική

Διαβάστε περισσότερα

(f,g) f(x,y,v, w) = xy v= 0 x (v,y) = = = = = 3. g(x,y,v,w) = x+ 2y w= 0. (x,y) g g 1 2. Λύση 2. Με πλεγμένη παραγώγιση ως προς v, με σταθερό w :

(f,g) f(x,y,v, w) = xy v= 0 x (v,y) = = = = = 3. g(x,y,v,w) = x+ 2y w= 0. (x,y) g g 1 2. Λύση 2. Με πλεγμένη παραγώγιση ως προς v, με σταθερό w : ΤΕΣΤ Β.λύσεις ΟΜΑΔΑ Ι Οι εξισώσεις: {=, + = w} ορίζουν πλεγμένα τα {,} ως συναρτήσεις των {,w}. Να βρεθεί η μερική παράγωγος του ως προς. Λύση. Με τους τύπους πλεγμένης παραγώγισης: (,g) (,,, w) = = (,)

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 13. A παραπλεύρως σχήματος. Να βρεθούν τα πρόσημα των μερικών

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 13. A παραπλεύρως σχήματος. Να βρεθούν τα πρόσημα των μερικών Μέρος Α ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 3. (4 μονάδες) (α). Να δοθεί το γράφημα μιας συνάρτησης f() f () της οποίας η παράγωγος έχει το γράφημα του παραπλεύρως σχήματος, και αρχική τιμή f() =. (β). Οι μεταβλητές {,} συνδέονται

Διαβάστε περισσότερα

f(x) Af(x) = και Mf(x) = f (x) x

f(x) Af(x) = και Mf(x) = f (x) x ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ I Διάρκεια εξέτασης: ώρες και 5' (4 μονάδες) (α). Η συνάρτηση f() έχει το παραπλεύρως γράφημα με πλάγια ασύμπτωτο. Να δοθούν, στο ίδιο σύστημα συντεταγμένων, τα γραφήματα

Διαβάστε περισσότερα

και να σχολιαστεί το αποτέλεσμα. ΤΕΛΟΣ

και να σχολιαστεί το αποτέλεσμα. ΤΕΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Ι 7 Διάρκεια εξέτασης: ώρες Μέρος Α. (4 μονάδες) (α). Μια συνάρτηση () έχει το γράφημα του παραπλεύρως σχήματος. Να γίνουν τα γραφήματα των συναρτήσεων () οριακής τιμής:

Διαβάστε περισσότερα

I.3 ΔΕΥΤΕΡΗ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ

I.3 ΔΕΥΤΕΡΗ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ I.3 ΔΕΥΤΕΡΗ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ.Δεύτερη παράγωγος.παραβολική προσέγγιση ή επέκταση 3.Κυρτή 4.Κοίλη 5.Ιδιότητες κυρτών/κοίλων συναρτήσεων 6.Σημεία καμπής ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ 7.Δεύτερη πλεγμένη παραγώγιση 8.Χαρακτηρισμός

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 14. Μέρος Α

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 14. Μέρος Α Μέρος Α ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 14 1. (4 μονάδες) (α). Να δοθεί το γράφημα μιας συνάρτησης f() της οποίας η παράγωγος έχει το γράφημα του παραπλεύρως σχήματος, και αρχική τιμή f() =. (β). Να βρεθεί συνάρτηση f() σταθερής

Διαβάστε περισσότερα

dy df(x) y= f(x) y = f (x), = dx dx θ x m= 1

dy df(x) y= f(x) y = f (x), = dx dx θ x m= 1 I. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΛΙΣΗ d df() = f() = f (), = d d.κλίση ευθείας.μεταολές 3.(Οριακός) ρυθμός μεταολής ή παράγωγος 4.Παράγωγοι ασικών συναρτήσεων 5. Κανόνες παραγώγισης 6.Αλυσωτή παράγωγος 7.Μονοτονία 8.Στάσιμα

Διαβάστε περισσότερα

I.3 ΔΕΥΤΕΡΗ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ

I.3 ΔΕΥΤΕΡΗ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ I.3 ΔΕΥΤΕΡΗ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ.Δεύτερη παράγωγος.κυρτή 3.Κοίλη 4.Ιδιότητες κυρτών/κοίλων συναρτήσεων 5.Σημεία καμπής 6.Παραβολική προσέγγιση(επέκταση) ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ 7.Δεύτερη πλεγμένη παραγώγιση 8.Χαρακτηρισμός

Διαβάστε περισσότερα

II.6 ΙΣΟΣΤΑΘΜΙΚΕΣ. 1. Γραφήματα-Επιφάνειες: z= 2. Γραμμική προσέγγιση-εφαπτόμενο επίπεδο. 3. Ισοσταθμικές: f(x, y) = c

II.6 ΙΣΟΣΤΑΘΜΙΚΕΣ. 1. Γραφήματα-Επιφάνειες: z= 2. Γραμμική προσέγγιση-εφαπτόμενο επίπεδο. 3. Ισοσταθμικές: f(x, y) = c II.6 ΙΣΟΣΤΑΘΜΙΚΕΣ.Γραφήματα-Επιφάνειες.Γραμμική προσέγγιση-εφαπτόμενο επίπεδο 3.Ισοσταθμικές 4.Κλίση ισοσταθμικών 5.Διανυσματική ή Ιακωβιανή παράγωγος 6.Ιδιότητες των ισοσταθμικών 7.κυρτότητα των ισοσταθμικών

Διαβάστε περισσότερα

g= x + y 1}. Να βρεθεί γραφικά και αναλυτικά η MR Π(Q) = R(Q) C(Q). Στο παραπλεύρως σχήμα

g= x + y 1}. Να βρεθεί γραφικά και αναλυτικά η MR Π(Q) = R(Q) C(Q). Στο παραπλεύρως σχήμα ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 0 Μέρος Α. (.6 μονάδες) α). Οι μεταβλητές {,,} συνδέονται με τις εξισώσεις κανόνας αλυσωτής παραγώγισης. { = e +, = ln}. Να επαληθευτεί ο β). Οι μεταβλητές {, y} συνδέονται με μια εξίσωση. Για

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία. έχει το γράφηµα του παραπλεύρως σχήµατος.

Θεωρία. έχει το γράφηµα του παραπλεύρως σχήµατος. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ I ιαγώνισµα 6 ιάρκεια εξέτασης: ώρες Θεωρία. (4 µονάδες) α) Να γίνει το γράφηµα µιας συνεχούς συνάρτησης f() της οποίας η παράγωγος f () έχει το γράφηµα του παραπλεύρως

Διαβάστε περισσότερα

B6. OΜΟΓΕΝΕΙΑ-ΔΙΑΦΟΡΙΚΑ

B6. OΜΟΓΕΝΕΙΑ-ΔΙΑΦΟΡΙΚΑ B6. OΜΟΓΕΝΕΙΑ-ΔΙΑΦΟΡΙΚΑ 1.Διαφορικά.Σχετικά ή ποσοστιαία διαφορικά 3.Λογισμός Διαφορικών 4.Ομογενείς συναρτήσεις μιας μεταβλητής 5.Ελαστικότητα κλίμακας 6.Ομογενής μηδενικού βαθμού 7.Ομογενής βαθμού κ

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 11. (δ). Να βρεθεί η λύση της διαφορικής εξίσωσης: y = xy, που έχει θετικές τιμές: y 0 και ικανοποιεί: y(0) = 1. 2.

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 11. (δ). Να βρεθεί η λύση της διαφορικής εξίσωσης: y = xy, που έχει θετικές τιμές: y 0 και ικανοποιεί: y(0) = 1. 2. ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 11 Μέρος Α 1. (4 μονάδες) (α). Να δοθεί το γράφημα μιας συνάρτησης () στο διάστημα, της οποίας η παράγωγος έχει το γράφημα του παραπλεύρως σχήματος. (β). Οι μεταβλητές {,} συνδέονται με την

Διαβάστε περισσότερα

Af(x) = και Mf(x) = f (x) x

Af(x) = και Mf(x) = f (x) x ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Ι. Λύσεις 9 Διάρκεια εξέτασης: ώρες και 5' (4 μονάδες) (α). Η συνάρτηση f() έχει το παραπλεύρως γράφημα με πλάγια ασύμπτωτο. Να δοθούν, στο ίδιο σύστημα συντεταγμένων,

Διαβάστε περισσότερα

IV.13 ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ης ΤΑΞΕΩΣ

IV.13 ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ης ΤΑΞΕΩΣ IV.3 ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ης ΤΑΞΕΩΣ.Γενική λύση.χωριζόμενων μεταβλητών 3.Ρυθμοί 4.Γραμμικές 5.Γραμμική αυτόνομη 6.Bernoulli αυτόνομη 7.Aσυμπτωτικές ιδιότητες 8.Αυτόνομες 9.Σταθερές τιμές.διάγραμμα ροής.ασυμπτωτική

Διαβάστε περισσότερα

αx αx αx αx 2 αx = α e } 2 x x x dx καλείται η παραβολική συνάρτηση η οποία στο x

αx αx αx αx 2 αx = α e } 2 x x x dx καλείται η παραβολική συνάρτηση η οποία στο x A3. ΕΥΤΕΡΗ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ. εύτερη παράγωγος.παραβολική προσέγγιση ή επέκταση 3.Κυρτή 4.Κοίλη 5.Ιδιότητες κυρτών/κοίλων συναρτήσεων 6.Σηµεία καµπής ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ 7. εύτερη πλεγµένη παραγώγιση 8.Χαρακτηρισµός

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 12., στο ίδιο σύστημα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 12., στο ίδιο σύστημα Μέρος Α ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 1. (4 μονάδες) α). Η συνάρτηση () έχει το παραπλεύρως γράφημα. () Να βρεθούν τα γραφήματα της μέσης τιμής: A() = () / και του οριακού ρυθμού: M() = (), στο ίδιο σύστημα συντεταγμένων.

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 8. Μέρος Α. 1. (3.2 μονάδες) Η συνάρτηση f(x) είναι ορισμένη στο διάστημα x 0,

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 8. Μέρος Α. 1. (3.2 μονάδες) Η συνάρτηση f(x) είναι ορισμένη στο διάστημα x 0, Μέρος Α ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 8. (3. μονάδες) Η συνάρτηση f() είναι ορισμένη στο διάστημα 0, και έχει το γράφημα του παραπλεύρως σχήματος. α). Να βρεθεί γραφικά το σημείο ισοελαστικότητας β). Να γίνουν τα γραφήματα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Ι 15 Διάρκεια εξέτασης: 2 ώρες

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Ι 15 Διάρκεια εξέτασης: 2 ώρες ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Ι 15 Διάρκεια εξέτασης: ώρες Μέρος Α 1. (4 μονάδες) (α). Να γίνει το γράφημα μιας συνεχούς συνάρτησης f() της οποίας η παράγωγος έχει το γράφημα του παραπλεύρως σχήματος.

Διαβάστε περισσότερα

A2. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΛΙΣΗ-ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ

A2. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΛΙΣΗ-ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ A. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΛΙΣΗ-ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ d df() = f() = f (), = d d.κλίση ευθείας.μεταβολές 3.(Οριακός) ρυθµός µεταβολής ή παράγωγος 4.Παράγωγοι βασικών συναρτήσεων 5. Κανόνες παραγώγισης 6.Αλυσωτή παράγωγος 7.Μονοτονία

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ 1. Τι καλείται μεταβλητή; ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ Μεταβλητή είναι ένα γράμμα (π.χ., y, t, ) που το χρησιμοποιούμε για να παραστήσουμε ένα οποιοδήποτε στοιχείο ενός συνόλου..

Διαβάστε περισσότερα

I.1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ: {f(x), y= f(x), y= y(x), F(x, y) = c}

I.1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ: {f(x), y= f(x), y= y(x), F(x, y) = c} I. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ: {f(), = f(), = (), F(, ) = c}.μηδενικά.μονοτονίες 3.Ασυνέχειες 4.Θετικές δυνάμεις 5.Αρνητικές δυνάμεις 6.Εκθετική 7.Λογαριθμική 8.Αλλαγή βάσης 9.Πολυωνυμικές.Ρητές.Σύνθεση.Πλεγμένες

Διαβάστε περισσότερα

C(Q) FC. } τα επίπεδα παραγωγής με ελάχιστο μέσο μεταβλητό κόστος p

C(Q) FC. } τα επίπεδα παραγωγής με ελάχιστο μέσο μεταβλητό κόστος p EI.. ΜΕΣΟ ΚΟΣΤΟΣ.Μέσο κόστος(α).ελάχιστο μέσο κόστος 3.Μέσο προιόν(a).μέγιστο μέσο προιόν 5.Κερδοφορία. Μέσο κόστος Θεωρούμε το κόστος παραγωγής ενός προιόντος ως συνάρτηση της ποσότητας παραγωγής, και

Διαβάστε περισσότερα

E5 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ II

E5 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ II E5 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ II 1.Εισροές-Συντελεστές παραγωγής.εκροές-παραγόμενα προιόντα 3.Εξωτερικότητες 4.Εισροές-Καταναλωτικά αγαθά 5.Καμπύλες αδιαφορίας 6.Βελτιστοποίηση Σε μια παραγωγική διαδικασία

Διαβάστε περισσότερα

E4. ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΕΣ ΣΤΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ

E4. ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΕΣ ΣΤΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ E4. ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΕΣ ΣΤΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ.Παραδείγματα αναλυτικά.παραδείγματα αριθμητικά 3.Ελαστικότητα ζήτησης 4.Ελαστικότητα προσφοράς 5. Έσοδο 6.Κέρδος μονοπωλίου. Παραδείγματα αναλυτικά Παράδειγμα. Σε μια οικονομία

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1. Α Μέρος

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1. Α Μέρος Α Μέρος ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 1. (3.6 μονάδες) (α). Δίνεται η εξίσωση: = 8. Αν το ελαττωθεί από την τιμή = κατά 1%, να εκτιμηθεί η αντίστοιχη ποσοστιαία μεταβολή στην τιμή του. (β). Να διαπιστωθεί ότι η συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΣΤ Α2 ΟΜΑΔΑ Ι. παράγωγος είναι αρνητική: f (x) = 1 2x, f

ΤΕΣΤ Α2 ΟΜΑΔΑ Ι. παράγωγος είναι αρνητική: f (x) = 1 2x, f ΤΕΣΤ Α ΟΜΑΔΑ Ι Θεωρούμε την συνάρτηση: f() = pln(+ ) για, με p>. Να διερευνηθεί αν είναι κυρτή η κοίλη. Να βρεθούν οι τιμές της παραμέτρου p για τις οποίες η μέγιστη τιμή της βρίσκεται στο =.. Η συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ

ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 6 KΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ Η θεωρία μεγίστων και ελαχίστων μιας πραγματικής συνάρτησης με μια μεταβλητή είναι γνωστή Στο κεφάλαιο αυτό θα δούμε τη θεωρία μεγίστων και ελαχίστων

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΥΠΕΥΘΥΝΟΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ Α. Ντούνης ΔΙΔΑΣΚΩΝ Χ. Τσιρώνης ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ - Αναλυτικές τεχνικές - Ειδικά θέματα θεωρίας - Λύση ασκήσεων πράξης ΑΝΑΛΥΤΙΚΕΣ ΤΕΧΝΙΚΕΣ Τι μάθαμε μέχρι τώρα: Να επιλύουμε

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις Παραγωγής-Συναρτήσεις Κόστους

Συναρτήσεις Παραγωγής-Συναρτήσεις Κόστους Συναρτήσεις Παραγωγής-Συναρτήσεις Κόστους Σε μια παραγωγική διαδικασία διακρίνουμε τις εισροές (inpts) που αφορούν τους συντελεστές παραγωγής (factors of prodction), και τις εκροές (otpts) που αφορούν

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο 3.2 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ Η. (Σ) όπου α, β, α, β, είναι οι

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο 3.2 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ Η. (Σ) όπου α, β, α, β, είναι οι ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ Η ΓΡΑΦΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΟΥ. Ποια είναι η μορφή ενός συστήματος δύο γραμμικών εξισώσεων, δύο αγνώστων; Να δοθεί παράδειγμα.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 15

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 15 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ 13 ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 17 1. Εισαγωγή 17 2. Πραγματικές συναρτήσεις διανυσματικής μεταβλητής

Διαβάστε περισσότερα

που προκύπτουν στις δύο περιπτώσεις: (α) και (β) αντίστοιχα;

που προκύπτουν στις δύο περιπτώσεις: (α) και (β) αντίστοιχα; ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 9 Μέρος Α. (3.6 μονάδες) (α). Να γίνει το γράφημα της συνάρτησης f() = ln(+ ), και να βρεθεί γραφικά το σημείο ισοελαστικότητας. (β). Δίνεται η συνάρτηση f() = ln. Να διαπιστωθεί ότι είναι κυρτή

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγικές έννοιες. Κατηγορίες προβλημάτων (σε μια διάσταση) Προβλήματα εύρεσης μεγίστου. Συμβολισμοί

Εισαγωγικές έννοιες. Κατηγορίες προβλημάτων (σε μια διάσταση) Προβλήματα εύρεσης μεγίστου. Συμβολισμοί Κατηγορίες προβλημάτων (σε μια διάσταση) Εισαγωγικές έννοιες Δ. Γ. Παπαγεωργίου Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων dpapageo@cc.uoi.gr http://pc164.materials.uoi.gr/dpapageo Το πρόβλημα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΣΤΕΣ ΤΙΜΕΣ ΚΑΙ ΑΚΡΟΤΑΤΕΣ ΤΙΜΕΣ

ΑΡΙΣΤΕΣ ΤΙΜΕΣ ΚΑΙ ΑΚΡΟΤΑΤΕΣ ΤΙΜΕΣ ΑΡΙΣΤΕΣ ΤΙΜΕΣ ΚΑΙ ΑΚΡΟΤΑΤΕΣ ΤΙΜΕΣ Κοινό κριτήριο επιλογής µεταξύ εναλλακτικών τρόπων παραγωγής είναι η µεγιστοποίηση (κέρδος ήηελαχιστοποίηση (κόστος κάποιου µεγέθους. Αυτά τα προβλήµατα µεγιστοποίησης

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2. Τα μαθηματικά της αριστοποίησης ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ ΑΡΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ. Τιμή μιας παραγώγου σ ένα σημείο. Παράγωγοι

Κεφάλαιο 2. Τα μαθηματικά της αριστοποίησης ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ ΑΡΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ. Τιμή μιας παραγώγου σ ένα σημείο. Παράγωγοι Κεφάλαιο ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ ΑΡΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ Τα μαθηματικά της αριστοποίησης Πολλές οικονομικές θεωρίες ξεκινούν με την υπόθεση ότι ένα άτομο ή επιχείρηση επιδιώκουν να βρουν την άριστη τιμή μιας συνάρτησης

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Για την επίλυση ενός γραμμικού συστήματος με την χρήση των οριζουσών βασική είναι η παρακάτω επισήμανση:

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Για την επίλυση ενός γραμμικού συστήματος με την χρήση των οριζουσών βασική είναι η παρακάτω επισήμανση: ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Η επίλυση συστήματος εμφανίστηκε για πρώτη φορά σε αρχαία κινέζικη συλλογή προβλημάτων και αργότερα στο έργο «Αριθμητικά» του Έλληνα μαθηματικού της Αλεξανδρινής περιόδου Διόφαντου όπου για πρώτη

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ I ιαγώνισµα 24 ιάρκεια εξέτασης: 2 ώρες Θεωρία. 2 (4 µονάδες)

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ I ιαγώνισµα 24 ιάρκεια εξέτασης: 2 ώρες Θεωρία. 2 (4 µονάδες) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ I ιαγώνισµα 4 ιάρκεια εξέτασης: ώρες Θεωρία (4 µονάδες) (α) Μια συνάρτηση f() έχει την παράγωγο του f () γραφήµατος παραπλεύρως. Να βρεθεί η µέγιστη τιµή της για, υποθέτοντας

Διαβάστε περισσότερα

Β Λυκείου - Ασκήσεις Συστήματα. x = 38 3y x = 38 3y x = x = = 11

Β Λυκείου - Ασκήσεις Συστήματα. x = 38 3y x = 38 3y x = x = = 11 Να λυθεί το σύστημα: Β Λυκείου - Ασκήσεις Συστήματα x+ 3y= 38 3x y = 2 Θα λύσουμε το σύστημα με τη μέθοδο της αντικατάστασης: x+ 3y= 38 x = 38 3y x = 38 3y x = 38 3y 3x y = 2 338 ( 3y) y= 2 3 38 9y y =

Διαβάστε περισσότερα

ή J (u * ) = 0 (2) J(u) = u 3 στο σηµείο u * = 0 J (1) = 3 u 2 = 0 J (2) = 6 u = 0 J (3) = 6 > 0

ή J (u * ) = 0 (2) J(u) = u 3 στο σηµείο u * = 0 J (1) = 3 u 2 = 0 J (2) = 6 u = 0 J (3) = 6 > 0 KΕΦΑΛΑΙΟ Κλασσικές Μέθοδοι Βελτιστοποίησης Χωρίς Περιορισµούς. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Το γενικό πρόβληµα βελτιστοποίησης διατυπώνεται ως εξής: Ζητούνται οι τιµές των µεταβλητών απόφασης u που ελαχιστοποιούν την αντικειµενική

Διαβάστε περισσότερα

IV.11 ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑ-ΡΥΘΜΟΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ

IV.11 ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑ-ΡΥΘΜΟΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ IV. ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑ-ΡΥΘΜΟΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ.Ελαστικότητα.Χαρακτηρισμός ελαστικότητας 3.Σχετικά διαφορικά 4.Ελαστικότητα αντίστροφης 5.Ομογενείς συναρτήσεις 6.Λογισμός ρυθμών και διαφορικών 7.Λογαριθμική κλίμακα.

Διαβάστε περισσότερα

Ακρότατα πραγματικών συναρτήσεων

Ακρότατα πραγματικών συναρτήσεων Ακρότατα πραγματικών συναρτήσεων Ορισμός Έστω U R, U και f : U R R συνάρτηση τότε: )Το λέγεται τοπικό ελάχιστο της f αν υπάρχει περιοχή V του ώστε f f για κάθε V U Το λέγεται τοπικό μέγιστο της f αν υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ :. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Σε κάθε τετραγωνικό πίνακα ) τάξης n θα αντιστοιχίσουμε έναν πραγματικό ( ij αριθμό, τον οποίο θα ονομάσουμε ορίζουσα του πίνακα. Η ορίζουσα θα συμβολίζεται det ή Α ή n n

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι. Δημόπουλος Τμήμα Διοίκησης Μονάδων Υγείας και Πρόνοιας -ΤΕΙ Καλαμάτας ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΚΑΙ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Τοπική μονοτονία Αν μια συνεχής συνάρτηση έχει γνήσια θετική αρνητική παράγωγο

Διαβάστε περισσότερα

Σημειώσεις διαλέξεων: Βελτιστοποίηση πολυδιάστατων συνεχών συναρτήσεων 1 / 20

Σημειώσεις διαλέξεων: Βελτιστοποίηση πολυδιάστατων συνεχών συναρτήσεων 1 / 20 Σημειώσεις διαλέξεων: Βελτιστοποίηση πολυδιάστατων συνεχών συναρτήσεων Ισαάκ Η Λαγαρής 1 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιον Ιωαννίνων 1 Με υλικό από το υπό προετοιμασία βιβλίο των: Βόγκλη,

Διαβάστε περισσότερα

Φίλη μαθήτρια, φίλε μαθητή,

Φίλη μαθήτρια, φίλε μαθητή, Φίλη μαθήτρια φίλε μαθητή Η εργασία αυτή έγινε με σκοπό να συμβάλει στην κατανόηση στην εμπέδωση και στην εμβάθυνση των μαθηματικών εννοιών που αναπτύσσονται στην Άλγεβρα της Β Λυκείου. Η ύλη είναι γραμμένη

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) ( ) ( ) Παράγωγος-Κλίση-Μονοτονία ( ) ( ) β = Άσκηση 1 η : Να βρεθούν οι παράγωγοι των συναρτήσεων: log x. 2 x. ln(x, ( ) 2 x x. Έχουμε.

( ) ( ) ( ) ( ) Παράγωγος-Κλίση-Μονοτονία ( ) ( ) β = Άσκηση 1 η : Να βρεθούν οι παράγωγοι των συναρτήσεων: log x. 2 x. ln(x, ( ) 2 x x. Έχουμε. Παράγωγος-Κλίση-Μονοτονία Άσκηση η : Να βρεθούν οι παράγωγοι των συναρτήσεων:, log, ) ln(, e, Λύση: Έχουμε ln ln ( ), f = = e = e R ln ln f ( ) = ( e ) = e ( ln ) = ln = ln, R Γενικά ισχύει: ( a ) = ln

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 5. Μέρος Α

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 5. Μέρος Α Μέρος Α ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 5 1. (4 μονάδες) α). Θεωρούμε τη σχέση = 3. Να εκτιμηθεί η ποσοστιαία μεταβολή του που θα προκαλέσει μείωση του κατά 1% από την αρχική τιμή =. β). Να διαπιστωθεί ότι η συνάρτηση () =

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφ. 1 - Συστήματα 1

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφ. 1 - Συστήματα 1 ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφ. 1 - Συστήματα 1 1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Η εξίσωση α + βy = γ 1. Υπάρχουν προβλήματα που η επίλυση τους οδηγεί σε μια γραμμική εξίσωση με δύο αγνώστους, y και η οποία είναι της μορφής

Διαβάστε περισσότερα

1. Ισοσταθμικές: f(x, y) = c. Θεωρούμε μια συνάρτηση δύο μεταβλητών και την παράστασή της ως επιφάνεια στον τρισδιάστατο χώρο:

1. Ισοσταθμικές: f(x, y) = c. Θεωρούμε μια συνάρτηση δύο μεταβλητών και την παράστασή της ως επιφάνεια στον τρισδιάστατο χώρο: Β. ΙΣΟΣΤΑΘΜΙΚΕΣ-ΙΑΚΩΒΙΑΝΕΣ ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ 1.Ισοσταθμικές.Εξίσωση υποκατάστασης-ρυθμός υποκατάστασης 3.Κλίση ισοσταθμικών 4.Κυρτότητα ισοσταθμικών 5.Εξαρτημένες συναρτήσεις 6.Επιμέρους ρυθμοί υποκατάστασης 7.Ιακωβιανές

Διαβάστε περισσότερα

8 Ακρότατα και µονοτονία

8 Ακρότατα και µονοτονία 8 Ακρότατα και µονοτονία Πρόταση 8.1. Εστω ότι η y = f (x) είναι συνεχής σε κάποιο διάστηµα I και έχει παράγωγο σε κάθε εσωτερικό σηµείο του I. 1. Η y = f (x) είναι σταθερή στο I αν και µόνο να είναι f

Διαβάστε περισσότερα

ΒΟΗΘΗΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΒΟΗΘΗΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΜΗΜΑ ΔΙΕΘΝΟΥΣ ΕΜΠΟΡΙΟΥ ΒΟΗΘΗΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΕΦΑΛΑΙΑ: ) ΠΙΝΑΚΕΣ ) ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ ) ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 4) ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ ΜΑΡΙΑ ΡΟΥΣΟΥΛΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΙΝΑΚEΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΟΡΙΣΜΟΣ Πίνακας

Διαβάστε περισσότερα

Παράγωγοι ανώτερης τάξης

Παράγωγοι ανώτερης τάξης Παράγωγοι ανώτερης τάξης Κώστας Γλυκός Ασκήσεις για ΑΕΙ και ΤΕΙ σε Διαφορικά Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α 6 9 7. 3 0 0. 8 8. 8 8 Kglks.gr 3 / 1 0 / 0 1 6 σε μερικές παραγώγους σε μέγιστα, ελάχιστα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 5 ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Εισαγωγή Στο κεφάλαιο αυτό θα δούμε πώς, με τη βοήθεια των πληροφοριών που α- ποκτήσαμε μέχρι τώρα, μπορούμε να χαράξουμε με όσο το δυνατόν μεγαλύτερη ακρίβεια τη γραφική παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ. f3 x = και

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ. f3 x = και 7 ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Στο κεφάλαιο αυτό θα δούμε πώς, με τη βοήθεια των πληροφοριών που α- ποκτήσαμε μέχρι τώρα, μπορούμε να χαράξουμε με όσο το δυνατόν μεγαλύτερη ακρίβεια τη γραφική παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

(iii) Να βρεθεί το δεσμευμένο στάσιμο της συνάρτησης f(x, y) = x + y με τον περιορισμό:

(iii) Να βρεθεί το δεσμευμένο στάσιμο της συνάρτησης f(x, y) = x + y με τον περιορισμό: ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 (3 μονάδες) (i) Δίνονται οι παραμετρικές εξισώσεις: = ln(t+ 1), y= t + t. Να υπολογιστεί η παράγωγος του ως προς y, όταν t= 0. (ii) Δίνεται η συνάρτηση: f() = p+. Να διερευνηθεί αν είναι κυρτή

Διαβάστε περισσότερα

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση:

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση: Κατηγορία η Θεώρημα Βolzano Τρόπος αντιμετώπισης:. Όταν μας ζητούν να εξετάσουμε αν ισχύει το θεώρημα Bolzano για μια συνάρτηση f σε ένα διάστημα [, ] τότε: Εξετάζουμε την συνέχεια της f στο [, ] (αν η

Διαβάστε περισσότερα

Δ Ι Α Φ Ο Ρ Ι Κ Ο Σ Λ Ο Γ Ι Σ Μ Ο Σ Πεδίο Ορισμού Συνάρτησης

Δ Ι Α Φ Ο Ρ Ι Κ Ο Σ Λ Ο Γ Ι Σ Μ Ο Σ Πεδίο Ορισμού Συνάρτησης ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ / ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Δ Ι Α Φ Ο Ρ Ι Κ Ο Σ Λ Ο Γ Ι Σ Μ Ο Σ Πεδίο Ορισμού Συνάρτησης 1 Τι πρέπει να γνωρίζω για τα πεδία ορισμού; Χωρίς πολλές φιλοσοφίες: όταν μιλάμε για το πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης,

Διαβάστε περισσότερα

OΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

OΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ OΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Έστω Α ένα υποσύνολο του Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α ; Απάντηση : ΕΣΠ Β, 8B, 9 Έστω Α ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένη Βελτιστοποίηση

Εφαρμοσμένη Βελτιστοποίηση Εφαρμοσμένη Βελτιστοποίηση Ενότητα 4: Αναλυτικές μέθοδοι βελτιστοποίησης για συναρτήσεις πολλών μεταβλητών Καθηγητής Αντώνιος Αλεξανδρίδης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας

Διαβάστε περισσότερα

η απόσταση d γίνεται ελάχιστη. Τα αντίστοιχα σημεία των καμπυλών είναι: P, P, , P, P, ( 2) ,

η απόσταση d γίνεται ελάχιστη. Τα αντίστοιχα σημεία των καμπυλών είναι: P, P, , P, P, ( 2) , Λύσεις Ασκήσεων ου Κεφαλαίου 45 και επειδή d x x = / = 7.5649 > η απόσταση d γίνεται ελάχιστη. Τα αντίστοιχα σημεία των καμπυλών είναι: και ( x ) = ( x x ) = P P, P,.58975,.478 x =.58975 x =.58975 ( x

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙ πιο πάνω έννοιες εκφράζουν όπως λέμε τη μονοτονία της συνάρτησης.

ΟΙ πιο πάνω έννοιες εκφράζουν όπως λέμε τη μονοτονία της συνάρτησης. 3 Μονοτονία συναρτήσεων 3 Μονοτονία συναρτήσεων 3Α Μονοτονία συνάρτησης Έστω f μία συνάρτηση με πεδίο ορισμού Γνησίως αύξουσα συνάρτηση Η συνάρτηση f λέγεται γνησίως αύξουσα στο Δ αν για κάθε, Δ, με

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανική ΙI. Μετασχηματισμοί Legendre. διπλανό σχήμα ότι η αντίστροφη συνάρτηση dg. λέγεται μετασχηματισμός Legendre της f (x)

Μηχανική ΙI. Μετασχηματισμοί Legendre. διπλανό σχήμα ότι η αντίστροφη συνάρτηση dg. λέγεται μετασχηματισμός Legendre της f (x) Τμήμα Π Ιωάννου & Θ Αποστολάτου 7/5/000 Μηχανική ΙI Μετασχηματισμοί Legendre Έστω μια πραγματική συνάρτηση f (x) Ορίζουμε την παράγωγο συνάρτηση df (x) της f (x) : ( x) (η γραφική της παράσταση δίνεται

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ -- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ -- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ -- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Άσκηση η Γραμμικά συστήματα Δίνονται οι ευθείες : y3 και :y 5. Να βρεθεί το R, ώστε οι ευθείες να τέμνονται. Οι ευθείες και θα τέμνονται όταν το μεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

3. ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΜΗΚΩΝ

3. ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΜΗΚΩΝ 3. ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΜΗΚΩΝ 3. Διαφορά μετρήσεων από εκτιμήσεις μετρήσεων. Όταν επιλύοµε ένα αντίστροφο πρόβληµα υπολογίζοµε ένα διάνυσµα παραµέτρων est m το οποίο αντιπροσωπεύει

Διαβάστε περισσότερα

A6. ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑ-ΡΥΘΜΟΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ

A6. ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑ-ΡΥΘΜΟΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ A6. ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑ-ΡΥΘΜΟΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ.Ελαστικότητα.Χαρακτηρισµός ελαστικότητας 3.Ελαστικότητα αντίστροφης 4. ιαφορικά 5.Οµογενείς συναρτήσεις 6.Λογισµός ρυθµών και διαφορικών 7.Λογαριθµική κλίµακα. 8.Σχετικός

Διαβάστε περισσότερα

OΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

OΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ OΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Έστω Α ένα υποσύνολο του Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α ; Απάντηση : ΕΣΠ Β Έστω

Διαβάστε περισσότερα

2 η Εργασία Ημερομηνία Αποστολής : 21 Ιανουαρίου Άσκηση 1. Να υπολογίσετε τα παρακάτω όρια χρησιμοποιώντας τον Κανόνα του L Hopital:

2 η Εργασία Ημερομηνία Αποστολής : 21 Ιανουαρίου Άσκηση 1. Να υπολογίσετε τα παρακάτω όρια χρησιμοποιώντας τον Κανόνα του L Hopital: η Εργασία Ημερομηνία Αποστολής : Ιανουαρίου 7 Άσκηση. Να υπολογίσετε τα παρακάτω όρια χρησιμοποιώντας τον Κανόνα του L Hopil: α. β. γ. lim 6 lim lim sin. (Υπόδειξη: χωρίς να την αποδείξετε, χρησιμοποιήστε

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ . ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ : ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ Η εξίσωση με και 0 ή 0 λέγεται γραμμική εξίσωση. Οι μεταβλητές είναι οι άγνωστοι της εξίσωσης αυτής. Οι αριθμοί λέγονται συντελεστές των αγνώστων

Διαβάστε περισσότερα

1. ΣΤΑΤΙΚΗ ΑΡΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ

1. ΣΤΑΤΙΚΗ ΑΡΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ . ΣΤΑΤΙΚΗ ΑΡΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ. Μέγιστα και Ελάχιστα Συναρτήσεων Χωρίς Περιορισμούς Συναρτήσεις μιας Μεταβλητής Εστω f ( x) είναι συνάρτηση μιας μόνο μεταβλητής. Εστω επίσης ότι x είναι ένα σημείο στο πεδίο ορισμού

Διαβάστε περισσότερα

11. Ποιες είναι οι άμεσες συνέπειες της διαίρεσης;

11. Ποιες είναι οι άμεσες συνέπειες της διαίρεσης; 10. Τι ονομάζουμε Ευκλείδεια διαίρεση και τέλεια διαίρεση; Όταν δοθούν δύο φυσικοί αριθμοί Δ και δ, τότε υπάρχουν δύο άλλοι φυσικοί αριθμοί π και υ, έτσι ώστε να ισχύει: Δ = δ π + υ. Ο αριθμός Δ λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

Ορισμός Τετραγωνική ονομάζεται κάθε συνάρτηση της μορφής y = αx 2 + βx + γ με α 0.

Ορισμός Τετραγωνική ονομάζεται κάθε συνάρτηση της μορφής y = αx 2 + βx + γ με α 0. ΜΕΡΟΣ Α. Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ =α +β+γ,α 0 337. Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ =α +β+γ ME α 0 Ορισμός Τετραγωνική ονομάζεται κάθε συνάρτηση της μορφής = α + β + γ με α 0. Η συνάρτηση = α +β+γ με α > 0 Η γραφική παράσταση της συνάρτησης

Διαβάστε περισσότερα

Μονοτονία - Ακρότατα - 1 1 Αντίστροφη Συνάρτηση

Μονοτονία - Ακρότατα - 1 1 Αντίστροφη Συνάρτηση 4 Μονοτονία - Ακρότατα - Αντίστροφη Συνάρτηση Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Μονοτονία συνάρτησης Μια συνάρτηση f λέγεται: Γνησίως αύξουσα σ' ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε,

Διαβάστε περισσότερα

Τετραγωνικά μοντέλα. Τετραγωνικό μοντέλο συνάρτησης. Παράδειγμα τετραγωνικού μοντέλου #1. Παράδειγμα τετραγωνικού μοντέλου #1

Τετραγωνικά μοντέλα. Τετραγωνικό μοντέλο συνάρτησης. Παράδειγμα τετραγωνικού μοντέλου #1. Παράδειγμα τετραγωνικού μοντέλου #1 Τετραγωνικό μοντέλο συνάρτησης Τετραγωνικά μοντέλα Δ. Γ. Παπαγεωργίου Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων dpapageo@cc.uoi.gr http://pc64.materials.uoi.gr/dpapageo Για συνάρτηση μιας

Διαβάστε περισσότερα

,, δηλαδή στο σημείο αυτό παρουσιάζει τη μέγιστη τιμή της αν α < 0 2α 4α και την ελάχιστη τιμή της αν α > 0. β Στο διάστημα,

,, δηλαδή στο σημείο αυτό παρουσιάζει τη μέγιστη τιμή της αν α < 0 2α 4α και την ελάχιστη τιμή της αν α > 0. β Στο διάστημα, Γενικής Παιδείας 1.4 Εφαρμογές των παραγώγων Το κριτήριο της πρώτης παραγώγου Στην Άλγεβρα της Α Λυκείου μελετήσαμε τη συνάρτηση f(x) = αx + βx + γ, α 0 και είδαμε ότι η γραφική της παράσταση είναι μία

Διαβάστε περισσότερα

7. Αν υψώσουμε και τα δύο μέλη μιας εξίσωσης στον κύβο (και γενικά σε οποιαδήποτε περιττή δύναμη), τότε προκύπτει

7. Αν υψώσουμε και τα δύο μέλη μιας εξίσωσης στον κύβο (και γενικά σε οποιαδήποτε περιττή δύναμη), τότε προκύπτει 8 7y = 4 y + y ( 8 7y) = ( 4 y + y) ( y) + 4 y y 4 y = 4 y y 8 7y = 4 y + ( 4 y) = ( 4 y y) ( 4 y) = 4( 4 y)( y) ( 4 y) 4( 4 y)( y) = 0 ( 4 y) [ 4 y 4( y) ] = 4 ( 4 y)( y + 4) = 0 y = ή y = 4) 0 4 H y

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΥΠΕΥΘΥΝΟΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ Α. Ντούνης ΔΙΔΑΣΚΩΝ ΑΚΑΔ. ΥΠΟΤΡΟΦΟΣ Χ. Τσιρώνης ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑ ΔΕΥΤΕΡΟ - Διανύσματα - Πράξεις με πίνακες - Διαφορικός λογισμός (1D) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΥΠΟΒΑΘΡΟ

Διαβάστε περισσότερα

Ιδιάζουσες τιμές πίνακα. y έχουμε αντίστοιχα τις σχέσεις : Αυτές οι παρατηρήσεις συμβάλλουν στην παραγοντοποίηση ενός πίνακα

Ιδιάζουσες τιμές πίνακα. y έχουμε αντίστοιχα τις σχέσεις : Αυτές οι παρατηρήσεις συμβάλλουν στην παραγοντοποίηση ενός πίνακα Ιδιάζουσες τιμές πίνακα Επειδή οι πίνακες που παρουσιάζονται στις εφαρμογές είναι μη τετραγωνικοί, υπάρχει ανάγκη να βρεθεί μία μέθοδος που να «μελετά» τους μη τετραγωνικούς με «μεθόδους και ποσά» που

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις Θεωρία Ορισμοί - Παρατηρήσεις

Συναρτήσεις Θεωρία Ορισμοί - Παρατηρήσεις Συναρτήσεις Θεωρία Ορισμοί - Παρατηρήσεις Ορισμός: Έστω Α, Β R. Πραγματική συνάρτηση πραγματικής μεταβλητής από το σύνολο Α στο σύνολο Β ονομάζουμε την διαδικασία κατά την οποία κάθε στοιχείο του συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

max f( x,..., x ) st. : g ( x,..., x ) 0 g ( x,..., x ) 0

max f( x,..., x ) st. : g ( x,..., x ) 0 g ( x,..., x ) 0 Μαθηματικές Μέθοδοι Βελτιστοποίησης - Εστιάζουμε στο ακόλουθο πρόβλημα μεγιστοποίησης μιας αντικειμενικής συνάρτησης f υπό ένα σύνολο ανισοτικών περιορισμών: max f( x,..., x ) { x,..., x } 1 n 1 st. :

Διαβάστε περισσότερα

Μελέτη της συνάρτησης ψ = α χ 2

Μελέτη της συνάρτησης ψ = α χ 2 Μελέτη της συνάρτησης ψ = α χ Η γραφική της παράσταση είναι μια καμπύλη που λέγεται παραβολή. Ανάλογα με το πρόσημο του α έχω και τα αντίστοιχα συμπεράσματα. αν α > 0 1) Η γραφική της παράσταση είναι πάνω

Διαβάστε περισσότερα

f( x 1, x ( ) ( ) f x > f x. ( ) ( )

f( x 1, x ( ) ( ) f x > f x. ( ) ( ) MONOTONIA ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ I MONOTONIA ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΘΕΩΡΙΑ Στο διπλανό σχήµα δίνεται η γραφική παράσταση µιας συνάρτησης f στο α,β Παρατηρούµε ότι διάστηµα [ ] καθώς αυξάνουν οι τιµές του

Διαβάστε περισσότερα

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: α) ρητοί β) άρρητοι γ) πραγματικοί;

Διαβάστε περισσότερα

Τετραγωνικά μοντέλα. Τετραγωνικό μοντέλο συνάρτησης. Παράδειγμα τετραγωνικού μοντέλου #1. Παράδειγμα τετραγωνικού μοντέλου #1

Τετραγωνικά μοντέλα. Τετραγωνικό μοντέλο συνάρτησης. Παράδειγμα τετραγωνικού μοντέλου #1. Παράδειγμα τετραγωνικού μοντέλου #1 Τετραγωνικό μοντέλο συνάρτησης Τετραγωνικά μοντέλα Δ. Γ. Παπαγεωργίου Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων dpapageo@cc.uoi.gr http://pc164.materials.uoi.gr/dpapageo Για συνάρτηση μιας

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΤΟΥ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ Διδάσκων:

Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΤΟΥ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ Διδάσκων: Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΤΟΥ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ Διδάσκων: Φάμπιο Αντωνίου Στοιχεία Επικοινωνίας: email: fantoniou@cc.uoi.gr Τηλ:651005954 Προσωπική Ιστοσελίδα: fantoniou.wordpress.com Γραφείο: Κτίριο

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Πρόλογος 3

Περιεχόμενα. Πρόλογος 3 Πρόλογος Η χρησιμότητα της Γραμμικής Άλγεβρας είναι σχεδόν αυταπόδεικτη. Αρκεί μια ματιά στο πρόγραμμα σπουδών, σχεδόν κάθε πανεπιστημιακού τμήματος θετικών επιστημών, για να διαπιστώσει κανείς την παρουσία

Διαβάστε περισσότερα

Ρητοί αριθμοί λέγονται οι αριθμοί που έχουν ή μπορούν να πάρουν τη μορφή

Ρητοί αριθμοί λέγονται οι αριθμοί που έχουν ή μπορούν να πάρουν τη μορφή ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ (ΕΙΣΑΓΩΓΗ)-ΘΕΩΡΕΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Το σύνολο των πραγματικών αριθμών Υπενθυμίζουμε ότι το σύνολο των πραγματικών αριθμώv αποτελείται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς και παριστάνεται

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα

Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα Ενότητα: Πραγματικές Συναρτήσεις Πολλών Μεταβλητών (μέρος 2) Ανδριανός Ε Τσεκρέκος Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής

Διαβάστε περισσότερα

Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. Ημερομηνία: Κυριακή 30 Οκτωβρίου 2016 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. Ημερομηνία: Κυριακή 30 Οκτωβρίου 2016 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΠΟ 6//26 ΕΩΣ 3//26 η ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Ημερομηνία: Κυριακή 3 Οκτωβρίου 26 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α v v Α. Έστω το πολυώνυμο

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8 ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές

Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Διδάσκων: Δημήτριος Ι. Φωτιάδης Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Ιωάννινα 2017-2018 Παρεμβολή και Παρεκβολή Εισαγωγή Ορισμός 6.1 Αν έχουμε στη διάθεσή μας τιμές μιας συνάρτησης

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119)

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΙΩΑΝΝΗΣ Α. ΤΣΑΓΡΑΚΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΜΕΡΟΣ 5: ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΥΠΟΧΩΡΟΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ ΒΑΣΕΙΣ & ΔΙΑΣΤΑΣΗ Δ.Χ. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα