ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 14. Μέρος Α

Transcript

1 Μέρος Α ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ (4 μονάδες) (α). Να δοθεί το γράφημα μιας συνάρτησης f() της οποίας η παράγωγος έχει το γράφημα του παραπλεύρως σχήματος, και αρχική τιμή f() =. (β). Να βρεθεί συνάρτηση f() σταθερής ελαστικότητας ε= 1/, με τιμή f(1) = 3. f () (γ). Θεωρούμε τη συνάρτηση f() = α στο διάστημα: 1. Να διαπιστωθεί ότι είναι κοίλη, και να βρεθούν οι τιμές του α για τις οποίες το μέγιστό της βρίσκεται στο δεξιό σύνορο: = 1. (δ). Να υπολογιστεί με ολοκλήρωμα και γεωμετρικά, το εμβαδό της περιοχής που βρίσκεται μεταξύ των ευθειών { =, + = 6} και του άξονα.. (4 μονάδες) (α). Οι εξισώσεις { = s, + = t} ορίζουν πλεγμένα τα {,} ως συναρτήσεις των {s,t}. Να βρεθεί η μερική παράγωγος του ως προς t χρησιμοποιώντας τους τύπους πλεγμένης παραγώγισης. (β). Να σκιαγραφηθεί στη θετική περιοχή η ισοσταθμική μιας συνάρτησης που είναι φθίνουσα, ύξουσα, και οιονεί κυρτή. (γ). Θεωρούμε την τετραγωνική συνάρτηση: f(, ) = Να βρεθεί και να χαρακτηριστεί το στάσιμο σημείο της. Τι μορφή έχει η ισοσταθμική που διέρχεται από το στάσιμο σημείο? (δ). Να βρεθούν η λύση και ο πολλαπλασιαστής Lagrange για το καθένα από τα παρακάτω προβλήματα περιορισμένης βελτιστοποίησης στη θετική περιοχή: 1/ ma{ln + ln + = 6}, ma{ + = 6} 3.(1 μονάδα) Δύο παραγωγοί παράγουν το ίδιο προϊόν σε ποσότητες {X, Y}, με αντίστοιχο κόστος παραγωγής: {C1 = 4X, C = 6+ Y}. Η μοναδιαία τιμή του P καθορίζεται από την συνολικά παραγόμενη ποσότητα Q= X+ Y, σύμφωνα με την εξίσωση ζήτησης: P= 1 Q. Να βρεθούν οι παραγόμενες ποσότητες αν οι δύο παραγωγοί συνεννοούνται ώστε να μεγιστοποιήσουν το συνολικό κέρδος. 4.(1 μονάδα). (α). Ένα μονοπώλιο παράγει ποσότητα Q την οποία διαθέτει με τιμή μονάδος που καθορίζεται από τη φθίνουσα συνάρτηση ζήτησης Q= Q(P). Να διαπιστωθεί ότι καθώς η παραγόμενη ποσότητα αυξάνει το έσοδο θα αυξάνει αν η ζήτηση είναι ελαστική. (β). Να βρεθεί στη θετική περιοχή μία συνεχής φθίνουσα συνάρτηση = f() η οποία είναι ελαστική όταν < και ανελαστική όταν >.

2 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 14. Λύσεις Μέρος Α 1. (4 μονάδες) (α). Να δοθεί το γράφημα μιας συνάρτησης f() της οποίας η παράγωγος έχει το γράφημα του παραπλεύρως σχήματος, και αρχική τιμή f() =. Λύση. Η συνάρτηση είναι αύξουσα, στην αρχή κοίλη και μετά κυρτή. f () f() (β). Να βρεθεί συνάρτηση f() σταθερής ελαστικότητας ε= 1/, με τιμή f(1) = 3. Λύση. Η συνάρτηση θα είναι δύναμη της μορφής: f() 1/ = α, με 1/ f(1) = α= 3 f() = 3. (γ). Θεωρούμε τη συνάρτηση f() = στο διάστημα: 1. Να διαπιστωθεί ότι είναι κοίλη, και να βρεθούν οι τιμές του α για τις οποίες το μέγιστό της βρίσκεται στο δεξιό σύνορο: = 1. Λύση. Είναι κοίλη και μάλιστα γνήσια διότι η δεύτερη παράγωγος είναι γνήσια αρνητική: 1/ 1 1/ 1 3 / f() = f () = f () = < 4 Το μέγιστό της ορίζει πρόβλημα κυρτού προγραμματισμού και θα βρίσκεται στο δεξιό σύνορο εφόσον ικανοποιεί f (1) = 1/ α.5. (δ). Να υπολογιστεί και με ολοκλήρωμα και γεωμετρικά, το εμβαδό της περιοχής που βρίσκεται μεταξύ των ευθειών { =, + = 6} και του άξονα. Λύση. Οι δύο ευθείες είναι τα γραφήματα των συναρτήσεων: = 6 f() = 6 & = g() = = Τέμνονται στο 6 = =. Το εμβαδό δίνεται 6 από το ολοκλήρωμα: 3 3 E = [f() g()]d = [(6 ) ]d= 6 = 1 4= 6 Γεωμετρικά προκύπτει ως το εμβαδό ενός τριγώνου με βάση 6 και ύψος : + = 6 6 E= = 6. (4 μονάδες) (α). Οι εξισώσεις { = s, + = t} ορίζουν πλεγμένα τα {,} ως συναρτήσεις των {s,t}. Να βρεθεί η μερική παράγωγος του ως προς t χρησιμοποιώντας τους τύπους πλεγμένης παραγώγισης. Λύση. Οι εξισώσεις γράφονται: f(,,s, t) = s= = (s,t) g(,,s,t) = + t= = (s,t) (f,g) (f,g) ft f f f = = = = = t (t, ) (, ) g g g g t

3 (β). Να σκιαγραφηθεί στη θετική περιοχή η ισοσταθμική μιας συνάρτησης που είναι φθίνουσα, ύξουσα, και οιονεί κυρτή. Λύση. Η συνάρτηση έχει μερικές παραγώγους: f <, f > Η ισοσταθμική θα έχει θετική κλίση, και η διανυσματική κλίση f θα δείχνει πάνω αριστερά. Επομένως κάτω σταθμική είναι η περιοχή κάτω δεξιά, και θα είναι κυρτή περιοχή. f < f f > f c (γ). Θεωρούμε την τετραγωνική συνάρτηση: f(, ) = Να βρεθεί και να χαρακτηριστεί το στάσιμο σημείο της. Τι μορφή έχει η ισοσταθμική που διέρχεται από το στάσιμο σημείο? Λύση. Βρίσκουμε το στάσιμο: f = 6+ 4= 6+ 4= = 1 f = 4= = = Υπολογίζουμε και τον Εσσιανό πίνακα: f = f = 4 H= Δ= ( 4) = 1< f = 4 f = Συμπεραίνουμε ότι το στάσιμο δεν είναι ακρότατο. Είναι σαγματικό και η αντίστοιχη ισοσταθμική αποτελείται από δύο τεμνόμενες ευθείες. (δ). Να βρεθούν η λύση και ο πολλαπλασιαστής Lagrange για το καθένα από τα παρακάτω προβλήματα περιορισμένης βελτιστοποίησης: 1/ ma{f = ln + ln g= + = 6}, ma{h= g= + = 6} Λύση. Η f είναι αύξων μετασχηματισμός της h : f = lnh, και επομένως τα δύο προβλήματα έχουν την ίδια λύση. Για το πρώτο βρίσκουμε τη λύση: f f / 1/ 1 1 = = = = = g g 1 + = 6 = g c + = 6 + = 6 = f / 1 1 Ο πολλαπλασιαστής είναι: λ= = = = g Το δεύτερο πρόβλημα έχει την ίδια λύση, αλλά με πολλαπλασιαστή: Μέρος Β 1/ h λ= = =. g 3.(1 μονάδα) Δύο παραγωγοί παράγουν το ίδιο προϊόν σε ποσότητες {X, Y}, με αντίστοιχο κόστος παραγωγής: {C1 = 4X, C = 6+ Y}. Η μοναδιαία τιμή του P καθορίζεται από την συνολικά παραγόμενη ποσότητα Q= X+ Y, σύμφωνα με την εξίσωση ζήτησης: P= 1 Q. Να βρεθούν οι παραγόμενες ποσότητες αν οι δύο παραγωγοί συνεννοούνται ώστε να μεγιστοποιήσουν το συνολικό κέρδος. Λύση. Βρίσκουμε τα κέρδη των δύο παραγωγών: 1 ος. Π = R C = PX 4X = [1 (X+ Y)]X 4X= 6X X XY ος. Π = R C = PY (6+ X) = [1 ( X+ Y)]Y (6+ Y) = 8Y Y XY Το συνολικό κέρδος δίνεται από την τετραγωνική συνάρτηση:

4 Π= Π1 + Π = 6+ 6X+ 8Y X Y XY Με στάσιμο: ΠX = 6 X Y= X+ Y= 3 ΠY = 8 X Y= X+ Y= 4 Το σύστημα δεν έχει λύση. Στο άπειρο η συνάρτηση κέρδους έχει όριο λόγω των αρνητικών τετραγωνικών όρων. Επομένως το μέγιστο θα βρίσκεται στο σύνορο. Έχουμε δύο περιπτώσεις: 1. Στο σύνορο X= βρίσκουμε: Π(, Y) = 6+ 8Y Y, με μέγιστο όταν: Π = 8 Y= Y= 4, Π= = 1. Στο σύνορο Y= βρίσκουμε: Π(X,) = 6+ 6X X, με μέγιστο όταν: Π = 6 X= X= 3, Π= = 3 Μεγαλύτερο κέρδος έχουμε στη πρώτη περίπτωση, και συμπεραίνουμε ότι θα παράγει μόνο ο δεύτερος παραγωγός (που έχει και το μικρότερο οριακό κόστος), ποσότητα Y = 4. 4.(1 μονάδα). α). Ένα μονοπώλιο παράγει ποσότητα Q την οποία διαθέτει με μοναδιαία τιμή που καθορίζεται από την φθίνουσα συνάρτηση ζήτησης Q= Q(P). Να διαπιστωθεί ότι καθώς η παραγόμενη ποσότητα αυξάνει το έσοδο θα αυξάνει όταν η ζήτηση είναι ελαστική. β). Να βρεθεί στη θετική περιοχή μία συνεχής φθίνουσα συνάρτηση = f() η οποία είναι ελαστική όταν < και ανελαστική όταν >. Λύση. α). Χρησιμοποιώντας την αντίστροφη συνάρτηση ζήτησης P= P(Q), βρίσκουμε ότι η συνάρτηση εσόδου R(Q) = QP(Q) αυξάνει αν η παράγωγος ως προς Q είναι θετική: QP R = QP + P> QP > P > 1 P Το μέγεθος στο αριστερό μέρος της ανισότητας είναι η ελαστικότητα του P ως προς Q, και είναι αρνητική διότι P <. Επομένως έχουμε: QP 1< EQP= < EQP < 1 P Δηλαδή η συνάρτηση P= P(Q) είναι ανελαστική και επομένως η αντίστροφή της συνάρτηση ζήτησης Q= Q(P) είναι ελαστική. Παρατήρηση. Εναλλακτικά βρίσκουμε την παραπάνω ανισότητα παρατηρώντας ότι επειδή τα μεγέθη {Q,R} είναι θετικά η παράγωγος και η ελαστικότητα του R ως προς Q έχουν το ίδιο πρόσημο και επομένως η συνάρτηση εσόδου αυξάνει αν η ελαστικότητα είναι θετική. Από τις ιδιότητες της ελαστικότητας βρίσκουμε: R= QP EQR= EQQ+ EQP= 1+ EQP> EQP> 1 (β). Μπορούμε να ορίσουμε τμηματικά μια τέτοια συνάρτηση, ως εξής α όταν 1/ f() = με α = β β= 4α / για να είναι συνεχής 1/ β όταν Παρατήρηση. 1. Οι συνήθεις συναρτήσεις (όπως η γραμμική) δεν έχουν αυτή την ιδιότητα, όπως φαίνεται στο πρώτο γράφημα παρακάτω.. Η συνάρτηση που ορίσαμε τμηματικά δεν είναι παραγωγίσιμη στο σημείο ένωσης, όπου έχει γωνία. Όπως φαίνεται στο δεύτερο γράφημα παρακάτω, μπορούμε να ορίσουμε πλεγμένα μια συνάρτηση με την επιθυμητή ιδιότητα που να είναι και παραγωγίσιμη, χρησιμοποιώντας την γνωστή εξίσωση:

5 + = c με α> Παραγωγίζοντας πλεγμένα βρίσκουμε: 1 α 1 1 α = = E α 1 = = = Έχουμε ελαστικότητα όταν >, ανελαστικότητα όταν <, και ισοελαστικότητα όταν =, όπως φαίνεται και στο γράφημα. Αρκεί τώρα να ρυθμίσουμε τις παραμέτρους ώστε ισοελαστικότητα να έχουμε στο =. Αντικαθιστώντας = & = στην εξίσωση, βρίσκουμε την συνθήκη: = c = c αln = ln c ε < 1 ε > 1 ε > 1 ε < 1