ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 11. (δ). Να βρεθεί η λύση της διαφορικής εξίσωσης: y = xy, που έχει θετικές τιμές: y 0 και ικανοποιεί: y(0) = 1. 2.

Transcript

1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 11 Μέρος Α 1. (4 μονάδες) (α). Να δοθεί το γράφημα μιας συνάρτησης () στο διάστημα, της οποίας η παράγωγος έχει το γράφημα του παραπλεύρως σχήματος. (β). Οι μεταβλητές {,} συνδέονται με την εξίσωση: =. Να γίνει το γράφημα της εξίσωσης και να βρεθούν τα σημεία ισοελαστικότητας. (γ). Να βρεθούν η γραμμική και η παραβολική προσέγγιση της συνάρτησης () = 1/(1+ ) στο σημείο =. (δ). Να βρεθεί η λύση της διαφορικής εξίσωσης: =, που έχει θετικές τιμές: και ικανοποιεί: () = 1.. (4 μονάδες) (α). Η εξίσωση + z z =, ορίζει πλεγμένα το z ως συνάρτηση των {,}. Να υπολογιστούν η παράγωγος και η ελαστικότητα του z ως προς, στις τιμές: {= 1, =,z = 1}. (β). Η συνάρτηση (,) είναι φθίνουσα, αύξουσα, και οιονεί κυρτή. Να δοθεί το γράφημα μιας ισοσταθμικής της. (γ). Να βρεθεί και να χαρακτηριστεί ως ακρότατο το στάσιμο σημείο της συνάρτησης (, ) = α, για τις διάφορες τιμές του α. (δ). Να βρεθεί γραφικά και αναλυτικά στη θετική περιοχή:,, η λύση (, ) του προβλήματος: ma{ = ln + ln g= + = c}, και να επαληθευτεί η ερμηνεία του πολλαπλασιαστή Lagrange. Μέρος Β 3.(1 μονάδες) Μία επιχείρηση παράγει ποσότητα, με: 1. Συνάρτηση εσόδων R() : αύξουσα κοίλη με R() =.. Συνάρτηση κόστους () : αύξουσα κυρτή με () =. Αν υπόκειται και σε φορολογία t ανά μονάδα παραγόμενου προϊόντος, να διαπιστωθεί, γραφικά και αναλυτικά, ότι η παραγόμενη ποσότητα που μεγιστοποιεί το κέρδος είναι φθίνουσα συνάρτηση του συντελεστή φορολογίας t. Να διερευνηθεί και η περίπτωση που δεν θα υπάρξει παραγωγή αν η φορολογία είναι πολύ υψηλή. 4.(1 μονάδες) Ένας ωρομίσθιος εργάζεται L ώρες ημερησίως, έτσι ώστε να μεγιστοποιήσει την χρησιμότητα: U= ln + ln T, όπου είναι η ημερήσια κατανάλωση και T= L ο ελεύθερος χρόνος. Εκτός από το ωρομίσθιο w, ο εργαζόμενος έχει επιπλέον ημερήσιο έσοδο e από ενοίκια. Να βρεθούν: 1. Η βέλτιστη ποσότητα εργασίας L : L, ως συνάρτηση των παραμέτρων {w,e}.. Το γράφημα των ισοσταθμικών της U στο επίπεδο {,T} 3. Το γράφημα των ισοσταθμικών της U στο επίπεδο {,L}.

2 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 11. Λύσεις Μέρος Α 1. (4 μονάδες) (α). Να δοθεί το γράφημα μιας συνάρτησης () στο διάστημα, της οποίας η παράγωγος έχει το γράφημα του παραπλεύρως σχήματος. 1 (β). Οι μεταβλητές {,} συνδέονται με την εξίσωση: =. Να γίνει το γράφημα της εξίσωσης και να βρεθούν τα σημεία ισοελαστικότητας. (γ). Να βρεθούν η γραμμική και η παραβολική προσέγγιση της συνάρτησης () = 1/(1+ ) στο σημείο =. (δ). Να βρεθεί η λύση της διαφορικής εξίσωσης: =, που έχει θετικές τιμές: και ικανοποιεί: () = 1. (α). Η συνάρτηση είναι γνήσια αύξουσα με αρχική κλιση, πρώτα με φθίνουσα παράγωγο μέχρι το ελάχιστο που είναι και σημείο καμπής με κλίση περίπου 1, και μετά κυρτή με αύξουσα παράγωγο. (β). Η εξίσωση ορίζεται μόνο για, και γράφεται ως συνάρτηση, με δύο τρόπους: 1/ 1/ 4 1. = = ± : θετική δύναμη βαθμού: < 1 1/ 4 = = : θετική δύναμη βαθμού: > 1 Σε κάθε περίπτωση είναι ομογενής με σταθερή ελαστικότητα: {1/ 4ή 4} ± 1. Επομένως δεν υπάρχουν σημεία ισοελαστικότητας. Εξάλλου ο υπολογισμός μας δίνει: 3 / 4 / 4 1 E= / = = ± 1 1/ 4 4 (γ). Υπολογίζουμε τις παραγώγους: 1 3 () = (1+ ) () = (1+ ) () = (1+ ) Στο συγκεκριμένο σημείο =, βρίσκουμε: () = 1, () = 1, () = Γραμμική Προσέγγιση: 1/(1+ ) ( ) + ( )( ) = 1 Παραβολική Προσέγγιση: 1/(1+ ) ( 1 ) + ( )( ) + ( )( ) = 1 + (δ). Η διαφορική εξίσωση είναι χωριζόμενων μεταβλητών: d d 1 = = d ln = + c, διότι έχουμε d Η αρχική συνθήκη δίνει: ln1= + c c=. / Επομένως η λύση είναι: ln = / = e. (4 μονάδες) (α). Η εξίσωση + z z =, ορίζει πλεγμένα το z ως συνάρτηση των {,}. Να υπολογιστούν η παράγωγος και η ελαστικότητα του z ως προς, στις τιμές: {= 1, =,z = 1}.

3 (β). Η συνάρτηση (,) είναι φθίνουσα, αύξουσα, και οιονεί κυρτή. Να δοθεί το γράφημα μιας ισοσταθμικής της. (γ). Να βρεθεί και να χαρακτηριστεί ως ακρότατο το στάσιμο σημείο της συνάρτησης (, ) = α, για τις διάφορες τιμές του α. (δ). Να βρεθεί γραφικά και αναλυτικά στη θετική περιοχή:,, η λύση (, ) προβλήματος: ma{ = ln + ln g= + = c}, και να επαληθευτεί η ερμηνεία του πολλαπλασιαστή Lagrange. (α). Το σημείο ικανοποιεί την εξίσωση. Θεωρώντας την ως ισοσταθμική συνάρτησης, βρίσκουμε: (,,z) = + z z = { = + z= 5, = z= 1} c Η παράγωγος είναι: z 5 = = = 1 z 1 5 z 1 Ez= = = 5 (β). Έχουμε < και >. Επομένως η ισοσταθμική έχει θετική κλίση: d d (, ) = c = > Οι τιμές της συνάρτησης αυξάνουν προς τα πάνω αριστερά όπως δείχνουν τα βέλη. Η κάτω σταθμική βρίσκεται προς τα κάτω δεξιά και πρέπει να είναι κυρτή περιοχή. (γ). (, ) = α { = α, = 4 } z z του 5, και η ελαστικότητα { = α, =, = } Δ= 4α Αν α=, δεν υπάρχουν στάσιμα σημεία. Αν α, τότε υπάρχει ένα και μοναδικό στάσιμο: { =, = } {= 1/ α, = }. Σαυτή την περίπτωση βρίσκουμε τα εξής: 1. α< Δ< : το στάσιμο δεν είναι ακρότατο, είναι σαγματικό α> { <, <,Δ > } : το στάσιμο είναι μέγιστο και μάλιστα ολικό διότι η. συνάρτηση είναι κοίλη. (δ). ma{ = ln + ln g= + = c}. Οι εξισώσεις Lagrange μας δίνουν τη λύση: = λg c / 1/ = λ = 1/ λ = = λg 1/ = λ = 1/ λ = c / 4 g c c 1/λ 1/λ c = + = + = λ = / c Μέγιστη τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης: = ln + ln = lnc ln+ lnc ln 4= lnc 3ln, με (c) = / c= λ (c): σύμφωνα με την ερμηνεία του πολλαπλασιαστή Lagrange. Μέρος Β 3.(1 μονάδες) Μια επιχείρηση παράγει ποσότητα, με: 1. Συνάρτηση εσόδων R() αύξουσα κοίλη με R() =.. Συνάρτηση κόστους () αύξουσα κυρτή με () =.

4 Αν υπόκειται και σε φορολογία t ανά μονάδα παραγόμενου προϊόντος, να διαπιστωθεί, γραφικά και αναλυτικά, ότι η παραγόμενη ποσότητα που μεγιστοποιεί το κέρδος είναι φθίνουσα συνάρτηση του συντελεστή φορολογίας t. Να διερευνηθεί και η περίπτωση να μην υπάρξει παραγωγή αν ο συντελεστής φορολογίας είναι πολύ υψηλός. Η συνάρτηση καθαρού κέρδους: Π= R() () t, είναι κοίλη, και επομένως έχει μέγιστο όταν: Π = R () () t= υποθέτοντας >, δηλαδή ότι υπάρχει παραγωγή. Η παραπάνω εξίσωση ορίζει πλεγμένα τη βέλτιστη ποσότητα ως συνάρτηση του t : d Π t 1 1 = = = <, dt Π R R = (t), με παράγωγο: διότι ο παρονομαστής είναι αρνητικός: R λόγω κοιλότητας, λόγω κυρτότητας. R Φ= t Φ= t Π= R Π= R Η γραφική επίλυση φαίνεται στο δεύτερο γράφημα. Καθώς το t αυξάνει, αυξάνει και η κλίση της παραγώγου R, και επομένως μικραίνει το. Όπως δείχνουμε στο τρίτο γράφημα, η παραγωγή θα είναι μηδενική αν το μέγιστο της συνάρτησης κέρδους βρίσκεται στο =. Αυτό θα συμβεί αν: Π () R () () t Επομένως η παραγωγή μηδενίζεται αν ο φορολογικός συντελεστής είναι μεγαλύτερος του t = R () (). Παρατηρούμε ότι: 1. Αν R () () R () (), τότε t = και δεν θα έχουμε παραγωγή.. Αν R () =, π.χ. R() =, τότε t = και θα έχουμε παραγωγή σε κάθε περίπτωση. 4.(1 μονάδες) Ένας ωρομίσθιος εργαζόμενος εργάζεται L ώρες ημερησίως, έτσι ώστε να μεγιστοποιήσει την χρησιμότητα: U= ln+ ln T, όπου είναι το διαθέσιμο ποσό για ημερήσια κατανάλωση και T= L ο ελεύθερος χρόνος. Εκτός από το ωρομίσθιο w, ο εργαζόμενος έχει επιπλέον ημερήσιο έσοδο e από ενοίκια. Να βρεθούν: 1. Η βέλτιστη ποσότητα εργασίας L : L, ως συνάρτηση των παραμέτρων {w,e}.. Το γράφημα των ισοσταθμικών της U στο επίπεδο {,T} 3. Το γράφημα των ισοσταθμικών της U στο επίπεδο {,L}. 1. Ο εισοδηματικός περιορισμός στην κατανάλωση είναι: = wl+ e Αντικαθιστώντας στην συνάρτηση χρησιμότητας, την εκφράζουμε ως συνάρτηση του L :

5 U(L) = ln+ lnt= ln(wl+ e) + ln( L) με L Η συνάρτηση είναι κοίλη και το μέγιστο θα είναι στο στάσιμο: w 1 w e e U (L) = = w( L) (wl+ e) = L= = 8 wl+ e L w w εφόσον είναι θετικό: w e e w, αλλιώς θα έχουμε τη μηδενική λύση: L = {8 e / w αν e w} {αν e w} Δηλαδή, το μέγιστο που θα εργαστεί είναι L= 8 αν e=. Όσο το e αυξάνει οι ώρες εργασίας θα μειώνονται και θα μηδενιστούν όταν e= w. Το άλλο άκρο: L= δεν είναι ποτέ λύση, εξάλλου δίνει την ελάχιστη χρησιμότητα. U= ln+ lnt= lnt : οι ισοσταθμικές είναι οι υπερβολές: T= u, περιορισμένες στη περιοχή:, T, όπως φαίνεται στο δεύτερο γράφημα. 3. U= ln + ln( L) = ln ( L) : οι ισοσταθμικές είναι οι εξισώσεις: u ( L) = u L= στη περιοχή, L Είναι η αρνητική υπερβολή L= u /, μετατοπισμένη προς τα πάνω κατά, όπως φαίνεται στο πρώτο γράφημα. L U T U u L= Η κατανάλωση υποκαθιστά τον ελεύθερο χρόνο στο δεξιό γράφημα, αλλά αντισταθμίζει την εργασία στο δεξιό. Όσο πλησιάζουμε το πάνω όριο L, η επιπλέον κατανάλωση αντισταθμίζει όλο και λιγότερη επιπλέον εργασία, ή ισοδύναμα όλο και περισσότερη κατανάλωση απαιτείται για να αντισταθμίσει επιπλέον εργασία. Η U= U(,L) είναι αύξουσα, L φθίνουσα. Παρατήρηση. Το πρόβλημα μπορεί να λυθεί με δύο τρόπους: 1. Στο επίπεδο {,T} : ma{u= ln+ ln T M= + wt= w+ e,, T }. Στο επίπεδο {,L} : ma{u= ln+ ln( L) E= wl= e,, L }