Βασικές έννοιες και ορισµοί. Ευθεία

Transcript

1

2 Βασικές έννοιες και ορισµοί Ευθεία a R n, a 0 = {x R n x = λa}

3 Βασικές έννοιες και ορισµοί Ευθεία a R n, a 0 = {x R n x = λa} Υπερεπίπεδο α R, a R n P = {x R n ax = α}

4 Βασικές έννοιες και ορισµοί Ευθεία a R n, a 0 = {x R n x = λa} Υπερεπίπεδο α R, a R n P = {x R n ax = α} Ηµιχώρος α R. a R n E = {x R n ax > α}

5 Βασικές έννοιες και ορισµοί Κυρτό Σύνολο x 1, x 2 C R n λ R, λ [0, 1] λx 1 + (1 λ)x 2 C

6 Βασικές έννοιες και ορισµοί Κυρτό Σύνολο x 1, x 2 C R n λ R, λ [0, 1] λx 1 + (1 λ)x 2 C Κυρτό Σύνολο (γενίκευση) p N, i = 1,..., p, x i C p λ i R, λ i = 1 i=1 p λ i x i C i=1

7 Πολύτοπο (1, 0, 3) (0, 0, 3) (0, 1, 3) (1, 0, 2) (0, 0, 0) (2, 0, 0) (0, 2, 0) (2, 2, 0)

8 Πολύτοπο Πολύτοπο Ενα σηµείο x ανήκει στο πολύτοπο P εάν : A p x b p όπου A p : m n πίνακας x : n 1 και b p : m 1 διανύσµατα κολόνα

9 Κυρτό Πολύτοπο Εστω κυρτό πολύτοπο P και σηµεία x 1, x 2 P A p x 1 b p, A p x 2 b p λ R, 0 λ 1

10 Κυρτό Πολύτοπο Εστω κυρτό πολύτοπο P και σηµεία x 1, x 2 P A p x 1 b p, A p x 2 b p λ R, 0 λ 1 λa p x 1 + (1 λ)a p x 2 λb p + (1 λ)b p A p (λx 1 + (1 λ)x 2 ) b p

11 Κυρτό Πολύτοπο Εστω κυρτό πολύτοπο P και σηµεία x 1, x 2 P A p x 1 b p, A p x 2 b p λ R, 0 λ 1 λa p x 1 + (1 λ)a p x 2 λb p + (1 λ)b p A p (λx 1 + (1 λ)x 2 ) b p Το σηµείο λx 1 + (1 λ)x 2 ανήκει στο P

12 Ακρότατα Σηµεία Ακρότατα Σηµεία (Extreme Points) Ενα σηµείο x είναι ακρότατο σηµείο ενός πολύτοπου P εάν x 1, x 2 P λx 1 + (1 λ)x 2 x για κάθε λ (0, 1)

13 Ακρότατα Σηµεία Ακρότατα Σηµεία (Extreme Points) Ενα σηµείο x είναι ακρότατο σηµείο ενός πολύτοπου P εάν x 1, x 2 P λx 1 + (1 λ)x 2 x για κάθε λ (0, 1) Θεώρηµα Εστω ένα πολύτοπο P µε ακρότατα σηµεία y 1, y 2,..., y n. Κάθε σηµείο x P µπορεί να γραφτεί ως γραµµικός συνδυασµός των ακροτάτων του P n x = λ i y i, λ i [0, 1] i=1

14 Θεώρηµα Βέλτιστου Θεώρηµα Βέλτιστου Εστω πολύτοπο P και συνάρτηση f : R n R Εστω x = argopt x P f(x) (ϐέλτιστη λύση ορισµένη στο P) : x ακρότατο σηµείο του P όπου opt = max ή min

15 Απόδειξη Θεωρήµατος Εστω πολύτοπο P και y 1,..., y k τα ακρότατα σηµεία του Εστω συνάρτηση f ορισµένης στο P (µεγιστοποίηση) και x P το σηµείο που τη µεγιστοποιεί στο P : f(x ) f(x), x P

16 Απόδειξη Θεωρήµατος Εστω πολύτοπο P και y 1,..., y k τα ακρότατα σηµεία του Εστω συνάρτηση f ορισµένης στο P (µεγιστοποίηση) και x P το σηµείο που τη µεγιστοποιεί στο P : f(x ) f(x), x P Γράφουµε το x σαν γραµµικό συνδυασµό των ακροτάτων k k x = λ i y i, λ i [0, 1], λ i = 1 i=1 i=1

17 Απόδειξη Θεωρήµατος Εστω πολύτοπο P και y 1,..., y k τα ακρότατα σηµεία του Εστω συνάρτηση f ορισµένης στο P (µεγιστοποίηση) και x P το σηµείο που τη µεγιστοποιεί στο P : f(x ) f(x), x P Γράφουµε το x σαν γραµµικό συνδυασµό των ακροτάτων k k x = λ i y i, λ i [0, 1], λ i = 1 i=1 f(x ) = f( i=1 k λ i y i ) = i=1 k i=1 max i λ i (max i k λ i f(y i ) i=1 f(y i ) = f(y i ) f(y i )) = max f(y i ) i k i=1 λ i

18 Απόδειξη Θεωρήµατος Εστω πολύτοπο P και y 1,..., y k τα ακρότατα σηµεία του Εστω συνάρτηση f ορισµένης στο P (µεγιστοποίηση) και x P το σηµείο που τη µεγιστοποιεί στο P : f(x ) f(x), x P Γράφουµε το x σαν γραµµικό συνδυασµό των ακροτάτων k k x = λ i y i, λ i [0, 1], λ i = 1 i=1 f(x ) = f( i=1 k λ i y i ) = i=1 k i=1 max i λ i (max i k λ i f(y i ) i=1 f(y i ) = f(y i ) f(y i )) = max f(y i ) i Λόγω γραµµικότητας x = y i, i = arg max f(y i ) i k i=1 λ i

19 Υπογραφή Συµβολαίων Εταιρία Συµβόλαιο 1 Συµβόλαιο 2 Περιορισµοί Μηχανικοί Τεχνικοί Ωρες λειτουργίας Κέρδος 8 6 Στόχος : Μεγιστοποίηση κέρδους κέρδος

20 Υπογραφή Συµβολαίων Εταιρία Συµβόλαιο 1 Συµβόλαιο 2 Περιορισµοί Μηχανικοί Τεχνικοί Ωρες λειτουργίας Κέρδος 8 6 Στόχος : Μεγιστοποίηση κέρδους κέρδος Βέλτιστος συνδυασµός συµβολαίων 1 και 2

21 Υπογραφή Συµβολαίων Εταιρία Συµβόλαιο 1 Συµβόλαιο 2 Περιορισµοί Μηχανικοί Τεχνικοί Ωρες λειτουργίας Κέρδος 8 6 Στόχος : Μεγιστοποίηση κέρδους κέρδος Βέλτιστος συνδυασµός συµβολαίων 1 και 2 Μεταβλητές x i : αριθµός συµβολαίων τύπου i = 1, 2

22 Γραµµικό Σύστηµα µε πίνακες (Εταιρία) εδοµένα A = x = [ x x 2 ] b = c t = [ ] 8 6

23 Γραµµικό Σύστηµα µε πίνακες (Εταιρία) εδοµένα A = x = [ x x 2 Σύστηµα ] max z =c t x s.t. Ax b x 0 b = c t = [ ] 8 6

24 Εφικτές Λύσεις (Feasible Solutions) x A B OABC : Εφικτή Περιοχή O C x 1

25 Αντικειµενική Συνάρτηση Μεγιστοποίηση (Ελαχιστοποίηση) f(x)

26 Αντικειµενική Συνάρτηση Μεγιστοποίηση (Ελαχιστοποίηση) f(x) Η f(x) αναπαριστά την κατεύθυνση µιας ευθείας

27 Αντικειµενική Συνάρτηση Μεγιστοποίηση (Ελαχιστοποίηση) f(x) Η f(x) αναπαριστά την κατεύθυνση µιας ευθείας Θέτοντας x = ( 1 2, 0) έχουµε f(x ) = 2

28 Αντικειµενική Συνάρτηση Μεγιστοποίηση (Ελαχιστοποίηση) f(x) Η f(x) αναπαριστά την κατεύθυνση µιας ευθείας Θέτοντας x = ( 1, 0) 2 έχουµε f(x ) = 2 Μετακινούµε την ευθεία ϑέτοντας x = (2, 1)

29 Αντικειµενική Συνάρτηση Μεγιστοποίηση (Ελαχιστοποίηση) f(x) Η f(x) αναπαριστά την κατεύθυνση µιας ευθείας Θέτοντας x = ( 1, 0) 2 έχουµε f(x ) = 2 Μετακινούµε την ευθεία ϑέτοντας x = (2, 1) Ο σταθερός συντελεστής αυξάνεται! f(x ) = 20

30 Γραµµικό Σύστηµα µε πίνακες (Παραγωγή) εδοµένα A = x = [ x x 2 ] b = c t = [ c 1 c 2 ]

31 Γραµµικό Σύστηµα µε πίνακες (Παραγωγή) εδοµένα A = x = [ x x 2 Σύστηµα ] max z =c t x s.t. Ax b x 0 b = c t = [ c 1 c 2 ]

32 Γραφική Επίλυση (Παραγωγή 1) Θέτουµε c 1 = 1 και c 2 = 1. Η αντικειµενική συνάρτηση γίνεται : max z = x 1 + x 2 Για να ϐρούµε την κλίση της (εφαπτοµένη): x 1 + x 2 = a x 2 = a x 1 dx 2 dx 1 = 1 tan(φ f() ) = 1

33 Γραφική Επίλυση (Παραγωγή 1) x M 1 M 2 M 3 O M x 1

34 Γραφική Επίλυση (Παραγωγή 1) Χώρος εφικτών λύσεων Θα συµβολίζουµε τον χώρο των εφικτών λύσεων ως D

35 Γραφική Επίλυση (Παραγωγή 1) Χώρος εφικτών λύσεων Θα συµβολίζουµε τον χώρο των εφικτών λύσεων ως D Γραµµική έκφραση αντικειµενικής συνάρτησης Η ευθεία της αντικειµενικής συνάρτησης a ορίζεται από την εφαπτοµένη και µια τιµή a : x 1 + x 2 = a. Εάν D a τότε z = a

36 Γραφική Επίλυση (Παραγωγή 1) x t = t(m 2 M 3 ) + M 3 = tm 2 + (1 t)m 3 x 2 M 2 M 3 M 2 x t t(m 2 M 3 ) + M 3 M 3 t(m 2 M 3 ) x 1 M 3

37 Γραφική Επίλυση (Παραγωγή 1) [ ] [ ] 3 6 Στο παράδειγµα έχουµε M 2 = και M 3 = 5 2 Η τιµή της αντικειµενικής συνάρτησης στο σηµείο x t είναι : f(x t ) = x t 1 + x t 2 = (3t + 6(1 t)) + (5t + 2(1 t) = 3t + 6 6t + 5t + 2 2t = 8

38 Γραφική Επίλυση (Παραγωγή 1) [ ] [ ] 3 6 Στο παράδειγµα έχουµε M 2 = και M 3 = 5 2 Η τιµή της αντικειµενικής συνάρτησης στο σηµείο x t είναι : f(x t ) = x t 1 + x t 2 = (3t + 6(1 t)) + (5t + 2(1 t) = 3t + 6 6t + 5t + 2 2t = 8 Για a = 8 : a D = [M2, M3] Απειρία ϐέλτιστων λύσεων, κάθε σηµείο της ευθείας (M 2, M 3 )

39 Γραφική Επίλυση (Παραγωγή 2) Αλλάζουµε τα δεδοµένα του προβλήµατος σε c 1 = 1, c 2 = 4.

40 Γραφική Επίλυση (Παραγωγή 2) Αλλάζουµε τα δεδοµένα του προβλήµατος σε c 1 = 1, c 2 = 4. Η εφαπτοµένη αλλάζει tan(φ f ()) = 1 4

41 Γραφική Επίλυση (Παραγωγή 2) Αλλάζουµε τα δεδοµένα του προβλήµατος σε c 1 = 1, c 2 = 4. Η εφαπτοµένη αλλάζει tan(φ f ()) = 1 4 Ο χώρος των εφικτών λύσεων µένει ο ίδιος!

42 Γραφική Επίλυση (Παραγωγή 2) Αλλάζουµε τα δεδοµένα του προβλήµατος σε c 1 = 1, c 2 = 4. Η εφαπτοµένη αλλάζει tan(φ f ()) = 1 4 Ο χώρος των εφικτών λύσεων µένει ο ίδιος! Μεγιστοποίηση στη τιµή 24 : 24 D = {M 1 }

43 Γραφική Επίλυση (Παραγωγή 2) Αλλάζουµε τα δεδοµένα του προβλήµατος σε c 1 = 1, c 2 = 4. Η εφαπτοµένη αλλάζει tan(φ f ()) = 1 4 Ο χώρος των εφικτών λύσεων µένει ο ίδιος! Μεγιστοποίηση στη τιµή 24 : 24 D = {M 1 } Μοναδική ϐέλτιστη λύση!

44 Παράδειγµα 3 Γραφική λύση του προβλήµατος : max z = 2 x 1 +3 x 2 s.t. x 1 x 2 1 x 1 + 4x 2 2 6x 1 + x 2 2 x 1, x 2 0

45 Γραφική Επίλυση (Παραγωγή 1) x x 1

46 Γραφική Επίλυση (Παραγωγή 1) x x 1 x x 1

47 Γραφική Επίλυση (Παραγωγή 1) x x 1 x x 1 + 4x 2 2 x 1

48 Γραφική Επίλυση (Παραγωγή 1) x 2 2 6x 1 + x x 1 x x 1 + 4x 2 2 x 1

49 Γραφική Επίλυση (Παραγωγή 1) x 2 2 6x 1 + x x 1 x x 1 + 4x 2 2 Κενή Εφικτή Περιοχή! x 1

50 Παράδειγµα 4 Γραφική λύση του προβλήµατος : max z = x 1 + x 2 s.t. x 1 + 6x x 1 + x 2 10 x 2 25 x 2 5 x 1, x 2 0

51 Παράδειγµα 4 x 2 25 x x 1 + x 2 10 x 1 + 6x x 2 5 x 1

52 Παράδειγµα 4 x 2 25 x x 1 + x 2 10 x 1 + 6x Η Εφικτή Περιοχή είναι µη ϕραγµένη! 5 x 2 5 x 1

53 Παράδειγµα 4 x 2 25 x x 1 + x 2 10 x 1 + 6x Η Εφικτή Περιοχή είναι µη ϕραγµένη! 5 x 2 5 x 1 Για οποιοδήποτε a 0 a D Η ϐέλτιστη λύση τείνει στο άπειρο!

54 Συµπεράσµατα Σε ένα γραµµικό πρόγραµµα εµφανίζονται οι παρακάτω 4 περιπτώσεις :

55 Συµπεράσµατα Σε ένα γραµµικό πρόγραµµα εµφανίζονται οι παρακάτω 4 περιπτώσεις : Μια ϐέλτιστη λύση ( a D : ακρότατο )

56 Συµπεράσµατα Σε ένα γραµµικό πρόγραµµα εµφανίζονται οι παρακάτω 4 περιπτώσεις : Μια ϐέλτιστη λύση ( a D : ακρότατο ) Απειρες ϐέλτιστες λύσεις ( a D : πλευρά,επιφάνεια ή υπέρ-επιφάνεια )

57 Συµπεράσµατα Σε ένα γραµµικό πρόγραµµα εµφανίζονται οι παρακάτω 4 περιπτώσεις : Μια ϐέλτιστη λύση ( a D : ακρότατο ) Απειρες ϐέλτιστες λύσεις ( a D : πλευρά,επιφάνεια ή υπέρ-επιφάνεια ) Τιµή Βέλτιστη λύση τείνει στο άπειρο (D : µη ϕραγµένο)

58 Συµπεράσµατα Σε ένα γραµµικό πρόγραµµα εµφανίζονται οι παρακάτω 4 περιπτώσεις : Μια ϐέλτιστη λύση ( a D : ακρότατο ) Απειρες ϐέλτιστες λύσεις ( a D : πλευρά,επιφάνεια ή υπέρ-επιφάνεια ) Τιµή Βέλτιστη λύση τείνει στο άπειρο (D : µη ϕραγµένο) Καµία λύση (D = )