6. REALNE FUNKCIJE POJAM FUNKCIJE

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "6. REALNE FUNKCIJE POJAM FUNKCIJE"

Transcript

1 Matematika 6. REALNE FUNKCIJE POJAM FUNKCIJE U nekom algebarskom, geometrijskom ili izikalnom zadatku mogu se pojaviti dvije vrste veličina; veličine koje imaju uvijek istu vrijednost i veličine koje mogu poprimiti različite vrijednosti. Prve se nazivaju konstantama, druge varijablama. Općenito se konstante označavaju prvim slovima alabeta: a, b, c,..., a varijable posljednjim:, y, z,.... U matematici, ali često i u svakodnevnom životu, susrećemo se sa situacijom u kojoj jedna od dvije ili više varijabli, ima točno određenu vrijednost čim je dana vrijednost onih drugih. Na primjer:. Označimo li sa duljinu stranice nekog kvadrata a sa y njegovu površinu, vrijednost varijable y je potpuno određena vrijednošću varijable, što zapisujemo, kao što je poznato, ormulom: y =.. Slično, označimo li sa i y duljine stranica nekog pravokutnika a sa z njegovu površinu, vrijednost varijable z je potpuno određena vrijednostima varijabla i y, što zapisujemo ormulom: z = y.. Neka se automobil giba konstantnom brzinom od 60 km/h. Označimo li sa put, u kilometrima, koji je automobil prešao, a sa y vrijeme, izraženo u satima, koliko je dugo putovao, dobit ćemo poznate ormule: y = i = 60y Ako hipotenuza pravokutnog trokuta ima duljinu 5, duljina y jedne katete potpuno je određena vrijednošću druge katete, tj. y = 5, ne raspravljajući na ovom mjestu za koje vrijednosti od varijabla y poprima realne vrijednosti. U gornjim primjerima ćemo reći da je: površina kvadrata unkcija duljine njegove stranice, površina pravokutnika unkcija duljina njegovih stranica, itd. Dakle, pomoću unkcija možemo promatrati kako se mijenja jedna veličina ovisno o drugoj i time opisati zakonitosti nekih pojava. Današnji pojam unkcije potječe od G. L. Dirichleta ( , njemački matematičar): 6

2 Matematika Deinicija Neka su X,Y dva neprazna skupa. Ako je po nekom pravilu svakom elementu X pridružen jedan i samo jedan element y Y kažemo da je na skupu X zadana unkcija sa vrijednostima u Y. Zapisujemo: : X Y ( ) y = ( ) Nazivi: X područje deinicije ili domena unkcije, X = dom ; Y područje vrijednosti ili kodomena unkcije, Y = kodom ; argument ili nezavisna varijabla, X ; y vrijednost unkcije ili zavisna varijabla, y Y ; Im slika unkcije, Im = ( X ) ( ) Funkcije označavamo slovima, g, h,. { X } Y =. Zadati unkciju znači zadati domenu X, kodomenu Y i pravilo (propis) po kojem se vrši pridruživanje elemenata tih dvaju skupova. Zadatak: Koja pridruživanja dana dijagramima na slici 6- predstavljaju unkcije? Sl. 6-: Pridruženi elementi skupova X i Y Gra unkcije Gra G unkcije : X Y je skup točaka ravnine kojeg opisujemo na sljedeći način: {( ( ) ) X } G =, X Y. 6

3 Matematika Sl. 6-: Gra G unkcije Za gra se kaže da je unkcijski u odnosu na os ako paralela s osi y siječe gra u najviše jednoj točki, tj. ( ( ) ( )) y = & y = y = y. Analogno, za gra se kaže da je unkcijski u odnosu na os y ako ga paralela s osi siječe u najviše jednoj točki, tj. ( ( ) ( )) = y & = y =. Restrikcija unkcije : X Y... dana unkcija A X Funkcija = ( ) A A { A} = je restrikcija unkcije na skup A. Sl. 6-: Dijagram restrikcije unkcije na skup A Proširenje unkcije : X Y... dana unkcija X B Funkcija čija je restrikcija na skup X sama unkcija, tj. = ( ) X =, je proširenje unkcije. B B X { } 6

4 Matematika Pojam injektivne i surjektivne unkcije Funkcija : X Y je injekcija (injektivna unkcija, injektivno ili - preslikavanje) ako vrijedi:, X, ( ) ( ), ili ekvivalentno, X, = =. Funkcija : ( ) ( ) ( ) X Y je surjekcija (surjektivna unkcija, surjektivno ili na preslikavanje) ako je X = Y, tj. ako vrijedi da je svaki element u Y slika barem jednog elementa domene: ( y Y) ( X) y ( = ). Za unkciju : X Y kažemo da je bijekcija (bijektivna unkcija, bijektivno ili - i na preslikavanje) ako je istovremeno injekcija i surjekcija. Sl. 6-4: Dijagrami unkcija Jednakost unkcija Neka su zadane unkcije : X Y, i : X Y. Kažemo da je unkcija jednaka unkciji i pišemo = ako vrijedi:. dom = dom, tj. X = X,. kodom = kodom, tj. Y = Y,. () = (), X, (X = X ). 64

5 Matematika REALNE FUNKCIJE REALNE VARIJABLE Promatrat ćemo uglavnom realne unkcije realne varijable. Za unkciju : X Y kažemo da je realna ako je njezina kodomena podskup skupa realnih brojeva, tj. kodom = Y R. Za kažemo da je unkcija realne varijable ako je njezina domena podskup skupa realnih brojeva, tj. dom = X R. Zadavanje unkcija Funkcije zadajemo:. Tablicom (tabelarno); Tablica sadrži vrijednosti i vrijednosti unkcije ().. Graom (graički); Gra prati promjenu neke veličine npr. o vremenu.. Formulom: a) Eksplicitno; b) Implicitno; c) Parametarski. a) Eksplicitno zadavanje unkcije Ako je pravilo po kojem se vrijednosti npr. od y dobivaju direktno za odbrani, kažemo da je y zadan kao eksplicitna unkcija od. Zapis: y = () Na primjer: y =, y =, y =. + Postavljamo pitanje da li su gornjim ormulama zadane unkcije? Ako je unkcija zadana ormulom i ako nema dodatnih uvjeta, podrazumijeva se: područje vrijednosti (kodomena) je skup realnih brojeva i područje deinicije (domena) je skup svih onih realnih brojeva za koje dana ormula ima smisla, tj. propisane operacije u ormuli daju određenu realnu vrijednost. Tako određeno područje deinicije zovemo i prirodna domena unkcije. Oznaka: dom ili D(). Dakle, gornjim ormulama su dane unkcije : X R, X R. Primjer. ( ) =, D( ) =? + o ) o ) / 65

6 Matematika Domenu zadane unkcije čini skup svih realni brojeva koji zadovoljvaju prvi i drugi uvjet, tj. D( ) = [, ] \. Zadatak: Odrediti prirodnu domenu zadanih unkcija. a) y =, c) = log( ) ( )( 5) b) y = 5 + 6, d) y, y =. + b) Implicitno zadavanje unkcije Funkcija je zadana implicitno ako je dana jednadžba koja sadržava varijable i y, pa se iz nje y određuje rješavanjem jednadžbe, za zadani ili obratno. Prebace li se svi članovi na lijevu stranu jednadžbe, ona prima oblik F (, y) = 0, gdje je lijeva strana neki izraz koji sadržava i y. (, y) = 0 F je opći oblik implicitno zadane unkcije. Primjeri:. y 6 = 0 ; O kojoj se unkciji/ama radi? a) y 6 = 0 y =. K =, y y 6= 0 R R je unkcijski. Dakle, skup ( ) { } b) y 6 = 0 = y +. K = y, y 6= 0 R R je unkcijski. Skup ( ) { }. a) y = + + y = + y = 0 y =. y = b) = + y + y = + y = 0 = y. = y Skup ( ) {, } K = y + y = R R nije unkcijski, ali se mogu izdvojiti potskupovi koji to jesu: ( ) { } K =, + y = odnosno, { ( ) } K = y, y + y = { } R R i ( ) K =, + y = R R, { } R R i ( ) K4 = y, y + y = R R. 66

7 Matematika c) Funkcije zadane parametarski ( ) Funkcija y = zadana je u parametarskom obliku, ako su i y zadani u eksplicitnom obliku kao unkcije neke pomoćne varijable t, koju zovemo parametrom, tj. = ϕ y = ψ () t () t, Svakoj vrijednosti Primjeri: t I R. t I odgovara par vrijednosti, y, odnosno jedna točka ravnine: ( ϕ () t, ψ ( t) ).. Napisati parametarsku jednadžbu pravca y = a + b. = t = t, t R, ili, y = at + b y = a( t ) + b = at + ( b a) t R, itd.. Parametarska jednadžba kružnice: = r cost, t [ 0, π ]. y = r sint Kvadriranjem i zbrajanjem tih dviju jednadžbi slijedi njen implicitni oblik: odavde eksplicitni: y, ± r =. + y = r, a. Parametarska jednadžba elipse: = a cost, t [ 0, π ]. y = b sint y Kvadriranjem i zbrajanjem tih dviju jednadžbi slijedi njen implicitni oblik: + =, a a b b odavde eksplicitni: y, = ± a. a 4. Parametarska jednadžba cikloide: = r ( t sint), t [ 0, π ]. y = r ( cost) Cikloida je krivulja koju opisuje točka kružnice polumjera r kad se kružnica kotrlja po pravcu bez klizanja, pri čemu je t kut za koji se zarotirala kružnica. Sl

8 Matematika 5. Parametarska jednadžba astroide: t = acos 4, t [ 0, 8π ]. t y = a sin 4 Astroida je krivulja koju opisuje točka kružnice kad se kružnica kotrlja po drugoj kružnici pri čemu je omjer m polumjera iksne i rotirajuće kružnice jednak 4. a - polumjer iksne kružnice b - polumjer rotirajuće kružnice t kut za koji se zarotirala kružnica a = m - omjer polumjera iksne i rotirajuće kružnice b Sl. 6-6 Općenito, ako se kružnica kotrlja izvana epicikloida, ako se kotrlja iznutra hipocikloida. Napomena: Implicitna jednadžba astroide (koja se dobije eliminacijom parametra t) glasi + y = a. Algebarske operacije s unkcijama Neka su zadane dvije unkcije,g: X R, i neka je r R. Tada su ( ( ) 0 ) + g, g, g, g, X,r nove unkcije iz X u R deinirane ormulama: g. ( + g)( ) = ( ) + g( ), zbroj unkcija;. ( g)( ) = ( ) g( ), razlika unkcija;. ( g)( ) = ( ) g( ), produkt unkcija; ( ) 4. ( ) = g g( ) ( r )( ) = r ( ), kvocijent unkcija; 5., umnožak unkcije brojem. 68

9 Matematika Monotonost unkcije Neka je : X R, X R. Ako vrijedi, X, < ( ) < ( ), je strogo rastuća unkcija;, X, < ( ) ( ), je rastuća unkcija;, X, < ( ) > ( ), je strogo padajuća unkcija;, X, <, je padajuća unkcija. ( ) ( ) Za unkciju kažemo da je monotona ako je rastuća ili padajuća, odnosno strogo monotona ako je strogo rastuća ili strogo padajuća unkcija. Funkcija : X R je po dijelovima monotona ako se svaki konačni interval iz domene može rastaviti na konačno mnogo intervala na kojima je unkcija monotona. Napomena: Veza stroge monotonosti i injektivnosti unkcije! Parnost i neparnost unkcije Neka je : X R, gdje je domena X simetrična s obzirom na ishodište koordinatnog sustava, tj. dom dom. Za unkciju kažemo da je parna ako je odnosno neparna ako je ( ) ( ), X =, ( ) = ( ), X. Slijedi da je gra parne unkcije simetričan s obzirom na os y, a da je gra neparne unkcije centralno simetričan s obzirom na ishodište koordinatnog sustava. Sl

10 Matematika Omeđenost unkcije Funkcija : X R, X R je omeđena (ograđena ili ograničena) ako je slika unkcije ( X ) = { ( ) X } omeđena, tj. ako postoje brojevi mm, R takvi da je ( ) M, X m. Gra unkcije se nalazi između pravaca y = m i y = M. Periodične unkcije Funkcija : X R, X R, je periodična ako postoji broj p R, p 0 takav da je Broj p zovemo period unkcije. ( ) ( + k p) =, k Z. Primjer: y = sin, period π = = π π y = sin(n), period p n p l = sin( + k π ) sin, π = l ( ) sin n = sin n + k. n Linearne transormacije graa Neka je dana unkcija { } y = ( ) i neka nam je poznat njen gra G = (, ( ) ) X. Kako konstruirati gra unkcije y = ( β + a) + b α iz zadanog graa unkcije y =? - Gra unkcije y = ( + a), a > 0 (a < 0), dobiva se iz graa unkcije y = ( ) njegovom translacijom ulijevo (udesno), duž osi, za vrijednost a. = ( ) b ( ) - Gra unkcije y +, b > 0 (b < 0), dobiva se iz graa unkcije y = njegovom translacijom duž osi y u pozitivnom smjeru (u negativnom smjeru), za vrijednost b. ( ) Sl. 6-8: Neke linearne transormacije graa 70

11 Matematika - Točke graa unkcije y = ( β ), dobivaju se zamjenom točke (, ) G točkom 0 a, y 0. Mogućnosti su sljedeće: a) β = - simetrija s obzirom na os y; b) β > skupljanje (suženje) graa G β puta u smjeru osi. U slučaju da je β negativan transormacija je praćena i simetrijom s obzirom na os y; c) β <, β 0 rastezanje (proširenje) graa G β puta u smjeru osi. U slučaju da je β negativan transormacija je praćena i simetrijom prema osi y. - Slično prethodnom, za dobivanje graa unkcije y α ( ) a) α = - simetrija s obzirom na os ; 0 y 0 =, mogućnosti su sljedeće: b) α > rastezanje (proširenje) graa G α puta u smjeru osi y. U slučaju da je α negativan transormacija je praćena i simetrijom s obzirom na os ; c) α <, α 0 skupljanje (suženje) graa G α puta u smjeru osi y. U slučaju da je α negativan transormacija je praćena i simetrijom prema osi. - Do graa unkcije y = ( β + a) + b α dolazimo kombinacijom gornjih postupaka. KOMPOZICIJA FUNKCIJA Kompozicija unkcija ili slaganje unkcija je najopćenitija, najprirodnija i najvažnija operacija nad unkcijama! Deinicija Neka su X, Y neprazni skupovi i neka su : X R, g: Y R unkcije zadane na X odnosno Y sa vrijednostima u R. Ako je slika unkcije sadržana u skupu Y, tj. X je sa h = g = g, ( ) ( )( ) ( ( )) X dana unkcija h: X R koja se naziva kompozicija unkcija i g. ( ) Y tada Sl. 6-9: Kompozicija unkcija i g 7

12 Matematika + Primjer: Odrediti kompozicije g, g unkcija ( ) = + + ( )( ) ( ( )) g = g = g = = = +, + + ( g)( ) = ( g( ) ) = = = =. Napomena: općenito je g g. i ( ) Zadatak: Odrediti tražene kompozicije zadanih unkcija. 4 ( ) =, g ( ) =, h( ) = + ; g =?, g =?, g h =?, h g =?, h g =? g =. Teorem Neke su dane unkcije : X kompozicije h g, h g, ( h g) = h ( g ). X, g : X X, h : X X 4 ( ) g, h ( g ). Tada vrijedi: i neka su deinirane Dokaz. Budući da je ( X ) X, a unkcija g je deinirana na X, kompozicija g je dobro deinirana. Analogno za ostale. Provjerimo dalje da vrijedi: [( h g) ]( ) = [ h ( g )]( ), X. Prema deiniciji kompozicije, [( h g) ]( ) = ( h g) ( ) = h ( g ( ( ) )) [ h ( g )]( ) = h( ( g )( ) ) = h( g ( ( ) )), odnosno. 7

13 Matematika INVERZNA FUNKCIJA Neka je : X Y injektivna unkcija, tj., X, ( ) ( ) ( ) ( ) = =. Promatramo li gra unkcije, zbog gornje ormule je on unkcijski s obzirom na os i s obzirom na os y. Zbog toga možemo deinirati novu unkciju koja elementima iz ( X ) pridružuje elemente iz X. Deinicija Neka je : X Y injektivna unkcija. Svakom elementu y ( X ) pridružimo jednoznačno element X koji se s preslikava u y i označimo ga = y. Ovako deiniranu unkciju : ( X ) X nazivamo inverznom unkcijom unkcije. Ako je bijekcija, onda je ( X ) = Y, pa je : Y X. Napomena: Gra unkcije dane ormulom y = ( ) i gra unkcije dane ormulom = ( y), kad y primi sve vrijednosti iz ( ) X, se podudaraju, tj. oni su isti skup točaka u ravnini ( G G. Međutim, uobičajeno je da se kod crtanja graa argument (nezavisna ) varijabla) unkcije označi sa, pa tako za inverznu unkciju imamo: {( ( )) ( )} G =, X. Slijedi da su graovi G i simetrični s obzirom na pravac y =. Vidi sliku 6-0! G ( ) Sl. 6-0: Graovi unkcija i - Iz deinicije inverzne unkcije slijedi da je ispunjeno:. ( )( ) = ( ( ) ) = ( y) =, tj. ( ) = i, gdje je i identitata na, 7

14 Matematika. ( )( y) = ( y) ( ) = ( ) y = ( ) y, tj. = i, gdje je i y identitata na y, a osim toga je ispunjeno i. Ako su, g dvije unkcije, g njihova kompozicija, tada vrijedi: ( ) g = g. Teorem Neka je : X R, X R strogo monotona unkcija. Tada vrijedi: ) ima inverznu unkciju ; X ; ) Ako strogo raste na domeni X, onda strogo raste na ( ) ) Ako strogo pada na domeni X, onda strogo pada na ( X ). Dokaz. Ad ) je strogo monotona unkcija (, X ) < ( ) < ( ) ili (, X ) < ( ) > ( ), odakle slijedi injektivnost unkcije, čime je tvrdnja dokazana. Ad ) Tvrdimo: ( < ( ) < ( )) y < y ( y ) < ( y ). Pretpostavimo suprotno: ( < ( ) < ( )) ( ) ( ( y) ( y) / ( y ) y y y, što je suprotno pretpostavci. ( ) ( ( )) Dakle, tvrdnja je istinita. Ad ) Analogno prethodnom. Teorem Ako za unkciju y = ( ) postoji inverzna unkcija y g( ) y < y & y y ). =, ona je jedinstvena. Dokaz. Pretpostavimo suprotno, tj. da postoje barem dva inverza. Neka su to unkcije g i g za koje vrijedi: g g, g = i, g = i g = i, g = i. (*) ( ) ( ) y, odnosno ( ) ( ) Želimo dokazati da je y Y, g ( y) = g ( y). Upotrebom jednakosti sadžanih u (*), slijedi: g y = i g y = i g y = g g y = g g y = ( ) ( ( )) ( )( ) (( ) )( ) ( ( ))( ) ( y)( ) y ( ) čime je tvrdnja dokazana. ( ) ( ) = g i y = g i y = g y y, 74

15 Matematika Zadatak: Odrediti inverzne unkcije danih unkcija. a) ( ) = 5, b) ( ) = +, c) ( ), d) ( ) log Ad b) y = + = + Zamijenimo mjesta varijablama i y l = y + Izrazimo y kao unkciju od l = y Slika graa zadane unkcije i dobivenih inverznih unkcija: y y, = y = = ± + + =. 75

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D} Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija

Διαβάστε περισσότερα

4 Funkcije. 4.1 Pojam funkcije

4 Funkcije. 4.1 Pojam funkcije 4 Funkcije 4.1 Pojam unkcije Neka su i neprazni skupovi i pravilo koje svakom elementu skupa pridružuje točno jedan element skupa. Tada se uredena trojka (,, ) naziva preslikavanje ili unkcija sa skupa

Διαβάστε περισσότερα

( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Zadatak 08 (Vedrana, maturantica) Je li unkcija () = cos (sin ) sin (cos ) parna ili neparna? Rješenje 08 Funkciju = () deiniranu u simetričnom području a a nazivamo: parnom, ako je ( ) = () neparnom,

Διαβάστε περισσότερα

3 Funkcije. 3.1 Pojam funkcije

3 Funkcije. 3.1 Pojam funkcije 3 Funkcije 3.1 Pojam unkcije Neka su i neprazni skupovi i pravilo koje svakom elementu skupa pridružuje točno jedan element skupa. Tada se uredena trojka (,, ) naziva preslikavanje ili unkcija sa skupa

Διαβάστε περισσότερα

Matematička analiza 1 dodatni zadaci

Matematička analiza 1 dodatni zadaci Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka

Διαβάστε περισσότερα

Pojam funkcije. Funkcija, preslikavanje, pridruživanje, transformacija

Pojam funkcije. Funkcija, preslikavanje, pridruživanje, transformacija Funkcije Pojam unkcije Funkcija, preslikavanje, pridruživanje, transormacija Primjer.: a) Odredite površinu kvadrata kojem je stranica 5cm. b) Odredite površinu pravokutnika sa stranicama duljine 7 i 5.

Διαβάστε περισσότερα

Teorijske osnove informatike 1

Teorijske osnove informatike 1 Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija

Διαβάστε περισσότερα

9. GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE

9. GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE Geodetski akultet, dr sc J Beban-Brkić Predavanja iz Matematike 9 GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE Granična vrijednost unkcije kad + = = Primjer:, D( )

Διαβάστε περισσότερα

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.

Διαβάστε περισσότερα

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A. 3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1. TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)

Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva

Διαβάστε περισσότερα

1.4 Tangenta i normala

1.4 Tangenta i normala 28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije Sadržaj: Pojam funkcije, svojstva, operacija s funkcijama, zadavanje funkcije Pregled osnovnih elementarnih funkcija: Polinomi Racionalne

Funkcije Sadržaj: Pojam funkcije, svojstva, operacija s funkcijama, zadavanje funkcije Pregled osnovnih elementarnih funkcija: Polinomi Racionalne Funkcije Sadržaj: Pojam funkcije, svojstva, operacija s funkcijama, zadavanje funkcije Pregled osnovnih elementarnih funkcija: Polinomi Racionalne funkcije Iracionalne funkcije Potencije Eksponencijalne

Διαβάστε περισσότερα

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα

Operacije s matricama

Operacije s matricama Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M

Διαβάστε περισσότερα

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,

Διαβάστε περισσότερα

3. poglavlje (korigirano) F U N K C I J E

3. poglavlje (korigirano) F U N K C I J E . Funkcije (sa svim korekcijama) 5. poglavlje (korigirano) F U N K C I J E U ovom poglavlju: Elementarne unkcije Inverzne unkcije elementarnih unkcija Domena složenih unkcija Inverz složenih unkcija Ispitivanje

Διαβάστε περισσότερα

VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1

VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1 VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1 Ivana Baranović Miroslav Jerković Lekcija 8 Pojam funkcije, grafa i inverzne funkcije Poglavlje 1 Funkcije Neka su X i Y dva neprazna skupa. Ako je po nekom pravilu, ozna imo ga

Διαβάστε περισσότερα

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za

Διαβάστε περισσότερα

7 Algebarske jednadžbe

7 Algebarske jednadžbe 7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.

Διαβάστε περισσότερα

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011. INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA

Διαβάστε περισσότερα

( , 2. kolokvij)

( , 2. kolokvij) A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.

Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015. Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz Osnova matematike

Zadaci iz Osnova matematike Zadaci iz Osnova matematike 1. Riješiti po istinitosnoj vrijednosti iskaza p, q, r jednačinu τ(p ( q r)) =.. Odrediti sve neekvivalentne iskazne formule F = F (p, q) za koje je iskazna formula p q p F

Διαβάστε περισσότερα

Funkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1.

Funkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1. σ-algebra skupova Definicija : Neka je Ω neprazan skup i F P(Ω). Familija skupova F je σ-algebra skupova na Ω ako vrijedi:. F, 2. A F A C F, 3. A n, n N} F n N A n F. Borelova σ-algebra Definicija 2: Neka

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja

radni nerecenzirani materijal za predavanja Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Elementarne funkcije

4.1 Elementarne funkcije . Elementarne funkcije.. Polinomi Funkcija f : R R zadana formulom f(x) = a n x n + a n x n +... + a x + a 0 gdje je n N 0 te su a n, a n,..., a, a 0 R, zadani brojevi takvi da a n 0 naziva se polinom

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova) MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile

Διαβάστε περισσότερα

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1; 1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,

Διαβάστε περισσότερα

Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke.

Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. 1. Duljine dijagonala paralelograma jednake su 6,4 cm i 11 cm, a duljina jedne njegove

Διαβάστε περισσότερα

Neka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka.

Neka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. Neka je a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. 1 Normiranje jednadžbe. Jednadžbu podijelimo s a 3 i dobivamo x 3 +

Διαβάστε περισσότερα

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe

Διαβάστε περισσότερα

Geodetski fakultet, dr. sc. J. Beban-Brkić Predavanja iz Matematike DERIVACIJA

Geodetski fakultet, dr. sc. J. Beban-Brkić Predavanja iz Matematike DERIVACIJA Geodetski akultet dr sc J Beban-Brkić Predavanja iz Matematike DERIVACIJA Pojam derivacije Glavne ideje koje su vodile do današnjeg shvaćanja derivacije razvile su se u 7 stoljeću kada i započinje razvoj

Διαβάστε περισσότερα

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2. Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo:

Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo: 2 Skupovi Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo: A B def ( x)(x A x B) Kažemo da su skupovi A i

Διαβάστε περισσότερα

Glava 1. Realne funkcije realne promen ive. 1.1 Elementarne funkcije

Glava 1. Realne funkcije realne promen ive. 1.1 Elementarne funkcije Glava 1 Realne funkcije realne promen ive 1.1 Elementarne funkcije Neka su dati skupovi X i Y. Ukoliko svakom elementu skupa X po nekom pravilu pridruimo neki, potpuno odreeni, element skupa Y kaemo da

Διαβάστε περισσότερα

1 Promjena baze vektora

1 Promjena baze vektora Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis

Διαβάστε περισσότερα

6 Primjena trigonometrije u planimetriji

6 Primjena trigonometrije u planimetriji 6 Primjena trigonometrije u planimetriji 6.1 Trgonometrijske funkcije Funkcija sinus (f(x) = sin x; f : R [ 1, 1]); sin( x) = sin x; sin x = sin(x + kπ), k Z. 0.5 1-6 -4 - -0.5 4 6-1 Slika 3. Graf funkcije

Διαβάστε περισσότερα

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3

Διαβάστε περισσότερα

ISPITNI ZADACI FORMULE. A, B i C koeficijenti (barem jedan A ili B različiti od nule)

ISPITNI ZADACI FORMULE. A, B i C koeficijenti (barem jedan A ili B različiti od nule) FORMULE Implicitni oblik jednadžbe pravca A, B i C koeficijenti (barem jedan A ili B različiti od nule) Eksplicitni oblik jednadžbe pravca ili Pravci paralelni s koordinatnim osima - Kada je u općoj jednadžbi

Διαβάστε περισσότερα

1 Pojam funkcije. f(x)

1 Pojam funkcije. f(x) Pojam funkcije f : X Y gde su X i Y neprazni skupovi (X - domen, Y - kodomen) je funkcija ako ( X)(! Y )f() =, (za svaki element iz domena taqno znamo u koji se element u kodomenu slika). Domen funkcije

Διαβάστε περισσότερα

2. Ako je funkcija f(x) parna onda se Fourierov red funkcije f(x) reducira na Fourierov kosinusni red. f(x) cos

2. Ako je funkcija f(x) parna onda se Fourierov red funkcije f(x) reducira na Fourierov kosinusni red. f(x) cos . KOLOKVIJ PRIMIJENJENA MATEMATIKA FOURIEROVE TRANSFORMACIJE 1. Za periodičnu funkciju f(x) s periodom p=l Fourierov red je gdje su a,a n, b n Fourierovi koeficijenti od f(x) gdje su a =, a n =, b n =..

Διαβάστε περισσότερα

1. Trigonometrijske funkcije

1. Trigonometrijske funkcije . Trigonometrijske funkcije . Trigonometrijske funkcije.. Ponovimo Brojevna kružnica Kružnicu k polumjera smjestimo u koordinatnu ravninu tako da joj je središte u ishodištu. Na kružnicu k prislonimo brojevni

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije Materijali za nastavu iz Matematike 1

Funkcije Materijali za nastavu iz Matematike 1 Funkcije Materijali za nastavu iz Matematike 1 Kristina Krulić Himmelreich i Ksenija Smoljak 2012/13 1 / 76 Definicija funkcije Funkcija iz skupa X u skup Y je svako pravilo f po kojemu se elementu x X

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA 1 8. domaća zadaća: RADIJVEKTORI. ALGEBARSKE OPERACIJE S RADIJVEKTORIMA. LINEARNA (NE)ZAVISNOST SKUPA RADIJVEKTORA.

MATEMATIKA 1 8. domaća zadaća: RADIJVEKTORI. ALGEBARSKE OPERACIJE S RADIJVEKTORIMA. LINEARNA (NE)ZAVISNOST SKUPA RADIJVEKTORA. Napomena: U svim zadatcima O označava ishodište pravokutnoga koordinatnoga sustava u ravnini/prostoru (tj. točke (0,0) ili (0, 0, 0), ovisno o zadatku), označava skalarni umnožak, a vektorski umnožak.

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJA TROKUTA

TRIGONOMETRIJA TROKUTA TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA I 1.kolokvij zadaci za vježbu I dio

MATEMATIKA I 1.kolokvij zadaci za vježbu I dio MATEMATIKA I kolokvij zadaci za vježbu I dio Odredie c 0 i kosinuse kueva koje s koordinanim osima čini vekor c = a b ako je a = i + j, b = i + k Odredie koliki je volumen paralelepipeda, čiji se bridovi

Διαβάστε περισσότερα

Neka su A i B proizvoljni neprazni skupovi. Korespondencija iz skupa A u skup B definiše se kao proizvoljan podskup f Dekartovog proizvoda A B.

Neka su A i B proizvoljni neprazni skupovi. Korespondencija iz skupa A u skup B definiše se kao proizvoljan podskup f Dekartovog proizvoda A B. Korespondencije Neka su A i B proizvoljni neprazni skupovi. Korespondencija iz skupa A u skup B definiše se kao proizvoljan podskup f Dekartovog proizvoda A B. Pojmovi B pr 2 f A B f prva projekcija od

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai

Διαβάστε περισσότερα

Elementi spektralne teorije matrica

Elementi spektralne teorije matrica Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički

Διαβάστε περισσότερα

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012 Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)

Διαβάστε περισσότερα

Determinante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a.

Determinante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a. Determinante Determinanta A deta je funkcija definirana na skupu svih kvadratnih matrica, a poprima vrijednosti iz skupa skalara Osim oznake deta za determinantu kvadratne matrice a 11 a 12 a 1n a 21 a

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika

Διαβάστε περισσότερα

2.7 Primjene odredenih integrala

2.7 Primjene odredenih integrala . INTEGRAL 77.7 Primjene odredenih integrala.7.1 Računanje površina Pořsina lika omedenog pravcima x = a i x = b te krivuljama y = f(x) i y = g(x) je b P = f(x) g(x) dx. a Zadatak.61 Odredite površinu

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )

Διαβάστε περισσότερα

Dijagonalizacija operatora

Dijagonalizacija operatora Dijagonalizacija operatora Problem: Može li se odrediti baza u kojoj zadani operator ima dijagonalnu matricu? Ova problem je povezan sa sljedećim pojmovima: 1 Karakteristični polinom operatora f 2 Vlastite

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) Zadatak 001 (Ines, hotelijerska škola) Ako je tg x = 4, izračunaj

( ) ( ) Zadatak 001 (Ines, hotelijerska škola) Ako je tg x = 4, izračunaj Zadaak (Ines, hoelijerska škola) Ako je g, izračunaj + 5 + Rješenje Korisimo osnovnu rigonomerijsku relaciju: + Znači svaki broj n možemo zapisai n n n ( + ) + + + + 5 + 5 5 + + + + + 7 + Zadano je g Tangens

Διαβάστε περισσότερα

Osnovne teoreme diferencijalnog računa

Osnovne teoreme diferencijalnog računa Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako

Διαβάστε περισσότερα

6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom

6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom 6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom p(x) = a n x n + a n 1 x n 1 +... + a 1 x + a 0, gdje su a 0, a 1,..., a n realni brojevi, a n 0, i n prirodan broj ili 0, naziva se polinom n-tog stupnja s

Διαβάστε περισσότερα

( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova)

( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova) A MATEMATIKA (.6.., treći kolokvij. Zadana je funkcija z = e + + sin(. Izračunajte a z (,, b z (,, c z.. Za funkciju z = 3 + na dite a diferencijal dz, b dz u točki T(, za priraste d =. i d =.. c Za koliko

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Realni brojevi i realne funkcije jedne realne varijable

Riješeni zadaci: Realni brojevi i realne funkcije jedne realne varijable Riješeni zadaci: Realni brojevi i realne funkcije jedne realne varijable Infimum i supremum skupa Zadatak 1. Neka je S = (, 1) [1, 7] {10}. Odrediti: (a) inf S, (b) sup S. (a) inf S =, (b) sup S = 10.

Διαβάστε περισσότερα

M086 LA 1 M106 GRP Tema: Uvod. Operacije s vektorima.

M086 LA 1 M106 GRP Tema: Uvod. Operacije s vektorima. M086 LA 1 M106 GRP Tema:.. 5. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 2 M086 LA 1, M106 GRP.. 2/17 P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/

Διαβάστε περισσότερα

Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)

Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.) Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni

Διαβάστε περισσότερα

1. zadatak , 3 Dakle, sva kompleksna re{ewa date jedna~ine su x 1 = x 2 = 1 (dvostruko re{ewe), x 3 = 1 + i

1. zadatak , 3 Dakle, sva kompleksna re{ewa date jedna~ine su x 1 = x 2 = 1 (dvostruko re{ewe), x 3 = 1 + i PRIPREMA ZA II PISMENI IZ ANALIZE SA ALGEBROM. zadatak Re{avawe algebarskih jedna~ina tre}eg i ~etvrtog stepena. U skupu kompleksnih brojeva re{iti jedna~inu: a x 6x + 9 = 0; b x + 9x 2 + 8x + 28 = 0;

Διαβάστε περισσότερα

Neprekinute funkcije i limesi Definicija neprekinute funkcije i njen odnos prema limesu Asimptote Svojstva neprekinutih funkcija

Neprekinute funkcije i limesi Definicija neprekinute funkcije i njen odnos prema limesu Asimptote Svojstva neprekinutih funkcija Sadržaj: Nizovi brojeva Pojam niza Limes niza. Konvergentni nizovi Neki važni nizovi. Broj e. Limes funkcije Definicija esa Računanje esa Jednostrani esi Neprekinute funkcije i esi Definicija neprekinute

Διαβάστε περισσότερα

x + t x 2 x t x 2 t x = + x + = + x + = t 2. 3 y y [x množi cijelu zagradu] y y 2 x [na lijevu stranu prebacimo nepoznanicu y] [izlučimo 3 y ] x x x

x + t x 2 x t x 2 t x = + x + = + x + = t 2. 3 y y [x množi cijelu zagradu] y y 2 x [na lijevu stranu prebacimo nepoznanicu y] [izlučimo 3 y ] x x x Zadatak 00 (Sanja, gimnazija) Odredi realnu funkciju f() ako je f ( ) = Rješenje 00 Uvedemo supstituciju (zamjenu varijabli) = t Kvadriramo: t t t = = = = t Uvrstimo novu varijablu u funkciju: f(t) = t

Διαβάστε περισσότερα

5. PARCIJALNE DERIVACIJE

5. PARCIJALNE DERIVACIJE 5. PARCIJALNE DERIVACIJE 5.1. Izračunajte parcijalne derivacije sljedećih funkcija: (a) f (x y) = x 2 + y (b) f (x y) = xy + xy 2 (c) f (x y) = x 2 y + y 3 x x + y 2 (d) f (x y) = x cos x cos y (e) f (x

Διαβάστε περισσότερα

f(x) = a x, 0<a<1 (funkcija strogo pada)

f(x) = a x, 0<a<1 (funkcija strogo pada) Eksponencijalna funkcija (baze a) f() a, a > 0, a domena D(f) R; slika funkcije f(d) (0,+ ); nema nultočaka, jer je a > 0, za sve R; graf G(f) je krivulja u ravnini prikazana na slici desno; f() a, 0

Διαβάστε περισσότερα

Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu

Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Osječki matematički list 000), 5 9 5 Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Šefket Arslanagić Alija Muminagić Sažetak. U radu se navodi nekoliko različitih dokaza jedne poznate

Διαβάστε περισσότερα

ELEMENTARNE FUNKCIJE dr Jelena Manojlović Prirodno-matematički fakultet, Niš

ELEMENTARNE FUNKCIJE dr Jelena Manojlović Prirodno-matematički fakultet, Niš 1 1. Osnovni pojmovi ELEMENTARNE FUNKCIJE dr Jelena Manojlović Prirodno-matematički fakultet, Niš Jedan od najvažnijih pojmova u matematici predstavlja pojam funkcije. Definicija 1.1. Neka su X i Y dva

Διαβάστε περισσότερα

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda

Διαβάστε περισσότερα

16 Lokalni ekstremi. Definicija 16.1 Neka je A R n otvoren, f : A R i c A. Ako postoji okolina U(c) od c na kojoj je f(c) minimum

16 Lokalni ekstremi. Definicija 16.1 Neka je A R n otvoren, f : A R i c A. Ako postoji okolina U(c) od c na kojoj je f(c) minimum 16 Lokalni ekstremi Važna primjena Taylorovog teorema odnosi se na analizu lokalnih ekstrema (minimuma odnosno maksimuma) relanih funkcija (više varijabli). Za n = 1 i f : a,b R ako funkcija ima lokalni

Διαβάστε περισσότερα

2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1

2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1 2 cos(3 π 4 ) sin( + π 6 ). 2. Pomoću linearnih transformacija funkcije f nacrtajte graf funkcije g ako je, g() = 2f( + 3) +. 3. Odredite domenu funkcije te odredite f i njenu domenu. log 3 2 + 3 7, 4.

Διαβάστε περισσότερα

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati

Διαβάστε περισσότερα

4 Elementarne funkcije

4 Elementarne funkcije 4 Elementarne funkcije 4. Polinom Funkcija f : R R zadana formulom f(x) = a n x n + a n x n +... + a x + a 0 gdje je n N 0 te su a n, a n,..., a, a 0 R, zadani brojevi takvi da a n 0 naziva se polinom

Διαβάστε περισσότερα

1 Aksiomatska definicija skupa realnih brojeva

1 Aksiomatska definicija skupa realnih brojeva 1 Aksiomatska definicija skupa realnih brojeva Definicija 1 Polje realnih brojeva je skup R = {x, y, z...} u kojemu su definirane dvije binarne operacije zbrajanje (oznaka +) i množenje (oznaka ) i jedna binarna

Διαβάστε περισσότερα

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti). PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo

Διαβάστε περισσότερα

Analitička geometrija i linearna algebra

Analitička geometrija i linearna algebra 1. VEKTORI POJAM VEKTORA Svakodnevno se susrećemo s veličinama za čije je određivanje potrean samo jedan roj. Na primjer udaljenost, površina, volumen,. Njih zovemo skalarnim veličinama. Međutim, postoje

Διαβάστε περισσότερα

1. Trigonometrijske funkcije realnog broja

1. Trigonometrijske funkcije realnog broja 1. Trigonometrijske funkcije realnog broja 1. Brojevna kružnica... 1 7.Adicijskeformule.... Definicija trigonometrijskih funkcija....... 8. Još neki identiteti.......... 9. Trigonometrijske funkcije kutova........

Διαβάστε περισσότερα

numeričkih deskriptivnih mera.

numeričkih deskriptivnih mera. DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,

Διαβάστε περισσότερα

PRAVAC. riješeni zadaci 1 od 8 1. Nađite parametarski i kanonski oblik jednadžbe pravca koji prolazi točkama. i kroz A :

PRAVAC. riješeni zadaci 1 od 8 1. Nađite parametarski i kanonski oblik jednadžbe pravca koji prolazi točkama. i kroz A : PRAVAC iješeni adaci od 8 Nađie aameaski i kanonski oblik jednadžbe aca koji olai očkama a) A ( ) B ( ) b) A ( ) B ( ) c) A ( ) B ( ) a) n a AB { } i ko A : j b) n a AB { 00 } ili { 00 } i ko A : j 0 0

Διαβάστε περισσότερα

POVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA

POVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA POVRŠIN TNGENIJLNO-TETIVNOG ČETVEROKUT MLEN HLP, JELOVR U mnoštvu mnogokuta zanimljiva je formula za površinu četverokuta kojemu se istoobno može upisati i opisati kružnica: gje su a, b, c, uljine stranica

Διαβάστε περισσότερα

> 0 svakako zadovoljen.

> 0 svakako zadovoljen. Elektrotehnički fakultet u Sarajevu akademska 0/3 ŠIFRA KANDIDATA _ Zadatak Za koje vrijednosti parametra ( ) + 3 = 0 m x mx oba iz skupa i suprotnog znaka? m su rješenja kvadratne jednačine a) m > 3 b)

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije. Helena Kmetić. 6. srpnja 2016.

Funkcije. Helena Kmetić. 6. srpnja 2016. Funkcije Helena Kmetić 6. srpnja 016. Sadržaj 1 Uvod 1.1 Klasifikacija realnih funkcija pomoću grafa............. 3 1. Apsolutna vrijednost i udaljenost.................. 4 Funkcije 6.1 Linearne funkcije...........................

Διαβάστε περισσότερα

RADIJVEKTORI. ALGEBARSKE OPERACIJE S RADIJVEKTORIMA. LINEARNA (NE)ZAVISNOST SKUPA RADIJVEKTORA.

RADIJVEKTORI. ALGEBARSKE OPERACIJE S RADIJVEKTORIMA. LINEARNA (NE)ZAVISNOST SKUPA RADIJVEKTORA. Napomena: U svim zadatcima O označava ishodište pravokutnoga koordinatnoga sustava u ravnini/prostoru (tj. točke (0,0) ili (0, 0, 0), ovisno o zadatku), označava skalarni umnožak, a vektorski umnožak.

Διαβάστε περισσότερα

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2

MATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2 (kompleksna analiza, vježbe ). Izračunajte a) (+i) ( i)= b) (i+) = c) i + i 4 = d) i+i + i 3 + i 4 = e) (a+bi)(a bi)= f) (+i)(i )= Skicirajte rješenja u kompleksnoj ravnini.. Pokažite da za konjugiranje

Διαβάστε περισσότερα

Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1

Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1 Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log

Διαβάστε περισσότερα

KONVEKSNI SKUPOVI. Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5. Back FullScr

KONVEKSNI SKUPOVI. Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5. Back FullScr KONVEKSNI SKUPOVI Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5 KONVEKSNI SKUPOVI Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5 1. Neka su x, y R n,

Διαβάστε περισσότερα