KURS ZA ENERGETSKI AUDIT 7

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "KURS ZA ENERGETSKI AUDIT 7"

Transcript

1 KURS ZA ENERGETSKI AUDIT 7 EKONOMIJA ENERGETSKE EFIKASNOSTI Dr Dečan Ivanović

2 Ekonomija energetske efikasnosti Inženjeri posmatraju energetiku gotovo uvijek sa aspekta tehnologije energetskih transformacija, odnosno fizičkih i hemijskih procesa koji su osnova tih transformacija, često se koncentrišući na pojmu energetske efikasnosti. Međutim, investicione odluke se u energetici, kao i u svakom drugom sektoru privrede, donose na temelju ekonomske efikasnosti pojedine tehnologije.

3 Ekonomija energetske efikasnosti Često će optimalni dizajn sa strane energetske efikasnosti biti različit od optimuma gledano sa strane ekonomske efikasnosti. Neophodno je da inženjer poznaje tehnike ekonomskog vrednovanja projekata, da bi mogao naći takvu varijantu investicije, koja će najbolje zadovoljavati uslove ekonomske efikasnosti, a da će i daljebitienergetskiefikasna. Prilike za investiranje u energetske projekte mogu se svesti na sljedeće slučajeve: - Trošak predložene metode smanjenja korišćenja energije treba uporediti s troškom neke druge metode smanjenja korišćenja energije. - Treba procijeniti da li su očekivane uštede u energiji vrijedne početne investicije. - Potrebno je uporediti i procijeniti moguće alternativne mjere s troškovima energije kada su one veliki dio ukupnih operativnih troškova.

4 EKONOMIJA ENERGETSKE EFIKASNOSTI Vrijednost novca u vremenu Buduća vrijednost novca je u principu nepoznata jer zavisi od mogo faktora. To su tkzv. Faktori rizika. Da bi se zajmodavac osigurao od gubitka koji sa sobom nosi potencijalni rizik, uvode se INTERESNE stope (kamate).

5 EKONOMIJA ENERGETSKE EFIKASNOSTI Faktori rizika U načelu postoje 3 faktora rizika kada se radi o vrijednosti novca u budućem vremenu: a.sistemski b.regulatorni c.inflacija.

6 c. Inflacioni -Buduća inflacija (koja je nepoznata) dovodi do pada kupovne moći, odnosno do gubitka vrijednosti novca tokom vremena. EKONOMIJA ENERGETSKE EFIKASNOSTI Faktori rizika a. Sistemski se vezuje za mogućnost da korisnik neće biti u stanju da vrati pozajmljeni novac, b. Regulatorni - Buduće izmjene u propisimamonetarnoj politici, porezima i sl. mogu umanjiti predvidjenu količinu pozajmljenog novca koji se vraća,

7 EKONOMIJA ENERGETSKE EFIKASNOSTI Interesna stopa predstavlja kompenzaciju kojom se pokriva rizik promjene vrijednosti novca u budućem vremenu. Postoje dvije vrste Interesne stope: Nominalna (i) uključuje sva tri rizika (a, b i c), Realna (r) uključuje samo prva dva (a i b, ne uključuje inflaciju) i predstavlja način mjerenja vrijednosti novca u vremenu. Ova stopa se propisuje na odgovarajućem nivou i služi kao osnova u medjubankarskim relacijama.

8 EKONOMIJA ENERGETSKE EFIKASNOSTI VEZA MEDJU INTERESNIM STOPAMA Fišerova relacija [1+Nominalna(i)]=[1+Realna(r)][1+Stopa Inflacije(π)] (1+i)=(1+r)(1+π), tj. nakon množenja se dobija: 0 ili (1+i)=1+r+π+r π i r + π, r i π.

9 EKONOMIJA ENERGETSKE EFIKASNOSTI 1. Metoda sadašnje vrijednosti novca (Net Present Value - NPV) Novac B koji imamo u ovom trenutku, gubiće vrijednost tokom vremena. Realna vrijednost će biti na kraju I god. B/(1+i), na kraju II god. B/(1+i) 2 na kraju III god. B/(1+i) 2, odnosno svake godine će se umanjivati za faktor (1+i). Ako ne uzimamo u obzir inflaciju, taj faktor je (1+r).

10 EKONOMIJA ENERGETSKE EFIKASNOSTI Metode procjene profitabilnosti 1. Metoda sadašnje vrijednosti novca (Net Present Value Method - NPV) 2. Metoda otplate (Payback Method - PB) 3. Metoda otplate na bazi NPV (Pay-off PO) 4. Unutrašnja stopa povrata (Internal Rate of Return - IRR) 5. Koeficijent sadašnje vrijednosti novca (Net Present Value Method Quotient - NPVQ)

11 EKONOMIJA ENERGETSKE EFIKASNOSTI 1. Metoda sadašnje vrijednosti novca (Net Present Value - NPV) Na primjer, novac B koji treba da dobijemo na kraju 4. godine ima realnu vrijednost u ovom trenutku B / (1+r) 4. (Pretpostavljamo da nema inflacije, odnosno suma B se u tom smislu valorizuje).

12 EKONOMIJA ENERGETSKE EFIKASNOSTI 1. Metoda sadašnje vrijednosti novca (Net Present Value - NPV) Posmatrajmo slučaj kada očekujemo da nam se u sledeće 3 godine na kraju svake od njih isplaćuje suma B. Koja je vrijednost toga novca u ovom trenutku? Isplata koja se dobija na kraju I g II g III g B 1 B 2 B 3 Vrijednost isplate u ovom trenutku B 1 /(1+r) B 2 /(1+r) 2 B 3 /(1+r) 3

13 EKONOMIJA ENERGETSKE EFIKASNOSTI 1. Metoda sadašnje vrijednosti novca (Net Present Value - NPV) Isplata na kraju I g II g III g B 1 B 2 B 3 Vrijednost u ovom trenutku B 1 /(1+r) B 2 /(1+r) 2 B 3 /(1+r) 3 Sadašnja vrijednost ukupnih isplata na koje računamo je suma svih: D=B 1 /(1+r) + B 2 /(1+r) 2 + B 3 /(1+r) 3., odnosno D=ΣB i /(1+r) i, i=1,...,3 U slučaju da su godišnje isplate iste B 1 =B 2 =...=B tokom n godina, može se pokazati da gornji izraz postaje D 1 (1 + r = B r ) n

14 EKONOMIJA ENERGETSKE EFIKASNOSTI 1. Metoda sadašnje vrijednosti novca (Net Present Value - NPV) Uzmimo slučaj gdje se investicijom I o ostvaruje godišnja neto ušteda B tokom svake godine životnog vijeka opreme (n godina). NPV metod odredjuje neto dobit, odnosno razliku izmedju sadašnje vrijednosti ukupnih neto ušteda (D) i uložene investicije (I o ) tokom životnog vijeka investicije od n godina B I o r n NPV = D I o 1 (1 + = B r - godišnja neto ušteda - Investicija - Realna interesna stopa - Životni vijek investicije (broj godina) r ) n I o

15 EKONOMIJA ENERGETSKE EFIKASNOSTI 2. Metoda otplate (Payback Method- PB) PB odredjuje vrijeme otplate investicije (broj godina n) uz jednake godišnje neto uštede (B) PB = I o B B I o - godišnja neto ušteda - Investicija

16 EKONOMIJA ENERGETSKE EFIKASNOSTI 3. Metoda otplate na bazi NPV (Pay-off - PO) PO predstavlja vrijeme (n) za koje je NPV=0, pri svim ostalim zadatim parametrima B I o r n 1 ( 1 + r B r ) n - godišnja neto ušteda - Investicija - Realna interesna stopa - Životni vijek investicije (broj godina) I o = 0

17 EKONOMIJA ENERGETSKE EFIKASNOSTI 4. Unutrašnja stopa povrata (Internal Rate of Return-IRR) B I o r n IRR predstavlja interesnu stopu (r ) koja obezbjedjuje NPV=0 za period koji odgovara životnom vijeku investicije 1 B ( 1 + r r ) n - godišnja neto ušteda - Investicija - Realna interesna stopa - Životni vijek investicije (broj godina) I o = 0

18 EKONOMIJA ENERGETSKE EFIKASNOSTI 5. Koeficijent sadašnje vrijednosti novca (Net Present Value Method Quotient-NPVQ) NPVQ predstavlja odnos NPV prema ukupnoj investiciji (I o ) (što veći to bolje): NPVQ = NPV I 0

19 EKONOMIJA ENERGETSKE EFIKASNOSTI Primjer Investicijom od Eu ostvaruje se ušteda od Eu godišnje. Realna interesna stopa je r=6 %. Ekonomski vijek investicije je 12 g. Net Present Value NPV 1 ( 1 + r ) = B r NPV NPVQ = < 0, loše. I 0 n I Payback Method I PB = o = = 10g B o 1 ( ) = = Eu

20 EKONOMIJA ENERGETSKE EFIKASNOSTI Primjer Investicijom od I o = Eu ostvaruje se ušteda od B= Eu godišnje. Realna interesna stopa je r=6 %. Ekonomski vijek investicije je n=12 g. Pay-off 10 PO IRR = 000 = 1 ( 1 + n B r 1 ( ) r 1 B n ( 1 + r r r ) ) n 100 Internal Rate of Return 1 ( 1 + r r ) 12 n I o I o = 000 = = = 0 PO IRR( r ) ( n ) g ( 2. 9%)

21 Primjer 1. U banci imate 1500 Eur na štednji uz kamatnu stopu od 15%. Koliko ćete novaca imati nakon 5 godina? Primjer 2. g preduzeća Za 10 godina primit ćete bonus od svojeg preduzeća u iznosu od Eura. Koliko danas vrijedi taj novac ako je stopa inflacije 5%? Eur Eur Primjer 3. Instaliran je novi kotao u sistemu grijanja koji je koštao 10ooo Eura. Zbog poboljšanja efikasnosti sistema ocijenjeno je da će se na osnovu energetskih ušteda godišnje uštedjeti 2555 Eura. Koliko je razdoblje povraćaja ove investicije?

22 Primjer 4. Ako investicija u neki projekat iznosi Eura, godišnje neto uštede Eura, a stvarna kamatna stopa 7%, potrebno je naći vrijeme povraćaja te investicije. Izraz se izračunava za različite vrijednosti k i T. Izračunavamo da je jednako 0,2098, a iz tabele iščitavamo da ova Vrijednost uz diskontnu stopu od 7% odgovara diskontnom razdoblju povrata od 6 godina.

23 Primjer 5. Eura Eur/kWh Eur/god Eur Kako je čista sadašnja vrijednost pozitivana, zaključujemo da je projekat isplativ.

24 Čista sadašnja vrijednost glavni je kriterijum finansijskog odlučivanja. Nulta čista sadašnja vrijednost označava da je projekat sposoban vratiti uloženi kapital, a projekti sa pozitivnom čistom sadašnjom vrijednošću imaju višu profitabilnost od one koja se zahtijeva na tržištu. Najveća poteškoća kod primjene ove metode jeste odabir diskontne stope koji znatno može uticati na veličinu čiste sadašnje vijednosti. Zbog toga se najčešće koristi metoda interne stope profitabilnosti. Primjer 6. Koja je od sljedećih mjera energetske efikasnosti isplativija? a) Ugradnja termostatski fentila b) Ugradnja jedinice za iskorišćavanje otpadne toplote u ventilacijskom sistemu Termostatski ventili Upotreba otpadne toplote Eur Eur 570 Eur/god 2.500Eur/god 10 god. 15 god. 7% 7% Ako se izračuna razdoblje povraćaja za obje ove mjere, može se vidjeti da su u oba slučaja jednaki i da iznose 4 godine.

25 Samo na osnovu razdoblja povraćaja ne možemo, stoga, donijeti odluku. a) Za termostatske ventile računamo indeks profitabilnosti (PI): b) Jedinica za upotrebu otpadne toplote PI iznosi: Dakle, obje razmatrane mjere su isplative, da imaju razdoblje povraćaja 4 godine, ali je isplativija mjera b) jer ima veći PI. PI traži što veće diskontirane novčane tokove u cijelom razdoblju efektuiranja projekta u odnosu na investicijske troškove tog projekta, a to znači da se preferiraju troškovi sa većim PI. Kriterijum isplativosti projekta je Valja istaknuti da PI dodatni, a ne osnovni kriterijum finansijskog odlučivanja, čija upotreba dolazi do izražaja kod rangiranja projekta. On poboljšava investicijsku odluku tako da između projekata jednakih čistih sadašnjih vrijednosti odabira onaj koji zahtijeva niže investicijske troškove.

26 Primjer 7. Odrediti isplativost projekta jedinice za iskorišćavanje otpadne toplote u sistemu ventilacije pomoću svih indikatora isplativosti, uz sljedeće ulazne parametre: Eur Eur/go. 0,06 Eur/god. 10 god. 30% 20% 1. Stvarna diskontna stopa iznosi: (0,3-0,2)/(1+0,2)=0,083=8,3% 2. Razdoblje povraćaja: Godišnje čiste novčane uštede: Eur/god. 3. Diskontinuirano razdoblje povraćaja: Uz poznat 0,17 i stvarnu kamatnu stopu od 8,3%, pomoću tabele iz primjera 4. određujemo da je vrijeme povrata investicije 8,6 godina, za razliku od =5,8 godina 4. Čista sadašnja vrijednost: Eur Kako je S pozitivno, projekat je isplativ.

27 5. Indeks profitabilnosti (PI): Pošto je PI veći od 1, i ovaj nam indikator govori da je projekat isplativ. 6. Interna stopa profitabilnosti: Uz poznati faktor i vrijeme efektuiranja projekta T=10 god., pomoću tabele iz Primjera 4. određujemo internu stopu profitabilnosti koja je jednaka 11%, i kako je veća od stvarne diskontne stope koja iznosi 8,3%, zaključujemo da je projekat isplativ. Nadalje, ovako određena interna stopa profitabilnosti je stvarna diskontna stopa k. To znači da je nominalna diskontna stopa jednaka: Dakle, ukoliko su kamate u banci na štednju veće od 33%, tada se više isplati novac uložiti na banku, nego u mjeru koja ima unutrašnju stopu povraćaja 11%, i upravo je ovo najveća vrijednost metode unutrašnje stope povrata, jer nam omogućava upoređivanje sa drugim investicijskim mogućnostima na tržištu kao što je npr. Štednja u banci.

28 Primjer 8. Pretpostavimo da je investicija u neki projekat Eura, a godišnje uštede su eura. Ekonomski životni vijek investicije je 5 godina, a stvarna stopa povraćaja 6,5%. Takođe pretpostavimo da se projekat finansira sa Eura sopstvenih sredstava, a za preostalih Eura je uzet kredit na 3 godine, uz kamatnu stopu 15%. Plan otplate kredita dat je u Tabeli 1. Vidi se da se ukupan godišnji trošak kredita sastoji od glavnice i od kamata. Tabela 1 Obrok Datum Glavnica Preostalo Iznos Ukupan (Eur) potraživanje kamata trošak (Eur) (Eur) kredita (Eur)

29 Analiza novčanih tokova u 5 godina projekta data je u Tabeli 2. Tabela 2. Broj u zagradi u ekonomskim analizama znači negativnu vrijednost. Iz tabele 2. je vidljivo da ovaj projekat već u u prvoj godini proizvodi pozitivan tok novca. Odredimo sada čistu sadašnju vrijednost za ovaj projekat. Zbog toga potrebno jew vrijednost čistog toka novca iz svake godine diskontirati na sadašnju vrijednost. To radimo pomoću diskontnog faktora prema jednačini Diskontni faktor d, kao i diskontirana vrijednost toka novca za svaku godinu dati su u Tabeli 3., gdje poslednji red predstavlja akumuliranu,tj. čistu sadašnju vrijednost projekta.

30 Tabela 3. Prema tome, čista sadašnja vrijednost ovog projekta u 5 godina je Eura, a izračunali smo je kao: gdje su: Ako čistu sadašnju vrijednost izračunamo prema ona Iznosi Eura. Prema tome, vidi se da je zbog uzimanja u obzir uslova finansiranja projekta, čista sadašnja vrijednost projekta nešto niža. Iz analize toka novca možemo odrediti i internu stopu profitabilnosti, izjednačavajući čistu sadašnju vrijednost s nulom:

31 Ova jednačina je složena i za njeno rešavanje se moraju primijeniti numeričke metode (iteracija). Međutim, unutrašnja stopa povraćaja se može odrediti i grafički, tako da se izračuna čista sadašnja vrijednost za proizvoljno izabrane vrijednosti k. Tamo gdje kriva siječe apcisu, dobija se vrijednost interne stope profitabilnosti investicije, u ovom slučaju 29,1%. U još detaljnijim analizama novčanih tokova uzimaju se u obzir još neki faktori, a to su amortizacija opreme i porez na dobit. Ovakav detaljan proračun potrebno je napraviti za firme koje investiraju u energetsku efikasnost, dok je za ocjenu projekta kojega pojedinac želi sprovesti u svom domaćinstvu dovoljno napraviti

32 jednostavniju analizu novčanih tokova, kako bi se uporedile godišnje uštede koje je moguće ostvariti primjenom energetske efikasnosti sa potrebnom investicijom i posebno sa otplatom te investicije, ako se za nju mora dobiti bankovni kredit. Predlog za sprovođenje detaljne analize toka novca dat je u Tabeli 4.

33 Prilikom donošenja odluka o investicijama u novu opremu ili sisteme, važno je sprovesti analizu prihoda i rashoda kroz čitav predviđeni životni vijek proizvoa ili sistema. Prema tome, uz početnu investiciju, u obzir je potrebno uzeti i troškove pogona, održavanja, energije zaštite okoline (naknade za emisije) i odlaganje opreme nakon isteka radnog vijeka. Ova se ekonomska metoda ocjene isplativosti projekta, koja u obzir uzima sve troškove projekta kroz njegov životni vijek naziva Life-Cycle-Cost (LLC) analiza. Neke jednostavnije metode, poput jednostavnog razdoblja povraćaja, razmatraju samo koliko se brzo vrati početna investicija, ne uzimajući u obzir nikakve druge troškove i dobiti tokom životnog vijeka opreme ili sistema i zanemarujući vremensku vrijednost novca. LLC analiza se zasniva na analizi toka novca (cash flow), a različite opcije rangira, koristeći indikatore isplativosti projekta, prvenstveno unutrašnju stopu povraćaja (internal rate of return). LLC analizu neophodno je primjenjivati upravo za projekte energetske efikasnosti, jer se njome ocjenjuje mogu li se povećani početni investicijski troškovi ekonomski opravdati smanjenim troškovima za energiju kroz razmatrani

34 životni vijek sistema, ali i drugim faktorima koji utiču na troškove rada sistema (npr. Smanjenje iznosa naknada za emisije, smanjeni troškovi održavanja..). LLC analiza je ekonomska tehnika kojom se procjenjuju ukupni troškovi posjedovanja i korišćenja nekog objekta (kuće, zgrade) ili sistema kroz vremensko razdoblje njegovog korišćenja. LLC analizom utvđuje se današnja vrijednost (diskontiranje) svih budućih troškova vezanih uz neki objekat ili sistem. Ti troškovi uključuju: početnu investiciju (zemljište, projektovanje, građevinski radovi, oprema) operativne troškove (troškovi energije i vode) troškove održavanja troškove zamjene opreme troškove odlaganja ostale troškove (razne naknade, porezi..) Sve troškove je potrebno svesti na današnju vrijednost novca (diskontiranje). Troškove je potrebno umanjiti za vrijednosti objekta ili sistema koju će imati na kraju razmatranog vremenskog razdoblja (amortizacija). LLC analizu potrebno je svakako sprovesti ukoliko postoji nekoliko alternativa i potrebno je odabrati ekonomski najpovoljniju. Naravno da će kriterijum biti, najniži LLC. LLC analizu treba sprovesti već u fazi inicijalnog rešenja, recimo pri projektovanju nove kuće. Tada je moguće odabrati sve one opcije koje će dugoročno imati najmanje troškove, jer opcija koja ima najmanje investicijske troškove nije nužno ekonomski najisplativija opcija.

35 Troškovi (cijena) opreme Prikazuju se vrste troškova zajedno s konkretnim primjerima koji doprinose ukupnim troškovima mjera namijenjenim uštedi energije. Treba naglasiti da je za konkretne projekte potrebno upotrebljavati današnje odnosno trenutne cijene troškova. Mogući troškovi koje treba uzeti u obzir pri investiranju u uštedu energije: 1. Troškovi planiranja i projektovanja cijena usluge inženjeringa: sadržana u cijeni rada i materijala da bi se odredila vrsta, veličina i lokacija izmjenjivača toplote. 2. Troškovi nabavke opreme. Kupovina i montaža rekuperatora. 3. Troškovi nabavke potrebnih dodataka postojećoj opremi. Troškovi kupovine i montaže nove regulacije, plamenika, ventilatora i opreme koja štiti površinu rekuperatora od visokih temperatura. 4. Troškovi zamjene dijelova. Troškovi zamjene unutrašnje oplate rekuperatora za N godina, neto od otpadne vrijednosti postojeće oplate. 5. Troškovi modernizacije i popravka postojeće opreme. Troškovi popravka površinskih vrata da bi ista manje propuštala kao rezultat povećanja pritiska za vrijeme predgrijavanja vazduha. 6. Troškovi prostora. Trošak korisnog prostora koji je okupiran od strane generatora pare na otpadnu toplotu; troškovi korisnog prostora koji je okupiran od strane isparivača. 7. Troškovi zbog stajanja proizvodnje za vrijeme montaže. Gubitak zbog jednonedjeljnog stajanja, neto od ušteda kao posljedica stajanja. 8. Troškovi prilagođavanja. Niža produktivnost; troškovi radne snage i otklanjanja sitnih problema. 9. Troškovi održavanja nove opreme. Troškovi servisa izmjenjivača toplote. 10. Troškovi poreza. Dodatni porez na imovinu koji se pojavio zbog vrijednosti rekuperatora. 11. Promjena troškova osiguranja ili troškovi zbog rizika. Viša premija osiguranja zbog većeg rizika od požara; povećani troškovi eventualne nesreće zbog više opreme na manjem prostoru.

36 Dobiti i troškovi projekta U principu, industrijska poduzeća investiraju u štednju energije kada očekivane uštede premaše očekivane troškove investicije. Uzroci koji su posljednjih godina učinili investiranje atraktivnim su povećanje cijene goriva i sigurnost njegove nabavke. Oni su pokrenuli promjenu pristupa obnovljivim izvorima energije kao što je, biomasa i dr. Primjeri ušteda od racionalnog korištenja energije: Uštede na gorivu Smanjeni troškovi održavanja postojeće opreme Vrlo efikasan sistem grijanja/hlađenja; visoka produktivnost Poboljšani kvalitet proizvoda; povećana produktivnost Dobici od prodaje ušteđene toplote ili nekog drugog oblika energije. Da bi se procijenila izvodljivost (feasibility) odnosno isplativost investicije, potrebno je uporediti troškove nasuprot gore navedenim uštedama.

37 Procjena prijedloga projekta Kad nam postanu dostupne potrebne informacije, može se pristupiti ocjeni atraktivnosti različitih razmatranih prijedloga investicije. Pretpostavlja se da se rizik ili kvalitet svih investicijskih prijedloga u razmatranju ne razlikuje od rizika postojećih investicijskih projekata fabrike te da prihvatanje bilo kojeg pojedinačno ili grupe investicijskih prijedloga ne mijenja relativni poslovni rizik fabrike. Odluka o investiciji bit će ili prihvaćanje ili odbijanje prijedloga projekta. Indeks profitabilnosti Indeks profitabilnosti ili odnos dobit/troškovi (benefit/cost) nekog projekta jest sadašnja vrijednost budućeg toka novca podijeljena s inicijalnim troškom. Sve dok je indeks profitabilnosti jednak ili veći od 1.00 investicijski je prijedlog prihvatljiv. Međusobno isključivanje i zavisnost Važno je odrediti jesu li investicijski prijedlozi međusobno zavisni jedan o drugome. Ako prihvaćanje jednog prijedloga unaprijed isključuje prihvaćanje drugih prijedloga, možemo reći da se oni međusobno isključuju. Ne mogu biti prihvaćena dva međusobno isključiva prijedloga.

38 Pristup cijene životnog ciklusa Analiza cijene životnog ciklusa uzima u obzir trošak tokom životnog ciklusa sistema nasuprot početnom trošku. Ona uzima u obzir "vremensku vrijednost" novca i uračunava moguće buduće promjene u cijeni materijala, servisa, energije itd. Ova metoda može uzeti u obzir i trošak čišćenja okoline, te razne druge indirektne troškove. Investicijske odluke, investicijska nesigurnost Pošto su rezultati nesigurni, profiti, troškovi, sadašnje vrijednosti, i stope povrata prije početka samog projekta ne mogu se tačno prognozirati. Ova nesigurnost stvara rizik kada projekat krene u realizaciju. Pri bavljenju s problemima nesigurnosti kod odluka vezanim za investiranje u energiju, koriste se sljedeći pristupi: - Analiza osjetljivosti: Ona određuje koliko je odluka osjetljiva na varijaciju numeričkih vrijednosti nesigurnih faktora. Jedan od načina jeste pronalaženje graničnih vrijednosti nesigurnih faktora. - Simulacija na računaru: Izaberu se različite kombinacije nesigurnih faktora. Izlaz kao mjera efektivnosti određen je za svaku kombinaciju pomoću upotrebe računara. - Optimističko pesimističke procjene mjere isplativosti: One se rade za gotovo nevjerovatne ali ipak moguće pojave na poželjnoj i nepoželjnoj strani. - Probabilistički pristup: On koristi očekivane vrijednosti kriterijuma po kojem se donosi odluka za svaku alternativu i određuje poželjan pravac preduzimanja akcije na bazi očekivane vrijednosti.

39 Inflacija Inflacija se pojavljuje kada kvantitet roba i usluga naglo pada kroz vrijeme zbog rasta cijena roba i usluga. Uglavnom se izražava u postotcima porasta cijena iz godine u godinu. Inflacija utiče na donošenje odluka o investiranju u energetsku efikasnost. Inflacija može ohrabriti kupovinu roba i usluga radije prije nego poslije. Efekt inflacije na analizu kapitalne investicije može se eksplicitno uračunati pretpostavljajući daće troškovi i cijene rasti za stopu koja predstavlja očekivanu inflaciju. ZAKLJUČAK Konačna se odluka o finansiranju nekog projekta ne donosi na temelju njegove tehničke meritornosti, nego ekonomske isplatljivosti. Da bi cijeli ciklus bolje funkcionisao, inženjer mora imati predstavu kako se vrši finansijska evaluacija projekata, te po mogućnosti znati napraviti preliminarnu evaluaciju. U ovome poglavlju prikazane su osnovne ekonomske metode za finansijsku evaluaciju kako energetskih tako i drugih projekata.

40 HVALA NA PAŽNJI

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

TROŠAK KAPITALA Predmet: Upravljanje finansijskim odlukama i rizicima Profesor: Dr sci Sead Mušinbegovid Fakultet za menadžment i poslovnu ekonomiju

TROŠAK KAPITALA Predmet: Upravljanje finansijskim odlukama i rizicima Profesor: Dr sci Sead Mušinbegovid Fakultet za menadžment i poslovnu ekonomiju TROŠAK KAPITALA Predmet: Upravljanje finansijskim odlukama i rizicima Profesor: Dr sci Sead Mušinbegovid Fakultet za menadžment i poslovnu ekonomiju Sadržaj predavnaja: Trošak kapitala I. Trošak duga II.

Διαβάστε περισσότερα

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti). PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:

Διαβάστε περισσότερα

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011. INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno

Διαβάστε περισσότερα

IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI)

IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) Izračunavanje pokazatelja načina rada OTVORENOG RM RASPOLOŽIVO RADNO

Διαβάστε περισσότερα

VJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno.

VJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno. JŽ 3 POLAN TANZSTO ipolarni tranzistor se sastoji od dva pn spoja kod kojih je jedna oblast zajednička za oba i naziva se baza, slika 1 Slika 1 ipolarni tranzistor ima 3 izvoda: emitor (), kolektor (K)

Διαβάστε περισσότερα

41. Jednačine koje se svode na kvadratne

41. Jednačine koje se svode na kvadratne . Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije

Διαβάστε περισσότερα

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,

Διαβάστε περισσότερα

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije

Διαβάστε περισσότερα

Elementi spektralne teorije matrica

Elementi spektralne teorije matrica Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena

Διαβάστε περισσότερα

2. KAMATNI RAČUN 2.1. POJAM KAMATE I KAMATNE STOPE

2. KAMATNI RAČUN 2.1. POJAM KAMATE I KAMATNE STOPE 1 2. KAMATNI RAČUN 2.1. POJAM KAMATE I KAMATNE STOPE Pod pojmom kamata podrazumijeva se naknada koju dužnik plaća za posuđenu glavnicu. Pri tom se pod glavnicom najčešće podrazumijeva određena svota novca,

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )

Διαβάστε περισσότερα

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA

Διαβάστε περισσότερα

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati

Διαβάστε περισσότερα

Kaskadna kompenzacija SAU

Kaskadna kompenzacija SAU Kaskadna kompenzacija SAU U inženjerskoj praksi, naročito u sistemima regulacije elektromotornih pogona i tehnoloških procesa, veoma često se primenjuje metoda kaskadne kompenzacije, u čijoj osnovi su

Διαβάστε περισσότερα

Uvod Teorija odlučivanja je analitički i sistematski pristup proučavanju procesa donošenja odluka Bez obzira o čemu donosimo odluku imamo 6 koraka za

Uvod Teorija odlučivanja je analitički i sistematski pristup proučavanju procesa donošenja odluka Bez obzira o čemu donosimo odluku imamo 6 koraka za Osnovne teorije odlučivanja Uvod Teorija odlučivanja je analitički i sistematski pristup proučavanju procesa donošenja odluka Bez obzira o čemu donosimo odluku imamo 6 koraka za donošenje dobre odluke:

Διαβάστε περισσότερα

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,

Διαβάστε περισσότερα

EuroCons Group. Karika koja povezuje Konsalting, Projektovanje, Inženjering, Zastupanje

EuroCons Group. Karika koja povezuje Konsalting, Projektovanje, Inženjering, Zastupanje EuroCons Group Karika koja povezuje Filtracija vazduha Obrok vazduha 24kg DNEVNO Većina ljudi ima razvijenu svest šta jede i pije, ali jesmo li svesni šta udišemo? Obrok hrane 1kg DNEVNO Obrok tečnosti

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x

Διαβάστε περισσότερα

Matematička analiza 1 dodatni zadaci

Matematička analiza 1 dodatni zadaci Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare

Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare Za mnoge reakcije vrijedi Arrheniusova jednadžba, koja opisuje vezu koeficijenta brzine reakcije i temperature: K = Ae Ea/(RT ). - T termodinamička temperatura (u K), - R = 8, 3145 J K 1 mol 1 opća plinska

Διαβάστε περισσότερα

Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri

Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri 1 1 Zadatak 1b Čisto savijanje - vezano dimenzionisanje Odrediti potrebnu površinu armature za presek poznatih dimenzija, pravougaonog

Διαβάστε περισσότερα

Operacije s matricama

Operacije s matricama Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

2log. se zove numerus (logaritmand), je osnova (baza) log. log. log =

2log. se zove numerus (logaritmand), je osnova (baza) log. log. log = ( > 0, 0)!" # > 0 je najčešći uslov koji postavljamo a još je,, > 0 se zove numerus (aritmand), je osnova (baza). 0.. ( ) +... 7.. 8. Za prelazak na neku novu bazu c: 9. Ako je baza (osnova) 0 takvi se

Διαβάστε περισσότερα

numeričkih deskriptivnih mera.

numeričkih deskriptivnih mera. DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

Računarska grafika. Rasterizacija linije

Računarska grafika. Rasterizacija linije Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log

Διαβάστε περισσότερα

Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 17.maj Odsek za Softversko inžinjerstvo

Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 17.maj Odsek za Softversko inžinjerstvo Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 7.maj 009. Odsek za Softversko inžinjerstvo Performanse računarskih sistema Drugi kolokvijum Predmetni nastavnik: dr Jelica Protić (35) a) (0) Posmatra

Διαβάστε περισσότερα

( , 2. kolokvij)

( , 2. kolokvij) A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski

Διαβάστε περισσότερα

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola. KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički

Διαβάστε περισσότερα

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za

Διαβάστε περισσότερα

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012 Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)

Διαβάστε περισσότερα

SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija

SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija SEMINAR IZ OLEGIJA ANALITIČA EMIJA I Studij Primijenjena kemija 1. 0,1 mola NaOH je dodano 1 litri čiste vode. Izračunajte ph tako nastale otopine. NaOH 0,1 M NaOH Na OH Jak elektrolit!!! Disoira potpuno!!!

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1. TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg

Διαβάστε περισσότερα

Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke.

Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. 1. Duljine dijagonala paralelograma jednake su 6,4 cm i 11 cm, a duljina jedne njegove

Διαβάστε περισσότερα

7 Algebarske jednadžbe

7 Algebarske jednadžbe 7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.

Διαβάστε περισσότερα

Otpornost R u kolu naizmjenične struje

Otpornost R u kolu naizmjenične struje Otpornost R u kolu naizmjenične struje Pretpostavimo da je otpornik R priključen na prostoperiodični napon: Po Omovom zakonu pad napona na otporniku je: ( ) = ( ω ) u t sin m t R ( ) = ( ) u t R i t Struja

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1. Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati

Διαβάστε περισσότερα

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda

Διαβάστε περισσότερα

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα

RAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA POLUPROVODNIČKE KOMPONENTE (IV semestar modul EKM) IV deo. Miloš Marjanović

RAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA POLUPROVODNIČKE KOMPONENTE (IV semestar modul EKM) IV deo. Miloš Marjanović Univerzitet u Nišu Elektronski fakultet RAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA (IV semestar modul EKM) IV deo Miloš Marjanović MOSFET TRANZISTORI ZADATAK 35. NMOS tranzistor ima napon praga V T =2V i kroz njega protiče

Διαβάστε περισσότερα

POVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA

POVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA POVRŠIN TNGENIJLNO-TETIVNOG ČETVEROKUT MLEN HLP, JELOVR U mnoštvu mnogokuta zanimljiva je formula za površinu četverokuta kojemu se istoobno može upisati i opisati kružnica: gje su a, b, c, uljine stranica

Διαβάστε περισσότερα

Sortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort

Sortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort Sortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort 15. siječnja 2016. Ante Mijoč Uvod Teorem Ako je f(n) broj usporedbi u algoritmu za sortiranje temeljenom na usporedbama (eng. comparison-based sorting

Διαβάστε περισσότερα

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A. 3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.

Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z. Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D} Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija

Διαβάστε περισσότερα

7. Troškovi Proizvodnje

7. Troškovi Proizvodnje MIKROEKONOMIJA./. 7. Troškovi Proizvodnje Autori: Penezić Andrija Miković Ivana Pod vodstvom: Prof.dr. Đurđice Fučkan Prezentacije su napravljene prema : Pindyck, R.S./ Rubinfeld, D.L. () MIKROEKONOMIJA

Διαβάστε περισσότερα

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.

Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015. Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.

Διαβάστε περισσότερα

konst. Električni otpor

konst. Električni otpor Sveučilište J. J. Strossmayera u sijeku Elektrotehnički fakultet sijek Stručni studij Električni otpor hmov zakon Pri protjecanju struje kroz vodič pojavljuje se otpor. Georg Simon hm je ustanovio ovisnost

Διαβάστε περισσότερα

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.

Διαβάστε περισσότερα

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala

Διαβάστε περισσότερα

FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA

FTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA : MAKSIMALNA BRZINA Maksimalna brzina kretanja F O (N) F OI i m =i I i m =i II F Oid Princip određivanja v MAX : Drugi Njutnov zakon Dokle god je: F O > ΣF otp vozilo ubrzava Kada postane: F O = ΣF otp

Διαβάστε περισσότερα

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3

Διαβάστε περισσότερα

Inženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1)

Inženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1) Inženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1) Prva godina studija Mašinskog fakulteta u Nišu Predavač: Dr Predrag Rajković Mart 19, 2013 5. predavanje, tema 1 Simetrija (Symmetry) Simetrija

Διαβάστε περισσότερα

1.4 Tangenta i normala

1.4 Tangenta i normala 28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x

Διαβάστε περισσότερα

Teorijske osnove informatike 1

Teorijske osnove informatike 1 Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija

Διαβάστε περισσότερα

1 Promjena baze vektora

1 Promjena baze vektora Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis

Διαβάστε περισσότερα

21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI

21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI 21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE 2014. GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI Bodovanje za sve zadatke: - boduju se samo točni odgovori - dodatne upute navedene su za pojedine skupine zadataka

Διαβάστε περισσότερα

Matematičke metode u marketingumultidimenzionalno skaliranje. Lavoslav ČaklovićPMF-MO

Matematičke metode u marketingumultidimenzionalno skaliranje. Lavoslav ČaklovićPMF-MO Matematičke metode u marketingu Multidimenzionalno skaliranje Lavoslav Čaklović PMF-MO 2016 MDS Čemu služi: za redukciju dimenzije Bazirano na: udaljenosti (sličnosti) među objektima Problem: Traži se

Διαβάστε περισσότερα

FINANCIJSKA MATEMATIKA Zadaci za vježbu. Napomena: Zadaci u ovoj prvoj skupini se mogu smatrati početnima i služe za uvježbavanje pojedinih pojmova.

FINANCIJSKA MATEMATIKA Zadaci za vježbu. Napomena: Zadaci u ovoj prvoj skupini se mogu smatrati početnima i služe za uvježbavanje pojedinih pojmova. Zagreb, 24. veljače 2003. FINANCIJSKA MATEMATIKA Zadaci za vježbu Napomena: Zadaci u ovoj prvoj skupini se mogu smatrati početnima i služe za uvježbavanje pojedinih pojmova. 1. Efektivna godišnja kamatna

Διαβάστε περισσότερα

Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu

Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Osječki matematički list 000), 5 9 5 Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Šefket Arslanagić Alija Muminagić Sažetak. U radu se navodi nekoliko različitih dokaza jedne poznate

Διαβάστε περισσότερα

PARNA POSTROJENJA ZA KOMBINIRANU PROIZVODNJU ELEKTRIČNE I TOPLINSKE ENERGIJE (ENERGANE)

PARNA POSTROJENJA ZA KOMBINIRANU PROIZVODNJU ELEKTRIČNE I TOPLINSKE ENERGIJE (ENERGANE) (Enegane) List: PARNA POSTROJENJA ZA KOMBINIRANU PROIZVODNJU ELEKTRIČNE I TOPLINSKE ENERGIJE (ENERGANE) Na mjestima gdje se istovremeno troši električna i toplinska energija, ekonomičan način opskrbe energijom

Διαβάστε περισσότερα

Osnovne teoreme diferencijalnog računa

Osnovne teoreme diferencijalnog računa Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja

radni nerecenzirani materijal za predavanja Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai

Διαβάστε περισσότερα

PRIMJER 3. MATLAB filtdemo

PRIMJER 3. MATLAB filtdemo PRIMJER 3. MATLAB filtdemo Prijenosna funkcija (IIR) Hz () =, 6 +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 53 z +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 6 z, 95 z +, 74 z +, z +, 9 z +, 4 z +, 5 z +, 3 z +, 4 z 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8

Διαβάστε περισσότερα

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2. Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.

Διαβάστε περισσότερα

5. Karakteristične funkcije

5. Karakteristične funkcije 5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična

Διαβάστε περισσότερα

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1; 1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

Pošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000,

Pošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000, PRERAČUNAVANJE MJERNIH JEDINICA PRIMJERI, OSNOVNE PRETVORBE, POTENCIJE I ZNANSTVENI ZAPIS, PREFIKSKI, ZADACI S RJEŠENJIMA Primjeri: 1. 2.5 m = mm Pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu. 1 m ima dm,

Διαβάστε περισσότερα

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova) MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile

Διαβάστε περισσότερα

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota:

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota: ASIMPTOTE FUNKCIJA Naš savet je da najpre dobro proučite granične vrednosti funkcija Neki profesori vole da asimptote funkcija ispituju kao ponašanje funkcije na krajevima oblasti definisanosti, pa kako

Διαβάστε περισσότερα

Dijagonalizacija operatora

Dijagonalizacija operatora Dijagonalizacija operatora Problem: Može li se odrediti baza u kojoj zadani operator ima dijagonalnu matricu? Ova problem je povezan sa sljedećim pojmovima: 1 Karakteristični polinom operatora f 2 Vlastite

Διαβάστε περισσότερα

Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1

Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1 Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,

Διαβάστε περισσότερα

Korporativne finansije

Korporativne finansije Ekonomski fakultet u Podgorici Magistarske studije Smjer Finansije i bankarstvo II generacija Korporativne finansije Prof. Saša Popović Blok 2: Vrijednost, cijena i rizik Osnovna pitanja Zašto se akcije

Διαβάστε περισσότερα

Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova

Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Biserka Draščić Ban Pomorski fakultet u Rijeci 17. veljače 2011. Grafičko prikazivanje atributivnih nizova Atributivni nizovi prikazuju se grafički

Διαβάστε περισσότερα

Univerzitet u Nišu, Prirodno-matematički fakultet Prijemni ispit za upis OAS Matematika

Univerzitet u Nišu, Prirodno-matematički fakultet Prijemni ispit za upis OAS Matematika Univerzitet u Nišu, Prirodno-matematički fakultet Prijemni ispit za upis OAS Matematika Rešenja. Matematičkom indukcijom dokazati da za svaki prirodan broj n važi jednakost: + 5 + + (n )(n + ) = n n +.

Διαβάστε περισσότερα

Dvanaesti praktikum iz Analize 1

Dvanaesti praktikum iz Analize 1 Dvaaesti praktikum iz Aalize Zlatko Lazovi 20. decembar 206.. Dokazati da fukcija f = 5 l tg + 5 ima bar jedu realu ulu. Ree e. Oblast defiisaosti fukcije je D f = k Z da postoji ula fukcije a 0, π 2.

Διαβάστε περισσότερα

Računarska grafika. Rasterizacija linije

Računarska grafika. Rasterizacija linije Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika

Διαβάστε περισσότερα

4. poglavlje (korigirano) LIMESI FUNKCIJA

4. poglavlje (korigirano) LIMESI FUNKCIJA . Limesi funkcija (sa svim korekcijama) 69. poglavlje (korigirano) LIMESI FUNKCIJA U ovom poglavlju: Neodređeni oblik Neodređeni oblik Neodređeni oblik Kose asimptote Neka je a konačan realan broj ili

Διαβάστε περισσότερα

NOMENKLATURA ORGANSKIH SPOJEVA. Imenovanje aromatskih ugljikovodika

NOMENKLATURA ORGANSKIH SPOJEVA. Imenovanje aromatskih ugljikovodika NOMENKLATURA ORGANSKIH SPOJEVA Imenovanje aromatskih ugljikovodika benzen metilbenzen (toluen) 1,2-dimetilbenzen (o-ksilen) 1,3-dimetilbenzen (m-ksilen) 1,4-dimetilbenzen (p-ksilen) fenilna grupa 2-fenilheptan

Διαβάστε περισσότερα

Antene. Srednja snaga EM zračenja se dobija na osnovu intenziteta fluksa Pointingovog vektora kroz sferu. Gustina snage EM zračenja:

Antene. Srednja snaga EM zračenja se dobija na osnovu intenziteta fluksa Pointingovog vektora kroz sferu. Gustina snage EM zračenja: Anene Transformacija EM alasa u elekrični signal i obrnuo Osnovne karakerisike anena su: dijagram zračenja, dobiak (Gain), radna učesanos, ulazna impedansa,, polarizacija, efikasnos, masa i veličina, opornos

Διαβάστε περισσότερα

Program testirati pomoću podataka iz sledeće tabele:

Program testirati pomoću podataka iz sledeće tabele: Deo 2: Rešeni zadaci 135 Vrednost integrala je I = 2.40407 42. Napisati program za izračunavanje koeficijenta proste linearne korelacije (Pearsonovog koeficijenta) slučajnih veličina X = (x 1,..., x n

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)

Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva

Διαβάστε περισσότερα

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi

Διαβάστε περισσότερα

Deljivost. 1. Ispitati kada izraz (n 2) 3 + n 3 + (n + 2) 3,n N nije deljiv sa 18.

Deljivost. 1. Ispitati kada izraz (n 2) 3 + n 3 + (n + 2) 3,n N nije deljiv sa 18. Deljivost 1. Ispitati kada izraz (n 2) 3 + n 3 + (n + 2) 3,n N nije deljiv sa 18. Rešenje: Nazovimo naš izraz sa I.Važi 18 I 2 I 9 I pa možemo da posmatramo deljivost I sa 2 i 9.Iz oblika u kom je dat

Διαβάστε περισσότερα

POSLOVNE FINANCIJE Zadaci

POSLOVNE FINANCIJE Zadaci POSLOVNE FINANCIJE Zadaci Bok, Drago nam je što si odabrao/la upravo Referadu za pronalazak materijala koji će ti pomoći u učenju! Materijali koje si skinuo/la s naše stranice nisu naše autorsko djelo,

Διαβάστε περισσότερα

Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.

Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta. auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,

Διαβάστε περισσότερα

VREMENSKO VREDNOVANJE NOVCA

VREMENSKO VREDNOVANJE NOVCA VREMENSKO VREDNOVANJE NOVCA KRATKOROČNI FINANSIJSKI MENADŽMENT OBUHVATA PROBLEMATIKU PITANJA: Dali je bolje sada imati novac i ostvariti poznati prinos ili ga imati u budućnosti sa očekivanim prinosom?

Διαβάστε περισσότερα