3.0.2 F(R) μορϕή Mach s Principle... 43

Transcript

1 Διπλωματική Εργασία: Θεωρίες Βαρύτητας Brans-Dicke και εϕαρμογές Παπαγιαννόπουλος Γιάννης 28 Ιουνίου 2016

2 2

3 Περιεχόμενα 1 Εισαγωγή στη Γενική Σχετικότητα Γεωμετρικά αντικείμενα και Τανυστές Ο μετρικός τανυστής Παραγώγιση σε μια πολλαπλότητα Παράγωγιση γεωμετρικών αντικειμένων Μετασχηματισμοί συντεταγμένων Συναλλοίωτη παραγώγιση Παραγώγιση Lie Στρέψη και Καμπυλότητα Ο τανυστής ενέργειας-ορμής και το σχετικιστικο ρευστό Η 1 + (n-1) ανάλυση του τανυστή ενέργειας ορμής και οι εξισώσεις διάδοσης Εξισώσεις πεδίου της ΘΓΣ Εισαγωγή στη Σχετικιστική Κοσμολογία Η μετρική των Friedman Robertson Walker Ο νόμος του Hubble Η κοσμολογική αρχή και οι επιπτώσεις της Εξισώσεις του Friedman Η ύλη στο σύμπαν Κοσμολογικά Μοντέλα Περίπτωση ενός Ρευστού: Βαροτροπικό Ρευστό Μη Σχετικιστικό Ρευστό Σχετικιστικό Ρευστό Περίπτωση χωρίς ύλη και ακτινοβολία αλλά με Καμπυλότητα Περίπτωση με Κοσμολογική Σταθερά Μοντέλα με ύλη και Dark Energy

4 4 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Το Λ-CDM μοντέλο Θεωρία του πληθωρισμού Variation της δράσης και εξισώσεις πεδίου των θεωριών Οι εξισώσεις πεδίου στο κενό F(R) μορϕή Οι εξισώσεις πεδίου με την ύπαρξη ύλης Η Brans-Dicke θεωρία βαρύτητας Mach s Principle Scalar Tensor Gravity θεωρίες Σύμμορϕοι μετασχηματισμοί Η Brans-Dicke θεωρία βαρύτητας Οι κοσμολογικές εξισώσεις της θεωρίας των Brans-Dicke Δυναμική ανάλυση στην Brans-Dicke Κοσμολογία Το σύστημα δυναμικής εξέλιξης Διερεύνηση για δυναμικό της μορϕής V o ϕ Μοντέλο για το κενό Μοντέλο για βαροτροπική ύλη Στο όριο ω BD Δυναμική ανάλυση της BD με άλλα Δυναμικά Δυναμικό της μορϕής V = V 0 ϕ n Δυναμικό της μορϕής V = V 0 ϕ n - Ανάλυση για το κενό Σταθερό δυναμικό V = V Δυναμικό της μορϕής V = V 1 ϕ n + V 2 ϕ m Άγνωστο δυναμικό f(r) θεωρίες και δυναμική ανάλυση Μοντέλα τύπου f(r) - Εισαγωγή Οι εξισώσεις πεδίου των f(r) θεωριών Ισοδυναμία με Brans Dicke θεωρίες Δυναμική Ανάλυση των f(r) θεωριών για δυναμικά μορϕής V 0 ϕ n Δυναμική Ανάλυση για δυναμικό μορϕής V 0 ϕ n στο κενό Δυναμική Ανάλυση για το δυναμικό V 0 ϕ

5 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Άλλα Δυναμικά Περίπτωση με ύλη Περίπτωση στο κενό Συμπεράσματα 79 9 Παραρτήματα Χρήσιμες σχέσεις Δυναμική ανάλυση μη γραμμικών συστημάτων Καθορισμός της ευστάθειας

6 6 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Ευχαριστίες Η εργασία αυτή αποτελεί μέρος του Μεταπτυχιακού προγράμματος του τμήματος Φυσικής, της Σχολής Θετικών επιστημών του Εθνικού και Καποδιστριακού Πανεπιστήμιου Αθηνων και εκπονήθηκε στο τομέα Αστροϕυσικής, Αστρονομίας και Μηχανικής. Θα ήθελα να ευχαριστήσω θερμά τον κο Τσαμπαρλη Καθηγητή ΕΚΠΑ για το βαθύ ενδιαϕέρον που μου δημιούργησε για την Σχετικότητα καθώς και τους αναπληρωτές καθηγητές Θ. Αποστολάτο, Ν. Βλαχάκη και Θ. Χριστοδουλάκη. Τέλος θα ήθελα να ευχαριστήσω απο καρδιάς τον Ανδρόνικο Παλιαθανάση για την καθοδήγηση και την πολύτιμη βοήθειά του.

7 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 7 Περίληψη Η δυναμική εξέλιξη των κοσμολογικών εξισώσεων της εναλλακτικής θεωρίας βαρύτητας Brans-Dicke ε- ίναι το κυρίως θέμα που πραγματεύεται αυτή η εργασία. Θεωρούμε ότι ο χωρόχρονος είναι τεσσάρων διαστάσεων ισότροπος και ομογενής με μηδενική χωρική καμπυλότητα, δηλαδή η μετρική του χωρόχρονου είναι αυτή του Friedmann-Robertson-Walker σύμπαντος. Η θεωρία Βρανσ-Διςκε η οποία συμπεριλαμβάνει ένα πεδίο ϕ στο ολοκλήρωμα της δράσης οπού υπάρχει επιπλέον ένας όρος αλληλεπίδρασης με την βαρύτητα. Αναπαράγονται λοιπόν οι εξισώσεις πεδίου για αυτή την θεωρία καθώς γίνεται και μελέτη της θεωρίας κάτω από σύμμορϕους μετασχηματισμούς. Για την μελέτη των διαϕορετικών ϕάσεων του σύμπαντος, οι οποίες δίνονται από τις εξισώσεις εξέλιξης εϕαρμόζεται η μέθοδος των κρίσιμων σημείων της δυναμικής ανάλυσης. Ειδικότερα ορίζουμε αδιάστατες μεταβλητές μέ τις οποίες εκϕράζουμε τις εξισωσεις πεδίου ως ένα σύστημα διαϕορικών εξισώσεων πρώτης τάξης. Υπολογίζονται τα κρίσιμα σημεία καθώς και η συμπεριϕορά του συστήματος σε αυτά. Κάθε κρίσιμο σημείο είναι ένα πιθανό σημείο που μπορεί να αντιστοιχεί σε διαϕορετική ϕάση του σύμπαντος. Η ανάλυση πραγματοποιείται για διάϕορα δυναμικά που έχουν προταθεί στην βιβλιογραϕία. Μελετάται ακόμη και η θεωρία βαρύτητας τέταρτης τάξης γνωστή ως θεωρία f(r), καθώς οι εξισώσεις πεδίου της μπορούν να γραϕτούν ως μία ειδική περίπτωση της θεωρίας Βρανσ-Διςκε. Για την θεωρία f(r), όπου το ολοκλήρωμα της δράσης των βαρυτικών εξισώσεων είναι μία συνάρτηση του βαθμωτού πεδίου του τανυστή Ριςςι, οι εξισώσεις πεδίου αναπαράγονται και για το κοσμολογικό σενάριο που θεωρήσαμε παραπάνω και μελετώνται με τον ίδιο τρόπο τα κρίσιμα σημεία των εξισώσεων πεδίου. Για την πληρότητα της εργασίας στο πρώτο κεϕάλαιο γίνεται μια βασική θεμελίωση της Θεωρίας της Γενικής Σχετικότητας και των κεντρικών ενοιών της, περιλαμβανομένου ενός μαθηματικού υπόβαθρου με τανυστική ανάλυση και στοιχεία διαϕορικής γεωμετρίας καθώς και η σύνδεσή τους με τις ϕυσικές θεωρίες μέσω της εισαγωγής του Τανυστή ενέργειας-ορμής. Τέλος υπολογίζονται οι εξισώσεις του Einstein. Το κεϕάλαιο αυτό έχει βασιστεί σε πολύ μεγάλος μέρος του στις σημειώσεις του κου Μιχάλη Τσαμπαρλή, Καθηγητή ΕΚΠΑ καθώς και σε προσωπικές σημειώσεις απο το μάθημα Γενική Σχετικότητα του μεταπτυχιακού προγράμματος του τμήματος Φυσικής. Στο δεύτερο κεϕάλαιο εισάγονται οι βασικές ένοιες της κοσμολογίας, η μετρική του χωρόχρονου των Friedmann-Robertson-Walker και εξάγονται οι εξισώσεις του Friedmann και η εξίσωση επιτάχυνσης απο τη σχετικιστική θεώρηση. Τέλος εξετάζονται σύντομα τα πιθανά μοντέλα της κοσμολογίας καταλήγωντας στο καθιερωμένο πρότυπο και στην θεωρία του πληθωρισμού εκθέτωντας ταυτόχρονα τα προβλήματα που παρουσιάζονται προκειμένου όλα τα παραπάνω μοντέλα να είναι πλήρως συνεπή. Το κεϕάλαιο αυτό έχει βασιστεί σε σημειώσεις του κου Μιχάλη Τσαμπαρλή, και σε σημειώσεις του κου Σπύρου Βασιλακου καθώς και σε προσωπικές σημειώσεις απο το μάθημα Κοσμολογίας του μεταπτυχιακού προγράμματος του

8 8 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ τμήματος Φυσικής. Στο τρίτο κεϕάλαιο καταλήγουμε στις εξισώσεις πεδίου των θεωριών που θα μελετήσουμε στα επόμενα κεϕάλαια με την μέθοδο της διαϕόρησης της δράσης της εκάστοτε θεωρίας, ξεκινώντας από Einstein- Hilbert και συνεχίζοντας σε μια γενική μορϕή για τις f(r). Στο τέταρτο κεϕάλαιο εξηγούμε την ανάγκη για μια θεωρία βαρύτητας πέρα απο αυτή της Γενικής Σχετικότητας και εισάγουμε την ένοια τψν Scalar Tensor Gravity θεωριών και την συμπεριϕορά τους κάτω από σύμμορϕους μετασχηματισμούς. Κλείνοντας καταλήγουμε και πάλι με τη μέθοδο της διαϕόρησης της δράσης της Brans-Dicke καταλήγοντας στις εξισώσεις πεδίου της καθώς και στις αντίστοιχες κοσμολογικές εξισώσεις. Εχοντας μια σαϕή εικόνα της θεωρίας των Brans-Dicke στο πέμπτο κεϕάλαιο με τη μέθοδο της δυναμικής ανάλυσης μελετάται σε βάθος και συγκεκριμένα σε όλα τα κρίσιμα σημεία του το δυναμικό μορϕής V 0 ϕ 2 (στο κενό και με παρουσία ύλης) μια και είναι αυτό που μπορεί να μας δώσει την επιθυμητή επιτάχυνση της διαστολής του σύμπαντος. Στο επόμενο κεϕάλαιο γενικεύουμε τη μελέτη μας για διάϕορους τύπους δυναμικών καθώς και σε γενικής μορϕής άγνωστο δυναμικό απαιτώντας να ικανοποιούνται οι προϋποθέσεις που θα δίνουν ϕυσικό νόημα στη θεωρία μας. Τέλος στο έβδομο κεϕάλαιο εισάγουμε τις f(r) θεωρίες βαρύτητας και τις εξισώσεις πεδίου τους με τις νατίστοιχες κοσμολογικές εξισώσεις. Επειτα αποδεικνύεται πως οι θεωρίες αυτές είναι ισοδύναμες με συγκεκριμένη Brans-Dicke θεωρία βάσει της οποίας και προσωράμε και πάλι σε δυναμική ανάλυση εξάγοντας τα αντίστοιχα συμπεράσματα και προϋποθέσεις που θα δίνουν ϕυσικό νόημα στις f(r) θεωρίες βαρύτητας.

9 Κεϕάλαιο 1 Εισαγωγή στη Γενική Σχετικότητα 1.1 Γεωμετρικά αντικείμενα και Τανυστές Θεωρούμε ένα γραμμικό χώρο V και τον δυικό του V με διάσταση n. Ορίζουμε τους γραμμικούς χώρους: L s (V ) = V V V...V V (ntimes) (1.1) L r (V ) = V V V...V V (rtimes) (1.2) L r s(v ) = L r (V ) L s (V ) (1.3) 0 Τα στοιχεία του χώρου L s (V ) ονομάζουμε τανυστές τάξης, τα στοιχεία του χώρου L r (V ) ονομάζουμε s τανυστές τάξης,και τα στοιχεία του L r r s(v ) τανυστές τάξης. 0 s Παρατηρούμε οτι τα διανύσματα είναι μια υποκατηγορία τανυστών σύμϕωνα με τον παραπάνω ορισμό. Εν γένει εν γνωρίζουμε τις συνιστώσες ενός γεωμετρικού αντικειμένου σε ένα σύστημα συντεταγμένων και τον μετασηματισμό συντεταγμένων για ένα άλλο σύστημα μπορούμε να υπολογίσουμε: A a = J a a A a (1.4) όπου J r r ο Ιακωβιανός πίνακας μετασχηματισμού συντεταγμένων που ορίζεται ως x 0 x... 0 x 0 x i J =... x j x... j x 0 x i 9 (1.5)

10 10 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΕΙΣΑΓΩΓ Η ΣΤΗ ΓΕΝΙΚ Η ΣΧΕΤΙΚ ΟΤΗΤΑ Σύμϕωνα με τα παραπάνω λοιπόν οι ϕόρμες που έχουμε και οι αντίστοιχοι μετασηματισμόί τους είναι: A a = Ja a A a 1, διάνυσμα (1.6) 0 A a b = Ja a Jb b 2 Aab, τανυστής (1.7) 0 A a b = (Ja a ) 1 (Jb b ) 1 A ab, τανυστής 0 (1.8) 2 A a b = J a a Jb b Aa b, τανυστής 1 (1.9) 1 Μπορούμε εν τέλει λοιπόν να καταλήξουμε πως τανυστή ονομάζουμε το γεωμετρικό αντικείμενο που είναι γινόμενο Ιακωβιανών και αντιστρόϕων τους. 1.2 Ο μετρικός τανυστής Η ποσότητα που χαρακτηρίζει έναν χώρο είναι η απόσταση μεταξύ δύο σημείων. Σε ένα τυχαίο σύστημα αναϕοράς η στοιχειώδης απόσταση δύο σημείων μεταβάλεται ως: συνεπώς η γενική γραϕή θα είναι: dx n = x n x a dxa, (1.10) και τελικά, ds 2 = g mn dx m dx n = g ab dx a dx b, (1.11) g mn = g ab x a x m x b x n g mn = J m a J n b g mn. (1.12) Η παραπάνω ποσότητα δεν είναι τίποτα άλλο από έναν τανυστή τον οποίο ονομάζουμε μετρικό τανυστή ή μετρική του χώρου. Η ανταλλοίωτη μορϕή του ορίζεται από ως ακολούθρως: g mn g mb = δ b n (1.13)

11 1.3. ΠΑΡΑΓ ΩΓΙΣΗ ΣΕ ΜΙΑ ΠΟΛΛΑΠΛ ΟΤΗΤΑ 11 Επίσης η ορίζουσα του μετρικού τανυστή δίνεται: det g mn = g (1.14) Που σε συνέχεια των παραπάνω εύκολα υπολογίζουμε οτι είναι τανυστική πυκνότητα βάρους 2 μετασχηματίζοντας από ένα σύστημα σε ένα άλλο σύμϕωνα με την παρακάτω σχέση: g = det g mn = det g ab det( xa xb )det( xm x n ) = J 2 g (1.15) 1.3 Παραγώγιση σε μια πολλαπλότητα Στην Τανυστική άλγεβρα Τ(Μ) μιας πολλαπλότητας Μ ορίζουμε την απεικόνιση D : T (M) T (M). Ονομάζουμε παραγώγιση της άλγεβρας Τ(Μ) των τανυστών της πολλαπλότητας Μ, την απεικόνιση D αν και μόνο άν: 1. Διατηρείται η τάξη του τανυστή, δηλαδή D : T r s (M) T r s (M). 2. Η D είναι R-γραμμική στο T r s (M), δηλαδή αν α R και S, N T r s (M) τότε D(αS + N) = αds + DN T r s (M) 3. Ικανοποιεί τον κανόνα της παραγώγισης ως προς το τανυστικό γινόμενο: D(S N) = DS N + S DN S, N T r s (M). 4. Για τα σταθερά τανυστικά πεδία, πεδία δηλαδή με συνιστώσες σταθερές σε κάθε σύστημα συντεταγμένων σε όλα τα πεδία ορισμού τους ισχύει D(field) = 0. Ενδιαϕέρουσα κατηγορία παραγωγίσεων είναι οι γραμμικές παραγωγίσεις. Ειδικότερα, μια παραγώγιση την ονομάζουμε γραμμική αν για κάθε συνάρτηση: f T 0 0 (M) X T 1 0 (M) (1.16) τέτοιο ώστε να ισχύει X(f) = Df Για να μελετήσουμε παρακάτω τη δράση της γραμμική παραγώγισης σε ένα χάρτη (U, ϕ) με συντεταγμένες x i θα θεωρήσουμε τη δράση της παραγώγισης πάνω στις συναρτήσεις συντεταγμένων x i και στα διανύσματα βάσης x i. Θεωρούμε τις ποσότητες: D(f) = P i (f) x i, f T 0 0 (M) (1.17)

12 12 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΕΙΣΑΓΩΓ Η ΣΤΗ ΓΕΝΙΚ Η ΣΧΕΤΙΚ ΟΤΗΤΑ D(e (α) ) = Q (β) (α) e (β), e (α) T 0 0 (M) (1.18) Παράγωγιση γεωμετρικών αντικειμένων Παράγωγος συνάρτησης: Τανυστικό πεδίο τύπου (0,0) Df = P i (f) f x i (1.19) απ όπου είναι σαϕές οτι το Df είναι μια συνάρτηση και συνεπώς μπορούμε να γράψουμε το f = x i και η παραπάνω σχέση γίνεται: Dx i = P j (f) xi x j = P j δ i j = P i (1.20) Τανυστικό πεδίο τύπου (1,0): Ενα διανυσματικό πεδίο X T0 1 (M) έχει αναπαράσταση στον χάρτη (U, ϕ) : X = X i x i. Υπολογίζουμε λοπόν την παράγωγο: DX = D(X i x i ) = D(Xi ) x i + Xi D( x i ) = (Xi,jP j + X j Q (i) (j) ) x i (1.21) Αν θεωρήσουμε το διανυσματικό πεδίο να είναι: X = αϕού η παράγωγος του δ ειναι μηδεν. Παράγωγος Τανυστικού πεδίο τύπου (0,1) Για να υπολογίσουμε την παράγωγο ω = ω i dx i I = δ i j dxj άρα: και x i x (n) = δ j (n) : x i D(X i x i ) = Q(i) (j) x i (1.22) T1 0 (M) θεωρούμε ένα σταθερό τανυστικό πεδίο x i T 1 1 (M) του οποίου οι συνιστώσες σε κάθε σύστημα συντεταγμένων είναι δi j και 0 = DI = δ j i D(dxi ) x j + δj i dxi D( x j ) = [D(dx j ) + Q j i dxi ] x j (1.23) άρα: D(dx j ) = Q j i dxi (1.24)

13 1.4. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟ Ι ΣΥΝΤΕΤΑΓΜ ΕΝΩΝ 13 Τώρα λοιπόν υπολογίζουμε: D(ω) = D(ω i dx i ) = D(ω i )dx i + ω i D(dx i ) = ω i,j P j dx i ω j Q j i dxi = (ω i,j P j ω j Q j i )dxi (1.25) Παράγωγος Τανυστή n x m Εστω μια μετρική g ij και θέλουμε να υπολογίσουμε την Dg με g = g ij dx i dx j D(g) = D(g ij dx i dx j ) = D(g ij )dx i dx j + g ij D(dx i )dx j + g ij dx i D(dx j ) = g ij,k P k dx i dx j g ij Q i k dxk dx j + g ij Q i k dxi dx k = (g ij,k P k g ij Q i k + g ijq i k )dxi dx j (1.26) 1.4 Μετασχηματισμοί συντεταγμένων Στην παράγρϕο αυτή υπολογίζουμε τις εξισώσεις μετασχηματισμού των P i και Q i j, δηλαδή ενός διανύσματος και ενός τανυστή δεύτερης τάξης. Μια βαθμωτή συνάρτηση δεν είναι τανυστής εκτός εάν και μόνο εάν είναι αναλοίωτη κάτω από μετασχηματισμούς συντεταγμένων συνεπώς: και άρα για κάθε f T0 0 (M) έχουμε: f = ( xi x i ) 0 f = f (1.27) Df = Df P i και εϕόσων η f είναι τυχαία θα πρέπει: f x i = P i f x i = P i f x i x i x i (1.28) P i = P i xi x i Για να βρούμε τώρα τις εξισώσεις μετασχηματισμού των Q i j = xi x i P i = J i i P i (1.29) θεωρούμε την παραγώγιση: D( ) = D(J i x i i x i ) = J i i,j P j x i + J i i Qi j x j = (J i i,j P j + Ji i Qi j) x j (1.30)

14 14 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΕΙΣΑΓΩΓ Η ΣΤΗ ΓΕΝΙΚ Η ΣΧΕΤΙΚ ΟΤΗΤΑ αλλά γνωρίζουμε επίσης οτι D( ) T 0 x i 1 (M) συνεπώς: Εξισώνοντας βλέπουμε οτι τα Q i j D( ) = Q j x i i = Q j x j i J i j δεν μετασχηματίζονται τανυστικά αϕού: x i (1.31) Q j i = J j i J i i,j P j + J j i J j i Q i j (1.32) 1.5 Συναλλοίωτη παραγώγιση Η συναλλοίωτη παραγώγιση είναι μιά γραμμική παραγώγιση και ορίζεται ώς: X ( x i ) = Γj ih Xh x j (1.33) και σύμϕωνα με τα όσα έχουμε ορίσει προηγουμένως θα πρέπει: το οποίο μετασχηματίζεται ως: Q j i = Γj ih Qh (1.34) συνεπώς: Q j i = J j i J i i,j Qj + J j i J j i Q i j (1.35) Q j i = Γ j i h Q h = J j i J i i,j Qj + J j i J j i Γ j ih Qh Γ j i h J h h Qh = J j i J i i,j Qj + J j i J j i Γ j ih Qh (1.36) αλλά το παραπάνω ισχύει για κάθε Χ και συνεπώς απλοποιούμε και κάνωντας χρήση των: καταλήγουμε στην έκϕραση: δ j i = J i i J j i, δ j i = J i i Jj i (1.37) Γ i j k = J j j J j i J k k Γi jk + J j i J i i,k J k k (1.38) απ όπου είναι εμϕανές οτι και οι ποσότητες Γ i jk τους κανόνα μετασχηματισμού. δεν είναι τανυστές, αλλά γεωμετρική αντικείμενα με δικό

15 1.5. ΣΥΝΑΛΛΟ ΙΩΤΗ ΠΑΡΑΓ ΩΓΙΣΗ 15 Θεωρούμε τώρα τη μερική παράγωγο ενός ανταλλοιώτου διανυσματικού πεδίου και τον μετασχηματισμό του σε ένα νέο σύστημα συντεταγμένων. Τότε έχουμε:. A µ,a = x a ( xµ x µ A µ ) = 2 x µ x µ x ν x ν x a Aµ + xµ x µ x ν x a A µ x ν (1.39) Χωρίς τον πρώτο όρο η μερική παραγώγιση θα οδηγούσε σε έναν τανυστή δεύτερης τάξης. Αλλα γενικά η παραπάνω ποσότητα δεν είναι τανυστής. Αντίστοιχα για έναν συμμετρικό τανυστή g τάξης 0 με συντεταγμένες στα συστήματα συντεταγ- 2 μένων x i, x i αντίστοιχα g ij (x i,...x n ), g i j (xi,...x n ) καθώς και η detg ij 0 έχουμε: g i j,k = J i i Jj j J k k g ij,k + g ij (Ji i 2 x j + J j 2 x i x k x j j ) (1.40) x i x k Οπότε ουτε οι παραπάνω είναι συντεταγμένες τανυστικού πεδίου. Με δεδομένη τη συμμετρία του τανυστή g οι παραπάνω εξισώσεις είναι n(n + 1)/2 γραμμικά ανεξάρτητες και με τη χρήση τους καταλήγουμε: 2 x i x k x j + J j j J k k i j i k = J i i j k (1.41) όπου έχουμε ορίσει ως: i j k = 1 2 gis (g js,k + g ks,j g jk,s ) (1.42) Αν αντικταστήσουμε στην αρχική έκϕραση της παραγώγισης ενός ανταλλοίωτου διανυμαστικού πεδίου δείχνουμε άμεσα οτι ισχύει: i A i ;j = A i,j + j k Ak (1.43) Η έκϕραση της συναλλοίωτης παραγώγισης για βαθμωτό μέγεθος είναι προϕανώς ταυτόσημη με την μερική παράγωγο, ενώ με άμεση χρήση των παραπάνω η έκϕραση για τανυστές είναι: T ij ;k = T ij,k + Γi mk T im + Γ j mk T mj (1.44)

16 16 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΕΙΣΑΓΩΓ Η ΣΤΗ ΓΕΝΙΚ Η ΣΧΕΤΙΚ ΟΤΗΤΑ Στη γενική περίπτωση και όχι σε γεωμετρία Riemann τα σύμβολα Christofell δεν ταυτίζονται με τα Γ. Οι παραπάνω συναλλοίωτες παραγωγίσεις είναι παραγωγίσεις Riemann. 1.6 Παραγώγιση Lie Η παράγωγος Lie είναι εξαιρετικά σημαντική πρωτίστως γιατί δεν απαιτεί καμία ιδιαίτερη γεωμετρική δομή πέρα απο τη διαϕορική δομή της ίδιας της πολλαπλότητας. Υπάρχει πάντα ένα σύνολο απο Q j i το οποίο για κάθε σύνολο P j ορίζεται με τη σχέση: Q j i = P j,i (1.45) Για να δείξουμε οτι η παραπάνω σχέση ορίζει μια παραγώγιση θα πρέπει να δείξουμε οτι οι ποσότητες P j,i ικανοποιούν τις εξισώσεις μετασχηματισμού των ποσοτήτων Qj i. Εχουμε: P j,i = (J j j P j ),i J i i = J j j J i i P j,i + J j j,i J i i P j (1.46) Αλλά J j j,i = J i i,j (1.47) και συνεπώς μπορούμε να γράψουμε: Η παραπάνω σχέση γίνεται: (J j i J i i ),j = (δ j i ) j = 0 J j j,i J i i j = Ji J i i,j (1.48) ( P j,i ) = J j j J i i ( P j,i ) + J j i J i i,j P j (1.49) που είναι ακριβώς οι εξισώσεις μετασχηματισμού (), και συνεπώς οι ποσότητες P j,i ορίζουν πράγματι μια παραγώγιση την οποία ονομάζουμε παραγώγιση Lie. Η σημαντικότητα της παραγώγου Lie είναι η χρησιμότητά της στη μελέτη συμμετριών. Για να καθοριστεί όμως πλήρως πρέπει να καθοριστεί η ποσότητα P j και μια και είναι συνιστώσα διανύσματος ορίζουμε πάντα την παραγώγιση Lie ως προς διάνυσμα X = X j x j και την συμβολίζουμε D = L X. Σε ένα χάρτη (U,ϕ) με συντεταγμένες x j έχουμε: P j = X j Q j i = Xj,i (1.50) L X X j = 0 (1.51) L X f = X i f,i = X(f) (1.52)

17 1.7. ΣΤΡ ΕΨΗ ΚΑΙ ΚΑΜΠΥΛ ΟΤΗΤΑ 17 L X x i = Xj,i x j (1.53) Με βάση τα παραπάνω μπορούμε να υπολογίζουμε την παράγωγο Lie διαϕόρων τανυστικών πεδίων. Για παράδειγμα: Παράγωγος Lie διανυσματικού πεδίου. Εστω Y = Y j x j T0 1 (M). Θα έχουμε: L X U = U j,i Xi U j X i,j L X U = [X, Y ],j (1.54) Παράγωγος Lie τανυστικού πεδίου (0,2) - μετρικής. L X g ab = g ab;c X c + g ab X c ;a + g ab X c ;b g ab;c =0 L X g ab = g ab X c ;a + g ab X c ;b (1.55) Η παραπάνω εξίσωση ουσιαστικά μας δίνει μια συμμετρία - πιο συγκεκριμένα εξίσωση killing- η οποία είναι η: η οποία ορίζει τις ισομετρίες της μετρικής. Στην γενική περίπτωση η χαρακτηριστική εξίσωση: g ab X c ;a + g ab X c ;b = 0 (1.56) L X (geometricalobject) = (geometricalobject) (1.57) Δηλαδή οι συνιστώσες του Γεωμετρικού αντικειμένου κατά μήκος του επιλεγμένου διανυσματικού πεδίου είναι σταθερές και έχουν ως αποτέλεσμα μια συμμετρία. 1.7 Στρέψη και Καμπυλότητα Θεωρούμε δυο διανυσματικά πεδία V = V i i και W = W i i. Κατά τα γνωστά υπολογίζουμε ως προς μια γενική παραγώγιση: και υπολογίζουμε τη διαϕορά: D V W = W i,jv j i + W i Q j i (V ) i (1.58) D W V = V i,jw j i + V i Q j i (W ) i (1.59) D V W D W V = [W, V ] + [W i Q j i (V ) V i Q j i (W )] i (1.60)

18 18 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΕΙΣΑΓΩΓ Η ΣΤΗ ΓΕΝΙΚ Η ΣΧΕΤΙΚ ΟΤΗΤΑ Ορίζουμε τον τανυστή στρέψης ως: T D (W, V ) = D V W D W V [W, V ] = [W i Q j i (V ) V i Q j i (W )] i (1.61) ο οποίος δρα πάνω σε δύο διανύσματα και μας δίνει ένα και είναι προϕανώς αντισυμμετρικός. Αν τώρα θεωρήσουμε V = i και W = j τότε καταλήγουμε T r ij(d) = Q r ij Q r ji = T r ji(d) (1.62) και στην συναλλοίωτη παραγώγιση Riemann: Υπολογίζουμε την ποσότητα: T r ij(d) = Γ r ij Γ r ji (1.63) (D V D W D W D V )U = (W j,k V k V j,k W k )U i,j i + [Q i j,k (W )V k Q i j,k (V )W k ]U j i + [Q i j(w )Q k i (V ) Q i j(w )Q k i (V )]U j k (1.64) Ο τανυστής καμπυλότητας τώρα είναι: R D (W, V )U = (D V D W D W D V )U D [W,V ] U (1.65) Συγκεντρωτικά έχουμε: όπου: Γ i jk = i j k + Ki jk + i jk (1.66) i j k = 1 2 gis (g js,k + g ks,j g jk,s ) (1.67) K i jk = Qi jk + Q.i jk + Q..i jk (1.68) i jk = 1 2 gis (g js k + g ks j g jk s ) (1.69)

19 1.8. Ο ΤΑΝΥΣΤ ΗΣ ΕΝ ΕΡΓΕΙΑΣ-ΟΡΜ ΗΣ ΚΑΙ ΤΟ ΣΧΕΤΙΚΙΣΤΙΚΟ ΡΕΥΣΤ Ο Ο τανυστής ενέργειας-ορμής και το σχετικιστικο ρευστό Στη Νευτώνεια θεώρηση ένα ρευστό είναι ένα συνεχές υλικών σημείων το οποίο τοπικά σε κάθε σημείο του χώρου και σε έναν στοιχειώδη όγκο dv περιγράϕεται από την πυκνότητα μάζας του ρ, την ισότροπη πίεση p και την ταχύτητά του v και υπακούει στην εξίσωση του Euler και την εξίσωση συνέχειας αντίστοιχα: dv dt = f ext 1 p ρ (1.70) dρ + (ρv) = 0 dt (1.71) Θεωρούμε λοιπόν αρχικά ένα ελεύθερα κινούμενο ρευστό χωρίς της επίδραση καμμίας εξωτερικής δύναμης. Σε αυτό το ρευστό θεωρούμε έναν όγκο dv στο ιδιοσύστημα του οποίου απαιτούμε η Θεωρία της Νευτώνειας Φυσικής και της ΘΕΣ να συμπίπτουν (αριθμητικά). Μια και η πυκνότητα ενέργειας-μάζας δεν διατηρείται στη ΘΕΣ επιλέγουμε για την πυκνότητα τον αριθμό και το είδος των σωματιδίων που περιέχεται στον dv. Θεωρούμε επιπλέον έναν σχετικιστικό παρατηρητή συγκινούμενο με τον όγκο dv στου οποίου το ι- διοσύστημα η τετραταχύτητα του όγκου dv είναι: u i (c, 0). Προκειμένου να υϕίσταται τετραταχύτητα το ρευστό μας δεν είναι ϕωτονικό και συνεπώς μπορούμε να ορίσουμε μια πυκνότητα ρ o (πχ ύλης). Επομένως έχουμε το μοναδικό τετράρευμα: J α = ρ o u α (1.72) Το οποίο θέλουμε να είναι διατηρήσιμο μέγεθος ωστε να αντιστοιχεί σε εξισώσεις συνέχειας και συνεπώς στο ιδιοσύστημα του όγκου dv : J α ;α = ρ o τ c (1.73) Υποθέτωντας λοιπόν οτι δεν έχεουμε πηγές ή απώλειες στον όγκο dv συνεπάγεται οτι ρ o J α ;α. Αλλά το τετράρευμα από μόνο του δεν ειναι επαρκές ωστε να περιγράψει το ρευστό μας απλούστατα γιατί η πυκνότητα δεν είναι αναλλοίωτο μέγεθος κάτω από μετασχηματισμούς Lorentz και κατ επέκταση η απόκλιση του τετραρεύματος ως προς άλλο σχετικιστικό παρατηρητή δεν είναι μηδενική. Η επόμενη λογική επιλογή είναι ένας τανυστής δεύτερης τάξης ο οποίος να μας δίνει τις παραπάνω εξισώσεις με την απόκλισή του και ένα τετράνυσμα, συνεπώς έχουμε ήδη την απάιτηση ο τανυστής να είναι συμμετρικός: T ab = T ba και άρα θέλουμε οι εξισώσεις να προκύπτουν από την απαίτηση: T ab..;b = 0 (1.74)

20 20 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΕΙΣΑΓΩΓ Η ΣΤΗ ΓΕΝΙΚ Η ΣΧΕΤΙΚ ΟΤΗΤΑ Η πιο απλή μορϕη είναι η: T ab = ρ o u a u b (1.75) η οποία ως προς τυχαίο παρατηρητή ως προς τον οποίο το dv έχει τετραταχύτητα v είναι: Υπολογίζουμε τις συνιστώσες του T ab..;b = 0: που είναι η εξίσωση συνέχειας για το ρευστό. Τώρα υπολογίζουμε το: T ab c 2 = ρ cu µ (1.76) cu ν u µ v ν T,b 0b = T, T,µ 0µ = c( ρ + (ρv)) = 0 (1.77) t T νj,j =... = ( ρ t + (ρu))uµ + ρ[ uν t + uµ u ν,µ] = 0 (1.78) Ο πρώτος όρος είναι πάλι η εξίσωση συνέχειας και ο δεύτερος το ένα μέλος της εξίσωσης Euler οπότε με αντικατάσταση προκύπτει απευθείας: T νj,j = p,ν 0 (1.79) Κάτι που είναι εξαιρετικά αναμενόμενο μια και δεν περιλαμβάνονταν η πίεση στην αρχική μας θεώρηση και συνεπώς πρέπει να προσθέσουμε ένα ακομη συμμετρικό τανυστή -έστω S ab -στον αρχικό ο οποίος θα μπορεί να απαρτίζεται απο τα p, u µ u ν, n ab και τέτοιο ωστε: Εστω οτι ο S ab έχει τη γενική μορϕή: S ab ;b = 0 (1.80) S 0α = 0 (1.81) S νj,j = p,ν (1.82) S ab = A(Bu a u b + n ab ) (1.83) Η απαίτηση S 0a = 0 σημαίνει οτι ο τανυστής έχει μόνο χωρικές συνιστώσες κάθετες στο u a S ab u a = 0 κάτι που δίνει άμεσα Β= 1 c 2.

21 1.9. Η 1 + (N-1) ΑΝΆΛΥΣΗ ΤΟΥ ΤΑΝΥΣΤ Η ΕΝ ΕΡΓΕΙΑΣ ΟΡΜ ΗΣ ΚΑΙ ΟΙ ΕΞΙΣ ΩΣΕΙΣ ΔΙΆΔΟΣΗΣ21 Αλλά η ποσότητα 1 c 2 u au b + n ab = h ab (1.84) είναι ο προβολικός τανυστής που προβάλει κάθετα στο χρονικό τετράνυσμα u a. Με απλούς υπολογισμούς θεωρώντας και πάλι συγκινούμενο παρατηρητή στου όγκου dv καταλήγουμε εύκολα στο: S ab = diag(0, A, A, A) S ab,b = A,a A = p (1.85) Τελικώς για ιδανικό ρευστό ο τανυστής ενέργειας ορμής που δίνει και τις δύο εξισώσεις κίνησης είναι: T ab = ρu a u b + ph ab (1.86) Δουλεύοντας με αντίστοιχη λογική ο τανυστής ενέργειας ορμής του ηλεκτρομαγνητικού πεδίου είναι ο: T ab (EM) = 1 4π [F ac F b c F cd F cd n ab ] (1.87) 1.9 Η 1 + (n-1) ανάλυση του τανυστή ενέργειας ορμής και οι εξισώσεις διάδοσης Εστω ένας τυχαίος τανυστής δεύτερης ταξης T µν. Ας θεωρήσουμε αρχικα τον ευκλιδειο χώρο άνω των 2 διαστάσεων και ένα τυχαίο διάνυσμα A µ σε αυτόν τον χώρο μέτρου: A 2 = g µν A µ A ν όπου η g µν είναι η ευκλίδεια μετρική. Θεωρούμε τώρα τον προβολικό ευκλιδειο τανυστή: h µν = δ µν 1 A 2 Aµ A ν. (1.88) ο οποίος προβάλει κάθετα στο διάνυσμα A µ : Ο τυχαίος τανυστής T µν γράϕεται: h µν A ν = 0. (1.89) T µν = δ α µδ β ν T αβ = (h α µ + 1 A 2 A µa α )(h β ν + 1 A 2 A νa β ) = 1 A 4 (T αβa α A β )A µ A ν + 1 A 2 hα µa β T αβ A ν + 1 A 2 hβ ν A α T αβ A µ + h α µh β ν T αβ. (1.90)

22 22 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΕΙΣΑΓΩΓ Η ΣΤΗ ΓΕΝΙΚ Η ΣΧΕΤΙΚ ΟΤΗΤΑ Τα οποία είναι αντίστοιχα μια βαθμωτή ποσότητα ( 1 A 4 (T αβ A α A β )A µ A ν ), δύο διανύσματα κάθετα στο A µ : ( 1 A 2 h α µa β T αβ A ν, 1 A 2 h β ν A α T αβ A µ ) και ένας τανυστής δεύτερης τάξης (h α µh β ν T αβ ) με συνιστώσες μόνο στον υποχώρο τον κάθετο στο διάνυσμα A µ Θα εϕαρμόσουμε την ίδια ανάλυση και στον χώρο Minkowski προς την τετραταχύτητα ενός ρευστού u i με u i u i = 1 όπου θεωρήσαμε οτι c = 1. Ο προβολικός τανυστής τώρα σύμϕωνα με τα παραπάνω θα είναι: και η ανάλυση δεύτερης τάξης μας δίνει: h(u) αβ = ν αβ + u α u β (1.91) T αβ = (T cd u c u d )u α u β h(u) c αu d T cd u β h(u) d β uc T cd u α + h(u) c αh(u) d β T cd (1.92) Παρατηρούμε κατευθείαν πως μπορούμε να περιγράψουμε το ρευστό με τα τανυστικά πεδία που είδαμε παραπάνω ώς εξής: T αβ = µu α u β + ph αβ 2q (α u β) + π αβ (1.93) όπου µ = T αβ u α u β, πυκνότητα ενέργειας - αναλλοίωτο (1.94) p = 1 3 hαβ T αβ, ισότροπη πίεση - αναλλοίωτο (1.95) q α = h αβ T βc u c, διάνυσμα ροής θερμότητας (1.96) π αβ = (h r αh s β 1 3 h αβh rs )T rs, stress tensor (1.97) τα οποία έχουν άμεση σχέση με τον τύπο ρευστού που θεωρούμε. Σε συνέχεια με την γενική εϕαρμογή των παραπάνω μπορούμε να γράψουμε: u a;b = (u a;b u a u b )u i u j (u a;b u a )u i h b j u a;b u b u j h a i + u a;b h a i h b j (1.98) Αλλά αν παραγωγίσουμε την u a u a = 1, παίρνουμε: u a;b u a + u a u a;b = 0 (1.99) Αλλά, u a;b = (g ac u c ) ;b = g ac ;b u c + g ac u c;b = g ac u c;b (1.100) και άρα u a;b u a = u a g ac u c;b = u c u c;b u a;b u a = 0 (1.101)

23 1.10. ΕΞΙΣ ΩΣΕΙΣ ΠΕΔ ΙΟΥ ΤΗΣ ΘΓΣ 23 Συνεπώς η αρχική μας ταυτότητα εχ20 μπορεί να γραϕεί: Το πρώτο μέρος αυτής της εξίσωσης είναι η τετραεπιτάχυνση: u a;b = u a;b u b u j h a i + u a;b h a i h b j (1.102) u a = u a;b u b με u a u a u a h a i = u a (δi a + u a u i ) = u i (1.103) Το δεύτερο μέρος είναι η χωρική συνιστώσα στο κάθετο επίπεδο η οποία μπορεί να αναλυθεί στο αντισυμμετρικό και το συμμετρικό της κομμάτι: h a i h b ju a;b = h a i h b ju [a;b] + h a i h b ju (a;b) (1.104) Το αντισυμμετρικό κομμάτι αναπαριστά τις στροϕές και το συμβολίζουμε μέ w ab συμμετρικό κομμάτι το σπάμε σε ένα μέρος μέ ίχνος και ένα άιχνο. Για την εξίσωση κίνηση του ρευστού έχουμε = h a i hb j u [a;b] Το T αβ ;β = 0 (1.105) Από τη σχέση αυτή προκύπτουν ανάλογα με το ρευστό που έχουμε υποθέσει οτι έχουμε οι εξισώσεις διατήρησης και όι εξισώσεις Euler Εξισώσεις πεδίου της ΘΓΣ Αϕού το πεδίο βαρύτητας περιγράϕεται γεωμετρικά από τη μετρική και η περιγραϕή της ενέργειας και της ύλης απο τον τανυστή ενέργειας-ορμής θέλουε αναζητούμε μια θεωρία που να συνδέει αυτά τα δύο η οποία ταυτόχρονα στο μη σχετικιστικό όριο θα δίνει τις γνωστές εξισώσεις του Νεύτωνα και σε σχετικιστικές ταχύτητες θα περιλάμβάνει και θα καταλήγει στην Ειδική θεωρία της Σχετικότητας. Σε συνέχεια όλων των προηγούμενων αρκεί να συνδέσουμε τώρα το γεωμετρικό κομμάτι μιας τετραδιαστατης πολλαπλότητας με την ύλη: G µν = κt µν (1.106) οπότε αρκεί να προσδιορίσουμε τον τανυστή G µν και την σταθερά κ. Για να προσδιορίσουμε τώρα την σταθερά κ θεωρούμε ένα ασθενές βαρυτικό πεδίο, το όριο δηλαδή που η μετρική μπορεί να γραϕεί ως η μετρική Lorentz συν μια διαταραχή και ταυτόχρονα ημιστατικό, ημεταβολή του δηλαδή με τον χρόνο θεωρείται αμελητέα ως προς τη χωρική μεταβολή του. Αυτο το πεδίο γράϕεται ως: g ij = n ij + ϵh ij + O(ϵ 2 ) (1.107)

24 24 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΕΙΣΑΓΩΓ Η ΣΤΗ ΓΕΝΙΚ Η ΣΧΕΤΙΚ ΟΤΗΤΑ Από τον ορισμό του g ij : δ i k = gij g jk = (n jk + ϵh jk )(n ij + ϵ h ij ) = όπου τα h ij ορίζονται από τις ανταλλοίωτες συνιστώσες της μετρικής: δ i k + ϵ(nij h jk n jk ϵ h ij ) ϵ h is = n ij n sk h jk (1.108) g ij = n ij + ϵ h ij (1.109) Οι εξισώσεις κίνησης στη ΓΣ για ένα ελεύθερο σωματίδιο σε πεδίο βαρύτητας(κίνηση πάνω σε γεωδαισιακή) αν επιλέξουμε ως παράμετρο της γωδαισιακής τον ιδιοχρόνο τ είναι: ή οποία μπορεί να γραϕεί: 2 x a τ 2 + x b x c Γa bc τ τ = 0 (1.110) 2 x i τ 2 + Γi Γ i x ν 0ν τ + Γi µν( 1 x µ c t )(1 x ν c t )( τ t )2 = 0 (1.111) Κάνοντας τώρα χρήση τον ορισμό του ημιστατικού πεδίου, αμελόντας τις χωρικές ταχύτητες και υπολογίζοντας τα Γ για τις διάϕορες τιμές των δεικτών καταλήγουμε στην οριακή εξίσωση της κίνησης ενός ελεύθερου σωματιδίου. 2 x j τ 2 = ϵ 2 δji h 00,j ϵ(h j0,µ h 0µ,j ) xµ t (1.112) Η Νευτώνεια θεώρηση για ένα ελεύθερο σωματίδιο κινούμενο σε πεδίο βαρύτητας με δυναμική συνάρτηση Φ σε ένα περιστρεϕόμενο σύστημα συντεταγμένων (γωνιακή ταχύτητα ω) είναι: 2 r t 2 = Φ ω ( ω r) 2 ω u (1.113) Απαιτώντας οι δύο εκϕράσεις να συμπίπτουν και θεωρώντας στη Νευτώνεια προσέγγιση οτι το δυναμικό πεδίο μηδενίζεται στο άπειρο καταλήγουμε τελικά οτι: g 00 = 1 2 c 2 Φ (1.114) αϕού g 00 = n 00 + ϵh 00 g 00 = 1 + ϵh 00 (1.115) Αν τώρα υπολογίσουμε τον τανυστή Ricci θα πάρουμε: R 00 = R ν 0ν0 = Φ,νν = 1 c 2 2 Φ (1.116)

25 1.10. ΕΞΙΣ ΩΣΕΙΣ ΠΕΔ ΙΟΥ ΤΗΣ ΘΓΣ 25 Ο τανυστής G µν λόγω του τανυστή ενέργειας ύλης θα πρέπει να είναι επίσης συμμετρικός και να υπακούει στην απαίτηση: G mn ;n = 0 (1.117) και επίσης θα πρέπει να προκύπτει από την μετρική του χώρου από της οποία θα προκύπτει ως ειδική περίπτωση η ΘΕΣ: Ο μοναδικός τέτοιος τανυστής είναι ο τανυστης του Einstein που ορίζεται ως: οπου G µν = R µν 1 2 g µνr (1.118) R = g µν R µν (1.119) Τώρα λοιπόν μπορούμε να καθορίσουμε την τιμή της σταθεράς κ των εξισώσεων πεδίου του Einstein παίρνοντας την απλούστερη περίπτωση ιδανικού ρευστού, αυτό της σκόνης με: T ij = ρu i u j R ij = κρ(u i u j g ijc 2 ) (1.120) αϕού T ij = ρu i u i = ρc 2 (1.121) Μια και με ενδιαϕερει η συνιστώσα R 00 υπολογίζω: R 00 = 1 2 κρc2 (1 + ϵh 00 ) 1 2 κρc2 (1.122) αλλά έχω ήδη βρει οτι: R 00 = 1 c 2 2 Φ (1.123) Συνεπώς: η οποία για να συμπίπτει με την εξίσωση ποισσον πρέπει τελικά: 2 Φ = c4 κ 2 ρ (1.124) 2 Φ = 4πGρ (1.125) κ = 8πG c 4 (1.126)

26 26 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΕΙΣΑΓΩΓ Η ΣΤΗ ΓΕΝΙΚ Η ΣΧΕΤΙΚ ΟΤΗΤΑ Σύμϕωνα λοιπόν με όλα τα παραπάνω καταλήγουμε στην τελική μορϕή των εξισώσεων πεδίου του Einstein: G µν = κt µν R µν 1 2 g µνr = 8πG c 4 T µν (1.127)

27 Κεϕάλαιο 2 Εισαγωγή στη Σχετικιστική Κοσμολογία Στην κοσμολογία θεωρούμε οτι το σύμπαν μπορεί να θεωρηθεί ως ένα ϕυσικό σύστημα το οποίο χαρακτηρίζουμε με υποθέσεις οι οποίες καθιστούν δυνατή τη μελέτη του στα πλαίσια μιας θεωρίας ϕυσικής. Το σύνολο αυτών των υποθέσεων ονομάζουμε Κοσμολογική Αρχή. [5] Το σύμπαν μπορεί να θεωρηθεί ως ένα κοσμικό ρευστό το οποίο είναι ομογενές και ισότροπο (σϕαιρική συμμετρία στην κατανομή γαλαξιών γύρω απο τυχαία σημεία). Η ϕυσική μελέτη της σχετικιστικής κοσμολογίας αϕορά στη μελέτη του ρευστού των σχετικιστικών παρατηρητών σε επίπεδο διαϕορικής Γεωμετρίας. Από αυτή στο σημείο ενός χώρου Riemann κάθε διεύθυνση ορίζει μονοσήμαντα μια γεωδαισιακή που σημαίνει οτι σε κάθε γεγονός στον χωροχρόνο ο κάθε κοσμικός παρατηρητής είναι μονοσήμαντα ορισμένος από την τετραταχύτητά του. Στη Θεωρία της Γενικής Σχετικότητας το κοσμολογικό ρευστό είναι μια δέσμη χρονικών κοσμικών γραμμών οι οποίες είναι γεωδαισιακές της μετρικής του χωροχρόνου. 2.1 Η μετρική των Friedman Robertson Walker Θεωρούμε τον κοσμικό χρόνο t και τις τρεις χωρικές συντεταγμένες με μια 3μετρική g µν που να περιγράϕει έναν χώρο Riemann σταθερής καμπυλότητας. Τότε η μετρική γράϕεται: ds 2 = dt 2 + α 2 (t)g µν dx µ dx ν (2.1) όπου α(t) είναι μια άγνωστη παράμετρος της μετρικής και ονομάζεται παράγοντας κλίμακας του κοσμολογικού μοντέλου. Οι χώροι σταθερής καμπυλότητας οποιασδήποτε πεπερασμένης διάστασης διακρίνονται 27

28 28 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΕΙΣΑΓΩΓ Η ΣΤΗ ΣΧΕΤΙΚΙΣΤΙΚ Η ΚΟΣΜΟΛΟΓ ΙΑ ανάλογα με τη βαθμωτή τους καμπυλότητα σε αυτούς με θετική καμπυλότητα (παραβολικοί) όπου k = 1, αυτούς με μηδενική καμπυλότητα ή αλλιώς επίπεδους (k = 0) και αυτούς με αρνητική βαθμωτή καμπυλότητα ή υπερβολικούς (k = 1). Σε συνέχεια των παραπάνω η μετρική των Friedman Robertson Walker [4] μπορεί να γραϕεί με τη μορϕή: ds 2 = dt 2 + α 2 dr 2 (t)( 1 kr 2 + f 2 (r)(dθ 2 + sin 2 θdϕ 2 )) (2.2) 2.2 Ο νόμος του Hubble Εισάγουμε τις συγκινούμενες με την διαστολή του σύμπαντος συντεταγμένες[5] που ορίζουμε ως: όπου το a(t) είναι ο παράγοντας κλίμακας του σύμπαντος. Και r = r = a(t) x (2.3) a(t) x + a(t) x = ah x + a x = H r + a x (2.4) στην οποία εμϕανίσαμε την σταθερά του Hubble την οποία ορίσαμε ως: H = ȧ a που μπορεί να γραϕεί και συναρτήσει της ευρυθρομετατόπισης ως: (2.5) H = z Αν παρατηρήσουμε την εξίσωση () ο όρος a x είναι η ιδία ταχύτητα του εκάστοτε αντικειμένου (γαλαξία) η οποία σε μακροσκοπικό επίπεδο για μακρινούς γαλαξίες μπορεί να θεωρηθεί αμελητέα και έτσι η εξίσωση του Hubble παίρνει την γνωστή μορϕή: (2.6) U H = H r (2.7) 2.3 Η κοσμολογική αρχή και οι επιπτώσεις της Αρχή της Ισοδυναμίας: Η κίνηση ενός υλικού σημείου στο χωροχρόνο κάτω από την επίδραση της βαρύτητας γίνεται κατα μήκος γεωδαισιακής. Οπως έχουμε δει αν θεωρήσουμε ένα χρονικό τετράνυσμα η τετραεπιτάχυνσή του είναι: u a = u a ;b ub = u a,b ub + Γ a bc ub u b = 0 + Γ a 00. (2.8)

29 2.3. Η ΚΟΣΜΟΛΟΓΙΚ Η ΑΡΧ Η ΚΑΙ ΟΙ ΕΠΙΠΤ ΩΣΕΙΣ ΤΗΣ 29 που όμως στη Friedman Robertson Walker είναι ίσο με μηδέν συνεπώς u a = 0 που σημαίνει οτι οι παρατηρητές με τετραταχύτητα u a η οποία στο ΣΣ έχει συνιστώσες δ0 a κινούνται υπο την επίδραση του πεδίου βαρύτητας κατά μήκος των t-γεωδαισιακών που ορίζονται με τις σχέσεις: r = c 1, θ = c 2, ϕ = c 3, c i = constants (2.9) αλλα σύϕμωνα με την κοσμολογική αρχή οστο κοσμολογικό ΣΣ οι τυπικοι γαλαξίες έχουν σταθερές χωρικές συντεταγμένες και συνεπώς οι παρατηρητές με τετραταχύτητα u a είναι συγκινούμενοι παρατηρητές Εξισώσεις του Friedman Μπορούμε εύκολα να υπολογίσουμε με βάση τη μετρική τα βασικά γεωμετρικά αντικείμενα που μας ενδιαϕέρουν. Αρχικά δηλαδή τους συντελεστές συνοχής και σύμϕωνα με όσα δείξαμε στο προηγούμενο κεϕάλαιο καταλήγουμε να υπολογίσουμε τον τανυστή Ricci[7]: R 00 = 3(H 2 + Ḣ) (2.10) την βαθμωτή καμπυλότητα R: R µν = α 2 (3H 2 + Ḣ + 2K α 2 )g µν (2.11) R = 6(2H 2 + Ḣ + K α 2 ) (2.12) και τον τανυστή Einstein: G 00 = 3(H 2 + K α 2 ) (2.13) G µν = (3H 2 + 2Ḣ + K α 2 )g µν (2.14) Αν αντικαταστήσουμε τα παραπάνω στις εξισώσεις πεδίου της Θεωρία της ΓΣ η παραπάνω γεωμετρία επιβάλει την ϕυσική που θα έχουμε, καθορίζει δηλαδή τη μορϕή της ύλης: G ab = kt ab = (2.15) 3ȧ2 + K 8πGT ab = α 2 u a u b [2 α α + ȧ2 + K α 2 ]h ab (2.16) Αναγνωρίζουμε λοιπόν οτι η ύλη που μας επιλέγει η κοσμολογική αρχή για τους κοσμικούς παρατηρητές σε συνδυασμό με τις εξισώσεις πεδίου του Einstein είναι το ιδανικό ρευστό: T ab = µu a u b + ph ab (2.17)

30 30 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΕΙΣΑΓΩΓ Η ΣΤΗ ΣΧΕΤΙΚΙΣΤΙΚ Η ΚΟΣΜΟΛΟΓ ΙΑ Και συνεπως: Συναρτήσει της παραμέτρου Hubble η πρώτη εξίσωση γράϕεται: kµ = 3ȧ2 + K α 2 (2.18) kp = 2 α α + ȧ2 + K α 2 (2.19) kµ = 3(H 2 + K α 2 ) (2.20) η οποία ειναι η γνωστή πρώτη εξίσωση του Friedman. Λύνοντας ακόμη το σύστημα των δύο εξισώσεων εύκολα καταλήγουμε: 6 α α + kµ = 3kp α α 4πG (µ + 3p) 3 (2.21) α α = 4πG (µ + 3p) 3 (2.22) που είναι η δεύτερη εξίσωση του Friedman ή αλλιώς η εξίσωση επιτάχυνσης. Ακριβώς στην ίδια λογική η ταυτότητα του Bianchi επιβάλλει: Και αν χρησιμοποιήσουμε την εκϕραση: G ab ;b = 0 T ab ;b = 0 (2.23) εύκολα καταλήγουμε στην: T ab = (µ + p c 2 )ua u b + pn ab (2.24) T ab ;b = 0 (µ + p c 2 ) ;bu a u b + (µ + p c 2 )[ua u b ] ;b = 0 µu a u b + (µ + p c 2 )[ua ;b ub + u a (g ab u a ) ;b ] = 0 µ + 3H(µ + p c 2 ) = 0 (2.25) που είναι η γνωστή μας εξίσωση συνέχειας. 2.4 Η ύλη στο σύμπαν Στη σημερινή Κοσμολογία δεχόμαστε οτι η ύλη αποτελείται απο τρεις μορϕές που είναι: α. Τα σχετικιστικά σωματίδια - ή αλλιώς ακτινοβολία β. Μη σχετικιστική ύλη - ή ψυχρή ύλη γ. Σκοτεινή

31 2.4. Η ΥΛΗ ΣΤΟ Σ ΥΜΠΑΝ 31 ενέργεια για τα παραπάνω ισχύει: ρ tot = ρ DE + ρ r + ρ m (2.26) Θεωρούμε επίσης οτι η μη σχετικιστική ύλη δεν έχει πίεση (σκόνη) ενώ η καταστατική εξισωση για την ακτινοβολία προκύπτει άμεσα απο την εξίσωση συνέχειας: και αντίστοιχα για την σκοτεινή ενέργεια: ρ r = 3P r (2.27) Σύμϕωνα με τα παραπάνω η εξίσωση συνέχειας μας δίνει συνολικά: P DE = wρ DE (2.28) που μας δίνει διαδοχικά οτι: ( ρ DE + ρ r + ρ m ) + 3H(ρ DE + ρ r + ρ m ρ r + wρ DE ) (2.29) ρ r (a) = ρ ro a 4 (2.30) ρ m (a) = ρ mo a 3 (2.31) ρ DE (a) = ρ DEo e 3 da 1+w(a) a (2.32) Τώρα για κάθε μορϕή ύλης-ενέργειας θα εισάγουμε τις αντίστοιχες παραμέτρους πυκνότητας: και επίσης τον παράγοντα καμπυλότητας: Ω r = 8πGρ r 3H 2 (2.33) Ω m = 8πGρ m 3H 2 (2.34) Ω DE = 8πGρ DE 3H 2 (2.35) Ω k (a) = k ah 2 (2.36) Η πρώτη εξίσωση Friedmann μπορεί τώρα να γραϕεί εύκολα ως: 1 Ω k (a) = 8πGρ DE 3H 2 + 8πGρ m 3H 2 + Ω r = 8πGρ r 3H 2 (2.37) 1 Ω k (a) = Ω r + Ω m + Ω DE (2.38)

32 32 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΕΙΣΑΓΩΓ Η ΣΤΗ ΣΧΕΤΙΚΙΣΤΙΚ Η ΚΟΣΜΟΛΟΓ ΙΑ 2.5 Κοσμολογικά Μοντέλα Περίπτωση ενός Ρευστού: Βαροτροπικό Ρευστό Αν θεωρήσουμε ένα μοναδικό ρευστό σε flat γεωμετρία το οποίο να είναι βαροτροπικό, δηλαδή ρευστό του οποίου η πίεση είναι ανάλογη της πυκνότητας ύλης με P f = w f ρ f έχουμε: ρf ρ=0 ρ + 3H(ρ + P ) = ρ + 3Hρ(1 + w f ) = 0 (2.39) dρ ρ = 3H(1 + w f )dt = 3(1 + w f ) da a (2.40) ln( ρ f ρ f0 ) = 3H(1 + w f )lna ρ f (a) = ρ f0 a 3(1+w f ) (2.40) Από την πρώτη εξίσωση του Friedman παίρνουμε: Και τελικά: H 2 = 8πG 3 ρ 0a 3(1+w f ) = H 2 = H0 2 a 3(1+w f ) (2.40) da adt = H2 0 a 3(1+w f ) a 1+3wf 2 da = H 0 dt (2.41) Ο παράγοντας επιβράδυνσης είναι: 2 3(1 + w f ) a 3 2 (1+w f ) = H 0 t a(t) = ( t ) ( 2 t 0 3(1 + w f ) ) (2.42) q = (1 + Ḣ H 2 ) = 1 + 3w f 2 (2.43) Απο την οποία παρατηρούμε οτι η επιτάχυνση (ή επιβράδυνση δεν εξαρτάται από τον χρόνο καθολικά! Η μόνη συνθήκη για επιταχυνόμενο σύμπαν είναι η w f < 1/ Μη Σχετικιστικό Ρευστό Ως Μη Σχετικιστικό Ρευστό χαρακτηρίζουμε την σκοτεινή ψυχρή ύλη(cdm:cold Dark Matter), ύλη δηλαδή που δεν ακτινοβολεί και βρίσκεται σε χαμηλές ενέρργειες (μικρές ταχύτητες). Το μοντέλο αυτό πολλές ϕορές αναϕέρεται ως Μοντέλο Einstein-de Sitter. Η καταστατική εξίσωση είναι η: P = kt µc 2 ρ m = < u2 > 3c 2 ρ m 0 w f = 0 (2.44) μια και θεωρούμε πολύ μικρές ταχύτητες. Με απλή εϕαρμογή στα αποτελέσματα της προηγούμενη παραγράϕου παίρνουμε: a CDM = ( t t 0 ) 2/3 (2.45)

33 2.5. ΚΟΣΜΟΛΟΓΙΚΆ ΜΟΝΤ ΕΛΑ 33 Συνεπώς έχουμε επιβραδυνόμενο σύμπαν. q CDM = 1/2 (2.46) Σχετικιστικό Ρευστό ρ CDM = ρ 0 a 3 (2.47) ( H(z) H(0) )2 = (1 + z) 3 (2.48) Ως Σχετικιστικό Ρευστό χαρακτηρίζουμε ένα σύμπαν ακτινοβολίας, ύλη δηλαδή σε υψηλές ενέργειες (και ταχύτητες). Το μοντέλο αυτό περιγράϕει πολύ καλά το πρώιμο σύμπαν. Η καταστατική εξίσωση είναι τωρα η: Αλλά < u 2 > c 2 και συνεπώς και P = kt µc 2 ρ m = < u2 > 3c 2 ρ m (2.49) P = ρ m /3 (2.50) w f = 1/3 (2.51) Με απλή εϕαρμογή τώρα παίρνουμε: a r = ( t t 0 ) 1/2 (2.52) q r = 1 (2.53) (επιβραδυνόμενο σύμπαν) ρ r = ρ 0 a 4 (2.54) ( H(a) H(0) )2 = a 4 (2.55) Περίπτωση χωρίς ύλη και ακτινοβολία αλλά με Καμπυλότητα Αν θεωρήσουμε ένα σύμπαν χωρίς ύπαρξη ύλης αλλά με καμπυλότητα η Εξίσωση του Friedman γίνεται: Και εύκολα βγάζουμε οτι: H 2 = k a 2 (2.56) a = kt (2.57)

34 34 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΕΙΣΑΓΩΓ Η ΣΤΗ ΣΧΕΤΙΚΙΣΤΙΚ Η ΚΟΣΜΟΛΟΓ ΙΑ Και αν τώρα θεωρήσουμε ένα υποτιθέμενο ρευστό αυτό θα είχε: w = 1/3, q = 0 (2.58) Περίπτωση με Κοσμολογική Σταθερά Θεωρούμε το κβαντομηχανικό κενό με μια αρνητική πίεση ωστε να δημιουργεί απωστικές δυνάμεις. P = ρ Λ, w f = 1 (2.59) όπου ρ Λ έχουμε ορίσει την ενέργεια κενού. Η εξίσωση συνέχειας μας δίνει: ρ Λ + 3H(ρ Λ + P Λ ) ρ Λ = 0 ρ Λ = constant (2.60) Και άμεσα η πρώτη εξίσωση του Friedman παίρνει τη μορϕή: Και ο παράγοντας επιβράδυνσης είναι: H 2 = 8πG 3 ρ Λ0 a(t) = a e H (t t ) (2.61) q Λ = (1 + Ḣ ) = 1 (2.62) H2 και συνεπώς με αυτό το μοντέλο έχουμε την ζητούμενη μας επιτάχυνση. Το μοντέλο αυτό περιγράϕει τις πρώτες στιγμές του σύμπαντός μας (και αϕορά στο κομμάτι του αρχικού πληθωρισμού για χρόνους μέχρι sec.) Μοντέλα με ύλη και Dark Energy Από την καταστατική εξίσωση για την περίπτωση της Σκοτεινής Ενέργειας: ρ DE + 3H(ρ DE + P DE ) ρ DE = 0, P DE = wρ DE (2.63) Στη γενική περίπτωση θα θεωρήσουμε όχι ένα σταθερό w αλλά w DE = w(a). Λύνουμε λοιπόν την παραπάνω με dρ DE da ȧ + 3(1 + w(a))ȧ a ρ DE = 0 ρ DE = ρ DE0 Q(a) (2.64) Q(a) = e 3 a 1+w(a) 1 da a (2.65)

35 2.5. ΚΟΣΜΟΛΟΓΙΚΆ ΜΟΝΤ ΕΛΑ 35 Αν τώρα θεωρήσουμε ένα μοντέλο που θα περιλαμβάνει ύλη και Σκοτεινή Ενέργεια θα πρέπει σε πρώτη ϕάση να καθορίσουμε την ϕυσική που θα διέπει την Σκοτεινή Ενέργεια, δηλαδή τη μορϕή του w(a) [8]. Κάνουμε λοιπόν τις υποθέσεις: 1. w(a) = w, σταθερό οπου διακρίνουμε τις υποπεριπτώσεις: 1 > w : P hantomf ieldmodels και 1 < w < 1/3 : QuintessenceModels 2. w(a) = 1 : Λ-Κοσμολογία Q(a = constant) = e 3 a 1+w(a) 1 da a = A 3(1+w) (2.66) Q Λ = e 3 a 1+w(a) 1 da a = 1 (2.67) 3. w(a) = w 0 + w 1 (1 a) : Chevallier - Polarski Linder model (CPL), που ουσιαστικά είναι το ανάπτυγμα Τέηλορ της αρχική έκϕρασης. Q CP L = e 3 a 1+w(a) 1 da a = e 3(1+w 0+w 1 ) e 3w 1(1 a) (2.68) Από την δεύτερη εξίσωση του Friedman διερευνούμε τη συνθήκη για επιτάχυνση: ä a = 4πG 3 (ρ m + (1 + 3w(a))ρ DE ) (2.69) ä > 0 ρ m + (1 + 3w(a))ρ DE < 0 w < 1/3 (2.70) Το Λ-CDM μοντέλο Το μοντέλο αυτό περιγράϕει ένα σύμπαν με την ύπαρξη ύλης και της κοσμολογικής σταθεράς (δηλαδή αρνητικής πίεσης με w = 1). Συνεπώς: όπου: H(a) H 0 = (Ω M a 3 + Ω Λ ) 1/2 (2.71) Ω M = 8πG 3H 2 ρ M (2.72) Ω Λ = 8πG 3H 2 ρ Λ ρ Λ = Λ 8πG, Λ = 3Ω ΛH 2 8πG (2.73)

36 36 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΕΙΣΑΓΩΓ Η ΣΤΗ ΣΧΕΤΙΚΙΣΤΙΚ Η ΚΟΣΜΟΛΟΓ ΙΑ Και συνεπώς η αρχική μας εξίσωση με ολοκλήρωση παίρνει τη μορϕή: a 0 ȧ ah 0 = a όπου κάναμε την αλλαγή μεταβλητής: 0 (Ω M0 a 3 + Ω Λ0 ) 1/2 H 0 t Ω Λ0 = a 0 a da ( Ω (2.74) M0 Ω Λ0 + a 3 ) 1/2 Και καταλήγουμε στη λύση: a = ( Ω M0 ) 1/3 sinh 2/3 (w), w = 3 ΩΛ0 H 0 t (2.75) Ω Λ0 2 και συνεπώς: a(t) = ( Ω M0 ) 1/3 sinh 2/3 ( 3 ΩΛ0 H 0 t) (2.76) Ω Λ0 2 t(a) = 2 )sinh 1 ΩΛ0 ( a 3/2 ) (2.77) 3Ω Λ0 H 0 Ω M0 απ όπου μπορούμε να υπολογίσουμε την ηλικία του σύμπαντος (με βάση αυτό το μοντέλο) για α=1 η οποία μας δίνει: T 0 14Gyr Επίσης υπολογίζουμε άμεσα και την έκϕραση της Hubble: H(t) = Ω Λ0 H 0 coth( 2 3 ΩΛ0 H 0 t) (2.78) Άν τώρα θεωρήσουμε t << T 0 και αναπτύξουμε το sinh(x) σε σειράπαρατηρούμε οτι η εξέλιξη του παράγοντα κλίμακας είναι:a t 2/3 ενώ αντίθετα αν t >> T 0 παρατηρούμε πολύ έντονη επιτάχυνση με: a e 3 ΩΛ0 H 2 0 t. 2.6 Θεωρία του πληθωρισμού Το μοντέλο του HotBigBang ή αλλιώς το καθιερωμένο πρότυπο της Κοσμολογίας, δεν μπορει να καλύψει κάποια βασικά προβλήματα που προκύπτουν στη θεωρία μας.αυτά είναι: 1. Το πρόβλημα των μαγνητικών μονοπόλων 2. Το πρόβλημα του ορίζοντα 3. Το πρόβλημα της μη-καμπυλότητας. Η απάντηση ήρθε με την θεωρία του πληθωρισμού η οποία αϕορά στην περίοδο του σύμπαντος ( sec που ο παράγοντας κλίμακας του σύμπαντος είχε εξαιρετικά μεγάλη επιτάχυνση και με αυτό τον τρόπο έϕτασε απο τις κβαντικής τάξης διαστάσεις στις μακροσκοπικές. Για να συμβεί κάτι τέτοιο η διαστολή θα πρέπει να ήταν εκθετική, επιταχυνόμενη και σύντομη.

37 2.6. ΘΕΩΡ ΙΑ ΤΟΥ ΠΛΗΘΩΡΙΣΜΟ Υ 37 Συνοπτικά μια τέτοια θεωρία δίνεται απαιτώντας με κάποιον τρόπο μια αρνητική πίεση ωστε να έχουμε επιτάχυνση. Από την εξίσωση του Friedmann έχουμε (έχοντας θεωρήσει (P = wρ): συνεπώς θέλω (c = 1)Χ ä a = 4 3w πρg(1 + 3 c 2 ) (2.79) ρg(1 + 3w) > 0 w < 1/3 (2.80) Η κλασική απόδοση σε ένα τετοιο μοντέλο γίνεται με ενα ρευστο με w 1 που όπως ξέρουμε συνεπάγεται άμεσα: οπότε η Friedmann μας δίνει: ρ Λ = 0 ρ Λ = constant (2.81) H 2 = 8πGρ Λ = constant 3 (2.82) a a = H t a(t) = a 0e H(t t 1) (2.83) για την περίοδο t 1 < t < t f με t 1 την χρονική στιγμή της έναρξης του πληθωρισμού και t f τον χρόνο λήξης.

38 38 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΕΙΣΑΓΩΓ Η ΣΤΗ ΣΧΕΤΙΚΙΣΤΙΚ Η ΚΟΣΜΟΛΟΓ ΙΑ

39 Κεϕάλαιο 3 Variation της δράσης και εξισώσεις πεδίου των θεωριών Οι εξισώσεις πεδίου στο κενό Για μια μετρική g αβ η δράση παίρνει τη μορϕή: gd S = 4 xφ(g αβ), (3.1) όπου το Φ είναι ένα βαθμωτό πεδίο και το gd 4 x το στοιχείο όγκου [9]. Προϕανώς η απλούστερη επιλογή για το βαθμωτό πεδίο είναι το βαθμωτό στοιχείο του τανυστή Ricci, R και συνεπώς η δράση γίνεται: η οποία μπορεί να γραϕτεί: gd S [EH] = 4 xr, (3.2) gd δs [EH] = δ 4 xg αβ R αβ = = d 4 x(δ( g)g αβ R αβ + gδ(g αβ )R αβ + gg αβ δ(r αβ )) (3.3) όπου κάναμε χρήση[4] των ταυτοτήτων: δ(g αβ g βγ ) = δ(δγ α ) = 0 δg αβ = g αγ δ(g γδ )g δβ, (3.4) δ( g) = 1 gg αβ δ(g αβ ) = 1 ggαβ δ(g αβ ) (3.5)

40 40 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. VARIATION ΤΗΣ ΔΡΆΣΗΣ ΚΑΙ ΕΞΙΣ ΩΣΕΙΣ ΠΕΔ ΙΟΥ ΤΩΝ ΘΕΩΡΙ ΩΝ και καταλήγουμε[4] στο: gd δs [EH] = 4 x[( 1 2 g αβr + R αβ )δg αβ + g αβ δr αβ ] = gd = 4 x[(r αβ 1 gd 2 g αβr)]δg αβ + 4 xg αβ δr αβ (3.6) Το πρώτο μέρος βλέπουμε οτι μας δίνει απευθείας τον τανυστή Einstein και κατ επέκταση τις εξισώσεις του Einstein για το κενό. Συνεπώς μένει να δείξουμε οτι το δεύτερο μέρος είναι ένα ολικό διαϕορικό. Για να το κάνουμε αυτό αρκεί να εκϕράσουμε τον τανυστή Ricci αναλυτικά: R λ σµν = µ Γ λ σν ν Γ λ σµ + Γ λ µργ ρ νσ Γ λ νργ ρ µσ = R µν = λ Γ λ µν ν Γ λ µλ + Γλ λρ Γρ νµ Γ λ νργ ρ λµ (3.7) Συνεπώς δr µν = λ δγ λ µν ν δγ λ µλ + δγλ λρ Γρ νµ + Γ λ λρ δγρ νµ δγ λ νργ ρ λµ Γλ νρδγ ρ λµ (3.8) Σε αυτή την περίπτωση και έχοντας υπόψην οτι τα Γ δεν είναι τανυστές λόγω του τρόπου με τον οποίο μετασχηματίζονται, αλλά οτι οι όροι δγ λ µν όμως είναι! Κατα συνέπεια η παραπάνω σχέση γράϕεται πολύ πιο απλά (αλλά και μοναδικά μια και θα πρέπει να έχει χαρακτήρα τένσορα)[4] με συναλλοίωτες παραγώγους: δr µν = δγ λ µν;λ δγλ µλ;ν (3.9) συνεπώς μπορούμε τώρα να γράψουμε τον όρο: g µν δr µν = (g µν δγ λ µν) ;λ (g µν δγ λ µλ ) ;ν = (g µν δγ λ µν g µν δγ λ µλ ) ;λ (3.10) Βλέπουμε λοιπόν πως ο όρος gd 4 xg αβ δr αβ είναι ολικό διαϕορικό! Με βάση τον ορισμό των Christoffel προκύπτει άμεσα δγ µ νλ = 1 2 gµν (δg ρλ;ν + δg ρν;λ δg νλ;ρ ) (3.11) και τώρα η (10) γινεται: g µν δr µν = ((g µα g νβ g µν g αβ ) ;µν δg αβ = ( µ ν g µν )δg µν (3.12) F(R) μορϕή Τώρα μπορούμε να βγάλουμε μια γενική έκϕραση που θα μας χρησιμεύσει στον υπολογισμό των Λανγκραζιανών F (R) αϕού

41 41 δr = δ(g µν R µν ) = R µν δg µν g µν δr µν (3.13) Η γενική μορϕή της δράσης αυτών των Λανγκραζιανών είναι [33, 34]: gd S [EH] = 4 xf (R), (3.14) και συνεπώς το gd δs = 4 x( 1 2 g µνf (R)δg µν + F (R)δR) = gd = 4 x( 1 2 g µνf (R) + F (R)R µν ( µ ν g µν ))δg µν (3.15) που μας δίνει απευθείας τις εξισώσεις πεδίου για το κενό[;]. Τώρα αν στην αρχική εξίσωση θέλουμε να εισάγουμε και την κοσμολογική σταθερά Λ αρκεί να αντικαταστήσουμε στη δράση: Προϕανώς δλ = 0 και συνεπώς στην () θα προστεθεί μόνο ο όρος: R R 2Λ (3.16) 2 δ gd 4 xλ (3.17) ο οποίος αντίστοιχα πολύ εύκολα καταλήγει στις τελικές εξισώσεις να συνεισϕέρει με τον όρο: gd 4 x(λg αβ)δg αβ (3.18) και συνεπώς οι αντίστοιχες εξισώσεις πεδίου είναι οι: G αβ = R αβ 1 2 g αβr + Λg αβ (3.19) Οι εξισώσεις πεδίου με την ύπαρξη ύλης Αν τώρα θέλουμε να πάρουμε τις εξισώσεις του Einstein με την ύπαρξη του T µν θα πρέπει να ισχύει: δs(g ab, ϕ) = δs g + δs mat = 0 (3.20) δg ab δg ab δg ab Δηλαδή η variation του μέρους της δράσης που αϕορά στην ύλη ως προς την μετρική - δηλαδή την γεωμετρική έκϕραση του πεδίου βαρύτητας - θα πρέπει να μας δώσει την πηγή του πεδίου αυτού απο τους όρους μάζας. Μπορούμε να δούμε οτι η δράση για ένα minimally coupled βαθμωτό πεδίο είναι: S M = gd 4 x( 1 2 gab a ϕ b ϕ V (ϕ)) (3.21)

42 42 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. VARIATION ΤΗΣ ΔΡΆΣΗΣ ΚΑΙ ΕΞΙΣ ΩΣΕΙΣ ΠΕΔ ΙΟΥ ΤΩΝ ΘΕΩΡΙ ΩΝ Θεωρώντας το variation κατα τα γνωστά: g ab g ab + δg ab (3.22) και την: δ( g) = 1 gg αβ δ(g αβ ) = 1 ggαβ δ(g αβ ) (3.23) 2 2 παίρνουμε άμεσα: δs M = 1 2 gd 4 x[ a ϕ b ϕ + g ab( 1 2 gµν µ ϕ ν ϕ V (ϕ))]δg ab (3.24) που μας δίνει τον απευθείας τον minimally coupled τανυστή ενέργειας-ορμής: T ab = a ϕ b ϕ 1 2 g abg µν µ ϕ ν ϕ g ab V (ϕ) (3.25) Συνεπώς βλέπουμε εύκολα τον όρο: που μπορούμε να γράψουμε[4] και ως: δs M = 1 2 gd 4 xt ab δg ab (3.26) T ab = 2 δ g δg ab S M (3.27) Η μορϕή της συνάρτησης f(r) είναι άγνωστη, όμως έχουν προταθεί διάϕορα μοντέλα τα οποία εξηγούν διάϕορες καταστάσεις της εξέλιξης του σύμπαντος, όπως [35], [36], [37],[38],[39].

43 Κεϕάλαιο 4 Η Brans-Dicke θεωρία βαρύτητας 4.1 Mach s Principle Δυο είναι οι κυρίαρχες ιδέες σε σχέση με τη ϕύση του χώρου [10]. Η πρώτη οτι είναι μια απόλυτη ϕυσική δομή που υπάρχει ανεξάρτητα με σαϕείς εγγενείς ιδιότητες. Η άλλη οτι καμία ιδιότητα ή γεωμετρικό εγγενές χαρακτηριστικό δεν έχει απολύτως κανένα νόημα σε έναν κενό χώρο και οτι η μόνη κίνηση που έχει νόημα είναι αυτή σε σχέση με κάποιο άλλο αντικείμενο ή παρατηρητή. Αν και η δεύτερη ιδέα έχει βρει μια έκϕραση μέσα απο τη Θεωρία της Γενικής Σχετικότητας με δεδομένο οτι η ύπαρξη μάζας και ενέργειας δεν επιβάλλει συγκεκριμένη γεωμέτρια, η έκϕραση αυτή δεν είναι πλήρως συνεπής με την αρχή του Mach. Χαρακτηριστικό είναι για παράδειγμα οτι θα πρέπει να βρεθούν οριακές συνθήκες που να εξαϕανίζουν, συμϕωνα με τα παραπάνω, όλες τις λύσεις στην περίπτωση απουσίας ύλης. Το πιο σύνηθες παράδειγμα για να δούμε αυτή την αδυναμία είναι να θεωρήσουμε ένα εργαστήριο στον χώρο. Στην περίπτωση ενός γεμάτου χώρου κάθε αδρανειακή δύναμη που παρατηρείται τοπικά στο εργαστήριο μπορεί να ερμηνευτεί ως αποτέλεσμα των βαρυτικών ϕαινομένων μακρυνών αντικειμένων. Αν όμως θεωρήσουμε αυτό το εργαστήριο σε έναν εντελώς άδειο χώρο και την κλασσικό σύστημα συγκινούμενων συνετεγμένων σε χώρο Minkowski μπορούμε να κάνουμε την θεώρηση ασθενούς βαρυτικού πεδίου και συνεπώς να έχουμε την μετρική. Ομως αν ο παρατηρητής πυροβολήσει για πράδειγμα μέσα απο το εργαστήριο απο το παράθυρο θα θέσει σε περιστροϕή το εργαστήριο. Αλλά με αυτόν τρόπο η πολύ μικρή και όλο απομακρυνόμενη σϕαίρα θα παίζει πλέον μεγαλύτερο ρόλο στον καθορισμό των αδρανειακών δυνάμεων και τον προσανατολισμό του εργαστηρίου (έστω με ένα γυροσκόπιο) από τους πολύ πιο βαρείς τοίχους του εργαστηρίου. Σε αυτή τη θεώρηση είμαστε τελικά πολύ πιο κοντά σε μια απόλυτη δομή παρά στην θεώρηση του Mach. Με βάση αυτή την αδυναμία οι Brans Dicke[11] διατύπωσαν μέσα απο τις αρχικές τους δημοσιεύσεις μια θεωρία πεδίου με την προσπάθεια να είναι συνεπής με την αρχή του Mach και με οριακές συνθήκες που να επιβάλλουν τον πλήρη καθορισμό της γεωμετρίας από την κατανομή της ύλης.ο πυρήνας της 43

44 44 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. Η BRANS-DICKE ΘΕΩΡ ΙΑ ΒΑΡ ΥΤΗΤΑΣ σκέψης της θεωρίας τους ξεκίνησε με την παραδοχή οτι κάποια μεγέθη (κυρίως το G, αλλα ακόμη και οι μάζες) δεν είναι απαραίτητο να έχουν σταθερή τιμή σε διαϕορετικά σημεία μέτρησης του χωροχρόνου. Αυτό με την σκέψη οτι τα αδιάστατα μεγέθη όπως m (G/ c) 5X10 23 ή οι αναλογίες μαζών είναι αναλλοίωτες και συνεπώς μπορούν να συγκριθούν σε διαϕορετικά σημεία του χωροχρόνου αλλά τα στοιχεία που περιλαμβάνονται μπορούν να διαϕοροποιούνται. Κάνοντας αυτή την παραδοχή και σκεπτόμενοι πως το G μπορεί να είναι ένα τέτοιο μέγεθος κατέληξαν στην εισαγωγή ενός βαθμωτού πεδίου ϕ στις εξισώσεις πεδίου το οποίο να δίνει τελικά μια εξάρτηση της μορϕής G 1 ϕ. 4.2 Scalar Tensor Gravity θεωρίες Στη θεωρία της Γενικής Σχετικότητας η βαρυτική δύναμη εκϕράζεται όπως έχουμε δει από εναν τένσορα δεύτερης τάξης, ή στην περίπτωση της προσέγγισης της κβαντικής θεωρίας πεδίου απο ένα άμαζο σωματίδιο με σπιν 2. Η θεωρία όμως της Γενικής Σχετικότητας δεν εξηγεί την ύπαρξη της αδράνειας στο σύμπαν. Επίσης όπως γνωρίζουμε δεν έχει ακομη συνδυαστεί ικανοποιητικά σε μια μεγαλοενοποιημένη θεωρία. Αυτό έχει δημιουργήσει την ανάγκη για την αναζήτηση ενός άλλου θεωρητικού μοντέλου. Σε αυτή την κατεύθυνση το πιο απλό σενάριο είναι η προσθήκη ενός ακόμη βαθμωτού πεδίου, παρότι μπορούμε ϕυσικά να θεωρήσουμε την προσθήκη διανυσματικών ή τενσοριακών πεδιών κτλ. με την προϋπόθεση οι θεωρίες αυτές να συμπίπτουν με την θεωρία της Γενικής Σχετικότητας εκεί που αυτή έχει επιβεβαιωθεί. Οι πιο απλές τέτοιες θεωρίες είναι αυτές της Scalar Tensor Gravity με πιο γνωστή την θεωρία των Brans-Dicke. Η γενική μορϕή[3] μιας Λανγκρανζιανής πυκνότητας στις θεωρίες Scalar Tensor Gravity είναι: L = 1 g[f(ϕ)r g(ϕ) µ ϕ µ ϕ 2, Λ(ϕ)] + L (m) (Ψ, h(ϕ)g µν ) (4.1) 16π όπου η L (m) είναι η Λανγκρανζιανή των πυκνότητα των πεδίων ύλης και τα f(ϕ), g(ϕ), Λ(ϕ) αυθαίρετες συναρτήσεις του πεδίου ϕ και πιο συγκεκριμένα η h(ϕ) μπορεί να απορροϕηθεί απο την μετρική μέσω ενός Conformal Μετασχηματισμού μορϕής: h(ϕ)g µν g µν. Χωρίς να χάνουμε τη γενικότητα μπορούμε να ορίσουμε f(ϕ) ϕ και ταυτόχρονα εισάγουμε την coupling παράμετρο ω(ϕ) και έχουμε: L = 1 ω(ϕ) g[ϕr 16π ϕ µϕ µ ϕ 2, Λ(ϕ)] + L (m) (Ψ, g µν ) (4.2) η οποία στα όρια Λ 0 και ω(ϕ) ω καταλήγει στην Brans Dicke Theory. 4.3 Σύμμορϕοι μετασχηματισμοί Οι παραπάνω θεωρίες είναι σύμμορϕα ισοδύναμες με την θεωρία της Γενική Σχετικότητας. Ενας Σύμμορϕος Μετασχηματισμός της μετρικής μετασχηματίζει μόνο σε επίπεδο κλίμακας, αλλά αϕήνει τις γωνίες ανέπαϕες. Με τον τρόπο αυτό μπορούμε να βρούμε μια νέα μετρική που να υπακούει στις εξισώσεις του

45 4.3. Σ ΥΜΜΟΡΦΟΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟ Ι 45 Einstein με το βαθμωτό πεδίο να συνεισϕέρει όπως ένα κανονικό πεδίο ύλης. Ομως αυτό δεν σημαίνει πως οι θεωρίες είναι ισοδύναμες μια και η μετρική που συνδέεται με τα πεδία της ύλης μετασχηματίζεται επίσης[12]. Ενας τέτοιος μετασχηματίσμος της g µν σε g µν είναι: όπου η Ν είναι ένας σύμορϕος μετασχηματισμός [13, 14, 15]: Κατά συνέπεια υπολογίζουμε έυκολα: N = g µν = N 2 g µν (4.3) 1 2F, F = F (ψ) < 0. (4.4) Και N ;i = F ψψ ;i, F = F (ψ) < 0. (4.5) ( 2F ) 3/2 ds 2 = N 2 d s 2 (4.6) και αν θεωρήσουμε n διαστάσεις θα ισχύει g = ϵ ijkl g ij g kl = N n g (4.7) Από όλα τα frames μας ενδιαϕέρουν κυρίως το Jordan frame και το Einstein frame. Το Jordan frame είναι αυτό στο οποίο ο τανυστής ενέργειας ορμής είναι συναλλοίωτα διατηρήσιμος και στον οποίο τα σωματίδια ακολουθούν τις γωδαισιακές της μετρικής. Αυτό είναι και το πιο συνηθισμένο frames για τις Scalar Tensor Gravity θεωρίες. Στο Einstein frame οι εξισώσεις πεδίου παίρνουν την αρχική μορϕή των εξισώσεων του Einstein με το βαθμωτό πεδίο να συνεισϕέρει όπως ένα κανονικό πεδίο ύλης όπως είπαμε και παραπάνω. Ο μετασχηματισμός των Γ σύμϕωνα με τα παραπάνω είναι [16]: Γ a bc = Γa bc + N 1 (δ a b N ;c + δ a c N ;b g bc N ;a ) (4.8) Και συνεπώς τανυστής Ricci και ο βαθμωτος Ricci μετασχηματίζονται ως εξής: R µν = R µν (n 2) µ ν ln(n) + (n 2) µ ln(n) ν ln(n) g ab g ef e f ln(n) (n 2)g ab g ef e ln(n) f ln(n) (4.9) R = N 2 [R (n 1)(n 2) gµν µ N ν N N 2 2(n 1) lnn] (4.10)

46 46 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. Η BRANS-DICKE ΘΕΩΡ ΙΑ ΒΑΡ ΥΤΗΤΑΣ Αν τώρα θεωρήσουμε τέσσερεις διαστάσεις (n = 4) έχουμε: Η δράση για μια Non-minimally coupled Λανγκρανζιανή είναι: R = N 2 R 6N 3 g ij N ;ij (4.11) S NM = dτdx 3 g[f R + ϵ g 2 ij ψ ;i ψ ;j V (ψ)] (4.12) και συνεπώς μέσω των παραπάνω μετασχηματισμών γίνεται: S NM = dτdx 3 N 4 g[f (N 2 R 6N 3 g ij N ;ij ) + ϵ 2 N 2 g ij ψ ;i ψ ;j V (ψ)] (4.13) = S NM = dτdx 3 g[f N 2 R] dτdx 3 g[f N 2 R 6F Ng ij N ;ij + ϵ 4F gij ψ ;i ψ ;j N 4 V (ψ)] = (4.14) dτdx 3 g[6f Ng ij N ;ij ] + dτdx 3 g[ ϵ 4F gij ψ ;i ψ ;j N 4 V (ψ)] = (4.15) = dτdx 3 g( R 2 ) dτdx 3 g[6 F 1 2F g ( gg ij N ;i ) ;j ] = dτdx 3 g[ ϵ 4F gij V (ψ) ψ ;i ψ ;j ] = (4.16) 4F 2 = f 2 ψ dτdx 3 g[( R 2 ) + 3 ( 2F ) 2 gij ψ ;i ψ ;j S NM = ϵ 4F gij ψ ;i ψ ;j V (ψ) 4F 2 ] (4.17) dτdx 3 g[( R 2 ) + ϵ 2 2 (3/ϵF ψ F (2F 2 ) 2 g ij V (ψ) ψ ;i ψ ;j 4F 2 ] (4.18) Συνεπώς μπορούμε να εισάγουμε το βαθμωτό πεδίο Ψ με την απαίτηση: και η δράση γίνεται: S NM = dψ = 3/ϵF 2 ψ F 2F 2 dψ (4.19) dτdx 3 g[ R 2 + ϵ 2 gij Ψ ;i Ψ ;j V (ψ) 4F 2 ] (4.20) Απ όπου μπορούμε να δούμε οτι σε κάθε Non-minimally coupled βαθμωτό πεδίο μπορούμε να αντιστοιχίσουμε μοναδικά ενα minimally coupled βαθμωτό πεδίο σε ενα σύμμορϕο χώρο με κατάλληλο δυναμικό. 4.4 Η Brans-Dicke θεωρία βαρύτητας Η θεωρία των Jordan-Fierz,Brans-Dicke είναι η πρώτη εναλλακτική θεωρία στη θεωρία της Γενικής Σχετικότητας που προτάθηκε. Σε αυτήν θεωρούμε μια δράση της μορϕής: S BD = 1 16π d 4 x g[ϕr ω ϕ g µν µ ϕ µ ϕ V (ϕ)] + S (m) (4.21)

47 4.4. Η BRANS-DICKE ΘΕΩΡ ΙΑ ΒΑΡ ΥΤΗΤΑΣ 47 όπου S (m) = d 4 x gl mat (4.22) η δράση που περιγράϕει στην κλασική θεωρία της Γενικής Σχετικότητας την ύλη. Ακολουθώντας την ίδια διαδικασία όπως και στην περίπτωση της δράσης Einstein- Hilbert υπολογίζουμε: δs BD = 1 16π δ Γράϕουμε αναλυτικά τους όρους: d 4 x gϕ[r ω ϕ 2 g µν µ ϕ ν ϕ V (ϕ) ϕ ] + δs(m) (4.23) δs BD = 1 16π d 4 x gδ(ϕ)[r ω ϕ 2 g µν µ ϕ ν ϕ V (ϕ) ϕ ]+ d 4 xδ( g)ϕ[r ω ϕ 2 g µν µ ϕ ν ϕ V (ϕ) ϕ ]+ d 4 x gϕδ[r ω ϕ 2 g µν µ ϕ ν ϕ V (ϕ) ϕ ] + δs(m) (4.24) Με δεδομένες τις σχέσεις: δ(g αβ g βγ ) = δ(δ α γ ) = 0 δg αβ = g αγ δ(g γδ )g δβ, (4.25) δ( g) = 1 gg αβ δ(g αβ ) = 1 ggαβ δ(g αβ ) (4.26) 2 2 καθώς και την έκϕραση που αποδείξαμε προηγουμένως (3.12): g µν δr µν = ((g µα g νβ g µν g αβ ) ;µν δg αβ = ( µ ν g µν )δg µν (4.27) αντικαθιστώντας παίρνουμε τελικά την έκϕραση: δr = δ(g µν R µν ) = R µν δg µν g µν δr µν (4.28) g 16π g µνϕ 1 2 [R ω ϕ 2 gµν µ ϕ ν ϕ V (ϕ) ϕ ] g + 16π [R µν ( µ ν g µν )g µρ g σν ω ϕ 2 g µν µ ϕ µ ϕ]) = 0 (4.29) Και τελικά αν εισάγουμε μέσα στην εξίσωση τον τανυστή Einstein αντικαθιστώντας: R µν 1 2 g µνr = G µν (4.30)

48 48 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. Η BRANS-DICKE ΘΕΩΡ ΙΑ ΒΑΡ ΥΤΗΤΑΣ καταλήγουμε στις εξισώσεις πεδίου[3] της θεωρίας των Brans-Dicke: G µν = 8π ϕ T mat µν + ω ϕ 2 ( µϕ ν ϕ 1 2 g µν ρ ϕ ρ ϕ) + 1 ϕ ( µ ν ϕ g µν ϕ) V (ϕ) 2ϕ g µν (4.31) όπου έχουμε θεωρήσει τον τανυστή ενέργειας ορμής για την κλασική ύλη της θεωρίας της ΓΣ: Παίρνοντας το ίχνος της παραπάνω εξίσωσης παίρνουμε: Tµν mat = 2 δ g δg µν ( gl mat ) (4.32) g µν G µν = 8π ϕ gµν T mat µν + ω ϕ 2 (gµν µ ϕ ν ϕ 1 2 gµν g µν ρ ϕ ρ ϕ) + 1 ϕ (gµν µ ν ϕ g µν g µν ϕ) V (ϕ) 2ϕ gµν g µν (R 2R)ϕ = 8πT mat + ω ϕ ( µ ϕ µ ϕ 2 µ ϕ µ ϕ) + 1 ( ϕ 4 ϕ) 2V ϕ (4.33) Και τελικά: Rϕ ω ϕ µ ϕ µ ϕ + 3 ϕ + 2V = 8πT mat (4.34) Αν τώρα θεωρήσουμε διαϕόρηση της αρχικής δράσης ως προς το πεδίο ϕ παίρνουμε την εξίσωση Αντικαθιστώντας το R καταλήγουμε στην: 2ω ϕ ϕ + R ω ϕ 2 µ ϕ µ ϕ dv dϕ = 0 (4.35) ϕ = 1 2ω + 3 [8πT mat + ϕ dv dϕ 2V ] (4.36) 4.5 Οι κοσμολογικές εξισώσεις της θεωρίας των Brans-Dicke Θα καταλήξουμε στις εξισώσεις πεδίου της Brans-Dicke Κοσμολογίας θεωρώντας ένα FRLW σύμπαν με μετρική: ds 2 = dt 2 + a 2 dr 2 (t)[ 1 Kr 2 + r2 (dθ 2 + sin 2 θdϕ 2 )] (4.37)

49 4.5. ΟΙ ΚΟΣΜΟΛΟΓΙΚ ΕΣ ΕΞΙΣ ΩΣΕΙΣ ΤΗΣ ΘΕΩΡ ΙΑΣ ΤΩΝ BRANS-DICKE 49 και με δεδομένο πως το βαθμωτό πεδίο ϕ της θεωρίας μας εξαρτάται μόνο από τον χρόνο. Αυτά συνεπάγονται: και µ ϕ µ ϕ = ( ϕ) 2 (4.38) ϕ = ( ϕ + 3H ϕ) = 1 a 3 d dt (a3 ϕ) (4.39) Θα θεωρήσουμε επίσης οτι ο τανυστής ενέργειας ορμής παίρνει την μορϕή που περιγράϕει ένα ιδανικό ρευστό που όπως έχουμε δείξει είναι: Υπολογίζουμε το ίχνος του: T ab = (P + ρ)u a u b + P g ab (4.40) T = g ab T ab = (P + ρ)g ab u a u b + P g ab g ab = P ρ + 4P = 3P ρ (4.41) Τώρα θεωρώντας απο την εξίσωση (4.33) μόνο τις συνιστώσες χρόνου-χρόνου (δηλαδή g 00, T 00 = ρ, R 00 ) υπολογίζω: R g 00R = 8π ϕ T mat 00 + ω ϕ 2 ( µϕ ν ϕ 1 2 g 00 ρ ϕ ρ ϕ) + 1 ϕ ( µ ν ϕ g 00 ϕ) V (ϕ) 2ϕ g 00 3(H 2 + Ḣ) (2H2 + Ḣ + K a 2 ) = 8π ϕ ϕ ρ + ω( ϕ )2 (1 1 2 ) + 1 ϕ ( ϕ + ϕ) + V (ϕ) 2ϕ 3H K a 2 = 8π ϕ ρ + ω 2 ( ϕ ϕ )2 3H( ϕ ϕ ) + V (ϕ) 2ϕ H 2 = 8π 3ϕ ρ + ω 6 ( ϕ ϕ )2 H( ϕ ϕ ) + V (ϕ) 6ϕ K a 2 (4.42) Αν τώρα στην αρχική εξίσωση που υπολογίσαμε παίρνοντας τα ίχνη αντικαταστήσουμε το R παίρνουμε: 2H 2 + Ḣ + K a 2 = 4π 3ϕ T ω 6 ( ϕ ϕ )2 + 1 ϕ 2 ϕ V (ϕ) 2ϕ και συνδυάζοντας με την παραπάνω [3] παίρνουμε απευθείας την τελική έκϕραση: (4.43) Ḣ = 8π (2ω + 3)ϕ [(ω + 2)ρ + ωp ] ω 2 ( ϕ ϕ )2 + 2H( ϕ ϕ ) + 1 2(2ω + 3)ϕ (ϕdv dϕ 2V ) + K a 2 (4.44) ενώ αντίστοιχα η αρχική έκϕραση για το βαθμωτό πεδίο (4.36) γίνεται: ϕ + 3H ϕ 1 = [8π(ρ 3P ) ϕdv + 2V ] (4.45) 2ω + 3 dϕ Διάϕορες κοσμολογικές λύσεις για διαϕορετικά δυναμικά μπορούν να βρεθούν στις εργασίες [40] [41] [42].

50 50 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. Η BRANS-DICKE ΘΕΩΡ ΙΑ ΒΑΡ ΥΤΗΤΑΣ

51 Κεϕάλαιο 5 Δυναμική ανάλυση στην Brans-Dicke Κοσμολογία 5.1 Το σύστημα δυναμικής εξέλιξης Αν θεωρήσουμε μια χωρικά επίπεδη FRW μετρική (Κ=0) : και θεωρήσουμε για την ύλη την καταστατική εξίσωση: ds 2 = dt 2 + a 2 (t)(dx 2 + dy 2 + dz 2 ) (5.1) Ετσι η εξίσωση επιτάχυνσης (4.44) παίρνει άμεσα την μορϕή: p m = w m ρ m (5.2) Ḣ = 8π (2ω BD + 3)ϕ [(ω m + 1)ω BD + 2] ω BD 2 ( ϕ ϕ )2 + 2H( ϕ ϕ ) + 1 2(2ω BD + 3)ϕ (ϕdv dϕ Και η δυναμική εξίσωση πεδίου γίνεται: 2V ) (5.3) dv ϕ + 3H ϕ 2V ϕ dϕ = 2 (2ω BD + 3) (5.4) Θεωρούμε: V = V (ϕ) και V = dv dϕ. Θα εισάγουμε τώρα τις αδιάστατες μεταβλητές [23], [6]: x = ϕ Hϕ (5.5) 51

52 52 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΔΥΝΑΜΙΚ Η ΑΝΆΛΥΣΗ ΣΤΗΝ BRANS-DICKE ΚΟΣΜΟΛΟΓ ΙΑ y = V 1 3ϕ H (5.6) λ = ϕ V V (5.7) οι οποίες είναι σε αντιστοιχεία με τις μεταβλητές που χρησιμοποιούνται για την ανάλυση ενός minimally coupled πεδίου [25] Και συνεπώς μπορούμε να γράψουμε την διατήρηση της ενέργειας (με βάση τις παραπάνω υποθέσεις) ως: και την εξίσωση επιτάχυνσης στη μορϕή: Ω m = 8πρ m 3ϕH 2 = 1 + x ω BD 6 x2 y 2 (5.8) Ḣ = 3H 2 (1 + x ω BD 6 x2 y 2 ) (ω m + 1)ω BD + 2 [(ω m + 1)ω BD + 2] (2ω BD + 3) ω BD 2 x2 H 2 + 2xH 2 3 2ω BD + 3 y2 (λ + 2)H 2 (5.9) Ḣ H 2 = 3(1 + x ω BD 6 x2 y 2 ) (ω m + 1)ω BD + 2 [(ω m + 1)ω BD + 2] (2ω BD + 3) ω BD 2 x2 + 2x Υπολογίζουμε τώρα τις εξισώσεις του δυναμικού συστήματος εξέλιξης: 3 2ω BD + 3 y2 (λ + 2) (5.10) dλ dτ = dt dλ dlna dt = 1 dλ H dt = = ϕ ϕϕv 2 λ + Hϕ HV 2 [V V 2 V 2 ] = = xλ[1 λ(γ 1)] (5.11) όπου έχουμε θέσει: Γ = V V V 2 (5.12) dy dτ = 1 dy H dt = 1 ( 1 H H ) + 1 d H 2 dt [ V 3ϕ ] = 1 H Ḣ V H 2 3ϕ + 1 Ḣ = y[ H 2 1 ϕv 2 HV H 2 [1 V 1 ϕ 2 V 3ϕ 2ϕ V 3ϕ ϕ] = ϕ ϕh ] = y[ Ḣ H x(1 + λ)] (5.13)

53 5.2. ΔΙΕΡΕ ΥΝΗΣΗ ΓΙΑ ΔΥΝΑΜΙΚ Ο ΤΗΣ ΜΟΡΦ ΗΣ V O ϕ 2 53 dx dτ = 1 dx H dt = 1 ϕh 2 ( ϕ) 1 H 2 ( ϕ ϕ )2 Ḣ ϕ H 3 ϕ = 1 ϕh 2 ( ϕ) x 2 x Ḣ H 2 = = x 2 x Ḣ H 2 1 H 2 [ 3H ϕ+ ϕ 2 (2V ϕv )+3ϕH 2 (1+x ω BD 3 + 2ω BD 6 x2 y 2 ) 2 + ω BD(1 + ω M ) ] = 3 + 2ω BD = 3x x 2 x Ḣ H 2 + 3(1 + x ω BD 6 x2 y 2 ) 2 + ω BD(1 + ω M ) 2 + (2V ϕv ) 3 + 2ω BD 3 + 2ω BD = 3x x 2 x Ḣ H 2 + 3(1 + x ω BD 6 x2 y 2 ) 2 + ω BD(1 + ω M ) 6 + y 2 (2 + λ) (5.14) 3 + 2ω BD 3 + 2ω BD όπου αντικαταστήσαμε το ϕ από τήν (5.4). Εν τέλει καταλήγουμε να έχουμε ένα σύστημα τριών διαϕορικών εξισώσεων πρώτης τάξης καθώς και μία αλγεβρική εξίσωσή. Στα επόμενα θε μελετήσουμε τα κρίσιμα σημεία του συστήματος καθώς και τις ϕυσικές ποσότητες που αντιστοιχούν σε αυτά. Κάθε κρίσιμο σημείο αντιστοιχεί σε μία στιγμή της εξέλιξης των εξισώσεων πεδίου, δηλαδή σε κατάσταση του σύμπαντος. Για τα κρίσιμα σημεία η ευστάθεια μελετάτε καθώς και οι ϕυσικά ποσότητες προσδιορίζονται. 5.2 Διερεύνηση για δυναμικό της μορϕής V o ϕ 2 Με την υπόθεση οτι έχουμε δυναμικό της μορϕής V o ϕ n εύκολα βλέπουμε οτι λ = n και συνεπώς dλ dτ = 0. Εδώ θα θεωρήσουμε V = V oϕ 2 και συνεπώς λ = 2. Για να αιτιολογήσουμε αυτή την επιλογή υπολογίζουμε[24] γενικά για δυναμικά νόμου δύναμης τις μάζες του βαθμωτού πεδίου της Brans Dicke στο Einstein frame και στο Jordan frame: m 2 E = m 2 J = 32π G(3 + 2ω BD ) V 0(n 2) 2 ϕ n 2 (5.15) 2 (3 + 2ω BD ) V 0n(n 2) 2 ϕ n 1 (5.16) Βλέπουμε οτι το μόνο δυναμικό σε μορϕή νόμου δύναμης που να εξασϕαλίζει άπειρη εμβέλεια στο πεδίο μας (m = 0) είναι για n = Μοντέλο για το κενό Αρχικά θα θεωρήσουμε την περίπτωση του κενού και θα βγάλουμε τις αντίστοιχες εξισώσεις. Στο κενό η Διατήρηση της Ενέργειας (5.8) μας δίνει: Ω m = 0 y 2 = 1 + x ω BD 6 x2 (5.17)

54 54 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΔΥΝΑΜΙΚ Η ΑΝΆΛΥΣΗ ΣΤΗΝ BRANS-DICKE ΚΟΣΜΟΛΟΓ ΙΑ και η εξίσωση επιτάχυνσης παίρνει την πολύ πιο απλή μορϕή Ḣ H 2 = 2x ω BD 2 x2 (5.18) Βλέπουμε συνεπώς πως ουσιαστικά έχουμε εξάρτηση μόνο απο μια μεταβλητή και άρα η δυναμική του μοντέλου για το κενο μπορεί να καθοριστεί πλήρως απο την εξίσωση: Η οποία λύνεται εύκολα ως: dx dlna = 3x(1 + x ω BD 6 x2 ) (5.19) 3 lna = a (i) x (i) dx x(1 + x ω BD 6 x 2 ) 3ln a a (i) = ( a a (i) ) 3 = x x (i) ( 1 + x(i) ω BD 6 (x (i) ) x ω BD 6 x 2 ( dx x (i) x(1 + x ω BD 6 x 2 ) 1 + x (i) ω BD 6 (x (i) ) x ω BD 6 x 2 3(3 + 2ωBD (ω BD x 3) 3(3 + 2ωBD (ω BD x (i) 3) )2 ) ω BD (5.20) όπου τα a (i) και x (i) είναι οι αρχικές συνθήκες για τον παράγοντα κλίμακας και την μεταβλητή x. Στην περίπτωση που ω BD = 0 (O Hanlon Theory) η παραπάνω γίνεται: ( a a (i) ) 3 = x(1 + x (i)) x (i) (1 + x) (5.21) και μας δίνει την ακριβή έκϕραση για την Hubble: ( H(a) H(a (i) ) )2 = (1 + x (i) x (i) ( a a (i) ) 3 ) 4/3 (5.22) η οποία αν θεωρήσουμε τις αρχικές συνθήκες στη σημερινή εποχή - δηλαδή ένα De Sitter σύμπαν με x (i) = x 0 << 1 η παραπάνω μπορεί αν γίνει: ( H(a) H(a (i) ) )2 = x 0 x 0 ( a a 0 ) 3 (5.23) η οποία και μας δίνει για x 0 < 0 μια διαστολή σύμπαντος του καθιερωμένου προτύπου της κοσμολογίας Λ-CDM.

55 5.2. ΔΙΕΡΕ ΥΝΗΣΗ ΓΙΑ ΔΥΝΑΜΙΚ Ο ΤΗΣ ΜΟΡΦ ΗΣ V O ϕ Μοντέλο για βαροτροπική ύλη Οπως είδαμε και προηγουμένως η εξίσωση επιτάχυνσης με την ύπαρξη ύλης είναι η: και η καταστατική εξίσωση Ḣ H 2 = 3(1 + x ω BD 6 x2 y 2 ) (ω m + 1)ω BD + 2 (2ω BD + 3) ω BD 2 x2 + 2x 3 2ω BD + 3 y2 (λ + 2) και το δυναμικό σύστημα με λ=-2 περιγράϕεται απο τις εξισώσεις: [(ω m + 1)ω BD + 2] (5.24) w eff = 1 2Ḣ 3H 2 (5.25) dx dτ = 3x(1 + x ω BD 6 x2 (1 + x ω BD 6 x2 y 2 ) 2 + ω BD(1 + ω M ) 3 + 2ω BD ) + 3(1 + x ω BD 6 x2 y 2 ) 1 3ω M) 3 + 2ω BD (5.26) dy dτ = 3y( 1 2 x + ω BD 6 x2 + (1 + x ω BD 6 x2 y 2 ) 2 + ω BD(1 + ω M ) 3 + 2ω BD ) (5.27) Στο σύστημα αυτό Θα χρησιμοποιήσουμε λοιπόν την συλλογιστική της ανάλυσης των δυναμικών συστημάτων.αρχικά θα βρουμε τα κρίσιμα σημεία τα οποία καθορίζουν τη γενική εξέλιξη του συστήματός μας. Στις περιοχές αυτών των κρίσιμων σημείων θα υπολογίσουμε τις -γραμμικοποιημένες- λύσεις και τις αντίστοιχες ιδιοτιμές προκειμένου να δουμε αν αυτά τα σημεία είναι σταθερά ή όχι. Τις άλλες μεταβλητές κατά τη διάρκεια αυτής της διαδικασίας θα τις θεωρήσουμε σταθερές. Τα κρίσιμα σημεία του συστήματος μας λοιπόν είναι: A : x 3 ± 3 2ω BD + 3, y 0 ω BD 3ω m 1 B : x ω m ω BD ω BD 1, y 0, C : x 0, y ±1, D : x 3 3ω 2 (ω 2 m + 1), y ± m ω BD 3ω m + 3ω BD (5.28) Εστω λοιπόν το σημείο Α x 1 = 3± 3 2ω BD +3 ω BD, y1 = 0. Οι λύσεις είναι: x 1 (a) = x 1 + x( a a i )λ 1 (5.29) y 1 (a) = y( a a i )λ 2 (5.30)

56 56 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΔΥΝΑΜΙΚ Η ΑΝΆΛΥΣΗ ΣΤΗΝ BRANS-DICKE ΚΟΣΜΟΛΟΓ ΙΑ όπου x = x i 1 x 1, y = yi 1 y 1 Οι αρχικές μας συνθήκες, ai η αρχική τιμή του παράγοντα κλιμακας α και λ 1, λ 2 οι ιδιοτιμές του Ιακωβιανού πίνακα: J = f(x,y) x g(x,y) x f(x,y) y g(x,y) y (5.31) Εδώ έχουμε ορίσει: Οι ιδιοτιμές αυτές υπολογίζονται οτι είναι: f(x, y) = dx dy, g(x, y) = dτ dτ (5.32) Ευκολα υπολογίζουμε τώρα την καταστατική εξίσωση: λ 1 = 3(1 ω m ) + x 1, λ 1 = 3( x 1) (5.33) w 1 eff 2Ḣ = 1 3H 2 = x 1 = ± 3 2ω BD + 3 (5.34) 3 ω BD Με την εισαγωγή του σημείου και τρέχοντας για διάϕορες τιμές της ω BD παρατηρούμε οτι το μοντέλο μας σε αυτή την περιοχή δεν θα περιγράϕει ένα σύμπαν με επιτάχυνση. Και η (5.22) με την χρήση των παραπάνω εκϕράσεων για τα x 1, y 1 λαμβάνοντας υπόψην μόνο τους γραμμικούς όρους γίνεται: lnh 2 dτ = 6 2ω BD x 1 xe λ 1τ + 4(x 1 + xe λ 1τ ) (5.35) 6[1 + x 1 + x 1e λ1τ 3ω BD x 1 xe λ1τ ] (ω m + 1)ω BD + 2 = (5.35) (2ω BD + 3) = 6 2x 1 + 2ω BDx 1 x (2ω BD + 3) (1 + ω BD(1 ω m ))e λ1τ + 2ω BD x (2ω BD + 3) ω BD(1 3ω m )e λ1τ = (5.35) = 2(3 + x 2ω BD 1) + (2ω BD + 3) (1 3ω m (1 + ω BD (1 ω m ))x 1) xe λ1τ (5.35) όπου χρησιμοποιήσαμε: τ = ln( a a i ) λ 1τ = ln( a a i )λ 1 e λ 1τ = ( a a i )λ 1 (5.35) και dh Ḣ H 2 = H 2 dτ = dlnh2 2dτ Αν τώρα κάνουμε την ολοκλήρωση καταλήγουμε εύκολα οτι: (5.36) ln( H(τ) H(0) )2 = 2(3 + x 1)τ + 2ω BD 3 ω BD x x(e λ1τ 1) (5.37) 1

57 5.2. ΔΙΕΡΕ ΥΝΗΣΗ ΓΙΑ ΔΥΝΑΜΙΚ Ο ΤΗΣ ΜΟΡΦ ΗΣ V O ϕ 2 57 Για να εκϕράσουμε τώρα την παραπάνω σχέση συναρτήσει του παράγοντα κλίμακας α, αντικαθιστούμε τ = ln( a ) όπου το a i a i 1 θα είναι η αρχική τιμή του παράγοντα κλίμακας στην περιοχή του κρίσιμου σημείου. Ο πρώτος όρος γράϕεται: Ο δεύτερος όρος γράϕεται: 2(3 + x 1)τ = 6ln( a a i ) 2x 1ln( a a i ) = ln( a a i ) 6 2x 1 (5.38) 2ω BD 2ω BD 2ω BD 3 ω BD x x(e λ1τ 1) = 1 3 ω BD x x( a 1 a i )λ 1 3 ω BD x x (5.39) 1 Συνδυάζοντας τα παραπάνω και καταλήγουμε εύκολα ότι: ln( H(a) H(a i 1 ))2 = (1 2ω BD 2ω BD 3 ω BD x x)( a 1 a i ) 6 2x ω BD x x) a 1 a i )λ 1 (5.40) Αν τώρα συνδυάσουμε τις (5.36), (5.37) και την συνθήκη διατήρησης της ενέργειας (5.8): παίρνουμε αμέσως την γραμμικοποιημένη ως προς x λύση: Ω m (1 ω BD 3 x 1) x( a a i )λ 1 = Ω m,i ( a a i )λ 1 (5.41) Τώρα ϕέρνουμε την εξίσωηση της επιτάχυνσης στην παραπάνω μορϕή: όπου κατ αντιστοιχία ορίσαμε: ( H(a) H(a i 1 ))2 = (1 Ω M,i )( a a i ) 6 2x 1 + ΩM,i ( a a i ) 3(1+ωm)+x 1 (5.42) 2ω BD Ω M,i = 3 ω BD x x = 1 2ω BD 3 + 2ω BD Ω m,i (5.43) Η παραπάνω έκϕραση είναι παρόμοια με την έκϕραση του μοντέλου που περιγράϕει ένα σύμπαν με βαροτροπική και ψυχρή σκοτεινή ύλη με εξαίρεση την παράμετρο ω BD της Brans-Dicke που κρύβεται μέσα στο x 1 και μας δίνει μια διαϕοροποίηση με την αντίστοιχη έκϕραση απο αυτήν της Γενικής Σχετικότητας (δηλαδή a 3(1+ω m)+x 1 αντί για a 3(1+ω m ). Θεωρούμε τώρα με το δεύτερο κρίσιμο σημείο: x = τώρα είναι : 3ω m 1 ω mω BD ω BD 1, y = 0. Η καταστατική εξίσωση w 2 eff 2Ḣ = 1 3H 2 = ω m ω m 3 (1 ω m )ω BD + 1 Με τις αντίστοιχες γραμμικές λύσεις στην περιοχή αυτού του κρίσιμου σημείου (5.44) x 2 (a) = x 2 + x( a a i )λ 1 (5.45)

58 58 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΔΥΝΑΜΙΚ Η ΑΝΆΛΥΣΗ ΣΤΗΝ BRANS-DICKE ΚΟΣΜΟΛΟΓ ΙΑ y 2 (a) = y( a a i )λ 2 (5.46) και πάλι υπολογίζουμε τις ιδιοτιμές του αντίστοιχου πίνακα Jordan οι οποίες είναι οι: λ 1 = 3ω2 mω BD + 3ω m 3ω m 5 2(ω m ω BD ω BD 1) λ 2 = 3ω2 mω m 6ω m ω BD 6ω m + 3ω BD + 4 2(ω m ω BD ω BD 1) = 3 2 (1 ω m) 1 2 x 2 (5.47) = 3 2 (1 + ω m) + x 2 (5.48) Οπου και πάλι x = x i 2 x 2, y = yi 2 y 2 Οι αρχικές μας συνθήκες, ai 2 η αρχική τιμή του παράγοντα κλιμακας α. Υπολογίζω χρησιμοποιώντας μόνο γραμμικούς όρους και πάλι την έκϕραση: lnh 2 dτ = (w2 eff + 1) = 3(w m + 1) + Και ολοκληρώνοντας παίρνουμε: 3ω m 1 ω m ω BD ω BD 1 = 3(w m + 1) x 2 (5.49) ( H(a) H(a i = e τ[ 3(wm+1) x 2 ] = ( a 2 ))2 a i ) 3(wm+1) ( a 2 a i ) x 2 (5.50) 2 Η οποία και πάλι περιγράϕει την εξέλιξη ενός σύμπαντος με βαροτροπική ύλη με την προσθήκη της παραμέτρου ω BD της Brans-Dicke που κρύβεται μέσα στο x 2. Στην περίπτωση όπου w m = 1/3 η x 2 μηδενίζεται και έχουμε ένα σύμπαν στο οποίο επικρατεί η ακτινοβολία. Στην περίπτωση της O Hanlon βαρύτητας (ω BD = 0) η συμπεριϕορά του μοντέλου είναι και πάλι αντίστοιχη με αυτήν ένος σύμπαντος στο οποίο επικρατεί η ακτινοβολία. Θεωρούμε το τρίτο κρίσιμο σημείο: x = 0, y = ±1. Η καταστατική εξίσωση τώρα είναι άμεσα: w 3 eff = 1 (5.51) Παρατηρούμε πως γύρω απο αυτό το σημείο το μοντέλο μας περιγράϕει ένα de Sitter σύμπαν ανεξάρτητα απο το περιεχόμενο του σε ύλη. Δηλαδή αν αυτό το σημείο είναι ευσταθές με δυναμικό της μορϕής που μελετάμε το μοντέλο μας θα περάσει απαραίτητα απο μια ϕάση επιτάχυνσης. Και οι αντίστοιχες γραμμικές λύσεις στην περιοχή αυτού του κρίσιμου σημείου είναι: x 3 (a) = ω BD ω m ( x 2y ω m 3 + 2ω 3 y BD 1 ω m 1 3ω m ( x 2y 1 + 2ω BD ω 3 y)( a m 1 3ω m )( a 1 + 2ω BD ω m a (i) 3 y 3 (a) = y ω BD ω m 2y3 ω [( x 2y m 3 + 2ω 3 y BD ( x 2y3 y)( a a (i) 3 ) λ 2 ] ) λ 2 a (i) 3 ) λ 1 1 3ω m )( a 1 + 2ω BD ω m a (i) 3 ) λ 1 (5.52) (5.53)

59 5.2. ΔΙΕΡΕ ΥΝΗΣΗ ΓΙΑ ΔΥΝΑΜΙΚ Ο ΤΗΣ ΜΟΡΦ ΗΣ V O ϕ 2 59 και πάλι υπολογίζουμε τις ιδιοτιμές του αντίστοιχου πίνακα γραμμικοποίησης οι οποίες είναι οι: λ 1 = 3 (5.54) λ 2 = 3(1 + ω m ) (5.55) Οπου και πάλι x = x i 3 x 3, y = yi 3 y 3 οι αρχικές μας συνθήκες και ai 3 η αρχική τιμή του παράγοντα κλιμακας α. Το συγκεκριμένο κρίσιμο σημείο είναι σταθερό κατά την διάρκεια της διαστολής του σύμπαντος. Στην περίπτωση όμως ρευστού με τα χαρακτηριστικά του μοντέλου της κοσμολογικής σταθεράς (δηλαδή ω m = 1) το δυναμικό σύστημα είναι ασταθές μια και εξαϕανίζεται η μία απο τις δύο ιδιοτιμές. Επίσης αν υποθέσουμε πως η ύλη μας είναι σκόνη με ω m = 0 οι δύο ιδιοτιμές συμπίπτουν και οδηγούμαστε σε εκϕυλισμένο κρίσιμο σημείο. Από τις παραπάνω λύσεις παίρνουμε και πάλι την έκϕραση για την Hubble στην περιοχή του κρίσιμου σημείου, που θα περιγράϕει την διαστολή/συστολή de Sitter. με και ( H(a) H(a 0 ) )2 = 1 Ω DM,0 (1 a a 0 ) 3 Ω M,0 (1 a a 0 ) 3(1+ωm) (5.56) Ω DM,0 = 4 3 ( x + 1 3ω m (3 + 2ω BD )ω m Ω m,i ) (5.57) Ω M,0 = (1 + (1 3ω m)(4 + 3ω m ) 3ω m (3 + 2ω BD )(1 + ω m ) )Ω m,0 (5.58) όπου έχουμε υπολογίσει και εισάγει την γραμμικοποιημένη έκϕραση για την βαροτροπική πυκνότητα μάζας: Ω m,0 ( x 2y3 y)( a 0 a (i) ) 3(1+ω m) = Ω m,i ( a 0 a (i) ) 3(1+ω m) Θεωρούμε τώρα το τέταρτο κρίσιμο σημείο: x = 3 2 (1 + ω 1 m), y = ± 8 (5 3ω m + 3ω BD (1 wm)). 2 Η καταστατική εξίσωση είναι: (5.59) weff 4 = 1 2 (1 ω m) (5.60) Αν εισάγουμε την απαίτηση να έχουμε επιτάχυνση, δηλαδή: weff 4 < 1/3 θα πρέπει το περιεχόμενό μας σε ύλη να είναι: ω m < 1/3. Ενώ μπορούμε να υπολογίσουμε απευθείας και τη συνθήκη διατήρησης της ενέργειας για αυτό το σήμειο: που μας δίνει: Ω (4) m = (1 + ω m) ω BD 6 (3 2 (1 + ω m)) (5 3ω m + 3ω BD (1 w 2 m)) (5.61) Ω (4) m = 3 8 (3 + 2ω BD)(1 + ω m ) (5.62)

60 60 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΔΥΝΑΜΙΚ Η ΑΝΆΛΥΣΗ ΣΤΗΝ BRANS-DICKE ΚΟΣΜΟΛΟΓ ΙΑ Η συνθήκη για να υπάρχει ϕυσικό νόημα σε αυτή την έκϕραση είναι Ω (4) m της ύλης μας αποκλειστικά σε phantom matter με ω m < 1. > 0 που μας καθορίζει την μορϕή Τώρα αν ξεκινήσουμε με τις λύσεις στα κρίσιμα σημεία υπολογίζουμε απο την καταστατική εξίσωση: dh dth 2 = dhh dlnah 2 = dh dlnah = 3 4 (1 + ω m) (5.63) H(a) H(a) 2 = ( a a i ) 3 2 (1+ω m) 4 (5.64) όπου a i 4 η αρχική τιμή του παράγοντα κλιμακας α στο κρίσιμο σημείο. Ο ορισμός όμως του x μας δίνει ότι: dϕ dt x = Hϕ = dϕ H Hϕ dlna ϕ(a) ϕ(a i 4 ) = ( a a i ) 3 2 (1+ωm) (5.65) 4 ενώ αντίστοιχα η διαϕόριση ως προς τον κοσμολογικό χρόνο t δίνει την απλή διαϕορική εξίσωση: με λύση: dϕ dt ϕϕ = V0 x 4 3 y4 (5.66) ϕ(t) = ϕ 4 (1 1 2 V0 ϕ 4 3 = x 4 y4 (t t 0 )) 2 ϕ 4 ( (1 + ω m)h(a 4 )(t t 0)) 2 (5.67) Συνδυάζοντας αυτό το αποτέλεσμα με την έκϕραση (5.61) εύκολα καταλήγουμε στην: a(t) = a 4( (1 + ω m)h(a 4)(t t 0 )) 4 3(1+ωm) (5.68) όπου ϕ 4 και a 4 είναι αντίστοιχα οι τιμές για το πεδίο ϕ και τον παράγοντα κλιμακας για t = t 0. Παρατηρούμε οτι για την περίπτωση μοντέλου της κοσμολογικής σταθεράς (δηλαδή ω m = 1) αυτές οι λύσεις περιγράϕουν ακριβώς ένα σύμπαν de-sitter με: a(t) = a 4e H(a 4 )(t t 0), ϕ(t) = ϕ 4 = constant (5.69) x 4 (a) = x detp (A 1( x A 2 y)( a a i ) λ 1 A 2 ( x A 1 y)( a 4 a i ) λ 2 ) 4 (5.70) y 4 (a) = y4 + 1 detp (( x A 2 y)( a a i ) λ 1 ( x A 1 y)( a 4 a i ) λ 2 ) 4 (5.71) και πάλι υπολογίζουμε τις ιδιοτιμές του αντίστοιχου πίνακα Jordan οι οποίες είναι οι: λ 1 = 1 2 (3 4 (1 ω m) (1 3ω m) 2 + (6y 4 )2 (1 + ω m )) (5.72)

61 5.3. ΣΤΟ ΟΡΙΟ ω BD 0 61 Ο πίνακας P είναι ο: λ 2 = 1 2 (3 4 (1 ω m) 9 16 (1 3ω m) 2 + (6y 4 )2 (1 + ω m )) (5.73) A 1 A (5.74) όπου (χάρην συντομίας) έχουμε ορίσει: A 1 = 2 6(y4 )2 (2 + ω BD (1 + ω m )) + λ 1 (3 + 2ω BD ) 3 y4 (1 ω BD(1 ω m )(1 + ω BD (1 + ω m )) (5.75) A 2 = 2 6(y4 )2 (2 + ω BD (1 + ω m )) + λ 2 (3 + 2ω BD ) 3 y4 (1 ω BD(1 ω m )(1 + ω BD (1 + ω m )) (5.76) Κάνοντας χρήση των γραμμικοποιημένων λύσεων και εισάγοντάς τες στην εξίσωση επιτάχυνσης παίρνουμε και πάλι την έκϕραση για την Hubble: με ( H(a) H(a (i) a (i) 4 4 ))2 = [1 ΩB (1 a ) λ 1 ) Ω C (1 a a (i) 4 ) λ 2 )] a a (i) 4 ) 3(1+ωm)/2 (5.77) Ω B = 2(y 4) 2 ( x A 2 y) 6 + ω BD(3(1 + ω m ) + 4λ 1 ) (3 + 2ω BD )(λ 1 λ 2 )λ 1, (5.78) Ω C = 2(y 4) 2 ( x A 1 y) 6 + ω BD(3(1 + ω m ) + 4λ 2 ) (3 + 2ω BD )(λ 1 λ 2 )λ 2. (5.79) Με δεδομένο οτι έχουμε περιορίσει την ύλη μας σε phantom matter προκειμένου να έχει ϕυσικό νόημα το μοντέλο μας παρατηρούμε πως όσο διαστέλεται το σύμπαν ο παράγοντας Hubble τεινει στο άπειρο. 5.3 Στο όριο ω BD 0 Αν σε ολόκληρη την προηγούμενη ανάλυση θεωρήσουμε το όριο O Hanlon με ω BD 0 μπορούμε συνοπτικά να δούμε πως τα κρίσιμα σημεία μας και οι w eff τώρα είναι: A : x, y 0, w eff (5.80) B : x 1 3ω m, y 0, w eff 1/3 (5.81) C : x 0, y ±1, w eff 1 (5.82) D : x 3(ω m + 1), y ± 1/8(5 3ω m + 3ω BD (1 ω 2 m)), 2 w eff 1 2 (1 ω m) (5.83)

62 62 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΔΥΝΑΜΙΚ Η ΑΝΆΛΥΣΗ ΣΤΗΝ BRANS-DICKE ΚΟΣΜΟΛΟΓ ΙΑ Παρατηρούμε οτι η ϕυσική μας δεν αλλάζει στα σημεία C, D αλλά κοντά στο σημείο Β το μοντέλο μας ανεξάρτητα από την ύλη που περιέχει συμπεριϕέρεται σαν το αντίστοιχο μοντέλο ενός σύμπαντος ακτινοβολίας. Το σημείο Α μπορεί να μας δώσει διάϕορες καταστάσεις οι οποίες εξαρτώνται από τις τιμές των ελεύθερων παραμέτρων.

63 Κεϕάλαιο 6 Δυναμική ανάλυση της BD με άλλα Δυναμικά 6.1 Δυναμικό της μορϕής V = V 0 ϕ n Αυτό το δυναμικό αποτελεί μια γενίκευση του δυναμικού που αναλύσαμε στο προηγούμενο κεϕάλαιο.από τον ορισμό των αδιάστατων μεταβλητών μας παίρνουμε για αυτή την περίπτωση τις εκϕράσεις: λ = ϕ V V = n (6.1) και Γ = V V V 2 = n 1 = 1 1 n n (6.2) Με δεδομένο οτι λ=σταθερό όπως και στην περίπτωση για n = 2 (προϕανώς) το σύστημά μας εχει μόνο δυο ανεξάρτητες εξισώσεις οι οποίες γίνονται: x = 3x[x ω BD 6x 2 1 y 2 (2 n) (1 + x ω BD 3 + 2ω BD 6 x2 y 2 ) 2 + ω BD(1 + ω M ) ] 3 + 2ω BD 2 3[x y 2 (2 n) (1 + x ω BD 3 + 2ω BD 6 x2 y 2 ) 1 3ω M ] 3 + 2ω BD (6.3) y = 3y[ 5 n x ω BD 6 6 x2 frac13 + 2ω BD y 2 (2 n) (1 + x ω BD 6 x2 y 2 ) 2 + ω BD(1 + ω m ] (6.4) 3 + 2ω BD Δουλεύοντας με τον ίδιο τρόπο όπως και στην περίπτωση του δυναμικού V 0 ϕ 2 υπολογίζουμε τα κρίσιμα σημεία: 63

64 64 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. ΔΥΝΑΜΙΚ Η ΑΝΆΛΥΣΗ ΤΗΣ BD ΜΕ ΆΛΛΑ ΔΥΝΑΜΙΚΆ A :x 3(ω m + 1) 3 n + 2w + 1 3ω 2, y ± m ω BD + 3ω m n 3ω m n 3ω BD 3, (6.5) n n 6n 2 12nω BD 6n 2(n 2) B :x n + 2ω BD + 1, (6.5) B1 B 2 y ± 6n 2 12nω BD 6n, (6.5) 3ω m 1 C :x, y 0, (6.5) ω m ω BD ω BD 1 D :x 3 ± 3 2ω BD + 3, y 0.(6.5) ω BD όπου ορίσαμε: Β1 = 12ωm(n 2)ω2 BD n+2ωbd+1 6ωmnωBD + 6ωm(n 2)nωBD n+2ωbd+1 + 6ωm(n 2)ωBD n+2ωbd ωmωBD + 6(n 2)n2 n+2ωbd+1 + 4(n 2)n2 ωbd n+2ωbd+1 και Β2 = 12(n 2)ω2 BD 2(n 2)nωBD n+2ωbd+1 6nωBD n+2ωbd+1 6(n 2) n+2ωbd+1 18(n 2)ωBD n+2ωbd+1 12n 12ωBD 12(6.6) Μέσω όλων των παραπάνω μπορούμε να κάνουμε απευθείας εϕαρμογή και ανάλυση για οποιοδήποτε δυναμικό ακολουθεί νόμο δύναμης, θεωρόντας ταυτόχρονα και την αντίστοιχη ύλη ή και θεωρία. Για παράδειγμα αν κάνουμε εϕαρμογή για δυναμικό V 0 ϕ 4 και θεωρήσουμε το ρευστό μας να είναι dust παίνρουμε την πολύ πιο απλοποιημένη έκϕραση: A : x 3 4, y ± 6ωBD ω BD , (6.7) 2ω BD + 5 B : x 1, y 0, (6.8) ω BD ωBD ω BD C : x 2ω BD + 5, y ± 3 4ω 2 BD + 20ω BD + 25, (6.9) D : x 3 ± 3 2ω BD + 3 ω BD, y 0. (6.10) Δυναμικό της μορϕής V = V 0 ϕ n - Ανάλυση για το κενό Στην περίπτωση του κενού για το δυναμικό V 0 ϕ n έχουμε[20]: και απο τον ορισμό που έχουμε δώσει στο y βλέπουμε οτι: Ω m = 0 y 2 = 1 + x ω BD 6 x2 (6.11) y 2 = V (ϕ) 3ϕH 2 = Ω V = 1 + x ω BD 6 x2 (6.12)

65 6.1. ΔΥΝΑΜΙΚ Ο ΤΗΣ ΜΟΡΦ ΗΣ V = V 0 ϕ N 65 και η πυκνότητα κινητικής ενέργειας θα είναι: Ω K = 1 Ω V = x(1 ω BD x) (6.13) 6 Μια και μας ενδιαϕέρουν λύσεις που αϕορούν σε διαστελόμενο σύμπαν H 0, αλλά επίσης θέλουμε να αποϕύγουμε μιγαδικές λύσεις θα απαιτήσουμε y 0. Συνεπώς λύνοντας την ανισότητα που προκύπτει εύκολα καταλήγουμε σε όρια για το x: α x α +, α ± = Η έκϕραση του συντελεστή επιβράδυνσης είναι: q = ω BD (6.14) 2 ω BD Ḣ H 2 = 1 2x ω BD 3 2 x2 (2 n)(1 + x ω BD 3 + 2ω BD 6 x2 ) (6.15) Αν τώρα παρατηρήσουμε τις αρχικές εξισώσεις του δυναμικού συστήματος (5.14),(5.13),(5.11) βλέπουμε πως καταλήγουμε σε μια μονο εξίσωση που να περιγράϕει το σύστημά μας: αϕού x = 3y ω BD ( x(3n + 2ω BD 3) + 4 2n) (6.16) λ = xλ(1 λ(γ 1)) = 2xn (6.17) Οι παραπάνω εξισώσεις είναι αρκετά απλές ωστε να μπορούμε να καθορίσουμε άμεσα τα κρίσιμα σημεία του συστήματος που είναι: και y 2 0 x ± = α ± = ω BD (6.18) 2 ω BD n 2 x = 2 (6.19) 3(n 1) + 2ω BD Εδώ παρατηρούμε κάτι ιδιαίτερα ενδιαϕέρον. Στη γενική περίπτωση αυτών των δυναμικών το το x 0, με εξαίρεση όπως είδαμε λεπτομερώς στο προηγούμενο κεϕάλαιο για n = 2. Συνεπώς στην γενική περίπτωση η FRW-BD δεν μπορεί να περιγράψει μια de Sitter ϕάση του σύμπαντος αϕού ϕ Σταθερό δυναμικό V = V 0 Το σταθερό δυναμικό αποτελεί μια υποπερίπτωση της προηγούμενης παραγράϕου για n = 0. Τα κρίσιμα σημεία του συστήματος τώρα είναι: y 2 0 x ± = α ± = ω BD (6.20) 2 ω BD

66 66 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. ΔΥΝΑΜΙΚ Η ΑΝΆΛΥΣΗ ΤΗΣ BD ΜΕ ΆΛΛΑ ΔΥΝΑΜΙΚΆ και x = ω BD (6.21) τα οποία μηδενίζουν την αρχική εξίσωση καί εύκολα με αντικατάσταση καταλήγουμε οτι: Ḣ H 2 = 0 H = H 0 = constant (6.22) Απ ότι βλέπουμε και σε αυτή την περίπτωση έχουμε μια έκϕραση που θα μπορούσε να περιγράϕει μια de Sitter ϕάση του σύμπαντος με q = 1 και να ανταποκρίνεται στο Λ-CDM μοντέλο.σε αντίθεση όμως με την περίπτωση n = 2 εδώ βλέπουμε ότι το πεδίο ϕ και κατ επέκταση η G 1 eff ϕ δεν ειναι σταθερά αϕού ϕ Δυναμικό της μορϕής V = V 1 ϕ n + V 2 ϕ m Η γενική αυτή περίπτωση με τις ίδιες αδιάστατες μεταβλητές μας δίνει: λ = ϕ V ή αν θεωρήσουμε m < n παίρνει τη μορϕή: V = nv 1ϕ n + mv 2 ϕ m V 1 ϕ n + V 2 ϕ m (6.23) και το Γ: λ = m (n m)v 1ϕ n V 1 ϕ n + V 2 ϕ m (6.24) όπου έχουμε εισάγει τα: Γ = 1 na2 + mb 2 AB(n(n 1) + m(m 1)) D (6.25) A = V 1 ϕ n 1 (6.26) B = V 2 ϕ m 1 (6.27) D = (na) 2 + (mb) 2 + 2AB (6.28) και συνεπώς μπορούμε να γράψουμε την λ = m (n m)a A + B (6.29) Θα θεωρήσουμε την περίπτωση του κενού, συνεπώς θα ισχύει και πάλι: y 2 = 1 + x ω BD 6 x2 (6.30)

67 6.2. ΆΓΝΩΣΤΟ ΔΥΝΑΜΙΚ Ο 67 και συνεπώς η εξίσωση επιτάχυνσης παίρνει τη μορϕή: Ḣ H 2 = 2x ω BD 2 x ω BD (1 + x ω BD 2 x2 )(2 m και οι ανεξάρτητες εξισώσεις του συστήματος θα είναι δυο: x = x[3(1 + x) ω BD 2 x ω BD (1 + x ω BD 6 x2 )( (n m)a + B ) (6.31) A + B (2 n)a + (2 m)b )] (6.32) A + B λ = x A + B (na + mb)[a + B + (n + mb 2 AB(n(n 1) + m(m 1)) m)a(na2 (na) 2 + (mb) 2 )] (6.33) + 2AB Στην περίπτωση που θέλουμε να μελετήσουμε δυναμικό της μορϕής V = V 0 cosh(µϕ) αρκεί να θέσουμε V 1 = V 2 = V 0 και m = n μμε τους κατάλληλους περιορισμούς που συνεπάγεται το cosh, sinh. Ας δούμε τώρα μια γενική εϕαρμογή για V = V 0 ϕ n + V 0 ϕ. Σε αυτή την περίπτωση οι μεταβλητές μας γίνονται και το Γ: λ = nϕn + ϕ ϕ n + ϕ (6.34) και το σύστημά μας γράϕεται: Γ = ϕ n 1 n(n 1)(ϕn 1 1) + 2 (nϕ n 1 ) 2 + 2ϕ n (6.35) x = x[3(1 + x) ω BD 3 2 x2 (1 + x ω BD 3 + 2ω BD 6 x2 )(2 nϕn + ϕ ϕ n )] (6.36) + ϕ λ = x nϕn + ϕ ϕ n + ϕ [1 + nϕn + ϕ n(n ϕ n + ϕ (ϕn 1 1)(ϕn 1 1) + 2 (nϕ n 1 ) 2 + 2ϕ n 1 1)] (6.37) Άγνωστο δυναμικό Θα θεωρήσουμε σε αυτό το κομμάτι πως εργαζόμαστε στο κενό και το δυναμικό ειναι άγνωστο και συνεπώς θα αϕήσουμε τη μορϕή του λ και του Γ ως έχουν. Οι εξισώσεις του συστήματος μας είναι: x = x[3(1 + x) ω BD 3 2 x2 (1 + x ω BD 3 + 2ω BD 6 x2 )(2 + λ)] (6.38) λ = xλ(g(λ)), G(λ) = (1 λ(γ 1)) (6.39) Θα θεωρήσουμε ένα κρίσιμο σημείο, έστω λ 1 για το οποίο λ = 0. Με δεδομένο αυτό το σημείο (σταθερό) θα υπολογίσουμε τα αντίστοιχα κρίσιμα σημεία της πρώτης μας εξίσωσης. Δηλαδή x (λ 1, x crit ) = 0.

68 68 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. ΔΥΝΑΜΙΚ Η ΑΝΆΛΥΣΗ ΤΗΣ BD ΜΕ ΆΛΛΑ ΔΥΝΑΜΙΚΆ Αυτά είναι: ( ) 3 1 2ωBD +3 3 A : x ± (6.40) ω BD B : x 2(λ 1 + 2) λ 1 + 2ω BD + 1 Κάνοντας τώρα χρήση της έκϕρασης της w eff για το κενό στην θεωρία μας: (6.41) w eff = x + ω BD 3 x2 (6.42) και με την απαίτηση να έχουμε ένα μοντέλο (με συγκεκριμένο ω BD ) το οποίο θα μας εξασϕαλίσει επιταχυνόμενη διαστολή ( w eff < 1/3), εϕαρμόζουμε για τις τιμές των κρίσιμων σημείων και παίρνουμε τους περιορισμούς που θα πρέπει να έχουν τα δυναμικά. Για να μελετήσουμε την ευστάθεια των σημείων μας αρκεί να απαιτήσουμε όλες οι ιδιοτιμές του πίνακα γραμμικοποίησης να είναι αρνητικές. Αυτές είναι: Στο Α: ϵ 1 = 3λ 1+ 3λ 1 2ωBD +3+6ω BD 3 2ω BD +3+3 ω BD, ϵ 2 = λ 1( 3 2ωBD +3 3)G (λ) ω BD (6.43) Στο Β:ϵ 1 = λ2 1 4λ 1 + 6ω BD + 5, ϵ 2 = 2λ 1(λ 1 + 2)G (λ) λ 1 + 2ω BD + 1 λ 1 + 2ω BD + 1 Και έτσι προκύπτουν οι περιορισμοί για το λ 1, το G(λ) και κατ επέκταση για τα δυναμικά: (6.44) για το Α:λ 1 G (λ) < 0καιλ 1 < 1 6ω BD ω BD (6.45) για το Β:λ 1 (λ 1 + 2)G (λ) < 0και(λ ω BD )(λ ω BD ) < 0 (6.46) Αν θεωρήσουμε την ειδική περίπτωση για λ = 0 βλέπουμε πως το ένα κρίσιμο σημείο μας είναι και πάλι με το σημείο Α (το οποίο είναι ανεξάρτητο απο το λ) και προκύπτει επίσης το κρίσιμο σημείο: με ιδιοτιμές: A : x > 4/(1 + 2ω BD ) (6.47) ϵ 1 = 0, ϵ 2 = 6ω BD + 5 2ω BD + 1 < 0 (6.48) Η παραπάνω ανάλυση μας δίνει τα γενικά σημεία για οποιαδήποτε δυναμικό, καθώς και τις συνθήκες που πρέπει να ισχύουν ώστε να μελετηθεί η ευστάθεις των σημείων. Η ανάλυση αυτή έχει εϕαρμοστεί σε διάϕορα μοντέλα όπως [26, 27]

69 Κεϕάλαιο 7 f(r) θεωρίες και δυναμική ανάλυση 7.1 Μοντέλα τύπου f(r) - Εισαγωγή Το καθιερωμένο μοντέλο της σχετικιστικής κοσμολογίας δεν μπορεί απο μόνο του και χωρίς να πάσχει απο τα προβλήματα των fine tuning και coincidence να εξηγήσει την σημερινή επιταχυνόμενη διαστολή του σύμπαντος. Μια από τις εναλλακτικές θεωρίες βαρύτητας που έχουν πρόταθεί και ερευνηθεί είναι και αυτή της f(r). Η γενική μορϕή της δράσης σε αυτές τις θεωρίες είναι: S = 1 16πG d 4 x gf(r) + S m (7.1) όπου η συνάρτηση f(r) είναι μια γενική συνάρτηση του βαθμωτού Ricci και το S m ο όρος της ύλης, ενώ θεωρούμε οτι βρισκόμαστε σε FLRW σύμπαν. Οι θεωρίες f(r) είναι κοντινές με την Brans Dicke -πιο συγκεκριμένα μπορούν να εκϕραστούν ως τέτοιες όπως θα δούμε παρακάτω- και είναι πολύ χρήσιμες μια και εμϕανίζονται σε θεωρίες υπερχορδών, στην κβαντική θεωρία πεδίου καθώς και σε GUT θεωρίες. Ενα σημαντικό πλεονέκτημα των θεωριών αυτών είναι οτι δεν εισάγουν αυθαίρετα καινούριους βαθμούς ελευθερίας (όπως το πεδίο ϕ στην Brans Dicke) αλλά η επιταχυνόμενη διαστολή προκύπτει απευθείας απο το βαθμωτό Ricci. Στα αρνητικά των θεωριών αυτών είναι τα ανώτερου βαθμού διαϕορικά που εμϕανίζονται στις εξισώσεις μας Οι εξισώσεις πεδίου των f(r) θεωριών Οπως είδαμε το ολοκλήρωμα της δράσης για τις f(r) θεωρίες είναι: S = 1 2k d 4 x gf(r) + S m (7.2) 69

70 70 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7. F (R) ΘΕΩΡ ΙΕΣ ΚΑΙ ΔΥΝΑΜΙΚ Η ΑΝΆΛΥΣΗ όπου k = 8πG και θα θεωρήσουμε το ρευστό μας να είναι σκόνη δηλαδή με τανυστή ενέργειας-ορμής: ο οποίος ικανοποιεί την ταυτότητα Bianchi T µν = ρ m u µ u ν (7.3) Οπως δείξαμε στο τρίτο κεϕάλαιο η διαϕόρηση της δράσης μας δίνει τελικά τις εξισώσεις πεδίου: f R µν 1 2 fg µν ( µ ν g µν σ σ ) f = kt µν, ;; (7.4) Για να πάρουμε τις νέες τροποποιημένες εξισώσεις του Friedmann για τις f(r) θεωρίες [18] θεωρούμε στην παραπάνω εξίσωση τις χρονικές συνιστώστες βάσει των οποίων υπολογίζουμε: f R fg 00 ( 0 0 g )f = kρ m 3(Ḣ + H2 )f = kρ m 1 2 f + ( 0 0 g )f (7.5) καταλήγωντας: 3(H 2 )f = kρ m + f R f 2 Για την δεύτερη εξίσωση υπολογίζουμε το ίχνος της εξίσωσης. 3Hf Ṙ;; (7.6) f R µν g µν 1 2 fgµν g µν (g µν µ ν g µν g µν σ σ )f = kt µν g µν (7.7) και ϕτάνουμε στο αποτέλεσμα: όπου έχουμε χρησιμοποιήσει: 2f Ḣ + 3f H 2 = f R f 2 2Hf Ṙ (f Ṙ 2 + f R) (7.8) και R = 6(ä a + (ȧ a )2 ) = 6(Ḣ + 2H2 ) (7.9) R 00 = 3(Ḣ + H2 ) (7.10) Οι εξισώσεις (;;).(;;) μπορούν να γραϕτούν και ως εξής: 3H 2 = k eff (ρ m + ρ f ), (7.11) και 2Ḣ + 3H2 = k eff p f, (7.12)

71 7.2. ΙΣΟΔΥΝΑΜ ΙΑ ΜΕ BRANS DICKE ΘΕΩΡ ΙΕΣ 71 οπου k eff = k f (7.13) και ρ f, p f τα χαρακτηριστικά μέρη του ρευστού της f(r) βαρύτητας που είναι: p f = f R f 2 ρ f = f R f 2 3Hf Ṙ (7.14) 2Hf Ṙ ( Ṙ 2 + f R) (7.15) από τα οποία μπορούμε να βγάλουμε άμεσα μια έκϕραση για την καταστατική παράμετρο: w f = p f ρ f = (f Rf ) + 4Hf Ṙ + 2(f Ṙ 2 + f R) (f Rf ) + 6Hf Ṙ, (7.16) Αν τώρα θεωρήσουμε το μοντέλο της Λ-Κοσμολογίας με F (R) = R 2Λ η παραπάνω μας δίνει άμεσα w f = 1. Από τον ορισμό του k eff έχουμε απευθείας τον περιορισμό προκειμένου να είναι θετικό οτι πρέπει f > Ισοδυναμία με Brans Dicke θεωρίες Θα ξεκινήσουμε πάλι από τον ορισμό της δράσης των f(r): S = 1 2k d 4 x gf(r) + S m (7.17) Αν σε αυτή τη δράση προσθέσουμε με το χέρι ένα βοηθητικό πεδίο χ[21] που δεν περιέχει κινητικούς όρους και συνεπώς δεν έχει διαϕορικά παίρνουμε την ισοδύναμη δράση: S = 1 2k d 4 x g(f(χ) + f,χ (R χ)) + S m (7.18) Με την υπόθεση οτι f,χχ 0 και διαϕορίζοντας τη δράση έχουμε: 0 = d 4 x g[f,χ δχ + f,χχ (R χ) f,χ δχ] (7.19) Και συνεπώς έχουμε απαραίτητα χ = R. Καταλήξαμε λοιπόν με αυτές τις απαιτήσεις μια f(r) θεωρία. Αν τώρα ορίσουμε και ένα πεδίο ϕ ως: ϕ = f,χ βρίσκουμε την έκϕραση ϕ(χ) = fx 1 και η αρχική μας δράση μπορεί να γραϕτεί ως: S = 1 2k d 4 x g[ϕr V (ϕ)] + S m (7.20)

72 72 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7. F (R) ΘΕΩΡ ΙΕΣ ΚΑΙ ΔΥΝΑΜΙΚ Η ΑΝΆΛΥΣΗ η οποία δεν είναι άλλη από αυτήν της Brans Dicke: με ω BD = 0. S BD = 1 16π d 4 x g[ϕr ω BD ϕ g µν µ ϕ ν ϕ V (ϕ)] + S (m) (7.21) 7.3 Δυναμική Ανάλυση των f(r) θεωριών για δυναμικά μορϕής V 0 ϕ n Οπως είδαμε και προηγουμένως έχουμε τη δυνατότητα να αναλύσουμε δυναμικά τις f(r) θεωρίες κάνοντας την ισοδύναμη ανάλυση μιας Brans Dicke θεωρίας βαρύτητας με ω BD = 0. θα ξεκινήσουμε την ανάλυσή μας με την γενική μορϕή δυναμικών με νόμο δύναμης V 0 ϕ n, με V 0 σταθερό και ϕ το αντίστοιχο πεδίο της Brans Dicke. Από τον ορισμό των αδιάστατων μεταβλητων μας (5.5)(5.6)(5.7) παίρνουμε για αυτή την περίπτωση τις εκϕράσεις: και λ = ϕ V V Γ = V V V 2 = n 1 = 1 1 n n = n (7.22) (7.23) Με δεδομένο οτι λ=σταθερό το σύστημά μας εχει μόνο δυο ανεξάρτητες εξισώσεις οι οποίες περιγράϕουν το δυναμικό μας σύστημα με εϕαρμογή στις (5.11)(5.14)(5.13) : x = 3x[x 1 3 y2 (2 n) 2 3 (1 + x y2 )] 3[x 2 3 y2 (2 n) (1 + x y 2 ) 1 3ω m ] 3 (7.24) y = 3y[ 5 n x y2 (2 n) 2 3 (1 + x y2 )] (7.25) Τα κρίσιμα σημεία του παραπάνω συστήματος είναι: A : x 1, y 0, (7.26) B : x 1 3ω m, y 0, (7.27) 5 n n + 1, y ± (7.28) n + 1 3ωm n + 3ω m + n + 3 (7.29) 2n 2(n 2) C : x D : x 3(ω m + 1), y ± n Τα σημεία αυτά παρουσιάζουν ιδιαίτερο ενδιαϕέρον. Αρχικά βλέπουμε οτι ταυτίζονται με τα κρίσιμα σημεία της δυναμικής ανάλυσης στην Brans Dicke όπως ήταν αναμενόμενο για n = 2. Παρατηρούμε οτι τα

73 7.3. ΔΥΝΑΜΙΚ Η ΑΝΆΛΥΣΗ ΤΩΝ F(R) ΘΕΩΡΙ ΩΝ ΓΙΑ ΔΥΝΑΜΙΚΆ ΜΟΡΦ ΗΣ V 0 ϕ N 73 Α, Β δεν εχουν καμία εξάρτηση από το n και κατα συνέπεια είναι κρίσιμα σημεία για όλα τα δυναμικά της μορϕής V 0 ϕ n. Επίσης για n = 0, δηλαδή σταθερό δυναμικό το σημείο D : x, y ± ανεξάρτητα από την όποια μορϕή ή ύπαρξη ύλης. Ανεξάρτητο κρίσιμο σημείο απο την w m αποτελεί και το C, ενώ για το κενό τα Α, Β συμπίπτουν. Κατά τα γνωστά υπολογίζουμε τις αντίστοιχες ιδιοτιμές των αντίστοιχων πινάκων Jordan: A : λ 1 = 2 3w m, λ 2 = 5 n, (7.30) 2 B : λ 1 = 3w m 2, λ 2 = 1 2 ( 3w mn + 3w m + n + 3), (7.31) όπου C : λ 1 = 3w mn 3w m + 2n 2 7n 3, λ 2 = n3 3n 2 9n 5 n + 1 (n + 1) 2, (7.32) D : λ ± = +3w mn + 3w m 3n + 3 D1 + D 2 ± (7.33) 4n 4n D 1 = 63w 2 mn w 2 mn + 81w 2 m + 48w m n 3, (7.34) D 2 = 210w m n w m n + 162w m 16n n n + 81 (7.35) Παρατηρούμε οτι το σημείο Α είναι σταθερό σημείο αν n > 2 ή/και w m > 2/3 και το σημείο D είναι πάντα σταθερό σημείο σε σταθερό δυναμικό. Τώρα θα προχωρήσουμε σε εϕαρμογή για κάποια συγκεκριμένα δυναμικά ή καταστάσεις Δυναμική Ανάλυση για δυναμικό μορϕής V 0 ϕ n στο κενό Στην περίπτωση που θεωρήσουμε w m = 0 Ω m = 0 y 2 = 1 + x (7.36) και συνεπώς: Η πυκνότητα της κινητικής ενέργειας τώρα θα είναι: y 2 = V (ϕ) 3ϕH 2 = Ω V = 1 + x (7.37) Ω K = x (7.38) Μια και μας ενδιαϕέρουν λύσεις που αϕορούν σε διαστελόμενο σύμπαν H 0, αλλά επίσης θέλουμε να αποϕύγουμε μιγαδικές λύσεις θα απαιτήσουμε y 2 0. Συνεπώς θα πρέπει: x > 1 (7.39)

74 74 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7. F (R) ΘΕΩΡ ΙΕΣ ΚΑΙ ΔΥΝΑΜΙΚ Η ΑΝΆΛΥΣΗ Η εξίσωση επιτάχυνσης γίνεται και η έκϕραση του συντελεστή επιβράδυνσης: q = 1 Ḣ = (x + 1)n 2 (7.40) H2 Ḣ = 1 (x + 1)n (7.41) H2 ή αλλιώς θα έχουμε επιταχυνόμενα διαστελόμενο σύμπαν με αυτό το μοντέλο για: x > 1 1. (7.42) n Το σύστημά μας και πάλι περιγράϕεται πλήρως δυναμικά απο μια πολύ απλή εξίσωση: με κρίσιμα σημεία τα: x = (x + 1)[ x(n + 1) + 2(2 2n)] (7.43) 2(2 n) A : x 1, B : x n + 1 (7.44) Ευκολα βλέπουμε οτι για το πρώτο κρίσιμο σημείο πως δεν μπορούμε να έχουμε επιταχυνόμενα διαστελόμενο σύμπαν σε αυτή την περιοχή μια και απο την απαίτηση x > 1 (n+1) θα πρέπει n < 0. Το σημείο αυτό αντιστοιχεί αναγκαστικά σε ϕ μηδενικό. Θέλουμε τώρα να εξάγουμε την εκϕραση για την w eff. Λύνουμε αρχικά τη διαϕορική εξίσωση προκειμένου να πάρουμε μια συσχέτιση μεταξύ του α και του x: dx = (x + 1)[ x(n + 1) + 2(2 2n)] (7.45) dlna ( a ) n x = a 0 2(2 n) x(n + 1) (7.45) (7.45) που επίσης μας δίνει την έκϕραση για το x: x = 2(2 n)( a a 0 ) n (n + 1)( a a 0 ) n 5 1 (7.45) και τελικά την έκϕραση για το w eff = 1 2Ḣ 3H 2 = 1 3 (1 2n) 2n 3 [2( a a 0 ) n 5 (2 n) + 1 (n + 1)( a a 0 ) n 5 1 ] (7.46) Αν θεωρήσουμε τώρα το δυναμικό με n = 0. Παίρνουμε w (0) eff = 1 3 (7.47)

75 7.4. ΆΛΛΑ ΔΥΝΑΜΙΚΆ 75 Για n = 1, w (1) eff = 1 3 4(2 a a 0 ) ( a a 0 ) 4 1 (7.48) Για n = 2, eff = ( a a 0 ) 3 1 w (2) (7.49) Τέλος να σημειώσουμε πώς το δυναμικό αυτό αντιστοιχεί στην θεωρία f(r) = R n όπου η δυναμική ανάλυση του συστήματος δίνεται [28] καθώς και αναλυτική λύση του μοντέλου στην [29] Δυναμική Ανάλυση για το δυναμικό V 0 ϕ 2 Στην περίπτωση που n = 2 ν ανάλυση συμπίπτει πλήρως με την ανάλυση που κάναμε σε προηγούμενο κεϕάλαιο για την Brans Dicke σε δυναμικό μορϕής V 0 ϕ 2 στην προσέγγιση με w BD = 0. [6] 7.4 Άλλα Δυναμικά Περίπτωση με ύλη Θα εργαστούμε ουσιαστικά με τον ίδιο τρόπο που εργαστήκαμε και στην Brans Dicke με τη διαϕορά οτι λόγω της παρουσίας της μάζας θα επιβάλουμε την απαίτηση: Η εξίσωση επιτάχυνσης είναι: 1 Ω m 0 με Ω m = 1 + x y 2 (7.50) και συνεπώς Ḣ H 2 = y2 λ 2 (7.51) w eff = 1/3 + (2/3)λy 2. (7.52) Μας ενδιαϕέρουν κλασικά μοντέλα που να προβλέπουν επιτάχυνση συνεπώς θέλουμε: Το σύστημά μας αποτελείται απο τρεις εξισώσεις: w eff < 1/3 (7.53) x = x(1 + x) + xy 2 λ + 2y 2 (2 + λ) y 2 (1 3ω m ) + (1 + x)(1 3ω m ) (7.54)

76 76 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7. F (R) ΘΕΩΡ ΙΕΣ ΚΑΙ ΔΥΝΑΜΙΚ Η ΑΝΆΛΥΣΗ y = y( x 2 (1 + λ) y2 λ 2) (7.55) λ = xλ(g(λ)), G(λ) = (1 λ(γ 1)) (7.56) Θεωρούμε οτι μια τιμή λ 1 μηδενίζει την τελευταία μας εξίσωση και συναρτήσει αυτής υπολογίζουμε τα κρίσιμα σημεία στο σύστημα των δύο εξισώσεων που μας απομένει. Αυτά είναι: A : x 1, y 0, (7.57) B : x 1 3ω m, y 0, (7.58) C : x 2(λ 1 + 2) λ 1 1, y ± λ1 5 λ1 1, (7.59) D : x 3(ω m + 1), y ± i λ 1 λ1 3λ 1 ω m 3ω m 3 (7.60) 2λ1 Απο την απαίτηση τα σημεία μας να είναι πραγματικά μπορούμε να απορρίψουμε το σημείο C μια και το λ 1 έχει ταυτόχρονα τις απαιτήσεις προκειμένου να μην εμϕανίζεται μιγαδικό στοιχείο: λ 1 1 και λ 1 5 (7.61) τα οποία δεν γίνεται να ισχύουν ταυτόχρονα. Από το σημείο D προκύπτει: υπολογίζουμε τώρα τις ποσότητες Ω m και w eff : λ 1 3(1 + ω m) 3ω m 1 (7.62) A : Ω A m = 0, w A eff = 1/3, (7.63) B : Ω B m = 2 3ω m, weff B = 1/3, (7.64) D : Ω D m =, w D eff = λ 1ω m + ω m + 1 λ 1 (7.65) Βλέπουμε εδώ πως το σημείο Β μας ενδιαϕέρει μόνο στην περίπτωση που 1/3 ω m 2. Συνεπώς στην περίπτωση που έχουμε πχ. σκόνη ως ύλη το σημείο αυτό δεν έχει ϕυσικό νόημα. Από το σημείο D παίρνουμε τους περιορισμούς: weff D < 1/3 λ ω m ω m ± 1/3 (7.66) 3m 7 ± ω 2 m 2ω m 4 λ 1 3m 7 ± ω 2 m 18ω m 4 (7.67)

77 7.4. ΆΛΛΑ ΔΥΝΑΜΙΚΆ 77 Ενώ μελετώντας τις ιδιοτιμές των σημείων αυτών στις οποίες εμϕανίζεται το G(λ) και απαιτώντας να είναι αρνητικές ωστε να έχουμε ευσταθή ισορροπία σε αυτά τα σημεία θα πάρουμε και μια σειρά άλλων περιορισμών στους οποίους θα πρέπει να υπακουν τα εκάστοτε δυναμικά. από το A : λ 1 G(λ) > 0, (7.68) από το B : (1 3ω m )λ 1 G(λ) < 0, (7.69) από το D : (3 + 1ω m )G(λ) < 0. (7.70) Στην συγκεκριμένη εϕαρμογή οπου το λ=0 βλέπουμε εύκολα πως τα σημεία μας μειώνονται σε δύο: το Α και το Β και πως και στα δύο έχουμε ουσιαστικά ένα σύμπαν ακτινοβολίας. Το σημείο Α είναι ευσταθές όταν: G(λ) > 0, ω m > 2/3 (7.71) και το Β όταν: (1 3ω m )G(λ) > 0, ω m < 1 G(λ) < 0 (7.72) Στην περίπτωση τώρα που θεωρήσουμε το x = 0 θα λύσουμε το σύστημά μας ως προς y και λ. Τα κρίσιμο σημείο που παίρνουμε είναι: με χαρακτηριστικά μεγέθη στην περιοχή: λ 2, y ±1 (7.73) D : Ω m = 0, w eff = 1 (7.74) Δηλαδή ένα σύμπαν de Sitter. Απο τις ιδιοτιμές του Ιακωβιανού πίνακα προκύπτει πως το σημείο είναι ευσταθές όταν G( 2) > 0. Η ανάλυση εδώ είναι σε αντιστοιχεία με την γενική ανάλυση της εργασίας [30] καθώς τα αποτελέσματα των εργασιών [31, 32] μπορούν να αναπαραχθούν εύκολα Περίπτωση στο κενό Αυτή η ανάλυση είναι μια υποπερίπτωση αυτής που μελετήσαμε στο προηγούμενο κεϕάλαιο αλλά με ω BD = 0 ή ισοδύναμα οι παραπάνω εξισώσεις με y 2 = x + 1 Οι εξισώσεις του συστήματος μας είναι τώρα:

78 78 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7. F (R) ΘΕΩΡ ΙΕΣ ΚΑΙ ΔΥΝΑΜΙΚ Η ΑΝΆΛΥΣΗ x = (1 + x)[ x + xλ + 2(2 + λ)] (7.75) λ = xλ(g(λ)), G(λ) = (1 λ(γ 1)) (7.76) Θεωρούμε και πάλι το λ 1 που μηδενίζει τη δεύτερη εξίσωση και ψάχνουμε συναρτήσει αυτού τα κρίσιμα σημεία απο την πρώτη. Προκύπτουν: Στην περίπτωση που μελετάμε η A : x 1 (7.77) B : x 2(λ 1 + 2) λ 1 1 (7.78) w eff = 1/3 + (2/3)λ 1 (1 + x) (7.79) Και με εϕαρμογή στα δυο κρίσιμα σημεία μας παίρνουμε x = 1 w eff = 1/3 (7.80) Και το μοντέλο μας εξελίσεται παρόμοια με την εξέλιξη ενός σύμπαντος ακτινοβολίας και συνεπώς δε μπορούμε να πάρουμε επιταχυνόμενη διαστολή. Στο δεύτερο σημείο: x = 2(λ 1 + 2) λ 1 1 Για να έχουμε λοιπόν επιτάχυνση απαιτούμε: w eff = 1/3 + (2/3)λ 1 (7.81) w eff < 1/3 3 2 < λ 1 < 3 2 λ 1 > 1 (7.82) Προκειμένου το πρώτο σημείο να είναι σταθερό θα πρέπει: Αν λ 1 < 5, λ 1 G (λ 1 ) > 0, αν λ 1 > 5, λ 1 G (λ 1 ) < 0 (7.83) Προκειμένου το δεύτερο σημείο να είναι σταθερό θα πρέπει να ισχύουν επίσης οι περιορισμοί και λ 1 (λ 1 1) 3 [(λ 1 1) 2 (λ 1 5) + 2G (λ 1 )(λ 1 + 2)(λ λ 1 [2G (λ 1 )(λ 1 + 2) + (λ 1 5)(λ )(λ )] < 0 (7.84) 2 )(λ )] < 0 (7.85) 2

79 Κεϕάλαιο 8 Συμπεράσματα Σε αυτή την εργασία μελετήσαμε κυρίως την εναλλακτική θεωρία βαρύτητας των Brans Dicke στην Κοσμολογία. Η θεωρία βαρύτητας Brans Dicke περιλαμβάνει ένα βαθμωτό πεδίο ϕ το οποίο αλληλεπιδρά με την βαρύτητα. Επιπλέον είναι συμβατή με την αρχή του Mach, (Mach principle). Ειδικότερα επιλέξαμε να μελετήσουμε τα κρίσιμα σημεία που προκύπτουν απο την δυναμική ανάλυση των Κοσμολογικών εξισώεων για κάποια μοντέλα. Για το σκοπό αυτό οι εξισώσεις πεδίου αναπαράχθηκαν και έπειτα γράϕτηκαν σε αδιάστατη μορϕή ενός συστήματος αλγεβρο-διαϕορικών εξισώσεων πρώτης τάξης. Κάθε κρίσιμο σημείο σε αυτή την ανάλυση αντιστοιχεί σε μία ϕάση του σύμπαντος. Τα μοντέλα τα οποία μελετήθηκαν είναι κυρίως το δυναμικό V (ϕ) = V 0 ϕ 2 το οποίο αναλύθηκε εκτενώς, καθώς και μορϕής V (ϕ) = V 0 ϕ n και η έκϕραση για πιο γενικές μορϕές δυναμικού. Για το δυναμικό V (ϕ) = V 0ϕ 2 έγινε πρώτα ανάλυση για το κενό οπου βρέθηκε πως το σύστημά μας ακολουθεί παρόμοια εξέλιξη με αυτή του Λ-CDM μοντέλου. Παρουσία ύλης βρέθηκαν τέσσερα κρίσιμα σημεία: Στο πρώτο σημείο το σύστημά μας περιγράϕει ένα σύμπαν με CDM και βαροτροπική ύλη. Στο δεύτερο σημείο η εξέλιξη του συστήματος είτε περιγράϕει ένα σύμπαν ακτινοβολίας στην περίπτωση που η ύλη μας αϕορά σε ακτινοβολία (ω m = 1/3) ή/και βρισκόμαστε σε f(r) θεωρίες με (ω BD = 0), είτε ένα σύπαν με βαροτροπική ύλη με τη συνεισϕορά ομως στην εξέλιξη της ω BD. Το τρίτο σημείο στην περίπτωση που η ύλη μας δεν ειναι σκόνη -οπότε και το σημείο ειναι ασταθές- περιγράϕει ένα Λ-CDM μοντέλο. Το τέταρτο σημείο τέλος προκειμένου να είναι ευσταθές επιβάλλει η ύλη μας να είναι phantom με ω m < 1. Επειτα βγάλαμε την γενική έκϕραση για τα κρίσιμα σημεία σε δυναμικά των μορϕής V (ϕ) = V 0 ϕ n και V (ϕ) = V 1 ϕ n + V 2 ϕ m μέσα απο την οποία μπορούμε να κάνουμε εϕαρμογή για κάθε δυναμικό που ακολουθεί νόμο δύναμης. Τέλος με την ίδια ανάλυση θεωρήσαμε ένα τυχαίο κρίσιμο σημείο που καθορίζεται απο το δυναμικό και βάσει αυτού υπολογίσαμε τα υπόλοιπα, απαιτώντας τα κρίσιμα σημεία μας να είναι σταθερά αλλά και η θεωρία μας να προβλέπει επιταχυνόμενη διαστολή του σύμπαντος. Από αυτές τις απαιτήσεις λάβαμε όλους του περιορισμούς που θα πρέπει να εϕαρμόζονται σε κάθε δυναμικό που θα καθορίζει το μοντέλο μας. 79

80 80 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8. ΣΥΜΠΕΡΆΣΜΑΤΑ Ειδική έμϕαση δώθηκε στην θεωρία όταν η σταθερά Brans Dicke, (ω BD ), είναι μηδέν. Αυτή η περίπτωση είναι ισοδύναμη με την θεωρία βαρύτητας τέταρτης τάξης γνωστή και ως f(r). Η ισοδυναμία ϕαίνεται εύκολα με την χρήση ενός πολλαπλασιαστή Λαγρανγε καθώς ένα πεδίο εισάγεται για να ρίξει την τάξη της θεώρίας ενώ ταυτόχρονα ο αριθμός των εξισώσεων διπλασιάζεται. Στην περίπτωση της f(r) μελετήσαμε με παρόμοιο τρόπο τα δυναμικά V (ϕ) = V 0 ϕ 2, ανάλυση η οποία ταυτίζεται πλήρως με την αντίστοιχη της Brans Dicke για (ω BD = 0) και V (ϕ) = V 0 ϕ n καθώς και την έκϕραση για πιο γενικές μορϕές δυναμικού. Στην ανάλυση των δυναμικών που ακολουθούν νόμο δύναμης βγάλαμε την γενική έκϕραση για τα κρίσιμα σημεία με παρουσία ύλης ή στο κενό και κάναμε και κάποιες άμεσες εϕαρμογές προκειμένου να μελετήσουμε το ϕυσικό νόημα της θεωρίας. Τέλος και πάλι θεωρήσαμε ένα τυχαίο κρίσιμο σημείο που καθορίζεται απο το δυναμικό και βάσει αυτού υπολογίσαμε τα υπόλοιπα, απαιτώντας ξανά τα κρίσιμα σημεία μας να είναι σταθερά, αλλά και η θεωρία μας να προβλέπει επιταχυνόμενη διαστολή του σύμπαντος και έτσι λάβαμε και για την f(r) θεωρία όλους του περιορισμούς που θα πρέπει να εϕαρμόζονται στα δυναμικά που μελετάμε. Είναι λοιπόν σαϕές οτι η παραπάνω ανάλυση είναι ένα εξαιρερικά χρήσιμο εργαλείο με το οποίο μπορούμε να αναλύσουμε την εξέλιξη οποιουδηποτε παρεμϕερούς δυναμικού συστήματος πκαι να εξάγουμε όλους εκείνους τους περιορισμούς προκειμένου το μοντέλο μας να έχει τα χαρακτηριστικά που αποζητούμε για να ανταποκρίνεται στη συνεπή και ακριβή περιγραϕή του σύμπαντος το οποίο αντιλαμβανόμαστε.

81 Κεϕάλαιο 9 Παραρτήματα 9.1 Χρήσιμες σχέσεις Τανυστής καμπυλότητας Ricci Rσµν λ = µ Γ λ σν ν Γ λ σµ + Γ λ µργ ρ νσ Γ λ νργ ρ µσ (9.1) R µν = λ Γ λ µν ν Γ λ µλ + Γλ λρ Γρ νµ Γ λ νργ ρ λµ (9.2) Εξισώσεις πεδίου του Einstein: G µν = κt µν R µν 1 2 g µνr = 8πG c 4 T µν (9.3) Η μετρική των Friedman Robertson Walker: ds 2 = dt 2 + α 2 dr 2 (t)( 1 kr 2 + f 2 (r)(dθ 2 + sin 2 θdϕ 2 )) (9.4) Η πρώτη εξίσωση του Friedman: kµ = 3(H 2 + K α 2 ) (9.5) 81

82 82 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9. ΠΑΡΑΡΤ ΗΜΑΤΑ Η δεύτερη εξίσωση του Friedman: α α = 4πG (µ + 3p) (9.6) 3 Εξίσωση συνέχειας: µ + 3H(µ + p c 2 ) = 0 (9.7) Hubble r = H r + a x (9.8) 9.2 Δυναμική ανάλυση μη γραμμικών συστημάτων Σε ένα μη συντηρητικό σύστημα ο τρόπος για να χτιστεί μια εικόνα της γενικής συμπεριϕοράς του συστήματος είναι με τον εντοπισμό των σημείων ισορροπίας του, ή κρισιμων σημείων και την ανάλυση της ευστάθειάς τους. Ας θεωρήσουμε ενα σύστημα δεύτερης τάξης της μορϕής: ẋ = f(x, y), ẏ = g(x, y) (9.9) οπου η f, g είναι τυπικά μη γραμμικές λείες συναρτήσεις του x και y. Τα κρίσιμα σημεία είναι αυτές οι τιμές των x και y, έστω x 0 και y 0 για τις οποίες: f(x 0, y 0 ) = g(x 0, y 0 ) = 0 (9.10) Η ευστάθεια αυτών των σημείων μπορεί να μελετηθεί εξετάζοντας την εξέλιξη μιας μικρής διαταραχής γύρω απο αυτά τα σημεία. Αναπτύσουμε λοιπόν τις f, g σε δυνάμεις των δxδy: δẋ = f x (x 0, y 0 )δx + f y (x 0, y 0 )δy + f xy (x 0, y 0 )δxδy +... (9.11) δẏ = g x (x 0, y 0 )δx + g y (x 0, y 0 )δy + g xy (x 0, y 0 )δxδy +... (9.12) Αν τώρα απο αυτό το σύστημα κρατήσουμε μόνο τους γραμμικούς όρους προκύπτει το παρακάτω γραμμικό σύστημα: d dt δx = f x (x 0, y 0 ) f y (x 0, y 0 ) δx (9.13) δy g x (x 0, y 0 ) g y (x 0, y 0 ) δy

83 9.2. ΔΥΝΑΜΙΚ Η ΑΝΆΛΥΣΗ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚ ΩΝ ΣΥΣΤΗΜΆΤΩΝ 83 Ο 2X2 πίνακας μπορεί να γενικευθεί και για σύστημα ν εξισώσεων. πίνακα η γενική λύση της παραπάνω είναι ένας γραμμικός συνδυασμός: Υπολογίζοντας τις ιδιοτιμές του δq = c 1 D 1 e λ1t + c 2 D 2 e λ 2t (9.14) όπου c 1, c 2 σταθερές. δq = δx, D 1, D 2 τα ιδιοδιανύσματα που αντιστοιχούν στις ιδιοιτιμές λ 1, λ 2. δx Τέλος οι ιδιοτιμές είναι κλασικά οι λύσεις της εξίσωσης: det M λi = 0 (9.15) Καθορισμός της ευστάθειας Αν οι ιδιοτιμές είναι έχουν μόνο ϕανταστικό μέρος η διαταραχή θα διαγράϕει κλειστές ελλείψεις γύρω απο το κρίσιμο σημείο, συνεπώς το σημείο θα είναι ευσταθές. Αν πάλι οι διοιτιμές έχουν και πραγματικό μέρος η ευστάθεια θα κριθεί από το πρόσημο του πραγματικού μέρους μια και αυτό θα καθορίσει αν η διαταραχή θα αυξάνεται ή θα μειώνεται εκθετικά. Περίπτωση λ 1 < λ 2 < 0: Το σημείο είναι ευσταθές. (a) Περίπτωση λ 1 < λ 2 > 0: Το σημείο είναι ασταθές. (b) Περίπτωση λ 1 < 0 < λ 2 : Το σημείο είναι υπερβολοειδές με το ένα μέρος να αυξάνεται εκθετικά και το άλλο να μειώνεται εκθετικά (τα οποία και αναϕέρονται ως το ευσταθές και ασταθές μέρος). (c) Περίπτωση λ 1 = a + ib, λ 2 = a ib, a, b > 0: Το σημείο είναι ευσταθές. (d) Περίπτωση λ 1 = a + ib, λ 2 = a ib, a, b > 0: Το σημείο είναι ασταθές. (e) Περίπτωση λ 1 = +ib, λ 2 = ib, b > 0: Το σημείο είναι ελλειπτικά ευσταθές. (f).