ΑΡΧΕΣ ΚΒΑΝΤΙΚΗΣ ΧΗΜΕΙΑΣ ΚΑΙ ΦΑΣΜΑΤΟΣΚΟΠΙΑΣ. Τα θεμέλια της κβαντομηχανικής
|
|
- ἸωσαΦάτ Βενιζέλος
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Τα θεμέλια της κβαντομηχανικής
2 Η κυματοσυνάρτηση Κβάντωση της ενέργειας + Κυματοσωματιδιακός δυϊσμός του φωτός και της ύλης Η δυναμική του μικρόκοσμου Τα σωματίδια δεν έχουν καθορισμένες τροχιές και οποιαδήποτε ενέργεια. Κατανέμονται στο χώρο και έχουν συγκεκριμένες τιμές ενέργειας Schrödinger «Ο συνάδελφος Debye είπε ότι πρέπει να έχει κανείς μια κυματική εξίσωση. Ε, λοιπόν, βρήκα μία!» Πρώτo Αξίωμα της κβαντομηχανικής Η μαθηματική περιγραφή του κύματος που αντικαθιστά την κλασική τροχιά ενός σωματιδίου καλείται : Κυματοσυνάρτηση ψ και περιέχει όλες τις δυναμικές πληροφορίες για το σύστημα που περιγράφει (Θέση, Ενέργεια, ορμή, κ.λ.π.)
3 h = π d ψ ( x) : m Vx ( ) ψ ( x): E : Ĥ: Η δυναμική του μικρόκοσμου Η ανεξάρτητη του χρόνου εξίσωση Schrödinger (196) Erwin Schrödinger ( ) Μία διάσταση ψ(x), V(x) Ανηγμένη σταθερά Planck (1, Js) Κινητική ενέργεια Δυναμική ενέργεια Ολική ενέργεια Χαμιλτώνιος τελεστής d ψ ( x) + Vx ( x E x ) ψ ( ) = ψ ( ) m [ + Vx ( )] ψ( x) = Eψ( x) m d ψ ( x) H =, = + Vx ( ) m ΑΞΙΩΜΑΤΙΚΗ ΕΙΣΑΓΩΓΗ 1 V( x) = kx qq 1 V(r) = r Ταλάντωση Coulomb Ĥψ = Eψ Ορισμένες αποδεκτές κυματοσυναρτήσεις και Ενέργειες Κβάντωση
4 Η δυναμική του μικρόκοσμου Η εξίσωση Schrödinger Μικρή εφαρμογή Σωματίδιο κινούμενο ελεύθερα στον άξονα x Vx ( ) σταθερή = V : για κάθε x d ψ ( x) + Vx ( x E x ) ψ ( ) = ψ ( ) m Λύση: πx π ψ( x) = cos k = ψ( x) = cos kx λ λ Κύμα ( ) cos(π x / λ) με μήκος κύματος λ = π k d d d cos( kx) + V cos( kx) = Ecos( kx) cos( kx) = ( E V ) cos( kx) cos( kx) = Ek cos( kx) m m m d k sin( kx ) = Ek cos( kx ) k cos( kx ) = Ek cos( kx ) m m m k p k p k= Ek Ek =, Ek p k = = = m m m m = π p De Broglie!! λ h π = h λ p = h λ
5 Η δυναμική του μικρόκοσμου Η ανεξάρτητη του χρόνου εξίσωση Schrödinger (196) Erwin Schrödinger ( ) Μία διάσταση ψ(x) V(x) Δύο διαστάσεις ψ(x,y) V(x,y) Τρείς διαστάσεις ψ(x,y,z) V(x,y,z) d ψ ( x) + Vx ( x E x ) ψ ( ) = ψ ( ) m [ + Vx ( )] ψ( x) = Eψ( x) m d ψ ( x) H =, = + Vx ( ) m xy Vxy + xy E xy ψ(, ) + (, ) ψ(, ) = ψ(, ) m x y [ ψ( xy, ) + Vxy (, )] ψ( xy, ) = Eψ( xy, ) m Ĥ, H = + = + Vx (,y) x y m Ĥψ = ψ = Eψ Eψ d d xyz Vxyz + + xyz E xyz ψ(,, ) + (,, ) ψ(,, ) = ψ(,, ) m x y z ψ( xyz,, ) + Vxyz (,, ) ψ( xyz,, ) = Eψ( xyz,, ) Ĥψ = Eψ m d d, H = + + = + Vxyz (,, ) x y z m
6 Η δυναμική του μικρόκοσμου Η φύση (ερμηνεία) της κυματοσυνάρτησης από τον Born Πυκνότητα Πιθανότητας ψ ( x) Υπόθεση Max Born ( ) Το τετράγωνο της κυματοσυνάρτησης σε ένα σημείο είναι το μέτρο της πιθανότητας να βρεθεί το σωματίδιο στο σημείο αυτό Πυκνότητα πιθανότητας ψ( x): πραγματική ( ψ x) = ( ψ x) ψ( x): μιγαδική ( ψ x) = ( ψ x) ( ψ x) ψ ( x) Τιμή της κυματοσυνάρτησης στο x: ψ(x) Πιθανότητα εύρεσης σωματιδίου μεταξύ x και ανάλογη του: Τρείς διαστάσεις ψ ( x) Τιμή της κυματοσυνάρτησης στο r(x,y,z): ψ(x,y,x) Πιθανότητα εύρεσης σωματιδίου σε όγκο dτ=dydz στο σημείο r ανάλογη του: ψ( xyz,, ) d τ = ψ( xyz,, ) dydz Max Born
7 Η δυναμική του μικρόκοσμου Η φύση (ερμηνεία) της κυματοσυνάρτησης από τον Born Πυκνότητα Πιθανότητας Κυματοσυνάρτηση ηλεκτρονίου στη κατάσταση χαμηλότερης ενέργειας: ψ ( xyz,, ) Σχετική πιθανότητα εύρεσης ηλεκτρονίου σε σημεία του χώρου: P~ ψ( δv xyz,, ) (,, = ) ψ δxyz δ δ x y z H (δv=1 pm 3 ) ψ( xyz,, ) = ψ(r) ~ e r = r= r= α r/ α P ~ ψ (r) δv ~ e (1. ) ~1 pm (1. ) pm r = α P ~ ψ (r) δv ~ e (1. ) ~ pm.14 (1. ) pm P α = 7.14P 3 3 α 3 3 He + (δv=1 pm 3 ) r ψ( xyz,, ) = ψ(r) ~ e r = P ~ ψ (r) δv ~ e (1. ) ~1 pm (1. ) pm r= r = α P ~ ψ (r) δv ~ e (1. ) ~ pm.18 (1. ) pm P α = 54.56P r= α / α α
8 Η δυναμική του μικρόκοσμου Η φύση (ερμηνεία) της κυματοσυνάρτησης από τον Born Πυκνότητα Πιθανότητας Η πιθανότητα εύρεσης του σωματιδίου σε ένα ορισμένο διάστημα ή όγκο; Μία διάσταση Pολ = ψ ( x) Τρείς διαστάσεις x1 x y1 y n n n z1 z ολ n i = 1 j = 1 k = 1 P = lim ψ ( x, y, z ) dydz i j k x x x, y y y, z z z n 1 i 1 j 1 k a b Pολ = lim ψ ( xi) d xa, xi b x1 x n i = 1 y1 y z x y z 1 z b P ολ = ψ ( x, y, z) dydz a b P x 1 y ( ) d 1 z1 ολ = ψ x x a Σε όλον τον Σε όλον τον x: ολ = ψ (,, ) χώρο: P x y z dydz
9 Η δυναμική του μικρόκοσμου Η φύση (ερμηνεία) της κυματοσυνάρτησης από τον Born - Κανονικοποίηση Η πιθανότητα εύρεσης του σωματιδίου στο διάστημα x=- (παντού) είναι ίση με 1. Μία διάσταση, ψ(x) Παράδειγμα ψ ( x) = e x x ψ ( x) = e Kανονικοποίηση ( ) Nψ( x) d x = N ψ( x) d x = N ψ( x) = 1 N = 1 1 N = = =.8933 ψ ( x) 1.53 ψ ( x) =.8933e x Κανονικοποιημένη κυματοσυνάρτηση x.8933 ψ ( x) =.8933 e = = 1 ψ ( x) ψ ( x) π = = Kανονικοποιημένη Nψ ( x) ( Nψ ( x) ) = 1 κυματοσυνάρτηση! e ax ψ ( x) = 1 = π a Μη κανονικοποιημένη κυματοσυνάρτηση! ( ) ( ) H Nψ = E Nψ NHψ = NEψ Hψ = Eψ 1 Αν η ψ είναι λύση τότε η Nψ είναι επίσης λύση με την ίδια ιδιοτιμή Ε! ψ ( x) ψ ( x) = e x x
10 Η δυναμική του μικρόκοσμου Η φύση (ερμηνεία) της κυματοσυνάρτησης από τον Born - Κανονικοποίηση Η πιθανότητα εύρεσης του σωματιδίου σε όλο το χώρο (παντού) είναι ίση με 1. Τρείς διαστάσεις, ψ(x,y,z) Πολικές συντεταγμένες ( ) θ ( π) ϕ ( π) r :,, :,, :, N ψ( xyz,, )dydz= N ψ dτ = 1 N π π ψ (r, θϕ, ) θd r sin d dr θ 1 ϕ = 1 N = ψ dτ x = rsinθcos ϕ, y = rsinθsin ϕ, z = rcosθ d τ=dydz = r sinθdrdθdϕ
11 Η δυναμική του μικρόκοσμου Η φύση (ερμηνεία) της κυματοσυνάρτησης από τον Born - Κανονικοποίηση Παράδειγμα κανονικοποίησης σε τρεις διαστάσεις ra / ψ () r = e Δίνεται: ψ τ ψ r θ r θ ϕ d = sin d d d π π ψ d τ rψ(r) dr sinθdθ dϕ = π π ra / ψ dτ re dr sinθdθ dϕ π = 3 a 3 d = = a ψ τ π π N = = ψ dτ πa ψ 1 ra / = e 3 πa -cosθ 3 n! a n ax xe = n+ 1 Κανονικοποιημένη κυματοσυνάρτηση Πιθανότητες εύρεσης ηλεκτρονίου (a =5.9 pm, δv=1 pm 3 ) 1 ψ = πa 3 e r = δv P = ψ (r) P ra / r= 1 = e (1. pm ) =. 1 πa 3 P = r = α P = ψ(r)δv P α P α r= α ~1 στις pm 3 e = (1. ) =.9 1 πa α 3 7 ~1 στις 3 45
12 Η δυναμική του μικρόκοσμου Η φύση (ερμηνεία) της κυματοσυνάρτησης από τον Born - Κβάντωση Αποδεκτές κυματοσυναρτήσεις Συνεχής Τετραγωνικά ολοκληρώσιμη Ασυνεχής Μη Τετραγωνικά ολοκληρώσιμη Αν σε ένα σημείο x υπάρχει ασυνέχεια η πιθανότητα εύρεσης ηλεκτρονίου δεν ορίζεται μονοσήμαντα καθώς εξαρτάται από το ψ(x) Συνεχής κλίση Ασυνεχής κλίση Ο υπολογισμός της δεύτερης παραγώγου στην εξίσωση Schrödinger είναι δυνατός μόνον όταν η πρώτη παράγωγος είναι συνεχής. Μονότιμη Μη μονότιμη Αν σε ένα σημείο x έχει δύο τιμές η πιθανότητα εύρεσης ηλεκτρονίου θα έχει δύο τιμές, καθώς εξαρτάται από το ψ(x) Αν απειρίζεται σε κάποιο διάστημα το ολοκλήρωμα του τετραγώνου της θα είναι άπειρο αντί για 1. ψ ( x) = ψ ( ) = Από τις πάρα πολλές συναρτήσεις που αποτελούν λύση της εξίσωσης Schrödinger αποδεκτές είναι αυτές που έχουν συγκεκριμένα χαρακτηριστικά και συνεπώς συγκεκριμένες ενέργειες Κβάντωση
13 Οι αρχές της Κβαντομηχανικής Η πληροφορία που εμπεριέχεται στην κυματοσυνάρτηση - Τελεστές Τελεστής: μαθηματική διεργασία που εφαρμόζεται σε μια συνάρτηση (Τελεστής) (Συνάρτηση)=(Σταθερά) (ίδια συνάρτηση) Ω ψ = ω ψ Εξίσωση ιδιοτιμών Τελεστής Eξίσωση Schrödinger: Ιδιοσυνάρτηση Ιδιοτιμή Ĥψ = Eψ Ιδιοτιμή η ενέργεια του συστήματος Τελεστής ενέργειας Ĥ : Τελεστής Hamilton Χαμιλτώνιος) : Τελεστής κινητικής ενέργειας m V : Τελεστής δυναμικής ενέργειας Ορισμένες αποδεκτές κυματοσυναρτήσεις και ιδιοτιμές Κβάντωση Κβαντομηχανική μελέτη ενός συστήματος Επίλυση της εξίσωσης Schrödinger για το σύστημα Κατάστρωση του Χαμιλτώνιου H = + V m Εύρεση ιδιοτιμών (E) και ιδιοσυναρτησεων (ψ) του Χαμιλτώνιου
14 Οι αρχές της Κβαντομηχανικής Η πληροφορία που εμπεριέχεται στην κυματοσυνάρτηση - Τελεστές Παραδείγματα τελεστών και ιδιοσυναρτήσεων Τελεστές: d d Ω=, Ω= Συναρτήσεις ψ( ), ψ( ), ψ( ) cos ax ax x = e x = e x = ax d ax ax ax ( ) ( ) ( ) d Ω ψ x = e = ae = aψ x ά ηψ x = e εν ί αι ιδιοσυν ρτηση του Ω= µε ιδιοτιµη α d ax ax ax d Ω ψ ( x) = e = axe = άaxί ψ ( x) ηψ ( x) = e δενεναιιδιοσυν ρτηση του Ω= d ( ) cos sin ( ) cos d Ω ψ x = ά ax = a aί x ηψ x = ax δεν ε ναι ιδιοσυν ρτηση του Ω= d d Ω ψ ( x) = e = ae = ψ ( x) ηψ ( x) = e ιδιοσυν ρ Ω= ax ax ax ά aί aε ναι τηση του µε ιδιοτιµη d d Ω ψ ( x) = e = (a+ 4 ax) e ψ ( x) ηψ x e ιδιοσυν ρτηση του = ax ax ax ά = ( a+ 4 a xί ) ( ) = δεν ε ναι Ω d d Ω ψ ( x) = cosax = a cos ax = a ( x) ( x) cosaxάί a ψ ηψ = ε ναι ιδιοσυν ρτηση του Ω= µε ιδιοτιµη
15 Οι αρχές της Κβαντομηχανικής Η πληροφορία που εμπεριέχεται στην κυματοσυνάρτηση Τελεστές & Μετρήσιμες ιδιότητες (Τελεστής) (Ιδιοσυνάρτηση)=(Τιμή μετρήσιμης ιδιότητας) (ιδιοσυνάρτηση) Ω ψ = ω ψ Η κατάστρωση των τελεστών Οι τιμές των μετρήσιμων ιδιοτήτων αντιστοιχούν και προκύπτουν από τους τελεστές θέσης και ορμής: d Θ έση : x = x Ο ρµ ή: p x = i με βάση την εξάρτηση της τιμής της ιδιότητας από τα x και p Κατάστρωση του τελεστή δυναμικής ενέργειας σωματιδίου που ταλαντώνεται στον άξονα x. Εξάρτηση της δυναμικής ενέργειας από το x: V(x)=1/kx V = kx = kx = kx x Κατάστρωση του τελεστή κινητικής ενέργειας σωματιδίου που κινείται στον άξονα x.εξάρτηση της κινητικής ενέργειας από το p x : E k =p x /m E k 1 d d d = m i = i m Κατάστρωση του τελεστή ολικής ενέργειας σωματιδίου που ταλαντώνεται στον άξονα στον άξονα x με την παραπάνω εξάρτηση της δυναμικής ενέργειας από το x (E = E k + V) d 1 E = E + V = + kx k m Χαμιλτώνιος Στη κβαντομηχανική οι αποδεκτές κυματοσυναρτήσεις ενός συστήματος πρέπει να είναι ιδιοσυναρτήσεις του Χαμιλτώνιου τελεστή ενέργειας του συστήματος αλλά όχι απαραιτήτως και κάθε τελεστή που αντιστοιχεί σε μια μετρήσιμη ιδιότητα.
16 Οι αρχές της Κβαντομηχανικής Η πληροφορία που εμπεριέχεται στην κυματοσυνάρτηση Τελεστές & Μετρήσιμες ιδιότητες Σχόλιο για την κινητική ενέργεια E k 1 d d d = m i = i m Η δεύτερη παράγωγος είναι το μέτρο της καμπυλότητας μιας συνάρτησης. Συνεπώς: Η κινητική ενέργεια ενός σωματιδίου είναι ανάλογη της καμπυλότητας της κυματοσυνάρτησης. Σωματίδιο κινούμενο στον άξονα x σε ένα πεδίο τέτοιο ώστε η δυναμική του ενέργεια να μειώνεται προς τα δεξιά. (Υφίσταται μια σταθερή δύναμη προς τα δεξιά)
17 Οι αρχές της Κβαντομηχανικής Η πληροφορία που εμπεριέχεται στην κυματοσυνάρτηση - Τελεστές & Μετρήσιμες ιδιότητες Υπολογισμός μετρήσιμων ιδιοτήτων Υπολογισμός ορμής σωματιδίου που περιγράφεται από την κυματοσυνάρτηση: Για Α= και Β=. Εξίσωση ιδιοτιμών: x ikx ikx d d de ikx ikx A = : ψ( x) = Be : pxψ( x) = ψ( x) = B = B( ik)e = k e = k ψ( x) px = k i i i ikx ikx d d de ikx ikx B = : ψ( x) = Ae : p xψ( x) = ψ( x) = A = Aike = k e = k ψ( x) px = k i i i Υπολογισμός στροφορμής σωματιδίου με κυκλική τροχιά στο επίπεδο xy. Τελεστής: Εξίσωση ιδιοτιμών: l z p ψ( x) = pψ( x) d = idϕ l ψϕ ( ) = l ψϕ ( ) ϕ z x Κυματοσυνάρτηση: ψϕ i ( ) = e ϕ d d iϕ iϕ iϕ ψ( x) = e = ( i)e = e = ψ( x) lz = idϕ i i ikx ikx ψ ( x) = Ae + Be
18 Οι αρχές της Κβαντομηχανικής Η πληροφορία που εμπεριέχεται στην κυματοσυνάρτηση - Τελεστές & Μετρήσιμες ιδιότητες Ερμιτιανοί τελεστές Ένας κβαντομηχανικός τελεστής που αντιστοιχεί σε μια μετρήσιμη ιδιότητα είναι ερμιτιανός και έχει ιδιοτιμές πραγματικούς αριθμούς Θ έση : x = x Ο ρµ ή: p x d = i ( j ) ψ Ω ψ dτ = ψ Ωψ d τ i j j ( ) ψ ψ = ψ xψ ψ xψ dτ ψ ψ i j = i j = j i j i ψ x x dψ dg df f = fg g dψ j i p i xψ = ψ ψψ ψ j = i i j j i i i Ερμιτιανός τελεστής dψ dψ i i d ψ ψ ψ ψ j j j i j i = = = = i i i ( ) j i i ψ ψ = = j ( ) ψ pxψ dτ Ερμιτιανός τελεστής
19 Οι αρχές της Κβαντομηχανικής Η πληροφορία που εμπεριέχεται στην κυματοσυνάρτηση - Τελεστές & Μετρήσιμες ιδιότητες Ερμιτιανοί τελεστές - Ορθογωνιότητα Δύο κυματοσυναρτήσεις που αντιστοιχούν σε διαφορετικές ιδιοτιμές ενός ερμιτιανού τελεστή είναι ορθογώνιες Χαμιλτώνιος τελεστής H ψi = Eiψi H ψ = Eψ j j j ψ H ψ = ψ Eψ ψ H ψ dτ = E ψψdτ j i j i i j i i j i ψ Hψ = ψ Eψ ψ Hψ dτ = E ψ ψ dτ i j i j j i j j i j ( i H j τ ) E ( ) ( j ψi τ ψ ψ jdτ) ( E E ) ψψ dτ= i j ψ H d = H E ψψdτ = E ψψ dτ j i j j i j ψ ψ d = ψψdτ = E ψψ dτ i i j i j i j ψψdτ= ψψdτ = i j i j i j i j π f( x) = ηµ xηµ x f( x) = f( x) =
20 Οι αρχές της Κβαντομηχανικής Η πληροφορία που εμπεριέχεται στην κυματοσυνάρτηση - Τελεστές & Μετρήσιμες ιδιότητες Υπολογισμός μετρήσιμων ιδιοτήτων Υπολογισμός ορμής σωματιδίου που περιγράφεται από την κυματοσυνάρτηση: για Α=Β. Εξίσωση ιδιοτιμών: x Αλλά p ψ( x) = pψ( x) x iϕ e = cosϕ+ isin ikx ikx A= B ψ ( x) = A(e + e ) = Acoskx ψ ( x) = Aψ ( x) + Aψ ( x), ψ ( x) = e, ψ ( x) = e ikx 1 1 ϕ ikx ikx ψ ( x) = Ae + Be? d d dcoskx p ψ x ( x) = Acoskx A Asin kx i = i = i ikx ikx d dde ikx ikx ψ 1( x) = e : pxψ1( x) = ψ1( x) = = ike = k e = k ψ1( x) px = k i i i ikx ikx d dde ikx ikx ψ ( x) = e : pxψ ( x) = ψ( x) = = ( ik) e = k e = k ψ( x) px = k i i i Όλες οι μετρήσεις θα δώσουν μέτρο της ορμής: Οι μισές μετρήσεις θα δώσου ν: Θέση: px p x ikx = k = k και οι άλλες μισές: px Γραμμικός συνδυασμός κυματοσυναρτήσεων = k N = c1 1+ c + c = ci i ψ ψ ψ ψ ψ ψ( x) = Acos kx xψ( x) = xacos kx xψ( x) = Axψ ( x) Απροσδιόριστη θέση i
21 Οι αρχές της Κβαντομηχανικής Η πληροφορία που εμπεριέχεται στην κυματοσυνάρτηση - Τελεστές & Μετρήσιμες ιδιότητες Αναμενόμενη τιμή μετρήσιμων ιδιοτήτων Κάθε πειραματική μέτρηση μιας μετρήσιμης ιδιότητας ενός συστήματος ισούται με μια από τις ιδιοτιμές του αντίστοιχου τελεστή. Η μέση τιμή πολλών πειραματικών μετρήσεων μιας μετρήσιμης ιδιότητας ενός συστήματος προκύπτει από την αναμενόμενη τιμή του αντίστοιχου τελεστή. ( d ) d 1 Ω = ψ Ω ψ τ ψ ψ τ = Μέση τιμή του ηλεκτρονίου στο άτομο του Η με βάση την κανονικοποιημένη κυματοσυνάρτηση: ψ 1 ra / = e 3 πa r = ψ rψdτ = r ψ ψdτ = r ψ dτ = ψ r sinθdrdθdϕ / / sin d d d 3 3 πa πa Κανονικοποιημένη κυματοσυνάρτηση 1 1 = ψ τ = θ θ ϕ = sin θ d d θ d ϕ ra 3 ra r r d r e r r r e r 1 π π 4 / 1 3α ψ τ d sinθdθ dϕ 3 = π = 3 πa πa 8 a 3 ra r = r d = re r n! a n ax xe = n+ 1 3 π 4 -cosθ 3α 8 π
22 Οι αρχές της Κβαντομηχανικής Η πληροφορία που εμπεριέχεται στην κυματοσυνάρτηση Η αρχή της αβεβαιότητας Ελεύθερο σωματίδιο: ikx Ο ρµ ή: ψ ( x) = e : p ψ ( x) = k ψ ( x) p = k Σταθερή και απόλυτα προσδιορισμένη x Θέση : ψ ( x) = e ikx : x ψ ( x) = xψ ( x) x =? x Απολύτως απροσδιόριστη Heisenberg Αρχή αβεβαιότητας Είναι αδύνατον να μετρηθούν με ταυτόχρονα με ακρίβεια η ορμή και η θέση ενός σωματιδίου d px = i d ( x) ψ = Αν γνωρίζουμε επακριβώς τη θέση (ορμή) του σωματιδίου δε μπορούμε να πούμε τίποτα για την ορμή (θέση) του p x 1
23 Οι αρχές της Κβαντομηχανικής Η πληροφορία που εμπεριέχεται στην κυματοσυνάρτηση Η αρχή της αβεβαιότητας Αντιμετάθεση τελεστών dψ ( x) xp xψ ( x) = x i ( ψ( x)) dψ( x) px x ψ( x) = = ψ( x) + x i i Αντιμετάθεση τελεστών p, y x d d px y ψ( xy, ) = xψ( xy, ) = x ψ( xy, ) i dy i dy d d xp ψ y ( xy, ) = x ( xy, ) x ( xy, ) i dy ψ = i dy ψ Συμπληρωματικές ιδιότητες είναι αυτές οι τελεστές των οποίων δεν αντιμετατίθενται Μη συμπληρωματικές ιδιότητες είναι αυτές οι τελεστές των οποίων αντιμετατίθενται 1 p Αντιμεταθέτης δύο τελεστών x, x Ω, Ω =ΩΩ Ω Ω ( dψ( x) ( ) dψ x xpx pxx) ψ( x) = x ( x) x ( x) i i ψ + ψ = i xp p x = i Δεν αντιμετατίθενται x Ω 1, Ω xp, x Ω, Ω = xp, y = x ( dψ( xy, ) dψ( xy, ) xp y pyx) ψ ( x, y) = x x = i dy i dy xp p x = Αντιμετατίθενται y y 1, Ω Ω = 1, Ω Ω Αντιμετατίθενται Δεν αντιμετατίθενται Η ΑΡΧΗ ΤΗΣ ΑΒΕΒAIΟΤΗΤΑΣ ΙΣΧΥΕΙ ΜΟΝΟ ( xp, ) ΓΙΑ ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΕΣ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ x, ( yp, y), ( zp, z)
24 Οι αρχές της Κβαντομηχανικής ΤΑ ΘΕΜΕΛΙΩΔΗ ΑΞΙΩΜΑΤΑ ΤΗΣ ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ Ι. α.η μαθηματική περιγραφή του κύματος που περιγράφει μια κατάσταση ενός σωματιδίου είναι η κυματοσυνάρτηση η οποία προκύπτει από τη λύση της εξίσωσης Schrödinger d d (,, ) (,, ) (,, ) (,, ), (,, ) + + ψ xyz Vxyzψ xyz Eψ xyz Hψ xyz Eψ( xyz,, ) + = = m x y z β. Η κυματοσυνάρτηση περιέχει όλες τις δυναμικές πληροφορίες του συστήματος (Θέση, Ενέργεια, ορμή, κ.λ.π.). γ. Η πιθανότητα εύρεσης του σωματιδίου σε στοιχειώδη όγκο στο σημείο (x,y,z) ισούται με ψ(x,y,z) dτ= ψ(x,y,z) dydz δ. Οι αποδεκτές κυματοσυναρτήσεις πρέπει να είναι συνεχείς, μονότιμες, να έχουν συνεχή κλίση και να είναι τετραγωνικά ολοκληρώσιμες. ΙI. Κάθε μετρήσιμη ιδιότητα του συστήματος αντιστοιχεί σε έναν ερμιτιανό τελεστή ο οποίος δομείται με βάση τους τελεστές θέσης και ορμής, d x = x px = i και υπολογίζεται από την εφαρμογή του τελεστή στην κυματοσυνάρτηση του συστήματος. ΙΙΙ. Είναι αδύνατο να προσδιορισθoυν ταυτοχρόνως και επακριβώς οι τιμές ενός ζεύγους συμπληρωματικών ιδιοτήτων, δηλαδή ιδιοτήτων που αντιστοιχούν σε τελεστές που δεν αντιμετατίθενται. ΙV. H μέση τιμή μιας ιδιότητας προκύπτει από την αναμενόμενη τιμή του αντίστοιχου τελεστή, η οποία για κανονικοποιημένη ψ ισούται με: Ω = ψ ( ) Ω ψdτ ψ ψdτ = 1 Ω
Τα θεμέλια της κβαντομηχανικής. Τα θεμέλια της κβαντομηχανικής
Τα θεμέλια της κβαντομηχανικής 1 ΠΙΑΣ Η κυματοσυνάρτηση Κβάντωση της ενέργειας + Κυματοσωματιδιακός δυϊσμός του φωτός και της ύλης Η δυναμική του μικρόκοσμου Τα σωματίδια δεν έχουν καθορισμένες τροχιές
Διαβάστε περισσότεραΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑ I Ενότητα 4 Αρχές της Κβαντικής Μηχανικής Δημήτρης Κονταρίδης Αναπληρωτής Καθηγητής Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Χημικών Μηχανικών
ΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑ I Ενότητα 4 Αρχές της Κβαντικής Μηχανικής Δημήτρης Κονταρίδης Αναπληρωτής Καθηγητής Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Χημικών Μηχανικών Ενδεικτική βιβλιογραφία 1. ATKINS, ΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑ P.W. Atkins, J.
Διαβάστε περισσότεραΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ. Ασκήσεις Κεφαλαίου Ι
ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ασκήσεις Κεφαλαίου Ι Άσκηση 1: Θεωρήστε δύο ορθοκανονικά διανύσματα ψ 1 και ψ και υποθέστε ότι αποτελούν βάση σε ένα χώρο δύο διαστάσεων. Θεωρήστε επίσης ένα τελαστή T που ορίζεται στο χώρο
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμογές της κβαντομηχανικής. Εφαρμογές της κβαντομηχανικής
Εφαρμογές της κβαντομηχανικής ΠΙΑΣ Ελεύθερο σωματίδιο σε μια διάσταση Σωματίδιο κινούμενο ελεύθερα στον άξονα σε σταθερό δυναμικό ανεξάρτητο του : V ˆ( () V ξίσωση Schrödinger: d d H ˆ H ˆ ˆ() () () d
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμογές κβαντικής θεωρίας
Εφαρμογές κβαντικής θεωρίας Στοιχειώδες μαθηματικό υπόβαθρο Σχέση Euler Χρησιμοποιώντας τη σχέση Euler, ένα αρμονικό κύμα της μορφής Acos(kx) (πραγματική συνάρτηση), μπορεί να γραφτεί ως Re[Ae ikx ] που
Διαβάστε περισσότεραΣύγχρονες αντιλήψεις γύρω από το άτομο. Κβαντική θεωρία.
Σύγχρονες αντιλήψεις γύρω από το άτομο. Κβαντική θεωρία. Η κβαντική θεωρία αναπτύχθηκε με τις ιδέες των ακόλουθων επιστημόνων: Κβάντωση της ενέργειας (Max Planck, 1900). Κυματική θεωρία της ύλης (De Broglie,
Διαβάστε περισσότεραΑπό τι αποτελείται το Φως (1873)
Από τι αποτελείται το Φως (1873) Ο James Maxwell έδειξε θεωρητικά ότι το ορατό φως αποτελείται από ηλεκτρομαγνητικά κύματα. Ηλεκτρομαγνητικό κύμα είναι η ταυτόχρονη διάδοση, μέσω της ταχύτητας του φωτός
Διαβάστε περισσότεραΜΕΡΟΣ Α: ΤΑ ΘΕΜΕΛΙΑ ΚΕΦ. 1. ΟΙ ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΑΡΧΕΣ ΚΕΦ. 4. Ο ΓΕΝΙΚΟΣ ΦΟΡΜΑΛΙΣΜΟΣ ΤΟΥ DIRAC ΚΕΦ. 5. Ο ΑΡΜΟΝΙΚΟΣ ΤΑΛΑΝΤΩΤΗΣ ΚΕΦ. 7.
stzortz@iesl.forth.gr 1396; office Δ013 ΙΤΕ 2 ΎΛΗ & ΦΩΣ 01. ΟΙ ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΑΡΧΕΣ ΜΕΡΟΣ Α: ΤΑ ΘΕΜΕΛΙΑ ΚΕΦ. 1. ΟΙ ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΑΡΧΕΣ Στέλιος Τζωρτζάκης ΚΕΦ. 2. ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΗΣ ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΚΕΦ.
Διαβάστε περισσότεραKΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 693 946778 KΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ Κυματική εξίσωση Schrödiger Η δυνατότητα ενός σωματιδίου να συμπεριφέρεται ταυτόχρονα και ως κύμα, δηλαδή να είναι εντοπισμένο
Διαβάστε περισσότεραΚβαντομηχανική Ι 3o Σετ Ασκήσεων. Άσκηση 1
Χειμερινό εξάμηνο 016-017 Κβαντομηχανική Ι 3o Σετ Ασκήσεων Άσκηση 1 Οι λύσεις του αρμονικού ταλαντωτή, με V = x είναι της μορφής ψ n (x) = ( mω π )1/4 1 n n! H n (x)e x /, n = 0,1, (1) Με Η n τα πολυώνυμα
Διαβάστε περισσότεραΕΙΣΑΓΩΓΗ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΑΚΗ ΔΟΜΗ ΤΩΝ ΑΤΟΜΩΝ Η ΔΟΜΗ ΤΟΥ ΑΤΟΜΟΥ III. ΤΟ ΣΥΓΧΡΟΝΟ ΑΤΟΜΙΚΟ ΠΡΟΤΥΠΟ
ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΑΚΗ ΔΟΜΗ ΤΩΝ ΑΤΟΜΩΝ Η ΔΟΜΗ ΤΟΥ ΑΤΟΜΟΥ Ν. ΜΠΕΚΙΑΡΗΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η εικόνα του ατόμου που είναι τόσο γνωστή, δηλαδή ο πυρήνας και γύρω του σε τροχιές τα ηλεκτρόνια σαν πλανήτες (το πρότυπο του Ruterford
Διαβάστε περισσότεραΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑ I Ενότητα 3 Κβαντική Θεωρία Δημήτρης Κονταρίδης Αναπληρωτής Καθηγητής Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Χημικών Μηχανικών
ΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑ I Ενότητα 3 Κβαντική Θεωρία Δημήτρης Κονταρίδης Αναπληρωτής Καθηγητής Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Χημικών Μηχανικών Ενδεικτική βιβλιογραφία 1. ATKINS, ΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑ P.W. Atkins, J. De Paula (Atkins
Διαβάστε περισσότεραΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΦΥΣΙΚΗ ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Δ. ΣΚΑΡΛΑΤΟΣ, ΑΝΑΠΛΗΡΩΤΗΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΦΥΣΙΚΗ
ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΦΥΣΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ 5 Επίλυση της εξίσωσης Schrödinger σε απλά κβαντικά συστήματα Ι. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Κάθε φυσικά πραγματοποιήσιμη φυσική κατάσταση ενός (μονοσωματιδιακού) κβαντικού συστήματος περιγράφεται
Διαβάστε περισσότεραΚΒΑΝΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ - Ενότητα 5
Κβαντική Μηχανική ΙΙ Ακ. Ετος 2013-14, Α. Λαχανάς 1/ 53 ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ - Ενότητα 5 Α. Λαχανάς ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ, Τµήµα Φυσικής Τοµέας Πυρηνικής Φυσικής & Στοιχειωδών Σωµατιδίων Ακαδηµαικό έτος
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στην κβαντική θεωρία
Εισαγωγή στην κβαντική θεωρία Οι νόμοι της κίνησης όπως διατυπώθηκαν από το Νεύτωνα μπορούσαν να εξηγήσουν με μεγάλη επιτυχία την κίνηση των σωμάτων της καθημερινής εμπειρίας και των πλανητών. Η κλασσική
Διαβάστε περισσότεραΤο Ελεύθερο Σωμάτιο Ρεύμα Πιθανότητας
Το Ελεύθερο Σωμάτιο Ρεύμα Πιθανότητας Δομή Διάλεξης Χρονική εξέλιξη Gaussian κυματοσυνάρτησης σε μηδενικό δυναμικό (ελέυθερο σωμάτιο): Μετατόπιση και Διασπορά Πείραμα διπλής οπής: Κροσσοί συμβολής για
Διαβάστε περισσότερα1 p p a y. , όπου H 1,2. u l, όπου l r p και u τυχαίο μοναδιαίο διάνυσμα. Δείξτε ότι μπορούν να γραφούν σε διανυσματική μορφή ως εξής.
ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ασκήσεις Κεφαλαίου V Άσκηση : Οι θεμελιώδεις σχέσεις μετάθεσης της στροφορμής επιτρέπουν την ύπαρξη ακέραιων και ημιπεριττών ιδιοτιμών Αλλά για την τροχιακή στροφορμή L r p γνωρίζουμε ότι
Διαβάστε περισσότεραΚβαντική Φυσική Ι. Ενότητα 10: Ερμιτιανοί τελεστές και εισαγωγή στους μεταθέτες. Ανδρέας Τερζής Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής
Κβαντική Φυσική Ι Ενότητα 10: Ερμιτιανοί τελεστές και εισαγωγή στους μεταθέτες Ανδρέας Τερζής Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής Σκοπός ενότητας Σκοπός της ενότητας είναι να αναδείξει την ερμιτιανότητα
Διαβάστε περισσότεραΚβαντική Φυσική Ι. Ενότητα 15: Η έννοια του κυματοπακέτου στην Kβαντομηχανική. Τερζής Ανδρέας Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής
Κβαντική Φυσική Ι Ενότητα 15: Η έννοια του κυματοπακέτου στην Kβαντομηχανική Τερζής Ανδρέας Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής Σκοπός ενότητας Σκοπός της ενότητας είναι να ολοκληρώσει την εφαρμογή της
Διαβάστε περισσότεραΚβαντική Φυσική Ι. Ενότητα 7: Διερεύνηση εξίσωσης Schro dinger και απειρόβαθο πηγάδι δυναμικού. Ανδρέας Τερζής Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής
Κβαντική Φυσική Ι Ενότητα 7: Διερεύνηση εξίσωσης Schro dinger και απειρόβαθο πηγάδι δυναμικού Ανδρέας Τερζής Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής Σκοποί ενότητας Σκοπός της ενότητας είναι να σκιαγραφηθεί
Διαβάστε περισσότεραΚβαντικές Καταστάσεις
Κβαντικές Καταστάσεις Δομή Διάλεξης Σύντομη ιστορική ανασκόπηση Ανασκόπηση Πιθανότητας Το Πλάτος Πιθανότητας Πείραμα διπλής οπής Κβαντικές καταστάσεις (ket) Ο δυίκός χώρος (bra) Σύνοψη Κβαντική Φυσική
Διαβάστε περισσότεραΘΕΜΑΤΑ ΚΒΑΝΤΙΚΗΣ ΙΙ. Θέμα 2. α) Σε ένα μονοδιάστατο πρόβλημα να δείξετε ότι ισχύει
ΘΕΜΑΤΑ ΚΒΑΝΤΙΚΗΣ ΙΙ Θέμα α) Δείξτε ότι οι διακριτές ιδιοτιμές της ενέργειας σε ένα μονοδιάστατο πρόβλημα δεν είναι εκφυλισμένες β) Με βάση το προηγούμενο ερώτημα να δείξετε ότι μπορούμε να διαλέξουμε τις
Διαβάστε περισσότεραΤι Πρέπει να Γνωρίζω
Τι Πρέπει να Γνωρίζω Σταύρος Κ. Φαράντος Τµήµα Χηµείας, Πανεπιστήµιο Κρήτης, και Ινστιτούτο Ηλεκτρονικής οµής και Λέιζερ, Ιδρυµα Τεχνολογίας και Ερευνας, Ηράκλειο, Κρήτη http://tccc.iesl.forth.gr/education/local.html
Διαβάστε περισσότεραΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑ I Ενότητα 5 Μεταφορική και Ταλαντωτική Κίνηση Δημήτρης Κονταρίδης Αναπληρωτής Καθηγητής Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Χημικών Μηχανικών
ΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑ I Ενότητα 5 Μεταφορική και Ταλαντωτική Κίνηση Δημήτρης Κονταρίδης Αναπληρωτής Καθηγητής Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Χημικών Μηχανικών Ενδεικτική βιβλιογραφία 1. ATKINS, ΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑ P.W. Atkins,
Διαβάστε περισσότερακαι χρησιμοποιώντας τον τελεστή A r P αποδείξτε ότι για
ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ασκήσεις Κεφαλαίου IV Άσκηση 1: Σωματίδιο μάζας Μ κινείται στην περιφέρεια κύκλου ακτίνας R. Υπολογίστε τις επιτρεπόμενες τιμές της ενέργειας, τις αντίστοιχες κυματοσυναρτήσεις και τον εκφυλισμό.
Διαβάστε περισσότεραΗλεκτρομαγνητισμός - Οπτική - Σύγχρονη Φυσική Ενότητα: Σύγχρονη Φυσική
Ηλεκτρομαγνητισμός - Οπτική - Σύγχρονη Φυσική Ενότητα: Σύγχρονη Φυσική Βαρουτάς Δημήτρης Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών 7/4/014 Κβαντική μηχανική Κβαντική μηχανική Η θεωρία
Διαβάστε περισσότερα= k2 x Y = k 2 + kx 2 Y. = k2 y
1 Pìblhma 1 Εχουμε κατά τα γνωστά 2 + k 2 )ψ =0, όπου k 2 = 2mE Με την αντικατάσταση ψ = Xx)Y y), έχουμε ) 2 x 2 + 2 y 2 + k2 XY =0 X Y +XY +k 2 XY =0 X X + Y Y και εν συνεχεία = k2 X X = k2 Y Y = k2 x
Διαβάστε περισσότεραΚβαντομηχανική Ι Λύσεις προόδου. Άσκηση 1
Κβαντομηχανική Ι Λύσεις προόδου Άσκηση 1 ψ(x) = A Sin (k x), < x < α) Sin (k x) = eikx e ikx i Mε πιθανές τιμές ορμής p = ± ħk, από τον τύπο του De Broglie. Kαθεμιά έχει πιθανότητα 50%. b) p = ψ p ψ =
Διαβάστε περισσότεραΗ Ψ = Ε Ψ. Ψ = f(x, y, z, t, λ)
Κυματική εξίσωση του Schrödinger (196) Η Ψ = Ε Ψ Η: τελεστής Hamilton (Hamiltonian operator) εκτέλεση μαθηματικών πράξεων επί της κυματοσυνάρτησης Ψ. Ε: ολική ενέργεια των ηλεκτρονίων δυναμική ενέργεια
Διαβάστε περισσότεραETY-202 ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΗΣ ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 02. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ. Στέλιος Τζωρτζάκης 1/11/2013
stzortz@iesl.forth.gr 1396; office Δ013 ΙΤΕ 2 ΎΛΗ & ΦΩΣ 02. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΗΣ ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ Στέλιος Τζωρτζάκης 1 3 4 Ο διανυσματικός χώρος των φυσικών καταστάσεων Η έννοια
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 2. Ο κυματοσωματιδιακός δυισμός της ύλης
ΤΕΤΥ Σύγχρονη Φυσική Κεφ. 2-1 Κεφάλαιο 2. Ο κυματοσωματιδιακός δυισμός της ύλης Εδάφια: 2.a. Η σύσταση των ατόμων 2.b. Ατομικά φάσματα 2.c. Η Θεωρία του Bohr 2.d. Η κυματική συμπεριφορά των σωμάτων: Υλικά
Διαβάστε περισσότεραΚβαντομηχανική σε μία διάσταση
vrsy of Io Dr of Mrls Scc & grg Couol Mrls Scc κή Θεωρία της Ύλης ιδάσκων: Λευτέρης Λοιδωρίκης Π 76 ldor@cc.uo.gr csl.rls.uo.gr/ldor σταση Μία ιάσ ανική σε Μ κή Θεωρ ρία της Ύλης: Κβα αντομηχα Κβαντομηχανική
Διαβάστε περισσότεραΔιάλεξη 2: Κεντρικά Δυναμικά. Αναζητούμε λύσεις της χρονοανεξάρτητης εξίσωσης Schrödinger για κεντρικά δυναμικά
Διάλεξη : Κεντρικά Δυναμικά Αναζητούμε λύσεις της χρονοανεξάρτητης εξίσωσης Schöing για κεντρικά δυναμικά Μ. Μπενής. Διαλέξεις Μαθήματος Σύγχρονης Φυσικής ΙΙ. Ιωάννινα 03 Κεντρικά δυναμικά Εξάρτηση δυναμικού
Διαβάστε περισσότεραΚβαντομηχανική ή κυματομηχανική
Κβαντομηχανική ή κυματομηχανική Ποια ήταν τα αναπάντητα ερωτήματα της θεωρίας του Bohr; 1. Φάσματα πολυηλεκτρονικών ατόμων 2. Κυκλικές τροχιές 3. Γιατί η ενέργεια του e είναι κβαντισμένη; Κβαντομηχανική
Διαβάστε περισσότεραΣΕΜΦΕ ΕΜΠ Φυσική ΙΙΙ (Κυματική) Διαγώνισμα επί πτυχίω εξέτασης 02/06/2017 1
ΣΕΜΦΕ ΕΜΠ Φυσική ΙΙΙ (Κυματική) Διαγώνισμα επί πτυχίω εξέτασης /6/7 Διάρκεια ώρες. Θέμα. Θεωρηστε ενα συστημα δυο σωματων ισων μαζων (μαζας Μ το καθενα) και δυο ελατηριων (χωρις μαζα) με σταθερες ελατηριων
Διαβάστε περισσότεραΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι (Τµήµα Α. Λαχανά) 1 Φεβρουαρίου 2010
ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Τµήµα Α Λαχανά) Φεβρουαρίου ΘΕΜΑ : Θεωρήστε τις δύο περιπτώσεις όπου η κυµατική συνάρτηση ψx) που περιγράφει µονοδιάστατη κίνηση σωµατιδίου σε απειρόβαθο πηγάδι δυναµικού µε τα τοιχώµατα
Διαβάστε περισσότεραΚβαντομηχανική Ι 1o Σετ Ασκήσεων. Άσκηση 1
Χειμερινό εξάμηνο 16-17 Κβαντομηχανική Ι 1o Σετ Ασκήσεων ) ψ(x) dx Άσκηση 1 ψ ο (x) = Α (α x ), < x < = A (α x ) dx = 1 (α x ) dx = (α 4 x + x 4 )dx = α 4 dx x dx = 5 45 3 A ( 5 45 + 5 3 5 + x 4 dx + 5
Διαβάστε περισσότεραPLANCK 1900 Προκειμένου να εξηγήσει την ακτινοβολία του μέλανος σώματος αναγκάστηκε να υποθέσει ότι η ακτινοβολία εκπέμπεται σε κβάντα ενέργειας που
ΑΤΟΜΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ PLANCK 1900 Προκειμένου να εξηγήσει την ακτινοβολία του μέλανος σώματος αναγκάστηκε να υποθέσει ότι η ακτινοβολία εκπέμπεται σε κβάντα ενέργειας που είναι ανάλογα με τη συχνότητα (f). PLANCK
Διαβάστε περισσότερα. Να βρεθεί η Ψ(x,t).
ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ασκήσεις Κεφαλαίου II Άσκηση 1: Εάν η κυματοσυνάρτηση Ψ(,0) παριστάνει ένα ελεύθερο σωματίδιο, με μάζα m, στη μία διάσταση την χρονική στιγμή t=0: (,0) N ep( ), όπου N 1/ 4. Να βρεθεί η
Διαβάστε περισσότεραΆσκηση 1. h 2 B = 1 + A = Για τις περιοχές A : x < 0, B : x > 0 η εξίσωση Schroedinger θα έχει τη μορφή της ελεύθερης εξίσωσης, αφού V(x) = 0:
Άσκηση 1 Για τις περιοχές A : x < 0, B : x > 0 η εξίσωση Schroediger θα έχει τη μορφή της ελεύθερης εξίσωσης, αφού Vx = 0: Ψ A + κ Ψ A = 0 Ψ B + κ Ψ B = 0 Για το σημείο x = 0 η εξίσωση Schroediger θα είναι:
Διαβάστε περισσότεραPLANCK 1900 Προκειμένου να εξηγήσει την ακτινοβολία του μέλανος σώματος αναγκάστηκε να υποθέσει ότι η ακτινοβολία εκπέμπεται σε κβάντα ενέργειας που
ΑΤΟΜΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ PLANCK 1900 Προκειμένου να εξηγήσει την ακτινοβολία του μέλανος σώματος αναγκάστηκε να υποθέσει ότι η ακτινοβολία εκπέμπεται σε κβάντα ενέργειας που είναι ανάλογα με τη συχνότητα (f). PLANCK
Διαβάστε περισσότεραΥλικά κύματα. Οδηγούντα κύματα de Broglie. Τα όρια της θεωρίας Bohr. h pc p
University of Ioannina Deartment of Materials Science & Engineering Comutational Materials Science τική Θεωρία της Ύλης ιδάσκων: Λευτέρης Λοιδωρίκης Π1, 7146, elidorik@cc.uoi.gr cmsl.materials.uoi.gr/elidorik
Διαβάστε περισσότεραΔομή Διάλεξης. Εύρεση ακτινικού μέρους εξίσωσης Schrödinger. Εφαρμογή σε σφαιρικό πηγάδι δυναμικού απείρου βάθους. Εφαρμογή σε άτομο υδρογόνου
Κεντρικά Δυναμικά Δομή Διάλεξης Εύρεση ακτινικού μέρους εξίσωσης Schrödinger Εφαρμογή σε σφαιρικό πηγάδι δυναμικού απείρου βάθους Εφαρμογή σε άτομο υδρογόνου Ακτινική Συνιστώσα Ορμής Έστω Χαμιλτονιανή
Διαβάστε περισσότεραΔιάλεξη 1: Κβαντομηχανική σε τρεις διαστάσεις
Διάλεξη : Κβαντομηχανική σε τρεις διαστάσεις Βασικές Αρχές της Κβαντομηχανικής H κατάσταση ενός φυσικού συστήματος περιγράφεται από την κυματοσυνάρτησή του και αποτελεί το πλάτος πιθανότητας να βρεθεί
Διαβάστε περισσότεραΗ Αναπαράσταση της Θέσης (Position Representation)
Η Αναπαράσταση της Θέσης (Position Representation) Δομή Διάλεξης Το παρατηρήσιμο μέγεθος της θεσης και τα αντίστοιχα πλάτη πιθανότητας (συνεχές φάσμα ιδιοτιμών και ιδιοκαταστάσεων) Οι τελεστές της θέσης
Διαβάστε περισσότεραΚβαντική Φυσική Ι. Ενότητα 27: Γενική μελέτη κβαντικών συστημάτων δύο και τριών διαστάσεων. Ανδρέας Τερζής Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής
Κβαντική Φυσική Ι Ενότητα 27: Γενική μελέτη κβαντικών συστημάτων δύο και τριών διαστάσεων Ανδρέας Τερζής Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής Σκοποί ενότητας Σκοπός της ενότητας είναι να παρουσιάσει την
Διαβάστε περισσότεραΚβαντομηχανική Ι 2o Σετ Ασκήσεων. Άσκηση 1
Κβαντομηχανική Ι 2o Σετ Ασκήσεων Άσκηση 1 Ξεκινάμε με την περίπτωση Ε
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 1. Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς
Κεφάλαιο 1 Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς 2 Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς 1.1 Κίνηση σε κεντρικά δυναµικά 1.1.1 Κλασική περιγραφή Η Χαµιλτωνιανή κλασικού συστήµατος που κινείται
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο Σ3. Κβαντική Μηχανική Τμήμα Μηχανικών Βιοϊατρικής / Πανεπιστήμιο Δυτικής Αττικής
Κεφάλαιο Σ3 Κβαντική Μηχανική Τμήμα Μηχανικών Βιοϊατρικής / Πανεπιστήμιο Δυτικής Αττικής Εικόνα τροχιακών Υδρογόνου μέσω Κβαντικού Μικροσκοπίου http://i.imgur.com/tgpfjrf.jpg Κβαντική μηχανική Η θεωρία
Διαβάστε περισσότεραΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Τελική Εξέταση: 30 Αυγούστου 2010 ( ιδάσκων: Α.Φ. Τερζής) ιάρκεια εξέτασης 2,5 ώρες.
ΘΕΜΑ [5575] ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Τελική Εξέταση: 3 Αυγούστου ( ιδάσκων: ΑΦ Τερζής) ιάρκεια εξέτασης,5 ώρες (α) Να αποδειχθεί ότι για οποιοδήποτε µη εξαρτώµενο από τον χρόνο τελεστή Α, ισχύει d A / dt = A,
Διαβάστε περισσότεραΑΝΩΤΑΤΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΕ
ΑΝΩΤΑΤΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΕ Πτυχιακή εργασία ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΙΔΙΟΤΙΜΩΝ ΤΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΤΟΥ SCHRÖDINGER ΙΩΑΝΝΗΣ ΠΟΝΤΙΚΗΣ ΗΡΑΚΛΕΙΟ
Διαβάστε περισσότεραΚβαντική Φυσική Ι. Ενότητα 29: Το άτομο του υδρογόνου. Ανδρέας Τερζής Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής
Κβαντική Φυσική Ι Ενότητα 29: Το άτομο του υδρογόνου Ανδρέας Τερζής Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής Σκοποί ενότητας Σκοπός της ενότητας είναι να δώσει μια πλήρη μαθηματική- κβαντομηχανική μελέτη
Διαβάστε περισσότεραΚβαντική Φυσική Ι. Ενότητα 5: Κυματομηχανική. Ανδρέας Τερζής Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής
Κβαντική Φυσική Ι Ενότητα 5: Κυματομηχανική Ανδρέας Τερζής Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής Σκοπός ενότητας Σκοπός της ενότητας είναι η ερμηνεία της κυματοσυνάρτησης, δηλαδή της λύσης της εξίσωσης
Διαβάστε περισσότεραΜάθημα 6 α) β-διάσπαση β) Χαρακτηριστικά πυρήνων, πέρα από μέγεθος και μάζα
Στοιχεία Πυρηνικής Φυσικής και Στοιχειωδών Σωματιδίων (5ου εξαμήνου, χειμερινό 2011-12) Τμήμα G3: Κ. Κορδάς & Χ. Πετρίδου Μάθημα 6 α) β-διάσπαση β) Χαρακτηριστικά πυρήνων, πέρα από μέγεθος και μάζα Κώστας
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 38 Κβαντική Μηχανική
Κεφάλαιο 38 Κβαντική Μηχανική Περιεχόμενα Κεφαλαίου 38 Κβαντική Μηχανική Μια καινούργια Θεωρία Η κυματοσυνάρτηση και η εξήγησή της. Το πείραμα της διπλής σχισμής. Η αρχή της αβεβαιότητας του Heisenberg.
Διαβάστε περισσότεραΣυνεχές Φάσµα - Συνάρτηση δέλτα (Dirac)
Συνεχές ϕάσµα Συνεχές Φάσµα - Συνάρτηση δέλτα (Dirac) Στην κβαντική µηχανική τα ϕυσικά µεγέθη παρίστανται µε αυτοσυζυγείς τελεστές. Για έναν αυτοσυζυγή τελεστή ˆΩ = ˆΩ είναι γνωστό ότι οι ιδιοτιµές του
Διαβάστε περισσότεραΚΒΑΝΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ (ΚΕΦΑΛΑΙΟ 39 +)
ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ (ΚΕΦΑΛΑΙΟ 39 +) Σταύρος Κ. Φαράντος Τµήµα Χηµείας, Πανεπιστήµιο Κρήτης, και Ινστιτούτο Ηλεκτρονικής οµής και Λέιζερ, Ιδρυµα Τεχνολογίας και Ερευνας, Ηράκλειο, Κρήτη http://tccc.iesl.forth.gr/education/local.html
Διαβάστε περισσότεραΜΙΓΑΔΙΚΟ ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΓΕΝΙΚΑ. Έστω σωμάτιο, στις τρεις διαστάσεις, που βρίσκεται υπό την επίδραση μιγαδικού δυναμικού της μορφής
ΜΙΓΑΔΙΚΟ ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΓΕΝΙΚΑ Έστω σωμάτιο, στις τρεις διαστάσεις, που βρίσκεται υπό την επίδραση μιγαδικού δυναμικού της μορφής Re Im V r V r i V r, όπου οι συναρτήσεις Re,Im V r V r είναι πραγματικές συναρτήσεις
Διαβάστε περισσότεραΜάθημα 7 & 8 Κβαντικοί αριθμοί και ομοτιμία (parity) ουσιαστικά σημεία με βάση το άτομο του υδρογόνου ΔΕΝ είναι προς εξέταση
Στοιχεία Πυρηνικής Φυσικής και Στοιχειωδών Σωματιδίων (5ου εξαμήνου, χειμερινό 2017-18) Τμήμα T2: Κ. Κορδάς & Δ. Σαμψωνίδης Μάθημα 7 & 8 Κβαντικοί αριθμοί και ομοτιμία (parity) ουσιαστικά σημεία με βάση
Διαβάστε περισσότεραΙΑΤΡΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ eclass: MED808 Π. Παπαγιάννης
ΙΑΤΡΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ eclass: MED808 Π. Παπαγιάννης Επικ. Καθηγητής, Εργαστήριο Ιατρικής Φυσικής, Ιατρική Σχολή Αθηνών. Γραφείο 21 210-746 2442 ppapagi@phys.uoa.gr Τις προσεχείς ώρες θα συζητήσουμε τα πέντε πρώτα
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή σε προχωρημένες μεθόδους υπολογισμού στην Επιστήμη των Υλικών
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Εισαγωγή σε προχωρημένες μεθόδους υπολογισμού στην Επιστήμη των Υλικών Βασικά σημεία της κβαντομηχανικής Διδάσκων : Επίκουρη Καθηγήτρια Χριστίνα Λέκκα
Διαβάστε περισσότεραETY-202. Ο γενικός φορμαλισμός Dirac ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 05. Ο ΓΕΝΙΚΟΣ ΦΟΡΜΑΛΙΣΜΟΣ DIRAC. Στέλιος Τζωρτζάκης 21/11/2013
stzortz@iesl.forth.gr 1396; office Δ013 ΙΤΕ 2 ΎΛΗ & ΦΩΣ 05. Ο ΓΕΝΙΚΟΣ ΦΟΡΜΑΛΙΣΜΟΣ DIRAC Στέλιος Τζωρτζάκης Ο γενικός φορμαλισμός Dirac 1 3 4 Εικόνες και αναπαραστάσεις Επίσης μια πολύ χρήσιμη ιδιότητα
Διαβάστε περισσότεραΣτην πράξη βρίσκουμε το Ν Α [το P (A)] όχι με παρατηρήσεις, αλλά με τη χρήση της λογικής (π.χ. ζάρι) ή της Φυσικής (π.χ. όγκος)
Αν σε σύστημα που διατηρείται σε σταθερές συνθήκες κάνουμε Ν παρατηρήσεις και από αυτές στις Ν Α παρατηρήθηκε το γεγονός Α, τότε λέμε ότι η πιθανότητα να συμβεί αυτό το γεγονός δίνεται από τη σχέση: P
Διαβάστε περισσότεραΚβαντομηχανική σε. τρεις διαστάσεις. Εξίσωση Schrödinger σε 3D. Τελεστές 2 )
vs of Io vs of Io D of Ms Scc & gg Couo Ms Scc ική Θεωλης ική Θεωλης ιδάσκων: Λευτέρης Λοιδωρίκης Π 746 dok@cc.uo.g cs.s.uo.g/dok ομηχ ομηχ δ ά τρεις διαστ Εξίσωση Schödg σε D Σε μία διάσταση Σε τρείς
Διαβάστε περισσότεραΑτομική Φυσική. Η Φυσική των ηλεκτρονίων και των ηλεκτρομαγνητικών δυνάμεων.
Ατομική Φυσική Η Φυσική των ηλεκτρονίων και των ηλεκτρομαγνητικών δυνάμεων. Μικρόκοσμος Κβαντική Φυσική Σωματιδιακή φύση του φωτός (γενικότερα της ακτινοβολίας) Κυματική φύση των ηλεκτρονίων (γενικότερα
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Σύγxρονη Φυσική II. Κεντρικά Δυναμικά Διδάσκων : Επίκ. Καθ. Μ. Μπενής
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Σύγxρονη Φυσική II Κεντρικά Δυναμικά Διδάσκων : Επίκ. Καθ. Μ. Μπενής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Ceative Coons.
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΦΥΕ ΕΝ ΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ 5 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ. Προθεσµία παράδοσης 6/5/08
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΦΥΕ 7-8 ΕΝ ΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ 5 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ Προθεσµία παράδοσης 6/5/8 5//8 Άσκηση Α) Από τον νόµο µετατόπισης του Wien (σχέση (.6) σελ. 5 του βιβλίου των Serwy-Moses-Moyer) έχουµε
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Κβαντική Θεωρία ΙΙ. Κεντρικά Δυναμικά Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Κβαντική Θεωρία ΙΙ Κεντρικά Δυναμικά Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative
Διαβάστε περισσότεραΘεωρητική μηχανική ΙΙ
ΟΣΑ ΓΡΑΦΟΝΤΑΙ ΕΔΩ ΝΑ ΤΑ ΔΙΑΒΑΖΕΤΕ ΜΕ ΣΚΕΠΤΙΚΟ ΒΛΕΜΜΑ. ΜΠΟΡΕΙ ΝΑ ΠΕΡΙΕΧΟΥΝ ΛΑΘΗ. Θεωρητική μηχανική ΙΙ Να δειχθεί ότι αν L x, L y αποτελούν ολοκληρώματα της κίνησης τότε και η L z αποτελεί ολοκλήρωμα της
Διαβάστε περισσότεραΚβαντική Φυσική Ι. Ενότητα 22: Η έννοια της σκέδασης και η εξίσωση συνέχειας στην Κβαντομηχανική. Ανδρέας Τερζής Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής
Κβαντική Φυσική Ι Ενότητα 22: Η έννοια της σκέδασης και η εξίσωση συνέχειας στην Κβαντομηχανική Ανδρέας Τερζής Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής Σκοποί ενότητας Σκοπός της ενότητας είναι να παραθέσει
Διαβάστε περισσότεραL = T V = 1 2 (ṙ2 + r 2 φ2 + ż 2 ) U (3)
ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΑΣΤΡΟΔΥΝΑΜΙΚΗ 3): Κινήσεις αστέρων σε αστρικά συστήματα Βασικές έννοιες Θεωρούμε αστρικό σύστημα π.χ. γαλαξία ή αστρικό σμήνος) αποτελούμενο από μεγάλο αριθμό αστέρων της τάξης των 10 8 10
Διαβάστε περισσότερα3. Το πρότυπο του Bohr εξήγησε το ότι το φάσμα της ακτινοβολίας που εκπέμπει το αέριο υδρογόνο, είναι γραμμικό.
ΧΗΜΕΙΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΕΡΓΑΣΙΑ 16 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ-ΠΡΟΤΥΠΟ BOHR ΟΜΑΔΑ Α Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις ως Σωστές ή Λάθος και να αιτιολογήσετε αυτές που είναι λάθος : 1.
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στη Φυσική Στοιχειωδών Σωματιδίων. 5 ο Εξάμηνο Δεκέμβριος 2009
Εισαγωγή στη Φυσική Στοιχειωδών Σωματιδίων 5 ο Εξάμηνο Δεκέμβριος 2009 Νόμοι Διατήρησης κβαντικών αριθμών Αρχές Αναλλοίωτου Συμμετρία ή αναλλοίωτο των εξισώσεων που περιγράφουν σύστημα σωματιδίων κάτω
Διαβάστε περισσότεραΛύσεις Θεµάτων - Κβαντοµηχανική ΙΙ (Τµήµα Α. Λαχανά) Ειδική Εξεταστική Περίοδος - 11ης Μαρτίου 2013
ΘΕΜΑ 1: ( 3 µονάδες ) Λύσεις Θεµάτων - Κβαντοµηχανική ΙΙ (Τµήµα Α. Λαχανά) Ειδική Εξεταστική Περίοδος - 11ης Μαρτίου 2013 Ηλεκτρόνιο κινείται επάνω από µία αδιαπέραστη και αγώγιµη γειωµένη επιφάνεια που
Διαβάστε περισσότεραΧρησιμοποιείστε την πληροφορία αυτή για να δείξετε ότι ο τελεστής που θα μεταφέρει το άνυσμα
Άσκηση. (Βοήθημα θεωρίας) Εάν ένα κλασικό άνυσμα r μετατοπισθεί κατά a, θα προκύψει το άνυσμα r = r + a. a Χρησιμοποιείστε την πληροφορία αυτή για να δείξετε ότι ο τελεστής που θα μεταφέρει το άνυσμα r
Διαβάστε περισσότεραΧημεία Γ Λυκείου Θετικής Κατεύθυνσης
Χημεία Γ Λυκείου Θετικής Κατεύθυνσης Κεφάλαιο 1 Ηλεκτρονιακή δομή των ατόμων 1 Εισαγωγή Δομή του ατόμου Δημόκριτος Αριστοτέλης Dalton Thomson 400 π.χ. 350π.χ. 1808 1897 Απειροελάχιστα τεμάχια ύλης (τα
Διαβάστε περισσότεραΜοντέρνα Φυσική. Κβαντική Θεωρία. Ατομική Φυσική. Μοριακή Φυσική. Πυρηνική Φυσική. Φασματοσκοπία
Μοντέρνα Φυσική Κβαντική Θεωρία Ατομική Φυσική Μοριακή Φυσική Πυρηνική Φυσική Φασματοσκοπία ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ Φωτόνια: ενέργεια E = hf = hc/λ (όπου h = σταθερά Planck) Κυματική φύση των σωματιδίων της ύλης:
Διαβάστε περισσότεραΕΓΚΑΡΣΙΑ ΗΠΙΑ ΔΙΑΤΑΡΑΧΗ ΣΕ ΤΕΝΤΩΜΕΝΗ ΕΛΑΣΤΙΚΗ ΧΟΡΔΗ ΔΙΑΔΙΔΕΤΑΙ ΩΣ ΚΥΜΑ;
ΕΓΚΑΡΣΙΑ ΗΠΙΑ ΔΙΑΤΑΡΑΧΗ ΣΕ ΤΕΝΤΩΜΕΝΗ ΕΛΑΣΤΙΚΗ ΧΟΡΔΗ ΔΙΑΔΙΔΕΤΑΙ ΩΣ ΚΥΜΑ; K. EYTAΞΙΑΣ H KYMATIKH EΞΙΣΩΣΗ ΚΑΘΕ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΤΗΣ ΜΟΡΦΗΣ y, f y, g ΠΕΡΙΓΡΑΦΕΙ ΜΙΑ ΔΙΑΤΑΡΑΧΗ ΠΟΥ ΟΔΕΥΕΙ ΠΡΟΣ ΤΑ ΔΕΞΙΑ / AΡΙΣΤΕΡΑ ΑΝΑΛΛΟΙΩΤΗ
Διαβάστε περισσότεραΑτομική και Μοριακή Φυσική
Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Ατομική και Μοριακή Φυσική Εισαγωγή στην Κβαντομηχανική Λιαροκάπης Ευθύμιος Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται
Διαβάστε περισσότεραΗ κυματοσυνάρτηση στην αναπαράσταση ορμής Ασκήσεις. Σπύρος Κωνσταντογιάννης Φυσικός, M.Sc. 8 Δεκεμβρίου 2017
Η κυματοσυνάρτηση στην αναπαράσταση ορμής Ασκήσεις Σπύρος Κωνσταντογιάννης Φυσικός, M.Sc. siroskonstantogiannis@gmail.com 8 Δεκεμβρίου 7 8//7 Coyrigt Σπύρος Κωνσταντογιάννης, 7. Με επιφύλαξη παντός δικαιώματος.
Διαβάστε περισσότεραψ (x) = e γ x A 3 x < a b / 2 A 2 cos(kx) B 2 b / 2 < x < b / 2 sin(kx) cosh(γ x) A 1 sin(kx) a b / 2 < x < b / 2 cos(kx) + B 2 e γ x x > a + b / 2
Σπουδές στις Φυσικές Επιστήµες ΦΥΕ 40 Κβαντική Φυσική 014-015 ΕΡΓΑΣΙΑ 3 η Υπόδειξη λύσεων ΑΣΚΗΣΗ 1 Η άρτια κυµατοσυνάρτηση θα δίνεται από (x) = A 3 e γ x x < a b / A cos(kx) B sin(kx) a b / < x < b / A
Διαβάστε περισσότεραSpin του πυρήνα Μαγνητική διπολική ροπή Ηλεκτρική τετραπολική ροπή. Τάσος Λιόλιος Μάθημα Πυρηνικής Φυσικής
Spin του πυρήνα Μαγνητική διπολική ροπή Ηλεκτρική τετραπολική ροπή Τάσος Λιόλιος Μάθημα Πυρηνικής Φυσικής Εξάρτηση του πυρηνικού δυναμικού από άλλους παράγοντες (πλην της απόστασης) Η συνάρτηση του δυναμικού
Διαβάστε περισσότεραΚΒΑΝΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ (ΚΕΦΑΛΑΙΟ 38 +)
ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ (ΚΕΦΑΛΑΙΟ 38 +) Σταύρος Κ. Φαράντος Τµήµα Χηµείας, Πανεπιστήµιο Κρήτης, και Ινστιτούτο Ηλεκτρονικής οµής και Λέιζερ, Ιδρυµα Τεχνολογίας και Ερευνας, Ηράκλειο, Κρήτη http://tccc.iesl.forth.gr/education/local.html
Διαβάστε περισσότεραΦΩΤΙΟΣ ΚΑΣΟΛΗΣ. PhD Εφαρμοσμένων Μαθηματικών MSc Μαθηματικής Φυσικής. ΔΙΑΛΕΞΕΙΣ Κβαντομηχανικής
ΦΩΤΙΟΣ ΚΑΣΟΛΗΣ PhD Εφαρμοσμένων Μαθηματικών MSc Μαθηματικής Φυσικής ΔΙΑΛΕΞΕΙΣ Κβαντομηχανικής ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ 216 Ε Ν Ο Τ Η Τ Α 1 Στοιχεία συναρτησιακής ανάλυσης Βασικοί ορισμοί Το σύνολο C των μιγαδικών αριθμών
Διαβάστε περισσότεραΠοια απο τις παρακάτω είναι η σωστή µορφή του πραγµατικού µέρους της κυµατοσυνάρτησης του
Τίτλος: Κυµατοσυνάρτηση-Φράγµα δυναµικού Χρόνος: min. Σωµάτιο προσπίπτει απο αριστερά στο παρακάτω φράγµα δυναµικού. Ποια απο τις παρακάτω είναι η σωστή µορφή του πραγµατικού µέρους της κυµατοσυνάρτησης
Διαβάστε περισσότεραfysikoblog.blogspot.com
fysikobog.bogspot.co Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Φυσικής Κβαντομηχανική ΙI Α. Καρανίκας και Π. Σφήκας Σημειώσεις ΙΙΙ: Σφαιρικές Αρμονικές Στις σημειώσεις αυτές δίνομε την αναπαράσταση των ιδιοανυσμάτων της
Διαβάστε περισσότεραΑπαντησεις στις ερωτησεις της εξετασης της 24 ης Ιουνιου 2005
ΑΤΜΟΦ Απαντησεις στις ερωτησεις της εξετασης της 4 ης Ιουνιου 005. Ερωτηση που αφορα στις ασκησεις του εργαστηριου. Α) Με βάση τη σχέση που συνδέει τις αποστάσεις α και b με την εστιακή απόσταση του σφαιρικού
Διαβάστε περισσότεραΚΒΑΝΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ - Κεφάλαιο 4
ιαλέξεις Κβαντικής Μηχανικής ΙΙ - Κεφάλαιο 4 Α. Λαχανας 1/ 45 ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ - Κεφάλαιο 4 Α. Λαχανάς ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ, Τµήµα Φυσικής Τοµέας Πυρηνικής Φυσικής & Στοιχειωδών Σωµατιδίων ακαδηµαικό
Διαβάστε περισσότεραΜάθημα 7ο. Υλοκύματα Και Η Σύγχρονη Ατομική Θεωρία
Μάθημα 7ο Υλοκύματα Και Η Σύγχρονη Ατομική Θεωρία h m U(x,y,z, t) ih t (x, y,z,t) (x, y,z)e iet / h H E Γενική & Ανόργανη Χημεία 06-7 Ewin Schöinge Η ανεξάρτητη από τον χρόνο εξίσωση Schöinge U m H E E
Διαβάστε περισσότεραΑρχίζουµε µε την µη συµµετρική µορφή του απειρόβαθου κβαντικού πηγαδιού δυναµικού, το οποίο εκτείνεται από 0 έως L.
Πρόβληµα ΑπειρόβαθοΚβαντικόΠηγάδια(ΑΚΠα) Να µελετηθεί το απειρόβαθο κβαντικό πηγάδι µε θετικές ενεργειακές καταστάσεις ( E > ). Αρχίζουµε µε την µη συµµετρική µορφή του απειρόβαθου κβαντικού πηγαδιού δυναµικού
Διαβάστε περισσότεραΘεωρητική μηχανική ΙΙ
ΟΣΑ ΓΡΑΦΟΝΤΑΙ ΕΔΩ ΝΑ ΤΑ ΔΙΑΒΑΖΕΤΕ ΜΕ ΣΚΕΠΤΙΚΟ ΒΛΕΜΜΑ. ΜΠΟΡΕΙ ΝΑ ΠΕΡΙΕΧΟΥΝ ΛΑΘΗ. Θεωρητική μηχανική ΙΙ Να δειχθεί ότι αν L x, L y αποτελούν ολοκληρώματα της κίνησης τότε και η L z αποτελεί ολοκλήρωμα της
Διαβάστε περισσότεραΚβαντομηχανική εικόνα του ατομικού μοντέλου
Κβαντομηχανική εικόνα του ατομικού μοντέλου 1. Ερώτηση: Τι είναι η κβαντομηχανική; H κβαντομηχανική, είναι η σύγχρονη αντίληψη μιας νέας μηχανικής που μπορεί να εφαρμοστεί στο μικρόκοσμο του ατόμου. Σήμερα
Διαβάστε περισσότεραKATANOMEΣ- ΚΑΤΑΝΟΜΗ MAXWELL ΘΕΩΡΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 693 946778 KATANOMEΣ- ΚΑΤΑΝΟΜΗ MAXWELL ΘΕΩΡΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ Περιεχόμενα 1. Στατιστικές Συλλογές. Κατανομή Gibbs 3. Από την Κατανομή Gibbs στις Κατανομές Maxwell
Διαβάστε περισσότεραυναµικό Coulomb - Λύση της εξίσωσης του Schrödinger
4 υναµικό Coulomb - Λύση της εξίσωσης του Schrödinger 4.1 Κλασσική µηχανική - το πρόβληµα των δύο σωµάτων Θεωρούµε την αλληλεπίδραση ενός ηλεκτρονίου µε µάζα m e και ϕορτίο q e = e µε έναν πυρήνα µε ϕορτίο
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 1. Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς
Κεφάλαιο 1 Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς 2 Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς 1.1 Ο Μονοδιάστατος Γραµµικός Αρµονικός Ταλαντωτής 1.1.1 Εύρεση των ιδιοτοµών και ιδιοσυναρτήσεων
Διαβάστε περισσότεραΑτομική δομή. Το άτομο του υδρογόνου Σφαιρικά συμμετρικές λύσεις ψ = ψ(r) Εξίσωση Schrodinger (σφαιρικές συντεταγμένες) ħ2. Εξίσωση Schrodinger (1D)
Ατομική δομή Το άτομο του υδρογόνου Σφαιρικά συμμετρικές λύσεις ψ = ψ(r) Εξίσωση Schrodinger (1D) Εξίσωση Schrodinger (σφαιρικές συντεταγμένες) ħ2 2m 2 ψ + V r ψ = Εψ Τελεστής Λαπλασιανής για σφαιρικές
Διαβάστε περισσότεραΚΒΑΝΤΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ Ι Τελική (επί πτυχίω) Εξέταση: 17 Ιούνη 2013 ( ιδάσκων: Α.Φ. Τερζής) ΘΕΜΑ 1[ ]
ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ Ι Τελική (επί πτυχίω Εξέταση: 17 Ιούνη 13 ( ιδάσκων: ΑΦ Τερζής ΘΕΜΑ 1[1515] Θεωρούµε κβαντικό σύστηµα που περιράφεται από την Χαµιλτονιανή, ε H 4ε 1 1 3i 1 1, µε 1, ιδιοσυναρτήσεις κάποιου
Διαβάστε περισσότεραΗλεκτρονική δομή ημιαγωγών-περίληψη. Σχέση διασποράς για ελεύθερα ηλεκτρόνια στα μέταλλα-
E. K. Παλούρα Οπτοηλεκτρονική_semis_summary.doc Ηλεκτρονική δομή ημιαγωγών-περίληψη Σχέση διασποράς για ελεύθερα ηλεκτρόνια στα μέταλλα- Η κυματοσυνάρτηση ψ(r) του ελεύθερου e είναι λύση της Schrödinger:
Διαβάστε περισσότεραΗ θεωρία του Bohr (Ατομικά φάσματα)
Η θεωρία του Bohr (Ατομικά φάσματα) Ποιο φάσμα χαρακτηρίζουμε ως συνεχές; Φωτεινή πηγή Σχισμή Πρίσμα Φωτογραφικό φιλμ Ερυθρό Ιώδες Φάσμα ορατού φωτός: πού αρχίζει και πού τελειώνει το πράσινο; Ποιο φάσμα
Διαβάστε περισσότεραΔομή Διάλεξης. Οι τελεστές της τροχιακής στροφορμής στην αναπαράσταση της θέσης. Τελεστές δημιουργίας και καταστροφής για ιδιοκαταστάσεις στροφορμής
Τροχιακή Στροφορμή Δομή Διάλεξης Οι τελεστές της τροχιακής στροφορμής στην αναπαράσταση της θέσης Τελεστές δημιουργίας και καταστροφής για ιδιοκαταστάσεις στροφορμής Ιδιοτιμές και ιδιοκαταστάσεις της L
Διαβάστε περισσότερα