Αρχίζουµε µε την µη συµµετρική µορφή του απειρόβαθου κβαντικού πηγαδιού δυναµικού, το οποίο εκτείνεται από 0 έως L.

Transcript

1 Πρόβληµα ΑπειρόβαθοΚβαντικόΠηγάδια(ΑΚΠα) Να µελετηθεί το απειρόβαθο κβαντικό πηγάδι µε θετικές ενεργειακές καταστάσεις ( E > ). Αρχίζουµε µε την µη συµµετρική µορφή του απειρόβαθου κβαντικού πηγαδιού δυναµικού το οποίο εκτείνεται από έως. Σχήµα ΑΚΠα.1 Σχηµατική αναπαράσταση του κβαντικού πηγαδιού µε δυναµικό της < > µορφής V( ) =. Αναζητούµε δέσµιες ενεργειακές καταστάσεις µε E >. Μεθοδολογία. Πρώτο στάδιο- ξισώσεις Schrödinger. Ξεκινάµε γράφοντας προσεκτικά τις εξισώσεις Schrödinger στις διάφορες περιοχές του δυναµικού. Στο παρόν δυναµικό έχουµε τρεις περιοχές. Τις περιοχές εκτός του πηγαδιού ( < > ) και την περιοχή µέσα στο πηγάδι ( < < ). Η γενική έκφραση για την εξίσωση Schrödinger είναι + V( ) ( ) = E( ). Για τις περιοχές εκτός του πηγαδιού η εξίσωση Schrödinger δεν m δίνει κάποιες πληροφορίες (ή έτσι φαίνεται µε µια γρήγορη µατιά). Αναµένουµε όµως (όπως και στην κλασική φυσική) να µην υπάρχει δυνατότητα παρουσίας του σωµατιδίου στις περιοχές αυτές. ηλαδή θα πρέπει η κυµατοσυνάρτηση να µηδενίζεται εκεί. Έχουµε λοιπόν ότι ( ) = για < > (µπορεί ο µηδενισµός της κυµατοσυνάρτησης να προκύει από το γεγονός ότι το δυναµικό απειρίζεται (V( ) ) για < > ). Στην περιοχή µέσα στο πηγάδι (V( ) = ) η εξίσωση Schrödinger γίνεται = E ( ). m εύτερο στάδιο- πίλυση εξισώσεων Schrödinger. Στο παρόν πρόβληµα ουσιαστικά έχουµε µία εξίσωση Schrödinger αυτή που περιγράφει την κυµατοσυνάρτηση στην περιοχή µέσα στο πηγάδι. d ( ) d ( ) me Η εξίσωση Schrödinger γράφεται = E( ) + ( ) = και καθώς m me αναζητούµε λύσεις µε θετικές ενέργειες η ποσότητα είναι θετική. Θέτουµε την ποσότητα αυτή ίση µε το τετράγωνο κάποιας νέας φυσικής ποσότητας (αυτή έχει διαστάσεις κυµατανύσµατος) δηλαδή

2 me d ( ) k και η εξίσωση Schrödinger γράφεται (θεωρία διαφορικών εξισώσεων) αλλά και από την φυσική (θεωρία περιοδικών φαινοµένων) γνωρίζουµε ότι η λύση της εξίσωσης αυτής είναι ( ) = Asink+ Bcosk + k ( ) =. Από τα µαθηµατικά ik ik ik ik e e e + e B ia ik B+ ia ik = A + B = e e i + ik ik = Ae + Be δηλαδή είναι ένας γραµµικός συνδυασµός λύσεων sin kcos k ή ισοδύναµα ένας συνδυασµός ik εκθετικών λύσεων ( e e ik ). Συνοριακές συνθήκες-λύση µε φυσική σηµασία. Στα σηµεία ασυνέχειας του δυναµικού εφαρµόζουµε τις συνθήκες συνέχειας της κυµατοσυνάρτησης και της παραγώγου της κυµατοσυνάρτησης. Οι συνθήκες αυτές είναι προφανείς καθώς σε διαφορετική περίπτωση δηλαδή στην περίπτωση που είχαµε ασυνέχεια της συνάρτησης ή της πρώτης παραγώγου δεν θα ορίζονταν η πρώτη και η δεύτερη παράγωγος της κυµατοσυνάρτησης αντίστοιχα (στην περίπτωση που η δεύτερη παράγωγος δεν ορίζεται ή αλλιώς είναι άπειρη δεν έχει νόηµα η εξίσωση Schrödinger). Από τις συνοριακές συνθήκες µπορούµε να βρούµε (α) τις δυνατές τιµές της παραµέτρου k (και ισοδύναµα της ενέργειας) και (β) για δεδοµένη ενέργεια τις τιµές των συντελεστών της κυµατοσυνάρτησης. Έτσι έχουµε από την συνθήκη συνέχεια της κυµατοσυνάρτησης στα σηµεία και ότι ( = ) = Asink+ Bcosk= B= και ( = ) = Asin k= sin k=. Στο απειρόβαθο κβαντικό πηγάδι δυναµικού δεν έχουµε καµία επιπλέον πληροφορία από την παράγωγο της κυµατοσυνάρτησης καθώς αφού η ασυνέχεια του δυναµικού είναι άπειρη η πρώτη παράγωγος δεν είναι συνεχής. me π Από την δεύτερη συνθήκη έχουµε sin k = k = nπ = nπ E = n όπου το m n είναι ένας ακέραιος αριθµός. Η τελευταία σχέση µας δίνει τις ιδιοκαταστάσεις της ενέργειας ενώ το n είναι ο κβαντικός αριθµός που π τις χαρακτηρίζει En = n. m Καθώς k = nπ έχουµε ( ) = Asink= Asin nπ /. Προφανώς αφού φυσική σηµασία έχει το γινόµενο * ( ) ( ) = ( ) οι αρνητικές τιµές του ακεραίου n δεν δίνουν διαφορετικές ισοσυναρτήσεις ούτε και διαφορετικές ιδιοενέργειες (βλέπε το n στην σχέση ιδιοτιµών της ενέργειας). Τέλος παρατηρούµε ότι και η µηδενική τιµή του n δίνει µηδενική κυµατοσυνάρτηση η οποία δεν είναι αποδεκτή (η αντίστοιχη πιθανότητα είναι παντού µηδέν). Έτσι οι δυνατές τιµές του n είναι 13...(θετική ακέραιοι). Νορµαλισµός. Για τον υπολογισµό του συντελεστή στην κυµατοσυνάρτηση χρησιµοποιούµε την συνθήκη νορµαλισµού. Συνθήκη η οποία εξασφαλίζει το γινόµενο σηµασία της πιθανότητας. Έχουµε από τον νορµαλισµό * ( ) ( ) = ( ) να έχει την φυσική * * ( ) ( ) = A Asin( nπ / )sin( nπ / ) = A sin ( nπ / ) = A /= 1 δηλαδή A = /.

3 i Η τελευταία σχέση εκτιµά ότι A= / e ϕ όπου ϕ είναι ένας οποιοδήποτε αριθµός (συνήθως ονοµάζεται φάση). Αν δεν υπάρχει κάποια επιπλέον πληροφορία για την φάση αυτή η κάποια πληροφορία για το κβαντικό σύστηµα που να µπορεί να χρησιµοποιηθεί για να βρεθεί η φάση θα την παραλείπουµε. Έτσι οι ιδιοσυναρτήσεις του απειρόβαθου πηγαδιού είναι ( ) sin nπ ( ) ( ) n = Θ Θ όπου n=1.(θετικός ακέραιος) και Θ ( ) είναι η συνάρτηση Heaviside γνωστή και ως συνάρτηση βήµατος ( Θ( ) = ). Οι συναρτήσεις βήµατος εξασφαλίζουν τον µηδενισµό των 1 > ιδιοσυναρτήσεων εκτός του πηγαδιού. Αρχίζουµε µε την συµµετρική µορφή του απειρόβαθου κβαντικού πηγαδιού δυναµικού το οποίο εκτείνεται από / έως /. -/ / Σχήµα ΑΚΠα. Σχηµατική αναπαράσταση του κβαντικού πηγαδιού µε δυναµικό της µορφής E >. > / V( ) =. Αναζητούµε δέσµιες ενεργειακές καταστάσεις µε / Α µέθοδος. Ξεκινάµε από την λύση που βρήκαµε στην µη συµµετρική περιγραφή του δυναµικού δηλαδή την ( ) sin nπ ( ) ( ) n = Θ Θ. Καθώς το δυναµικό της συµµετρικής µορφής (σχήµα ΑΚΠα.) µπορεί να προέρθει από την µετατόπιση του µη συµµετρικού δυναµικού (σχήµα ΑΚΠα.1) κατά / προς τα δεξιά αναµένουµε και η λύση να προέρχεται από µία ανάλογη µετατόπιση που ισοδυναµεί µε αντικατάσταση του µε το +/. Για να καταλάβουµε γιατί χρειάζεται η παραπάνω αντικατάσταση και όχι η -/ σκεφτόµαστε ως εξής. Έστω ότι έχουµε µια γνωστή απλή συνάρτηση για παράδειγµα την. Η συνάρτηση αυτή έχει ελάχιστο στο =. Τώρα αν µετατοπίσουµε τον άξονα προς τα δεξιά κατά το ελάχιστο της συνάρτησης παρατηρείται για = (κάντε ένα απλό σχήµα για να το καταλάβετε καλύτερα). Για να συµβαίνει αυτό θα πρέπει να γράουµε την συνάρτηση στο νέο σύστηµα ως ( + ).

4 Έτσι έχουµε για την κυµατοσυνάρτηση στο συµµετρικό δυναµικό nπ( + /) nπ nπ n( ) = sin Θ ( + /) Θ( /) = sin + Θ ( + /) Θ( / ) Η τελευταία σχέση γράφεται ισοδύναµα cos ( nπ / ) n= nπ nπ n( ) = sin + Θ ( + /) Θ( / ) =Θ ( + /) Θ( / ) sin ( nπ / ) n= 46.. ηλαδή έχουµε άρτιες λύσεις για περιττό n(π.χ. για n =1 έχουµε την θεµελιώδη κοκ) και περιττές λύσεις για άρτιο n(π.χ. για n = έχουµε την πρώτη διεγερµένη κοκ). Η συµπεριφορά αυτή των ιδιοσυναρτήσεων είναι αναµενόµενη καθώς έχουµε συµµετρικό δυναµικό. Β µέθοδος. Μπορούµε να εργαστούµε όπως στην µη συµµετρική µορφή του δυναµικού εφαρµόζοντας τις κατάλληλες συνοριακές συνθήκες. Έτσι έχουµε από την συνθήκη συνέχεια της κυµατοσυνάρτησης στα σηµεία / και / ότι ( = /) = Asin k/+ Bcos k/= και ( = /) = Asin k/+ Bcos k/=. Έχουµε ουσιαστικά ένα σύστηµα δύο εξισώσεων µε δύο αγνώστους sin k / cos k / A = sin k / cos k / B Το παραπάνω σύστηµα έχει µη µηδενική λύση όταν η ορίζουσα των συντελεστών είναι µηδέν δηλαδή sin / cos / det k k = sin k / cos k / sin k / cos k / = sin k = sin k / cos k /. Βρίσκουµε όπως αναµένουµε την ίδια συνθήκη για τις ιδιοενέργειες. Ακόµα από την πρώτη σχέση βρίσκουµε ότι B = Atan k/. Προσπαθήστε να αποδείξτε ότι από την σχέση αυτή βρίσκουµε τις ιδιοσυναρτήσεις που βρήκαµε στην Α µέθοδο (µη ξεχάσετε να κάνετε τις πράξεις και για το νορµαλισµό για να επιβεβαιώσετε ότι ο συντελεστής είναι ο ίδιος).

5 Πρόβληµα ΑπειρόβαθοΚβαντικόΠηγάδιβ(ΑΚΠβ) Για το κλασικό απειρόβαθο κβαντικό πηγάδι διερευνήστε την δυνατότητα ύπαρξης µη θετικών ενεργειών ( E ). Σχήµα ΑΚΠ5α.1 Σχηµατική αναπαράσταση του κβαντικού πηγαδιού µε δυναµικό της < > µορφής V( ) =. Αναζητούµε δέσµιες ενεργειακές καταστάσεις µε E. Μπορούµε να ξεκινήσουµε µε την µηδενική ενέργεια. Προφανώς η µηδενική ενέργεια πρακτικά συµπεριλαµβάνεται στην διερεύνηση των µη µηδενικών ενεργειών που γίνεται σε όλα τα εγχειρίδια κβαντοµηχανικής. Έτσι γνωρίζουµε ότι η δεν γίνεται για οποιαδήποτε γεωµετρικά στοιχεία του πηγαδιού να έχουµε µηδενική ενέργεια. Αλλά ας διερευνήσουµε την περίπτωση µηδενικής ενέργειας χρησιµοποιώντας την εξίσωση Schrödingerι. Έχουµε = ( E( = ) ( )) ( ) = A+B. m Από τις συνοριακές συνθήκες βρίσκουµε ( = ) = A + B= ( = ) = A= A=. ηλαδή η µοναδική λύση είναι η ( ) = η οποία προφανώς δεν είναι φυσικά αποδεκτή (πιθανότητα ηλεκτρονίου παντού µηδενική!). Προχωράµε στην διερεύνηση των αρνητικών ενεργειών. Από την εξίσωση Schrödinger έχουµε me γ γ = E( ) ( ) γ ( ) = ( ) = Ae + Be m φαρµόζουµε τώρα τις συνοριακές συνθήκες της κυµατοσυνάρτησης στα σηµεία και και της παραγώγου της στα υπόλοιπα σηµεία ασυνέχειας του δυναµικού. γ γ () = Ae + Be = B = A ( ) = Asinhγ Και ( ) = Asinhγ= γ= γ = ( E = ) ( ) = Πάλι µη αποδεκτή λύση (πυκνότητα πιθανότητας παντού µηδέν!).