Άσκηση 1. h 2 B = 1 + A = Για τις περιοχές A : x < 0, B : x > 0 η εξίσωση Schroedinger θα έχει τη μορφή της ελεύθερης εξίσωσης, αφού V(x) = 0:

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Άσκηση 1. h 2 B = 1 + A = Για τις περιοχές A : x < 0, B : x > 0 η εξίσωση Schroedinger θα έχει τη μορφή της ελεύθερης εξίσωσης, αφού V(x) = 0:"

Transcript

1 Άσκηση 1 Για τις περιοχές A : x < 0, B : x > 0 η εξίσωση Schroediger θα έχει τη μορφή της ελεύθερης εξίσωσης, αφού Vx = 0: Ψ A + κ Ψ A = 0 Ψ B + κ Ψ B = 0 Για το σημείο x = 0 η εξίσωση Schroediger θα είναι: όπου: Ψ + m h E Vx Ψ = 0 Ψ + κ Ψ = λδxψ Οι λύσεις της Ψ θα είναι της μορφής: κ = me h, λ = mg h Ψ A = e iκx + Ae iκx Ψ B = Be iκx Σημείωση: Η συνάρτηση Ψ = Ae iκx είναι ιδιοσυνάρτηση του τελεστή της ορμής ˆp = ih d hk dx, με ιδιοτιμή hκ, και περιγράφει κίνηση προς τα δεξιά όταν k > 0, με ταχύτητα m. Αντίστοιχα, περιγράφει κίνηση προς τα αριστερά όταν k < 0. Ψ A 0 = Ψ B A = B +a a Ψ dx + +a a κ Ψdx = +a a λδxψdx Για lim a 0 +a Ψ +a Ψ a + κ Ψdx = λψ0 a Ψ B0 Ψ A0 = λψ0 iκb iκ iκa = λ1 + A iκ1 + A iκ iκa = λ1 + A λ A = λ + iκ iκ B = 1 + A = λ + ik 1

2 Οι συντελεστές ανάκλασης R-Reflectio και μετάδοσης T-Trasmissio θα είναι: R = A = T = B = λ λ + 4κ 4κ λ + 4κ Παρατηρούμε ότι επιβεβαίωνεται η σχέση R + T = 1. Άσκηση Η κυματοσυνάρτηση ενός συστήματος είναι Ψθ, ϕ = 3 8π si ϕ si θ + i cos θ. Να δειχτεί ότι η Ψ είναι ιδιοσυνάρτηση του ˆL. Ποια είναι η ιδιοτιμή; Ποια είναι τα δυνατά αποτελέσματα μιας μέτρησης του τελεστή L z και με ποια πιθανότητα; Γνωρίζω ότι si ϕ = eiϕ e iϕ i. Επομένως: 3 Ψθ, ϕ = 8π = 1 i [ si θ e iϕ e iϕ i 3 8π si θeiϕ 1 i = i Y 11 + i Y i Y 10 ] + i cos θ 3 3 8π si θe iϕ + i 8π cos θ Pm = 1 = C 1 = 1/4 Pm = 1 = C = 1/4 Pm = 0 = C 3 = 1/ Άσκηση 3 Αν ο τελεστής Ĥ ενός κβαντομηχανικού συστήματος είναι άθροισμα τελεστών H = k 1 H i, όπου ο κάθε ένας αποτελείται από μία μόνο συντεταγμένη, τότε η ανεξάρτητη του χρόνου εξίσωση του Schroediger έχει λύση το γινόμενο των λύσεων των εξισώσεων ψ = k 1 ψ k, η δε ενέργεια του συστήματος θα δίνεται από τη σχέση: E = k 1 E i Αρκεί να αποδείξουμε ότι ο τελεστής H = k 1 H i και η κυματοσυνάρτηση ψ = k 1 ψ k

3 ικανοποιούν την χρονοανεξάρτητη εξίσωση του Schroediger: k k k k k k k k H i ψ i = H i ψ j = H i ψ j = E i ψ j = i=1 } {{ } H Άσκηση 4 i=1 } {{ } ψ i=1 j=1 i=1 j=1 i=1 j=1 k i=1 E i } {{ } E k j=1 ψ j } {{ } ψ Έστω τελεστής που δεν εξαρτάται από το χρόνο Ĝ. Να δειχτεί ότι: Γνωρίζουμε εξ ορισμού ότι ισχύει: d dt Ĝ = 1 [Ĝ, Ĥ] ih G = Ψ GΨdx Οπότε: d dt Ĝ = d Ψ GΨdx dt = Ψ GΨ + Ψ G Ψ + Ψ GΨ dx = Ψ GΨ + Ψ GΨ dx Οπότε με αντικατάσταση: d dt G = 1 1 = = 1 ih HΨ = ih Ψ t Ψ t = 1 ih HΨ ih HΨ GΨ + Ψ G 1 ih HΨ dx ih Ψ GHΨ HΨ GΨ dx Ψ GH HG Ψdx = 1 [G, H] ih 3

4 Σημείωση: Αν ο τελεστής Ĝ δεν είναι ανεξάρτητος του χρόνου, τότε θα ισχύει: d dt G = 1 [G, H] + G ih t G Από τη σχέση αυτή φαίνεται πως αν ο Ĝ είναι ανεξάρτητος του χρόνου, δηλαδή t = 0, και αν ο τελεστής μετατίθεται με τον χαμιλτονιανό τελεστή, δηλαδή [G, H] = 0, τότε η μέση d G τιμή του φυσικού μεγέθους που περιγράφεται από τον Ĝ είναι σταθερή, δηλαδή dt = 0. ηλαδή το μέγεθος που περιγράφεται από τον τελεστή Ĝ θα είναι διατηρήσιμο και συνεπώς θα αποτελεί σταθερά της κίνησης. Άσκηση 5 Για σωματίδιο που κινείται σε δυναμικό Vx, να αποδειχτεί ότι: d dt x = 1 m [ xp x + p x x ] Εφαρμόζουμε την προηγούμενη σχέση, για G = x : d dt x = 1 ih [x, H] = i h [ H, x ] H = p m + Vx = 1 p m x + p y + p z + Vx Εφαρμόζουμε την ταυτότητα [A, BC] = [A, B]C + B[A, C] εδώ είναι A = H, B = C = x: [H, x ] = [H, xx] = [H, x]x + x[h, x] Όμως: [ ] p [H, x] = x m + p y m + p z m + Vx, x = 1 m [p x, x] [p x, x] = [x, p x] = [x, p x p x ] = [x, p x ]p x p x [x, p x ] = ihp x p x ih = ihp x 4

5 [H, x ] = 1 m [ ihp xx + x ihp x ] = ih m p xx + xp x d dt x = i h [H, x ] = i [ h ih ] m p xx + xp x = 1 m p xx + xp x = 1 m [ p xx + xp x ] Άσκηση 6 α. Να βρεθούν οι ιδιοσυναρτήσεις και οι ιδιοτιμές του τελεστή x + d dx. β. Ποιες τιμές πρέπει να έχουν τα α, β, ώστε οι τελεστές Â = αx και ˆB = β d dx να είναι ερμιτιανοί; α. Εξ ορισμού ένας τελεστής Â έχει ιδιοσυνάρτησεις Ψ και ιδιοτιμές λ, όταν ισχύει η σχέση: ÂΨ = λψ Επομένως, αρκεί να λύσουμε την εξίσωση ιδιοτιμών: x + d Ψ = λψ dx xψ + Ψ = λψ Ψ = λ xψ Ψ Ψ = λ x l Ψ = λ x l Ψ = λx x + C x λx Ψ = Ce β. Εξ ορισμού ένας τελεστής Â λέγεται ερμιτιανός όταν ισχύει η σχέση: ψ Aϕdx = Aψ ϕdx Επομένως, αρκεί να λύσουμε την εξίσωση: 5

6 ψ αxϕdx = αxψ ϕdx α = α α R ψ Bϕdx = Bψ ϕdx ψ β dϕ dx dx = β dψ ϕdx dx Άσκηση 7 Έστω yr = Fr exp γr, όπου ισχύει: F γf + r F = 0. Να κατασκευαστούν οι πρώτες τρεις κανονικοποιημένες σφαιρικά συμμετρικές ιδιοσυναρτήσεις του ατόμου του υδρογόνου σε ατομικές μονάδες. 1r γr 1 + r r = 0 1r + γ + r 1 = 0 γ + r 1 = 0 γ = 1 Είναι y0 = 0 F0 = 0. Άρα το πολύωνυμο Fr πρέπει να είναι βαθμού μεγαλύτερο ή ίσου του ένα. yr = rψr, γ = 1, = 1, ψr = Fre γr ψr = Ne r Άσκηση 8 α. Να δειχτεί ότι το γινόμενο δύο ερμιτιανών τελεστών είναι ερμιτιανός, μόνο αν οι τελεστές μετατίθενται. β. Πότε λέγεται πως ένα τελεστής είναι θετικά ορισμένος; γ. Να δειχτεί ότι υπάρχει ερμιτιανός τελεστής της μορφής A A και θετικά ορισμένος. δ. Να δειχτεί ότι αν Α,Β είναι δύο τυχόντες τελεστές, τότε οι παρακάτω συνδυασμοί είναι ερμιτιανοί τελεστές: AB + BA iab BA 6

7 α Έστω δύο ερμιτιανοί τελεστές Â, ˆB, οπότε εξ ορισμού ισχύει: ψ Aϕdx = Aψ ϕdx ψ Bϕdx = Bψ ϕdx Για να είναι το γινόμενό τους ερμιτιανός τελεστής πρέπει και αρκεί: ψ ABϕdx = ABψ ϕdx ψ ABϕdx = Aψ Bϕdx = BAψ ϕdx Απ όπου προκύπτει ότι η παραπάνω ισότητα θα ισχύει μόνο όταν: Δηλαδή, μόνο όταν οι Â, ˆB μετατίθενται. AB = BA [A, B] = 0 β Ένας τελεστής λέγεται θετικά ορισμένος όταν έχει πάντα θετική μέση τιμή. γ Για να είναι ο A A ερμιτιανός τελεστής πρέπει και αρκεί: ψ, A Aϕ = A Aψ, ϕ Είναι εξ ορισμού: ψ, A Aϕ = A A ψ, ϕ = A A ψ, ϕ = A Aψ, ϕ ορ. δ Για να είναι ένας τελεστής ερμιτιανός, αρκεί να είναι ίσος με τον συζυγή του: AB + BA = AB + BA = B A + A B = BA + AB = AB + BA [iab BA] = i AB BA = i[ab BA ] = ib A A B = iba AB = iab BA Όπου μεταξύ άλλων ιδιοτήτων κάναμε χρήση ότι οι κβαντομηχανικοί τελεστές είναι ερμιτιανοί, δηλαδή ότι A = A, B = B. Άσκηση 9 Να δεχτεί η γενικευμένη έκφραση της απροσδιοριστίας για φυσικά μεγέθη Α, Β: A B 1 [A, B] 7

8 A = A A = A B = B B = B Από ανισότητα Schwartz ισχύει: A = ψ, A ψ = Aψ, Aψ = Aψ B = ψ, B ψ = Bψ, Bψ = Bψ A B = Aψ Bψ Aψ, Bψ Προσθέτωντας κατά μέλη παίρνουμε: Aψ, Bψ = ψ, ABψ Aψ, Bψ = BAψ, ψ Aψ, Bψ = ψ, ABψ + BAψ, ψ = ψ, ABψ ψ, BAψ + BAψ, ψ + ψ, BAψ = ψ, [A, B]ψ + ψ, AB + BAψ [A, B] AB + BA Aψ, Bψ = ψ, ψ + ψ, ψ [A, B] AB + BA = ψ, i ψ + ψ, ψ i [ ] [A, B] AB + BA = ψ, i + ψ i [A, B] AB + BA = i + i [A, B] AB + BA = i + i Οι τελεστές [A,B] i και AB+BA είναι ερμιτιανοί, επομένως η μέση τιμή τους είναι πραγματικός αριθμός, άρα το εσωτερικό γινόμενο είναι μιγαδικός αριθμός. Γνωρίζουμε ότι z C : z Rez, z Imz. Επομένως: Aψ, Bψ [A, B] = 1 [A, B] i 8

9 Εφαρμογή για θέση x και ορμή p ενός σωματιδίου: A x, B p : x p 1 [x, p] = 1 ih = h Άσκηση 10 α Έστω ˆΠ ο τελεστής της ομοτιμίας parity. Να βρεθούν οι ιδιοτιμές του. β Έστω ˆT α ο τελεστής μετατόπισης. Να βρεθεί το αποτέλεσμα της δράσης του TΠ 3 TΠ 3 σε μια συνάρτηση. γ Να δειχτεί ότι ˆT α = e i h apˆ x. α Για να βρούμε τις ιδιοτιμές του τελεστή ˆΠ, αρκεί να λύσουμε την εξίσωση ιδιοτιμών: Πfx = λfx Εφαρμόζουμε τον τελεστή ˆΠ και στα δύο μέλη της εξίσωσης: β Είναι ˆ Tα fx = fx + α. Επομένως: γ Είναι: ΠΠfx = Πλfx Πf x = λπfx fx = λ fx λ = ±1 T α Π 3 T α Π 3 = T α Π 3 T α f x = T α Π 3 f x + α = T α fx α = fx e i h αp x fx = e i h α ih d dx fx = e α d dx fx Στη συνέχεια θα αναπτύξουμε τον τελεστή e α d dx σε μία σειρά McLauri: e α d dx fx = 1 + α d 1! dx + α d! dx +... fx = fx + α df 1! dx + α d f! dx +... = fx + α = T α fx 9

10 Το άθροισμα που εμφανίζεται είναι ουσιαστικά το ανάπτυγμα McLauri της συνάρτησης fα + x, γύρω από το σημείο a = 0. Θυμίζουμε ότι: Άσκηση 11 fα = f0 + αf 0 + a! f 0 + a3 3! f Κβαντομηχανική Ι, Τραχανάς, Κεφ. 7, σελ. 319 α Με αφετηρία τη βασική μεταθετική σχέση [x, p] = i, δείξτε ότι οι τελεστές α, α ικανοποιούν τη σχέση: [α, α ] = 1 όπου: α = 1 x + ip, α = 1 x ip [α, α ] = αα α α = 1 x ixp + ipx i p 1 x + ixp ipx i p = 1 ipx ixp = i[x, p] = i = 1 β Δείξτε ότι η χαμιλτονιανή γράφεται συναρτήσει των τελεστών α, α, ως: H = α α + 1 όπου: H = 1 p + x α α = 1 x + ixp ipx i p = 1 [ x + p + ixp px ] = 1 x + p + 1 i[x, p] = H 1 H = α α

11 γ Αποδείξτε ότι οι τελεστές α, α ικανοποιούν -με τη χαμιλτονιανή- τις ακόλουθες μεταθετικές σχέσεις: [H, α] = α, [H, α ] = a Χρησιμοποιούμε για την χαμιλτονιανή τη σχέση που την εκφράζει συναρτήσει των τελεστών α, α, όπως δείξαμε στο β : [H, α] = Hα αh = α α + 1 α α α α + 1 = α α αα α = αα α α α = [α, α ]α = α Ομοίως αποδεικνύεται ότι [H, α ] = α. δ Βάσει των μεταθετικών σχέσεων του γ, αποδείξτε ότι οι τελεστές α, α έχουν την ακόλουθη ιδιότητα: Όταν δρουν πάνω σε μια ιδιοσυνάρτηση, ψ E, της χαμιλτονιανής Ĥ με ιδιοτιμή E, ο μεν ˆα ανεβάζει την ιδιοτιμή κατά μονάδα, ο δε ˆα την κατεβάζει επίσης κατά μονάδα. Αρκεί να δείξουμε ότι οι κυματοσυναρτήσεις α ψ E και αψ E, έχουν ιδιοτιμές E + 1 και E 1 αντίστοιχα. [H, α ] = α Hα α H = α Hα ψ E α Hψ E = α ψ E Εφόσον όμως η ψ E είναι ιδιοσυνάρτηση του τελεστή Ĥ με ιδιοτιμή E, ισχύει εξ ορισμού ότι: Hψ E = Eψ E. Οπότε: Hα ψ E = α ψ E + α Eψ E Hα ψ E = α ψ E + Eα ψ E Hα ψ E = E + 1 α ψ E Οπότε πράγματι δείξαμε ότι η κυματοσυνάρτηση α ψ E είναι ιδιοσυνάρτηση του τελεστή Ĥ με ιδιοτιμή E + 1. Ομοίως αποδεικνύεται ότι Hαψ E = E 1ψ E. 11

12 Σχόλιο: εφόσον για τυχούσα ιδιοτιμή E, οι E ± 1 είναι επίσης ιδιοτιμές, αυτό συνεπάγεται ότι η χαμιλτονιανή έχει ισαπέχουσες ιδιοτιμές με σταθερή απόσταση μεταξύ τους ίση με ένα. Έτσι, E = E 0 +, όπου E 0 η χαμηλότερη ιδιοτιμή που αντιστοιχεί στη θεμελιώδη κατάσταση. ε Δείξτε ότι E 0 = 1, χρησιμοποιώντας την H = α α + 1. Εφόσον η E 0 είναι ιδιοτιμή της χαμιλτονιανής, και έστω ότι η αντίστοιχη ιδιοσυνάρτηση είναι η ψ 0, τότε εξ ορισμού ισχύει: α α + 1 Hψ 0 = E 0 ψ 0 ψ 0 = E 0 ψ 0 α αψ 0 = E 0 1 ψ 0 E 0 = 1 στ Επικαλεστείτε την ιδιότητα της ψ 0 που αναφέραμε πριν, για να γράψετε πρωτοτάξια διαφορική εξίσωση βάσει της οποίας η ψ 0 μπορεί να υπολογιστεί αμέσως. Με γνωστή την ψ 0, τι θα κάνατε για να υπολογίσετε τις ανώτερες ιδιοσυναρτήσεις; Κάντε το τουλάχιστον για τις δύο πρώτες από αυτές. αψ 0 x = 0 1 x + d ψ 0 x = 0 dx Η λύση της οποίας είναι: xψ 0 x + dψ 0 dx = 0 ψ 0 x = Ce x Η σταθερά C υπολογίζεται από τη συνθήκη κανονικοποίησης: ψ 0xψ 0 xdx = 1 C e x dx = 1 C π = 1 C = 4 1 π Επομένως η ιδιοσυνάρτηση της θεμελιώδους κατάστασης του αρμονικού ταλαντωντή είναι η: ψ 0 x = 4 1 e x π 1

13 Οι ανώτερες ιδιοσυναρτήσεις υπολογίζονται εφαρμόζοντας τον τελεστή αναβίβασης a : ψ 1 x = α ψ 0 x ψ 1 x = 1 x d 1 dx ψ 1 x = 1 4 4π x d dx ψ 1 x = 4 1 xe x 4π 4 ψ 1 x = 4 x xe π 4 π e x e x Ομοίως υπολογίζεται και η ψ x. ζ Αν ψ είναι οι κανονικοποιημένες ιδιοσυναρτήσεις του αρμονικού ταλαντωτή, δείξτε ότι η δράση των α, α πάνω σε αυτές δίνει: αψ = ψ 1, α ψ = + 1ψ +1 Έχουμε ήδη δείξει στο ζ ότι: Hαψ = E 1αψ Η ιδιοσυνάρτηση αψ όμως δεν είναι ακόμη κανονικοποιημένη: αψ, αψ = ψ, α αψ = ψ, H 1 ψ = ψ, Hψ ψ, 1 ψ = E ψ, ψ 1 ψ, ψ Εφόσον όμως δίνεται ότι οι συναρτήσεις ψ είναι κανονικοποιημένες, ισχύει ότι ψ, ψ = 1, οπότε: Επομένως: αψ, αψ = E 1 1 = + 1 = αψ = ψ 1 αψ = ψ 1 13

14 Ομοίως αποδεικνύεται ότι α ψ = + 1ψ +1. η Χρησιμοποιείστε τις αναδρομικές σχέσεις από το ζ για να υπολογίσετε με έναν καθαρά αλγεβρικό τρόπο -δηλαδή χωρίς χρήση της εκπεφρασμένης μορφής των ιδιοσυναρτήσεωντις μέσες τιμές: x ψ, x ψ, p ψ, p ψ, x 4 ψ, x 4 ψ Γνωρίζουμε ότι: α = 1 x + ip α = 1 x ip Θα λύσουμε το σύστημα των εξισώσεων ως προς x, p: Επομένως: α + α = x α α = ip x = ψ, x ψ = ψ, α + αα + α α + α ψ = ψ, α ψ + ψ, αα ψ + ψ, α αψ + ψ, α ψ Εφόσον όμως τα ψ είναι ορθοκανονικά ισχύει ψ, ψ m = δ m, όπου δ m ο τελεστής του Kroecker. Οπότε: x = ψ, αα ψ + ψ, α αψ αα ψ = α + 1ψ +1 = + 1αψ +1 = + 1ψ α αψ = α ψ 1 = α ψ 1 = ψ x = x =

15 Ομοίως αποδεικνύεται ότι p = + 1. Εναλλακτικά, μπορούμε πιο σύντομα να γράψουμε: H = 1 x + p H = 1 x + 1 p p = H x p = E x p = = x 4 = ψ, 4x 4 ψ = ψ, α + α 4 ψ α + α 4 = α + αα + α α + α Αν αναπτύξουμε την παραπάνω ταυτότητα θα προκύψει ένα άθροισμα με 16 όρους. Επειδή όπως είπαμε οι ψ είναι ορθοκανονικές, ψ, ψ m = δ m. Επομένως θα κρατήσουμε εκείνους τους όρους για τους οποίους = m. Για να ικανοποιείται αυτή η συνθήκη, πρέπει και αρκεί σε κάθε έναν από αυτούς τους όρους, ο αριθμός των τελεστών αναβίβασης και καταβίβασης να είναι ίσος μεταξύ τους, ανεξάρτητα από τη σειρά με την οποία οι τελεστές αυτοί δρουν στην ψ. Τελικά, γράφουμε: 4 x 4 = ψ, α α + α α + αα + α α + αα α + α α α ψ α α ψ = + 1α α ψ +1 = α ψ + = αψ +1 = ψ α α ψ = α αψ 1 = 1α ψ = 1α ψ 1 = 1ψ αα ψ = αα αα ψ = + 1αα αψ +1 = + 1αα ψ = + 1 ψ 15

16 α α ψ = α αα αψ = α αα ψ 1 = α αψ = ψ αα αψ = αα ψ 1 = αα ψ = + 1ψ α α α ψ = + 1α α ψ +1 = + 1α αψ = + 1ψ Επομένως: 4 x 4 = = x 4 = θ Να αποδειχθεί ότι η μέση κινητική ενέργεια είναι ίση με τη μέση δυναμική θεώρημα του Virial Εργαζόμαστε κατά τα γνωστά στο σύστημα μονάδων h = m = ω = 1: T = p = + 1 V = x = + 1 Σημείωση: Στην κλασική μηχανή το θέωρημα του Virial παίρνει τη μορφή: T = V Άσκηση 1 Να υπολογιστεί η αβεβαιότητα στη θέση x του κβαντικού αρμονικού ταλαντωτή στη θεμελιώδη κατάστασή του. Εξ ορισμού είναι: x = ψ 0xx ψ 0 xdx 16

17 Η αδιάστατη ιδιοσυνάρτηση δηλαδή για h = m = ω = 1 της θεμελιώδους κατάστασης του κβαντικού αρμονικού ταλαντωτή είναι: Επομένως: ψ 0 x = 4 1 e x π x = 1 x e x dx π = 1 π 1 π = 1 Τελικά: x = x x = 1 x = 1 Άσκηση 13 Δίνεται ο μισός κβαντικός αρμονικός ταλαντωτής: { 1 Vx = kx, x > 0 +, x 0 α Να βρεθούν οι επιτρεπτές τιμές ενέργειάς του. β Να υπολογιστεί η μέση τιμή x στη θεμελιώδη κατάστασή του, και να συγκριθεί με την αντίστοιχη του πλήρους κβαντικού αρμονικού ταλαντωτή. Η θεμελιώδης κατάσταση του μισού κβαντικού αρμονικού ταλαντωτή είναι για = 1, δηλαδή αντιστοιχεί στην ιδιοσυνάρτηση ψ 1 x και ιδιοτιμή E 1 = 3. Οπότε: Γνωρίζουμε ότι: x = = 0 0 ψ 1xxψ 1 xdx x ψ 1 x dx 4 ψ 1 x = 4 x xe π Ωστόσο η ψ 1 x δεν είναι κανονικοποιημένη πλέον, διότι στον πλήρη κβαντικό αρμονικό ταλαντωτή το σωματίδιο κινείται στο διάστημα, +, ενώ στο μισό στο διάστημα 0, +. Για το λόγο αυτό πρέπει να πολλαπλασιάσουμε την ψ 1 x επί έναν παράγοντα, ώστε όταν λάβουμε το ολοκλήρωμα 0 ψ 1 x αυτό να είναι ίσο με 1. 17

18 Οπότε: x = 4 x 3 e x dx π 0 = 4 π 1 = π Άσκηση 14 Εάν τα πολυώνυμα Hermite παράγονται από τη γεννήτρια: Gx, s = exp s + xs = H x s! α να υπολογιστεί το H x ως συνάρτηση της Gx, s. β να δειχθεί ότι ικανοποιούν την εξής διαφορική εξίσωση: H x xh x + H x = 0 { } H x = H 0 x, H 1 x, H x, H 3x...!! 3! Gx, s = H 0 x + H 1 xs + H x! G s = H 1x + H x! Γενικά θα είναι: Ξεκινώντας από τη σχέση: s + 3 H 3x 3! H x = Gx, s s s + H 3x s ! s... G s s=0 Gx, s = exp s + xs = H x s! = H 1 x s=0 Παραγωγίζω κατά μέλη ως προς x: sgx, s = s H x s =! H x s +1 =! H x s! H x s! H x s! 18

19 Για να είναι δύο πολυώνυμα ίσα μεταξύ τους πρέπει και αρκεί οι συντελεστές των ισοβάθμιων δυνάμεων να είναι ίσοι μεταξύ τους. H x s +1 =! H +1x! + 1 s+1 Ή ισοδύναμα: + 1H x = H +1x H x = H 1 x, = 1,,... Επιστρέφουμε στην αρχική σχέση: Gx, s = exp s + xs = H x s! Παραγωγίζω κατά μέλη ως προς s: x sgx, s = x s H x s =! xh x s H x s +1 =!! xh x s! H 1 x s =! H x s 1! H x s 1! H x s 1! H +1 x s! Οπότε τελικά: H +1 x xh x + H 1 x = 0, = 1,,... H x xh x + H +1 x = 0 H x H x xh x + H +1x = 0 H x xh x + H +1x H x = 0 H x xh x + + 1H x H x = 0 H x xh x + H x = 0 γ Να αποδείξετε τον τύπο του Rodriguez: H x = 1 e x d dx e x 19

20 Έχουμε ήδη δείξει, στο προηγούμενο ερώτημα, ότι: H +1 x = xh x H x = xh x + H x [ ] = e x e x H x + e x H x = e x d dx e x H x H x = e x d dx e x H 1 x Οπότε, τελικά: H +1 x = e x [e x e x d d dx dx = 1 d x e dx e x H 1 x H +1 x = 1 +1 e x Η κάνοντας την αντικατάσταση + 1 : H x = 1 e x ] e x H 1 x d+1 e x dx+1 d dx e x δ Να δειχτεί ότι το πολυώνυμο Hermite βαθμού είναι άρτια ή περιττή συνάρτηση, αν το είναι άρτιος ή περιττός αριθμός αντίστοιχα. H x = 1 e x d d x e x = 1 d x e d x e x = 1 H x Οπότε: H x = { 1 k 1 k+1 H x = H x H x = H x ε Να δειχτεί ότι στον κβαντικό αρμονικό ταλαντωτή είναι x = 0, p = 0. 0

21 Οι ιδιοσυνάρτησεις του αρμονικού ταλαντωτή έχουν την εξής μορφή: ψ x = NH xe x όπου N R η σταθερά κανονικοποίησης και H x το πολυώνυμο Hermite βαθμού. Εξ ορισμού ισχύει για τη μέση τιμή ενός κβαντικού μεγέθους: x = ψ, xψ = x ψ x dx = N xh x e x dx Η συνάρτηση όμως gx = xh x e x είναι περιττή. Επομένως το ολοκλήρωμα της στο, + θα είναι μηδέν. Οπότε δείξαμε ότι: x = 0 Ομοίως εργαζόμαστε για τη μέση τιμή της ορμής p: p = ψ, pψ = ψ p = ihn ih dψ dx dx dψ [ ] dx = N H xe x xh xe x H xe x H xe x xh xe x dx = ihn H xh xe x dx + ihn xh x e x dx g 1 x = H xh xe x = H x H 1x e x = H xh 1 xe x Όπως έχουμε δείξει παραπάνω τα πολυώνυμα Hermite είναι άρτια ή περιττά, ανάλογα με το αν ο βαθμός τους είναι άρτιος ή περιττός. Οπότε το γινόμενο H xh 1 x, θα είναι πάντα το γινόμενο μιας άρτιας επί μια περιττή συνάρτηση, δηλαδή περιττή συνάρτηση. Τελικά η g 1 x θα είναι μια περιττή συνάρτηση, αφού η e x είναι άρτια. Μπορούμε επίσης να επικαλεστούμε την ορθογωνιότητα των ιδιοσυναρτήσεων και να γράψουμε: NH xe x NH 1 xe x dx = ψ ψ 1 dx = 0 g x = xh x e x Ομοίως η g x είναι περιττή συνάρτηση. Οπότε τελικά: p = 0 1

22 Άσκηση 15 θεωρώ γραμμικό αρμονικό ταλαντωτή και ψ 0, ψ 1 έστω ότι το σύστημα περιγράφεται από την κατάσταση Ψ = Aψ 0 + Bψ 1. α Να δειχτεί ότι x = 0. β Να βρεθεί πότε το x γίνεται ελάχιστο ή μέγιστο. A Ψ, Ψ = 1 ψ 0 + B ψ 1 + ABψ 0 ψ 1 dx = 1 A ψ 0dx + B ψ 1 + AB ψ 0 ψ 1 dx = 1 Γνωρίζουμε ωστόσο ότι οι ιδιοκαταστάσεις ψ 0, ψ 1 είναι ορθοκανονικές οπότε: ψ 0 = 1, ψ 1 = 1, ψ 0, ψ 1 = 0 A + B = 1, A, B 0 x = Ψ, xψ = xψ dx = x A ψ 0 + B ψ 1 + ABψ 0 ψ 1 dx = A xψ 0dx + B xψ 1 + AB xψ 0 ψ 1 dx = AB ψ 0 x ψ 1 Που γενικά είναι διάφορο του μηδενός. AB = A 1 A = ga g A = 1 A + A A 1 A = 0 1 A A = 0 A = 1 A = ± 1 1 g = ± = ± 1

23 Άσκηση 16 Τη χρονική στιγμή t = 0 ένα σωμάτιο είναι σε Vx = 1 mω x και περιγράφεται από κυματοσυνάρτηση: Ψx, 0 = A 1 ψ x α Να υπολογιστεί η σταθερά κανονικοποίησης A. Ψ x, 0Ψx, 0dx = 1 [ + 1 A ψ x ] 1 ψ x = 1 A +m 1 + ψ xψ m xdx = 1,m } {{ } δ m A 1 = 1 A 1 = 1 A = 1 β Να βρεθεί η Ψx για t > 0. Ψx, t = 1 1 ψ xe ie t h = 1 +1 ψ xe iωt+ 1 γ Να δειχθεί ότι η Ψx, t είναι περιοδική συνάρτηση, να βρεθεί η περίοδός της καθώς επίσης και πότε αυτή γίνεται μέγιστη. 3

24 Ψx, t = Ψ x, t Ψx, t = +1 1 ψ xe iωt+ 1 1 =,m +m +1 e iωt m ψ xψ m x +1 1 ψ xe iωt+ 1 Επομένως η Ψx, t είναι περιοδική συνάρτηση διότι έχει τον περιοδικό παράγοντα: Με περίοδο: T = e iωt m π ω m T max = π ω, m = 1 δ Να υπολογιστεί η μέση τιμή E της ενέργειας, τη χρονική στιγμή t = 0. E 0 = Ψx, 0, HΨx, 0 = Ψ x, 0HΨx, 0dx = +m 1 +1 ψ mhψ dx,m Γνωρίζουμε ωστόσο ότι οι ιδιοσυναρτήσεις ψ ικανοποιούν την εξίσωση ιδιοτιμών Hψ = E ψ, όπου E = + 1 hω. Οπότε: E 0 = +m 1 +1 E ψ mψ dx,m } {{ } Άσκηση 17 = hω δ m Να βρεθεί ποια είναι η εξάρτηση από το χρόνο της παρακάτω ποσότητας: I = Ψ x, tψx, tdx 4

25 Θα υπολογίσουμε την παράγωγο di dt : di dt = d Ψ x, tψx, tdx dt Ψ x, t = Ψx, t + Ψ Ψx, t x, t dx t t Γνωρίζουμε ωστόσο ότι η χρονική εξέλιξη ενός κβαντομηχανικού συστήματος περιγράφεται από την χρονοεξαρτώμενη εξίσωση Schroediger: ih Ψ t = HΨ Ψ t = 1 ih HΨ Ψ t = 1 ih HΨ Αντικαθιστώντας τις μερικές παραγώγους: di + dt = 1 ih HΨ Ψ + Ψ 1 ih HΨ dx = 1 Ψ HΨdx HΨ Ψdx ih Επειδή όμως ο τελεστής της χαμιλτονιανής είναι ερμιτιανός, ισχύει εξ ορισμού ότι: Επομένως: Ψ, HΨ = HΨ, Ψ di dt = 0 Δηλαδή η ποσότητα I είναι ανεξάρτητη του χρόνου. Γι αυτό άλλωστε αν κανονικοποιήσουμε την κυματοσυνάρτηση Ψ σε μια χρονική στιγμή t = 0, θα συνεχίσει να είναι κανονικοποιημένη για οποιαδήποτε άλλη χρονική στιγμή. Σημείωση: Η Ψx, t σαφώς και μεταβάλλεται με το χρόνο με τρόπο που διέπεται από την χρονοεξαρτώμενη εξίσωση Schroediger. Αυτό που παραμένει σταθερό με το χρόνο είναι το Ψx, t dx, δηλαδή η ολική πιθανότητα να βρεθεί το σωματίδιο σε κάποιο σημείο του χώρου. Άσκηση 18 Ποια είναι η ουσιώδης διαφορά ανάμεσα στον κλασσικό και τον κβαντικό αρμονικό ταλαντωτή; Στον κβαντικό αρμονικό ταλαντωτή: 5

26 Η ενέργεια είναι κβαντισμένη μπορεί να πάρει μόνο συγκεκριμένες διακριτές τιμές, συγκεκριμένα τις: E = + 1 hω Διείσδυση σε κλασικά απαγορευμένες περιοχές. Στη θεμελιώδη κατάσταση το κβαντικό σωματίδιο είναι πολύ πιθανότερο να βρεθεί στη γειτονιά της αρχής παρά στα όρια της κλασικής ταλάντωσης. Άσκηση 19 Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας: α Έστω σωμάτιο στην πρώτη διεγερμένη στάθμη ενός αρμονικού ταλαντωτή Α.Τ.. Ποια η πιθανότητα να βρεθεί στον θετικό ημιάξονα; β Μπορεί η κυματοσυνάρτηση της δεύτερης διεγερμένης στάθμης ενός Α.Τ. να δίνεται από τη σχέση ψ x = Nx + 1e x a ; γ Εάν σας ζητηθεί να βρείτε τη μέση τιμή ενέργειας Α.Τ. με k = m = ω = 1 για δεδομένη κυματοσυνάρτηση, και βρείτε E = 1 4, είναι σωστό; δ Έστω Α.Τ. σε κατάσταση επαλληλίας Ψ = 1 3 ψ ψ 1, μπορεί η αβεβαιότητα ενέργειας στην κατάσταση αυτή να είναι E = 3; α Η πιθανότητα είναι P[x > 0] = 0.5. Λόγω του ότι το δυναμικό του Α.Τ. παρουσιάζει συμμετρία ανάμεσα στα θετικά x και στα αρνητικά V x = 1 k x = Vx, το ίδιο θα συμβαίνει και για την πυκνότητα πιθανότητας. Εξάλλου η ιδιοσυνάρτηση στην 1η διεγερμένη στάθμη είναι περιττή, οπότε το τετράγωνό της, που εκφράζει την πυκνότητα πιθανότητας, θα είναι άρτια. Δηλαδή: P x = Px. β Δε μπορεί. Στη η διεγερμένη στάθμη η κυματοσυνάρτηση έχει κόμβους, ωστόσο το πολυώνυμο x + 1 δεν έχει πραγματικές ρίζες. γ Είναι λάθος. Οι ενεργειακές στάθμες του Α.Τ. δίνονται από τον τύπο E = + 1 στην αδιάστατη περίπτωση, δηλ. όταν k = m = ω = 1. Οπότε η ελάχιστη ενέργεια που μπορεί να έχει ο Α.Τ., αντιστοιχεί στην θεμελιώδη του κατάσταση, = 0, και είναι ίση με: E mi = E 0 = 1. Οπότε θα είναι πάντα E E 0 = 1. δ Δε μπορεί. Οι δυνατές ενεργειακές τιμές που μπορεί να έχει ο Α.Τ. είναι E 0 = 1, E 1 = 3, που απέχουν μεταξύ τους κατά 1. Επομένως η διασπορά E δε μπορεί να είναι μεγαλύτερη από της διαφορά των ακραίων τιμών. 6

27 Άσκηση 0 α Ποια είναι η φυσική σημασία και τα χαρακτηριστικά της κυματοσυνάρτησης κ.σ.; β Ποια είναι τα χαρακτηριστικά της στα μονοδιάστατα προβλήματα; γ Να δοθεί ο ορισμός του ερμιτιανού τελεστή. Να αναφέρετε και να αποδείξετε τις κυριότερες ιδιότητές του. α Ένα κβαντομηχανικό σύστημα περιγράφεται από την κυματοσυνάρτηση κ.σ. Ψ r, t. Η κ.σ. είναι μιγαδική συνάρτηση και αυτή καθεαυτή στερείται φυσικής σημασίας υπό την έννοια ότι δεν αντιστοιχεί σε μετρήσιμη φυσική ποσότητα. Ωστόσο το τετράγωνο της απόλυτης τιμής της εκφράζει την πυκνότητα πιθανότητας. P r, t = Ψ r, t γ Ερμιτιανός ονομάζεται ένας τελεστής Â για τον οποίο ισχύει ισοδύναμοι ορισμοί: ψ Âϕdx = Âψ ϕdx ψ, Âϕ = Âψ, ϕ ψ Âϕ = Âψ ϕ Άσκηση 0 Το θεώρημα Helliger-Toeplitz αναφέρει ότι ένας παντού ορισμένος συμμετρικός τελεστής A σ ένα χώρο Hilbert H είναι φραγμένος. Εξ ορισμού ο Â είναι συμμετρικός όταν για κάθε ψ, ϕ στο πεδίο ορισμού του Â ισχύει: Aψ, ϕ = ψ, Aϕ Δηλαδή συμμετρικός είναι ο τελεστής που είναι ερμιτιανός. Οπότε το θεώρημα μπορεί να επαναδιατυπωθεί ως ένας παντού ορισμένος ερμιτιανός τελεστής A σ ένα χώρο Hilbert είναι φραγμένος. Απόδειξη: Έστω ότι δεν ισχύει η πρόταση αυτή, δηλαδή ότι ο H περιέχει μια ακολουθία y, τέτοια ώστε y = 1 και Ay. Θεωρούμε τότε τη γραμμική συνάρτηση f ορισμένη σε όλο τον H ως: f x = Ax, y = x, Ay, = 1,,... Η f είναι φραγμένη για κάθε αφού λόγω της ανισότητας Cauchy-Schwartz: f x = x, Ay Ay x 7

28 Επιπλέον η ακολουθία f x είναι φραγμένη αφού: f x = Ax, y Ax Λόγω ομοιόμορφης σύγκλισης? έχουμε ότι f, f k,. Οπότε για x = Ay : Ay = f Ay k Ay Επομένως Ay k που έρχεται σε αντίφαση με την αρχική μας υπόθεση ότι Ay. Άσκηση 1 Να διερευνηθεί εάν το θεώρημα Helliger-Toeplitz μπορεί να εφαρμοστεί στην περίπτωση του χαμιλτονιανού τελεστή για τον αδιάστατο κβαντικό αρμονικό ταλαντωτή και να σχολιασθούν οι συνέπειες. Γνωρίζουμε ότι ο χαμιλτονιανός τελεστής είναι ερμιτιανός, όπως άλλωστε όλοι οι κβαντομηχανικοί τελεστές διαφορετικά οι μέσες τιμές των αντίστοιχων φυσικών μεγεθών που εκφράζουν οι τελεστές, δεν θα είχαν πραγματικές τιμές!. Στη συνέχεια θα εξετάσουμε αν ο χώρος στον οποίο ορίζεται ο Ĥ είναι ένας χώρος Hilbert. Ο χώρος των τετραγωνικά ολοκληρώσιμων συναρτήσεων, δηλαδή των συναρτήσεων για τις οποίες ισχύει: fx dx < συνιστά ένα χώρο όπου ορίζεται το εσωτερικό γινόμενο, ως: f, g = fxg xdx Αποδεικνύεται ότι ο χώρος αυτός των τετραγωνικά ολοκληρώσιμων συναρτήσεων συνιστά ένα πλήρη μετρικό χώρο. Επιπλέον, εφόσον ο χώρος αυτός είναι εφοδιασμένος με την πράξη του εσωτερικού γινομένου, είναι ένας χώρος Hilbert και κατά σύμβαση συμβολίζεται ως L. Θεωρούμε την περίπτωση του κβαντικού αρμονικού ταλαντωτή. Ο χαμιλτονιανός τελεστής Ĥ για την αδιάστατη περίπτωση h = m = ω = 1 είναι: d H = 1 dx + 1 x Ο τελεστής αυτός είναι ερμιτιανός άρα συμμετρικός καίτοι μη φραγμένος, αφού οι ιδιοτιμές της ενέργειας είναι: E = + 1, = 0, 1,,... 8

29 Επομένως ο χαμιλτονιανός τελεστής δεν μπορεί να είναι ορισμένος σε όλο τον L. Διότι αν ήταν, τότε βάση του θεωρήματος Helliger-Toeplitz θα ήταν φραγμένος. Ωστόσο μπορεί να οριστεί σε ένα πυκνό υποσύνολο του L. Άσκηση Να διερευνηθεί ποιοτικά γιατί ο τελεστής της χαμιλτονιανής δεν μπορεί να οριστεί σε όλο τον L. Η χρονοεξαρτώμενη εξίσωση Schroediger για την αδιάστατη περίπτωση h = 1 γράφεται ως εξής: ψ = ihψ Που θυμίζει τη διαφορική εξίσωση ut = Aut, η οποία έχει ως λύση την: ut = e ta u0. Κατ αντιστοιχία λοιπόν οι λύσεις της εξίσωσης Schroediger μπορούν να δοθούν ως: ψx, t = e t ih ψx, 0 Οπότε εύλογα προκύπτει ο προβληματισμός για το πώς μπορούμε να υψώσουμε στην e τον τελεστή Ĥ. Για πεπερασμένους πίνακες γνωρίζουμε ότι ισχύει: 1 expa = k! Ak k=0 Η απόδειξη του οποίου στηρίζεται στο γεγονός ότι ο πίνακας A είναι φραγμένος, διότι μόνο τότε το παραπάνω άθροισμα συγκλίνει βλ. επόμενη άσκηση. Ωστόσο στην περίπτωση του τελεστή Ĥ που δεν είναι φραγμένος, μια τέτοια έκφραση δεν μπορεί να χρησιμοποιηθεί. Δηλαδή, δεν μπορούμε να ισχυριστούμε ότι ισχύει πάντα: 1 exp ith = k! ithk k=0 Ισχύει ωστόσο για τις συναρτήσεις C που οι παράγωγοι τους είναι αρκούντως φθίνουσες. Βλέπε επίσης και Helliger-Toeplitz, θεώρημα κλειστού γράφου και θεώρημα ανοικτής αντιστοίχισης. Άσκηση 1 Να δειχθεί ότι η παρακάτω ακολουθία συγκλίνει: expa =0 1! A όπου A ένας τετραγωνικός πίνακας με πραγματικά στοιχεία. 9

30 Έστω M ένας πραγματικός αριθμός, τέτοιος ώστε A ij < M για όλα τα στοιχεία A ij του πίνακα A. Τότε θα είναι A ij < MM } + MM {{ +.. }. = M. Γενικά μπορούμε να πούμε ότι θα ισχύει A k ij < k M k+1. Εφόσον δε το k=0 k k! Mk+1 συγκλίνει, θα συγκλίνει και η σειρά σε κάποιο τετραγωνικό πίνακα με πραγματικά στοιχεία. Σημείωση: Η σειρά k=0 k k! Mk+1 συγκλίνει γιατί: L = lim α k+1 k α k = lim k = lim M k k + 1 = 0 < 1 Άσκηση k+1 M k+ k+1! k M k+1 k! Δίνεται η κυματοσυνάρτηση Ψx, t = Ae λ x e iωt, A, λ, ω R +. α Να κανονικοποιηθεί η συνάρτηση. β Να υπολογιστούν οι ποσότητες x, x. γ Να υπολογιστεί η αβεβαιότητα x. δ Να υπολογιστεί το διάστημα x σ, x + σ. ε Να υπολογιστεί η πιθανότητα να βρεθεί το σωματίδιο εκτός της περιοχής αυτής. στ Να υπολογιστεί η πιθανότητα να βρεθεί το σωματίδιο εντός της περιοχής αυτής. α Για να κανονικοποιήσουμε την κυματοσυνάρτηση, αρκεί να λύσουμε την εξίσωση: Ψx, tψ x, tdx = 1 Ae λ x e iωt Ae λ x e +iωt dx = 1 A λ 0 A e λ x dx = 1 A e λx dx = 1 0 λx e λx dx = 1 A λ A λ [ e λx ] + 0 = 1 [ e λx ] 0 + = 1 A = λ A = λ β Με βάση τον ορισμό για ένα φυσικό μέγεθος που περιγράφεται από τον τελεστή Â, η 30

31 μέση τιμή του είναι ίση με: A = Ψ ÂΨdx Επομένως: x = Ψ xψdx = xψ Ψdx = x Ψ dx = A xe λ x dx = λxe λ x dx Για τη συνάρτηση gx = λxe λx, ισχύει: g x = λ xe λ x = λxe λ x = gx Επομένως είναι περιττή και έπεται ότι το ολοκλήρωμα της στο, + θα είναι μηδέν. Έτσι: x = 0 Ομοίως εργαζόμαστε για την ποσότητα x : x = Ψ x Ψdx = x Ψ Ψdx = x Ψ dx = A x e λ x dx = λx e λ x dx = λ x e λx dx 0 Το τελευταίο ολοκλήρωμα υπολογίζεται από τον τύπο: x e λx =! 0 λ +1 Είναι λοιπόν: x = λ! λ 3 = 1 λ γ Η αβεβαιότητα για τη θέση x του σωματιδίου υπολογίζεται κατά τα γνωστά: x = x x = 1 λ x = 1 λ δ Το διάστημα x σ, x + σ, είναι το διάστημα σ, +σ. ε Η πιθανότητα να βρεθεί εκτός της περιοχής σ, +σ: Px σ = = σ σ = 1 Ψx dx = σ λe λx dx = 1 [ e λx ] + σ = 1 A e λ x dx σ λx e λx dx [ e λx ] σ + = 1 e λσ = 1 e 1 = 1 e 31

32 Τελικά, λόγω συμμετρίας του προβλήματος, θα είναι: P [x σ x σ] = Px σ = e στ Η πιθανότητα να βρεθεί εντός της περιοχής σ, +σ: P σ x σ + P [x σ x σ] = 1 P σ x σ = 1 e Άσκηση 3 Δίνεται ότι για σωματίδιο ισχύει: Ψx = 3ψ 1 x ψ x ψ 3x. Να γραφεί η χρονοεξαρτώμενη κυματοσυνάρτηση Ψx, t. Είναι: Ψx, t = 3ψ 1 xe ie 1t/h + Άσκηση 4 Να δειχθεί ότι ο τελεστής της ορμής pˆ x είναι ερμιτιανός ψ xe iet/h + 8 ψ 3xe ie 3t/h Εξ ορισμού ένας τελεστής Â λέγεται ερμιτιανός όταν ισχύει η σχέση: ψ Aϕdx = Aψ ϕdx Ο τελεστής της ορμής pˆ x ορίζεται ως εξής: ˆ p x = ih d dx Αναλύοντας το πρώτο μέλος της συνθήκης της ερμιτιανότητας θα καταλήξουμε στο δεύτερο: I = ψ p x ϕdx = ψ ih dϕ dx = ih ψ ϕ dx dx Εφαρμόζουμε ολοκλήρωση κατά παράγοντες: I = ih [ψ ϕ] + ψ ϕdx = ih ψ ϕdx = ihψ ϕdx = ih d dx ψ ϕdx = p x ψ ϕdx 3

33 Για τον υπολογισμό της ποσότητας [ψ ϕ] + κάναμε χρήση της ιδιότητας των κβαντομηχανικών κυματοσυναρτήσεων να είναι τετραγωνικά ολοκληρώσιμες, που σημαίνει ότι για τυχούσα κυματοσυνάρτηση ψ ισχύει: ψ± = 0, καθώς επίσης και της πρότασης: ψ = ψ, η οποία αποδεικνύεται εύκολα ως εξής: ψx = ax + ibx ψ x = a x + ib x ψ x = a x ib x ψx = ax + ibx ψ x = ax ibx ψ x = a x ib x Άσκηση 5 Να δειχτεί ότι οι ιδιοσυναρτήσεις ενός ερμιτιανού τελεστή είναι ορθογώνιες μεταξύ τους. Θεωρούμε ερμιτιανό τελεστή Â και έστω ψ 1, ψ δύο τυχούσες ιδιοσυναρτήσεις του. Εξ ορισμού θα ικανοποιούν την εξίσωση ιδιοτιμών: Aψ 1 = a 1 ψ 1 Aψ = a ψ Επιπλέον εφόσον ο Â είναι ερμιτιανός θα ικανοποιεί την εξίσωση ερμιτιανότητας: ψ Aϕdx = Aψ ϕdx Για ψ = ψ 1, ϕ = ψ, η παραπάνω σχέση γίνεται: ψ 1Aψ dx = Aψ 1 ψ dx ψ 1a ψ dx = a 1 ψ 1 ψ dx a ψ 1ψ dx = a 1 ψ 1ψ dx a 1 a ψ 1ψ dx = 0 Εφόσον οι ιδιοτιμές είναι μοναδικές, έπεται ότι θα είναι: ψ 1ψ dx = 0 ψ 1 ψ Άσκηση 6 Να δειχτεί ότι δύο τελεστές αντιμετατίθενται όταν ο μεταθέτης τους είναι μηδέν. Aψ = a ψ BAψ = Ba ψ = a Bψ = a b ψ Bψ m = b m ψ m ABψ m = Ab m ψ m = b m Aψ m = b a ψ 33

34 Άσκηση 6 Να δειχτεί ότι για τους τελεστές Â, ˆB είναι: [A, B ] = B 1 [A, B], όταν ο ˆB μετατίθεται με τον μετάθετη των Â, ˆB, δηλαδή όταν ισχύει η σχέση: [B, [A, B]] = 0. Θα χρησιμοποιήσω επαγωγή πάνω στο. Για = 1, η σχέση γίνεται: [A, B 1 ] = 1 B 1 1 [A, B] που ισχύει. Έστω ότι ισχύει η σχέση για k =, δηλαδή έστω ότι ισχύει: [A, B k ] = kb k 1 [A, B]. Θα δείξω ότι ισχύει και για k + 1, δηλαδή ότι ισχύει: [A, B k ] = kb k 1 [A, B] [A, B k+1 ] = k + 1B k [A, B]. [A, B k ] = kb k 1 [A, B] B[A, B k ] = B kb k 1 [A, B] B[A, B k ] = kbb k 1 [A, B] B[A, B k ] = kb k [A, B] B[A, B k ] + B k [A, B] = kb k [A, B] + B k [A, B] B[A, B k ] + B k [A, B] = k + 1B k [A, B] B[A, B k ] + [A, B]B k = k + 1B k [A, B] [A, B]B k + B[A, B k ] = k + 1B k [A, B] [A, BB k ] = k + 1B k [A, B] [A, B k+1 ] = k + 1B k [A, B] Ο.ε.δ. Σημείωση: B k [A, B] = B k 1 B[A, B] = B k 1 [A, B]B =... = [A, B]B k Άσκηση 7 Δίνεται ο τελεστής Â = d /dx x και η συνάρτηση ψx = e x /. Να βρεθούν οι ιδιοτιμές του. Αρκεί να λύσουμε την εξίσωση ιδιοτιμών του τελεστή: Aψ = aψ: d /dx x e x / = ae x / 34

35 Είναι: ψ x = e x / = e x / x / = xψx ψ x = ψ x = xψx = ψx xψ x = ψx x xψx = ψxx 1 Οπότε η εξίσωση ιδιοτιμών γίνεται: ψxx 1 x ψx = aψx 1 = a Άσκηση 7 Για t = 0 είναι ψr, 0 = 1 10 ψ100 + ψ 10 + ψ ψ 1 1. α Να βρεθεί η μέση τιμή της ενέργειας E συναρτήσει της ενέργειας της βασικής κατάστασης β Να γραφεί η χρονοεξαρτώμενη ψr, t γ Την πιθανότητα το σύστημα να είναι στην κατάσταση l = 1, m = 1 συναρτήσει του χρόνου. δ Υποθέστε ότι γίνεται μια μέτρηση όπου L = 1, L z = 1. Περιγράψτε την κυματοσυνάρτηση αμέσως μετά μια τέτοια μέτρηση με βάση τα ψ l m hit: χρησιμοποιήστε τα L + και L. α Η μέση τιμή της ενέργειας Ε είναι: E = c E = 1 3 E 1 + E + E + E = 4 10 E E Είναι όμως E = E 1 /4, E 1 = 13.6, επομένως: E = 40 E 1 β Η χρονοεξαρτώμενη ψr, t γράφεται ως εξής: ψr, t = γ Για l = 1, m = 1 το σύστημα περιγράφεται από την ψ 11, οπότε η πιθανότητα είναι: ψ 11 = c 11 = 1 5 δ L + 1 =, L z = 1 ψr, 0 = 1 ψ 10 + ψ ψ

36 Άσκηση 7 Να δειχθεί ότι [L, L x ] = 0. Θα χρησιμοποιήσουμε τις εξής απλές ιδιότητες των μεταθετών: [A + B + C, D] = [A, D] + [B, D] + [C, D], [A, B] = [B, A] και [A, BC] = [A, B]C + B[A, C] η άσκηση μπορεί να λυθεί και πιο σύντομα εάν χρησιμοποιήσουμε περισσότερες ιδιότητες. Επί τω έργω. Είναι L = L x + L y + L z. Άρα: Είναι: [L, L x ] = [L x + L y + L z, L x ] = [L x, L x ] + [L y, L x ] + [L z, L x ] [L x, L x ] = [L x, L x] = [L x, Lx L x ] = [L x, L x ]L x L x [L x, L x ] = 0 [L y, L x ] = [L x, L y] = [L x, L y L y ] = [L x, L y ]L y L y [L x, L y ] Γνωρίζουμε ωστόσο ότι [L x, L y ] = ihl z. Οπότε: Ομοίως είναι: [L y, L x ] = ihl z L y L y ihl z = ihl z L y + L y L z [L z, L x ] = [L x, L z] = [L x, L z L z ] = [L x, L z ]L z L z [L x, L z ] Από τη γνωστή σχέση [L x, L y ] = ihl z μπορούμε με κυκλική μετάθεση να πάρουμε τις αντίστοιχες εκφράσεις για τους υπόλοιπους μεταθέτες. Π.χ. x y, y z, z x. Άρα: Επομένως: [L z, L x ] = ihl y [L x, L z ] = ihl y [L z, L x ] = ihl y L z L z ihl y = 36

ψ (x) = e γ x A 3 x < a b / 2 A 2 cos(kx) B 2 b / 2 < x < b / 2 sin(kx) cosh(γ x) A 1 sin(kx) a b / 2 < x < b / 2 cos(kx) + B 2 e γ x x > a + b / 2

ψ (x) = e γ x A 3 x < a b / 2 A 2 cos(kx) B 2 b / 2 < x < b / 2 sin(kx) cosh(γ x) A 1 sin(kx) a b / 2 < x < b / 2 cos(kx) + B 2 e γ x x > a + b / 2 Σπουδές στις Φυσικές Επιστήµες ΦΥΕ 40 Κβαντική Φυσική 014-015 ΕΡΓΑΣΙΑ 3 η Υπόδειξη λύσεων ΑΣΚΗΣΗ 1 Η άρτια κυµατοσυνάρτηση θα δίνεται από (x) = A 3 e γ x x < a b / A cos(kx) B sin(kx) a b / < x < b / A

Διαβάστε περισσότερα

Κβαντοµηχανική ΙΙ. Πρόχειρες σηµειώσεις του µαθήµατος

Κβαντοµηχανική ΙΙ. Πρόχειρες σηµειώσεις του µαθήµατος Κβαντοµηχανική ΙΙ Πρόχειρες σηµειώσεις του µαθήµατος Κωνσταντίνος Φαράκος, Αν. Καθηγητής Τοµέας Φυσικής Σχολή Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών και Φυσικών Επιστηµών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο 6 Ιανουαρίου 011

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο.

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1 Τελεστές και πίνακες 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. Ανάλογα, τελεστής είναι η απεικόνιση ενός διανύσματος σε ένα

Διαβάστε περισσότερα

Ask seic kai Jèmata sth JewrÐa Mètrou kai Olokl rwsh

Ask seic kai Jèmata sth JewrÐa Mètrou kai Olokl rwsh Ask seic kai Jèmata sth JewrÐa Mètrou kai Olokl rwsh Ginnhc K. Sarant pouloc jnik Mets bio Poluteqne o Sqol farmosmłnwn Majhmatik n & Fusik n pisthm n TomŁac Majhmatik n 22 Febrouar ou 28 Perieqìmena Συμβολισμός

Διαβάστε περισσότερα

Κανονικ ες ταλαντ ωσεις

Κανονικ ες ταλαντ ωσεις Κανονικες ταλαντωσεις Ειδαµε ηδη οτι φυσικα συστηµατα πλησιον ενος σηµειου ευαταθους ισορροπιας συ- µπεριφερονται οπως σωµατιδια που αλληλεπιδρουν µε γραµµικες δυναµεις επαναφορας οπως θα συνεαινε σε σωµατιδια

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1 Μιγαδικοί αριθμοί Τι είναι και πώς τους αναπαριστούμε Οι μιγαδικοί αριθμοί είναι μια επέκταση του συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9 1 Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα

Κεφάλαιο 9 1 Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα Σελίδα από 58 Κεφάλαιο 9 Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα 9. Ορισμοί... 9. Ιδιότητες... 9. Θεώρημα Cayley-Hamlto...9 9.. Εφαρμογές του Θεωρήματος Cayley-Hamlto... 9.4 Ελάχιστο Πολυώνυμο...40 Ασκήσεις του Κεφαλαίου

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Κωνσταντίνος Παπασταματίου Μαθηματικά Γ Λυκείου Κατεύθυνσης Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Συνοπτική Θεωρία Μεθοδολογίες Λυμένα Παραδείγματα Επιμέλεια: Μαθηματικός Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 (με

Διαβάστε περισσότερα

Πεπερασμένες Διαφορές.

Πεπερασμένες Διαφορές. Κεφάλαιο 1 Πεπερασμένες Διαφορές. 1.1 Προσέγγιση παραγώγων. 1.1.1 Πρώτη παράγωγος. Από τον ορισμό της παραγώγου για συναρτήσεις μιας μεταβλητής γνωρίζουμε ότι η παράγωγος μιας συνάρτησης f στο σημείο x

Διαβάστε περισσότερα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ιατηρητικές δυνάµεις

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ιατηρητικές δυνάµεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ιατηρητικές δυνάµεις Στο υποκεφάλαιο.4 είδαµε ότι, για µονοδιάστατες κινήσεις στον άξονα x, όλες οι δυνάµεις της µορφής F F(x) είναι διατηρητικές. Για κίνηση λοιπόν στις τρεις διαστάσεις, µπορούµε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι Κεφάλαιο Διανυσματικοί Χώροι Διανυσματικοί χώροι - Βασικοί ορισμοί και ιδιότητες Θεωρούμε τρία διαφορετικά σύνολα: Διανυσματικοί Χώροι α) Το σύνολο διανυσμάτων (πινάκων με μία στήλη) με στοιχεία το οποίο

Διαβάστε περισσότερα

KYMATA Ανάκλαση - Μετάδοση

KYMATA Ανάκλαση - Μετάδοση ΦΥΣ 131 - Διαλ.34 1 KYMATA Ανάκλαση - Μετάδοση q Παλµός πάνω σε χορδή: Ένα άκρο της σταθερό (δεµένο) Προσπίπτων Ο παλµός ασκεί µια δύναµη προς τα πάνω στον τοίχο ο οποίος ασκεί µια δύναµη προς τα κάτω

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΑ 3,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. k Για E 0, η (1) ισχύει για κάθε x. Άρα επιτρεπτή περιοχή είναι όλος ο άξονας

ΚΕΦΑΛΑΙΑ 3,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. k Για E 0, η (1) ισχύει για κάθε x. Άρα επιτρεπτή περιοχή είναι όλος ο άξονας ΚΕΦΑΛΑΙΑ,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. Να βρεθούν οι επιτρεπτές περιοχές της κίνησης στον άξονα ' O για την απωστική δύναµη F, > και για ενέργεια Ε. (α) Είναι V και οι επιτρεπτές περιοχές της κίνησης

Διαβάστε περισσότερα

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B 151 Θέματα εξετάσεων περιόδου Μαΐου - Ιουνίου στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης Τάξη - B Λυκείου 15 Α. Αν α, β, γ ακέραιοι ώστε α/β και α/γ, να δείξετε ότι α/(β + γ). Μονάδες 13 Β. α. Δώστε τον ορισμό της παραβολής.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος.

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος. ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Πριν περιγράψουµε πως µπορούµε να µελετήσουµε µια συνάρτηση είναι αναγκαίο να δώσουµε µερικούς ορισµούς. Άρτια και περιττή συνάρτηση Ορισµός : Μια συνάρτηση fµε πεδίο ορισµού Α λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΑΡΧΕΣ ΚΑΙ ΜΕΘΟΔΟΙ ΚΒΑΝΤΙΚΟΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΕΣ

ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΑΡΧΕΣ ΚΑΙ ΜΕΘΟΔΟΙ ΚΒΑΝΤΙΚΟΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΕΣ ΣΤΕΦΑΝΟΣ ΤΡΑΧΑΝΑΣ ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΑΡΧΕΣ ΚΑΙ ΜΕΘΟΔΟΙ ΚΒΑΝΤΙΚΟΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΕΣ Ένα προχωρημένο μάθημα για φυσικούς, μαθηματικούς και επιστήμονες πληροφορικής E-BOOK ΠANEΠIΣTHMIAKEΣ EKΔOΣEIΣ KPHTHΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΣΩΤΕΡΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ Μηχανική ενέργεια Εσωτερική ενέργεια:

ΕΣΩΤΕΡΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ Μηχανική ενέργεια Εσωτερική ενέργεια: ΕΣΩΤΕΡΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ Μηχανική ενέργεια (όπως ορίζεται στη μελέτη της μηχανικής τέτοιων σωμάτων): Η ενέργεια που οφείλεται σε αλληλεπιδράσεις και κινήσεις ολόκληρου του μακροσκοπικού σώματος, όπως η μετατόπιση

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ 14 1.3 ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑ 14 1.3 ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑ 4. ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Μονοτονία συνάρτησης Ακρότατα συνάρτησης Θεωρία Σχόλια Μέθοδοι Ασκήσεις ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός Συνάρτηση f λέγεται γνησίως αύξουσα σε διάστηµα, όταν για οποιαδήποτε,

Διαβάστε περισσότερα

O n+2 = O n+1 + N n+1 = α n+1 N n+2 = O n+1. α n+2 = O n+2 + N n+2 = (O n+1 + N n+1 ) + (O n + N n ) = α n+1 + α n

O n+2 = O n+1 + N n+1 = α n+1 N n+2 = O n+1. α n+2 = O n+2 + N n+2 = (O n+1 + N n+1 ) + (O n + N n ) = α n+1 + α n Η ύλη συνοπτικά... Στοιχειώδης συνδυαστική Γεννήτριες συναρτήσεις Σχέσεις αναδρομής Θεωρία Μέτρησης Polyá Αρχή Εγκλεισμού - Αποκλεισμού Σχέσεις Αναδρομής Γραμμικές Σχέσεις Αναδρομής με σταθερούς συντελεστές

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ. 3. Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2. 4. Για κάθε z C ισχύει z z 2 z. 5. Για κάθε µιγαδικό z ισχύει: 6.

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ. 3. Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2. 4. Για κάθε z C ισχύει z z 2 z. 5. Για κάθε µιγαδικό z ισχύει: 6. ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ 1 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 z2 z1 z2 1 2 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 z2 z1 z2 3 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2 4 Για κάθε z C ισχύει z z 2 z 5 Για κάθε µιγαδικό z ισχύει:

Διαβάστε περισσότερα

Τα παρακάτω σύνολα θα τα θεωρήσουμε γενικά γνωστά, αν και θα δούμε πολλές από τις ιδιότητές τους: N Z Q R C

Τα παρακάτω σύνολα θα τα θεωρήσουμε γενικά γνωστά, αν και θα δούμε πολλές από τις ιδιότητές τους: N Z Q R C Κεφάλαιο 1 Εισαγωγικές έννοιες Στο κεφάλαιο αυτό θα αναφερθούμε σε ορισμένες έννοιες, οι οποίες ίσως δεν έχουν άμεση σχέση με τους διανυσματικούς χώρους, όμως θα χρησιμοποιηθούν αρκετά κατά τη μελέτη τόσο

Διαβάστε περισσότερα

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 6, 7 του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου των Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ.

Διαβάστε περισσότερα

Γενικά Μαθηματικά (Φυλλάδιο 1 ο )

Γενικά Μαθηματικά (Φυλλάδιο 1 ο ) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ Γενικά Μαθηματικά (Φυλλάδιο 1 ο ) Επιμέλεια Φυλλαδίου : Δρ. Σ. Σκλάβος Περιλαμβάνει: ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής:

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: p( ) = a + a + a + a + + a, όπου οι συντελεστές α i θα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις 2 ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΜΕΡΟΣ Α -- ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις Α. 1 1 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

2 Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ. Εισαγωγή

2 Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ. Εισαγωγή Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Εισαγωγή Η ιδέα της χρησιμοποίησης ενός συστήματος συντεταγμένων για τον προσδιορισμό της θέσης ενός σημείου πάνω σε μια επιφάνεια προέρχεται από την Γεωγραφία και ήταν γνωστή στους

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( ))

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( )) ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) [Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012 ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_.ΜλΘΤ(ε) ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ / ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΘΕΜΑ Α Ηµεροµηνία: Κυριακή

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ . ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 4 α. Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων του. β. Αν Re ( ) 0, τότε: 4 i. Να αποδείξετε ότι ο μιγαδικός w = + είναι πραγματικός και ισχύει 4 w 4. ii. Να βρείτε τον

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ κατεύθυνσης Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ κατεύθυνσης Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 0 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ κατεύθυνσης Γ ΛΥΚΕΙΟΥ θεματα Α-Β-Γ-Δ Βαγγέλης Α Νικολακάκης Μαθηματικός ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ENOTHTA ΘΕΜΑ ΣΕΛΙΔΕΣ 0 ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 3-4 ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ (ΘΕΜΑ Α) 5-7 ΑΣΚΗΣΕΙΣ (ΘΕΜΑ Β)

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Μονοτονία Συνάρτησης Tζουβάλης Αθανάσιος Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Περιεχόμενα Μονοτονία συνάρτησης... Λυμένα παραδείγματα...

Διαβάστε περισσότερα

Σ Υ Ν Α Ρ Τ Η Σ Ε Ι Σ

Σ Υ Ν Α Ρ Τ Η Σ Ε Ι Σ 33 Θ Ε Μ Α Τ Α με λύση Σ Υ Ν Α Ρ Τ Η Σ Ε Ι Σ Επιμέλεια: Νίκος Λέντζος Καθηγητής Μαθηματικών Δ/θμιας Εκπαίδευσης Από το βιβλίο ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ (έκδοση 4) Γ ΛΥΚΕΙΟΥ τεύχος Α Αναστάσιου Χ. Μπάρλα μα προσφορά του

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤEΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤEΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤEΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ ο A. Έστω µια συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστηµα. Αν f () > σε κάθε εσωτερικό σηµείο του, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως

Διαβάστε περισσότερα

εάν F x, x οµόρροπα εάν F x, x αντίρροπα B = T W T = W B

εάν F x, x οµόρροπα εάν F x, x αντίρροπα B = T W T = W B 4 Εργο και Ενέργεια 4.1 Εργο σε µία διάσταση Το έργο µιας σταθερής δύναµης F x, η οποία ασκείται σε ένα σώµα που κινείται σε µία διάσταση x, ορίζεται ως W = F x x Εργο ύναµης = ύναµη Μετατόπιση Εχουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο ο Αλγεβρικές Παραστάσεις ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) ) Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη

Διαβάστε περισσότερα

23 2011 ΘΕΜΑ Α A1. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ και x 0 ένα εσωτερικό σημείο του Δ. Αν η f παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο x 0 και είναι παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό, να αποδείξετε ότι:

Διαβάστε περισσότερα

για τις οποίες ισχύει ( )

για τις οποίες ισχύει ( ) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΜΗΤΑΛΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ, ΔΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ . Έστω οι συναρτήσεις f, g: για κάθε. α) Να αποδείξετε ότι η g είναι -. β) Να αποδείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

2 Φωτογραφία εξωφύλλου: Κυµατοσυνάρτηση για ένα ηλεκτρόνιο στο άτοµο του Η.

2 Φωτογραφία εξωφύλλου: Κυµατοσυνάρτηση για ένα ηλεκτρόνιο στο άτοµο του Η. ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΞΕΙ ΙΚΕΥΣΗ ΚΑΘΗΓΗΤΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ «ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΣΤΟ ΜΙΚΡΟΚΟΣΜΟ» ΜΠΑΚΑΤΣΕΛΟΥ ΑΙΚΑΤΕΡΙΝΗ ΕΠΙΒΛΕΠΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ I. ΣΥΝΟΛΑ

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ I. ΣΥΝΟΛΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ I. ΣΥΝΟΛΑ 1.Τι ονοµάζεται σύνολο; Σύνολο ονοµάζεται κάθε συλλογή αντικειµένων, που προέρχονται από την εµπειρία µας ή την διανόηση µας, είναι καλά ορισµένα και διακρίνονται το ένα από το άλλο.

Διαβάστε περισσότερα

ProapaitoÔmenec gn seic.

ProapaitoÔmenec gn seic. ProapaitoÔmeec g seic. Α. Το σύνολο των πραγματικών αριθμών R και οι αλγεβρικές ιδιότητες των τεσσάρων πράξεων στο R. Το σύνολο των φυσικών αριθμών N = {1,, 3,... }. Προσέξτε: μερικά βιβλία (τα βιβλία

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις)

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) 6 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) Η εξίσωση αx βy γ Στο Γυμνάσιο διαπιστώσαμε με την βοήθεια παραδειγμάτων ότι η εξίσωση αx βy γ, με α 0 ή β 0, που λέγεται γραμμική εξίσωση,

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ. Ένα σημείο Μ(x,y) ανήκει σε μια γραμμή C αν και μόνο αν επαληθεύει την εξίσωσή της. Π.χ. :

Διαβάστε περισσότερα

Ανασκόπηση Κβαντικής Μηχανικής

Ανασκόπηση Κβαντικής Μηχανικής Ανασκόπηση Κβαντικής Μηχανικής I. Τα 3 χρόνια που άλλαξαν τη Φυσική II. Αξιώματα Κβαντικής Μηχανικής III. Η χρονικώς ανεξάρτητη εξίσωση του Scödg IV. Αρχή αβεβαιότητας V. Συμβολισμός Dac ba-kt VI. Παραδείγματα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 15 Κίνηση Κυµάτων. Copyright 2009 Pearson Education, Inc.

Κεφάλαιο 15 Κίνηση Κυµάτων. Copyright 2009 Pearson Education, Inc. Κεφάλαιο 15 Κίνηση Κυµάτων Περιεχόµενα Κεφαλαίου 15 Χαρακτηριστικά των Κυµάτων Είδη κυµάτων: Διαµήκη και Εγκάρσια Μεταφορά ενέργειας µε κύµατα Μαθηµατική Περιγραφή της Διάδοσης κυµάτων Η Εξίσωση του Κύµατος

Διαβάστε περισσότερα

Α Λ Γ Ε Β Ρ Α ΤΗΣ Α Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ

Α Λ Γ Ε Β Ρ Α ΤΗΣ Α Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ Α Λ Γ Ε Β Ρ Α ΤΗΣ Α Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 1. Για οποιαδήποτε ενδεχόμενα Α, Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύει η σχέση ( ) ( ) ( ).. Ισχύει ότι P( A B) P( A

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α 1 1. α) Να γίνει γινόµενο το τριώνυµο λ -3λ+. β) Να βρεθεί το λ έτσι ώστε η εξίσωση λ(λχ-1)χ(3λ-)-λ i) να είναι αδύνατη ii) να είναι αόριστη iii) να έχει µία µόνο λύση

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικα Γ Γυμνασιου

Μαθηματικα Γ Γυμνασιου Μαθηματικα Γ Γυμνασιου Θεωρια και παραδειγματα livemath.eu σελ. απο 9 Περιεχομενα Α ΜΕΡΟΣ: ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 4 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Χ 4 ΜΟΝΩΝΥΜΑ & ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 5 ΜΟΝΩΝΥΜΑ 5 ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 5 ΡΙΖΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΟΥ 5 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 5 ΠΕΡΙΟΔΩΝ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 8 ΙΟΥΝΙΟΥ 2009

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 5 ΠΕΡΙΟΔΩΝ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 8 ΙΟΥΝΙΟΥ 2009 ΕΥΡΩΠΑΙΚΟ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΟ 2009 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 5 ΠΕΡΙΟΔΩΝ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 8 ΙΟΥΝΙΟΥ 2009 ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΕΞΕΤΑΣΗΣ: 4 ώρες (240 λεπτά) ΕΠΙΤΡΕΠΟΜΕΝΑ ΒΟΗΘΗΜΑΤΑ Ευρωπαικό τυπολόγιο Μη προγραμματιζόμενος υπολογιστής, χωρίς γραφικά

Διαβάστε περισσότερα

ΟΛΗ Η ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΟΛΗ Η ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΛΗ Η ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΡΙΣΜΟΙ ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ : ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο M11. Στροφορµή

Κεφάλαιο M11. Στροφορµή Κεφάλαιο M11 Στροφορµή Στροφορµή Η στροφορµή παίζει σηµαντικό ρόλο στη δυναµική των περιστροφών. Αρχή διατήρησης της στροφορµής Η αρχή αυτή είναι ανάλογη µε την αρχή διατήρησης της ορµής. Σύµφωνα µε την

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΕΣ ΕΚΤΙΜΗΣΕΙΣ Οι συναρτήσεις πιθανότητας ή πυκνότητας πιθανότητας των διαφόρων τυχαίων μεταβλητών χαρακτηρίζονται από κάποιες

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ η Κατηγορία : Ο Κύκλος και τα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΔΙΑΦΟΡΑ ΔΥΝΑΜΙΚΟΥ

ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΔΙΑΦΟΡΑ ΔΥΝΑΜΙΚΟΥ ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΔΙΑΦΟΡΑ ΔΥΝΑΜΙΚΟΥ Υποθέστε ότι έχουμε μερικά ακίνητα φορτισμένα σώματα (σχ.). Τα σώματα αυτά δημιουργούν γύρω τους ηλεκτρικό πεδίο. Αν σε κάποιο σημείο Α του ηλεκτρικού πεδίου τοποθετήσουμε ένα

Διαβάστε περισσότερα

«ΣΥΝΕΧΗ ΚΛΑΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ: ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ»

«ΣΥΝΕΧΗ ΚΛΑΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ: ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ» Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο «ΣΥΝΕΧΗ ΚΛΑΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ: ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ» ΜΠΙΘΗΜΗΤΡΗ ΒΑΣΙΛΙΚΗ ΣΤΕΛΛΑ Επιβλέπουσα: Αν. Καθηγήτρια

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Κεφάλαιο 1. Μαθηματικό Υπόβαθρο 23, 26 Ιανουαρίου 2007 Δρ. Παπαδοπούλου Βίκη 1 1.1. Σύνολα Ορισμός : Σύνολο μια συλλογή από αντικείμενα Στοιχεία: Μέλη συνόλου Τα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΜΑ ο _6950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. Τρισδιάστατες κινήσεις

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. Τρισδιάστατες κινήσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ Τρισδιάστατες κινήσεις Οι µονοδιάστατες κινήσεις είναι εύκολες αλλά ζούµε σε τρισδιάστατο χώρο Θα δούµε λοιπόν τώρα πως θα αντιµετωπίζοµε την κίνηση υλικού σηµείου στις τρεις διαστάσεις Ας θεωρήσοµε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 5 ΠΕΡΙΟΔΩΝ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 5 ΠΕΡΙΟΔΩΝ ΕΥΡΩΠΑΙΚΟ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΟ 010 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 5 ΠΕΡΙΟΔΩΝ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 4 Ιουνίου 010 ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΕΞΕΤΑΣΗΣ: 4 ώρες (40 λεπτά) ΕΠΙΤΡΕΠΟΜΕΝΑ ΒΟΗΘΗΜΑΤΑ Ευρωπαικό τυπολόγιο Μη προγραμματιζόμενος υπολογιστής, χωρίς γραφικά

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Λυκείου. Έκδοση Α. 120 Ασκήσεις προσδοκούν να προαχθούν σε θέµατα εξετάσεων. Αθήνα 2012 (λίγο πριν τις εκλογές) 5/5/2012

Μαθηματικά Γ Λυκείου. Έκδοση Α. 120 Ασκήσεις προσδοκούν να προαχθούν σε θέµατα εξετάσεων. Αθήνα 2012 (λίγο πριν τις εκλογές) 5/5/2012 Μαθηματικά Γ Λυκείου Ασκήσεις προσδοκούν να προαχθούν σε θέµατα εξετάσεων 5/5/ Έκδοση Α Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση ( mac964@gmail.com) Αθήνα (λίγο πριν τις εκλογές) Επαναληπτικές ασκήσεις που φιλοδοξούν

Διαβάστε περισσότερα

Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 108 Θέματα - 24/1/2015

Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 108 Θέματα - 24/1/2015 Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσανατολισμού Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 08 Θέματα - 4//05 Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσανατολισμού Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσαν. Κεφάλαιο

Διαβάστε περισσότερα

Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 2 0 1 5 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K A I Σ Τ Ο Ι Χ Ε Ι Α Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η

Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 2 0 1 5 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K A I Σ Τ Ο Ι Χ Ε Ι Α Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 0 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K A I Σ Τ Ο Ι Χ Ε Ι Α Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η Ε π ι μ ε λ ε ι α : Τ α κ η ς Τ σ α κ α λ α κ ο ς o ΘΕΜΑ Π α ν ε λ λ α δ ι κ ε ς Ε ξ ε τ α σ ε ι ς ( 0 ) A. Aν οι συναρτησεις

Διαβάστε περισσότερα

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή KΕΦΑΛΑΙΟ ΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ιατεταγµένα σώµατα-αξίωµα πληρότητας Ένα σύνολο Σ καλείται διατεταγµένο σώµα όταν στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΤΗΣ ΤΡΑΠΕΖΑΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 014-015 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1. ΘΕΜΑ ΚΩΔΙΚΟΣ_18556 Δίνονται τα διανύσματα α και β με ^, και,. α Να

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 25/5/2015 ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ: ΘΕΜΑ Α: ΘΕΜΑ Β:

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 25/5/2015 ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ: ΘΕΜΑ Α: ΘΕΜΑ Β: . Σχολικό βιβλίο σελ.9. Σχολικό βιβλίο σελ.88 3. Σχολικό βιβλίο σελ.5. α) Λ Β. β) Σ γ) Λ δ) Σ ε) Σ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 5/5/5 ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ: ΘΕΜΑ Α: ΘΕΜΑ Β: Έστω z=+yi. Κάνοντας πράξεις στη

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α A. Έστω μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Αν f () σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 3. Δίνονται τα σύνολα 2

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 3. Δίνονται τα σύνολα 2 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΥΝΟΛΑ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Έστω βασικό σύνολο Ω = {, 4, 5, 8, 0} και τα υποσύνολα του Ω, Α = {, 5, 0}, Β = {4, 8, 0} i) Να παραστήσετε με διάγραμμα Venn τα παραπάνω σύνολα ii) Να περιγράψετε

Διαβάστε περισσότερα

Κυκλώματα, Σήματα και Συστήματα

Κυκλώματα, Σήματα και Συστήματα Κυκλώματα, Σήματα και Συστήματα Μάθημα 7 Ο Μετασχηματισμός Z Βασικές Ιδιότητες Καθηγητής Χριστόδουλος Χαμζάς Ο Μετασχηματισμός Ζ Γιατί χρειαζόμαστε τον Μετασχηματισμό Ζ; Ανάγει την επίλυση των αναδρομικών

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΩΝ ΟΡΙΣΜΟΙ: διαφορές των αγνώστων συναρτήσεων. σύνολο τιμών. F(k,y k,y. =0, k=0,1,2, δείκτη των y k. =0 είναι 2 ης τάξης 1.

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΩΝ ΟΡΙΣΜΟΙ: διαφορές των αγνώστων συναρτήσεων. σύνολο τιμών. F(k,y k,y. =0, k=0,1,2, δείκτη των y k. =0 είναι 2 ης τάξης 1. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΩΝ ΟΡΙΣΜΟΙ: Οι Εξισώσεις Διαφορών (ε.δ.) είναι εξισώσεις που περιέχουν διακριτές αλλαγές και διαφορές των αγνώστων συναρτήσεων Εμφανίζονται σε μαθηματικά μοντέλα, όπου η μεταβλητή παίρνει

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 2001. + mu 1 2m. + u2. = u 1 + u 2. = mu 1. u 2, u 2. = u2 u 1 + V2 = V1

ΛΥΣΕΙΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 2001. + mu 1 2m. + u2. = u 1 + u 2. = mu 1. u 2, u 2. = u2 u 1 + V2 = V1 ΛΥΣΕΙΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 00 ΘΕΜΑ : (α) Ταχύτητα ΚΜ: u KM = mu + mu m = u + u Εποµένως u = u u + u = u u, u = u u + u = u u (β) Διατήρηση ορµής στο ΚΜ: mu + mu = mv + mv u + u = V + V = 0 V = V

Διαβάστε περισσότερα

1. Κατά μήκος μιας χορδής μεγάλου μήκους, η οποία ταυτίζεται με τον άξονα x Ox, διαδίδονται ταυτόχρονα

1. Κατά μήκος μιας χορδής μεγάλου μήκους, η οποία ταυτίζεται με τον άξονα x Ox, διαδίδονται ταυτόχρονα ΣΤΑΣΙΜΑ ΚΥΜΑΤΑ 1. Κατά μήκος μιας χορδής μεγάλου μήκους, η οποία ταυτίζεται με τον άξονα x Ox, διαδίδονται ταυτόχρονα δύο αρμονικά κύματα που έχουν εξισώσεις y 1 = 0,1ημπ(5t,5x) (S.I.) και y = 0,1ημπ(5t

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ. Δίνεται η συνάρτηση f (). Να βρείτε για ποιες τιμές του δεν ορίζεται η συνάρτηση f. Να βρείτε τον αριθμό f ( ). Να δείξετε ότι f () I. Δίνεται η εξίσωση με η οποία έχει ρίζες

Διαβάστε περισσότερα

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Διαγράμματα διασποράς (scattergrams) Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Η οπτική απεικόνιση δύο συνόλων δεδομένων μπορεί να αποκαλύψει με παραστατικό τρόπο πιθανές τάσεις και μεταξύ τους συσχετίσεις,

Διαβάστε περισσότερα

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ O z είναι πραγματικός, αν και μόνο αν Ο z είναι φανταστικός, αν και μόνο αν β) Αν και να αποδείξετε ότι ο αριθμός είναι πραγματικός, ενώ ο αριθμός είναι φανταστικός. 9. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των

Διαβάστε περισσότερα

Μελέτη ευθύγραμμης ομαλά επιταχυνόμενης κίνησης και. του θεωρήματος μεταβολής της κινητικής ενέργειας. με τη διάταξη της αεροτροχιάς

Μελέτη ευθύγραμμης ομαλά επιταχυνόμενης κίνησης και. του θεωρήματος μεταβολής της κινητικής ενέργειας. με τη διάταξη της αεροτροχιάς Εργαστηριακή Άσκηση 4 Μελέτη ευθύγραμμης ομαλά επιταχυνόμενης κίνησης και του θεωρήματος μεταβολής της κινητικής ενέργειας με τη διάταξη της αεροτροχιάς Βαρσάμης Χρήστος Στόχος: Μελέτη της ευθύγραμμης

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας-Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας-Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ Σχολικό έτος : 04-05 Τα θέματα εμπλουτίζονται με την δημοσιοποίηση και των νέων θεμάτων

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις σειρές

Σηµειώσεις στις σειρές . ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σηµειώσεις στις σειρές Στην Ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τις βασικές-απαραίτητες έννοιες για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους. Έτσι, δίνονται συστηµατικά

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ. (2 μονάδες) Δίνονται τα σημεία (-2, -16), (-1, -3), (0, 0), (1, -1) και (2, 0). Υπολογίστε το πολυώνυμο παρεμβολής Newton.

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ. (2 μονάδες) Δίνονται τα σημεία (-2, -16), (-1, -3), (0, 0), (1, -1) και (2, 0). Υπολογίστε το πολυώνυμο παρεμβολής Newton. ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΔΟΜΙΚΩΝ ΕΡΓΩΝ ΑΚΑΔ. ΕΤΟΣ - Τ. Ε. Ι. Σ Ε Ρ Ρ Ω Ν Σέρρες, 9 Ιανουαρίου ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Ομάδα Α ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΘΕΜΑ ον (+ μονάδες) Δίνεται ο πρόβολος, με μήκος = m, με κατανεμημένο φορτίο που

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣ. 211 Τελική Εξέταση 11-Μάη-2015

ΦΥΣ. 211 Τελική Εξέταση 11-Μάη-2015 ΦΥΣ. 211 Τελική Εξέταση 11-Μάη-2015 Πριν ξεκινήσετε συµπληρώστε τα στοιχεία σας (ονοµατεπώνυµο, αριθµό ταυτότητας) στο πάνω µέρος της σελίδας αυτής. Για τις λύσεις των ασκήσεων θα πρέπει να χρησιµοποιήσετε

Διαβάστε περισσότερα

Η ΠΑΡΟΥΣΙΑ ΤΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

Η ΠΑΡΟΥΣΙΑ ΤΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Η ΠΑΡΟΥΣΙΑ ΤΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ 4 Η Ευκλείδεια Γεωμετρία στην εκπαίδευση και στην κοινωνία. Κώστας Μαλλιάκας, Καθηγητής Δ.Ε., 1 ο ΓΕΛ Ρόδου, kmath@otenet.gr

Διαβάστε περισσότερα

Συνεχή Κλάσματα. Εμμανουήλ Καπνόπουλος Α.Μ 282

Συνεχή Κλάσματα. Εμμανουήλ Καπνόπουλος Α.Μ 282 Συνεχή Κλάσματα Εμμανουήλ Καπνόπουλος Α.Μ 282 5 Νοεμβρίου 204 Ορισμός και ιδιότητες: Ορισμός: Έστω a 0, a, a 2,...a n ανεξάρτητες μεταβλητές, n N σχηματίζουν την ακολουθία {[a 0, a,..., a n ] : n N} όπου

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 η Ημερομηνία Αποστολής στο Φοιτητή: 23 Απριλίου 2012

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 η Ημερομηνία Αποστολής στο Φοιτητή: 23 Απριλίου 2012 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 η Ημερομηνία Αποστολής στο Φοιτητή: Απριλίου 0 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 8 Μαΐου 0 Πριν από τη

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. H Εννοια του διανυσματος. Σ υ ν ο λ α - Ο ρ ι σ μ ο ι

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. H Εννοια του διανυσματος. Σ υ ν ο λ α - Ο ρ ι σ μ ο ι ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Σ υ ν ο λ α - Ο ρ ι σ μ ο ι Συνολο λεγεται καθε συλλογη 3. Να δειχτει αντικειμενων, οτι α + 0 που προερχονται 0α. Ποτε ισχυει απ την το εμπειρια ισον; μας η τη διανοηση 3 3. μας, Aν α, ειναι

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO. και επιπλέον. Αν μία συνάρτηση f είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [α,β] η f είναι συνεχής στο [α,β]

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO. και επιπλέον. Αν μία συνάρτηση f είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [α,β] η f είναι συνεχής στο [α,β] ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO - ΠΡΟΣΗΜΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΕΝΔΙΑΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΤΙΜΗΣ - ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα. Θέμα 1 Α. Να αποδείξετε ότι για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω, ισχύει P(A-B)=P(A)-P( A B) (10 μονάδες)

Θέματα. Θέμα 1 Α. Να αποδείξετε ότι για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω, ισχύει P(A-B)=P(A)-P( A B) (10 μονάδες) Θέματα Θέμα 1 Α. Να αποδείξετε ότι για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω, ισχύει P(A-B)=P(A)-P( A B) (10 μονάδες) Β. Είναι Σωστή ή Λάθος καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις ; Θέμα α. Αν x

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 013 ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΥΜΝΑΣΙΟΥ Η ΤΕΛΕΥΤΑΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ αγγέλης Α Νικολακάκης Μαθηματικός ΛΙΑ ΛΟΑ Η παρούσα εργασία μου δεν στοχεύει απλά στο κυνήγι του 0, δηλαδή το σύνολο των μονάδων των απολυτήριων

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ Πανεπιστήμιο Πατρών Τμήμα Φυσικής Εργαστήριο Ηλεκτρονικής ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ Κ. Ψυχαλίνος Πάτρα 005 . METAΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE. Ορισμοί Μετάβαση από το πεδίο του χρόνου στο πεδίο συχνότητας.

Διαβάστε περισσότερα

Σημείωση: Δες ορισμό απλού γραφήματος στον Τόμο Α, σελ. 97 και τόμο Β, σελ 12.

Σημείωση: Δες ορισμό απλού γραφήματος στον Τόμο Α, σελ. 97 και τόμο Β, σελ 12. ΑΣΚΗΣΗ 1: Είναι το ακόλουθο γράφημα απλό; Σημείωση: Δες ορισμό απλού γραφήματος στον Τόμο Α, σελ. 97 και τόμο Β, σελ 12. v 2 ΑΠΑΝΤΗΣΗ 1: Το παραπάνω γράφημα δεν είναι απλό, αφού υπάρχουν δύο ακμές που

Διαβάστε περισσότερα

e-mail@p-theodoropoulos.gr

e-mail@p-theodoropoulos.gr Ασκήσεις Μαθηµατικών Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος Μαθηµατικών e-mail@p-theodoropoulos.gr Στην εργασία αυτή ξεχωρίζουµε και µελετάµε µερικές περιπτώσεις ασκήσεων

Διαβάστε περισσότερα

Απολυτήριες εξετάσεις Γ Τάξης Ημερήσιου Γενικού Λυκείου ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. 29 5 2015

Απολυτήριες εξετάσεις Γ Τάξης Ημερήσιου Γενικού Λυκείου ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. 29 5 2015 Απολυτήριες εξετάσεις Γ Τάξης Ημερήσιου Γενικού Λυκείου ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. 9 5 015 ΘΕΜΑ Α: Α1. α Α. β Α. α Α4. δ Α5. α) Λ β) Σ γ) Σ δ) Λ ε) Σ ΘΕΜΑ Β: B1. Σωστό το iii. Αιτιολόγηση: Οι εξωτερικές δυνάμεις

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ - VI ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΘΕΡΜΟ ΥΝΑΜΙΚΗ Ι (ΚΛΑΣΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ) Α. ΑΣΚΗΣΗ Α3 - Θερµοχωρητικότητα αερίων Προσδιορισµός του Αδιαβατικού συντελεστή γ

ΜΑΘΗΜΑ - VI ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΘΕΡΜΟ ΥΝΑΜΙΚΗ Ι (ΚΛΑΣΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ) Α. ΑΣΚΗΣΗ Α3 - Θερµοχωρητικότητα αερίων Προσδιορισµός του Αδιαβατικού συντελεστή γ ΜΑΘΗΜΑ - VI ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΘΕΡΜΟ ΥΝΑΜΙΚΗ Ι (ΚΛΑΣΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ) ΑΣΚΗΣΗ Α3 - Θερµοχωρητικότητα αερίων Προσδιορισµός του Αδιαβατικού συντελεστή γ Τµήµα Χηµείας, Πανεπιστήµιο Κρήτης, και Ινστιτούτο Ηλεκτρονικής

Διαβάστε περισσότερα

Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (Επαναληπτικός ιαγωνισμός)

Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (Επαναληπτικός ιαγωνισμός) 4 Η ΠΑΓΚΥΠΡΙΑ ΟΛΥΜΠΙΑ Α ΦΥΣΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (Επαναληπτικός ιαγωνισμός) Κυριακή, 5 Απριλίου, 00, Ώρα:.00 4.00 Προτεινόμενες Λύσεις Άσκηση ( 5 μονάδες) Δύο σύγχρονες πηγές, Π και Π, που απέχουν μεταξύ τους

Διαβάστε περισσότερα

2.2. Συμβολή και στάσιμα κύματα. Ομάδα Γ.

2.2. Συμβολή και στάσιμα κύματα. Ομάδα Γ. 2.2. Συμβολή και στάσιμα κύματα. Ομάδα Γ. 2.2.21. σε γραμμικό ελαστικό μέσο. Δύο σύγχρονες πηγές Ο 1 και Ο 2 παράγουν αρμονικά κύματα που διαδίδονται με ταχύτητα υ=2m/s κατά μήκος ενός γραμμικού ελαστικού

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ο δείγμα ΘΕΜΑ ο Α. Έστω μία συνάρτηση f συνεχής σε ένα διάστημα α,β. Αν G είναι μία παράγουσα της f στο α,β τότε να αποδείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο Η2. Ο νόµος του Gauss

Κεφάλαιο Η2. Ο νόµος του Gauss Κεφάλαιο Η2 Ο νόµος του Gauss Ο νόµος του Gauss Ο νόµος του Gauss µπορεί να χρησιµοποιηθεί ως ένας εναλλακτικός τρόπος υπολογισµού του ηλεκτρικού πεδίου. Ο νόµος του Gauss βασίζεται στο γεγονός ότι η ηλεκτρική

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός Αγαπητοί μαθητές. αυτό το βιβλίο αποτελεί ένα βοήθημα στην ύλη της Άλγεβρας Α Λυκείου, που είναι ένα από

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό διαγώνισµα στα Κύµατα

Επαναληπτικό διαγώνισµα στα Κύµατα ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΤΑΙΧΜΙΟ 1 Επαναληπτικό διαγώνισµα στα Κύµατα Θέµα 1 0 Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό καθεµιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις 1-4 και δίπλα το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση.

Διαβάστε περισσότερα

ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ ΟΡΙΣΜΟΣ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗΣ

ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ ΟΡΙΣΜΟΣ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗΣ ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ. Mια συνάρτηση λέμε ότι είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού ( της, αν υπάρει το lim και είναι πραγματικός αριθμός. Το όριο αυτό λέγεται παράγωγος της στο και συμβολίζεται

Διαβάστε περισσότερα

ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ

ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ τη ΘΕΩΡΙΑ με τις απαραίτητες διευκρινήσεις ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

1 Απλή Αρµονική Ταλάντωση

1 Απλή Αρµονική Ταλάντωση ,Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Καραδηµητρίου Ε. Μιχάλης http://perifysikhs.wordpress.com mixalis.karadimitriou@gmail.com Πρόχειρες Σηµειώσεις 2011-2012 1 Απλή Αρµονική Ταλάντωση 1.1 Περιοδικά Φαινόµενα

Διαβάστε περισσότερα