Άσκηση 1. h 2 B = 1 + A = Για τις περιοχές A : x < 0, B : x > 0 η εξίσωση Schroedinger θα έχει τη μορφή της ελεύθερης εξίσωσης, αφού V(x) = 0:

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Άσκηση 1. h 2 B = 1 + A = Για τις περιοχές A : x < 0, B : x > 0 η εξίσωση Schroedinger θα έχει τη μορφή της ελεύθερης εξίσωσης, αφού V(x) = 0:"

Transcript

1 Άσκηση 1 Για τις περιοχές A : x < 0, B : x > 0 η εξίσωση Schroediger θα έχει τη μορφή της ελεύθερης εξίσωσης, αφού Vx = 0: Ψ A + κ Ψ A = 0 Ψ B + κ Ψ B = 0 Για το σημείο x = 0 η εξίσωση Schroediger θα είναι: όπου: Ψ + m h E Vx Ψ = 0 Ψ + κ Ψ = λδxψ Οι λύσεις της Ψ θα είναι της μορφής: κ = me h, λ = mg h Ψ A = e iκx + Ae iκx Ψ B = Be iκx Σημείωση: Η συνάρτηση Ψ = Ae iκx είναι ιδιοσυνάρτηση του τελεστή της ορμής ˆp = ih d hk dx, με ιδιοτιμή hκ, και περιγράφει κίνηση προς τα δεξιά όταν k > 0, με ταχύτητα m. Αντίστοιχα, περιγράφει κίνηση προς τα αριστερά όταν k < 0. Ψ A 0 = Ψ B A = B +a a Ψ dx + +a a κ Ψdx = +a a λδxψdx Για lim a 0 +a Ψ +a Ψ a + κ Ψdx = λψ0 a Ψ B0 Ψ A0 = λψ0 iκb iκ iκa = λ1 + A iκ1 + A iκ iκa = λ1 + A λ A = λ + iκ iκ B = 1 + A = λ + ik 1

2 Οι συντελεστές ανάκλασης R-Reflectio και μετάδοσης T-Trasmissio θα είναι: R = A = T = B = λ λ + 4κ 4κ λ + 4κ Παρατηρούμε ότι επιβεβαίωνεται η σχέση R + T = 1. Άσκηση Η κυματοσυνάρτηση ενός συστήματος είναι Ψθ, ϕ = 3 8π si ϕ si θ + i cos θ. Να δειχτεί ότι η Ψ είναι ιδιοσυνάρτηση του ˆL. Ποια είναι η ιδιοτιμή; Ποια είναι τα δυνατά αποτελέσματα μιας μέτρησης του τελεστή L z και με ποια πιθανότητα; Γνωρίζω ότι si ϕ = eiϕ e iϕ i. Επομένως: 3 Ψθ, ϕ = 8π = 1 i [ si θ e iϕ e iϕ i 3 8π si θeiϕ 1 i = i Y 11 + i Y i Y 10 ] + i cos θ 3 3 8π si θe iϕ + i 8π cos θ Pm = 1 = C 1 = 1/4 Pm = 1 = C = 1/4 Pm = 0 = C 3 = 1/ Άσκηση 3 Αν ο τελεστής Ĥ ενός κβαντομηχανικού συστήματος είναι άθροισμα τελεστών H = k 1 H i, όπου ο κάθε ένας αποτελείται από μία μόνο συντεταγμένη, τότε η ανεξάρτητη του χρόνου εξίσωση του Schroediger έχει λύση το γινόμενο των λύσεων των εξισώσεων ψ = k 1 ψ k, η δε ενέργεια του συστήματος θα δίνεται από τη σχέση: E = k 1 E i Αρκεί να αποδείξουμε ότι ο τελεστής H = k 1 H i και η κυματοσυνάρτηση ψ = k 1 ψ k

3 ικανοποιούν την χρονοανεξάρτητη εξίσωση του Schroediger: k k k k k k k k H i ψ i = H i ψ j = H i ψ j = E i ψ j = i=1 } {{ } H Άσκηση 4 i=1 } {{ } ψ i=1 j=1 i=1 j=1 i=1 j=1 k i=1 E i } {{ } E k j=1 ψ j } {{ } ψ Έστω τελεστής που δεν εξαρτάται από το χρόνο Ĝ. Να δειχτεί ότι: Γνωρίζουμε εξ ορισμού ότι ισχύει: d dt Ĝ = 1 [Ĝ, Ĥ] ih G = Ψ GΨdx Οπότε: d dt Ĝ = d Ψ GΨdx dt = Ψ GΨ + Ψ G Ψ + Ψ GΨ dx = Ψ GΨ + Ψ GΨ dx Οπότε με αντικατάσταση: d dt G = 1 1 = = 1 ih HΨ = ih Ψ t Ψ t = 1 ih HΨ ih HΨ GΨ + Ψ G 1 ih HΨ dx ih Ψ GHΨ HΨ GΨ dx Ψ GH HG Ψdx = 1 [G, H] ih 3

4 Σημείωση: Αν ο τελεστής Ĝ δεν είναι ανεξάρτητος του χρόνου, τότε θα ισχύει: d dt G = 1 [G, H] + G ih t G Από τη σχέση αυτή φαίνεται πως αν ο Ĝ είναι ανεξάρτητος του χρόνου, δηλαδή t = 0, και αν ο τελεστής μετατίθεται με τον χαμιλτονιανό τελεστή, δηλαδή [G, H] = 0, τότε η μέση d G τιμή του φυσικού μεγέθους που περιγράφεται από τον Ĝ είναι σταθερή, δηλαδή dt = 0. ηλαδή το μέγεθος που περιγράφεται από τον τελεστή Ĝ θα είναι διατηρήσιμο και συνεπώς θα αποτελεί σταθερά της κίνησης. Άσκηση 5 Για σωματίδιο που κινείται σε δυναμικό Vx, να αποδειχτεί ότι: d dt x = 1 m [ xp x + p x x ] Εφαρμόζουμε την προηγούμενη σχέση, για G = x : d dt x = 1 ih [x, H] = i h [ H, x ] H = p m + Vx = 1 p m x + p y + p z + Vx Εφαρμόζουμε την ταυτότητα [A, BC] = [A, B]C + B[A, C] εδώ είναι A = H, B = C = x: [H, x ] = [H, xx] = [H, x]x + x[h, x] Όμως: [ ] p [H, x] = x m + p y m + p z m + Vx, x = 1 m [p x, x] [p x, x] = [x, p x] = [x, p x p x ] = [x, p x ]p x p x [x, p x ] = ihp x p x ih = ihp x 4

5 [H, x ] = 1 m [ ihp xx + x ihp x ] = ih m p xx + xp x d dt x = i h [H, x ] = i [ h ih ] m p xx + xp x = 1 m p xx + xp x = 1 m [ p xx + xp x ] Άσκηση 6 α. Να βρεθούν οι ιδιοσυναρτήσεις και οι ιδιοτιμές του τελεστή x + d dx. β. Ποιες τιμές πρέπει να έχουν τα α, β, ώστε οι τελεστές Â = αx και ˆB = β d dx να είναι ερμιτιανοί; α. Εξ ορισμού ένας τελεστής Â έχει ιδιοσυνάρτησεις Ψ και ιδιοτιμές λ, όταν ισχύει η σχέση: ÂΨ = λψ Επομένως, αρκεί να λύσουμε την εξίσωση ιδιοτιμών: x + d Ψ = λψ dx xψ + Ψ = λψ Ψ = λ xψ Ψ Ψ = λ x l Ψ = λ x l Ψ = λx x + C x λx Ψ = Ce β. Εξ ορισμού ένας τελεστής Â λέγεται ερμιτιανός όταν ισχύει η σχέση: ψ Aϕdx = Aψ ϕdx Επομένως, αρκεί να λύσουμε την εξίσωση: 5

6 ψ αxϕdx = αxψ ϕdx α = α α R ψ Bϕdx = Bψ ϕdx ψ β dϕ dx dx = β dψ ϕdx dx Άσκηση 7 Έστω yr = Fr exp γr, όπου ισχύει: F γf + r F = 0. Να κατασκευαστούν οι πρώτες τρεις κανονικοποιημένες σφαιρικά συμμετρικές ιδιοσυναρτήσεις του ατόμου του υδρογόνου σε ατομικές μονάδες. 1r γr 1 + r r = 0 1r + γ + r 1 = 0 γ + r 1 = 0 γ = 1 Είναι y0 = 0 F0 = 0. Άρα το πολύωνυμο Fr πρέπει να είναι βαθμού μεγαλύτερο ή ίσου του ένα. yr = rψr, γ = 1, = 1, ψr = Fre γr ψr = Ne r Άσκηση 8 α. Να δειχτεί ότι το γινόμενο δύο ερμιτιανών τελεστών είναι ερμιτιανός, μόνο αν οι τελεστές μετατίθενται. β. Πότε λέγεται πως ένα τελεστής είναι θετικά ορισμένος; γ. Να δειχτεί ότι υπάρχει ερμιτιανός τελεστής της μορφής A A και θετικά ορισμένος. δ. Να δειχτεί ότι αν Α,Β είναι δύο τυχόντες τελεστές, τότε οι παρακάτω συνδυασμοί είναι ερμιτιανοί τελεστές: AB + BA iab BA 6

7 α Έστω δύο ερμιτιανοί τελεστές Â, ˆB, οπότε εξ ορισμού ισχύει: ψ Aϕdx = Aψ ϕdx ψ Bϕdx = Bψ ϕdx Για να είναι το γινόμενό τους ερμιτιανός τελεστής πρέπει και αρκεί: ψ ABϕdx = ABψ ϕdx ψ ABϕdx = Aψ Bϕdx = BAψ ϕdx Απ όπου προκύπτει ότι η παραπάνω ισότητα θα ισχύει μόνο όταν: Δηλαδή, μόνο όταν οι Â, ˆB μετατίθενται. AB = BA [A, B] = 0 β Ένας τελεστής λέγεται θετικά ορισμένος όταν έχει πάντα θετική μέση τιμή. γ Για να είναι ο A A ερμιτιανός τελεστής πρέπει και αρκεί: ψ, A Aϕ = A Aψ, ϕ Είναι εξ ορισμού: ψ, A Aϕ = A A ψ, ϕ = A A ψ, ϕ = A Aψ, ϕ ορ. δ Για να είναι ένας τελεστής ερμιτιανός, αρκεί να είναι ίσος με τον συζυγή του: AB + BA = AB + BA = B A + A B = BA + AB = AB + BA [iab BA] = i AB BA = i[ab BA ] = ib A A B = iba AB = iab BA Όπου μεταξύ άλλων ιδιοτήτων κάναμε χρήση ότι οι κβαντομηχανικοί τελεστές είναι ερμιτιανοί, δηλαδή ότι A = A, B = B. Άσκηση 9 Να δεχτεί η γενικευμένη έκφραση της απροσδιοριστίας για φυσικά μεγέθη Α, Β: A B 1 [A, B] 7

8 A = A A = A B = B B = B Από ανισότητα Schwartz ισχύει: A = ψ, A ψ = Aψ, Aψ = Aψ B = ψ, B ψ = Bψ, Bψ = Bψ A B = Aψ Bψ Aψ, Bψ Προσθέτωντας κατά μέλη παίρνουμε: Aψ, Bψ = ψ, ABψ Aψ, Bψ = BAψ, ψ Aψ, Bψ = ψ, ABψ + BAψ, ψ = ψ, ABψ ψ, BAψ + BAψ, ψ + ψ, BAψ = ψ, [A, B]ψ + ψ, AB + BAψ [A, B] AB + BA Aψ, Bψ = ψ, ψ + ψ, ψ [A, B] AB + BA = ψ, i ψ + ψ, ψ i [ ] [A, B] AB + BA = ψ, i + ψ i [A, B] AB + BA = i + i [A, B] AB + BA = i + i Οι τελεστές [A,B] i και AB+BA είναι ερμιτιανοί, επομένως η μέση τιμή τους είναι πραγματικός αριθμός, άρα το εσωτερικό γινόμενο είναι μιγαδικός αριθμός. Γνωρίζουμε ότι z C : z Rez, z Imz. Επομένως: Aψ, Bψ [A, B] = 1 [A, B] i 8

9 Εφαρμογή για θέση x και ορμή p ενός σωματιδίου: A x, B p : x p 1 [x, p] = 1 ih = h Άσκηση 10 α Έστω ˆΠ ο τελεστής της ομοτιμίας parity. Να βρεθούν οι ιδιοτιμές του. β Έστω ˆT α ο τελεστής μετατόπισης. Να βρεθεί το αποτέλεσμα της δράσης του TΠ 3 TΠ 3 σε μια συνάρτηση. γ Να δειχτεί ότι ˆT α = e i h apˆ x. α Για να βρούμε τις ιδιοτιμές του τελεστή ˆΠ, αρκεί να λύσουμε την εξίσωση ιδιοτιμών: Πfx = λfx Εφαρμόζουμε τον τελεστή ˆΠ και στα δύο μέλη της εξίσωσης: β Είναι ˆ Tα fx = fx + α. Επομένως: γ Είναι: ΠΠfx = Πλfx Πf x = λπfx fx = λ fx λ = ±1 T α Π 3 T α Π 3 = T α Π 3 T α f x = T α Π 3 f x + α = T α fx α = fx e i h αp x fx = e i h α ih d dx fx = e α d dx fx Στη συνέχεια θα αναπτύξουμε τον τελεστή e α d dx σε μία σειρά McLauri: e α d dx fx = 1 + α d 1! dx + α d! dx +... fx = fx + α df 1! dx + α d f! dx +... = fx + α = T α fx 9

10 Το άθροισμα που εμφανίζεται είναι ουσιαστικά το ανάπτυγμα McLauri της συνάρτησης fα + x, γύρω από το σημείο a = 0. Θυμίζουμε ότι: Άσκηση 11 fα = f0 + αf 0 + a! f 0 + a3 3! f Κβαντομηχανική Ι, Τραχανάς, Κεφ. 7, σελ. 319 α Με αφετηρία τη βασική μεταθετική σχέση [x, p] = i, δείξτε ότι οι τελεστές α, α ικανοποιούν τη σχέση: [α, α ] = 1 όπου: α = 1 x + ip, α = 1 x ip [α, α ] = αα α α = 1 x ixp + ipx i p 1 x + ixp ipx i p = 1 ipx ixp = i[x, p] = i = 1 β Δείξτε ότι η χαμιλτονιανή γράφεται συναρτήσει των τελεστών α, α, ως: H = α α + 1 όπου: H = 1 p + x α α = 1 x + ixp ipx i p = 1 [ x + p + ixp px ] = 1 x + p + 1 i[x, p] = H 1 H = α α

11 γ Αποδείξτε ότι οι τελεστές α, α ικανοποιούν -με τη χαμιλτονιανή- τις ακόλουθες μεταθετικές σχέσεις: [H, α] = α, [H, α ] = a Χρησιμοποιούμε για την χαμιλτονιανή τη σχέση που την εκφράζει συναρτήσει των τελεστών α, α, όπως δείξαμε στο β : [H, α] = Hα αh = α α + 1 α α α α + 1 = α α αα α = αα α α α = [α, α ]α = α Ομοίως αποδεικνύεται ότι [H, α ] = α. δ Βάσει των μεταθετικών σχέσεων του γ, αποδείξτε ότι οι τελεστές α, α έχουν την ακόλουθη ιδιότητα: Όταν δρουν πάνω σε μια ιδιοσυνάρτηση, ψ E, της χαμιλτονιανής Ĥ με ιδιοτιμή E, ο μεν ˆα ανεβάζει την ιδιοτιμή κατά μονάδα, ο δε ˆα την κατεβάζει επίσης κατά μονάδα. Αρκεί να δείξουμε ότι οι κυματοσυναρτήσεις α ψ E και αψ E, έχουν ιδιοτιμές E + 1 και E 1 αντίστοιχα. [H, α ] = α Hα α H = α Hα ψ E α Hψ E = α ψ E Εφόσον όμως η ψ E είναι ιδιοσυνάρτηση του τελεστή Ĥ με ιδιοτιμή E, ισχύει εξ ορισμού ότι: Hψ E = Eψ E. Οπότε: Hα ψ E = α ψ E + α Eψ E Hα ψ E = α ψ E + Eα ψ E Hα ψ E = E + 1 α ψ E Οπότε πράγματι δείξαμε ότι η κυματοσυνάρτηση α ψ E είναι ιδιοσυνάρτηση του τελεστή Ĥ με ιδιοτιμή E + 1. Ομοίως αποδεικνύεται ότι Hαψ E = E 1ψ E. 11

12 Σχόλιο: εφόσον για τυχούσα ιδιοτιμή E, οι E ± 1 είναι επίσης ιδιοτιμές, αυτό συνεπάγεται ότι η χαμιλτονιανή έχει ισαπέχουσες ιδιοτιμές με σταθερή απόσταση μεταξύ τους ίση με ένα. Έτσι, E = E 0 +, όπου E 0 η χαμηλότερη ιδιοτιμή που αντιστοιχεί στη θεμελιώδη κατάσταση. ε Δείξτε ότι E 0 = 1, χρησιμοποιώντας την H = α α + 1. Εφόσον η E 0 είναι ιδιοτιμή της χαμιλτονιανής, και έστω ότι η αντίστοιχη ιδιοσυνάρτηση είναι η ψ 0, τότε εξ ορισμού ισχύει: α α + 1 Hψ 0 = E 0 ψ 0 ψ 0 = E 0 ψ 0 α αψ 0 = E 0 1 ψ 0 E 0 = 1 στ Επικαλεστείτε την ιδιότητα της ψ 0 που αναφέραμε πριν, για να γράψετε πρωτοτάξια διαφορική εξίσωση βάσει της οποίας η ψ 0 μπορεί να υπολογιστεί αμέσως. Με γνωστή την ψ 0, τι θα κάνατε για να υπολογίσετε τις ανώτερες ιδιοσυναρτήσεις; Κάντε το τουλάχιστον για τις δύο πρώτες από αυτές. αψ 0 x = 0 1 x + d ψ 0 x = 0 dx Η λύση της οποίας είναι: xψ 0 x + dψ 0 dx = 0 ψ 0 x = Ce x Η σταθερά C υπολογίζεται από τη συνθήκη κανονικοποίησης: ψ 0xψ 0 xdx = 1 C e x dx = 1 C π = 1 C = 4 1 π Επομένως η ιδιοσυνάρτηση της θεμελιώδους κατάστασης του αρμονικού ταλαντωντή είναι η: ψ 0 x = 4 1 e x π 1

13 Οι ανώτερες ιδιοσυναρτήσεις υπολογίζονται εφαρμόζοντας τον τελεστή αναβίβασης a : ψ 1 x = α ψ 0 x ψ 1 x = 1 x d 1 dx ψ 1 x = 1 4 4π x d dx ψ 1 x = 4 1 xe x 4π 4 ψ 1 x = 4 x xe π 4 π e x e x Ομοίως υπολογίζεται και η ψ x. ζ Αν ψ είναι οι κανονικοποιημένες ιδιοσυναρτήσεις του αρμονικού ταλαντωτή, δείξτε ότι η δράση των α, α πάνω σε αυτές δίνει: αψ = ψ 1, α ψ = + 1ψ +1 Έχουμε ήδη δείξει στο ζ ότι: Hαψ = E 1αψ Η ιδιοσυνάρτηση αψ όμως δεν είναι ακόμη κανονικοποιημένη: αψ, αψ = ψ, α αψ = ψ, H 1 ψ = ψ, Hψ ψ, 1 ψ = E ψ, ψ 1 ψ, ψ Εφόσον όμως δίνεται ότι οι συναρτήσεις ψ είναι κανονικοποιημένες, ισχύει ότι ψ, ψ = 1, οπότε: Επομένως: αψ, αψ = E 1 1 = + 1 = αψ = ψ 1 αψ = ψ 1 13

14 Ομοίως αποδεικνύεται ότι α ψ = + 1ψ +1. η Χρησιμοποιείστε τις αναδρομικές σχέσεις από το ζ για να υπολογίσετε με έναν καθαρά αλγεβρικό τρόπο -δηλαδή χωρίς χρήση της εκπεφρασμένης μορφής των ιδιοσυναρτήσεωντις μέσες τιμές: x ψ, x ψ, p ψ, p ψ, x 4 ψ, x 4 ψ Γνωρίζουμε ότι: α = 1 x + ip α = 1 x ip Θα λύσουμε το σύστημα των εξισώσεων ως προς x, p: Επομένως: α + α = x α α = ip x = ψ, x ψ = ψ, α + αα + α α + α ψ = ψ, α ψ + ψ, αα ψ + ψ, α αψ + ψ, α ψ Εφόσον όμως τα ψ είναι ορθοκανονικά ισχύει ψ, ψ m = δ m, όπου δ m ο τελεστής του Kroecker. Οπότε: x = ψ, αα ψ + ψ, α αψ αα ψ = α + 1ψ +1 = + 1αψ +1 = + 1ψ α αψ = α ψ 1 = α ψ 1 = ψ x = x =

15 Ομοίως αποδεικνύεται ότι p = + 1. Εναλλακτικά, μπορούμε πιο σύντομα να γράψουμε: H = 1 x + p H = 1 x + 1 p p = H x p = E x p = = x 4 = ψ, 4x 4 ψ = ψ, α + α 4 ψ α + α 4 = α + αα + α α + α Αν αναπτύξουμε την παραπάνω ταυτότητα θα προκύψει ένα άθροισμα με 16 όρους. Επειδή όπως είπαμε οι ψ είναι ορθοκανονικές, ψ, ψ m = δ m. Επομένως θα κρατήσουμε εκείνους τους όρους για τους οποίους = m. Για να ικανοποιείται αυτή η συνθήκη, πρέπει και αρκεί σε κάθε έναν από αυτούς τους όρους, ο αριθμός των τελεστών αναβίβασης και καταβίβασης να είναι ίσος μεταξύ τους, ανεξάρτητα από τη σειρά με την οποία οι τελεστές αυτοί δρουν στην ψ. Τελικά, γράφουμε: 4 x 4 = ψ, α α + α α + αα + α α + αα α + α α α ψ α α ψ = + 1α α ψ +1 = α ψ + = αψ +1 = ψ α α ψ = α αψ 1 = 1α ψ = 1α ψ 1 = 1ψ αα ψ = αα αα ψ = + 1αα αψ +1 = + 1αα ψ = + 1 ψ 15

16 α α ψ = α αα αψ = α αα ψ 1 = α αψ = ψ αα αψ = αα ψ 1 = αα ψ = + 1ψ α α α ψ = + 1α α ψ +1 = + 1α αψ = + 1ψ Επομένως: 4 x 4 = = x 4 = θ Να αποδειχθεί ότι η μέση κινητική ενέργεια είναι ίση με τη μέση δυναμική θεώρημα του Virial Εργαζόμαστε κατά τα γνωστά στο σύστημα μονάδων h = m = ω = 1: T = p = + 1 V = x = + 1 Σημείωση: Στην κλασική μηχανή το θέωρημα του Virial παίρνει τη μορφή: T = V Άσκηση 1 Να υπολογιστεί η αβεβαιότητα στη θέση x του κβαντικού αρμονικού ταλαντωτή στη θεμελιώδη κατάστασή του. Εξ ορισμού είναι: x = ψ 0xx ψ 0 xdx 16

17 Η αδιάστατη ιδιοσυνάρτηση δηλαδή για h = m = ω = 1 της θεμελιώδους κατάστασης του κβαντικού αρμονικού ταλαντωτή είναι: Επομένως: ψ 0 x = 4 1 e x π x = 1 x e x dx π = 1 π 1 π = 1 Τελικά: x = x x = 1 x = 1 Άσκηση 13 Δίνεται ο μισός κβαντικός αρμονικός ταλαντωτής: { 1 Vx = kx, x > 0 +, x 0 α Να βρεθούν οι επιτρεπτές τιμές ενέργειάς του. β Να υπολογιστεί η μέση τιμή x στη θεμελιώδη κατάστασή του, και να συγκριθεί με την αντίστοιχη του πλήρους κβαντικού αρμονικού ταλαντωτή. Η θεμελιώδης κατάσταση του μισού κβαντικού αρμονικού ταλαντωτή είναι για = 1, δηλαδή αντιστοιχεί στην ιδιοσυνάρτηση ψ 1 x και ιδιοτιμή E 1 = 3. Οπότε: Γνωρίζουμε ότι: x = = 0 0 ψ 1xxψ 1 xdx x ψ 1 x dx 4 ψ 1 x = 4 x xe π Ωστόσο η ψ 1 x δεν είναι κανονικοποιημένη πλέον, διότι στον πλήρη κβαντικό αρμονικό ταλαντωτή το σωματίδιο κινείται στο διάστημα, +, ενώ στο μισό στο διάστημα 0, +. Για το λόγο αυτό πρέπει να πολλαπλασιάσουμε την ψ 1 x επί έναν παράγοντα, ώστε όταν λάβουμε το ολοκλήρωμα 0 ψ 1 x αυτό να είναι ίσο με 1. 17

18 Οπότε: x = 4 x 3 e x dx π 0 = 4 π 1 = π Άσκηση 14 Εάν τα πολυώνυμα Hermite παράγονται από τη γεννήτρια: Gx, s = exp s + xs = H x s! α να υπολογιστεί το H x ως συνάρτηση της Gx, s. β να δειχθεί ότι ικανοποιούν την εξής διαφορική εξίσωση: H x xh x + H x = 0 { } H x = H 0 x, H 1 x, H x, H 3x...!! 3! Gx, s = H 0 x + H 1 xs + H x! G s = H 1x + H x! Γενικά θα είναι: Ξεκινώντας από τη σχέση: s + 3 H 3x 3! H x = Gx, s s s + H 3x s ! s... G s s=0 Gx, s = exp s + xs = H x s! = H 1 x s=0 Παραγωγίζω κατά μέλη ως προς x: sgx, s = s H x s =! H x s +1 =! H x s! H x s! H x s! 18

19 Για να είναι δύο πολυώνυμα ίσα μεταξύ τους πρέπει και αρκεί οι συντελεστές των ισοβάθμιων δυνάμεων να είναι ίσοι μεταξύ τους. H x s +1 =! H +1x! + 1 s+1 Ή ισοδύναμα: + 1H x = H +1x H x = H 1 x, = 1,,... Επιστρέφουμε στην αρχική σχέση: Gx, s = exp s + xs = H x s! Παραγωγίζω κατά μέλη ως προς s: x sgx, s = x s H x s =! xh x s H x s +1 =!! xh x s! H 1 x s =! H x s 1! H x s 1! H x s 1! H +1 x s! Οπότε τελικά: H +1 x xh x + H 1 x = 0, = 1,,... H x xh x + H +1 x = 0 H x H x xh x + H +1x = 0 H x xh x + H +1x H x = 0 H x xh x + + 1H x H x = 0 H x xh x + H x = 0 γ Να αποδείξετε τον τύπο του Rodriguez: H x = 1 e x d dx e x 19

20 Έχουμε ήδη δείξει, στο προηγούμενο ερώτημα, ότι: H +1 x = xh x H x = xh x + H x [ ] = e x e x H x + e x H x = e x d dx e x H x H x = e x d dx e x H 1 x Οπότε, τελικά: H +1 x = e x [e x e x d d dx dx = 1 d x e dx e x H 1 x H +1 x = 1 +1 e x Η κάνοντας την αντικατάσταση + 1 : H x = 1 e x ] e x H 1 x d+1 e x dx+1 d dx e x δ Να δειχτεί ότι το πολυώνυμο Hermite βαθμού είναι άρτια ή περιττή συνάρτηση, αν το είναι άρτιος ή περιττός αριθμός αντίστοιχα. H x = 1 e x d d x e x = 1 d x e d x e x = 1 H x Οπότε: H x = { 1 k 1 k+1 H x = H x H x = H x ε Να δειχτεί ότι στον κβαντικό αρμονικό ταλαντωτή είναι x = 0, p = 0. 0

21 Οι ιδιοσυνάρτησεις του αρμονικού ταλαντωτή έχουν την εξής μορφή: ψ x = NH xe x όπου N R η σταθερά κανονικοποίησης και H x το πολυώνυμο Hermite βαθμού. Εξ ορισμού ισχύει για τη μέση τιμή ενός κβαντικού μεγέθους: x = ψ, xψ = x ψ x dx = N xh x e x dx Η συνάρτηση όμως gx = xh x e x είναι περιττή. Επομένως το ολοκλήρωμα της στο, + θα είναι μηδέν. Οπότε δείξαμε ότι: x = 0 Ομοίως εργαζόμαστε για τη μέση τιμή της ορμής p: p = ψ, pψ = ψ p = ihn ih dψ dx dx dψ [ ] dx = N H xe x xh xe x H xe x H xe x xh xe x dx = ihn H xh xe x dx + ihn xh x e x dx g 1 x = H xh xe x = H x H 1x e x = H xh 1 xe x Όπως έχουμε δείξει παραπάνω τα πολυώνυμα Hermite είναι άρτια ή περιττά, ανάλογα με το αν ο βαθμός τους είναι άρτιος ή περιττός. Οπότε το γινόμενο H xh 1 x, θα είναι πάντα το γινόμενο μιας άρτιας επί μια περιττή συνάρτηση, δηλαδή περιττή συνάρτηση. Τελικά η g 1 x θα είναι μια περιττή συνάρτηση, αφού η e x είναι άρτια. Μπορούμε επίσης να επικαλεστούμε την ορθογωνιότητα των ιδιοσυναρτήσεων και να γράψουμε: NH xe x NH 1 xe x dx = ψ ψ 1 dx = 0 g x = xh x e x Ομοίως η g x είναι περιττή συνάρτηση. Οπότε τελικά: p = 0 1

22 Άσκηση 15 θεωρώ γραμμικό αρμονικό ταλαντωτή και ψ 0, ψ 1 έστω ότι το σύστημα περιγράφεται από την κατάσταση Ψ = Aψ 0 + Bψ 1. α Να δειχτεί ότι x = 0. β Να βρεθεί πότε το x γίνεται ελάχιστο ή μέγιστο. A Ψ, Ψ = 1 ψ 0 + B ψ 1 + ABψ 0 ψ 1 dx = 1 A ψ 0dx + B ψ 1 + AB ψ 0 ψ 1 dx = 1 Γνωρίζουμε ωστόσο ότι οι ιδιοκαταστάσεις ψ 0, ψ 1 είναι ορθοκανονικές οπότε: ψ 0 = 1, ψ 1 = 1, ψ 0, ψ 1 = 0 A + B = 1, A, B 0 x = Ψ, xψ = xψ dx = x A ψ 0 + B ψ 1 + ABψ 0 ψ 1 dx = A xψ 0dx + B xψ 1 + AB xψ 0 ψ 1 dx = AB ψ 0 x ψ 1 Που γενικά είναι διάφορο του μηδενός. AB = A 1 A = ga g A = 1 A + A A 1 A = 0 1 A A = 0 A = 1 A = ± 1 1 g = ± = ± 1

23 Άσκηση 16 Τη χρονική στιγμή t = 0 ένα σωμάτιο είναι σε Vx = 1 mω x και περιγράφεται από κυματοσυνάρτηση: Ψx, 0 = A 1 ψ x α Να υπολογιστεί η σταθερά κανονικοποίησης A. Ψ x, 0Ψx, 0dx = 1 [ + 1 A ψ x ] 1 ψ x = 1 A +m 1 + ψ xψ m xdx = 1,m } {{ } δ m A 1 = 1 A 1 = 1 A = 1 β Να βρεθεί η Ψx για t > 0. Ψx, t = 1 1 ψ xe ie t h = 1 +1 ψ xe iωt+ 1 γ Να δειχθεί ότι η Ψx, t είναι περιοδική συνάρτηση, να βρεθεί η περίοδός της καθώς επίσης και πότε αυτή γίνεται μέγιστη. 3

24 Ψx, t = Ψ x, t Ψx, t = +1 1 ψ xe iωt+ 1 1 =,m +m +1 e iωt m ψ xψ m x +1 1 ψ xe iωt+ 1 Επομένως η Ψx, t είναι περιοδική συνάρτηση διότι έχει τον περιοδικό παράγοντα: Με περίοδο: T = e iωt m π ω m T max = π ω, m = 1 δ Να υπολογιστεί η μέση τιμή E της ενέργειας, τη χρονική στιγμή t = 0. E 0 = Ψx, 0, HΨx, 0 = Ψ x, 0HΨx, 0dx = +m 1 +1 ψ mhψ dx,m Γνωρίζουμε ωστόσο ότι οι ιδιοσυναρτήσεις ψ ικανοποιούν την εξίσωση ιδιοτιμών Hψ = E ψ, όπου E = + 1 hω. Οπότε: E 0 = +m 1 +1 E ψ mψ dx,m } {{ } Άσκηση 17 = hω δ m Να βρεθεί ποια είναι η εξάρτηση από το χρόνο της παρακάτω ποσότητας: I = Ψ x, tψx, tdx 4

25 Θα υπολογίσουμε την παράγωγο di dt : di dt = d Ψ x, tψx, tdx dt Ψ x, t = Ψx, t + Ψ Ψx, t x, t dx t t Γνωρίζουμε ωστόσο ότι η χρονική εξέλιξη ενός κβαντομηχανικού συστήματος περιγράφεται από την χρονοεξαρτώμενη εξίσωση Schroediger: ih Ψ t = HΨ Ψ t = 1 ih HΨ Ψ t = 1 ih HΨ Αντικαθιστώντας τις μερικές παραγώγους: di + dt = 1 ih HΨ Ψ + Ψ 1 ih HΨ dx = 1 Ψ HΨdx HΨ Ψdx ih Επειδή όμως ο τελεστής της χαμιλτονιανής είναι ερμιτιανός, ισχύει εξ ορισμού ότι: Επομένως: Ψ, HΨ = HΨ, Ψ di dt = 0 Δηλαδή η ποσότητα I είναι ανεξάρτητη του χρόνου. Γι αυτό άλλωστε αν κανονικοποιήσουμε την κυματοσυνάρτηση Ψ σε μια χρονική στιγμή t = 0, θα συνεχίσει να είναι κανονικοποιημένη για οποιαδήποτε άλλη χρονική στιγμή. Σημείωση: Η Ψx, t σαφώς και μεταβάλλεται με το χρόνο με τρόπο που διέπεται από την χρονοεξαρτώμενη εξίσωση Schroediger. Αυτό που παραμένει σταθερό με το χρόνο είναι το Ψx, t dx, δηλαδή η ολική πιθανότητα να βρεθεί το σωματίδιο σε κάποιο σημείο του χώρου. Άσκηση 18 Ποια είναι η ουσιώδης διαφορά ανάμεσα στον κλασσικό και τον κβαντικό αρμονικό ταλαντωτή; Στον κβαντικό αρμονικό ταλαντωτή: 5

26 Η ενέργεια είναι κβαντισμένη μπορεί να πάρει μόνο συγκεκριμένες διακριτές τιμές, συγκεκριμένα τις: E = + 1 hω Διείσδυση σε κλασικά απαγορευμένες περιοχές. Στη θεμελιώδη κατάσταση το κβαντικό σωματίδιο είναι πολύ πιθανότερο να βρεθεί στη γειτονιά της αρχής παρά στα όρια της κλασικής ταλάντωσης. Άσκηση 19 Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας: α Έστω σωμάτιο στην πρώτη διεγερμένη στάθμη ενός αρμονικού ταλαντωτή Α.Τ.. Ποια η πιθανότητα να βρεθεί στον θετικό ημιάξονα; β Μπορεί η κυματοσυνάρτηση της δεύτερης διεγερμένης στάθμης ενός Α.Τ. να δίνεται από τη σχέση ψ x = Nx + 1e x a ; γ Εάν σας ζητηθεί να βρείτε τη μέση τιμή ενέργειας Α.Τ. με k = m = ω = 1 για δεδομένη κυματοσυνάρτηση, και βρείτε E = 1 4, είναι σωστό; δ Έστω Α.Τ. σε κατάσταση επαλληλίας Ψ = 1 3 ψ ψ 1, μπορεί η αβεβαιότητα ενέργειας στην κατάσταση αυτή να είναι E = 3; α Η πιθανότητα είναι P[x > 0] = 0.5. Λόγω του ότι το δυναμικό του Α.Τ. παρουσιάζει συμμετρία ανάμεσα στα θετικά x και στα αρνητικά V x = 1 k x = Vx, το ίδιο θα συμβαίνει και για την πυκνότητα πιθανότητας. Εξάλλου η ιδιοσυνάρτηση στην 1η διεγερμένη στάθμη είναι περιττή, οπότε το τετράγωνό της, που εκφράζει την πυκνότητα πιθανότητας, θα είναι άρτια. Δηλαδή: P x = Px. β Δε μπορεί. Στη η διεγερμένη στάθμη η κυματοσυνάρτηση έχει κόμβους, ωστόσο το πολυώνυμο x + 1 δεν έχει πραγματικές ρίζες. γ Είναι λάθος. Οι ενεργειακές στάθμες του Α.Τ. δίνονται από τον τύπο E = + 1 στην αδιάστατη περίπτωση, δηλ. όταν k = m = ω = 1. Οπότε η ελάχιστη ενέργεια που μπορεί να έχει ο Α.Τ., αντιστοιχεί στην θεμελιώδη του κατάσταση, = 0, και είναι ίση με: E mi = E 0 = 1. Οπότε θα είναι πάντα E E 0 = 1. δ Δε μπορεί. Οι δυνατές ενεργειακές τιμές που μπορεί να έχει ο Α.Τ. είναι E 0 = 1, E 1 = 3, που απέχουν μεταξύ τους κατά 1. Επομένως η διασπορά E δε μπορεί να είναι μεγαλύτερη από της διαφορά των ακραίων τιμών. 6

27 Άσκηση 0 α Ποια είναι η φυσική σημασία και τα χαρακτηριστικά της κυματοσυνάρτησης κ.σ.; β Ποια είναι τα χαρακτηριστικά της στα μονοδιάστατα προβλήματα; γ Να δοθεί ο ορισμός του ερμιτιανού τελεστή. Να αναφέρετε και να αποδείξετε τις κυριότερες ιδιότητές του. α Ένα κβαντομηχανικό σύστημα περιγράφεται από την κυματοσυνάρτηση κ.σ. Ψ r, t. Η κ.σ. είναι μιγαδική συνάρτηση και αυτή καθεαυτή στερείται φυσικής σημασίας υπό την έννοια ότι δεν αντιστοιχεί σε μετρήσιμη φυσική ποσότητα. Ωστόσο το τετράγωνο της απόλυτης τιμής της εκφράζει την πυκνότητα πιθανότητας. P r, t = Ψ r, t γ Ερμιτιανός ονομάζεται ένας τελεστής Â για τον οποίο ισχύει ισοδύναμοι ορισμοί: ψ Âϕdx = Âψ ϕdx ψ, Âϕ = Âψ, ϕ ψ Âϕ = Âψ ϕ Άσκηση 0 Το θεώρημα Helliger-Toeplitz αναφέρει ότι ένας παντού ορισμένος συμμετρικός τελεστής A σ ένα χώρο Hilbert H είναι φραγμένος. Εξ ορισμού ο Â είναι συμμετρικός όταν για κάθε ψ, ϕ στο πεδίο ορισμού του Â ισχύει: Aψ, ϕ = ψ, Aϕ Δηλαδή συμμετρικός είναι ο τελεστής που είναι ερμιτιανός. Οπότε το θεώρημα μπορεί να επαναδιατυπωθεί ως ένας παντού ορισμένος ερμιτιανός τελεστής A σ ένα χώρο Hilbert είναι φραγμένος. Απόδειξη: Έστω ότι δεν ισχύει η πρόταση αυτή, δηλαδή ότι ο H περιέχει μια ακολουθία y, τέτοια ώστε y = 1 και Ay. Θεωρούμε τότε τη γραμμική συνάρτηση f ορισμένη σε όλο τον H ως: f x = Ax, y = x, Ay, = 1,,... Η f είναι φραγμένη για κάθε αφού λόγω της ανισότητας Cauchy-Schwartz: f x = x, Ay Ay x 7

28 Επιπλέον η ακολουθία f x είναι φραγμένη αφού: f x = Ax, y Ax Λόγω ομοιόμορφης σύγκλισης? έχουμε ότι f, f k,. Οπότε για x = Ay : Ay = f Ay k Ay Επομένως Ay k που έρχεται σε αντίφαση με την αρχική μας υπόθεση ότι Ay. Άσκηση 1 Να διερευνηθεί εάν το θεώρημα Helliger-Toeplitz μπορεί να εφαρμοστεί στην περίπτωση του χαμιλτονιανού τελεστή για τον αδιάστατο κβαντικό αρμονικό ταλαντωτή και να σχολιασθούν οι συνέπειες. Γνωρίζουμε ότι ο χαμιλτονιανός τελεστής είναι ερμιτιανός, όπως άλλωστε όλοι οι κβαντομηχανικοί τελεστές διαφορετικά οι μέσες τιμές των αντίστοιχων φυσικών μεγεθών που εκφράζουν οι τελεστές, δεν θα είχαν πραγματικές τιμές!. Στη συνέχεια θα εξετάσουμε αν ο χώρος στον οποίο ορίζεται ο Ĥ είναι ένας χώρος Hilbert. Ο χώρος των τετραγωνικά ολοκληρώσιμων συναρτήσεων, δηλαδή των συναρτήσεων για τις οποίες ισχύει: fx dx < συνιστά ένα χώρο όπου ορίζεται το εσωτερικό γινόμενο, ως: f, g = fxg xdx Αποδεικνύεται ότι ο χώρος αυτός των τετραγωνικά ολοκληρώσιμων συναρτήσεων συνιστά ένα πλήρη μετρικό χώρο. Επιπλέον, εφόσον ο χώρος αυτός είναι εφοδιασμένος με την πράξη του εσωτερικού γινομένου, είναι ένας χώρος Hilbert και κατά σύμβαση συμβολίζεται ως L. Θεωρούμε την περίπτωση του κβαντικού αρμονικού ταλαντωτή. Ο χαμιλτονιανός τελεστής Ĥ για την αδιάστατη περίπτωση h = m = ω = 1 είναι: d H = 1 dx + 1 x Ο τελεστής αυτός είναι ερμιτιανός άρα συμμετρικός καίτοι μη φραγμένος, αφού οι ιδιοτιμές της ενέργειας είναι: E = + 1, = 0, 1,,... 8

29 Επομένως ο χαμιλτονιανός τελεστής δεν μπορεί να είναι ορισμένος σε όλο τον L. Διότι αν ήταν, τότε βάση του θεωρήματος Helliger-Toeplitz θα ήταν φραγμένος. Ωστόσο μπορεί να οριστεί σε ένα πυκνό υποσύνολο του L. Άσκηση Να διερευνηθεί ποιοτικά γιατί ο τελεστής της χαμιλτονιανής δεν μπορεί να οριστεί σε όλο τον L. Η χρονοεξαρτώμενη εξίσωση Schroediger για την αδιάστατη περίπτωση h = 1 γράφεται ως εξής: ψ = ihψ Που θυμίζει τη διαφορική εξίσωση ut = Aut, η οποία έχει ως λύση την: ut = e ta u0. Κατ αντιστοιχία λοιπόν οι λύσεις της εξίσωσης Schroediger μπορούν να δοθούν ως: ψx, t = e t ih ψx, 0 Οπότε εύλογα προκύπτει ο προβληματισμός για το πώς μπορούμε να υψώσουμε στην e τον τελεστή Ĥ. Για πεπερασμένους πίνακες γνωρίζουμε ότι ισχύει: 1 expa = k! Ak k=0 Η απόδειξη του οποίου στηρίζεται στο γεγονός ότι ο πίνακας A είναι φραγμένος, διότι μόνο τότε το παραπάνω άθροισμα συγκλίνει βλ. επόμενη άσκηση. Ωστόσο στην περίπτωση του τελεστή Ĥ που δεν είναι φραγμένος, μια τέτοια έκφραση δεν μπορεί να χρησιμοποιηθεί. Δηλαδή, δεν μπορούμε να ισχυριστούμε ότι ισχύει πάντα: 1 exp ith = k! ithk k=0 Ισχύει ωστόσο για τις συναρτήσεις C που οι παράγωγοι τους είναι αρκούντως φθίνουσες. Βλέπε επίσης και Helliger-Toeplitz, θεώρημα κλειστού γράφου και θεώρημα ανοικτής αντιστοίχισης. Άσκηση 1 Να δειχθεί ότι η παρακάτω ακολουθία συγκλίνει: expa =0 1! A όπου A ένας τετραγωνικός πίνακας με πραγματικά στοιχεία. 9

30 Έστω M ένας πραγματικός αριθμός, τέτοιος ώστε A ij < M για όλα τα στοιχεία A ij του πίνακα A. Τότε θα είναι A ij < MM } + MM {{ +.. }. = M. Γενικά μπορούμε να πούμε ότι θα ισχύει A k ij < k M k+1. Εφόσον δε το k=0 k k! Mk+1 συγκλίνει, θα συγκλίνει και η σειρά σε κάποιο τετραγωνικό πίνακα με πραγματικά στοιχεία. Σημείωση: Η σειρά k=0 k k! Mk+1 συγκλίνει γιατί: L = lim α k+1 k α k = lim k = lim M k k + 1 = 0 < 1 Άσκηση k+1 M k+ k+1! k M k+1 k! Δίνεται η κυματοσυνάρτηση Ψx, t = Ae λ x e iωt, A, λ, ω R +. α Να κανονικοποιηθεί η συνάρτηση. β Να υπολογιστούν οι ποσότητες x, x. γ Να υπολογιστεί η αβεβαιότητα x. δ Να υπολογιστεί το διάστημα x σ, x + σ. ε Να υπολογιστεί η πιθανότητα να βρεθεί το σωματίδιο εκτός της περιοχής αυτής. στ Να υπολογιστεί η πιθανότητα να βρεθεί το σωματίδιο εντός της περιοχής αυτής. α Για να κανονικοποιήσουμε την κυματοσυνάρτηση, αρκεί να λύσουμε την εξίσωση: Ψx, tψ x, tdx = 1 Ae λ x e iωt Ae λ x e +iωt dx = 1 A λ 0 A e λ x dx = 1 A e λx dx = 1 0 λx e λx dx = 1 A λ A λ [ e λx ] + 0 = 1 [ e λx ] 0 + = 1 A = λ A = λ β Με βάση τον ορισμό για ένα φυσικό μέγεθος που περιγράφεται από τον τελεστή Â, η 30

31 μέση τιμή του είναι ίση με: A = Ψ ÂΨdx Επομένως: x = Ψ xψdx = xψ Ψdx = x Ψ dx = A xe λ x dx = λxe λ x dx Για τη συνάρτηση gx = λxe λx, ισχύει: g x = λ xe λ x = λxe λ x = gx Επομένως είναι περιττή και έπεται ότι το ολοκλήρωμα της στο, + θα είναι μηδέν. Έτσι: x = 0 Ομοίως εργαζόμαστε για την ποσότητα x : x = Ψ x Ψdx = x Ψ Ψdx = x Ψ dx = A x e λ x dx = λx e λ x dx = λ x e λx dx 0 Το τελευταίο ολοκλήρωμα υπολογίζεται από τον τύπο: x e λx =! 0 λ +1 Είναι λοιπόν: x = λ! λ 3 = 1 λ γ Η αβεβαιότητα για τη θέση x του σωματιδίου υπολογίζεται κατά τα γνωστά: x = x x = 1 λ x = 1 λ δ Το διάστημα x σ, x + σ, είναι το διάστημα σ, +σ. ε Η πιθανότητα να βρεθεί εκτός της περιοχής σ, +σ: Px σ = = σ σ = 1 Ψx dx = σ λe λx dx = 1 [ e λx ] + σ = 1 A e λ x dx σ λx e λx dx [ e λx ] σ + = 1 e λσ = 1 e 1 = 1 e 31

32 Τελικά, λόγω συμμετρίας του προβλήματος, θα είναι: P [x σ x σ] = Px σ = e στ Η πιθανότητα να βρεθεί εντός της περιοχής σ, +σ: P σ x σ + P [x σ x σ] = 1 P σ x σ = 1 e Άσκηση 3 Δίνεται ότι για σωματίδιο ισχύει: Ψx = 3ψ 1 x ψ x ψ 3x. Να γραφεί η χρονοεξαρτώμενη κυματοσυνάρτηση Ψx, t. Είναι: Ψx, t = 3ψ 1 xe ie 1t/h + Άσκηση 4 Να δειχθεί ότι ο τελεστής της ορμής pˆ x είναι ερμιτιανός ψ xe iet/h + 8 ψ 3xe ie 3t/h Εξ ορισμού ένας τελεστής Â λέγεται ερμιτιανός όταν ισχύει η σχέση: ψ Aϕdx = Aψ ϕdx Ο τελεστής της ορμής pˆ x ορίζεται ως εξής: ˆ p x = ih d dx Αναλύοντας το πρώτο μέλος της συνθήκης της ερμιτιανότητας θα καταλήξουμε στο δεύτερο: I = ψ p x ϕdx = ψ ih dϕ dx = ih ψ ϕ dx dx Εφαρμόζουμε ολοκλήρωση κατά παράγοντες: I = ih [ψ ϕ] + ψ ϕdx = ih ψ ϕdx = ihψ ϕdx = ih d dx ψ ϕdx = p x ψ ϕdx 3

33 Για τον υπολογισμό της ποσότητας [ψ ϕ] + κάναμε χρήση της ιδιότητας των κβαντομηχανικών κυματοσυναρτήσεων να είναι τετραγωνικά ολοκληρώσιμες, που σημαίνει ότι για τυχούσα κυματοσυνάρτηση ψ ισχύει: ψ± = 0, καθώς επίσης και της πρότασης: ψ = ψ, η οποία αποδεικνύεται εύκολα ως εξής: ψx = ax + ibx ψ x = a x + ib x ψ x = a x ib x ψx = ax + ibx ψ x = ax ibx ψ x = a x ib x Άσκηση 5 Να δειχτεί ότι οι ιδιοσυναρτήσεις ενός ερμιτιανού τελεστή είναι ορθογώνιες μεταξύ τους. Θεωρούμε ερμιτιανό τελεστή Â και έστω ψ 1, ψ δύο τυχούσες ιδιοσυναρτήσεις του. Εξ ορισμού θα ικανοποιούν την εξίσωση ιδιοτιμών: Aψ 1 = a 1 ψ 1 Aψ = a ψ Επιπλέον εφόσον ο Â είναι ερμιτιανός θα ικανοποιεί την εξίσωση ερμιτιανότητας: ψ Aϕdx = Aψ ϕdx Για ψ = ψ 1, ϕ = ψ, η παραπάνω σχέση γίνεται: ψ 1Aψ dx = Aψ 1 ψ dx ψ 1a ψ dx = a 1 ψ 1 ψ dx a ψ 1ψ dx = a 1 ψ 1ψ dx a 1 a ψ 1ψ dx = 0 Εφόσον οι ιδιοτιμές είναι μοναδικές, έπεται ότι θα είναι: ψ 1ψ dx = 0 ψ 1 ψ Άσκηση 6 Να δειχτεί ότι δύο τελεστές αντιμετατίθενται όταν ο μεταθέτης τους είναι μηδέν. Aψ = a ψ BAψ = Ba ψ = a Bψ = a b ψ Bψ m = b m ψ m ABψ m = Ab m ψ m = b m Aψ m = b a ψ 33

34 Άσκηση 6 Να δειχτεί ότι για τους τελεστές Â, ˆB είναι: [A, B ] = B 1 [A, B], όταν ο ˆB μετατίθεται με τον μετάθετη των Â, ˆB, δηλαδή όταν ισχύει η σχέση: [B, [A, B]] = 0. Θα χρησιμοποιήσω επαγωγή πάνω στο. Για = 1, η σχέση γίνεται: [A, B 1 ] = 1 B 1 1 [A, B] που ισχύει. Έστω ότι ισχύει η σχέση για k =, δηλαδή έστω ότι ισχύει: [A, B k ] = kb k 1 [A, B]. Θα δείξω ότι ισχύει και για k + 1, δηλαδή ότι ισχύει: [A, B k ] = kb k 1 [A, B] [A, B k+1 ] = k + 1B k [A, B]. [A, B k ] = kb k 1 [A, B] B[A, B k ] = B kb k 1 [A, B] B[A, B k ] = kbb k 1 [A, B] B[A, B k ] = kb k [A, B] B[A, B k ] + B k [A, B] = kb k [A, B] + B k [A, B] B[A, B k ] + B k [A, B] = k + 1B k [A, B] B[A, B k ] + [A, B]B k = k + 1B k [A, B] [A, B]B k + B[A, B k ] = k + 1B k [A, B] [A, BB k ] = k + 1B k [A, B] [A, B k+1 ] = k + 1B k [A, B] Ο.ε.δ. Σημείωση: B k [A, B] = B k 1 B[A, B] = B k 1 [A, B]B =... = [A, B]B k Άσκηση 7 Δίνεται ο τελεστής Â = d /dx x και η συνάρτηση ψx = e x /. Να βρεθούν οι ιδιοτιμές του. Αρκεί να λύσουμε την εξίσωση ιδιοτιμών του τελεστή: Aψ = aψ: d /dx x e x / = ae x / 34

35 Είναι: ψ x = e x / = e x / x / = xψx ψ x = ψ x = xψx = ψx xψ x = ψx x xψx = ψxx 1 Οπότε η εξίσωση ιδιοτιμών γίνεται: ψxx 1 x ψx = aψx 1 = a Άσκηση 7 Για t = 0 είναι ψr, 0 = 1 10 ψ100 + ψ 10 + ψ ψ 1 1. α Να βρεθεί η μέση τιμή της ενέργειας E συναρτήσει της ενέργειας της βασικής κατάστασης β Να γραφεί η χρονοεξαρτώμενη ψr, t γ Την πιθανότητα το σύστημα να είναι στην κατάσταση l = 1, m = 1 συναρτήσει του χρόνου. δ Υποθέστε ότι γίνεται μια μέτρηση όπου L = 1, L z = 1. Περιγράψτε την κυματοσυνάρτηση αμέσως μετά μια τέτοια μέτρηση με βάση τα ψ l m hit: χρησιμοποιήστε τα L + και L. α Η μέση τιμή της ενέργειας Ε είναι: E = c E = 1 3 E 1 + E + E + E = 4 10 E E Είναι όμως E = E 1 /4, E 1 = 13.6, επομένως: E = 40 E 1 β Η χρονοεξαρτώμενη ψr, t γράφεται ως εξής: ψr, t = γ Για l = 1, m = 1 το σύστημα περιγράφεται από την ψ 11, οπότε η πιθανότητα είναι: ψ 11 = c 11 = 1 5 δ L + 1 =, L z = 1 ψr, 0 = 1 ψ 10 + ψ ψ

36 Άσκηση 7 Να δειχθεί ότι [L, L x ] = 0. Θα χρησιμοποιήσουμε τις εξής απλές ιδιότητες των μεταθετών: [A + B + C, D] = [A, D] + [B, D] + [C, D], [A, B] = [B, A] και [A, BC] = [A, B]C + B[A, C] η άσκηση μπορεί να λυθεί και πιο σύντομα εάν χρησιμοποιήσουμε περισσότερες ιδιότητες. Επί τω έργω. Είναι L = L x + L y + L z. Άρα: Είναι: [L, L x ] = [L x + L y + L z, L x ] = [L x, L x ] + [L y, L x ] + [L z, L x ] [L x, L x ] = [L x, L x] = [L x, Lx L x ] = [L x, L x ]L x L x [L x, L x ] = 0 [L y, L x ] = [L x, L y] = [L x, L y L y ] = [L x, L y ]L y L y [L x, L y ] Γνωρίζουμε ωστόσο ότι [L x, L y ] = ihl z. Οπότε: Ομοίως είναι: [L y, L x ] = ihl z L y L y ihl z = ihl z L y + L y L z [L z, L x ] = [L x, L z] = [L x, L z L z ] = [L x, L z ]L z L z [L x, L z ] Από τη γνωστή σχέση [L x, L y ] = ihl z μπορούμε με κυκλική μετάθεση να πάρουμε τις αντίστοιχες εκφράσεις για τους υπόλοιπους μεταθέτες. Π.χ. x y, y z, z x. Άρα: Επομένως: [L z, L x ] = ihl y [L x, L z ] = ihl y [L z, L x ] = ihl y L z L z ihl y = 36

ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ. Ασκήσεις Κεφαλαίου Ι

ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ. Ασκήσεις Κεφαλαίου Ι ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ασκήσεις Κεφαλαίου Ι Άσκηση 1: Θεωρήστε δύο ορθοκανονικά διανύσματα ψ 1 και ψ και υποθέστε ότι αποτελούν βάση σε ένα χώρο δύο διαστάσεων. Θεωρήστε επίσης ένα τελαστή T που ορίζεται στο χώρο

Διαβάστε περισσότερα

ETY-202 ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΗΣ ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 02. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ. Στέλιος Τζωρτζάκης 1/11/2013

ETY-202 ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΗΣ ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 02. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ. Στέλιος Τζωρτζάκης 1/11/2013 stzortz@iesl.forth.gr 1396; office Δ013 ΙΤΕ 2 ΎΛΗ & ΦΩΣ 02. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΗΣ ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ Στέλιος Τζωρτζάκης 1 3 4 Ο διανυσματικός χώρος των φυσικών καταστάσεων Η έννοια

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΚΒΑΝΤΙΚΗΣ ΙΙ. Θέμα 2. α) Σε ένα μονοδιάστατο πρόβλημα να δείξετε ότι ισχύει

ΘΕΜΑΤΑ ΚΒΑΝΤΙΚΗΣ ΙΙ. Θέμα 2. α) Σε ένα μονοδιάστατο πρόβλημα να δείξετε ότι ισχύει ΘΕΜΑΤΑ ΚΒΑΝΤΙΚΗΣ ΙΙ Θέμα α) Δείξτε ότι οι διακριτές ιδιοτιμές της ενέργειας σε ένα μονοδιάστατο πρόβλημα δεν είναι εκφυλισμένες β) Με βάση το προηγούμενο ερώτημα να δείξετε ότι μπορούμε να διαλέξουμε τις

Διαβάστε περισσότερα

Κβαντική Φυσική Ι. Ενότητα 10: Ερμιτιανοί τελεστές και εισαγωγή στους μεταθέτες. Ανδρέας Τερζής Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής

Κβαντική Φυσική Ι. Ενότητα 10: Ερμιτιανοί τελεστές και εισαγωγή στους μεταθέτες. Ανδρέας Τερζής Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής Κβαντική Φυσική Ι Ενότητα 10: Ερμιτιανοί τελεστές και εισαγωγή στους μεταθέτες Ανδρέας Τερζής Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής Σκοπός ενότητας Σκοπός της ενότητας είναι να αναδείξει την ερμιτιανότητα

Διαβάστε περισσότερα

21/11/2013 ETY-202 ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 06. Ο ΑΡΜΟΝΙΚΟΣ ΤΑΛΑΝΤΩΤΗΣ. 1396; office Δ013 ΙΤΕ. Στέλιος Τζωρτζάκης

21/11/2013 ETY-202 ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 06. Ο ΑΡΜΟΝΙΚΟΣ ΤΑΛΑΝΤΩΤΗΣ. 1396; office Δ013 ΙΤΕ. Στέλιος Τζωρτζάκης stzortz@iesl.forth.gr 1396; office Δ013 ΙΤΕ 2 ΎΛΗ & ΦΩΣ 06. Ο ΑΡΜΟΝΙΚΟΣ ΤΑΛΑΝΤΩΤΗΣ Στέλιος Τζωρτζάκης Ο ΑΡΜΟΝΙΚΟΣ ΤΑΛΑΝΤΩΤΗΣ 1 3 4 Το δυναμικό του αρμονικού ταλαντωτή Η παραβολική προσέγγιση βρίσκει άμεση

Διαβάστε περισσότερα

. Να βρεθεί η Ψ(x,t).

. Να βρεθεί η Ψ(x,t). ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ασκήσεις Κεφαλαίου II Άσκηση 1: Εάν η κυματοσυνάρτηση Ψ(,0) παριστάνει ένα ελεύθερο σωματίδιο, με μάζα m, στη μία διάσταση την χρονική στιγμή t=0: (,0) N ep( ), όπου N 1/ 4. Να βρεθεί η

Διαβάστε περισσότερα

Αρμονικός Ταλαντωτής

Αρμονικός Ταλαντωτής Αρμονικός Ταλαντωτής Δομή Διάλεξης Η χρησιμότητα του προβλήματος του αρμονικού ταλαντωτή Η Hamiltonian και οι τελεστές δημιουργίας και καταστροφής Το φάσμα ιδιοτιμών της Hamiltonian Οι ιδιοκαταστάσεις

Διαβάστε περισσότερα

και χρησιμοποιώντας τον τελεστή A r P αποδείξτε ότι για

και χρησιμοποιώντας τον τελεστή A r P αποδείξτε ότι για ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ασκήσεις Κεφαλαίου IV Άσκηση 1: Σωματίδιο μάζας Μ κινείται στην περιφέρεια κύκλου ακτίνας R. Υπολογίστε τις επιτρεπόμενες τιμές της ενέργειας, τις αντίστοιχες κυματοσυναρτήσεις και τον εκφυλισμό.

Διαβάστε περισσότερα

ψ (x) = e γ x A 3 x < a b / 2 A 2 cos(kx) B 2 b / 2 < x < b / 2 sin(kx) cosh(γ x) A 1 sin(kx) a b / 2 < x < b / 2 cos(kx) + B 2 e γ x x > a + b / 2

ψ (x) = e γ x A 3 x < a b / 2 A 2 cos(kx) B 2 b / 2 < x < b / 2 sin(kx) cosh(γ x) A 1 sin(kx) a b / 2 < x < b / 2 cos(kx) + B 2 e γ x x > a + b / 2 Σπουδές στις Φυσικές Επιστήµες ΦΥΕ 40 Κβαντική Φυσική 014-015 ΕΡΓΑΣΙΑ 3 η Υπόδειξη λύσεων ΑΣΚΗΣΗ 1 Η άρτια κυµατοσυνάρτηση θα δίνεται από (x) = A 3 e γ x x < a b / A cos(kx) B sin(kx) a b / < x < b / A

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΡΟΣ Α: ΤΑ ΘΕΜΕΛΙΑ ΚΕΦ. 1. ΟΙ ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΑΡΧΕΣ ΚΕΦ. 4. Ο ΓΕΝΙΚΟΣ ΦΟΡΜΑΛΙΣΜΟΣ ΤΟΥ DIRAC ΚΕΦ. 5. Ο ΑΡΜΟΝΙΚΟΣ ΤΑΛΑΝΤΩΤΗΣ ΚΕΦ. 7.

ΜΕΡΟΣ Α: ΤΑ ΘΕΜΕΛΙΑ ΚΕΦ. 1. ΟΙ ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΑΡΧΕΣ ΚΕΦ. 4. Ο ΓΕΝΙΚΟΣ ΦΟΡΜΑΛΙΣΜΟΣ ΤΟΥ DIRAC ΚΕΦ. 5. Ο ΑΡΜΟΝΙΚΟΣ ΤΑΛΑΝΤΩΤΗΣ ΚΕΦ. 7. stzortz@iesl.forth.gr 1396; office Δ013 ΙΤΕ 2 ΎΛΗ & ΦΩΣ 01. ΟΙ ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΑΡΧΕΣ ΜΕΡΟΣ Α: ΤΑ ΘΕΜΕΛΙΑ ΚΕΦ. 1. ΟΙ ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΑΡΧΕΣ Στέλιος Τζωρτζάκης ΚΕΦ. 2. ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΗΣ ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΚΕΦ.

Διαβάστε περισσότερα

ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 07. ΣΤΡΟΦΟΡΜΗ ΚΑΙ ΤΟ ΑΤΟΜΟ ΤΟΥ ΥΔΡΟΓΟΝΟΥ

ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 07. ΣΤΡΟΦΟΡΜΗ ΚΑΙ ΤΟ ΑΤΟΜΟ ΤΟΥ ΥΔΡΟΓΟΝΟΥ stzortz@iesl.forth.gr 1396; office Δ013 ΙΤΕ 2 ΎΛΗ & ΦΩΣ 07. ΣΤΡΟΦΟΡΜΗ ΚΑΙ ΤΟ ΑΤΟΜΟ ΤΟΥ ΥΔΡΟΓΟΝΟΥ Θεωρία της στροφορμής Στέλιος Τζωρτζάκης 1 3 4 Υπενθύμιση βασικών εννοιών της στροφορμής κυματοσυνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Η Αναπαράσταση της Θέσης (Position Representation)

Η Αναπαράσταση της Θέσης (Position Representation) Η Αναπαράσταση της Θέσης (Position Representation) Δομή Διάλεξης Το παρατηρήσιμο μέγεθος της θεσης και τα αντίστοιχα πλάτη πιθανότητας (συνεχές φάσμα ιδιοτιμών και ιδιοκαταστάσεων) Οι τελεστές της θέσης

Διαβάστε περισσότερα

Κβαντική Φυσική Ι. Ενότητα 5: Κυματομηχανική. Ανδρέας Τερζής Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής

Κβαντική Φυσική Ι. Ενότητα 5: Κυματομηχανική. Ανδρέας Τερζής Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής Κβαντική Φυσική Ι Ενότητα 5: Κυματομηχανική Ανδρέας Τερζής Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής Σκοπός ενότητας Σκοπός της ενότητας είναι η ερμηνεία της κυματοσυνάρτησης, δηλαδή της λύσης της εξίσωσης

Διαβάστε περισσότερα

ETY-202. Ο γενικός φορμαλισμός Dirac ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 05. Ο ΓΕΝΙΚΟΣ ΦΟΡΜΑΛΙΣΜΟΣ DIRAC. Στέλιος Τζωρτζάκης 21/11/2013

ETY-202. Ο γενικός φορμαλισμός Dirac ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 05. Ο ΓΕΝΙΚΟΣ ΦΟΡΜΑΛΙΣΜΟΣ DIRAC. Στέλιος Τζωρτζάκης 21/11/2013 stzortz@iesl.forth.gr 1396; office Δ013 ΙΤΕ 2 ΎΛΗ & ΦΩΣ 05. Ο ΓΕΝΙΚΟΣ ΦΟΡΜΑΛΙΣΜΟΣ DIRAC Στέλιος Τζωρτζάκης Ο γενικός φορμαλισμός Dirac 1 3 4 Εικόνες και αναπαραστάσεις Επίσης μια πολύ χρήσιμη ιδιότητα

Διαβάστε περισσότερα

H = H 0 + V (0) n + Ψ (1) n + E (2) (3) >... Σε πρώτη προσέγγιση µπορούµε να δεχτούµε ότι. n και E n E n

H = H 0 + V (0) n + Ψ (1) n + E (2) (3) >... Σε πρώτη προσέγγιση µπορούµε να δεχτούµε ότι. n και E n E n 3 Θεωρία διαταραχών 3. ιαταραχή µη εκφυλισµένων καταστάσεων 3.. Τοποθέτηση του προβλήµατος Θέλουµε να λύσουµε µε τη ϑεωρία των διαταραχών το πρόβληµα των ιδιοτιµών και ιδιοσυναρτήσεων ενός συστή- µατος

Διαβάστε περισσότερα

ETY-202 ΟΙ ΓΕΝΙΚΕΣ ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΩΝ ΘΕΜΕΛΙΩΔΩΝ ΑΡΧΩΝ ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 03. ΟΙ ΓΕΝΙΚΕΣ ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ. Στέλιος Τζωρτζάκης 1/11/2013

ETY-202 ΟΙ ΓΕΝΙΚΕΣ ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΩΝ ΘΕΜΕΛΙΩΔΩΝ ΑΡΧΩΝ ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 03. ΟΙ ΓΕΝΙΚΕΣ ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ. Στέλιος Τζωρτζάκης 1/11/2013 stzortz@iesl.forth.gr 1396; office Δ013 ΙΤΕ 2 ΎΛΗ & ΦΩΣ 03. ΟΙ ΓΕΝΙΚΕΣ ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΟΙ ΓΕΝΙΚΕΣ ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΩΝ ΘΕΜΕΛΙΩΔΩΝ ΑΡΧΩΝ Στέλιος Τζωρτζάκης 1 3 4 Ο νόμος της χρονικής μεταβολής των μέσων τιμών και το

Διαβάστε περισσότερα

ˆ pˆ. παραγωγίστε ως προς το χρόνο και χρησιμοποιείστε την εξίσωση Schrodinger για να βρείτε τη χρονική παράγωγο της κυματοσυνάρτησης. Θα βρείτε.

ˆ pˆ. παραγωγίστε ως προς το χρόνο και χρησιμοποιείστε την εξίσωση Schrodinger για να βρείτε τη χρονική παράγωγο της κυματοσυνάρτησης. Θα βρείτε. Άσκηση. Η Hamiltoia ενός συστήματος έχει τη γενική μορφή ˆ pˆ H V ( xˆ ) m Δείξτε ότι d V ( xˆ ) pˆ F( xˆ) t dt x def. t Υπόδειξη: Ξεκινείστε από τον ορισμό της αναμενόμενης τιμής pˆ dx ( x, t) pˆ( x,

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑ I Ενότητα 4 Αρχές της Κβαντικής Μηχανικής Δημήτρης Κονταρίδης Αναπληρωτής Καθηγητής Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Χημικών Μηχανικών

ΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑ I Ενότητα 4 Αρχές της Κβαντικής Μηχανικής Δημήτρης Κονταρίδης Αναπληρωτής Καθηγητής Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Χημικών Μηχανικών ΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑ I Ενότητα 4 Αρχές της Κβαντικής Μηχανικής Δημήτρης Κονταρίδης Αναπληρωτής Καθηγητής Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Χημικών Μηχανικών Ενδεικτική βιβλιογραφία 1. ATKINS, ΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑ P.W. Atkins, J.

Διαβάστε περισσότερα

Συνεχές Φάσµα - Συνάρτηση δέλτα (Dirac)

Συνεχές Φάσµα - Συνάρτηση δέλτα (Dirac) Συνεχές ϕάσµα Συνεχές Φάσµα - Συνάρτηση δέλτα (Dirac) Στην κβαντική µηχανική τα ϕυσικά µεγέθη παρίστανται µε αυτοσυζυγείς τελεστές. Για έναν αυτοσυζυγή τελεστή ˆΩ = ˆΩ είναι γνωστό ότι οι ιδιοτιµές του

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 3 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 7 Ιανουαρίου 2008

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 3 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 7 Ιανουαρίου 2008 ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 7 Ιανουαρίου 8 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: Φεβρουαρίου 8 Πριν από την λύση κάθε άσκησης καλό

Διαβάστε περισσότερα

Δομή Διάλεξης. Ορισμός-Παραδείγματα Τελεστών. Αναμενόμενες τιμές φυσικών μεγεθών με χρήση τελεστών. Ιδιοκαταστάσεις και Ιδιοτιμές τελεστών

Δομή Διάλεξης. Ορισμός-Παραδείγματα Τελεστών. Αναμενόμενες τιμές φυσικών μεγεθών με χρήση τελεστών. Ιδιοκαταστάσεις και Ιδιοτιμές τελεστών Τελεστές Δομή Διάλεξης Ορισμός-Παραδείγματα Τελεστών Αναμενόμενες τιμές φυσικών μεγεθών με χρήση τελεστών Ιδιοκαταστάσεις και Ιδιοτιμές τελεστών Ερμητειανοί τελεστές Στοιχεία πίνακα τελεστών Μεταθέτες

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 2: Κεντρικά Δυναμικά. Αναζητούμε λύσεις της χρονοανεξάρτητης εξίσωσης Schrödinger για κεντρικά δυναμικά

Διάλεξη 2: Κεντρικά Δυναμικά. Αναζητούμε λύσεις της χρονοανεξάρτητης εξίσωσης Schrödinger για κεντρικά δυναμικά Διάλεξη : Κεντρικά Δυναμικά Αναζητούμε λύσεις της χρονοανεξάρτητης εξίσωσης Schöing για κεντρικά δυναμικά Μ. Μπενής. Διαλέξεις Μαθήματος Σύγχρονης Φυσικής ΙΙ. Ιωάννινα 03 Κεντρικά δυναμικά Εξάρτηση δυναμικού

Διαβάστε περισσότερα

Το Ελεύθερο Σωμάτιο Ρεύμα Πιθανότητας

Το Ελεύθερο Σωμάτιο Ρεύμα Πιθανότητας Το Ελεύθερο Σωμάτιο Ρεύμα Πιθανότητας Δομή Διάλεξης Χρονική εξέλιξη Gaussian κυματοσυνάρτησης σε μηδενικό δυναμικό (ελέυθερο σωμάτιο): Μετατόπιση και Διασπορά Πείραμα διπλής οπής: Κροσσοί συμβολής για

Διαβάστε περισσότερα

Κίνηση σε Μονοδιάστατα Τετραγωνικά Δυναμικά

Κίνηση σε Μονοδιάστατα Τετραγωνικά Δυναμικά Κίνηση σε Μονοδιάστατα Τετραγωνικά Δυναμικά Δομή Διάλεξης Τετραγωνικό Πηγάδι Δυναμικού: Δέσμιες καταστάσεις - ιδιοτιμές Οριακές Περιπτώσεις: δ δυναμικό, άπειρο βάθος Σκέδαση σε μια διάσταση: Σκαλοπάτι

Διαβάστε περισσότερα

Μετασχηματισμοί Καταστάσεων και Τελεστών

Μετασχηματισμοί Καταστάσεων και Τελεστών Μετασχηματισμοί Καταστάσεων και Τελεστών Δομή Διάλεξης Μετασχηματισμοί Καταστάσεων Τελεστής Μετατόπισης Συνεχείς Μετασχηματισμοί και οι Γεννήτορές τους Τελεστής Στροφής Διακριτοί Μετασχηματισμοί: Parity

Διαβάστε περισσότερα

Θεµελίωση της κβαντοµηχανικής

Θεµελίωση της κβαντοµηχανικής 1 Θεµελίωση της κβαντοµηχανικής 1.1 Γραµµικοί διανυσµατικοί χώροι Οπως έχουµε µάθει στο εισαγωγικό µάθηµα Κβαντοµηχανικής στο προηγούµενο εξάµηνο, κάθε ϕυσικό σύστη- µα στο µικρόκοσµο περιγράφεται από

Διαβάστε περισσότερα

Κβαντικό Σωμάτιο σε Ηλεκτρομαγνητικό Πεδίο

Κβαντικό Σωμάτιο σε Ηλεκτρομαγνητικό Πεδίο Κβαντικό Σωμάτιο σε Ηλεκτρομαγνητικό Πεδίο Δομή Διάλεξης Χαμιλτονιανή και Ρεύμα Πιθανότητας για Σωμάτιο σε Ηλεκτρομαγνητικό Πεδίο Μετασχηματισμοί Βαθμίδας Αρμονικός Ταλαντωτής σε Ηλεκτρικό Πεδίο Σωμάτιο

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1. Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς

Κεφάλαιο 1. Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς Κεφάλαιο 1 Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς 2 Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς 1.1 Στροφορµή στην Κβαντική Μηχανική 1.1.1 Τροχιακή Στροφορµή Η Τροχιακή Στροφορµή στην Κβαντική

Διαβάστε περισσότερα

F = dv dx = kx. V (x) = V (0) + V (0)x + 1 2 V (0)x 2 +.

F = dv dx = kx. V (x) = V (0) + V (0)x + 1 2 V (0)x 2 +. κ ε φ ά λ α ι ο 5 Ο ΑΡΜΟΝΙΚΟΣ ΤΑΛΑΝΤΩΤΗΣ Εισαγωγή Θα δείξουµε τώρα ότι ο µαθηµατικός φορµαλισµός που αναπτύξαµε στο προηγού- µενο κεφάλαιο και ο οποίος δίνει έµφαση στην αφηρηµένη αλγεβρική δοµή της κβαντικής

Διαβάστε περισσότερα

Κβαντική Φυσική Ι. Ενότητα 7: Διερεύνηση εξίσωσης Schro dinger και απειρόβαθο πηγάδι δυναμικού. Ανδρέας Τερζής Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής

Κβαντική Φυσική Ι. Ενότητα 7: Διερεύνηση εξίσωσης Schro dinger και απειρόβαθο πηγάδι δυναμικού. Ανδρέας Τερζής Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής Κβαντική Φυσική Ι Ενότητα 7: Διερεύνηση εξίσωσης Schro dinger και απειρόβαθο πηγάδι δυναμικού Ανδρέας Τερζής Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής Σκοποί ενότητας Σκοπός της ενότητας είναι να σκιαγραφηθεί

Διαβάστε περισσότερα

Κβαντομηχανική σε μία διάσταση

Κβαντομηχανική σε μία διάσταση vrsy of Io Dr of Mrls Scc & grg Couol Mrls Scc κή Θεωρία της Ύλης ιδάσκων: Λευτέρης Λοιδωρίκης Π 76 ldor@cc.uo.gr csl.rls.uo.gr/ldor σταση Μία ιάσ ανική σε Μ κή Θεωρ ρία της Ύλης: Κβα αντομηχα Κβαντομηχανική

Διαβάστε περισσότερα

ΦΩΤΙΟΣ ΚΑΣΟΛΗΣ. PhD Εφαρμοσμένων Μαθηματικών MSc Μαθηματικής Φυσικής. ΔΙΑΛΕΞΕΙΣ Κβαντομηχανικής

ΦΩΤΙΟΣ ΚΑΣΟΛΗΣ. PhD Εφαρμοσμένων Μαθηματικών MSc Μαθηματικής Φυσικής. ΔΙΑΛΕΞΕΙΣ Κβαντομηχανικής ΦΩΤΙΟΣ ΚΑΣΟΛΗΣ PhD Εφαρμοσμένων Μαθηματικών MSc Μαθηματικής Φυσικής ΔΙΑΛΕΞΕΙΣ Κβαντομηχανικής ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ 216 Ε Ν Ο Τ Η Τ Α 1 Στοιχεία συναρτησιακής ανάλυσης Βασικοί ορισμοί Το σύνολο C των μιγαδικών αριθμών

Διαβάστε περισσότερα

Τι είναι βαθμωτό μέγεθος? Ένα μέγεθος που περιγράφεται μόνο με έναν αριθμό (π.χ. πίεση)

Τι είναι βαθμωτό μέγεθος? Ένα μέγεθος που περιγράφεται μόνο με έναν αριθμό (π.χ. πίεση) TETY Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Ενότητα ΙΙ: Γραμμική Άλγεβρα Ύλη: Διανυσματικοί χώροι και διανύσματα, μετασχηματισμοί διανυσμάτων, τελεστές και πίνακες, ιδιοδιανύσματα και ιδιοτιμές πινάκων, επίλυση γραμμικών

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 ) Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3.1 Η έννοια της παραγώγου Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες x και y. Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύο αυτές ποσοτήτες είναι

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή σε προχωρημένες μεθόδους υπολογισμού στην Επιστήμη των Υλικών

Εισαγωγή σε προχωρημένες μεθόδους υπολογισμού στην Επιστήμη των Υλικών ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Εισαγωγή σε προχωρημένες μεθόδους υπολογισμού στην Επιστήμη των Υλικών Βασικά σημεία της κβαντομηχανικής Διδάσκων : Επίκουρη Καθηγήτρια Χριστίνα Λέκκα

Διαβάστε περισσότερα

[1] είναι ταυτοτικά ίση με το μηδέν. Στην περίπτωση που το στήριγμα μιας συνάρτησης ελέγχου φ ( x)

[1] είναι ταυτοτικά ίση με το μηδέν. Στην περίπτωση που το στήριγμα μιας συνάρτησης ελέγχου φ ( x) [] 9 ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER Η «συνάρτηση» δέλτα του irac Η «συνάρτηση» δέλτα ορίζεται μέσω της σχέσης φ (0) αν 0 δ[ φ ] = φ δ dx = (9) 0 αν 0 όπου η φ είναι μια συνάρτηση που ανήκει

Διαβάστε περισσότερα

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac Σημειώσεις μαθήματος Μ1212 Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Χρήστος Κουρουνιώτης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2014 Κεφάλαιο 1 Διανυσματικοί Χώροι Στο εισαγωγικό μάθημα Γραμμικής Άλγεβρας ξεκινήσαμε μελετώντας

Διαβάστε περισσότερα

Κβαντομηχανική σε. τρεις διαστάσεις. Εξίσωση Schrödinger σε 3D. Τελεστές 2 )

Κβαντομηχανική σε. τρεις διαστάσεις. Εξίσωση Schrödinger σε 3D. Τελεστές 2 ) vs of Io vs of Io D of Ms Scc & gg Couo Ms Scc ική Θεωλης ική Θεωλης ιδάσκων: Λευτέρης Λοιδωρίκης Π 746 dok@cc.uo.g cs.s.uo.g/dok ομηχ ομηχ δ ά τρεις διαστ Εξίσωση Schödg σε D Σε μία διάσταση Σε τρείς

Διαβάστε περισσότερα

Αρχίζουµε µε την µη συµµετρική µορφή του απειρόβαθου κβαντικού πηγαδιού δυναµικού, το οποίο εκτείνεται από 0 έως L.

Αρχίζουµε µε την µη συµµετρική µορφή του απειρόβαθου κβαντικού πηγαδιού δυναµικού, το οποίο εκτείνεται από 0 έως L. Πρόβληµα ΑπειρόβαθοΚβαντικόΠηγάδια(ΑΚΠα) Να µελετηθεί το απειρόβαθο κβαντικό πηγάδι µε θετικές ενεργειακές καταστάσεις ( E > ). Αρχίζουµε µε την µη συµµετρική µορφή του απειρόβαθου κβαντικού πηγαδιού δυναµικού

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑ I Ενότητα 5 Μεταφορική και Ταλαντωτική Κίνηση Δημήτρης Κονταρίδης Αναπληρωτής Καθηγητής Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Χημικών Μηχανικών

ΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑ I Ενότητα 5 Μεταφορική και Ταλαντωτική Κίνηση Δημήτρης Κονταρίδης Αναπληρωτής Καθηγητής Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Χημικών Μηχανικών ΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑ I Ενότητα 5 Μεταφορική και Ταλαντωτική Κίνηση Δημήτρης Κονταρίδης Αναπληρωτής Καθηγητής Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Χημικών Μηχανικών Ενδεικτική βιβλιογραφία 1. ATKINS, ΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑ P.W. Atkins,

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις2 8. ; Αληθεύει ότι το (1, 0, 1, 2) είναι ιδιοδιάνυσμα της f ; b. Να βρεθούν οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα της γραμμικής απεικόνισης 3 3

Ασκήσεις2 8. ; Αληθεύει ότι το (1, 0, 1, 2) είναι ιδιοδιάνυσμα της f ; b. Να βρεθούν οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα της γραμμικής απεικόνισης 3 3 Ασκήσεις 8 Ασκήσεις Ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα Βασικά σημεία Ορισμός ιδιοτιμων και ιδιοδιανυσμάτων, υπολογισμός τους Σε διακεκριμένες ιδιοτιμές αντιστοιχούν γραμμικά ανεξάρτητα ιδιοδιανύσματα Αν ΑΧ=λΧ,

Διαβάστε περισσότερα

Γενική Μεταπτυχιακή Εξέταση - ΕΜΠ & ΕΚΕΦΕ-" ηµόκριτος"

Γενική Μεταπτυχιακή Εξέταση - ΕΜΠ & ΕΚΕΦΕ- ηµόκριτος ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ NATIONAL TECHNICAL UNIVERSITY ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & DEPARTMENT OF PHYSICS ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ - ΤΟΜΕΑΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ZOGRAFOU CAMPUS ΗΡΩΩΝ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟΥ 9 157 80 ATHENS -

Διαβάστε περισσότερα

Κβαντοµηχανική ΙΙ. Πρόχειρες σηµειώσεις του µαθήµατος

Κβαντοµηχανική ΙΙ. Πρόχειρες σηµειώσεις του µαθήµατος Κβαντοµηχανική ΙΙ Πρόχειρες σηµειώσεις του µαθήµατος Κωνσταντίνος Φαράκος, Αν. Καθηγητής Τοµέας Φυσικής Σχολή Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών και Φυσικών Επιστηµών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο 6 Ιανουαρίου 011

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Κβαντική Θεωρία ΙΙ. Κεντρικά Δυναμικά Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Κβαντική Θεωρία ΙΙ. Κεντρικά Δυναμικά Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Κβαντική Θεωρία ΙΙ Κεντρικά Δυναμικά Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Σύγxρονη Φυσική II. Κβαντομηχανική σε τρεις διαστάσεις Διδάσκων : Επίκ. Καθ. Μ.

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Σύγxρονη Φυσική II. Κβαντομηχανική σε τρεις διαστάσεις Διδάσκων : Επίκ. Καθ. Μ. ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Σύγρονη Φυσική II Κβαντομηχανική σε τρεις διαστάσεις Διδάσκων : Επίκ. Καθ. Μ. Μπενής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΓΕΝΝΗΤΡΙΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΓΕΝΝΗΤΡΙΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΓΕΝΝΗΤΡΙΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Εισαγωγή Οι γεννήτριες συναρτήσεις είναι ένα από τα ισχυρά εργαλεία για μια ενοποιημένη αντιμετώπιση πολλών κατηγοριών προβλημάτων απαρίθμησης Ο Lplce έθεσε πρώτος τις

Διαβάστε περισσότερα

Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες

Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΦΥΕ10 (Γενικά Μαθηματικά Ι) ΠΕΡΙΕΧΕΙ ΤΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 5ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Πίνακες Επιμέλεια: I. Λυχναρόπουλος

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 5ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Πίνακες Επιμέλεια: I. Λυχναρόπουλος Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 5ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Πίνακες Επιμέλεια: I. Λυχναρόπουλος 3. Αν A 5 4, B 4, C να υπολογίσετε τις ακόλουθες πράξεις 4 3 8 3 7 3 (αν έχουν νόημα): α) AB, b) BA, c) CB, d) C B,

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Περιεχόμενα Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Κεφάλαιο 2 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΕΝΑ ΕΠΙΠΕΔΟ 20 2.1 Οι συντεταγμένες

Διαβάστε περισσότερα

θ. Bolzano θ. Ενδιάμεσων τιμών θ. Μεγίστου Ελαχίστου και Εφαρμογές

θ. Bolzano θ. Ενδιάμεσων τιμών θ. Μεγίστου Ελαχίστου και Εφαρμογές Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ΕΜΕ (Τεύχος 35) θ Bolzano θ Ενδιάμεσων τιμών θ Μεγίστου Ελαχίστου και Εφαρμογές Στο άρθρο αυτό επιχειρείται μια προσέγγιση των βασικών αυτών θεωρημάτων με εφαρμογές έ- τσι ώστε να

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ Λ. ΑΙΔΗΨΟΥ ΣΧΟΛ. ΕΤΟΣ ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ Λ. ΑΙΔΗΨΟΥ ΣΧΟΛ. ΕΤΟΣ ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ Λ. ΑΙΔΗΨΟΥ ΣΧΟΛ. ΕΤΟΣ 01-013 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα 1 ο Α. Έστω a ένας πραγματικός αριθμός. Να δώσετε τον ορισμό της απόλυτης

Διαβάστε περισσότερα

Ακρότατα πραγματικών συναρτήσεων

Ακρότατα πραγματικών συναρτήσεων Ακρότατα πραγματικών συναρτήσεων Ορισμός Έστω U R, U και f : U R R συνάρτηση τότε: )Το λέγεται τοπικό ελάχιστο της f αν υπάρχει περιοχή V του ώστε f f για κάθε V U Το λέγεται τοπικό μέγιστο της f αν υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

Κβαντομηχανική Ι 6o Σετ Ασκήσεων. Άσκηση 1

Κβαντομηχανική Ι 6o Σετ Ασκήσεων. Άσκηση 1 Χειμερινό εξάμηνο 6-7 Κβαντομηχανική Ι 6o Σετ Ασκήσεων Άσκηση a) Τρόπος α : Λύνουμε όλους (ή έστω μερικούς από) τους συνδυασμούς [l i, r j ]: [l x, x] = [l y, y] = [l z, x] = i ħ y Κ.ο.κ., και συμπεραίνουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ. ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙI Ιούνιος 2004

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ. ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙI Ιούνιος 2004 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙI Ιούνιος 2004 Τμήμα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου Απαντήστε στα 4 θέματα με σαφήνεια συντομία. Η πλήρης απάντηση θέματος εκτιμάται ιδιαίτερα. Καλή

Διαβάστε περισσότερα

ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι. Προπτυχιακό Πρόγραµµα Σπουδών Τµήµατος Φυσικής Πανεπιστήµιο Πατρών Χειµερινό εξάµηνο 2004-2005 ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι. Προπτυχιακό Πρόγραµµα Σπουδών Τµήµατος Φυσικής Πανεπιστήµιο Πατρών Χειµερινό εξάµηνο 2004-2005 ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Προπτυχιακό Πρόγραµµα Σπουδών Τµήµατος Φυσικής Πανεπιστήµιο Πατρών Χειµερινό εξάµηνο 4-5 ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Ανδρέας Φ. Τερζής Πάτρα Γενάρης 5 ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΤΕΛΕΣΤΩΝ ΜΕ ΜΗΤΡΕΣ [ΠΙΝΑΚΕΣ]

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

Το θεώρηµα Hellmann- Feynman

Το θεώρηµα Hellmann- Feynman Παράρτηµα Αποδείξεις Βασικών Θεωρηµάτων της Κβαντικής Μηχανικής Το θεώρηµα Hellma- Feyma Έστω ένα κβαντικό σύστηµα που περιγράφεται από τη Χαµιλτωνιανή Ĥ. Έστω ότι η Ĥ εξαρτάται από Hˆ Hˆ λ. Από την ίδια

Διαβάστε περισσότερα

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση:

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση: Κατηγορία η Θεώρημα Βolzano Τρόπος αντιμετώπισης:. Όταν μας ζητούν να εξετάσουμε αν ισχύει το θεώρημα Bolzano για μια συνάρτηση f σε ένα διάστημα [, ] τότε: Εξετάζουμε την συνέχεια της f στο [, ] (αν η

Διαβάστε περισσότερα

Δηλαδή η ρητή συνάρτηση είναι πηλίκο δύο ακέραιων πολυωνύμων. Επομένως, το ζητούμενο ολοκλήρωμα είναι της μορφής

Δηλαδή η ρητή συνάρτηση είναι πηλίκο δύο ακέραιων πολυωνύμων. Επομένως, το ζητούμενο ολοκλήρωμα είναι της μορφής D ολοκλήρωση ρητών συναρτήσεων Το θέμα μας στην ενότητα αυτή είναι η ολοκλήρωση ρητών συναρτήσεων. Ας θυμηθούμε πρώτα ποιες συναρτήσεις ονομάζονται ρητές. Ορισμός: Μία συνάρτηση ονομάζεται ρητή όταν μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

Ι. ΠΡΑΞΕΙΣ. Ορισµός 2 A. ΕΣΩΤΕΡΙΚΗ ΠΡΑΞΗ. Έστω E ένα µη κενό σύνολο. Κάθε απεικόνιση f: E x E E λέγεται εσωτερική πράξη επί του E.

Ι. ΠΡΑΞΕΙΣ. Ορισµός 2 A. ΕΣΩΤΕΡΙΚΗ ΠΡΑΞΗ. Έστω E ένα µη κενό σύνολο. Κάθε απεικόνιση f: E x E E λέγεται εσωτερική πράξη επί του E. Ι. ΠΡΑΞΕΙΣ A. ΕΣΩΤΕΡΙΚΗ ΠΡΑΞΗ Ορισµός Έστω E ένα µη κενό σύνολο. Κάθε απεικόνιση f: E x E E λέγεται εσωτερική πράξη επί του E. Παραδείγµατα:. Η ισότητα x y = x y είναι µια πράξη επί του *. 2. Η ισότητα

Διαβάστε περισσότερα

7. ΑΝΩΜΑΛΑ ΣΗΜΕΙΑ, ΠΟΛΟΙ ΚΑΙ ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΩΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΙΠΩΝ. και σε κάθε γειτονιά του z

7. ΑΝΩΜΑΛΑ ΣΗΜΕΙΑ, ΠΟΛΟΙ ΚΑΙ ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΩΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΙΠΩΝ. και σε κάθε γειτονιά του z 7. ΑΝΩΜΑΛΑ ΣΗΜΕΙΑ, ΠΟΛΟΙ ΚΑΙ ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΩΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΙΠΩΝ Ένα σημείο λέγεται ανώμαλο σημείο της συνάρτησης f( ) αν η f( ) δεν είναι αναλυτική στο και σε κάθε γειτονιά του υπάρχει ένα τουλάχιστον

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στη Φυσική Στοιχειωδών Σωματιδίων. 5 ο Εξάμηνο Δεκέμβριος 2009

Εισαγωγή στη Φυσική Στοιχειωδών Σωματιδίων. 5 ο Εξάμηνο Δεκέμβριος 2009 Εισαγωγή στη Φυσική Στοιχειωδών Σωματιδίων 5 ο Εξάμηνο Δεκέμβριος 2009 Νόμοι Διατήρησης κβαντικών αριθμών Αρχές Αναλλοίωτου Συμμετρία ή αναλλοίωτο των εξισώσεων που περιγράφουν σύστημα σωματιδίων κάτω

Διαβάστε περισσότερα

Έστω μια συνεχής (και σχετικά ομαλή) συνάρτηση f( x ), x [0, L]

Έστω μια συνεχής (και σχετικά ομαλή) συνάρτηση f( x ), x [0, L] c Σειρές Fourier-Μετασχηματισμός Fourier Έστω μια συνεχής (και σχετικά ομαλή) συνάρτηση f( ) [ ] για την οποία ξέρουμε ότι f() = f( ) =. Μια τέτοια συνάρτηση μπορούμε πάντα να τη γράψουμε : π f( ) = A

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Το 1ο Θέμα στις πανελλαδικές εξετάσεις

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Το 1ο Θέμα στις πανελλαδικές εξετάσεις Επιμέλεια Καραγιάννης Β. Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Το ο Θέμα στις πανελλαδικές εξετάσεις Ερωτήσεις+Απαντήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο.

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1 Τελεστές και πίνακες 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. Ανάλογα, τελεστής είναι η απεικόνιση ενός διανύσματος σε ένα

Διαβάστε περισσότερα

Απαντησεις στις ερωτησεις της εξετασης της 24 ης Ιουνιου 2005

Απαντησεις στις ερωτησεις της εξετασης της 24 ης Ιουνιου 2005 ΑΤΜΟΦ Απαντησεις στις ερωτησεις της εξετασης της 4 ης Ιουνιου 005. Ερωτηση που αφορα στις ασκησεις του εργαστηριου. Α) Με βάση τη σχέση που συνδέει τις αποστάσεις α και b με την εστιακή απόσταση του σφαιρικού

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί

Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER Διδάσκων : Επίκ Καθ Κολάσης Χαράλαμπος Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης Φυλλάδιο Φυλλάδι555 4 ο ο.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 11. Πολυώνυμα Taylor Ορισμός

Κεφάλαιο 11. Πολυώνυμα Taylor Ορισμός Κεφάλαιο Πολυώνυμα Taylor Στο κεφάλαιο αυτό θα κάνουμε μια σύντομη εισαγωγή στα πολυώνυμα Taylor. Τα πολυώνυμα αυτά μπορούν να χρησιμοποιηθούν ως προσεγγίσεις μιας συνάρτησης γύρω από ένα σημείο, και έχουν

Διαβάστε περισσότερα

Spin του πυρήνα Μαγνητική διπολική ροπή Ηλεκτρική τετραπολική ροπή. Τάσος Λιόλιος Μάθημα Πυρηνικής Φυσικής

Spin του πυρήνα Μαγνητική διπολική ροπή Ηλεκτρική τετραπολική ροπή. Τάσος Λιόλιος Μάθημα Πυρηνικής Φυσικής Spin του πυρήνα Μαγνητική διπολική ροπή Ηλεκτρική τετραπολική ροπή Τάσος Λιόλιος Μάθημα Πυρηνικής Φυσικής Εξάρτηση του πυρηνικού δυναμικού από άλλους παράγοντες (πλην της απόστασης) Η συνάρτηση του δυναμικού

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α 1

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α 1 Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Θ έ μ α Α Α. α. Πότε η εξίσωση αx + βx + γ = 0, α 0 έχει διπλή ρίζα; Ποια είναι η διπλή ρίζα της; 4 μονάδες β. Ποια μορφή παίρνει το τριώνυμο αx + βx + γ, α 0, όταν Δ = 0; 3 μονάδες

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Ολοκλήρωση

Αριθµητική Ολοκλήρωση Κεφάλαιο 5 Αριθµητική Ολοκλήρωση 5. Εισαγωγή Για τη συντριπτική πλειοψηφία των συναρτήσεων f (x) δεν υπάρχουν ή είναι πολύ δύσχρηστοι οι τύποι της αντιπαραγώγου της f (x), δηλαδή της F(x) η οποία ικανοποιεί

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚ. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚ. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚ. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Λυγάτσικας Ζήνων Πειραµατικό Γενικό Λύκειο Βαρβακείου Σχολής 6 Ιανουαρίου 013 1 Ασκήσεις 1.1 Ασκήσεις Επανάληψης 1. είξτε ότι : ηµ x + 3συν y 5.. Να αποδείξτε ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙ» ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΚΑΙ ΟΡΙΑ ΑΚΟΛΟΥΘΙΩΝ. lim. (β) n +

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙ» ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΚΑΙ ΟΡΙΑ ΑΚΟΛΟΥΘΙΩΝ. lim. (β) n + ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙ» ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΚΑΙ ΟΡΙΑ ΑΚΟΛΟΥΘΙΩΝ ) Να υπολογιστούν τα όρια των κάτωθι ακολουθιών με : (α) + 5 + 7 + + (β) + 5 + + (γ) + + + (δ) ( 5 ) + + 4 + ( ) + 5 ) Να βρεθούν

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ. 2.1 Συνάρτηση

Κεφάλαιο 2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ. 2.1 Συνάρτηση Κεφάλαιο 2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ 2.1 Συνάρτηση Η έννοια της συνάρτησης είναι ϐασική σ όλους τους κλάδους των µαθη- µατικών, αλλά και πολλών άλλων επιστηµών. Ο λόγος είναι, ότι µορφοποιεί τη σχέση

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρητική μηχανική ΙΙ

Θεωρητική μηχανική ΙΙ ΟΣΑ ΓΡΑΦΟΝΤΑΙ ΕΔΩ ΝΑ ΤΑ ΔΙΑΒΑΖΕΤΕ ΜΕ ΣΚΕΠΤΙΚΟ ΒΛΕΜΜΑ. ΜΠΟΡΕΙ ΝΑ ΠΕΡΙΕΧΟΥΝ ΛΑΘΗ. Θεωρητική μηχανική ΙΙ Να δειχθεί ότι αν L x, L y αποτελούν ολοκληρώματα της κίνησης τότε και η L z αποτελεί ολοκλήρωμα της

Διαβάστε περισσότερα

Τα διανύσματα xy, R είναι κάθετα αν και μόνο αν x y 0. Για το εσωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων. Το ορθογώνιο συμπλήρωμα ενός υπόχωρου

Τα διανύσματα xy, R είναι κάθετα αν και μόνο αν x y 0. Για το εσωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων. Το ορθογώνιο συμπλήρωμα ενός υπόχωρου ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Ο ανάστροφος πίνακας του [ j ] σημειώνεται με [ j ] (δηλαδή οι γραμμές γίνονται στήλες αντίστροφα Ιδιότητες: ( ( B B ( R ( B B Ο αντίστροφος ενός τετραγωνικού πίνακα [ j ]

Διαβάστε περισσότερα

Ορισμοί και πράξεις πινάκων

Ορισμοί και πράξεις πινάκων Ορισμοί και πράξεις πινάκων B.. Εισαγωγή Κατά την εύρεση των μαθηματικών μοντέλων των σύγχρονων δυναμικών συστημάτων, διαπιστώνεται ότι οι διαφορικές εξισώσεις που εμπλέκονται μπορούν να γίνουν πολύ περίπλοκες

Διαβάστε περισσότερα

Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα

Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα 8 Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα Α ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 1 Μια συνάρτηση f θα λέμε ότι είναι: i Συνεχής σε ένα ανοιχτό διάστημα (α,β) όταν είναι συνεχής σε κάθε σημείο του διαστήματος (α,β)

Διαβάστε περισσότερα

Κβαντικη Θεωρια και Υπολογιστες

Κβαντικη Θεωρια και Υπολογιστες Κβαντικη Θεωρια και Υπολογιστες 2 Μαθηματικη Βαση της Κβαντικής Θεωρίας Κλασσικα και Κβαντικα Μαθηματικα Μοντελα Χειμερινο Εξαμηνο Iωαννης E. Aντωνιου Τμημα Μαθηματικων Aριστοτελειο Πανεπιστημιο 54124,

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής Σειρά Fourier Ορθοκανονικές Συναρτήσεις Στοεδάφιοαυτόθαδιερευνήσουμεεάνκαικάτωαπό

Διαβάστε περισσότερα

Το κυματοπακέτο. (Η αρίθμηση των εξισώσεων είναι συνέχεια της αρίθμησης που εμφανίζεται στο εδάφιο «Ελεύθερο Σωμάτιο».

Το κυματοπακέτο. (Η αρίθμηση των εξισώσεων είναι συνέχεια της αρίθμησης που εμφανίζεται στο εδάφιο «Ελεύθερο Σωμάτιο». Το κυματοπακέτο (Η αρίθμηση των εξισώσεων είναι συνέχεια της αρίθμησης που εμφανίζεται στο εδάφιο «Ελεύθερο Σωμάτιο». Ένα ελεύθερο σωμάτιο δεν έχει κατ ανάγκη απολύτως καθορισμένη ορμή. Αν, για παράδειγμα,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Σημειώσεις Ανάλυσης Ι (ανανεωμένο στις 5 Δεκεμβρίου 2012)

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Σημειώσεις Ανάλυσης Ι (ανανεωμένο στις 5 Δεκεμβρίου 2012) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Σημειώσεις Ανάλυσης Ι (ανανεωμένο στις 5 Δεκεμβρίου 2012) Τμήμα Θ. Αποστολάτου & Π. Ιωάννου 1 Σειρές O Ζήνων ο Ελεάτης (490-430 π.χ.) στη προσπάθειά του να υποστηρίξει

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Ε.1 I. 1. α 2 = 9 α = 3 ψ p: α 2 = 9, q: α = 3 Σύνολο αλήθειας της p: Α = {-3,3}, Σύνολο αλήθειας της q: B = {3} A B 2. α 2 = α α = 1 ψ p: α 2 = α, q: α = 1 Σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Συζευγμένα ταλαντώσεις - Ένα άλλο σύστημα

Συζευγμένα ταλαντώσεις - Ένα άλλο σύστημα ΦΥΣ 11 - Διαλ.3 1 Συζευγμένα ταλαντώσεις - Ένα άλλο σύστημα q Το παρακάτω σύστημα είναι ανάλογο με το σύστημα των δύο εκκρεμών. q Οι δυο ιδιοσυχνότητες του συστήματος είναι ίδιες με τις ιδιοσυχνότητες

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 1 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 20 Οκτωβρίου 2008

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 1 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 20 Οκτωβρίου 2008 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 0 Οκτωβρίου 008 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: Νοεμβρίου 008 Πριν

Διαβάστε περισσότερα

, 1 0 9 1, 2. A a και το στοιχείο της i γραμμής και j

, 1 0 9 1, 2. A a και το στοιχείο της i γραμμής και j Κεφάλαιο Πίνακες Βασικοί ορισμοί και πίνακες Πίνακες Παραδείγματα: Ο πίνακας πωλήσεων ανά τρίμηνο μίας εταιρείας για τρία είδη που εμπορεύεται: ο Τρίμηνο ο Τρίμηνο ο Τρίμηνο ο Τρίμηνο Είδος Α 56 Είδος

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 2. ίνεται το Ρ(x) αν το ρ είναι ρίζα Ρ(2x) 2x τότε το ρ είναι ρίζα του Ρ( Ρ(2x)) 2x.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 2. ίνεται το Ρ(x) αν το ρ είναι ρίζα Ρ(2x) 2x τότε το ρ είναι ρίζα του Ρ( Ρ(2x)) 2x. ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ίνονται τα πολυώνυµα Ρ (x), Ρ (x), Ρ (x) αν τα πολυώνυµα Ρ (x) και Ρ (x) δεν έχουν κοινή ρίζα και ισχύει : ( Ρ (x)) + (Ρ (x)) = (Ρ (x)) για κάθε x R να δείξετε ότι το Ρ (x) δεν έχει πραγµατική

Διαβάστε περισσότερα

X = συνεχης. Είναι εμφανές ότι αναγκαία προϋπόθεση για την ύπαρξη της ροπογεννήτριας

X = συνεχης. Είναι εμφανές ότι αναγκαία προϋπόθεση για την ύπαρξη της ροπογεννήτριας Ροπογεννήτριες (mome geerig fucios), πιθανογεννήτριες (robbiliy geerig fucios) και χαρακτηριστικές συναρτήσεις (chrcerisic fucios) Η ροπογεννήτρια συνάρτηση της τμ είναι η πραγματική συνάρτηση πραγματικής

Διαβάστε περισσότερα

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ 1 Συναρτήσεις Όταν αναφερόμαστε σε μια συνάρτηση, ουσιαστικά αναφερόμαστε σε μια σχέση ή εξάρτηση. Στα μαθηματικά που θα μας απασχολήσουν, με απλά λόγια, η σχέση

Διαβάστε περισσότερα

Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων

Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων Παράρτημα Α Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων Το παρόν παράρτημα βασίζεται στις σελίδες 671 8 του βιβλίου: Γ. Χ. Ψαλτάκης, Κβαντικά Συστήματα Πολλών Σωματιδίων (Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, Ηράκλειο,

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ

Κεφάλαιο 3 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Κεφάλαιο 3 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Στο πρώτο μέρος αυτού του κεφαλαίου συνοψίζουμε όσα είναι απαραίτητα για την εύρεση ιδιοτιμών και ιδιοδιανυσμάτων ενός τετραγωνικού πίνακα Στο δεύτερο μέρος αναπτύσσονται

Διαβάστε περισσότερα

Πεπερασμένες Διαφορές.

Πεπερασμένες Διαφορές. Κεφάλαιο 1 Πεπερασμένες Διαφορές. 1.1 Προσέγγιση παραγώγων. 1.1.1 Πρώτη παράγωγος. Από τον ορισμό της παραγώγου για συναρτήσεις μιας μεταβλητής γνωρίζουμε ότι η παράγωγος μιας συνάρτησης f στο σημείο x

Διαβάστε περισσότερα

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 7: ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 7: ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 7: ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ [Κεφ..6: Συνέπειες του Θεωρήματος της Μέσης Τιμής πλην της Ενότητας Μονοτονία Συνάρτησης του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

16/12/2013 ETY-202 ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 09. ΤΑΥΤΟΣΗΜΑ ΣΩΜΑΤΙΔΙΑ. 1396; office Δ013 ΙΤΕ. Στέλιος Τζωρτζάκης ΤΑΥΤΟΣΗΜΑ ΣΩΜΑΤΙΔΙΑ

16/12/2013 ETY-202 ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 09. ΤΑΥΤΟΣΗΜΑ ΣΩΜΑΤΙΔΙΑ. 1396; office Δ013 ΙΤΕ. Στέλιος Τζωρτζάκης ΤΑΥΤΟΣΗΜΑ ΣΩΜΑΤΙΔΙΑ stzortz@iesl.forth.gr 1396; office Δ013 ΙΤΕ 2 ΎΛΗ & ΦΩΣ 09. ΤΑΥΤΟΣΗΜΑ ΣΩΜΑΤΙΔΙΑ ΤΑΥΤΟΣΗΜΑ ΣΩΜΑΤΙΔΙΑ Στέλιος Τζωρτζάκης 1 3 4 φάση Η έννοια των ταυτόσημων σωματιδίων Ταυτόσημα αποκαλούνται όλα τα σωματίδια

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 5 ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Εισαγωγή Στο κεφάλαιο αυτό θα δούμε πώς, με τη βοήθεια των πληροφοριών που α- ποκτήσαμε μέχρι τώρα, μπορούμε να χαράξουμε με όσο το δυνατόν μεγαλύτερη ακρίβεια τη γραφική παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

Ευκλείδειοι Χώροι. Ορίζουµε ως R n, όπου n N, το σύνολο όλων διατεταµένων n -άδων πραγµατικών αριθµών ( x

Ευκλείδειοι Χώροι. Ορίζουµε ως R n, όπου n N, το σύνολο όλων διατεταµένων n -άδων πραγµατικών αριθµών ( x Ευκλείδειοι Χώροι Ορίζουµε ως R, όπου N, το σύνολο όλων διατεταµένων -άδων πραγµατικών αριθµών x, x,, x ) Tο R λέγεται ευκλείδειος -χώρος και τα στοιχεία του λέγονται διανύσµατα ή σηµεία Το x i λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Ενότητα Μονοτονία Συνάρτησης του κεφ.2.6 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου].

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Ενότητα Μονοτονία Συνάρτησης του κεφ.2.6 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Ενότητα Μονοτονία Συνάρτησης του κεφ..6 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα 1. ΘΕΜΑ Β Να μελετηθούν ως προς την μονοτονία

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ Σεπτέµβριος 2001 ΘΕΜΑ 1 Ένα φυσικό σύστηµα, ενός βαθµού ελευθερίας, περιγράφεται από την ακόλουθη συνάρτηση

ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ Σεπτέµβριος 2001 ΘΕΜΑ 1 Ένα φυσικό σύστηµα, ενός βαθµού ελευθερίας, περιγράφεται από την ακόλουθη συνάρτηση ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ Σεπτέµβριος 2001 ΘΕΜΑ 1 Ένα φυσικό σύστηµα, ενός βαθµού ελευθερίας, περιγράφεται από την ακόλουθη συνάρτηση Hamilton:, όπου κάποια σταθερά και η κανονική θέση και ορµή

Διαβάστε περισσότερα

[ ] [ ] ΘΕΜΑ 1o A. Για x x 0 έχουµε: παραγωγίσιµη στο χ 0 ) άρα η f είναι συνεχής στο χ 0.

[ ] [ ] ΘΕΜΑ 1o A. Για x x 0 έχουµε: παραγωγίσιµη στο χ 0 ) άρα η f είναι συνεχής στο χ 0. ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Σ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 29 ΜΑΪΟΥ 23 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ 1o A. Για x x έχουµε: f (

Διαβάστε περισσότερα