ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΦΥΣΙΚΗ ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Δ. ΣΚΑΡΛΑΤΟΣ, ΑΝΑΠΛΗΡΩΤΗΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΦΥΣΙΚΗ

Transcript

1 ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΦΥΣΙΚΗ

2 ΕΝΟΤΗΤΑ 5 Επίλυση της εξίσωσης Schrödinger σε απλά κβαντικά συστήματα

3 Ι. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Κάθε φυσικά πραγματοποιήσιμη φυσική κατάσταση ενός (μονοσωματιδιακού) κβαντικού συστήματος περιγράφεται από μια κυματοσυνάρτηση Ψ(r,t). Η κυματοσυνάρτηση περιέχει όλες τις φυσικά ελέγξιμες πληροφορίες για την εξεταζόμενη κατάσταση του συστήματος. Η κυματοσυνάρτηση Ψ(r,t) εκφράζει ένα κύμα πιθανότητας. Το τετράγωνο του μέτρου της είναι η πυκνότητα πιθανότητας να βρεθεί το σωματίδιο σε μία περιοχή του χώρου. μία διάσταση * (, ) (, ) (, ) (, ) P t t t t (, t) (, t) τρείς διαστάσεις * (, ) (, ) (, ) (, ) P r t r t r t r t ( r, t) ( r, t) dydz Αφού το τετράγωνο του μέτρου της κυματοσυνάρτησης εκφράζει πυκνότητα πιθανότητας, θα πρέπει όπως λέμε να είναι τετραγωνικά ολοκληρώσιμη. Δηλαδή: (, t) 1 μία διάσταση ( r, t) dydz τρείς διαστάσεις

4 Μέση τιμή της θέσης και αβεβαιότητα θέσης. (, t) 1 μία διάσταση r r ( r, t) dydz τρείς διαστάσεις Για ένα μέγεθος που είναι συνάρτηση της θέσης f() θα ισχύει: Άρα: t (, ) 1 Και επομένως: f ( ) f ( ) (, t) 1 Η χρονική εξέλιξη της κατάστασης ενός μονοσωματιδιακού συστήματος δίνεται από την επίλυση της εξίσωσης του Schrödinger: (, t) (, t) i U ( ) (, t) t m ( rt, ) i ( r, t) U ( r ) ( r, t) t m y z μία διάσταση τρείς διαστάσεις

5 ΙΙ. Η ΕΞΙΣΩΣΗ Schrödinger ΓΙΑ ΣΩΜΑΤΙΟ ΚΑΘΟΡΙΣΜΕΝΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ. Το ελεύθερο σωμάτιο καθορισμένης ενέργειας περιγράφεται από επίπεδο κύμα πιθανότητας. Στην περίπτωση αυτή t (, t) A e και η εξίσωση Schrödinger παίρνει την μορφή: Στην περίπτωση που το σωμάτιο κινείται σε πεδίο δυναμικής ενέργειας U() θα έχουμε ότι: i p - Et i (, t) i p - Et i (, t) ( E) A e E(, t) i E(, t) t ( t, ) E(, t) m εξίσωση Schrödinger για ελέυθερο σωμάτιο καθορισμένης ενέργειας Ε (κινητική μόνο) ( t, ) U ( ) (, t) E(, t) m εξίσωση Schrödinger για σωμάτιο που βίσκεται υπό την επίδραση συντηρητικής δύναμης και έχει καθορισμένη ενέργεια Ε (κινητική και δυναμική)

6 ΙΙΙ. ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ Schrödinger ΓΙΑ ΣΩΜΑΤΙΟ ΚΑΘΟΡΙΣΜΕΝΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ - ΣΤΑΣΙΜΕΣ ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΙΣ Θα έχουμε ότι: (, t) (, t) U ( ) (, t) i E(, t) m t Λύση χωριζομένων μεταβλητών: (, t) ( ) ( t) d() t i ( ) E ( ) ( t) () t dt d ( ) ( t) U ( ) ( ) ( t) E ( ) ( t) m d ( ) m E U ( ) ( ) 0 Γενική λύση (μιγαδική): e i Et (χρονική εξέλιξη κυματοσυνάρτησης) (χρονικά ανεξάρτητη εξίσωση Schrödinger Δίνει το χωρικό κομάτι της κυματοσυνάρτησης και την ενέργεια του σωματιδίου) (, t) ( ) ( t) ( ) e ( ) (,0) i Et

7 Πυκνότητα πιθανότητας: i i Et Et * ( ) (, ) (, ) ( ) ( ) ( ) P t t e e (ανεξάρτητη του χρόνου) Οι καταστάσεις καθορισμένης ενέργειας του σωματιδίου ονομάζονται στάσιμες, όχι γιατί δεν εξελίσσονται χρονικά, αλλά γιατί η πιθανότητα να βρούμε το σωματίδιο σε μία περιοχή του χώρου δεν αλλάζει με το χρόνο. Μέση τιμή της θέσης: Αβεβαιότητα θέσης: ( ), όπου ( ) Ιδιότητες της ψ(): (α) Πρέπει να είναι μονότιμη παντού (αφού το τεράγωνο του μέτρου της εκφράζει πυκνότητα πιθανότητας) (β) Πρέπει τόσο η ψ() όσο και η πρώτη της παράγωγος να είναι παντού συνεχείς (για να ορίζεται η δεύτερη παράγωγος), εκτός ίσως από σημεία που η δυναμική ενέργεια παρουσιάζει άπειρη ασυνέχεια. (γ) Πρέπει να είναι τεραγωνικά ολοκληρώσιμη, δηλαδή: ( ) 1 ή ( ) 0

8 Σε ένα πεδίο δυναμικής ενέργειας όπως του σχήματος: (α) Για U 0 <Ε<0 έχουμε τις δέσμιες καταστάσεις του σωματιδίου. Εδώ το σωματίδιο δεν μπορεί να διαφύγει και η πιθανότητα να βρεθεί εκτός των ορίων του πηγαδιού είναι μηδενική. Άρα εδώ θα πρέπει ( ) 0 και οι λύσεις θα είναι τεραγωνικά ολοκληρώσιμες. Αυτό επιβάλλει διάκριτο ενεργειακό φάσμα για το σωματίδιο. (β) Για Ε>0 έχουμε τη σκέδαση του σωματιδίου από το πεδίο. Το σωματίδιο, ανάλογα με την ενέργειά του μπορεί να διέλθει ή να ανακλαστεί. Εδώ το ενεργειακό φάσμα του σωματιδίου είναι συνεχές. Το σωματίδιο μπορεί να βρεθεί παντού στο διάστημα <<+. Οι κυματοσυναρτήσεις στην περίπτωση αυτή δεν είναι τετραγωνικά ολοκληρώσιμες. Σε ένα πεδίο δυναμικής ενέργειας όπως του σχήματος: (α) Για Ε>U 0 έχουμε τη σκέδαση του σωματιδίου από το πεδίο. Το σωματίδιο, ανάλογα με την ενέργειά του μπορεί να διέλθει ή να ανακλαστεί. (β) Για Ε<U 0 έχουμε είτε τη σκέδαση του σωματιδίου από το πεδίο ή τη διέλευσή του μέσα από τον φραγμό δυναμικής ενέργειας. Η διέλευση εξαρτάται από την ενέργεια του σωματιδίου και το εύρος του φραγμού. Ονομάζεται φαινόμενο σήραγγος και συνιστά Καθαρά κβαντική συμπεριφορά χωρίς κλασικό ανάλογο. Και στις δύο περιπτώσεις το ενεργειακό φάσμα του σωματιδίου είναι συνεχές. U ( ) U 0 U ( ) U 0

9 ΙV. ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΙΣ ΕΠΑΛΛΗΛΙΑΣ Η εξίσωση του Schrödinger είναι μιγαδική, γραμμική και ομογενής και επομένως θα δέχεται ως λύσεις και έναν γραμμικό συνδυασμό (επαλληλία) λύσεών της της μορφής: (, t) c (, t) c ( ) e n n n n n1 n1 όπου οι κυματοσυναρτήσεις ψ n () αποτελούν λύσεις της χρονικά ανεξάρτητης εξίσωσης Schrödinger. Μια τέτοια κατάσταση ενός μονοσωματιδιακού κβαντικού συστήματος δεν είναι κατάσταση καθορισμένης ενέργειας (στάσιμη κατάσταση). Εδώ η πυκνότητα πιθανότητας εμφανίζει χρονική εξάρτηση. Π.χ για τον γραμμικό συνδυασμό i E t (, t) c ( ) e c ( ) e 1 1 i E t 1 i Et n i i E1 E * * t * E E1 t P(, t) (, t) (, t) c ( ) c ( ) c c e c c e Αποδεικνύεται ότι οι πιθανότητα το σύστημα να βρεθεί στην κατάσταση που περιγράφεται από την κυματοσυνάρτηση ψ n () με ενέργεια Ε n δίδεται από την έκφραση: cn ό έ n cn

10 .και ότι μπορούμε να υπολογίσουμε τη μέση ενέργεια του συστήματος και την απροσδιοριστία της από τις εκφράσεις: E c1 E1 c E... E c1 E1 c E... E E E Καταστάσεις επαλληλίας μπορούν να προκύψουν σε ένα μονοσωματιδιακό κβαντικό σύστημα εάν π.χ διαταραχθεί παροδικά από ένα εξωτερικό αίτιο.

11 V. ΕΦΑΡΜΟΓΗ 1: ΤΟ ΕΛΕΥΘΕΡΟ ΣΩΜΑΤΙΟ (α) Το ελεύθερο σωμάτιο καθορισμένης ενέργειας: Χρονικά ανεξάρτητη εξίσωση Schrödinger για U()=0: d m d me E 0 k 0, k Χαρακτηριστικό πολυώνυμο: r k 0 r ik p E m k p k me Λύση: ik ik me ( ) Ae Be, k Χρονοεξαρτημένη κυματοσυνάρτηση: ie t i k t i k t ik ik ik ik it (, t) Ae Be e Ae Be e Ae Be Επίπεδο κύμα που οδεύει προς τα δεξιά Επίπεδο κύμα που οδεύει προς τα αριστερά

12 Για κύμα που οδεύει προς τα δεξιά Β=0 και επομένως: Πυκνότητα πιθανότητας: i kt (, t) Ae Acos k t i sin k t P(, t) (, t) (, t) A * Χρονικά σταθερή πυκνότητα πιθανότητας (στάσιμη κατάσταση). Ανεξάρτητη και από τη θέση. Το σωματίδιο έχει την ίδια πιθανότητα να βρεθεί οπουδήποτε στη διεύθυνση (άπειρη αβεβαιότητα θέσης). (,0) (,0) A

13 (β) Το ελεύθερο σωμάτιο πεπερασμένης αβεβαιότητας θέσης και ορμής (ενέργειας): Μπορεί να περιγραφεί μόνο με κυματόδεμα της μορφής: p E m p k k m ( ) (, ) A(k) i k k t t e dk Το είδος του κυματοδέματος εξαρτάται από τον παράγοντα διαμόρφωσης Α(k). Ca Το γκαουσιανό κυματόδεμα A( k) e ik Ca ik a k (,0) A(k) e dk e dk i a 4a z ik a k ak Άρα: ak 4a z 4a Ca (,0) e e dz Ce a

14 Όμως: i k t a k k i k ( k ) t Ca Ca ik i t a k m k m (, t) A(k) e dk e dk e dk t t i m m 4 ik i k a k ik a i k k και: z 4 z Ca 4 Ca (, t) e e dz e (, t) a 4 Ca t m 1 4 e t 4a ma Το κυματόδεμα μειώνεται σε ύψος και «απλώνει» συναρτήσει του χρόνου t () t a ma

15 VΙ. ΕΦΑΡΜΟΓΗ : ΣΩΜΑΤΙΟ ΣΕ ΑΠΕΙΡΟΒΑΘΟ ΠΗΓΑΔΙ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ-ΔΕΣΜΙΕΣ ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΙΣ 0,0 U ( ) U( ), ύ Το σωματίδιο μάζας m δεν μπορεί να ξεφύγει εκτός του πηγαδιού. Στην περιοχή (<0) ψ()=0 Στην περιοχή ΙΙ (>) ψ()=0 Στην περιοχή (0<<) U()=0 και : d m d me E 0 k 0, k Χαρακτηριστικό πολυώνυμο: ik Λύση: ( ) Ae Be Συνέχεια στο =0: r k 0 r ik ik ( 0) 0 A B 0 A B Άρα: ik ik me ( ) A e e =iasin k Asin k, k 0 Ελαστικές κρούσεις στα τοιχώματα. Σταθερή ταχύτητα και ορμή.

16 Συνέχεια στο = : ( ) 0 Asin k 0 k n k n, n 1,,3... Άρα : me n, n 1,,3... και επομένως: Θα πρέπει επίσης: m E n n, n1,,3... n n ( ) Asin, n 1,,3... n 0 0 n ( ) 1 A sin =1 A Συνοψίζοντας: n n( ) sin, n 1,,3... h 8m E n n, n1,,3... i n - Et n n(, t) sin e, n 1,,3... 0

17 Ενέργεια /3 / 3 /3 / 3 / / Θεμελιώδης κατάσταση Ε 1 >0 Παρατηρήσεις: Ενέργεια της θεμελιώδους κατάστασης. Παρατηρούμε ότι η ελάχιστη ενέργεια του σωματιδίου είναι μη μηδενική σε πλήρη συμφωνία με την αρχή της αβεβαιότητας. Όλη η ενέργεια του σωματιδίου στο διάστημα 0<< είναι κινητική. Θα πρέπει γενικά : E 16m p p me p p

18 Για την ενέργεια της θεμελιώδους κατάστασης του σωματιδίου Κβάντωση της ενέργειας και αρχή της αντιστοιχίας. h h E E E n 1 n n 1 8m 8m E E 1 E n 1 n n n n 0 E E n n n n1 n n h 8m h0 E1 0 m Το αποτέλεσμα μεταπίπτει στο κλασικά προβλεπόμενο (κλασικά προβλέπεται μηδενική ελάχιστη ενέργεια-βλ. και διαπραγμάτευση του προβλήματος με τους κανόνες Wilson/Sommerfeld) όταν h 0 ή m, σύμφωνα με την αρχή της αντιστοιχίας. Παρατηρούμε ότι η σχετική ενεργειακή διαφορά μεταξύ δύο διαδοχικών ενεργειακών σταθμών εκμηδενίζεται πρακτικά για μεγάλες τιμές του κβαντικού αριθμού n. Το σωματίδιο στην περίπτωση αυτή συμπεριφέρεται κλασικά (συνεχές ενεργειακό φάσμα), σύμφωνα με την αρχή της αντιστοιχίας.

19 Κλασική πιθανότητα και αρχή της αντιστοιχίας. Η κλασική πιθανότητα εύρεσης του σωματιδίου σε ένα διάστημα μήκους μέσα στο πηγάδι εξαρτάται πρακτικά από το ποσοστό του χρόνου (dt) που αυτό «περνάει» μέσα στο διάστημα αυτό σε σχέση με την περίοδο κίνησής του εντός των ορίων του πηγαδιού. Δηλαδή: dt 1 cl Pcl ( ) Pcl ( ) T T (η ταχύτητα του σωματιδίου είναι σταθερή) 1 cl P ( ) cl 0 0 0, dt 1 cl Pcl ( ) cl cl cl * n Η αντίστοιχη κβαντική πυκνότητα πιθανότητας είναι: P( ) n(, t) n(, t) sin n P( ), P( ) cl 3 ( n ) 3 0 0

20 VΙ. ΕΦΑΡΜΟΓΗ 3: Ο ΚΒΑΝΤΙΚΟΣ ΑΡΜΟΝΙΚΟΣ ΤΑΛΑΝΤΩΤΗΣ-ΔΕΣΜΙΕΣ ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΙΣ 1 1 U ( ) m, m Χρονικά ανεξάρτητη εξίσωση Schrödinger : d m 1 E m 0 d m m E Λύση : y n 1 n( ) e H n, n 0,1,,3... n! H n n ( 1) e 1 E n, n 0,1,,3... y d n e dy y n Κλασικά όρια κίνησης A Σταθερά κανονικοποίησης E m m Ενέργεια 1 U ( )

21 ( ) e 7 7hf E3 1 1 ( ) e 0 ( ) e ( ) 4 e hf 3 3hf 5 5hf E0 E1 E Εικονίζονται τα όρια ταλάντωσης κλασικού αρμονικού 5 A ταλαντωτή m της ίδιας ενέργειας A m A 3 m 1 A 9 m A 11 m A 7 m

22 Παρατηρήσεις: Ενέργεια της θεμελιώδους κατάστασης. Παρατηρούμε ότι η ελάχιστη ενέργεια του κβαντικού ταλαντωτή (γνωστή και ως ενέργεια μηδενικού σημείου) είναι μη μηδενική σε πλήρη συμφωνία με την αρχή της αβεβαιότητας. m h 0 E0 0 m Το αποτέλεσμα μεταπίπτει στο κλασικά προβλεπόμενο (κλασικά προβλέπεται μηδενική ελάχιστη ενέργεια) όταν h 0 ή m, σύμφωνα με την αρχή της αντιστοιχίας. Κβάντωση της ενέργειας και αρχή της αντιστοιχίας. 1 1 En En 1 En n1 n En En 1En 1 n 0 E E 1 1 n n ( n ) n Ανεξάρτητη του n!!! Παρατηρούμε ότι η σχετική ενεργειακή διαφορά μεταξύ δύο διαδοχικών ενεργειακών σταθμών εκμηδενίζεται πρακτικά για μεγάλες τιμές του κβαντικού αριθμού n. Ο ταλαντωτής στην περίπτωση αυτή συμπεριφέρεται κλασικά (συνεχές ενεργειακό φάσμα), σύμφωνα με την αρχή της αντιστοιχίας.

23 Κλασική πιθανότητα και αρχή της αντιστοιχίας. Η κλασική πιθανότητα εύρεσης του ταλαντωτή σε ένα διάστημα μήκους μέσα στο πηγάδι εξαρτάται πρακτικά από το ποσοστό του χρόνου (dt) που αυτός «περνάει» μέσα στο διάστημα αυτό σε σχέση με την περίοδο κίνησής του εντός των ορίων του πηγαδιού. Δηλαδή: dt P ( ) P ( ) T T( ) cl cl cl 1 1 E E m m ( ) m Pcl 1 ( ) E E m m 1 A Όσο αυξάνεται το n, η κλασική και η κβαντική πιθανότητα τείνουν να συμπέσουν m

24 Σύγκριση με την θεωρία του Planck. Η διαπραγμάτευση της ακτινοβολίας του μέλανος σώματος από τον Planck, οδήγησε στο ότι η ενέργεια ενός μικροσκοπικού αρμονικού ταλαντωτή είναι κβαντισμένη σύμφωνα με τη σχέση: E nhf n, n 1,,3... n Η διαπραγμάτευση τoυ αρμονικού ταλαντωτή κατά Schrödinger οδηγεί στο αποτέλεσμα: 1 En n, n 0,1,,3... Planck Schrödinger Που οφείλεται η διαφορά; Παρατηρούμε ότι το αποτέλεσμα του Planck ισοδυναμεί πρακτικά με τις διαφορές ενέργειας μεταξύ των διεγερμένων καταστάσεων και της θεμελιώδους κατάστασης του κατά Schrödinger αρμονικού ταλαντωτή Άρα το αποτέλεσμα του Planck πρέπει πρακτικά να σχετίζεται με μεταβάσεις μεταξύ καταστάσεων αρμονικού ταλαντωτή κατά τις οποίες εκπέμπεται ηλεκτρομαγνητική ακτινοβολία (φωτόνια). Αυτό είναι απόλυτα λογικό, δεδομένου ότι στην ουσία ο Planck μελέτησε την Η/Μ ακτινοβολία που εκπέμπεται από ένα μέλαν σώμα. Στο μοντέλλο του μέλανος σώματος η Η/Μ ακτινοβολία παράγεται στο εσωτερικό της κοιλότητας από τις ταλαντώσεις των μορίων των τοιχωμάτων της.

25 Στον απλό κβαντικό αρμονικό ταλαντωτή, προκειμένου τα αποτελέσματα να τείνουν στα κλασικά προβλεπόμενα με βάση την αρχή της αντιστοιχίας, επιτρέπονται μόνο μεταβάσεις μεταξύ διαδοχικών ενεργειακών σταθμών (Δn=1) με εκπομπή ενός φωτονίου, όπως στο σχήμα (βλ. Σ.Τραχανάς «Κβαντομηχανική Ι»).

26 Ενέργεια Στα ταλαντούμενα (έστω διατομικά) μόρια η κατάσταση είναι διαφορετική. Η δυναμική ενέργεια αλληλεπίδρασης των ατόμων που τα συγκροτούν είναι της μορφής: U r D e e ar ar ( ) e (Morse) Προσεγγίζεται ικανοποιητικά (ανάλογα με το μόριο) από το παραβολικό δυναμικό του απλού αρμονικού ταλαντωτή. Οι αποκλίσεις οφείλονται σε αναρμονικούς όρους της ταλάντωσης του μορίου. Όμως η αναρμονικότητα και η απόκλιση από το παραβολικό δυναμικό επιτρέπει μεταβάσεις με Δn>1. Ενέργεια διάσπασης Απόσταση ισορροπίας Απόσταση μεταξύ πυρήνων (r)

27 VΙ. ΕΦΑΡΜΟΓΗ 4: ΤΟ ΣΚΑΛΟΠΑΤΙ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ- ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΙΣ ΣΚΕΔΑΣΗΣ U, 0 0 U( ) 0, 0 Το σωματίδιο μάζας m προσπίπτει στο σκαλοπάτι με ενέργεια Ε. (α) Ε>U 0 Στην περιοχή (<0): d m d me E 0 0, k k ik Λύση: ( ) Ae Be Στην περιοχή Ι (>0): d ik ik Ae 0 E Be ik U ( ) U 0 0 m d m E U0 E U 0 k 0, k 0 ik ik Λύση: ( ) Ce De Προφανώς D=0, γιατί στην περιοχή ΙΙ το σωματίδιο κινείται μόνο προς τα δεξιά ik Ce

28 Συνέχεια στο =0: Άρα: k k ( 0) ( 0) A B C B k k d d k ( A B) kc k C 0 0 k k ik k k k ik ik ( ) Ae A e ( ) A e k k k k A A προσπίπτον ανακλώμενο διερχόμενο Συντελεστής ανάκλασης: R *,, k 0 1, k k k E E U E U 0 * k 0,,, k k k E E U E 0 Συντελεστής διέλευσης: 4kk 4 E E U 0, E U 1 R k 1, E k E E U 0 0 0

29 (β) Ε<U 0 Στην περιοχή (<0): d d m E 0 k 0, k me ik Ae E Be ik U ( ) U 0 De ik Λύση: ( ) Ae Be ik 0 Στην περιοχή Ι (>0): d m d E U 0 k 0, 0 m E U0 m U0 E k i i Λύση: ( ) Ce De Προφανώς C=0, γιατί στην περιοχή ΙΙ ψ ΙΙ ( )=0

30 Συνέχεια στο =0: Άρα: k i ( 0) ( 0) A B D B A k i d d ik ( A B) D k D A 0 0 k i ik k i ik k ( ) Ae A e ( ) A e k i k i προσπίπτον ανακλώμενο Δεν αντιπροσωπεύει κύμα Συντελεστής ανάκλασης: R *,, k i k i * k,, i k i 1 Οπότε ο συντελεστής διέλευσης θα πρέπει να είναι μηδέν 0 Ολική ανάκλαση!!!

31 U ( ) (α) Ε>U 0 C K E U 0 k m K E k m U 0 U 0 U ( ) (β) Ε<U 0 U 0 D U 0

32 VΙ. ΕΦΑΡΜΟΓΗ 5: ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ ΣΗΡΑΓΓΟΣ (α) Το ορθογώνιο φράγμα δυναμικής ενέργειας: 0, 0 U( ) U 0,0 0, 0 Θεωρητικά προβλέπεται μη μηδενική πιθανότητα διέλευσης του σωματιδίου μέσα από το φράγμα για Ε<U 0 (φαινόμενο σήραγγος). Αυτή εξαρτάται τόσο από το εύρος όσο από το ύψος και του φράγματος. 1 1 U 0 ( E) 1 sinh ( ), 4 E( U0 E) m U 0 E ik Ae EU 0 EU 0 U ( ) Be ik U 0 Ce ik 0 U 0 EU 0 0 A E/ U 0 U 0 0

33 (β) Φράγμα δυναμικής ενέργειας τυχαίου σχήματος: Για ένα φράγμα δυναμικής ενέργειας το ύψος του οποίου είναι συνάρτηση της θέσης μπορεί να αποδειχθεί η προσεγγιστική έκφραση του συντελεστή διέλευσης: ( E) ep m U( ) E 1 (Προσέγγιση WKB) Παρατηρούμε ότι όσο μικρότερη είναι η μάζα του σωματιδίου, τόσο αυξάνεται η πιθανότητα διέλευσης από το φράγμα. Για m,έχουμε Τ 0 (κλασική συμπεριφορά του σωματιδίου σύμφωνα με την αρχή της αντιστοιχίας) U ( ) (βλ. Σ.Τραχανάς «Κβαντομηχανική Ι»)

34 VΙ. ΕΦΑΡΜΟΓΗ 6: ΤΟ ΤΡΙΔΙΑΣΤΑΤΟ ΑΠΕΙΡΟΒΑΦΟ ΠΗΓΑΔΙ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ-ΕΚΦΥΛΙΣΜΟΣ 0,0, 0 y, 0 z U (, y, z), ύ Το σωματίδιο μάζας m δεν μπορεί να ξεφύγει εκτός του πηγαδιού (κιβωτίου). Το πρόβλημα είναι τριδιάστατο. Η χρονικά ανεξάρτητη εξίσωση Schrödinger στον χώρο εντός του πηγαδιού (U=0) και στις τρείς διαστάσεις έχει τη μορφή: m (, y, z) E(, y, z) 0 y z Αναζητούμε λύση χωριζομένων μεταβλητών: (, y, z) X( ) Y( y) Z( z) Άρα: d X ( ) d Y ( y) d Z( z) m EX Y y Z z ( ) ( ) ( ) 0 dy dz 1 d X ( ) 1 d Y ( y) 1 d Z( z) me k 0, k X ( ) Y ( y) dy Z( z) dz

35 Το σωματίδιο μέσα στο κιβώτιο κινείται ελεύθερο και επομένως: E p py pz p p k k k y kz m E k k k y kz k m m m m E E E y z d X ( ) k X ( ) 0 1 d X ( ) 1 d Y ( y) 1 d Z( z) d Y ( y) k 0 ( ) 0 ky kz k y Y y X ( ) Y ( y) dy Z( z) dz dy d Z( z) k ( ) 0 z Z z (, y, z) 0 X (0) Y ( y) Z( z) 0 X (0) 0 dz Άρα: Οριακές συνθήκες: 0 (, y, z) 0 X ( ) Y( y) Z( z) 0 X ( ) 0 (, y, z) 0 X ( ) Y (0) Z( z) 0 Y(0) 0 y0 (, y, z) 0 X ( ) Y ( ) Z( z) 0 Y ( ) 0 y (, y, z) 0 X ( ) Y ( y) Z(0) 0 Z(0) 0 z0 (, y, z) 0 X ( ) Y ( y) Z( ) 0 Z ( ) 0 z

36 Κάθε μία από τις παραπάνω εξισώσεις μαζί με τις αντίστοιχες οριακές συνθήκες αντιπροσωπεύει το πρόβλημα του μονοδιάστατου απειρόβαθου πηγαδιού στην αντίστοιχη διάσταση. Επομένως: n X ( ) sin, n 1,,3..., k ny Y ( y) sin y, ny 1,,3..., ky nz Z( z) sin z, nz 1,,3..., kz 8 n n n (, y, z) sin sin y sin z, με n, n, n 1,,3.. y z n n n 3 y z y z Επίσης: 0 0 y k k k y kz En ( ),,, 1,,3.. nyn n z ny nz n ny nz m m m m m 0 z

37 Τέλος: Ennynz 8 n y i t n nz n n n y z t y z e n 3 ny nz (,,, ) sin sin sin,,, 1,,3.. y z 0, 0 y, 0 z Η θεμελιώδης κατάσταση του σωματιδίου έχει ενέργεια που αντιστοιχεί στις τιμές n, n, n 1 E y z και περιγράφεται από την κυματοσυνάρτηση: m (, y, z) sin sin y sin z Στις διεγερμένες καταστάσεις εμφανίζεται το φαινόμενο του εκφυλισμού, όπου σε κάθε ενέργεια αντιστοιχούν περισσότερες από μία κυματοσυναρτήσεις. Π.χ η πρώτη διεγερμένη κατάσταση έχει ενέργεια που αντιστοιχεί στους συνδυασμούς: 6 11,(11),(11) m n, ny 1, nz 1, n 1, ny, nz 1, n 1, ny 1, nz E (, y, z), (, y, z), (, y, z) και στις κυματοσυναρτήσεις:

38 5 η διεγερμένη (εξαπλά εκφυλισμένη) 4 η διεγερμένη (μη εκφυλισμένη) 3 η διεγερμένη (τριπλά εκφυλισμένη) E( ) m η διεγερμένη (τριπλά εκφυλισμένη) 1 η διεγερμένη (τριπλά εκφυλισμένη) Θεμελιώδης κατάσταση (μη εκφυλισμένη) Ο εκφυλισμός είναι απόρροια της χωρικής συμμετρίας του προβλήματος και αίρεται όταν αυτή «σπάσει» για κάποιο λόγο. Δεν εμφανίζεται π.χ όταν το κιβώτιο έχει διαστάσεις 1,, 3.