υναµικό Coulomb - Λύση της εξίσωσης του Schrödinger
|
|
- Πᾰλαιμον Αβραμίδης
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 4 υναµικό Coulomb - Λύση της εξίσωσης του Schrödinger 4.1 Κλασσική µηχανική - το πρόβληµα των δύο σωµάτων Θεωρούµε την αλληλεπίδραση ενός ηλεκτρονίου µε µάζα m e και ϕορτίο q e = e µε έναν πυρήνα µε ϕορτίο q π = e και µάζα m π = µάζα πρωτονίου. Η ολική ενέργεια του συστήµατος δίνεται από τη σχέση : όπου r = r e r π E = P 2 π 2m π + P 2 e 2m e + V r V r = + 1 q π q e = e2 4πɛ r 4πɛ r O r π r e r Αναλύω την κίνηση του συστήµατος σε δύο µέρη : 1. Κίνηση του κέντρου µάζας : R ΚΜ = m er e + m π r π m e + m π, M = m e + m π P ολ = P e + P π = P ΚΜ 2. Σχετική κίνηση του ηλεκτρονίου γύρω από τον πυρήνα : όπου µ = P σχ = m πm e V e V π = µ dr m π + m e dt = m πp e m e P π m π + m e m πm e m π + m e είναι η ανηγµένη µάζα. Ακόµη, η στροφορµή γύρω από το κέντρο µάζας είναι : Η ολική κινητική ενέργεια γίνεται : L = r π P π + r e P e = µr dr dt P 2 π + P e 2 = P 2 ΚΜ 2m π 2m e 2M + P 2 σχ 2µ P 2 σχ E ολ = E ΚΜ + 2µ + V r }{{} E σχ R, r r e, r π r π = M M R m e M r = R m e M r r e = M M R + m π M r = R + m π M r
2 8 υναµικό Coulomb - Λύση της εξίσωσης του Schrödinger E r r V ενεργό r E< περιορισμένη κίνηση - διακριτό φάσμα στην κβαντομηχανική Σχήµα 4.1 r = r e r π V = V e V π P π = m π ṙ π = m π Ṙ ṙ m πm e M P e = m e ṙ e = m e Ṙ + ṙ m πm e M P π = m π M P ΚΜ P P e = m e M P ΚΜ + P Pe 2 + P 2 π P 2 ΚΜ m e m π M = P 2 µ µε P = P σχ = µdr/dt. Εχουµε λοιπόν δύο ανεξάρτητες κινήσεις, την κίνηση του κέντρου µάζας και την κίνηση ενός σώµατος µάζας µ εντός πεδίου µε V r. Για το δεύτερο σώµα έχουµε ότι η ταχύτητά του αναλύεται σε δύο συνιστώσες : υπενθυµίζουµε ότι ˆr ˆθ = P 2 σχ 2µ V = dr dt = dr dt ˆr + r dθ dt ˆθ = dr dt ˆr + V θ ˆθ = 1 2µ µ2 V 2 r + µ 2 V 2 θ = µ 2 L = µrv θ ẑ, L 2 = µ 2 r 2 V 2 θ dr dt E σχ = 1 2 dr 2 µ + µ dt 2 V θ 2 + V r = 1 2 dr 2 µ + L2 dt 2µr 2 + V r = 1 2 dr 2 µ + V ενεργόr dt 2 + µ 2 V θ 2 Επειδή η δύναµη είναι κεντρική, F = F rˆr, η στροφορµή διατηρείται. Άρα έχουµε τελικά ένα µονοδιάστατο πρόβληµα µε δυναµική µεταβλητή το r.
3 4.2 Κβαντική µηχανική - το πρόβληµα των δύο σωµάτων Κβαντική µηχανική - το πρόβληµα των δύο σωµάτων Η χαµιλτονιανή του συστήµατος είναι : H = P 2 π 2m π + P 2 e 2m e + V r P π i π, P e i e όπου εννοούµε παραγώγιση ως προς τις συντεταγµένες x π, y π, z π και x e, y e, z e αντίστοιχα. Ακόµη έχουµε, όπως δείξαµε προηγούµενα H = P 2 ΚΜ 2M + P 2 σχ 2µ + V r P ΚΜ i R, P σχ i r όπου εννοείται παραγώγιση ως προς τις συντεταγµένες X, Y, Z του κέντρου µάζας και τις x, y, z του r σχετική κίνηση. Ψr e, r π, t ΨR, r, t M = m e + m π, µ = m em π m e + m π M π 1836m e µ, 995m e οπότε η εξίσωση του Schrödinger είναι : ] [ 2 2M 2 R 2 2µ 2 r + V r ΨR, r, t = i Ψ t Γράφουµε ΨR, r, t = UR, re ie t/ ] [ 2 2M 2 R 2 2µ 2 r + V r UR, r = E UR, r και ϐρίσκουµε τις ιδιοσυναρτήσεις και ιδιοτιµές της ενέργειας του συστήµατος E. Μπορούµε να περάσουµε κατευθείαν 1 M π 2 π + 1 M e 2 e µε αλλαγή µεταβλητής και µετασχηµατισµό στις παραγωγίσεις. 1 M 2 R + 1 µ 2 r 4.3 Χωρισµός µεταβλητών Από τη µορφή της χαµιλτονιανής, όπου ο κινητικός όρος είναι χωρισµένος σε δύο όρους, µπορούµε να γράψουµε τη λύση στη µορφή : UR, r = u ΚΜ RΨr 2 2M 2 Ru ΚΜ Ψ + [ 2 2µ 2 rψ + V rψ ] u ΚΜ = E u ΚΜ Ψ ιαιρώντας µε το γινόµενο u ΚΜ RΨr έχουµε δύο ανεξάρτητους όρους από αριστερά 1 2 2M 2 u ΚΜ + 1 } { 2 Ψ 2µ 2 Ψ + V Ψ = E u ΚΜ για να έχουµε ισότητα για κάθε R, r, πρέπει οι δύο αυτοί όροι να είναι ίσοι µε σταθερές 2 2M 2 u ΚΜ R = E R u ΚΜ R 2 2µ 2 Ψr + V rψr = EΨr E R + E = E
4 82 υναµικό Coulomb - Λύση της εξίσωσης του Schrödinger Η πρώτη εξίσωση περιγράφει την κίνηση ενός ελεύθερου σώµατος M µε ενέργεια E R, κίνηση του κέντρου µάζας : u ΚΜ = Ae ±ik R, k 2 = 2M 2 E R συνεχές ϕάσµα P ΚΜ = k Θα ασχοληθούµε περαιτέρω µόνο µε τη δεύτερη εξίσωση, η οποία περιγράφει τη µη τετριµµένη, σχετική κίνηση των δύο σωµάτων, σαν να ήταν το ένα ο πυρήνας ακίνητο. 2 2µ 2 Ψr + V r Ψr = EΨr Επειδή η δυναµική ενέργεια έχει σφαιρική συµµετρία, ϑα χρησιµοποιήσουµε σφαιρικές συντεταγµένες r, θ, φ για τη λύση. Αναπτύσουµε πρώτα τη λαπλασιανή σε r, θ, φ: 2 = 1 r 2 r Η εξίσωση του Schrödinger γράφεται : 1 2 2µ r 2 r r 2 r r 2 Ψ r + 1 r 2 { 1 sin θ 2 2µr 2 θ sin θ θ + 1 sin 2 θ 2 } φ 2 [ 1 sin θ Ψ ] + sin 2 θ 2 Ψ sin θ θ θ φ 2 +V rψr = EΨr Ψr = Ψr, θ, φ Μια τυπική µέθοδος λύσης µιας διαφορικής εξίσωσης µε µερικές παραγώγους είναι η µέθοδος του χωρισµού των µεταβλητών όταν αυτό είναι δυνατόν. Στην προκειµένη περίπτωση µπορούµε να αναζητήσουµε µια λύση τέτοιας µορφής γράφοντας : Ψr, θ, φ = RrΘθΦφ = RrY θ, φ Οι συναρτήσεις Y θ, φ είναι οι σφαιρικές αρµονικές. Ορίζουµε τους τελεστές Â, ˆB, ˆΛ: Âr = 2 1 2µ r 2 r 2 + V r r r ˆΛθ, φ = 2 [ 1 sin θ ˆBr = 1 2µr 2 θ sin θ θ Ĥ = Âr + ˆBrˆΛθ, φ + 1 sin 2 θ ĤΨ = ÂRY + ˆBˆΛY R = ERY ÂR R + ˆBR R = RˆBR ˆΛY θ, φ Y ΛY ˆ Y = E E ÂR R δηλαδή µια συνάρτηση του θ, φ είναι ίση µε µια συνάρτηση του r όπου λ σταθερός αριθµός, πραγµατικός R και E ÂR ˆBR R ˆΛY Y = λ ˆΛY = λy θ, φ r 2 ] φ 2 = λ ER ÂR = λ ˆBR
5 4.4 Σφαιρικές αρµονικές µ r 2 r 2 R + r r ÂR + λ ˆBR = ER [ ] λ 2µr 2 + V r R = ER [ 1 2 sin θ Y ] Y sin θ θ θ sin 2 θ φ 2 = λŷ ακτινική εξίσωση γωνιακή εξίσωση Εχουµε ξανά τη δυνατότητα του χωρισµού των µεταβλητών, Y θ, φ = ΘθΦφ. Στην ακτινική εξίσωση ϐλέπουµε την εµφάνιση ενός ακόµη όρου δυναµικής ενέργειας που αντιστοιχεί κλασσικά στο ϕυγοκεντρικό δυναµικό. Άρα η σταθερά διαχωρισµού λ αντιπροσωπεύει το τετράγωνο της στροφορµής κλασικά, λ = 2 λ = 2 ll + 1 όπως ϑα δείξουµε παρακάτω. 4.4 Σφαιρικές αρµονικές Λύνουµε τη γωνιακή εξίσωση µε τη µέθοδο του χωρισµού των µεταβλητών. Y θ, φ = ΘθΦφ, λ = 2 λ Αντικαθιστώντας έχουµε, αφού διαιρέσουµε µε Y : sin θ Θ d sin θ dθ + dθ dθ λ sin 2 θ = 1 d 2 Φ Φ dφ 2 { d2 Φ dφ 2 = Φ = e ±imφ, m m2 Φ Φ = c + Dφ, m = Η εξίσωση Φφ πρέπει να είναι µονότιµη ως προς φ, αλλιώς ϑα είχαµε δύο πολλές τιµές για την κυµατοσυνάρτηση στο ίδιο σηµείο του χώρου r, θ, φ r, θ, φ + 2π m = ακέραιος και D Φφ = e imφ για m =, ±1, ±2,... Η εξίσωση για τη γωνία θ γράφεται : 1 d sin θ dθ + λ m2 sin θ dθ dθ sin 2 Θ = θ Κάνουµε την αλλαγή µεταβλητής ξ = cos θ dψ dθ = dψ dξ dξ dθ = sin θ dψ dξ 1 sin θ d dθ = d dξ sin 2 θ = 1 cos 2 θ = 1 ξ 2 Η γωνιακή εξίσωση γράφεται : [ d 1 ξ 2 dθ ] + λ m2 dξ dξ 1 ξ 2 Θ = Θ = Θθ = Θξ Λύνουµε την τελευταία εξίσωση για m = : 1 ξ 2 d2 Θ dξ 2 2ξ dθ dξ + λθ =
6 84 υναµικό Coulomb - Λύση της εξίσωσης του Schrödinger Υποθέτουµε ότι η λύση είναι µια σειρά ως προς ξ. k= Θξ = k= a k ξ k { } kk 1a k ξ k 2 kk 1a k ξ k 2ka k ξ k }{{} + λa k ξ k = σ= {σ + 2σ + 1a σ+2 σσ + 1a σ + λa σ } ξ σ = a σ+2 = σσ + 1 λ σ + 2σ + 1 a σ Προσοχή: Στο άθροισµα + k= kk 1a kξ k 2, για k = και k = 1 έχουµε µηδέν k= kk 1a k ξ k 2 = ύο ανεξάρτητες σειρές λύσεων : k=2 kk 1a k ξ k 2 = σ + 2σ + 1a σ+2 ξ σ, ϑέτοντας k = σ + 2 σ= 1. a, a 1 = 2. a =, a 1 άρτιες δυνάµεις του ξ : ξ, ξ 2, ξ 4, ξ 6,... περιττές δυνάµεις του ξ : ξ 1, ξ 3, ξ 5, ξ 7,... Οι σειρές αποκλίνουν στο όριο ξ = ±1 εάν έχουν άπειρους όρους. Άρα τέτοιες λύσεις είναι µη αποδεκτές. Παραδεκτές λύσεις είναι τα πολυώνυµα. Για να έχουµε πολυωνυµική λύση, το λ παίρνει µόνο ακέραιες τιµές: λ = ll + 1, l = ϑετικός ακέραιος ή µηδέν για να τερµατίζεται η σειρά. Άρα η στροφορµή εµφανίζεται κβαντισµένη. Για άρτιο l παίρνουµε την άρτια λύση µε a 1 =, a, ενώ για περιττό l παίρνουµε την περιττή λύση µε a =, a 1. Οι λύσεις για συγκεκριµένο l είναι τα πολυώνυµα του Legendre P l ξ = P l cos θ. a2 = l = P = a a 4 =,... a3 = l = 1 P 1 = a 1 ξ a 5 =,... l = 2 a 2 = 6 2 a = 3a P 2 = a 3a ξ 2, και a 4, a 6,... µηδέν.. Κανονικοποιούµε ορίζοντας τα a, a 1 ανάλογα : P l ξ = 1 d l [ 2 l l! dξ l 1 ξ 2 l], τύπος του Rodrigues πολυώνυµο ϐαθµού l, άρτιο για l = άρτιο, περιττό για l = περιττό Η γωνιακή εξίσωση ικανοποιείται από τη συνάρτηση : Λύση για m : Θ lm ξ = 1 ξ 2 m /2 d m dξ m P lξ
7 4.4 Σφαιρικές αρµονικές 85 P l ξ = πολυώνυµο ϐαθµού l m l Προσοχή!! m =, ±1, ±2,..., ±l Ορθογωνιότητα : π 1 1 P l ξp l ξdξ = 2 2l + 1 δ ll dξ = sin θdθ sin θp l cos θp l cos θdθ = 2 2l + 1 δ ll Τα πολυώνυµα του Legendre ϕτιάχνουν ένα πλήρες σύστηµα συναρτήσεων στο διάστηµα 1, 1. fx = l a l P l x, a l = 2l fxp l xdx Αναγωγική σχέση : dp l+1 dx dp l 1 dx = 2l + 1P l P ξ = 1 P 1 ξ = ξ P 2 ξ = 1 2 3ξ2 1 P 3 ξ = 1 2 5ξ3 3ξ. Οι λύσεις για θ, φ και συγκεκριµένα l, m λέγονται σφαιρικές αρµονικές: d l+ m Y lm θ, φ = A lm e imφ 1 cos 2 θ m /2 d cos θ 1 l+ m cos2 θ l π m = m >, A lm = 1l+m 2 l l! sin θdθ 2π 2l + 1l m! 4πl + m! dφy lmθ, φy l m θ, φ = δ ll δ mm m = m <, A lm = 1l 2l + 1l m! 2 l και l m m =, ±1, ±2,..., ±l l! 4πl + m! Ορθογώνιο, πλήρες σύστηµα συναρτήσεων για θ π, φ 2π gθ, φ = B lm = 2π π l l= m= l B lm Y lm θ, φ Y lmθ, φgθ, φ sin θdθdφ Y l, m = 1 m Y l, m
8 86 υναµικό Coulomb - Λύση της εξίσωσης του Schrödinger Y = 1 4π 3 Y 1 = 4π cos θ 3 Y 1,±1 = 8π e±iφ sin θ 5 Y 2 = 16π 3 cos2 θ 1 15 Y 2,±1 = 8π e±iφ cos θ sin θ 15 Y 2,±2 = 32π e±2iφ sin 2 θ όπου l είναι ο κβαντικός αριθµός της τροχιακής στροφορµής και m ο µαγνητικός κβαντικός αριθµός Λύση της ακτινικής εξίσωσης Ενεργειακές ιδιοτιµές Εχουµε λ = ll από τη λύση της γωνιακής εξίσωσης. Ορίζουµε στην ακτινική εξίσωση την αδιάστατη µεταβλητή ρ = βr, πολλαπλασιάζουµε µε 2µ/ 2 και διαιρούµε µε το β 2 : d 2 R dρ dr ρ dρ + 2µ E 2 β 2 + e2 ll + 1 R 4πɛ βρ ρ 2 R = Θέτουµε : β 2 = 8µE/ 2 > για E < Ορίζουµε την αδιάστατη µεταβλητή : 2µ 2 E β 2 = 1 4 και λύνουµε ως προς την ενέργεια E: Η ακτινική εξίσωση γράφεται : n = 2µ e 2 2 4πɛ β = e2 µ 4πɛ 2E E = µe4 32π 2 ε n 2 d 2 R dρ { dr n ρ dρ + ρ 1 } ll ρ 2 R = Λύση µε ανάπτυξη σε σειρά αφού υπολογίσουµε πρώτα τον ασυµπτωτικό όρο για ρ +, µε R πεπερασµένο παντού. Για ρ η ακτινική εξίσωση δίνει : d 2 R dρ 2 R 4 = Rρ = Aeρ/2 + Be ρ/2 Για ρ η κυµατοσυνάρτηση πρέπει να τείνει στο µηδέν. Η λύση της ακτινικής εξίσωσης ϑα έχει τη µορφή : A = Rρ = e ρ/2 F ρ
9 4.5 Λύση της ακτινικής εξίσωσης Ενεργειακές ιδιοτιµές 87 µε F ρ πολυώνυµο του ρ, διότι η Rρ για ρ. Εστω ότι + F ρ = ρ s a k ρ k, a Αντικαθιστούµε την Rρ στην ακτινική εξίσωση και ϐρίσκουµε την εξίσωση που ικανοποιεί η F ρ: d 2 [ ] F 2 df n 1 dρ 2 + ρ 1 dρ + ll + 1 ρ ρ 2 F ρ = k= Αντικαθιστούµε την παράσταση της F µε σειρά, ϐρίσκουµε τα a k. Το F ρ είναι πεπερασµένο για ρ. df dρ = k s + ka k ρ k+s 1, F ρ = k= d 2 F dρ 2 a k ρ k+s = k s + ks + k 1ρ k+s 2 d 2 F dρ 2 = k {ss 1 + 2sk + kk 1} a k ρ k+s 2 Αντικαθιστώντας στην εξίσωση της F έχουµε : ss 1 + 2sk + kk 1 k }{{} a kρ k+s s + ka k ρ k+s 2 k s+ks+k 1 k s + ka k ρ k+s 1 + n 1 k a k ρ k+s 1 ll + 1 k a k ρ k+s 2 = Ταυτότητες που προκύπτουν για τους οµοβάθµιους όρους του ρ Για k = : ρ s 2{ } ss 1 + 2s ll + 1 a = { s = l ss + 1 = ll + 1 s = l + 1 Η λύση µε s = l + 1 δίνει F ρ 1/ρ l+1, η οποία απειρίζεται πολύ άσχηµα για ρ. Για l = π.χ.: F ρ 1 1 ρ 2 F 2 = δρ4π ρ η οποία αποκλείεται. εν υπάρχει δέλτα όρος δυναµικού στη χαµιλτονιανή. Εποµένως δεκτή είναι µόνο η λύση µε s = l. k=1 + s+ks+k+1 {}}{ ss 1 + 2sk + kk 1 + 2s + 2k ll + 1 a kρ k+s 2 k= {n s k 1} a k ρ k+s 1 = Κάνουµε την αλλαγή στον πρώτο όρο k = ν + 1 και έτσι έχουµε άθροιση τώρα ως προς ν από το. {s + ν + 1s + ν + 2 ll + 1} a ν+1 ρ ν+s 1 ν= + k= {n s k 1} a k ρ k+s 1 =
10 88 υναµικό Coulomb - Λύση της εξίσωσης του Schrödinger k= {[ ] [ } s + k + 1s + k + 2 ll + 1 a k+1 + n s k 1 ]a k ρ k+s 1 = n s k 1 a k+1 = s + k + 1s + k + 2 ll + 1 a k όπου s = l. Η άπειρη σειρά σταµατάει και γίνεται πολυώνυµο, εάν το n είναι ακέραιος και n l k 1 = διότι s = l n = l k Για δοσµένο n το l παίρνει µέγιστη τιµή την n 1, τότε k =. Άρα για n, l γνωστά, έχουµε n l + 1 k Οταν το k πάρει τη µέγιστη δυνατή τιµή, k max = n l + 1, τότε n l + 1 k max = και το a kmax+1 =, όπως και όλα τα a kmax+2, a kmax+3,... είναι µηδέν, άρα το πολυώνυµο είναι το πολύ ϐαθµού n l + 1. [ ] k max R nl ρ = ρ l a k ρ k e ρ/2, k max = n l + 1 k= Για δοσµένο n, δηλαδή ενέργεια 1/n 2 έχουµε δυνατές τιµές για τον κβαντικό αριθµό της στροφορµής l =, 1, 2,..., n 1. Οι λύσεις της αρχικής εξίσωσης του Schrödinger µε την ίδια ενέργεια δηλαδή ίδιο n είναι : Ψ nlm θ, φ, r = R nl ry lm θ, φ Ενεργειακές στάθµες του ατόµου του υδρογόνου µε ένα ηλεκτρόνιο : E n = 13, 6 n 2 όπου 1 ev είναι 1, joule. Η σταθερά β γίνεται : ev β = µe2 2πɛ 2 1 n Η ενέργεια καθορίζεται µόνο από τον ακέραιο αριθµό n. Για κάθε l το m παίρνει τις τιµές m =, ±1, ±2,..., ±l, σύνολο 2l + 1 τον αριθµό. Άρα, για την ίδια ενέργεια δοσµένο n έχουµε έναν εκφυλισµό που δίνεται από τα l, m. Ο αριθµός των εκφυλισµένων ιδιοσυναρτήσεων είναι n 1 2l + 1 = n 2 Η κανονικοποίηση είναι : 2π π l= R nl 2 Y lmθ, φy lm θ, φ sin θdθdφr 2 dr = 1 Η πιθανότητα να απέχει το ηλεκτρόνιο από τον πυρήνα απόσταση µεταξύ r και r + dr είναι : [ R nl r] 2r 2 dr Η πιθανότητα να ϐρίσκεται το ηλεκτρόνιο στον όγκο dv είναι : Ψ nlmψ nlm dv Υπάρχουν στο χώρο επιφάνειες µε Ψ nlm Ψ nlm =, άρα το ηλεκτρόνιο δε µπορεί να ϐρεθεί πειραµατικά ποτέ σε µία τέτοια επιφάνεια.
11 4.5 Λύση της ακτινικής εξίσωσης Ενεργειακές ιδιοτιµές 89 Εχουµε ορίσει ρ = βr Ορίζουµε την ποσότητα β = 1 n β = µe2 2πɛ 2 1 n, µ = m em π m π + m e m e m π a = 4πɛ 2 m e e 2 η οποία λέγεται ακτίνα της πρώτης τροχιάς του Bohr. m e e 2 2πɛ 2 = 1 n m e m π = 5, m β = n 1 + m = e n a a m π όπου a = 1 + m e a, 1 + m e = 1, 54. m π m π ρ = 2 n r a m e e 2 4πɛ 2 Ακτινικές κυµατοσυναρτήσεις 1 1 R 1 r = 2 a R 2 r = R 21 r = R 3 r = R 31 r = R 32 r = /2 e ρ/2 3/2 1 2 ρe ρ/2 a 3/2 1 ρe ρ/2 a 3/ ρ + ρ 2 e ρ/2 a 3/2 1 ρ4 ρe ρ/2 a 3/2 1 ρ 2 e ρ/2 a R R 1 R 2 R 3 ρ R R 21 R 31 ρ + 1 ολοκλήρωµα χρήσιµο για την κανονικοποίηση : r k e r/λ dr = k!λ k+1
12 9 υναµικό Coulomb - Λύση της εξίσωσης του Schrödinger
ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ - Ενότητα 5
Κβαντική Μηχανική ΙΙ Ακ. Ετος 2013-14, Α. Λαχανάς 1/ 53 ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ - Ενότητα 5 Α. Λαχανάς ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ, Τµήµα Φυσικής Τοµέας Πυρηνικής Φυσικής & Στοιχειωδών Σωµατιδίων Ακαδηµαικό έτος
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 1. Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς
Κεφάλαιο 1 Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς 2 Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς 1.1 Ατοµο του Υδρογόνου 1.1.1 Κατάστρωση του προβλήµατος Ας ϑεωρήσουµε πυρήνα ατοµικού αριθµού Z
Διαβάστε περισσότεραH = H 0 + V (0) n + Ψ (1) n + E (2) (3) >... Σε πρώτη προσέγγιση µπορούµε να δεχτούµε ότι. n και E n E n
3 Θεωρία διαταραχών 3. ιαταραχή µη εκφυλισµένων καταστάσεων 3.. Τοποθέτηση του προβλήµατος Θέλουµε να λύσουµε µε τη ϑεωρία των διαταραχών το πρόβληµα των ιδιοτιµών και ιδιοσυναρτήσεων ενός συστή- µατος
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 1. Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς
Κεφάλαιο 1 Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς 2 Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς 1.1 Κίνηση σε κεντρικά δυναµικά 1.1.1 Κλασική περιγραφή Η Χαµιλτωνιανή κλασικού συστήµατος που κινείται
Διαβάστε περισσότεραΚβαντική Φυσική Ι. Ενότητα 29: Το άτομο του υδρογόνου. Ανδρέας Τερζής Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής
Κβαντική Φυσική Ι Ενότητα 29: Το άτομο του υδρογόνου Ανδρέας Τερζής Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής Σκοποί ενότητας Σκοπός της ενότητας είναι να δώσει μια πλήρη μαθηματική- κβαντομηχανική μελέτη
Διαβάστε περισσότεραΔομή Διάλεξης. Εύρεση ακτινικού μέρους εξίσωσης Schrödinger. Εφαρμογή σε σφαιρικό πηγάδι δυναμικού απείρου βάθους. Εφαρμογή σε άτομο υδρογόνου
Κεντρικά Δυναμικά Δομή Διάλεξης Εύρεση ακτινικού μέρους εξίσωσης Schrödinger Εφαρμογή σε σφαιρικό πηγάδι δυναμικού απείρου βάθους Εφαρμογή σε άτομο υδρογόνου Ακτινική Συνιστώσα Ορμής Έστω Χαμιλτονιανή
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 1. Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς
Κεφάλαιο 1 Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς 2 Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς 1.1 Ο Μονοδιάστατος Γραµµικός Αρµονικός Ταλαντωτής 1.1.1 Εύρεση των ιδιοτοµών και ιδιοσυναρτήσεων
Διαβάστε περισσότερα1 p p a y. , όπου H 1,2. u l, όπου l r p και u τυχαίο μοναδιαίο διάνυσμα. Δείξτε ότι μπορούν να γραφούν σε διανυσματική μορφή ως εξής.
ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ασκήσεις Κεφαλαίου V Άσκηση : Οι θεμελιώδεις σχέσεις μετάθεσης της στροφορμής επιτρέπουν την ύπαρξη ακέραιων και ημιπεριττών ιδιοτιμών Αλλά για την τροχιακή στροφορμή L r p γνωρίζουμε ότι
Διαβάστε περισσότεραΑτομική και Μοριακή Φυσική
Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Ατομική και Μοριακή Φυσική Το άτομο του Υδρογόνου Λιαροκάπης Ευθύμιος Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται
Διαβάστε περισσότεραΚβαντομηχανική σε. τρεις διαστάσεις. Εξίσωση Schrödinger σε 3D. Τελεστές 2 )
vs of Io vs of Io D of Ms Scc & gg Couo Ms Scc ική Θεωλης ική Θεωλης ιδάσκων: Λευτέρης Λοιδωρίκης Π 746 dok@cc.uo.g cs.s.uo.g/dok ομηχ ομηχ δ ά τρεις διαστ Εξίσωση Schödg σε D Σε μία διάσταση Σε τρείς
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Κβαντική Θεωρία ΙΙ. Κεντρικά Δυναμικά Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Κβαντική Θεωρία ΙΙ Κεντρικά Δυναμικά Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative
Διαβάστε περισσότεραΚΒΑΝΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ - Κεφάλαιο 4
ιαλέξεις Κβαντικής Μηχανικής ΙΙ - Κεφάλαιο 4 Α. Λαχανας 1/ 45 ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ - Κεφάλαιο 4 Α. Λαχανάς ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ, Τµήµα Φυσικής Τοµέας Πυρηνικής Φυσικής & Στοιχειωδών Σωµατιδίων ακαδηµαικό
Διαβάστε περισσότεραΠεριλήψεις Κβαντικής Μηχανικής ΙΙ Α. Λαχανάς
Κεφάλαιο 1 Περιλήψεις Κβαντικής Μηχανικής ΙΙ 1.1 Συµβολισµός Dirac Ακολουθώντας τον συµβολισµό του Dirac ϑα περιγράφουµε τις ϕυσικές καταστάσεις ενός Κβαντοµηχανικού συστήµατος από ένα ανυσµα Ψ(t) που
Διαβάστε περισσότεραΚΒΑΝΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ (ΚΕΦΑΛΑΙΟ 39 +)
ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ (ΚΕΦΑΛΑΙΟ 39 +) Σταύρος Κ. Φαράντος Τµήµα Χηµείας, Πανεπιστήµιο Κρήτης, και Ινστιτούτο Ηλεκτρονικής οµής και Λέιζερ, Ιδρυµα Τεχνολογίας και Ερευνας, Ηράκλειο, Κρήτη http://tccc.iesl.forth.gr/education/local.html
Διαβάστε περισσότερακαι χρησιμοποιώντας τον τελεστή A r P αποδείξτε ότι για
ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ασκήσεις Κεφαλαίου IV Άσκηση 1: Σωματίδιο μάζας Μ κινείται στην περιφέρεια κύκλου ακτίνας R. Υπολογίστε τις επιτρεπόμενες τιμές της ενέργειας, τις αντίστοιχες κυματοσυναρτήσεις και τον εκφυλισμό.
Διαβάστε περισσότεραΕξετάσεις 1ης Ιουλίου Για την ϐασική κατάσταση του ατόµου του Υδρογόνου της οποίας η κανονικοποιηµένη στην µονάδα
ΘΕΜΑ 1: Λύσεις Θεµάτων - Κβαντοµηχανική ΙΙ Εξετάσεις 1ης Ιουλίου 13 Τµήµα Α. Λαχανά) Α ) Για την πρώτη διεγερµένη κατάσταση του ατόµου του Υδρογόνου µε τροχιακή στροφορµή l = 1 να προσδιορισθουν οι αποστάσεις
Διαβάστε περισσότεραΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Τελική Εξέταση: 30 Αυγούστου 2010 ( ιδάσκων: Α.Φ. Τερζής) ιάρκεια εξέτασης 2,5 ώρες.
ΘΕΜΑ [5575] ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Τελική Εξέταση: 3 Αυγούστου ( ιδάσκων: ΑΦ Τερζής) ιάρκεια εξέτασης,5 ώρες (α) Να αποδειχθεί ότι για οποιοδήποτε µη εξαρτώµενο από τον χρόνο τελεστή Α, ισχύει d A / dt = A,
Διαβάστε περισσότεραETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 07. ΣΤΡΟΦΟΡΜΗ ΚΑΙ ΤΟ ΑΤΟΜΟ ΤΟΥ ΥΔΡΟΓΟΝΟΥ
stzortz@iesl.forth.gr 1396; office Δ013 ΙΤΕ 2 ΎΛΗ & ΦΩΣ 07. ΣΤΡΟΦΟΡΜΗ ΚΑΙ ΤΟ ΑΤΟΜΟ ΤΟΥ ΥΔΡΟΓΟΝΟΥ Θεωρία της στροφορμής Στέλιος Τζωρτζάκης 1 3 4 Υπενθύμιση βασικών εννοιών της στροφορμής κυματοσυνάρτηση
Διαβάστε περισσότεραΔιάλεξη 2: Κεντρικά Δυναμικά. Αναζητούμε λύσεις της χρονοανεξάρτητης εξίσωσης Schrödinger για κεντρικά δυναμικά
Διάλεξη : Κεντρικά Δυναμικά Αναζητούμε λύσεις της χρονοανεξάρτητης εξίσωσης Schöing για κεντρικά δυναμικά Μ. Μπενής. Διαλέξεις Μαθήματος Σύγχρονης Φυσικής ΙΙ. Ιωάννινα 03 Κεντρικά δυναμικά Εξάρτηση δυναμικού
Διαβάστε περισσότεραΠεριλήψεις Κβαντικής Μηχανικής ΙΙ Α. Λαχανάς
Κεφάλαιο 1 Περιλήψεις Κβαντικής Μηχανικής ΙΙ 1.1 Συµβολισµός Dirac Ακολουθώντας τον συµβολισµό του Dirac ϑα περιγράφουµε τις ϕυσικές καταστάσεις ενός Κβαντοµηχανικού συστήµατος από ένα ανυσµα Ψ(t) που
Διαβάστε περισσότεραΑτομική δομή. Το άτομο του υδρογόνου Σφαιρικά συμμετρικές λύσεις ψ = ψ(r) Εξίσωση Schrodinger (σφαιρικές συντεταγμένες) ħ2. Εξίσωση Schrodinger (1D)
Ατομική δομή Το άτομο του υδρογόνου Σφαιρικά συμμετρικές λύσεις ψ = ψ(r) Εξίσωση Schrodinger (1D) Εξίσωση Schrodinger (σφαιρικές συντεταγμένες) ħ2 2m 2 ψ + V r ψ = Εψ Τελεστής Λαπλασιανής για σφαιρικές
Διαβάστε περισσότεραΗ Ψ = Ε Ψ. Ψ = f(x, y, z, t, λ)
Κυματική εξίσωση του Schrödinger (196) Η Ψ = Ε Ψ Η: τελεστής Hamilton (Hamiltonian operator) εκτέλεση μαθηματικών πράξεων επί της κυματοσυνάρτησης Ψ. Ε: ολική ενέργεια των ηλεκτρονίων δυναμική ενέργεια
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 1. Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς
Κεφάλαιο 1 Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς 2 Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς 1.1 Στροφορµή στην Κβαντική Μηχανική 1.1.1 Τροχιακή Στροφορµή Η Τροχιακή Στροφορµή στην Κβαντική
Διαβάστε περισσότεραSpin του πυρήνα Μαγνητική διπολική ροπή Ηλεκτρική τετραπολική ροπή. Τάσος Λιόλιος Μάθημα Πυρηνικής Φυσικής
Spin του πυρήνα Μαγνητική διπολική ροπή Ηλεκτρική τετραπολική ροπή Τάσος Λιόλιος Μάθημα Πυρηνικής Φυσικής Εξάρτηση του πυρηνικού δυναμικού από άλλους παράγοντες (πλην της απόστασης) Η συνάρτηση του δυναμικού
Διαβάστε περισσότερα( )U 1 ( θ )U 3 ( ) = U 3. ( ) όπου U j περιγράφει περιστροφή ως προς! e j. Γωνίες Euler. ω i. ω = ϕ ( ) = ei = U ij ej j
Γωνίες Euler ΦΥΣ 11 - Διαλ.3 1 q Όλοι σχεδόν οι υπολογισµοί που έχουµε κάνει για την κίνηση ενός στερεού στο σύστηµα συντεταγµένων του στερεού σώµατος Ø Για παράδειγµα η γωνιακή ταχύτητα είναι: ω = i ω
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή σε προχωρημένες μεθόδους υπολογισμού στην Επιστήμη των Υλικών
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Εισαγωγή σε προχωρημένες μεθόδους υπολογισμού στην Επιστήμη των Υλικών Βασικά σημεία της κβαντομηχανικής Διδάσκων : Επίκουρη Καθηγήτρια Χριστίνα Λέκκα
Διαβάστε περισσότεραΔομή Διάλεξης. Οι τελεστές της τροχιακής στροφορμής στην αναπαράσταση της θέσης. Τελεστές δημιουργίας και καταστροφής για ιδιοκαταστάσεις στροφορμής
Τροχιακή Στροφορμή Δομή Διάλεξης Οι τελεστές της τροχιακής στροφορμής στην αναπαράσταση της θέσης Τελεστές δημιουργίας και καταστροφής για ιδιοκαταστάσεις στροφορμής Ιδιοτιμές και ιδιοκαταστάσεις της L
Διαβάστε περισσότεραNobel Φυσικής για Κβαντική Ηλεκτροδυναμική
Spin Nobel Φυσικής για Κβαντική Ηλεκτροδυναμική Δομή Διάλεξης Το πείραμα Stern-Gerlach: Πειραματική απόδειξη spin Ο δισδιάστατος χώρος καταστάσεων spin του ηλεκτρονίου: οι πίνακες Pauli Χρονική εξέλιξη
Διαβάστε περισσότεραΔιάλεξη 3: Το άτομο του Υδρογόνου. Αναζητούμε λύσεις της χρονοανεξάρτητης εξίσωσης Schrödinger για το κεντρικό δυναμικό
Αναζητούμε λύσεις της χρονοανεξάρτητης εξίσωσης Schöding για το κεντρικό δυναμικό Μ. Μπενής. Διαλέξεις Μαθήματος Σύγχρονης Φυσικής ΙΙ. Ιωάννινα 3 k V ) Αποδεικνύεται ότι οι λύσεις της ακτινικής εξίσωσης
Διαβάστε περισσότεραΠανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Φυσικής. Σημειώσεις I: Κίνηση σε τρεις διαστάσεις, στροφορμή
Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Φυσικής Κβαντομηχανική ΙI Α. Καρανίκας και Π. Σφήκας Σημειώσεις I: Κίνηση σε τρεις διαστάσεις, στροφορμή 1. Κίνηση σε τρεις διαστάσεις Αποδεικνύεται (με τον ίδιο τρόπο όπως και
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Σύγxρονη Φυσική II. Κεντρικά Δυναμικά Διδάσκων : Επίκ. Καθ. Μ. Μπενής
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Σύγxρονη Φυσική II Κεντρικά Δυναμικά Διδάσκων : Επίκ. Καθ. Μ. Μπενής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Ceative Coons.
Διαβάστε περισσότεραΜάθημα 7 α) QUIZ β-διάσπαση β) Αλληλεπίδραση νουκλεονίου-νουκλεονίου πυρηνική δύναμη και δυναμικό γ) Πυρηνικό μοντέλο των φλοιών
Στοιχεία Πυρηνικής Φυσικής και Στοιχειωδών Σωματιδίων (5ου εξαμήνου, χειμερινό 2011-12) Τμήμα G3: Κ. Κορδάς & Χ. Πετρίδου Μάθημα 7 α) QUIZ β-διάσπαση β) Αλληλεπίδραση νουκλεονίου-νουκλεονίου πυρηνική δύναμη
Διαβάστε περισσότεραΜηχανική ΙI. Μετασχηµατισµοί Legendre. της : (η γραφική της παράσταση δίνεται στο ακόλουθο σχήµα). Εάν
Τµήµα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου 7/5/2000 Μηχανική ΙI Μετασχηµατισµοί Legendre Έστω µια πραγµατική συνάρτηση. Ορίζουµε την παράγωγο συνάρτηση της : (η γραφική της παράσταση δίνεται στο ακόλουθο σχήµα).
Διαβάστε περισσότεραΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ. Ασκήσεις Κεφαλαίου Ι
ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ασκήσεις Κεφαλαίου Ι Άσκηση 1: Θεωρήστε δύο ορθοκανονικά διανύσματα ψ 1 και ψ και υποθέστε ότι αποτελούν βάση σε ένα χώρο δύο διαστάσεων. Θεωρήστε επίσης ένα τελαστή T που ορίζεται στο χώρο
Διαβάστε περισσότεραΛύσεις Θεµάτων - Κβαντοµηχανική ΙΙ (Τµήµα Α. Λαχανά) Ειδική Εξεταστική Περίοδος - 11ης Μαρτίου 2013
ΘΕΜΑ 1: ( 3 µονάδες ) Λύσεις Θεµάτων - Κβαντοµηχανική ΙΙ (Τµήµα Α. Λαχανά) Ειδική Εξεταστική Περίοδος - 11ης Μαρτίου 2013 Ηλεκτρόνιο κινείται επάνω από µία αδιαπέραστη και αγώγιµη γειωµένη επιφάνεια που
Διαβάστε περισσότεραKΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 693 946778 KΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ Κυματική εξίσωση Schrödiger Η δυνατότητα ενός σωματιδίου να συμπεριφέρεται ταυτόχρονα και ως κύμα, δηλαδή να είναι εντοπισμένο
Διαβάστε περισσότεραΚβαντομηχανική Ι 6o Σετ Ασκήσεων. Άσκηση 1
Χειμερινό εξάμηνο 6-7 Κβαντομηχανική Ι 6o Σετ Ασκήσεων Άσκηση a) Τρόπος α : Λύνουμε όλους (ή έστω μερικούς από) τους συνδυασμούς [l i, r j ]: [l x, x] = [l y, y] = [l z, x] = i ħ y Κ.ο.κ., και συμπεραίνουμε
Διαβάστε περισσότεραΜάθημα 7 & 8 Κβαντικοί αριθμοί και ομοτιμία (parity) ουσιαστικά σημεία με βάση το άτομο του υδρογόνου ΔΕΝ είναι προς εξέταση
Στοιχεία Πυρηνικής Φυσικής και Στοιχειωδών Σωματιδίων (5ου εξαμήνου, χειμερινό 2017-18) Τμήμα T2: Κ. Κορδάς & Δ. Σαμψωνίδης Μάθημα 7 & 8 Κβαντικοί αριθμοί και ομοτιμία (parity) ουσιαστικά σημεία με βάση
Διαβάστε περισσότερατο ένα με ηλεκτρικό φορτίο Ζe και το άλλο με e. Η χαμιλτονιανή του συστήματος (στο πλαίσιο της προσέγγισης Coulomb) μπορεί να έλθει στη μορφή
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9: ΑΤΟΜΑ, Σελ. 19 έως 14 του βιβλίου ΚΣ ENOTHTA 1 Η, 13 ο VIDEO, 15/11/013, Από 55λ έως 1ω,5λ (τέλος), Σελ. 19 έως 13 του βιβλίου ΚΣ: ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ Της ΒΑΣΙΚΉΣ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ ΥΔΡΟΓΟΝΟΕΙΔΟΥΣ ΔΥΝΑΜΙΚΟΥ
Διαβάστε περισσότεραΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑ I Ασκήσεις
ΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑ I Ασκήσεις Ενότητα 8 Ατομικά Τροχιακά Δημήτρης Κονταρίδης Αναπληρωτής Καθηγητής Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Χημικών Μηχανικών Άσκηση 1 Να υπολογιστεί η πιθανότερη ακτίνα, *, στην οποία θα βρίσκεται
Διαβάστε περισσότερα() 1 = 17 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ LEGENDRE Ορισµοί
SECTION 7 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ LEGENDRE 7. Ορισµοί Οι συναρτήσεις που ικανοποιούν τη διαφορική εξίσωση Legere ( )y'' y' + ( + )y καλούνται συναρτήσεις Legere τάξης. Η γενική λύση της διαφορικής εξίσωσης του Legere
Διαβάστε περισσότεραΔιάλεξη 1: Κβαντομηχανική σε τρεις διαστάσεις
Διάλεξη : Κβαντομηχανική σε τρεις διαστάσεις Βασικές Αρχές της Κβαντομηχανικής H κατάσταση ενός φυσικού συστήματος περιγράφεται από την κυματοσυνάρτησή του και αποτελεί το πλάτος πιθανότητας να βρεθεί
Διαβάστε περισσότερα1. Μετάπτωση Larmor (γενικά)
. Μετάπτωση Larmor (γενικά) Τι είναι η μετάπτωση; Μετάπτωση είναι η αλλαγή της διεύθυνσης του άξονα περιστροφής ενός περιστρεφόμενου αντικειμένου. Αν ο άξονας περιστροφής ενός αντικειμένου περιστρέφεται
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 39 Κβαντική Μηχανική Ατόμων
Κεφάλαιο 39 Κβαντική Μηχανική Ατόμων Περιεχόμενα Κεφαλαίου 39 Τα άτομα από την σκοπιά της κβαντικής μηχανικής Το άτομο του Υδρογόνου: Η εξίσωση του Schrödinger και οι κβαντικοί αριθμοί ΟΙ κυματοσυναρτήσεις
Διαβάστε περισσότεραΣυνεχές Φάσµα - Συνάρτηση δέλτα (Dirac)
Συνεχές ϕάσµα Συνεχές Φάσµα - Συνάρτηση δέλτα (Dirac) Στην κβαντική µηχανική τα ϕυσικά µεγέθη παρίστανται µε αυτοσυζυγείς τελεστές. Για έναν αυτοσυζυγή τελεστή ˆΩ = ˆΩ είναι γνωστό ότι οι ιδιοτιµές του
Διαβάστε περισσότεραΜάθημα 6 α) β-διάσπαση β) Χαρακτηριστικά πυρήνων, πέρα από μέγεθος και μάζα
Στοιχεία Πυρηνικής Φυσικής και Στοιχειωδών Σωματιδίων (5ου εξαμήνου, χειμερινό 2011-12) Τμήμα G3: Κ. Κορδάς & Χ. Πετρίδου Μάθημα 6 α) β-διάσπαση β) Χαρακτηριστικά πυρήνων, πέρα από μέγεθος και μάζα Κώστας
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Κβαντική Θεωρία ΙΙ. Spin Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Κβαντική Θεωρία ΙΙ Spin Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.
Διαβάστε περισσότεραΑπό τι αποτελείται το Φως (1873)
Από τι αποτελείται το Φως (1873) Ο James Maxwell έδειξε θεωρητικά ότι το ορατό φως αποτελείται από ηλεκτρομαγνητικά κύματα. Ηλεκτρομαγνητικό κύμα είναι η ταυτόχρονη διάδοση, μέσω της ταχύτητας του φωτός
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Σύγxρονη Φυσική II. Το άτομο του Υδρογόνου Διδάσκων : Επίκ. Καθ. Μ. Μπενής
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Σύγxρονη Φυσική II Το άτομο του Υδρογόνου Διδάσκων : Επίκ. Καθ. Μ. Μπενής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Cetive
Διαβάστε περισσότερα( ) * Λύση (α) Καθώς η Χαµιλτονιανή είναι ερµιτιανός τελεστής έχουµε ότι = = = = 0. (β) Απαιτούµε
ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Τελική Εξέταση: 3 Γενάρη ( ιδάσκων: ΑΦ Τερζής) ιάρκεια εξέτασης 3 ώρες ΘΕΜΑ [555555553] Θεωρούµε κβαντικό σύστηµα που περιγράφεται από την Χαµιλτονιανή H 3ε µ iε µε ιδιοσυναρτήσεις κάποιου
Διαβάστε περισσότεραΘΕΜΑΤΑ ΚΒΑΝΤΙΚΗΣ ΙΙ. Θέμα 2. α) Σε ένα μονοδιάστατο πρόβλημα να δείξετε ότι ισχύει
ΘΕΜΑΤΑ ΚΒΑΝΤΙΚΗΣ ΙΙ Θέμα α) Δείξτε ότι οι διακριτές ιδιοτιμές της ενέργειας σε ένα μονοδιάστατο πρόβλημα δεν είναι εκφυλισμένες β) Με βάση το προηγούμενο ερώτημα να δείξετε ότι μπορούμε να διαλέξουμε τις
Διαβάστε περισσότεραΤαλαντώσεις 6.1 Απλή Αρµονική Ταλάντωση σε µία ιάσταση Ελατήριο σε οριζόντιο επίπεδο Σχήµα 6.1
6 Ταλαντώσεις 6.1 Απλή Αρµονική Ταλάντωση σε µία ιάσταση 6.1.1 Ελατήριο σε οριζόντιο επίπεδο Υποθέτουµε ότι το ελατήριο έχει αρχικό µήκος µηδέν, ιδανικό ελατήριο. F=-kx x K M x Σχήµα 6.1 ιαστάσεις µεγεθών
Διαβάστε περισσότεραfysikoblog.blogspot.com
fysikobog.bogspot.co Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Φυσικής Κβαντομηχανική ΙI Α. Καρανίκας και Π. Σφήκας Σημειώσεις ΙΙΙ: Σφαιρικές Αρμονικές Στις σημειώσεις αυτές δίνομε την αναπαράσταση των ιδιοανυσμάτων της
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Φεβρουάριος 2013
ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Φεβρουάριος 0 ΘΕΜΑ α) Να βρεθούν οι επιτρεπτές περιοχές της κίνησης στον άξονα x Ox για την απωστική δύναµη F x, > 0 και για ενέργεια Ε. β) Υλικό σηµείο µάζας m µπορεί να κινείται
Διαβάστε περισσότεραΗ Αναπαράσταση της Θέσης (Position Representation)
Η Αναπαράσταση της Θέσης (Position Representation) Δομή Διάλεξης Το παρατηρήσιμο μέγεθος της θεσης και τα αντίστοιχα πλάτη πιθανότητας (συνεχές φάσμα ιδιοτιμών και ιδιοκαταστάσεων) Οι τελεστές της θέσης
Διαβάστε περισσότεραΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΤΟΜΙΚΗΣ (FineStructureA) Ακαδ. Ετος: Ε. Βιτωράτος
ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΤΟΜΙΚΗΣ (FineStructureA) Ακαδ. Ετος: 016-017 Ε. Βιτωράτος Υπολογισμός της ενέργειας αλληλεπίδρασης σπιν-τροχιάς στην περίπτωση του υδρογόνου Η τιμή της ενέργειας αλληλεπίδρασης σπιν-τροχιάς
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Κβαντική Θεωρία ΙΙ Τροχιακή Στροφορμή (Ορισμοί Τελεστών) Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται
Διαβάστε περισσότεραΕφαρµογές της εξίσωσης Schrödinger - Μονοδιάστατα προβλήµατα
Εφαρµογές της εξίσωσης Schrödinger - Μονοδιάστατα προβλήµατα.1 Συνεχές Ενεργειακό Φάσµα.1.1 Ελεύθερο Σωµάτιο Εχουµε σε αυτή την περίπτωση F = 0, δηλαδή V (x, t) = σταθερό και τη σταθερή αυτή τιµή τη ϐάζουµε
Διαβάστε περισσότερα( x) (( ) ( )) ( ) ( ) ψ = 0 (1)
ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΙΣ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΑΒΕΒΑΙΟΤΗΤΑΣ ΘΕΣΗΣ ΟΡΜΗΣ ΣΤΗΝ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΘΕΣΗΣ Στην προηγούµενη ανάρτηση, δείξαµε ότι η κατάσταση είναι κατάσταση ελάχιστης αβεβαιότητας των µη µετατιθέµενων ερµιτιανών τελεστών
Διαβάστε περισσότεραΑρχίζουµε µε την µη συµµετρική µορφή του απειρόβαθου κβαντικού πηγαδιού δυναµικού, το οποίο εκτείνεται από 0 έως L.
Πρόβληµα ΑπειρόβαθοΚβαντικόΠηγάδια(ΑΚΠα) Να µελετηθεί το απειρόβαθο κβαντικό πηγάδι µε θετικές ενεργειακές καταστάσεις ( E > ). Αρχίζουµε µε την µη συµµετρική µορφή του απειρόβαθου κβαντικού πηγαδιού δυναµικού
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Φεβρουάριος 2004
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Φεβρουάριος 4 Τµήµα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου Απαντήστε µε σαφήνεια και συντοµία. Η ορθή πλήρης απάντηση θέµατος εκτιµάται περισσότερο από τη
Διαβάστε περισσότερα3 + O. 1 + r r 0. 0r 3 cos 2 θ 1. r r0 M 0 R 4
Μηχανική Ι Εργασία #7 Χειμερινό εξάμηνο 8-9 Ν. Βλαχάκης. (α) Ποια είναι η ένταση και το δυναμικό του βαρυτικού πεδίου που δημιουργεί μια ομογενής σφαίρα πυκνότητας ρ και ακτίνας σε όλο το χώρο; Σχεδιάστε
Διαβάστε περισσότεραΕνότητα 4: Κεντρικές διατηρητικές δυνάμεις
Ενότητα 4: Κεντρικές διατηρητικές δυνάμεις Έστω F=f κεντρικό πεδίο δυνάμεων. Είναι εύκολο να δείξουμε ότι F=0, δηλ. είναι διατηρητικό: F= V. Σε σφαιρικές συντεταγμένες, γενικά: V ma = F =, V maθ = Fθ =,
Διαβάστε περισσότεραΜάθημα 10 & 11 Πυρηνικό μοντέλο των φλοιών
Στοιχεία Πυρηνικής Φυσικής και Στοιχειωδών Σωματιδίων (5ου εξαμήνου, χειμερινό 2017-18) Τμήμα T2: Κ. Κορδάς & Δ. Σαμψωνίδης Μάθημα 10 & 11 Πυρηνικό μοντέλο των φλοιών Κώστας Κορδάς Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. Κεντρικές υνάµεις. 1. α) Αποδείξτε ότι η στροφορµή διατηρείται σε ένα πεδίο κεντρικών δυνάµεων και δείξτε ότι η κίνηση είναι επίπεδη.
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. Κεντρικές υνάµεις 1. α) Αποδείξτε ότι η στροφορµή διατηρείται σε ένα πεδίο κεντρικών δυνάµεων και δείξτε ότι η κίνηση είναι επίπεδη. 1 β) Σε ένα πεδίο κεντρικών δυνάµεων F =, ένα σώµα, µε µάζα
Διαβάστε περισσότεραεάν F x, x οµόρροπα εάν F x, x αντίρροπα B = T W T = W B
4 Εργο και Ενέργεια 4.1 Εργο σε µία διάσταση Το έργο µιας σταθερής δύναµης F x, η οποία ασκείται σε ένα σώµα που κινείται σε µία διάσταση x, ορίζεται ως W = F x x Εργο ύναµης = ύναµη Μετατόπιση Εχουµε
Διαβάστε περισσότερα. Να βρεθεί η Ψ(x,t).
ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ασκήσεις Κεφαλαίου II Άσκηση 1: Εάν η κυματοσυνάρτηση Ψ(,0) παριστάνει ένα ελεύθερο σωματίδιο, με μάζα m, στη μία διάσταση την χρονική στιγμή t=0: (,0) N ep( ), όπου N 1/ 4. Να βρεθεί η
Διαβάστε περισσότεραΗλεκτρονική φασματοσκοπία ατόμων
Ηλεκτρονική φασματοσκοπία ατόμων Εξίσωση του chrodger H H H µ µ m e e 4πε r Ζe 4πε r για το άτοµο του υδρογόνου για τα υδρογονοειδή άτοµα He Ζe 4πε r < j Ζe 4πε r j για πολυηλεκτρονικά άτοµα µ m m m e
Διαβάστε περισσότεραΜοντέρνα Φυσική. Κβαντική Θεωρία. Ατομική Φυσική. Μοριακή Φυσική. Πυρηνική Φυσική. Φασματοσκοπία
Μοντέρνα Φυσική Κβαντική Θεωρία Ατομική Φυσική Μοριακή Φυσική Πυρηνική Φυσική Φασματοσκοπία ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ Φωτόνια: ενέργεια E = hf = hc/λ (όπου h = σταθερά Planck) Κυματική φύση των σωματιδίων της ύλης:
Διαβάστε περισσότεραΚβαντικό Σωμάτιο σε Ηλεκτρομαγνητικό Πεδίο
Κβαντικό Σωμάτιο σε Ηλεκτρομαγνητικό Πεδίο Δομή Διάλεξης Χαμιλτονιανή και Ρεύμα Πιθανότητας για Σωμάτιο σε Ηλεκτρομαγνητικό Πεδίο Μετασχηματισμοί Βαθμίδας Αρμονικός Ταλαντωτής σε Ηλεκτρικό Πεδίο Σωμάτιο
Διαβάστε περισσότεραΛΥΣΕΙΣ 6 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ - ΠΛΗ 12,
ΛΥΣΕΙΣ 6 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ - ΠΛΗ, - Οι παρακάτω λύσεις των ασκήσεων της 6 ης εργασίας που καλύπτει το µεγαλύτερο µέρος της ύλης της θεµατικής ενότητας ΠΛΗ) είναι αρκετά εκτεταµένες καθώς έχει δοθεί αρκετή έµφαση
Διαβάστε περισσότερα) z ) r 3. sin cos θ,
Μηχανική Ι Εργασία #5 Χειμερινό εξάμηνο 4-5 Ν. Βλαχάκης. Σώμα μάζας m κινείται στο πεδίο δύναμης της πρώτης άσκησης της τέταρτης εργασίας με λ, αλλά επιπλέον είναι υποχρεωμένο να κινείται μόνο στην ευθεία
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Πτυχιακή εξέταση στη Μηχανική ΙI 20 Σεπτεμβρίου 2007
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Πτυχιακή εξέταση στη Μηχανική ΙI 0 Σεπτεμβρίου 007 Τμήμα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου Απαντήστε στα ερωτήματα που ακολουθούν με σαφήνεια, ακρίβεια και απλότητα. Όλα τα
Διαβάστε περισσότεραΚΒΑΝΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ - Ενότητα 6
Κβαντική Μηχανική ΙΙ Ακ. Ετος 2013-14, Α. Λαχανάς 1/ 25 ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ - Ενότητα 6 Α. Λαχανάς ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ, Τµήµα Φυσικής Τοµέας Πυρηνικής Φυσικής & Στοιχειωδών Σωµατιδίων Ακαδηµαικό έτος
Διαβάστε περισσότεραΗ κυματοσυνάρτηση στην αναπαράσταση ορμής Ασκήσεις. Σπύρος Κωνσταντογιάννης Φυσικός, M.Sc. 8 Δεκεμβρίου 2017
Η κυματοσυνάρτηση στην αναπαράσταση ορμής Ασκήσεις Σπύρος Κωνσταντογιάννης Φυσικός, M.Sc. siroskonstantogiannis@gmail.com 8 Δεκεμβρίου 7 8//7 Coyrigt Σπύρος Κωνσταντογιάννης, 7. Με επιφύλαξη παντός δικαιώματος.
Διαβάστε περισσότεραΘετικό σηµειακό φορτίο q βρισκεται σε απόσταση D από το κέντρο µιας κοίλης µεταλλικής σφαίρας ακτίνας R (R<D), η οποία είναι προσγειωµένη.
Θετικό σηµειακό φορτίο q βρισκεται σε απόσταση D από το κέντρο µιας κοίλης µεταλλικής σφαίρας ακτίνας R (R
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΦΥΕ ΕΝ ΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ 5 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ. Προθεσµία παράδοσης 6/5/08
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΦΥΕ 7-8 ΕΝ ΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ 5 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ Προθεσµία παράδοσης 6/5/8 5//8 Άσκηση Α) Από τον νόµο µετατόπισης του Wien (σχέση (.6) σελ. 5 του βιβλίου των Serwy-Moses-Moyer) έχουµε
Διαβάστε περισσότεραx L I I I II II II Ακόµα αφού η συνάρτηση στην θέση x=0 είναι συνεχής, έχουµε την παρακάτω συνθήκη. ηλαδή οι ιδιοσυναρτήσεις είναι
Πρόβληµα ΑπειρόβαθοΚβαντικόΠηγάδι3α(ΑΚΠ3α), x > Θεωρούµε κβαντικό πηγάδι µε δυναµικό της µορφής V( x) x Να εκτιµηθούν οι ιδιοκαταστάσεις του συστήµατος για (α) c> και (β) c< Για την περίπτωση (α) να µελετηθεί
Διαβάστε περισσότερα16/12/2013 ETY-202 ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 09. ΤΑΥΤΟΣΗΜΑ ΣΩΜΑΤΙΔΙΑ. 1396; office Δ013 ΙΤΕ. Στέλιος Τζωρτζάκης ΤΑΥΤΟΣΗΜΑ ΣΩΜΑΤΙΔΙΑ
stzortz@iesl.forth.gr 1396; office Δ013 ΙΤΕ 2 ΎΛΗ & ΦΩΣ 09. ΤΑΥΤΟΣΗΜΑ ΣΩΜΑΤΙΔΙΑ ΤΑΥΤΟΣΗΜΑ ΣΩΜΑΤΙΔΙΑ Στέλιος Τζωρτζάκης 1 3 4 φάση Η έννοια των ταυτόσημων σωματιδίων Ταυτόσημα αποκαλούνται όλα τα σωματίδια
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1
ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης - Σ. Παπαδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt.html Τετάρτη 7 Φεβρουαρίου 03 Ασκηση. είξτε ότι
Διαβάστε περισσότερα= λ. u t = u xx UT = U T T T = U U. Οσον αφορά τη χρονική εξίσωση έχουμε. T + λt =0 T (t) =e λt. ενώ για τη χωρική
Prìlhm Το φυσικό πρόβλημα είναι: τοίχος σε επαφή με λουτρό θερμοκρασίας T = αριστερά και μονωμένος δεξιά, με αρχική θερμοκρασία T =.Θέτουμεu(x, t) = U(x)T (t), οπότεu t = UT και u xx = U T, και προχωράμε
Διαβάστε περισσότεραΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Τελική Εξέταση: 31 Γενάρη 2012 ( ιδάσκων: Α.Φ. Τερζής) ιάρκεια εξέτασης 3 ώρες.
ΘΕΜΑ 1[1] ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Τελική Εξέταση: 31 Γενάρη 1 ( ιδάσκων: ΑΦ Τερζής ιάρκεια εξέτασης 3 ώρες Ηλεκτρόνιο βρίσκεται σε δυναµικό απειρόβαθου πηαδιού και περιράφεται από την 1 πx πx κυµατοσυνάρτηση
Διαβάστε περισσότεραΣημειώσεις ΑΤΟΜΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ. Προς τους φοιτητές:
1 Σημειώσεις ΑΤΟΜΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ Προς τους φοιτητές: Οι σημειώσεις αυτές γράφτηκαν για να διευκολύνουν τη μελέτη θεμάτων της ατομικής φυσικής που μελετώνται στα πλαίσια του κατ επιλογήν μαθήματος «Ατομική
Διαβάστε περισσότεραΤροχιακή Στροφορµή - spin - Πρόσθεση στροφορµών
5 Τροχιακή Στροφορµή - spin - Πρόσθεση στροφορµών 5.1 Οι συνιστώσες του Τελεστή της Τροχιακής Στροφορµής σε Σφαιρικές Συντεταγµένες Η τροχιακή στροφορµή για ένα σωµατίδιο δίνεται από τη σχέση : L = r p
Διαβάστε περισσότεραΔομή Διάλεξης. Κλασσική Θεωρία Σκέδασης Ορισμοί μεγεθών σκέδασης. Κβαντική θεωρία σκέδασης Πλάτος σκέδασης
Σκέδαση Δομή Διάλεξης Κλασσική Θεωρία Σκέδασης Ορισμοί μεγεθών σκέδασης Κβαντική θεωρία σκέδασης Πλάτος σκέδασης Υπολογισμός διατομής σκέδασης με την μέθοδο στοιχειωδών κυμάτων (partial waves) Υπολογισμός
Διαβάστε περισσότεραΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ Σεπτέµβριος 2001 ΘΕΜΑ 1 Ένα φυσικό σύστηµα, ενός βαθµού ελευθερίας, περιγράφεται από την ακόλουθη συνάρτηση
ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ Σεπτέµβριος 2001 ΘΕΜΑ 1 Ένα φυσικό σύστηµα, ενός βαθµού ελευθερίας, περιγράφεται από την ακόλουθη συνάρτηση Hamilton:, όπου κάποια σταθερά και η κανονική θέση και ορµή
Διαβάστε περισσότεραΚΕΝΤΡΟ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ & ΧΗΜΕΙΑΣ Ε ΟΥΑΡ ΟΥ ΛΑΓΑΝΑ Ph.D. Λεωφ. Κηφισίας 56, Αµπελόκηποι, Αθήνα Τηλ.: ,
Ε ΟΥΑΡ ΟΥ ΛΑΓΑΝΑ Ph.D. Τηλ.: 10 69 97 985, www.edlag.gr ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ Τηλ.: 10 69 97 985, e-mail: edlag@otenet.gr, www.edlag.gr Ε ΟΥΑΡ ΟΣ ΛΑΓΑΝΑΣ, Ph.D KENTΡΟ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ &
Διαβάστε περισσότερακι επιβάλλοντας τις συνοριακές συνθήκες παίρνουμε ότι θα πρέπει
Πρόβλημα 22. Θεωρούμε το ακόλουθο πρόβλημα συνοριακών τιμών για τη εξίσωση του Laplace u + u = 0, 1 < < 1, 1 < < 1, u(, 1) = f(), u(, 1) = 0, u( 1, ) = 0, u(1, ) = 0. α) Σωστό ή λάθος; Αν f( ) = f() είναι
Διαβάστε περισσότεραΚβαντική Φυσική Ι. Ενότητα 15: Η έννοια του κυματοπακέτου στην Kβαντομηχανική. Τερζής Ανδρέας Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής
Κβαντική Φυσική Ι Ενότητα 15: Η έννοια του κυματοπακέτου στην Kβαντομηχανική Τερζής Ανδρέας Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής Σκοπός ενότητας Σκοπός της ενότητας είναι να ολοκληρώσει την εφαρμογή της
Διαβάστε περισσότεραΣτην πράξη βρίσκουμε το Ν Α [το P (A)] όχι με παρατηρήσεις, αλλά με τη χρήση της λογικής (π.χ. ζάρι) ή της Φυσικής (π.χ. όγκος)
Αν σε σύστημα που διατηρείται σε σταθερές συνθήκες κάνουμε Ν παρατηρήσεις και από αυτές στις Ν Α παρατηρήθηκε το γεγονός Α, τότε λέμε ότι η πιθανότητα να συμβεί αυτό το γεγονός δίνεται από τη σχέση: P
Διαβάστε περισσότερα( ) { } ( ) ( ( ) 2. ( )! r! e j ( ) Κίνηση στερεών σωμάτων. ω 2 2 ra. ω j. ω i. ω = ! ω! r a. 1 2 m a T = T = 1 2 i, j. I ij. r j. d 3! rρ. r! e!
Κίνηση στερεών σωμάτων ΦΥΣ 11 - Διαλ.30 1 q Κίνηση στερεού σώµατος: Ø Υπολογισµός της κινητικής ενέργειας Ø Θεωρήσαµε ότι ένα σώµα διακριτής ή συνεχούς κατανοµής µάζας q Η κινητική ενέργεια δίνεται από
Διαβάστε περισσότεραΜάθημα 7 α) Αλληλεπίδραση νουκλεονίου-νουκλεονίου πυρηνική δύναμη και δυναμικό β) Πυρηνικό μοντέλο των φλοιών
Στοιχεία Πυρηνικής Φυσικής και Στοιχειωδών Σωματιδίων (5ου εξαμήνου, χειμερινό 2013-14) Τμήμα T3: Κ. Κορδάς & Χ. Πετρίδου Μάθημα 7 α) Αλληλεπίδραση νουκλεονίου-νουκλεονίου πυρηνική δύναμη και δυναμικό
Διαβάστε περισσότεραΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΙΙΙ
Σ.Η. ΜΑΣΕΝ ΣΠΟΥ ΑΣΤΗΡΙΟ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΙΙΙ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ 0 . Περιεχόµενα Εισαγωγή. Οι ϑεµελιώδεις προτάσεις της Κβαντοµηχανικής.....................
Διαβάστε περισσότεραΚέντρο µάζας. + m 2. x 2 x cm. = m 1x 1. m 1
ΦΥΣ 3 - Διαλ. Κέντρο µάζας Μέχρι τώρα είδαµε την κίνηση υλικών σηµείων µεµονωµένα. Όταν αρχίσουµε να θεωρούµε συστήµατα σωµάτων ή στερεά σώµατα κάποιων διαστάσεων είναι πιο χρήσιµο και ευκολότερο να ορίσουµε
Διαβάστε περισσότεραΝα εκτιµηθούν οι ιδιοκαταστάσεις του συστήµατος για τις δέσµιες καταστάσεις.
Πρόβληµα ΑπειρόβαθοΚβαντικόΠηγάδια(ΑΚΠα), < Θεωρούµε κβαντικό πηγάδι µε δυναµικό της µορφής V( ) = VΘ( ), Να εκτιµηθούν οι ιδιοκαταστάσεις του συστήµατος για τις δέσµιες καταστάσεις V Ε Ι ΙΙ Σχήµα ΑΚΠα1
Διαβάστε περισσότερα!q j. = T ji Kάθε πίνακας µπορεί να γραφεί σαν άθροισµα ενός συµµετρικού και ενός αντι-συµµετρικού πίνακα
Συστήματα με Ν βαθμούς ελευθερίας ΦΥΣ 211 - Διαλ.25 1 Ø Συστήµατα µε Ν βαθµούς ελευθερίας που βρίσκονται κοντά σε µια θέση ισσορροπίας τους συµπεριφέρονται σαν Ν ανεξάρτητοι αρµονικοί ταλαντωτές Γιατί
Διαβάστε περισσότεραΜηχανική ΙI Ροή στο χώρο των φάσεων, θεώρηµα Liouville
Τµήµα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου 16/5/2000 Μηχανική ΙI Ροή στο χώρο των φάσεων, θεώρηµα Liouville Στη Χαµιλτονιανή θεώρηση η κατάσταση του συστήµατος προσδιορίζεται κάθε στιγµή από ένα και µόνο σηµείο
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμογές κβαντικής θεωρίας
Εφαρμογές κβαντικής θεωρίας Στοιχειώδες μαθηματικό υπόβαθρο Σχέση Euler Χρησιμοποιώντας τη σχέση Euler, ένα αρμονικό κύμα της μορφής Acos(kx) (πραγματική συνάρτηση), μπορεί να γραφτεί ως Re[Ae ikx ] που
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙ ιδάσκων : Ε. Στεφανόπουλος 12 ιουνιου 2017
Πανεπιστηµιο Πατρων Πολυτεχνικη Σχολη Τµηµα Μηχανικων Η/Υ & Πληροφορικης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙ ιδάσκων : Ε. Στεφανόπουλος 12 ιουνιου 217 Θ1. Θεωρούµε την συνάρτηση f(x, y, z) = 1 + x 2 + 2y 2 z. (αʹ) Να ϐρεθεί
Διαβάστε περισσότεραΚίνηση σε Μονοδιάστατα Τετραγωνικά Δυναμικά
Κίνηση σε Μονοδιάστατα Τετραγωνικά Δυναμικά Δομή Διάλεξης Τετραγωνικό Πηγάδι Δυναμικού: Δέσμιες καταστάσεις - ιδιοτιμές Οριακές Περιπτώσεις: δ δυναμικό, άπειρο βάθος Σκέδαση σε μια διάσταση: Σκαλοπάτι
Διαβάστε περισσότερα