(πολλδ β) = πολλδ + ( 1) ν β ΕΥΣΤΡΑΤΙΟΣ ΚΩΣΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΘΟ ΙΚΟ ΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ
|
|
- Θαδδαῖος Αναγνώστου
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 ΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ Ορισµός: Λέµε ότι ο ακέραιος β 0διαιρεί το ακέραιο α και γράφουµε β/α, ότα η διαίρεση του α µε το β είαι τέλεια, δηλαδή υπάρχει κ Z τέτοιος ώστε α = κ β. Συµβολίζουµε ότι α = πολβ. Α ο β δε διαιρεί το α, γράφουµε β α ή α πολβ τότε α = κβ + υ, 0 υ < β (Ευκλείδεια διαίρεση) ΑΜΕΣΕΣ ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΟΡΙΣΜΟΥ i. Ο 0 δε είαι διαιρέτης καεός αριθµού ii. iii. Για κάθε α Z ισχύει ± 1 α και ± α α Ισχύει ότι β 0, για κάθε β Z iv. Α β α τότε και κβ κα, κ Z v. Α β α τότε και β κα, κ Z Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΙΑΙΡΕΣΗΣ i. Α α β και β α, τότε α = β ή α = β ii. Α α β και β γ, τότε και α γ iii. Α α β και α γ τότε α ( β + γ ), α ( β γ ) και α βγ iv. Α α β και α γ, τότε α κβ + λγ, κ,λ Z Ο κβ + λγ λέγεται γραµµικός συδυασµός τω β και γ. ΣΧΟΛΙΟ Τα δυατά υπόλοιπα του α µε το β > 0 είαι οι αριθµοί 0, 1,,, β-1 (πολλδ + β) = πολλδ + β (πολλδ β) = πολλδ + ( 1) β Α α περιττός τότε α περιττός Α α άρτιος τότε α άρτιος. 1
2 ΜΕΘΟ ΟΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΣΥΝ ΥΑΣΜΟΣ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ Α δ N, N, δ και δ + 1, α αποδειχθεί ότι δ = 1. Απόδειξη Ο δ κ( ) + λ( + 1), κ, λ Z Βάζουµε κατάλληλες τιµές στο κ και λ τέτοιες ώστε οι συτελεστές τω µεγιστοβάθµιω όρω µέσα στις παρεθέσεις, α γίου ατίθετοι. Άρα κ = 1, λ =. Οπότε δ + + δ Όµως δ κ( ) + λ( + 1), κ = 1, λ = άρα δ. Τότε δ, δ +1 άρα δ ( +1) δ 1 1. ιαιρετότητα α) Μέθοδος (παραγοτοποίηση) ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ Α θέλουµε α αποδείξουµε ότι έας ακέραιος Β (ή µία ακέραιη παράσταση Β) διαιρεί έα ακέραιο Α (ή µία ακέραια παράσταση Α), προσπαθούµε α παραγοτοποιήσουµε το Α και α εµφαιστού Α = Β Γ τότε Β Α. Σε θέµατα διαιρετότητας χρήσιµες είαι και οι εξής σχέσεις: α + β = πολ( α + β ), για περιττό α β = πολ( α ± β ), για άρτιο και περιττό ( α + β ) = α ± πολβ, για N ( α β ) = α ± πολβ, για N
3 ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ Να αποδειχθεί ότι ο αριθµός α = διαιρείται µε το 71 για κάθε N α = = = = 15 ( ) α = 15 71άρα 71 α. Να αποδειχθεί ότι ο αριθµός 90 Α = διαιρείται µε το Α = ( ) + ( ) ( ) 4 88 = 5( ) + 5 ( ) ( ) = 1 ( ) = 1 κ όπου κ = Άρα 1 Α 001. Α α, β N και α + β = 000, α αποδειχθεί ότι α + β Ο διαιρεί έα αριθµό κ Z α και µόο α, ο κ άρτιος. Θα αποδείξουµε λοιπό ότι ο α + β άρτιος. 001 Είαι: α + β = 000 (1) Η (1) δείχει ότι οι α, β είαι άρτιοι ή και οι δύο περιττοί. Πραγµατικά α ο α είαι άρτιος και ο β περιττός, οπότε ο β περιττός και εποµέως α + β περιττός. Αυτό όµως είαι άτοπο διότι είαι άρτιος. Όµοια αποκλείεται α είαι α περιττός και ο β άρτιος. Εποµέως ο α + β ως άθροισµα άρτιω ή δύο περιττώ είαι άρτιος. Άρα α + β.
4 α + β 4. Α α, β, Z, α αποδειχθεί ότι α και β Είαι a = κ + µ, β = λ + µε 0 µ, <. Έτσι α + β = ( κ + µ ) + ( λ + ) = 9κ + 6κµ + µ + 9λ + 6λ + = (κ + λ + κµ + λ ) + µ + και α + β µ + = κ + λ + κµ + λ + µ µ + = 0 µ + = 1 µ + = 1 µ + = µ + = 4 µ + = 5 Πίακας διπλής εισόδου µ + = 4 µ + = 5 µ + = 8 Με τη βοήθεια του πίακα διπλής εισόδου, παρατηρούµε ότι ότα µ = = 0 µ + Z µόο Άρα a = κ και β = λ, δηλαδή α και β. Πρόταση: Α = α ( α + 1) ( α + )...[ α + ( 1)] Το γιόµεο Α, διαδοχικώ ακεραίω, διαιρείται µε το για κάθε N µε > 1. Απόδειξη Ο α έχει µία από τις µορφές a = λ, a = λ + 1, a = λ +,, a = λ + ( 1) ιακρίουµε τις περιπτώσεις Α a = λ, τότε α, οπότε Α Α a = λ + 1τότε ( α + ( 1) ), διότι α + ( 1) = (λ +1) + ( 1) = (λ +1) = πολ Α a = λ + ( 1) τότε (α +1) διότι 4
5 α +1 = λ + ( 1) +1 = (λ +1) = πολ Παράδειγµα Α α, β, γ, δ, ε είαι πέτε διαδοχικοί ακέραιοι, α αποδειχθεί ότι το γιόµεό τους, διαιρείται µε το 5. Επειδή οι α, β, γ, δ, ε είαι διαδοχικοί ακέραιοι παίρου τη µορφή α, α +1, α +, α +, α + 4 Οπότε Α = α (α +1)(α + )(α + )(α + 4) Σύµφωα µε τη Ευκλείδεια διαίρεση α = 5λ, α = 5λ + 1, α = 5λ +, α = 5λ +, α = 5λ + 4 ιακρίουµε περιπτώσεις Α α = 5λ, τότε 5 α, οπότε 5 Α Α α = 5λ + 1, τότε α + 4 = 5λ + 5 = 5(λ +1) = πολ5, οπότε 5 Α Α α = 5λ +, τότε α + = 5λ + 5 = 5(λ +1) = πολ5, οπότε 5 Α Α α = 5λ +, τότε α + = 5λ + 5 = 5(λ +1) = πολ5, οπότε 5 Α Α α = 5λ + 4, τότε α +1 = 5λ + 5 = 5(λ +1) = πολ5, οπότε 5 Α Άρα ο 5 Α. 5
6 Έστω, α 1, α,..., α, α1, α0 ΕΚΑ ΙΚΗ ΜΟΡΦΗ 0,1,,...,8,9. Με το α στοιχεία του συόλου { } συµβολισµό α α 1... α1α 0 εοούµε το αριθµό α 10 + α α 10 + α Έτσι α = βγ α β γ Σε πολλά θέµατα διαιρετότητας συµβαίει α δίοται τα ψηφία εός αριθµού ή κάποια σχέση αάµεσα τους, και ζητείται α αποδειχθεί ότι αυτός ο αριθµός διαιρείται µε κάποιο άλλο. Στις περιπτώσεις αυτές γράφουµε το δοσµέο αριθµό στη δεκαδική µορφή και χρησιµοποιούµε προτάσεις διαιρετότητας. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ 1. ίεται ο αριθµός x = α βγδ µε α + γ = β + δ. Να αποδειχθεί ότι ο x διαιρείται µε το 11. Είαι x α 10 β 10 γ 10 δ = ή x = 1000α + 100β + 10γ + δ ή x = 990α + 10α + 100β + 10γ + δ = 990α + 10( α + γ ) + 100β + δ = 990α + 10( β + δ ) + 100β + δ = 990α + 10β + 10δ + 100β + δ = 990α + 110β + 11δ = 11(90α + 10 β + δ ). Τα ψηφία εός αριθµού (τριψήφιου) είαι τρεις διαδοχικοί αριθµοί. Να αποδειχθεί ότι ο αριθµός αυτός διαιρείται µε το. Έστω α βγ ο δοσµέος µε β = α + 1, γ = α +. Έτσι α βγ = 100α + 10β + γ = 100α + 10( α + 1) + α + = (7α + 4) Άρα ο α βγ 6
7 β) Μαθηµατική επαγωγή Σε έα σηµατικό πλήθος ασκήσεω ζητείται α αποδειχθεί ότι έας αριθµός φ( ), ο οποίος εξαρτάται από το, διαιρείται µε κάποιο δοσµέο αριθµό α. Στα θέµατα αυτά, α δε είαι εύκολη η εφαρµογή τω ιδιοτήτω της διαιρετότητας ή παραγοτοποίησης, χρησιµοποιούµε µαθηµατική επαγωγή. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ Να αποδειχθεί ότι ) ( +, N Έστω Ρ ( ) : ο 7 διαιρεί το Για = 1είαι Ρ(1) : 7 ( + ) 7 5 αληθής Έστω ότι ισχύει η κ+ κ + 1 Ρ( κ) : 7 ( + ) όπου κ ο αυθαίρετος φυσικός. Θα αποδείξουµε ότι ισχύει και η Ρ ( κ + 1), δηλαδή ότι κ+ + + (1) 7 κ Επειδή Οπότε + + = λ, λ Z κ+ κ + 1 κ+ κ κ+ = 7λ κ + (). Τότε () κ+ κ + κ + κ + + = + = (7λ ) + κ + 1 κ + = λ + = λ + = λ + = πολ κ + 1 κ + 1 κ + 1 κ ( ) ( 7) Ισχύει λοιπό η Ρ ( κ + 1), οπότε η Ρ ( ) ισχύει N Το τελευταίο ψηφίο Για τη λύση πολλώ θεµάτω στη αριθµοθεωρία, χρήσιµες είαι και οι επόµεες επισηµάσεις α) Α έας ακέραιος α τελειώει σε 0, 1, 5 ή 6, τότε ο α τελειώει επίσης σε 0, 1, 5 ή 6 ατίστοιχα, Ν π.χ ο τελειώει σε 1 β) Α έας αριθµός τελειώει σε 4 ή 9 τότε ο α τελειώει σε 6 ή 1 ατίστοιχα γ) Για τους ακέραιους που τελειώου σε,, 7 ή 8 ισχύει ο πίακας 7
8 Τελευταίο ψηφίο α 4 α 4 1 α + α 4 + α » 1 9 7» » Βασική πρόταση Έστω α τυχαίος αριθµός. Α µε τ ( α ) συµβολίσουµε το τελευταίο ψηφίο του α, α αποδειχθεί ότι i. τ ( α + β ) = τ ( α) + τ ( β ) ii. τ ( α β ) = τ ( α) τ ( β ) µ µ iii. τ ( α β ) = ( τ ( α) ) ( τ ( β )) Η (ii) επαγωγικά τ ( α1 α... α ) = τ ( α1) τ ( α)... τ ( α ) Παραδείγµατα 1) Να βρεθού τα τελευταία ψηφία τω αριθµώ α) 401 α = β) 701 β = α) α = = = ( ) Ο ( ) = (16) τελειώει σε 6, άρα ο β = 7 = 7 7 = β) ( ) ( ) τελειώει σε. 4 Όµως ο ( 7 ) 175 = ( 401 ) 175 τελειώει σε 1, άρα ο β σε ) Να βρεθεί το τελευταίο ψηφίο του γ = Ο γ = 14 7 = 7 7 = 7, εποµέως το τ γ = τ τ = = ( ) ( ) (7 ) 7 14 Και άρα είαι το 4. 8
9 γ) Μέθοδος (υπολοίπου) Σε µία σηµατική κατηγορία ασκήσεω ζητείται α αποδείξουµε ότι ο αριθµός φ( α) Α =, α Z, { 1} N είαι ακέραιος. Ο αριθµητής φ( α) είαι µια παράσταση που εξαρτάται από το α. Η ατιµετώπιση τέτοιω θεµάτω γίεται συήθως ως εξής: Από τη Ευκλείδεια διαίρεση έχουµε: α = λ + υ, 0 υ < ίουµε µία µία τις τιµές 0,1,,,-1 στο υ και ατικαθιστούµε το α. Μετά τη εκτέλεση πράξεω προκύπτει ότι ο Α Z. Παραδείγµατα 1. Να αποδειχθεί ότι ο αριθµός α α Α = Z για κάθε α Z. Έχουµε α α α( α 1) α( α 1)( α + 1) Α = = = Σύµφωα µε τη Ευκλείδεια διαίρεση α = λ + υ, υ = 0,1, ίουµε στο υ µία µία τις τιµές 0,1, Γιαυ = 0 : α = λ οπότε Γιαυ = 1: α = λ + 1οπότε (λ + 1)( λ)(λ + ) Α = = λ(λ + 1)(λ + ) Z Γιαυ = : α = λ + οπότε λ(λ 1)(λ + 1) Α = = λ(λ 1)(λ + 1) Z (λ + )(λ + 1)(λ + ) Α = = (λ + )(λ + 1)( λ + 1) Z Άρα ο Α Z. 9
10 . Α ο α είαι περιττός ακέραιος, α αποδειχθεί ότι ο αριθµός Α = ( α + ) ( α + 7) Z Αφού α περιττός α = λ + 1, λ Z οπότε ( α + ) ( α + 7) (4λ + 4λ + 4) (4λ + 4λ + 8) Α = = = ( λ + λ + 1)( λ + λ + ) = Z, διότι οι αριθµοί λ + λ + 1 και διαδοχικοί ακέραιοι οπότε λ + λ + λ + λ + άρτιος. ( 1)( ) λ + λ + είαι δ) Μορφή (διαίρεση πολυωύµω διάσπαση κλάσµατος) Συχά παρουσιάζοται θέµατα στα οποία ζητείται α βρεθού οι τιµές εός f ( v) ακεραίου, ώστε έα πηλίκο κ = α είαι ακέραιος. g( v) Στις περιπτώσεις αυτές, προσπαθούµε µε κάποιο τέχασµα α κάουµε διάσπαση του κλάσµατος ή κάουµε διαίρεση πολυωύµω : f ( v) = h( v) g( v) + a, Οπότε f ( v) a = h( v) +, βρίσκουµε τις τιµές του τέτοιες ώστε g( v) a. g( v) g( v) Παραδείγµατα 1. Να βρεθού οι φυσικοί αριθµοί x, οι οποίοι επαληθεύου ταυτόχροα τις σχέσεις x 10 και ( x ) 6 Επειδή ο x 10, πρέπει ο x { 1,,5,10} αφού x N Επειδή ( ) Άρα x = 5 x 6, πρέπει ο x { 1,,,6 } x { 4,5,6,9}. 10
11 + ( ) Να βρεθού οι τιµές του Z ώστε ο αριθµός α = Z + 4 Με διαίρεση έχουµε α = + +, το + > 0 N Πρέπει ο + 4 άρα { 1,,4} ( ) + = = 0 αδύατη + = ( = 0 ή = 1) 4 ( ή 1) +. Άρα + = = =. Άρα { 0, 1,1, } 11
12 1. Να αποδειχθεί ότι ο αριθµός i. µε το 9, για κάθε N ii. µε το 45, για κάθε N ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α = διαιρείται. Α έας ακέραιος, τότε Αόπου Α = ( +1)(4 +1)(5 + ).. Α α, β είαι περιττοί ακέραιοι, α αποδειχθεί ότι 8 (α β ). 4. Α α, β Zκαι 11 ( 5a + 6 β ), α αποδειχθεί ότι 11 (6 a + 5 β ). 5. Έστω α, β Z. Α 7 (45 + α ) και 7 ( β ) τότε 7 (α + β ). 6. Α Z και δ ( + + 1) και δ + 1, α αποδειχθεί ότι δ =1 ή δ = Έστω ακέραιος αριθµός. Να αποδειχθεί ότι ο µοαδικός φυσικός, ο οποίος διαιρεί ταυτοχρόως τους αριθµούς + + 1και + 1είαι ο Α α, β Z και είαι περιττοί, δείξτε ότι η εξίσωση 0 11 x ax β + + = 0 δε έχει ακέραια ρίζα. 9. Α α, β, γ Z και 6 (α + β + γ), α αποδειχθεί ότι 6 (α + β + γ ) 10. Α 800 Α = α αποδειχθεί ότι ο Α διαιρείται i) µε το ii) µε τους, 5 iii) µε τους 7 και Α α Z, α αποδειχθεί ότι ο Α = α( α 1)( α 4 1) διαιρείται µε το Α α, β, γ διαδοχικοί ακέραιοι τότε 9 (α + β + γ ) 1
13 1. Α α, β, γ Z και γ (5α +17β) και γ (α + 7β) α αποδειχθεί ότι γ α και γ β. 14. Α α, β, x, i) Z, x a και x ( a + β ) ii) x β x ( a + β ), α αποδειχθεί ότι 15. Α α, β, γ, δ Z και α γ, α αποδειχθεί ότι (α γ) (αβ + γδ) (α γ) (αδ + βγ) 16. Έστω α, β περιττοί ακέραιοι. Α 7 (α + β )α αποδειχθεί ότι 7 α και 7 β. 17. Α ο α Z, α αποδειχθεί ότι ο α + 5α Α = Z Α ο α είαι περιττός ακέραιος τότε ο Α = 4 α 1 Z Α α, β Z και α β 001 = 1999, α αποδειχθεί ότι ο αριθµός 4 4 α + β Α = Z 16 α( α + 1)( α + ) 0. Α ο α Z α δειχθεί ότι ο Α = Z 6 1. i) Να βρεθού ακέραιοι x, y ώστε x + y = x y ii) Να βρεθού φυσικοί x, y ώστε = 1 x x y y. Να αποδειχθεί ότι οι αριθµοί 401 a = και 701 β = 7 δε είαι τέλεια τετράγωα.. Να βρεθεί το τελευταίο ψηφίο τω αριθµώ 1999 α =, 000 β = και 00 γ = 7. 1
14 4. Να αποδειχθεί ότι ο 100 ( ) 5. είξτε ότι ο 909 (αβαβ βαβα) 6. Να αποδειχθεί ότι ο αριθµός Α = αβγδ + δγβα διαιρείται µε το Να αποδείξτε ότι: i) N ii) N iii) N iv) N v) Έας ακέραιος α διαιρούµεος µε το δίει υπόλοιπο, εώ διαιρούµεος µε το 5 δίει υπόλοιπο. Να βρεθεί το υπόλοιπο της διαίρεσης του α µε το Να δείξτε ότι τα παρακάτω κλάσµατα είαι αάγωγα + 1 i) κ =, + ii) N + 1 Α = + + 1, Z iii) Β = + 1, Z 0. Α α Z, α αποδειχθεί ότι ο αριθµός Α = α + α α 4 6 Z κ Α Α = Z α βρεθού οι τιµές του κ. 14
15 α 9. Α α Z, Z και 50 < α < 90, α βρεθού οι δυατές τιµές του α Να βρεθού οι ακέραιοι ώστε ο Z 4. Να αποδειχθεί ότι για κάθε α Zείαι α( α + 1)( α + ) i) Z 6 α( α + 1)(α + 1) α + α 4α ii) Z iii) Z Να αποδειχθεί ότι δε υπάρχου φυσικοί x, y, ω, t ώστε x y t ( + + ω ) = Να αποδειχθεί ότι δε υπάρχου φυσικοί α, β, γ διαφορετικοί µεταξύ τους β γ α τέτοιοι ώστε + = 7. Α π και υ είαι ατίστοιχα το πηλίκο και το υπόλοιπο του α µε το β 0, α αποδειχθεί ότι η διαίρεση του λα µε το λβ, λ { 1} υπόλοιπο λυ. N δίει πηλίκο π και 8. Να βρεθού όλοι οι διψήφιοι xy, ώστε xy 1xy1 κ 4 9. Να βρεθού οι τιµές του κ Z ώστε ο αριθµός α = Z κ + 5 κ Να βρεθού οι ακέραιοι x, y οι οποίοι επαληθεύου τη εξίσωση 1 x + y(1 x) = Να βρεθού οι τιµές του στα παρακάτω κλάσµατα ώστε + 4 i) N, N iii) α = N, N + 10 ii) Z µε Z + 15 iv) α = Z µε N
16 4. Να βρεθού ακέραιοι x, y για τους οποίους ισχύει y xy x = 0 4. Να βρεθού τα υπόλοιπα τω παρακάτω διαιρέσεω: α) 10 [7 : 51] β) [17 + :8] γ) 40 0 [ :8] 44. Να δείξετε ότι οι διαιρέσεις ( ) : α + β δ και ( + ) : α β δ δίου ίσα υπόλοιπα ότα γωρίζουµε ότι οι αριθµοί α και β διαιρούµεοι µε το δ δίου υπόλοιπο ίσο µε Α ο α είαι ακέραιος µε α πολ5, α δείξετε ότι το υπόλοιπο της διαιρέσεως 4 [ α : 5] είαι Α καέας τω ακεραίω α, β δε είαι πολλ 5 α δείξτε ότι: α β = πολλ5 47. Α καέας από τους ακέραιους α, β, γ δε είαι πολλ α δείξετε ότι α + β + γ = πολλ Να βρείτε το υπόλοιπο της διαιρέσεως α : 8 α α = Να δείξετε ότι 10 α) 11 1 = πολλ100 γ) β) πολλ = 1 + = πολλ δ) = πολλ (κριτήρια διαιρετότητας) α) Για α είαι ο πρέπει και αρκεί α είαι x a a a a v = v, i a0 + a a = πολλ9 v a N, a = 1,,..., v πολλ 9 i 16
17 β) Για α είαι ο avav 1... aa1 = πολλ11 πρέπει και αρκεί ( a + a + a +...) ( a + a + a +...) = πολλ Α α, β, γ περιττοί ακέραιοι, δείξτε ότι η εξίσωση ax + β x + γ = 0 δε έχει ρητές ρίζες. 5. Να βρεθού οι διψήφιοι φυσικοί α οι οποίοι διαιρούµεοι µε το 6 δίου πηλίκο ίσο µε το τετράγωο του υπολοίπου. 5. Έας ακέραιος α 0διαιρούµεος µε το 4 δίει πηλίκο x και υπόλοιπο x N. Να βρεθεί το α. 6x, 17
ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ( ) Να αποδείξετε ότι για κάθε θετικό ακέραιο ν ισχύει : ! + 2 2! + 3 3! + +ν ν! = (ν + 1)!
ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να αποδείξετε ότι για κάθε θετικό ακέραιο ισχύει : 1 + 1 1! +! +! + +! = ( + 1)!. Να αποδείξτε ότι 6 10 [ ( 1) ] = ( + 1) ( + ) ( + ) (), για κάθε θετικό ακέραιο.. Να αποδείξετε ότι
Διαβάστε περισσότερα4.3 ΔΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ. Εισαγωγή
49 43 ΔΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ Εισαγωγή Στα Στοιχεία του Ευκλείδη, βιβλία VII, VIII και IX (περίπου 300 πχ), οι θετικοί ακέραιοι παριστάοται ως ευθύγραμμα τμήματα και η έοια της διαιρετότητας συδέεται άμεσα με τη
Διαβάστε περισσότερα4.2 4.3 ΕΥΚΛΕΙ ΕΙΑ ΙΑΙΡΕΣΗ ΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ
1 4.2 4.3 ΕΥΚΛΕΙ ΕΙΑ ΙΑΙΡΕΣΗ ΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ ΘΕΩΡΙΑ 1. Θεώρηµα Αν α, β ακέραιοι µε β 0, τότε υπάρχουν µοναδικοί ακέραιοι κ και υ, έτσι ώστε α = κβ + υ µε 0 υ < β. 2. Τέλεια διαίρεση Αν το υπόλοιπο υ της Ευκλείδειας
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΡΧΗ ΤΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΕΠΑΓΩΓΗΣ
ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ - 11 - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΡΧΗ ΤΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΕΠΑΓΩΓΗΣ Έστω Ρ(ν) ένας ισχυρισµός, ο οποίος αναφέρεται στους θετικούς ακέραιους Αν: i) o ισχυρισµός είναι αληθής για τον ακέραιο 1,
Διαβάστε περισσότεραΑ. Οι Πραγματικοί Αριθμοί
ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α Οι Πραγματικοί Αριθμοί Α1 Να τοποθετήσετε σε φθίουσα σειρά τους αριθμούς: 01 0 15, 0 15,, 01 5 5 A Να υπολογίσετε τη τιμή της παράστασης 4 1 A Να ρεθού το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης
Διαβάστε περισσότεραΑ. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ
13 ιαιρετότητα Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Ορισµός Έστω α,β δυο ακέραιοι µε β 0. Θα λέµε ότι ο β διαιρεί τον α και θα γράφουµε β/α όταν η διαίρεση του α µε τον β είναι τέλεια. ηλαδή όταν υπάρχει ακέραιος
Διαβάστε περισσότεραΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΚΑΙ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ
ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΚΑΙ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 4. ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΚΑΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤH Α. ΘΕΩΡΙΑ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΠΑΓΩΓΗ Εάν ζητείται να δειχθεί ισότητα ή ανίσωση
Διαβάστε περισσότεραΑ. ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ ΟΙ ΠΡΑΞΕΙΣ ΤΟΥΣ
ΜΑΘΗΜΑ Κεφάλαιο o : Αλγεβρικές Παραστάσεις Υποεότητα.: Πράξεις µε πραγµατικούς αριθµούς (Επααλήψεις- Συµπληρώσεις) Θεµατικές Εότητες:. Οι πραγµατικοί αριθµοί και οι πράξεις τους.. υάµεις πραγµατικώ αριθµώ..
Διαβάστε περισσότεραΔ/νση Β /θµιας Εκπ/σης Φλώρινας Κέντρο ΠΛΗ.ΝΕ.Τ. (Πρόοδοι) ΠΡΟΟΔΟΙ
ΠΡΟΟΔΟΙ Οι πρόοδοι αποτελού µια ειδική κατηγορία τω ακολουθιώ και είαι τριώ ειδώ : αριθµητικές, αρµοικές και γεωµετρικές. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΠΡΟΟΔΟΙ (ΘΕΩΡΙΑ) Ορισµός Μια ακολουθία αριθµώ α, α,, α, α +, θα λέµε
Διαβάστε περισσότεραΟ μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο της θεωρίας αριθμών θα πρέπει να είναι σε θέση:
Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο της θεωρίας αριθμών θα πρέπει να είναι σε θέση: Να γνωρίζει: την αποδεικτική μέθοδο της μαθηματικής επαγωγής για την οποία πρέπει να γίνει κατανοητό ότι η αλήθεια
Διαβάστε περισσότερα5.3 ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΟ ΟΣ
5. ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΟ ΟΣ ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός Μια ακολουθία λέγεται γεωµετρική πρόοδος, α και µόο α κάθε όρος της προκύπτει από το προηγούµεό του µε πολλαπλασιασµό επί το ίδιο πάτοτε µη µηδεικό αριθµό.. Μαθηµατική
Διαβάστε περισσότερα2.2 ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ R ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ
ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ R ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ Σύμφωα με το ορισμό του R, η πρόσθεση και ο πολλαπλασιασμός δύο μιγαδικώ αριθμώ γίοται όπως ακριβώς και οι ατίστοιχες πράξεις με διώυμα α + βx στο, όπου βέβαια ατί για
Διαβάστε περισσότερα1.5 ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ
ΜΕΡΟΣ Α.5 ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ 67.5 ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ ΟΡΙΣΜΟΣ Οομάζουμε ταυτότητα κάθε ισότητα που περιέχει μεταβλητές και επαληθεύεται για όλες τις τιμές τω μεταβλητώ αυτώ. Τετράγωο αθροίσματος
Διαβάστε περισσότεραστους μιγαδικούς αριθμούς
Πράξεις στους μιγαδικούς αριθμούς Πρόσθεση μιγαδικώ αριθμώ Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία α) ) Πώς γίεται η πρόσθεση δύο μιγαδικώ αριθμώ; ) Ποια είαι η γεωμετρική ερμηεία του αθροίσματος δύο μιγαδικώ;
Διαβάστε περισσότεραΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ
015 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΝΔΡΕΣΑΚΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ 0. ΕΙΣΑΓΩΓΗ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Περιεχόμεα 0. ΕΙΣΑΓΩΓΗ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ... 1. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΠΑΓΩΓΗ... 5. ΕΥΚΛΕΙΔΙΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ... 1. ΔΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ... 1 4 ΜΕΓΙΣΤΟΣ
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑ 9 Γενικές ασκήσεις µιγαδικών
ΜΑΘΗΜΑ 9 Γεικές ασκήσεις µιγαδικώ. Για το µιγαδικό δίεται ότι. Να βρείτε i) το ii) το σύολο τιµώ του i. i) ( )( ) [ ] Άρα ( )( ) ( )( ) 0 0 0 0 () (). 0 ii) i i ( ) ( i) i ( ) ( i) ( ) i () i ( ) ( i)
Διαβάστε περισσότεραΗ Ευκλείδεια διαίρεση
1 Η Ευκλείδεια διαίρεση Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Θεώρηµα Αποδεικνύεται ότι για οποιουσδήποτε ακέραιους α και β, β 0, ισχύει το παρακάτω θεώρηµα και διατυπώνεται ως εξής : Αν α και β ακέραιοι µε β
Διαβάστε περισσότεραΙ δ ι ο τ η τ ε ς Π ρ ο σ θ ε σ η ς - Π ο λ λ α π λ α σ ι α σ μ ο υ ΙΔΙΟΤΗΤΑ ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ
ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 1 Π ρ α γ μ α τ ι κ ο ι Α ρ ι θ μ ο ι : Υ π ο σ υ ο λ α του Το συολο τω φυσικω 3. αριθμω: Να δειχτει οτι = α {0,1,,3, } + 110 0α. Ποτε ισχυει το ισο; Το συολο τω. A ακεραιω α, β θετικοι
Διαβάστε περισσότεραΑΛΓΕΒΡΑ Α' ΛΥΚΕΙΟΥ. Η ΕΞΙΣΩΣΗ αx+β=0
Η ΕΞΙΣΩΣΗ α+β=0 εξισώσεις πρώτου βαθμού. Να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις: α) 5 ( ) = ( ) β) 8( ) ( ) = ( + ) 5(5 ) γ) (5 ) ( ) = ( + ) δ) (-)-(-)=7( -)-(+). Να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις: 5 α) β) 8
Διαβάστε περισσότεραΑκολουθίες Αριθµητική Γεωµετρική Πρόοδος
Ακολουθίες Αριθµητική Γεωµετρική Πρόοδος Μία συάρτηση α µε πεδίο ορισµού το Ν * λέγεται ακολουθία και συµβολίζεται µε (α ) δηλ. a : N * R : α = α( ) Ο α 1 λέγεται πρώτος όρος της ακολουθίας, ο α δεύτερος
Διαβάστε περισσότερα4.7 ΙΣΟΫΠΟΛΟΙΠΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
174 47 ΙΣΟΫΠΟΛΟΙΠΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Το ζήτημα της διαιρετότητας τω αεραίω είαι υρίαρχο θέμα στη Θεωρία τω Αριθμώ Μια έοια που βοηθάει στη μελέτη αι επίλυση προβλημάτω διαιρετότητας είαι η έοια τω ισοϋπόλοιπω αριθμώ
Διαβάστε περισσότεραΜιγαδικοί Αριθμοί. Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση. Θεωρία - Μέθοδοι
Μιγαδικοί Αριθμοί Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχολογική Κατεύθυση Θεωρία - Μέθοδοι ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Μάθημα ο ΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ Η εξίσωση x δε έχει λύση στο σύολο τω πραγματικώ αριθμώ, αφού
Διαβάστε περισσότεραΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ
ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ 234 Κεφάλαιο 4ο: ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Απαντήσεις στις ερωτήσεις «Σωστό - Λάθος» 1. Λ 17. Σ 32. Σ 47. Σ 62. Σ 2. Σ 18. Σ 33. Λ 48. Λ 63. Σ 3. Λ 19. Λ 34. Σ 49. Σ 64. Λ 4.
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑ Η έννοια του µιγαδικού αριθµού Πράξεις
ΜΑΘΗΜΑ.. Η έοια του µιγαδικού αριθµού Πράξεις Θεωρία - Σχόλια - Μέθοδοι - Ασκήσεις α + βi - i α + βi i (β - αi ) ΘΕΩΡΙΑ. Ύπαρξη του i εχόµαστε ότι υπάρχει αριθµός i, µε τη ιδιότητα φαταστική µοάδα. i,
Διαβάστε περισσότεραΟΡΙΑ. 0 : Παραγοντοποιώ αριθµητή και παρονοµαστή και διώχνω τους παράγοντες x, x 0 που προκύπτουν.
ΟΡΙΑ Πηλίκα πολυωυµικώ µε µορφή 0 0 : Παραγοτοποιώ αριθµητή και παροοµαστή και διώχω τους παράγοτες, 0 που προκύπτου Περιπτώσεις µε ρίζες µορφής 0 0 Περιπτώσεις στις οποίες χρειάζεται α πολλαπλασιάσω µε
Διαβάστε περισσότεραΛΥΚΕΙΟ ΜΕΤΑΜΟΡΦΩΣΗΣ 2014 ΒΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ
1. Τι λέγεται δειγματικός χώρος εός πειράματος τύχης. Το σύολο τω δυατώ αποτελεσμάτω λέγεται δειγματικός χώρος (sample space) και συμολίζεται συήθως με το γράμμα Ω. Α δηλαδή ω 1,ω 2,...,ω κ είαι τα δυατά
Διαβάστε περισσότερα(Καταληκτική ημερομηνία αποστολής 15/11/2005)
η Εργασία 005-006 (Καταληκτική ημερομηία αποστολής 5//005) Άσκηση (0 μοάδες). (α) Δείξτε αλγεβρικά πώς βρίσκοται δύο διαύσματα A και B, εά είαι γωστά το άθροισμά τους S και η διαφορά τους D (β) Βρείτε
Διαβάστε περισσότερα0..1 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ
Εισαγωγικό Κεφάλαιο: Ρητοί Αριθµοί ΜΑΘΗΜΑ 0 Υποεότητα 1: Βασικές Επααληπτικές Έοιες (Επααλήψεις-Συµπληρώσεις) Θεµατικές Εότητες: 1. Ρητοί αριθµοί-βασικές επααληπτικές έοιες.. Πρόσθεση ρητώ αριθµώ. 3. Άθροισµα
Διαβάστε περισσότεραΟ μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει:
Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει: Να γωρίζει τη έοια της ακολουθίας, τους τρόπους που ορίζεται, τις διαφορές της από μία συάρτηση. Να γωρίζει τους ορισμούς της αριθμητικής και γεωμετρικής
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ε ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΡΓΑΣΙΩΝ. Κριτήρια διαιρετότητας
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ε ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΡΓΑΣΙΩΝ Κριτήρια διαιρετότητας 11 Κριτήρια διαιρετότητας 11 1η Άσκηση Να βρεις ποιοι από τους φυσικούς αριθμούς που είαι αάμεσα από το 120 και το 140 διαιρούται με: το
Διαβάστε περισσότεραΜαθηµατική Επαγωγή 175.
Μαθηµατική Επαγωγή 75. Μαθηµατική Επαγωγή Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΠΑΓΩΓΗ Στο κεφάλαιο τω προόδω έχει αποδειχθεί ότι ο ισχυρισµός v( v+ ) P( v ):+ + 3 +... + v, v N είαι αληθής (ως άθροισµα
Διαβάστε περισσότεραΔυνάμεις πραγματικών αριθμών
Κεφάλαιο 1 ο 45 Β. Δυάμεις πραγματικώ αριθμώ Α έχουμε έα γιόμεο της μορφής (-) (-) (-) (-) όπου κάθε παράγοτας είαι (δηλαδή ο ίδιος ο αριθμός) μπορούμε α το συμβολίσουμε με μια πιο απλή μορφή : (-) 4.
Διαβάστε περισσότερα+ + = + + α ( β γ) ( )
ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Αριθµητική παράσταση Αριθµητική παράσταση λέγεται µια σειρά αριθµώ που συδέοται µεταξύ τους µε πράξεις. Η σειρά τω πράξεω σε µια αριθµητική παράσταση είαι η εξής: 1. Υπολογίζουµε
Διαβάστε περισσότερα4.2 ΙΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ
. ΙΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 9 0 A Οµάδας.i) Να κάετε τη διαίρεση ( x + 6x 7x+ 0 ) : ( x+ ) και α γράψετε τη ταυτότητα της διαίρεσης. x + 6x 7x+ 0 x+ x 9x + + x + 9x 8x+ 0 + 8x+
Διαβάστε περισσότεραΒΑΣΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ
ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 1. Α. Να βρεθού οι κ,λ R για τους οποίους είαι ίσα τα πολυώυµα ( λ + 1) x ( κ ) x λ + 1 (x) = και Q(x) = κx λx + κ Β. Να βρείτε τους πραγµατικούς αριθµούς α, β, γ R για τους
Διαβάστε περισσότερα4 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ 4.1 Η ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΠΑΓΩΓΗ. Εισαγωγή
4 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ 4.1 Η ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΠΑΓΩΓΗ Εισαγωγή Η Θεωρία Αριθμώ, δηλαδή η μελέτη τω ιδιοτήτω τω θετικώ ακεραίω, έθεσε από πολύ ωρίς τους μαθηματικούς μπροστά στο εξής πρόβλημα: Κάποια πρόταση αληθεύει
Διαβάστε περισσότερα1. Το σύνολο των μιγαδικών αριθμών
Το σύολο τω μιγαδικώ αριθμώ Γωρίζουμε ότι η εξίσωση δε έχει λύση στο σύολο τω πραγματικώ αριθμώ Για α ξεπεράσουμε αυτή τη αδυαμία «μεγαλώσαμε» το σύολο και δημιουργήσαμε το σύολο, έτσι, ώστε α έχει τις
Διαβάστε περισσότεραβ± β 4αγ 2 x1,2 x 0.
Ορισµοί, ισότητα, µέτρο, άθροισµα µιγαδικώ αριθµώ Μιγαδικό επίπεδο Γεωµετρική παράσταση του αθροίσµατος µιγαδικώ αριθµώ ax 3 + β x + γ x+ δ = 0 Η προσπάθεια επιλύσεως εξισώσεω 3 ου βαθµού ( ) και δευτεροβαθµίω
Διαβάστε περισσότερα4.2 ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ
14 4 ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ Ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να βρούμε το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης του με τον Σύμφωνα με το γνωστό αλγόριθμο της διαίρεσης, το πηλίκο θα είναι ένας ακέραιος κ, τέτοιος,
Διαβάστε περισσότεραΗ παραπάνω ιδιότητα γενικεύεται και για περισσότερους από δύο πραγµατικούς αριθµούς. Έτσι έχουµε: αβγ α β γ = β β. d a β = α
ΑΜΥΡΑ ΑΚΗ 0, ΝΙΚΑΙΑ ΤΗΛ:0-903576 e-mail : tetrakti@ otenet.gr γρήγορα&εύκολα www.tetraktis.gr ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ ΜΑΘ Α0 ΑΠΟΛΥΤΗ ΤΙΜΗ Τυπολόγιο - Μεθοδολογία. Ορισµός: Έστω α έας πραγµατικός
Διαβάστε περισσότεραΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών z για τους οποίους ισχύει:
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΈΝΝΟΙΑ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΣΥΖΥΓΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ i. ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ
Διαβάστε περισσότεραΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 77 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΘΑΛΗΣ 12 Νοεμβρίου 2016 Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ˆ ΑΔΒ.
Τηλ 361653-3617784 - Fax: 364105 Tel 361653-3617784 - Fax: 364105 1 Νοεμβρίου 016 Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Να υπολογίσετε τη τιμή της αριθμητικής παράστασης: ( ) ( 5) ( ) 3 3 3 0 15 8 3 Α= + + 3 5 3 9 Πρόβλημα Δίεται
Διαβάστε περισσότεραΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ
ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΟΡΙΣΜΟΙ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΥΖΥΓΕΙΣ ΜΕΤΡΟ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΜΕΘΟΔΟΣ Για α υπολογίσουμε δυάμεις με ακέραιο εκθέτη σε παράσταση με i χρησιμοποιούμε γωστές ταυτότητες και έχουμε υπόψη ότι: i. v v- = με ακέραιο
Διαβάστε περισσότεραΟρισµοί, ισότητα, µέτρο, άθροισµα µιγαδικών αριθµών. Μιγαδικό επίπεδο. Γεωµετρική παράσταση του αθροίσµατος µιγαδικών αριθµών.
Ορισµοί, ισότητα, µέτρο, άθροισµα µιγαδικώ αριθµώ Μιγαδικό επίπεδο Γεωµετρική παράσταση του αθροίσµατος µιγαδικώ αριθµώ Η προσπάθεια επιλύσεως εξισώσεω 3 ου βαθµού ( ax 3 βx γx δ 0) πραγµατικούς συτελεστές
Διαβάστε περισσότερα4 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης
1 4 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 1. Έστω τα διανύσµατα u = ( 6, 8) και v = (9, 1) είξτε ότι είναι αντίρροπα Να βρείτε την εξίσωση της έλλειψης που έχει ηµιάξονες τα µέτρα των διανυσµάτων, κέντρο την αρχή
Διαβάστε περισσότεραΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ηµεροµηνία: Κυριακή 1 Απριλίου 2012 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ
ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ A ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ / ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Ηµεροµηία: Κυριακή Απριλίου ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α.. Θεωρία Σχολικό Βιβλίο (έκδοση ) σελίδα 9. Α.. Θεωρία Σχολικό Βιβλίο (έκδοση
Διαβάστε περισσότερα1. [0,+ , >0, ) 2. , >0, x ( )
Σελίδα 1 από 5 ΝΙΟΣΤΕΣ ΡΙΖΕΣ ΤΑ ΣΥΜΒΟΛΑ α, α ΣΧΕΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ του Ατώη Κυριακόπουλου 1 ΡΙΖΕΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ R = [, ) Θεώρηµα και ορισµός οθέτος, εός πραγµατικού αριθµού α και εός φυσικού αριθµού >, υπάρχει έας
Διαβάστε περισσότερα4.1 Η ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΠΑΓΩΓΗ
1.1 Η ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΠΑΓΩΓΗ ΘΕΩΡΙΑ 1. Αρχή της Μαθηµατιής Επαγωγής Έστω ισχυρισµός Ρ(), όπου θετιός αέραιος. Α (i) Ρ αληθής αι (ii) Ρ() Ρ( + 1) για άθε, τότε Ρ() αληθής για άθε.. Αισότητα Bernoulli (1 +α
Διαβάστε περισσότεραΑΛΓΕΒΡΑ. Για να βρούµε την δύναµη i (όπου κ ακέραιος), διαιρούµε το κ µε το 4 και σύµφωνα µε την ταυτότητα της διαίρεσης ισχύει κ=4ρ+υ όπου ρ Ζ
ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ - ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ κ Για α βρούµε τη δύαµη i (όπου κ ακέραιος), διαιρούµε το κ µε το 4 και σύµφωα µε τη ταυτότητα της διαίρεσης ισχύει κ=4ρ+υ όπου ρ Ζ και υ = 0,,, οπότε i κ 4ρ+
Διαβάστε περισσότεραΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. Θεωρία Άλυτες Ασκήσεις Θέματα εξετάσεων
ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Θεωρία Άλυτες Ασκήσεις Θέματα εξετάσεω 1 Α. ΜΕΡΟΣ :ΘΕΩΡΙΑ ΤΟ ΣΥΝΟΛΟ C ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ Γωρίζουμε ότι η δευτεροβάθμια εξίσωση με αρητική διακρίουσα δε έχει λύση στο σύολο R τω πραγματικώ
Διαβάστε περισσότερα1. * Η ακολουθία είναι µια συνάρτηση µε πεδίο ορισµού το σύνολο Α. Q Β. Ζ* Γ. Ν. Ν* Ε. R
Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής 1. * Η ακολουθία είαι µια συάρτηση µε πεδίο ορισµού το σύολο Α. Q Β. Ζ* Γ. Ν. Ν* Ε. R. * Η γραφική παράσταση µιας ακολουθίας είαι Α. Μια ευθεία γραµµή Β. Μια παραβολή Γ. Μια
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Διαιρετότητα Μαθαίνω Πολλαπλάσια ενός φυσικού αριθμού α είναι όλοι οι αριθμοί που προκύπτουν από τον πολλαπλασιασμό του με όλους τους φυσικούς αριθμούς, δηλαδή οι αριθμοί: 0, α, 2 α, 3 α, 4 α,... Το μηδέν
Διαβάστε περισσότεραΠΟΛΥΩΝΥΜΑ. Κεφάλαιο 2ο: Ερωτήσεις του τύπου Σωστό-Λάθος
Κεφάλαιο 2ο: ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ Ερωτήσεις του τύπου Σωστό-Λάθος 1. * Οι πραγματικοί αριθμοί είναι σταθερά πολυώνυμα. Σ Λ 2. * Το σταθερό πολυώνυμο 0 λέγεται μηδενικό πολυώνυμο. Σ Λ 3. * Κάθε σταθερό και μη μηδενικό
Διαβάστε περισσότεραΕρωτήσεις πολλαπλής επιλογής
Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής 1. * Η µέθοδος της µαθηµατικής επαγωγής χρησιµοποιείται για την απόδειξη προτάσεων Ρ (ν), όταν Α. ν R Β. ν Q Γ. ν R*. ν N Ε. κανένα από τα προηγούµενα 2. * Για τους ακεραίους
Διαβάστε περισσότερα2.2 ιαίρεση Πολυωνύμων
ιαίρεση Πολυωνύμων 1 Να γίνουν οι διαιρέσεις: α) (x 5 - x + x - 9) : (x - 1) β) (x 4-7x + x - 15) : (x + 5) γ) (x - 4αx + α ) : (x - α) δ) [7x - (9α + 7α ) x + 9α ] : (x - α) Με τη βοήθεια του σχήματος
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο. Τι οοµάζεται συάρτηση ; Είαι µια διαδικασία µε τη οποία κάθε στοιχείο εός συόλου Α ατιστοιχίζεται σε έα ακριβώς στοιχείο κάποιου άλλου συόλου Β.. Ποιες είαι οι κυριότερες γραφικές παραστάσεις
Διαβάστε περισσότεραΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ηµεροµηνία: Κυριακή 1 Απριλίου 2012 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ε_.ΜλΓΑ(α) ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ / ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Ηµεροµηία: Κυριακή Απριλίου ΘΕΜΑ A ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α.. Θεωρία Σχολικό Βιλίο (έκδοση ) σελίδα 9. Α.. Θεωρία Σχολικό Βιλίο
Διαβάστε περισσότερα1. * Ο αριθμός, ν Ν, είναι ανάγωγο κλάσμα για κάθε ν Ν. Σ Λ 2. * Οι αριθμοί 2ν και 2ν + 2 είναι διαδοχικοί άρτιοι για κάθε ν Ν.
Κεφάλαιο 4ο: ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» ν 1. * Ο αριθμός, ν Ν, είναι ανάγωγο κλάσμα για κάθε ν Ν. 3 Σ Λ. * Οι αριθμοί ν και ν + είναι διαδοχικοί άρτιοι για κάθε ν Ν. 3. * Αν ένας
Διαβάστε περισσότεραA N A B P Y T A ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ. 1 (α + β + γ) [(α-β) 2 +(α-γ) 2 +(β-γ) 2 ] και τις υποθέσεις
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ ΑΣΚΗΣΗ η Αν α +β +γ = αβγ και α + β + γ, να δείξετε ότι το πολυώνυμο P()=(α β) +(β γ) + γ α είναι το μηδενικό πολυώνυμο. Από την ταυτότητα του Euler α +β +γ -αβγ = (α + β + γ)[(α-β)
Διαβάστε περισσότεραΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ. ορισµοί. Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ (κεφ. 2 )
ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ 1 ορισµοί Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ (κεφ. 2 ) Γησίως αύξουσα: σε έα διάστηµα του πεδίου ορισµού της λέγεται µια συάρτηση f ότα για κάθε χ 1,χ 2 µε χ 1
Διαβάστε περισσότερα5.5 ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΣΤΟ C
5 55 ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΣΤΟ C Εισαγωγή Η επίλυση τω εξισώσεω ου και 4ου βαθμού, η ααγκαστική επαφή με τους μιγαδικούς αριθμούς για τη έκφραση τω πραγματικώ ριζώ και η εξέλιξη του αλγεβρικού λογισμού
Διαβάστε περισσότεραΤο σύνολο Z των Ακεραίων : Z = {... 2, 1, 0, 1, 2, 3,... } Να σηµειώσουµε ότι οι φυσικοί αριθµοί είναι και ακέραιοι.
1 E. ΣΥΝΟΛΑ ΘΕΩΡΙΑ 1. Ορισµός του συνόλου Σύνολο λέγεται κάθε συλλογή πραγµατικών ή φανταστικών αντικειµένων, που είναι καλά ορισµένα και διακρίνονται το ένα από το άλλο. Τα παραπάνω αντικείµενα λέγονται
Διαβάστε περισσότεραΠολυώνυµα - Πολυωνυµικές εξισώσεις
4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Πολυώνυµα - Πολυωνυµικές εξισώσεις Ορισµός πολυωνύµου Ονοµάζoυµε ΠΟΛΥΩΝΥΜΟ του κάθε παράσταση της µορφής α ν ν +α ν- ν- + +α +α 0, ν ΙΝ και α 0, α,, α ν-, α ν ΙR. Παρατηρήσεις α. Τα α ν ν, α
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑ Πράξεις Συζυγής
ΜΑΘΗΜΑ. Πράξεις Συζυγής Ασκήσεις Εξισώσεις Από σχέση σε σχέση ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Α, είαι οι ρίζες της εξίσωσης + i + = + i. 5 = 7 + i + 5 + 7 = 0 + = = = 7, α αποδείξετε ότι =, = 7 = 7 ( + ) + i = + i 5 7 5 = 6
Διαβάστε περισσότεραΚΑΤΑΣΚΕΥΑΣΙΜΟΤΗΤΑ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΓΙΑΝΝΗΣ ΞΕΙ ΑΚΗΣ
ΚΑΤΑΣΚΕΥΑΣΙΜΟΤΗΤΑ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΓΙΑΝΝΗΣ ΞΕΙ ΑΚΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ : Ααγκαία συθήκη για α κατασκευάζεται µε καόα και διαβήτη έα καοικό πολύγωο είαι το πλήθος τω πλευρώ του α είαι της µορφής ( + )...( + ) όπου
Διαβάστε περισσότεραΠοιος νοµίζετε ότι θα είναι ο αριθµός των διαγωνίων ενός πολυγώνου µε ν πλευρές; Να αποδειχθεί η σχέση που συµπεράνατε µε µαθηµατική επαγωγή.
Ερωτήσεις ανάπτυξης 1. * Παρατηρούµε ότι: 1 11 ( + = 1 ) 1+ = ( + 1) 1 3 33 ( + + + = 1 ) Ποιο νοµίζετε ότι θα είναι το άθροισµα 1 + + 3 +... + ν; Αποδείξτε την ισότητα που συµπεράνατε µε επαγωγή.. * Μετράµε
Διαβάστε περισσότεραΕπαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου
Επααληπτικό Διαγώισμα Μαθηματικώ Γεικής Παιδείας Γ Λυκείου Θέμα A Α.α) Τι οομάζουμε συάρτηση και τι οομάζουμε πραγματική συάρτηση πραγματικής μεταβλητής; β) Τι λέγεται τιμή μιας συάρτησης f στο χ ; γ)
Διαβάστε περισσότεραΠΟΛΥΩΝΥΜΑ. Κεφάλαιο 2ο: Ερωτήσεις του τύπου Σωστό-Λάθος
Κεφάλαιο ο: ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ Ερωτήσεις του τύπου Σωστό-Λάθος 1. * Οι πραγματικοί αριθμοί είναι σταθερά πολυώνυμα. Σ Λ. * Το σταθερό πολυώνυμο 0 λέγεται μηδενικό πολυώνυμο. Σ Λ 3. * Κάθε σταθερό και μη μηδενικό
Διαβάστε περισσότεραwww.fr-anodos.gr (, )
ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Το lim f ( ) έχει όηµα σε γειτοικά σηµεία µε το δηλαδή ότα ( a, ) (, β ) a. Δε µε εδιαφέρει α το ίδιο το αήκει η όχι στο πεδίο ορισµού της f αλλά µε εδιαφέρει α υπάρχου στο πεδίο ορισµού
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 3
ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 3 ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης - Σ. Παπαδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt.html Τετάρτη 13 Μαρτίου 2013 Ασκηση 1. Αφού ϐρείτε την
Διαβάστε περισσότεραΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ηµεροµηνία: Κυριακή 1 Απριλίου 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ
ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_.ΜλΓΑ(ε) ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ A Α.. Α.. Α.. A.4. Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ / ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Ηµεροµηία:
Διαβάστε περισσότεραΜΙΓΑΔΙΚΟΙ 9o ΓΕΛ ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ είναι τέλεια, να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: Α = (1 + i) v - (1 - i) v. 15. Αν z μιγαδικός και f (ν) = i
Να βρεθού οι πραγματικοί αριθμοί κ,λ για τους οποίους οι μιγαδικοί = 4 κ + λ + 7 κ και w = 7 (λ ) α είαι ίσοι Να βρεθού οι κ, λr ώστε ο = (8κ + κ) + 4λ + ( ) α είαι ίσος με το μηδέ Να βρείτε για ποιες
Διαβάστε περισσότερα2 Ο ΓΕΛ ΣΤΑΥΡΟΥΠΟΛΗΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ
Ο ΓΕΛ ΣΤΑΥΡΟΥΠΟΛΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 016-017 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ ΟΙ ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ ΡΗΤΟΙ λέγονται οι αριθµοί : ΟΙ ΠΕΡΙΟ ΙΚΟΙ αριθµοί είναι :. ΑΡΡΗΤΟΙ
Διαβάστε περισσότεραΕπαναληπτικές Ασκήσεις
Επαναληπτικές Ασκήσεις Έστω ότι το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυωνύμου ( x ) α Να γράψετε την ταυτότητα της διαίρεσης β Να βρείτε τα 0 και Ρ γ Αν το πολυώνυμο ( x) είναι x να βρείτε: x + x είναι 3x
Διαβάστε περισσότερα1.4 ΕΥΚΛΕΙ ΕΙΑ ΙΑΙΡΕΣΗ ΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ
1 4 ΕΥΚΛΕΙ ΕΙΑ ΙΑΙΡΕΣΗ ΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ ΘΕΩΡΙΑ Ισότητα Ευκλείδειας διαίρεσης : Αν, δ φυσικοί αριθµοί µε δ 0, τότε υπάρχουν δύο άλλοι φυσικοί αριθµοί π και υ έτσι ώστε να ισχύει = δ π + υ όπου υ < δ Η διαίρεση
Διαβάστε περισσότεραa lim x 1.7 ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ ( x ) ΒΑΣΙΚΑ ΟΡΙΑ , a R * ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ : Ενώ αν f(x) < g(x) κοντά στο x 0, τότε lim f(x) lim g(x)
7 ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ ( ) ΒΑΣΙΚΑ ΟΡΙΑ + - - a v α άρτιος α περιττός 0 ar * ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ : Εώ α f() < g() κοτά στο 0 τότε f() g() ότα + εώ f()
Διαβάστε περισσότεραΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ. 1. Η μέθοδος της μαθηματικής επαγωγής αποτελείται από δυο βήματα :
ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΠΑΓΩΓΗ 1. Η μέθοδος της μαθηματικής επαγωγής αποτελείται από δυο βήματα : Βήμα 1 ο : Δείχνουμε ότι η πρόταση Ρ( ν ) είναι αληθής για το μικρότερο φυσικό για τον οποίο ζητείται
Διαβάστε περισσότεραν ν Άσκηση 1. Α =Α, Β =Β. Λύση Άσκηση Α Β =Β Α, Α Β=ΒΑ. Β Α= ( Β Β)( ΑΒ ) Β Α=Ι( ΑΒ ) Β Α=ΑΒ. Άσκηση = Α Α Α Α=.
Άσκηση Α, Β ατιστρέψιµοι πίακες µε ΑΒ=Α, ΒΑ=Β είξτε ότι ος τρόπος Α = Α Α = ( Α Β) Α = Α Β Α Α = Α Οµοίως Α = Α Β = Α ( Β Α) = Α Β Α ος τρόπος Α =Α Α= ( Α Β) Α=Α ( Β Α ) =Α Β=Α Οµοίως Α =Α, Β =Β Β =Β Β
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1
ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης - Σ. Παπαδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt.html Τετάρτη 7 Φεβρουαρίου 03 Ασκηση. είξτε ότι
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά. Γ'Γυμνασίου. Μαρίνος Παπαδόπουλος
Μαθηματικά Γ'Γυμνασίου Μαρίνος Παπαδόπουλος ΠΡΟΛΟΓΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ Σας καλωσορίζω στον όµορφο κόσµο των Μαθηµατικών της Γ Γυµνασίου. Τα µαθηµατικά της συγκεκριµένης τάξης αποτελούν ίσως το αποκορύφωµα των
Διαβάστε περισσότερα5 η ΕΚΑ Α ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 41.
ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 5 η ΕΚΑ Α 4. Έστω Ω { ω, ω, ω, ω 4 } ο δειγµατικός χώρος εός πειράµατος τύχης και τα εδεχόµεα Α {ω, ω }, Β {ω, ω 4 } + Α είαι P(A B) και Ρ( Β Α ), όπου θετικός ακέραιος τότε + 4 Να αποδείξετε
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ε ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ ΒΙΒΛΙΟ ΜΑΘΗΤΗ. Η διαίρεση στους φυσικούς αριθμούς
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ε ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ ΒΙΒΛΙΟ ΜΑΘΗΤΗ Η διαίρεση στους φυσικούς αριθμούς 12 Η διαίρεση στους φυσικούς αριθμούς 12 Διερεύηση 1. 1. Έας χώρος στάθμευσης έχει 21 σειρές, καθεμιά από τις οποίες έχει 8 θέσεις.
Διαβάστε περισσότεραxf(y) + yf(x) = (x + y)f(x)f(y)
ΕΥΡΕΣΗ ΤΥΠΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Επιμέλεια: Καρράς Ιωάης Μαθηματικός Φίλος μὲ δή, ὡς ἔοικε, τούτῳ τῷ λόγῳ ὁ ἀγαθὸς ἔσται, ἐχθρὸς δὲ ὁ ποηρός. gxkarras@gmail.com 1. Να βρεθού όλες οι συαρτήσεις f : R R για τις οποίες
Διαβάστε περισσότεραΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Ρωτήσαμε 50 μαθητές μιας τάξης για το αριθμό τω αδελφώ τους Οι απατήσεις που πήραμε είαι: 0,,,,4,5 Α v, v, v, v4, v5, v 6 είαι οι ατίστοιχες συχότητες τους
Διαβάστε περισσότερα( ) Άρα το 1 είναι ρίζα του P, οπότε το x 1 είναι παράγοντάς του. Το πηλίκο της διαίρεσης ( x 3x + 5x 3) : ( x 1) είναι:
( x) Άρα το είναι ρίζα του P, οπότε το x είναι παράγοντάς του 4 Το πηλίκο της διαίρεσης ( x 3x + 5x 3) : ( x ) είναι: 3 π ( x) = x + x x + 3 Η ταυτότητα της προηγούμενης διαίρεσης είναι: 4 3 x 3x + 5x
Διαβάστε περισσότεραΑΛΓΕΒΡΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Β ΤΑΞΗΣ ΠΕΜΠΤΗ 22 ΜΑΪΟΥ 2003 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ
ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Β ΤΑΞΗΣ ΠΕΜΠΤΗ ΜΑΪΟΥ 003 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ 1ο Α. Να αποδείξετε ότι ο ος όρος µιας αριθµητικής προόδου µε πρώτο όρο α 1 και διαφορά ω είαι α = α 1 + (-1)ω. Μοάδες 7 Β. Να γράψετε
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 7
ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 7 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uo.gr/abelga/numbertheory/nt2014/nt2014.html https://stes.google.com/ste/maths4edu/home/14
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) Τοα R σημαίνει ότι οι συντελεστές δεν περιέχουν την μεταβλητή x. αντικ σταση στο που = α. [ ο αριθµ ός πουτο µηδεν ίζει
μέρος πρώτο v v 1 v 1 Γενική μορφή πολυωνύμου: ( ) 1 1 Όροι του ( ) v v v P = a v + av 1 + av +... + a + a 1 + a, ν Ν, α ν R Τοα R σημαίνει ότι οι συντελεστές δεν περιέχουν την μεταβλητή. P : a, a, a,...,
Διαβάστε περισσότερα(x) = δ(x) π(x) + υ(x)
Μάθηµα 12 Κεφάλαιο 4ο: Πολυώνυµα Πολυωνυµικές Εξισώσεις Θεµατικές Ενότητες: Α. ιαίρεση Πολυωνύµων Β. Σχήµα Horner Η ταυτότητα της Ευκλείδειας διαίρεσης Αν ( χ), δ ( χ) δύο πολυώνυµα µε δ ( χ) 0 και βαθµούς
Διαβάστε περισσότεραΘέµατα Άλγεβρας Γενικής Παιδείας Β Λυκείου 2000
Θέµατα Άλγεβρας Γεικής Παιδείας Β Λυκείου 000 Ζήτα ο Α.. Να γράψετε το τύο ου δίει το ιοστό όρο α µιας αριθµητικής ροόδου (α ) ου έχει ρώτο όρο α και διαφορά ω. (Μοάδες ) Α.. Να γράψετε τη σχέση µεταξύ
Διαβάστε περισσότεραΟρισμένες σελίδες του βιβλίου
Ορισμένες σελίδες του βιβλίου 7. Θεωρούμε το σύνολο αναφοράς 0,,. Να οριστούν τα σύνολα: Α. των τριψηφίων αριθμών που σχηματίζουν τα στοιχεία του Ω. Β. των τριψηφίων αριθμών με διαφορετικά ψηφία Γ. των
Διαβάστε περισσότεραΘέµατα Άλγεβρας Γενικής Παιδείας Β Λυκείου 2000
Θέµατα Άλγεβρας Γεικής Παιδείας Β Λυκείου 000 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Ζήτηµα ο Α.. Α.. Α.. Να γράψετε το τύο ου δίει το ιοστό όρο α µιας αριθµητικής ροόδου (α ) ου έχει ρώτο όρο α και διαφορά ω. (Μοάδες ) Να γράψετε
Διαβάστε περισσότεραΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ Ορισμός Συνδυασμός ν στοιχείων ανά κ είναι μια μη διατεταγμένη συλλογή κ στοιχείων από τα ν.
13/10/2010 ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ Ορισμός Συδυασμός στοιχείω αά κ είαι μια μη διατεταγμέη συλλογή κ στοιχείω από τα. Παράδειγμα 1 Οι συδυασμοί τω τριώ γραμμάτω Α,Β,Γ αά έα είαι οι εξής τρεις: Α, Β, Γ. Οι συδυασμοί
Διαβάστε περισσότεραΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. Εφαπτοµένη ευθεία
ΜΑΘΗΜΑ 5.. ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΙΜΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Εφαπτοµένη ευθεία Παράγωγος βασικών συναρτήσεων ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ Αθροίσµατος γινοµένου - πηλίκου Θεωρία Σχόλια Μέθοδοι Ασκήσεις ΘΕΩΡΙΑ. Εξίσωση
Διαβάστε περισσότερα9 Πολυώνυμα Διαίρεση πολυωνύμων
4ο Κεφάλαιο 9 Πολυώνυμα Διαίρεση πολυωνύμων Α ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Ορισμοί Μονώνυμο του x ονομάζουμε κάθε παράσταση της μορφής ν αx όπου α R, * ν N και x μια μεταβλητή που μπορεί να πάρει οποιαδήποτε
Διαβάστε περισσότερα11. Ποιες είναι οι άμεσες συνέπειες της διαίρεσης;
10. Τι ονομάζουμε Ευκλείδεια διαίρεση και τέλεια διαίρεση; Όταν δοθούν δύο φυσικοί αριθμοί Δ και δ, τότε υπάρχουν δύο άλλοι φυσικοί αριθμοί π και υ, έτσι ώστε να ισχύει: Δ = δ π + υ. Ο αριθμός Δ λέγεται
Διαβάστε περισσότεραΑ. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ = Γ. β1 = β2
Α. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΙΔΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ( ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ): i. αχ=β µε α 0 έχει µία λύση ii. 0χ=β µε β 0 αδύατη εξίσωση ( καµία λύση ) iii. 0χ=0 αόριστη εξίσωση ( άπειρες λύσεις ) ΕΙΔΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ (ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ
Διαβάστε περισσότεραΜάθηµα Θεωρίας Αριθµών Ε.Μ.Ε
Μάθηµα Θεωρίας Αριθµών Ε.Μ.Ε 1. Να αποδειχθεί ότι κάθε ϑετικός ακέραιος αριθµός n 6, µπορεί να γραφεί στη µορφή όπου οι a, b, c είναι ϑετικοί ακέραιοι. n = a + b c,. Να αποδειχθεί ότι για κάθε ακέραιο
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 9
ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 9 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2016/nt2016.html Πέµπτη 12 Ιανουαρίου 2017 Ασκηση 1. Εστω
Διαβάστε περισσότερα