ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών z για τους οποίους ισχύει:

Transcript

1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΈΝΝΟΙΑ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΣΥΖΥΓΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ i. ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΖΥΓΩΝ ΕΠΙΛΥΣΗ ΔΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΑΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ [Κεφ..: Η Έοια του Μιγαδικού Αριθμού - Κεφ..: Πράξεις στο Σύολο C τω Μιγαδικώ του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ Β Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος τω εικόω τω μιγαδικώ z για τους οποίους ισχύει: i. z+ z = 4 ii. z = z + 6i iii. z z = Έστω z = x + yi, x, y i. z + z = 4 x + yi + x yi = 4 x = 4 x =. Άρα ο γεωμετρικός τόπος είαι η ευθεία x = που είαι κάθετη στο x'x στο σημείο A(,). ii. z = z + 6i z z = 6i yi = 6i y = 8. Άρα ο γεωμετρικός τόπος είαι κάθετη στο άξοα y'y στο σημείο B(,8). iii. ( ) ( ) ( ) ( ) z z = x + yi x yi = x + yi + x yi x + yi x + yi = x yi = 4xyi = x y = x = ή y= Δηλαδή ο γεωμετρικός τόπος είαι οι άξοες x'x, y'y. Ότα έας μιγαδικός z ικαοποιεί μια συθήκη και ζητάμε το γεωμετρικό τόπο της εικόας M(z), τότε θέτουμε ως z = x + yi και από τη δοσμέη συθήκη καταλήγουμε σε μια εξίσωση της μορφής f (x,y) =, η οποία παριστάει τη γραμμή στη οποία βρίσκεται το M(x,y).

2 Παράδειγμα. Έστω ο μιγαδικός z = λ + ( 4λ 7 ) i, λ. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος τω εικόω τω z. Έστω z = x + yi, x, y. x = λ () x + yi = λ + 4λ 7 i. y = 4 λ 7 () Τότε έχουμε: ( ) Θα απαλείψουμε το λ μεταξύ τω () και (). Πολλαπλασιάζουμε και τα δύο μέλη της () με - και παίρουμε x = 4λ+ (3). Προσθέτουμε () και (3) κατά μέλη και έχουμε: x + y = 4λ+ + 4λ 7 x + y = 5 y = x 5. Άρα ο γεωμετρικό τόπος είαι η ευθεία y = x 5 ή x y 5 =. Ότα Re(z) = f ( λ ) και Im(z) = g ( λ ), θέτουμε x f ( ),y g( ) παράμετρο λ. = λ = λ και απαλείφουμε τη

3 Παράδειγμα 3. z = + 3i, z = 4 + 3i, z =λ+ λ 3 i στο Να βρεθεί ο λ, α οι εικόες τω μιγαδικώ ( ) μιγαδικό επίπεδο είαι σημεία συευθειακά. 3 Τα σημεία A (, 3 ), B( 4, 3 ), Γ( λ, λ 3) είαι οι εικόες τω z,z,z 3 στο μιγαδικό επίπεδο ατίστοιχα. Άρα, ΑΒ= (, ), ΑΓ = ( λ, λ 6) Τα Α,Β,Γ θα είαι συευθειακά α και μόο α: ΑΒ ΑΓ 6 λ λ 6 = λ = λ=.. Τα σημεία A( z ),B( z ), ( z ) det ΑΒ, ΑΓ =. ( ) 3 Γ είαι συευθειακά α και μόο α: ΑΒ ΑΓ 3

4 Παράδειγμα i 3i Α z = και z = α αποδείξετε ότι: 3 4i 3 + 4i z i. + z είαι πραγματικός αριθμός. ii. z z είαι φαταστικός αριθμός. Παρατηρούμε ότι z = z Επομέως: z z z z Re ( z ) + = + =, δηλαδή πραγματικός z z = z z = Im z i, δηλαδή φαταστικός. και: ( ) Για έα μιγαδικό αριθμό z z+ z = α, δηλαδή πραγματικός z z = β i, δηλαδή φαταστικός =α+β i ισχύου 4

5 Παράδειγμα 5. z z Α z,z με z z =, z z = α αποδείξετε ότι ο αριθμός w = με zz z z είαι πραγματικός. z = και z =. z z Αρκεί α δείξουμε ότι w = w. Πράγματι w ( z z) ( ) z z z z z z = = = z z z z = = z z z z z z z z z z = = z z z z z z z z z z = w. Άρα w. Ισχύει η ισοδυαμία w = w w. 5

6 Παράδειγμα 6. Να υπολογίσετε τις τιμές τω παραστάσεω 9 9 A= i + i + i + i B= i + i + i + i Γ= i + + i i i A= i + i + i + i = i + i + i + i = i+ i+ = B= i + i + i + i = i + i + i + i = i+ i+ = i i Γ= i + + i = i + + i = + + = = i i i i i ii Με τη βοήθεια της Ευκλείδειας Διαίρεσης γράφουμε το v στη μορφή v= 4ρ+υ, υ< 4 ρ+υ ρ υ υ ρ υ υ i = i = i i = i i = i = i και έχουμε ( ) ρ 6

7 Παράδειγμα 7. Να υπολογίσετε τη παράσταση A = i i i... i. Η παράσταση Α γίεται: A= i Παρατηρούμε ότι οι όροι του αθροίσματος αποτελού αριθμητική πρόοδο με πρώτο όρο α =, διαφορά ω= =, και πλήθος όρω = 999. Οπότε σύμφωα με το τύπο του αθροίσματος όρω αριθμητικής προόδου S = ( α +α ) θα έχουμε: S 999 = 999 = 999. Άρα η παράσταση Α γίεται: A i i ( ) = = i i i = = = =. Όμως ( ) 5 Άρα 999 A= =. Για μια αριθμητική πρόοδο α, =,,3,... με διαφορά ω ισχύου ( ) α =α + S = ( α +α ) ω 7

8 Παράδειγμα 8. Να υπολογιστεί η τιμή της παράστασης: 3 A = i + i + i i ( τρόποι επίλυσης) Α Τρόπος: Η παράσταση Α είαι έα άθροισμα όρω γεωμετρικής προόδου με πρώτο όρο α = i, λόγο i λ= = i και πλήθος όρω =. i Επομέως σύμφωα με το τύπο του αθροίσματος πρώτω όρω γεωμετρικής προόδου λ S =α, λ θα ισχύει: λ S = i i i + Όμως ( ) 5. = = = = = i i i i ( ) ( ) i i i + i i S = i = = = = = + i. i i i i+ Άρα Επομέως η τιμή της παράστασης Α είαι + i. Β Τρόπος: A= i+ i + i + + i 3 ia = i + i + + i + i 3 ia A = i i = (i )A i i (i )A = i i i A= = + i i 8

9 Για μία γεωμετρική πρόοδο α, =,,3,... με λόγο λ ισχύου α =α λ S α = ( λ ) λ 9

10 Παράδειγμα 9. Να λύσετε τη εξίσωση: z = 6 3z. Έστω z = x + yi, x, y. Τότε έχουμε: x yi = 6 3( x + yi) x yi = 6 3x 3yi x = 6 3x y = 3y 4x = 6 x = 4 y= y= Άρα z= 4+ i z= 4. Ότα η εξίσωση περιέχει το z και το z, θέτουμε ως z x yi, x, y = +. Κάουμε πράξεις και αφού εξισώσουμε πραγματικά και φαταστικά μέρη λύουμε το σύστημα που προκύπτει.

11 Παράδειγμα. Α η μια ρίζα της εξίσωσης 3x + β x +γ=, β, γ είαι ο 3i, α βρεθού οι β και γ. Α Τρόπος: Λύεται με απλή ατικατάσταση Β Τρόπος: Ξέρουμε ότι α μια εξίσωση ου βαθμού έχει για ρίζα έα μιγαδικό x τότε θα έχει ως δεύτερη ρίζα και το συζυγή του. Άρα η εξίσωση θα έχει ρίζα και το x = + 3i. Επίσης από τους τύπους του Vieta γωρίζουμε ότι: β γ x+ x = και x x =. α α Επομέως β β 3i + + 3i = 4 = β= β= ( ) ( ) γ γ 3i + 3i = = γ= και ( )( ) Α Τρόπος Λύεται με απλή ατικατάσταση. Β Τρόπος Α z,z οι δυο ρίζες μιας εξίσωσης δευτέρου βαθμού, θα ισχύου: z β γ + z = και z z =. α α

12 Παράδειγμα. Να βρείτε το x R α ο αριθμός: και επιπλέο είαι: i) Πραγματικός ii) Φαταστικός Z = (x 5x + 4) + (x + x )i είαι διάφορος του μηδεός z x 5x + 4 () ή (): = ( 5) 4 4 = 5 6 = 9 x + x () x, 8 = 4 5± 3 = = = δηλαδή x και x 4 = 4 = + 8 = 9 (): ( ) x, 4 = ± 3 = = = δηλαδή x και x Άρα πρέπει x i) Για α είαι ο αριθμός πραγματικός πρέπει x + x = x = ή x =. Από τις λύσεις αυτές δεκτή είαι μόο η x =, αφού για x = είαι z=. ii) Για α είαι ο αριθμός φαταστικός πρέπει x 5x+ 4= x = ή x = 4. Από τις λύσεις αυτές δεκτή είαι μόο η x = 4, αφού για x = είαι z=. z Re(z) ή Im(z). z πραγματικός Im(z) =. z φαταστικός Re(z) =.

13 Παράδειγμα. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο τω εικόω του z για το οποίο ισχύει: ( ) ( ) z + z z z = 3z z + 9 Έστω z = x + yi, x, y R Τότε: ( ) ( ) ( ) ( ) x yi = 3 x + yi x yi + 9 ( ) ( ) 4x 4y 3 x y 9 = + + 4x + 4y = 3x + 3y + 9 x + y = 9 x + y = 3 Άρα ο ζητούμεος γεωμετρικός τόπος είαι ο κύκλος που έχει κέτρο το O(, ) και ακτία ρ= 3. Ότα έας μιγαδικός z ικαοποιεί μια συθήκη και ζητάμε το γεωμετρικό τόπο της εικόας z, Μ(z) τότε θέτουμε ως z = x + yi και από τη δοσμέη συθήκη καταλήγουμε σε μια εξίσωση της μορφής f (x, y) = η οποία είαι και ο γεωμετρικός τόπος τω σημείω M(x, y). 3

14 Παράδειγμα 3. Α ο 3i z w = R α δείξετε ότι οι εικόες τω z, M(x, y) αήκου στη ευθεία z :3x + y 6 =. Πρέπει z z 3i z 3i z w R w = w = z z ( 3i z)( z ) = ( z )( 3i z ) 3zi 6i z z + z = 3zi z z + 6i + z 3zi + 3zi 6i 6i + z z = 3( z + z ) i i + ( z z ) = ( ) Α z = x + yi, με x + yi + i, τότε z + z = x και z z = yi. Επομέως η ( ) γίεται: ( ) 3 xi i + yi = i 3x 6 + y = 3x + y 6 = Δηλαδή οι εικόες τω z βρίσκοται πάω στη ευθεία :3x + y 6 = εκτός του σημείου A (, ). Έστω ο μιγαδικός w = f (z). Α ζητάμε το γεωμετρικό τόπο τω εικόω τω z, M(z), έτσι ώστε w ή w I, τότε απαιτούμε ατίστοιχα w = w ή w = w. Εαλλακτικά μπορούμε α φέρουμε το w στη μορφή α+βi από όπου θα πάρουμε: w β= ή w I α= Οι παραπάω ισότητες θα μας οδηγήσου στο ζητούμεο γεωμετρικό τόπο. 4

15 ΘΕΜΑ Γ Παράδειγμα i + 4 3i = Να αποδείξετε ότι: ( ) ( ) ( τρόποι επίλυσης) Α Τρόπος: ( 3 4i) ( 4 3i) ( 3 4i) ( 4 3i) + + = + + = ( 9 4i 6) ( 6 4i 9) ( 7 4i) ( 7 4i) = + + = [ ] 5 5 ( ) (7 4i) (7 4i) ( ) (7 4i) (7 4i) 5 5 (7 4i) + (7 4i) = + 5 = = Β Τρόπος: ( 3 4i) ( 4 3i) = ( 3 4i) 5 i( 3 4i) = ( 3 4i) ( i ) ( 3 4i) = ( ) ( ) 3 + 4i 5 i 5 + = 5 ( ) ( ) 3 + 4i + = i = i = i = i =. διότι ( ) β α i= i( α+β i). 5

16 Παράδειγμα. Να λύσετε τη εξίσωση: 3 z 5z + 9z 5 = Από το σχήμα Horner έχουμε: 3 z 5z + 9z 5 = (z ) (z 4z + 5) = Άρα z= ή z 4z + 5 =. Για τη δευτεροβάθμια εξίσωση έχουμε: = ( 4) 4 5 = 6 = 4. Άρα, 4 ± i 4 4 ± i z = = = ± i. Επομέως οι λύσεις της εξίσωσης είαι οι: z =, z = + i, z3 = i. Ότα θέλουμε α λύσουμε πολυωυμική εξίσωση βαθμού μεγαλύτερου του, χρησιμοποιούμε τη ισοδυαμία: A B= A= ή B=. 6

17 Παράδειγμα 3. Α z και z + z+ = α αποδείξετε ότι: i. ii. 3 z = 4 9 z + z + = z + z+ = z z + z+ = i. ( ) 3 z + z + z= 3 z = 3 z = ii z + z + = z + z ( ) ( ) = z z + z z+ = z + z + z + z+ = Α k z = α ααζητούμε το z, ή θέλουμε α αποδείξουμε σχέσεις που εμπεριέχου δυάμεις kρ+υ k ρ υ z = z = z z. του z,τότε εκτός τω άλλω χρησιμοποιούμε τη σχέση: ( ) 7