Α. ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ (ΜΕΡΟΣ Β)

Transcript

1 ΜΑΘΗΜΑ 5 Κεφάλαιο o : Αλγεβρικές Παραστάσεις Υποενότητα.: Κλασµατικές Εξισώσεις Θεµατικές Ενότητες:. Κλασµατικές Εξισώσεις (Μέρος Β). Α. ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ (ΜΕΡΟΣ Β) ΟΡΙΣΜΟΙ Κλασµατική εξίσωση λέγεται κάθε εξίσωση που περιέχει ένα τουλάχιστον κλάσµα µε άγνωστο στον παρονοµαστή. π.χ : ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ Για να επιλύσουµε µια κλασµατική εξίσωση εργαζόµαστε ως εξής: (i) Παραγοντοποιούµε τους παρονοµαστές των κλασµάτων όπου φυσικά είναι αυτό εφικτό. Εντοπίζουµε τις τιµές του αγνώστου, για τις οποίες έχει νόηµα (ορίζεται) η εξίσωση, δηλαδή για τις οποίες όλοι οι παρονοµαστές να είναι διάφοροι του µηδενός. (iii) Βρίσκουµε το Ε.Κ.Π των παρονοµαστών. (iv) Πολλαπλασιάζουµε µε το Ε.Κ.Π όλους τους όρους της εξίσωσης και κάνουµε τις απαραίτητες απλοποιήσεις. Έτσι καταλήγουµε σε µια εξίσωση χωρίς παρονοµαστές!!!! (v) Εκτελούµε τις πράξεις και επιλύουµε την εξίσωση. Παπαδόπουλος Μαρίνος-Μαθηµατικός -7-

2 Προσοχή: Αν η εξίσωση που προκύπτει είναι ου Βαθµού θα πρέπει να µεταφέρουµε όλους τους όρους στο αριστερό µέλος και να τη λύσουµε µε το γνωστό τύπο ή µε το άθροισµα και γινόµενο ριζών. Αν όµως η εξίσωση είναι ου Βαθµού χωρίζουµε γνωστούς από αγνώστους, κάνουµε αναγωγές οµοίων όρων και διαιρούµε το συντελεστή του αγνώστου. (vi) Ελέγχουµε αν οι λύσεις που βρήκαµε κατά την επίλυση της εξίσωσης συµφωνούν µε τους περιορισµούς που θέσαµε αρχικά. ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Να λυθεί η εξίσωση: + Λύση. Παραγοντοποιούµε τους παρονοµαστές των κλασµάτων και έτσι η εξίσωση παίρνει µορφή: + Η εξίσωση αυτή ορίζεται µόνο όταν: και και και. Θα πρέπει λοιπόν για να ορίζεται η εξίσωση το και. Παρατηρούµε αµέσως ότι ο Ε.Κ.Π των παρονοµαστών είναι το γινόµενο:. Πολλαπλασιάζουµε όλους τους όρους της εξίσωσης µε το ( ) έχουµε: και Παπαδόπουλος Μαρίνος-Μαθηµατικός -7-

3 Με τη χρήση της διακρίνουσας και κατόπιν πράξεων (που βαριεµαι να κάνω ) αποδεικνύεται ότι η παραπάνω εξίσωση έχει ρίζες τους αριθµούς και. Η λύση όµως απορρίπτεται λόγω περιορισµών. Άρα η αρχική κλασµατική εξίσωση έχει µοναδική ρίζα τον αριθµό.. Να λυθεί η εξίσωση: Λύση. Αναλυτικά έχουµε: ή Θα πρέπει: και και και Άρα για και η εξίσωση γράφεται: Παπαδόπουλος Μαρίνος-Μαθηµατικός -7-

4 αριθµό. ή ή δηλαδή που αληθεύει για κάθε Οπότε η αρχική εξίσωση έχει ρίζα οποιαδήποτε πραγµατικό αριθµό εκτός από το και το.. Να λυθεί η εξίσωση: Λύση. Αναλυτικά έχουµε: ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) ( + )( + ) ( + )( + ) Θα πρέπει λοιπόν:,,, Οπότε έχουµε: ( + )( + ) ( + )( + ) η οποία γίνεται δεκτή. Παπαδόπουλος Μαρίνος-Μαθηµατικός -7-

5 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΤΥΠΟΥ «ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΣ» Σε κάθε µία από τις παρακάτω προτάσεις να σηµειώσετε το σωστό (Σ) ή το λάθος (Λ).. Οι όροι της εξίσωσης + ορίζονται όταν και Σ Λ. Ο αριθµός είναι λύση της εξίσωσης + + Σ Λ. Η εξίσωση ( ), έχει λύση τον αριθµό Σ Λ. Η εξίσωση έχει ρίζα το Σ Λ 5. Οι εξισώσεις και έχουν τις ίδιες λύσεις Σ Λ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ Σε κάθε µία από τις παρακάτω ερωτήσεις να σηµειώσετε τη σωστή απάντηση.. Η εξίσωση έχει λύση την : Α. 9 Β. 9 Γ.. Η εξίσωση έχει τις ίδιες λύσεις µε την εξίσωσης : Β. Α. ( ) Γ. Παπαδόπουλος Μαρίνος-Μαθηµατικός -75-

6 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΠΛΗΡΟΥΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Να λυθούν οι εξισώσεις : (i) (iii) 5 (v) + (vii) ( + ) + (i) + 5 y (iv) + y y (vi) + (viii) () +. Να λυθούν οι εξισώσεις : (i) (iii) + (v) + + (vii) (iv) + 7 (vi) y+ (viii) y y y y. Να λυθούν οι εξισώσεις : (i) 5 (iii) (v) (vii) + + (i) + + (iv) (vi) (viii) () + + Παπαδόπουλος Μαρίνος-Μαθηµατικός -76-

7 . Να λυθούν οι εξισώσεις : (i) + (iii) (iv) (v) : + 5. Να λυθούν οι εξισώσεις : (i) (iii) Να βρείτε τη τιµή του λ, ώστε η εξίσωση ρίζα τον αριθµό -. λ λ+ 5 λ + να έχει 7. Αν +, να βρείτε τη τιµή της παράστασης + και Να βρείτε έναν αριθµό, ώστε το άθροισµα του αντιστρόφου του και του αντίθετού του να είναι. 9. Να βρείτε δύο διαδοχικούς περιττούς φυσικούς αριθµούς που έχουν λόγο Να βρείτε δύο διαδοχικούς ακέραιους, ώστε το άθροισµα των αντιστρόφων τους ελαττωµένο κατά τον αντίστοφό του γινοµένου τους να είναι ίσο µε.. Να βρείτε τρεις διαδοχικούς φυσικούς αριθµούς τέτοιους ώστε το πηλίκο του πρώτου προς το δεύτερο ελαττωµένο κατά το πηλίκο του δεύτερου προς τον τρίτο να ισούται µε. Παπαδόπουλος Μαρίνος-Μαθηµατικός -77-