ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ. ηµχ = ηµθ χ=2κπ+θ ή χ=2κπ+π-θ, κ Z συνχ = συνθ χ=2κπ+θ ή χ=2κπ-θ, κ Z εφχ = εφθ χ=κπ+θ, κ Z σφχ = σφθ χ=κπ+θ, κ Z

Transcript

1 ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Τριγωοµετρικές εξισώσεις ηµχ = ηµθ χ=2κπ+θ ή χ=2κπ+π-θ, κ Z συχ = συθ χ=2κπ+θ ή χ=2κπ-θ, κ Z εφχ = εφθ χ=κπ+θ, κ Z σφχ = σφθ χ=κπ+θ, κ Z Βσικές τριγ. εξισώσεις ηµx = 0 x = κπ ηµx = x = 2κπ+π/2 ηµx = - x = 2κπ+3π/2 συx = 0 x = κπ+π/2 συx = x = 2κπ συx = - x = 2κπ+π εφx = 0 x = κπ σφx = 0 x = κπ+π/2 (κ Ζ) x x επίσης ισχύου : εφ x ηµ, σφ x συ συ x ηµ x = =, εφx σφx =, ηµ 2 x + συ 2 x = ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ Γεική µορφή πολυωύµου: χ + - χ χ χ + 0, θετικός κέριος. Συτελεστές πολυωύµου :, -,, ο (µπορεί είι κι πρµετρικοί ) Όροι πολυωύµου : χ, - χ -,, χ, 0 Στθερός όρος : 0 (ό,τι δε πολλπλσιάζετι µε το χ ) Βθµός πολυωύµου : ( ο µεγλύτερος εκθέτης του χ ) Στθερό πολυώυµο: P(χ) = c, ( c στθερός ριθµός) είι µηδεικού βθµού c 0. Μηδεικό πολυώυµο: Ρ(χ) = 0, γι κάθε χ R. ε ορίζετι ο βθµός του. (το µηδεικό είι κι στθερό ) Αηγµέη µορφή : η τελική µορφή που πίρει το πολυώυµο ότ γίου όλες οι δυτές πράξεις. Αριθµητική τιµή : η τιµή που πίρει το πολυώυµο ότ τικτστθεί το χ µε έ ριθµό Ρίζ πολυωύµου : ο ριθµός που το µηδείζει Ίσ πολυώυµ : ότ οι συτελεστές τω οµοιόβθµω όρω τους είι ίσοι. Πολυώυµ σε γεική µορφή: ου βθµού : χ+β, 0. 2 ου βθµού : χ 2 +βχ+γ, 0. 3 ου βθµού : χ 3 +βχ 2 +γχ+δ, 0 κ.ο.κ. Τυτότητ διίρεσης (Τ..) : (χ) = δ(χ) π(χ) + υ(χ) Όπου (χ) ο διιρετέος, δ(χ) ο διιρέτης, π(χ) το πηλίκο κι υ(χ) το υπόλοιπο. Ο βθµός του υ(χ), δε είι το µηδεικό πολυώυµο, είι µικρότερος πό το βθµό του δ(χ) κι όχι πρίτητ πό το βθµό του π(χ). Το υπόλοιπο της διίρεσης Ρ(χ):(χ-ρ) είι το υ=ρ(ρ)

2 Πρδείγµτ: Βθµός Συτελεστές στθερός όρος Ρ(χ)= 4χ 5-6χ 2 + χ - 7/2 5 4, -6,, -7/2-7/2 Q(χ)=2χ 3 -(2-4)χ 2 + 3χ , -(2-4), 3, Φ(χ)= ΙΣΟ ΥΝΑΜΕΣ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ. Ρ(ρ)=0 2. το ρ είι ρίζ του Ρ(χ) 3. το χ-ρ είι πράγοτς του Ρ(χ) 4. το χ-ρ διιρεί το Ρ(χ) 5. το Ρ(χ) διιρείτι µε το χ-ρ 6. η διίρεση Ρ(χ):(χ-ρ) είι τέλει 7. το υπόλοιπο της διίρεσης Ρ(χ):(χ-ρ) είι 0 Οι πρπάω προτάσεις θ τικθιστούτι µε τη η : Ρ(ρ)=0 η οποί είι λγεβρική έκφρση κι µπορεί δουλευτεί. Αποδείξεις. Το υπόλοιπο της διίρεσης Ρ(χ):(χ-ρ) είι το υ=ρ(ρ) Από τη Τ.. έχω : Ρ(χ)=(χ-ρ) π(χ)+υ γι χ =ρ θ έχω: Ρ(ρ) = 0 π(ρ) + υ = υ 2. Το χ-ρ είι πράγοτς του Ρ(χ) κι µόο το ρ είι ρίζ του Ρ(χ) Ευθύ: Έστω ότι το χ-ρ είι πράγοτς του Ρ(χ),τότε θ ισχύει: Ρ(χ) = (χ-ρ) π(χ) άρ Ρ(ρ)=0 π(ρ) = 0 δηλ. το ρ είι ρίζ του Ρ(χ). Ατίστροφ: Έστω ότι το ρ είι ρίζ του Ρ(χ) τότε: Ρ(ρ) = 0 δηλ. υ=0 όπου υ το υπόλοιπο της διίρεσης Ρ(χ):(χ-ρ). Από τη Τ.. έχω : Ρ(χ)=(χ-ρ) π(χ)+υ δηλ. Ρ(χ)=(χ-ρ) π(χ) πό τη οποί φίετι ότι το χ-ρ είι πράγοτς του Ρ(χ). 3. Α µί πολυωυµική εξίσωση µε κέριους συτελεστές, έχει ρίζ έ κέριο ριθµό ρ 0, τότε ο ριθµός υτός είι διιρέτης του στθερού όρου. Έστω η πολυωυµική εξίσωση χ + - χ χ χ + 0 = 0 κι ρ 0 η κέριη ρίζ της. Τότε ρ + - ρ ρ ρ + 0 = 0 ( ρ ρ ρ )ρ + 0 =0 κ ρ + 0 = 0 ( όπου κ= ρ ρ ρ κέριος, σ άθροισµ κερίω) άρ 0 = -κρ. Η τελευτί ισότητ κερίω σηµίει ότι το ρ διιρεί το 0

3 Ορισµοί ΠΡΟΟ ΟΙ Ακολουθί πργµτικώ ριθµώ είι µί τιστοίχιση τω φυσικώ ριθµώ στους πργµτικούς ριθµούς -οστός ή γεικός όρος µις κολουθίς είι ο ριθµός στο οποίο τιστοιχεί ο φυσικός ριθµός κι συµβολίζετι µε Αριθµητική πρόοδος λέγετι µί κολουθί,στη οποί κάθε όρος της προκύπτει πό το προηγούµεο του µε πρόσθεση πάτοτε του ίδιου ριθµού. Αριθµητικός µέσος τω, γ λέγετι ές ριθµός β έτσι ώστε οι ριθµοί :, β, γ είι διδοχικοί όροι ριθµητικής προόδου, κι ισχύει: + γ β = 2 Γεωµετρική πρόοδος λέγετι µί κολουθί,στη οποί κάθε όρος της προκύπτει πό το προηγούµεο του µε πολλπλσισµό επί το ίδιο πάτοτε µη µηδεικό ριθµό. Γεωµετρικός µέσος τω µη µηδεικώ, γ λέγετι ο θετικός ριθµός β έτσι ώστε οι ριθµοί :, β, γ είι διδοχικοί όροι γεωµετρικής προόδου, κι ισχύει: β 2 = γ δηλ. β = γ τ ύ π ο ι 3 Αριθµητική συθήκη ορισµού + = +ω ή + - =ω Γεωµετρική + =.λ ή + / = λ (,, λ 0 ), β, γ διδοχικοί όροι 2β = +γ β 2 = γ -οστός όρος = +(-)ω =. λ - άθροισµ τω πρώτω όρω S ( a a ) [2 a ( ) ] 2 2 = + = + ω S a λ =, λ λ Αποδείξεις. Σε ρ. πρ..δ.ο. = +(-)ω Σύµφω µε το ορισµό της ριθµητικής πρ. έχουµε: = 2 = + ω 3 = 2 + ω 4 = 3 + ω.. - = -2 + ω = - + ω = (-)ω κι µετά τη διγρφή έχουµε: = +(-)ω προσθέτουµε κτά µέλη τις ισότητες κι έχουµε:

4 2. Σε γεωµ. πρ..δ.ο. =. λ - Σύµφω µε το ορισµό της γεωµετρικής πρ. έχουµε: 4 = 2 = λ 3 = 2 λ 4 = 3 λ.. - = -2 λ = - λ πολλπλσιάζουµε κτά µέλη τις ισότητες κι έχουµε: = λ - κι µετά τη διγρφή έχουµε: =. λ - 3. Ν.δ.ο. το άθροισµ τω πρώτω όρω µις γεωµετρικής πρ. µε λόγο λ δίετι πό το τύπο: S λ = a, λ λ Έχουµε: S = δηλ. S = + λ+ λ λ -2 + λ - () Πολλπλσιάζουµε τ µέλη τη: () µε το λόγο λ κι τότε έχουµε: λs = λ+ λ 2 + λ 3 + λ - + λ (2). Αφιρώτς πό τ µέλη της (2),τ µέλη της (), έχουµε τη πρκάτω ισότητ. λs - S = λ - (λ-)s = (λ -) άρ S λ = a ( διοτι λ ) λ Ορισµοί ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ - ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΙ µ a a µ = όπου: >0, µ κέριος κι θετικός κέριος. H f(x) = x ορίζετι στο R ( δηλ. έχει πεδίο ορισµού το R), ότ >0. Α > είι γ. ύξουσ, < είι γ. φθίουσ κι = είι στθερή στο R, f(x)=. Εκθετική συάρτηση µε βάση το είι η f(x) = x µε >0 κι πεδίο ορισµού : R σύολο τιµώ : (0,+ ). Σηµεί τοµής µε τους άξοες: τέµει µόο το ψ ψ στο ( 0, ) Μοοτοί: > είι γ. ύξουσ, < είι γ. φθίουσ Ασύµπτωτες: > είι ο ηµιάξος Οχ, < είι ο ηµιάξος Οχ Γρφική πράστση : ψ ψ > < 0 x 0 x

5 Ο ριθµός e : e= lim ( + ) 2,78 + Εκθετική συάρτηση λέγετι η f(x) = e x ( όµοι µε τη f(x) = x µε > ) 5 Λογάριθµος του θ µε βάση το όπου θ>0 κι >0 µε, οοµάζετι η µοδική λύση της εξίσωσης x =θ κι συµβολίζετι µε log θ δηλ. ισχύει η ισοδυµί: εκδικός λογάριθµος: logθ δηλ. ότ η βάση =0. άρ log 0 θ = logθ Νεπέρειος λογάριθµος: lnθ δηλ. ότ η βάση =e. άρ log e θ = lnθ x =θ x = log θ Άµεσες συέπειες του ορισµού του log θ (θ>0 κι >0 µε ) log = log x = x a log a θ = θ log a = 0 log0 = log0 x = x 0 logθ = θ λογ = 0 lne= lne x = x e lnθ = θ ln = 0 Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΩΝ (θ, θ,θ 2 >0 κι >0 µε, κ R ) log (θ θ 2 ) = log θ + log θ 2 log (θ /θ 2 ) = log θ - log θ 2 log θ κ = κ log θ ( * ειδικά θ 0 τότε: log θ 2κ = 2κ log θ ) log log θ = log logθ θ = θ Αλλγή βάσης : ( θ >0 κι,β >0 µε, β ) log logβθ θ = άρ θ έχουµε: log β lnθ logθ = κι ln0 logθ lnθ = log e

6 Λογριθµική συάρτηση είι η f(x) = log x µε >0 κι Πεδίο ορισµού: (0, + ) Σύολο τιµώ: R Σηµεί τοµής µε τους άξοες: τέµει µόο το χ χ στο (, 0) Συµµετρί: είι συµµετρική µε τη g(x) = x ως προς τη διχοτόµο ψ=χ της γωί χοψ. Μοοτοί: > είι γ. ύξουσ, < είι γ. φθίουσ Ασύµπτωτες: > είι ο ηµιάξος Οψ, < είι ο ηµιάξος Οψ Γρφική πράστση: ψ > ψ < 6 0 χ 0 χ \ Αποδείξεις:. Α θ,θ 2 >0 κι >0 µε,.δ.ο. log (θ θ 2 ) = log θ + log θ 2 Απόδειξη: x x2 Έστω log θ = x κι log θ 2 = x 2 (), τότε πό ορισµό έχουµε: = θ κι = θ Εποµέως : πο ορισµο λογριθµου 2 x x2 x+ x2 = θ θ = θ θ x + x = θ θ θ + θ = θ θ () log ( ) log log log ( ) 2. Α θ >0 κι >0 µε, κ R.δ.ο. log θ κ = κ log θ Απόδειξη: Έστω log θ = x () τότε : x =θ άρ κι ( x ) κ = θ κ xκ = θ κ κx = log θ κ ( πό ορισµό λογρίθµου) κ log θ = log θ κ ( πό τη () )