Μαθηματικά B Λυκείου

Transcript

1 Επαναληπτικά Θέματα ΟΕΦΕ (Προσομοίωσης Εξετάσεων) Μαθηματικά B Λυκείου εκφωνήσεις και απαντήσεις από τον parmenides5 χωρίς υδατογραφήματα* *τα υδατογραφήματα τα έβγαλα μόνος μου και δεν τα βρήκα βγαλμένα αλλού και έβαλα σε ξένο κόπο το όνομα μου, όπως συμβαίνει σε άλλα αρχεία που κυκλοφορούν στο ίντερνετ Άλγεβρα Γενικής Παιδείας Μαθηματικά Θετικών Σπουδών ΟΕΦΕ 00 εκφωνήσεις - απαντήσεις εκφωνήσεις - απαντήσεις ΟΕΦΕ 00 εκφωνήσεις - απαντήσεις εκφωνήσεις - απαντήσεις ΟΕΦΕ 00 εκφωνήσεις - απαντήσεις εκφωνήσεις - απαντήσεις ΟΕΦΕ 004 εκφωνήσεις - απαντήσεις εκφωνήσεις - απαντήσεις ΟΕΦΕ 005 εκφωνήσεις - απαντήσεις εκφωνήσεις - απαντήσεις ΟΕΦΕ 006 εκφωνήσεις - απαντήσεις εκφωνήσεις - απαντήσεις ΟΕΦΕ 007 εκφωνήσεις - απαντήσεις εκφωνήσεις - απαντήσεις ΟΕΦΕ 008 εκφωνήσεις - απαντήσεις εκφωνήσεις - απαντήσεις ΟΕΦΕ 009 εκφωνήσεις - απαντήσεις εκφωνήσεις - απαντήσεις ΟΕΦΕ 00 εκφωνήσεις - απαντήσεις εκφωνήσεις - απαντήσεις ΟΕΦΕ 0 εκφωνήσεις - απαντήσεις εκφωνήσεις - απαντήσεις ΟΕΦΕ 0 εκφωνήσεις - απαντήσεις εκφωνήσεις - απαντήσεις ΟΕΦΕ 0 εκφωνήσεις - απαντήσεις εκφωνήσεις - απαντήσεις ΟΕΦΕ 04 εκφωνήσεις - απαντήσεις εκφωνήσεις - απαντήσεις ΟΕΦΕ 05 (α φάση) εκφωνήσεις - απαντήσεις εκφωνήσεις - απαντήσεις ΟΕΦΕ 05 (β φάση) εκφωνήσεις - απαντήσεις ΟΕΦΕ 06 (α φάση) εκφωνήσεις - απαντήσεις εκφωνήσεις - απαντήσεις ΟΕΦΕ 06 (β φάση) εκφωνήσεις - απαντήσεις Γεωμετρία Γενικής Παιδείας ΟΕΦΕ 05(β φάση) : Εκφωνήσεις - Απαντήσεις πηγή: wwwoefegr parmenides5 facebook δημιουργός των μαθηματικών ιστοσελίδων: για την αγάπη των μαθηματικών: για τους ρομαντικούς της Γεωμετρίας:

2 Προσομοίωση 00 Άλγεβρα Β Λυκείου Γενικής Παιδείας Θέμα ο α) i) Να αποδειχτούν οι τύποι ημ α = συν α, συν + συν α α = Μονάδες 5 ii) Να βρείτε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας,5 ο Μονάδες 5 β) i) Να δώσετε τον ορισμό της γεωμετρικής προόδου Μονάδες 5 ii) Αν α ν, β ν, ν Ν* είναι μια αριθμητική και μια γεωμετρική πρόοδος με διαφορά ω και λόγο λ αντίστοιχα, να γράψετε στο τετράδιό σας τα γράμματα της στήλης Α και δίπλα τον αριθμό της στήλης Β που αντιστοιχεί στην σωστή απάντηση ΣΤΗΛΗ Α ΣΤΗΛΗ Β α) α ν+ β) β ν+ γ) α ν δ) β ν ε) S ν ν (α +α ν ) α +(ν-)ω β λ 4 α ν +ω β ν + 5 λ Μονάδες 5 δ) Να χαρακτηρίσετε σαν Σωστό (Σ) ή Λάθος (Λ) τις προτάσεις i έως v: i lne = ii loge = ln0 iii ln0 = iv ln = - ln με > 0 v α > 0 με α > 0 και R Μονάδες 5 Θέμα ο Δίνονται τα πολυώνυμα P()= +α ++, Q()=β +γ+ και

3 F()= +(β+γ) -0+4β, όπου α, β, γ R και R Το P() έχει ρίζα το, το υπόλοιπο της διαίρεσης Q():(-) είναι 5 και η αριθμητική τιμή του F() για = είναι 6 α) Ν αποδείξετε ότι α=, β= και γ= Μονάδες 7 β) Να λύσετε: i) την εξίσωση P() = Q() Μονάδες 5 ii) την ανίσωση P() < F() Μονάδες 6 iii) την εξίσωση ημ -ημ -ημ+=0 Μονάδες 7 Θέμα ο Δίνεται η συνάρτηση f με f(0)=f()=0 και τύπο f() = log(+e )-α-β, α,β R i) Ν αποδείξετε ότι το πεδίο ορισμού της f είναι το R Μονάδες 5 ii) Να βρείτε τις τιμές των α,β Μονάδες 7 + e iii) Ν αποδείξετε ότι f() = log ( ) + e Μονάδες 6 iv) Να λύσετε την ανίσωση log[(+e ) - ]-f() Μονάδες 7 Θέμα 4 ο Η ποσότητα μιας τοξικής ουσίας Τ στα νερά μιας λίμνης ανέρχεται σε μονάδες και αρχίζει να αυξάνεται με την έναρξη της λειτουργίας μιας παραλίμνιας βιομηχανίας κατά 0,5 μονάδες ημερησίως Α i) Να βρείτε σε πόσες ημέρες η ποσότητα της ουσίας Τ θα ξεπεράσει το όριο των 86 μονάδων (δίνεται 999 = 7 ) Μονάδες 5 ii) Αν το 0% της ποσότητας της ουσίας Τ που διοχετεύεται από την βιομηχανία στην λίμνη κάθε μέρα, αδρανοποιείται κατά τη διάρκειά της, πόση θα παραμείνει ενεργή στο τέλος της 8 ης ημέρας; Μονάδες 6 Β Ο πληθυσμός Α=00 χιλιάδες μιας ποικιλίας ψαριών τη λίμνης, αρχίζει να μειώνεται αμέσως μετά την έναρξη της λειτουργίας της βιομηχανίας με ρυθμό % ημερησίως Έστω β ν ο αριθμός των ψαριών που πεθαίνουν κατά την διάρκεια της ν-οστής ημέρας i) Ν αποδείξετε ότι η ακολουθία (β ν ), ν Ν* είναι γεωμετρική πρόοδος με γενικό όρο: β ν = 0,0 Α (0,99) ν- χιλιάδες Μονάδες 0 ii) Να βρείτε τον πληθυσμό των ψαριών που απέμειναν στην λίμνη ύστερα από ν=5 ημέρες Μονάδες 4

4 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΟΕΦΕ 00 ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΘΕΜΑ Ο Α Αν α>0 µε α τότε για οποιουσδήποτε θ θ 0 να δείξετε ότι ισχύουν : logα(θ θ ) = logαθ + logαθ, > logα θ κ = κ logαθ, R κ (ΜΟΝΑ ΕΣ 7,5) Α ίνεται η συνάρτηση f ( ) = log, ( 0, + ) Να γράψετε στο τετράδιο σας ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές και ποιες λανθασµένες α) f ( + y) = f ( ) f ( y) β) Η f είναι γνησίως αύξουσα συνάρτηση γ) f(e)= (ΜΟΝΑ ΕΣ 7,5) B Αντιστοιχίστε τα νούµερα της στήλης Α µε τα γράµµατα της στήλης Β ΣΤΉΛΗ Α ΣΤΉΛΗ Β ηµα α συνα συν(-β)-ηµαηµ(-β) συν(α-β) β συνα ηµ α π π γ ηµ ( α) συν ( α ) 4 ηµ(α-β) δ α α ηµ συν π π ε συν ( α) συνβ ηµβ ηµ ( α) 5 συνα (ΜΟΝΑ ΕΣ 5) Β Να γράψετε στο τετράδιο σας το γράµµα που αντιστοιχεί στην σωστή απάντηση: Αν σε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει ηµασυνβ+ηµβσυνα= τότε το τρίγωνο είναι α Οξυγώνιο β Ισόπλευρο γ Ορθογώνιο δ Κανένα από τα παραπάνω (ΜΟΝΑ ΕΣ 5)

5 ΘΕΜΑ Ο ίνεται το πολυώνυµο P( ) = (λ 4λ) + (λ λ) λ + α) Να βρείτε τον βαθµό του Ρ() για τις διάφορες τιµές του λ (ΜΟΝΑ ΕΣ 8) β) Για λ= να βρεθεί το Ρ() και να δείξετε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης Ρ διέρχεται από το σηµείο (,-) (ΜΟΝΑ ΕΣ 7) γ) Να λύσετε την ανίσωση Ρ()<- (ΜΟΝΑ ΕΣ 0) ΘΕΜΑ ο ίνονται οι συναρτήσεις f ( ) = log 5 log 5 g ( ) =, ( 0,+ ) Α Να αποδείξετε ότι: f ( ) = g( ) f ( y) = f ( ) f ( y) f = y f ( ) f ( y) 4 ( ν ) = [ f() ] ν Ν ν f (ΜΟΝΑ ΕΣ 8) Β Να λύσετε την εξίσωση: f ( ) = g( ) (ΜΟΝΑ ΕΣ 8) Γ Να λύσετε την ανίσωση: f () > f ( 4) (ΜΟΝΑ ΕΣ 9) ΘΕΜΑ 4 ο Α Αν α = lne και α 4 = ln 8+ ο πρώτος και τέταρτος όρος µιας αριθµητικής προόδου να βρεθούν τα εξής Η διαφορά της προόδου (ΜΟΝΑ ΕΣ ) Αν S ν είναι το άθροισµα των ν πρώτων όρων της παραπάνω αριθµητικής προόδου, να v( v ) ν δείξετε ότι: S = ν + ln (ΜΟΝΑ ΕΣ 7) Να βρεθεί το πλήθος των όρων ώστε : S ν ν =ν+ ln (ΜΟΝΑ ΕΣ 5) Β ίνονται οι αριθµοί 6,α,α,,α ν-,6 ώστε να αποτελούν διαδοχικούς όρους αριθµητικής προόδου α) Να βρεθεί η διαφορά της προόδου συναρτήσει του ν (ΜΟΝΑ ΕΣ 5) β) Να προσδιορίσετε τον αριθµό ν αν είναι γνωστό ότι ο α ν- είναι διπλάσιος του τέταρτου όρου της προόδου (ΜΟΝΑ ΕΣ 5)

6 (ùùþ ÿ ù,üù ù ü-ü,0ù0!" úï#0 # +0"/0" ýþ þù ù ùœ0 $&!" 0Œ 0 0!& û0 #! I[ #[ +!%0 0 0$ Œ0! / "#!" /0" ù /# Œ!! #0 0&0! 0 &! ƒ ƒ ƒ r ƒ /0" ƒ #Œ!&0&0Œ 0Œ! 0 ""0#0" [ \ H "!"Œ!""#!" \ 0 0 /0" ü & " $#! ") #Œ Œ "/!0"0)" Œ #&# #[0 [0! "ª /0" úü& /# Œ!! 0 f #0! # &"Œ! " ª / û00) ORJ ORJ /0" +û0 Œ #&#0& $ $ $ 0 0! #" #000"ù 0! "! " z 0 # "0&" /000) 0 /!0" #0! #! # ÿ$#0! û 0 Œ " /0" û #! # 0! [\ 0 & ) f $#0 OQ[ OQ\ /0" ýþ þù ù $ ù /000) ù /0" # ú!0 # Œ!! [ >Œ@ #" Œ #" [ [ [ # # [ /0" BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB

7 ýþ þù û0 Œ #&# [ [ [ [ [ 0 5 z Œ 0 & ) 0$0 Œ! [ð! ú!00 #"! #" /0" ù [ [ [!0" #[0 [ % [ % [ /00)! [ [ [ 0 0! Œ #0! Œ 0 #// $ #" [! #"!"Œ! / #0+! [ H H H [ 0Œ"0 0! Œ #0! Œ 0 #// $ #"! #"0&0!"Œ! / # /0" [ [!0 #!0"! 0/0 & H H +0 Œ00 Œ 0 #// $ #"! #""/" +0&0!"! / # /0" ýþ þù ü& [\ 0! 0 [ z û00) $#0 OQ \ ORJ [ ORJ \ OQ [ /0" OQ \ ORJ \ ù $#0 OQ [ ¹ ORJ [!00 Œ $0 #/00 #"! #"[\ /0" \ \ $ 0 \ [ð \ 0 # "0&" H!00 #"! #"[\ /0" $ Œ #& [ [ð[$#0 OQ[ d /000) \ >H /0" BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB

8 Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 005 ε π α ν α λ η π τ ι κ ά θ έ µ α τ α B ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΘΕΜΑ ο π Α Αν α, β, α + β κπ +, z κ να δειχθεί ότι εφ( α + β) εφα + εφβ = εφαεφβ (Μονάδες 0) Β Το παρακάτω γράφηµα είναι της συνάρτησης f συν i) f ( ) = συν + ii) f ( ) = ηµ+ iii) f ( ) = iv) f ( ) = ηµ + (Μονάδες 4) Γ Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στο τετράδιο σας τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράµµα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση α Το σύνολο τιµών της συνάρτησης f ( ) = log είναι το ( 0,+ ) Q t= Q 0 e β Η συνάρτησης που εκφράζει τον νόµο της εκθετικής απόσβεσης είναι ( ) ct όπου c< 0 γ Η εκθετική συνάρτηση f ( ) = α, α > 0, α είναι γνήσια αύξουσα όταν 0<α< δ Το άθροισµα των v πρώτων όρων κάθε Γεωµετρικής Προόδου µε λ είναι v α( λ ) Sv = λ ε Ο τύπος που υπολογίζει το ηµίτονο γωνίας α από το συνηµίτονο της γωνίας α είναι συνα ηµ + α= (Μονάδες 5) Τα θέµατα προορίζονται για αποκλειστική χρήση της φροντιστηριακής µονάδας

9 Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 005 Να συµπληρώσετε στο τετράδιο σας στις παρακάτω ισότητες, τα κενά που σηµειώνονται µε α συν ( α β) = όπου α, β γωνίες (Μονάδες ) β l oge ln0 = (Μονάδες ) θ γ l og = θ όπου θ και θ θετικοί αριθµοί (Μονάδες ) ΘΕΜΑ ο Α Να βρεθεί ο πραγµατικός αριθµός αν οι αριθµοί,, - είναι διαδοχικοί όροι Γεωµετρικής Προόδου (Μονάδες 0) Β ίνεται το πολυώνυµο P( ) + ( α β) ( α β) + β R αν το P ( ) έχει ρίζα το και παράγοντα το + 4 = Να βρεθούν τα α και (Μονάδες 5) ΘΕΜΑ ο π ίνονται οι αριθµοί α = α = συνα και α = ηµ α µε α 0, α να δειχθεί ότι α,α, α αποτελούν τρεις πρώτους διαδοχικούς όρους Αριθµητικής Προόδου (Μονάδες 5) β να βρεθεί η τιµή του α αν το S 4 = όπου S 4 το άθροισµα των 4 πρώτων όρων (Μονάδες 8) γ αν π α= να υπολογιστεί το άθροισµα S 0 των 0 πρώτων όρων της ΑΠ 4 (Μονάδες 7) P (Μονάδες 5) δ να βρεθεί ο βαθµός του πολυωνύµου ( ) = S + S + S + S + S 005 ΘΕΜΑ 4ο + Έστω η συνάρτηση f µε τύπο f ( ) = l n( e + + e ) α να βρεθεί το Πεδίο Ορισµού της και να δειχθεί ότι το γράφηµά της τέµνει τον y y στο σηµείο A( 0,+ ln) (Μονάδες 7) β να λυθεί η εξίσωση f ( ) = (Μονάδες 0) γ να βρεθούν τα διαστήµατα που η γραφική παράσταση της f βρίσκεται κάτω από την ευθεία y= (Μονάδες 8) Τα θέµατα προορίζονται για αποκλειστική χρήση της φροντιστηριακής µονάδας

10 Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 006 Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗ ΠΑΙ ΕΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΘΕΜΑ ο Α α) Να αντιστοιχίσετε κάθε στοιχείο της στήλης Α µε ένα και µόνο ένα στοιχείο της στήλης Β που είναι ίσο Στήλη Α Α εφα Β συνα Γ συν α ηµ(α-β) Στήλη Β -ηµ α συνασυνβ-ηµαηµβ εφα εφ α 4 ηµασυνβ-ηµβσυνα 5 συνα + συνα 6 Μονάδες 5 β)να αποδείξετε ότι το άθροισµα των πρώτων ν όρων µιας γεωµετρικής προόδου (α ν ) µε λόγο λ είναι Να εξετάσετε και την περίπτωση λ= = α λ λ Τα θέµατα προορίζονται για αποκλειστική χρήση της φροντιστηριακής µονάδας S ν ν Μονάδες 0 Β α) Να γράψετε στο τετράδιό σας το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση Η τιµή της παράστασης Α=συν64 0 συν6 0 -ηµ64 0 ηµ6 0 είναι : i) α β 0 γ δ- ii) Η τιµή της παράστασης 0 -log είναι α β5 γ δ0 Μονάδες 5

11 Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 006 β) Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις γράφοντας στο τετράδιό σας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράµµα που αντιστοιχεί στην κάθε πρόταση: α Αν σε µια ακολουθία είναι α ν 0 και α α ν ν+ ακολουθία (α ν ) είναι γεωµετρική πρόοδος µε λόγο λ = λ για κάθε * ν N τότε η β Ισχύει ότι: ηµ5 0 συν5 0 = γ Ισχύει ότι: συν 0 0 -ηµ 0 0 =συν60 0 δ log α (θ +θ )=log α θ +log α θ logα θ ε = logα θ logα θ log θ α Μονάδες 5 ΘΕΜΑ ο ίνεται το πολυώνυµο P()= +α +β-0 µε α,β R α) Αν το πολυώνυµο P() έχει παράγοντα το + και το υπόλοιπο της διαίρεσης µε το + είναι το -6 να αποδείξετε ότι α= και β=6 Μονάδες 8 β) Να λυθεί η εξίσωση P()=0 Μονάδες 8 γ) Να λυθεί η ανίσωση P()>0 Μονάδες 9 ΘΕΜΑ ο α) Να λύσετε την εξίσωση εφ=- Μονάδες 5 β) Θεωρούµε τους θετικούς πραγµατικούς κ =κπ- π, κ=,, i) Να δείξετε ότι είναι διαδοχικοί όροι αριθµητικής προόδου και να βρείτε τον πρώτο όρο και την διαφορά της Μονάδες 5 ii) Να βρείτε το κ ώστε ο αριθµός εξίσωσης 607π να είναι λύση της παραπάνω Μονάδες 7 iii) Να υπολογίσετε το άθροισµα Μονάδες 8 Τα θέµατα προορίζονται για αποκλειστική χρήση της φροντιστηριακής µονάδας

12 Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 006 ΘΕΜΑ 4 Ο Έστω η συνάρτηση f()= l n, >0 α Να λύσετε την εξίσωση f(-ηµ)-f(συν)=f() αν 0, π 4 Μονάδες 6 β Αν α>0 και f(α) + f(α )++f(α 00 )=5050 να αποδείξετε ότι α=e Μονάδες 6 γ Έστω α,β,γ>0 Να αποδείξετε ότι:αν οι f(α), f(β), f(γ) είναι διαδοχικοί όροι αριθµητικής προόδου τότε οι α,β,γ είναι διαδοχικοί όροι γεωµετρικής προόδου Μονάδες 5 δ Να λύσετε την ανίσωση f () f() + f() > 0 Μονάδες 8 Τα θέµατα προορίζονται για αποκλειστική χρήση της φροντιστηριακής µονάδας

13 Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 007 B ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Θέµα ο Α α) Για κάθε τόξο α να αποδείξετε ότι: συνa = συνa ηµ a = συνa β) Αν 0 < a και θ, θ > 0, να αποδείξετε ότι: log θθ = log θ + log θ ( ) a a a Μονάδες 6 Μονάδες 7 Β Να απαντήσετε αν είναι Σωστή ή Λάθος κάθε µια από τις παρακάτω προτάσεις: Ισχύει ( ) ν P = a + a + K + a + a = για κάθε χ αν και µόνο αν a0= a= K = a ν = 0 ν ν ν 0 0 Αν το πολυώνυµο P ( ) είναι ν βαθµού (ν ) τότε το P ( ) είναι ν βαθµού Η εξίσωση συν = a έχει λύση για κάθε α 4 Η συνάρτηση ( ) = α, 0 < 5 Η συνάρτηση f ( ) ln 6 Για κάθε > 0 ισχύει: ln e = 7 Για κάθε 0 ισχύει: ln = ln 8 Για κάθε > ισχύει: ln < 0 0,+ f a έχει σύνολο τιµών το ( ) = έχει πεδίο ορισµού το ( 0,+ ) Θέµα ο ίνεται ότι το πολυώνυµο: Ρ = + a + β + 4 όπου α, β R ( ) Μονάδες έχει παράγοντες τους +, α) Να αποδείξετε ότι: a = και β= 0 Μονάδες 8 β) Να λύσετε την εξίσωση Ρ = ( ) 0 Μονάδες 8 Τα θέµατα προορίζονται για αποκλειστική χρήση της φροντιστηριακής µονάδας

14 Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 007 γ) Έστω C η γραφική παράσταση της συνάρτησης Ρ ( ) Να βρείτε i) Τις συντεταγµένες του σηµείου στο οποίο η C τέµνει τον άξονα y y Μονάδες ii) Τις τιµές του για τις οποίες η C είναι κάτω από τον άξονα Μονάδες 6 Θέµα ο Έστω η αριθµητική πρόοδος ( ) π διαφορά ω= ηµ, όπου 0, + a α) Να αποδείξετε ότι: = σϕ a + a a ν µε πρώτο όρο a = συν και 4 8 β) Να αποδείξετε ότι: a + a + a + + a = 0συν + 45ηµ 0 γ) Να λύσετε την εξίσωση: a + a + a + + a = ηµ Θέµα 4 ο 0 Έστω η συνάρτηση f ( ) = ln( e ) α) Να βρείτε το πεδίο ορισµού της f β) Να λύσετε την εξίσωση: f = ln7+ f ( ) ( ) γ) Να αποδείξετε ότι οι αριθµοί f ( a ), f ( β ), f ( ) Μονάδες 9 Μονάδες 7 Μονάδες 9 Μονάδες Μονάδες 7 γ είναι διαδοχικοί β α γ όροι Αριθµητικής προόδου αν και µόνο αν: ( e ) = ( e ) ( e ) δ) Να αποδείξετε ότι: ( ) ( ) ( ) e f + e f + + e f = e e e Μονάδες 7 Μονάδες 8 Τα θέµατα προορίζονται για αποκλειστική χρήση της φροντιστηριακής µονάδας

15 Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 008 ΘΕΜΑ ο ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Β' ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α) Αν α > 0 µε α, να αποδείξετε ότι για κάθε θ > 0 και κ R κ ισχύει: logα θ = κ logα θ ΜΟΝΑ ΕΣ 8 Β) Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας την ένδειξη ΣΩΣΤΟ ή ΛΑΘΟΣ δίπλα στο γράµµα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση α) Για κάθε R ισχύει < β) Το π είναι λύση της εξίσωσης συν + = ηµ 4 γ) Η εξίσωση = 0 δεν έχει ακέραιες ρίζες 5 δ) Ισχύει 5= ln e * ε) Αν (α ν ), v N είναι µία αριθµητική πρόοδος µε διαφορά ω 0, τότε ισχύει: α007 α 008 = ω ΜΟΝΑ ΕΣ 5 Γ) Για τις παρακάτω ερωτήσεις να γράψετε στο τετράδιό σας το γράµµα, που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση, δίπλα στον αριθµό κάθε ερώτησης Η συνάρτηση f () = α µε α > είναι : Α γνησίως αύξουσα στο R Β σταθερή στο R Γ γνησίως φθίνουσα στο R κανένα από τα προηγούµενα Αν > 0 και ισχύει ln =, τότε : 4 Α = e Β Γ = e = e = e 6 9 Η εξίσωση ηµσυν + ηµσυν = 4, R: Α έχει λύση το = 0 Β έχει λύση το Γ έχει λύση το = π είναι αδύνατη π = 4 Αν το πολυώνυµο P() έχει παράγοντα το, τότε έχει οπωσδήποτε παράγοντα και το Α + Β Γ κανένα από τα προηγούµενα Τα θέµατα προορίζονται για αποκλειστική χρήση της φροντιστηριακής µονάδας

16 Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ Οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f () = e και g() = ln είναι συµµετρικές ως προς : Α τον άξονα y y Β την ευθεία y = Γ τον άξονα χ χ την ευθεία y = 6 Το πολυώνυµο () ( ) ( ) ( ) ( ) Ρ = λ + λ + λ + λ + λ είναι το µηδενικό πολυώνυµο, όταν το λ ισούται µε : Α Β Γ κανένα από τα προηγούµενα ΜΟΝΑ ΕΣ ΘΕΜΑ ο ίνονται τα πολυώνυµα P() = 5 +6 και F() = +5 6 α) Να λύσετε την εξίσωση Ρ() = F() () ΜΟΝΑ ΕΣ 8 β) Να βρείτε το διάστηµα, που ανήκει το, έτσι ώστε η γραφική παράσταση της συνάρτησης Ρ(), να βρίσκεται κάτω από τον άξονα ΜΟΝΑ ΕΣ 8 * γ) Έστω (α ν ), v Nµία γεωµετρική πρόοδος µε πρώτο όρο τη µεγαλύτερη ρίζα της εξίσωσης () και λόγο λ τη µεσαία ρίζα της (), τότε: i) Να υπολογίσετε την τάξη του όρου της γεωµετρικής προόδου α ν, που ισούται µε 9 ΜΟΝΑ ΕΣ 5 α008 α005 ii) Να υπολογίσετε την τιµή της παράστασης α α ΜΟΝΑ ΕΣ 4 ΘΕΜΑ ο ίνεται η συνάρτηση f() = ηµ4 + ηµ, µε συν π κπ +,κ Ζ α) Να αποδείξετε ότι: f() = 8ηµ 8ηµ β) Να λύσετε την εξίσωση f() = 6ηµ ΜΟΝΑ ΕΣ 9 ΜΟΝΑ ΕΣ 8 Τα θέµατα προορίζονται για αποκλειστική χρήση της φροντιστηριακής µονάδας

17 Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 008 π γ) Να αποδείξετε ότι, οι αριθµοί f( ), f(0), f( π ) µε τη σειρά που δίνονται 6 6 είναι διαδοχικοί όροι αριθµητικής προόδου ΜΟΝΑ ΕΣ 8 ΘΕΜΑ 4 ο ίνεται η συνάρτηση f () = ln( + α β),όπου α, β R Α Αν π ln 6 + f ( ) ln 5 = ln π,τότε: α) Να αποδείξετε ότι: α β = π ΜΟΝΑ ΕΣ 8 β) Να λύσετε την εξίσωση ηµ(e ) συν(e ) = f ( ) f ( ) ΜΟΝΑ ΕΣ 5 Β Αν η γραφική παράσταση της f τέµνει τον άξονα χ χ στο σηµείο Α(,0), τότε: α) Να αποδείξετε ότι: α β = 0 ΜΟΝΑ ΕΣ 4 β) Nα λύσετε την ανίσωση 6 < 4 f() ln(e ) ΜΟΝΑ ΕΣ 8 ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ Τα θέµατα προορίζονται για αποκλειστική χρήση της φροντιστηριακής µονάδας

18 Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 009 Β' ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ ο Α A Β Να αποδείξετε ότι ένα πολυώνυµο P() έχει παράγοντα το ρ αν και µόνο αν, το ρ είναι ρίζα του P(), δηλαδή αν και µόνο αν Ρ(ρ) = 0 9 MΟΡΙΑ Πότε ένα πολυώνυµο λέγεται µηδενικό πολυώνυµο; Πότε ένα πολυώνυµο λέγεται πολυώνυµο µηδενικού βαθµού; MΟΡΙΑ Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράµµα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση α Το άθροισµα των ν πρώτων όρων µιας γεωµετρικής προόδου α ν µε δ Αν συν ( α + β) 0, συνα 0 και συνβ 0 τότε ισχύει ν ( ) α λ πρώτο όρο α και λόγο λ δίνεται από τον τύπο Σν = λ β Ο σταθερός όρος του πολυωνύµου 009 P() = ( ) είναι 009 γ ln0 log e Η παράσταση A= e + 0 είναι ίση µε 0+e εφα+εφβ εφ(α-β)= -εφαεφβ ε Αν η διαίρεση ενός πολυωνύµου P() 4 ου βαθµού δια του + δεν είναι τέλεια τότε το υπόλοιπο είναι πολυώνυµο το πολύ ου βαθµού 5 MΟΡΙΑ Β Να γράψετε στο τετράδιό σας το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση Αν το πολυώνυµο Ρ() = λ - 4, όπου λ πραγµατικός αριθµός, έχει παράγοντα το, τότε το λ είναι: Α: Β: Γ: : 0 Ε: MΟΡΙΑ Τα θέµατα προορίζονται για αποκλειστική χρήση της φροντιστηριακής µονάδας

19 Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 009 B Για ποιες τιµές του α η συνάρτηση f ( ) B4 Α α > Β α < Γ < α < α < ή α > Ε α ή α α- = α+ έχει νόηµα στο R MΟΡΙΑ Να γράψετε στο τετράδιό σας το γράµµα της Στήλης Α και δίπλα σε κάθε γράµµα τον αριθµό της Στήλης Β που είναι λύση της εξίσωσης της Στήλης Α Στήλη Α Στήλη Β A = =9 Β 8 =0 = 7 Γ log= =5 log 0,00 = - 4 =- 5 = 0 4 MΟΡΙΑ ΘΕΜΑ ο ίνεται το πολυώνυµο P()= -(α+) +(β+)-α, όπου α και β είναι πραγµατικοί αριθµοί α) Αν ο αριθµός είναι ρίζα του πολυωνύµου P() και το υπόλοιπο της διαίρεσης του πολυωνύµου P() δια του + είναι -8, να βρεθούν τα α και β 0 MΟΡΙΑ β) Για α= και 7 β= : i) Να λυθεί η εξίσωση P()=0 5 MΟΡΙΑ ii) Να γίνει η διαίρεση του πολυωνύµου P() δια του πολυωνύµου + και να γραφεί το P() µε την ταυτότητα της ευκλείδειας διαίρεσης 5 MΟΡΙΑ iii) Να λυθεί η ανίσωση P() 7+ 5 MΟΡΙΑ Τα θέµατα προορίζονται για αποκλειστική χρήση της φροντιστηριακής µονάδας

20 Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 009 ΘΕΜΑ ο A ίνεται η συνάρτηση f() = συν α) Να λυθεί η εξίσωση f ( ) + f ( ) + = 0 β) Αν π = να υπολογίσετε την τιµή της παράστασης ( ) ( ) ( ) 0 0 L= +f +f ++f 8 6 MΟΡΙΑ 7 MΟΡΙΑ Β ίνεται η συνάρτηση g() = ( α), R α) Για ποιες πραγµατικές τιµές του α ορίζεται στο R η συνάρτηση g και είναι γνησίως φθίνουσα στο πεδίο ορισµού της 6 MΟΡΙΑ β) Για α=- να λυθεί η εξίσωση ( ) ( ) g ηµ + g συν = 6 MΟΡΙΑ ΘΕΜΑ 4 ο ίνεται η συνάρτηση ln + f () = ln α) Να βρεθεί το πεδίο ορισµού της συνάρτησης f και το σηµείο τοµής της γραφικής της παράστασης µε τον άξονα 6 MΟΡΙΑ β) Να δείξετε ότι γ) Να λυθεί η εξίσωση f = f ( ) f () + f = για κάθε > 0και e, e για κάθε > 0και e, e 6 MΟΡΙΑ 7 MΟΡΙΑ δ) Να υπολογίσετε την τιµή της παράστασης A=lnf(e )+lnf ( e ) +lnf ( e ) +lnf ( e ) +lnf ( e ) 6 MΟΡΙΑ Τα θέµατα προορίζονται για αποκλειστική χρήση της φροντιστηριακής µονάδας

21 Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 00 B' ΤΑΞΗ ΓΕΝΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ ΘΕΜΑ ο ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α Αν α, β είναι δύο γωνίες για τις οποίες ισχύει συνα 0, συνβ 0 και συν α+ β 0 να αποδείξετε ότι: Α ( ) εφ εφα + εφβ + = εφα εφβ ( α β ) Μονάδες 0 Σε µία αριθµητική πρόοδο (α ν ) να γράψετε τον τύπο που δίνει το νιοστό όρο α ν που έχει πρώτο όρο α και διαφορά ω καθώς και τον τύπο του αθροίσµατος των ν πρώτων όρων Μονάδες 5 Β Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράµµα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση ο ο ο ο i συν60 συν0 + ηµ60 ηµ0 = 00 ii Το πολυώνυµο P( ) = ( + ) + + έχει σταθερό όρο iii Εάν α, β, γ είναι διαδοχικοί όροι οποιασδήποτε αριθµητικής προόδου, τότε ισχύει β =αγ iv e = θ ln θ =, θ > 0 v Αν α > 0 µε α, τότε για οποιουσδήποτε θ, θ > 0 ισχύει logαθ logαθ logαθ logαθ = Μονάδες 0 ΘΕΜΑ ο ίνεται το πολυώνυµο P( ) = + α + β µε α, β R και το πολυώνυµο Q( ) = + α) Να βρεθούν α, β R αν η αριθµητική τιµή του P( ) για = είναι 8 και έχει παράγοντα το + Μονάδες 0 Τα θέµατα προορίζονται για αποκλειστική χρήση της φροντιστηριακής µονάδας

22 Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 00 β) Αν α = και β =, να βρείτε το πηλίκο Π() της διαίρεσης του P() δια του Q( ) και να γράψετε το P() µε την ταυτότητα της ευκλείδειας διαίρεσης Μονάδες 8 γ) Να λύσετε την εξίσωση P( ) = Q( ) Μονάδες 7 ΘΕΜΑ ο Α α) Να λύσετε την εξίσωση ηµ συν = 0 () Μονάδες 9 β) Να αποδείξετε ότι οι λύσεις της () στο διάστηµα [ 0,π ] είναι διαδοχικοί όροι αριθµητικής προόδου Μονάδες 8 4συνα + συν4α Β Να αποδείξετε ότι + 4συνα + συν4α ορίζεται η ισότητα 4 = εφα για όλες τις τιµές του α που Μονάδες 8 ΘΕΜΑ 4 ο Α ίνεται η συνάρτηση ϕ ( ) ( + ) ln =, για > ln i Να υπολογίσετε την τιµή της παράστασης L = ϕ ϕ ϕ 4 ϕ ( ) ( ) ( ) ( ) ii Να λυθεί η ανίσωση ϕ ( ) > ϕ ( ) ( ) B ίνεται η συνάρτηση ( ) ln ( ) f = e e + e + e i Για ποιες τιµές του, µε > 0 ορίζεται η συνάρτηση f ii Να λυθεί η εξίσωση f ( ln ) ln ( ) = για κάθε > e Μονάδες 6 Μονάδες 6 Μονάδες 7 Μονάδες 6 Τα θέµατα προορίζονται για αποκλειστική χρήση της φροντιστηριακής µονάδας

23 B' ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ A Α ν ν- Έστω η πολυωνυµική εξίσωση αν +α ν- ++α+α 0=0, µε ακέραιους συντελεστές Αν ο ακέραιος ρ 0 είναι ρίζα της εξίσωσης, να αποδείξετε ότι ο ρ είναι διαιρέτης του σταθερού όρου α 0 (8 Μόρια) Α Αν α > 0 µε α τότε για οποιουσδήποτε θ, θ > 0 να γράψετε τα θ αναπτύγµατα των τύπων log α θ ιδιότητες των λογαρίθµων Α Τι γνωρίζετε για την µονοτονία της συνάρτησης ( ) και log α ( θθ ) χρησιµοποιώντας τις f =α, 0<α ( Μόρια) ( Μόρια) Α4 Να γράψετε στο τετράδιό σας για κάθε µια από τις παρακάτω προτάσεις το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση α Η συνάρτηση f( ) ( ) Α: 45 = ηµ 0 έχει περίοδο : π T = π + 4 Β: T = π Γ: T = -π : π T = Ε: 45 Τ = 0 β Το άθροισµα των συντελεστών του πολυωνύµου ( ) ( ) P 4 = + + είναι : 5 Α: + 4 Β: Γ: : 5 Ε κανένα από τα προηγούµενα ( Μόρια) ( Μόρια)

24 γ Αν S ν συµβολίζει το άθροισµα των πρώτων ν όρων µιας γεωµετρικής προόδου (α ν ) µε λόγο λ και πρώτο όρο α, τότε είναι : λ Α: S ν =α λ ν ν : S =α λ ν λ ν Β: S =α λ ν λ Ε: κανένα από τα προηγούµενα ν αλ Γ: S ν = λ ( Μόρια) A5 Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράµµα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση α Κάθε σταθερό µη µηδενικό πολυώνυµο είναι µηδενικού βαθµού ( Μόρια) β Η συνάρτηση f µε τύπο f( ) γ Η συνάρτηση f µε τύπο ( ) γνησίως αύξουσα στο R, όταν = εϕ είναι περιοδική µε περίοδο T = π ( Μόρια) f = α β όπου α>0, β>0 µε α, β είναι α < β ( Μόρια) ΘΕΜΑ B ίνεται η συνάρτηση ( ) β f =α συν (), όπου β<0 και α R Αν γνωρίζετε ότι η γραφική παράσταση της f διέρχεται από τα σηµεία A( 0,β+5 ), και τότε: Β Να αποδείξετε ότι α= 4 και β= Β Β 4π Β,4β β (7 Μόρια) Να βρείτε τα σηµεία τοµής της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f µε την ευθεία y=4 στο διάστηµα [0,π] (7 Μόρια) Να βρείτε την µέγιστη και ελάχιστη τιµή της συνάρτησης f καθώς και την περίοδό της (6 Μόρια)

25 Β4 Να βρείτε την τιµή των παραστάσεων f( 4π) 00 f 0 Β = f f 0 ( ) ( ) ( ) π Α = f και (5 Μόρια) ΘΕΜΑ Γ 4 ίνεται πολυώνυµο P()= +α 7 +β+, όπου α και β είναι πραγµατικοί αριθµοί Αν η διαίρεση του P( ) δια δίνει υπόλοιπο και η αριθµητική τιµή του για = είναι 0, τότε: Γ Να βρείτε τις τιµές τωνα, β R Γ Για τις τιµές α= 5 και β= 0, (7 Μόρια) α Να βρείτε το πηλίκο Π() της διαίρεσης του P() δια του Q()= + και να γράψετε το P() µε την βοήθεια της ταυτότητας ευκλείδειας διαίρεσης (6 Μόρια) P =υ,όπου υ() το υπόλοιπο της β Να λύσετε την εξίσωση ( ) ( ) διαίρεσης του P() δια Q( ) (7 Μόρια) γ Να βρείτε τα διαστήµατα στα οποία η γραφική παράσταση της πολυωνυµικής συνάρτησης Q() βρίσκεται πάνω από τον άξονα (5 Μόρια) ΘΕΜΑ ίνεται η συνάρτηση ( ) 4 f = ln 4 + Να ορίσετε το πεδίο ορισµού της συνάρτησης f και να αποδείξετε ότι γραφική της παράσταση διέρχεται από την αρχή των αξόνων (5 Μόρια) Να υπολογίσετε η τιµή της παράστασης A= f( ) + f( ) + f( ) + f( 0) + f( ) + f( ) + f( ) Να λύσετε την ανίσωση f( ) f( ) < ln 4 Να λύσετε την εξίσωση f( ) f( ) e + = 4e (6 Μόρια) (7 Μόρια) (7 Μόρια)

26 ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (ΟΕΦΕ) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_ΜλΓΑ(ε) ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ / ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Ηµεροµηνία: Κυριακή Απριλίου 0 ΘΕΜΑ A Α Α Α A4 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Να δώσετε τον ορισµό της αριθµητικής προόδου Μονάδες Να αποδείξετε οι α, β, γ είναι διαδοχικοί όροι αριθµητικής προόδου αν και µόνο αν β = α + γ Μονάδες 6 Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις, γράφοντας δίπλα στο γράµµα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασµένη α) Το 5 είναι µία πιθανή ακέραια ρίζα της εξίσωσης λ = 0, όπου λ Z β) Υπάρχουν τιµές του R έτσι, ώστε να ισχύει e < 0 γ) Αν το υπόλοιπο της διαίρεσης δύο πολυωνύµων είναι πολυώνυµο µηδενικού βαθµού, τότε η διαίρεση λέγεται τέλεια δ) Η εξίσωση ηµ = α, όπου α >, έχει λύση στο R ε) Το άθροισµα των πρώτων ν όρων γεωµετρικής προόδου ( α ν) µε λόγο λ= και πρώτο όρο α είναι ίσο µε S = ( α ) ν, για κάθε * ν ν N Μονάδες 5=0 Να µεταφέρετε στο τετράδιο σας τον παρακάτω πίνακα και να τον συµπληρώσετε έτσι, ώστε τα στοιχεία της κάθε γραµµής να είναι ίσα: Αριθµός Με µορφή λογαρίθµου Με µορφή δύναµης () 8 log 7 () 4 log log ( ) 8() 8 log() ln0 e Μονάδες 6=6 ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: ΑΠΟ

27 ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (ΟΕΦΕ) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_ΜλΓΑ(ε) ΘΕΜΑ Β ίνεται η πολυωνυµική συνάρτηση Β Να λύσετε την εξίσωση f () = 0 f () = + Μονάδες 6 Β Να λύσετε τις τριγωνοµετρικές εξισώσεις ηµ = α, συν = β όπου α η διπλή ρίζα της παραπάνω εξίσωσης και β η άλλη ρίζα της ίδιας εξίσωσης Β Β4 ΘΕΜΑ Γ Μονάδες 6 Να βρείτε τις τιµές του R έτσι, ώστε η γραφική παράσταση της f, να µην είναι πάνω από τον άξονα των Μονάδες 8 Να γράψετε την ταυτότητα της ευκλείδειας διαίρεσης f ( ) : ( + ) Μονάδες 5 ίνονται οι συναρτήσεις f () = α + β + γ και g() = ηµ + α + β+ γ, όπου α, β, γ θετικοί πραγµατικοί αριθµοί και ln α, ln β, ln γ διαδοχικοί όροι αριθµητικής προόδου Γ Να δείξετε ότι η συνάρτηση h() = ln(f ()), έχει πεδίο ορισµού το R Γ Έστω γεωµετρική πρόοδος (α ν ) µε α = α = ln e, α 5 = 56 α) Να βρείτε τους αριθµούς α, β και γ ln α = e β και Μονάδες 5 log α = 0 γ και Μονάδες 6 β) Για α=, β=4 και γ=6 να λύσετε την εξίσωση f ( συν ) = g(), στο διάστηµα (0,4 π ] Μονάδες 8 Γ Έστω αριθµητική πρόοδος ( β ν) µε θετική διαφορά ω και µε β, β τις λύσεις της εξίσωσης f ( συν ) = g(), στο διάστηµα (0,4 π ] Αν το άθροισµα των πρώτων ν όρων της αριθµητικής προόδου ( β ν) είναι ίσο µε 550π, να βρείτε τον αριθµό ν Μονάδες 6 ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: ΑΠΟ

28 ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (ΟΕΦΕ) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_ΜλΓΑ(ε) ΘΕΜΑ ln ίνονται οι συναρτήσεις g() = και f () = ln ln( ) Να βρείτε το πεδίο ορισµού της g και να συγκρίνετε τους αριθµούς g(), Να βρείτε το πεδίο ορισµού της f Αν κ > 4 να λύσετε την ανίσωση f (log κ ) < 4 Αν το υπόλοιπο της διαίρεσης Μονάδες 6 Μονάδες 6 Μονάδες 6 ( 7 + 6) : (+ ) είναι το πολυώνυµο υ () = (f ( β) ) + g( α ) + g( α ) + g( α ) + + g( α ) ln να δείξετε ότι α + = e β ln, όπου α ανήκει στο πεδίο ορισµού της g και β ανήκει στο πεδίο ορισµού της f Μονάδες Σας ευχόµαστε επιτυχία ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: ΑΠΟ

29 ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (ΟΕΦΕ) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_ΜλΓΑ(ε) ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ / ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Ηµεροµηνία: Κυριακή 7 Απριλίου 0 ιάρκεια Εξέτασης: ώρες ΘΕΜΑ Α ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α Να αποδείξετε ότι αν α > 0 µε α τότε για κάθε θ,θ > 0 ισχύει log θ θ = log θ + log θ ( ) α α α Μονάδες 9 Α α) Πότε µια συνάρτηση µε πεδίο ορισµού ένα σύνολο Α λέγεται άρτια; Μονάδες β) Πότε µια συνάρτηση µε πεδίο ορισµού ένα σύνολο Α λέγεται περιοδική; Μονάδες Α Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας το γράµµα κάθε πρότασης και δίπλα τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασµένη α) Ο βαθµός του γινοµένου δύο µη µηδενικών πολυωνύµων είναι ίσος µε το άθροισµα των βαθµών των πολυωνύµων αυτών Μονάδες β) Αν α > 0 µε α και θ > 0 τότε α = θ = log θ α Μονάδες γ) Η συνάρτηση f() = εφ έχει πεδίο ορισµού της το σύνολο R = { ηµ 0} Μονάδες δ) Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f µε f() = φ( + c ) όπου c > 0, προκύπτει από µια οριζόντια µετατόπιση της γραφικής παράστασης της φ κατά c µονάδες προς τα δεξιά Μονάδες ε) Η συνάρτηση f() = α µε 0 < α < είναι γνησίως φθίνουσα στο R Μονάδες ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: ΑΠΟ

30 ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (ΟΕΦΕ) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_ΜλΓΑ(ε) ΘΕΜΑ B Έστω το πολυώνυµο P() = + ( α +β) + ( α +5β) + µε α,β R Β Να βρείτε τις τιµές των α,β R έτσι ώστε το + να είναι παράγοντας του P() και το υπόλοιπο της διαίρεσης P(): ( ) να ισούται µε 9 Μονάδες 8 Β Για α = 7 και β = : α) Nα λύσετε την εξίσωση P() = 0 β) Να κάνετε τη διαίρεση P(): ( ) διαίρεσης Μονάδες 5 και να γράψετε την ταυτότητα της Μονάδες 6 γ) Αν υ() το υπόλοιπο της προηγούµενης διαίρεσης να λύσετε την ανίσωση υ() 0 P() Μονάδες 6 ΘΕΜΑ Γ ίνεται το σύστηµα ( ) ηµ π +θ + συν( θ)y = π θ R ηµ θ ηµ ( θ π) y = Γ Να δείξετε ότι το σύστηµα έχει µοναδική λύση την,y = συνθ ηµθ,ηµθ + συνθ, θ R ( ) ( ) α Γ ίνεται η συνάρτηση ( ) ( ) f = 0 συν 4, α R Μονάδες α) Να βρείτε την τιµή του α για την οποία η συνάρτηση έχει µέγιστη τιµή το Μονάδες 6 β) Για α =, να βρείτε τις τιµές του θ R για τις οποίες ( ) θ y = f όπου (, y) είναι η µοναδική λύση του συστήµατος Μονάδες 7 ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: ΑΠΟ

31 ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (ΟΕΦΕ) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_ΜλΓΑ(ε) ΘΕΜΑ ίνεται η συνάρτηση ( ) ( ) ( ) f = ln e e ln e e Να συγκρίνετε τους αριθµούς ln( e ), ln( e + e ) ορισµού της συνάρτησης Να λύσετε την ανίσωση Έστω 0 ( ) = ln e + e : y 6 y α) Να αποδείξετε ότι f( 0) = 6 β) Να αποδείξετε ότι f( ) f( 0 ) για κάθε ( ) Είναι το f( 0) ελάχιστο της συνάρτησης; (µονάδες ), και να βρείτε το πεδίο ( ) Μονάδες 7 Μονάδες 5 Μονάδες 5 ln e, + (µονάδες 5) Μονάδες 8 ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: ΑΠΟ

32 ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (ΟΕΦΕ) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 04 Ε_ΜλΓΑ(ε) ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΆΛΓΕΒΡΑ / ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Ηµεροµηνία: M Τετάρτη 6 Απριλίου 04 ιάρκεια Εξέτασης: ώρες ΘΕΜΑ A Α Α Α Α4 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Να δώσετε τον ορισµό της γνησίως φθίνουσας συνάρτησης σ ένα διάστηµα του πεδίου ορισµού της Μονάδες 4 Να αποδείξετε την τριγωνοµετρική ταυτότητα ω R ηµ ω + συν ω =, για κάθε Μονάδες 7 Να δώσετε τον ορισµό του λογαρίθµου µε βάση α, ενός θετικού αριθµού θ όπου α > 0 και α Μονάδες 4 Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις, γράφοντας δίπλα στο γράµµα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστή, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασµένη α) Ένα γραµµικό σύστηµα αν έχει περισσότερες από µία διαφορετικές λύσεις, τότε θα έχει άπειρες β) Αν f () f (0) για κάθε R,τότε η f παρουσιάζει κατ ανάγκη (ολικό) ελάχιστο στο 0 γ) Για κάθε γωνία θ που ορίζονται η εφθ και η σφθ, ισχύει σϕθ εϕθ 0 δ) Το µηδενικό πολυώνυµο, έχει βαθµό ίσο µε µηδέν ε) Για κάθε > 0 ισχύει e ln = Μονάδες 5=0 ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: ΑΠΟ

33 ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (ΟΕΦΕ) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 04 Ε_ΜλΓΑ(ε) ΘΕΜΑ Β Έστω P() = + α α + πολυώνυµο, α R Αν το πολυώνυµο P() διαιρεθεί µε το, δίνει υπόλοιπο α + Β Να βρείτε τις τιµές του αριθµού α Β Για α = και πολυώνυµο Q() = + + : Μονάδες 7 α) Να αποδείξετε ότι το πηλίκο π () και το υπόλοιπο υ () της Ευκλείδειας διαίρεσης του P() µε το Q() είναι + και + αντίστοιχα Μονάδες 4 β) Να λύσετε την ανίσωση P() + Q() γ) Να λύσετε την εξίσωση π () = Q() Μονάδες 8 Μονάδες 6 ΘΕΜΑ Γ π ίνεται η συνάρτηση f () = αηµ + β όπου α R και 0 β, της οποίας η γραφική παράσταση διέρχεται από τα σηµεία Α(0, ), B( π, ) Γ Να βρείτε τις τιµές των α και β Αν f () = συν Μονάδες 8 Γ α) Να βρείτε τη µέγιστη, την ελάχιστη τιµή της f και την περίοδό της Μονάδες 4 β) Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της f στο διάστηµα [0,6 π ] και να µελετήσετε την f ως προς τη µονοτονία στο ίδιο διάστηµα Μονάδες 4 ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: ΑΠΟ

34 ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (ΟΕΦΕ) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 04 Ε_ΜλΓΑ(ε) Γ ίνεται το γραµµικό σύστηµα: f (0) f (04 )y 4 ( Σ λ ) + π = λ λ f ( π ) + λ f ( π )y = 0 Να βρείτε τις τιµές της παραµέτρου λ (λ R ) ώστε το παραπάνω σύστηµα να έχει άπειρες λύσεις καθώς και τη µορφή των απείρων λύσεων Μονάδες 9 ΘΕΜΑ 4 ίνεται η συνάρτηση f () = l n 4 Να αποδείξετε ότι το πεδίο ορισµού της f είναι το διάστηµα A = (,) Μονάδες 6 Να αποδείξετε ότι η f είναι περιττή Μονάδες 5 4 Να βρείτε (αν υπάρχει) την τετµηµένη του σηµείου τοµής της γραφικής παράστασης της f µε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης h() = l n l n Μονάδες 6 Να λύσετε την ανίσωση > + ln (e ) f () 4 f ( ) ln l n Μονάδες 8 Σας ευχόµαστε επιτυχία ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: ΑΠΟ

35 ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (ΟΕΦΕ) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 05 Α ΦΑΣΗ Ε_ΑΜλΓΑ(ε) ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΆΛΓΕΒΡΑ / ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Ηµεροµηνία: ευτέρα 5 Ιανουαρίου 05 ιάρκεια Εξέτασης: ώρες ΘΕΜΑ A Α είξτε ότι εϕω σϕω = ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ (5 µονάδες) Α Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας δίπλα στο γράµµα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή ή Λάθος, αν ή πρόταση είναι λανθασµένη α Αν σ ένα γραµµικό σύστηµα είναι D = 0, τότε το σύστηµα έχει κατ ανάγκη άπειρες λύσεις β Η συνάρτηση f( ) π π, = συν είναι γνησίως αύξουσα στο διάστηµα γ Η περιττή συνάρτηση έχει γραφική παράσταση συµµετρική ως προς την αρχή των αξόνων Ο(0, 0) δ Ισχύει συν α= ηµ α συν α ε Η συνάρτηση f (), µε πεδίο ορισµού ένα σύνολο Α, παρουσιάζει ελάχιστο (ολικό) στο 0 Α, αν f( 0) f( ) για κάθε Α (5 µονάδες) ΘΕΜΑ Β ίνεται η συνάρτηση f ( ) = + 9 Β Να δείξετε ότι η συνάρτηση f γράφεται στη µορφή: ( ) ( ) f = + (Μονάδες 9) Β Παρακάτω δίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης g( ) = Στο ίδιο σύστηµα αξόνων, να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f και να εξηγήσετε πως αυτή προκύπτει µετατοπίζοντας κατάλληλα τη γραφική παράσταση της g ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: ΑΠΟ

36 ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (ΟΕΦΕ) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 05 Α ΦΑΣΗ Ε_ΑΜλΓΑ(ε) (Μονάδες 8) Β Από τη γραφική παράσταση της f να βρείτε τα διαστήµατα µονοτονίας, το είδος του ακροτάτου, καθώς και την τιµή του (Μονάδες 8) ΘΕΜΑ Γ ίνεται η συνάρτηση συν f ( ) = συν + ηµ Γ είξτε ότι f( ) π = εϕ για κάθε + κπ, κ Z (Μονάδες 8) Γ Υπολογίστε την τιµή της παράστασης Α = 4π 5π f 009f 4 (Μονάδες 9) π Γ Λύστε την εξίσωση f ( ) = εϕ 4 (Μονάδες 8) ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: ΑΠΟ

37 ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (ΟΕΦΕ) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 05 Α ΦΑΣΗ Ε_ΑΜλΓΑ(ε) ΘΕΜΑ ίνεται το σύστηµα: ( λ + ) + 8y = 4, λ R λ + ( λ + ) y = α) Να υπολογίσετε τις ορίζουσες D, D, D y β) Για ποιες τιµές του λ R το σύστηµα έχει µοναδική λύση ( 0, 0) Υπολογίστε την µοναδική λύση (, y ) συναρτήσει του λ 0 0 Να βρείτε την τιµή του λ για την οποία η µοναδική λύση ( 0, 0) εξίσωση 0 + y0 = Βρείτε τότε την λύση (, y ) 0 0 y ; (Μονάδες 6) (Μονάδες 4) y επαληθεύει την (Μονάδες 9) π ίνεται η συνάρτηση g( t) = λ ηµ t + 0, όπου, λ, 0, y 0 οι αριθµοί που 6y0 βρήκατε στο ερώτηµα Να βρείτε την περίοδο της συνάρτησης, καθώς και την ελάχιστη και τη µέγιστη τιµή της (Μονάδες 6) ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: ΑΠΟ

38 ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (ΟΕΦΕ) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 05 B ΦΑΣΗ Ε_ΒΜλΓ(ε) ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΆΛΓΕΒΡΑ / ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Ηµεροµηνία: Κυριακή 0 Μαΐου 05 ιάρκεια Εξέτασης: ώρες ΘΕΜΑ A Α Α Α Α4 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Να αποδείξετε ότι ένα πολυώνυµο P() έχει παράγοντα τον ρ αν και µόνο αν το ρ είναι ρίζα του P(), δηλαδή αν και µόνο αν P(ρ) = 0 Μονάδες 7 Να γράψετε δύο τύπους του συνα Μονάδες 4 Να γράψετε το πεδίο ορισµού και το σύνολο τιµών για κάθε µία από τις συναρτήσεις f() = α και g() = log α µε 0 < α Μονάδες 4 Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις, γράφοντας δίπλα στο γράµµα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστή, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασµένη α) εφ(α + β) = εφα + εφβ + εφα εφβ ν ν β) Στο πολυώνυµο P() = αν α + αν + + α + α0, µε ακέραιους συντελεστές, κάθε διαιρέτης του σταθερού όρου α 0, είναι ρίζα του P() γ) Αν 0 < α τότε ισχύει: logα ( θ + θ ) = logα θ logα θ µε θ, θ >0 δ) Αν α > τότε η f () = α είναι γνησίως αύξουσα στο R ε) Αν D = 0, τότε το γραµµικό σύστηµα, α + βy = γ είναι πάντα α + β y = γ αδύνατο Μονάδες 5 = 0 ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: ΑΠΟ

39 ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (ΟΕΦΕ) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 05 B ΦΑΣΗ Ε_ΒΜλΓ(ε) ΘΕΜΑ Β ίνεται η συνάρτηση f() = συν, R Β Να βρεθεί η µέγιστη τιµή, η ελάχιστη τιµή και η περίοδος της συνάρτησης f() Μονάδες 8 Β Να βρείτε τα σηµεία τοµής της C f µε τον άξονα στο [0, π] Μονάδες 9 Β Να βρεθεί η τιµή της παράστασης π 5π π f f + f 6 Κ = π f 4 Μονάδες 8 ΘΕΜΑ Γ ίνεται η συνάρτηση f µε τύπο: f() = + α + β + γ, για την οποία ισχύουν: Το υπόλοιπο της διαίρεσης της f() δια + είναι 4 Η C f διέρχεται από το σηµείο Α(0, 8) Η f( ) έχει παράγοντα το Γ Nα δείξετε ότι: α =, β = 0 και γ = 8 Μονάδες 9 Γ α) Να λυθεί η εξίσωση f() = 0 Μονάδες 4 β) Να βρεθούν τα διαστήµατα στα οποία η C f είναι κάτω από τον άξονα Μονάδες 4 Γ Να λύσετε την ανίσωση: + 4 f () f () + f ( ) 8 Μονάδες 8 ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: ΑΠΟ

40 ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (ΟΕΦΕ) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 05 B ΦΑΣΗ Ε_ΒΜλΓ(ε) ΘΕΜΑ ίνονται οι συναρτήσεις: f() = µε > 0, µε R και h () = ln + ln + ln + ln +, + + ( ) ίνεται η συνάρτηση g() = ln f( ln ) α) Να υπολογίσετε το f(ln) ( ) β) Να βρείτε το πεδίο ορισµού της συνάρτησης g() = ln f( ln ) Μονάδες Μονάδες 4 Να δείξετε ότι h() = ln Μονάδες 5 Να λύσετε την εξίσωση g() = h() µε > Μονάδες 7 4 Να βρείτε τις τιµές του R, ώστε να υπάρχει θ R και να f () ln f () ln ισχύει: ηµθ = 6f () Μονάδες 6 ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: ΑΠΟ

41 ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (ΟΕΦΕ) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 06 Β ΦΑΣΗ Ε_ΜλΓΑ(ε) ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΆΛΓΕΒΡΑ / ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Ηµεροµηνία: Μ Τετάρτη 7 Απριλίου 06 ιάρκεια Εξέτασης: ώρες ΘΕΜΑ A ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α είξτε ότι για µια γωνία ω ισχύει ηµ ω+ συν ω= (5 µονάδες) Α Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας, δίπλα στο γράµµα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος αν η πρόταση είναι λανθασµένη α) Αν το πολυώνυµο P() έχει παράγοντα το (-ρ) τότε P(ρ) = 0 β) Για τη γωνία ω ισχύει πάντοτε ηµ ( π ω) = ηµω γ) Για τους θετικούς αριθµούς θ και θ ισχύει: ln θ = lnθ lnθ θ δ) Αν σ ένα σύστηµα µε εξισώσεις και αγνώστους ισχύουν D 0 και D=0 και Dy=0, τότε το σύστηµα έχει άπειρες λύσεις ε) Η συνάρτηση f ( ) = e είναι γνησίως αύξουσα στο R (5 µονάδες) ΘΕΜΑ Β Β είξτε ότι A( ) = = ηµ π εϕ + εϕ( π + ) ( ηµ + συν) ηµ Β είξτε ότι η B( ) = = Β Να λυθεί η εξίσωση Α ( ) = B( ) (7 µονάδες) (6 µονάδες) (6 µονάδες) ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: ΑΠΟ

42 ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (ΟΕΦΕ) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 06 Β ΦΑΣΗ Ε_ΜλΓΑ(ε) Β4 Έστω η συνάρτηση f ( ) = A( ) B( ) Βρείτε τη µέγιστη τιµή Μ, την ελάχιστη τιµή ε καθώς και την περίοδο Τ της συνάρτησης f() (6 µονάδες) ΘΕΜΑ Γ 5 4 Έστω πολυώνυµο P( ) = 7 + ( λ + 6) + 7+ µ για το οποίο ισχύουν: i) Το είναι παράγοντας του P() ii) Το υπόλοιπο της διαίρεσης του P() µε το (+) είναι Γ είξτε ότι λ= και µ=0 Γ Για λ= και µ=0, i) Να γραφεί η ταυτότητα της διαίρεσης του P() µε το ( ) (6 µονάδες) (7 µονάδες) ii) Nα βρεθούν τα διαστήµατα που η γραφική παράσταση του P() είναι πάνω από την ευθεία y= + 4 Γ Έστω το πολυώνυµο: ΘΕΜΑ 5 4 Q( ) = + ( a+ β) 7 + ( a+ β) + ( κ+ 6) + ( κ ) Βρείτε τους αριθµούς α, β και κ ώστε P( ) = Q( ) για κάθε R e ( e + ) e + e Έστω οι συναρτήσεις f ( ) = ln + και g e e e e ( ) = -4 + Να βρείτε το πεδίο ορισµού της f και να απλοποιηθεί ο τύπος της Nα λυθεί η εξίσωση g( ) = e 5+ e ln e (7 µονάδες) (5 µονάδες) (6 µονάδες) (7 µονάδες) Βρείτε τις τιµές του ώστε η γραφική παράσταση της συνάρτησης f() να µην είναι πάνω από τον άξονα (6 µονάδες) ( ) Να λύσετε την ανίσωση e f g( ) + e e (6 µονάδες) ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: ΑΠΟ

43 ùù þüÿù+üúùú üÿ,üù,üÿù,üù P()= [ [4[ [ [ F()= [ [ ü$ #0 *^ Q()=5, F()=6} ^ ` ^ ` P()=Q() + ++= =0 ( -)+ -=0 ( -)(+)=0 =, =-, =/ P() < F() + ++< <0 < << [ [[ [ =, [ =-, [ =/! Œ Œ Œ Œ [ = Œ + [ = Œ [ = Œ + [ = Œ + ý,üù f() = log(+ e ) [ i) üœ0/h! Œ0/! *"I0 RI ii) iii) +[ Œ! *Œ0 ORJ+[ : = 0/)0"!&$ #0// $ f() = log(+ e ) [ = log( + e log + e ) log log + e

44 = e e + log( + ) log log = log + e + e = log + e (+ e) iv) ü0! ORJ> + I[ [ ORJ> + H [ [ + H ORJ [ + H [ + H [ ORJ + H + H [ORJ + H [ [ORJ [ + H ORJ H [ + [ [ [ [ [ + H ORJ < + H < * [ [ [ [,üù Lù 0Œ )" #" Œ #Œ0!$0!)0 # ÿ 0ù!!) / "0 & & Œ)0 > 86!! ñ! )! 0Œ0!0! Œ) -!"0 #!"" $" ii) ò$ #0ù!!) / 0/!&ï 70% ï üï 8 =,5+8 0,5=

45 i) üÿþ ùÿ, ù- ÿ ù ù ù ù þûÿù- üÿù þþüù þ, ùÿùü ü þ þüù þüù = 0,0 ù ù 0,0 ù ù þüù = 0,0 ù = 0,99 ù 0,0 ù ù þüù = 0,0 (0,99) ù = (0,99) ù 0,0 (0,99) ù ù þüù þüù = 0,0 (0,99) ù = (0,99) ù "!)Œ "+" #0", ÿ, ÿ 0 = 0,0 ù 0 ù00 ÿ = 0,0 () 0 ÿ : 0,0 = 0,99 0,0 = 0,0 0,99 Œ) ñ!, ÿ ò = 0,99 0+0&0!!) / "0) = 0,0 ù (0,99) = 0,0 (0,99) ù LLü ù 5 ù 0,0 (0,99) 4 ù 5 ù 5 ) %-!

46 Œ! Lù 0Œ )" #"Œ #/ $00*0 $!)0 # ÿ Œ0 0ù!!) / "0 &!- ν S! [ + ( ν ) 0,5] > 86 ν > 8Œ LL ï 8 =, + 8 «Œ

47 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΟΕΦΕ 00 ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α Θεωρία: Σχολ Βιβλίο σελ 6, Απόδειξη α) : Λανθασµένη Θεωρία: Σχολ Βιβλίο σελ 6, Απόδειξη β) : Σωστή γ) : Λανθασµένη Β Β δ γ ορθογώνιο α β 4 ε 5 γ ΘΕΜΑ α) Βρίσκουµε τις τιµές του λ, που µηδενίζουν τους συντελεστές του και το σταθερό όρο του πολυωνύµου Έχουµε: λ 4λ = 0 λ( λ 4) = 0 λ( λ )( λ + ) = 0 Άρα: λ = - ή λ = 0 ή λ = Οµοια: λ λ = 0 λ( λ ) = 0 Άρα: λ = 0 ή λ = Τέλος: λ + = 0 Άρα: λ = ιακρίνουµε τις παρακάτω περιπτώσεις: i Αν λ ήλ 0 ήλ, τότε το πολυώνυµο P() είναι ου βαθµού ii Αν λ =, τότε το πολυώνυµο P() είναι ου βαθµού ( P() = ) iii Αν λ = 0, τότε το πολυώνυµο P() είναι µηδενικού βαθµού ( P() = ) iv Αν λ =, τότε το πολυώνυµο P() είναι το µηδενικό πολυώνυµο ( P() = 0 ) και δεν ορίζεται βαθµός β) Για λ = έχουµε: P ( ) = ( 4 ) + ( ) + P( ) = + Για να διέρχεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης P από το σηµείο (,-), θα πρέπει: P() = - Έχουµε: P() = + P() = γ) P() < + < + 4 < 0 Παραγοντοποιούµε την τριτοβάθµια χρησιµοποιώντας το σχήµα Horner: Άρα η τριτοβάθµια γράφεται: ( )( 4) < 0 ( )( + + 4) > 0

48 H διακρίνουσα του τριωνύµου είναι αρνητική, ( = 9 48 = -9 ), άρα το τριώνυµο είναι για κάθε οµόσηµο του α (α = ), δηλαδή είναι για κάθε θετικό Σχηµατίζουµε τον παρακάτω πίνακα προσήµων: Άρα: > Γινόµενο - + ΘΕΜΑ Α Για κάθε > 0 έχουµε: log f ( ) = g( ) 5 = log 5 Για κάθε, y > 0 έχουµε: Για κάθε, y > 0 έχουµε: log 5 log f ( y) = 5 = log log(y) log 5 log log 5 = log 5log = 5 log + log y log log y log log y 5 f = 5 = 5 = log y y 5 4 Για κάθε ν Ν έχουµε: ν ν log ν log log f ( ) = 5 = 5 = (5 ) ν = [ f ( ) ] ν Β f = 5 log f ( ) = f ( y) log log 5 ( ) = g( ) (5 ) = Από το Α η προηγούµενη σχέση 5 log y = f () f (y) log log γράφεται: ( 5 ) = Θέτουµε: 5 log = ω Άρα: ω 4ω 5 = 0 4± 6 ( = = 6 και ω = ) Άρα οι λύσεις της δευτεροβάθµιας είναι το 5 και το ( Η λύση - απορρίπτεται, γιατί 5 log > 0 ) Έχουµε: 5 log = 5 Η εκθετική συνάρτηση είναι -, άρα: log = log = log0 Η λογαριθµική συνάρτηση είναι -, άρα τελικά: = 0 Γ Πρέπει: > 0 και f () > f ( 4) 5 Η log > log( 4) Η αύξουσα, άρα : > log εκθετική συνάρτηση ( = = 5 και - 4 > 0 Άρα: > 0 και < - ή > Εποµένως: > log( 4) > 5 µε βάση 4 5 είναι λογαριθµική συνάρτηση ± 5 4 < 0 γνησίως αύξουσα, άρα : µε βάση 0 είναι γνησίως = ) Άρα οι λύσεις της δευτεροβάθµιας είναι το - και το 4 και το τριώνυµο είναι εντός των ριζών του ετερόσηµο του α ( α = ), δηλαδή είναι αρνητικό, άρα: - <<4 Επειδή >, τελικά έχουµε: < < 4

49 ΘΕΜΑ 4 Α Χρησιµοποιώντας τον τύπο: α ν = α + ( ν ) ω, µε α = lne, α 4= ln 8+ έχουµεα = α + (4 ) ω ln 8 + = lne + ω ln + = + ω ln ω Άρα: ω = ln 4 = Χρησιµοποιώντας τον τύπο: = [ α + ( ν ω] όπου ω ln, έχουµε: ν Sν = α + ( ν ) ω ν S ν ), µε α e = ln και αντικαθιστώντας από το Α [ ] S = [ ln e + (ν -)ln] S = [ + ( ν )ln ] ν ν ( ν ) Sν = ν + ln Sν = ν + ln Αντικαθιστώντας το S ν από τον τύπο του Α, έχουµε: ν + ν ln ν = ν + ln ν ( ν ) ν ( ν ) ν ln ν ( ν ) ν = ln ν ( ν ) ν ln ν ν ( ) ν ν ( ν ) ln = ln = ν = ν * ( Η συνάρτηση ln είναι - ) Λύνουµε την τριτοβάθµια µε τη βοήθεια του σχήµατος Horner: = ln ν ν ν ( ν ) ν + ν = 0 Άρα η τριτοβάθµια γράφεται: ( ν )( ν + ν + 7) = 0 ν = ή ν + ν + 7 = 0 H ν + ν+ 7= 0 είναι αδύνατη, γιατί η διακρίνουσά της είναι αρνητική ( = 4 8 = -4 < 0 ) Άρα: ν = Β α) Χρησιµοποιώντας τον τύπο: α ν = α+ (ν -)ω, µε α = 6, αν= 6, έχουµε: 0 6 = 6 + ( ν ) ω 6 6 = ( ν ) ω 0 = ( ν ) ω ω = () ν β) Επειδή ισχύει: α ν-= α 4, έχουµε: 6 + ( ν ) ω = (6 + ω ) 6 + νω ω = + 6ω νω 9ω = 6 () 0 0 ν 9 = 6 0ν 70 = 6( ν ν ν 64 4ν = 64 ν = ν = Άρα:: ν = ω = = = 0 ) 0ν 70 = 6ν () 6

50 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΟΕΦΕ 004 Θέµατα Άλγεβρας Β Λυκείου Γενικής Παιδείας ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΖΗΤΗΜΑ ο Α π π Fma = 004, Fmin = 004, T = = 4 αβ (, e ) 4 Σωστό Β Θεωρία (σχολικό βιβλίο) Γ Θεωρία (σχολικό βιβλίο) a > < άρα η συνάρτηση a ln ln y f ( ) = a είναι γνησίως φθίνουσα Εποµένως έχουµε: > ln < ln y και, επειδή η συνάρτηση g( ) = ln είναι a a γνησίως αύξουσα, θα είναι < y ΖΗΤΗΜΑ ο ηµ θ ηµ θ ηµ θ Α Α = = = = ( συνθ ηµθ ) συν θ + ηµ θ ηµθ συνθ ηµ θ χ χ ηµ χ 4ηµ συν + συν χ = 0 ηµ χ ηµχ + ηµ χ = 0 Β ηµ χ ηµ χ ηµχ + = 0 Θέτω ηµχ = ω και έχω την εξίσωση: 0 ω ω ω + = Με σχήµα Horner (για ρ=) έχω ( ω ) (ω + ω ) = 0 ω =, ω =, ω = π Άρα ηµχ= ή ηµχ = ή ηµχ = και, επειδή χ [0, π ], έχουµε τελικά χ= ή π 5π χ= ή χ= 6 6

51 ΖΗΤΗΜΑ Ο Με σχήµα Horner για το P() και για ρ=, προκύπτει υπόλοιπο (εκ ταυτότητος) 0 και πηλίκο Π ( χ) = χ αχ + (6 α) χ α Με νέο σχήµα Horner για το Π(χ) και ρ=, προκύπτει υπόλοιπο α + β +, το οποίο πρέπει (αφού το είναι διπλή ρίζα του P()) να είναι 0 Άρα έχουµε α + β + = 0 () Εξάλλου, από υπόθεση, P() = 0 7a + b + 8 = 0 () Λύνοντας το σύστηµα των () και (), βρίσκουµε a= 6, b= 7 4 Είναι P( ) = και =, =, = (προκύπτει εύκολα, λύνοντας την P()=0) Αφού = + και ( e ) = e e, ισχύει το ζητούµενο Έστω e, b, b, b, e, οι πέντε όροι της γεωµετρικής προόδου Αν λ ο λόγος της προόδου, θα ισχύει e = e λ λ = e λ = ± e Άρα θα είναι: , ( ), b = e e = e b = e e = e e = e b = e e e = e ΖΗΤΗΜΑ 4 Ο log y ln y Είναι log y = log = ln (τύπος αλλαγής λογαριθµικής βάσης) από όπου προκύπτει το ζητούµενο Η δοσµένη σχέση (και λόγω του ) γράφεται (log y ) = 0, άρα είναι = =, η ζητούµενη σχέση log y y Έχουµε e + = (004) y y + = 0 y =, y = Η λύση y= απορρίπτεται, αφού, αν y=, θα είναι =±, αδύνατο Άρα y=, = (η αρνητική τιµή απορρίπτεται) 4 Από υπόθεση έχουµε (ln ) ln ln ln y y 0 6 e e e e και προκύπτει το ζητούµενο

52 ε π α ν α λ η π τ ι κ ά θ έ µ α τ α B ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Ο Α θεωρία σχολικό βιβλίο σελ 8 Β iii Γ α)λ β)σ γ)λ δ)σ ε)λ α συν( α β) = συνα συνβ + ηµα ηµβ lne β l oge ln0 = ln0 = ln0 θ γ log = logθ logθ θ ΘΕΜΑ Ο Α Πρέπει : = ( ) = + = 0 =+8=9 ± = = Β Πρέπει : 4 P ( ) = 0 + ( α β) ( α β) + = 0 P( ) = 0 4 ( ) + ( α β)( ) ( α β)( ) + ( ) = 0 + α β α + β + = 0 α + β = 0 6 8α + 8β 8α + β = 0 6α + 0β = α + β = 0 α = β α = 4α + 5β = 8β + 5β = β =

53 ΘΕΜΑ Ο Α Πρέπει : α α= α α συνα = ηµ α συνα συνα = ηµ α (ισχύει) ηµ α Β ω = α α= συνα = = ηµ α 4 S4 = ( 4 ) ηµ α = 4 6ηµ α = + π ηµα = ηµα= ηµ 6ηµ α = ηµ α = 4 π π ηµα = α= κπ+ η α= κπ+ 4 4 π ηµα = ηµ 4, κ z π 5π α = κπ η α = κπ π Γ S0 = ( 0 ) ηµ = 0 [ + 5 ( ) ] = 0 ( 50) = π S5 = ( 5 ) ηµ α = 5 [ ηµ α ] = 0ηµ α 0 +, α 0, ( Αν S5 = 0 L ηµ α = 0 Άτοπο) Άρα ο βαθµός του πολυωνύµου είναι 5 ΘΕΜΑ 4Ο + + Α Πρέπει e + e > 0 Άρα f R δηλαδή A f = R ( 0) = l n( e + e ) = ln( e+ e) = lne= ln+ lne= ln+ + + ln: + + Β f ( ) = l n( e + e ) = lne e + e = e + e e e = 0 e( e + e ) ( e ) + e = 0 = e e 0 y + y = 0L y = η y = θετω Άρα e = Α ΥΝΑΤΗ ή e = lne = ln lne = ln ln = ln Γ f ( ) e + e < 0 e < < K, ln lne, ln Άρα ( ) < ln e = y < e <, e > R < ln

54 Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 006 Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗ ΠΑΙ ΕΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ ο Ενδεικτικές Λύσεις Α α Α - Β - Γ -6-4 β Σχολικό βιβλίο Σελ0 Β α i) β ii) β β α Σ β - Σ γ Σ δ Λ ε - Λ ΘΕΜΑ Ο Ενδεικτικές Λύσεις Α α) Πρέπει P( ) = 0 4α β = 6 α = P( ) = 6 α β = 6 β = 6 Άρα P()= β) Αφού P(-)=0 άρα - ρίζα του P() Mε Horner έχουµε + = 0 ( + )( + 4 5) = 0 ή = ή = ή = = Τα θέµατα προορίζονται για αποκλειστική χρήση της φροντιστηριακής µονάδας

55 Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 006 γ) (+) ( +4-5)>0 µε ρίζες -5, -, (+) ( +4-5) Άρα ( 5, ) (, + ) ΘΕΜΑ ο π α εφ= = κπ,κ Z β i) = =π κ+ κ π κ= π Αποτελούν διαδοχικούς όρους π π κ= π αριθµητικής προόδου µε α = π, ω = π π κ= π ii) Με τύπους αριθµητικής προόδου π α ν =α +(ν-)ω µε α = και ω=π π α ν = + (ν ) π ή π 607π κπ = ( κ ) π 607π = ν π 607π α ν = ( ) = ν = 006 κ = 607π κ = 006 iii) Χ +Χ ++Χ 0 =S 0 ==455π Τα θέµατα προορίζονται για αποκλειστική χρήση της φροντιστηριακής µονάδας

56 Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 006 ΘΕΜΑ 4 ο α Η εξίσωση είναι ισοδύναµη ln( ηµ) = ln + ln(συν) β ln( ηµ) = ln(συν) ηµ = ( ηµ ) 6ηµ ηµ = 0 ηµ = π επειδή χ 0, 4 lnα + lnα + + lnα lnα( ) = 5050 lnα = α = e 00 = 5050 Επειδή +++00=5050 γ f(α) f(β),f(γ) διαδοχικοί όροι αριθµητικής προόδου δηλ για τους l nα, lnβ, lnγ ισχύει lnβ = lnα + lnγ β = αγ δηλ α,β, γ διαδοχικοί όροι γεωµετρικής προόδου δ l n ln + ln > 0 Περιορισµός θέτουµε l n= y άρα Horner 4 ( y )( y + y + 6) > 0 y > ln > n > 4 e y + y > 0 l > 4 44 <0 Πάντα + Τα θέµατα προορίζονται για αποκλειστική χρήση της φροντιστηριακής µονάδας

57 Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 007 B ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΘΕΜΑ ο Α α) Θεωρία Σελ 4 σχολικού βιβλίου β) Θεωρία σελ 6 σχολικού βιβλίου ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Β Σ, Σ, Λ, 4Σ, 5Σ, 6Σ, 7Λ, 8Λ ΘΕΜΑ ο Α Αφού το Ρ() έχει παράγοντες το + και το - άρα : P( ) = 0 () α β = α = δηλαδή P() = 0 () α + β = 6 β = 0 Β Η εξίσωση Ρ()=0 δηλαδή - +4=0 έχει παράγοντες το + άρα ρίζα το - και - άρα ρίζα το δηλαδή µε σχήµα horner έχουµε : = 0 ( + )( 4 + 4) = 0 ( + )( ) = 0 = ή = Γ i) Η γραφική παράσταση της συνάρτησης Ρ() = τέµνει τον άξονα y y όταν = 0 δηλαδή Ρ(0) = 4 δηλαδή στο σηµείο (0, 4) ii) Οι τιµές του για τις οποίες η C είναι κάτω από τον άξονα είναι οι λύσεις της ανίσωσης P() < 0 δηλαδή + 4 < 0 ( + )( ) < 0 < ΘΕΜΑ ο + α + συν + ηµ Α = = α + α (συν + ηµ) + συν + 7ηµ συν + ηµ + συν + ηµ συν συν + ηµ + ηµ + ηµ συν = = = συν(συν+ ηµ) = = σφ ηµ(συν+ ηµ) Τα θέµατα προορίζονται για αποκλειστική χρήση της φροντιστηριακής µονάδας

58 Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 007 [συν+ 9ηµ]0 Β α+ α + + α0= S0 δηλαδή = S0 άρα α+ α + + α0= S 0= (συν+ 9ηµ)5= = 0συν+ 45ηµ Γ Η εξίσωση µε τη βοήθεια του ερωτήµατος Β γίνεται : 0συν + 45ηµ = ηµ 0συν 0ηµ = 0 συν ηµ = συν ηµ συν = συν(συν ηµ) = 0 Π συν= 0 αδύνατο 0, ή Π συν = ηµ σφ = = διότι 4 Π 0, ΘΕΜΑ 4 ο Α Η συνάρτηση f () ln(e ) Β Η εξίσωση γίνεται : ( ) = έχει πεδίο ορισµού το διάστηµα ( ) ln e = ln 7 + ln(e ) ln(e ) = ln 7(e ) e = 7e 4 e 7e + = 0 e = 4 ή e = ηλαδή = ln 4 ή = ln ln,+ Γ Αφού οι f(α), f(β), f(γ) είναι διαδοχικοί όροι αριθµητικής προόδου ισχύει : β α γ β α γ ln(e ) = ln(e ) + ln(e ) δηλαδή (e ) = (e ) (e ) f () f () f (00) e + e + + e = 00 (e ) + (e ) + + (e ) = 00 e e e = 00 e(e ) 00 = e 0 e 0e + 00 e Τα θέµατα προορίζονται για αποκλειστική χρήση της φροντιστηριακής µονάδας

59 Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 008 Β' ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΑΛΓΕΒΡΑ ΘΕΜΑ ο ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α) Σχολικό Βιβλίο Σελίδα 6 Β) Λάθος, Σωστό, Σωστό, Σωστό, Λάθος Γ) Γ, Β,, Γ, Β, Α ΘΕΜΑ ο α) P() = F() 5 +6 = = 0 Πιθανές ακέραιες ρίζες οι ±, ±, ±, ± 6 Έχουµε το παρακάτω σχήµα Horner: Άρα η εξίσωση γίνεται: ( )( 5+6)=0 =0 ή 5+6=0 =ή = ή = β) Πρέπει και αρκεί P() < < 0 Πιθανές ακέραιες ρίζες οι ±, ±, ±, ± 4, ± 6, ± H ανίσωση γίνεται ( )( 4+) < 0 < Το τριώνυµο 4+ είναι θετικό για κάθε R,αφού < 0 Τελικά για (, ) η γραφική παράσταση του Ρ() βρίσκεται κάτω από τον γ) Έχουµε α = και λ =, άρα α α λ ν ν ν= = i) α ν =9 ν = 9 ν = 64 ν = 6 ν = 6 ν = 7, άρα ο όρος είναι ο έβδοµος α ν+ ii) Έχουµε: = λ, α λ = λ ν για κάθε ν Ν * Το ζητούµενο γινόµενο ισούται µε Τα θέµατα προορίζονται για αποκλειστική χρήση της φροντιστηριακής µονάδας

60 Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 008 ΘΕΜΑ ο π α) Για κάθε κπ +, κ Z είναι: ηµ4+ ηµ ηµσυν+ ηµ f () = = = συν συν ηµσυν(συν + ) = 8ηµσυν = συν ηµ(συν + ) συν 8ηµ ( ηµ ) = π β) Για κάθε κπ +, κ Z είναι: f () = 6ηµ 8ηµ 8ηµ = 6ηµ 8ηµ + 8ηµ = ( ) 0 ηµ + ηµ ηµ + = ηµ = 0 = κπ, κ Ζ = 8ηµ 8ηµ γ) π π π f ( ) = 8ηµ 8ηµ = 8 8( ) = 4 = f(0) = 8ηµ0 8ηµ 0 = 0 π π π f ( ) = 8ηµ( ) 8ηµ ( ) = 8( ) 8( ) = 4 + = Έχουµε: f(0) = f( π 6 )+f( π π ), άρα οι f( ), f(0), f( π ) είναι διαδοχικοί όροι αριθµητικής προόδου ΘΕΜΑ 4 ο f () = ln( + α β), > α+β π π A α) ln 6+ f ( ) ln 5 = lnπ ln 6 + ln( + α β) ln 5 = ln π π ln( α β) ln 5 ln π ln 6 + = + ln( π + α β) = ln 5π π + α β = 5π 6 6 5π π π α β = α β = 6 π β) f () = ln( + ), π > ηµ (e ) συν (e ) = f ( ) ηµ (e ) = f ( ) f ( ) π f ( ) f ( ) ηµ (e ) συν (e ) = ln( + ) π π π ηµ (e ) = ηµ (( + )) = ηµ ( + ) = ηµ π π π + = κπ+, κ Ζ = κπ, κ Ζ Τα θέµατα προορίζονται για αποκλειστική χρήση της φροντιστηριακής µονάδας

61 Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 008 π π π Πρέπει: > κπ >, κ Ζ κ >,κ Ζ κ = 0,,, 4 π Τελικά = κπ, κ {0,,,} (Η µη χρησιµοποίηση του τελευταίου περιορισµού, προτείνεται να µη θεωρηθεί λάθος) Β α) f() = 0 ln( + α β) = 0 + α β = α β = 0 β) f () = ln, > 0 Η ανίσωση ορίζεται όταν > 0 4 f ( ) ln( e ) 4 f ( ) ln(e ) f ( ) + 4 ln(e ) 6 < < < 4 f ( ) + 4 < ln + ln e f () < ln ln < 0 < < 4 4 Τα θέµατα προορίζονται για αποκλειστική χρήση της φροντιστηριακής µονάδας

62 Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 009 Β' ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΑΛΓΕΒΡΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ ο Α Θεωρία σελ 68 Α Θεωρία σελ 6 Θεωρία σελ 6 Β Β Β Σ Λ Σ 4 Λ 5 Σ Γ Β4 Α Β 4 Γ ΘΕΜΑ ο α) Επειδή ο αριθµός είναι ρίζα του πολυωνύµου έχουµε: Ρ( ) = 0 84α + 4β + α = 0 6α + 4β = 0 α β + = 0 () Επειδή η διαίρεση του Ρ() µε το + αφήνει υπόλοιπο -8 έχουµε Ρ( ) = 8 α β α = 8 α β + = 0 α + β = 0 () Λύνουµε το σύστηµα των () και () Τα θέµατα προορίζονται για αποκλειστική χρήση της φροντιστηριακής µονάδας

63 Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 009 ()+() 6α = 0 α = 7 για α= () 6 β + = 0 β = 7 β) i) Για α= και β= το πολυώνυµο γίνεται Ρ = Με σχήµα Horner έχουµε ( ) Το πολυώνυµο γράφεται ( ) = ( )( + ) = ( )( )( ) = ( ) ( ) Ρ Άρα ( ) ( ) ( ) Ρ = 0 = 0 = ή = διπλή ρίζα ii) Η διαίρεση είναι: Από την ταυτότητα της Ευκλείδειας διαίρεσης έχουµε ( ) ( )( ) γ) Η ανίσωση γίνεται: ΘΕΜΑ ο Ρ = ( ) ( )( ) ( )( ) 0 Ρ > Α α) H εξίσωση γίνεται f() + f() + = 0 συν + συν + = 0 συν + συν + = 0 συν + συν + = 0 Θέτω συν=ω µε ω και η εξίσωση γίνεται ω + ω+ = 0 που έχει ρίζες ω= και ω= δεκτές Για ω=- έχουµε συν = = κπ+ π, κ Z Τα θέµατα προορίζονται για αποκλειστική χρήση της φροντιστηριακής µονάδας

64 Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 009 π Για ω= έχουµε συν = = κπ ±, κ Z π π π β) Για = έχουµε f = συν = οπότε η δοθείσα σχέση γίνεται π π 0 π 0 L= + f + f + + f 8 = = = Σ 8 όπου Σ το άθροισµα πρώτων όρων γεωµετρικής προόδου µε α = και λόγο λ= Β α) Πρέπει άρα Σ = α = = = οπότε L = 8 = 9 = α > 0 α < Για να είναι γνησίως φθίνουσα η g πρέπει 0 < α < < α < 0 0 < α < Εποµένως για να είναι γνησίως φθίνουσα η g πρέπει β) Για α=- η συνάρτηση γίνεται ( ) ( ) ηµ συν 0< α< g() = οπότε η εξίσωση γίνεται g ηµ + g συν = + = ηµ ηµ ηµ + = + = ηµ ηµ Θέτουµε = ω, ω> 0 και έχουµε ω+ = ω ω + = 0 ( ω ) = 0 ω ηµ Έτσι ω= = ( ) ηµ = ηµ = ή ηµ = π 5π ηµ = = κπ ή = κπ +, κ Z 4 4 π π ηµ = = κπ+ ή = κπ +, κ Z 4 4 Τα θέµατα προορίζονται για αποκλειστική χρήση της φροντιστηριακής µονάδας

65 Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ ΘΕΜΑ 4 ο α) Πρέπει >0 και Άρα Af ( 0, e) ( e, ) ln 0 ln e = + Για το σηµείο τοµής της γπ της f µε τον έχουµε ln + f ( ) = 0 = 0 ln + = 0 ln ln = ln = = e άρα το σηµείο τοµής είναι β) Έχουµε ln + ln + ln f = = = = ln ln ln + f e ( ) για κάθε e,0 γ) Η εξίσωση γίνεται f() + f = f() + = f () f() + = 0 f() Η εξίσωση είναι δευτέρου βαθµού και έχει ρίζες f()= και f()= ln + Aν f ( ) = = ln + = ln = αδύνατο ln ln + f = = ln + = 4ln ln ln = = e δεκτή Aν ( ) ln e + + = = lne Άρα η τιµή της παράστασης δ) Παρατηρούµε ότι f ( e ) A= lnf(e )+ lnf ( e ) + lnf ( e ) + lnf ( e ) + lnf ( e ) είναι ( ) ( ) ( ) ( ) A= ln f(e ) f e f e f e f e = = ln = ln = ln009 ln A και f Τα θέµατα προορίζονται για αποκλειστική χρήση της φροντιστηριακής µονάδας 4

66 Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 00 B' ΤΑΞΗ ΓΕΝΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ ΘΕΜΑ ο ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α Θεωρία βλ Βιβλίο ΟΕ Β Άλγεβρα Β Λυκείου σελ 8 Α Θεωρία σελ 95, 96 Β Σωστό Σωστό Λάθος 4 Σωστό 5 Λάθος ΘΕΜΑ ο Έχουµε Ρ( ) = 8 και ( ) Ρ = 0 α) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) P = 8 + α + β = 8 9α + β = 6 P = 0 + α + β = 0 4α + β = 6 Εποµένως έχουµε το σύστηµα 9α + β = 6 που έχει λύση α 4α + β = 6 = και β = β) Για α = και β = το πολυώνυµο γίνεται ( ) Ρ = + Έτσι έχουµε Άρα Π ( ) = + και ( ) Εποµένως ( ) ( )( ) υ = P = + + Τα θέµατα προορίζονται για αποκλειστική χρήση της φροντιστηριακής µονάδας

67 Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 00 γ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) = = + P Q = 0 ( )( ) ( ) ( ) ( ) = 0 + = 0 + = 0 άρα οι λύσεις είναι = 0, = και = ΘΕΜΑ ο Α α) Η εξίσωση () γίνεται ηµ συν = 0 ηµ συν συν = 0 ( ) συν ηµ = 0 συν = 0 ή ηµ = Οι λύσεις είναι συν = 0 = κπ ± π, κ Z ηµ = π π = κπ + ή = κπ + π 4 4 π = κπ + ή = κπ + 4 4, κ Z 0, π έχουµε β) Για κάθε [ ] π π π 0 π 0 kπ + π kπ π k 4 4 π Α ρα k = 0 Τ ότε = π π π 0 π 0 kπ π kπ π + k 4 4 Άρα ο k δεν ορίζεται π π π 0 π 0 kπ + π kπ π k π Α ρα k = 0 Τ ότε = 4 π π π 0 π 0 kπ + π kπ π k π Α ρα k = 0 Τ ότε = 4 π π π ηλαδή οι ρίζες της εξίσωσης () είναι =, = και = 4 4 Τα θέµατα προορίζονται για αποκλειστική χρήση της φροντιστηριακής µονάδας

68 Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 00 π π π Ακόµα + = + = π= = που είναι διαδοχικοί όροι 4 4 αριθµητικής προόδου Β 4συν α + συν 4α 4συν α + συν α 4συν α συν 4α 4συν α συν α = = ( συν α ) ( συν α ) ( ) ( ) συν α 4συν α + + = = = συν α + 4συν α + συν α + συν α + ( συν α ) 4 4 4συν α 4συν α + 4συν α συν α 4συν α 4συν α 4συν α = = = ( ) ( ) 4 4 συν α ηµ α 4ηµ α = = = = συν α συν α συν α 4 εϕ α ΘΕΜΑ 4 ο Α i Έχουµε : ( ) ( ) ( ) ( ) L = ϕ ϕ ϕ 4 ϕ = = ln ln 4 ln ln ln 5 ln = ln 4 ln 6 6 ln 64 ln 6 ln = = = = = 00 ln ln ln ii Έχουµε : ( + ) ln ( + ) ( + ) ln ( + ) ln ln ϕ ( ) > ϕ ( ) > > ln ln ln ln Επειδή για > είναι ln> 0 έχουµε ( + ) ln ( + ) ln > ln ( + ) > ln ( + ) ( ) ( ) ln + > ln + ( ) + > > + > 0 Αλλά > Εποµένως η λύση είναι > Τα θέµατα προορίζονται για αποκλειστική χρήση της φροντιστηριακής µονάδας

69 Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 00 4 Β i Πρέπει ( ) e e + e + e > 0 e e e e + e > 0 ( ) ( ) ( e e) ( e ) e e e e e > 0 > 0 Θέτω e = y> 0 Τότε y e y > 0 ( )( ) y> e ή0< y< Επειδή 0 0 e e e y > > > > Άρα ισχύει µόνοe > e > Εποµένως η συνάρτηση f ορίζεται για (, + ) ii Για κάθε > e ln > εποµένως έχουµε ( ) ( ) ( ) ln ln ( ) ( ) f ln = ln ln e e e + e = ln ( ) ( ) ( ) ln ln + = + = e e e e e e ( ) ( ) ( ) e + e + = 0 e e = 0 ( e)( ) ( ) ( ) ( e ) = 0 = 0 Οι λύσεις είναι ( πορρ πτεται αϕο ) = Α ί ύ > e και ( εκτ ) = e + ή Τα θέµατα προορίζονται για αποκλειστική χρήση της φροντιστηριακής µονάδας 4

70 B' ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΑΛΓΕΒΡΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α Θεώρηµα βλ Βιβλίο ΟΕ Β Άλγεβρα Β Λυκείου σελ 74 Α Θεωρία σελ 6 Α Θεωρία σελ 4,5 A4 α Β β Γ γ Β A5 α Σωστό β Λάθος γ Λάθος ΘΕΜΑ Β Β Το πεδίο ορισµού της συνάρτησης f είναι Af = R Επειδή τα σηµεία A( 0,β+ 5 ), και παράσταση της συνάρτησης f έχουµε: f( 0) = β+ 5 α συν 0 = β + 5 α = β + 5 () 4π Β,4β β ανήκουν στη γραφική 4π β 4π f = 4β α συν = 4β α = 4β () β β Από τις σχέσεις () και () έχουµε: 4β = β+ 5 4β β 5 = 0 και = ( ) 4 4 ( 5) = 8 Άρα β = δεκτή ( β < 0) ± 8 ± 9 β = = = β = ( απορ ) 4 Εποµένως από τη σχέση () έχουµε α = 4 Άρα το σύστηµα των σχέσεων () και () έχει λύση = και β = α 4 Άρα ο τύπος της συνάρτησης f είναι

71 f( ) = 4συν f( ) = 4συν = kπ = 4k π, k Z Αλλά 0 π 0 4kπ π 0 k Άρα k=0,,, Για k=0 = 0 Για k= = 4 π Για k= = 8 π Για k= 4 = π Αρα τα σηµεία τοµής της f µε την ευθεία y= είναι 0,4, 4 π,4, 8 π,4, π,4 Β Έχουµε : f( ) = 4 4 συν = 4 συν = ( ) ( ) ( ) ( ) f = 4συν και είναι της µορφής = ρσυν ω οπότε η µέγιστη τιµή της συνάρτησης είναι το 4 και η Β Επειδή ο τύπος της συνάρτησης f είναι ( ) Β4 ( ) ( ) f ελάχιστη τιµή της το 4 π π Η περίοδός της είναι Τ = = = 4π ω Έχουµε π π Α = f( 4π) f = 4 συν( π) 4 συν = 4 4 = Ακόµα f( 0) = 4 συν 0 = 4 οπότε ( ) ( ) f 0 4 Β = f( 0) + 4 = = f ( ) = = ΘΕΜΑ Γ Γ Έχουµε Ρ()= και Ρ( ) = 0 P( ) = + α 7+ β + = α + β = 5 ( ) = α β + = α + β = P Εποµένως έχουµε το σύστηµα

72 α + β = 5 4α + β = 0 που έχει λύση α = 5 και β = 0 4 Γ α Για α = 5 και β = 0έχουµε P( )= Τότε: Άρα το πηλίκο είναι Π ( ) = 6 Από την ταυτότητα της διαίρεσης έχουµε ( ) = ( + ) Π ( ) + υ( ) P P = Εποµένως ( ) ( )( ) β Έχουµε: P( ) = υ( ) ( + ) Π ( ) + υ( ) ( ) ( )( ) ( )( )( ) = υ + 6 = = 0 Άρα οι λύσεις είναι = 0, =, = και = 6 γ Έχουµε: ( ) ( ) ( )( ) Q > 0 + > 0 + > 0 + > 0 Εποµένως (,0) (, + )

73 4 ΘΕΜΑ 4 Πρέπει > > 0 ( 4 )( 4 + ) > 0 4+ και οπότε ( 4,4 ) Εποµένως το πεδίο ορισµού της συνάρτησης f είναι το = ( ) A 4,4 Για να διέρχεται η γραφική παράσταση της f από την αρχή των αξόνων αρκεί f(0)=0,έτσι για =0 έχουµε: 4 0 f( 0) = ln = ln( ) = A= f( ) + f( ) + f( ) + f( 0) + f( ) + f( ) + f( ) = 5 = ln 7+ ln+ ln + ln( ) + ln + ln + ln = = ln 7 + ln + ln = ln( ) + ln( ) + ln( ) = Η ανίσωση γίνεται: 4 4+ f( ) f( ) < ln ln ln < ln ln ln < ln ln + ln < ln ln < ln ln < ln ( η συνάρτηση y=ln είναι γνησίως αύξουσα ) < < 0 ( ) < 0 ( )( 4+ ) < ( ) f Άρα (, 4) (, + ) Το πεδίο ορισµού της συνάρτησης f είναι το A f= ( ) (,4 ) 4 Η εξίσωση γίνεται ( ) ( ) f( ) f( ) f( ) f e + = 4e e 4e + = 0 f( ) Θέτουµε y = e µε y > 0 οπότε η εξίσωση () γίνεται 4,4 οπότε τελικά 4

74 5 y 4y+ = 0 που έχει ρίζες τις y= και y= Για y= έχουµε 4 ln f( ) 4+ 4 = e e = = 4 = 4 + = 0 4+ που γίνεται δεκτή γιατί 0 A f Για y= έχουµε 4 ln f( ) 4+ 4 = e e = = 4+ 4 = + = που γίνεται δεκτή γιατί A f Άρα οι λύσεις είναι = 0 και = 5

75 ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (ΟΕΦΕ) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_ΜλΓΑ(α) ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ / ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Ηµεροµηνία: Κυριακή Απριλίου 0 ΘΕΜΑ A ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α Θεωρία Σχολικό Βιβλίο (έκδοση 0) σελίδα 94 Α Θεωρία Σχολικό Βιβλίο (έκδοση 0) σελίδα 95 Α α) Σωστό β) Λάθος γ) Λάθος δ) Λάθος ε) Λάθος A4 Αριθµός Με µορφή λογαρίθµου Με µορφή δύναµης log 7 log log0 log log ( ) 8 8 ln0 e ΘΕΜΑ Β Β Έχουµε f () = 0 + = 0 () Επειδή όλοι οι συντελεστές είναι ακέραιοι, οι πιθανές ακέραιες ρίζες της εξίσωσης f () = 0, είναι το - ή το Το - δεν είναι ρίζα, γιατί f ( ) = ( ) ( ) + = 4 Ενώ το είναι ρίζα, γιατί f () = () () + = 0 Με εφαρµογή του σχήµατος Horner έχουµε: - 0 ρ= ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: ΑΠΟ 5

76 ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (ΟΕΦΕ) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_ΜλΓΑ(α) Η εξίσωση () είναι τώρα ισοδύναµη µε την Έτσι, = 0 = ή = 0 µε ρίζες = ή = - αφού =9 ( )( ) = 0 Οι ρίζες λοιπόν της εξίσωσης () είναι = ή = (διπλή) Β Επειδή το α = είναι η διπλή ρίζα τότε: π π ηµ = ηµ = ηµ = κπ + ( κ Z ) ή π π = κπ + π = κπ + ( κ Z ) Όµοια, το β = είναι η άλλη ρίζα οπότε: π π π συν = συν = συν( π ) = κπ + ή = κπ ( κ Z ) Β Επειδή η γραφική παράσταση της f δεν είναι πάνω από τον άξονα πρέπει: f () 0 ( )( ) 0 Το πρόσηµο της f () φαίνεται στον παρακάτω πίνακα: - -/ f() Έτσι, οι τιµές των R για τις οποίες η γραφική παράσταση της f δεν βρίσκεται πάνω από τον άξονα είναι: ή = Β4 Έχουµε f ( ) = ( ) ( ) + = + Εκτελούµε την ευκλείδεια διαίρεση, όπως φαίνεται παρακάτω: Το πηλίκο είναι: π () = και το υπόλοιπο: υ () = + 4 Εποµένως, f ( ) = ( + )( ) + (+ 4) ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: ΑΠΟ 5

77 ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (ΟΕΦΕ) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_ΜλΓΑ(α) ΘΕΜΑ Γ Γ Αφού ln α,ln β,ln γ διαδοχικοί όροι αριθµητικής προόδου ισχύει: ( ) ln ln ln ln ln () β = α + γ β = αγ β = αγ Για την συνάρτηση f µε ( ) f () = α + β + γ, R έχουµε: = β 4αγ =β 4β = β < 0, αφού β > 0 Επειδή α > 0 και < 0 είναι f () > 0, για κάθε πραγµατικό αριθµό Έτσι το πεδίο ορισµού της συνάρτησης h είναι το R Γ α) Είναι Επειδή έχουµε ln log ln e, e β γ α = α = = α = = β, α = 0 = γ ν α ν = α λ, όπου λ ο λόγος της προόδου, τότε για ν = 5 4 α 5 = α λ Έχουµε α 5 = 56 και α =, εποµένως = λ λ = 4 λ = 4 ή λ = 4 α β Επειδή λ = = > 0 τότε η τιµή λ = 4 απορρίπτεται α Για λ = 4 έχουµε β = α λ = 4 και γ = β λ = 4 4 = 6 Έτσι, λοιπόν α =, β = 4 και γ = 6 β) Για α =, β = 4, γ = 6 είναι f () = και g() = ηµ + Η εξίσωση f ( συν ) = g() είναι ισοδύναµη µε την συν + συν + = ηµ + Επειδή 4 6 συν + 4συν ηµ 5 = 0 () ηµ = συν τότε από τη () έχουµε: συν + 4συν + συν 5 = 0 συν + 4συν 6 = 0 συν + συν = 0 () Θέτουµε συν = y όπου y οπότε η () γίνεται µε ρίζες y= ή y= Η y= απορρίπτεται y + y = 0 Για y= έχουµε: συν = συν = συν0 = κπ, κ Z Όµως, ( 0, 4π] 0 < 4π 0 < κπ 4π 0 < κ Οκ είναι ακέραιος, οπότε κ = ή κ = Για κ = : = π και για κ = : = 4π Γ Αφού ω > 0 τότε β = π και β = 4π Η διαφορά είναι: ω = β β = π Ο νιοστός όρος της αριθµητικής προόδου ( β ν ) είναι: β = β + ( ν ) ω = π + ( ν )π = πν ν ν Το άθροισµα των ν πρώτων δίνεται από τον τύπο S ν = ( β + β ν ) ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: ΑΠΟ 5

78 ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (ΟΕΦΕ) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_ΜλΓΑ(α) Επειδή Sv = 550π έχουµε: ν 550 π = (π + πν) 550 π = νπ( ν + ) ν ν + = 550 ν + ν 550 = 0 ( ) Η διακρίνουσα είναι = 4 ( 550) = 00 = Έτσι, ν = = 50 ή ν = = 5 Επειδή ο ν είναι θετικός ακέραιος, τότε ν = 50 ΘΕΜΑ Για να ορίζεται η g πρέπει να ισχύει > 0 Έτσι, Α g = ( 0, + ) (είναι ln 0 γιατί ) Για να συγκρίνουµε g ( ) και βρίσκουµε το πρόσηµο της διαφοράς ( ) Είναι ( ) ln ln ln ln ln ln ln 4 ln g = = = = = 4 ln ln ln ln ln Όµως 4 < άρα ln 0 4 < και >, οπότε ln > 0 g < 0 g < Είναι ( ) ( ) Εναλλακτικά λύνουµε την ln g( ) < < ln αληθεύει, γιατί < 4 επί ln> 0 g ln < ln ln < ln ln < ln 4 η οποία > 0 και ln( ) 0 ln > 0 ln Για να ορίζεται η f πρέπει Έχουµε > 0 > ln > ln ln > ln > ln και ln 0 ln ln 4 ( ) ( ) ln Από το είναι ln <, οπότε ln Α ( ) f = (,), + ln Είναι f( log ) κ = = ln log κ ( ) ln( κ ) log, αφού κ = κ ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: 4 ΑΠΟ 5

79 ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (ΟΕΦΕ) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_ΜλΓΑ(α) κ < < ln Έχουµε f( log ) ( κ ) Επειδή κ > ισχύει ( ) Οπότε ( ) ( ) Τελικά ln κ > 0 ln κ > ln κ > ln e κ > e κ > + e κ ( + e, + ) 4 Το υπόλοιπο της διαίρεσης ( ) :( + ) υ () = = = 0 είναι ( ) ( ) Έχουµε υ () = (f ( β) ) + g( α ) + g( α ) + g( α ) + + g( α ) ln Από την ισότητα των δύο πολυωνύµων έχουµε : f ( β) = 0 και 0 0 g( α ) + g( α ) + g( α ) + + g( α ) = 0 ln 0 0 ιαδοχικά έχουµε: f( β) = 0 f( β ) = = ln ( ) β ( ) β β β ln = ln e = e = e + () και g( α ) + g( α ) + g( α ) + + g( α ) = 0 ln 0 lnα ln α ln α ln α = ln ln ln ln ln l 0 ( ln α + ln α + ln α + + 0ln α ) = ln ln ln α 0 ( ) = () ln ln 0 0 Το S= είναι άθροισµα των 0 πρώτων όρων της αριθµητικής 0 προόδου µε α =, ω = Έτσι, S0 = ( α + α 0) = 0( + 0) = 0 Από τη () προκύπτει 0 ln α 0 = ln α = α = e () ln ln Έτσι, έχουµε () () β ln ln β β e = (e ) = = e + = α + ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: 5 ΑΠΟ 5

80 ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (ΟΕΦΕ) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_ΜλΓΑ(α) ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ / ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Ηµεροµηνία: Κυριακή 7 Απριλίου 0 ιάρκεια Εξέτασης: ώρες ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α Βλέπε απόδειξη () σελ75 σχολικού βιβλίου Α α) Βλέπε τον ορισµό στη σελίδα 5 σχολικού βιβλίου β) Βλέπε τον ορισµό στη σελίδα 74 σχολικού βιβλίου Α α) Σωστό - (βλέπε σελίδα 0 σχολικού βιβλίου) β) Σωστό - (βλέπε σελίδα 74 σχολικού βιβλίου) γ) Λάθος - (βλέπε σελίδα 75 σχολικού βιβλίου) Το σωστό είναι R = { συν 0} δ) Λάθος - (βλέπε σελίδα 44 σχολικού βιβλίου) Το σωστό είναι ότι µετατοπίζεται προς τα αριστερά ε) Σωστό - (βλέπε σελίδα 64 σχολικού βιβλίου) ΘΕΜΑ Β Β Αφού το + = ( ) είναι παράγοντας του P(), από γνωστό θεώρηµα ισχύει P( ) = 0 Έχουµε: ( ) ( -) + ( α +β)( -) + ( α +5β)( - ) ( -) + ( α +β) - α -5β + = 0 P - = 0 + = α +β - α -5β + = 0 -α - 4β + = 0 α + 4β = () Αφού το υπόλοιπο της διαίρεσης P(): ( ) ισούται µε 9, από γνωστό θεώρηµα ισχύει: P() = 9 Έχουµε: ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: ΑΠΟ 7

81 ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (ΟΕΦΕ) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_ΜλΓΑ(α) ( ) ( ) ( ) 8+ 4( α +β ) + ( α +5β ) + = -9 P = -9 + α +β + α + 5β + = α + 4β + 4α +0β + = -9 8α +4β = (απλοποιούµε µε το ) 4α + 7β = -4 () Λύνουµε το σύστηµα των (),(): α + 4β = α = - 4β α = - 4β 4α + 7β = -4 4( - 4β ) + 7β = β + 7β = -4 α = - 4β α = - 4 α = -7-9β = -8 β = β = Β Για α = -7 και β = το πολυώνυµο P() γράφεται: P( ) = + (-7 + ) + ( -7) P( ) = α) Είναι P() = = 0 Σύµφωνα µε το Θεώρηµα ακεραίων ριζών οι πιθανές ακέραιες ρίζες της εξίσωσης, είναι οι διαιρέτες του σταθερού όρου α 0 =, δηλαδή οι αριθµοί ±,± Από το ερώτηµα (Β ) ισχύει P( ) = 0, δηλαδή το είναι ρίζα του P(), οπότε εφαρµόζοντας το σχήµα Horner για ρ = έχουµε: -5-4 ρ= Η ταυτότητα της διαίρεσης είναι: = δ π P = -ρ π ή Τότε η εξίσωση γίνεται: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = ( +)( -7 + ) ( +)( -7 + ) = 0 + = 0 ή = - ή -7 + = 0 = ή = ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: ΑΠΟ 7

82 ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (ΟΕΦΕ) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_ΜλΓΑ(α) β) Η ταυτότητα της διαίρεσης είναι: 5 4+ = ( )( 5 ) + ( ) γ) Από το (α) ερώτηµα έχουµε P( ) ( )( 7 ) ερώτηµα έχουµε ότι υ() = = ( + ) υ( ) Για να ορίζεται η ανίσωση 0 P πρέπει Τότε: ( ) ( ) 7 + ( ) ( ) ( )( ) P και ( ) υ P 7 Το πρόσηµο του ( + )( + ) < 0 = + + και από το (β) και 7+ φαίνεται στον ακόλουθο πίνακα: Άρα οι λύσεις της ανίσωσης είναι < < ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: ΑΠΟ 7

83 ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (ΟΕΦΕ) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_ΜλΓΑ(α) ΘΕΜΑ Γ Γ Απλοποιούµε τους συντελεστές των αγνώστων του συστήµατος, µε αναγωγή τους στο ο τεταρτηµόριο: ηµ π + θ = ηµθ ( ) συν( θ) = συνθ π ηµ θ = συνθ ( ) ( ) ( ) ηµ θ π = ηµ π θ = ηµ π θ = ηµθ Τότε το αρχικό σύστηµα γίνεται: ηµθ + συνθy = συνθ + ηµθy = Υπολογίζουµε τις ορίζουσες του συστήµατος: -ηµθ συνθ D= = ηµ θ συν θ= ( ηµ θ+ συν θ) = 0 συνθ ηµθ συνθ D= = ηµθ συνθ ηµθ ηµθ Dy= = ηµθ συνθ συνθ Αφού D 0 το σύστηµα έχει µοναδική λύση D D ( ) y ηµθ συνθ ηµθ συνθ, y =, (, y ) =, D D, y = συνθ ηµθ, συνθ + ηµθ α Γ α) Η ( ) ( ) f 0 συν 4 ( ) ( ) = είναι της µορφής ( ) α ρ= 0 και c= 4 Η µέγιστη τιµή της f() είναι α ρ+ c= 0 4, οπότε: α α α 0 4 = 0 = = 7 f = ρσυν+ c µε ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: 4 ΑΠΟ 7

84 ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (ΟΕΦΕ) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_ΜλΓΑ(α) ΘΕΜΑ α α α 0 = 7 0 = 4 (αδύνατη αφού 0 > 0) = = α α 0 7 = 0 = 0 α ή ή 0 0 α β) Έχουµε: y = f θ y = 7συνθ 4 Είναι ( ) αφού Επίσης Άρα ( ) ( συνθ ηµθ)( συνθ + ηµθ) = 7συνθ 4 = συν θ ηµ θ 7συνθ 4 ( ) = συν θ συν θ 7συνθ = συν θ συν θ 7συνθ 4 0 συν θ 7συνθ 0 + = Θέτουµε συνθ = ω µε ω, οπότε η εξίσωση γίνεται ω 7ω+ = 0 Οι ρίζες της είναι ω = (απορρίπτεται) και ω= Τότε: π θ = κπ + π ω = συνθ = συνθ = συν ή κ Z π θ = κπ ln e ln ln e ln ln e ln ln ln ր = + = + = + = + >, < ln < ln 0 < ln e ր άρα ln( e ) > ln ր < e < e e + e < e + e e < e + e ln ր ( ) ( ) ln e < ln e + e Για να ορίζεται η f() πρέπει: ( ) ( ) < ln e < ln e+ e ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: 5 ΑΠΟ 7

85 ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (ΟΕΦΕ) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_ΜλΓΑ(α) e ր και και και e e > 0 e > e > ( ) ( ) ln e e 0 ln e e e e e > > > και και και e e ln e ln( e ) ln e ln( e ) > ln( e ) > και (,ln( e )) ( ln( e ), + ) ln( e ) Άρα το πεδίο ορισµού της f είναι το σύνολο: ( ( )) ( ) ( ) A =, ln e ln e, + Για να ορίζεται η ανίσωση πρέπει: y 0 y Τότε ( ) y 6 y y y y y y ( y ) y y 6y + y 6y y y y y ( ) ( ) y y 0 Οι ρίζες των παραγόντων του γινοµένου είναι οι y =, y = και για το πρόσηµο των παραγόντων έχουµε: y - + (y ) y + + (y ) (y ) + + y Τότε ( y ) ( y ) 0 y > δηλαδή y (, + ) ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: 6 ΑΠΟ 7

86 ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (ΟΕΦΕ) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_ΜλΓΑ(α) α) Έχουµε αποδείξει από το ότι ln( e + e ) > ln( e ) άρα το 0 ln( e ), της f Τότε f( ) ( ) + που είναι υποσύνολο του πεδίου ορισµού Α ln( e e ) 0 ln α ( ) ln + e e ln e e e = = = 0 ln( e e ) ( + ) ln e e 0 ln e e ( ) ( ) ( ) ln e + e e ln e = = = ln e + e e ln e ( ) ( ) ln e 9 6 = = = = = 6 ln e β) Αρκεί να αποδείξουµε ότι για κάθε ( ) f( ) f( 0 ) Είναι ( ) ( ) ( ) Θέτουµε οπότε: ( ) ( ) ln e e f f 0 f 6 6 ln e e ( ) y 6 y > y ( ) ln e e = y, ( ) ln e e > e e > e e > e ln ր ln e > ln e > ln( e ) ln( e ) ( ) > ln e, που ισχύει = α ( ) ln e, + είναι Το f( 0) δεν είναι ελάχιστο της συνάρτησης γιατί, από την παραπάνω απόδειξη, η σχέση f( ) f( 0 ) αληθεύει µόνο στο διάστηµα ( ln ( e ) ),+ και όχι σε όλο το πεδίο ορισµού της συνάρτησης ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: 7 ΑΠΟ 7

87 ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (ΟΕΦΕ) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 04 Ε_ΜλΓΑ(α) ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΆΛΓΕΒΡΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Ηµεροµηνία: M Τετάρτη 6 Απριλίου 04 ιάρκεια Εξέτασης: ώρες ΘΕΜΑ A ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α Θεωρία Σχολικό Βιβλίο (έκδοση 0) σελίδα Μια συνάρτηση f λέγεται γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστηµα του πεδίου ορισµού της, όταν για οποιαδήποτε, µε < ισχύει f ( ) >f ( ) Α Θεωρία Σχολικό Βιβλίο (έκδοση 0) σελίδα 60 Για οποιαδήποτε γωνία ω ισχύει η ταυτότητα ηµ ω + συν ω = Απόδειξη Αν M(, y ) είναι το σηµείο στο οποίο η τελική πλευρά της οποιασδήποτε γωνίας ω τέµνει τον τριγωνοµετρικό κύκλο, τότε θα είναι: ηµω= y και συνω= Επειδή όµως, = και ( ΟΜ ) = + y = + y ( OM ) θα ισχύει: + y =, οπότε θα έχουµε: συν ω+ ηµ ω= Α Θεωρία Σχολικό Βιβλίο (έκδοση 0) σελίδα 74 Αν α> 0 µε α και θ> 0, τότε: α = θ log α θ = Ισοδύναµα αυτό διατυπώνεται ως εξής: Ο logαθ είναι ο εκθέτης στον οποίο πρέπει να υψώσουµε τον α για να βρούµε το θ ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: ΑΠΟ 7

88 ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (ΟΕΦΕ) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 04 Ε_ΜλΓΑ(α) A4 α) Σωστή β) Σωστή γ) Σωστή δ) Λάθος ε) Σωστή ΘΕΜΑ Β Β Πρέπει P() = α + Άρα + α α + = α + α + α = 0 α = ή α = Βα Για α = είναι P() = + + Έχουµε λοιπόν Έτσι σύµφωνα µε την Ευκλείδεια διαίρεση του P() µε το Q() το πηλίκο είναι π () = +, ενώ το υπόλοιπο υ () = + Ββ Για να ορίζεται η ανίσωση πρέπει Q( ) , είναι = οπότε το τριώνυµο Q( ) = + + δεν έχει ρίζες, δηλαδή ισχύει για κάθε R και µάλιστα + + > 0 αφού είναι οµόσηµο του α = > 0 ιαδοχικά έχουµε P() Q() > ( + ) ( + ) 0 ( + )( ) 0 ( + ) ( ) 0 (Σχόλιο ) + ( + ) Γινόµενο ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: ΑΠΟ 7

89 ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (ΟΕΦΕ) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 04 Ε_ΜλΓΑ(α) Από τον παραπάνω πίνακα πρόσηµου έχουµε ότι η ανίσωση επαληθεύεται για [, + ) ή = (Σχόλιο ) () Σχόλιο: ( + ) ( ) 0 Συνήθως µεταφέρουµε όλους τους όρους στο πρώτο µέλος οπότε έχουµε + 0 Στη συνέχεια κάνουµε τα κλάσµατα οµώνυµα και παίρνουµε ( + + ) 0 Εδώ όµως παρατηρούµε ότι το Q( ) = + + έχει + + = < 0 οπότε έχει το ίδιο πρόσηµο µε το α = > 0, δηλαδή ισχύει + + > 0 οπότε µπορούµε να κάνουµε απαλοιφή παρονοµαστών χωρίς να αλλάξουµε τη φορά () Σχόλιο: Το = της ( + ) ( ) 0 επαληθεύεται για = ή = ενώ το > επαληθεύεται για (, ) [, + ) + έτσι έχουµε { } Βγ Πρέπει Q() = που ισχύει για κάθε R και µάλιστα Π () = + 0 Η εξίσωση γίνεται: + = + + ( + ) = = + + = 0 η οποία είναι δεκτή Σχόλιο: Για κάθε και τα δυο µέλη της εξίσωσης αρνητικά οπότε υψώνουµε στο τετράγωνο + = + + είναι µη Εναλλακτικά: + = + + ( + ) = = + + = 0 Κάνουµε επαλήθευση Για = 0 η + = + + µας δίνει το οποίο ισχύει Άρα η ρίζα = 0 είναι δεκτή 0 + = ΘΕΜΑ Γ π Γ Επειδή ηµ + β = συν( β) Πρέπει f (0) = και f ( π ) = τότε f () = ασυν( β ) ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: ΑΠΟ 7

90 ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (ΟΕΦΕ) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 04 Ε_ΜλΓΑ(α) Άρα ασυν 0 = α = και ασυν( βπ ) = συν( βπ ) = α π π δηλ συν( βπ ) = βπ = κπ + ή βπ = κπ ( κ Z ) Έτσι β = κ + ή β = κ ( κ Z ) Έστω β = κ +, πρέπει 0 κ + κ κ 6 Άρα κ = 0, οπότε β = Έστω β = κ, πρέπει αδύνατη γιατί κ Z Έχουµε λοιπόν α = και Άρα f () = συν 4 0 κ κ κ που είναι 6 β = Γ Επειδή για κάθε R ισχύει συν συν f () και αφού είναι f (0) = και f ( π ) = έχουµε f (0) f () f ( π) για κάθε R Έτσι, η f παρουσιάζει ελάχιστο για = 0 το f (0) = µέγιστο για =π το f ( π ) = Εναλλακτικά: Επειδή f () = συν,το ελάχιστο της f είναι το και το µέγιστο το (σχόλιο σελ8) π Η περίοδος της f είναι T = = 6π Ένας πίνακας τιµών της συνάρτησης f στο διάστηµα [0,6 π ] είναι ο εξής: 0 π π 9π 6π f () 0 0 ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: 4 ΑΠΟ 7

91 ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (ΟΕΦΕ) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 04 Ε_ΜλΓΑ(α) Με τη βοήθεια του παραπάνω πίνακα σχεδιάζουµε τη γραφική παράσταση Παρατηρούµε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο [0, π ] και γνησίως φθίνουσα στο [ π,6 π ] Γ Είναι π π f (0) =, f ( π ) = συν =, f ( π ) = συν = και 04π 67 π + π π f (04 π ) = συν = συν = συν 67π + = π π π συν 670π + π + = συν π + = συν = Έτσι, το σύστηµα γίνεται: λ + y = 4λ λ + λ y = 0 λ Έχουµε D = = λ + λ = λ(λ ) λ λ Πρέπει D = 0 λ = 0 ή λ = y = 0 Για λ = 0 το σύστηµα γίνεται που είναι αόριστο 0 = 0 + y = + y = Για λ = το σύστηµα γίνεται που είναι αδύνατο + y = 0 + y = 0 Άρα το ( Σ ) για λ = 0 έχει άπειρες λύσεις της µορφής (, y) = ( κ,0) για κάθε κ R ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: 5 ΑΠΟ 7

92 ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (ΟΕΦΕ) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 04 Ε_ΜλΓΑ(α) ΘΕΜΑ Πρέπει και Έστω > > 0 (4 )(4 ) 0 = ω τότε (4 ω)(4ω ) > 0 - / ω ω Γινόµενο Από τον παραπάνω πίνακα έχουµε 4 4 < ω < όµως = ω Έτσι < < < < (Σχόλιο ) (επειδή η είναι γνησίως αύξουσα στο R, αφού έχει βάση >) Άρα το πεδίο ορισµού της συνάρτησης f είναι το A = (,) () Σχόλιο: Από την επίλυση των παραδειγµάτων σελ67 του σχολικού βιβλίου προκύπτει ότι εφαρµόστηκε η πρόταση: Όταν µια συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα σε ένα διάστηµα του πεδίου ορισµού της, τότε για οποιαδήποτε, ισχύει < f ( ) < f ( ), για αυτόν το λόγο την εφαρµόσαµε πιο πάνω χωρίς απόδειξη Για κάθε (, ) τότε και (, ) Έχουµε f ( ) n n = l n = l 4 4 = l = = ln n f () = l = 4 4 ηλαδή η f είναι περιττή συνάρτηση ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: 6 ΑΠΟ 7

93 ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (ΟΕΦΕ) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 04 Ε_ΜλΓΑ(α) Πρέπει f () = h(), όπου (,) 4 ιαδοχικά έχουµε 4 ln n n = l l ln n 4 = l = = ( ) + = 0 ( ) + 6 = 0 Έστω = ω > 0, τότε ω + ω 6 = 0 Άρα ω = (απορρίπτεται) ή ω = δεκτή αφού < < < < 4 4 και προφανώς < < 4, άρα οι γραφικές παραστάσεις των f και h έχουν κοινό 4 σηµείο n l n n n Είναι n n l l l = l = l = = = ln ln ln Άρα το σηµείο τοµής των γραφικών παραστάσεων f και h έχει τετµηµένη n = l 0 ln Επειδή ln (e ) = ( lne ) = (l ne) = 4 η ανίσωση γίνεται: 4f () > 4f ( ) + ln l n πρέπει A = (, ) και > 0 0 Άρα (,0) (0, ) Όµως η f είναι περιττή, δηλαδή f ( ) = f () οπότε η παραπάνω ανίσωση γίνεται ln l n < 0 Έστω l n = ω τότε ω ω < 0 < ω < ηλαδή < ln < lne < ln < l ne e < < e < και < e e ισοδύναµα < ή > και e < < e e e - -e -/e /e e + Από το παραπάνω σχήµα έχουµε λύσεις Επειδή όµως πρέπει (,0) (0,), τότε e e (, ) (,) e e ( e, ) (,e ) ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: 7 ΑΠΟ 7

94 ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (ΟΕΦΕ) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 05 Α ΦΑΣΗ Ε_ΑΜλΓΑ(α) ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΆΛΓΕΒΡΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Ηµεροµηνία: ευτέρα 5 Ιανουαρίου 05 ιάρκεια Εξέτασης: ώρες ΘΕΜΑ A Α Σχολικό βιβλίο σελ 6 Α Λ, Σ, Σ, Λ, Λ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Β Β ( ) ( 6 9) 8 9 f ( ) + = + + = + + = + = Β Η C f προκύπτει από µετατόπιση της C g κατά µονάδες οριζόντια προς τα δεξιά και κατά µονάδα κατακόρυφα προς τα πάνω C g C f Β Είναι η f () γνησίως φθίνουσα στο (,] και γνησίως αύξουσα στο [, + ) Παρουσιάζει ελάχιστο αν = το f () = ( ) + = ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: ΑΠΟ

95 ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (ΟΕΦΕ) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 05 Α ΦΑΣΗ Ε_ΑΜλΓΑ(α) ΘΕΜΑ Γ Γ Γ συν + ηµ συν f ( ) = = = συν + ηµ συν ( + ηµ ) ηµ + ηµ ηµ ( + ηµ ) = = συν( + ηµ ) συν ( + ηµ ) = εϕ π 5π εφ π + 009εφ = 4 π π π = εφ 009εϕ + = 4 4 π π π π = εφ 009εϕ + 8π = εφ 009εϕ = 4 4 εφ π 009 π εφ π 009 π = εϕ π = + εϕ = 4 4 = = = 05 Γ f ( ) π π = εϕ εϕ = εϕ 4 4 = π + κπ = π + κπ = π + κπ, κ Z ΘΕΜΑ α) + 8 = = + + = = λ λ+ D λ ( λ )( λ ) 8λ λ λ λ 8λ = λ 4λ+ = ( λ )( λ ) 4 8 D= = 4λ+ 6= 4λ 4= 4( λ ) λ+ λ+ 4 Dy= = λ+ 4λ= λ= ( λ ) λ Το σύστηµα έχει µοναδική λύση αν D 0 λ και λ Τότε η λύση είναι: D 4( ) ( ) 4 ( 0, 0) D y λ λ y =, =, =, D D ( λ )( λ ) ( λ )( λ ) λ λ ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: ΑΠΟ

96 ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (ΟΕΦΕ) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 05 Α ΦΑΣΗ Ε_ΑΜλΓΑ(α) 4 Η λύση επαληθεύει την εξίσωση 0 + y0 = + = λ λ 4 = ( λ ) = λ 6 λ = 8 λ = 4 4 Τότε ( 0, y0) =, = (4, ) 4 4 Η συνάρτηση για λ = 4, 0 =4, y 0 = γράφεται g( t) 4 π π = ηµ t + 4 = 4ηµ t + 4 6( ) 6 π που έχει περίοδο T= = και µέγιστη τιµή Μ = = 8 και ελάχιστη π 6 τιµή ε= 4( ) + 4= 0 ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: ΑΠΟ

97 ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (ΟΕΦΕ) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 05 Β ΦΑΣΗ Ε_ΒΜλΓ(α) ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΆΛΓΕΒΡΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Ηµεροµηνία: Κυριακή 0 Μαΐου 05 ιάρκεια Εξέτασης: ώρες ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ A Α Απόδειξη (βλέπε σχολικό σελ 5) Α Σχολικό σελίδα 97 Α Για την f () = α έχουµε: πεδίο ορισµού το A = R σύνολο τιµών το B = (0, + ) Για την g() = log, µε 0 < α έχουµε: πεδίο ορισµού το Α = ( 0, + ) σύνολο τιµών το Β = R Α4 α ΛΑΘΟΣ β ΛΑΘΟΣ γ ΛΑΘΟΣ δ ΣΩΣΤΟ ε ΛΑΘΟΣ ΘΕΜΑ Β Έχουµε f () = συν Β Αφού α συν συν συν π f f () f (0) Έτσι έχουµε f ma =, min f= ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: ΑΠΟ 6

98 ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (ΟΕΦΕ) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 05 Β ΦΑΣΗ Ε_ΒΜλΓ(α) Η περίοδος της f είναι T = π T = π Β f () = 0 συν = 0 συν = συν = συν π π π = κπ ± = κπ ±, κ z 6 π Αφού 0 π 0 κπ + π 6 π π κ z κπ κ π κ = 0 = 6 7π κ = = 6 π Αφού 0 π 0 κπ π 6 π π κ z κπ κ π κ = = 6 κ = π = 6 Έτσι η π, 0 6 Cf τέµνει τον π στα σηµεία: A,0, 6 7π Β,0, 6 5π Γ, 0 6 και Β Υπολογίζουµε: π π f = συν = = 6 5π 5π π π f = συν = συν π = συν = = ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: ΑΠΟ 6

99 ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (ΟΕΦΕ) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 05 Β ΦΑΣΗ Ε_ΒΜλΓ(α) ΘΕΜΑ Γ π π f = συν = = 0 6 π π f = συν = 0 = 4 ( ) ( ) + 0 ( ) ( + ) Έτσι Κ = = = ( ) ( ) = = Γ Έχουµε P() = + α + β + γ P ( ) = α β + γ = 4 4α β + γ = () P(0) = 8 γ = 8 P() = 0 + α + β + γ = 0 α + β + γ = () () γ= 8 4α β = 4 4a β = 4 Έτσι + { 6α = 6 α = () α + β = 9 α + β = 8 () + β + 8 = β = 0 Γ α) Το πολυώνυµο γίνεται: f() = Με το σχήµα Horner για = βρίσκουµε: -0 8 = Οπότε η εξίσωση f () = 0 γίνεται ( )( + 8) = 0, εποµένως = 0 = ή + 9 = 0 = ή = 4 Άρα οι ρίζες της εξίσωσης f () = 0 είναι οι 4,, β) Η γραφική παράσταση της f βρίσκεται κάτω από τον άξονα, όταν f () < 0 Η ανίσωση f () < 0 αληθεύει όταν (, 4) (,) ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: ΑΠΟ 6

100 ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (ΟΕΦΕ) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 05 Β ΦΑΣΗ Ε_ΒΜλΓ(α) f () Γ + 4 f () f () + f ( ) 8 () Είναι f ( ) = ( ) + ( ) 0( ) + 8= , f () + f ( ) 8= = = = ( ) εποµένως Πρέπει f () 0 4,, και f () + f ( ) 8 0 ( ) 0 ±, εποµένως συνολικά οι περιορισµοί είναι 4,,, η ανίσωση () γίνεται: f () f () + f ( ) ( ) ( + 4)( )( ) ( )( + ) ( )( ) ( )( + ) + ( ) ( )( + )( ) ( )( + )( ) ( )( + )( ) ( )( + )( ) 0 Είναι 0, + 0, Γ Η ανίσωση αληθεύει όταν (, 4) ( 4, ) (,) ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: 4 ΑΠΟ 6

101 ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (ΟΕΦΕ) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 05 Β ΦΑΣΗ Ε_ΒΜλΓ(α) ΘΕΜΑ ln ln ln f (ln ) = =, µε > 0 ln α) Είναι ln ln β) Πρέπει > 0 και f (ln ) > 0, οπότε > 0 ( ) > 0 (αφού ln ln είναι > 0 ) ln ln + ln > 0 και επειδή είναι + > 0 για κάθε > 0, τότε ( ) ( ) ln ln ln 0 > 0 > > ln > 0 ln > ln > Οι ανισώσεις > 0 και > συναληθεύουν όταν (, + ), εποµένως το πεδίο ορισµού της συνάρτησης g είναι το (, + ) Είναι h() = ln + ln + ln + ln + = = ln + ln + ln + ln = = ln + ln + ln + ln + + Για > 0 είναι + 0, 0, 0, + > > > > 0, οπότε h() = ln = ln + + Για > έχουµε ln h() = g(), ln = ln( f (ln ) ) f (ln ) = = ln ln Θέτουµε = ω > 0, οπότε η εξίσωση γίνεται: ω = ω ω = 0 ω = ή ω = ω Η τιµή ω = απορρίπτεται γιατί < 0, οπότε ln ω =, = ln = = e 4 Είναι 5 f () = = =, f () = = 4 =, τότε 4 4 ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: 5 ΑΠΟ 6

102 ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (ΟΕΦΕ) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 05 Β ΦΑΣΗ Ε_ΒΜλΓ(α) ηµθ = ln ln 5 ln ln (ln 5ln ) ηµθ = ηµθ = 9 9 ln 5ln ηµθ = 6 Γνωρίζουµε ότι για κάθε θ R ισχύει ηµθ, ln 5ln 6 ln 5ln 6 οπότε µε > 0 και έχουµε τις 6 ανισώσεις: ln 5ln 6 () και ln 5ln 6 () () : ln 5ln + 6 0, θέτουµε ln = ω, οπότε τριωνύµου ω 5ω + 6 είναι οι ω =, ω = ω 5ω Οι ρίζες του ω + ω 5ω Η ανίσωση ω 5ω αληθεύει όταν ω ή ω, οπότε ln ή ln ln ln e ή ln ln e e ή e και αφού πρέπει > 0 τότε (0,e ] [e, + ) () : ln 5ln 6 0, θέτουµε ln = ϕ, οπότε τριωνύµου ϕ 5ϕ 6 είναι οι ϕ =, ϕ = 6 ϕ 5ϕ 6 0 Οι ρίζες του Η ανίσωση ϕ ϕ ϕ ϕ 5ϕ 6 0 αληθεύει όταν ln e ln ln e e,e e e Οι ανισώσεις () και () συναληθεύουν όταν e ϕ, οπότε ln 6 6,e [e,e ] ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: 6 ΑΠΟ 6

103 ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (ΟΕΦΕ) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 06 Β ΦΑΣΗ Ε_ΜλΓΑ(α) ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΆΛΓΕΒΡΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Ηµεροµηνία: Μ Τετάρτη 7 Απριλίου 06 ιάρκεια Εξέτασης: ώρες ΘΕΜΑ A ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α Σχολικό βιβλίο σελ 60 Α α) Σ, β) Λ, γ) Σ, δ) Λ, ε) Λ ΘΕΜΑ Β Β A( ) = = = = σϕ+ εϕ συν ηµ + συν + ηµ ηµ συν ηµ συν ηµ συν ηµ = = = ηµ συν + ηµ Β Β ( ) + ηµ συν ηµ ηµ + συν + ηµ συν ηµ συν B( ) = = = π = + κπ 6 π A( ) = B( ) ηµ = ηµ = ηµ ή 6 π = π + κπ 6 π = + κπ ή κ Z 5π = + κπ ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: ΑΠΟ 5

104 ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (ΟΕΦΕ) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 06 Β ΦΑΣΗ Ε_ΜλΓΑ(α) Β4 Η συνάρτηση f ( ) έχει τύπο: f ( ) = A( ) B( ) = ηµ Ισχύει ηµ ηµ f ( ) Άρα η ελάχιστη τιµή της είναι και η µέγιστη τιµή της είναι π Η περίοδος είναι Τ = = π ΘΕΜΑ Γ Γ Αν παράγοντας του P() τότε P (0) = 0 οπότε µ=0 Αν το υπόλοιπο της διαίρεσης του P() µε (+) είναι το τότε: P( ) = λ = λ = Γ Για λ= και µ=0 έχουµε: 5 4 P( ) = Η διαίρεση γίνεται ως εξής: H ταυτότητα της διαίρεσης είναι: P( ) = ( )( + ) ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: ΑΠΟ 5

105 ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (ΟΕΦΕ) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 06 Β ΦΑΣΗ Ε_ΜλΓΑ(α) Γ Πρέπει P( ) > + 4 ( )( + ) > + 4 ( )( + ) > 0 (Ι) Πιθανές ακέραιες ρίζες του Q( χ ) = + είναι ±, ± Με σχήµα Horner έχω: Άρα Q( ) = ( + )( 5+ ) Οπότε (Ι) ( )( 5 + )( + ) > 0 Άρα =5-6=9, = ր ց -5 0, = 0 = ± Το πρόσηµο των παραγόντων του γινόµενου αλλά και του γινοµένου τους φαίνεται στον παρακάτω πίνακα: X Γινόµενο Άρα (, ), (, + ) ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: ΑΠΟ 5

106 ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (ΟΕΦΕ) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 06 Β ΦΑΣΗ Ε_ΜλΓΑ(α) Γ4 Πρέπει P()=Q() = + ( + ) 7 + ( + ) + ( + 6) + ΘΕΜΑ a β α β κ κ α + β = α α β 8 = + = β = κ + 6 = 7 κ = κ = 0 Ορίζεται αν και e e e e ( e ) ( e e) ( e ) e ( e + ) e + e e e + e e e e αφού για τον αριθµητή έχουµε: > 0 > 0 > 0 e e > 0 e > e > ( e ) e e e e e e ( e ) րe ( + ) ± ( ) = + 4 = = + = > 0 e e και e = οπότε γράφεται ( e e) ( e ) ց Άρα πρέπει 0 και > δηλαδή A f = (, + ) Τότε απλοποιείται ως εξής: ( ) ( ) ( e ) e e e e e e f ( ) = ln = ln e e 4e e 4e + e H g() γράφεται: g( ) = e - 4e + = + = e e e 5+ e ln e 4e + e 5 + e e Άρα g( ) = e = e e e 4e + e = 5 + e e 4e 5 = 0 Είναι ր5 δεκτή 4 ± 6 ( 4) 4 ( 5) 6 και e = ց απορ = = Άρα e = 5 = ln 5 δεκτή e e ( e + ) + e Αρκεί f ( ) 0 ln ln + e e ( ) ( e e + e + e e )( e e) e e + e e e e e e e e ( ) ln e e e e e ln e ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: 4 ΑΠΟ 5

107 ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (ΟΕΦΕ) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 06 Β ΦΑΣΗ Ε_ΜλΓΑ(α) Όµως > δηλαδή < ln e 4 e f ( ) e e e + e + e e e + e e 6 4 ( ) g( ) e e e e e e e e e e e + e e e 4e + e + 6 4e e 5e e e e όπου ω= e > 0 ω ω Είναι = ( 5) 4 6 = 5 4 = 5 ± Οπότε ω = Το πρόσηµο φαίνεται στο παρακάτω πίνακα: ր ց ω ω -5ω Άρα ω e ln ln Όµως > και ln < ln e= οπότε επαληθεύεται µόνο για < ln ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: 5 ΑΠΟ 5

108 , ª ³,ª ª¹±³ ª, ±,üù ù ù ù ú ò&! ) *!" y 0 ù[ 0,y 0 Œ /000 ) 0& " 0#0" 0 Œ # /!$0 Œ) ù$0#00/0*#"0 y y [ o ) ùûü 0 0& " )!#" 0#0" Œ # /!$0 Œ) 0 ù[ o, y ); ùûü!%00 0& " 0#0" Œ # /!$0 Œ) 0 ù[, y ú[, y 0[ ùûü!%00 0!/) "! " " ù /Œ!)""úŒ # $0&Œ ù ü#0œ #$0#00/0*#" /!$0Œ) 0 ù ü#0 Œ # /!$0 Œ) 0 ù ) 0Œ!Œ! " [[ ü#0 Œ # /!$0 Œ) 0 ù ) 0Œ!Œ! " \ï\ ú y+ = 0 = 0 y = + 4 y = 5 + = 0 ùûü ú þ 0& " 0#0" Œ # /!$0 Œ) 0 ù ú0 ù\ [%\ [+\ [ 4 û\ [(\ [ ùûü

109 ,üù & & & 0!& ùú+0$% = + $ + = )Œ # & = & & && & 0 Œ #Œ 00"Œ!0" & &, (4 & + & ), ( & & ) ùûü ù 0 " Œ0#!" ú+ 0!00 /* $0 ú+ #!0& &, & ùûü!00&&/#& $0, ú+ ùûü,üù û! = = + )Œ #! "!)" ù!)" 0 Œ0!)" Œ /000 ) 0 Œ0-!)" ùûü Œ! /!00 "!0" " # +0!)" /!0 ùûü Œ /000) ) =,üù ùûü ùûü 0! )*!"y0[\œ! #0-0 " Œ0! $" 0 Œ 0 " " Œ Œ)" - "0&" þ%00 "Œ0! $"0&!0Œ *#)!- 0 #)/ Œ #!0Œ) * & Œ "$0!! = 0+%0&!0 -

110 0 00&0!) #& 0&0!) #* #& Œ #!0 0!! =4!%00"0+0"&*&& & ùûü 0000%0ùú0- Œ * ùûü ò"# )/! ""Œ0! $"0&! *0 " &" 0#0$0 0&0[ y 0000#Œ!$0 ##- )/! # Œ %0Œ * ùûü ùþüÿ ÿù ÿ+üÿ üüü ùüÿ

111 ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ 00 - Μαθηματικά Β Λυκείου Κατεύθυνσης Θέμα ο α) i) Για τα διανύσματα a! = (, y ), β! = (, y ) ν αποδείξετε ότι:! α + β! =( +,y +y ) Μονάδες ii) Να γράψετε στο τετράδιό σας το γράμμα της στήλης Α και δίπλα τον αριθμό της στήλης Β που αντιστοιχεί στην σωστή απάντηση: ΣΤΗΛΗ Α ΔΙΑΝΥΣΜΑ α! ΣΤΗΛΗ Β Γωνία που σχηματίζει το α! με τον άξονα α) α! π =(-,-) ) β) α! 4 =(-,) π ) γ) α! 4 =(,-) 5π ) δ) α! 4 =(,) π ε) α! 4) π- 4 =(0,-) π 5) β) i) Ν αποδείξετε ότι κάθε ευθεία του επιπέδου γράφεται στην μορφή A+By+Γ =0 με Α 0 ή Β 0 Μονάδες 5 ii) Να γράψετε τον τύπο που δίνει την απόσταση d(m, ε) του σημείου M( 0,y 0 ) από την ευθεία ε: A+By+Γ=0 με Α 0 ή Β 0 Μονάδες γ) Να χαρακτηρίσετε σαν σωστό (Σ) ή λάθος (Λ) τις επόμενες προτάσεις (i) έως (v) : i) Η εξίσωση + y y = 0 παριστάνει κύκλο ii) Ο κύκλος C: ( ) + (y + ) = εφάπτεται στον άξονα y y iii) Η εξίσωση της εφαπτόμενης του κύκλου + y = ρ που διέρχεται από το σημείο Α(, y ) είναι πάντα + yy = ρ iv) Τα σημεία M(,y) με =ρσυνφ, y=ρημφ me f [0,π] και ρ>0 βρίσκονται στον κύκλο + y = ρ v) Αν η ευθεία (ε) τέμνει τον κύκλο C ο οποίος έχει κέντρο Κ και ακτίνα ρ>0, τότε d(k,ε)>0 Μονάδες 5 δ) Οι τιμές του ακεραίου αριθμού α είναι τέτοιες, ώστε να διαιρεί το (α/) Δίνονται οι επόμενες προτάσεις (i) ως (iv): i) Υπάρχει τιμή του α, ώστε η ευθεία με εξίσωση y=α+ να διέρχεται από το σημείο Α(-,) ii) Υπάρχει τιμή του α, ώστε το διάνυσμα v! = (,) να είναι αντίθετο με το u! = (α,-) iii) Οι κύκλοι C : (-4) + (y-) = 6, C : (-a) + (y-) = 5 είναι ομόκεντροι iv) Ο αριθμός α διαιρεί τον (-) Από τις επόμενες απαντήσεις Ρ, Ρ, Ρ η μία είναι σωστή και οι άλλες δύο λάθος Να βρείτε την σωστή απάντηση Ρ : Οι προτάσεις (i) και (iii) είναι λάθος

112 Ρ : Οι προτάσεις (i) και (ii) ισχύουν για την ίδια τιμή του α Ρ : Οι προτάσεις (i), (ii), (iv) είναι σωστές Μονάδες 5 Θέμα ο Δίνονται οι θετικοί ακέραιοι α, β, γ με 00 β+004 γ = Ν αποδείξετε ότι: α) (β, γ) = Μονάδες 5 β) (α γ, β) = (α, β) Μονάδες 7 γ) Για κάθε φυσικό αριθμό ν είναι : (α γ ν, β) = (α, β) Μονάδες 8 δ) [α γ ν, β] = γ ν [α, β] Μονάδες 5 Θέμα ο Α) Δίνονται τα μη συγγραμικά διανύσματα α!, β! Ν αποδείξετε ότι:!! i) Υπάρχει λ R ώστε προβ! α β = λα Μονάδες 4!!! α β! ii) προβ! α β =! α Μονάδες 6 α iii) Να αναλυθεί το διάνυσμα v! = (, ) σε δύο κάθετες συνιστώσες από τις οποίες η μία έχει τη διεύθυνση του u! = (-, 4) Μονάδες 7 Β) Δίνεται οξυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με ύψος ΑΔ και πλευρές (ΑΒ)=γ, (ΑΓ)=β Ν αποδείξετε ότι:! (β συνγ) Β + ( γ συνβ) Γ = 0 Μονάδες 8 Θέμα 4 ο Η εστία της παραβολής C : y = p, p>0 συμπίπτει με μία εστία της έλλειψης C : y + =, 0<β<α α β p p α) Ν αποδείξετε ότι τα σημεία Μ, ανήκουν σε μια ισοσκελή υπερβολή α β Μονάδες 6 β) Έστω (ε ),(ε ) οι εφαπτόμενες της παραβολής που άγονται από την εστία της έλλειψης που δεν είναι εστία της παραβολής i) Να βρείτε τις εξισώσεις των (ε ), (ε ) και να γράψετε τις συντεταγμένες των σημείων επαφής Α, Β των (ε ), (ε ) με την παραβολής C Μονάδες 8 ii) Να δείξετε ότι οι (ε ), (ε ) τέμνονται κάθετα Μονάδες γ) Αν τα σημεία Α, Β ανήκουν στην έλλειψη C ν αποδείξετε ότι για την εκκεντρότητα της ε είναι: ε = Μονάδες 8

113 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΟΕΦΕ 00 ΘΕΜΑ o ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Α ίνονται τα διανύσµατα α= (,y), β= (,y) Να αποδείξετε ότι: (, y ) + (, y ) = (+, y+ y ) (µονάδες 5) Β Έστω α, β, γ ακέραιοι µε α 0 Να αποδείξετε την ιδιότητα: Αν α β και α γ, τότε α ( β + γ ) (µονάδες 5) Γ Να χαρακτηρίσετε σαν σωστό ( Σ ) ή λάθος ( Λ ) τις παρακάτω προτάσεις: Η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το σηµείο Μ 0 ( 0, y 0 ) και έχει συντελεστή διεύθυνσης λ, είναι: y y 0 = λ ( 0 ) (µονάδες ) Η ισότητα = 6 ( ) 5 εκφράζει την ταυτότητα της διαίρεσης ( ) : 6 (µονάδες ) Οι συντεταγµένες του µέσου Μ του ευθύγραµµου τµήµατος µε άκρα τα σηµεία Α(, y ), B(, y ) δίνονται από τις σχέσεις: +, y y = + y = (µονάδες ) 4 Η εφαπτόµενη της παραβολής y = p (p 0) στο σηµείο της M(, y ) έχει εξίσωση: yy = p(+ ) (µονάδες ) 5 Αν τα διανύσµατα = (,y ), β (,y ) είναι παράλληλα, τότε ΘΕΜΑ ο Έστω ν θετικός ακέραιος α = y y = 0 (µονάδες ) Α Να αποδείξετε ότι για κάθε ν είναι ν > ν 5 (µονάδες 0) Β ίνεται η εξίσωση ν y = () 5 ν Να αποδείξετε ότι: Για ν = η εξίσωση () παριστάνει ισοσκελή υπερβολή Να βρείτε τις εστίες της και να γράψετε την εκκεντρότητα και τις εξισώσεις των ασυµπτώτων της (µονάδες 8)

114 Για κάθε ν η εξίσωση () παριστάνει έλλειψη που οι εστίες της βρίσκονται στον άξονα (µονάδες 7) ΘΕΜΑ ο Ο κύκλος C του σχήµατος έχει κέντρο το σηµείο Κ(0, ) και ακτίνα ρ = Το σηµείο Μ(α, β) είναι εσωτερικό του C Α Να αποδείξετε ότι (i) Οι συντεταγµένες του σηµείου Μ(α, β) επαληθεύουν την σχέση: + (y ) < 4 (µονάδες ) (ii) Η ευθεία =, αν προεκταθεί, εφάπτεται στον κύκλο C (µονάδες 4) B ίνεται η εξίσωση λ ( ) + λ ( y ) = 0 (), όπου λ RI (i) Να αποδείξετε ότι για κάθε τιµή της παραµέτρου λ η εξίσωση () παριστάνει ευθεία (µονάδες 6) (ii) Θεωρούµε τα σηµεία Ν( 0, y 0 ) µε o, τα οποία δεν ανήκουν σε ευθεία µε εξίσωση της µορφής () Να βρείτε το γεωµετρικό τους τόπο (µονάδες ) ΘΕΜΑ 4 ο Σε σύστηµα συντεταγµένων Οy θεωρούµε τρία σηµεία Α, Β, Γ του µοναδιαίου κύκλου, για τα οποία υπάρχει η ισότητα: OA= 4 ΒΓ+ ΑΓ Να αποδείξετε ότι: (i) Για τις διανυσµατικές ακτίνες των Α, Β, Γ ισχύει η σχέση (ii) Τα διανύσµατα (iii) Για την γωνία των διανυσµάτων OA+ 4OB= 5 OΓ (µονάδες 5) OA, OB είναι κάθετα (µονάδες 8) OA, ΟΓ είναι: συν ( OA, ΟΓ ) = (iv) Αν det( OA, OB ) είναι η ορίζουσα των διανυσµάτων OA, OB, τότε 5 M(α, β) C Κ(0,) Ο (µονάδες 5) det( OA, OB ) = ± (µονάδες 7) y y =

115 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΟΕΦΕ 004 ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Β' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ ο Α ίνονται η ευθεία : y 0 ε Α + Β + Γ = και το διάνυσµα δ = ( Β, Α) Να αποδείξετε ότι η ευθεία ε είναι παράλληλη στο διάνυσµα δ ur Μονάδες 7 Β Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν µε την ένδειξη Σωστή ή Λάθος i) Όλες οι ευθείες που διέρχονται από την αρχή των αξόνων δίνονται από την εξίσωση y = λ r n = Α, Β είναι κάθετο στην ευθεία ε : Α + Β y + Γ = 0 ii) Το διάνυσµα ( ) iii) Αν για τους ακέραιους α,β,γ ισχύουν: γ ( α β ) ur + και γ α, τότε γ β Μονάδες 6 Γ α) ίνονται τα σηµεία Ε και Ε ενός επιπέδου Τι ονοµάζεται έλλειψη µε εστίες Ε και Ε Μονάδες 4 β) ίνεται η παραβολή y = p Να γράψετε την εξίσωση της εφαπτοµένης της στο σηµείο (, y ) Μ Μονάδες y γ) Αν ε η εκκεντρότητα της υπερβολής =, α β β να αποδείξετε ότι: = ε Μονάδες 6 α ΘΕΜΑ ο v ίνονται τα διανύσµατα β v a, για τα οποία ισχύουν: ur ur 5 ur α= 4, β= 5 και προβurur β= α α 8 ur ur α) Να αποδείξετε ότι: α β = 0 Μονάδες 7 β) Να βρείτε τη γωνία των α ur και β v Μονάδες 6 r ur ur γ) Να υπολογίσετε το µέτρο του διανύσµατος u = α β Μονάδες 6 v v v v v δ) Αν το διάνυσµα ν = ( α β) a κ β, κ R είναι κάθετο στο διάνυσµα β v, να βρείτε την τιµή του κ Μονάδες 6 ΘΕΜΑ ο ίνονται οι αριθµοί a= κ+ και β =κ + κ όπου κ ακέραιος α) Να αποδείξετε ότι ο αριθµός a + β είναι περιττός Μονάδες 9 ( a + β β) Να αποδείξετε ότι ο αριθµός ) + 8 είναι ακέραιος Μονάδες 8 γ) Αν ο ακέραιος κ είναι της µορφής λ +, λ R να βρείτε το υπόλοιπο της ευκλείδειας διαίρεσης του a + β µε το Μονάδες 8

116 ΘΕΜΑ 4 ο y ίνεται η υπερβολή c : = και το σηµείο Κ(0,β) Μια ευθεία (ε) που έχει a β συντελεστή διεύθυνσης λ> 0 διέρχεται από το Κ και τέµνει τις εφαπτόµενες της C στις κορυφές της Α και Α, στα σηµεία Μ και Ρ αντίστοιχα Μ a, aλ + β και α) Να γράψετε την εξίσωση της (ε) και να αποδείξετε ότι: ( ) ( aaλ, β ) Ρ + Μονάδες 6 β) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση του κύκλου που έχει διάµετρο τη ΜΡ είναι η + ( y -β) = a ( + λ ) Μονάδες 7 γ) Να βρείτε το λ ώστε η ακτίνα του κύκλου του ερωτήµατος (β) να είναι ίση µε την απόσταση των κορυφών της υπερβολής Μονάδες 4 δ) Αν ε η εκκεντρότητα της υπερβολής και ο κύκλος του ερωτήµατος (β) διέρχεται από τις εστίες της, να αποδείξετε ότι: λ = ε Μονάδες 8

117 Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 005 ε π α ν α λ η π τ ι κ ά θ έ µ α τ α Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Ο Α Έστω α, β ακέραιοι Να αποδείξετε την ιδιότητα: Αν α β και β α, τότε α = β ή α = β ΜΟΝΑ ΕΣ 0 Β Να χαρακτηρίσετε σαν Σωστή (Σ) ή Λάθος (Λ) κάθε µια από τις επόµενες προτάσεις: α Για τα διανύσµατα α, β ισχύει η ισοδυναµία: α // β det ( α, β ) = 0 β H εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το σηµείο Α( 0, y 0 ) και έχει ΜΟΝΑ ΕΣ συντελεστή διεύθυνσης λ είναι y y 0 = λ ( + 0 ) ΜΟΝΑ ΕΣ γ Όταν µια ευθεία και ένα διάνυσµα είναι παράλληλα, σχηµατίζουν ίσες γωνίες µε τον άξονα χ χ ΜΟΝΑ ΕΣ δ Οι ασύµπτωτες της υπερβολής y = είναι οι ευθείες y = α β y = α β α β και ΜΟΝΑ ΕΣ ε Το υπόλοιπο της διαίρεσης του 9 µε το 5 είναι ΜΟΝΑ ΕΣ Γ Να αποδείξετε ότι η ευθεία που διέρχεται από τα σηµεία Α(, y ) και B(, y ) µε έχει εξίσωση y y y y = ( ) ΜΟΝΑ ΕΣ 5 Τα θέµατα προορίζονται για αποκλειστική χρήση της φροντιστηριακής µονάδας

118 Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 005 ΘΕΜΑ Ο ίνεται η έλλειψη y + = και η παραβολή y = α Να βρείτε τις εστίες της έλλειψης και την εστία της παραβολής ΜΟΝΑ ΕΣ 8 β Έστω Ε, Ε οι εστίες της έλλειψης ( η Ε να έχει αρνητική τετµηµένη ) i) Να γράψετε τις εξισώσεις των εφαπτόµενων της παραβολής στα σηµεία της Μ(4, 8) και Μ (4, 8), και να δείξετε ότι τέµνονται στο Ε ΜΟΝΑ ΕΣ 7 uuuur uuuu ur ii) Να αποδείξετε ότι E Μ E' M =0 ΜΟΝΑ ΕΣ 5 iii) Αν Ν είναι το µέσο του Ε Μ να αποδείξετε ότι ΕΝ//Ε Μ ΜΟΝΑ ΕΣ 5 ΘΕΜΑ Ο ίνονται τα διανύσµατα α, β για τα οποία ισχύουν α Να αποδείξετε ότι α = (, 8 α β ) και β = (, β ) 5 i) β = 5, ΜΟΝΑ ΕΣ 6 ii) α β = 5 ΜΟΝΑ ΕΣ 5 β Να υπολογίσετε τη γωνία ( α, β ) ΜΟΝΑ ΕΣ 5 γ i) Να αποδείξετε ότι β προβ α = β ΜΟΝΑ ΕΣ 5 ii) Nα αναλύσετε το διάνυσµα α σε δύο κάθετες συνιστώσες από τις οποίες η µια να είναι παράλληλη µε το β ΜΟΝΑ ΕΣ 4 Τα θέµατα προορίζονται για αποκλειστική χρήση της φροντιστηριακής µονάδας

119 Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 005 ΘΕΜΑ 4 Ο Έστω ο µη αρνητικός ακέραιος ν και ο πραγµατικός αριθµός φ [0, π) Α Να αποδείξετε ότι ν > ν + για κάθε ν ΜΟΝΑ ΕΣ 6 Β Θεωρούµε την εξίσωση + y (4συνφ) (4ηµφ) y + 4 ν + ν = 0 () α Να αποδείξετε ότι η () παριστάνει κύκλο C ΜΟΝΑ ΕΣ 5 Να γράψετε τις συντεταγµένες του κέντρου του C, και να βρείτε την ακτίνα του ΜΟΝΑ ΕΣ β Να βρείτε τον γεωµετρικό τόπο του κέντρου του παραπάνω κύκλου ΜΟΝΑ ΕΣ γ Να αποδείξετε ότι i) Η εξίσωση (ε): (συνφ) + (ηµφ) y = 0 παριστάνει ευθεία για κάθε φ [0, π) ΜΟΝΑ ΕΣ ii) Αν η ευθεία ε εφάπτεται του κύκλου C, τότε ν = 0 ΜΟΝΑ ΕΣ 5 Τα θέµατα προορίζονται για αποκλειστική χρήση της φροντιστηριακής µονάδας

120 Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 006 Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θέµα α) Για τους ακέραιους α, β και γ να αποδείξετε ότι: i) Αν aβ και β γ τότε a γ ii) Αν aβ και a γ τότε a ( β γ ) + Μονάδες 0 β) i) ίνονται τα σηµεία Ε και Ε του επιπέδου Τι ονοµάζεται έλλειψη µε εστίες Ε και Ε; Μονάδες 5 ii) ίνεται η παραβολή y = p Να γράψετε την εξίσωση της εφαπτοµένης της στο σηµείο Μ (, y ) Μονάδες γ) Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν µε την ένδειξη Σωστή ή Λάθος i) Αν a β τότε ισχύει πάντα a β = aβ ii) Το διάνυσµα n = ( Α, Β) είναι κάθετο στην ευθεία ε : Α + Β y + Γ = 0 iii) Η εκκεντρότητα της ισοσκελούς υπερβολής iv) Έστω οι ακέραιοι α, β, γ και ότι: a ( β+ γ ) τότε κατ ανάγκη aβ και a γ γ y = a είναι = a Μονάδες 8 Θέµα π ίνονται τα διανύσµατα aβ, µε a=, β= και ( a, β ) = Έστω τρίγωνο ΑΒΓ και ΑΜ διάµεσός του για το οποίο ισχύουν: ΑΒ = a β και ΑΜ = a + β α) Να βρείτε το aβ Μονάδες 5 Τα θέµατα προορίζονται για αποκλειστική χρήση της φροντιστηριακής µονάδας

121 Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 006 β) Να εκφράσετε το ΑΓ ως γραµµικό συνδυασµό των a και β γ) Να υπολογίσετε το µήκος της διαµέσου ΑΜ δ) Να αποδείξετε ότι η γωνία των ΑΜ και a π είναι ίση µε 6 Μονάδες 5 Μονάδες 7 Μονάδες 8 Θέµα ίνονται τα σηµεία (, ), (,) Α Β και η ευθεία ε : + y+ a= 0 όπου a R α) Αν η απόσταση του Α από το Β είναι ίση µε την απόσταση του Α από την ευθεία ε, να βρείτε την τιµή του α Μονάδες 8 β) Για την τιµή a= 4 να βρείτε: i) Το εµβαδόν του τριγώνου που έχει κορυφές τα σηµεία Α, Β και το σηµείο Γ που η ευθεία ε τέµνει τον άξονα y y Μονάδες 8 ii) Ποιο σηµείο της ευθείας ε έχει τη µικρότερη απόσταση από την αρχή Ο των αξόνων Μονάδες 9 Θέµα 4 C : + y + y = όπου θ R () ίνεται η εξίσωση ( ηµθ ) ( συνθ ) α) Να αποδείξετε ότι η () παριστάνει κύκλο του οποίου να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα Μονάδες 6 β) Να αποδείξετε ότι, όταν το θ µεταβάλλεται, τα κέντρα των κύκλων C κινούνται σε κύκλο του οποίου να βρείτε την εξίσωση Μονάδες 6 γ) Να βρείτε τις τιµές του θ [ 0, π ) αν είναι γνωστό ότι ο κύκλος C διέρχεται από το σηµείο Μ(,-) Μονάδες 6 δ) Έστω Κ το κέντρο του κύκλου C και Α, Β τα σηµεία τοµής του µε την ευθεία ΟΚ (όπου Ο η αρχή των αξόνων) Να υπολογίσετε τις αποστάσεις (ΟΑ) και (ΟΒ) Μονάδες 7 Τα θέµατα προορίζονται για αποκλειστική χρήση της φροντιστηριακής µονάδας

122 Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 007 Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ ο ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α Να αποδείξετε ότι η εφαπτοµένη του κύκλου µε εξίσωση +y =ρ στο σηµείο του Α(,y ) έχει εξίσωση + yy = ρ Μονάδες 0 B Να δώσετε τον ορισµό του εσωτερικού γινοµένου δύο µη ur r µηδενικών διανυσµάτων α και β ; Μονάδες 5 Γ Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας την ένδειξη Σωστό (Σ) ή Λάθος (Λ) δίπλα στον αριθµό που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση Αν θεωρήσουµε σηµεία Α(,y ) και Β(,y ) του καρτεσιανού επιπέδου τότε οι συντεταγµένες του µέσου Μ(,y) του ΑΒ, + y + y είναι = y= Αν α β ur r ur r τότε α β = 0 και αντιστρόφως Η ευθεία = 0 έχει συντελεστή διεύθυνσης λ = 0 4 Η έλλειψη µε εξίσωση Ε (-γ,0) και Ε(γ,0) β y α + = όπου β =α -γ, έχει εστίες y 5 Οι ασύµπτωτες της υπερβολής = α β β β y= και y = α a είναι οι ευθείες: Μονάδες 0 Τα θέµατα προορίζονται για αποκλειστική χρήση της φροντιστηριακής µονάδας

123 Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 007 ΘΕΜΑ ο ίνεται η εξίσωση ( α + ) + ( α ) y + = 0 () i) Να αποδείξετε ότι η () παριστάνει ευθεία για κάθε α R Μονάδες 8 ii) Να αποδείξετε ότι για κάθε τιµή του α R οι ευθείες της µορφής () διέρχονται από το σηµείο Μ (-,) Μονάδες 8 iii) ίνεται η ευθεία ε : + 5y = 0 Αν Α και Β είναι τα σηµεία τοµής της ε µε τις ευθείες που προκύπτουν από την () για α = 0 και α = - αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι το εµβαδόν του τριγώνου ΑΜΒ είναι τµ Μονάδες 9 ΘΕΜΑ ο ίνεται η εξίσωση ( λ ) + (λ )y + 6( λ ) = 6( λ ), λ R () i) Αν λ =, να αποδείξετε ότι η () παριστάνει παραβολή C της οποίας να βρείτε την διευθετούσα δ και την εστία Ε Μονάδες 6 ii) Αν λ =, να αποδείξετε ότι η () παριστάνει κύκλο C, του οποίου να βρείτε το κέντρο Ο και την ακτίνα R Μονάδες 6 iii) Να βρείτε την εξίσωση και την εκκεντρότητα της έλλειψης, που έχει κέντρο την αρχή Ο των αξόνων, µία εστία της κοινή µε την εστία Ε της παραβολής C και µεγάλο άξονα ίσο µε την ακτίνα R του κύκλου C Μονάδες 6 iv) Να βρείτε τα κοινά σηµεία Ρ και Ρ των κωνικών τοµών C και C, και να αποδείξετε ότι: d(p,δ)-(ρ Ε)= d(p,δ)-(ρ Ε) Μονάδες 7 Τα θέµατα προορίζονται για αποκλειστική χρήση της φροντιστηριακής µονάδας

124 Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 007 ΘΕΜΑ 4 ο ίνονται τα µη µηδενικά διανύσµατα α, β, τα οποία σχηµατίζουν π µεταξύ τους γωνία φ =, και η εξίσωση: y + α β y + α β = 0 () Α Να αποδείξετε ότι: α α β β Η εξίσωση () παριστάνει κύκλο µε ακτίνα ρ = α β Μονάδες Μονάδες 8 Β Αν Κ(, ) είναι το κέντρο του παραπάνω κύκλου, να αποδείξετε ότι: r α a =, β r = και ρ = Μονάδες β Ο κύκλος εφάπτεται στην ευθεία + 4y = 0 Μονάδες 5 γ Η προβολή του β στο α r είναι ίση µε το α r Μονάδες 7 Καλή τύχη! Τα θέµατα προορίζονται για αποκλειστική χρήση της φροντιστηριακής µονάδας

125 Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 008 ΘΕΜΑ Ο B' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ A Έστω Οψ ένα σύστηµα συντεταγµένων στο επίπεδο και ( ) του επιπέδου A ψ ένα σηµείο α Να γράψετε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το σηµείο Α και για την οποία δεν ορίζεται συντελεστής διεύθυνσης Μονάδες 5 β Να αποδείξετε ότι η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το σηµείο A και έχει συντελεστή διεύθυνσης λ είναι: ψ-ψ 0 =λ(- 0 ) Μονάδες 0 0, 0 Β Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας δίπλα στο γράµµα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασµένη α Η απόσταση δύο σηµείων Α (, ψ ) και (, ) Β ψ του συστήµατος συντεταγµένων Oψ,δίνεται από τον τύπο:( ΑΒ ) = ( ) + ( ψ ψ ) Μονάδες β Για δύο διανύσµατα α, β µη παράλληλα προς τον άξονα ψ ψ, ισχύει η ιδιότητα: α β λ α λ =, όπου λ β α, λ β οι συντελεστές διεύθυνσης των α, β αντιστοίχως 0 0 γ Η εξίσωση:( ) ( ) πάντα κύκλο Μονάδες + ψ ψ = ρ,µε ρ πραγµατικό αριθµό, παριστάνει Μονάδες δ Μια ευθεία ε εφάπτεται σε κύκλο C ο οποίος έχει κέντρο Κ και ακτίνα ρ, όταν ισχύει η σχέση: ( )= ρ Μονάδες ε Η παραβολή µε εξίσωση: ηµιάξονα Ο = ρψ,ρ < 0,έχει την εστία της Ε πάνω στον Μονάδες Τα θέµατα προορίζονται για αποκλειστική χρήση της φροντιστηριακής µονάδας

126 Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 008 ΘΕΜΑ Ο Στο καρτεσιανό επίπεδο Οψ δίνονται τα σηµεία Α(,0), Β(4,5), Γ(6,κ) µε R 0 κ { } α Να δείξετε ότι: i) Τα σηµεία Α, Β, Γ δεν είναι συνευθειακά Μονάδες 4 ii) H εξίσωση της ευθείας της διαµέσου (ε) που φέρουµε από την κορυφή Β του τριγώνου ΑΒΓ, είναι =4 Μονάδες β Να προσδιορίσετε την κορυφή Γ του τριγώνου ΑΒΓ, αν το εµβαδόν του είναι (ΑΒΓ)=8 τετραγωνικές µονάδες Μονάδες 9 γ Για κ=,να βρείτε την εξίσωση της ευθείας του ύψους (η) που φέρουµε από την κορυφή Α του τριγώνου ΑΒΓ, καθώς και τις συντεταγµένες του σηµείου στο οποίο τέµνονται οι ευθείες (η) και (ε) Μονάδες 0 ΘΕΜΑ Ο ψ µ+ -µ ίνεται η εξίσωση: + =, ( ), όπου R {,} µ α Να βρείτε την τιµή του µ ώστε η εξίσωση ( ) να παριστάνει κύκλο β Για ποιες τιµές του µ η εξίσωση ( ) παριστάνει έλλειψη; Μονάδες 4 Μονάδες 5 γ Αν µ,,τότε: i) Να δείξετε ότι η έλλειψη που προκύπτει από την ( ) έχει τις εστίες της πάνω στον άξονα ψ ψ Μονάδες 7 ii) Να υπολογίσετε την τιµή του µ ώστε η εκκεντρότητα της έλλειψης ( ) να είναι ίση µε Μονάδες 9 Τα θέµατα προορίζονται για αποκλειστική χρήση της φροντιστηριακής µονάδας

127 Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 008 ΘΕΜΑ 4 Ο Έστω τα σηµεία Α(-,ψ) και Β(,ψ) µε,ψ R του καρτεσιανού επιπέδου Οψ Α Αν είναι ΟΑ ΟΒ, τότε να αποδείξετε ότι τα σηµεία Μ(,ψ) ανήκουν στην παραβολή C : ψ =, της οποίας να βρείτε την εστία Ε και την διευθετούσα δ Μονάδες 6 Β Αν ισχύει ΟΑ + ΟΒ = 5, τότε να αποδείξετε ότι τα σηµεία Μ(,ψ) ανήκουν στο κύκλο C : +ψ =, του οποίου να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα Γ Να αποδείξετε ότι: α) Τα κοινά σηµεία των C και C είναι το Κ (, ) και το Λ (, ) Μονάδες 8 Μονάδες 7 β) H εφαπτοµένη της C στο Κ είναι παράλληλη προς την εφαπτοµένη του C στο Λ Μονάδες 4 ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ!!! Τα θέµατα προορίζονται για αποκλειστική χρήση της φροντιστηριακής µονάδας

128 Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 009 Β' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ ο Α Nα δείξετε ότι η εφαπτοµένη του κύκλου C: Α(χ,ψ ) έχει εξίσωση χχ +ψψ =ρ + ψ = ρ σε ένα σηµείο του (9 µονάδες) Β α Τι ονοµάζουµε εσωτερικό γινόµενο δύο µη µηδενικών διανυσµάτωνa r και β r β ώστε τον ορισµό της υπερβολής µε εστίες Ε και Ε (=6 µονάδες) Γ Να χαρακτηρίσετε ως Σωστή (Σ) ή Λανθασµένη (Λ) καθεµιά από τις παρακάτω προτάσεις: Για δύο οποιαδήποτε διανύσµατα a r και r r r r ισχύει( a β) = a β β r του επιπέδου Η ευθεία ε: A + By + Γ = 0, µεα, Β, Γ R και ΑΒ>0 σχηµατίζει αµβλεία γωνία µε τον άξονα P Η παραβολή c: y = p έχει εστία το σηµείο E,0 4 4 y Αν οι ελλείψεις c : και c : a ψ β a β α =α και β =β 5 Το εµβαδόν ενός τριγώνου ΑΒΓ δίνεται από τον τύπο: (ΑΒΓ)= uuur uuuur det( AB, ΑΓ) (5 µονάδες) Τα θέµατα προορίζονται για αποκλειστική χρήση της φροντιστηριακής µονάδας

129 Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 009 ΘΕΜΑ ο r r r r r r r r r r r π Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι AB = a + β, AΓ = a + β µε α =, β = και α,β = Να υπολογιστούν οι παραστάσεις r α aβ r r β a + β r r γ a β r (9 µονάδες) Έστω Μ µέσο του ΒΓ Να εκφράσετε τα διανύσµατα AM r και ΒΓ r σαν r r γραµµικό συνδυασµό των a και β (4 µονάδες) Να υπολογίσετε το συνηµίτονο της γωνίας ( AM, BΓ) r uuur 4 Να βρεθεί το µέτρο της προβολής του AM στο AΓ r r (5 µονάδες) (7 µονάδες) ΘΕΜΑ ο Έστω παραλληλόγραµµο ΑΒΓ µε εξισώσεις διαγωνίων (Β ):y=+ και (ΑΓ):y=- Η διαγώνιος B είναι η µεσοπαράλληλος των ευθειών ε,ε,των οποίων η µεταξύ τους απόσταση είναι d= και οι οποίες διέρχονται από τις κορυφές Α uuur και Γ αντιστοίχως Αν A = (4,6), τότε: Να βρείτε τις συντεταγµένες του κέντρου Κ του παραλληλογράµµου ΑΒΓ (5 µονάδες) Να δείξετε ότι οι ευθείες ε,ε έχουν εξισώσεις (ε ):-y-=0 και (ε ):-y+=0 (8 µονάδες) Να βρείτε τις συντεταγµένες των κορυφών Α, Β, Γ, του παραλληλογράµµου (8 µονάδες) 4 Να βρείτε το εµβαδόν (ΑΒΓ ) του παραλληλογράµµου (4 µονάδες) Τα θέµατα προορίζονται για αποκλειστική χρήση της φροντιστηριακής µονάδας

130 Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 009 ΘΕΜΑ 4 ο ίνεται η εξίσωση C : + y ( ηµθ ) + 4( συνθ ) y + ηµ θ = 0, () µε θ 0, π Να δείξετε ότι: Η εξίσωση () παριστάνει για κάθε θ 0, π κύκλο του οποίου να βρείτε το κέντρο Κ( 0, y 0 ) και την ακτίνα ρ ως συνάρτηση της γωνίας θ (6 µονάδες) Τα κέντρα των κύκλων Κ( 0, y 0 ) που προκύπτουν από την (), ανήκουν σε έλλειψη της οποίας να βρείτε τα µήκη του µεγάλου Α Α και µικρού Β Β άξονα της, τις εστίες της Ε, Ε καθώς και την εκκεντρότητα της ε (9 µονάδες) Για τις συντεταγµένες των κέντρων Κ( 0, y 0 ) των κύκλων που προκύπτουν από την (), ισχύουν : 0 >0, y 0 <0 και στην συνέχεια να βρείτε το γεωµετρικό τόπο των σηµείων Κ( 0, y 0 ) (4 µονάδες) 4 Η ελάχιστη και η µέγιστη απόσταση, της εστίας Ε (µε θετική συντεταγµένη) από τυχαίο σηµείο του κύκλου ο οποίος προκύπτει από την () για θ= Π, είναι d= + και d = +, αντιστοίχως (6 µονάδες) Τα θέµατα προορίζονται για αποκλειστική χρήση της φροντιστηριακής µονάδας

131 Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 00 B' ΤΑΞΗ ΓΕΝΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ ο Α Έστω τα διανύσµατα α,β, τα οποία δεν είναι παράλληλα µε τον άξονα y y και έχουν συντελεστές διεύθυνσης λ,λ αντίστοιχα Να αποδείξετε την ισοδυναµία α β λλ = Μονάδες 0 Β Να δώσετε τον ορισµό της παραβολής, µε εστία το σηµείο Ε και διευθετούσα την ευθεία δ Μονάδες 5 Γ Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιο σας δίπλα στο γράµµα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασµένη ΘΕΜΑ ο α) Το εσωτερικό γινόµενο δύο διανυσµάτων είναι διάνυσµα β) Η ευθεία µε εξίσωση Α+By+Γ = 0 είναι παράλληλη µε το διάνυσµα δ = (B, A) γ) Η απόσταση της αρχής Ο των συντεταγµένων από την ευθεία ε µε Γ εξίσωση Α+By+Γ = 0, ισούται µε A + B y δ) Η εξίσωση + =,όπου α > 0, παριστάνει έλλειψη µε εστίες α (α+ ) πάνω στον άξονα ε) Η εκκεντρότητα µιας υπερβολής είναι πραγµατικός αριθµός, µικρότερος της µονάδας Μονάδες 5 ίνονται τα σηµεία Α( 5,), Β(, ) και Γ(4,) του καρτεσιανού επιπέδου α Να βρείτε το εσωτερικό γινόµενο AB BΓ Ποιο είναι το συµπέρασµά σας για τα διανύσµατα AB, BΓ ; Μονάδες 8 β Να υπολογίσετε το εµβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ Μονάδες 8 γ Να αποδείξετε ότι η γωνία φ των διανυσµάτων AB και ΑΓ ισούται µε 45 o Μονάδες 9 Τα θέµατα προορίζονται για αποκλειστική χρήση της φροντιστηριακής µονάδας

132 Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 00 ΘΕΜΑ ο ίνεται η εξίσωση: (+y +) + κ( y 5) = 0 (), όπου κ R α Να αποδείξετε ότι για κάθε τιµή της παραµέτρου κ η εξίσωση () παριστάνει ευθεία γραµµή Μονάδες 7 β Να αποδείξετε ότι όλες οι ευθείες που ορίζονται από την εξίσωση (), διέρχονται από το σηµείο Α(, ) Μονάδες 4 γ Να βρείτε την τιµή του κ, για την οποία η () παριστάνει ευθεία ε κάθετη στον άξονα Ποια η εξίσωση της ευθείας ε; Μονάδες 5 δ Αν K( 0,0) είναι η προβολή του σηµείου Α(, ) στον άξονα, να βρείτε τον γεωµετρικό τόπο των σηµείων του επιπέδου, τα οποία ισαπέχουν από το σηµείο E( o,0) και την ευθεία ε του γ ερωτήµατος Μονάδες 9 ΘΕΜΑ 4 ο ίνεται η εξίσωση: + y (λ + 4) + λy + λ = 0 (), όπου λ R α Να αποδείξετε ότι για κάθε τιµή της παραµέτρου λ η εξίσωση () παριστάνει κύκλο, του οποίου να βρείτε το κέντρο Κ και την ακτίνα ρ Μονάδες 8 β Να δείξετε ότι το κέντρο Κ του κύκλου που παριστάνει η εξίσωση (), κινείται σε µια ευθεία γραµµή, καθώς το λ µεταβάλλεται στο R Μονάδες 4 γ Να βρείτε την εξίσωση της έλλειψης C, που έχει εστίες τα σηµεία E (0, ), E(0, ) και µεγάλο άξονα (Α Α) = 8 Μονάδες 5 δ Αν η εφαπτοµένη ε της έλλειψης C του ερωτήµατος γ, στο σηµείο της M (, y ) εφάπτεται και του κύκλου C, ο οποίος προκύπτει από την εξίσωση () για λ = 0, να δείξετε ότι: i y = 64( ) ii Τα διανύσµατα α = (,4) και β = (, 4 ) Μονάδες 4 είναι µεταξύ τους κάθετα Μονάδες 4 ΕΥΧΟΜΑΣΤΕ ΕΠΙΤΥΧΙΑ Τα θέµατα προορίζονται για αποκλειστική χρήση της φροντιστηριακής µονάδας

133 Β' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ ο α ώστε τους ορισµούς: Ι Εσωτερικό γινόµενο δύο διανυσµάτων α, β ΙΙ Παραβολή µε διευθετούσα την ευθεία δ και εστία το σηµείο Ε εκτός της δ β Γράψτε τον τύπο της απόστασης του σηµείου Μ(χ 0,ψ 0 ) από την ευθεία ε: Αχ+Βψ+Γ=0 ( µονάδες) γ Αποδείξτε ότι η εξίσωση µιας ευθείας, που διέρχεται από το σηµείο Α( 0,y 0 ) και έχει συντελεστή διεύθυνσης λ είναι y-y 0 =λ(χ-χ 0 ) (9 µονάδες) δ Σηµειώστε ΣΩΣΤΟ ή ΛΑΘΟΣ για τις προτάσεις: Ι Η ευθεία µε εξίσωση Αχ+Βψ+Γ=0 µε Α 0 ή Β 0 είναι κάθετη στο διάνυσµα δ = ( Α, Β) ΙΙ Ο κύκλος µε εξίσωση χ +ψ +Aχ+Bψ+Γ=0 έχει πάντοτε κέντρο Α Β K, ΙΙΙ Η απόσταση της εστίας Ε, της παραβολής χ =pψ, από την διευθετούσα ευθεία δ είναι ίση µε p ΙV Αν Ε, Ε σταθερά σηµεία και για το µεταβλητό σηµείο Μ ισχύει (ΜΕ)+(ΜΕ ) =α, α>0 τότε το Μ κινείται σε έλλειψη µε εστίες Ε(γ,0) και Ε (-γ,0) V Αν για τα µη παράλληλα στους άξονες και y y διανύσµατα α και β ισχύει α β=0 τότε οι συντελεστές διεύθυνσής τους είναι αντίστροφοι αριθµοί (5 µονάδες)

134 ΘΕΜΑ ο ίνονται τα διανύσµατα α, β, γ µε α=, β =, α (α - β) και (γ+α) β α Να δείξετε ότι α β=4 και β γ = - (8 µονάδες) β Να δείξετε ότι α β = 5 (5 µονάδες) γ Αν επιπλέον γνωρίζετε ότι γ-α = λ(α - β), λ R να βρείτε την τιµή του λ (6 µονάδες) δ Για λ=4 να γραφεί το διάνυσµα γ σαν γραµµικός συνδυασµός των α και β και να δείξετε ότι η γωνία των διανυσµάτων γ και α-β είναι οξεία (6 µονάδες) ΘΕΜΑ ο Σε τρίγωνο ΑΒΓ δίνονται η κορυφή Α(, ), η εξίσωση του ύψους Β : χ-4ψ-5=0 και η εξίσωση της διαµέσου ΓΜ: χ+ψ+=0 α Βρείτε την εξίσωση της πλευράς ΑΓ και τις συντεταγµένες της κορυφής Γ (6 µονάδες) β Βρείτε τις συντεταγµένες του µέσου Μ της πλευράς ΑΒ και της κορυφής Β (7 µονάδες) γ Αν Ε το σηµείο τοµής των ΓΜ και Β τότε να υπολογίσετε το εµβαδόν του τριγώνου ΕΒΓ (6 µονάδες) δ ίνεται η γραµµή (C) µε εξίσωση + y + λ+ ( λ+ 8) y+ = 0 () Να αποδείξετε ότι η παραπάνω εξίσωση παριστάνει κύκλο για κάθε λ R και να βρείτε την τιµή του λ, ώστε ο κύκλος () να έχει διάµετρο την πλευρά ΒΓ (6 µονάδες)

135 ΘΕΜΑ 4 ο ίνεται η εξίσωση + + ( + 4) = 0 () y y y α Να αποδείξετε ότι η παραπάνω εξίσωση παριστάνει δύο ευθείες (ε ) και (ε ) οι οποίες είναι παράλληλες (7 µονάδες) β Αν (ε ): +y+=0 και (ε ): +y+6=0 είναι οι δύο ευθείες που παριστάνει η (), να βρείτε την εξίσωση του κύκλου C που εφάπτεται στις ευθείες (ε ) και (ε ) και το κέντρο του βρίσκεται στην ευθεία (ε): y= (7 µονάδες) γ Βρείτε την ελάχιστη και την µέγιστη απόσταση του σηµείου τοµής των ευθειών (ε ) και (ε) από τον κύκλο C (6 µονάδες) δ Βρείτε την εξίσωση της υπερβολής (C ) µε εστίες στον άξονα, που έχει ασύµπτωτη την (ε): y= και εστιακή απόσταση γ=0ρ, όπου ρ η ακτίνα του κύκλου C (5 µονάδες)

136 ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (ΟΕΦΕ) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_ΜλΘΤ(ε) ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ / ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ Ηµεροµηνία: Κυριακή 8 Απριλίου 0 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α A Έστω τα διανύσµατα α,β, τα οποία δεν είναι παράλληλα µε τον άξονα y y και έχουν συντελεστές διευθύνσεως λ,λ αντίστοιχα Να αποδείξετε την ισοδυναµία: α β λλ = Μονάδες 9 A Να ορίσετε το συντελεστή διεύθυνσης λ µίας ευθείας ε, µη παράλληλης µε τον άξονα y y Μονάδες A Έστω Oy ένα σύστηµα συντεταγµένων στο επίπεδο και C ο κύκλος µε κέντρο το σηµείο Ο(0,0) και ακτίνα ρ, ο οποίος έχει εξίσωση +y = ρ Αν A(,y ) είναι σηµείο του κύκλου C, να γράψετε την εξίσωση της εφαπτοµένης ευθείας ε στον κύκλο C, στο σηµείο του Α Μονάδες A4 Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας το γράµµα κάθε πρότασης και δίπλα τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασµένη α Αν τα διανύσµατα α και β είναι οµόρροπα τότε α β = α β και αντιστρόφως β Η απόσταση του σηµείου Μ ο ( o,y o ) από την ευθεία ε µε εξίσωση A ο+by ο+γ Α+Βy+Γ= 0 δίνεται πάντοτε από τον τύπο d(μ ο, ε) = Α +Β γ Η εξίσωση κύκλο µε ακτίνα ρ = +y +A+By+Γ = 0 µε A +B - 4Γ > 0παριστάνει πάντοτε Α +Β -4Γ ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: ΑΠΟ

137 ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (ΟΕΦΕ) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_ΜλΘΤ(ε) δ Η κάθετη στην εφαπτοµένη µιας έλλειψης στο σηµείο επαφής Μ διχοτοµεί τη γωνία ' Ε ΜΕ, όπου ' Ε, Ε είναι οι εστίες της έλλειψης ε Αν C είναι µία παραβολή µε εξίσωση y =p, p R τότε σε κάθε περίπτωση o p ισούται µε την απόσταση της εστίας από τη διευθετούσα της παραβολής Μονάδες 0 ΘΕΜΑ Β ίνονται τα διανύσµατα α, β α + β α β ( ) ( ) Β Να αποδείξετε ότι: α β = Β Να βρείτε τη γωνία των διανυσµάτων α, β Β Να αποδείξετε ότι: α + β = α β για τα οποία ισχύει α =, β = και Μονάδες 5 Μονάδες 5 Μονάδες 7 Β4 Να βρείτε την προβολή του διανύσµατος α β στο διάνυσµα α Μονάδες 8 ΘΕΜΑ Γ ίνεται το τρίγωνο ΑΒΓ µε κορυφές τα σηµεία A(5, ), B(4,4) και Γ (,) Γ Να βρείτε την εξίσωση της πλευράς ΒΓ και του ύψους Γ του τριγώνου Μονάδες 6 Γ Να βρείτε τις εξισώσεις των ευθειών που διέρχονται από την κορυφή Γ του τριγώνου και απέχουν από την αρχή των αξόνων απόσταση ίση µε µονάδες Μονάδες 8 Γ i) Να βρείτε την εξίσωση της παραβολής C που διέρχεται από την κορυφή Γ του τριγώνου, έχει κορυφή το Ο(0,0) και άξονα συµµετρίας τον y y Μονάδες 5 ii) Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτοµένης της παραβολής C, η οποία είναι παράλληλη στην πλευρά ΒΓ του τριγώνου ΑΒΓ Μονάδες 6 ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: ΑΠΟ

138 ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (ΟΕΦΕ) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_ΜλΘΤ(ε) ΘΕΜΑ ίνεται η έλλειψη C µε εξίσωση µε εξίσωση C : 7 + y = C : 4y + = και εστίες Ε, Ε και ο κύκλος C Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΒΕΕ είναι ισόπλευρο, όπου Β είναι ένα από τα άκρα του µικρού άξονα της έλλειψης Μονάδες 5 Να αποδείξετε ότι το σηµείο P, είναι κοινό σηµείο των δύο κωνικών τοµών C, C και να υπολογίσετε όλα τα κοινά τους σηµεία Μονάδες 4 Να υπολογίσετε τα σηµεία M( 0, y0) τα οποία είναι τέτοια ώστε: ( OM) = 7 και ( ME) + ( ME ') = 4,όπου Ο είναι η αρχή των αξόνων Μονάδες 8 4 Να υπολογίσετε την εξίσωση της διχοτόµου της γωνίας P, ' Ε PΕ, όπου Μονάδες 8 Σας ευχόµαστε επιτυχία ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: ΑΠΟ

139 ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (ΟΕΦΕ) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_ΜλΘΤ(ε) ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ / ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Ηµεροµηνία: Κυριακή Απριλίου 0 ιάρκεια Εξέτασης: ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α Έστω α, ν δύο διανύσµατα του επιπέδου µε α 0 Αν προβ αν είναι η προβολή του ν πάνω στο α, να αποδείξετε ότι: α ν = α προβ αν Μονάδες 7 Α Α Α4 Να δώσετε τον ορισµό της έλλειψης Μονάδες 4 Πως ορίζεται ο συντελεστής διεύθυνσης ενός διανύσµατος α µε α // y y; Μονάδες 4 Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις ως σωστές (Σ) ή λανθασµένες (Λ): i Όλες οι ευθείες που διέρχονται από το σηµείο A( 0, y 0) είναι της µορφής y y 0 = λ( 0), όπου λ R ii Αν α, β 0 και α β = α β, τότε α β iii Η εκκεντρότητα της έλλειψης πάντοτε ίση µε β α iv Αν Α (, y ) είναι σηµείο του κύκλου y (C) : + = α β, όπου α > β > 0 είναι < τότε C : + y = ρ, όπου 0 ρ η εφαπτοµένη του C στο Α έχει εξίσωση: + y y= ρ v Οι ασύµπτωτες της υπερβολής y β (C) : = είναι οι ευθείες y = ± α β α Μονάδες 5=0 ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: ΑΠΟ

140 ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (ΟΕΦΕ) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_ΜλΘΤ(ε) ΘΕΜΑ Β κ 4 ίνονται τα σηµεία Α,, Β(, ) και Γ κ,, κ R Β Να βρείτε τα διανύσµατα AB, BΓ και να αποδείξετε ότι τα σηµεία A,B, Γ είναι συνευθειακά Μονάδες 9 Β Να αποδείξετε ότι η γωνία των διανυσµάτων AB και BO είναι αµβλεία, όπου O είναι η αρχή των αξόνων Μονάδες 8 Β Αν ΑΒ ΑΓ = ΒΓ, να βρείτε τον αριθµό κ ( κ R ) Μονάδες 8 ΘΕΜΑ Γ ίνεται η εξίσωση + λ ( ) λ y + = 0 (), όπου λ R 4 Γ Να αποδείξετε ότι η () παριστάνει ευθείες, για κάθε λ R Γ Μονάδες 5 Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχει σηµείο από το οποίο να διέρχονται όλες οι ευθείες της µορφής() Μονάδες 8 Γ Αν ( ε ), ( ε ) είναι οι ευθείες που προκύπτουν από την () για λ = και λ = αντίστοιχα, να υπολογίσετε το εµβαδό του τριγώνου που σχηµατίζουν οι ( ε ), ( ε ) µε τον άξονα y' y Μονάδες 6 Γ4 Να βρείτε το σηµείο της ( ) ε, το οποίο απέχει από την αρχή των αξόνων τη µικρότερη απόσταση Μονάδες 6 ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: ΑΠΟ

141 ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (ΟΕΦΕ) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_ΜλΘΤ(ε) ΘΕΜΑ ίνεται η εξίσωση: + y + (λ 4) + (λ + 4)y + λ = 0 (), όπου λ R Να αποδείξετε ότι για τις διάφορες πραγµατικές τιµές του λ η εξίσωση () παριστάνει ίσους κύκλους Μονάδες 4 4 Να αποδείξετε ότι τα κέντρα των παραπάνω κύκλων είναι σηµεία της ευθείας ( ε ) µε εξίσωση: y = 0 Μονάδες 4 Να αποδείξετε ότι, όλοι οι κύκλοι της µορφής () εφάπτονται δύο ευθειών ( δ ),( δ ) των οποίων να βρείτε τις εξισώσεις Μονάδες 9 Έστω η παραβολή (C) : = py και η ευθεία (ε) του ερωτήµατος Αν η (ε) είναι εφαπτοµένη της παραβολής, να βρείτε: i την παράµετρο p, την εστία και τη διευθετούσα της παραβολής Μονάδες 4 ii την εφαπτοµένη ( η ) της παραβολής, η οποία είναι κάθετη στην ( ε ) Μονάδες 4 Σας ευχόµαστε επιτυχία ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: ΑΠΟ

142 ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (ΟΕΦΕ) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 04 Ε_ΜλΘΤ(ε) ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ / ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Ηµεροµηνία: Κυριακή 4 Μαΐου 04 ιάρκεια Εξέτασης: ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α Να αποδείξετε ότι η εξίσωση της εφαπτοµένης ε του κύκλου ένα σηµείο του A(,y ) είναι ε + = ρ : yy c : + y = ρ σε Μονάδες 0 Α Να γράψετε τον ορισµό του εσωτερικού γινοµένου δύο διανυσµάτων α και β Α Μονάδες 5 Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις ως σωστές (Σ) ή λανθασµένες (Λ): i Το εµβαδόν τριγώνου ΑΒΓ µε Α, Β, Γ τρία σηµεία του καρτεσιανού επιπέδου, δίνεται από τον τύπο: ( ΑΒΓ ) = det ( ΑΒ,AΓ) ii Αν για τις ευθείες ε, ε δεν ορίζεται συντελεστής διεύθυνσης τότε ε // ε iii Ένα παράλληλο διάνυσµα προς την ευθεία ε : Α+ Βy+ Γ= 0 είναι το διάνυσµα δ = ( Β, Α) iv Στην παραβολή y = p ο αριθµός p εκφράζει την απόσταση της εστίας Ε από τη διευθετούσα δ v Οι ασύµπτωτες της υπερβολής y c : = α β έχουν εξίσωση β = ± y α Μονάδες 5 ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: ΑΠΟ

143 ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (ΟΕΦΕ) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 04 Ε_ΜλΘΤ(ε) ΘΕΜΑ Β ίνονται τα διανύσµατα α, β, γ για τα οποία ισχύει α = β = 4, γ = α + κβ κ R και π α, β = rad µε Β Να υπολογίσετε το εσωτερικό γινόµενο των διανυσµάτων α και β Β Να υπολογίσετε το κ R ώστε α γ Β Για κ = 4 ΘΕΜΑ Γ i Να υπολογίσετε τη γωνία των διανυσµάτων β και γ ii Να αποδείξετε ότι ίνονται οι εξισώσεις προβ γ= β β y + = 0 () ( ) ( ) y 6 0 ( ) λ λ + + λ + λ + λ = και λ R Μονάδες 5 Μονάδες 7 Μονάδες 7 Μονάδες 6 Γ Να δείξετε ότι η () παριστάνει δύο ευθείες ε, ε κάθετες και να βρεθεί το σηµείο τοµής τους Ε Μονάδες 6 Γ Να δείξετε ότι η () παριστάνει ευθεία για κάθε λ R και ότι όλες οι ευθείες της οικογένειας αυτής διέρχονται από το ίδιο σηµείο Ζ Μονάδες 7 Γ Αν E(,0) το σηµείο τοµής των ε, ε και Z(, ) το σταθερό σηµείο του ερωτήµατος Γ τότε i να βρείτε την εξίσωση και τη διευθετούσα της παραβολής c, η οποία έχει εστία Ε, κορυφή O(0,0) και άξονα συµµετρίας τον, Μονάδες 6 ii να βρείτε την εξίσωση της χορδής της παραβολής c που έχει µέσο το σηµείο Ζ Μονάδες 6 ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: ΑΠΟ

144 ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (ΟΕΦΕ) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 04 Ε_ΜλΘΤ(ε) ΘΕΜΑ ίνονται τα σηµεία N(6µ,6 λ ) µε λ,µ R και ισχύει ότι 4 Να αποδείξετε ότι τα σηµεία Ν βρίσκονται στον κύκλο c : (+ ) + y = 6 µ + λ = Μονάδες 7 Να βρείτε τις εφαπτόµενες του παραπάνω κύκλου c που διέρχονται από το σηµείο (4,8) Μονάδες 8 Αν τα σηµεία A(4,0) και Ε είναι τα σηµεία επαφής των παραπάνω εφαπτόµενων µε τον κύκλο c, να βρείτε το εµβαδόν του τετραπλεύρου ΕΚΑ, όπου Κ το κέντρο του κύκλου c Μονάδες 5 Να βρείτε το γεωµετρικό τόπο των κέντρων Μ των κύκλων, που εφάπτονται εσωτερικά του κύκλου c και διέρχονται από το σηµείο Σ (,0) Μονάδες 5 ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: ΑΠΟ

145 ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (ΟΕΦΕ) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 05 Α ΦΑΣΗ Ε_AΜλΘΤ(ε) ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ / ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Ηµεροµηνία: Τετάρτη 7 Ιανουαρίου 05 ιάρκεια Εξέτασης: ώρες ΘΕΜΑ Α ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α Να αποδείξετε ότι: α β λ λ =, όπου λ= λ α και λ= λ β, εφόσον α,β y y (Μονάδες 5) Α Να χαρακτηρίσετε στο τετράδιό σας ως σωστή (Σ) ή λανθασµένη (Λ) καθεµιά από τις παρακάτω προτάσεις: α) Αν α β, τότε, α β = 0 και αντιστρόφως β) Αν λα = µα,τότε σε κάθε περίπτωση λ = µ γ) Η εξίσωση A + By + Γ = 0,όπου A, B, Γ R σε κάθε περίπτωση παριστάνει ευθεία δ) Κάθε διάνυσµα α του επιπέδου γράφεται κατά µοναδικό τρόπο στη µορφή α= i+ y j ε) Το εσωτερικό γινόµενο δύο διανυσµάτων είναι ίσο µε το άθροισµα των γινοµένων των οµωνύµων συντεταγµένων τους (Μονάδες 0) ΘΕΜΑ Β Για δύο διανύσµατα α, β του καρτεσιανού επιπέδου ισχύουν οι σχέσεις: α+ β = (0, 5) και α β = (, ) Β Να αποδείξετε ότι α = (, ) και β = (, ) (Μονάδες 7) Β Να υπολογίσετε την γωνία ( α,β ) (Μονάδες 9) Β Να βρείτε τo διάνυσµα προβ α β (Μονάδες 9) ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: ΑΠΟ

146 ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (ΟΕΦΕ) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 05 Α ΦΑΣΗ Ε_AΜλΘΤ(ε) ΘΕΜΑ Γ ίνονται τα σηµεία Α(-, ), Β(, ) και Γ(4, ) του επιπέδου Oy Γ Να δείξετε ότι τα σηµεία Α, Β και Γ δεν είναι συνευθειακά (Μονάδες 7) Γ Να δείξετε η µεσοκάθετος (ε) του ευθύγραµµου τµήµατος ΒΓ έχει εξίσωση y= (Μονάδες 8) Γ Να βρείτε τις συντεταγµένες του συµµετρικού του σηµείου Α ως προς την ευθεία (ε) (Μονάδες 0) ΘΕΜΑ Σε ένα καρτεσιανό επίπεδο Οχψ θεωρούµε τα µη µηδενικά διανύσµατα α, β και τα A α β, 0 B 0, α β, έτσι ώστε το τρίγωνο ΟΑΒ να είναι ισοσκελές σηµεία ( ), ( ) Να αποδείξετε ότι α / / β (Μονάδες 8) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση της ευθείας, που διέρχεται από τα σηµεία Α και B είναι ε : y = α β ή ε : y = + α β (Μονάδες 8) Αν η ευθεία = τέµνει τις διαφορετικές ευθείες ε : y = α β, ε : y = + α β στα Λ, Κ αντίστοιχα και ισχύει OK OΛ =, να βρείτε το εσωτερικό γινόµενο α β Σας ευχόµαστε Επιτυχία (Μονάδες 9) ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: ΑΠΟ

147 ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (ΟΕΦΕ) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 05 Β ΦΑΣΗ Ε_ΒΜλΘ(ε) ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ / ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Ηµεροµηνία: Κυριακή 6 Απριλίου 05 ιάρκεια Εξέτασης: ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ A Α Έστω δύο σηµεία Α (, y) και ( ) ( ) B, y του καρτεσιανού επιπέδου και, y οι συντεταγµένες του µέσου Μ του ευθυγράµµου τµήµατος ΑΒ Να + y+ y αποδείξετε ότι ισχύει: = και y= Μονάδες 9 Α Να δώσετε το ορισµό του εσωτερικού γινοµένου α β δύο µη µηδενικών διανυσµάτων α και β Πώς ορίζουµε το α β όταν α = 0 ή β = 0 ; Μονάδες 6 Α Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας, δίπλα στο γράµµα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασµένη α =, y είναι ένα µη µηδενικό διάνυσµα του καρτεσιανού επιπέδου, α) Αν ( ) τότε σε κάθε περίπτωση ο συντελεστής του, λ α, είναι ίσος µε το πηλίκο y β) Έστω α,v δύο διανύσµατα του καρτεσιανού επιπέδου µε α 0 Τότε ισχύει ότι: α v = α προβ α v γ) Κάθε ευθεία του επιπέδου έχει εξίσωση της µορφής: Α + Β y + Γ = 0 µε Α, Β, Γ R δ) Οι διχοτόµοι των γωνιών Oy και yo των αξόνων του συστήµατος συντεταγµένων, έχουν εξισώσεις y= και y= αντιστοίχως ε) Η εφαπτοµένη του κύκλου + y = ρ στο σηµείο του Α (, y ), έχει εξίσωση + yy = ρ Μονάδες 0 ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: ΑΠΟ

148 ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (ΟΕΦΕ) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 05 Β ΦΑΣΗ Ε_ΒΜλΘ(ε) ΘΕΜΑ Β ίνεται ευθεία ε µε εξίσωση: + 4y= Β Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας ζ, η οποία είναι παράλληλη στην ευθεία ε 9 και διέρχεται από το σηµείο Α, Μονάδες 8 Β Να βρείτε την εξίσωση της µεσοπαράλληλης ευθείας η των ευθειών ε και ζ Μονάδες 9 Β Αν η ευθεία ε τέµνει τον άξονα y y στο σηµείο Β και η ευθεία ζ τον άξονα στο σηµείο Γ, να υπολογίσετε το εµβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ Μονάδες 8 ΘΕΜΑ Γ α = Έστω (,4y ), β = (,), µε, y R, δύο διανύσµατα του καρτεσιανού επιπέδου, τα οποία είναι κάθετα µεταξύ τους Γ Να δείξετε ότι ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων M(, y ) είναι η παραβολή C, Γ µε εξίσωση: = 8y, της οποίας να βρείτε την εστία Ε και την διευθετούσα δ Μονάδες 8 i) Να βρείτε τις εξισώσεις ε, ε των εφαπτοµένων στην παραβολή C, στο σηµείο N,, 0, οι οποίες διέρχονται από το σηµείο Α(, ) 8 Μονάδες 6 ii) Να δείξετε ότι για την αµβλεία γωνία ω των εφαπτοµένων ε, ε, ισχύει: 0 συνω = 0 Μονάδες Γ ίνεται, επιπλέον, σηµείο (, y ) Β 0 0 της παραβολής C, µε 0< 0 που απέχει από την διευθετούσα δ αυτής απόσταση ίση µε 0Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου C, ο οποίος έχει διάµετρο το τµήµα µε άκρα τα σηµεία Ε και Β Μονάδες 8 ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: ΑΠΟ

149 ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (ΟΕΦΕ) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 05 Β ΦΑΣΗ Ε_ΒΜλΘ(ε) ΘΕΜΑ Έστω η εξίσωση + y λy = 0,(), µε λ R Να αποδείξετε ότι η εξίσωση () παριστάνει κύκλο C λ, για κάθε λ R, του οποίου να υπολογίσετε το κέντρο Κ και την ακτίνα ρ Μονάδες 6 i) Να αποδείξετε ότι οι κύκλοι C λ, για κάθε λ R, διέρχονται από δύο σταθερά σηµεία Α και Β, των οποίων να βρείτε τις συντεταγµένες Μονάδες 4 ii) Αν Α(,0), να βρείτε την εξίσωση της εφαπτοµένης του κύκλου C λ στο σηµείο Α Μονάδες 4 Να βρείτε την εξίσωση της έλλειψης C, µε εστίες τα σηµεία Α, Β και εκκεντρότητα Μονάδες 6 4 Αν Μ είναι ένα κοινό σηµείο των C λ, C, να υπολογίσετε τις τιµές του λ R, έτσι ώστε: (ΜΑ)+(ΜΒ) = (ΜΚ) Μονάδες 5 ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: ΑΠΟ

150 ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (ΟΕΦΕ) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 06 Α ΦΑΣΗ Ε_ΜλΘ(ε) ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΣ: ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ηµεροµηνία: Πέµπτη 7 Ιανουαρίου 06 ιάρκεια Εξέτασης: ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α ίνονται τα διανύσµατα a= (, y) και β = ( y) µε συντελεστές διεύθυνσης λ και λ αντίστοιχα είξτε ότι a / /β λ = λ (5 µονάδες) Α Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας, δίπλα στο γράµµα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος αν η πρόταση είναι λανθασµένη α) Η εξίσωση Α + Β y + Γ = 0 µε Α 0 ή Β 0 παριστάνει πάντοτε ευθεία µε Β συντελεστή διεύθυνσης λ = Α β) Αν aβ+ a β= 0 τότε a β γ) Ισχύει a β = a προβ a β, β 0 δ) Αν η γωνία της ευθείας ε µε τον άξονα είναι 90 ο τότε ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας είναι 0 ε) Για τα µη µηδενικά διανύσµατα a και β, που σχηµατίζουν γωνία θ ισχύει a β συνθ = aβ ΘΕΜΑ Β ίνονται τα σηµεία Α(,), Κ(-,4) και το διάνυσµα ΑΓ = (4,) (0 µονάδες) Β Βρείτε το συµµετρικό Β, του σηµείου Α ως προς το Κ Β Βρείτε τις συντεταγµένες του σηµείου Γ και του Β, που είναι η προβ ΒΓ ΒΑ Β Υπολογίστε το µέτρο ΑΚ ΚΓ (7-0-8 µονάδες) ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: ΑΠΟ

151 ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (ΟΕΦΕ) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 06 Α ΦΑΣΗ Ε_ΜλΘ(ε) ΘΕΜΑ Γ ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ µε Γ(5, 4) Η πλευρά ΑΒ έχει εξίσωση y+ 4= 0, ενώ το ύψος Β έχει εξίσωση y= 5 Γ Βρείτε τις συντεταγµένες της κορυφής Β Γ Βρείτε την εξίσωση της πλευράς ΑΓ Γ Αν Β(, 6) τότε βρείτε την εξίσωση της µεσοκαθέτου της πλευράς ΒΓ και το σηµείο τοµής Z, της µεσοκαθέτου µε το ύψος Β (7,8,0 µονάδες) ΘΕΜΑ ίνονται τα σηµεία Α(κ, 5) και Β(4, κ+4), κ R Βρείτε το γεωµετρικό τόπο του µέσου Μ του ΑΒ Αν η ευθεία (ε), που διέρχεται από τα Α(κ,5) και Β(4, κ+4) είναι παράλληλη στην ευθεία ε : y + 5= 0, τότε να βρείτε τον κ R και να δείξετε ότι η ευθεία (ε) έχει εξίσωση: y = 0 Έστω τα διανύσµατα u= a+ β και v= a β π a =, β = και a, β = α) Βρείτε το γινόµενο u v και το µέτρο v, όπου aβ, διανύσµατα µε β) Βρείτε το σηµείο Γ της ευθείας (ε) του ερωτήµατος και τον µ R ώστε: uv ΒΓ + v ΑΒ = (4, µ + ) ( ) ( ) (6,7,6,6 µονάδες) ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: ΑΠΟ

152 ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (ΟΕΦΕ) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 06 Β ΦΑΣΗ Ε_ΜλΘ(ε) ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΣ: ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ηµεροµηνία: Κυριακή 7 Απριλίου 06 ιάρκεια Εξέτασης: ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α Έστω a, v δύο διανύσµατα του επιπέδου µε a 0 είξτε ότι για την προβολή του v πάνω στο α ισχύει av = α προβ ν α (5 µονάδες) Α Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας, δίπλα στο γράµµα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος αν η πρόταση είναι λανθασµένη ( ) det AB, AΓ α) Το εµβαδόν τριγώνου ΑΒΓ δίνεται από το τύπο ΑΒΓ = ( ) Σ - Λ β) Για τη γωνία φ, που σχηµατίζει ένα διάνυσµα α µε τον άξονα ισχύει 0 ϕ< π Σ Λ γ) Η εξίσωση + y + A + By + Γ = 0 µε Α Β 0 και παριστάνει κύκλο µε κέντρο Α + Β Γ > 4 0 Α B Κ, Σ Λ δ) Η απόσταση της κορυφής µιας παραβολής από την εστία της είναι ίση µε το µισό της απόστασης της εστίας από την διευθετούσα Σ Λ a / / β a = λβ det a, β = 0, λ R καιβ 0 Σ Λ ε) Ισχύει η ισοδυναµία ( ) (5 µονάδες) ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: ΑΠΟ

153 ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (ΟΕΦΕ) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 06 Β ΦΑΣΗ Ε_ΜλΘ(ε) ΘΕΜΑ Β ίνονται τα διανύσµατα α= (, ) και β=- j v= a β=, Β είξτε ότι το διάνυσµα ( ) και βρείτε τον αριθµό γ= va+ 4aβ (6 µονάδες) Β Αν σε τρίγωνο ΑΒΓ η πλευρά ΑΒ διέρχεται από το σηµείο Κ(,) και είναι y= va+ 4aβ κάθετη στο διάνυσµα v, ενώ η πλευρά ΒΓ έχει εξίσωση ( ) τότε βρείτε τις εξισώσεις των πλευρών ΑΒ και ΒΓ και την κορυφή Β (7 µονάδες) Β Βρείτε την εξίσωση της ευθείας γραµµής, στην οποία βρίσκονται τα σηµεία Μ(λ-, λ+), λ R (6 µονάδες) Β4 Αν η πλευρά ΑΓ είναι η ευθεία γραµµή που βρήκατε στο ερώτηµα Β τότε να δείξτε ότι το µήκος του ύψους ΒΛ είναι (6 µονάδες) ΘΕΜΑ Γ ίνεται παραλληλόγραµµο ΑΒΓ µε κορυφή Α(,-) και τη πλευρά Γ να έχει εξίσωση y+ 5= 0 Μία πλευρά του βρίσκεται στην ευθεία (ε): + y= 0 Γ είξτε ότι η πλευρά που βρίσκεται στην ευθεία (ε) είναι η ΒΓ, βρείτε τις συντεταγµένες της κορυφής Γ και δείξτε ότι το κέντρο του παραλληλογράµµου είναι Κ, (7 µονάδες) Γ Βρείτε την πλευρά ΑΒ και δείξτε ότι το εµβαδόν του παραλληλογράµµουαβγ είναι 8 5 τµ (7 µονάδες) Γ είξτε ότι η εξίσωση της παραβολής C, που έχει κορυφή Ο(0,0), άξονα συµµετρίας τον και διέρχεται από το κέντρο Κ του παραλληλογράµµου είναι = y (5 µονάδες) ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: ΑΠΟ

154 ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (ΟΕΦΕ) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 06 Β ΦΑΣΗ Ε_ΜλΘ(ε) Γ4 είξτε ότι η εφαπτοµένη της παραβολής C στο σηµείο Κ είναι + y+ = 0 ΘΕΜΑ και µετά βρείτε τον συντελεστή διεύθυνσης της διχοτόµου της γωνίας ΕΚΘ, όπου Ε η εστία και ΚΘ րր ΟΕ (6 µονάδες) ίνεται η ευθεία ε : α+ βy= 0 Να δείξετε ότι η εξίσωση + y 4a 4β y= 0 παριστάνει κύκλο, του οποίου να βρείτε το κέντρο Κ και την ακτίνα ρ (7 µονάδες) Ποια είναι η σχετική θέση της ευθείας και του κύκλου (5 µονάδες) Αν για τους αριθµούς α και β ισχύει a + 4β = τότε να δείξετε ότι τα κέντρα των παραπάνω κύκλων βρίσκονται στην έλλειψη + 4y =, της οποίας να βρείτε τα µήκη των αξόνων και την εκκεντρότητα (6 µονάδες) 4 είξτε ότι η εφαπτοµένη της έλλειψης σε σηµείο N(, y ) διαφορετικό των κορυφών της, που διέρχεται από το Ζ(-,) είναι + y 4= 0 Μετά δείξτε ότι τα σηµεία Ζ, Ο(0,0) και το µέσο του NA είναι συνευθειακά, όπου Α η κορυφή της έλλειψης στον άξονα Οχ (7 µονάδες) ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: ΑΠΟ

155 , ± ª,»±% ª ³,ª ª¹±³ ª, ± ù ù ù,0&!$ )ú 0 ú : 4 + ú, & & & & Œ = # = = & & & & && + = + + = + = & & & && & = + = + + = ü ( ) ( ) ( ) ùœ)/# #0 $0 = $% + $ + & & & $0= ( + ) & & $0 = & & & & & ù) %+ = $+ $% = + = $0 %+ ü #( $0%+ ) = () $0 ú+ & & & & $0 ú+ = ( )( ) & & & & = = 4-+= & & & & ù0 = = ( ) =! $0 =

156 ΒΓ = & & = & & ( ) =! ú+ = ò/0 Œ #( $0 ú+ ) = = Œ)0( $0 %+ ) =, "!)Œ " ù * 0Œ0!)"#Œ!$0! "+0! )0 Œ)0 Œ0!)" ü Œ!Œ0 0 () Œ! +" ïù! ò ± ± ± Œ)0 û0""œ) i) ò& / )0 / / / / ò / / Œ)0/ ii) >@ ( + )( ) = ( )( ) = +

157 !+# $0!0" = = 0!)0*&!+ #)Œ #)&"/0#Œ!$0! #ò! Œ)0 + "!)Œ " + ùœ) Œ! *Œ0 0Œ0!)0Œ0!)"Œ0!)"!Œ0!)" Œ / Œ! &" "!)Œ " + + = = + ý! ±, ±, ±! ±4), +(±), +(±Œ0 #" Œ0!! *"&, C : (-) + (y-6) =0 C : (-) + (y-6) =6 ü ù <! = ú,! < <! = ñ! ù0 #)/ Œ #!0 C! ù%0œ * ú00&0!)0 #C 0&0!) #C Œ)0 % 0

158 $00#0"* # d( 0 = + * < < 0! < d( 0! üœ &"#Œ!$00%/0#Œ!$0 $ 0 Œ *% 4

159 ù,þù ÿ ù ù ü,þú üÿ,üù,üÿù,üù i)! 0Œ!+ 0* #" /!0!)" #"#/)" ii) ò&/ /ï ù *//0//!/ /ï ////ï ù */ï/ï0/ï/ï Œ)0 /ï,!/ï /ï // #/ /ï iii)þœ!)s 0 0" ò&)$*0s,/0$0s ü Œ)LL ) ) (ιι) = ( = ) iv) [,] = = (,) () = [],üù A üœ0/ Œ! = Œ! 0 #Œ!$0, 5 +0

160 Œ! = = = Y = Œ! X! X Y Y = X = X Œ! = X = B Y + Y = Y Y = Y Y = A B û+ ( βσυνγ) úû+ ( #ú) +û = ( βσυνγ) Œ! ΒA+ ( #ú) ú+ Œ! ú+ ΓA ΒΑ ú+ ΓΑ = ( #ú) ΒΓ+ ( ) #+ ΒΓ ΓΒ +ú ΓΒ γασυνβ ΒΓ+ α ( #+ ) ( #ú) βασυνγ α = ΓΒ = 0 #+ úû+ #ú +û = +ûúû+ úû+û = +ûúû = úû+û+ûúû úû+û ( ) ( )

161 ,üù ùü S S i) H () /0 = ± 0 0)0 S = ± = ± = () α p 0#Œ0! S ii) ò&ü β p = y 4 Œ)0 0 - = 4 p 0üï, 0 ù[, y ) 0 0 0Œ" )0 y =p () 0Œ)0 $0 0& yy =p(+ ) () Œ 0Œ0*0 Œ) " #00" # üï ) p p + = 0 =, p ùœ)œ! *Œ0y =±p ò00œ" 0 A p,p, B 0Œ)00"$ #0+0" y = +p/, iii) E = Œ p, p y = p/

162 iv) p, p B,,p p A #0% ) ) ( 4 4 p 4 p () = + = + = + γ α γ γ β β a a = = γιατ α γ α γ γ 0!& (/ ιτ ε ε ε ε ε = + = < < = ± = 0 = =

163 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΟΕΦΕ 00 ΘΕΜΑ ο Α Θεωρία, σελίδα ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ (ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ-ΕΝ ΕΙΚΤΙΚΕΣ) Β Θεωρία, σελίδα 47 ΘΕΩΡΗΜΑ (iv ) Γ Σ Λ Σ Λ Σ ΘΕΜΑ ο Α Επαγωγή Για ν = η σχέση προφανώς ισχύει Αν ν > ν 5 (), µε ν, θα δείξουµε ότι ν+ > (ν +) 5 ν+ > ν () Η ( ) ισχύει για ν = Για ν είναι ν+ = ν ( ) > ( ν 5) = 6ν 0, εποµένως, αρκεί να δείξουµε ότι 6ν 0 > ν ν > 8/, που ισχύει y Β Για ν = η () γίνεται = και παριστάνει ισοσκελή υπερβολή µε α = β = και γ = α β = + Οι εστίες είναι Ε (, 0), Ε(, 0), η εκκεντρότητα ισούται µε και οι ασύµπτωτες έχουν εξισώσεις y = ± Γ Είναι ν Η () γράφεται ν y + ν 5 και επειδή ν 5 > 0 και ν > ν 5 παριστάνει έλλειψη µε εστίες στον άξονα των =

164 ΘΕΜΑ ο A (i) Είναι (ΜΑ) < α + (β ) < 4, που αποδεικνύει το ζητούµενο (ii) Η απόσταση του Κ από την = ισούται µε την ακτίνα ρ =, έτσι η = εφάπτεται στον κύκλο Β (i) Η () γράφεται: (λ ) + λ y λ λ =0 () µε λ RI και παριστάνει ευθεία γιατί οι συντελεστές της Α= λ, Β=λ δεν µηδενίζονται ταυτόχρονα (ii) Το Ν δεν ανήκει σε ευθεία µε εξίσωση της µορφής (), αν και µόνον αν, η εξίσωση λ ( 0 ) + λ (y 0 ) 0 = 0 () είναι αδύνατη, ως προς λ Επειδή 0 η () είναι δευτέρου βαθµού, εποµένως πρέπει και αρκεί να έχει αρνητική διακρίνουσα: < 0 + (y ) < Άρα, ο ζητούµενος γ τ είναι το εσωτερικό του κύκλου C ΘΕΜΑ 4ο Eίναι OA = OB= OΓ= (i) Με σηµείο αναφοράς το Ο η ισότητα OA = 4( OΓ - OΒ) + OΓ OA OA+ 4OB= 5 OΓ (ii) Υψώνουµε στο τετράγωνο την OA= 4 ΒΓ+ ΑΓ δίνει διαδοχικά OA+ 4OB= 5 OΓ και µετά την εκτέλεση των πράξεων προκύπτει OA OB = 0 OA OB uuuur uuuur uuuur OA uuuur ΟΓ uuuuur uuuur uuuuur uuuur OA + 4OB uuuur (iii) συν ( OA, ΟΓ ) = uuuur uuuur = OA ΟΓ = OA = = OA ΟΓ 5 5 (iv) Για το εµβαδόν του ορθογωνίου τριγώνου ΟΑΒ έχουµε τις σχέσεις E= det(oa, OB ) και οπότε det( OA, OB ) = ± E = OA OB=,

165 Θέµα ο Α Θεωρία Β ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΟΕΦΕ 004 ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Β' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ i) Λάθος αφού για την ευθεία = 0, δεν ορίζεται συντελεστής διεύθυνσης r η= Α,B είναι κάθετο στην ευθεία ε ii) Λάθος το διάνυσµα ( ) iii) Σωστό ( ) Γ Θεωρία Θέµα ο γ α + β α άρα γ β i) ur ur ur ur ur 5 ur 5 ur ur Ε ί ν α ι = ur = = 5 5 α β α προβ β α α α = α = 4 = 0 α ii) ur ur ur ur α β 0 Έστω φ= ( α, β ) Έχουµε συνφ = ur ur συνφ = συνφ =, άρα α β 4 5 φ = 60 r r ur ur ur ur urur ur ur urur u = u = α β = α + β α β = α + β α β = =, r ε π ο µ έ ν ω ς u= iii) ( ) ur r ur r ur ur ur ur ur ur ur ur β v β v = 0 β α β α κ β = 0 β 0α κ β = 0 urur ur ur 0α β κ β = κ β = 0 κ 5 = 00 κ = 4 iv) ( ) ( )

166 Θέµα ο i) α= κ+, κ, άρα α περιττός Έτσι ( ) β κ κ κ κ µ α = 8λ+, λ = + = + =, µ (γινόµενο διαδοχικών ακεραίων) α + β= 8λ+ + µ = 4λ + µ + = ν+, ν = 4 λ + µ, Άρα ( ) δηλαδή α + β περιττός ii) Το τετράγωνο περιττού ακεραίου είναι της µορφής 8γ+, γ ( α + β + Άρα ) 8γ = = 8 8 ( γ + 4) 8 = γ + 4 iii) α+ β= κ+ + κ + κ= κ + κ+ και αφού κ= λ+, λ τότε ( ) ( ) ( ) ( λ 5λ ) α+ β= λ+ + λ+ + = 6 λ+ 5λ+ + = λ+ 5λ+ + µε είναι + +, άρα το υπόλοιπο της διαίρεσης του α+ β µε το Θέµα 4ο i) Οι εφαπτοµένες της υπερβολής στις κορυφές της Α και A είναι οι ευθείες ( ε ) : = α και ( ε ) : = α αντίστοιχα Η ε ξ ί σ ω σ η τ η ς ε υ θ ε ί α ς µ ε σ υ ν τ ε λ ε σ τ ή δ ι ε ύ θ υ ν σ η ς λ> 0, που διέρχεται από το σηµείο Κ ( 0, β ) είναι η ( ε ) : y β = λ( 0) y = λ + β ( ε ) : = α = α ( ε ) : y = λ + β y = αλ + β ( ε ) : = α = α ( ε ) : y = λ + β y = αλ + β άρα M ( α, αλ + β) άρα Ρ ( α,αλ β) + ii) Οι συντεταγµένες του µέσου του ΜΡ,δηλαδή του κέντρου του α α αλ κύκλου είναι +, + β + αλ + β = ( 0, β) Επίσης ( ) ( ) ΜΡ = α + α + αλ + β + αλ β άρα η ακτίνα του κύκλου είναι του: ( y β) α ( λ ) + = + ( ) 4α 4α λ α λ = + = +, ( ΜΡ) ρ= = α + λ και η εξίσωσή

167 iii) Έχουµε ρ = Α Α α + λ = α + λ = + λ = 4 λ = λ = iv) Ο κύκλος ( y β) α ( λ ) και µόνο αν γ ( 0 β) α ( λ ) + = + διέρχεται από την εστία ( ) + = + δηλαδή γ + β = α + α λ γ + γ α = α + α λ α λ = γ α γ λ = λ = ε λ = ε α Ε γ,0 αν

168 Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 005 ε π α ν α λ η π τ ι κ ά θ έ µ α τ α Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Ο Α Θεωρία: Θεώρηµα (i) Σχολικό βιβλίο Σελ 47 Β α Σ β Λ γ Λ δ Λ ε Λ Γ Θεωρία ΘΕΜΑ Ο α Η έλλειψη έχει α = 5, β = και γ = α β = 4, άρα γ = 4, οπότε είναι Ε ( 4, 0), Ε (4, 0) βi βii Η παραβολή έχει παράµετρο p = 8 και εστία ( p, 0) = (4, 0) Από τον τύπο yy = p( + ) βρίσκουµε: Για το Μ (4, 8): 8y = 8( + 4) y = + 4 Για το Μ (4, 8): 8y = 8( + 4) y = 4 Είναι: και οπότε: Ε Μ = ( 4 +4, 8 0) = (8, 8) [τύπος: ΑΒ = (, y y )] Ε Μ = ( 4 +4, 8 0) = (8, 8) Ε Μ Ε Μ = = β iii Είναι: Ν, δηλαδή Ν ( 0, 4) [τύπος: α β = + y y ] [Συντεταγµένες µέσου] και 4 0 y λ ΕΝ = = y τύ πος : λ ΑΒ =, λ Ε Μ = = Έτσι, λ ΕΝ = λ Ε Μ ΕΝ // Ε Μ Τα θέµατα προορίζονται για αποκλειστική χρήση της φροντιστηριακής µονάδας

169 Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 005 ΘΕΜΑ Ο αi Είναι: β = + ( β ) τύ πος : α = + y 5 β β = β = 5 β = 5 [ β 0 ] αii Είναι α = (, 8 α β ), β = (, ) και α β = + 8 α β [τύπος: α β = + y y ] α β = 0 α β = 5 β Από το (α) είναι α = (, ), β = (, ) Έχουµε: συν( α,^ β ) = + y y + y + y = = 5 = 5 και επειδή 0 ( α,^ β ) π προκύπτει ( α,^ β ) = 4 π γi Αν α = προβ α = β, τότε α // β και επειδή β 0 υπάρχει λ ΙR, τέτοιο, ώστε: β α = λβ α = (λ, λ) () Τα θέµατα προορίζονται για αποκλειστική χρήση της φροντιστηριακής µονάδας

170 Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 005 Ακόµα: α β = ( προβ α ) β β α β = α β 5 = 4λ +λ [ τύπος: α β = + y y ] λ = και η () δίνει: α = (, ) προβ β α = β γii Η συνιστώσα που είναι παράλληλη στο β είναι το α = Έστω α η δεύτερη συνιστώσα Έχουµε β προβ α = β = (, ) οπότε: α + α = α α = α α α = (, ) (, ) α = (, ) Ώστε, είναι: α = (, ) // β και α = (, ) ΘΕΜΑ 4 Ο Α (Επαγωγή) Η πρόταση ισχύει για ν =, γιατί > + > Αν υποθέσουµε ν > ν + () για ν, αρκεί να δείξουµε ότι: ν+ > (ν + ) + () Πράγµατι ν+ = ν ( ) f (ν +) = (ν +ν + ) + ν f ( ν +ν + ) = (ν + ) + Βα Έχουµε: Α + Β 4Γ > 0 6συν φ + 6ηµ φ 4(4 ν +ν ) > 0 6(συν φ + ηµ φ) 6 +4 ν 4 ν > ν 4 ν > 0 4 ( ν ν ) > 0 [ ηλαδή: Α +Β 4Γ = 4( ν ν )] ν > ν [Από Α: ν > ν + ν > ν, ν ] Τα θέµατα προορίζονται για αποκλειστική χρήση της φροντιστηριακής µονάδας

171 Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ Η τελευταία σχέση ισχύει για ν = 0, και, άρα, από το Α, ισχύει για κάθε µη αρνητικό ακέραιο ν Εποµένως, η () παριστάνει κύκλο για κάθε ν και κάθε φ, όπως αυτά ορίστηκαν Α Β Το κέντρο του κύκλου είναι το Κ (, ) δηλαδή Κ (συνφ, ηµφ) και η ακτίνα του ρ = Α + Β 4Γ ρ = 4( ν ν ρ = ν ν β Έστω, y οι συντεταγµένες του κέντρου Έχουµε (από το Β α ): = συνφ και y = ηµφ µε φ [0, π) άρα, ο γτ του κέντρου είναι ο κύκλος + y = 4 (παραµετρικές εξισώσεις κύκλου) Γi Αν υποθέσουµε συνφ = 0 και ηµφ = 0, τότε συν φ + ηµ φ = 0 =, άτοπο Εποµένως, είναι συνφ 0 ή ηµφ 0 και η (ε) παριστάνει ευθεία για κάθε φ [0, π) ii Η ε εφάπτεται του κύκλου C αν και µόνον αν: d(k, ε) = ρ Είναι d(k, ε) = ρ συν φ + ηµ φ = συν φ + ηµ φ ν ν = ν ν ν = ν + Η τελευταία ισότητα, λόγω του Α, ισχύει µόνο όταν ν = 0 Τα θέµατα προορίζονται για αποκλειστική χρήση της φροντιστηριακής µονάδας

172 Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 006 Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Θέµα γ) i) Λάθος ii) Λάθος iii) Σωστή iv) Λάθος Θέµα π α) a β = a β συν ( a, β ) = συν = 6 = β) Ισχύει ΑΜ = ΑΒ + ΑΓ άρα ΑΓ = ΑΜ ΑΒ = ( a + β ) ( a β ) = = 6a + β a + β = 4a + β γ) ΑΜ = a + β = 9a + 6a β + β = = ( ) + 9 = = 7 Άρα ΑΜ = 7 = δ) Αν θ η γωνία των ΑΜ και a τότε ΑΜ a ( a + β ) a a + β a 4 9 συνθ = = = = = = ΑΜ a π = = = συν 8 6 Επειδή 0 θ π είναι π θ= 6 Τα θέµατα προορίζονται για αποκλειστική χρήση της φροντιστηριακής µονάδας

173 Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 006 Θέµα + + a 6 + a Α = = + 0 Είναι 6 + a = a = a = 0 ή 6 + a = 0 0 a= 4 ή a = 6 β) i) ε : + y+ 4= 0 οπότε Γ( 0, 4) Ε = det ( ΑΒ, ΑΓ) ΑΒ = (, ) και ΑΓ = (,7 ) οπότε det ( ΑΒ, ΑΓ ) = = + = 0 7 α) ( ΑΒ ) = ( + ) + ( ) = 0 και d (, ε ) 0 Άρα Ε = 0 = = 0τµ ii) Φέρνουµε ΟΗ ε Το σηµείο Η έχει τη µικρότερη απόσταση από το Ο διότι για κάθε άλλο σηµείο Μ της ε ισχύει ΟΜ > ΟΗ (υποτείνουσα και κάθετη πλευρά στο τρίγωνο ΟΗΜ) λε λ ΟΗ = και λ ε = άρα λ ΟΗ = ΟΗ : y = Με επίλυση του συστήµατος των εξισώσεων 6 + y+ 4= 0 και y= βρίσκουµε = και y = Άρα Η, το σηµείο της ε µε τη µικρότερη απόσταση από το Ο 5 5 Θέµα 4 α) Α = ηµθ, Β = συνθ, Γ = και Α + Β 4Γ = ηµ θ + συν θ + 8 = 9 > 0 ηµθ συνθ Άρα είναι εξίσωση κύκλου µε κέντρο Κ, 9 ρ= = και ακτίνα Τα θέµατα προορίζονται για αποκλειστική χρήση της φροντιστηριακής µονάδας

174 Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 006 ηµθ συνθ Κ το κέντρο τότε = και y= Με ύψωσή τους ηµ θ συν θ στο τετράγωνο έχουµε = και y = οπότε µε πρόσθεσή 4 4 β) Αν (, y) τους κατά µέλη προκύπτει + y = Άρα το Κ κινείται στον κύκλο 4 + y = γ) Ισχύει + + ηµθ + συνθ = ηµθ = συνθ Αν συνθ = 0 τότε ηµθ= 0 αδύνατο Άρα συνθ 0 εποµένως ηµθ π π = εφθ = εφθ = εφ θ = κπ, κ Z πρέπει συνθ 4 4 π 5 0 κπ < π 0 κ < κ < Άρα κ= οπότε π π θ = π = 4 4 δ) Από ερώτηµα (β) το Κ ανήκει στον κύκλο ΟΚ = ( ) + y = οπότε Αν Α το σηµείο του κύκλου C που βρίσκεται πιο κοντά στο Ο, και η ακτίνα του, ισχύουν: ρ ( ΟΑ ) = ( ΟΚ ) και ( ΟΒ ) = ρ + ( ΟΚ ) Άρα ( ΟΑ ) = = και ( ) ΟΒ = + = ρ= Τα θέµατα προορίζονται για αποκλειστική χρήση της φροντιστηριακής µονάδας

175 Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 007 Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ ο Α Θεωρία από σχολικό βιβλίο στη σελίδα 8 Β Θεωρία από σχολικό βιβλίο στη σελίδα 4 Γ Σωστό Σωστό Λάθος 4 Λάθος 5 Λάθος ΘΕΜΑ ο i) Έστω ότι η () δεν παριστάνει ευθεία, τότε θα υπάρχει α R, α + = 0 τέτοιο ώστε: α = 0 Άτοπο, διότι το σύστηµα είναι αδύνατο Άρα η () παριστάνει ευθεία για κάθε α R ii) Παρατηρούµε ότι οι συντεταγµένες του σηµείου Μ, επαληθεύουν την () Πράγµατι (α+)(-)+(α-)+=-α-+α-+=0, άρα οι ευθείες της µορφής (), διέρχονται από το Μ(-,) iii) Για α = 0, προκύπτει η ευθεία µε εξίσωση -y+ = 0 + 5y = 0 = Το σύστηµα έχει λύση, άρα Α(-,) y + = 0 y = Για α = -, προκύπτει η ευθεία µε εξίσωση --y+ = 0 + 5y = 0 = Το σύστηµα έχει λύση, άρα Β(,0) y + = 0 y = 0 uuur uuuur AB = (5, ) και AM = (,), άρα uuuur uuur (ΑΜΒ) = det(am, AB) = = τµ 5 Τα θέµατα προορίζονται για αποκλειστική χρήση της φροντιστηριακής µονάδας

176 Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 007 ΘΕΜΑ ο i) Για λ= η () γίνεται: C : y = 6, εξίσωση παραβολής µε p=, διευθετούσα δ: = και εστία E(,0) ii) Για λ= η () γίνεται: C : + y = 6, εξίσωση κύκλου µε κέντρο Ο(0,0) και ακτίνα R=4 iii) iv) Η έλλειψη έχει τις εστίες της στον άξονα των, και αφού η µία είναι Ε(/,0) είναι γ=/ Ακόµη α=4 άρα α= Εποµένως: β =α -γ =7/4 Άρα η ζητούµενη έλλειψη έχει εξίσωση: 4 + y 7 4 = Η εκκεντρότητα ε είναι: ε=γ/α=/4 Λύνουµε το σύστηµα των C,C Με απαλοιφή του y προκύπτει η εξίσωση: +6-6=0 η οποία έχει λύσεις = & =-8 που απορρίπτεται γιατί η παραβολή έχει ρ=>0 Εποµένως: y = y = ± Άρα τα σηµεία τοµής είναι: P (, ) και P (, ) Από τον ορισµό της παραβολής d ( P, δ ) = ( P, E) και d ( P, δ ) = ( P, E) αφού τα Ρ Ρ είναι σηµεία της παραβολής Εποµένως ισχύει ότι: d(p,δ)-(ρ Ε)= d(p,δ)-(ρ Ε) ΘΕΜΑ 4 ο Α α Αν α = β τότε φ = 0, άτοπο αφού φ=π/ r r rr β Α = α, Β = β, Γ = αβ Η () παριστάνει κύκλο αν και µόνο αν Α +Β -4Γ>0 Πράγµατι: Α +Β r r r r r r -4Γ= 4α + β 4αβ = α β > 0 αφού το α β = 0 δίνει α = β και απορρίπτεται Άρα ρ = α β = α β Τα θέµατα προορίζονται για αποκλειστική χρήση της φροντιστηριακής µονάδας

177 Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 007 B α Είναι Κ β α, = (, ), άρα α =, β = Εποµένως ρ 4 α + β 4 α β συνφ = = ρ = 4 β d(κ, ε) = + 4 = =ρ Άρα ο κύκλος µε εξίσωση την () + 4 εφάπτεται στην ευθεία: +4y-=0 γ Αν V = προβ β α r, τότε υπάρχει λ, ώστε V =λ r α, αφού V r //α Ακόµα: r α β = α V α β = λ(α ) λ = Άρα V = προβ β = α α r Τα θέµατα προορίζονται για αποκλειστική χρήση της φροντιστηριακής µονάδας

178 Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 008 B' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ Ο A α Σχολικό βιβλίο σελίδα 6 β Σχολικό βιβλίο σελίδες 60,6 Β α (Σ), β (Σ), γ (Λ), δ (Σ), ε (Λ) ΘΕΜΑ Ο α i) Έστω ότι τα σηµεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά Τότε ΑΒ// ΒΓ, οπότε det( ΑB, BΓ ) = 0 = 4, 5 0 =, 5 ΒΓ = 6 4, κ 5 =, κ 5 Αλλά ΑΒ ( ) ( ) και ( ) ( ) 5 Άρα 0 ( 5) = κ = κ = κ κ =, που είναι άτοπο αφού κ 0 Συνεπώς τα Α, Β, Γ δεν είναι συνευθειακά κ κ ii) Αν Μ το µέσο της ΑΓ, τότε Μ, = 4, Η ευθεία που κ διέρχεται από το Β(4, 5) και το Μ 4, είναι προφανώς η (ε) : = 4 ΑBΓ = 8 det ΑB, ΑΓ = 8 (), 5 AΓ = 6, κ 0 = 4, κ,οπότε η () ισοδύναµα β Από υπόθεση: ( ) ( ) Αλλά AB = ( ) και ( ) ( ) γράφεται: 5 = 8 κ 0 = 6 κ 0 = 6 4 κ άρα Γ(6,8) ή Γ(6,) ή κ 0 = 6 κ =8 ή κ =, Τα θέµατα προορίζονται για αποκλειστική χρήση της φροντιστηριακής µονάδας

179 Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 008 γ Για κ = είναι Γ(6,) Εύρεση της εξίσωσης της ευθείας (η) (εξίσωση ύψους): 5 λ ΒΓ = = άρα λ (η) = (αφού λ (η) λ ΒΓ = ) 6 4 και επειδή η (η) διέρχεται από το Α(, 0) έχουµε: 4 ψ 0 = ( ) ψ = που είναι η εξίσωση της (η) Για την εύρεση του σηµείου :λύνουµε το σύστηµα των εξισώσεων (ε), (η) Έτσι: = 4 = 4 = , άρα 4, ψ = = 4 = ψ ψ ΘΕΜΑ Ο α Η εξίσωση () ισοδύναµα γράφεται: ( ) µ + ( µ + ) ψ = ( µ + )( µ ) και για να παριστάνει κύκλο, πρέπει (αρχικά) να ισχύει: µ= µ + δηλ προηγούµενη εξίσωση για µ =, γίνεται: ψ = + ψ =, 4 που είναι εξίσωση κύκλου κέντρου Ο(0,0) και ακτίνας ρ= 5 µ = Η Εποµένως µ = β Για να παριστάνει έλλειψη η εξίσωση (), θα πρέπει να ισχύουν: µ + > 0 µ > µ > 0 µ < < µ < και µ,άρα µ+ µ µ,, µ Τα θέµατα προορίζονται για αποκλειστική χρήση της φροντιστηριακής µονάδας

180 Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 008 γ Για µ, 5 i) Είναι: < µ < 0 < µ + < + 0 < µ + < () και < µ < > µ > < µ < < µ < 5 5 < µ < 5 () Από () και () συµπεραίνουµε ότι µ > µ +, οπότε α = µ και β = µ +, δηλαδή η έλλειψη έχει τη µορφή + = εστίες της βρίσκονται πάνω στον άξονα ψ ψ ii) Έχουµε α = µ, β = µ + άρα ( ) ( ) β ψ α, εποµένως οι γ = α β = µ µ + = µ Για την εκκεντρότητα ε της έλλειψης ισχύει: ε = γ α, οπότε γ µ = = 4 8µ = 9 µ µ = α 4 4 µ ΘΕΜΑ 4 Ο Για Α(,ψ) και Β(,ψ) µε Ο(0,0) έχουµε OA = (, ψ ) και ΟΒ= (,ψ ) οπότε: Α Αφού ΟΑ ΟΒ, τότε OA OB = 0 + ψ ψ = 0 ψ = που είναι εξίσωση παραβολής C µε ρ = ρ =, συνεπώς η εστία είναι το ρ σηµείο Ε, 0 ή, 0 Ε και διευθετούσα δ είναι η ευθεία µε εξίσωση = ρ ή = Β Έχουµε OΒ + OΑ = 5 OΒ + OΑ = 5 ( ) ( ) ( ) + ψ + + ψ = ψ + + ψ = 5,άρα ψ + + ψ = + ψ = κύκλου C, µε κέντρο Ο(0, 0) και ακτίνα R = + ψ = που είναι εξίσωση Γ α) Για τα κοινά σηµεία των C, C λύνουµε το σύστηµα: ψ = ψ = = = ή + ψ = + = 0 ψ = ψ = 6 = που είναι αδύνατο, εποµένως έχουµε : Άρα τα ψ = ή ψ =,, κοινά σηµεία των C, C είναι το Κ ( ) και το Λ ( ) Τα θέµατα προορίζονται για αποκλειστική χρήση της φροντιστηριακής µονάδας

181 Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ β) H εφαπτοµένη της C στο Κ (, ) έχει εξίσωση: ψψ= ρ( + ) ή ψ = ( + ) Η εφαπτοµένη του C στο (, ) ψ = + ψ = + () Λ έχει εξίσωση: + ψψ = ή + ψ( - ) = ψ = - ψ= - () Οι ευθείες που παριστάνουν οι (), () έχουν ίσους συντελεστές διεύθυνσης (λ= ), άρα οι εφαπτόµενες είναι παράλληλες Τα θέµατα προορίζονται για αποκλειστική χρήση της φροντιστηριακής µονάδας 4

182 Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 009 Τα θέµατα προορίζονται για αποκλειστική χρήση της φροντιστηριακής µονάδας Β' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ ο Α Θεωρία από βιβλίο ΟΕ Β σελ 8 Β α Θεωρία από βιβλίο ΟΕ Β σελ 4 β Θεωρία από βιβλίο ΟΕ Β σελ Γ Λ Σ Σ 4 Λ 5 Λ ΘΕΜΑ ο α ^, = = = β α β συν α αβ r r r r rr β ( ) = + + = + + = + + = + = + 7 β α αβ β α β α β α r r r r r r r r r v 7 = + β α v r γ ( ) = = + = + = = β α αβ β α β α β α r r r r r r r r r v α ( ) ( ) ( ) ( ) β α β α β α β α r r v v v r r r r r r + = + = = ΑΒ + ΑΓ ΑΜ = β ( ) ( ) β α β α β α r r r v r r r r v = + + ΑΓ ΑΒ = Γ = Β

183 Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 009 ^ r r v v ΑΜ ΒΓ συν ΑΜ, ΒΓ = ( i) r r ΑΜ ΒΓ r v r r r v A M ΒΓ = α + β α β και r r r ΑΜ = α + β = 7 r r r ΒΓ = α β = Είναι ( )( ) = ( α β ) = ( 4 ) Άρα (i) 9 r ^ r συν ΑΜ, ΒΓ = = = = 7 r r r r r r 4 Αν A = προβ r ΑΜ τότε Α ΑΓ ΑΓ // δηλαδή A = λ ΑΓ και r r r r ΑΜ ΑΓ = Α ΑΓ ( r r )( r r + + ) α β α β = λ ΑΓ r v rr r r r r r v ( α αβ βα β ) λ( 4α β 4αβ r = + ) + rr r αβ r r 9 r rr α + + β = 4λα + λβ + 4λαβ = 6λ + λ + 4λ = λ λ = = 7 r 6 r r 6 r 6 δηλαδή Α = ΑΓ Α = ΑΓ = αφού r r r r r r r r r ΑΓ = ΑΓ = α + β = 4α + 4αβ + β = ΑΓ = r = 9 7 ( ) Τα θέµατα προορίζονται για αποκλειστική χρήση της φροντιστηριακής µονάδας

184 Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 009 ΘΕΜΑ ο Το κέντρο Κ του παραλληλόγραµµου είναι σηµείο τοµής των διαγωνίων του ΑΓ και y = = + = 4 Β Λύνω το (ε) δηλαδή Κ(4,5) y = + y = + y = 5 Η διαγώνιος ΑΓ έχει εξίσωση y=- -y-=0 και η Β έχει εξίσωση y=+ -y+=0 και ε //ε //Β Αν Μ(α, β) σηµείο της ευθείας (ε ) Τότε: dε (, ε) Θα είναι d(m,b )= a β + ( ) + = a β + = Άρα (ε ):-y-=0 και (ε ):-y+=0 a β + = α β = 0 ή ή α β + = α β + = 0 Βρίσκουµε τις συντεταγµένες των κορυφών του ΑΒΓ Για την εύρεση του Α λύνω το (Σ) των εξισώσεων των (ε ) και (ΑΓ) και για του Γ το (Σ ) των (ε ) και (ΑΓ) Έτσι έχουµε: y = 0 + = 0 = y = y = y = άρα Α(,) και y + = = 0 = 6 δηλαδή Γ(6,9) y = y = y = 9 r Αφού Α = ( 4,6) και Α(,) τότε αν (, y ) θα είναι: = 4 = 6 δηλαδή (6,7) και αφού Κ µέσο Β θα είναι: y = 6 y = 7 Τα θέµατα προορίζονται για αποκλειστική χρήση της φροντιστηριακής µονάδας

185 Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ κ = Β + Β = Β = δηλαδή B(,) y Β+ y yβ + 7 y = 5 = yκ = 4 (ΑΒΓ )=(ΑΒ )= r r 0 det( ΑΒ, Α ) = = 0 8 = 8 τ µ 4 6 ΘΕΜΑ 4 ο Είναι Α + Β 4 Γ = ( ηµθ ) + (4 συνθ ) 4ηµ θ = Π = = 6 > 0 αν θ 0, ηµ θ συν θ ηµ θ συν θ A B Άρα είναι εξίσωση κύκλου µε κέντρο Κ, ακτίνα Α + Β 4Γ 4συνθ ρ = = = συνθ δηλαδή Κ(ηµθ,-συνθ) και = = κ κ ηµθ ηµθ y Είναι yκ οπότε ηµ θ+ συν θ= y = συνθ = κ συνθ + κ 4 = κ δηλαδή τα κέντρα των κύκλων κινούνται σε έλλειψη µε εστίες στον άξονα y y Είναι a = 4 a = και β = β = οπότε γ = α β = 4 = γ = Έχει λοιπόν εστίες Ε (0,- ) και Ε(0, ) µεγάλο άξονα α==4 και µικρό άξονα β= γ και εκκεντρότητα ε= α = Είναι 0= ηµθ> 0 και y0 = συνθ < 0 γιατί θ (0, π/) οπότε τα σηµεία Κ ανήκουν στο τµήµα της έλλειψης που βρίσκεται στο 4 ο τεταρτηµόριο δηλαδή το Α Β Π 4 Αν θ= τότε ο κύκλος έχει κέντρο Κ, της ευθείας Ε(0, ) από τον κύκλο είναι και ρ= Τότε η ελάχιστη απόσταση d = =(ΕΜ)=(ΕΚ)-ρ= ( ) = = + = 4 4 = + ενώ η µέγιστη είναι d =(ΕΖ)=(ΕΚ)+ρ= =+ Τα θέµατα προορίζονται για αποκλειστική χρήση της φροντιστηριακής µονάδας 4

186 Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ Τα θέµατα προορίζονται για αποκλειστική χρήση της φροντιστηριακής µονάδας 5

187 Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 00 ΘΕΜΑ ο Α Σελίδα 4 Σχολικού Βιβλίου Β Σελίδα 89 Σχολικού Βιβλίου Γ α) Λάθος β) Σωστό γ) Σωστό δ) Λάθος ε) Λάθος B' ΤΑΞΗ ΓΕΝΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ ο α Τα διανύσµατα AB, BΓ έχουν συντεταγµένες: AB = ( +5, ) = (4, 5) και BΓ = (4+,+) = (5,4) Το εσωτερικό τους γινόµενο είναι AB BΓ = 4 5+( 5) 4 = 0 0 = 0, εποµένως τα διανύσµατα AB, BΓ είναι κάθετα β Πρώτος τρόπος Το διάνυσµα AΓ έχει συντεταγµένες AΓ = (4+5, ) = (9, ) Η ορίζουσα των διανυσµάτων AB, AΓ είναι: 4 5 det( AB, AΓ ) = = 4( ) 9( 5) = 4+45 = 4 9 Το εµβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ είναι: (ΑΒΓ) = 4 det( AB, AΓ ) = 4 = τµ εύτερος τρόπος : Αφού AB BΓ,το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο στην κορυφή Β, άρα το εµβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ είναι: (ΑΒΓ) = AB BΓ = ( 5) = 4 4 = τµ γ Πρώτος τρόπος : Τα µέτρα των διανυσµάτων AB, AΓ είναι αντίστοιχα: AB = 4 + ( 5) = 4 και AΓ = 9 + ( ) = 8 = 4 Το συνηµίτονο της γωνίας φ είναι: ABAΓ ( 5) ( ) 4 συνφ = = = = AB AΓ Τα θέµατα προορίζονται για αποκλειστική χρήση της φροντιστηριακής µονάδας

188 Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 00 ΘΕΜΑ ο Εποµένως, φ = 45 ο, επειδή 0 ο φ 80 ο εύτερος τρόπος : AB BΓ και AB = BΓ = 4, άρα το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο και ισοσκελές, οπότε συµπεραίνουµε ότι φ = 45 ο α Η () ισοδυναµεί µε την εξίσωση: ( + κ) + ( κ)y + ( 5κ) = 0 Οι συντελεστές των,y δεν µηδενίζονται για την ίδια τιµή του κ Πράγµατι, ο συντελεστής του µηδενίζεται για κ =, ενώ ο συντελεστής του y µηδενίζεται για κ = Άρα η () παριστάνει ευθεία για κάθε κ R β Θέτουµε στην (), = και y =, οπότε προκύπτει: 0+ κ0 = 0, που ισχύει για κάθε κ R Άρα όλες οι ευθείες που παριστάνει η (), διέρχονται από το Α(, ) γ ( + κ) + ( κ)y + ( 5κ) = 0 Η εξίσωση παριστάνει ευθεία παράλληλη στον, αν + κ 0, άρα, κ = κ = 0 Η () για κ =, γίνεται: 4 = 0 ή = δ Κ είναι η προβολή του Α στον, άρα 0= Έχουµε Κ(,0), άρα Ε(,0) Ο ζητούµενος γεωµετρικός τόπος είναι η παραβολή C, µε εστία Ε(,0) και διευθετούσα την ευθεία ε: = ΘΕΜΑ 4 ο ( p p 4 = =,άρα η παραβολή έχει εξίσωση C : y = 8 Η εξίσωση της παραβολής, δεν είναι απαραίτητο, να βρεθεί) α Στην εξίσωση ( ) A = ( λ + 4 ), Β = λ, Γ = λ, οπότε: + y λ λ y + λ = 0 έχουµε: ( ) ( ) Α + Β 4Γ = λ λ 8λ = λ + 8 > 0, για κάθε R λ και εποµένως η εξίσωση () παριστάνει κύκλο για κάθε τιµή της παραµέτρου λ Για το κέντρο Κ και την ακτίνα R του κύκλου ισχύουν: Α Β Κ, και Α + Β 4Γ R =, εποµένως ( λ + ) 8 R = λ + 4 λ Κ, και β Έστω K (, y ) το κέντρο του κύκλου (), τότε (από α ερώτηµα): λ + 4 λ = και y = Τα θέµατα προορίζονται για αποκλειστική χρήση της φροντιστηριακής µονάδας

189 Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 00 λ + 4 = 4 Έχουµε λοιπόν το σύστηµα = λ + λ y = λ y = Απαλείφουµε το λ από τις εξισώσεις και βρίσκουµε + y 4 = 0 ή ισοδύναµα + y = 0 Άρα το κέντρο Κ του κύκλου () κινείται στην ευθεία + y = 0 γ Έχουµε α = 8 α = 4 και γ = Ισχύει ( ) 4 β = β = 6 β = 4 Εποµένως η εξίσωση της έλλειψης C είναι: Ε, Ε βρίσκονται στον άξονα y y δ Η εξίσωση () της υπόθεσης για 0 εξίσωση του κύκλου λ = γίνεται β = α γ, οπότε y + =, εφόσον οι εστίες της y 4 = 0 που είναι η K, 0 και ακτίνα ρ = C µε κέντρο το σηµείο ( ) Η εξίσωση της εφαπτοµένης ε της έλλειψης C στο σηµείο της ( ) y y + = ή ισοδύναµα 4 + y y 6 = Η ε εφάπτεται και του κύκλου C, άρα ισχύει: d( K, ε ) = ρ, () M, y είναι: i Από την σχέση () έχουµε ισοδύναµα ( ) + = + y 64( ) 8 = 6 + y 6 = 6 + y y = y 6 ( 4 ) + y = y M, y ανήκει στην έλλειψη C : + =, άρα, 4 6 y + = 4 + y = 6 y = 6 4 () 4 6 y = 64 λόγω της (), γράφεται: ii Το σηµείο ( ) Έτσι η σχέση ( ) ( ) Τα διανύσµατα α = (, 4) = = = 0 (4) β =, 4 είναι µεταξύ τους κάθετα, όταν: α β =0 και ( ) ή ισοδύναµα ( ) που ισχύει λόγω της (4) = = 0, Τα θέµατα προορίζονται για αποκλειστική χρήση της φροντιστηριακής µονάδας

190 Β' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ ο α I Σχολικό βιβλίο σελ 4 ΙΙ Σχολικό βιβλίο σελ 89 β Σχολικό βιβλίο σελ 7 γ Σχολικό βιβλίο σελ60 δ Σ, Λ, Σ, Λ, Λ ΘΕΜΑ ο α α (α - β) α (α - β) = 0 α α β=0 α = α β α β = = 4 και (γ + α) β (γ + α) β=0 γβ + α β = 0 β γ = -αβ= - 4=- (Ι) β ( ) α - β = α - β = α α β + β = α 4 + β = = = 5 α - β = 5 γ Όµως (γ - α) = λ(α β ) γ - α = λα λβ γ = λα+α λβ οπότε η (Ι) γράφεται: β(λα+α λβ )= - λαβ+αβ λβ = - λ λ 9 = + 8 = 5λ λ = 4 δ Αφού λ= 4 τότε γ = 4α + α - 4 β γ = 6 α 4 β Τότε γ ( α β) = γα γβ= (6α 4 β ) α βγ= 6α 4αβ βγ= = = = 0 > 0 γ ( α β ) δηλ συν ( γ, α β) = > 0 γ α β δηλ η γωνία των γ, α β είναι οξεία

191 ΘΕΜΑ ο α Αφού ΑΓ Β και λ Β = = θα είναι λ ΑΓ =-4 και 4 4 ΑΓ : y = 4( ) y = y 6 = 0 ΑΓ : 4 + y 6 = 0 = Λύνω το (Σ) των εξισώσεων ΓΜ : + y + = 0 y = 6 δηλαδή Γ(,-6) β + yβ + β Αν Β( β, y β ), τότε το µέσο Μ της ΑΒ είναι M, συντεταγµένες του επαληθεύουν την εξίσωση της ΓΜ δηλαδή β + yβ = 0 β + + yβ = 0 + y = (Ι) β β και οι Όµως οι συντεταγµένες του Β επαληθεύουν και την εξίσωση του Β δηλαδή β -4y β 5 = 0 (ΙΙ) β 4yβ = 5 yβ = Λύνω το (Σ) δηλαδή Β(-,-) β + yβ = β = Τότε Μ(,0) γ Για να βρω τις συντεταγµένες του Ε = 4y 5 = 0 7 λύνω το (Σ) δηλ + y + = 0 9 y = Τότε EB, - και ΕΓ =, E, 7 7

192 Οπότε (ΕΒΓ)= det ( EB, EΓ) = = + = = τµ δ Είναι A + B 4 Γ = λ + ( λ + 8) 4 = = λ + λ + 6λ+ 64 = λ + 6λ+ 5 που είναι τριώνυµο µε = = = 60 < 0 δηλ λ +6λ+5>0 για κάθε λ R Άρα η εξίσωση () παριστάνει κύκλο για κάθε λ R λ λ 8 λ + 6λ + 5 µε K, και ρ= Για να έχει διάµετρο ΒΓ, πρέπει το κέντρο του Κ να είναι το µέσο της πλευράς ΒΓ και η ακτίνα να είναι ίση µε το µισό του µήκους της ΒΓ ή οι συντεταγµένες των Β και Γ να επαληθεύουν την εξίσωση του κύκλου Το µέσο Κ του ΒΓ είναι Κ(0,-4) λ = 0 Πρέπει λοιπόν λ = 0 λ 8 = 4 Για λ=0 η εξίσωση του κύκλου γράφεται ( c) : + y + 8y+ = 0 που έχει 5 ( ΒΓ) ακτίνα, ρ = = αφού (BΓ)= ( ) + ( + 6) = 6+ 6= 5 ή διαπιστώνουµε ότι επαληθεύεται από τις συντεταγµένες των Β και Γ ΘΕΜΑ 4 ο α α τρόπος: Η εξίσωση () γράφεται: χ +y +χψ+8χ+8ψ+=0 (χ+ψ) +8(χ+ψ)+=0, =64-48=6 οπότε: χ+ψ=-6 ή χ+ψ=- δηλ χ+ψ+6=0 (ε ) ή χ+ψ+=0 (ε ), που είναι εξισώσεις παράλληλων ευθειών, αφού έχουν συντελεστή διεύθυνσης λ=- ή β τρόπος: η εξίσωση () γράφεται: χ + y +χψ+8χ+8ψ+=0 y +(χ+8)ψ+ χ +8χ+=0 =(χ+8) -4(χ +8χ+)=6 οπότε ψ=-χ-4+ ή ψ=-χ-4- δηλχ+ψ+6=0 (ε ) ή χ+ψ+=0 (ε ),που είναι εξισώσεις παράλληλων ευθειών αφού έχουν συντελεστή διεύθυνσης λ=-

193 4 β Το κέντρο Κ του κύκλου είναι το σηµείο τοµής της µεσοπαράλληλης (η) των (ε ) και (ε ) και της (ε):y= H (ε ) τέµνει τον y y στο Α(0,-) και η (ε ) τον y y στο Β(0,-6) Άρα η (η) τέµνει τον y y στο µέσο Μ(0, -4) του ΑΒ ηλαδή η: +y+4=0 + y + 4 = 0 = Λύνω το (Σ): δηλ Κ(-, -) y = y = + και ρ=d(k, ε )= = = + Άρα C: (+) + (y+) = γ = + y + = 0 + = δηλ Μ -, y y = = y = Άρα η ελάχιστη απόσταση του Μ από τον κύκλο είναι 9 ΜΚ ρ = = + = = = και η µέγιστη απόσταση του Μ από τον κύκλο 4 9 είναι MK + ρ = = + + = = + = + 4 δ Είναι γ = 0 = 0 δηλαδή γ=0 και β = β=α Όµως γ =α +β 00 = α + 9α = 0α α δηλαδή α =0 και β =90 Άρα : y C =

194 ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (ΟΕΦΕ) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_ΜλΘΤ(α) ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ / ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ Ηµεροµηνία: Κυριακή 8 Απριλίου 0 ΘΕΜΑ Α ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ A Θεωρία Σελίδα 4 του σχολικού βιβλίου Α Θεωρία Σελίδα 58 του σχολικού βιβλίου A Θεωρία Σελίδα 8 του σχολικού βιβλίου A4 α Σωστό β Λάθος γ Λάθος δ Σωστό ε Λάθος ΘΕΜΑ Β α + β α β Β ( ) ( ) α α β α β β 0 α + β α β = 0 ( ) ( ) α = α + = α α β β = 0 α β = 0 α β = ( ) Β Έστω φ= ( α, β), τότε γνωρίζουµε ότι: (B) α β συνφ = συνφ = συνφ =, άρα α β Β ( ) ( ) ˆφ = 45 ο α + β = α + β = α + α β + β = + + = 5 α + β = 5 α β = ( α β) = ( α) α β + ( β) α β = 5 Οπότε α+ β= α β ( ) = = 5 ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: ΑΠΟ 6

195 ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (ΟΕΦΕ) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_ΜλΘΤ(α) εύτερος τρόπος Αρκεί να αποδείξουµε ότι: α+ β= α β ή ( α+ β) = ( α β) ή α + α β + β = 4α α β + 9β ή α 4α β + 8β = 0 ή = 0, ισχύει Β4 Έστω γ= προβ α( α β), τότε γνωρίζουµε ότι γ / /α = µ α () πραγµατικός αριθµός µ ώστε να ισχύει γ Σύµφωνα µε τον τύπο α ( α β) = α προβ α( α β) έχουµε: () α ( α β) = α γ α ( α β) = α ( µ α) α ( α β ) α α β α ( α β ) = µ α µ = µ = α α µ = µ = Τελικά από τη σχέση () προκύπτει: γ = α δηλαδή υπάρχει ΘΕΜΑ Γ Γ Ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας που διέρχεται από τις κορυφές Β, Γ του y Γ y Β 4 τριγώνου είναι: λbγ= = = = Γ Β 4 Η εξίσωση της πλευράς ΒΓ του τριγώνου θα είναι: y yγ = λ BΓ( Γ) y = ( ) y = y = + y = y = 4 y 4 = 0 To ύψος Γ του τριγώνου είναι κάθετο στην πλευρά ΑΒ οπότε θα ισχύει: Γ ΑΒ λ λ = Όµως Γ ΑΒ ( ) ( ) y y 4 4+ Β Α λαβ= = = = 5 Β Α 4 5 λγ 5 = λγ = 5 Από ( ) ( ) ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: ΑΠΟ 6

196 ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (ΟΕΦΕ) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_ΜλΘΤ(α) Η εξίσωση του ύψους Γ του τριγώνου θα είναι: y yγ = λγ ( Γ) y = ( ) y = y = + 5y = + 5y + = Γ Για τις ευθείες που διέρχονται από την κορυφή Γ του τριγώνου διακρίνουµε τις περιπτώσεις: η περίπτωση: Εξετάζουµε αν η κατακόρυφη ευθεία ε : = = 0 είναι λύση, δηλαδή αν d( O,ε) = Αo + Byo + Γ Έχουµε: d( O,ε) = = = = = Α + Β + 0 Άρα η κατακόρυφη ευθεία ε : = αποτελεί λύση η περίπτωση: Εξετάζουµε αν υπάρχουν ευθείες της µορφής: ε : y y = λ y = λ y = λ λ λ y + λ = 0 Γ ( ) ( ) Γ που να αποτελούν επίσης λύση Πρέπει και αρκεί: Α o + Byo + Γ λ λ d( O,ε) = = = Α + Β λ + λ λ + ( ) ( ) λ 0, λ + > 0 = λ = λ + λ = λ + ( ) ( ) λ = 4 λ + 4λ + 4λ = 4λ + 4 4λ = λ = 4 Άρα η ευθεία, ε : y + = 0 y + + = 0 4y + 0 = αποτελεί επίσης λύση Γ i) Αφού η παραβολή C έχει κορυφή το O(0,0) και άξονα συµµετρίας τον y y, θα έχει εξίσωση της µορφής C : = py ( ) Γ, C = py = p p = 4 p = Γ Γ Άρα η εξίσωση της παραβολής είναι C : = y = 4y ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: ΑΠΟ 6

197 ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (ΟΕΦΕ) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_ΜλΘΤ(α) ii) Έστω ε η εφαπτοµένη της C που είναι παράλληλη στην πλευρά ΒΓ M, y το σηµείο επαφής της ε µε την C θα είναι: Αν ( ) p= ( ) ( ) ε : = p y + y = y + y = y + y y = y y = y ( ) Αφού η ε // ΒΓ λε = λ ΒΓ = = 9 Όµως το M(, y) C = 4y = 4y 4y = 9 y = ( ) y = 4y = 4 4 4y = y 9 = ΘΕΜΑ y C : + 4y = + =, 4 Έχουµε: α = 4, β = και επειδή 4 > οι εστίες της C βρίσκονται στον β = α γ γ = α β γ = 4 γ = γ = Ε (-,0), Ε(,0) και B(0, ) ή B(0, ) (BE ') = ( ) + (y y ) = ( 0) + (0± ) = + = E ' B E ' B (BE) = ( 0) + (0± ) = + = (E 'E) = (+ ) + (0 0) = = Το τρίγωνο ΒΕ Ε είναι ισόπλευρο εύτερος τρόπος ΒΟ (ή Β Ο) ύψος και διάµεσος του τριγώνου ΒΕ Ε (ή Β Ε Ε), άρα ΒΕ = ΒΕ Το Β είναι σηµείο της έλλειψης α= (BE) + (BE ') = α (BE) = (BE ') = BE= BE ' Επίσης (Ε Ε) =, εποµένως το τρίγωνο είναι ισόπλευρο πλευράς Αν αντικαταστήσουµε (, y) = (, ) στις εξισώσεις των δύο κωνικών, παρατηρούµε ότι επαληθεύονται 7 Πράγµατι: ( ) + 4( ) = + 4 = και ( ) + ( ) = + =, ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: 4 ΑΠΟ 6

198 ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (ΟΕΦΕ) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_ΜλΘΤ(α) άρα το σηµείο P(, ) είναι κοινό των C,C Το σύστηµα των εξισώσεων των C,C µπορεί να θεωρηθεί ως σύστηµα µε αγνώστους,y εδοµένου ότι έχει τη λύση (, y) = (, ) οι υπόλοιπες λύσεις θα είναι: (, ) η ɺ (, ) η ɺ (, ),που είναι και οι συντεταγµένες των υπολοίπων κοινών σηµείων εύτερος τρόπος Τα σηµεία τοµής των κωνικών προκύπτουν από τις λύσεις του συστήµατος + 4y = = + 4y = + 4y = 7 + y = 4 + 4y = 4 = y = = = = = ηɺ ηɺ ηɺ y = y = y = y = Τρίτος τρόπος Αφού παρατηρήσουµε ότι P(, ) είναι κοινό σηµείο των C,C και γνωρίζοντας ότι οι κωνικές έχουν άξονες συµµετρίες, y y και κέντρο συµµετρίας το Ο, συµπεραίνουµε ότι τα υπόλοιπα κοινά σηµεία είναι: (, ) η ɺ (, ) η ɺ (, ) OM = 7 (OM) =, άρα το Μ θα είναι σηµείο του κύκλου C ( ) 7 α= ( ) ( ) ( ) ( ) ME + ME ' = 4 ME + ME' = α, άρα το Μ είναι σηµείο της έλλειψης C To M είναι κοινό σηµείο των C, C, εποµένως από το, M(, ) ηɺ M(, ) ηɺ M(, ) ηɺ M(, ) ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: 5 ΑΠΟ 6

199 ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (ΟΕΦΕ) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_ΜλΘΤ(α) 4 Η εξίσωση της εφαπτοµένης της C, έστω ε P, στο P, είναι: yy ε P : + = + 4yy = + 4y = 4 Η εp έχει συντελεστή διευθύνσεως λ= = = 4 Σύµφωνα µε την ανακλαστική ιδιότητα της έλλειψης η διχοτόµος της γωνίας ' Ε PΕ, έστω δ, είναι η ευθεία που είναι κάθετη στην εφαπτοµένη εp στο σηµείο Ρ, εποµένως αν λ είναι ο συντελεστής διευθύνσεως της δ, τότε: λ λ ' = λ ' = Η ευθεία δ διέρχεται από το P, και έχει συντελεστή διευθύνσεως λ ' =, άρα, δ : y = ( ) ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: 6 ΑΠΟ 6

200 ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (ΟΕΦΕ) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_ΜλΘΤ(α) ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ / ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Ηµεροµηνία: Κυριακή Απριλίου 0 ιάρκεια Εξέτασης: ώρες ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ A Α Θεωρία Σχολικό Βιβλίο (έκδοση 0) σελίδα 45 Α Θεωρία Σχολικό Βιβλίο (έκδοση 0) σελίδα 00 Α Θεωρία Σχολικό Βιβλίο (έκδοση 0) σελίδα 8 Α4 i Λάθος ii Σωστό iii Λάθος iv Λάθος v Σωστό ΘΕΜΑ Β Β Έχουµε,, κ 4 κ ΑΒ = + = και ΒΓ = κ, + = κ, κ κ Είναι det ( ΑΒ, ΒΓ ) = κ κ = = 0,οπότε ΑΒ ΒΓ Επειδή τα διανύσµατα ΑΒ, ΒΓ έχουν κοινό το σηµείο Β, τότε έχουν τον ίδιο φορέα Έτσι, τα Α, Β και Γ είναι συνευθειακά Β και ΒΟ = (,) Έχουµε Είναι ΑΒ =, άρα συν ΑΒ, ΒΟ < 0 Οπότε η γωνία ( ) ΑΒ ΒΟ = + = < 0, ΑΒ, ΒΟ είναι αµβλεία ( ) ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: ΑΠΟ 5

201 ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (ΟΕΦΕ) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_ΜλΘΤ(α) Β κ 4 κ κ Είναι ΑΒ =,, ΑΓ = κ, + = κ, και ΒΓ = κ, κ 5κ 5 ( κ ) 5( κ ) Άρα ΑΒ ΑΓ = κ + = και ΒΓ = ( κ ) + = ( κ ) 5 = = 5κ 5 Πρέπει κ ( κ ) 4 4 κ = κ 8κ + 8 κ 9κ + 9 = 0 Έχουµε = = 9,οπότε κ = ή κ = ΘΕΜΑ Γ Γ Η εξίσωση () είναι ισοδύναµη µε την : + λ λ λy + = 0 4λ 4λ 4λy + + = 0 ( 4λ ) 4λy + + 4λ = 0 () 4 Έστω ότι η () δεν παριστάνει ευθεία Τότε 4λ = 0και 4λ= 0 δηλ λ = ± και λ= 0 που είναι αδύνατο Άρα η () για κάθε λ R, παριστάνει ευθεία Γ ος τρόπος : Στην ()θέτουµε διαδοχικά: λ= και λ= 0 οπότε έχουµε : y+ = 0 και + = 0 y = και = Στην () θέτουµε = και y=οπότε έχουµε : + 4λ 4λ + + 4λ = 0 8λ 4λ = 0 λ = 0 ή λ = Η () λοιπόν δεν ισχύει για κάθε λ R, οπότε δεν υπάρχει σηµείο από το οποίο να διέρχονται όλες οι ευθείες της µορφής () ος τρόπος : Έστω ότι όλες οι ευθείες της µορφής () διέρχονται από το σηµείο (, y ) Μ + 0 Η εξίσωση () γίνεται : λ ( 0) λy0+ = 0 () Η εξίσωση () πρέπει να ισχύει για κάθε λ R,οπότε 0 = 0 0 =, y0 = και = 0 0 = που είναι αδύνατο 4 Έτσι, δεν υπάρχει σηµείο από το οποίο να διέρχονται όλες οι ευθείες της µορφής () 0 0 ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: ΑΠΟ 5

202 ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (ΟΕΦΕ) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_ΜλΘΤ(α) Γ Η () για = λ γίνεται: ( ) ( ε ) : + 4y+ 5= 0 Τα σηµεία τοµής των ( ),( ) ε ε µε τον ' 5 αντίστοιχα: Α 0, και 5 Β 0, 4 4 Το σηµείο τοµής Γ των ( ),( ) 4y+= 5 0 ( Σ){ + 4 += 5 0} y ε : 4y+ 5= 0 και για λ = γίνεται y y,δηλαδή µε την ευθεία ( ε) : = 0 είναι ε ε προκύπτει από την λύση του συστήµατος: 5 Με πρόσθεση και αφαίρεση κατά µέλη έχουµε : = 0 = και 5 8y = 0 y = 0 οπότε Γ, Έχουµε ΑΒ = 0, και ΑΓ =, Οπότε ( ΑΒΓ ) = det ( ΑΒ, ΑΓ ) = 5 5 = = τ µ 6 4 Γ4 Από το Ο( 0,0) φέρνουµε ευθεία ( δ) κάθετη στην ( ) Είναι λ( ε ) = άρα ( ) 4 Η εξίσωση της ( δ) είναι : Το σηµείο τοµής των ( δ) και ( ) ε 4 λ δ = 4 y = 4 y = 0 ε είναι το ζητούµενο σηµείο, το οποίο 4 y= 0 προκύπτει από τη λύση του συστήµατος ( Σ){ 4y = 5} Είναι Άρα 4 D = 4= 6 9= 5, 5 = = και y = =, οπότε 5 5 D = = και D , 5 5 y = = ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: ΑΠΟ 5

203 ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (ΟΕΦΕ) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_ΜλΘΤ(α) ΘΕΜΑ λ + y + λ + λ + y + = 0 () Είναι Α = λ, Β = λ + και Γ = λ, οπότε λ Α + Β 4Γ = ( λ ) + ( λ + ) 4 = 8 > 0 8 Έτσι, η () παριστάνει ίσους κύκλους µε ακτίνα ρ = = Η () είναι ισοδύναµη µε την ( ) ( ) 4 λ λ Τα κέντρα των παραπάνω κύκλων είναι: Κ,, για κάθε λ R λ λ Έστω = και y= και µε αφαίρεση κατά µέλη έχουµε: y = ηλ τα κέντρα των κύκλων κινούνται στην ευθεία ( ε ) : y = 0 (Ένας άλλος τρόπος λύσης θα ήταν µε απαλοιφή του λ από τις συντεταγµένες του Κ) Επειδή οι κύκλοι είναι ίσοι, τότε η (ε) είναι η µεσοπαράλληλος των, d ε, δ = d ε, δ = ( δ) ( δ ) µε ( ) ( ) Οι ευθείες ( ),( ) ( δ) : y+ γ = 0 Έστω Β(,0) ένα σηµείο της (ε) τότε : δ δ αφού είναι παράλληλες της (ε) είναι µορφής: d(ε, δ) = d( Β, δ) = + γ = + γ = + γ = ή + γ = άραγ = 0 ή γ = 4 Οπότε ( δ ) : y= 0 και ( δ ) : y 4= 0 i Επειδή η (ε) δεν είναι κατακόρυφη και εφάπτεται της παραβολής, πρέπει το σύστηµα των εξισώσεων : = py και y = 0 να έχει µοναδική = p p + 4 p = 0 λύση Έτσι, έχουµε : ( ) Πρέπει λοιπόν η διακρίνουσα της παραπάνω εξίσωσης, να είναι ίση µε µηδέν ηλαδή 4 p 6 p = 0 p = 4 γιατί p 0 Έτσι ( C) : = 8y µε εστία p Ε 0, δηλαδή Ε( 0,) και διευθετούσα δ y= ( ) : ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: 4 ΑΠΟ 5

204 ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (ΟΕΦΕ) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_ΜλΘΤ(α) ii Έστω Α(, y) ( C ) τότε = 8 ( ) ( ) = y + y y y = η : y Η εφαπτοµένη της (C) στο Α είναι : Επειδή ( η) ( ε ) και λη=, λ ε=, τότε = = Από την () έχουµε: 6 = 8y y = Έτσι, η εξίσωση της (η) είναι: 4 4y 8 = 0 + y + = 0 ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: 5 ΑΠΟ 5

205 ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (ΟΕΦΕ) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 04 Ε_ΜλΘΤ(α) ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ / ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Ηµεροµηνία: Κυριακή 4 Μαΐου 04 ιάρκεια Εξέτασης: ώρες ΘΕΜΑ A Α Σχολικό βιβλίο σελ 8 Α Σχολικό βιβλίο σελ 4 Α i Σωστό ii Σωστό iii Σωστό iv Λάθος v Σωστό ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Β Β Είναι α= 4 και β = 4 β =, οπότε π α β = α β συν( α,β ɵ ) = 4 συν = 4 = 4 Β α γ α γ = 0 α ( α + κβ) = 0 α + καβ = 0 α + κ 4 = 0 4κ + 6 = 0 κ = 4 Β i Είναι συν( β, ɵγ) β γ = και αφού β γ β γ = β α 4β = α β 4β = 4 4 β = 4 4 = ( ) και ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: ΑΠΟ 6

206 ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (ΟΕΦΕ) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 04 Ε_ΜλΘΤ(α) γ = α 4β = α 4β = α 8α β + 6β = α β ( ) = + = θα είναι γ= 48= 4 (αφού γ 0 Άρα συν( β ɵ,γ) = = = 4 Είναι 0 ( β, ɵ γ) π, οπότε ( ) π 5π β,γ ɵ = π = 6 6 ii Αφού προβ γ β θα υπάρχει λ R ώστε προβ γ= λβ Οπότε ηλαδή β β προβ γ = β β γ = β προβ γ β β ( α 4β ) = β ( λβ ) = = α β 4β λβ 4 4 λ 4λ = λ = ) β ΘΕΜΑ Γ Γ Έχουµε + = + = y 0 y 0 ( ) ( )( ) y = 0 y + y = 0 y = 0 ή + y = 0 y = ή y = + Οπότε η () παριστάνει τις ευθείες ε : y= και ε : y= +, µε κλίσεις αντίστοιχα λ= και λ = Αφού λ λ = ( ) = θα είναι ε ε Λύνουµε το σύστηµα ( ) y = Σ y = + Με πρόσθεση κατά µέλη προκύπτει ότι y = 0 y = 0, οπότε το (Σ) ισοδύναµα γράφεται y = 0 y = 0 = y = 0 = y = 0 Άρα το σηµείο τοµής των ευθειών είναι το Ε(,0) ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: ΑΠΟ 6

207 ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (ΟΕΦΕ) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 04 Ε_ΜλΘΤ(α) Γ (Α τρόπος) Γ Η εξίσωση ( ) ( ) λ λ + + λ + λ + λ = µε λ R είναι της y 6 0, µορφής A+ By+ Γ= 0 µε Β= λ+ 0, οπότε παριστάνει ευθεία για κάθε λ R ε : λ λ+ + λ+ y λ+ 6λ = 0, τότε Αν λ ( ) ( ) Για λ= 0 η παραπάνω εξίσωση γίνεται ε : + y = 0 Για λ= η παραπάνω εξίσωση γίνεται ε : y + = 0 y = 4 y = = Οπότε έχουµε + y = 0 y = ηλαδή οι ευθείες ε και ε 4 έχουν κοινό σηµείο το Ζ(,-) Όµως για = και y= η () γίνεται ( ) ( ) ( ) λ λ + + λ + λ + 6λ = 4λ 6λ + λ λ + 6λ = 0 Άρα το Ζ ελ Εποµένως όλες οι ευθείες της παραπάνω οικογένειας θα διέρχονται από το σηµείο Ζ(,-) (Β τρόπος) λ λ + + λ + y λ + 6λ = 0, µε λ R, έχουµε Από την ( ) ( ) = λ λ λ y y λ 6λ 0 ( ) ( ) ( ) λ + y + λ y = 0 Για να είναι µηδενικό πολυώνυµο του λ, πρέπει + 6 = 0 = = + y = 0 + y = 0 y = y 0 y 0 + = + = y = = Η λύση του συστήµατος είναι το, άρα όλες οι ευθείες της παραπάνω y = Z, οικογένειας διέρχονται από το ( ) i Η ζητούµενη παραβολή είναι της µορφής y = p Αφού Ε(,0) η εστία της, θα είναι p p = =, οπότε η παραβολή θα είναι η c : y = 4 p Η διευθετούσα της είναι η δ : =, δηλαδή δ : = B, y τα άκρα της χορδής της c µε µέσο το σηµείο Ζ, ii Αν ( ) τότε A, y και ( ) ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: ΑΠΟ 6

208 ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (ΟΕΦΕ) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 04 Ε_ΜλΘΤ(α) y 4 = και y = 4 Αφαιρώντας κατά µέλη έχουµε: y y = 4 y y y + y = 4 ( ) ( )( ) ( ) ( ) Όµως το Z(, ) είναι µέσο του ΑΒ οπότε y + y = + = Εποµένως η () γίνεται y y = 4 y y ( )( ) ( ) Αν =, τα σηµεία Α και Β είναι συµµετρικά ως προς, οπότε το Ζ, που είναι µέσο του ΑΒ, θα βρίσκεται στον Αυτό είναι άτοπο, αφού η τεταγµένη του Ζ είναι -, οπότε Εποµένως y y 4 ( y y)( ) = 4( ) = λαβ =, όπου λ ΑΒ η κλίση της ΑΒ Αφού Z(, ) ΑΒ : y + = ( ) y = + σηµείο της, έχουµε ΘΕΜΑ Είναι N( 6µ ),6λ, µε µ,λ R ( ) = 6µ 6µ = + 6µ = + Αν Ν(,y ) τότε y 6λ 6λ y = = 6λ = y Προσθέτοντας κατά µέλη προκύπτει ότι 6µ + 6λ = + + y + + y = 6 µ + λ και αφού ( ) ( ) ( ) µ λ + =, η παραπάνω γίνεται ( ) + + y = 6 (Α τρόπος) Παρατηρούµε ότι η ευθεία ε : = 4 εφάπτεται στον κύκλο c, διότι d( K,ε) = = 6= ρ + 0 Επίσης από το διέρχονται και άπειρες ευθείες της µορφής ε : y 8 = λ 4 λ y + 8 4λ = 0 ( ) ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: 4 ΑΠΟ 6

209 ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (ΟΕΦΕ) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 04 Ε_ΜλΘΤ(α) Για να εφάπτεται στον κύκλο θα πρέπει λ + 8 4λ d( K,ε) = 6 = 6 λ + ( ) 4 6 λ = 6 λ + ( ) 4 λ = λ λ λ + = λ λ + 6 = 9 λ = Άρα ε : y = 0 7 4y + 64 = (Β τρόπος) Η ζητούµενη ευθεία είναι της µορφής ε : Α+ By+ Γ= 0, µε A 0 ή B 0 4,8 ε, οπότε 4Α + 8Β + Γ = 0 Γ = 4Α 8Β και µε Όµως ( ) αντικατάσταση στην παραπάνω προκύπτει: ε : Α+ By 4A 8B= 0 ( ) Για να είναι εφαπτόµενη στον κύκλο c πρέπει και αρκεί Α + 0Β 4Α 8Β d( K,ε) = 6 = 6 Α + Β ( ) ( ) 6Α + 8Β = 6 Α + Β 6Α + 8Β = 6 Α + Β 6Α + 96ΑΒ + 64Β = 6Α + 6Β 96ΑΒ 8Β 0 4Β 4Α 7Β 0 + = + = 4 Β = 0 ή Β = Α 7 Αν Β= 0 τότε είναι Α 0, διότι η () παριστάνει ευθεία Οπότε από την () έχουµε: Α + 0y 4A 8 0 = 0 A = 4A = 4 4 Αν B = A τότε είναι Α 0, διότι αν ήταν A= 0 θα είχαµε και Β=0, 7 που είναι άτοπο διότι η () παριστάνει ευθεία Οπότε από () θα έχουµε: ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: 5 ΑΠΟ 6

210 ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (ΟΕΦΕ) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 04 Ε_ΜλΘΤ(α) A Ay 4A 8 A = 0 y 4 + = y y + 64 Άρα οι ζητούµενες ευθείες είναι οι: ε : = 4 και ε : 7 4y+ 64= 0 Παρατηρούµε ότι τα τρίγωνα ΚΑ και ΚΕ είναι ίσα, διότι Ορθογώνια τρίγωνα ( ο Ε= Α= 90 ) Κ κοινή πλευρά (υποτείνουσα) ΚΑ=ΚΕ=ρ ΚΑ = ΚΕ Έτσι Οπότε ( ) ( ) ΕΚΑ = ΚΑ = 6 8 = 48τµ ( ) ( ) 4 Αν ( Μ,ρ ) κύκλος που εφάπτεται εσωτερικά στον κύκλο c και διέρχεται από το σηµείο Σ(,0 ), πρέπει και αρκεί ( ΚΜ) = ( KN) ( MN) = ρ ρ, ( ρ< ρ) και ( ΜΣ) = ρ ηλαδή έχουµε ΚΜ = ρ ΜΣ ΜΣ + ΜΚ = ρ = 6 ( ) ( ) ( ) ( ) Αφού ( ΚΣ) 4 6 ( ΜΚ) ( ΜΣ) = < = + ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων Μ είναι η έλλειψη µε εστίες Σ και Κ και µεγάλο άξονα 6 Εποµένως γ=, α= και β= α γ = 5 Και η εξίσωσή της είναι: y + = 9 5 ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: 6 ΑΠΟ 6

211 ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (ΟΕΦΕ) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 05 Α ΦΑΣΗ Ε_ΑΜλΘΤ(α) ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ / ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Ηµεροµηνία: Τετάρτη 7 Ιανουαρίου 05 ιάρκεια Εξέτασης: ώρες ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ A A Σελίδα 4 σχολικού Βιβλίου Α α) Σ β) Λ γ) Λ δ) Σ ε) Σ ΘΕΜΑ Β α + β = ( 0,5 ) ( ) Β Προσθέτοντας κατά µέλη τις σχέσεις: α β = (, ) ( ) α = (,) + ( 0,5) α = ( + 0,+ 5) α = (,6) προκύπτει: α = (,6) α =, 6 α = (,) Η σχέση () για α = (,) γίνεται:, +β = 0,5 β = 0,5, β = 0,5 β =, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: ΑΠΟ 5

212 ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (ΟΕΦΕ) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 05 Α ΦΑΣΗ Ε_ΑΜλΘΤ(α) Β α β ( ) ( + y y α β α β συν α, β = συν α, β ) = α β + y + y α α β β ( ) + 5 συν( α, β ) = συν ( α, β ) = ( ) 5 ( ) ( 5 συν α, β = συν α, β ) = ( ) ( συν α, β = συν α, β ) = 5 ( ) συν α, β = άρα α, β ( ) B Ισχύει: α β = β προβ α ( ) β π = 4 όµως προβ α / / β προβ α = λ β, λ R Εποµένως η () γίνεται: β β α β = β( λ β) α β = λ β α β = λ β 5 = λ 0 λ = Άρα: προβ α = λ β προβ α = (, ) προβ α =, β β β ΘΕΜΑ Γ ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: ΑΠΟ 5

213 ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (ΟΕΦΕ) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 05 Α ΦΑΣΗ Ε_ΑΜλΘΤ(α) Γ Βρίσκουµε τις συντεταγµένες των διανυσµάτων ΑΒ, ΒΓ ΑΒ= ( B A, y B y A) = (+, ) = (5,) ΒΓ=, y y = (4, ) = (, ) ( ) Γ Β Γ Β 5 Εποµένως det(αβ, ΒΓ) = = 0 = 0, άρα τα διανύσµατα ΑΒ, ΒΓ δεν είναι παράλληλα, οπότε τα Α,Β και Γ όχι συνευθειακά Γ Η µεσοκάθετος (ε) του ευθύγραµµου τµήµατος ΒΓ διέρχεται από το µέσο του Μ και το τέµνει κάθετα Βρίσκουµε τις συντεταγµένες του σηµείου Μ: B + Γ + 4 y B + y Γ + M = M = M =, y M = y M = y M = Άρα, Μ(, ) Υπολογίζουµε τον συντελεστή διεύθυνσης της ευθείας ΒΓ y Γ y B λβγ = λβγ = λβγ = 4 Γ B Ισχύει ( ) ε ΒΓ ε ε (ΒΓ) λ λ = λ = Άρα η εξίσωση της µεσοκαθέτου (ε) του ευθύγραµµου τµήµατος ΒΓ είναι: ε : y y = λ y = y = ( ) ( ) M ε M Γ Έστω Α το συµµετρικό του Α ως προς την ευθεία(ε) Θα βρούµε την εξίσωση ευθείας (ζ) η οποία διέρχεται από το Α και τέµνει κάθετα την (ε) ΒΓ (ζ) λ = λ λ =, εποµένως η ευθεία (ζ) έχει εξίσωση Ισχύει: ( ) ΒΓ ζ ζ ( ) ( ) ζ : y y = λ y = ( + ) y = Α ζ Α Έστω Κ το σηµείο τοµής των ευθειών (ε) και (ζ), του οποίου οι συντεταγµένες θα βρεθούν λύνοντας το σύστηµα των εξισώσεων των ευθειών αυτών y = y = y = y = Πράγµατι: y = = = 0 = 0 Άρα Κ(0, ) Λόγω συµµετρίας το Κ είναι το µέσο του ευθύγραµµου τµήµατος ΑΑ A + Α + Α K = 0 = Α = και y A + y Α + y Α y K = = y Α = 4 Άρα το συµµετρικό του Α ως προς την ευθεία (ε) είναι το Α (,-4) ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: ΑΠΟ 5

214 ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (ΟΕΦΕ) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 05 Α ΦΑΣΗ Ε_ΑΜλΘΤ(α) ΘΕΜΑ Αφού το τρίγωνο ΟΑΒ µε Ο ˆ = 90 OA = OB, εποµένως a β = α β ή a β = α β Αν φ είναι γωνία των διανυσµάτων α και β η τελευταία ισότητα γράφεται: a β = α β συνϕ α β = α β συνϕ από την οποία προκύπτει ότι συνϕ =, αφού τα α, β είναι µη µηδενικά διανύσµατα και εποµένως είναι α 0 και β 0 Άρα ( συνϕ= ή συνϕ= ) () οπότε φ =80 ή φ=0 Σε κάθε περίπτωση είναι α / / β είναι ισοσκελές έχουµε ( ) ( ) Έχουµε α β = α β συνϕ Από τις σχέσεις () προκύπτει ότι α β = α β ή α β = α β αντιστοίχως ιακρίνουµε δύο περιπτώσεις: α) Αν α β = α β είναι Β( 0, α β ) Αναλόγως έχουµε: α β 0 λαβ = = 0 α β ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: 4 ΑΠΟ 5

215 ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (ΟΕΦΕ) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 05 Α ΦΑΣΗ Ε_ΑΜλΘΤ(α) y 0 = a β ή ε : y= + a β ε : ( ) β) Αν α β = α β είναι Β ( 0, α β ) Τότε ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας που διέρχεται από τα σηµεία Α και Β είναι α β 0 λαβ = = και αφού διέρχεται από το Α είναι 0 α β y 0 = α β ή ε : y = a β ε : ( ) Βρίσκω τα σηµεία τοµής Λ και Κ αντίστοιχα των ευθειών (ε ), (ε ) µε την ευθεία = Για = η (ε ) γίνεται y = α β Άρα: Λ(, α β ) Για = η (ε ) γίνεται y = + α β Άρα: K(,+ α β ) Για χάρη ευκολίας θέτω α β = κ > 0 Άρα, Λ(, κ), K(, κ) Ισχύει: + οπότε ΟΛ = (, κ), ΟK = (,+ κ) ΟΚ ΟΛ = (,+ κ)(, κ) = + ( + κ)( κ) = κ> 0 κ κ κ = κ + κ = 0 κ = ή κ = κ = Άρα α β =, εποµένως α β = ή α β = ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: 5 ΑΠΟ 5

216 ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (ΟΕΦΕ) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 05 Β ΦΑΣΗ Ε_ΒΜλΘ(α) ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ / ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Ηµεροµηνία: Κυριακή 6 Απριλίου 05 ιάρκεια Εξέτασης: ώρες ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ A Α Θεωρία σχολικού βιβλίου, σελίδα Α Θεωρία σχολικού βιβλίου, σελίδα 4, ορίζουµε α β = 0 Α α) (Λ), β) (Σ), γ) (Λ), δ) (Σ), ε) (Σ) ΘΕΜΑ B Β Ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας ε είναι λ ε = εδοµένου ότι ε / / ζ 4 έχουµε: λ ε = λ ζ = Εποµένως η εξίσωση ευθείας ζ η οποία διέρχεται από 4 9 το Α, και έχει συντελεστή διεύθυνσης λ =, είναι: 4 9 y = ( ), 4 9 οπότε ισοδύναµα y+ = + 4y + 8 = y= 4 Β Ένα τυχαίο σηµείο Μ (, y) ανήκει στη µεσοπαράλληλη ευθεία η των ε, ζ αν και µόνο αν: + 4y + + 4y d( M, ζ ) = d( M, ε) = y + = + 4y + 4y + = + 4y 0 + 0y = 4, αδύνατη ή ή 4y 4y + + = + + 4y = 0 ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: ΑΠΟ 6

217 ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (ΟΕΦΕ) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 05 Β ΦΑΣΗ Ε_ΒΜλΘ(α) Η εξίσωση + 4y= 0 επαληθεύεται µόνο από τα σηµεία του επιπέδου για τα οποία ισχύει: d( M, ζ ) = d( M, ε ) Άρα η + 4y= 0 είναι η εξίσωση της µεσοπαράλληλης ευθείας η B - Τρόπος Ισχύει: η / / ε / / ζ, άρα λ η = 4 Οπότε η εξίσωση της µεσοπαράλληλης έχει τη µορφή y = + κ, κ R, η 4 οποία γράφεται ισοδύναµα + 4y= 4κ Αν Κ, Λ, Μ τα σηµεία όπου οι ευθείες ε, ζ και η αντίστοιχα, τέµνουν τον άξονα, τότε το Μ είναι µέσο του ΚΛ + 4y = = 4 Εύρεση του Κ : y = 0 y = 0 + 4y = = 4 Εύρεση του Λ: y = 0 y = 0 Οπότε Κ ( 4,0) 4 4y 4 κ + = κ = Εύρεση του Μ: Οπότε y = 0 y = 0 K + Λ 4 4 M = = M = 0 M µέσο ΚΛ: yk + yλ ym = 0 y M = Οπότε Λ( 4,0) 4 κ Μ,0, άρα Μ ( 0,0) Οπότε κ = κ =, εποµένως η εξίσωση της µεσοπαράλληλης η είναι: 4y 0 + = ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: ΑΠΟ 6

218 ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (ΟΕΦΕ) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 05 Β ΦΑΣΗ Ε_ΒΜλΘ(α) Β Σηµείο τοµής της ε : + 4y = µε τον άξονα y y : εποµένως B( 0, ) Σηµείο τοµής της : 4y = 0 = 0, + 4y = y = ζ + = µε τον άξονα : y = 0 y = 0, εποµένως Γ( 4,0) (είναι το Λ στον Β τρόπο + 4y = = 4 λύσης του Β ερωτήµατος) Υπολογίζουµε τις συντεταγµένες των διανυσµάτων ΑΒ 5 9 και ΑΓ Είναι ΑΒ =, και ΑΓ = 6, Άρα το εµβαδόν του 5 τριγώνου είναι: ( ΑΒΓ ) = det( AB,AΓ ) = = = 8 τ µ 9 6 ΘΕΜΑ Γ Γ Ισχύει α β α β = 0 (,4y) (, ) = 0 + 8y = 0 = 8y Η τελευταία εξίσωση είναι εξίσωση παραβολής µε άξονα συµµετρίας τον y y, κορυφή την αρχή Ο( 0,0) και παράµετρο p= 4 Εποµένως και p δ : y = y = Γ i) Παρατηρούµε ότι το σηµείο p Ε 0, ή Ε ( 0,) Ν,, 0, ανήκει στην παραβολή 8 = 4 y + y, όπου Η εξίσωση της εφαπτοµένης ε στη παραβολή είναι: ( ) (, y ) το σηµείο επαφής To Α(, ) ε, οπότε ισχύ ει : = 4( y ) = 4y 4, () Όµως y=, άρα η () γίνεται: 8 = 4 4 = 4 = 8 8 8= 0, η οποία έχει λύσεις = 4, = Για = 4 είναι y=, ενώ για = είναι y= Στο( 4, ) η εξίσωση εφαπτοµένης είναι ε : 4 = 4 ( y + ) y = 0 ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: ΑΠΟ 6

219 ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (ΟΕΦΕ) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 05 Β ΦΑΣΗ Ε_ΒΜλΘ(α) Στο, η εξίσωση εφαπτοµένης είναι ε : = 4 y + + y + = 0 ii) Βρίσκουµε τα διανύσµατα δ = ( ) δ δ ( ) +, / / ε, δ = ( ) 0 συνω = = = = δ δ 5 0 0, / / ε Είναι: Γ Το σηµείο Β (, y ) ανήκει στη παραβολή άρα ισχύει: = ( ) Επίσης ( ) 0 0 y + δ = = 0 + γίνεται = 96, αδύνατη Για y0 8 0 d B, 0 0 Για y0= η ( ) 0 8y, 0 0 y0 + = 0 y0 = 8 ή y0= = η ( ) γίνεται 0 = 64 0 = 8 ή 0= 8 εκτή η 0= 8 λόγω της υπόθεσης ότι 0< 0 Άρα Β( 8,8) Έστω Κ το κέντρο του ζητούµενου κύκλου Επειδή ΒΕ διάµετρος, τότε το Κ µέσο του ΒΕ Συνεπώς: B + E K = = = 4 Άρα Κ( 4,5) Αν ρ η ακτίνα του ζητούµενου yb + ye 8 + yk = = = 5 κύκλου τότε: ( ) ( ) ( ) Εποµένως η εξίσωση του κύκλου είναι: ( ) ( ) ρ = ΚΒ = = = 5 = 5 C : y 5 = 5 ΘΕΜΑ ( ) y y 0 y y (y ), () + λ = + λ + λ = + λ + λ = + λ Η () παριστάνει κύκλο µε κέντρο Κ(0,λ) και ακτίνα ρ = λ +, για κάθε λ R Σηµείωση: Το ερώτηµα θα µπορούσε να λυθεί µε την συνθήκη: A + B 4Γ > 0, µε A = 0, B = λ, Γ = ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: 4 ΑΠΟ 6

220 ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (ΟΕΦΕ) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 05 Β ΦΑΣΗ Ε_ΒΜλΘ(α) i) Για λ = 0, η () γράφεται η () γράφεται + y 0 y = 0 + y = Για λ =, + y y = 0 + y = + y Θεωρούµε το + y = σύστηµα:, οπότε: + y = + y + y = + y = = = = ηɺ 0 = y y = 0 y = 0 y = 0 y = 0 Θα αποδείξουµε ότι όλοι οι κύκλοι που παριστάνει η (), διέρχονται από τα σηµεία Α(,0) και Β(-,0) Πράγµατι, αν θέσουµε =, y = 0 ή = -,y = 0 η () επαληθεύεται για κάθε λ R ii) Έστω M(,y) τυχαίο σηµείο της ζητούµενης εφαπτοµένης ε, τότε: AM = (, y 0) = (, y), KA = ( 0, 0 λ ) = (, λ) KA AM = 0 (, λ) (, y) = 0 λ y = 0 Σηµείωση: Το ερώτηµα θα µπορούσε να λυθεί βρίσκοντας την εφαπτοµένη ως ευθεία κάθετη στην ευθεία ΚΑ, που διέρχεται από το σηµείο Α Ο τρόπος αυτός έχει το µειονέκτηµα ότι χρειάζεται περιορισµός λ 0, όταν υπολογίζουµε τον συντελεστή διεύθυνσης της εφαπτοµένης Η έλλειψη έχει εστίες Α(,0) και Β(,0), άρα γ = ή γ = γ = = α = α = α α y y C : α + β = + = και β = α γ = = ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: 5 ΑΠΟ 6

221 ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (ΟΕΦΕ) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 05 Β ΦΑΣΗ Ε_ΒΜλΘ(α) 4 Το Μ είναι κοινό σηµείο του κύκλου και της έλλειψης Το Μ είναι σηµείο της έλλειψης, άρα, σύµφωνα µε τον ορισµό ισχύει:(ma) + (MB) = α = Το Μ είναι σηµείο του κύκλου, άρα η απόστασή του από το κέντρο Κ θα ισούται µε την ακτίνα ρ του κύκλου, εποµένως Έχουµε: (MA) + (MB) = (MK) = λ + λ = λ= ή λ= (MK) = ρ = λ + = λ + = λ + ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: 6 ΑΠΟ 6

222 ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (ΟΕΦΕ) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 06 Α ΦΑΣΗ Ε_ΜλΘ(α) ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΣ: ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ηµεροµηνία: Πέµπτη 7 Ιανουαρίου 06 ιάρκεια Εξέτασης: ώρες ΘΕΜΑ Α Α Σχολικό βιβλίο σελ 8 Α A α) Λάθος (γιατί λ= ) B β) Σωστό γ) Λάθος ( a β = β προβ a β ) δ) Λάθος (γιατί δεν ορίζεται ο λ) ε) Σωστό ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Β Β α τρόπος Έστω Β(,y) τότε θα είναι: = + = ΑΚ = ΚΒ (, 4 ) = ( +, y 4) = y 4 y = 6 Β(-,6) δηλαδή β τρόπος Α + Β + Β κ = = Β = = ya + yb + yb και yκ = 4 = yb = 8 = 6 δηλαδή Β(-,6) ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: ΑΠΟ 4

223 ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (ΟΕΦΕ) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 06 Α ΦΑΣΗ Ε_ΜλΘ(α) Γ = 4 Γ = 5 ΑΓ = (4, ) Γ, yγ- = (4,) yγ - = yγ = 5 ηλαδή Γ(5,5) οπότε ΒΓ = (5 +, 5-6) = (8,-) Η προβολή του ΒΓ πάνω στο ΒΑ είναι το Β και αφού Β / / ΒΑ Β = λ ΒΑ = λ( +, 6) = λ(4, 4) = (4 λ, 4 λ) Β ( ) Θα είναι ΒΓ ΒΑ = ΒΑ Β (8, )(4, 4) = (4, 4)(4 λ, 4 λ) = 6λ + 6λ 6 = λ λ = = οπότε Β =, Β ΑΚ ΚΓ = (,4 ) (5 +,5 4) = (,) + (, ) = ( 4,0) Οπότε ΑΚ ΚΓ = ( 4) + 0 = 96 = 4 ΘΕΜΑ Γ Γ Το Β είναι το σηµείο τοµής των ΑΒ και Β Λύνω το (Σ) των εξισώσεων τους y + 4 = = 0 7 = 7 = y = 5 y = 5 y = 5 y = 6 δηλαδή Β(,6) Γ Η πλευρά ΑΓ είναι κάθετη στο ύψος Β, οπότε λαγ λβ = λαγ ( 5) = λαγ = 5 Άρα ΑΓ : y 4 = ( 5) 5y 0 = 5 5y + 5 = Γ Το µέσο Μ της ΒΓ είναι Μ, = (,5) 4 6 Ο συντελεστής της ΒΓ είναι λ ΒΓ = = = 5 4 ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: ΑΠΟ 4

224 ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (ΟΕΦΕ) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 06 Α ΦΑΣΗ Ε_ΜλΘ(α) Αφού η µεσοκάθετη ε ΒΓ θα έχει λ ε = και η εξίσωσή της θα είναι: y 5 = ( ) y 5 = 6 y = 0 Λύνουµε το σύστηµα των εξισώσεων των Β και (ε): 60 7 y = = Β : y = 5 y = 5 y = ε : y = = 0 7 = = 7 7 δηλαδή τέµνονται στο Z, 7 7 ΘΕΜΑ A+ B κ+ 4 Είναι M= = ya+ yb 5+ κ+ 4 κ+ 9 και ym= = = Άρα κ = M 4 και κ = y M -9 οπότε M 4 = ym - 9 M ym + 5 = 0 δηλαδή το Μ κινείται στην ευθεία y+ 5= 0 Είναι AB = (4 κκ, + 4 5) = (4 κκ, ) και ε / / δ = (,) 4 κ κ - Αν ΑΒ / / ε ΑΒ / / δ = 0 8 κ κ + = 0 9 = κ κ = οπότε Α(, 5) και Β(4, 7) Άρα ε : y 5 = ( ) y 5 = 6 y = 0 = + = + = α) u v ( a β)( a β ) a 4aβ aβ 6β π = a aβ 6 β = a β συν 6 = = 4 6 = = και v = v = a β = a 4aβ+ 4β = ( ) π a 4 a β συν + 4 β = = v = = ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: ΑΠΟ 4

225 ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (ΟΕΦΕ) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 06 Α ΦΑΣΗ Ε_ΜλΘ(α) β) Αφού Γ ( ε ) : y = θα είναι Γ( Γ, Γ -) Έχουµε: u v ΒΓ + v ΑΒ = (4, µ + ) ΒΓ + ( ) ΑΒ = (4, µ + ) ( ) ( ) ( Γ Γ ) ( Γ Γ ) ( ) 4, 7 + 0(4,7 5) = (4, µ + ), (0, 0) = (4, µ + ), 6 4 = (4, µ + ) (0, 0) = ( 6, µ 9) Γ Γ 6 Γ = 6 χ χ Γ = Γ = Άρα Γ(,) 6Γ 4 = µ 9 µ = 7 µ = 6Γ ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: 4 ΑΠΟ 4

226 ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (ΟΕΦΕ) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 06 Β ΦΑΣΗ Ε_ΜλΘ(α) ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΣ: ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ηµεροµηνία: Κυριακή 7 Απριλίου 06 ιάρκεια Εξέτασης: ώρες ΘΕΜΑ Α Α Σχολικό βιβλίο σελ 45 Α α) Λάθος β) Σωστό γ) Λάθος δ) Σωστό ε) Σωστό ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Β Β v= a β= (, ) (0, ) = (, 6) + (0,6) = (,) γ= (,)(, ) + 4(, )(0, ) = (+ 4) + 4(0 6) = 7 4= Β ΑΒ v λ λ = λ = = = ΑΒ v ΑΒ λ 4 v Άρα ΑΒ : y = ( ) 4y = 4y + 9 = 0 4 και ΒΓ : y = αφού γ= va+ 4aβ = Για την εύρεση της κορυφής Β λύνω το σύστηµα: 7 = 4y = = 9 ( = 7) y = y = 9 y = ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: ΑΠΟ 4

227 ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (ΟΕΦΕ) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 06 Β ΦΑΣΗ Ε_ΜλΘ(α) Β Μ = λ λ = Μ + λ = Μ + y = λ + y = + + y + 4 = 0 M M Μ Μ M Άρα το Μ κινείται στην ευθεία χ-ψ+4=0 Β4 Είναι ΑΓ : y + 4 = 0 ΘΕΜΑ Γ ΒΛ = ΑΓ = = = = + ( ) ( ) d ( B, ) Γ H ( ε ) : + y= 0 δεν διέρχεται από το Α(, ) αφού οι συντεταγµένες του δεν την επαληθεύουν και δεν είναι παράλληλη στην Γ γιατί λ ε = λ Γ Άρα είναι η (ΒΓ) Για το Γ λύνουµε το + y = 0 y = y = ( Σ) y + 5 = = 0 = δηλαδή Γ (, ), άρα + K, ή Κ, Γ / / ΑΒ λγ = λαβ = και διέρχεται από το Α(, ) άραy ( ) = ( ) y = 0 Για το σηµείο Β: = y = 0 + = 5 ( Σ) Αρα B, y 0 y + = = 5 5 y = 5 δηλ ΑΓ = (, 4) και ΑΒ =, δηλ ( ΑΒΓ ) = = = τµ άρα ( ΑΒΓ ) = ( ΑΒΓ ) = τµ 5 Γ Για την ΑΒ: ( ) ( ) ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: ΑΠΟ 4

228 ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (ΟΕΦΕ) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 06 Β ΦΑΣΗ Ε_ΜλΘ(α) Γ Η παραβολή είναι της µορφής C : y = p και διέρχεται από το σηµείο K, άρα: = p p = δηλαδή C: y = = y Γ4 Η εφαπτόµενη στο σηµείο Κ, θα είναι: ( η) : y = + + y + = 0 µε λ ε =- Η διχοτόµος της γωνίας ΕΚΘ είναι κάθετη στην παραπάνω εφαπτόµενη δ η λ λ = λ = από την ανακλαστική ιδιότητα της παραβολής δ η δ ( ) ΘΕΜΑ H εξίσωση ( ε ) : α+ βy= 0 παριστάνει ευθεία, άρα a 0 ή β 0 Η εξίσωση + y 4a 4β y= 0 () είναι της µορφής + y + A + By + Γ = 0 µε: Α + Β 4Γ = 6α + 6β = 6( α + β ) > 0 αφού a 0 ή β 0 Άρα παριστάνει κύκλο µε κέντρο Κ(α,β) και ακτίνα 6( a + β ) ρ = = α + β α + β d( Κ, ε ) = = α + β = ρ δηλαδή η ευθεία είναι εφαπτόµενη του α + β κύκλου κ α = κ = α Αν Κ( κ, y κ ) τότε: yκ = β yκ β = κ yκ Οµως a + 4β = + 4 = 4 4 κ yκ κ+ 4yκ= ή + = 4 δηλαδή κινείται το Κ σε έλλειψη µε α = 4 και β = Άρα α = και β= οπότε θα είναι: Mεγάλος άξονας: (AA )= a = 4, µικρός άξονας: ( ΒΒ )= και ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: ΑΠΟ 4

229 ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (ΟΕΦΕ) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 06 Β ΦΑΣΗ Ε_ΜλΘ(α) γ = 4 = δηλαδή εκκεντρότητα ε γ = = α 4 Η εξίσωση της εφαπτοµένης στο σηµείο Ν (, y) είναι: + 4y y =, η οποία διέρχεται από το Ζ(-, ) άρα: 6 + y = y = () και το Ν (, y) είναι σηµείο της έλλειψης, οπότε: + 4y= () Για την εύρεση της Ν (, y) λύνω το σύστηµα των () και (): y = = y ( Σ) + 4 y = ( y ) + 4 y = ( y y + ) + 4y = y 6y + + y = 0 4y 6y = 0 y = 0 ή y = δηλαδή Ν, Άρα η εξίσωση της εφαπτόµενης είναι + 4 y = + 6y = + y = 4 + y 4 = 0 Είναι Α (,0), Ν, οπότε το µέσο Μ του ΝΑ είναι Μ, 4 Έχω και Z (, ), O(0,0) Άρα ΟΜ =, και ΟΖ = (,) 4 6 Οπότε det ( ΟΜ, ΟΖ) = 4= + = + = 0 4 ηλαδή ΟΜ // ΟΖ οπότε Ο, Μ, Ζ συνευθειακά ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: 4 ΑΠΟ 4

230 ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (ΟΕΦΕ) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 05 Β ΦΑΣΗ Ε_ΓλΓ(ε) ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: B ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ / ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Ηµεροµηνία: M Τετάρτη 8 Απριλίου 05 ιάρκεια Εξέτασης: ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α Να δείξτε ότι σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο το τετράγωνο του ύψους του, που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα είναι ίσο µε το γινόµενο των προβολών των κάθετων πλευρών του στην υποτείνουσα Μονάδες 5 Α Σηµειώστε Σωστό ή Λάθος στις παρακάτω προτάσεις: α) Η δύναµη σηµείου Ρ ως προς κύκλο (Ο,R) είναι πάντοτε θετικός αριθµός ΘΕΜΑ Β β) Για το εµβαδόν Ε τριγώνου ΑΒΓ ισχύει ο τύπος Ε = τ(τ-α)(τ-β)(τ-γ) όπου τ είναι η ηµιπερίµετρος του τριγώνου αν γ) Σε κάθε κανονικό ν-γωνο ακτίνας R ισχύει: λ ν+ =R 4 δ) Ο λόγος των εµβαδών δύο όµοιων τριγώνων ισούται µε το τετράγωνο του λόγου οµοιότητας ε) ύο ορθογώνια τρίγωνα που έχουν µία οξεία γωνία τους ίση είναι όµοια Μονάδες 5 ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σηµείο της πλευράς ΒΓ Από το φέρνουµε παράλληλες στις πλευρές ΑΓ και ΑΒ που τέµνουν αντίστοιχα τις ΑΒ και ΑΓ στα Ε και Ζ Β είξτε ότι Β είξτε ότι Ε Β = ΑΓ ΒΓ ΑE Γ = ΑΒ ΒΓ ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: ΑΠΟ

231 ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (ΟΕΦΕ) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 05 Β ΦΑΣΗ Ε_ΓλΓ(ε) Β Αν Β = Γ τότε δείξτε ότι ο λόγος του εµβαδού του παραλληλογράµµου ΑΖ Ε προς το εµβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ είναι 5 Μονάδες ΘΕΜΑ Γ ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ µε ΑΒ =, ΒΓ = 7, εµβαδόν (ΑΒΓ) = 4 και οξεία την γωνία Β Γ Υπολογίστε τη γωνία Β, την πλευρά ΑΓ και το είδος του τριγώνου ως προς τις γωνίες Γ Αν ΑΓ= 7 τότε να βρείτε την διάµεσό του ΒΜ καθώς και την προβολή ΜΚ της διαµέσου ΒΜ πάνω στην πλευρά ΑΓ Γ Βρείτε την προβολή της πλευράς ΑΒ πάνω στην ΑΓ ΘΕΜΑ Μονάδες ίνεται κύκλος (Ο,R) και δύο κάθετες διάµετροί του ΑΓ και Β Γράφουµε τους κύκλους (Α,R) και (Γ,R) και έστω ΜΟΝ και ΚΟΛ τα τόξα τους που περιέχονται στον κύκλο (Ο,R) Να βρείτε σαν συνάρτηση του R: Τη περίµετρο και το εµβαδό του τριγώνου ΑΜΟ Τη περίµετρο και το εµβαδό του κυκλικού τοµέα ΑΜΟΝ Το εµβαδό και τη περίµετρο του καµπυλόγραµµου χωρίου Μ ΚΟΛΒΝ που σχηµατίζεται απ τα τόξα Μ Κ, ΚΟΛ, ΛΒΝ, ΝΟΜ 4 είξτε ότι το εµβαδόν του χωρίου που ορίζεται από τις χορδές ΑΜ, ΑΚ και το τόξο Μ Κ είναι ίσο µε το εµβαδό του κυκλικού τοµέα ΟΜΑ Μονάδες ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: ΑΠΟ

232 ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (ΟΕΦΕ) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 05 Β ΦΑΣΗ Ε_ΓλΓ(α) ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ / ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Ηµεροµηνία: M Τετάρτη 8 Απριλίου 05 ιάρκεια Εξέτασης: ώρες ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α Σχ βιβλίο 9 θεώρηµα ΙV Α Λ, Σ, Λ, Σ, Σ ΘΕΜΑ Β Β Αφού Ε//ΑΓ θα είναι ΕΒ ΒΑΓ οπότε Ε = Β ΑΓ ΒΓ Β Αφού Ζ//ΑΒ θα είναι ΓΖ ΓΑΒ, Ζ Γ ΑΕ Γ οπότε = = ΑΒ ΒΓ ΑΒ ΒΓ Β Αν Β Β Β = = = Γ Β + Γ + ΒΓ 5 ΒΕ 4 = = ΒΑΓ 5 5 οπότε ( ) ( ) ( Γ Ζ) ( ) Γ 9 Όµοια = οπότε = 5 = 5 ΓΒ ΓΒΑ 5 Άρα ( ΑΖ Ε ) = ( ΑΒΓ) ( ΒΕ ) ( ΓΖ ) = 4 9 = ( ΑΒΓ) ( ΑΒΓ) ( ΑΒΓ ) = ( ΑΒΓ ) δηλ ( ΑΖ Ε ) = ( ΑΒΓ) 5 ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: ΑΠΟ

233 ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (ΟΕΦΕ) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 05 Β ΦΑΣΗ Ε_ΓλΓ(α) ΘΕΜΑ Γ Γ Είναι ( ΑΒΓ ) = ΒΑ ΒΓηµ Β = 7ηµ Β 4 ο ηµ Β = = = ηµ60 δηλ Β=60 ο 4 Τότε από το νόµο των συνηµιτόνων για τη πλευρά ΑΓ έχουµε: συν 60 ο ΑΓ = ΑΒ + ΒΓ ΑΒ ΒΓ = = = 7 ΑΓ = 7 Είναι δηλ δηλ ΒΓ = 7 = 49 και ΑΒ +ΑΓ =9+7=46 ΒΓ > ΑΒ + ΑΓ Α > 90 ο το τρίγωνο ΑΒΓ είναι αµβλυγώνιο Γ α + γ β µ β ΒΜ = = = = = = ΒΜ = 4 4 ΑΒΓ θα και από ο θεώρηµα διαµέσων στο έχουµε: α = ΜΚ = ΜΚ γ β ΜΚ = = 7 7 Γ Από Γενικευµένο Πυθθεώρηµα για αµβλεία γωνία αφού Α > 90 ο για την πλευρά ΒΓ έχουµε ΒΓ = ΑΒ + ΑΓ + ΑΓ ΑΚ = ΑΚ ΑΚ = = = ΘΕΜΑ Είναι ΑΟ = ΟΜ = ΑΜ = R δηλ ΑΟΜ ισόπλευρο πλευράς R οπότε έχει περίµετρο R και R ( ΑΟΜ ) = 4 ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: ΑΠΟ