Μαθηματικά. Γ'Γυμνασίου. Μαρίνος Παπαδόπουλος

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Μαθηματικά. Γ'Γυμνασίου. Μαρίνος Παπαδόπουλος"

Transcript

1 Μαθηματικά Γ'Γυμνασίου Μαρίνος Παπαδόπουλος

2 ΠΡΟΛΟΓΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ Σας καλωσορίζω στον όµορφο κόσµο των Μαθηµατικών της Γ Γυµνασίου. Τα µαθηµατικά της συγκεκριµένης τάξης αποτελούν ίσως το αποκορύφωµα των µαθηµατικών του γυµνασίου. Οι απαραίτητες µαθηµατικές γνώσεις για να συνεχίσετε στο Λύκειο µε αξιώσεις βρίσκονται µέσα σε αυτό το βοήθηµα και για το λόγω αυτό θα σας παρακαλέσω να του αποδώσετε τον απαραίτητο σεβασµό. ( ηλαδή µη µπείτε στη διαδικασία να το βανδαλίσετε...έτσι παιδάκια;;;) Από τη δικιά µου µεριά θα προσπαθήσω να σας µεταλαµπαδεύσω τα περιεχόµενα του βιβλίου που κρατάτε στα χέρια σας µε τον καλύτερο δυνατό τρόπο. Από τη δικιά σας µεριά απαιτώ να µε βοηθήσετε στη προσπάθεια αυτή γιατί στη γνώση το ταξίδι είναι οµαδικό. Ελάτε να διασκεδάσουµε...!!! Τέλος θα ήθελα να αφιερώσω όλη αυτή τη προσπάθεια στους γονείς µου οι οποίοι δουλεύοντας ατελείωτες ώρες, θυσίασαν την προσωπική τους ζωή για τα παιδιά τους. Καλή σχολική χρονιά! Παπαδόπουλος Μαρίνος - Μαθηµατικός

3 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ Α ΑΛΓΕΒΡΑ

4 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ (ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ) Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Κεφάλαιο o : ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ Μάθηµα Πράξεις µε Πραγµατικούς Αριθµούς (Επαναλήψεις Συµπληρώσεις) σελ. - Μάθηµα Μονώνυµα Πράξεις µε µονώνυµα σελ. -4 Μάθηµα Πολυώνυµα Πρόσθεση και Αφαιρέση πολυωνύµων σελ. -5 Μάθηµα 4 Πολλαπλασιασµός Πολυωνύµων σελ Μάθηµα 5 Αξιοσηµείωτες Ταυτότητες σελ Μάθηµα 6 Παραγοντοποίηση Αλγεβρικών Παραστάσεων σελ Μάθηµα 7 ιαίρεση Πολυωνύµων σελ Μάθηµα 8 ΕΚΠ και ΜΚ Ακέραιων Αλγεβρικών Παραστάσεων σελ. 07- Μάθηµα 9 Ρητές Αλγεβρικές Παραστάσεις σελ. -7 Μάθηµα 0 Πράξεις Ρητών Παραστάσεων σελ. 8-5 Μάθηµα Πράξεις Ρητών Παραστάσεων σελ. 6-5 Κεφάλαιο o : ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ - ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Μάθηµα Η Εξίσωση ax 0 + β = σελ Μάθηµα Εξισώσεις ου Βαθµού σελ Μάθηµα 4 Προβλήµατα Εξισώσεων ου Βαθµού σελ Μάθηµα 5 Κλασµατικές Εξισώσεις σελ Μάθηµα 6 Ανισότητες Ανισώσεις µε έναν Άγνωστο σελ Κεφάλαιο ο : ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Μάθηµα 7 Η Έννοια της Γραµµικής Εξίσωσης σελ Μάθηµα 8 Η Έννοια του Γραµµικού Συστήµατος και η Γραφική Επίλυση του σελ Μάθηµα 9 Αλγεβρική Επίλυση Γραµµικού Συστήµατος σελ. 6-7 Κεφάλαιο 4ο : ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Μάθηµα 0 Η Συνάρτηση ψ=αχ² σελ. 8-8 Μάθηµα Η Συνάρτηση ψ=αχ²+βχ+γ σελ Κεφάλαιο 5ο : ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Μάθηµα Σύνολα σελ Μάθηµα ειγµατικός Χώρος - Ενδεχόµενα σελ. Μάθηµα 4 Η Έννοια της Πιθανότητας σελ.

5 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο Αλγεβρικές Παραστάσεις

6 ΜΑΘΗΜΑ Κεφάλαιο o : Αλγεβρικές Παραστάσεις Υποενότητα.: Πράξεις µε πραγµατικούς αριθµούς (Επαναλήψεις- Συµπληρώσεις) Θεµατικές Ενότητες:. Οι πραγµατικοί αριθµοί και οι πράξεις τους.. υνάµεις πραγµατικών αριθµών.. Τετραγωνική ρίζα πραγµατικού αριθµού. Α. ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ ΟΙ ΠΡΑΞΕΙΣ ΤΟΥΣ ΟΡΙΣΜΟΙ Το σύνολο των πραγµατικών αριθµών ( R ) αποτελείται από τους ρητούς αριθµούς και τους άρρητους. Ένας αριθµός λέγεται ρητός όταν έχει ή µπορεί να πάρει κλασµατική µορφή, δηλαδή όταν π.χ: 4=,,5=, 8,5=,,0= 0 99 Θυµίζουµε ότι κάθε ρητός µπορεί να γραφεί είτε ως δεκαδικός είτε ως περιοδικός δεκαδικός και αντίστροφα. Ένας αριθµός λέγεται άρρητος όταν δε µπορεί να πάρει κλασµατική µορφή. π.χ: =, , π =,45... Θυµίζουµε ότι κάθε άρρητός δε µπορεί να γραφεί ούτε ως δεκαδικός, ούτε ως περιοδικός δεκαδικός. Κάθε πραγµατικός αριθµός παριστάνεται (απεικονίζεται) µε ένα σηµείο πάνω στον άξονα των πραγµατικών αριθµών. Παπαδόπουλος Μαρίνος-Μαθηµατικός - -

7 Θυµίζουµε ότι οι φυσικοί αριθµοί είναι το σύνολο: N= { 0,,,,... } οι ακέραιοι αριθµοί είναι το σύνολο: Z = {...,,,,0,,,,... }. ενώ Αντίθετοι λέγονται οι αριθµοί που έχουν άθροισµα µηδέν, όπως ο α και ο α αφού α+ ( α ) = 0 Αντίθετος ενός αθροίσµατος ισούται µε το άθροισµα των αντιθέτων των προσθετέων, δηλαδή ( α+β ) = α β Λόγος δύο αριθµών (ή παραστάσεων) ονοµάζουµε το πηλίκο της διαίρεσής τους, δηλαδή α α : β= =α β β µε β 0 (λογικό αφού διαίρεση µε διαιρέτη 0 δεν ορίζεται!!!) Αντίστροφοι λέγονται οι αριθµοί που έχουν γινόµενο τη µονάδα, όπως ο α και ο α αφού α = (προφανώς ο α = 0 δεν έχει αντίστοφο Γιατι?) α Άρτιος λέγεται κάθε ακέραιος αριθµός που διαιρείται µε το. Είναι οι γνωστοί µας ζυγοί από το δηµοτικό δηλαδή το 0,, 4, 6, 8, 0,. Συµβολικά κάθε άρτιος έχει τη µορφή ν, όπου ν ακέραιος. Περιττός λέγεται κάθε ακέραιος αριθµός που δε διαιρείται µε το. Είναι οι γνωστοί µας µονοί από το δηµοτικό δηλαδή το,, 5, 7, 9,... Συµβολικά κάθε περιττός έχει τη µορφή ν+, όπου ν ακέραιος. Απόλυτη τιµή ενός αριθµού ορίζεται ως η απόσταση του αριθµού αυτού πάνω στον άξονα από την αρχή Ο και είναι πάντα θετικός αριθµός ή µηδέν. Πιο αναλυτικά είναι: α =α αν α 0 α = α αν α< 0 Η απόσταση δυο σηµείων Α, Β είναι: ΑΒ= α β. Παπαδόπουλος Μαρίνος-Μαθηµατικός - -

8 ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ Για να προσθέσουµε δύο αριθµούς ακολουθούµε την εξής διαδικασία: Αν οι αριθµοί είναι οµόσηµοι (δηλαδή έχουν το ίδιο πρόσηµο) αρκεί να προσθέσουµε τις απόλυτες τιµές των αριθµών (δηλαδή τους αριθµούς σκέτους χωρίς πρόσηµο) και στο αποτέλεσµα να βάλουµε το πρόσηµο που επικρατεί. π.χ: + + 4=+ 7 και 4= 7 Αν οι αριθµοί είναι ετερόσηµοι (δηλαδή έχουν διαφορετικό πρόσηµο) αρκεί να αφαιρέσουµε τις απόλυτες τιµές των αριθµών (δηλαδή τους αριθµούς σκέτους χωρίς πρόσηµο) και στο αποτέλεσµα να βάλουµε το πρόσηµο του µεγαλύτερου αριθµού. π.χ: + 4= και + 4=+ Για να πολλαπλασιάσουµε δύο αριθµούς ακολουθούµε την εξής διαδικασία: Αν οι αριθµοί είναι οµόσηµοι (δηλαδή έχουν το ίδιο πρόσηµο) πολλαπλασιάζουµε τις απόλυτες τιµές των αριθµών (δηλαδή τους αριθµούς σκέτους χωρίς πρόσηµο) και στο αποτέλεσµα να βάλουµε το πρόσηµο (+). π.χ: ( + ) ( + 4) =+ και 4 =+ Αν οι αριθµοί είναι ετερόσηµοι (δηλαδή έχουν διαφορετικό πρόσηµο)πολλαπλασιάζουµε τις απόλυτες τιµές των αριθµών (δηλαδή τους αριθµούς σκέτους χωρίς πρόσηµο) και στο αποτέλεσµα να βάλουµε το πρόσηµο (-). π.χ: ( + ) ( 4) = και + 4 = (*) Γενικά όσον αναφορά τα πρόσηµα του πολλαπλασιασµού και της διαίρεσης έχουµε: + + = + + : + = + ( ) ( ) = ( + ) ( + ) ( ) = ( ) ( ) ( + ) = ( ) και όµοια για τη διαίρεση ( ) :( ) = ( + ) ( + ) :( ) = ( ) ( ) :( + ) = ( ) Παπαδόπουλος Μαρίνος-Μαθηµατικός - -

9 Για να κάνουµε πράξεις σε µια παράσταση ακολουθούµε την εξής προτεραιότητα πράξεων: Αν οι παράσταση έχει παρενθέσεις τότε κάνουµε πρώτα τις πράξεις µέσα στις παρενθέσεις µε την εξής σειρά: (i) Πολλαπλασιασµούς- ιαιρέσεις (ii) Προσθέσεις-Αφαιρέσεις Μόλις τελειώσουµε µε τις πράξεις µέσα στις παρενθέσεις ακολουθούµε πάλι την ίδια σειρά, δηλαδή: (i) Πολλαπλασιασµούς- ιαιρέσεις (ii) Προσθέσεις-Αφαιρέσεις Για να απαλείψουµε παρενθέσεις ακολουθούµε την εξής διαδικασία. Αν µπροστά από µια παρένθεση υπάρχει το πρόσηµο (+), τότε παραλείπουµε το πρόσηµο αυτό και την παρένθεση γράφοντας τους όρους της όπως είναι. π.χ + ( ) = Αν µπροστά από µια παρένθεση υπάρχει το πρόσηµο (-), τότε παραλείπουµε το πρόσηµο αυτό και την παρένθεση γράφοντας τους όρους της µε αντίθετα πρόσηµα. π.χ ( ) = Αν µπροστά από µια παρένθεση υπάρχει αριθµός, τότε εφαρµόζουµε την επιµεριστική ιδιότητα. π.χ ( x ) = x = x 6 Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ ΠΡΟΣΘΕΣΗΣ ΚΑΙ ΤΟΥ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΥ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΠΡΟΣΘΕΣΗΣ (i) Αντιµεταθετική Ιδιότητα: α+β=β+α (ii) Προσεταιριστική Ιδιότητα: α+ ( β+γ ) = ( α+β ) +γ (iii) Ιδιότητα Ουδετέρου: α+ 0=α α+ α = (iv) Ιδιότητα Αντιθέτου: 0 Παπαδόπουλος Μαρίνος-Μαθηµατικός - 4 -

10 ΘΥΜΙΖΟΥΜΕ ΟΤΙ: (*) Για να προσθέσουµε δύο κλάσµατα διακρίνουµε τις εξής δύο περιπτώσεις (i) Όταν τα κλάσµατα είναι οµώνυµα (δηλαδή έχουν τους ίδιους παρονοµαστές), ισχύει: α β α±β ± =, γ 0 γ γ γ (ii) Όταν τα κλάσµατα είναι ετερώνυµα (δηλαδή έχουν διαφορετικούς παρονοµαστές), βρίσκω το Ε.Κ.Π των παρονοµαστών, τα µετατρέπω σε οµώνυµα (µε τη γνωστή σε όλους µας διαδικασία µε τα καπελάκια) και εφαρµόζω τη παραπάνω διαδικασία, δηλαδή: α γ αδ βγ αδ±βγ ± = ± =, β, δ 0 β δ βδ βδ βδ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΥ (i) Αντιµεταθετική Ιδιότητα: α β=β α (ii) Προσεταιριστική Ιδιότητα: α ( β γ ) = ( α β) γ (iii) Ιδιότητα Ουδετέρου: α =α (iv) Ιδιότητα Αντιστρόφου: α =, α 0 α (v) α 0= 0 και 0 = 0, α 0 α ΘΥΜΙΖΟΥΜΕ ΟΤΙ: (*) Για να πολλαπλασιάσουµε δύο κλάσµατα δεν µας ενδιαφέρει αν είναι οµώνυµα. Άπλα πολ\ζουµε τους αριθµητές και τους παρονοµαστές µεταξύ τους. ηλαδή θα ισχύει: α γ αγ β αβ =, β, δ 0 ή α =, γ 0 αν έχουµε να πολλ\σουµε αριθµό µε β δ βδ γ γ κλάσµα. (**) Για να διαιρέσουµε δύο κλάσµατα, αρκεί να αντιστρέψω τους όρους του δεύτερου κλάσµατος και να κάνω πολλαπλασιασµό. ηλαδή θα ισχύει: α γ α δ αδ : = =, β, γ, δ 0 β δ β γ βγ Παπαδόπουλος Μαρίνος-Μαθηµατικός - 5 -

11 (***)Για τον πολλαπλασιασµό και τη διαίρεση ισχύουν αντίστοιχα: α 0= 0 α : 0= ΕΝ ΟΡΙΖΕΤΑΙ α =α 0 : α= 0 ενώ για τη διαίρεση α α=α α :=α προσοχη: αλλο το α+α= α α : α= Ι ΙΟΤΗΤΑ ΣΥΝ ΕΣΗΣ ΠΡΟΣΘΕΣΗΣ-ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΥ (i) Επιµεριστική Ιδιότητα: α( β±γ ) =αβ±αγ (ii) ιπλή Επιµεριστική Ιδιότητα: ( α+β)( γ+δ ) =αγ+αδ+βγ+βδ ΓΕΝΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ (i) Ένα γινόµενο είναι ίσο µε το µηδέν όταν ή ο ένας ή ο άλλος ή και ακόµα και οι δύο παράγοντες του γινοµένου είναι ίσοι µε το 0, δηλαδή: α β= 0 α= 0 ή β= 0 (ii) Ένα γινόµενο είναι διάφορο του µηδενός όταν και οι δύο παράγοντες του γινοµένου δεν είναι µηδέν, δηλαδή: α β 0 α 0 και β 0 (*) Για όλες τις παραπάνω Ιδιότητες θεωρούµε τα α, β, γ ως πραγµατικοί αριθµοί Παπαδόπουλος Μαρίνος-Μαθηµατικός - 6 -

12 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Να υπολογιστούν οι παραστάσεις (i) 7 ( + 7) 6 ( + 4) (ii) : 5 (iii) 7 Λύση. Μεθοδολογία Για να κάνουµε πράξεις σε µια παράσταση ακολουθούµε την εξής προτεραιότητα πράξεων: Αν οι παράσταση έχει παρενθέσεις τότε κάνουµε πρώτα τις πράξεις µέσα στις παρενθέσεις µε την εξής σειρά: (i) Πολλαπλασιασµούς- ιαιρέσεις (ii) Προσθέσεις-Αφαιρέσεις Μόλις τελειώσουµε µε τις πράξεις µέσα στις παρενθέσεις ακολουθούµε πάλι την ίδια σειρά, δηλαδή: (i) Πολλαπλασιασµούς- ιαιρέσεις (ii) Προσθέσεις-Αφαιρέσεις (i) Σύµφωνα µε την προτεραιότητα πράξεων έχουµε: 7 ( + 7) 6 ( + 4) = = = = = = 7 6 0= = 7 6= = Παπαδόπουλος Μαρίνος-Μαθηµατικός - 7 -

13 (ii) Όµοια έχουµε: : = = + : = = + : = = + = = + = = + = = = 6 4 = = 6 (iii) = = = = = = Αν α+ β = να υπολογιστεί η τιµή της παρακάτω παράστασης: ( α β) α β Λύση. ( α β) α β + 5 5= = α β α + 0β 5= = α α β + 0β 5= = α β 5= ( α β) 5 = + 5= = = = 5= = 4 Παπαδόπουλος Μαρίνος-Μαθηµατικός - 8 -

14 . Να αποδείξετε τις παρακάτω ισότητες: 6+ α 5 α = 0 (i) (ii) α ( β 5) ( α β) = + ( β α+ ) Λύση. Μεθοδολογία Μια ισότητα Α=Β µπορεί να αποδειχθεί µε δυο τρόπους: ος Τρόπος Παίρνουµε το πιο σύνθετο µέλος της ισότητας, κάνουµε τις πράξεις και καταλήγουµε στο άλλο µέρος ος Τρόπος Αν και τα δύο µέλη της ισότητας είναι σύνθετα, τότε τα δουλεύουµε ταυτόχρονα(κάνοντας πράξεις) και καταλήγουµε στην ίδια παράσταση. 6+ α 5 α = 6+ α 6+ α = 6 α 6+ α = 6 6+ α α = 0 (i) (ii) α β 5 α β = + β α+ α β+ 5 α + β = + β α + α α β + β + 5= + α + β α + β+ = α + β+ [ ( x)] ( x 4) (5 x) 4. Να υπολογίσετε τη παράσταση: A= και να δείξετε ότι είναι ανεξάρτητη από τη µεταβλητή χ. Λύση. [ ( + x)] ( x+ 4) + (5 x) ( x) + x 4+ 0 x A= = x+ x 4+ 0 x = = = Παπαδόπουλος Μαρίνος-Μαθηµατικός - 9 -

15 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΤΥΠΟΥ «ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΣ» Σε κάθε µία από τις παρακάτω προτάσεις να σηµειώσετε το σωστό (Σ) ή το λάθος (Λ).. Ο αριθµός -4 δεν είναι άρτιος Σ Λ. Ο αριθµός -7 είναι περιττός Σ Λ. Ο αριθµός 0 είναι άρτιος Σ Λ 4. Κάθε ακέραιος αριθµός είναι ρητός Σ Λ 5. Κάθε ακέραιος αριθµός είναι φυσικός Σ Λ 6. Όλοι οι αριθµοί έχουν αντίστροφο Σ Λ 7. Ο αριθµός α είναι αρνητικός αριθµός Σ Λ 8. Αν δύο αριθµοί είναι αντίθετοι, τότε το γινόµενο τους είναι αρνητικός Σ Λ 9. Αν δύο αριθµοί είναι αντίστροφοι, τότε είναι οµόσηµοι Σ Λ 0. Οι αντίθετοι αριθµοί έχουν ίσες απόλυτες τιµές Σ Λ. Το πρόσηµο του πηλίκου δύο αριθµών είναι το ίδιο µε το πρόσηµο του γινοµένου τους. Σ Λ. Αν το άθροισµα δύο αριθµών είναι αρνητικός αριθµός και το πηλίκο τους θετικός αριθµός, τότε οι αριθµοί είναι αρνητικοί. Σ Λ Παπαδόπουλος Μαρίνος-Μαθηµατικός - 0 -

16 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ. Ποια από τις παρακάτω ισότητες εκφράζει την προσεταιριστική ιδιότητα ; A α+ 6 α α. αβ= βα B. =α+ +γ=γ+ α+ 5 +β= α+ 5+β Γ. β β.. Αν α, β, γ είναι πραγµατικοί αριθµοί, ποια από τις παρακάτω ιδιότητες εκφράζει η ισότητα : α( β+γ ) = ( β+γ) α ; Α. Την αντιµεταθετική ιδιότητα της πρόσθεσης; Β. Την αντιµεταθετική ιδιότητα του πολλαπλασιασµού; Γ. Την προσεταιριστική ιδιότητα της πρόσθεσης;. Την επιµεριστική ιδιότητα του πολλαπλασιασµού ως προς την πρόσθεση;. Αν α, β πραγµατικοί, µη µηδενικοί και αντίθετοι, τότε η τιµή του λόγου α είναι ίση µε : β Α. Β. 0 Γ. -. Τίποτα από τα προηγούµενα 4. Αν α, β πραγµατικοί αριθµοί, ώστε α + β =0. Τότε θα είναι : Α. α = β Β. α = β = 0 Γ. α = β = 0 ή α, β ετερόσηµοι. δεν προκύπτει συµπέρασµα ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΥΜΠΛΗΡΩΣΗΣ ΚΕΝΟΥ. Να συµπληρώσετε οι παρακάτω πίνακες: α. Αριθµός - Φυσικός Ακέραιος Ρητός Άρρητος,5 0,,75 9 π Παπαδόπουλος Μαρίνος-Μαθηµατικός - -

17 β. Αριθµός - Αντίθετος Αντίστροφος -. Να συµπληρώσετε τις ισότητες : 5 7 =... 5 =... + =... 5 =... + = =... = =... 5 Να συµπληρωθούν τα κενά: =... 0 = = : =... ( ) = x... x =... 5 x +... = = x 6 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΠΛΗΡΟΥΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Να υπολογιστούν οι παραστάσεις: 7 4 i) Α= ii) Β= + :( ) + : + 4 : ( ) iii) Γ= ( ) : + : ( 4) + : 4 iv) = : 4 4 : Παπαδόπουλος Μαρίνος-Μαθηµατικός - -

18 . Να απλοποιηθούν οι παραστάσεις: { } α) x y x y + x y + x { } β) x y+ x y+α { } { } γ) α β γ + β γ α γ α β δ) α β γ α β γ α β. Αν α+β=, να βρεθεί η τιµή της παράστασης: { 7 } Α= α+ β+ + +γ γ+ 4. Αν α, β, γ πραγµατικοί αριθµοί, να βρείτε το άθροισµα Α= ( α γ+β) ( α β+ γ ) + ( 4α β ) και έπειτα αν α=, 0 γ= να βρεθεί η αριθµητική τιµή της παράστασης Α. 5 β= και 6 5. Να πολλαπλασιάσετε µε - την παράσταση α ( β γ ) και το γινόµενο αυτό να το αφαιρέσετε από την παράσταση α β γ. Στη συνέχεια να βρείτε τον αντίθετο της παραπάνω διαφοράς, 6. Να αποδείξετε τις παρακάτω ισότητες: α ) + κ λ κ λ = β) x y + y x = 0 γ) α β β α = 5β+ α 7. Αν x= 5 και y=, να υπολογίσετε τις παραστάσεις: a) K = + x 5y xy x β ) Λ= 5( x y) + y + = 0, να δείξετε ότι οι α,β είναι αντίθετοι ή αντίστροφοι. 8. Αν ( α β) ( αβ ) 9. Να απλοποιήσετε την παράσταση ( ) βρείτε την τιµή της, για x= 0, και 0,5 Α= x x x y yκαι µετά να y=. 0. Αν a+ β = και β γ = 5, να υπολογίσετε την παράσταση Α= 5γ 8 β β γ + α Παπαδόπουλος Μαρίνος-Μαθηµατικός - -

19 Β. ΥΝΑΜΕΙΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΟΡΙΣΜΟΙ ύναµη µε βάση ένα πραγµατικό αριθµό α και εκθέτη ένα φυσικό ν αριθµό ν µε ν, που συµβολίζεται µε α, λέµε το γινόµενο ν παραγόντων ίσω µε τον αριθµό α. ηλαδή α Εκθετης ν =α α α... α βαση νπαραγοντες Ορίζουµε επίσης ότι: 0 α =, α =α και ν α = µε α 0 α ν ΠΡΟΣΟΧΗ: = X αλλά X+ X+ X= X X X X Ι ΙΟΤΗΤΕΣ Ιδιότητες που στηρίζονται στην ίδια βάση: i) ν µ ν+µ α α =α ii) ν α ν µ µ =α α Ιδιότητες που στηρίζονται στον ίδιο εκθέτη : ν ν i) ν α β = α β ii) Μία άσχετη (όχι για άσχετους..!!) ν µ α =α ν µ α β ν ν α = β ν Με τη βοήθεια του ορισµού ν α = µε α 0 προκύπτει και η α ν α β ν β = α ν µε α, β 0 Παπαδόπουλος Μαρίνος-Μαθηµατικός - 4 -

20 Επίσης ισχύουν: ν ν α =α, οπου ν αρτιος ν ν ( α ) = α, οπου ν περιττος ΠΡΟΣΟΧΗ: =+ 4 ενω = 4 = 8 ενω = 8 Τους πολύ µεγάλους ή τους πολύ µικρούς κατά απόλυτη τιµή αριθµούς, είναι βολικό να τους γράφουµε µε τυποποιηµένη µορφή, δηλαδή µε τη µορφή: α 0 ν µε α 0 και ν ακέραιο. π.χ =,5 0 0, =, ΘΥΜΙΖΟΥΜΕ ΟΤΙ: 0 = 0 0 = 00 0 = ν 0 = ν µηδενικα και 0 = 0, 0 = 0, 0 = 0 0, ν 0 = 0, ν µηδενικα ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ Για να κάνουµε πράξεις σε µια παράσταση ακολουθούµε την εξής προτεραιότητα πράξεων: Αν οι παράσταση έχει παρενθέσεις τότε κάνουµε πρώτα τις πράξεις µέσα στις παρενθέσεις µε την εξής σειρά: (i) υνάµεις (ii) Πολλαπλασιασµούς- ιαιρέσεις (iii) Προσθέσεις-Αφαιρέσεις Μόλις τελειώσουµε µε τις πράξεις µέσα στις παρενθέσεις ακολουθούµε πάλι την ίδια σειρά, δηλαδή: (i) υνάµεις (ii) Πολλαπλασιασµούς- ιαιρέσεις (iii) Προσθέσεις-Αφαιρέσεις Παπαδόπουλος Μαρίνος-Μαθηµατικός - 5 -

21 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Να γράψετε µε τη µορφή µιας δύναµης τις παρακάτω παραστάσεις 5 (i) 9 6 (ii) : 4 9 (iii) 8 5 (iv) (v) ( ) 4 : 7 Λύση. (i) 9 = = = : 4 = : = : = = = = 7 (ii) (iii) 8 5 = 5 = 5 = 5 = 0 (iv) = 5 5 = 5 + = : 7= : = : = = = = 7 (v) 7. Να απλοποιήσετε τις παρακάτω παραστάσεις (i) ( x y) (ii) x y x y 4 (iii) ( ) x x (iv) ( x y) ( xy) :( x 8 y 7 ) Λύση. Παπαδόπουλος Μαρίνος-Μαθηµατικός - 6 -

22 6 (i) (ii) x y = x y = 9x y = 9x y 6 x y x y = x x y y = x y = x y x x = x x = x x = x 7 (iii) (iv) 8 7 ( x y ) x y xy x y 4x y 4x y 5 7 : x y xy x y = = = = y = y x y x y. Να υπολογίσετε την τιµή κάθε παράστασης 0 (i) A= ( 5) ( 5) 5 4 ( 4) (ii) B x x x =, για x= Λύση. 0 (i) A= = = = 49 (ii) x x x B= ( ) = ( ) = = = + = 9 = + = + 8= 4 = 4 4. Να βρείτε το φυσικό κ, ώστε να ισχύουν οι ισότητες: (i) 5 = (ii) = 9 (iii) (iv) κ = 6 κ+ 8 = 7 Παπαδόπουλος Μαρίνος-Μαθηµατικός - 7 -

23 Λύση. Μεθοδολογία Οι παραπάνω εξισώσεις λέγονται εκθετικές. Μια εκθετική εξίσωση µπορεί να λυθεί µε τον εξής τρόπο: Τρόπος ηµιουργούµε και στα δύο µέλη της εξίσωσης δυνάµεις µε την ίδια βάση. Έπειτα εξισώνουµε τους εκθέτες των δυνάµεων αυτών και λύνουµε ως προς τον άγνωστο. (i) (ii) (iii) (iv) κ 5 = κ 5 = 5 κ = 0 κ = 9 0 κ = κ = κ = 6 κ = 4 κ = κ = 4 κ+ 4 8 = 7 κ+ = κ+ = κ + = κ = κ = κ = Παπαδόπουλος Μαρίνος-Μαθηµατικός - 8 -

24 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΗΣΗΣ. Να αντιστοιχήσετε τα στοιχεία της στήλης Α µε αυτά της στήλης Β. α. ΣΤΗΛΗ (Α). ( ) ( :) : ΣΤΗΛΗ (Β) Α. 9 Β. Γ. 9. Ε. 9 β. ΣΤΗΛΗ (Α). ( ) ΣΤΗΛΗ (Β) Α. 9 Β. 6.. Γ ( ) Ε. 8 γ. ΣΤΗΛΗ (Α). ( α+β ). ( α β ). ( α β ) 4. ( α+β ) ΣΤΗΛΗ (Β) Α. ( α β ) Β. ( α β ) Γ. ( α β ). ( α+β ) Ε. ( α+β ) Παπαδόπουλος Μαρίνος-Μαθηµατικός - 9 -

25 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΥΜΠΛΗΡΩΣΗΣ ΚΕΝΟΥ. Να συµπληρωθούν οι ισότητες: α. =... =... =... =... =... =... β. µ ν x : x =... ν x =... 0 x =... y ν ν x y =... ν x ν =..., µε... µ x =... γ. 7 =... =... = =.... Να συµπληρωθούν οι παρακάτω πίνακες: α. χ Χ β. Αριθµός ύναµη Παπαδόπουλος Μαρίνος-Μαθηµατικός - 0 -

26 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΠΛΗΡΟΥΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Να γράψετε καθεµία από τις παρακάτω παραστάσεις ως µία δύναµη. 5 7 i) = ii) : 6 5 iii) iv) = v) 4 5 = = vi)8 5 = vii)9 = x = viii ) = ix)4 7 = 5 ) =. Να γράψετε κάθε παράσταση ως µια δύναµη. xi) 6= xii) 7 5 ( ) xiii)8 5 = 5 = xiv) A= + B= Γ= = Να υπολογιστούν οι δυνάµεις: α) και και β) και 4. Να αποδείξετε ότι: ( ) = ( ) x y y x µε x y 5. Να υπολογιστεί η παράσταση: 4 6. Να γίνουν οι πράξεις: A= : 5 α) α β γ 4α β γ α β γ x y 4 ) 4xy, x, y 0 β y 5x 7. Να υπολογιστεί ο x στις παρακάτω ισότητες: i) = x ii) 4 4x 9 x 5 = 8 x iii) = 6 iv) 5 x = 5 5 v) = 5 9 x 4 Παπαδόπουλος Μαρίνος-Μαθηµατικός - -

27 8. Να υπολογιστούν οι παραστάσεις: i) Α= ( ) 6 ( ) 0 ii) B= + 4+ ( ) : iii) Γ = + : iv) = : : : + 9. Να γίνουν οι πράξεις: i) x : x x 4 0 ii) 8x y : x y x 4 iii)x y ( x y ) 6 xy x y iv) : v) ( x : y) y : x A= α βγ : αβ 0. Να βρεθεί η τιµή της παράστασης β = και γ =. για α = -,. Να απλοποιηθεί η παράσταση υπολογιστεί η τιµή της, όταν x ( 0) 5. Αν ( x y) y 4 4 x y x y x y Α= και να = και 4 y= 0. xy =, να υπολογίσετε την τιµή της παράστασης: 5 A= y x y x y. Αν οι αριθµοί x, y είναι αντίστροφοι, να βρείτε την τιµή της παράστασης Α= x y x y x Παπαδόπουλος Μαρίνος-Μαθηµατικός - -

28 Γ. ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗ ΡΙΖΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΟΡΙΣΜΟΙ Τετραγωνική ρίζα ενός µη αρνητικού αριθµού α (συµβολισµός α ) είναι ο θετικός αριθµός που όταν υψωθεί στο τετράγωνο µας δίνει τον αριθµό α ηλαδή έχουµε : αν x= α τότε (µε α 0 και x 0). Ορίζουµε επίσης 0 = 0 διότι x =α δηλαδή ( α ) =α 0 = 0 και προφανώς = αφού = Ι ΙΟΤΗΤΕΣ α = α όµως = α α π.χ ( ) = = αλλα = = α β = α β, προφανώς α, β 0 Απόδειξη α β = α β α β = α β α β =α β α β=α β α β = α β, προφανώς α 0 και β > 0 Παπαδόπουλος Μαρίνος-Μαθηµατικός - -

29 Απόδειξη α α = β β α α = β β ( α) ( β) α α = β β α = β ΠΡΟΣΟΧΗ : ΕΝ ισχύει η ιδιότητα α ± β = α± β π.χ 6+ 9 = 4+ = 7. Ελπίζω να παρατηρούµε ότι ΕΝ είναι ίσα 6+ 9 = 5 = 5 Πότε όµως µπορεί να ισχύει; Απάντηση: Μόνο αν ένας τουλάχιστον από τους α, β είναι 0 π.χ 0+ 4 = 4= και 0+ 4 = 0+ = ΠΡΟΣΟΧΗ : Το σύµβολο χρησιµοποιείται µόνο όταν ο αριθµός (ή η παράσταση) που είναι κάτω από τη ρίζα (δηλαδή η υπόριζη ποσότητα) είναι θετικός ή µηδέν. π.χ Η δε παίζει µπάλα!!!!! (Μη το δω σε κανένα γραπτό έτσι παιδάκια.) ΠΡΟΣΟΧΗ : Η ιδιότητα α β = α β εφαρµόζεται µε την προϋπόθεση ότι α 0 και β 0. Είναι λάθος δηλαδή να γράψουµε π.χ ( 4) ( 4) = 4 4 ΠΡΟΣΕΞΤΕ ΜΗ ΚΑΝΕΤΕ ΤΟ ΕΞΗΣ Παπαδόπουλος Μαρίνος-Μαθηµατικός - 4 -

30 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Να αποδείξετε ότι (i) = (ii) 6 4 = (iii) 75= Λύση. Μεθοδολογία Αν θέλουµε να απλοποιήσουµε την α, γράφουµε τον αριθµό α ως γινόµενο δύο αριθµών, όπου τουλάχιστον ο ένας από τους δύο να είναι τέλειο τετράγωνο ( ηλ.να γράφετε ως ένας αριθµός στο τετράγωνο). Παράδειγµα: 8= 9 = 9 = (i) = 4 = 4 = (ii) 6 4 = 6 4= 84= 4 = 4 = (iii) 75= 4 5 = 4 5 = 5 =. Να µετατρέψετε τα παρακάτω κλάσµατα που έχουν άρρητους παρονοµαστές σε ισοδύναµα κλάσµατα µε ρητούς παρονοµαστές (i) 6 6 (ii) (iii) Λύση. Μεθοδολογία Αν θέλουµε να µετατρέψουµε ένα κλάσµα µε άρρητο παρονοµαστή σε ισοδύναµο µε ρητό παρονοµαστή, αρκεί να πολλαπλασιάσουµε τον αριθµητή και τον παρονοµαστή του κλάσµατος µε τον παρονοµαστή. Παπαδόπουλος Μαρίνος-Μαθηµατικός - 5 -

31 (i) = 6 = 6 = 6 = (ii) Αρχικά σπάω τη 48µε τον τρόπο που µάθαµε παραπάνω = = = = = = = = (iii) = + = 5+ = 5+ 5 (Σωστός..;;;). Να υπολογίσετε τις τιµές των παρακάτω παραστάσεων. (i) (ii) 5 7 (iii) (iv) ( ) ( + ) Λύση. (i) 5 7 5= ( 7) 5= 5 5 (ii) 5 7 = ( 7) ( 5+ ) = 4 6 (iii) = = = = = = = = 5 6+ = = 5 4+ = = + = = 4 (iv) ( ) ( + ) = + = ( ) ( + ) = + = Παπαδόπουλος Μαρίνος-Μαθηµατικός - 6 -

32 4. Να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις. (i) 7+ x= 8+ x x (ii) 5 = 8 Λύση. (i) 7+ x= 8+ x x x= 8 7 x= x= x= 7 7 x= 7 (ii) x 5 = x x x x x= x= x= 8 5= 8 5= 8 5= 6 5= ( 5) Παπαδόπουλος Μαρίνος-Μαθηµατικός - 7 -

33 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΤΥΠΟΥ «ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΣ» Σε κάθε µία από τις παρακάτω προτάσεις να σηµειώσετε το σωστό (Σ) ή το λάθος (Λ).. 5= 5 Σ Λ. + 7 = 0 Σ Λ. 6 4 = Σ Λ = Σ Λ 5. = Σ Λ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΗΣΗΣ. Να αντιστοιχήσετε τα στοιχεία της στήλης Α µε αυτά της στήλης Β. ΣΤΗΛΗ (Α) ( ) ΣΤΗΛΗ (Β) Α. Β. εν ορίζεται Γ. 5. Παπαδόπουλος Μαρίνος-Μαθηµατικός - 8 -

34 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΥΜΠΛΗΡΩΣΗΣ ΚΕΝΟΥ. Να συµπληρωθούν οι ισότητες: x =... αν... = αν x α β=... αν... α β=... αν... α =... αν... β. Να συµπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα: χ x ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΠΛΗΡΟΥΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Να υπολογίσετε τις παραστάσεις: 4 6 Α= Β= ( ) ( ) Γ= + +. Να υπολογίσετε τις παραστάσεις: Α= Β= Γ= = Ε= Παπαδόπουλος Μαρίνος-Μαθηµατικός - 9 -

35 . Να γίνουν οι πράξεις: i) + ii)6 + 5 iii) iv) v) vi) vii) Να υπολογίσετε τις τιµές των παραστάσεων: ( ) ( 5)( 5) Α= + Β= + Γ= 6 5. Να αποδείξετε ότι: i) = 7 ii) = 8 iii) 7+ = 4 iv) 8+ = v) 0= 0 vi) = Να απλοποιήσετε τις παραστάσεις: i) 8,, 8, 0, 4, 7, 8,, 40, 44, 50, 5, 7, 5 ii) 00, 000 Παπαδόπουλος Μαρίνος-Μαθηµατικός - 0 -

36 7. Αν α, β θετικοί πραγµατικοί αριθµοί, να απλοποιήσετε τις παραστάσεις: i) ii) iii) v) α β α β α α β 4 α αβ +β α β α+ β 8. Να µετατρέψετε τα παρακάτω κλάσµατα σε ισοδύναµα µε ρητό παρονοµαστή: 0 8,,,, α 9. Να αποδείξετε ότι οι αριθµοί β και 9β α αριθµοί. µε α, β θετικοί, είναι αντίστροφοι A= Να δείξετε ότι οι παραστάσεις: B= είναι ίσες.. Να απλοποιήσετε την παράστασηα= Να δείξετε ότι οι αριθµοί +, είναι αντίστροφοι.. Να κάνετε τις πράξεις: + και Να λύσετε τις εξισώσεις: i)5 + x= 8+ x ii) x 5 0= 0 x iii) = iv) x 5= x 5. Να αποδείξετε ότι ( )( + ) =. Χρησιµοποιώντας την προηγούµενη ισότητα, να µετατρέψετε το κλάσµα παρονοµαστή σε ισοδύναµο µε ρητό παρονοµαστή. που έχει άρρητο Παπαδόπουλος Μαρίνος-Μαθηµατικός - -

Α. ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ ΟΙ ΠΡΑΞΕΙΣ ΤΟΥΣ

Α. ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ ΟΙ ΠΡΑΞΕΙΣ ΤΟΥΣ ΜΑΘΗΜΑ Κεφάλαιο o : Αλγεβρικές Παραστάσεις Υποεότητα.: Πράξεις µε πραγµατικούς αριθµούς (Επααλήψεις- Συµπληρώσεις) Θεµατικές Εότητες:. Οι πραγµατικοί αριθµοί και οι πράξεις τους.. υάµεις πραγµατικώ αριθµώ..

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά. Β'Γυμνασίου. Μαρίνος Παπαδόπουλος

Μαθηματικά. Β'Γυμνασίου. Μαρίνος Παπαδόπουλος Μαθηματικά Β'Γυμνασίου Μαρίνος Παπαδόπουλος ΠΡΟΛΟΓΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ Σας καλωσορίζω στον όµορφο κόσµο των Μαθηµατικών της B Γυµνασίου. Τα µαθηµατικά της συγκεκριµένης τάξης αποτελούν βάση των µαθηµατικών του

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ο κεφάλαιο: Πραγματικοί αριθμοί ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ) Copyright 014 Αποστόλου Γιώργος Αποστόλου Γεώργιος apgeorge004@yahoo.com άδεια χρήσης 3η Εκδοση, Αύγουστος 014 Περιεχόµενα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο : Εξισώσεις - Ανισώσεις 1 1.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΟΡΙΣΜΟΙ Μεταβλητή

Διαβάστε περισσότερα

αριθμούς Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία iii) φυσικοί; ii) ακέραιοι; iii) ρητοί;

αριθμούς Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία iii) φυσικοί; ii) ακέραιοι; iii) ρητοί; Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία Ρητοί και άρρητοι αριθμοί. α) Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: iii) φυσικοί; ii) ακέραιοι; iii) ρητοί; iv) άρρητοι; v) πραγματικοί; β) Να βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

2.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ

2.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ Ρητός ονομάζεται κάθε αριθμός που έχει ή μπορεί να πάρει τη μορφή κλάσματος, όπου, είναι ακέραιοι με 0. Ρητοί αριθμοί : Q /, 0. Έτσι π.χ.

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Α λ γ ε β ρ ι κ έ ς π α ρ α σ τ ά σ ε ι ς 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις συμπληρώσεις) A. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Διδακτικοί στόχοι Θυμάμαι ποιοι αριθμοί λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 0 ΘΕΩΡΙΑ ΜΕΘΟΔΟΙ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Βαγγέλης Α Νικολακάκης Μαθηματικός . ΠΡΑΞΕΙΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΒΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ. ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΟΜΟΣΗΜΩΝ- ΕΤΕΡΟΣΗΜΩΝ Σε ομόσημους κάνω πρόσθεση και βάζω το κοινό

Διαβάστε περισσότερα

Ρητοί αριθμοί είναι αυτοί που έχουν (ή μπορεί να πάρουν) κλασματική μορφή,

Ρητοί αριθμοί είναι αυτοί που έχουν (ή μπορεί να πάρουν) κλασματική μορφή, ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ Οι αριθμοί 0,1,,,4, είναι οι Φυσικοί αριθμοί. Οι Φυσικοί αριθμοί μαζί με τους αντίθετούς τους αποτελούν τους Ακέραιους αριθμούς. Δηλαδή ακέραιοι είναι οι αριθμοί,-,-,-1,0,1,,,

Διαβάστε περισσότερα

Επιμέλεια: Σπυρίδων Τζινιέρης-ΘΕΩΡΙΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Επιμέλεια: Σπυρίδων Τζινιέρης-ΘΕΩΡΙΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Τι είναι κλάσμα; Κλάσμα είναι ένα μέρος μιας ποσότητας. ΘΕΩΡΙΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Κλάσμα είναι ένας λόγος δύο αριθμών(fraction is a ratio of two whole numbers) Πως εκφράζετε συμβολικά ένα κλάσμα; Εκφράζετε

Διαβάστε περισσότερα

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: α) ρητοί β) άρρητοι γ) πραγματικοί;

Διαβάστε περισσότερα

ΡΗΤΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΘΕΩΡΙΑ

ΡΗΤΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΘΕΩΡΙΑ ΡΗΤΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΘΕΩΡΙΑ Α. ΟΡΙΣΜΟΙ Θετικοί αριθµοί είναι οι αριθµοί που έχουν πρόσηµο το + (πολλές φορές το + παραλείπεται) π.χ. +3, +105, +, + 0,7, 326. Αρνητικοί αριθµοί είναι οι αριθµοί που έχουν πρόσηµο

Διαβάστε περισσότερα

Φ1: ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Φ1: ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Φ: ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΓΙΑΝΝΗΣ ΧΡΑΣ 0-0 ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α - ΘΕΩΡΙΑ - ΣΩΣΤΟ-ΛΑΘΟΣ - ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ - ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΗΣΗΣ - ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ-ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΘΕΜΑ Β - ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 8. Πότε το γινόμενο δύο ή περισσοτέρων αριθμών παραγόντων είναι ίσο με το μηδέν ;

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 8. Πότε το γινόμενο δύο ή περισσοτέρων αριθμών παραγόντων είναι ίσο με το μηδέν ; ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ( ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ) ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ : Το κεφάλαιο αυτό περιέχει πολλά θέματα που είναι επανάληψη εννοιών που διδάχθηκαν στο Γυμνάσιο γι αυτό σ αυτές δεν θα επεκταθώ αναλυτικά

Διαβάστε περισσότερα

7.Αριθμητική παράσταση καλείται σειρά αριθμών που συνδέονται με πράξεις μεταξύ τους. Το αποτέλεσμα της αριθμητικής παράστασης ονομάζεται τιμή της.

7.Αριθμητική παράσταση καλείται σειρά αριθμών που συνδέονται με πράξεις μεταξύ τους. Το αποτέλεσμα της αριθμητικής παράστασης ονομάζεται τιμή της. ΟΙ ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Α.1.2 1. Οι ιδιότητες της πρόσθεσης των φυσικών αριθμών είναι οι εξής : Αντιμεταθετική ιδιότητα π.χ. α+β=β+α Προσετεριστική ιδιότητα π.χ. α+β+γ=(α+β)+γ=α+(β+γ) 2.Η πραξη της αφαίρεσης

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο ο Αλγεβρικές Παραστάσεις ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) ) Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη

Διαβάστε περισσότερα

Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών

Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών TINΑ ΒΡΕΝΤΖΟΥ www.ma8eno.gr www.ma8eno.gr Σελίδα 1 Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών Στους πραγματικούς αριθμούς ορίστηκαν οι

Διαβάστε περισσότερα

ÊåöÜëáéï 1 ï. Ïé ñçôïß áñéèìïß

ÊåöÜëáéï 1 ï. Ïé ñçôïß áñéèìïß ÊåöÜëáéï 1 ï Ïé ñçôïß áñéèìïß ÂéâëéïìÜèçìá 1 ï ÅðáíÜëçøç âáóéêþí åííïéþí Ðñüóèåóç ñçôþí áñéèìþí èñïéóìá ðïëëþí ðñïóèåôýùí ÁðáëïéöÞ ðáñåíèýóåùí ÂéâëéïìÜèçìá ï Ðïëëáðëáóéáóìüò ñçôþí áñéèìþí Ãéíüìåíï ðïëëþí

Διαβάστε περισσότερα

0..1 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ

0..1 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Εισαγωγικό Κεφάλαιο: Ρητοί Αριθµοί ΜΑΘΗΜΑ 0 Υποεότητα 1: Βασικές Επααληπτικές Έοιες (Επααλήψεις-Συµπληρώσεις) Θεµατικές Εότητες: 1. Ρητοί αριθµοί-βασικές επααληπτικές έοιες.. Πρόσθεση ρητώ αριθµώ. 3. Άθροισµα

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) είναι πραγματικός, γ) Το 3 είναι άρρητος,

1.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) είναι πραγματικός, γ) Το 3 είναι άρρητος, . ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ Τηλ 0676-7 /0600 Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους. Να συμπληρωθούν τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη να προκύψει το έτος γέννησης σας : +....= 9.. = ( -

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Οι πραγματικοί αριθμοί αποτελούνται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς, τους φυσικούς και τους ακέραιους αριθμούς. Δηλαδή είναι το μεγαλύτερο σύνολο αριθμών που μπορούμε

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΕΙΣ- ΣΥΜΠΛΗΡΩΣΕΙΣ

1.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΕΙΣ- ΣΥΜΠΛΗΡΩΣΕΙΣ ΜΕΡΟΣ Α. ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ. ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΕΙΣ- ΣΥΜΠΛΗΡΩΣΕΙΣ Α Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Όπως γνωρίζουμε, το σύνολο των φυσικών αριθμών Ν είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ) Copyright 2015 Αποστόλου Γιώργος Αποστόλου Γεώργιος apgeorge2004@yahoocom Αδεια χρήσης 3η Εκδοση, Ιωάννινα, Σεπτέµβριος 2015 Περιεχόµενα 1 ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Άλγεβρα 1.1 Β : Δυνάμεις πραγματικών αριθμών. 1. Πως ορίζεται η δύναμη ενός πραγματικού αριθμού ; Η δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΒΑΣΙΛΗΣ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΒΑΣΙΛΗΣ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΒΑΣΙΛΗΣ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ Οι Πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι είναι οι πραγματικοί αριθμοί ; Ποιοι είναι οι

Διαβάστε περισσότερα

1 ο Πρότυπο Πειραματικό Γυμνάσιο Θεσσαλονίκης Α Γυμνασίου Ακέραιοι Αριθμοί -Η ευθεία των αριθμών

1 ο Πρότυπο Πειραματικό Γυμνάσιο Θεσσαλονίκης Α Γυμνασίου Ακέραιοι Αριθμοί -Η ευθεία των αριθμών κέραιοι ριθμοί -Η ευθεία των αριθμών κέραιοι αριθμοί είναι οι φυσικοί αριθμοί μαζί με τους αντίστοιχους αρνητικούς αριθμούς. Τα σύμβολα «+» και «-» που γράφονται μπροστά από τους αριθμούς λέγονται πρόσημα.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός Αγαπητοί μαθητές. αυτό το βιβλίο αποτελεί ένα βοήθημα στην ύλη της Άλγεβρας Α Λυκείου, που είναι ένα από

Διαβάστε περισσότερα

Μάθηµα 1. Κεφάλαιο 1o: Συστήµατα. γ R παριστάνει ευθεία και καλείται γραµµική εξίσωση µε δύο αγνώστους.

Μάθηµα 1. Κεφάλαιο 1o: Συστήµατα. γ R παριστάνει ευθεία και καλείται γραµµική εξίσωση µε δύο αγνώστους. Μάθηµα 1 Κεφάλαιο 1o: Συστήµατα Θεµατικές Ενότητες: A. Συστήµατα Γραµµικών Εξισώσεων B. Συστήµατα 3x3 Α. ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Ορισµοί Κάθε εξίσωση της µορφής α x+β =γ, µε α, β, γ R παριστάνει

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου. Επαναληπτικές Ασκήσεις στο Κεφάλαιο 1: 1.2-1.5 Μονώνυμα - Πολυώνυμα - Ταυτότητες

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου. Επαναληπτικές Ασκήσεις στο Κεφάλαιο 1: 1.2-1.5 Μονώνυμα - Πολυώνυμα - Ταυτότητες Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Επαναληπτικές Ασκήσεις στο Κεφάλαιο 1: 1.2-1.5 Μονώνυμα - Πολυώνυμα - Ταυτότητες Αλγεβρικές παραστάσεις - Μονώνυμα Πράξεις με μονώνυμα Πολυώνυμα Πρόσθεση και Αφαίρεση πολυωνύμων

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου. Μεθοδική Επανάληψη

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου. Μεθοδική Επανάληψη Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Μεθοδική Επανάληψη Στέλιος Μιχαήλογλου www.askisopolis.gr Η επανάληψη των Μαθηματικών βήμα - βήμα Άλγεβρα Κεφάλαιο 1ο: Αλγεβρικές παραστάσεις 1.1. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις επί των ρητών αριθµών

Ερωτήσεις επί των ρητών αριθµών Σελ. 1 Ερωτήσεις επί των ρητών αριθµών 1. Ποια είναι τα πρόσηµα των ακεραίων αριθµών; Ζ={... -3,-2,-1,0,+1,+2,+3,... } 2. Ποιοι αριθµοί λέγονται θετικοί και ποιοι αρνητικοί; Γράψε από έναν. 3. Στον άξονα

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8 ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,

Διαβάστε περισσότερα

Η Έννοια του Κλάσµατος

Η Έννοια του Κλάσµατος Η Έννοια του Κλάσµατος Κεφάλαιο ο. Κλασµατική µονάδα λέγεται το ένα από τα ίσα µέρη, στα οποία χωρίζουµε την ακέραια µονάδα. Έχει τη µορφή, όπου α µη µηδενικός φυσικός αριθµός (α 0, α διάφορο του µηδενός).

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά. Ενότητα 1: Βασικές Γνώσεις Άλγεβρας. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη)

Μαθηματικά. Ενότητα 1: Βασικές Γνώσεις Άλγεβρας. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Μαθηματικά Ενότητα 1: Βασικές Γνώσεις Άλγεβρας Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46 ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο................................................ 7 1. Το Λεξιλόγιο της Λογικής.............................................. 11. Σύνολα..............................................................

Διαβάστε περισσότερα

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΑ ΑΠΟ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Ομόσημοι Ετερόσημοι αριθμοί Αντίθετοι Αντίστροφοι αριθμοί Πρόσθεση ομόσημων και ετερόσημων ρητών αριθμών Απαλοιφή παρενθέσεων Πολλαπλασιασμός και Διαίρεση ρητών αριθμών

Διαβάστε περισσότερα

Πολυώνυµα - Πολυωνυµικές εξισώσεις

Πολυώνυµα - Πολυωνυµικές εξισώσεις 4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Πολυώνυµα - Πολυωνυµικές εξισώσεις Ορισµός πολυωνύµου Ονοµάζoυµε ΠΟΛΥΩΝΥΜΟ του κάθε παράσταση της µορφής α ν ν +α ν- ν- + +α +α 0, ν ΙΝ και α 0, α,, α ν-, α ν ΙR. Παρατηρήσεις α. Τα α ν ν, α

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2 ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΥΜΗΤΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ - Σελίδα 1 από 6 - 1. Η ΔΟΜΗ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Στις εξετάσεις του Μαίου-Ιουνίου µας δίνονται δύο θέµατα θεωρίας και

Διαβάστε περισσότερα

Πολυωνυμική εξίσωση βαθμού ν ονομάζεται κάθε εξίσωση της μορφής α ν x ν +α ν-1 x ν α 1 x+α 0 =0,με α 0,α 1,...

Πολυωνυμική εξίσωση βαθμού ν ονομάζεται κάθε εξίσωση της μορφής α ν x ν +α ν-1 x ν α 1 x+α 0 =0,με α 0,α 1,... 3 0 ΛΥΚΕΙΟ ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ Λ. ΒΟΥΛΓΑΡΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΟΥ ΑΝΑΓΟΝΤΑΙ ΣΕ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ Πολυωνυμική εξίσωση βαθμού ν ονομάζεται κάθε εξίσωση της μορφής α ν x ν +α ν-1 x ν-1 +...+α

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Πράξεις με μονώνυμα και πολυώνυμα Ενότητα 2 η Πράξεις με μονώνυμα και πολυώνυμα Σκοπός Ο σκοπός της 2 ης

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου. Επαναληπτικές Ασκήσεις στο Κεφάλαιο 1: Μονώνυμα - Πολυώνυμα - Ταυτότητες

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου. Επαναληπτικές Ασκήσεις στο Κεφάλαιο 1: Μονώνυμα - Πολυώνυμα - Ταυτότητες Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Επαναληπτικές Ασκήσεις στο Κεφάλαιο :.2 -.5 Μονώνυμα - Πολυώνυμα - Ταυτότητες Αλγεβρικές παραστάσεις - Μονώνυμα Πράξεις με μονώνυμα Πολυώνυμα Πρόσθεση και Αφαίρεση πολυωνύμων Πολλαπλασιασμός

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά. Ενότητα 2: Δεκαδικοί αριθμοί, κλάσματα, δυνάμεις, ρίζες και ποσοστά. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής

Μαθηματικά. Ενότητα 2: Δεκαδικοί αριθμοί, κλάσματα, δυνάμεις, ρίζες και ποσοστά. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Μαθηματικά Ενότητα 2: Δεκαδικοί αριθμοί, κλάσματα, δυνάμεις, ρίζες και ποσοστά Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου. Άλγεβρα...

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου. Άλγεβρα... Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Άλγεβρα 1.1 Β: Δυνάμεις πραγματικών αριθμών. 1. Πως ορίζεται η δύναμη ενός πραγματικού αριθμού ; Η δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα

Διαβάστε περισσότερα

2.5 ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ

2.5 ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1 2.5 ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΕΝΑΝ ΑΓΝΩΣΤΟ ΘΕΩΡΙΑ 1. Ανισότητα : Είναι µία σχέση µεταξύ δύο αριθµών που δεν είναι ίσοι µεταξύ τους 2. ιάταξη δύο πραγµατικών αριθµών που έχουµε παραστήσει µε σηµεία στον

Διαβάστε περισσότερα

1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο

1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο 1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο ΘΕΜΑ 1 ο α) Αν χ 1, χ ρίζες της εξίσωσης αχ +βχ+γ=0, 0 να δείξετε ότι S 1 και P 1 Μον. 10 β) Έστω η συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Πίνακας περιεχομένων Κεφάλαιο 1 - ΟΙ ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ... 2 Κεφάλαιο 2 ο - ΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ... 6 Κεφάλαιο 3 ο - ΔΕΚΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ... 10 ΣΩΤΗΡΟΠΟΥΛΟΣ ΝΙΚΟΣ 1 Κεφάλαιο 1 - ΟΙ ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικές παραστάσεις - Αναγωγή οµοίων όρων

Αλγεβρικές παραστάσεις - Αναγωγή οµοίων όρων Αλγεβρικές παραστάσεις - Αναγωγή οµοίων όρων 1. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις µόνο µε αριθµούς, λέγεται αριθµητική παράσταση. Παράδειγµα: + + 1 =. είναι µια αριθµητική παράσταση, το αποτέλεσµα των

Διαβάστε περισσότερα

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα;

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα; ΘΕΩΡΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 1. Τι ονοµάζουµε µονώνυµο Μονώνυµο ονοµάζεται κάθε γινόµενο το οποίο αποτελείται από γνωστούς και αγνώστους (µεταβλητές ) πραγµατικούς αριθµούς. Ο γνωστός πραγµατικός αριθµός ονοµάζεται

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΜΕΡΟΣ 1ο : ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 1. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται φυσικοί, ποια ιδιότητα έχουν και πως χωρίζονται; Οι αριθμοί

Διαβάστε περισσότερα

1ο Κεφάλαιο: Συστήματα

1ο Κεφάλαιο: Συστήματα ο Κεφάλαιο: Συστήματα Γραμμικά συστήματα i. Ποια εξίσωση λέγεται γραμμική; ii. Πως μεταβάλλεται η ευθεία y, 0 ή 0 για τις διάφορες τιμές των α,β,γ; iii. Τι ονομάζεται λύση μιας γραμμικής εξίσωσης; iv.

Διαβάστε περισσότερα

Ιγνάτιος Ιωαννίδης Χρήσιμες Γνώσεις 5

Ιγνάτιος Ιωαννίδης Χρήσιμες Γνώσεις 5 Ιγνάτιος Ιωαννίδης Χρήσιμες Γνώσεις 5 Α Σύνολα αριθμών Για τα σύνολα των αριθμών γνωρίζουμε ότι N Z Q R. ) Το N= { 0,,,,... } είναι το σύνολο των φυσικών αριθμών. ) Το Z = { 0, ±, ±, ±,... } είναι το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

8. Να λυθεί η εξίσωση : 10 3 x= Αν ν είναι φυσικός αριθμός, τότε να υπολογίσετε την παράσταση: Α=(-1) ν +3(-1) ν+1-3(-1) 3ν+1.

8. Να λυθεί η εξίσωση : 10 3 x= Αν ν είναι φυσικός αριθμός, τότε να υπολογίσετε την παράσταση: Α=(-1) ν +3(-1) ν+1-3(-1) 3ν+1. Α. ΔΥΝΑΜΕΙΣ. Να γράψετε σε απλούστερη μορφή τις παραστάσεις: α.α.α = 5 : = (-).(-) - = (-0,) 5.(-0,5) 5 = α -.(α ) -.α. Υπολογίστε τις παραστάσεις (i) (ii) (-).(-0,5) - (iii) (0,) : (-0). Να γίνουν οι

Διαβάστε περισσότερα

ΛΧ1004 Μαθηματικά για Οικονομολόγους

ΛΧ1004 Μαθηματικά για Οικονομολόγους ΛΧ1004 Μαθηματικά για Οικονομολόγους Μάθημα 1 ου Εξαμήνου 2Θ+2Φ(ΑΠ) Ι. Δημοτίκαλης, Επίκουρος Καθηγητής 1 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟ ΒΙΒΛΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

ÊåöÜëáéï 1 ï. ÂéâëéïìÜèçìá 1 ï ÐñÜîåéò ìåôáîý ðñáãìáôéêþí áñéèìþí ÄõíÜìåéò. ÂéâëéïìÜèçìá 2 ï Ñßæåò ÄéÜôáîç

ÊåöÜëáéï 1 ï. ÂéâëéïìÜèçìá 1 ï ÐñÜîåéò ìåôáîý ðñáãìáôéêþí áñéèìþí ÄõíÜìåéò. ÂéâëéïìÜèçìá 2 ï Ñßæåò ÄéÜôáîç ÊåöÜëáéï ï ÂéâëéïìÜèçìá ï ÐñÜîåéò ìåôáîý ðñáãìáôéêþí áñéèìþí ÄõíÜìåéò ÂéâëéïìÜèçìá ï Ñßæåò ÄéÜôáîç Τι ονοµάζουµε σύνολο πραγµατικών αριθµών; Πως συµβολίζουµε το σύνολο των πραγµατικών α- ριθµών; Τι παριστάνει

Διαβάστε περισσότερα

7. Αν υψώσουμε και τα δύο μέλη μιας εξίσωσης στον κύβο (και γενικά σε οποιαδήποτε περιττή δύναμη), τότε προκύπτει

7. Αν υψώσουμε και τα δύο μέλη μιας εξίσωσης στον κύβο (και γενικά σε οποιαδήποτε περιττή δύναμη), τότε προκύπτει 8 7y = 4 y + y ( 8 7y) = ( 4 y + y) ( y) + 4 y y 4 y = 4 y y 8 7y = 4 y + ( 4 y) = ( 4 y y) ( 4 y) = 4( 4 y)( y) ( 4 y) 4( 4 y)( y) = 0 ( 4 y) [ 4 y 4( y) ] = 4 ( 4 y)( y + 4) = 0 y = ή y = 4) 0 4 H y

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ 1. Τι καλείται μεταβλητή; ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ Μεταβλητή είναι ένα γράμμα (π.χ., y, t, ) που το χρησιμοποιούμε για να παραστήσουμε ένα οποιοδήποτε στοιχείο ενός συνόλου..

Διαβάστε περισσότερα

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση»

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση» 1 2.1 ΟΙ ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ Ιδιότητες των πράξεων Στους πραγματικούς αριθμούς ορίστηκαν οι πράξεις της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού και με την οήθειά τους η αφαίρεση και η διαίρεση. Για

Διαβάστε περισσότερα

1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.

1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. Κεφάλαιο Πραγματικοί αριθμοί. Οι πράξεις και οι ιδιότητές τους Κατανόηση εννοιών - Θεωρία. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή

Διαβάστε περισσότερα

4.1 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1 ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ

4.1 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1 ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 4.1 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1 ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 1 : ΑΠΛΗ ΜΟΡΦΗ Για να λύσω μια ανίσωση της μορφής : 0 ή 0 1 ος τρόπος : Λειτουργώ όπως και στις εξισώσεις πρώτου βαθμού, δηλαδή χωρίζω γνωστούς από αγνώστους, και

Διαβάστε περισσότερα

Μονώνυμα. Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd

Μονώνυμα. Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Μονώνυμα Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd 1 Πράξεις με μονώνυμα Ενότητα 2 η Πράξεις με μονώνυμα και πολυώνυμα Σκοπός Ο σκοπός της 2 ης ενότητας είναι να μάθουν

Διαβάστε περισσότερα

4. Να βρείτε τον βαθμό των πολυωνύμων ως προς χ, ως προς ψ και ως προς χ και ψ μαζί

4. Να βρείτε τον βαθμό των πολυωνύμων ως προς χ, ως προς ψ και ως προς χ και ψ μαζί 1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να εκτελέσετε τις προσθέσεις, όπου αυτό είναι δυνατόν α) χ 3 +5ψ 3 β) χ 3 +6χ 3 γ) 4χ 5 ω-7ωχ 5 δ) 3χ 5 +4χ ε) χ 4 +3χ 4 ζ) χ -χ η) χ +χ θ) χ +χ ι) χ+χ 3 κ) χ -χ λ) 3χ 4-4χ 4 μ) 3χ-3χ 3.

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ

4.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ 1 4.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΘΕΩΡΙΑ 1. Εξίσωση µε έναν άγνωστο: Ονοµάζουµε µία ισότητα η οποία περιέχει αριθµούς και ένα γράµµα που είναι ο άγνωστος της εξίσωσης.. Λύση ή ρίζα της εξίσωσης : Είναι ο αριθµός

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 2013 ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Η ΤΕΛΕΥΤΑΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Βαγγέλης Α Νικολακάκης Μαθηματικός http://cutemaths.wordpress.com/ ΛΙΓΑ ΛΟΓΑ Η παρούσα εργασία μου δεν στοχεύει απλά στο κυνήγι του 20,

Διαβάστε περισσότερα

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα Εύρεση δειγματικού χώρου... 46

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα Εύρεση δειγματικού χώρου... 46 ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο................................................ 7 1. Το Λεξιλόγιο της Λογικής.............................................. 11 2. Σύνολα..............................................................

Διαβάστε περισσότερα

Αφιέρωση Στα παιδιά µας Στους µαθητές που ατενίζουν µε αισιοδοξία το µέλλον

Αφιέρωση Στα παιδιά µας Στους µαθητές που ατενίζουν µε αισιοδοξία το µέλλον Αφιέρωση Σταπαιδιάµας Στουςµαθητέςπουατενίζουν µεαισιοδοξίατοµέλλον Φίληµαθήτρια,φίλεµαθητή Τοβιβλίοαυτόέχειδιπλόσκοπό: Νασεβοηθήσειστηνάρτιαπροετοιµασίατουκαθηµερινούσχολικού µαθήµατος. Νασουδώσειόλατααπαραίτηταεφόδια,ώστενααποκτήσειςγερές

Διαβάστε περισσότερα

ΤΑΞΗ Α - ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ (ΓΙΑ ΤΗΝ ΤΕΛΙΚΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ)

ΤΑΞΗ Α - ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ (ΓΙΑ ΤΗΝ ΤΕΛΙΚΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ) ΤΑΞΗ Α - ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ (ΓΙΑ ΤΗΝ ΤΕΛΙΚΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ) Α ΜΕΡΟΣ- ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΡΩΤΗΣΗ 1 Ποιοι αριθμοί ονομάζονται πρώτοι και ποιοι σύνθετοι; Να δώσετε παραδείγματα. ΑΠΑΝΤΗΣΗ 1 Όταν ένας αριθμός διαιρείται

Διαβάστε περισσότερα

Α Τάξη Γυμνασίου Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α. Ι. Διδακτέα ύλη

Α Τάξη Γυμνασίου Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α. Ι. Διδακτέα ύλη Α Τάξη Γυμνασίου Από το βιβλίο «Μαθηματικά Α Γυμνασίου» των Ιωάννη Βανδουλάκη, Χαράλαμπου Καλλιγά, Νικηφόρου Μαρκάκη, Σπύρου Φερεντίνου, έκδοση 01. Κεφ. 1 ο : Οι φυσικοί αριθμοί 1. Πρόσθεση, αφαίρεση και

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ 1 Συνοπτική θεωρία Ερωτήσεις αντικειμενικού τύπου Ασκήσεις Διαγωνίσματα 2 ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ-ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ 1. Πότε ένας φυσικός αριθμός λέγεται άρτιος; Άρτιος

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 324 416 ασκήσεις για λύση. 20 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 324 416 ασκήσεις για λύση. 20 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 34 416 ασκήσεις για λύση ερωτήσεις κατανόησης λυμένα παραδείγματα 0 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων Π Ε Ρ Ι Ε Χ Ο Μ Ε Ν Α Εισαγωγική ενότητα Το λεξιλόγιο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 3 η ΕΚΑ Α

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 3 η ΕΚΑ Α ΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΝΛΗΨΗΣ η ΕΚ. Έστω οι παραστάσεις = 4 4 + 5, Β = 5 (8 + 0) : (7 5) και Γ = 6 : 5 4 Να υπολογίσετε την τιµή των παραστάσεων ν = 5, Β = 6 και Γ = να βρείτε : i) Το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των,

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Γ Λυκείου όριο συνάρτησης στο xο. 0, τότε

Ανάλυση Γ Λυκείου όριο συνάρτησης στο xο. 0, τότε Ανάλυση Γ Λυκείου όριο συνάρτησης στο ο Ιδιότητες των ορίων Όριο και διάταξη ΘΕΩΡΗΜΑ ο Αν f >, τότε f > κοντά στο Αν f

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ - Πράξεις ρητών

ΑΣΚΗΣΕΙΣ - Πράξεις ρητών 1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ - Πράξεις ρητών 1. Να υπολογιστούν τα παρακάτω αθροίσματα: i. 5 7 ii. 8 6 iii. 6 4 iv. 9 5 v. 15 15 vi. 17 0 vii. 0 15 viii. 13 14 ix. 12 16 2. Να υπολογιστούν τα παρακάτω αθροίσματα: i. 6,35

Διαβάστε περισσότερα

Α.2.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΚΛΑΣΜΑΤΟΣ

Α.2.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΚΛΑΣΜΑΤΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΚΛΑΣΜΑΤΑ Α.. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΚΛΑΣΜΑΤΟΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΚΛΑΣΜΑΤΟΣ ΜΕ ΤΟ Αν ο αριθμητής ενός κλάσματος είναι μεγαλύτερος από τον παρανομαστή, τότε το κλάσμα είναι μεγαλύτερο από το. Αν ο αριθμητής

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Αριθμοί 1. ΑΡΙΘΜΟΙ Σύνολο Φυσικών αριθμών: Σύνολο Ακέραιων αριθμών: Σύνολο Ρητών αριθμών: ακέραιοι με Άρρητοι αριθμοί: είναι οι μη ρητοί π.χ. Το σύνολο Πραγματικών

Διαβάστε περισσότερα

Πολυωνυμικές εξισώσεις και ανισώσεις Εξισώσεις και ανισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυμικές

Πολυωνυμικές εξισώσεις και ανισώσεις Εξισώσεις και ανισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυμικές 0 Πολυωνυμικές εξισώσεις και ανισώσεις Εξισώσεις και ανισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυμικές Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Για να λύσουμε μια πολυωνυμική εξίσωση P(x) 0 (ή μια πολυωνυμική ανίσωση P(x)

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο. Πίνακας διερεύνησης της εξίσωσης Εξίσωση: αx 2 +βx+γ=0 (α 0) (Ε) Έχει ΥΟ ρίζες άνισες που δίνονται από τους τύπους x 1,2 =

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο. Πίνακας διερεύνησης της εξίσωσης Εξίσωση: αx 2 +βx+γ=0 (α 0) (Ε) Έχει ΥΟ ρίζες άνισες που δίνονται από τους τύπους x 1,2 = ΕΞΙΩΕΙ-ΑΝΙΩΕΙ ου ΒΑΘΜΟΥ - 38 - ΚΕΦΑΑΙΟ 4 ΚΕΦΑΑΙΟ 4 ο Εξισώσεις - Ανισώσεις β βαθµού 5.1. Μορφή και διερεύνηση της εξίσωσης β βαθµού Άθροισµα και γινόµενο των ριζών της Κάθε εξίσωση β βαθµού πριν τη λύσουµε,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 2: Πραγματικοί Αριθμοί

ΕΝΟΤΗΤΑ 2: Πραγματικοί Αριθμοί Ενδεικτικός Προγραμματισμός ΕΝΟΤΗΤΑ 2: Πραγματικοί Αριθμοί 12 περίοδοι Δείκτες επιτυχίας: Ορίζουν την έννοια της νιοστής ρίζας ενός αριθμού α και αποδεικνύουν τις ιδιότητες ριζών, όταν ν N, ν 0, 1, α R

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΛΥΤΗ ΤΙΜΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ- ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΑΠΟΛΥΤΗ ΤΙΜΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ- ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΠΟΛΥΤΗ ΤΙΜΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ- ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κατηγορίες ασκήσεων στα απόλυτα ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ : Εξισώσεις που περιέχουν απόλυτο μιας παράστασης και όχι παράταση του x έξω από το απόλυτο. α) Λύνουμε ως προς το απόλυτο

Διαβάστε περισσότερα

1. Συµπλήρωσε τον πίνακα µε την κατάλληλη µαθηµατική έκφραση:

1. Συµπλήρωσε τον πίνακα µε την κατάλληλη µαθηµατική έκφραση: ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ Ερωτήσεις συµπλήρωσης 1. Συµπλήρωσε τον πίνακα µε την κατάλληλη µαθηµατική έκφραση: Φυσική γλώσσα Μαθηµατική γλώσσα ύο αριθµοί x, y διαφέρουν κατά και έχουν γινόµενο x (x

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά A Γυμνασίου

Μαθηματικά A Γυμνασίου Μαθηματικά A Γυμνασίου ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Μέρος Α - Άλγεβρα 1. Ποιες είναι οι ιδιότητες της πρόσθεσης των φυσικών; (σελ. 15) 2. Πως ορίζεται η πράξη της αφαίρεσης στους φυσικούς και πότε αυτή μπορεί να

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις 2 ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΜΕΡΟΣ Α -- ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις Α. 1 1 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

ΑΚΑΗΜΙΑ ΚΥΒΟΣ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 100% www.kivosacademy.gr

ΑΚΑΗΜΙΑ ΚΥΒΟΣ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 100% www.kivosacademy.gr 11 ΟΗΓΙΕΣ 1. Το ebook περιέχει εργασίες δραστηριότητες για µαθητές που θα πάνε στη Γ Λυκείου και θα επιλέξουν µαθηµατικά κατεύθυνσης ή γενικής παιδείας.. Για την επίλυση θα χρειαστούν όλα τα βιβλία µαθηµατικών

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 2 η ΕΚΑ Α

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 2 η ΕΚΑ Α 1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 2 η ΕΚΑ Α 11. Έστω η παράσταση Α = [(30 : 6) 2] 2 [(15 5) : 3 + 2 2 6] 3 (2 5 3 3 + 2 1 ) Να υπολογίσετε την τιµή της παράστασης Α Αν Α = 30, i) να αναλύσετε τον αριθµό Α σε γινόµενο

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδικοί Αριθμοί. Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση

Μιγαδικοί Αριθμοί. Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση Μιγαδικοί Αριθμοί Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση Θεωρία - Μέθοδοι Υποδειγματικά λυμένες ασκήσεις Ασκήσεις προς λύση Επιλεγμένα θέματα «Σας εύχομαι, καλό κουράγιο και μεγάλη δύναμη

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικα Γ Γυμνασιου

Μαθηματικα Γ Γυμνασιου Μαθηματικα Γ Γυμνασιου Θεωρια και παραδειγματα livemath.eu σελ. απο 9 Περιεχομενα Α ΜΕΡΟΣ: ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 4 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Χ 4 ΜΟΝΩΝΥΜΑ & ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 5 ΜΟΝΩΝΥΜΑ 5 ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 5 ΡΙΖΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΟΥ 5 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

1.2 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού

1.2 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού 1.2 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού Διδακτικοί Στόχοι: Θα μάθουμε: Να κατανοούμε την έννοια της εξίσωσης και τη σχετική ορολογία. Να επιλύουμε εξισώσεις πρώτου βαθμού με έναν άγνωστο. Να διακρίνουμε πότε μια εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

f( x 1, x ( ) ( ) f x > f x. ( ) ( )

f( x 1, x ( ) ( ) f x > f x. ( ) ( ) MONOTONIA ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ I MONOTONIA ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΘΕΩΡΙΑ Στο διπλανό σχήµα δίνεται η γραφική παράσταση µιας συνάρτησης f στο α,β Παρατηρούµε ότι διάστηµα [ ] καθώς αυξάνουν οι τιµές του

Διαβάστε περισσότερα

Η κλασματική γραμμή είναι η πράξη της διαίρεσης.

Η κλασματική γραμμή είναι η πράξη της διαίρεσης. όροι του κλάσματος : αριθμητής παρονομαστής πόσα ίσα μέρη της ακέραιης μονάδας πήρα πόσα ίσα μέρη χώρισα την ακέραιη μονάδα Η κλασματική γραμμή είναι η πράξη της διαίρεσης. Τα κόκκινα κομμάτια αποτελούν

Διαβάστε περισσότερα

3.1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ

3.1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΑΠΛΗ ΜΟΡΦΗ Κάθε εξίσωση που έχει ή μπορεί να πάρει τη μορφή : α+β=0 ή α=-β () λέγεται εξίσωση ου βαθμού (ή πρωτοβάθμια εξίσωση), με άγνωστο το, ενώ

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 Αν x = -4-7 και y = 7-4 να βρεθεί η τιµή της παράστασης Α = x + y - 2xy ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 Αν x = -4-7 και y = 7-4 να βρεθεί η τιµή της παράστασης Α = x + y - 2xy ( ) ( ) Τηλ 106176-7 /10600 1 Να βρεθούν τα αναπτύγµατα : i i i x x x x x + x x x x + x 16x x + 9 x 16x x + 9 x 8 + 6 8 6 6 i i 6x + x 6x + 6x x + x 6 x + 6 x x + x 6x + 60x + x 6x + 60x + x 6 + + 6 6 6 i i Αν

Διαβάστε περισσότερα

Πρόλογος. Κ. Τζιρώνης Θ. Τζουβάρας Μαθηματικοί

Πρόλογος. Κ. Τζιρώνης Θ. Τζουβάρας Μαθηματικοί Πρόλογος Το βιβλίο αυτό περιέχει όλη την ύλη των Μαθηματικών της Β Γυμνασίου, χωρισμένη σε ενότητες, όπως ακριβώς στο σχολικό βιβλίο. Κάθε ενότητα περιλαμβάνει: Τη θεωρία Λυμένες ασκήσεις Χρήσιμες παρατηρήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. 1. Ορισµός. 2. Συµβολισµός. 3. Επεξήγηση συµβόλων. 4. Γραφική παράσταση της συνάρτησης f : A R

1.1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. 1. Ορισµός. 2. Συµβολισµός. 3. Επεξήγηση συµβόλων. 4. Γραφική παράσταση της συνάρτησης f : A R . ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός Ονοµάζουµε συνάρτηση µια διαδικασία µε την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α αντιστοιχίζεται σε ένα ακριβώς στοιχείο κάποιου συνόλου Β. Σηµείωση: Στο εξής θα είναι Α R και

Διαβάστε περισσότερα

Η Θεωρία που πρέπει να θυμάσαι!!!... b a

Η Θεωρία που πρέπει να θυμάσαι!!!... b a Κεφ. εξισώσεις ανισώσεις εξάσκησηεπανάληψη Τhe Ds that make a champion: Devotion, Desire, Discipline Η Θεωρία που πρέπει να θυμάσαι!!!... Μορφές Εξισώσεων Λύση ή ρίζα εξίσωσης Εξίσωση ου βαθμού ax + b

Διαβάστε περισσότερα

Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου

Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Web page: www.ma8eno.gr e-mail: vrentzou@ma8eno.gr Η αποτελεσματική μάθηση δεν θέλει κόπο αλλά τρόπο, δηλαδή ma8eno.gr Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Αριθμητική - Άλγεβρα Γεωμετρία Άρτιος λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 2014 Θ ΕΩΡΙA 10

ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 2014 Θ ΕΩΡΙA 10 ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 04 Θ ΕΩΡΙA 0 ΘΕΜΑ A Α Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στην κόλλα σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΡΑΤΗΣ ΑΝΤΩΝΕΑΣ. (α + β) 2 = α 2 + 2αβ + β 2. αx 2 + βx + γ = 0, α 0. x = Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΣΤΡΑΤΗΣ ΑΝΤΩΝΕΑΣ. (α + β) 2 = α 2 + 2αβ + β 2. αx 2 + βx + γ = 0, α 0. x = Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΤΡΑΤΗΣ ΑΝΤΩΝΕΑΣ (α + β) = α + αβ + β α + β + γ = 0, α 0 = β ± β 4αγ α Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Πράξεις με Πραγματικούς αριθμούς. Μονώνυμα - Πράξεις με μονώνυμα Πολυώνυμα - Πρόσθεση και Αφαίρεση πολυωνύμων Πολλαπλασιασμός

Διαβάστε περισσότερα

Πρόλογος. Κ. Τζιρώνης Θ. Τζουβάρας Μαθηματικοί

Πρόλογος. Κ. Τζιρώνης Θ. Τζουβάρας Μαθηματικοί Πρόλογος Το βιβλίο αυτό περιέχει όλη την ύλη των Μαθηματικών της Β Γυμνασίου, χωρισμένη σε ενότητες, όπως ακριβώς στο σχολικό βιβλίο. Κάθε ενότητα περιλαμβάνει: Τη θεωρία Λυμένες ασκήσεις Χρήσιμες παρατηρήσεις

Διαβάστε περισσότερα