ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΙΑΤΥΠΩΣΗ ΚΑΙ ΛΥΣΗ ΦΥΣΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΙΑΤΥΠΩΣΗ ΚΑΙ ΛΥΣΗ ΦΥΣΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ"

Αφροδίσια Ιωαννίδης
2 χρόνια πριν
Προβολές:

Transcript

1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΙΑΤΥΠΩΣΗ ΚΑΙ ΛΥΣΗ ΦΥΣΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ Στις φυσικές επιστήµες για να λύσουµε προβλήµατα ακολουθούµε συνήθως τα εξής βήµατα: 1. Μαθηµατική διατύπωση. Για να διατυπώσουµε µαθηµατικά ένα πρόβληµα χρησιµοποιούµε µαθηµατικά µοντέλα που αποτελούν εξιδανικευµένες προσεγγίσεις των πραγµατικών αντικειµένων. Παράδειγµα 1. Για να µελετήσουµε την κίνηση της Γης και των άλλων πλανητών γύρω από τον Ήλιο µπορούµε να πάρουµε υλικά σηµεία ως µαθηµατικά µοντέλα του Ήλιου και της Γης. Εάν όµως θέλουµε ναµελετήσουµετηνκίνησητηςγηςπερίτονάξονατηςτοµαθηµατικόµοντέλοδενµπορείναείναιυλικό σηµείο, θα µπορούσε όµως να ήταν µια σφαίρα ή καλύτερα ένα ελλειψοειδές. Στη µαθηµατική διατύπωση χρησιµοποιούµε γνωστούς φυσικούς νόµους για να γράψουµε µαθηµατικές εξισώσεις που περιγράφουν το πρόβληµα. Εάν οι νόµοι είναι άγνωστοι είναι δυνατό να σχεδιάσουµε πειράµατα για να τους ανακαλύψουµε. Παράδειγµα 2. Για να περιγράψουµε την κίνηση ενός πλανήτη γύρω από τον Ήλιο, χρησιµοποιούµε τους νόµους (ή αξιώµατα) του Newton για να γράψουµε µια διαφορική εξίσωση που περιέχει την απόσταση του πλανήτη από τον Ήλιο ως συνάρτηση του χρόνου.

Για να µελετήσουµε την κίνηση της Γης και των άλλων πλανητών γύρω από τον Ήλιο µπορούµε να πάρουµε υλικά σηµεία ως µαθηµατικά µοντέλα του Ήλιου και της Γης.

2 2. Μαθηµατική λύση. Αφού διατυπώσουµε ένα πρόβληµα µε εξισώσεις, πρέπει να βρούµε τη λύση, δηλ. τους αγνώστους που περιέχονται στις εξισώσεις και πληρούν τις διάφορες συνθήκες. Οι συνθήκες αυτές άλλοτε δίνονται και άλλοτε εννοούνται. Ένα βασικό ερώτηµα είναι το αν πραγµατικά υπάρχουν τέτοιες λύσεις και στην περίπτωση που υπάρχουν αν είναι µοναδικές. Στηνπροσπάθειαµαςναβρούµελύσειςείναιδυνατόναπροκύψειηανάγκηγιανέα µαθηµατικά που δηµιουργούν έτσι νέα προβλήµατα για τους µαθηµατικούς. Παράδειγµα 3.ΟJ. B. J. Fourierστηνπροσπάθειατουναλύσειέναπρόβληµαδιάδοσηςτηςθερµότητας, που είχε διατυπώσει µε διαφορικές εξισώσεις µε µερικές παραγώγους, έφτασε στο µαθηµατικό πρόβληµα της ανάπτυξης µιας συνάρτησης σε σειρές µε ηµίτονα και συνηµίτονα. Τέτοιες σειρές, που σήµερα καλούνται σειρές Fourier, µας ενδιαφέρουν και από καθαρά µαθηµατική άποψη και από άποψη εφαρµογών. 3. Φυσική ερµηνεία. Αφού βρούµε τη λύση πρέπει να της δώσουµε φυσική ερµηνεία. Μια τέτοια ερµηνεία είναι χρήσιµη στις εφαρµογές και πολλές φορές υποδείχνει άλλα είδη προβληµάτων που µπορούν να οδηγήσουν σε νέες γνώσεις στα µαθηµατικά και τη φυσική.

Στηνπροσπάθειαµαςναβρούµελύσειςείναιδυνατόναπροκύψειηανάγκηγιανέα µαθηµατικά που δηµιουργούν έτσι νέα προβλήµατα για τους µαθηµατικούς. Παράδειγµα 3.ΟJ. B. J.

3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ - ΙΑΦΟΡΙΚΑ Ορισµός της παραγώγου Έστωότιησυνάρτηση (x) ορισµένησ οποιοδήποτεσηµείο x 0 του (a, b). Η παράγωγοςτης (x) στο x x 0 ορίζεταιαπότησχέση: ( x0+ h) ( x0) ( x) ( x0) ( x0+) ( x0) ( x0) h 0 h x x0 x x 0 0 -Μιασυνάρτησηλέγεταιπαραγωγίσιµηστοσηµείο x x 0 ανέχειπαράγωγοστοσηµείο αυτό, δηλ. ανη (x) υπάρχει. Ανη (x) είναιπαράγωγίσιµηστο x x 0 είναισυνεχήςσ αυτό το αντίστροφο όµως δεν ισχύει υποχρεωτικά. - Μια συνάρτηση (x) έχειπαράγωγοστο x x 0 ανκαι µόνο αν + (x) - (x) -Αν µια συνάρτηση έχειπαράγωγοσεκάθεσηµείοενόςδιαστήµατος παραγωγίσιµηστο διάστηµα αυτό. - Αν µια συνάρτηση έχει - Μια συνάρτηση λέγεται τµηµατικάσυνεχής. συνεχή παράγωγο κατά τµήµατα ή λέγεται συνεχώς τµηµατικά παραγωγίσιµη λέγεται παραγωγίσιµη. αν ότι η (x) είναι είναι

αυτό, δηλ. ανη (x) υπάρχει. Ανη (x) είναιπαράγωγίσιµηστο x x 0 είναισυνεχήςσ αυτό το αντίστροφο όµως δεν ισχύει υποχρεωτικά.

4 ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ Έστω ότι η γραφική παράσταση της y (x) παριστάνεται από την καµπύλη APQB. QR PR ( 0 x0+) ( x ) Κλίση ή συντελεστής διεύθυνσης της χορδής PQ Καθώς 0, η χορδή αυτή τείνει στην εφαπτόµενη PS της καµπύλης στο σηµείο P. ( x0+) ( x0) 0 SR PR Συντελεστής διεύθυνσης της καµπύλης στο σηµείο P Ηεξίσωσητηςεφαπτοµένηςτηςκαµπύλης y (x)στοσηµείοόπου x x 0 είναι: y ( x0) ( x0)( x x0)

στην εφαπτόµενη PS της καµπύλης στο σηµείο P.

5 Έστω dx µια µεταβολή του x. Τότε η ΙΑΦΟΡΙΚΑ y (x + ) (x) (1) εκφράζει τη µεταβολή της y (x). Αν η (x) είναι συνεχής και έχει συνεχή παράγωγο σ έναδιάστηµα, τότε: Ηέκφραση y (x) + ε (x) dx + ε dx όπουε 0 όταν 0. (2) λέγεται διαφορικό της y ή της (x) ή πρωτεύον µέρος της y. dy (x) dx (3) Αςσηµειωθείότιγενικά y dy. Αν όµως το dx είναι µικρό, τότε το dy προσεγγίζει το y. Το dx, που καλείται διαφορικό του x, και το dy δεν είναι υποχρεωτικό να είναι µικρά. Εξαιτίας των ορισµών (1) και (2) γράφουµε συχνά: dy dx ( x) ( x+) ( x) 0 0 y

(2) λέγεται διαφορικό της y ή της (x) ή πρωτεύον µέρος της y. dy (x) dx (3) Αςσηµειωθείότιγενικά y dy.

6 dy dx ( x) ( x+) ( x) 0 0 y Πρέπεινατονιστείότιτα dxκαι dyδενείναιόριατωνκαι yκαθώς 0, αφούτα όρια αυτά είναι µηδέν ενώ τα dx και dy δεν είναι υποχρεωτικά µηδέν. Αντίθετα, αν δοθεί το dx, ορίζουµε το dy από την (3), δηλ. το dy είναι µια εξαρτηµένη µεταβλητή που ορίζεται από την ανεξάρτητη µεταβλητή dx για κάποιο x που µας δίνεται. Γεωµετρικά, το dyπαριστάνεται στο σχήµα από το ευθ. τµήµα SR, ενώ το y παριστάνεται από το QR.

Αντίθετα, αν δοθεί το dx, ορίζουµε το dy από την (3), δηλ.

7 ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1ης τάξης 1ου βαθµού Παράδειγµα 1 Περίµετρος κύκλου - εµβαδόν κυκλικού δίσκου: ds R sindθ dθ µικρό sindθ dθ οπότε ds Rdθ Παράδειγµα 2 Εξίσωση κίνησης σε 1 διάσταση µε σταθερή επιτάχυνση α: du/dt a ds/dt u

dθ µικρό sindθ dθ οπότε ds Rdθ Παράδειγµα 2 Εξίσωση

Σχετικά έγγραφα

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 ) Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3.1 Η έννοια της παραγώγου Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες x και y. Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύο αυτές ποσοτήτες είναι