Μέθοδοι υπολογισµού διάδοσης θαλάσσιων κυµατισµών σε µεταβαλλόµενη βαθυµετρία.

Transcript

1 Ειδικά Θέµατα Ναυτικής και Θαλάσσιας Υδροδυναµικής ιδάσκοντες: Γ. Αθανασούλης και Κ. Μπελιµπασάκης ιάδοση υδάτινων κυµατισµών σε νερό ενδιάµεσου βάθους και σε ρηχό νερό. Μέθοδοι υπολογισµού διάδοσης θαλάσσιων κυµατισµών σε µεταβαλλόµενη βαθυµετρία. Υδροδυναµικά προβλήµατα αλληλεπίδρασης κυµατισµών µε πλωτά και βυθισµένα σώµατα και κατασκευές. Εφαρµογή της µεθόδου των συζευγµένων ιδιοµορφών και των συνοριακών στοιχείων για προβλήµατα αλληλεπίδρασης κυµατισµών και σωµάτων (πλωτών, βυθισµένων, απολύτως στερεών ή ελαστικών) σε γενική βαθυµετρία. Χρήση λογισµικού που έχει αναπτυχθεί στο ΕΜΠ για τον υπολογισµό των εξεταζόµενων υδροδυναµικών ροών. ΙΣΤΟΣΕΛΙ Α ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: ario.aval.tua.gr/~hydro 4

2 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ Επιφανειακοί κυµατισµοί βαρύτητας και αλληλεπίδραση µε σώµατα και κατασκευές Stoker, J.J., Water waves, Itersciece, 1957 Dea R., Dalrymple R., 1991, Water Wave Mechaics for Scietists ad Egieers, World Scietific 1991 Mei C.C, 1989, The Applied Dyamics of Ocea Surface Waves, World Scietific (d Reprit, 1994). Wehause, J.N., Laitoe, E.V., 196, Surface Waves, Hadbuch der Physik. Spriger. Kuzetsov, N., Maz ya, Vaiberg, B.,, Liear water waves, Cambridge Uiv. Press ιαδοση υδάτινων κυµατισµών σε µεταβαλλόµενη βαθυµετρία Massel, S., Hydrodyamics of Coastal Zoes, Elsevier, Digemas, M.W., Water Wave Propagatio over Ueve Bottoms, World Scietific, 1997 Αθανασούλη Γ.& Μπελιµπασάκη Κ.,, Κυµατικά φαινόµενα στο θαλάσσιο περιβάλλον, Σηµειώσεις ΕΜΠ. Αθανασούλη Γ.& Μπελιµπασάκη Κ., 8, υναµική Πλοίου. Σηµειώσεις ΕΜΠ. 5

3 ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ (ΕΠΙΣΚΟΠΗΣΗ) -- Θεµελιώδη πεδιακά µεγέθη. Βασικές παραδοχές { } Το υλικό πεδίο ροής { δ m} = δ m ( t ), D( t) και άρα διέπεται από τους γενικούς νόµους της µηχανικής. Κάθε υλικό στοιχείο, χαρακτηρίζεται από - Την ταχύτητα του U = U( r;t ) = U ( x, y,z;t ), - Την πυκνότητά του ρ = ρ( r ;t ) = ρ( x, y,z;t ), και άλλες ιδιότητες,.. r r, ως σύνολο υλικών στοιχείων, είναι ένα µηχανικό σύστηµα Πρέπει να τονισθεί ότι η ταχύτητα U( r ;t ), η πυκνότητα ρ( r ;t ) κ.λπ. αναφέρονται (από φυσική άποψη) στο υλικό σηµείο δ m r ( t ), και όχι στο γεωµετρικό σηµείο r. Γενικώς, πάνω στα υλικά στοιχεία αναπτύσσονται δυνάµεις µε ένταση (ανά µονάδα µάζας) F = F ( r;t ) = F ( x, y,z;t ). ολ ολ ολ Οι δυνάµεις αυτές αποτελούνται τόσο από εξωτερικές δυνάµεις (ασκούµενες από διάφορα αίτια ανεξάρτητα του ρευστού), όσο και από εσωτερικές δυνάµεις, οφειλόµενες στην αλληλεπίδραση των υλικών στοιχείων του ρευστού: Fολ ( r;t ) = Fεξ ( r;t ) + Fεσ ( r ;t ). 6

4 Συνήθως στη ρευστοµηχανική λαµβάνουµε υπ όψιν µόνο την επιφανειακή αλληλεπίδραση των υλικών στοιχείων, οπότε οι εσωτερικές δυνάµεις εκφράζονται µε τη βοήθεια του τανυστή των τάσεων σ = σ ( r ;t ) = σ ( x, y,z;t ), i,j = 1,, 3 ij ij ij, σε κάθε σηµείο του γεωµετρικού πεδίου ροής. Οι γενικές εξισώσεις κίνησης οποιουδήποτε ρευστού διατυπώνονται µε τη βοήθεια των ανωτέρω (και, σε ορισµένες περιπτώσεις, και άλλων) πεδιακών µεγεθών, και εκφράζουν τους ακόλουθους γενικούς φυσικούς νόµους: - Ισολογισµό της µάζας - Ισολογισµό της ορµής - Ισολογισµό της ενέργειας - Ισολογισµό της στροφορµής - Ισολογισµό (ή ρυθµό αύξησης) της εντροπίας του κάθε υλικού στοιχείου. Πέραν των ανωτέρω, απαιτούνται επίσης και - Καταστατικές εξισώσεις οι οποίες συνδέουν τις παραµορφώσεις (ή/και τους ρυθµούς των παραµορφώσεων) των υλικών στοιχείων µε τις αναπτυσσόµενες εσωτερικές δυνάµεις, δηλαδή µε τον τανυστή των τάσεων σ ij. 7

5 Bασικές παραδοχές Οι βασικές παραδοχές, οι οποίες θα καθορίσουν τη µορφή των εξισώσεων κίνησης του ρευστού που θα χρησιµοποιήσουµε στη συνέχεια, είναι οι ακόλουθες: Το ρευστό θεωρείται - Υγρό, και άρα µπορεί να έχει ελεύθερη επιφάνεια, - Ασυµπίεστο, και µάλιστα έχει σταθερή πυκνότητα, - Μη-συνεκτικό, οπότε οι εσωτερικές δυνάµεις οφείλονται µόνο σε ορθές τάσεις, δηλαδή σ ij = pδ ij, όπου δ ij είναι το δέλτα του Kroecker Η κυριότερη συνέπεια των ανωτέρω παραδοχών είναι ότι Επίσης Οι θερµοδυναµικές ιδιότητες του ρευστού (θερµοκρασία, εντροπία) αποσυζεύγνυνται από τις µηχανικές ιδιότητές του, και δεν χρειάζεται πλέον να ληφθούν υπ όψιν. 8

6 - Ο ισολογισµός της ενέργειας αναφέρεται µόνο στη µηχανική ενέργεια, και είναι συνέπεια των εξισώσεων της ορµής (και όχι ανεξάρτητη εξίσωση). - Ο ισολογισµός της στροφορµής ισχύει ταυτοτικά. - Οι παραδοχές του ασυµπίεστου και του µη-συνεκτικού αποτελούν καταστατικές παραδοχές, οι οποίες υποκαθιστούν τις καταστατικές εξισώσεις. Εποµένως, οι φυσικές εξισώσεις που αποµένουν να χρησιµο-ποιηθούν εν προκειµένω είναι µόνο οι εξής δύο: - Ισολογισµός της ορµής, και - Ισολογισµός της µάζας, των υλικών στοιχείων του ρευστού. Αντιστοίχως, τα πεδιακά µεγέθη τα οποία ενδιαφέρουν και εµπλέκονται στις εξισώσεις αυτές είναι επίσης δύο: - Η ταχύτητα U = U( r;t ) = ( u( r;t ),v( r;t ),w( r ;t )), και - Η πίεση p= p( r ;t ). Τέλος, όσον αφορά τις εσωτερικές δυνάµεις (ανά µονάδα όγκου του ρευστού) έχουµε για µη συνεκτικό ρευστό F ( r;t ) = p( r ;t ) Fολ( r;t ) = p( r;t ) + F( r ;t ) εσ 9

7 Γραµµές ροής του πεδίου ροής και τροχιές των υλικών στοιχείων του υγρού Μία γραµµή γ, κειµένη εντός του πεδίου ροής σε µια δεδοµένη χρονική στιγµή t o, θα λέγεται γραµµή ροής αν, σε κάθε σηµείο r αυτής ( γ ) Ο ανωτέρω ορισµός οδηγεί στη σχέση d γ U( r ;t ), r, το διάνυσµα της πεδιακής ταχύτητας U = U( r ;t ) εφάπτεται στη γ. όπου dγ είναι το στοιχειώδες τόξο επί της γ. Η σχέση (1) γράφεται αναλυτικότερα στη µορφή dx dy dz = = u( x, y,z;t = t ) v( x, y,z;t = t ) w( x, y,z;t = t ). o o o Οι εξισώσεις (1 ) αποτελούν ένα σύστηµα δύο συνήθων διαφορικών εξισώσεων, µε τη βοήθεια των οποίων µπορούµε να εκφράσουµε δύο από τις τρείς πεδιακές µεταβλητές x,y,z, ως συναρτήσεις της τρίτης. dy v( x, y( x ),z( x );t o ) dz w( x, y( x ),z( x );t o ) =, = dx u( x, y( x ),z( x );t ) dx u( x, y( x ),z( x );t ) o o. 1

8 Εάν το πεδίο είναι µόνιµο, δηλαδή εάν U = U( r ) για κάθε t, τότε προφανώς οι γραµµές ροής είναι ανεξάρτητες του χρόνου. Εάν το πεδίο είναι µη-µόνιµο, τότε οι γραµµές ροής αλλάζουν από χρονική στιγµή σε χρονική στιγµή. Στην περίπτωση αυτή οι εξισώσεις επιλύονται για κάθε χρονική στιγµή t, δηλαδή ο χρόνος θεωρείται ως µια παράµετρος από την οποία εξαρτώνται τόσο οι εξισώσεις, όσο και οι λύσεις τους: y= y( x;t ), z = z( x;t ). Σύµφωνα µε τα παραπάνω, οι γραµµές ροής δίδουν µια συνολική εικόνα του πεδίου ροής, σε κάθε χρονική στιγµή. 11

9 Τροχιές υλικών στοιχείων Σε αντίθεση µε τα ανωτέρω, η τροχιά ενός υλικού στοιχείου του υγρού, αναφέρεται σε συγκεκριµένο υλικό στοιχείο (και όχι στο πεδίο ροής γενικά), και ορίζεται, όπως και στην κλασσική µηχανική, ως το σύνολο των διαδοχικών θέσεων του υλικού στοιχείου δ m r στο χώρο, καθώς εξελίσσεται η ροή. Ο ανωτέρω ορισµός οδηγεί στην ακόλουθη εξίσωση της τροχιάς του υλικού στοιχείου dr ( ;t ) dt = U r, δ m r : όπου r = r ( t ) είναι η αναλυτική αναπαράσταση της τροχιάς. Η εξίσωση γράφεται αναλυτικότερα ως εξής: dx( t ) dy( t ) = u( x( t ), y( t ),z( t );t ), = v( x( t ), y( t ),z( t );t ), dt dt dz( t ) = w( x( t ), y( t ),z( t );t ). dt Όταν η ροή είναι µόνιµη, οι τροχιές των υλικών στοιχείων του υγρού ταυτίζονται µε τις γραµµές ροής. Όταν η ροή είναι µη-µόνιµη, τότε οι τροχιές είναι διαφορετικές από τις γραµµές ροής του πεδίου. Πάντοτε όµως οι τροχιές των υλικών στοιχείων, εφάπτονται των γραµµών ροής που αντιστοιχούν στη χρονική στιγµή t = t. o 1

10 13

11 Χρονικός ρυθµός µεταβολής φυσικών χαρακτηριστικών του πεδίου ροής. Υλική παράγωγος Έστω a = a( r ;t ) = a( x, y,z;t ) ένα οποιοδήποτε βαθµωτό φυσικό µέγεθος (π.χ. πίεση), το οποίο αναφέρεται στο υλικό στοιχείο δ m r ( t ), δηλ.στο υλικό στοιχείο που κατέχει τη θέση r = ( x, y,z ), τη χρονική στιγµή t. Ενδιαφερόµαστε να υπολογίσουµε το χρονικό ρυθµό µεταβολής του µεγέθους a( δ m r ( t )). Μετά πάροδο χρόνου δ t, το υλικό στοιχείο θα βρίσκεται στη θέση r+ δ r. δ t δ m ( t ) δ m ( t+ δ t ) r r+ δ r. 14

12 Κατά συνέπεια, ο ρυθµός µεταβολής του µεγέθους a( m ( t )) m δ ) θα δίδεται από τη σχέση δ r (αναφερόµενου στο συγκεκριµένο υλικό στοιχείο Da( r;t ) Dt a( δ m r+ δ r( t+ δ t ) a( δ m r( t )) = lim = δ t δ t a( r+ δ r;t+ δ t ) a( r;t ) = lim = δ t δ t 1 a( r;t ) a( r;t ) = lim a( r;t ) + δ r+ δ t+ a( r;t ), δ t δ t r t = i + j + k = όπου r x y z. Παίρνοντας το όριο για δ t, η ανωτέρω σχέση γίνεται Da( r;t ) a( r;t ) dr a( r;t ) a( r;t ) = + = + U( r;t ) a( r;t ) Dt t dt r t. 15

13 Από την τελευταία βλέπουµε ότι ο χρονικός ρυθµός µεταβολής βαθµωτών πεδιακών µεγεθών, αναφερόµενων στα υλικά στοιχεία του υγρού, προκύπτει µε εφαρµογή στο πεδιακό µέγεθος του διαφορικού τελεστή D( ) ( ) = + ( U( r ;t ) ) ( ) Dt t. Ο διαφορικός τελεστής λέγεται υλική παράγωγος (material derivative). Ο χρονικός ρυθµός µεταβολής διανυσµατικού µεγέθους V = V( r ;t ), αναφερόµενου στα υλικά στοιχεία του υγρού, βρίσκεται εύκολα, είτε εφαρµόζοντας τη σχέση σε κάθε συνιστώσα του. Το αποτέλεσµα είναι D V( r;t ) V( r;t ) = + ( U( r;t ) ) V( r ;t ) Dt t. Μια πρώτη συνέπεια είναι ότι η επιτάχυνση του υλικού στοιχείου δ m r ( t ) δίνεται από τη σχέση D U( r;t ) U( r;t ) = + ( U( r;t ) ) U( r ;t ) Dt t. 16

14 Εξισώσεις κίνησης ασυµπίεστου µη-συνεκτικού υγρού Οι θεµελιώδεις φυσικοί νόµοι που διέπουν την κίνηση του ασυµπίεστου, µη-συνεκτικού υγρού είναι: ο ισολογισµός της ορµής (εξισώσεις Euler), και ο ισολογισµός της µάζας (εξίσωση συνέχειας). Εξισώσεις Euler: προκύπτουν µε εφαρµογή του νόµου του Newto d r m d t F = σε κάθε υλικό στοιχείο του υγρού. Εάν δv = δ xδ yδ z είναι ο όγκος του εξεταζόµενου υλικού στοιχείου (στοιχειώδους κύβου) και ρ η πυκνότητά του, τότε έχουµε DU ρδv = pδv + δv Dt F, όπου F είναι η συνολική εξωτερική δύναµη ανά µονάδα όγκου που ασκείται στο στοιχειώδη κύβο. ιαιρώντας δια ρ παίρνουµε DU p F U p F = + + ( U ) U = + Dt ρ ρ, t ρ ρ Με τη βοήθεια της διανυσµατικής ταυτότητας ( a b ) = a ( b ) + b ( a ) + ( a ) b+ ( b ) a βρίσκουµε, θέτοντας a = b= U = + U U ( U ) ( U ) U και άρα U t 1 p F ρ ρ + U U ( U ) = + 17

15 1 1 Στη συνέχεια θα υποθέσουµε ότι οι εξωτερικές δυνάµεις ανά µονάδα µάζας ένα συντηρητικό πεδίο και άρα εκφράζονται µε τη βοήθεια ενός δυναµικού (δυναµικής ενέργειας) ρ F = ρ F( r ;t ) προκύπτουν από F( r;t ) ρ = Ω( r;t ). Ειδικότερα, για τη µοντελοποίηση και µελέτη των υδάτινων επιφανειακών κυµάτων θεωρούµε ότι οι εξωτερικές δυνάµεις προέρχονται αποκλειστικά από ένα οµογενές πεδίο βαρύτητας (g) gz Ω = και άρα Ω = gk O νόµος διατήρησης της ορµής γράφεται λοιπόν στη µορφή U t 1 p ρ + U U ( U ) = Ω..παραγωγή του Θεωρήµατος του Beroulli. 18

16 Εξίσωση συνέχειας Θεωρούµε ένα στοιχειώδη κύβο του υγρού ο οποίος, κατά τη χρονική στιγµή t, έχει πλευρές δ x( t ), δ y( t ), δ z( t ) και όγκο δv( t ) = δ x( t ) δ y( t ) δ z( t ). εδοµένου ότι δ m= ρδv( t ) και ρ = ρ = σταθερή, ο ισολογισµός (εξίσωση διατήρης) της µάζας εκφράζεται από τη σχέση ο D( ρδv ) Dt D( δv ) = ή Dt =. Όµως, σύµφωνα µε τη φυσική έννοια της υλικής παραγώγου (βλ. εδάφιο 4), θα είναι D( δv ) δv( t+ δ t ) δv( t ) lim Dt δ t δ t =, + είναι ο όγκος του στοιχείου στο οποίο µετασχηµατίζεται ο αρχικός στοιχειώδης κύβος, µετά πάροδο χρόνου δ. Σε πρώτη τάξη προσέγγισης ισχύει η σχέση όπου δv( t δ t ) t δv( t+ δ t ) = δ x( t+ δ t ) δ y( t+ δ t ) δ z( t+ δ t ), 19

17 Όµως, το µήκος των ακµών δ x, δ y, δ z, µεταβάλλεται αποκλειστικά και µόνο λόγω της διαφοράς των αντίστοιχων πεδιακών ταχυτήτων στα άκρα των ακµών. Οι διαφορές αυτές δίνονται, σε πρώτη τάξη, από δ u u δ x x =, δυ = υ δ y y Με τη βοήθεια των ανωτέρω σχέσεων βρίσκουµε, δ w u u δ x( t + δ t ) = δ x( t ) + δ x( t ) δ t ( 1 δ t ) δ x( t ) x = + x, υ υ δ y( t+ δ t ) = δ y( t ) + δ y( t ) δ t = ( 1+ δ t ) δ y( t ) y y w w δ z( t + δ t ) = δ z( t ) + δ z( t ) δ t ( 1 δ t ) δ z( t ) z = + z. w δ z z =., Κατά συνέπεια u υ w δv( t+ δ t ) δv( t ) = ( 1+ δ t )( 1+ δ t )( 1+ δ t ) δv( t ) δv( t ) x y z u υ w δ δ δ δ δ δ δ x y z V( t+ t ) V( t ) = + + V( t ) t + V( t ) ( t ),

18 D( δv ) u υ w = + + δ V( t ) = Uδ V( t ) Dt x y z = Άρα η εξίσωση συνέχειας παίρνει τη µορφή U. Με τη βοήθεια της σχέσεως είναι πολύ εύκολο να διατυπώσουµε την εξίσωση διατήρησης της µάζας και στη γενική περίπτωση, όπου η πυκνότητα του υγρού µεταβάλλεται. Πράγµατι, στην περίπτωση αυτή η πρωτογενής εξίσωση διατήρησης της µάζας γράφεται στη µορφή Dρ DδV( t ) δv( t ) + ρ = Dt Dt ή 1 Dρ 1 D( δv( t ) ) + = ρ Dt δv( t ) Dt. Εισάγοντας τη D( δv ) u υ w = + + δ V( t ) = Uδ V( t ) Dt x y z στην τελευταία παίρνουµε 1 Dρ + U = ρ Dt Dρ Dt ρ + = ρ U ( ρ ) t + U = 1

19 Συνέπειες των εξισώσεων κίνησης: Θεώρηµα Kelvi, αστρόβιλη ροή, Θεώρηµα Berouli Στις εξισώσεις Euler περιέχεται η στροβιλότητα rot U = U του πεδίου ροής. Το µέγεθος αυτό έχει πολύ µεγάλη φυσική σηµασία, και χαρακτηρίζει σε µεγάλο βαθµό τη δυναµική συµπεριφορά του πεδίου ροής. Κατ αρχήν, µέσω του θεωρήµατος του Stokes βλέπουµε ότι η στροβιλότητα U συνδέεται µε την κυκλοφορία του πεδίου ταχύτητας U σε κλειστές καµπύλες S ( U ) ds= U dl l, Ένα άµεσο πόρισµα της σχέσης είναι ότι, σε ένα οµαλό πεδίο ροής, η στροβιλότητα είναι µηδέν αν και µόνον αν η κυκλοφορία κατά µήκος κάθε κλειστής καµπύλης που βρίσκεται µέσα στο πεδίο είναι µηδέν. Στη συνέχεια θα µελετήσουµε το ρυθµό µεταβολής της κυκλοφορίας κατά µήκος µιας υλικής κλειστής καµπύλης l.

20 Θεώρηµα Kelvi Εάν l είναι µια οποιαδήποτε υλική κλειστή καµπύλη, ευρισκόµενη εξ ολοκλήρου µέσα σε πεδίο ροής ρευστού το οποίο διέπεται από τις εξισώσεις Euler, µε συντηρητικές εξωτερικές δυνάµεις ( F = Ω ), τότε D Dt U dl =. l ηλαδή, η τιµή της κυκλοφορίας κατά µήκος κάθε υλικής καµπύλης του πεδίου ροής διατηρείται σταθερή. 3

21 Για να αποδείξουµε τη σχέση παρατηρούµε ότι παρακολουθώντας την κίνηση των υλικών στοιχείων: U dl= udx+ υdy+ wdz. l l D( udx ) Du D( dx ) = dx+ u Dt Dt Dt. Du 1 = p Όµως, βάσει των εξισώσεων Euler έχουµε,x Ω,x Dt ρ. D( dx ) Eπειδή το στοιχείο d l = ( dx,dy,dz ) κινείται µαζί µε τα υλικά στοιχεία του ρευστού = du Dt D( udx ) 1 D( υdy ) 1 = p Ετσι,x Ω,x dx+ udu = p Dt ρ Οµοίως,y Ω,y dy+ υdυ Dt ρ, D( wdz ) 1 = p και,z Ω,z dz+ wdw Dt ρ D Dt D 1 1 udx+ υdy+ wdz U dl = p dl Ω dl+ du Dt ρ Αθροίζοντας ( ) ( ).. 4

22 Ολοκληρώνοντας κατά µήκος της καµπύλης l, µεταξύ των σηµείων Α και Β, βρίσκουµε D Dt B U A p d = + 1 l Ω ρ U, A B δεδοµένου ότι p dl= p l είναι η παράγωγος της πίεσης κατά µήκος της καµπύλης l, και οµοίως για το Ω. Αν φανταστούµε τώρα ότι το σηµείο Β επανέρχεται στο Α έχοντας διατρέξει την καµπύλη l, τότε A 1 dl = Ω + = DΓ D p Dt Dt U ρ U, l A Το γεγονός ότι το πεδίο εξωτερικών δυνάµεων είναι συντηρητικό, είναι ουσιώδες για την ισχύ του θεωρήµατος του Kelvi. 5

23 Αστρόβιλη ροή, εξίσωση Laplace Μια ροή (ένα πεδίο ροής) λέγεται αστρόβιλη (αστρόβιλο) αν ισχύει η σχέση ( ;t ) = στο πεδίο. U r παντού µέσα Για ένα πεδίο ροής που διέπεται από τις εξισώσεις Euler µε συντηρητικές εξωτερικές δυνάµεις, ισχύει η συνεπαγωγή U( r;t = t ) = U( r ;t ) =, για κάθε t. o ηλαδή, αν το πεδίο είναι αστρόβιλο σε µια χρονική στιγµή t = t, τότε θα παραµένει διαρκώς αστρόβιλο. o Στη συνέχεια θα περιορίσουµε τη µελέτη µας σε αστρόβιλα πεδία ροής. Η χαρακτηριστική ιδιότητα κάθε αστρόβιλου πεδίου είναι ότι µπορεί να αναπαρασταθεί ως κλίση (gradiet) ενός βαθµωτού πεδίου. U( r;t ) = Φ( r ;t ). Αν θυµηθούµε τώρα την εξίσωση συνέχειας οµογενούς και ασυµπίεστου ρυστού (υγρού) ( ;t ) = + + = x y z ( Φ( r;t ) Φ( r;t ) Φ( r;t ) Φ( ;t ). r U r, ηλαδή, το δυναµικό Φ( r ;t ) κάθε αστρόβιλης και ασυµπίεστης ροής ικανοποιεί την εξίσωση Laplace. 6

24 Θεώρηµα Beroulli Στην περίπτωση αστρόβιλης ροής (η ιδιότητα του ασυµπίεστου δεν είναι σηµαντική εν προκειµένω), οι εξισώσεις Euler µπορούν να ολοκληρωθούν ως προς την πίεση, οδηγώντας σε µια κλειστή έκφραση της τελευταίας συναρτήσεις του δυναµικού ταχύτητας. Φ t 1 p ρ + ( Φ ) + + Ω = Φ t 1 Φ p ρ Ω + ( ) + + =. Η τελευταία, ολοκληρωνόµενη κατά µήκος οποιασδήποτε καµπύλης µέσα στο πεδίο ροής, µας δίνει Φ 1 p = = t ρ ( Φ ) Ω C C( t ) Η σταθερά C = C( t ) εξαρτάται από το χρόνο, και µπορεί πάντοτε να επανορισθεί Φ1( r;t ) Φ( r ;t ) C( τ )dτ = + t. Φ t 1 p ρ 1 + ( Φ1 ) + + Ω =, και το δυναµικό Φ ( r ;t ) 1 είναι ισοδύναµο, µε το αρχικό δυναµικό Φ( r ;t ), διότι Φ1 Φ = = u x x, κλπ. 7

25 ΓΕΝΙΚΗ ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΗ ΦΑΣΜΑΤΟΣ ΘΑΛΑΣΣΙΩΝ ΚΥΜΑΤΙΣΜΩΝ 8

26 ΣΥΝΟΡΙΑΚΕΣ ΣΥΝΘΗΚΕΣ ΕΛΕΥΘΕΡΗΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΣ ΚΣΕΕ ΣΕΕ 9

27 ΙΑΤΥΠΩΣΗ Υ ΡΟ ΥΝΑΜΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ 3

28 ΕΠΙΣΚΟΠΗΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΣ ΣΤΟ DV ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΑΡΜΟΝΙΚΟΙ ΚΥΜΑΤΙΣΜΟΙ Πεδία φραγµένα στο άπειρο 31

29 ΑΠΑΛΟΙΦΗ ΤΗΣ ΡΗΤΗΣ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΤΗΤΑΣ ΚΥΜΑΤΙΣΜΟΙ ΜΙΚΡΗΣ ΚΛΙΣΗΣ H/λ=Ο(ε) ΑΠΑΛΟΙΦΗ ΤΗΣ ΠΕΠΛΕΓΜΕΝΗΣ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΤΗΤΑΣ 3

30 ΓΡΑΜΜΙΚΟΠΟΙΗΜΕΝΗ ΘΕΩΡΙΑ - ΑΠΛΟΙ ΑΡΜΟΝΙΚΟΙ ΚΥΜΑΤΙΣΜΟΙ ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΣΥΝ. ΣΥΝΘΗΚΗ η φ = t z z = φ = (1.4) ΥΝΑΜΙΚΗ ΣΥΝ. ΣΥΝΘΗΚΗ 1 g φ t η = z = ( z = h) φ φ z= h= = z = ± φ( ) ΑΝΑΖΗΤΗΣΗ ΑΡΜΟΝΙΚΩΝ ΛΥΣΕΩΝ η a cos( kx ωt), ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΣΥΝΘΗΚΗ Ε.Ε. φ φ + g =, z = t z x, z; t = si( kx± ωt) F( z) d F k F dz = F = Acosh( k( z+ h)) + B sih( k( z+ h)) ga cosh( k( z+ h)) φ = si( kx± ωt ) ω cosh( kh) ΣΧΕΣΗ ΙΑΣΠΟΡΑΣ gk tah( kh) ω = c λ ω g = = = T k k tah( kh) 33

31 η = a cos( kx ωt) η = a cos( kx+ ωt) 34

32 [ + ] dx gαk cosh k( z h ) dt ω cosh( kh ) ΤΡΟΧΙΈΣ ΣΩΜΑΤΙ ΊΩΝ ( ) ( ) = φ, x= cos kx± ωt = Α cos kx± ωt Α o [ + ] dz αkg sih k( z h ) dt ω cosh( kh ) ( ) ( ) x( t ) x =± si( kx ωt ) = φ, z = si kx± ωt = Β si kx± ωt Β o z( t ) z ) = cos( kx ωt ) ( x x ) ( z z ) Α + = 1 Β 35

33 ΠΙΕΣΗ ΣΤΗ ΣΤΗΛΗ ΥΓΡΟΥ - ΙΣΟΒΑΡΕΙΣ φ 1 φ = ρ ρ + φ ρ ρ t t p pa gz ( ) pa gz 36

34 ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΚΑΙ ΡΟΗ ΙΣΧΥΟΣ - ΤΑΧΥΤΗΤΑ ΟΜΑ ΑΣ Ε η( x;t ) λ 1 = ρgzdxdz [ ] 1 1 Ε, = ρg η( x;t ) dx= ρga cos ( kx± ωt )dx = ρ ga λ 4 z= x= x= λ x= λ x= x= η( x;t ) λ z= x= λ () K ΕΚ = ρ( Φ ) dxdz ρ( Φ ) dxdz = ρga λ 4 z= h x= z= h x= Ε = z = η( x ;t ) z= o W( t ) φ = p( x,z;t ) φ, ( x,z;t )dz ρ φ, dz = t o x x t z= h z= h 1 1 = c + k cosh ( kh ) ρ tah( kh ) h g a cos ( kx ω t ) c=ω/k Τ Τ 1 W( t ) 1 1 tah( kh ) h 1 S = dt ρg a cos ( kx ωt )dt Τ = t c + k cosh ( kh ) Τ t= t= 1 1 tah( kh ) h 1 1 kh S 1 kh S = ρg a ρga c 4 c + = + k cosh ( kh ) 4 sih( kh ) = c 1 Ε / λ + sih( kh ) S 1 kh = cg = c 1 Ε + sih( kh ) 37

35 ΙΑΦΟΡΕΣ ΓΕΝΙΚΕΥΣΕΙΣ Παράλληλοι αρµονικοί κυµατισµoι υπό γωνία διευθυνσης θ η = a cos( kξ ωt+ β ) η µεταβλητή ξ συνδέεται µε την µεταβλητή x µε την ακόλουθη σχέση: y θ ξ ξ = x cosθ + y siθ x στο αρχικό σύστηµα συντεταγµένων η ανύψηση της ελεύθερης επιφάνειας γράφεται : η = a cos( k( x cosθ + y si θ ) ωt+ β ) η = Re{ Aexp( i( k( x cosθ + y si θ ) ωt))}, A= a exp( iβ ) Tο δυναµικό της ροής που αντιστοιχεί: ω cosh( kh) Ag cosh( k( z+ h)) φ = Re{ i exp( i( k( x cosθ + y si θ ωt))} N η = Re{ A exp( i( k ( x cosθ + y si θ ) ω t))}, j= 1 j j j j j π η = Re{ dω A( ω, θ ) exp( i( k( ω)( x cosθ + y si θ ) ωt)) dθ } 38

36 ΥΠEΡΘΕΣΗ ΚΥΜΑΤΙΣΜΩΝ ΚΥΜΑΤΟ ΟMΑ Α ΤΑΧΥΤΗΤΑ ΟΜΑ ΑΣ ( ) η x; t = Re{ A exp( i( k x ω t)) + A exp( i( k x ω t))} = A = Re A1 exp( i( k1x ω1t )) 1+ exp( i( ( k k1) x ( ω ω1) t )) = A1 A = Re A1 exp( i( k1x ω1t )) 1+ exp i k x t A1 ( ( ω )) c=ω/k ω 1 kh cg = c 1 k + sih( kh ) 39

37 ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΣΕ ΛΩΡΙ Α ΣΤΑΘΕΡΟΥ ΒΑΘΟΥΣ ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ Καρτεσιανό σύστηµα Κυλινδρικό σύστηµα ( x z) ϕ, xx + ϕ, zz =,, Λ a, ϕ, z µϕ=, στην ελεύθερη επιφάνεια z =, ϕ =, στον πυθµένα z = h., z ϕ ϕ απαίτηση του φραγµένου για το κυµατικό πεδίο και τις παραγώγους του στο άπειρο ϕ < C 1, < C, < C 3 x z 4

38 Καρτεσιανό σύστηµα ( x,z) = X( x) Z( z) ϕ X ( x) Z( z) κατακόρυφο πρόβληµα ιδιοτιµών ( ) ( ) Z z k Z z =, h< z< ( ) ( ) ( ) Z z µ Z z = z =,, Z z =, z = h, Ιδιότητες ( ) ( ) ( ) ( ) X x Z z + = X x Z z ( ) ( ) ( ) ( ) X x Z z = = k X ( x) k X( x) X x (i) Οι ιδιότιµες k του προβλήµατος είναι πραγµατικές, άπειρες το πλήθος. Z z + = Το απειροσύνολο { k } είναι αριθµήσιµο και δεν παρουσιάζει άλλο σηµείο συσσωρεύσεως εκτός από το. (ii) Σε κάθε ιδιοτιµή k, 1,,,... ορθογώνιες, δηλαδή ισχύει z= = αντιστοιχεί µία ιδιοσυνάρτηση ( ) Z z,,,... = 1. Οι ιδιοσυναρτήσεις Z ( z) { } = 1 Z,Z = Z ( z) Z ( z) dz = δ Z =, και τοο σύστηµα είναι πλήρες (βάση στον L (-h,) ) m z= h m m Z, = m, m k k 1 Im{ k } k k 1 k k Re{ k },... είναι αµοιβαία 41

39 k = iλ : ( ) ( λ ) ( λ ) Z z A cos z B si z, = + ( ) ( ) ( ) λ ( λ ) λ ( λ ) B = A ta( λ h) Z h = A si h + B cos h = µ A Z µ Z = Bλ µ A = B = λ µ = λ ta( λ h) ( λ ) ( λ ) ( λ ) ( λ ) ( λ ) ( + ) ( λ ) cos z cos h si z si h cos λ z h Z( z) = A cos( λz) A ta( λh) si( λz) = A = A, =, 1,... cos h cos h ( ) h k h tah k h µ = µ h= k h ta( k h) 1 cosh k( z+ h ɶ ) ( ) = ɶ ( ) Z z, h µ cosh kh + ( ) ( ) cosh kh k ( ) ( ) ( + ) 1 cos k z h Z z =, =, 1,..., h µ cos kh cos k h k 4

40 Γενική αναπαράσταση της λύσεως του κυµατικού προβλήµατος σε ηµιάπειρη λωρίδα. Επίπεδα κύµατα. { } ( ) ( ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) ϕ x, z = A exp ik x + B exp ik x Z z + B exp k x a Z z = 1 Θετική ηµιάπειρη λωρίδα ( x > a) Αρνητική ηµιάπειρη λωρίδα ( x < a) ϕ (,z) { A exp( i k x) + B exp( i k x) } Z ( z) ϕ (,z) { A exp( i k x) + B exp( i k x) } Z ( z) x x x x Γενική αναπαράσταση της λύσεως του προβλήµατος σε εξωτερικό κυλινδρικό χωρίο. Κυλινδρικά κύµατα ϕ ϕ ( 1 ( ) Z ( z) + A H ) ( k r) Z ( z) ( 1 ( ) ) ( r,z = A H ( k r) + B H ) ( k r) ( 1 ( ) ) ( r,z A H ( k r) + B H ) ( k r) = Ae + Be ( ) Z ( z) Z ( z) π i k r π i k r r π r k, 43