UNIVERZITETSKA KNJIGA kinematika ISAK KARABEGOVIĆ. Bihać, p p

Transcript

1 UNIVERZITETSK KNJIG kinematika ISK KREGOVIĆ 1 t a a t p a n p n a a co ihać, 4.

2

3 U N I V E R Z I T E T S K K N J I G KINEMTIK II IZDNJE Tehnički fakultet, ihać, 4.

4 UNIVERZITET U IHĆU TEHNIČKI FKULTET IHĆ uto: Pof. d. Isak Kaabegoić, dipl.ing. mašinsta Recezenti: Uednik: Lekto: Koekto: Izdaač: Tehnička obada: Tiaž: Štampa: Pof. d. Vlatko Doleček Pof. d. Milan Jukoić Pof. d. Husein Pašagić Pof. d. Isak Kaabegoić m. lanka Pašagić Uednik Tehnički fakultet ihać Sami Vojić, dipl.ing. pimjeaka Gafiča ihać Objaljianje oog uniezitetskog udžbenika odobilo je Naučno-nastano ijeće Tehničkog fakulteta Unieziteta u ihaću, boj xx-xxx od xx.xx.xxxx. i Naučno-nastano ijeće Unieziteta u ihaću, boj xx-xxx/xxxx od xx.xx.xxxx. CIP - Katalogizacija u publikaciji Nacionalna i uniezitetska biblioteka osne i Hecegoine, Saajeo UDK (75.8) TEHNIČK MEHNIK. KINEMTIK / [Isak Kaabegoić -ihać : Tehnički fakultet, 3. 3 st. : Gaf. Pikazi ; 3 cm ISN X 1. Kaabegoić, Isak COISS. H ID Na osnou mišljenja Fedealnog ministasta obazoanja, nauke, kultue i spota b. xx-xx-xxxx/xx od xx.xx.xxxx. godine oo izdanje je u kategoiji poizoda koji su oslobođeni poeza na pomet (Zakon o poezu na pomet poizoda i usluga, član 18. tačka 1»Službene noine Fedeacije osne i Hecegoine», boj 49/). Peštampaanje i umnožaanje nije dozoljeno

5 PREDGOVOR DRUGOM IZDNJU Oa knjiga pedstalja dopunjeno i pošieno izdanje udžbenika Tehnička mehanika II Kinematika koji je štampan godine. Oaj udžbenik namijenjen je studentima tehničkih fakulteta, a pisan je pema pogamu oog pedmeta na mašinskim fakultetima Unieziteta osne i Hecegoine. Poed izlaganja mateije analitičkom i gafičkom metodom, koištena je i ektoska metoda, koja nesumnjio ima čita niz pednosti. Upoedo sa izlaganjem osnonih teoijskih pojmoa i metoda, u knjizi je obađen i znatan boj ilustianih pimjea s potebnom analizom i diskusijama, a zadan je i piličan boj zadataka za ježbu i samostalno ješenje. Pi tome sam nastojao obuhatiti što eći boj pimjea i zadataka koji ilustuju ulogu i značaj kinematike u inženjeskoj paksi mašinstu. Značaj Tehničke mehanike kinematike u obazoanju isokoškolskih kadoa mašinske stuke za njiho budući ad od ogomnog je značaja. Industijska poizodnja se iše taži stučnjaka sa solidnom osnoom fundamentalnih teoijskih znanja. Iskeno se zahaljujem pof. d. Vlatku Dolečeku, pof. d. Milanu Jukoiću, te pof. d. Huseinu Pašagiću na lo koisnim sajetima u izadi oog udžbenika. Zahalan sam i asistentima Samiu Vojiću, dipl. ing. maš., Mehmedu Mahmiću, dipl. ing. maš. i Huseinu Rošiću, dipl. ing. maš. na kompjuteskoj obadi teksta. Unapijed se zahaljujem studentima, kolegama i čitaocima koji će sojim pimjedbama i sajetima pomoći da se otklone pogeške i manjkaosti u udžbeniku, je sam sjestan da ih unatoč uzastopnoj pojei nismo mogli otkloniti. ihać,. mat 4. godine uto Pof. d. Isak Kaabegoić, dipl. ing.

6

7 Sadžaj 1 OSNOVNI POJMOVI Zadatak i uloga kinematike Posto i ijeme 1.3. Podjela kinematike 3 KINEMTIK TČKE 5.1. Putanja tačke 5.. Koodinatni sistemi Descato koodinatni sistem 6... Cilindični koodinatni sistem Sfeni koodinatni sistem Piodni koodinatni sistem PRVOLINIJSKO KRETNJE TČKE zina paolinijskog ketanja tačke Ubzanje paolinijskog ketanja tačke Ketanje sa konstantnom bzinom Ketanje sa konstantnim ubzanjem Ketanje sa pomjenjiim ubzanjem nalitičko ješenje paolinijskog ketanja tačke 3.7. Riješeni zadaci Zadaci za ješaanje 3 4. KRIVOLINIJSKO KRETNJE TČKE Vektoski način opisianja ketanje tačke Vekto bzine tačke Vekto ubzanja tačke Hodogaf bzina nalitički način opisianja ketanja tačke Opisianje ketanja tačke u Descatoom koodinatnom sistemu Opisianje ketanja tačke u piodnom koodinatnom sistemu Opisianje ketanja tačke u polanom koodinatnom sistemu Opisianje ketanja tačke u cilindičnom koodinatnom sistemu Sektoska bzina Riješeni zadaci Zadaci za ješaanje SLOŽENO KRETNJE TČKE Relatino, penosno i apsolutno ketanje tačke Teoema o slaganju bzina Teoema o slaganju ubzanja Riješeni zadaci 86

8 5.5. Zadaci za ješaanje 1 6. KINEMTIK KRUTOG TIJEL Slobodno kuto tijelo Neslobodno (ezano) kuto tijelo Osnone ste ketanja kutog tijela TRNSLTORNO KRETNJE KRUTOG TIJEL ORTNJE KRUTOG TIJEL OKO NEPOMIČNE OSE Ugaona bzina i ugaono ubzanje zina i ubzanje tačke tijela koje se obće oko nepomične ose Pemanentna i tenutna os obtanja Riješeni zadaci Zadaci za ješaanje RVNO KRETNJE KRUTOG TIJEL Jednačine anog ketanja kutog tijela Odeđianje bzine tačke kutog tijela koje ši ano ketanje Teoema o pojekcijama ektoa bzina diju tačaka kutog tijela koje 143 ši ano ketanje 9.4. Odeđianje bzine tačaka pomoću tenutnog pola bzine Odeđianje bzine tačaka pomoću plana bzina Odeđianje bzine tačaka pomoću metoda zaokenutih bzina Odeđianje ubzanja tačaka kutog tijela koje ši ano ketanje Odeđianje ubzanja tačaka pomoću tenutnog pola ubzanja Pomična i nepomična centoida Riješeni zadaci Zadaci za ješaanje SFERNO KRETNJE Geometijska intepetacija Pomična i nepomična aksoida Ugaona bzina i ugaono ubzanje pi sfenom ketanju kutog tijela zina tačke tijela pi sfenom ketanju Ubzanje tačke tijela pi sfenom ketanju Ode ianje položaja tenutne obtne ose Riješeni zadaci Zadaci za ješaanje SLOŽENO KRETNJE KRUTOG TIJEL Slaganje tanslacija Slaganje otacija Slučaj kada se paci tenutnih obtnih osa sijeku Slučaj kada su paci tenutnih obtnih osa paalelni, a ugaone bzine 199 imaju isti smje Slučaj kada su paci tenutnih obtnih osa paalelni, a ugaone bzine imaju supotne smjeoe 1

9 Slučaj kada su paci tenutnih obtnih osa paalelni, a ugaone bzine istog intenziteta i supotnih smjeoa (speg ugaonih bzina) Slaganje tanslatonog i obtnog ketanja kutog tijela Slučaj kada je bzina tanslacije okomita na os obtnog ketanja kutog 4 tijela Slučaj kada je bzina tanslacije paalelna sa osom obtanja 6 (zaojno ketanje tijela) Slučaj kada bzina tanslacije zataa ošta ugao sa osom obtanja Riješeni zadaci Zadaci za ješaanje 16 Liteatua 19 Simboli 1

10

11 Osnoni pojmoi 1.1. ZDTK I ULOG KINEMTIKE Kinematika je dio mehanike koji se bai poučaanjem ketanja mateijalnih tijela, ne uzimajući u obzi uzoke zbog kojih ketanje nastaje, to jest u kinematici se ketanje zadaje unapijed, bez zaisnosti o silama kao uzocima ketanja. Sam nazi "kinematika" dolazi od gčke iječi kinema - ketanje. Iako je osnona eličina kinematike - bzina - bila poznata pije Galilea Galileja* ( ), za kinematiku se kao nauku nije znalo. Ona postaje poznata uođenjem ubzanja kao najažnije kinematičke eličine. Zbog toga se Galileo Galilei može nazati osniačem kinematike. Nakon Galileija, Chistian Huygens ( ) pi pedlaže astaljanje ubzanja u piodne komponente (nomalnu i tangencijalnu). Ponalaskom difeencijalnog ačuna, za što su zaslužni Newton* ( ) i Leibnitz* ( ), ubzao se azoj kinematike, a naočito kinematike tačke. Osnoe kinematike tijela azadio je uglanom Leonhad Eule* ( ). Po Joseph-Louis Lagangeu*, kinematika je geometija u postou (sa četii dimenzije x,y,z,t). Sakoj pomjeni u položaju tijela ili kojeg njegoog dijela pidužuje odeđeni tenutak emena, to jest dodaje se četta koodinata - ijeme. nalogno se statika može nazati geometija sile. Obje discipline (statika i kinematika) poučaaju postone odnose nekog sistema ektoa, ali je fizičko značenje tih ektoa azličito. Sa ketanja u kinematici poučaaju se u odnosu na neki sistem efeencije koji se uslono može smatati nepomičnim ili pomičnim. * Fotogafije naedenih naučnika date su na kaju udžbenika 1

12 Kako mioanje i ketanje tijela posmatamo u odnosu na izabani efeentni koodinatni sistem, koji se i sam može ketati na poizoljan način, tako pojmoi "mioanje" i "ketanje" imaju elatian kaakte. Kinematika se služi pojmom apsolutnog emena koje ne zaisi od mateijalnih sojstaa postoa niti od ketanja sistema efeencije. Glane kinematičke eličine bzina i ubzanje date su jednačinama (1.1) i (1.): [ L] [ T] [ L] s = t [ ] = a = t [ a ] =, [ T ] koje su izedene iz osnonih kinematičkih eličina (postoa i emena). U mnogo čemu je kinematika uod u dinamiku, ali ona ima soje samostalno značenje koje se pojaljuje u podučju poučaanja mehanizama, je kod mnogih mehanizama pailno se funkcionisanje zasnia u pom edu na detaljnoj kinematičkoj analizi ketanja pojedinih njegoih dijeloa. (1.1) (1.) 1.. PROSTOR I VRIJEME Sa azmatanja u tehničkoj mehanici temelje se na pojmu Euklidoa postoa. Isto kao što se ne može definisati pojam postoa, tako se ne može definiati pojam emena. I posto i ijeme mogu se mjeiti. Posto ima ti dimenzije, a ijeme samo jednu dimenziju. Znači da se ijeme može mijenjati samo na jedan način. Vijeme smatamo nepekidnom pomjenjiom eličinom koju označaamo sa t. Osnona eličina za ijeme jeste sekunda (s), a izedene jedinice su minut (min) i sat (h). Sekunda kao jedinica emena može se definisati na iše načina, i to np. kao: 1 a) 1sekunda = sednjeg sunčanog dana ili b) to je tajanje peioda začenja koje odgoaa pijelazu između diju hipefinih azina osnonog stanja atoma cezija 133. lbet Einstein (195) uodi noe pojmoe o postou i emenu. Pema teoiji elatinosti, apsolutno mioanje ne postoji. Einsteinoa teoija negia np. i apsolutnu udaljenost. Međutim, kako značajnija odstupanja od klasičnih zakona kinematike nastaju samo u pojaama kod kojih se bzine ketanja pibližaaju bzini sjetlosti, u tehničkoj kinematici opeiat ćemo klasičnim pojmoima postoa i emena.

13 1.3. PODJEL KINEMTIKE Mateijalno tijelo možemo smatati skupom mateijalnih tačaka, te zbog toga poučaanje ketanja tačke moa pethoditi poučaanju ketanja tijela. Poučaanje ketanja tačke je lakše u odnosu na tijelo je je tačka tijelo nulte dimenzije te kod nje obtanje ne dolazi u obzi kao što je to slučaj s tijelom. Na osnou naedenog možemo zaključiti da se kinematika dijeli na: a) kinematiku tačke i b) kinematiku kutog tijela. Oa podjela nema jasne i odeđene ganice je se kinematika tačke gotoo sugdje polaci i u kinematici tijela. zina i ubzanje mogu pipadati samo pojedinoj tačci u tijelu, a samo u izuzetnim slučajeima čitaom tijelu. 3

14 4

15 Kinematika tačke.1. PUTNJ TČKE Položaj tačke odnosno tijela u postou može se odediti samo u odnosu na dugo tijelo koje se obično nazia efeentni sistem, odnosno koodinatni sistem. ko tačka odnosno tijelo ne mijenja soj položaj u odnosu na izabani sistem efeencije, kažemo da ona miuje, ukoliko se pomijeni položaj tačke odnosno tijela u odnosu na izabani sistem efeencije, tada kažemo da se tačka (odnosno tijelo) keće. Ketanje po sojoj biti je u pailu nepekidno, te zbog toga uzastopan niz tačaka u postou, koz koje polazi posmatana tačka, pikazuje nepekidnu liniju koja se nazia putanja tačke ili tajektoija ketanja. s s=s(t) putanja t= tačka Slika.1 Putanja tačke Pema obliku putanje tačke azlikujemo paolinijsko i kiolinijsko ketanje tačke. ko putanja tačke leži u anini, onda se adi o aninskom ketanju, a ukoliko je putanja tačke postona kiulja, onda se adi o postonom ketanju. Putanja tačke može biti i zatoena kiulja, np. kužnica, elipsa itd. 5

16 Ketanje tačke po putanji je odeđeno ako u sakom tenutku emena t možemo eći gdje se tačka nalazi u odnosu na neki po olji odaban položaj tačke na putanji, np. (t = ) tačke. udući da se put s mijenja u zaisnosti od emena t, imamo da je: s = s(t) (.1) Jednačina (.1) nazia se jednačina ketanja ili zakon ketanja tačke. Oo je piodan način opisianja ketanja i potebno je: a) poznaati geometijski oblik putanje, b) poznaati zakon ketanja s = s(t), i c) poznaati početni položaj (np. ) od kojeg se mjei saki slijedeći položaj tačke. Funkcija s = s(t) moa biti jednoznačna, nepekidna i difeencijabilna. Piodni način opisianja ketanja ima nekih dobih stana za teoijska azmatanja, ali nije pikladan za inženjeske potebe. Zbog toga se ećina teoijskih azmatanja ješaa u koodinatnim sistemima... KOORDINTNI SISTEMI.1.1. Descateso koodinatni sistem ko se za tijelo u odnosu na koje se posmata ketanje tačke (tijela) čsto ežu neki paci (koodinatne osi), tada se u odnosu na oe pace može odediti položaj poketne tačke. U oom cilju uočimo Descateso paougli koodinatni sistem Oxyz, koji je za tijelo (u odnosu na koje posmatamo ketanje) čsto ezan. Zbog toga nećemo iše gooiti o tijelu eć samo o efeentnom koodinatnom sistemu. S obziom na medusobni položaj osi Descatoog sistema, azlikujemo desni i lijei sistem. Uglanom ćemo upotebljaati desni koodinatni sistem. 6

17 z t t 1 (x,y,z) putanja tačke (t) t n i k j y(t) z(t) x(t) y x Slika. Descateso koodinatni sistem Putanja u Descatesoom koodinatnom sistemu može biti zadana paametaski i ektoski. U pom slučaju položaj tačke u odnosu na koodinatni sistem odeđen je sa slijedeće ti skalane jednačine: x = x(t) = f 1 (t), y = y(t) = f t), (.) z = z(t) = f 3 (t). Jednačine (.) zou se jednačine ketanja tačke, one opisuju nepekidno ketanje, pa pema tome moaju imati sa sojsta koja ima i jednačina (.1). Oblik putanje tačke dobiamo eliminacijom paameta emena t iz gonjih jednačina. Np. inezijom t = ϕ(x) dobiamo analitički izaz za putanju tačke y = y [ϕ(x)] 7

18 z = z [ϕ(x)]. (.3) U dugom slučaju putanja tačke zadaje se adijus-ektoom položaja (Slika..). Naime, ako tačka ne miuje, njen položaj u postou se mijenja, a samim tim mijenja se i ekto položaja u zaisnosti od emena, tada imamo: = ( t ) = x( t )i + y( t ) j + z( t )k = xi + yj + zk x( t) ( t) = ( t) z( t) (.3) gdje je: t - nezaisna pomjenjia skalana eličina, i, j,k - jedinični ektoi osa x, y i z koodinatnog sistema xyz. Jednačina (.3) nazia se ektoska jednačina ketanja tačke. Između eličine ektoa položaja i pipadajućih koodinata postoji poznat odnos = x + y + z (.4) a ugloi koje ekto položaja zataa osama sistema dati su elacijama: cos (,Ox ) = cos (,Oy ) = cos (,Oz ) = x y z = = = x x x x + y y + y z + y + z + z + z (.5) Ukoliko se tačka keće u ani, tada će ijediti se naedene elacije ako se u njima zamjeni np. z = (petpostaka da se tačka keće u ani Oxy). 8

19 ... Cilindični koodinatni sistem Pi ketanju tačke možemo zamisliti da se keće po aljku koji stoji u ani xy a koaksijalan je osi z (Slika.3.). Položaj tačke bit će odeđen ako odedimo položaj ani koz osu z i tačku, to jest: uglom ϕ koji se odmjeaa od ose x, adijusom aljka na čijem se omotaču nalazi tačka i udaljenosti z tačke od ani xy. Možemo zaključiti da je tačka u cilindičnom koodinatnom sistemu odeđena koodinatama: ϕ = ϕ(t) = (t) (.6) z = z(t). z y e ϕ e (t) ϕ(t) x y (x,y) (,ϕ) x x ρ z ϕ y ' e b x e e ϕ (x,y,z) (ϕ,,z) y Slika.3 Cilindični koodinatni sistem Veza između cilindičnih i paouglih koodinata data je elacijama: ϕ = y x y actg, = =, z = z x cosϕ sinϕ (.7) odnosno x = cosϕ, y = sinϕ, z = z. (.8) 9

20 Ukoliko se tačka keće u ani, tada koodinata z otpada te cilindične koodinate pelaze u polane: ϕ = ϕ(t) i = (t). (.9)..3. Sfeni koodinatni sistem Uijek možemo zamisliti da se tačka u postou nalazi na pošini kugle sa centom u ishodištu koodinatnog sistema. Položaj tačke bit će jednoznačno odeđen ako se odede ugao ϕ (istačkane ani) meidijana položaja tačke, ugao ψ položaja tačke na meidijanu i polupečniku kugle na kojoj se tačka nalazi. z e ψ e e ϕ (x,y,z) (ϕ,ψ,) ψ ϕ y x Slika.4 Sfeni koodinatni sistem Tako je tačka u sfenom koodinatnom sistemu odeđena koodinatama 1 ϕ = ϕ(t),

21 ψ = ψ(t), (.1) = (t). Između sfenih koodinata i paouglih koodinata postoje slijedeće eze: y tgϕ = x z sinϕ = (.11) = x + y + z, a obnute elacije su: x = cosψ cosϕ, y = cosψ sinϕ, (.1) z = sinψ...4 Piodni koodinatni sistem Piodni koodinatni sistem čine ti međusobno okomite osi čiji su paci odeđeni osnonim jediničnim ektoima et,en i eb, a azlikuje se od običnog koodinatnog sistema samo sojom pomičnošću (Slika.5.) b ektifikaciona anina e b e t t e n nomalna anina 1 postona kiulja oskulatona anina n Slika.5 Piodni koodinatni sistem 11

22 U sakoj tački putanje može se postaiti tangenta t sa jediničnim ektoom e t i okomito na nju nomalna aan. Zamislimo dije nomale na jedinični ekto e t koje leže u toj nomalnoj anini. Jedna od tih nomala leži u isto ijeme u ani elementa ds kiulje oko tačke i odeđena je jediničnim ektoom e n, a duga je odeđena jediničnim ektoom e b. Na taj način nastaju ani: nomalna, oskulatona i ektifikaciona koje se sijeku po međusobno okomitim pacima tangenti, glanoj nomali i binomali. U piodnom koodinatnom sistemu tangenta je pa os (odgoaa osi x), glana nomala je duga, a binomala je teća os. Oskulatona aan u nekoj tački putanje sadži u sebi element luka ds u njoj na nomali leži i sedište zakiljenosti putanje u posmatanoj tački. 1

23 Paolinijsko ketanje tačke 3.1. RZIN PRVOLINIJSKOG KRETNJ TČKE Pema geometijskom obliku putanje tačke ketanje se dijeli na paolinijsko i kiolinijsko. Paolinijsko ketanje tačke je jednostanije, pa zbog toga poučaanje bzine počinjemo sa takim ketanjem. Posmatajmo ketanje tačke na paolinijskoj putanji čiji je položaj odeđen jednom koodinatom s = s(t), koja se mjei od najpooljnije odabanog početka. Znači, poznat je zakon ketanja s = s(t), a sa s označimo početnu udaljenost tačke od efeentnog položaja. -s +s s t 1 s 1 t s 1 s Slika 3.1 Paolinijsko ketanje tačke Pi ketanju tačka se u tenutku t 1 nalazi u položaju 1, a u tenutku t nalazi se u položaj. Dakle, u emenu Δt = t t 1 tačka je izšila pomjeanje Δs = s s 1. Odnos pijeđenog puta pema odgoaajućem emenu zoe se sednja bzina u tom intealu emena: 13

24 s s Δs =. Δt 1 s = (3.1) t t1 Poželjno je imati bzinu u nekom tenutku koji taje neizmjeno katko ijeme, tako da se inteal emena skaćuje i teži. Tako odeđena bzina bit će paa bzina u tenutku, a iz njezinog opisa slijedi da moa biti jednaka: odnosno lim Δs ds = lim. Δt s Δt Δt = = (3.) ds = s = (3.3) zina tačke paolinijskog ketanja jednaka je deiaciji puta po emenu. Dimenzionalno, bzina će se izaziti oom jednačinom: [] = [ L] m = [ T ] s 3.. URZNJE PRVOLINIJSKOG KRETNJ TČKE Razmotimo opći slučaj ketanja tačke po paolinijskoj dionici puta, pi čemu se bzina mijenja po zakonu = f(t). Petpostaimo da tačka polazi iz položaja početnom bzinom u tenutku t 1 stiže u položaj 1 bzinom 1, a u tenutku t u položaj bzinom t= t 1 t 1 s Slika 3. Uz definiciju ubzanja tačke Δ Odnos daje neku sednju ijednost piasta bzine u jedinici emena Δt kojom se bzina mijenja tokom inteala Δt, tj. 14

25 Δ 1 a s = = (3.4) t t1 Δt Da bismo odedili ubzanja u posmatanom tenutku, moamo pustiti da Δt. U takom slučaju je: odnosno: a = lim a Δt s lim Δ =, Δt Δt d a = (3.5) S obziom na (3.3) može se jednačina (3.5) napisati u slijedećem obliku: d d s a =, gdje je sa s označen paolinijski put. = (3.6) Ubzanje tačke u tenutku t jednako je poj deiaciji bzine po emenu ili dugoj deiaciji pomaka po emenu. Dimenzionalno, ubzanje će se izaziti oakom elacijom [] a L 1 = = T T [ L] m =. s [ T ] 3.3. KRETNJE S KONSTNTNOM RZINOM Najjednostanije paolinijsko ketanje jeste jednoliko ketanje, to jest kada je bzina tačke konstantna. Pema tome, kada je gdje je: - početna bzina tačke. ds d = = = konst., a = =, (3.7) Integacijom gonje jednačine u ganicama s do s dobiamo ds = 15

26 s ds = t s s s = t odnosno s = s + t, (3.8) gdje je: s - položaj tačke u tenutku t =. Jednačina (3.8) pedstalja zakon jednolikog ketanja tačke kod kojeg se pomjeanje tačke mijenja lineano u zaisnosti od emena. s t s s t =konst. t t Slika 3.3 Jednoliko ketanje tačke ko petpostaimo da se tačka počela ketati iz efeentnog položaja O, tada je s =, pa slijedi s = t. (3.9) Iz jednačine (3.8), odnosno (3.9) slijedi da je: s = t = (3.1) što znači da je bzina pi jednolikom ketanju jednaka pijeđenom putu u jedinici emena. 16

27 3.4. KRETNJ S KONSTNTNIM URZNJEM ko je ubzanje paolinijskog ketanja konstantna eličina a=const., tada dobiamo jednoliko pomjenjio ketanje. Tada imamo da je: d s = ± a. (3.11) Jednačina (3.11) pedstalja difeencijalnu jednačinu jednolikog ubzanog (uspoenog) ketanja. Iz elacije d d s = = a = konst inetegacijom dobiamo izaz za bzinu = a + C1 = a t + C 1. (3.1) Integacionu konstantu C 1 odeđujemo iz početnih usloa. Petpostaimo da je za t = i = o. Tada dobiamo da je C 1 =, te je = + a t. (3.13) Jednačina (3.13) pedstalja zakon bzine jednoliko ubzanog ketanja. Vidimo da je to lineana funkcija. ko a ima negatian pedznak uz pozitino, imat ćemo ketanje jednoliko uspoeno = a t. (3.14) Zamjenjujući bzinu njenim izazom u obliku deiacije (3.3), može se napisati ds = + a t, odnosno ds = + a t. 17

28 Integacijom gonje jednačine dobit ćemo s + a t + = C at s = t + + C. (3.15) Integacionu konstantu C odedit ćemo iz početnih usloa. Za t = neka je s = s, dobiamo C = s. Izaz (3.15) popima oblik at s = s + t +. (3.16) Gonja jednačina pedstalja zakon jednoliko ubzanog ketanja. Gafički pikazi zakona bzine i zakona puta jednoliko ubzanog ketanja dati su na slici 3.4. s a s t s a t + t 1 at at tan t t a t a t t a=konst. tan t 18 Slika 3.4 Jednoliko ubzano ketanje Odje mogu nastupiti da specijalna slučaja, i to: a) kada je s =. U tom slučaju zakon ketanja na osnou (3.16) izažaa se sljedećom elacijom

29 at s = t +, (3.17) a bzina u tenutku t odeđena je jednačinom ds = = + a. (3.18) t b) kada početne usloe odabeemo tako da je t =, s = i =. Tada izaz za bzinu i put s popimaju sljedeći oblik a = konst. = a t (3.19) 1 s = at Odgoaajući kinematički dijagami pikazani su na slici 3.5, a pimje takog ketanja je slučaj slobodnog pada mateijalne tačke u akumu. s 1 1 at t =a t a t t a a=konst. a t t Slika 3.5 Kinematički dijagami za ketanje tačke opisano jednačinama (3.19) 19

30 Ukoliko je ketanje tačke tako da je ubzanje negatino, tada je: a = konst. = a t (3.) 1 s = t at. Na slici 3.6 pikazani su odgoaajući kinematički dijagami. s s max a t t s t 1 t t t 1 t t a t a jednoliko uspoeno jednoliko ubzano a t -a=konst. t Slika 3.6 Jednoliko uspoeno ketanje

31 U tenutku t 1 tačka se nalazi na najudaljenijem položaju. Za = dobiamo ijednost s max = a t = t 1 = a a s max =. a a = (3.1) Nakon zaustaljanja u najudaljenijem položaju tačka se aća ubzanjem a u pobitni položaj. Ukupno ijeme poatka tačke je a s = = t t t = = t1. (3.) a Pi poatku tačke iz najudaljenijeg u pobitni položaj poteklo je isto ijeme kao pi ketanju iz početnog u najudaljeniji položaj. zina kojom se tačka aća u pobitni položaj je ista kao početna samo supotnog smjea. = a t, t = t 1, = a =. (3.3) a Pimje oakoog ketanja je kosi hitac pi čemu je a = g, i ijedi da je: t 1 i smax =. g g = (3.4) 3.5. KRETNJE S PROMJENJIVIM URZNJEM Kaakteistika oog ketanja je da se ubzanje a mijenja u toku emena. Na slici 3.7 pikazan je dijagam s = s(t), = (t) i a = a(t). Petpostaljeno je da je t = s =. zina u odeđenom tenutku emena t je odeđena jednačinom ds u = s tgβs, u = (3.5) t 1

32 Vidimo da je bzina popocionalna tangensu ugla nagiba tangente u odgoaajućoj tačci dijagama s = s(t), gdje je U s azmjea za put, U t azmjea za ijeme. s s β s ds t t β d ds s t t a a da β a a - t d a t Slika 3.7 Ketanje s pomjenjiim ubzanjem Dijagam =(t) je jednostano konstuisati znajući da su odinate u tom dijagamu popocionalne tangensu ugla nagiba u dijagamu s=s(t). Iz jednačine ds = slijedi da elementani piast puta odgoaa u dijagamu =(t) elementana pošina ds.

33 Pošina istačkana ispod =(t) pikazuje u odeđenom mjeilu odinatu kiulje u dijagamu s=s(t) t = s s (3.6) to jest integalna funkcija (3.6) pikazuje zaisnost puta od emena. Na analogan način izode se azmatanja za kiulju pikazanu u dijagamu a = a(t) NLITIČKO RJEŠENJE PRVOLINIJSKOG KRETNJ TČKE U inženjeskoj paksi kod kinematike paolinijskog ketanja tačke susećemo zadatke kod kojih figuišu eličine s, i a. Zadatak kinematičkog ješaanja sastoji se u tome da se iz zadane zaisnosti odede eličine s, i a kao funkcije emena, odnosno zaisnost bzine i ubzanja a od puta s. Osnoni slučajei na koje se sode kinematički zadaci paolinijskog ketanja tačke, su: a) Ubzanje a je zaisna funkcija emena t a = f(t). (3.7) zinu kao funkciju emena dobiamo iz jednačine (3.6) d = a = f(t). Integianjem u ganicama od za t = do za t dobiamo = + t f ( t ) Dužinu puta s kao funkciju emena dobit ćemo iz jednačine (3.3) nakon integacije s = t b) zina je zaisna funkcija emena t. (3.9) (3.8) 3

34 = f(t). (3.3) Zaisnost puta s od emena t dobiamo iz jednačine (3.3) odnosno ds = = f (t), ds = = f(t). Integacijom gonje jednačine u ganicama s za t = do s za t dobiamo s = s + Ubzanje je odeđeno jednačinom t f ( t). (3.31) d d[ f ( t) ] =. (3.3) a = c) Put s je zaisna funkcija emena t s = f(t). (3.33) Izaz za bzinu i ubzanje a dobiamo na poznat način pomoću jednačina (3.3) i (3.6). ds d s = s a = =s. = (3.34) d) zina je zaisna funkcija puta s = f(s). (3.35) Iz jednačine slijedi da je: ds = = f (s), 4

35 = ds f ( s) s (3.36) ds t = = ds. f ( s) Ubzanje ćemo dobiti kao d d ds d a = = = ds ds d a = f ( s). ds (3.37) e) Ubzanje je zaisna funkcija puta s a = f(s). (3.38) Zaisnost bzine od puta s naći ćemo iz jednačine iz koje slijedi d ( ) a = = f ( ) ds s. S1 S = + f ( s) ds. (3.39) Dužinu puta s kao funkciju emena t dobit ćemo iz elacije d s a = = f ( s) dostukim integianjem. f) Ubzanje a je zaisna funkcija od bzine a = f(). (3.4) Zaisnost puta s dobiamo iz eć poznate elacije integianjem d d d d a = ( ) = i ds = =, ds ds a f() 5

36 s = s + d. f ( ) (3.41) Vijeme t kao funkciju bzine nalazimo iz jednačine d a = d = f () integianjem d t =. f ( ) (3.4) Na taj način dobili smo ubzanje, put i ijeme kao zaisnu funkciju bzine. 6

37 3.7. RIJEŠENI ZDCI Zadatak 3.1. Vozilo se keće od tačke ka tački bzinom 1 = 9 km/h, a dugo ozilo se keće od tačke ka tačci bzinom = 3 km/h. Dužina =s= km. Odediti tačku suseta ozila i ijeme. Rješenje: Pijeđeni put ozila s 1 = 1 t s = t s = s 1 / 1. Iz usloa zadatka ijedi da je Zadatak 3.. s 1 + s = s s 1 = s s = s s 1 1 s 1 9 s1 = = = 15 km s 1 = s s = 15 = 5 km s1 s 15 t = = = = 1, 67 km. 9 1 Vozilo se keće tako da mu je konstantno ubzanje a =,4 m/s. Koje ijeme je potebno da ozilo peđe pi meta puta, a koje je potebno za deseti meta puta? Koju će bzinu ozilo imati na kaju desetog meta puta? Rješenje: Kao što je poznato, a = konst. = + a t s = s + t + a t Za t = = s =, je = a t i s =. a t 7

38 s a 1,4 te je t 1 = = =, s. 9 s a s a 1,4 9,4 t = 1 = =,4 s. zina na kaju desetog meta puta s = a t = a 1 = s1a = 1,4 =,83 m/s. a Zadatak 3.3. Podzemna željeznica keće se po paolinijskoj putanji tako da je pijeđeni put sazmjean tećem stepenu emena. U pih 6 s podzemna željeznica peđe put od 9 m. Nactati kinematičke dijagame s(t), (t) i a(t), te analiziati ketanje. Rješenje: s = b t 3 Konstantu b nalazimo iz usloa 9 = b 6 3 b =,417 m/s s =,417 t m = ds/ =,15 t m/s a = d/ =,5 t m/s Dijagam s= s(t) je kubna paabola, =(t) kadatna paabola i a = a(t) paa linija. s (m) s 3 s s (s) t Za t = ; s = ; = i a =, a za t = 1 s s =,4m, =,15 m/s i a =,5 m/s m Slika uz zadatak 3.3 s 3 m s a 3 a s t a a s t

39 Zadatak 3.4. Jedan mašinski dio keće se sa ubzanjem a = 3. Nakon 3 sekunde pijeđe put od s = 1 m i ima bzinu = 9 m/s. Odediti s, i a u funkciji emena t i ijednosti tih eličina nakon sekunde ketanja dijela. Rješenje: Imamo da je a = d d = 3 3 =. Integacijom gonje jednačine 3 + C = 3t + C = za t = 3 s, = 9 m/s C = 3 3 t 3 = = a = 3 a = 4,5 (t 1) m/s. zina se može izaziti kao d ds = ds = ds = s = t t + + C = t t Za t = 3 s = 1 m C = 1/4, te je s = Za tenutak t = s s = 6,75 m =,5 m/s a = 4,5 m/s t t = ( t 1) m / s t + C t 4 9 t t m Zadatak 3.5. Klizač keće se naniže iz tačke D duž etikalne ođice konstantnom bzinom. Za klizač je ezano neastezljio idealno saitljio uže koje je pebačeno peko kotua O, a o dugi kaj je piezan teet M. Izačunati bzinu i ubzanje teeta M. 9

40 x b D s M Rješenje: Slika uz zadatak 3.5 zina klizača = ds ds = ds = s = t + C Za t = i s = C = te je s = t. Označimo li ukupnu dužinu užeta sa L, tada imamo da je: x = L b s = L b ( t). zina teeta M je a ubzanje teeta M dx t M = = b + ( t) a dm d x b M = = = 3/ ( b + t ),. Zadatak 3.6. Kužna ploča polupečnika obće se oko ose koz tačku O tako da se ugao ϕ mijenja po zakonu ϕ= π t/ [ϕ ad, t sek]. Rastojanje tačke O od sedišta ploče je OC = b <. Odediti zakon ketanja tačke M, te njenu bzinu i ubzanje u tenutku t = s. 3

41 Rješenje: Imamo da je x M = = konst. y M = b cos ϕ + cos ϕ sin Ψ = b sin ϕ. M y N ψ ϕ b O x π Kako je ϕ = t, imamo da je x M = π Slika uz zadatak 3.6 y M = b cos( t) + b sin ( t). π Gonje jednačine pedstaljaju zakon ketanja tačke M poluge MN. zina i ubzanje tačke M x y M M = dy = M bπ π b π = sin( t) 4 sin( πt) π b sin ( t) za t = s a a x y y M M M = dy = =. M bπ = ( b) 4 31

42 Zadatak 3.7. Teet C podiže se po etikalnoj ođici pomoću užeta pebačenog peko nepoketnog kotua koji se nalazi na astojanju a od ođice. Odediti bzinu i ubzanje teeta C u funkciji od x, ako se slobodni kaj užeta uče konstantnom bzinom. y a x C C x Slika uz zadatak 3.7 Rješenje: Iz tougla OC imamo da je x = C a. Neka je C početni položaj teeta C. Označimo ukupnu dužinu užeta C = l. Iz jednačine ketanja teeta C nalazimo da je x = ) ( l t a (I) zina teeta C je dx ( l t) ( l t) = ( l t) a x C = = Iz jednačine (I) imamo da je (l t) = a x +, to izaz za bzinu teeta C postaje: C = x + a x. 3

43 Negatian pedznak nam kazuje da se tačka C keće tako da se apscisa x smanjuje. Ubzanje teeta C Kako je x = C a C d = C = x, to imamo da je: a = x a C 3 x a 3.7. ZDCI Z RJEŠVNJE Zadatak x x x + a x = x x a x Tačka bačena je etikalno naiše. Zakon oog paolinijskog ketanja, pi zanemaianju otpoa zaka, ima oblik 1 x = t gt gdje su i g konstante. Odediti bzinu i ubzanje tačke, maksimalnu isinu i ijeme za koje tačka stigne u najiši položaj. Zadatak a Rješenje: = g t a = g Ubzanje jedne tačke se mijenja po zakonu a = 6t 4 m/s. U tenutku t = put s = 6 m, a u t = s put je s = 1 m. Odediti jednačine s = s(t) i = (t). = g t Rješenje: s = t 3 t + 8t 6 m = 3t 4t + 8 m/s. 33

44 Zadatak 3.1. Zakon pomjene bzine jedne tačke je = 3t 6t + 4 m/s. U tenutku t = je s = m. Odediti jednačine s = s(t) i a = a(t), te ijednost puta i ubzanje u tenutku t = s. Zadatak Rješenje: a = 6(t 1) m/s s = t(t 3t + 4) m a = 6 m/s s = 44 m = 4 m/s. U skicianom sistemu točak iz tačke O ketat će se konstantnim ubzanjem a x = konst. ( t =, =, x = ). Dužina užeta L = h. Potebno je odediti položaj, bzinu i ubzanje teeta y(t), (t), a(t). h y x Slika uz zadatak 3.11 Rješenje: y = h (L z) z = h + x a x = x t y = h + ax h + = h a t a xt x a + 4 t 4 4 t x x a =. 8( h + 1a t ax + t ) 4 h 4 3 / 34

45 Zadatak Na slici je pikazan zglobni mehanizam koji se sastoji od omba CD, čije su stanice dužine b. Tjemena D i C omba mogu se pomoću štapoa OD = OC = 1 obtati oko osi koz tačku O, dok se tjeme pomoću štapa O = može obtati oko osi koz tačku O 1. ko je poznato da se ugao ϕ što ga gadi duž O 1 sa pacem O 1 O mijenja po zakonu ϕ = πt, odediti: a) jednačinu putanje tačke, b) bzinu i ubzanje tačke u tenutku ϕ = π/3 (ad) ako je OO O =. 1 = 1 l C b b b b D O l ϕ O 1 Slika uz zadatak 3.1 Rješenje: x = = a = l b l b = konst. π ( l b )

46

47 Kiolinijsko ketanje tačke 4.1. VEKTORSKI NČIN OPISIVNJ KRETNJ TČKE Vekto bzine tačke Petpostaimo da se tačka keće u postou po poizoljnoj kiulji p - slika 4.1. Neka je u tenutku emena t položaj tačke odeđen ektoom položaja ( t ), a u tenutku t 1 = t + Δt (pi čemu je Δt = t 1 t > inteal emena) neka je tačka u položaju 1 čiji je položaj odeđen ektoom položaja ( t + Δt ). Pema definiciji, ekto sednje bzine tačke pi pomjeanju tačke iz položaja u položaj 1 jeste ekto Δ 1 s = =, (4.1) t1 t Δ t gdje je: Δ = 1 ( t + Δt ) ( t ) ekto pomjeanja tačke u intealu emena Δt. Vekto sednje bzine s ima paac i smje ektoa pomjeanja Δ. Do pojma tenutne bzine dolazimo ako zamislimo da 1 teži pema, to jest Δt teži pema nuli; tada ekto s izažen jednačinom (4.1) teži u općem slučaju ganičnoj ijednosti. 35

48 s= t s(t) Slika 4.1 Vekto bzine tačke Pema definiciji, ta ganična ijednost zoe se ekto tenutne bzine tačke u položaju (u tenutku t) Δ d = = Δ t Δt lim. (4.) Na osnou (4.) idimo da se ekto bzine definia kao pi izod ektoa položaja po emenu. Vekto bzine tačke ima paac tangente na njenu putanju i on je funkcija emena. Paac i smje ektoa bzine tačke u sakom njenom položaju odeđuje paac i smje njenog ketanja ka sljedećem beskonačno bliskom položaju. Intenzitet ektoa je skalana eličina () koja ima dimenziju [] = [L] [T] 1. Pema tome, koheentne jedinice bzine su: meta u sekundi (m/s). Osim toga koisti se i km/h, odnosno u pomostu "čo" (nautička milja) Vekto ubzanja tačke U pethodnom poglalju ustanoljeno je da ekto bzine kiolinijskog ketanja tangia putanju, što znači da se od tačke do tačke na putanji ekto bzine mijenja i po eličini i po položaju u postou. S fomalne stane ubzanje kiolinijskog ketanja može se definiati kao pomjena bzine u jedinici emena, ali taka definicija odje će imati dugačiju sadžinu nego što je imala kod paolinijskog ketanja. Odje teba azumjeti općenitu pomjenu i po eličini i po pacu, odnosno teba azumjeti ektosku pomjenu. 36

49 Posmatajmo dije susjedne tačke i 1 na kiolinijskoj putanji - slika 4.. Označimo sa i 1 ektoe bzine u tenutcima t i t 1 = t + Δt. ko se ekto 1 nanese iz tačke, tada se dobije pomjena ektoa bzine za Δ, tako da je 1 = + Δ odnosno Δ = 1. (4.3) Pi ketanju tačke po kiolinijskoj putanji p hoi ektoa opisuju hodogaf* bzina (* Pojam hodogafa objašnjen je u poglalju 4.1.3) koji pikazuje zakon bzine tačke u ektoskom obliku. z Δ a 1 1 p p 1 1 Δ a y hodogaf bzina 1 a s x Slika 4. Vekto ubzanja tačke Piast bzine Δ nastao je u emenu Δt, te ako se napai kocijent Δt Δ, on će dati sednji ektoski piast bzine u intealu Δt, to jest sednje ubzanje tačke a s Δ = Δt. (4.4) Intenzitet ektoa a s je skalana eličina koja ima dimenziju 37

50 [a] = [L] [T]. Tenutno ubzanje tačke dobit ćemo ako zamislimo da inteal emena Δt teži nuli, dakle tačka 1 teži pema tački i bzina 1 teži pema bzini. Tada a s teži pema odeđenoj ganičnoj ijednosti a. Ta se ganična ijednost nazia tenutno ubzanje tačke u tenutku t, te imamo Δ d a = as = lim = Δt Δt Δt lim (4.5) d d a = =. Paac tog ektoa poklapa se s pacem tangente u tački na hodogafu p 1. Pema tome, tenutno ubzanje tačke jest pa deiacija ektoa tenutne bzine po emenu ili duga deiacija ektoa položaja tačke po emenu. Vekto a je ezan za tačku. On leži u oskulatonoj anini, a usmjeenje mu je pema konkanoj stani putanje - slika 4.3. a α a a α α = π α < α = π Slika 4.3 Paac i smje ubzanja a Hodogaf bzina 38

51 Petpostaimo da je poznato ketanje tačke po zakiljenoj putanji. Za saki položaj tačke 1,, 3,... n, koji je odeđen ektoom položaja 1,,3,, n, možemo na poznat način. tj deiianjem ektoa položaja po emenu, odediti ektoe bzina, to jest naći eličine, pace i smjeoe bzina - slika 4.4. Gonja jednačina pedstalja zakon jednoliko ubzanog ketanja. Gafički pikazi zakona bzine i zakona puta jednoliko ubzanog ketanja dati su na slici 3.4. z Δ putanja O a 1 3 a a 4 hodogaf bzina x y Slika 4.4 Hodogaf bzina Nanesimo odeđene ektoe 1,,...,n bzina iz zajedničke tačke O 1 (pola bzina). Spajanjem hoa ektoa bzina 1,,..., n dobiamo kiulju koja se nazia hodogaf bzina. Hodogaf bzina lo pegledno pikazuje pomjene bzina, odnosno ubzanja pi ketanju tačke. Vidimo, dakle, da je hodogaf bzina geometijsko mjesto kajea ektoa bzina, poučenih iz jednog pola. Kada je putanja tačke postona kiulja, ektoi bzina u Descatesoom koodinatnom sistemu su funkcije sojih pojekcija na koodinatne osi, a one su oisne o emenu, to jest dx x = ϕ 1 (t) = dy y = ϕ (t) = (4.6) z = ϕ 3 (t) = dz. 39

52 Jednačine (4.6) pedstaljaju hodogaf bzina u paametaskom obliku. Eliminacijom paameta emena t iz gonjih jednačina dobit ćemo jednadžbe hodogafa bzina u običnom obliku. 4.. NLITIČKI NČIN OPISIVNJ KRETNJ TČKE 4..1 Opisianje ketanja tačke u Descatesoom koodinatnom sistemu Posmatajmo ketanje tačke u odnosu na neko tijelo i u tački O tog tijela postaimo početak paouglog Descatesoog koodinatnog sistema Oxyz koji je čsto ezan za tijelo. Položaj tačke u odnosu na oaj sistem odeđen je koodinatama x,y,z, koje se tokom emena mijenjaju. Da bismo u sakom tenutku emena mogli odediti položaj tačke u postou, potebno je da znamo njene koodinate kao funkcije emena x = x(t) y = y(t) (4.7) z = z(t). Funkcije x(t), y(t) i z(t) moaju biti nepekidne, jednoznačne i difeencijabilne. Jednačine (4.7) naziaju se jednačine ketanja tačke u Descatesoim paouglim koodinatama. One odeđuju zakon ketanja tačke pi analitičkom načinu opisianja ketanja. ko ijeme t posmatamo kao paameta, tada su jednačine ketanja (4.7) istoemeno i paametaske jednačine putanje tačke. Eliminacijom paameta t iz jednačina ketanja dobiamo jednačine linije putanje u eksplicitnom obliku. Odedimo bzinu tačke u položaju pikazanom na slici 4.5. z x i k y j x z z y Slika 4.5 zina tačke x y putanja 4

53 U tu shu pojiciat ćemo ektoe pojekcije i na koodinatne osi pa izaziti njihoe = xi + yj + zk = i + j + k x y z (4.8) Iz ektoa položaja tačke dobiamo deiianjem po emenu t d dx dy dz = = i + j + k. Nakon uštaanja tih zamjena dobia se ektoska jednačina d dx dy dz = xi + y j + zk = i + j + k =, (4.9) iz koje slijede skalane jednačine dy dz x = = x, y = = y, z = = z, (4.1) dx koje se mogu oako fomuliati: pojekcije bzine kiolinijskog ketanja na osi otogonalnog koodinatnog sistema jednake su bzinama pojekcija putanje, odnosno deiacijama koodinata po emenu. psolutnu ijednost bzine nalazimo iz jednačine: = x + y + z = dx dy + dz + (4.11) 1 = d x + d y + d z = ds. Paac bzine odeđen je izazima: 41

54 cos, ( x) x =, cos (, y) y =, cos (, z) z =. (4.1) nalognim postupkom dolazimo do ubzanja tačke. Pođimo od izaza za bzinu dx dy dz = i + j + k, kojeg ćemo deiiati po emenu a d d x d y d z = i + j + k =, (4.13) z putanja a x a z a y x i k y j z a x y Slika 4.6 Ubzanje tačke te imamo da je: d dx d x x d dy d y a = = = y = z d dz d z x y z a a a x y z, (4.14) 4

55 to jest pojekcije ektoa ubzanja na osi x,y,z jednake su dugim deiacijama odgoaajućih koodinata po emenu. psolutna ijednost ubzanja naći će se iz odnosa: x y a a + a + a z =, (4.15) a ugloi koje ekto ubzanja zataa s osima koodinatnog sistema odeđuju se iz jednačina: cos, ( a x) ax = a, cos ( a, y) ay = a, cos ( a, z) az = a. (4.16) Pi ketanju tačke u ani otpada jedna koodinata ako se putanja smjesti u kooinatnu aninu Opisianje ketanja tačke u piodnom koodinatnom sistemu Piodni koodinatni sistem - slika.5 koisti se u onim slučajeima u kojima je poznata linija putanje tačke i astojanje s (kiolinijska koodinata) koja odeđuje položaj tačke na putanji u sakom tenutku emena. Zaisnost astojanja s od emena (4.17) s = s(t), pedstalja zakon ketanja (zakon puta, jednačina ketanja) tačke po putanji. Za odeđianje ketanja tačke u piodnom koodinatnom sistemu potebno je da poznajemo putanju tačke, početak koodinatnog sistema na putanji sa izabanim pozitinim i negatinim smjeom ačunanja, i zakon puta u obliku (4.17). Vekto položaja tačke = ( t ) može se uzeti da je funkcija kiolinijske koodinate s, a peko nje da je funkcija emena t = [ s(t) ]. (4.18) 43

56 Koištenjem jednačina (4.) i (4.18) nalazimo ekto bzine tačke u obliku d d ds ds = = = e t ds (4.19) d = et sa et =, ds pi čemu je iskoištena poznata elacija za jedinični ekto tangente kog ijedi e t d ds = za Δ d lim = = 1 Δs ds. (4.) Iz jednačine (4.19) očigledno je da ekto bzine tačke ima paac tangente. Pojekcija ektoa bzine na paac tangente ds = s =, (4.1) jednaka je pom izodu po emenu kiolinijske koodinate s. Znak pojekcije ektoa bzine na paac tangente, odnosno znak pog izoda kiolinijske koodinate s po emenu, odeđuje smje ektoa bzine tačke. Pozitinom znaku odgoaa ketanje tačke u pozitinom smjeu mjeenja koodinate s, a negatinom znaku odgoaa ketanje tačke u negatinom smjeu mjeenja koodinate s. Koištenjem jednačina (4.5) i (4.19) možemo da dobijemo izaz za ekto ubzanja tačke u obliku d a = = d ds d s ds det et = et +. (4.) 44

57 e b Slika 4.7 Ubzanje tačke u piodnom koodinatnom sistemu Odje dolazi do deiianja jediničnog ektoa e t koji leži u oskulatonoj anini i to na pesjeku te anine s ektifikacionom (tangencijalnom) aninom. e t (t) Δϕ ( t + Δt) e t Δe t Δϕ ( t + Δt) e n e n (t) Δe n (t) Slika 4.8 Uz izod jediničnog ektoa e t Na osnou slike možemo pisati da je Δ e t = e t (t + Δt) e t (t). Vekto Δ e t je paalelan s ektoom e n i istog smjea, a eličina mu je 1 Δϕ = Δs R K je je e ( t + Δt) = e ( t) = 1 t Pema tome je t. Δs Δet 1 Δs Δ et = en ili = en, (4.3) R Δt R Δt K K 45

58 gdje je R K polupečnik zakiljenosti putanje. Dobiamo da je det 1 = R K e n Δs lim = Δt Δt R K e n. (4.4) Uočaamo iz (4.4) da je deiacija jediničnog ektoa okomita na taj ekto. Uštaajući jednačine (4.4) u (4.) dobiamo izaz za ekto ubzanja a d et + R K e =. (4.5) n Očigledno je da ekto ubzanja ima pojekcije a t i a n na paac tangente i glane nomale - slika 4.7. Intenzitet tangencijalne komponente ubzanja je: a t = d s = d, a nomalne je (4.6) a n =. R K Intenzitet ektoa ubzanja odeđuje se obascem a = d a + n + at =. (4.7) RK ds Veličina a t kaakteizia pomjenu eličine ektoa bzine =, dok a n odeđuje pomjenu paca, definian polupečnikom zakiljenosti R K putanje. Ukoliko je ds >, azlikujemo ti slučaja: 46

59 a) Ubzano ketanje a t > slijedi d = a t > eličina bzine aste a n a a t Slika 4.9 Ubzano ketanje b) Uspoeno ketanje a t < slijedi d = a t < eličina bzine se smanjuje a a n a t Slika 4.1 Uspoeno ketanje c) Jednoliko ketanje a t = slijedi d = eličina bzine je konstantna a = a n = konst. Slika 4.11 Jednoliko ketanje 47

60 Ukoliko je a t = konst., imamo da slučaja: a t > jednoliko ubzano i a t < jednoliko uspoeno ketanje. Na pimje, kod paolinijskog ketanja R K = i pi tome je a n =, to jest ekto a leži na pacu tangente a = a. t a = a t Slika 4.1 Paolinijsko ketanje 4..3 Opisianje ketanja tačke u polanom koodinatnom sistemu Kod ješaanja zadataka iz kinematike, pi ketanju tačke u ani, često se koisti polani koodinatni sistem. U daljnjem azmatanju oganičit ćemo se na ketanje tačke u anini. Za aninski polani koodinatni sistem osi su postaljene u adijalnom i cikulanom (tansezalnom) pacu - slika Posmatajmo ketanje tačke, u odnosu na polani koodinatni sistem Oϕ. Položaj tačke potpuno je odeđen koodinatama = (t) (4.8) ϕ = ϕ(t). y ϕ α = e e ϕ e ϕ=ϕ(t) putanja x Slika 4.13 zina tačke u polanom koodinatnom sistemu 48

61 Vekto položaja tačke je O = = (4.9) e gdje je e = jedinični ekto adijus ektoa. Deiianjem ektoa položaja dolazimo do bzine tačke d d d de = = ( e ) = e +. (4.3) de Deiacija deiia izaz se može odediti na azličite načine, a jedan od njih je taj da se e e = 1 d ( e e ) =, iz kojeg slijedi da je: de e =. de Oaj izaz pokazuje da je e, odnosno d e e, to jest pomjena ektoa d e je okomita na jedinični ekto e, kako je pikazano na slici 4.14 d eϕ e ϕ ( t + ) dϕ de eϕ (t) ω = ϕ ϕ e ( t + ) dϕ e (t) de Slika 4.14 Slika uz izod jediničnog ektoa e 49

62 Iz elementanog tougla slike 4.14 slijedi da je i (4.31) de e d = 1 [ e [ dϕ = dϕ dϕ =. de Pema tome je po analognoj ijednosti jednaka desnoj stani u jednačini (4.31), a usmjeena je nomalno na jedinični ekto e, što se može izaziti e d d ϕ eϕ =, (4.3) gdje je e ϕ jedinični ekto, okomit na ekto e. nalogno bismo dobili na osnou slike 4.14 d e = de ϕ e (oaj ekto je supotnog smjea) de de = (4.33) ϕ eϕ ϕ e = 1ϕ e ϕ = ϕ e. Uštaanjem ijednosti (4.3) u jednačinu (4.3) dobiamo izaz za bzinu d d e + ϕ eϕ =. (4.34) Iz posljednjeg izaza idimo da se bzina sastoji od dije komponente: 1) Radijalne komponente d = e (4.35) čiji je intenzitet = d, 5

63 koja je usmjeena po adijus ektou, a pikazuje bzinu poasta (ili opadanja) eličine adijus ektoa u emenu. ) Cikulana (tansezalna) komponenta dϕ ϕ = e ϕ (4.36) čiji je intenzitet ϕ = dϕ, koja je usmjeena okomito na adijus ekto položaja a po apsolutnoj ijednosti dϕ je jednaka obodnoj bzini otacije. Možemo pisati da je izaz za bzinu Intenzitet bzine je: e ϕ + e = +. (4.37) ϕ ϕ dϕ = () ( ϕ) + = + = +, (4.38) ϕ d a njen paac odeđen je izazima: cos α =, sin α = ϕ. (4.39) Na analogan način možemo odediti i komponente ektoa ubzanja tačke koji je usmjeen pema konkanoj stani putanje - slike y e ϕ e a = e ϕ=ϕ(t) d dϕ d ϕ a ϕ d β a d putanja Slika 4.15 Ubzanje tačke u polanom koodinatnom sistemu x 51

64 Deiianjem izaza za bzinu (4.34) dobit ćemo d d a = = e d de + + d dϕ e ϕ d ϕ + e ϕ dϕ de + ϕ. (4.4) Uštaanjem izaza (4.3) i (4.34) u gonju jednačinu imamo da je: d d a = = e d de + + d dϕ e ϕ d ϕ + e ϕ dϕ de + ϕ (4.41) [ ϕ ] e + [ ϕ + ϕ] e ϕ a =. Na osnou pethodne jednačine zaključujemo da se ekto ubzanja sastoji od dije komponente. 1) Radijalne komponenete koja je odeđena izazom d dϕ a = = ϕ, i (4.4) ) Cikulane komponente ubzanja d dϕ d ϕ a ϕ = + = ϕ + ϕ. (4.43) ko analiziamo pojedine članoe pethodne dije jednačine, zaključit ćemo d da je član ubzanje tačke uslijed njenog ketanja u pacu ektoa položaja, a dϕ je centipetalno ubzanje uslijed obtanja ektoa položaja. d Pi tom obtanju pojaljuje se istoemeno tangencijalno ubzanje ϕ. Član d dϕ je dopunsko ili Coiolisoo ubzanje koje je detaljno objašnjeno u poglalju 5.3. Intenzitet ektoa ubzanja tačke je odeđujemo iz slijedeće elacije 5 a = a a ( ϕ ) ( ϕ ϕ ) = + + +, (4.44) ϕ

65 a njego paac je odeđen elacijom tg β = a ϕ. (4.45) a Opisianje ketanja tačke u cilindičnom koodinatnom sistemu Petpostaimo da se tačka keće po putanji p u postou. Ketanje tačke je odeđeno ako su poznate jednačine = (t) ϕ = ϕ(t) (4.46) z = z(t). ko uz polane koodinate i ϕ u anini uzmeno još i etikalnu udaljenost tačke od te anine, onda imamo cilindični koodinatni sistem. Petpostaimo da putanju tačke pojektiamo na aninu XY i da je ketanje pojekcije pikazano polanim koodinatama i ϕ. Odje dodajemo još i koodinatu z, to jest pojektiamo ketanje na os z. Tako ketanje je identično s ketanjem tačke po izodnici cilindične pošine na kojoj leži postona kiulja p - slika Eliminacijom paameta t iz pih diju jednačina (4.46), dobit ćemo pojekciju putanje u anini XY u obliku f(,ϕ) =. (4.47) Kiulju (4.47) opisuje pojekcija, to jest tačka u kojoj noamala spuštena na aninu XY pobija tu aninu. Oom se moa još pidodati i ketanje u pacu paalele ' s osi z. z z p ϕ k e ϕ e ϕ y x ϕ ' Slika 4.16 zina tačke u cilindičnom koodinatnom sistemu p 1 53

66 zina tačke odeđena je njenim komponentama e + e = ϕ + k z ϕ, (4.48) gdje je: d = adijalna komponeneta, dϕ = ϕ cikulana komponenta, dz z = aksijalna komponenta. Intenzitet ektoa bzine odeđen je jednačinom = + ϕ +, (4.49) z dok je paac odeđen elacijama (, ϕ cos ) =, cos (, ϕ ) = z, cos (, z ) =. (4.5) nalagnim postupkom dolazimo do komponenata ubzanja tačke : a d = dϕ adijalna komponenta, a d dϕ d ϕ = + ϕ cikulana komponenta i d z = a z aksijalna komponenta. Intenzitet ubzanja tačke dat je jednačinom a = a + a ϕ +, (4.51) a z 54

67 a paac sa a ( a a ϕ cos, ) =, cos ( a, a ϕ ) = az, cos ( a, a z ) =. (4.5) a a a a 4..5 Sektoska bzina Petpostaimo da se tačka u tenutku t nalazi u položaju i u tenutku t +Δt u položaju 1. Pi tom ketanju adijus ekto pebiše pošinu tougla O 1 (Δσ). S 1 (t+δt) 1 Δ ϕ t Slika 4.17 Sektoska bzina psolutna ijednost te pošine data je elacijom Δ = 1 Δ σ, (4.53) a tu pošinu možemo smatati ektoom, pa je možemo izaziti kao 1 Δ = Δ σ. (4.54) Sednja bzina poasta te pošine u općem pailu je S W Δσ 1 Δ = = Δt Δt. (4.55) 55

68 Pod sektoskom bzinom podazumijea se pošina koju pebiše adijus ekto u jedinici emena. Ona se dobije kao ganična ijednost sednje bzine S W. S = lim Δt S s = lim Δt Δσ 1 = Δt lim Δt Δ Δt. Kao što nam je poznato, slijedeći oblik: Δt Δ d = = Δt lim, te se pethodna jednačina sodi na dσ 1 S = = (4.56) Vektoski podukt može se tetiati po analogiji sa silom kao statički moment ektoa bzine s obziom na tačku O. S obziom na oaka zaključak, sektoska bzina je poloina statičkog momenta ektoa bzine s obziom na pol O. Vekto sektoske bzine je okomit na aninu tougla O 1 - slika Ukoliko putanja tačke leži u anini, tada adijus ekto i ekto bzine takođe leže u toj anini, pa će pema tome ekto sektoske bzine imati u tom slučaju stalan smje, okomit na aninu putanje. Vekto sektoske bzine možemo pikazati peko pojekcija na osi Descatesoog koodinatnog sistema Oxyz S = = i x x j y y k z z, (4.57) iz koje slijedi da je S x = y z z y S y = z x x z (4.58) S z = x y y x, gdje je dx x = = x 56

69 dy y = = y dz z = = z. ko pomatana tačka izodi ano ketanje, tada se pošina elementanog tougla može izaziti kao 1 dσ = dϕ, a apsolutna ijednost sektoske bzine d σ 1 dϕ =, (4.59) gdje je ϕ(t) polani ugao obtanja adijus ektoa RIJEŠENI ZDCI Zadatak 4.1. Ketanje tačke odeđeno je jednačinama ketanja x = cos ωt y = sin ωt ωt z = h. π Potebno je istažiti zadano ketanje i odediti bzinu i ubzanje tačke. Rješenje: Pojekcija ketanja u anini xy je ketanje po kužnici x + y =, a ako se paameta (ijeme) t odedi iz teće i usti u dugu jednačinu dobit ćemo y = sin π z h, 57

70 što znači da je pojekcija putanje na aninu yz sinusoida, a pojekcija putanje na aninu xz je kosinusoida x = cos π h z z. H h ϕ M z y x M Slika uz zadatak 4.1 Zaključujemo da je putanja tačke zaojnica na aljku. Pojekcije bzine tačke su: a apsolutna eličina bzine je x = dx = ω sin ωt y = dy = ω cos ωt z = dz ω = h, π ω ω + y z. 4π π = + = ω + h = h + 4π x Paac ektoa bzine definian je kosinusima smjeoa cos (,x) = cos (,y) = x y π = sinωt h + 4π π = cosωt h + 4π 58

71 cos (,z) = Pojekcije ubzanja tačke su: z h =. h + 4π a x = a y = a z =, d x dx = d y dy = = ω sin ωt = ω cos ωt a apsolutna eličina ubzanja je a = a + a + a = ω. Paac ektoa ubzanja definian je jednačinama cos ( a a,x) = x = cosω t Zadatak 4.. cos ( a,y) = x cos ( a,z) = y z a a y = sinωt a a z =. a Tačka se keće u anini tako da su joj pojekcije bzine x = 1 t + 5 m/s i y = 3 t 1 m/s. U tenutku t = tačka se nalazila u položaju x = 5 m i y = 1 m. Potebno je odediti položaj, bzinu i ubzanje tačke nakon emena od 3 sekunde. Rješenje: Položaj tačke dobiamo integacijom pojekcija bzina x = dx = 1 t + 5 x = x = 5 t +5 t + C 1 y = dy = 3 t 1 y = y = t 3 1 t + C za t = ; x = 5 slijedi C 1 = 5 ; y = 1 slijedi C = 1. 59

72 Uštaanjem integacionih konstanti imamo da je x = 5 (t + t + 1) y = t 3 1 t 1. Za tenutak emena t = 3s x = 65 m y = 13 m. U tenutku t = 3 pojekcije bzina imaju ijednost x = = 35 m/s y = = 17 m/s. Ubzanje tačke dobiamo na analogan način dx ax = = 1 dy ay = = 6 t za t = 3 s Zadatak 4.3. a x = 1 m/s a y = 6 3 = 18 m/s. Viljuška podiže paletu u jedan isoki egal konstantnom bzinom x =,8 m/s i y =,6 m/s. S koje isine h teba podizati paletu ubzanjem,4 m/s da je podigne na isinu h 1 = 4,5 m. Koju će bzinu i ubzanje paleta imati na isini od y = 4,4 m? Rješenje: Ubzanje u oba paca Ox i Oy a x = a y = a x = Ox y = a + Oy x = Ox t y = a t + Oy t + h. 6

73 ko iz pethodnih jednačina eliminiamo paameta emena, dobit ćemo jednačinu putanje. x t = U isini h 1 = 4,5 m je Ox a Oy y = x + x + h Ox =. Ox y = za t = t 1 y = h 1 t 1 = Oy,6 = = 1, 5 s Slika uz zadatak 4.3 a a t,4 h = h 1 Oy t 1 1,4 h = 4,5 1,5,6 1,5 h = 4,5 m. y m 4,5 4,4 4,3 4, 4,1 4, a t δ δ h y x a n 3,5,,4,6,8 1, 1, a x m Putanja tačke (palete) iz zadatka 4.3 U tenutku t isina na kojoj se paleta nalazi je y = 4,4 m. ješenje gonje jednačine a Oy t a y = t + Oy t + h ( y h ) + a = t t = Oy a a Oy ( y h ) a t =,793 s y =,4,793 +,6 =,83 m/s 61

74 x =,8 = y + =,849 m/s. Rezultiajuće..ubzanje a = a y =,4 m/s. Ugao kog gadi ekto bzine sa hoizontalom δ = 19,47 Ukupno ubzanje možemo azložiti na komponenete a n = a cosδ =,377 m/s a t = a sinδ =,133 m/s. Polupečnik kiine na tački y = 4,4 m je a R K = = = 1,911m. n,849,377 Zadatak 4.4. Ketanje tačke u anini Oxy dato je jednačinama x = + 1 cos y = sin πt 5 πt 5, gdje su koodinate x i y date u mm, a ijeme t u sekundama s. Odediti putanju, bzinu, ubzanje i zakon ketanja tačke po putanji! Rješenje: y C a s ϕ x Slika uz zadatak 4.4 6

75 Eliminacijom paameta emena t dobiamo jednačinu putanje (x ) + (y 3) = 1, koja pedstalja kužnicu polupečnika = 1 mm. zina tačke a njen intenzitet izazom x = dx = 4π sin y = dy = 4π cos πt 5 πt 5 = + = 4π mm/s. x y Zakon ketanja tačke po putanji s = ϕ = t 4π = 4πt. Kako je = 4π = konst., ubzanje je jednako a = a n = = 1,6π mm/s., Zadatak 4.5. Paac p obće se u hoizontalnoj anini oko osi koz tačku i pi tome siječe nepomičnu kužnicu polupečnika. (Njen početni položaj je stanje mioanja p. Ugao što ga paac gadi sa sojim početnim položajem mijenja se po zakonu gdje je c - konst. ϕ = accos d c ϕ 63

76 Odediti bzinu i ubzanje tačke P koja je pesjecište između paca i kužnice u funkciji ugla ϕ i za položaj kada je ϕ = π. ϕ P p p Slika uz zadatak 4.5 Rješenje: Usojimo Descateso koodinatni sistem i odedimo položaj tačke P ϕ ϕ a y x y a ax x P y p Slika uz ješenje zadataka 4.5 x P = (1 + cos ϕ) y P = sin ϕ. Pojekcije bzine i ubzanja tačke P odeđujemo deiianjem pethodnih jednačina 64 x = y = a x = a y = dx P dx P dx P d x = ϕ sin ϕ = ϕ sin ϕ = ϕ sin ϕ = 4 ϕcosϕ ϕ sin ϕ.

77 Ugao ϕ se mijenja po zakonu d ϕ = c cosϕ d ϕ = c cosϕ Nakon azdajanja pomjenjiih i integianja slijedi da je ϕ = c sinϕ.. Uštaanjem u izaze za bzinu i ubzanje tačke P imamo da je = a = x + y = a csinϕ + a = c sin x y ϕ za ϕ = π = c [m/s] a = 8c [m/s ]. Zadatak 4.6. Pojektil se izbaci iz tačke O početnom bzinom = 5 m/s pod uglom od α = 4. ko je bdo nagiba β = 15, odediti domet pojektila i ijeme za koje će pojektil pasti. y P α β x P x Slika uz zadatak

78 Rješenje: Jednačine ketanja kosog hica dobiamo iz izaza za bzinu x = cosα y = sinα g t. Nakon integacije gonjih jednačina imamo da je x = t cosα y = t sinα 1 g t. Eliminacijom paameta emena t dobiamo jednačinu putanje pijektila y = x tgα g x cos Jednačina paca (bda) je y = tgβ x. U tački pada P pijektila imamo da je y = y gx cos α + x tgα = x tgβ α gx x ( tgα tgβ ) = cos α Seđianjem gonje jednačine imamo jednačinu.. x cos α( tgα tgβ ) x = g, čije je ješenje x = odnosno domet pojektila β cos α( tgα tg ) g, Vijeme pada pojektila α α g cos β x cos ( ) OP = D = tg tg = = 177 m. cos β β 66

79 t = t = x cos α( tgα tgβ ) = cosα cosα g cosα( tgα tgβ ) g t = 44,6 s. Zadatak 4.7. Kuglica se izbacuje iz tačke početnom bzinom, kao što je pikazano na slici. Pložaj tačke je (x =, y =,8 m). Kuglica pada u tački čiji je položaj x = 1, m y =. Odediti eličinu bzine kojom teba izbaciti kuglicu, ijeme pada kuglice, i ugao koji zauzima bzina kuglice u tački sa hoizontalom. y,8m 1,m α x Slika uz zadatak 4.7 Rješenje: Ubzanje i bzina kuglice je: a x = x = a y = g y = g t. Položaj kuglice odeđen je jednačinama x = x + t gt y = y. Za ijeme kada kuglica stigne u tačku imamo da je: t = t x = x + t = 1, m 67

80 t = gt = y,8 = =, 44 s. g 9,81 y = y Za x = = x 1, = =, 97 m/s. t,44 Ugao bzine u tački Zadatak 4.8. gt 9,81,44,97 y tg α = = = = 1, 334 x α = actg ( 1,334) α = 53,1. Vozilo se keće po mostu tako da njegoo težište S opisuje paabolu y =,5 x, a peđeni put po paaboli mijenja se po zakonu s = 3 t 9t + 6t. Odediti bzinu i ubzanje težišta ozila u tenutku kada dođe u tjeme paabole a da bzina u tom tenutku ima najmanju ijednost. y S a x Rješenje: Slika uz zadatak 4.8 zina i ubzanje ozila je = ds = t 18t + 6 a t = d = 4t 18 a n =. R K 68

81 Polupečnik zakiljenosti R K = ( 1+ y y 3 ) gdje je y = =,1x y = =, 1 R K = dy (1 +,1x ),1 3 / U tjemenu paabole x = R K = 1 m. zina u tom položaju ima najmanju ijednost. d y Pi tome je d = 4t 1 18 = t 1 = 18 = 4,5 s. 4 1 = t 1 18t = 19,5 m/s a t = d = a = a n = (19,5) = 3, 8 1 R K = m/s. Zadatak 4.9. Tačka keće se po kugu polupečnika = 9 m, a pomjena peđenog puta tačke je s = 3t 9 m. Nakon emena t = 1,8 s odediti položaj tačke, njenu bzinu i ubzanje. y y s ϕ x x Slika uz zadatak

82 Rješenje: Do položaja tačke dolazimo peko peđenog puta Položaj tačke ds = dϕ 9t ds dϕ = ω = dϕ 1 ds = ds = sljedi da je ω = 9 1 9t = t s 1 ε = d ϕ dω = = t s s 3t 9 9 s = ϕ ϕ = = = 1 ad. 3 3 t 3 3 t x = cos ϕ = cos ( 3 1) = 5,8 m 3 t y = sin ϕ = sin ( 3 1) = 7,8 m. zina tačke x = dx = sin ϕ dϕ = t 3 t sin ( 1) = 3,617 m/s 3 y = dy = cos ϕ dϕ = t 3 t cos ( 1) = 17,1 m/s. 3 Ubzanje tačke d a x = x dϕ d ϕ = cos ϕ sin ϕ a x = t [t t t cos ( 1) + sin ( 1)] = 81,66 m/s 3 3 d a y = y dϕ = sin ϕ t 3 3 t sin( 1) 3 3 t a y = t [ cos ( 1) t 3 3 t sin ( 1)] = 57,51 m/s

83 Zadatak 4.1. Ručica pikazana na skici obće se od ϕ = konstantnom ugaonom bzinom ω =3, s 1. Na učici je masa koja se keće po učici od ϕ m Slika uz zadatak 4.1 polupečnika = mm s ubzanjem a =,5 m/s. Kada je ϕ 1 = 3, odediti bzinu i ubzanje mase i polupečnik kiine putanje mase. Rješenje: Za početni položaj ϕ = ijedi da je: = a ϕ = = = a t + ϕ = ω ϕ = ω = 1 at + ϕ = ω t + ϕ Za položaj ϕ 1 ijeme t 1 t 1 = ϕ1 ϕ 3 = ω 3,5 = 1, s. Položaj mase i njena bzina je δ = 7,44 ε = 59,56 a 1 = 1 t + = 1,5 1, +, =,573 m, = a t 1 =,5 1, =,611 m/s, ϕ = 1 ω =,573 3, = 1,719 m/s, = + = 1,85 m/s. ϕ 71

84 δ m ε p Slika uz odeđianje bzine m a 3 a n β a a t ε a p Slika uz odeđianje ubzanja a a = ω Za tenutak emena t 1, gdje je ϕ 1 = 3 imamo da je: a =,5,573 3, a = 4,657 m/s a ϕ = ω + ϕ a ϕ =, a ϕ = 3,666 m/s a = a + = 5,97 m/s a β = actg ϕ = 38,1 7 a ϕ a γ = 5 β = 11,79.

85 Tangencijalna i nomalna komponeneta ubzanja je a t = a cos (γ + ε) a t = 1,895 m/s a n = a sin (γ + ε) a n = 5,616 m/s. Polupečnik putanje ima ijednost R K = a n = 1,85 5,616 R K =,593 m. Zadatak Industijski obot s ti osi može se tanslatono pomjeati u pacu osi z i i obtati se oko osi ϕ(z). Džač uke obota keće se u pacu osi z konstantnom bzinom z i ujedno se obće ugaonom bzinom ω. Ruka s pihatnicom na kaju u adijalnom pacu keće se bzinom. ko je pihatnica u početnom tenutku t = bila u položaju =, z = z, ϕ = odediti položaj, bzinu i ubzanje pihatnice! z z ϕ ω y o x Industijski obot s ti osi 73

86 Rješenje: Kako je = d dz =, = ω = dϕ = ω = const. z = z (za cilindični koodinatni sistem) integacijom gonjih jednačina dobit ćemo z O z y q ϕ e z e ϕ e x = + Komponenete bzine pihatnice su: Slika uz zadatak 4.11 t, ϕ = ω t, z = z + t. =, ϕ = ϕ = ( + t ) ω, z = z = z a komponenete ubzanja pihatnice imaju ijednost, a = ϕ = ( + t ) ω, a ϕ = ϕ = ω i a z =. 74

87 4.4. ZDCI Z RJEŠVNJE Zadatak 4.1. Ketanje tačke dato je jednačinama x = 4 t + 3 y = 3 t + gdje su koodinate x i y date u m, a ijeme t u sekundama. Odediti putanju tačke, bzinu tačke i ubzanje! Zadatak Rješenje: 3 x y = x = 8t y = 6t a x = 8 a y = 6. Štap, koji je u početnom tenutku ležao na osi x, pomjea se naiše konstantnom.bzinom i doodi u ketanje psten P duž nepomične paabole čija je jednačina y y = 4x. Odediti bzinu i ubzanje pstena P i polupečnik zakiljenosti paabole u funkciji x i y! o ϕ P O y = 4 x x Slika uz zadatak 4.13 Rješenje: = a = R K = 1 + x (1 + x) sinϕ. 75

88 Zadatak Ketanje tačke odeđeno je jednačinama x = (k t sin kt) y = (k t cos kt). Odediti bzinu i ubzanje tačke! Rješenje: = k sin kt a = k. Zadatak Zno izbačeno iz cijei topa, koji stoji u podnožju bda čija je pošina nagnuta pod uglom β = konst. pema hoizontali keće se saglasno jednačinama x = t cos α y = t sin α 1 gt. Odediti ugao α pod kojim teba izbaciti zno da bismo postigli najeći domet! y o α β x Slika uz zadatak 4.15 Rješenje: α = π β

89 ZDTK 4.16 Poluga O obće se konstantnom ugaonom bzinom ω = dϕ i doodi u ketanje klizač. Odediti ukupno ubzanje klizača ako su ostali podaci dati na slici. ϕ b b O Slika uz zadatak 4.16 Rješenje: a = a + aϕ = 4ω b. Zadatak Doboš se obće konstantnom ugaonom bzinom ω. Polupečnik doboša je. Na doboš se namotaa uže tako da se tačka C uče po podlozi kao što je pikazano na slici. Odediti bzinu i ubzanje tačke C kaja užeta u funkciji ugla ϕ. ω C O Slika uz zadatak 4.17 Rješenje: ω = cosϕ a C = ω 3 tg ϕ cosϕ. 77

90 Zadatak Tačka keće se po elipsi suglasno jednačinama x = a cos ωt y = b sin ωt. Odediti bzinu i ubzanje tačke u tenucima kada se tačka nalazi na koodinatnim osima! y a y b 3 O a 4 x 1 x Slika uz zadatak 4.18 Rješenje: = ω a + b a = ω x + y Zadatak Ketanje tačke u anini zadano je jednačinama ketanja = t n ϕ = 4. gdje je ( u m, ϕ u ad, ijeme t u s) Odediti tajektoiju, bzinu i ubzanje u tenutku t = s! Rješenje: ϕ = 8 hipebolna a = 3 m/s a ϕ = 64 m/s = 8 5 m/s. spiala 78

91 Zadatak 4.. Ketanje tačke zadano je jednačinama x = cos ωt y = sin ωt z = ζ t gdje su, ω i ζ konstante. Odediti bzinu i ubzanje tačke! Rješenje: = ω + ζ a = ω. Zadatak 4.1. Poluga O motonog klipnog mehanizma obće se tako da se ugao što ga gadi s pacem O mijenja po zakonu ϕ = ω t. Dužine su O = = a. Potebno je odediti: a) jednačine ketanja tačke M poluge ako je M = M, b) jednačinu putanje tačke M i c) bzinu i ubzanje tačke M. y M O ϕ x Slika uz zadatak 4.1. Rješenje: a) x = 3a cos ωt y = a sin ωt x b) = 1 9a + a y c) = aω 9 sin ωt + cos ωt a = ω = x + y 79

92

93 Složeno ketanje tačke 5.1. RELTIVNO, PRENOSNO I PSOLUTNO KRETNJE TČKE Složeno ketanje tačke je tako ketanje pi kojem tačka istoemeno učestuje u da ili iše ketanja. ko se tačka keće u odnosu na pomični koodinatni sistem O 1 x 1 y 1 z 1, a isti koodinatni sistem se keće u odnosu na nepomični koodinatni sistem Oxyz, za tačku kažemo da ši složeno ketanje, slika 5.1 z ξ z 1 ( M ) η β ρ O 1 y 1 o1 ϕ O x 1 N ζ y x Slika 5.1 Relatino, penosno i apsolutno ketanje 79

94 Tijelo (M) može šiti bilo kako ketanje u odnosu na nepomični koodinatni istem Oxyz. Ketanje kutog tijela (M) može se azložiti na tanslatono ketanje pola O 1 i sfeno ketanje tijela oko tog pola. Iz oog slijedi da su jednačine ketanja tijela (M) odeđene izazima x O 1 = x O 1(t) y O 1 = y O 1 (t) z O 1 = z O 1 (t) (5.1) ψ = ψ(t) ϕ = ϕ(t) θ = θ(t), gdje su: x O 1, y O 1 i z O 1 koodinate pola O 1, a ψ, ϕ i θ Euleoi ugloi koje gade osi ξ, N i ζ, kao što je pikazano na slici 5.1. Ketanje tačke u odnosu na pomični koodinatni sistem O 1 ξηζ (koji je kuto ezan za tijelo (M) i s tijelom se keće), to jest u odnosu na tijelo (M), naziamo elatinim ketanjem tačke. zina i ubzanje tačke u odnosu na oaj sistem je njena elatina bzina i elatino ubzanje a. Ketanje tačke u odnosu na nepomični koodinatni sistem Oxyz nazia se apsolutnim ketanjem tačke. zina i ubzanje tačke u odnosu na oaj sistem je njena apsolutna bzina i apsolutno ubzanje a. Ketanje poketnog koodinatnog sistema O 1 ξηζ (to jest tijela (M) u odnosu na nepoketni koodinatni sistem Oxyz) pedstalja penosno ketanje s tačkom. zina i ubzanje one tačke poketnog sistema O 1 ξηζ (to jest tijela M) koja se u datom momentu poklapa s poketnom tačkom, pedstalja penosnu bzinu p i penosno ubzanje a p tačke. Osnoni zadatak poučaanja složenog ketanja tačke sastoji se u postaljanju zaisnosti između bzina i ubzanja apsolutnog, penosnog i elatinog ketanja. Zakon elatinog ketanja tačke u odnosu na pomični sistem odeđen je ektoskom jednačinom u obliku ρ = ρ () t = ξ () t i + η () t j + ζ () t k (5.) gdje su: i 1, j, 1 k1 jedinični ektoi osi pomičnog koodinatnog sistema O 1 ξηζ. Zakon ketanja tačke u odnosu na nepomični koodinatni sistem dat je jednačinom = () t = x () t i + y () t j+ z () t k (5.3) gdje su: i, j, k jedinični ektoi osi nepomičnog koodinatnog sistema Oxyz. 8

95 o 1 Jednačina (5.3) je istoemeno i zakon apsolutnog ketanja tačke. Između elatinog, apsolutnog i penosnog ketanja postoji zaisnost koja je definiana sljedećim izazom = 1 + ς. (5.4) O M ko su poznate jednačine (5.1) penosnog i elatinog ketanja (5.), iz jednačina (5.4) može se dobiti jednačina apsolutnog ketanja. 5.. TEOREM O SLGNJU RZIN Izest ćemo ektoski izaz za bzine pi složenom postonom ketanju tačke koje se sastoji od elatinog ketanja u odnosu na pomični koodinatni sistem O 1 ξηζ i penosnog ketanja zajedno s tim sistemom, uz petpostaku da je pomični koodinatni sistem ezan za kuto tijelo koje ši poizoljno ketanje u postou u odnosu na nepomični sistem Oxyz. U općem slučaju ketanje slobodnog tijela M je složeno i možemo ga astaiti na jednu tanslaciju zajedno s polom O 1, i na jedno sfeno ketanje oko pola O 1. Sfeno ketanje možemo pomatati kao obtanje oko tenutne obtne osi O 1 P (slika 5.) koja polazi koz pol O 1. Ugaonu bzinu, koja je usmjeena duž tenutne obtne osi O 1 P, označit ćemo, pošto se odnosi na penosni koodinatni sistem, sa ω P, a analogno tome i ugaono ubzanje tog sistema označit ćemo sa ε P. x z apsolutna putanja tačke O i k O ξ x 1 j k 1 z 1 O 1 P elatina putanja p ρ j 1 ω i 1 N ζ o1 η y y 1 p o1 = ω, ρm Slika 5. Slaganje bzina 81

96 Pi ketanju tačke koodinate ξ η ζ mijenjaju eličinu, a jedinični ektoi i1 j1, k1 mijenjaju paac, što znači da se ekto ρ mijenja po pacu i eličini. Da bismo našli ezu između apsolutne, penosne i elatine bzine, pođimo od jednačine (5.4) i difeenciajmo je po emenu. Tada dobiamo d do = dξ dη dζ + i1 + j1 + + di1 dj1 k1 ξ + + η ζ dk 1 1. (5.5), U jednačini (5.5) do 1 O 1 d = = apsolutna bzina tačke (bzina u odnosu na Oxyz), a = = apsolutna bzina početka pomičnog koodinatnog sistema O 1 ξηζ. Rezultat deiianja ektoa položaja zagadama jednačine (5.5) možemo tansfomiati di ξ dj dk [ ξ ( ωp i1 ) + η ( ωp j1 ) + ζ ( ωp k )] = ωp ρ η + ζ = 1 daje dije gupe komponenata. Izaze u 1, (5.6) Pema tome suma d di dj dk + ξ, ρ η + ζ = O + [ ωp ] = 1 P (5.7) O1 1 odeđuje bzinu penosnog ketanja. Iz jednačine (5.7) slijedi da se bzina penosnog ketanja sastoji od bzine tanslatonog ketanja, koja je jedanaka bzini tačke O 1, i od bzine koja je ujetoana obtanjem pomičnog sistema O 1 ξηζ tenutnom ugaonom bzinom ω P. Duga gupa izaza u zagadi dξ dη dζ i1 + j1 + k1 = (5.8) daje bzinu tačke pi konstantnim osnonim jediničnim ektoima i, j, k, to jest njenu elatinu bzinu. Pema tome, jednačina (5.5) je analitički izaz teoeme o sastaljanju bzina, to jest 8 = P* + +. (5.9)

97 Jednačina (5.9) izažaa teoemu o slaganju bzina i ona glasi: psolutna bzina tačke koja ši složeno ketanje jednaka je ektoskom zbiu njene penosne i elatine bzine. Ukoliko su poznate eličine ektoa penosne i elatine bzine i ugao α između oa da ektoa, onda do intenziteta ektoa apsolutne bzine dolazimo pomoću jednačine = + + cosα. (5.1) P P 5.3. TEOREM O SLGNJU URZNJ Da bismo odedili ezu između apsolutnog, penosnog i elatinog ubzanja, pođimo od izaza (5.5). Deiianjem izaza (5.5) po emenu dobiamo izaz za apsolutno ubzanje tačke. d d di d j dk O d d d = a = i1 j1 k1 + ξ + η + ζ ξ η ζ + dξ di1 dη dj1 dζ dk Pi član na desnoj stani jednačine (5.11) d. (5.11) d O O1 1 a = = apsolutno je ubzanje početka pomičnog kodinatnog sistema O 1 ξηζ. Pi izaz u zagadi jednačine (5.11) dobia se matematički, uz uslo da je ξ = const.,η = const., ζ = const., i zato je d i1 d = [ ωp, i1] = [ εp, i1] + [ ωp, [ ωp, i1] ] d i1 d j1 dk 1 ξ + η + ζ = ε ρ + ω ω ρ [, ] [,[, ]] P P P O1 (5.1) Pa gupa komponenata odeđuje dio penosnog ubzanja uslijed obtanja pomičnog kodinatnog sistema O 1 ξηζ u odnosu na nepomični koodinatni sistem Oxyz. Ukupno penosno ubzanje sastoji se od ubzanja tanslatonog ketanja sistema O 1 ξηζ (ubzanje tačke O 1 ) i ubzanja uslijed obtanja pomičnog sistema, to jest O1 O1 [ ] ( ) ( ) a = a + + = a + a + a [ ε ρ ] ω [ ω ρ ],,,. (5.13) P O1 P P P O1 n t 83

98 Dugi izaz u zagadi jednačine (5.11) nije ništa dugo nego ubzanje tačke u odnosu na pomične osi, to jest elatino ubzanje (uz petpostaku da jedinični ektoi i 1, j, 1 k1 ne mijenjaju paac) d ξ d η d ζ a = i1 + j1 + k 1. (5.14) z ξ Q k 1 ε p O 1 z 1 P ω p i 1 j 1 o ( a ) n ρ o a ω p a co o ( a ) t a p η a y 1 a x k O x 1 N i j ζ y Slika 5.3 Slaganje ubzanja 84

99 Teći izaz u zagadi jednačine (5.11) pedstalja uzajamno djeloanje penosnog i elatinog ketanja, a nazia se Coiolisoo * ubzanje a Co. a Co dξ di d dj d dk 1 η 1 ζ 1 = + + dξ dη dζ = ωp i1+ ωp j1+ ωp k 1 = dξ dη dζ = ωp i1+ j1+ k1 = P a = ω,. [ ] Co P = [ ω ], (5.15) Coiolisoo ubzanje jednako je dostukom ektoskom poizodu ektoa ugaone bzine obtnog penosnog ketanja i ektoa elatine bzine tačke u odnosu na pomični koodinatni sistem. Iz jednačine (5.15) zaključujemo da se Coiolisoo ubzanje pojaljuje kao posljedica pomjena elatine i penosne bzine. Uslijed elatinog ketanja tačke mijenja se penosna bzina tačke, a uslijed obtnog penosnog ketanja dodatno se mijenja paac elatine bzine u odnosu na nepomièni koodinatni sistem. Jednačinu (5.11) možemo napisati u skaćenom obliku a a P + a + a =. (5.16) Co psolutno ubzanje tačke pi složenom ketanju jednako je geometijskoj sumi penosnog, elatinog i Coiolisoog ubzanja. Oaj teoem se nazia Coioliso teoem. Veličina ektoa a Co odeđena je izazom P, a Co = ω P sin ( ω ). (5.17) Paac i smje ektoa a Co odeđuje se po pailu ektoskog poizoda daju ektoa - slika 5.4. Ukoliko je ω, tada je sin ( ω, ) = 1, te imamo P P (5.18) a Co = ω P. * Fiziča i inženje Gaspad Gustae de Coiolis,

100 a co a co Slika 5.4 Paac i smje Coiolisoog ubzanja U tom slučaju ektoi ω P, i a Co su međusobno okomiti. Možemo zaključiti da pailo paalalogama o zbajanju ektoa ne ijedi za sastaljanje ubzanja, osim kada je a Co =. Coiolisoo ubzanje će biti jednako nuli ako je: a) ω P =, to jest ako se pomični koodinatni sistem keće tanslatono u odnosu na nepomični koodinatni sistem, b) =, to jest ako se tačka ne keće u odnosu na pomični koodinatni sistem, c) sin ( ω P, ) =, to jest ako su ektoi ω P, paalelni RIJEŠENI ZDCI Zadatak 5.1. ω 9 el ω Kolica K keću se anomjeno ubzano po paolinijskoj dionici puta ubzanjem a K = m/s. Niz stmu aninu kolica koja je nagnuta pod uglom α = 45 keće se kuglica anomjeno ubzano ubzanjem a M = m/s u odnosu na kolica. Odediti bzinu i ubzanje kuglice u odnosu na nepomični koodinatni sistem Oξη, ako su u početnom tenutku kuglica i kolica mioali, a kuglica se nalazila u tački kolica. Odediti jednačinu tajektoija kuglice ako je poznata isina h tačke. el y η h M a a p p a M α M ζ x Slika uz zadatak

101 Rješenje: Ketanje kuglice M u odnosu na sistem Oξη je njeno apsolutno ketanje, dok je ketanje kuglice M po kolicima K (u odnosu na kolica) elatino ketanje. Ketanje kolica za kuglicu M pedstalja penosno ketanje. Zaključujemo da je penosno ubzanje a P = a K = m/s. Kuglica M u odnosu na kolica keće se po paoj liniji pa je elatino ubzanje kuglice a = a M = m/s. Coiolisoa komponenta ubzanja a Co = [ ωp, ] = je je penosno ketanje tanslatono, te slijedi da je ωp =. psolutno ubzanje kuglice M a M = a + a. P Na osnou slike zaključujemo da je intenzitet apsolutnog ubzanja a M = a + a + a a cos ( a, a ) P a M = ( ) + cos45 P + = 1 m/s. P Da bismo odedili apsolutnu bzinu kuglice, pođimo od činjenice da za paolinijsku tanslaciju ijedi d d P P = a P ap =. Nakon integacije pethodnih jednačina imamo P = t + C 1 = t + C. Integacione konstante C 1 i C odedit ćemo iz početnih ujeta. Za t = kuglica je mioala P = =, pa slijedi C 1 = C =, 87

102 te dobiamo P = t = t. psolutna bzina kuglice M jednaka je M = +, P a njen intenzitet M = + + cos (, ) P M = ( t) ( t) + t t cos45 P P + = 1 t m/s. Da bismo odedili jednačinu tajektoija kuglice u odnosu na nepomični koodinatni sistem Oξη, pimijetimo da je ξ η =. d d = ( M ) ( ) ξ M η Na osnou slike idimo da su pojekcije apsolutne bzine kuglice M na osi Oξ i Oη ( M ) ξ = P + cos45 = 3 t ( M ) η = sin45 = t Uštaanjem u gonje jednačine dobit ćemo dξ = 3t dη = t. Integacijom pethodnih jednačina imamo ξ = 3 t t + C 3 η = C 4. Integacione konstante C 3 i C 4 odeđujemo iz početnih usloa za t = ξ = η = h, te slijedi C 3 = i C 4 = h. 88

103 Uštaanjem integacionih konstanta imamo da je ξ = 3 t t η = h. Eliminacijom paamata emena t iz oih jednačina ketanja kuglice M dobiamo putanju kuglice M u odnosu na nepomični sistem Oξη η = h ξ. Zaključujemo da je tajektoij kuglice M paac. Zadatak 5.. Rani mehanizam pikazan na slici sastoji se od poluga O 1 i O dužina,4 m i ploče u kojoj je uezan žlijeb polupečnika =,16m. Poluge se obću oko osi koz tačke O 1 i O po istom zakonu ϕ = 4 π t 3 adi. U žlijebu se keće kuglica po zakonu s = 8πt m. Odediti apsolutnu bzinu i ubzanje kuglice u tenutku t = 1s ako je O 1 O =. O ϕ O 1 ϕ s M Slika uz zadatak 5. Rješenje: Za cijelo ijeme ketanja poluge O 1 i O ostaju paalelne te ploča ši tanslatono ketanje. psolutna bzina kuglice M je M = P + 89

104 gdje je: intenzitet penosne komponente bzine p = = O dϕ = 3t π, a intenzitet elatine komponente bzine = ds = 16πt. O ( a p ) t x ( a p ) n ( )t a p ( a ) n y Intenzitet apsolutne bzine tačke M je Slika uz ješenje zadatka 5. ( ) + ( ) = +. M = M x M y P P za tenutak t = 1s ϕ = 4 π M = 5,73 m/s. Pošto je penosno ketanje tanslatono ubzanja sih tačaka ploče su jednaka, to je i ubzanje one tačke ploče koja se poklapa s tačkom M jednako ubzanju tačke. a P =. ( a P ) n + ( a P ) t = ( a ) n + ( a ) n Intenziteti penosne komponente ubzanja za t = 1s je d (a P ) t = O ϕ 3 = O π t =,6π m/s 4 9

105 (a P ) n = O dϕ, 9 = 4 π m/s Relatino ketanje je ketanje po polukužnom žlijebu adijusa =.16 m, te je elatina komponenta ubzanja a = ( a ) n + ( a ) t pi čemu su intenziteti za t = 1s d (a ) t = psolutno ubzanje kuglice M je s = 16π m/s (a ) n = = 16π t m/s = 16π m/s. a M = a + a + a. P Co Pošto je penosno ketanje tanslatono P = jednako nuli a Co =. Intenzitet apsolutnog ubzanja je ω, slijedi da je Coiolisoo ubzanje gdje je a M = ( a ) + ( a ) M x P y (a M ) x = (a ) n + [(a P ) n (a P ) t ] =,46 m/s (a M ) y = (a ) t + [ (a P ) n (a P ) t ] = 4,788 m/s a M =,46 + 4,788 = 4,8 m/s. Zadatak 5.3. Kod mehanizma pikazanog na slici leta I keće se ubzano naiše i u tenutku kad je α = 3 ima bzinu 1 = 3 m/s i ubzanje a 1 = 3 m/s. U istom tenutku kaj lete II udaljen je od paca lete I za astojanje O, a kaj lete II ima bzinu = 5 m/s i uspoenje a = 1 m/s. U pikazanom tenutku odediti ugaono ubzanje kulise III i ubzanje kalema u odnosu na kulisu. 91

106 y I III a 1 α 1 O II a x Slika uz zadatak 5.3 Rješenje: Penosno ketanje za tačku u datom tenutku pedstalja ketanje one tačke kulise s kojom se u tom tenutku poklapa tačka. Pošto kulisa ši ano ketanje P = + = 1 +. Pema teoemu o slaganju bzina za tačku apsolutna bzina je to jest P = + P + = + = 1 (I) 1 α η a 1 α η ( ) a co a ( a ) n a ( a ) t ζ ζ Slika uz ješenje zadatka 5.3 9

107 Pojektujmo jednačinu I na osi Oξ i Oη dobit ćemo Iz gonjih jednačina dobiamo cosα = 1 sinα + sinα = + cosα. Penosna ugaona bzina = cosα + 1 sinα = 3 3 m/s = sinα cosα = 1 m/s. Ubzanje tačke je 3 1 ω P = = s. a = a + a P + a Co psolutno ubzanje tačke je a a =. Coiolisoo ubzanje a Co = ω [, ] a Co = ω P sin9 = 3 m/s. Penosna komponenta ubzanja P a = a + a P + a Co = gdje je a a ( a ) n = P ap a + ( a ) n + ( a ) t ω = 4,5 m/s =. (II) Pojektoanjem jednačina II na osi ξ i η dobiamo 93

108 a cosα = a 1 sinα + ( a ) t a Co a sinα = a + ( a + a 1 cosα. ) n Iz gonjih jedančina dobit ćemo ( ) t a = a Co + a 1 sinα a cosα = 3 m/s a = a sinα a 1 cosα ( a ) n = 6,5 m/s. Kako je poznato ( a, nalazimo ) t ( a ) 3 ε = t P = s. 6 Zadatak 5.4. Remenica pilazana na slici obće se ugaonom bzinom ω i dobia tenutno ugaono ubzanje ε = 1 s. štap O, pičšćem je za emenicu u tački O 1 i ima ugaono ubzanje ε 1 = 18 s, a tačka elatinu bzinu = 1 m/s. Odediti apsolutno ubzanje tačke u tenutku kada osi obtanja O 1 i O poluge O 1 i emenice leže na istoj etikali! Zadani su podaci: O 1 =,3 m OO 1 =,5 m O =,4 m n = 1 /min. t a n ε 1 a t a n p a p a co ε ω Slika uz zadatak 5.4 Rješenje: psolutno ubzanje tačke je a a = ap a + a + a + a Co = ( P ) ( P ) + ( a ) + ( a ) + aco. (I) n t n t 94

109 Intenziteti komponenata ubzanja (a P ) t = O ε =,4 1 = 4,8 m/s (a P ) n = O ω =,4 (4π) = 64 m/s (a ) t = O 1 ε 1 =,3 18 = 5,4 m/s (a ) n = 1 = O,3 1 = 3,3 m/s a Co = ω P = 4 π 1 = 5 m/s Pojektoanjem jednačine (I) na osi Ox i Oy imamo Intenzitet apsolutnog ubzanja Zadatak 5.5. (a ) x = (a P ) t + (a ) n + a Co (a ) y = (a P ) n (a ) t. a = ( a ) ( ) x + a y a = ( a ) + ( a ) + a + a a = 67,3 m/s [ ] [( ) ( ) ] P t n Co P n t Tačka M keće se jednoliko duž izodnice etikalnog konusa, od tjemena pema osnoi, elatinom bzinom. Os konusa je O. Ugao konusa je α. U tenutku t = astojanja OM = b. Konus se obće oko osi O konstantnom ugaonom bzinom ω. Odediti apsolutnu bzinu i apsolutno ubzanje tačke M u poizoljnom tenutku emena. O α b M o t a M R ( a p ) n a co p ω M Slika uz zadatak

110 Rješenje: Relatino ketanje tačke M je paolinijsko jednoliko ketanje, pa je u oom slučaju a 1 = ds = te je s = b + t. Penosno ketanje tačke M je jednoliko kužno ketanje ω P = ω = const. po kugu polupečnika R = s sinα = (b + t) sinα. Penosna bzina P = R ω P = (b + t) ω sinα. Vektoi P i zataaju ugao od 3 te je Penosna komponenta ubzanja Intenzitet Coiolisoa ubzanja M = + = + ( b + t) sin α ω P. a P = (a P ) n = R ω = (b + t) ω sinα. a Co = ω P sinα = ω sinα. Vektoi ( a ) n P i a Co zataaju ugao od 9, te je intenzitet apsolutnog ubzanja a M = ω ω ( b + t) + 4 sinα. Zadatak 5.6. Ploča pikazana na slici obće se ugaonom bzinom ω =, s 1 i ima ugaono ubzanje ε = 3, s. U ploči su uezani žljeboi u koje se ubacuju kuglice, i C bzinama = 1, m/s i imaju ubzanje a =,5 m/s u odnosu na ploču. Kuglica ide pema goe, kuglica desno i kuglica D lijeo. ko je = 1, m, odediti apsolutno ubzanje kuglica, i C. 96

111 45 O D Rješenje: Ubzanje apsolutno za se kuglice a = a + a + a. P Slika uz zadatak 5.6 Co Penosno ketanje je obtanje ploče, a elatino ketanje je ketanje kuglica u žljebu. Za se tačke gdje je Za tačku slijedi: a = a P + a + a Co (a P ) n = ω = 4, m/s (a P ) t = ε = 3, m/s a Co = ω = 4,8 m/s. a =,5 m/s a =,5 m/s. ( a p ) t a ( a p ) n a a co a p Ubzanje tačke zadatka 5.6 Za tačku slijedi da je a P = ( a P ) n + ( a P ) t (a ) t =,5 m/s (a ) n = a,5 a p a a = 1,86 m/s. a co Ubzanje tačke zadatka

112 Za tačku C slijedi da je a = ( a ) n + ( a ) t (a ) t =,5 m/s (a ) n = = 1,44 m/s a C = 11,6 m/s. Zadatak 5.7. ε + ( a p ) t a c 45 ω + + a co Ubzanje tačke C zadatka 5.6 Ruka obota pikazana na slici ši obtanje oko osi koz tačku i. ko je ω = 5, s 1 ω C = 4, s 1 i ugaona ubzanja ε = 4, s ε C = 3, s, odediti apsolutna ubzanja tačaka, C, D i E. Poznate su dužine l = 1,5 m, l C = 1, m, l E =,75 m i l D =,6 m E D C Slika uz zadatak 5.7 Rješenje: Rezultiajuća ugaona bzina i ezultiajuće ugaono ubzanje ω ez = ω + ω C = 5, + 4, = 1, s 1, ε ez = ε + ε C = 4, + 3, = 7, s. Penosno ketanje je obtanje poluge, a elatino ketanje obtanje poluge C. Ketanje tačke C možemo posmatati u anini. 98

113 C f Ketanje tačke C zadatka δ 15 ε C 7,5 p 3,7 Geometija i bzina tačke C C 15 el Na osnou slike idimo da je psolutna bzina tačke C l C = 1,7 m ε = 7,5 δ = 5,48. C = psolutno ubzanje tačke C a P + el P = l C ω = 5,36 m/s = l C ω C = 4,8 m/s C = 6,77 m/s a + a P + a =. (I) Co Penosna komponenta ubzanja tačke C Relatino ubzanje tačke C (a P ) t = l C ε = 1,7 4, = 4,8 m/s (a P ) t = l C ω = 1,7 5, = 6,75 m/s. (a ) t = l C ε C = 1, 3, = 36, m/s (a ) t = l C ω C = 1, 4, = 19, m/s. 99

114 Coiolisoo ubzanje a Co = ω = l C ω C = 1, 4, = 4,8 m/s a Co = 5, 4,8 = 48 m/s. el ( a ) t 15 ω a co 15 ( a ) n ( a p ) t ( a p ) n a co 7,5 a c 63,65 Ubzanje tačke C Pojektoanjem jednačine I na osi x i y dobiamo (a C ) x = (a P ) t sin7,5 (a P ) n cos7,5 + (a ) t cos15 (a ) n sin15 + a Co sin15 (a C ) x = 1,11 m/s (a C ) y = (a P ) t cos7,5 (a P ) n sin7,5 + (a ) t sin15 + (a ) n cos15 a Co cos15 (a C ) y =,4 m/s a C = ( a ) ( a ) = 1,11 +,4 =,79 m/s C x + C y Iz geometije za tačku D ijedi da je l D = 1,156 m δ = 1,5 ε = 38,48 1

115 3 δ 45 ε ( ) n 15 ( a ) t ( ) a t ( p ) n a ( a co ) ( ) a D a p Ubzanje tačke D 38,48 16,49 Penosno ubzane tačke D (a P ) t = l D ε = 46,4 m/s (a P ) n = l D ω = 8,9 m/s. Relatino ubzanje tačke D (a ) t = l D ε C = 18, m/s (a ) n = l D ω C = 9,6 m/s. Coiolisoo ubzanje tačke C a Co = ω a Co = 4 m/s = l D ω C =,4 m/s Pojektoanjem ektoske jednačine na osi koodinatnog sistema x i y dobiamo (a ) x = 3,8 m/s (a D ) y = 8,96 m/s Na potpuno isti način odeđujemo ubzanje tačke i E (a ) t = l ε = 6 m/s (a ) n = l ω = 37,5 m/s a = ( a ) + ( a ) = 7,76 m/s. t n Mogli smo odediti intenzitet ubzanja tačke i peko pojekcija na osi koodinatnog sistema x i y (a ) x = 3,8 m/s (a D ) y =,48 m/s i za tačku E (a E ) x = 35,36 m/s (a E ) y = 1,4 m/s. dobiamo ijednosti pojekcija ubzanja na ose Ox i Oy. 11

116 5.. ZDCI Z RJEŠVNJE Zadatak 5.8. Štap, dužine l, oslanja se kajem na kosu aninu pizme C koja se keće bzinom i ubzanjem a na desno. Odediti ugaonu bzinu i ugaono ubzanje štapa u tenutku kada je ϕ = 3. Ugao nagiba pizme je β = 75. ϕ β a Slika uz zadatak 5.8 Rješenje: ω = (1 + 3) 1+ 3 l l l ε = a + ( 1+ 3) Zadatak 5.9. Vato centifugalni egulato obće se oko etikalne osi. Uslijed pomjene ežima ada mašine doći će do udaljaanja kugli od osi obtanja. Naći apsolutnu bzinu i ubzanje sedišta kugli egulatoa ako se u posmatanom tenutku egulato obće ugaonom bzinom ω = 4 s 1 i ubzanjem ε =,8 s. Kugle se obću oko osi O 1 i O ugaonim bzinama ω 1 = s 1 i ugaonim ubzanjem ε 1 =, s. Poznate su dužine l = 4, m O 1 O = 1, m i α = 3. 1

117 z R O 1 O ω α 1 ε 1 C1 C ω ε x y Slika uz zadatak 5.9 Rješenje: = + = 1,8 m/s P a = a + a + a = 86,9 m/s. x y z Zadatak 5.1. Kulisa oscilia oko uslijed djeloanja zuba C na kužnoj ploči polupečnika, koja otia sa ω = const.. Odediti ugaono ubzanje ε kulise u tenutku kada je ϕ = 15 i ako je poznato ω = 4 s 1 = 6 mm i a = 9 mm. ω C ϕ O a Slika uz zadatak 5.1 Rješenje: ε = 6,6 s. 13

118 Zadatak Hoizontalni štap pemješta se paalelno samom sebi po etikali konstantnom bzinom i pi tome pesjeca nepomičnu kužnicu polupečnika. Odediti bzinu i ubzanje tačke M, pesjecište tačke kužnice i štapa u odnosu na O kužnicu i na štap u tenutku kada je ϕ = 6. M ϕ Slika uz zadatak 5.11 Rješenje: 3 M = a M = = a = a M =. Zadatak 5.1. Kužna ploča s uezanim žljebom obće se sa ω = 1 s 1. Ugao obtanja štapa O ϕ poećaa se konstantnom ugaonom bzinom od 4 s 1. Odediti apsolutno ubzanje klizača u tenutku kada je ϕ = 3 i a ko je a = 4 mm. ϕ C a O ω Slika uz zadatak 5.1 Rješenje: a = 8,38 m/s. 14

119 Zadatak Cije otia sa ω = 5 s 1, a u cijei se keće kuglica jednako ubzano od O pema ubzanjem a =,5 m/s. Kuglica ima elatinu bzinu =,5 m/s. ko je ugaono ubzanje cijei ε =,5 s i = 1 mm, odediti apsolutno ubzanje kuglice. O ω Slika uz zadatak 5.13 Rješenje: a = 5,6 m/s. Zadatak Poluga M obće se konstantnom ugaonom bzinom ω M = s 1 i doodi u ketanje kulisu. Za položaj pikazan na slici odediti bzinu i ubzanje tačke. 45 =3 M 5 D 3 Slika uz zadatak 5.14 Rješenje: a = M ω M = 1 m/s = 1,66 m/s P = 5,19 m/s (a P ) n = l ω = 3,76 m/s a Co =,96 m/s (a ) ul = 81,13 m/s. 15

120 Zadatak Kužna ploča polupečnika otia konstantnom ugaonom bzinom Ω. U ploči je uezan žlijeb u koji je ubačena kuglica i keće se po zakonu ξ = sinωt, gdje je ω = const.. Odediti bzinu i ubzanje kuglice P. ξ O Q Slika uz zadatak 5.15 Rješenje: = ω cosωte + Ωsinωteϕ a = ( ω + Ω )sinωte + Ωcosωte. ϕ 16

121 Kinematika kutog tijela Do sada smo poučaali bzine i ubzanja jedne tačke i opisiali azne ste ketanja tačke u azličitim koodinatnim sistemima. U oom poglalju poučaat ćemo ketanje kutog tijela. psolutno kuto tijelo može se definiati, odnosno smatati specijalnim slučajem mehaničkog sistema u kojem su se tačke spojene, tako da ne mogu mijenjati soj položaj u odnosu na duge tačke. Pod mehaničkim sistemom podazumijea se skup mateijalnih tačaka koje su međusobno poezane tako da ketanje sake od njih oisi o položaju i ketanju ostalih tačaka. Razlikujemo linijske sisteme, planane i postone sisteme. Linijski (jednodimenzionalni) sistemi su oni kod kojih je jedna dimenzija konačna, a ostale dije su beskonaèno male. To je slučaj kutog štapa. Planani (dodimenzionalni) sistemi su oni kod kojih je jedna dimenzija beskonačno mala u odnosu na duge dije - to je kuta ploča. Postoni sistemi su kuta tijela poizoljnih oblika. U oom dijelu kinematike poučaat ćemo ketanje štapa, ploče i postonog tijela. Odje azlikujemo slobodno ketanje kutog tijela, kada kuto tijelo nema nikakih kinematičkih eza, i pinudno (neslobodno) ketanje kutog tijela, kada je mogućnost ketanja oganičena anjskim ezama. 17

122 6.1. SLOODNO KRUTO TIJELO Položaj slobodnog kutog tijela možemo odediti pomoću da koodinatna sistema: nepomičnog Oxyz ezanog za zemlju i jednog pomičnog ezanog za tijelo ζηξ. Vidimo da koodinate tačke (x,y,z) nisu dooljne za odeđianje položaja tijela, jed ne odeđuju njegou oijentaciju. Oijentaciju slobodnog kutog tijela možmo odediti pomoću Euleoih * ugloa ψ, θ, ϕ - slika 6.1. z ξ z 1 ϕ β ψ ( M ) ρ η O 1 y 1 o1 ψ ϕ O x 1 θ N ζ y x Slika 6.1 Euleoi ugloi Na slici idimo da je ψ = x 1 N (ugao pecesije) θ = ξz 1 (ugao nutacije) (6.1) ϕ = ξn (ugao lastite otacije) * Leonhad Eule ( ) 18

123 Jednačine (6.1) naziaju se Euleoi ugloi (nazii su peuzeti iz astonomije). Sakom sistemu ijednosti ψ, θ, ϕ Euleoih ugloa odgoaa jedan jedini položaj sistema ζηξ s obziom na koodinatni sistem x 1 y 1 z 1 i obnuto. Pema tome skalane eličine x, y, z, ψ, θ, ϕ odeđuju položaj slobodnog kutog tijela u postou. Taj sistem nezaisnoh eličina naziamo koodinatama položaja kutog tijela. U tom slučaju ketanje kutog tijela odeđeno je jednačinama x = x (t) ψ = ψ(t) y = y (t) θ = θ(t) (6.) z = z (t) ϕ = ϕ (t) Zaključujemo da slobodno kuto tijelo ima šest stupnjea slobode ketanja. Posmatano u Descatesoom koodinatnom sistemu oe slobode ketanja z O y x Slika 6. Stepeni slobode ketanja kutog tijela sastoje se iz ti nezaisne tanslacije po pacima koodinatnih osi i ti nezaisne otacije oko kodinatnih osi - slika 6.. Položaj kutog tijela odeđen je u postou položajem tiju tačaka koje ne leže na istom pacu. Kako ti tačke u postou definiaju aninu, to je položaj kutog tijela u postou odeđen položajem jedne soje anine. 19

124 z (x 1, y 1, z 1 C(x 3, y 3, z 3 ) (x, y, z ) O y Slika 6.3 Položaj kutog tijela odeđen pomoću ti tačke Položaj je dakle odeđen koodinatama (x 1, y 1, z 1 ), (x, y, z ) i (x 3, y 3, z 3 ). Oe koodinate nisu nezaisne. Među njima postoje zaisnosti koje poizlaze iz nepomjenljiosti udaljenosti među tačkama kutog tijela. x = ( x x ) + ( y y ) + ( z ) = const z = ( x x ) + ( y y ) + ( z ) = const. (6.3) z = ( x ) ( ) ( ) 1 x + y1 y + z1 z = const. Položaj kutog tijala je odeđen, pema tome, sa šest nezaisnih koodinata. 6.. NESLOODNO (VEZNO) KRUTO TIJELO ko tijelo nije slobodno nego je njegoo ketanje oganičeno, boj stupnjea slobode ketanja je manji od šest. U tom slučaju je i boj jednačina ketanja, kao i boj nezaisnoh koodinata položaja, takođe manji od šest. Petpostaimo da posmatamo ketanje tijela čija je jedna tačka nepomična. Koodinate te tačke su nepomjenjie. x = C 1 y = C (6.4) z = C 3 Jednačine (6.4) naziaju se jednadčine eza koje izažaaju nametnute kinematičke usloe, pi čemu su C 1, C i C 3 konstantne eličine. 11

125 Položaj kutog tijela je u oom slučaju definian je samo s ti koodinate, i to ψ, θ i ϕ (6.5) ψ = ψ(t) θ = θ(t) ϕ = ϕ (t). Jednačine (6.5) pedstaljaju jednačine ketanja kutog tijela. Oo kuto tijelo ima ti stupnja slobode. Njegoo ketanje sodi se na otaciju oko nepomične tačke. Ketanje tijela u oom slučaju zoe se sfeno ketanje. ko su dije tačke kutog tijela nepomične, onda je nepomična i linija koja polazi koz te dije tačke. Kuto tijelo će imati samo jedan stupanj slobode ketanja. To je takozana otacija kutoga tijela oko nepomične osi. Petpostaimo da kuto tijelo ima odeđenu oijentaciju u postou, to jest (6.6) ψ =C 1 θ = C ϕ = C 3. U tom slučaju položaj tijela je odeđen ako znamo koodinate položaja x, y, z poizoljne tačke. Ketanje kutog tijela u tom slučaju zoe se tanslacija OSNOVNE VRSTE KRETNJ KRUTOG TIJEL Razlikujemo dije osnone ste ketanja kutog tijela, i to: a) tanslatono ketanje ili tanslacija, b) otaciono ketanje ili otacija oko odeđene osi. Sa ostala ketanja kutog tijela mogu se sesti na jednu od naedenih osnonih sta, odnosno na kombinaciju diju osnonih sta ketanja. Kako ažne specifične slučajee pomatat ćemo: ketanje tijela u nepomičnoj anini (ano ketanje), sfeno ketanje tijela (ketanje oko nepomične tačke), opšte ketanje slobodnog kutog tijela. 111

126 11

127 Tanslatono ketanje kutog tijela ko za cijelo ketanje kutog tijela neizmjenjia dužina C (odnosno, C) tijela ostaje paalelna som pobitnom položaju, onda kažemo da to kuto tijelo ši tanslatono ketanje (tanslaciju). Pi tanslatonom ketanju putanje sih tačaka tijela su paalelne. Ukoliko su se putanje paalelne pae linije, adi se o paolinijskoj tanslaciji. ko su putanje tačaka podudane ali paalelno pomjeene kie linije, onda se adi o kiolinijskoj tanslaciji - slika C C 1 C 1 Slika 7.1 Kiolinijska tanslacija Posmatajmo ekto C kutog tijela. Tačke i C mogu biti ma koje tačke kutog tijela. Kuto tijelo pelazi iz položaja I u položaj II. Za to ijeme tačka iz položaja pelazi u položaj 1, a tačka C u položaj C 1 - slika

128 z C C a C I a C 1 1 II C 1 a x O Slika 7. Tanslatono ketanje tijela y Kako se adi o tanslatonom ketanju kutoga tijela, ekto 1 C 1 jednak je ektou C. Tačka je definian adius ektoom položaja, a ekto položaja tačke odeđen je ektoom položaja tačke i konstantnim ektoom C jednačinom C + C = (7.1) Na osnou oe jednačine idimo da se putanja tačke C dobia iz putanje tačke paalenim pomjeanjem sih tačaka koje se nalaze na putanje tačke s konstantnim ektoom. Oo znači da će putanje tačaka tijela biti istojetne kie (odnosno pae) linije. Difeencianjem pethodne jednačine imamo: d C = + C / dc d d C + ( ) =. (7.) Kako je dc d = C = 114

129 ( C) je je C = const. d =, to jednačina (7.) dobia slijedeći oblik C =. (7.3) Isti postupak možemo ponoiti i za tačku =. (7.4) Možemo zaključiti da pi tanslatonom ketanju tijela se tačke tijela opisuju istojetne putanje i imaju u sakom tenutku emena jednake ektoe bzina = C = = = (7.5) Zajedničku bzinu ketanja tijela. sih tačaka tijela naziamo bzinom tanslatonog Difeencianjem jednačine (7.5) dobiamo Kako je d d d = d = = C =. (7.6) d d d C = a, = a, a =, to pethodna jednačina popima slijedeći oblik C a a = a C = = a = (7.7) Jednačina (7.7) pokazuje da se tačke tijela imaju u sakom tenutku emena jednake ektoe ubzanja. Zajedničko ubzanje a sih tačaka tijela naziamo ubzanjem tanslatonog ketanja tijela. 115

130 116

131 Obtanje kutog tijela oko nepomične osi ko za cijelo ijeme ketanja kutoga tijela dije tačke tog tijela ostaju nepomične, tako ketanje kutog tijela naziamo obtanjem kutog tijela oko nepomične osi. Paac koji polazi koz nepomične tačke M i N nazia se os obtanja (idi sliku 8.1). z π 1 π ϕ ε ω N s O 1 x ε o O ω o M y Slika 8.1 Obtanje kutog tijela Tačke tijela koje se nalaze na osi obtanja MN su nepoketne. Se ostale tačke tijela opisuju kužne putanje u aninama koje su nomalne na os obtanja i čiji se centi nalaze na osi obtanja. Da bismo odedili položaj kutoga tijela, zamislimo da imamo dije anine: nepomičnu aninu π 1 i pomičnu aninu π koje polaze koz os obtanja MN. ko nam je poznat položaj anine π u sakom tenutku emena u 117

132 odnosu na aninu π 1, poznat nam je i položaj kutog tijela. Položaj anine π u odnosu na π 1 odeđen je uglom ϕ. Oaj ugao nazia se uglom obtanja kutoga tijela. Petpostaimo da je ugao obtanja pozitian ako aste od nepomične anine π 1 u smjeu koji je supotan smjeu obtanja kazaljke na satu (posmatano iz pozitinog smjea osi z), a da je negatian ako aste u smjeu obtanja kazaljke na satu. Da bismo poznaali položaj kutoga tijela u sakom tenutku emena, potebno je poznaati ugao obtanja ϕ = ϕ(t). (8.1) Jednačina (8.1) pedstalja zakon obtanja kutog tijela oko nepomične osi. Kuto tijelo koje ši obtanje oko nepomične osi ima jedan stepen slobode ketanja, a položaj tijela odeđen je samo jednim nezaisnim paametom - uglom obtanja ϕ UGON RZIN I UGONO URZNJE Osnone kinematičke kaakteistike obtanja kutog tijela oko nepoketne osi su ugaona bzina ω i ugaono ubzanje ε. Petpostaimo da se za emenski inteal Δt = t t 1 kuto tijelo obne oko osi obtanja za ugao Δϕ = ϕ ϕ 1 (idi sliku 8.). t ϕ Δϕ ϕ 1 t 1 z ϕ = t = Slika 8. Uz definiciju ugaone bzine 118

133 Sednja ugaona bzina kutog tijela za emenski inteal će biti ϕ ϕ1 Δϕ ωm = = t t Δt. (8.) 1 Tanutnu ugaonu bzinu kutoga tijela (u tenutku t) dobit ćemo ako potažimo ganičnu ijednost sednje ugaone bzine kada emenski inteal emena teži nuli. ω Δϕ lim t Δt = Δ dϕ ω = = ϕ. (8.3) Na osnou jednačine (8.3) zaključujemo da je ugaona bzina tijela u datom tenutku emena jednaka pom izodu zakona obtanja kutog tijela po emenu. Znak ugaone bzine odeduje smje obtanja tijela. Vekto ugaone bzine definian je jednačinom ω = ω (8.4) ω (gdje je ω jedinični ekto),a leži na osi obtanja tijela. Smatat ćemo da je ugaona bzina pozitina ako iz ha ektoa ω idimo obtanje kutog tijela supotno smjeu kazaljki na satu, a da je negatina ako iz ha ektoa ω obtanje tijela idimo u smjeu obtanja satne kazaljke. U opštem slučaju, pi anomjenom obtanju kutog tijela oko nepomične osi, ugaona bzina ω je pomjenjia. Pomjenu ugaone bzine kaakteizia ugaono ubzanje ε. Petpostaimo da se za emenski inteal Δt = t t 1 ugaona bzina kutoga tijela pomijeni za Δω = ω ω 1. Sednje ugaono ubzanje kutoga tijela za emenski inteal će biti Δω ε s = Δ t Δt lim. (8.5) Tenutno ugaono ubzanje kutoga tijela dobit ćemo ako potažimo ganičnu ijednost sednjeg ugaonog ubzanja ε s kada emenski inteal Δt teži nuli Δω ε = lim Δ t Δt dω d ϕ ε = = = ϕ. (8.6) 119

134 Možemo zaključiti da je ugaono ubzanje tijela u datom tenutku emena jednako pom izodu ugaone bzine po emenu ili dugom izodu zakona obtanja tijela (ugla obtanja) po emenu. Vekto ugaonog ubzanja definian je jednačinom ε ε ε = (8.7) (gdje je ε jedinični ekto), a leži na osi obtanja tijela. Smje ektoa ugaonog ubzanja poklapa se sa smjeom ektoa ugaone bzine ako je obtanje tijela ubzano, dok za slučaj uspoenog obtanja oa da ektoa imaju supotne smjeoe. Jedinica mjee za ugaonu bzinu je 1/s = s 1, a jedinica mjee za ugaono ubzanje je 1/s = s. U slučaju da se eličina ugaone bzine ne mijenja ω = const. (ε = ), tada je obtanje tijela oko nepomične osi anomjeno (jednoliko). Zakon anomjenog obtanja tijela možemo dobiti iz jednačine (8.3). Petpostaimo da je u početnom tenutku emena t = ugao ϕ =. Integiamo li jednačinu (8.3), imat ćemo dϕ = ω ϕ dϕ = ω = t t ω zakon anomjenog obtanja tijela ϕ = ω t. (8.8) često se u inženjeskim pimjeima odeduje bzina anomjenog obtanja i bojem n obtanja tijela u jednoj minuti. Pi jednom obtanju tijelo se okene oko osi obtanja za ugao π, a za n obtaja tijelo se okene za ugao n π. ko se n obtaja izši za ijeme t = 1 min = 6s, tada iz pethodne jednacine imamo n π = ω t ω = π n n = π. 6 3 (8.9) 1

135 U slučaju da se ugaona bzina tijela anomjeno poećaa ε = const., tada je obtanje tijela oko nepomične osi anomjeno ubzano. Ukoliko se ugaona bzina anomjeno smanjuje, tada se adi o anomjeno uspoenom obtanju. Zakon anomjenog pomjenjiog obtanja tijela dobit ćemo na osnou jednačine (8.5). Petpostaimo da je u početnom tenutku emena t =, ugao ϕ =, i ugaona bzina ω = ω (gdje je ω početna ugaona bzina). Integacijom jednačine (8.5) imamo dω = ε ω dω = ε = t t ε, odakle je ω = ω + ε t (8.1) Jednačina (8.1) pedstalja zakon pomjene ugaone bzine anomjeno pomjenjiog obtanja kutog tijela oko nepomične osi. Pethodnu jednačinu možemo napisati u obliku dϕ = (ω + ε t). (8.11) Integacijom jednačine (8.11) dobiamo zakon anomjeno pomjenjiog obtanja kutog tijela oko nepomične osi u obliku ϕ = ω t + 1 ε t. (8.1) Ukoliko su eličine ω i ε istog znaka, tada je obtanje anomjeno ubzano, a ako su azličitog znaka, obtanje je anomjno uspoeno. 8.. RZIN I URZNJE TČKE TIJEL KOJE SE ORĆE OKO NEPOMIČNE OSI Petpostaimo da se kuto tijelo obće oko stabilne osi MN (Oz) ugaonom bzinom ω. 11

136 Uočimo tačku koja se keće po kužnoj putanji polupečnika R, sa centom O 1 na osi obtanja, u anini koja je nomalna na os obtanja. Vekto bzine poizoljne tačke tijela - slika u datom tenutku emena odeden je izazom = ω = [ ω, ], (8.13) gdje je: ekto položaja tačke u odnosu na nepomičnu tačku O. Intenzitet ektoa je konstantan. z N ϕ a n a t O 1 ω γ ε a R x O M y Slika 8.3 Uz odedianje bzine i ubzanja Intenzitet ektoa bzine tačke je, = ω sin ( ω ) = ω sinγ sinγ = R = ω R, R = sinγ (8.14) gdje je R polupečnik kužnice po kojoj se keće tačka pi obtanju tijela oko nepomične osi, a to je ujedno i najkaće astojanje tačke od osi obtanja Oz. 1

137 Vekto bzine tačke pada u paac tangente na kužnu putanju - slika 8.3. Okomita je na aninu koju čine ektoi ω i. Da bismo dobili ubzanje tačke tijela koje ši obtno ketanje, izšimo deiianje jednačine (8.13). = [ ω, ]/ d d dω d =, + ω,. (8.15) Kako je obliku a d = dω, = ε d i = [ ω, ] =, to jednačinu (8.15) možemo pisati u a = [ ε, ] + [ ω, [ ω, ]. (8.16) Označimo li: a t a n ω, ω, = [ ε, ] - tangencijalnu komponentu ubzanja, a = [ [ ]- nomalnu komponentu ubzanja ubzanje tačke postaje a a + a =. (8.17) t n z N ω z N ω O 1 ε a R n γ a t O 1 ε a R n γ a t O M O M Slika 8.4 Tangencijalna i nomalna komponenta ubzanja 13

138 Vekto tangencijalnog ubzanja ima smje ektoa bzine ako je obtanje tijela ubzano, a supotnog je smjea ako je obtanje tijela uspoeno. Vekto nomalnog ubzanja tačke uijek je usmjeen duž polupečnika R ka osi obtanja - slika 8.4. Intenzitet tangencijalne komponente ubzanja je a t = ε sin ( ε, ) a t = ε R, (8.18) a intenzitet nomalne komponente ubzanja je a t = ω ω sin ( ω, ) a n = ω R. (8.19) Intenzitet ektoa ubzanja tačke tijela koje ši obtanje oko stalne osi je a = a + t a n 4 a = R ω ε +. (8.) Paac ektoa ubzanja s nomalom 1 na putanju zataa ugao β čiji je tangens a ε ω t tgβ = = a n. (8.1) Kako je ugaona bzina kaakteistika obtanja tijela, to je iz jednačine (8.14) očigledno da su bzine pojedinih tačaka sazmjene njihoim astojanjima od osi obtanja tijela - slika

139 = R ω = R ε a t s = R ϕ O a n β O β = R ω a n O a t Slika 8.5 zine, ubzanja i put pojedinih tačaka tijela koje ši obtanje Iz jednačina (8.) i (8.1) očigledno je da su intenziteti ektoa ubzanja pojedinih tačaka (slika 8.5) tijela sazmjeni njihoim astojanjima od osi obtanja tijela i da će zataati isti ugao β s nomalama na njihoe putanje PERMNENTN I TRENUTN OS ORTNJ Ukoliko su bzine tačaka tijela koje leže na osi MN jednake nuli za se ijeme ketanja tijela, onda se ta os nazia pemanentna os obtanja. ko su bzine tačaka tijela što leže na nekoj osi jednake nuli samo u nekom odedenom tenutku, onda se ta os nazia tenutna ili pomična os obtanja. Vijednost bzina sih tačaka tijela u tom slučaju takode se odeduju jednačinom = [ ω, ] (8.) gdje se ektoska eličina ω, koja leži na pacu tenutne osi obtanja, nazia tenutna ugaona bzina obtanja. Za azliku od pemanentne osi, tenutna os obtanja, a s njom i ekto tenutne bzine obtanja ω, nepekidno mijenjaju soj paac kako u odnosu na tijelo tako i u odnosu na efeentni koodinatni sistem. Uslijed toga ekto ε ugaonog ubzanja neće se poklopiti po pacu s ektoom ω i slika ektoa ubzanja tačaka tijela azlikoat će se od one na slici 8.4. Pimje pemanentne osi obtanja pikazan je na slici obtanje zupčanika čije tačke, osim onih što leže na toj osi, opisuju koncentične kužnice. Se tačke imaju istu ugaonu bzinu i ugaono ubzanje ( ω,ε ). 15

140 1 α 1 α R O ω Slika 8.6 Pemanentna os obtanja zina tačke = ω. (8.3) Gafički, tj. kada su bzine pikazane na slici kao dužine ijedi tgα = i pi tome iz jednačina (8.3) i (8.4) slijedi, (8.4) tgα = ω. (8.5) Zaključujemo da je eličina ugaone bzine tijela koje ši obtanje oko pemanentne osi jedanka ijednosti tangensa ugla α. Vektoi bzina uijek su okomiti na polupečnik koji dobijemo spajanjem tačke s pemanentnom osi. Pi obtanju kutog tijela oko tenutne osi obtanja pojedine tačke tijela ne opisuju kužnice nego se keću po azlicitim kiuljama. zine pojedinih tačaka odeduju se na isti način kao da se tijelo obce oko pemanentne osi. Na slici 8.7 pikazano je ketanje diska po hoizontalnoj podlozi. Vidi se da što je tačka udaljenija od tačke O to je njena bzina eća. Najeću bzinu ima tačka = O1. O 1 O1 α α R O ω Slika 8.7 Tenutna os obtanja 16

141 Ugaona bzina diska odedena je jednačinom ω = = O 1 O1 = OO R O 1 = O R O1 ω. (8.6) 8.4. RIJEŠENI ZDCI Zadatak 8.1. Jedna tačka keće se po kugu polupečnika R =, m konstantnim ugaonim ubzanjem ε = 4 s. Potebno je odediti: a) ugaonu bzinu tačke nakon 6 sekundi, b) boj oketaja nakon 6 sekundi i c) tangencijalnu i nomalnu komponentu ubzanja na kaju 6 sek. Rješenje: a) Ugaona bzina b) oj obtaja tačke ω = ε t = 4 6 = 4 s 1. ϕ = n = ω t 4 6 = ϕ 7 π π = 7 ad = = 11,5 oketaja. c) Tangencijalna komponenta ubzanja a t = R ε =, m 4 s =,8 m/s, nomalna komponenta ubzanja a n = R ω =, m 4 s = 115, m/s. 17

142 Zadatak 8.. Disk tubine obće se oko soje osi po zakonu π 3 ϕ = 4 t. Odediti ugaonu bzinu i ugaono ubzanje diska tubine u tenutku kada napai 7 obtaja. Rješenje: Zakon pomjene bzine i ugaonog ubzanja ω = d ω = 3 4 ε = d ω = ε = 3 π t. ϕ d π 3 = t 4 π t d π 3 t 4 Ugao za koji se disk obne poslije 7 obtaja ϕ = 7 π = 54π π ϕ = 3 4 t = 54π. Vijeme za koje disk napai 7 obtaja t = 3 16 = 6 s. Ugaona bzina i ugaono ubzanje diska za oaj tenutak emena ω = π = 7π s ε = 3 π 6 = 9π s. 18

143 Zadatak 8.3. Tačka obće se oko jedne čste osi ugaonim ubzanjem ε =,6 1/s Za koji inteal emena će ubzanje tačke s tangencijalnom komponentom ubzanja zataati ugao od 8? Rješenje: a γ a t ε O R a n Slika uz ješenje zadatka 8.3 Za ε = const. tgγ = a a n t R ω ω = = R ε ε ω = ε t ε t ε tgγ = = ε t t = t = 9,7 s. tgγ tg8 = ε,6 Zadatak 8.4. Osoina se obće po zakonu ϕ = π sin 3 πt, gdje je ϕ ugao obtanja u 16 4 adijanima. Odediti bzinu i ubzanje tačke osoine, koja se nalazi na astojanju R =,8 m, u tenutku kada ugaona bzina obtanja osoine dostigne najeću apsolutnu ijednost. Rješenje: Ugaona bzina i ugaono ubzanje osoine 19

144 ω = ω = ε = dϕ d π 3 = sin πt 16 4 π 3 3 3π 3 π cos πt = cos πt s dω π 3 sin πt = s. zina tačke i komponente ubzanja = R ω = a t = R ε = a n = R ω = 3 π 3 R cos πt π 3 Rsin πt π R cos 64 3 πt 4. Maksimalna ijednost ugaone bzine ω je kada je cos 3 πt = 1. Taj tenutak 4 emena označimo t 1 i tada je 3 πt 1 = k π, to jest t 1 = 4 k, gdje je k =, 1,, i pema tome je t 1 =, 4 3, 8 3 s. U tim tenucima je Zadatak 8.5. max = 3π R 64 3π =,8 64,37 m/s, a t1 = a 1 = a n1 = 9π,8,171 m/s. Poluga C obće se bojem obtaja n = 4 min 1. Poluga C je polupečnika = 15 mm, a D dužine l 1 = 9 mm. Rastojanje oslonaca C je l = 6 mm. Odediti: a) eličinu ugloa α, β, γ, bzine tačaka i D kada poluge dođu u etikalni položaj, b) hod tačke D, c) sednju bzinu za adni hod i d) sednju bzinu za poatni hod

145 l h D α C β l 1 l Slika uz zadatak 8.5 Rješenje: a) Ugaone bzine poluga C i bzine tačaka D D ω C = π n 4 = π 3 3 ad s ad =,513 s = ω C =,513,15 =,377 m s. Ugaona bzina za adni hod poluge D l1 l l+ ω =,377 1 = =,57 l +,6 +,15 s, Ugaona bzina poluge D za poatni hod ω P =,377 1 = =,8378 l,6,15 s. Slika uz ješenje zadatka 8.5 zina tačke D Ugloi α, β i γ l γ α β D D = l h / l1 = l + l 1 1,377,9 =,454,75 γ m s. γ = acsin l = acsin 15 6 γ = 14,48 14,5 α = 18 + γ = 9, β = 18 γ = 151,. Slika uz ješenje zadatka

146 b) Hod tačke D sinγ = l h l 1 l h = l 1 sinγ = 9 sin14,5 l h = 45 mm. c) Sednja bzina za adni hod s = ijeme za jedan obtaj T = n 1 lh Δt Δt ijeme za ugao α, Δ T α α T α 9 = n ,45 m = 18,6.,419 min t = Δt = Δt = s = =,419 min d) Sednja bzina za poatni hod β Δt P = Zadatak 8.6. s = 151 = n lh,45 m = = 5,75 Δt,1748 min P =,1748 min Poluga C obće se oko osi koz tačku C konstantnom ugaonom bzinom ω C = 14 s 1. Za položaj mehanizma i dimenzije pikazane na slici potebno je odediti: a) ugaonu bzinu poluge, b) bzinu kojom se tačka keće u klizaču, c) ubzanje tačke.. 4 mm 15 5 C 45 Slika uz zadatak

147 Rješenje: Klizač ima bzinu = l C ω C =,15 14 =,1 m/s. 5mm 4mm δ γ δ β ε C 45 a) u C β 45 ρ 45 el β b) Iz tougla C a) imamo: tgδ = l C = Slika uz ješenje zadatka 8.6 5mm 4mm cosδ ; δ = 7,13 4 = 43,1 mm ε = ,13 = 17,87. Pimijenimo li cosinusni teoem dobit ćemo Ugao γ odedit ćemo sinusni teoem l = lc + lc lclc cosε l = 43, ,1 15 cos17,87 l = 59,1 mm. l l 15 59,1 C sinγ = sin ε = sin17,87 γ = 13,45 β = γ δ = 13,45 7,13 = 6,3. 133

148 zina tačke (slike b) je pod uglom ρ = 45 + β = ,3 = 51,3. Komponenta bzine tačke kao poluge U = sinρ =,1 m/s sin51,3 U = 1,639 m/s. Ugaona bzina poluge ω = l U 1,639m / s,591m = = 3, s 1 b) zina tačke kojom klizač ide koz žlijeb el = cosρ =,1m/s cos51,3 el = 1,31 m/s. c) Ubzanje tačke a = a n = =,1,15 = 9,4 m/s Vekto ubzanja tačke usmjeen je od tačke ka tački C ZDCI Z RJEŠVNJE Zadatak 8.7. Zamajac polupečnika R =,9 m počinje se ketati iz stanja mioanja konstantnim ugaonim ubzanjem ε. Pi oketaj taje 1 sekundi. Odediti ubzanje tačke na obodu zamajca u tenutku t = 15 s. Rješenje: ε = 45 =,157 s 1 ω = ε t = 1,885 s 1 a n = R ω = 3, m/s a t = R ε =,113 m/s a = a + a 3,8 m/s. n t = 134

149 Zadatak 8.8. Tačka otia po kužnici polupečnika R =,5 m po zakonu ϕ = 4 t +. Odediti ugaono ubzanje, obodnu bzinu i tangencijalnu komponentu ubzanja. Koliko emena teba tački da obai pi, a koliko da obai dugi oketaj? Rješenje: ε = 8 s =,4 t m/s a t =,4 m/s 4 a =, t m/s t 1 =,5 s t = 1,77 s =,7 m/s a = 1,5 m/s. Zadatak 8.9. Zamajac mašine u peiodu njegoog puštanja u ad otia po zakonu ϕ = 1 t. Teba odediti eličinu i paac ubzanja tačke koja je udaljena od osi 3 otacije za,5 m, i to u tenutku kada je njezina obodna bzina = 8 m/s. Rješenje: a = 188,6 m/s Zadatak 8.1. β = Poluga C ši obtanje oko osi koz tačku konstantnom ugaonom bzinom ω. Klizač keće se koz hoizontalnu ođicu. Odediti bzinu i ubzanje klizača. C b ϕ ω Slika uz zadatak

150 Rješenje: = b ω cos ϕ a = bω 3 sin ϕ. cos ϕ Zadatak Klizač keće se u hoizontalnim ođicama konstantnom bzinom na desno (slika uz zadatak 8.1). Odediti ugaonu bzinu i ugaono ubzanje poluge C. Rješenje: ω C = b cos ϕ ε C = b sin 3 ϕcos ϕ. Zadatak 8.1. Klizač keće se u polukužnoj ođici konstantnom ugaonom bzinom na desno. Za dimenzije mehanizma pikazanog na slici odediti ugaonu bzinu i ugaono ubzanje poluge C. ( = b =,5 m) C f b Slika uz zadatak

151 Rješenje: ω C = ε C =. ϕ b = cos Zadatak Poluga D ši obtanje oko osi koz tačku D konstantnom ugaonom bzinom ω = konst. = 5 s 1. Odediti bzinu kojom klizač klizi koz ođicu, i ugaonu bzinu poluge za dimenzije pikazane na slici.,m,6m 45 ω D Slika uz zadatak 8.13 Rješenje: =,884 m/s ω =,975 s 1. Zadatak 8.14 Za mehanizam pikazan na slici klizač keće se bzinom =, m/s na desno. Odediti ugaonu bzinu poluga i D za dimenzije pikazane na slici D,3m Slika uz zadatak

152 138 Rješenje: ω =,44 s 1 ω CD = 13,3 s 1.

153 Rano ketanje kutog tijela 9.1. JEDNČINE RVNOG KRETNJ KRUTOG TIJEL Ranim ketanjem kutog tijela naziamo ketanje pi kojem se saka tačka tijela keće u anini paalelnoj nekoj nepomičnoj (efeentnoj) anini π - slika 9.1. U tehničkoj paksi česti su slučajei da dijeloi mehanizama i mašina še ano ketanje, np. točak agona koji se keće po paolinijskom kolosijeku, zupčanik s nepoketnom osi, planetani zupčanik difeencijalnog eduktoa i d. Obtanje tijela oko nepoketne osi je takođe poseban slučaj anog ketanja. ko je ekto bzine tačke uijek paalelan nepomičnoj anini π, tada će se tačka ketati u anini π 1 koja je paalelna anini π i polazi koz tačku. Na isti način možemo zaključiti da se se tačke tijela keću u aninama koje su paalelne nepomičnoj anini π. Pema tome i pošina S koja nastaje pesjekom tijela s aninom π 1 keće se stalno u anini π 1. Paac MN, koji je nomalan na aninu π, ketat će se paalelno samom sebi. Paac MN, pema tome, ši tanslatono ketanje. Tačke M, N tijela ketat će se u paalelnim aninama na potpuno isti način (po istim putanjama, jednakim bzinama i jednakim ubzanjem). Na taj način dolazimo do zaključka da će se tačke ketati na isti način kao i njihoe pojekcije na aninu π 1. Pema tome, da bismo poučili ano ketanje kutog tijela dooljno je poučiti ketanje ane figue (S) tijela na anini π 1. Raninu π 1 možemo uzeti za koodinatnu aninu Oxy. Kako pesjek (S) sojim 139

154 položajem odeđuje položaj cijelog tijela, to se poučaanje anog ketanja tijela sodi na poučaanje ketanja ane figue (S) u anini Ox. y N (S) Β 1 M x Β Slika 9.1 Rano ketanje kutoga tijela Položaj ane figue (S) u anini Oxy jednoznačno je odeđen koodinatama x i y tačke ane figue (S) i uglom ϕ koji dužina, poizoljno izabanu u anini figue (S), zataa s osi Ox - slika 9.. y (S) ϕ y x x Slika 9. Položaj ane figue S Da bismo odedili položaj tijela u sakom tenutku emena, potebno je da poznajemo zaisnost x = x (t) y = y (t) (9.1) 14 ϕ = ϕ (t).

155 Jednačine (9.1) pedstaljaju zakon ketanja tijela u oom slučaju i naziaju se jednačine anog ketanja kutog tijela. Pema tome, kuto tijelo pi anom ketanju ima ti stupnja slobode. Ono može šiti tanslacije u pacu koodinatnih osi i otaciju oko osi okomite na aninu u kojoj se izodi tanslatono ketanje. Pokažimo da se ano ketanje tijela može azložiti na da osnona ketanja: tanslatono ketanje, pi čemu se se tačke tijela keću na potpuno isti način kao i neka tačka (koju naziamo pol), i obtnog ketanja tijela oko osi koja je nomalna na aninu π 1 a polazi koz pol. Rana figua (S), a s njom i cijelo tijelo, može se doesti iz položaja I u položaj II jednom tanslacijom tako da pol iz položaja 1 dođe u položaj (pi čemu dužina 1 1 zauzima položaj ) i obtanjem ane figue (S) oko pola za ugao Δϕ 1 (pi čemu dužina zauzima položaj ). y (S) 1 I ' II Δϕ 1 Δϕ 1 ' x Slika 9.3 Razlaganje anog ketanja tijela ko bismo tačku uzeli za pol, postupak je analogan pethodnom. Tanslatoni dio anog ketanja tijela odeđen je pim djema jednačinama (9.1), dok je obtanje oko pola odeđeno tećom jednačinom. Kinematičke kaakteistike anog ketanja kutog tijela su bzine i ubzanja tanslatonog dijela ketanja koje su jednake bzini i ubzanju pola, i ugaona bzina i ugaono ubzanje obtnog dijela ketanja oko pola. Se oe kinematièke kaakteistike mogu se odediti iz jednačina ketanja kutog tijela (9.1). 141

156 9.. ODREĐIVNJE RZIN TČK KRUTOG TIJEL KOJE VRŠI RVNO KRETNJE U pethodnom poglalju 9.1 pokazali smo da se ano ketanje kutog tijela sastoji iz tanslatonog dijela, pi kome se se tačke tijela keću bzinama pola, i obtnog dijela ketanja oko osi koja polazi koz pol a nomalna je na anu figuu S. Dokažimo da je bzina tačke koja pipada tijelu jednaka geometijskom zbiu bzina oa da komponentna ketanja. Neka je položaj bilo koje tačke tijela (slika 9.4), koja se nalazi u anoj figui (s), odeđen u odnosu na koodinatni sistem Oxy ektoom položaja. + = (9.) y (S) Difeencianjem jednačine (9.) po emenu dobiamo: d d d + =.(9.3) ω Koištenjem definicije ektoa d bzine tačke nalazimo da su =, d pedstalja bzinu d = i Slika 9.4 Odeđianje bzine tačke ane figue x koju ima tačka kada je pol nepomičan ( = const). Oo znači da je bzina tačke pi obtanju ane figue (S) oko pola. Na taj način jednačinu (9.3) možemo izesti kao + =. (9.4) Na osnou jednačine (8.14) intenzitet i paac ektoa bzine tačke pi obtanju oko pola dati su izazima = ω,, (9.5) 14

157 gdje ω ugaona bzina obtanja tijela. Na oaj način smo dokazali da je bzina bilo koje tačke tijela jednaka geometijskom (ektoskom) zbiu bzine, pola i bzine tačke pi njenom obtanju zajedno s kutim tijelom oko toga pola. Vekto bzine nalazimo pomoću konstukcije paalelogama ektoa bzina - slika TEOREM O PROJEKCIJM VEKTOR RZIN DVIJU TČK KRUTOG TIJEL KOJE VRŠI RVNO KRETNJE Odeđianje bzina tačaka kutog tijela, koje ši ano ketanje, neposednim koištenjem obasca (9.4) je dosta složeno. Na osnou oog osnonog obasca mogu se dobiti metode koje su pogodnije i jednostanije. ko je poznat ekto bzine taèke koja leži na pacu a a i paac ektoa bzine b b tačke, tada je moguće odediti intenzitet ektoa bzine tačke pomoću teoema o pojekcijama ektoa bzina koji glasi: Pojekcije ektoa bzina diju tačaka kutog tijela na paac koji spaja te dije tačke jednake su jedna dugoj. b (S) α cosα a β cosβ a b Slika 9.5 Metoda pojicianih bzina Da bismo dokazali oaj teoem uočimo bilo koje dije tačke i kutoga tijela slike 9.5. ko uzmemo tačku za pol, tada je ekto bzine tačke = +. (9.6) Pojiciajmo jednačinu (9.6) na paac i imat ćemo (9.6) = + je je ekto ( ) ( ) ( ) cosβ = cosα +, nomalan na paac. Konačno imamo cosβ = cosα. (9.7) 143

158 Jednačina (9.7) pedstalja matematički oblik teoema o pojekcijama ektoa bzina diju tačaka kutog tijela. Na osnou jednačine (9.7) lo lako se može odediti eličina bzine neke tačke tijela ako je poznat paac njenog ketanja i ekto bzine neke duge tačke istog tijela koje ši ano ketanje ODREĐIVNJE RZINE TČK POMOĆU TRENUTNOG POL RZIN Duga lo jednostana i očigledna metoda za odeđianje bzina tačaka kutog tijela, koje ši ano ketanje, zasnia se na pojmu tenutnog pola bzina. Tenutni pol bzina nazia se ona tačka u anini pesjeka (S) kutog tijela čija je bzina u datom tenutku emena jednaka nuli. ko ketanje kutog tijela nije tanslatono, lako je dokazati da taka tačka u sakom tenutku emena postoji, i to samo jedna. Neka u tenutku emena t tačke i kutog tijela, koje se nalaze u pesjeku (S) imaju bzine koje nisu paalelne - slika 9.6. U pesjeku nomala na ektoe bzina i nalazi se tenutni pol bzina P, je oa tačka ima bzinu jednaku nuli ( P = )., P V ω a (S) b a Slika 9.6 Tenutni pol bzina ko bi tačka P imala bzinu, ona bi bila nomalna na P (je je P ) i na P (je je P ), što je nemoguće osim u slučaju kada je P =. Pema tome, tačka P je tenutni pol bzina. ko u datom tenutku emena tenutni pol bzina P uzmemo za pol, tada će bzina tačaka i biti = P + P b 144 P = +. P (9.8)

159 Kako je bzina tenutnog pola bzina jednaka nuli jednačine popimaju slijedeći oblik = P = P. P =, to pethodne (9.9) Zaključujemo da je bzina bilo koje tačke tijela, koja se nalazi na anoj figui (s), jednaka njenoj bzini pi obtanju oko tenutnog pola bzina P. Intenziteti i paci ektoa bzina odeđeni su na osnou jednačine (9.5) slijedećim jednačinama = P = P ω, P V = P = ω, P. V (9.1) Iz oih jednačina dobiamo odnos ω = =, (9.11) P P odakle zaključujemo da su intenziteti ektoa bzina pojedinih tačaka kutog tijela sazmjeni njihoim astojanjima od tenutnog pola bzina. Petpostaimo da je poznata bzina tačke i paac bzine tačke ane figue (S). Na osnou jednačine (9.11) moguće je odediti bzinu bilo koje tačke C kutog tijela C C (S) P V (S) C P V (S) P V ω Slika 9.7 Odeđianje bzine tačaka pomoću tenutnog pola bzina 145

160 Pomoću zadanih paaca tačaka i odeđujemo (slika 9.7) tenutni pol P i tenutnu ugaonu bzinu otacije ane figue (S). ω= P. (9.1) Tažena bzina tačke C C P C = P C ω =. (9.13) P Na slici 9.7 a pikazano je odeđianje tenutnog pola bzina diju tačaka i, čije nomale na ektoe bzina leže na istom pacu. Po tome su eličine bzina tih tačaka azličite ali su jednakog paca i smjea. Tenutni pol bzina P u tom se slučaju nalazi u pesjecištu linije, te linije što spaja kajee ektoa i. Kada su ektoi bzina tačaka i paalelni i supotna smjea, tenutni pol bzina P odeđuje se na sličan način - slika 9.7 c. Ukoliko su ektoi i paalelni a paac nije nomalan na paac ektoa bzina (slika 9.8), tada se tenutni pol bzina P nalazi u beskonačnosti. Iz jednačine (9.11) očigledno je da je tenutna ugaona bzina obtanja tijela jednaka nuli. Zaključujemo da tijelo ši tenutno tanslatono ketanje, pi čemu su bzine sih tačaka ketanja tijela iste. α α Slika 9.8 Tenutna tanslacija kutoga tijela 9.5. ODREĐIVNJE RZIN TČK POMOĆU PLN RZIN zine tačaka kutog tijela, koje ši ano ketanje, mogu se odediti i gafičkom metodom pomoću konstukcije plana bzina. 146

161 Petpostaimo da je poznata bzina tačke tačke kao što je pikazano na slici 9.9. ane figue i paac bzine I D plan položaja C I a plan bzina D d O C c C C b Slika 9.9 Plan bzina tačaka ane figue Iz poizoljne tačke O uctamo ekto u izabanoj azmjei i paac paalelan pacu I. To je paac bzine tačke. Na taj način dobili smo odgoaajući plan bzina - slika 9.9.b. Iz jednačine (9.4) i (9.5) imamo da je = +, (9.14) gdje je = ω i. (9.15) Pema tome, ako iz tačke a u planu bzina poučemo liniju ab, koja je okomita na do njenog pesjecišta s pacem, dobit ćemo u istom mjeilu ekto bzine taèke, a ekto ab daje bzinu tačke pi obtanju oko pola ab = Da bismo našli bzinu tačke C, koja ne leži na, teba iz tačke a poući liniju ac C, a iz tačke b liniju bc C do njihoa sjecišta C. Tada na osnou pethodnog zaključujemo da je C = O = OC, pi čemu je ac = C i bc =. C Tada, pema jednačini (9.15), slijedi da je odakle dobijemo ab ab = = ω C ac = = ω C (9.16) C bc = = ω C, C ac bc = C C = =... = ω. (9.17) 147

162 Iz plana bzina idimo da je linija što spaja hoe ektoa bzina okomita na linije koje spajaju odgoaajuæe tačke ane figue (S), a po eličini su popocionalne tim linijama u planu položaja bzina. zinu tačke D na liniji možemo odediti ako odsječak ab podijelimo u istom odnosu u kojem tačka D dijeli odsječak (to jest a d : db = D : D ); tada je Od =. D Ugaonu bzinu posmatane ane figue (S) odeđujemo iz dobienog plana bzina pomoću jednačine (9.17) ODREĐIVNJE RZINE TČK POMOĆU METOD ZOKRENUTIH RZIN ko ektoe bzine tačaka i zakenemo u smjeu ugaone bzine za ugao od 9, paci oih zaokenutih bzina sjeći će se u tenutnom polu obtanja. C C C C P ω Slika 9.1 Metoda zaokenutih bzina Oa činjenica poizlazi iz same definicije tenutnog pola P. Kako su bzine tačaka,, C... bzine otacije za tenutni pol, to je = P ω (9.18) = ω. P Iz slike 9.1 poizlazi 148

163 P = P = P P ω = P ( 1 ω) P = P = P P ω = P ( 1 ω). (9.19) Odnos P P (1 ω) P = = P P (1 ω) P ukazuje na sličnost tougloa ΔP i Δ P. Iz oog izodimo zaključak da je paac na kojem leže hoi zakenutih bzina tačaka nekog štapa paalelan s tim štapom. Poznaanjem eličine bzine jedne tačke štapa možemo na oaj način gafički odediti bzine sih ostalih tačaka tog štapa. Sličnost tougloa ΔP i Δ P naodi nas na zaključak da će kajei otogonalnih bzina ane figue (S) ležati na sličnom liku. Centa sličnosti je u tenutnom polu bzina P - slika 9.11 a. Posmatajmo sada da štapa i C zglobno poezana - slika 9.11 b. Kako se u zglobu mogu oketati jedan u odnosu na dugi, to je tačka zajednički pol obtanja. C C ω P P 1 C ω P ω ω C P C C ω P C Slika 9.11 Slike uz objašnjenje Kennedyeog teoema Kako elatini pol pipada štapu i štapu C, to će h ektoa njegoe otogonalne bzine ležati na pacu i na pacu C C - ležat će pema tome u pesjecištu paaca i C. Oba tenutna pola P 1 i P štapoa i C, te njiho međusobni elatini pol, leže na istom pacu. Oo je Kennedyje teoem. Kennedyje teoem ima šioku pimjenu u teoiji mehanizama za odeđianje tenutnih poloa obtanja. 149

164 9.7. ODREĐIVNJE URZNJ TČK KRUTOG TIJEL KOJE VRŠI RVNO KRETNJE zina neke tačke ane figue (S) odeđena je poznatom jednačinom + = + ( ) = ω (9.) gdje je = ekto položaja tačke u odnosu na pol - slika 9.1. Difeencianjem jednačine (9.) po emenu dobit ćemo d d = d + (9.1) d d = dω d + + ω. U ooj jednačini je, pema definiciji d a d d a =, ubzanje tačke, dok je = ubzanje pola. Izaz = a odeđuje komponentu ubzanja tačke pi njenom obtanju zajedno s tijelom oko pola. Ugaono ubzanje dω ane figue = ε je ekto okomit (kao i ω) na anu figuu (S). Osim toga je Imajući u idu da je d = ω. ω i ω =, dobiamo d ω = ω ( ω ) = ω( ω ) ( ω ω) = ω. Iz jednačine (9.1) imamo da je a = a + ( ε ) ω. (9.) ko uedemo oznake 15 ε = ( a ) t i = ( a ) n ω (9.3)

165 gdje su ( a ) t i ( a ) tangencijalna i nomalna komponenta ubzanja koje bi n tačka imala kada bi se figua samo obtala oko osi koz tačku (pola). To dobiamo ili a a ( a ) t + ( a ) n = a + (9.4) a + a = (9.5) a a a ε ω a β (S) ( a ) t a ε ω (S) a β ( ) n ( a ) n ε ω β (S) a ( a ) t Slika 9.1 Ubzanja tačaka ane figue Pema tome, ekto ubzanja bilo koje tačke tijela jednak je ektoskom zbiu iz ubzanja neke duge tačke tijela, koja je uzeta za pol, i ektoa ubzanja tačke pi njenom obtanju zajedno s tijelom oko toga pola. Koištenjem jednačina (9.3) i (9.5), ekto ubzanja a tačke tijela možemo odediti konstukcijom paalelogama slike 9.1 a. Odje je zgodno da se ekto a zamijeni, na osnou jednačine (9.11) ektoskim zbiom njegoe tangencijalne i nomalne komponente čiji su intenziteti a njego intenzitet je ( a ) = ε t ( a ) n = ω (9.6) 4 a = ε + ω. (9.7) Vekto tangencijalne komponente ( a ) t je nomalan na poteg i ima smje obtanja ako je obtanje tijela ubzano (slika 9.1 b), odnosno ima 151

166 smje supotan smjeu obtanja ako je obtanje tijela supoeno (slika 9.1 c). Vekto nomalne komponente ( a ) uijek je usmjeen od tačke ka n polu. Ukoliko se pol ne keæe paolinijski eć kiolinijski, tada se ekto ubzanja a sastoji iz tangencijalne i nomalne komponente. U tom slučaju jednačina (9.4) ima slijedeći oblik a ( a) t + ( a) n + ( a ) t + ( a ) n =. (9.8) Ubzanje tačaka tijela koje ši ano ketanje možemo odediti i odgoaajućom gafičkom konstukcijom. Da bismo odedili ekto ubzanja bilo koje tačke tijela u datom tenutku emena, potebno je i dooljno da su poznati ektoi bzine i ubzanja (, a ) neke tačke tijela u tom istom tenutku emena, i putanja neke duge tačke tijela ili položaj tenutnog pola bzine ODREĐIVNJ URZNJ TČK POMOĆU TRENUTNOG POL URZNJ Pi anom ketanju kutog tijela, u sakom tenutku emena postoji tačka Q u anoj figui (S) tijela čije je ubzanje jednako nuli. Tačka Q zoe se tenutni pol ubzanja. Položaj tenutnog pola ubzanja Q može se odediti na slijedeći način. Petpostaimo da je poznat ekto ubzanja a pola, tenutna ugaona bzina ω i tenutno ugaono ubzanje ε tijela. Tada, na osnou jednačine (9.5) imamo a = a + a = (9.9) Q Q odakle je a a Q = odnosno a Q a =. (9.3) Vodeći ačuna o jednačini (9.7) imamo da je odnosno a Q = Q ε + ω 4 15

167 Q = a. (9.31) 4 ε + ω Paac potega Q zataa s ektoom a osnou jednačine tgβ = ( ( ) ) a Q ε t = a ω Q n ugao β, koji je odeđen na. (9.3) Ugao β mjei se od ektoa a u smjeu obtanja tijela ako je obtanje ubzano, odnosno u supotnom smjeu od smjea obtanja tijela ako je obtanje uspoeno. Pema tome, položaj tenutnog pola ubzanja Q potpuno je odeđen dužinom (9.31) i uglom (9.3). (Vidi sliku 9.13) Q a β Q (S) a a a Q a (S) β π-β ω β a β a Slika 9.13 Tenutni pol ubzanja Ukoliko su poznati ektoi ubzanja a i a tačaka i u anoj figui (S) tijela, tada se tenutni pol ubzanja Q nalazi u pesjeku paih poučenih u tačkama i pod uglom β pema ektoima a i a. Da bismo oo dokazali uzmimo np. tačku za pol - slika Tada na osnou (9.5) imamo odakle je a a = a = a + a (9.33) + ( a ). Kako paac s ektoom ubzanja a zataa ugao π β, to možemo smatati da je ugao β poznat. Tada polačimo pace iz tačaka i pod 153

168 uglom β pema ektoima a i a. U pesjecištu oih paaca nalazi se tenutni pol ubzanja Q. Pema jednačinama (9.3) i (9.31) možemo za bilo koje dije tačke i u anoj figui (S) napisati Q = a i 4 ε + ω Q = a (9.34) 4 ε + ω odakle nalazimo a a Q =. (9.35) Q Pema tome, jednačina (9.35) pokazuje da su eličine ubzanja pojedinih tačaka tijela sazmjene astojanjima tih tačaka od tenutnog pola ubzanja. Teba imati u idu da se u općem slučaju položaji tenutnog pola bzina P i tenutnog pola ubzanja Q ne poklapaju POMIČN I NEPOMIČN CENTROID Kada kuto tijelo ši ano ketanje kontinuiano u toku odeđenog emenskog inteala, tenutni poloi bzina mijenjaju soj položaj i pitom opisuju takozane centoide koje su, dakle, geometijska mjesta sukcesinih tenutnih poloa. Posmatajmo ano ketanje kutog štapa. Pi anom ketanju, pemještanjem iz 1 1 u položaj, štap obće se oko tenutnog pola P 1, a zatim pi pemještanju položaja u 3 3 oko tenutnog pola P, i tako dalje - slika ϕ C 1 1 P 1 ϕ C C 3 C 4 P P 3 P 4 Slika 9.14 Konstukcija pomične i nepomične centoide 154

169 U pesjecištima odgoaajućih simetala dužina 1 i 1, odnosno 3 i 3, nalaze se tenutni poloi P 1 P P 3... koji leže u nepomičnoj anini u kojoj se keće štap. Spajanjem tačaka tenutnih poloa dobiamo izlomljenu liniju koja pi beskonačno malim pomacima štapa postaje kiulja i nazia se nepomična centoida (nc). U tenutku kada štap, pa pema tome i ana figua (S), zauzme položaj 1 1, s polom P 1 se poklapa tačka C 1. Kako će štap otiati za ugao pi pelazu u noi položaj, to će se u noom položaju s odgoaajućim polom P poklapati tačka C ane figue. Dok je štap još u položaju 1 1, položaj tačke C definian je sa P 1P = C1C i uglom ϕ između P 1P = C1C. Pi daljnjem ketanju definianom tenutnim poloima P 3, P 4,... s tačkom tenutnih poloa će se poklapati tačke ane figue C 3, C 4,... Geometijska mjesta sih tenutnih poloa C 1, C, C 3,... nalaze se na kiulji koja leži na pomičnoj anini (u kojoj leži ana figua (S)) nazia se pomična centoida - slika (n.c) nepomična centoida C 1 P 1 C P C 4 C 3 C 5 P 3 P 4 P 5 pomična (p.c) centoida zajednička tangenta Slika 9.15 Pomična i nepomična centoida Pi anom ketanju pomična centoida se kotlja po nepomičnoj centoidi. Oo je izaženo teoemom Poinsot-a. Pema tome, ketanje ane figue (S) u anini može se pikazati kao kotljanje bez klizanja pomične centoide po nepomičnoj centoidi. Tačka dodia obje centoide je tenutni pol u kojoj leži zajednička tangenta. Oaka način analize anog ketanja eoma je pikladan za analizu i sintezu mehanizama i mašina, je se u nekim slučajeima elementi mašina octaaju upao po oim kiuljama, a ponekad se mogu lako konstuiati ako su te kiulje poznate. Pomoću oih kiulja možemo odediti putanju tačaka ane figue (S). Petpostaimo da su poznate pomična i nepomična centoida a teba odediti putanju tačke ane figue (S) - slika zina sake ( ) 155

170 tačke pomične ane figue (S) leži na tangenti u pomatanoj tački, a nomala n na tangentu i ekto bzine polazi koz tenutni pol P, tj. koz dodinu tačku pomične i nepomične centoide (n.p. tačka 1 ). U osnonom položaju u kojem se (p.c.) i (n.c.) dodiuju P nanosimo na pomičnu centoidu katke odsječke C C, 1 C 1 C,... i u tim tačkama C 1, C,... poucimo nomale, pa izmjeimo ugloe ϕ 1, ϕ... što ih te nomale zataaju sa spojnicama C 1, C.... Uctajmo na nepomičnoj centoidi tačke P 1, P,... s kojima bi se pi kotljanju (p.c.) po (n.c.) tačke C 1, C,... poklopile tako da je P P1 = CC1, P 1P = C1C U tačkama P 1, P,... podižimo nomale i linije koje s nomalama zataaju ugloe ϕ 1, ϕ... Na tim zakama nanesimo odsječke P 11 = C1, P = C t t 1 n' n' 1 n 1 n ϕ 1 ϕ 1 ϕ n 1 t (p.c) C P C 1 P 1 C ϕ P (n.c) Slika 9.16 Konstukcija putanje tačke Na taj način dobiamo tačke 1,,... u koje će doći tačka u položajima ane figue (S) kojima odgoaaju tenutni poloi P 1, P,... Kiulja koz tačke, 1,,... je tažena putanja tačke koja se još nazia oojnica ili anelopa. 156

171 9.1. RIJEŠENI ZDCI Zadatak 9.1. Radno atilo dizel motoa okeće se konstantnom ugaonom bzinom ω = 1 s 1. Poznate su dužine l = 5 mm (dužina klipnjače) l D = mm. Odediti bzinu ketanja klipa i ugaona bzina klipnjače. 45 D Slika uz zadatak 9.1 Rješenje: Za položaj mehanizma pikazanog na slici ijedi ω δ D D Slika uz ješenje zadatka 9.1 l sin δ = sin 45 = l D δ = 1,. 5 sin 45 zina tačke = l ω =,5 1 = 5 m/s Klipnjača D ši ano ketanje pa je bzina tačke D D = + D 157

172 = + 45 D D D ω D =ω D D D tanslacija otacija Slika uz odeđianje bzine tačke D D δ β D sin 45 = sin 79,8 D D = 3,59 m/s. Pimjenom sinusnog teoema imamo D = sin 55, sin 45 D D = 4,17 m/s. sa β = 55, zina tačke D peko tenutnog pola bzina možemo odediti ako je poznato ugaono ubzanje D = l D ω D D = l D D 3,59 =, ω = 17,96 s 1. Zadatak 9.. Poluga ED mehanizma pikazanog na slici obće se konstantnom ugaonom bzinom ω ED = 1, s 1. Poznate su dužine poluga l ED = mm, l D = 3 mm, l = 5 mm i l DS = mm. Za položaj mehanizma pikazanog na slici odediti bzine tačaka, D, S i ugaono ubzanje i D. 158

173 45 S D 45 ω ED E Slika uz zadatak 9. Rješenje: zina tačke D D = l ED ω ED =, 1 =, m/s 45 S D 45 D S = + D D D D D D S D S ω ED 45 D 45 D S 45 D S D Slika uz odeđianje bzina tačaka mehanizma zina tačke = + D D = l ω ω = l Kako je D cos45 = cos45 D = = m/s to je ugaona bzina poluge ω = 8, s

174 Na osnou teoema i gonje skice imamo da je D =,88 m/s, a ugaona bzina poluge D D ω D = = 9,48 s 1. ld zina otacije tačke S oko tačke D D S = l DS ω D =, 9,48 = 1,886 m/s. zina tačke S Zadatak 9.3. D S = D + S S = 1,491 m/s. Mehanizam pikazan na slici ima dimenzije =,1 m, l C =,4 m, ϕ =. Poluga okeće se sa n = o/min. Odediti bzine tačaka i. n φ C Rješenje: Slika uz zadatak 9.3 zina tačke = ω π n = 3 =,1 π 3 = 5,13 m/s ω C M n φ φ sinφ x C C Slika uz odeđianje bzina tačaka i C 16

175 Iz geometije slijedi: x = M = l + sinϕ x cosα 1 1 M = sin + sin + + l cosα 4 C M = x tgϕ + + sinϕ CM = tg + + l ϕ ϕ ϕ ϕ 4 ϕ ϕ =,418 m sin sin sin =,419 m. zine tačaka i C se dobiju na slijedeći način: = M ω C ω C = Zadatak 9.4. C = CM ω C ω C = ω C = ω C C = CM C = M C M = 5,137 M C = 14,76 m/s.,4199, Disk polupečnika kotlja se po hoizontalnoj podlozi ugaonom bzinom ω. Sedišnja tačka keće se bzinom = ω. Odediti bzine tačaka E, D i koje se nalaze na obodu diska. M C CM O ω O = ω ω = O ω M O = ω Slika uz zadatak 9.4 Rješenje: Tačka je tenutni pol i njena bzina je jednaka nuli = ω =. 161

176 Pikažimo astaljanje anog ketanja na tanslaciono i otaciono ketanje D D ω E = + O = ω E O O O E ω D ω O ω ω Slika uz ješaanje zadatka 9.4 E D O M= zina tačaka E, D i = ω D = ω E = ω. Tenutni pol bzina Zadatak 9.5. U eduktou pikazanog na slici pogonsko atilo je I i zupčanik čiji je polupečnik. Oketanje se penosi peko zupčanika i D èiji su polupečnici i D na atilo II. Odediti odnos n I / n II boja oketaja pogonskog I i gonjenog atila II. = II P V ω II ω I D I D II Slika uz zadatak

177 Rješenje: Obtna bzina zupčanika je = ω I, ujedno i bzina zupčanika na mjestu dodia ta da zupčanika = = ω I. Tenutni pol bzina je u tački P V za zupčanik i atilo II pa ijedi II = D + D = D D + ω I. zina centa zupčanika D i kao poluge atila II je II = l S ω II = ( + ) ω II. Odnos ugaonih bzina odnosno boja oketaja je Zadatak 9.6. ωi n I + D + = = ω n n n II I II II D = D Za podatke iz zadatka 9.1 potebno je odediti ubzanja tačaka i D i ugaono ubzanje poluge D. Rješenje: a 45 1, a = a D D a D ( a ) = l ε D t 1, a 45 + D a ε ω l l ω l ε D ( ad ) = l ω n 1, Slika uz ješenje zadatka

178 Ubzanje tačke pošto je ω = const. slijedi: a = l ω =,5 1 4 = 5 m/s Ubzanje tačke D možemo izaziti u slijedećem obliku a Intenzitet komponente ( D D ) n ( ad ) n + ( ad ) t = a +. (*) a je ( a ) = l ω D n ( D ) n D D a =, 17,96 = 64,5 m/s. Pojektoanjem ektoske jednačine (*) na paac okomit na ubzanje a D dobiamo ( a D ) = 1 ( ( ) ) a cos45 sin1, t a D n cos1,8 ( a D ) = 348 m/s. t Pojektoanjem jednačine (*) na paac ubzanja a D dobiamo intenzitet ubzanja tačke D a D = a sin45 + ( D ) n a cos1, ( ad ) t sin1, a D = 356 m/s. Ugaono ubzanje poluge D je ( a ) D t 348m / s ε D = = = 1738 s. ld,m Zadatak

179 Za mehanizam pikazan na zadatku 9. i iste podatke odediti ubzanja tačaka, D i S ako je ugaono ubzanje poluge ED ε ED = 5 s. Rješenje: ( a ) n 45 ( a ) t S = ( D ) t a D a 45 a D ( ) n a D S D a D a D a D D ( a ) + n = l ω S D S ω D D ( a ) t = l ε ( a ) n ε a S D ( a ( ) ) t n O ( a ) t a D D ( a ) n ( a D ) n ( a D ) t a a D D ( a S ) n a S D ( a S ) t D ( a ) t Slika uz ješenje zadatka 9.7 Ubzanje tačke D ( a ) ( a ) = l ω =, m 1 s = m/s D n ED ED = l ε =, m 5 s = 1 m/s. D t ED ED Ubzanje tačke možemo izesti kao ubzanje tačke poluge D i poluge. a = a + a + a (I) D a = a + a D D ( ) ( ) n ( ) ( ) D D n D t a = a + a (II) ( ) ( ) n t + = D D ( a ) ( a ) ( a ) ( a ) ( a ) ( a ) n t D n D t Kao što je poznato iz zadatka 9. ω = 8, s 1 ω D = 9,48 s 1. ( a ) l ω n = =,5 m 8, s = 16, m/s D ( a ) l ω n = =,3 m 9,43 s = 6,7 m/s. D D t n t 165

180 Pojektoanjem jednačine (I) na paac ose y imamo: D a y = (a D ) n sin45 ( a D ) t a sin45 ( ) n a y = sin45 1, sin45 6,7 a y = 47,88 m/s, a pojektoanjem jednačine (II) na isti paac dobit ćemo ) t a y = (a ) n sin45 ( a sin45. Iz zadnje jednačine dobiamo 1 a z = [ (a ) n sin45 a y ] sin 45 a z = 16, + 47, 88 sin 45 = 51,71 m/s. Pojektiamo jednačinu II na x osu imat ćemo a x = ( a ) n cos45 + ( ) a t cos45 a x = 16, cos ,71 cos45 = 5,5 m/s. Pojektianjem jednačine I na paac x ose imamo da je: D a x = ( a. D ) n Iz gonje jednačine dobiamo a cos45 ( a D ) t cos45 + ( ) t D ( a ) t = a x [ ( a D ) n ( D ) t D ( ) t a ] cos 45 a = 5,5 (8, 1,) cos 45 = 18,18 m/s. Ubzanje tačke 166 a = a a = ( 47,88) + (5,5) = 54,13 m/s. x + y

181 Ugaono ubzanje poluga i D ( a ) t 51,71 ε = = = 6,9 s l, Ubzanje tačke S D ( a ) t ε D = = ld D ( a ) l ω S n DS 18, 18 3, D = 6,6 s. = =, 9,48 = 17,78 m/s D ( as ) lds ε D a S t = =, 6,6 = 1,1 m/s D D ( ad ) n + ( ad ) t + ( as ) n + ( as ) t = (III) Pojektoanjem jednačina III na ose x i y dobiamo D a x = ( a = 19,19 m/s D ) n a cos45 + ( a D ) t cos45 + ( S ) t D a x = ( a D ) n sin45 ( a D ) t sin45 + ( a S ) a S = a a = 19, ,39 = 4,9 m/s. Sx + Sy n = 38,39 m/s Zadatak 9.8. Po nepoketnom zupčaniku I polupečnika 1 =,3m kotlja se zupčanik II polupečnika =,m koji je osnoicom ezan za kiaju. Kiaja ima ugaonu bzinu ω O =1 s 1 i ugaono ubzanje ε O = 4 s. Odediti ubzanje tačke D koja se nalazi na obimu poketnog zupčanika II. D ε O ω O ( a ) t a ( ) n O P II I ω II ε II Slika uz zadatak

182 Rješenje: zina i ubzanje tačke = a = O ω = (,3 +,) 1 =,5 m/s O ( a ) t + ( a ) n ( a ) = O εo = (,3 +,) (+4) = m/s t ( a ) = O ω = (,3 +,) 1 =,5 m/s. n O Tačka dodia zupčanika I i II P je tenutni pol bzina za zupčanik ω II = ε II =,5 = P, =,5 s 1 ( a ) dω II 1 d t = = = P P, = 1 s. Ubzanje tačke D a D ( a) n + ( a) t + ( ad ) n + ( ad ) t = (I) ( ad ) D ε II t = =, 1 = m/s ( a ) D ω D n = =,,5 = 1,5 m/s II y ( a D ) t D ( a D ) n ( a II a ) t ( ) n x Pojicianjem jednačine I na x i y os dobiamo a Dx = ( a Dy = ( ) t a + ( D ) n D ) t a ( ) n a = 3,5 m/s a = 1,5 m/s a D = a a = 3,5 + 1,5 = 3,58 m/s Dx + Dy Slika uz ješenje zadatka

183 Zadatak 9.9. Štap keće se u anini slike tako da njegoi kajei klize po osima koodinatnog sistema. Odediti centoide takog ketanja. = l = const. y l O x Slika uz zadatak 9.9 Rješenje: y η Pojekcije bzine tačke ( ) y = ω l sinωt (ab) P ( ) x = ω t l ( ) ξ = ω l sinωt cosωt ( ) η = ω l sin ωt. O l ζ x Koodinate nepomične centoide x P = l sinωt y P = l cosωt Slika uz ješenje zadatka

184 Eliminacijom paameta t dobiamo jednačinu nepomične centoide: x P + yp = l To je kužnica polupečnika l. Koodinate pomične centoide u koodinatnom sistemu ξη ξ P = l sin ωt η P = l sinωt cosωt = l sinωt 1 sin ωt. Isključenjem emena t, odnosno sinωt, dobia se: ξ + η = lξ. P P P Vidi se da posljednja jednačina pedstalja kužnicu pečnika l čije sedište ima koodinate ξ = l i η = ZDCI Z RJEŠVNJE Zadatak 9.1. Za mehanizam pikazan na slici odediti bzinu i ubzanje tačke i ugaonu bzinu i ugaono ubzanje poluge ako je bzina klizača = 5, m/s usmjeena pema dolje. Dužina poluge je l = 1, m. 17

185 45 3 Slika uz zadatak 9.1 Rješenje: = 1,83 m/s ω = 5,1 s 1 a = 44,19 m/s ε = 6,4 s Zadatak Disk pikazan na slici obće se ugaonom bzinom ω D =, s 1. Dužine su M=,3m, =,9m. Za mehanizam pikazan na slici odediti bzinu tačke, ugaonu bzinu štapa i ugao koji štap gadi s hoizontalom, kao i ubzanje tačke i ugaono ubzanje štapa ako je ugaono ubzanje diska ε D = 1 s. 45 M,5m Slika uz zadatak

186 Rješenje: = 5,68 m/s a = 61 m/s ω = 4,98 s 1 ε = 83 s (,hω) = 18,7 Zadatak 9.1. Da diska u sistemu pikazanom na slici poezana su štapom D. Desni disk obće se oko ose E sa ugaonom bzinom ω = 4,98 s 1 u pokazanom smjeu. Ugaono ubzanje desnog diska ε = 83 s. Odediti bzinu i ubzanje tačke, ugaone bzine i ugaona ubzanja lijeog diska i 1 štapa D. Diskoi su: ED=,5m, D=,5m, =,5 m. R D E ω E Slika uz zadatak 9.1 Rješenje: = 4,4 m/s D = 3, m/s ω D = 6, s 1 ω = 4 s 1 ε ED = 384 s ε = 67 s a = 157 m/s (a ) n = 1 m/s ( a = 18 m/s (a D ) t = 36 m/s D ) n 17 (a D ) n = 3 m/s.

187 Zadatak U mehanizmu pikazanom na slici klizač keće se bzinom = 1, m/s i ubzanjem poluge koz klizač a = 1, m/s. Dužina poluge D = l = 1, m. Poluga D keće se koz zglobni klizač. Za položaj mehanizma pikazanog na slici odediti bzinu i ubzanje tačke D i ubzanje tačke. Ugaonu bzinu i ugaono ubzanje poluge D. l D l 3 Slika uz zadatak 9.13 Rješenje: D = 1 m/s a D = 1,53 m/s a =,577 m/s ω D = 1, s 1 ε ED =,577 s Zadatak U mehanizmu pikazanom na slici poluga okeće se ugaonom bzinom ω = 1, s 1. U položaju mehanizma pikazanom na slici odediti bzine tačaka, E i D. Dužine su =,m; E = D =,15 m. Ugaonu bzinu poluga E i D. 173

188 E 45 ω 3 45 D Slika uz zadatak 9.14 Rješenje: =,4 m/s D =,38 m/s E =,88 m/s ω D = 1,96 s 1 ω E = 1,96 s 1 Zadatak Za disk polupečnika R =,5 m piezan je štao u tački a polupečnika =,3 m. Ugaona bzina diska ω D = 1, s 1. Štap je dužine 1, m. Ugaono ubzanje diska ε D = 4 s. Odediti bzinu i ubzanje tačke. Ugaonu bzinu i ugaono ubzanje štapa. R M C Slika uz zadatak

189 Rješenje: = 3,6 m/s a = 3,3 m/s ω = 3,47 s 1 ε = 6,91 s M C Slika uz ješenje zadatka 9.15 Zadatak Klizač kliže po nepomičnoj odilici člana C, dok se članoi a i b keću u etikalnoj anini. U položaju mehanizma pikazanom na slici ugaona bzina člana a je ω a = 1,76 s 1 u smjeu pikazanom na slici, i ugaono ubzanje ε a = 5 s. Odediti bzinu i ubzanje klizača. 3 c b 3 C ω a ε a 4 a 4 Slika uz zadatak

190 Rješenje: =,15 m/s a = 38 m/s Zadatak Valjak pikazan na slici kotlja se bez klizanja po cilindičnoj podlozi. ko je u pikazanom položaju ugaona bezina aljka 6 s 1 u smjeu ketanja kazaljke na satu i ugaono ubzanje 5 s u supotnom smjeu, teba odediti ubzanje tačke C i ugaono ubzanje štapa C. 9mm 15mm C 1mm Slika uz zadatak 9.17 Rješenje: a C =,618 m/s ε C = 13,43 s 176

191 Zadatak Mehanizam dat na slici sastoji se od poluga ED, i ploče CD oblika paouglog tougla čija je kateta CD = a. Poluga ED obće se konstantnom ugaonom bzinom ω ED = s 1 u pokazanom smjeu. Dati su ugloi, C = 9, EDC = 3, CD = 6. Tačka C nalazi se u datom tenutku na pacu E. U položaju mehanizma pikazanom na slici odediti ugaono ubzanje ploče i poluge. D 3 6 ω ED E C Slika uz zadatak 9.18 Rješenje: ε = 84 3 s Zadatak ε P = 3 4 s Štap keće se u anini slike tako da donjim kajem klizi po hoizontalnoj podlozi i pi tome se stalno oslanja na tačku C. Teba odediti pomičnu i nepomičnu centoidu i tenutnu ugaonu bzinu štapa oko tenutnog pola, ako su poznati bzina donjeg kaja štapa i isina h. y h O x η φ ζ Slika uz zadatak

192 Rješenje: x = h y ξ 4 h (η + ξ ) = ω = x h + h 178

193 Sfeno ketanje 1.1. GEOMETRIJSK INTERPRETCIJ U najjednostanijem slučaju postonog ketanja kuto tijelo ima ti stepena slobode ketanja a položaj tijela je odeđen ako su poznati Euleoi ugloi ϕ = ϕ( t) ψ = ψ ( t) θ = θ ( t) (1.1) Jednačine (1.1) pedstaljaju jednačine ketanja kutog tijela oko nepomične tačke. Pi oakom ketanju ostale tačke tijela opisuju putanje koje leže na sfenoj plohi sa sedištem u nepomičnoj tački i zato se tako ketanje nazia sfeno ketanje. Dokazat ćemo da u oom slučaju ijedi D'lambeto odnosno Euleo teoem koji glasi: Sako pemještanje kutog tijela koje ima jednu nepomičnu tačku može se izesti konačnom otacijom oko osi koz tu nepomičnu tačku. Položaj kutog tijela u postou odeđen je s ti njegoe tačke koje ne leže na istom pacu eć toe tokut u toj anini. 179

194 Uzimamo da je tačka O tijela, u kojoj je tijelo pičšćeno za podlogu, nepomična i ona ostaje zajednička za se položaje. Ostale dije tačke, i, mogu se odabati poizoljno, a zbog jednostanosti odabat ćemo tako da je O = O, tj. da tougao bude jednokaki. Geometijsko mjesto sih mogućih položaja tačaka i (slika 1.1) bit će ploha kugle adijusa R = O = O. ϕ a 1 1 b 1 Slika 1.1. Konačna otacija oko osi koz nepomičnu tačku Pesjek anine koz tačke, i O s kuglom daje elike kužnice. Neka te tačke u nekom dugom položaju tijela zauzimaju položaj 1 i 1. ko se tačke i 1 na pošini kugle spoje elikim lukom 1 i iz poloine luka a pouče sfena okomica ao 1, a iz poloine elikog luka 1 tačke b pouče sfena okomica bo 1, dobit će se sjecište tih okomicatačka O 1 koja će biti jednako udaljena od tačaka i 1, odnosno od i 1. Zbog toga će sfeni tougloi O 1 i O 1 1 biti jednaki, a to znači da se otacijom oko osi OO 1 sfeni tougao O 1 može doesti u položaj tougla O Zajedno sa takom otacijom kužni isječak O pemješta se u položaj kućnog isječka O 1 1, a anine tog kužnog isječka pipadaju tijelu koje se zajedno s njom okeće oko nepomične tačke O. 1.. POMIČN I NEPOMIČN KSOID Ketanje tijela oko nepomične tačke može se smatati nizom beskonačno malih otacionih pomaka iz jednog u dugi susjedni položaj. Saki taka pomak može biti ostaen beskonačno malom otacijom oko tz. tenutne osi otacije koja polazi koz nepomičnu tačku. Geometijsko mjesto tenutnih osi otacije kutog tijela (s jednom nepomičnom tačkom) daje u postou neku konusnu plohu koja se nazia nepomična aksoida. Osim toga, pi ketanju tijela tenutna os otacije mijenja soj položaj u samom tijelu (tačnije: u postou ezanom za tijelo) i zajednički h u nepomičnoj tački O i u sakom tenutku je tenutna os otacije njihoa zajednička izodnica. 18

195 Ω p Ω nepomični aksoid ω p ω ω M pomični aksoid Ω Slika 1. Pomična i nepomična aksoida Ketanje kutog tijela oko nepomične tačke može se pomatati i kao kotljanje bez klizanja pomične aksoide po nepomičnoj aksoidi. Pi tome su bzine tačaka tijela, koje leže na tenutnoj osi otacije, tj. na zajedničkoj izodnici pomične i nepomične aksoide, u posmatanom tenutku jednake nuli. U specijalnom slučaju, kada su obje aksoide kužni konusi (slika 1.3), ketanje tijela oko nepomične tačke zoe se pecesiono ketanje. Pi tome pomična aksoida ši istoemeno da ketanja: jedno ugaonom bzinom ω oko soje osi, a dugo ugaonom bzinom ω p oko osi pecesije. ko su obadije ugaone bzine, ω i ω p konstantne, ketanje se nazia egulana pecesija. ko pitom obje ugaone bzine imaju isti smje otacije, ketanje je pogesina pecesija slika 1.3. ko ugaone bzine ω i ω p imaju supotan smje, onda se ketanje nazia etogadna pecesija. ζ nepomični aksoid z Ω M pomični aksoid nepomični aksoid z pomični aksoid ζ M Ω Slika 1.3 Pogesina pecesija Slika 1.4 Retogadna pecesija 181