Γιώργος Μιχ. Γεωργιόπουλος Μαθηματικός M.Sc., M.Ed. Παιδαγωγικό Τμήμα Δημοτικής Εκπαίδευσης, Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας.

Transcript

1 Η αναφορά της «νεύσης» 1 στο έργο: SIMPLIKIOU FILOSOFOU EIS TO A THS ARISTOTELOUS FUSIKHS AKROASEWS UPOMNHMA O ESTI PRWTON. Η - μέχρι τώρα - αξιοποίησή της από τους ερευνητές της Ιστορίας των Μαθηματικών και μια νέα πρόταση ερμηνείας της ύπαρξής της στο κείμενο αυτό. Γιώργος Μιχ. Γεωργιόπουλος Μαθηματικός M.Sc., M.Ed. yorgosge@gmail.com Παιδαγωγικό Τμήμα Δημοτικής Εκπαίδευσης, Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. ΠΕΡΙΛΗΨΗ: Το δεύτερο βιβλίο των Στοιχείων του Ευκλείδη έγινε η αφορμή για αρκετές διαμάχες μεταξύ των ερευνητών της Ιστορίας των Αρχαίων Ελληνικών Μαθηματικών. Η πρώτη - και μεγαλύτερη - αφορά στο κατά πόσο αυτό το βιβλίο, αποτελεί την εισαγωγή στην αποκαλούμενη, από μερικούς ερευνητές, «Γεωμετρική Άλγεβρα» και κατ επέκταση, στην ύπαρξη αυτής της ίδιας της «Γεωμετρικής Άλγεβρας» στα πλαίσια των Αρχαίων Ελληνικών Μαθηματικών. Μια δεύτερη διαμάχη αφορά στην προέλευση του βιβλίου αυτού. Οι περισσότεροι ερευνητές θεωρούν ότι το βιβλίο αυτό οφείλεται στους Πυθαγορείους, ενώ κάποιοι άλλοι πιστεύουν ότι ένα τουλάχιστον μέρος του είναι αποτέλεσμα τις εργασίας μεταγενέστερων Μαθηματικών. Ένα από τα επιχειρήματα των τελευταίων βασίζεται στην αναφορά της μεθόδου της «νεύσης» κατά την παρουσίαση, εκ μέρους του Σιμπλίκιου, της μεθόδου του Ιπποκράτη του Χίου για τον τετραγωνισμό μηνίσκων με εξωτερικό τόξο μικρότερο από ημικύκλιο. Στην εργασία που ακολουθεί παρουσιάζονται διάφορες ερμηνείες, που έχουν δοθεί μέχρι τώρα, σε σχέση με την αναφορά αυτή, καθώς και μια νέα «υπόθεση εργασίας». ABSTRACT: Euclid s second book of Elements became the reason for 1 Σε κανόνα σημειώνεται ένα τμήμα με το επιθυμητό μήκος και στη συνέχεια αυτός τοποθετείται έτσι, ώστε να διέρχεται από δεδομένο σημείο και τα άκρα του τμήματος, να βρίσκονται πάνω σε δεδομένες γραμμές.

2 some conflicts between the researchers of the History of Ancient Greek Mathematics. The first - and biggest - concerns in how much this book constitutes the introduction in the so-called, from certain researchers, Geometrical Algebra and at extension, in the existence of this Geometrical Algebra at all, in the frames of Ancient Greek Mathematics. A second conflict concerns in the origin of this book. Most researchers consider that this book is owed in the Pythagoreans, while certain others believe that at least part of the book is result of work of later Mathematicians. One of the arguments of the last ones is based on the report of method of neusis at the presentation, on behalf of Simplicious, of the method of Hippocrates of Chios for squaring meniscuses with exterior arc smaller than semicircle. In the work that follows are presented various interpretations that have been given up to now, concerning this report, as well as a new affair of work. 1. Η αναφορά της μεθόδου της «νεύσης». Ο Σιμπλίκιος (6ος αιώνας μ. Χ.), ο - κατά τον Van Der Waerden 2 - πιο αξιόπιστος σχολιαστής του Αριστοτέλη, στο έργο του «E j tò a/ táj Aristotšlouj fusikáj kro sewj ØpÒmnhma», αφιερώνει περίπου 16 σελίδες (9,53,28-9,69,34) σχολιάζοντας τη φράση: Ama dš oùdš lúein panta pros»kei. (FusikÁj kro sewj a/, p.185a,14), Το μεγαλύτερο μέρος του σχόλιου αφιερώνεται σε δύο παραδείγματα αποτυχημένων προσπαθειών τετραγωνισμού του κύκλου (του Αντιφώντος και του Ιπποκράτη του Χίου). Ο Σιμπλίκιος διακρίνει τις προσπάθειες αυτές ως προς τους λόγους αποτυχίας τους, επισημαίνοντας ότι ο Αντιφών αποτυγχάνει επειδή δεν υπακούει στις γεωμετρικές αρχές, ενώ ο Ιπποκράτης αν και υπακούει σ αυτές. Για να γίνει σαφής η διάκριση αυτή τις παρουσιάζει εκτενώς. Εκτενέστερα μάλιστα αυτή του Ιπποκράτη, αφού περιλαμβάνει περισσότερα βήματα (τετραγωνισμοί διαφόρων ειδών μηνίσκων και στη συνέχεια προσπάθεια τετραγωνισμού κύκλου με ανάλογο τρόπο). Το απόσπασμα που περιέχει την αναφορά στη μέθοδο της «νεύσης» αφορά στον τετραγωνισμό μηνίσκου με εξωτερικό τόξο μικρότερο από ημικύκλιο. Στο έργο του Σιμπλίκιου το απόσπασμα αυτό περικλείεται από εισαγωγικά και κατά τον Heath 3, είναι αντιγραφή από το έργο του Εύδημου 2 B. L. Van Der Waerden, Η Αφύπνιση της Επιστήμης, (Απόδοση Γ. Χριστιανίδη), σελ Euclid, The thirteen books of the Elements, Translated with introduction and commentary by Sir Thomas L. Heath, Vol. 1, σελ. 386, 387.

3 «Gewmetrik» ƒstor a». Η άποψη του Heath είναι ισχυρή, λόγω των εισαγωγικών και του γεγονότος ότι ο ίδιος ο Σιμπλίκιος σε πολλά σημεία αναφέρεται στο έργο αυτό 4. Στο πρωτότυπο κείμενο το απόσπασμα είναι (9,64,7-24): E dš l ttwn ¹mikukl ou e h, progr yaj toiònde ti Ð `Ippokr thj toàto kateskeúasen œstw kúkloj oá di metroj f' Î [¹] AB, kšntron dš aùtoà f' ú K kaˆ ¹ mšn f' Î GD d ca te kaˆ A prõj Ñrq j temnštw t¾n f' Î BK ¹ dš f' Î EZ ke sqw taúthj metaxý kaˆ táj perifere aj pˆ tõ B neúousa tîn k toà kšntrou ¹miol a oâsa dun mei. ¹ dš f' Î EH ½cqw par t¾n f' Î AB. kaˆ põ toà K pezeúcqwsan pˆ t E Z. sumpiptštw dš kballomšnh ¹ pˆ tõ Z pizeucqe sa tí f' Î EH kat tõ H kaˆ p lin põ toà B pˆ t Z H pezeúcqwsan. fanerõn d¾ Óti ¹ mšn f' Î EZ kballomšnh pˆ tõ B pese tai (ØpÒkeitai g r ¹ EZ pˆ tõ B neúousa), ¹ dš f' Î BH sh œstai tí f' Î EK. Ή σε ελεύθερη απόδοση: «Αν είναι μικρότερο από ημικύκλιο [το εξωτερικό τόξο του μηνίσκου], ο Ιπποκράτης κατασκεύασε [το ισοδύναμο με αυτόν τετράγωνο] κάπως έτσι. Έστω κύκλος με διάμετρο ΑΒ και κέντρο Κ, η μεσοκάθετος ΓΔ του ΚΒ, το ΕΖ συνδέει τη ΓΔ με τον κύκλο, σχηματίζει ευθεία με το Β και είναι τέτοιο, ώστε το τετράγωνό του να είναι ίσο με τα τρία δεύτερα του τετραγώνου της ακτίνας και η ΕΗ παράλληλη στην ΑΒ. Φέρνουμε τις ΚΕ και ΚΖ. Η προέκταση της ΚΖ τέμνει την ΕΗ στο Η. Είναι φανερό ότι η προέκταση της ΕΖ περνά από το Β (αφού η ΕΖ σχηματίζει ευθεία με το Β) και ότι η ΒΗ είναι ίση με την ΕΚ.» Η φράση «pˆ tõ B neúousa», εκλαμβάνεται από όλους σχεδόν τους ερευνητές ως αναφορά στη μηχανική (και βεβαίως όχι με την αποκλειστική χρήση κανόνα και διαβήτη) κατασκευή ευθύγραμμων τμημάτων με τη E K Γ Z B H Σχήμα 1 4 π.χ. Σιμπλίκιος, Εις το α της Αριστοτέλους φυσικής ακροάσεως υπόμνημα, 9,60,22-24: `O mšntoi EÜdhmoj n tí GewmetrikÍ ƒstor v oùk pˆ tetragwnikáj pleur j de xa fhsi tõn `Ippokr thn tõn toà mhn skou tetragwnismòn, ll kaqòlou,...

4 μέθοδο της «νεύσης». 2. Οι επικρατέστερες ερμηνείες της αναφοράς στη μέθοδο της «νεύσης». Ο Heath 5 θεωρεί, ότι ο Ιπποκράτης μπορούσε να κατασκευάσει το ΕΖ (αλλά δεν περιγράφει την κατασκευή, ίσως για λόγους συντόμευσης του κειμένου), γράφοντας κύκλο με κέντρο το Β και ακτίνα ίση με ω = (ΒΖ), αφού από την ομοιότητα των ορθογωνίων τριγώνων ΓΒΖ και ΕΒΑ και λαμβάνοντας υπόψη ότι: (ΑΒ) = 2ρ, (ΒΓ) = ρ/2 και (ΒΕ) = ρ ω, προκύπτει: ρ 2 = (ρ 3 2 )ω + ω 2 (1). O Heath, επισημαίνει ότι ένα τμήμα μήκους α = ρ 3 2, δηλαδή ίσο με το ΕΖ, μπορεί να κατασκευαστεί εύκολα προεκτείνοντας τη ΓΔ (σχ. 1) μέχρι να συναντήσει τον κύκλο και κατασκευάζοντας τετράγωνο με πλευρά το ευθύγραμμο τμήμα ΓΘ που σχηματίζεται (το ΓΘ είναι η μέση ανάλογος 6 3ρ ρ των τμημάτων ΑΓ = και ΓΒ =, δηλαδή ΓΘ 2 3ρ = 2 ). Το ζητούμενο τμήμα είναι η διαγώνιος αυτού του τετραγώνου (Πυθαγόρειο θεώρημα 7 ). Έτσι η (1) γίνεται: ρ 2 = αω + ω 2 (2), με τα α και ρ γνωστά ευθύγραμμα τμήματα, επομένως το ω είναι κατασκευάσιμο. Στη συνέχεια παρουσιάζει, δανειζόμενος από τον Simson 8, την κατασκευή (ανακατασκευή κατά τα αρχαία πρότυπα) με χρήση του Πυθαγόρειου θεωρήματος και της πρότασης ΙΙ.6 των Στοιχείων. Πρόταση ΙΙ.6: Αν ευθύγραμμο τμήμα διχοτομηθεί και προεκταθεί κατά άλλο ευθύγραμμο τμήμα, το άθροισμα των εμβαδών του ορθογώνιου με μια πλευρά το τμήμα που σχηματίζεται και άλλη πλευρά ίση με την προέκταση και του τετραγώνου με πλευρά το μισό του αρχικού τμήματος είναι ίσο με το εμβαδόν του τετραγώνου που έχει πλευρά ίση με το άθροισμα του μισού του αρχικού τμήματος συν την 5 Euclid, The thirteen books of the Elements, Translated with introduction and commentary by Sir Thomas L. Heath, Vol. 1, σελ. 387: There is no doubt that Hippocrates could have solved the equation by the geometrical construction given below, 6 Ευάγγελος Σταμάτης, Ευκλείδου Γεωμετρία-Θεωρία Αριθμών. Στοιχεία, τ.ιι, σελ. 90: DÚo doqeisîn eùqeiîn mšshn n logon proseure n. Όμως η κατασκευή αυτή εμφανίζεται και στην Πρόταση ΙΙ.14 των Στοιχείων (Ευάγγελου Σταμάτη, Ευκλείδου Γεωμετρία. Στοιχεία, τ.ι, σελ. 120): Tù doqšnti eùqugr mmj son tetr gwnon sust»sasqai. 7 Ευάγγελος Σταμάτης, Ευκλείδου Γεωμετρία. Στοιχεία, τ.ι, σελ. 94: Πρόταση ΙI.47: 'En to j Ñrqogwn oij trigènoij tõ põ táj t¾n Ñrq¾n gwn an ØpoteinoÚshj pleur j tetr gwnon son stˆ to j põ tîn t¾n Ñrq¾n gwn an periecousîn pleurîn tetragènoij. 8 Robert Simson, The Elements of Euclid, viz. the first six Books together with the eleventh and twelfth. In this Edition the Errors by which Theon or others have long ago vitiated these Books are corrected and some Euclid s Demonstrations are restored, πρώτη έκδοση 1756.

5 προέκταση. 9 Αν α το αρχικό ευθύγραμμο τμήμα και ω η προέκταση, η παραπάνω 2 2 πρόταση με σύγχρονο τρόπο γράφεται: (α + ω)ω + α α ω. 2 2 Για να λυθεί η εξίσωση (2), ο Heath ζητά να βρεθεί το ορθογώνιο ΑΗ 10 (σχ. 2), στο οποίο Δ ΑΒ = α (Γ μέσο του ΑΒ) και ΒΖ = ΖΗ Σχήμα 2 θέλουμε να είναι το ζητούμενο ω με εμβαδόν ρ 2, ή ο γνώμων 11 ΝΕΡ με ίσο εμβαδόν και τις πλευρές της εσωτερικής ορθής γωνία ίσες με Α Γ Β το ΓΒ = α/2. Έτσι αφού είναι γνωστά τα Ζ (α/2) 2 και ρ 2, αρκεί να βρεθεί τετράγωνο με E εμβαδό ίσο με το άθροισμα των δύο αυτών N Η γνωστών τετραγώνων (Π. θ.). Ο Simson αυτό το πετυχαίνει ως εξής: P Ξεκινώντας από τμήμα ΑΒ = α βρίσκει το μέσο του Γ. Φέρνει ΒΔ = ρ κάθετη στην ΑΒ, ενώνει το Γ με το Δ και με κέντρο το Γ και ακτίνα ΓΔ γράφει κύκλο που τέμνει την προέκταση του ΑΒ στο Ζ. Έτσι το ΒΖ = ω έχει βρεθεί. Για την απόδειξη χρησιμοποιεί επίσης τρόπο σύμφωνο με την αρχαία ελληνική παράδοση συμπληρώνοντας το σχήμα 2, και από την πρόταση ΙΙ.6 των Στοιχείων είναι: Το ορθογώνιο με πλευρές ΑΖ, ΒΖ μαζί με το τετράγωνο πλευράς ΓΒ έχουν εμβαδόν ίσο με το τετράγωνο πλευράς ΓΖ, δηλαδή με το τετράγωνο πλευράς ΓΔ, άρα με το άθροισμα των εμβαδών των τετραγώνων με πλευρές ΓΒ και ΒΔ (Π.θ.). Έτσι το ορθογώνιο με πλευρές ΑΖ, ΒΖ έχει εμβαδόν ίσο με το τετράγωνο πλευράς ΒΔ. Είναι δηλαδή: ΑΖ ΒΖ = ΒΔ 2 ή (α + ΒΖ)ΒΖ = ρ 2 και το ΒΖ επαληθεύει την εξίσωση (2). 9 Ευάγγελος Σταμάτης, Ευκλείδου Γεωμετρία. Στοιχεία, τ.ι, σελ. 104: 'E n eùqe a gramm¾ tmhqí d ca, prosteqí dš tij aùtí eùqe a p' eùqe aj, tõ ØpÕ táj Ólhj sýn tí proskeimšnv kaˆ táj proskeimšnhj periecòmenon Ñrqogènion met toà põ táj ¹mise aj tetragènou son stˆ tù põ táj sugkeimšnhj œk te táj ¹mise aj kaˆ táj proskeimšnhj tetragènj. 10 Ονομάζει το ορθογώνιο με πλευρές ΑΖ και ΖΗ με τον αρχαίο ελληνικό τρόπο από το όνομα μιας διαγωνίου του. 11 Παραλληλόγραμμο από το οποίο λείπει όμοιο παραλληλόγραμμο που έχει κοινή κορυφή με το αρχικό (εδώ τετράγωνο). Ευάγγελος Σταμάτης, Ευκλείδου Γεωμετρία. Στοιχεία, τ.ι, σελ. 98: Ορισμός II.2: PantÕj dš parallhlogr mmou cwr ou tîn perˆ t¾n di metron aùtoà parallhlogr mmwn n Ðpoionoàn sýn to j dusˆ paraplhrèmasi gnèmwn kale sqw.

6 Στο ίδιο σχόλιο ο Heath αναφέρει και την άποψη του Zeuthen 12 για την αναφορά της «νεύσης» στο απόσπασμα από το έργο του Σιμπλίκιου. Αυτός θεωρεί πιθανή την εκδοχή της (μηχανικής) κατασκευής μέσω της μεθόδου της «νεύσης», κυρίως λόγω της φράσης «kaˆ p lin põ toà B pˆ t Z H pezeúcqwsan.» (δηλαδή: «και ξανά ας ενωθούν το Β με τα Ζ και Η.»). [Ο Zeuthen υπονοεί ότι αν είχε γίνει η κατασκευή του ω, θα βρίσκαμε το Ζ από την τομή του κύκλου με κέντρο το Β και ακτίνα ίση με το ω με το τμήμα ΓΔ και στη συνέχεια το Ε προεκτείνοντας τη ΒΖ μέχρι να συναντήσει τον αρχικό κύκλο, επομένως δεν θα υπήρχε ανάγκη να ενωθεί το Β με το Ζ, αφού θα ήταν ήδη ενωμένα.] Ο Knorr 13 προχωρά ακόμη παραπέρα θεωρώντας, ότι η φράση «pˆ tõ B neúousa» σημαίνει, οπωσδήποτε, ότι η μέθοδος κατασκευής που χρησιμοποιεί ο Ιπποκράτης είναι αυτή της «νεύσης» και βασιζόμενος σ αυτό συμπεραίνει, ότι δεν μπορούσε να κατασκευάσει το ω - αν μπορούσε θα παρουσίαζε την κατασκευή του - επομένως δεν γνώριζε την πρόταση ΙΙ.6 των Στοιχείων. Όμως ο Ιπποκράτης έζησε μετά τους Πυθαγορείους και πριν τον Θεόδωρο τον Κυρηναίο 14, χωρίς να παρεμβάλετε άλλος σπουδαίος μαθηματικός μεταξύ τους. Έτσι το τελικό συμπέρασμά του Knorr είναι, ότι το δεύτερο βιβλίο των Στοιχείων δεν είναι εξ ολοκλήρου έργο των Πυθαγορείων, αλλά μεγάλο μέρος του (και οπωσδήποτε η πρόταση ΙΙ.6) οφείλεται στον Θεόδωρο. 3. Σχόλια στις παραπάνω ερμηνείες. Η αναλογία των ομολόγων πλευρών των όμοιων ορθογωνίων τριγώνων, που χρησιμοποιεί ο Heath για να καταλήξει στην εξίσωση (1), είναι απαραίτητη για να οριστεί με αυτόν τον τρόπο το ω, αλλά η σχετική πρόταση: Πρόταση VΙ.4: Στα ισογώνια τρίγωνα οι πλευρές που περιέχουν τις ίσες γωνίες είναι ανάλογες και οι απέναντι των ίσων γωνιών πλευρές είναι ομόλογες. 15 καθώς και άλλες εξ ίσου αναγκαίες, βρίσκονται στο έκτο βιβλίο των 12 H. G. Von Zeuthen, Die Leher von den Kegelschnitten im Altertum, σελ.270, W.R. Knorr, The Evolution of Euclidean Elements, σελ Θεόδωρος ο Κυρηναίος: μαθηματικός, μέλος της Ακαδημίας του Πλάτωνα, δάσκαλος του Θεαίτητου, ίσως και του ίδιου του Πλάτωνα. Πλάτωνας, Θεαίτητος, 145c, 7-9: SW. Lšge d» moi manq neij pou par Qeodèrou gewmetr aj tta; QEAI. Egwge. 15 Ευάγγελος Σταμάτης, Ευκλείδου Γεωμετρία-Θεωρία Αριθμών. Στοιχεία, τ.ιι, σελ. 74: Tîn sogwn wn trigènwn n logòn e sin aƒ pleuraˆ aƒ perˆ t j saj gwn aj kaˆ ÐmÒlogoi aƒ ØpÕ t j saj gwn aj Øpote nousai.

7 Στοιχείων, που περιέχει και αποτελέσματα μεταγενέστερα του Ιπποκράτη. Η εξίσωση του Heath είναι μάλλον υπερβολικά «σύγχρονης» μορφής. Μη μπορώντας επομένως ο Ιπποκράτης να βρει την εξίσωση (1) δεν θα μπορούσε να χρησιμοποιήσει την πρόταση ΙΙ.6 για την κατασκευή του ω. Στην πραγματικότητα η σχέση ορισμού του ω, που πιθανόν μπορούσε να βρει ο Ιπποκράτης είναι η ισότητα (ως προς το εμβαδόν) του ορθογωνίου με διαστάσεις ΑΒ = 2ρ και ΒΓ = ρ/2, με το ορθογώνιο με διαστάσεις ΒΖ = ω και ΕΒ = ΕΖ + ω, επομένως, η κατασκευαστική εύρεση του ω απαιτεί την καθ υπερβολή εφαρμογή ορθογώνιου χωρίου, στο κατασκευάσιμο (λόγω του Πυθαγορείου Θεωρήματος) ΕΖ, στο ορθογώνιο διαστάσεων ΑΒ και ΒΓ, με την υπερβολή να είναι τετράγωνο. Η κατασκευή αυτή είναι ειδική περίπτωση της: Πρόταση VΙ.29: Στο δοθέν ευθύγραμμο τμήμα προς το δοθέν ευθύγραμμο σχήμα να παραβληθεί ίσο παραλληλόγραμμο, το οποίο να υπερβάλλει κατά παραλληλόγραμμο όμοιο με το δοθέν. 16 που γενικά θεωρείται ότι δεν ήταν γνωστή στον Ιπποκράτη. Για τη φράση «kaˆ p lin põ toà B pˆ t Z H pezeúcqwsan.» που επικαλείται ο Zeuthen, μπορούμε να παρατηρήσουμε ότι ακόμη και στην περίπτωση που η κατασκευή γίνει με τη μέθοδο της «νεύσης» θα μπορούσε τα Β, Ζ να ήταν ήδη ενωμένα, αφού κατ αυτή τη μέθοδο ο κανόνας τοποθετείται ώστε να διέρχεται από το Β και επομένως το τμήμα ΒΖ μπορεί να χαραχτεί ταυτόχρονα με το ΕΖ. Επίσης ότι κατά την κατασκευή με κανόνα και διαβήτη, μετά την εύρεση του Ζ, ως τομή του κύκλου (Β, ω) με την ευθεία ΒΔ, για να βρεθεί το Ε, δεν είναι υποχρεωτικό να ενωθεί το Β με το Ζ και να προεκταθεί μέχρι να συναντήσει τον κύκλο. Η εύρεση του Ε μπορεί να γίνει ως τομή του κύκλου (Ζ, α) με τον κύκλο (Κ, ρ). Έτσι τα Β, Ζ πρέπει να ενωθούν εκ των υστέρων. Αρχαίες πηγές βεβαιώνουν, ότι όλο το δεύτερο βιβλίο των Στοιχείων οφείλεται στους Πυθαγόρειους. Ο Πρόκλος, για παράδειγμα, αναφέρει: «Λένε οι γύρω απ τον Εύδημο, ότι είναι αρχαία και της έμπνευσης των Πυθαγορείων αποτελέσματα αυτά, η παραβολή των χωρίων και η υπερβολή και η έλλειψη.» Ευάγγελος Σταμάτης, Ευκλείδου Γεωμετρία-Θεωρία Αριθμών. Στοιχεία, τ.ιι, σελ. 122: Par t¾n doqe san eùqe an tù doqšnti eùqugr mmj son parallhlògrammon parabale n Øperb llon e dei parallhlogr mmj Ðmo J tù doqšnti. 17 Πρόκλος, Εις το πρώτον των Ευκλείδους Στοιχείων βιβλίον, 419,15-18: Esti mšn rca a, fasˆn oƒ perˆ tõn EÜdhmon, kaˆ táj tîn Puqagore wn moúshj eør»mata taàta, ¼ te parabol¾ tîn cwr wn kaˆ ¹ Øperbol¾ kaˆ ¹ œlleiyij.

8 Αφού ο Πρόκλος επικαλείται τον Εύδημο, μαθητή του Αριστοτέλη 18 και όχι φιλικό προς τους Πυθαγόρειους, για να αποδώσει προτάσεις σ αυτούς, δεν έχουμε λόγους να αμφισβητούμε την απόδοση. Επειδή ο όρος υπερβολή, της παραπάνω αναφοράς, αφορά ακριβώς στην πρόταση ΙΙ.6, αν δεχτούμε ότι ο Ιπποκράτης δεν μπορεί να κατασκευάσει το ω, πιο πιθανή εξήγηση απ αυτή που υιοθετεί ο Knorr (δηλαδή τη μη γνώση της πρότασης αυτής), είναι, όπως αναφέρουμε και στο σχόλιο για την άποψη του Heath, η αδυναμία του Ιπποκράτη να τεκμηριώσει την εξίσωση (1) που το ορίζει. 4. Μερικές παρατηρήσεις για το κείμενο του Σιμπλίκιου. Σε ολόκληρο το απόσπασμα που αφορά στον τετραγωνισμό μηνίσκων απ τον Ιπποκράτη (9,56,1-9,69,34), αναφέρονται εντός εισαγωγικών τα (κατά τον Heath) αποσπάσματα από το έργο Ιστορία της Γεωμετρίας του Εύδημου, καθώς και αρκετές προτάσεις των Στοιχείων, που κατά τη γνώμη του συγγραφέα αιτιολογούν τα διάφορα συμπεράσματα ή ισχυρισμούς. Επίσης πολλές είναι και οι αναφορές σε προτάσεις των Στοιχείων χωρίς το περιεχόμενό τους, γεγονός που δείχνει, ότι ο Σιμπλίκιος αισθάνεται συχνά την ανάγκη 19, να αποδείξει επιχειρήματα του Ιπποκράτη, αφού στο έργο του Εύδημου, εμφανίζονται χωρίς απόδειξη. Μάλιστα υπάρχουν σημεία, όπου ο Σιμπλίκιος κάνει λάθη στις αποδείξεις που προσπαθεί να δώσει. Ένα τέτοιο λάθος εμφανίζεται και στους αμέσως επόμενους στίχους, από το απόσπασμα που περιέχει την αναφορά της «νεύσης». Ο Σιμπλίκιος προσπαθεί να αποδείξει ότι ΕΚ = ΒΗ δηλαδή ότι το τραπέζιο ΕΚΒΗ είναι ισοσκελές. Αυτό το θεωρεί αναγκαίο αφού στο τέλος του προηγούμενου, σε εισαγωγικά, αποσπάσματος υπάρχει ισχυρισμός γι αυτή την ισότητα χωρίς απόδειξη. Ο Σιμπλίκιος λοιπόν γράφει: «Ίσως κάποιος να το έδειχνε πιο πρόχειρα αυτό, εγώ με βάση τα προαναφερθέντα το δείχνω ως εξής. Αφού η ΔΓ τέμνει κάθετα και στο μέσον το ΒΚ, το κέντρο του περιγεγραμμένου στο τραπέζιο κύκλου βρίσκεται επί της ΔΓ, από το πόρισμα του πρώτου θεωρήματος του τρίτου βιβλίου των Στοιχείων....» Σιμπλίκιος, Εις το α της Αριστοτέλους φυσικής ακροάσεως υπόμνημα, 9,68,32-33:.... t mšn oân perˆ toà C ou `Ippokr touj m llon pitreptšon EÙd»mJ ginèskein ggutšrj to j crònoij Ônti kaˆ 'Aristotšlouj kroatí. 19 Σιμπλίκιος, Εις το α της Αριστοτέλους φυσικής ακροάσεως υπόμνημα, 9,60,27-30: kq»- somai dš t ØpÕ toà EÙd»mou kat lšxin legòmena Ñl ga tin prostiqeˆj <e j> saf»neian põ táj tîn EÙkle dou Stoice wn namn»sewj di tõn ØpomnhmatikÕn tròpon toà EÙd»mou kat tõ rcaϊkõn œqoj suntòmouj kqemšnou t j podòseij. 20 Σιμπλίκιος, Εις το α της Αριστοτέλους φυσικής ακροάσεως υπόμνημα, 9,64,25-29: Toàto dš swj mšn n tij kaˆ proceiròteron de xeien, moˆ dš k tîn prowmologhmšnwn oûtwj pálqen de xai. ØpÒkeitai ¹ DG t¾n BK d ca te kaˆ prõj Ñrq j tšmnein. pˆ táj DG ra tõ kšntron

9 Παρατηρούμε, ότι ο Σιμπλίκιος θεωρεί δεδομένο τον περιγεγραμμένο κύκλο ενός τραπεζίου, που θέλει να αποδείξει ότι είναι ισοσκελές, δηλαδή προσπαθώντας να αποδείξει μια ιδιότητα, χρησιμοποιεί άλλη ισοδύναμή της. 5. Μια σημαντική πληροφορία από τον Αριστοτέλη. Στην πραγματεία του Τοπικών, ο Αριστοτέλης, ως παράδειγμα που ενισχύει την άποψή του, ότι για τη σωστή μελέτη και ανάλυση των διαφόρων εννοιών, είναι απαραίτητη η θεώρηση καλών ορισμών γι αυτές, αναφέρει: «Φαίνεται ότι και στα μαθηματικά, κάποιες έννοιες λόγω έλλειψης [σωστού] ορισμού δεν γράφονται (αποδεικνύονται) εύκολα, όπως το ότι η παράλληλη προς την πλευρά τέμνουσα του επίπεδου [χωρίου] (παραλληλογράμμου) όμοια διαιρεί τη γραμμή [της βάσης] και το χωρίο. Όταν όμως ειπωθεί ο [σωστός] ορισμός [γίνεται] αμέσως φανερό το ζητούμενο, αφού τα χωρία και οι γραμμές έχουν την ίδια ανθυφαίρεση και αυτός είναι ο ορισμός του ίδιου λόγου (της αναλογίας).» 21 Από το απόσπασμα αυτό συμπεραίνουμε, ότι υπήρξε περίοδος, πριν δοθεί ο ορισμός της αναλογίας α/β = γ/δ, ως ίσης ανθυφαίρεσης των ζευγών (α, β) και (γ, δ), κατά την οποία η ισότητα λόγων ήταν ορισμένη εμπειρικά και υπήρχαν προτάσεις που δεν είχαν αποδειχθεί. Μπορούμε επομένως να υποθέσουμε ότι με αυτές τις προτάσεις ως αξιώματα θα είχε αναπτυχθεί κάποια θεωρία αναλογιών. Την υπόθεση αυτή θεωρούμε αρκετά ισχυρή, αφού ενισχύεται από το γεγονός, ότι ολόκληρη η Ευκλείδεια Γεωμετρία βασίζεται στο 5ο Αίτημα, που πολλοί προσπάθησαν να αποδείξουν στη συνέχεια. Θεωρούμε επομένως αρκετά πιθανό κάτι ανάλογο να συνέβη και με τη θεωρία αναλογιών, με τη διαφορά ότι, όπως και ο Αριστοτέλης επισημαίνει στο παραπάνω απόσπασμα, αργότερα ο σωστός ορισμός της αναλογίας βοήθησε στην απαλοιφή των αιτημάτων και στην χωρίς αμφιβολία θεμελίωσή της. 6. Μια νέα ερμηνεία για την αναφορά της «νεύσης». Η συχνή ανάγκη, που νιώθει ο Σιμπλίκιος, για απόδειξη πολλών απ τα stˆ toà perˆ tõ trapšzion grafhsomšnou kúklou di tõ pòrisma toà prètou qewr»matoj toà n tù tr tj tîn EÙkle dou Stoice wn Αριστοτέλης, Τοπικών, 158b,29-35:. œoike dš kaˆ n to j maq»masin œnia di' Ðrismoà œlleiyin où vd wj gr fesqai, oœon Óti ¹ par t¾n pleur n tšmnousa tõ p pedon Ðmo wj diaire t»n te gramm¾n kaˆ tõ cwr on. toà dš Ðrismoà hqšntoj eùqšwj fanerõn tõ legòmenon: t¾n g r aùt¾n ntana resin œcei t cwr a kaˆ aƒ gramma : œsti d' ÐrismÕj toà aùtoà lògou oátoj.

10 επιχειρήματα του Ιπποκράτη, κατά την απόψή μας, δείχνει ότι: ή το έργο του Ιπποκράτη είναι γεμάτο αναπόδεικτους ισχυρισμούς, ή ο Εύδημος (ή όποιος άλλος είναι αυτός απ τον οποίο αντιγράφει ο Σιμπλίκιος) το έχει αποδώσει συνοπτικά. Θεωρούμε πιθανότερο το δεύτερο, αφού ο Εύδημος δεν γράφει βιβλίο Γεωμετρίας αλλά Ιστορία της Γεωμετρίας. Έτσι νομίζουμε ότι δεν μπορεί να αποκλειστεί η εκδοχή, ότι η φράση «pˆ tõ B neúousa» είναι επιλογή του Εύδημου στην προσπάθειά του, να συντομεύσει το κείμενο του Ιπποκράτη και επομένως δεν έχει σχέση με το αν αυτός μπορούσε ή δεν μπορούσε να κατασκευάσει το ω και αν γνώριζε ή όχι την πρόταση ΙΙ.6 των Στοιχείων. Επί της ουσίας του ερωτήματος, αν τελικά ο Ιπποκράτης μπορούσε να κατασκευάσει το τμήμα ω, θεωρούμε αρκετά πιθανή την καταφατική απάντηση και μάλιστα με τον τρόπο που περιγράφει ο Heath. Σ αυτό συνηγορούν οι παρακάτω παρατηρήσεις: Η ΕΖ κατασκευάζεται με τη χρήση των προτάσεων Ι.47 και ΙΙ.14 των Στοιχείων. Είναι πιθανόν ότι ο Ιπποκράτης γνώριζε, μέσω της προϋπάρχουσας θεωρίας αναλογιών για την οποία μιλήσαμε στην ενότητα 5, την πρόταση VΙ.4 ή άλλη ισοδύναμή της, ώστε να μπορέσει να ορίσει το ω μέσω της ισότητας του εμβαδού του ορθογωνίου που έχει πλευρές ίσες με τα τμήματα ΑΒ = 2ρ και ΒΓ = ρ/2 και του εμβαδού του ορθογωνίου που έχει πλευρές ίσες με τα BE = ΕΖ + ω και ΒΖ = ω. Το ορθογώνιο με διαστάσεις ΑΒ = 2ρ και ΒΓ = ρ/2 τετραγωνίζεται μέσω της πρότασης ΙΙ.14 των Στοιχείων, και η πλευρά του τετραγώνου αυτού είναι ρ. Μέσω του παραπάνω τετραγωνισμού, η ειδική μορφή της πρότασης VI.29 των Στοιχείων, που κατασκευάζει το ω αλλά θεωρείται άγνωστη στον Ιπποκράτη, είναι ισοδύναμη με την πρόταση ΙΙ.6, που αρχαίες πηγές την αποδίδουν στους προγενέστερους απ αυτόν Πυθαγόρειους. Παράρτημα Δύο ακόμη αποτυχημένες προσπάθειες απόδειξης του Σιμπλίκιου, υπάρχουν και στο απόσπασμα που αφορά στον τετραγωνισμό μηνίσκου με εξωτερικό τόξο μεγαλύτερο από ημικύκλιο: «Έπειτα για [μηνίσκο με] μεγαλύτερο ημικυκλίου [εξωτερικό τόξο], θεωρεί ότι κατασκευάζει τραπέζιο με τις τρεις πλευρές ίσες μεταξύ τους και

11 την μεγαλύτερη των παραλλήλων, με τετράγωνο τριπλάσιο από καθένα απ τα τετράγωνα αυτών. Το τραπέζιο το εγγράφει σε κύκλο και στην μεγαλύτερη πλευρά του περιγράφει [κυκλικό] τμήμα, όμοιο με αυτά που αποκόπτουν οι άλλες τρεις απ τον κύκλο.» Και ότι το τραπέζιο εγγράφεται σε κύκλο θα το δείξεις ως εξής. Αφού διχοτομήσεις τις γωνίες του τραπεζίου κατά την πρόταση Ι.9 των Στοιχείων και φέρεις τις διαγωνίους θα πεις, επειδή είναι ίση η ΒΑ με την ΑΓ, κοινή η ΑΕ, ίσες οι γωνίες και τα υπόλοιπα [ίσα]. «Ότι είναι μεγαλύτερο του ημικυκλίου το τμήμα που είπαμε, [γίνεται] φανερό αφού φέρουμε στο τραπέζιο διαγώνιο. Διότι είναι ανάγκη αυτή που υποτείνει τις δύο (από τις ίσες) πλευρές του τραπεζίου να έχει τετράγωνο μεγαλύτερο από το διπλάσιο του τετραγώνου της τρίτης. Διότι επειδή η ΒΔ είναι μεγαλύτερη της ΑΓ, οι ΔΓ και ΒΑ που είναι ίσες και τις συνδέουν, αν προεκταθούν θα συναντηθούν στο Ζ. Διότι αν είναι παράλληλες οι ΒΑ και ΔΓ ενώ είναι και ίσες, επειδή οι συνδέουσες τις ίσες και παράλληλες είναι και αυτές ίσες και παράλληλες, θα είναι ίση και η ΑΓ με τη ΒΔ, που είναι αδύνατον. Αφού συμπέσουν οι ΒΑ και ΔΓ στο Ζ, οι γωνίες ΖΑΓ και ΓΑΒ (το άθροισμά τους) θα είναι ίσες με δύο ορθές» από την Ι.13 του Ευκλείδη. «Μεγαλύτερη η ΓΑΒ της ΖΑΓ η εκτός του τριγώνου από την εντός *** από την Ι.32. Άρα η ΓΑΖ είναι η μισή από την ΒΑΓ. «Άρα το τετράγωνο της ΒΓ είναι μεγαλύτερο από το διπλάσιο τετράγωνο καθεμιάς των ΒΑ και ΑΓ άρα και της ΓΔ. Άρα κατ ανάγκη η μεγαλύτερη πλευρά του τραπεζίου, η ΒΔ, έχει τετράγωνο μικρότερο (από το άθροισμα) των τετραγώνων της διαγωνίου και της τρίτης από της πλευρές με την οποία σχηματίζει τρίγωνο με τη διαγώνιο η αναφερθείσα (δηλαδή η ΒΔ). Διότι τα τετράγωνα των ΒΓ και ΓΔ (δηλαδή το άθροισμά τους) είναι μεγαλύτερα από το τριπλάσιο του τετραγώνου της ΓΔ ενώ αυτό της ΒΔ είναι ίσο με το τριπλάσιό του. Άρα είναι οξεία η γωνία που βαίνει στη μεγαλύτερη πλευρά του τραπεζίου. Επομένως μεγαλύτερο ημικυκλίου το τμήμα στο οποίο βρίσκεται. Το οποίο βεβαίως είναι το εξωτερικό τόξο του μηνίσκου.» 22 B A y x x Ε Z y y Γ x 22 Σιμπλίκιος, Εις το α της Αριστοτέλους φυσικής ακροάσεως υπόμνημα, 9,62,13-9,63,18: EŠta fexáj me zona ¹mikukl ou Øpot qetai susths menoj trapšzion t j mšn tre j œcon pleur j saj ll»laij, t¾n dš m an t¾n me zw tîn parall»lwn triplas an ke nwn k sthj dun mei, kaˆ tò te trapšzion perilabën kúklj kaˆ perˆ t¾n meg sthn aùtoà pleur n Ómoion tmáma perigr yaj to j ØpÕ tîn swn triîn potemnomšnoij põ toà kúklou. kaˆ Óti mšn perilhfq»setai kúklj tõ trapšzion, de xeij oûtwj. dicotom»saj t j toà trapez ou gwn aj kat tõ œnaton toà prètou tîn Stoice wn kaˆ pizeúxaj t j diagwn ouj re j, peˆ ¹ BA tí AG sh, koin¾ dš ¹ AE, sai <aƒ> gwn ai kaˆ t xáj. Óti dš

12 Πρώτο λάθος: Η απόδειξη της εγγραψιμότητας του ισοσκελούς τραπεζίου δεν μπορεί να γίνει φέρνοντας τις διχοτόμους όλων των γωνιών του, αφού αυτές δεν διέρχονται απ το ίδιο σημείο. Το σημείο Ε, που υπάρχει στο σχήμα, είναι σημείο τομής των διχοτόμων των γωνιών Α και Γ του τραπεζίου και με τη βοήθειά του ο Σιμπλίκιος (όπως περιγράφει) μπορεί να αποδείξει την ισότητα των ΕΒ και ΕΓ. Επίσης με όμοιο τρόπο μπορεί να αποδείξει και την ισότητα των ΕΑ και ΕΔ. Για την ισότητα και των τεσσάρων, χρειάζεται την ισότητα των γωνιών στις βάσεις του ισοσκελούς τραπεζίου, την οποία δεν αναφέρει καθόλου. Δεύτερο λάθος: Η πρόταση Ι.32 αφορά σε εξωτερική και απέναντί της εσωτερική γωνία και όχι σε εφεξής. Όμως εδώ πρέπει να παρατηρήσουμε ότι προηγουμένως έχουν ανοίξει εισαγωγικά, τα οποία δεν κλείνουν ποτέ, αφού λίγο πιο κάτω ανοίγουν καινούρια. Επιπλέον υπάρχουν οι τρεις αστερίσκοι στο κείμενο, που μάλλον σημαίνουν κάποια έλλειψη. Ίσως στο τμήμα που λείπει να υπήρχε η αιτιολόγηση της μεταφοράς από την εφεξής στην απέναντι, μέσω της ισότητας των γωνιών στη βάση του τραπεζίου. Όμως το θεωρώ απίθανο, αφού και μεγάλο κείμενο χρειάζεται γι αυτό και θα μπορούσε να χρησιμοποιηθεί και στην αιτιολόγηση του προηγούμενου. me zòn stin ¹mikukl ou tõ lecqšn tmáma, dálon cqe shj n tù trapez J diamštrou. n gkh g r taúthn ØpÕ dúo pleur j Øpote nousan toà trapez ou táj Øpolo pou mi j me zona À diplas an eœnai dun mei. peˆ g r me zwn stˆn ¹ BD táj AG, aƒ DG BA sai oâsai kaˆ pizeugnàsai aùt j, kballòmenai sumpesoàntai kat tõ Z. e g r par llhlo e sin aƒ BA DG sai oâsai, aƒ dš t j saj te kaˆ parall»louj pizeugnàsai kaˆ aùtaˆ sai kaˆ par llhlo e sin, œstai ¹ AG sh tí BD, Óper dúnaton: sumpiptousîn dš tîn BA DG kat tõ Z aƒ ØpÕ ZAG GAB gwn ai dúo Ñrqa j sai œsontai di tõ ig toà prètou tîn EÙkle dou. me zwn dš ¹ ØpÕ GAB táj ØpÕ GAZ ¹ ktõj toà trigènou táj ntõj * * * di tõ lb toà prètou. ¹m seia ra ¹ ØpÕ GAZ gwn a stˆ táj ØpÕ BAG, ¹ ra BG me zon À dipl sion dúnatai katšraj tîn BA AG, éste kaˆ táj GD. kaˆ t¾n meg sthn ra tîn toà trapez ou pleurîn t¾n BD nagka on œlatton dúnasqai táj te diamštrou kaˆ tîn tšrwn pleurîn ke nhj, Øf' n Øpote nei met táj diamštrou ¹ lecqe sa. aƒ g r BG GD me zon À tripl sion dúnantai táj GD, ¹ dš BD tripl sion. Ñxe a ra stˆn ¹ pˆ táj me zonoj toà trapez ou pleur j bebhku a gwn a. me zon ra ¹mikukl ou stˆ tõ tmáma n ú stin. Óper stˆn ¹ œxw perifšreia toà mhn skou.

13 Αναφορές Ι. Βιβλία Sir Thomas L. Heath, Euclid. The thirteen books of the Elements, Vol. 1, Dover Publications, New York, W.R. Knorr, The Evolution of Euclidean Elements, Dordrecht, Neth: D Reidel, B. L. Van Der Waerden, Η Αφύπνιση της Επιστήμης, (Απόδοση Γ. Χριστιανίδη), Π.Ε.Κ., Ηράκλειο, Ευάγγελος Σταμάτης, Ευκλείδου Γεωμετρία. Στοιχεία, τ. Ι, Ο.Ε.Σ.Β., Αθήνα, Ευάγγελος Σταμάτης, Ευκλείδου Γεωμετρία-Θεωρία Αριθμών. Στοιχεία, τ. ΙΙ, Ο.Ε.Σ.Β., Αθήνα, ΙΙ. CD-ROM: T.L.G.: Αριστοτέλης, Topikîn. Πλάτωνας, Qea thtoj. Πρόκλος, E j tò prîton tîn EÙkle douj Stoice wn bibl on. Σιμπλίκιος, E j tò a/ táj Aristotšlouj fusikáj kro sewj ØpÒmnhma.